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TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN
INTERDISCIPLINARES:
MATEMÁTICAS Y ECONOMÍA,
MATEMÁTICAS Y ARTE
Mauricio Contreras del Rincón IES Benicalap (Valencia)
JORNADAS SOBRE OPTATIVAS DE MATEMÁTICAS EN LA ESO
26 Y 27 DE SEPTIEMBRE DE 2008
CEFIRE DE VALENCIA

La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN INTERDISCIPLINARES
Mauricio Contreras del Rincón IES Benicalap (Valencia)
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En la orden de 27 de mayo de 2008 se regulan las materias optativas en la ESO. En el Anexo I se indican
los currículos correspondientes. En él se muestran las carácteríticas de la optativa de 4º ESO, denominada
Trabajo monográfico de Investigación.
El trabajo monográfico de investigación pretende:
• desarrollar, aplicar, y poner en práctica las competencias básicas previstas para la educación
secundaria obligatoria.
• mostrar la consecución alcanzada de los objetivos generales de la etapa.
• mostrar los conocimientos adquiridos sobre un determinado tema o materia.
•
aplicar métodos y técnicas de trabajo a través de contenidos diversos que ilustren su asimilación.
• acercar a los alumnos y alumnas a un modo de trabajar metódico donde poder aplicar los
procedimientos y habilidades aprendidos
• centrarse en la indagación, investigación y la propia creatividad, favoreciendo la curiosidad y el interés
en su realización
Su
finalidad no es estudiar un nuevo temario o currículum.
Características:
•
•
•
•
•
•
Facilitar y estimular la búsqueda de informaciones, la aplicación global del conocimiento, de los saberes
prácticos, capacidades sociales y destrezas, no necesariamente relacionados con las materias del
currículo, al menos no todos ellos.
Realizar algo tangible (prototipos, objetos, intervenciones en el medio natural, social y cultural,
inventarios, recopilaciones, exposiciones, digitalizaciones, planes, estudios
de campo, encuestas,
recuperación de tradiciones y de lugares de interés, publicaciones, etc.)
Realizar actividades que de alguna forma conecten
con el mundo real, los trabajos y ocupaciones de la
vida real adulta y posterior a la escolarización.
Elegir como núcleo vertebrador algo que tenga conexión con la realidad, que dé oportunidades para
aplicar e integrar
conocimientos diversos y dé motivos para actuar dentro y fuera de los centros
docentes.
Vivir la autenticidad del trabajo real, siguiendo el desarrollo completo
del proceso, desde su
planificación, distintas fases de su realización y logro del resultado final.
Fomentar la participación de los estudiantes en las discusiones, toma de decisión y en la realización del
proyecto, sin perjuicio de que puedan repartirse tareas y responsabilidades.
• Tener en cuenta las repercusiones del trabajo y de
las acciones humanas en general, así como la
utilización de cualquier tipo de recursos, las actuaciones sobre el medio natural, social, económico o
cultural presentes y de las generaciones venideras.
−1−

Objetivos
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
1. Adquirir la disciplina intelectual más adecuada
para realizar un trabajo de forma metódica, utilizando
procedimientos y recursos coherentes con el fin perseguido, fomentando el sentido de la autonomía y la
responsabilidad individual y colectiva.
2.
Resolver problemas y tomar decisiones, incorporando el rigor y la satisfacción por el trabajo bien hecho,
y la voluntad de corregirlo y perfeccionarlo.
3.
Integrar y aplicar en la realidad personal los conocimientos adquiridos, mostrando iniciativa, interés y
motivación por el tema.
4.
5.
Utilizar las tecnologías de la información y de la comunicación como herramienta de aprendizaje y de
comunicación, valorando su uso para trabajar de forma autónoma, como instrumento de colaboración y
de desarrollo de proyectos de trabajo cooperativo.
Expresar y comunicar experiencias, oralmente y por escrito, apreciando la necesidad de una utilización
cuidadosa del lenguaje, de un vocabulario preciso y de un registro adecuado, interpretando y ajustando
el discurso a las diversas situaciones comunicativas.
6.
Participar activamente tanto en la realización y exposición oral del trabajo como en la realización de un
pequeño resumen que valore la exposición de sus compañeros.
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Contenidos
1.
Realización del trabajo.
Planificación
Desarrollo
Presentación del trabajo
• Elección de tema, idea o proyecto.
• Identificación de objetivos.
• Diseño del contenido.
• Descripción de las fases y pasos a seguir.
• Establecimiento de plazos.
• Previsión de actividades: lecturas, recogida de datos, entrevistas,
visitas, etc, y previsión inicial del producto final.
• Técnicas que favorecen la adquisición, interpretación
y transmisión
de la información: cuadros, mapas conceptuales, gráficos, elementos
visuales, datos estadísticos, audiovisuales, etc.
• Interpretación y conversión de lenguajes escritos y gráficos.
• Obtención de información proveniente
del intercambio de
experiencias y del trabajo cooperativo en el marco de trabajo
alumno-profesor y entre iguales.
• Características del texto hablado y del texto escrito.
• Elaboración de un borrador.
• Aplicación de los recursos más adecuados para comunicar el
trabajo realizado. Posibilidades que ofrecen las tecnologías
de la información y de la comunicación. La presentación oral.
−2−

2. Estructura final del trabajo.
ensayo
• 300-500 palabras
• razones que le hicieron elegir el tema
• explicación de las conexiones con otras
materias
• comprensión por parte del estudiante de
sus diversas dimensiones
• autoevaluación
sobre el proceso y el
resultado
final.
Criterios de evaluación
valoración
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
1.
Adecuación del trabajo final a los objetivos y planteamientos marcados, así como a los plazos y fases
previstos.
2.
Capacidad de síntesis, de análisis de las dificultades y valoración crítica del trabajo y de la aportación
personal.
3.
Estructura adecuada del trabajo escrito (justificación, descripción del proyecto propuesto, explicación de
los resultados y elaboración de conclusiones).
4. Adecuación y variedad
de fuentes y recursos, así como la adecuación del uso de las tecnologías de la
información y de la comunicación en el desarrollo del proyecto, en la realización escrita y en la
presentación oral.
5.
Riqueza y variedad de procedimientos utilizados en la búsqueda de información, en su tipología, así
como la adecuación a los fines propuestos.
6.
Capacidad creativa y emprendedora y la capacidad para modificar y aplicar caminos y recursos
alternativos.
7.
Iniciativa personal, el espíritu emprendedor, la autonomía y la confianza en sí mismo; además se
considerarán los hábitos de disciplina, el esfuerzo y el trabajo individual y en grupo.
8.
Corrección de la expresión oral y escrita, incluyendo la utilización adecuada y variada de recursos
gráficos o audiovisuales y la presentación de los materiales.
9.
Otros aspectos relacionados con el objeto o tema específico de trabajo.
−3−
desarrollo de un proyecto
• 1.000-1.500 palabras
• información sobre su elección y las etapas de
elaboración
• fuentes de investigación
• descripción de las diversas características
• retos o dificultades especiales a los que ha
tenido que
enfrentarse y las soluciones elegidas
• autoevaluación tanto del proceso como del
resultado final con respecto a los objetivos
iniciales

Primer ejemplo: Matemáticas y Economía
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
Como es sabido, los contenidos de Economia en la ESO son muy escasos, limitándose a algunos aspectos
parciales. Por esta razón, estamos desarrollando en el IES Benicalap un proyecto de investigación titulado
“INCIDENCIA DE LOS PRECIOS DEL PETRÓLEO EN LOS DIFERENTES SECTORES ECONÓMICOS Y
EN LA VIDA COTIDIANA”, ya que conecta con la realidad cotidiana y es una buena ocasión para poner en
juego conocimientos de estadística (gráficos y parámetros estadísticos, distribuciones estadísticas,
predicciones a partir del estudio de series temporales, etc), de informática (bases de datos, hojas de cálculo,
presentaciones de diapositivas, etc) y de economía (curvas de orferta y demanda, precios de equilibrio,
crecimiento
y decrecimiento económico, crisis económica, fuentes de energía, inversiones y producción,
tasas
de crecimiento, etc). Este trabajo de investigación está tutelado por un profesor del Departamento de
Mat emáticas, pero colaboran activamente los departamentos de Economía e Informática, aportando
sugerencias, materiales y bibliografía. Los contenidos de este proyecto de investigación son:
1)
3)
Planificación y recogida de informacion
• Posibles fuentes de información: prensa, radio, TV, hemerotecas, bibliotecas, Internet, bases de
datos, etc.
• ¿Cómo planificar la recogida de información? ¿Qué es importante
y qué es secundario en una
información? ¿Cómo sintetizar las informaciones obtenidas? Lenguaje escrito, oral, gráfico,
simbólico y matemático.
Contenidos asociados a las informaciones recogidas en las fuentes:
Matemáticas:
• Tablas y gráficos estadísticos: tablas simples y múltiples, tablas de doble entrada, diagramas de
barras, rectángulos, histogramas, pictogramas,
sectores, polígonos de frecuencias, diagramas
lineales.
•
Parámetros estadísticos: frecuencia, frecuencia relativa, porcentaje, media, varianza, desviación
típica, mediana, cuartiles, percentiles.
Informática:
• Búsqueda de páginas
web: diarios, revistas económicas, hemerotecas virtuales, bases de datos,
página del Instituto Nacional de Estadística.
• Tipos de gráficos y tablas que se encuentran en las páginas web. Lectura e interpretación de
gráficos y tablas.
Economía:
• Serie temporal, oferta y demanda, precio de equilibrio, tasa de crecimiento, aceleración y
desaceleración económica.
4) Desarrollo
del trabajo
• Síntesis y descripción: a partir de las informaciones obtenidas, se trata, en primer lugar, de sintetizar
y describir la información obtenida, usando el lenguaje gráfico y matemático (usando gráficos de la
hoja de cálculo Excel y los parametros estadísticos más adecuados).
•
Análisis de la información obtenida: se trata de investigar las interrelaciones que existen entre las
distintas variables de las que se ha recogido información. Para ello, los estudiantes podrán recurrir a
realizar gráficos y cálculos estadísticos y deberán hacer inferencias sobre los gráficos construídos y
los cálculos realizados. En particular, se propone investigar si existe o no correlación entre diversos
tipos de variables, a partir de tablas de datos o gráficos. Algunas cuestiones de interés en esta fase:
−4−

⇒
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
Incidencia del precio del petróleo en los precios de los alimentos. Si es necesario, hacer una
encuesta de precios en distintos supermercados comparando
precios en dos fechas diferentes
suficientemente espaciadas.
⇒ Incidencia del precio del petróleo en los precios de la ropa.
⇒ Incidencia del precio del petróleo en los precios de la vivienda.
⇒ Incidencia del precio del petróleo en el precio de los créditos (euribor)
No todos los estudiantes deberán abordar todas las cuestiones, sino que la clase se dividirá en
grupos y cada grupo analizará una o alguna de las interrelaciones.
Los contenidos de esta fase son:
Matemáticas:
• Tendencias de una función. Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos absolutos y
relativos. Continuidad y discontinuidad.
• Relaciones estadísticas entre dos variables: diagrama de dispersión, coeficiente de correlación,
ajuste de una recta a una nube de puntos.
Informática: •
•
Manejo elemental de la hoja de cálculo: edición y formato de celdas.
Estudio de diagramas de dispersión: líneas de tendencia y curvas de regresión.
Economía:
• Evolución de mercados. Encuesta de precios. Cesta de la compra e Índice de Precios al
Consumo. Tasas financieras. El euribor.
• Predicción y conclusiones: una vez analizada la información desde el punto de vista de las
matemáticas y la economía, se trata de estimar cómo seguirá evolucionando el precio del petróleo y
cómo afectará esto a los diversos sectores económicos, para lo que el estudiante puede usar todo
tipo de herramientas
gráficas (diagramas estadísticos obtenidos con la hoja de cálculo) y
matemáticas (inferencia estadística).
5) Presentación
del trabajo
•
Trabajo escrito: el estudiante entregará un trabajo escrito, donde recoja una síntesis de todas las
fases del trabajo y las conclusiones. Debe explicar detalladamente las decisiones que ha tomado a
lo largo del proceso, indicando con claridad las argumentaciones, los cálculos estadísticos
realizados y las inferencias
formuladas.
• Trabajo oral: el estudiante debe hacer una comunicación oral ante sus compañeros de clase,
usando una presentación de diapositivas (PowerPoint), exponiendo las distintas fases de su trabajo
y sus conclusiones.
−5−

• Un ejemplo de actividad en el primer trimestre
• LA PÁGINA DEL INE
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
Consulta en Internet la página del INE (Instituto Nacional de Estadística, www.ine.es). Busca en dicha página
información que relacione el consumo de diversos tipos de energía (fueloil, gasóleo, etc) con diferentes tipos de
actividades económicas o industriales (alimentación, textil, industrias extractivas y del petróleo, etc)
a) Utiliza la información obtenida
para construir una tabla que muestre los datos y para obtener gráficos que permitan
visualizar la relación entre el consumo energético y el tipo de actividad.
b)
Utiliza la información para construir tablas y gráficos que permitan visualizar el consumo energético según
Comunidades Autónomas.
c) Presenta tus resultados a toda la clase (puedes usar el videoproyector y el ordenador), señalando las tendencias más
importantes e intentando hacer una predicción de futuro.
−6−

Segundo ejemplo: Matemáticas y Arte
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
Como es sabido, los contenidos de Geometria en los primeros cursos de la ESO están fragmentados, en el
sentido de estar parcelados en las áreas de Dibujo y de Matemáticas. Suele ocurrir que, mientras en
Matemáticas los contenidos suelen ser “duros” por apoyarse en el álgebra y centrarse sobre todo en la
aplicación de fórmulas para calculo indirecto de medidas, en Dibujo se suele hacer hincapié en los
algoritmos de construcción de figuras geométricas y en las manifestaciones artísticas. Sin embargo, gran
número de obras de arte se han diseñado y elaborado utilizando elementos matemáticos: hay obras
alusivas a conocidos números irracionales (el número de oro, π, 2 , 3 , etc), a relaciones de
proporcionalidad, como los cánones clásicos de belleza, a curvas especiales (espirales, catenarias, etc), a
teselaciones del plano o del espacio. En definitiva, la conexión entre Matemáticas y Arte es más frecuente
de lo que parece y desgraciadamente no suele estar presente en el currículo habitual de ESO. Por esta
razón, estamos desarrollando este tema de investigación en el IES Benicalap, ya que conecta con una
manifestación lúdica de la realidad cotidiana y es una buena ocasión para poner en juego conocimientos de
geometría y apreciar un aspecto más amable de las matemáticas y una visión más transcendente y cercana
del arte. Los contenidos de este proyecto de investigación son:
1) ¿Cuál es el problema? ¿Cuál es el objetivo de la investigación? ¿Qué hay que hacer y entregar al
finalizar el curso?
• Buscamos analizar si hay o no una relación entre las matemáticas y el arte y, en caso de que exista,
investigar cómo se manifiesta esa relación en la actualidad y en otras épocas históricas. En
consonancia con ello, hay que buscar información sobre obras de arte (pintura, grabado, escultura,
arquitectura, etc) que, de alguna forma, tenga relacion con las matemáticas.
2) Planificación y recogida de informacion
• Posibles fuentes de información: exposiciones reales y virtuales de arte, prensa, radio, TV,
hemerotecas, bibliotecas, Internet, bases de datos.
• ¿Cómo planificar la recogida de información? ¿Qué es importante y qué es secundario en una
información? ¿Cómo sintetizar las informaciones obtenidas? Lenguaje escrito, oral, gráfico,
simbólico, geométrico y matemático.
3)
Contenidos asociados a las informaciones recogidas en las fuentes:
Matemáticas:
•
Polígonos regulares e irregulares: triángulos, cuadriláteros, etc.
• Polígonos estrellados.
• Transformaciones geométricas en el plano:
traslaciones, giros y simetrías.
• Mosaicos regulares y semiregulares.
• Curvas en el plano: cónicas, espirales, catenarias, etc.
• Semejanza en el plano. Rectángulos
áureos. El número de oro. Números irracionales. Cánones de
belleza en la Grecia clásica.
• Poliedros regulares y semirregulares.
• Construcciones
a partir del cubo.
Dibujo y Plástica:
• Construcción de polígonos regulares para el diseño
y elaboración de mosaicos regulares y
semiregulares.
• División de la circunferencia en partes iguales.
• Construcción de polígonos estrellados.
−7−

• Construcción de curvas: cónicas, espirales, catenarias, etc.
• Construcción de polígonos semejantes.
• Construcción de la divina
proporción.
• Representación del número de oro en la recta numérica. Representación
en la recta numérica.
• Diseño y construcción de estructuras espaciales que macizan el espacio.
•
Construcciones de medios cubos.
4) Desarrollo
del trabajo
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
de números irracionales
• Síntesis y descripción: a partir de las informaciones
obtenidas, se trata, en primer lugar, de sintetizar
y describir la información obtenida, usando el lenguaje gráfico, geométrico y matemático (usando la
terminología apropiada para nombrar los elementos geométricos que aparecen en las obras de arte
y las características artísticas correspondientes).
•
Análisis de la información obtenida: se trata de investigar la técnica o procedimiento utilizados en las
construcciones geométricas que aparecen en las obras de arte analizadas, explicando el algoritmo
de construcción. Para ello, los estudiantes podrán recurrir a realizar gráficos y cálculos y deberán
explicar los gráficos construídos y los cálculos realizados.
Por ejemplo, se puede investigar cuál ha
sido el procedimiento que se ha seguido para diseñar un mosaico semiregular de los existentes en
La Alhambra de Granada, a partir de tramas de papel pautado o cuadriculado, traslaciones, giros o
simetrías. Algunas cuestiones de interés en esta fase:
⇒ Investigar qué procedimiento se ha seguido para el diseño y construcción de mosaicos
semiregulares.
⇒ Investigar cómo diseñar y construir polígonos estrellados de diversos tipos y cómo
simbolizarlos.
⇒ Investigar cómo hacer la construcción de distintos tipos de curvas: cónicas, espirales,
catenarias.
⇒ Investigar cánones de belleza de la Grecia clásica y cómo aparece el número de oro en el arte y
en la naturaleza.
⇒ Investigar cómo diseñar y construir medios cubos y estructuras espaciales que macizan el
espacio.
No todos los estudiantes deberán abordar todas las cuestiones, sino que la clase se dividirá en
grupos y cada grupo analizará una o alguna de ellas.
Los contenidos de esta fase son:
Matemáticas:
• Diseño y construcción de mosaicos regulares y semiregulares.
• Construcción de polígonos estrellados.
• Construcción de curvas con procedimientos
mecánicos.
•
•
Semejanza y número de oro.
Poliedros regulares y semiregulares.
−8−

•
Dibujo y Plástica:
• Algoritmos de construcción de polígonos regulares y estrellados.
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
Conclusiones: una vez analizada la información desde el punto de vista de las matemáticas y la
geometría, se trata de utilizarla para confeccionar algunas obras artísticas propias, como un
mosaico regular, un mosaico semiregular, un polígono
estrellado, una curva (cónica, espiral), un
rectángulo áureo, un poliedro regular, un poliedro semiregular, una retícula espacial de poliedros
semiregulares que macize en el espacio, etc. Para ello el estudiante puede usar todo tipo de
instrumentos de dibujo (regla graduada, compás, transportador de ángulos, escuadra y cartabón) y
calculadora.
5) Presentación
del trabajo
•
• Algoritmos de construcción de curvas.
• Algoritmos de construcción de rectángulos semejantes.
• Dibujo de desarrollos planos de poliedros regulares y semiregulares.
Trabajo escrito: el estudiante entregará un trabajo escrito, donde recoja una síntesis de todas las
fases del
trabajo y las conclusiones. Debe explicar detalladamente las decisiones que ha tomado a
lo largo del proceso, indicando con claridad las argumentaciones, los cálculos realizados y los
algoritmos utilizados. El trabajo se debe acompañar con un conjunto de obras de arte geométrico
realizadas por el estudiante (que pueden ser las descritas en el párrafo anterior). Con todos los
trabajos de clase se hará una exposición en la biblioteca del centro durante la última semana del
curso.
• Trabajo oral: el estudiante debe hacer una comunicación
oral ante sus compañeros de clase,
usando una presentación de diapositivas (PowerPoint), exponiendo las distintas fases de su trabajo
y sus conclusiones.
• Un ejemplo de actividad en el primer trimestre
Investiga qué procedimiento se ha seguido para el diseño y construcción de algunos mosaicos
semiregulares situados en La Alhambra de Granada, confeccionados por los artístas árabes (arte nazarí).
Utiliza para ello las tramas de papel pautado que se muestran en las siguientes figuras.
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La programación del Taller de Matemáticas en la ESO

Bibliografía:
La programación del Taller de Matemáticas en la ESO
• Investigando las matemáticas (4 tomos). Robert Fisher y Alan Vince. Editorial Akal.
• Matemáticas (1º, 2º, 3º y 4º ESO opción A). Pascual Pérez y otros. Editorial Marfil. Alicante.
• Matemáticas para la Secundaria obligatoria (3 tomos). Grupo Cero de Valencia. MEC y editorial
EDELVIVES.
• Las matemáticas en la vida cotidiana. Solomon Garfunkel. Addison-Wesley / Universidad Autónoma
de Madrid.
Tercera edición.
• La matemática aplicada a la vida cotidiana. Fernando Corbalán.
Editorial Graó. Barcelona.
• La matemática del consumidor. Claudi Alsina y Josep María Fortuny.
Editorial Proyecto Sur. Granada.
• Página web del Instituto Nacional de Estadística: www.ine.es
• Página web de la Escola Oberta de Catalunya: www.xtec.es
• Página web de Mauricio Contreras: www.mauriciocontreras.es
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