Manual de Geometria

Manual de Geometria
Manual de Geometría y Trigonometría para alumnos
del CETis 63 Ameca
Ing. Gerardo Sarmiento D í az de Leó n

Antecedentes Históricos Geometría
La geometría (del griego geo, tierra y metrein,
medir), es la rama de las matemáticas que se ocupa
de las propiedades del espacio. El origen del término
geometría es una descripción precisa del trabajo de
los primeros geómetras, que se interesaban por
problemas como la medida del tamaño de las tierras
o del trazado de edificaciones. Para llegar a la
geometría fractal hay que hacer un recorrido de
miles de años pasando por el Antiguo Egipto, Sumeria
y Babilonia, Grecia, Europa y los Estados Unidos de
Norteamérica.
Para comenzar, podríamos establecer una primera
clasificación determinando dos tipos principales de
geometría: euclidiana y no-­‐euclidiana. En el primer
grupo se encuentran la geometría plana, la geometría
sólida, la trigonometría, la geometría descriptiva, la
geometría de proyección, la geometría analítica y la
geometría diferencial; en el segundo, la geometría
hiperbólica, la geometría elíptica y la geometría
fractal.
Planos diédricos de proyección y esfera cuyo eje es la
línea de tierra.
Psudoesfera.
La geometría euclidiana se basa en las definiciones y
axiomas descritos por Euclides (c.325 -­‐ c.265 a.C.) en
su tratado Elementos, que es un compendio de todo
el conocimiento sobre geometría de su tiempo.
Principalmente comprende puntos, líneas, círculos,
polígonos, poliedros y secciones cónicas, que en
secundaria se estudian en Matemáticas y en
Educación Plástica y Visual. Inspirados por la armonía
de la presentación de Euclides, en el siglo II se
formuló la teoría ptolemaica del universo.
Dentro de las geometrías euclidianas se encuadran:
◊ La geometría sólida que fue desarrollada por
Arquímedes (287 -­‐ 212 a.C.) y que comprende,
principalmente, esferas, cilindros y conos. Las
secciones cónicas fueron el tema de los estudios
de Apolonio en la misma época (c.260 -­‐ 200 a.C.).
viñeta
◊ La trigonometría que es la geometría de los
triángulos. Fue desarrollada por Hiparco de Nicea
(c. 190 -­‐ 120 a.C.). Puede dividirse en
trigonometría plana, para triángulos en un plano,
y trigonometría esférica, para triángulos en la
superficie una esfera.
◊ La geometría proyectiva que tiene su origen en
los pintores del Renacimiento, aunque la base
matemática inicial la elaboro el arquitecto Filippo
Brunelleschi (1377–1446). Piero della Francesca,
Leone Battista Alberti y Alberto Durero
reflexionaron sobre las nociones de proyección y
sección en su afán de entender el problema de la
representación plana de un objeto real
tridimensional, pero fue el arquitecto e ingeniero
militar Gérard Desargues (1591–1661), el primer
matemático que expuso estas ideas al publicar en
Paris en el año 1639 Paris el libro: “Brouillon
project d’une atteinte aux ëvénements des
rencontres d’un cone avec un plan” (“Primer
borrador sobre los resultados de intersecar un
cono con un plano”). Los métodos proyectivos
permiten a Desargues un tratamiento general y
unificado de las cónicas, en contraposición con
los métodos clásicos de Apolonio. viñeta
◊ La geometría analítica que fue inventada por
René Descartes (1596 -­‐ 1650), trabaja problemas
geométricos a base de un sistema de
coordenadas y su transformación a problemas
algebraicos. Se subdivide en geometría analítica
plana, para ecuaciones con dos variables, y
geometría analítica sólida, para ecuaciones con
tres variables. viñeta
◊ La geometría diferencial que tiene su origen siglo
XVIII, cuando los matemáticos siguiendo los
descubrimientos de Descartes, añadieron cálculo
diferencial e integral a curvas, superficies y otras
entidades geométricas. viñeta
El análisis vectorial que estudia las cantidades que
poseen magnitud y dirección. Conocida desde los
tiempos de Aristóteles, y más aún por Simon Stevin
en las últimas décadas del siglo XVI, la teoría
moderna data de principios del siglo XIX.
Las geometrías no euclidianas dentro de las que se
encuadra la geometría fractal surgen en el siglo XIX,
cuando algunos matemáticos comenzaron a
desarrollar otros tipos de geometría, para los cuales,
al menos uno de los axiomas de Euclides no se
sostiene. Sin embargo el origen de la geometría
fractal y de los fractales, habría que establecerlo
hacia 1875–1925, cuando se produce una crisis en la
definición de dimensión. Algunos de los “hitos” en la

historia de las matemáticas no lineales y de la
geometría fractal se presentan en este cuadro
resumen.
Punto, Línea, Plano
El punto sólo tiene posición. No posee ni longitud, ni
anchura ni espesor. No obstante, es necesario tener
presente que el punto gráfico representa el punto
geométrico pero no es el punto geométrico, en la misma
forma que en un mapa un . puede representar una
localidad sin ser la localidad misma. A diferencia del punto
geométrico, el punto gráfico tiene tamaño.
La línea posee longitud, pero carece de anchura y de
espesor. Se puede representar por medio del trazo que
deja la tiza en el tablero o mediante una cinta de caucho
estirada.
Un plano es una superficie tal que si una recta tiene
común con ella dos de sus puntos, los tiene comunes
todos, es decir, la recta descansará completamente sobre
el plano. Un plano se puede representar por medio de la
superficie de un espejo llano o una pared lisa, o por la
tapa de un pupitre.
Proposiciones verdaderas
Proposición
Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y
solo uno de los términos verdadero o falso.
Las proposiciones más comunes que se utilizan son:
axiomas, postulados, teoremas y corolarios.
Axiomas
Es una verdad que no requiere demostración y se la
cumple en todas las ciencias del conocimiento.
Postulados
Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia
de los axiomas, estos se los emplea generalmente en
geometría, los mismos que no se han constituido al azar,
sino que han sido escogidos cuidadosamente para
desarrollar la geometría
Teorema
Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada:
una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar
para la demostración de otros teoremas, junto con
axiomas y postulados.
Un teorema consta de: hipótesis y tesis:
Hipótesis: son las condiciones o datos del problema
Tesis: es la propiedad a demostrarse.
Corolario
Es la consecuencia de un teorema demostrado.
Razonamiento Lógico
Cuando una persona se empeña en una "reflexión clara" o
en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del
razonamiento lógico.
Demostraciones
Es un conjunto de razonamientos que demuestra la
verdad de la proposición junto con axiomas y postulados.
Una demostración bien elaborada solo puede basarse en
proposiciones antes demostradas, la demostración
también es necesaria para fundamentar la generalidad de
la proposición que se demuestra.
Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas
se reducen a un sistema armonioso de conocimientos
científicos.
Nomenclatura y Notación de la Recta
Recta
Desde un punto de vista geométrico, el concepto de recta
es sumamente difícil de construir. Puede decirse que una
recta es el elemento geométrico unidimensional (su única
dimensión es la longitud), el cual esta formado por varios
segmentos.
Un segmento de recta es la línea más corta que une dos
puntos y el lugar geométrico de los puntos del plano (o el
espacio) en una misma dirección. Es uno de los entes
geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son
considerados conceptos primitivos ya que no es posible su
definición a partir de otros elementos conocidos. Sin
embargo, es posible elaborar definiciones basándose en
los Postulados característicos que determinan relaciones
entre los entes fundamentales. Algunas de las definiciones
de la recta son las siguientes:
La recta es la línea más corta entre dos puntos.
La recta es un conjunto de puntos en el cual un punto que
se encuentra entre otros dos tiene la mínima distancia a
estos; se prolonga al infinito en ambas direcciones, en
contraposición con el segmento y la semirrecta.
La recta es el lugar geométrico de un punto que se mueve
de tal manera que tomados dos puntos cualquiera de ella,
la pendiente m calculada mediante la fórmula , resulta
siempre constante.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la
intersección de dos planos.

Unidades de Medida
MEDIDAS de VOLUMEN
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa.
Para medirlo, se debe ver cuantas veces entra en él una
unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta
unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de
un metro de lado.
MEDIDAS de SUPERFICIE
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas
veces entra en ella una unidad de medida. La unidad
principal de superficie se llama metro cuadrado, y
corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
MEDIDAS de LONGITUD
Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos
viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el
largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo
resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para
ello se creó una unidad principal de longitud llamada
metro que es fija, universal el sistema de unidades de
medida que incluye al metro junto a sus múltiplos y
submúltiplos se llama Sistema Métrico Decimal.
Divisiones de la línea recta (semirrecta, segmento)
Semirecta
Un punto sobre una línea recta, la separa en dos líneas
continuas llamadas semirrectas, el punto es el extremo
de ambas semirrectas y no pertenece a ninguna. Si B está
en una de las semirrectas entonces, ésta se denota por
Segmento de recta a la porción de una recta que está
limitada por dos puntos. A estos puntos se le llama
extremos.
Posiciones de dos rectas en el plano.
Llamaremos plano al espacio geométrico que queda
delimitado por tres puntos no alineados. Posee dos
dimensiones y contiene infinitos puntos y rectas.
Lo representamos
como un
paralelogramo o
con una figura de
bordes irregulares.
Una recta y un
punto no
perteneciente a ella
también determinan un plano.
Debemos destacar que:
• un punto no tiene dimensión.
• una recta tiene una sola dimensión.
• un plano tiene dos dimensiones.
1.9. Posiciones de la recta en el plano.
1.10. Definición, notación y clasificación de ángulos
1.11. Unidades de medidas de ángulos
1.12. Conversiones
1.13. Medición de ángulos
1.14. Teoremas
Puntos, rectas y axiomas de la geometría euclidiana
Los puntos contenidos en un mismo plano se llaman
coplanares y los que se encuentran sobre una misma línea
recta, colineales
Punto Colineales

Puntos Coplanares
A XIOMA 2. Por cada punto de un plano pasa una infinidad
de rectas contenidas en ese plano.
Si al punto A le corresponden varias rectas, decimos que
estas rectas se cortan (se intersecan o concurren) en el
punto A, o bien que las rectas tienen el punto común A
A XIOMA 3. Dos puntos distintos A/B determinan una y
sólo una recta que pasa por ellos.
Otra forma equivalente de expresar el Axioma 3 es la
siguiente: Por dos puntos distintos AjB pasa una y sólo
una recta.
La recta que pasa por los puntos AyB (véase la figura
1.14) se llama "recta AB" y su notación es AB, o sea,
señalamos los dos puntos que la determinan y colocamos
el símbolo sobre las literales que indican los dos
puntos.
B
A
Es importante entender que una línea recta no termina
donde su figura lo hace, sino que se extiende
indefinidamente en ambas direcciones. De la misma
manera, un plano se extiende indefinidamente en todas
las direcciones. En consecuencia, una hoja de papel no es
un plano, forma parte de un plano, y una parte muy
pequeña de él.
A
Analiza cada cuestión e ilústrela con un dibujo adecuado.
Argumenta tu respuesta, es decir, cita el axioma
correspondiente o la definición según sea el caso.
a) Cuantos puntos como mínimo son necesarios para
especificar la posición de una recta en un plano.
b) Cuantas rectas determinan 3 puntos a) colineales,
b) no colineales
c) Los puntos M, N y P son diferentes y colineales,
señala todas las posibles maneras de simbolizar la
recta que pasa por los puntos M, N, y P utilizando
dos de tres puntos M, N, y P
d) Que figuras forman todas las rectas que pasan por
un plano
Concepto de semirecta
M N p
Como ya dijimos, una línea recta contiene una infinidad de
puntos. Para interpretar la disposición de los puntos en
una línea recta hay dos posibles órdenes, siendo uno
opuesto al otro. Al escoger uno de estos órdenes, decimos
que asignamos un sobre la recta. El siguiente axioma
especifica la interpretación de la disposición de los puntos
en una línea recta
Axioma 4 (de Orden) de tres puntos cualesquiera de una
recta, uno de ellos se encuentra entre los dos.
A O
B

Considera los tres puntos colineales A, O y B de la figura.
Uno de estos puntos entre los otros dos. Si el punto 0 está
entre los puntos AyB, decimos que A precede a O y B sigue
a 0, en el sentido de A hacia B. De igual manera, decimos
que B precede a O y A sigue a 0 en el sentido de B al
punto A. En otras palabras, el pun to O divide a todos los
puntos de esta recta en puntos que lo preceden y en
puntos que lo siguen.
A O
O
Lo expuesto en el axioma sobre el orden de los puntos
en una línea recta nos permite definir el concepto de
semirrecta que necesitaremos para el establecimiento de
los demás hechos geométricos. Resulta que cada punto 0
de una recta divide a todos los demás puntos de ésta en
dos partes que llamamos semirrectas o rayos con punto
inicial 0, cuya definición formal es la siguiente.
D E F I N I C I Ó N 1 . 6 . Semirrecta o rayo es cada una
de las partes en las cuales queda divida una recta por
cualquiera de sus puntos.
Para indicar una de las semirrectas en que un punto 0
divide a una recta, en la parte de la recta de nuestro
interés señalamos un punto cualquiera A y simbolizamos
la semirrecta por OA (véase la figura 1.20a). De igual
manera, el símbolo OB denota la parte de la recta
formada por el punto O y todos los puntos que siguen a 0
en el sentido de 0 a B (véase la figura 1.20b).
Concepto de segmento y su medida
Si sobre una recta consideramos dos puntos distintos AyB,
éstos junto con todos los puntos de la recta que se
encuentran entre ellos forman el segmento AB. Dicho
segmento lo representamos con el símbolo AB o BA. Los
puntos A y B son los extremos del segmento.
B
D E F I N I C I Ó N 1.7. Un segmento es la porción de
recta comprendida entre dos puntos, incluyendo estos
puntos.
En las figuras 1.22a y 1.22b puedes identificar varios
segmentos. ¿Cuántos segmentos hay en total? ¿Cuáles
son?
• En la figura 1.22a (izquierda) hay tres segmentos: KL,
LM y KM.
• En la figura 1.22b (derecha) hay diez segmentos: AB,
BC, CD, AD, AC, BD, AJE, EC,MyED.
En la figura 1.23 se ilustra un procedimiento para
comparar los segmentos CD, EF y GH con el segmento AB.
La abertura del compás es la misma en todos los casos. Es
de especial interés, en el estudio de la geometría, el caso
en que los segmentos son iguales.
Cuando comparamos figuras geométricas, en lugar de
decir "es igual" acostumbramos decir "es congruente" y lo
anotamos con el símbolo =. De esta manera, decimos que
el segmento AB es congruente con el segmento EF y
escribimos
AB-­‐EF.
La relación de congruencia de segmentos tiene tres
propiedades básicas que están descritas en el siguiente
axioma de congruencia.
A X I O M A 5 (D E C O N G R U E N C I A) . Dados tres
segmentos A B, C D y E F cualesquiera, la relación de
congruencia entre ellos posee las siguientes
propiedades:

Propiedad reflexiva: AB ~ BA.
Propiedad simétrica: Si AB = CD entonces CD = AB.
Propiedad transitiva: S¿AB = CDjCD = EF entonces AB =
EF.
La propiedad reflexiva establece que todo segmento es
congruente consigo mismo y el orden en la anotación de
los extremos no tiene importancia: AB también lo
representamos como BA y se trata del mismo segmento.
C O N S T R U C C I Ó N 1.1. Constrúyase un segmento C
D congruente con un segmento dado AB.
Paso 1 Trazamos con la regla una recta € cualquiera y
marcamos un punto C de ella (véase la figura 1.28).
Paso 2 Con la punta de un compás en C y su abertura
igual a la longitud del segmento AB, trazamos un arco que
corte a la recta en D.
a) Traza un segmento AB. Sobre éste coloca dos
puntos distintos CyD. Señala todos los segmentos
posibles. ¿Cuántos son?
b) Traza una recta y sobre ella señala un punto K.
Localiza y señala sobre la misma recta los puntos
situados a 3.7 cm de distancia del punto K.
¿Cuántos
c) son?
d) Determina la longitud de tu paso medio. Para
esto, mide con una cinta métrica una distancia de
20 m en un terreno plano. Recorre esta distancia
en línea recta andando normalmente y cuenta
el número de pasos
e) que das. Dividiendo la longitud total, 20 m,
entre el numero de pasos obtienes la longitud
media de un paso tuyo. Memonza esta
longitud para que, en caso necesario, puedas
emplearla en las mediciones.
f) Mide los elementos de tu propia mano y
memoriza los resultados de estas mediciones.
Utilizando estas medidas podrás medir
aproximadamente objetos de magnitudes
medianas en caso de que no tengas disponible
una cinta métrica.
Observa la siguiente figura. Por cada dos de los puntos
marcados traza una recta. ¿Cuántas rectas en total puedes
trazar?
1. El segmento PQ mide 2m y PR, 54 cm. ¿Cuántos
centímetros mide el segmento QR si los puntos P,
Q y R son colineales y el punto P está entre Q y R?
Elabora un esquema de lo descrito.
2. Sobre una recta situamos tres puntos A, R y C de
tal manera que AB = 1 + 5x, BC = 3 — 2x y AC = 4
+ 3x ¿Para qué valor de x el punto B se encuentra
entre A y C? Elabora un dibujo de la situación
descrita y establece la relación que satisfaga las
condiciones del problema.
3. Sobre una recta situamos los puntos A, B, C y D de
tal manera que AB = 48 mm, AC — 12 mm y DB =
19 mm. Elabora el dibujo y calcula la longitud de
CB.
4. El Un segmento mide 12.5 cm. ¿Cuántos
milímetros mide su quinta parte?
5. Menciona las características de un segmento que
lo diferencian de una recta y de una semirrecta.
6. Si el segmento a = 7 cm y el segmento b = 2 ¾ cm,
¿cuántos centímetros exactamente mide el
segmento 2b 1/3 a?
Operaciones con Segmentos
Suma de segmentos
La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene
por inicio el origen del primer segmento y como final el
final del segundo segmento

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las
longitudes de los dos segmentos que lo forman
Diferencia de segmentos
La diferencia de dos segmentos es otro segmento que
tiene por origen el final del segmento menor y por final el
final del segmento mayor
La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de
las longitudes de los dos segmentos
Producto de un número por un segmento
El producto de un número con un segmento es otro
segmento resultado de repetir el segmento tantas veces
como indica el número por el que se multiplica
La longitud del segmento obtenido es igual al número por
la longitud del segmento inicial
División de un segmento por un número
La división de un segmento por un número es otro
segmento tal que multiplicado por ese número da como
resultado el segmento original
La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del
segmento inicial divido por el número

ANGULOS
Definición de ángulo y su notación
Dos semirrectas con origen común separan el plano en
dos regiones infinitas. Cada una de las regiones del plano,
junto con las semirrectas, forma una figura geométrica
llamada ángulo (véase la figura 1.33). Observa que dos
semirrectas con origen común forman no uno, sino dos
ángulos. Por comodidad, para señalar la región del plano
correspondiente a un ángulo trazamos un arco o la
llamada "marca de ángulo".
D E F I N I C I Ó N 1 . 8 . Un ángulo es la figura formada
por dos semirrectas con un origen común y una de las
regiones en que dichas semirrectas separan el plano.
Siendo OA y OB dos semirrectas distintas que tienen un
origen común O, el ángulo que forman se indica por
cualquiera de las notaciones 2^AOB o A^BOA, donde el
símbolo 4. significa ángulo (véase la figura 1.34a). Debes
tener cuidado en que la letra de en medio sea la que
indica el vértice. Las semirrectas OA y OB se llaman lados
del ángulo y el origen común, el punto 0, se denomina
vértice del ángulo (véase la figura 1.34b).
A veces nombramos un ángulo con una sola letra para
simplificar el lenguaje y la notación. Por ejemplo, al hablar
del %.AOB, decimos simplemente "el ángulo O" y
escribimos 4-­‐0, es decir, nada más señalamos el vértice
del ángulo. Otra forma de nombrar un ángulo es utilizar
las letras del alfabeto griego, por ejemplo, 4_a ("ángulo
alfa"), 4-­‐P ("ángulo beta"), etc. Observa las notaciones de
ángulos en la figura 1.35.
Es importante señalar que los lados de un ángulo no
terminan en donde su figura lo hace, sino que se
extienden indefinidamente. Eso se debe a que los lados de
un ángulo son semirrectas, no segmentos. Además,
resumiendo lo antes expuesto, recuerda que dispones de
tres formas comunes para nombrar un ángulo:
1) Mediante tres letras mayúsculas, de modo que la
de en medio corresponda al vértice y las otras dos a
puntos sobre los lados del ángulo, como ^AOC o 2^PQR,
etcétera.
2) Por medio de una sola letra mayúscula que
corresponda al vértice del ángulo, como
3) Mediante una letra minúscula del alfabeto griego como
α, β, etcétera. En ocasiones también conviene denotar los
ángulos con números, como etc., poniendo el
número entre los lados del ángulo, sobre la curva
trazada entre ellos, o con letras minúsculas de nuestro
alfabeto, usadas de la misma manera que la notación con
números: etcétera.
Para familiarizarte con el lenguaje matemático, su
interpretación y el manejo de la regla y el compás, te
invitamos a explorar las siguientes construcciones.
C O N S T R U C C I Ó N 1 . 4 . Constrúyase un ángulo
congruente con un ángulo dado.
Paso 1 Trazamos con la regla una recta t.
Paso 2 Con una abertura conveniente del compás,
apoyando su punta en el vértice A del ángulo dado,
trazamos un arco que corte a sus lados en los puntos P y
Q respectivamente.
Paso 3 Con la misma abertura del compás, apoyando su
punta en un punto E de la recta € antes trazada,
marcamos un arco que corte a la recta en el punto Q'.
Paso 4 Con centro en Q' y la abertura de compás igual a la
longitud del segmento PQ, trazamos un arco que corte al
arco anterior en el punto P.
Paso 5 Con la regla trazamos la semirrecta EP'.
El ángulo P'EQ' es un ángulo congruente con el ángulo
dado.
C O N S T R U C C I Ó N 1 . 5 . Constrúyase un ángulo
igual a la suma de dos ángulos dados.

Paso 1 Se traza una semirrecta con extremo en un punto
0.
Paso 2 Con una abertura conveniente del compás,
apoyando su punta en el vértice A de uno de los ángulos
dados, y después en el vértice B del otro ángulo dado,
se marcan arcos de radios iguales.
Denótense con P y Q los puntos de intersección del arco y
los lados del y con R y S los puntos de intersección del otro
arco y los lados del .
Paso 3 Con la misma abertura del compás, apoyando
su punta en el punto 0, se traza un arco.
Denótese con P' el punto de intersección de este arco y la
semirrecta trazada.
Paso 4 Sobre la semirrecta OP' se construye el
congruente con el , y sobre la semirrecta OQ' el
congruente con el
El es igual a la suma de los ángulos dados
Medida sexagesimal de los ángulos
Las unidades más conocidas para la medida de ángulos
son los grados y los radianes. La primera está basada en
la asignación de 360 grados al ángulo completo (sus lados
coinciden). La utilización de este sistema data de los
antiguos babilonios, quienes dividieron el ángulo
completo en 360 partes iguales porque en su época
consideraban que la duración del año era de 360 días.
D E F I N I C I Ó N 1 . 9 . La unidad de medida de
ángulos es —parte de un ángulo completo y se llama
grado.
En la notación de la medida de un ángulo, la palabra grado
se sustituye por el símbolo un pequeño círculo colocado
justamente arriba y a la derecha del número.
Así, para indicar siete grados escribimos 7 o ; un ángulo de
90 grados lo apuntamos como 90°; la décima parte de un
ángulo completo lo indicamos como 36°.
Para medir fracciones de grado, dividimos el grado en
60 partes iguales, cada una de las cuales recibe el
nombre de minuto. El minuto lo designamos con un
apóstrofo así, medio grado son 30 minutos y se escribe
30'. El minuto también se divide en 60 partes iguales, cada
una de las cuales se llama segundo y su símbolo es ";
así, para indicar un cuarto de minuto, o sea 15 segundos,
anotamos 15". Utilizando estas subdivisiones y símbolos,
expresamos la medida de los ángulos con el número de
grados, minutos y segundos que contienen. Por ejemplo,
la medida 42° 22'30" la leemos: "42 grados, 22 minutos,
30 segundos". De igual forma, un ángulo de 7 grados, 56
minutos, 49 segundos lo denotamos como 7 o 56'49".
En la mayoría de los cálculos es conveniente
representar las fracciones de los grados con decimales.
Las calculadoras científicas, por lo general, tienen una
tecla para convertir un ángulo dado en grados decimales
a grados, minutos y segundos, y viceversa. También
puedes transformar grados, minutos y segundos a
decimales, y viceversa, utilizando el procedimiento que
describimos en los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 1.3
Expresa 7° 56'49" como decimal hasta diezmilésimos de
grado.
Suma de ángulos
Gráfica
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la
suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.

Numérica
1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los
grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos
debajo de los segundos; y se suman.
2º Si los segundos suman más de 60, se divide dicho
número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente
se añadirán a los minutos.
3º Se hace lo mismo para los minutos.
Resta de ángulos
Gráfica
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la
diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del
ángulo menor.
Numérica
1º Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los
grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos
debajo de los segundos.
2º Se restan los segundos. Caso de que no sea posible,
convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se
lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación
restamos los segundos.
3º Hacemos lo mismo con los minutos.
Multiplicación de ángulos
Gráfica
La multiplicación de un número por un ángulo es otro
ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales
al dado como indique el número.
Numérica
1º Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el
número.
2º Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho
número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente
se añadirán a los minutos.
3º Se hace lo mismo para los minutos.
División de ángulos
Gráfica
La división de un ángulo por un número es hallar otro
ángulo tal que multiplicado por ese número da como
resultado el ángulo original.

Numérica
Dividir 37º 48' 25'' entre 5
1º Se dividen los grados entre el número.
:4 =
2º El cociente son los grados y el resto, multiplicando por
60, los minutos.
3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite
el mismo proceso con los minutos.
4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se
dividen los segundos.
Realizar las siguientes operaciones
a. 56º 20' 40" -­‐ 37º 42' 15"
b. 125º 15' 30" -­‐ 24º 50' 40"
c. 33º 33' 33" -­‐ 17º 43' 34"
Operaciones con medidas de ángulos

Clasificación de Ángulos
Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y
un lado común, y los otros lados situados uno en
polongación del otro
Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°
Nulo = 0º Completo = 360°
Negativo < 0º Mayor de 360°
Tipos de Ángulos según su posición
Ángulos consecutivos
Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y
un lado común
Ángulos adyacentes
Ángulos opuestos por el vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno
son prolongación de los lados del otro.
Los ángulos 1 y 3 son iguales
Los ángulos 2 y 4 son iguales
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°
Ángulos entre paralelas y una recta transversal
Ángulos correspondientes
Los ángulos 1 y 2 son iguales
Ángulos alternos internos
Los ángulos 2 y 3 son iguales
Ángulos alternos externos
Los ángulos 1 y 4 son iguales
Ángulo central
Ángulos en la circunferencia
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la
circunferencia y sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su ángulo central
correspondiente
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia
y sus lados son secantes a ella
Mide la mitad del arco que abarca
Ángulo semiinscrito
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia,
un lado secante y el otro tangente a ella
Mide la mitad del arco que abarca
Ángulo interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados
secantes a ella

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que
abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados
Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los
lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente
y otro secante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los
arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia
Ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono:
Ángulo central = 360° : n
Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º
Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo interior =180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado
consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es
decir, que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
Sistemas de medidas angulares
# Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de
medida es el grado sexagesimal que corresponde a
1/360 que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60
partes iguales y 1°/60 corresponde a un minuto
sexagesimal que se abrevia 1´; éste a su vez se divide
en 60 partes iguales y 1´/60 corresponde a un segundo
sexagesimal que se abrevia 1".
# Sistema Circular: en éste sistema la unidad de
medida es el radian.
¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que
tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo
arco es igual al radio de la circunferencia al cual
pertenece.
1 radián = 360º/2.π.R = 360º/6,283185307 =
57,29577951º = 57º 17´ 44,8"
Siendo;
π = 3,141592654

R = 1
Las unidades de medida que pasaré a estudiar
pertenecen al sistema sexagesimal y circular.
Ejercicios propuestos
1- Expresar en grados.
Equivalencia entre los sistemas
α°/360° = αrad/2.π
a) 53° 16´ 50" = Respuesta: 53,28055556°
b) 170° 36´ 50" = Respuesta: 170,6138889°
c) 28° 10´ = Respuesta: 28,16666667°
d) 45° 36" = Respuesta: 45,01°
e) 276° 09´ 07" = Respuesta: 276,1519444°
2- Expresar en minutos.
a) 16° 29´ 32" = Respuesta: 989,5´
b) 148° 19´ 37" = Respuesta: 8899,6´
c) 45° 10´ = Respuesta: 2710´
d) 82° 18" = Respuesta: 4920,3´
3- Expresar en segundos.
a) 35° 19´ 43" = Respuesta: 127183"
b) 72° 40´ = Respuesta: 261600"
c) 180° 19" = Respuesta: 496819"
d) 342° 18´ 56" = Respuesta: 1232336"
4- Expresar en grados, minutos y segundos.
a) 38,466° = Respuesta: 38° 27´ 57,6"
b) 126,03334° = Respuesta: 126° 02´
c) 136,44´ = Respuesta: 2° 16´ 26,4"
d) 362,62´ = Respuesta: 6° 02´ 37,2"
e) 40436" = Respuesta: 11° 13´ 56"
f) 68367" = Respuesta: 18° 59´ 27"
5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14.
a) 42° 29´ 36" = Respuesta: 0,74 rad
b) 150° =
Respuesta: 2,61 rad = (5/6).π
rad
c) 36° 18´ = Respuesta: 0,63 rad
d) 146° 36" = Respuesta: 2,54 rad
e) 184,68´ = Respuesta: 0,05 rad
f) 58348" = Respuesta: 0,28 rad
g) 270° =
6- Reducir al sistema sexagesimal.
Respuesta: 4,71 rad = (3/2).π
rad
a) 1,36 rad = Respuesta: 77° 57´ 42,42"
b) 0,28 rad = Respuesta: 16° 03´ 03,44"
c) (3/2).π rad = Respuesta: 270°
d) (3/4).π rad = Respuesta: 42° 59´ 37,07"
e) (2/5).π rad = Respuesta: 72°
f) (3/7).π rad = Respuesta: 77° 08´ 34,29"

g) (5/9).π rad = Respuesta: 100°
h) (11/12).π rad = Respuesta: 165°
Ejercicios de aplicación
Se considera para π = 3,14.
1- Expresar en el sistema circular un ángulo de:
a) 18° = Respuesta: (1/10).π rad
b) 30° = Respuesta: (1/6).π rad
c) 36° = Respuesta: (1/5).π rad
d) 43° = Respuesta: 0,75 rad
e) 45° = Respuesta: (1/4).π rad
f) 60° = Respuesta: (1/3).π rad
g) 72° = Respuesta: (2/5).π rad
h) 75° = Respuesta: (5/12).π rad
i) 80° = Respuesta: (4/9).π rad
j) 120° = Respuesta: (2/3).π rad
k) 161° = Respuesta: 2,81 rad
l) 540° = Respuesta: 3.π rad
ll) 35° 40´ = Respuesta: 0,62 rad
m) 42° 27´ 32" = Respuesta: 0,74 rad
n) 42° 59´ 37" = Respuesta: 0,75 rad
ñ) 46° 20´ 30" = Respuesta: 0,81 rad
o) 55° 84´ = Respuesta: 0,98 rad
p) 97° 25´ = Respuesta: 1,70 rad
q) 150° 03´ 24" = Respuesta: 2,61 rad
2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:
a) (1/12).π rad = Respuesta: 15°
b) (1/8).π rad = Respuesta: 22° 30´
c) (1/5).π rad = Respuesta: 36°
d) 1 rad = Respuesta: 57° 19´ 29,43"
e) (3/5).π rad = Respuesta: 108°
f) (2/3).π rad = Respuesta: 120°
g) (3/4).π rad = Respuesta: 135°
h) 2,5 rad = Respuesta: 143° 18´ 43,5"
i) (4/5).π rad = Respuesta: 144°
j) 2,7 rad = Respuesta: 154° 46´ 37,4"
k) 3,6 rad = Respuesta: 206° 22´ 09,94"
l) (4/3).π rad = Respuesta: 240°
ll) 4,18888 rad = Respuesta: 240° 07´ 36,76"
m) (7/5).π rad = Respuesta: 252°
n) (5/3).π rad = Respuesta: 300°
ñ) (7/4).π rad = Respuesta: 315°
o) 5,55555 rad = Respuesta: 318° 28´ 15,6"
p) 6 rad = Respuesta: 343° 56´ 56,5"
q) 6,17222 rad = Respuesta: 353° 49´ 17,5"
r) (7/3).π rad = Respuesta: 420°

1. Determina el complemento de 72º.
2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?
3. ¿Cuál es el suplemento de (a -­‐ 12)º
4. Determina el complemento del suplemento de 143º.
5. Si 36º es el complemento del suplemento de x.
¿Cuántos grados mide x?
6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (a -­‐ 10)º.
7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se
le suma el suplemento de 93º.
8. Determina la diferencia entre el suplemento de (a -­‐ 15)º
y el complemento de (a -­‐ 45)º
9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7:2. ¿Cuánto
mide el ángulo menor?

10. Un ángulo y su complemento están en razón 2:1.
¿Cuánto mide el suplemento del ángulo mayor?
11. Determina el ángulo que es el triple de su
complemento.
12. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su
suplemento.
13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5
veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
14. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que
y. ¿Cuánto mide x?
15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo
complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos
ángulos?
16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3.
¿En qué razón están los complementos respectivos de
estos ángulos?
17. El complemento y el suplemento de un ángulo son
entre sí como 1:5. ¿Cuánto mide el ángulo?
18. Determina el complemento de 42º18'.
19. Determina el suplemento de 154º27'42''.
20. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'',
determina dicho ángulo.
21. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?
22. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la
diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor de
esta división?
23.Dos ángulos opuestos por el vértice miden (20 -­‐ a)º y
(a + 74)º. ¿Cuánto vale a?
24. El complemento de un ángulo de 47º es (ß -­‐ 30)º.
¿Cuánto vale ß?
25. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es
22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos
respectivos?
26. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera
parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?
27. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su
complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?

TRIANGULOS
Un triángulo, en
geometría, es un polígono
de tres lados determinado
por tres segmentos de tres
rectas que se cortan,
denominados lados
(Euclides); o tres puntos no
alineados llamados
vértices. También puede
determinarse un triángulo
por cualesquiera otros tres
elementos relativos a él,
como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado,
una altura y una mediana.
Si está contenido en una superficie plana se denomina
triángulo, o trígono, un nombre menos común para este
tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie
esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en
cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama
triángulo geodésico
Convención de escritura
Los puntos principales de una figura geométrica, como los
vértices de un
polígono, suelen ser
designados por
letras latinas
mayúsculas: A, B, C,
...
Un triángulo se
nombra entonces como cualquier otro polígono,
nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC.
El orden de citación de los vértices es irrelevante, porque
todos los segmentos de los que estos vértices son los
extremos, son los lados del triángulo.
Los lados del triángulo, son llamados, como todos los
segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro
ejemplo.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se
utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a
minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.
La notación general para el ángulo entre dos segmentos
OP y OQ que comparten el extremo O es
También podemos utilizar una letra minúscula, griega lo
más a menudo, coronada por un acento circunflejo (en
rigor, los ángulos deben ser designados por letras
mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo
se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de
simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el
Contenido
1 Convención de escritura
2 Clasificación de los triángulos
2.1 Por la longitud de sus lados
2.2 Por la amplitud de sus
ángulos
2.3 Otras denominaciones
3 Congruencia de triángulos
3.1 Postulados de congruencia
4 Semejanza de triángulos
4.1 Semejanzas de triángulos
rectángulos
5 Propiedades de los triángulos
6 Centros del triángulo
7 Cálculo de elementos en un
triángulo
8 Elementos notables de un
triángulo
8.1 Medianas y centro de
gravedad
8.2 Mediatrices y círculo
circunscrito
8.3 Bisectriz y círculo inscrito
8.4 Alturas y ortocentro
8.5 Recta y círculo de Euler

ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en
ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del
vértice común, coronado por un acento circunflejo. En
resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los
ángulos:
2. Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus
lados o por la amplitud de sus ángulos.
2.1 Por la longitud de sus lados
Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma
longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó
radianes.)
Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma
longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen
la misma medida.
Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes
diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la
misma medida.
2.2 Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican
en:
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto
(90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les
denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso
(mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son
menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso
particular de triángulo acutángulo.
Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo
interior recto (90°). Los triángulos obtusángulos y
acutángulos son oblicuángulos.
3. Otras denominaciones
Además, tienen estas denominaciones y características:
Los triángulos acutángulos pueden ser:
Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos
agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este
triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos
agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.
Los triángulos rectángulos pueden ser:
Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos
agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y
el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los
catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico
respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la
hipotenusa.
Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y
todos sus lados y ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos son:
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso,
y dos lados iguales que son los que parten del ángulo
obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y
todos sus lados son diferentes.
Triángul
o
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
equilátero isósceles escaleno
3. Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si hay una
correspondencia entre sus vértices de tal manera que el
ángulo del vértice y los lados que lo componen sean
congruentes con los del otro triángulo.

Dos triángulos son congruentes si hay una
correspondencia entre sus vértices de tal manera que el
ángulo del vértice y los lados que lo componen sean
congruentes con los del otro triángulo.
3.1 Postulados de congruencia
Triángulo Postulado
4.0 Semejanza de triángulos
Postulado LAL
(Lado, Ángulo, Lado)
Dos lados en un triángulo tienen la
misma longitud que dos lados en el
otro triángulo, y los ángulos
comprendidos entre esos lados
tengan también la misma medida.
Postulado ALA
(Ángulo, Lado, Ángulo)
Dos ángulos interiores y el lado
comprendido entre ellos, en un
triángulo, tienen la misma medida y
longitud, respectivamente con los del
otro triángulo. (El lado comprendido
para un par de ángulos es el lado que
es común a ellos).
Postulado LLL
(Lado, Lado, Lado)
Cada lado de un triángulo tiene la
misma longitud que un lado
correspondiente del otro triángulo.
Postulado AAL
(Ángulo, Ángulo, Lado)
Dos ángulos y un lado
correspondiente no comprendido
entre los ángulos, en un triángulo,
tienen la misma medida y longitud,
respectivamente, que las del otro
triángulo.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos tienen la
misma amplitud y los lados opuestos de estos ángulos son
proporcionales.
Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son
semejantes
Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es
congruente.
Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son
proporcionales.
Semejanzas de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con
al menos uno de los criterios siguientes:
Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un
ángulo agudo del otro.
Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del
otro.
Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con
los del otro.
5.0 Propiedades de los triángulos
Un triángulo puede
ser definido como un
polígono de tres
lados, o como un
polígono con tres
vértices.
Después del punto y elsegmento, el triángulo es el
polígono más simple. Es el único que no tiene diagonal. En
el espacio, tres puntos definen un triángulo (y un plano).
Por el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano
forman un cuadrilátero, cuatro puntos que no estén en el
mismo plano no definen un polígono, sino un tetraedro
Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un
número finito de triángulos que se forman con una
triangulación del polígono. El número mínimo de
triángulos necesarios para esta división es n − 2, donde n
es el número de lados del polígono. El estudio de los
triángulos es fundamental para el estudio de otros
polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema
de Pick
Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° lo
que equivale a π radianes, en geometría euclidiana. 1
La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.
Euclides había demostrado este resultado en sus
Elementos (proposición I-­‐32) de la siguiente manera:
trazamos la paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo
paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta
(AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura
de al lado (ángulos alternos-­‐internos). Del mismo modo,
los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos
correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres
ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de
las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y

del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de
los ángulos de un triángulo es 180 °.
Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana.
No se verifica en general en la geometría no euclidiana.
La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre
mayor que la longitud del tercer lado.
El valor de la paralela media de un triángulo (recta que
une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad
del lado paralelo.
Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno
que establece: «Los lados de un triángulo son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
El teorema de Pitágoras gráficamente.
Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno
que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble
del producto de estos lados por el coseno del ángulo
comprendido»:
Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden
a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de
Pitágoras:
7. Centros del triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un
triángulo:
Baricentro: es el punto que se encuentra en la
intersección de las medianas, y equivale al centro de
gravedad
Circuncentro: es el centro de la circunferencia
circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del
triángulo. Se encuentra en la intersección de las
mediatrices de los lados. Además, la circunferencia
circunscrita contiene los puntos de intersección de la
mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el
vértice opuesto.
Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella
que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en
la intersección de las bisectrices de los ángulos.
Ortocentro: es el punto que se encuentra en la
intersección de las alturas.
Exincentros: son los centros de las circunferencias
exinscritas, aquellas que son tangentes a los lados del
triángulo. Se encuentra en la intersección de una bisectriz
interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.
El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden
en un único punto es en un triángulo equilátero.
Cálculo de elementos en un triángulo
Para resolver triángulos utilizamos generalmente el
Teorema de Pitágoras cuando son triángulos rectángulos,
o los Teoremas del seno y del coseno.
8.1 Medianas y centro de gravedad
Medianas y centro de gravedad de un triángulo
Se lama mediana de un triángulo cada una de las tres
líneas que pasan por un vértice del triángulo y por el
punto medio del lado opuesto al vértice.
Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos
triángulos de áreas iguales.
Las tres medianas de un triángulo son concurrentes. Su
punto de intersección G es llamado centro de gravedad
del triángulo
8.2 Mediatrices y círculo circunscrito

Mediatrices y círculo circunscrito de un triángulo.
Se llama mediatriz de un triángulo a cada una de las
mediatrices de sus lados [AB], [AC] et [BC].
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en
un punto Ω equidistante de los tres vértices. El círculo de
centro Ω y radio ΩA que pasa por cada uno de los tres
vértices del triángulo es el círculo circunscrito al triángulo.
Notas:
Un triángulo es obtusángulo si y sólo si las bisectrices se
cortan fuera del triángulo.
Un triángulo es acutángulo si y sólo si las bisectrices se
cortan dentro del triángulo.
Propiedad:
ABC es un triángulo rectángulo en A si y sólo si el centro
de su círculo circunscrito es el centro de [BC].
8.3 Bisectriz y círculo inscrito
Bisectrices y círculo inscrito de un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de
sus ángulos internos.
Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes en un
punto O. El círculo inscrito del triángulo es el único círculo
tangente a los tres lados del triángulo y está totalmente
incluido en el triángulo. Tiene por punto central O, que es
pues el centro del círculo inscrito en el triángulo.
8.4 Alturas y ortocentro
Alturas y ortocentro de un triángulo
Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres
líneas que pasan por un vértice del triángulo y son
perpendiculares a la cara opuesta al vértice. La
intersección de la altura y el lado opuesto se denomina
«pie» de la altura.
Estas 3 alturas se cortan en un punto único H llamado
ortocentro del triángulo.
Notas:
Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es uno
de los vértices del triángulo
Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se
encuentra fuera del triángulo
Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está
dentro del triángulo
Recta y círculo de Euler
Recta y círculo de Euler de un triángulo
Los tres puntos H, G y Ω están alineados en una línea recta
llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación
de Euler:
Por otra parte, los puntos medios de los tres lados, los tres
pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos
[AH], [BH] y [CH] están en un mismo círculo llamado
círculo de Euler o círculo de los nueve puntos del
triángulo
Ejercicios.
1. Traza 3 triángulos uno acutángulo, uno rectángulo
y otro obtusángulo, del tamaño que puedas
manejar con facilidad. Recorta los triángulos
trazados y suma sus ángulos interiores.
2. Prepara 4 palillos de madera con las siguientes
medidas. 6, 10, 12 y 14 cm. Forma todos los
triángulos posibles empleando tres palillos
¿Cuántos triángulos puedes formar? ¿Qué clase
de triángulo es cada uno de ellos? Anota tus
resultados en una tabla.

3. Calcula la medida de os {angulos interiores de los
siguientes triángulos.
54
4. Completa correctamente los siguientes
enunciados.
a) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
son __________
b) Si en un triángulo dos de sus ángulos
interiores miden 34ᵒ y 75ᵒ r4espectivamente
el tercer ángulo mide _________ y el triángulo
es ________________
c) Si uno de los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo mide 29ᵒ 48’ 56” el otro ángulo
agudo debe de medir ___________________
5. Deduce las medidas faltantes de los ángulos
interiores de todos los triángulos del esquema
siguiente y clasifícalos según las amplitudes de sus
ángulos y las longitudes de sus lados. Presenta los
resultados en una tabla.
E
108
55 33 45
F
27 65 45 33
A B C
H
6. Traza un triángulo rectángulo uno de cuyos
catetos mida 3 cm y uno de sus ángulos agudos
mida 50ᵒ. Con los elementos dados ¿cuántos
triángulos rectángulos puedes trazar?
7. Traza un triángulo isósceles con los siguientes
datos. ¿Cuántos triángulos isósceles puedes trazar
en cada caso?
a) Un ángulo adyacente al lado desigual mide
45ᵒ
b) El ángulo comprendido entre los lados
congruentes mide 45ᵒ
90
G
D
147.7
8. Traza un triángulo isósceles con los elementos
proporcionados ¿Cuántos triángulos isósceles
puedes trazar en cada caso?
a) El segmento AB es la base y un ángulo
adyacente a ella mide 45ᵒ
A B
b) El ángulo opuesto a la base mide 110ᵒ y uno
de los lados congruentes es el segmento PR
A B
9. Analiza los datos en cada inciso y responde: ¿es
posible construir un triángulo con estas medidas?
Utiliza la notación de la siguiente figura.
a) a=12 cm b=7 cm c=4 cm
b) a=10 cm b=3 cm A=30ᵒ
B=40ᵒ
A
10. Dos de los ángulos interiores de un triangulo
miden 23ᵒ y 34ᵒ respectivamente ¿Quéclasede triángulos es?
a) Acutángulo
b) Rectángulo
c) Obtusángulo
d) Equiángulo
11. Uno de los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo mide 39ᵒ 30’. ¿Cuánto mide el otro
ángulo?
a) 51ᵒ30’
b) 140ᵒ30’
c) 50ᵒ30’
d) 89ᵒ30’
12. Es la suma de las medidas de los ángulos
interiores K y M del triángulo KLM de la siguiente
figura
a) 63ᵒ
b) 117ᵒ
c) 90ᵒ
M
117
L
d) 27ᵒ
K
b
45
110
C
c
a
B

2 Observadores separados 250 m ven un globo estático
situado entre ellos bajo ángulos de 72ᵒ y 85ᵒ ¿a que
altura se encuentra el globo? ¿a que distancia se
encuentra cada observador del glolbo?
La base de un triángulo isóceles mide 58 cm y los lados
iguales 39 cm, calcular los ángulos
POLIGONOS
Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un
contorno formado por segmentos rectos unidos en sus
extremos.
Cada uno de los segmentos se denomina lado.
El punto de unión de cada par de segmentos se denomina
ángulo.
El número de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser
mayor o igual a tres.

Los polígonos suelen nombrarse por el número de lados:
triángulo, cuadrilátero, pentágono,...
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO.
Ya vimos en los temas anteriores la suma de los ángulos
de un triángulo (180º) y de un cuadrilátero (360º).
POLÍGONO n SUMA ÁNGULOS
Triángulo 3 180
Cuadrilátero 4 180·∙2 = 360
Pentágono 5 180·∙3=540
Polígono n 180·∙(n-­‐2)
La suma de los ángulos de un polígono de n lados es
180·∙(n-­‐2)
¿Cuánto suman los ángulos
interiores de un este
polígono?
Un pentágono puede descomponerse en tres triángulos.
Bien desde el punto que se ha marcado o desde otro.
Por tanto la suma de sus ángulos interiores es 3·∙180º =
540º.
DIAGONALES DE UN POLÍGONO.
Diagonal de un polígono es un segmento que une dos
vértices no consecutivos
¿Cuántas diagonales tienen un polígono de n lados?
Polígono Nº Lados Nº Diagonales
Triángulo 3 d3= 0
Cuadrilátero 4 d4=2
Pentágono 5 d5= 2+3=5
Hexágono 6 d6= 2+3+4=9
Heptágono 7 d7 = 2+3+4+5=14
Polígono n 2+3+4+5+....+(n-­‐2)
Aplicando esta expresión calcula el número de diagonales de
un decágono.
Veamos un razonamiento más sencillo para determinar el
número de diagonales de un polígono cualquiera.
Imagina un polígono de n lados (n vértices).
De cada vértice salen n-­‐3 diagonales, ya que a él mismo y

a los dos contiguos no hay diagonal.
Tenemos por tanto, n vértices ·∙ (n-­‐3) diagonales de cada
vértice.
Con esta cuenta cada diagonal la contamos dos veces,
hay por tanto que dividir entre dos.
Por tanto un polígono de n lados tiene dn= n·∙ (n-­‐3)/2
diagonales.
20 lados?
POLÍGONOS CONVEXOS
Dibuja un octógono y
sus diagonales.
¿Cuántas tiene?
cuéntalas, y después
haz el cálculo con la
expresión que se ha
deducido.
¿Cuántas diagonales
tiene un polígono de
Un polígono es convexo si todos los ángulos interiores
son menores de 180º.
En un polígono convexo la suma de los ángulos
exteriores es 360º.
Es muy sencillo de ver, entre todos los ángulos dan una
vuelta completa.
Un polígono es regular, si todos sus lados son iguales y
sus ángulos también son iguales
Polígono regular es el que tiene lados iguales y ángulos
iguales.
Un polígono es regular si es equilátero y equiángulo
Triángulo equilátero
Cuadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular

EJERCICIOS
1.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 7 y 8
centímetros. ¿Cómo es el triángulo según sus lados y
según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos
notables.
¿Dónde están situados los puntos notables?
El triángulo es escaleno porque los tres lados son
distintos y acutángulo porque todos sus ángulos son
agudos. Todos los puntos notables están en el interior.
2.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10
centímetros. ¿Cómo es el triángulo según sus lados y
según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos
notables.
¿Dónde están situados los puntos notables?
El triángulo es escaleno porque los tres lados son
distintos y rectángulo porque tiene un ángulo recto. El
circuncentro coincide con el punto medio de la
hipotenusa.
El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
El baricentro y el incentro están en el interior.
3.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 12
centímetros. ¿Cómo es el triángulo Según sus lados y
según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos
notables.
¿Dónde están situados los puntos notables?
El triángulo es escaleno porque los tres lados son distintos
y obtusángulo porque tiene un ángulo obtuso. El
circuncentro y el ortocentro quedan fuera del triángulo.
El baricentro y el incentro están en el interior.
4.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 6 y 6
centímetros. ¿Cómo es el triángulo según sus lados y
según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos
notables.
¿Qué ocurre con las rectas y los puntos notables?
El triángulo es equilátero y acutángulo, todos los ángulos
miden 60º. Las rectas y los puntos notables coinciden.
La siguiente figura muestra polígonos regulares de hasta
36 lados, observa que al aumentar el número de lados la
forma del polígono se aproxima a una circunferencia.

Los elementos más importantes de un polígono regular
son: centro, radio, lado y apotema
Centro, el punto que equidista de los vértices.
Radio R, es el segmento que une el centro con un
vértice.
Apotema a, segmento que une el centro con el punto
medio de un lado.
En todo polígono regular se puede construir un
triángulo rectángulo que tiene por lados la mitad del
lado, el apotema y el radio.
Aplicando el teorema de Pitágoras,
Ángulo central de un polígono regular.
La figura representa el ángulo central de un
polígono regular de N lados.
La amplitud del ángulo central es
Comprueba en la figura que el ángulo central de un
octógono es 45º.
¿Cuánto mide el ángulo central de un decágono
regular? (10 lados)?
No todos los polígonos regulares pueden construirse
de forma exacta con regla y compás.
EL ÁNGULO CENTRAL ES IGUAL A 360 DIVIDIDO
ENTRE EL NÚMERO DE LADOS
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES
En primer lugar debes saber que no todos los polígonos
regulares pueden construirse de forma exacta utilizando
únicamente regla y compás.
Desde los tiempos Euclides (300 A.C) se conocían
construcciones geométricas con sólo regla y compás para
polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y los que de éstos
se deducen:
Si un polígono regular de n lados es construible, también
lo son los de número de lados 2n, 4n, 8n,... basta para ello
trazar la circunferencia circunscrita al polígono y hacer las
mediatrices de sus lados.
Si un polígono regular de n lados puede construirse
también son construibles los polígonos cuyo número de
lados sea divisor de n. Basta unir los vértices de m en m.
Ej. Si construimos el polígono regular de 12 lados, uniendo

de 3 en 3 se obtiene un cuadrado. Si unimos de dos en
dos, hexágono.
Veamos en primer lugar algunas construcciones de
polígonos regulares conocido el lado
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
CUADRADO
HEXÁGONO REGULAR
Utiliza los controles de la parte inferior de cada una de las
construcciones para su observación detallada.
A veces interesa construir un polígono regular partiendo
de la circunferencia circunscrita
CUADRADO
HEXÁGONO REGULAR
OCTÓGONO REGULAR
Para construir el cuadrado se han trazado una recta
cualquiera que pase por el centro de la circunferencia, a
continuación una recta perpendicular a ella.

Observa que el octógono se ha construido haciendo la
bisectriz de las rectas que definen el cuadrado.
¿Como harías para construir un dodecágono regular?
Dodecágono = 12 lados.
A finales del Siglo XVIII, uno de los grandes matemáticos
de la historia, Gauss, con tan solo 19 años demostró la
construcción del polígono regular de 17 lados. Gauss,
conocido como el Príncipe de las Matemáticas, también
demostró que es imposible construir utilizando
únicamente regla y compás los polígonos regulares de 7,9
y 13 lados.
A modo de curiosidad, observa la construcción del genial
Gauss
ACTIVIDADES
4.-­‐Varía el número de lados del polígono de la figura, y
completa la tabla siguiente.
Polígono Regular Número de
lados
n
Ángulo Interior
180 -­‐ 360/n
Triángulo Equilátero 3 60º SI
Cuadrado 4
Divisor
de
360

Pentágono Reg. 5
Hexágono Reg. 6
Heptágono Reg.
Octógono Reg.
Eneágono Reg.
Decágono Reg.
Undecágono Reg.
Dodecágono Reg.
Indica si el ángulo interior es divisor de 360º.
Escribe los polígonos regulares cuyo ángulo interior es
divisor de 360º.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos
puntos están a la misma distancia (radio) de un punto
(centro).
Círculo es la superficie plana limitada por una
circunferencia
El centro y el radio son los elementos característicos de la
circunferencia y del círculo.
Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos
de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de
longitud dos veces el radio. D = 2R
La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud
del diámetro es una constante que se llama Pi = Π =
3,14159....
Otros objetos geométricos ligados circunferencia y circulo:
CIRCUNFERENCIA
Arco, parte de la circunferencia comprendida entre dos
puntos.
Cuerda, segmento que une dos puntos cualesquiera de la
circunferencia
Semicircunferencia: cada una de las partes que un
diámetro divide a la circunferencia
CÍRCULO
Sector circular, región del círculo comprendida entre dos
radios y el arco correspondiente.

Segmento circular, región del círculo comprendido entre
un arco y su cuerda
Semicírculo, región limitada por un diámetro y su arco.
Mitad del círculo
En dos circunferencias con el mismo centro (concéntricas),
se llama corona circular a la región del plano comprendida
entre ellas.
CIRCUNFERENCIA Y CIÍRCULO ESTÁN DEFINIDOS
POR EL VALOR DEL RADIO
POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto a una recta es la longitud del
segmento que une el punto con la recta formando
ángulo recto.
Si el punto P está en la recta r, d (P,r) = 0
Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores,
tangentes y secantes en función de como sea la
distancia d del centro de la circunferencia a la recta
con respecto al radio R de la circunferencia.
Exteriores.
La distancia de O
a r es mayor que
R.
La recta y la
circunferencia no
tienen puntos
comunes.
Tangentes.
La distancia del
centro de la
circunferencia a la
recta es igual al
radio de ésta.
La recta y la
circunferencia
tienen un punto en
común.
Secantes.
La distancia del
centro O de la
circunferencia a la
recta es menor que
el radio r.
Hay dos puntos
comunes a recta y
circunferencia

CONSTRUCCIÓN DE RECTA TANGENTE A UNA
CIRCUNFERENCIA.
a.-­‐ Por un punto P de la circunferencia.
Dada la circunferencia c y un punto P de la circunferencia, para
trazar la tangente por P:
1.-­‐ Se traza el radio OP.
2.-­‐ Se traza la recta perpendicular al radio por P.
3.-­‐ La perpendicular trazada es tangente a la circunferencia.
b.-­‐ Por un punto P exterior a la circunferencia.
Sea c la circunferencia con centro O y P un punto exterior.
1.-­‐ Se calcula el punto medio M de OP.
2.-­‐Se traza la circunferencia de centro M y radio MP. esta
circunferencia corta a la inicial en dos puntos, T1 y T2. Estos son
los puntos de tangencia.
3.-­‐ Las rectas PT1 y PT2 son las rectas tangentes a la
circunferencia
LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA ES
PERPENDICUALR AL RADIO EN EL PUNTO DE TANGENCIA
POSICIÓN RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
La posición relativa entre dos circunferencias viene
determinada por la distancia entre sus centros (d) y
el valor de sus radios R y R'.
Se tienen los casos siguientes
Exteriores
La distancia entre los centros, d, es mayor que la suma de
los radios.
Las circunferencias no tienen puntos en común.
Secantes
La distancia d es menor que la suma de los radios y mayor
que su diferencia.
Tienen dos puntos en común
Interiores
La distancia entre los centros es mayor que cero y menor
que la diferencia entre los radios.
Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto no
tienen puntos en común.

Tangentes
Exteriores
La distancia entre los
centros es igual a la
suma de los radios.
El centro de cada
circunferencia es
exterior a la otra y
tienen un punto en
común, punto de
tangencia.
Tangentes
Interiores
La distancia
entre los
centros es igual
a la diferencia
entre los radios.
El centro de una
de las
circunferencias
está dentro de
la otra. Tienen
un punto en
común.
Concéntricas
Tienen el mismo
centro. La
distancia d=0.
No tienen puntos
en común, salvo
que R=R', en este
caso son la
misma
circunferencia.
La situación más interesante es la de circunferencias
tangentes, que pueden ser exteriores e interiores.
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES.
La figura de la derecha representa dos
circunferencias tangentes. Mueve los centros y la
circunferencias azul, y comprueba que siempre es así.
En la figura puedes observar la condición que verifican dos
circunferencias tangentes:
El punto de tangencia está sobre la recta que une los
centros de las circunferencias
CONSTRUCCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES.
Sea c una circunferencia con centro en O.
Sea P un punto cualquiera distinto de O.
Construir una circunferencia con centro en P tangente a la
circunferencia inicial.
1.-­‐ Se traza la recta que pasa por O y por P. Sea T el punto
en que el segmento OP ( o su prolongación) corta a la
circunferencia c.
2.-­‐ Con centro en P se traza la circunferencia de radio PT.
La circunferencia trazada es tangente a la primera
EL PUNTO DE TANGENCIA DE DOS
CIRCUNFERENCIAS ESTÁ SOBRE EL SEGMENTO
QUE UNE SUS CENTROS
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Vamos a estudiar en este apartado algunos
ángulos que pueden definirse sobre una
circunferencia y las relaciones que existen entre
ellos.
ÁNGULO CENTRAL
Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro
de la circunferencia.
En la figura está representado el ángulo AOB y su arco

correspondiente AB.
La medida angular del arco AB es la de su ángulo central
AOB
ÁNGULO INSCRITO
Ángulo inscrito en una circunferencia es que tiene su vértice
sobre la circunferencia y sus lados cortan a la circunferencia.
Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son
iguales.
La medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo
central correspondiente.
ÁNGULO INSCRITO QUE ABARCA UNA
SEMICIRCUNFERENCIA.
Este caso particular es muy importante.
Sea AB un diámetro de la circunferencia. AOB = 180º
El ángulo inscrito AVB ha de medir 180/2 = 90.
El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto
UN TRIÁNGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA
ES RECTO
ACTIVIDADES
¿Cuánto vale AOB?
Haz ahora AVB = 90º. ¿Qué es AOB en esta situación?
3.-­‐Sitúa los segmentos sobre la circunferencia

4.-­‐La figura representa un octógono inscrito.
¿Cuánto valen los ángulos marcados?
5.-­‐Determina la medida de los ángulos que se indican en
el hexágono regular de la imagen.
Explica por qué es ángulo recto el que aparece marcado
con un cuadradito.