Tema 2. Deformacion - Web del Profesor

Introducción
En este tema, se estudian los cambios de forma
(deformaciones) que pueden experimentar los cuerpos
debido a un determinado estado de fuerzas; así como,
las relaciones geométricas que junto con las
condiciones de equilibrio permitan obtener la solución
a problemas estáticamente indeterminados.

Deformación bajo carga axial.
Si se considera una
varilla de acero de
longitud “L” y sección
transversal uniforme
al aplicar una carga P
en su extremo la
varilla se alargará.

Deformación unitaria
La deformación que también se conoce como
deformación unitaria, se obtiene dividiendo la
deformación total entre la longitud original del
cuerpo.
La deformación se denota con la letra griega minúscula
épsilon (ε)
ε =
deformación
total
longitud original
La deformación total que experimenta un cuerpo puede ser medido.

Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_tracci%C3%B3n
ENSAYO DE
TRACCIÓN
Probeta de cobre
antes del ensayo de
tensión por
computadora.

Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_tracci%C3%B3n
ENSAYO DE
TRACCIÓN
Probeta de cobre
fracturada en el
ensayo de tensión.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_compresi%C3%B3n
ENSAYO DE
COMPRESIÓN
Ensayo de compresión
de una probeta
cilíndrica de hormigón.

Probeta después de la rotura a compresión.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_compresi%C3%B3n

Diagrama ó curva
Esfuerzo-Deformación
Representación gráfica del esfuerzo producido por la
carga actuante:
σ =
P
Y la deformación unitaria: A
ε =
δ
L

Diagrama Esfuerzo-Deformación,
representativo de materiales dúctiles

Características del Diagrama
Esfuerzo-Deformación
Relación de Proporcionalidad
(Robert Hooke).
Importante debido a que el
estudio de sólidos elásticos, se
basa en ley.
σ=ε×
E

Características del Diagrama
Esfuerzo-Deformación
No existe relación lineal.
Las deformaciones
aumentan más
rápidamente para cada
incremento en esfuerzo.

Características del Diagrama
Esfuerzo-Deformación

Características del Diagrama
Esfuerzo-Deformación
Cambio en la
estructura
cristalina

Características del Diagrama
Esfuerzo-Deformación

Puede notarse que en la probeta, la
fractura ocurre a lo largo de una
superficie con forma de cono, que forma
un ángulo de aproximadamente 45 con
la superficie original de la probeta. Esto
indica que el cortante es el principal
responsable de la falla de los materiales
dúctiles y confirma el hecho de que bajo
una carga axial, los esfuerzos cortantes
son máximos en las superficies que
forman un ángulo de 45 con la carga.

Diagrama Esfuerzo-Deformación,
representativo de materiales frágiles

Los materiales frágiles como el hierro
colado, el vidrio y las rocas, se
caracterizan por el fenómeno de que
la fractura ocurre sin un cambio
notable previo de la tasa de
alargamiento. De esta forma no hay
una diferencia entre la resistencia
última (máxima carga aplicada al
material) y la resistencia a la fractura.
No ocurre la estricción en el caso de
un material frágil y la fractura ocurre a
lo largo de un superficie perpendicular
a la carga. Se concluye a partir de
esta observación que los esfuerzos
normales son los principales
responsables de la falla de los
materiales frágiles.

Diagrama esfuerzo-deformación para el concreto

De relevancia particular es el hecho de que, para un acero dado, la resistencia a
la fluencia es la misma tanto a tensión como a compresión. Para valores mayores
de deformación, las curvas de esfuerzo deformación a tensión y a compresión
divergen, para la mayoría de los materiales dúctiles, se encuentra que la
resistencia última a compresión es mucho mayor que la resistencia última a la
tensión, esto se debe a la presencia de fallas (por ejemplo, cavidades o grietas
microscópicas) que tienden a debilitar al material a tensión, mientras que no
afectan en forma significativa su resistencia a compresión.
Un ejemplo de un material frágil con diferentes propiedades a tensión y a
compresión es el concreto, cuyo diagrama esfuerzo deformación se muestra a
continuación

En el lado de tensión del diagrama, primero se observa un rango elástico lineal
en el que la deformación es proporcional al esfuerzo. Después de que se ha
alcanzado el punto de fluencia, la deformación aumenta más rápidamente que
el esfuerzo hasta que ocurre la fractura. El comportamiento del material bajo
compresión es diferente. Primero, el rango elástico lineal es significativamente
mayor. Segundo, la ruptura no ocurre cuando el esfuerzo alcanza su máximo
valor. En lugar de esto, el esfuerzo decrece en magnitud mientras que la
deformación plástica sigue aumentando hasta que la ruptura ocurre. Note que
el módulo de elasticidad, representado por la pendiente de la curva de
esfuerzo deformación en su porción lineal, es la misma en tensión que en
compresión. Esto es cierto para la mayoría de los materiales frágiles.

Diagrama esfuerzo deformación
para el acero dulce

En el acero dulce, el punto de cedencia es el mismo a tensión y a compresión.
La carga inicial es de tensión y se aplica hasta que se alcanza el punto C en el
diagrama. Luego de descargar (D), se aplica una carga de compresión, la cual
provoca que el material alcance el punto H, donde el esfuerzo es igual a –σy. La
porción DH del diagrama es curva y no muestra un punto de cedencia bien
definido. A esto se le conoce como efecto Bauschinger. Al mantenerse la carga
de compresión, el material fluye a lo largo de la línea HJ.
Si la carga se retira después de alcanzar el punto J, el esfuerzo retorna a cero a
lo largo de la línea JK y se observa que la pendiente de JK es igual al módulo
de elasticidad. La deformación permanente resultante AK será positiva,
negativa o cero, dependiendo de las longitudes de los segmentos BC y HJ. Si
una carga de tensión se aplica de nuevo a la probeta, la porción del diagrama
que comienza en K se curvará hacia arriba y hacia la derecha hasta que se
alcance el esfuerzo de fluencia σ y.
Si la carga es lo suficientemente grande para causar endurecimiento por
deformación del material (C’), la descarga ocurre a lo largo de la línea C’D’. Al
aplicarse la carga inversa, el esfuerzo se vuelve de compresión, alcanzando su
valor máximo en H’ y manteniéndolo mientras el material fluye a lo largo de la
línea H’J’.

Diagrama esfuerzo deformación
para el acero dulce

Note que, en tanto que el máximo valor para el esfuerzo de compresión es menor
que σ y, el cambio total en esfuerzo entre C’ y H’ es aún igual a 2σ y.
Si el punto K o K’ coincide con el origen A del diagrama, la deformación permanente
es igual a cero, y parecerá que la probeta ha regresado a su condición original. No
obstante, habrán ocurrido cambios internos y, aún cuando la misma secuencia de
carga pueda repetirse, la probeta se fracturará sin advertencia previa después de
algunas repeticiones. Esto indica que las excesivas deformaciones plásticas a las
que ha sido sometida la probeta han causado un cambio radical en las
características del material. Las cargas inversas dentro del rango plástico, por lo
tanto, rara vez se permiten, por lo que sólo se realizan en condiciones controladas.
Tales situaciones ocurren en el enderezado de materiales dañados y en el
alineamiento final de una estructura o máquina.

Modelos de Esfuerzo-Deformación
para diferentes tipos de Rocas.

Ejemplos de algunos materiales
frágiles y dúctiles
Materiales dúctiles Materiales Frágiles
Acero al carbono ó acero
estructural
Vidrio
Aleaciones de aluminio Diamante
Hierro colado

Módulo de Elasticidad
Puede obtenerse una medida de la rigidez del material calculando el coeficiente
del esfuerzo normal en un elemento y la deformación unitaria correspondiente
en el mismo. Se denota por E.
E =
esfuerzo normal
deformación
unitaria normal
E
=
σ
ε
Pendiente del tramo recto de la curva esfuerzo deformación.
“Medida de la rigidez de un material. ”

Un material con un valor de E elevado se deformará
menos con un esfuerzo dado que uno con un valor
reducido de E.
Un término más completo para E sería el módulo de
elasticidad a tensión o compresión, porque es definido
en función del esfuerzo normal.
Sin embargo, el término “módulo de elasticidad”, sin
ningún modificador, generalmente se considera como
el módulo de tensión.

Módulo de Elasticidad a Cortante
El coeficiente del esfuerzo cortante y la deformación por cortante se conoce
como módulo de elasticidad a cortante, o módulo de rigidez, y se denota por G.
G =
esfuerzo
deformación
G
cortante
por cortante
=
τ
γ

G es una propiedad del material, y se relaciona con el
módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson por:
G
=
E
2( 1+
ν )

Deformación Tangencial.
δ =
V
A
∗ L
∗ G
La acción cortante en las caras paralelas
del elemento tiende a deformarlo
angularmente, el ángulo γ (gamma),
medido en radianes, es la deformación
por cortante
G = Módulo de rigidez transversal.
γ
τ
= Distorsión.
= Fuerza cortante.

Elasticidad
Propiedad que hace que un cuerpo que ha sido
deformado, regrese a su forma original después de que
han desaparecido las fuerzas deformadoras. (Fitzgerald)

Ley de Hooke y
Deformación Axial
P δ P ∗ L
= E ∗ ⇒ δ =
A L A ∗ E
Relaciona la deformación total con:
La fuerza aplicada, la longitud de la barra, el área de la sección
transversal y su módulo de elasticidad

Hipótesis
La carga debe ser axial.
La barra debe ser homogénea y de sección constante.
La tensión no debe sobrepasar el límite de
La tensión no debe sobrepasar el límite de
proporcionalidad.

Relación de Poisson.
Deformación según dos y tres ejes
Si una barra se alarga por
Si una barra se alarga por
una tracción axial sufre
una disminución de sus
dimensiones transversales

Relación de Poisson ó
Coeficiente de Poisson
La fuerza de tensión en la barra la alarga en la
dirección de la fuerza aplicada, pero al mismo tiempo,
el ancho de la barra se acorta. De este modo, en el
elemento de esfuerzo ocurre un alargamiento y
contracción simultáneamente

Relación de Poisson ó
Coeficiente de Poisson
La fuerza de tensión en la barra la alarga en la
dirección de la fuerza aplicada, pero al mismo tiempo,
el ancho de la barra se acorta. De este modo, en el
elemento de esfuerzo ocurre un alargamiento y
contracción simultáneamente

Relación de Poisson ó
Coeficiente de Poisson
Cuando una barra esta sometida a una carga de tracción
simple se produce en ella un aumento de longitud en la
dirección de la carga, así como una disminución de las
dimensiones laterales perpendiculares a esta. La relación
entre la deformación en la dirección lateral y la de la
dirección axial se define como relación de Poisson. La
representaremos por la letra griega µ. Para la mayoría de los
metales esta entre 0.25 y 0.35.
Es la relación entre la deformación transversal y la
longitudinal.

Relación de Poisson ó
Coeficiente de Poisson
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza
axial de tensión, no sólo se alarga, sino que también se
contrae lateralmente. Igualmente, una fuerza de
compresión que actúa sobre una cuerpo ocasiona que éste
se contraiga en la dirección de la fuerza y que se expanda
lateralmente.

Relación de Poisson ó
Coeficiente de Poisson
Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la
barra cambia un cantidad δ y su radio una cantidad δ’ . Las
deformaciones unitarias en la dirección axial o longitudinal
y en la dirección lateral o radial son respectivamente:
δ
ε =
y ε =
long
lat
l
δ '
l

Relación de Poisson ó
Coeficiente de Poisson
A principios del siglo XIX, el francés S.D. Poisson
descubrió que dentro del rango elástico, la razón de
esas dos deformaciones unitarias es constante, ya que
las deformaciones δ’ y δ’ son proporcionales. A esta
constante se le llama razón de Poisson,
ν
=
−
ε
ε
long
lat

Relación de Poisson.
Deformación según dos y tres ejes
Lf − Lo
Deformación
axial = = ε a
Lo
ho − hf
Deformación
lateral = = ε L
ho
ε L
Coeficiente
de Poisson = − = υ
ε
a

Relación de Poisson.
Deformación según dos y tres ejes
Asociando la relación de Poisson y la Ley de Hooke se
tiene:
υ ∗σ
εε
Y =
εε
Z = −
E
“Condición de deformación bajo una carga axial paralela
al eje X”
X

Carga Multiaxial
Ley de Hooke Generalizada.

Carga Multiaxial
Ley de Hooke Generalizada.
[ σ −υ
( σ σ ) ]
ε X = X Y +
E
1
ε
ε
Y
Z
=
=
Z
1 Deformaciones expresadas en
[ σ Y −υ
( σ Z + σ X ) ] términos de las componentes de
E
esfuerzo
1
E
[ σ −υ
( σ + σ ) ]
Z
X
Y

Elementos Estáticamente
Indeterminados.
Con frecuencia aparecen conjuntos de elementos cargados axialmente en lo que
las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes para determinar las
fuerzas que, en cada sección soportan. Estas condiciones se dan en estructuras
en las que las reacciones o las fuerzas resistivas internas exceden en número al
de ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Tales casos
requieren ecuaciones adicionales que relacionen las deformaciones elásticas en
los distintos elementos, generalmente se aplican los siguientes principios para
resolver dichos casos.
1- En el diagrama del sólido aislado de la estructura o de parte de ella, aplicar las
ecuaciones del equilibrio estático.
2- Si hay más incógnitas que ecuaciones independientes de equilibrio, obtener
nuevas ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones
elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas incógnitas. Para esto, se
debe dibujar un esquema, exagerando las deformaciones elásticas.

Problema Inicial
Ecuaciones de
estática
insuficientes
para
Elementos Estáticamente
Indeterminados.
Determinar
Reacciones
Reacciones
Determinar
Fuerzas Internas.
Método de
Superposición
Problema
estáticamente
indeterminado

Elementos Estáticamente
Indeterminados.

Elementos Estáticamente
Indeterminados.

Elementos Estáticamente
Indeterminados.

Elementos Estáticamente
Indeterminados.

Elementos Estáticamente
Indeterminados.

Esfuerzos por temperatura
δ
ε
T
T
= α ∗ ΔT
= α ∗ ΔT
∗
L
P
σ
= = −E
∗α
∗ ΔT
A

Muchas Gracias.