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ACTA LATINOAMERICANA
DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
VOLUMEN 17, AÑO 2004

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
VOLUMEN 17, AÑO 2004.VARIOS AUTORES.
EDITORA
LEONORA DÍAZ MORENO
COORDINACIÓN TÉCNICA
JORGE ÁVILA CONTRERAS, EDUARDO CARRASCO HENRÍQUEZ,
OLDA NADINNE COVIÁN CHÁVEZ, MARTHA MALDONADO ROSALES,
AVENILDE ROMO VÁZQUEZ, G. LETICIA SÁNCHEZ GARCÍA
DISEÑO DE PORTADA
CARLOS OYARZÚN
FORMATO DIGITAL
JUAN GABRIEL MOLINA ZAVALETA
CÉSAR OCTAVIO PÉREZ CARRIZALES
Derechos reservados.
© COMITÉ LATINOAMERICANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA. A. C.
Se autoriza la reproducción parcial o total previa identificación de la fuente.
ISBN: 970-9971-02-6
Impreso en México/ Junio de 2004.

COMITÉ LATINOAMERICANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
CLAME
CONSEJO DIRECTIVO (2000-2004)
Presidenta Rosa María Farfán
Secretario Luis Campistrous
Tesorero Germán Beitía
Vocal Eréndira Valdéz
Vocal Jenny Oviedo
Vocal Joaquin Padovani
Vocal Jorge Fiallo
CONSEJO CONSULTIVO COMISIÓN DE ADMISIÓN
Egberto Agard Analida Ardila
Evarista Matías Francisco Cordero
Fernando Cajas Víctor Martínez
Guadalupe de Castillo
Ricardo Cantoral
Teresita Peralta
COMISIÓN DE PROMOCIÓN ACADÉMICA COMITÉ INTERNACIONAL DE R ELME
Carlos Rondero Miguel Solís
Edison de Faria Leonora Díaz
Javier Lezama Eugenio Carlos Rodríguez
Mayra Castillo Cecilia Crespo
Uldarico Malaspina
Yolanda Serres

PRESENTACIÓN
Este Volumen 17 del Acta Latinoamericana de Matemática Educativa responde a la
preocupación del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa - Clame por
promover semilleros de investigadores en la disciplina, favoreciendo la investigación, la
sistematización de esas experiencias de investigación, así como la innovación de ese
quehacer indagativo.
Si hablamos de investigación en educación, es inevitable pensar en personas y procesos.
Desde la disciplina de la matemática educativa, entendemos que el conocimiento se
construye en una red de conversaciones en las que participan los distintos actores
comprometidos para incidir benéficamente en la calidad de los aprendizajes
matemáticos. Por su parte, en la investigación académica tradicional suele predominar
una cultura competitiva y orientada hacia la obtención de productos -resultados de
investigaciones- en detrimento de una valoración de los diversos estadios por los que
transitan los profesionales de la investigación, quienes necesariamente comienzan
siendo novicios y se orientan a la experticia en su trayectoria. La comunidad de
matemática educativa procura integrar procesos y productos, convocando a cada una de
tales elaboraciones, la del profesional experto y la de aquel que por el momento
solamente puede entregarnos sus primeras exploraciones, en las que cristaliza
intuiciones y nuevas miradas. Mismas que nos traen a la mano nuestros complejos
heterogéneos y entusiasmantes desafíos a la investigación en y desde Latinoamérica.
En orden a reconocernos en ese ir haciéndonos investigadores, concurren a este diálogo
escrito investigadores en formación, novicios, profesionales y expertos, renovando a la
comunidad y renovándose desde ella. Por lo mismo, este volumen del Acta consigna
las secciones de los expertos a la luz de lo que llamamos Visión de conjunto sobre
aspectos relevantes de la investigación. Al mismo tiempo y como un modo de distinguir
los diversos momentos del ejercicio indagativo que dan cuenta de las distintas fases y
tipos de investigación que se llevan a cabo en la disciplina, por una parte, la sección de
Reportes de investigaciones terminadas y en curso, y las secciones de Sistematizaciones
de experiencias educativas; Propuestas de enfoques y métodos de enseñanza; y,
Reflexiones, marcos de antecedentes e ilustraciones, toda vez que el levantamiento de
problemas de estudio se encuentra precedido de intuiciones, de prácticas específicas
exitosas, de episodios críticos, entre otros incidentes que pueden dar pie a una
investigación. Se informan en el índice del texto los campos de trabajo en matemática
educativa a que responden los artículos presentados, a saber: Construcción de
Aprendizajes, Epistemología y Estudios Socioculturales, Formación de Profesores,
Gráfica y Funciones, Matemáticas en el Contexto de las Ciencias, Medición y
Evaluación, Modelos Matemáticos, Pensamiento Algebraico, Pensamiento Estocástico,
Pensamiento Geométrico, Pensamiento Matemático Avanzado, Pensamiento Numérico,
Pensamiento Variacional, Razonamiento Matemático, Resolución de Problemas, Tic´s
en la Enseñanza y los Aprendizajes de Matemáticas.
Esta publicación se deriva de los trabajos de las diversas actividades presentadas en
Relme 17, que fueron sometidas a la evaluación acostumbrada en la comunidad Clame
(revisión de tres árbitros de nacionalidad e institución distintas a las del autor) y se
constituye como “un estado del arte” en nuestra América Latina. Es por ello que de
i

manera natural hemos de referirnos a nuestra Relme 17, Decimoséptima Reunión
Latinoamericana de Matemática Educativa, convocada por Clame y realizada la semana
del 21 al 25 de Julio de 2003 en la ciudad de Santiago de Chile. Empero, aclaramos que
no son las memorias del evento pues, por ejemplo, tuvimos más de 450 trabajos
consignados en los Resúmenes de Relme 17, aquí se presentan aproximadamente una
cuarta parte de ellos.
De nueva cuenta agradecemos a cada uno de los participantes y ponentes de Relme 17,
quienes hicieron posible el evento y sin duda colaboraron a fortalecer el encuentro entre
el saber de aula y el saber de investigación así como potenciar redes de apoyo entre
profesores, estudiantes de pre y pos-grado e investigadores (Resúmenes, pág. 3).
Asimismo agradecemos a quienes hacen hoy posible, con sus extensos, la
materialización de esta Acta.
Agradecemos la colaboración y orientación ofrecida por los representantes de Clame y
del Comité Internacional del Programa. Por su incondicional y fraternal apoyo, vaya
nuestro especial reconocimiento para Eréndira Valdez, Eduardo Lacués, Javier Lezama,
Marcela Ferrari, Apolo Castañeda y Leticia Sánchez.
Agradecimiento especial merecen los colegas Jorge Ávila, Eduardo Carrasco y Milenka
Covarrubias, sin cuyo trabajo, tanto el evento como la edición de esta publicación no
hubiesen sido posibles. Nuestro particular agradecimiento al grupo de estudiantes de
pregrado de UCSH, el que representamos en los estudiantes Darío González y Pablo
Paredero, y, estudiantes de posgrado de Magíster UMCE, que acompañaron la
preparación y desarrollo de Relme 17, con su entusiasmo y trabajo perseverante.
Agradecemos también a aquellos colegas de nuestro país que en distintos momentos y
de diversas maneras nos animaron en su preparación y realización.
Nuestro agradecimiento al trabajo de cada uno de los árbitros que colaboraron con su
evaluación a una mejor edición de los artículos de esta publicación. Merecen nuestra
especial mención los académicos Carmen Batanero, Antonia Candela, Bruno D’Amore,
Ed Dubinsky, Juan D. Godino, Luisa Ruiz Higueras y Carlos Vasco.
Leonora Díaz Moreno
En Santiago de Chile, Otoño de 2004
ii

COMITÉ CIENTÍFICO DE EVALUACIÓN
Analida Ardila Panamá
Antonia Candela México
Apolo Castañeda México
Bruno D’Amore Italia
Carlos Rondero México
Carlos Vasco Colombia
Carmen Batanero España
Cecilia Crespo Argentina
Ciprinano Cruca Argentina
Claudia Lara Galo Guatemala
Claudia Muro México
Crisólogo Dolores México
Cristianne Ponteville Argentina
David Warren México
Dibut Toledo Cuba
Ed Dubinsky Estados Unidos
Eduardo Carrasco Chile
Eduardo Lacués Uruguay
Efrén Marmolejo México
Eréndira Valdez México
Eugenio Carlos Cuba
Fernando Cajas Guatemala
Francisco Cordero México
Gabriela Buendía México
Gisela Montiel México
Guadalupe Tejada Panamá
Herminia Ochsenius Chile
Hernán González Chile
Javier Lezama México
Jorge Ávila Chile
José Luis Ramírez México
Juan Godino España
Juan Pino Chile
Juan Silva Chile
Luisa Ruiz Higueras España
Leonora Díaz Chile
Liliana Homilía Argentina
Luis Campistrous Cuba
Ma. Guadalupe Romero México
Oscar Serdella Argentina
Patricia Camarena México
Patricia López Chile
Pedro PabloScandiuzzi Brasil
Rosa María Farfán México
Rosa María Chargoy México
Ricardo Cantoral México
Silvia Tiscareño México
Tomás Ortega España
Uldarico Malaspina Perú
Víctor Martínez Uruguay
Yacir Testa Uruguay
iii

PRESENTACIÓN
INDICE TOMO I
VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL
Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional, una mirada socioepistemológica 1
Ricardo Cantoral Uriza
Construyendo relaciones benéficas entre imaginarios culturales y aprendizajes matemáticos 10
Leonora Díaz Moreno
Estudios socioculturales
FORMACIÓN DE PROFESORES
A propósito de los conocimientos necesarios pero no enseñados explícitamente 21
Corine Castela
¿Desarrollo lógico matemático o aprendizaje de conceptos matemáticos en el nivel inicial? 26
Santa Daysi Sánchez González
Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas: un enfoque sistémico 32
Javier Lezama Andalón
EPISTEMOLOGÍA
El concepto de continuidad y sus obstáculos epistemológicos 39
Cecilia Crespo Crespo
La covariación como elemento de resignificación de la función logaritmo 45
Marcela Ferrari Escolá
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
La geometría ¿cómo se concibe? 51
Ismenia Guzmán R.
MATEMÁTICA EN EL CONT EXTO DE LA CIENCIA
La matemática en el contexto de las ciencias 57
Patricia Camarena Gallardo
VISIÓN DE CONJUNTO
Reformas en educación científica 62
Fernando Cajas
REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Estrategias de solución ante problemas multiplicativos. Estudio exploratorio 69
Lorena Irazuma García Miranda
¿A.b=0 þ a=0 ú b=0? Reflexiones e implicaciones en la enseñanza de la matemática 75
Cristina Ochoviet
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Actitudes de profesores de matemáticas en formación hacia la modelización 81
y la calculadora gráfica
José Ortiz Buitrago; Enrique Castro Martínez; Luis Rico Romero;
FORMACIÓN DE PROFESORES
iv

Actividad metacognitiva al hacer uso de software educativo 87
Sandra Castillo
Análisis estadístico de un test de conocimientos previos de matemáticas 94
para ingresantes universitarios
Nélida H. Pérez, María A. Mini Y Julio Benegas
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Concepciones alternativas que, referentes al comportamiento variacional de funciones, 101
manifiestan profesores y estudiantes de bachillerato
Crisólogo Dolores Flores, Luis Arturo Guerrero Azpeitia
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Diagnóstico de evaluación del aprendizaje en un curso básico de cálculo de una facultad de 108
Ciencias. Opiniones de los docentes
Patricia Villalonga de García y Leonor Colombo de Cudmani
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Diseño y validación de un instrumento predictor del éxito académico de alumnos ingresantes 116
a la universidad.
Walter Álvarez, Eduardo Lacués, Magdalena Pagano.
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
El dominio de las operaciones de adición y sustracción con fracciones 130
Carmen Valdivé Fernández
PENSAMIENTO NUMÉRICO
Eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes: concepciones y dificultades 137
Adriana D'amelio De Tari
PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO
La covariación de progresiones en la resignificación de funciones 143
Marcela Ferrari Escolá Y Rosa María Farfán
EPISTEMOLOGÍA
Pensamiento matemático en la cultura otomí 148
Erika Barquera Pedraza
ESTUDIO SOCIOCULTURAL
La transferencia del conocimiento: ecuaciones diferenciales parciales 156
hacia una cuerda que vibra
Patricia Camarena Gallardo
MODELACIÓN
Las actitudes hacia la matemática y el rendimiento académico en alumnos de calculo diferencial 163
Margarita Véliz de Assaf y María Angélica Pérez de Negro.
Las creencias de los alumnos y su proceder frente a la resolución de problemas de aplicación 169
Lucía Martín De Pero Y María Angélica Pérez De Del Negro.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Reconstrucción de significados de la primitiva y derivada en ambientes gráficos. 176
La argumentación como parte esencial de la actividad humana
María Antonieta Aguilar Víquez
PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO, GRÁFICA Y FUNCIONES
Situaciones didácticas en la comprensión del concepto de número racional 181
en alumnos de nivel medio superior
Ma. Guadalupe Cabañas, Faustino Guillén y Minerva Galeana Sixto
PENSAMIENTO NUMÉRICO
v

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Caracterización de los significados personales con respecto a la teoría de
Conjuntos en un grupo de maestros en formación 188
Mario José Arrieche Alvarado
FORMACIÓN DE PROFESORES
Competencias profesionales de un ingeniero en alimentos. Un estudio sobre
Su formación matemática 194
Hernán Muñoz Hernández
PENSAMIENTO MATEMÁTEICO AVANZADO
La teoría de conjuntos en la formación de maestros: facetas y factores condicionantes
Des estudio de una teoría matemática 201
Mario José Arrieche Alvarado
PENSAMIENTO NUMÉRICO
Las prácticas sociales de modelación en la construcción de la construcción de
lo exponencial 209
Jaime Arrieta Vera; Antonio Canul Pérez
MODELACIÓN MATEMÁTICA
La ingeniería didáctica en el diseño y seguimiento de unidades curriculares 215
Mercedes Anido
PENSAMIENTO MATEMÁTICO SUPERIOR
Análisis de los modelos de pensamiento en la interpretación geométrica del
Concepto dependencia/independencia lineal 221
Víctor Manuel Castilla Navarro
PENSAMIENTO ALGEBRÁICO
Algunas dificultades en la comprensión y aplicación del concepto de número
Fraccionario 228
Cortes Salazar Héctor Manuel, Pérez Duarte Luis Fernando
PENSAMIENTO NUMÉRICO
El pensamiento matemático en Faraday y su contribución a la toería de los campos
Electromagnéticos de Maxwell 235
David Warren Ruíz Márquez
EPISTEMOLOGÍA
REPORTES DE INVESTIGACIÓNES EN CURSO
Acerca de la actividad de modelación las temperaturas de la tierra 245
Felicitas Morales, Rosa María Farfán
PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO
¿Cómo entender la regla de la cadena?: Un acercamiento socioepistemológico 249
Ramón Flores Hernández
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Detección de los modos de razonamiento propiciados por el docente de álgebra 256
Miguel Eslava Camacho y Eréndira Valdez Coiro
Educación matemática y educación a distancia. Un estudio de 265
articulación entre la universidad y la educación polimodal.
Graciela Guala; Edgardo Güichal; Ana Malet, Viviana Oscherov
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
vi

El compromiso con el horizonte de racionalidad/modernidad. Evidencias 273
de desplazamiento epistémico en el concepto de solución
Juan Guadarrama Méndez
EPISTEMOLOGÍA
El contenido matemático escolar en situaciones de aprendizaje 280
en la formación inicial de profesores
Hugo Parra S.
FORMACIÓN DE PROFESORES
El discurso en el aula y la construcción de significados a través de la explicación, 285
en el marco de clases sobre la variación
Evelia Reséndiz Balderas y Ricardo Cantoral Uriza
PENSAMIENTO VARIACIONAL
El rechazo hacia las matemáticas. Una primera aproximación 292
Miguel Ángel Miguez Escorcia
ESTUDIO SOCIOCULTURAL
El sentido de las cuatro operaciones básicas combinadas. 299
Forcinito, Silvia Ofelia. Zampini, María Inés. Álvarez, María Alcira.
PENSAMIENTO NUMÉRICO
Enseñanza de la matemática: habilidades lógicas presentes en los ingresantes
al nivel superior 313
Edna Agostini,-Josefina Royo, Josefina-, Celia Torres,Ana Lasserre,
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
La teoría APOE y su aplicación en la traducción de enunciados del 262
lenguaje natural al lenguaje de la lógica de primer orden
José Luis Ramírez, Carmen Azcárate y Felip Manya.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Registros de representación semiótica en el concepto “resolución numérica 319
de ecuaciones polinómicas”. Análisis a priori
E.E. Rechimont y M.E. Ascheri
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Representaciones estudiantiles de variación. Un estudio desde mediaciones pedagógicas. 327
Jorge Iván Ávila Contreras
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Significatividad para la proporcionalidad inversa en estudiantes del décimo año de escolaridad 334
Fidel Ledesma Bruce
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Sobre la noción de continuidad puntual: un estudio de las formas discursivas 341
utilizadas por estudiantes universitarios en contextos de geometría dinámica
Eddie Aparicio y Ricardo Cantoral
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Visualizando lo que varía 348
Eduardo Carrasco Henríquez
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Estabilidad y cambio de concepciones alternativas acerca del análisis de funciones
En situación escolar 355
Crisólogo Dolores; María del Socorro Valero
PENSAMIENTO VARIACIONAL
vii

Vínculos conceptuales discretos y continuos del cálculo en la ingeniería de control 362
Carlos Rondero y Martín Sauza Toledo
EPISTEMOLOGÍA
SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Construyendo la noción de función trigonométrica: estrategias de aprendizaje 371
Sugey Maldonado, Gisela Montiel y Ricardo Cantoral
Evaluación diagnóstica sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje 377
de matemáticas en carreras de ingeniería.
Jorge Azpilicueta yAlicia Ledesma
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Formación de profesores que enseñan matemáticas: investigación 384
colaborativa, producción y socialización de saberes
Edda Curi
FORMACIÓN DE PROFESORES
Funcionando con la computadora 391
Medina P., Astiz M., Vilanova S., Oliver M., Rocerau M.,
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Generación de modelos de enseñanza–aprendizaje en álgebra lineal 397
Eduardo Miranda Montoya
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Introducción al infinito 404
Patricia Lestón, Daniela Veiga
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Las actitudes hacia la matemática y el rendimiento académico en alumnos
de cálculo diferencial 411
Margarita Veliz De Assaf Y María Angélica Pérez De Del Negro.
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
Las prácticas sociales como generadoras del conocimiento matemático 418
Jaime Arrieta, Gabriela Buendía, Marcela Ferrari, Gustavo Martínez, Liliana Suárez
PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO, EPISTEMOLOGÍA
Modelos matemáticos 423
Víctor Martínez Luaces, Patricia Camarena Gallardo Y María Salett Biembengut
MATEMÁTICAS EN EL CONTEXTO DE LAS CIENCIAS, MODELACIÓN
Leo pero no comprendo. Una experiencia con ingresantes universitarios 435
M.Rosa. Berraondo, Magdalena Pekolj, Nélida, H. Pérez Y Raquel Cognigni
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Mathdev: sitio web como plataforma para las matemáticas superiores 370
Lázaro Dibut Toledo, Ernesto R. Fuentes, Narciso R. De León Rodríguez
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Análisis de los resultados de una experiencia didáctica interdisciplinaria 441
Lidia Esper, Ma. del Carmen Pérez, Julio F. Zagarese
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Aprendiendo matemáticas desde los conceptos 448
María Eugenia Ángel, Laura Polola, Graciela Fernández y Mónica Bortolotto
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
viii

Construcción de la expresión algebraica de una gráfica considerando la interpretación
global de las representaciones gráfica, numérica y algebraica 455
Alma Alicia Benítez Pérez
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Enseñanza de matemática con software Derive 461
Nydia Dal Bianco; Rosana Botta Gioda; Nora Castro; Silvia Martínez;
Mariela Pérez Broneske; Rubén Pizarro y Fabio Prieto
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Evaluación de un curso de cálculo desde una perspectiva constructivista 467
Ofelia Vizcaíno Díaz
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Evaluación de una experiencia didáctica 474
Mónica Caserio, Martha Guzmán y Ana Vozzi
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
Geometría dinámica en un curso remedial 481
Armando López Zamudio
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Matemática, informática y la ‘regeneración’ de normas preexistentes 486
Bonacina M.; Haidar A.; Quiroga M.; Sorribas E.; Teti C. Paván G.
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
Variación y variables con geometría dinámica 493
Marco Santillán, Arturo Ávila y Víctor Pérez
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
ix

INDICE TOMO II
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y METODOS DE ENSEÑANZA
Sobre la enseñanza de la geometría: re - creando el arco capaz 503
Cristina Ochoviet,Yacir Testa, Mónica Olave,Mario Dalcín.
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO, RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Redes neuronales artificiales aplicadas a la evaluación docente 509
y a la toma de decisiones en matemática educativa
Víctor Martínez Luaces,. Martínez Luaces, F
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
¿Qué pintan un motor y una botella en el cálculo integral? 515
Tomás Ortega
PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO,
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Propuesta metodológica para aprender a resolver problemas matemáticos. 527
Isabel Santiesteban y Maricela Rodríguez
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Métodos numéricos: un enlace entre el cálculo y la matemática discreta 534
Edison De Faria Campos
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
La formación del concepto de función en alumnos de educación media superior 542
S. Velázquez, C. Flores, G. García, H. Hesiquio, E. Gómez y M. Gutiérrez
PENSAMIENTO VARIACIONAL
La topología en la formación de profesores 549
Carmen Sosa Garza, Roberto Torres Hernández
FORMACIÓN DE PROFESORES
La incertidumbre como marco del problema. Una aplicación de la 555
metodología borrosa
Carmen M. Torrente
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Las concepciones de los docentes acerca de las demostraciones 560
Cecilia Crespo Crespo; Christiane Ponteville
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
La herramienta informática en actividades de motivación, consolidación, 565
refuerzo y/o recuperación de conocimientos previos al estudio del cálculo.
Ana María Simoniello, Adriana.Negri y Jorge Búsico
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Juego y matemática escolar 571
CeciliaTirapegui deCerviño
FORMACIÓN DE PROFESORES
Innovación en la enseñanza de la matemática para la carrera de psicología 577
en la Universidad de Viña del Mar
Roberto Doniez y Marco Rosales.
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
x

Funciones embotelladas 584
Edison De Faria Campos
GRÁFICAS Y FUNCIONES
Formación de profesores en la transición aritmética al álgebra 590
Neila Sanchez, Fernando Guerrero
FORMACIÓN DE PROFESORES
Factoreo de expresiones algebraicas: una innovación en su enseñanza 598
María Rey Genicio; Graciela Lazarte; Clarisa Hernández y Silvia Forcinito
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Explorando la construcción de bases propias y no propias 605
María Antonieta Aguilar Víquez
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Experiencia sobre una propuesta metodológica y didáctica para la capacitación 611
de profesores de EGB 3 y polimodal
M. E. Ascheri - R. A. Pizarro
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Evaluación diagnóstica en el proceso de enseñanza-aprendizaje 618
de la matemática en carreras de ingeniería.
Jorge Azpilicueta y Alicia Ledesma
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Estrategias para introducir la teoría de grafos en la escuela media 624
Patricia Lestón y Daniela Cecilia Veiga
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Enseñanza de la estadística, interactuando con otras disciplinas. 630
María Inés Rodríguez
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
El diseño y desarrollo de un curso de cálculo en un sistema de educación virtual. 636
Ramiro Ávila Godoy
FORMACIÓN DE PROFESORES
El cálculo de la integral indefinida y la evaluación del aprendizaje 642
Olga Lidia Pérez González
PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO
Diseño curricular y metodología didáctica para un curso especial de matemática 647
Caraballo, H; González, C; Dapoto, M.S; Parker, A.C; Barranqueras, F; Durán, P.
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
Desarrollo de capacidades cognitivas generales en el marco de los cursos de matemática 653
Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, Eduardo Lacués
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES, RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Desarrollo de situaciones de aprendizaje en un escenario a distancia 660
incorporando objetos virtuales
Apolo Castañeda Alonso
GRÁFICAS Y FUNCIONES, TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Curso a distancia “funciones matemáticas en la enseñanza media”: 668
contenidos, actividades, metodología y algunos resultados.
Juan Silva y Fidel Oteiza
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Comprensión de la aplicación del álgebra de matrices en la resolución
xi

de problemas económicos 675
Nelly González
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Camino al compromiso social: software estadístico. 681
Hilda Motok, Gabriela Haro, Juan Sosa, Ariel Ponce, Gustavo Domé, Pablo Remonda.
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Un problema motivador para un trabajo interdisciplinario en matemática y física 687
Lina Oviedo, Ana Kanashiro, Gloria Alzugaray, Adriana Frausin
MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE LAS CIENCIAS
Una propuesta de autorregulación para la enseñanza y el aprendizaje del cálculo diferencial 693
Elsa Rodríguez y Margarita Veliz
Análisis de algunas variables que podrían ayudar en la evaluación 699
del desempeño docente. Aplicación a un caso particular
Benítez, Sonia; Juárez, Graciela; Benítez, Lidia;Torres, Marta y Guanuco, Marisa
MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
El ABP en el aprendizaje de las matemáticas 705
María Beatriz Gómez y José Salazar
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Hacia una propuesta para el aprendizaje de la geometría 708
Henry Gallardo Pérez y Mawency Vergel Ortega
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
La visualización en el tratamiento de expresiones numéricas y con exponentes
readicales mediante el álgebra de funciones 714
Alicia Ávalos, Vicente Carrión
GRÁFICAS Y FUNCIONES
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Aportes del cálculo y la tecnología a la medicina 723
Arturo Baeza, Armando Maldonado
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Buscando que los estudiantes construyan demostraciones 731
Alejandra Pollio y Berenice Verdier
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Desarrollo del pensamiento estocástico 735
Eddy Herrera Daza
PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO
Estrategias de enseñanza para la función cuadrática 740
Rey Genicio, María ; Lazarte, Graciela ; Forcinito, Silvia ; Hernández, Clarisa
GRÁFICAS Y FUNCIONES
Estudio de la variación de la dirección de una curva con soporte tic’s 746
Patricio Guzmán
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Exumat 2.0: examen computarizado de matemáticas administrado de 750
forma adaptativa fundamentado en la teoría de respuesta al item
Lázaro Dibut Toledo, Eduardo Backhoff, José Luis Ramírez. Héctor León Velazco
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Funciones trigonométricas en una geometría de Hilbert 756
Gonzalo Riera, Rubén Preiss y Hernán Carrasco
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
xii

Geometría no euclidiana en la enseñanza básica: geometría de la esfera 763
Nélida Pérez Y Raquel Cognigni
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
Hacer atractivo el aprendizaje de la matemática, insertando los contenidos 770
dentro de modelos reales
Sara Arancibia C
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Hormigas y algoritmos 776
Ema Barreda Y Jorge Yones
MODELOS MATEMÁTICOS
Imágenes para el álgebra 783
Ema Barreda y Felipe Saavedra
PENSAMIENTO ALGEBRAÍCO
La educación escolar indígena y la ciencia indígena kuikuro 791
Pedro Paulo Scandiuzz
ESTUDIO SOCIOCULTURAL
La enseñanza de la matematica en los proyectos pedagógicos escolares. 795
Reflexiones desde una perspectiva crítica
Martín Andonegui
FORMACIÓN DE PROFESORES
La geometría en las danzas folklóricas argentinas 801
Oscar Sardella
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
La resolución de problemas en el currículum chileno 807
Maryorie Benavides, Miguel Villarraga, Enrique Castro Y Carolina Brieba
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Las calculadoras gráficas y el conocimiento científico de las matemáticas 813
Olga Pérez y Ana Quiroga
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Matemática, una actividad humana 816
Vilma Viazzi yGloria Suhit
FORMACIÓN DOCENTE
Métodos alternativos en la búsqueda de los puntos críticos y derivadas de algunas funciones 821
Carlos Rondero, Alexander Karelin Y Anna Tarasenko
PENSAMIENTO VARIACIONAL
Modelo matemático para la determinación de las tarifas sociales 828
destinadas a los clientes residenciales del servicio eléctrico
Marta Correa y Ricardo Gallo
MODELOS MATEMÁTICOS
Modelos para la toma de decisiones en líneas de espera 834
María Rodríguez de Estofán y Sandra Franco De Berduc
MODELOS MATEMÁTICOS
Proceso de enseñanza aprendizaje de los signos de agrupación: una experiencia novedosa. 841
María E. Rodríguez Montero
PENSAMIENTO NUMÉRICO
Resolución numérica de ecuaciones de difusión en coordenadas cilíndricas 846
xiii

Gladys Guineo Cobs y Víctor Martínez Luaces
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Resultados del uso del paquete didáctico para el curso de álgebra 850
Francisco Bañuelos; Guillermo Carrasco, Marta Arjona, Javier Montes y Claudio Galvan
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Situación didáctica del concepto de derivada 856
Bertha Ivonne Sánchez Luján y Alberto Camacho Ríos
PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO
Un libro electrónico de matemática: una experiencia para compartir 862
Milagros Horta, Juan Delgado, Lourdes Hernández y José Montalván
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Una experiencia de autorregulación en el aprendizaje del cálculo diferencial 868
Margarita Veliz de Assaf
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
Una clase en el laboratorio de matemática como objeto de investigación 874
Mercedes Anido y Ana María Simoniello
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
Utilizando estudios cardiológicos para resolver problemas en la clase de matemática 881
Liliana Homilka y María del Carmen Pérez
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Entorno sociocultural y cultura matemática en profesores de nivel superior de
educación: Estudio de caso: El Instituto Tecnológico de Oaxaca 885
Luz María Minguer Allec
ESTUDIOS SOCIOCULTURALES
Geometría, arte y tecnología 890
Lilian Vargas
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
La comunicación de los saberes matemáticos 896
Alicia Gil, Amalia Kaczuriwsky
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
La geometría dinámica con Cabri II 903
Marco Barrales, Michel Carral
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Las funciones de la resolución de problemas 910
Bonacita, Haidar, Quiroga, Sorbías, Teti, Pavan
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Los números reales y procesos infinitos en el bachillerato 918
José Arredondo, Benjamín Zúñiga y Roberto Torres
PENSAMIENTO NUMÉRICO
Paradojas de fundamentación en la matemática 924
María Rosa Rodríguez y Jesús Zeballos
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Problemas de optimización y pensamiento matemático 930
Uldarico Malespina Jurdo
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Una coestrategia para el desarrollo de las habilidades científica-matemática:
Los proyectos escolares 936
xiv

Laura Benavides
CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJE
Uso de software en la enseñanza de la matemática 943
Marco Barrales
TIC´S EN LA ENSEÑANZA Y LOS APRENDIZAJES DE MATEMÁTICAS
Técnicas participativas en la resolución de problemas 949
Myrna Brúcuro
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
xv

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA
INVESTIGACIÓN
Se presentan algunas de las conferencias en
matemática educativa realizadas en el marco de la
Decimoséptima Reunión Latinoamericana de
Matemática Educativa, RELME 17, dictadas por
investigadores invitados.

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL, UNA MIRADA
SOCIOEPISTEMOLÓGICA
Ricardo Cantoral Uriza
Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav del IPN, México
rcantor@mail.cinvestav.mx
Pensamiento Variacional
Resumen
La ciencia y su educación están ligadas a prácticas sociales y culturales específicas, sin embargo, las
matemáticas, como es bien sabido, se han desarrollado bajo la premisa de que ellas tratan con objetos
abstractos, anteriores por tanto a la praxis social y en consecuencia externas al individuo. Esta visión
platónica del conocimiento, impregna por igual al quehacer didáctico de nuestros días cuando un profesor
“comunica verdades preexistentes” a sus alumnos mediante un discurso; la forma entonces, asume esta visión,
hará develar más temprano que tarde el significado de los objetos abstractos entre los alumnos. Sostenemos
que el conocimiento matemático, aun aquel que consideramos avanzado, tiene un origen y una función social
asociados a un conjunto de prácticas humanas socialmente establecidas. Esto no habrá de entenderse en el
sentido de que todo conocimiento obedece a una necesidad de naturaleza práctica, puesto que los
historiadores y filósofos de la ciencia han documentado suficientemente que algunas nociones matemáticas no
provienen de sucesivas abstracciones y generalizaciones de la empiria. Más bien, nuestra tesis tiene una
orientación socioepistemológica, puesto que establece una filiación entre la naturaleza del conocimiento que
los humanos producen con las actividades mediante las cuales y en razón de las cuales dichos conocimientos
son producidos. En este sentido, cabe decir que la premisa inicial que sustenta la orientación de investigación
de nuestro grupo de trabajo consiste en asumir que la enseñanza y el aprendizaje constituyen tanto una
práctica humana como social, y que el compromiso de la disciplina, la Matemática Educativa, con la práctica
educativa de referencia es lo que provee de sentido a su desarrollo. Es así que asumimos que el nombre
mismo de Matemática Educativa da a nuestra disciplina una ubicación geográfica y conceptual; en el mundo
anglosajón, el nombre han dado a dicha práctica es el de Mathematics Education, mientras que en la Europa
continental le llaman Didactique des Mathématiques o Didaktik der Mathematik.
En esta ocasión, presentaremos una serie de ejemplos sobre cómo desarrollamos estrategias que favorecen al
pensamiento y lenguaje variacional bajo un enfoque socioepistemológico. Este pensamiento y lenguaje
variacional estudia fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de saberes matemáticos de la
variación y el cambio en el sistema educativo y en el medio social que le da cabida, pone particular atención
en el estudio de los diferentes procesos cognitivos y culturales con que las personas asignan y comparten
sentidos y significados utilizando para ello diferentes estructuras y lenguajes variacionales. Es a la vez que
una ruta de desarrollo, una línea de investigación que posee una orientación múltiple. Pues por un lado se
ocupa de estructuras variacionales específicas desde un punto de vista matemático y fenomenológico, en
segundo término, estudia las funciones cognitivas que las personas desarrollan mediante el uso de conceptos y
propiedades del cambio, en tercer lugar, tiene en cuenta los problemas y situaciones que se abordan y
resuelven en el terreno de lo social mediante las estructuras variacionales consideradas en la escuela y el
laboratorio.
Presentación
La socioepistemología, o epistemología de las prácticas sociales relativas al saber, es una
aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar con los fenómenos de
producción y difusión del saber desde una perspectiva múltiple, pues articula en una misma
unidad de análisis a las interacciones entre la epistemología del conocimiento, su dimensión
sociocultural, los procesos cognitivos que le son asociados y los mecanismos de su
institucionalización vía la enseñanza. Este enfoque, propuesto explícitamente por vez
primera en el seminario de investigación en matemática educativa del Área de Educación
Superior del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav IPN en la ciudad de
México (conocido ampliamente como seminario de los jueves), y en una de las conferencia
1

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
plenarias de la Research Conference in Collegiate Mathematics Education dictada en la
Central Michigan University de EUA, ambas por el autor en el año de 1997, y que ha sido
desarrollado, sistemática y ampliamente, en forma cooperativa por una comunidad
académica en el curso de la década pasada y se sintetiza en (Cantoral & Farfán, 2003). Con
este enfoque socioepistemológico se plantea, desde su inicio, una tesis que aun hoy
consideramos revolucionaria, pues produjo en la comunidad de matemáticos educativos de
esos años, una verdadera ruptura al plantearse una descentración del objeto de estudio como
prerrequisito de la acción teórica, se exigió por así decirlo, de un cambio de perspectiva
respecto de los enfoques clásicos de la investigación, enfoques entonces dominantes,
relativo al problema del conocimiento y a sus vínculos sociales con los factores del
aprendizaje y con las circunstancias de su enseñanza institucionalizada.
Al inicio de la década de los ochentas, el artículo de Tall y Vinner (1981) trató el problema
del aprendizaje sobre la base de una inteligente metáfora del conocimiento humano, que en
cierto sentido explicaba los aprendizajes, o en su caso, las causas de los escasos
aprendizajes por parte de los estudiantes universitarios, ante nociones matemáticas como
número real, límite, continuidad, series infinitas, función, derivada o integral, explicación
basada en la dualidad «concept image» y «concept definition». Esta centración en las
relaciones sujeto - objeto, a la luz de la imagen que se forma el individuo y a la imagen a la
que se aspira alcanzar con la instrucción, no cuestionaba en modo alguno la naturaleza del
saber matemático puesto en juego, ni su función y origen social, o su relación con otras
prácticas de referencia como aquellas del saber cultural, saber instrumental, saber escolar,
saber tecnológico o saber artesanal, que antes que conocimiento, son sin duda alguna una
organización de prácticas sociales. Nos preguntamos, si las causas de los resultados
expuestos por Tall y Vinner y replicados por una gran cantidad de estudios locales, podrían
encontrarse en otras razones que atendieran a la naturaleza misma del saber matemático en
juego, o a los niveles de su funcionamiento en la vida escolar (Brousseau, 1986), o a las
restricciones impuestas por los particularidades del saber matemático en los sistemas de
enseñanza y, ahí nacía nuestra tesis fundamental respecto de la naturaleza de las prácticas
de referencia y del papel que estas juegan en la construcción y difusión institucional del
saber matemático. Saber que no conocimiento, fue un factor propiamente de orden «socio»
que fue sistemáticamente ignorado por la literatura especializada, literatura que insistía en
suponer que el saber matemático escolar, y sobre todo el universitario, obedece a leyes
internas de la matemática per se...
Una reciente referencia hecha sobre nuestra aproximación socioepistemológica se cita en
un capítulo escrito por Aline Robert y Natasha Speer, del libro The Teaching and Learning
of Mathematics at University Level. En él se dice:
The history of calculus has also been looked at from a socioepistemological
perspective by other research groups, for instance the research group on advanced
mathematics at Cinvestav in Mexico. This group starts with the assumption that the
present structure of theoretical mathematical discourse in analysis obscures the
essential emprirical sources of the development of the field. Thus, looking at
historical development provides alternative ways to introduce and develop
knowledge in the field. This is especially necessary if one has in mind not the
training of future mathematicians but the training of scientific students and
engineers. Such a perspective has been used by Cinvestav in order to study the
2

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
learning and teaching of variation, from high school to studies in advanced analysis
engineering. They have coordinated mathematical and historical analyses, the socio
analysis of the waty variation is dealt with in different professional and social
contexts, the cognitive analyisis of learning processes, and didactic engineering
designs (see e.g., Cantoral and Farfán, 1998; Cordero, 1994; Farfán, 1997; Ortega,
2000). A. Robert, p. 285, en (Holton, 2001).
De este modo, el enfoque socioepistemológico inicia con una mirada crítica de las
tradiciones formalistas y de los enfoques clásicamente constructivistas de aquellos años.
Señala que ni el primero, el formalista, con su habitual centración en el problema del
conocimiento desde el punto de vista de los fundamentos o de la estructura lógico formal,
ni tampoco el segundo, el constructivista, que si bien relativisa el asunto de la lógica de la
demostración y se coloca al nivel de las heurísticas o lógicas del descubrimiento, no
abandonan, ninguno de ellos, su predilección por tomar como centro de sus metáforas
teóricas al conocimiento matemático en sí. Una especie de cogno-centrismo matemático.
De este modo, los formalistas se ocuparon de estudiar a profundidad las relaciones
asociadas con la afirmación p → q en la que p y q podrían ser propiamente la hipótesis y la
tesis de una implicación lógica, aunque también podría representar los papeles respectivos
de antecedentes y consecuentes en una secuenciación temática de estudios. En ambos casos,
su preocupación mayor se ubicaría en el carácter de las implicaciones válidas. El análisis
minucioso que llevara a cabo el programa formalista, ubicó en consecuencia al nivel de las
inferencias lógicas al conocimiento y se ocupó en detalle de la cuestión de los fundamentos.
Por ejemplo, tanto sus programas educativos como sus libros de texto y sus sistemas de
evaluación del aprendizaje, en tanto formas culturales de difusión del saber, usan verbos en
los que reflejan con cierta claridad la visión que los acoge: verbos como demostrar, aplicar,
calcular, deducir, verificar,... De modo que difunden una noción de la matemática escolar
centrada en su carácter lógico y estructural, desde el punto de vista de la axiomática.
Veamos una escena hipotética, típica de este enfoque, que discute una presentación de la
ecuación de la línea recta en una clase de matemáticas. Imaginemos por ejemplo que se
trata de la clase de geometría analítica o de precálculo en el bachillerato.
Profesor: Vamos a encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A, de
coordenadas (0, 1) y B, de coordenadas (2, 3). [El profesor dibuja sobre el pizarrón
una línea recta en el plano cartesiano pasando efectivamente por A y B, coloca
enseguida dos etiquetas: A(0, 1) y B(2, 3)]
Alumnos: ... murmullos... [Los alumnos trazan en sus cuadernos el dibujo de la recta AB y
copian las etiquetas que hizo su maestro... levantan la mirada para no perder la
siguiente acción física de su profesor]
Profesor: Ahora tomemos un punto arbitrario P sobre la recta que tendrá coordenadas (x, y)
[elige P sobre la recta AB, de suerte que quede a la derecha y más arriba que B]
Alumnos: ... murmullos... [quizá su duda esté puesta en el carácter arbitrario de P, o en sus
coordenadas, empero los alumnos copian en su cuaderno sobre la recta AB al punto
P y colocan su etiqueta ... levantan la mirada para detectar nuevamente cuál es el
siguiente movimiento... En este momento él dibuja un par de triángulos rectángulos
como se exhibe a continuación y sobre los que reconocerá la proporcionalidad de
los lados]
3

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Profesor: Ahora, por el teorema de Thales, se tiene que los triángulos rectángulos
semejantes tiene entre sus lados razones de igualdad, esto es: y − 3 x − 2 , de donde
=
3 −1
2 − 0
se sigue por, álgebra elemental, que y = x + 1.
[Los alumnos saben a este momento
que lo verdaderamente importante es la fórmula obtenida y no la deducción, ya que
la fórmula será usada en la resolución de los problemas, en las tareas para la casa, en
los exámenes; mientras que la deducción sirvió sólo al profesor al momento de
explicar a los alumnos]
Reproducción exacta del pizarrón
En este episodio el profesor supuso que la proporcionalidad, derivada de la semejanza, es
una propiedad bajo el control del estudiante y supuso además, si bien inconscientemente,
que la noción de pendiente, como una propiedad invariante de la recta está estabilizada en
la mente de sus estudiantes. Estudios recientes, muestran lo inexacto de este punto de vista,
pues si preguntamos a los estudiantes si es cierto o falso que DE , si el triángulo ABC,
CA
=
AB EB
tiene al segmento DE paralelo a CA como se muestra a continuación, es decir con DE
puesto aproximadamente al centro del lado AB: Entonces la mayoría de los alumnos
recuerdan el teorema de Thales, lo reconocen y dicen que sí, en efecto se cumple la
proporción referida CA DE
= , pero (y aquí está la primera gran sorpresa) si se pinta el
AB EB
segmento DE mucho más pequeño y cerca al vértice B, la proporción de respuestas
correctas baja, pues algunos estudiantes dudan que se siga cumpliendo la igualdad anterior
y prefieren decir más bien que ahora se cumple CA DE
> o bien DE dependiendo de si
AB
EB
CA
<
AB EB
centran su atención sólo en el tamaño de uno de los segmentos, DE (muy pequeño) o EB
(muy pequeño) y en el rol respectivo que juega en el cociente anterior.
4
C
D
A E
Diagrama típico de Thales

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
Este enfoque suele dejar bajo la responsabilidad del profesor, la elección de los ejemplos,
las herramientas, los argumentos, las estrategias de acción y de explicación, los ejemplos,
los tiempos de “enseñanza” así como la elaboración o selección de las actividades
complementarias, sin sentir la necesidad de valorar los estilos y tiempos de aprendizaje de
sus alumnos, y sin tomar en cuenta si ya las nociones de pendiente, invariante
representativa de la y la proporcionalidad son estables entre los alumnos.
Bajo este enfoque, no se discute la importancia de preparar a los estudiantes para entender
mejor las matemáticas, ni como usarlas para comunicarse con ella a lo largo de su vida.
Aunque dicha labor es muy difícil, se elaboran sin embargo la currícula de los conceptos
fundamentales produciendo nuevos materiales didácticos y diseñando nuevas unidades de
enseñanza basadas en una especie de “sentido común matemático” o más propiamente en la
lógica deductiva, empero no logrado una mejor comprensión de las matemáticas por parte
de la mayoría de los estudiantes. La falla de estos esfuerzos hizo que se elaboraran
preguntas sugiriendo que lo que ha faltado establecer a esas propuestas, diseños y
producciones es un mayor conocimiento del fenómeno del aprendizaje y de la enseñanza de
las matemáticas dado que este es un acto social, cultural, política, y económicamente
establecido y justificado por instituciones educativas.
Esta situación abonó el camino para que emergieran los programas en matemática
educativa de corte constructivistas y socioepistemológico. Pues por cuanto toca a los
enfoques constructivistas, ellos negaron de entrada la tesis central del programa anterior,
pues si bien no se planteaban de inicio la cuestión implicativa de p → q, si lo hacían de
término, al final de sus acciones. Su estrategia, basada en el programa del empirismo lógico
y de la falsación como método, planteaba como centro de la reflexión un deslizamiento de
la pregunta anterior, una especie de heurística, una conjetura, ¿ será p → q ?, aceptan otra
posibilidad, estudian la cuestión plausible ¿ p → ∼q ? o quizá aceptan que ni q ni ∼q. ¡Viva
la conjetura! Este programa planteó la incorporación de la visión del alumno con mayor
fuerza tanto al nivel de las propuestas escolares como al de la visión del quehacer
matemático en sí. Pues serían las acciones constructivas del estudiante las guías de la
actividad didáctica. Se pasó del profesor al facilitador, de currícula rígida a flexible...
Por su parte, el enfoque socioepistemológico inicia con una mirada crítica, a la vez que
busca una ampliación en la mira de los enfoques constructivistas. Señaló entonces que el
constructivista, que suaviza los asuntos lógicos en la demostración y se coloca en el plano
de las heurísticas, no abandona su predilección por centrarse en las metáforas teóricas del
conocimiento matemático en sí. Pues ahora se tendría una especie de heuri-centrismo
matemático. Es así que mientras los constructivistas se ocuparon de estudiar a profundidad
las relaciones asociadas con la falsación de la afirmación p → q en la que p y q serían la
hipótesis y la tesis de una implicación lógica, o de significar por ejemplo los papeles de
antecedentes y consecuentes en los ordenamientos temáticos de un curso. Su preocupación
se situó en el carácter de plausibilidad de las conjeturas. El análisis minucioso en
consecuencia, se ubica al nivel de las inferencias plausibles y en la cuestión de los
razonamientos factibles. Tanto sus programas educativos y sus libros de texto, en tanto
formas de difusión del saber, usan verbos en los que reflejan con cierta claridad la visión
que los acoge: verbos como conjeturar, establecer, hipotetizar, estimar, desestimar,
verificar, bosquejar, representar, modelar ... De esto modo, difunden una noción de la
matemática escolar que se centra en su carácter heurístico y funcional.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Veamos una escena hipotética, típica de este enfoque que va discutir una presentación de la
ecuación de la línea recta en una clase usual de matemáticas. Imaginemos por ejemplo que
se trata de la clase de geometría analítica o precálculo en el bachillerato.
Profesor: Consideren la siguiente situación... se colocan un papel cuadriculado con un par
de semi rectas perpendiculares [los alumnos reciben el papel, dos escuadras y varias
plumas para realizar las acciones indicadas]
Alumnos: Platican entre ellos, preguntan al profesor y esperan más información para
decidir cuáles serán las acciones usando las herramientas...
Profesor: Construyan varios cuadrados con vértice en el cruce de las semirrectas, pero que
dos de sus lados queden sobre ellas [los alumnos discuten cómo hacerlo y
comunican sus ideas entre sí, plantean sus dudas al equipo y resuelven el dilema...]
El profesor espera que entre sus conjeturas aparezca el que la razón entre los lados
de los cuadrados es constante para indicar en algún momento que eso se llamará la
pendiente de una recta y... Al momento de esta escena, el profesor espera que “vean una
regularidad” entre los lados de los cuadrados, que tienen a la misma diagonal, así que ellos
habrán hecho construcciones como la siguiente:
Réplica de la hoja tamaño carta
Se supone que la noción de razón entre los lados emerge de sus diálogos, el maestro
entonces nombra a ese número como la pendiente de la recta diagonal... Naturalmente
estamos sobre simplificando la situación con la intención de señalar dos aspectos: el
carácter situado de las experiencias matemáticas que se emplean en la situación y su nula o
escasa vinculación con otras prácticas de referencia.
Por su parte, el enfoque socioepistemológico, siguiendo con la escena de implicaciones, no
se ocupan de estudiar en profundidad las relaciones asociadas con las afirmaciones p → q o
p→ ∼q en las que p y q podrían ser propiamente la hipótesis y la tesis de una implicación
lógica o también representar papeles de antecedentes y consecuentes en una secuenciación
temática de estudios o de acciones del alumno. Sino se ocupa de problematizar el saber, se
pregunta ¿ p ? ¿será p el punto de partida? ¿de dónde proviene p? En este caso, se ocupan
en desnaturalizar o desmatematizar el saber matemático al aceptar que antes que hablar de
p, habrá que hacerlo sobre un complejo de prácticas, de naturaleza social, que den sentido y
significado al saber matemático escolar, se acepta en esta visión que tales prácticas puedan
ser propiamente externas a la matemática. La noción de práctica que se emplea es cercana a
la noción de hegemonía, coerción, consenso, y en tal sentido nociones como uso y
costumbre adquieren un papel central. El análisis minucioso se lleva a cabo bajo el
programa socioepistemológico al nivel de las prácticas de referencia y sobre el paso del
conocimiento al saber. Por ello sus primeros intentos de organización educativa tanto al
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
nivel de sus texto como de sus programas de formación de profesores, en tanto formas
culturales de socialización del saber, usa verbos en los que reflejan su visión: predecir,
argumentar, gestuar o actuar, anticipar, compartir, difundir, consensar, estabilizar,
acumular, promediar,... De modo que difunden una noción de la matemática escolar
centrada en el uso social y la funcionalidad asociada.
Puede plantearse cuestiones del tipo, cuáles son las prácticas que permiten a los seres
humanos percibir y socializar las variaciones de orden superior, ¿una, dos y tres? Veamos
la siguiente tabla:
CÁLCULO FÍSICA GEOMETRÍA COTIDIANO
ƒ(x) Posición Ordenada Estatura: Pequeño, mediano, grande
ƒ′(x) Velocidad Pendiente Noción de crecimiento
ƒ″(x) Aceleración Concavidad Cantidad de crecimiento
ƒ′′′(x) ¿? ¿? ¿?
Relación de correspondencias funcionales, ¿y la tercera?
Diseñamos por ejemplo para este fin, una estrategia didáctica. Les proponemos una
colección de gráficas idénticas, como la gráfica que produce una función polinomial de
grado seis con tres puntos extremos. Les pedimos utilizarla para cada inciso, al marcar
sobre la porción que cumpla una de las siguientes opciones: f(x) > 0, f '(x) > 0, f ''(x) > 0, y
finalmente f '''(x) > 0. Se espera que sus respuestas indiquen qué estrategias variacionales
utilizan y las formas cómo argumentan su elección frente a sus compañeros. Comprobamos,
que la pregunta más compleja resulta ser la última, pues es ahí donde se exige el uso de
estrategias variacionales como única posibilidad de solución al problema.
Problema 1. Marca sobre la gráfica de la función descrita arriba, la porción que consideres
cumple con la condición f(x) > 0
En este caso, los estudiantes recuerdan, basados en su enseñanza previa, que la ubicación
en los cuadrantes I, II, III y IV determina el signo de la imagen de la función; de modo que
las ordenadas positivas estarán en los dos primeros cuadrantes, mientras que las negativas
en los restantes. De ahí que contesten esta cuestión con relativa facilidad.
Problema 2. Marca sobre la gráfica de la función descrita arriba la porción que consideres
cumple con la condición f '(x) > 0. En este caso, los estudiantes, en esta oportunidad,
confunden con frecuencia el signo de la derivada con el de la función, o en otro caso,
recuerdan que las pendientes de las tangentes a la curva determinan el signo de la derivada,
de modo que se tendrá para pendientes positivas correspondientes derivadas positivas. Este
cambio de registro, la pregunta planteada en el contexto simbólico con apoyo visual, y la
respuesta construida en el contexto visual, resulta mucho más complicado para los
estudiantes y ello se expresa en dos sentidos, por un lado la proporción de respuestas
acertadas es baja y por otro las explicaciones que utilizan son escasas y evidentemente
escuetas.
Problema 3. Marca sobre la gráfica de la función descrita arriba la porción que consideres
cumple con la condición f ''(x) > 0. Como podíamos prever, ahora la situación resultaría
más compleja. Pues exige de niveles progresivos de abstracción. El recurso dominante en
las respuestas de los alumnos, resulta ser la memoria. Puesto que ellos suelen recordar que
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
la segunda derivada positiva se corresponde con la concavidad hacia arriba, en tanto que la
concavidad hacia abajo está asociada con la segunda derivada negativa. Aún que no
dispongan de explicación alguna para confirmar su razonamiento, pueden contestar a la
pregunta. A juzgar por el análisis que hemos hecho de sus respuestas no se desprende la
existencia de algún otro argumento que permita enfrentar la situación planteada. De hecho,
es usual entre los alumnos disponer de un método mnemotécnico para establecer estas
correspondencias, "es cóncava hacia arriba entonces retienen mas agua, si lo es hacia abajo
retendrá menos agua, de hecho tirará el agua". Este símil con una cubeta llena de agua
puede aparecer como una estrategia para refrescar la memoria. Naturalmente ello no parece
implicar estrategias propiamente variacionales. La última de las cuestiones ponía en
evidencia este hallazgo, pues se trata de una situación en la cual no es posible recordar
algún conocimiento previo, pues el tema no ha sido tratado en su enseñanza convencional.
Problema 4. Marca sobre la gráfica de la función descrita arriba la porción que consideres
cumple con la condición f '''(x) > 0. Esta pregunta suele plantear un reto especial, tanto a los
estudiantes como a los profesores, pues aunque entienden efectivamente el enunciado del
problema, no pueden construir una respuesta que les parezca convincente. Esta dificultad se
agudiza si en la pregunta elevamos el orden de la derivada involucrada, dado que se carece
de elementos cognitivos y didácticos que les permitan construir una respuesta adecuada.
Consideramos que es hasta este momento en que ellos se encuentran en situación de
aprendizaje, ya que la serie de tareas anteriores les permiten, aunque fuese sólo con
recursos mnemotécnicos, dar una respuesta a las preguntas planteadas. Empero la cuarta
cuestión plantea una problemática no prevista por ellos, el éxito en la pregunta radica en
poder descifrar los códigos variacionales y articularlos en signos variacionales, pues la
respuesta habrá de ser construida. En este momento, los estudiantes y los profesores suelen
entrar en una situación de aprendizaje muy rica. Sólo quienes han dominado algunas de las
estrategias del pensamiento y el lenguaje variacional pueden abordarla eficazmente. Hemos
concluido, en este sentido, que el manejo simultáneo y coordinado de las derivadas
sucesivas parece ser una condición sin la cual la formación de la idea de derivada y en
consecuencia de la noción de predicción deviene inevitablemente frágil. Para ello es que
hemos propuesto y explorado un tratamiento didáctico (ver en Cantoral y Montiel, 2001).
Conclusión
En síntesis, consideramos que el saber matemático se ha constituido socialmente en
ámbitos no escolares y su introducción al sistema de enseñanza le obliga a una serie de
modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento. Requiere de la
formación de consensos, de la persuasión, de la búsqueda de legitimidad y validez del
discurso, en síntesis de una ideología. El pensamiento y lenguaje variacional, desde la
perspectiva socioepistemológica, estudia fenómenos de enseñanza, aprendizaje y
comunicación de saberes matemáticos propios de la variación y el cambio en el sistema
educativo y en el medio social. Pone atención en el estudio de los procesos cognitivos,
culturales, históricos e institucionales con que las personas asignan y comparten sentidos y
significados utilizando diferentes estructuras y lenguajes variacionales, investigación que
posee una orientación múltiple. Se ocupa de estructuras variacionales específicas desde un
punto de vista fenomenológico, estudia funciones cognitivas que se desarrollan mediante el
uso de conceptos y propiedades matemáticos del cambio, y tiene en cuenta los problemas y
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
situaciones que se abordan en el terreno de lo social mediante estructuras variacionales
consideradas en la escuela y el laboratorio.
Bibliografía
Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en
Didactique des Mathématiques 7(2): 33 – 112.
Cantoral, R. et Farfán, R. (2004). Sur la sensibilité a le contradiction en mathématiques; l’origine de l’analyse
complexe. Recherches en Didactique des Mathématiques. 24(2): texto por aparecer.
Cantoral, R. & Farfán, R. (2003). Mathematics Education: A vison of its evolution. Educational Studies in
Mathematics. 53(3): 255 – 270.
Cantoral, R. y Farfán, R. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis. Epsilon,
No. 42, 353 – 369.
Cantoral, R. y Montiel, G. (2001). Funciones: Visualización y pensamiento matemático. México: Prentice
Hall.
Holton, D. (Ed.). (2001). The Teaching and Learning of Mathematics at University Level. An ICMI Study.
Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference
to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics 12: 151 – 169..
9

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
CONSTRUYENDO RELACIONES BENÉFICAS ENTRE IMAGINARIOS
CULTURALES Y APRENDIZAJES MATEMÁTICOS
Leonora Díaz Moreno
Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación, Chile
leonorad@entelchile.net
Resumen
El desafío de democratizar los saberes de la modernidad, en particular, de lograr entendimientos matemáticos
significativos en orden a empoderar a la mayoría de nuestros ciudadanos, resta inconcluso de cara a las
demandas que plantea el proceso globalizador en marcha en las sociedades de nuestra América Latina, cuyos
cimientos se constituyen sobre mixturas de premodernidad y modernidad. Vemos por ejemplo que la
extensión de la educación formal en varios de los países latinoamericanos ha reducido a niveles mínimos las
estadísticas de analfabetismo básico, no obstante en esos mismos países ha aparecido un “analfabetismo
matemático” que se expresa en que una gran mayoría de ciudadanos en la región no puede resolver problemas
sencillos de matemática tales como: leer gráficos que ilustran situaciones de delincuencia, tendencias
económicas, intereses de créditos, descuentos porcentuales de sueldos, costos de planes de salud o elección de
fondos previsionales, a pesar de la certificación de los procesos de enseñanza llevados a cabo, en poblaciones
que ostentan hasta diez y más años de escolaridad en promedio. Lo educativo refiere a procesos de largo
aliento, a un sistema educativo que aprende, a una sociedad que aprende, a docentes e investigadores que
aprendemos y entonces ¡a estudiantes que entienden matemáticas! El corazón de nuestra tarea como
profesionales de la matemática educativa, es elaborar lo propio y apropiado al mundo de nuestros estudiantes,
mundo complejo y abigarrado que demanda a nuestros entendimientos. Compartimos la afirmación que
distingue la matemática misma de la matemática educativa y de la matemática escolar. Añadimos a esos
saberes, los saberes culturales, los cuales constituyen cuerpos de conocimientos con una naturaleza propia y
que ingresan al aula más o menos invisibles para sus protagonistas, favoreciendo u obstaculizando los
entendimientos de los saberes matemáticos escolares.
¿Cómo dar visibilidad a estos saberes? ¿Cómo construir relaciones benéficas con aquellos del aula?
Procuramos responder a estas preguntas desde una racionalidad alternativa de aquella racionalidad analítica
que opera por la división del campo en subcampos menores, que pueden ser más fácilmente abarcados y, así,
entendidos y representados. La metáfora del rizoma (tallo horizontal y subterráneo como el del lirio común)
nos hace pensable una multiplicidad de cuerpos de conocimientos ni compartimentados ni necesariamente
jerárquicos, a diferencia de los esquemas de mapas conceptuales y redes cognitivas usados en la enseñanza
para favorecer la construcción de esquemas mentales en los que se cristalizan nuevos entendimientos. En esta
presentación se ilustran primeros resultados en la búsqueda de filiaciones y rupturas entre imaginarios
culturales y nociones escolares de variación, así como primeras aproximaciones a las estructuras de esas
representaciones. Noción relevante toda vez que ella se encuentra a la base del desarrollo científico
tecnológico de la modernidad, esto es, cuantificar variaciones en los procesos para predecir y controlar.
Antecedentes
Los bajos logros de los aprendizajes matemáticos, que persisten en los estudiantes y en las
estudiantes, mantienen viva en nuestra agenda la tarea – que se vuelve más urgente con la
necesidad de cada país de incorporarse a los procesos de globalización con identidad y
autonomía – de profundizar en la indagación de aspectos que afectan las posibilidades de
logro de tales aprendizajes. Dados los resultados de la investigación didáctica, que señalan
a la enseñanza y los aprendizajes de nociones matemáticas como procesos de largo aliento
–algunos del orden de tres años en tanto que otros bordean los diez años- se requiere
indagar en las representaciones de nociones matemáticas escolares según ellas se van
manifestando, ya desde una década anterior a la formación profesional.
El Programa de Investigación de las Ideas Previas se planteó en sus inicios el propósito de
que los profesores conocieran qué ideas, qué esquemas tienen los estudiantes de las
nociones científicas para que los docentes las sustituyesen por las nociones del currículo
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
escolar. Así, no obstante que el propósito del Programa fue aportar con los resultados de
las indagaciones al esfuerzo docente por el cambio de conceptos, transcurridos quince años
de investigación, que revelan la robustez de las ideas previas del estudiantado, perdurando
estas más allá de su formación profesional, el Programa reflexiona y dice: No, no se trata
de un reemplazo. Más bien intentemos un diálogo. Pero ¿quiénes van a dialogar? Las
maneras de entender la matemática en la vida cotidiana con las maneras de entenderla en la
escuela, en la asignatura de la matemática escolar. Y ¿Cómo vamos a hacer dialogar
aquello que el profesor de matemática sabe de los modelos de matemática que él va a
enseñar, si desconoce cómo es que pensamos cotidianamente de la matemática fuera del
aula en nuestra vida diaria y, en particular, cómo es que sus estudiantes la visualizan? La
inquietud nuestra es indagar cuál es la estructura de las representaciones, cuáles son los
modos de pensar cotidianamente distintas nociones con mayor o menor relación a las
nociones matemáticas escolares.
Por su parte el Programa Latinoamericano de Pensamiento y Lenguaje Variacional se ocupa
de la variación 1 (Cantoral y Farfán, 1998). ¿Qué significa esto? Estudia para hacer
enseñables las matemáticas que tengan que ver con la variación ¿Para qué queremos
manejar la variación? Galileo lo hace. Newton lo hace ¿Por qué? En ciertas situaciones
necesitamos conocer el valor que tomará una magnitud con el paso del tiempo. Se requiere
determinar entonces el valor que tomará la variable dependiente antes de que la variable
independiente pase del estado uno al estado dos. Pero a causa de nuestra imposibilidad de
adelantar el tiempo a voluntad debemos predecir. En tal caso, no disponemos de razones
para creer que el verdadero valor buscado esté distante de las expectativas que nos generan
los valores en un inicio, de la forma en que ellos cambian y cambian sus cambios, y así
sucesivamente. Nuestro interés es que se aborden en el aula modelos matemáticos de
variación, los cuales, según muestra la investigación, requieren ser estudiados por largos
períodos de tiempo. Por ende su aprendizaje se favorece trabajando esos modelos
matemáticos hilvanados, entretejidos a lo largo de su vida escolar. Buscamos conocer las
voces cotidianas de la variación para ponerlas en diálogo con las voces matemáticas y ver
en qué medida nos pueden ayudar a sintonizar aquellas coherencias del contenido
matemático con las coherencias cognitivas de las personas de modo que se favorezcan los
entendimientos y sea una experiencia grata abordar el estudio y apropiación significativa de
las matemáticas que operan con los fenómenos de variación.
¿Cómo miramos los saberes cotidianos y los saberes escolares en la investigación?
La actividad matemática como una actividad humana se aborda desde un conjunto de
creencias portadas por las comunidades de investigadores según señalan sociólogos,
historiadores y filósofos del conocimiento. Asimismo a la actividad del aula se incorporan
profesores y estudiantes con sus creencias, parte de las cuales se vinculan a sus saberes
prácticos y su desenvolvimiento en la cotidianidad. Hay unas creencias de los profesores
que tienen que ver con su quehacer profesional, indagadas por el “Programa de
Pensamiento del Profesorado”. Para el diseño y el trabajo en el aula, el profesorado
necesita saber lo que se ha venido construyendo sobre saberes matemático educativos, es
1 Este programa se ocupa de estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática de la variación y el
cambio en los sistemas didácticos que le dan cabida, atendiendo a una aproximación sistémica que permita incorporar las
cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión
sociocultural, los planos cognitivos y los modos de transmisión vía la enseñanza
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
decir, esos saberes que procuran llevar al aula de manera entendible unas matemáticas que
no fueron hechas para ser enseñadas ni fueron hechas para ser aprendidas sino que primero
buscaron resolver problemas. ¿Qué relación pueden tener esas matemáticas con nuestros
modos de entender? La disciplina de la matemática educativa se preocupa de hacer
entendibles esas matemáticas, construyendo las mediaciones sobre la base de un currículo
explícito -los objetivos fundamentales y contenidos mínimos de nuestro país por ejemplo-
así como estudiando los currícula vividos en las aulas y aquel curriculum implícito en las
prácticas con las matemáticas escolares.
Además de un adecuado conocimiento de tres tipos de saberes: matemático, matemático
educativo y matemático escolar, nosotros creemos que también tenemos que manejar los
saberes culturales, esos saberes que van emergiendo en los diversos espacios a los que van
concurriendo en su irse haciendo las personas. ¿Cómo estamos entendiendo los saberes
culturales? Los entendemos como cuerpos de conocimientos que tienen naturaleza propia,
que ingresan al aula sin conciencia de los protagonistas y que manifiestan gran resistencia a
su modificación. Buscamos dar visibilidad a estos saberes culturales para proponer
relaciones benéficas alternativas, desde una mirada que nosotros llamamos cualitativa.
Para organizar y comunicar representaciones del conocimiento los docentes e
investigadores disponemos de diversidad de técnicas, entre ellas mapas conceptuales y
redes cognitivas. Tales esquemas no son neutros, encierran potencialidades diferentes. En
efecto, el esquema mapa conceptual cristaliza de modo preferente cómo el saber científico
se ordena en este tema, hoy día. Según lo presentaran Novak y Gowin 2 , se trata de
diagramas conformados por rectángulos y conectores unidireccionados, con niveles de lo
más general a lo particular, y, son jerárquicos. Tales esquemas comunican un saber ya
formalizado. Por su parte, la técnica de la red cognitiva favorece un desplazamiento en el
foco de interés didáctico. El diagrama esta vez se compone de óvalos, ya no son
rectángulos de aristas en punta, sino óvalos de formas suaves. Los conectores entran y
salen y se pueden cruzar entre sí. No hay niveles desde un más a un menos importante, y,
entonces, podemos decir que una red conceptual es un mejor instrumento para dar cuenta
del entendimiento que la persona está teniendo de ese tema y no de lo que la Ciencia, por
una cantidad relevante de años de ciencia normal, considerará que es el saber válido en un
ámbito específico. Así por ejemplo, respecto de la energía (E = mc 2 ) su mapa conceptual
va a ser muy parecido en Polonia, en Chile y en la India, pues es un dato externo a la
persona. En tanto, una red conceptual tratará de expresar qué está entendiendo la persona,
qué conexiones hace cada estudiante de un aula, en ese tema.
Hoy en día, para comunicar saberes en Ciencias Humanas y difundir modos de generar
saber en las comunidades de investigadores, aparece pertinente la metáfora del rizoma.
¿Qué es un rizoma? Un tallo horizontal y subterráneo como el del lirio común. No dice
mucho todavía, pero veamos, qué pasa con este tallo que es subterráneo. Cada tallo genera
nódulos y de esos nódulos salen raíces y esas raíces se entretejen con raíces aledañas, tal y
como fueron aprovechadas por los aztecas, quienes construyeron su ciudad sobre un lago.
Esta acción fue tan exitosa, que en la actualidad en Ciudad de Méjico viven 25 millones de
personas 3 . Entre otros elementos aprovecharon tallos subterráneos del tipo de los llamados
2 Novak, J.D. y Gowin, B.(1988): Aprendiendo a Aprender, Martínez Roca, Barcelona.
3 Con el correr de los siglos la población de Ciudad de México obtiene sus terrenos de asentamiento de dos modos
principalmente. Por una parte, por la construcción de chinampas, sembradío artificial sobre el agua. Los Xochimilcas,
pobladores dedicados a la agricultura, formaban del mismo cieno de la laguna sementeras andantes para sus sembradíos.
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
“rizomas” y aprovecharon el entrelazamiento que estos tallos hacen entre ellos
subterráneamente, colocando otras materias y generando tierra, pero desde un lago. Esta
metáfora sirve para mostrar que lo que se puede construir sobre un tejido con esa trama,
puede ser muy sólido. Es parecido al entrecruzamiento de múltiples saberes: científicos,
cotidianos, saberes profesionales, saberes de las distintas culturas.
Y es la metáfora misma la que cobra fuerza de herramienta específica para el análisis de
textos y discursos en manos de los científicos sociales. Al decir de Lizcano (1999) “el
estudio sistemático de las metáforas puede emplearse como un potente analizador social”.
O en términos de los autores del libro “¿De dónde vienen las matemáticas?” (Lakoff y
Núñez, 2000): “Lo esencial es que en la base de las ideas y de la construcción conceptual
se encuentran las experiencias corporales, tales como experiencias térmicas (ella es una
persona fría), dinámicas (el dólar subió varios puntos), kinestésicas (me llenó la cabeza
con ideas estúpidas), olfativas (esta situación me huele mal), entre otras. Todo sistema
conceptual, incluso los más abstractos, como aquellos que constituyen las matemáticas, se
crean y se realizan gracias a mecanismos cognitivos elementales, entre ellos las metáforas
conceptuales”. Abunda Lizcano (op. cit., 1999) “la lógica a que obedecen las metáforas –
y por lo tanto, la de los conceptos científicos que ellas animan – es una lógica social (…)
una actividad en la que se trasluce el contexto y la experiencia del sujeto de la enunciación
(…) sujeto concreto –histórica y socialmente situado, que se dirige a un oyente concreto
(…) quien para construir sus conceptos y articular sus discursos, selecciona unas
metáforas y desecha otras en función de factores sociales –presupuestos culturales,
intereses o aspiraciones de grupo o clase, alianzas o exclusiones, características de los
destinatarios, prestigio social de los discursos que son fuentes de los préstamos
metafóricos… “ .
Es desde esta mirada epistemológica de la complejidad que buscamos entender el saber
cotidiano respecto de la variación, entretejido con saberes escolares, socioculturales y de las
matemáticas, indagando desde y para intervenir en aquella complejidad, en orden a lograr
profundizar los aprendizajes en el campo del pensamiento y lenguaje variacional.
Investigaciones cualitativas muestran cómo ciertas nociones cotidianas están jugándose
inconscientemente en el entendimiento de los estudiantes, constituyéndose en obstáculos
socioculturales para los aprendizajes (Díaz, 1999). El problema que se propuso uno de los
estudios (Díaz, op. cit.) fue determinar concepciones y esquemas de acción, con las que los
estudiantes abordan el aprendizaje del concepto de límite, a propósito de su enseñanza por
parte del profesor, en un contexto de clase masiva de introducción al cálculo universitario.
De este modo, entre sus objetivos específicos se planteó el de identificar con qué
concepciones abordan los alumnos de carreras de ingeniería los procesos de enseñanza y de
aprendizaje del concepto matemático de límite. En el marco de un análisis estructural y
sobre la base de las voces estudiantiles para la noción de límite, se determinaron los ejes
categoriales de Evolución versus Restricción y Dentro de las normas versus Fuera de las
normas. El cruce de ejes generó cuatro imágenes posibles de mundo a visualizar por los
jóvenes, a saber, un primer mundo de VIDA SEGURA, un segundo mundo de VIDA MARGINAL,
Se plantaba el árbol Ahuéxotl o Ahuejote a la orilla de la Chinampa para afianzarla o dividirla aprovechando sus tramas
de raíces en forma de rizomas. Por su forma del ramaje, los rayos del Sol penetraban perfectamente sobre el terreno
sembrado. Al cabo de cinco o seis años, la chinampa se asentaba sobre el fondo de la ciénega. Por otra parte, a partir del
siglo XVII, comenzaron a construirse obras de drenaje de tamaño y complejidad crecientes, con el objeto de librar a la
ciudad del riesgo de inundaciones y de secar el lodoso subsuelo del fondo del lago.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
un tercer mundo de ATLETAS, y, un cuarto mundo de PROFETAS. ¿Dónde se ubicaron las
textualidades de los estudiantes? Mayoritariamente se representaron en el primer mundo,
VIDA SEGURA, evitando a toda costa el segundo, VIDA MARGINAL, y, aceptando que algunos
(los menos) accedan al tercer mundo, de ATLETAS, en tanto que aquellos con talante de
apóstoles aceptarán su ubicación en el cuarto mundo, de PROFETAS. Cabe reflexionar por
los obstáculos de orden socio-culturales que emergen desde estas acepciones. ¿Se alcanza
el límite? ¡No, si el costo atañe a la vida misma o su calidad! Desde la microsubjetividad
de los estudiantes se visibilizó otra fuente de obstáculos a los aprendizajes que viene a
añadirse a los referidos por la literatura – a saber, obstáculos didácticos, cognitivos y
epistemológicos - y que pudiésemos llamar obstáculos de orden cultural. Ellos están
impactando en los magros logros de apropiación que se exhiben en los aprendizajes
relativos al concepto de límite de la matemática superior.
En la línea de objetivar este tipo de saberes -invisibles por ahora a nuestros ojos- es que se
busca respuesta a la pregunta ¿Cuáles son los modos de pensar y las maneras de operar con
la variación en la cultura cotidiana del estudiantado? Un estudio en marcha 4 se plantea
determinar la estructura y contrastar las representaciones de la variación tanto cotidianas
como aquellas de las que se apropian los estudiantes y las estudiantes en la escuela.
Aborda la pregunta por aquellas facetas tanto congruentes como contradictorias de las
representaciones cotidianas de variación y de las representaciones de variación de las
matemáticas escolares, que favorecen u obstaculizan los aprendizajes tendientes a la
formación de un pensamiento variacional en los estudiantes y las estudiantes. A partir de
ese conocimiento se propone validar secuencias didácticas las cuales contemplen a la
variación como una temática transversal que pueda imbricar distintos contenidos escolares
de ciencia experimental y de matemática.
Resultados iniciales.
Representaciones cotidianas de la variación en estudiantes de secundaria. Con grupos de
estudiantes de los niveles de octavo y décimo año de escolaridad se buscó responder a la
pregunta ¿Con qué representaciones abordan los alumnos y las alumnas de los cursos de
octavo año y décimo año de escolaridad, los procesos de enseñanza y de aprendizaje de
nociones variacionales comprometidas en conceptos de matemática? usando las técnicas de
encuesta -por medio de un cuestionario- y grupo de discusión. Cada vez que se preguntó a
los estudiantes por variación, respondían mayoritariamente usando en su lugar la palabra
cambio. Es decir, los investigadores hablamos de variación y los estudiantes hablan de
cambios. Ilustramos con dos textualidades esta asociación:
En la vida donde esté, variación siempre va a ser cambio, eso ya está establecido, un cambio.
Cambio y sin igualdad.
Los sinónimos de variación a que aluden los estudiantes se agrupan en acepciones. Las
más frecuentes en el octavo año son las de {cantidad, agrupación, harto, varias cosas,
muchos estilos}, {diversidad, alternativas, elegir, escoger} y {diferencia, distinto: dual,
discreto}. En el décimo año se enuncian preferentemente las acepciones de {irregular,
inconstante, inestabilidad} y {transformación, cambio, cambiar, variable}. En el conjunto
de las acepciones se presentan dos tipos de “naturalezas” principales, una de carácter más
4 LAS REPRESENTACIONES SOBRE LA VARIACIÓN Y SU IMPACTO EN LOS APRENDIZAJES DE CONCEPTOS
MATEMÁTICOS. PROYECTO FONDECYT 1030413, período 2003-2005 y DIUMCE 10102, período 2002-2003.
Investigadora principal Dra. Leonora Díaz, coinvestigadores Dra. Isabel Soto, Mr. Eulalia Gutiérrez y Mr. Alexis Labarca
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
bien estático y discreto y la otra dinámica y más bien continua. Reconocemos en ello dos
tipos de epistemes en las cuales entra en juego la noción de variación según niveles de
abstracción crecientes y consecutivos por su aparición temporal: el primero concretoestático
y el segundo abstracto-dinámico.
En la faceta estática se trae a colación pocas opciones discretas como partes de un todo
estático. En la faceta dinámica hay textualidades que refieren a un evento de tipo causal:
“Si A entonces B, bajo C”. El actuante sabe como producir un cambio, esto es, controla la
ocurrencia de ese cambio, que se desenvuelve temporalmente. Hay ejemplos que refieren
cambios más bien impredecibles para el hablante, de ocurrencia también temporal. Un
tercer grupo de cambios referidos es de tipo cíclico y por ende predecible por lo que
potencialmente controlable en el sentido de manipular sus efectos.
Los dipolos presentes en las facetas estáticas de la acepción de cambio refieren a
Pocos/diferente, distinto: dual, discreto/ vs Muchos/cantidad, agrupación, harto, varios,
muchos estilos/ y Homogéneo/repetitivo, semejante/ vs Heterogéneo/diferencia, distinto,
alternativas, elegir, escoger. Asimismo hay ilustraciones de cambios no cuantificables, que
podemos llamar cualitativos – las variaciones de las mentalidades de las personas - así
como los cuantificables. Estos últimos a su vez pueden diferenciarse entre los discretos –
precio del dólar observado, cantidad de personas- y los continuos –temperaturas. En suma,
el estudio de las textualidades reveló en este análisis que el Pensamiento y Lenguaje
Variacional del estudiantado remite a cosmovisiones cíclicas y lineales (en el sentido de
una sola dirección), a ilustraciones de modos de pensar tanto dinámicos como estáticos.
Los primeros favorecerán tanto a la visualización de covariaciones como a manejar
cognitivamente la ucronización y la simultaneidad (habilidades necesarias para apropiarse
significativamente de saberes del medio social) en tanto los segundos o modos de pensar
estáticos coadyuvan al estudiantado al establecimiento de clasificaciones y determinación
de estructuras.
Los estudiantes del décimo año privilegian el cambio respecto de la variación –según lo
expresan en sus conversaciones. La palabra variación adjetiva, secunda dando las
tonalidades del cambio. En tanto que el cambio es una palabra sustantiva, que tiene la
fuerza, el impulso que gatilla su realizaciones. Las corporizaciones o ilustraciones del
concepto abren las posibilidades de conversar sobre cambios y por el contrario, lo
conceptual se agota pronto. Los cambios difieren en intensidad –máximos o mínimos-,
varían según sea aquello que cambia, pueden manifestarse en un intervalo de tiempo,
resultan de la elección de un curso de acción cotidiano diferente, son la irrupción de una vía
alternativa en el vivir cotidiano. Hay quienes no viven la acepción “aburrida” de la
monotonía por lo que valoran positivamente esa regularidad al interior de la cual hacen
cambios. Hay un uso de la expresión “variación profunda” para intervenir benéficamente el
mundo, “variar” aquello que a su juicio está mal y que quieren cambiar para bien. El
tránsito Escuela – Liceo es un cambio que viene de afuera, con responsabilidades muy altas
y que la mayoría hace notar. El cambio se vive como novedad, se experimenta algo distinto
entre un antes y un después. Asimismo, si no hay tiempo no hay variación. El tiempo es
connatural al modo de pensar los cambios del estudiantado de segundo medio y tiene que
ver con estados distintos acordes a pasos del tiempo, se compara un antes y un después de
una misma cosa a la que se le detectan estados diferentes y se describen, dando cuenta del
tipo de cambio ocurrido. En la manera de pensar de los jóvenes, la visualización de
15

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
cambio responde al dinamismo de la acción que ocurre en el tiempo. Las representaciones
estáticas no son naturales en el habla espontánea de este grupo etario de jóvenes. El
cambio -que es activo- afecta de modo sustantivo no exento de efectos dramáticos y
emociones como dolor, frustración, esperanza, goce, entretención. A contrapelo de la
vorágine de cambios en las que se hallan inmersos, como en un huracán, una estudiante se
pregunta ¿qué puede cambiar en matemáticas? El grupo no da alternativas de visualización
para ella, compartiendo su representación. Se constata como, una disciplina que trabaja con
la cuantificación de cambios, ni se avizora en el horizonte de sus representaciones. Se
representarían a la matemática como unos contenidos “fósiles” que se traen al aula
generación tras generación.
Por su parte, el habla de los jóvenes de octavo básico es pródiga en el uso de la palabra
variación. Lo variado es estático. En efecto, hay una colección en donde hay muchos
distintos, presentes simultáneamente, que se comparan entre ellos mismos y son distintos
por algún atributo, pueden ser de distinta naturaleza -hay variados elementos encima de la
mesa: unos lápices, una goma, una radio. Así la voz de variación es pasiva “ahí yacen
elementos diversos” a los que se asocian emociones tales como aburrimiento y comodidad.
No obstante, los jóvenes la dotan de valoraciones positivas al asociarla con coherencias
conductuales respecto en diversidad de contextos. El cambio tiene aspectos que son vitales
de considerar, prever sus consecuencias, controlarlas de modo que generen el menor daño
posible y en otro dominio, lamentar la pérdida de opciones al interior de un conjunto
disponible de ellas. A las consecuencias del cambio se asocian valoraciones buenas y
malas. Puede darse una relación recíproca de valores y valoraciones: dos índices bajar, uno
de ellos con valoración positiva y el otro con valoración negativa, dependiendo del
contexto. Las conductas personales responden en coherencia contextual, la variación
conductual es gatillada por el cambio de los ambientes sociales en los que se desplaza la
vida de la persona. En su construir la propia identidad – única, original - les contrarían las
imitaciones. Según estos jóvenes “la ley de la vida es cambiar, es inevitable”. Las
variaciones inevitables e inabordables pueden ser gatilladas desde lo social como desde lo
interno personal. En conjunto, los jóvenes de este grupo etario se visualizan más a merced
de los cambios y variaciones, que como actores de ellos, a diferencia de lo que ocurrirá dos
años más tarde, según refieren las textualidades de jóvenes del décimo año de escolaridad.
La apropiación de nociones de variación del discurso curricular. Ilustraciones
Graficando.
Sobre la base de las producciones de los estudiantes se relevaron en esta primera fase,
obstáculos a la visualización. En efecto, las producciones de los estudiantes revelan
grandes dificultades para expresar variaciones en una gráfica distancia – tiempo.
16
Fig.2

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
La figura 1 ilustra la competencia que se gatilla en el papel a la hora de adjudicar un eje al
tiempo y un eje al desplazamiento. Se trata del dibujo de un estudiante del décimo año, sin
preparación previa en gráficas a quien se le ha pedido que dibuje la trayectoria “a través del
tiempo” de una pelota desde un tercer piso. Y es que se debe resolver para una variable que
no está “a la vista” como lo es el tiempo (Carrasco, 2003). Cuando hablamos del tiempo
asociamos un “adelante” para el futuro y un “atrás” para el pasado. Metáfora que refiere a
un eje de longitud unidimensional (una recta). Atendiendo a los desarrollos de Núñez y
Lakoff (2003) de que “el tiempo es metafóricamente conceptualizado (por los matemáticos)
en términos de distancia”entonces ocurre que al dibujar el avance del tiempo en un gráfico
distancia/tiempo la representación del tiempo entra a competir – para su representación -
con la dimensión espacial propia del desplazamiento (figura 2). Dos dimensiones que
refieren a distancia, no pueden ocupar el mismo eje, entonces el estudiante de la figura 1
reserva el eje para el desplazamiento y hace marcas sobrepuestas para el paso del tiempo.
Entre las evidencias recogidas en esta fase del estudio se identifican tres tipos de obstáculos
para elaborar gráficas de fenómenos tiempo/distancia por el estudiantado: epistemológicos
(deriva de Oresme a Descartes, pasando por Tartaglia), cognitivo-culturales (el tiempo
sustentado sobre una metáfora espacial compite con el desplazamiento a la hora de
graficarlos juntos) y didácticos (opción curricular que reemplaza el paradigma geométrico
de Newton y Liebnitz por el aritmético de Dedekind y Weierstrass).
Estudiando la variación proporcional inversa. Consultados los estudiantes sobre sus
entendimientos en esta materia muestran como las prácticas operatorias mecanicistas les
dejan con un sinnúmero de preguntas en un registro algebraico carente de significado para
la variación proporcional inversa, como lo muestran las siguientes textualidades:
“¿Por qué había que dar vuelta una parte del sistema inverso?”
“¿Cuando se invierten las incógnitas en las ecuaciones de 3x3 indirectas?”
“¿Por qué dar vuelta una parte de la ecuación en la variable inversa?”
“Me quedó una duda respecto a un problema 3x3 inverso el cual el inverso de 2c, es 2/c según
nuestro compañero, lo que creo que está bien, pero también podría ser 1/2c.”
¿Cómo dotar de razonabilidad a las prácticas operatorias que pone en escena el aula para la
variación proporcional inversa? Se pesquisó en los modos de operar a propósito de tres
casos ilustrativos, a saber, el análisis de tablas babilónicas, el modo de reflexionar la
proporción entre surcos y semillas del campesino de la edad media y el desastre ecológico
de la sobre-explotación del sembradío actual, por una parte, y, por la otra, se indagó en los
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
avances en el campo del lenguaje, las neurociencias y la sociología del conocimiento para
entender los procesos de construcción de saberes y de aquellos en particular. Se relevaron
las nociones de las metáforas corporales y las metáforas conceptuales como herramientas
útiles para el análisis de las prácticas sociales vinculadas a la elaboración de saberes, en el
marco socio-epistemológico de la investigación (op. cit., 2000). Asimismo, se elaboró una
primera aproximación a una “metáfora didáctica” a incorporar al discurso curricular sobre
la variación proporcional inversa, dotando de significado a este saber matemático entre los
estudiantes. Tal metáfora “corporiza” el modo de operar de la proporcionalidad inversa:
busca la manera de interpretar cualidades propias de “dimensiones o variables” que se
relacionan de forma polar, aceptándose y reconociéndose mutuamente, de acuerdo a un
mismo referente, con comportamientos de variación “inversa”. Se trata de cambios de
comportamientos al interior un todo de naturaleza dual. Esta “imagen” reflejaría el tipo de
“corporalidad” implícita tanto en culturas de época remota expresadas en las “tablas de los
recíprocos” de los babilonios como en los cálculos del campesino medioeval y el ecologista
contemporáneo. Sería plausible - a la luz de estos hallazgos - dar sentido de un modo
“natural”, a un encuentro de un concepto de “inverso”, con el significado cultural de
“reciprocidad” en las representaciones estudiantiles. No es un modo de operar “inverso” de
otro modo de operar - de una “proporción directa” desde la perspectiva formalista de la
matemática - sino que refiere a un modo de operar con un sentido en sí mismo.
Conjeturando visualizaciones presentes en entendimientos de ideas variacionales
sobre la base de la reflexión de los propias procesos de estudio de la variación. Damos
un ejemplo de esta estrategia a partir de la textualidad de una estudiante:
“Cuando el dibujo que se muestra en la gráfica es una recta su razón de cambio es constante,
cuando en el dibujo se ve una recta que no tiene movimiento, o sea no varía.
Su razón de cambio es cero.”
[Extracto bitácora 3]
La estudiante se representa la variación por medio del dipolo “...no tiene movimiento, osea
no varía” implicando una cadena asociativa del tipo no tiene movimiento no varía su
razón de cambio es cero. La estudiante, basada en su enseñanza previa, asocia que sin
movimiento se corresponde con razón de cambio cero, subyaciendo a su vez la noción
cultural del cero como la nada detrás. Dicha cadena asociativa la refiere a la variación de la
gráfica en sí misma, dando una mirada global con ausencia de visibilidad de lo local: lo
que se mueve o no se mueve es la recta. Pareciera que lo que varía o no varía ha de ser
visto. Y “se ve una recta que no tiene movimiento” versus otra que si lo tiene, a pesar de
estar ambas están estáticas en el plano. ¿Qué puede llevarle a afirmar sobre la recta en una
suerte de Gestalt que invisibiliza lo local? ¿Qué metáforas – icónicas, gráficas, visuales -
subyacen? Dado el desarrollo e impacto de la comunicación visual hoy día, culturalmente
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
podemos inferir asociando la horizontal con el ícono de una cama o más aún, con una
persona acostada - descansa o duerme- por lo que no se desplaza. Lo que varía o no varía
es un algo corpóreo que se desplaza o no en un espacio y su transferencia al registro visual
se expresa en logos altamente estilizados y minimales en su expresión. La recta oblicua
podría ser esa persona levantándose, por lo mismo, moviéndose. En su argumentación
entonces presenta una concepción de “complejo pseudo concepto” generalizando el decir
de Vygotsky: el complejo formado por las cadenas asociativas gráfico-visual y aquella
cadena que recuerda del aula.
Conclusiones
Lo educativo refiere a procesos de largo aliento y que demandan aprendizajes a cada uno de
sus actores. El corazón de la matemática educativa, es elaborar lo propio y apropiado al
mundo de nuestros estudiantes, mundo complejo y abigarrado que demanda a nuestros
entendimientos. Distinguimos la matemática misma de la matemática educativa y de la
matemática escolar. Añadimos los saberes culturales, los cuales constituyen cuerpos de
conocimientos con una naturaleza propia y que ingresan al aula más o menos invisibles
para sus protagonistas, favoreciendo u obstaculizando los entendimientos de los saberes
matemáticos escolares. Resultados iniciales en estudiantes de secundaria muestran que sus
representaciones cotidianas de la variación poseen tanto naturaleza estática y discreta como
dinámica y continua, constituyendo epistemes en las cuales entra en juego la noción de
variación según niveles de abstracción crecientes y consecutivos por su aparición temporal:
el primero concreto-estático y el segundo abstracto-dinámico. El pensamiento y lenguaje
variacional del estudiantado remite a cosmovisiones cíclicas y lineales (en el sentido de una
sola dirección), a ilustraciones de modos de pensar tanto dinámicos como estáticos. Los
estudiantes del décimo año de escolaridad privilegian el cambio respecto de la variación,
siendo el cambio una palabra sustantiva, que tiene la fuerza, el impulso que gatilla su
realizaciones. El tiempo es connatural al modo de pensar los cambios del estudiantado del
décimo año y tiene que ver con estados distintos acordes a pasos del tiempo, se compara un
antes y un después de una misma cosa a la que se le detectan estados diferentes y se
describen, dando cuenta del tipo de cambio ocurrido. El estudiantado de octavo año utiliza
mucho la palabra variación con un sesgo pasivo de aburrimiento y comodidad. No obstante
la dotan de valoraciones positivas al asociarla con coherencias conductuales en diversidad
de contextos.
Explorando nociones de variación del discurso curricular, las producciones de los
estudiantes revelan dificultades para expresar variaciones en una gráfica distancia – tiempo.
En ellas la metáfora matemática que concibe a la dimensión de tiempo como una distancia,
compite - a la hora de graficarlos juntos - con la dimensión propia del desplazamiento. Por
su parte, en procesos de estudio de la variación proporcional inversa, las operatorias
mecanicistas dejan un sinnúmero de preguntas en un registro algebraico carente de
significado. Sería plausible dar sentido de un modo “natural” al encuentro de un concepto
de “inverso” con el significado cultural de “reciprocidad” en las representaciones
estudiantiles, sobre la base de la imagen que refleja el tipo de corporalidad implícita en
distintos momentos culturales. Un tercer estudio muestra una concepción de “complejo
pseudo concepto” - generalizando el decir de Vygotsky - un complejo formado por una
cadena asociativa gráfico-visual y otra cadena que se aprendió en el aula. Estos resultados
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
preliminares muestran representaciones estudiantiles que demandan diseños propios y
apropiados para favorecer aprendizajes pendientes en la región.
Bibliografía
Ávila, J. (2003). Representaciones estudiantiles de variación. Un estudio desde mediaciones pedagógicas.
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
A PROPÓSITO DE LOS CONOCIMIENTOS NECESARIOS PERO NO ENSEÑADOS
EXPLICITAMENTE
Corine Castela
Equipo DIDIREM Paris 7 y IUFM de l’Académie de Rouen
Resumen
El conjunto de mis trabajos concierne a lo que se designa con el termino de curriculum oculto, es decir los
aprendizajes que no aparecen como objetivos explícitos de la enseñanza y que sin embargo un alumno tiene
que realizar para tener éxito en el sistema escolar. Como lo comprobarán, mi punto de vista sobre este
problema se transformó mucho desde el inicio de mi trabajo hasta mis reflexiones mas recientes. Por lo tanto,
esta conferencia incluye tres partes: en la primera, presentaré mi opción inicial; en la segunda, definiré mi
punto de vista actual, es decir propondré un marco teórico para analizar el problema de los aprendizajes
ocultos. En la última parte, formularé hipótesis sobre los mecanismos de las disfunciones del curriculum
oculto.
Primera opción: hacer surgir en el curriculum oficial una parte del curriculum oculto
El origen de las reflexiones sobre las cuales me propongo establecer un balance está sobre
la base de mi trabajo en calidad de profesora de matemáticas en el Instituto de Formación
de Profesores. Me ocupo de los primeros años en el Instituto de la preparación al CAPES,
concurso de contratación de los profesores de matemáticas para los colegios y para los
liceos (sexto hasta doceavo año de escolaridad).
Empezaré con algunos detalles sobre esta prueba (CAPES). Los estudiantes tienen una
licencia universitaria en matemáticas que corresponde a tres años de estudios superiores. El
concurso prevé dos pruebas escritas de cinco horas que tienen un programa muy amplio.
Cada prueba está constituida generalmente por un problema centrado sobre un único tema
que no está necesariamente ligado a un sector del programa. La cantidad de teoremas en
juego es reducida, pero, a la vez, el estudiante tiene la responsabilidad de movilizar estos
conocimientos: sin ninguna indicación del enunciado, tiene que ser capaz de utilizar un
teorema para resolver un problema que no está necesariamente una situación típica que
requiere su empleo. Al fin, los teoremas utilizados no son inmediatamente eficaces,
requieren tomar algunas iniciativas para crear las condiciones más adaptadas a su
utilización.
Mi participación en la formación concierne a la geometría elemental, es decir los saberes
geométricos que figuran en el programa de Enseñanza Secundaria y que pueden intervenir
en la prueba escrita. Entonces, la elaboración de mi enseñanza me plantea la siguiente
pregunta: ¿Cómo ayudar los estudiantes, en un lapso tan corto, a mejorar sus capacidades
para utilizar estos conocimientos elementales en las condiciones de la prueba escrita,
cuando ellos han dejado de practicar este dominio desde su entrada a la universidad? A esta
pregunta, le doy la siguiente respuesta: abro en mi enseñanza un espacio explícito a una
categoría de conocimientos que me parecen favorecer el empleo del saber matemático en
las condiciones de autonomía del escrito, lo que he designado como los conocimientos
sobre el funcionamiento matemático (Castela 2000, 2004).
Para favorecer la comprensión de mi planteamiento haré algunos ejemplos sobre estos
conocimientos:
Tipos de problemas y técnicas asociadas: Para demostrar que tres rectas son concurrentes,
podemos introducir el punto de intersección de dos de ellas y mostrar que pertenece a la
21

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
tercera (ver las alturas), introducir un punto y mostrar que pertenece a las tres rectas...
Función de herramienta para un concepto dado: La homotecia permite establecer una
alineación por conservación de la alineación (cuadrilátero completo), y también porque el
centro, un punto y su imagen están alineados (trapezoide completo) o porque, si una
homotecia está compuesta por dos otras, los tres centros están alineados (Menelaüs).
Espero que estos ejemplos expliquen la siguiente definición: los conocimientos sobre el
funcionamiento matemático consideran las formas de intervención de los elementos del
saber sabio matemático, conceptos y teoremas, en las soluciones de los problemas ya
resueltos. Se trata de conocimientos funcionales, orientados hacia la resolución de
problemas. Viven bajo el régimen de la eficacia y no de la verdad, del “más o menos” y no
del “siempre/jamás”. Así es que la mayoría de las técnicas no son algoritmos, no permiten
automáticamente resolver todos los problemas de un tipo, pero sí contribuyen por una parte,
necesaria pero insuficiente, a la resolución de algunos de ellos. Finalmente, los
conocimientos se pueden percibir de manera descontextualizada o a través de ejemplos
paradigmáticos.
Los conocimientos sobre el funcionamiento matemático me parecen jugar un papel
fundamental en la resolución de problemas a partir del momento que ellos exigen una cierta
autonomía como es el caso de las pruebas escritas del CAPES. En general, estos
conocimientos no aparecen en los programas como objetivos explícitos de enseñanza, ellos
están directamente conectados con el curriculum oculto. En calidad de profesora para los
estudiantes de CAPES, mi opción es otorgar un lugar oficial a algunos de estos
conocimientos de tal manera que sean reconocidos en su calidad de saberes.
Esa fue mi primera elección para hacer frente a la dificultad, incluso la incapacidad, de
numerosos alumnos en realizar los aprendizajes relativos al curriculum oculto. Considero
que esta elección se podría plantear a otros niveles, por ejemplo a nivel de “lycée”. Sin
embargo, mis investigaciones ulteriores me llevan actualmente a tomar en cuenta
soluciones menos radicales. Es sobre ellas que hablaré en la segunda parte de esta ponencia.
La organización institucional de la enseñanza, posible motor de los aprendizajes no
inscritos en los programas oficiales
A continuación, optaré por un punto de vista radicalmente opuesto a lo que expuse
anteriormente, considerando que la existencia de necesidades ocultas del aprendizaje
conlleva un fenómeno presente en todas partes de la sociedad, lo que implica el interés de
estudiar como dichos aprendizajes se realizan o no bajo estas condiciones.
Situándome en el marco de la teoría antropológica de Yves Chevallard, propondré el
análisis siguiente. En una institución I, toda actividad A está sometida a un sistema de
coacciones y de expectativas específicas provenientes de la institución. Según la definición
de la noción de Institución, estas regulaciones se ejercen de manera relativamente duradera
e invariable sobre las personas que, como sujetos de I, practican la actividad A y tienen que
inscribir su acción en el marco predefinido, so pena de fracasar en la institución I. Esta
estabilidad permite que se construya socialmente, en el conjunto de los sujetos
involucrados, una forma eficaz de desarrollo de la actividad A en la institución que
nombraré el género de la actividad A en la institución I. La noción de género se encontró
por la primera vez, en la obra del lingüista ruso M. Bakthine; el sicólogo del trabajo francés
Yves Clot (2002) la generalizó a todas las formas de actividades sociales, me refiero a él.
22

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
El género es una respuesta eficaz, históricamente y socialmente construida, a las coacciones
generales y a las coacciones específicas de la institución que pesan sobre la actividad. El
género es una forma de la memoria colectiva. Es un sistema de conocimientos producto de
la colectividad cuyos sujetos son los depositarios en un momento dado. Es posible que
ningún sujeto posea por si solo la totalidad de los conocimientos que integran el género.
Ellos pueden ser parcialmente explícitos al interior del grupo social, pero, sea lo que sea, la
institución I no avala la mayoría de estos conocimientos.
Cuando una persona actúa al interior de una institución, tiene interés a inscribir su actividad
en el género puesto que eso habilita en la institución. Pues su éxito depende de la
adquisición de conocimientos acumulados en el género que en general la institución
considerada no reconoce. Entonces ellos no pueden aparecer ni como objetivos didácticos
(lo que supondría una intención institucional de organizar el aprendizaje) ni siquiera como
objetivos explícitos de aprendizaje. Estos conocimientos se adquieren actuando en la
institución, entre los pares depositarios del género. En este marco de análisis, los
aprendizajes ocultos aparecen presentes en todas partes del trabajo social. Este punto de
vista implica tratar la problemática del curriculum oculto estudiando sus falencias de
funcionamiento. La existencia de un curriculum oculto no es anormal. ¿Por que razones, en
un cierto momento, bajo ciertas condiciones, los aprendizajes necesarios no se realizan para
la mayoría de los sujetos?
Para mostrar la problemática presentada, me referiré en esta segunda parte a una
investigación centrada sobre la comparación de formas de trabajos personales de los
alumnos en dos instituciones francesas de enseñanza superior (Castela, 2004). El trabajo
surgió a partir de la siguiente observación: los estudiantes que preparan el CAPES de
matemáticas han realizado su primer año de estudios superiores en dos tipos de
instituciones fundamentalmente distintas, por una parte la universidad, por otra parte las
clases preparatorias a unas escuelas de ingenieros. Ahora bien, generalmente ocurre que los
segundos tienen un mejor éxito en el CAPES que los primeros. Esta constatación me ha
llevado a buscar las diferencias entre las dos instituciones que podrían explicar la diferencia
de éxitos. Tomando en cuenta el análisis presentado en la primera parte de mi ponencia, mi
hipótesis plantea que el éxito está relacionado con el aprendizaje de los conocimientos
sobre el funcionamiento matemático. Este aprendizaje depende esencialmente del trabajo
personal de los estudiantes, dado que en cada una de las instituciones, estos conocimientos
no aparecen en los programas oficiales. En consecuencia, comparé las modalidades del
trabajo personal de las dos poblaciones estudiantiles; en otras palabras, comparé los
géneros de trabajo personal de los estudiantes universitarios y de las clases preparatorias.
La investigación reveló varias modalidades de trabajo, no equivalentes en cuanto a la
construcción de los conocimientos sobre el funcionamiento matemático. Estas distintas
modalidades no están presentes ni de la misma manera, ni tampoco con la misma eficacia
en las dos instituciones. Dentro del marco teórico propuesto, busqué unos factores que
explicarían la situación por el lado de las diferencias entre instituciones. Me limitaré aquí a
formular una idea de los elementos que participan en la regulación institucional del trabajo
personal. En la universidad, el curriculum está dividido en varias unidades semestrales
especializadas; cada una es objeto de evaluación, lo que reduce la extensión de los
programas de cada prueba. El éxito del estudiante depende de la nota, en consecuencia, la
cantidad de estudiantes aceptados está ligada a la dificultad del problema planteado.
Además, los profesores responsables de la formación son los autores de las pruebas. En las
23

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
clases preparatorias, la organización de la enseñanza es muy diferente; el programa de
matemática es anual y abarca diferentes dominios. La evaluación final es una prueba
nacional concebida sobre el principio de los concursos, es decir que el logro depende de la
clasificación y no de la nota, el número de estudiantes recibidos está determinado a priori.
Mi hipótesis es que estos factores permiten que el trabajo universitario centrado sobre la
memorización detallada de los ejercicios sea posible y eficaz: la carga cognitiva es
razonable por el hecho de la especialización de las pruebas y su composición mas bien
previsible. Las condiciones específicas de las clases preparatorias no son favorables a este
método de trabajo, desgastaste y ineficaz dada la magnitud de los programas y el carácter
imprevisible de las pruebas.
Referente a la problemática de la ponencia, pondré el énfasis sobre el siguiente resultado:
las condiciones institucionales vigentes en las clases preparatorias hacen que la adquisición
de los conocimientos sobre el funcionamiento matemático sea más necesaria y más
promovida que en la universidad. En estas condiciones, para los estudiantes de las clases
preparatorias, el CAPES se inscribe en la prolongación del curriculum oculto anterior
cuando los universitarios se enfrentan a una discontinuidad. Para tener éxito en el CAPES,
necesitan conocimientos que habrían debido construir antes y que les faltan; además,
algunos todavía no han adquirido un método de trabajo personal adaptado con la
realización de aprendizajes autónomos.
Conclusión: hipótesis sobre los mecanismos de disfunción del curriculum oculto
En el ejemplo que acabamos de ver rápidamente, la causa de las dificultades no depende de
la existencia de aprendizajes ocultos, sino de la necesidad de una progresión en el
encadenamiento de los aprendizajes mismos; podemos retomar la definición de Vygotsky
de “zona de desarrollo próximo”: para que una persona se adapte al género de actividad A
en I, es mejor, véase necesario, que haya logrado un cierto nivel de desarrollo. En otras
palabras, el origen de las dificultades no está en la necesidad que los alumnos realicen
aprendizajes institucionalmente ignorados sino en la necesidad de una progresión de estos
aprendizajes ocultos, cuyas discontinuidades eventuales sean compatibles con los límites de
la “zona de desarrollo próximo” de una cantidad suficiente de sujetos. Por el hecho que la
institución no asume esta programación, la formación de un curriculum coherente es
necesariamente laboriosa. Muchos procesos pueden encauzar disfunciones del curriculum.
El pasaje de una institución de enseñanza a otra puede ser el principio de una
discontinuidad patológica en el curriculum. Al interior de una misma institución, dos
poblaciones están implicadas en la realización de los aprendizajes ocultos, los profesores y
los alumnos. Las disfunciones pueden surgir de ambas poblaciones. Los profesores tienen
una gran responsabilidad puesto que los alumnos pueden aprender solamente si enfrentan
actividades que crean las condiciones y la necesidad de aprender. Uno de los fenómenos
más usuales actualmente es que en unas circunstancias, los profesores consideren que no
pueden asignar más los ejercicios de antes o aquellos que proponen a otros cursos,
suprimiendo las condiciones de algunos aprendizajes.
En cuanto a los alumnos pueden tener una implicación en las disfunciones del curriculum
oculto: cuando los aprendizajes a realizar están fuera de su zona de desarrollo próximo por
falta de aprendizajes anteriores, cuando por el tipo de relación que entretejen con la
institución escolar, no conciben que hay que aprender a partir del conjunto de las tareas
asignadas por el profesor y que tienen una responsabilidad en su propio aprendizaje escolar.
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
Me parece que para ciertos alumnos, no sea posible la adaptación a partir de su cultura
familiar al género de trabajo del alumno sin un seguimiento explícito de la institución.
Para concluir, resumiré mi intervención como sigue. Si una parte del curriculum oculto se
puede integrar en el curriculum oficial como saber a enseñar, propongo tres modalidades de
intervención para limitar las disfunciones causadas por la existencia de los aprendizajes
ocultos: buscar y reducir las discontinuidades debidas a los cambios de instituciones;
reconocer en un curriculum complementario al programa oficial unos objetos de
aprendizajes que los profesores deberán organizar sin explicitarlos como saber para los
alumnos (eso implica exigencias en el ámbito de la formación); insertar en el curriculum
complementario algunos elementos relativos al trabajo privado de los alumnos.
Estas perspectivas abren a la didáctica un campo de investigación poco explorado cuya
pertinencia sobrepasa el dominio de las matemáticas.
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25

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
¿DESARROLLO LÓGICO MATEMÁTICO O APRENDIZAJE DE CONCEPTOS
MATEMÁTICOS EN EL NIVEL INICIAL?
Santa Daysi Sánchez González
Universidad Autónoma de Santo Domingo, República Dominicana
j.luciano@codetel.net.do
Resumen
El desarrollo intelectual de los niños pre-escolares es un tema de gran interés en el área de la Educación y de
la Psicología. Son muchos los científicos que han dedicado su vida a estudiar las transformaciones que va
logrando el individuo en sus estructuras mentales, a medida que se desarrolla, así como las influencias que los
factores sociales y biológicos ejercen en su formación. Pero, son pocos los educadores conscientes de este
desarrollo. Se pone mayor atención en el desarrollo físico que en el intelectual. Se hace más énfasis en la
búsqueda de estrategias, recursos y actividades que propicien un ambiente dinámico y activo que en uno que
desarrolle las operaciones del pensamiento de nuestros infantes. Para formar ciudadanos que sean capaces de
pensar por sí mismos, necesitamos empezar por los niños pre-escolares. Por esta razón analizamos la
propuesta de Nivel Inicial de nuestro país y la comparamos con las teorías que la fundamentan.
Formación de conceptos
El proceso mental a través del cual un ser humano adquiere un concepto ha sido estudiado
por diferentes intelectuales en distintas oportunidades. Nos cuenta K. Lovell en su libro
Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños, que los
estímulos sensoriales recibidos por el hombre, son sometidos a un proceso de filtración o
selección que llegan a la corteza cerebral y a las áreas conexas del cerebro medio. En ese
momento se experimentan sensaciones, que van a ser reforzadas por experiencias
anteriores, ideas, imágenes y actitudes que nos permitirán interpretar las señales recibidas.
La interpretación que damos a esas señales son nuestras percepciones. Lo que percibimos
va a depender de nuestro modo de pensar, de nuestras actitudes, emociones, deseos, etc. A
partir de esta percepción se discrimina y se abstrae hasta llegar a generalizar. Discriminar
implica reconocer y apreciar cualidades comunes y distinguir éstas de otras propiedades
diferentes. Es abstraer, es sacar las características comunes para poder generalizar.
Para K. Lovell, un concepto “es una generalización a partir de datos relacionados, y
posibilita responder a, o pensar en estímulos específicos o perceptos de una manera
determinada
Un concepto no es estático. A lo largo de nuestra vida lo vamos desarrollando. La forma
como se desarrollan los conceptos en los infantes y en el adulto, ha sido un tema de estudio
y discusión por mucho tiempo. Veamos algunos protagonistas en este campo y sus aportes.
Vinacke (1952) pretende que tanto la abstracción como la generalización dependen más de
la motivación y son más conscientes y controladas en los adultos que en los niños.
Brown (1958) considera que la formación de los conceptos en los niños está más
influenciada por la estructura cognoscitiva de los adultos que lo rodean que por sus
preferencias intelectuales.
Piaget e Inhelder (1959) descubrieron que en los niños entre 4 y 10 años, la capacidad
para clasificar objetos depende de la capacidad para comparar dos juicios simultáneamente,
y en la disposición para coordinar operaciones retroactivas y de aplicación. También que es
más fácil para el niño clasificar objetos usando la percepción táctil y cinestésica que la
visual.
26

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
Price-Williams (1962) comparó aptitudes de clasificación en una sociedad primitiva entre
niños analfabetos y otros que asistían a la escuela, sin encontrar grandes diferencias.
Bartlett (1958) estableció que la generalización en los adultos en un tipo de pensamiento
formal o experimental es distinto a los de la vida diaria. En el primero, la mente tiene que
hacer una confrontación activa de todos los puntos de semejanza entre las ideas y los datos
ante ella, los casos son estudiados. En la segunda los casos son “saboreados”, pero no
estudiados.
Lovell (1955) demostró que en adolescentes y adultos jóvenes, la capacidad de clasificar y
formar nuevos conceptos, era superior en aquellos con antecedentes más favorables.
Churchill (1958) demostró que los párvulos que tuvieron acceso a ciertos materiales,
alcanzaron ciertos conceptos más rápidamente que otros a quienes no se dieron esas
oportunidades.
Otra idea presentada por Lovell independiza el desarrollo conceptual del perceptual. Según
este criterio todo pensamiento depende de actos, refiriéndose a pensamiento como “una
fluencia conexa de ideas dirigidas hacia cierto fin o propósito”. Uno de los principales
exponentes de esta idea es Piaget, quien sostiene además que los conceptos matemáticos
tienen su origen en los actos que el niño lleva a cabo con los objetos, y no en los objetos
mismos. Expresa que la “reversibilidad”, habilidad fundamental que posibilita volver al
punto de partida con el pensamiento, es la base de todo conocimiento lógico y matemático.
Esta se inicia desde muy temprano con la repetición de acciones que van desarrollando la
capacidad de coordinar operaciones de carácter retroactivo y procesos de anticipación. Los
niños no pueden aprender sólo por observaciones, necesitan de sus propios actos para
construir sistemas de operaciones mentales. De este modo, según Piaget, no existe
dependencia directa entre el desarrollo perceptual y el conceptual. Para él, el concepto es la
evolución de los esquemas de acción en los que juega una parte la percepción. Primero se
forman unos pre-conceptos, el niño disocia objetos de sus propiedades sobre la base de su
conducta (por ej. cuchillo de cortar pan y cuchillo de cortar carne). A través de la actividad
se va construyendo un pensamiento más móvil y reversible y sobre los siete años de edad
desarrolla nuevos y más complicados esquemas de forma progresiva. Otros autores también
creen en la acción como base del pensamiento. Sherrington creía que la mente parecía
haber surgido en conexión con el acto motor. Meridith (1956) sugiere que el hombre
primitivo aprendió a operar manualmente mucho antes de que realizase cualquier clase de
operación mental.
En definitiva, llegar a un concepto por la generalización o abstracción de ciertas
percepciones sobre los objetos, o por la evolución de ciertos esquemas de acción sobre los
objetos, implica que el individuo va a adquirir un nuevo conocimiento que le va a permitir
interactuar con su medio. Para nosotros es importante analizar lo que ocurre con los
conceptos matemáticos en los niños.
Desarrollo de los conceptos matemáticos en el infante
Los conceptos matemáticos son distintos a los adquiridos en nuestro entorno cotidiano.
Para adquirir el concepto “pizarra” necesitamos determinar todas las características
comunes a un objeto concreto que podemos percibir a través de nuestros sentidos. Pero el
concepto “rectángulo” no existe porque la pizarra tiene forma rectangular, es independiente
de ella, es una cualidad que la tienen muchos otros objetos y que debe ser abstraído de
otros conceptos. Lo mismo ocurre con otros conceptos matemáticos. Según Lovell, los
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
conceptos matemáticos son generalizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datos.
Además de los conceptos numéricos y los espaciales, las matemáticas estudian las
relaciones entre ellos y las operaciones mentales o cálculos a que pueden dar lugar. Si un
niño no logra alcanzar plenamente el concepto de los números naturales (1, 2, 3,...), si no
llega a existir en su mente independientemente de las cosas, aparatos, acciones o
circunstancias, serán muy limitados los cálculos y operaciones mentales que pueda realizar
con ellos.
El desarrollo de los conceptos matemáticos y científicos básicos es un proceso lento y
complejo. Estos, aparecen al principio como nociones vagas y oscuras, que van ganando en
claridad, amplitud y profundidad con la maduración y la experiencia. Antes de que un
concepto se muestre consistente se dan ciertas propiedades de uniformidad, reversibilidad,
asociatividad e identidad. Para ayudar al niño en la adquisición de estos conceptos,
tenemos que enseñarles su lenguaje y sus símbolos.
Desarrollo lógico matemático
Piaget plantea que el desarrollo del conocimiento es un proceso espontáneo, relacionado
con el proceso total de embriogénesis o desarrollo del cuerpo, del sistema nervioso y de las
funciones mentales, que termina cuando los niños llegan a la edad adulta y se refiere a
todas las estructuras del saber, diferenciándolo del concepto de aprendizaje, considerando
que éste es un proceso subordinado al desarrollo.
El desarrollo del conocimiento está relacionado con las operaciones del pensamiento. Para
conocer un objeto no basta con mirarlo y hacer una imagen mental del mismo, es necesario
actuar con respecto a él. Conocer quiere decir modificar, transformar y comprender el
proceso de esta transformación. Clasificar, ordenar, contar o medir son operaciones. Una
operación es un conjunto de acciones que modifican al objeto y permiten al que posee
conocimientos acceder a las estructuras de la transformación.
Piaget afirma que el dearrollo intelectual del niño pasa por las etapas sensorio-motriz o preverbal,
pre-operacional o pre-conceptual, de operaciones concretas y de operaciones
formales o hipotético-deductivas. Los niños que asisten a las escuelas de Nivel Inicial
están generalmente en la etapa pre-operacional. Estas etapas están determinadas por
factores que explican el desarrollo de un conjunto de estructuras a otro. Estos factores son
la maduración, la experiencia, la transmisión social y el equilibramiento o autorregulación.
Piaget destaca además, dos tipos de experiencia: la física y la lógico-matemática. La física
consiste en actuar con respecto a los objetos e inferir algún conocimiento haciendo
abstracción de los objetos (la pipa pesa más que el reloj). La experiencia lógico-matemática
se deriva de las acciones efectuadas con los objetos, haciendo abstracción de las acciones
(descubrir que hay diez guijarros luego de ponerlos en una fila, aunque se cuente en
cualquier orden). En este ejemplo se descubre no una propiedad de los guijarros, sino de la
acción de ordenar. Este es el punto de partida de la deducción matemática. La deducción
subsecuente consiste en interiorizar estas acciones y luego combinarlas sin tener que hacer
uso de los guijarros. Esta coordinación de acciones que en principio se apoya en material
concreto, conduce a estructuras lógico-matemáticas. Una vez que se han alcanzado las
operaciones, las coordinaciones de las acciones pueden tener lugar por sí mismas en forma
de deducción y construcción de estructuras abstractas.
El tercer factor es una transmisión social, lingüística o educacional. Para recibir la
información el niño debe hallarse en un estado adecuado para entenderla, debe tener una
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
estructura que le permita asimilar la información. El cuarto factor, el equilibramiento, que
como compensación activa conduce a la reversibilidad, es un proceso de autorregulación
fundamental en la adquisición de conocimiento lógico-matemático. Este proceso adopta la
forma de una sucesión de niveles de equilibrio, que tienen una cierta probabilidad
secuencial, no establecidas a priori. No es posible alcanzar el segundo nivel a menos que se
haya obtenido equilibrio en el primer nivel y así sucesivamente. Cada nivel es determinado
como el más probable siempre que se haya alcanzado el nivel precedente.
En cuanto al aprendizaje, Piaget plantea que es posible lograrlo, si se basa la estructura más
compleja en estructuras más simples, es decir, cuando hay una relación y desarrollo natural
de estructuras y no simplemente un refuerzo externo, rechazando así el proceso de
estímulo-respuesta. Plantea que el aprendizaje de estructuras parece obedecer las mismas
leyes que el desarrollo natural de estas estructuras y que por tanto el aprendizaje está
subordinado al desarrollo y no viceversa.
¿Desarrollo lógico matemático o aprendizaje de conceptos matemáticos?
Al comparar las concepciones planteadas por los científicos acerca de los conceptos
matemáticos y del desarrollo lógico matemático, podemos inferir que para ayudar con el
desarrollo del conocimiento, el proceso de aprendizaje en la escuela debe tener como
objetivo el desarrollar las estructuras mentales que le permitan al niño pensar por sí mismo,
propiciando la toma de decisiones adecuadas en cada circunstancia. Hace falta potencializar
las habilidades intelectuales de los educandos, enseñarlos a aplicar sus operaciones
mentales en cada una de las actividades que realice. Por lo tanto, propiciar el desarrollo
lógico-matemático en los infantes no implica necesariamente orientar el aprendizaje de
ciertos conceptos matemáticos, sino ayudarles a utilizar el pensamiento para conocer la
realidad y operar sobre ella, adquiriendo destrezas mentales para observar, comparar,
clasificar, etc.
Los conceptos matemáticos y el desarrollo lógico matemático en la propuesta
curricular de nuestro país
El Sistema Educativo Dominicano está dividido en los Niveles Inicial, Básico, Medio y
Superior. El nivel inicial se divide a su vez en ciclos: primer ciclo (entre 0 y 2 años),
segundo ciclo (entre 2 y 4 años), tercer ciclo (entre 4 y 6 años). Cuando analizamos la
propuesta curricular para el nivel inicial, encontramos que está fundamentada en los
planteamientos de Jean Piaget. Se describen las características evolutivas del niño y la niña
del nivel, ubicándolas de acuerdo con las etapas definidas por él.
El programa consta de 8 bloques de contenidos divididos en el Desarrollo de la Expresión y
Comunicación, el Desarrollo Socio-emocional y el Desarrollo Intelectual. El primero se
clasifica en Expresión Oral y Escrita, Expresión Artística y Expresión Corporal. Este
último se clasifica en Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático, Exploración y
Descubrimiento del Medio Natural y Descubrimiento del Medio Social.
Analicemos los contenidos correspondientes al Desarrollo del Pensamiento Lógico
Matemático, en estos cinco bloques.
29

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Bloque 1.
Mi persona
Figuras
geométricas: las
identifica y utiliza
en dibujos y
representaciones de
su cuerpo y de los
otros. Medición
antropológica de
espacios con partes
del cuerpo.
Bloque 2.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
La experiencia familiar en
mi vida
Cuerpos geométricos: esfera,
cubo, paralelepípedo,
cilindro, pirámide y cono.
Líneas: segmentos de recta,
vertical, horizontal,
poligonal o quebrada, curva,
curva abierta o cerrada,
circunferencia y trazo de
caminos (laberintos).
Relaciones de tamaño
(grande, mediano, pequeño)
y de longitud (corto y largo)
en la realidad y en
representaciones gráficas.
Relaciones de altura (alto,
bajo) y de distancia (junto,
separado)
Bloque 3.
El centro educativo como
espacio donde aprendo y
me divierto.
Relaciones espaciales:
dentro-fuera, cerca-lejos,
abierto-cerrado, al borde o
en la frontera, entradasalida.
Las tres
dimensiones. Largoancho-profundidad.
Volúmenes. Lleno-vacío,
delgado-grueso, finogrueso.
Relaciones
espaciales: ubicación de
lugares y personas al
centro, en la intersección
de líneas, a un lado, en una
cara, en una esquina.
Agrupamientos de objetos
atendiendo a diferentes
criterios. Relaciones de
pertenencia.
Comparaciones de estas
relaciones
Bloque 4.
Mi comunidad local y el
barrio donde vivo.
Distancias. Juntoseparado,alejadocercano.
Utilización de
unidades
antropomórficas o
inventadas para medir
distancias.
Relaciones: mezclado,
separado, igual,
diferente.
Agrupamientos
diferenciando mayor
que, igual que y menor
que, con material
concreto y en material
representativo. El
número. Iniciación del
reconocimiento de los
números cardinales
hasta 9, asociando
símbolo y cantidad.
Bloque 5.
Mi comunidad
nacional.
Ubicación en el
entorno con
relación a su
cuerpo, a objetos
y en material
representativo:
delante-detrás,
arriba-abajo, de
un lado- de otro,
encima-debajo, al
frente-de espalda,
en giros.
Conjuntos con
igual y distintos
números de
elementos.
Partición de
conjuntos, por
ejemplo con
rompecabezas de
mapas, escudos y
banderas y otros.
Números,
iniciación de la
actividad de
contar.
Observamos que se presentan los conceptos matemáticos que se adquieren en el nivel
inicial. ¿Cuáles de estos contenidos nos sugieren desarrollo del pensamiento lógicomatemático?
En el primer bloque encontramos las palabras identificar y medir, en el
segundo se sugiere la comparación al presentar categorías contrapuestas como son altobajo,
junto-separado. En el tercer bloque se plantea de nuevo la comparación, así como
agrupamientos. Lo mismo para el bloque cuarto y quinto. Sin embargo, la cantidad de
conceptos matemáticos que se sugieren en cada uno, supera en mucho las destrezas del
pensamiento que se quieren desarrollar. Aún más, en muy escasas ocasiones están
explícitas estas destrezas. Si observamos los contenidos referentes a las otras categorías del
Desarrollo Intelectual, como es la Exploración y Descubrimiento del Medio Natural y el
Descubrimiento del Medio Social, encontramos solamente algunas sugerencias de
comparación. En cada una se destacan los conceptos correspondientes al área.
Para desarrollar su pensamiento lógico, el niño necesita múltiples estrategias. No basta con
las correspondientes a los conceptos matemáticos. Los niños tienen que observar, comparar,
agrupar, clasificar, ordenar, establecer correspondencia, formular hipótesis, etc. Nuestra
preocupación estriba en que en la propuesta curricular no se presenta de forma explícita la
necesidad de desarrollar estructuras mentales. Las operaciones del pensamiento apenas
están esbozadas y nuestros educadores no están formados en este sentido, por lo que
difícilmente logremos un verdadero desarrollo intelectual de nuestros niños. En sentido
general, en nuestros países no se promueve el desarrollo del pensamiento. La mayoría de
las asignaturas se imparten haciéndose mayor énfasis en la memorización, de modo que los
niños sólo adquieren las destrezas de pensamiento del nivel inferior.
30

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
En la asignatura Desarrollo Lógico Matemático, que imparto en la Universidad Autónoma
de Santo Domingo, para estudiantes de la Licenciatura en Educación Inicial, hemos
fomentado el estudio de las diferentes operaciones del pensamiento y su desarrollo, a través
de estrategias, actividades y recursos didácticos. Se aprende a establecer cuáles
operaciones del pensamiento son aplicables con un recurso o actividad seleccionada para
lograr ciertos objetivos. En la experiencia acumulada en los salones de clase por las
alumnas que ya ejercen la profesión, podemos constatar que no se hace énfasis conciente
del desarrollo de las destrezas mentales, aunque si se consigue parcialmente, al trabajar con
el desarrollo de los conceptos matemáticos.
A manera de conclusión
Los educadores del siglo XXI tenemos un gran reto. Necesitamos formar un ser humano
independiente, con capacidad para hacer uso de la lógica y la razón en la transformación de
su entorno, tanto natural como social; con capacidad para conocer la realidad y operar sobre
ella, pero también con una conciencia moral y ética que le permita actuar con solidaridad,
justicia y honradez. Para lograrlo debemos empezar por los niños pre-escolares,
propiciando que puedan empezar a establecer relaciones, adquirir conceptos, tomar
decisiones y en general a formular ideas y pensar. No basta con desarrollar conceptos
matemáticos, se hace necesario que en cada uno de los bloques de contenido, de cada una
de las áreas programáticas, se desarrollen las destrezas del pensamiento necesarias para
lograr el Desarrollo Lógico-Matemático.
Bibliografía
Cascallana, M T. (1988), Iniciación a la Matemática. Materiales y Recursos Didácticos. Editorial Santillana,
Aula XXI. Madrid.
Lovell, K. (1982), Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. 4ta edición.
Ediciones Morata, Madrid.
Olivares, Ma. del C. (1981). Didáctica de la Matemática Moderna. Primer Curso. Editorial Osiris, México.
Piaget, J. El desarrollo cognitivo en los niños: Desarrollo y Aprendizaje. (Conferencia) Centro de
Epistemología Genética, Ginebra, Suiza. Copyright (1964) por la Asociación Nacional para la
investigación de la Enseñanza de Ciencias.
Raths, L. (1971), Cómo enseñar a pensar. Teoría y Aplicación. Centro Regional de Ayuda Técnica (AID),
México, Buenos Aires.
31

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
UN ESTUDIO DE REPRODUCIBILIDAD DE SITUACIONES DIDÁCTICAS: UN
ENFOQUE SISTÉMICO
Javier Lezama Andalón
CICATA-IPN, México
jlezama@ipn.mx
Resumen
En este trabajo, presentamos los resultados del desarrollo de una investigación sobre un fenómeno didáctico
denominado reproducibilidad. La relevancia de este trabajo para la didáctica de las matemáticas, está en que
aborda de manera sistémica una práctica que es desarrollada por la mayoría de los profesores en su actividad
escolar, “repetir clases”. La didáctica se ha ocupado del estudio de algunos fenómenos asociados con el
repetir clases, más el que nosotros abordamos en esta investigación, es el caso en que esas actividades de aula,
responden a un trabajo de ingeniería didáctica. Lo que nos propusimos repetir fue una ingeniería didáctica
estructurada sobre un saber matemático específico, como es el caso del concepto de función exponencial y
que además contaba con predicciones sobre el aprendizaje de los estudiantes. La situación didáctica diseñada
después del análisis de aspectos epistemológicos, cognitivos y didácticos, fue llevada al aula con el fin de que
unos estudiantes específicos se apropiaran del conocimiento matemático puesto en juego por la situación, pero
a pesar de la consideración de los elementos antes mencionados, nada aseguraba que dicho instrumento de
aprendizaje fuera universal, es decir que produjera aprendizajes de manera uniforme en cualquier población
de estudiantes que se seleccionara. Existen múltiples factores que reducen o modifican la efectividad de la
ingeniería al poner en funcionamiento la ingeniería en diversos escenarios escolares. Estos factores, creemos,
son elementos constitutivos del fenómeno de la reproducibilidad. Nos interesaba conocer cuáles de éstos, al
ser identificados, podrían permitirnos lograr efectos didácticos estables, a pesar de cambios significativos en
el escenario de aplicación de la ingeniería, tales como la intervención de otros profesores, trabajar la situación
con otros alumnos, otras modalidades de aplicación de la ingeniería, en fin, un cuerpo muy amplio de
condicionamientos y que constituyen precisamente el objeto de estudio de este trabajo.
A lo largo este y otros escritos precisamos lo que hemos estudiado (Lezama,1999, 2000, 2001, 2002), cómo lo
hicimos y cómo obtuvimos la información pertinente para responder a nuestros cuestionamientos. Toda
construcción didáctica nos obliga a hacer consideraciones sobre el carácter efímero o duradero de las mismas,
sobre la factibilidad de ser implementada en la escuela periódicamente. Es relevante señalar, que las distintas
investigaciones que se han elaborado a partir de 1984 con relación al fenómeno de la reproducibilidad, han
ido incorporando aspectos nuevos al estudio del fenómeno, pero todas se han caracterizado por una fuerte
atención al papel del profesor (Arsac, Balacheff y Mante, 1992), (Artigue, 1984), (Grenier, 1989),
(Margolinas, Perrin-Glorian, 1997). Es en este contexto donde nosotros hicimos el planteamiento de nuestra
investigación: ¿qué tipo de fenómenos podemos esperar aparezcan cuando se repite una situación didáctica
diseñada con un propósito específico, aplicada por diferentes profesores o un mismo profesor en diferentes
escenarios y con la intención de lograr la reproducibilidad de la misma? ¿Cuáles de estos fenómenos apuntan
a lograr la reproducibilidad y cuáles no? ¿Cuáles eran predecibles y cuáles no?
Los elementos del sistema
Con relación al propósito didáctico de la ingeniería, éste se mantiene aunque el profesor
cambie, no constituye un elemento subjetivo, sin embargo la manera como el profesor
interprete dicho propósito sí afectará el desempeño de los estudiantes como lo mostró la
experiencia, ya que se produjeron formas de interacción maestro-alumno-saber especiales
configurando así un determinado contrato didáctico. El problema (como sinónimo de
situación) fue planteado con un propósito didáctico específico, pero cuando interviene el
profesor, afirmamos que aparece un elemento que denominaremos “intencionalidad del
profesor” y como el contrato didáctico se erige por la interacción del profesor con el diseño,
la naturaleza del saber en juego y la adopción del problema por parte del alumno, podemos
esperar que uno de los factores que con mayor fuerza afectan al sistema es la actividad del
(sea sustituido o no) profesor.
32

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
El propósito didáctico de la ingeniería deberá ser objetivo y comunicable, pero como nos lo
ha permitido ver nuestro trabajo, la adopción del propósito didáctico por el nuevo profesor,
si bien exige un trabajo de comunicación prolongado, dicho trabajo no es garantía de que el
propósito didáctico opere automáticamente cuando la situación se pone en escena en un
sistema didáctico determinado.
La estructura de la situación didáctica como factor de reproducibilidad
La situación didáctica “Un estudio de la función 2 x ” fue producto de un trabajo de
ingeniería didáctica, fue debidamente validada y fue hasta entonces que se decidió probarla
en distintos escenarios. Como sabemos la situación didáctica podemos ubicarla dentro del
sistema didáctico en el polo del saber, pero no se puede considerar independientemente de
los otros dos polos, sin embargo como se discutirá más adelante la consideración sobre la
estabilidad de su estructura y propósitos didácticos resultaron fundamentales en nuestro
afán de reproducibilidad. Propósitos, antecedentes, eje conceptual y secuencia de
situaciones problema, permanecieron inalterados en todas las puestas en escena, excepto en
el aspecto operativo donde se colocó la primera etapa de la situación para trabajarse
independientemente en cada grupo de estudiantes. En el proceso de comunicación del
escenario y especialmente cuando se abrió la posibilidad de que los profesores propusieran
cambios a la situación, las únicas modificaciones sugeridas fueron orientadas a la redacción
de algunas actividades que a decir de los profesores resultarían más comprensibles a los
alumnos (Lezama, 2003).
Los estudiantes ante la reproducibilidad
Se hizo el mayor esfuerzo posible por trabajar con los grupos en condiciones lo más
parecidas posibles a una clase común y corriente. Uno de los factores en que más cuidado
se puso fue al control de tiempo. Sin embargo en todos los casos los estudiantes se tomaron
amplios espacios de tiempo para discutir algunas partes de la situación. El contenido
matemático de la situación constituyó una fuente de interés para algunos equipos y
desalentadora para otros. Un elemento importante a destacar fue el hecho de que los
equipos se sintieron con libertad para expresarse y trabajar.
El profesor como agente de reproducibilidad
El profesor tiene una visión privilegiada en el sistema didáctico, conocimiento y dominio
del contenido matemático de la situación, conoce las características de sus estudiantes, él
adopta los propósitos didácticos de la ingeniería y tiene la posibilidad de hacer
adaptaciones para sus estudiantes a partir de las características de ellos. En el proceso de
reproducción de la ingeniería, el polo que mayor atención exigió fue el del profesor ya que
como se planteó en la estrategia de la investigación, la ingeniería se llevó a un sistema
didáctico distinto para el cual se había diseñado, este hecho constituye una intervención en
dicho sistema. Iniciar el proceso de adaptación del diseño para las nuevas condiciones exige
una amplia colaboración entre el profesor del grupo y los agentes que colaborarán en dicha
puesta en escena.
Los profesores y las interacciones con los estudiantes
La actividad de los estudiantes, al interior de sus respectivos equipos de trabajo, requirió de
diversas intervenciones por parte del profesor y que fueron de naturaleza muy diversa. En
33

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
el análisis de las interacciones, catalogamos las intervenciones del profesor como
preguntas, observaciones, indicaciones y acciones. Para el nivel de familiarización que
tenían los profesores con la situación, se esperaban intervenciones de éstos, bien dirigidas y
que redujeran al mínimo la incertidumbre en los estudiantes. Sorprendentemente hubo de
calificarse como ambiguas muchas de las intervenciones del profesor. En varios equipos
fue este tipo de interacción la que determinó el trabajo del equipo. Lo que caracterizaba a la
interacción ambigua era, uso de lenguaje inapropiado para los estudiantes, respuestas ajenas
a lo que el estudiante preguntaba o observaciones por parte del profesor muy ajenas a lo
que en ese momento el estudiante estaba trabajando. La explicación a la intervención
ambigua es difícil de dar, o bien el profesor no entiende la pregunta del estudiante, o no
está atento a lo que en ese momento el estudiante hace, o también el profesor no tiene claro
el sentido de la actividad y sus observaciones o respuestas resultan impertinentes. En
algunos casos los profesores, ante la enorme dificultad que mostraban los estudiantes para
interpretar los exponentes fraccionarios y la imposibilidad de reconstruir por ellos mismos
los algoritmos geométricos, se abocaron a tratar de que los estudiantes recuperaran dichos
algoritmos perdiendo así la oportunidad de atender en ese momento las exploraciones de
los estudiantes y sus respectivas respuestas. La aparición del fenómeno de la interacción
ambigua, es de gran importancia, ya que las dos categorías básicas de intervención
discutidas y planeadas ampliamente en el proceso de comunicación del escenario son el
desbloqueo y centración. Las interacciones ambiguas en forma paradójica fueron fuente de
bloqueos y desviaciones. Incurrir en lo que hemos denominado como interacciones
ambiguas muestra la complejidad de los fenómenos que se producen en el aula. Responder,
indicar, hacer observaciones y realizar acciones en el marco de un plan de acciones para
apoyar el proceso de aprendizaje de los estudiantes, son actividades propias del profesor
quien tiene la visión privilegiada del sistema didáctico como decíamos más arriba pero que
en determinadas circunstancias de presión o de enorme dificultad, puede hacerlas jugar en
contra de sus propósitos didácticos.
Elementos para la modelación del fenómeno de la reproducibilidad
En el contexto de lo que llamamos el “proceso de reproducibilidad de una Ingeniería
Didáctica”, hemos identificamos elementos que consideramos imprescindibles en dicho
proceso. Profesor, estudiantes y un contenido a estudiar conforman un sistema muy
dinámico y éste se pone en acción bajo acuerdos motivados por propuestas de estudio que
en la mayoría de los casos son propiciadas por el profesor. Introducir una propuesta de
estudio formal a un sistema, exige para el profesor que operará la propuesta, un alto nivel
de familiaridad con ella y estar convencido de los beneficios que le acarreará a sus
estudiantes. Con base a los ejercicios de reproducción efectuados, identificamos tres
grandes espacios de acción a considerar para hacer un análisis de reproducibilidad:
Estructura de la Ingeniería Didáctica (Estructura)
Un espacio para el saber, constituido por la Ingeniería didáctica a trabajar: Dicha ingeniería
es el resultado de un análisis preliminar riguroso y su correspondiente validación. Para
comunicarla a un profesor candidato a llevarla a sus estudiantes, consideramos deberán:
Explicitarse de manera amplia el Propósito didáctico. Establecerse de manera clara los
antecedentes matemáticos indispensables para abordarla. Mostrarse los ejes conceptual y
operativo, establecido a través de una sucesión de elementos matemáticos a considerar,
34

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
diversas acciones, validaciones y formulaciones a realizar. Estructura y sucesión de
situaciones problema a resolver.
Comunicación del escenario (Comunicación)
Un espacio para la comunicación de la ingeniería (lo que se ha denominado Comunicación
del Escenario): Discutir el propósito de la situación didáctica: Orientada a apropiarse del
sentido de la actividad, analizar el por qué y para qué de todas sus partes. Establecimiento
de un proceso de apropiación de la ingeniería, orientado a lograr que los profesores puedan
considerarse como diseñadores (apropiación del diseño) de la situación. Resolver todas las
situaciones problemas, discutiendo aspectos conceptuales y operativos de la situación.
Adaptación al nuevo Sistema Didáctico (Adaptación)
Un espacio para la planeación de la puesta en escena: Identificar los antecedentes
matemáticos requeridos por los estudiantes para trabajar la situación así como las posibles
dificultades que podría enfrentar desde la perspectiva matemática. Proceso de adaptación
de la situación didáctica al grupo de estudiantes a través de una toma de acuerdos entre
diseñador y profesores. Rediseño de la situación didáctica ajustada al nuevo grupo de
estudiantes (establecer los límites de modificación de la situación didáctica).
Establecimiento de una estrategia de interacción entre profesor y alumnos. Organización
social de la clase, donde se establece la modalidad de trabajo en la que los estudiantes
afrontarán la situación. Elaborar las predicciones sobre lo que harán los estudiantes.
Lograr la reproducibilidad de una situación didáctica consiste en lograr que las historias de
clase descritas por los estudiantes se encuentren lo más próximas posibles a la historia
principal que es establecida desde el diseño. Las órbitas descritas por cada uno de los
equipos pueden ser variadas pero deben de estabilizarse cuando se discuten los obstáculos
alrededor de los cuales se ha diseñado la situación (Lezama, 2003). ¿La estructura de la
situación es tal que orilla a los estudiantes a transitar casi de manera única por cada una de
sus partes y provoca una comprensión uniforme en todos los estudiantes que la trabajan?
Idealmente esa es la pretensión de un diseño científicamente planeado. Si bien un diseño
apunta a reducir al mínimo las posibles alteraciones, sabemos que estas son inevitables, lo
normal entonces es el surgimiento de múltiples alteraciones y estas son provocadas cuando
los estudiantes entran a interpretar los problemas que se les plantean, por su bagaje
matemático, por el dominio conceptual de los asuntos matemáticos que se tratan, por la
heterogeneidad de los estudiantes. Estos elementos no pueden ser uniformes y por lo tanto
introducen en escena elementos que producen inestabilidad en el efecto didáctico. Es el
profesor quien, desde su nivel de apropiación de la situación y estrategias de interacción
con los estudiantes, puede ayudar a reducir los factores desestabilizadores. Pero nuestra
investigación nos ha mostrado que contra lo esperado, el profesor puede introducir nuevos e
inesperados elementos inestabilizadores. La historia particular desarrollada por cada uno
de los estudiantes o grupo de estudiantes, para poder asegurar que el efecto didáctico se ha
reproducido deberá de tener el mayor parecido a la historia principal o ideal. La cercanía o
lejanía de la historia principal estará determinada por los elementos estabilizadores o
desestabilizadores que se ponen en acción, como se muestra en la figura:
35

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Zona de Elementos
In
Desestabilizadores
e
terpretaciones
rróneas
Compromiso débil
de los Estudiantes
Independencia
En el trabajo
Zona de Elementos
Estabilizadores
Dependencia del
Profesor
Historia de Clase Particular
Indicaciones,
Observaciones,
Respuestas,
Pertinentes
Diseño adecuado
De la situación
Indicaciones,
Observaciones,
Respuestas,
Ambiguas
Intervenciones
deliberadas
Antecedentes matemáticos
Débiles
Historia de Clase Principal
La reproducibilidad está determinada por la distancia o parecido de las historias particulares
a la historia principal, pero bajo el supuesto de que es imposible historias de clase idénticas.
El proceso de reproducción de una situación didáctica se inicia con la actividad del profesor
que operará la reproducción dirigida a trabajar la situación didáctica como un problema
personal en el que él resolverá para sí, en lo que podríamos denominar un proceso
personalizador, él identificará las partes problemáticas de ésta a partir de su experiencia y
formación, para luego pasar a un proceso de despersonalización cuando mire a la situación
como una actividad para otro (sus estudiantes) identificando los elementos problemáticos
para ellos a partir del conocimiento que tiene de ellos. Este espacio de intervención del
profesor sobre la situación didáctica permitirá por fin intervenir en el sistema didáctico que
había señalado anteriormente como ajeno. El trabajo de reproducción consistirá en generar
estrategias que reduzcan en lo más posible los elementos desestabilizadores, pero éstos
aparecerán inevitablemente, queda a los operadores de la reproducción estar atentos al
surgimiento de las situaciones inesperadas, pero atenderlas también está sujeto a acciones
inesperadas del profesor cayendo así en un círculo que se podría calificar de vicioso, pero
que es característico de la actividad humana.
Conclusiones
Partir de la experiencia de repetir una situación didáctica en condiciones de control, nos ha
hecho identificar algunos fenómenos que emergen cuando se repite una situación didáctica
en distintos escenarios. El fenómeno de la reproducibilidad, como fenómeno que nos
permite analizar la repetición del efecto didáctico se presenta como frágil ya que la
repetición del efecto didáctico está determinado por múltiples factores, siendo los más
complejos e incontrolables los humanos. La reproducibilidad como hemos señalado
consiste en una intervención en un sistema didáctico, en la tríada didáctica el polo del saber
es el que permanece estable, siendo el de los estudiantes y profesores los más difíciles de
controlar. La actividad de reproducir situaciones didácticas está asociada a la transposición
didáctica, ya que el proceso de adaptar una situación didáctica a un grupo específico de
estudiantes, está sujeto a un proceso de negociaciones entre el diseñador y los actores del
nuevo sistema didáctico a fin de efectuar la reelaboración de la situación. La negociación y
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
la posterior intervención del diseño original para obtener el rediseño, son actividades
características que se efectúan en lo que se denomina el sistema operativo de la
transposición didáctica y que Chevallard (1991) denomina noosfera. Se podría afirmar que
reproducir una situación didáctica es una transposición a un sistema didáctico específico.
La reproducibilidad de una situación didáctica entendida como la cercanía de las historias
de clases particulares con la historia de clase principal puede ser establecida de manera
objetiva dadas las características estructurales de una situación didáctica ya que están
determinadas objetivamente las acciones, formulaciones y validaciones a realizarse, así
como la respectiva institucionalización del profesor. Los elementos estabilizadores y
desestabilizadores pueden ser controlados en cierto modo a partir del trabajo realizado en el
proceso de comunicación del escenario y adaptación. El profesor juega un papel
determinante en el proceso de reproducción de situaciones didácticas, ya que es el polo del
sistema didáctico que requiere ser más activo y flexible, ya que vive la situación didáctica,
la discute, analiza y critica y posteriormente la rediseña. La visión sobre la situación debe
ser amplia y profunda ya que deberá reformularla para sus estudiantes y posteriormente
acompañarlos cuando éstos la trabajen. Tal actividad exige en el profesor habilidades que
van más allá del dominio disciplinar. Además son tantos los aspectos que el profesor deberá
cubrir que es muy fácil que en alguno de ellos falle. En estas múltiples actividades podemos
observar cómo se ponen en acción las concepciones del profesor sobre su actividad como
profesor, así como las concepciones que tiene de los alumnos, por las decisiones que toma
para llevar a los estudiantes la situación didáctica.
Reviste primordial importancia el espacio de las interacciones entre profesores y alumnos,
ya que especialmente en ellas surgen los elementos desestabilizadores que impedirán el
cumplimiento del propósito didáctico establecido. Se pudo observar el fenómeno que
hemos denominado de umbral de conocimiento, y que es resultado de la carencia de los
antecedentes matemáticos indispensables para afrontar la situación. Las respuestas
erróneas podrían ser calificadas de arbitrarias o resultado de un salir al paso ante preguntas
a las que se desconocen sus respuestas. Los estudiantes formularon respuestas provisionales
y que no estaban en posibilidad de validar o darse cuenta del error, creemos por razones de
tiempo. Las respuestas dadas por los estudiantes eran auténticas formulaciones pero esto
sólo lo permitió ver un largo análisis de lo hecho y dicho por los estudiantes. En
condiciones normales de clase sus respuestas hubieran sido calificadas de arbitrarias y
erróneas. El concepto de potencia entera positiva es estable en la mayoría de los
estudiantes pero en todos los casos mostraron que elevar a potencias fraccionarias carece de
significado para la casi totalidad de los estudiantes. La mayoría los estudiantes asocia la
función exponencial con crecimiento, pero son incapaces de reconocer la modalidad de
crecimiento pues la mayoría representó dicho crecimiento con líneas de pendiente positiva.
Bibliografía
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VII. Sin publicar.
37

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Artigue, M. (1986). Ètude de la dynamique d’une situation de classe: une approche de la reproductibilité.
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Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Colección: Psicología
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Lezama, J. (1999). Un estudio de reproducibilidad: El caso de la función exponencial. Tesis de maestría, no
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(Editorial). Recherches en didactique des mathématiques, Vol. 17, No. 3, pp. 7-16.
38

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD Y SUS OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS
Cecilia Crespo Crespo
Instituto Superior del Profesorado "Dr. Joaquín V. González". - Universidad de Buenos Aires
ccrespo@sinectis.com.ar
Resumen
El concepto de continuidad está íntimamente ligado a los de infinito y límite. En este trabajo se presenta
primeramente un breve recorrido por las ideas que influyeron históricamente en la construcción matemática
del concepto de continuidad a lo largo de la historia del pensamiento humano y se analizan las concepciones
que sobre este concepto tienen los alumnos a las distintas edades, con la finalidad de clarificar ideas y buscar
nuevas estrategias didácticas para abordar el tema del continuo.
Introducción
Existe una íntima relación entre los conceptos de infinito y de límite. Estas ideas son
fundamentales para la comprensión de nociones como límite en los últimos años del nivel
medio (nivel polimodal) y también en los primeros cursos del nivel superior, sin embargo
algunos conceptos relacionados con la continuidad son abordados años antes. Su abordaje y
comprensión debe ser gradual para asegurar su correcta asimilación.
Las dificultades que para los alumnos presenta el aprendizaje de los primeros conceptos de
análisis matemático, incluso en cursos iniciales de nivel universitario son debidas en
muchas oportunidades a la no asimilación de la idea de continuidad de la recta numérica.
El análisis histórico permite una visión clara acerca de las dificultades que aparecen en el
aprendizaje desde su adquisición intuitiva hasta la construcción del concepto matemático de
continuidad. Surgen, sin duda, numerosos obstáculos epistemológicos relacionados con este
concepto. Entre ellos, podemos mencionar, la diferenciación entre discretitud y
continuidad, la confluencia de lo infinito con lo indivisible y la diferenciación y aceptación
de los infinitos actual y potencial.
Continuidad y densidad de la recta: dos conceptos que no deben confundirse
Es usual encontrar que muchos alumnos confunden densidad y continuidad de la recta. Para
más de la mitad de los alumnos, la continuidad de la recta se traduce en la condición de que
"dado un punto, siempre es posible encontrar otro tan cercano a él como se desee" o
“dados dos puntos de la recta, siempre es posible encontrar otro entre ellos”. Este es el
concepto de densidad, no de continuidad. Es muy usual que continuidad y densidad sean
confundidos y tomados como sinónimos, lo cual es completamente erróneo. Para mostrarles
su error, basta con hacer referencia a la densidad de los números racionales y a la no
continuidad de este conjunto numérico.
Si bien desde edades tempranas, se hace referencia a la continuidad de la recta, en muy
escasas oportunidades los alumnos son capaces de relacionar el concepto de continuidad
con la no existencia de interrupciones. Este es el concepto intuitivo de continuidad sobre el
que deberíamos hacer más hincapié en la enseñanza, cada vez que nos sea posible. Esta
idea debe ser trabajada explícitamente por el docente para evitar que la continuidad sea
unida por los alumnos simplemente a la condición de infinitud, pero no está correctamente
interpretada.
39

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La construcción del continuo numérico a través de la historia
Es posible leer en algunas publicaciones de matemática educativa de diversos orígenes, la
afirmación acerca de que la continuidad es una noción intuitiva y por lo tanto, evidente. Un
breve vistazo a la manera en que se construyó históricamente esta noción, nos permitirá
formar una opinión propia al respecto. La historia es, muchas veces, un instrumento útil
para la comprensión de los problemas que se presentan en educación. Los conceptos
sencillos e intuitivos, sin lugar a dudas surgieron rápidamente en la historia de la
humanidad. Cuando una idea tarda siglos en ser comprendida cabalmente por los
científicos, seguramente resultará necesario un abordaje cuidadoso en la enseñanza.
Según los documentos que han llegado a nuestra época, provenientes de distintas culturas
(tablillas babilónicas, papiros egipcios, estelas mayas, etc.), la mayoría de las civilizaciones
antiguas poseían sistemas de numeración; conocían los números naturales y en muchos
casos también los números racionales como partes de la unidad. Para todos estos pueblos,
los números tenían un claro significado geométrico. Estaban asociados al proceso de medir
y la medida se asociaba con magnitudes geométricas.
En la matemática griega, estas ideas también se ven reflejadas. El pensamiento griego se
orientó a dar forma a la matemática desde el pensamiento lógico deductivo y a lograr la
matematización de los fenómenos naturales, sobre la base de su estructura racional.
Para los griegos, toda la naturaleza era explicable en términos de números. Pero los únicos
números que existían eran los naturales y los racionales, pensados estos últimos como razón
de dos naturales. Es conocida la crisis en la matemática que ocasionó el descubrimiento de
2 y de su naturaleza no racional. La aparición de estos números irracionales, puede
decirse, que "obligó a los matemáticos a crear el concepto de continuidad" (Bell, 1996) y
puso en problemas la concepción pitagórica del mundo.
En el siglo IX, el filósofo árabe al-Farabi generalizó el concepto de número a los racionales
y a los irracionales positivos. Los árabes se focalizaron en este aspecto en la medición de
las magnitudes, pero no era posible realizar la generalización que deseaban a partir de las
operaciones, como en los restantes conjuntos numéricos. La naturaleza de la continuidad es
fundamentalmente diferente. En Occidente, recién en el Renacimiento y por influencias
árabes, se aceptó que los irracionales eran números. La noción de continuidad sigue a partir
de este momento, íntimamente ligada a ideas físicas y geométricas.
Cuando Isaac Newton (1642-1727) matematizó algunos fenómenos físicos mediante las
leyes que los rigen, debió suponer que tanto el tiempo, como el espacio son continuos:
40
...“Considero el tiempo como fluyendo o incrementando con un flujo continuo y otras
magnitudes como incrementando continuamente en el tiempo”... (Rigo Limini, 1994)
Sólo a finales del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y dar definiciones
satisfactorias para los números reales. Durante la segunda mitad de este siglo, los números
reales fueron caracterizados como un campo ordenado completo arquimediano. Esto fue
posible gracias a los trabajos de Cantor, Dedekind y Weierstrass en relación con la
fundamentación del número real. Con estas definiciones, la recta numérica real se
“completó”, se rellenaron los “huecos” existentes entre los números racionales. La recta
real logró finalmente legitimar formalmente su continuidad. Esta definición permitió
establecer con claridad la equivalencia entre la continuidad numérica y la continuidad
geométrica de la recta.

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
La continuidad geométrica a través de la historia
Hasta fines del siglo XIX, en geometría, la continuidad del espacio se dio por sentada, era
un concepto que no se ponía en discusión, que no se planteó como la posibilidad de que
pudiera traer consigo un problema. Es conocida la demostración dada por Euclides (Siglo
III a.C.) en sus Elementos para su Proposición 1.1. Esta proposición afirma la existencia de
triángulos equiláteros. Para demostrar su existencia, es necesario algún postulado de
continuidad. Euclides lo aceptó tácitamente en su obra; se tardaría veintidós siglos en
enunciarlo explícitamente, quizá porque la atención de quienes se dedicaron a la geometría,
se centró hacia el cuestionamiento del quinto postulado.
David Hilbert (1862-1943), en Fundamentos de la Geometría, introdujo un grupo de
axiomas de continuidad. La genialidad de Hilbert, con respecto a este tema, consistió en
darse cuenta de que la continuidad debía ser explícitamente enunciada a través de un gupo
de axiomas para que pudiera usarse en la geometría. En la primera versión de Hilbert,
aparece un sólo axioma en el grupo de continuidad: el de Arquimedianedad o de medición:
Posteriormente, Hilbert reconoció la necesidad de añadir otro axioma en este grupo: el
axioma de plenitud o de integridad: Con estos enunciados previos, no cabe duda de la
corrección de las demostraciones geométricas como la de Euclides.
Otros matemáticos posteriormente propusieron axiomáticas equivalentes, en las cuales ya
no faltó la idea de continuidad.
Existen sistemas geométricos que no satisfacen la continuidad, al postular la continuidad se
establece una equivalencia entre el continuo aritmético y el geométrico y es posible
establecer una biyección entre los números reales y los puntos de la recta.
Pero, al llegar a este punto de nuestro análisis, cabe entonces preguntarse: ¿Por qué
transcurrieron tantos siglos antes de que esta idea surgiera? Quizá esto se relacione con la
aparición de paradojas en relación con los conceptos de infinito y continuidad. El concepto
de continuidad no sea realmente tan intuitivo como puede parecer a simple vista y merece
un cuidadoso tratamiento.
La continuidad, el infinito y las paradojas
La paradoja de Zenón fue enunciada hace veinticinco siglos por Zenón de Elea, un
discípulo de Parménides hacia el 450 a.C. Aparentemente, una de sus intenciones era
probar la inconsistencia de las ideas pitagóricas respecto del número. Se ocupó de tres
problemas: lo infinitesimal, lo infinito y la continuidad, los tres tratados a partir del
movimiento y las contradicciones a que su análisis conducía.
La principal objeción de Aristóteles a Zenón, consistió en la distinción entre infinito por
suma e infinito por división. Si se considera una unidad de longitud y se la suma infinitas
veces, se obtiene una distancia ilimitada no recorrible en un tiempo finito. Pero si se
prefigura lo ilimitado conforme a un procedimiento "en cierto modo opuesto", como el
llevado a cabo por Zenón, dividiendo la unida de longitud en infinitos intervalos, entonces
la infinitud puede considerarse agotable en un intervalo limitado de tiempo. Para Zenón, el
absurdo se basa en una doble contradicción: la existencia de algo infinitamente pequeño
que conduce a algo infinitamente grande, o sea la presencia de algo finito e infinito a la vez.
La concepción griega del espacio y del tiempo
El espacio físico, percibido inicialmente por los sentidos y sometido posteriormente a un
proceso de idealización, tuvo para los griegos un papel fundamental para el análisis del
41

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
espacio geométrico. La concepción griega del espacio estuvo basada en experiencias
sensoriales elementales, como por ejemplo en la noción de distancia entre cuerpos. Esta se
comprende al poner entre los dos cuerpos un tercer cuerpo que está en contacto con ellos y
que se mide. La idealización de la distancia entre cuerpos conduce al concepto de longitud.
De manera similar, la percepción de partículas materiales pequeñas conduce a la noción de
punto y la de hilos muy delgados a la de recta. La intuición de que la distancia entre dos
cuerpos puede ser fraccionada indefinidamente se conecta con la idea de que la recta, que
tiene longitud está formada por puntos que no la tienen.
Pensar en la noción de continuidad temporal no es menos complicado. El concepto de
tiempo se basa en las relaciones de "antes" y "después". Sin embargo el continuo temporal
no tiene en la matemática tanta fuerza como el continuo geométrico. Aristóteles abordó el
tema de la continuidad en su Física, considerándola como una propiedad esencial del
movimiento, el tiempo y las magnitudes. Para él, el concepto de continuidad está
caracterizado por una especie de "contigüidad" que conecta elementos que se mantienen
unidos, en contacto. Según la concepción aristotélica, un segmento rectilíneo es un
continuo en el que las partes y los puntos tienen existencia sólo en potencia. Sólo los
extremos del segmento tienen existencia en acto. Esta visión de la continuidad, da la
posibilidad de eludir el problema de que todo punto de una recta, aunque tenga sucesores,
no tiene un sucesor inmediato. Esta concepción aristotélica es adecuada para el estudio de
la recta racional, pero no de la recta real.
El continuo geométrico, tal como lo consideramos en la actualidad, tiene una característica
fundamental que lo diferencia del continuo aristotélico: sus elementos, los puntos de la
recta, tienen existencia actual, mientras que para Aristóteles, su existencia era potencial, o
sea que no todos los elementos del conjunto son considerados como que existen
simultáneamente. La visión griega del infinito corresponde a la idea de que el matemático
no opera simultáneamente con todos sus elementos, sino que puede llegar a construirlos
cuando los necesite. Esta concepción se mantuvo durante siglos, alimentada por una
inmensa cantidad de paradojas y dificultades que recién fue solucionada con la teoría de
Cantor basada en algunos precursores como Galileo y Bolzano.
La visión de los alumnos
Para reflexionar acerca de las causas por las que los alumnos tienen dificultades en la
comprensión de los conceptos de continuidad y límite, es interesante analizar qué
respuestas dan a preguntas relacionadas con la continuidad. Presentamos a continuación
algunas experiencias llevadas a cabo por medio de encuestas y preguntas. El planteo de
algunas de estas cuestiones en el aula permite conocer los preconceptos e ideas que
manejan sobre el infinito, la continuidad y sus consecuencias en las distintas edades.
He aquí algunas de las situaciones problemáticas que hemos planteado, basándonos en otras
investigaciones llevadas a cabo (Núñez Errázuriz, 1997), (Romero, 1996).
42
1. Una hormiga quiere recorrer un lado de la mesa. Primero debe avanzar la mitad del
trayecto, enseguida debe continuar con la mitad de lo que le queda, luego con la mitad de lo
que le queda y así sucesivamente. ¿Llegará alguna vez al otro lado de la mesa?
2. Imagina que dispones de un microscopio de gran potencia, que te permite aumentar los
objetos tanto como quieras. Enfocas un trozo de recta. Describe lo que ves y qué ocurre a
medida que aumentas la potencia del microscopio.

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
Para obtener de los alumnos las respuestas a estas preguntas, indagando en los errores
conceptuales que pudieran tener, es importante permitir el uso de diversos materiales:
calculadoras, lápices, reglas, etc., y observar cómo aplican cada uno de ellos para llegar a
sus conclusiones, a cuáles recurren según las edades, y en cada caso, cuáles son los pasos
que conducen el proceso de pensamiento.
Es evidente la analogía entre la primera situación problemática y la paradoja de Zenón.
Por lo tanto, las respuestas que pueden obtenerse son de tres tipos: algunos responden que
la hormiga llega a destino, otros que no aunque en realidad se aproxima mucho a éste y
finalmente una tercera postura es una sucesión de argumentos dubitativos que oscilan en la
defensa de respuestas diferentes y a menudo contradictorias. Las posturas asumidas en este
caso varían notoriamente según las edades.
• Los niños pequeños (de primer ciclo de EGB), en su gran mayoría considera que se
trata de una pregunta trivial: la hormiga obviamente llega a recorrer la mesa, solo en
casos aislados titubean, pero finalmente responden que llega a su meta.
• En el segundo ciclo, las respuestas son más dubitativas, oscilando entre los
argumentos, con respuestas tales como: “va avanzando la mitad, luego la mitad de la
mitad, pero llega a faltarle una mitad muy chiquita, tan chiquita que con un paso más
llega”. A estas edades es aún difícil que acepten las iteraciones infinitas, son pocos los
casos que afirman que no alcanza la meta.
• Ya en el tercer ciclo de EGB, aunque la mayoría afirman que se llega al otro
extremo de la mesa, a pesar de que tome mucho tiempo, gran cantidad titubea al realizar
el análisis, llegando incluso en algunos casos a reconocer que la dificultas del problema
se basa en el concepto de infinito a través de intervalos infinitamente pequeños. A pesar
de estos razonamientos, no se llega a niveles de abstracción.
• Recién se detecta claramente la presencia de una paradoja en algunos de los jóvenes
de entre 16 y 18 años (nivel polimodal). Sin embargo no se presentó en ningún caso el
concepto matemáticamente correcto de que la serie considerada converge a L.
La segunda situación problemática consiste en cierto modo en la descripción de la recta, el
interés principal consiste en analizar la evolución de lo observado a medida que aumenta el
aumento del microscopio. En este caso, a medida que aumenta el nivel de abstracción y de
comprensión conceptual del concepto de recta, se detecta la invariabilidad de la respuesta
obtenida. Sin embargo, son pocos los casos en que se pone de manifiesto que la recta no
tiene espesor.
• Las respuestas obtenidas, aún en jóvenes de 16 a 18 años, permiten reconocer dos
visiones de la recta. La mayoría perciben la recta como una cinta delgada, a través de
respuestas como: “cada vez vemos una parte menor, pero más ancha”, incluso llegan a
dibujar lo que afirman que se vería de la siguiente manera:
Menor aumento Mayor aumento
• Esta es también la posición de la mayoría de los niños de los primeros ciclos de
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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EGB. Se trata de una visión unida al mundo físico, a la visión de objetos a través del
microscopio, sin la abstracción suficiente como para pensar en la estructura molecular.
• Otra de las respuestas comunes, aunque no tanto como la anterior, es considerar a la
recta como una sucesión de puntos, muchas veces percibidos como esferas de
dimensiones pequeñas. Aparecen algunas de las respuestas como: “veo muchos puntos
muy juntitos, que parecen unidos, a medida que aumenta la potencia del microscopio,
veo más puntos entre punto y punto”. Quienes optan por esta posición, reconocen el
orden entre los números (puntos) y aparece bajo esta óptica la densidad de la recta, pero
no la continuidad.
Algunas reflexiones finales
Hemos presentado distintas visiones del concepto de continuidad que tienen los alumnos en
las diversas etapas de la escuela. Las respuestas obtenidas deben ser retomadas en clase
para orientar a los alumnos hacia la construcción el concepto de continuidad. Sin lugar a
dudas, el modelo de recta que van forjando tiene gran influencia en la comprensión de
conceptos del análisis matemático. La geometría es una gran aliada a través del proceso de
visualización, para llegar a la internalización de la noción de continuidad. Una percepción
incorrecta de la propiedad de completitud de los números reales, unida tan sólidamente a la
continuidad de la recta, pueden dificultar la comprensión de nociones posteriores. Por ello
es de gran importancia hacer hincapié en la enseñanza de estos conceptos.
No se debe confiar en que comprenderán intuitivamente la continuidad de la recta por sí
solos. Este concepto debe ser abordado explícitamente en la escuela, para estar seguros de
su real comprensión. Cuando un concepto matemático ha tardado tantos siglos en hacerse
evidente, esto demuestra que su comprensión no es sencilla y por lo tanto, su enseñanza no
puede tomarse a la ligera.
Las situaciones problemáticas presentadas permiten conocer tanto los preconceptos que los
alumnos poseen, como la manera en que su visión de la continuidad evoluciona. Trabajar
en clase sobre estas preguntas u otras similares, puede ser de gran utilidad para clarificar
ideas y buscar nuevas estrategias didácticas para abordar el tema del continuo, allanando de
esta manera el aprendizaje de otras ideas posteriormente.
El enfoque histórico de la evolución del concepto de continuidad, contribuye a la
interpretación y conocimiento de las dificultades existentes en su comprensión y de esta
manera a la búsqueda de nuevas estrategias para abordar su aprendizaje.
Bibliografía
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
LA COVARIACIÓN COMO ELEMENTO DE RESIGNIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN
LOGARITMO
Marcela Ferrari Escolá
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
mferrari@mail.cinvestav.mx , mferrari@uaeh.reduaeh.mx
Resumen
En este artículo se discute la noción de covariación como argumento para el enriquecimiento del significado
escolar de la función logaritmo. Esta afirmación haya sustento en la hipótesis epistemológica presentada en
Ferrari (2003) respecto a que, el diseño de situaciones de aprendizaje que involucren la covariación de las
progresiones aritmética y geométrica podría generar una apropiación más robusta de la noción logaritmo. Se
presenta entonces una breve reflexión sobre un ejemplo que se está desarrollando en torno de la función
logaritmo enmarcado en la aproximación socioepistemológica.
A partir de nuestra revisión de artículos y reportes de investigación, que involucran a la
función logaritmo, nos atrevemos a decir que poco es lo que se ha investigado y reportado a
la comunidad científica respecto a este tema. La mayoría de los escritos se acercan más a
notas de clase o sugerencias de abordar el tema de maneras alternativas más que de aportar
a la problemática de su apropiación.
Consideramos que esto responde a la idea, muy arraigada en el medio, que estudiar la
problemática propia del aprendizaje del concepto de función basta para comprender lo que
sucede con la apropiación de distintas funciones, por ejemplo, los logaritmos.
Basta mirar los índices y resúmenes de las distintas revistas científicas y de difusión de
nuestra disciplina, para observar la profusión en el abordaje de la problemática de la
apropiación de la noción de función. En efecto, la importancia conferida a la misma desde
el paradigma euleriano, al convertirla en eje del estudio de las matemáticas, y las
dificultades propias de una noción que admite varias concepciones y representaciones, se
ve reflejada en el interés por su estudio de investigadores de la más diversa índole.
Nuestro interés por el estudio de los logaritmos partió, en un inicio, del hecho que, según se
reportara en Ferrari (2003), la manipulación errónea de los mismos da cuenta de la no
apropiación de la noción logaritmo, producto de no ser construida escolarmente. En ese
trabajo se reportó la dislexia escolar producto del quiebre entre la presentación operativa de
los logaritmos y la presentación funcional de los mismos.
Desde nuestra perspectiva cada función posee su propia naturaleza, misma que la distingue
de las demás así como de las problemáticas inherentes a su apropiación. En este sentido,
2
comprender la noción de f( x) = x no es equivalente a la comprensión de f( x) = lnx,
apartándonos por tanto de la idea que “saber función” equivale a comprender todas y cada
una de las funciones conocidas.
Consideramos que estudiar a profundidad la problemática propia de la noción de función
resta importancia o pertinencia a hacerlo con funciones particulares. Al cuestionar esto
desde nuestra investigación y adherirnos a la idea de que es vital reconocer la naturaleza de
cada función para abordarla, nos vemos obligados a reflexionar y analizar las propuestas
que existen en el medio sobre la covariación como una manera alternativa de abordar el
tema de función,.
La pertinencia de esta idea radica en la hipótesis epistemológica surgida del análisis
45

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
preliminar que se realizara en Ferrari (2003), a saber: “el uso explícito de la covariación de
progresiones geométricas y aritméticas podría constituirse en un importante elemento de
resignificación de los logaritmos” y, si hemos de ser consistentes con la misma,
consideramos necesario conocer las investigaciones ya reportadas en literatura propia de
nuestra disciplina respecto fundamentalmente a covariación.
La consulta de varios diccionarios como primer acercamiento a la explicitación de la
noción eje de esta investigación nos lleva a concluir que la palabra “covariación” no está
definida en el léxico español, y que aquellos textos que la mencionan en realidad se refieren
a la medida de “correlación” que en textos especializados de Estadística es denominada
“covarianza”.
Sin embargo, consideramos que la
potencialidad de esta noción radica
en que nos permite “remirar” las
funciones escolares tales como
polinomios, expo-nenciales,
potencia y logarítmicas, y
caracterizarlas como la “covariación
de progresiones aritméticas
y geométricas”.
Varios investigadores se han
interesado en el estudio de la
covariación como una herramienta
para la comprensión tanto de la
noción de función (Confrey y
Progresión
aritmética
covariación
Progresión
geométrica
Smith, 1995; Carlson, 1998; Carlson et al., 2002; Kaput 1992) como de algunos conceptos
del Cálculo, tales como: la derivada (Zandieh, 2000), el teorema fundamental del Cálculo
(Thompson, 1994) o el concepto de límite (Contrill et al, 1996; Carlson et al., 2001).
En (Carlson, 1998; Saldhana & Thompson, 1998; Carlson et al., 2001) se afirma que el
razonamiento covariacional ha mostrado ser una importante habilidad para interpretar,
describir y representar el comportamiento de funciones que modelan fenómenos dinámicos.
En tanto que, Confrey y Smith (1994, 1995), explican la noción de covariación como
aquella que vincula el movimiento entre valores sucesivos de una variable coordinándolo
con un movimiento entre los correspondientes valores sucesivos de la otra variable.
Consideran también que, en la aproximación covariacional, una función es comprendida
como la yuxtaposición de dos secuencias, cada una de las cuales es generada
independientemente a través de modelar datos. Desde nuestra perspectiva, al referirnos a la
covariación estaremos considerando:
La relación entre las variaciones simultáneas de dos cantidades. Así, una recta puede
caracterizarse como la covariación entre progresiones aritméticas, en tanto que el
logaritmo, como la covariación entre una progresión geométrica y una aritmética,
elementos que se desarrollarán más adelante.
Marco Teórico
Este trabajo haya sustento en la aproximación socioepistemológica, que según Cantoral &
Ferrari (2003) es una aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar los
fenómenos de producción y de difusión del conocimiento desde una perspectiva múltiple al
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
incorporar el estudio de las interacciones entre la epistemológica del conocimiento, su
dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los meca-nismos de
institucionalización vía la enseñanza. Tradicionalmente las aproximaciones epistemológicas
asumen que el conocimiento es el
resultado de la adaptación de las
explicaciones teóricas con las
evidencias empíricas, ignorando en
sobremanera el papel que los
escenarios históricos, culturales e
institucionales desempeñan en toda
actividad humana. La socioepistemología
por su parte, plantea
el examen del conocimiento socialmente
situado, considerándolo a la
luz de sus circunstancias y
escenarios sociales.
Uno de los supuestos básicos de la
socioepistemología es que el conocimiento
se construye, siendo tal
Sociedad
Alumno
Polo
cognitivo
Tiempo
Polo didáctico
profesor
Saber
Matemático
Polo
epistemológico
Polo sociocultural
construcción de carácter social donde las prácticas sociales, como acción con
intencionalidad, cobran un papel relevante.
En este sentido, en Ferrari (2003) se reporta un análisis socioepistemológico de los
logaritmos. Se distinguen tres etapas en la consolidación de esta noción dentro del discurso
matemático al tomar como eje central las relaciones entre las progresiones aritméticas y
geométricas, argumento utilizado por
Napier para su primera definición.
Socioepistemología Como primer momento, consideramos
a los logaritmos como transformación
numérica. Se desarrollan
fundamentalmente en el contexto
Construcción social del conocimiento numérico comenzando con ideas
Uso
intuitivas de transformar para facilitar
operaciones intentando regresar a la
aritmética, es decir, utilizar sólo
Mecanismos Formulación
sumas y restas. Así, de la influencia
logaritmos.
Incorporación a teoría
de las primitivas formulaciones de las
progresiones y de las relaciones entre
ambas surge la definición de los
Como segundo momento se define, los logaritmos como modelizadores. En esta etapa se
determinan sus características geométricas; logran pertenecer al discurso matemático de
principios del siglo XVII; se les dota de una gráfica al adecuarlos al nuevo registro
“algebraico-geométrico”; logran completar un modelo matemático de la cuadratura de
curvas representativas de funciones potencia; permiten describir fenómenos físicos y se
descubren nuevas formas para calcularlos en series de potencias todo lo que permite que
accedan al discurso matemático del siglo XVIII y adquieran el status de función.
Cultura
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El tercer momento corresponde a la etapa de los logaritmos como objetos teóricos,
conceptos trabajados en la enseñanza actual y que los encuentra escindidos de las
argumentaciones necesarias, las cuales pueden contribuir a dotarlos de un mayor sentido,
apartándolos de su tratamiento actual que los reduce a una aplicación algorítmica de sus
propiedades apareciendo en el aula sin ningún antecedente analítico que pudieran haber
adquirido los estudiantes hasta ese momento.
Discusión
El trabajo en el que nos hayamos abocados en este momento es el de desarrollar los
argumentos que tan fértiles resultaron para el segundo momento, no con el fin de
reproducirlos tal cual se discutieron en el siglo XVIII sino para comprender a profundidad
sus implicaciones, su potencialidad, la manera de resignificar a partir de los mismo a los
logaritmos.
Como mencionáramos en el parágrafo anterior, la covariación entre una progresión
geométrica (aquella sucesión de números tal que el cociente de dos términos consecutivos
es constante) y una progresión aritmética (aquella sucesión de números tal que la diferencia
entre dos términos consecutivos es constante) fue fundamental para el desarrollo y
consolidación de los logaritmos como una poderosa herramienta matemática que perdura
hasta nuestros días.
Xn+1 / Xn X Y Yn+1 - Yn
2 1 0
2 2 1 1
2 4 2 1
2 8 3 1
2 16 4 1
2 32 5 1
2 64 6 1
2 128 7 1
2 256 8 1
Si bien, para Napier (1614- 1619) para definir logaritmos sólo basta asociar una progresión
geométrica con una aritmética, no debemos perder de vista que para mantener el álgebra de
los logaritmos que conocemos y manejamos hoy en día, se debe convenir que loga 1= 0
idea propuesta a Napier por Brigg en 1616 con el fin de calcular logaritmos a los números y
extender la idea de “facilitar las cuentas” creada sólo para el ámbito de la trigonometría. En
este sentido, decimos que la práctica social que se puede asociar a los logaritmos, como
aquella que le dio vida, es la de “multiplicar sumando”.
Este argumento fue el nexo entre las distintas representaciones y usos que se les dieron a
los logaritmos, tanto dentro como fuera de la matemática. Las ideas que nos resultan
interesantes para discutir la construcción escolar de la función logaritmo tienen como
argumentos de referencia los siguientes:
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
Completar patrón de cuadraturas
De los ejemplos de modelación de los logaritmos antes citados se percibe que el argumento
que los engloba y por tanto refleja la naturaleza de los logaritmos, es justamente la
covariación entre una progresión geométrica y una aritmética, misma que se está utilizando
en los diseños de secuencias de
Huygens (1690)
aprendizaje.
... para encontrar los espacios recorridos en ciertos
tiempos, cuando caen los cuerpos o suben
perpendicularmente, y para conocer las velocidades
al cabo de estos tiempos, había una línea curva, que
he examinado largo tiempo antes, que es de gran
uso en esta investigación. Se le puede llamar
“Logaritmique” o “Logistique”, no veo que se haya
dado algún nombre aunque otros la hayan
considerado antes. Estando ABC, que tiene una línea
recta DE como asíntota, en la cual si se toman partes
iguales cualesquiera, como DG, GF, etc. y por los
puntos D, G, F; etc. se trazan perpendiculares a la
curva, se ve que las líneas DA, GH, FB serán
proporcionalmente continuas.
La investigación de la que se deriva
este artículo sigue en curso,
esperándose contar con resultados
que evidencien la robustez
argumentativa de la covariación
para construir la función logaritmo
para la escuela.
49

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Bibliografía
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50

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
LA GEOMETRÍA ¿CÓMO SE CONCIBE?
Ismenia Guzmán R.
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
iguzmanr@vtr.net
Resumen
En esta conferencia tratamos algunos resultados que hemos obtenido en un Proyecto sobre la Enseñanza y
Aprendizaje de la Geometría Plana apoyado por la dirección de Investigación de la PUCV. La
investigación se refiere la enseñanza y aprendizaje de la Geometría, por ello tomamos en cuenta la formación
de los profesores, su concepción sobre la Geometría y su quehacer respecto a las exigencias de la Institución
(Programas, Establecimiento Escolar). Las informaciones las recogimos a través de una Encuesta con
preguntas diversas y generales (para profesores) y Dos situaciones Problema que entran de lleno en el terreno
geométrico propuestas a profesores y alumnos. Las dos situaciones problemas tienen que ver con
paralelógramos en que se solicita dos tareas, una de construcción y descripción y otra de análisis y
demostración. Los problemas corresponden a la unidad de transformaciones del curso de primer año medio.
Estas situaciones las hemos sometido a una población de 50 profesores de liceos y establecimientos
particulares subvencionados o particulares pagados y 50 alumnos de 1º y 2º año medio, de esos mismos
establecimientos. La Encuesta de 14 preguntas la propusimos a 16 profesores con diferente experiencia
docente. El marco teórico previsto para el análisis de la información es el enfoque cognitivo de Raymond
Duval sobre la enseñanza de la Matemática y en particular de la Geometría
El instrumento encuesta
1. ¿En qué año obtuvo usted. su título de Profesor de Matemáticas?
............................................................................................................................................
2. ¿En qué institución realizó sus estudios de Pedagogía en Matemáticas?
...................................................................................................................................................
3. ¿Cuántos años de experiencia docente tiene?
...................................................................................................................................................
4. ¿Estaba contemplada en el plan de su Carrera asignaturas de Geometría? ¿Cuáles?
...................................................................................................................................................
5. ¿Qué temas de Geometría estudió usted. en la Universidad? Enumere los principales
...................................................................................................................................................
6. En caso de no haber tenido cursos de Geometría en su formación inicial ¿Ha usted.
estudiado los contenidos a enseñar en forma autodidacta o a través de cursos de
perfeccionamiento?
...................................................................................................................................................
7. Para abordar las materias de Geometría. ¿Se apoya usted. en textos ¿Cuáles? ¿Tiene
apuntes propios?
................................................................................................................................................
8. ¿En cuáles cursos ha enseñado usted. Geometría?
...................................................................................................................................................
9. ¿Qué unidades ha podido abordar?
................................................................................................................................................
10. ¿Exige usted. que sus alumnos trabajen con instrumentos de Geometría? ¿Cuáles?
................................................................................................................................................
51

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
11. Para favorecer el Aprendizaje en Geometría, ¿prefiere usted. proponer construcciones
geométricas, es decir con uso de regla no graduada y compás o bien acepta
construcciones con otros instrumentos, como transportador, escuadra, regla graduada...
................................................................................................................................................
12. Para favorecer el Aprendizaje en Geometría, ¿Usted. prefiere enunciar las
propiedades de las figuras involucradas ilustradas por un dibujo, sin demostraciones, ni
construcciones?
................................................................................................................................................
13. ¿Acepta usted que sus alumnos justifiquen las propiedades tratadas en clases mediante
plegados en papel, o mediciones con escuadra, regla transportador o compás?
................................................................................................................................................
14. Exige usted a sus alumnos justificaciones que se apoyen en las propiedades de las
figuras involucradas y no en las informaciones visuales que les proporciona el dibujo?
...................................................................................................................................................
Análisis de la encuesta
La encuesta la contestaron 16 profesores de Enseñanza Media, dos con 30 o más años de
experiencia; 3 entre 20 y 30 años de experiencia; 6 entre 10 y 20 años de experiencia y 5
con menos de 10 años de experiencia. Entre los cuales hay egresados PUCV, de la PUC, la
U de Chile de Valparaíso ( hoy U de Playa Ancha), U de Talca, U de Chile de Arica,
Universidad Técnica del Estado, hoy USACH, U de Chile de Antofagasta.
Con respecto a la pregunta si la Geometría estaba contemplada en su formación, 15
profesores declaran explícitamente haber tenido cursos de Geometría Euclidiana,
Geometría Plana, Geometría Analítica, Geometría del Espacio, Geometría 1 y Geometría 2.
Esta pregunta no nos ha dado mayor información, ya que no se sabe a qué se refiere cada
una. La Geometría Euclidiana, Geometría Plana y Geometría podrían tratarse del mismo
ramo.
La pregunta ¿Qué temas de geometría estudió usted en la Universidad, enumere los
principales, no ha sido bien comprendida, tres omiten la respuesta y sólo tres de 16 señalan
los siguientes temas: triángulos, circunferencias, ángulos, polígonos. El resto enumera
Asignaturas, como Geometría Euclidiana, Geometría Analítica, Trigonometría, Geometría
Vectorial.
Cuatro profesores declaran que su formación en Geometría ha sido autodidacta y otros
cinco declaran haber tomado cursos de perfeccionamiento para actualizar su formación,
siete omiten la respuesta.
Constatamos que las respuestas con respecto a su formación son heterogéneas, y cruzando
algunas de estas respuestas hemos detectado que los profesores más jóvenes pueden
enumerar temas de Geometría que han estudiado. Esto es coherente con la ausencia de la
Geometría en los currículos pasados. De ahí que profesores señalen ser autodidactas y otros
declaran haber estudiado Geometría gracias a cursos de perfeccionamiento.
Esto nos parece particularmente grave, ya que los profesores deben tratar materias sobre las
cuales no han tenido una formación adecuada.
Con respecto a la pregunta sobre los textos de apoyo, 5 profesores declaran que utilizan los
textos del Mineduc y apuntes personales, 8 dicen apoyarse en textos antiguos no en
vigencia como Geometría de Phoenich, Omer Cano, Baldor, Alcayaga, Mercado de Schuler
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
(todos estos textos son clásicos de más de 30 años) , también mencionan a Santillana,
Arrayán y textos de nivel universitario o páginas web. Tres profesores dan otra respuesta.
Esta respuesta nos muestra la falta de actualidad en los textos de apoyo que prefieren los
profesores.
Con respecto a la pregunta sobre experiencia docente en Geometría, 12 profesores señalan
haber hecho clases de Geometría en todos los cursos de Enseñanza Media, algunos de ellos
también han trabajado en 7º y 8º Dos señalan tener experiencia de Séptimo a Primero
Medio. Dos dan otras respuestas.
Respecto a la pregunta sobre los temas que abordan en clases, Tres señalan explícitamente
que han tratado Semejanza, Congruencia, Geometría Analítica .
Cuatro profesores anotan : Ángulos, Construcciones ( regla y compás), Perímetros, Áreas,
Volúmenes. Cinco omiten y cuatro dicen desde Ángulos al Teorema de Thales y Euclides.
Con respecto al uso de útiles de geometría, 10 profesores declaran exigir compás, reglas,
transportador, escuadra. Tres dicen no exigir, y otros 3 no responden.
Respecto a la pregunta sobre las tareas de construcción si da preferencia a las mecánicas o
geométricas, Seis profesores señalan que prefieren las mecánicas, Cuatro las geométricas,
dos de los cuales dicen ambas y Cuatro profesores omiten.
Con respecto a la pregunta ¿Ud. prefiere enunciar las propiedades de las figuras
involucradas ilustradas por un dibujo, sin construcciones ni demostraciones?
Cuatro profesores dicen que prefieren dibujo y demostraciones. Dos profesores señalan que
prefieren que los alumnos descubran las propiedades y luego “yo formalizo”, cinco
profesores dicen “ prefiero el dibujo, enunciar y verificar”, cinco profesores no contestan.
esa pregunta.
Las respuestas sobre estas dos últimas preguntas construcciones mecánicas o geométricas y
sobre el enunciado de propiedades de figuras involucradas en el dibujo, no son del todo
coherentes, puesto que aceptan apoyarse en los dibujos para verificar, una minoría señala
que pide demostraciones, y la mayor parte dice que prefiere las construcciones mecánicas,
es decir aquellas apoyadas en instrumentos y no en propiedades. En consecuencia a qué
demostraciones se refieren? ¿Cómo conciben la tarea de demostrar en Geometría?
La respuesta a la pregunta que sigue corrobora esta incoherencia, ¿Exige Ud. a sus alumnos
justificaciones que se apoyen en propiedades de las figuras involucradas y no en las
informaciones visuales que las figuras les proporcionan?
Catorce profesores dicen que si y dos omiten. Esto significa que ellos consideran
importantes las demostraciones geométricas de las propiedades, pero la realidad como
hemos visto es que en la práctica se contentan con mediciones con reglas, escuadras o
transportador, o con verificaciones por plegados u otro.
De los resultados de nuestra investigación, esperábamos encontrar elementos significativos
sobre conocimientos y quehaceres. La encuesta nos da algunos elementos sobre su
formación y su quehacer docente. En la parte de los problemas, hemos puesto al profesor
frente a dos situaciones geométricas correspondientes a situaciones normales y corrientes
de Enseñanza Media, y en posición de alumno frente al problema. Hemos podido detectar
que es la visión empírica de la Geometría la que predomina en la concepción que los
profesores encuestados, por sobre la concepción matemática basada en propiedades que
necesitan ser demostradas. Una actitud de prueba frente a enunciados o afirmaciones, está
prácticamente ausente. A continuación presentamos las dos situaciones problemas ya
mencionadas.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Situación 1
(En cada una de las siguientes figuras construya con regla y compás los puntos medios de
sus lados). En el cuadrado de la figura 1, construir con regla y compás, los puntos medios
de sus lados. Al unir dichos puntos resulta un cuadrilátero.
Pregunta1: ¿De qué tipo es el cuadrilátero resultante? Explique el por qué de sus
afirmaciones.
Figura1
Pregunta 2: De qué tipo es el cuadrilátero resultante, si considera ahora el trapecio
isósceles de la figura 2. Explique el por qué de sus afirmaciones.
Figura 2
CONTINUACIÓN SITUACIÓN 1
En el volantín de la figura 3, construir con regla y compás, los puntos medios de sus lados.
Al unir dichos puntos resulta un cuadrilátero.
Pregunta 3: ¿De qué tipo es el cuadrilátero resultante? Explique el por qué de sus
afirmaciones.
Figura 3
Pregunta 4: ¿De qué tipo es el cuadrilátero resultante, si considera ahora el cuadrilátero de
la figura 4? Explique el por qué de sus afirmaciones.
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Figura 4
Situación 2
VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
a) La figura 5 es un rectángulo, cuyos vértices son los puntos medios de un rombo.
Construir ese rombo. Indique los pasos de su construcción ¿Cómo asegura Ud. que
la figura construida es el rombo pedido? Explique.
Figura 5
b) La figura 6 es un rombo, cuyos vértices son los puntos medios de un rectángulo.
Construir ese rectángulo. Indique los pasos de su construcción ¿Cómo asegura Ud. que la
figura construida es el rectángulo pedido? Explique.
Figura 6
En la Conferencia analizamos algunas respuestas dadas por algunos profesores encuestados
que en este resumen lamentablemente hemos debido omitir.
Conclusiones
En síntesis, la Geometría no se concibe como un cuerpo de conocimientos organizados o
como un sistema matemático con definiciones, propiedades y teoremas. Las tareas de
construcciones o verificaciones que se proponen en clases y en los textos de uso frecuentes,
favorecen la búsqueda empírica hasta la formulación de una conjetura. La cual se
comprueba por medios técnicos del tipo utilizado en los “trabajos manuales”, o por
verificaciones a través de mediciones o plegados. En las clases se cubre una primera etapa,
nos parece bien llegar a conjeturas, pero falta la segunda etapa, fundamental para el
aprendizaje de la matemática y de la geometría en particular, la de la demostración o
justificación, la cual permite distinguir una definición de un teorema y sus respectivos
roles. No estamos refiriéndonos a demostraciones rigurosas, sino a las explicaciones de los
porqués, los cuales pueden darse según el nivel, en lenguaje natural intuitivo, o mixto
55

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
(lenguaje natural y geométrico) e ir evolucionando hasta el logro de un lenguaje geométrico
más formal, a finales de la Enseñanza Media.
Bibliografía
Duval R. (1992) Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou ruptura cognitive. Petit x n°31, 37-61.
Houdement C. et Kuzniak A.(2000) Formations des maîtres et paradigms géométriques. Recherches en
Didactique des Mathématiques. vol 20/1, 89-115.
Guzmán R. Ismenia (1998) Registros de Representación y su incidencia en el aprendizaje de la noción de
función contínua. Voces de los estudiantes. Relime Mexico.
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Publicación IMA.UCV Difusión Nacional hecha por el Ministerio de Educación.
Guzmán, Consigliere, Acuña (1999) Potencias y Simetrías para Primer Año Medio. Publicación IMA UCV.
Valparaíso, Chile.
Guzmán, Consigliere, Acuña (2000) Probabilidades y Semejanza de Figuras Planas para Segundo Año Medio.
Publicación IMA UCV,. Valparaíso, Chile.
Guzmán, Consigliere, Acuña (2001) Funciones Cuadráticas y Proporcionalidad
en el triángulo Rectángulo para Tercer Año Medio. Publicación IMA UCV.
Valparaíso, Chile.
56

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
LA MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE LAS CIENCIAS
Patricia Camarena Gallardo
Instituto Politécnico Nacional, México
patypoli@prodigy.net.mx
Resumen
El presente trabajo muestra los resultados de varias investigaciones educativas relacionadas con el proceso
enseñanza aprendizaje de la matemática en carreras de ingeniería, en donde la matemática no es una meta por
sí misma. Como es sabido, en el proceso enseñanza aprendizaje intervienen varios factores y personajes, entre
los más relevantes se encuentran los alumnos, el profesor y el contenido a enseñar. Tal es el efecto de estos
tres elementos que se han constituido en una de las llamadas ternas doradas de la educación. Para el desarrollo
de la conferencia se toman como hilos conductores a cada uno de los tres puntos mencionados, llevando a
cabo un análisis sobre cada uno de ellos y las interrelaciones que se establecen entre los mismos, siempre
girando en torno a la función específica de la matemática en los niveles educativos medio superior y superior.
Cada resultado que se presenta está sustentado a través de investigaciones que se han llevado a cabo a través
de prácticamente veinte años, las cuales han convergido a constituir una teoría educativa que lleva por nombre
el título de la presente conferencia. Entre los resultados más sobresalientes se cuenta con la fase curricular,
cuya ponderación mayor recae en la interrelación del profesor con el contenido, en ésta se ha diseñado la
metodología DIPCING para el diseño de programas de estudio de matemáticas. Respecto al alumno se tienen
estudios de tipo cognitivo en donde los registros de representación de los objetos matemáticos son el
numérico, visual, algebraico o analítico (según sea el caso), registros dados por Duval, pero el grupo de
trabajo ha determinado que hay un cuarto registro fundamental para el aprendizaje de la matemática en estos
niveles educativos: el del contexto. Referente a los contenidos matemáticos un constructo teórico relevante
que se ha elaborado es el denominado transposición contextualizada.
Introducción
La teoría que aquí se resume se ha desarrollado a lo largo de 20 años en el Instituto
Politécnico Nacional de México. Se inició con investigaciones sobre el currículo tratando
de abordar la problemática del proceso enseñanza aprendizaje de la matemática en carreras
de ingeniería. En particular enfrentando el por qué se tienen que impartir los contenidos
programáticos de los programas de estudio en carreras de ingeniería y tratando de buscar
respuestas a la problemática que todo docente de matemáticas vive con los estudiantes,
quienes parece que odian a la matemática, en donde se repite la situación de que en
apariencia nunca han visto los conocimientos que les exige el profesor.
De esta forma cada año se desarrolla una investigación que va dando forma a lo que ahora
se ha constituido como una teoría educativa que nace en el nivel superior y se está llevando
hacia los niveles educativos anteriores.
La matemática en el contexto de las ciencias
Se fundamenta en la función específica que tiene la matemática en el nivel superior en
carreras en donde no se van a formar matemáticos y en el paradigma de conocimientos
integrados (Camarena, 1999).
Con este fundamento y tomando en cuenta que en el salón de clases están presentes tres
elementos centrales: el alumno, el profesor y el contenido a ser enseñando y aprendido, los
cuales interactúan entre sí, véase la figura No. 1, se abren cinco fases:
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La curricular (desde 1984)
La didáctica (desde 1987)
La epistemológica (desde 1988)
La de formación de docentes (desde 1990)
La cognitiva (desde 1992)
COGNITIVA
ALUMNO
DIDÁCTICA
CURRICULAR
CONTENIDO PROFESOR
EPISTEMOLÓGICA FORMACIÓN DE PROFRS.
Figura. No. 1. Una terna dorada en educación.
Fase curricular
La fase curricular posee una metodología denominada DIPCING para el diseño de
programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería (Camarena, 1984).
Con la metodología se obtiene vinculación curricular interna (entre la matemática y las
asignaturas de las ciencias básicas, la matemática y las ciencias básicas de la ingeniería, así
como entre la matemática y las especialidades de la ingeniería). También se logra la
vinculación curricular externa (entre el nivel medio superior y el nivel superior, el nivel
superior con el nivel posgrado, así como entre la escuela y la industria, tomando como eje
rector a la matemática).
Algunos de los constructos teóricos sobresalientes son los diferentes tipos de contenidos
que se presentan, unos apoyan a las partes teóricas de la ingeniería, mientras que los otros a
los temas y conceptos de aplicación de la ingeniería, dando evidencia de en qué temas de la
matemática se deberán desarrollar habilidades y destrezas matemáticas y en cuáles no es
necesariodesarrollarlas (Camarena, 2002b).
Fase didáctica
La fase didáctica (Camarena, 1987) presenta una propuesta didáctica denominada
matemáticas en contexto (Camarena, 1995), en donde se vincula la matemática con otras
asignaturas y contempla 7 etapas:
58
1.- Planteamiento del problema de las disciplinas del contexto.
2.- Determinación de las variables y de las constantes del problema.

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
3. Inclusión de los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del
modelaje y su solución.
4.- Determinación del modelo matemático.
5.- Solución matemática del problema.
6.- Determinación de la solución requerida por el problema en el ámbito de las
disciplinas del contexto.
7.- Interpretación de la solución en términos del problema y área de las disciplinas del
contexto.
Una de las etapas centrales es la elaboración del modelo matemático, situación que llevó a
caracterizar y clasificar a los modelos matemáticos dentro de la ingeniería (Camarena,
2000).
Por la necesidad de partir de problemas concretos, desde el año 2000, se ha incorporado la
resolución de problemas (Polya, 1976), así como los constructos teóricos de la teoría de
Resolución de Problemas, como lo son las heurísticas, las habilidades del pensamiento, la
metacognición y las creencias (Nickerson 1994; De Bono, 1997; Santos, 1997). Se puede
recurrir a los trabajos de Herrera (2003) para mirar este proceso.
La instrumentación de la propuesta de la matemática en contexto se ha llevado a cabo de
forma experimental, a través de la cual se toman los problemas de otras asignaturas, en
donde están presentes tanto el docente de la asignatura del contexto como el docente de
matemáticas, y se trabaja la matemática contextualizada, regresando a la clase de
matemáticas para presentar contenidos matemáticos descontextualizados para que el
alumno pueda aplicar estos conocimientos matemáticos en otros contextos (Camarena,
1999).
A través de la matemática en contexto se ha verificado que el estudiante puede llevar a cabo
la transferencia del conocimiento de forma eficiente (Camarena, 1999).
Como parte de los productos de investigación se cuenta con el diseño de materiales de
apoyo didáctico para cursos en contexto como: ecuaciones diferenciales en el contexto de
los circuitos eléctricos (Camarena, 1987), análisis de Fourier en el contexto del análisis de
señales electromagnéticas (Camarena, 1993), series de Fourier en el contexto del proceso
de transferencia de masa (Muro, 2002) y cálculo vectorial en el contexto de la teoría
electromagnética, la transformada de Laplace en el contexto de los circuitos eléctricos
(Suárez, 2000).
Fase de formación de profesores
La fase de formación de docentes ha detectado las deficiencias de profesores que dan
cursos de matemáticas y que su formación no es de matemáticos, constituyendo esto una de
las grandes causas de las deficiencias de los estudiantes en matemáticas (Camarena, 2002a).
Desde 1990 a través de una investigación se diseñó una especialidad en docencia de la
ingeniería matemática en electrónica, en donde las asignaturas de matemáticas se muestran
vinculadas con otras disciplinas propias de la electrónica y sus ramas afines (Camarena,
1990). Incluye cursos sobre conocimiento científico y técnico, historia y fundamentos de la
matemática, procesos de aprendizaje, la evaluación del aprendizaje, etc.
Como por ejemplo: Introducción al Análisis Matemática de una Variable Real y Electrónica
Básica, Cálculo Vectorial y Electromagnetismo, Álgebra Lineal y Control Electrónico,
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Circuitos Eléctricos, Análisis de Fourier y Análisis
de Señales Electromagnéticas, Probabilidad y Análisis de Señales Aleatorias, Procesos
Estocásticos y Telefonía.
Fase cognitiva
El sustento fuerte de esta fase está en la teoría de aprendizajes significativos de Ausubel
(1990). Respecto a la fase cognitiva se ha determinado que el estudiante debe transitar entre
los registros aritmético, algebraico, analítico, visual y contextual para construir y asirse del
conocimiento (Camarena, 2001b).
Se ha verificado a través de la matemática en contexto que el estudiante logra conocimientos
estructurados y no fraccionados, logrando con ello estructuras mentales articuladas
(Camarena, 1999). Esta situación se ha tratado a través de la teoría de los campos
conceptuales de Vergnaud, como ejemplo véase el trabajo de Muro (2003) en donde
establece el campo conceptual de la serie de Fourier con la transferencia de masa de
fenómenos químicos.
La matemática en contexto ayuda a que el estudiante construya su propio conocimiento con
amarres firmes y duraderos y no volátiles; refuerza el desarrollo de habilidades mentales
mediante el proceso de resolver problemas vinculados con los intereses del alumno
(Camarena, 1996).
Para mirar en los estudiantes el funcionamiento cognitivo de la matemática en contexto,
también, se ha recurrido a analizar las funciones cognitivas, véase el trabajo de Zúñiga
(2003). Asimismo, se ha determinado que el factor motivación en el estudiante se encuentra
altamente estimulado a través de la matemática en contexto y su desempeño académico
como futuro profesionista se incrementa, es decir, la transferencia del conocimiento se
puede establecer sin tantos tropiezos (Camarena, 1996).
Fase epistemológica
Con la fase epistemológica se ha verificado cómo gran parte de la matemática que se
incluye en los cursos de carreras de ingeniería nace en el contexto de problemas específicos
de otras áreas del conocimiento y a través del tiempo pierde su contexto para ofrecer una
matemática "pura" que es llevada a las aulas de clases sin que tenga sentido para los
estudiantes que no van a ser matemáticos, como lo describe Chevallard (1991).
También se ha determinado un constructo teórico denominado transposición
contextualizada. En donde la matemática científica sufre transformaciones para adaptarse a
la forma de trabajar de otras ciencias (Camarena, 2001a). Como parte de esa etapa se cuenta
con una serie de situaciones de matemática contextualizada para ser usadas en clase.
También hay situaciones en donde el ingeniero emplea procesos o métodos sin conocer su
origen, la fase epistemológica de la matemática en el contexto de las ciencias pone a la luz
estas génesis (Camarena, 1987).
Conclusiones
Como parte de las conclusiones se puede mencionar que esta es una teoría, a diferencia de
la mayoría de las teorías sobre el proceso enseñanza aprendizaje, que nacen en el nivel
básico, ésta se genera en el nivel superior y baja a los niveles anteriores.
Actualmente ha tomado auge la matemática en contexto, independientemente de esta línea
que estamos presentando, siendo el grupo que encabeza la que suscribe este trabajo uno de
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VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
los pioneros en esta dinámica.
Es claro que es imposible ahondar en cada una de las cinco fases de la matemática en el
contexto de las ciencias, por lo que se le sugiere al lector interesado que consulte la
bibliografía, que aunque no es toda la existente relativa a este tema, sí es suficiente como
para tener un panorama de la teoría.
Bibliografía
Ausubel David P., Novak Joseph D. y Hanesian Helen (1990). Psicología educativa, un punto de vista
cognoscitivo. Editorial Trillas.
Camarena G. Patricia, (1984). El currículo de las matemáticas en ingeniería. Mesas redondas sobre
definición de líneas de investigación en el IPN, México.
Camarena G. Patricia, (1987). Diseño de un curso de ecuaciones diferenciales en el contexto de los circuitos
eléctricos. Tesis de Maestría en Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN, México.
Camarena G. Patricia, (1990). Especialidad en docencia de la ingeniería matemática en electrónica. Editorial
ESIME-IPN, México.
Camarena G. Patricia, (1993). Curso de análisis de Fourier en el contexto del análisis de señales eléctricas.
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Camarena G. Patricia, (1995). La enseñanza de las matemáticas en el contexto de la ingeniería. XXVIII
Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, México.
Camarena G. Patricia (1996). El contexto y las ecuaciones diferenciales lineales. Memorias del 6º Coloquio
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Camarena G. Patricia, (1999). Reporte del proyecto de investigación titulado: Etapas de la matemática en el
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Camarena G. Patricia. (2000). Reporte de investigación titulado: Los modelos matemáticos como etapa de la
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Camarena G. Patricia, (2001a). Las Funciones Generalizadas en Ingeniería, construcción de una alternativa
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Camarena G. Patricia. (2001b). Reporte de investigación titulado: Registros cognitivos de la matemática en el
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Camarena G. Patricia, (2002a). La formación de profesores de ciencias básicas en ingeniería. Memorias del
3º nacional y 2º internacional: Retos y expectativas de la Universidad, México.
Camarena G. Patricia. (2002b). Metodología curricular para las ciencias básicas en ingeniería. Revista:
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diciembre (segunda parte). México.
Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. El saber sabio al saber enseñado. Aique Grupo Editor.
De Bono Edward (1997). El pensamiento lateral, manual de creatividad. Paidós.
Herrera E. Javier y Camarena G. P. (2003). Los modelos matemáticos en el contexto de los circuitos eléctricos
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4.
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Zúñiga S. Leopoldo (2003). Sobre las funciones cognitivas en el aprendizaje del cálculo diferencial de dos
variables en el contexto de la ingeniería. XVII Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa,
Chile.
61

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
REFORMAS EN EDUCACIÓN CIENTÍFICA
Fernando Cajas
Universidad de San Carlos de Guatemala
fercajas@hotmail.com
Resumen
Se presentan algunas características de las reformas educativas en ciencia, matemática y tecnología que se
llevan a cabo en Latinoamérica. Se discute como estas reformas intentan reconstruir el contenido científico,
matemático y tecnológico pero en el fondo no problematizan el mismo manteniendo un posición tradicional
acerca de que es lo que deben aprenden las personas luego de su educación obligatoria en ciencia, matemática
y tecnología. La visión dominante de reforma curricular es la reorganización de conocimientos existentes y la
secuenciación de objetivos de aprendizaje con pocas referencias a la investigación contemporánea en
didáctica de la ciencia, la matemática o la tecnología. La transposición didáctica de estos conocimientos sigue
siendo un proceso empírico y las comunidades de didactas, si acaso existen, impactan poco los procesos de
reforma educativa. Se discute como las comunidades emergentes de investigadores en didáctica de la ciencia,
matemática y tecnología pueden impactar procesos de reforma educativa.
Una sociedad puede verse como un sistema concreto formado por tres subsistemas: el económico
(producción), el político (control) y el cultural (arte, deporte, ciencia, matemática y tecnología). La riqueza y
la pobreza de una sociedad también puede verse en términos de esos tres sectores. Casi siempre pensamos en
pobreza económica cuando en efecto la pobreza como la riqueza son sistémicas, esto es, no se dan aisladas.
Casi siempre creemos que los impedimentos al desarrollo son económicos, cuando en verdad el desarrollo
también es sistémico, esto es, una interacción de lo económico, lo político y lo cultural. Es posible que el
subdesarrollo más difícil de superar sea el subdesarrollo cultural, debido a que los modos de pensar y las
mismas concepciones de progreso y trabajo están ancladas en este subsistema y se han construido durante
muchas generaciones
Esta conferencia se centra en el desarrollo científico aceptando parcialmente el reconocimiento que se hace
del papel que juega la ciencia y la tecnología como motores para el desarrollo de los pueblos pero
extendiendo la educación científica al desarrollo político y cultural de los pueblos. Se inicia con una revisión
de reformas en educación científica generadas en países donde existen comunidades de científicos
organizados, particularmente en Estados Unidos de Norteamérica en particular la reforma propuesta por la
American Association for the Advancement of Science (AAAS, 1989; 1997). Luego se discute el desarrollo
de reformas en educación científica en países donde no existen comunidades de científicos bien consolidadas
tal el caso de Guatemala. Se proponen alternativas para poder mejorar la educación científica basándose en
casos reales provenientes de diferentes países de América.
Visión Global de las Reformas en Educación Científica de la Ultima Década
Durante los ultimas tres décadas se ha dado un cambio fundamental en la manera de
plantear los problemas de la enseñanza y principalmente el aprendizaje en ciencia y
matemática (National Research Council, 199a, b, 2000). Por muchos siglos las decisiones
acerca de la enseñanza de estas materias ha bian estado dominadas por ideologías y
creencias sin ningún sustento cientifico-teorico ni evidencia empírica. En el caso de
educación científica por mucho tiempo se sostuvo que enseñar ciencia era dar clases
magistrales y aprender era memorizar los hechos importantes que el profesor decía. El caso
de matemática es similar con el agravante de que se pensó que la estructura lógica de la
matemática debería dominar el contenido y la instrucción matemática, particularmente a los
niveles de bachillerato y principalmente universitarios. En los niveles de pre-primaria la
situación es mucho más dramática pues los contenidos de ciencia y matemática no han sido
siquiera pensados ya que se cree, erróneamente, que las niñas y niños a estas edades solo
62

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
deben de “jugar” y que no están preparados para aprender conceptos y procesos científicos
“complicados”. “Jugar” ha sido mal interpretado y no se diseñan ambientes donde los
infantes puedan construir, jugando, elementos básicos para su educación científica y
matemática. Sin embargo, los trabajos de Piaget y de muchos científicos cognitivos
contemporáneos han proveído evidencia empírica que soportan que en determinadas
condiciones los niños y niñas pueden apropiarse de ideas y procesos científicos poderosos.
A la vez la sicología cognitiva ha demostrado que para aprender ciencia y matemática los
niños y niñas tienen que tener oportunidades de reconstruir conocimientos y procesos
claves desde edades muy tempranas.
Paralelamente a los trabajos de científicos cognitivos, esto es, durante la década de 1970-
1980, una serie de investigaciones empíricas desarrolladas alrededor del mundo por la
emergente didáctica de la ciencia y la matemática (llamada science and mathematics
educación en los países sajones y didáctica de la ciencia y matemática educativa en
Latinoamérica) revelaron que los estudiantes no aprenden la ciencia ni la matemática que se
les enseña. Estas investigaciones cubrieron una gama de conceptos científicos (por ejemplo,
fuerzas, energía, fotosíntesis, células, etc.) asociados a fenómenos naturales (esto es,
movimiento de objetos, el clima Terrestre, producción de alimento, crecimiento de las
plantas, etc.) y conceptos matemáticos (por ejemplo, fracciones, proporciones, funciones,
álgebra, cálculo, etc.). Estos estudios sientan las bases teóricas y empíricas para repensar la
manera en que generamos conocimiento científico, matemático y tecnológico para la
educación general así como para planificar como producir recursos que pudieran soportar el
aprendizaje de estos contenidos.
La Visión de Ciencia y Tecnología en la Reforma Educativa Guatemalteca
La actual reforma educativa incluye entre uno de sus ejes el de Ciencia y Tecnología. Este
es parte de los siguientes ejes: Vida en Democracia y Cultura de Paz; Unidad en la
Diversidad y Desarrollo Integral Sostenible. El eje de Ciencia y Tecnología esta
someramente descrito en el Diseño de Reforma Educativa (Comisión Paritaria de Reforma
Educativa, 1988, pp. 54-55). Dicho documento hace énfasis en la contribución que puede
tener la ciencia y la tecnología en el perfeccionamiento de la persona a través de la creación
y difusión de conocimiento y el dominio de actitudes, destrezas y técnicas que contribuyan
al desarrollo sostenible. Esta concepción de respeto por la naturaleza es una tema que
permea toda la reforma. La ciencia es concebida en el documento mencionado como los
esfuerzos sistemáticos para explicar la realidad a través de la observación y
experimentación controlada. La tecnología, en contraste, se presenta como una
consecuencia practica de la ciencia que incluye las técnicas, instrumentos y procedimientos
utilizados por la sociedad para resolver problemas y satisfacer necesidades.
El documento de Diseño de Reforma Educativa también reconoce que la ciencia y la
tecnología occidental (refiriéndose quizás a la ciencia moderna que aparece en el Europa en
el siglo XVII) han ocupado un lugar privilegiado en la difusión y aplicación, sin embargo,
se dice en el documento, existe un rico caudal de ciencia y tecnología indígena que requiere
ser recobrado. A la vez, el mismo documento reconoce lo fundamental que es para los
guatemaltecos la educación en ciencia y tecnología debido a los “acelerados” cambios
tecnológicos de la actualidad, especialmente en informática y comunicaciones. La
propuesta del eje de Ciencia y Tecnología en la reforma educativa va encaminada a que los
63

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
estudiantes desarrollen: pensamiento científico, capacidad de aprender a aprender,
desarrollo del pensamiento critico, dominio de conocimientos científicos y actitudes
necesarias para la investigación y experimentación científica. Por ello se dice que es
importante fortalecer los mecanismos de registro, almacenamiento, difusión y practica de la
ciencia y la tecnología.
La Reforma Educativa ha empezado a clarificar lo que significaría la introducción de esta
nueva concepción de ciencia y tecnología en el currículo de la escuela primaria y con ello
se ha presentado una propuesta sobre lo que deben aprender todos los guatemaltecos al
respecto (Ministerio de Educación, 2002). La visión de ciencia y tecnología que se
presentan en el documento esta expuesta en términos de Competencias Marco,
Competencia de Eje y Competencias de Área. Para dar una idea de la naturaleza de la
propuesta se presentan abajo dos ejemplos sobre la forma en que esta estructurado el nuevo
currículo de Ciencia y Tecnología.
Competencia Macro Competencia de Eje Competencia de Área
Aplica los saberes de la tecnología y
los conocimientos de las artes y las
ciencias, propias de su cultura y otras
culturas, enfocadas en el desarrollo
personal, familiar, comunitario y local.
Promueve el uso de una tecnología
orientada al mejoramiento de la
calidad de vida y de una productividad
sostenible.
Aplica tecnología con ética en la vida
diría y laboral aplicando criterios
básicos de eficiencia y seguridad.
Utiliza información, técnicas,
procedimientos e instrumentos para
facilitar la resolución de problemas.
Valora la utilidad de los saberes
tradicionales de las culturas del país y
de otras culturas para la satisfacción de
necesidades de la vida personal y
colectiva.
Sugiere la utilización de tecnología
adecuada para lograr el desarrollo
sustentable en armonía con la
naturaleza.
Relaciona la tecnología propia con
otras, en función de
complementariedad y el mejoramiento
de resultados.
Incorpora la utilización de tecnologías
de punta en sus actividades cotidianas,
Cuadro No.1 Un ejemplo de la clarificación de las competencias macro, de eje y de área para un tópico
particular de Ciencia y Tecnología en el currículo de la escuela primaria sugerido por la Propuesta de
Currículo Intercultural para la Educación Primaria (Ministerio de Educación, 2002, p. 59).
Como puede notarse en el Cuadro No.1 existe una visión de la introducción de la ciencia y
la tecnología como parte de la educación de todos los guatemaltecos. A pesar de que esta
visión establece las competencia macro, de eje y de área, existe una serie de vacíos que
deben llenarse tanto a nivel macro como a nivel micro. Por un lado se requiere de
desarrollo de una visión sobre el papel de la ciencia y la tecnología en los sistemas
económicos, políticos y culturales de Guatemala así como la especificación de saberes
particulares que puedan incorporarse a los sistemas educativos concretos. En resumen se
requiere de la generación de una política de educación científica y tecnológica para todos
los guatemaltecos. La siguiente sección propone una visión de educación científica y
tecnológica coherente con la reforma educativa y sugiere formas de llenar los vacíos de las
64

VISIÓN DE CONJUNTO SOBRE ASPECTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN
visiones existentes tanto a nivel macro (económico, político y cultural) como a nivel micro
(contenidos específicos, programas puntuales de educación científica y tecnológica).
Una Visión de Educación Científica
En línea con la concepción de sociedad presentada al inicio, los objetivos de la educación
científica y tecnológica de una determinada sociedad pueden ser: económicos (una vida
más productiva), políticos (una vida con mas participación social) y culturales (una vida
más interesante. Los mismos se pueden generalizar para instituciones y no solo para
personas individuales. Entonces, la educación científica y tecnológica de los guatemaltecos
debe conceptualizarse a la luz de estos tres objetivos debido a que el desarrollo no es
sostenible si estos tres sistemas no se encuentran integrados en una visión donde estos
objetivos se refuercen mutuamente.
Lo que caracteriza a las poblaciones latinoamericana, en particular a la guatemalteca, es su
baja productividad en el trabajo. Según el informe del Desarrollo Humano (Naciones
Unidad, 2002), pocos países latinoamericanos tienen productividades en el trabajo menores
que Guatemala. Aunque la productividad en dicho informe esta relacionada con el ingreso
per cápita, el mismo reporte indica la baja calidad del trabajador guatemalteco así como la
baja calidad del puesto de trabajo. La educación científica y tecnológica guatemalteca
deben enmarcarse en la producción de ciudadanos con habilidades que les permita
integrarse a empresas altamente productivas o a la creación de dichas empresas. Para ello
hay que trascender de las tecnologías arcaicas que han sido utilizadas en los sistemas
educativos, particularmente en los sistemas de educación para el trabajo.
Hace falta, entonces, crear una visión de educación científica y tecnológica que permita a
los estudiantes adquirir habilidades básicas para poder ser autosuficientes en un mundo que
cada vez mas depende de tecnologías de información. Esto no puede hacerse sin consolidar
una alfabetización básica, esto es, habilidades de leer, entender y escribir, así como el
manejo de operaciones matemáticas fundamentales. Aquí la creación del pensamiento
critico juega un papel básico y debe estar conectado al incremento de la capacidad
productiva de los estudiantes. Detalles sobre algunos elementos que integran el paquete
llamado “pensamiento critico” se han generado en otras culturas y pueden adaptarse a la
situación guatemalteca (véase por ejemplo el reporte de la Asociación Americana para el
Avance de la Ciencia, titulado “Avances en el Conocimiento Científico” (AAAS, 1993,
1998).
Bibliografía
AAAS (1993) Benchmarks for science literacy. New York: Oxford University Press.
AAAS (1998) Avances en el Conocimiento Científico. México Harla
AAAS (1998). Blueprints for Reform. New York: Oxford University Press.
AAAS(1997). Ciencia Conocimiento para Todos. México: Harla
AAAS, (2000) Atlas of science literacy. New York: Oxford University Press.
National Research Council (1999a). How people learn: Bridging research and practice. M. S. Donovan, J.
D. Bransford, & J. W. Pellegrino (Eds.). Washington D.C.: National Academy Press.
National Research Council (1999b). How people learn: Brian, mind, experience and school. J. D.
Bransford, A.L. Brown, & R. Cocking (Eds.). Washington D.C.: National Academy Press.
National Research Council (2000). Educating teachers of science, mathematics, and technology. National
Academy Press: Washington D.C.
Naciones Unidas (2002). Informe de Desarrollo Humano de Guatemala 2001. Sistema de Naciones Unidas,
Guatemala.
65

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Se presentan informes acerca del estados en que se
encuentran investigaciones que responden a los diversos
momentos del ejercicio indagativo, a saber, proyectos en
curso y aquellos terminados.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN ANTE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS.
ESTUDIO EXPLORATORIO
Lorena Irazuma Garcia Miranda,
Cinvestav, México
lor_mir@hotmail.com
Resumen
Mientras más información se obtenga respecto a los diferentes tipos de problemas multiplicativos y las
estrategias que usan los niños para resolverlos, resulta más fácil orientar las acciones para la enseñanza
del algoritmo de la multiplicación. Este estudio de caso se analizan las particularidades de las
estrategias utilizadas por quince niños que cursan alguno de los tres primeros grados de la educación
básica mexicana para resolver problemas de agrupamiento, arreglos rectangulares, razón y precio. La
investigación detecta diversas habilidades y privilegia el conteo como la herramienta más utilizada
para solucionar las situaciones planteadas sin que el grado escolar implique el uso de estrategias más
económicas.
Marco Teórico
La multiplicación se puede considerar como una adición repetida y, desde la teoría de
conjuntos, como producto cartesiano. La primera concepción es muy común, ya que
para quien está aprendiendo los pasos fundamentales de esta operación binaria resulta
una descripción familiar. El producto cartesiano ofrece un enfoque diferente, un
apareamiento entre dos conjuntos (A y B), en donde cada elemento del conjunto A se
asocia con cada elemento del conjunto B, formando pares ordenados (producto
cartesiano de los conjuntos A y B).
Como cualquier otra operación, la multiplicación posee diversas propiedades:
cerradura, conmutativa, asociativa y distributiva. Para avanzar en el aprendizaje de
este contenido, resulta necesario conocer dichas cualidades, ya que dan respuesta a
preguntas tales como ¿qué hacer si deseo encontrar el producto de tres o más
números? ¿Puedo intercambiar los números que representan el multiplicando y el
multiplicador sin que esto afecte el resultado?
Los números uno y cero juegan un papel muy importante en la multiplicación. El uno
se conoce como elemento idéntico, debido a que si se multiplica 1 x n, el producto
invariablemente será n. Cuando se presenta un arreglo que implica un cero, está
implícito que el conjunto que se representa está vacío, por lo que perennemente el
producto tendrá que ser 0.
Para trabajar con problemas multiplicativos, es necesario clasificarlos. Vergnaud
(1983), Kouba y Franklin (1993), Nesher (1989) y Carpenter, Fennema, Franke, Levi
y Empson (1999) han estudiado los diferentes problemas multiplicativos a los que se
enfrentan los niños.
Considerando la última corriente, se encuentra que los problemas multiplicativos se
bifurcan en asimétricos y simétricos. Las situaciones asimétricas presentan factores
relacionados a referentes específicos y no pueden intercambiarse; este conjunto
abarca problemas de agrupamiento, razón, precio y comparación multiplicativa. Los
problemas de área, arreglo rectangular y combinación pertenecen a las cuestiones
simétricas, las cuales se caracterizan por mostrar factores que juegan roles
equivalentes; es decir, se pueden intercambiar.
69

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Respecto a las estrategias que los niños utilizan para resolver problemas
multiplicativos, Carpenter, Fennema, Franke, Levi y Empson (1999) afirman que
existen principalmente tres estrategias a las que se recuren: modelado directo, conteo
y hechos numéricos derivados.
Modelado directo
Inicialmente los niños modelan cada objeto que involucra el problema que se les
plantea (dichas representaciones pueden realizarse por medio de pequeñas marcas
hechas en el papel, con objetos, material de base diez, etc.) y posteriormente proceden
a contar el total de objetos que modelaron.
Conteo
Las estrategias de conteo resultan ser de más fácil empleo en problemas de suma y
resta que en problemas multiplicativos, por lo que en general, los niños no las usan en
el proceso de solución de estos problemas. Cuando se llega a utilizar en este tipo de
problemas, involucra un conteo salteado. Los niños son expertos en nombrar una
serie numérica que implica múltiplos de tres o cinco; sin embargo, se les dificulta
saltear la serie con otros números como por ejemplo, el siete. En ocasiones, los niños
dicen los primero tres o cuatro números salteados de una serie y la completan
contando de uno en uno. El conteo salteado se considera esencialmente como una
adición repetida.
Hechos numéricos derivados
Cuando se sabe el resultado de una operación sin tener necesidad de contar o
representar los números involucrados, se dice que se ha realizado un hecho numérico.
Los hechos numéricas básicos son los resultados memorizados, a partir de los cuales
se desarrollan los hechos numéricos derivados. Por ejemplo: Ramíro tiene 5 dulces,
Gabriela le regala 7 dulces. ¿Cuántos dulces tiene ahora Ramíro? El niño puede
responder 5 y 5 son 10 mas 2 son 12. Utiliza el hecho numérico básico de 5 más 5 y
aumenta las unidades que le faltan incluir para resolver el problema.
Diseño de investigación
Se presenta una investigación de tipo cualitativo “donde la información obtenida se
analiza e interpreta más en términos de procesos y eventos que en términos de datos
sujetos a cuantificación” (Buenrostro, 1998). De esta manera, las estrategias de
solución de los niños se sometieron a un análisis de tipo cualitativo en el que se
observaron las semejanzas y diferencias en sus ejecuciones.
Es un estudio exploratorio con el que se pretende obtener información preliminar
respecto a las estrategias de los niños. Se espera que dicha información permita la
realización de estudios posteriores. Así mismo, concurre un estudio de casos en el
que se analizan las particularidades de las estrategias que cada niño presenta al
resolver los problemas multiplicativos planteados (Merriam, 1998)
Respecto a la concepción de validez que mantiene el estudio, conviene presentar
algunas consideraciones hechas por Jaworski (1998):
…no hay una forma en la que pueda concebirse a las interpretaciones o conclusiones de esta
investigación como correctas o ciertas. Aquí, la validez no tiene el significado objetivo que tiene en
la investigación positivista. Se puede argumentar que tal significado muchas veces deriva de una
estrechez y definición poco realista. El rigor de investigación en este estudio descansa en
70

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
incorporar los resultados en su naturaleza y contexto ampliamente situados y en abrir los detalles de
esta incorporación. El papel central del investigador y las implicaciones que resultan deben
juzgarse a través de la validez de lo que es ofrecido en éste y otros escritos, dado que la validez
reside, en última instancia, en el grado en el que un lector informado es convencido de lo que está
escrito (p.127).
Propósitos del Estudio
- Detectar y describir las estrategias que emplea un grupo de niños que cursan
alguno de los tres primeros grados de primaria para resolver problemas
multiplicativos de agrupamiento, arreglos rectangulares, razón y precio.
Comparar las estrategias encontradas en este estudio con las estrategias reportadas en
investigaciones anteriores.
PARTICIPANTES
La investigación se llevó a cabo con quince niños (cinco de primer grado, cinco de
segundo y cinco de tercero) que asisten al Programa de Atención al Bajo Rendimiento
Escolar (PABRE). Cabe mencionar que la mayoría de estos niños son remitidos por
sus maestros debido al bajo aprovechamiento que presentan, o bien, por estar en
riesgo de reprobación.
Obtención de Datos
Los datos se recolectaron mediante la aplicación del instrumento denominado
“Evaluación Informal de Problemas Multiplicativos”, empleando la técnica de
entrevista. A continuación se presenta una descripción minuciosa de las
características de la evaluación informal y del tipo de entrevista clínica utilizado.
Evaluación Informal de Problemas Multiplicativos
Este instrumento fue construido bajo la dirección de Buenrostro, A. considerándose
autores García, L. y Acevedo, H. (2000). El propósito de esta prueba consiste en dar
cuenta de las estrategias que usa un grupo de niños de primero, segundo y tercer
grado de primaria ante cuatro tipos de problemas multiplicativos. La selección de
problemas está basada en la aportación de Carpenter, Fennema, Franke, Levi y
Empson (1999), de la cual se distinguen los problemas de agrupamiento, razón,
precio y arreglos rectangulares. Esta prueba plantea tareas semejantes a los
problemas que aparecen en los libros de texto que proporciona la Secretaría de
Educación Pública para segundo y tercer grado de la educación primaria. El
contenido de la evaluación fue sometido a un proceso de validación mediante la
revisión por parte de seis profesores titulares de los tres primeros grados de una
primaria pública.
La evaluación informal contiene ocho problemas multiplicativos: dos de
agrupamiento, dos de arreglos rectangulares, dos de precio y dos de razón. Cada tipo
de problema se presenta en dos versiones; las primeras versiones de los problemas de
agrupamiento y arreglos rectangulares permiten observar todos los objetos contenidos
en las colecciones o arreglos, mientras que las segundas no lo permiten. Para los
problemas de precio y razón, la primera versión maneja cantidades de una cifra,
mientras en la segunda aparecen cantidades de dos cifras.
71

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Tabla 1. Problemas multiplicativos contenidos en la evaluación informal
72
TIPO DE PROBLEMA SITUACIÓN PLANTEADA
Agrupamiento (1) El trenecito tiene 4 vagones y en cada vagón hay 6 niños,
¿cuántos niños hay en todo el tren?
Agrupamiento (2) Hay 4 naves espaciales, en cada una hay 7 niños,
¿cuántos niños hay dentro de todas las naves?
Arreglos rectangulares (1) Los payasos de tela están acomodados en filas, hay 8
filas y cada una tiene 6 payasos, ¿cuántos payasos hay en
total?
Arreglos rectangulares (2) En el juego de tiro al globo hay 7 filas, cada una va a
tener 6 globos, ¿cuántos globos habrá en total?
Precio (1) Luis compró 4 paletas, cada paleta le costó 8 pesos,
¿cuánto pago por todas las paletas?
Precio (2) El papá de Luis compró 12 algodones de azúcar, cada
algodón costó 3 pesos, ¿cuánto pagó por los 12
algodones?
Razón (1) Luis tiró 6 canicas que cayeron en lugares que valían 4
puntos cada uno, ¿cuántos puntos juntó Luis?
Razón (2) En el juego de tiro con rifle Luis tiró 12 patos, cada uno
valía 6 puntos, ¿cuántos puntos logró juntar Luis?
Entrevista
La entrevista empleada en esta investigación se concibe como un método flexible y
no estandarizado de cuestionamiento que permite el acceso al pensamiento
matemático del niño. La entrevistadora proporcionó tareas específicas y aunque
usualmente se comenzó con preguntas determinadas, fue libre de modificarlas para
lograr la comprensión del pensamiento del participante.
Análisis de resultados
El carácter exploratorio de las entrevistas durante la aplicación de la prueba informal
de problemas multiplicativos permitió detectar las estrategias a las que un grupo de
estudiantes recurre para solucionar los problemas planteados. A continuación se
describe cada una de ellas:

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Tabla 2. Descripción de estrategias detectadas en la investigación
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Dibujo Esbozar objetos, rayas o cualquier elemento
que ayude a representar las cifras expuestas en
el problema.
Conteo de uno en uno desde el inicio Enunciar la serie numérica desde el número
uno.
Conteo de uno en uno a partir del
grupo
Conteo de uno en uno a partir de
cierto número
Mencionar la serie numérica a partir de uno de
los números proporcionados en el problema.
Complemento de un hecho numérico básico o
de alguna operación matemática. Es la
continuación de la serie numérica a partir del
último número considerado.
Conteo de dos en dos desde el inicio Enunciar la serie numérica de dos en dos
(2,4,6,8...)
Conteo de tres en tres desde el inicio Decir la serie numérica avanzando de tres en
tres (3,6,9,12...)
Conteo de cuatro en cuatro desde el
inicio
Mencionar la serie numérica de cuatro en
cuatro (4,8,12...)
Algoritmo escrito Plasmar en papel alguna operación.
Suma Realizar la operación aritmética, considerando
el resultado de dos hechos numéricos básicos o
los datos proporcionados en el problema.
Evocación de tabla de multiplicar Recordar el resultado de alguna multiplicación
utilizada con frecuencia.
Multiplicación Plantear esta operación como herramienta para
solucionar el problema.
Hecho numérico básico Nombrar de inmediato el resultado de una
operación.
El estudio minucioso de estas estrategias, admite enriquecer las propuestas por
Carpenter, Fennema, Franke, Levi y Empson (1999). El dibujo está incluido en el
modelado directo y el conteo deriva seis modos diferentes de llevarlo a cabo. Se
innova el algoritmo escrito, la suma, evocación de tabla de multiplicar,
multiplicación y hecho numérico básico. Los hechos numéricos derivados no se
consideran debido a que en el presente estudio, ningún caso recurrió a dicha
estrategia.
En general, la estrategia más utilizada para resolver las situaciones planteadas fue el
conteo de uno en uno desde el inicio, seguida del conteo de uno en uno a partir del
grupo. El conteo de uno en uno a partir de cierto número, hecho numérico básico,
73

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
suma y evocación de tabla de multiplicar fueron estrategias utilizadas en menor grado
y en combinación de unas con otras.
Los participantes de primer grado fueron los únicos que recurrieron al dibujo, además
utilizaron diversos conteos, privilegiando el conteo de uno en uno desde el inicio.
Los alumnos de segundo grado hicieron uso frecuente de la última estrategia
mencionada, así como de la suma, el hecho numérico básico y la evocación de la
tabla de multiplicar. El algoritmo escrito y la multiplicación son estrategias
utilizadas exclusivamente por los niños de tercer grado; el conteo de uno en uno
desde el inicio permanece como herramienta, aunque se presenta con menor
frecuencia.
Conclusiones
La variedad de estrategias empleadas para resolver los problemas expuestos y la
perseverancia del conteo de uno en uno desde el inicio como una herramienta
recurrente en su solución, presume que el grado escolar que se cursa, no implica el
uso de estrategias más elaboradas o económicas. Al respecto, es prudente mencionar
que los diversos métodos utilizados (estrategias) son correctos en su totalidad, aunque
en situaciones que involucran cantidades mayores, no son prácticos.
La información obtenida da lugar a otro tipo de investigaciones, las cuales pueden
profundizar los resultados aquí reseñados. Por ejemplo, sería conveniente diseñar
situaciones didácticas en las que se proponga a los niños el uso de estrategias más
elaboradas. A su vez, sería oportuno indagar los efectos que tendría el aprendizaje
con una presentación cuidadosa de los diferentes tipos de problemas.
Bibliografía
Buenrostro, A. (2003). Aritmética y bajo rendimiento escolar. Tesis de doctorado. Centro de
Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional: México.
Carpenter, T. P., Fennema, E., Franke, M. L., Levi. L. & Empson, S. B. (1999). Children’s
mathematics: Cognively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemman-NCTM.
Garcia, L. y Acevedo, H. (2000). Estrategias de solución ante problemas multiplicativos. Tesis de
licenciatura. Universidad Nacional Autónoma de México: México.
Jaworski, B. (1998). The centrality of the researcher: Rigor in a constructivist inquiry into
mathematics teaching. En Teppo, A.R. (Ed.), Qualitative research methods in mathematics
education. Journal for Research in Mathematics Education Monograph, 9, 112-127.
Kouba, V. & Franklin, K. (1993). Multiplication and división: sense making and meaning. En:
Jensen, R. (Ed.), Research Ideas for the classroom: Early Childhood Mathematics (103-
126). Macmillan Publishing Company.
Merriam, S.B. (1998). Qualitative research and case study applications in education. San Francisco:
Jossey-Bass Publishers.
Nesher, P. (1989). Multiplicative school word problems: theoretical approaches and empirical
findings. En: J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle
Grades (pp.20-37). Virginia: Lawrence Erlbaum Associates.
Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. En: R. Lesh & M. Landau (Eds.), Adquisition of
mathematical concepts and processes (pp.141-161). New York: Academic
74

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
¿A.B=0 ⇒ A=0 ∨ B=0?
REFLEXIONES E IMPLICACIONES EN LA ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICA
Cristina Ochoviet
Liceo “Juan Zorrilla de San Martín”, Uruguay
princesa@adinet.com.uy
Resumen
Se reporta una investigación sobre pensamiento algebraico realizada con estudiantes
de Uruguay de 3er. del Ciclo Básico de enseñanza secundaria, 3er. de Bachillerato y
3er. año de Profesorado de Matemática, en torno a la propiedad que da título a este
trabajo.
Se situó la atención principalmente en tres puntos: qué estrategias usan los
estudiantes para resolver ecuaciones del tipo (ax+b)(cx+d)=0; en un error que
aparece con frecuencia al verificar las raíces de las ecuaciones antes mencionadas que
consiste en la sustitución simultánea de la variable por dos valores distintos; y si los
estudiantes generalizan esta propiedad a estructuras donde no es válida aun cuando
hayan recibido instrucción específica al respecto.
Breve reseña sobre los estudios exploratorios realizados
De acuerdo a los estudios exploratorios que realizamos con alumnos de enseñanza
secundaria 1 y terciaria 2 , pudimos apreciar que existe una marcada tendencia a
generalizar la propiedad Hankeliana de los números reales a otras estructuras
algebraicas donde esta propiedad no es siempre válida.
Propiedad Hankeliana
Esta tendencia puede apreciarse aún cuando los alumnos hayan recibido instrucción
específica al respecto. Los alumnos aplican esta propiedad a diferentes situaciones
problemáticas, sin mediar un análisis de la situación, sin reflexionar que las
propiedades no son siempre válidas, que están relativizadas a un contexto. Por
ejemplo, se le presentó a los estudiantes la siguiente actividad:
D y B son dos matrices. Se sabe que D.B=O, es decir que el producto de ambas
matrices es la matriz nula. ¿Qué puedes deducir sobre las matrices D y B a partir de
esta información?
Muchos estudiantes contestaron que D o B eran la matriz nula, aun cuando en sus
cursos de álgebra habían observado que esto no era cierto.
1 En Uruguay la Enseñanza Primaria abarca seis años de instrucción y la Secundaria otros seis que se dividen en
dos ciclos. El primer ciclo tiene una duración de tres años (1º, 2º, 3º) y se denomina Ciclo Básico (alumnos de 12
a 14 años aproximadamente). El segundo ciclo, también de tres años (1º, 2º, 3º), se llama Bachillerato
Diversificado (alumnos de 15 a 17 años aproximadamente).
2 Los alumnos de nivel terciario estaban cursando tercer año de profesorado de matemática. Esta carrera se cursa
en el Instituto de Profesores Artigas y tiene una duración de cuatro años.
75

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
También hemos detectado que muchos alumnos no la aplican en el contexto de la
resolución de ecuaciones, aún cuando sea la única herramienta disponible y hayan
recibido instrucción sobre su aplicación a la resolución de ecuaciones polinómicas
factorizadas e igualadas a cero 3 . También hemos observado un tipo de error que
cometen algunos estudiantes al momento de verificar las raíces de una ecuación dada
en esta forma y nos cuestionamos si es consecuencia directa de la aplicación de esta
propiedad. Este error consiste en realizar una sola verificación, usando
simultáneamente las dos raíces que se han encontrado. Con esto queremos decir que,
dada la ecuación (ax+b)(cx+d)=0 con dos raíces distintas, en lugar de realizar dos
verificaciones, una para cada raíz, es frecuente que el alumno sustituya la x presente
en el primer factor, por la raíz que obtuvo al resolver ax+b=0 y en el segundo
factor, sustituya la x por la raíz que obtuvo al resolver cx+d=0. En este procedimiento
el alumno está asignando a x dos valores distintos a la vez.
Por ejemplo, los estudiantes resolvieron la ecuación (2x-6)(5x+10)=0 y encontraron
las raíces 3 y -2. Podemos observar en la parte izquierda del siguiente cuadro cómo
hicieron la verificación gran parte de ellos y a la derecha lo que en realidad deberían
haber hecho:
Preguntas de investigación
Las preguntas que surgen a partir de los estudios exploratorios realizados son muchas,
pero en la presente investigación nos concentramos principalmente en los siguientes
tres puntos y haremos más tarde mención a ellos de acuerdo a la numeración que les
asignamos a continuación:
1. Observaremos las estrategias que utilizan los estudiantes que conocen la
propiedad Hankeliana de los números reales cuando se enfrentan a la resolución
de ecuaciones polinómicas factorizadas e igualadas a cero
2. Examinaremos el error que cometen los estudiantes cuando sustituyen a la
incógnita por dos valores distintos en forma simultánea, al verificar las raíces en
una ecuación polinómica que está dada en forma factorizada e igualada a cero y
formularemos posibles explicaciones del mismo
3. Buscaremos elementos para destacar en relación a los estudiantes que generalizan
la propiedad Hankeliana de los números reales a otras estructuras algebraicas
donde no es válida, aun cuando hayan recibido instrucción específica al respecto.
3
Nos referimos concretamente a ecuaciones de la forma (ax+b)(cx+d)=0 con a y c diferentes de cero y con dos
raíces distintas.
76
3 y –2 son las raíces de la
ecuación
(2.3-6) (5(-2)+10)=0
VS
3 y –2 son las raíces de la
ecuación
(2.3-6)(5.3+10)=0
y
(2.(-2)-6)(5(-2)+10)=0

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Los estudiantes con los que trabajamos
La investigación se realizó con estudiantes de tres niveles:- 3er. año de Ciclo Básico
de enseñanza secundaria. Último año de bachillerato. 3er. año de profesorado de
matemática
Para conocer las diferencias en cuanto a las estrategias de resolución elegidas
Para observar la aparición del error, en relación al nivel de los estudiantes.
Para ver la versatilidad de pensamiento según el nivel que cursaban, ante evidencias
de que la propiedad no era válida en determinadas situaciones.
• Para observar la evolución del universo de representaciones para a y b en
a.b=0, cuando no se especifica qué representan a y b.
Consideraciones teóricas
Para formular posibles explicaciones a los fenómenos en los que nos hemos centrado
tuvimos en cuenta diversos marcos teóricos: la noción de Imagen conceptual
presentada en (Vinner, 1991), el concepto de compartimentalización (Vinner, 1990),
la Teoría de la Intuición (Fischbein, 1987) y la noción de Autonomía de los modelos
mentales presentada en (Fischbein, Tirosh, Stavy & Oster, 1990). Como marco
téorico específico del pensamiento algebraico usamos el modelo 3 UV presentado por
Trigueros y Ursini (Por aparecer).
Vinner (1991) modela la estructura cognitiva de un individuo asumiendo la
existencia de dos celdas. Una celda es para la definición y la otra para la imagen
conceptual. Una o las dos pueden estar vacías. La celda de la imagen conceptual se
considera vacía hasta que algún significado se asocie al nombre del concepto.
Cuando introducimos un concepto por primera vez a través de su definición, la celda
de la imagen conceptual está vacía en un principio, pero luego de varios ejemplos y
explicaciones se va llenando. No necesariamente refleja todos los aspectos de la
definición del concepto. Por ejemplo, la imagen conceptual podría contener la
información de que si a.b=0 entonces a=0 o b=0, pero no contener la información de
lo que representan a y b. Esto permitiría explicar la generalización que los estudiantes
realizan de esta propiedad a estructuras donde no es válida. Con esto queremos decir
que los estudiantes recuerdan la propiedad como regla y pierden de vista qué objetos
matemáticos representan a y b. Con esto dan validez universal a la propiedad y
cometen errores.
También podría ocurrir que la imagen conceptual de los estudiantes tuviera
solamente la regla pero no aplicaciones de ella, como ser la resolución de ecuaciones
factorizadas e igualadas a cero.
¿Pero cómo podríamos explicar el hecho de que el alumno aun teniendo
conocimiento de la propiedad Hankeliana no la aplica a la resolución de ecuaciones,
no solo cuando es la herramienta más adecuada, sino también, cuando es la única
herramienta disponible?
Para explicar este fenómeno usaremos el concepto de compartimentalización que
presenta Vinner (1990):
“By “compartmentalization”, I refer to situations in which two pieces of knowlodge
(or information) that are known to an individual and that should be connected in the
person´s thought processes nevertheless remain unrelated”. (Vinner, 1990)
77

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Se habla de compartimentalización cuando esperamos que cierto detalle específico
sea evocado en la mente de cierta persona, porque ese detalle es relevante en lo que
la persona está pensando, pero resulta que éste no es evocado.
En el caso que estamos estudiando, de alguna manera, el conocimiento (la propiedad)
está en algún lugar de la mente pero lo que no siempre se produce es una evocación
del mismo para poder aplicarlo. Muchos alumnos conocen la propiedad pero no todos
la aplican, aun cuando sea la herramienta óptima. Parecería que la ecuación
factorizada e igualada a cero no constituye un estímulo suficiente que les permita
evocarla. Entonces no se produce una asociación que se supone debería realizarse y el
alumno no obtiene éxito en la actividad que enfrenta, ya sea porque no relaciona el
contexto de las ecuaciones con la propiedad y ésta es la única herramienta disponible
o porque usa otras herramientas más costosas a nivel de la operatoria involucrada y
comete errores.
Vinner (1990) nos habla de que los estudiantes pueden tener ideas inconsistentes. Una
persona difícilmente pueda decir que p y no p pueden verificarse simultáneamente,
sin embargo, hay situaciones que pueden derivar contradicciones.
Pudiera ser que en cierto momento t1 un estudiante creyera en la validez de cierta
proposición p y en otro momento diferente t2, creyera en la validez de no p, sin darse
cuenta de que en t1 pensó que p era verdadera. Este autor señala que esta situación
puede verse como un caso especial de compartimentalización. También puede
suceder que un estudiante tenga ideas inconsistentes, pero una idea no sea la negación
de la otra, con esto queremos decir que un estudiante podría tener las ideas p y q y
que de ellas se derivaran ideas como r y no r.
Ejemplifiquemos esta situación tomando el caso del error en la verificación que
hemos observado. Se le pide a un alumno resolver y verificar la ecuación (x-5)(x-
6)=0. Supongamos que calcula las raíces 5 y 6, y realiza el siguiente planteo
(incorrecto) como verificación de las mismas:
78
(5-5)(6-6)=0
0 . 0 =0
Obsérvese que el estudiante está implícitamente aceptando que x≠x, ya que para él,
simultáneamente, una x vale 5 y la otra vale 6. Pero no es el estudiante el que se da
cuenta de este error lógico sino que seguramente sea su docente, que bien sabe que x
es igual a x. Por otra parte, si al estudiante se le preguntara si x=x, es bastante seguro
que conteste que sí. Con esto queremos decir que, el estudiante no puede percibir la
contradicción en el planteo que hace, aun cuando de alguna manera sabe que x debe
ser igual a x. Posiblemente, lo que no hace el estudiante es la conexión. No se da
cuenta que sustituir dos valores distintos equivale a utilizar dos diferentes x en la
misma situación. Pero aún así, no tenemos la certeza si de evocarse estos dos
comportamientos el alumno se daría cuenta de su error.
Según Trigueros y Ursini (Por aparecer):
“The development of algebraic language and its use for different purposes requires
the development of the concept of variable as a single multifaceted concept that
includes different aspects”.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Desde su punto de vista, la enseñanza debería hacer énfasis en la distinción entre los
diferentes usos de la variable con el objetivo de que los estudiantes pudieran
integrarlos en una única entidad conceptual: la variable. Reconocen diferentes usos
de la variable que están relacionados a diferentes concepciones del álgebra, por
ejemplo, aritmética generalizada, resolución de problemas, estudio de relaciones y
funciones, estudio de estructuras. Estas diferentes concepciones del álgebra y los
diferentes usos de la variable aparecen comúnmente mezclados en la enseñanza del
álgebra escolar. Parecería que las prácticas docentes no hacen énfasis en la distinción
entre cada uno de los usos y por tanto se hace difícil para los estudiantes
diferenciarlos. Trigueros y Ursini señalan que en la enseñanza del álgebra elemental,
los aspectos más usados del concepto de variable son: como una incógnita, como un
número genérico, y como variables en una relacional funcional.
Algunos resultados en relación a las preguntas de investigación
1. Se ha observado que aun cuando los estudiantes sepan que si a.b=0 entonces a=0
o b=0, siendo a y b números reales, no todos lo aplican a la resolución de una
ecuación polinómica de segundo grado, factorizada e igualada a cero, aun cuando
este procedimiento sea el más económico para aplicar en esta situación y en
muchos casos el único disponible. Los estudiantes aplican otras técnicas más
costosas al nivel de la algoritmia implicada, como la fórmula cuadrática, y
cometen errores. Por ejemplo, para resolver (x-5)(x-6)=0, desarrollan obteniendo
x 2 2
-11x+30=0 y aplican la fórmula cuadrática: 11±
( −11)
− 4.
1.
30
x =
deduciendo
2.
1
las raíces 5 y 6. Nos preguntamos por qué conociendo la propiedad antedicha no
plantean directamente x-5=0 o x-6=0, obteniendo las raíces 5 y 6.
Algunos estudiantes creen que los docentes les requieren procedimientos
complejos para resolver las situaciones, o por lo menos, procedimientos de alto
costo algorítmico. Los estudiantes de bachillerato todavía no poseen la autonomía
suficiente como para valorar qué es lo más económico, en muchos casos “les da
igual” uno u otro procedimiento. Los de nivel terciario aplican la propiedad en su
inmensa mayoría, argumentando, en este nivel sí, razones de economía.
También hemos observado que los estudiantes tienen dificultades para interpretar
en (x-5) y (x-6) números reales, razón por la cual, la propiedad tampoco es
evocada y los estudiantes terminan aplicando la fórmula cuadrática.
2. Observamos que algunos estudiantes, al momento de verificar las raíces de una
ecuación como por ejemplo (x-5)(x-6)=0, cometen un error que fue observado en
todos los niveles (medio, bachillerato, terciario). Como ya explicamos, este error
consiste en la sustitución simultánea de la x por valores diferentes. Esto es (5 - 5)
(6 - 6)=0, haciendo una sola verificación y no dos, una para cada valor de x
hallado. Como la ecuación igual “verifica” ya que 0.0=0, los alumnos no se dan
cuenta del error.
Parecería que se trata de un error lógico. Los estudiantes creen que como la
ecuación tiene dos raíces, deben estar “ambas presentes” al momento de verificar.
El conflicto estaría en que las raíces son 5 y 6 pero en la expresión algebraica x=5
o x=6. Los alumnos parecerían no comprender la lógica de la expresión algebraica
79

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
80
donde la variable x admite “un valor a la vez”. Por otra parte, si bien los alumnos
explicitan que alcanza con que uno de las factores sea cero para que el producto
sea nulo, existe una fuerte tendencia a creer que ambos factores deben ser cero.
Esto pudo evidenciarse cuando se sustituyó la incógnita, por papelitos que tapaban
números:
Los papelitos tapan números, ¿puedes averiguarlos? ( -5)( -6)=0
Observamos que existe una fuerte tendencia a creer que detrás de los papelitos están
los números 5 y 6, respectivamente. Podría estar sucediendo que esta creencia fuera
luego llevada al contexto de resolución de ecuaciones, provocando errores.
3. Parecería que algunos estudiantes generalizan la propiedad: A.B=0 entonces A=0 o
B=0, válida en los anillos que no admiten divisores de cero, a diferentes contextos
donde no es válida. Entre ellos el producto de matrices o el producto de funciones
de dominio real. Esto se observó aun cuando los estudiantes habían recibido
instrucción específica al respecto.
No poseemos evidencias aún, pero hemos formulado la hipótesis de que las
respuestas de los estudiantes podrían estar respondiendo a la aplicación de un
modelo mental que preserva las características sintácticas de la propiedad sin
atender a la semántica de los objetos matemáticos involucrados.
Posible prototipo
≅ × ≤=0 ⇒ ≅=0 o ≤=0
Bibliografía
English, L. & Halford, G. (1995). Mathematics Education. Models and Processes. Mahwah, New
jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics. An Educational Approach. Dortretch: D.
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working with different uses of variable”. En Research in Undergraduate Mathematics
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Vinner, Sh (1991). The role of definitions in teaching and learning. En Tall, D. (ed) Advanced
Mathematical Thinking. Kluwer. Dordretch/Boston/London Pp. 65-81.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
ACTITUDES DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS EN FORMACIÓN HACIA
LA MODELIZACIÓN Y LA CALCULADORA GRÁFICA
José Ortiz Buitrago; Enrique Castro Martínez; Luis Rico Romero;
Universidad de Carabobo. Venezuela; Universidad de Granada, España
ortizjo@cantv.net; ecastro@ugr.es; lrico@ugr.es
Resumen
En este trabajo se estudia la actitud de un grupo de diez profesores de matemáticas en formación
respecto a un programa de formación recibido, basado en el uso de la modelización y la calculadora
gráfica en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Dicho programa se implementó
mediante un curso-taller. Se consideró importante conocer la actitud de los participantes en el
desarrollo del programa tanto al inicio como al final del mismo. Para ello se diseñó un cuestionario de
actitudes estilo Likert, cuyo propósito fue captar los cambios actitudinales que pudo generar, en los
profesores en formación, el desarrollo del programa que integra la modelización y la calculadora
gráfica en el contexto del álgebra lineal escolar. Dicha escala se diseñó, a partir de una estructura
matricial sostenida en categorías de análisis, tomando en cuenta dos variables. La primera variable
definida mediante los componentes del programa; es decir: modelización (C1), calculadora gráfica
(C2), estructura conceptual del álgebra lineal escolar (C3), y diseño de actividades didácticas (C4). La
segunda variable definida por las dimensiones del concepto de currículo en el nivel de planificación
educativa; es decir: alumno (D1), profesor (D2), contenido matemático (D3) y uso social (D4). Se midió
la fiabilidad del instrumento, aplicando el coeficiente rho ( s) de Spearman. Se realizaron análisis
estadísticos de ítems (log-lineal), de reacciones extremas (Moses) y de sujetos (cluster y escalamiento
multidimensional). Del análisis log-lineal se evidenciaron cambios favorables en los participantes pero
no estadísticamente significativos, excepto en el componente C3 y la dimensión D3. Por otra parte, los
participantes mostraron reacciones extremas significativas en las actitudes hacia la modelización
respecto de la evaluación y hacia las actividades didácticas relativas a la evaluación. El análisis de los
sujetos permitió identificar la estructura grupal actitudinal presente tanto al inicio como al final de la
aplicación de la escala.
Introducción
Se da por supuesto que hay diferentes acepciones del término “actitud”. En la
presente investigación se considera para hacer referencia a respuestas afectivas de
intensidad moderada y relativa estabilidad. Además, se parte de la consideración que
la actitud es un constructo en el cual hay una interrelación de componentes
cognitivas, afectivas y teleológicas. Esta última está referida a las finalidades que
podrían estar presentes en determinadas actitudes.
El análisis de las actitudes hacia las nuevas tecnologías y la modelización se justifica
en virtud que en algunos sectores se observa cierta resistencia hacia su uso en el aula,
por ello consideramos de interés estudiar las actitudes de los profesores en formación
en torno a la potencialidad didáctica de la calculadora gráfica, para la enseñanza del
álgebra lineal, a partir del proceso de modelización de situaciones del mundo físico o
social. Es un hecho la incorporación de las nuevas tecnologías en educación
matemática; sin embargo para ello se requiere de un profesor competente; éste podría
conseguirse con una sólida formación inicial en su campo profesional; es decir, en lo
didáctico y en lo disciplinar (McLeod, 1993). Aunado a esto, no se puede obviar que
en el proceso de enseñanza y aprendizaje las actitudes de rechazo, de los profesores,
hacia las nuevas tecnologías pueden afectar negativamente las actitudes de los
81

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
alumnos hacia el uso de las calculadoras gráficas, a pesar de que éstas últimas podrían
jugar un rol importante en el mejoramiento de actitudes de los alumnos hacia las
matemáticas (McLeod, 1992). En tanto que dominio afectivo en la formación inicial
de profesores de matemáticas, las actitudes podrían ralentizar o potenciar la
congruencia entre el ser y el deber ser del proceso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, esto se evidencia en los estudios de McLeod (1992, 1993), Ponte,
Matos, Guimaraes, Cunha & Canavarro (1992), Almeqdadi (1997), Philippou &
Christou (1998) y Mohammad & Tall (1999). En suma, el interés por las actitudes de
los profesores en formación reposa también en la importancia que a ésta se le asigna
en la legislación educativa en España. Las actitudes forman parte de los objetivos de
los programas de estudio de la escuela secundaria. Los estudios del Instituto Nacional
de Calidad y Evaluación (1998ª, 1998b, 2001) sobre el sistema educativo español, en
diferentes niveles, muestran entre sus hallazgos relacionados con los profesores de
matemáticas, que: 1) los profesores de matemáticas en ejercicio son los que menos
valoran y utilizan los medios materiales tales como audiovisuales y ordenadores; 2)
los profesores de matemáticas son los menos partidarios de emplear una metodología
innovadora y participativa; 3) los profesores valoran más los materiales elaborados
por ellos mismos. De lo antes señalado se deduce que los profesores de matemáticas
no tienen una actitud positiva hacia la incorporación de cambios en las estrategias de
enseñanza y, por tanto, las actitudes de los profesores podrían afectar la puesta en
práctica del currículo acorde con la normativa contemplada en la Ley de Ordenación
General del Sistema Educativo (LOGSE) vigente en España desde el año 1990. En
investigación evaluativa también se ha venido incorporando el estudio de las
actitudes. Ortiz (2000, 2002) y Bedoya (2002) observan que conociendo la actitud de
los sujetos ante los componentes de un programa, previo a su implementación y
posterior a ella, permite identificar aspectos que el programa a podido modificar en la
actitud de los sujetos. Es decir, el estudio de las actitudes favorece el conocimiento
del posicionamiento de los sujetos ante los componentes de un programa en
particular.
En esta investigación se estudia las actitudes de los profesores en formación hacia
cuatro componentes que están relacionadas con las necesidades identificadas por los
estudios del Instituto Nacional de Calidad y Educación (INCE). Esas componentes
son la calculadora gráfica, la modelización, el álgebra lineal y el diseño de unidades
didácticas.
Para indagar respecto a las actitudes de los profesores en formación se recurre al
diseño e implementación de un programa de formación que incorpora la modelización
matemática y la calculadora gráfica en el diseño de actividades didácticas de
contenido algebraico. Dicho programa tiene como propósito ampliar el soporte
cognoscitivo, de los participantes, necesario para el diseño de actividades didácticas;
es decir, para actuar razonadamente en la toma de decisiones al momento de diseñar
las referidas actividades.
La interrogante de investigación fue la siguiente:
¿Qué actitudes manifiestan los profesores en formación ante el uso didáctico de la
modelización y la calculadora gráfica en la elaboración de unidades didácticas
relacionadas con elementos algebraicos?
82

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
A partir de esta cuestión se plantea como objetivo analizar las actitudes de profesores
en formación hacia el uso didáctico de la modelización y la calculadora gráfica en la
elaboración de unidades didácticas relacionadas con el álgebra lineal.
Aproximación metodológica
Para efectos del estudio se toma un grupo de diez profesores en formación, todos
cursantes del último año de licenciatura en matemáticas en la Universidad de
Granada, España, los cuales fueron sometidos a un programa de formación para
conocer las actitudes respecto a sus componentes. Para captar las actitudes de estos
sujetos se utiliza la escala de actitudes descrita en Ortiz, Rico & Castro (2001). La
misma fue construida en correspondencia con la modelización, calculadora gráfica,
álgebra lineal y actividades didácticas; y con las dimensiones del currículo (Rico,
1997). La escala permite conocer las actitudes de los participantes hacia cada
componente del programa propuesto en lo referente a: el alumno, el profesor, el
contenido matemático y la evaluación. Para la valoración de cada ítem se presentan
cinco opciones Las mismas fueron: totalmente en desacuerdo (TD), parcialmente en
desacuerdo (PD), neutral (N), parcialmente de acuerdo (PA) y totalmente de acuerdo
(TA). Este cuestionario se aplicó al inicio (para captar la actitud de entrada) y al final
del desarrollo del programa a manera de identificar variaciones.
Resultados
Análisis de los resultados en la aplicación de la escala
Se consideran las ponderaciones o pesos, iniciales y finales, dadas a las parejas de
ítems (ver tabla 1). Dichas ponderaciones serán números entre 20 y 100, según todos
los participantes tomen la opción TD (20x1=20) o la opción TA (20x5=100). La
ponderación promedio será 20x3=60, obtenida al considerar que todos los
participantes escogieron N (neutro) en todos los ítems del cuestionario.
En principio, a partir de las ponderaciones mostradas en la tabla 1 se podría afirmar
que el desarrollo del Programa resultó moderadamente favorable al cambio de
actitudes objeto de estudio. Sin embargo, estas inferencias requieren de un estudio
estadístico que pueda dar soporte a lo dicho anteriormente, para replantear o
reformular estos juicios o aseveraciones sobre las causas de los ligeros cambios
actitudinales asignado a la realización del curso-taller.
Análisis estadístico de ítems
Se aplicó la técnica de los modelos log-lineales a los datos de la tabla 1. En el análisis
log-lineal se observa que C3 es el único componente ponderado favorablemente con
significación estadística. Aunque el valor de λ= 0,0619821 para C1, permite apreciar
un cambio positivo hacia la modelización matemática, pero no estadísticamente
significativo. El análisis log-lineal también señala cierta tendencia de las
ponderaciones de la CG (C2) y las unidades didácticas (C4) por debajo de la media de
las mismas, lo cual expresa una valoración menos favorable hacia ellas.
83

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Componentes del
Programa
Tabla 1 Ponderaciones iniciales y finales de las actitudes
Respecto a las dimensiones curriculares (Cj) el análisis realizado a la tabla 1 indica
que la mayor ponderación fue dada al alumno (D1), seguida de D3 y D2
respectivamente. Al observar el análisis log-lineal se nota que el contenido
matemático es el mejor ponderado, y además estadísticamente significativo, seguido
de D1, D2 y D4 respectivamente. Sin embargo, no hay una correspondencia en el
orden de importancia de los Dj. Se encontraron cambios favorables en Dj pero no son
estadísticamente significativos.
En cuanto a la variable CiDj, el análisis de diferencias sugiere que C3D1: actitud hacia
la resolución de problemas de álgebra lineal respecto del alumno tiene mejor
ponderación, seguido de C1D2: actitud hacia la modelización referida al profesor,
C4D3: actitud hacia las unidades didácticas referidas al álgebra lineal y C2D4: actitud
hacia la calculadora gráfica respecto de la evaluación. Asimismo, el análisis log-lineal
muestra congruencia con lo obtenido en el análisis de diferencias, aunque no
establece ponderación estadísticamente significativa.
Los resultados de la escala de actitudes sugieren cambios favorables en los
participantes, pero a la luz del análisis log-lineal éstos no son estadísticamente
significativos. Por otro lado, se identifican actitudes que no sufrieron cambio luego de
la aplicación del programa, como el caso C2D1: actitud hacia la CG respecto del
alumno.
Análisis estadístico de reacciones extremas
Para saber si existen reacciones extremas en sentido positivo o negativo se empleó el
test no paramétrico de reacciones extremas de Moses. Se concluye que las reacciones
extremas en las actitudes de los participantes, en el momento inicial, difieren
significativamente de las actitudes de los mismos en el momento final en relación con
las variables C1D4 y C4D4. Observándose que, en relación con la variable C1D4, en el
momento inicial, un subgrupo (seis sujetos) se manifestó parcialmente de acuerdo,
84
Modelización
(C1)
Calculadora
(C2)
Älgebra lineal
(C3)
U. Didácticas
(C4)
Alumno
D1
Dimensiones curriculares
Profesor Contenido Evaluació
n
D2
D3
D4
Totales
Momento Momento Momento Momento Momento
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
91 96 82 92 90 89 74 59 337 336
77 77 66 67 86 89 63 69 292 302
87 100 73 75 91 96 89 93 340 364
67 71 77 72 69 77 67 59 280 279
Totales 322 344 298 306 336 351 293
280

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
mientras que en el momento final otro subgrupo (cuatro sujetos) se manifestó
parcialmente en desacuerdo. De igual manera, este mismo comportamiento lo
observamos en la variable C4D4, donde un subgrupo (cinco sujetos) se manifestó
parcialmente de acuerdo en el momento inicial y en el momento final otro subgrupo
(cuatro sujetos) se manifestó parcialmente en desacuerdo.
Análisis estadístico de los sujetos
A efectos de explicar las posibles agrupaciones de sujetos, tanto al inicio como al
final de la aplicación del programa, se utilizan las técnicas del análisis cluster y la de
escalamiento multidimensional.
Análisis cluster
En el momento inicial identificamos dos clusters, específicamente uno constituido por
los sujetos s2, s3, s8, s5 y s6 y el otro formado por los sujetos s9 y s10. Luego de
identificados los clusters se considera de interés conocer las coincidencias o
disparidades intracluster. De esa manera se podría tener mayor claridad en las
conformaciones de los grupos y sus consecuencias para el estudio.
En el momento inicial, los sujetos del grupo más numeroso coinciden en actitudes
favorables hacia componentes referidas a la dimensión curricular alumno. Por otro
lado, presentan disparidad en la actitud hacia las unidades didácticas en la enseñanza
del álgebra (C4D3).
El análisis estadístico del momento final permitió identificar un grupo de cinco
miembros. En él se destaca que todos sus miembros se manifiestan totalmente de
acuerdo en lo que respecta a las actitudes hacia la resolución de problemas
algebraicos en todas las dimensiones del currículo. Esto indica que en dicho grupo la
actitud de preferencia favorable es hacia el álgebra lineal.
A partir de la comparación entre los resultados del análisis estadístico de los sujetos,
con los clusters seleccionados, pudimos confirmar que las actitudes más favorables de
manera significativa fueron C3D1 y C3D4, hacia las cuales se manifestaron los sujetos,
de los dos grupos mayoritarios totalmente de acuerdo, tanto al inicio como al final. El
análisis de escalamiento multidimensional confirmó el análisis cluster.
Lo antes expuesto induce a pensar que el análisis estadístico de los sujetos pone en
evidencia la importancia de ser cauteloso al momento de emitir juicios categóricos
acerca de las tendencias actitudinales y por lo tanto hacia el impacto del programa en
estudio. De allí la importancia de la complementariedad de técnicas de análisis de los
datos en el estudio de las actitudes, para lograr un abordaje mucho más profundo para
la obtención de conclusiones con mayor sustentación.
Conclusiones
1. Del análisis log-lineal aplicado a la escala de actitudes se desprende que no hubo
cambios globales significativos de actitud en los sujetos. No obstante, el desarrollo
del programa provocó un ligero cambio hacia actitudes favorables.
2. Se encontró diferencias significativas entre los componentes del programa. El
componente C3: resolución de problemas de álgebra lineal tuvo una valoración
superior a la media de forma significativa. Por el contrario, el componente C4:
actividades didácticas fue infravalorado por los sujetos.
3. El moderado impacto del programa en las actitudes hacia la CG en el aprendizaje
del alumno podría indicar que algunos participantes conservan temores a que sus
alumnos pierdan habilidades algebraicas con papel y lápiz.
85

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
4. El test de reacciones extremas de Moses puso de manifiesto que hay sujetos que
tuvieron un cambio brusco de actitud hacia algunos de los aspectos considerados. En
concreto en la actitud hacia la modelización respecto de la evaluación (C1D4) y hacia
las actividades didácticas referidas a la evaluación (C4D4).
5. El cambio de actitud menos favorable se observó hacia las actividades didácticas
para la evaluación.
6. El análisis estadístico de los sujetos permitió identificar disparidades y
coincidencias en las actitudes de subgrupos de sujetos. Las disparidades identificadas
en el momento inicial fueron en la actitud hacia las unidades didácticas referidas al
contenido matemático (C4D3) y en el final fueron hacia las unidades didácticas
referidas a la evaluación (C4D4). Las actitudes hacia las cuales hubo mayor
coincidencia a favor, tanto al inicio como al final, fueron hacia la resolución de
problemas algebraicos referidos al alumno (C3D1) y a la evaluación (C3D4).
Bibliografía
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Bedoya, E. (2002). Formación Inicial de Profesores de Matemáticas: Enseñanza de Funciones,
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86

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
ACTIVIDAD METACOGNITIVA AL HACER USO DE SOFTWARE
EDUCATIVO
Sandra Castillo
Universidad Nacional Experimental de Guayana. Venezuela.
scastill@uneg.edu.ve viajero@cantv.net
Resumen
Con énfasis en la importancia que tiene la Metacognición dentro del proceso de aprendizaje y
enseñanza de las Matemáticas, se reporta parte del trabajo de una investigación cuyo objetivo es
realizar un estudio descriptivo, interpretativo y evaluativo de las habilidades metacognitivas que los
alumnos desarrollan, al realizar actividades de aprendizaje del cálculo de áreas a través de la integral
definida, haciendo uso del software educativo Mathgraph. El diseño de investigación se basó en el
estudio de caso, el cual puede ser utilizado para estudiar sistemáticamente un fenómeno; el instrumento
que permitió evaluar las habilidades metacognitivas de los alumnos fue el cuestionario propuesto por
Mayor, Suengas y González (1995), basado en un modelo global -tridimensional- que involucra
variables y los componentes metacognitivos.
Introduccion
La importancia de los aportes que todo docente puede ofrecer a su institución está
determinada por la calidad de las investigaciones que él puede realizar. Bajo esa
perspectiva, la autora de este reporte, una vez que conoce la existencia del Material
Educativo Computarizado Mathgraph, un software educativo idóneo para ser
utilizado en el proceso de aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas, detecta la
necesidad de estudiar las habilidades metacognitivas que desarrollan los alumnos
cuando usan la computadora para dar solución a problemas, en este caso de
Matemática II. El lector se preguntará ¿por qué el estudio de las habilidades
metacognitivas y no otra variable?. La razón de esto, está en que los alumnos de la
UNEG son preparados desde el Curso Introductorio con un componente llamado
Desarrollo de Procesos Cognoscitivos (DPC) y específicamente en su unidad II, trata
la resolución de problemas (Reglamento General de la UNEG, 1996) y esto hace que
haya familiaridad con las variables tratadas.
De igual manera, últimamente se ha dado mayor importancia a la metacognición en
distintas investigaciones dentro del campo educativo, llevadas a cabo en todos sus
niveles y en distintas naciones y, para dar un ejemplo de ello, aquí en Venezuela
encontramos a Zaragoza (2001), quien en su trabajo “Reconceptualización del
proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática en la I y II etapa de la Educación
Básica” expresa que: “La enseñanza de la matemática vista en función de las
necesidades del ciudadano que debe trabajar habitualmente en situaciones de
incertidumbre debe necesariamente contemplar el desarrollo de estrategias
metacognitivas”. Se hace, pues; no sólo necesario sino imprescindible, forjar cada día
estudios e investigaciones que conlleven a profundizar y extender el amplio mundo
de la metacognición, de tal forma que todo docente debe estimular la práctica y la
discusión de las estrategias espontáneas e inconscientes que generan los estudiantes,
ya que sin duda contribuirá a su desarrollo.
La metacognición permite a los alumnos tomar conciencia de su propio proceso de
aprendizaje, discernir y escoger sus propias estrategias para planificar su aprendizaje
y la utilización de instrumentos necesarios para identificar y corregir las fallas en su
aprendizaje (Landaeta, 1998)
87

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Esta investigación arrojó resultados que contribuyen, de alguna manera a enriquecer
el proceso de aprendizaje y enseñanza; profundizar en el desarrollo de habilidades
cognoscitivas y metacognitivas; ofrecer alternativas para la resolución de problemas
de ingeniería y desarrollar la inquietud de crear software educativo para la enseñanza
de la matemática.
La investigación
La investigación que se reporta, tuvo las siguientes variables de estudio: (1) El uso
del Mathgraph, (2) Las habilidades metacognitivas y, (3) La resolución de problemas.
Se debe señalar que en primer lugar, el uso del Mathgraph por parte de los
estudiantes se dio a través de un proceso de monitoreo guiado por la docenteinvestigadora;
segundo, la metacognición se trató como el producto cartesiano entre
sus componentes y variables, modelo propuesto por Mayor, Suengas y González
(1995) y tercero, que la resolución de problemas se estudió tomando en cuenta el
enfoque del procesamiento de la información (Puente, 1989).
Como objetivo general se planteó realizar un estudio descriptivo, interpretativo y
evaluativo del desarrollo de habilidades metacognitivas en alumnos que utilizan el
Material Educativo Computarizado - Mathgraph - para resolver problemas
relacionados con la ingeniería haciendo uso de la integral definida (unidad II) en la
asignatura Matemática II del Proyecto Ingeniería en Informática de la Universidad
Nacional Experimental de Guayana.
El marco de referencia que fue considerado corresponde al psicólogo Robert Gagné, quien
comparte los postulados básicos de los enfoques: conductismo y cognoscitivismo. Además
agrega una taxonomía y una teoría de aprendizaje, como resultado de su tarea como
investigador; él propone ligar tipos de estímulos a los que llama eventos con tipos de
respuestas a las que llama resultados (Galvis, 1992). Entre los conceptos básicos figuran:
Aprendizaje, el cual se entiende como el proceso de cambio en las capacidades del individuo,
el cual produce estados persistentes y es diferente de la maduración o desarrollo orgánico. Se
infiere que ha ocurrido cuando hay un cambio de conducta que perdura.
Modelo de procesamiento de información y aprendizaje: El proceso de aprendizaje de Gagné
puede explicarse siguiendo las teorías del procesamiento de la información, específicamente el
propuesto por Lindsay y Norman (1972); no obstante, existen algunas diferencias dadas por
las relaciones entre las memorias y los mecanismos de interacción con el ambiente, además de
el control ejecutivo, estructura que influye en el procesamiento de información y permite que
éste gane eficiencia; a través de este control se mejoran los procesos del pensamiento, es decir
se aprenden estrategias cognitivas y las expectativas generadas por estructuras internas de los
sistemas de autoaprendizaje, en los que el alumno asume el control del proceso de aprendizaje.
Fases o etapas del aprendizaje: Para Gagné las fases de aprendizaje son las siguientes:
motivación, comprensión, adquisición, retención, recordación, generalización, desempeño y
realimentación. En resumen, se debe procurar que los alumnos tengan el control sobre el
procesamiento de la información que está ligado a cada tipo de aprendizaje, de esta forma se
establece la comunicación y la colaboración entre los docentes y los alumnos, indispensable
para que se dé el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Por otro lado el potencial educativo que tiene el uso de computadoras en el aula de
clases ha sido estudiado exhaustivamente en los últimos tiempos. Hoy en día, se
investiga el impacto al emplear este tipo de medios en el proceso de aprendizaje y
enseñanza. Luego, las computadoras y la educación se pueden relacionar bajo las
siguientes dimensiones (Galvis, 1992):1ra. Dimensión: La computación como objeto
de estudio, es decir aprender “acerca de” la computación. 2da. Dimensión: El
88

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
computador como medio de enseñanza-aprendizaje, es decir, ambientes de
enseñanza-aprendizaje enriquecidos con el computador. 3ra. Dimensión: El
computador como herramienta de trabajo en educación, es decir, uso de aplicaciones
del computador para apoyar procesos educativos.
La segunda dimensión es la tratada en esta investigación, por cuanto se va a utilizar el
material educativo computarizado Mathgraph para enriquecer el proceso de
aprendizaje y enseñanza de la asignatura Matemática II de la carrera Ingeniería en
Informática de la UNEG.
Bajo el slogan “una nueva forma de enseñar... una nueva forma de aprender” se
presenta el Mathgraph para Windows como el resultado de años de experiencia en el
diseño de software educativo para la enseñanza de la matemática, realizado por el
profesor Luc Bramaud du Boucheron apoyado por un equipo de matemáticos que
participaron en la elaboración del programa y en el diseño y aplicación de los
métodos docentes asociados. El estudiante que utiliza Mathgraph para Windows
asimila mejor y más rápido los conceptos matemáticos abstractos que pasan a tener
un significado más concreto debido a su utilización interactiva en observaciones,
experimentos y problemas. Para el profesor, Mathgraph para Windows es un
instrumento que facilita la elaboración de problemas, ejercicios y pruebas.
Acompañado de guías de estudio diseñadas específicamente para cada tema.
Mathgraph para Windows se puede utilizar en laboratorio como parte del aprendizaje
práctico de numerosas áreas del conocimiento matemático.
Importancia de los procesos cognitivos y metacognitivos en la resolución de
problemas
El “resolver un problema” implica el conocimiento de técnicas y procedimientos que
se deben poner de manifiesto para lograr tal fin, es decir, “resolver problemas”
involucra procesos de cognición y metacognición; años atrás los profesores de
matemática pensaban que el camino de acercarse a las técnicas que los estudiantes
empleaban para resolver problemas era a través de la práctica voluminosa, pero esto
fue sustituido, por la creencia de que es necesario una atención explícita a la
enseñanza de varias técnicas y la concientización a los estudiantes de su uso
(Kilpatrick, citado por Serres, 1996).
Los procesos metacognitivos son los procesos reguladores, controladores y
supervisores que se encargan de disciplinar el pensamiento de modo que este no se
desenvuelva anárquicamente (González, 1995). La investigación sobre el rol de la
metacognición en la solución de problemas matemáticos, plantea Lester (1994), se ha
enfocado en dos componentes relativos: a) conocimiento de los propios procesos del
pensamiento, y b) regulación y monitoreo de la propia actividad durante la solución
de problemas.
Las acciones metacognitivas han sido vistas como “fuerza motriz” en solución de
problemas, influenciando la conducta cognitiva en todas las fases de solución de
problemas. Para otros investigadores, la metacognición ha sido vinculada a un ancho
rango de factores no cognitivos, como las creencias, afectos y actitudes, control y
factores contextuales. La relación entre la metacognición y la actividad de solución de
problemas, aun no ha llegado a establecerse con exactitud; sin embargo, Schoenfeld
(1992), presenta los tres resultados que han venido a ser generalmente aceptados:
89

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
(1) La actividad metacognitiva durante la solución de problemas requiere
conocimiento no sólo de qué y cuándo monitorear, sino también cómo
monitorear. Además, enseñar a los estudiantes cómo monitorear su
comportamiento, es una tarea difícil. (2) El enseñar a los estudiantes a estar
más alerta de su cognición y a monitorear mejor sus acciones para resolver
problemas, debe ocurrir en el contexto de aprendizaje de conceptos y técnicas
matemáticas específicas. (3) El desarrollo de buenas destrezas metacognitivas
es difícil y a veces requiere desprender conductas metacognitivas inapropiadas
que han sido desarrolladas en experiencias previas. Puede decirse que los
mecanismos cognitivos se refieren al proceso mismo del pensamiento en
acción y a los razonamientos que se llevan a cabo para resolver problemas,
mientras que los metacognitivos se asocian con la conciencia que se tiene de
tal proceso, de tal forma que es necesario distinguir entre estar sumergido en
un proceso de razonamiento y controlar dicho proceso.
(2)
Las razones por las cuales las metacognición debe ser un elemento importante para el
mejoramiento de la educación y en particular de la educación matemática, han sido
expuestas por Antonijevic y Chadwick (1981, citado por Zaragoza 2001) en los
siguientes términos: a) la explosión de conocimientos nos esta llevando a una
sociedad basada en la información de modo que es imprescindible disponer de
procesos necesarios para seleccionar, entender y reflexionar sobre la información; b)
el aprendizaje es en último término un acto individual; c) una serie de aspectos
afectivos abogan por un aprendizaje centrado en el alumno, de modo que de una
actitud positiva hacia el aprendizaje y con bajos niveles de ansiedad es posible lograr
individuos con un sentimiento de control y con estrategias que le permitan adaptarse
y modificar las circunstancias que le rodean.
La autora de este artículo hace referencia al modelo de metacognición propuesto por
Mayor, Suengas y González (1995), en el cual se establece la incorporación de la
actividad metacognitiva (A); la cognición, funcionamiento de la mente (B) y por
último la integración en un modelo global de metacognición (C) de los dos modelos
parciales de la actividad metacognitiva y de la cognición
Metodología
El diseño de investigación se basó en el estudio de caso cualitativo, el cual puede ser
utilizado para estudiar sistemáticamente un fenómeno con procedimientos rigurosos,
aunque no necesariamente estandarizados, este estudio incluyó técnicas cuantitativas,
especialmente en la parte correspondiente a la evaluación.
Esta investigación tuvo como unidades de análisis a todos los alumnos (29) inscritos
en la sección 02 del semestre II de la carrera Ingeniería en Informática de la UNEG,
esta sección fue asignada a la docente-investigadora de manera aleatoria, durante el
lapso 2001-I.
El estudio de caso cualitativo, al igual que otros métodos de investigación cualitativa,
siempre se lleva a cabo en contextos naturales donde no se manipula el ambiente, por
lo que requiere de un instrumento particular que es el instrumento humano -el
investigador-. Además se tomó como referencia el cuestionario propuesto por Mayor,
Suengas y González (1995) quienes afirman que la mayor parte de los sistemas de la
90

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
metacognición utilizan el instrumento del auto informe, en algunas ocasiones
graduado a través de las escalas tipo Likert y ellos proponen un sistema de ese tipo al
margen de las consideraciones generales que pueden hacerse sobre la evaluación de la
actividad metacognitiva, además se intenta evaluar todas las dimensiones de la
metacognición y las variables que afectan el rendimiento metacognitivo. (Ver fig. 1).
El cuestionario para obtener la información sobre la capacidad y el rendimiento
metacognitivo, incluye items relativos a los tres macro componentes de la actividad
metacognitiva; conciencia, control y autopoiesis (la articulación entre la apertura y el
cierre para crear algo distinto de lo ya existente) en combinación con las dimensiones
de la actividad cognitiva: componentes, tareas y modos o características.
Figura 1. Modelo Tridimensional para Evaluar la Metacognición
Tomado de Mayor, Suengas y González (1995, pag. 169)
Conclusiones
Una vez analizados los datos en un proceso de cuatro fases (exploración, descripción,
interpretación y evaluación) se llegó a las siguientes conclusiones con base en los
items formulados en el cuestionario arriba citado.
Respecto al primer componente metacognitivo: la toma de Conciencia:
El conocimiento que se tiene del mundo, de los otros y del individuo mismo, se
maneja a través de palabras. Al momento de recordar algo, los alumnos manifiestan
“conocimiento” de lo que tienen que hacer para recordarlo después; cuando se trata
de resolver un problema usando el software educativo, siempre los alumnos tienen
conciencia de los pasos que tienen que dar, así como tienen conciencia de las reglas
que tienen que aplicar; al momento de prestar atención, los alumnos se dan cuenta de
que están concentrados en un solo punto y con dificultad pueden atender dos cosas a
la vez; muchas veces, cuando tienen conciencia de los ejercicios que deben hacer, se
dan cuenta de que una cosa es la conciencia que tienen y otra la realidad; y cuando
son conscientes de esa realidad, tienen conciencia de que su mente introduce un cierto
91

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
orden de aquella. Los alumnos al ser conscientes de la tarea a realizar se dan cuenta
de que su mente se ajusta a las restricciones y posibilidades de esa realidad.
Respecto al segundo componente metacognitivo: el Control, se concluyó que:
En la representación de la realidad normalmente los alumnos seleccionan metas u
objetivos de esa representación. Cuando se presta atención a la docente-investigadora,
el alumno en general controla el proceso de atención. Con referencia al recuerdo de
los pasos a seguir para realizar una tarea en el laboratorio de computación, se
encontró que los alumnos seleccionan y ponen en claro cuáles son los objetivos del
recuerdo y cuáles son los objetivos de sus pensamientos así como evalúa si es eficaz o
no al pensar. Cuando el alumno distingue entre mente y realidad, muchas veces
selecciona las metas y objetivos de esa distinción y cuando el alumno descubre la
existencia de orden y reglas, él controla el proceso y la eficacia de ese
descubrimiento. Al organizar sus conocimientos, recuerdos y pensamientos, utiliza
estrategias y procedimientos para organizarlos. Al reflexionar sobre sí mismo y trata
de auto controlarse cada alumno selecciona las metas y objetivos de esa reflexión y
auto control.
Con referencia al tercer componente metacognitivo: Autopoiesis
Cuando la mente de cada alumno representa la realidad del mundo, de los otros y de
sí mismo, éste incrementa sus conocimientos insertando indefinidamente nuevas
representaciones; los alumnos son capaces de mejorar su atención dándose cuenta de
cómo atienden, cómo recuerdan y pueden mejorar su pensamiento, dándose cuenta
cómo piensan; cuando funciona la mente teniendo en cuenta las condiciones de la
realidad, los alumnos son capaces de mejorar ese funcionamiento si se dan cuenta de
cuáles son las condiciones de la realidad. Cuando la mente se adapta a la realidad o a
los propósitos e intenciones del alumno, éste siente que la realidad se impone a su
mente. Cuando relaciona y organiza sus conocimientos, recuerdos y pensamientos, el
alumno siente que esa organización se acerca más a la realidad; siendo la mente
flexible en función de restricciones y demandas diversas, al reflexionar sobre sí
mismo y auto controlarse el alumno siente que su mente es más segura y eficaz.
Respecto a las variables de la metacognición se concluyó que:
Los conocimientos previos que los alumnos tienen del software educativo, les
facilitan a ellos pensar, recordar o atender sobre el tema. Cuando los alumnos tienen
dificultades para atender, recordar o pensar, dedican a estas actividades un esfuerzo
mayor. Cuando el alumno tiene que atender, recordar o pensar con eficacia, él lo hace
de forma diferente en cada situación y piensa que el lograrlo solo depende de él y al
llevar a cabo cualquier actividad mental, los alumnos consideran que su eficacia
depende de la atención que le presten, más que del esfuerzo que realicen.
Bibliografía
Galvis, A. (1992). Ingeniería del software educativo. Colombia : Uniandes.
González, F. (1995). El corazón de la matemática. Maracay, Venezuela.
Landaeta, S. (1998). Los procesos metacognitivos activados mediante instrumentos procesadores de
información. Venezuela : UCAB.
Lester, F. (1994). Musings about mathematical problem-solving research: 1970-1994. Journal for
research in mathematics education. Vol.25, Nº 6.
Lindsay, P. y Norman, D. (1972). Human information processing. New York : Academic Press.
Mayor, J., Suengas, A. y González, J. (1995). Estrategias Metacognitivas. España: Síntesis
92

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Puente, A. (1989). Solución de problemas: procesos, estrategias e implicaciones. En Puente. Poggiolli,
Navarro. Sicología cognoscitiva: Desarrollo y perspectivas. Venezuela Mc.Graw-Hill.
Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically : problem solving, metacognition, and sense
making in mathematics. En D.A Grows (De). Handbook of research on mathematics teaching and
learning. (Pp. 334 - 370). New York: Macmillan.
Serres, Y. (1996). Cognición y metacognición en el proceso de solución de problemas matemáticos.
UCV. Caracas: sin publicar.
Zaragoza, A. (2001). Reconceptualización del proceso de Enseñanza Aprendizaje de la matemática en
la primera y segunda etapa de la Educación Básica. Un enfoque metacognitivo. Maturín:
UNIEDPRA
Zaragoza, A. (2001). Reconceptualización del proceso de Enseñanza Aprendizaje de la matemática en
la primera y segunda etapa de la Educación Básica. Un enfoque metacognitivo. Maturín:
UNIEDPRA
93

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
94
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE UN TEST DE CONOCIMIENTOS PREVIOS DE
MATEMÁTICAS PARA INGRESANTES UNIVERSITARIOS
Nélida H. Pérez, María A. Mini y Julio Benegas
Universidad Nacional de San Luis, Argentina
nperez@unsl.edu.ar - jbenegas@unsl.edu.ar
Resumen
En este trabajo presentamos un análisis estadístico del Test de Conocimientos Previos de Matemáticas
(TCPM) diseñado para medir el estado inicial de destrezas y conocimientos básicos en matemáticas de
los alumnos ingresantes a carreras científico- tecnológicas de la Facultad de Ciencias Físico,
Matemáticas y Naturales de la Universidad Nacional de San Luis.
El objetivo de la investigación está centrado en observar el diagnóstico utilizado, con miras a una
eventual utilización posterior.
Para determinar la bondad de la prueba realizamos un análisis de la calidad, discriminación e índice de
dificultad de los ítems, así como de la validez y confiabilidad del diagnóstico, para este análisis
estadístico empleamos los programas TestGraf y SPSS.
El test se aplicó a 698 estudiantes ingresantes a la Universidad en el ciclo lectivo 2002. De la
investigación pudimos inferir que el diagnóstico resultó: difícil para la población de aplicación; de
confiabilidad aceptable, y de buena calidad de items, con variada dificultad y aceptable
discriminación.
Introducción
La Universidad Nacional de San Luis (UNSL) no escapa del preocupante problema
de la preparación inicial de los estudiantes que pretenden ingresar a las distintas
carreras de ciencias e ingeniería. Diversas acciones se han programado desde hace
tiempo para tratar de mejorar el desempeño estudiantil y bajar el porcentaje de
fracaso y deserción en el primer año de vida universitaria.
Una de esas acciones consiste en determinar el nivel de conocimientos y las
habilidades con que los estudiantes arriban a la Universidad, con el objetivo de poder
identificar, tan pronto como sea posible, las falencias de conocimientos, y su
importancia relativa, en la población en riesgo. A tal efecto se elaboró un diagnóstico
de respuestas múltiples para medir los conocimientos matemáticos básicos de los
alumnos ingresantes. Luego de aplicada la prueba creímos imprescindible realizar un
pormenorizado análisis de resultados, de manera de poder capitalizar la experiencia,
tanto en esta como en otras instituciones. A tal efecto nos propusimos dos objetivos:
1º. Determinar la calidad general del diagnóstico utilizado, realizando un análisis
estadístico pormenorizado de su aplicación.
2º. Evaluar el nivel de conocimientos matemáticos básicos de los ingresantes y
relacionarlo con el sistema educativo regional. Considerando que el 90% de
población encuestada es de la provincia de San Luis, y constituye la primera
promoción que ha tenido una implementación completa de la nueva ley de educación
general básica.
Este segundo objetivo es objeto de un estudio complementario y separado del
presente trabajo.
Construcción del diagnóstico
El Test de Conocimientos Previos de Matemática (TCPM) se diseñó para medir el
estado inicial de conocimientos básicos y aptitudes en matemáticas de los alumnos

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
ingresantes a las carreras cientifíco-tecnológicas de nuestra universidad. Los temas
incluidos corresponden a una selección tomada del currículum del Tercer nivel de la
Educación General Básica (EGB3) y del nivel Polimodal de la escuela pública
Argentina.
El TCPM contiene 20 ítems, con cuatro opciones de respuesta posible cada uno. Las
preguntas y sus distractores fueron propuestos por un equipo de docentes con
experiencia en la enseñanza de la matemática en el ámbito universitario y en diversos
programas de interacción con los profesores de EGB3 y Polimodal. (En ANEXO,
prueba completa con items agrupados por tema).
Análisis estadístico del diagnóstico
La Figura 1 representa los resultados obtenidos de la aplicación del test a una muestra
de 698 estudiantes (aproximadamente el 80% de la población total). Los encuestados
son alumnos ingresantes (sin instrucción universitaria previa al diagnóstico) a las
carreras de: Licenciatura y Prof.
en Ciencias de la Computación,
Ingeniería Electrónica,
Licenciatura y Prof. en
Matemáticas y Licenciatura y
Prof. en Física.
Se observa que el rendimiento
general es bajo con un valor
porcentual de la media para toda
la muestra de 38 %, con una
desviación estándar de 45%.
Desde el punto de vista del
diseño de pruebas objetivas, este
valor medio es demasiado bajo,
mientras que la amplia
Rendimiento (%)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 100 200 300 400 500 600 700
No. Alumno
Figura 1: Rendimiento (en %) en el TCPM de los
ingresantes 2002
desviación estándar es adecuada para discriminar entre poblaciones de distinto
rendimiento.
De la Figura 1 se desprende que alrededor de 220 alumnos apenas alcanzan el valor
estadístico de contestar al azar (25%), mientras un total de 560 alumnos (80 % del
total) tienen sólo la mitad o menos de las preguntas contestadas correctamente. Dada
la escasa complejidad de los ítems de este diagnóstico, la primera conclusión es que
esta población estudiantil carece del conocimiento y de las habilidades matemáticas
mínimas para afrontar un curso universitario inicial de cálculo o álgebra.
a) Características generales de los ítems
Los parámetros estadísticos que caracterizan el diagnóstico están sintetizadas en la
Tabla y han sido obtenidos a través de la aplicación de los programas estadísticos
TestGraf [5] y SPSS[7]. Los valores de Coeficiente Biserial, Discriminación y
Dificultad se refieren a parámetros calculados por el programa TestGraf [5] de
análisis gráfico de diagnósticos de respuestas múltiples.
La mayoría de los ítems resultaron difíciles. Solo en 5 ítems la población encuestada
supera el 50% de rendimiento, mientras que en ocho ítems se obtuvo rendimiento
95

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
comparable con la respuesta azarosa (cuatro opciones por pregunta). En todos los
casos la desviación estándar, σ, es próxima a la mitad del rango total, lo cual indica
una buena dispersión de los valores obtenidos.
96
Tema
ARITMÉTICA:
Números Operaciones
Proporciones
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
GEOMETRÍA
Desvío Coef. Discrimi-nación Dificultad
Media Estándar Biserial
Ítem
1 0.72 0.45 0.36 0.87 -0.18
2 0.61 0.49 0.43 0.73 -0.04
3 0.49 0.50 0.42 0.62 0.21
4 0.40 0.49 0.46 0.79 0.57
5 0.26 0.44 0.31 0.5 1.68
18 0.69 0.46 0.26 0.45 -0.44
6 0.17 0.38 0.51 1.24 1.35
7 0.19 0.39 0.57 1.07 1.25
8 0.46 0.50 0.36 0.68 0.66
9 0.13 0.34 0.23 2.04 2.16
10 0.35 0.48 0.45 0.75 0.83
11 0.29 0.45 0.27 0.47 1.83
17 0.33 0.47 0.51 0.87 0.77
12 0.66 0.47 0.37 0.84 -0.19
ECUACIONES de
PRIMER GRADO 14 0.55 0.50 0.33 0.55 0.24
OPERACIONES CON
POLINOMIOS y
RAÍCES de
ECUACIONES
13 0.24 0.43 0.38 0.65 1.35
15 0.27 0.45 0.24 0.55 1.65
16 0.28 0.45 0.47 0.84 0.93
19 0.27 0.44 0.52 0.88 0.93
TRIGONOMETRIA 20 0.22 0.41 0.38 0.61 1.54
Tabla: Resultados estadísticos de los 20 ítems del TCPM (ver texto).
El coeficiente de punto biserial representa la correlación, sobre toda la muestra, entre
el ítem y el resultado global del test. Valores del coeficiente punto biserial de 0,20 o
mayores se consideran aceptables. En nuestro caso tienen un coeficiente biserial
menor de 0,30 solo ítems que son muy fáciles o muy difíciles, es decir aquellos que
se espera no tengan una buena correlación con el resultado global del test.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
La discriminación se refiere a cuan efectivamente un ítem distingue entre sujetos de
bajo y alto rendimiento. El parámetro discriminación, está determinado por la
pendiente de la curva de la opción
correcta en la zona de probabilidad
media.
El valor del índice dificultad está
relacionado con el rendimiento global
de los alumnos que alcanzan el valor
medio en ese ítem. Se mide en unidades
de la desviación estándar, a partir del
rendimiento medio de la población. El
desempeño o rendimiento así
determinado constituye el eje horizontal
de las figuras 2 y 3.
En la Tabla podemos observar que sólo
4 ítems tienen dificultad negativa (es
decir son fáciles para esta población),
mientras que en todos los restantes es
positiva.
Para ejemplificar lo anterior y mostrar
los atributos del software usado para un
eventual uso en docencia o similar al
presente, presentamos un análisis más detallado de los ítems 2 y 9.
En la Figura 2 están representadas las curvas de probabilidad de elegir cada opción
del ítem 2 en función del rendimiento o
desempeño global del estudiante. El eje
horizontal mide el desempeño en unidades
de la desviación estándar, con el cero u
origen en el valor medio de la población
(es decir 38% de repuestas contestadas
correctamente). A las izquierda de las
líneas verticales de trazos se encuentran
los estudiantes con rendimiento por debajo
del 5%, 25%, 50%, 75% y 95 %,
respectivamente
Se observa que la curva de la respuesta
correcta (opción C) tiene valores de
probabilidad importantes, aún para
poblaciones de modesto desempeño
global. Es por tanto una pregunta fácil, tal
cual lo denotan los respectivos índices en
la Tabla.
Probabildad
Figura 2: Curvas de probabilidad de
elección de cada una de las opciones de
la Pregunta No.2. La opción correcta
(C) se muestra con la banda de
confianza.
Además la curva de la Opción C es monótona creciente, con buena pendiente en casi
todo el rango y por lo tanto separa (discrimina) adecuadamente las poblaciones de
distinto rendimiento. De igual modo el análisis de las curvas de los distractores
(opciones incorrectas) nos indica que estas opciones son atrayentes solo para los
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Probabilidad
-2.5
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-2.5
-1.5
-1.5
-0.5
A
D
Desempeño
C
-0.5
B
9
C
A
Figura 3: Curvas de probabilidad
de la pregunta No.9
0.5
0.5
9
1.5
1.5
2.5
C
2.5
97

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
alumnos de rendimiento inferior al 25%, mientras que la curva señalada con “9”, que
identifica a los alumnos que no responden la pregunta, tiene probabilidad
prácticamente nula a lo largo de todo el eje de rendimiento.
En la Figura 3 se representan las curvas de rendimiento del ítem 9.
Este es el ítem de mayor dificultad del test, medido tanto en función del desempeño
promedio (sólo el 13 % lo contestó bien), como por el índice de dificultad. Se ve que
sólo los alumnos con rendimiento en el 5% superior de la población responden el
ítem correctamente con alguna probabilidad significativa. El ítem discrimina bien,
pero sólo en esa zona de alto rendimiento, mientras que para el resto de la población
no discrimina.
Un análisis por opción en este ítem revela que la opción D es la preferida por los
estudiantes en casi todo el rango de rendimiento. Si bien a efectos del diagnóstico la
pregunta no parece de calidad suficiente, puesto que solo discrimina en el 5%
superior de la población, desde el punto de vista de la instrucción es importante, ya
que la elección de un distractor particular revela conductas de trabajo o errores
sistemáticos de la población.
Es importante destacar que al repetir este análisis en el resto de los ítems, la opción
“no contesta”, identificada con el
número “9” en las gráficas, ocurre
solamente en los alumnos con
rendimiento total inferior al 25%, lo
que nos indica que las preguntas sin
respuesta son producto de la ausencia
de conocimiento en el tema
involucrado y no de cansancio u otras
causas. Por otro lado algunos
distractores no son significativamente
elegidos por los estudiantes (de
cualquier nivel de rendimiento). Estos
distractores deberían ser mejorados
para aumentar la calidad global del
diagnóstico.
A partir de un análisis similar
realizado sobre todos los ítems, se
encuentra que el diagnóstico en
general tiene una adecuada
variabilidad de dificultad de los ítems, valores aceptables de discriminación y buenos
coeficientes punto biserial, lo cual permite afirmar que calidad global de los ítems del
TCPM es aceptable.
b) Validez y confiabilidad del diagnóstico
Validez y confiabilidad son dos características que definen la calidad de un
diagnóstico. En general la validez se establece a través del uso y la opinión de
docentes y alumnos.
Las preguntas y sus distintas opciones de respuesta fueron propuestas por docentes
dedicados a la enseñanza en cursos de introducción a la matemática universitaria y a
98
Confiabilidad
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
-2.5
-1.5
-0.5
Rendimiento
Figura 4: Confiabilidad del TCPM
para la población estudiada, según
TestGraf (ver texto)
0.5
1.5
2.5

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
la formación y perfeccionamiento de docentes secundarios. Se tuvieron en cuenta
pruebas anteriores y la experiencia del cuerpo de docentes. Posteriormente un grupo
de docentes, distinto al que propuso las preguntas, también experimentado en la
enseñanza de la matemática universitaria básica, analizó la pertinencia de las
preguntas y sus respectivas opciones de respuesta. Este proceso de selección y
corrección condujo a la versión del TCPM que se informa en este trabajo.
La confiabilidad de un diagnóstico es una medida de cuan consistentemente el test
reproducirá el mismo resultado bajo las mismas condiciones. Las técnicas para
establecer la confiabilidad son de tipo estadístico. Las más utilizadas en educación
son la determinación del coeficiente α de Crombach [4] y del coeficiente denominado
KR-20, que corresponde a la fórmula 20 de un trabajo de Kuder y Richarson [6]. El
coeficiente de confiabilidad varía entre 0 y 1. En pruebas estandarizadas se considera
aceptable un valor cercano a 0.8, mientras que en pruebas construidas por los
docentes se considera aceptable un valor mínimo de 0.60.
El análisis de confiabilidad del Test de Conocimientos Previos en Matemática se
realizó mediante el programa estadístico SPSS [7], que determinó un coeficiente de
confiabilidad α=0,73. También se realizó un análisis por mitades del diagnóstico
(split-half), donde aplicando la corrección de Spearman-Brown [3], se obtiene una
confiabilidad de 0,74. Estos resultados aseguran una aceptable confiabilidad del
diagnóstico.
TestGraf [2]tiene un método quizás más completo para calcular la confiabilidad, ya
que lo hace de manera dinámica, en función del rendimiento estudiantil.
En la Figura 4 se observa que la confiabilidad es máxima para estudiantes de
rendimiento alrededor de 75% (4,5 puntos de un total de 10, para el presente ejemplo)
y se mantiene buena para rendimientos entre 25% y 80%, aproximadamente,
indicando su adaptabilidad para estudios como el presente.
Conclusiones
Nuestra metodología de análisis, apoyada con la utilización conjunta de los paquetes
estadísticos SPPS y TestGraf, nos permitieron alcanzar las siguientes conclusiones
sobre el TCPM. (Test de Conocimientos Previos en Matemática, aplicado a una muestra de
698 estudiantes ingresantes a carreras científicas y de ingeniería de la Universidad Nacional
de San Luis).
a) El diagnóstico resultó difícil para la población que fue aplicado, que alcanzó una
media de 38% de rendimiento, con un error estándar de 45% .
b) La confiabilidad de diagnóstico, medido según el coeficiente α de Crombach es
buena, indicando una aceptable consistencia interna del instrumento. Las curvas
dinámicas determinadas por TestGraf indican un máximo de la confiabilidad en
la zona media de rendimiento.
c) Los ítems del diagnóstico son en general de buena calidad, con valores del
coeficiente punto biserial aceptables y una buena discriminación.
d) Del análisis dinámico de las curvas de probabilidad de las opciones de cada ítem,
en función del rendimiento colectivo, surge que algunos distractores pueden ser
mejorados, ya que no son elegidos significativamente por los alumnos.
99

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
e) Los resultados generales del diagnóstico indican que puede usarse
apropiadamente para determinar el estado inicial de conocimientos básicos de
matemáticas a los efectos de programar la instrucción.
Bibliografia
Otero M.R, Fanaro M. A. Y Elichiribehety I., “El conocimiento matemático de los estudiantes que
ingresan a la universidad” Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,
4(3), p. 267-287, 2001.
Landazábal Ma.C., Bilbao F., Otero J. y Caballero C., “Formación inicial y rendimiento en Física del
primer curso universitario”. Revista de Educación (Madrid), en prensa, 2003.
Aubrecht G and Aubrecht J. “Constructing objective test” Am. J. of Phys. 51, 613-620, 1983.
Baranger, D. “Construcción y Análisis de Datos”, Ed. Universitaria, UNM, 1992.
TestGraf, J.O. Ramsay, McGill University, Canada, 1995. Disponible en
ftp://ego.psych.mcgill.ca/pub/ramsay/testgraf/.
Loewenthal K. M. “An Introduction to Psychological Test and Scales”, 2 nd edition, Physicological
Press, Taylor & Francis, 2001.
SPSS, “Statistical Package for the Social”, SPSS Inc. Chicago, Il. USA, 1999.
100

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
CONCEPCIONES ALTERNATIVAS QUE, REFERENTES AL
COMPORTAMIENTO VARIACIONAL DE FUNCIONES, MANIFIESTAN
PROFESORES Y ESTUDIANTES DE BACHILLERATO
Crisólogo Dolores Flores, Luis Arturo Guerrero Azpeitia
CIMATE de la UAG, CECyTEH, México
cdolores@uagro.mx, lguerrero271@hotmail.com
Resumen
En este artículo se reportan los resultados de una investigación que explora las concepciones
alternativas de profesores y estudiantes de bachillerato acerca del comportamiento variacional de
funciones. Para tal exploración se diseñó un cuestionario en el que se usan los sistemas de
representación verbal, gráfico y analítico. En especial se exploraron concepciones relativas al
comportamiento variacional de funciones [v. gr: Para qué x, f´(x)>0], comportamiento variacional y
signo simultáneamente [v. gr: Para qué x se cumple que: f´(x)>0 y f(x)

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
analítica, etc. y se constituyen en los medios que adoptamos para explorar
concepciones de los profesores y estudiantes. En los medios escolares se cree que las
gráficas son de gran ayuda para visualizar el comportamiento de funciones. Sin
embargo, con frecuencia esas visualizaciones y los significados que los estudiantes
atribuyen a las gráficas no son congruentes con los significados aceptados en textos o
los que comparten los expertos. Esta incongruencia causa conflictos en la
comprensión y aceptación de los significados, por ello ha recibido varias
denominaciones: errores, errores sistemáticos, preconcepciones y concepciones
alternativas. El término error enfatiza la incongruencia entre el conocimiento de los
alumnos y el conocimiento científico aceptado, las preconcepciones se caracterizan
por aquel tipo de conocimiento precientífico formado por las experiencias cotidianas
y que está fuertemente arraigado en la mente, las concepciones pueden o no ser
acordes con los significados aceptados por textos y expertos, por nuestra parte en este
trabajo adoptamos el término concepciones alternativas en el sentido de Confrey
(1990), Mevarech y Kramarsky (1997), porque enfatiza lo que las personas piensan o
saben por sobre lo que no conocen.
Metodología. De acuerdo con los resultados obtenidos en la primera parte de esta
investigación, (Dolores/Guerrero 2002) y que consistió en la aplicación de un
cuestionario a 16 profesores integrado por 9 preguntas, se procedió al diseño de un
segundo cuestionario para ser aplicado a los estudiantes del mismo subsistema
educativo en el que imparten clase los profesores, esto con la finalidad de tener
mayores elementos para describir la situación que prevalece al respecto. Dicho
cuestionario se estructuró para que permitiera extraer información sobre las
concepciones de los estudiantes al analizar el comportamiento de funciones por
medio de los sistemas de representación gráfico, analítico y verbal. Se plantearon
ocho situaciones diseñadas sobre la base de tres criterios: dadas las condiciones
analíticas de f´(x) construir o seleccionar f(x), dadas las condiciones (en forma verbal)
de f´(x) seleccionar f(x), y, dada la gráfica de f´(x) construir f(x).
102
CUADRO 1. CARACTERISTICAS DE LAS PREGUNTAS DEL
CUESTIONARIO
PREGUNTAS TRANSICIÓN DADA LA CONDICIÓN VARIACIONAL
EN FORMA:
1, 2, 3 Analítico- Analítica de f´(x), seleccionar la gráfica de
Gráfico f(x)
4, 5 Verbal-gráfico Verbal de f´(x), seleccionar la gráfica de f(x)
7 Analítico-
Gráfico
Analítica de f´(x), construir gráfica de f(x)
6, 8 Gráfico-gráfico Gráfica de f´(x), construir la gráfica de f(x)
El cuestionario se aplicó a 100 estudiantes de 7 planteles de una institución de
educación media superior del estado del centro del país que ya habían acreditado sus
cursos de cálculo. A continuación se presenta el análisis de las respuestas, siendo
importante aclarar que se retoman las concepciones alternativas manifestadas por los
profesores, presentando simultáneamente los resultados cuando fue pertinente ante

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
cuestionamientos iguales o similares; las gráficas correspondientes a cada una de las
preguntas (cuando fueron proporcionadas) aparecen en el Cuadro 2.
Análisis de las respuestas dadas al cuestionario
Pregunta 1. En qué gráfica se cumple que f´(x) < 0 para toda x? El 52% de los
estudiantes encuestados, asociaron como función decreciente a la gráfica 1B, misma
que además es negativa, por otra parte, el 26% eligió la opción 1C (también
negativa), en tanto que las gráficas 1ª, 1D y 1E, fueron consideradas en un 15, 14 y
14% respectivamente. Siendo preciso resaltar que los profesores, ante una pregunta
similar, asociaron correctamente a la gráfica en cuestión en un 40% y sólo el 20%
asoció con función decreciente a aquellas gráficas en las que f(x) < 0.
Pregunta 2. En qué gráfica se cumple que f’(x) > 0 y f(x) < 0. Los estudiantes
consideraron en un 30%, que la gráfica mostrada en 2E satisface las condiciones
solicitadas, sin embargo en esta gráfica se observa que f´(x) > 0 pero las abscisas son
negativas, por otra parte, en un 28% de los casos eligieron a las opciones 2ª y 2D, en
las cuales se tiene que en ambas f(x) > 0, la opción 2B fue seleccionada en un 25%
por un 23% de la opción 2C; en estos dos últimos casos se tiene que f(x) < 0.
Pregunta 3. En qué gráfica se cumple que f’(x) 0. Para las gráficas que
satisfagan las condiciones de función decreciente pero de signo positivo, los alumnos
asociaron a la gráfica 4B en el 34% de los casos, en esta gráfica se observa que f(x) <
0 y con abscisas negativas; en tanto que, el 33% eligió a la gráfica mostrada en 3C en
la que f(x) < 0 y con abscisas positivas, por otra parte y en porcentajes menores, los
estudiantes asociaron en un 28% y 23% respectivamente a 3D y 3ª ambas gráficas de
funciones positivas, finalmente al inciso 3B, lo seleccionaron en un 10%.
Pregunta 4. Escriba sobre la raya correspondiente: función creciente y positiva, o
bien, función decreciente y negativa, según el comportamiento de sus gráficas.
Los profesores asociaron simultáneamente en un 66.7% a las gráficas 4ª y 4C con las
condiciones creciente y positiva, en tanto que los estudiantes hicieron lo propio en un
48%. Por otra parte en el caso de las gráficas 4D y 4E, el 53% de los profesores
considera que la gráfica mostrada es decreciente y negativa mientras que para los
estudiantes la gráfica 4D cumple dichas condiciones en un 52% y para 4E, el 39% de
los estudiantes considera que la gráfica es creciente y positiva. Finalmente para la
gráfica 4B, los profesores y estudiantes consideraron que esta es decreciente y
negativa en un 93% y 72% respectivamente, en tanto que para 4F, hicieron lo propio
en un 80% y 51% correspondientemente.
Pregunta 5. Escriba sobre la raya correspondiente: función creciente y negativa,
o bien, función decreciente y positiva, según el comportamiento de sus gráficas.
La gráfica mostrada en 5D, es creciente y negativa para el 53% de los profesores y el
45% de los estudiantes, mientras que la gráfica 5E es decreciente y positiva para el
53% de profesores y 23% de los alumnos (afirmaciones correctas). Para el caso de la
gráfica 5ª, el 60% y 39% de los profesores y alumnos respectivamente considera que
es creciente y negativa, en tanto que para 5B asocian la misma característica el 13% y
40% de los encuestados; por otra parte, en relación a la gráfica 5F los porcentajes de
103

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
asociación entre esta gráfica y la condición decreciente y positiva fueron del 20%
para profesores y 41% para estudiantes. Del análisis de las asociaciones hechas en las
preguntas 3 y 4, se observó que existe cierto sector de encuestados que consideran
que una función es creciente si es positiva, aumentando el porcentaje de asociación en
aquellas gráficas en las que x>0; en tanto que una función es decreciente si ésta es
negativa privilegiando el caso en el que x 0 para x0 para x > −2. Esboce una gráfica para f(x) que satisfaga estas condiciones y de
la fórmula de la función (pregunta para profesores). El 66.7% de los profesores que
realizaron al menos un esbozo para las condiciones solicitadas, asoció al punto
estacionario de la función con el cero de la misma. Con estos datos es posible
considerar que existe confusión entre f(x) y f´(x), al menos en x=a. El 45.5%, esboza
gráficas que cumplen con las condiciones de f(x)>0 para x−2, aunque
estas condiciones debieron cumplirse pero para f´(x). Un 27.3% bosquejó una gráfica
que cumple las condiciones solicitadas para f´(x), solamente un profesor no asoció al
punto estacionario con el cero de la función. Solamente uno de los encuestados
construyó una gráfica que cumple con todas las condiciones solicitadas. Existe
proclividad a confundir a f(x) con f´(x) al menos en un 60% de los casos.
Pregunta 7 B. Trace la gráfica de f(x), si se sabe que: tiene puntos estacionarios en
x=1 y x=3; f’(x) >0 para x

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Pregunta 8 B. Para la gráfica siguiente esboce la gráfica respectiva de f´(x)
(pregunta para alumnos). El 48% de los alumnos esbozó alguna gráfica y fueron en
total 12 gráficas diferentes, la más representativa fue, con el 25% de los casos una
gráfica que en forma de parábola que la reflexión de la curva dada respecto al eje de
las abscisas. Otras producciones aunque menos relevantes consisten en una parábola
con el eje focal coincidente con el eje de las abscisas con el 5% de los casos y una
gráfica idéntica a la mostrada en el cuestionario con el 4% de los esbozos. Ninguno
de los alumnos dibujó una gráfica que satisfaga las condiciones solicitadas.
CUADRO 2. GRÁFICAS DADAS EN LAS PREGUNTAS 2, 3, 4 ...9
y y y y y
a) b) c) d) e)
Pregunta 1 Pregunta 2 y 3
Pregunta 4 y 5
y’
Pregunta 6
Pregunta
8-A
Pregunta
8-B
Concepciones alternativas encontradas
Cierto sector de los profesores y estudiantes cuestionados asocian consistentemente
las condiciones de crecimiento y función positiva (expresadas en forma verbalescrita)
con las gráficas correspondientes (66.7% y 48% respectivamente), mientras
que al pedirles que asocien las condiciones creciente y negativa (bajo las mismas
condiciones) por un lado, y decreciente y negativa por otro, los porcentajes
disminuyen sensiblemente (53% y 45%); sin embargo al realizar una revisión del
resto de las respuestas hechas por los encuestados, se observan ciertas tendencias
como la de confundir el crecimiento de una función (f´(x)>0) con su ubicación en el
semieje positivo de las abscisas, en tanto que el decrecimiento de la función (f´(x)0 con una gráfica cuyas ordenadas sean
positivas, mientras que, aquella función que posea ordenadas negativas, es asociada
con la expresión f´(x)

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
106
CUADRO 3. ALGUNAS PRODUCCIONES DE LOS ENCUESTADOS
Pregunta
6-A
produccion
es
profesores
Pregunta
6-B
produccion
es alumnos
Pregunta
7-A
produccion
es
profesores
Pregunta
7-B
produccion
es alumnos
Pregunta
8-A
produccion
es
profesores
Pregunta
8-B
produccion
es alumnos
Se detectó gran proclividad tanto en los profesores como en los estudiantes a
considerar que, gráficamente se cumple que f(x0) es equivalente con f´(x0), en virtud
de que alrededor del 80% de los profesores y el 70% de los estudiantes, construyeron

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
gráficas en las que hacen manifiesto que f(xo) = 0 y f´(xo) = 0 son la misma expresión,
esto al menos en el tratamiento gráfico.
En referencia al proceso de reversibilidad, el paso de la gráfica de f’(x) a f(x), es
escaso en profesores y prácticamente nulo para los estudiantes, esbozando gráficas en
las que buscan satisfacer las propias condiciones de f´(x) y no las correspondientes a
f(x), solo trabajan en un mismo plano de coordenadas pues se muestran
imposibilitados para transferir información variacional del plano de coordenadas (x,
f´(x)) al de coordenadas (x, f(x)) o viceversa. Generalmente el proceso de graficación
de f´(x) dada f(x), es relativamente transitable (empíricamente) para los profesores,
pero no así para los estudiantes quines se vieron imposibilitados de construir una
gráfica que cumpliera con las condiciones solicitadas; además, en nuestra indagación,
observamos que a los profesores al plantearles construir f(x) dada f´(x) esbozan rectas
tangentes en algunos puntos de la gráfica de f´(x). Solo un profesor construyó una
gráfica aceptable.
Bibliografía
Cantoral R (1997). Pensamiento y lenguaje variacional. Seminario de Investigación, Área de
Educación Superior, Cinvestav/IPN México D.F.
Confrey J. (1990). A review of the research on student conceptions in mathematics, science and
programming. Review of research in Education. Vol. 16. Pp. 3-56
Duval R. (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento.
Investigaciones en Matemática Educativa II. pp. 173-201. Grupo Editorial Iberoamérica.
Dolores C. (1996). Una propuesta didáctica para la enseñanza de la derivada en el bachillerato. Tesis
Doctoral. Biblioteca de la Facultad de Matemáticas de la UAG. Chilpancingo Gro.
Dolores C./Bello G./ Carvajal D. F (2002). Concepciones alternativas sobre las gráficas cartesianas
del movimiento. El caso de la velocidad y la trayectoria. Articulo en proceso de revisión para
la revista RELIME. Inédito.
Cáceres T. (1997). Pensamiento y lenguaje variacional. Un estudio exploratorio de ideas
variacionales entre jóvenes escolarizados de 17 a 24 años. Tesis de Maestría. Departamento
de Matemática Educativa del Cinvestav del IPN, México D.F.
Dolores C./Guerrero L./Medina M./Martínez M. (2001). Un estudio acerca de las concepciones de los
estudiantes sobre el comportamiento variacional de funciones elementales. Reporte de
Investigación aceptado para su publicación en las Actas de RELME XV. Buenos Aires Arg.
Leinhardt, G. / Zaslavsky, O./ Stein M.K. (1990) Functions, graphs and graphing: Tasks, learning and
teaching. Review of Educational Research Vol. 60. Pp. 1-64
Mevarech Z. & Kramarsky B. (1997). From verbal description to graphic
representation: stability and change in students’ alternative conceptions. Educational
Studies in Mathematics. Vol. 32 Núm. 3. pp. 229-263
Dolores C./Guerrero L. (2002). Concepciones alternativas que referentes al comportamiento
variacional de funciones, manifiestan profesores de bachillerato. Reporte de Investigación
aceptado para su publicación en actas de RELME XVI. La Habana Cuba.
Wainer H. (1992). Understanding graphs and tables. Educational Researcher Vol. 21, pp.14-23
107

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
DIAGNÓSTICO DE EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE EN UN CURSO
BÁSICO DE CÁLCULO DE UNA FACULTAD DE CIENCIAS. OPINIONES DE
LOS DOCENTES
Patricia Villalonga de García y Leonor Colombo de Cudmani
Universidad Nacional de Tucumán. Argentina.
pvdg@unt.edu.ar
Resumen
El objetivo del presente trabajo fue efectuar un diagnóstico del sistema de evaluación del aprendizaje
de Matemática 1 (asignatura de primer año de la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la
Universidad Nacional de Tucumán. Argentina). Este diagnóstico se apoyó en un modelo de
evaluación alternativa del aprendizaje, construido en base a criterios innovadores que surgen de
corrientes pedagógicas constructivistas (teorías: psicogenética de Piaget, pedagógica de Ausubel y
principios del Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky, Leontiev, Galperin y otros). Los principios
enunciados en este modelo, llevaron a la formulación de la siguiente hipótesis crítica: “la evaluación
del aprendizaje de la asignatura, se realiza con una concepción reduccionista y desintegrada de los
procesos de enseñanza y aprendizaje”. Para contrastar esta hipótesis y efectuar un diagnóstico del
sistema evaluativo de Matemática 1, se llevaron a cabo en trabajos anteriores, encuestas a alumnos de
los años 2001 y 2002, y se realizó un estudio de los ítems de evaluación sumativa (exámenes parciales
y finales) de la asignatura, analizados sobre la base de los principios de los estándares de evaluación
del National Council of Teachers of Mathematics. En este trabajo, a fin de obtener más información
para validar esta hipótesis, se estudió el resultado de una encuesta dirigida a docentes de la
asignatura. Una triangulación de métodos y datos obtenidos de trabajos anteriores, aportarían
elementos a favor de la confirmación de la hipótesis crítica. En consecuencia, se podría concluir que el
sistema de evaluación implementado en Matemática 1, no condice con las características y criterios
que derivan del modelo de evaluación alternativa construido.
Introducción
Este trabajo es parte de una investigación más abarcadora. Los objetivos de la misma
son: a) diseñar criterios que sirvan de guía para orientar los procesos del sistema de
evaluación del aprendizaje del cálculo de la asignatura Matemática 1, de primer año,
primer cuatrimestre, de la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la
Universidad Nacional de Tucumán; y b) efectuar el diagnóstico del sistema de
evaluación del aprendizaje de la asignatura en base a los criterios identificados.
Matemática 1 es una materia de carácter instrumental, tiene un currículo
eminentemente técnico que contiene los principios básicos del cálculo diferencial e
integral en una variable, sustentadores de otras asignaturas de las especialidades
dictadas en la facultad. Se inicia aproximadamente con 960 alumnos y con una
relación docente alumno 1/100. Finalizan el cursado de la materia alrededor de 420
estudiantes que son los que se evalúan. En las Memorias de VIII Conferencia
Interamericana sobre Educación en la Física efectuada en La Habana-Cuba en julio
de este año, se publicó el modelo de evaluación alternativa del aprendizaje construido
con una serie de criterios que podrían ser empleados para orientar la evaluación del
aprendizaje de la asignatura. Este modelo, fundado en teorías cognitivas de
aprendizaje, se tomó como marco teórico de referencia a partir del cual se derivaron
los indicadores para el diagnóstico (Colombo de Cudmani, Villalonga de García, y
Raya, 2003). Para concretar el diagnóstico del sistema evaluativo se diseñaron dos
encuestas efectuadas a alumnos de los años 2001 y 2002, una encuesta a docentes del
108

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
año 2001 y se analizaron los items de las pruebas de papel y lápiz de evaluación
sumativa, teniendo como referencia el marco teórico mencionado (Villalonga de
García y Colombo de Cudmani, (a) 2002, (b) 2002, (a) 2003, (b) 2003). El objetivo
de este trabajo fue presentar los resultados de la encuesta efectuada a los docentes de
la asignatura. Los mismos permitirán complementar y triangular la información
brindada por las otras fuentes de información empleadas para llevar a cabo el
diagnóstico de la evaluación del aprendizaje de la asignatura motivo de estudio.
Marco Teórico
El modelo de evaluación alternativa adoptado como marco teórico para este estudio
se construyó con los aportes de: a) principios que se derivan para la evaluación del
aprendizaje de las teorías de Piaget, Ausubel y de la Escuela Histórico Cultural de
Vigotsky, Leontiev, Galperin y otros seguidores; b) un estudio histórico del origen de
los términos examen, acreditación y evaluación en el cual se destacaron también
características de los modelos evaluativos contemporáneos; c) una investigación de
los fundamentos propuestos para la evaluación del aprendizaje en los estándares del
National Council of Teachers of Mathematics (N.C.T.M.) (N.C.T.M, 1989;
N.C.T.M., 1995; N.C.T.M. (a), 2000; N.C.T.M. (b), 2000); d) una revisión de
publicaciones de las tendencias actuales en enseñanza y evaluación de la matemática
y de las ciencias efectuada en revistas de investigación, actas de congresos y una tesis
(Pérez González, 2001; Noda Herrera, 2001; Otero y Fanaro, 2001; Fandiño Pinilla,
2003); y e) un estudio de las funciones de la evaluación del aprendizaje enunciadas
por Gimeno Sacristán (1992) y González Pérez (2000) y otros aportes efectuados para
la evaluación desde la pedagogía.
El modelo de evaluación alternativa construido con los aportes de las perspectivas
teóricas recién mencionadas considera que la evaluación del aprendizaje se
caracteriza por:
Mantener una estrecha relación con todos los otros componentes del modelo
didáctico: objetivos, contenidos, metodología de enseñanza y recursos de enseñanza.
Ser un elemento valioso para la toma de decisiones que revitalicen cualitativamente la
enseñanza y el aprendizaje, dado que sus resultados serán una guía que permitirá la
reestructuración de cada uno de los componentes del modelo didáctico.
Estar centrada en la actividad del alumno, proveyendo a cada uno de ellos igualdad de
oportunidades para que cada estudiante pueda demostrar su potencia matemática,
además de percibir el incremento logrado en la misma (conforme al concepto de
potencia matemática establecido en los estándares del N.C.T.M.).
Ser coherente con el nivel de desarrollo del alumno, con el proceso de enseñanza y
aprendizaje y el currículo de la institución.
Incrementar el aprendizaje de los alumnos.
Tener carácter integral.
El empleo de múltiples fuentes de información que permitan la obtención de
inferencias válidas acerca de aprendizajes significativos.
Ser un proceso abierto y transparente de manera que todos los agentes implicados en
él tengan información sobre el mismo.
Los criterios que se derivaron de este modelo fueron enunciados en el trabajo
109

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
presentado en la VIII Conferencia Interamericana sobre Educación en la Física en La
Habana-Cuba op. cit. (Colombo de Cudmani, Villalonga de García, y Raya, 2003).
Metodología
Hipótesis. Recuérdese que este trabajo es parte de una indagación más amplia, en la
que se planteó la siguiente hipótesis general: “la evaluación del aprendizaje de la
asignatura, se realiza con una concepción reduccionista y desintegrada de los
procesos de enseñanza y aprendizaje”.
Precisiones conceptuales relativas a la hipótesis enunciada
La evaluación del aprendizaje de una asignatura es el diseño de las estrategias de
evaluación del aprendizaje en el contexto de la asignatura. En referencia a la
concepción con que se realiza la evaluación del aprendizaje, representa las
características con que se implementa la misma en una asignatura según las ideas o
conceptos de evaluación del aprendizaje que posean el o los docentes que participan
como agentes activos de la misma. Una concepción reduccionista y desintegrada de
los procesos de enseñanza y aprendizaje de la evaluación del aprendizaje, significa en
primer lugar, considerarla separada del proceso y equivalente a examen, medición o
acreditación. Es decir, se implementa como un apéndice de la enseñanza y el
aprendizaje y no como un componente estructural y dinámico que permite la
introducción de cambios durante el proceso. En segundo lugar, limita la evaluación
al rendimiento académico generalmente de conocimientos, y en el mejor de los casos
de las habilidades o sea profundiza el aspecto cognitivo del sistema de contenidos de
enseñanza (González Pérez, 2000). Las fuentes empleadas para contrastar esta
hipótesis fueron encuestas a alumnos de los años 2001 y 2002, se realizó un estudio
de los ítems de evaluación sumativa (exámenes parciales y finales) de la asignatura y
una encuesta a docentes del año 2001.
La encuesta a docentes del año 2001
Se realizó una encuesta a diez docentes que tuvieron a su cargo el grupo de alumnos
de la asignatura en el primer cuatrimestre de 2001. Los mismos respondieron un
cuestionario, con cuatro preguntas semicerradas de respuestas con varias alternativas
de elección, dos preguntas cerradas y una abierta. Las preguntas se diseñaron con los
propósitos siguientes. Evaluar opiniones de los docentes acerca de su concepción de
evaluación, de los recursos empleados para la toma de decisiones durante el proceso
de enseñanza y aprendizaje, y de las causas de fracaso de los estudiantes. La
construcción del cuestionario se fundó en el modelo de evaluación alternativa y sus
criterios, en datos empíricos tomados de la experiencia docente de la investigadora y
en los objetivos mencionados. Para tal fin se elaboró una encuesta piloto aplicada a
una muestra de tres docentes con el fin de verificar la claridad de los interrogantes del
cuestionario. Posterior al pilotaje se reestructuraron las preguntas del cuestionario
conformando el definitivo. Se garantizó la validez de contenido de la encuesta,
sometiéndola a juicio de cinco jueces expertos en el tema, quienes comprobaron que
las preguntas respondían a los objetivos de la encuesta y al modelo de evaluación
alternativa. Los jueces fueron docentes universitarios de física y matemática abocados
a la investigación en educación en ciencias. Los jueces debían responder al siguiente
110

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
interrogante ¿fueron los ítems de la encuesta, enunciados de manera tal de cubrir los
aspectos considerados en los criterios del modelo de evaluación alternativa? La
respuesta se daba escogiendo una de las opciones: “adecuado”, “medianamente
adecuado” e “inadecuado” para cada uno de los criterios enunciados en el modelo. Se
testó mediante la prueba de rangos de Friedman la hipótesis nula de concordancia de
los puntajes asignados por los jueces a los criterios enunciados en el modelo.
Prefijando un nivel de significación significación α = 0,05 se obtuvo p-value
=0,1027, con lo que se aceptaría la hipótesis de concordancia de los puntajes
asignados a los criterios del modelo por los cinco jueces. Además, en la concordancia
de opiniones, primó en las respuestas la categoría “adecuado” en un porcentaje igual
al 88 %. Para favorecer la confiabilidad de la medición, la respuesta al cuestionario
fue anónima, suministrada en un ambiente agradable, y cada docente dispuso de todo
el tiempo que necesitaba para responderla.
Las categorías de análisis
Para contrastar la hipótesis planteada se definió un sistema de categorías de análisis
(Taylor y Bogdan, 1987). Las categorías de análisis se establecieron en base al marco
teórico al que se hizo referencia, a los objetivos planteados y a datos levantados de las
respuestas a la encuesta. El sistema de categorías fue establecido definiendo las
siguientes categorías:
a) Concepción de evaluación de los docentes: contiene opiniones de los
docentes acerca de algunas funciones que desempeña la evaluación del
aprendizaje de los alumnos.
b) Recursos para la toma de decisiones: se refiere a todos los criterios e
instrumentos utilizados durante el proceso de enseñanza y aprendizaje que
permiten al docente tomar decisiones para mejorar la enseñanza. En esta
categoría se estudiaron las siguientes dimensiones:
b1: Instrumentos de evaluación: incluye opiniones de docentes relativas al tipo
de instrumentos empleados para evaluar sus características y capacidades que
evalúan. En esta categoría se consideraron dos dimensiones:
b1a: Pruebas de papel y lápiz: encierra opiniones de los docentes inherentes a
exámenes parciales y finales.
b1b: Otros: contiene opiniones de los docentes acerca del empleo de otros tipos de
instrumentos de evaluación que no sean pruebas de papel y lápiz.
b2: Otros recursos: se refiere a opiniones de los docentes acerca de criterios
empleados durante el proceso de enseñanza para la toma de decisiones que no
impliquen los distintos tipos de instrumentos de evaluación.
c) Causas del fracaso de los estudiantes: son referencias efectuadas por los
docentes a los motivos de fracasos de sus alumnos.
Indicadores de las categorías
Si la categoría agrupaba información proveniente de preguntas cerradas o de las
opciones cerradas de preguntas semicerradas, se escogieron como indicadores a
números enteros, correspondientes a la frecuencia con que las opciones de cada
111

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
pregunta fueron escogidas por los docentes. Si la categoría reunía información de la
opción abierta de una pregunta semicerrada, en este caso no se definieron indicadores
y se analizaron con la técnica descripta para el análisis de preguntas abiertas en un
trabajo presentado en VI Reunión de Didáctica de la Matemática del Cono Sur
(Villalonga de García y Colombo de Cudmani (a), 2002).
Las Opiniones De Los Docentes
Los resultados de esta encuesta fueron plasmados en un trabajo aceptado para ser
presentado en el congreso “Trabajo pesquisa em ensino en ciencias” a realizarse en
San Pablo-Brasil en noviembre de 2003 (Villalonga de García, Colombo de Cudmani,
2003). En el mismo, conforme a opiniones volcadas por los docentes, se llegó a las
siguientes conclusiones:
1. No se efectuaría evaluación sistemática en forma continua. La principal función
que desempeñaría la evaluación sería acreditar.
2. Una concepción espontánea del docente sería que “la principal función de la
evaluación es calificar” (Alonso Sánchez, Gil Pérez y Martínez Torregosa, 1992).
3. Se reconocería a la evaluación como medio para realizar ajustes durante el proceso
de enseñanza y aprendizaje.
4. En el desarrollo de Matemática 1 se compartirían los objetivos con los estudiantes,
aunque no se brindaría a los mismos información sobre criterios de evaluación.
5. No se concedería importancia a la evaluación de conocimientos previos
6. Se otorgaría importancia a la evaluación de las siguientes capacidades: adquisición
de información, comprensión y aplicación, teniendo muy poca importancia la
valoración de las capacidades de análisis, síntesis y evaluación.
7. La evaluación metacognitiva estaría ausente.
8. Los estudiantes no tendrían mayores oportunidades de autorregular su aprendizaje,
debido a que no se implementan técnicas autoevaluativas en la enseñanza.
9. No se concedería relevancia al empleo de instrumentos que permitan evaluar
conocimientos integrados.
10.Las pruebas de evaluación se limitarían a evaluar sólo estrategias cognoscitivas y
no considerarían la amplia gama de dimensiones a evaluar propuestas por los
estándares de evaluación del NCTM, lo que implicaría que no se valora el
progreso de la potencia matemática de los estudiantes. La actitud hacia la
matemática y capacidades generales del estudiante no se evaluarían.
11. La evaluación no sería concebida por los docentes como medio para optimizar la
comunicación, motivar al alumno y mejorar su personalidad.
12. Tres factores influenciarían con mayor peso en el bajo rendimiento de los
estudiantes: la carencia de conocimientos previos, la falta de estudio y la
infraestructura inadecuada para grupos numerosos. Se atribuiría, aunque en menor
escala, influencia a: factores personales, metodología empleada, escasa
motivación, falta de hábitos de estudio, relación docente-alumno, factores
socioeconómicos, y la preparación que reciben los estudiantes en escuelas
paralelas a la universidad con criterios diferentes a los brindados en la asignatura.
13.Hay que destacar que los bajos rendimientos en Matemática 1, son asignados a
causas externas a la didáctica de la asignatura. Esta concepción espontánea sobre
evaluación que poseen los profesores, coincide con la señalada en una
112

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
investigación realizada por Alonso Sánchez, Gil Pérez y Martínez Torregosa (a)
(1992).
14.La evaluación sería una tarea que es sólo responsabilidad del docente, y dicha
responsabilidad no es transferida al estudiante, a fin de que él mismo sea capaz de
reconocer sus aciertos y dificultades, debido a que no se practican técnicas
autoevaluativas con los alumnos
La Triangulación Como Estrategia de Interpretación
Para contrastar la hipótesis planteada se recurrió a la triangulación como estrategia de
interpretación. En investigación socioeducativa, es conveniente emplear
conjuntamente varios métodos diferentes para triangular la verdad subyacente en un
fenómeno. Para este fin cabe utilizar dos o más métodos. El empleo de métodos
diferentes resulta mejor porque probablemente disminuirán las posibilidades de error
(Álvarez Méndez, 1986). “El principio básico subyacente en la idea de
triangulación es el de recoger observaciones / apreciaciones de una situación (o
algún aspecto de ella) desde una variedad de ángulos o perspectivas y después
compararlas y contrastarlas” (Elliott, 1980: 116). Denzin (1978) define
triangulación como la combinación de metodologías en el estudio de un mismo
fenómeno (Forni, Gallart y Vasilachis de Gialdino, 1992). Pueden triangularse
métodos, contrastando las diferencias que aparecen en la descripción y valoración de
la realidad realizada a través de ellos, pero Denzin efectúa un planteo mucho más
integral llegando a hablar de triangulación de datos, de investigadores, de teorías y
de metodología (Forni, Gallart y Vasilachis de Gialdino, 1992).
1. La triangulación de datos implica tres subtipos: tiempo, espacio y personas.
2. La triangulación de investigadores es someter un mismo objeto a la observación de
múltiples expertos.
3. La triangulación de teorías consiste en utilizar múltiples perspectivas teóricas en
relación a un mismo conjunto de objetos.
4. La triangulación metodológica puede implicar triangulación dentro de un mismo
método o entre métodos distintos.
En esta investigación, de acuerdo a la clasificación desarrollada, se triangularon
métodos y datos. La triangulación de datos se efectuó dentro de los subtipos
personas y tiempo. Simultáneamente a la aplicación de distintos métodos, se efectuó
el contraste de los puntos de vista de las opiniones de agentes activos en la evaluación
del aprendizaje en el contexto áulico del año 2001 y 2002. De esta manera, la
triangulación empleada como estrategia interpretativa, permitió enunciar
proposiciones que obraron de argumentos que consolidaron la validación de la
hipótesis planteada. El detalle de la construcción y enunciación de estas
proposiciones se muestra en un trabajo de tesis (Villalonga de García, 2003).
Conclusiones: El diagnóstico de la evaluación del aprendizaje de la asignatura
La metodología escogida para lograr los propósitos planteados en esta indagación
llevó a realizar dos procesos constructivos:
i) uno de tipo teórico, con el que se logró el modelo de evaluación alternativa, de
donde se derivaron los criterios guía para la evaluación del aprendizaje de la
asignatura, primer objetivo de este trabajo,
113

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
ii) otro de tipo metodológico que aportó:
- un sistema de categorías, construido con las categorías de las cuatro fuentes de
información utilizadas (Villalonga de García, 2003). Este sistema de categorías fue
empleado como instrumento que permitió organizar la información para obtener los
resultados de la indagación, y
- una serie de proposiciones, logradas mediante triangulación de los resultados
de la información de las distintas fuentes, que permitieron efectuar el diagnóstico del
sistema de evaluación implementado en la asignatura, segundo objetivo de la
indagación (Villalonga de García, 2003).
Seguidamente, en forma muy sintética, se detallan los resultados más prominentes
obtenidos para el diagnóstico de la evaluación del aprendizaje de la asignatura
logrados en esta investigación:
1. La evaluación del aprendizaje sería equivalente a examen, medición o
acreditación. Es decir:
a) Al estar desintegrada de los procesos de enseñanza y aprendizaje, no sería
implementada como un componente estructural y dinámico que permite el monitoreo
de los avances de cada estudiante hacia las metas de aprendizaje, proporcionándole
una retroalimentación relevante y útil sobre su trabajo que le permita apreciar el
incremento de su potencia matemática, y
b) al no ser una estrategia constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje de
la matemática, en gran parte no favorecería aprendizajes significativos.
2. No se efectuaría evaluación integral del aprendizaje, dado que la misma se
limitaría al aspecto cognitivo del sistema de contenidos de la enseñanza.
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115

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
DISEÑO Y VALIDACIÓN DE UN INSTRUMENTO PREDICTOR DEL ÉXITO
ACADÉMICO DE ALUMNOS INGRESANTES A LA UNIVERSIDAD.
116
Walter Álvarez, Eduardo Lacués, Magdalena Pagano.
Universidad Católica del Uruguay (UCU)
walvarez@ucu.edu.uy, elacues@ucu.edu.uy, mapagano@ucu.edu.uy
Resumen
El presente artículo informa acerca de la elaboración y validación de un instrumento predictor del éxito
académico de los estudiantes en el primer semestre de universidad. Es la tercera etapa de un trabajo
cuyas dos primeras partes tuvieron como objetivos, respectivamente, la determinación de un perfil de
los estudiantes ingresantes a la universidad y la evolución que experimentan al cabo del primer
semestre. La perspectiva provista por el concepto de aprendizaje significativo de Ausubel reconoce la
importancia decisiva que en los aprendizajes tienen los conocimientos previos de los aprendices; por
otro lado, la noción de zona de desarrollo proximal de Vygotski establece la importancia de determinar
no ya el desarrollo actual de los estudiantes, sino el potencial que tienen. Desde esta doble mirada
teórica es que se plantea el tema de elaborar un instrumento que permita anticipar los resultados
académicos de los alumnos en su primer año universitario, como forma de obtener información que
facilite el proceso de instrumentar apoyos adecuados para aquellos alumnos que presumiblemente
enfrentarán fracasos. La estructura del artículo es la siguiente. En una primera sección se describe la
perspectiva teórica ya mencionada y se explica su relación con la estructura del cuestionario elaborado
como instrumento y que figura en el Anexo I. En la segunda, se historia brevemente el proceso de las
dos primeras etapas de este trabajo y se las vincula con ésta. En la tercera, se presentan los objetivos de
esta etapa, se comentan los resultados de la aplicación del instrumento y se establecen algunas
conclusiones. Finalmente, la cuarta resume el informe y propone posibles continuaciones de esta
investigación.
Aprendizaje significativo, zona de desarrollo proximal y confección del
cuestionario.
El conocimiento previo de los alumnos y su incidencia en los aprendizajes posteriores
es, a la luz de algunas de las corrientes contemporáneas de la psicología educativa un
punto de vital importancia (Ausubel, 2001, Novak, 1998, Bruner, 1968) En este
sentido, Novak (1998) cita a Ausubel diciendo que “Si tuviera que reducir toda la
psicología educativa en un único principio, diría que el factor más importante que
influye en el aprendizaje es lo que el aprendiz ya sabe. Hay que determinarlo y
enseñarle en consecuencia”. Desde la teoría de Ausubel, cuando se habla de
aprendizaje se está haciendo referencia al aprendizaje significativo, esto es, un
aprendizaje que fomenta la creatividad de los estudiantes y el poder de transferencia,
que los capacita para aprender a aprender. Para este tipo de aprendizajes resulta ser
relevante un conocimiento previo que permita integrar los nuevos conocimientos con
los conceptos ya existentes en la estructura cognitiva, a diferencia de lo que podría ser
un aprendizaje meramente memorístico, donde los nuevos conocimientos se
almacenan de una manera arbitraria en la estructura cognitiva y por lo tanto no se
favorece la transferencia y la integración. Ausubel (2001) propone que la enseñanza
proceda a introducir primeramente los conceptos inclusores que sirvan como ideas de
anclaje, para luego deducir a partir de ellos los casos particulares. Insiste en que se
ha de partir de lo más general para que luego pueda producirse la diferenciación
progresiva (desarrollo y ampliación de los conceptos inclusores existentes en la

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
estructura cognitiva) y la reconciliación integradora (establecimiento de
interrelaciones entre los conceptos inclusores e incluidos que permite detectar
similitudes y diferencias). De esta manera, aún cuando se produzca el olvido se habrá
logrado una mejora de la estructura cognitiva que es lo que el autor denomina
inclusión obliterativa. La intención de detectar conocimientos previos relevantes que
funcionen como ideas de anclaje para posteriores aprendizajes es la que explica la
inclusión en el cuestionario usado como instrumento de los ítems referidos al cálculo
diferencial. Se buscó a través de ellos diferenciar entre los aprendizajes memorísticos
y los significativos.
En otro orden, Vygotsky (1979) introduce la noción de zona de desarrollo proximal
como la diferencia entre lo que el aprendiz puede realizar por sí solo y lo que podría
hacer con el apoyo de un profesor o un aprendiz más aventajado. Entre otras
consecuencias la más relevante para este trabajo es que es precisamente el potencial
de un aprendiz y no su grado de desarrollo actual, el que establece las expectativas
que es razonable tener acerca de su desempeño futuro. En algunos relevamientos
previos, se había detectado que una posible concreción de la zona de desarrollo
proximal puede señalarse en relación con el asunto de construcción de
demostraciones. En efecto, aún cuando un estudiante no pueda construir una
demostración por sí mismo, puede hacerlo si se le suministran indicaciones y utiliza
acertadamente reglas de inferencia. Es en este sentido que se incluyeron en el
cuestionario los ítems referidos a las estructuras lógicas que manejan los ingresantes,
tratando de determinar el grado de dominio de diversas forma de argumentación
como un indicador del potencial del aprendiz. Otro elemento relevante que aporta
Vygotsky (1987) es el del rol que juega el lenguaje como elemento organizador de
tareas complejas. En particular, en Matemáticas el dominio del lenguaje algebraico y
de los diferentes sistemas de símbolos es parte esencial de las necesidades para
comprender formulaciones abstractas, realizar diversos tipos de cálculo o resolver
problemas. Esto explica la inclusión de ítems relacionados con este aspecto en el
cuestionario.
Etapas anteriores a esta investigación
En la primera instancia de este trabajo, se confeccionó una prueba de múltiple opción
en la cual se indagaba sobre las estructuras lógicas que los alumnos manejan, el nivel
de uso del lenguaje simbólico que poseen, y sus conocimientos en torno a algunos
conceptos del cálculo diferencial. Para la elaboración del cuestionario se tuvieron en
cuenta los aportes de la bibliografía existente así como la experiencia docente de los
autores. Con este instrumento se trataba de determinar el perfil de los alumnos
ingresantes a las carreras de Contador Público, Economía o Ingeniería (en
Informática, Electrónica o Telecomunicaciones) de la Universidad Católica del
Uruguay (UCU), con propósitos de diagnóstico. Se aplicó el cuestionario a los
alumnos ingresantes en la primera semana de comenzado el semestre, como forma de
relevar el estado de situación al ingresar. Los resultados de esta primera instancia se
reportaron en un informe de investigación presentado en la RELME 15 (Álvarez, W.,
Lacués, E. y Pagano, M., 2001). Entre ellos se cuentan que es frecuente que los
estudiantes confundan la validez de un enunciado con la de su recíproco, y que
confundan también los conectivos lógicos “y” y “o”. Contra lo esperado a partir de
117

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
los resultados de otras investigaciones, mostraron un dominio adecuado del lenguaje
simbólico, aunque en los ítems sobre temas de Cálculo que requerían un
conocimiento más allá de lo simplemente algorítmico el desempeño fue más bien
bajo.
En la segunda etapa, mediante la técnica de pre-post test, se comparó el desempeño
de los estudiantes en la prueba de diagnóstico administrada al comienzo del semestre
con el resultado de la aplicación del mismo cuestionario al finalizar el primer
semestre, tratando de establecer si existía alguna evolución favorable. En general,
éste fue la conclusión que se obtuvo, abriendo otras cuestiones a la discusión
(Álvarez, W., Lacués, E. y Pagano, M., 2002). También en esta etapa se validó el
cuestionario mediante un análisis de ítems basado en los índices de dificultad y de
discriminación. Además de informar sobre dificultad global de la prueba y de su
capacidad conjunta para discriminar entre buenos y malos desempeños, esta instancia
permitió detectar errores en la formulación de algunos ítems, así como en la elección
de algunos de los distractores. Como se verá en la sección siguiente, estos índices
permiten una interpretación adicional de los resultados relacionados con la
predicción. La tercera etapa que se describe a continuación, consistió en decidir si
existe correlación entre las variables resultados de la prueba y rendimiento
académico.
El cuestionario como instrumento predictor del éxito académico
Es claro que no es posible atribuir exclusivamente a los conocimientos previos y al
grado de desarrollo de diversas capacidades el éxito académico. Sin pretender ser
exhaustivos, factores que indudablemente influyen, son: el grado de adaptación que
experimente el estudiante al entorno universitario (para él nuevo), la disposición
personal a aceptar trabajar en proyectos prolongados, la capacidad para sobrellevar
presiones derivadas de las diferentes instancias de evaluación que debe enfrentar, la
habilidad para organizar su tiempo de acuerdo a las demandas de los plazos que se le
establezcan. Ninguno de estos elementos puede ser detectado con el cuestionario
elaborado. Sin embargo, sí parece razonable esperar que si un alumno tiene un
desempeño insuficiente en la instancia de diagnóstico, está en condiciones
desfavorables para encarar las actividades de los cursos (al menos los de Matemática)
que debe tomar en las respectivas carreras. En primer lugar, es necesario establecer
qué indicadores se eligieron para medir el éxito académico. Los estudiantes de las
carreras de Contador Público o Economía comparten un curso de Matemáticas en el
primer semestre, que trata fundamentalmente temas de Cálculo Diferencial e Integral
en una variable. Estos son también los contenidos de uno de los dos cursos de las
carreras de Ingeniería en Electrónica, Telecomunicaciones o Informática, en tanto el
otro cubre cuestiones preliminares de Álgebra Lineal. La carrera en Informática
incluye también un curso de Lógica en el primer semestre.
El procedimiento para medir el grado de éxito académico consistió en tener en cuenta
si el estudiante perdió o aprobó el o los cursos del área lógico-matemática de la
carrera a la que pertenece. Se hizo un estudio con tablas de contingencia que permite
saber si el puntaje obtenido en el test de diagnóstico, medido como la cantidad de
respuestas correctas, es o no independiente de aprobar o perder el o los cursos de las
materias del área lógico-matemática en el primer semestre considerado. Se
118

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
construyeron tres franjas para clasificar el desempeño en el test de diagnóstico, y en
el otro sentido si había aprobado o no el curso. A partir de la tabla de frecuencias se
calculó la estadística U de Pearson que aproximada por χ 2 permite saber si el puntaje
del test es independiente del hecho de aprobar o no el curso. Se consideraron tres
poblaciones diferentes: la primera la constituyen los ingresantes a primer año de la
Facultad de Ingeniería y Tecnologías (FIT), la segunda los ingresantes a primer año
de la Facultad de Ciencias Empresariales (FCE), y la tercera es la unión de las dos
anteriores (Total). Como se muestra en el Anexo II los resultados de los test de
independencia aplicados a las diferentes muestras de las poblaciones de estudio, se
encuentra una asociación significativa entre las variables resultados en la prueba y
éxito académico en el primer semestre, en la muestra total y en la población
correspondiente a la FIT. Esto parece confirmar que, en conjunto, un relevante
aprendizaje previo y un adecuado potencial, que es lo que se pretendió medir a partir
del cuestionario como se indicó en la primera sección, resultan ser variables que
explican significativamente el posterior rendimiento académico de los estudiantes.
Por otra parte, si bien no existe una asociación significativa para el caso de la FCE
puede notarse sin embargo a partir de las tablas de contingencia que figuran en el
Anexo II, que los resultados de aquellos alumnos que se encuentran en la clase 3
(franja superior) tienen un desempeño académico netamente superior al resto de los
estudiantes en concordancia con lo que ocurre también en la FIT. Esto parece
consistente con la teoría del aprendizaje significativo a partir de la evidencia
suministrada por la tabla de índices de dificultad y discriminación que se presenta en
el Anexo III. En efecto, muchos de los ítems que requerían un aprendizaje no
memorístico (tales como 5, 6, 16 y 17) tuvieron un alto grado de dificultad y
discriminación positiva; esto significa que fueron respondidos por muy pocos
alumnos, y que, además, entre quienes los respondieron correctamente, fue mayor el
número de alumnos del grupo superior que el de los del grupo inferior. Estos
resultados van el en sentido de reafirmar la idea de que aquellos estudiantes que han
logrado aprendizajes previos significativos logran utilizarlos como ideas de anclaje
pertinentes para los nuevos conocimientos. Sin embargo, no pueden hacerse los
mismos comentarios con respecto a los estudiantes ubicados en las otras dos franjas,
la media y la inferior. Una posible explicación a la escasa asociación en el caso de la
FCE entre las variables resultados de la prueba y rendimiento académico, puede
encontrarse al considerar la proveniencia de los estudiantes. Los ingresantes a la FCE
pueden provenir de cualquiera de las orientaciones del bachillerato que tengan alguna
asignatura del área Matemática en su último año, lo que es causa de una gran
heterogeneidad. A diferencia de esta situación, los alumnos de la FIT provienen
todos de la orientación Ingeniería del bachillerato y por lo tanto han tenido tres
asignaturas del área Matemática en su último año en secundaria. Esta diferente
exigencia puede haber tenido como consecuencia que estos últimos hayan logrado
una mejor aproximación a un aprendizaje significativo en el área Matemática que los
estudiantes de la FCE. Otro conjunto de interpretaciones proviene de considerar los
resultados obtenidos en algunas de las partes del cuestionario en relación con el éxito
en ciertas asignaturas. En el caso de Cálculo Infinitesimal, existe asociación entre el
resultado global en el cuestionario y el hecho de aprobar la asignatura. Pero además,
si sólo se tienen en cuenta los ítems de Cálculo que figuran en la prueba, esta
119

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
asociación es aún más clara. De nuevo en este caso, para estar en la franja superior de
rendimiento en el test, un estudiante debió contestar correctamente ítems que
requerían un conocimiento no sólo algorítmico sino más integrado en redes
conceptuales complejas, lo que estaría reforzando la validez de los comentarios
efectuados antes. Una situación diferente se registra en el caso de Lógica. En este
caso no hay motivos estadísticos para afirmar que existe asociación entre el resultado
global y el hecho de aprobar la asignatura, ni tampoco entre el desempeño particular
en los ítems de Lógica del cuestionario y la aprobación del curso. Una posible
explicación a este hecho es que esta asignatura es más bien autocontenida, de manera
que el programa prescribe tratar los diferentes contenidos desde un punto de partida
más bien elemental, por lo que el peso de los conocimientos previos aquí sería menor
que en el caso de Cálculo Infinitesimal. Por otro lado, aún cuando la evidencia
estadística no permite establecer asociación, es también cierto que los estudiantes de
las franjas media y superior tienen un desempeño en esta asignatura bien diferente de
los de la franja inferior. Un caso diferente a estos dos anteriores lo constituye
Álgebra Lineal, dado que en el cuestionario no figuran ítems directamente
relacionados con esta asignatura. A pesar de ello, también se registra una asociación
entre el desempeño en la instancia de diagnóstico y aprobar el curso.
Resumen y conclusiones finales
Se ha presentado el proceso de construcción y validación de un instrumento predictor
del éxito académico de los alumnos ingresantes a la universidad, poniéndolo en
relación con otros dos temas, el de la determinación del perfil de estos alumnos y el
de su evolución durante el primer semestre de las respectivas carreras. Se ha
sustentado este proceso desde el punto de vista teórico en los conceptos de
aprendizaje significativo de Ausubel y zona de desarrollo proximal de Vygotsky,
explicando la elaboración de grupos de ítems a partir de la intención ya fuera de
relevar conocimientos previos o el potencial de desarrollo de los estudiantes. Se ha
obtenido como resultado que existe una asociación entre el resultado de la instancia
de diagnóstico y el éxito académico, medido éste en términos de la aprobación del
cursos del primer semestre, lo que resulta consistente con la posición teórica asumida,
al poner de relieve, por un lado, la importancia del conocimiento significativo previo
como anclaje para nuevos aprendizajes, y por otro, la de plantear la enseñanza de
manera que se tenga en cuenta el potencial de los alumnos. Una cuestión a investigar
a partir de estos resultados es qué tipo de apoyo suplementario puede instrumentarse
para asistir a los estudiantes con un mal desempeño en la prueba de diagnóstico. Un
indicio surge de la consideración hecha acerca de que los simples aprendizajes
memorísticos o algorítmicos no explican el éxito académico. Parece, pues, que es
necesario pensar en formas de estimular aprendizajes más significativos,
posiblemente a partir del planteo de tareas complejas que requieran la integración de
diversas redes conceptuales y el desarrollo de diferentes tipos de capacidades. En
otro orden, las diferencias entre los resultados obtenidos entre los alumnos de las dos
Facultades consideradas lleva a pensar en la necesidad de diseñar instrumentos
independientes, más adecuados para tener en cuenta el conjunto de aprendizajes
anteriores de los ingresantes, como forma de mejorar las posibilidades de anticipar los
rendimientos académicos.
120

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
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Grijalbo.
Vygotski, L.S. (1987). Pensamiento y lenguaje, Buenos Aires, Editorial La Pléyade.
Anexo 1: Cuestionario
ESTRUCTURAS LÓGICAS
1. Los integrantes de las barras bravas son personas inadaptadas y violentas.
Entonces, es posible concluir que:
Las personas violentas están en las barras bravas.
Existen personas inadaptadas.
Si no existen las barras bravas, entonces no hay personas inadaptadas o violentas.
Si hay algún integrante de alguna barra brava, entonces hay alguna persona
violenta.
2. Considere la siguiente afirmación:
“Todos los presentes en esta sala son estudiantes de Electrónica”.
La negación de esta afirmación consiste en afirmar que:
Nadie en esta sala es estudiante de Electrónica.
Todos los estudiantes de Electrónica están en esta sala.
Alguien en esta sala no es estudiante de Electrónica.
Si alguien no está en esta sala, entonces no estudia Electrónica.
3. El recíproco de la afirmación:
“ Si llueve me mojo”
es:
No me mojo si no llueve.
Si me mojo, llueve.
121

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Algunas veces que me mojo es porque llueve.
Si no llueve, no me mojo.
4. Considere la siguiente proposición: Ningún abogado sabe matemáticas y todos los
matemáticos saben matemática. Un contraejemplo de esta afirmación lo constituye
el siguiente hecho:
Fermat fue abogado y sabía matemáticas.
Einstein sabía matemática y no era matemático.
Los abogados y los matemáticos usan la lógica.
No se conocen casos de personas que sean a la vez abogados y matemáticos.
5. Recuerde el teorema de límite para la suma:
“Si dos funciones tienen límite en a, entonces su suma tiene límite en a”.
Por lo tanto:
Si la suma de dos funciones tiene límite en a, entonces cada una tiene límite en a.
Si dos funciones no tienen límite en a, entonces su suma no tiene límite en a.
Si una de las dos funciones que se están sumando no tiene límite en a, entonces no
puede afirmarse nada acerca del límite de la suma.
Cuando una suma de dos funciones tiene límite en a, al menos una de ellas tiene
límite en a.
6. Un teorema de dominio público establece que si una función f tiene un máximo
relativo en a y f es derivable en a entonces f ’(a)=0, de lo cual se puede deducir
que:
Si f no es derivable en a, entonces f no puede tener un máximo relativo en a.
Si f ’(a)=0 entonces f tiene un máximo relativo en a.
Si f es derivable en a y f ’(a)≠ 0, entonces f no puede tener un máximo relativo en
a
Si f no es derivable en a, entonces f tiene un punto de inflexión en a.
LENGUAJE SIMBÓLICO
Sean U={x/x es un estudiante de la UCU}
E={x/x es un estudiante de la Licenciatura en Dirección de Empresas}
I={x/x es un estudiante de Ingeniería}.
Entonces el conjunto C=(U∩E c )∪I es:
C={x/x es estudiante de la UCU y no de la Licenciatura en Dirección de Empresas, o
es estudiante de Ingeniería}.
122

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
C={x/x es estudiante de la UCU y no de la Licenciatura en Dirección de Empresas y
sí es estudiante de Ingeniería}.
C={x/x no es estudiante de la UCU ni de la Licenciatura en Dirección de Empresas, o
es estudiante de Ingeniería}.
C={x/x no es estudiante de la UCU o no lo es de la Licenciatura en Dirección de
Empresas, o es estudiante de Ingeniería}.
2. Sean U={x/x es un estudiante de la UCU}
E={x/x es un estudiante de Dirección de Empresas}
I={x/x es un estudiante de Ingeniería}.
Entonces, el conjunto C de los estudiantes de Ingeniería o de Dirección de Empresas que no son de la UCU es:
C=I∩E∩U c .
C=(I∪E)∩U c .
C=I∪(E∩U c ).
C=(I∪E) c ∩U.
3. Sean E={e/ e es buen estudiante}
M={m/ m gusta de la matemática}
S={s/ s estudia la carrera de Sicología}.
Marcos pertenece al conjunto E∩M c ∩S. Entonces:
Marcos es buen estudiante de sicología pero no le gusta la matemática.
Marcos no es buen estudiante y no le gusta la matemática, y estudia la carrera en
sicología.
Marcos no es buen estudiante ni le gusta la matemática ni estudia la carrera en
sicología.
Marcos es buen estudiante pero no le gusta la matemática ni estudia la carrera en
sicología.
4. Sean E={e/ e es buen estudiante}
M={m/ m gusta de la matemática}
S={s/ s estudia la carrera de Sicología}.
Ismael es buen estudiante de Sicología a quien le gusta la matemática.
Entonces Ismael pertenece al conjunto:
E∪S∪M.
E∩S∩M.
(E∩S)∪M.
E∩(S∪M).
1. El equipo de fútbol universitario de la UCU en su preparación para el próximo
campeonato ha disputado tres encuentros. En el primero marcó tantos goles como
la suma de los que hizo en los otros dos. En total convirtió ocho goles, y en el
segundo hizo dos goles más que en el tercero. Si x, y y z designan
respectivamente el número de goles convertidos en el primer, segundo y tercer
partidos, ¿cuál de los siguientes sistemas permite hallar el número de goles
convertidos en cada partido?.
⎧ x = y + z
⎪
⎨x
+ y + z = 0
⎪⎩ y + 2 = z
⎧ x
= y + z
⎪
⎨x
+ y + z = 8
⎪⎩ y + z = 2
123

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
⎧x
+ y + z = 8
⎪
⎨ x = y + z
⎪⎩ y = z + 2
⎧x
+ y + z = 8
⎪
⎨ x = y + z
⎪⎩ y + z + 2 = 0
2. Algunos modelos económicos explican con una ecuación lineal la evolución de la
demanda q de un bien en función de su precio p. Si para determinado bien se sabe
que cuando el precio aumenta una unidad la demanda bajará cinco y además que
si se regala el producto la demanda será tres mil unidades.
Indique cual de las siguientes ecuaciones representa esta situación.
q = 3000 + 5p
q = 5p-3000
q = 3000-5p
p = 5q+3000
CÁLCULO DIFERENCIAL
1. Sea
1 , el dominio de f es:
124
f(x) 2
2
=
(x
Dom f = R-{0}
Dom f = R +
Dom f = R-{-1}
Dom f = R + -{1}
+ 1) ⋅ L(x + 1)
Sea f : A → R donde A = Dom f = R + -{1}
Si g(x) = f(x 2 ), entonces el dominio de g es:
Dom g= R + -{1}
Dom g= R +
Dom g= R-{0,-1,1}
Dom g = R-{0}
3. Considere las funciones f, g y h dadas por: f(x)=e x , g(x)=2x-1 y h(x)=f(g(x)).
Entonces h’(0) es igual a:
0.
2e -1
e -1 .
2e 2 .
Suponga que dos funciones f y g satisfacen f(1)=0, f ’(1)=0, g(-1)=1 y g’(-1)=2.
Si h=f°g y k=g°f entonces resulta:
Ni h’(-1) ni k’(1) pueden calcularse con los datos suministrados.
h’(-1)=2 y k’(1) no puede calcularse con los datos suministrados.
h’(-1)=0 y k´(1) no puede calcularse con los datos suministrados.
h’(-1)=2 y k’(1)=0.

f(x)
REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
5. Si el primer gráfico corresponde a la función f y el segundo gráfico a la función
g.
60
50
40
30
20
10
0
-10
-6 -4 -2 0
x
2 4 6
Entonces podemos afirmar:
g(x)=f(x)
g(x)=f(x+2)
g(x)=f(x-2)
g(x)=f(2x)
6. Se da la gráfica de una función f.
7.
20
-40
-60
-80
60
50
40
30
.g(x)
20
10
0
-10
-8 -6 -4 -2
x
0 2 4
0
-20
0 1 2 3 4
Indique cual de las siguientes corresponde a la gráfica de su derivada f ’.
10
0
0
-10
1 2 3 4
-20
-30
125

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
126
50
0
0
-50
1 2 3 4
-100
-150
400
200
0
-200 0 1 2 3 4
-400
-600
-800
100
0
-100
0 1 2 3 4
-200
-300
-400
Anexo II
1) Resumen de cursos aprobados o no según zona de puntaje del test de diagnóstico
en el total de la muestra
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 40 114 14 168
NO APROBADOS 23 17 1 41
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 8.
63 131 15 209
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 14.
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 18.
La estadística U de Pearson dio 16,656 que corresponde a una significación de
0,0002, lo que implica que se rechaza que el puntaje del test y el hecho de aprobar o
no el curso sean independientes, por lo que podemos concluir que hay una asociación
muy alta entre los factores considerados.
2) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje del test de diagnóstico en la
muestra correspondiente a la Facultad de Ingeniería y Tecnologías
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 16 94 13 123
NO APROBADOS 11 8 1 20
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 7.
27 102 14 143

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 13.
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 18.
La estadística U de Pearson dio 19,81 que corresponde a una significación de
0,00005, lo que implica que se rechaza que el puntaje del test y el hecho de aprobar o
no el curso sean independientes, por lo que podemos concluir que hay una asociación
muy alta entre los factores considerados.
3) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje de todo el test de diagnóstico en
la muestra correspondiente a la Facultad de Ciencias Empresariales.
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 27 11 7 45
NO APROBADOS 15 6 0 21
42 17 7 66
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 8.
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 11.
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 18.
La estadística U de Pearson dio 3,655 que corresponde a una significación de 0,161 lo
que implica que no se rechaza que el puntaje del test y el hecho de aprobar o no el
curso sean independientes, por lo que podemos concluir que no hay asociación entre
los factores considerados.
4) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje del test de diagnóstico teniendo
en cuenta únicamente los items de Cálculo Diferencial en la muestra
correspondiente a la Facultad de Ciencias Empresariales.
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS
NO
28 16 1 45
APROBADOS 19 2 0 21
47 18 1 66
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 2.
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 4.
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 6.
La estadística U de Pearson dio 5,629 que corresponde a una significación de 0,0599,
lo que implica que podemos rechazar que el puntaje del test en ítems de cálculo y el
hecho de aprobar o no el curso sean independientes, por lo que podemos concluir que
hay una asociación entre los factores considerados, si bien no es alta.
5) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje de todo el test de diagnóstico en
la muestra correspondiente a los alumnos que cursaron Cálculo Infinitesimal en la
Facultad de Ingeniería y Tecnologías.
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 3 33 5 41
NO APROBADOS 3 3 0 6
6 36 5 47
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 7.
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 13.
127

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 18.
La estadística U de Pearson dio 8,8364 que corresponde a una significación de 0,012
lo que implica que se rechaza que el puntaje del test y el hecho de aprobar o no el
curso sean independientes, por lo que podemos concluir que hay asociación alta entre
los factores considerados.
6) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje del test de diagnóstico teniendo
en cuenta únicamente los items de Cálculo Diferencial en la muestra
correspondiente a los alumnos que cursaron Cálculo Infinitesimal en la Facultad
de Ingeniería y Tecnologías.
128
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 2 25 14 41
NO APROBADOS 3 2 1 6
5 27 15 47
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 1.
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 3.
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 6.
La estadística U de Pearson dio 11,214 que corresponde a una significación de 0,0037
lo que implica que podemos rechazar que el puntaje del test en ítems de cálculo y el
hecho de aprobar o no el curso sean independientes, por lo que podemos concluir que
hay una asociación muy alta entre los factores considerados.
7) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje de todo el test de diagnóstico en
la muestra correspondiente a los alumnos que cursaron Álgebra Lineal I en la
Facultad de Ingeniería y Tecnologías.
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 7 39 5 51
NO APROBADOS 4 1 1 6
11 40 6 57
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 7.
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 13.
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 18.
La estadística U de Pearson dio 10,773 que corresponde a una significación de 0,0046
lo que implica que se rechaza que el puntaje del test y el hecho de aprobar o no el
curso sean independientes, por lo que podemos concluir que hay asociación alta entre
los factores considerados.
8) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje de todo el test de diagnóstico en
la muestra correspondiente a los alumnos que cursaron Lógica en la Facultad de
Ingeniería y Tecnologías.
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 6 22 3 31
NO APROBADOS 4 4 0 8
10 26 3 39
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 7.
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 13.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 18.
La estadística U de Pearson dio 3,5226 que corresponde a una significación de 0,1718
lo que implica que no se rechaza que el puntaje del test y el hecho de aprobar o no el
curso sean independientes, por lo que podemos concluir que no hay asociación entre
los factores considerados.
9) Resumen de cursos aprobados o no según puntaje del test de diagnóstico teniendo
en cuenta únicamente los items de Lógica en la muestra correspondiente a los
alumnos que cursaron Lógica en la Facultad de Ingeniería y Tecnologías.
CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3
APROBADOS 2 16 13 31
NO APROBADOS 2 4 2 8
4 20 15 39
Clase 1 se consideraron los puntajes hasta 1.
Clase 2 se consideraron los puntajes hasta 3.
Clase 3 se consideraron los puntajes hasta 6.
La estadística U de Pearson dio 2,6105 que corresponde a una significación de 0,2711
lo que implica que no podemos rechazar que el puntaje del test en ítems de lógica y el
hecho de aprobar o no el curso sean independientes, por lo que podemos concluir que
no hay asociación entre los factores considerados.
Anexo III
Índices de dificultad y discriminación de los ítems de la prueba
Dificultad Discriminación
Item 1 42,86% 50,00%
Item 2 81,25% 33,93%
Item 3 54,46% 26,79%
Item 4 25,89% 41,07%
Item 5 70,54% 51,79%
Item 6 67,86% 46,43%
Item 7 75,89% 41,07%
Item 8 45,54% 48,21%
Item 9 33,93% 53,57%
Item 10 55,36% 75,00%
Item 11 17,86% 14,29%
Item 12 36,61% 44,64%
Item 13 49,11% 62,50%
Item 14 62,50% 46,43%
Item 15 58,04% 41,07%
Item 16 86,61% 19,64%
Item 17 76,79% 17,86%
Item 18 48,21% 50,00%
Dificultad Promedio 54,96%
Discriminación promedio 42,46%
129

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
EL DOMINIO DE LAS OPERACIONES DE ADICION Y SUSTRACCIÓN CON
FRACCIONES
Carmen Valdivé Fernández
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, Barquisimeto, Lara.
florca17@hotmail.com
Resumen
El presente estudio tiene como propósito determinar el efecto de la estrategia constructiva diseñada y
aplicada para aprender a resolver operaciones de adición y sustracción con fracciones. Surge como una
secuencia del trabajo de Vargas (2000) quien implementó una estrategia de diversificación de
contextos representacionales para la enseñanza del concepto de fracción al mismo grupo experimental,
trabajando con los contextos parte todo continuo, expresión verbal, a/b, expresión decimal, porcentaje,
parte todo discreto, y recta numérica. La estrategia constructiva aplicada para las operaciones consistió
en 9 sesiones de clases, una de concreción y las restantes para resolver situaciones del campo
experiencial del alumno, en las que se relacionaban los diversos contextos de una fracción. Los
resultados de este estudio demuestran que hubo riqueza de transferencia de contexto, presente en el
desempeño de los alumnos del grupo experimental. La más frecuente fue la fracción como a/b, seguida
de la expresión decimal. Todo esto ratifica la propuesta teórica de Duval (1993), de que la
coordinación entre los registros (espontaneidad en la actividad de conversión y potencia de las
transferencias alcanzadas por este grupo en el trabajo de Vargas) produjo rapidez en las actividades de
tratamiento.
Antecedentes
La estrategia metodológica constructiva diseñada y aplicada en este estudio se
elaboró tomando en cuenta el contenido de varios autores, entre los que podemos
destacar Resnick (1987), de quien se consideró el análisis sobre el desarrollo de los
conceptos matemáticos, análisis que estima relevantes los tipos de esquemas
protocuantitativos de la parte y el todo, ya que permite a los niños entender estas
relaciones -y por ende, la composición aditiva-, crear estrategias que los involucran
en el conteo, y llevarlos a adquirir el concepto de adición y sustracción de una manera
natural, por lo que estos esquemas pueden ser utilizados posteriormente en la
enseñanza del concepto de fracción y de las operaciones con ellas.
El conteo y las operaciones aritméticas de adición y sustracción
En la edad escolar, el desarrollo conceptual del niño lo analizó Resnick (1983) a
través de las estrategias que inventan los niños para hacer aritmética, específicamente
para sumar o restar de una manera intuitiva:
a) Cuentan objetos reales (los dedos de las manos).
b) Crean conjuntos para la suma y los combinan para luego contar.
c) Para la resta, cuentan el conjunto inicial, sacando de dicho conjunto el número
de objetos especificados y luego vuelven a contar.
d) El conteo mental.
Por otro lado Greenes, Schulman, L. y Spungin, R. (1993) indican que hay por lo
menos siete habilidades de sentido de número que deberán ser desarrolladas en la
escuela básica:
131

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
a) Reconocer los diversos usos de los números: algunos números son apropiados
en algunas situaciones pero no en otras, y los estudiantes deberían reconocer
qué tipo de número está relacionado a un contexto.
b) Reconocer la adecuación de los números: los estudiantes deberán ser capaces
de juzgar cuáles números son más apropiados para describir algunas materias
(el número que describe el porcentaje de agua en un jugo de naranja, no puede
ser mayor de 100).
c) Estimar resultados de cálculos: estimar sumas, diferencias, productos y
cocientes es útil para comprobar el resultado.
d) Identificar relaciones entre números y entre medidas: identificar que 36 es
múltiplo de 6 y que en términos de medida, reconocer que mil metros es igual
a un kilómetro y que una hora es igual a sesenta minutos.
e) Reconocer conjuntos y subconjuntos o relaciones parte-todo: reconocer
relaciones parte-todo, facilita la toma de decisiones cerca de la magnitud de
los números.
f) Comprender frases que establecen relaciones matemáticas también como
relaciones temporales.
g) Asociar números de varias magnitudes con objetos, eventos y situaciones
reales.
Por su parte, Mosquera (1995) cita una serie de investigadores que han centrado su
atención en el estudio de los procesos de conteo y sus implicaciones en el desarrollo
de los conceptos de adición y sustracción tal como lo hizo Resnick (1983), a saber:
Houliham y Ginsburg en 1981, Moser y Carpenter en 1982, Secada, Fuson y Hall en
1983, Ibarra y Lindval en 1982, Behr y Wheeler en 1981. Estos autores destacan el
proceso evolutivo del conteo de los niños así como la habilidad que poseen éstos para
resolver problemas de adición y sustracción antes de cualquier estudio formal.
En el campo de las fracciones no existen parámetros tan claros como los descritos
anteriormente para el concepto de número y las operaciones de adición y sustracción;
existe una marcada complejidad en la construcción conceptual del concepto de
fracción y por ende el de las operaciones con ellas. Los niños necesitan de
experiencias que construyan sobre su conocimiento informal de las fracciones, antes
de ser instruidos en los símbolos o representaciones del concepto de fracción.
Sin embargo, Sánchez y Llinares (1988) encuentran que la interpretación más natural
para los conceptos de suma y resta con fracciones (similar a la asimilación natural de
las operaciones de adición y sustracción con números naturales), es el aspecto medida
caracterizado a través de la relación parte todo, sugiriendo utilizar el modelo de la
recta numérica para vincular las interpretaciones parte todo, medida y fracción como
símbolo (número). Teniendo en cuenta la familiaridad entre algunas interpretaciones
y algunas operaciones es conveniente secuenciar el uso de las fracciones unitarias y el
contar, a través de situaciones problemáticas.
Así mismo, siendo una fracción un número, se han de considerar las sugerencias de
Greenes, Schulman y Spungin (1993) sobre las habilidades relativas al sentido del
número que deben desarrollarse en el niño (sus usos, su adecuación, sus relaciones, la
estimación) ya que ellas se pueden trasladar a la enseñanza del concepto de fracción,
utilizando la estrategia propuesta por Sánchez y Llinares (1988) y ampliada por
Vargas (2000), quien -en concordancia con Duval (1993)- aplica actividades
132

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
cognitivas ligadas a la semiosis como lo es la actividad de conversión, que permite
transformaciones entre diversos registros, bajo el supuesto de la necesidad de
coordinar diversas representaciones semióticas (al menos dos) que debe manifestarse
en:
a) La rapidez en las actividades de tratamiento
b) Espontaneidad en la actividad de conversión
c) La potencia de las transferencias
Vargas (2000) condujo un estudio sobre la aplicación de una estrategia denominada
“Diversificación de los contextos representacionales de una fracción” a estudiantes
de 6° grado con edades comprendidas entre 11 y 13 años. Esta estrategia contemplaba
los siguientes contextos representacionales:
a) Parte todo continuo (PTC)-Expresión Verbal (EV)- Expresión simbólica
(a/b)
b) Expresión decimal.
c) Porcentaje (%)
d) Parte todo discreto (PTD)
e) Recta Numérica
El autor enfatizó el trabajo con objetos concretos y prestó atención particular a la
traslación entre las diferentes representaciones, tomando en un primer momento como
eje los modelos concretos y luego, en una segunda fase, los diagramas. Inició la
secuencia de instrucción con el contexto parte todo continuo, expresión verbal escrita
y expresión simbólica. Realizó divisiones de un todo (hojas de papel) en partes
iguales según el siguiente orden de fracciones: La familia de medios, cuartos y
octavos .Luego haciendo dobleces, construye la familia de los tercios, sextos y
novenos y finalmente, la familia de quintos y décimos.
Una vez aplicada esta estrategia al grupo experimental, éste logró superar al grupo al
que se aplicó la estrategia tradicional, aún en los ítems relativos a los contextos parte
todo continuo y símbolo, que eran comunes a ambas estrategias (tradicional y
diversificación de contextos), corroborando con esto lo planteado por Duval (1993),
pues se logró la conceptualización de la fracción debido al uso de los registros de
representación, y a la realización de actividades de tratamiento y conversión. Sin
embargo, la estrategia tradicional no desarrolló las habilidades necesarias para
abordar los ítems donde había que aplicar el concepto de fracción.
Metodología
El presente estudio (Valdivé, 2000) surge como una extensión del trabajo de Vargas
(2000), utilizándose la misma población (29 alumnos de sexto grado de una escuela
básica de Cabudare, Venezuela, con edades comprendidas entre 11 y 13 años) para el
desarrollo de la estrategia constructiva diseñada para enseñar a sumar y restar
fracciones.
La secuencia de instrucción se desarrolló siguiendo las teorías de la Estrategia
Didáctica Mediadora, pues toma las propuestas teóricas de la teoría cognoscitiva de
procesamiento de información, el constructivismo, la psicología humanista y la
133

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
neurociencia (Ruiz, 1988).También se tomaron en cuenta los aportes de Flores (1994)
quien menciona algunas condiciones necesarias para potenciar la enseñanza
constructiva y, finalmente, un análisis didáctico efectuado en relación al
constructivismo (García y García, 1989; Neale, Smith y Johnson, 1990; Stanbridge,
1990) con el fin de articular una alternativa metodológica para la enseñanza.
La Estrategia Metodológica Constructiva utilizada en este estudio para resolver
problemas de adición y sustracción con fracciones aplicando transferencia de
contextos se operacionalizó en dos fases: la primera se desarrolló en mes y medio
antes de aplicar el tratamiento y cubrió una sesión de clase de 2 horas para aplicar el
pretest y 5 semanas para reconstruir la estrategia. En estas semanas se consultó al
profesor titular del grado acerca de la secuencia de los objetivos de las otras
asignaturas que se iban a desarrollar paralelamente al tratamiento y las demás
actividades planificadas para el grado. En la segunda fase (mes y medio después) se
desarrolló la estrategia constructiva durante 9 sesiones de clases de 2 horas cada una.
El objetivo de la primera sesión fue realizar transferencias entre los contextos
representacionales de una fracción, utilizando material concreto y la secuencia del
trabajo de Vargas (2000).
Resultados
Al término de la instrucción se aplicó una prueba final compuesta por diez ítems. Los
resultados obtenidos por los 29 alumnos del grupo experimental y control se
presentan en la siguiente tabla, la cual muestra distribución del número de respuestas
por ítems:
Grupo Experimental Grupo Control
134
Item C % I % O % C % I % O %
1 20 68,9 6 20,6 3 24,1 0 0 24 82,7 5 17,2
2 24 82,7 3 10,3 2 6,9 4 13,8 20 68,9 5 17,2
3 18 62,1 11 37,9 0 0 21 72,4 7 24,1 1 3,4
4 28 96,5 1 3,4 0 0 6 20,6 23 79,3 0 0
5 22 75,8 5 17,2 2 6,9 20 68,9 8 27,6 1 3,4
6 21 72,4 6 20,6 2 6,9 2 6,9 20 68,9 7 24,1
7 26 89,6 0 0 3 10,3 2 6,9 18 62,1 9 31
8 17 58,6 9 31 3 10,3 0 0 18 62,1 11 37,9
9 25 86,2 4 13,8 0 0 14 48,3 14 48,3 1 3,4
10 13 44,8 14 48,3 2 6,9 2 6,9 8 27,6 19 65,5
Además, se presentan en la siguiente tabla las frecuencias de las diversas
transferencias de contextos que dieron los alumnos del grupo experimental, por ítem:
Contextos/Items 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Símbolo (a/b) 4 1 16 0 15 0 6 7 19 2 70
Expresión Decimal 4 0 2 0 6 8 0 0 1 0 21
%, a/b y PTC 0 0 0 7 0 0 11 0 0 0 18
a/b y Exp. Dec. 12 0 0 0 0 0 0 0 5 0 17

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
% y PTC 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 16
a/b y % 0 10 0 0 1 0 0 0 0 3 14
PTC 0 0 0 4 0 0 5 0 0 4 13
PTD 0 1 0 0 0 8 0 4 0 0 13
%, a/b y PTD 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 9
% 0 1 0 1 0 3 0 0 0 4 9
a/b y PTD 0 0 0 0 0 0 2 4 0 0 6
% y PTD 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 4
a/b y PTC-EV 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 4
Pto. en la Recta 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Totales 20 24 18 28 22 21 26 17 25 13 214
Las tablas indican las respuestas correctas©, incorrectas (I) u omitidas(O).Los
resultados de este estudio demuestran que hubo riqueza de transferencia de contextos,
presentadas en las respuestas de los alumnos del grupo experimental. La más
frecuente fue la fracción como símbolo (70 veces), seguida de la expresión decimal
(21 veces). Se pudo detectar que la expresión decimal sólo se asocia como respuesta
con el símbolo (17 veces) y no lo hace con ningún otro contexto, ni siquiera con el de
porcentaje, a pesar de su aparente afinidad.
La investigación arrojó que ningún alumno utilizó la transferencia hacia el contexto
fracción como punto en la recta para dar la respuesta en ningún problema, de lo que
se infiere que este contexto debe plantearse en su enseñanza de manera diferente, o
bien no es en esta edad o grado donde deba mediarse, ya que implica nociones de
geometría (conmensuración), área casi ignorada en el aula. Se pudo detectar que el
algoritmo habitual –en el contexto simbólico- no funciona, porque no se enseña en
relación con algún contexto socio-cultural y, así, el alumno no llega a la resolución de
los problemas.
Los datos permiten también efectuar un análisis pormenorizado de los tipos de
respuestas correctas obtenidas en cada uno de los items propuestos, se da un ejemplo.
Item 2: En un salón de clases de 35 alumnos, las dos quintas partes pertenecen a la
Brigada de Orden y el 20% a la Sociedad Bolivariana.¿Cuántos alumnos intervienen
en cada una de estas actividades?¿Qué fracción representa la cantidad de alumnos
que no pertenecen a la Brigada de Orden?
Tipo 1: 1/5
7 7 7 7 7
20% 20% 20% 20% 20% 7 alumnos de la Sociedad Bolivariana
14 alumnos de la Brigada de Orden
3/5 no pertenecen ala Brigada de Orden.
Tipo 2:
En la Brigada de Orden el 40% que son 14 alumnos.
En la Sociedad Bolivariana el 20% que son 7 alumnos.
No pertenecen a la Brigada de Orden el 60%.
Tipo 3:
--------- --------
135

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
2/5 Brigada de Orden 14 alumnos.
1/5 Sociedad Bolivariana 7 alumnos.
21 alumnos no pertenecen a la Brigada de Orden.
Tipo 4:
2/5 + 20% = 40/100 + 20% = 0,4 + 20% = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%
2/5 es 14 alumnos y 1/5 son 7 alumnos.
21 alumnos no pertenecen a la Brigada de Orden.
Tipo 5:
40% a la Brigada de orden y 20% o sea 1/5 a la Sociedad Bolivariana
La fracción de los que no pertenecen a la Brigada de Orden son 3/5 y en porcentaje
60%.
Tipo 6:
a) 2/5 de 35 es 14
136
1/5 de 35 es 7
21 alumnos no pertenecen a la Brigada de Orden.
b) 2/5 de 35 es 14 y 7 alumnos a la Sociedad Bolivariana.
Tipo 7:
a) 35 . 2/5 = 70/5 = 14 ; 35 .1/5 = 35/5 = 7 Por lo que 3/5 no pertenecen a la Brigada
de Orden.
Conclusiones
Este estudio demostró que la Estrategia Constructiva logró que el estudiante sea un
sujeto activo en el proceso enseñanza-aprendizaje, ya que logró seleccionar los
contextos representacionales de una fracción en cada uno de los problemas del
instrumento, recordar el concepto de fracción en cada uno de ellos, integrar y
organizar para combinarlos y poder resolver la suma o resta que se les estaba
planteando, dando la fracción suma o diferencia en el contexto que para él tenía
significado, aún cuando no se le estuviese pidiendo en el problema. Finalmente,
cuando al dar estas respuestas lo hacía en diversos contextos como se muestra en el
análisis de los tipos de respuestas en el item 2, mostrando con ello la comprensión del
concepto que se estaba mediando. De este modo, se ratificó la propuesta teórica de
Duval (1993), que la coordinación entre los registros (espontaneidad en la actividad
de conversión y la potencia de las transferencias alcanzadas por este grupo en el
trabajo de Vargas) produjo rapidez en las actividades de tratamiento.
Se recomienda complementar la estrategia presentada, con actividades de tipo
algorítmico una vez se haya comprendido el concepto de suma y resta de fracciones, a

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
fin de que el estudiante tenga las dos modalidades de estrategia y pueda
desenvolverse ante cualquier situación que se le presente en la vida diaria escolar.
También se sugiere seguir esta investigación, utilizando fracciones en las que los
denominadores no sean múltiplos ni primos entre sí, a fin de completar el diseño. Por
último, se recomienda indagar acerca de la transferencia de la fracción decimal a
porcentaje, ya que en las respuestas dadas por los alumnos no se asocian estos
contextos, a pesar de su aparente afinidad.
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Grado).
137

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y EVENTOS INDEPENDIENTES:
CONCEPCIONES Y DIFICULTADES
138
Adriana D’Amelio de Tari
Universidad Nacional de Cuyo, Argentina
adamelio@fcemail.uncu.edu.ar
Resumen
El presente trabajo tiene como objetivo profundizar en el estudio y caracterización de
los errores en estudiantes de nivel superior acerca de los conceptos de eventos mutuamente
excluyentes e independientes. Ciertamente observaciones previas de actitudes y respuestas a exámenes
en los alumnos de nivel universitario que aprueban un primer curso de Estadística, han detectado
confusiones entre eventos mutuamente excluyentes e independientes, e indicado algunas de las ideas
espontáneas que tienden a elaborar acerca de ambos conceptos en las diferentes situaciones en las que
esta noción entra en juego .En primer lugar es usual que asocien eventos ajenos a eventos
independientes. En segundo lugar la independencia se confunde con experiencias independientes, sin
que se explicite la diferencia entre ambas nociones. En tercer lugar la confusión se debe a la
causalidad. Si bien el concepto de eventos independientes y mutuamente excluyentes es aparentemente
sencillo, las ideas espontáneas de las personas dan lugar a respuestas equivocadas. Aquí entra en juego
la relación entre la realidad y el objeto matemático puesto en juego. En este trabajo se analizan las
concepciones erróneas del sujeto frente a determinadas situaciones, cuando se ha tenido acercamiento
a discusiones de la definición del concepto de eventos independientes y mutuamente excluyentes en un
curso de probabilidad, qué tan persistentes son esas ideas, qué ocurre en el proceso en el que el sujeto
confronta sus concepciones erróneas con los resultados de la aplicación de los conceptos teóricos, con
el fin de proporcionar elementos para su mejor tratamiento e implementación en la enseñanza.
Introducción
En estadística el problema parte de la realidad y para el alumno es un problema
relacionar la realidad con el objeto matemático. Ernesto Sánchez dice: “en educación
cabe preguntarse en qué condiciones y cómo un sujeto cambia una concepción, una
creencia , una intuición o idea espontánea sobre una situación determinada , en virtud
de la utilización de un instrumento científico”. Ante esto y como es común en un
curso de probabilidad es muy fácil confundir el concepto de eventos mutuamente
excluyente con el de eventos independientes, según Sánchez E. (tesis doctoral sobre
eventos independientes) el problema surge de:
la creencia que eventos independientes son lo mismo que eventos ajenos
la confusión entre eventos independientes y experiencias independientes.
Además se interpreta la independencia como algo sólo cuantitativo comprobado por
la regla del producto.
Estos conceptos son sencillos o aparentemente simples en su definición, pero sin
embargo la confusión persiste en los alumnos universitarios que toman un curso de
Estadística 1. El fenómeno se da en carreras matemáticas y no matemáticas.
Este trabajo pretende entender las confusiones entre eventos mutuamente excluyentes
e independientes con el fin de proporcionar elementos para su mejor tratamiento e
implementación en la enseñanza.
Problema de Investigación

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
En primer lugar es usual la confusión que asocia ajeno a independientes, y ya se sabe
que sólo si uno de ellos es vacío se verifican ambas cosas.
En segundo lugar el concepto de eventos independientes se da cómo una pareja de
eventos definida mediante la regla condicional o la regla del producto y en el caso en
que la probabilidad sea cero y no necesariamente el evento sea vacío, da lugar
aplicando la regla del producto a pensar que se verifica la independencia.
En tercer lugar la independencia se confunde con experiencias independientes. Sin
que se expliciten la diferencia entre ambas nociones.
En cuarto lugar como dice Sánchez en su tesis la confusión se debe a la causalidad.
El problema empieza en probabilidad que siempre ha sido considerada por los
docentes en su experiencia de dictado un tema difícil de entender de parte de los
alumnos Si bien el concepto de eventos independientes y mutuamente excluyentes es
aparentemente sencillo las ideas espontáneas de las personas dan lugar a respuestas
equivocadas.
Estas preconcepciones han tenido interés en investigadores tanto en psicología cómo
en didáctica. Es por eso que de las preguntas de (Hawkins, A. Kapadia, R., 1984,
p.351) he seleccionado las siguientes:
¿Cuáles son las relaciones entre las concepciones subjetivas o intuitivas y aquellas
concepciones que son transmitidas en el salón de clases y que constituyen el
conocimiento formal de probabilidad?
¿Hay técnicas de enseñanza y aprendizaje óptimas que tomen en cuenta las
concepciones espontáneas de las nociones de probabilidad de los sujetos mientras que
desarrollan su conocimiento formal?
Ciertamente observaciones previas de actitudes y respuestas a exámenes nos han
indicado algunas de las ideas espontáneas que tienden a elaborar acerca de eventos
independientes y mutuamente excluyentes en las diferentes situaciones en las que esta
noción entra en juego, pero no se sabe en detalle que relación guardan estas
concepciones con las definiciones formales.
Según las preguntas de Sánchez. E. pag 11.
¿Qué pasa con las concepciones erróneas del sujeto sobre independencia frente a
determinadas situaciones, cuando se ha tenido acercamiento a discusiones de la
definición del concepto de eventos independientes y mutuamente excluyentes en un
curso de probabilidad?
¿Qué ocurre en el proceso en el que el sujeto confronta sus concepciones erróneas
con los resultados de la aplicación de los conceptos teóricos?
Los sujetos adjudican a la situación un contexto, convocado por la palabra
independencia, en donde incluyen elementos a experiencias perceptivas o empíricas:
relaciones de incidencia en el primer caso, relaciones temporales en el otro.
Marco Teórico
El estudio de las concepciones de los alumnos sobre los hechos ha sido motivado en
gran medida, por el fracaso que sistemáticamente han tenido en materias científicas.
Cornu (1983) denomina concepciones espontáneas de una idea matemática al
conjunto de intuiciones, imágenes y conocimientos que se forman en el sujeto a partir
de su experiencia diaria y a partir del significado coloquial que poseen los términos
utilizados en la expresión formal de la idea matemática, estas concepciones
139

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
espontáneas se forman con anterioridad a los procesos formales de enseñanza.
Szydlik (2000), por su parte, se refiere a creencias sobre contenidos y sobre fuentes
de convicción. Para esta autora, las creencias son presunciones personales acerca de
la naturaleza de la realidad, que orientan la actividad individual en la búsqueda de las
metas propuestas. Probablemente el mejor marco teórico para ubicar estas
concepciones, modelos o creencias de los alumnos es el referido a los obstáculos
epistemológico. Bachellard (1987) introdujo esta expresión al escribir: “El problema
del conocimiento científico debe proponerse en términos de obstáculos. ....Es en el
propio acto de conocer, íntimamente, cuando aparecen, por una especie de necesidad
funcional, los retardos y las dudas. Ahí es donde encontramos las causas de la
paralización e incluso del retroceso, donde descubrimos las causas de la inercia, que
llamaremos obstáculos epistemológicos” (p.13). El planteamiento de Bachelard en el
comienzo de su obra La formación del espíritu científico es sobre la noción de
obstáculo epistemológico para la explicación de la aparición inevitable de errores en
los estudiantes. :
“En el acto mismo de conocer, íntimamente, es donde aparecen, por una especie de
necesidad funcional, los entorpecimientos y las confusiones; es ahí, donde
discerniremos causas de inercia que llamaremos obstáculos epistemológicos.”
“La noción de obstáculo epistemológico puede ser estudiada en el desarrollo
histórico del pensamiento científico y en la práctica de la educación”
La noción de obstáculo epistemológico y las sucesivas tipificaciones y
caracterizaciones de la misma, se han utilizado cómo clave para el estudio,
sistematización, análisis y explicación de los errores que se presentan en el
pensamiento científico.
Brousseau (1983) precisa por su parte que un obstáculo epistemológico es un
conocimiento que funciona exitosamente en un determinado dominio de actividad,
pero no así en otros a los que se intenta trasponer y en los que conduce a errores y
contradicciones. Percibir con claridad ese conocimiento y rechazarlo es una parte
esencial del propio conocimiento.
Historia y epistemología
Steinbring analiza el desarrollo histórico de la independencia estocástica en una
perspectiva epistemológica, con el fin de encontrar elementos para una perspectiva
didáctica. En el desarrollo histórico se es testigo de una inversión del contenido del
concepto y de su definición matemática. El desarrollo debería ser organizado en una
relación permanente entre lo matemático y la realidad.
La dificultad en el caso de la independencia, es poner de acuerdo dos concepciones en
contraposición. Por una parte, hay una definición matemática teórica:
Sea (Ω ,A, P) un espacio de probabilidad. Los sucesos A, B pertenecientes a Ω son
independientes sí y sólo sí: P ( A ∪ B)= P ( A ). P ( B )
Por otra parte hay numerosas representaciones intuitivas, fundamentadas sobre las
experiencias más diversas, que hacen decir qué observaciones resultados de
experiencias, fenómenos, etc, son independientes unos de otros.
Mark Kac ha insistido sobre la relación entre definición matemática y representación
intuitiva de la independencia.
140

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Von Mises (1964, p.38) objeta la definición formal de independencia alegando que en
la teoría axiomática de Kolmogorov hay acontecimientos que son independientes
pero que no pueden en ninguna forma sentirse como independientes unos de otros, en
un sentido intuitivo como “ no se influencian “ o “ son diferentes unos de otros”:
“Cuando se consideran dos caracteres que se influencian o no, se da un sentido a la
noción de independencia. Sin embargo, una definición basada en la regla de la
multiplicación no es mas que la generalización debilitada de un concepto lleno de
significado” .
Ese problema de la inversión del contenido y de la definición matemática juega un
papel importante en la enseñanza. En algunos libros aparece la deducción de la
fórmula de independencia, por el sesgo de las probabilidades condicionales. Esto
genera consideraciones de analogía con la incompatibilidad y el teorema de la
adición.. Engel ha constatado que, para las aplicaciones, la independencia no es
definida (por la regla de la multiplicación) sino postulada.
Boge dice: “ La dificultad reside en la traducción entre matemática y realidad.”
Estas dificultades aparecen también en el desarrollo histórico del concepto.
Desde la antigüedad con los juegos de azar surge la noción de independencia. la
teoría de las probabilidades se presenta en forma concisa, explicaban
matemáticamente la probabilidad (casos favorables sobre casos posibles); y en ese
marco se derivaban las reglas más importantes de la teoría de las probabilidades, el
teorema de la adición, el de la multiplicación, los conceptos de probabilidad
condicional y de independencia.
La independencia surge en los juegos de azar en los tiros “sin reposición” dados por
de Moivre (1718 / 1756 ) y por Bayes (1763 ).
El concepto de independencia que estaba en juego se concebía sólo en el contexto de
experiencias independientes y se constata en las definiciones de los autores clásicos
como De Moivre(1756):
“Dos eventos son independientes cuando no tienen conexión uno con el otro y lo que
ocurra en uno ni fomenta ni obstruye la ocurrencia del otro”
“Dos eventos son independientes cuando están conectados de manera que la
probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos es alterada por la ocurrencia del
otro”
Expone el siguiente ejemplo:
Suponga que hay una pila de 13 cartas de un color ( pinta )y otra de 13 cartas de otro
color .
¿Cual es la probabilidad de que tomando una carta al azar de cada mazo tomemos los
dos ases?
“tomar o no tomar de la primera no tiene ninguna influencia en tomar o no tomar en
la segunda [...] por lo tanto siendo los dos eventos independientes, la probabilidad de
ocurrencia de ambos será (1/13). (1/13)”.
Laplace no define de manera explícita los eventos independientes da por conocido lo
que son y enuncia sus propiedades (1788).
Lo que se debe marcar en esta etapa la extracción con reposición y sin reposición que
representan respectivamente, el caso de independencia y dependencia de sucesiones
de pruebas. En la actualidad se presentan dificultades derivadas de estas concepciones
de los autores clásicos.
141

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Feller (1983) comenta:
Generalmente, en la práctica se tiene la intuición correcta de que ciertos eventos
deben ser estocásticamente independientes, pues, de no ser así, el modelo
probabilístico sería absurdo. Sin embargo [...] existen situaciones en las cuales la
independencia estocástica se descubre sólo por los cálculos. (pág.137)
Turán-Turán (1996) dice: la dificultad se debe a que en la primera definición se
consideran dos o más experimentos aleatorios, mientras que la definición actual en
textos elementales sólo considera eventos de un mismo espacio muestral,
generalmente asociados a un solo experimento.
Con el análisis anterior podemos ver que existen obstáculos epistemológicos que
persisten en la actualidad en la sala de clases.
Colección de concepciones espontáneas en alumnos
Las siguientes concepciones fueron extraídas de cuestionarios de probabilidad
resueltas por alumnos de carreras humanísticas que cursan Estadística. Ejemplo:
Un estudio de la conducta después del tratamiento de un gran número de drogadictos,
sugiere que la reincidencia dentro de los dos años siguientes al tratamiento podía
depender de la clase socio-económica a la cual pertenece dada en la siguiente tabla de
contingencia:
142
Condición dentro del período de dos
años después del tratamiento
Reincide® No reincide(NR)
Clases Socio- Superiores (S) 10 50
Económicas Inferior (I) 30 10
a) ¿Cuál es la probabilidad de que éste reincida y sea de clase superior?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la clase socio-económica I o no
reincida?
c) Son los sucesos R y S independientes? Justifique.
d) Si el entrevistado que se selecciona pertenece a la clase socio-económica
superior, cuál es la probabilidad de que reincida?
e) Son los eventos R y S mutuamente excluyentes? Justifique con la definición.
Estas fueron las respuestas de algunos alumnos a las preguntas c y e:
1) c) No porque dos eventos son independientes porque cuando ocurre S no
modifica para que ocurra R
e) No son mutuamente excluyentes porque ocurre el evento S, no puede ocurrir el
evento R. S∪R = ∅
2) c) No porque la ocurrencia de uno depende de la ocurrencia del otro
e) No porque tienen elementos en común
3) c) justifica con P (S∪R) ≠ P(S) . P®
e) no son mutuamente excluyentes porque son distintos S ≠ R
4) c) No porque influye sobre el total
e) Varía el total
5) c) no son independientes porque no son iguales
e)son porque no ocurren simultáneamente

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
6) c) No son ya que la intersección no es vacía
e) R y S son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir simultáneamente
S ∪ R = ∅
7) c) No son independientes porque no se cumple la regla P (S∪R ) = P(S ) . P®.
e) Son mutuamente excluyentes porque no hay intersección entre S y R
Sólo 8 alumnos contestaron los items c) y e) bien aplicando la fórmula.
Observaciones:
• Se pudo observar que gran parte de los alumnos confundieron la regla de la
multiplicación, con la regla de la adición queriendo demostrar la
independencia.
• Generalizaron otros la regla de la multiplicación considerando que todos los
sucesos
• son independientes P (A∪B) = P(A)P( B)
Cabe destacar que en ninguno de los casos usaron la condicional P( A/B) = P( A) para
demostrar la independencia
En el caso de las justificaciones de eventos mutuamente excluyentes se detectó el
error de P (A∪B) = ∅
Sugerencias
Mostrar al alumno la diferencia entre eventos independientes y experiencias
independientes, y no asociar la independencia a sucesión de extracciones “con
reposición”.
Indicar que sólo los eventos son mutuamente excluyentes e independientes si uno de
ellos es un suceso imposible (∅).
Conclusión
Se ha demostrado que las dificultades y confusiones de los conceptos de eventos
mutuamente excluyentes e independientes persisten en los alumnos. Hemos visto que
los conceptos surgen en los juegos de azar y siguen una relación más compleja del
cálculo de probabilidades. Se debería contemplar que una posible causa de tales
confusiones es la falta de referentes adecuados para tratar estos temas, proponiendo
situaciones adecuadas para los objetivos de los cursos introductorios de probabilidad
y estadística.
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144

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
LA COVARIACIÓN DE PROGRESIONES EN LA RESIGNIFICACIÓN DE
FUNCIONES
Marcela Ferrari Escolá y Rosa María Farfán
Cinvestav, IPN, México
mferrari@mail.cinvestav.mx, @mail.cinvestav.mx
Resumen
En este artículo se aborda la función logaritmo desde una visión socioepistemológica. Se presenta y
desarrollan las ideas base para el diseño de secuencias de aprendizaje que respeten la hipótesis de que
la covariación entre progresiones, que halla un robusto sustento en el devenir histórico de la noción de
función, es un argumento que nos permitirá crear un puente entre la operatividad y la funcionalidad de
los logaritmos, es decir, lograr su construcción escolar así como remirar la naturaleza de ciertas
funciones.
Introducción
Nuestro trabajo de investigación busca profundizar en la construcción social del
conocimiento matemático partiendo de la necesidad de reorganizar la obra
matemática con base en la reconstrucción de significados y pensando a la matemática
como una actividad humana, por tanto cultural e históricamente determinada, como
aspectos básicos a tener en cuenta al estudiar un fenómeno didáctico.
De trabajos como Trujillo (1995), Soto (1988), Confrey (1995, 2000), Lezama
(1999), Ferrari, (2001) y de exploraciones con profesores y alumnos, surge la
necesidad de profundizar en la problemática de la enseñanza de los logaritmos lo cual
nos lleva, de manera natural, a cuestionar modelos de difusión de conocimientos,
concepciones, elementos que siendo útiles en determinados momentos perturban en
otros niveles, es decir, devienen en obstáculos epistemológicos o didácticos.
La revisión bibliográfica realizada nos permitió localizar una dicotomía entre dos
posturas: aquellos que, como Dubinsky (1991, 1992, 2000), supeditan la construcción
del logaritmo al de función y aquellos que, como Confrey (1995, 2000), Ferrari
(2003) respetan la naturaleza propia de cada función. Por nuestra parte, pensamos que
mediante una dialéctica entre ambas posturas e introduciendo como eje la relación
entre las progresiones aritmética y geométrica, se podría resignificar el concepto de
logaritmos a la par de robustecer el concepto mismo de función.
La problemática que abordamos requiere por tanto de un análisis a profundidad de
este fenómeno desde los cuatro polos que consideramos fundamentales, el
epistemológico, el didáctico, el cognitivo y el sociocultural, para lo cual se utiliza la
Ingeniería Didáctica como metodología de investigación y la Socioepistemología
como marco para este trabajo.
Antecedentes
La indagación epistemológica reportada en Ferrari (2001) sobre logaritmos, que
pretende dar evidencias de la construcción social de este conocimiento matemático,
establece que se pueden distinguir, tres etapas en el desarrollo de los logaritmos si se
145

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
toma como eje central la relación entre las progresiones aritmética y geométrica,
argumento utilizado por Napier para su primera definición.
Como primer momento, se considera a los logaritmos como transformación, etapa
que se desarrolla antes de su definición formal y que se refleja en las distintas
exploraciones en torno a la formulación y extensión de las progresiones y en la
búsqueda de facilitar engorrosos cálculos producto de las necesidades sociales de la
navegación, artillería y astronomía. Se desarrollan fundamentalmente en el contexto
numérico comenzando con ideas intuitivas de transformar para facilitar operaciones
intentado regresar a la aritmética, es decir, utilizar sólo sumas y restas. Así, de la
confluencia de las primitivas formulaciones de las progresiones y de la relación entre
ambas surge la definición de los logaritmos. Los elementos matemáticos utilizados
son trabajados, en nuestras aulas, desde los niveles iniciales. La búsqueda de
patrones numéricos, la relación entre ellos, la economía de recursos para expresar
ideas matemáticas son abordados en las currícula y libros de texto actuales, pero no
relacionados y utilizados a la hora de introducir los logaritmos.
Su exploración en otros contextos, producida principalmente en el siglo XVIII, lleva
a considerar como segundo momento el de los logaritmos como modelizadores pues
en esta etapa se determinan sus características geométricas y por tanto logran
pertenecer al discurso matemático de principios del siglo XVIII; se les dota de una
gráfica al adecuarlos al nuevo registro “algebraico-geométrico” que se estaba
desarrollando; logran completar un modelo matemático de la cuadratura de curvas
representativas de funciones potencia encontrando otro lenguaje para ser descritos
ingresando así en los avatares de un cálculo en plena gestación; permiten describir
fenómenos físicos y se descubren nuevas formas para calcularlos a partir de su
desarrollo en serie de potencias lo cual les abre las puertas para acceder al discurso
matemático del siglo XVIII y adquirir el status de función.
Todos estos argumentos y exploraciones que giran en torno a descubrir las
características logarítmicas en distintos contextos mediante el uso explícito de la
relación entre progresiones está absolutamente fuera del discurso matemático de
nuestros días. Aparece en los libros de difusión de conocimiento del siglo XVII, para
desaparecer completamente a partir de las ideas eulerianas y de su vinculación
definitiva con las funciones exponenciales mediante el concepto de función inversa.
Comienza así, un tercer momento que se identifica como la etapa de los logaritmos
como objetos teóricos, conceptos trabajados en la enseñanza actual y que los
encuentra escindidos de las argumentaciones dadas anteriormente, las cuales pueden
contribuir a dotarlos de un mayor sentido, apartándolos de su tratamiento actual que
los reduce a una aplicación algorítmica de sus propiedades apareciendo en el aula sin
ningún antecedente analítico que pudieran haber adquirido los estudiantes hasta ese
momento.
Esta visión del devenir de los logaritmos como objetos de saber lleva a proponer
como hipótesis epistemológica la incorporación en el diseño de las nociones de
progresión aritmética y geométrica y su fuerte vinculación con los logaritmos. Se
considera entonces, que son elementos que pueden resultar útiles, al igual que en el
desarrollo histórico de los logaritmos, para facilitar el pasaje desde las características
aritméticas de esta noción hasta las funcionales permitiendo la exploración en
distintos registros y su correspondiente vinculación.
146

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Función lineal como relación entre progresiones aritméticas
A partir de las ideas presentadas en los parágrafos anteriores para logaritmos y que
pueden profundizarse, para el concepto de función, con la lectura de Youschkevitech
(1996) o Farfán (1997) en los cuales el desarrollo de la noción de función es tema
central, surge evidente la importancia de la que consideramos como primera
instancia de uno de los mecanismos de la construcción social del conocimiento, esto
es, su uso. Efectivamente, el concepto “función” no surge espontáneamente dentro de
una estructura teórica, sino que conlleva un proceso de evolución en el cual la
necesidad de responder a una pregunta surgida, por ejemplo, de las inquietudes por
“matematizar” la naturaleza provoca la aparición de ideas preliminares en las cuales
se comienza a percibir la que, luego de un largo proceso, se convertirá en pieza
fundamental de la estructura teórica de la matemática actual.
En este apartado, retomaremos el tratamiento y uso que en épocas anteriores a la
definición formal del concepto de función jugaron un papel interesante en el
desarrollo del mismo. Nos referimos a los intentos de describir el movimiento de los
cuerpos en el espacio surgidos desde la antigüedad. Entre las primeras formulaciones
que encontramos en la literatura científica sobre el movimiento de los cuerpos se
hallan las de Galileo quien en su tratado: Discorsi e dimostrazioni matematiche
intorno a due nuove scienze. Attentin alla Mecanica y Movimenti locali de 1638
define distintos movimientos, llegando a describir la caída libre de un cuerpo.
Efectivamente, como definición de “movimiento uniforme” hallamos la siguiente
sentencia:
El mismo Galileo llega a la definición de
“movimiento naturalmente acelerado”
luego de exponer la necesidad de describir
la caída libre de los cuerpos pesados como
esencia del movimiento acelerado. En este
sentido, establece:
Percibimos entonces, en estos primeros
intentos por describir matemáticamente
el movimiento de los cuerpos en el
espacio, ideas que llamaremos de
“funcionalidad”, es decir, de
dependencia o correspondencia entre
cantidades, en este caso, espacio-tiempo
o velocidad-tiempo.
Si analizamos las ideas de Galileo, podemos considerar que la herramienta que
utiliza en sus explicaciones es la relación entre las que hoy conocemos como
“progresiones aritméticas” es decir, aquellas sucesiones numéricas en las que dos
términos consecutivos difieren en una
misma constante.
Sistema logarítmico como relación entre
progresiones aritméticas y geométricas.
147

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Hemos visto que para describir ciertos movimientos, tales como el uniforme
(velocidad constante) o la caída libre de un cuerpo (aceleración constante), basta con
utilizar la relación entre progresiones aritméticas. Sin embargo, para describir el
movimiento de un cuerpo cuando entra en juego la resistencia que un medio le ofrece
es necesario utilizar otro tipo de progresiones, las llamadas geométricas pues la
velocidad del cuerpo va disminuyendo en forma proporcional.
Newton, en el siglo XVIII, intenta describir el movimiento de un cuerpo esférico en
un medio que le ofrece resistencia y publica el resultado de estas investigaciones en
su tratado: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de
la Filosofía Natural), publicado en 1687.
Por ejemplo, en el Libro Segundo: El movimiento de los cuerpos (En medios
resistentes) encontramos la Proposición II. Teorema II.
O Huygens que en su tratado sobre la luz establece que.....
A la luz de estos argumentos construidos por científicos de siglos anteriores, con el
afán de describir ciertos fenómenos de la naturaleza, podemos discutir acercamientos
a la construcción escolar de la
función logaritmo y otras posibles
maneras de mirar el concepto de
función que podrían favorecer
una apropiación más robusta de la
misma.
Pensar en las funciones
polinómicas, exponenciales,
potencia y logarítmica como la
covariación de progresiones
aritméticas y geométricas es una
argumento de discusión y
construcción de las mismas no
generalizable a otras funciones
tales como las trigonométricas. Esto reafirma nuestra idea de la importancia de
reconocer la naturaleza propia de cada función.
148

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Cabe ahora buscar evidencia, mediante el diseño de secuencias de aprendizaje que
respeten esta hipótesis, que halla un robusto sustento en el devenir histórico de la
noción de función, como el argumento que nos permitirá crear un puente entre la
operatividad y la funcionalidad de los logaritmos, es decir, lograr su construcción
escolar.
Bibliografía
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Journal for Research in mathematics education 26(1), 66-86.
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Steffe (Ed.), Epistemological foundations of mathematical experience (pp. 159-202). New
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Dubinsky, E. (2000). De la investigación en matemática teórica a la investigación en matemática
educativa: un viaje personal. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
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Farfán, RM (1997). Ingeniería Didáctica. Estudio de la variación y el cambio. México: Grupo
Editorial Iberoamérica.
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Editorial Iberoamérica.
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1981)Lezama, J. (1999). Un estudio de reproducibilidad: El caso de la función
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publicado en 1667).
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redescubrimiento en el aula: Acerca de los logaritmos de los números negativos y los
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Trujillo, R. (1995). Problemática de la enseñanza de los logaritmos en el nivel medio superior. Un
enfoque sistémico. Tesis de maestría no publicada. Cinvestav-IPN. México.
149

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
150
PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN LA CULTURA OTOMÍ
Erika Barquera Pedraza
Cinvestav – IPN, México
erikabarquera@hotmail.com; barquera@mail.cinvestav.mx
Resumen
La investigación se centra en la forma en que se manifiesta el pensamiento matemático en uno de los
grupos mas antiguos de México establecido en el centro del país, específicamente en el Valle del
Mezquital en el estado de Hidalgo, las matemáticas en el valle se observan en las actividades
cotidianas como: bordados sobre telas diversas, tejido de canastos, ayates 4 , siembras, construcción de
viviendas, técnicas de cultivo y pastoreo, todo esto tiene un parámetro de medición así como de
número y otras situaciones que vienen a conformar un mundo de conocimiento matemático
relacionado con la cultura Otomí. Se toma como referencia a Bishop (1988) 5 , con las actividades:
diseñar, localizar, medir, contar, jugar, explicar. . El diseño viene a ser una de las actividades centrales
del grupo por la gran creatividad que se tiene y que muchas veces sirve como parte de un ingreso
económico de las familias, en ella se tiene mucho de un conocimiento matemático, se tiene una forma
de medir, distribuir, contar, ubicar, y socializar el conocimiento.
“Primero aquí le cuenta el primero,
que va empezar tiene que contar aquí,
(señala el bordado que realiza, tiene
dos filas de bordado)...aquí, tiene
este....creo 11 acá, 6..este 8, acá, aquí
1 nada mas, pero abajo tiene este dos
par, el primero tiene dos y un par,
luego 8, y luego 11 de vuelta” 6
La numeración se da contando dos hilos, es decir dos hilos hacen uno, cuatro hilos
son dos, posiblemente la tela interfiera y no fuese mas compleja en el momento de la
elaboración, más el motivo sitúa a buscar y establecer la medida que son dos unidades
haciendo una, las equivalencias las muestran en el momento que se establece la
medida y la cantidad de figuras que se realiza porque inicia el conteo de los hilos,
como lo menciona la bordadora es lo mas complejo, “Primero el que va empezar lo
tiene que contar 7 ” .
Entre más puntadas tenga más complejo es, esta actividad denota la capacidad
imaginativa que tiene la bordadora de retener una serie numérica de puntos, porque a
lo largo de toda la bata 8 mide de 20 a 25cm, y la serie de figuras tiene un proceso
inalterable que cambia o se repite de acuerdo a la figura, se trabaja con un espacio en
una superficie pero con puntos ordenados, todo tiene un inicio y precisamente se da
un punto en el espacio, cuando dice: “aquí inicia”, la interpretación de cada palabra
4
Tejido que se elabora por medio de la fibra de maguey y esta funciona como bolsa para la cosecha ó cubrirse de
las inclemencias del sol.
5
Coloca a la matemática en un contexto cultural, que extrae del mundo “real”, menciona que en toda cultura posee
un conocimiento matemático en las actividades que se desarrollan.
6
observaciones realizadas a una bordadora.
7
Comentario de la bordadora (observación-entrevista).
8
Nombre que se le da al bordado de la blusa de la parte de la sisa delantero y espalda.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
de la bordadora nos transporta a conjeturas de un pensamiento matemático, ver como
expresa el pensamiento en cada palabra, una conjetura sobre la acción de los objetos,
es importante preguntarse ¿cómo se da el desplazamiento de un número a otro?,
porque menciona 6,8,1, la sucesión no tiene un orden en cuestión, porque la figura
tiene forma y coherencia que parte de su realidad cotidiana, no tiene una pata mas
grande por así decirlo, existe una estética, que proyecta sensibilidad, lleva implícito el
pensamiento matemático que viene a ser el factor importante de toda manifestación
humana y del cual se desea indagar en el grupo cultural Otomí.
Introducción
Lo ideal a lo largo de la historia es tener una fórmula mágica para proporcionar los
conocimientos que el alumno, o aquel que se interese por adquirir tal cúmulo de
experiencias, resulte una tarea fácil o por lo menos con resultados favorables, el
interés a la transmisión de los conocimientos siempre ha estado, se ha adaptado
estrategias por dominar o intentar controlar está situación.
Lo que es indudable es la necesidad que se ha tenido y se tiene por proporcionar de
manera real un conocimiento matemático que permita que el individuo se sepa
conducir en su vida, desenvolver o desempeñar en todas las situaciones en que se
enfrenta, buscar formas que nos permita compartir tales conocimientos referente a las
matemáticas en el Valle del Mezquital con los niños otomíes 9 , nos lleva a vivir junto
con el habitante como es que se da tal conocimiento ¿cómo es que el padre transmite
o ha adquirido el conocimiento que desempeña? El conocimiento se encuentra en
todos los individuos de manera diferente y de un grado diverso, muestra de ello
analizaremos uno de los grupos más antiguos de México, los otomíes, situados en el
centro en los estados de México, San Luis Potosí, Veracruz e Hidalgo, en este ultimo
es donde se centra el recorrido para ver como es que el conocimiento matemático se
encuentra entre los habitantes ó como se utiliza las matemáticas en esta cultura para
con ello tener un punto de referencia en la manera de transmitir el conocimiento que
demanda la Educación Nacional.
Las matemáticas en el valle del mezquital se observan en las actividades cotidianas
como: bordados sobre telas diversas, tejido de canastos, ayates 10 , siembras,
construcción de viviendas, técnicas de cultivo y pastoreo, todo esto tiene un
parámetro de medición así como de número y otras situaciones que vienen a
conformar un mundo de conocimiento matemático relacionado con la cultura Otomí.
Aúnque en muchas ocasiones se desvincule las matemáticas de la realidad, es
comprobado que pertenecen como primera instancia en este espacio de la vida del
hombre, solo miremos, por supuesto con un mirar matemático y encontraremos toda
situación que amerite el reconocimiento del conocimiento empírico matemático como
primer momento de la ciencia y al paso de los años llega a una sistematización
9
No hay certeza sobre el significado preciso del vocablo otomí. En otomí, otho significa no poseer nada y mi,
establecerse. Estas dos palabras podrían interpretarse como pueblo errante. También se puede considerar que
otomí proviene del náhuatl otocac, el que camina, y mitl, flecha; asimismo, se puede derivar de totomitl, flechador
de pájaros o aves. Si tomamos en cuenta los distintos significados, el término otomí se puede definir como
"cazadores que caminan cargando flechas". En su lengua, los otomíes se autodenominan hña hñu, que significa
hablantes de otomí o gente otomí.
10
Tejido que se elabora por medio de la fibra de maguey y esta funciona como bolsa para la cosecha ó cubrirse de
las inclemencias del sol.
151

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
científica como se tienen ahora. Teniendo la aceptación de que las matemáticas se
encuentran a nuestro alrededor, daremos paso a la aventura que se vive en el valle, en
donde al parecer sus mismas características resaltan: cactus, mezquites, magueyes,
flores silvestres, acompañadas de las montañas que dan la composición única de un
valle habitado por los Otomíes.
En las observaciones y entrevistas realizadas con los habitantes se toma como
referencia a Bishop (1988) 11 , con las actividades: diseñar, localizar, medir, contar,
jugar, explicar. . Por las características de publicación se presenta únicamente el
diseño como fuente importante del pensamiento matemático.
Se vive el conocimiento matemático en el diseño
El diseño es considerado fuente importante de grandes aportes matemáticos como la
forma, el tamaño, la escala, la medida, formas geométricas (planas y sólidas);
propiedades de las formas, semejanzas, congruencia, proporción, razón, es la
imaginación de las formas, es el concepto abstracto y la idea concebida, el producto
acabado del diseño no es matemáticamente importante, lo importante se encuentra en
el desarrollo de las ideas, es el plan, la estructura, la forma imaginada, toda creación
sin excepción alguna parte de las estructuras cognitivas, la relación espacial
percibida entre el objeto y el propósito, es la forma abstracta y el proceso de
abstracción (Bishop, 1988).
Desde el momento de crear una imagen mental de los espacios, tamaños, de un
bordado que debe cumplir con medidas exactas se tiene una concepción preliminar
para después llevarlo a la materialización, ese es el lapso que interesa fijar la atención
en el contexto cultural. Los caminos, casas, iglesias, jardines, artesanías, danzas,
cantos, religión, su vestir, en fin es prolongada la lista todo ello parte de la
transformación de la realidad, convierte la penca en ayate, el lienzo blanco de tela en
bordados plasmando su naturaleza, fauna y flora; el carrizo en canastas, lechuguilla
en lazos, escobetillas; barro en una esférica olla, madera en una cuchara, es “imponer
una cierta estructura sobre la naturaleza” 12 , es una abstracción de formas para cubrir
una necesidad una vez lograda.
El diseño debe tener coherencia entre sus proporciones, formas, tamaño, color,
material, y la necesidad que se desea cubrir, “es una acción intencional que se
convierte en una acción creadora cuando se idea algo nuevo por alguna razón y este
cumple con su finalidad” (Aldaz Isaías 1992 p52) 13 , es decir imaginar a la naturaleza
sin las partes innecesarias, resaltando algunos rasgos más que otros como es el caso
del tallado de las pencas de un maguey para llevar todo el proceso transformativo que
lleva, hasta ser la prenda que caracteriza al otomí, el preciado ayate, su manera, su
cosmovisión del mundo se ha ido expresando, porque su espíritu queda en el diseño,
además se pude decir que viene a ser un factor importante de desarrollo y
supervivencia en el otomí.
11 Coloca a la matemática en un contexto cultural, que extrae del mundo “real”, menciona que en toda cultura
posee un conocimiento matemático en las actividades que se desarrollan.
12 Bonilla , Elisa (1987). “La dimensión de la cultura en la investigación en Matemática Educativa”, memorias de
la primera reunión de profesores e investigación en matemática educativa. Pp13-31.
13 Aldaz H. Isaías. Algunas actividades de los Mixes de Cacalotepec relacionadas con las Matemáticas. Un
acercamiento a su cultura. Tesis para obtener el grado de maestro en Ciencias. Cinvestav, 1992.
152

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
En la labor como le nombran las artesanas del Valle, las medidas de la blusa, vestido,
mantel, a falta de cinta métrica la cuarta (Kula 1970) viene a sustituirla, medida que
viene variando de acuerdo a la persona, sin embargo como referencia nos indican la
necesidad que tienen los pueblos por utilizar las partes del cuerpo humano para
cuantificar o establecer relaciones que satisfacen la necesidad inmediata. La bata que
es el bordado que lleva la blusa y el hombro es la mitad de la bata, esto quiere decir
que basta con tomar la medida de la bata para obtener los hombros, es de suponerse
que se tiene un conocimiento establecido, una imagen mental que permite
materializar en el transcurso de sus experiencias, (Kula 1970) 14 .
Una vez que se tenga la medida la elaboración del tejido, su conteo se manifiesta
contando la cantidad de hilos que lleva la figura seleccionada, para la bordadora es
necesario cuando va a bordar desarrollar un conteo:
“Primero aquí le cuenta el primero, que va empezar tiene que contar aquí, (señala el
bordado que realiza, tiene dos filas de bordado)...aquí, tiene este....creo 11 acá,
6..este 8, acá, aquí 1 nada mas, pero abajo tiene este dos par, el primero tiene dos y
un par, luego 8, y luego 11 de vuelta” 15
La numeración se da contando dos hilos, es decir dos hilos hacen uno, cuatro hilos
son dos, posiblemente la tela interfiera y no fuese mas compleja en el momento de la
elaboración, más el motivo sitúa a buscar y establecer la medida que son dos unidades
haciendo una, las equivalencias las muestran en el momento que se establece la
medida y la cantidad de figuras que se realiza porque inicia el conteo de los hilos,
como lo menciona la bordadora es lo mas complejo, “Primero el que va empezar lo tiene
que contar 16 ” .
Entre más puntadas tenga más complejo es, esta actividad denota la capacidad
imaginativa que tiene la bordadora de retener una serie numérica de puntos, porque a
lo largo de toda la bata 17 mide de 20 a 25cm, y la serie de figuras tienen un proceso
inalterable que cambia o se repite de acuerdo a la figura, se trabaja con un espacio en
una superficie pero con puntos ordenados, todo tiene un inicio y precisamente se da
un punto en el espacio, cuando dice: “aquí inicia”, la interpretación de cada palabra
de la bordadora nos transporta en conjeturas de un pensamiento matemático, es ver
como expresa el pensamiento en cada palabra, una conjetura sobre la acción de los
objetos, es importante preguntarse ¿cómo se da el desplazamiento de un número a
otro? porque menciona 6,8,1, la sucesión no tiene un orden en cuestión, porque las
figuras tienen forma y coherencia que parten de su realidad cotidiana, no tiene una
pata mas grande por así decirlo, existe una estética, que proyecta sensibilidad, lleva
implícito el pensamiento matemático que viene a ser el factor importante de toda
manifestación humana.
14 Kula, Witold. “Las medidas y los hombres”. Polonia 1970.Siglo veintiuno editores.
15 observaciones realizadas a una bordadora.
16 Comentario de la bordadora (observación-entrevista).
17 Nombre que se le da al bordado de la blusa de la parte de la sisa delantero y espalda.
153

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Solo miremos las siguientes figuras y veamos que el pensamiento no es tan simple
como decir “que bonito es”, “que arte”, ¡no! Es una visión plasmada desde todo un
vivir, como se dijo anteriormente es una manipulación de puntos en un plano, en
donde se tiene la noción de proporción, forma, congruencia, número, medida,
simetría, segmento, semejanza.
Otra forma de plasmar la naturaleza Otomí, se encuentra en la labor 18 cuya
característica se manipula por pieza, y cuenta con el mismo proceso mental que una
labor.
Otro de los diseños es la elaboración del ayate realizado en telar de cintura, prenda
que utilizan las mujeres como tocado, para cubrirse de los rallos del sol, para cargar
su hijo y en los hombres para guardar sus semillas de siembra.
Se inicia con la cocción de pencas, que posteriormente se talla para obtener la fibra
del maguey que por medio de un malacate se hila el Shande, una de las situaciones
que llama la atención es el momento en que se dan cuenta que la cantidad de fibra es
suficiente para la elaboración del ayate, el tamaño varia de 12 cm de diámetro y
algunos otros de 7 cm de diámetro 19 , son cuatro malacates llenos para tener la
cantidad suficiente para el ayate, otra de las medidas a utilizar son las manos que
abarcan la bola de sandhe más cuatro dedos 20
Interesante ver como a partir de la experiencia las personas mantienen estáticamente
la cantidad de fibra que se pretende tejer, se percatan de lo que llega a ser una
18
Labor recibe el nombre de los bordados que se utiliza el relleno en las figuras, porque el bordado es por puntos.
19
Rescatado de las observaciones con una tejedora San Andrés
20
Tejedora de Orizabita.
154

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
repetición benéfica en el artesano, existe una cuantificación de la cantidad, hay una
relación del volumen y el espacio, la naturalidad de los dedos cuando se calcula la
cantidad de fibra que se requiere para el ayate.
Existe una “conservación de la cantidad”
malacate = bola para un ayate
Se conserva porque el espacio de las manos más cuatro dedos determina la suficiencia
de fibra para el ayate, debo mencionar que la cantidad de fibra determina el grosor del
ayate y también de acuerdo a la utilización que se le pensaba dar, es decir si el ayate
se realiza de 6 fibras (sandhe) es grueso y mas fácil de elaborar, por el contrario se
realiza de 3 fibras el tejido es mas cerrado y la complejidad incrementa, por la
manipulación de hilos de escasas dimensiones.
No se puede negar que la importancia de esta actividad es conocida como
imaginación espacial, siendo aquella habilidad de recrear cierto suceso para tener una
imagen mental que nos representa lo que se pretende materializar.
Es así como a través de esta actividad logramos ver el pensamiento manifestado en
las diversas actuaciones del otomí, para tener las herramientas suficientes para la
conexión de los conocimientos inmersos en un Plan y Programas que son los que
demanda la Educación Nacional, y cuales son aquellos conocimientos empíricos que
surgen de la experiencia, para un buen aprovechamiento en la Educación Matemática
del niño, no basta que el niño repita lo que se le enseña, sino que llegue a esa
aprensión real del conocimiento y viva de acuerdo a sus necesidades.
Bibliografía
Aldaz H. Isaías. (1992). Algunas actividades de los Mixes de Cacalotepec relacionadas con las
Matemáticas. Un acercamiento a su cultura. Tesis para obtener el grado de maestro en
Ciencias. CINVESTAV
Bishop, Alan J (1988). Mathematical Enculturation. A Cultural perspective on Mathematics Education,
Cambridge, U.K: Kluwer Academic Publishers.
Bonilla, Elisa (1987). La dimensión de la cultura en la investigación en Matemática
Educativa. Memorias de la primera reunión de profesores e investigación en matemática
educativa. Pp13-31.
SEP Dirección General de Educación Preescolar. Programa de Educción Preescolar para
Zonas Indígenas. Septiembre (1994), del Departamento de Materiales y Apoyos Didácticos
de la Dirección General de Educación Indígena.
Kula, Witold. (1970) Las medidas y los hombres. Polonia. Siglo veintiuno editores.
155

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
156
LA TRANSFERENCIA DEL CONOCIMIENTO:ECUACIONES
DIFERENCIALES PARCIALES HACIA UNA CUERDA QUE VIBRA
Patricia Camarena Gallardo
Instituto Politécnico Nacional, México
pcamarena@ipn.mx
Resumen
La transferencia del conocimiento es una catalogada como una de las habilidades de orden superior .
Esta habilidad, correlacionada directamente con el modelar matemáticamente problemas de otras
disciplinas, está en tierra de nadie curricularmente hablando, situación que provoca la reflexión entre
los docentes de matemáticas, de los niveles educativos medio superior, superior y de posgrado. Tal
problemática es enfrentada por el grupo internacional de investigación en matemáticas en el contexto
de las ciencias . En el presente investigación, se muestra el caso de transferencia del conocimiento de
las ecuaciones diferenciales parciales hacia la cuerda vibrante. La metodología a seguir constó de dos
bloques el primero de tipo descriptivo en donde se contextualiza a las ecuaciones diferenciales
parciales a través de la cuerda vibrante para detectar los indicadores del proceso de transferencia de
conocimiento. La segunda de tipo experimental en donde se pone a prueba la estratega didáctica de la
matemática en contexto, para lo cual se selecciona un grupo de estudiantes, se les diagnostica respecto
a su infraestructura cognitiva, tomando en cuenta los indicadores detectados referentes a esta etapa, se
instrumenta la didáctica de la matemática en contexto y se analiza el grado de transferencia que han
logrado los alumnos sobre el eje de los indicadores.
Introducción
La presente investigación se fundamenta en la fase didáctica de la teoría de la
matemática en el contexto de las ciencias, cuyo objetivo es el estudio de la
matemática en el contexto de la ingeniería como didáctica para la enseñanza de las
matemáticas en escuelas de ingeniería (Camarena). En otros foros académicos se han
presentado trabajos similares en el contexto de la ingeniería (Zúñiga, Camarena y
Muro). En esta ocasión se han elegido a las ecuaciones diferenciales parciales por ser
un tema problemático para los estudiantes y por representar modelos complejos de la
física e ingeniería. En esta presentación se ofrece un caso particular de las ecuaciones
diferenciales parciales, la llamada ecuación de onda, la cual, entre otros, modela la
cuerda vibrante.
Una de las asignaturas difíciles para el estudiante es el correspondiente análisis
matemático para funciones de varias variables, el cual se hereda de la propia
matemática, ya que dentro de ésta el tema correspondiente a funciones de varias
variables es de los más complejos. Por lo que las ecuaciones que se derivan de este
tópico también resultan complejas para los alumnos, en particular las ecuaciones
diferenciales parciales.
Luego, se puede decir que si el tratar con derivadas parciales es complejo, más
complicado el aplicarlas y el formular ecuaciones diferenciales parciales a partir de
un problema dado, es decir, el modelar problemas de la ingeniería o de la física, en
donde este modelaje se lleva a cabo a través de las ecuaciones diferenciales parciales
es prácticamente imposible para los estudiantes, sobre todo ya que existe el
antecedente de que los profesores de matemáticas (Camarena), estadísticamente

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
hablando, no presentan a la matemática contextualizada en el área de la ingeniería en
donde la imparten.
En general los libros de texto que abordan ecuaciones diferenciales parciales no
modelan situaciones de la física o la ingeniería, y cuando llegan a hacerlo lo único
que aparece es la ecuación que describe el fenómeno, pero no se muestra cómo se
llegó a la ecuación.
Por lo antes expuesto es que en esta investigación se ha elegido la contextualización
de las ecuaciones diferenciales parciales. Por otro lado, la matemática en el contexto
de la ingeniería proporciona una didáctica específica para impartir clases a futuros
ingenieros ya que favorece el proceso de la enseñanza y el aprendizaje según
Camarena.
La Contextualización de la ecuación de onda
Las ecuaciones diferenciales parciales tienen aplicaciones en varias áreas de la
ingeniería, no todo tipo de ecuaciones en derivadas parciales son necesarias en una
ingeniería en particular (Camarena). Para el caso de la ingeniería en electrónica y
ramas afines son unas cuantas las ecuaciones diferenciales parciales que se emplean,
entre éstas se encuentra la ecuación de onda la ecuación de calor, la ecuación de
Laplace, etc. Para la ingeniería mecánica se requiere de la ecuación de onda y otras
ecuaciones en derivadas parciales del tipo parabólico. La ecuación de onda también
es utilizada en ingeniería civil. Lo anterior conduce a elegir la ecuación de onda por
ser utilizada en varias ingenierías.
Como lo marcan las etapas de la matemática en contexto, al contextualizar un tema
específico irán surgiendo los temas matemáticos que deberán ser tratados para la
solución del modelo matemático que nace de la contextualización. Se tiene una
cuerda que se pone a vibrar, la cual da origen a la ecuación de onda, al tener que
resolver esta ecuación para enfrentar el problema planteado, se tendrá que introducir
el método de variables separadas para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
y la clasificación de este tipo de ecuaciones. También se tendrán que definir las
condiciones iniciales y las de frontera del problema que se aborda.
Sea una cuerda de densidad uniforme, la cual se tensa y se sujeta de sus extremos y
por alguna razón se pone a vibrar, el problema que se tiene es el de conocer la forma
del movimiento de la cuerda, es decir, cómo vibrará la cuerda.
Si se representa geométricamente la cuerda tensa, ésta se verá como un segmento de
línea, para poder llevar a cabo el modelaje del problema, una de las etapas de la
contextualización, se ubican los ejes coordenados en tal representación geométrica,
por comodidad se coloca el origen en uno de los extremos del segmento y se hace
coincidir el eje horizontal de la variable independiente con la cuerda.
Véase la gráfica No.1.
U
↑
|
⎯⎯⎯−⎯⎯−⎯−⎯⎯−⎯⎯⎯> X
| L
157

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
GRÁFICA No. 1. Ubicación geométrica en los ejes coordenados XU de una cuerda
tensa de longitud L.
Al ser una cuerda que está vibrando la posición de los puntos sobre la cuerda respecto
a los ejes coordenados variará en función del tiempo, por lo que la ecuación que
describe el movimiento de la cuerda vibrante será una función u que dependerá de la
variable independiente x y de la variable tiempo t, luego, u=u(x,t).
Para determinar la ecuación que describe el movimiento tómese un diferencial de
arco de cuerda, el cual se muestra en la figura No. 1.
↑ U
| ⁄ |
| ξ ⁄ |
| ⁄ θ |
| ∆S ⁄ ⎺|⎺⎺⎺⎺
| ⁄ | ∆u
| ξ ⁄ | ⎺⎺⎺ |
| ⁄ φ | ∆x |
| ⁄ ⎺⎺⎺⎺⎺ | |
_______|______________|___ |__________________ X
| x x+∆x
FIGURA No. 1 Arco de cuerda ∆S.
En el diferencial de arco de cuerda ∆S de la figura anterior, la fuerza vertical que
actúa sobre el segmento ∆S está dada por una fuerza ξ sen θ que tira hacia arriba y
otra ξ sen φ hacia abajo, por tanto, la fuerza vertical es: ξ sen θ - ξ sen φ
Por otro lado, como se trata de un diferencial de arco, entonces, los ángulos θ y φ son
muy pequeños, lo cual induce las siguientes relaciones, válidas solamente para
ángulos muy pequeños: θ ≈ sen θ ≈ tan θ y φ ≈ sen φ ≈ tan φ
Además: tan θ = ux(x+∆x,t) y tan φ = ux(x,t)
Aplicando la segunda ley de Newton, la cual establece que la fuerza es igual a la
masa por la aceleración, se tiene que: Masa de la cuerda: f ∆S; Aceleración:
utt(x,t)
Luego, f ∆S utt(x,t) = ξ ux(x+∆x,t) - ξ ux(x,t)
Como la cuerda está tensa las vibraciones serán muy pequeñas, por lo que ∆S ≈ ∆x.
Así:
utt(x,t) = (ξ/f) [ux(x+∆x,t) - ux(x,t)] / ∆x
Tomando el límite cuando ∆x → 0 y haciendo a 2 =(ξ/f), se obtiene la ecuación
diferencial parcial: utt(x,t) = a 2 uxx(x,t) .......(1), llamada ecuación de onda.
Las condiciones del problema. Se mencionó en el planteamiento del problema que la
cuerda estaba sujeta de sus extremos, lo cual se representa matemáticamente de la
siguiente manera: Si u=u(x,t) es la posición de la cuerda en un tiempo t, en donde la
variable x es tal que 0≤ x ≤ L, véase la gráfica No. 1, entonces: a) La cuerda está
sujeta en su primer extremo, significa que x=0 & u=0 para cualquier tiempo t, luego,
u(0,t)=0. b) La cuerda está sujeta en su otro extremo, significa que x=L & u=0 para
cualquier tiempo t, luego, u(L,t)=0. A estas condiciones se les conoce con el nombre
de condiciones de frontera, ya que limitan físicamente a la cuerda, es decir, es su
frontera (los extremos de la cuerda).
158

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Por otro lado, si la cuerda tiene cierta posición al inicio del problema, por ejemplo la
forma u=f(x), entonces, lo que se está diciendo es que cuando el tiempo es igual a
cero (tomando por convención que al inicio del problema se hace correr el tiempo
desde cero) se tiene la condición: u(x,0)=f(x). Y si en ese momento por alguna razón
se pone a vibrar la cuerda, lo que se tiene es una velocidad g(x) en esa cuerda, la que
produce el movimiento, luego: ut(x,0)= g(x). Estas condiciones son semejantes a las
condiciones iniciales de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y efectivamente,
también se les llamarán condiciones iniciales.
Solución de la ecuación diferencial parcial 21 .
Primero se le hace observar al estudiante que la ecuación diferencial parcial (1):
utt(x,t) = a 2 uxx(x,t), es una ecuación diferencial parcial del tipo lineal homogénea:
utt(x,t) - a 2 uxx(x,t) = 0.
Que para este tipo de ecuaciones existe un método de solución denominado: variables
separadas. A diferencia con el método de variables separadas para las ecuaciones
diferenciales ordinarias en donde se aplica cuando la expresión de la ecuación
diferencial posee separadas las variables, es decir, cuando es de la forma: P(x) Q(y)
dx + R(x) S(y) dy = 0, en las ecuaciones diferenciales parciales el método de
variables separadas consiste en suponer que la que tiene separadas las variables no es
la ecuación diferencial sino la función solución de la ecuación diferencial parcial.
Luego, para poder resolver la ecuación de onda se presupone que la función solución
tiene separadas sus variables, o sea, que: u(x,t) = X(x) T(t) .......(2) Después se
sustituirá esta propuesta en la ecuación de onda, obteniéndose: T’’(t) / T(t) = a 2
X’’(x) / X(x) .......(3)
Esta última relación solamente puede ser cierta si cada término de la igualdad es
constante, luego, se deben satisfacer al mismo tiempo las dos ecuaciones que dan
origen al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y lineales formado por las
ecuaciones: T’’(t)/T(t)=K y a 2 X’’(x)/X(x)=K. La constante K se denomina constante
de separación, ya que a la ecuación (3) la separó en dos ecuaciones. Como es del
conocimiento del alumno la solución para cada una de estas ecuaciones es:
i) Para K=0, T(t) = At+B y X(x) = Cx+D dando origen a u(x,t) = (Cx+D)(At+B)
ii) Para K>0, se puede suponer que K=s 2 , T(t) = Ae st + Be -st y X(x) = Ce sx/a + De -sx/a ,
generándose u(x,t) = X(x)T(t) = (Ce sx/a + De -sx/a )(Ae st + Be -st )
iii) Para K

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
la ecuación de onda, como valores tomen las n. En las ecuaciones diferenciales
parciales lineales y homogéneas la suma de soluciones también es solución. Por tanto,
es solución de la ecuación diferencial parcial (1) la siguiente: u = u(x,t) = n=1
∞
= ∑ sen (nπx/L)(En cos anπt/L + Fn sen anπt/L) .......(4)
n=1
160
∞
∑ un
Obsérvese que esta ecuación posee solamente dos constantes de integración y faltan
dos condiciones para determinar de manera única la solución de la ecuación de onda.
Al sustituir las condiciones iniciales se determinan las constantes de la ecuación (4),
en donde los En y Fn son los coeficientes de la serie de senos de Fourier dados por las
ecuaciones (5) y (6):
L
En = (1/L)
0
∫ f(x) sen (nπx/L) dx ....... (5)Fn = (1/anπ)
L
∫
0
f(x) sen (nπx/L) dx ....... (6)
La transferencia del conocimiento
La transferencia del conocimiento es una de las habilidades catalogadas entre las de
orden superior (Nickerson, Perkins y Smith). Entendida como la habilidad que tiene
un individuo para plasmar su bagaje matemático en la resolución de un problema, así
como saber emplear las habilidades formativas que ofrece la matemática en la
resolución de problemas de toda índole científica, esto es, desde transitar entre el
lenguaje natural y el lenguaje matemático (en ambas direcciones) cuando se trata de
fenómenos o problemas de otras áreas científicas, hasta hacer uso del espíritu
científico, crítico y analítico que desarrolla la matemática en cualquier tarea
profesional.
El término de transferencia del conocimiento también empleado por Ausubel, lo
sustenta en su teoría sobre aprendizajes significativos, entendidos como aquellos que
tienen significado o sentido para el estudiante.
Para determinar la significancia del contenido a enseñar, Ausubel establece que el
nuevo conocimiento deberá de ser relacionado con otros conocimientos familiares, en
donde los elementos sustanciales son en relación con la disciplina que está en
tratamiento. Se considera que la forma de dar esta relación no necesariamente es a
través de la misma disciplina, sino a través de algo que sea atractivo para el alumno,
como lo son las propias asignaturas de su carrera profesional. De hecho, este
supuesto es un elemento de la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias,
en donde se ha demostrado que la vinculación de la matemática con las áreas de
estudio de la carrera en cuestión es un gran elemento motivador y significante.
La detección de los indicadores de la transferencia del conocimiento se lleva a cabo
buscando todos los factores de asociación con el tema o concepto involucrado.
Si observamos que lo planteado es un problema y se toman en cuenta las etapas de
Polya se puede decir que la transferencia del conocimiento se presenta en la primera,
segunda y cuarta etapas, ya que la primera requiere de representar el problema en
otros registros para pasar a la segunda etapa y construir el modelo matemático,
mientras que la cuarta etapa lleva a cabo el proceso inverso al de la primera etapa, es
decir, los resultados matemáticos ahora se traducen al lenguaje del problema para

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
darle la solución requerida, llevándose a cabo nuevamente transferencia del
conocimiento.
En la primera etapa está presente el tránsito entre los diferentes registros de los
objetos involucrados, para que se favorezca el conocimiento es necesario transitar
según sea el caso entre los registros aritmético, algebraico, analítico, visual y
contextual, siendo un primer indicador de la transferencia del conocimiento.
La segunda etapa, que corresponde a la construcción del modelo matemático pone de
relieve los diferentes enfoques que debe tener un concepto matemático. En la
matemática en el contexto de las ciencias se ha hecho mucho hincapié en el hecho de
que cada concepto o tema matemático posee diferentes enfoques y que es necesario
conocer aquellos que son empleados en la carrera de estudio. Constituyéndose un
segundo indicador de la transferencia del conocimiento.
En esta segunda etapa también se muestra la necesidad de hacer “consideraciones”
para poder realizar la modelación matemática, es decir otro indicador de la
transferencia del conocimiento está dado por las equivalencias de conceptos
matemáticos bajo ciertas condiciones.
Un indicador que garantiza el que los conocimientos matemáticos sean aplicados a
cualquier tipo de problema es la descontextualización de los temas y conceptos
matemáticos cuando se usa la didáctica de la matemática en contexto, siendo éste otro
indicador más para la transferencia del conocimiento.
No significa que sean los únicos los indicadores aquí mencionados, sino que son los
que han salido a la luz en esta investigación. Se está en la búsqueda de más
indicadores.
La etapa experimental
Para la selección de los estudiantes y para que se pudiera medir la variable
transferencia del conocimiento se controlaron las variables relativas a la
infraestructura cognitiva, en la nomenclatura de Ausubel (conocimientos previos) de
tal forma que la selección de la muestra se dividió en dos estratos: los que poseían
“buenos conocimientos” y los que no los poseían. Los conocimientos elegidos, de
acuerdo a la contextualización fueron los conceptos sobre derivación, ecuación
diferencial, solución de una ecuación diferencial, condiciones iniciales y solución de
ecuaciones diferenciales parciales por separación de variables. Cabe mencionar que
otra variable que se tomó en cuenta fue el conocimiento acerca del problema sobre la
cuerda vibrante.
El grupo experimental constó de catorce estudiantes de tercer a quinto semestres de la
carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. Se les comentó lo que se
perseguía con la experimentación. Se les planteó el problema de la cuerda vibrante, se
les pidió que lo resolvieran, para lo cual trabajaron en equipos de dos personas.
Después del análisis de la información se concluyó, con diferentes grados de
profundidad, que: la transferencia del conocimiento está íntimamente relacionada con
los conocimientos previos que posee el estudiante. Los estudiantes con buenas bases
obtienen la transferencia del conocimiento, mientras que los estudiantes con malas
bases no lo logran. Nuevamente se observó la motivación que ofrece la matemática
en contexto a los alumnos.
161

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Conclusiones
Los alumnos al saber para qué les van a servir las matemáticas que estudian se ver
motivados hacia el curso de matemáticas, incidiendo en su buen desempeño escolar.
La matemática en contexto favorece la transferencia del conocimiento.
Bibliografía
Ausubel David P., Novak Joseph D. y Hanesian Helen (1990). Psicología educativa, un punto de vista
cognoscitivo. Editorial Trillas.
Camarena G. Patricia (1988). Reporte del proyecto de investigación titulado: Propuesta curricular para
la academia de matemáticas del Departamento de ICE-ESIME-IPN.
Camarena G. Patricia (1990). Especialidad en docencia de la ingeniería matemática en electrónica.
Editorial ESIME-IPN, México.
Camarena G. Patricia (1995). La enseñanza de las matemáticas en el contexto de la ingeniería. XXVIII
Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, México.
Camarena G. Patricia (1996). El contexto y las ecuaciones diferenciales lineales. Memorias del 6º
Coloquio Académico de la ESIME-IPN, México.
Camarena G. Patricia (2000). Reporte de investigación titulado: Los modelos matemáticos como tapa
de la matemática en el contexto de la ingeniería. ESIME-IPN, México.
Camarena G. Patricia (2001). Reporte de investigación titulado: Registros cognitivos de la matemática
en el contexto de la ingeniería. ESIME-IPN, México.
Camarena G. Patricia (2002). La formación de profesores de ciencias básicas en ingeniería. Memorias
del 3º nacional y 2º internacional: Retos y expectativas de la Universidad, México.
Camarena G. Patricia (2002). La matemática en el contexto de las ciencias: fase didáctica.
ActaLatinoamericana de Matemática Educativa. Vol. 16, tomo I, Cuba.
Hsu W. (1970). Análisis de Fourier. Editorial Iberoamericana.
Muro U. Claudia y Camarena G. P. (2002). La serie de Fourier en el contexto del proceso de
transferencia de masa. Revista “Científica” The Mexican Journal of Electromechanical
Engineering. Volumen 6, No. 4.
Nickerson Raymond S., Perkins David N. y Smith Edward E. (1994). Enseñar a pensar, aspectos de la
aptitud intelectual. Editorial Paidós.
Zúñiga S. Leopoldo (2003). Sobre las funciones cognitivas en el aprendizaje del cálculo diferencial de
dos variables en el contexto de la ingeniería. XVII Reunión Latinoamericana de Matemática
Educativa, Chile.
162

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
LAS ACTITUDES HACIA LA MATEMÁTICA Y EL RENDIMIENTO
ACADÉMICO EN ALUMNOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Margarita Véliz de Assaf y María Angélica Pérez de Negro.
Universidad Nacional de Tucumán. Argentina
mveliz@herrera.unt.edu.ar; mperez200@hotmail.com
Resumen
Como parte de un trabajo de investigación para la búsqueda de nuevas estrategias, con el fin de
optimizar el aprendizaje de la Matemática, se abordaron una serie de actividades para evaluar las
Actitudes hacia la Matemática (AHM) de los alumnos que cursaron Cálculo Diferencial en el año
2002, asignatura correspondiente a 1º año de nuestra Facultad. Se seleccionó una muestra al azar de
250 alumnos sobre un total de 1100 y se trabajó con una Escala Likert para las mediciones.
En este trabajo se muestra el grado de asociación entre el rendimiento y las AHM de los estudiantes,
los niveles de asociación entre el rendimiento y cada uno de los aspectos mencionados, como así
también la relación existente entre el rendimiento y los perfiles actitudinales construidos sobre la base
de dichos aspectos.
Introducción
Como punto de partida para el estudio de las AHM, se indagó sobre los siguientes
aspectos actitudinales: la dificultad percibida para el aprendizaje de la Matemática, el
temor del alumno para trabajar en Matemática y para participar en clase, el gusto por
la Matemática, percepción de comprensión, percepción de competencia para el
aprendizaje, utilidad de la Matemática y la percepción del profesor.
En los resultados se presentan los niveles de asociación hallados entre el rendimiento
y cada uno de los aspectos mencionados, como así también la relación existente entre
el rendimiento y los perfiles actitudinales construidos sobre la base de dichos
aspectos (desfavorable, neutro y favorable).
La evaluación de las actitudes se realizó en los mismos alumnos que la evaluación del
rendimiento académico, con la finalidad de poder llegar a conclusiones que se puedan
complementar. Sobre este tema existe abundante bibliografía internacional que
sustenta la asociación entre rendimiento y actitudes. Esta bibliografía permite
respaldar y guiar el proceso de evaluación, además de dar referentes para comparar
los resultados.
Actitudes. Definición
Las actitudes son definidas como “la tendencia psicológica que se expresa a través de
la evaluación favorable o desfavorable de una entidad en particular. Dicha entidad
puede ser un objeto, una persona, un suceso o cualquier evento capaz de ser
valorado” (Eagly y Chaiken, 1998: 269). El objeto de actitud en este caso es la
Matemática.
La primera dificultad a que se enfrenta toda investigación en actitudes, se refiere al
hecho de que éstas “son entidades no observables y no se traducen necesariamente en
conductas” (Summers, 1976: 14). Las actitudes son adquiridas; la forma en que se
presentan es variada, proviniendo de experiencias positivas o negativas con el objeto
163

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
de la actitud, y/o modelos que pueden provenir de compañeros de clase, docentes,
padres, materiales de estudio, etc.
La relevancia de las actitudes reside en la consistencia que tienen con la conducta. Lo
que se espera es que si una persona tiene una actitud favorable hacia un determinado
objeto, se comportará favorablemente hacia dicho objeto. Sin embargo, las actitudes,
positivas o negativas, no siempre resultan en conductas consistentes con las mismas.
El estudio de las actitudes ha sido objeto de atención en el campo de la Psicología, y
en especial entre los psicólogos sociales de las últimas décadas. Auzmendi (1992: 16)
resalta que “las actitudes deben su fuerza motivacional a que producen ciertos
sentimientos, placenteros o displacenteros en el sujeto”.
Componentes de las actitudes
Las respuestas mensurables de la actitud se llaman componentes y son tres:
componente cognoscitivo, definido por las creencias y percepciones de una persona
sobre el objeto de la actitud.
componente afectivo, definido por los sentimientos que el individuo tiene hacia el
objeto de la actitud y la intensidad de los mismos. Este componente considera el
aspecto esencial de una actitud, a tal punto que algunos investigadores lo tratan como
si fuera la actitud misma.
componente de voluntad o conductual, definido por la respuesta que el sujeto tendría
en reacción al objeto de la actitud. Tiene que ver con la probabilidad o con la
tendencia de que un alumno emprenda una acción específica o se comporte de una
forma particular.
“Una visión amplia del tema de las actitudes como campo de investigación, debe
tener en cuenta los tres componentes básicos de toda actitud: cognoscitivo, afectivo y
conductual” (Auzmendi, 1992: 17).
Instrumento
Para evaluar actitudes pueden considerarse varios tipos de instrumento. En este
trabajo se utilizó el de informes acerca de sí mismo o autoevaluaciones, aplicado
colectivamente, con descripción del sujeto. Esta forma de aplicación es la más
popular según Summers (1976: 25), ya que con un instrumento se recogen las
expresiones de cada uno de los sujetos en una toma colectiva de datos.
Variables
Respecto a las variables que se miden, una actitud puede considerarse una variable
continua. Las variables de actitud, como creencias, preferencias e intenciones, son
medidas con escala de clasificación. Tales escalas proporcionan a los entrevistados un
conjunto de categorías numeradas que representan el rango de juicios de posiciones
posibles. En este trabajo, utilizamos la Escala Lickert para las mediciones, llamada
“escala totalizada o aditiva” porque los resultados de las afirmaciones individuales
se suman para presentar un puntaje total. Es una escala graduada que va del
“Totalmente desfavorable o en desacuerdo” al “Totalmente favorable o de acuerdo”,
utilizando el intervalo del “1 al 5”.
164

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Investigaciones sobre actitudes hacia la Matemática y rendimiento académico
Estudios internacionales han mostrado que existe una relación significativa y directa
entre las actitudes de los alumnos y el rendimiento en Matemática. Entre ellos, el
estudio del TIMSS (Third Internacional Math and Science Study) realizado entre
1994 y 1995 con la participación de más de 40 países, en el que se concibieron las
actitudes como un insumo para facilitar el aprendizaje cognoscitivo y como un
producto deseable de cualquier sistema educativo. Los resultados varían por países y
niveles educativos. En conjunto, se muestra una relación positiva entre el gusto por la
Matemática y las puntuaciones obtenidas en pruebas de esta asignatura.
Los estudios del Nacional Assesment of Education Progress (NAEP) realizados entre
1994 y 1996 en EE.UU. revelaron que existe asociación entre el gusto por la
Matemática y la disposición de los alumnos para estudiarla.
Si bien en los estudios mencionados, y en general en la literatura que trata sobre el
tema, se muestra la asociación de las actitudes con el desempeño de los estudiantes.
Es preciso considerar que puede darse el caso de un alumno que alcance un nivel de
rendimiento satisfactorio, y tenga una actitud desfavorable frente a la asignatura. De
esta manera, una actitud favorable no garantiza un mejor rendimiento, aunque sí eleva
la probabilidad de que éste se dé.
Es importante mencionar que la relación entre actitud y rendimiento es bidireccional
y compleja. Desde la psicología educativa se postula que la participación activa del
alumno en clase favorece su involucramiento en el proceso educativo y, por tanto, su
nivel de desempeño y logro.
Desarrollo
Este estudio se llevó a cabo mediante una muestra de tamaño 250, seleccionada
aleatoriamente de los 1100 alumnos inscriptos para cursar Introducción al Análisis
Matemático (Cálculo Diferencial) en el año 2002. Se aplicó el instrumento para medir
actitudes al comienzo y al final de cursada de la asignatura, que contenía los
componentes cognoscitivo, afectivo y conductual. Los resultados de las afirmaciones
individuales se sumaron para presentar un puntaje total para cada alumno. A cada
reactivo se le dio la misma dirección, en todos los casos “hacia la Matemática”,
obteniéndose los distintos niveles actitudinales que se utilizaron en esta investigación
(Veliz y Pérez, 2003).
Cuadro Nº 1: Distribución conjunta del gusto por la Matemática observada al
comienzo y final del dictado de Introducción al Análisis Matemático. Año 2002.
Gusto por la
Matemática—Al
final
Gusto por la Matemática—Al comienzo. %
Agrado Indiferente Desagrado
Total
Agrado 25.0 14.1 13.0 52.1
Indiferente 8.2 11.7 18.7 38.6
Desagrado 0.0 2.3 7.0 9.3
Total 33.2 28.1 38.7 100.0(250)
165

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
La concordancia en las respuestas al comienzo y al final de esta variable categórica
ordinal se midió con el estadístico no paramétrico Somer’s (Siegel, 1995: 346), que
nos indica el grado de concordancia entre el gusto por la Matemática observado en
dos momentos (al comienzo y final del dictado de la asignatura). En este caso, el
estadístico Somer’s D = 0,3473 nos indica una leve concordancia. Las frecuencias
porcentuales indicadas en la diagonal principal del cuadro son las que manifiestan
permanencia o acuerdo entre el gusto antes y después. Podemos decir que los que
tuvieron una actitud positiva al comienzo (33.2 %) en un pequeño porcentaje (8.2 %)
no la mantuvieron declarándose al final indiferentes. Los que se manifestaron
inicialmente indiferentes (28.1%), en un porcentaje considerable (14.1%) se ubicaron
luego en el agrado, el (11.7%) permanecieron en la indiferencia, y el resto (2.3%)
pasó al desagrado. Los que manifestaron al comienzo una tendencia negativa hacia la
Matemática, en su gran mayoría la dirigieron al final hacia una actitud más positiva.
De igual modo se analizaron todos los aspectos actitudinales considerados.
Este estudio, nos llevó a analizar también la relación existente entre los aspectos
actitudinales y el rendimiento académico de los alumnos.
Rendimiento académico
El rendimiento académico es una expresión valorativa particular del logro alcanzado
por los alumnos, correspondiente a un período dado en el proceso educativo, que se
presenta en el área del conocimiento, y en el marco de una institución. Se eligió como
indicador del rendimiento académico, las calificaciones obtenidas por los alumnos en
las tres pruebas parciales y la calificación final del curso de Introducción al Análisis
Matemático, porque se consideró que éstas pueden reflejar el avance que tuvieron los
alumnos en lo explícito, en el cuatrimestre en que se dictó la asignatura, bajo las
condiciones que institucionalmente se fijaron.
Relaciones entre variables
En el Cuadro Nº 2 se muestra los porcentajes de los alumnos que se ubican en cada
uno de los aspectos actitudinales estudiados, así como el rendimiento académico en
las medias de las calificaciones de los exámenes parciales y final para cada uno de
esos aspectos. Se observa que los mayores porcentajes se encuentran en las categorías
consideradas como favorables y que los promedios de las calificaciones en cada uno
de los exámenes considerados para las categorías favorables se encuentran por
encima de la media general de cada uno de los exámenes. Por lo que se puede
apreciar que el rendimiento está asociado positivamente con las respuestas a las
preguntas consideradas para el estudio.
Cuadro Nº 2: Distribución de los alumnos y medias de las calificaciones en los
exámenes según las categorías de los aspectos considerados. Introducción al Análisis
Matemático. Año 2002.
166

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Calificación Promedio
Aspectos
Categorías---- % 1º parcial 2º parcial 3º parcial Examen final
Actitudinales
µ= 6.9 µ=5.3 µ=6.0 µ=5.7
Temor
No manifiesta 87.0 7.0 5.5 6.5 5.9
Si manifiesta 13.0 5.8 4.5 5.1 4.9
Gusto
Agrado 33.1 7.3 5.8 6.4 5.9
Indiferente 28.4 6.8 5.0 5.6 5.6
Desagrado 38.4 6.5 4.9 5.3 5.1
Percepción de Alta 72.0 7.0 5.4 6.2 5.7
competencias para
el aprendizaje
Baja 18.0 6.5 4.8 5.4 5.2
Percepción del Buena 86.0 7.0 5.3 6.3 6.0
profesor Mala 14.0 6.5 4.8 5.4 4.6
Dificultad Sin dificultad 51.0 7.3 5.9 6.3 6.0
percibida para el Alguna
aprendizaje dificultad
40.0 6.2 5.1 5.6 5.3
Con dificultad 9.0 5.8 4.9 5.1 5.2
Percepción de Buena 84.0 7.3 5.9 6.0 6.6
comprensión Mala 16.0 6.7 5.2 5.5 5.8
Se determinó que en cada una de las categorías del rendimiento en el examen final
(malo, regular, y bueno), las frecuencias decrecen con respecto a las categorías del
gusto excepto los de rendimiento malo que su gusto se manifiesta en la indiferencia y
el desagrado.
Otro aspecto importante estudiado es la percepción del profesor con respecto al
rendimiento.
Es significativamente diferente el rendimiento de los alumnos con experiencias de
buenos profesores que los que manifiestan experiencias con malos profesores. Para
ellos se realizó un test estadístico de rangos no paramétrico de Kruskal-Wallis entre
los dos grupos independientes (con experiencia de buenos y malos profesores). Se
testó la hipótesis nula “No existen diferencias entre los rendimientos de ambos
grupos”. El estadístico de prueba KW = 10,2423 P-Value = 0,0013, con lo que se
rechaza la hipótesis nula aceptando que el rendimiento en ambos grupos es diferente.
En el Cuadro Nº 3 se puede observar la relación existente entre el rendimiento y los
niveles actitudinales construidos sobre la base de dichos aspectos.
Cuadro Nº 3: Medias de los Rendimientos en los Exámenes según los niveles
actitudinales. Introducción al Análisis Matemático. Año 2002.
Examen Niveles Actitudinales Anova
Desfavorable Neutro Favorable F Prob
(18,3%) (36,6%) (45,1%)
1º Parcial 5.36 5.94 6.53 3,26 0,039
2º Parcial 5.02 5.08 5.72 3,03 0,050
3º Parcial 5.18 5.83 6.1 6.14 0.002
Final 5.1 6.0 6.6 3,26 0,039
167

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
El test Anova realizado en cada uno de los niveles actitudinales, indica para cada uno
de los exámenes, que existen diferencias significativas entre las medias de cada uno
de ellos, siendo la del nivel favorable diferente a la del desfavorable.
Conclusiones
Del estudio de la variable Actitud hacia la Matemática, y de su relación con el
rendimiento académico de los alumnos, se desprende que:
Los aspectos actitudinales analizados son muy relevantes en el rendimiento, ya que
las respuestas que denotan una actitud favorable se relacionan de manera directa con
el nivel de logro académico alcanzado por los alumnos.
Los resultados encontrados, sugieren la importancia de la dimensión afectiva del
aprendizaje sobre el rendimiento académico de los estudiantes.
La recepción de los contenidos por parte de los alumnos, la comprensión de la
información que reciben, el sentimiento de competencia para el aprendizaje
expresado por su seguridad, y el gusto por la materia, tienen una asociación
significativa con el rendimiento, aunque la magnitud de cada aspecto sobre la variable
rendimiento es diferente. Esto nos sugiere que para lograr un mejor rendimiento, es
necesario que los alumnos se sientan competentes para aprender, comprendan los
contenidos que se trabajan en clase, cuenten con un ambiente en el aula que estimule
y motive sus participaciones.
Este estudio sugiere la existencia de una fuerte relación entre el rendimiento
académico de los alumnos y el gusto por la Matemática, como así también con la
percepción del profesor.
Los alumnos con buen rendimiento académico tienen una actitud más positiva hacia
la Matemática.
Bibliografía
Auzmendi Escribano, E. (1992). Las actitudes hacia la Matemática – estadística en las enseñanzas
media y universitaria. Características y medición, Editorial Mensajero, Bilbao, España.
Eagly, A. y Chaiken, S. (1998)”Attitude Structure and Function”, en Gilbert, D.T.; Fiske, S.T. y
Lindzey, G., The handbook of Social Psichology, vol 1, pp. 269 – 322, Mc. Graw Hill, 4º edición,
New York.
Morales, F. (1994). Psicología Social. Madrid: Mc Graw-Hill/Interamericana, España.
NAEP (The National Assessment of Educational Progress). (1994) NAEP 1994 Trends in Academic
Progress http://nces.ed.gov/nationsreportcard/site/home.asp
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primer año del nivel superior, trabajo presentado en el VSEM, V Simposio de Educación
Matemática, Chivilcoy, Buenos Aires.
168

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
LAS CREENCIAS DE LOS ALUMNOS Y SU PROCEDER FRENTE A LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Lucía Martín de Pero y María Angélica Pérez de del Negro.
Universidad Nacional de Tucumán- Argentina.
lmartin@herrera.unt.edu.ar - mperez200@hotmail.com
Resumen
Este trabajo surge como una necesidad de mejorar la predisposición de los estudiantes de cálculo
diferencial hacia la resolución de problemas. El marco teórico del trabajo se basa en la actual
Psicología Cognitiva y en los aportes que a la teoría constructivista realizaron Piaget, Vigostky,
Bruner, Ausubel y otros. Para la investigación se pidió a los alumnos que respondieran un
cuestionario, diseñado con el propósito de captar sus creencias y concepciones espontáneas frente a la
resolución de problemas, y que resolvieran una situación problemática donde debían aplicar conceptos
aprendidos en el curso anterior correlativo de la asignatura, con el propósito de analizar el
procedimiento empleado para arribar a la solución pedida. Las respuestas al cuestionario permitieron
conocer sí el alumno: posee hábitos para resolver problemas, tiene dificultades en la resolución de los
mismos, reconoce su estructura, y si utiliza toda la información contenida en el enunciado del mismo
para resolverlo. En la evaluación del procedimiento seguido para solucionar la situación problemática
propuesta, se determinó sí el alumno: plantea el problema, identifica los conocimientos previos
necesarios y si utiliza un razonamiento válido para arribar a la solución. Del análisis de las variables
se puede concluir que no hay concordancia entre las creencias de los alumnos y los procedimientos
que emplean para resolver problemas. Por ello se considera que la tarea docente debe realizarse
teniendo en cuenta los conocimientos previos adquiridos por los estudiantes para construir
aprendizajes significativos. La investigación realizada sirve como soporte para explorar que estrategias
son necesarias ofrecer a los alumnos con el propósito de ayudarlos a resolver problemas.
Introducción
La tarea docente a lo largo de los años permite observar que los alumnos no se
manifiestan motivados frente a la resolución de situaciones problemáticas. Con
deseos de mejorar la práctica en el aula se lleva a cabo una investigación que permita
conocer algunas de las causas que provocan esta situación. En nuestro país en los
últimos años, docentes e investigadores en el área de la matemática se han
preocupado por incorporar entre sus temas de análisis la resolución de problemas, sus
experiencias permiten afirmar que las principales causas de la incapacidad de los
estudiantes para la resolución de problemas, no están localizadas en la asimilación del
contenido sino que sus limitaciones se centran principalmente en la imposibilidad de
aplicar o transferir el conocimiento adquirido a la solución de problemas. Es por ello
que se trabaja con las creencias que los alumnos tienen sobre la matemática y los
conocimientos previos con que ingresan a las aulas, con el fin de facilitar su
aprendizaje.
Los alumnos, sus creencias e ideas previas
Las creencias que los alumnos tienen sobre el aprendizaje de la matemática inciden
desfavorablemente en su calificación. Entre ellas pueden mencionarse:
La matemática es cálculo por lo tanto implica seguir y memorizar reglas.
Los problemas de matemática deben ser resueltos rápidamente y en pocos pasos.
Los problemas de matemática tienen una sola respuesta.
169

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
El papel del estudiante en la clase de matemática es recibir los conocimientos del
profesor.
Los estudiantes normales no son capaces de comprender la matemática, solo pueden
aspirar a memorizarla.
La matemática que se enseña en la escuela no tiene nada que ver con el mundo real.
(Adaptación de la tabla presentada por Schoenfeld, 1992:359, según María del Puy
Perez Echeverría en “La Solución de Problemas”, 1997:58).
Es frecuente que los docentes organicen sus clases considerando el punto de vista de
la disciplina y sólo teniendo en cuenta que unas cuestiones preceden a otras como si
todas ellas tuvieran la misma dificultad para el alumno y olvidando considerar lo que
el estudiante ya sabe sobre el tema a enseñar, puesto que el nuevo conocimiento se
asentará sobre el viejo. Por lo tanto, será fundamental para el docente no sólo conocer
las representaciones que poseen los alumnos sobre lo que se les va a enseñar, sino
también analizar el proceso de interacción entre el conocimiento nuevo y el que ya
poseen.
Según Pozo, (1990): “Se produce aprendizaje cuando hay un cambio relativamente
permanente en la conducta o en los conocimientos de una persona como consecuencia
de la experiencia”. Si adoptamos esta definición de aprendizaje, resulta entonces
fundamental partir de los conocimientos previos de los alumnos para poder organizar
las estrategias de enseñanza que permitan el aprendizaje de nuevos contenidos. Para
comprobar si éste se produjo, es indispensable evaluar las diferencias entre lo que el
alumno sabía y lo que ha podido asimilar, con la consiguiente modificación de sus
conocimientos previos.
Otro aspecto que presenta esta definición de aprendizaje es la permanencia del
cambio generado. Es decir, para lograr un verdadero aprendizaje, el cambio debe ser
lo más duradero posible. Esto sólo ocurre cuando se produce un aprendizaje
significativo.
Según Ausubel, un aprendizaje es significativo cuando se cumplen ciertas
condiciones:
los contenidos por enseñar deben tener significado en sí mismos, es decir, deben estar
organizados en una estructura lógica. Esta estructura contiene conceptos generales,
amplios llamados inclusores, los que vienen a construir los conocimientos previos
indispensables para alcanzar otro aprendizaje significativo.
el que aprende debe estar predispuesto a hacerlo y poseer ideas que puedan activarse
para comprender los nuevos contenidos.
Es así como construimos significados cada vez que somos capaces de establecer
relaciones trascendentes y no arbitrarias entre lo que aprendemos y lo que ya
conocemos.
Si tenemos en cuenta el Diseño Curricular Base (1989:31-34) del Ministerio de
Educación, observamos que se establecen una serie de principios generales,
actividades y elementos que conciernen a las capacidades y disposiciones del
individuo que aprende. Se hace referencia a:
Partir del nivel de desarrollo del alumno.
Asegurar la construcción de aprendizajes significativos.
Posibilitar que los alumnos realicen aprendizajes significativos por sí solos.
Procurar que los alumnos modifiquen sus esquemas de conocimiento.
170

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Establecer relaciones ricas entre el nuevo conocimiento y los esquemas de
conocimiento ya existentes.
Citado por Carretero, M. (2001:19-20).
Estos principios se basan en las teorías constructivistas, de Piaget, Vigotsky, Ausubel
y la actual Psicología Cognitiva. Según el Constructivismo, el conocimiento no es
una copia de la realidad sino una construcción del ser humano que se realiza con los
esquemas que ya posee, que construyó en su relación con el medio que lo rodea.
El profesor debe prestar atención a las ideas previas de los alumnos, tanto a las que
poseen antes de que comience el proceso de aprendizaje como a las que se irán
generando durante ese proceso. De tal forma que no es tan importante el producto
final que emite el alumno como el proceso que lo lleve a dar una determinada
respuesta. A menudo los profesores sólo prestamos atención a las respuestas correctas
que nos dan nuestros alumnos y no consideramos los errores, que son precisamente
los que nos informan sobre como se está reelaborando el conocimiento que ya poseen
a partir de la nueva información que reciben. Generalmente los errores que los
alumnos cometen tienen una clara regularidad y se deben a procesos de comprensión
inadecuada que se suceden curso tras curso. De ahí la importancia que el docente
debe dar a las llamadas “ideas previas” de los alumnos.
La investigación
Para la investigación se seleccionó una muestra conformada por 672 alumnos de una
población de 1100 alumnos que cursan el primer año en la Facultad de Ciencias
Económicas de la U.N.T. El instrumento de medición fue un cuestionario,
implementado al inicio de las clases, diseñado con el propósito de captar las creencias
y concepciones espontáneas de los alumnos frente a la resolución de problemas.
Además se pidió a los alumnos que resolvieran una situación problemática donde
debían aplicar conceptos aprendidos en el curso anterior correlativo de la asignatura,
con el objetivo de analizar el procedimiento empleado para arribar a la solución
pedida.
Las creencias de los alumnos sobre la resolución de problemas.
Las preguntas que conforman el cuestionario y los resultados obtenidos se muestran a
continuación:
¿En cursos anteriores se ha ejercitado en resolución de problemas de matemática?
¿La resolución de problemas de matemática le presentó dificultades?
Dado el enunciado de un problema, ¿reconoce los datos y las incógnitas?
¿Utiliza toda la información del enunciado del problema para resolverlo?
Cuadro Nº 1: Resultados de la captación de las creencias de los alumnos
Resultados del cuestionario %
Dice que se ha ejercitado en resolución de problemas en cursos anteriores 79
Dice que tuvo dificultades en la resolución de problemas 70
Dice que reconoce los datos e incógnitas del enunciado de un problema 72
Dice que utiliza toda la información del enunciado para resolver un problema 78
171

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Entre las creencias de los estudiantes se observa que una gran mayoría se ha
encontrado frente a situaciones de resolución de problemas en sus estudios anteriores
y que también han tenido dificultades en las mismas a pesar de que aseguran
reconocer los datos e incógnitas e utilizar toda la información disponible en el
problema.
Las respuestas a estas interrogaciones se cotejaron con la predisposición de los
alumnos frente a la resolución de un problema de contexto realista. En la elaboración
del problema presentado se tuvieron en cuenta los conceptos adquiridos en cursos
anteriores.
Aspectos de la evaluación de un problema
En la selección del problema se consideraron los siguientes aspectos:
La motivación a través de una aplicación a la economía.
La aplicación de conocimientos vistos en asignaturas precedentes de la disciplina
matemática, a saber: identificación de ecuaciones de curvas, sus elementos y las
operaciones algebraicas necesarias para su empleo en aplicaciones.
La capacidad de razonamiento lógico – matemático para su resolución.
En la evaluación de la situación problemática se puso énfasis en determinar sí el
alumno realiza las siguientes secuencias:
Plantea el problema.
Identifica los conceptos previos necesarios.
Utiliza un razonamiento válido.
Cuando se evalúa el planteo del problema se hace referencia a la identificación a
través de expresiones algebraicas de las condiciones, contenidos y exigencias
presentadas en el enunciado, es decir, la transformación del enunciado al lenguaje
matemático.
Por razonamiento válido, se acepta cualquier procedimiento correcto utilizado por el
alumno que le permita arribar a la solución pedida.
Cuadro Nº 2: Resultados de los aspectos de la evaluación del problema
Aspectos de la evaluación del problema %
Plantea el problema. 66
Identifica los conceptos previos necesarios 49
Utiliza un razonamiento válido 15
A medida que se avanza en el análisis de los aspectos de la evaluación del problema
propuesto se observa un aumento en las dificultades para resolver la situación
planteada.
Relaciones entre las creencias de los alumnos sobre como resuelven problemas y
los aspectos de la evaluación de la resolución del problema propuesto
Los resultados obtenidos de las respuestas del cuestionario, referido a las creencias de
los alumnos sobre como resolver un problema, se contrastaron con los aspectos
considerados en la evaluación del problema propuesto. Para medir si existió o no
acuerdo entre lo que los alumnos creen y lo que realizaron, se utilizó el índice de
concordancia Kappa, propuesto originalmente por Cohen (1960) para el caso de dos
172

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
criterios de evaluación. Es el estudio de fiabilidad por equivalencia entre
observadores. Sieguel y Castellán (1995 p: 325).
Los resultados del análisis de concordancia se muestran a continuación, en él se
detallan el valor del coeficiente Kappa y de la prueba de hipótesis: H0: Kappa = 0
(ausencia de concordancia), contra la hipótesis alternativa H1: Kappa >0 (existe
alguna concordancia). Esta prueba de hipótesis se realiza teniendo en cuenta que en
muestras grandes, Kappa se distribuye de manera aproximadamente normal con
media cero y varianza Var (Kappa).
Los cuadros siguientes presentan los resultados obtenidos, en todos ellos se observa
una concordancia débil entre las variables dado el valor obtenido para el coeficiente.
Cuadro Nº 3: Identifica conceptos previos con dice que se ha ejercitado en resolución
de problemas, que tuvo dificultades, que reconoce datos e incógnitas y que utiliza
toda la información del enunciado para resolver un problema
Dice que se ha ejercitado en
resolución de problemas en
Si
cursos anteriores No
Identifica
conceptos
previos
Totale
s
Si % No % %
39 40 79
10 11 21
Totales 49 51 100(678
Dice que tuvo
dificultades en la
resolución de
problemas
No 16 14 30
Si 33 37 70
Totales 49 51 100(678
Dice que reconoce datos
e incógnitas del
enunciado de un
problema
Si 36 36 72
No 13 15 28
Totales 49 51 100(678
Dice que utiliza toda la
información del
enunciado para
resolver un problema
Si 39 39 78
No 10 12 22
Totales 49 51 100(678
)
)
)
)
Coeficiente
Kappa
Estadístico z[p]
K =0.04
Z = 1.063[0.1446]
K =0.06
Z =1.57[0.0582]
K =0.02
Z =0.63[0.2643]
K =0.04
Z =1.05[0.1469]
173

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
El 50% de los alumnos muestra incoherencia entre su creencia de que se ha ejercitado
en la resolución de problemas y su capacidad para identificar conceptos previos.
Se observa que el 37% de los alumnos presenta dificultades en la resolución de
problemas y no identifica conceptos previos. Se destacan los que dicen tener
dificultades y sí identifican conceptos previos.
Es relevante a los efectos del diagnóstico que los alumnos (36%) creen que reconocen
datos, incógnitas y exigencias del problema y no identifican los conceptos previos.
A su vez el (39%) de los alumnos utiliza toda la información contenida en el
enunciado del problema pero no identifica conceptos previos.
Cuadro Nº 4: utiliza un razonamiento válido con dice que se ha ejercitado en
resolución de problemas, que tuvo dificultades, que reconoce datos e incógnitas y que
utiliza toda la información del enunciado para resolver un problema
Dice que se ha ejercitado en Si
resolución de problemas en
cursos anteriores No
174
Utiliza un
razonamient
o válido
Totales
Si % No % %
13 66 79
2 19 21
Totales 15 85 100(678)
Dice que tuvo dificultades
en la resolución de
problemas
No 7 23 30
Si 8 62 70
Totales 15 85 100(678)
Dice que reconoce datos e
incógnitas del enunciado
de un problema
Si 12 60 72
No 3 25 28
Totales 15 85 100(678)
Dice que utiliza toda la
información del enunciado
para resolver un
problema
Si 13 65 78
No 2 20 22
Totales 15 85 100(678)
Coeficiente
Kappa
Estadístico z[p]
K =0.04
Z =1.56[0.059]
K =0.1
Z =2.875[0.0021]
K =0.04
Z =1.49[0.0668]
K =0.02
Z =1.12[0.1314]
Un 79% de los alumnos dice que se ejercitó en resolución de problemas pero unos
pocos (13%) utilizan un razonamiento válido.
Existe un 62 % de concordancia entre los que dicen tener dificultades y no utilizaron
un razonamiento válido.
El 72% de los alumnos dicen que reconocen datos e incógnitas pero sólo unos
cuantos utiliza un razonamiento válido.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Es importante la falta de acuerdo entre los que dicen que utilizan toda la información
del enunciado y no utilizan un razonamiento válido.
Conclusiones
Los resultados observados muestran una concordancia muy débil entre las creencias
de los alumnos y sus competencias frente a la resolución de un problema propuesto.
La evaluación de los procedimientos seguidos en la resolución del problema permite
conocer los errores que comete el alumno y a partir de allí que conceptos están bien
aprendidos y cuáles son necesarios repasar para mejorar la práctica docente. Las
mayores dificultades de los alumnos se presentan en su falta de capacidad para
transferir lo aprendido en cursos anteriores a situaciones nuevas y para utilizar un
razonamiento que les permita arribar a la solución del problema propuesto.
Estas dificultades son elementos de diagnóstico importante para el inicio de acciones
futuras donde se propongan a los alumnos estrategias que les ayuden a resolver
problemas.
Bibliografía
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Siegel, S y Castellán N. (1995). Estadística no paramétrica aplicada a las ciencias de la conducta.
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175

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
RECONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS DE LA PRIMITIVA Y DERIVADA EN
AMBIENTES GRÁFICOS; LA ARGUMENTACIÓN COMO PARTE ESENCIAL
DE LA ACTIVIDAD HUMANA
176
María Antonieta Aguilar Víquez
Instituto Tecnológico de Pachuca, CICATA,IPN, México
auva5404@prodigy.net.mx
Resumen
En el sistema educativo nacional, existe una confrontación entre la obra matemática y la matemática
escolar, hacemos esta afirmación, junto a Cordero (2001) puesto que a lo largo de nuestra práctica
docente y como investigadores, nos hemos percatado de la presencia de prácticas sociales de la
actividad humana tales como: modelar, aproximar, predecir, medir, buscar tendencias (Aguilar, 2002)
y otras, que no han sido integradas a la currícula de las instituciones en donde se imparte el Cálculo a
nivel superior. Sin embargo estas prácticas sociales han permitido construir cierto tipo de
conocimiento conducente a la reconstrucción de significados en el área del Cálculo y Análisis así como
temas afines. En la actividad humana se forman y distinguen construcciones del conocimiento que se
dan en las situaciones de interacción que viven a diario en el aula el estudiante y el profesor. Debido a
que en esta actividad el conocimiento tiene significados propios y esta conformado por versiones que
se comparan y negocian durante el proceso mismo de la actividad, diversos significados se van
redefiniendo. De esta manera se esta llevando a cabo una reconstrucción de significados de los
procesos y conceptos matemáticos en los diferentes niveles escolares. El estudio que nos ocupa esta
centrado básicamente en la relación entre la función primitiva y su derivada cuya fórmula analítica
esta dada por: ∫ f´(x) dx = f (x). Esta expresión nos permite colocar a los estudiantes en diferentes
escenarios. Uno de ellos consiste en discutir aspectos de la función primitiva f (x) a través de la
información gráfica de la función derivada f ´(x), sin considerar explícitamente las expresiones de las
funciones. Otra interpretación (escenario) consiste en considerar a la función primitiva f (x) como el
área bajo la curva, donde la curva representa la derivada f ´(x). Resultando la propiedad de función
creciente o decreciente para la función primitiva. En este reporte damos cuenta de cómo los
estudiantes resignifican ciertos tópicos del Cálculo cuando se les coloca en situaciones diseñadas con
ese propósito, para ello utilizamos a la aproximación Socioepistemológica como línea de
investigación, la Teoría de Situaciones Didácticas como marco teórico y la Ingeniería Didáctica como
metodología.
Introducción
Hemos encontrado en investigaciones previas que las actividades llevadas a cabo en
el aula, referentes a situaciones específicas de Cálculo, consisten por ejemplo, en que
a partir de una información gráfica que representa a la derivada de cierta función, se
determina la gráfica de la función primitiva y viceversa. Profundizando en el estudio
de la aproximación Socioepistemológica, y revisando otras investigaciones de
nuestros colegas que trabajan en la misma línea llegamos a la conclusión de que
dichas actividades corresponden a actividades humanas o prácticas sociales.
Pretendemos que el objeto de estudio incluya así a las actividades necesarias para
construir al objeto, lo cual implica dotar de importancia al desarrollo y uso de las
herramientas para construir dicho objeto y al papel de la persona y del contexto
sociocultural en el cual se lleva a cabo la actividad. De esta manera, la epistemología
planteada brindará explicaciones en función de las características propias del humano
al hacer matemáticas en contextos socialmente organizados.
Esta perspectiva atiende la problemática fundamental de la disciplina matemática
educativa en la cual se confrontan la obra matemática y la matemática escolar.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Ambas son de naturaleza y funciones distintas; sin embargo, la segunda requiere
interpretar y reorganizar a la primera, a través de la reconstrucción de significados de
los procesos y conceptos matemáticos en los diferentes niveles escolares. El
resultado de esta reconstrucción de significados es el establecimiento de categorías
del conocimiento matemático extraídas directamente de la actividad humana. En ese
sentido, se plantea como hipótesis que la actividad es la fuente de reorganización de
la obra matemática y del rediseño del discurso matemático escolar. (Cordero, 2001)
La aproximación socioepistemológica formula una línea de investigación que no sólo
considera epistemologías modelizadas a través de la actividad matemática sino busca
hacerlo a través de la actividad humana. Y consecuentemente busca una nueva base
didáctica (como ciencia) para que la matemática escolar reorganice la obra
matemática. En este contexto, hemos encontrado que la Teoría de situaciones
Didácticas, nutre a la aproximación socioepistemológica de manera ad hoc, de tal
suerte que podemos articularla con la Ingeniería Didáctica para poder desarrollar y
diseñar de manera sistémica nuestras situaciones didácticas, que es la parte medular
del presente reporte de investigación.
El presente proyecto se ubica en la línea de investigación que consiste en construir
una explicación sistémica de los fenómenos didácticos en el campo de las
matemáticas por medio de cuatro componentes fundamentales del conocimiento
matemático: la epistemología, la cognición, la didáctica y la dimensión sociocultural.
A estas componentes en conjunto se le llama aproximación socioepistemológica, cuya
tarea principal de investigación consiste en dar evidencias sobre la siguiente
hipótesis: la actividad humana es la fuente de la reorganización que implicará el
“rediseño del discurso matemático escolar” (Cantoral, 2000).
Sobre la teoría de situaciones didácticas
“La didáctica de las matemáticas” estudia las actividades didácticas, es decir, las
actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que tienen de
específicas respecto de las matemáticas. Los resultados, en este dominio, son cada
vez más numerosos, se refieren a los comportamientos cognitivos de los alumnos,
pero también a los tipos de situaciones puestas en juego para enseñarles y sobre todo
los fenómenos a los cuales da lugar la comunicación del saber. La producción o la
mejora de los medios de enseñanza encuentra en estos resultados más que objetivos o
medios de evaluación, encuentra en ella un apoyo teórico, explicaciones, medios de
previsión y de análisis, sugerencias, incluso dispositivos y métodos, Brosseau (1986).
Es indispensable una buena teoría epistemológica acompañada de una buena
ingeniería didáctica.
La didáctica estudia la comunicación de los saberes y tiende a teorizar su objeto de
estudio, pero no puede responder a este desafío más que con las siguientes
condiciones:
• Poner en evidencia fenómenos específicos que parecen explicados por los
conceptos originales que propone,
Indicar los métodos de pruebas específicas que utiliza para ello.
Estas dos condiciones son indispensables para que la didáctica de las matemáticas
pueda conocer de forma científica su objeto de estudio y permitir así acciones
controladas sobre la enseñanza.
177

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
La ingeniería didáctica
Artigue (1995) menciona que la ingeniería didáctica, como metodología de
investigación, se caracteriza por un esquema experimental basado en las realizaciones
didácticas en clase, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis
de secuencias de enseñanza. Su forma de validación es en esencia interna, basada en
la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori. Es por eso que en la presente
investigación continuaremos diseñando situaciones que nos muestren las actividades
que realizan los estudiantes alrededor de las resignificaciones de las relaciones entre
primitivas y derivadas específicamente en lo referente al Teorema Fundamental del
Cálculo en el contexto área bajo la curva, así como las herramientas que entran en
juego. De esta manera, consideramos que estamos proponiendo una ingeniería
correspondiente a ese tópico del Cálculo o análisis matemático.
En el análisis preliminar realizaremos una epistemología de los contenidos
contemplados, de la misma manera como se ha hecho para las secuencia presentadas
en este reporte de investigación. En el análisis a priori, serán los elementos obtenidos
de dicha epistemología los que permitan predecir los comportamientos de los
estudiantes. De esta manera, podemos hablar de una epistemología inicial que,
después de la puesta en escena, adquirirá elementos que la irán enriqueciendo
continuamente. En estas fases de experimentación, se podrá obtener evidencia acerca
del tipo de argumentos, de las herramientas utilizadas y sobre todo, de cómo se
presenta una orientación hacia el consenso en los contextos sociales interactivos.
Esto nos hablaría de las reconstrucciones de significados que se estén llevando a
cabo. Así, la validación de la socioepistemología de las relaciones entre primitivas y
derivadas en el contexto ya mencionado se basará en una confrontación con lo
observado en los procesos interactivos.
Diseño
El diseño de esta situación se encuentra fundamentado en la revisión epistemológica
que realizamos del Teorema Fundamental del Cálculo en el contexto área bajo la
curva de diversas funciones primitivas y derivadas. A continuación presentamos dos
secuencias correspondientes a dicha situación didáctica, cada secuencia tiene cuatro
momentos los cuales nos indican características especificas de la gráfica de una
función primitiva y su derivada.
Secuencia #1
178
M 1 M 2 M 3 M 4

Secuencia #2
REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
M 1 M 2 M 3 M 4
Desarrollo y análisis
SECUENCIA #1 llamamos a los momentos M1, M2 y M3 momentos de interacción
y reflexión o profundización en cambio al momento M4 lo denominamos momento
de integración. En M1 y M2 se les pidió a los estudiantes que dibujaran la curva de
la función primitiva, representada por el área sombreada, ellos no tuvieron dificultad
en hacerlo y aún más identificaron el efecto de los coeficientes Aguilar, M.A. (2001)
puesto que para M1 dibujaron una gráfica más anchurada que para M2. Relacionaron
la gráfica de una función del tipo F (x) = x 2 con áreas triangulares. En M3 se pidió a
los estudiantes, dibujar el área bajo la curva representada por la gráfica de la función
primitiva dada, en este caso los estudiantes, quienes trabajaron en equipos de tres, se
mostraron dubitativos entrando en conflicto, incluso dibujaron el área, representada
por un triángulo (porque ya habían relacionado parábolas con áreas triangulares) en
el segundo cuadrante y posteriormente lo dibujaron en el primero, pero realizaron
una discusión más rica y profunda, ya que se cuestionaron acerca de pendiente
negativa y función creciente, consideramos que en este momento M3, justamente
empezaron a resignificar esos conceptos. A M4 lo llamamos momento de integración
debido a que los estudiantes discuten acerca de función creciente y decreciente y
relacionan, por un lado, a las gráficas de primitivas parábolicas con áreas triangulares
y por otro a funcion creciente con áreas entre la gráfica de la derivada y el eje de las
x por encima de éste, en cambio para las funciones primitivas decrecientes, el área
esta representada por tríangulos que graficamente aparecen por debajo del eje x.
Secuencia # 2 Al igual que en la secuencia # 1, denominamos a los momentos M1,
M2 y M3, momentos de interacción y profundización, a M4 lo llamamos, momento
de integración. En este caso también se les solicitó a los estudiantes, en M1 y M2,
que dibujaran la curva de la función primitiva, representada por el área sombreada,
ellos no tuvieron dificultad en hacerlo, en M3 nuevamente identificaron el efecto de
los coeficientes Aguilar, M.A. (2001), a M1 la identificaron como función creciente,
a M2 como función creciente-decreciente-creciente, M3 función siempre creciente,
Relacionaron la gráfica de una función del tipo F (x) = x con áreas rectangulares. En
M3 se pidió a los estudiantes, dibujar el área bajo la curva representada por la gráfica
de la función primitiva dada, en este caso los estudiantes, quienes trabajaron en
179

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
equipos de tres, no entraron en conflicto, en nínguno de los momentos, esto
pensamos se debió a que ya habían interactuado y profundizado suficientemente en
la secuencia #1. Consideramos que en esta secuencia lograron más resignificaciones,
pues en M4, en donde se les pidió que dibujaran las áreas, primero establecieron la
posible expresión analítica:
x + k si x < 0
F (x) = ⎨ x 2 si 0 ≤ x < 2
1 si x ≥ 2
A M4 lo llamamos momento de integración debido a que los estudiantes discuten
acerca de función creciente y relacionan, conjuntamente, a una función primitiva
lineal con área rectangular y a una primitiva cuadrática con área triangular. En M4 de
la segunda secuencia se resignifica la función cero, ya que la gráfica de la derivada es
cero, por tanto el área bajo la curva también es cero.
Resultados y conclusiones
La reconstrucción de significados que los estudiantes realizan son:
• Concepto de función,
• Identifican y relacionan la función área entre primitivas y derivadas utilizando
como argumentos al Teorema Fundamental del Cálculo y al comportamiento
tendencial (En el contexto gráfico).
• Caracterizan y clasifican a diferentes tipos de funciones.
• Miran a las funciones como un todo y las analizan de manera local y global.
Por todo esto podemos afirmar que los estudiantes lograron resignificar cuando se les
coloco en situaciones específicas de Cálculo y ello les permitió establecer relaciones
entre funciones primitivas y derivadas, en el contexto área bajo la curva que establece
el Teorema Fundamental del Cálculo.
Bibliografía
Aguilar, M.A. (1999) Construcciones Mentales en ambientes gráficos; (Estudio de algunas relaciones
entre la primera derivada y su función Primitiva), Tesis de especialidad en Didáctica de la
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actividad humana”, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol 4, núm. 2, pp
103-128
180

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
SITUACIONES DIDÁCTICAS EN LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE
NÚMERO RACIONAL EN ALUMNOS DE NIVEL MEDIO SUPERIOR
Ma. Guadalupe Cabañas, Faustino Guillén y Minerva Galeana Sixto
CIMATE – U. Autónoma de Guerrero, México
gcabanas52@hotmail.com
Resumen
Esta investigación se realizó con alumnos de Nivel Medio Superior (NMS) que habían cursado la
asignatura de Matemáticas I y que tenían dificultades con la comprensión del concepto de número
racional. El propósito fue poner en escena situaciones didácticas, para explorar sus efectos en la
comprensión de este concepto. Para tener información precisa de cuál es el estado que guardaba este
conocimiento en los alumnos, se hizo un diagnóstico, por lo que se diseñaron y validaron las
situaciones que se utilizarían tanto en el diagnóstico como en la puesta en escena. En su diseño se
consideraron los contenidos de aritmética de NMS, diferentes sistemas de representación y el modelo
utilizado por Sierpinska sobre los actos de comprensión de conceptos matemáticos. Al comparar los
resultados que se obtuvieron en el diagnóstico con los de la puesta en escena de las situaciones
didácticas, se encontró que: el permitir que los alumnos conocieran diferentes formas de representar a
los números racionales, el significado de cada una de ellas, así como convertir o traducir unas
representaciones en otras a través de las situaciones didácticas, propició la construcción de este
concepto y mejoraran su comprensión.
Introducción y planteamiento del problema
La mayor parte de los temas de investigación relacionados con la enseñanza de la
matemática, provienen sin lugar a dudas de la práctica docente, ya que es en el salón
de clases donde los profesores se enfrentan a una gran diversidad de problemas; cuya
solución, debería ser el propósito final de proyectos de investigación en nuestra
disciplina. Son muchos los problemas que se presentan en el proceso de enseñanza de
la matemática y de diversa índole, varios de ellos están asociados a dificultades de los
alumnos con el aprendizaje de la aritmética y el álgebra que trascienden en la
enseñanza del cálculo. Estas dificultades se traducen en errores y de alguna forma
reflejan el conocimiento matemático que tienen relación con el uso de la simbología,
de fórmulas, en la demostración de teoremas y en la comprensión conceptos
matemáticos, por mencionar algunos. Martínez y López (2001) al estudiar las
dificultades que se les presentan a los alumnos de NMS, cuando realizan
procedimientos con fracciones, encontraron que se relacionan con:
o La traducción del lenguaje matemático al común, debido a que no comunican
el significado preciso de los símbolos involucrados en las situaciones
planteadas.
o El algoritmo de la multiplicación en la que se involucran los paréntesis para
indicarla, ya que no logran asociarlo a ella.
o La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, que no
la aplican.
o El algoritmo de la suma de fracciones, que al aplicarlo, utilizan el modelo
lineal aditivo, el cual ha quedado muy arraigado en el trabajo con los números
naturales.
181

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Sin embargo, por nuestra experiencia docente con alumnos de primer semestre de este
nivel educativo, hemos encontrado que sus dificultades están asociadas con la
comprensión del concepto de número racional. Además de las descritas arriba, se han
identificado otras que se relacionan con:
o La transformación de números decimales finitos y periódicos a fracciones.
o Identificar entre un grupo de números reales (fracciones comunes y mixtas,
fraccionarios decimales finitos y periódicos, decimales infinitos y números
enteros), cuáles son racionales.
o Establecer relación de orden entre números fraccionarios y representarlos en
la recta numérica.
o Aplicar las propiedades de la suma y de la multiplicación, así como la ley de
los signos y de la potenciación en la solución de operaciones aritméticas.
o La solución de operaciones aritméticas y de problemas.
o Identificar en algunos modelos (gráficos, pictográfico, geométrico), partes de
un todo.
Esta investigación se orientó precisamente al trabajo con el concepto de número
racional con alumnos del NMS. El problema que motivó su realización fue conocer
¿Cuál es el nivel de comprensión del concepto de número racional alcanzado por los
alumnos de primer grado de NMS, después de haber puesto en escena situaciones
didácticas relacionadas con el mismo? El objetivo general que nos planteamos fue:
Poner en escena situaciones didácticas con alumnos de primer grado del NMS, para
explorar sus efectos en la comprensión del concepto de número racional.
Metodología de la investigación
Utilizamos la ingeniería didáctica. Esta metodología, surge en la escuela francesa y se
constituye como una analogía de la actividad realizada por los ingenieros en el
desarrollo de sus proyectos, quienes se fundamentan en los conocimientos científicos
de su dominio y someten sus resultados a un control de tipo científico. A diferencia
de otras metodologías, se basa en la experimentación en clase y está ubicada en el
registro de los estudios de caso, cuya validación es en esencia interna, basada en la
confrontación entre el análisis a priori y a posteriori. Una descripción de esta
metodología se detalla en Artigue, M., (1995), en la que distingue cuatro fases: La
fase de análisis preliminar, la fase de concepción y análisis a priori de situaciones
didácticas de la ingeniería, la fase de experimentación y la fase de análisis a posteriori
y evaluación. En la fase de análisis preliminar se hacen consideraciones de tipo:
o Epistemológico. Que da una explicación de la evolución histórica de los
conceptos que se estudian.
o Cognitivo. Relacionadas con las características cognitivas de los estudiantes.
o Didáctico. Que se refiere a las características del funcionamiento del sistema
de enseñanza.
En la fase de concepción y análisis a priori el investigador tiene que:
o Hacer el análisis de restricciones y;
o Determinar las variables de control
Este análisis a priori se debe concebir como un análisis de control de significado.
Esto quiere decir, de forma muy esquemática, que si la teoría constructivista sienta el
principio de la participación del estudiante en la construcción de sus conocimientos a
182

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
través de la interacción con un medio determinado, la teoría de las situaciones
didácticas que sirve de referencia a la metodología de la ingeniería didáctica ha
pretendido, desde su origen, constituirse en una teoría de control de las relaciones
entre el significado y las situaciones [Artigue, M., 1995].
El análisis a priori está basado en un conjunto de hipótesis. La validación de éstas, se
realiza a través de la confrontación entre el análisis a priori y el análisis a posteriori,
en la cuarta fase de esta metodología. En la fase de experimentación tienen que
ponerse en escena las situaciones didácticas ya diseñadas. La fase de análisis a
posteriori se basa en el conjunto de datos recogidos en el proceso de
experimentación, de las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, así
como de las producciones de los estudiantes. Tal como fue señalado antes, una vez
realizado el análisis a posteriori, se hace una confrontación de los resultados de éste
con los del análisis a priori, que es en esencia la validación de las hipótesis
formuladas en la investigación y que también se lleva a cabo en esta fase.
Sobre las concepciones de número racional en alumnos de nivel medio superior.
Para conocer con precisión cuál es el estado que guardaba el concepto de número
racional en los alumnos de NMS, se realizó un diagnóstico con alumnos de segundo
semestre de la escuela preparatoria No. 1 de la UAG. Los criterios para la selección
de estos alumnos fueron que: hubiesen cursado la asignatura de Matemáticas I;
tuviesen dificultades al trabajar con este contenido matemático; y no hubiesen
logrado acreditar dicha asignatura. Para ello, se estructuraron tres cuestionarios
diferentes, con las mismas características y el mismo número de situaciones, que en
este caso fueron nueve en cada uno. A partir de los resultados del diagnóstico
encontramos que los alumnos:
o No fueron capaces de identificar y discriminar entre un grupo de números
propuestos (racionales e irracionales), cuáles representaban números
racionales.
o No fueron capaces de establecer la relación de orden entre números racionales
y representarlos en la recta numérica. Es decir, no identificaron la relación
correspondiente, tampoco discriminaron entre dos números cuál era mayor y
cuál menor, así como no sintetizaron al determinar el orden que le
correspondía a cada uno.
o No identificaron los tres números fraccionarios distintos en un intervalo dado
y no discriminaron entre aquellos que si corresponden al intervalo.
o No pudieron transformar un número decimal a un número fraccionario, así
como para aplicar las propiedades asociativa y distributiva. Es decir, no
fueron capaces de cambiar de un registro de representación a otro, tampoco
sintetizaron el resultado de la operación.
o No pudieron transformar una fracción mixta a común, no identificaron la
multiplicación indicada mediante paréntesis, no trabajaron con el algoritmo
correspondiente, tampoco simplificaron sus resultados
o No fueron capaces de identificar y discriminar cuáles de las expresiones
planteadas cumplen con la condición de igualdad y cuáles no, así como no
sintetizaron al argumentar sus respuestas.
183

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
o No fueron capaces de identificar las condiciones dadas en los problemas, no
sintetizaron ni generalizaron al establecer la relación entre ellos y obtener un
resultado.
o No identificaron ni discriminaron los datos y la porción que ocupa la parte
sombreada de las figuras dadas, tampoco lograron sintetizar al establecer la
fracción correspondiente.
Estas evidencias, pusieron de manifiesto que los alumnos de primer año de NMS no
habían comprendido el concepto de número racional en los cursos normales de
enseñanza. De acuerdo con el modelo utilizado por Sierpinska sobre comprensión de
conceptos, podemos decir que los alumnos no fueron capaces de identificar,
discriminar, sintetizar y generalizar conceptos. De igual forma, se observó que no
lograron identificar las diferentes formas de representación de los números racionales,
así como para pasar de un sistema de representación a otro.
El desarrollo de las situaciones didácticas. Se pusieron en condiciones de
enseñanza seis situaciones distintas, la mayor parte de ellas fueron seleccionadas de
los tres cuestionarios utilizados en el diagnóstico. La puesta en escena se hizo a través
del modelo utilizado por Cordero, F. et al (2000) en el análisis del comportamiento
tendencial de funciones, particularmente sobre la linealidad del polinomio. En el
modelo se identifica como uno de los elementos principales, al conocimiento, para
determinar la relación entre un profesor y sus alumnos, donde la clase es un sitio de
interacción de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes. Otro
elemento no menos importante que considera, es la conveniencia de establecer un
lenguaje común para tener un ambiente que propicie la enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas, promover la independencia del alumno y la responsabilidad que
debe tener en su propio aprendizaje, a través de: Trabajo individual y en equipo; La
resolución de actividades matemáticas; La discusión matemática y; La autoevaluación
del trabajo individual, por equipo y en grupo. Todos esos ambiciosos propósitos
como le llaman los autores, se concretan dentro de la clase en tres momentos, a saber:
la resolución de la actividad; la representación y discusión de las soluciones y, anexos
y retroalimentación. En el desarrollo de las sesiones de trabajo con las situaciones
didácticas, cada uno de los tres momentos anteriores tuvo como propósito: por un
lado, que el alumno aprendiera a realizar la actividad en sí misma, y por otro, que
aprendieran la herramienta conceptual con la que estaban trabajando. De esta forma,
el objetivo del primer momento fue que lograran aprender a trabajar de forma
individual en una primera etapa, durante el proceso de solución de las situaciones
planteadas. Es decir, en la comprensión del enunciado de la actividad, en la búsqueda
de la vía de solución y en la revisión del proceso. En una segunda etapa, se buscó que
los alumnos aprendieran a trabajar en equipo, a mostrar y explicar el proceso de
solución de sus actividades, a discutir, plantear y validar argumentos, y a analizar más
de una forma de resolverlas. Para el segundo momento, el objetivo fue que los
alumnos tuvieran la capacidad de trabajar en grupo, que comunicaran sus resultados y
que validaran, justificaran y defendieran sus procedimientos ante el resto de los
equipos. El objetivo del tercer momento fue que los alumnos retomaran el trabajo
realizado individualmente y lo vincularan a la actividad general Otros elementos
asociados a este modelo y que también fueron considerados en la puesta en escena,
184

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
son: Las modalidades de trabajo; el diseño de la actividad, que incluye el enunciado
de la actividad y su propósito, el precepto de evaluación y la solución de referencia;
los lineamientos para la interacción con los equipos durante la resolución de la
actividad; el guión de la discusión; las variables de la actividad y; la conclusión.
Modalidades de trabajo Las situaciones didácticas se trabajaron en tres sesiones y
cada una tuvo una duración de tres horas aproximadamente. El desarrollo de las
sesiones se llevó a cabo de tres formas: individual, en equipo y grupal. El propósito
del trabajo individual fue consolidar los conceptos y procedimientos que forman parte
del objetivo de la actividad. El trabajo en equipo se realizó con la finalidad de que los
alumnos no se paralizaran ante las dificultades, que tomaran decisiones para
organizar el trabajo, que las ideas que presentaran fueran desarrolladas por más de
una persona y que hubiese un control sobre las equivocaciones y las malas
interpretaciones. El trabajo grupal se llevó a cabo al finalizar el trabajo en equipo. El
objetivo de esta etapa fue que los alumnos escogieran la parte fundamental de su
trabajo, que pusieran atención a la forma de comunicar sus resultados, que generaran
argumentos para defender sus procedimientos; que hicieran explícito por qué un
conjunto de etapas resuelve la actividad, que observaran procedimientos distintos de
solución y que pusieran atención al trabajo desarrollado por otros equipos.
Actividades realizadas durante la puesta en escena. En este apartado se muestra una
de las situaciones didácticas (estructurada en forma de actividades) realizada por los
equipos en cada una de las sesiones desarrolladas durante la puesta en escena de cada
una de las situaciones didácticas. En cada sesión los equipos se organizaron con
integrantes diferentes, con el propósito de tener movilidad en el pensamiento de los
alumnos y de evitar la rutina. Al inicio de los trabajos por equipo, se analizaron y
discutieron las actividades desarrolladas individualmente, para comprobar su
veracidad y evaluar la(s) vía (s) de solución (es) utilizadas en el proceso de solución.
Esto les permitía valorar la forma que ellos consideraban más simple de resolverlas,
en el caso de considerar que las respuestas cumplían con las condiciones y exigencias
planteadas, o en su caso determinarla entre todos, para formular las conclusiones
correspondientes.
Una situación ilustrativa. De las seis situaciones elaboradas presentamos a modo de
ejemplo - por razones de espacio - la primera de ellas.
Situación 1. Se les pidió a los alumnos que determinaran la fracción de área de la(s)
región (es) sombreada(s) en el cuadrado ABCD y en el círculo EFGH, los cuales
tienen un área de una unidad. E, F, G y H son los puntos medios del cuadrado. EG y
HF son diámetros del círculo.
H
A
E
D C
G
B
F
H
O 1
E
G
F
185

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Solución de referencia de la actividad 1ª. Para desarrollar esta actividad, los
alumnos tenían la posibilidad de apoyarse en los puntos medios de la figura y en los
vértices de los triángulos sombreados, trazando rectas paralelas a partir de esos
puntos. A la vez unir los vértices del cuadrado con los puntos medios para obtener
dieciséis triángulos rectángulos iguales. Esto les permitiría identificar en cuántas
partes podía dividirse el todo y determinar la porción que ocupa la suma de las partes
sombreadas, que equivale a un cuarto.
Solución de referencia de la actividad 1b. Para desarrollar esta actividad, los
alumnos podían apoyarse en los diámetros dados en la figura y realizar trazos
auxiliares convenientes, hasta obtener dieciséis subdivisiones equivalentes. Esto les
permitiría identificar en cuántas partes iguales se divide el todo y determinar qué
porción ocupa la parte sombreada, que equivale a un cuarto.
Conclusiones
Al comparar los resultados que se obtuvieron en el diagnóstico con los del
cuestionario final, se concluye que:
1. El propiciar que los alumnos interactuaran con el conocimiento, el medio
(material, social, etc.) y con el profesor, permitió que formularan y validaran
estrategias para resolver las situaciones propuestas.
2. Se obtuvieron evidencias de que los alumnos mejoraron la forma de:
o Comunicar sus resultados, mostrando y explicando el proceso de solución
de las situaciones planteadas.
o Defender y argumentar sobre los procedimientos utilizados para
validarlos.
o Identificar interpretaciones equivocadas y procedimientos erróneos.
o Observar que existen diferentes vías de solución para resolver las
situaciones propuestas.
o Escoger la parte fundamental de su trabajo para emitir conclusiones.
3. El permitir que los alumnos conocieran diferentes formas de representar a los
números racionales, el significado de cada una de ellas, así como convertir o
traducir unas representaciones en otras propició la construcción de este concepto.
4. En el proceso de comprensión del concepto de número racional, a los alumnos se
les presentaron dificultades al trabajar con situaciones que estuvieron asociadas
con:
o Pasar de un sistema de representación geométrico a un numérico.
o Establecer la razón entre dos regiones ubicadas en un mismo objeto
(geométrico).
5. La sintaxis que utilizan los alumnos para representar igualdades son expresiones
que desde el punto de vista matemático son contradictorias. No obstante, parecen
estar muy arraigadas en la mente de ellos, como puede observarse enseguida:
186
Contradicción
matemática

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
6. Los alumnos mejoraron su comprensión acerca del concepto de número racional
mediante la realización de las actividades planteadas en las situaciones didácticas.
Bibliografía
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187

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
CARACTERIZACIÓN DE LOS SIGNIFICADOS PERSONALES CON
RESPECTO A LA TEORÍA DE CONJUNTOS EN UN GRUPO DE MAESTROS
EN FORMACIÓN
188
Mario José Arrieche Alvarado
U. Pedagógica Experimental Libertador-Instituto Universitario Pedagógico de
Maracay
Email: marioarrieche@hotmail.com
Resumen
En este trabajo tratamos de caracterizar los principales elementos de los significados personales que
los estudiantes para maestros de educación primaria atribuyen a las nociones conjuntistas. Forma parte
de un proyecto de investigación sobre el papel de la teoría de conjuntos en la formación de maestros,
que se desarrolló en el programa de doctorado en Didáctica de la Matemática de la Universidad de
Granada (España) 1998-2002, por lo que incluimos una primera sección describiendo este problema
didáctico, seguida del estado de la cuestión sobre la comprensión de nociones conjuntistas por
estudiantes universitarios.
Introducción
En este trabajo presentamos algunos resultados de un estudio cognitivo realizado en
un grupo de maestros de primaria en formación, con la finalidad de caracterizar sus
significados personales (interpretaciones personales, errores, dificultades de
comprensión, etc) con respecto a nociones básicas de teoría de conjuntos. Usamos la
noción de significado personal en el sentido dado por Godino y Batanero (1994,
1998) como el sistema de prácticas (actuativas y discursivas) manifestadas por un
sujeto ante una cierta clase de tareas. Estas manifestaciones indicarán los aprendizajes
logrados, así como las respuestas erróneas, juzgadas desde el punto de vista
institucional, y que son indicativas de las dificultades y conflictos cognitivos de los
sujetos en el estudio del tema. En nuestro caso, las tareas que vamos a proponer
involucran las nociones básicas de la teoría de conjuntos siguientes: conjunto,
subconjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío, conjunto unitario,
intersección, unión, complementario, producto cartesiano y las definiciones
simbólicas de estos conceptos. Por cuestiones de espacio en este informe describimos
sucintamente el planteamiento del problema, la metodología, análisis e interpretación
de los datos y las conclusiones obtenidas.
Planteamiento del problema
A pesar de la importancia que la teoría de conjuntos ha tenido en los diferentes
niveles educativos en el período conocido como “matemática moderna” se produjeron
fuertes críticas a su enseñanza en secundaria por prestigiosos matemáticos de la
época, tales como Feymann (1965), Kline (1973), Freudenthal (1983), etc. Como
consecuencia de estas críticas, se logra que se supriman estos contenidos en los
niveles referidos. Sin embargo, hemos encontrado investigaciones con maestros en
formación sobre dificultades de comprensión en nociones conjuntistas realizadas por
Linchevski y Vinner (1988), Zazkis y Gunn (1997) y Fischbein y Baltsan (1999).

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
La pregunta inicial que motivó la investigación fue, ¿cuál es el papel que debería
desempeñar el estudio de los conjuntos, aplicaciones y relaciones en la formación de
los maestros? Puesto que en los últimos diseños curriculares se ha suprimido la teoría
de conjuntos de la educación primaria, estamos tentados a responder que el papel de
la teoría de conjuntos en la formación de los maestros debe ser nulo, dado que no
tienen que enseñar esos contenidos. Esto implica que podemos prescindir del lenguaje
de los conjuntos, aplicaciones y relaciones cuando los maestros estudien los sistemas
numéricos, la geometría y las magnitudes, y otros contenidos matemáticos que
requieren de estos conceptos para ser estudiados. Pero nos queda la duda si con esa
opción drástica creamos una barrera para que los maestros puedan ampliar sus
conocimientos matemáticos sobre temas algo más avanzados que los que se supone
tendrán que explicar en el ejercicio de su profesión. También es posible que
perdamos la oportunidad de ofrecer una presentación estructurada de los restantes
contenidos del programa. Por lo que creemos que para tomar una decisión fundada es
necesario disponer de información que no está directamente accesible y, por tanto,
requiere investigación.
Esa información debe permitir responder con fundamento a preguntas más específicas
que podemos clasificar según tres dimensiones o categorías (Godino, 1999):
(1) ¿Qué es la "teoría de los conjuntos (TC)"? ¿Qué formulaciones se han hecho
de dicha teoría matemática en distintos períodos y circunstancias? ¿Qué papel
desempeña en la matemática? ¿Qué papel puede desempeñar en las
matemáticas escolares? ¿Qué interés tiene en la formación del maestro?
(problemática epistémica, esto es, relativa al conocimiento matemático).
(2) ¿Qué dificultades de comprensión tienen los distintos contenidos que
configuran la TC para futuros maestros en formación? ¿Cuáles son los
motivos de tales dificultades? (problemática cognitiva).
(3) ¿Cómo se enseña la teoría de conjuntos en el nivel y contexto institucional
fijado? ¿Qué factores instruccionales condicionan, y cómo, el aprendizaje de
los estudiantes de la TC? ¿Qué patrones de interacción profesor- alumno son
óptimos para facilitar el aprendizaje de la TC? (problemática instruccional,
esto es, relativa a la enseñanza y al aprendizaje).
En nuestro caso tratamos de responder la pregunta sobre la problemática cognitiva.
Metodología
Enfoque metodológico
Para investigar los significados personales de los estudiantes con respecto a las
nociones básicas de la teoría de conjuntos utilizamos principalmente el enfoque
cuantitativo, determinando los porcentajes de respuestas correctas, parcialmente
correctas e incorrectas a las preguntas de un cuestionario. Por otro lado, y puesto que
el enfoque cuantitativo nos indica las tendencias existentes en la población, pero no
muestra toda la riqueza de la variabilidad individual, ni explica el por qué de la
misma, vamos a complementar el estudio mediante técnicas de tipo cualitativo. Este
estudio incluye el análisis de los errores de las respuestas al cuestionario y un estudio
189

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
de casos mediante entrevista clínica, que nos va a permitir caracterizar con más rigor
las dificultades y grado de comprensión logrado por los estudiantes de nuestra
muestra
Población y muestra
La población objeto de estudio, serán los estudiantes de primer año del programa de
Formación de Maestros. La muestra ha sido tomada en la Facultad de Ciencias de la
Educación de la Universidad de Granada. El estudio se realizará con uno de los
grupos de la asignatura Matemática y su Didáctica (primer curso), formado por 122
alumnos, correspondiente al mencionado programa.
Instrumentos de evaluación
Los instrumentos de recogidas de datos utilizados en esta investigación fueron el
cuestionario y la entrevista clínica El cuestionario estaba formado por 7 ítems
conteniendo en total 25 subitems con la finalidad de determinar lo aprendido, los
errores y las dificultades presentadas por los estudiantes en la comprensión de estos
contenidos. Se trataba de preguntas de respuestas abiertas donde el alumno tiene o
bien que definir conceptos, efectuar operaciones, argumentar la verdad o falsedad de
proposiciones, realizar comprobaciones y demostraciones, o resolver problemas.
Por otro lado, la entrevista fue realizada a dos estudiantes, para profundizar en los
aspectos que no quedaron claros en las respuestas al cuestionario y complementar la
información de algunas cuestiones que no fueron consideradas en el mismo.
Análisis e interpretación de datos
Hemos clasificado las respuestas elaboradas en correctas, parcialmente correctas,
incorrectas y respuestas en blanco (cuando el alumno no responde o su respuesta es
insuficiente para entender su significado). Presentamos los propósitos y el análisis de
contenido de cada ítem del cuestionario considerando los tipos de respuestas
correctas, parcialmente correctas e incorrectas. A manera de ilustración en este
trabajo sólo describiremos el análisis realizado al ítem Nº 3. No obstante, en Arrieche
(2000) se puede ver el tratamiento completo realizado al resto de los ítems que
conformaron la prueba.
Item Nº 3
Para cada una de las siguientes proposiciones escribe una V si consideras que es
verdadera y F si es falsa:
a) A ∈ A b) ∅ ⊂ A c) x ∈ {x}
d) ∅ ∈ ∅ e) A ⊂ A.
En cada caso, explica tu respuesta.
El propósito de este ítem es observar en el futuro maestro la habilidad para reconocer,
en una expresión conjuntista, algunas propiedades de los subconjuntos y el uso de los
conceptos de: elemento de un conjunto, conjunto vacío y conjunto unitario.
190

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Consideramos que la respuesta es correcta cuando los estudiantes explican
razonadamente su respuesta de acuerdo con el concepto correspondiente. Las
respuestas correctas tipo se dan a continuación:
3a) A∈A, falsa. Un conjunto no puede ser elemento de él mismo.
3b) ∅ ⊂ A, verdadera. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto (propiedad
de subconjunto).
3c) x∈{x}, verdadera. EL único elemento del conjunto {x} es x.
3d) ∅∈∅, falsa. El conjunto vacío no posee elementos (También es válida la misma
justificación de 3.a)
3e) A ⊂ A, verdadera. Todo conjunto es subconjunto de él mismo (propiedad de
subconjunto).
Las respuestas parcialmente correctas ocurren cuando el estudiante acierta la
veracidad de la proposición, pero su explicación no es clara o es incompleta, como en
los siguientes ejemplos:
Alumno 2 (Item 3a) A∈A “F. Porque un conjunto no puede a otro
conjunto”.
Alumno 20 (Item 3b) “∅ ⊂ A ⇒ V. Es verdadera puesto que el elemento
vacío siempre está integrado o forma parte de un conjunto. todos los
conjuntos cuentan con él.
A = {1} {2} {3} {∅}”
Las respuestas incorrectas se dan cuando se comete algunos de los errores que
se describen a continuación.
Errores conceptuales: Se presentan cuando el estudiante muestra en la explicación
de su respuesta la carencia del concepto correspondiente, como en los siguientes
ejemplos:
{x}”.
Alumno 4 (Item 3a) “A∈A ⇒ Falso. Porque para que A∈A, debería ser A un
subconjunto o A C de A”.
Alumno 5 (Item 3c) “x ∈ {x} ⇒ V; porque un conjunto x puede tener un elemento
No reconoce la propiedad o la aplica incorrectamente: Se presentan en las
respuestas que el alumno da a las proposiciones verdaderas que contienen el
enunciado de una propiedad, utilizando argumentos incorrectos:
Alumno 6 (Item 3b) ∅ ⊂ A. “ Falso. Conjunto vacio no puede ser un subconjunto de
A”.
Entre algunos de los resultados obtenidos en este ítem se tienen:
1. En el ítem 3a, un 21,3% de los estudiantes respondieron correctamente y
sólo un 9% respondieron parcialmente correcto, es decir, acertaron la
191

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
192
veracidad de la proposición pero su explicación no es clara o es
incompleta. Lo que parece indicar la dificultad que presenta para los
estudiantes el dominio del concepto de elemento de un conjunto.
2. El ítem 3c, sobre el concepto de conjunto unitario resultó ser casi igual
de difícil que el ítem 1a, pues el 21,3% de los estudiantes respondieron
correctamente y sólo el 6,6% respondieron parcialmente correcto y el
72,1% de los sujetos respondieron incorrectamente.
3. El ítem 3d, resultó ser el más difícil que todos los subítems que
conformaron esta pregunta, ya que sólo un 14,8% de los estudiantes
respondieron de forma correcta sobre el concepto de conjunto vacío y el
10,7% lo hacen de forma parcialmente correcto.
Conclusiones
En este apartado presentamos los resultados más relevantes obtenidos en el
cuestionario y en la entrevista personal realizada a dos estudiantes, y las principales
conclusiones del estudio.
• La prueba en general ha sido difícil para los alumnos, ya que en algunos ítems no
llega al 1% el número de respuestas correctas y el número medio de respuestas ha
sido 7,7 sobre un total de 25 preguntas. El máximo número de preguntas
respondidas correctamente fue 20, de modo que ningún alumno hizo el examen
totalmente correcto.
• El mayor número de errores conceptuales aparecen en los conceptos de
subconjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y conjunto unitario, sobre
los que deberíamos hacer mayor énfasis en la enseñanza del tema. Estos
resultados, concuerdan con los obtenidos en las investigaciones realizadas por
Linchevski y Vinner (1988), Zazkis y Gunn (1997); y Fischbein y Baltsan (1999).
• Imprecisión en las definiciones de los conceptos, que indican una comprensión
insuficiente.
• No reconocimiento o aplicación incorrecta de propiedades del conjunto vacío,
subconjunto, de las relaciones y de las aplicaciones.
• en el curso de la entrevista los alumnos ratifican la deficiencia mostrada al
interpretar los conceptos de conjunto vacío, conjunto unitario y elemento de un
conjunto, y el uso del procedimiento correcto para demostrar la igualdad de dos
conjuntos.
Como principales aportaciones de esta fase de nuestra investigación destacamos:
• La identificación de aspectos conflictivos en la comprensión de las nociones
básicas de la teoría de conjuntos, que complementan los resultados obtenidos por
otros investigadores.
• Se han identificado aquellas nociones que requieren una mayor atención por parte
del docente y de los discentes, y en particular los conceptos de subconjunto y
conjunto vacío.

Bibliografía
REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Arrieche, M. (2000). Papel de la teoría de conjuntos en la formación de maestros: Un estudio
exploratorio de aspectos epistemológicos, curriculares y cognitivos. Trabajo de Investigación
del Programa de Doctorado del Departamento de Didáctica de la Matemática de la
Universidad de Granada.
Feynman, R. (1965). New textbooks for the new mathematics. Engineering and Science, 28: 9-15.
Fischbein, E. y Baltsan, M. (1999). The mathematical concept of set and the collection model.
Educational Studies in Mathematics, 37: 1-22.
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Reidel.
Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matematicos.
Recherches en Didactique des Mathématiques, 14 (3): 325-355.
Godino, J. D. (1999). Implicaciones metodológicas de un enfoque semiótico-antropológico para la
investigación en didáctica de las matemáticas. En T. Ortega (Ed. ), Actas del III Simposio de
la SEIEM,(pp. ). Valladolid.
Kline, M. (1973). El fracaso de la matemática moderna. Madrid: Siglo XXI de España Editores, 1978.
Linchevski, L. y Vinner, S. (1988). The naive concept of sets in elementary teachers. Proceedings of
the 12 th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 11:
471-78.
Zazkis, R. y Gunn, Ch. (1997). Sets, subsets, and the empty set: Students' constructions and
mathematical conventions. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 16
(1): 133-169.
193

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
COMPETENCIAS PROFESIONALES DE UN INGENIERO EN ALIMENTOS. UN
ESTUDIO SOBRE SU FORMACIÓN MATEMÁTICA
Hernán Muñoz Hernández
Departamento de Ciencias Exactas. Universidad de Los Lagos. Osorno
hmuñoz@ulagos.cl
Resumen
Esta presentación da cuenta de una investigación de tipo cualitativo que genera y sistematiza la
información sobre las competencias profesionales y matemáticas de un Ingeniero en Alimentos. Las
fuentes utilizadas fueron análisis bibliográfico sobre competencias profesionales, focus group
realizados con ingenieros en alimentos de empresas y con académicos de universidades y entrevistas
en profundidad realizadas a académicos de las universidades y a ingenieros en alimentos. Se integró y
comparó la información obtenida en revisión bibliográfica con la recabada desde informantes claves.
El hilo argumentativo se desarrolló por medio de un mapa funcional de las competencias profesionales
y matemáticas de un ingeniero en alimentos, la conceptualización de competencia; la identificación de
competencias a través del método de análisis funcional y la articulación de competencias profesionales
y matemáticas de un ingeniero en alimentos.
Para las conclusiones se construyó un mapa funcional de competencias profesionales y matemáticas de
un Ingeniero en alimentos, lo cual permite adecuar el curriculum formativo de este profesional a las
exigencias laborales de los distintos contextos de desempeño. En la formación basada en competencia
trabaja un equipo, en el cual es imprescindible que haya especialistas en las disciplinas y tecnologías
correspondientes al profesional que se desea formar, como también, especialistas en diseño curricular.
Introducción
En la sociedad actual, llamada del conocimiento y la información, uno de sus rasgos
característicos es la globalización, entendida como la difusión global de las nuevas
tecnologías. A su vez, estas nuevas tecnologías, transforman profundamente los
contextos en los cuales se desarrollan nuestras vidas laborales, razón por la cual,
diferentes sectores de la sociedad demandan capacidades profesionales concretas,
llamadas competencias laborales o competencias profesionales. Como consecuencia
de la globalización y la demanda creciente y constante de nuevas competencias
profesionales de parte de la sociedad, la acreditación de ellas se está transformando
en un requerimiento ineludible. En especial, nuestro país, con el advenimiento de
diferentes tratados internacionales, no está ajeno a esa exigencia. En el contexto de la
Décima Región, las industrias de alimentos juegan un rol importante en el desarrollo
de ella. La Universidad de Los Lagos, como Universidad Regional, contempla dentro
de sus ofertas académicas, la formación de Ingenieros en Alimentos y Técnicos
Universitarios en Conservación de Alimentos por Frío. Una limitación clave en la
formación de los Ingenieros formados en la Universidad de Los Lagos (Ingeniero en
Acuicultura, Ingeniero en Alimentos e Ingeniero Comercial), son sus estudios
matemáticos. Las altas tasas de reprobación contribuyen significativamente a la
deserción de sus alumnos. Para disminuir la reprobación en matemática, debería
mejorarse el currículum que se intenta, el que se imparte y el que se logra. Mejorar la
formación matemática del Ingeniero, es incrementar la relación de la formación
matemática de estos profesionales con los requerimientos de su desempeño laboral.
En particular, la formación matemática del Ingeniero en Alimentos requiere satisfacer
ciertos estándares de desempeño mínimo, observados a través de un conjunto de
acciones claves seleccionadas de su dominio profesional. En otras palabras, de
acuerdo a sus funciones profesionales, perfil profesional y niveles de autonomía, su
194

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
formación matemática, como parte esencial de su formación general, deberá sustentar
las competencias profesionales de su especialidad.
Objetivos Generales
1) Aplicar el enfoque curricular basado en competencias para modificar el
currículum racionalista académico predominante en la actual formación de los
ingenieros.
2) Contribuir al mejoramiento de la relación entre la Universidad, la Empresa y
mundo del trabajo en la formación de los ingenieros para el desarrollo nacional en
un contexto de globalización.
Objetivos específicos
1) Proporcionar antecedentes que ayuden a formular funciones profesionales claves
del Ingeniero en Alimentos y ejemplos de situaciones de desempeño que las
ilustren.
2) Identificar competencias matemáticas compatibles con las funciones laborales
claves de un Ingeniero en Alimentos.
3) Proponer un conjunto de recomendaciones para el desarrollo curricular, la
acreditación y enriquecimiento de programas para la formación matemática de
un Ingeniero.
Diseño metodológico
El enfoque metodológico utilizado combinó la revisión de antecedentes bibliográficos
con un estudio cualitativo a través de Focus Group o Grupos Focales y entrevistas en
profundidad, procedimientos que, junto con la revisión bibliográfica, permitieron
identificar competencias profesionales y matemáticas del Ingeniero en Alimentos
para ser consideradas en su formación, evaluación y acreditación.
Resultados
Las competencias profesionales y matemáticas del Ingeniero en Alimentos fueron
identificadas mediante el método del análisis funcional, que se define como aquel
método mediante el cual se identifica el propósito clave de un área objeto de análisis,
como punto de partida para enunciar y correlacionar sus funciones, hasta llegar a
especificar las contribuciones individuales. El resultado del análisis funcional
mencionado es un mapa funcional, el cual articula las diferentes competencias y los
distintos niveles de desagregación de las funciones principales o áreas de
competencia, y que fue concebido a partir del propósito clave, enunciado desde la
información recabada.
Esquemáticamente, el mapa funcional, se describe en la página siguiente. Se da un
ejemplo de un Área de Competencia, con sus tres Tareas y las Realizaciones
Profesionales correspondientes a una de ellas, específicamente, la Tarea 1.1. Por
razones de espacio no se da a conocer el mapa funcional completo, el cual contiene
seis Áreas de Competencia, 19 Tareas y 93 Realizaciones Profesionales, distribuidas
en un esquema similar al mostrado en la tabla 1. Así, en cuanto a las competencias
profesionales del Ingeniero en Alimentos, se proponen las siguientes Áreas de
Competencias:
195

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
TABLA 1
196
1. Organizar y operar una planta de alimentos o productos alimenticios.
2. Planificar y gestionar la producción de una empresa o institución que
produce alimentos
3. Controlar la calidad de los alimentos o productos alimenticios fabricados.
4. Desarrollar proyectos de prefactibilidad y factibilidad para la industria de
alimentos.
5. Desarrollar formas efectivas de comunicación y de relacionarse en e1
trabajo y en la sociedad.
6. Manifestar compromiso con la creatividad y el aprendizaje continuo.
Propósito Principal
Objetivo de la
ocupación o profesión
de Ingeniero en
Alimentos
Enunciado que define
aquello que la ocupación
o sector bajo análisis
permite alcanzar o
lograr.
____________________
_
Programar, ejecutar,
diseñar y optimizar un
conjunto de acciones
tendientes a la
conservación,
transformación o
creación de alimentos o
productos alimenticios,
cuidando sus
características
sensoriales, higiénicas y
nutricionales.
Funciones principales
Áreas de Competencias
Conjunto de
responsabilidades y
funciones laborales que,
normalmente, pueden
corresponder a uno o
más puestos de trabajo
pero que en si mismas
describen una
denominación laboral
representativa de un
sector
____________________
_
Ejemplo:
1. Organizar y operar
una planta de alimentos
o productos alimenticios.
.
Unidades de
competencias
Tareas
Varios logros o acciones
laborales que deben ser
llevadas a efecto, para
que la función laboral a
que se refiere, pueda
considerarse ejecutada.
____________________
_
1.1. Programar la
producción de
alimentos.
1.2.Coordinar y
monitorear las diversas
acciones realizadas en
secciones distintas de la
planta y que son
necesarias para producir
un alimento
determinado.
1.3. Programar procesos
de producción.
Elementos de
competencia
Realizaciones
profesionales
Resultados y
comportamientos
laborales que un
trabajador debe lograr y
demostrar en el
desempeño de una
función en un área
ocupacional específica.
____________________
_
1.1.1.Considerar las
demandas de distintos
alimentos que se deben
producir
1.1. 1.1.2.Cuantificar la
existencia de stoc stock
de los distintos alimentos
que se producen.
1.1.3. Definir insumos
(materia prima, personal,
tiempo, etc.) que se
requieren para producir
una cantidad específica
de un determinado
alimento.
1.1.4.Determinar los
componentes que debe
tener un alimento o
producto alimenticio y la
proporción de cada uno
de ellos.
Las seis Áreas de competencia propuestas son:
1. Interpretar gráficos similares a los utilizados en la verificación de la calidad y
productividad de un alimento.
2. Resolver sistemas de ecuaciones simultáneos necesarios para encontrar una o más
características particulares de procesos alimenticios.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
3. Aplicar la determinación de máximos y mínimos de funciones en diversas
situaciones problemáticas de optimización.
4. Analizar e interpretar modelos matemáticos que se utilizan en balances de masa
energía de procesos alimenticios.
5. Analizar algunos elementos del cálculo diferencial e integral que se utilizan en
cálculos e interpretación de distribuciones estadísticas, en ajustes de
parámetros y validación de modelos.
6. Predecir el comportamiento y optimizar los procesos productivos de alimentos.
Para identificar las competencias matemáticas del Ingeniero en Alimentos, se
considera como base el propósito clave y sus competencias profesionales. Además,
fue muy importante la información recabada desde los informantes claves y de la
diferente bibliografía analizada. Estas seis Áreas de Competencia consideran 10
Tareas, las que a su vez contemplan 30 Realizaciones Profesionales.
Se ilustra a continuación en el mismo esquema anterior, como ejemplo, un Área de
Competencia matemática, con sus dos Tareas y las Realizaciones Profesionales
correspondientes a la Tarea 1.1.:
Funciones principales
Áreas de Competencia
1. Interpretar gráficos
similares a
los utilizados en la
verificación
de la calidad y
productividad de
un alimento.
Unidades de competencia
Tareas
1.1.Reconocer la ecuación de
algunos modelos
matemáticos.
1.2.Interpretar y resolver
situaciones problemáticas
de la
realidad utilizando modelos
matemáticos.
Elementos de competencia
Realizaciones Profesionales
1.1.1.Utilizar el lenguaje de la lógica
y teoría de conjuntos.
1.1.2.Identificar los conjuntos
numérico y sus propiedades,
especialmente de los números
reales..
1.1.3.Aplicar las propiedades de los
números reales en diversas
demostraciones
1.1.4.Identificar la ecuación que se
asocia a modelos definidos por las
funciones: constante, idéntica, valor
absoluto, signo, parte entera, lineal,
cuadrática, polinomial, racional,
exponencial, logarítmica y
trigonométricas.
1.1.5.Graficar en un sistema de
coordenadas cartesianas las
funciones mencionadas en el punto
anterior.
Conclusiones principales y algunas sugerencias:
1.-La concepción de competencia adoptada en este trabajo (conjunto de
conocimientos, actitudes, habilidades, valores, y en general atributos personales, que
se relacionan más directamente con el desempeño exitoso de las personas en su
trabajo, y que deben ser desplegados en el contexto de desempeño de una o más
tareas en una profesión u oficio) implica identificar y describir una competencia
197

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
considerando tres tipos de saberes: un saber conocer y aprender en cuanto a
conocimientos, habilidades y destrezas; un saber hacer en cuanto a desempeños
exitosos en distintos contextos; y un saber ser en cuanto a valores y actitudes que se
ponen en juego en un desempeño competente y que son desplegadas en los dos
ámbitos anteriores. También el saber ser incluye, evidentemente, las relaciones
consigo mismo, con los demás y con el entorno.
2.-Los diferentes enfoques analizados, ponen su énfasis, preferentemente, en el saber
conocer y aprender, otros agregan al anterior el saber hacer y un número reducido
concibe la competencia bajo el prisma de los tres tipos de saberes. Sólo proponen una
metodología para la identificación de competencias considerando la concepción
holística de ella, los autores Montero y Andreani, y los autores Irigoin y Vargas, que
en definitiva, fue la adoptada en el trabajo.
3.-Ninguno de los documentos analizados hace referencia a la competencia
profesional que considere las capacidades de emprendimiento y autoempleo, las
cuales tienen que ver con independencia laboral y económica de un país, ya que son
capacidades que constituyen fuentes generadoras de empleo y factores que potencian
el avance científico y tecnológico al liberarse de instituciones productivas
transnacionales que imponen sus propias tecnologías. A su vez, tales capacidades
constituyen un elemento más que facilita la flexibilidad laboral.
4.-La mayoría de los informantes claves coincidieron que perciben una escasa
vinculación entre el mundo del trabajo cuyos principales actores son los trabajadores
o profesionales, con las instituciones educacionales formadoras de profesionales y
con los eventuales empleadores.
5.-Entre los informantes claves consultados, pocos pudieron opinar respecto de las
competencias matemáticas, y de la relación que ellas tienen en la consecución o logro
de las competencias profesionales específicas de un Ingeniero en Alimentos. Las que
se consignan, fue posible obtenerlas después de varias entrevistas en profundidad.
Algunas sugerencias para el diseño curricular basado en competencias:
1. El trabajo basado en competencias, significa entre otros aspectos, que toda
competencia debe ser demostrada y que la identificación de la competencia
implica la identificación, además, de los criterios de desempeño y las evidencias
que permitirán inferir su logro.
2. La formación basada en competencias no sólo necesita competencias, más que
ellas, lo deseable sería contar con una norma de competencia (conjunto de
especificaciones de una capacidad laboral que incluye la descripción del logro
laboral (realización profesional), criterios para juzgar la calidad de dicho logro,
evidencias de que el desempeño se logró, los conocimientos aplicados, el ámbito
en el cual se llevó a cabo o campo de aplicación y una guía para la evaluación. Las
especificaciones señaladas son asumidas por un determinado colectivo que incluye
a trabajadores, empleadores, instituciones educativas y, en el caso de los sistemas
nacionales normalizados, el sector gobierno), para preparar a personas que se
desempeñen en distintos ambientes y situaciones.
3. La formación basada en competencias tiene como referente una competencia, lo
cual obliga que su diseño curricular se ordene desde el comienzo en torno a un
desempeño. No podría partir, como sucede a menudo con programas de corte
198

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
academicista, de los contenidos de una disciplina ni de lo que un grupo de
profesores considera que las personas deberían aprender.
4. Para el diseño basado en competencias, es bastante usual que se haga corresponder
una competencia o unidad de competencia (señalada como tarea en el mapa
funcional de este trabajo) con un módulo, y una realización profesional o elemento
de competencia con una unidad modular o unidad didáctica, pero no puede tratarse
de una correspondencia mecánica, puesto que debería atenderse a la lógica del
aprendizaje y considerar que existen oportunidades en que un mismo contenido,
por ejemplo, puede ser útil para diversos objetivos.
5. En el diseño curricular de la formación basada en competencias deberían ser
utilizados todos los elementos de diseño que la investigación curricular ha ido
mostrando como positivos y que la novedad está en tomar el insumo de las
competencias, lo que no significa desechar los insumos socio-culturales que un
currículo debe tener.
6. El proceso de diseño curricular basado en competencias sigue cauces muy
similares a un diseño curricular convencional, debiéndose cumplir las fases de
organización modular (si fuere el caso), formulación de los objetivos de
aprendizaje, selección y organización de los contenidos, identificación de las
experiencias de aprendizaje y los recursos necesarios para realizarlas (materiales,
medios y otros recursos), formulación de un plan de evaluación con sus
procedimientos e instrumentos. Para la realización de este proceso es de
importancia relevante contar con normas de competencias.
7. En la formación basada en competencias trabaja un equipo de diseño, no es tarea
de una persona, se espera que en ese equipo haya especialistas en contenido, en el
sentido de especialistas en las disciplinas y en las tecnologías que eventualmente
se precise enseñar, como asimismo especialistas en diseño curricular que puedan
orientar técnicamente la construcción del currículo.
Algunas limitaciones del trabajo:
1. Sólo se realizaron Focus Group con profesionales de industrias de la provincia de
Osorno y con académicos de la Universidad de Santiago,
1. No se realizó Focus Group con eventuales empleadores, o directivos y ejecutivos
de empresas o instituciones que fabrican alimentos.
2. No se realiza el proceso para establecer normas de competencia en este trabajo,
puesto que ese proceso escapa a los propósitos de él.
Algunos alcances del trabajo:
1. La metodología de análisis funcional para determinar competencias profesionales
y matemáticas del Ingeniero en Alimentos utilizada en esta oportunidad, puede
ser utilizada para el mismo efecto en distintas profesiones, trabajos u oficios.
2. En la acreditación de Carreras y Programas de formación profesional de la
Educación Superior, la determinación de las competencias profesionales ayuda,
entre otras cosas, a diseñar el currículo y sobre todo, ayuda a formular un plan de
evaluación que permite darse cuenta de la eficiencia y pertinencia de los procesos
formativos.
199

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Bibliografía:
Cariola, H. y Quiroz, M.. (1997) Competencias generales, competencias laborales y curriculum. En
Competitividad, redes productivas y competencias laborales de Marta Novick y María A.
Gallart (Coordinadoras). Editorial Grijalbo.
De los Ríos, D., Herrera, J. A.; Letelier, M; Poblete, A., Zúñiga, M. (2000) En Capítulo II de: Las
nuevas demandas de desempeño profesional y sus implicancias para la docencia
universitaria. Centro interuniversitario de Desarrollo. CINDA. Proyecto FDI. Santiago, de
Chile.
Irigoin, M. y Vargas, F. (2002) Competencia Laboral: Manual de conceptos, métodos y aplicaciones
en el sector salud Cinterfor. Montevideo. Uruguay.
Levy, C. (2000) Gestión de las competencias. Cómo analizarlas. Cómo evaluarlas. Cómo
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Montero, L., Andreani, R. (1999, a). En Docmento de Trabajo: Actualizando las
características del egresado esperado del Liceo Politécnico de Castro, Chile.
Montero, L., Andreani, R. (1999, b). En Documento de Trabajo: Visualizando una
estructura y organización curricular.
Montero, L. (2000) Estándares de desempeño y calidad de la Educación. EDU-CHILE. Documento de
trabajo, agosto del 2000.
Montero, L.. (2001) Una mirada a la evaluación en el aula. Charla dada en la Facultad de Filosofía de
la Universidad de Chile, mes de julio.
Muñoz, H., Carroza, P.; Sepúlveda, O. (1998) Mejoramiento del aprendizaje de la
matemática en las Carreras de Ingeniería de la Universidad de Los Lagos.
Trabajo presentado en el Programa de Magíster en Pedagogía y Gestión
Universitarias. Osorno.
Singh,. P.y Heldmann, D. (1997). Introducción a la Ingeniería de los Alimentos. Editorial Acribia.
Zaragoza. España.
200

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
LA TEORÍA DE CONJUNTOS EN LA FORMACIÓN DE MAESTROS:
FACETAS Y FACTORES CONDICIONANTES DEL ESTUDIO DE UNA
TEORÍA MATEMÁTICA
Mario José Arrieche Alvarado
Universidad Pedagógica Experimental Libertador- Instituto Pedagógico de Maracay
marioarrieche@hotmail.com
Resumen
La investigación que presentamos se centra en un aspecto específico de la formación matemática de los
maestros de primaria: clarificar el papel que el lenguaje conjuntista debería tener en esa formación.
Hemos delimitado el problema al estudio de las relaciones de los conjuntos con los números naturales,
por ser éstos esenciales en la matemática escolar, y por tanto en la formación de maestros. Así mismo,
se estudian las relaciones ecológicas entre las nociones conjuntistas y las diversas construcciones de
los números naturales. El marco teórico adoptado atribuye un papel esencial a los aspectos
epistemológicos, esto es, la indagación de la naturaleza de los conocimientos matemáticos objeto de
investigación. Se estudian también los aspectos históricos y curriculares sobre la implantación de la
“matemática moderna” en los programas de educación matemática básica y su reflejo en los libros de
textos en España. Las facetas instruccional y cognitiva se abordan mediante el análisis de un proceso
de estudio de la teoría de conjuntos y los números naturales en un curso de formación de maestros y la
evaluación final de los significados de una muestra de 122 estudiantes sobre las nociones conjuntistas
elementales. Nuestras conclusiones indican que la formación matemática de los maestros debería
contemplar el estudio de las nociones básicas de la teoría de conjuntos, por el papel de las nociones
conjuntistas en las diversas construcciones de los números naturales. El estudio cognitivo muestra que
las nociones conjuntistas presentan índices de dificultad elevados para los maestros en formación.
Introducción Presentamos un tema de investigación de naturaleza curricular sobre
"el papel que la teoría de conjuntos debería desempeñar en la formación de
maestros", entendiendo el currículo matemático según lo proponen Rico y Sierra
(1997). Tomamos en cuenta los aspectos epistemológicos, cognitivos e
instruccionales puestos en juego en el proceso enseñanza-aprendizaje de una teoría
matemática en un contexto institucional fijado, como es, en nuestro caso particular,
“la teoría elemental de conjuntos” y el contexto institucional de “la formación de
maestros de primaria”. En el marco del currículo de matemática de la formación de
maestros, nos centraremos en el tratamiento de los números naturales, tanto en
primaria como en la formación de maestros. Se aborda el problema con un paradigma
metodológico de tipo mixto entre métodos cualitativos y cuantitativos (Goetz y
Lecompte, 1988), utilizando con mayor intensidad el primero. Se combina el estudio
documental y cualitativo en la faceta epistemológica con diversas técnicas y enfoques
en las partes cognitiva e instruccional. En la parte de fundamentos teóricos, se
presenta un análisis epistemológico y curricular de la teoría de conjuntos. El estudio
epistemológico de la teoría de conjuntos se realiza con la finalidad de precisar su
origen, desarrollo, evolución y su papel en la matemática. El estudio curricular se
realiza con la finalidad de describir el fenómeno didáctico conocido como
“matemática moderna” en los niveles de primaria y secundaria en el período de los
años 60 a 80, así como en los currículos de formación de maestros. Se complementa
el estudio epistemológico con el análisis de las construcciones dadas por Frege
(1884), Dedekind (1888), Peano (1889), Weyl (1949) y Lorenzen (1962) con el
propósito de caracterizar el papel de las nociones conjuntistas en la construcción de
201

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
los números naturales realizada por cada uno de estos autores. En la parte
experimental se análiza una colección de libros de textos de primaria,
correspondientes a la época de vigencia de la matemática moderna y de la época
actual con la finalidad de caracterizar el papel de las nociones conjuntistas en el
tratamiento dado a los números naturales en este nivel educativo. Además realizamos
los análisis del libro de texto (Krause, 1991) usado en el proceso de estudio de los
temas de conjuntos, relaciones y funciones de un grupo de maestros en formación; y
de la descripción de las clases de un profesor de la asignatura “Matemática y su
Didáctica”, correspondiente al programa de Formación de Maestros de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad de Granada, sobre el tema en cuestión y
los números naturales. Dichos análisis se realizan con el propósito de caracterizar los
significados elementales y sistémicos puestos en juego en la interpretación del texto
usado en el proceso de estudio mencionado, y el de caracterizar los conocimientos
(propuestos por el profesor) de las partes del texto que hacen referencia a los
contenidos matemáticos tratados en las sesiones de clase. En la parte experimental
realizamos un estudio de tipo cognitivo a un grupo de 122 maestros en formación,
que han cursado también la asignatura “Matemática y su Didáctica” de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad de Granada con la finalidad de
caracterizar los significados personales con respecto a la teoría de conjuntos de estos
estudiantes.
En este informe abordamos los análisis de las construcciones de los números
naturales elaboradas por Frege, Dedekind, Peano, Weyl y Lorenzen, de los libros de
textos de educación primaria de las épocas de la matemática moderna y actual, y de
la observación no participante de la clase de un profesor de la asignatura
“Matemática y su Didáctica” de la formación de maestros sobre nociones
conjuntistas y números naturales. En Arrieche (2002) se describen la problemática
general y los restantes aspectos de la investigación.
Uso de nociones conjuntistas en las construcciones de los números naturales.
Para el análisis de las construcciones de los números naturales elaboradas por Frege,
Dedekind, Peano, Weyl y Lorenzen, describimos e interpretamos el papel de las
nociones conjuntistas básicas en las construcciones en referencia, haciendo uso de la
noción de praxeología matemática desarrollada en el marco teórico de tipo
semiótico-antropológico propuesto por Godino y Batanero (1994, 1997), para lo cual
consideramos las dimensiones praxémica (tipos de problemas, técnicas y los
elementos rotacionales o lingüisticos) y discursiva (conceptos-definiciones,
propiedades - proposiciones, argumentaciones - justificaciones) de la praxeología
numérica, puestas en funcionamiento en las mencionadas construcciones. Para
ilustrar este procedimiento, aquí sólo explicamos y describimos el análisis realizado
para caracterizar el papel de las nociones conjuntistas en la construcción de Frege.
Dimensión Praxémica. Los tipos de situación problema, Mosterín (2000) señala que
Frege se dedicó a dos tareas básicas: la fundamentación de la aritmética y la
aclaración de las nociones semánticas. En las técnicas, tomamos en cuenta el
conjunto de pasos realizados para obtener el concepto de número natural y su serie
numérica 0, 1, 2, 3,... Para presentar el concepto de número natural define el
202

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
concepto de número cardinal (en general) y el de número natural o finito. A su vez
para elaborar la definición de número cardinal define una relación de equivalencia
R sobre una clase A. Es notorio que desde el mismo planteamiento del
procedemiento utilizado, se nos presenta de una forma implícita el uso de las
nociones básicas de la teoría de conjuntos. Con respecto al uso de los elementos
notacionales o lingüisticos, identificamos las notaciones de un objeto y de una clase
cualquiera con las notaciones de elemento de un conjunto y la de un conjunto
cualquiera, respectivamente.
Dimensión discursiva. En la argumentación dada por Frege, la relación de
equivalencia definida sobre la clase A para definir el número cardinal genera una
partición de A en clases de aquivalencia, tiene implícitas las nociones de familia de
conjuntos, conjunto vacío, intersección y unión de conjuntos. En los conceptosdefiniciones
se elige como dominio la clase cuyos elementos son conceptos y se
define la relación de equivalencia entre conceptos, como relación de biyectabilidad,
se expresa de la manera siguiente: el concepto P es biyectable (o están relacionados
mediante la relación de biyectabilidad) con el concepto Q sí y solo sí hay una
biyección (aplicación biunívoca) entre los objetos que caen bajo P y los objetos que
caen bajo Q. En esta relación identificamos a los conceptos con la noción de
conjunto, la noción de aplicación biunívoca abarca las nociones de conjunto y de
elemento de un conjunto.
El concepto-definición, el número cardinal de un concepto P es la clase de
equivalencia de P respecto a la relación de biyectabilidad, es decir, la clase de todos
los conceptos biyectables con P. En esta definición se involucra la noción de
conjunto, resaltándose que un número cardinal es un conjunto, y que a su vez, sus
elementos son conjuntos.
En esta componente de nuestra investigación, se resalta el hecho de que las
construcciones de los números naturales realizadas por los matemáticos referidos,
presentadas con diversos enfoques (logicista, formal y constructivista), están
conectadas por el uso de nociones básicas de la teoría de conjuntos, debido a que sus
desarrollos utilizan implícita o explícitamente estas nociones.
Uso de praxeologías conjuntistas en el estudio escolar de los números naturales.
Presentamos el estudio realizado sobre las relaciones de tipo ecológico existentes
entre lo que hemos descrito como praxeología conjuntista y el estudio de los números
naturales (praxeología numérica) en los cursos de 1º a 6º de la Educación General
Básica 22 , tanto en la época de vigencia de la matemática moderna como en la época
actual. Para tal fin, realizamos un análisis de una colección de libros de textos de
estos niveles y las épocas en referencia. Para mostrar el procedimiento empleado
describimos algunos fragmentos relacionados con el tratamiento de los conjuntos en
el estudio de los números naturales en los textos de la época actual. En este período
hemos seleccionado textos publicados por la Editorial Anaya, comprendidos entre los
años 1997 y 2000. La hipótesis que guía nuestro análisis es que aunque no se utiliza
el discurso teórico conjuntista, sin embargo, encontraremos abundantes elementos del
componente praxémico conjuntista, esto es, ejemplos de conjuntos o colecciones de
22 Actualmente, parte de la Educación General Básica comprende los cursos de 1º a 6º de Educación Primaria.
203

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
objetos, subconjuntos y operaciones de unión, diferencia y producto cartesiano. Con
respecto al tratamiento dado a los conjuntos en el estudio de los números naturales, El
libro 23 del primer curso comienza con el estudio de los números del 1 hasta el 5. En la
primera página se presenta una escena escolar en la que hay representados distintos
objetos clasificables según distintos criterios: libros, niños, niñas, sillas, personas
sentadas, etc. La consigna que se da al niño es escueta: ¿Cuántos hay? De manera
indirecta se pide hallar el cardinal de 9 colecciones de objetos dados mediante una
propiedad: ¿Cuántos cuadernos, niñas, niños, patos, maestras, sillas, niños sentados,
papeleras, mesas hay representados en la escena? Para la primera pregunta, ¿cuántos
cuadernos hay? se da como ejemplo la solución en forma de 5 palotes dentro del
recuadro, lo que sugiere que la consigna debe interpretarse como, “poned tantos
palotes dentro del recuadro como ‘objetos’ haya de cada clase”. La realización de la
tarea pedida supone el manejo de colecciones finitas de objetos, su clasificación en
subcolecciones de acuerdo con una propiedad característica, la producción de una
colección de marcas coordinable con cada subcolección y el recuento de los objetos
(determinación del cardinal del conjunto correspondiente) expresado aquí mediante el
sistema de numeración más simple (colecciones de marcas). En la figura se usa la
semirecta numérica como modelo del sistema de números naturales y de la operación
de sumar naturales; la suma se modeliza mediante los “saltos de una rana” sobre las
posiciones marcadas en la semirecta.
También se puede
contemplar como
sistema modelizado
por los símbolos
numéricos
posicionales en
virtud de la
correspondencia
biyectiva que se
establece entre
ambos conjuntos de
objetos. Además los segmentos de palabras y símbolos numéricos forman conjuntos
de objetos cuyo tamaño relativo respecto de cualquier otra colección se puede
determinar mediante la coordinabilidad. En el libro 24 de cuarto curso las propiedades
conmutativa y asociativa de la suma de números se justifican como generalizaciones
de invariantes observables con las acciones de agregar colecciones de objetos. La
propiedad conmutativa de la multiplicación se justifica mediante un ejemplo que pone
en juego la multiplicación como producto cartesiano. En una lámina con 4 filas de
sellos, cada una de las cuales tiene 6, ¿cuántos sellos hay en la lámina? El mismo
resultado se obtiene si se multiplican las filas por las columnas que las columnas por
las filas.
23 Varela, A y Cols (2000). Matemática 1. Madrid: Anaya
24 Ferrero, L. Y cols (1997). Matemática 4. Madrid: Anaya.
204

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Análisis del proceso de estudio implementado por un profesor de la formación
de maestros.
En esta sección nos referiremos al análisis realizado a la observación no participante
del proceso de enseñanza-aprendizaje de estos temas y los números naturales,
correspondiente a la clase de un profesor de la asignatura “Matemática y su
Didáctica” del programa de Formación de Maestros de la Facultad de Ciencias de la
Educación de la Universidad de Granada. Para ello , aplicamos los análisis semiótico
y didáctico a las partes del texto que hacen referencia a los contenidos matemáticos
tratados en las sesiones de clases.
El análisis semiótico nos permitirá caracterizar los conocimientos puestos en juego
por el profesor, que complementan la información del libro, y algunos indicadores de
los conocimientos personales de los estudiantes. Por su parte, el análisis didáctico nos
ayudará a caracterizar los patrones de interacción entre profesor y estudiantes a
propósito de los contenidos estudiados. En la descripción del desarrollo de las clases
identificamos tres tipos de unidades.
- Las que hacen referencia a conocimientos institucionales (unidades epistémicas,
que designaremos con la letra E).
- Las que hacen referencia a conocimientos de sujetos individuales (unidades
cognitivas, C).
- Las que se refieren a patrones de interacción entre docentes y discentes (unidades
didácticas, D).
Para ilustrar este procedimiento presentamos un fragmento del análisis realizado a la
primera fase de la clase Nº 8 donde se introduce el estudio de los números naturales.
Clase 8; 1 a fase (Número natural)
Unidades Texto
Se inicia expresando:
Trabajaremos primero el concepto de número, la idea, y después pensaremos en el idioma en que podemos
D1
escribirlo.
Número natural o números naturales.
¿Que son los números?, por ejemplo: ¿Que es el número cinco?
Se nos presenta un problema, utilizamos los números desde muy pequeños. Sin embargo, se nos pregunta ¿ que es
un número? y tenemos dificultad para responder
C1
Pregunta a los estudiantes, ¿Alguien sabe qué es un número?
Un alumno responde “un signo que designa una cantidad”. El profesor vuelve a preguntar, “¿Qué es el número
cuatro?”. los alumnos no responden. Para explicar el profesor escribe en la pizarra el símbolo "4" y expresa: esto no
es más que un signo. ¿Cuál sería la idea que hay detrás de ésto?, ¿Como podría definirlo?
E1
El profesor responde que, si quiero comunicar qué significa el número cuatro ponemos ejemplos de grupos que
vengan de cuatro en cuatro, como por ejemplo: cuatro tizas, cuatro dedos, cuatro personas, cuatro sillas, etc. Lo que
tienen de común todos estos conjuntos es lo que llamamos la idea de ser cuatro.
E3 ¿De qué manera se trabaja en Educación infantil y en Educación primaria? Se empieza a mostrar los números como
útiles, pero como futuros maestros, lo vamos a tomar como objeto de estudio.
Expresa el profesor: la relación de equivalencia me clasifica a los conjuntos, se forman clases de conjuntos.
Para denotar la clase de un conjunto escribiremos cl (A) .
cl(A) = {conjunto B tq B ≈ A}.
¿Que tienen en común los conjuntos equipotentes con uno dado?
El número de elementos. Aquello que tienen en común es lo que se llama número natural. Se han clasificado todos
los conjuntos, y a cada una de estas colecciones de conjuntos equipotentes es lo que se llama número natural.
Por ejemplo:
1) Si A = {a}, a la colección cl(A) se le llama número natural uno, y se indica por el símbolo 1.
205

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
E4 2) Si A = {a, b}, a la colección cl (A) se le llama número natural dos, y se denota por el símbolo 2.
3) C = {a, b, c}, a la colección cl(A) se le llama número tres, y se indica por el símbolo 3.
206
De esta manera nos vamos formando la colección de los números. Por ejemplo, para formar el dos, me he tomado el
conjunto que tenía para representar el uno, y le agrego un nuevo elemento. Para formar el tres, tomo el conjunto que
tenía para representar el dos , y le agrego un nuevo elemento; y así sucesivamente.
Observación: Cada conjunto que tomo para representar un número, siempre tiene un elemento más que el conjunto
que me representa el número anterior. Resalta que en la escuela no van a enseñar este concepto de esta manera, pero
si interesa que reflexionen en lo que es un número.
Si nos tomamos la colección de estos números obtenemos el conjunto N de los números naturales: N = {1, 2, 3, 4,
. . . }.
Si consideramos el conjunto ∅, a la colección cl (∅) se le llama número cero, y se denota por el símbolo "0". De
esta manera el cero puede ser el primer natural. Así se puede escribir N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Conocimientos puestos en juego
E1, E2, E3: Se explica el significado de un número basado en la idea de lo que tienen
en común diversas colecciones de objetos, cuyo cardinal es ese número. Se introduce
la definición formal de número fundamentada en el hecho de que la relación de
coordinabilidad entre conjuntos finitos es una relación de equivalencia, lo que
permite clasificar a los conjuntos en clases de equivalencia. Así, se define un número
natural como la colección de conjuntos que conforman una determinada clase de
equivalencia. Para ilustrar esta noción se explica los conceptos de los números 1, 2 y
3. Es de hacer notar que, la idea en la que el profesor orienta la enseñanza del número
es parecida a la definición por abstracción mencionada en la sección 2.5 del capítulo
2, pero con la distinción de que en este caso el profesor puntualiza que la propiedad
común referida a los conjuntos coordinables entre sí, que representa el número que se
obtiene de ellos, es precisamente su cardinal. También se destaca que el
procedimiento empleado en la construcción de los números es parecido al utilizado
por Frege (1884) para lograr este mismo fin.
E4: Se define el natural cero como la colección de conjuntos que conforman la clase
de equivalencia del conjunto vacío, mediante la relación de coordinabilidad. Se
introduce el conjunto N de los números naturales por la colección de todos los
números construídos mediante el proceso de obtención de todas las clases de
equivalencia de la relación de coordinabilidad entre conjuntos finitos.
C1: Las explicaciones previas de la definición de suma de naturales, indujo a los
estudiantes a comprender rápidamente que la operación de multiplicación se
corresponde con el producto cartesiano de conjuntos.
Patrones de interacción didáctica
D1, D2, D3: El profesor introduce el tema de los números planteándoles a los
estudiantes diversas interrogantes sobre que piensan ellos qué son los números, sobre
el significado de números concretos, etc. También usa el mismo procedimiento en la
noción de suma de números naturales, sobre qué se hace para hallar la suma de
números específicos. Finalmente, insta a los estudiantes a verificar las propiedades de
adición y multiplicación de números naturales utilizando números concretos.
Conclusiones
Los análisis que hemos realizado en este estudio nos han permitido obtener las
siguientes conclusiones. El estudio de las construcciones de los números naturales
dadas por autores interesados por los fundamentos de la matemáticas, tales como:

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Frege, Dedekind, Peano, Russell, muestran que las mismas tuvieron su base en
fundamentos lógicos y nociones conjuntistas. Sin embargo, a pesar del interés de
estos autores por la fundamentación de la arítmética con criterios lógicos, las
nociones y procedimientos usados tenían algunas diferencias. El análisis realizado a
las construcciones de los números naturales de autores que usaron enfoques
axiomaticista y recursivo revela que en dichas construcciones están involucradas
implícitamente las nociones conjuntistas. Tal es el caso de las construcciones de
Weyl, Lorenzen y Benacerraf. La distinción entre ejemplar y tipo que propone el
enfoque semiótico de la cognición matemática de Godino se revela aquí como un
constructo útil para entender las relaciones entre las diversas construcciones de N.
Este resultado nos permite analizar y valorar la pertinencia y adecuación de las
maneras de presentar los números naturales en la educación primaria y en la
formación de profesores. El análisis realizado a los libros de la época de la
matemática moderna muestra que sólo en algunos de los textos se usan las nociones
conjuntistas en los temas de aritmética, tales como: la definición de número natural,
operaciones aritméticas, etc. Los textos de la mayoría de los cursos se caracterizaron
por la extensión y formalidad con que trataron los contenidos de teoría de conjuntos;
y por el casi nulo uso de estas nociones en el desarrollo del resto de los contenidos
matemáticos estudiados en los textos correspondientes. El análisis de los libros
actuales indica que los autores de los textos no desarrollan un discurso conjuntista
previo al tratamiento de los temas propuestos. Sin embargo, presentan casi de forma
explícita las nociones de conjunto, subconjunto, cardinal de un conjunto y aplicación
biyectiva en el estudio de los números naturales. El análisis de la clase observada
sobre nociones conjuntistas y números naturales nos ha permitido determinar que el
profesor observado enseña a los futuros maestros los números naturales,
considerándolos como objeto de estudio, es decir, se interesa por enseñarles una
definición matemática o formal, aunque les aclara que ésta no es la forma en que ellos
enseñarán a los niños de primaria. Este docente pone en funcionamiento las nociones
conjuntistas, enseñadas previamente, para enseñar a los alumnos los números
naturales; para lo cual, define la relación de coordinabilidad entre conjuntos finitos.
El enfoque adoptado para construir los números naturales es parecido a los enfoques
logicistas de Frege y de Russell, al definir un número natural como una clase de
equivalencia mediante la relación de coordinabilidad entre conjuntos finitos. En el
desarrollo de nuestra investigación hemos encontrado que las nociones básicas de la
teoría de conjuntos están involucradas implícita o explícitamente en las diversas
construcciones de los números naturales. Por otro lado, en los libros de textos
actuales de primaria analizados también se detectaron casi explícitamente las
nociones de conjunto, subconjunto y aplicación biyectiva en el tratamiento de los
números naturales. Además, como los números naturales son el primer contacto de
los niños con la matemática, surge como una consecuencia obvia que los futuros
maestros de primaria deben poseer conocimientos matemáticos sólidos sobre dichos
números, y por tanto conocer las nociones básicas de teoría de conjuntos
involucradas en las diversas construcciones. Nuestra investigación nos ha permitido
concluir que los números no deben confundirse con los conjuntos, que cada número
no se puede identificar con una colección de conjuntos coordinables, ni como una
propiedad de los conjuntos coordinables entre sí. Sin embargo, los cardinales de los
207

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
conjuntos, su numerosidad, son la razón de ser de los números. Esto se muestra bien
en el capítulo 5 al analizar la presentación de los números naturales en los libros de
texto usados actualmente: ha desaparecido el discurso conjuntista, pero no la praxis
conjuntista.
Bibliografía
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condicionantes en el estudio de una teoría matemática. Tesis doctoral. Departamento de
Didáctica de la matemática de la Universidad de Granada.
Dedekind, R. (1888). ¿Qué son y para qué sirven los números? [Traducción e introducción de José
Ferreirós]. Madrid: Alianza Editorial, 1998.
Frege, G. (1884). Fundamentos de la aritmética. [Traducción de Ulises Moulines]. Barcelona: Laia,
1972.
Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matematicos.
Recherches en Didactique des Mathématiques, 14 (3): 325-355.
Godino, J. D. y Batanero, C. (1997). A semiotic and antropological approach to research in
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http://ww.ex.ac.uk/local/PErnest/pome10/art7.htm].
Godino, J. D. (2001). Un enfoque semiótico de la cognición matemática. Departamento de Didáctica
de la Matemática. Universidad de Granada. (Pendiente de publicación. Recuperable en:
http://www.ugr.es/local/jgodino/).
Goetz, J, y Lecompte, M. (1988). Etnografía y diseño cualitativo en investigación educativa. Madrid:
Morata.
Krause, E. F. (1991). Mathematics for elementary teachers. Lexington, Ma: D. C. Heath.
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Mosterín, J. (2000). Los lógicos. Madrid: Espasa.
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Basilisco, 1979.
Rico, L. y Sierra, M. (1997). Antecedentes del currículo de matemáticas. En L. Rico (Ed.), Bases
teóricas del currículo de matemáticas en educación matemática (pp.17-75). Madrid: Síntesis.
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Varela, A y cols (2000). Matemática 1. Madrid. Anaya.
Varela, A y cols (2000). Matemática 2. Madrid. Anaya.
Weyl, H. (1949). Filosofía de las matemáticas y de la ciencia natural. [Traducción de Carlos Ímaz].
México: Universidad Nacional Autónoma de México, 1965.
208

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
LAS PRÁCTICAS SOCIALES DE MODELACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE
LO EXPONENCIAL
Jaime l. Arrieta Vera; Antonio Canul Pérez
Instituto Tecnológico de Acapulco; México
j_arrieta@hotmail.com
Resumen
La intención de la ponencia está en la dirección de presentar un estudio de las prácticas que ejercen los
actores en un diseño de aprendizaje puesto en escena en el aula de matemáticas. El diseño referido se
centra, no en los contenidos matemáticos en sí o en las producciones de los participantes, sino en las
prácticas sociales ejercidas por los participantes utilizando herramientas y situadas en un contexto
social; en este caso las prácticas sociales de modelación del enfriamiento de un líquido. Reportamos la
narración de la puesta en escena en el aula de matemáticas de un diseño de aprendizaje basado en
prácticas sociales de modelación de fenómenos: “Lo exponencial: la ley de enfriamiento de
Newton”. Aquí narramos como los participantes construyen lo exponencial como herramienta al
intentar comprender y predecir lo que sucede al enfriarse un líquido.
Perspectiva Teórica
La perspectiva teórica con que es aborda la presente investigación toma al sistema
social como un sistema complejo, donde los humanos aprenden al ejercer prácticas.
En el sistema escolar, que es el lugar que se atiende, confluyen dimensiones que
sistémicamente relacionadas conforman un todo. Las dimensiones que consideramos
en este todo tienen que ver con la naturaleza social del conocimiento, su formación
histórico cultural y la producción y reproducción social del mismo, la dimensión
epistemológica; la cognitiva, con relación a las interacciones que da lugar el proceso
de aprendizaje, las interacciones entre los actores y las interacciones con el mundo;
las formas de intervención en los procesos escolares, la didáctica; que adquieren sus
particularidades en contextos sociales concretos. A esta perspectiva se le ha llamado
socioepistemología (Cantoral, 2000; Cordero, 2001, 2002; Cantoral y Farfán, 2002,
Arrieta, 2003).
Tres características son fundamentales en el enfoque teórico con el que se aborda la
presente investigación.
1.-La primacía de las prácticas sobre los objetos. Es en el ejercicio de las prácticas
donde los artefactos son utilizados, son utilizados con intenciones situadas en un
contexto, es decir, se interactúa con herramientas.
2.-El carácter situado de dichas prácticas. El contexto viene a ser una componente
inseparable de las prácticas. Esta inseparabilidad entre contexto y práctica esta en
contraste con el papel de las condiciones que facilitan o alteran las acciones.
3.-El carácter discursivo en la construcción social del conocimiento, las interacciones.
Los humanos participan en el mundo construyendo sus conocimientos, sus realidades
y sus herramientas, interactúan con el mundo y con otros.
Metodología
Se diseño una secuencia siguiendo la metodología de ingeniería didáctica. Diseñamos e
implementamos una secuencia didáctica como montaje de ingeniería didáctica de modelación: “Lo
exponencial: la ley de enfriamiento de Newton”.
Las adecuaciones de esta metodología a nuestra perspectiva, incluye las adecuaciones
producto de que no se toma a elementos de la obra matemática como base de los
209

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
diseños sino a las prácticas sociales. De la misma manera el análisis a posteriori y las
conclusiones se determinan adecuándose a las características de la investigación. Por
esto el análisis de la puesta en escena de los diseñados reportados aquí se hace
atendiendo más a estas particularidades, es decir, no atendiendo de forma genérica si
se coincidió con lo planteado en el análisis predictivo, sino las formas particulares
que adquieren las confrontaciones de las participaciones de los actores con el análisis
predictivo.
El papel de los medios tecnológicos
Nuestro acercamiento a la modelación de fenómenos en el aula, hoy es posible, entre
otras cosas, a dos cuestiones importantes, al desarrollo de los medios tecnológicos y
al desarrollo teórico metodológico en el campo de la matemática educativa sobre la
modelación de fenómenos. El desarrollo de los medios tecnológicos con los que se
cuentan, nos permiten, ahora, tomar, organizar y manejar gráficas y datos en una
forma óptima y rápida. Ya contamos con instrumentos de medición apropiados y de
procesamiento de datos y de gráficas. Sin duda, el papel de los medios tecnológicos
es de suma importancia, sin embargo los instrumentos no pueden desplazar el diseño
de las secuencias, es decir, la incorporación de medios electrónicos, por si mismos, no
inciden en la resolución de los problemas educativos, estos juegan un papel
importante dentro de un proceso donde los actores ejercen el dominio de ellos. Es
decir la importancia estriba en el para que, en el cómo y en el quienes utilizan los
medios tecnológicos. La importancia de los utensilios no es los utensilios en sí, sino
el programa que orienta su uso. En este sentido más amplio es cuando los utensilios
adquieren un sentido propio como amplificadores de las capacidades humanas e
instrumentos de la actividad del hombre.
Las prácticas de modelación
En este acercamiento, socioepistemológico, la naturaleza social del conocimiento es central, se
cuestiona la pretensión de caracterizar de una manera definitiva a la ciencia como un sistema objetivo
de conocimiento o como un sistema cultural interpretativo, ya sea a partir de los productos científicos o
del quehacer cotidiano de los científicos, visto por ellos mismos o por observadores etnográficos. Se
concibe al conocimiento científico como una construcción social sujeta a ciertos procesos discursivos
específicos que incluyen tanto las versiones sobre ciertos temas como la organización del discurso, las
maneras de hablar, de argumentar, de analizar, de observar, de construir con palabras el resultado de la
experiencia, de validar un conocimiento y de establecer una verdad, así las propias investigaciones son
consideradas piezas del discurso textual y argumentativo (Candela, 1999). Existen diferentes
significados de modelación en nuestra disciplina. Quisiéramos esclarecer nuestra posición sobre lo que
consideramos modelación desde nuestra perspectiva. Las prácticas de modelación que se han elegido
se enfocan en prácticas que se desarrollan en interacción con fenómenos (físicos, químicos, sociales,
etc.), conjeturando y realizando predicciones acerca de ellos utilizando modelos. Estas prácticas no
solo se han ejercido históricamente, en el plano profesional y de los problemas cotidianos actuales esta
práctica es ejercida.
La presente investigación toma epistemologías de las prácticas relacionadas con el uso de la
matemática como base para el diseño de situaciones didácticas. En este sentido hemos rescatado
prácticas en donde se combina la intervención en la naturaleza, el trabajo y el experimento con la
especulación matemática. A la estructuración discursiva de estas prácticas en el aula es lo que
llamamos las prácticas de modelación como proceso de matematización en el aula.
Las actividades de modelación las distinguimos de quienes usan la modelación para fines de enseñar a
modelar, a desarrollar teorías de modelación o hacer uso de ésta. Reproducimos prácticas de
modelación con la intencionalidad explícita de desarrollar procesos de matematización en el aula. De
esta forma nuestra perspectiva asume a las prácticas sociales como la base de nuestros diseños, en
210

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
particular tomamos como base a las prácticas centradas en los modelos numéricos y que hemos
llamado la numerización de los fenómenos (Arrieta, 2002).
La secuencia
La secuencia que se presenta ha sido producto de diferentes investigaciones y puestas
en escena en diversos escenarios con profesores y alumnos. Sin embargo aquí se hace
referencia a la puesta en escena en el aula de matemáticas, del diseño de aprendizaje
basado en prácticas sociales de modelación de fenómenos: “Lo exponencial: la ley
de enfriamiento de Newton”. Aquí narramos como los participantes construyen lo
exponencial como herramienta al intentar comprender y predecir lo que sucede al
enfriarse un líquido.
El diseño de la secuencia sigue la perspectiva teórica de la que se pueden destacar tres
aspectos: la selección de las prácticas sociales sobre el lenguaje de los objetos, el
carácter discursivo de la construcción social del conocimiento y las interacciones en
el aula.
En consecuencia la estructuración discursiva entre las herramientas, los modelos y las
realidades viene a ser central. El otro eje gira entorno a la tesis de que en el ejercicio
de ciertas prácticas sociales usando herramientas es donde aparecen, se estructuran y
se movilizan como argumento ciertas nociones matemáticas, como lo exponencial.
De esta forma nuestra perspectiva, la socioepistemológica, asume a las prácticas
sociales como la base de nuestros diseños, en particular tomamos como base a las
prácticas centradas en los modelos numéricos y que hemos llamado la numerización
de los fenómenos. Partimos de un diseño experimental de enfriamiento de un líquido,
se recolectan los datos, se realizan predicciones a partir de ello y se identifica lo
exponencial en las tablas de datos. Las fases que en este proceso de modelación
caracterizamos, no secuencialmente, son la construcción del modelo, su uso como
herramienta y la formación de esquemas.
La predicción en este diseño es una práctica propuesta que al ejercerla conduce a la
construcción de lo exponencial como herramienta.
La secuencia puesta en escena es la siguiente.
Enfriamiento de un líquido
1. Con el arreglo experimental que se muestra a continuación haga uso del sensor de temperatura
y tome datos de las temperaturas del líquido del tubo de ensaye cada 5 segundos y de la
temperatura ambiente.
Termómetro
Líquido con
temperatura
ambiente
Sensor de temperatura
Líquido
enfriándose
211

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
212
2. Describan lo que observan
3. Construyan una tabla con estos datos en la calculadora.
1. ¿Cuál será la temperatura del líquido después de 23 segundos?
¿Cuál será la temperatura del líquido después de 59 segundos?
¿En que tiempo el líquido tendrá una temperatura de 42 grados?
¿En que momento tendrá el líquido una temperatura de 3 grados?
5. ¿Qué características tiene esta tabla?
6. Grafica el enfriamiento con respecto a la temperatura
¿Qué tipo de gráfica es?
Encuentra la ecuación de la temperatura con respecto del enfriamiento.
7. Grafiquen los puntos haciendo uso de la calculadora.
¿Qué tendríamos que hacer para que la gráfica que obtengamos sea una curva más alta que
la anterior?
¿Qué tendríamos que hacer para que la gráfica que obtengamos sea una curva más a la
derecha que la anterior?
¿Qué tendríamos que hacer para que la gráfica que obtengamos sea una curva más abierta
que la anterior?
x
8. Encuentren una curva cuya ecuación es de la forma y = ab + c y que además se pegue a los
datos obtenidos.
9.- ¿Que efectos produce en la curva variar el parámetro a?
¿Que efectos produce en la curva variar el parámetro b?
¿Que efectos produce en la curva variar el parámetro c?
10. Tenemos diferentes modelos, ¿cómo podríamos decir cual es mejor?
11. ¿Podrías hacer un esquema que relacione las características del fenómeno, de la tabla, del
modelo gráfico enfriamiento–tiempo, de la ecuación y del modelo gráfico temperaturatiempo?
Fenómeno
Tabla numérica
Gráfica
Enfriamiento - tiempo
Ecuación
Gráfica
temperatura - tiempo
Ecuación
Cosa a tratar Característica Característica Característica

La puesta en escena
REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Los participantes en esta actividad fueron cuatro equipos de cuatro estudiantes del
tercer semestre de Ingeniería Bioquímica del Instituto Tecnológico de Acapulco (con
una edad entre 18 y 20 años). En la selección de los estudiantes se considerarán las
siguientes variables: edad, cursos tomados, grados, popularidad y personalidad. Nos
interesaba que en los equipos haya un ambiente de participación, no se ejerza
posiciones de liderazgo por alguno de los miembros que inhibieran la participación de
los demás integrantes. Por tanto los equipos se integrarán con estudiantes del mismo
grado, con edades sin grandes variaciones, con calificaciones medias y sin
limitaciones para expresar sus ideas. Los actores de la puesta en escena han
participado previamente en diseños sobre lo lineal y lo cuadrático. Ellos han estado
familiarizados con el uso de sensores y supercalculadoras.
El arreglo experimental, contempló una cámara “móvil” (que captó los detalles en la
discusión general y las discusiones en los grupos, pero especialmente el desarrollo de
un equipo), una cámara fija (que captó el panorama general del aula), una grabadora
por equipo (que captó las discusiones en el equipo) y material del aula (pizarrón,
retroproyector, sensor de movimiento y de temperatura, y calculadoras graficadoras).
Conclusiones
Entre los resultados obtenidos podemos destacar los siguientes, de acuerdo a las fases
del proceso que hemos definido anteriormente, la construcción del modelo
identificando sus características, su uso como herramienta realizando predicciones
sobre el fenómeno y la formación de esquemas.
Los estudiantes construyen como modelo exponencial una tabla de datos
caracterizando lo que es exponencial en una tabla numérica, distinguiéndola de otras
tablas de datos, es particular con modelos lineales y cuadráticos. La caracterización
que alcanza el consenso es que la columna de la temperatura es proporcional a la
columna de las razones de cambio de la temperatura con respecto del tiempo y de
∆T
aquí logran plantear un modelo analítico: la ecuación en diferencias = kT + b .
∆t
Los participantes establecen diferentes formas de predicción, entre ellos la
aproximación lineal o métodos basados en aproximaciones de segundo orden.
Los actores construyen un esquema que relaciona entre sí los parámetros de los
diferentes modelos con las características físicas del fenómeno.
Fenómeno:
enfriamiento
de un líquido
Características
de lo exponencial
en el sistema
Experimental:
el enfriamiento del
líquido es proporcional a
la diferencia de
temperaturas del líquido
y del medio ambiente.
Parámetros Parámetros Parámetros
Constante de
enfriamiento del
líquido
Temperatura
ambiente
Temperatura
inicial
Métodos de
predicción
213

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
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Tabla ∆ T proporcional a T Constante de
numérica ∆t
proporcionalidad
Ecuación en
diferencias:
∆ T
= kT + b
∆t
Gráfica:
la línea recta
T = ae
bt +
c
Gráfica: la
exponencial
Expresión de la forma
∆ T
= kT + b donde k
∆t
y b son constantes
La recta
Expresión de la forma
bt
T = ae + c donde a,
b y c son constantes
Curva exponencial
Coeficiente k
Inclinación de la
recta
Coeficiente b
Amplitud de la
curva
Temperatura
inicial
Coeficiente
b
Altura de la
recta
Coeficiente
c
Altura de la
curva
Coeficiente a
Desplazamient
o horizontal.
Aproximación
lineal o
aproximación
de segundo
orden
Manipulación
algebraica de la
fórmula
Interpolación
lineal
Manipulación
algebraica de la
fórmula
Interpolación
lineal
Bibliografía
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Doctoral, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav, México.
Arrieta, J. (2002). La numerización de los fenómenos. En Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa. Volumen 16. Grupo Editorial Iberoamérica.
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Serie: Antologías. No. 1, Programa Editorial de la Red Nacional de Cimates.
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Cantoral, R. (2000). Pasado, presente y futuro de un paradigma de investigación en Matemática
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Vol. 4. Num. 2, pp. 103-128.
Cordero, F. (2002). Lo social en el conocimiento matemático: reconstrucción de argumentos y de
significados. En Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 16. Grupo Editorial
Iberoamérica.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
LA INGENIERÍA DIDÁCTICA EN EL DISEÑO Y SEGUIMIENTO DE
UNIDADES CURRICULARES
Anido, Mercedes A.
FCEIA-FCEE Universidad Nacional de Rosario, Argentina
anidom@fceia.unr.edu.ar
Resumen
El objeto de la investigación es el diseño y seguimiento de unidades curriculares en el contexto de la
enseñanza superior. Estas unidades curriculares se construirán como material de apoyo para
dificultades especificas del aprendizaje y/o unidades para la enseñanza de tópicos específicos,
seleccionados por su valor conceptual, en los programas de la llamada matemática básica en facultades
donde su carácter es predominantemente instrumental. Siguiendo a Wittman consideramos que el
desarrollo de la educación matemática como una “ciencia de diseño” implica encontrar maneras de
cómo diseñar, por un lado una investigación empírica y por otro lado como relacionarlas con otras.
Wittman propone una aproximación específica a la investigación empírica y la llama “Investigación
Empírica Centrada Alrededor de Unidades de Enseñanza”. Una unidad sustancial de enseñanza es
esencialmente abierta. Sólo los problemas clave son fijos y deben proveer una rica fuente de
actividades matemáticas. Se trata de realizar propuestas de situaciones de aprendizaje destinadas a
asegurar de manera controlada la emergencia de conceptos matemáticos en el contexto de aprendizaje.
En el marco de la teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau se pretende modelizar y
contrastar empíricamente los fenómenos didácticos que surgen en el ámbito didáctico a partir de la
problematización y cuestionamiento de un “conocimiento matemático enseñado”.
Se busca: 1. Caracterizar las condiciones que deben implementarse en la enseñanza para facilitar un
aprendizaje que reúna ciertas características fijadas a priori. 2. Determinar los elementos que debe
poseer la descripción de un proceso de enseñanza para asegurar que pueda ser reproducido desde el
punto de vista del aprendizaje que induce en los alumnos.
Justificación de la investigación
El proyecto nace por la inquietud de un grupo de profesores que, desde distintas
cátedras en distintas facultades donde la matemática además de disciplina formativa
primordial es herramienta de uso general, coinciden en hacer suya una problemática
que se establece claramente en el Documento de Discusión Sobre la Enseñanza y
Aprendizaje de Matemáticas en el Nivel Universitario propuesto por: “The
International Commission on Mathematical Instrucción” (ICMI-1998).
Se consideran, en dicho documento los principales cambios ocurridos en años
recientes, que afectan profundamente la enseñanza de las matemáticas en el nivel
universitario. Ellos son i) el incremento del número de estudiantes que actualmente
cursa estudios terciarios. ii) importantes cambios pedagógicos y curriculares en el
nivel Preuniversitario, iii) las crecientes diferencias entre la educación matemática de
nivel secundario y la de nivel terciario, con respecto a sus propósitos, objetivos,
métodos y enfoques de enseñanza; iv) el rápido desarrollo de la tecnología; y v)
presiones sobre las Universidades para que den cuenta pública de sus acciones. A
estos factores se suman los procesos de revisión curricular que desde el 2000 se
desarrollan en las facultades de ciencias Económicas e Ingeniería de la Universidad
de Rosario y la masividad que caracteriza a las universidades del estado en la
República Argentina. Todo esto lleva a los siguientes interrogantes.
¿Las teorías didácticas que son relevantes en el nivel escolar también lo son en el
nivel universitario? ¿Hay necesidad de teorías específicas para el nivel universitario?
¿De qué formas puede cambiar la enseñanza para tener en cuenta las diferencias en
formación, dificultades, habilidades e intereses del alumno? ¿Qué métodos son
efectivos para la enseñanza a clases numerosas? ¿Qué es lo que sabemos sobre la
215

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
enseñanza y aprendizaje de tópicos específicos como Cálculo, Álgebra Lineal,
Geometría, Probabilidad? ¿Hay características que son relevantes sólo para tópicos
específicos? ¿Hay características que son comunes a varios tópicos? ¿Cómo ha
cambiado la tecnología el contenido y la filosofía del currículum? ¿Deberían darse los
programas existentes de la misma forma que en el pasado, o puede la tecnología
asistir en el desarrollo de habilidades superiores o más importantes? ¿Qué cambios
están, o deberían estar, produciéndose en el currículum? Algunas áreas temáticas de
matemáticas están declinando mientras que otras están en ascenso. ¿Cuál es la lógica
detrás de estos cambios? ¿Hay áreas que son ahora menos importantes y deberían
otras áreas tomar su lugar? ¿Sabe Matemática un estudiante capaz de resolver una
ecuación pero no de aplicarla a problemas? ¿Debe enseñarse un concepto para lo que
surja? o donde surja ? ¿Puede enseñarse Matemática con el debido rigor y de modo
efectivo introduciendo los conceptos cuando se necesiten, motivados por problemas?
Cómo realizar en esa situación la formalización teórica ? y el orden lógico ? ¿Cómo
mantener la coherencia curricular?
En una aproximación a estas cuestiones hacemos nuestros los objetivos:
♦ identificar obstáculos que puedan impedir el aprendizaje de las matemáticas;
♦ identificar, publicar y someter a críticas, nuevas estrategias de enseñanza y los
usos positivos de la tecnología en unidades curriculares específicas
♦ elaborar materiales curriculares (Parceriza Arán, 1996) adecuados a la
semipresencialidad que impone las carencias edilicias y de personal en los
cursos masivos. de la Universidad Nacional de Rosario
Marco teórico
La investigación se desarrolla en el marco de la metodología de enseñanza e
investigación propio de la “Ingeniería Didáctica”.
La Ingeniería Didáctica incorpora una visión propia del aprendizaje de la Matemática,
si bien adopta una perspectiva piagetiana en el sentido de que se postula que todo
conocimiento se construye por interacción constante entre sujeto y el objeto, se
distingue de otras teorías constructivistas por su modo de incorporar la relación entre
el alumno y el saber. Los contenidos son el sustrato sobre el cual se va a desarrollar la
jerarquización de estructuras mentales. Esto es particularmente importante en el nivel
matemático de los cursos universitarios. El problema principal de investigación es el
estudio de las condiciones en las cuales se constituye el saber con el fin de optimizar
su control y su reproducción.
Los contenidos matemáticos, toman especial importancia. No obstante, no se puede
separar la concepción de la Matemática como ciencia de su propio proceso de
estudio. Ambos aspectos integran la esencia del objeto de investigación.
La elaboración de un problema es un paso de una Ingeniería Didáctica. En este
contexto, el término Ingeniería Didáctica designa un conjunto de secuencias de clase
concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de manera coherente por un
profesor-ingeniero, con el fin de realizar un proyecto de aprendizaje para una
población determinada de alumnos. En el transcurso de las interacciones entre el
profesor y los estudiantes, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los
estudiantes y en función de las selecciones y decisiones del profesor. De esta forma,
la Ingeniería Didáctica es a la vez un producto, resultante de un análisis a priori, y un
216

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
proceso en el transcurso del cual el profesor ejecuta el producto adaptándolo, si se
presenta el caso, a la dinámica de la clase.
Como metodología de investigación., se caracteriza en primer lugar por un esquema
experimental basado en las "relaciones didácticas" en clase, es decir, sobre la
concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza.
Wittmann (1995) considera la Educación Matemática como “ciencia de diseño” y que
las específicas tareas de la educación matemática, solo pueden ser actualizadas si la
investigación y desarrollo tienen específicos vínculos con la práctica en su “corazón”
y si el mejoramiento de la práctica educativa emerge con el progreso en el campo de
investigación como un todo. Wittmann llama “corazón” de la educación matemática a
una variedad de componentes que incluyen en particular el desarrollo y evaluación de
unidades de enseñanza sustanciales.
Un excelente ejemplo de diseño y seguimiento de “unidades curriculares” como
objeto de investigación, lo encontramos en el Instituto Freudenthal de Holanda, que
desde su creación bajo el nombre IOWO se ha dedicado de manera prioritaria a
generar nuevas propuestas curriculares para la enseñanza. También Becker and
Miwa en Japón y autores como Artigue, Douady, Balacheff, Laborde, Dorier, Robinet
han desarrollado en los últimos anos investigaciones de este tipo. Kilpatrick y
Sierpinska (1993) vinculan la reproducibilidad de las metodologías didácticas a las
unidades de enseñanza.
En el contexto, específico de la enseñanza superior, dan pautas, entre otras, sobre el
estado del arte en este tipo de investigaciones: los análisis epistemológico de la
génesis histórica de conceptos elementales del álgebra lineal que, en relación a la
enseñanza, hace Dorier; las investigaciones sobre los obstáculos del formalismo en
el primer ciclo de la universidades francesas recopiladas por el mismo Dorier con
Robert, Robinet y Rogalski; el análisis de una macro ingeniería didáctica, también en
álgebra lineal, elaborada en “Université des Sciencias et Technologies de Lille”, los
estudios de Hillel sobre los diferentes niveles de lenguaje utilizados para describir los
vectores y las operaciones; el análisis sobre los modos de razonamiento en álgebra
lineal de Sierpinska, Defence, Khatcherian Saldnha.
Metodología de investigación
Se trabajará complementando diseños de tipo cualitativo y cuantitativo. La
metodología de la ingeniería didáctica se caracteriza, en comparación con otros tipos
de investigación basados en la experimentación en clase, por el registro en el cual se
ubica y por las formas de validación a las que está asociada. De hecho, las
investigaciones que recurren a la experimentación en clase se sitúan por lo general
dentro de un enfoque comparativo con validación externa, basada en la comparación
estadística del rendimiento de grupos experimentales y grupos de control. Este no es
el caso de la Ingeniería Didáctica que se ubica, por el contrario, en el registro de los
estudios de caso y cuya validación es en esencia interna, basada en la confrontación
entre el análisis a priori y a posteriori (Artigue, 1995).
No obstante el mismo Gerard Vergnaud (1980) expone: “Mi conclusión es que, para
estudiar objetos relativamente complejos, la didáctica marcha necesariamente sobre
varias piernas a la vez. Creo que esta diversidad metodológica es inevitable e
indispensable”.
217

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
En nuestro caso la posibilidad de obtener datos en Cátedras con 3000 alumnos nos
induce en determinados ejes de la investigación, como ser la opinión de los alumnos
sobre los textos o hipertextos diseñados en el marco del proyecto, a utilizar también,
los recursos del análisis estadístico La investigación de los procesos de aprendizaje,
se realiza pues por triangulación de metodologías, datos e investigadores. Se busca la
complementación de lo métodos cuantitativos y cualitativos de investigación La
metodología cuantitativa, se utiliza en diseños cuasi experimentales con los recursos
de la teoría estadística principalmente Análisis de Datos con las Técnicas del
Análisis de Correspondencias Múltiples(ACM) para las variables
cualitativas(categóricas) y el Análisis de Componentes Principales(ACP) para
abordar el estudio de variables cuantitativas Desde otro ángulo , prevalece la
metodología cualitativa que sigue las cuatro fases de la Ingeniería Didáctica: la 1) de
análisis preliminar; 2) de concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas
de la ingeniería; 3) de experimentación; y, finalmente, 4) de análisis a posteriori y
evaluación. En cuanto a la dimensión temporal se trata de un objeto de estudio con su
propia distinción temporal en un proceso experimental delimitado por las fases
mencionadas
El proyecto de referencia, en su etapa actual constituye un “programa de hecho”, en
el sentido de Lakatos, que motiva y coordina diferentes grupos en los que trabajan, en
paralelo, docentes de cinco facultades e investigadores en distintas líneas de estudio y
en distintas áreas de la Matemática, cuyas actividades comprenden: búsqueda y
preparación de problemas recopilación de información, investigación curricular,
diseño de unidades curriculares, análisis de procesos de aprendizaje.
La ingeniería didáctica y sus fases
218
LOS ANÁLISIS PREVIOS:
• Ubicación en el cuadro teórico.
• Conocimientos didácticos previamente adquiridos.
• Análisis epistemológico.
• Enseñanza tradicional en el tema.
• Concepciones de los estudiantes.
• Restricciones:
- Cuadros
- Competencias
- Herramientas
LA CONCEPCIÓN Y EL ANÁLISIS A PRIORI
• Selecciones metodológicas y conceptuales.
• Selecciones principales.
• Selecciones locales.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
DESARROLLO DE UNA EXPERIENCIA
ANÁLISIS A POSTERIORI
Fuente :Elaboración propia
En este marco, las investigaciones, realizadas en la Universidad Nacional de Rosario
siguen los siguientes ejes:
• Búsqueda e inventario de los estudios que se encuentran dispersos sobre
ingenierías didácticas en distintos temas de la matemática básica del nivel
universitario.
• El Análisis preliminar se ubicó especialmente en la identificación de algunas
dificultades relevantes en el pasaje de la escuela media a la universidad y el
análisis de sus posibles causas desde una perspectiva epistemológica cognitiva
didáctica y socio cultural
• El análisis previo en la selección de problemas motivadores y el análisis del juego
de cuadros intervinientes en los problemas.
• Diseño de protocolos de observación.
• Determinación de la población a observar, determinación de los instrumentos de
recolección y registros de la información (narrativo y/o grabación
magnetofónico).
• Análisis de criterios e instrumentos de evaluación
En cuanto a los diseños de unidades para experimentación en cursos de grado
desarrolladas con alumnos pertenecientes a distintas carreras, se ha seleccionado
como temas del diseño, hasta ahora en las asignaturas relativas al Álgebra Lineal y
Geometría Analítica, aquellos cuyo aprendizaje debe superar determinados
obstáculos epistemológicos o didácticos.
Para ello se efectuó previamente el diseño curricular y la puesta en marcha de
talleres de formación docente en nivel de Postgrado, en los que se ha buscado la
reflexión sobre la propia práctica docente y la ubicación del problema didáctico por el
propio docente Entre el 2001 y el 2002.en estos talleres se elaboraron los materiales
curriculares correspondientes a las unidades temáticas:
- el vector
- ecuación de la recta
- sistemas de ecuaciones lineales en dos variables y programación lineal
- sistemas de inecuaciones lineales
- cónicas
- ecuación general de 2º grado
En algunos de las investigaciones experimentales con estas unidades curriculares
se han completado todas las fases de las respectivas ingeniarías e incluso repetido loa
ciclos en la búsqueda de regularidades, que fortalezcan la transferencia. Para la
evaluación de su calidad se sigue un proceso cíclico de desarrollo y evaluación que
comprende
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
• Elaboración de una primera propuesta de material, experimentación del mismo,
evaluación de los resultados.
• Confrontación de los análisis a priori y a posteriori realizado en cada ingeniería
didáctica y propuesta de modificación de la ingeniería y para la reducción de las
distorsiones que pueden invalidarlas.
• Revisión de las experiencias realizas y repetición para contaste de resultados,
enriquecimiento de la investigación y búsqueda regularidades en los
procedimientos.
La transferencia
Si bien a nivel de informes parciales los análisis previos y los resultados de algunas
experiencias han sido publicados con detalle (problemas matemáticos planteados,
registro de hechos significativos, cuestionarios, etc.); subsiste una cuestión ¿cómo
transmitir fielmente las experiencias realizadas y hacerlas así más fructíferas? A este
efecto nos remitimos a la posición de Artigue (1995):
“La posibilidad de transmisión de los diferentes tipos de resultados, por fuera de la
comunidad estricta de los investigadores, no implica los mismos problemas. Mientras
que es posible imaginar la transmisión relativamente eficaz de los resultados
relacionados con las concepciones y los obstáculos, no sucede lo mismo con los
resultados de la ingeniería”.
Bibliografía
Anido de López, Mercedes. (2002) Una propuesta de incorporación de herramientas computacionales
a la enseñanza de la Matemática a la universidad. Evaluación de experiencias. Tesis
Doctoral .UNED Madrid
Anido de López M.; Rubio Scola H (2000) Un programa sobre el uso de Herramientas CAS en el
aprendizaje de la Matemática Básica en la universidades nacionales de la Provincia de Santa
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Artigue, M.; Douday, R.; Moreno, I.; Gómez, P. (1995): Ingeniería Didáctica en Educación
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220

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
ANÁLISIS DE LOS MODOS DE PENSAMIENTO EN LA INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA DEL CONCEPTO DEPENDENCIA/INDEPENDENCIA
LINEAL EN R 2
Víctor Manuel Castilla Navarro
Universidad Autónoma de Yucatán. México.
vcastillan@hotmail.com
Resumen
En este trabajo de investigación se analizaron los diversos modos de pensamiento que un grupo de
estudiantes de nivel superior utilizaron para resolver problemas que involucraron el concepto
dependencia/independencia en Álgebra Lineal, y se trató de descubrir si lograron conectar los modos
de pensamiento sintético-geométrico y analítico-aritmético al resolver los problemas relacionados con
dicho concepto. Para ello se aplicaron dos pruebas: la primera (fase exploratoria) consistió en 9
reactivos y tuvo como objetivo conocer los niveles de conocimiento que los estudiantes tenían sobre el
concepto; con base en los resultados obtenidos, en la segunda prueba (fase final) se diseñó una
situación de aprendizaje con 5 reactivos que indujeran el uso de distintas representaciones del concepto
dependencia/independencia lineal provocando la conexión entre los modos de pensamiento analítico y
sintético, provocando el uso de las gráficas (pensamiento sintético-geométrico) sobre los
procedimientos algebraicos o aritméticos (pensamiento analítico-aritmético). Todo lo anterior con el
fin de que el estudiante actúe, reflexione, evolucione su propio conocimiento y lo conduzca a construir
dicho concepto. Finalmente se reportaron los resultados obtenidos del análisis detallado de los
diferentes modos de pensamiento utilizados para la resolución de los problemas. Se identificaron las
dificultades que los estudiantes presentaron para la comprensión del concepto
dependencia/independencia. Se mostró que el valor del debate, el uso de distintos modos de
pensamiento y la incorporación de gráficas como parte de una actividad matemática, favorecen
notablemente el proceso de aprendizaje y comprensión del concepto dependencia/independencia en
Álgebra Lineal.
Objetivos del trabajo
Diseñar una situación de aprendizaje que favorezca el uso de distintas
representaciones del concepto dependencia/independencia en Álgebra Lineal, para
que el estudiante actúe, reflexione, evolucione su propio conocimiento y que lo
conduzcan a construir dicho concepto. Analizar la naturaleza de las dificultades que
presentan estudiantes de nivel superior para entender el concepto
dependencia/independencia en Álgebra Lineal, y estudiar los procesos cognitivos de
aprendizaje y las estrategias que utilizan en la resolución de problemas matemáticos.
Mostrar que el uso de distintos modos de pensamiento y la incorporación de gráficas
como parte de una actividad matemática, favorecen la comprensión del concepto
dependencia/independencia en Álgebra Lineal y ayudan a desarrollar la algoritmia, la
intuición y la argumentación.
Justificación o marco teórico
En la actualidad, el Álgebra Lineal tiene un importante papel en el desarrollo
científico y tecnológico, de igual manera resulta de suma importancia en las carreras
de economía y áreas de las ciencias sociales. Esta influencia motiva a la investigación
de sus conceptos básicos, al origen, desarrollo y evolución de los mismos, a analizar
las dificultades que muestran los estudiantes para aprenderlos y a encontrar
estrategias de enseñanza que superen tales dificultades. El aprendizaje memorístico es
221

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
un recurso usado frecuentemente al buscar una significación de lo que se aprende. Sin
embargo, para que la memoria opere de un modo eficiente son importantes la
repetición y el repaso, pero se retiene mejor el conocimiento si se almacena como
parte de una red de conocimientos. A pesar de que el maestro siempre trata de dar a
los estudiantes algoritmos para resolver problemas matemáticos, los alumnos sólo
retienen los conocimientos y no profundizan el significado. En un nuevo modelo de
enseñanza, el apoyo de actividades prácticas, el uso de instrumentos y equipos, la
importancia de integrar el conocimiento de un modo significativo, el valor del debate
y la necesidad de atender a las diferencias individuales de los estudiantes, deberían
ser considerados dentro del aula de clases para facilitar y fortalecer dicho aprendizaje.
Con este trabajo se pretende fomentar el uso de diversos modos de razonamiento
(analítico-aritmético y sintético-geométrico) en los estudiantes a través de un
conjunto de actividades llamadas “situaciones de aprendizaje”, buscando robustecer
el concepto matemático dependencia/independencia para vectores en R 2 ; es decir, se
busca que los estudiantes hagan propio ese concepto al pensarlo en diferentes modos
y así fortalecer el aprendizaje significativo.
En los últimos años Anna Sierpinska (investigadora en la Universidad de Concordia
en Montreal, Canadá) ha desarrollado trabajos de investigación acerca de la evolución
del pensamiento matemático en los estudiantes. Ella distingue tres modos de
pensamiento en álgebra lineal: sintético-geométrico (se basa en el uso de figuras
geométricas), analítico-aritmético (las figuras geométricas ahora pueden ser escritas
como ecuaciones o desigualdades) y analítico-estructural.
En su tesis de maestría, Bonifacio Mora desarrolló una metodología que permite
analizar las dificultades que los estudiantes experimentan con sistemas de ecuaciones
lineales y con determinantes (íntimamente ligados al concepto
dependencia/independencia lineal), analizando las ideas erróneas, los procesos
mentales y las cogniciones intuitivas. El trabajo incluye también el diseño de
actividades que favorecen en el alumno el uso de diversas representaciones del
mismo concepto matemático, analizando su desempeño analítico y su interpretación
geométrica.
Procedimientos: materiales y métodos
El trabajo se desarrolló básicamente en tres etapas.
PRIMERA ETAPA. Se hizo una revisión de bibliografía para analizar la evolución y
desarrollo históricos que giran en torno al concepto dependencia/independencia en
Álgebra Lineal. Al mismo tiempo se trabajó con un grupo de estudiantes de nivel
superior que ya habían recibido un curso de Álgebra Lineal, a ellos se les aplicó una
serie de problemas (FASE EXPLORATORIA) relacionados con el concepto
dependencia/independencia lineal con el fin de conocer sus nociones acerca del
mismo tema. Ellos trabajaron de manera individual y entregaron por escrito todas sus
respuestas a las cuestiones matemáticas planteadas, permitiendo ésto un mejor y
detallado análisis.
SEGUNDA ETAPA. Se hizo un análisis de la fase exploratoria: se realizó una
confrontación entre lo esperado (análisis a priori) y lo sucedido (análisis a posteriori).
222

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Con base en los resultados obtenidos en la fase exploratoria, se diseñó una situación
de aprendizaje o situación-problema (FASE FINAL) para aplicarla al grupo de
estudiantes de nivel superior. Ellos trabajaron, igual que en la fase exploratoria, de
manera individual, luego compartieron sus opiniones en pequeños grupos para
obtener una conclusión del problema; entregaron por escrito todas sus respuestas a las
cuestiones matemáticas planteadas; además, se registró el desarrollo de la sesión de
aplicación de la situación de aprendizaje usando una videocámara permitiendo
apreciar el proceso de socialización que experimentaron los estudiantes, todo lo
anterior para permitir un mejor y detallado análisis. Finalmente, se analizaron los
modos de pensamiento manifestados por los alumnos para obtener así las
conclusiones.
TERCERA ETAPA. Se escribió y revisó el documento que integra los resultados de
la investigación.
Fase exploratoria.
Los ejercicios que se aplicaron en la fase exploratoria son:
1. Grafique los vectores (2, 1) y (4, 2).
2. Grafique los vectores (2, -1) y (4, 2).
3. Compare las gráficas de los problemas 1 y 2. Escriba sus conclusiones.
4. Exprese al vector (3, -1) como combinación lineal de los vectores (1, 1) y (1, -
1).
5. Grafique los vectores (1, 1), (1, -1) y (3, -1). Interprete geométricamente el
problema 4.
6. Determine si el conjunto {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} es linealmente independiente o
linealmente dependiente. Justifique su respuesta.
7. Grafique los vectores (1, 0), (0, 1), (1, 1). ¿Existe alguna relación gráfica entre
estos vectores?
8. Usando los vectores (1, 2, -3) y (-1, -3, 2), exprese a (1, 1, - 4) como una
combinación lineal de esos dos vectores.
9. Determine si el conjunto {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 0)} es linealmente
independiente o linealmente dependiente. Justifique su respuesta.
Los vectores del reactivo 1 son linealmente dependientes, pues uno de ellos se puede
ver como múltiplo del otro; por lo tanto, al graficarlos sobre un plano, el vector (4, 2)
será la prolongación del vector (2, 1); es decir, estarán sobre una misma línea recta.
Con este reactivo se pretende que el alumno observe que dos vectores linealmente
dependientes quedan sobre una misma línea recta, ya sea que queden con la misma
dirección o no. Los vectores del reactivo 2 son linealmente independientes, ya que
ninguno es múltiplo del otro; por lo tanto, al graficarlos sobre un plano no estarán
sobre una misma línea recta. Con este reactivo se pretende que el alumno observe que
dos vectores linealmente independientes no quedan sobre una misma línea recta. En
223

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
el reactivo 3, el alumno se deberá dar cuenta que en el reactivo 1 los vectores quedan
sobre una misma línea recta (son colineales), ya que un vector es múltiplo del otro
(linealmente dependientes). En el reactivo 2 los vectores no son colineales.
En el reactivo 4 se pretende medir el concepto de combinación lineal y conocer las
herramientas que tienen los estudiantes para obtener dicha combinación. Con el
reactivo 5 se pretende que los estudiantes interpreten geométricamente una
combinación lineal, al analizar la gráfica de tres vectores linealmente dependientes.
En el reactivo 6 se pretende medir el concepto de conjunto de vectores linealmente
independiente o dependiente y conocer las herramientas que tienen los estudiantes
para justificar su respuesta. Con el reactivo 7 se pretende que los estudiantes
interpreten geométricamente un conjunto de vectores linealmente independientes o
dependientes.
En el reactivo 8 se pretende medir el concepto de combinación lineal en R 3 y conocer
las herramientas que tienen los estudiantes para obtener dicha combinación. Con el
reactivo 9 se pretende medir el concepto de conjunto de vectores linealmente
independiente o dependiente en R 3 y conocer las herramientas que tienen los
estudiantes para justificar su respuesta.
En este reporte de la investigación no se presentan detalladamente los resultados
obtenidos en la fase exploratoria, pues su único objetivo fue medir el nivel de
conocimientos que los estudiantes tenían sobre el concepto
dependencia/independencia lineal.
Diseño de problemas para la fase final
Con este trabajo de investigación se pretende diseñar una colección de problemas
para la fase final que contenga una secuencia mejor estructurada de problemas que en
la fase exploratoria, diseñada con base a los resultados obtenidos. En esta fase se
pretende que los estudiantes a los que se les aplicó utilicen los modos de pensamiento
analítico-aritmético y sintético-geométrico, y que sus respuestas provoquen una
interacción entre estos modos.
Los problemas propuestos son los siguientes:
1. Traza los vectores →
u = (2, 8), 1
→
u = (1, 4) en una sola gráfica.
2
a) ¿Qué tipo de ángulo forman los vectores →
u y 1
→
u ?¿Un ángulo nulo, un
2
ángulo agudo, un ángulo recto, un ángulo obtuso, un ángulo llano?
b) ¿Son colineales los vectores →
u y 1
→
u ? 2
c) Obtén un número real k tal que →
u = k 1
→
u . 2
d) Encuentra una combinación lineal de los vectores →
u y →
u igualada al
224
vector nulo. Es decir, encuentra números reales α1 y α2 diferentes de cero
→
→
→
tales que α u + α u = 0.
1 1 2 2
e) ¿Es el conjunto {(2, 8), (1, 4)} linealmente independiente?¿Por qué?
1
2

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
f) Obtén un vector →
u diferente de →
u tal que →
u sea un vector linealmente
3
dependiente con el vector →
u . Justifica tu procedimiento.
1
2. Traza los vectores →
v = (2, 8), →
v = (-1, 4) en una sola gráfica.
1
2
2
a) ¿Qué tipo de ángulo forman los vectores →
v 1 y →
v 2 ?¿Un ángulo nulo, un
ángulo agudo, un ángulo recto, un ángulo obtuso, un ángulo llano?
b) ¿Son colineales los vectores →
v 1 y →
v 2 ?
c) Obtén un número real n tal que →
v 1 = n →
v 2 .
d) Encuentra una combinación lineal de los vectores →
v y →
v igualada al
1 2
vector nulo. Es decir, encuentra números reales β1 y β2 diferentes de cero
→ → →
tales que β 1 v1+ β 2 v2
= 0 .
e) ¿Es el conjunto {(2, 8), (-1, 4)} linealmente independiente?¿Por qué?
f) Obtén un vector →
v 3 diferente de →
v 2 tal que →
v 3 sea un vector linealmente
independiente con el vector →
v 1 . Justifica tu procedimiento.
3. Con base en los resultados obtenidos en los ejercicios 1 y 2, completa la
siguiente tabla:
¿Qué tipo de ángulo
forman los vectores?
¿Son colineales los
vectores?
¿Uno de los vectores
es múltiplo del otro?
¿Son linealmente
independientes?
PROBLEMA UNO
VECTORES
→
u Y u
1
→
2
3
PROBLEMA DOS
VECTORES
→
v Y v
4. a) Describe algún procedimiento geométrico para encontrar vectores
linealmente dependientes en R 2 .
b) Describe algún procedimiento geométrico para encontrar vectores
linealmente independientes en R 2 .
c) Describe algún procedimiento algebraico para encontrar vectores
linealmente dependientes en R 2 .
d) Describe algún procedimiento algebraico para encontrar vectores
linealmente independientes en R 2
→
1 =
→
2
5. Sean los vectores w ( 1,
2)
y w = ( −1,
1)
.
1
→
2
225

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
226
a) Calcula los vectores →
2 w y →
3w .
3
1
2
→ → →
3 = 2 w1
+ 3w2
b) Encuentra el vector →
w tal que w .
c) En un mismo sistema de ejes, graficar los vectores →
2 w , →
3w , →
w .
d) Efectúa gráficamente la suma de vectores →
2 w 1 + →
3w 2 utilizando el
método del paralelogramo. ¿Cuál es el vector resultante?
e) Expresa el vector →
w como combinación lineal de los vectores →
w y
→
w .
2
3
→
f) Expresa el vector w ( 0,
6)
como combinación lineal de los
4 =
vectores →
w y →
w . Es decir, encuentra números reales λ1, λ2 tales que
→ → →
4 = 1 w1
+ 2 w2
w λ λ .
1
2
g) ¿Qué relación geométrica tienen los vectores
→
4
1
1
→
1
2
2
→
w , λ w , λ w ?
Resultados, discusión y conclusiones
Durante la aplicación de las dos pruebas se trató de descubrir si el grupo de
estudiantes de Nivel Superior lograba conectar los modos de pensamiento sintéticogeométrico
y analítico-aritmético al resolver problemas relacionados con los
conceptos dependencia/ independencia lineal. Para esto se les aplicó dos pruebas, la
FASE EXPLORATORIA y la FASE FINAL. Al diseñar la situación de aprendizaje
(FASE FINAL) se trató de provocar la conexión entre los modos de pensamiento
analítico y sintético, induciendo el uso del pensamiento sintético-geométrico sobre los
procedimientos algebraicos o aritméticos. Las gráficas de los vectores en R 2 que se
pidieron tenían la intención de mostrar con figuras los conceptos
dependencia/independencia lineal, de manera que al observar las gráficas los
estudiantes pudieran describir algunas características para dichos conceptos. Con los
resultados obtenidos en las dos series de problemas que se aplicaron, es notable el uso
constante de parte de los estudiantes del pensamiento analítico-aritmético al aplicar
largos procedimientos algebraicos o algorítmicos, como si estuvieran siguiendo al pie
de la letra una serie de instrucciones que finalmente resolverán el problema, todo lo
anterior por el hecho de ser fomentado, este tipo de pensamiento, en el aula de clases
como recurso privilegiado al momento de enfrentarse con algún problema; el resolver
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, calcular el determinante de una
matriz, transformar una matriz a la escalonada reducida, entre otros, fueron los
recursos más utilizados por los estudiantes. Inclusive, algunos de ellos introdujeron
en sus soluciones algunos conceptos de Cálculo Vectorial (funciones vectoriales,
derivadas) y Geometría Analítica (pendiente de una recta, ecuación de una recta). El
2
3
1

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
método de aplicación de la fase final favoreció notablemente la discusión, el debate y
el intercambio de ideas entre los estudiantes participantes dentro del proyecto. Se
obtuvo la conclusión de que los estudiantes no lograron una conexión clara entre los
modos de pensamiento analítico-aritmético y sintético-geométrico, por lo que se
considera necesario el desarrollo de nuevos proyectos de investigación que
promuevan la relación entre ambos modos de pensamiento con el propósito de
beneficiar los procesos de aprendizaje de conceptos algebraicos en estudiantes de
nivel superior, diseñando actividades mejor estructuradas que los conduzcan a
completar dichas conexiones.
Bibliografía
Davidoff, L.L. (1990). Introducción a la Psicología. Tercera edición pp. 261-268.
Dorier, J.L. (1991). Sur l’enseignement des concepts élémentaires d’algebre linéaire á l’université.
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Mora, B. (2001). Los modos de pensamiento en la interpretación de la solución de sistemas de
ecuaciones lineales. Tesis de maestría. DME. Cinvestav-IPN.
Saldanha, L.A. (1995). The notions of linear independence/dependence: a conceptual analysis and
students difficulties. Tesis de maestría. Concordia University. Montreal, Québec, Canadá.
Sierpinska, A. (2000). On some aspects of students’thinking in linear algebra. Research on the
teaching and learning of linear algebra conducted at the Concordia University by A. Sierpinska
and J. Hillel. Montreal, Canadá.
227

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
228
ALGUNAS DIFICULTADES EN LA COMPRENSIÓN Y APLICACIÓNDEL
CONCEPTO DE NÚMERO FRACCIONARIO
Cortes Salazar Héctor Manuel, Pérez Duarte Luis Fernando
Fundación Universitaria Panamericana, Colombia
Hcortes@unipanamericana.edu.co cortes199@hotmail.com
Resumen
Regularmente dar a conocer el concepto de fracción se hace de una forma memorística y no dedicando
el tiempo suficiente para que el niño lo asimile y comprenda, en otros casos, simplemente se omite la
definición, se inicia en el tema con algoritmos dejando de lado el aprendizaje significativo lo cual
genera dificultad en la representación gráfica y en la ubicación en la recta numérica. ”Cuando un
concepto ha sido incomprendido, y por tanto no sé le ha dado significación al grupo de signos por
medio de los cuales se refiere al concepto, los trabajos de tipo sintáctico, que tienen que ver con los
manejos algorítmicos, a lo más pueden llegar a desarrollarse de manera mecánica y memorística pero
nunca significando las acciones llevadas a cabo con los signos” ( Gaviria Torres, 1997). Basado en las
experiencias conocidas tanto por los docentes y estudiantes y por la bibliografía consultada se
evidencia la necesidad de plantear estrategias metodológicas donde se le permita al estudiante que
observe, manipule, compare, invente, descubra, se equivoque, relacione y llegue a su propio
conclusión optimizando así su rendimiento académico, la comprensión de las fracciones, el desarrollo
de los niveles de pensamiento y de la conciencia critica que lo lleve a cuestionar su propia realidad, a
mirar los atractivos de su entorno y a comprometerse en su perfeccionamiento. La anterior reflexión
lleva a plantear como problema: “como abordar algunas de las dificultades que se presentan en la
comprensión, aplicación y resolución de problemas en donde interviene el concepto de número
fraccionario y sus operaciones aritméticas”. Con los siguientes objetivos: 1) Establecer las
dificultades que se presentan en la compresión, aplicación y resolución de problemas donde interviene
el concepto de número fraccionario. 2)Proponer estrategias didácticas, enmarcadas en la metodología
problémica y la resolución de problemas, para reforzar o generar los conceptos relacionados con la
fracción que debe manejar el estudiante en el grado quinto. 3) verificar que las estrategias propuestas
(juegos) afianzan el concepto parte todo y su representación gráfica. El desarrollo de este trabajo se
realizó en cuatro fases:
Método-Fase 1: Se elaboró una prueba piloto la cual aplicamos, convalidamos y corregimos los
errores hallados. Fase 2: Se aplicó la prueba ya corregida, donde su objetivo era identificar las
deficiencias en los estudiantes con respecto al concepto de fracción. La prueba mostró deficiencias en
el manejo del concepto parte todo y su representación gráfica. Fase 3: Ya identificadas las falencias de
los estudiantes se elaboraron cuatro juegos para superar dichas falencias. Fase 4: Se verifica que los
juegos si cumplen con el objetivo de superar las deficiencias establecidas. Se manejaron dos grupos
uno se intervino (aplicación de juegos) y en el otro se trabajo de manera tradicional. Conclusión: La
aplicación de la segunda prueba muestra que el grupo que se intervino alcanzó un nivel mayor de
comprensión del concepto parte todo y de representación gráfica.
Introducción
A partir de los estudios e investigaciones en educación matemática, se han
puntualizado reflexiones muy importantes sobre el acontecer en su proceso de
enseñanza y aprendizaje en el ámbito escolar. Estas investigaciones, se han
desarrollado debido a la atención que matemáticos y educadores han prestado hacia
qué matemáticas se enseñan y se aprenden en la escuela y cómo se llevan a cabo estos
procesos. Pero, también con el interés en el qué y en el cómo de las matemáticas que
deberían enseñarse y aprenderse en la escuela. Todo lo anterior, con el fin de
comprender y mejorar tanto el aprendizaje como la enseñanza de la misma. Un área a
la cual se le presta gran atención, por parte de los investigadores, es la

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
correspondiente al pensamiento numérico, particularmente y de manera especial, la
enseñanza y aprendizaje de los números fraccionarios. Es común entre los docentes
escuchar, que el niño aprende con gran dificultad qué es una fracción y cómo se
utiliza, al observar los procesos matemáticos que los alumnos de quinto grado
desarrollan, en los colegios Jazmín Occidental, Centro Integrado educativo del Norte
y Hombre del Río, se evidencia una gran dificultad para resolver problemas donde
intervienen los números fraccionarios y sus operaciones aritméticas. Esto se puede
caracterizar básicamente por tres aspectos generales como los enuncia Arce y Maza
(1991):
a. La naturaleza del propio concepto de fracción, que se incluye en una posición intermedia entre
par ordenado, con el que coincide en su constitución formal, y el número racional, con el que
comparte algunas propiedades numéricas.
b. La ambigüedad del concepto de fracción, que se aplica tanto a la descripción de una relación
entre una parte y el todo en que se incluye, a una razón entre dos cantidades o a la descripción de
una función operador entre dos cantidades.
c. El tipo de enseñanza a que ha venido sujeto, en el cual se pasaba con suma rapidez a un
desarrollo algorítmico que venia inevitablemente limitado por las dificultades en el aprendizaje
del concepto. 25
Por las razones expuestas se decidió realizar el trabajo de investigación teniendo
como problema a indagar: “algunas de las dificultades que se presentan en la
comprensión, aplicación y resolución de problemas en donde interviene el concepto
de número fraccionario y sus operaciones aritméticas”. El trabajo de investigación se
realizó con los estudiantes de quinto grado de los colegios Jazmín Occidental, Centro
Integrado Educativo del Norte y Hombre del Río, las edades de éstos varían entre los
9 y 12 años. Se trabajo con una muestra intencional del 100% de la población.
Además, se tuvo en cuenta los aspectos cognitivos, actitudinales y procedimentales de
los estudiantes, de manera que al analizar el desempeño de los educandos en las
actividades propuestas, fuera posible determinar el grado de dificultad que presentan
en la resolución de los diversos tipos de problemas planteados. Algunos elementos
que justifican este trabajo se exponen a continuación. Las fracciones en la vida
cotidiana tiene mucha aplicación pero algunos ejercicios y problemas planteados por
el docente no están encaminados hacia la vida cotidiana del niño de tal forma que
estos se quedan como simples espectadores que no hacen el uso necesario del
concepto y uso de las fracciones.
Al dar a conocer el concepto de fracción se hace de una forma memorística y no se
dedica el tiempo suficiente para que el niño asimile y comprenda dicho concepto, en
otros casos simplemente se omite la definición, se inician en el tema con algoritmos
dejando de lado el aprendizaje significativo. ”Cuando un concepto ha sido
incomprendido, y por tanto no sé le ha dado significación al grupo de signos por
medio de los cuales se refiere al concepto, los trabajos de tipo sintáctico, que tiene
que ver con los manejos algorítmicos, a lo más pueden llegar a desarrollarse de
manera mecánica y memorística pero nunca significando las acciones llevadas a cabo
25
ARCE JIMÉNEZ, Carlos. MAZA GOMÉZ, Carlos. Ordenar y Clasificar: El contexto numérico. Madrid.
Editorial Sintesís. 1991
229

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
con los signos” (Grupo Pretexto) 26 . Otra dificultad que presentan los estudiantes es la
representación de las fracciones en diagramas circulares o rectangulares para luego
ubicarlos en la recta numérica. Con fundamento en las experiencias conocidas tanto
por los docentes y estudiantes y por la bibliografía consultados se evidencia la
necesidad de plantear estrategias metodológicas que le permita al estudiante que
observe, manipule, compare, invente, descubra, se equivoque, relacione y llegue a su
propio conclusión optimizando así su rendimiento académico, la comprensión de las
fracciones, el desarrollo de los niveles de pensamiento y de la conciencia critica que
lo lleve a cuestionar su propia realidad, a mirar los atractivos de su entorno y a
comprometerse en su perfeccionamiento.
El desarrollo de este trabajo se realizó en tres fases:
FASE 1: se elaboró una prueba piloto en la cual se aplico, convalido y se corrigió
los errores hallados.
FASE 2: se aplicó la segunda prueba ya corregida, cuyo objetivo era identificar las
deficiencias en los estudiantes con respecto al concepto de fracción.
FASE 3: ya identificadas las dificultades de los estudiantes se elaboraron cuatro
juegos para fortalecer dichas falencias.
Objetivos
- Establecer las dificultades que se presentan en la comprensión, aplicación y
resolución de problemas donde interviene el concepto de número fraccionario en
estudiantes de quinto grado.
- Proponer estrategias didácticas, enmarcadas en la metodología problémica y la
resolución de problemas, para reforzar o generar los conceptos relacionados con
la fracción que debe manejar el estudiante en el grado quinto.
Diseño metodológico
El trabajo esta enmarcado en una metodología descriptiva – estructurada. Descriptiva
por el hecho de observar y analizar un fenómeno como lo es el manejo de los
conceptos básicos en los números fraccionarios. Estructurada porque se elaboró un
instrumento y se convalidó, con el fin de obtener resultados aproximados a una
realidad.
Instrumento. Para establecer las dificultades de los estudiantes se diseño una prueba
con la siguiente estructura.
Aspectos a evaluar. Está prueba fue diseñada para evaluar competencias básicas
sobre números fraccionarios de los estudiantes de quinto grado. Se trata de identificar
las herramientas y habilidades simbólicas que utilizan los niños en el manejo del
concepto de número fraccionario, para esto, se elabora un problema en un contexto
donde son valorados los conceptos: parte todo, equivalencia e igualdad, operaciones,
la fracción como: una medida, un resultado de una división, una razón y un operador.
26
GAVIRIA TORRES, César. Elementos para una posible propuesta en fraccionarios. Tesis Universidad Distrital.
Bogotá. 1998
230

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
La prueba fue concebida para la evaluación de competencias, es decir, procura
indagar sobre cómo los niños utilizan conocimientos en fraccionarios dentro de sus
contextos diarios. El instrumento de evaluación que se aplicó contiene una serie de
acontecimientos vinculados a un determinado contexto o situación. La estructura
narrativa y el lenguaje coloquial, facilitan que buena parte de las preguntas aparezcan
de manera natural. Se busca con esto que los niños puedan involucrarse con los
personajes y sus ocurrencias, haciendo de esta manera que la prueba no resulte un
cuestionario artificial o un examen corriente.
Se encuentra conformada la prueba por trece preguntas, que van ascendiendo en
orden de dificultad, las tres primeras preguntas evalúan la relación entre una parte y el
todo, donde se le pide que relacione una unidad con un número fraccionario, éste
representará el número de partes y el número total de partes. Las siguientes dos
preguntas evalúan la expresión de un número fraccionario como medida donde se le
pide la congruencia entre dos o más fracciones. El siguiente tema a evaluar es la
fracción como un operador, este concepto sé evaluó en las preguntas seis, siete y
ocho, donde se pide que halle la razón entre un número fraccionario y un número
natural. En las preguntas nueve, diez y once, se evaluó las operaciones de suma y
resta de números fraccionarios donde se relacionan estas dos operaciones con la
unidad total, en una de ellas se le indica que operación debe realizar en el otro
cuestionamiento no se le da la ayuda esto tiene como objetivo determinar si el
estudiante identifica la operación que debe realizar. El contenido que se evaluó en las
preguntas doce y trece es la combinación del concepto de parte todo y la fracción
como operador, éstas son de carácter abierto donde el estudiante gráfica aspectos
relacionados con el texto inicial, para determinar el manejo gráfico de los números
fraccionarios este aspecto se evaluó en las preguntas dos, tres y cinco.
Resultados del instrumento
Se realizó un análisis de los resultados de la prueba aplicada pregunta por pregunta
de la cual se obtuvo los siguientes resultados:
− Los estudiantes no tienen dificultades en el manejo del concepto de fracción como medida y
operador.
− Los estudiantes no tienen dificultades en manejo de las operaciones básicas de la matemática con
fracciones.
− Los estudiantes presentan dificultad en el concepto parte – todo y en la representación gráfica de
dicho concepto.
Los resultados muestran que las dificultades de los estudiantes, está en la
comprensión y aplicación del concepto parte – todo. Teniendo en cuenta que los
estudiantes del grado quinto deben manejar este concepto de acuerdo a la propuesta
curricular del ministerio de Educación Nacional, se diseño una estrategia didáctica
para reforzar dichos concepto.
En busca de soluciones a la deficiencia encontrada se realizó una investigación en las
diferentes instituciones de educación superior (aquellas que poseen Facultad de
Educación) encontrándose estudios basados en metodología tradicionales que apuntan
a la enseñanza del concepto y no a reforzar conceptos previos, por esta razón se
diseñaron cuatro juegos: rectifracciones, bingo fracción, parques fracción y carrera
fraccionada enmarcados en la lúdica, metodología problémica y resolución de
problemas. Las estrategias propuestas no solo se orientan al manejo del concepto,
231

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
sino al desarrollo de otras habilidades como: el trabajo en equipo, el análisis, agilidad
mental, agilidad en el cálculo, lectora y la capacidad de argumentar una solución, por
ello se enmarcan en la metodología problémica y en la resolución de problemas. A
continuación se hace una breve descripción de cada estrategia.
Descripción de los cuatro juegos
Carrera de observación fraccionada
Objetivo. Reforzar de forma activa en los estudiantes el concepto de fracción
(relación entre una parte y el todo) en el que se incluye a una razón entre dos
cantidades. Para aprovechar el contexto como un recurso en el proceso de enseñanza
en nuestro juego, se parte de ésta herramienta donde el estudiante reconoce lugares de
la institución a través de pistas, y se utilizan elementos que hay en dicho lugar para
enseñarle a través de la experiencia distintas formas de la fracción: parte – todo.
232
Materiales. Pistas, 5 jueces, cronometro, pito, realizar banderas blancas.
Materiales específicos para pistas
Pista N° 1: Reloj con manecillas
Pista N°2: Figuras de formas triangulares, rectangulares, círculos. Cada forma con
dos colores como mínimo.
Pista N° 3: Marcas para libros (20 unidades)
Pista N° 4: Cartulina (10 unidades de 1/8 ) regla, lápiz, tijeras, cosedora.
Pista N° 5: Botella de 1 litro marcada con los mililitros, jarra con agua potable, vasos
desechables
Pista N° 6: Pintar un cuadro donde falte por pintar ¼ de él.
Pista N° 7: Mezcladores de colores (100 unidades) 63 rojos, 37 cafés.
Pista N° 8: Un par de zapatos, metro
Pista N° 9: La cantidad de sillas en la sala de maestros debe ser par.
Pista N° 10: Domino – Ábaco.
El parqués en fracciones
Este juego afianza el concepto parte- todo de las fracciones, induce al estudiante al
proceso de búsqueda de solución de problemas nuevos, aplicando conocimientos ya
asimilados y adquiriendo independientemente otros. Le ofrece al estudiante
problemas con preguntas abiertas, que le llevan a generar, comprensión lectora, ha
operar todos los datos presentados y a conseguir sus propias metas, decidiendo y
examinando la mejor estrategia para llegar a ella.
Materiales. Par de dados, Tablero de parques removible, Juego de fichas, Colores,
Hoja tamaño carta.
Rectifracciones
Objetivo general. Lograr que los niños afiancen sus conocimientos sobre los números
fraccionarios a través del juego.
Objetivo específico. Por medio de este juego lograr que los estudiantes manejen la
ubicación de los números fraccionarios en la recta numérica.

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
En el desarrollo del juego los participantes se ven enfrentados a situaciones que los
lleva a la discusión y toma de decisiones, los problemas planteados en las tarjetas y
que ellos deben resolver los ubica en situaciones de la vida cotidiana teniendo en
cuenta el medio en que se desenvuelven y así los conceptos son reforzados de una
forma clara y divertida.
Materiales. Dos dados, 4 fichas, 34 tarjetas rojas, 34 tarjetas amarillas, Un tablero, 8
caritas tristes, 16 estrellas, una hoja de respuestas
Bingo fracción
Los resultados del proyecto muestran que los estudiantes tienen dificultad para
relacionar la parte literal con la parte gráfica en las fracciones.
Objetivos
− Comprender y relacionar la parte literal con la parte gráfica en las fracciones.
− Desarrollar la agilidad mental.
− Mejorar comprensivamente la capacidad de atención y concentración.
Número de jugadores de 2 en adelante. El juego bingo fracción se enmarca en la
resolución de problemas, ya que brinda al estudiante la posibilidad de resolver
problemas numéricos que le exigen la aplicación de diversas estrategias para hallar la
solución y así poder participar activamente en el juego.
Materiales. Ruleta, tablero control, lápiz, hoja en blanco, hoja de respuesta, 30 fichas
rectangulares, 30 cartones, 270 fichas redondas.
Conclusión
La aplicación de la segunda prueba – luego de realizar los cuatro juegos diseñados
para superar las falencias identificadas en los estudiantes - muestra que el grupo que
se intervino alcanzó un nivel mayor de comprensión del concepto parte todo y de
representación gráfica respecto del grupo control.
Bibliografía
Acevedo, M. y otros (1996) Marco conceptual de las pruebas de matemática para el programa de
evaluación de la educación básica. ICFES Servicio Nacional de Pruebas, Bogotá.
Alcaldía Mayor Santa Fé de Bogotá. Secretaría de Educación. (1999)Evaluación de competencias
básicas en lenguaje matemáticas, Resultados. Bogotá.
Dominguez, I. y Escorca, J. (1999) Evaluación en competencias en matemáticas a través de la
resolución de problemas. Bogotá. Universidad Distrital.
Fernandez, P. La enseñanza problémica de las matemáticas. Instituto Superior Pedagógico “Enrique J.
Varona”. Cuba. En: http://www.cuba.cu/publicaciones/documentos/orbita/orbita1.htm.
Fernández, J. (1995) Algunas contradicciones y dificultades en la resolución de problemas. México:
Suma 20. Pág. 53.
Gaviria, C. (1998) Elementos para una posible propuesta de trabajo en fracciones. Bogotá. Universidad
Distrital.
Goméz Tagle, M. (1999) Una posibilidad lúdica del fundamento. España. Universidad Michoacana de
San Nicolás De Hidalgo. 1999
Guzmán, J. (1996) El conocimiento matemático en los procesos de resolución de
problemas de mecánica clásica, México. Editorial Iberoamericana. Pág. 223.
Guzmán, M. (1998) Elementos para una propuesta de enseñanza del concepto de
número fraccionario. Bogotá. Universidad Distrital. 1998.
233

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
Maza, C. (1991) Ordenar y clasificar el contexto numérico de las fracciones. Madrid:
Síntesis.
Ministerio de Educación Nacional. (1998) Lineamientos curriculares. Bogotá: MEN.
Riveron, O. y otros. Aprendizaje basado en problemas: una alternativa educativa.
Universidad Ciego de Avila. Cuba. En: E-mail: oto@centic.unica.cu.
Riveron, O. y otros. Influencia de los problemas matemáticos en el desarrollo del
pensamiento lógico. Cuba. En: E-mail: oto@centic.unica.cu.
Riveron, O. Resolución de problemas una alternativa didáctica en el aprendizaje de
las matemáticas. En: E-mail: oto@centic.unica.cu
Roman, G. (1999) Las fracciones en su aspecto parte todo, algunas dificultades y
estrategias didácticas para abordarlas. Bogotá. Universidad Distrital.
Vasco, C. (1994) El archipiélago fraccionario, Santa Fe de Bogotá, M.E.N. Vol. 2- 11-
94. pp. 23-45.
234

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN FARADAY Y SU CONTRIBUCIÓN A
LA TEORÍA DE LOS CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DE MAXWELL
David Warren Ruíz Márquez
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Ciudad de México
dwarren@itesm.mx
Resumen
Como parte de una búsqueda acerca de la relación entre pensamiento matemático y visualización, este
capítulo de la historia del electromagnetismo en su etapa de formalización dentro del pensamiento
científico constituye una parte de una investigación de tipo filosófico que pretende tender un puente
entre la epistemología de conceptos matemáticos y la enseñanza en escuelas de ingeniería. El estudio
parte de la revisión de algunos aspectos de la filosofía de Ludwig Wittgenstein, filósofo que es
considerado por autores como Paul Ernest un iniciador del constructivismo social en las matemáticas.
La idea rectora de este trabajo es reformular una manera de ver el pensamiento matemático y su
relación con la visualización de manera diferente a la basada en representaciones como en (Duval
1999) quien presenta parte del pensamiento matemático como procesamiento y conversión entre
distintos modos de representación. Al revisar autores como (Kline 1972), que escribe sobre el
pensamiento matemático a través de la historia, más bien parece una historia comentada de los
conceptos matemáticos, salpicada con anécdotas de lo que hizo determinado matemático y el alcance
de su trabajo, pero poco dice de las condiciones que rodeaban a tales acontecimientos. El ejemplo del
trabajo de Gooding al analizar visualmente los procesos de descubrimiento de Faraday, marca una
posible aplicación de una metodología similar para investigar el pensamiento matemático en los
alumnos.
Introducción
La motivación para llevar a cabo este trabajo parte de mi interés en el uso de la
tecnología, y en especial de la computadora, en la enseñanza de las matemáticas
como apoyo a la visualización del espacio en 3d, así como la continuación de algunas
de las ideas plasmadas en mi trabajo de tesis de maestría (Ruiz 1992). La revisión de
trabajos como los de (Kaput 1999) y (Duval 1999) apoyados en las teorías
representacionales semióticas y el uso de registros internos y externos no me atraen
hacia un marco de referencia psicologista. Más bien me inclino hacia una
fundamentación cercana a las teorías antropólógicas del aprendizaje desarrolladas por
(Lave 1988) y (Wenger 1998), además de su relación con la filosofía de Wittgenstein
en cuanto al carácter contextual del conocimiento expresado en dos de sus principales
obras (Wittgenstein 1958) y (Wittgenstein 1969).
El marco teórico
Ludwig Wittgenstein, en sus Investigaciones Filosóficas hace una crítica a la filosofía
tradicional señalando que los problemas de la filosofía están ligados al mal uso del
lenguaje, para lo cual propone una Filosofía Analítica como herramienta para analizar
los problemas que plantea la filosofía, en especial, la teoría del conocimiento. Vemos
en (Ernest 1998) una descripción de todas las interpretaciones que se han hecho de la
contribución de Wittgenstein a la filosofía de las matemáticas: un finitista estricto, un
antropologista, un convencionalista empedernido, un promotor de la anti-filosofía de
las matemáticas. Para Wittgenstein la meta de la teoría del conocimiento es más bien
una filosofía del lenguaje aplicada al lenguaje del conocimiento. El significado se
extrae del uso que se hace de las palabras, ubicadas éstas en un juego de lenguaje
235

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
caracterizado por su conexión con una práctica social determinada denominada una
forma de vida. El análisis de la actividad de Faraday establecido en los siguientes
párrafos hace la distinción de que, a pesar de tener la idea generalizada de que
Faraday realizó su trabajo en forma aislada, en realidad la comunicación a través de
su diario y del correo demuestra que participaba de la forma de vida de sus colegas
científicos de la época (J. B. Biot y Davy). Para Wittgenstein, la necesidad lógica y
matemática surge de un acuerdo humano al seguir una regla estipulada por un juego
de lenguaje.
El pensamiento en Faraday
El punto de vista proposicional del conocimientol trata a la teoría como un sistema de
proposiciones lógicamente estructuradas, reconociendo sólo la parte del proceso de
descubrimiento que puede ser accesado verbalmente y ordenado lógicamente
(Gooding 1990).
Gooding analiza el trabajo de Faraday en el proceso de descubrimiento del primer
motor eléctrico haciendo una recuperación de la contingencia como un elemento
importante en el proceso de descubrimiento; la incertidumbre toma un papel
importante en la primera fase del descubrimiento, y una vez que los procedimientos
van siendo dominados, las habilidades que lo hicieron posible salen del campo visual
de las prácticas de una comunidad.
Para mostrar los procedimientos seguidos por Faraday en la obtención de resultados,
Gooding usa diagramas que ilustran conceptos, modelos, aparatos y resultados
alcanzados en diferentes partes del proceso de descubrimiento:
y los procesos que son producto de la interacción de los dominios material y
conceptual se representan por medio de una combinación de cuadrados y círculos:
Cuando ocurren elecciones de una meta principal, usa un triángulo sólido, por
ejemplo, al pasar de la búsqueda de evidencia para una hipótesis a la prueba de los
métodos usados para obtener esa evidencia. Un triángulo abierto indica cambios de
secuencias definidas por el triángulo sólido, como al cambiar de un método de
producir un fenómeno a otro.
236
Para representar una
conclusión alcanzada por
manipulaciones en el mundo
material
Para denotar un
modelo creado en la
imaginación
Para representar resultados u
observaciones que se alcanzan
como producto de operaciones
mentales (imaginando, por
visualización, descripción)
Para denotar un
modelo creado
en objetos reales

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Las acciones se representan por líneas a las que se agrega el nombre del
procedimiento.
Un ejemplo del uso de esta notación es el diagrama siguiente:
G1: Hacer que
el alambre se
mueva
contínuamente
Modelo
Construcción A1
Montaje
A1: Primera
versión del
aparato
Ensayo
M1: Modelo de
estructura y
procedimientos
asociados
O1: El alambre
se mueve
Gn denota una meta; An denota una estructura o una pieza de un aparato; On representa
un resultado observado; Mn denota un constructo (modelo)
La orientación de las líneas indica, si son horizontales, que las acciones que se llevan
a cabo producen un cambio en el conocimiento, mientras que las verticales, indican
que no hay avance durante esas acciones. Si las líneas están a 45° se representa
adquisición como destreza manual, el ajuste de aparatos o la reconsideración de los
elementos del modelo.
Este aparato visual que Gooding emplea para analizar el pensamiento y la acción de
Faraday en su proceso de descubrimiento descansa en un marco filosófico de la
ciencia que considera las contingencias de un proceso a veces fallido y la mayoría de
las veces exitoso, plantea para mí un reto en la consideración de la enseñanza de las
matemáticas en los siguientes términos:
• Las matemáticas que enseñamos ya lógicamente estructuradas no consideran
nuestros propios procesos de aprendizaje como profesores, sino que siguen el
curso del planteamiento del autor de cierto libro de texto
• La evaluación se hace únicamente sobre los resultados exitosos, ignorando
los procesos y las contingencias surgidas durante los mismos
237

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL 17
• Podemos considerar análogamente que el proceso de aprendizaje del alumno
es también un proceso creativo y de descubrimiento y analizar los modelos
que emplea para llegar a un resultado
En este marco, podemos comenzar a considerar posiciones acerca del aprendizaje
como la señalada en (Chaiklin 1993): “El aprendizaje es medido tradicionalmente
sobre la suposición de que es una posesión de individuos que se encuentra dentro de
sus cabezas. Pero más bien se encuentra en las relaciones entre la gente. El
aprendizaje está en las condiciones que reúnen a la gente y organizan un punto de
contacto que permita tomar relevancia para particulares piezas de información; sin el
punto de contacto, sin el sistema de relevancias no hay aprendizaje y hay poca
memoria”. Esta concepción comulga con la posición wittgensteniana acerca de la no
existencia del lenguaje privado y es la que probablemente ha contribuído a etiquetarlo
como conductista. Si a lo único a lo que tenemos acceso es a manifestaciones
exteriores del conocimiento, entonces cuestiones como pensamiento matemático ó
visualización tendrían que ser reformulados en términos diferentes a los de
“representaciones” y “procesos mentales”. Una posible alternativa es la construcción
de modelos que consideren la práctica en contexto, como el ejemplo visto en Gooding
y el análisis del lenguaje, no sólo verbal, sino gestual, corporal, etc., en la evaluación
de un aprendizaje menos individualista y más social. La visualización tendría
entonces una connotación de alcance social: La imagen que proyecto en una
computadora, que para mí es un paraboloide hiperbólico y que para algunos de mis
alumnos es un sombrero de mariachi y para otros una trompeta no tiene el efecto de
ser la imagen que quería comunicar. Es necesario construir su significado junto con
ellos a través de un juego de lenguaje apropiado, y no imponiendo una definición.
Entonces, como en el caso de Faraday, los alumnos irán creando modelos que fallen
en los primeros intentos pero que se irán refinando en la práctica, a través de un
proceso de maduración que parte de la incertidumbre y a la cual castigamos en
nuestros exámenes tradicionales.
Conclusión
Este artículo constituye una contribución a un trabajo de más largo alcance en la
búsqueda de elementos que ayuden a desenmarañar la problemática de la enseñanzaaprendizaje
de las matemáticas en comunidades en contextos cada vez más complejos
debido a la cantidad de información accesible y la carencia de métodos para
manejarla. La idea de que la solución no está en los problemas individuales que cada
alumno tiene para aprender matemáticas sino que tiene que ver con una comunidad en
la que están además los maestros, el entorno y otras categorías sociales hace que la
búsqueda de los estudios se enfoque cada vez mas al contexto y menos al individuo.
Referencias
Chaiklin, S. L., Jean, Ed. (1993). Understanding Practice. Perspectives on activity and context.
Learning in doing: Social, cognitive, and computational perspectives, Cambridge University
Press.
Duval, R. (1999). Representaction, Vision and Visualization: Cognitive functions in Mathematical
Thinking. Basic Issues for Learning. North American Chapter of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education, Cuernavaca, Morelos, ERIC Clearinghouse for Science,
Mathematics and Environmental Education.
238

REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS
Ernest, P. (1998). Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics, State University of New
York Press.
Gooding, D. (1990). Mapping Experiment as Learning Process: How the first Electromagnetic Motor
was invented. 4S/EASST Conference, Amsterdam, Sage Publications, Inc.
Kaput, J. J. (1999). On the developement of human representational competence from an evolutionary
point of view: from epsiodic to virtual culture. North American Chapter of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education, Cuernavaca, Morelos, ERIC Clearinghouse
for Science, Mathematics and Environmental Education.
Kline, M. (1972). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días, Alianza Editorial.
Lave, J. (1988). Cognition in Practice, Cambridge University Press.
Ruiz, D. W. (1992). Una introducción a las ecuaciones de Maxwell. Su génesis y la enseñanza actual
de la teoría electromagnética en las escuelas de ingeniería. México, D.F., CINVESTAV-IPN:
104.
Wenger, E. (1998). Communities of practice. Learning, Meaning and Identity, Cambridge University
Press. Libro acerca de la concepción del aprendizaje a través de la práctica en comunidades en
donde el significado se negocia.
Wittgenstein, L. (1958). Investigaciones Filosóficas, Instituto de Investigaciones Filosóficas
UNAM/CRITICA.
Wittgenstein, L. (1969). Sobre la Certeza, Gedisa editorial.
239

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Se presentan informes acerca del estados en que se
encuentran investigaciones que responden a los diversos
momentos del ejercicio indagativo, a saber, proyectos en
curso y aquellos terminados.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
ACERCA DE LA ACTIVIDAD DE MODELACIÓN
LAS TEMPERATURAS DE LA TIERRA
Felicitas Morales, Rosa María Farfán
Cinvestav – IPN, México
fmorales@mail.cinvestav.mx, rfarfan@mail.cinvestav.mx
Resumen
La presente investigación está basada en el análisis de una memoria posterior a la “Théorie Analitique
de la Chaleur”, escrita por Jean Baptiste J. Fourier en 1827, titulada “Mémoire sur les Températures du
Globe Terrestre et des Espaces Planétaires”. En este trabajo nos proponemos, a través de un estudio
epistemológico, obtener información acerca de las hipótesis que llevaron a Fourier a escribir las
conclusiones que presenta en dicha memoria, mediante el análisis de las referencias que en ésta se
encuentran, así como caracterizar los elementos que le permitieron construir su modelo y que sean
susceptibles de observación en la escuela, a través de diseños adhoc. Con esta investigación estaremos
aportando indicativos dirigidos a la modelación de fenómenos físicos complejos, como el calor, en la
educación universitaria.
Introducción
La modelación matemática es un tema con muy diversas e importantes aplicaciones,
prueba de ello son las aportaciones y trabajos que muchos colegas de nuestra
disciplina han realizado y dedicado a ello (Arrieta, 2003, Farfán, 1987, Mochón,
2000) y también las múltiples perspectivas desde las que esta actividad ha sido
observada. Nuestra principal motivación con respecto a esta actividad en la presente
investigación es la de caracterizar las habilidades específicas que permiten que esta
actividad se lleve a cabo, es decir, ¿pueden especificarse habilidades o ciertas
características digamos especiales, que permitan que esta actividad se realice?
Para responder esta pregunta, decidimos analizar una obra del siglo XIX de: Jean
Baptiste Joseph Fourier. Titulada: “Memoire sur les Températures du Globe
Terrestre et des espaces Planétaires”. Fourier fue un gran estudioso de la filosofía
natural y por esto sus investigaciones estaban encaminadas al entendimiento de
fenómenos naturales en su mayoría, que en gran parte estaban relacionados con la
ciencia de la Física, de manera que consideramos a Fourier como un “modelador
experto” del cual pretendemos profundizar en la medida de lo posible en su
pensamiento plasmado a través de sus escritos, para investigar como este científico
realiza su actividad de modelar y qué características podemos encontrar en ésta, que
le permitieron generar sus conclusiones. Cabe aclarar que no pretendemos llevar tales
escritos al aula, sino entender primero los razonamientos e implicaciones físicas y
matemáticas que el documento contiene y tratar de dilucidar la intención con que este
fue escrito, para a la postre lograr la caracterización que nos ocupa. Con la finalidad
de realizar el objetivo, consultamos por supuesto la obra citada como la fuente
primaria de nuestra investigación, sin embargo y debido a su naturaleza, ella por sí
misma no fue suficiente, por lo que tuvimos que recurrir a la lectura y análisis de
otras fuentes secundarias que nos sirvieran como marco de referencia para el escrito
de Fourier, entre ellas se encuentra “Theorie Analytique de la Chaleur” y algunos
análisis históricos entre otras.
243

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Justificación y Antecedentes
La experiencia como profesores nos provee de la certeza de que el discurso
matemático escolar se compone en su mayoría de las notas y de los libros de texto
que se recomiende usar para apoyar las actividades y cubrir el programa. Sin embargo
en este saber no están incorporados los significados primarios, ya que se ignoran las
etapas, objetivos, momentos y contextos por los que ha transitado el conocimiento
desde su construcción original. Es por ello que un estudio de corte epistemológico
podría proveer de argumentos olvidados por la enseñanza tradicional, de forma tal
que a través de este tipo de estudios sea posible dar enfoques diferentes o alternativos
a los conceptos estudiados en el nivel superior.
El análisis de un texto matemático antiguo como el que nos ocupa, busca establecer
un acercamiento a la génesis y desarrollo de los conceptos que en este se establecen,
con el objeto de encontrar en él los elementos que nos permitan obtener un mejor
entendimiento de las características necesarias a la actividad de modelación. Por ello
consideramos necesario, adoptar una perspectiva que incluya una visión, sensible al
reconocimiento de que el conocimiento es una construcción social. Así las teorías
frutos o consecuencias de las líneas de investigación sostenidas por la comunidad de
especialistas en matemática educativa, tal como la aproximación
socioepistemológica 1 , perspectiva que hace dicho énfasis en la naturaleza social de la
actividad de la construcción por parte de los actores sociales en contextos sociales
concretos, más específicamente, la socioepistemología, plantea el examen del
conocimiento social, histórica y culturalmente situado, problematizando a la luz de
las circunstancias de su construcción y difusión. (Cantoral y Farfán, 2002)
En Farfán (1997) se establece el papel de la dimensión epistemológica en este tipo de
estudios, que permite al didacta controlar las representaciones epistemológicas de las
matemáticas inducidas en la enseñanza, en tanto que: provee de historicidad a los
conceptos matemáticos que la enseñanza usual presenta como objetos universales;
provee de historicidad a las nociones matemáticas y protomatemáticas; posibilita las
disparidades entre el saber científico y el enseñado y con ello contribuye a desterrar
otra de las ficciones de la escuela, a saber, la concepción de que los objetos de la
enseñanza son copias simplificadas; pero fieles de los objetos de la ciencia. Es así
como un análisis de corte epistemológico permite a la didáctica desprenderse de la
ilusión de transparencia de los objetos que manipula en el nivel del saber y en
consecuencia lo auxilia en el manejo de las representaciones erróneas inducidas por la
enseñanza.
De esta forma a la actividad de modelación y, al uso de las matemáticas dentro de la
misma, le es inherente un proceso mental que está estrechamente relacionado e
influido por su entorno sociocultural, en este caso por la época en la que Fourier y sus
escritos surgen. Así el tipo de investigación que llevamos a cabo en correspondencia
con el acercamiento socioespistemológico, visto como la investigación encaminada a
la reconstrucción de significados, nos permitirá rescatar de los trabajos de Fourier
algunos significados o intenciones primarias de los conceptos matemáticos que él
generó, a través de cuestionarnos cómo y atendiendo a qué problema surgieron estos.
1
Desarrollada por el grupo del Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del
Cinvestav, IPN.
244

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Para muchos autores la modelación matemática se ha considerado un arte con “bases
racionales”, que requiere el uso del sentido común tanto como las matemáticas, desde
este punto de vista el modelo de algún fenómeno es una herramienta usada para
transformarlo, es algo utilizado en sustitución de lo modelado, donde la manipulación
del modelo permite entender y predecir el comportamiento del fenómeno, así como
validar hipótesis y elaborar estrategias para la intervención. (Arrieta, 2003). Así, la
modelación no sería una representación, sino una práctica que refleja una cierta
intención humana, es decir no solo es una transformación sino intencionalidad y esto
es precisamente lo que desde este enfoque más complejo, le da el carácter de social.
Habilidades de modelación
Una revisión de las visiones actuales se presenta en (Morales F., 2003) nos permitió
percibir las ideas básicas de cada acercamiento, presentados para comprender las
distintas habilidades reportadas por los mismos e inherentes a la actividad de
modelación, así como también nos da una visión más amplia. Estos acercamientos
son descritos en (M. Perero, 1994) y (Mochon, 2000). Las problemáticas e
inquietudes de estos autores cada uno con un matiz diferente, no gira en torno de
comprender o enunciar específicamente tales habilidades, sin embargo podemos
inferir algunas en las que coincidimos y consideramos importantes. Nos adherimos
entonces a aquellos acercamientos, que consideran la modelación matemática como
una actividad fundamental al método científico y donde cada modelo reflejará la
descripción matemática de una hipótesis que concierne a un fenómeno físico.
Así las habilidades que buscaremos intrínsecas al documento escrito por Fourier
serán: El entendimiento del fenómeno físico que se está modelando, esto es, percibir
claramente por medio de la inteligencia o los sentidos su significado, la capacidad de
ordenar de una forma clara y precisa datos u observaciones respecto de algún
fenómeno, la comprobación o invalidación de una hipótesis, la predicción del
comportamiento de los procesos con base en las observaciones y los resultados
arrojados, así como la capacidad de abstracción, entendiendo por esta, la capacidad de
extraer o considerar las cualidades esenciales de un suceso.
Análisis de la Memoria
El artículo “Mémoire sur les Températures du globe terrestre et des espaces
planétaires” extraído de las Memorias de la Academia Real de las Ciencias del
Instituto de Francia t. VII, p570 a 601. Paris, Didot; 1827. Fue publicado también con
algunas modificaciones ligeras en “Annales de Chimie et de Physique” (t. XXVII,
p136 a 167; 1824) bajo el título siguiente: Remarques générales sur les températures
du globe terrestre et des espaces planétaires. G.D.
En el se muestra el tema de las temperaturas terrestres y las tres fuentes principales
de calentamiento de la Tierra, una de ellas es que nuestro planeta participa de una
temperatura común de los espacios planetarios, debido a que nuestro sistema solar
está situado en un punto donde todos los puntos de esa región del universo comparten
una temperatura constante, la segunda es debida a la acción prolongada de los rayos
solares en el globo terrestre y la tercera es debida a un fuego primitivo e interior en la
Tierra que continua disipándose a través de la superficie bajo la temperatura del cielo
planetario. Existen por tanto dos problemas que Fourier consideró por separado: el
245

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
primero, consiste en la variación de la temperatura en una vertical prolongada en un
punto dado y a una distancia corta de la superficie y donde dicha superficie está
sujeta a una variación periódica de temperaturas y el segundo problema es la
existencia de una temperatura constante después de una cierta distancia y que sin
embargo no es la misma en cada punto sino que varía con respecto a la latitud y que
Fourier asegura se debe a la existencia de los polos terrestres cuya temperatura es
siempre extremadamente baja.
Estos dos aspectos reflejan la generalidad en la modelación del fenómeno de
calentamiento terrestre en el que Fourier establece las ecuaciones diferenciales para
una esfera sólida, como sigue:
246
2
∂v
K ⎛ ∂ v 2 ∂v
⎞
= ⎜ + ⎟
2
∂t
CD ⎝ ∂x
x ∂x
⎠
Las condiciones de la masa son aquellas de haber estado inmersa por un tiempo
infinito en un medio mantenido a una temperatura constante, como lo es el sol para la
tierra después de un tiempo infinito, esta temperatura esta definida como de valor
uno, tal esfera se expone después a otro medio como podría serlo el aire el cual se
define a temperatura cero. En esta ecuación K representa la naturaleza de la
superficie, D es la unidad de peso volumétrico y C es la capacidad específica y
representa la cantidad de calor necesaria para llevar una D desde una temperatura
cero hasta una temperatura uno.
A manera de conclusión
Sostenemos la suposición de que Fourier esta realizando a través de su obra
fisicomatemática una actividad que desde nuestra perspectiva podemos llamar
modelación matemática, está intentando responder a una pregunta o preguntas a partir
de un cierto fenómeno físico, esta hipótesis de partida queda para nosotros clara en la
forma como Fourier plantea en las páginas iniciales el discurso preliminar de la
Teoría Analítica del Calor, en estas líneas Fourier asegura la necesidad de “remitir”
los problemas físicos observados a problemas de análisis matemático, es decir de
llevarlos a un modelo matemático que le permita descubrir y explicar las leyes que
rigen el comportamiento de los fenómenos de propagación del calor que observa
definitivamente ligados a fenómenos del mundo real y físico de su interés.
Este interés que Fourier tuviera por el problema de las temperaturas de la tierra se
pone de manifiesto en un sinnúmero de ocasiones, tales como la cantidad de artículos
que publicó a este respecto, pero es particularmente interesante para nosotros la
descripción que de este fenómeno hace en el mismo discurso preliminar. El punto que
queremos ilustrar aquí, es que no podemos refutar en Fourier un cabal entendimiento
de los problemas que quería resolver, esto es, tiene perfectamente claro cuales son las
preguntas que se va a responder con el modelo que establecerá, y que consiste en el
establecimiento de las ecuaciones diferenciales, las cuales como sabemos incluirán en
la medida de lo posible las condiciones más generales de la propagación del calor y
estarán sujetas a las condiciones iniciales dadas por las observaciones del autor con el

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
objetivo según Fourier de … “reducir las cuestiones físicas a problemas de análisis,
lo cual es el objetivo propio de la teoría”
La naturaleza de las observaciones y la forma de organización de los sucesos
observados en estos tópicos, dan cuenta de la creatividad científica (sí podemos
llamarle de esta manera) de Fourier para formular sus hipótesis, tal como aquella que
es usada por el autor para enunciar el problema de la propagación del calor en un
sólido rectangular infinito, el cual consiste en determinar las temperaturas
permanentes de este sólido, limitado por dos masas de hielo, y una masa de agua
hirviendo. La consideración del problema de la tierra vertido en un problema de
analizar un fenómeno simple y primordial como el del experimento, es la forma que
tiene Fourier de proceder a la determinación de las leyes de los fenómenos naturales y
dan prueba de la capacidad de abstracción que poseía, ya que si bien este enunciado
contiene el modelo matemático de la tierra con los polos representados por las barras
de hielo y el agua hirviendo como el calor primitivo, es necesario el análisis de la
solución de las ecuaciones de propagación del calor en la esfera sólida y aplicar esta a
las condiciones físicas de la tierra, para darse cuenta que puede hacerse uso de
aquellas ecuaciones del sólido rectangular infinito.
En Farfán (1987) se reporta una investigación que buscó significar entre profesores el
concepto de convergencia, con el fin de encontrar una relación entre esta y el estudio
científico de la propagación del calor, y de donde la autora desprende que el concepto
físico del estado estacionario no es producto de una primera experiencia, sino de una
profunda abstracción y reflexión del fenómeno.
Este resultado muestra con elocuencia a qué nos referimos con la habilidad de
abstracción de Fourier, para quién llegar al concepto de estado estacionario fue
cuestión de “imaginarse” que podemos suprimir la capa superficial de la tierra, y
considerar que pueden fijarse las temperaturas en todos los puntos de la nueva
superficie, donde el estado de la masa variará pero este estado variable se irá
aproximando a un estado final que no tendrá ya ningún cambio, de forma tal que cada
punto de la esfera adquiere y conserva una temperatura que dependerá únicamente de
su posición.
Después de este recorrido y dadas las últimas reflexiones, una cuestión importante
para nuestra disciplina sería entonces: ¿Cómo generar algunos elementos que doten
de significado o den sentido a estas nociones en un ámbito escolar?
Consideramos entonces que para lograr lo anterior es necesario indagar en la medida
de lo posible sobre los aspectos y las inquietudes que les dieron vida, o que los
generaron como respuesta a una pregunta previa, lo cual fue en algún sentido el
objeto de nuestro trabajo. En el caso del tema sobre las temperatura terrestres, sería
muy importante señalarlo como eje principal del trabajo de Fourier sobre el calor,
aunque la transposición didáctica a la que inevitablemente los conceptos son
sometidos antes de su inclusión en la escuela, ha dividido el trabajo de Fourier en
algunos aspectos puramente físicos y otros puramente matemáticos hasta
desproveerlo de todos los elementos desde los cuales estos aspectos surgieron,
convirtiéndolo en algunos casos en herramientas puramente matemáticas, sí podemos
concluir desde nuestra indagación algunos elementos importantes que le permitieron
llegar a las conclusiones de la memoria.
247

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El primero fue el entendimiento del problema de las temperaturas terrestres desde su
perspectiva como físico teórico, Fourier se permite vislumbrar previo a su teoría del
calor las aplicaciones para las que esta estaba dirigida, la propia memoria que
analizamos resalta las hipótesis y las conclusiones en un mismo documento, no así el
modelo, representado en todo el desarrollo de la teoría del calor de la que resalta por
su importancia el concepto de flujo de calor y la conceptualización consecuente de
que sin un conocimiento preciso de la expresión matemática para este flujo como
función de la temperatura, el problema del calor no sería posible de abordar. Lo cual
implica la meditación profunda que tuvo que hacer para explicar claramente este
concepto no solo como dependiente del gradiente de temperaturas, sino también de su
dependencia con las características internas del sólido; más precisamente con la
conductividad térmica; otro aspecto sutil pero igualmente importante y que juega un
papel muy importante en las conclusiones de su trabajo es el concepto de capacidad
calorífica, que pone en evidencia la concepción de Fourier de que la conducción del
calor tenia que provenir de una diferencia entre la resistencia que opone un cuerpo a
ser calentado y su “disponibilidad” para conducir el calor.
Finalmente consideramos pertinente a la hora de diseñar alguna situación
didáctica, tomar en consideración los elementos subrayados, para presentarlos como
relacionados y como parte de un conjunto de conocimientos con un fin específico, así
como incorporarlos en los diseños de situaciones encaminadas a desarrollar en el
estudiante las habilidades de modelación en el problema de entender el fenómeno de
calentamiento de la tierra y las nociones elementales que surgieron necesarias con
base en este objetivo.
Bibliografía
Arrieta J. (2003) La modelación de fenómenos como procesos de matematización en el aula. Tesis
doctoral, Cinvestav – IPN: México
Brousseau, G. (1986). Fondements et méhodes de la didactique des mathématiques. Recherches en
didactique des Mathématiques 7(2), 33-115.
Farfán R. (1987) Ingeniería didáctica: Un estudio de la variación y el Cambio. Grupo Editorial
Iberoamérica, S.A. de C.V. México.
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1807) Theorie Analytique de la Chaleur. Asociación Mexicana Clásicos
de la ciencia. México, 1963.
John Herivel (1957) The man and the Physicist. Clarendon press. Oxford.
Mochón, S. (2000) Modelos Matemáticos para Todos los Niveles. Actas de la XI Reunión
Latinoamericana de Matemática Educativa. México.
Morales F. (2003) Acerca de la actividad de modelación. Las temperaturas de la tierra Tesis de
Maestría no publicada, Cinvestav – IPN, México.
248

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
¿CÓMO ENTENDER LA REGLA DE LA CADENA?:
UN ACERCAMIENTO SOCIOEPISTEMOLÓGICO
Ramón Flores Hernández
Universidad Autónoma de Coahuila-Instituto Tecnológico de Saltillo, México
rnfloresh@hotmail.com
Resumen
Este trabajo presenta la fase de “concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas” (Artigue,
1995) correspondiente a una Ingeniería Didáctica sobre la regla de la cadena. La fase del Análisis
Preliminar se presentó en la RELME 16. El marco teórico utilizado se ubica en la aproximación
basada en las practicas humanas produciendo conocimiento matemático, llamada “Aproximación
Socioepistemológica” (Cantoral y Farfán, 2000). El objetivo general es: favorecer la construcción de la
regla de la cadena bajo la actividad de encontrar elementos de orden epistemológico que expliquen las
dificultades vividas en su apropiación, utilizando las prácticas humanas para provocar la relación;
epistemología-generación de conocimiento. La secuencia se estructuró sobre las situaciones de acción,
formulación, validación e institucionalización; y se compone de 7 actividades generales divididas en
tareas diversas, donde las primeras 3 se refieren a la reconstrucción de significados de la función
compuesta y, las restantes a la reconstrucción de la regla de la cadena bajo la noción de predicción
utilizada como una actividad humana. El diseño permitirá que los estudiantes puedan evitar el
obstáculo de función compuesta al interactuar bajo contextos variacionales, enfrentándose con la
predicción como actividad humana.
Conclusiones Acerca del Análisis Preliminar
Del análisis preliminar se puede señalar que se observa una transposición didáctica
débil localizada en un saber a enseñar ubicado en los textos escolares; lo que significa
que éstos no hacen una explicación clara de la regla de la cadena, su base de la
explicación se fundamenta en la función compuesta, misma que funciona como un
obstáculo para el estudiante. Además, en la mayoría de los libros examinados no hay
una presentación en contexto. Los estudiantes cuando la manejan sólo hacen su
algoritmo; no pueden aplicarla en contextos sociales ni matemáticos. En algunos
casos la confunden con la regla de la potencia.
Por otra parte, Newton hace un tratamiento distinto al que ahora hacen los textos
escolares: utiliza un cociente de cambios instantáneos y un cambio de variable; es
aquí donde se observa que el origen social de la regla de la cadena se ubica en el
estudio del movimiento, bajo la utilización de razones de cambio relacionadas a
través de un cociente con el fin de cambiar la variable tiempo. Así que, se puede
decir que en esta transición de épocas y de sociedades ocurre un cambio de
epistemología, detectándose tres conflictos en el conocer: uno, en el concepto de
función compuesta; otro, en el doble papel que asume una variable en una situación
problema, como variable independiente y como variable dependiente; y otro más, en
la ligazón intrínseca de las razones de cambio que conforman la regla de la cadena.
Finalmente se dirá que, el diseño se circunscribe en los tres conflictos arriba
señalados, pero además, bajo tres direcciones que influyen en la actividad del
estudiante en relación con el conocimiento; estos son: textos escolares (el estudiante
interactúa con fenómenos físicos que los libros no presentan); cambio de
epistemología (se conoce experimentando) y; mirar al estudiante como parte de una
sociedad (hay una interacción entre iguales resignificando o reconstruyendo un
249

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
conocimiento). Así que el diseño tomará como eje central los tres conflictos
señalados, bajo la intención de que la actividad que desarrolle el estudiante sea con el
fin de reconstruir la función compuesta y la regla de la cadena.
De manera general se puede mencionar que, cuando la regla de la cadena es puesta en
la escena educativa, su problemática deviene en tres direcciones: una, relacionada con
su apropiación (construcción, desarrollo y cambio de estructuras de conocimiento);
otra, relacionada con las matemáticas aplicadas (cómo y dónde se aplica); y la última
relacionada con el consenso y didáctica (es el medio actual que se utiliza para decidir
cómo enseñarla).
Situación Didáctica Inicial y Análisis a Priori
Con base en el análisis preliminar se diseño una situación didáctica, teniendo un
carácter de referencia, pues dependiendo del análisis a posteriori se podrán diseñar
nuevas exploraciones. Los objetivos que persigue este diseño son los siguientes:
Proporcionar contextos sociales que permitan introducir la transición de variables y
así ver aparecer la función compuesta
Proporcionar contextos sociales que permitan aparecer en el estudiante la regla de la
cadena ligada a la función compuesta, bajo el doble papel que asume una variable y la
fusión intrínseca que se origina entre razones de cambio.
Confrontar la presentación de la regla de la cadena como un cociente de cambios
instantáneos, con la de un producto de cambios instantáneos.
Inducir al estudiante a transitar dentro de tres registros de representación que
posibiliten la construcción social de la regla de la cadena: registro gráfico, numérico y
algebraico; bajo la predicción y la construcción de consensos (Cantoral, 2001).
También se identificaron las siguientes variables didácticas:
La relación existente entre las variables independiente y dependiente y, sus contextos.
Los contextos de ubicación de la regla de la cadena: matemático (gráfico, numérico y
algebraico) y social (dentro de la vida cotidiana, dentro de la ingeniería o dentro de
otra rama de la ciencia).
La formación de la función compuesta bajo la necesidad de utilizar una tercera
variable
El Diseño
En seguida se presenta la secuencia didáctica conformada por siete situaciones
problema (actividades), compuestas por veintisiete tareas. Las siguientes tres
actividades deberán facilitar la reconstrucción de la función compuesta mediante la
movilización de variables dentro de diferentes representaciones, utilizando la
predicción como actividad humana.
Actividad 1 (situación adidáctica de acción). El hombre lo que más aprecia es su
propia vida, pero para tener una vida larga entra en juego un elemento muy
importante: la salud; sin embargo, en todos los seres humanos conforme envejecen,
su salud se deteriora, es decir, conforme transcurre el tiempo su salud se va
perdiendo.
En este párrafo hay una relación importante entre tres variables, indica cuáles
variables están involucradas
250

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Además, indica cuáles son variables independientes y cuáles variables dependientes
Actividad 2 (situaciones adidácticas de acción, formulación e institucionalización).
En el párrafo inicial hay una variable que tiene doble papel; es decir, el de ser
variable independiente y variable dependiente,
¿Cuál es?,
Genera un ejemplo ubicado en tu especialidad donde una de las tres variables tenga
un doble papel
Actividad 3 (situaciones adidácticas de: acción, formulación, validación e
institucionalización). Se llena con agua un recipiente pequeño de forma irregular y
medio vacío, donde el flujo de volumen de entrada varía a través del tiempo. El
comportamiento secuencial de 3 variables involucradas en este fenómeno variacional
se registra mediante las siguientes gráficas:
Contesta las siguientes interrogantes:
1. Al inicio del llenado:
¿Qué volumen de agua tenia el recipiente?
¿Qué altura tenia el agua en ese momento?
¿En qué tiempo ocurre esto?
2. Al final del llenado:
¿Qué volumen de agua se obtuvo?
¿En qué tiempo ocurre?
3. Para cada uno de estos comportamientos variacionales (graficas) escribe su
correspondiente relación funcional (función)
4. Con base en la variación de las tres variables involucradas en las gráficas
anteriores y su representación algebraica o funcional, encuentra una fórmula
(función) para representar el volumen de agua respecto al tiempo transcurrido
en el llenado del recipiente.
5. Si el recipiente hubiese estado vacío completamente, al inicio del proceso,
251

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
cómo esperarías que fuera:
la gráfica que relaciona las variables V y h
la gráfica y función que relacionan las variables h y t
la gráfica y función que relacionan las variables V y t
Mediante las siguientes tres actividades se considera que el estudiante de ingeniería
reconstruya significados acerca de la regla de la cadena, bajo la actividad humana de
predicción al considerar diferentes razones de cambio relacionadas a través de un
producto y de un cociente con base en representaciones numéricas.
Actividad 4 (situaciones adidácticas de : acción, formulación y validación). Se tiene
un globo de forma esférica que se infla manualmente. Queremos predecir el
crecimiento del globo respecto al tiempo; es decir, queremos examinar el cambio
dv
continuo de volumen que experimenta el globo cada instante, o sea . Donde
dt
4 3
v = π r (1)
3
es la función que relaciona el volumen con el radio y,
−2t
r = 9 − 7e
(2)
es la función que relaciona el radio con el tiempo. Si sabemos que el radio mide 2
centímetros cuando el tiempo es de cero segundos, realiza lo siguiente:
Completa la siguiente tabla
252
t 0 1 2
r 2
Auxiliándote de la tabla anterior completa la siguiente tabla que, permitirá mirar la
variación del volumen respecto al radio:
r 2
dv
dr
Realiza lo mismo con la siguiente tabla que, permitirá mirar la variación del tiempo
respecto a la variación del radio:
r 2
dt
dr
a) De acuerdo a las tablas de los incisos a), b) y c), y además considerando que
el radio varía de igual forma; esto es, como variable independiente en dv y
dr
en dt , encuentra finalmente lo solicitado en esta actividad: el cambio
dr
instantáneo del volumen respecto al tiempo ( dv ) bajo el objetivo de predecir
dt

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
en qué tiempo reventará el globo (justifica tu respuesta). Para esto completa
la tabla siguiente:
b)
t 0 1
dv
dt
Actividad 5 (situaciones adidácticas de: acción, formulación y validación).
Basándote en el mismo problema, busca otro camino para encontrar dv y el tiempo
dt
en que reventará el globo; en consecuencia, realiza las siguientes actividades:
1) Completa la siguiente tabla
t 0 1
r 2
2) De acuerdo a la tabla anterior, completa la tabla siguiente, misma que nos
muestra la variación del volumen respecto a la variación del radio:
r 2
dv
dr
3) Basándote en la primera tabla de esta Actividad, completa la siguiente tabla.
Ésta nos muestra la variación del radio cuando transcurre el tiempo.
t 0 1
dr
dt
4) Basándote en las tablas anteriores y haciendo notar que r varia, en este
proceso, como variable independiente y como variable dependiente y; que las
variaciones t y r mantienen una dependencia funcional; además, que
queremos predecir el tiempo en el cual el globo reventará. Encuentra el
crecimiento del globo respecto al tiempo; esto es, encuentra dv al completar
dt
la tabla que a continuación se proporciona. Justifica tu respuesta.
t
dv
dt
0 1
La siguiente actividad permitirá la generalización y unificación de las nociones
función compuesta y regla de la cadena
253

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Actividad 6 (situaciones didácticas de: validación e institucionalización).
A. De acuerdo a la Actividad 4, cómo escribirías en forma general el procedimiento
seguido para encontrar dv ; es decir, encuentra una fórmula que represente la
dt
cadena de variaciones estudiadas en el crecimiento de volumen del globo.
Principalmente básate en el proceso utilizado para encontrar el inciso d)
B. De acuerdo a la Actividad 5, generaliza el procedimiento seguido para completar
la tabla del inciso 4); esto es, escribe una fórmula para dv .
dt
En la siguiente actividad se pretende usar el conocimiento reconstruido transitando
bajo diferentes contextos: uno social y dos matemáticos; bajo el fin de ampliar el
significado de la regla de la cadena.
Actividad 7 (situaciones adidácticas de: acción, formulación, validación e
institucionalización)
I. Encuentra, a través de la fórmula de la Regla de la Cadena obtenida en la
dv
Actividad 6, una fórmula para la variación del volumen del globo ( ) planteada en
dt
la Actividad 4. También, si t = 6 segundos, encuentra
dv
.
dt
2
Sea la siguiente ecuación diferencial: dy 3 2
2y
− y = 2x
, donde v = y . Se pretende
dx x
cambiar
dy
por
dv 2
. ¿Cómo derivarías v = y para lograr lo solicitado? Realiza tal
dx dx
cambio.
De acuerdo a la discusión anterior y a la introducción de las variables
y = f (x),
z = g(y
), u = h(z)
,
¿Cómo escribirías una cadena de cambios instantáneos en las variables z e y ,
con el fin de encontrar du ? Esto generaría una fórmula similar a la encontrada en la
dx
Actividad 5.
Bibliografía
Albert, A. (?). Introducción a la Epistemología. Serie: Antologías, N°2. Área de Educación Superior,
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Cantoral, R., et al. (2000a). Desarrollo del Pensamiento Matemático. Ed. Trillas. México
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254

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
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En G.L. Beitia (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Volumen 14. Grupo
Editorial Iberoamérica. Primera edición, pp. 64-75
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Análisis: una visión sociocultural. En G.L. Beitia (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática
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Farfán, R. (1997). Ingeniería Didáctica. Un estudio de la variación y el cambio. Grupo Editorial
Iberoamérica.
Klineberg, O. (1973). Psicología Social. Biblioteca de Psicología y Psicoanálisis. Fondo de Cultura
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255

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
DETECCIÓN DE LOS MODOS DE RAZONAMIENTO PROPICIADOS POR EL
DOCENTE DE ÁLGEBRA
256
Miguel Eslava Camacho, Eréndira Valdez Coiro
ISCEEM, Toluca Estado de México
meslava@itesm.mx, erevalco@att.net.mx
Resumen
Interesa a este estudio detectar modos de razonamiento matemático propiciados en los alumnos desde
las prácticas docentes de los profesores. Se pretende hacer un estudio de casos en donde se
identifiquen estos razonamientos. Algunas de las preguntas guía de este estudio son: ¿Qué relación
hay entre los propósitos de la asignatura con el perfil de egreso de la educación media superior? ¿De
que manera influye la formación del profesor en su práctica docente y que modos de razonamiento
desarrolla dentro de esta? ¿Qué es lo que busca el profesor en la bibliografía y qué fuentes consulta y
dónde las consulta? ¿Cuál es la dinámica ambiental dentro del aula? ¿qué tipo de actitudes se generan
en el aula? ¿se favorecen sujetos críticos y reflexivos, con la posibilidad de expresarse y de
preguntarse? ¿Qué tipo de actitudes muestran los alumnos? bajo la perspectiva de los modos de
pensamiento analizados por Sierpinska, quien maneja los modos geométrico–sintético, analíticoaritmético
y analítico-estructural. Frente a los altos índices de reprobación de los alumnos de
Bachillerato General en la asignatura de Álgebra, surge el desafío para los docentes de reemplazar la
memorización por una comprensión más profunda. Lo que se pretende es que las matemáticas sean,
para el estudiante, herramientas funcionales y flexibles que le permitan resolver las situaciones
problemáticas que se le planteen, en diversos ámbitos. A la perspectiva técnica se opone la
perspectiva práctica, a los dos puntos de vistas mencionados se agrega un nuevo enfoque: estratégico,
donde las actividades educativas están históricamente localizadas, las cuales tienen un lugar, sobre un
trasfondo socio histórico y proyectan una visión de la clase de futuro que deseamos construir.
Justificación.
La educación responde a las necesidades de la sociedad. Las matemáticas son un
fenómeno cultural (Bishop, 1999). De acuerdo a las experiencias obtenidas en la
práctica docente, se deduce que el proceso didáctico representa mayor dificultad que
otras asignaturas, tanto en su enseñanza como en su aprendizaje. Al pretender
enseñar no se consideran muchos y muy diversos factores: la naturaleza intrínseca de
los diferentes contenidos matemáticos (obstáculo epistemológico; Bachelard, 1938) la
forma como se enseñan éstos mismos (obstáculo didáctico; Chevallard, Bosch y
Gascón, 1997) la predisposición del alumno a la materia; las características y
necesidades del grupo en general y de cada alumno en particular; el enfoque que se le
pretende dar a la matemática escolar en el currículo vigente; el perfil de egreso del
alumno del nivel medio superior, entre otros aspectos. Al no considerar lo anterior
(por desconocimiento u omisión) lo lleva a reproducir los patrones con los que él
aprendió. Mi labor docente me ha llevado a cuestionar la manera cómo se enseña,
cómo se aprende y con que elementos contamos para poder fortalecer y apoyar los
procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática en general y del álgebra en
particular, en el tema de sistemas de ecuaciones lineales en el plano, en alumnos del
nivel medio superior del municipio de Toluca del Estado de México, bajo la
perspectiva de los modos de pensamiento distinguidos por Anna Sierpisnka (1996),
quien maneja principalmente los modos geométrico–sintético, analítico-aritmético y
analítico-estructural. Estos modos de razonamiento los entiende como secuencias en

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
el desarrollo del pensamiento algebraico, siendo los dos primeros los que se deben
desarrollar en el nivel antes citado. Sobre la base de lo anterior abordamos la
problemática del índice de reprobación de los alumnos en las asignaturas de Álgebra
II, Álgebra I y Física I reportados en el Informe de actividades 2002 de la
Subdirección de Bachillerato General del Estado de México, en el cual se señala que
los esfuerzos no han sido suficientes y que la realidad es cada vez más compleja
representando nuevos retos para alumnos y docentes, situación que exige nuevas
formas de enseñar, para dar a conocer estos campos. Con este proceso vital resuelto
en un mundo de tensiones, el profesor debe ingeniárselas para que le presten atención
y se interesen en las matemáticas que están estipuladas en los planes y programas
actuales. El compromiso con su trabajo es impulsado por cuatro necesidades a cubrir:
“… ser reconocido, expresarse a sí mismo, comprensión y por último implicarse con otros o prestarles
la debida atención…” (Strong, Silver y Robinson 1995). Estas necesidades proporcionan
una buena base para que los profesores puedan estructurar su trabajo con jóvenes
curiosos, imaginativos y sociables que desean superarse. Los profesores de
matemáticas son quienes reforman o no la enseñanza y definen el impacto que tiene
esta asignatura en los estudiantes, dependiendo de su práctica del docente. Por medio
de un estudio de casos se detectará el modo o los modos de razonamiento matemático
que los docentes propician en los alumnos.
Antecedentes. En el contexto de las instituciones que atienden el servicio de
educación media superior en el Estado de México, el Bachillerato General es la
opción que absorbe una mayor cantidad de matrícula (atiende el 12% del país)
respecto al sector autónomo, federal y particular. El desarrollo del servicio de
bachillerato general se funda en una serie de directrices que tienen que ver con las
contenidas en el programa Nacional de Educación 2001-2006 y en el Programa
Institucional a mediano plazo 2000-2005, además de las planteadas en el Plan
Maestro, bases y líneas de trabajo para el bachillerato general 2001-2005. En estos
documentos se delinea la plataforma que orienta los programas, proyectos y acciones
que desarrolla el subsistema educativo; las prácticas, los procesos, los resultados y los
productos. La relación escuela-realidad está presente en los procesos de intervención.
Las condiciones y circunstancias que conforman este contexto de realidad, tienen que
ver con variables que devienen de ámbitos locales, regionales, nacionales y globales,
sobre todo de estos últimos que de manera inevitable repercuten en la escuela. El
diagnóstico presenta el mayor índice de reprobación en álgebra, situación que exige
nuevas estrategias de enseñanza y la capacitación del personal docente para superar
incongruencias respecto de las necesidades de Planes y Programas de Estudio
manifiestas en el proceso de enseñanza 2 . Las matemáticas son un producto del
quehacer humano. Muchos desarrollos importantes de esta disciplina han partido de
la necesidad de resolver problemas concretos. Se pretende que las matemáticas sean
para el estudiante herramientas funcionales y flexibles que le permitan resolver las
situaciones problemáticas que se le planteen, en diversos ámbitos, allí radica la
importancia de crear conocimientos significativos en los alumnos, por sus variadas
repercusiones.
2 Informe de actividades 2002 de la Subdirección de Bachillerato General. Pp. 9
257

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La perspectiva técnica, la práctica y la estratégia de la educación
El punto de vista técnico sobre la educación suele ser el más difundido. En el
planteamiento de la enseñanza y el currículum, las provisiones educativas se tratan
como conjuntos destinados a una finalidad definida; se trata de convencer que los
problemas de la educación no son más que obstáculos de un “sistema de
aprovisionamiento” (criterio materialista), superables mediante mejoras técnicas; en
donde no se hace necesario ocuparse de las finalidades de la educación, ni de los
efectos secundarios de unas tradiciones injustas o de unos sistemas inadecuados,
tampoco de los trastornos sociales que exigen de los jóvenes otro conocimientos,
aptitudes y capacidades. La imagen de la educación aparece en un medio marcado
por la institucionalización de la enseñanza, la relativa uniformidad en la organización
de las clases, la sistematización de la curricula y la burocratización de los
profesionales, concibiendo que la tarea de la clase se puede describir completamente
con el lenguaje de la técnica.
La Perspectiva práctica
Desde este punto de vista la educación constituye esencialmente un proceso o una
actividad, que tiene lugar en situaciones sociales (fluidas y abiertas) de gran
complejidad, cuyos protagonistas han de tomar un gran número de decisiones. El
enfoque práctico asume que el mundo social es, en suma, demasiado fluido y
reflexivo, para permitir la sistematización y que los hechos escolares o de la vida de
la clase, nunca dejaran de tener un carácter abierto e indeterminado. La influencia
sólo puede ejercerse mediante la deliberación práctica y la intervención medida y
razonada, en la vida de la clase. La práctica no se deja reducir al control técnico. La
destreza profesional desde este punto de vista, no consiste en diseñar un conjunto de
secuencias de medios o técnicas que conduzcan a los alumnos, hacia unos resultados
de aprendizaje previstos, sino en una orientación y reorientación, siempre
espontáneos y flexibles del aprendizaje, orientadas por una lectura perceptiva de los
sutiles cambios y reacciones de los demás participantes. Para describir los procesos
de la educación, el lenguaje de lo práctico, que identifica y nombra aspectos de la
educación, que no captaba la perspectiva técnica; en particular, cuando predomina el
lenguaje técnico, se elimina inadvertidamente la dimensión moral de la educación; es
por ello que para que estos dos puntos de vista, se vean en su relación mutua, surge la
necesidad de crear un lenguaje nuevo, que describa la educación dando cuenta de sus
aspectos prácticos y técnicos, es decir identificando los elementos sistémicos
institucionales e instrumentales (medios/fines) de la educación, así como su carácter
práctico y moral.
La Perspectiva estratégica
Desde este punto de vista estratégico, todos los aspectos de un acto educativo pueden
considerarse problemáticas: Su propósito, la situación social que reproduce o sugiere
su manera de crear o limitar las relaciones entre los participantes, la clase de medio
en que opera (pregunta-respuesta, recitado, simulación, juego, memorización) y la
clase de conocimientos a que da forma. Las actividades educativas están
históricamente localizadas, las cuales tienen un lugar, sobre un trasfondo
258

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
sociohistórico y proyectan una visión de la clase de futuro que deseamos construir, en
la conciencia de que la educación constituye una actividad social, cuyas
consecuencias son sociales, y no sólo cuestión de desarrollo individual; también es
intrínsicamente política, pues afecta a las oportunidades vitales de los que intervienen
en el proceso educativo, están en condiciones de influir sobre el carácter y las
expectativas de los futuros ciudadanos.
El saber de los maestros
Parte de lo que saben los maestros, tienen sus raíces en el hábito, el ritual, el
precedente, la costumbre, la opinión o las meras impresiones y otros saberes, como
podría ser el de una teoría sobre las diferencias entre las aptitudes individuales, son
esencialmente abstractas, siendo preciso estudiar sus implicaciones concretas a fin de
retomarlos bajo la perspectiva del análisis crítico; bajo este análisis los problemas y
cuestiones educacionales no siempre se reducen a la esfera individual, sino que
pueden asumir una dimensión social y su resolución satisfactoria exige una acción
colectiva o común. “Una teoría crítica de la educación demanda, además de una
disposición para pensar críticamente, una comunidad crítica de profesionales
dispuestos a emprender un examen de la profesión enseñante, así como de las
circunstancias bajo las cuales está desempeña su misión” Carr, W. y Kemmis S.
(1988).
La acción estratégica está informada por cierto marco de pensamiento o racionalidad
y cuenta además con una práctica que le confiere significado material, es más idónea
para la reflexión crítica. Su racionalidad se funda en la idea del esfuerzo en
colaboración entre docentes y estudiantes y su alcance práctico es el de un arreglo
operativo que puede beneficiar a unos y a otros en la empresa común. Teoría y
práctica se contemplan como provisionales y susceptibles de modificación a la luz de
la experiencia. Algunos tipos de conocimiento proporcionan un fundamento más
eficaz que otros a la reflexión crítica, puede bastar con atender a los tipos de saberes
que los enseñantes poseen y utilizan en su trabajo; siendo un aspecto esencial de la
educación como praxis.
− Los de sentido común de la práctica, que constan simplemente de suposiciones u opiniones.
− El saber popular de los docentes. Es el que se adquiere con la experiencia, al entender lo que les
inquieta a sus alumnos.
− Serie de destrezas para la conducción de grupo
− Saberes contextuales; lo que se sabe de esta clase, de la comunidad o del alumno en concreto, nos
da la referencia para valorar la relevancia de las tareas.
− Conocimientos profesionales sobre las estrategias de la enseñanza y sobre el currículum, sus
posibilidades, sus formas, su sustancia y sus efectos.
− Las ideas relacionadas con las teorías morales y sociales y los planteamientos filosóficos; sobre
como pueden y deben interrelacionarse las personas, sobre el desarrollo y la reproducción de las
clases sociales, sobre la aplicación del saber en la sociedad, ó sobre la verdad y la justicia.
Algunos de nuestros “saberes” se derrumbarán tan pronto como empecemos a
tomarlos en serio como guía para la acción; otros resultarán modificados,
profundizados y mejorados a través del análisis y de la verificación activa. El análisis
crítico sólo es posible cuando lo teórico (el saber organizado) y lo práctico (la acción
organizada), pueden tratarse bajo el prisma de una problemática unificada, abierta a
la reconstrucción dialéctica (la teoría y la práctica mutuamente integradas), a través
259

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
de la reflexión y la revisión. Dentro de los saberes profesionales y contextuales, se
encuentra el programa a desarrollar, en el cual no sólo se localizan a groso modo los
contenidos temáticos, sino también una parte muy importante: Los propósitos del
curso y de cada tema, los cuales son de diferente tipo: procedimental, conceptual y
actitudinal, de ahí la variedad y pertinencia de cierto diseño de estrategia de
enseñanza. Para lograr el éxito de estos propósitos, el docente y los alumnos tienen
que tener claras las normas que van a regular las diferentes interacciones entre ellos,
definido como: “contrato didáctico”, éste va a regular la interacción social entre los
diferentes actores en el contexto del aula, el cual va a variar dependiendo del
propósito, esto es:
Propósito Responsabilidad del Responsabilidad del Actividades
profesor
alumno
Procedimental Elegir, ejemplificar y • Interpretar • Cambio
resolver los diferentes correctamente las relativamente
Problemas tipos de problemas. resoluciones “Pensar frecuente de tipos
los problemas” de problemas,
Práctica Responsabilidad • Resolver por su exigiendo esto a
compartida en la
producción de nuevas
propia cuenta
algunos problemas
explorar nuevos
tipos de problemas
técnicas apoyándose en de cada tipo.
por parte del
el dominio robusto de
las técnicas existentes.
o Rutinizar ciertas
técnicas centrándose
alumno.
o Resolver un gran
en ellas y utilice los número de ejercicios
problemas para parecidos y
probarlas
repetitivos
Conceptual Presentación, Tener la
Definir e
(Teoría) Elegir formular responsabilidad de identificar
y plantear las atender e investigar características y/o
cuestiones
la teoría tratada en propiedades
tecnológicas que
han de tratarse en
clase
clase
Actitudinal Concientizar de Asumir una actitud Analizar
(Valores) la importancia de de respeto a los diferentes lecturas
estos
valores universales sobre la ética.
(buscando que sean
agradables e
interesantes)
De hecho el contrato pone a profesor y alumno ante una paradoja: Si aceptan que,
como indica una cláusula del contrato, el profesor “enseñe” los resultados al alumno,
entonces este no puede establecerlos por sí mismo y, por tanto, no aprende
matemáticas. El aprendizaje no descansa, en realidad, sobre el buen funcionamiento
del contrato sino sobre sus rupturas (ajustes del contrato); sin embargo, en el
momento de las rupturas parece como si un verdadero contrato implícito uniera al
profesor y al alumno. Se produce así una crisis que origina la renegociación y
búsqueda de un nuevo contrato en función de los nuevos conocimientos adquiridos o,
al menos, apuntalados. El conocimiento matemático resolverá las crisis originadas
por las rupturas del contrato
260

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
El papel del profesor en el paradigma cognitivo
Dos de las cuestiones centrales que a los psicólogos educativos de tendencia
cognitiva les ha interesado resaltar, son las que señalan que la educación debería
orientarse al logro de aprendizajes significativos con sentido y al desarrollo de
habilidades estratégicas generales y específicas de aprendizaje (Ausubel 1975, Coll
1988, Gagné 1990, García Madruga 1990, Novak y Gowin 1988, Pozo 1990). La
Educación es un proceso sociocultural mediante el cual una generación transmite a
otra saberes y contenidos valorados culturalmente, que se expresan en los diferentes
currículos, estos contenidos deberán ser aprendidos por los alumnos de la forma más
significativa posible, ya que los contenidos curriculares deben ser presentados y
organizados de tal manera que los alumnos encuentren en ellos un sentido y un valor
funcional para aprenderlos; sin embargo no basta con la mera transmisión de los
contenidos por parte de los agentes instruccionales incluyendo esto al profesor, el
cual parte de la idea de un alumno activo que aprende significativamente que puede
aprender a aprender y a pensar, en este sentido se centra especialmente en la
confección y la organización de experiencias didácticas para lograr estos fines, a
diferencia del profesor tradicionalista no debe centrarse exclusivamente en la
enseñanza de la información, ni en tener el papel protagónico, por el contrario debe
estar interesado en promover en sus alumnos el aprendizaje con sentido de los
contenidos escolares, para tales fines será necesario hacer un uso creativo de las
denominadas estrategias cognitivas de enseñanza, en sus cursos o situaciones
instruccionales.
Características y necesidades del estudiante del nivel medio superior
El docente no siempre toma en cuenta las características y necesidades de los
estudiantes del nivel medio superior, al planear y diseñar sus estrategias de
enseñanza, aprendizaje y evaluación; tales como:
− Adaptarse a profundo cambios físicos, intelectuales, sociales y emocionales.
− Desarrollar un concepto positivo de sí mismo
− Experimentar y crecer hasta conseguir si independencia
− Desarrollar un concepto de identidad y de valores personales y sociales
− Experimentar la aceptación social, la identificación y el afecto entre sus iguales, superando los
conflictos de género.
− Desarrollar enfoques positivos con respecto a la sexualidad, emoción y el deseo en el contexto de
unas relaciones afectivas responsables.
− Ser plenamente conscientes del mundo social y político que les rodea, así como de su habilidad
para afrontarlo y de su capacidad para responder de forma constructiva al mismo.
− Establecer relaciones con adultos y con los niños en las que puedan tener dichos procesos de
crecimiento 3
3
Hargreaves, A., Earl, L. y Ryan, J. Una educación para el cambio./ Reinventar la educación de los adolescentes.
Pág.37.
261

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Diferentes tipos de contratos que regulan las interacciones en el aula 4
262
Tipo de
Contrato
Didáctico
Pedagógico
Escolar
Cómo se define
Puede considerarse
formado por el conjunto de
cláusulas (redefinidas
continuamente), que de
una manera más o menos
implícita, rigen, en cada
momento, las
responsabilidades
recíprocas de los alumnos
y el profesor, en lo que
concierne al conocimiento
matemático enseñado.
Tomando un sentido
preciso en el marco de la
teoría de situaciones de
Guy Brousseau, indicando
que debería de hablarse de
un proceso de búsqueda de
un contrato hipotético
Regula las interacciones
entre alumnos y profesores
independientemente del
contenido de estudio
(asignatura), gobernando
los aspectos generales que
afectan al entorno del
estudiante.
Gobierna las instituciones
sociales particulares
(escuelas), definiendo la
posición genérica del
alumno.
Implicaciones y asignaciones
para el profesor
Asigna al profesor en cuanto a
director de estudio la
responsabilidad de elegir los
tipos de problemas que
constituyen el currículo y de
ejemplificar en cada caso la
manera de resolverlos.
Exige del profesor una
atención y responsabilidad
especiales a sus alumnos y sus
condiciones de trabajo
Es el encargado de conducir
(guía) al alumno hacia y hasta
las obras que éste debe
estudiar (pedagogo)
Implicaciones y
asignaciones para el
alumno
Es responsable de
interpretar las
resoluciones
propuestas por el
profesor y resolver
por su propia cuenta
algunos problemas
de cada tipo.
Exigiendo al alumno
una confianza
general a sus
profesores en sus
decisiones y l respeto
a su autoridad.
Considera al alumno
como toda aquella
persona que
interrumpiendo sus
actividades
"normales" va a una
escuela a instruirse,
proporcionando un
salvoconducto para
acceder
legítimamente a
ciertas obras de la
sociedad que no le
son normalmente
accesibles, en esta
posición tiene más
libertad que en
cualquier otra con
respecto a las normas
sociales y culturales
de su entorno.
4
Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar Matemáticas./ El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje
pp. 203-206 y 278-280.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
La naturaleza epistemológica y los modos de pensamiento del álgebra lineal.
Distingue Sierpinska (1996) para el pensamiento matemático tres modos de
pensamiento: Sintético-geométrico, analítico aritmético y analítico estructural, sin
que la aparición de alguno de ellos elimine a su antecesor. Aclara la autora que no es
conveniente considerar a los modos de pensamiento citados como: “estados en la
evolución del pensamiento algebraico… es preferible verlos como modos de pensamiento que son
igualmente utilizados, cada uno dentro de su propio contexto y para propósitos específicos,
principalmente cuando ellos están en interacción”. El álgebra lineal se inicia como un
proceso de pensar analíticamente acerca del espacio geométrico, según etapas
referidas a dos procesos:
Uno fue la aritmetización del espacio, al pasar de la geometría sintética a la geometría analítica en
n
R . En esta etapa, se define un objeto mediante una fórmula que permite calcularlo. El otro fue
la desaritmetización del espacio o su estructuralización, cuando los vectores perdieron las
n
coordenadas que los ataban al dominio de los números y los espacios aritméticos en R , fueron
definidos mediante un conjunto de axiomas o propiedades. En esta segunda etapa, un objeto estaba
mejor definido mediante un conjunto de propiedades y se pretendía lograr, según Hamilton
(1967), el estatuto de un sistema de verdades o “Ciencia como la geometría”, por oposición a ser
sólo un sistema de reglas (Arte) o un sistema de expresiones (Lenguaje).
Se habla entonces de dos tipos de pensamiento en el álgebra lineal, llamados:
“Analítico” y “Sintético”. Analítico, es similar a la expresión “geometría analítica”,
es el tipo de pensamiento y lenguaje que caracteriza al álgebra lineal en el periodo de
la aritmetización. El Sintético por su parte se divide en sintético–geométrico y
sintético-algebraico. Ambos son característicos de la desaritmetización, ambos son
visuales. El primero construye cosas mediante la interacción de rectas o planos y la
construcción algebraica se acerca más a la síntesis como es entendida por Kant; dado
un objeto y luego generamos su concepto formulando un conjunto de axiomas que
describen sus propiedades. La principal diferencia entre los modos de pensamiento
sintético y analítico es que en el modo sintético los objetos matemáticos son en cierto
sentido, dados directamente a la mente la cual entonces trata de describirlos, mientras
que en el modo analítico ellos son dados indirectamente. De hecho, son construidos
solamente por la definición de las propiedades de los elementos. Dorier (1995),
menciona que los conceptos del álgebra lineal son difíciles de entender, porque son
de naturaleza epistemológica sofisticada y abstracta. Cuando los conceptos son
introducidos como herramienta del pensamiento, acerca de problemas en varios
contextos (Fletcher, 1972) habría en los estudiantes un proceso de conceptualización
y no una aplicación mecánica de cálculos técnicos, por lo que la actividad teórica
sería desarrollada en la interacción con la actividad práctica.
Planteamiento del problema (que veo y que pretendo observar).
La enseñanza de las matemáticas tiene que tener en cuenta los significados
matemáticos, tal y como se construyen en las interacciones directas o mediadas entre
seres humanos, resaltando que en la comunicación del contenido o significado puede
ser más importante que el modo de interacción personal, por lo anterior y debido a la
complejidad epistemológica del contenido que nos ocupa, surge la necesidad de hacer
este estudio de caso, dirigido a los maestros que imparten la asignatura de Álgebra II,
específicamente en el tema sistemas de ecuaciones lineales en el plano y en particular
263

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
los modos de pensamiento abordados y propiciados por el docente en la interacción
dentro del aula.
Bibliografía
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264

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
EDUCACION MATEMATICA Y EDUCACION A DISTANCIA. UN ESTUDIO
DE ARTICULACIÓN ENTRE LA UNIVERSIDAD Y LA EDUCACION
POLIMODAL.
Graciela Guala; Edgardo Güichal; Ana Malet, Viviana Oscherov
Departamentos de Matemática y de Humanidades. Universidad Nacional del Sur. Argentina
gguala@arnet.com.ar; eguichal@criba.edu.ar; oscherov@criba.edu.ar; amalet@criba.edu.ar
Resumen
En este trabajo se analiza la articulación entre la Educación Polimodal y la Universidad en el área de
Matemática, problema real y de gran actualidad en el marco de la crisis que está sufriendo nuestra
sociedad en general y la educación en particular. Crisis no sólo económica y social sino también de
acceso al conocimiento. El mismo se enmarca en el Proyecto de Investigación Interdepartamental: La
Universidad y las formas alternativas de acceder al conocimiento. Diseño, implementación y
seguimiento de una propuesta de Educación a Distancia en la Universidad Nacional del Sur, que tiene
por objetivos: identificar los modos de comunicación didáctica pertinentes para una propuesta de
educación a distancia, establecer relaciones entre los distintos soportes y las estrategias de lectura que
se ponen en juego y evaluar los alcances de la experiencia en vistas a prever nuevas alternativas en la
enseñanza universitaria. El Proyecto toma inicialmente el problema de la articulación tanto en el
ámbito de Matemática como en el de Comprensión de Textos. Desde el punto de vista metodológico
se ha trabajado con una propuesta de estudio de casos, seleccionándose para la investigación una
escuela Agrotécnica de Educación Polimodal que incluye en su programa institucional la articulación
con la Universidad. Con respecto a la Educación Matemática se optó por la resolución de problemas
como estrategia de trabajo con los alumnos y la propuesta se desarrolló desde la perspectiva
pedagógica de la Educación a Distancia. La particularidad de esta situación promovió la elaboración de
materiales de estudio, la implementación de tutorías presenciales y por e-mail. El propósito de esta
ponencia es presentar los resultados provisorios obtenidos en la experiencia iniciada en el 2001 y
continuada en el transcurso del 2002.
Introducción
Este trabajo da cuenta de una experiencia en Educación a Distancia realizada en el
marco del Proyecto de Investigación Interdepartamental: La Universidad y las formas
alternativas de acceder al conocimiento. Diseño, implementación y seguimiento de
una propuesta de Educación a Distancia en la Universidad Nacional del Sur, que
tiene por objetivos: identificar los modos de comunicación didáctica pertinentes para
una propuesta de educación a distancia, establecer relaciones entre los distintos
soportes y las estrategias de lectura que se ponen en juego y evaluar los alcances de la
experiencia en vistas a prever nuevas alternativas en la enseñanza universitaria. Nos
abocamos inicialmente al problema de la articulación entre Universidad y Nivel
Polimodal en el Area de Matemática. Nuestra hipótesis de trabajo se centró, más que
en incrementar la posibilidad de acceso a la información en la actualidad, en el
problema del desarrollo de estrategias para favorecer o potenciar un aprendizaje
autónomo. Pensamos que la modalidad a distancia para llegar a los alumnos en el
año previo a su ingreso a la Universidad, es una herramienta que les permitirá una
primera aproximación al conocimiento de algunas características de organización y
modos de trabajo de la institución en la que continuará sus estudios, contrastando con
sus propias representaciones. En lo metodológico se trabajó con una propuesta de
estudio de casos, seleccionando una escuela Agrotécnica de Educación Polimodal que
incluye en su Proyecto Institucional la articulación con la Universidad. Con respecto
265

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
a la Educación Matemática se optó por la resolución de problemas como estrategia de
trabajo con los alumnos y la propuesta se desarrolló desde la perspectiva pedagógica
de la Educación a Distancia, elaborando materiales de estudio e implementando
tutorías presenciales y por e-mail.
¿Por qué la educación a distancia? El crecimiento año a año de los porcentajes de
abandono y deserción de los alumnos del primer año universitario demandan un
trabajo de articulación de la Universidad con el Nivel Polimodal, y ello debe
realizarse no sólo con los alumnos residentes en la ciudad de emplazamiento de la
universidad sino, y muy especialmente, con los que habitan la amplia zona de
influencia de la misma.
La elección del concepto matemático a tratar: el concepto de función.
Consensuamos a abordar el concepto de función, en su doble carácter de herramienta
y de objeto y dado que la importancia de lograr su comprensión va más allá de la
consideración de su uso en un curso de Cálculo. Este concepto está ligado al rol
central que juega como unificador en Matemática y como eje vertebrador tanto en el
Nivel Polimodal como en el primer año del Nivel Universitario. En la actualidad y
particularmente en los medios de comunicación, la mayor parte de la información
referida a fenómenos de cambio, se expresa a través de tablas y de gráficos. Ambos
constituyen registros de representación de una función. De la misma forma y en el
campo de enseñanza de las ciencias, aparece fuertemente el uso de la función como
modeladora de situaciones tanto del mundo real como de la matemática.
¿Por que nuestra elección de la resolución de problemas como metodología de
trabajo? Uno de los objetivos esenciales de la enseñanza de la matemática es que lo
que se enseña tenga sentido para el alumno. Al respecto Brousseau (1993) indica que
el sentido de un conocimiento matemático se define: no sólo por la colección de
situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo
por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de
solución, sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que
evita, de economía que procura, de formulaciones que retoma, etc. Nos surgen las
siguientes preguntas: ¿Cómo hacer para que los conocimientos que enseñamos tengan
sentido para el alumno? ¿Cómo pasar de las representaciones parciales y
fragmentadas que del significado de un concepto tienen los alumnos a
representaciones más abarcativas y completas? Según Charnay (1994) es la aparición
de las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas las que
favorecerán la construcción del sentido, sólo después se podrán estudiar estas
herramientas por sí mismas. En el mismo sentido, Regine Douady sostiene que los
conocimientos matemáticos deben ser construidos por los alumnos en un proceso
dialéctico, proceso en el cual los conocimientos son primero instrumentos,
herramientas, recursos para resolver problemas, para luego ser considerados como
objeto de estudio en sí mismo. Coincidimos en que los conceptos se elaboran a partir
de la interacción con un conjunto de problemas que le dan sentido. Un primer
aspecto a considerar es brindar la oportunidad de emplear el concepto en la mayor
cantidad de situaciones diferentes para las cuales el mismo constituya un instrumento
adaptado así como propiciar que los alumnos establezcan relaciones entre las distintas
266

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
clases de problemas de manera de entender por qué todos se resuelven utilizando el
mismo concepto. Considerando el privilegio habitual del contexto algebraico,
definimos un espacio de problemas en el que tratamos de poner en juego diversos
contextos de utilización del concepto relacionándolos. Así mismo se trabajó con
distintos registros de representación procurando presentar actividades que permitieran
su articulación.
¿Con quiénes y cómo se planteó la experiencia?
Se planteó en una escuela Agrotécnica, a 120 Km. de la ciudad de Bahía Blanca, que
contaba con un espacio institucional destinado a facilitar a los alumnos de tercer año
de Polimodal “el camino hacia la universidad”. Se concretaron acuerdos específicos
que permitieran ajustar el trabajo de apoyo que ya estaba en marcha, con nuestra
propuesta, más cercana a los procesos de nivelación en Matemática y Comprensión
de Textos habituales en nuestra universidad. Estos acuerdos establecieron lo
siguiente:
- La escuela seguiría manteniendo los dos Talleres de su Proyecto
Institucional: uno destinado a la resolución de problemas matemáticos y el
otro enfocado a afianzar distintas técnicas de estudio, vinculada a la
comprensión de textos. Ambos coordinados por un docente de la institución.
- Se establecía, además, un espacio virtual en el que trabajarían los tutores
integrantes del equipo de investigadores de la UNS y los alumnos inscritos en
ambos talleres. La comunicación quedaría asegurada a través del correo
electrónico.
- Los profesores a cargo de los talleres deberían monitorear la marcha de la
experiencia y podrían señalar obstáculos y logros, pero sin intervenir en
cuestiones disciplinares.
- Se instauraba un espacio virtual en el que los integrantes del equipo de
investigación y los docentes mencionados trabajarían sobre cuestiones
vinculadas a la capacitación.
- Se preveían también algunos encuentros presenciales en ambas instituciones.
La experiencia se planteó desde el equipo de Matemática acordándose una modalidad
de trabajo con los alumnos del último año que comprendía encuentros virtuales y
presenciales.
Los primeros estuvieron organizados del siguiente modo:
- Envío por parte de los tutores, a través del correo electrónico, de tres módulos
conteniendo problemas, uno por cada trimestre. Se estableció un cronograma
con fechas de entrega tanto de los módulos como de las respuestas de los
mismos y corrección.
- Consultas al tutor, por e-mail, intercambiando información y orientaciones
pertinentes.
- Envío de las resoluciones a las direcciones electrónicas dispuestas para tal
fin.
- Envío de la corrección a cada grupo.
- Reflexiones conjuntas sobre los errores en los casos en que fue necesario.
Los encuentros presenciales fueron tres, dos en la universidad y uno en la escuela.
267

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Material utilizado y actividades realizadas. Módulos: Fueron enviados a los
alumnos a través del correo electrónico en tres entregas, previo un diagnóstico para
saber cuáles eran los conocimientos disponibles de los alumnos participantes de la
experiencia.
Primera entrega: En esta primera entrega se propone la resolución de problemas
referidos al número real. Pensando en resignificar herramientas necesarias para
trabajar con funciones se propuso la lectura e interpretación de diagramas de barras
de los cuales se podía extraer información, uso de intervalos, orden en el eje real,
identificación de puntos sobre una recta graduada, porcentaje, ecuaciones, conceptos
y procedimientos necesarios para trabajar las funciones teniendo en cuenta distintos
contextos y representaciones. Segunda entrega: En este caso podríamos distinguir
dos etapas. En la primera utilizamos problemas en los que las funciones se definen
por medio de gráficos. Ninguno de ellos responde a modelos elementales puesto que
el objetivo no era la elaboración de modelos sino la lectura e interpretación de
gráficos. Ambas cosas son perfectamente abordables y permiten una interesante
introducción al concepto que estábamos trabajando a partir de situaciones reales,
externas a la Matemática en este caso, que sirven de soporte concreto para la
elaboración del concepto. Se propusieron situaciones en distintos contextos que
favorecieran el desarrollo de una capacidad de análisis para obtener la máxima
información correcta posible. Desde la visualización e interpretación, se requería
obtener la información necesaria para la identificación de aquellas características del
concepto objeto-función: intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos máximo
y mínimo, concavidad. En la segunda etapa consideramos el aspecto modelizador de
las funciones y trabajamos con problemas para los cuales las funciones polinómicas y
particularmente las de primero y segundo grado constituyeron el modelo,
incluyéndose aspectos cuantitativos y cualitativos, teniendo presente que los alumnos
no conocían los elementos del cálculo diferencial pero sí características de funciones
tales como la lineal y la cuadrática que permitieron la búsqueda de respuestas desde
lo gráfico, lo geométrico y lo numérico.
Tercera entrega: Propusimos una nueva vuelta de tuerca al concepto de función,
desde lo geométrico en un tratamiento dinámico, tanto en el plano como en el
espacio.
Los encuentros presenciales en la modalidad de taller. Estos encuentros fueron
pactados con la escuela, teniendo como objetivo principal el llevar a cabo una real
articulación, de tal manera que, los alumnos que participaban de la experiencia, no
solo concurrieran a los Talleres organizados por el equipo, sino que también tomaban
contacto con la Universidad en sus distintos aspectos: edilicio, académico, normativo.
Visitaron la Biblioteca Central, estuvieron en contacto con alumnos de distintos
centros de estudiantes, recibieron informaciones generales sobre carreras y servicios
que nuestra universidad brinda al estudiante (becas, comedor, residencias, etc),
visitaron distintas dependencias. Por otra parte estas reuniones permitieron el
encuentro del equipo de investigación con los alumnos que participaban en la
experiencia, docentes y directivos de la escuela. La interacción cara a cara posibilitó
un espacio para la consulta y la orientación, la reflexión sobre los errores y formular
aquellas preguntas que la comunicación por e-mail había acallado. Además
permitieron plantear nuevos problemas integradores que hacían hincapié en distintos
268

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
aspectos del concepto de función, que a través de las respuestas enviadas por mail, se
habían detectado como fragmentados. En el primer encuentro se trabajaron
situaciones problemáticas que abordaron el contenido números reales, fundamental
para la construcción del concepto de función, y hubo un espacio de consulta y de
reflexión sobre la forma de comunicación de resultados. En el segundo encuentro - en
la escuela - los alumnos, el docente responsable del grupo en la misma y el equipo de
investigación participaron de un Taller trabajando con situaciones problemáticas en
las que se abordaba el contenido funciones de segundo grado como modelos en
distintos contextos. Esta instancia resultó fundamental para la recuperación de
saberes y para el trabajo con distintos registros de representación. En el tercero y
dado que para la resolución de los problemas correspondientes a la tercera entrega los
alumnos habían tenido mayores dificultades - el contexto geométrico había sido muy
poco trabajado en años anteriores - se dejó un amplio espacio para la consulta, la
orientación y la reflexión sobre estos aspectos del concepto.
Observaciones que dan cuenta de algunos logros y dificultades
En cuanto a lo técnico. El material se envió por e-mail a cada estudiante con acceso
a Internet, a la escuela y al docente a cargo del Taller en la escuela, asegurándose la
recepción del material por parte de todos los participantes. Las dificultades se
manifestaron en el envío de respuestas a los problemas por los alumnos, lo que
mostró claramente las diferencias entre quienes contaban con acceso a la tecnología y
quienes no.
En cuanto a lo disciplinar. Puesto que el concepto de función ya ha sido tratado en
años anteriores, el objetivo fue el de la resignificación del mismo pero considerando
la necesidad de que el alumno comience a ajustar notaciones que tienen que ver con
el lenguaje matemático. Tanto el desconocimiento como la ambigüedad en la
expresión constituyen importantes obstáculos en el primer año universitario al
momento de comprender el lenguaje científico, no sólo en Matemática, es
fundamental la adquisición gradual del mismo. En este sentido, observamos que
notaciones como la de intervalo, particularmente al utilizarla para expresar el dominio
de funciones, no son conocidas, o no se tienen en cuenta al momento de escribir la
respuesta a una pregunta específica. En general, estas respuestas no estaban
claramente expresadas y en algunos casos, el desarrollo del problema no aparecía
explícitamente. El primer encuentro presencial posibilitó la reflexión conjunta sobre
cuestiones que tienen que ver con la comunicación. En algunos casos, cuando la
solución del problema requería usar la función lineal como herramienta, se utilizaba
la regla de tres simple, aun en los casos en que su uso era incorrecto. Siempre
trabajando con funciones lineales y en el caso de la determinación de puntos de
equilibrio, igualaron expresiones algebraicas pero sin tener en claro que lo que
realizaban era la igualdad entre funciones y que resolvían un sistema de ecuaciones.
En general, los alumnos tuvieron dificultades y en algunos casos no pudieron resolver
problemas que se modelizaban con la función cuadrática, ya sea por falta de
conocimiento o porque habían puesto el foco en gráficos realizados utilizando tablas
de valores. El segundo encuentro presencial, permitió la recuperación de saberes
desde lo algebraico, su utilización al completar cuadrados y su uso para determinar el
vértice de la parábola y su eje de simetría. Así mismo se trabajó con la resolución de
269

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
la ecuación de segundo grado, que los alumnos tenían bien presente, pero ahora
resignificándola para determinar ceros de la función y relacionarlos con los puntos de
intersección de la parábola con el eje X. Estos elementos permitieron realizar un
gráfico más ajustado de dicha función, cambiar de registros de representación y
resolver problemas de optimización sin necesidad de recurrir a herramientas del
cálculo. Si bien habían trabajado en años anteriores las herramientas algebraicas, no
las reconocían al momento de cambiar de registro de representación. Al tratar la
función vinculada a cuestiones geométricas tanto en el plano como en el espacio los
alumnos tuvieron dificultades para reconocer la necesidad del uso de semejanza, el
Teorema de Thales, que parece que no se hubiera visto en años anteriores, no así el
Teorema de Pitágoras, cuyo enunciado, aunque no su uso, parece muy presente en la
mayoría de los alumnos.
La encuesta. No analizaremos aquí las respuestas a todas las preguntas. Queremos,
con respecto a las preguntas: ¿Qué aprendizajes nuevos crees que lograste por la
realización del curso? y Con respecto a los contenidos tratados: ¿Algunos fueron
nuevos? ¿Cuáles? ¿Tuviste dificultades con alguno de ellos? ¿Con cuáles? señalar
algunas respuestas que nos parecen interesantes:
- Aprendí a pensar y razonar más las situaciones problemáticas.
- Los aprendizajes fueron matemáticos y a interpretar un problema, analizarlo
y probar distintas chances de resolución.
- Incorporé nuevos temas, reví los temas que ya no me acordaba o
simplemente nunca lo había aprendido.
- Creo que el mayor aprendizaje que tuve o que mejor pude profundizar es la
interpretación de problemas, que me cuesta mucho actualmente y me va a seguir
costando, creo que en la mayoría de los problemas había que tener en cuenta
muchas cosas ya vistas en años anteriores que ya no se acordaban en mi caso.
- Lo que sí aprendí es a encarar los problemas de distinta forma y siempre
llegar a una misma respuesta.
- Hubo muchos contenidos que no tenía muy en claro y con este curso pude
profundizar más los temas y darme cuenta que cada situación tiene muchos
caminos que la resuelven.
- Como aprendizaje podría decir que me sirvió para una mejor comprensión
de los enunciados.
- Aprendí a trabajar con trabajos prácticos y plazos de entrega.
- Nos ayudó a resolver los problemas que están más conectados con la
realidad y así aplicarlos.
- Los aprendizajes nuevos que logré es poder entender algunas otras cosas que
por ahí no me quedaban muy en claro en años anteriores y que pienso que ahora
se aclararon ...
- No se si algunos temas fueron nuevos, pero de lo que puedo estar seguro es
que en los temas ya vistos en los cursos anteriores, este año se fueron metiendo
más a fondo sobre los temas, en una palabra los profundizaron.
- Teorema de Tales, alguna fórmula de proporcionalidad y algunos temas
tratados en el primer encuentro. Creo que lo que más me costó fue trabajar
270

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
durante el primer encuentro, ya que no estaba tan acostumbrado a tratar
algunos de esos temas.
- Creo que ningún contenido fue distinto solo que lo que fue distinto es la forma
de resolverlos.
- .... en sí lo más nuevo era descubrir cuántas formas existen de llegar a un
mismo resultado
- No se si algunos temas fueron nuevos pero a la vez eran distintos totalmente a
los que nos dan en la escuela.
Reflexión final
Como un anticipo a las conclusiones de este proyecto, se pueden señalar como
relevantes el reconocimiento de un quiebre entre el tratamiento metodológico del
objeto matemático en el transcurso de la escolaridad polimodal y la propuesta
planteada desde el apoyo para el ingreso universitario. Los alumnos muestran o bien
tendencias a resolver los problemas a partir de la aplicación mecánica de
procedimientos o el desconocimiento de contenidos conceptuales y/o procedimentales
que resultan básicos al momento de resolver los problemas. Una vez identificada esta
situación, la misma pudo atenuarse a partir del trabajo personalizado con la profesora
responsable de la Escuela Polimodal y las docentes universitarias del área de
matemática integrantes del Proyecto. Los talleres presenciales en los que participaron
conjuntamente estos docentes y los alumnos fueron otro factor que contribuyó a un
acercamiento tanto en lo metodológico como en lo disciplinar. Desde la encuesta y
en lo referido a los contenidos en general, es importante señalar que los temas
abordados no resultan desconocidos para los alumnos pero sí el particular enfoque
que se les da en la Universidad y el descubrimiento de que un problema puede tener
distintas estrategias de resolución y que el resultado siempre será el mismo. De esta
experiencia emerge en forma clara la importante labor del docente tutor que
monitoreó la experiencia que se realizó y señaló los obstáculos que se presentaron
pero que desarrolló su actividad en la escuela sin intervenir en las actividades
disciplinares de los alumnos. Las instancias de comunicación que permitieron la
construcción de un proyecto compartido y su desarrollo nos permiten pensar que
desarrollos semejantes al analizado pueden dar lugar a formas alternativas de
actualización y capacitación docente, mediante el trabajo colaborativo entre docentes
de ambos niveles con los alumnos.
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REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
EL COMPROMISO CON EL HORIZONTE DE
RACIONALIDAD/MODERNIDAD. EVIDENCIAS DE DESPLAZAMIENTO
EPISTÉMICO EN EL CONCEPTO DE SOLUCION
Juan Guadarrama Méndez
Cicata IPN- UPN, México
jguadarrama1@starmedia.com
Resumen
Se presenta el reporte de investigación relacionado a un proyecto de investigación doctoral titulado La
Construcción Social del Concepto de Solución. Su propósito es delinear un marco de argumentación
teórico analítico-racional que explique lo que está ocurriendo en los procesos de creación de
conocimiento, sobre la base –por una parte- de los entendimientos y concepciones que evidencian las
personas al momento de trabajar con el concepto de solución por un lado, y por la otra, de los juicios
sintéticos a priori de Kant. El análisis de estos juicios señala que el conocimiento centra la
experiencia y la razón como los actos de conocer, colocándolos como opuestos irreconciliables,
requiriéndose superar la contradicción, el obstáculo epistemológico 5 , en un acto de síntesis que
propone Kant, para alcanzar la razón mas elevada, la razón pura, la más dominante. Debido al estado
que guardan los entendimientos y las concepciones de las personas, relativas al concepto solución,
puede estarse efectuando aquí una doble operación epistémica, sobre las prácticas sociales y las
discursivas, al desplazar el sentido epistémico del concepto de solución, dificultando sus
entendimientos. En ese sentido se formula la pregunta ¿se puede pensar que el uso de los juicios
sintéticos a priori de Kant, pertenecientes al horizonte de racionalidad que los enunció, sea fuente
de dificultades respecto al aprendizaje del concepto de solución? Se conjetura que el horizonte
racional que enunció los juicios sintéticos a priori - racionalidad/modernidad del siglo XVI que aborda
la discusión filosófica de reducir sobre la acción los objetos y las cosas a la forma o al contenido -
añade dificultades a las personas, derivadas de las exigencias de operar el concepto de solución en
matemáticas. Al contrastar el examen de los argumentos kantianos mencionados y las evidencias. Tal
contraste da cuenta de entrecruzamientos epistémicos de horizontes racionales de enunciación
diferentes - respecto a la solución - en estudiantes y profesores del nivel de educación superior,
proveyendo datos y evidencias de las dificultades en las personas, de carácter epistemológico, afín a la
formulación de Cantoral y Farfán de “que el conocimiento matemático (...) tiene un origen y una
función social y esta afirmación puede ser entendida en (…) que todo conocimiento matemático
obedece a una necesidad de naturaleza práctica”. A la luz de esta aproximación, entonces, la
problemática debe establecer la interacción entre la elaboración teórica y la evidencia empírica,
interacción impedida dados los entrecruzamientos epistémicos de horizontes racionales de enunciación
diferentes al momento de trabajar con el concepto de solución.
Antecedentes
En el proceso de localizar evidencias (Guadarrama, 2000) sobre la actuación de los
modos de pensamiento de Sierpinska (1996), fundamentados en la postura filosófica
de Kant de los juicios sintéticos a priori, se observó que, al considerar la solución de
un sistema de tres ecuaciones lineales en su representación gráfica - punto en el que
concurren tres planos – los sujetos del estudio 6 la miraban como la intersección dos a
dos de los planos.
Esto podría pensarse contradictorio a lo que se
considera la representación gráfica de la solución:
que rectas y planos convergen en un punto.
5
Como refiere Bachellard
6
Profesores de educación superior que participaron en la investigación y también hallados en reportes de
investigación en estudiantes de bachillerato
273

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Estado que guardan los entendimientos y las concepciones de las personas, relativas
al concepto de solución. Las evidencias empíricas del estudio muestran cómo se
expresan los profesores de matemáticas - tanto en lo lingual como en lo gestual - en
un discurso matemático “escolar”, ante los cambios epistémicos producidos en el
discurso matemático teórico. A pesar de que enseñan el tema a sus alumnos, tienen
dificultades en interpretar situaciones que no son típicamente tratados en los textos
escolares ni en las currícula respectivas. Esto es, su enseñanza suele centrar más la
atención en los algoritmos que en las interpretaciones y los significados. También se
identificó prácticas de reconocimiento gráfico común en el plano R2 y en el espacio
R3 - determinadas por la necesidad de proveer respuesta a las preguntas formuladas a
la solución. Llamó la atención una persistencia que se identificaba en la localización
de lo común de los dibujos, que ancla el problema a la dimensión didáctica, cognitiva,
epistemológica y sociocultural, ilustrada por el argumento “Si se intersectan, tiene
solución. Si no se intersectan, no tiene solución”, enlazado más con lo
epistemológico. Para profundizar en ello, se diseñó un instrumento de indagación
(2000) consistente en preguntas sobre datos generales y una secuencia que requería
efectuar la síntesis (explorar) y uso de los juicios sintéticos a priori, en un formato
que contenía preguntas, con la idea del reconocimiento a través de la asociación con
sistemas de ecuaciones lineales 3X2 y 3X3, de 36 gráficas, para que indicaran los
casos observados; Si la gráfica asociada a un sistema de ecuaciones lineales
representaba el caso de solución y la no existencia de la solución en el sistema de
ecuaciones hipotético asociado, también si era única o tenía un número infinito de
soluciones, localizándolas en el dibujo o gráfica. Recurrieron, en su necesidad de
asignar significado cuando miran las representaciones gráficas asociadas al concepto,
a expresiones linguales de uso y empleo del cuerpo como mediadores de expresión,
anclados en que “algo tenía que estarse intersectando”. Se identificaron los casos
siguientes en las entrevistas, evidenciando el uso de los juicios sintéticos a priori
respecto a la solución: A) La intersección con respecto a una recta vertical, que puede
coincidir con un eje en un sistema de coordenadas; B) En el plano y en el espacio, la
intersección dos a dos coinciden con cierta estructura, la coincidencia sería la
intersección dos a dos de los objetos -planos o rectas-; C) Tercera categoría: dos
paralelas y un transversal, en el plano y en el espacio; D) Cuarta categoría, la
intersección de tres planos en una recta.
Problemática.
En orden a encontrar más evidencias para responder a las interrogantes que se
formulan en el proyecto de investigación doctoral sobre la construcción social del
concepto de solución se formuló la pregunta ¿Se puede pensar que el uso de los
juicios sintéticos de Kant, pertenecientes a un horizonte de racionalidad que los
enunció, sea fuente de dificultades respecto al concepto de solución y su
aprendizaje? Tal horizonte de racionalidad - que no supera el dualismo de dos
experiencias, la del conocimiento y la de la acción - pudiese estar instalado en las
exigencias racionales al momento de trabajar con el concepto de solución, influyendo
en los entendimientos y concepciones relativas al mismo.
Para responder a esta pregunta, se delineó un marco de argumentación teórico
analítico-racional – argumentación que se expone en el presente artículo - que
274

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
explicara lo que está ocurriendo en los procesos de creación de conocimiento, a la luz
de los entendimientos y concepciones que muestran las personas al momento de
trabajar con el concepto de solución. Se conjeturó que la filiación a un cierto
horizonte de racionalidad - parte del movimiento de la modernidad - enunciado bajo
los elementos epistémicos con que se formuló, estaría incidiendo en la conceptuación
de solución, sin atender a que posiblemente los entendimientos de las personas
respecto al concepto referido, se encuentren instalados en otros horizontes racionales,
provocando entrecruzamientos – dificultades por los desplazamientos epistémicos
que exige el reemplazo de un horizonte por otro, exigidos por el movimiento de la
razón y la modernidad, dificultando la creación de nuevos entendimientos y
concepciones que posibiliten la comprensión y manejo adecuado de la solución en el
contexto solicitado. Tales desplazamientos añaden dificultades de carácter
epistémico, didáctico, cognitivo y sociocultural a las prácticas sociales, culturales,
docentes y discursivas del quehacer educativo.
Marco de Referencia
Kant buscaba con el establecimiento de los juicios sintéticos a priori, dar solución al
problema de la experiencia. Los antecedentes del horizonte de racionalidad en que
los enunció, son aquellos que sustentan la racionalidad/modernidad constituida a
partir del siglo XVI, afinada y establecida con todas las implicaciones hasta el siglo
XVIII. Ese horizonte racional dominó la producción de ideas, de pensamiento, de
conocimiento científico, matemático, de prácticas sociales y culturales, incluidas las
discursivas. Bajo el principio de Descartes, cogito ergo sum, basado en la verdad:
pienso, luego existo, se marcó un sentido de lo que significaba conocer y desde
entonces ese código 7 es parte de los supuestos que subyacen a este horizonte racional.
Kant aborda la discusión filosófica de la época, del problema sobre la acción de
reducir los objetos y las cosas a la forma o al contenido, es decir, pretender resolver el
problema de la materia y la forma. Distingue tres tipos de juicios: analíticos a priori,
sintéticos a posteriori y los sintéticos a priori 8 . Kant intenta superar el racionalismo
y el empirismo planteando su síntesis sobre la base de limitar la aplicación de las
categorías o conceptos puros a contenidos que se den en la experiencia sensible, en el
espacio y en el tiempo, sin resolver –por no disponer de las herramientas de que hoy
disponemos - el dualismo teoría – práctica que el mismo instaura (Echeverria, 1986).
Estudiará el método científico desde su tabla de categorías, que “regulan” la actividad
de la razón, desplazando la atención desde el seno de la ciencia a la manera en que el
hombre la aprende y domina. El conocimiento se centrará en dos aspectos que
estarán presentes en los actos de una nueva relación de conocer: la experiencia y la
razón – relación que deja oscura al no explicitar los modos de producirla. En el acto
de síntesis basado en los juicios sintéticos a priori pretende alcanzar la razón más
elevada, la razón pura. La modernidad la constituye en hegemónico-dominante,
7 Al examinar su enunciación generalmente se señala que lo lleva por lo evidente, a describir por qué es concebido
en forma clara y precisa, donde lo claro es lo que se presenta de inmediato a la mente, y lo preciso es lo que es
claro y sin condiciones, o sea que es evidente (Pérez, 2000),
8 Los analíticos a priori son exactos, pero no aportan ninguna información, ya que sólo son claros cuando son
parte de alguna definición; los sintéticos a posteriori aportan información, pero están sujetos a los errores de la
percepción; los sintéticos a priori son exactos y aportan información, son obtenidos por intuición y son la fuente
del conocimiento.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
aportando bases a un tipo de práctica escolar en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas. Propone como fundamento - este horizonte racional - que la función
epistémica se obtendría elevando la razón a la razón pura, llegando de esta manera al
conocimiento como tal, en nuestro caso al concepto de solución y sus entendimientos.
Ahora bien ¿cómo se proponía metódicamente este acto del pensamiento de elevar la
razón? Estableciendo una división del conocimiento por grados, los cuales parten
desde las nociones y van a los conceptos y, entonces, a las categorías (González,
2003) sosteniendo que en este ultimo nivel radica el conocimiento epistemológico.
Este tiende a explicar no sólo los fenómenos, datos o procesos, sino que trasciende
los conceptos, pretende entender y explicar la esencia de la realidad y el
conocimiento de la misma, es decir, el acto de generalizar y abstraer 9 . Por su parte,
González (op. cit. 2003) en un marco del ser-conocer integrados, postula que la
relación sujeto-objeto es transformadora y transformativa. La relación de
conocimiento se encuentra en un tercer nivel “epistemológico”, de un ser-conocer
integrados, pero devenido. Señala que lo anterior se rompe históricamente en el
momento que la revolución científica galileana-mecanicista, desvió su intención - y
que hoy atañe también al ser humano, en particular a ese otro llamado marginado,
excluido, reprobado, colocado en la exterioridad del sistema mundo moderno -
porque fue modificada esa relación, separando a la naturaleza del ser humano. Este
horizonte formuló su entender y conocer mediante escuelas del pensamiento cuya
tendencia general para explicar el conocer ha respondido a dos axiomas: El de
Parménides de Elea a través del principio de la identidad y el de Heráclito de Efeso,
que sostuvo que la contradicción es la base de la realidad; que la realidad es dinámica
por esa lucha procesal. Bajo dos principios considerados opuestos 10 , la perspectiva
idealista, que sostiene que el conocimiento nos viene de las ideas puras, conforme
Platón y la otra, la perspectiva materialista que sostiene que el conocimiento es
elevarse de lo abstracto a lo concreto, de lo simple a lo complejo y siempre de lo
menor a lo mayor, es decir, lineal y acumulativo. Aquí es donde ubicamos el punto
del análisis racional, pues se observa que ambas perspectivas niegan la otredad pues
se postulan por dentro del sistema en este horizonte racional, para los de adentro, y
singularmente se proclamaron como universales, incluyendo más condiciones sobre
los objetos de conocimiento, y sobre los sujetos cognoscentes y precisamente esto es
convertir el asunto en un acto ontológico, convirtiendo y transformando la relación de
conocimiento, que al emplear la división de González (op. cit. 2003) actúa en tercer
nivel de lo epistemológico, sin embargo regresa el conocer, entender, y explicar
docente al segundo nivel de la realidad y del conocimiento del mismo, discurriendo
que se encuentra en el tercer nivel, es decir, epistemológico, ser-conocer integrados,
pero devenido. Importante en el análisis acerca de la enseñanza de la solución,
incluido el lenguaje con que comunican entendimientos y concepciones relativas al
concepto. Pues produce desplazamientos epistémicos, en la relación del
9 Las nociones colocan un primer nivel, se mueven en el plano de lo descriptivo de las apariencias u óntico. El
plano de los conceptos u ontológico, es el plano de lo explicativo en términos de funcionamiento o estructuras. El
plano de las categorías es epistemológico. Estas, para constituir conocimiento válido, debían aplicarse a
contenidos que se expresasen en el tiempo y el espacio, asequibles por tanto a nuestra sensibilidad. No visualiza
Kant las complejidades comprometidas en la constitución de esa “sensibilidad” por lo que no articula, precisando,
la naturaleza de una interacción sintetizadora entre el conocimiento y la acción humana.
10 Enajenación de la negación y de la lucha de los contrarios
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REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
conocimiento, reduciendo y enmarcando en parámetros toda su actividad a relaciones
de conocimiento de objetos: saberse los algoritmos, las reglas con que se opera un
determinado método, como los pasos para obtener la solución y desde luego la
solución misma, como si fueran éstas las únicas, que se tiene que saber y conocer. Por
ejemplo se puede compartimentar la secuencia de contenidos del curso, estos tienen la
misma secuencia de organización lógica, coincidente con los textos que se emplean
en clases y salones, indicándonos este desplazamiento epistémico, la dirección con la
que actúa la racionalidad/modernidad al establecer –hacer invisible lo visible, para
actuar y sostener el hacerse invisible la operación de cómo lo asume el todo-
Producción de separación de conocimiento y del productor del conocimiento, entre
experiencia y razón, entre aplicación y teoría, entre ciencia y ciencia educativa, entre
prácticas formalizadas y prácticas de uso. Al crear ausencia de conexión entre ellas,
coloca la necesidad de establecer mediadores que posibiliten la comunicación, lo que
necesariamente implicará ausencia de sentido comunicativo, desplazamiento
epistémico en las relaciones de conocimiento, reorganización de la estructuración de
sistemas conceptuales y de conexión de ideas y formulación de un pensamiento.
Observado en las formulaciones históricas, filosóficas (De Sousa 11 , 2001). Linea de
argumentación central –la herramienta analítica formulada- que observa los actos del
conocer, que actúan, que se desvían, con sus intencionalidades, que actúan sobre las
personas que aprenden y las que enseñan, en las exigencias de la escuela, los
profesores, la matemática, sus contenidos, acordes al horizonte racional vigente,
creando, una doble práctica en: el conocer, pensar, actuar, hacer, discurrir, idear.
Operación que ejerce el sistema sociocultural, que determina variaciones,
modificaciones en las componentes elegidas de la dimensión Sociocultural - cultura,
prácticas discursivas e identidad - y que sin pérdida de categorización, detallan
variaciones encontradas, por ejemplo, en las maneras linguales, culturales que
emplean las personas para resolver la contradicción, superar el obstáculo o de realizar
la síntesis en el sentido de Kant, al des-apropiar el conocimiento matemático y el
concepto de solución dados, de su naturaleza, por una necesidad de preservación
identitaria, cultural, pero también de hacer posible, la entronización y empatía con la
cultura que se impone, representada en este caso por el conocimiento matemático
proveniente de afuera y de la racionalidad/modernidad que lo creó. En nuestro caso la
solución, en los sistemas de ecuaciones lineales, en la ecuaciones o en los problemas
donde se formula hallar la solución, que sintetiza la razón pura, parametrizando su
significado, y reduciendo el espacio de interpretación, de conexión con la
experencialidad de las personas “para ganar precisión”, implementando la acción
de separación (teoría de la separación en la idea de De Sousa, 2001). Elaborando y
creando un lenguaje que exprese estas nuevas formas sintetizadas y elevadas de la
razón, que llamó: construcción del lenguaje formal y estructurado, es decir, de un
lenguaje científico para arribar a un nuevo estado de producción del conocimiento
científico matemático, volviéndolo un conocimiento hegemónico y por tanto
11 Nos dice la misma autora la idea bíblica y medieval de la sucesión de los imperios (translatio imperii), en cada
era, un pueblo asume la responsabilidad de conducir la Idea universal, convirtiéndose así en el pueblo universal
histórico, un privilegio que por turnos ha pasado de los pueblos asiáticos a los griegos, luego los romanos y,
finalmente, a los germanos. América, o más bien Norteamérica, conlleva para Hegel un futuro ambiguo, en tanto
no choque con el cumplimiento último de la historia universal en Europa.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
dominante. Colonizando las formas de aprender, conocer, hacer, que crea una
práctica diferenciada a la del locus de enunciación. En ese sentido se considera que el
acto que promueve una doble práctica se ubica, en pretender por una lado, saber la
definición y por otro entender e interpretar la misma en un mismo acto mental, pero
separándolo según los requisitos del horizonte racional de los juicios sintéticos de
Kant - empleando un mediador lingual para dar a entender lo que se indica: “juntos
pero no revueltos” - La definición de solución entendida como un acto de síntesis
basado en los juicios sintéticos de Kant, “que se eleva sobre la experiencia”, incluida
su superación intuitivo geométrico-sintética, para ser colocada en la formalidad, en lo
analítico-estructural como proyecto de elevación de la razón y alcanzar la razón pura.
Por su parte, los entendimientos y las concepciones son elaborados como parte del
conjunto de experiencias que las personas realizan y obtienen al ir construyendo y
constituyendo socialmente el concepto de solución (bajo consensos y negociación de
significados, uniendo, no unificando, es decir, sin parametrizar (SIC)(De Sousa,
2001). De este modo, en estos dos planteamientos (irreconciliables) exigencia de la
racionalidad-modernidad, se abre un abismo que no los comunica.
Metodología
Se eligieron 3 grupos de estudiantes de ingeniería (85), de los primeros semestres de
una Institución Educativa del Nivel Superior, en la Ciudad de México, para indagar
respecto a los aprendizajes, entendimientos y concepciones que tenían respecto a la
solución en condiciones escolares, es decir, en su semestre escolar, en las actividades
del curso, llevando a cabo la aplicación a través de los profesores de la materia. Se
implementó un Instrumento de Exploración Ia. Parte (2002), consistente en tres
aspectos: 1) la sección que inspecciona sus entendimientos, experiencias,
concepciones, dividido a su vez en tres componentes: a) La relativa a la exploración
de si existían diferencias en el lenguaje al transitar en distintos niveles educativos,
ejemplificándolo a lo largo de su trayectoria académica, b) Sobre: qué es la solución,
y el resolver desde y para ellos, y c) De las dificultades identificadas con la aplicación
del instrumento de exploración. En su segunda sección se exploró la situación de
resolver una ecuación lineal con dos incógnitas. La idea era observar cómo la
resolvían y los procedimientos mas típicos que empleaban. Finalmente una tercera
sección que exploraba la asociación de representaciones geométricas asociadas a la
existencia de la solución o no para sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas.
En este reporte el análisis refiere a la primera sección, rubro b) y en particular los
relativos a qué es la solución pues las respuestas de c) apoyaron a b), inclinándose
por explicitar sus dificultades mediante la información requerida
Resultados
Exhiben el tránsito entre un horizonte y otro expresado en las respuestas, permitiendo
localizar y aportar nuevas evidencias al proyecto de investigación: La Construcción
Social del Concepto de Solución. En efecto, a pesar de que la definición elegida
(1900) por el primer grupo de estudiantes estuviese distanciada en el tiempo, ella a su
vez es cercana al segundo grupo de respuestas de estudiantes, que deviene de un
horizonte de enunciación distinto al actual. La contrastación se observa en las
respuestas que proveyeron para observar lo aquí identificado, verificación de nuestras
conjeturas, que se formularon empleando la herramienta analítico racional que lo
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REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
predecía. Tal horizonte tiende influencias en los entendimientos y concepciones de
las personas al momento de trabajar con el concepto de solución, por tanto importante
de considerar en los procesos de aprender y enseñar matemáticas. Lo que pareciera
una obviedad, sin embargo, no lo es. Produce efectos diferentes frente a los procesos
señalados, y en la formación de las personas, por lo que no se trata de un problema
didáctico o referido a un problema filosófico relativo con la didáctica, sino una
evidencia. En los profesores también fue observado. Se trata de evidencias
instaladas en lo epistemológico que responden a horizontes racionales de enunciación
diferente que se entrecruzan, deviniendo en dificultades que adoptan en el sentido
didáctico, cognitivo, fuertemente epistémicos, como socioculturales (Guadarrama,
2002 a). No se potencia la razón más alta o epistémico sino más bien se regresa a
niveles anteriores y desagregados.
Bibliografía
Cantoral, R. y Farfán, R. (2000).A sociocultural approach to infinitesimal calculus. International
Congress, 32-33 August, Japan.
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Ramírez y González (jul-dic 1998). Las nociones de comunidad epistémico y planeación prospectiva:
fundamentos de la escuela modelo del s XXI. Rev. La Casa del Pensamiento pp 3-12 Plaza y
Valdés Mx
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Sistemas de Ecuaciones Lineales. Tesis de Maestría no publicada. Cinvestav. México.
(Idem) (2002, a). La Dimensión Sociocultural en la Conformación de Sistemas Conceptuales.
Sistemas conceptuales en los saberes matemáticos. Extenso Ponencia RELME-16, Sept. ,
México.
(Idem) (2002, b), La Construcción Social del Concepto de Solución. Memoria predoctoral Cicata,
Sept. Mx.
De Sousa, B. (2001). Nuestra América. Reinventando un paradigma subalterno de reconocimiento y
redistribución. Revista Chiapas, N°12. Era y IIE-UNA
279

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
EL CONTENIDO MATEMÁTICO ESCOLAR EN SITUACIONES DE
APRENDIZAJE EN LA FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES
Hugo Parra S.
Universidad del Zulia
parraortiz@cantv.net
Resumen
Las reflexiones que se presentan a la discusión tienen su origen en una investigación que tiene entre
sus objetivos analizar el uso del contenido matemático escolar en situaciones de aprendizaje,
desarrollados por los estudiantes del último semestre de la Licenciatura en Educación mención
Matemática y Física y su nivel de correspondencia con el uso propuesto por sus profesores
universitarios. Entre otros elementos que determinan la incorporación de contenidos matemáticos en
situaciones de aprendizaje por parte del docente, se encuentra la manera como éste entiende la
naturaleza de la matemática, su enseñanza y su aprendizaje. Para abordar el problema, se consideró
pertinente asumir un enfoque cualitativo etnográfico porque el mismo nos ha permitido reconstruir la
realidad objeto de estudio y analizarla con profundidad (Goetz & LeCompte, 1988). El presente trabajo
forma parte de un proyecto de investigación que estudia la cultura matemática escolar y las prácticas
pedagógicas 12 .
Introducción
El presente trabajo forma parte del proyecto de investigación denominado cultura
matemática escolar y prácticas docentes de la Universidad del Zulia. Dicho proyecto
tiene como propósito estudiar la acción docente en matemáticas en el contexto de la
institución escolar con miras a buscar su transformación, de manera que la educación
matemática que se genere resulte pertinente a los fines de construir una sociedad
democrática y justa.
En el marco antes descrito nos hemos planteado entre otras metas analizar el uso del
contenido matemático escolar en situaciones de aprendizaje, desarrollados por los
estudiantes del último semestre de la Licenciatura en Educación mención Matemática
y Física y comparar su correspondencia con el uso propuesto por sus profesores
universitarios; de esta manera al conocer esta realidad podremos en un futuro
inmediato proponer cambios en los planes de estudios y en las rutinas escolares que
se generan en el proceso de formación de estos docentes con miras a formar
educadores en matemática acordes con las necesidades que la realidad exige.
El enfoque que hemos asumido para la recolección de la data es el etnográfico (Goetz
& LeCompte, 1988) y tres han sido las fuentes para obtener la información: la
recolección y posterior análisis de las planificaciones de los estudiantes de las
pasantías, registro de las notas de campo en el desarrollo de las reuniones semanales
que tienen los estudiantes con sus profesores de las pasantías y por último, entrevista
a profesores que han dictado cursos a este grupo de estudiantes. Es importante
destacar que las reflexiones e informaciones aquí presentadas tienen carácter
provisional porque aun no se ha culminado la investigación.
El contenido matemático escolar. Características de su incorporación
Como principio asumimos que el uso que se hace del contenido matemático escolar
no es neutral (García, 1998); el mismo responde a diversos elementos presentes en el
12
Este proyecto está auspiciado por el Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la Universidad del
Zulia bajo el no. 0494 - 2002
280

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
desarrollo de la acción docente en el ámbito escolar. Desde el punto de vista social
los contenidos escolares matemáticos responden a las demandas que la sociedad hace
a la institución escolar con relación a lo que se espera que enseñe; además, también se
toman en consideración elementos de orden psicológico relativo al sujeto que aprende
(significatividad y funcionalidad de lo que se le presenta a los estudiantes). Por otra
parte, hallamos el contexto, el cual constituye un factor fundamental del hecho
educativo (¿dónde se enseña y bajo qué condiciones?) (Parra, 2002; Raymond, 1997)
y por último, existen otros elementos relacionados con el docente que en nuestro caso
constituyen el foco de atención del presente escrito.
La manera como incorporan los contenidos matemáticos los docentes responde a
diversos elementos, entre ellos destacan aquellos de orden epistemológicos, es decir,
los relativos a la forma cómo él entiende cómo se debe enseñar, cómo se aprende y
cual es la naturaleza del conocimiento que se enseña, en este caso el matemático.
Desde el punto de vista epistemológico existen diversas visiones acerca de la
naturaleza de las matemáticas; lo que a su vez determina en gran parte la manera de
incorporar los contenidos matemáticos en situaciones escolares (Parra, 2002;
Azcárate, 1996; Ernest, 1989; Ruiz, 1987).
La matemática se puede entender de diversas formas. Si se concibe como un lenguaje
los contenidos matemáticos escolares se centrarán en presentarles a los estudiantes un
conjunto de reglas de sintaxis válidas universalmente. En consecuencia, la
matemática como lenguaje tiene como función primordial ser aplicada en otras áreas
del conocimiento, como la física, entre otras áreas del saber (Ruiz, 1987).
Si la matemática es concebida como un conjunto de axiomas estructurados de manera
formal, se ubicaría en la llamada escuela logicista; ello supondría en el plano de las
situaciones de aprendizaje, que el docente consideraría para la organización de los
contenidos el orden lógico establecido por la comunidad académica de la matemática
(Ruiz,1987) sin considerar en lo absoluto los diversos avances y retrocesos que todo
saber matemático ha sufrido a lo largo de la historia, para finalmente conocerlo como
hoy se nos presenta a través de los textos.
Por otra parte, si la matemática es concebida como un conjunto de ideas
independientes del mundo – lo que se denomina como platonismo matemático
(Ruiz,1987) - ésta sería concebida desde una perspectiva racionalista; por tanto la
forma de organizar los contenidos en las situaciones de aprendizaje seguirían una
metodología deductivista; lo que en realidad consistiría que el docente organizara su
clase de manera que el alumno “descubra” de manera organizada – sin contratiempos
como en el enfoque logicista – un conjunto de verdades absolutas.
Estas tres maneras de entender las matemáticas dominan entre las poblaciones
parcialmente estudiadas por nosotros hasta el momento. Por los resultados hasta
ahora obtenidos, tanto entre los estudiantes a optar por la Licenciatura en Educación
en el área de Matemática y Física como en tres de sus profesores entrevistados,
hemos hallado que entremezclan ideas acerca de la naturaleza de la matemática que
pertenecen a las corrientes antes citadas. Igualmente, al momento de ver las
planificaciones de las clases que plantean los estudiantes en sus Prácticas
Profesionales, observamos entre ellos semejanzas notables a la hora de incorporar los
contenidos matemáticos a las mismas. Todos ellos conciben sus clases con un gran
propósito: mostrar un conjunto de reglas asociadas de manera coherente desde el
281

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
punto de vista de la matemática y a su vez, presentar una serie de mecanismos que le
permitan a sus alumnos desarrollar algunas destrezas básicas. En todos los casos tanto
la historia de la matemática como los saberes matemáticos no formales presentes en
nuestras sociedades están ausentes. Un ejemplo de ello es la ausencia en las
situaciones de aprendizaje planteadas y ejecutadas acerca del uso de medidas no
convencionales como la brazada, la cuarta, etc. De la misma manera podemos
afirmar que el acervo cultural dejado por nuestros indígenas - caso de los mayas, por
ejemplo – no es nunca incorporado.
Existen otros docentes – una minoría en nuestro estudio realizado hasta el momento y
además, focalizados entre los estudiantes - que entienden la matemática como
producto de una realidad concreta y de la experiencia. Ellos se ubican desde el punto
de vista epistemológico en lo que se conoce como empirismo (Ruiz, 1987). Sus
clases se podrían caracterizar como producto de la inducción y la generalización.
Ellos manifiestan un fuerte interés por incorporar a sus clases un conjunto de
contenidos matemáticos que le provean al alumno una aplicación práctica y para
ellos, la realidad cercana a sus alumnos – esto es, la cotidianidad – es el punto de
partida para encaminar a los alumnos hacia dicho propósito (Santos, 2001).
Ahora bien ¿Cuál creemos que debería ser la organización de los contenidos
matemáticos escolares, para que estos respondan a las necesidades que la actual
realidad exige y que a su vez, ofrezca un conjunto de saberes matemáticos acordes
con lo que la comunidad académica matemática propone? Creemos que el
conocimiento matemático escolar que se debe incorporar en las clases debe partir de
la construcción que realiza el individuo en interacción con sus pares, incorporando de
manera crítica y reflexiva los conocimientos matemáticos formales y no formales
(conocimiento complejo y crítico). Esta manera de entender el conocimiento escolar
implica incorporar dos elementos hasta ahora ausentes en los enfoques planteados,
nos referimos a la consideración de conocimientos no formales matemáticos y a la
historia de las matemáticas. El conocimiento matemático no formal es aquel que no
es considerado relevante a nivel de la comunidad académica, pero igual son utilizados
por el común de la gente en situaciones cotidianas. Casos como el de la sustracción
en los naturales es emblemático; en el conocimiento formal la sustracción es la
diferencia entre el minuendo y el sustraendo, sin embargo, cuando el común de la
gente realiza las transacciones de compra y venta en la cotidianidad, nos encontramos
que el mecanismo para la sustracción se realiza a través del complemento. Esto es, si
se entrega un billete de 5.000 unidades monetarias cualquiera y el costo es de 3.800
unidades monetarias, tanto el vendedor como el comprador es muy probable que no
halle la diferencia (si no posee calculadora) sino que calcule adicionando de manera
progresiva las cantidades que faltan para completar las 5.000 unidades monetarias. A
3.800 le suma 200 para llegar a 4.000 y luego sabe que un billete de 1.000 unidades
más completará la devolución requerida.
En cuanto a la historia de la matemática, consideramos que ésta contribuye a una
formación reflexiva y crítica del saber matemático, a objeto de permitir a los alumnos
descubrir la complejidad del pensamiento matemático. Se debe descubrir que la
matemática ha sido producto de un conjunto de avances y retrocesos en búsqueda de
nuevos conocimientos, y que estos no han sido producto de unos pocos genios.
Advertimos sin embargo, que la historia de la matemática debería sobrepasar la
282

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
característica de anecdótica que hasta el momento notamos en diversos textos
escolares. La historia debe constituir un elemento que permita reconstruir el proceso
que llevó a lo que hoy conocemos y no, una lista de hechos y personajes aislados que
existen desvinculados de las vicisitudes que la historia muestra y enseña.
A manera de conclusión
Las reflexiones aquí descritas plantean que la incorporación de los contenidos
matemáticos responde entre otros factores, a la manera como los docentes entienden
la matemática y como esto se ve reflejado en la manera como entienden que debe ser
su enseñanza y su aprendizaje.
En las clases de matemáticas por nosotros estudiadas, se percibe que la mayoría de
los estudiantes de las Prácticas Profesionales como la de sus profesores universitarios,
entremezclan la idea de una matemática como un lenguaje y asociada a ideas que se
ubican en las escuelas logicistas y formalistas.
Sin embargo, pensamos que tales enfoques no responden a las exigencias de
incorporar un contenido matemático de características compleja y crítica. A objeto de
lograr esta característica del contenido matemático se hace necesario trabajar tres
elementos claves en los procesos de formación de docentes de matemática: La
historia de las matemáticas, los saberes matemáticos no formales y la epistemología
de la matemática.
La incorporación de saberes matemáticos no formales y de la historia de la
matemática, no sólo en los contenidos escolares a nivel de educación pre –
universitaria, sino que se hace imprescindible abordar dichos aspectos durante el
proceso de formación de los docentes en matemática. Al respecto en diversas
instituciones de formación docente han incorporado cursos de historia de las
matemáticas; sin embargo a nuestro entender esto se hace insuficiente. La
incorporación de la historia de las matemáticas y de saberes no formales es una tarea
que deberá estar presente a lo largo de todas y cada uno de los cursos de matemática y
matemática educativa. Sólo de esta manera podremos lograr una matemática capaz
de ofrecerle herramientas útiles para la vida, sino que además formará en nuestros
estudiantes de cualquier nivel educativo un pensamiento crítico – reflexivo necesario
para un mundo cada vez más complejos, inundado por la información y de cambios
que ocurren a velocidades nunca antes vistas en la historia de la humanidad.
Bibliografía
AZCÁRATE, P. (1996) Estudio de las concepciones disciplinares de futuros profesores de primaria
en torno a las nociones de la aletoriedad y probabilidad. Editorial COMARES. España.
ERNEST, P. (1989) The Knowledge belief and Attitudes of the Mathematics Teacher: a Model.
Journal for Teaching. 15 (603 – 612)
GARCÍA, E. (1998) Hacia una teoría alternativa sobre los contenidos escolares. Editorial Síntesis.
España.
GOETZ, J.P. & LeCompte, M.D. (1988) Etnografía y diseño cualitativo en investigación educativa.
Editorial Morata. España.
PARRA, S., H. (2002) Cultura escolar matemática y transformación de la práctica pedagógica. Tesis
Doctoral. La Universidad del Zulia. Venezuela.
PELTIER. M. (1999) Representaciones de los profesores de escuela primaria sobre las matemáticas y
su enseñanza. Educación Matemática.Vol. 11, No. 3 (5 – 24)
283

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
RAYMOND, A. (1997) Inconsistency Between a Beginning a Elementary School Teacher’s
Mathematics Beliefs and Teachimg Practice. Journal for Research in Mathematics Education.
Vol. 28, No. 5 (550 – 576)
RUIZ Z., Angel (1987) Algunas implicaciones de la filosofía y la historia de las matemáticas en su
enseñanza. Educación. Vol. 11, No. 1. 7 - 19
SANTOS, T., Luz Manuel (2001) ¿Qué piensan los maestros sobre la enseñanza relacionada con la
resolución de problemas?. Educación Matemática. Vol. 13, No. 1 (31 – 50)
284

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
EL DISCURSO EN EL AULA Y LA CONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS A
TRAVÉS DE LA EXPLICACIÓN, EN EL MARCO DE CLASES SOBRE
LA VARIACIÓN
Evelia Reséndiz Balderas y Ricardo Cantoral Uriza
Universidad Autónoma de Tamaulipas / Cinvestav-IPN, México
erbalderas@uat.edu.mx
Resumen
Esta investigación centró la atención en el papel del discurso en la clase de matemáticas cuando se
pretende enseñar conceptos y procesos matemáticos ligados a la noción de variación. Pues el discurso
constituye el espacio donde se construyen, negocian e interpretan los significados en la interacción
social que se realiza en la escuela, por lo tanto construir conocimiento en interacción requiere del
lenguaje usado socialmente. Nos ocuparemos de analizar el papel de las explicaciones en la clase de
matemáticas, primer semestre de ingeniería, cuando la noción de variación está siendo usada por los
profesores y cuando los estudiantes intervienen a propósito de dicha noción, en clases donde se
impartía los conceptos de función y derivada que son vistos como modelos para el estudio de la
variación. Los registros y las transcripciones de las clases, que se audiograbaron, fueron analizadas
considerando un modelo de investigación cualitativa.
Introducción
La comunicación continúa siendo un tema central en la reforma de la educación de
las matemáticas (NCTM, 1998). Sin embargo existen todavía muchas preguntas que
deben ser contestadas con relación con el discurso en el aula y acerca de los factores
que contribuyen al desarrollo del discurso matemático. Las matemáticas
generalmente se consideran como un cuerpo de conocimiento individual y
socialmente construido y como lenguaje especializado para comunicar diversos
aspectos de nuestro mundo (Pimm, 1991). Sin embargo, el nuevo conocimiento
matemático (individual o compartido) se construye a través de interacciones y
conversaciones entre profesores y sus alumnos. De ahí que el movimiento entre el
sentido personal de un concepto y el significado matemático compartido es crucial
para que el aprendizaje se lleve a cabo (Bartolini Bussi, 1998). El papel del profesor
y los estudiantes en este movimiento ayuda a determinar que el aprendizaje ocurra.
Esta consideración del proceso de enseñanza-aprendizaje enfatiza la importancia de
las interacciones en el aula y el contenido matemático que se está discutiendo. Aquí
nos ocupamos del contenido matemático o del significado compartido de conceptos
que se van configurando en el desarrollo de las discusiones.
Por otro lado, algunas investigaciones en el campo de la matemática educativa
(García, 1998; Zubieta, 1996; Cantoral, 1992; Pulido, 1998; o Artigue, 1991 reportan
la existencia de robustas dificultades entre los estudiantes para tratar con cuestiones
que exigen algún tipo de estrategia variacional. Con nuestro estudio no pretendemos
“remediar” ese estado de cosas, ni mucho menos. Tampoco pretendemos decir como
se debe enseñar la noción de variación, o si un profesor enseña bien en el aula. Nos
proponemos algo aún más modesto, más particular. Lo que intentamos es la
comprensión del complejo y rico entramado de pautas de interacción, que se dan para
producir conocimiento entre docentes y alumnos, consideramos que es necesario
como punto de partida para cualquier propuesta que pretenda mejorar la enseñanza
del cálculo en su contexto real. En este trabajo nos hemos propuesto estudiar la
285

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
interacción discursiva en el aula desde la perspectiva del profesor; aunque se tiene
como principal propósito la forma en la que participa el docente, es necesario aclarar
que no es posible analizar la perspectiva del docente sin considerar a los alumnos, ya
que ambos actúan como referentes de sus contribuciones y el significado de éstas
dependen del contexto interactivo (Reséndiz, 2003). Pretendemos construir una
respuesta, parcial, que centre su atención en algunos de los fenómenos de enseñanza
específicamente involucrados con las dificultades del aprendizaje en clases acerca de
la variación.
El problema de investigación
En el marco de comprender las tramas de relaciones entre el profesor, los alumnos y
el contenido curricular y, dado que hemos considerado al profesor como el portador
del saber que habrá de escenificarse en el aula, emprendimos un amplio estudio sobre
las formas en que los profesores desarrollan un conocimiento específico sobre la
manera de enseñar su materia cuando se precisa tratar una idea matemática
fundamental para el cálculo, una noción compleja conocida como variación. El
objetivo principal de esa investigación es localizar y analizar las maneras en que se
introduce y desarrolla la noción de variación en situación de enseñanza en el nivel
superior.
Una forma de abordar el estudio sobre la enseñanza de la variación es por medio del
discurso en el aula. Es en el aula en donde la palabra se utiliza la mayor parte del
tiempo. La comunicación y, específicamente, la interacción entre el docente y el
alumno y alumno-alumno, se considera en la actualidad la base de proceso de
aprendizaje (Tusón & Unamuno, 1999). El problema de investigación que se reporta
en este artículo se delimitó por medio de la siguiente pregunta: ¿Qué procesos de
interacción propician los docentes, tendientes a la construcción de significados en el
aula, a propósito de la enseñanza de nociones de variación? Para intentar responder a
esta cuestión es necesario desarrollar perspectivas teóricas que sean útiles para
interpretar y analizar la complejidad de las clases de matemáticas.
Participantes y escenario
Para el desarrollo de este estudio se ha considerado de fundamental importancia,
tomar en cuenta a los profesores que son los portadores del saber que habrá de
escenificarse en el aula. Los participantes en la investigación fueron tres profesores
que impartían la asignatura de Matemáticas I, del Tecnológico de Estudios Superiores
de Ecatepec. Los profesores fueron seleccionados aleatoriamente entre los que
impartían la materia. Se platicó con cada uno de los profesores y se les dijo que
deseábamos observar y registrar la manera como ellos enseñaban los conceptos de
función y derivada y estuvieron de acuerdo. Las observaciones se realizaron por un
periodo largo, solamente en las clases donde se impartía los conceptos de función y
derivada, ya que son vistos como modelo para el estudio de la variación. Ellos son
profesores de las diferentes carreras de ingenierías. La información se recabó por
medio de las observaciones de sus actividades en el aula, en condiciones "normales".
La información recopilada consistía de cintas auditivas de las discusiones que se
realizaron en el aula durante el semestre, así como notas de campo (registro de la
observación) para complementar las cintas de audio. Esto permitió contar con una
286

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
fuente de datos que nos facilitó para obtener información que ilustró lo que sucede en
condiciones "normales" en el salón de clase, lograr un acercamiento con los
profesores y con el grupo, pero sin provocar modificaciones importantes en las
formas cotidianas de trabajo y de relación. Esto nos permitió tener registros reales y
obtener información de lo que sucede en la interacción social, esto es, en el proceso
educativo donde participan los profesores y los alumnos. Contar con elementos de
interpretación de los acontecimientos "desde la perspectiva" de los sujetos bajo
estudio.
Aspectos teóricos y metodológicos
Para realizar la investigación nos apoyamos en nociones de la didáctica fundamental,
a saber, la transposición didáctica, las situaciones didácticas un fenómeno ligado al
control de la transposición didáctica, el “envejecimiento de las situaciones de
enseñanza” 13 , en el cual, los patrones de interacción se refieren a las relaciones entre
el profesor, los alumnos y las propias situaciones. Se ha podido dar cuenta de un
fenómeno relacionado a éste último: al interior del aula, en la interacción, se
modifican las intervenciones de la enseñanza del profesor, reaccionando de modo
plástico con las interacciones del estudiantado. Asimismo se constata como, cuando
hay interacciones cambian las relaciones de poder y las secuencias de enseñanza. En
nuestro caso particular estamos estudiando un fenómeno didáctico en el campo de la
matemática universitaria usando la aproximación sistémica que brinda la didáctica de
la matemática como disciplina científica. Reflexionamos sobre lo educativo desde
una perspectiva en la que la triada, saber, profesor, alumno, desempeña el papel de
unidad de estudio. Sin embargo aunque podemos explicar las interacciones entre los
polos, saber, profesor, alumno, con base en las nociones, contrato, situación o
transposición, quisimos profundizar en el papel del discurso en el aula. Razón por la
que incorporamos elementos de los estudios cualitativos de corte etnográfico. Los
análisis y la discusión del trabajo, ha implicado interpretaciones y análisis en
direcciones específicas. De los datos recolectados se han producido diversas formas
de reducción y las perspectivas pueden conducir a la formulación de explicaciones o
conclusiones que pasan por un proceso de verificación y que puede obligar a realizar
nuevas organizaciones de los datos y así se regresa nuevamente al proceso de
reducción de datos y así sucesivamente. Este proceso concluye cuando se han
formulado interpretaciones sólidamente fundamentadas en los datos. Tomando al
discurso como medio para estudiar las prácticas sociales, en esta investigación nos
interesa analizar los elementos y características de una sesión de clase y los recursos
discursivos, o elementos discursivas de los profesores para enseñar una noción
compleja, como la noción de variación, sin dejar de lado la participación de los
estudiantes. A continuación presentamos un ejemplo de la construcción de
13 Se observa en los docentes dos conductas características: por una parte, si los alumnos fracasan el docente
tiende a proveer una “nueva oportunidad” (plantea un problema “igual al viejo”) y en consecuencia, la solución se
obtiene por la repetición y no por la comprensión. Por otra parte, el docente debe estar consciente que el proceso
didáctico sufre también de “envejecimiento” que se observa en la repetición de los mismos procedimientos
didácticos y que éstos no tienen el mismo efecto. Brousseau (1991) observa que en aquellos procesos donde el
docente interviene menos hay menor fracaso y “menos envejecimiento”.
287

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
significados a través de la explicación, en el marco de clases en que se impartía los
conceptos de función y derivada.
La construcción de significados. La explicación en la interacción
Uno de los objetivos del docente es hacer comprender a los estudiantes los
conocimientos matemáticos o los saberes que él enseña (Mopondi, 1995). Entre los
esfuerzos que el profesor emprende figuran las “explicaciones”. Nos interesan las
diversas formas que toman sus explicaciones al enseñar una noción como la variación
y sus efectos sobre las producciones de los estudiantes. La construcción de
significados, de explicaciones, como objeto de análisis, dado su carácter interactivo,
demanda que las unidades mínimas de análisis sean secuencias de interacción y no
frases o mensajes descontextualizados (Candela, 1999). Así el problema planteado
condiciona las características de las unidades de análisis; siendo el objeto de estudio
la construcción de los recursos discursivos y los significados sobre la variación. Una
unidad de análisis natural es la clase completa en la que se delimita y trabaja el
contenido de un tema curricular dentro de la jornada escolar. Las secuencias
discursivas seleccionadas son aquellas donde se pueda identificar las actividades y las
explicaciones de los profesores frente al contenido donde aparece la noción de
variación. Los extractos forman parte de las clases o sesiones de un primer semestre
de ingeniería.
La construcción de significados a través de la explicación: la variación
En este diálogo se presentan las siguientes secuencias de turnos en donde el docente
elige un ejercicio de una lista de ejercicios que consiste en graficar la función y= 3 x
y esta misma pero afectada por parámetros, suma, resta, multiplicación, etc. El
docente solicita que pase un alumno a realizar el ejercicio y, de entrada, grafica la
función y= 3 x para que sirva de base al alumno que va a pasar al pizarrón; le pide al
resto del grupo que vayan haciendo el problema en la medida que lo hace el alumno
que está al frente.
Extracto 5.49
P: ... quién lo quiera hacer, 48, quién hace el 48
Am: (...)
P: Alguien que pase
Am: (...)
P: Más o menos está, esa es la gráfica de y= 3 x entonces aquí hay, éste, a ver chéquenle y vayan
haciendo el problema en la medida en que lo hace su compañero
Am: Aquí vemos que la vamos a recorrer a la izquierda
P: A la izquierda ¿sí?, a ver su compañero la está haciendo
Am: A la derecha
As: Hacia abajo
P: Ya nada más la 3 x -1, podría ser a la izquierda o a la derecha pero como tiene signo
negativo a la izquierda ¿no?
As: ¡No! hacia abajo
Af: Hacia abajo
P: Bueno, a lo mejor pensemos así, pensemos en puntos a ver si nos podía ayudar, pensemos en
puntos para esta x, para esta x pues esta y ¿verdad? y el valor de y está dado por este. Ahora qué
288

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
le vamos a hacer a la función nueva, el y que teníamos hace rato para la x qué es lo que le vamos
a hacer
As: Restarle
P: Restarle una unidad, entonces así por ejemplo, en 1 ¿cuánto vale la original?
Am: 1
P: Vale 1, y entonces si a esta le voy a restar 1 en dónde va a quedar este punto, va a quedar en
dónde
As: (...)
P: Aquí a cada punto le voy a restar una unidad o sea cada punto se va a desplazar una unidad
hacia dónde
As: Hacia abajo
3
La siguiente función para graficar es y= x −1
, surge entonces la respuesta de un
alumno: “aquí vemos que la va a recorrer a la izquierda”. El profesor duda de la
respuesta y sugiere ver lo que está haciendo el alumno que está al frente. Otro alumno
dice: “a la derecha”; y después de haber escuchado algunas respuestas la mayoría
responde: “Hacia abajo”. El profesor no está convencido con la respuesta, ya que él
3
3
piensa que la función con la que se está trabajando es y= x −1
, en vez de y= x −1
,
el dice: “podría ser a la izquierda o a la derecha, pero como tiene signo negativo a
la izquierda ¿no?”. Nuevamente la opinión de la mayoría rechaza la explicación del
docente y dan un rotundo: ¡No, hacia abajo!” y una alumna dice también: “hacia
abajo”, reafirmando la opinión de todo el grupo. En las explicaciones aparece la idea
de mover un punto de referencia como el origen y esto ha resultado de gran
importancia para construir o elaborar estas explicaciones en torno al movimiento de
la gráfica. En este ejemplo se observa que la noción de variación es en relación a un
punto de referencia que se mueve, en este caso es el origen. El lugar que tiene el
docente en el aula como experto y conocedor de los contenidos escolares no lo
excluye de que tenga que argumentar sus puntos de vista e intentar convencer a los
alumnos. Una explicación no parece ser siempre aceptada por el solo hecho de que lo
plantee el profesor. Estas opiniones han propiciado que el docente modifique su
explicación, su situación de enseñanza ya que ésta no le funciona, esto se da cuando
la clase, la lección comprende más interacciones entre el docente y los alumnos,
reconfigurándose plásticamente el dominio de las interacciones y por ende la
secuencia prescrita del docente.
En este extracto los alumnos discuten y dan sus puntos de vista ya que el profesor
está confundido, todavía no se da cuenta del error, dice que hay que dar algunos
puntos, pensar en puntos para ver si eso puede ayudar. Nuevamente recurre a la
original y= 3 x , es una estrategia para iniciar nuevamente la explicación (modifica la
situación de enseñanza), a través de lo que él llama la original y dice que le vamos
hacer a la nueva y contesta el grupo: “restarle”. Pregunta el docente que cuanto vale
la original en 1, y un alumno responde que 1. Entonces el profesor dice si: “vale 1,
3
entonces si le voy a restar 1 (nueva función, y= x −1
), en dónde va a quedar ese
punto (se refiere al origen). El docente intenta llegar a una conclusión, a un acuerdo:
“Aquí a cada punto le voy a restar una unidad o sea cada punto se va a desplazar
una unidad hacia dónde”. La mayoría responde: “¡hacia abajo!”.
3
Enseguida veremos la función raíz cúbica y= x −1
, ahora el –1 está dentro de la
raíz y en el ejercicio anterior estaba fuera de la raíz el –1.
289

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
P: Ahora la siguiente va a ser y= x −1
, no es f(x)
Af: ¡ah!
P: Ahora si vamos a recorrer ¿hacia dónde?
Af: A la derecha
P: ¿cuántas unidades?
Af: 1
P: Entonces quiere decir que ahora este punto lo vamos a encontrar hacia la derecha, (...) vayan
resolviendo, ahorita es muy fácil pero a la hora del examen (...) y aquí me dicen, es muy fácil
290
3
ponme más. Esa es la gráfica de y= 3 x o sea qué sucedió se desplazó hacia la
Am: Hacia la derecha
Ante la equivocación del ejemplo pasado, el docente: “Ahora sí vamos a recorrer
“¿hacia dónde?” e inmediatamente le responde una alumna: “a la derecha”. Como
ya se discutió, ha resultado rápida la graficación. El 1 mueve la gráfica a la derecha,
esto es, se mueve el origen que es el punto de referencia (variación de un punto de
referencia). Volvemos a encontrar aquí que la pregunta del docente: “¿hacia
dónde?”, lleva a cabo la función de propiciar explicaciones.
Los múltiples ejemplos de las discusiones en las aulas durante el transcurso del
semestre pueden ilustrar mejor el desarrollo de las discusiones. Con poco espacio en
este documento, presentamos sólo un ejemplo, el anterior, y empezar a notar como se
negocian los conocimientos. Se describe una serie de versiones alternativas que, aún
reconociendo la posibilidad de errores, son parte de un proceso de aproximación a la
respuesta correcta.
Discusión
Se observó que los profesores con frecuencia promueven la producción de
explicaciones al demandar que los alumnos expliquen o justifiquen sus puntos de
vista. Los docentes también aportan explicaciones para apoyar una versión o para
rechazar otras. Sin embargo, los alumnos proporcionan sus puntos de vista cuando es
solicitado por el profesor, pero también defienden sus versiones, cuando el profesor
explica y los alumnos no comparten la versión. La riqueza de la construcción de
significados en la interacción, más que un proceso que parte de la diversidad de
opiniones termina como un proceso donde se negocian y articulan significados, pero
también se abren alternativas explicativas, se plantean debates y explicaciones que
casi siempre llegan a una conclusión. Los docentes crean un escenario que propicia
la participación de los alumnos, en algunos casos a través de la pregunta, de la
explicación o un comentario y esto tiene un efecto sobre la dinámica de la interacción
discursiva en el aula ya que, en algunas situaciones, el docente modifica su discurso,
cuando hay mucha interacción con los alumnos y una explicación o una secuencia
didáctica no le funciona, reconfigurando el dinamismo de la interacción.
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291

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
292
EL RECHAZO HACIA LAS MATEMÁTICAS. UNA PRIMERA
APROXIMACIÓN
Miguel Ángel Miguez Escorcia
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, México
migueze@uaeh.reduaeh.mx; mmiguez01@hotmail.com
Resumen
Nuestra sociedad, por una parte, otorga un alto valor a las matemáticas, considera su aprendizaje
como parámetro de éxito y, por otra, existe rechazo hacia la matemática por parte de los miembros de
esa sociedad. Además se dice que la formación de los profesores de Matemáticas no es la idónea, en
virtud de que desconocen técnicas didácticas específicas para su enseñanza, que su práctica la realizan
con pobres conocimientos de Matemáticas, por lo que no pueden promover el verdadero aprendizaje de
esta disciplina. Las presiones intrainstitucionales e interinstitucionales que “obligan” a distribuir las
calificaciones de las materias “duras”, son algunos de los elementos que de diversas formas interactúan
produciendo una gama muy amplia de actitudes de los profesores y de los estudiantes hacia las
matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje, que en muchos de los casos se constituyen como un
obstáculo insuperable y se ve reflejado en el fracaso escolar. En el presente artículo se hace una
primera reflexión del panorama en el que se inscribe el problema. A juzgar por los datos obtenidos
afecta no sólo México sino a un número importante de países, destacando para este caso la situación
del estado de Hidalgo. Se reconoce la existencia del problema, se aspira a aportar con elementos que
favorezcan su comprensión y, mejor aún, su solución. Como primera aproximación a un objeto de
estudio en el marco de este problema, se plantea la problemática social, cultural y educativa que
conlleva y que va más allá del rendimiento de los alumnos en términos de las calificaciones que
obtienen en los cursos obligatorios, en el transcurso de su vida escolar. Se asume la importancia que,
en la cultura matemática tienen la promoción de actitudes hacia las matemáticas, su enseñanza y su
aprendizaje, a partir de las prácticas educativas, de la formación y de la actualización de los docentes
del nivel primaria. Se conjetura en esta etapa inicial, que los docentes de los primeros años de
educación primaria en su práctica educativa, reproducen su falta de una sólida formación en
matemáticas, promueven la incorporación en los alumnos de seudo conceptos, que al interactuar con
las actitudes de los padres de familia hacia las matemáticas, pueden promover un efecto perverso,
dando origen a un desmontaje cognitivo.
El rechazo hacia las matemáticas: una primera aproximación
Desde el sentido común, culpando en gran medida a los niveles educativos anteriores,
se sostiene que el rechazo hacia las matemáticas ya es evidente en el tercer año de
primaria. Añadimos su enseñanza y su aprendizaje. Ocurre que, desde esta
calificación del fenómeno, se obstruyen entendimientos sobre la problemática que
conlleva. En este sentido interesa generar conceptos y categorías que rebasen al
sentido común y los datos cuantitativos basados en exámenes, y, que den cuenta
cuidadosa y ordenada no sólo de los procesos de transmisión y/o construcción de las
matemáticas en la escuela, sino también de las actitudes que se involucran y se
promueven.
Las personas manifiestan diferentes actitudes hacia las matemáticas, conforme a sus
experiencias. Por una parte, hay quienes la relacionan con una fuerte sensación de
fracaso y presentan hacia ella una mezcla de respeto y aversión. Otras personas, sin
embargo, han tenido vivencias atractivas y gratificantes, lo que ha favorecido en ellas
una actitud positiva hacia ésta materia. Aunque en el currículum escolar las
matemáticas son tratadas como una asignatura más, existe una gran presión por parte
de todos los sectores implicados en la vida escolar (profesores, padres, etc.) para que

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
los niños destaquen en ellas. La importancia que se les da a las matemáticas ha hecho
que cuando un alumno fracasa u obtiene bajas calificaciones se exprese un mayor
malestar por parte de los profesores y padres. La opinión de que existe una relación
directa entre el éxito en matemáticas y la inteligencia, es en buena medida
responsable de éstas expresiones.
Una razón que induce al estudio del proceso de enseñanza-aprendizaje de las
Matemáticas deriva de la importancia social que se le da a esta asignatura, para
Chamoso (2001: 35) “es quizá la materia más prestigiada socialmente y a la que se
atribuye cierto valor predictivo sobre las capacidades del propio individuo”. Parece
muy extendido el mito de las matemáticas, según el cual los niveles de inteligencia, el
triunfo social e incluso las expectativas del futuro bienestar están en relación directa
con las buenas calificaciones en esta área.
Cada quien tiene su experiencia estudiantil con las matemáticas, y de acuerdo con
estudios realizados en diferentes países como los publicados por Malén Aznárez
(1997), Dienes (1964), André Antibi (1998), Cadoche (2000), no siempre es
agradable. La situación se complica si tomamos en cuenta que las matemáticas
forman, junto con el español, la columna vertebral de la enseñanza.
Las matemáticas desempeñan un papel fundamental tanto en el plano científico como
en el educativo, aunque, por supuesto, es difícil separarlos. Sin duda, en el plano
científico y tecnológico, las matemáticas son fundamentales, sin embargo el
aprendizaje es árido para muchas personas.
“La otra vertiente de las matemáticas es la enorme responsabilidad que tiene por la
preferencia que se le está dando en los planes de estudio. Debido a que los objetos
matemáticos están libres de valor, el enfrentamiento con ellos es meramente lógico.
Ninguna otra materia entrena tanto el pensamiento ordenado y sistemático como las
matemáticas. En ninguna otra materia es tan pequeña la cantidad de conocimientos
que hay que memorizar; en las matemáticas el aprendizaje consiste en entender y no
en memorizar. Por ello tienen, para bien o para mal, un alto valor selectivo entre los
estudiantes.” (De la Peña, 2002:10)
Por ambos motivos, la importancia de esta disciplina para otras ciencias y su papel
central en educación, las matemáticas (al menos las más elementales) debería formar
parte de la cultura, pero la realidad, es otra.
En nuestro entorno hallamos personas que nunca han ido a la escuela y realizan muy
bien tareas como vender en mercados y averiguar los precios de varias cantidades,
confeccionar prendas de vestir, etc. Pero también es frecuente encontrar niños que
terminan la educación primaria sin saber interpretar sencillos gráficos, utilizar
correctamente el dinero cuando compran, o resolver una simple situación matemática
de la vida real.
Para la teoría cognitiva aprender no es sólo acumulación de datos (Ausubel, 1983;
Baquero, 1997; Vigotsky, 1973 y 1979). Los niños no son recipientes pasivos de
conocimientos, que lo que aprenden en la práctica de forma intuitiva o en situaciones
de aprendizaje que se plantean en el aula, reinterpretan, reestructuran y lo asimilan
formando parte de su propio esqueleto mental. La esencia del conocimiento es la
estructura, es decir, elementos de información conectados por relaciones que forman
un todo organizado y significativo; por lo tanto, la naturaleza de la adquisición del
conocimiento estriba en aprender relaciones generales. Hay investigaciones (Resnick,
293

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
1987; Goldin-Meadow, 1993, 1999 y 2003) que sugieren que los niños inventan una
gran parte de sus propias matemáticas y que vienen a la escuela con un buen y
desarrollado sistema matemático informal, de tal forma que en las situaciones de
enseñanza y de aprendizaje que se plantean en el aula, pueden ser aprovechados
aquellos conocimientos previos, enriqueciéndolos con nuevas experiencias e
informaciones, y proceder a su reelaboración.
Si la función social que atribuimos a la enseñanza es la de desarrollar integralmente al
alumno, entonces la mejor enseñanza de las matemáticas es aquella que es
participativa. Esta forma de actuar podría permitirles la construcción y la
comprensión de las matemáticas para desarrollar pautas de pensamiento más
complejas. La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas requiere partir de tareas
programadas intencionalmente para movilizar los conocimientos previos y poner en
juego determinadas relaciones, procediendo posteriormente a la reflexión.
De acuerdo a los informes (2002) del Departamento de Orientación Educativa de la
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH), una parte importante de los
alumnos que ingresan a la licenciatura la eligen considerando la poca o ninguna
presencia de las matemáticas en los planes de estudio. Sin embargo, quienes optan
por licenciaturas que incluyen cursos ya sea de matemáticas o de disciplinas
estrechamente relacionadas con ellas, no necesariamente cuentan con los
conocimientos básicos que les permitan y posibiliten aprenderlas y aplicarlas, como
lo muestra un estudio realizado por Profesores Investigadores del Área Académica de
Matemáticas de la misma universidad, en el que se aplicó un examen diagnóstico a
los alumnos de primer semestre de licenciatura, los resultados se encuentran en la
siguiente tabla:
294
Licenciatura Fecha de aplicación
Número de alumnos
que presentó el Aprobados
examen
Sistemas
Computacionales
22 de enero del 2000 159 8 (1)
Sistemas
Computacionales
2 de julio del 2000 154 5 (2)
Sistemas
Computacionales
26 de enero del 2001 107 0 (2)
Comercio Exterior 26 de enero del 2001 60 10 (2)
Minero-metalúrgico 26 de enero del 2001 20 1 (2)
Economía 26 de enero del 2001 50 6 (2)
Total 550 30
Fuente: Acosta Hernández Juan Alberto, “Resultados de evaluaciones diagnósticas” Ms. Pachuca de Soto, Hgo.
2001; y Hernández Genis Román (B) “Resultados de evaluaciones diagnosticas” Ms. Pachuca de Soto, Hgo. 2001
(1) Con calificación de 6 o más; (2) Con calificación de 7 o más
Resulta fácil documentar los problemas que las clases de matemáticas representan
para los estudiantes mexicanos y sin duda, con base en el reporte PISA 2000, de otros
países del mundo. En su artículo "México: ¿un país de reprobados?", publicado en la
revista NEXOS No. 162 en junio de 1991, Gilberto Guevara Niebla reportó un
examen practicado a nivel nacional entre niños de escuelas primarias y secundarias.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
En primaria se aplicó a 3248 niños de sexto año que obtuvieron en una escala de cero
a diez, una calificación promedio en español de 5.23 y en matemáticas de 4.39, ésta
fue la calificación más baja entre las materias examinadas. En secundarias se aplicó a
4753 estudiantes de tercer año y se obtuvo un promedio de 5.0 en español y 3.47 en
matemáticas. De la Peña (2002) afirma que en el bachillerato, en 1998, la mitad de las
materias reprobadas por estudiantes del colegio de ciencias y humanidades de la
Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) fueron materias de
matemáticas. En el nivel superior la matrícula de las carreras de matemáticas y otras
carreras científicas se mantiene muy baja como resultado natural de los desastres en
niveles previos.
La actitud negativa hacia matemáticas, no es un problema privativo del sistema
educativo mexicano, la investigadora española Malén Aznárez (1997) califica las
Matemáticas como “la materia que ha sido para generaciones de españoles, y aún lo
es para muchos, el coco y pesadilla de sus años de estudiante. Una pesadilla
irremediable porque los niños aprenden desde bien pequeños que la primera nota por
la que se interesan sus padres es por la de matemáticas”.
Es común escuchar que Matemáticas es la disciplina que resulta más difícil a los
estudiantes.
“Actualmente son muy pocos los profesores de matemáticas, cualquiera que sea el nivel en que
trabajan, que se encuentren satisfechos del modo en que transcurre su enseñanza. Efectivamente,
son muchos los niños que sienten antipatía por las matemáticas –antipatía que aumenta con la edad-
y muchos los que encuentran dificultades casi insuperables en las cuestiones más sencillas. Hay que
reconocer que la mayor parte de los niños nunca llegan a comprender la significación real de los
conceptos matemáticos. En el mejor de los casos, se convierten en consumados técnicos en el arte de
manejar complicados conjuntos de símbolos, pero la mayor parte de las veces acaban por desistir de
comprender las imposibles situaciones en que las exigencias de las matemáticas escolares de hoy les
colocan. La actitud más corriente consiste, simplemente, en esforzarse en aprobar un examen, tras lo
cual nadie dedica a las matemáticas ni un pensamiento más. Con muy pocas excepciones, esta
situación se puede considerar lo bastante general como para llamarse normal”. (Dienes, 1964, citado
por Alcalá, 1996: 123)
A más de tres décadas las palabras de Dienes, tienen una actualidad impresionante,
sobre todo si subrayamos su acotación final, debido a que de ninguna manera se
pretende apoyar una posición totalmente pesimista, en el sentido de que los
estudiantes prefieren aprobar las materias en lugar de aprenderlas. Es ese carácter
dual el que se intenta hacer explícito, porque por una parte tal parece que las
matemáticas ocupan un lugar especialmente importante entre las materias del sistema
educativo de cualquier país, ya que su contenido permite mantener una parte de la
sociedad, capaz de servir a la tecnología, la industria, la ciencia, sin embargo, aunque
el acceso a esos ámbitos no sea igual para todos por diversas razones. La mera
aprobación en lugar del aprendizaje, se agudiza aún más en las asignaturas de
matemáticas, donde, desde el sentido común son definidas como tradicionales y
memorísticas.
Si el alumno no logró los propósitos de egreso del nivel anterior esto ocasionará poca
o nula comprensión de los nuevos conocimientos, y por lo tanto generará un bagaje
matemático pobre que influirá negativamente en el resto de su desempeño escolar,
provocando decisiones erróneas. Existen evidencias de que un importante número de
alumnos deciden la carrera profesional que habrán de estudiar en función de su
rechazo a la matemática.
295

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Hablar del rechazo hacia el aprendizaje de las matemáticas, sin duda implica discutir
sobre las creencias, las actitudes y las aptitudes que las personas presentan hacia las
matemáticas, su enseñanza, su aprendizaje y su aplicación dentro y fuera del contexto
escolar. Lo que puede situarse al menos en dos momentos: durante el tiempo que son
estudiantes matriculados en una institución educativa y en la necesidad de aprenderlas
y utilizarlas el resto de su vida.
El papel del docente como organizador, coordinador y mediador del trabajo escolar es
incuestionable, ellos son también protagonistas en todo proceso de enseñanzaaprendizaje,
quienes con sus actitudes y actividades otorgan sentido a la labor del
docente. Cuando observamos una clase tratamos de analizar lo que en ella sucede,
tenemos ante nosotros un recorte abstracto de la realidad, que promueve procesos
entre sus integrantes, que de funcionar adecuadamente, origina aprendizajes que
potencian el desarrollo de los participantes, con base en la influencia que el entorno
tiene en la formación de las personas, y es precisamente este entorno quien provee de
los elementos que no solo permiten, también posibilitan la intersubjetividad y
posteriormente la intrasubjetividad –en el sentido que otorga Vigotsky (1973 y 1979)
a los términos-. Ese recorte de la realidad funciona como una totalidad organizada en
la cual confluyen procesos heterogéneos y no puede por tanto ser reducido a la simple
suma de procesos, situaciones o fenómenos del dominio de una disciplina.
Luego entonces, el estudiar las actitudes que sobre las matemáticas y su proceso de
aprendizaje-enseñanza tienen los profesores, debe realizarse conjuntamente con el
adecuado estudio de las actitudes de los estudiantes en un contexto específico, en el
cual los padres son un elemento muy importante por su labor socializadora, (Berger y
Luckmann 1978). En virtud de que un sistema social complejo debe ser estudiado
como una totalidad.
Si bien este es un problema que afecta a un gran número de países, el caso de México
es en especial grave, a juzgar por los resultados obtenidos por PISA 2000 14 , así como
los resultados del estudio de Guevara Niebla, al que se hizo referencia anteriormente.
Estos estudios, permiten afirmar que una cantidad importante de estudiantes (en el
estudio de Guevara Niebla, en la primaria y en la secundaria, y en el PISA 2000 sólo
en secundaria) han acreditado los cursos de matemáticas sin lograr aprenderlas.
Además existen estudiantes que creen contar con los conocimientos y las habilidades
para continuar estudios de licenciatura, en los que deberán utilizarlos para tener
éxito, cuando menos en el estado de Hidalgo, los resultados obtenidos muestran que
no es así.
Es necesario realizar investigación que más allá de que los estudiantes acrediten o no
acrediten los cursos de matemáticas, de cuenta de las relaciones que se originan entre
las actitudes que sobre matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje tienen los
alumnos y los profesores de primaria, sin soslayar la importancia que en ello tienen
los padres de esos alumnos. Con la finalidad de acotar el objeto de investigación que
nos ocupa, será necesario conceptuar lo que implica hablar de actitudes hacia la
matemática, que sin duda involucran la formación y actualización de los docentes, las
prácticas educativas utilizadas por ellos. Las actitudes suelen considerarse como
14 Programa Internacional de evaluación de Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés), específicamente el
capítulo 3 de los resultados publicados por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos
(OCDE), editado por Santillana.
296

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
predisposiciones aprendidas que ejercen una influencia y que consisten en la
respuesta hacia determinados objetos, personas o grupos. Las actitudes son
normalmente consideradas como productos de la socialización y, por tanto, como
algo modificable. Debido a que la conducta de una persona hacia los demás suele
estar asociada a las actitudes que mantiene con ellos, la investigación sobre cómo se
forman, se organizan en la mente y se modifican las actitudes ha sido un tema de
enorme importancia. Para María Luisa Martín (1996: 112) “La actitud es un
constructo hipotético, es una propiedad de la persona individual, implica tanto un
componente afectivo como la tendencia a la acción. Las actitudes se pueden definir
como tendencias o disposiciones adquiridas y relativamente duraderas a evaluar de
un modo determinado un objeto, persona, suceso o situación y a actuar en
consonancia con dicha evaluación.” Para poder dar cuenta de las actitudes que los
profesores y los alumnos tienen hacia las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje,
es necesario hacer una revisión de los procesos en los que interactúan docentes,
alumnos y padres de familia.
A modo de sumario
¿Cuál es el sentido de un proyecto de investigación como éste? Con base en los
resultados obtenidos en diferentes estudios, y desde el sentido común se habla del
fracaso escolar. Fracaso que sin duda es más crítico en matemáticas y las disciplinas
que tienen una relación directa con ellas. También desde el sentido común, culpando
en gran medida a los niveles educativos anteriores, se menciona que el rechazo hacia
las matemáticas ya es evidente en el tercer año de primaria, yo me atrevo a incluir a
su enseñanza y su aprendizaje. Ocurre, inclusive, que al suponer que se conoce al
fenómeno, porque ya se ha calificado, se obstruye la problemática que conlleva. En
este sentido interesa generar conceptos y categorías que rebasen al sentido común y
los datos cuantitativos basados en exámenes, y que den cuenta cuidadosa y ordenada
no sólo de los procesos de transmisión y/o construcción de las matemáticas en la
escuela, sino también de las actitudes que se involucran y se promueven. El interés
de este proyecto de investigación es rebasar el carácter didáctico, ya que no pretende
orientarse con inmediatez a la búsqueda de mejores formas de enseñanza, sino a dar
cuenta de la necesidad de promover una verdadera cultura matemática, por lo que el
primer paso para intervenir exitosamente sobre la realidad es conocerla con
profundidad.
Bibliografía
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298

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
EL SENTIDO DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS COMBINADAS
Forcinito, Silvia Ofelia. Zampini, María Inés. Álvarez, María Alcira.
Instituto de Formación Docente Nº 3: Esc. Normal Superior J.I. Gorriti. Jujuy-
Argentina.
silvifor@yahoo.com.ar
Resumen
Los reiterados errores que presentan los alumnos a lo largo de toda la escolaridad media, cuando
requieren poner en juego la prioridad de las operaciones, inspiraron la elección de este problema como
objeto de la investigación. Su alcance se limita a la resolución de sumas y productos combinados en el
campo de los números naturales.
Se ha considerado su importancia por ser base para su tratamiento en la ampliación de los campos
numéricos (racionales y complejos), la resolución de ecuaciones y otros cálculos algebraicos de gran
utilidad, dentro y fuera de la matemática.
Hipótesis
Los insistentes esfuerzos que hacen los docentes cada vez que los alumnos se
equivocan en los cálculos combinados, tanto en el marco aritmético como en el
algebraico, junto a la persistencia del error por parte de los alumnos, han permitido
elaborar una primera hipótesis que consiste en suponer la presencia de lo que Guy
Brousseau denomina: conocimiento obstáculo 15 . Y que este obstáculo, esta dado por
la característica cultural de leer y escribir de izquierda a derecha, cuestión que se
reproduce en los cálculos combinados dispuestos horizontalmente.
Como segunda hipótesis, desprendida de la anterior, se busca confirmar que
situaciones de enseñanza adecuadas, que tengan en cuenta el sentido de las
operaciones combinadas, permitirían al alumno franquear el obstáculo y
transformarlo.
Objetivos
Se busca comprobar el obstáculo, diseñar e implementar un proyecto de aprendizaje
sobre la prioridad de las operaciones en de sumas y productos combinados con
números naturales dispuestos horizontalmente y contrastar los resultados obtenidos
con los análisis apriori.
Metodología
Se adopta la, «Ingeniería Didáctica» 16 como metodología para la investigación.
15 Brousseau, (1975) en el campo de la didáctica de la matemática, define el concepto: conocimientos obstáculos como errores reproducibles, predecibles, resistentes y
relativamente universales.
16 DOUADY, REGINE. “Ingeniería didáctica y evolución de la relación con el saber en las matemáticas de collège seconde” en La enseñanza de las matemáticas: puntos
de referencia entre los saberes los programas y las prácticas. Topiques. 1996.
299

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Marco Teórico
Se toman como encuadre de esta investigación la «Teoría de las Situaciones» (Guy
Brousseau. 1986) y la «Dialéctica Instrumento - Objeto. Juego de marcos» (Regine
Douady. S/f)
La Ingeniería
1 – Los análisis preliminares.
Desde lo epistemológico se consideró la «Teoría axiomática del número natural» de
Peano, de la cual se desprende la regla que determina la prioridad de las operaciones.
En cuanto a la práctica habitual de los docentes, se pudo observar que proponen
separar los términos teniendo en cuenta los signos «+» y «-» que no figuren dentro de
paréntesis. Son reglas «recetas» totalmente vacías de sentido.
Dentro de los errores que aparecen en las producciones de los alumnos a lo largo de
la escolaridad primaria y media, se pueden observar:
2 1
+ × 5 = 1;
3 + 2x
= 5x
; 4 + 3 2 = 7 2 ; 2 + 4i
= 6i
4 2
El error que subyace es el mismo, el alumno realiza los cálculos en el orden que
aparecen, de izquierda a derecha, no tiene en cuenta la separación por términos.
2 – La concepción y el análisis a priori.
Se concibe una secuencia de 8 encuentros de 80 minutos cada uno a cargo de las
docentes investigadoras.
– Primer encuentro: Se propone una entrevista inicial con el propósito de indagar sus
concepciones previas acerca de los cálculos combinados.
– Segundo encuentro: Se propondrá a los alumnos que resuelvan problemas que
involucren las 4 operaciones básicas. El propósito es indagar acerca del
reconocimiento por parte de los alumnos de la pertinencia de estas operaciones dentro
de un contexto, ver su forma de trabajar, de representar las resoluciones y, además,
realizar un acercamiento interpersonal entre ellos y las docentes investigadoras.
– Tercer encuentro: Se trabajará de manera inversa a la anterior, se darán cuentas en
las que intervenga una sola operación y los alumnos, en forma grupal, propondrán los
problemas. Se continuará con una puesta en común.
– Cuarto encuentro: Se presentará a cada grupo de alumnos dos problemas en los que
intervengan las mismas cantidades pero que se resuelvan de distintos modo, en uno se
deberá realizar primero la suma y luego el producto y en el otro al revés. Esta
actividad tiene el propósito de contextualizar las operaciones combinadas, que
reconozcan que la necesidad de realizar primero una u otra operación está dada por la
situación y que, según esto, aunque intervengan los mismos números y las mismas
operaciones, los resultados serán distintos. En la puesta en común debatirán los
procedimientos usados.
– Quinto encuentro: Se entregará a cada grupo dos dados de distinto color y dos
tarjetas, una para cada equipo que se forme dentro del grupo. En una tarjeta se
consignará que a la suma de los puntajes obtenidos al tirar los dados la deberán
multiplicar por un número específico. En la otra, con los mismos puntajes obtenidos
300

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
en los dados, deberán efectuar el producto con uno de ellos y, a ese resultado, sumarle
el del otro dado. Además se les pedirá que anticipen cuál de los equipos obtendría el
mayor puntaje y que justifiquen su respuesta. Con esta actividad se propone
profundizar las concepciones logradas en el encuentro anterior.
– Sexto encuentro: La clase se organizará en dos grandes grupos, en cada uno de ellos
se formarán subgrupos. Cada subgrupo, de uno de los dos grupos, recibirá un par de
problemas; para su resolución uno requerirá primero la suma y el otro primero el
producto. De la misma forma se procederá con el otro grupo. Junto con los problemas
recibirán una tarjeta con dos filas de números que corresponderán a los de los
problemas. Una vez resueltos deberán completar la tarjeta con los signos de las
operaciones y, cuando lo necesiten, algunas marcas o señales (no podrán borrar ni
agregar números o letras) de modo que su lectura permita resolver los cálculos
solucionando cada problema sin conocer sus enunciados. Luego los grupos que
recibieron distintos problemas intercambiarán las tarjetas y resolverán los cálculos.
En la puesta en común se analizará la claridad de los mensajes plasmados en las
tarjetas y se validarán las resoluciones de acuerdo a los problemas correspondientes.
El docente institucionalizará el uso del paréntesis como simbolización socialmente
reconocida.
– Séptimo encuentro: Se realizará una reinversión de los conceptos logrados en la
actividad anterior. Los alumnos recibirán dos problemas y cálculos en los que
intervengan los mismos valores numéricos en sumas y productos, en algunos
aparecerán paréntesis, deberán resolverlos y aparearlos con los problemas
correspondientes.
– Octavo encuentro: Sobre la base de los resultados obtenidos en el encuentro anterior
se entregarán cálculos con sumas y productos dispuestos horizontalmente, con y sin
paréntesis, para que los alumnos los resuelvan.
– Evaluación: Se la realizará en forma individual. En una primera parte, los alumnos
deberán presentar horizontalmente el cálculo de problemas que requieran una
combinación de sumas y productos. En la segunda parte, deberán resolver cálculos
con estas operaciones dispuestas horizontalmente, con y sin paréntesis.
3 – Experimentación, análisis a priori y validación.
La propuesta se desarrolló en un cuarto año de EGB 2, se eligió un grupo que no
había trabajado las operaciones combinadas, pues si ya hubieran visto la regla de
separación por términos los resultados de esta investigación quedarían confusos.
La entrevista inicial, invariablemente ante los cálculos del tipo «4 + 3 · 5» resolvieron
primero la suma y luego el producto. Cuando se les preguntaba porqué habían
decidido resolverlas de ese modo daban por respuestas: "porque ahí dice así" o
"porque aparecen así". Confirmando así la primera hipótesis.
Los hallazgos obtenidos con las actividades desarrolladas en el segundo y tercer
encuentro, no tienen relevancia en cuanto al interés de esta investigación, sus
propósitos están especificados en el punto anterior.
En el cuarto encuentro se entregó a cada grupo dos problemas:
a) Susana tiene 2 figuritas sueltas y 3 sobres con 5 figuritas cada uno. ¿Cuántas
figuritas tiene Susana?
b) Susana tiene 3 sobres que contienen 5 figuritas de animales y 3 de deportes.
301

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
¿Cuántas figuritas tiene Susana?
En general no tuvieron inconvenientes para resolverlos. Se puede decir que con
respecto al objetivo propuesto, referido al reconocimiento de la prioridad de las
operaciones, se logró una primera aproximación dentro de una situación
contextualizada. También se pudo observar la variedad de estrategias de resolución
que presentaron los alumnos, esto dio lugar a distintos puntos de debate en la puesta
en común, como lo fueron la multiplicación como suma reiterada, el cálculo mental y
la aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
En el quinto encuentro cada grupo recibió dos dados y dos tarjetas, una para cada
equipo del grupo. Cada tarjeta tenía una de las siguientes consignas:
a) Al puntaje del dado blanco se le debe sumar el resultado de multiplicar el puntaje
del dado rojo por el número tres.
b) A la suma del puntaje del dado blanco con el del dado rojo se la debe multiplicar
por el número tres.
Todos los grupos resolvieron correctamente, consignaron los puntajes de cada dado
en una hoja donde también resolvieron los cálculos. En la puesta en común
explicaron sin dificultades los cálculos resueltos. La actividad fue valiosa ya que los
alumnos reconocieron, para el mismo par de valores, las diferencias entre los
resultados en los dos tipos de cálculo. Incluso llegaron a inferir que cuando debían
sumar primero el resultado sería siempre mayor, una alumna lo justificó mediante la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma
En el sexto encuentro, tres grupos recibieron dos tarjetas, con los problemas 1 y 2.
Los otros tres grupos recibieron las de los problemas 3 y 4, junto a la tarjeta en la que
debían intercambiar los mensajes.
En las resoluciones de los alumnos se pudieron observar distintos comportamientos.
En el grupo que participaron Nahir, Julieta y Felipe resolvieron correctamente ambos
302
Problema 1
Una bailarina entrena 4 horas los días sábados y 3 horas de
lunes a viernes. ¿Cuántas horas entrena por semana?
Problema 2
Otra bailarina entrena 4 horas a la mañana y 3 horas por la
tarde ; lo hace de lunes a viernes. ¿Cuántas horas entrena
por semana?
Problema 3
María para su cumpleaños decoró con 7 globos rojos y 5
globos blancos cada una de las 4 esquinas del comedor.
¿Cuántos globos utilizó María?
Problema 4
María para su cumpleaños decoró el comedor con 7 globos
rojos en el centro y 5 con globos blancos en cada una de
las 4 esquinas. ¿Cuántos globos utilizó María?
Problema 1: 4 3 5
Problema 2: 4 3 5
Problema 3: 7 5 4
Problema 4: 7 5 4

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
problemas usando la disposición vertical para presentar las cuentas. Para enviar el
mensaje de resolución del problema 1 Felipe propuso escribir al lado del producto el
signo de la igualdad y su resultado, a continuación del mismo escribió el signo de la
suma y el número 4. Para el problema 2 agregaron solamente los signos de las
operaciones, consideraron que debía resolverse en el mismo orden de aparición.
Con respecto al problema 1 se les recordó que no se podían escribir números;
cambiaron la propuesta usando una flecha para indicar el orden de resolución. Con
respecto al problema 2 incorporan el signo de la igualdad después de la suma de los
dos primeros números para indicar que a ese resultado lo deben multiplicar por el
número siguiente.
Aymé, Ignacio y Yamila recibieron el mensaje y lo interpretan como el grupo emisor
lo había propuesto.
El grupo de Pedro, Nicolás, Fran y Marcos resolvieron correctamente los dos
problemas y también presentaron las cuentas en disposición vertical. Para enviar el
mensaje encerraron con una línea curva los cálculos que se debían resolver primero.
Agustina, Tiago y José recibieron la tarjeta con este mensaje, resolvieron
correctamente pero llama la atención que escribieron la cuenta que realizaron en
segundo lugar a la izquierda de la primera. Aunque respetaron la prioridad indicada,
posiblemente consideraron que los cálculos se deben escribir en el orden que
aparecen los signos en la disposición horizontal En la puesta en común dijeron que se
dieron cuenta de la prioridad por los números que estaban juntos y por el que quedaba
solo.
Al igual que los grupos anteriores, Paloma, Gustavo, Matías y Lucía resolvieron
correctamente los dos problemas y presentaron las cuentas en disposición vertical.
También enviaron el mensaje encerrando con una línea curva los cálculos que se
debían priorizar. Luciana, Paloma y Valeria recibieron el mensaje y lo resolvieron en
la misma tarjeta. No tuvieron en cuenta las líneas curvas marcadas por el grupo
emisor y resolvieron por el orden de aparición de los cálculos incluyendo los
resultados intermedios. Obtuvieron el mismo resultado para los dos problemas. En la
puesta en común explicaron que no entendían lo que tenían que hacer porque los
números estaban encerados.
En las resoluciones de los otros dos problemas, en el grupo de Tiago, José y
Agustina, esta última decía que había que dividir 12 por 4; después de sumar
mentalmente y que se trataba de una división por el "Cada una" del enunciado. Tiago
se opuso diciendo: "No, no, no; puso 5 globos en 4 esquinas, uno en cada una y sobra
una" Se les preguntó nuevamente cuántos globos se colocaron en una sola esquina.
Agustina, que ya había resuelto la cuenta propuesta inicialmente, respondió: "3". En
cambio Tiago dijo: "hay 12 en una esquina, 12 en otra, 12 en otra y 12 en otra".
Resolvió oralmente: "10 + 10 + 10 + 10 = 40; 2 + 2 + 2 + 2 = 8" y 40 + 8 = 48".
Agustina propuso multiplicar. En la hoja escribieron las dos cuentas en disposición
vertical. El problema 4 lo resolvieron sin inconvenientes, también usaron la
disposición vertical, esta vez resolviendo primero el producto y luego la suma.
Para enviar el mensaje propusieron escribir encima de los signos de operación un
número de orden para indicar la prioridad. Se les recordó que no podían usar
números, pero que si cualquier tipo de marcas. Decidieron usar flechas.
Los alumnos que recibieron el mensaje interpretaron las flechas al revés de la
303

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
intención propuesta. Interpretaron que la punta de la flecha indicaba donde debían
comenzar. Mantuvieron la disposición horizontal para resolver los cálculos,
colocando resultados intermedios sin respetar el significado del signo igual.
El grupo de Ignacio, Yamila y Aymé resolvieron correctamente ambos problemas y
también usaron la disposición vertical para presentar las cuentas.
Para enviar el mensaje del problema 3 solamente agregaron los signos de las
operaciones; consideran que la prioridad estaba dada por el orden de escritura. Como
en el problema 4 debían indicar la alteración del orden recurrieron al uso de los
colores, pintaron de verde los dos números que se debían multiplicar y dejaron en
rojo al que luego deben sumar; reforzando esta idea con una flecha.
Nahir, Julieta y Felipe recibieron el mensaje y lo resolvieron con la intención dada
por el grupo emisor. Ambos grupos sostienen que la prioridad está dada por el orden
de escritura; consideraron que la salvedad se debe indicar cuando esto deja de ser
válido.
El grupo de Luciana, Paloma y Valeria al igual que los otros grupos resolvieron bien
los problemas y también usaron la disposición vertical. También, como pudo
observarse en otro grupo, escribieron la cuenta que realizaron en segundo lugar a la
izquierda de la primera, como si los cálculos debieran presentarse con el orden
numérico dado en el enunciado del problema.
Para el cálculo del problema 3 solo incorporaron los signos de operación
considerando que la prioridad estaba dada por el orden de escritura. En el problema 4
usaron una llave horizontal abierta por debajo de los dos números que debían
multiplicar para indicar la prioridad.
Los alumnos que recibieron la tarjeta resolvieron los dos cálculos por el orden de
escritura, no tuvieron en cuenta la presencia de la llave. Hicieron los cálculos en la
misma tarjeta escribiendo los resultados intermedios; aunque también, los
presentaron en la hoja en la disposición vertical.
En la puesta en común se analizaron las distintas representaciones, los errores
cometidos y se debatió sobre las simbolizaciones más adecuadas. Como otra
posibilidad, la docente presentó el paréntesis y comunicó que es la adoptada
universalmente, estos signos aparecen en algunas calculadoras y en los teclados de las
computadoras por ello es la que adoptarían también ellos. De este modo se
institucionalizó el uso del paréntesis para indicar la prioridad de las operaciones;
asimismo señaló que, para los casos en los que no estuvieran presentes los paréntesis,
existe la convención de resolver primero los productos y después las sumas.
Los dos encuentros siguientes fueron dedicados a la familiarización de esta
representación.
La evaluación fue individual y la realizaron los 22 alumnos presentes de los 24 que
conformaban el grado. Se obtuvieron los siguientes resultados:
Aprobados: 15 ( 68,18%) Regulares: 6 (27,27%) Aplazados: 1 (4,54%)
Las primeras apreciaciones
Se considera que el porcentaje de aprobados fue bueno; aunque, por los errores que
manifestaron los alumnos hubiera sido conveniente aumentar el tiempo dedicado a la
familiarización del concepto.
Esta secuencia de clases respondió a una primera aproximación a la construcción de
304

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
la prioridad de las operaciones. Lo que le sigue es una complejización de las
situaciones aumentando la cantidad de números, de términos, luego incorporando la
resta, la división entera para pasar luego a la ampliación del campo numérico con
expresiones decimales y fraccionarias. A su vez el concepto debería ir apareciendo
paralelamente en resoluciones de ecuaciones.
Creemos que la experiencia fue rica ya que permitió al menos conflictuar el
obstáculo.
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305

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA: HABILIDADES LOGICAS PRESENTES
EN LOS INGRESANTES AL NIVEL SUPERIOR
306
Edna Agostini,-Josefina Royo, Josefina-, Celia Torres,Ana Lasserre,
Mercedes Naraskevicins
Universidad Nacional de Jujuy, Argentina
perassi@cootepal.com.ar; jroyo@imagine.com.ar
Resumen
La investigación realizada por este equipo en años anteriores, mostró que en el paso del nivel primario
al secundario, los alumnos carecen de ciertas habilidades lógicas necesarias para su aprendizaje
matemático posterior, particularmente en lo que hace a la reversibilidad de las operaciones y a la
interpretación de los textos y consignas propuestas. Estos estudios empíricos y la práctica docente de
cada uno de los miembros del equipo nos llevaron a extender nuestra hipótesis de trabajo a otros
niveles del sistema educativo y así nos propusimos verificar que: “los alumnos de niveles superiores
del sistema educativo tienen importantes dificultades para el aprendizaje de la matemática, debido a
que en los niveles inferiores del sistema no adquieren las habilidades lógicas necesarias para un óptimo
manejo de las abstracciones matemáticas”. A partir de esta hipótesis, en el proyecto que iniciamos en
el año 2002 nos propusimos realizar, en primera instancia, un diagnóstico de los alumnos que egresan
del sistema medio e inician estudios superiores para corroborar o desestimar la idea de sus dificultades
en el aprendizaje y, a partir de este estudio empírico, identificar en qué fase del proceso y con qué
operaciones se presentan esas dificultades, determinando además la vinculación que pueda tener esta
problemática con otras variables como ser la metodología empleada por los docentes y el nivel socioeconómico
de los alumnos. Se presenta ahora, al cabo de un año de trabajo, el primer avance en esta
nueva investigación.
Antecedentes
La formación de las habilidades lógicas tiene gran importancia en Matemática. N.
Telizina lo destaca particularmente y enfatiza sobre la necesidad de la formación de
procedimientos lógicos generales. Por su parte, A. Sheinenke señala que se deben
incluir los aspectos de la lógica en la enseñanza de la matemática aún en las
especialidades técnicas, para mayor comprensión de esta disciplina. La investigación
realizada por este equipo en los últimos tres años demostró que en el paso del Nivel
primario al Nivel secundario, los alumnos carecen de algunas habilidades lógicas
necesarias para un aprendizaje matemático posterior. Hemos podido probar que niños
de alrededor de 13 años, edad adecuada al nivel estudiado, no tienen casi dificultades
para clasificar, es decir para indicar la pertenencia o no de un objeto a un conjunto
predeterminado. Sin embargo, a la hora de definir propiedades para luego clasificar
una serie de elementos, lo hacen en forma muy amplia, estableciendo conjuntos
donde sus límites no siempre están muy bien precisados. En cambio los jóvenes de
mayor edad, que por estar en el mismo curso que los anteriores son en su mayoría
alumnos que repiten el año, tienen menos dificultad en realizar una tarea de ese tipo
ya que son capaces de establecer un mayor número de categorías para la clasificación
y de definirlas con mayor precisión. Es decir que, por las evidencias empíricas
observadas en este contexto específico, hay una correlación directa entre la edad
cronológica y la habilidad para distinguir propiedades de los objetos y además para
establecer las correspondientes definiciones, al menos, con objetos no matemáticos
como los utilizados en esta etapa de la experiencia. Pero, sin embargo, en estos
alumnos mayores es notoria la carencia de ciertos conceptos matemáticos básicos

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
como el de triángulo equilátero o el de área, que los alumnos que no repiten grado, en
general, manejan con soltura. Además se verificó que en ambos grupos etarios, existe
una gran dificultad en la reversibilidad de las operaciones así como en la
interpretación de las consignas propuestas, sean orales o escritas. Así por ejemplo, en
todos los grupos donde se realizó la experiencia hubo que repetir y explicar la
consigna dada en forma oral. En las consignas escritas la dificultad de comprensión
fue mucho menor. El desarrollo del trabajo de investigación mencionado en los
párrafos anteriores se hizo en períodos lectivos muy irregulares dada la gran cantidad
de huelgas docentes que se cumplieron en la Provincia de Jujuy, lo que motivó que el
ingreso de los investigadores a las escuelas se dificultara, situación que no mejoró en
el corto plazo. Esta circunstancia, unida a la experiencia diaria de los investigadores
que se desempeñan como profesores universitarios y de los Institutos de Formación
Docente y al diagnóstico realizado a través de una encuesta aplicada en 1993, a los
alumnos de 1º Año de las distintas Facultades de la Universidad Nacional de Jujuy y
de los Profesorados de Matemática y Física del Instituto de Formación Docente “José
E. Tello” (citado en los trabajos [4], [5] y [6]), fueron determinantes al momento de
decidir encarar el estudio sistemático de: “las habilidades lógicas presentes en los
alumnos que ingresan al nivel superior”.
Así uno de los objetivos de impacto que se espera es que una investigación de esta
naturaleza contribuya a un mejor rendimiento de los alumnos terciarios y
universitarios, no solamente en Matemática, sino en todas las otras disciplinas que
conforman los respectivos Planes de Estudio.
Una deficiente formación de los alumnos en las habilidades lógicas se hace sentir
particularmente en este nivel, donde la Matemática se aborda con criterio científico
más riguroso, produciendo, en consecuencia, porcentajes aún más altos de fracaso y
deserción. Según Otero [14] “La formación de habilidades y hábitos es un proceso
complejo que requiere de un trabajo coordinado y conjunto de los pedagogos y
psicólogos”. Como dijimos, en 1993 el equipo realizó, como una de sus primeras
acciones exploratorias de la investigación, una encuesta a los alumnos ingresantes a la
Universidad, los resultados pusieron en evidencia las siguientes cuestiones
denunciadas por estos estudiantes:
insuficiente preparación en relación a los conocimientos básicos de Matemática
aprendizaje elemental e incompleto (Esto se nota sobre todo en Geometría )
práctica limitada a la repetición de ejercicios tipo
falta de apropiación de una metodología de trabajo independiente
incapacidad para manejar bibliografía
De alguna manera, los propios alumnos muestran que su ingreso a la enseñanza
superior se hace en condiciones muy desfavorables e implícitamente estarían
indicando que no tienen las habilidades necesarias para un aprendizaje efectivo en ese
nivel. Evidencia entonces, como lo expresa Otero [14], una “toma de conciencia de
las dificultades de adquisición de conceptos, de comprensión de los obstáculos
cognitivos o epistemológicos que impiden a un sujeto apropiarse de un saber, en un
campo de conocimiento determinado”. Estas cuestiones fueron fuertes determinantes
al momento de fijar los objetivos en esta nueva etapa de investigación, los que pueden
sistematizarse del siguiente modo:
307

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
- Diagnosticar en los alumnos ingresantes a la Enseñanza Superior el nivel de
adquisición de habilidades lógicas u operaciones mentales necesarias para el
aprendizaje de la Matemática en ese nivel
- Proponer un sistema de acciones compensatorias que estimulen el desarrollo de esas
habilidades.
Sobre la misma temática, resultan sumamente esclarecedores los estudios
desarrollados por las Lic. Norma Santos Marín (Universidad de las Villas) [15] y
Teresa Sanz Cabrera (Universidad de La Habana)[16]. Ambas docentes cubanas
ponen de manifiesto cómo la presencia o ausencia de las habilidades lógicas más
elementales repercuten en los aprendizajes matemáticos de los alumnos que estudian
ciencias técnicas y proponen una serie de acciones para favorecer su desarrollo.
Diagnosticar las habilidades lógicas presentes en los ingresantes al nivel superior
requiere precisar previamente el significado que se otorga a los conceptos de
“pensamiento lógico” y de “habilidad” en general. Para Podgoriets Kaya.N.A “El
pensamiento lógico constituye un tipo de pensamiento dirigido a la solución de
diferentes problemas y situaciones sobre la base de procedimientos y recursos de la
lógica”. Por su parte, Teresa Sanz Cabrera [16] sostiene “Que en todo
procedimiento lógico se destacan dos componentes, el propiamente lógico formado
por el conjunto de acciones y reglas lógicas correspondientes al procedimiento y el
componente específico que corresponde al contenido concreto en el cual éste se
aplica.” Para Piaget e Inhelder [13] el niño no nace con la facultad de pensar
lógicamente, ni esta facultad está preformada en el psiquismo humano. “El
pensamiento lógico es la coronación del desarrollo psíquico y constituye el término
de una construcción activa y de un compromiso con el exterior, los cuales ocupan
toda la infancia”. Y agregaríamos nosotros, preadolescencia. Para ellos “la
construcción psíquica que desemboca en las operaciones lógicas depende primero de
las acciones sensomotoras, después de las representaciones simbólicas y finalmente
de las funciones lógicas del pensamiento”, por lo que el pensamiento lógico es “un
instrumento esencial de adaptación psíquica al mundo exterior”. Se define como
habilidad a “la capacidad o disposición para realizar una cosa" y como parámetros e
indicadores que nos permiten precisar aún más ese significado tomamos los
elementos que nos aporta la Lic. Santos Marín, es decir: forma en que se ejecuta la
acción, grado de generalización, abreviación e independencia (trabajo personal
autónomo) con que se realiza la acción y, finalmente, dominio de la acción misma.
Para su estudio, se dividieron las habilidades mentales en dos grandes grupos: las
habilidades más generales y las habilidades lógicas propiamente dichas.
Habilidades generales
Habilidad para expresarse con precisión y fluidez, verificable por el uso correcto de
la simbología y el lenguaje matemático
Habilidad para trabajar con la información científica, verificable por la
interpretación de textos y la identificación de datos e hipótesis
Habilidad para racionalizar el trabajo, verificable por el uso del mejor algoritmo y
tablas
Habilidad para calcular y construir, verificable por la resolución de ejercicios de
Álgebra y Geometría
308

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Habilidades lógicas: Se dividen en dos grandes grupos: las vinculadas a operaciones
relacionadas con los conceptos y las vinculadas a operaciones relacionadas con los
teoremas. Esta clasificación no es excluyente ya que ambos tipos de habilidades están
muy relacionadas entre sí. No es infrecuente que habilidades correspondientes a
operaciones con conceptos requieran de habilidades correspondientes a operaciones
con teoremas y viceversa. Las habilidades vinculadas a operaciones relacionadas con
conceptos se subdividen en:
Habilidad de reconocer si un objeto está en la extensión de un concepto
Habilidad para la generalización de conceptos, es decir, poder hacer transferencia de
ese concepto a otras situaciones que se le planteen.
Dado que en esta primera etapa del estudio sólo se ha indagado sobre algunas
habilidades generales y la habilidad de reconocer si un objeto está en la extensión de
un concepto, se dejará la descripción de la habilidad de generalización de un concepto
y de las habilidades vinculadas con operaciones relacionadas con teoremas para
cuando se encare su estudio sistemático. La habilidad de reconocer si un objeto está
en la extensión de un concepto requiere que se puedan realizar las siguientes
acciones:
- reconocer si el objeto posee las características esenciales que establece el
contenido del concepto
- reconocer si el objeto está en una de las subclases de la extensión del concepto
- reconocer si un objeto pertenece a una clase dada, a partir del conocimiento de
algunos objetos de esa clase
- reconocer si un objeto pertenece a una clase dada, a partir del conocimiento de
la estructura algebraica de la misma, si es que la tiene, y si el objeto puede
descomponerse en términos de otros objetos elementales y de las operaciones
propias de la estructura.
Desarrollo de la investigación
A los fines del cumplimiento del primer objetivo se aplicaron hasta el momento tres
pruebas a alumnos de 1º año de la Facultad de Ingeniería y del Profesorado de
Matemática del Instituto de Formación Docente “J.E.Tello”. En ellas, las cuestiones
a explorar estaban relacionadas con:
la clasificación y la seriación de conjuntos numéricos (el estudio que se realizó en la
investigación anterior fue sobre conjuntos no numéricos) y
la explicitación de conceptos y resultados, es decir con la expresión oral y escrita de
los alumnos en Matemática.
En la primera de esas pruebas, realizada por 242 ingresantes, se buscó comprobar si
los alumnos podían clasificar elementos pertenecientes a distintos conjuntos
numéricos. Para ese estudio se plantearon ejercicios de dos tipos:
ubicar distintos números en un diagrama de Venn, tomando como universo al
conjunto de los números reales
reconocer las relaciones de inclusión existentes entre los conjuntos numéricos
En el primer tipo de ejercicio, los alumnos, en un porcentaje superior al 75%,
ubicaron correctamente los números 19000; -5; 4,5 y 1/16, es decir, los números
racionales, el entero y el natural. Pero, sólo el 62% ubicó correctamente el número
2 , porcentaje que desciende al 46% para el número π. En relación a este último
309

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
número se debe agregar que el 45 % de los alumnos lo ubicó mal y el restante 9% no
lo colocó en ninguno de los conjuntos. Ello haría suponer que los alumnos
desconocen que π es un irracional. En el 2º tipo de ejercicio casi el 90% de los
alumnos reconoció las relaciones de inclusión en los tres primeros casos. Nuevamente
surgen dificultades con los irracionales donde sólo el 66% lo responde correctamente.
En relación a la primera prueba, se debe aclarar también que al preguntárseles a los
alumnos cuál de los dos ejercicios le había parecido menos dificultoso, dijeron que el
2º porque se habían orientado por el diagrama del ejercicio anterior, lo cual era una de
las estrategias posibles, anticipada por el equipo de investigación. El uso de
estrategias similares fue observado en los comportamientos resolutivos de los
alumnos de diferentes edades y clientes de niveles educativos distintos, y no resulta
demasiado llamativo que, aún en el nivel universitario, prefieran referirse a formatos
más concretos, como un diagrama, antes que manejarse con elementos abstractos
solamente. Esto hace que nos preguntemos si la estrategia usada es sólo una
herramienta facilitadora o si, por el contrario, se constituye en prueba fehaciente de la
existencia de falencias en el desarrollo del pensamiento abstracto en nuestros
alumnos. Dos meses después se tomó una 2º prueba a los mismos grupos anteriores
de la Facultad de Ingeniería y a otros distintos de la misma Facultad. En este caso
respondieron 283 alumnos, de los cuales el 75% había realizado la prueba anterior.
El test constaba de 4 ejercicios. En el primero de ellos se buscaba determinar el grado
de manejo del lenguaje simbólico. La expresión dada en forma simbólica fue
traducida correctamente por el 85% de los alumnos. Como la expresión dada es una
regla conocida de la Aritmética, se decidió que en un test complementario que
permita precisar más el estudio, se presentarán dos actividades en relación a esta
temática. La primera será similar a la ya realizada pero con una expresión de uso no
frecuente y la segunda será la operación inversa, es decir, traducción del lenguaje
coloquial al simbólico. En el 2º ejercicio se presentó el enunciado de un teorema
(Teorema de Thales) y los alumnos debían determinar los datos y lo que se quiere
demostrar. El 52% de los alumnos identificó correctamente los datos, pero sólo el
27% fue capaz de indicar lo que se quiere demostrar. En este último caso, un
porcentaje similar ni siquiera ensayó una respuesta. En el 3º ejercicio se daba un
conjunto de cinco números y los alumnos debían definir la clase o extensión a la que
pertenecían. Sólo el 17% encontró una expresión correcta para la definición
solicitada, en tanto que el 25% no respondió nada. En el 4º ejercicio los alumnos
debían realizar una construcción geométrica siguiendo las instrucciones del
enunciado. El 38% de los alumnos realizó bien la construcción y un 22% la hizo con
algún error pero evidenciando que habían comprendido lo que se debía hacer. Un
35% la hizo mal y sólo el 5% no intentó hacer. Finalmente, durante el corriente año
2003 se aplicó un nuevo test a un grupo de 251 ingresantes a la Facultad de
Ingeniería. Este test se componía de 3 ejercicios. En el 1º de ellos se pedía ordenar de
menor a mayor un conjunto de números dados. Dicho ejercicio tenía que ver con la
operación de seriación que como ya dijimos al comentar nuestro anterior trabajo de
investigación, había sido explorada en alumnos de 13 años, pero con elementos
concretos y no con conjuntos numéricos. La “seriación” consiste en ordenar los
elementos según sus dimensiones crecientes o decrecientes. Esta operación que no
presentó dificultades a la hora de trabajar con elementos concretos, cuando se trabaja
310

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
con números requiere tener en claro los distintos conjuntos numéricos por lo que
podemos asegurar que más allá de las relaciones de orden que puedan establecerse
entre los números, obviamente el ejercicio es también un ejercicio de clasificación y
demanda de habilidades relacionadas con los conceptos. Este ejercicio fue resuelto
correctamente por el 54% de los alumnos. Casi el 50 % del resto cometió hasta 2
errores en la ordenación. En relación al test del año anterior podemos decir que se
pone de nuevo de manifiesto cierto grado de desconocimiento del número π ya que
menos del 40% lo ubica correctamente en la escala creciente. Nueve alumnos
comenzaron la ordenación con el 0 y luego siguieron distintos criterios para ordenar
los demás: por orden creciente de sus valores absolutos, ó inmediatamente después
del cero los negativos y luego, los positivos. El 2º ejercicio era un ejercicio de
clasificación en él que el 65% de los alumnos indica correctamente el conjunto más
estricto a que pertenece un número dado. En el caso de π, sólo el 40% lo clasifica
como irracional. El porcentaje también es bajo para los números 0,27 y –12,345. Este
resultado es contradictorio con el registrado en el test Nº1 e indicaría que los
alumnos consideran Racionales a las fracciones y no así a los números decimales. El
3º ejercicio era una construcción geométrica. Se hizo con la intención de medir el
grado de comprensión de un texto así como el manejo de ciertos conceptos de
geometría. Siguiendo la construcción, los alumnos debían dibujar un triángulo, trazar
la bisectriz de uno de sus ángulos, luego una perpendicular a esa bisectriz y por
último una paralela a uno de los lados. El 80% de los alumnos trazó bien la bisectriz
y el 41%, la paralela y sólo el 38% traza bien la perpendicular. A este respecto se
observó que un número significativo de alumnos confunde “rectas perpendiculares”
con “rectas secantes”, ya que traza una recta oblicua a la bisectriz. Si analizamos los
resultados de las pruebas desde la clasificación de las habilidades generales, vemos
que:
Dentro de las consideraciones a que hicimos referencia en el comentario del ejercicio
1 de la segunda prueba y de la construcción del ejercicio 4, podemos decir que los
alumnos ingresantes a las carreras de la Facultad de Ingeniería y del Profesorado de
Matemáticas poseen habilidad para expresarse con cierta precisión y fluidez.
El ejercicio 2 nos permite inferir que esos mismos alumnos tienen escasa habilidad
para trabajar con la información científica.
La estrategia de resolución usada en el 2º ejercicio de la primera prueba por un
número significativo de alumnos nos permite inferir que, al menos ese grupo, posee
cierta habilidad para poner en práctica una lógica de racionalización del trabajo.
Respecto de la habilidad para calcular y construir, que se estudiaría a partir del
ejercicio 4, se debe concluir que un porcentaje relativamente bajo (37%) realizó
correctamente la construcción. Debe remarcarse que el 22 % de los alumnos entendió
lo que debía hacer pero hizo mal la construcción, y que el 41% restante la hizo mal o
no intentó hacerla. Estos resultados estarían indicando que el nivel de desarrollo de
esta habilidad es bajo.
Finalmente si analizamos las pruebas desde el punto de vista de las habilidades
lógicas vinculadas con operaciones relacionadas con los conceptos, observamos que:
El test 1 probó que poseen la habilidad de reconocer si un objeto está en la extensión
de un concepto
311

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En relación a la habilidad para la generalización de conceptos, el ejercicio 3 de la
segunda prueba demostró que los alumnos en general no poseen esta habilidad.
Creemos que estos resultados, si bien permiten tener una idea aproximada de las
habilidades lógicas presentes en los ingresantes al Nivel superior, deben ser
profundizadas a fin de lograr mayores precisiones sobre los aspectos en los que
presentan mayor dificultad. Ello permitirá encarar acciones tendientes a su
superación ya sea en el propio nivel terciario o universitario como en el Nivel Medio,
mediante una adecuada comunicación con los docentes de ese nivel.
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Agostini,E ; Lasserre,A. ; Naraskevicins,M ; Odstrcil,D, Royo,J ; Torres Bugeau,C : (1998) - “Una
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Educativa. Vol 12, tomo 1. Pág 90 a 96. Grupo Editorial Iberoamérica. México. ISBN nº 970-
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Las Villas (Cuba) – Facultad de Matemática y Cibernética.
312

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
LA TEORÍA APOE Y SU APLICACIÓN EN LA TRADUCCIÓN DE
ENUNCIADOS DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE DE LA
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
José Luis Ramírez, Carmen Azcárate y Felip Manya.
CONAYT,; U. A. de Barcelona,; U. P. Lleida.
México y España
jlram_bcn@yahoo.es; Carmen.Azcarate@uab.es; felip@eup.udl.es
Resumen:
Este trabajo es de carácter empírico-teórico y en él se describirán algunas de las dificultades
observadas en estudiantes de Informática y Sistemas Computacionales, cuando intentan usar el
lenguaje de la Lógica de primer orden (LPO) para representar enunciados del lenguaje natural
(común), en un primer curso de Lógica. Las dificultades que se observaron, en la población de
estudiantes a los que se les aplicó un cuestionario piloto, se relacionan con: enunciados cuantificados,
sobre todo aquellos que contienen doble cuantificador (∀∃ y ∃∀); enunciados cuantificados con una
implicación material y enunciados donde hay alguna negación. Se utiliza la teoría APOE para explicar
el proceso de traducción indicado. Se proponen tres etapas para la traducción de enunciados del
lenguaje natural al lenguaje de la LPO y se describen las estructuras mentales que se deberían
desarrollar para tener un mayor éxito en dicha traducción (o formalización). En este trabajo se describe
una descomposición genética para una de las etapas propuestas.
Introducción
En los primeros cursos de Lógica impartidos en las carreras de Informática o
Sistemas Computacionales, los estudiantes tienen muchas dificultades al tratar de usar
el lenguaje de dicha lógica como un medio para representar e interpretar los
enunciados del lenguaje común con los que se describe el mundo. Como Carlos Oller
[Oller, C. 2000] afirma: “es una experiencia común, compartida por la mayoría de los
profesores de lógica, que los estudiantes encuentran las tareas de formalización aún
más difíciles que otras tareas tales como la construcción de demostraciones”.
Algunas de las dificultades descritas en este artículo ya han sido estudiadas desde el
punto de vista teórico del lenguaje, pero hay muy pocos trabajos enfocados desde el
proceso de enseñanza-aprendizaje y centrados en la traducción de enunciados, en ese
sentido este es un primer intento para abordar esta problemática.
La traducción de enunciados del Lenguaje natural al Lenguaje de la lógica
de primer orden.
El problema que se está estudiando es el conjunto de dificultades que se presentan
cuando se plantea a un estudiante la traducción (formalización o reconocimiento de la
estructura lógica) de un enunciado dado en el lenguaje común (lenguaje inicial), al
lenguaje de la Lógica de primer orden (LPO).
En un primer curso de lógica de predicados, a pesar de las indicaciones que se dan, se
han observado diversos tipos de dificultades en el proceso de traducción. Se tienen
evidencias de esas dificultades ya que se han aplicado cuestionarios a estudiantes de
Informática y Sistemas Computacionales. Los cuestionarios se aplicaron en dos
grupos: uno del cenidet (Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico)
de 10 estudiantes y el otro de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma
313

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
de Guerrero (UAG) de 11 estudiantes. Los cuestionarios abarcan dos aspectos
tratados en el curso de Lógica: traducción de enunciados y problemas de deducción
de conclusiones. La traducción de enunciados abarca tanto a la Lógica proposicional
como de predicados. En este reporte solo se comentan las dificultades asociadas al
usar la lógica de predicados en el grupo del cenidet.
2.1.- Dificultades en la traducción de enunciados en lógica de predicados (LPO).
En los cuestionarios aplicados a los estudiantes del cenidet 17 , sobre la traducción de
enunciados utilizando LPO, se observaron las siguientes dificultades:
• No se diferencia claramente entre una proposición y un predicado.
• Incluyen la negación como parte del predicado.
• En el predicado incluyen los cuantificadores.
• No asociar al cuantificador universal una implicación, sin hacer referencia
explícita al universo.
• Hay una tendencia a utilizar predicados unarios en lugar de binarios.
• La mayoría de los estudiantes dan por entendido o supuesto el universo y no
hacen referencia al conjunto al que pertenecen los individuos.
• Intercambiar el orden de los cuantificadores en enunciados con doble
cuantificación (∀∃ y ∃∀).
El conjunto de dificultades que se ha presentado no es exhaustivo, pero permite
clarificar algunos aspectos de la problemática que se está estudiando.
La teoría APOE y la traducción de enunciados.
Para el análisis del problema educativo descrito, desde el punto de vista de la
didáctica de las matemáticas, se usará la teoría APOE, propuesta por un grupo de
investigadores agrupados en lo que se denomina RUMEC (Research in
Undergraduate Mathematics Education Community).
El enfoque investigativo está basado en la teoría APOE [Asiala et al., 1996] y tiene
tres componentes:
• Un análisis teórico inicial sobre lo que significa comprender un concepto y
cómo esa comprensión puede ser construida por un aprendiz.
• Un tratamiento instruccional que se enfoca directamente en tratar de lograr
que los estudiantes elaboren las construcciones identificadas en el análisis
teórico.
• La implementación de la propuesta instruccional conduce a la obtención de
datos, los cuales son analizados en el contexto de la perspectiva teórica.
Las investigaciones pasan a través del ciclo de las tres componentes y se refinan
(tanto como se necesite) la teoría y el tratamiento instruccional. En general se puede
decir que se requiere repetir el ciclo varias veces para obtener resultados estables.
El propósito del análisis teórico de un concepto, es el de proponer un modelo de
cognición, esto es, una descripción de las construcciones mentales específicas que un
17
En el anexo 1 se presentan las preguntas de los cuestionarios asociadas a la Lógica de predicados que se
aplicaron al grupo del cenidet.
314

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
aprendiz podría elaborar con el fin de desarrollar su comprensión del concepto. El
resultado del análisis teórico es lo que se denomina la “descomposición genética del
concepto”.
El análisis se basa, principalmente, en:
a) la comprensión que tienen los investigadores sobre el concepto en cuestión y
en sus experiencias como aprendices y enseñantes del mismo.
b) Investigaciones previas sobre el concepto.
c) Observaciones clínicas de los estudiantes en el proceso de aprendizaje del
concepto estudiado.
Para la elaboración de una propuesta de una descomposición genética determinada, se
considera que:
• La comprensión de un concepto matemático comienza con la manipulación de
objetos físicos o mentales, previamente construidos, para formar acciones,
entonces las acciones se interiorizan para formar procesos, los cuales se
encapsulan para formar objetos. Los objetos pueden ser des-encapsulados hacia
los procesos a partir de los cuales fueron formados. Finalmente las acciones,
procesos y objetos pueden ser organizados en esquemas.
En esto consiste la teoría APOE, que se puede esquematizar en la figura 1.
Interiorización
Acción
OBJETOS PROCESOS
Coordinación
Inversión
Encapsulación
Des-encapsulación
Figura 1.
Las construcciones son las acciones, los procesos, los objetos y los esquemas,
mientras que los mecanismos para hacer esas construcciones son: interiorización,
coordinaciones, reversiones, encapsulaciones y des-encapsulaciones.
Con los conceptos de acción, proceso, objeto y esquema y los mecanismos de
construcción (internalización, encapsulación y tematización) se describe lo que se
denomina la “descomposición genética de un concepto”.
Una descomposición genética para la traducción de enunciados con la LPO.
De acuerdo a la teoría APOE el primer paso en el proceso investigativo es la
elaboración de una descomposición genética del concepto que se pretende enseñar.
En nuestro caso el concepto de traducción (formalización) de enunciados del lenguaje
natural al lenguaje de la lógica de primer orden.
315

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El primer paso, en la traducción, es identificar a que hace referencia el enunciado, es
decir, identificar un universo sobre el que el enunciado dice algo. Teniendo una idea
del sentido del enunciado, una forma de abordar la traducción es identificando los
elementos constitutivos de cada lenguaje (inicial y final) y llevar a cabo la asociación
o correlación entre cada uno de ellos para realizar la transformación deseada.
Después de analizar el enunciado y tratar de identificar cada uno de sus componentes
(predicados, conectivos y cuantificadores), se plantea la primera propuesta (o primer
intento) de su formalización. Después se verifica que la expresión resultante sea una
fórmula bien formada del lenguaje lógico y finalmente, a manera de comprobación,
se trata de verificar si la fórmula propuesta representa (o corresponde) con el
enunciado dado. Para facilitar las cosas, la traducción de enunciados se
descompondrá en las siguientes etapas:
316
Traducción o formalización del enunciado
Enunciado Representación Análisis sintáctico Representación Enunciado
De acuerdo con la teoría APOE, se propone una descomposición genética para cada
una de ellas.
En este artículo solo se hará referencia a la etapa Enunciado Representación.
La descomposición genética propuesta para la etapa Enunciado Representación
es:
1.- Interiorizar la acción de identificar los predicados y el dominio o universo del
enunciado.
2.- Interiorizar la acción de identificar los conectivos tanto implícitos como explícitos
del enunciado.
3.- Interiorizar la acción de identificar los cuantificadores que aparecen en el
enunciado tanto explicita como implícitamente.
4.- Interiorizar la acción de asignar variables tanto a predicados como a individuos
del universo.
5.- Interiorizar la acción de asociar al cuantificador universal una implicación
material, dependiendo del universo seleccionado, y al cuantificador existencial se
le asociará una conjunción, dependiendo del caso.
6.- Encapsular el proceso de asociación de una fórmula bien formada a un predicado
simple.
7.- Coordinar dos o más predicados simples con los conectivos y los cuantificadores,
tomando en cuenta el alcance de cada uno de ellos, para construir la fórmula bien
formada de cada una de las proposiciones compuestas que componen el
enunciado.
8.- Encapsular el proceso de construcción de la fórmula bien formada asociada a cada
proposición compuesta que forma parte del enunciado.
9.- Coordinar las fórmulas asociadas a cada proposición compuesta del enunciado,
con los conectivos y cuantificadores, tomando en cuenta el alcance de cada uno
de ellos, para obtener la representación (fórmula) que se le asocia al enunciado.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Esta propuesta de descomposición genética para la traducción de enunciados del
lenguaje común al de la lógica de primer orden (en particular la lógica de predicados)
nos permite elaborar un sistema de ejercicios o problemas con los que se pretende
propiciar la construcción, por parte de los estudiantes, de las estructuras mentales
(acciones, procesos, objetos, esquemas) que faciliten el aprendizaje de dicha
traducción.
Conclusiones.
En este trabajo se muestran los resultados de una investigación, en la que se estudian
las dificultades que se tienen al traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje
de la LPO.
La teoría elegida para el estudio de la problemática descrita ha permitido hacer un
análisis del proceso de traducción y en la descomposición genética propuesta se
pueden observar las acciones mínimas que posibilitarían un mejor aprendizaje,
reflejado en las estructuras mentales que se deben formar en un proceso instructivo.
Dicha descomposición genética se elaboró con base en los resultados de diversos
cuestionarios aplicados sobre el tema, el análisis del contenido formal de la definición
del lenguaje de la LPO y la experiencia de los investigadores involucrados.
La descomposición genética propuesta servirá como un elemento de orientación en la
construcción de una propuesta de ejercicios que, en teoría, propicie la construcción,
por parte de los estudiantes, de las estructuras mentales que se requieren para llevar a
cabo, con cierto éxito, la traducción de enunciados en estudio.
Bibliografía.
Asiala, M., Brown, A., DeVries, D. J., Dubinsky, E., Mathews, D., y Thomas, K., (1996). A
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317

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
ANEXO 1: CUESTIONARIOS QUE SE APLICARON EN EL CENIDET.
(Solo se presentan las preguntas relacionadas con la problemática de la
investigación).
CUESTIONARIO 1
FEB-2000
NOMBRE:___________________________________________
1) Indica, señalando la letra, cuál de las siguientes frases es una proposición.
a) En este cuestionario hay 500 palabras.
b) Primero escribe tu nombre.
c) X es menor de 3.
d) 11 es un número primo.
….
9) ¿Cuál es la diferencia entre un predicado y una proposición?
10) ¿Cuál es la simbolización del enunciado: “Cada elemento ei de la lista desde e1
hasta e21 es distinto de 9”?. Defina los predicados que considere necesarios.
11) ¿ Cuál es la simbolización del enunciado: “Existe un elemento de la lista (e1,
e2, ... en) que es cero”? Defina los predicados que considere necesarios.
CUESTIONARIO 2
318
(FEB-2000)
NOMBRE_______________________________________
3) Encuentre la estructura lógica de los siguientes enunciados:
a) Alguien no terminó la tarea.
b) Todo lo que está en la tienda está etiquetado con el código de barras o con
su precio.
c) Nadie es perfecto.
d) A Martha le gustan todos aquellos jóvenes a los que no les gusta
Margarita.
4) Formalizar el siguiente enunciado: “Si alguna de las personas que están en el
dormitorio tiene un amigo que tiene varicela, entonces todos los del dormitorio
deberán quedarse en cuarentena”.
…
12) Formalizar y comprobar si es correcta la siguiente deducción:
“Algunos Guerrerenses son amigos de todos los Poblanos. Ningún Guerrerense es
amigo de los aficionados al tenis. Por lo tanto, ningún Poblano es aficionado al tenis”

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA EN EL CONCEPTO
“RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES POLINÓMICAS”.
ANÁLISIS A PRIORI
E.E. Rechimont y M.E. Ascheri
Universidad Nacional de La Pampa, Argentina
mavacheri@exactas.unlpam.edu.ar
Resumen
Analizamos los registros de representación semiótica y las correspondientes funciones semióticas
implícitos en la solución de dos problemas propuestos para la Educación Polimodal, que consideramos
pueden ser utilizados en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la noción Resolución Numérica de
Ecuaciones Polinómicas, contemplada en los C.B.C. del mencionado nivel. Las representaciones
juegan un rol fundamental en los procesos de construcción de conceptos, por lo que son importantes en
la enseñanza, aprendizaje y comunicación del conocimiento matemático (Hitt, 1996). Con este análisis
a priori, pretendemos ver cuáles de los registros de representación son de mayor peso para incorporar o
darle sentido al concepto: Funciones polinómicas. Raíces de las correspondientes ecuaciones.
Tratamos de responder a las preguntas: ¿Cuáles son los distintos registros de representación puestos en
juego en la solución de cada problema?. ¿Cómo se suceden?. ¿Cómo aparecen y cuál es la necesidad
de su conversión?. ¿Cómo se coordinan en la actividad conceptual? ¿En qué medida la presentación
del tema desde una situación problemática es beneficiosa para incorporar y dar sentido a la
determinación de las raíces de una ecuación polinómica?.
Introducción
El concepto funciones polinómicas en una variable figura en los Contenidos Básicos
para la Educación Polimodal del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
(1997). En los contenidos conceptuales del Bloque 2, Álgebra y Geometría, figura:
Funciones polinómicas en una variable. Operaciones. Raíces de una función
polinómica. La síntesis explicativa pone de manifiesto la relevancia que adquieren las
funciones polinómicas como herramientas para representar relaciones funcionales de
una variable describiendo situaciones de la vida real. Se menciona que los
procedimientos para el cálculo de las raíces de polinomios, por métodos gráficos e
iterativos, se podrá realizar con ciertos recursos didácticos: calculadoras, calculadoras
graficadoras, computadoras. Los Contenidos Procedimentales no especifican
explícitamente el tratamiento de estas funciones y/o ecuaciones. Uno de los objetivos
primordiales en el estudio de las funciones polinómicas es la habilidad para
determinar raíces de las correspondientes ecuaciones.
Marco teórico
En el análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se
observa, últimamente, que gran parte de las investigaciones en Didáctica de la
Matemática se desarrollan alrededor del uso de nociones semióticas, como la noción
de representación. Esta noción se toma como equivalente a una señal externa, un
signo o marca, esquemas o imágenes mentales, que muestran y hacen presente un
concepto matemático. No es posible estudiar los fenómenos relativos al conocimiento
sin recurrir a la noción de representación en Matemática (Duval, 1995). En las
formas convencionales de representación, se distinguen dos familias de sistemas:
representaciones simbólicas (carácter alfanumérico, se simulan mediante programas
informáticos, la sintaxis se describe por reglas de procedimientos), y
319

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
representaciones gráficas (de tipo figurativo, carácter analógico, sintaxis dada por
reglas de composición y convenios de interpretación (Rico, 2000).
La representación pone en consideración el objeto representante o significante
(símbolo o representación) y el representado o significado (contenidos conceptuales).
Todo conocimiento moviliza una actividad de representación. Duval (1995) sugiere
que no deben confundirse los objetos matemáticos con su representación, y define los
registros de representación como un medio de expresión que se caracterizan por sus
signos propios y la forma en que estos se organizan. Una palabra escrita, una
notación, un símbolo o una gráfica representan a un objeto matemático. Cambiar la
forma de una representación en matemática es difícil para los alumnos, y la
comprensión de un contenido parece limitada a la forma de representación utilizada.
Duval (1995) pone de manifiesto tres fenómenos estrechamente vinculados:
diversificación de los registros de representación semiótica, diferenciación entre
representante y representado, coordinación entre los diferentes registros. Estos
fenómenos deben considerarse en la relación de enseñanza-aprendizaje.
Tendremos en cuenta, para el análisis de los problemas propuestos, las siguientes
entidades (Godino, en Prensa): lenguaje, situaciones, conceptos, propiedades.
La actividad matemática surge cuando el sujeto se enfrenta a situaciones
problemáticas (elementos extensivos) en cuya solución utiliza elementos ostensivos
(representación usada en la actividad matemática) e intensivos (ideas matemáticas,
abstracciones, generalizaciones). Godino (1998), denomina “entidades actuativas” a
las acciones que realiza el sujeto en la búsqueda de una solución. La relación entre la
actividad matemática y los procesos de difusión del conocimiento se da a través de
las funciones semióticas, que permiten formular en términos semióticos el
conocimiento matemático.
Problemas propuestos
En la resolución de problemas en las que están implícitas funciones y ecuaciones
polinómicas, se recurre en algunos casos a las propiedades de los polinomios
(factorización) y en otros a métodos numéricos. Nos proponemos:
1) Ilustrar estas situaciones con el estudio de dos ejemplos: el problema de la esfera y el problema de
la caja, 2) Efectuar un análisis didáctico de la resolución de ecuaciones polinómicas presentes en la
solución de los problemas.
I. El problema de la esfera
En un cilindro de base circular de 10 cm de radio, cuya altura es mayor que dicho radio, reposa una
esfera de 7 cm de radio que se recubre de agua (la superficie libre del agua es tangente a la esfera).
Se reemplaza la esfera por otra de x cm de radio (0 V(x), la esfera de radio x está más abajo que el nivel del agua; si V(7) <
V(x), supera el nivel del agua; si V(7) = V(x), está exactamente recubierta por el
agua.
320

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
El problema trae como consecuencia el estudio del signo de V(x) - V(7) para
0

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Las funciones semióticas precedentes dan origen al estudio del signo de V(7) - V(x)
para 0 0 ; V(x) - V(7) < 0 y
V(x) - V(7) = 0, que constituyen el eje de la solución del problema.
Hasta esta instancia tenemos en escena elementos extensivos (enunciado del
problema), ostensivos (V(x), V(7), V(7) > V(x), V(7) < V(x), V(7) = V(x) ) y
entidades actuativas (las relaciones anteriores).
En la solución matemática (algebraica) se acude al registro figural de la situación:
322
10cm
x
Una estrategia de solución (implica un trabajo con las funciones semióticas
anteriores) se realiza en registros simbólico y analítico: V(x)=π 100.2x-
4 3 4 3
π x = π (150x–x ) (1)
3
3
con lo que obtenemos la expresión 150 x – x 3 que corresponde a un polinomio de
grado tres en la variable x. Representamos este polinomio: P(x)=150x – x 3 (registro
analítico).
4
Luego, V(x) = π P(x) es un registro analítico que representa una transformación
3
del registro simbólico – analítico dado en (1).
4
De igual forma, V(7) = π P(7), donde P(7) = 707, constituye un registro numérico.
3
El análisis del signo en V(x) - V(7) conduce, según la solución que hemos propuesto,
a estudiar el signo de P(x) – P(7). La representación en registro algebraico
correspondiente es: P(x) – P(7) = 150 x – x 3 – 707. El análisis de este polinomio
conduce a la solución del problema planteado, lo cual implica conocer los valores de
x, o sea las raíces de la ecuación polinómica de grado tres. Con un registro analítico
(en “P(x) - P(7) es factorizable por (x - 7)”) y mediante procedimientos algebraicos
que ponen de manifiesto los correspondientes registros algebraicos, se obtienen los
valores numéricos (x1,x2) que forman un registro numérico.
Se representa en registro tabular las posibles variaciones de cada uno de los factores
de P(x) – P(7) y del polinomio P(x) – P(7), que a su vez permiten analizar las
variaciones de signos de V(x) – V(7), para extraer las conclusiones del problema.
Cuando no resulta posible recurrir a las propiedades de los polinomios (teoremas de
factorización) para resolver el problema, se suele recurrir a métodos numéricos. La
comprensión de las relaciones entre representaciones mentales, computacionales y
semióticas se logra, fundamentalmente, por la posibilidad de una clasificación de
estos tipos de representación. Presentamos un problema que resume esta
consideración.
2x

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
II. El problema de la caja
En una fábrica de chocolates se decidió envasar los bombones en un modelo de caja que sea un
prisma de base x cm, de altura (x-2) cm, de profundidad (x+10) cm y cuyo volumen sea igual a 957
cm 3 . Para poder armar esta caja se desean conocer las medidas de sus lados. Para ello:
a) Plantee la ecuación correspondiente, según los datos del problema.
b) Separe las raíces de esta ecuación realizando, primero manualmente y luego con la computadora,
el gráfico de la función polinómica resultante.
c) En el apartado b) localizó las raíces de la ecuación polinómica. Utilizando estos datos y realizando
10 iteraciones del método de bisección, obtenga las medidas de los lados de este prisma.
c) Compruebe los resultados obtenidos utilizando la PC.
Solución
a) Planteamos: Vprisma = x (x +10)(x - 2) = 957, de donde, x 3 + 8x 2 – 20x – 957 =
0.
Llamamos: P(x) = x 3 + 8x 2 –20x –957.
b) Para hacer el gráfico manualmente primero calculamos la tabla de valores
x P(x)
-11 -1100
-10 -957
-5 -782
0 -957
5 -732
8 -93
9 240
10 643
Se observa que la única raíz real de esta ecuación polinómica se encuentra entre 8 y 9.
Más precisamente, observando la gráfica que se realiza utilizando el software Derive
y cambiando el rango de graficación, entre 8 y 8.5.
323

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
324
c) Método de bisección.
Nro. de iter, n a n-1 x n-1 b n-1 f (a n-1) f (x n-1) f (b n-1)
1 8 8.25 8.5 -93 -15.984375 65.125
2 8.25 8.375 8.5 -15.984375 24.052734 65.125
3 8.25 8.3125 8.375 -15.984375 3.905518 24.052734
4 8.25 8.28125 8.3125 -15.984375 -6.071503 3.905518
5 8.28125 8.296875 8.3125 -6.071503 -1.091022 3.905518
6 8.296875 8.304688 8.3125 -1.091022 1.405239 3.905518
7 8.296875 8.300078 8.304688 -1.091022 0.156607 1.405239
8 8.296875 8.298828 8.300078 -1.091022 -0.467334 0.156607
9 8.298828 8.299805 8.300078 -0.467334 -0.155395 0.156607
10 8.299805 8.300293 8.300078 -0.155395 0.000598 0.156607
d) Con la computadora (programa hecho en MATLAB) y según los datos del
problema: nº.de iter.: 10; a0= 8; b0=8.5, se obtiene que x ≈ 8.3 y
P(8.3) ≈ 0.0006.
Luego, se llega a la conclusión de que la base del prisma es de 8.3 cm, su
altura es de 6.3 cm y su profundidad es de 18.3 cm. Además, se puede
comprobar que para estas medidas de las aristas, se tiene que Vprisma = 957.907
cm 3 ≈ 957 cm 3 .
Análisis didáctico de la solución del problema
Analizaremos los distintos registros de representación que se abordan en esta
situación problemática, propuesta con la finalidad de la comprensión y la aprehensión
de la Resolución Numérica de Ecuaciones Polinómicas.
En un primer análisis del enunciado de este problema detectamos un registro verbal
(“el lenguaje común es el utilizado para representar situaciones del mundo real”).
Además, podemos observar que subyacen en la posible solución los registros
simbólicos (... un prisma de base x cm ...), analíticos y algebraicos ( ... Plantee la
ecuación ...), tabular y grafical (... separe las raíces ..., el gráfico ...). También
podemos detectar un registro numérico (... realizando 10 iteraciones del método de
bisección ...). En este proceso se pasa de los registros analítico y algebraico a los
registros algebraico y numérico a través de la utilización de un método numérico
(método de bisección).
El enunciado de la tarea describe una situación problemática para los alumnos a los
que se propone: construir una argumentación que convenza de la necesidad universal
y atemporal de la verdad expresada en el enunciado. Desde el punto de vista de la
pragmática, el contexto en que la tarea es propuesta por el investigador desencadenan
procesos interpretativos por parte de los alumnos. Las palabras y expresiones usadas
en el enunciado y la solución que desencadenan procesos interpretativos son las
siguientes: volumen de un prisma, plantee, separe y localice las raíces de una
ecuación polinómica, grafique la función polinómica, obtenga las medidas de los
lados utilizando un método numérico, compruebe. Estos términos y expresiones
denotan entidades conceptuales u operaciones matemáticas controladas por
definiciones que el sujeto debe recordar y saber aplicar en la tarea. Entra en juego, en

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
este caso, la utilización de la computadora como una herramienta colaboradora en los
procesos de la enseñanza y el aprendizaje de la Resolución Numérica de Ecuaciones
Polinómicas (por ejemplo, en la parte del enunciado: ... Compruebe los resultados
obtenidos utilizando la PC).
Con la introducción de: ... realizando 10 iteraciones del método de bisección ..., en
este proceso se ha pasado a los registros algebraico – numérico.
En la solución de este problema, se aplicaron diversos registros de representación.
En el apartado a) destacamos los registros verbal, analítico, simbólico y algebraico:
* Verbal: el lenguaje común se utiliza para representar esta situación del mundo real.
* Analítico: se hace referencia al volumen del prisma, según la definición (el volumen del prisma es
igual al área de la base por la altura del prisma).
* Simbólico: se da esta definición mediante expresiones simbólicas sustentadas por las reglas de la
lógica formal (Vprisma = x (x + 10) (x - 2) = 957).
* Algebraico: se llega a la expresión final por medio de operaciones algebraicas (x 3 + 8x 2 –20x –957 =
0).
En el apartado b) destacamos los registros tabular y grafical:
* Tabular: los valores numéricos de la función polinómica están organizados en una tabla de valores.
* Grafical: corresponde a la representación en el plano cartesiano, incluyendo los convenios implícitos
en la lectura de gráficos (interpretación de ejes coordenados, de unidades, de corte o cruce de la gráfica
con respecto al eje x, etc.).
En el apartado c) destacamos los registros simbólico, algebraico, analítico, tabular y numérico:
* Simbólico: se dan el número de iteraciones (n), extremos de los intervalos que contienen a la raíz de
la ecuación polinómica (an-1, bn-1), punto medio (xn-1), valores de la función en los extremos y punto
medio (f(an-1), f(xn-1), f(bn-1)), a través de expresiones simbólicas sustentadas por las reglas del método
de bisección.
* Analítico – algebraico: se obtiene el punto medio a partir de la definición, utilizando la expresión
algebraica correspondiente ( x n−
1 = ( an−1
+ bn−1
) 2 ).
* Numérico: se realizan todas las evaluaciones que conllevan y que están involucradas en el método de
bisección.
* Tabular: todos los valores numéricos obtenidos se organizan en una tabla.
Finalmente, para facilitar y mejorar la comprensión e interpretación de los resultados obtenidos
manualmente y para comprobar la validez de los mismos, se utiliza la computadora. Las tareas de
computación son importantes en la enseñanza – aprendizaje de los métodos numéricos, pues ayudarán
a mejorar las habilidades de los alumnos, tanto en el conocimiento de la teoría como en la práctica de
las temáticas involucradas.
Conclusiones
El análisis a priori esbozado en los problemas presentados, pone de manifiesto que
para uno de ellos es factible la búsqueda de la solución en una marco geométricoalgebraico
utilizando registros de representación de uso frecuente por parte de los
alumnos. En el otro problema, y debido a la complejidad, la determinación de las
raíces de la ecuación polinómica requiere del uso de procedimientos numéricos para
su solución. En este caso, la utilización de herramientas computacionales resulta
ideal.
El análisis a priori puede ayudar a superar la creencia de que la solución de algunos
problemas es simple, pues se explicitan diversos registros y se ponen en juego
conversiones de uno a otro, debiendo tener en cuenta la correspondiente
coordinación. Ello implica posicionarse en un determinado marco del cual es
necesario conocer sus reglas lógicas. Este análisis permitirá identificar los puntos
críticos implícitos en la solución, la necesidad de ciertos conocimientos previos y
325

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
prever estrategias didácticas para afrontar dicha solución. También permite mostrar
la compleja trama de entidades y relaciones entre los registros de representación que
se ponen en juego en actividades matemáticas elementales. Este tipo de análisis es útil
para describir los procesos de interpretación y comunicación del saber matemático, e
identificar las razones que pueden condicionar la actividad de aprendizaje.
Esperamos que los alumnos comprueben lo indispensable del uso de las
computadoras para resolver cierto tipo de problemas y tengan una demostración
tangible de cómo pueden ayudarles a realizar estas tareas que conllevan una gran
cantidad de cálculos, minimizando los tiempos que requieren las mismas.
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326

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
REPRESENTACIONES ESTUDIANTILES DE VARIACIÓN. UN ESTUDIO
DESDE MEDIACIONES PEDAGÓGICAS
Jorge Iván Ávila Contreras
Universidad Católica Cardenal Raúl Silva Henríquez. Chile.
jorgedechile@hotmail.com
Resumen
El propósito de esta investigación en curso 18 es indagar sobre las representaciones que tienen
estudiantes del nivel medio superior (secundaria y primer nivel universitario) acerca de nociones
matemáticas variacionales, prestando especial atención a su forma de aprenderlas y buscando propiciar
espacios de reflexión respecto de ellas, con el objeto de aportar información que sirva de base para la
elaboración de diseños didácticos tendientes a mediar -en procesos de profundidad creciente-
aprendizajes de nociones matemáticas variacionales, por ejemplo, la razón de cambio de una magnitud.
Como técnica exploratoria consideramos el uso de bitácoras personales de reflexión de los estudiantes,
para luego, en una segunda etapa, derivar en la construcción y aplicación de un cuestionario y la
realización de entrevistas para triangular fuentes de información. En este artículo se reportan
evidencias de la primera etapa, provenientes de las bitácoras personales, en el contexto de un curso de
cálculo inicial.
Introducción
Sobre la base de investigaciones en didáctica de las matemáticas que se han realizado
en las últimas décadas podemos señalar -respecto de las prácticas pedagógicas y
escolares- que lo supuesto tradicionalmente acerca de que el profesor enseña y el
estudiante aprende, con una lectura causa-efecto de la díada enseñanza y aprendizaje,
se ha ido develando magro e insuficiente. No obstante, cabe destacar que tanto
profesores como estudiantes continúan viviendo prácticas pedagógicas y escolares
bajo esa racionalidad. Su arraigo en nuestra sociedad es fuerte. Así, la resistencia al
cambio de estilos educativos, se torna predecible. Por otro lado, en lo que respecta a
la evaluación de aprendizajes, en las prácticas escolares y pedagógicas se constata el
hecho de que las tareas que plantea el profesor al momento de evaluar generalmente
deben apuntar al hecho de que lo que se evalúa es si un estudiante ha logrado o no el
aprendizaje de un determinado conocimiento matemático. Seguir esta dinámica
ciertamente priva al profesor de las representaciones estudiantiles que subyacen en la
actividad humana cuando los estudiantes se aprestan a abordar y también cuando
están abordando el aprendizaje de nociones matemáticas, en el tiempo que cursan la
asignatura.
En esta investigación, en su primera etapa, se pretende -desde la práctica pedagógica-
obtener información conducente al estudio de representaciones estudiantiles de
nociones matemáticas variacionales. Bajo este prisma se aplicó a estudiantes de
pedagogía en matemática de primer año, durante un curso de cálculo inicial, una
actividad periódica cuyo foco estuvo en promover la reflexión de sus entendimientos
respecto a lo que estaban aprendiendo. Dicha actividad consistió en la elaboración de
una bitácora personal de reflexión. Entendida esta como una entrega periódica -de
18
Parte de mi proyecto de Tesis de Maestría en Ciencias con mención en Matemática Educativa, CICATA-IPN,
México.-
327

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
los estudiantes- de un escrito en el que vertían sus entendimientos de las temáticas
tratadas en el curso, que ellos escogían libremente, así como sus impresiones de las
actividades realizadas, emociones u otras variantes relativas a aspectos temáticos o
didácticos (metodológicos) del curso. Se considera a la bitácora personal de reflexión
como un instrumento de acercamiento entre el maestro y el estudiante, en una
experiencia progresiva que sitúa a ambos actores en un escenario escrito y abierto que
busca propiciar el desarrollo de la reflexión del estudiantado respecto de qué es lo que
están entendiendo. Su aplicación no estuvo ajena a resistencias estudiantiles en los
términos ya mencionados de los estilos educativos. Al respecto escribe por ejemplo
un estudiante:
“es eso lo que yo no entiendo, el para qué indagar tanto en la materia,
sobre nuestro modo de pensar (...) en mi caso no soy muy bueno
para expresar mis ideas por medio de una hoja y un lápiz”
Se optó por esta técnica pensando en obtener evidencia desde la práctica, desde
quienes motivan nuestra pregunta de estudio ¿cómo se representan los estudiantes
nociones matemáticas variacionales? y más particularmente ¿cómo conciben,
entienden o se vinculan con nociones matemáticas relativas a la variación? Interesa,
a futuro, develar presencia de epistemes estudiantiles (Díaz, 2003) respecto de
nociones variacionales.
Antecedentes Teóricos
Esta investigación se inscribe, por una parte, en el Programa de Pensamiento y
Lenguaje Variacional, entendido como “una línea de investigación que, ubicada al
seno del acercamiento socioepistemológico, permita tratar la articulación entre la
investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el
cambio en los sistemas didácticos” (Cantoral y Farfán 1998). Y por otra parte
considera el Programa de las Ideas Previas en donde “se concibe al aprendiz como
“actor”, constructor -en el curso de su historia social, en el contacto de la enseñanza,
pero, mucho más aún, a través de todas las informaciones mediatizadas y las
experiencias de la vida cotidiana- de una estructura conceptual en la que se insertan y
organizan los conocimientos apropiados y las operaciones mentales matrices. Ese
ensamblaje es, por un lado, una estructura que permite o no asimilar las nuevas
informaciones y, por otro lado, un medio a partir del cual va a determinar sus
conductas y negociar sus acciones” (Díaz, 2003).
Entenderemos que el aprendizaje, como cambio de representación, puede estar
condicionado por la transformación o no transformación de otros tipos de
representación del aprendiz. Por ejemplo, sus representaciones respecto de la
educación y de sus propias capacidades. Así como también estarán presentes,
interactuando con algún tipo de influencia, las representaciones sociales compartidas
por su grupo de pertenencia y/o de referencia, el contexto más amplio de su cultura,
las representaciones del formador y aquellas comprometidas en el tipo de saber que
considera la situación de formación, tales como sus ideas previas (Díaz, 2003). Por
su parte, las representaciones sociales se forman a partir de la lengua, las modas
dominantes de la época y los modos de comunicación social, incluyendo las
conversaciones cotidianas o "hechos anónimos". Y son sociales tanto por la
naturaleza de sus condiciones de producción, como por los efectos que engendran y
328

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
por la dinámica de sus funcionamientos. Las representaciones individuales se
elaboran parcialmente sobre la base de representaciones sociales, vehiculadas por el
grupo de pertenencia y/o referencia de cada sujeto (Burgeois, citado por Díaz, 2003)
Otro campo que aporta a nuestra problemática son los estudios del lenguaje que se
han abordado desde diferentes aproximaciones. Por ejemplo señala Candela (2001):
“para las nuevas perspectivas socioculturales (apoyadas en Vygotsky y Bakhtin) el
concepto del contexto adquiere una gran importancia y la cultura se hace relevante
para los estudios de la cognición [...] desde esta perspectiva el lenguaje no es un
instrumento para la transmisión de información sino un medio dinámico para la
acción social”. También menciona que “dentro del campo de la semiótica y con
fuerte influencia lingüística, aparecen los trabajos de Krees y Osborn (1998) en
donde se estudia el lenguaje como uno de los modos que, en interacción con otras
formas modales, permiten conocer la representación de conocimientos y estados
mentales y la comunicación en contextos educativos”.
Adicionalmente, estudios recientes (Lakoff y Núñez, 2000) relevan que toda la
actividad mental es de naturaleza corporizada, es decir, que productos de la cognición
de alto nivel como son las ideas, los conceptos, la moralidad, los valores, y las teorías
(incluyendo las científicas), son corporizadas. En particular, que los sistemas
conceptuales humanos, incluso los más abstractos, se organizan en vastos sistemas de
metáforas conceptuales cuyas verdades e inferencias no son literales, sino
metafóricas. Es decir, verdades e inferencias que heredan su estructura de un dominio
para aplicarse a otro totalmente diferente (Johnson, 1993). En suma, con esta
sensibilidad teórica, abordaremos la determinación de las representaciones
estudiantiles.
El instrumento exploratorio
Durante un curso de cálculo inicial se aplicó el instrumento de la bitácora personal de
reflexión a estudiantes de pedagogía en matemática, de primer año 19 . Interesaba que
profundizaran en sus entendimientos y que desarrollaran una sensibilidad didáctica
respecto a lo que sucedía en el aula, en su calidad de estudiantes en formación inicial
de pedagogía. Se adoptó una devolución escrita de cada bitácora por parte del
profesor. Las retroalimentaciones procuraron poner el énfasis en el diálogo escrito
con sus estudiantes, a partir de las características que arrojaba cada bitácora, con el
fin de intencionar la apertura para el planteamiento de cuestionamientos que los
llevaran a profundizar más sus ideas. Que desde los ires y venires del diálogo
interpersonal docente-bitácora-estudiante, se fuese estableciendo un diálogo
intrapersonal estudiante-propios entendimientos.
Evidencias recogidas de la aplicación
Presentamos pasajes de bitácoras que brindan información en tres niveles: ¿cómo
los(as) estudiantes conciben, entienden o se vinculan con nociones matemáticas relativas a la
variación?; relación interactiva durante el proceso; y visualización de estudiantes al final
del proceso.
19 La experiencia se aplicó a dos cursos distintos en un semestre de 16 semanas. A un grupo se pidió un total de 12
entregas de bitácora y, a otro grupo, 5 entregas. Se cuenta con producciones de una parcialidad de ambos grupos.
Quién impartió la asignatura y aplicó el instrumento, en ambos casos, fue el investigador.-
329

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
a) ¿Cómo los(as) estudiantes conciben, entienden o se vinculan con nociones
matemáticas relativas a la variación?
“Cuando el dibujo que se muestra en la gráfica es una recta su razón de cambio es constante,
cuando en el dibujo se ve una recta que no tiene movimiento, osea no varía.
Su razón de cambio es cero.”
[Extracto bitácora 3]
Aquí una estudiante explicita lo que ella entiende, y con ello devela una
representación de la variación por medio de su dipolo (“...no tiene movimiento, osea
no varía.”). A la vez, presenta una cadena asociativa del tipo
no tiene movimiento no varía su razón de cambio es cero
para evidenciar su entendimiento. Una interpretación tentadora es que la estudiante
hizo asociaciones no con un sentido propio sino por repetición de “equivalencias”
aprehendidas de clases. Se observa que dicha cadena asociativa no la refiere para la
variación de una posible magnitud de interés (representada con la gráfica) sino para
la gráfica en sí misma. La corporización es fuerte. Da atributos de corporalidad a la
recta. Para ella lo que se mueve o no se mueve es la recta, podríamos decir que lo que
varía o no varía debe ser algo que ella tiene que “mirar” o “ver”. Por otra parte,
analizando este pasaje surgió una reflexión alternativa ¿cómo influye la
representación cotidiana en el aprendizaje de los conceptos? arguyendo que “aquí no
hay nada matemático” e infiriendo que “cuando hace la línea recta, esta no tiene
razón para cambiar entonces sale recta” podría estar la posibilidad que refiera a
“razón como motivo” lo que la hace recurrir a argumentos cotidianos en un esfuerzo
por acercarse a conocimientos matemáticos. No se desprende claro, pero es una
posibilidad de acción ya que la estudiante podría estar indicando que la primera recta
se mueve (¿sube?) y que su razón de cambio (¿motivo de cambio?) es constante
porque “va subiendo siempre igual” (se mueve, varía siempre igual). Siguiendo con
la misma idea, la segunda recta no cambia porque “está acostada” “no va subiendo”
“no tiene movimiento” y si no tiene movimiento no tiene razón (¿motivo?) para
cambiar. Al hacer la interpretación que “sube” siempre igual, puede también abrirse
la posibilidad de que la estudiante dialogue con una variación de la altura, sin
embargo, aunque así fuese pareciera que persiste de todos modos la atribución del
cambio a la recta, es decir, lo que está viendo explícitamente: su razón de cambio es
constante (en el caso de la primera) y su razón de cambio es cero (en el caso de la
segunda).
La presencia de lo cotidiano en el abordaje de la comprensión de lo matemático se
manifiesta de modo más directo en la textualidad de otra estudiante cuando expresa
en una de sus bitácoras:
“¿Por qué la derivada es una razón de cambio instantánea? He pensado mucho en la respuesta, al principio creí
que se refería a instantánea, pues no había que hacer todo el proceso de aproximación a un valor exacto,
aminorando ∆t sino que se calcula instantáneamente el valor exacto mediante la definición formal de derivada.
Luego pensé que era una razón de cambio instantánea pues se deriva en un punto, es decir, en un instante.
Finalmente he pensado que se le da esta característica por la última razón, es decir, por que se calcula la
derivada de un instante para así poder llegar a un resultado exacto, no es como aproximarse, achicando el ∆t,
sino que se parte del ∆t más pequeño llegando así más eficazmente a la exactitud.” [Extracto bitácora 3]
330

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
En este pasaje la estudiante intenta articular en torno al “calcular lo exacto” y
“calcular en un instante” Inicialmente recurre a un esquema cotidiano para su
búsqueda de respuesta. Desde su representación de “lo instantáneo” (como algo que
se realiza de forma inmediata) se localiza en el aspecto procedimental de evitar
“hacer todo el proceso de aproximación, aminorando ∆t” y atribuye a la definición
formal de derivada el rol de calcular “instantáneamente” lo que antes se hacía
mediante un proceso más extenso, en lugar de una herramienta para calcular
(cuantificar) el “cambio que se produce en un instante”. Luego reformula su entender
corporizando el instante en un punto (“se deriva en un punto, es decir, en un
instante”). Sin embargo, con su reflexión final, pareciera que de todas maneras sigue
prevaleciendo su idea inicial del instante, entendido este como “un proceso más breve
(menos cantidad de pasos) en el tiempo” cuando señala “sino que se parte del ∆t más
pequeño” pues ese partir denota el inicio de un proceso que debiera ser menor al
inicial, sin lograr capturar la faceta numérica (física) de la derivada en un punto.
Por otro lado, al abordar el aprendizaje de nociones variacionales los estudiantes
muestran ciertas valoraciones de facetas matemáticas por sobre otras. A veces,
inclusive se ven obligados a usarlas como única vía de comprensión. Por ejemplo,
una estudiante señala:
“Con respecto a mi problema con los gráficos es un poco complicado para mí explicarlo, ya que ni
siquiera yo me comprendo[...] he llegado a la conclusión que mi problema es que no me logro ubicar
en el plano, es decir tengo que recurrir a los números para poder creer que lo que pienso esta bien o
no, por ejemplo sin los números no entiendo cuando una función desciende o aumenta y cuando es
más lento o más rápido.” [Extracto bitácora 2 ]
Se aprecia su conflicto con la visualización gráfica y persistencia de la faceta
numérica para comprender ideas variacionales. Nos está dando pistas de que
distingue clases de variaciones: rápida y lenta / aumento y disminución. Pero ambas
ligadas a un registro numérico lo que podría dificultar su manejo de nociones
variacionales continuas.
b) Relación interactiva durante el proceso
Un mismo estudiante refiere durante sus bitácoras:
“ A mi modo de pensar siento que la bitácora no es de gran importancia, porque usted nos hace
reflexionar y profundizar [...] es eso lo que yo no entiendo, el para qué indagar tanto en la materia,
sobre nuestro modo de pensar, o el modo de realizar los ejercicios.”
“En mi caso no soy muy bueno para expresar mis ideas por medio de una hoja y un lápiz.” [Extracto
bitácora 4]
”A lo mejor a usted, no le va a gustar mi método, ya que me va a decir que me lo aprendí de
memoria, aunque no sea así, sino fue algo, que descifré solamente con la vista,
al tratar de comprender, cuando se trataba de una pendiente creciente o decreciente.” [Extracto
bitácora 7]
”Voy a contarle algo que en un momento no tenía claro, y también le contaré como pude aclarar mi
duda que me llevó, a más de un día en el cual, tuve que aplicar no sólo el cálculo matemático, sino
la parte de la visión, y esto me ayudó a darme cuenta de lo que era...” [Extracto bitácora 9]
331

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Apreciamos una evolución respecto de la relación que tiene en el escrito con el
profesor y de sus aprehensiones frente a la validación de sus ideas. Hay un tránsito
por la relación triádica profesor-estudiante-saber. Podemos caracterizarlo de la
siguiente manera: reclamo y luces de resistencia a reflexionar (es innecesario);
alcance de una posible desaprobación del profesor pero de todos modos se anima; y
apertura a dejar oir su voz.
c) Visualización de estudiantes al final del proceso.
Entre los estudiantes que completaron la bitácora, destacamos algunos pasajes
relevantes:
332
“... cuando deseaba escribir sobre algo que no entendía, como para poder expresar que era lo que
no entendía realmente, debía meterme más aún en el asunto, lo que provocaba que en vez de
redactar lo que no entendía, terminaba explicando lo que había entendido y de que manera lo
había logrado entender...”
“...me a llevado a preguntarme ¿que realmente es lo que estoy aprendiendo?, y ese es el gran punto
a cubrir por este trabajo (bitácora)...”
“ Cuando comenzamos el trabajo debo admitir que me desconcertó (...) no lograba entender que era
lo que el profesor quería de ellas. Con el tiempo fui comprendiendo (...) cuando comenzaba a
explicar lo que había logrado entender, según yo bien, comenzaban a aparecer los primeros signos
de inseguridad sobre lo que sabía y si realmente estaba correcto. Fue en ese momento cuando
pensé que ese era el real sentido de realizar dichos trabajos, comprender cuales son mis fortalezas
y debilidades en relación a los temas abordados, no solo en cada bitácora sino en conjunto, como
un todo, es preciso que esta reflexión no afloro de una bitácora para otra sino mas bien fue un
proceso gradual que aun no termina...”
En el primer caso una estudiante discierne que al explicar en su bitácora lo que no
entiende se ve obligada a objetivar lo qué está entendiendo. Usualmente cuando un
estudiante no entiende “algo”, el docente no se involucra en demasía en lo qué este
está entendiendo sino que se aboca a brindarle distintas explicaciones desde sus
hipótesis “en acto”. Por otra parte, la segunda textualidad sintetiza lo que produjo en
este estudiante la experiencia y, en el caso de la tercera, tenemos un tránsito desde la
incertidumbre a una comprensión de la actividad reconociéndola como un proceso
gradual y duradero en el tiempo.
Consideraciones Finales
Con este estudio hasta el momento apreciamos que aspectos relativos a las
representaciones que los estudiantes tienen de nociones variacionales distan de lo que
suponemos se aprende en el aula. Lo cotidiano y una corporización de los objetos
matemáticos pareciera persistir en las reflexiones estudiantiles. El instrumento de las
bitácoras de reflexión personal nos situó en una mirada poco explorada: reflexiones
de estudiantes al aprestarse a abordar y cuando están abordando el aprendizaje de
nociones matemáticas, durante su experiencia de curso. Esperamos que las
evidencias obtenidas aporten para la elaboración de diseños didácticos tendientes a
mediar aprendizajes de nociones matemáticas variacionales.
Bibliografía

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
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333

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
334
SIGNIFICATIVIDAD PARA LA PROPORCIONALIDAD INVERSA EN
ESTUDIANTES DEL DÉCIMO AÑO DE ESCOLARIDAD
Fidel Ledesma Bruce
Tesista Magíster en Educación – UMCE, Chile
fledesmabruce@yahoo.com
Resumen
La preocupación por indagar en el tema de la Proporcionalidad Inversa se origina buscando un
encuentro entre la visión de un estudiantado “constructor de su propio conocimiento” inspirado en el
Proyecto Educativo Institucional, PEI, de un liceo municipalizado, con las prácticas pedagógicas de
aula y sus ulteriores consecuencias en la devolución de razonamientos “razonados” por parte de los
estudiantes. Los lineamientos constructivistas, inspiradores de la Reforma en el marco curricular,
inserto en el sector de matemática son asimilados y sugeridos administrativamente, pero no se
visualizan en las prácticas de aula en el intercambio de epistemes del estudiante y del profesor. Estas
se evidencian en la recopilación de antecedentes - con los instrumentos de cuestionario y pruebas -. La
forma tradicional de pensamiento tiene predominio de lo memorístico y con clara tendencia a la
mecanización algebraica. Se trató de conocer y comprender algunos elementos relevantes y propios de
una situación de aprendizaje en aula, donde intervienen en forma recurrente estrategias usadas por los
estudiantes. La finalidad del estudio es superar la mecánica algebraica al abordar los desafíos
impuestos por la epistemología del saber, mediado por su profesor en aula sobre la base de la
Resolución de Problemas en Segundo Año de Enseñanza Media (décimo año escolar).. Para tal efecto,
se trató de pesquisar otros elementos aledaños socio-culturales y cognitivos en el marco socioepistemológico
de la investigación para contribuir a una propuesta que permita avanzar en las
representaciones estudiantiles en el contexto del Pensamiento Variacional.
Antecedentes
El marco curricular de la enseñanza media diseñado a través del decreto 240 de 1998
del Mineduc, considera al sector de matemática organizado en torno a tres ejes
temáticos: Álgebra y Funciones; Geometría; Estadística y Probabilidad. El
aprendizaje de la matemática está asociado específicamente al desarrollo de un
conjunto de habilidades referidas a: Procedimientos estandarizables, Resolución de
Problemas, Estructuración y generalización de los conceptos matemáticos. Este
decreto recomienda que “el proceso de aprendizaje en el aula se cimiente en
contextos significativos y accesibles para los jóvenes, favoreciendo la comprensión
por sobre el aprendizaje de reglas y mecanismos sin sentido” (Mineduc, 1998). La
Proporcionalidad Inversa se inscribe en el primer eje temático, es decir en “Álgebra y
Funciones” y desea promocionar en el estudiante las habilidades prescritas
anteriormente, y además, como al incorporar el uso de convenciones apropiados por
el joven pasan a ser procedimientos rutinarios y algorítmicos. Sistematización del
ensayo y error, aplicación y ajuste de modelos, y formulación de conjeturas.
Incorporar relaciones entre los distintos temas y conceptos, y algunos antecedentes
relativos a su evolución histórica. La Proporcionalidad Inversa en NM-2 se inscribe
en los Objetivos Fundamentales de:
• Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la resolución de
problemas; profundizar y relacionar contenidos matemáticos.
• Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos del saber.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
En los Contenidos Mínimos, corresponde al Lenguaje Algebraico y en ellos se
destacan las siguientes habilidades cognitivas:
• Expresiones algebraicas fraccionarias simples, (con binomios o productos
notables en el numerador y en el denominador). Simplificación,
multiplicación y adición de expresiones fraccionarias simples.
• Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución
de variables por dígitos y/o números.
Se deja ver en estos enunciados una perspectiva estático –algebraica que dotará de
sentido a la proporcionalidad inversa. Este marco epistémico raya una cancha muy
difícil de remontar para una actividad de educación matemática de la
proporcionalidad inversa que aporte significatividad a los estudiantes. Nobles
aspiraciones educacionales no siempre son coherentes con las epistemes que les
subyacen y menos con el darse cuenta de sus actores de ellas. Por su parte, tampoco
estará en consonancia con las prácticas pedagógicas más comunes en matemática,
pues la estructura formal 20 de la disciplina muchas veces impide durante la enseñanza
de conceptos, la diversidad de aperturas de razonamientos al interior de la propia
disciplina así como su vinculación con otras áreas de saberes disciplinares. Por su
parte, hace ya más de cuarenta años que Kuhn (1963) develara modos de elaboración
propios de las disciplinas mostrando su devenir tiempos de normalidad seguidos de
“revoluciones científicas” (…) “con estructura que reaparece regularmente”
apareciendo conjeturas que tradicionalmente no son asimiladas en una perspectiva
interdisciplinaria, conjeturamos la presencia de “anomalías” al decir de Kuhn. Esto
nos anima a revisar conceptos y procedimientos asociados a los saberes
comprendidos bajo la Proporcionalidad Inversa en su deriva histórica, epistemológica
y sociocultural.
Evidencias desde las prácticas de aula. A continuación se presentan textualidades de
los estudiantes, luego de haber resuelto de manera tradicional un problema con
enunciado en la pizarra, por medio del grupo disertante, en el marco de contenido de
la Proporcionalidad Inversa:
Otros comentarios de los estudiantes, luego de trabajar problemas de enunciado
verbal de proporcionalidad inversa, son los siguientes:
“Por qué había que dar vuelta una parte del sistema inverso”
“Cuando se invierten las incógnitas en las ecuaciones de 3x3 indirectas”
“El último problema ya que era muy largo y no supe como seguir”
“Por qué dar vuelta una parte de la ecuación en la variable inversa”
“Me quedó una duda respecto a un problema 3x3 inverso el cual el inverso de 2c, es
2/c según nuestro compañero, lo que creo que está bien, pero también podría ser
20 Podemos, en principio, distinguir perspectivas formalistas, logicistas y empiristas de entender la matemática con
su subsecuente trasposición al aula de cada una de ellas.
335

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
1/2c. Lo que debo hacer para comprender lo anterior es tratar de resolver el
ejercicio de esta forma, y si no me resulta, preguntar a los que más sepan.”
Estas textualidades muestran como las prácticas operatorias mecanicistas dejan a los
estudiantes con un sinnúmero de preguntas en un registro algebraico lejano de la
significatividad que requiere el tema de la proporcionalidad inversa.
Propósito del estudio
Se presenta en este artículo, elementos concomitantes principales que llevan a los
estudiantes a usar determinadas estrategias recurrentes de aprendizaje conducentes a
la mecanización algebraica en la resolución de problemas con enunciados verbales
escritos, relativos a la Proporcionalidad Inversa y relevar aspectos de una enseñanza
que favorezca la significatividad de los aprendizajes en el estudiantado.
Posteriormente se espera levantar secuencias didácticas que recurran a diversidad de
registros: gráficos, numéricos, tabulares, iconográficos, simbólicos y que muestren al
discurso curricular sobre la proporcionalidad como un cuerpo de saberes coherente y
consistente al interior del currículum de la Educación Matemática y que promueven
aprendizajes reflexivos. Más específicamente se procuran los objetivos de:
• Estudiar e interpretar las representaciones que exponen los estudiantes a la
hora de explicar sus producciones relativas a la Proporcionalidad Inversa. En
particular determinar los que entienden por “estrategia de solución de
problemas”, en su uso cotidiano en aula.
• Determinar representaciones de Proporcionalidad Inversa en los estudiantes.
• Estudiar la Proporcionalidad Inversa en su devenir histórico y su evolución
socioepistemológica.
• Diseñar alternativas de aprendizaje, con sustento en la micro ingeniería
didáctica, para abordar la enseñanza de la Proporcionalidad Inversa.
• Validar localmente una secuencia didáctica en pequeños grupos.
•
Hallazgos de la primera fase del estudio: Corporalizar la Proporcionalidad
Inversa
Ejemplos ilustrativos: El sobre pastoreo o el relato de la “tragedia” causada por las
ilimitadas necesidades del ser humano, en un mundo limitado por su naturaleza,
planteado por el biólogo Garret Herdin en el marco de una sensibilidad ecológica. En
esta ilustración el proceso “inverso” adquiere autonomía. También se observa esta
autonomía en otra ilustración, a saber, la actividad agrícola en las civilizaciones
remotas, y que es totalmente distinta a la anterior: “Un campesino sabe que, en un
surco de 33 m de largo debe arrojar 15 semillas por cada metro que avanza. Para
anticiparse y aprovisionarse, resuelve mentalmente de la siguiente manera, con 15
semillas en cada metro que avanzo, es parecido a que si fuera la “mitad” del largo del
surco, pero el doble de la cantidad de semillas (16 y 30); si ahora considero la mitad
de 16 entonces, será el doble de semillas 8 y 60; luego, la mitad de este y el doble de
la cantidad de semillas que tengo, se tiene 4 y 120; pero efectuando el mismo
razonamiento recursivo se tiene 2 y 240 semillas, hasta finalmente lograr representar
336

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
el 1 con 480 semillas, pero para mayor seguridad le agrego 15 semillas más, así que
la cantidad total de semillas que debo llevar es de 495”.
Esta forma de resolver empíricamente encierra un proceso de Proporcionalidad
Inversa, ya que se manifiestan dos conceptos (relación dual) reiteradamente que son
1
“mitad” y “doble” respectivamente. Es decir, el y 2 serán números recíprocos
2
con respecto de la unidad.
Actualmente, esta situación planteada queda resuelta de inmediato usando la
multiplicación 33 x 15 = 495. Pero se trata de rescatar las cualidades de
razonamiento autónomos que se presentan en la vida diaria y que se puedan
desarrollar en forma independiente de otros contenidos. Así, la interpretación
aritmética que representa la situación antes descrita es:
Primer nivel 33 y 15
Segundo nivel 16 y 30 anulado
Tercer nivel 8 y 60 anulado +
Cuarto nivel 4 y 120 anulado = 495
Quinto nivel 2 y 240 anulado
Sexto nivel 1 y 480
Las instrucciones para llegar al total son simples:
o Se anulan o eliminan todos los niveles donde aparecen “mitades” ó Nº par de
la primera columna.
o Los otros niveles que quedan representados por impares, se suman los
“dobles” ó Nº s de la segunda columna.
Una práctica ancestral. Este proceso tiene sustento en la génesis del pensamiento
matemático en el siglo XX A. C. en Babilonia y Egipto. En los papiros de esa época
aparecen “tablas de los recíprocos” con números regulares sexagesimales que se
aprovechaban también para la división, como se fundamenta de acuerdo a la historia
(Katz, 1998). Profundizando el análisis aritmético en los niveles “anulados” se puede
establecer la siguiente relación algebraica:
2º nivel 16 y 30 , entonces 16 · 30 = 480 El resultado
3 ER nivel 8 y 60 “ 8 · 60 = 480 es una
4º nivel 4 y 120 “ 4 · 120 = 480 constante
5º nivel 2 y 240 “ 2 · 240 = 480 (k)
Esto permite identificar, según esta práctica originaria en matemática, un modo de
operar “inverso” que combina a la multiplicación tradicional con la preservación de
una constante (k).
337

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Ampliando este modo de operar o mejor dicho, transfiriéndolo al decir de la matemática
contemporánea, se puede decir que dos variables o magnitudes se comportan inversamente, si los
productos sucesivos por nivel se mantienen constantes. Además, es posible afirmar el sentido
contrario, que si dos variables o magnitudes son inversas, entonces el producto entre ellas por nivel es
constante. Esto es posible ampliarlo más allá de los números naturales y establecer la igualdad en los
números reales,
m · n = k (constante).
Recientemente se afirma en el libro Where mathematics comes from (2001): “que
incluso un cuerpo de conocimientos tan abstracto, objetivo, preciso, efectivo, y que
aparentemente transciende a la naturaleza humana, como son las matemáticas,
resulta ser un producto originado por la complejidad de nuestra unidad mentecuerpo”
(…) “Lo esencial es que en la base de las ideas y de la construcción
conceptual se encuentra las experiencias corporales, tales como experiencias
térmicas (“ella es una persona fría”), dinámicas (“el dólar subió varios puntos”),
kinestésicas (“me llenó la cabeza con ideas estúpidas”), olfativas (“esta situación me
huele mal”), etc. Todo sistema conceptual, incluso los más abstractos, como aquellos
que constituyen las matemáticas, se crean y se realizan gracias a mecanismos
cognitivos elementales, entre ellos las metáforas conceptuales” (Núñez y Lakoff,
2000).
Desde esta perspectiva, “corporalizamos” el modo de operar de la proporcionalidad
inversa: buscar la manera de interpretar las cualidades propias de “dimensiones o
variables” que se relacionan de forma polar, aceptándose y reconociéndose
mutuamente, de acuerdo a un mismo referente, con comportamientos “inversos” en el
dinamismo que se desea describir. Es decir, no se busca la aparición de una tercera
dimensión o variable distinta como resultado, sino cambios de comportamientos que
tienen lugar al interior de esta dualidad. Sería el tipo de “corporalidad” implícita en
culturas de épocas remotas expresadas en las “tablas de los recíprocos” babilónicas
con sistema numérico de base 60. Sería plausible conjeturar entonces la posibilidad
de dar significatividad - a la luz de estos hallazgos - de “manera natural” a un
encuentro del concepto de “inverso” con el significado cultural de “reciprocidad” en
las representaciones estudiantiles. No sería entonces un modo de operar “inverso” de
otro modo de operar - de una “proporción directa” como se plantea desde la
perspectiva formalista de la matemática - sino que más bien se refiere a un modo de
operar con un sentido en sí mismo, el que tiene que ver con un modo de pensar
asociado a la cualidad de la “reciprocidad”.
Articulando una concepción de Pensamiento Variacional Recíproco, PVR. Tendiente
a favorecer aprendizajes en estudiantes que hoy entendemos deben lograrse sobre la
base, y desde de la complejidad de nuestra unidad mente-cuerpo. En suma se
propone entender por PVR:
“Esquemas enactados que ponen en acción los estudiantes, a propósito de
estudiar situaciones de covariación, que tienen el desafío de un producto
constante”
donde se entiende por “esquemas enactados” a las representaciones personales - en el
sentido señalado por Bourgeois (Díaz, 2003), las cuales se elaboran parcialmente
sobre la base de representaciones sociales, vehiculadas por el grupo de pertenencia
338

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
y/o referencia de cada estudiante - que trae a la mano el estudiantado al abordar la
actividad escolar en una temática particular. Estas representaciones comprenden dos
tipos de estructuras cognitivas, a saber: Esquemas Operatorios y Representaciones
Proposicionales, aludiendo la primera a un modo de operar y teniendo la segunda dos
componentes, la cognitiva propiamente tal y la normativa. Por su parte se entiende
por “situaciones de covariación” en el dominio de la didáctica matemática, aquellas
situaciones en que hay una variación conjunta de dos cantidades, cantidades que
responden a una relación “polar” entre ellas. A su vez, el desafío de un “producto
constante” refiere a un desplazamiento cognitivo coherente, sobre la base de asociar
invariantes, cualidades a preservar en el dominio de saberes ecológicos y cantidades
constantes en el dominio de una variación proporcional reciproca.
A modo de conclusión
La temática de la Proporcionalidad Inversa muestra carencias de entendimientos en
las producciones estudiantiles, producciones que se remiten al registro algebraico y
un sinnúmero de dudas del sentido de las mismas. Lejos queda la aspiración por un
estudiantado “constructor de su propio conocimiento” de los Proyectos Educativos
Institucionales. Este estudio se planteó iluminar prácticas pedagógicas favorecedoras
de operatorias razonadas entre los alumnos. Se dirige a determinar y comprender
algunos elementos relevantes y propios de una situación de aprendizaje en aula que
apunte a superar la mecánica algebraica al abordar los contenidos de proporcionalidad
inversa. En su primera fase se pesquisó en la génesis de estos modos de operar en la
historia. Sobre la base del análisis de tablas babilónicas, el modo de reflexionar la
proporción entre surcos y semillas del campesino de la edad media y el desastre
ecológico de la sobre-explotación del sembradío actual, por una parte, y, por la otra,
de los avances en el campo del lenguaje y las neurociencias para entender los
procesos de construcción de saberes, se relevan las nociones de las metáforas
corporales y las metáforas conceptuales como herramientas principales para
resignificar la enseñanza de la proporcionalidad inversa en las prácticas docentes, en
el marco socio-epistemológico de la investigación para contribuir a una propuesta que
permita avanzar en las representaciones estudiantiles en el contexto del Pensamiento
Variacional.
Bibliografía
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339

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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Soto, Isabel (1994) Enseñanza de las Matemáticas: Algunos problemas y Desafíos Ed. CIDE Stgo.-
Chile
340

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
SOBRE LA NOCIÓN DE CONTINUIDAD PUNTUAL: UN ESTUDIO DE LAS
FORMAS DISCURSIVAS UTILIZADAS POR ESTUDIANTES
UNIVERSITARIOS EN CONTEXTOS DE GEOMETRÍA DINÁMICA
Eddie Aparicio y Ricardo Cantoral
Universidad Autónoma de Yucatán y Cinvestav IPN. México
alanda@tunku.uady.mx ; rcantor@mail.cinvestav.mx
Resumen
En este trabajo se aborda un problema de enseñanza ligado al aprendizaje de conceptos básicos del
análisis matemático clásico, particularmente nos ocupamos del concepto de continuidad puntual de una
función real de variable real que es enseñado al nivel universitario. Se analizan algunas de las formas
discursivas y acciones gestuales utilizadas por los estudiantes cuando estos discurren sobre la noción
de continuidad puntual. Para ello, nos valimos de un diseño experimental basado en la aproximación
teórica de naturaleza sistémica a la investigación en Matemática Educativa, la Socioepistemología. En
este diseño se supuso que los conocimientos matemáticos en la mente de los estudiantes son el
producto cultural de una serie de prácticas sociales. Específicamente, trataremos con la dimensión
gestual de las acciones de visualización que los estudiantes movilizan cuando se desempeñan en el
marco de un diseño experimental basado en la geometría dinámica. Al respecto utilizamos Sketchpad,
4.0 - programa dinámico de geometría- .
Introducción
El concepto de continuidad puntual de funciones reales de variable real es
considerado básico en la enseñanza matemática universitaria. En la mayoría de los
sistemas escolares, la presentación habitual de dicho concepto inicia considerando la
definición de continuidad puntual de una función en un punto interior de un conjunto
abierto en los reales. En seguida, se discuten al nivel operativo algunos criterios para
decidir la continuidad o discontinuidad de una función en un punto. Sostenemos que
este tipo de tratamiento escolar induce problemas de aprendizaje entre los estudiantes.
Presuponemos que la noción de continuidad, en un sentido global, posee un carácter
apriorístico en el ser humano. Las personas perciben el cambio en su estudio de
fenómenos reales en términos globales, no locales. Tomemos por ejemplo, al
movimiento libre de la mano que se desplaza de un lado a otro sin cesar, les
imaginamos trayectorias continuas describiendo su movimiento, la mano entonces,
recorre todos los puntos intermedios entre un extremo y el otro sobre su trayectoria,
¿cómo no habría de hacerlo? De la misma manera, en la caída de los graves se piensa
que estos pasan por todos los puntos intermedios de su trayectoria.
Recientemente diversas investigaciones han buscado fundamentar la idea de emplear
en el discurso escolar, elementos más diversificados y más interdependientes que no
limiten la práctica escolar al tratamiento de los métodos y procesos algorítmicos ya
sean estos de naturaleza aritmética o algebraica. Algunos ejemplos en la literatura
especializada dan muestra de ello (Alanís, 2002; Dolores, 1999; Cantoral y Montiel,
2001). En nuestro estudio (Aparicio, 2003) detectamos que el aspecto gesticulativo
permite a los estudiantes no sólo concebir a la función en general y a la función
continua en un punto en particular, como un objeto susceptible de ser operado, sino
que también son capaces de transitar entre las cinco diferentes representaciones, lo
algebraico, numérico, geométrico, icónico, verbal – gestual- .
341

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La continuidad: una visión en situación escolar
En la siguiente figura (fig. 1), hemos querido mostrar mediante un esquema, la
estructura que se sigue en el tratamiento del concepto de continuidad en la mayoría de
los textos escolares contemporáneos y la cual hemos considerado genera problemas
de aprendizaje.
Perspectivas didácticas en el Análisis
Investigaciones como las de (Tall, 1981; Hitt, 1994; Sierra, 2000), señalan que las
concepciones de los estudiantes sobre el concepto matemático de función continua
están distantes de la definición formal que la enseñanza les ha dado. Sostienen
además, que algunas de tales concepciones son el producto inducido desde su propia
enseñanza. Estos estudios suelen centrar la atención en la forma en que el objeto
matemático función es operado por el sujeto –alumno- que aprende al momento de
resolver ciertos problemas o acertijos matemáticos. Investigaciones como estas,
buscan aportar elementos que permitan entender y explicar algunas de las
problemáticas asociadas al aprendizaje de la continuidad de una función. En general,
la guía seguida consiste en actuar sobre el objeto matemático (funciones continuas en
este caso) considerándole como una entidad preexistente a toda práctica de
comunicación. Las preguntas que elaboran para clasificar las respuestas son del tipo,
diga si es o no continua esta función, decida del conjunto de gráficas siguientes cuáles
se corresponden con funciones continuas, etc. En cierto sentido, preguntan
directamente lo que esperan ver aparecer, la continuidad, ignorando el hecho que
quizá dichas respuestas estén ya condicionadas por las prácticas escolares. Por
nuestra parte en cambio, seguimos un camino distinto pues el acercamiento didáctico
que utilizamos es basado en un resultado de naturaleza epistemológica que quisimos
continuar a la didáctica. De modo que, en nuestro diseño suponemos a la noción de
continuidad puntual como una consecuencia de la discontinuidad puntual y no de la
noción global de continuidad. Esto es, consideramos que la noción de continuidad
342
Estructura de la enseñanza de la continuidad puntual
CONTINUIDAD
PUNTUAL (CP)
lím
x→a
f(
x)
= f(
a)
CONTINUIDAD
CONTINUIDAD
GLOBAL (CG)
[ a b]
→ℜ
f : ,
Figura 1
DISCONTINUIDAD
PUNTUAL (DP)
NEGACIÓN LÓGICA DE LA
CP

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
puntual se estabiliza entre los estudiantes sólo hasta que esta aparezca como un medio
para evitar las discontinuidades de orden puntual.
La perspectiva Socioepistemológica
La Socioepistemología es una aproximación que busca dar explicación de los
fenómenos didácticos producidos en el campo de las matemáticas mediante el
entendimiento de la construcción social del conocimiento y bajo un enfoque
sistémico, que precisa de la incorporación de aspectos sociales, como la
comunicación, la búsqueda de consensos, la construcción de lenguajes o el diseño de
herramientas, en el estudio de tales fenómenos. En este sentido, desde esta
perspectiva, la construcción de un conocimiento matemático necesariamente se
encuentra ligado a aspectos más amplios y que rebasan la mera organización teórica
del contenido: Aspectos epistemológicos, prácticas socioculturales, procesos
avanzados del pensamiento y aquellos que tienen que ver con el funcionamiento de
una institución escolar (Cantoral, 2001). De manera que, al centrar la atención en la
definición formal del concepto, más que en el uso que los sujetos den en situaciones
específicas, se dejan de lado algunos aspectos discursivos fundamentales para su
aprendizaje. Tomemos por caso a la argumentación verbal que los alumnos pueden
hacer al momento de articular sus expresiones lingüísticas con los aspectos
propiamente gestuales que se utilizan al mover la mano, al recorrer una curva, y que
proveen de elementos esenciales al proceso de visualización. De manera que resulta
necesario entonces, reconocer el tipo de pensamiento y estrategias que el alumno
pone en juego en el momento de generar conocimiento. Por ejemplo, analizar
aquellas estrategias que en su naturaleza son de tipo variacional. Es así que partiendo
de nuestros supuestos, decidimos ampliar las perspectivas ofrecidas en la didáctica
del análisis, determinando incorporar como elementos de la investigación las
prácticas asociadas a los objetos teóricos, procesos y conceptos. Así, además de las
definiciones y los teoremas exploramos los usos lingüísticos, las gesticulaciones que
sobre las nociones de continuidad y discontinuidad puntual se llevan a cabo entre
estudiantes universitarios (Aparicio, 2003, Aparicio y Cantoral, 2002). Por ejemplo,
hemos notado que la definición formal de continuidad puntual no parece constituir
una base adecuada a partir de la cual sea posible construir significados asociados a la
continuidad global. La extraña noción, de función continua en un punto, parece
contravenir las cuestiones apriorísticas de la continuidad global.
La secuencia didáctica
La implementación de la secuencia se llevó a cabo con ocho estudiantes (cuatro
mujeres y cuatro hombres) de Ingeniería en Mecatrónica, Telemática y Biónica, la
elección se hizo con base en los resultados de una actividad exploratoria aplicada a 30
estudiantes de las mismas especialidades, el requisito básico para la selección
consistió en tener un cierto conocimiento de las funciones elementales del cálculo y
un adecuado manejo sobre su representación gráfica. El desarrollo de la
experimentación se realizó empleando papel, pizarrón y computadora. Con una serie
de actividades ante la pantalla de la computadora y de acuerdo a tres fases
previamente diseñadas. La fase de preparación para la lectura de las actividades, la
fase de desarrollo de la secuencia y la fase de institucionalización de los saberes. En
343

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
la primera fase, se buscaba desarrollar las competencias necesarias entre los
estudiantes para la adecuada lectura de las actividades planteadas – desarrolladas en
una computadora utilizando el programa de geometría dinámica Sketchpad, 4.0 - . En
esta fase, se le presenta a los alumnos una secuencia de proyecciones en una pantalla,
mostrándoles una gráfica conocida (la gráfica de la cúbica) y la consideración de tres
puntos arbitrarios sobre ella, así como sus respectivas sombras o proyecciones sobre
los ejes coordenados (fig. 2).
En la segunda fase se establece el escenario donde los alumnos discutirían la noción
de continuidad puntual, a partir de la percepción global de la continuidad y la noción
de discontinuidad puntual, mediante la explicitación de expresiones funcionales
asociadas a las representaciones dinámicas vistas en la pantalla de la computadora. En
la última fase, (fase de institucionalización) se planteaba una discusión entre los
miembros de los dos equipos y la coordinación del instructor sobre las conclusiones
finales obtenidas. La secuencia didáctica
estuvo formada por cuatro actividades en
la pantalla de la computadora. Por
razones de espacio, sólo mostraremos la
actividad 1 y la actividad 3. Las
actividades 2 y 4 pueden considerarse
como similares. Para más detalle
consúltese (Aparicio, 2003).
344
Tres puntos sobre la
gráfica
y
Se quita la
gráfica
Fig, 2
x
Ejes
paralelos
y
x
Fase 1

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Actividad 1. ¿Existe alguna función real de variable real asociada a lo que observas
en la pantalla de la computadora? Recordemos que los alumnos veían en la pantalla
una animación, movimiento de puntos y líneas sobre el monitor.
1er. instante 2º. Instante
3er. instante 4º. instante
Qué dicen y cómo gesticulan
AR: El punto x es igual al punto y, entonces f ( x)
= x
Señala el movimiento de los puntos (verde y amarillo) repasando la línea roja que los
une, indicando la relación entre x & y.
AS: f ( x)
= f ( y)
o el punto x es igual punto y entonces la gráfica será y = x ,
Comentario del investigador: ¿En qué se basaron para decir o concluir eso?
AR: Se mueven a la misma velocidad. El mismo punto verde se proyecta en el mismo
punto amarillo. La función es f ( x)
= x
AR ve detenidamente la representación en la pantalla y simula el movimiento con sus
manos y los puños cerrados.
345

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Actividad 3. ¿Existirá una función real de variable real que nos describa lo que se
mira en la pantalla siguiente?
346
1er. instante 2º. Instante
AO: Mira como aquí se va derecho y aquí se va..., (indica la inclinación de la línea
roja que une los puntos de la línea verde con la línea amarilla)
señala la primera parte de la línea amarilla de derecha a izquierda con el dedo
índice e inmediatamente cuando pasa por el lugar donde deja de pintarse la línea
amarilla, inclina la mano de manera suave y sigue el movimiento constante y suave
del recorrido.
AL: Tendría que ser una función definida en dos partes.
Este alumno observa el comportamiento de la línea amarilla e induce su conjetura,
su rostro por su parte muestra gran seguridad de lo que dice.
AO: si ¿no?, no puede ser una sola, yo digo!!!
A manera de conclusión
Apuntaremos que los resultados obtenidos, proporcionan información significativa
sobre el aporte del aspecto gesticulativo en el proceso de estabilización del concepto
de función continua en un punto. Identificamos algunos elementos esenciales en las
formulaciones de las repuestas de los estudiantes tanto a un nivel individual como
grupal. Por ejemplo, identificamos que la posibilidad de visualizar y el acto de
visualización no se ven reducidos al uso de una herramienta tecnológica, en nuestra
opinión diremos que la incidencia de la dimensión gestual es un medio que permite
articular las acciones de visualización de conceptos matemáticos, de manera que una
representación en la pantalla de la computadora sólo permite fincar un escenario
donde el estudiante habrá de ampliar y generar nuevas significaciones, más aun, si

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
dichas representaciones son articuladas con lo gestual. En nuestro diseño, la noción
de continuidad puntual en ningún sentido se refería de manera explícita -esta aparece
como el resultado de la interacción entre el alumno, su entorno y el concepto-. El
enfrentamiento de los estudiantes con la noción de continuidad global y continuidad
puntual les permitió generar argumentos de corte discursivo matemáticos y estabilizar
la noción de continuidad puntual. Entre los primeros se encuentra el uso de la
analogía, el recurso de la metáfora y lo gestual como antecedentes a los recursos
matemáticos. Citemos como casos, aquellos donde los estudiantes utilizan
expresiones lingüísticas como “salta”, “brinca”, “se corta” “no se borra” y las hacen
acompañar de la dimensión gestual para finalmente ligarlas a un conocimiento
escolar. Así, experimentamos la idea de que el ubicar a un estudiante en un escenario
donde pueda utilizar expresiones discursivas y gestuales, de suerte que no se vea
restringido a su dominio de saber escolar “condicionado” va a permitir que este
estudiante resignifique y construya nociones matemáticas. Esto permitirá entender
algunas formas en cómo se produce aprendizaje.
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347

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
348
VISUALIZANDO LO QUE VARÍA
Eduardo Carrasco Henríquez
Tesista Magíster en Matemática Educativa, Cicata IPM, México
ecarrascr17@yahoo.com
Resumen
Los obstáculos para operar con la visualización por parte de los estudiantes, a la hora de estudiar lo que
varía, muestran la importancia de promover el desarrollo de una “inteligencia visual”. En especial la
construcción de gráficas, dado que es una importante herramienta que permite a los estudiantes realizar
una actividad matemática escolar y por tanto desarrollar un pensamiento matemático. Herramienta
didáctica que ha ido, desde el surgimiento de la tecnología digital, cobrando mayor importancia en la
investigación tanto matemática como en didáctica de las matemáticas. A modo de ilustración en el
comportamiento tendencial (Cordero, 2001) de las funciones, un estudiante aprende a “identificar”
coeficientes en la función, a “reconocer” patrones de comportamientos gráficos, a “buscar” tendencias
en los comportamientos y a "relacionar” funciones. En didáctica de las matemáticas, el uso y
articulación del registro algebraico con los otros registros (fenómenos, algebraico, tabular, numérico,
entre otros). Sobre la base de mis ideas previas, de las discusiones con colegas y de prácticas de aula,
se visualiza como un importante obstáculo, la determinación por parte de los estudiantes de las
magnitudes que varían en un fenómeno, principalmente aquellas variables que no son visibles de
manera directa, como es el tiempo. Por ejemplo, confundir la variación de la altura con la velocidad
del llenado de recipiente. Producciones de estudiantes señalan mayoritariamente que un recipiente
más angosto se llena más rápido que uno más ancho, aún cuando la llave vierta la misma cantidad de
líquido y ambos tengan igual capacidad. Ello sumado al discurso matemático escolar que aún muestra
una matemática estática, dan cuenta de un currículo que no considera el pensamiento variacional
(Díaz, 2003). Las producciones de los estudiantes exhiben importantes obstáculos a la hora de trabajar
y utilizar la herramienta gráfica en la resolución de problemas matemáticos y de otras ciencias. Este
trabajo, que se enmarca en la fase de “análisis preliminar” de una ingeniería didáctica, busca
profundizar en la construcción de gráficas de fenómenos de variación en el tiempo. Indaga en relación
a los obstáculos para construir, interpretar y trabajar con gráficas y esquemas que requieren al tiempo
como variable explicita, con el propósito ulterior de aportar a la construcción de situaciones didácticas
que permitan a los estudiantes construir las herramientas de visualización gráfica de fenómenos de
variación, y, reversiblemente, hipotetizar fenómenos desde gráficas, así como articular estos modos de
representación con otros registros de representación semiótica matemática.
Antecedentes
Cuantificar lo que varía, dibujando lo que varía
Abordamos el estudio de la visualización desde la socioepistemología, que sustenta
que el sistema escolar se constituye por estudiantes, docente y saber, integrados en
dimensiones que se interrelacionan y conforman un todo contextual. Estudia el saber
al que concibe de naturaleza social y se configura en su formación histórica y cultural
y en su producción y reproducción social. Integra en sus análisis las variables
epistemológica; cognitiva; la naturaleza de las interacciones a que da lugar el proceso
de aprendizaje, interacciones entre los actores estudiantado y docentes, y, las
interacciones con el mundo; las formas de intervención en los procesos escolares,
rediseños curriculares y didácticos. Dimensiones que adquieren sus particularidades
en contextos sociales concretos (Cantoral, 2000; Cordero, 2001, 2002; Díaz, 2001;
Cantoral y Farfán, 2002, Arrieta, 2003). En términos de Candela (1999) el
conocimiento científico es una construcción social que está sujeta a ciertos procesos
discursivos específicos, que incluyen tanto las versiones sobre ciertos temas como la

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
organización del discurso, las manera de hablar, de argumentar, de analizar, de
observar, de construir con palabras el resultado de la experiencia, de validar un
conocimiento y de establecer una verdad. Así, las propias investigaciones son
consideradas piezas del discurso textual y argumentativo.
Este trabajo se focaliza en la visualización de saberes matemáticos. Herramienta
principal para el aprendizaje cuya noción abarca más que la simple imagen de un
objeto; se refiere a la construcción mental que hace un individuo sobre una teoría,
situación o problema que se desee enfrentar. Hitt (1998) señala que “La
visualización matemática requiere de la habilidad para convertir un problema de un
sistema semiótico de representación a otro” y que “investigaciones recientes sobre
los sistemas semióticos de representación han puesto de manifiesto la importancia de
la articulación entre diferentes representaciones de conceptos matemáticos para el
aprendizaje de la matemática”. Evidentemente las gráficas son un elemento
privilegiado al interior de la visualización matemática. Gráfica que puede ser
realizada con lápiz y papel, computador, vídeo, entre otros. Con mayor rigor
podemos decir que la visualización considera las relaciones y los cambios que la
persona puede realizar en su mente para la búsqueda de los modelos e invarianzas
presentes en una determinada situación. Por su parte “Visualización Matemática
trata con el funcionamiento de las estructuras cognitivas que se emplean para
resolver un problema, con las relaciones abstractas que formulamos entre las
diferentes presentaciones de un objeto matemático a fin de operar con ellas y obtener
un resultado y sobre todo, de la participación de una cultura particular al compartir
símbolos y gráficas” (Cantoral y Montiel 2001).
La psicóloga de Berkeley, Eleonor Rosch, señala que “el universo no está precategorizado:
las categorías son humanas. Esto, que superficialmente puede parecer
de perogrullo, tiene profundas implicancias que afectan la visión tradicional de la
ontología de las cosas. Las categorías, piedra angular de la actividad mental, son
creadas por seres con cuerpos en interacción con el medio” (Núñez, 2003) Más
adelante Lakoff y Jonhson demostraron que los sistemas conceptuales humanos,
incluso los más abstractos, se organizan en metáforas conceptuales cuyas verdades e
inferencias no son sino metafóricas. Adicionalmente asumimos con Lakoff y Núñez,
que lo esencial en la construcción de estas metáforas y que está a la base de las ideas
y de la construcción conceptual, son las experiencias corporales, tales como
experiencias térmicas (ella es un persona fría) o kinestésicas (el dólar subió varios
puntos) entre otras. Así una imagen mental o metáfora corporal se integra a un
esquema propio del estudiante, el cual será enactado (puesto en acción) en una
situación específica que lo requiera. Sostenemos entonces que la determinación de
metáforas conceptuales que están presentes tanto a nivel intuitivo y previo en
nuestros estudiantes y aquellas que son usadas por la matemática escolar, y su uso en
diseños didácticos facilitarán al estudiantado el manejo significativo de las gráficas
para su apropiación de nociones variacionales.
Por otra parte consideramos que la apropiación de nociones científicas se constituye
como un proceso de largo aliento que puede significar hasta diez años para la
adquisición de un pensamiento matemático (Cantoral, 1999) mientras que el
aprendizaje de un concepto puede durar tres años (Artigue, 1989), supuesto en
ambos casos una intervención didáctica intencionada (Díaz, op. cit.). El trabajo con
349

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
la construcción e interpretación de gráficas de fenómenos da la posibilidad de
estructurar en torno a una situación problema eje, secuencias didácticas en diversos
niveles de la enseñanza básica, media y universitaria que favorezcan a los
estudiantes la construcción de aprendizajes necesarios para la predicción y control
de situaciones de variación. Tales aprendizajes que están a la base de los
requerimientos de la modernidad, son vitales a la hora de enfrentar los desafíos de
un mundo globalizado y en cambio autoacelerado. Análisis preliminares de la
investigación en marcha Las representaciones sobre la variación y su impacto en
los aprendizajes de conceptos matemáticos, muestran competencias de predicción y
control presentes en las representaciones cotidianas de los estudiantes. Análisis de
textualidades de estudiantes de octavo año básico y segundo año medio, realizados
en el marco del citado proyecto (Diumce 10102 y Fondecyt 1030413) muestran la
presencia de facetas estáticas y dinámicas, ilustrando modos de pensar tanto
dinámicos como estáticos, siendo los primeros coadyuvantes a la visualización de
covariaciones como a manejar cognitivamente la ucronización y la simultaneidad, en
tanto los segundos o modos de pensar estáticos favorecen el establecimientos de
clasificaciones y determinación de estructuras por parte de sus portadores. Sobre
esa base conjeturamos que es posible estructurar secuencias didácticas que varíen en
el grado de complejidad de la gráfica a construir, desde un simple esbozo en
estudiantes de enseñanza básica que les permita dar cuenta de las magnitudes que
varían y aquellas que no, y, conjeturar comportamientos futuros. Lo anterior
mediante la construcción de gráficas o más bien figuras iconográficas, como una
aproximación al pensamiento variacional. En nivel universitario el análisis de
gráficas de movimiento de objetos o gráficas de diversos fenómenos variacionales
favorecerán la significatividad de aprendizajes de conceptos del cálculo diferencial,
respondiendo más satisfactoriamente a los desafíos de las ideas previas del
estudiantado, dado que las personas se enfrentan a situaciones desde sus ideas
previas, incluyendo intuiciones, imaginarios colectivos, conformando un complejo
de antecedentes que permiten u obstaculizan el reconocimiento, construcción y
manejo de situaciones, en especial situaciones de variación (Díaz, 2003). Se sigue
la metodología de trabajo dada por la ingeniería didáctica que contempla tres
grandes fases (Farfán, 1997): un análisis preliminar, en cuyo inicio se enmarca esta
comunicación, la segunda fase que constituye el diseño y elección de las variables
macro y micro didácticas y finalmente la puesta en escena y análisis de resultados.
Resultados preliminares
Un estudio exploratorio realizado con estudiantes de primer año de pedagogía en
matemática en el que se preguntó por las gráficas de la Fig. 1 - ya usadas por Buendía
y Cordero (2003)- que ya habían cursado un primer curso de cálculo, mostró
importantes dificultades en la construcción de gráficas altura/tiempo. Evidenció la
persistencia de la imagen 21 de un fenómeno por sobre la comprensión de los
elementos que variaban, en especial, las variables implícitas como lo es el transcurso
del tiempo. Los estudiantes identificaron un gráfico distancia/distancia, pese a estar
21 Imagen que podríamos llamar fotográfica del fenómeno.
350

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
escrito en el eje de las abscisas la dimensión de tiempo, como podemos apreciar en la
Fig. 1.
Estudiante 1: “Subir una escalera” Estudiante 2: “Marcas de un patinador al
avanzar”
Para estudiar esta dificultad se confeccionó un test (Ávila y Carrasco, 2002), sobre la
base del movimiento de un péndulo, debido a que usualmente es tratado como
ejemplo de un movimiento periódico y también por lo familiar que resulta al ámbito
cotidiano (todos nos hemos balanceado en nuestra niñez). En el test se les solicito
explicitar la imagen del fenómeno elegido, dibujando la situación desde tres puntos
de vista distintos:
Fig. 2
mirando de forma frontal, lateral y superior, con el fin de recabar evidencias del
efecto que produce la persistencia de la imagen en la construcción de la gráfica.
Posteriormente se les solicitó construir la gráfica altura/tiempo desde los mismos
puntos de vista, para explorar si los estudiantes lograban representar el fenómeno
cuya gráfica debería ser la misma, independiente del punto de vista desde el cuál se
está situado para observar el fenómeno (como imagen mental). Los resultados no
variaron del mostrado en la Fig. 2, mostrando que primó - a la hora de graficar - la
imagen que se tenia del fenómeno, mostrando la dificultad asociar una gráfica
pertinente a un fenómeno cuando se requiere trabajar con variables que no están
explicitas a la vista como lo es el tiempo.
Fig.3
Desde las metáforas conceptuales reconocemos al tiempo
asociando “adelante” al futuro y “atrás” al pasado.
Metáfora que nos refiere a un eje de longitud
unidimensional (una recta) y como señala Núñez y Lakoff
Fig.4
351

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
(pp 315, 2003): “El tiempo es metafóricamente conceptualizado (por los
matemáticos) en términos de distancia”. Luego al dibujar el avance del tiempo en la
construcción de un gráfico distancia/tiempo, de la trayectoria de un móvil por
ejemplo, la representación del tiempo entra a competir en la representación mental,
con la dimensión espacial propia del desplazamiento. Dos dimensiones que refieren a
distancia, no pueden ocupar el mismo eje. Podemos reconocer esto en la Fig. 3 que
muestra el dibujo de un estudiante de segundo año de enseñanza media, sin estudios
formales de graficación, al pedirle que dibuje o grafique la trayectoria a través del
tiempo de la caída de una pelota de un tercer piso.
Por otra parte una primera revisión histórica en el manejo de gráficas por
matemáticos muestra un salto con Oresme. A pesar de que la construcción de
gráficas incorporaba situaciones dinámicas con el tiempo implícito, como lo muestra
la construcción de parte de Arquímedes, en su espiral que construye como el lugar
Geométrico de un punto en el plano, que partiendo del extremo de una semirrecta se
mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira a su vez
uniformemente alrededor de su extremo (Fig. 5). La construcción de la figura
muestra la utilización de movimientos temporales implícitos (desplazamiento de la
recta y el punto), pero la gráfica que se analiza es estática, pues es la traza de la
352
trayectoria, sin explicitación del tiempo. Refleja la trayectoria
ya completada, es decir posterior al movimiento de la recta y el
punto.
En la Europa medieval nos encontramos con una profunda
discusión sobre la cuantificación de las formas variables, y en
esta discusión probablemente antes del año 1361, Oresme (Fig.
6) plantea una pregunta brillante: “Por que no hacer un dibujo
de la manera en que las cosas varían” (Boyer, 1969), logrando un adelanto sustancial
en la construcción de gráficas.
Fig.6
Fig.5
“Todo lo que varia, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una
cantidad continua representada por un segmento rectilíneo”
Aquí vemos desde luego una primera sugerencia de lo que hoy
conocemos como la gráfica de funciones. Este avance tardó en imponerse. En el año
1537 publica la Nova Ciencia el matemático Nicolo
Tartaglia, en la que introduce la balística y trata sobre el
análisis de la trayectoria del cañón. Este texto solo presenta
gráficas como las de la figura 7 que muestra la trayectoria de
la bala de cañón en un gráfico distancia/distancia, mostrando
las dificultades que hubo para comenzar a utilizar el tiempo
como variable explicita. Las gráfica de la figura 7 hoy la
vemos refrendada en los resultados de la exploración descrita anteriormente y que
mostramos en la figura 8.
La gráfica de la figura 4 muestra la persistencia de la imagen visual a la hora de
graficar el fenómeno del movimiento pendular, graficando el movimiento descrito por
el péndulo en que - al igual que la bala de cañón de Tartaglia - se muestra su
trayectoria dejando el tiempo implícito. Usando el eje x para representar el
Fig.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
desplazamiento lateral del péndulo y no el desplazamiento del tiempo, como lo
propone Oresme, más fuertemente como se maneja en un primer curso de cálculo,
mostrando en definitiva más cercanía epistémica con
Tartaglia que con la usada en el cálculo diferencial y
que encuentra su origen en Oresme.
Sumamos a lo anterior el hecho que nuestro estudio de
funciones en la escuela se basó más en la definición de
Bourbaky de una función como pares de puntos -
programa de aritmetización iniciado por Dedekind y
Fig. 8
Weierstrass - escondiendo en el trabajo de pares
ordenados y funciones que van de puntos a puntos, el
movimiento y el espacio. Este reemplazó al paradigma geométrico y que posibilitó a
Newton y Leibniz la construcción del cálculo de variaciones (Lakoff y Núñez 2002)
permitiendo trabajar con la intuición geométrica. Este paradigma geométrico concibe
a una curva con las siguientes propiedades (Pierpont, 1899, p.397). :
− Puede ser generada por el movimiento de un punto
− Es continua
− Tiene una tangente
− Tiene longitud
− Cuando es cerrada, forma una región completamente acotada
− Esta región tiene área
− La curva no es una superficie
− Está formada por la intersección de dos superficies
A modo de cierre
Esta investigación en curso busca profundizar en la construcción de gráficas de
fenómenos de variación, más específicamente indagando en relación a los obstáculos
para construir, interpretar y trabajar con gráficas y esquemas que requieren al tiempo
como variable explicita. Con el propósito ulterior de aportar a la construcción de
situaciones didácticas que permitan a los estudiantes construir las herramientas de
visualización gráfica de fenómenos de variación, y reversiblemente poder hipotetizar
fenómenos desde gráficas, así como articular estos modos de representación con otros
registros de representación semiótica matemática. Las evidencias recogidas en esta
primera fase del estudio muestran obstáculos para elaborar gráficas de fenómenos
tiempo/distancia por el estudiantado: epistemológicos (deriva de Oresme a Descartes,
pasando por Tartaglia), cognitivo-culturales (el tiempo sustentado sobre una metáfora
espacial compite con el desplazamiento a la hora de graficarlos juntos) y didácticos
(opción curricular que reemplaza el paradigma geométrico de Newton y Liebnitz por
el aritmético de Dedekind’s y Weierstrass’s).
Bibliografía
Avila J., Carrasco E. (2001): Dificultades en la interpretación de Graficas. Ponencia presentada a la
XVI Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. La Habana, Cuba.
Boyer Carl B. (1999): Historia de la Matemática. Alianza Editorial. Madrid, España.
353

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Cantoral, R. y Farfán, R. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis. Revista
Epsilon, Núm. 42. España.
Candela, A. (1999) Ciencia en el aula. México: Paidós Educador.
Cantoral, R. (1997). Matemática Educativa. Serie Antologías, N° 1, Área de Educación Superior.
Departamento de Matemática Educativa. Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN,
México.
Cordero, F. (2001). La distinción entre construcciones del cálculo. Una epistemología a través de la
actividad humana. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Relime
Vol. 4. Num. 2, pp. 103-128.
Cordero, F. (2002). Lo social en el conocimiento matemático: reconstrucción de argumentos y de
significados. En Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 16. Grupo Editorial
Iberoamérica.
Cordero, F. (2001). La incidencia de la socioepistemología en la red de investigadores en matemática
educativa. Una experiencia. Serie Antologías, N° 1, Clame, Red de Cimates, México.
Díaz, L. (2003).Impactos del cotidiano en los aprendizajes matemáticos: construyendo relaciones benéficas
entre nociones culturales y pensamientos matemáticos”. Actas XI CIAEM, Blumenao, Brasil
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Díaz, L. (2003). Las representaciones sobre la variación y su impacto en los aprendizajes de conceptos
Matemáticos. Dirección de Investigación, UMCE 2002-2003 y Proyecto Fondecyt 2003-2005.
Santiago de Chile.
Lakoff, G. Núñez, R. (2000) Where Mathematics Comes From, How the Embodied Mind Brings
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Tartaglia N.(1998): La nueva Ciencia. Colección MATHEMA, Servicios editoriales de la Facultad de
Ciencias, UNAM. México.
354

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
ESTABILIDAD Y CAMBIO DE CONCEPCIONES ALTERNATIVAS ACERCA
DEL ANÁLISIS DE FUNCIONES EN SITUACIÓN ESCOLAR
Crisólogo Dolores; María del Socorro Valero
CICATA – Instituto Politécnico Nacional – México
paraklet@prodigy.net.mx
Resumen
El presente trabajo se inscribe dentro de la línea de investigación denominada Pensamiento y Lenguaje
Variacional, trazada por el Dr. Cantoral. Esta línea de investigación estudia la articulación entre la
investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio. El
contexto general en el que se ubica el presente trabajo es el programa de investigación desarrollado por
el Dr. Crisólogo Dolores cuyo objetivo principal se centra en el estudio de los procesos de desarrollo
del pensamiento y lenguaje variacional en condiciones escolares (Dolores, 1996). En particular
nuestro interés se enfoca en el estudio de la estabilidad y cambio de las concepciones alternativas
relativas al análisis del comportamiento de funciones a través de sus gráficas, pues existen evidencias
de que esas interpretaciones primarias se arraigan en la mente de los estudiantes e interfieren en el
desarrollo del pensamiento variacional. De hecho, asumimos que parte importante del desarrollo de
esta forma de pensamiento consiste en el dominio de los procesos de franqueo o superación de esas
concepciones alternativas.
Introducción
Dolores (2002) destaca la importancia del análisis de funciones dentro de la
matemática de la escuela media y superior, estableciendo que es justamente en este
análisis en donde se sintetiza el objetivo primordial de la matemática de las variables
que se estudia en los niveles medio y superior. Los conceptos, relaciones y
procedimientos relativos a las funciones, a sus límites, su continuidad y sus derivadas,
fueron creados para poder analizar el comportamiento de las funciones. No tiene
sentido poder sólo calcular límites de funciones, poder determinar su continuidad o
poder calcular derivadas, si no se es capaz de integrar y utilizar (o aplicar, como lo
dicen los programas) estas herramientas para analizar el comportamiento de las
funciones que modelan situaciones de variación y cambio. Como las funciones
modelan procesos de cambio, es necesario para el estudio de esos procesos, indagar si
crecen o decrecen, cómo y cuánto crecen o decrecen, qué tan rápido lo hacen, cuáles
son sus puntos máximos o mínimos, si es que los tienen, etc. Históricamente el
problema de la determinación de los máximos y mínimos de las funciones fue el
principal motivo que dio origen a la creación del calculus. Lo anterior permite
evidenciar la necesidad de investigar la estabilidad o cambio de las concepciones
alternativas acerca del análisis de funciones bajo condiciones determinadas de
enseñanza.
Problemática y objetivo de la investigación
Los programas de matemáticas de la educación media y superior, principalmente para
quienes estudiarán ciencias, ingeniería o contabilidad, prevén el que los estudiantes
puedan analizar funciones incluso usando los criterios asociados a la derivada. Una de
las habilidades necesarias para tal fin es poder leer o interpretar el comportamiento
de funciones a través de sus gráficas usando, además, el lenguaje analítico o verbal.
Sin duda que la interpretación de las gráficas pasa necesariamente por su
355

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
visualización, aunque muchos estudiantes son renuentes a aceptarla (Einsemberg &
Dreyfus, 1991). En la práctica escolar los profesores de matemáticas utilizan gráficas
cartesianas o las representaciones figurales para la enseñanza de las funciones y el
análisis de su comportamiento. Pero hay evidencias de que existen muchas
concepciones que se generan en la mente de los estudiantes que son inaceptables
para la matemática. Varias investigaciones han reportado que los estudiantes no
pueden usar las gráficas para comunicar o extraer información (Wainer, 1992), y que
otros no pueden aplicar lo aprendido sobre gráficas en las clases de matemática a la
física o a otras materias (Mc Dermot / Rosenquist / Van Zee 1987). Cantidades
mayoritarias de estudiantes, aún después de haber cursado Cálculo Diferencial, no
relaciona a la derivada con la velocidad en un t0 determinado, en cambio la asocian
con la ordenada s(t0) (Dolores, 1998). Esta concepción ha sido encontrada cuando los
estudiantes relacionan (a partir de gráficas) la derivada de una función y la función
primitiva (Dolores/ Guerrero / Medina, 2001).
En los profesores de cálculo del bachillerato también se encontró una gran variedad
de concepciones alternativas, además de las concepciones aceptables, cuando hacen
lecturas sobre el comportamiento de funciones a través de sus gráficas (Dolores /
Guerrero, 2002). Una cantidad significativa asocia la condición: f(x+h)−f(x) = 0, con
f continua y h >0 preferentemente pequeño, con los puntos de corte de la gráfica con
el eje de las x, es decir con las x donde f(x) = 0; análogamente existe tendencia a
asociar la condición: f(x+h)−f(x)>0, con la región donde la gráfica de la función está
por arriba del eje de las x, región donde se cumple que f(x)>0, y f(x+h)−f(x)

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Elementos teóricos básicos
Referente fundamental en nuestra investigación es el trabajo de Pozo (2000) relativo
al origen de las concepciones alternativas respecto de los fenómenos científicos. Pozo
afirma que, las concepciones espontáneas tienen su origen en la actividad cotidiana
de las personas. Surgen en la interacción espontánea con el entorno cotidiano y
sirven, ante todo, para predecir la conducta de ese entorno. Están además
determinadas en cuanto a su contenido por las limitaciones en la capacidad de
procesamiento en los humanos. Como consecuencia de su origen en la actividad
espontánea y de su organización en teorías, estos conceptos resultan muy resistentes
al cambio, ya que persisten incluso tras una larga instrucción científica. Se ha
comprobado que no se abandonan por simple exposición a los conceptos científicos
correctos. Ello ha obligado a desarrollar modelos de cambio conceptual en los que,
mediante estrategias didácticas diseñadas con ese fin, se intentan trocar los conceptos
espontáneos y erróneos (concepciones alternativas, de acuerdo a Confrey (1990),
(Mevarech & Kramarsky, (1997)) en conceptos científicamente correctos.
De acuerdo a Pozo el cambio conceptual se produce en las condiciones siguientes:
a) El aprendizaje de conceptos científicos no consiste sólo en reemplazar unas
ideas cualesquiera por otras científicamente aceptadas, sino que en el
aprendizaje existe una cierta conexión genética entre la teoría espontánea del
alumno y la teoría científica que se le pretende transmitir.
b) Para que el alumno pueda comprender la superioridad de la nueva teoría, es
preciso enfrentarle a situaciones conflictivas que supongan un reto para sus
ideas. En otras palabras, el alumno ha de darse cuenta de que su teoría previa
es errónea en ciertas situaciones, en las que conduce a predicciones que no se
cumplen.
c) A partir de lo anterior, puede deducirse que la toma de conciencia por parte
del alumno es un paso indispensable para el cambio conceptual. Los
conceptos espontáneos de los alumnos suelen ser implícitos. Un primer paso
para su modificación será hacerlos explícitos mediante su aplicación a
problemas concretos.
Por otra parte, nuestra postura respecto del planteamiento de las situaciones
conflictivas que permitan explicitar las concepciones alternativas de naturaleza
implícita la adoptamos de acuerdo al trabajo de Majmutov (1983) dentro de la
enseñanza problémica para quien el desarrollo es lucha de contrarios. Esta ley de
desarrollo mediante la superación de las contradicciones, se refleja en el
conocimiento, que se caracteriza también por sus contradicciones específicas. En la
enseñanza problémica se plantea que la contradicción entre las tareas señaladas por el
curso de la enseñanza y las fuerzas cognitivas que tienen los alumnos, llega a
convertirse en la fuerza motriz de su aprendizaje solo cuando se cumple:
a) Que los alumnos comprendan las dificultades y la necesidad de superarlas.
b) Que las dificultades se correspondan con las posibilidades cognitivas de los
alumnos
c) Que las contradicciones estén condicionadas y preparadas por el curso del
proceso docente y su lógica.
357

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
d) Que se separe del campo visual del alumno en la primera etapa de estudio del
material nuevo, todo lo que pueda distraer la búsqueda de la solución de la
tarea cognitiva.
e) Que una condición decisiva para la formación de la contradicción, es que
adquiere un carácter interno y pasa a ser una contradicción en la conciencia
del propio escolar, en su conciencia en general y se interpreta como una
dificultad.
El otro elemento teórico, fundamental en nuestro proyecto es el trabajo de Ferrari
& Elik (2003) relacionado con el cambio conceptual intencional. De acuerdo a estos
autores, una persona, no es solo parte de su cultura en el macro nivel sino que es
también parte de la dinámica de las relaciones alrededor de ella en el micro nivel, en
donde las emociones son significantes para el cambio conceptual intencional y éste
puede ser logrado cuando los sentimientos son tan extremos que rompen los patrones
o estructuras existentes.
Ferrari & Elik sugieren que el cambio conceptual intencional involucra el intento
deliberado de una persona por un cambio radical de un sistema conceptual a otro
porque son seducidos por el poder de ese nuevo sistema conceptual, o porque
perciben algún defecto profundo en su visión actual. Desde su perspectiva, bajo
condiciones del mundo real los nuevos y viejos conceptos son influenciados por los
moderadores y mediadores del cambio conceptual. Los mediadores estructuran el
enfoque completo que alguien posee de un concepto en particular; los moderadores
determinan que tan fácil o difícil el individuo intentará cambiar los conceptos
existentes.
358

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Metodología
La investigación se planificó para ser desarrollada siguiendo el esquema
metodológico siguiente:
Diagnóstico. El diagnóstico consistió en el diseño de tres cuestionarios y su
aplicación a los estudiantes que participaron en la experiencia con el fin de explorar
sus concepciones alternativas. El diseño del cuestionario se hizo con la idea de
explorar las concepciones que acerca del comportamiento variacional de funciones
elementales tienen los estudiantes, mediante la conversión y tratamiento de diferentes
sistemas semióticos de representación, a saber, gráfico, verbal y analítico. Estas
exploraciones fueron realizadas justo antes de iniciar con la preparación de las
condiciones de nivel de partida de los estudiantes; se trató de conocer sus
concepciones previas libres de las posibles influencias que se pudieran ejercer con el
curso que se trabajó en un plan experimental. Los cuestionamientos incluidos en este
instrumento exploratorio consistieron en la determinación de las zonas o intervalos de
crecimiento, decrecimiento, estabilización y la coordinación de propiedades
simultáneas tanto de ubicación en el plano como de comportamiento.
Formación de las condiciones de partida del curso. En esta etapa el interés estuvo
dirigido hacia el estudio del concepto de variable, dominio, rango, y graficación de
puntos sobre el plano cartesiano.
Diseño de situaciones didácticas. Para el diseño de situaciones didácticas se buscó
crear un ambiente gráfico de tal suerte que los estudiantes pudieran adquirir la
habilidad de analizar gráficas de funciones. Para ello, el diseño de las situaciones
didácticas se llevó a cabo bajo los siguientes criterios:
• Que los estudiantes utilizaran el registro gráfico y verbal
• Que posibilitaran la transición del ambiente gráfico al verbal y viceversa
• Que plantearan contradicciones entre sus concepciones previas y las
concepciones aceptables
• Que generaran condiciones para poder trascender sus concepciones
alternativas
359

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Puesta en escena de las situaciones didácticas. La puesta en escena de las situaciones
didácticas se llevó a cabo durante la impartición del curso de Matemáticas I, Cálculo
Diferencial e Integral a estudiantes de primer semestre de la carrera de Licenciado en
Matemáticas de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de
Guerrero. El curso fue estructurado siguiendo un enfoque variacional, considerando
al estudio de la variación como una especie de eje rector del que se desprende el
contenido matemático a tratar. No se trata de enseñar la derivada porque es un
concepto matemático interesante sino porque resuelve muchos problemas de la
variación (Dolores, 2000). Bajo estas consideraciones, el contenido matemático no se
ciñe necesariamente a la estructura lógico-formal del Análisis Matemático, más bien
se trata de una introducción intuitiva e informal que tiene como punto de partida las
necesidades de la práctica. Siguiendo la línea indicada por Wenzelburger E. 1993,
tres nociones físicas son las fundamentalmente tratadas: la variación, la rapidez
promedio de la variación y la rapidez instantánea de la variación. De aquí que el
curso se estructuró en tres fases: la fase preparatoria, la fase de formación del
concepto, la fase de ampliación y la fase de fijación. En la fase preparatoria se
pretendió crear las condiciones mínimas del nivel de partida para acceder al proceso
de formación del concepto en cuestión. En esta fase se parte de la modelación de
problemas sencillos de la física de donde se abstraen las nociones de variable y
función, de éstas se estudian sus propiedades básicas y se resuelven problemas. En la
segunda fase la formación del concepto se inició a través la rapidez de la variación,
particularmente de la velocidad y aceleración promedio. Después se arribó a la
rapidez instantánea mediante un acercamiento intuitivo al límite y mediante la
utilización de los infinitesimales. En la tercera fase se amplió la extensión del
concepto a funciones que no necesariamente dependen del tiempo introduciendo la
definición de derivada, se introdujo la noción de función derivada, se dedujeron (por
medio de los diferenciales) y utilizaron las fórmulas y reglas básicas de derivación,
pero sobre todo en esta etapa se resolvieron problemas tendientes a la fijación del
concepto. En la cuarta fase se incluyó una etapa de formalización en donde se abordó
la demostración de algunos teoremas del cálculo.
Las formas metodológicas básicas de organización de la enseñanza mas utilizadas en
el curso fueron los métodos de elaboración conjunta, los de dirección del trabajo
independiente y algunos métodos expositivos. El trabajo docente se organizó en
clases prácticas, clases de repaso y las clases de control o evaluación. Las clases
prácticas fueron destinadas a la resolución conjunta de los ejercicios y problemas más
representativos planteados en el cuaderno de trabajo Una Introducción a la Derivada
a Través de la Variación y el esclarecimiento de dudas sobre las tareas asignadas para
realizar en casa. Dado que se pretendía desarrollar habilidades en los estudiantes, el
trabajo con la resolución de ejercicios y problemas ocupó alrededor de las tres cuartas
partes del tiempo destinado al curso, inclusive las tareas extraclase fueron
sistemáticamente revisadas y evaluadas con el objetivo de contribuir a la calificación
de los estudiantes y así estimular su realización. En las clases de control o evaluación
se aplicaron cuestionarios de control o de sistematización y los exámenes fueron
elaborados con fines investigativos. Las actividades realizadas trataron acerca de:
360

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
• El signo de las funciones f(x)
• El comportamiento de la función f(x), su crecimiento, su decrecimiento y su
estabilización
• Trabajo simultáneo sobre los dos puntos anteriores para intentar coordinar el
trabajo sobre la ubicación y el comportamiento de una f(x) dada
Las actividades que comprendieron las situaciones didácticas consideraron que el
trabajo de los estudiantes incluyera tres fases: observación de gráficas, elaboración de
gráficas y ejercicios de generalización.
Análisis de los resultados y análisis comparativo pre – post. La población con la que
se desarrolló el proyecto fueron inicialmente 30 estudiantes. A estos 30 estudiantes se
les aplicó el Pre – Test el primer día de clases, 1º de Septiembre del 2002 de lo que
fue su curso de Cálculo Diferencial e Integral. El Pre – Test estuvo constituido por 3
cuestionarios. Meses después, el 13 de Enero del 2003, aproximándose el cierre del
curso, cuando ya solo quedaban 23 estudiantes de los 30 iniciales, se volvieron a
aplicar los mismos instrumentos exploratorios en lo que constituiría el Post – Test.
Las entrevistas se aplicaron los días 17, 18 y 19 del mismo mes. El día 17 se
entrevistaron a los primeros 7 estudiantes, el día 18 a los siguientes 8 y el día 19 a los
últimos 8. Como era de suponer, para cuando se entrevistaron a los estudiantes los
días 18 y 19, toda la información de las entrevistas ya había sido comentada por los
estudiantes entrevistados el primer día, de manera que estas 16 entrevistas no fueron
de utilidad para nuestra investigación pues estos quince estudiantes manifestaron una
fuerte contaminación de las ideas de los primeramente entrevistados. Por lo anterior,
solo desarrollamos 7 análisis longitudinales, mismos que incluyen los resultados del
Pre – Test, la entrevista y el Post – Test de 7 estudiantes. En cada uno de estos 7
análisis, se hace un minucioso seguimiento de la evolución de las ideas de los
estudiantes intentando identificar la permanencia o cambios de las concepciones que
inicialmente manifestaron estos estudiantes respecto del análisis de funciones.
Posterior a los análisis longitudinales, se desarrollará un análisis global. Finalmente,
estableceremos una discusión teórica sobre los resultados obtenidos, en la búsqueda
de explicaciones generales acerca de los cambios conceptuales que se hubieran
presentado en los estudiantes.
Bibliografía
Cantoral R. y Farfán R. (2000). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis.
Contenido en El futuro del Cálculo Infinitesimal, ICME-8; Sevilla, España. Grupo Editorial
Ibero América, pp. 69-91
Dolores, C. (1999). Una introducción a la derivada a través de la variación. Grupo Editorial
Iberoamericana. México D. F. pp. 54-61
Dolores, C. y Guerrero L. A. (2002). Concepciones alternativas que, referentes al
comportamiento variacional de funciones, manifiestan profesores de bachillerato. Artículo
aceptado para la RELME 16, a celebrarse en la Habana, Cuba, en Julio del 2002.
Dolores, C. (2002). Concepciones alternativas que afloran en los estudiantes, cuando analizan el
comportamiento de funciones a través de sus gráficas. En prensa
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Pintrich. P, Intentional conceptual change, Mahwah, NJ: LEA.
Majmutov M. I. (1983); La enseñanza problémica; Pueblo y Educación; La Habana Cuba
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361

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
362
VÍNCULOS CONCEPTUALES DISCRETOS Y CONTINUOS DEL CÁLCULO
EN LA INGENIERÍA DE CONTROL
Carlos Rondero y Martín Sauza
U. Autónoma del Estado de Hidalgo, U. Tecnológica de Tula Tepeji.México
rondero@uaeh.reduaeh.mx
Resumen
Este trabajo de investigación pretende hacer un estudio preliminar de la dualidad discreto-continuo con
profesores de matemáticas y física, específicamente aquellos que imparten estas materias en ingeniería.
El Marco Teórico que sustenta este trabajo de investigación documental es el constructivismo de
Piaget y la Matemática en Contexto que tiene su origen en el mismo constructivismo. En el trabajo de
investigación se hacen varias referencias sobre la matemática en contexto con la ingeniería, sobre la
matemática y la dualidad en el estudio de lo discreto y lo continuo dentro de la Ingeniería de Control.
La madurez que debe de tener el cálculo en este trabajo de investigación es de que los alumnos
distingan entre el diferencial como una variable continua y del tipo analógico entre el incremento como
un intervalo definido y una variable discreta que da origen a las señales digitales. Hacer notar las
herramientas matemáticas entre una y otra, así como mostrar la importancia de transitar o transformar
(convertir) un tipo de señal a otra.
Introducción
El cambio que se está viviendo entre el mundo analógico y digital es importante
debido a que la tecnología ha evolucionado, y pone mucha atención en la transición
de la dualidad discreto-continuo, y la conversión de analógico a digital, dicha
transición no ha pasado desapercibida, tanto que hasta nuestros días todavía no
logramos tener una noción clara de esta dualidad y de la importancia de tener bien
claros los conceptos, por esta razón creemos relevante y de gran importancia
evidenciar esta falta de contexto del mundo real a través de las matemáticas en la
ingeniería de control. El trabajo de investigación está sustentado por el aprendizaje
significativo y la matemática en contexto, los cuales parten de un conocimiento que
ya se tiene; sólo sé recontextualiza o se construye sobre la base de un nuevo
conocimiento.
El propósito de este trabajo de investigación es mostrar la importancia que tienen las
matemáticas discretas en la teoría de control; el modelar sistemas físicos que tienen
como soporte un buen entendimiento de las herramientas matemáticas; así como
contextualizar la matemática en la Ingeniería de Control, en la dualidad discretocontinuo.
El trabajo de investigación trata de evidenciar los vínculos conceptuales
entre el cálculo y la ingeniería de control, todo ello con el objetivo de incidir en el
discurso matemático escolar.
La metodología utilizada es referente a la matemática en contexto con el enfoque en
ingeniería de control; las evidencias muestran que en la enseñanza del cálculo se ha
privilegiado el estudio de lo continuo, y la parte discreta se estudia en el momento en
que se están abordando problemas de aplicación, motivo por el cual no existe un
antecedente de matemáticas en sistemas digitales.
Es importante hacer énfasis que este trabajo de investigación pretende hacer un
estudio preliminar de la dualidad discreto-continuo con profesores de matemáticas y
física, específicamente aquellos que imparten estas materias en ingeniería.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
La madurez que debe de tener el cálculo en este trabajo de investigación, es que los
alumnos distingan entre el diferencial como una variable continua y del tipo
analógico, entre el incremento como un intervalo definido y una variable discreta que
da origen a las señales digitales; hacer notar las herramientas matemáticas de la
dualidad discreto-continuo, así como mostrar la importancia de transitar o transformar
(convertir) un tipo de señal a otra.
Génesis del problema de investigación
La visión que se tiene de discreto y continuo, se presenta enseguida, con la intención
de ubicarnos dentro del problema de investigación, a través de dos enfoques: uno
ilustra la idea que se tiene desde el punto de vista de la Física y el otro de las
Matemáticas, concernientes al Cálculo.
En matemáticas lo discreto es el incremento de una función, es una diferencia finita
dentro del cálculo diferencial, por lo tanto se ve como la parte discreta. La diferencial,
es una diferencia infinitamente pequeña, esto es lo continuo dentro del Cálculo,
Rondero (1999).
Desde el punto de vista variación y medición; si vemos que la variación es como tal
un cambio y está en función del tiempo, ésta es la parte continua, y si nosotros
queremos medir esa variación; lo que hacemos es tomar un intervalo y hacerlo finito
para ciertos valores del tiempo, de tal forma que la medida es la parte discreta, así
entiéndase, discreto como la medición y lo continuo la variación. Dolores C. (1989).
Discreto – Continuo en el Cálculo Diferencial e Integral.
Es importante destacar la importancia que la dualidad discreto-continuo tiene en el
cálculo diferencial integral, para esto iniciaremos con un artículo que publica
Rondero en una antología (1) sobre la visión Discreto-Continuo.
Con mucha frecuencia, es posible encontrar en la enseñanza de las matemáticas,
conceptos que presentan una naturaleza múltiple. Por ejemplo, en las clases de
cálculo podemos usar dos expresiones bien conocidas:
∆x y dx
Para una misma idea.
Claramente no son el mismo concepto, pues uno se usa cuando se quiere representar
incrementos finitos y el otro, si se nos permite, para incrementos infinitamente
pequeños. Sin embargo tienen algo en común, ambos son el resultado de la
operación “diferencia”; en un caso se trata de una resta finita y en el otro una resta
infinita.
Baste recordar la descripción del programa leibniziano del diferencial. Para Leibniz,
las diferenciales son diferencias infinitamente pequeñas entre valores sucesivos de
una variable, en tanto L’Hopital, no considera a las variables como recorriendo una
sucesión de valores infinitamente próximos, sino como creciendo o decreciendo de
manera continua y así la diferencial (o diferencias como él les llamó), son las partes
infinitamente pequeñas o en que aumentan o disminuyen dichas variables.
363

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Resulta interesante ver como en cálculo se tiene la idea de discreto, como
incrementos, ya que el incremento es un intervalo definido (finito). La parte de la
diferencial es vista, si hacemos la analogía con el control analógico, tiene que ver con
continuo en el tiempo; en el cálculo es visto como una diferencia infinitamente
pequeña.
Visión Discreto–Continuo dentro de la Física
De acuerdo con Dolores C. (1989)
Desde el punto de vista etimológico, el término variación contiene el prefijo vari, este
elemento prefijal forma parte de las palabras con significado de vara, este término a
su vez, es indicativo de medición. Una vara es una medida de longitud equivalente a
853.9 mm. De acuerdo con el Diccionario General Ilustrado de la Lengua Española
el término variación indica: acción y efecto de variar, este último término proviene
del latín variare y significa hacer que una cosa sea diferente de lo que antes era, el
término implica dar variedad o cambiar una cosa de forma, de propiedad o de
estado. El término variación está pues, asociado a la medición y al cambio.
La medición es un procedimiento creado por el hombre para estudiar y entender la
realidad, el cambio por otro lado, es el componente básico del movimiento. El
movimiento es una modalidad o propiedad inherente de la materia y no existe sin
ella, el movimiento comprende todos los cambios que se operan en el universo, desde
un simple desplazamiento del lugar hasta el del pensamiento. La materia y sus
manifestaciones son parte consustancial de la realidad y ésta es siempre cambiante.
En un sentido genérico la medición es un proceso de relación conscientemente
dirigido por el hombre hacia su realidad, desde el punto de vista físico, consiste en
encontrar la razón de la magnitud que se mide con la de alguna unidad.
El problema de la medición jugó un papel importante en el desarrollo de la
matemática, pues propició la interconexión entre la aritmética y la geometría, entre
lo discreto y lo continuo, entre el número y la magnitud. Las magnitudes son
caracterizadas, como las abstracciones representadas geométricamente de las cosas
medibles continuas. El número, por otro lado, esta asociado a la cantidad de veces
que cabe la unidad de medida en lo que se mide, aquí se entrecruzan dos de los
elementos constrastantes abstraídos de la realidad: lo discreto y lo continuo. Para
cuantificar lo discreto conmensurable basta con los números enteros, lo segundo
históricamente estuvo relacionado con la divisibilidad de la materia y sus
implicaciones en la matemática dieron lugar a la creación de los números
racionales, los infinitesimales y los números reales. Lo discreto es característico de
algunos objetos de la realidad que son indivisibles en el sentido, que cuando se
dividen dejan de ser lo que eran (medio de hombre, dos tercios de manzana, etc.), por
otro lado, los objetos continuos y homogéneos son susceptibles de ser divididos
ilimitadamente y agrupados sin perder su carácter esencial. De estos últimos objetos
se pueden abstraer sus longitudes, áreas, volúmenes o relacionarlos con el tiempo en
ciertos fenómenos, estas magnitudes como representan alguna característica de
objetos o fenómenos continuos son también continuos.
364

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Las analogías anteriores nos dan una idea más clara del estado del arte de la dualidad
discreto-continuo en matemáticas y en física, sin duda puntos de partida claves para
nuestro problema de investigación.
Para la enseñanza de las Matemáticas a nivel licenciatura se requiere de un buen
entendimiento de los conceptos Matemáticos. El Modelado de Sistemas Físicos en
realidad depende de si el estudiante tiene bien claro estos conceptos para
posteriormente darle una aplicación a la Ingeniería. En el nivel medio y superior, las
aplicaciones quedan en el aire, porque muchos profesores en clases no estudian los
problemas que necesitan de un buen razonamiento Matemático, y simplemente le
dan la vuelta al problema; es aquí donde es importante crear un Vínculo Conceptual
entre las Matemáticas y la Ingeniería, que permitan visualizar más los problemas de
aplicación.
Es interesante cómo el alumno se percata, qué tanto carece de herramientas
Matemáticas, y que sin éstas, hace de lado una parte muy importante de su
formación como Ingeniero, debido a que es en las Ingenierías donde comúnmente se
presenta este problema y donde se requiere un puente entre las Matemáticas y la
Ingeniería; si los Ingenieros no tienen buenas bases matemáticas, no les permite ser
eficientes y no desarrollan la Ingeniería conforme a las necesidades de su profesión.
Es aquí donde vemos la necesidad de darle un significado al cálculo en la teoría de
control, por estas razones considero que las curriculas a nivel licenciatura no están
cubriendo las expectativas, para dar origen a la significación de la dualidad discretocontinuo,
(debemos aportar ideas y diseñar actividades de aprendizaje que
favorezcan la construcción de estos conceptos).
Se observa que en la Ingeniería Electrónica existe poco vínculo con las matemáticas
que se aplican en la Ingeniería; este es un problema considerable en la Ingeniería de
Control que ha privilegiado mucho la parte continua del Cálculo y se ha dejado a un
lado la parte discreta. La Ingeniería Electrónica tiene problemas en su curricula,
porque la mayoría de los alumnos no tienen como prerrequisito la parte discreta de las
matemáticas y a nivel Ingeniería los profesores que imparten las materias de Control
Analógico y Control Digital, tienen que ir a la par con aplicaciones y al mismo
tiempo estudiando la parte discreta, por lo que en la enseñanza del Cálculo se tiene
que incorporar a la discretización de funciones.
Al comenzar los alumnos a graficar funciones (lo hacen tabulando), posteriormente
localizan los puntos en el plano cartesiano (unen los puntos para hacer una gráfica del
tipo discreta, pero es aquí donde los profesores no hacen énfasis en que sé esta
enseñando el elemento discreto), y lo pasan desapercibido, situación anómala por ser
un acercamiento importante con el elemento en estudio.
Conclusiones
Los estudiantes tienen problemas de álgebra y en general falta de interés e iniciativa
para poder estudiar estos temas, ya que en su mayoría creen que es solo práctica, pero
olvidamos la parte del significado, el vínculo que se tiene que dar entre las
matemáticas y la ingeniería; se debe al contexto mismo de las matemáticas en las
ingenierías.
365

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Es importante mencionar que los vínculos conceptuales que se plantean en el
problema de investigación están latentes durante todo el desarrollo de este trabajo de
investigación los cuales los podemos clasificar de la siguiente manera:
366
Diferencial - Función Continua – Señal Analógica.
Incremento - Función Discreta – Señal digital.
La matemática está aislada de la aplicación; es decir cuando se ve matemáticas no se
ven aplicaciones, porque resulta ser muy frecuente que el profesor que da
matemáticas en ingeniería es matemático puro y el profesor que da las aplicaciones
delega la responsabilidad al de matemáticas, dando por hecho ambas partes que su
conocimiento está dado. Cabe mencionar que pareciera ser que las matemáticas están
desvinculadas con las aplicaciones, y aquí es donde se da la parte fuerte del
aprendizaje significativo; la matemática en contexto y los vínculos conceptuales que
no se han identificado, pero es evidente que están latentes en este trabajo de
investigación.
Como pudimos ver en los conceptos estudiados anteriormente; es muy importante que
en las escuelas a nivel medio y superior, aborden conceptos que involucren la parte
discreta de las matemáticas, como series de Fourier, transformadas de series de
Fourier y transformada Z, por mencionar algunas. Es importante mencionar que los
programas de estudio no los consideran y si se llegan a considerar en la mayoría de
los casos el tiempo es clave para que no se concluyan estos temas de interés. Es obvio
que hasta este momento sólo se ha privilegiado a la parte continua en estudio, y como
hemos visto hay evidencias de acercamientos tan importantes al mundo discreto como
se pudo ver a la hora de que los alumnos tabulan una función. Es importante hacer
notar a los alumnos que están discretizando una función.
Los problemas tan graves que generan la falta de contexto, se refleja en la ingeniería
de control, específicamente en la parte discreta y continua, sino se tienen las bases y
las herramientas necesarias para abordar problemas que tengan que ver con señales
analógicas y digitales; los estudiantes difícilmente darán solución a los problemas con
los cuales se están enfrentando. Es importante resaltar también la importancia que
tiene la conversión de señales; es decir de digital-analógico y analógico-digital, que
posteriormente son base para contextualizar y poder modelar sistemas, tanto en el
mundo analógico como en el mundo digital.
En el análisis de libros de texto pudimos observar que en lo que se refiere a los libros
de matemáticas estos abordan los temas de forma tradicional; es decir dan
demostraciones de los teoremas, y resuelven ejercicios que sólo favorecen a la parte
algorítmica; carecen de ejercicios que hagan al alumno contextualizar la matemática,
es decir que le vean la aplicación. En los libros de ingeniería que se analizaron
pudimos observar que algunos dedican un tema de repaso para algunos conceptos de
matemáticas, también pudimos notar algunos temas que aplican las matemáticas y
dan evidencia de que son herramientas poderosas para el estudio de la ingeniería de
control, refiriéndonos en forma general al análisis de circuitos, analógicos y digitales.
Los temas expuestos en los libros de texto se enfocan más a las ecuaciones
diferenciales y la transformada de Laplace, así como la transformada Z, ya que son
bases importantes para poder contextualizar la ingeniería de control.

REPORTES DE INVESTIGACIONES EN CURSO
Se pudo observar que en la entrevista que se le hizo a un alumno de último semestre
de la carrera de ingeniería electrónica, no supo decir dónde se aplicaba la
transformada Z, lo interesante es que definió bien el concepto de función y dónde se
aplican las ecuaciones diferenciales, pero lo que no supo es dónde se aplica la
transformada Z y como ingeniero el va a manipular componentes electrónicos, cuya
base matemática para modelar sistemas electrónicos que requieren a la transformada
Z como herramienta, ésta es una evidencia clara de cómo no se ha incursionado en la
práctica docente en el cálculo discreto.
Las curriculas actuales de las ingenierías dan evidencia de que se trabaja más con el
cálculo continuo que con el cálculo discreto y lo poco que se contempla del cálculo
discreto algunas instituciones no los cubren, por falta de tiempo, motivo por el cual el
profesor titular de la materia donde se debe aplicar la matemática, a veces pierde algo
de tiempo por tratar de dar algo de matemáticas discretas que no cubrieron las
asignaturas anteriores.
Uno de los principios fundamentales del aprendizaje significativo es la parte
cognitiva del conocimiento, para que se pueda dar un contexto y un significado a los
conocimientos que ya se tienen. En el trabajo de investigación nos pudimos dar
cuenta que en matemáticas discretas, no se tiene como antecedente, series de Fourier
transformadas de series de Fourier, así como transformada Z. Como estas
herramientas no se tienen, difícilmente un alumno podrá contextualizar y dar
significado a las matemáticas en ingeniería de control.
A modo de reflexión, quisiera comentar que creo que la falta de contexto de
significado de las matemáticas en la ingeniería, en la actualidad, es un obstáculo muy
grande y uno de los motivos por los cuales se hace muy poca ingeniería aquí en
nuestro país.
Bibliografía.
Rondero C. (1995).,Ensayo sobre la dualidad discreto-continuo, de los saberes matemáticos. Casos de
transición y transposición didáctica. Tesis de Maestría. CINVESTAV-IPN, México.
Rondero C. (2000). Un estudio sobre el papel de las ideas germinales, Ponderatium y AEquilibrium,
en la construcción del saber Físico Matemático. Tesis de Doctorado CINVESTAV-IPN. México.
Camarena P. (1995). La Matemática en Contexto. Novena reunión Centroamericana del Caribe Sobre
Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, IPN. México.
Camarena P. (1999). Hacia la Integración del Conocimiento: Matemáticas e Ingeniería. Segundo
Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. ESIME-Zacatengo IPN.
México.
Piaget J. (1970), Structuralism. New York, Harpet & Row.
367

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Se comunican experiencias en matemática educativa,
informando de la intencionalidad que subyace y guía a
la experiencia, como también cual ha sido la estrategia
metodológica implementada. Además considera
elementos conceptuales y/o marco teórico que orientan
la práctica; marco contextual donde se inserta la
experiencia y su descripción; marco metodológico que
guía la sistematización. Culmina con la interpretación
del proceso o elaboración de saberes desde esa
práctica.

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
CONSTRUYENDO LA NOCIÓN DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA:
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
S. Maldonado, G. Montiel y R. Cantoral
México, Cinvestav – IPN
gmontiel@ipn.mx, rcantor@mail.cinvestav.mx
Resumen
La enseñanza contemporánea se ve modificada, considerablemente, a causa de los resultados recientes
de la investigación en matemática educativa tanto al nivel nacional como al de las diferentes regiones y
escuelas de pensamiento en el mundo de hoy; estos resultados plantean, por ejemplo, que los asuntos
del aprendizaje ligados al papel de la representación, la visualización y la utilización de tecnologías de
la información juegan un papel prioritario en el diseño de secuencias didácticas novedosas para la
escuela y la universidad. En el marco de este curso, dimos cuenta del estudio de las condiciones de
construcción social de las funciones trigonométricas y lo presentamos a la luz de propuestas didácticas
para favorecer los aprendizajes de los alumnos.
Antecedentes
Nuestro curso se apoya en el diseño de una presentación para el tratamiento de las
funciones según la propuesta del libro Funciones: visualización y pensamiento
matemático de Cantoral y Montiel, (2001). Este texto fue diseñado con base en las
investigaciones conducidas por el equipo de Educación Superior del Departamento de
Matemática Educativa del Cinvestav – IPN en México. Se compone de secuencias
didácticas sobre la noción de función desde una perspectiva en la que la visualización
juega un papel relevante, con la mediación del uso de una particular tecnología, las
calculadoras con capacidad gráfica con opciones dinámicas. Esta aproximación ha
sido trabajada en diversos programas de formación docente en nuestro país, así como
en eventos internacionales sobre enseñanza de la matemática. Para desarrollar esta
propuesta consideramos como punto de partida que previo al estudio del cálculo, se
precisa de la adquisición de un lenguaje gráfico que posibilite la transferencia de
campos conceptuales virtualmente ajenos a causa de las enseñanzas tradicionales,
estableciendo un “isomorfismo” operativo entre el álgebra básica y el estudio de las
curvas, mejor aun, entre el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico (Cantoral y
Farfán, 1998).
En nuestra opinión, el concepto de función ha sido una pieza clave en el desarrollo de
la matemática, las ciencias y la tecnología. Aunque algunos de los resultados de
investigación han llegado al nivel de propuestas didácticas, en la mayoría de las
“clases reales” se le sigue reduciendo a una mera presentación formal y se acompaña
de un tratamiento algorítmico entre los alumnos.
El proceso de transposición didáctica no es un proceso simple ni lineal, como se ha
documentado ampliamente por la teoría antropológica de la didáctica de Yves
Chevallard, y se sabe además que la participación de los profesores en tal proceso
resulta de la mayor importancia, pues serán ellos quienes al final, con sus clases
cotidianas podrán participar en el desarrollo del pensamiento matemático de sus
estudiantes. Investigaciones como (Vinner, 1983; Dreyfus y Eisenberg, 1990;
Breidenbach, et al., 1992, Dubinsky y Harel, 1992) tratan sobre el concepto de
función y reportan dificultades ligadas a su aprendizaje. La mayoría de las
371

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
aproximaciones teóricas que abordan la noción de función, han puesto la atención en
la construcción de significados a través de procesos que bien podríamos llamar
mentales. Vinner (1983) reporta por ejemplo algunas imágenes del concepto que
desarrolla el alumno, en las que domina la regularidad en sus representaciones, se
tiene también un cierto rechazo a las fórmulas y gráficas de funciones definidas por
intervalos, a las fórmulas y gráficas de funciones constantes (por la ausencia de la
variable independiente o la falta de variación en el bosquejo de la gráfica), entre
otras. En otro sentido, apropiarse del significado de la noción de función implica
formar una imagen de ella, tener estructuras cognitivas que se asocien al concepto,
incluyendo representaciones mentales, procesos y propiedades asociados, más que la
definición formal del concepto. Sin embargo, el cerebro no es una entidad puramente
lógica, la manera compleja en la que funciona está a menudo en desacuerdo con la
lógica matemática. El desarrollo de las imágenes conceptuales y de razonamiento,
como camino hacia la comprensión y el aprendizaje de las ideas matemáticas, no
puede ser coherente durante todo el tiempo pues los estímulos sensoriales excitan
ciertos caminos neuronales e inhiben otros, pudiéndose producir conflictos
congnitivos entre partes inconscientes de la imagen conceptual construida por el
sujeto (Vinner y Tall, 1981).
En (Dubinsky y Harel ed., 1992; Breidenbach, et al., 1992) se hace una extensión del
análisis piagetiano de la percepción y de la inteligencia usando el marco teórico de la
abstracción reflexiva mediante acciones, procesos, objetos y esquemas, para hablar de
la apropiación de las nociones. En términos generales, ellos reportan en lo que
respecta a la noción de función, la complejidad que implica el pasaje de la concepción
de acción a la concepción de proceso, debido a ciertas restricciones como la debida a
su concepción (restricción de manipulación, restricción de cantidades, restricción de
continuidad en la gráfica). Se refieren a una concepción de acción cuando el alumno
requiere de las instrucciones precisas, como por ejemplo del empleo de fórmula
algebraica para estar en condiciones de realizar transformaciones sobre ella, evaluar
en puntos específicos o realizar la composición de dos funciones haciendo las
sustituciones correspondientes, digámoslo así, haciendo sólo un paso a la vez. Una
concepción de proceso significa bajo este enfoque, el tener una idea más dinámica,
poder pensar a la función como algo que recibe una o más entradas y que regresa
salidas o encontrar la inversa de una función. Esta etapa requiere de las
coordinaciones de varias acciones. La concepción de objeto se logra cuando se
manipulan las funciones mediante otras acciones y procesos, por ejemplo, cuando se
derivan. Lograr la concepción de esquema involucra acciones, procesos y objetos del
concepto de función, y distingue cuales pertenecen a cada esquema.
Otra postura respecto de esta noción de función se establece en términos de la
llamada dialéctica herramienta - objeto de Régine Douady, quien reporta la
existencia de dificultades para considerar a las funciones como herramientas en el
trabajo matemático y, de forma más notoria, para traducir al contexto de funciones
aquellos problemas que han sido planteados en otros contextos matemáticos como el
numérico, geométrico, o externos a la matemática y que requieren de una traducción
para ser resueltos.
372

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
En las aproximaciones teóricas mencionadas se le confiere un estatus importante al
manejo de las diferentes representaciones del concepto de función, ya sea en
términos de imágenes del concepto, concepciones de acción, proceso, objeto y
esquema o en la dialéctica herramienta objeto. La formación del pensamiento
científico, particularmente en matemática, está íntimamente ligado al desarrollo de
simbolismos específicos para representar a los objetos y a sus relaciones, por tanto, el
progreso de los conocimientos implica la creación y el desarrollo de sistemas
semióticos nuevos y específicos (Ferrari, 2001). Por su parte, en (Duval, 1995) se
señala que no puede existir comprensión en matemáticas si no se distingue un objeto
de su representación, pero se requiere del manejo de estas representaciones para
comprender el objeto. Se busca entonces la formación, tratamiento y conversión de
los registros semióticos de representación del objeto para lograr su aprendizaje. Se
ejemplifica este proceso con un esquema de la articulación de registros semióticos
para el caso de la función cuadrática, lo que nos hace pensar que se requiere de un
sistema de representación semiótico específico de este objeto, en otras palabras, que
este sistema sería distinto de aquel que se utilice en la función lineal, o en una función
trascendente por ejemplo.
Sin embargo, las dificultades ligadas al aprendizaje del concepto de función no
pueden limitarse al manejo y articulación de sus representaciones, pues existen
también obstáculos epistemológicos inherentes al concepto mismo y no así a las
particularidades de las maneras de enseñarlo, son propios de la construcción cultural.
Para otros autores, los entendimientos relativos al concepto de función consisten de la
identificación de cambios observados a nuestro alrededor como un problema práctico
a resolver, así como el reconocimiento de regularidades en las relaciones entre
cambios como una manera de estudiarlos. Ignorarlos como condiciones necesarias
para el desarrollo de la noción de función, conllevaría enfrentar un obstáculo
epistemológico, relativo a la filosofía de la matemática, respecto a considerar que los
problemas prácticos no conciernen a esta disciplina. Esto desconocería lo sucedido en
la historia de las ideas, pues las funciones aparecieron como herramientas para
predecir y describir fenómenos de la naturaleza. Por otro lado, se considera que el
desarrollo de una fuerte creencia en el poder de las operaciones formales con
expresiones algebraicas y la creencia que sólo las relaciones que pueden expresarse
mediante una fórmula analítica son funciones constituyen otro obstáculo. En tanto
que, discriminar entre la función y las herramientas analíticas utilizadas para describir
una ley implicaría un acto de entendimiento. Además se establece que la definición es
una descripción del objeto conocido a través de los sentidos. La definición no
determina al objeto, sino el objeto a la definición. Superar este obstáculo requeriría la
capacidad de discriminar entre una definición matemática y la descripción del objeto,
es decir, hacer una síntesis de la concepción general de función como objeto. Tomar
en consideración los elementos epistemológicos de la construcción de los conceptos
nos hace pensar en cómo enfrentar la problemática del aprendizaje del concepto de
función cuando tenemos distintos tipos de funciones (algebraicas, racionales,
trascendentes, entre otras), cada una con origen en un contexto específico, con
distintas propiedades analíticas, esto es, con epistemologías propias, esto lo aborda
ampliamente la socioepistemología.
373

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Bajo este enfoque, se sabe que un concepto no se reduce a su definición, y que se
constituye en distintos contextos de representación. La articulación y vinculación de
estos contextos son necesarias para el entendimiento del concepto, pero no
suficientes. Por ejemplo, para el caso del concepto de función, el alumno debe
reconocerlo como definición, relación de conjuntos, tabla de valores, fórmula,
gráfica, representación icónica; y, vincular y transitar entre una y otra, pero además,
deberá darle una funcionalidad al concepto dentro y fuera de escenarios escolares.
Esta funcionalidad debe reconocerse en su construcción social, y por lo tanto
reproducir ciertas prácticas culturales.
Dado que el entendimiento es parte del complejo mundo del pensamiento y
comportamiento humano, hay elementos tales como la expresión, el gesto, los
movimientos, la interacción con el medio, que contribuyen al entendimiento de los
problemas y a su resolución. Quizá por ello las corrientes sicológicas se han ocupado
de los asuntos de visualización de los conceptos matemáticos, incorporando
heurísticas de aprendizaje, contextos de representación, herramientas visuales, entre
otras. En su mayoría, toman en cuenta la articulación de contextos y sus procesos
cognitivos relacionados como la visualización de los conceptos.
Este curso se enfocó al estudio de los efectos del juego de marcos, el algebraico y el
analítico en particular, en la construcción de propiedades analíticas de las funciones
trigonométricas. En el tránsito de estos marcos para las funciones trigonométricas,
buscamos localizar y analizar las propiedades asociadas a las funciones circulares o
trigonométricas, tanto al nivel del origen del conocimiento como al de la forma en
que los estudiantes pueden participar de dicho proceso.
Haciendo un estudio breve de los programas curriculares en cuanto al estudio de
función trigonométrica, observamos que para definirlas se presentan elementos
involucrados a su aplicación; tales como el triángulo, círculo trigonométrico, medida
de ángulos. El interés principal para su presentación radica en solo aprender los
términos que la definen para su uso como herramienta en la solución de problemas.
Ahora bien, consideramos de partida que la trigonometría clásica se basa en el estudio
de las propiedades de los triángulos, y de las razones trigonométricas como medios
principales para estudiar dichas propiedades; en la trigonometría analítica en cambio,
se inicia con el círculo, de modo que el círculo unitario permite dar otra definición a
las funciones trigonométricas, mediante las que se estudian sus propiedades de
naturaleza analítica. El paso de la medida de los ángulos en grados a la medida de los
ángulos en radianes plantea un escenario de interés para los estudios didácticos, en
este estudio nos interesaremos más por el tránsito que se da de las funciones
trigonométricas sobre ángulos a las funciones trigonométricas sobre reales. Este curso
desarrolló estrategias didácticas para estos fines.
En algún sentido, la limitación que introduce el tratamiento de las funciones
trigonométricas restringidas a los ángulos es matemáticamente innecesaria, y de
hecho consideramos que puede constituirse como un obstáculo didáctico para el
aprendizaje. Con frecuencia en las clases y en las aplicaciones matemáticas, se deberá
tratar con funciones trigonométricas como funciones del tiempo o de la distancia, o
simplemente como funciones de un número real. Pero debemos señalar que si bien la
diferencia entre sen(2 rad) o sen(2°) o sen(2) no tiene demasiada importancia
374

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
significativa en los textos y en las clases de matemáticas, si creemos que plantea una
dificultad mayor al nivel de los procesos de aprendizaje. Esto se acentúa cuando
notamos que en las diferentes calculadoras con capacidad gráfica, o en los programas
computacionales con posibilidades de graficación, se emplea la misma tecla sen para
todos los fines, independientemente del dominio de definición o de las unidades de
medida que se elijan, ya sea para evaluar una razón o para graficar una función.
Aunque la presentación escolar de las funciones trigonométricas será restringida en
los primeros años de su enseñanza a las relaciones entre las medidas de los lados de
los triángulos rectángulos con las de sus ángulos interiores, más adelante el alumno
encontrará que tiene que operar sobre situaciones novedosas, como por ejemplo habrá
de tratar con ángulos superiores a 180° sin hacer alusión a triángulo alguno, o deberá
graficar funciones que combinan una parte algebraica con otra trascendente, como
cuando debe estudiar el crecimiento de ƒ(x) = senx + x, o decidir sobre la suavidad de
la gráfica de la función g en el origen, con: g(x) = cosh − 1 si x ≥ 0 ; pero es 0 si x < 0,
del mismo modo ocurre cuando deba calcular límites que no se abordan con
estrategias algebraicas, como por ejemplo los límites:
senx cos x −1
lím o lím .
x→0 x x→0
x
También tendrá que discutir la naturaleza de la convergencia de series que
involucran, de diferentes formas, a las funciones trigonométricas, como por ejemplo:
3 5 7
x x x
x − + − + L o bien ∑ 3!
5!
7!
∞ sen(
2n
−1)
x
1 2n
−1
Bajo este enfoque, no estaremos limitando nuestra problemática de interés, al papel
de las representaciones semióticas en la actividad cognitiva de los alumnos, ni a la
formación de representaciones mentales entre los escolares, sino más bien,
desarrollaremos la tesis de que la epistemología de la funciones trigonométricas, y el
uso social que de ellas se hace, impregnan de significados a dichos conceptos.
Fundamentalmente, asumimos que los obstáculos epistemológicos ligados a la
construcción de función trigonométrica deben ser considerados en un diseño de
ingenierías didácticas particulares.
Iniciamos el curso con la resolución de ecuaciones algebraicas mediante factorización
de polinomios con coeficientes reales, estudio gráfico y algebraico de las funciones
potencia. Queremos trabajar la naturaleza de las raíces de una ecuación polinomial:
simples, dobles, triples y cuádruples, y sobre el cómo se forma un patrón de
comportamiento gráfico para y=x 2n y y=x 2n+1 , la función seno, incluida su gráfica y
sus propiedades como periodicidad, acotación, oscilación, pero que no se haya
estudiado a la función seno como el límite de una particular serie potencias.
En este sentido, nuestra propuesta se desarrollará sobre factorización de polinomios y
su clasificación por la naturaleza de sus raíces, tomamos la forma algebraica y la
naturaleza del contacto entre la gráfica de una función potencia y el eje X.
Centraremos la atención en las formas de escritura, de argumentación y de validación
y del empleo de gestos y movimientos corporales que pongan en juego ante
problemas no rutinarios.
375

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Pero un tratamiento, basado en gráficas, movimientos y argumentaciones con
respecto de las funciones trigonométricas no podría reducirse a transformaciones y
traslaciones, sino dar inicio por la construcción de sus primitivas (sen x, cos x, tan x).
De aquí que, como segunda parte del curso, se reflexionó y discutió sobre los
momentos de ruptura que precisa la función trigonométrica para su construcción en el
aula, y que proponemos son:
376
• De la realidad macro al modelo a escala
• La razón como abstracción de la proporción
• Extracción de la razón de un referente teórico: el triángulo.
• Conversión de unidades: grados ↔ radianes ↔ reales
• De las funciones reales a las funciones complejas
de donde proponemos nuestra hipótesis de investigación, a saber, que la función
trigonométrica abstrae propiedades de las tablas trigonométricas y del estudio de los
triángulos, pero obedece a prácticas de naturaleza distinta que la trigonometría
como rama de la geometría. De aquí que nuestro fundamento teórico sea aquel que
incorpore las cuatro componentes de la construcción social del conocimiento
matemático, la socioepistemología.
Referencias
Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J. y Nicholson, D., (1992) Development of the process
Concept of function. Educational Studies in Mathematics, 23 (3), 247 – 285.
Cantoral, R. y Farfán, R. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis.
Epsilon, 42, 353 – 369.
Cantoral, R. y Montiel, G. (2001) Funciones: visualización y pensamiento matemático. México:
Prentice Hall.
Chevallard, Y. (1985) La transposition didactique du savoir savant au savoir enseigne. La Pensee
Sauvage, Grenoble, France.
Dreyfus, T. y Eisenberg, T (1990). On the reluctance to visualize in mathematics. Visualization in
teaching and learning mathematics. En W. Zimmerman y S. Cunningham (Eds.) MAA Notes
19, 25 –38.
Duval, R. (1995) Semiosis y Pensamiento Humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales.
Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Grupo de Educación Matemática.
Dubinsky, E. y Harel, G. (Eds.). (1992): The concept of function: Aspects of Epistemology and
Pedagogy. Notes 25, MAA.
Ferrari, M. (2001) Una visión socioepistemológica. Estudio de la función logaritmo. Tesis de Maestría.
Cinvestav – IPN. México.
Tall, D. y Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular
reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics 12, 151 – 169
Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal
of mathematics education, science and technology. 14 (3), 293 – 305

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA SOBRE DIFERENTES RELACIONES
DIDÁCTICAS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE
LA MATEMÁTICA EN CARRERAS DE INGENIERÍA
Jorge Azpilicueta y Alicia Ledesma
Universidad Nacional de Córdoba, República Argentina.
jorgeazpilicueta@arnet.com.ar
Resumen
Dada la relevancia que tiene en la actualidad el currículum de las Matemáticas en carreras de
ingeniería, el CONFEDI (Consejo Federal de Decanos de Ingeniería) ha considerado y dejado
establecido que en el proceso de modernización de la enseñanza es necesario formular adecuadamente
los objetivos de la educación matemática, describir el papel que desempeña en la formación de los
ingenieros y en su práctica profesional, seleccionar contenidos y distribuirlos correlativamente a lo
largo de la carrera, precisar sus alcances y elegir de manera adecuada los aspectos metodológicos del
trabajo en el aula, el que debe tener un fuerte acento en el planteo de situaciones problema vinculados
con la profesión. Estos propósitos docentes deben tener en cuenta en primer lugar cual es la
preparación previa de los alumnos que deben cursar Matemática en el primer año de Ingeniería en la
Universidad Nacional de Córdoba y en segunda instancia cuáles son sus expectativas y el nivel de
desempeño, al inicio y durante el desarrollo de dichos cursos. Para conocer como se manifiestan las
posibles relaciones didácticas entre docentes y alumnos durante el proceso de enseñanza-aprendizaje
de las matemáticas, se plantea como objetivo de esta investigación realizar una evaluación diagnóstica
sobre: el rendimiento escolar de los alumnos que ingresan en el Ciclo de Nivelación, las condiciones
de enseñanza-aprendizaje en los cursos de Introducción al Análisis Matemático y Análisis Matemático
I, y la opinión de los docentes que dictan estas materias en contextos educativos similares. De
los resultados de esta experiencia se puede inferir que la mayor parte de los alumnos que cursan
Matemática, tienen cierto grado de dificultad en el aprendizaje de la misma, más por razones de índole
metodológica, que por otras causas. Una evaluación diagnóstica de este tipo es siempre un punto de
partida muy útil para la toma de decisiones con el fin de elaborar un plan de acción metodológico que
facilite el logro de los aprendizajes matemáticos en este nivel educativo y contribuir al desarrollo de la
Didáctica de la Matemática como disciplina científica.
Introducción
Esta experiencia visualiza cuáles son las relaciones didácticas que se establecen entre
Profesor y Alumno en el Ciclo de Introducción a la Matemática y en el curso de
Análisis Matemático I en la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de la
UNC.
Se parte de la premisa general de que un profesor se encuentra con sus alumnos en el
aula para enseñar un conocimiento matemático determinado que deberán aprender los
alumnos. Enseñar significa crear las condiciones que producirá la apropiación del
conocimiento por parte de los estudiantes. Para un estudiante “aprender” significa
involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la
disponibilidad del conocimiento en su doble condición de herramienta y objeto. Las
realidades pueden ser otras y dependerán de las interacciones que se puedan
establecer entre ambos protagonistas de este proceso.
La Matemática ayuda a pensar, a inducir y deducir, a analizar y sintetizar, a
generalizar y abstraer y a realizar otras operaciones mentales que contribuyen al
desarrollo de la inteligencia Nickerson, R. [8]; Resnick, L.[9]; Guzmán, M.[4];
Fernández, V. et al [3] y Kilpatrik, J.[6]. Para Artigue, M. [1] el conocimiento
377

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
matemático puede ser una manifestación de la interacción antes mencionada para el
profesor, pero no del todo para un cierto número de estudiantes. O al contrario ser una
manifestación para algunos estudiantes y puede no serla para el profesor.
Sin importar cuales son las intenciones al llegar a la Facultad de Ingeniería, cada
alumno va a tener más o menos éxito o a fracasar en su proyecto. Del otro lado, según
la historia personal del profesor, su propia representación y conocimiento de la
Matemática, su concepción del aprendizaje de la Matemática, su voluntad de conocer
y la fuerza de las restricciones a la cuales esté sometido, intentará hacer valer y
defender sus convicciones en el marco del currículum del Cálculo, según los
objetivos y los aspectos metodológicos de la educación matemática en su Institución,
González, J.[4]; Moitre,D. [7] y Azpilicueta, J. [2].
Para lograr un punto de partida con mayor conocimiento de la realidad de los
alumnos ingresantes a la Facultad de Ingeniería, el objetivo de esta investigación es
realizar una evaluación diagnóstica para conocer el grado de preparación, rendimiento
y las expectativas que tienen los estudiantes en relación a la Matemática en los cursos
iniciales, y la opinión de los docentes que enseñan esta materia en la UNC, a fin de
optimizar las relaciones didácticas entre ambos protagonistas de este proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Metodología
Se trabaja en tres direcciones a través de encuestas a docentes y alumnos:
La encuesta Nº 1 se realiza a los alumnos que cursan el Ciclo de Nivelación 2001, en
dos comisiones: la 116–Ingeniería Electrónica- y la 162–Ingeniería Industrial-, con un
total de 100 alumnos (tamaño de la muestra igual al quince por ciento del total de
alumnos). Se analiza en general la categoría rendimiento en el secundario y en
particular las categorías en la materia Matemática, del curso de nivelación.
La encuesta Nº 2 está orientada a determinar cuales son las condiciones iniciales de
los alumnos que cursarán Análisis Matemático I, habiendo cursado previamente,
Introducción al Análisis Matemático. El tamaño de la muestra es igual a 62, de un
total de 350 alumnos del curso regular.
La encuesta-entrevista Nº 3 se realiza a docentes que enseñan Matemática y/o
Análisis Matemático tanto en carreras de ingeniería como en otras carreras que tienen
Matemática en su currícula (Geología, Economía, Ciencias Químicas) en la
Universidad Nacional de Córdoba. El objetivo de la misma es considerar distintos
aspectos pedagógico-didácticos y específicos del proceso de enseñanza-aprendizaje
de la Matemática en carreras para no matemáticos.
Resultados
Respecto a la encuesta Nº 1 se observan los siguientes resultados:
A) Rendimiento académico en el último curso que realizó el alumno en el
Secundario, según el grupo al cual considera pertenecer.
378

Alumnos (frecuencia
relativa)
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,16
0,27
0,54
SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
0,03 0,00
1 2 3 4 5
Rendimiento en el Secundario
Fig. 1. Rendimiento académico del último curso del secundario categorizado como: 1:
grupo de los mejores; 2: grupo de los destacados; 3: grupo de los normales; 4: grupo
de los mediocres; 5: grupo de los peores.(Ajuste prueba de Chi-cuadrado).
B) Respecto a la asignatura Matemática la Tabla Nº1 muestra: aprendizaje de la
materia, adecuación de carga horaria, contenidos desarrollados y actividades
propuestas (cantidad y calidad).
No opina Muy bueno Bueno Aceptable Pobre
Aprendizaje 0,05 0,36 0,38 0,21 0
Adecuación 0,06 0,2 0,34 0,31 0,09
Cantidad 0,06 0,18 0,48 0,24 0,04
Calidad 0,08 0,24 0,41 0,23 0,04
C) Distribución del tiempo en estudio dedicado a Matemática.
Alumnos (frecuencia
relativa)
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0,27
0,69
0,04
0,00 0,00
20 40 60 80 100
% DEDICACIÓN = tiempo de estudio
Fig. 2. Tiempo de los alumnos dedicado al estudio de la materia. (Ajuste prueba de
Chi-cuadrado).
D) Grado de dificultad de los alumnos en Matemática.
379

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
380
Alumnos (frecuencia
relativa)
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,13 0,13
0,26
0,36
0 1 2 3 4
Grado de dificultad
Fig. 3. Grado de dificultad categorizado como: 0: no opina; 1:muy alto; 2: alto; 3:
medio; 4: bajo.
E) Desempeño del profesor de matemática en el curso introductorio ver Tabla
Nº2.
Tabla Nº2: Respuesta de los alumnos a las actividades del Profesor.
No opina Muy bueno Bueno Aceptable Pobre
Profesor (dictado) 0,05 0,65 0,16 0,14 0
Profesor (organización de
contenidos) 0,05 0,42 0,41 0,12 0
Profesor (preguntas-respuestas) 0,06 0,61 0,22 0,09 0,02
Profesor (estímulo) 0,08 0,24 0,41 0,23 0,04
La encuesta Nº2 tiene tres items: A. Condiciones iniciales de los alumnos que
cursarán Análisis Matemático I; B. Forma de estudio que realizan los alumnos y
C. Expectativas al iniciar el curso de Análisis Matemático I.
Para el punto A se observa en la Tabla Nº3.
Tabla Nº3: El cumplimiento de las expectativas, las dificultades en el cursado de la
materia y la comprensión e integración de contenidos por los alumnos.
0,12
Totalmente Parcialmente Ninguno
Cumplimiento expectativas 40% 57% 3%
Dificultades en el cursado 32,78% 62,30% 4,92%
Comprensión e integración 14,00% 79,00% 7,00%
El punto B, resume algunas condiciones de estudio que realizan los alumnos en la
clase de Análisis Matemático I (2001) y fuera de ella (Tabla Nº4).

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Pregunta (Item B) Si (%) No (%)
1. Le gustaría poseer otra forma de estudio más eficaz 75,41 24,59
2. Le resulta fácil estudiar solo. 65,58 34,42
3. Le resulta fácil estudiar en grupo. 63,94 36,06
4. Le resulta más fácil que el profesor exponga 90,17
siempre.
9,83
5. Le resulta fácil estudiar parte de los temas por libros. 32,79 67,21
6. Pone atención durante la explicación del profesor. 100,00 0,00
7. Realiza preguntas durante la clase si no entiende 57,38
algo del tema.
42,62
Para el punto C se presentan en la Tabla Nº 5 las categorías de las expectativas que
tienen los alumnos al iniciar el curso de Análisis Matemático I (2001) en una escala
de 1 a 10
Categoría Expectativa Respuesta (%)
1 Finalizar el cursado sabiendo razonar y aplicar 24,15
los conocimientos adquiridos en la Práctica
Profesional.
2 Aprender e integrar conocimientos. 16,6
3 Recordar los contenidos aprendidos en Análisis 16,67
Matemático I para no tener dificultades en las
materias correlativas.
4 Entender los conceptos desarrollados en la clase. 9,38
5 Que todos los temas sean desarrollados durante 6,25
el cursado.
6 Aprobar la materia. 5,20
7 Lograr comprender algún tema en particular (por 4,17
ej. Integrales, Derivadas, Funciones, etc.)
8 Que se profundicen más los contenidos de la 3,13
materia.
9 Que las explicaciones del docente sean claras. 3,13
10 Mejorar la relación docente/alumno. 3,00
La encuesta-entrevista Nº 3 realizada a docentes que enseñan Matemática o Análisis
Matemático visualiza que:
existen múltiples causas por las cuales los alumnos tienen bajo rendimiento en la
materia.
el nivel de los estudiantes, en Matemática al inicio de los cursos universitarios es
regular o malo.
Las dificultades se pueden categorizar, de mayor a menor, en los siguientes niveles:
1:Mala base en el secundario; 2 :Escaso desarrollo del pensamiento lógico;
3:Dificultad lecto-comprensiva; 4: Dificultad en la aplicación de los conceptos
matemáticos; 5: Aprendizaje memorístico; 6: Falta de interés de los alumnos por ser
Matemática materia básica en la Carrera; 7: Falta de una metodología de enseñanza
381

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
adecuada; 8: Falta de integración de los conceptos matemáticos con la carrera; 9:
Clases tradicionales. Profesor conductista.
Exposición y Discusión de Resultados
En relación al rendimiento académico en el secundario, la mayoría de los alumnos se
consideran situados en el grupo de los normales, seguido del grupo de los destacados,
de los mejores y un bajo porcentaje en el grupo de los mediocres. Si se agrupan las
tres primeras categorías se observa que prácticamente el 97% de los alumnos están en
condiciones para comenzar un proceso de aprendizaje de la matemática sin mayores
dificultades o al menos motivados para iniciarlo (Fig. 1).
Respecto de la asignatura Matemática que se dicta en el Ciclo de Nivelación (Tabla
Nº1) se observa que el aprendizaje ha sido muy bueno y bueno en más del 70%; que
la adecuación de los contenidos desarrollados y su carga horaria aproximadamente en
un 70% ha sido buena y aceptable, y la relación cantidad y calidad de las actividades
propuestas se han definido en casi un 70% como buena y aceptable, y un 20% muy
buena. La mayoría de los alumnos ha dedicado alrededor de un 40% (promedio) del
tiempo de estudio a Matemática, con un grado de dificultad alto y medio
mayoritariamente (Fig. 2 y Fig. 3). Sin embargo su opinión en relación al desempeño
del docente ha sido en general buena, tanto en el dictado de la clase y organización de
la asignatura, como las respuestas del profesor para facilitar el razonamiento de los
estudiantes (Tabla Nº2).
El análisis de los resultados de la encuesta Nº 2 muestra que para el 40% de los
alumnos las expectativas se cumplieron totalmente, un 57% considera que se dieron
parcialmente y sólo un 3% opina que no se cumplieron (Tabla Nº3).
Con respecto al grado de dificultad un 33% declara muchas dificultades, un 62%
pocas y un 5% ninguna.
En relación a la forma de estudio, se observa en la Tabla Nº 4, gran interés en tener
una metodología más eficaz para el aprendizaje de la materia, no obstante no les
resulta fácil estudiar las temáticas por libros, les interesa que el profesor exponga
siempre y sólo la mitad de los alumnos hacen preguntas en la clase si no
comprendieron los temas.
De acuerdo a las expectativas de los alumnos que cursan Análisis Matemático I, la
Tabla Nº 5 muestra que el mayor porcentaje (24,15%) se refiere a “finalizar el
cursado de la materia sabiendo razonar y aplicar los conocimientos adquiridos en la
práctica profesional”. Luego siguen en orden decreciente con el 16%, dos categorías
“aprender e integrar los conocimientos” y “recordar los contenidos de Análisis
Matemático I, para no tener dificultades en las otras materias”. Sobre otras categorías
y hasta el quinto lugar, los alumnos expresan “entender los conceptos desarrollados
en clase” (9,38%) y “que todos los temas sean desarrollados durante el cursado”
(6,25%).
La entrevista con docentes que enseñan Análisis Matemático o Matemática General
en carreras no matemáticas consideran la existencia de múltiples causas por las cuales
los alumnos tienen bajos rendimientos en estas materias. Entre las que se pueden
destacar: aprender “sin pensar”; preponderancia de lo visible sobre lo inteligible; falta
de capacidad de abstracción (básico para Matemática); lenguaje conceptual sustituido
por lenguaje perceptivo que es infinitamente más pobre; metodología de enseñanza en
382

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
el nivel medio más inductiva y conductista, que impiden alcanzar niveles de
comprensión abstracta; falta de preparación y conocimientos de los docentes de nivel
medio; falta de interés por el aprendizaje de los educandos; falta de motivación por el
aprendizaje o por el proceso de enseñanza-aprendizaje tanto de docentes como de
alumnos.
Conclusiones
Como conclusión de esta investigación se puede decir, que los alumnos ingresantes a
la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales UNC (2001), tienen afinidad y
predisposición en aprender matemática, lo que facilita la relación didáctica profesoralumno.
En el cursado de esta materia las expectativas de los estudiantes se cumplen
parcialmente y la mayor parte de ellos tienen un grado alto y medio de dificultad, lo
que impide la integración y comprensión de contenidos de la materia. Los problemas
se suscitan en relación a la forma de estudio, expresando gran interés en tener
metodologías que faciliten su aprendizaje.
Posibles soluciones se pueden dar al respecto teniendo en cuenta los roles que deben
jugar tanto docentes como alumnos. Una de las soluciones es implementar
metodologías de aprendizajes asociadas a la participación activa de los estudiantes
como la resolución de problemas y otra la capacitación de los docentes en cursos de
post-grado, con el propósito de facilitar y coordinar los procesos de enseñanzaaprendizaje
de la matemática en contextos no tradicionales.
Bibliografía
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Iberoamérica.
Azpilicueta, J. (2003). Enseñanza de la Matemática para no matemáticos: una propuesta para
considerar la resolución de problemas como metodología activa de aprendizaje de Análisis
Matemático. Tesis de Maestría en Docencia Universitaria. Universidad Tecnológica Nacional.
Facultad Regional Córdoba.
Fernández, V. et al. (1999). Educación Matemática para no Matemáticos. Ed. Fundación. U.N. de San
Juan. Argentina.
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Directivos de Enseñanzas de Ingeniería. Madrid. España.
Guzmán, M. (1991). Para pensar mejor. Barcelona. Paidós.
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Moitre, D. (2000). Tercer Congreso Argentino de Enseñanza de la Ingeniería. Tomo I. Bahía Blanca.
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Nickerson, R. et al. (1985). Enseñar a pensar. Aspectos de la aptitud intelectual. Barcelona. Paidos.
1987.
Resnick, L. (1987). Education and learning to think. Washington, D.C.. National Academy Press.
383

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
FORMACIÓN DE PROFESORES QUE ENSEÑAN MATEMÁTICAS:
INVESTIGACIÓN COLABORATIVA, PRODUCCIÓN Y SOCIALIZACIÓN DE
SABERES
Edda Curi
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
edda.curi@terra.com.br
Resumen
Este artículo reflexiona acerca de la formación del profesor que enseña Matemáticas en la educación
primaria. Este profesional, con formación multidisciplinaria, se encuentra en un momento en el que
documentos oficiales se orientan hacia nuevas perspectivas para la formación de profesores en Brasil y
destacan la importancia de profundizar los conocimientos sobre los objetos de enseñanza. Como la
nueva legislación brasileña tiende hacia la formación de profesores multidisciplinares en nivel
superior, la Secretaría del Estado de Educación de São Paulo realizó una experiencia innovadora, un
curso superior destinado a profesores que ejercen su profesión, con el propósito de complementar la
calificación profesional y profundizar estudios relacionados a áreas curriculares en una estrecha
relación de teoría y práctica, aunque existan problemas en relación con la formación de esos profesores
que se evidencian en evaluaciones externas, principalmente con relación a la formación matemática
proporcionada por ese curso superior en la práctica profesional de esos profesores. Nuestra
investigación se enfoca en el impacto de la formación matemática proporcionada por ese curso
superior en la práctica profesional de esos profesores. La metodología utilizada fue el análisis de
narrativas de siete profesoras que participaban del curso arriba citado y que formaron parte de un
grupo de investigación colaborativa. Inicialmente nuestra intención no era formar un grupo de
investigación colaborativa, pero los rumbos que el grupo tomó y las características de los encuentros se
encuadraron en teorías que varios autores definen como investigación y que sirvieron de base para
nuestro análisis. Entre los resultados obtenidos destacamos que las narrativas de las profesoras
permitieron identificar puntos fuertes y débiles del curso y necesidades de las profesoras en cuanto a su
propia formación matemática. Permitieron también, la producción de nuevos saberes a partir del
análisis de las prácticas a la luz de los conocimientos construidos en el curso y la socialización de esos
saberes con el grupo. Otros resultados importantes se relacionan con las reflexiones compartidas, pues
las mismas posibilitaron que los conocimientos matemáticos y de la educación matemática construidos
y desarrollados durante el curso, fueron priorizados por esos profesores en su práctica. La
incorporación de esos saberes y la reflexión sobre esa nueva práctica permitía la producción de otros
saberes en un proceso continuo de construcción de saberes profesionales.
Un país de grandes números
En los últimos años, el Ministerio de Educación y Cultura ha demostrado gran
preocupación con el acceso y permanencia de los niños en la escuela, con la
ampliación de los años de escolarización de los jóvenes brasileños, con la
democratización de la enseñanza secundaria que actualmente es parte de la Educación
Básica, y con la formación de los profesores. Se han realizado muchas acciones, no
sólo por iniciativa del MEC, sino también por varios segmentos de la sociedad
preocupados por una escuela de calidad para todos. Para transformar ese sueño en
realidad, leyes y documentos oficiales fueron producidos en los últimos años, entre
ellos la ley de Directrices y Bases de la Educación Nacional – LDBEN 9394-96, los
Parámetro Curriculares Nacionales – PCN- para todos los años de enseñanza, las
Directrices Curriculares Nacionales – DCN- para formación de profesores. Entre las
acciones para la mejora de la calidad de la Educación en el país, el MEC señaló la
necesidad de que la formación de profesores, para cualquier año de enseñanza, sea de
384

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
nivel superior, para ello propuso un plazo de diez años para que en el sistema de
enseñanza brasileño solamente trabajen profesores con formación universitaria. Esa
propuesta de formación está siendo implantada gradualmente. Hasta el final del sigo
XX, el profesor que enseñaba en los cuatro primeros años de la educación
fundamental (7 a 10 años) se formaba en los cursos de habilitación para el
Magisterio. Se estima que cerca de la mitad de los establecimientos de enseñanza
secundaria del país ofrecían un curso de formación de profesores y en el final del año
2000 existían 760 000 alumnos matriculados en esos cursos. En los últimos diez años,
el Estado de São Paulo era el responsable por el mayor número de matrículas en los
cursos de habilitación de Magisterio. Nuestra vivencia como formadora de
profesores de enseñanza fundamental permite afirmar que los cursos de formación de
profesores no han logrado articular las cuestiones concretas de la enseñanza de
Matemáticas con las teorías, comprometiendo la calidad de los cursos. La
preocupación por la formación del profesor generalista, se expresa en los
documentos oficiales arriba citados. Esos documentos indican la necesidad de que el
profesor conozca sus objetos de enseñanza con más profundidad que aquello que va
a enseñar. Es importante destacar la preocupación del documento con el grado de
elaboración de ese saber, o sea, con los conocimientos definidos para la escolaridad
en la cual el profesor irá actuar y también con los conocimientos articulados a esos
que componen un campo de ampliación de profundización del área. Es importante
resaltar aún que por primera vez, a lo largo de la historia de los cursos de formación
del profesor generalista en Brasil, hay una preocupación por el conocimiento
profundo del objeto de enseñanza. En este momento varias Secretarías de Educación,
preocupadas en posibilitar a los profesores una formación de calidad, resolvieron
proporcionar estudios universitarios para profesores en ejercicio procurando
calificarlos en nivel superior. Destaco para este artículo el curso de formación en
servicio propuesto por la Secretaría Estatal de Educación de São Paulo.
La experiencia Innovadora del Estado de São Paulo: Valoración de la
Formación Matemática
En 2002, en la escuela pública estatal de São Paulo, cerca de 39 100 docentes de la
educación fundamental era efectivos (42%), de los cuales 26 700 tenían formación
universitaria (68%) y 12 400 en la educación secundaria (32%). La propuesta era de
formar 7000 profesores efectivos (56%) en 18 meses 2 . El objetivo del curso era
proporcionar a esos profesores la posibilidad de complementar su calificación
profesional, profundizando estudios relativos a las áreas curriculares en una estrecha
relación de teoría y práctica. Los profesores, distribuidos en grupos de 40, asistían
clases mediadas sea por un pedagogo o por un especialista que utilizaba medios
interactivos para alcanzar una población de 160 profesores. Los grupos de profesores
trabajaban en la misma escuela o en escuelas próximas. El material de apoyo
utilizado fue especialmente elaborado para ese curso.
El curso de Matemáticas se desarrolló en 140 horas de clases con más de 48 horas de
actividades relativas a la práctica, a las vivencias educadoras. La característica
destacada de ese curso fue discutir la teoría asociada a la práctica pedagógica
teniendo como eje de formación el estudio (sin la perspectiva de encuadrarlo en los
moldes académicos). El objetivo era que los profesores recogiesen informaciones,
385

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
registrasen sus observaciones, reflejasen sobre su propio trabajo, documentasen sus
experiencias. Un tipo de trabajo semejante utilizado en este proceso de formación fue
descrito por Lytle y Cocharam-Smith (1999) que lo denominan como “Estudio del
Profesor” el estudio sistemático e intencional de un profesor sobre su propio trabajo.
El material de Matemáticas fue elaborado por un grupo de Educadores Matemáticos,
hecho que ciertamente determinó las concepciones del curso, que orientó la selección
y organización de los contenidos priorizados en la formación la elección de
metodología de resolución de problemas, las propuestas de pequeñas investigaciones
y de análisis de situaciones en el aula, la selección de investigaciones de educadores
matemáticos a ser analizadas, las discusiones sobre la importancia de identificar
conocimientos previos de los niños y de intervenir en las situaciones de aprendizaje
de sus alumnos, etc. Durante el curso fueron desarrolladas 6 unidades a saber:
Delineando el escenario, Conocimientos previos, Hipótesis y errores,
Contextualización, Resolución de problemas y Construcción de significados,
Delineando nuevos tiempos, Valorando competencias matemáticas tales como:
experimentar, conjeturar, representar, relacionar, comunicar, argumentar, validar,
conexiones entre la Matemática diaria y diferentes temas Matemáticos.
Investigación Colaborativa
Mi objetivo fue investigar el impacto de la formación matemática sobre la práctica de
los profesores que participaban de esa formación. Realicé algunos encuentros para
conversar con un grupo de profesores y analizar los materiales de formación, las
carpetas, las actividades realizadas con los niños, la repercusión en las escuelas, etc.
La participación de los profesores en esos encuentros era voluntaria. Desde el inicio,
sentía que las profesoras que hacían monografías con temas matemáticos tenían
muchas preocupaciones y siempre que fue posible buscaban elementos para discutir
la investigación que realizaban. Pasé a darles más atención y el grupo se fue
definiendo naturalmente quedando reducido a las siete profesoras. De común acuerdo
agendamos otros encuentros con fechas y horarios marcados. Esos encuentros
pasaron a tener un carácter informativo. Nos pusimos de acuerdo en que tomaríamos
como elementos para reflexión el curso de Matemáticas y su impacto sobre la práctica
a partir de las narrativas que las profesoras producirían, destacando situaciones
mercantes reveladas por el curso como consecuencia del mismo. A medida en que las
profesoras narraban sus experiencias, el grupo reflejaba, cuestionaba, opinaba. Esas
contribuciones permitían la ampliación de la comprensión de aspectos revelados por
la narradora. Quizás fue la proximidad de las escuelas de actuación de esas
profesoras, o su papel de alumnas, la camaradería propia de compañeras de curso, o
incluso las narrativas producidas y discutidas por todos, el hecho es que existía una
complicidad entre todos los elementos del grupo. Una empatía muy grande fue
tomando a los participantes y los encuentros se tornaron extremadamente ricos, todas
oían las narrativas de las compañeras y opinaban sobre ellas, no había jerarquía en
nuestras relaciones personales, ni profesionales con más expedientes o con diferentes
niveles de formación; todas nosotras participamos de las investigaciones en las clases
de Matemáticas de las compañeras del grupo, en la elaboración de las secuencias de
actividades, en la observación de la clase, en el registro de los datos, en el análisis de
los mismos, nosotras discutíamos nuestros éxitos y fracasos, reflexionábamos y
386

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
producíamos conocimientos. La intención inicial no era formar un grupo de
investigación colaborativa, por lo que no había preocupación de utilizar la literatura
pertinente, pero los rumbos que el grupo tomó y las características de los encuentros
se enmarcaron en teorías que varios autores definen como investigación colaborativa
y sirvió de base para el análisis de las narrativas. Realizamos quince encuentros
presenciales y 2700 minutos de grabación; seleccionamos algunas partes de narrativas
para ese artículo 4 . Autores como Connelly y Clandinin (2000) apuntan como
características de la investigación colaborativa: el proceso investigativo
fundamentado en una experiencia compartida, la igualdad de participación de todos
los miembros del grupo, (profesores y formadores) en el oír, en el hablar, una relación
colaborativa entre los elementos del grupo que permite que el profesor y el formador
cuenten sus éxitos y también sus fracasos, el compartir de sentimientos de angustias,
de crecimiento, de igualdad y de placer. Destacan la necesidad de compartir las
narrativas con todo el equipo, de modo que todos sus miembros tengan voz, pero
también se establezcan relaciones personales empáticas, en un clima de receptividad
y de colaboración. En los primeros encuentros, las profesoras narraron sus historias
de vida. Las reflexiones sobre esas narrativas hicieron emerger las relaciones de esas
profesoras con las Matemáticas y la influencia de esas relaciones en su práctica
profesional y aun en la elección de la profesión. Sandra destacó la influencia de la
Matemáticas escolar en la elección de la profesión:
... mi fuerte no es las Matemáticas, me relaciono mucho más con la lengua portuguesa, hago poesías,
en realidad me gustaría ser escritora, pero acabé dando clases, sólo me gusta enseñar a leer, escribir,
recitar... (Sandra)
Nilceia apuntó la influencia de sus profesores en su forma de actuar como profesora:
... me pasa en la mente como una película, como resolvía problemas. Uno tenía que hacer la técnica
operatoria, la sentencia matemática, operación, respuesta... Uno hacía aquéllo, tan mecánicamente!,
uno no entendía, si el profesor preguntaba que cuenta debería hacerse para resolver el problema uno
respondía, creo que hay que sumar..., o no creo que sea de menos... siempre hice las cosas muy
mecánicas en Matemáticas, sólo ahora es que entendí muchas cosas, voy a poder trabajar mejor con
mis alumnos, pues hasta hoy he trabajado mecánicamente, como aprendí... (Nilceia)
Sonia relató su experiencia positiva con relación a las Matemáticas en una situación
extra de la escuela:
...fui criada en una finca, tuve una experiencia bien concreta con números y medidas, tenía 6
hermanos, cuando mi padre iba a comprar zapatos, él nos medía el pie con una hebra del lana
(“pita”). Mi padre hacía muchas cuentas, compras de mantenimiento, paga de los trabajadores, medir
área de terreno e identificar la cantidad de semillas para plantar, entonces yo tenía mucho contacto
con las Matemáticas. Matemática para mí es eso. (Sonia)
Nuestras reflexiones compartidas, analizaban los modelos de enseñanza que tuvieron
mientras estudiantes e identificaban concepciones de las Matemáticas de la escuela y
su práctica pedagógica, Según Tarfid, a lo largo de su historia de la vida personal y de
la escuela el futuro profesor interioriza un cierto número de conocimientos,
competencias, creencias y valores, los cuales son reutilizados, no de la manera
reflexiva, pero con gran convicción durante su actuación. En esa perspectiva, los
saberes empíricos 5 de los profesores no están basados solamente en su actuación en el
aula de clase, sino que también acuden a gran parte de preconcepciones de enseñanza
y del aprendizaje heredadas de su historia de vida y de su historia escolar. Aparte de
eso, él afirma que hay mucho más continuidad que ruptura entre el conocimiento
profesional del profesor y las experiencias preprofesionales, especialmente las que
387

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
marcaron su socialización primaria (familia y ambiente) y su socialización en la
escuela mientras era alumno de la escuela fundamental. Los saberes empíricos de
esos profesores orientaban su práctica diaria y la formación concentrada a la cual
estaban sometiéndose lo que provocaba un efecto de retomada crítica de los saberes
adquiridos anteriormente, dentro o fuera de la práctica profesional. La experiencia
profesional enriqueció las reuniones del grupo que pasó a reflejar sus propios saberes
basados en la experiencia. Las reflexiones compartidas permitieron que los nuevos
conocimientos matemáticos y de la educación matemática construidos/desarrollados,
durante el curso fueron priozados por esos profesores en su práctica en la escuela.
Esos conocimientos eran rediscutidos, muchas veces, en más de una reunión y los
éxitos relativos compartidos con los compañeros, en un proceso continuo de
construcción de nuevos saberes.
En uno de los encuentros, dos profesoras 6 describieron su práctica con relación a la
resolución de problemas. El diálogo revela toda la angustia de una de ellas al
reflexionar sobre su práctica y compararla al proceso de cambio de la práctica de su
compañera.
Nélia: Antes que los alumnos resuelvan los problemas, necesito leer y explicar, dar ejemplos de
problemas parecidos... mis alumnos no resuelven problemas, pues tienen muchas dificultades en la
lectura e interpretación y sólo resuelven los problemas si les hago la lectura y explico lo que quieren
decir... aun después de darles algunos ejemplos ellos no logran entender... hoy decidí explicar uno
por uno entonces dijeron: ¿eso era lo que se tenía que hacer?... y en el final les pregunté, ¿ por qué
creen que se equivocaron?... muchos respondieron que se equivocaron porque no leyeron...
Vera: yo no leo, dejo que ellos lo intenten resolver primero. Sabes, después de ese curso de
Matemáticas estoy convencida que no trabajo las Matemáticas al contrario de lo que se debería
hacer, uno enseña las operaciones, el problema sirve sólo para aplicar las operaciones, para ver si el
alumno aprendió a hacer cuentas, uno no hace problematización, no da una situación para ver como
ellos proceden... no se problematiza para ver como lo resuelven, la cuestión de no aprender
matemáticas no está en ellos, está en la forma de enseñar...
Nélia: ¿será? Quedo tan angustiada... cuando empecé a corregir los problemas que iba a usar en la
monografía y ellos no aceptaban me fui poniendo angustiada. ¿qué estoy haciendo qué no
aprenden?... Matemáticas es una cosa que me gusta, pero es difícil para mí …cómo será entonces
para mis alumnos...
Fue en ese momento que otras experiencias desarrolladas por los profesores del grupo
se hicieron relevantes y formativas. Las narrativas de otras experiencias desarrolladas
y la reflexión del grupo sobre esas narraciones permitió el crecimiento individual y
colectivo. Inclusive las profesoras que no hacían monografía sobre Resolución de
Problemas narraron las experiencias socializando sus saberes y sus preocupaciones:
Un niño del segundo año esquematizó la resolución del problema con palillos, otro hizo todo con
cuadraditos, otro usó la técnica operatoria, noté que los niños estaban en puntos diferentes del
aprendizaje, pero todos llegaron al mismo resultado. Yo separé las tres resoluciones diferentes para
discutir con el grupo, no sé como debo intervenir... (Nilceia)
Las discusiones en el grupo han traído por lo menos para mí muchos conocimientos nuevos en los
que no había reflexionado, no había pensado en eso, principalmente en la resolución de problemas
que regularmente yo trabajaba para aplicar la técnica operatoria; tuve la oportunidad de ver que se
6 Nélia y Vera desarrollaron monografías sobre la Resolución de Problemas.
7 Meire, Natalina y Nilcelia desarrollaron monografías com contenidos de Geometría. Sandra y Sonia investigaron
el uso de juegos como estrategia de enseñanza de matemáticas.
8 PO: Profesora Orientadora de la monografía, no era educadora matemática.
388

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
puede partir de la situación problema, problematizar, se nota que es posible intervenir la situación...
¿ustedes notan lo mismo?... (Meire).
La socialización de las preocupaciones individuales con el grupo y el contacto con
experiencias de algún modo semejantes a las suyas permite disminuir la ansiedad
proveniente de reflexiones individuales sobre la práctica. Sin apoyo del grupo el
profesor, usualmente, abandona experiencias de enseñanza cuando se siente
angustiado.
Algunas profesoras se resistieron a la realización de las actividades de Geometría.
Incluso las que hacían monografías con contenidos de Geometría 7 , estaban inseguras
con la propuesta que les generaba conflictos íntimos. Las narrativas apuntaban a que
la resistencia de las profesoras era a menudo la inseguridad en realizar un trabajo con
contenidos que nunca habían aprendido, o aún de la ansiedad provocada por su papel
de alumnas que tendrían evaluación de su aprovechamiento. Las resistencias fueron
superadas gradualmente a lo largo de los encuentros. Una constatación posible de ser
hecha es que los “bloqueos” con ese tema hicieron al grupo más colaborativo, las
profesoras se ayudaban mutuamente tanto en la ampliación de los conocimientos de
los contenidos que deberían desarrollar con sus alumnos como en la didáctica de esos
contenidos, participaban de la organización de materiales, observaban y registraban
las actividades desarrolladas por la compañera. Las narrativas de las profesoras
destacaban fortalecerse, cuando necesitaban socializar sus saberes:
... creo que mi formación no era suficiente para eso y la PO 8 también a lo que me parece, no sabía
orientarme. Pero quedo en conflicto, converso mucho con Nilceia y con Sonia... por que creo que
así, no sabía ni por donde empezar... ,nunca habría aprendido... yo cogía las cosas del libro didáctico,
y aplicaba exactamente como estaba en el libro didáctico... yo jamás haría sola una colección de
objetos y pediría que los niños las agruparan. Nunca me pasó eso por la cabeza... de la manera que
venía en el libro didáctico yo trabajaba... cuando yo trabajaba..., porque yo no veía la Geometría
como una parte de las Matemáticas que pudiera trabajar, que ayudase en el desarrollo del raciocinio
de los alumnos, para mí era todo fragmentado, todos trabajan así, la Geometría la das si quieres, si
no, no... (Natalina)
...los alumnos, decían tantas cosas que no había tiempo para tomar nota, pedí ayuda a Natalina.
Ahora ella observa mis clases y hace las anotaciones y después, cuando ella hace las experiencias,
yo observo las clases de ella y hago los registros. Después analizamos juntas y cada una escribe...
(Nilceia)
... todo eso fue fácil de hablar en aquella clase pero ahora anda a dar una clase sin la colección de
objetos... En mi mente las estoy apilando de una manera y ellos de otra... (Sandra)
...yo no tenía la claridad de los objetivos de la enseñanza de Geometría... de repente descubrí que
puedo trabajar con Geometría, coger una regla, medir, desarmar y armar cajas... (Meire)
... yo tengo una duda... ¿los niños del primer año logran relacionar las formas geométricas con el
medio donde viven, por ejemplo con la naturaleza o con objetos diarios?... otra duda que tengo...
¿será que los niños identifican la forma planificada del cilindro con un cilindro cerrado? (Sonia)
...¿qué tal hacer ese estudio con los niños, pensar en actividades para que ellos identifiquen cuál es el
sólido que se parece con una lata de aceite, o con una caja de leche?... o entonces mostrarles un
cilindro y pedirles que dibujen un molde de la figura, como sería aquella figura abierta..., antes de
“abrir” el cilindro, antes de planificar... después vamos a traer las actividades de los niños y analizar
las repuestas, reflejar sobre eso e intentar contestar colectivamente nuestras dudas... (Vera)
A modo de conclusión
Todas las profesoras de ese grupo destacaron como puntos fuertes del curso de
Matemáticas la metodología de resolución de problemas y la identificación de los
conocimientos previos de los niños. En sus narrativas las profesoras apuntaron la
389

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
necesidad de una mayor profundización en los contenidos de Geometría y del
tratamiento de la información para incorporarlos en sus prácticas.
En relación a la experimentación de las actividades, las narrativas sugieren que
cuando las profesoras tenían los saberes matemáticos de la escuela necesarios para
realizar su trabajo, incorporaban los cambios metodológicos con más facilidad y
menos resistencia que cuando necesitaban profundizar o aun construir esos saberes.
Los nuevos descubrimientos con relación a asuntos matemáticos y a su tratamiento
didáctico, así como la discusión sobre criterios de selección y organización de
contenidos, las análisis de libros didácticos y de indicadores oficiales relativos al
aprendizaje de los niños sucedían porque ese grupo de profesoras frecuentaban un
curso para complementar su formación. En ese curso las profesoras reflexionaron
sobre textos teóricos, profundizaron conocimientos matemáticos en “sitios” de
internet o en libros (o textos) indicados como complementares y participaron de las
vivencias propuestas. La participación en el grupo colaborativo dio más consistencia
a la formación. Una expectativa del grupo era que continuasen reuniéndose en el año
de 2003, pero a causa de condiciones de trabajo, horario y distancia esos encuentros
aún no fueron posibles.
El grupo consideró lo más importante en ese proceso fue la producción y
socialización de sus saberes. Saberes construidos cuando discutían sus experiencias,
relataban sus inquietudes, demostraban perseverancia para continuar, presentaban sus
narrativas sin preocupación con la crítica de los compañeros y registraban sus
reflexiones y que se perderían si no fueran registrados.
Considero la investigación colaborativa una estrategia importante para la realización
de investigaciones sobre la práctica, pues la colaboración de los compañeros aumenta
la seguridad de los profesores para desarrollar sue experiencias. Es importante
resaltar que la buena relación personal y profesional entre los participantes hizo
posible un trabajo conjunto sin atritos?? durante un periodo de tiempo. Es necesario
destacar que esa relación fue construida a lo largo de la convivencia de esos
profesores en el curso y que el papel de alumno asumido por ellos permitió una
mayor homogeneidad en el grupo colaborativo. No siempre eso pasa. A veces es
necesario parar antenas y renegociar contratos en todos los encuentros para que haya
colaboración.
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Schon, D. (2001). Educando o profissional reflexivo. Porto Alegre: Editora Artmed.
390

FUNCIONANDO CON LA COMPUTADORA
SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Medina P., Astiz M., Vilanova S., Oliver M., Rocerau M.,
Valdez G., Vecino M., Álvarez E., Montero Y.
U. Nacional de Mar del Plata, Argentina
pmedina@mdp.edu.ar ; mastiz@mdp.edu.ar
Resumen
En este trabajo se presenta la descripción y resultados de la segunda etapa de una experiencia
planteada con el objetivo de indagar la manera en que los alumnos determinan e interpretan funciones
que explican situaciones problemáticas valiéndose de una nueva forma de trabajo en el aula: la
utilización de la computadora como herramienta y un programa asistente matemático. La primera
etapa consistió en el desarrollo de un taller optativo con alumnos de entre 14 y 15 años de edad del
Colegio Dr. Arturo Illia de la Universidad Nacional de Mar del Plata (Argentina) y sus conclusiones
fueron expuestas en el trabajo “FUNCIONando con la computadora. Una experiencia con un asistente
matemático” en RELME 16. A partir de las mismas, y con el objetivo final de elaborar una propuesta
didáctica basada en la utilización de la computadora en los cursos de matemática, se diseñó esta
segunda etapa para lo que se desarrolló un taller similar al anterior con las siguientes diferencias:
a) se seleccionó un colegio privado de la ciudad con características académicas diferentes al de la
primera etapa.
b) se conformaron dos grupos, de 20 alumnos (de 14 - 15 años) cada uno. Uno de ellos trabajó con
computadoras y otro sin ellas.
c) se incorporó al docente de matemática del curso en el trabajo de ambos grupos.
Una vez finalizada la experiencia observó nuevamente una diferencia en la motivación a favor del
grupo que utilizó la computadora como herramienta y se reafirmaron las observaciones realizadas
durante la primera etapa del trabajo:
a) la computadora es realmente una herramienta más que poderosa para facilitar la predicción de
resultados ante cambios en las condiciones de datos o variables de los problemas propuestos, la
búsqueda autónoma, la gestación de ideas y el descubrimiento de estructuras matemáticas
sencillas en la resolución de los problemas
b) la naturalidad con la que manejaron y seleccionaron las distintas formas de representación de
funciones como tabla de valores, fórmula, gráfico, descripción verbal.
Introducción y marco teórico
Las actuales concepciones de la enseñanza ponen énfasis en que el estudiante debe
construir activamente su conocimiento y sus habilidades a través de la interacción con
el medio ambiente y mediante la reorganización de sus estructuras mentales
anteriores. El aprendizaje significativo es entendido como la incorporación sustantiva,
no arbitraria ni verbalista, de nuevos conocimientos en la estructura cognitiva,
mediante un esfuerzo deliberado por relacionar los nuevos conocimientos con
conceptos ya existentes en la mente del alumno (Novak, 1984). Desde el punto de
vista del aprendizaje de la matemática, el poder de las funciones consiste tanto en
describir de manera simple situaciones complejas, como en predecir resultados y
realizar los análisis cualitativos correspondientes. A la hora de trabajar con funciones,
la computadora tiene tres características interesantes que un docente debe valorar al
tomar la decisión de utilizarla como recurso. Por una parte, proporciona una forma
cómoda de gestionar y representar la información, permitiendo que el alumno
dedique su atención al sentido de los datos y al análisis de los resultados. Por otra,
391

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
brinda la posibilidad de ejecutar órdenes de muy distinto tipo (dibujos, cálculo,
decisiones...), con gran rapidez; por lo tanto, puede simular experiencias aleatorias
que manualmente sería imposible realizar, trazar una o varias gráficas a partir de
datos o fórmulas, ejecutar algoritmos de cálculo largos y tediosos o con expresiones
complicadas. La tercera característica es la de interactuar con el alumno, que puede
intervenir en determinados momentos proponiendo datos o tareas nuevas en función
de los resultados que se van obteniendo, lo que la convierte en un poderoso
instrumento de exploración e indagación. Es precisamente esta capacidad de
interacción, junto con sus posibilidades de tipo audiovisual, lo que hace que su uso en
el aula sea motivador en sí mismo. Por último, la nueva tendencia en el uso de la
computadora en educación se caracteriza por una clara inclinación hacia sistemas que
involucran herramientas puestas a disposición de los alumnos, a fin de facilitar la
indagación y la adquisición de conocimiento, en ambientes de aprendizaje
colaborativo e interactivo (Kaput, 1992). En este contexto, el software seleccionado
(asistente matemático) puede ser integrado a la enseñanza de temas de matemática de
cinco maneras diferentes: como herramienta matemática, como asistente para la
resolución de problemas, como un entorno de investigación o exploración, como un
tutor interactivo y como una ayuda para visualizar e interpretar (Berry et al., 1994).
Es importante destacar que ya que la computadora ha simplificado el problema de
graficar, se pretende que los estudiantes desarrollen una apreciación global e intuitiva
del comportamiento de las funciones y sus propiedades, basado tanto en la lectura de
los gráficos que las representan como de sus expresiones analíticas. De este modo
podrán traducir estas últimas a gráficas y viceversa, anticipando en cada caso las
características, ya sea del gráfico o de su expresión algebraica. El presente trabajo
consiste en la descripción de la segunda etapa de una experiencia planteada con el
objetivo de determinar si una nueva forma de trabajo en aula (caracterizada por la
utilización de la computadora y un programa asistente matemático como herramienta)
modifica la forma en que los estudiantes determinan e interpretan funciones que
explican situaciones problemáticas.
Las conclusiones de la primera etapa de este trabajo, fueron publicadas en Actas
RELME 16 bajo el título “FUNCIONando con la computadora (Medina P et al,
2002). A partir de estos datos, y con el fin de avanzar en la elaboración de una
propuesta didáctica utilizando la computadora como herramienta en la enseñanza de
la matemática, se diseñó esta segunda experiencia. Las diferencias con la etapa
anterior consisten en: a) en trabajar con un grupo experimental y uno de control; b)
incorporar un docente de matemática a ambos grupos de trabajo, y c) las
características académicas del colegio en que se llevó a cabo, que pueden
considerarse estandar, a diferencia del colegio anterior, preuniversitario, con ingreso
selectivo y caracterizado por ser un permanente receptor de experiencias didácticas
innovadoras.
Objetivos específicos de la segunda etapa de la experiencia
En este etapa también se trabajó en la resolución de problemas que involucran el uso
de funciones, pero se trabajó con dos grupos de alumnos, en dos ambientes distintos
392

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
de enseñanza-aprendizaje: uno de ellos utilizando computadoras como herramientas
de trabajo y el otro no. Los objetivos se centraron en:
• Comparar en ambos grupos
− la participación en el trabajo en aula
− la tendencia hacia el aprendizaje colaborativo
− el interés por el tema desarrollado
− el tipo de consultas realizadas
− la manera con la que manejaron y seleccionaron las distintas formas de
representación de funciones como tabla de valores, fórmula, gráfico,
descripción verbal,
• Determinar si la computadora resultó ser para ellos una herramienta poderosa para
facilitar la predicción de resultados ante cambios en las condiciones de datos o
variables de los problemas propuestos, la búsqueda autónoma, la gestación de ideas
y el descubrimiento de estructuras matemáticas sencillas en la resolución de los
problemas
• Comparar los resultados obtenidos en la primera y la segunda etapa en función de la
diferencia entre las instituciones seleccionadas.
Metodología de trabajo
1) Entorno de trabajo y participantes
La experiencia se llevó a cabo en el Colegio Provincias Unidas del Sur (PUdS), un
colegio de enseñanza privada de la ciudad de Mar del Plata, con una división por cada
curso y un nivel académico normal medio. Para realizar el trabajo las autoridades del
Colegio PUdS permitieron realizar el taller con todos los estudiantes del curso de 9º
año de la EGB (14-15 años), dividiendo al mismo en dos grupos, uno que trabajaría
con la computadora y otro sin ella. Los grupos trabajaron en dos ambientes distintos
de enseñanza-aprendizaje, en ambos con la modalidad aula-taller. La diferencia entre
ellos estuvo dada por el trabajo en laboratorio de computación para acceder al uso de
la computadora como herramienta de trabajo en uno de ellos (curso experimental) y
sin dicha herramienta, en aula convencional en el otro ambiente (curso control). En el
entorno de trabajo del curso experimental intervinieron el docente del taller, el
docente de matemática, el material de trabajo y las computadoras con un asistente
matemático (software) sencillo de utilizar y con muy buenas posibilidades gráficas y
algebraicas. Se dispuso de una computadora por cada dos estudiantes. Por su parte el
grupo control contó con el mismo entorno pero sin las computadoras. Durante el
desarrollo del taller se trató de buscar un balance entre la instrucción receptiva y el
aprendizaje por descubrimiento. Estos estudiantes habían trabajado algunos conceptos
relacionados con el tema como definición de función, dominio, codominio, expresión
funcional. En el momento de pasar a la interpretación gráfica y la resolución de
problemas que involucran el uso de funciones, comenzaron a trabajar en el taller.
2) Modalidad
Los temas seleccionados fueron los mismos que los presentados en la primera etapa
de la experiencia y por tal motivo las actividades se centraron en:
393

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
• Traducir datos y variables de problemas en expresiones funcionales y hallar sus
gráficas;
• Interpretar el concepto de dominio de definición y de imagen a partir de una
situación problemática concreta;
• Generar modelos a partir de situaciones problemáticas;
• Reconocer que con el mismo tipo de función se pueden elaborar modelos para una
gran variedad de problemas;
• Predecir resultados de problemas que se explican a través de funciones cuando se
varían las condiciones de las variables involucradas;
El taller se dividió, al igual que el primero, en 12 encuentros de 2 horas cada uno.
Al comienzo del taller, al grupo experimental se lo instruyó en el uso del asistente
matemático, en aspectos tales como escribir una función, realizar un gráfico y
determinar intersecciones tanto en forma algebraica como a través de observaciones.
Más adelante les fueron dados otros elementos para trabajar con funciones por
tramos, como así también para resolver ecuaciones en forma algebraica (tema
indispensable para la determinación de intersección de funciones).
En lo que respecta al tema específico de matemática, en los dos grupos se trabajó
presentándoles a los estudiantes los problemas que debían resolver para lograr los
objetivos del taller. Los problemas propuestos involucraron funciones lineales
(relacionadas con costo de servicios, trayectorias), cuadráticas (relacionadas con
superficies, trayectorias), cúbicas (relacionadas con volúmenes).
En todos los casos el avance en los temas se realizó en función al progreso de los
estudiantes dentro de cada grupo. Durante el proceso de resolución de los problemas
la dinámica de trabajo fue la de generar un ámbito de discusión grupal ante las
dificultades o inquietudes que surgieran.
La evaluación fue continua y se tuvieron en cuenta no sólo los avances en el trabajo
individual, sino también el nivel de participación y colaboración de cada estudiante.
Instrumentos de observación
Los instrumentos para determinar el nivel de participación y colaboración en el
trabajo en el aula se basaron en las técnicas de la observación participante. Parte de
estas observaciones, que pueden considerarse como estructuradas, se recogieron en
una tabla de especificaciones que registraba la colaboración en el trabajo con sus
compañeros, el interés demostrado en el tema, el tipo de consultas realizadas, la
participación en el desarrollo de los trabajos prácticos y el compromiso de trabajo.
Para completar las observaciones, se tomaron notas muy breves de carácter general
durante las clases, las cuales eran ampliadas no bien finalizaban las mismas.
Resultados
A partir de las observaciones realizadas, se pudo advertir una mayor tendencia hacia
el aprendizaje colaborativo en el grupo experimental que demostró mayor interés por
el estudio del tema. La utilización de la computadora como herramienta les permitió,
por un lado, incursionar en el software e ir así encontrando nuevos recursos para la
394

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
resolución de los problemas y por otro, generar nuevos problemas e investigar
alternativas de resolución desde la matemática.
Esto se evidenció en el tipo de consultas realizadas por el grupo experimental, las que
se diferenciaron notablemente de las realizadas por el grupo control. El grupo
experimental rápidamente avanzaba más allá de las exigencias del problema,
realizando cambios en variables y condiciones del mismo para evaluar diferentes
alternativas generando una constante búsqueda de nuevos conceptos, mientras que el
grupo control basó su trabajo específicamente en el problema dado, dependiendo
permanentemente de los docentes para abordar temas relacionados con la
representación de funciones.
Los indicadores: tendencia hacia el aprendizaje colaborativo, participación durante el
proceso de aprendizaje e interés por el estudio del tema fueron comparados entre los
dos grupos, dando resultados favorables para el grupo experimental en un nivel de
significación de 0.05. Los valores de p obtenidos para cada indicador fueron
respectivamente 0.025, 0.010, 0.012.
Consideraciones finales
Durante el transcurso del taller, a partir de las herramientas y conceptos previos de
que disponían los estudiantes, se logró en ambos grupos que predigan resultados ante
cambios en las condiciones de datos o variables de los problemas propuestos. No
obstante, a través del registro de las clases se pudo observar una diferencia en la
motivación a favor del grupo que utilizó la computadora como herramienta y se
reafirmaron las observaciones realizadas durante la primera etapa del trabajo:
a) el grupo que utilizó la computadora trabajó con mayor naturalidad el manejo y
selección de las distintas formas de representación de funciones como tabla de
valores, fórmula, gráfico, descripción verbal.
b) en el grupo experimental se evidenció una mayor tendencia al aprendizaje
colaborativo
c) el grupo experimental demostró interés en realizar modificaciones en los
parámetros de las funciones logrando variantes de los problemas originales, que los
llevaron en algunas oportunidades a profundizar sobre algún tema (dominio de
definición de una función) o a tratar temas que no conocían (funciones de dos
variables), ya que la utilización de la computadora como herramienta les permitió,
entre otras cosas, incursionar en distintas posibilidades gráficas y algebraicas.
En suma, la computadora se mostró como una herramienta más que poderosa para
facilitar la predicción de resultados ante cambios en las condiciones de datos o
variables de los problemas propuestos, la búsqueda autónoma, la gestación de ideas y
el descubrimiento de estructuras matemáticas sencillas en la resolución de los
problemas. Otros estudios realizados por nuestro Grupo de Investigación, basados en
encuestas a docentes, nos han mostrado que no contar con material didáctico de
referencia, es una de las razones por la que los docentes de matemática no utilizan la
computadora en sus clases. Estas observaciones junto a los resultados descriptos en
395

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
el presente trabajo conforman la justificación para abordar la última etapa de la
experiencia. La misma consiste en la elaboración de una propuesta didáctica para
llevar adelante en cursos de matemática utilizando la computadora y un asistente
matemático con potencia de graficación y cálculos algebraicos como herramienta en
el ambiente de trabajo. Una vez elaborado, puesto en práctica y evaluado el material,
quedará por observar si disponer del mismo genera un cambio de actitud por parte de
los docentes con respecto a la utilización de la computadora en sus clases.
Bibliografía
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Paulogorrán, C. y Pérez C. (1994). Cálculo Matemático con Derive para PC. Madrid: Ed. Ra-Ma.
396

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
GENERACIÓN DE MODELOS DE ENSEÑANZA–APRENDIZAJE EN
ÁLGEBRA LINEAL
Eduardo Miranda Montoya
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO): México
emiranda@iteso.mx
Resumen
Dos de las dificultades más importantes y frecuentes que encontramos en el aprendizaje del álgebra
lineal, tenemos la conceptualización y la formalización. Los contenidos de la materia son, en gran
medida, formulados a partir de la definición de vectores, espacios vectoriales, bases, transformaciones
lineales, etc. En los primeros capítulos de un curso de álgebra lineal, es frecuente acudir a la
visualización geométrica en R 2 y R 3 como ayuda pedagógica para ilustrar las representaciones
vectoriales y sus operaciones. Pero esto no siempre es así, la noción “visual” de otros conceptos, su
enseñanza parte solamente de la definición formal la cual frecuentemente carece de alguna
“justificación plausible” del porqué es así. Ejemplos de ellos son las definiciones de espacios
vectoriales o de espacios con producto interno. Algunas investigaciones en torno a las dificultades en
el aprendizaje del álgebra lineal comienzan con la descripción de tres tipos de lenguaje (geométrico,
aritmético y algebraico) que se maneja en el álgebra lineal. En estas investigaciones, las dificultades en
el aprendizaje tienen entre otros orígenes, la falta de articulación entre estos lenguajes.
Introducción. Problemas asociados con la enseñanza del Álgebra Lineal
Entre las dificultades más importantes y frecuentes (más no las únicas) que
encontramos en el aprendizaje del álgebra lineal, son la conceptualización y la
formalización, puesto que los contenidos de la materia son, en gran medida,
formulados a partir de la conceptualización de entes tales como vectores, espacios
vectoriales, bases, transformaciones lineales. Uno de los conceptos importantes de un
curso de álgebra lineal, en Ingeniería, es la noción de un vector junto con la de
espacio vectorial. Tanto en la práctica cotidiana de un profesor como en los libros de
texto, con frecuencia se motiva la enseñanza de estos conceptos a partir de
ilustraciones geométricas en R 2 y de R 3 de las representaciones vectoriales y sus
operaciones. Pero esta manera de ilustrar un concepto no siempre es posible, por
ejemplo en el caso de los espacios vectoriales, la representación geométrica no es
muy plausible (Sierpinska, 1996), en estos casos la noción “visual” de ese concepto
está ausente, ya que su enseñanza parte solamente de la definición formal. Esta falta
de conceptualización en el álgebra lineal puede ser motivo de que un estudiante tenga
dificultades para “traducir correctamente” los enunciados, es frecuente observar que
muchos estudiantes no logran entender qué es lo que se pide en un problema de
álgebra lineal (Sierpinska, 1996). Un ejemplo de esto es lo siguiente:
En el semestre Ene–May de 2002, a un grupo de 23 alumnos de Ingeniería del
ITESO, se le pide lo siguiente -después de que se les enseñó lo que es un vector en R 2
o en R 3 , las operaciones de suma, resta y multiplicación por escalar- ¿Es posible
encontrar los valores de x & w de manera que se cumpla la igualdad u + v = w, donde u = (-
2, x), v = (w, 3) y w = (-1, 4)?
Después de la lectura del problema (en unos 4 minutos) solo dos estudiantes escriben
la solución correcta del problema en su cuaderno y los demás comentan que no saben
qué es lo que se quiere encontrar. Al cabo de unos minutos, se les da la sugerencia de
397

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
sustituir u, v y w como (-2, x) + (w, 3) = (-1, 4), para después sumar y obtener (-2 +
w, x + 3) = (-1,4)
Uno de los alumnos pregunta en voz alta: “¿Hay que igualar las componentes de cada
vector?”
Otros preguntan: “¿Cuáles componentes?”
Lenguajes y representaciones en el álgebra lineal
Entre las dificultades que un estudiante enfrenta para aprender conceptos del álgebra
lineal están la variedad de lenguajes y representaciones semióticas con los que se
estudian sus objetos. Hillel (1994) distingue tres tipos básicos de lenguajes usados en
el álgebra lineal que son: lenguaje abstracto (correspondiente a la teoría general
abstracta del álgebra lineal, el lenguaje algebraico de R n y el lenguaje geométrico de
R 2 y R 3 . Para Sierpinska (1996) en el álgebra lineal hay tres tipos de lenguaje:
Lenguaje geométrico: el que se usa para ilustrar las representaciones y propiedades de
los vectores en R 2 y R 3 ; Lenguaje aritmético: usado para describir las operaciones
entre matrices, soluciones de ecuaciones, etc. y Lenguaje algebraico: usado para
formalizar y simbolizar entes como espacios vectoriales y transformaciones lineales.
La autora reporta que algunas de las dificultades en el aprendizaje de los conceptos
del álgebra lineal tienen que ver con la falta de una práctica instruccional que articule
estos lenguajes. La desarticulación puede deberse a los contenidos propician la
coexistencia de esos lenguajes como modos de pensamiento que algunas veces son
intercambiables pero que nos son equivalentes.
Esto es, a modo de ejemplo, la visualización geométrica puede ayudar a un
estudiante a interpretar un problema usando el lenguaje geométrico, sin que eso
implique que pueda pasar del lenguaje geométrico al lenguaje algebraico para
resolver completamente un problema. Un ejemplo de esos, lo encontramos en la
solución del siguiente problema (aplicado en un examen del mismo grupo referido
anteriormente):
”Determine si el conjunto M = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1} es o no subespacio vectorial de R 2
Haga un dibujo del conjunto M que le ayude a obtener la respuesta”
En las respuestas del grupo se encontró que 17 de los 23 estudiantes si graficaron el
círculo correspondiente. Y de esos 17 alumnos, 11 escribieron respuestas similares a
la siguiente:
“Como el origen (0,0) está dentro del círculo, entonces M si es subespacio vectorial”
Cuatro, de ellos, se aprendieron de memoria las propiedades que debe satisfacer un
subespacio vectorial y escribieron algo similar a lo siguiente: “ si U = (x,y) y V = (z, w)
entonces U + V = (x+z, y+w); y si k es un escalar kU = (kx, ky), por lo tanto si es un
subespacio vectorial”
Uno de los estudiantes restantes escribió: “Si U = x 2 + y 2 ≤ 1 y V = x 2 + y 2 ≤ 1 entonces
U + V = 2x 2 + 2y 2 , entonces M si es subespacio vectorial”
Y el último escribió: “Si U = (1,0) y V = (0,1) entonces U + V = (1,1) y 1 2 + 1 2 no es ≤ 1
por tanto U + V no pertenece a M, entonces M no es subespacio vectorial”
Como se puede apreciar, en todas las respuestas, excepto, quizá la última (ya que
puede suceder que esta persona tuviera la gráfica en su mente y de ahí dedujera su
respuesta), que el lenguaje geométrico y el algebraico están desarticulados en la
mente de los entrevistados.
398

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
La propuesta didáctica
En la actualidad, algunas de las propuestas didácticas en la enseñanza del álgebra
lineal sugieren la implementación de experiencias o prácticas pedagógicas en las que
el aprendizaje se da en forma dialéctica empezando por las experiencias geométricas
para después seguir con el lenguaje aritmético y llegar al lenguaje algebraico, todo
esto en forma articulada. Podemos ver este tipo de acercamientos didácticos en los
trabajos de Rogalski (1996), quien centra su estudio en la articulación de las
representaciones cartesianas y las representaciones paramétricas de subespacios
vectoriales o también, Sierpinska (1999), en cuyo trabajo se explora al enseñanza del
álgebra lineal mediante el diseño de situaciones de enseñanza en un ambiente de
geometría dinámica usado Cabri con la finalidad de representar vectores en R 2 y sus
transformaciones
En este trabajo, se propone obtener algunos modelos de enseñanza - aprendizaje del
álgebra lineal siguiendo las tres fases siguientes: (a) La adquisición de conceptos por
medio de modelos geométricos de espacios y subespacios vectoriales: (b) La
redefinición de esos modelos vistos en R, R 2 y R 3 al espacio R n y (c) La
generalización a espacios vectoriales más abstractos. Para llevar a cabo las tres fases,
requerimos primero de hacer un análisis de cada uno de los temas en cuanto al diseño
de experiencias de enseñanza – aprendizaje. En cada una de estas etapas, usamos
partes de la metodología propuesta por el Dr. Ed Dubinsky (Asiala et al: 1996) para
obtener una descomposición genética de algún tema matemático a enseñar.
Exploración de algunos conceptos del Álgebra Lineal (Transformaciones
lineales)
Un ejemplo donde aparecen imbricados los tres lenguajes del álgebra lineal, descritos
al principio de este trabajo, son las transformaciones lineales. Para este concepto se
han estado reuniendo datos empíricos, desde el semestre Ene– May de 2002, para
determinar un modelo de enseñanza que nos lleve a un diseño de instrucción
adecuado en el curso de Álgebra lineal para Ingenieria del ITESO.
Se ha elegido de inicio este concepto debido a que posee una gran riqueza de
contenidos, en los que se pueden articular los lenguajes geométrico, algebraico y
aritmético. En ese semestre se realizó una entrevista a cada uno de cinco estudiantes
elegidos al azar de un grupo donde normalmente había personas de varias carreras.
Esto se hizo después de que en su grupo habían visto la definición de transformación
lineal así como algunos argumentos geométricos que muestran la acciones de las
transformaciones lineales sobre figuras geométricas.
La clase sobre transformaciones lineales se diseño mediante un análisis preliminar del
concepto determinado por las creencias del profesor (y de los textos) acerca de las
conceptos matemáticos que un estudiante debe dominar previamente de modo que
pueda llegar a entender el concepto de transformaciones lineales revela un esquema
de enseñanza siguiendo el siguiente camino
subespacios combinaciones independencia transformación
vectoriales lineales lineal lineal
399

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
A este camino se le añadió el tema de geometría de rectas y planos en R 2 y R 3 , como
un concepto que el estudiante debe recuperar para visualizar las acciones de las
transformaciones lineales
geometría de planos
y rectas en R 2 y R 3
400
subespacios combinaciones independencia transformación
vectoriales lineales lineal lineal
Para ilustrar y manipular el poder geométrico de las transformaciones lineales se
presentó el siguiente extracto de una práctica computacional, diseñado con la
finalidad de que un estudiante manipule y ejercite acciones sobre fórmulas de
transformaciones lineales sencillas
Consideremos un triángulo con vértices en los puntos (1,1), (7,-1), (3,8). Al tiempo supongamos
transformaciones definidas por T: R 2 -> R 2 : T(x,y)= (2x,3y);T(x,y)= (-x,-y) y T(x,y)= (-y,-x) ¿Cuál es el
efecto de estas transformaciones sobre el triángulo anterior?
Este problema se debería contestar primero con cálculos manuales para después
“enseñarle a la computadora” cómo debería hacer los cálculos. Este planteamiento,
se respondió con la ejecución del un código correspondiente en Mathematica.
8
6
4
2
2 4 6
-6 -4 -2
La visualización de estas figuras condujo a respuestas por parte de los estudiantes
referentes al efecto de las transformaciones dadas como las siguientes: “el triángulo
giró en forma simétrica sobre el eje de las x”
O bien: “la figura giró 270 0 ”
Del mismo modo, la visualización indujo respuestas para las otras transformaciones
como: “la transformación T(x,y) = (2x, 3y) hace crecer los lados horizontales el doble y el
triple para los lados verticales”
Algunos estudiantes intuyeron que si la transformación tuviera coeficientes como ½ o
1/3 entonces los lados se reducirían a la mitad o a la tercera parte.
Por lo que toca a la parte aritmético – analítica del concepto, se formularon los
problemas:
1. Dada la transformación T:R 2 →R 2 definida como T(x-y, x+y) calcula: T(1,2), T(-
1,2), T(3,2) , T(-2,2)
2. Demuestra que la transformación anterior es lineal
Los resultados entregados, denotan un cierto dominio de la sustitución de valores
numéricos en una transformación, lo cual se refleja también en la escritura del código
-2
-4
-6
-8

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
de Mathematica mostrado a los estudiantes. Pero se encontró que esto no fue
suficiente para llegar a formalizar una prueba de la linealidad de una transformación.
En sus escritos había respuestas como las siguientes:
a) T(u+ v) = u-v + u + v = 2u
b) T(u + v) = (u-v,u+v)
c) T(cu) = cu-cu = 0
d) T(cu) = (cu-v, cu + v)
Y en cuatro (de los cinco entrevistados) se concluían cosas, como las siguientes:
a) Como T(x,y) = (x-y, x+y), T transforma rectas en rectas, por lo que T si es transformación
lineal
b) Si aplicáramos la transformación a una recta se transformaría en otra recta, por lo que si
es transformación lineal.
Lo anterior refleja, otra vez, la desconexión entre la parte geométrica y la parte
analítica del concepto. En la entrevista, se determinó que uno de los problemas
asociados a la demostración reside en que en realidad se debe considerar a un vector y
a la expresión de T como funciones de varias variables
El problema es que el estudiante sabe que para demostrar la relación T(u + v) = T(u)
+ T(v) tiene que sustituir variables en la expresión dada para T, pero lo hace como si
fuera una sola variable, lo cual vemos en el siguiente extracto: (E es el entrevistador y
A es el alumno)
E: A ver, si la transformación es T(x, y) = (x-y, x+y) ¿cómo es que
determinas que T(u+ v) = u-v + u + v = 2u?
A: Bueno tengo que demostrar que T(u+v) = T(u) + T(v), entonces sustituyo u
y v en vez de x & y como si fuera una función y me queda T(u+ v) = u-v + u +
v = 2u
E: Pero ¿eso es T(u) + T(v)?
A: Si porque T(u) = u – y + u + y = u y también T(v) = v –y + v + y = v
E: Pero entonces te resultaría que T(u) + T(v) = u + v y antes dijiste que
T(u+v) = 2u
A: Si...pero... si es transformación lineal pues en las gráficas se ve que se
transforman rectas en rectas
E: Si lo visualizas así pues si es cierto, pero hay que demostrarlo
analíticamente
A: ¿Qué no es como lo hice?
E: No
A: Entonces no entiendo, porque hay que sustituir en la fórmula de T a u y v
y....
E: A ver hazlo
A: T(u + v) = (u-v.......no se... me sale lo mismo
Otro de los estudiantes entrevistados hizo respuestas similares, y los otros tres no
respondieron al problema, pues mencionaron que no tenían idea de cómo hacerlo.
Lo anterior nos hace ver que a pesar de que las personas entrevistadas pueden hacer
sustituciones numéricas en la expresión algebraica de T, pero estas personas no han
podido hacerse a la idea de que los vectores u y v deben ser vistos como funciones de
dos variables que deben ser sustituidos en la expresión de T y manejar esta como una
función de varias variables.
401

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Estos datos nos sugieren modificar el modelo de enseñanza adoptado inicialmente
para añadirle un concepto matemático más (necesario para aprender transformaciones
lineales), la de función de varias variables. En donde se debería ver a estas funciones
al menos al nivel de descripción de éstas y la sustitución de variables, para evaluar
puntos o para “mirar” cómo se transforma una figura bajo una función de varias
variables.
402
geometría de planos
y rectas en R 2 y R 3
subespacios combinaciones independencia transformación
vectoriales lineales lineal lineal
funciones de varias
variables
En el semestre Ago–Dic de 2002 se implementaron estas mismas prácticas
computacionales y con lo sugerido por los resultados anteriores, se añadió (en forma
experimental) a la clase de transformaciones lineales, un apartado para describir
funciones de varias variables y algunas formas de graficar puntos o regiones solo en
forma operativa
Del mismo modo se buscó introducir el concepto de transformación desde las
funciones de una variable, donde se puede considerar que un segmento de recta (que
será el dominio de la función) es transformado, por la acción de la función en otros
objeto geométrico.
2
Así, por ejemplo: la función f: [-1,1] →[0, 1] dada por f(x) = 1− x tiene como
gráfica a:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1 -0.5 0.5 1
Esta misma función podemos considerarla como la transformación del segmento [-1,
1] en el arco de circunferencia referido, lo cual se podría visualizar como:
-1 ______________1 →
Desde este punto de partida, se esperaba que ya no fuera extraño, para un estudiante,
presentar objetos en dos o tres dimensiones y mirar como se transforman bajo una
función de varias variables en dos planos o espacios tridimensionales.
Cuando, en el transcurso del semestre, se llegó al tema de trasformaciones lineales, se
aplicaron las mismas prácticas computacionales, comentadas más los puntos
adicionados al programa de estudio.

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
En esta ocasión, se eligieron al azar 10 exámenes, sin importar la calificación
obtenida. De estos exámenes, uno de los problemas a evaluar es precisamente la
verificación de las propiedades de una transformación dada. La transformación del
examen se definió como sigue:
Demuestra que T: R 3 →R 3 , definida como T(x,y,z) = (3x+2y + 4z, 2x + 2z, 9x + 2y + 3z) es
una transformación lineal
De los 10 exámenes elegidos, 7 obtuvieron resultados correctos, 3 ni siquiera hicieron
anotación alguna. Se entrevistó solamente a los estudiantes que no respondieron ese
problema, pero el denominador común es que no habían asistido a clases, ni habían
hecho las tareas, por lo que su respuesta común es que no tenían ni idea de cómo
hacer la demostración. Con los otros estudiantes no hubo oportunidad de hablar con
ellos, debido a problemas de tiempo. De cualquier manera, los resultados obtenidos
dan pie a sugerir una implementación de esta práctica educativa a más grupos,
esperando obtener resultados similares con la mayoría de estudiantes. Pudiera ser que
en el modelo de enseñanza hubiera variaciones de acuerdo a cada grupo en particular,
pero lo que importaría a largo plazo es obtener un modelo cuyas componentes
permanezcan invariantes a lo largo del tiempo, de modo que el modelo de enseñanza
de las transformaciones lineales llegue a estabilizarse y ser la guía general par a el
diseño de prácticas educativas.
A modo de conclusión
Habrá, desde luego, más experimentaciones, pero sobre todo la búsqueda de más
modelos de enseñanza. En especial, el próximo a estudiar será uno correspondiente al
tema de subespacios vectoriales, donde las demostraciones, al parecer también tienen
que ver con el conflicto del manejo de funciones de varias variables.
Bibliografía
Asiala M, Devries, Brown A, Dubinsky E, Mathews D, Thomas K. (1996) A framework for research
and development in undergraduate mathematics education, Research in Collegiate
Mathematics Education II, pág. 1-32
Hillel J, Sierpinska A. (1994) On One Persistent Mistake in Linear Algebra, in The Proceedings PME
18, Universidad de Lisboa, Portugal, pág: 65–72.
Rogalski M. (1996) Teaching Linear Algebra: Role and Nature of Knowledge in Logic and Set Theory
which Deal with Some Linear Problems, Proceedings PME 20, Universidad de Valencia
España, Vol. 4, 211–218.
Sierpinska A, Trgalova J., Hillel J., Dreyfus T., (1999) Teaching and Learning Linear Algebra with
Cabri. Research Forum paper, Proceedings del PME 23, Haifa University, Israel, Vol 1, 119–
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Sierpinska A. (1996) Problems related to the design of the teaching and learning process in linear
álgebra, Research Conference in Collegiate Mathematics Education, Central Michigan
University.
403

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
404
INTRODUCCIÓN AL INFINITO
Patricia Lestón, Daniela Veiga
Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”. Buenos Aires,
Argentina
patricialeston@uolsinectis.com.ar , veigadaniela@yahoo.com.ar
Resumen
Uno de los problemas más frecuentes que el docente de escuela media debe enfrentar durante la
introducción al análisis matemático, y en particular al concepto de límite, es la dificultad que los
alumnos presentan en la comprensión y manejo del infinito. Frente a esta problemática, las autoras
llevaron a cabo una investigación a lo largo del año 2002, en dos escuelas privadas, una de la Provincia
de Buenos Aires y otra de la Ciudad de Buenos Aires (Argentina). La metodología de trabajo se apoyó,
principalmente, en el análisis de algunos problemas clásicos y lecturas complementarias para abordar
la enseñanza de este tema, sin necesidad de sacrificar otros no menos importantes. De esta manera, se
pretende lograr el buen manejo de un concepto tan complejo como el que éste representa. En el trabajo
se presentan algunos de los problemas y lecturas trabajadas, con el análisis de las dificultades que
surgieron de las mismas. Por ejemplo, una de las principales dificultades radica en la contradicción que
se genera al intentar trasladar las propiedades de los conjuntos finitos a los infinitos. La aritmética de
los números transfinitos aparece ante los alumnos como una contradicción al sentido común. No es de
esperar que un alumno acepte que la “cantidad” de números pares es la misma que la de números
naturales. Sin embargo, existen algunos ejemplos (que sin el rigor de una demostración) ponen en
evidencia esta proposición. Lo que se quiere destacar con esta experiencia son los beneficios de un
aprendizaje gradual y significativo del concepto de infinito como expresión puramente matemática, a
través de problemas y lecturas sencillas.
Introducción
“¿Qué es el infinito? ¿El número de granos de arena de una playa, o el de
estrellas que vemos en el cielo? Felizmente, ni el uno ni el otro. Aun la
cantidad de átomos en el universo es tan poco infinita que da lástima. En
realidad, semejante cifra no está más cerca del infinito que otras más modestas
como 2, 15 ó 3089. ¿Y entonces? Para encontrarnos con conjuntos que ningún
número pueda contar, debemos recurrir al mundo de las matemáticas. Pero no
necesitamos adentrarnos demasiado en él: los números naturales (1, 2, 3, 4,
5...) o los puntos de una recta, son infinitos, terriblemente infinitos. Y cuando
uno se encuentra con conjuntos infinitos, enseguida encuentra que funcionan
de manera peculiar, para decirlo suavemente.” (Moledo, 1994).
Uno de los problemas más frecuentes que el docente de escuela media debe enfrentar
durante la introducción al análisis matemático, y en particular al concepto de límite,
es la dificultad que los alumnos presentan en la comprensión y manejo del infinito.
Probablemente, dicha dificultad surja de la ausencia de una unidad temática dentro
del currículo que permita el estudio del infinito como tema específico.
Frente a esta problemática, las autoras proponen el trabajo de algunos problemas
clásicos y lecturas complementarias para abordar la enseñanza de este tema, sin
necesidad de sacrificar otros temas no menos importantes. De esta manera, se
pretende lograr el buen manejo de un concepto tan complejo como el que éste
representa.

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Las características de la propuesta permiten que el trabajo pueda realizarse de manera
continua a lo largo de todo el curso, facilitando la adquisición y familiarización
progresiva con el concepto; mejorando de esta manera los resultados en el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Marco teórico
Para comprender en profundidad por qué determinados conceptos matemáticos
presentan obstáculos en su adquisición, es necesario remontarse a su origen histórico
y la actitud que tuvo la humanidad frente a ellos.
El infinito en particular ha sido uno de los temas que más conmovió a los
matemáticos de todos los tiempos. Gauss (1831), uno de los grandes matemáticos de
toda la historia, se expresó al respecto: “Protesto contra el uso de la magnitud
infinita como una cosa completa, que jamás puede permitirse en Matemática. Infinito
es simplemente una forma de hablar y la verdadera significación es un límite al que
ciertas razones se aproximan indefinidamente, mientras otras aumentan sin
restricción”. A partir de esto, surge la necesidad de tratar con más rigor al infinito. Y
se desarrolla entre los años 1871-84 la teoría de conjuntos de Cantor que permite
darle al fin una base teórica al concepto de infinito. Opina respecto a este tema A. W.
Moore (1995): “Al igual que casi todo el mundo, durante más de dos milenios los
matemáticos no han sabido a ciencia cierta que pensar del infinito. Varias paradojas
ideadas por los pensadores griegos y medievales les habían convencido de que
acerca del infinito no se podía reflexionar impunemente. Así estaban las cosas en los
años ’70 del siglo pasado cuando Georg Cantor develó la matemática transfinita,
rama de las matemáticas que aparentemente resolvía todas las paradojas que
planteaba el infinito. Cantor, en su obra, demostraba que existían números infinitos,
que los había de distinto tamaño y que podían utilizarse para medir la extensión de
conjuntos infinitos”.
A pesar de haberse comprendido parte del misterio, es sabido que en los alumnos
existe el conflicto de la confusión entre el símbolo que representa al infinito con un
número “muy grande”. Frente a esto, Courant y Robbins (1964) opinan: “...el paso
del adjetivo ‘infinito’ que significa simplemente ‘sin fin’, al sustantivo ‘infinito’ no
debe hacernos pensar que ‘infinito’, representado generalmente con el símbolo ∞,
puede considerarse como si fuera un número ordinario. No es posible incluir el
símbolo ∞ en el sistema de los números reales y conservar al mismo tiempo las leyes
fundamentales de la aritmética”. En primera instancia, la aritmética de los números
transfinitos aparece ante los alumnos como una contradicción al sentido común. No
es de esperar que un alumno acepte que la “cantidad” de números pares es la misma
que la de números naturales. Sin embargo, existen algunos ejemplos (que sin el rigor
de una demostración) ponen en evidencia esta proposición. Hans Hahn dice: “Si
miramos a nuestro alrededor para ejemplos de conjuntos infinitos numerables llegamos
inmediatamente a unos resultados altamente sorprendentes. El conjunto de todos los
números naturales es por sí mismo infinito numerable, esto es evidente, puesto que era de
este conjunto que definíamos el concepto de ‘infinito numerable’. Pero el conjunto de todos
los números pares es también infinito numerable y tiene el mismo número cardinal א0, como
el conjunto de todos los números naturales, aunque naturalmente hay muchos menos
números pares que números naturales” (Newman, 1997).
405

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Para concluir, no se puede negar que el infinito encierra muchas dudas aún sin
develar y no debe sorprendernos la dificultad que este tema representa para los
alumnos de escuela media y el hombre en general. Ya en 1921, David Hilbert
sentenció: “El infinito! Ningún otro problema ha conmovido tan profundamente el
espíritu del hombre”.
Perfil del alumno
Los cursos en los que se trabajó este tema eran cursos correspondientes al último
año de la escuela media (17-18 años), de carga horario de 3 horas cada uno. El nivel
de conocimiento era muy bueno para lo que es un curso de esas características en la
escuela secundaria. En general, los alumnos manejaban las herramientas
algorítmicas que necesitaban para resolver los problemas que se les presentaban,
pero no había comprensión real de muchas de las cosas que hacían, sin embargo se
trataba de alumnos participativos y con mucho interés en la materia.. Con respecto
al concepto de infinito, la idea era totalmente intuitiva y les sorprendía que pudiera
existir algo más dentro de este concepto, como distintas clases de infinitos y
propiedades desconocidas para su manejo.
Actividades Propuestas
A continuación se presentan algunos de los problemas que se trabajaron y que
permitieron aproximar a los alumnos al concepto de infinito. Al mismo tiempo,
adquirir las herramientas necesarias para el eventual trabajo de límite.
Problema 1(Versión tomada de Corbalán, 1998):
Se propone utilizar el famoso problema del Hotel de Hilbert para mostrar la
diferencia entre los conjuntos finitos e infinitos. En los conjuntos finitos el todo es
siempre mayor que las partes. En los conjuntos infinitos, en cambio, el todo no es
mayor que alguna de sus partes.
Lee y analiza el siguiente texto:
a- Imaginemos un hotel con un número finito de habitaciones, y con todas ellas ocupadas. Si llega un
viajero y pide una habitación, el propietario, aún lamentándolo, tendrá que decirle que no puede darle
alojamiento. Pero supongamos ahora que el hotel tiene un número infinito de habitaciones, que están
numeradas 1, 2, 3, 4, 5...., y que, como en el caso anterior, está completamente lleno. También a última
hora de la tarde llega un nuevo huésped y pide una habitación. “Por supuesto”, le dice el propietario. Y
piensa: “Haremos lo siguiente: el huésped de la habitación número 1 se cambia a la habitación número
2, el de la número 2 a la habitación 3, el de la 3 a la 4, etc. Así quedará libre la habitación número 1 y
en ella se puede colocar al nuevo huésped”.
¿Cuál es la diferencia entre los dos hoteles?. ¿Cómo es posible que a pesar de estar
todas las habitaciones ocupadas en el hotel de infinitas habitaciones se pueda
hospedar otra persona más?
b- Lee como continúa la historia y responde:
Ya estaba resuelta la situación pero como los problemas nunca vienen solos, aparecieron mil nuevos
huéspedes. El dueño otra vez les dijo que no había problema, y pensó cómo actuar.
Propone tres soluciones diferentes a este problema.
c- Cuando la situación parecía controlada, aparecieron INFINITOS NUEVOS CLIENTES.
¿Cómo acomodarías a estos infinitos nuevos huéspedes?
d- ¿Qué nuevas propiedades aparecen cuando se trabaja con conjuntos infinitos?
Observaciones: Con el análisis de este problema, se logró afianzar en los alumnos la
diferencia que existe entre los conjuntos finitos e infinitos. Para los alumnos, es claro
406

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
que “el todo es mayor a cada una de las partes”, sin embargo, el estudio de este tipo
de problemas, muestra muy claramente que esta propiedad no es válida en los
conjuntos infinitos. La última pregunta en particular, requiere de un mayor
detenimiento y abstracción por parte de los alumnos, pero se consigue alguna
respuesta, que puede completarse con el siguiente problema.
Problema 2 (Versión tomada de Guzmán, 1993):
El siguiente problema permite comprobar las diferencias entre la aritmética entre
conjuntos finitos e infinitos.
La famosa leyenda sobre el origen del “Juego de ajedrez”:
a- Ante una inminente guerra, el rey Iadava, elaboró un plan de batalla que le valió el triunfo, pero
desgraciadamente muchos jóvenes pagaron con su vida la seguridad del trono y el prestigio de la
dinastía. Entre ellos, el príncipe Adjamir, hijo del rey Iadava. Un día al fin, se presenta ante el rey un
joven brahmán ofreciéndole un juego desconocido, que llamó la atención del monarca. El inventor
explicó las reglas del juego de ajedrez al rey Iadava, quien quedó tan entusiasmado con el juego que le
ofreció regalarle lo que pidiera. El inventor le pidió lo siguiente: Un grano de trigo por la primera
casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta,... y así sucesivamente,
duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última. El rey se extrañó de lo
poco con que se conformaba, pero ordenó que le dieran lo que pedía. Sólo cuando sus contables
echaron cuentas, vieron, asombrados, que no había trigo en el reino, ni siquiera en toda la tierra, para
juntar esa cantidad.
¿Por qué crees que no es posible pagarle al brahmán lo que pide? ¿es esta cantidad
infinita?.
b- La leyenda no dice más, pero podemos imaginar al soberano atribulado y humilde disculpándose
frente al inventor por no poder cumplir lo prometido. O, a caso, iracundo y altivo, mandando
decapitarlo por tomarle el pelo. No obstante, preferimos imaginar una tercera versión en la que el rey
ingenioso y jocundo, sabe devolverle la broma al inventor. Manda llamarlo y le dice: “Me pides
1+2+4+.....+2 63 granos de trigo. Poca cosa para mi. Te daré más; te daré tantos granos como
correspondan, no a un limitado tablero de 64 casillas, sino a un tablero infinito. Te daré pues
1+2+4+...+2 63 +2 64 +2 65 +... Echemos cuentas del número S de granos que te debo.
S=1+2+4+8+16+...+2 63 +2 64 +2 65 +...=1+(2+4+8+16+...+2 63 +2 64 +2 65 +...)=1+2·(1+2+4+8+16+...+
2 63 +2 64 +2 65 +...)= 1+2·S
Entonces S= 1+2S→S=-1
¡Dame, buen hombre, el grano de trigo que me debes!.- Concluiría nuestro rey bromista.
Este cálculo muestra un error, ¿puedes señalarlo? ¿Qué ocurre cuando aplicas
propiedades de la aritmética a sumas infinitas?.
Observaciones: Este problema genera un enfrentamiento con el concepto de infinito.
La primera pregunta pone de relieve la diferencia entre cantidades muy grandes y
cantidades infinitas. Al mismo tiempo, surge una situación más conflictiva al notar
que las propiedades aritméticas que utilizaron durante toda la vida les pueden generar
conflictos. Aparecen aquí las primeras alertas de que el infinito encierra mucho más
contenido matemático de lo que ellos esperaban.
Problema 3 (Versión tomada de Courant y Robbins, 1964):
Proponemos el siguiente gráfico como una demostración sencilla de la
correspondencia biunívoca que existe entre dos segmentos cualesquiera o entre un
segmento y la recta.
Observando el siguiente gráfico, es trivial afirmar que la recta ‘A’ tiene “más cantidad” de puntos que
el segmento ‘a’. No obstante, ambos tienen infinita cantidad de puntos:
a
A
407

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Demuestra la correspondencia que existe entre los puntos de los siguientes segmentos
Demuestra la correspondencia que existe entre los puntos de una semicircunferencia y
una recta
Demuestra la correspondencia que existe entre los puntos de una semicircunferencia y
un segmento
Resuelve los ítem b y c para una circunferencia
Observaciones: La dificultad que se presentó con la demostración de la
correspondencia biunívoca entre los puntos de dos segmentos fue que, muchos
alumnos argumentaban que en algún momento, se iba a “llenar” de rectas el primer
segmento, y no así el segundo.
Errores y dificultades
1.Los alumnos no tuvieron dificultad en admitir que no es lo mismo un hotel con
1000, 10.000, 1.000.000 ó 1.000.000.000 de habitaciones, que uno que tenga
“infinitas” habitaciones.
2.Cuando se propuso a los alumnos, que ubiquen al nuevo huésped al llegar al hotel
de infinitas habitaciones, muchos alumnos respondieron que esto era imposible,
debido a que todas estaban ocupadas.
3.Al discutir sobre cómo ubicar al nuevo huésped en el hotel, algunos alumnos
opinaron que esto no era posible, argumentado que “no hay lugar para este nuevo
huésped, porque si se corren todas las personas un lugar (aunque sean infinitos),
¿dónde se ubica al “último”?.
4.Muy pocos alumnos pudieron proponer otras dos soluciones distintas para ubicar a
los nuevos 1000 huéspedes.
5.Frente al problema de ubicar a los nuevos “infinitos” huéspedes, muchos alumnos
respondieron: “Es imposible ubicarlos, porque se puede mover a los huéspedes mil
habitaciones “hacia la derecha”, de tal forma de dejar las anteriores vacías, pero si se
quiere dejar las “primeras infinitas” habitaciones vacías, necesitaríamos vaciar el hotel.
6.La mayor parte de los alumnos, considera que la cantidad de granos de arena que el
rey debe pagar, es infinita.
7.El problema geométrico es, tal vez, el más complicado. En la Argentina al menos,
es bastante común que la geometría sea dejada de lado en la educación media. Siendo
esta la situación general del curso, se dedicó a este problema más tiempo que al resto,
dando especial importancia a los conceptos de punto, recta y continuidad. Finalmente
se logró que los alumnos comprendieran que la cantidad de puntos de un segmento y
su longitud son circunstancias independientes.
Por otro lado, se pueden trabajar las paradojas de Zenón de Elea que se encuentran
muy bien desarrolladas en el libro Matemática 4 de G. Barallobres y otros, Ed. Aique
(1994). De la misma manera, en el tomo 6 de Sigma, el mundo de las matemáticas
Ed, Grijalbo (1997), se encuentra un capítulo en donde se desarrollan una serie de
paradojas. Se recomienda también, la complementación de los trabajos con lecturas
408
a b

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
muy amenas, relacionadas con el concepto de infinito. Esta idea tiene como finalidad
no sólo el aprendizaje del tema, sino acercar a los alumnos una idea más poética y
cotidiana del infinito.
Se recomienda para el tratamiento de los textos la utilización del libro Los
Matematicuentos. Presencia matemática en la literatura de Palacios, A. y otros.
(1995. Argentina: Magisterio del Río de la Plata). En este libro se tratan una serie de
textos junto con un análisis de los mismos mostrando cómo se encuentran en esos
cuentos conceptos matemáticos tratados a través de la literatura.
Entre todos los cuentos que allí se encuentran, se destacan los siguientes que tratan el
tema del infinito.
El Aleph. (Borges, J. L.(1973). El Aleph. Buenos Aires, Argentina: Emecé Editores).
“...El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico
estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era
infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo...”
(El Aleph, Jorge Luis Borges).
La paradoja de Tristam Shandy (Russell, B. (1951). Misticismo y Lógica. Buenos
Aires, Argentina: Piados. Pp 94-95.)
“Tristam Shandy, como se sabe, invirtió dos años de su vida para hacer la crónica de
los dos primeros días de su vida, y se lamentaba que a ese ritmo el material se
acumularía más rápidamente de lo que él era capaz de elaborarlo, de suerte que con el
paso de los años cada vez estaría más lejos del final de su relato. Ahora bien yo
sostengo que si él hubiese vivido eternamente sin sentirse cansado de su trabajo,
entonces, aun en el caso de que su vida hubiese estado tan repleta como cuando
comenzó, ninguna parte de su biografía habría quedado sin escribirse... Esta
proposición paradójica, pero perfectamente verdadera, depende del hecho de que el
número de días de todo el tiempo no es mayor que el número de años”. (La paradoja
de Tristam Shandy, Bertrand Russell).
El libro de arena (Borges, J. L.(1975). El Libro de arena. Buenos Aires, Argentina:
Emecé Editores).
“Fue entonces que el desconocido me dijo:
-Mírela bien. Ya no la verá nunca más.
...En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hojas...
...-Me dijo que su libro se llamaba El Libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen principio ni
fin.
Me pidió que buscara la primera hoja...Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la
portada y la mano. Era como si brotaran del libro...
-El número de páginas de este libro es exactamente infinito. Ninguna es la primera; ninguna, la
última...” (El libro de arena, Jorge Luis Borges)
Conclusiones
Existe una dificultad que radica no sólo en el conflicto originado en los alumnos por
adquirir el concepto sino también, en los docentes por lograr la transposición
adecuada del conocimiento.
Al momento de enfrentarse con el infinito, se pueden adoptar diferentes posturas. La
propuesta de hacerlo a través de problemas clásicos y lecturas motivadoras permite
abordar en el aula un concepto que, por su complejidad, generalmente estuvo
apartado de los programas de educación media. Por otro lado, su ausencia se hace
notable al momento de enfrentar conceptos básicos del análisis matemático.
409

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La sencillez de los problemas planteados y de las lecturas recomendadas permiten al
docente abordar este tema en cualquier momento del curso y de esta manera, lograr,
por un lado, un aprendizaje gradual, y por otro, afianzar el concepto de infinito como
expresión puramente matemática.
Blibliografía
Barallobres, G., Sassano, M. (1994). Matemática 4. Argentina: Aique Grupo Editor.
Bell, E. (1948). Los grandes matemáticos. Desde Zenón a Poincaré. Argentina:Ed. Losada.
Corbalán, F. (1998). La Matemática aplicada a la vida cotidiana. España: Ed. Graó.
Courant, R., Robbins, H. (1964). ¿Qué es la matemática?. Editorial Aguilar.
Crespo Crespo, C. (2002). “La noción de infinito a través de la historia”. En Acta Latinoamericana de
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De Guzmán, M., y otros (1993). Matemáticas. Bachillerato 2, España: Editorial Anaya.
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Palacios, A., Barcia, P., Bosch, J., Otero, N. (1995). Los Matematicuentos. Presencia matemática en la
literatura. Argentina: Magisterio del Río de la Plata.
410

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
LAS ACTITUDES HACIA LA MATEMÁTICA Y EL RENDIMIENTO
ACADÉMICO EN ALUMNOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Margarita Veliz de Assaf y María Angélica Pérez de del Negro.
Universidad Nacional de Tucumán, Argentina
mveliz@herrera.unt.edu.ar y mperez200@hotmail.com
Resumen
Como parte de un trabajo de investigación para la búsqueda de nuevas estrategias, con el fin de
optimizar el aprendizaje de la Matemática, se abordaron una serie de actividades para evaluar las
Actitudes hacia la Matemática (AHM) de los alumnos que cursaron Cálculo Diferencial en el año
2002, asignatura correspondiente a 1º año de nuestra Facultad. Se seleccionó una muestra al azar de
250 alumnos sobre un total de 1100 y se trabajó con una Escala Likert para las mediciones. En este
trabajo se muestra el grado de asociación entre el rendimiento y las AHM de los estudiantes, los
niveles de asociación entre el rendimiento y cada uno de los aspectos mencionados, como así también
la relación existente entre el rendimiento y los perfiles actitudinales construidos sobre la base de dichos
aspectos.
Introducción
Como punto de partida para el estudio de las AHM, se indagó sobre los siguientes
aspectos actitudinales: la dificultad percibida para el aprendizaje de la Matemática, el
temor del alumno para trabajar en Matemática y para participar en clase, el gusto por
la Matemática, percepción de comprensión, percepción de competencia para el
aprendizaje, utilidad de la Matemática y la percepción del profesor.
En los resultados se presentan los niveles de asociación hallados entre el rendimiento
y cada uno de los aspectos mencionados, como así también la relación existente entre
el rendimiento y los perfiles actitudinales construidos sobre la base de dichos
aspectos (desfavorable, neutro y favorable).
La evaluación de las actitudes se realizó en los mismos alumnos que la evaluación
del rendimiento académico, con la finalidad de poder llegar a conclusiones que se
puedan complementar. Sobre este tema existe abundante bibliografía internacional
que sustenta la asociación entre rendimiento y actitudes. Esta bibliografía permite
respaldar y guiar el proceso de evaluación, además de dar referentes para comparar
los resultados.
Actitudes. Definición
Las actitudes son definidas como “la tendencia psicológica que se expresa a través de
la evaluación favorable o desfavorable de una entidad en particular. Dicha entidad
puede ser un objeto, una persona, un suceso o cualquier evento capaz de ser
valorado” (Eagly y Chaiken, 1998: 269). El objeto de actitud en este caso es la
Matemática.
La primera dificultad a que se enfrenta toda investigación en actitudes, se refiere al
hecho de que éstas “son entidades no observables y no se traducen necesariamente en
conductas” (Summers, 1976: 14). Las actitudes son adquiridas; la forma en que se
presentan es variada, proviniendo de experiencias positivas o negativas con el objeto
411

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
de la actitud, y/o modelos que pueden provenir de compañeros de clase, docentes,
padres, materiales de estudio, etc.
La relevancia de las actitudes reside en la consistencia que tienen con la conducta. Lo
que se espera es que si una persona tiene una actitud favorable hacia un determinado
objeto, se comportará favorablemente hacia dicho objeto. Sin embargo, las actitudes,
positivas o negativas, no siempre resultan en conductas consistentes con las mismas.
El estudio de las actitudes ha sido objeto de atención en el campo de la Psicología, y
en especial entre los psicólogos sociales de las últimas décadas. Auzmendi (1992: 16)
resalta que “las actitudes deben su fuerza motivacional a que producen ciertos
sentimientos, placenteros o displacenteros en el sujeto”.
Componentes de las actitudes
Las respuestas mensurables de la actitud se llaman componentes y son tres:
• componente cognoscitivo, definido por las creencias y percepciones de una
persona sobre el objeto de la actitud.
• componente afectivo, definido por los sentimientos que el individuo tiene
hacia el objeto de la actitud y la intensidad de los mismos. Este componente
considera el aspecto esencial de una actitud, a tal punto que algunos
investigadores lo tratan como si fuera la actitud misma.
• componente de voluntad o conductual, definido por la respuesta que el sujeto
tendría en reacción al objeto de la actitud. Tiene que ver con la probabilidad o
con la tendencia de que un alumno emprenda una acción específica o se
comporte de una forma particular.
“Una visión amplia del tema de las actitudes como campo de investigación, debe
tener en cuenta los tres componentes básicos de toda actitud: cognoscitivo, afectivo y
conductual” (Auzmendi, 1992: 17).
Instrumento: para evaluar actitudes pueden considerarse varios tipos de instrumento.
En este trabajo se utilizó el de informes acerca de sí mismo o autoevaluaciones,
aplicado colectivamente, con descripción del sujeto. Esta forma de aplicación es la
más popular según Summers (1976: 25), ya que con un instrumento se recogen las
expresiones de cada uno de los sujetos en una toma colectiva de datos.
Variables: respecto a las variables que se miden, una actitud puede considerarse una
variable continua. Las variables de actitud, como creencias, preferencias e
intenciones, son medidas con escala de clasificación. Tales escalas proporcionan a los
entrevistados un conjunto de categorías numeradas que representan el rango de
juicios de posiciones posibles. En este trabajo, utilizamos la Escala Lickert para las
mediciones, llamada “escala totalizada o aditiva” porque los resultados de las
afirmaciones individuales se suman para presentar un puntaje total. Es una escala
graduada que va del “Totalmente desfavorable o en desacuerdo” al “Totalmente
favorable o de acuerdo”, utilizando el intervalo del “1 al 5”.
Investigaciones sobre actitudes hacia la Matemática y rendimiento académico
Estudios internacionales han mostrado que existe una relación significativa y directa
entre las actitudes de los alumnos y el rendimiento en Matemática. Entre ellos, el
412

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
estudio del TIMSS (Third Internacional Math and Science Study) realizado entre
1994 y 1995 con la participación de más de 40 países, en el que se concibieron las
actitudes como un insumo para facilitar el aprendizaje cognoscitivo y como un
producto deseable de cualquier sistema educativo. Los resultados varían por países y
niveles educativos. En conjunto, se muestra una relación positiva entre el gusto por la
Matemática y las puntuaciones obtenidas en pruebas de esta asignatura.
Los estudios del Nacional Assesment of Education Progress (NAEP) realizados entre
1994 y 1996 en EE.UU. revelaron que existe asociación entre el gusto por la
Matemática y la disposición de los alumnos para estudiarla.
Si bien en los estudios mencionados, y en general en la literatura que trata sobre el
tema, se muestra la asociación de las actitudes con el desempeño de los estudiantes.
Es preciso considerar que puede darse el caso de un alumno que alcance un nivel de
rendimiento satisfactorio, y tenga una actitud desfavorable frente a la asignatura. De
esta manera, una actitud favorable no garantiza un mejor rendimiento, aunque sí eleva
la probabilidad de que éste se dé.
Es importante mencionar que la relación entre actitud y rendimiento es bidireccional
y compleja. Desde la psicología educativa se postula que la participación activa del
alumno en clase favorece su involucramiento en el proceso educativo y, por tanto, su
nivel de desempeño y logro.
Desarrollo
Este estudio se llevó a cabo mediante una muestra de tamaño 250, seleccionada
aleatoriamente de los 1100 alumnos inscriptos para cursar Introducción al Análisis
Matemático (Cálculo Diferencial) en el año 2002. Se aplicó el instrumento para medir
actitudes al comienzo y al final del cursado de la asignatura, que contenía los
componentes cognoscitivo, afectivo y conductual. Los resultados de las afirmaciones
individuales se sumaron para presentar un puntaje total para cada alumno. A cada
reactivo se le dio la misma dirección, en todos los casos "hacia la Matemática",
obteniéndose los distintos niveles actitudinales que se utilizaron en esta investigación
(Veliz y Pérez, 2003).
Cuadro Nº 1: Distribución conjunta del gusto por la Matemática observada al
comienzo y final del dictado de Introducción al Análisis Matemático. Año 2002.
Gusto por la
Matemática -- Al
final
Gusto por la Matemática -- Al comienzo. %
Agrado Indiferente Desagrado
Total
Agrado 25.0 14.1 13.0 52.1
Indiferente 8.2 11.7 18.7 38.6
Desagrado 0.0 2.3 7.0 9.3
Total 33.2 28.1 38.7 100.0(2
50)
413

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La concordancia en las respuestas al comienzo y al final de esta variable categórica
ordinal se midió con el estadístico no paramétrico Somer's (Siegel, 1995: 346), que
nos indica el grado de concordancia entre el gusto por la Matemática observado en
dos momentos (al comienzo y final del dictado de la asignatura). En este caso, el
estadístico Somer's D = 0,3473 nos indica una leve concordancia. Las frecuencias
porcentuales indicadas en la diagonal principal del cuadro son las que manifiestan
permanencia o acuerdo entre el gusto antes y después. Podemos decir que los que
tuvieron una actitud positiva al comienzo (33.2 %) en un pequeño porcentaje (8.2 %)
no la mantuvieron declarándose al final indiferentes. Los que se manifestaron
inicialmente indiferentes (28.1%), en un porcentaje considerable (14.1%) se ubicaron
luego en el agrado, el (11.7%) permanecieron en la indiferencia, y el resto (2.3%)
pasó al desagrado. Los que manifestaron al comienzo una tendencia negativa hacia la
Matemática, en su gran mayoría la dirigieron al final hacia una actitud más positiva.
De igual modo se analizaron todos los aspectos actitudinales considerados.
Este estudio, nos llevó a analizar también la relación existente entre los aspectos
actitudinales y el rendimiento académico de los alumnos.
Rendimiento académico
El rendimiento académico es una expresión valorativa particular del logro alcanzado
por los alumnos, correspondiente a un período dado en el proceso educativo, que se
presenta en el área del conocimiento, y en el marco de una institución. Se eligió como
indicador del rendimiento académico, las calificaciones obtenidas por los alumnos
en las tres pruebas parciales y la calificación final del curso de Introducción al
Análisis Matemático, porque se consideró que éstas pueden reflejar el avance que
tuvieron los alumnos en lo explícito, en el cuatrimestre en que se dictó la asignatura,
bajo las condiciones que institucionalmente se fijaron.
Relaciones entre variables
En el Cuadro Nº 2 se muestra los porcentajes de los alumnos que se ubican en cada
uno de los aspectos actitudinales estudiados, así como el rendimiento académico en las
medias de las calificaciones de los exámenes parciales y final para cada uno de esos
aspectos. Se observa que los mayores porcentajes se encuentran en las categorías
consideradas como favorables y que los promedios de las calificaciones en cada uno
de los exámenes considerados para las categorías favorables se encuentran por encima
de la media general de cada uno de los exámenes. Por lo que se puede apreciar que el
rendimiento está asociado positivamente con las respuestas a las preguntas
consideradas para el estudio.
Cuadro Nº 2: Distribución de los alumnos y medias de las calificaciones en los
exámenes según las categorías de los aspectos considerados. Introducción al Análisis
Matemático. Año 2002.
414

Aspectos
Actitudinales
Temor
Gusto
Percepción de
competencias
para el
aprendizaje
Percepción del
Categorías---- %
SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
1º
parcial
µ= 6.9
Calificación Promedio
2º
parcial
µ=5.3
3º
parcial
µ=6.0
Exam
en
final
µ=5.7
No manifiesta 87.0 7.0 5.5 6.5 5.9
Si manifiesta 13.0 5.8 4.5 5.1 4.9
Agrado 33.1 7.3 5.8 6.4 5.9
Indiferente 28.4 6.8 5.0 5.6 5.6
Desagrado 38.4 6.5 4.9 5.3 5.1
Alta 72.0 7.0 5.4 6.2 5.7
Baja 18.0 6.5 4.8 5.4 5.2
Buena 86.0 7.0 5.3 6.3 6.0
profesor Mala 14.0 6.5 4.8 5.4 4.6
Dificultad Sin dificultad 51.0 7.3 5.9 6.3 6.0
percibida para el Alguna 40.0 6.2 5.1 5.6 5.3
aprendizaje dificultad
Con dificultad 9.0 5.8 4.9 5.1 5.2
Percepción de Buena 84.0 7.3 5.9 6.0 6.6
comprensión Mala 16.0 6.7 5.2 5.5 5.8
Se determinó que en cada una de las categorías del rendimiento en el examen final
(malo, regular, y bueno), las frecuencias decrecen con respecto a las categorías del
gusto excepto los de rendimiento malo que su gusto se manifiesta en la indiferencia y
el desagrado.
Otro aspecto importante estudiado es la percepción del profesor con respecto al
rendimiento.
Es significativamente diferente el rendimiento de los alumnos con experiencias de
buenos profesores que los que manifiestan experiencias con malos profesores. Para
ellos se realizó un test estadístico de rangos no paramétrico de Kruskal-Wallis entre
los dos grupos independientes (con experiencia de buenos y malos profesores). Se
testó la hipótesis nula “No existen diferencias entre los rendimientos de ambos
grupos”. El estadístico de prueba KW = 10,2423 P-Value = 0,0013, con lo que se
rechaza la hipótesis nula aceptando que el rendimiento en ambos grupos es diferente.
En el Cuadro Nº 3 se puede observar la relación existente entre el rendimiento y los
niveles actitudinales construidos sobre la base de dichos aspectos.
Cuadro Nº 3: Medias de los Rendimientos en los Exámenes según los niveles
actitudinales. Introducción al Análisis Matemático. Año 2002.
415

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
416
Examen
Desfavorable
(18,3%)
Niveles Actitudinales Anova
Neutro
(36,6%)
Favorable
(45,1%)
F Prob
1º Parcial 5.36 5.94 6.53 3,26 0,039
2º Parcial 5.02 5.08 5.72 3,03 0,050
3º Parcial 5.18 5.83 6.1 6.14 0.002
Final 5.1 6.0 6.6 3,26 0,039
El test Anova realizado en cada uno de los niveles actitudinales, indica para cada uno
de los exámenes, que existen diferencias significativas entre las medias de cada uno
de ellos, siendo la del nivel favorable diferente a la del desfavorable.
Conclusiones
Del estudio de la variable Actitud hacia la Matemática, y de su relación con el
rendimiento académico de los alumnos, se desprende que:
• Los aspectos actitudinales analizados son muy relevantes en el rendimiento,
ya que las respuestas que denotan una actitud favorable se relacionan de manera
directa con el nivel de logro académico alcanzado por los alumnos.
• Los resultados encontrados, sugieren la importancia de la dimensión afectiva
del aprendizaje sobre el rendimiento académico de los estudiantes.
• La recepción de los contenidos por parte de los alumnos, la comprensión de la
información que reciben, el sentimiento de competencia para el aprendizaje
expresado por su seguridad, y el gusto por la materia, tienen una asociación
significativa con el rendimiento, aunque la magnitud de cada aspecto sobre la
variable rendimiento es diferente. Esto nos sugiere que para lograr un mejor
rendimiento, es necesario que los alumnos se sientan competentes para aprender,
comprendan los contenidos que se trabajan en clase, cuenten con un ambiente en
el aula que estimule y motive sus participaciones.
• Este estudio sugiere la existencia de una fuerte relación entre el rendimiento
académico de los alumnos y el gusto por la Matemática, como así también con la
percepción del profesor. Los alumnos con buen rendimiento académico tienen una
actitud más positiva hacia la Matemática
•
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Matemática, Chivilcoy, Buenos Aires.
417

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
LAS PRÁCTICAS SOCIALES COMO GENERADORAS DEL CONOCIMIENTO
MATEMÁTICO
Jaime Arrieta, Gabriela Buendía, Marcela Ferrari, Gustavo Martínez, Liliana Suárez
Cinvestav-IPN, UAEH, UAGRO. México
j_arrieta@hotmail.com, gbuendia@uaeh.reduaeh.mx, mferrari@mail.cinvestav.mx,
gustavomtzs@yahoo.com.mx, lsuarez@mail.cinvestav.mx
Resumen
La socioepistemología, como aproximación teórica, aborda la construcción del conocimiento
matemático a través de cuatro dimensiones actuando de manera sistémica: cognitiva, didáctica,
epistemológica y social. Aunque es un marco teórico en construcción, marca desde su génesis, una
manera distinta de hacer investigación en Matemática Educativa pues se reconocen y estudian
científicamente elementos presentes en la construcción del conocimiento como las herramientas y
argumentos utilizados en contextos interactivos. Estos elementos serán la metáfora para explicar la
construcción del conocimiento matemático.
Las investigaciones socioepistemológicas permiten concebir a la matemática no como un saber fijo y
preestablecido, sino como un conocimiento con significados propios que se construyen y reconstruyen
en el contexto mismo de la actividad que realiza el hombre. Este artículo da cuenta de la
sistematización de la reflexión habida a propósito del Grupo de Trabajo Las Prácticas Sociales como
Generadoras del Conocimiento Matemático realizado en el marco de la XVII Reunión
Latinoamericana de Matemática Educativa realizada en Santiago de Chile entre los días 21 y 25 de
julio de 2003. El Grupo de Trabajo tuvo como objetivo plantear un escenario donde se mostraron
algunas de las investigaciones doctorales que se han generado recientemente bajo este marco. En ellas,
se abordan aspectos como la relación entre prácticas sociales y el conocimiento matemático y el uso de
herramientas en contextos interactivos. La riqueza de la discusión está en la diversidad de temas
matemáticos sobre los que se ha investigado y que, sin embargo, coinciden en tratar al conocimiento
matemático como una construcción social.
La socioepistemología como base de reconstrucción de significados
El acercamiento socioepistemológico desarrolla estrategias de investigación de
naturaleza epistemológica donde ésta es entendida como el estudio de las
circunstancias que favorecen o posibilitan la construcción del conocimiento. Que la
epistemología sea entendida a través de la actividad humana permite tomar como
objeto de estudio situaciones que no están definidas en una estructura matemática y
que, sin embargo, están presentes cuando se estudia al hombre haciendo matemáticas
y no sólo su producción matemática. Es en este sentido donde los aspectos
constructivos del conocimiento son el foco de interés para nuestras investigaciones.
El planteamiento anterior deriva en el análisis de la relación entre prácticas sociales y
el conocimiento, entendiendo a las prácticas sociales como un conjunto de acciones
voluntarias que, intencionalmente, desarrolla el individuo para construir
conocimiento.
Las investigaciones que se están desarrollando han dado evidencia de elementos
socioepistemológicos de conceptos como los logaritmos (Ferrari, en prensa) y lo
periódico (Buendía y Cordero, 2003). A través de revisiones históricas y de lo que
sucede en los sistemas didácticos, en esas investigaciones se da evidencia de cómo el
discurso matemático suele favorecer sólo algunos aspectos relacionados con dichos
conceptos, dejando de lado elementos presentes en la construcción social del
418

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
conocimiento tales como los argumentos y las herramientas relacionadas; que son
básicamente aquellos factores que posibilitan la construcción del conocimiento.
Tradicionalmente, la epistemología de conceptos ha permitido explicar las
dificultades en la adquisición de objetos estáticos; sin embargo, no ha logrado
establecer relaciones, más allá de un nivel utilitario, entre los diferentes tópicos del
conocimiento matemático. Nuestra hipótesis básica, en cambio, es que una
epistemología basada en prácticas sociales favorecería un estudio de la construcción
social de la matemática a través de la reconstrucción de significados asociado al saber
matemático. De esta manera, se favorecería el carácter funcional del mismo.
Una vez que se reconocen a las prácticas sociales como generadoras de conocimiento,
las situaciones que se diseñan fundamentadas en dichas socioepistemologías permiten
hacer evidente herramientas y argumentos en los contextos interactivos del salón de
clases.
La predicción y lo periódico
Un resultado que arroja la investigación bajo la perspectiva socioepistemológica es la
relación entre la predicción, como práctica social y lo periódico en un contexto de
funciones (Buendía y Cordero, 2002, 2003).
El discurso matemático escolar suele favorecer la presentación inicial de la
periodicidad funcional, a través del estudio de las funciones trigonométricas, como el
seno, que son periódicas con periodo 2π porque sen (x +2π) = sen x. De ahí,
cualquier fenómeno que se modele a través de dicha función será, por consiguiente,
periódico. Esta presentación favorece una errónea generalización hacia concepciones
como “Cualquier función que tenga forma senoidal será periódica” El significado que
parece estar presente es que cualquier tipo de regularidad hace que la función sea
periódica.
Sin embargo, la revisión epistemológica de la periodicidad en las funciones
trigonométricas muestra que, a pesar de que funciones como el seno y coseno eran
conocidas desde principios de nuestra era, dicha propiedad no fue reconocida y
analizada sistemáticamente sino hasta el siglo XVIII.
Ese reconocimiento se debe al trabajo de Euler en ecuaciones diferenciales, en el que
el autor tuvo necesidad de utilizar explícitamente la función seno (y no arco seno,
como tradicionalmente se había hecho) de tal manera que el desplazamiento del
móvil en estudio pudiera quedar expresado en términos del tiempo. Esto le permitió
estudiar el movimiento en cualquier tiempo y sus propiedades.
Creemos que esta acción de predecir favorece, en el caso de los movimientos
repetitivos, una reconstrucción de significados alrededor de la regularidad del
movimiento. Es por medio de dicha reconstrucción que el aspecto periódico de las
funciones puede generarse de una manera funcional dentro del saber matemático de
un individuo.
La integración sistémica de conocimientos matemáticos como práctica social
Martínez (2002, 2003) han dado evidencias que permiten aislar la presencia de un
mecanismo de construcción de conocimiento, al que han denominado convención
matemática, que construye los significados y funcionalidad de los convencionalismos
relativos a los exponentes. Preguntas como qué significado puede dársele a la
419

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
expresión a x ? pueden ser planteadas y resueltas a través del mecanismo mencionado.
Una caracterización de tal mecanismo se puede resumir como: el proceso mediante el
cual un significado es convenido para posibilitar la construcción de cuerpos
unificados y coherentes de conocimiento matemático (es decir para la integración
sistémica de conocimientos).
Tal caracterización es el resultado del estudio de las diversas formulaciones, a lo
largo del devenir histórico, que hemos encontrado en relación a los exponentes no
naturales: al seno de dos sintaxis algebraicas y en dos semánticas gráficas. Tal
caracterización es posible debido a que en todas las formulaciones señaladas es
posible observar el funcionamiento de la misma herramienta para construir
significados aun en escenarios distintos (algebraicos y gráficos, por ejemplo). A tal
herramienta la han denominado “Convención matemática”.
Lo anterior es un hallazgo importante para nuestro proyecto de reconstrucción del
discurso matemático escolar; ya que permite señalar que la atención debe ser puesta
en los mecanismos constructivos y no en los conceptos matemáticos en sí. De esta
manera la pregunta básica, ¿qué es lo que permite construir conocimiento?, adquiere
aquí un marco de referencia específico y la respuesta apunta hacia la conformación de
un escenario centrado en una práctica social de integración sistémica de
conocimientos matemáticos; en donde la convención matemática sería un
consecuencia particular de tal práctica. Con esta idea básica se pretende poner en
marcha una línea de investigación, al seno de la socioepistemología, que explore
algunas de las “componentes de convención matemática” presentes en la construcción
de diversos contenidos matemáticos. La tarea es presentar ejemplos que apoyen esta
hipótesis, la que es una guía para las investigaciones futuras.
La covarición y los logaritmos
Al seno de este acercamiento socioepistemológico, en Ferrari (2003), se presenta un
estudio de la dislexia en la presentación escolar de los logaritmos. Esto es, su carácter
operativo en bachillerato para luego reaparecer en los cursos de Cálculo (nivel
superior) pero como función.
Su presencia en el discurso matemático escolar, puede tildarse de ostensivo, es decir,
“ver y creer” sin ser construido escolarmente lo cual consideramos que propicia la no
apropiación de este concepto.
Del estudio de la evolución de esta noción desde sus inicios, cuando aún no era
definida formalmente, hecho debido a Napier en 1614, la relación entre una
progresión geométrica y una aritmética, definición primera de los logaritmos, se
constituyó en una fuente rica en significados que permitió ser modelado en varios
registros y a su vez modelar fenómenos de la naturaleza.
Su origen como “facilitadores de cálculos”, es decir, su definición con el fin
multiplicar sumando, fue extendiéndose hasta llegar a nuestros días como una
poderosa herramienta utilizada en varios contextos y ciencias.
Creemos que percibir a los logaritmos como la covariación entre una progresión
geométrica y una aritmética, es un potente argumento de resignificación de los
logaritmos que nos permite vislumbrar caminos de construcción escolar de esta
noción, mismo que no habría sido relevante si el estudio hubiera sido de corte
netamente histórico.
420

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Hacia una modelación del Cálculo
Uno de los puntos de atención es la reconstrucción de significados 1 del Cálculo en la
que el contexto y la intención didáctica de las actividades de aprendizaje
proporcionan elementos para reformulaciones epistemológicas del saber matemático
que se presenta en el salón de clases. La formulación epistemológica del Cálculo de
esta aproximación puede explicarse como se señala a continuación (Cordero, 1998):
“Consideramos el Cálculo como el estudio de los fenómenos de variación, donde la
operación fundamental es la resta que modela la comparación de dos estados.
Algunas veces en una situación local y otras veces en una situación global. Esta
visión […] corresponde más a una base de modelación y de uso”, p. 59.
Esta perspectiva epistemológica del Cálculo es distinta a otros proyectos de
innovación para la enseñanza del Cálculo. Por un lado, proporciona explicaciones de
cómo surge el conocimiento matemático, cuál es su funcionamiento y cuáles sus
diversas formulaciones. Y por otro lado da elementos para cambiar el discurso de la
enseñanza del Cálculo, esto es, rediseñarlo. (Alanís, 2000). Plantea un programa de
investigación en el cual se parte de estos marcos de referencia epistemológica hacia el
estudio de los planos de representación de los estudiantes para proporcionar
explicaciones que permitan una reorganización en el salón de clases. (Cordero, 1998).
El programa consiste en tomar los estudios realizados en la década de los noventa
(Cantoral, 1990; Cordero, 1994) como base epistemológica para la búsqueda de
elementos que permitan el rediseño del discurso matemático escolar del Cálculo.
En este contexto se inscribe un proyecto de investigación titulado El estudio de la
variación a través de las prácticas de simulación, graficación y manejo de datos
(Suárez 2001). En este proyecto se proporcionará una explicación de las
construcciones matemáticas de los estudiantes cuando utilizan herramientas
tecnológicas para el estudio de fenómenos de variación. El supuesto básico es que
estas construcciones se encuentran determinadas por las herramientas y los
significados que se generan a partir de las prácticas mencionadas, por lo tanto el
propósito de la investigación es caracterizar, dentro de la perspectiva teórica de la
socioepistemología, la simulación, la modelación y el manejo de datos como formas
de construcción del conocimiento matemático.
Comentarios finales
Lo anterior ha permitido compartir con la Comunidad Latinoamericana de
Matemática Educativa que bajo una misma Escuela de Pensamiento de naturaleza
social, pueden convivir diversos estudios que a medida que se fortalecen, generan
líneas de investigación. Esto permite el desarrollo de la disciplina y, al mismo tiempo,
favorece que cada comunidad nacida por la expansión de dichas líneas reconozca sus
condiciones, recursos y posibilidades y pueda establecer sus estrategias, medios y
escenarios, formular acciones y teorizar (que es hacer ciencia) para trazar
orientaciones y entender lo que se desarrolla en su seno.
1 A la incorporación en experiencias de aprendizaje de los significados identificados en los análisis
epistemológicos se le ha llamado reconstrucción de significados (Cordero, 1992; 1994; 1998; 2001; Cantoral,
1990; Muñoz, 2000).
421

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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422

MODELOS MATEMÁTICOS
SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Víctor Martínez Luaces, Patricia Camarena Gallardo y María Salett Biembengut
U. de la República Oriental de Uruguay, IPN de México, U. Regional de Blumenau
Uruguay, México y Brasil
victorml@fing.edu.uy, patypoli@prodigy.net.mx
Resumen
Este reporte corresponde a la contribución colectiva que surgió del debate del Grupo de Discusión y
trabajo titulado: Modelos Matemáticos. En éste se abordan las siguientes preguntas: a) ¿Por qué los
modelos matemáticos en los diferentes niveles educativos?. b) ¿Qué relación existe entre los modelos
matemáticos, la resolución de problemas y la matemática en el contexto de las ciencias?. Al mismo
tiempo que se da información acerca de las investigaciones que se han enfocado a los modelos
matemáticos: Caracterización de lo que son los modelos matemáticos; clasificación de los modelos
matemáticos; ejemplos de modelos matemáticos; etc.
Concluyendo con las opiniones de los asistentes para enriquecer este trabajo.
Introducción
El Grupo de Trabajo titulado: "Modelos Matemáticos" pretende que se discuta y
reflexione acerca del tema de modelos matemáticos. Esto significa que se aborden las
interrogantes que indagan acerca de ¿por qué los modelos matemáticos en los
diferentes niveles educativos?, ¿qué relación existe entre los modelos matemáticos, la
resolución de problemas y la matemática en el contexto de las ciencias?, ¿cómo
incorporar los modelos matemáticos a las aulas de clases?
Es menester mencionar que los participantes de este grupo de trabajo fueron: José
Ortiz de Venezuela; de Chile participaron cinco colegas: Renate Laudien, Gladys
González, Francisco Navia, Patricia López y Hernán Muñoz; los asistentes de
México fueron: Julieta Verdugo, Claudia Muro y Luis Briceño; la décima persona fue
Verónica Molfino de Uruguay; más los responsables del grupo de trabajo.
Para el desarrollo de las sesiones del Grupo de Trabajo las actividades se dividieron
en dos grandes rubros.
La primera sesión se concibió en dos etapas, la que estuvo enfocada a abordar por
parte de los conductores del Grupo de Trabajo las siguientes preguntas: a) ¿Por qué
los modelos matemáticos en los diferentes niveles educativos?. b) ¿Qué relación
existe entre los modelos matemáticos, la resolución de problemas y la matemática en
el contexto de las ciencias?. La segunda etapa se dedicó a dar información acerca de
las investigaciones que se han enfocado a los modelos matemáticos: Caracterización
de lo que son los modelos matemáticos; clasificación de los modelos matemáticos;
ejemplos de modelos matemáticos.
La segunda sesión se desarrolló en base al debate sobre los modelos matemáticos.
Desarrollo
Acerca de la interrogante de por qué los modelos matemáticos en los diferentes
niveles educativos se presentó la siguiente cita:
Uno de los propósitos de que la matemática esté incorporada en los
diferentes niveles educativos es que la matemática apoye al individuo a
423

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
resolver problemas de su vida cotidiana y laboral. Un elemento que se
destaca de la resolución de problemas es la formulación del modelo
matemático, razón por la cual deben estar considerados los modelos
matemáticos en todos los niveles educativos (Camarena, 2000).
Respecto a la segunda interrogante se comentó lo siguiente que la resolución de
problemas, como su nombre lo indica, se aboca a que el alumno resuelva problemas,
que pueden ser dentro de la propia matemática o de aplicación de la matemática.
Desde el punto de vista de la investigación se sabe que están presentes diferentes
elementos cognitivos y psicológicos al momento de llevar a cabo la resolución de un
problema, lo que determina la teoría de la resolución de problemas, denominada en
otros ámbitos como "problem solving" o PBL.
Para el logro de la solución del problema planteado se hace necesario construir uno o
más modelos matemáticos, lo que muestra que los modelos matemáticos son una
parte de la resolución de problemas.
La matemática en el contexto de las ciencias es una teoría que aborda la problemática
de la enseñanza y aprendizaje de la matemática en carreras en donde la matemática
no es una meta por sí misma. Posee cinco fases: didáctica, cognitiva, epistemológica,
curricular y de formación de docentes. La fase curricular incluye una metodología
para el diseño de programas de estudio de matemáticas, la cual se denomina
DIPCING (Camarena, 1984). La fase cognitiva ofrece resultados de investigaciones
en donde la motivación hacia el aprendizaje de la matemática se acrecenta con la
matemática en contexto; también se ha determinado que para que el estudiante pueda
construir su conocimiento es necesario que transite por diversos registros: numérico,
algebraico, analítico, visual y contextual(Camarena, 1999). La fase epistemológica
posee diversos resultados entre los más relevantes es el constructo teórico de
nominado "transposición contextualizada", en donde se establece que la matemática
escolar tiene que sufrir transformaciones para ser una matemática de aplicación
(Camarena, 2001). La fase de formación docente contempla una propuesta para los
profesores denominada: Especialidad en docencia de la ingeniería matemática en
electrónica (Camarena,1990). Finalmente la fase didáctica posee una propuesta
didáctica con el auxilio de la resolución de problemas (denominada: Matemáticas en
Contexto), sólo que en la matemática en contexto se abordan problemas que están
vinculados con las demás asignaturas que cursa el estudiante y con problemas de su
vida cotidiana; la intención de la propuesta didáctica es favorecer la construcción del
conocimiento y la transferencia del conocimiento en el estudiante y desarrollar las
competencias laborales del futuro profesionista (Camarena, 1987, 1993 y 2000).
Como se puede ver la resolución de problemas aborda cualquier tipo de problema,
incluyendo los de la misma matemática, y pretende la construcción del
conocimiento. Mientras que la matemática en el contexto de las ciencias trabaja la
resolución de problemas abordando problemas vinculados con las demás asignaturas
del estudiante y problemas de su vida cotidiana.
Las diferencias más sustanciales son lo que persigue cada una de estas dos teorías. La
resolución de problemas busca construir el conocimiento y la matemática en el
contexto de las ciencias pretende favorecer la transferencia del conocimiento,
construir el conocimiento y desarrollar competencias laborales.
424

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Correspondiente a los modelos matemáticos se presentaron ejemplos
fundamentalmente vinculados a las Ecuaciones en Derivadas Parciales (E.D.P.),
vinculadas principalmente a problemas de difusión. En tal sentido, es conveniente
observar que la mayoría de los textos vinculan las E.D.P. parabólicas (que son las que
se utilizan en problemas de Difusión), a problemas de Transmisión de Calor. Por este
motivo, se optó por presentar ejemplos innovadores, donde se modelan problemas
concretos de Transferencia de Masa, vinculados a la Ingeniería Química, la Ingeniería
de Alimentos, la Ingeniería Ambiental y otras ramas de la Ingeniería (Martínez
Luaces, V., en prensa).
Otro concepto matemático de suma utilidad en la modelación de problemas es la
Transformada de Laplace. Esta herramienta es usual en problemas de Teoría de
Circuitos, pero su utilidad es menos conocida en otro tipo de problemas, como los
vinculados al Diseño de Reactores. Esto si bien a priori puede parecer excesivamente
técnico, ha sido presentado (en versiones simplificadas) a Profesores de Matemática
de distintos países latinoamericanos, que han podido acceder exitosamente a este tipo
de problemas. En efecto, como ya se mencionó en un trabajo anterior basado en un
mini-curso de RELME XV, estos problemas en algunos casos tienen muy pocos prerequisitos
y resultan sumamente accesibles tanto para los alumnos como para
profesores que no necesariamente tienen formación en Ingeniería (Martínez Luaces,
2001).
En lo que tiene que ver con las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.),
también hay aplicaciones menos comunes que las habituales, en áreas tales como la
Cinética de las Reacciones Químicas (Martínez Luaces, V. y Guineo Cobs, G., 2002).
Algunas de estas aplicaciones tienen mucho interés del punto de vista educativo y
presentan la posibilidad de una enseñanza interactiva y multidisciplinaria, no sólo de
las E.D.O., sino también de los métodos numéricos asociados a las mismas (Guineo
Cobs, G. y Martínez Luaces, V., 2002).
El modelado matemático no sólo se puede ejemplificar a través de las Ecuaciones
Diferenciales (E.D.O. y E.D.P.), o de las Transformadas Integrales (en particular, de
la Transformada de Laplace). Como ya se mencionó, hay ejemplos interesantes de
Cálculo Numérico y también pueden presentarse modelos en los que se recurre al
pensamiento probabilístico o estocástico. Ejemplos de esto último han sido
ampliamente analizados y discutidos en un trabajo presentado en RELME XII,
publicado dos años más tarde en una versión más completa (Martínez Luaces, V. y
Cuitiño, E., 2000).
Esto permitiría en principio una primera caracterización de los modelos matemáticos
que se aplican en otras disciplinas, atendiendo a si se trata de modelos analíticos,
numéricos, o estocásticos. Sin embargo, ese tipo de clasificación no realiza un aporte
muy significativo, ya que sólo toma en cuenta la rama de la Matemática que se utiliza
en la confección del modelo. Por este motivo, existen otras clasificaciones más
profundas de los modelos matemáticos y en particular, se menciona en el grupo de
trabajo, un criterio de clasificación que es específico para los modelos utilizados en
Ingeniería.
La caracterización y clasificación de los modelos matemáticos en ingeniería es la que
emerge del proyecto de investigación cuya referencia es Camarena (2000). En la
ingeniería se matematizan problemas, objetos y situaciones. Se caracteriza a un
425

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
modelo matemático como aquella relación matemática que describe objetos o
problemas de la ingeniería. Se clasifican a los modelos según si se trata de un objeto o
un problema como se muestra en el cuadro No. 1.
426
CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS
Modelaje de objetos
de la ingeniería
Modelaje de problemas de la ingeniería
La clasificación está en
La clasificación está en función de
función del uso que
le da la ingeniería
las áreas cognitivas de la ingeniería
Modelos Modelos Modelos Modelos Modelos Modelos
Estáticos dinámicos de primera de segunda de tercera de cuarta
generación generación generación generación
Cuadro No. 1. Clasificación de los modelos matemáticos según su caracterización
La discusión del grupo
Con los elementos descritos de investigaciones previas de los conductores del grupo
de trabajo se propuso la discusión.
Los participantes mostraron gran preocupación por la falta de preparación de los
docentes acerca de la modelación matemática. Por lo que se propuso que para la
incorporación del tema de modelación matemática en las aulas de clase se le debería
de dar una preparación previa a los docentes incluyendo ejemplos concretos de
modelos como los expuestos en las sesiones de trabajo de este grupo, así como la
caracterización y clasificación de los modelos matemáticos para graduar su dificultad
con propósitos de enseñanza.
Otro punto en el debate fue la incorporación de la tecnología electrónica para la
resolución de problemas. Se comentó acerca de los avances que hay en esta dirección
como los que se desarrollan en México en el nivel medio superior por parte de
profesores de la Universidad Nacional Autónoma de México y el Instituto Politécnico
Nacional y en Uruguay en la Universidad de la República Oriental de Uruguay.
Otro punto que salió a la luz de la discusión fue el hecho de distinguir entre modelos
matemáticos de problemas de la industria y modelos matemáticos de problemas
“simples” con propósitos de enseñanza. Al respecto se comentó que en cada uno de
los países de los participantes hay personas con formación de matemáticos que se
dedican a la modelación matemática de problemas de la industria.
Para finalizar se mira la necesidad de tratar este tema de forma continua.
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427

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
428
LEO PERO NO COMPRENDO. UNA EXPERIENCIA CON INGRESANTES
UNIVERSITARIOS
M.Rosa. Berraondo 2 , Magdalena Pekolj 3 , Nélida, H. Pérez y Raquel Cognigni 4
Universidad Nacional de San Luis-Argentina
mrberr@unsl.edu.ar -mpekolj@unsl.edu.ar - nperez@unsl.edu.ar
Resumen
En el campo de la resolución de problemas matemáticos es innegable la contribución de G.Polya
(1887-1985) en su obra de 1940: ¿Cómo plantear y resolver problemas?, el modelo que propone
coincide en sus rasgos generales con otros descriptos más recientemente. Según este ya clásico modelo
de Polya, las fases o etapas en la actividad de resolución de problemas son cuatro.
Nosotras nos detendremos en la primera etapa: “comprender el problema”, que involucra
fundamentalmente el análisis y la comprensión del texto del problema.
El análisis del enunciado tiene como función principal la elaboración y representación de las relaciones
específicas del problema. Es el paso del lenguaje corriente (estado inicial del texto) al lenguaje
matemático.
En general los alumnos que realizan una lectura superficial y fragmentaria del texto del problema
dirigen su atención hacia algunas componentes del mismo, es posible que se detengan en los datos
numéricos, sin considerar las relaciones que mantienen entre sí, y además dejen de lado condiciones y
preguntas no explícitas directamente en el texto.
En este trabajo analizamos el comportamiento de los alumnos al resolver dos problemas tomados en el
examen diagnostico para ingresantes a la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales –
Universidad Nacional de San Luis, República Argentina (2002). Se pone en evidencia la influencia de
las componentes semántica y sintáctica y de la estructura lógica del enunciado del problema en la
determinación de la solución o de la vía de solución elegida.
Presentamos consideraciones sobre las dificultades encontradas, ejemplificamos dichas situaciones y
finalmente emitimos algunas conclusiones.
Introducción:
− Hacer matemática es ante todo resolver problemas.
− “La solución de un problema no surge nunca de la nada, depende siempre de la
experiencia precedente del sujeto” (R.M.Gagne en Las Condiciones del
Aprendizaje).
Estas afirmaciones, a las que adherimos nos han movilizado a realizar la presente
investigación con la intención de conocer las capacidades para resolver problemas
que traen los alumnos.
La resolución de problemas es de naturaleza sumamente compleja considerada como
proceso cognitivo es decir en relación con el esclarecimiento de diferentes facetas,
propiedades, características cuantitativas de los objetos, procesos o acontecimientos
descriptos en el enunciado del problema, como también si se la considera desde el
punto de vista de su estructura interna, es decir, del sistema de pasos o etapas que debe
realizar el alumno al solucionar un problema matemático con texto.
2 Integrante del Proyecto de Investigación “Políticas de evaluación y las prácticas de los docentes universitarios.
3 Integrante del Proyecto ‘El rol del aprendizaje conceptual de la matemática y la física en el rendimiento de los
alumnos ingresantes a carreras de ciencias e ingeniería de la UNSL’.
4 Integrante del Proyecto de Investigación "Teoría de Juegos/Elección social”

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Según el ya clásico modelo de Polya, las fases o etapas para la resolución de problemas
son:
1:Comprender el problema. 2: Idear un plan para encontrar la solución. 3: Seguir el
plan. 4: Examinar la solución obtenida.
El carácter flexible y dinámico de las etapas está en íntima correspondencia con su
consideración como actividad cognoscitiva y como proceso.
Nos detendremos en la primera fase comprender el problema o sea el análisis del
texto o del enunciado, la cual determina en gran medida el destino del resto de las
etapas de la solución.
El análisis del texto conduce a que el alumno forme una representación de lo que
relata el enunciado, de la situación que se presenta y de las relaciones cuantitativas que
se destacan en el texto del problema.
¿Por qué los alumnos no saben, o no pueden resolver problemas?
Estamos convencidas que el conflicto se produce antes de intentar una solución, la
mayoría de las veces no tiene que ver con los procedimientos matemáticos a emplear,
se da en la primer fase: el alumno lee el texto, pero no lo comprende.
Es decir una de las mayores dificultades reside en los aspectos lingüísticos.
El discurso sobre el lenguaje se presenta en una doble forma:
Lenguaje del texto del enunciado.
Lenguaje que el alumno usa para resolver el problema.
La dificultad del primer punto está íntimamente relacionada con la comprensión.
A menudo el texto no viene expresado en la lengua que espera el alumno o en una
lengua suya, por lo tanto debe traducirlo a su propio lenguaje, y comprender el sentido
de lo pedido para hacerse una imagen de lo que la situación problemática propone.
Lenguaje
del texto
del
enunciado
El alumno
debe
Traducir semánticamente
a una lengua que le sea
propia.
Comprender el sentido de
lo pedido.
Imagen de la
situación
Es claro que se requiere una educación lingüística especial y considerable, citando a
Boero del Grupo de Génova se requiere no sólo "letras", sino que ofrezca un "eficaz
instrumento para resolver problemas matemáticos"
La comprensión del texto llevará a: la representación del problema usando gráficos,
esquemas, tablas, etc.; y a la representación interna que recogerá no sólo los datos
objetivos, sino también la complicada red de relaciones, hechos, procedimientos que
esos datos producen, en realidad se convierte en una representación cognitiva donde
intervienen variedad de elementos (definiciones, signos, conceptos, operaciones,
relaciones funcionales, lenguaje algebraico, etc.) el que resuelve debe pasar al modelo
matemático y lograr la representación simbólica.
429

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El defecto de interpretación del alumno puede ser, puramente lingüístico o en el paso
de la lectura a una modelización del contexto, donde estarán presente sus experiencias
y concepciones anteriores.
Teniendo en cuenta Nesher P.A. (1980, "The Stereotyped nature de word problems" y
estudios más recientes D'Amore B. (1992), consideramos la influencia de tres
componentes que entran en acción a la hora de analizar enunciados de problemas.
La componente semántica, es decir el significado de los términos que aparecen en el
enunciado.
La componente sintáctica, es decir la organización del texto, las funciones de las
palabras (sujeto, verbo, conectivos, etc.) y el modo en que se combinan para producir
el mensaje
La estructura lógica del texto del problema, en ella intervienen varias componentes: los
datos (exceso, falta); las operaciones matemáticas que involucra; la imagen mental que
produce la situación en el lector, el nivel de contenido.
Cuando hablamos del análisis del problema nos estamos refiriendo al complejo proceso
a partir del cual, y en el curso del cual se obtiene como producto el conocimiento cada
vez más profundo y completo de las relaciones contenidas en el problema.
Experiencia:
Instrumento: Prueba Diagnóstico de Matemática. Se analizan los dos problemas con
texto que formaban parte de la prueba que constaba además de 20 ítems de opción
múltiple. Los enunciados fueron tomados textualmente de libros de circulación
corriente. Se eligieron problemas de geometría dado que ella es la gran ausente de la
escuela argentina en las clases de matemática.
Población:
Tres grupos de alumnos ingresantes a la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
2002:
A: aspirantes a Técnico Universitario en Microprocesadores y Profesorado en
Tecnología.
B. aspirantes a Licenciatura y Profesorado en Matemáticas y Física.
C: aspirantes a Licenciatura en Computación.
430
Alumnos que intentan los problemas
Cantidad de pruebas Grupo A 136
Intentan Problema 1 50 36.8 %
Intentan Problema 2 15 11 %
Cantidad de pruebas Grupo B 88
Intentan Problema 1 38 43.2 %
Intentan Problema 2 14 16 %
Cantidad de pruebas Grupo C 197
Intentan Problema 1 87 44.2 %
Intentan Problema 2 26 13.2 %
Enunciado Problema 1.- Un cubo de madera de 4 centímetros de lado está pintado en
toda su superficie exterior de color azul. Realizando cortes horizontales y verticales se

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
obtienen 64 cubitos de 1 centímetros de lado. Determinar el número de cubitos que
tienen 3, 2, 1, 0, caras azules respectivamente.
Explicar el razonamiento que realizó para obtener las respuestas.
Observaciones sobre el enunciado del problema 1:
- El problema contiene datos redundantes, ya que sabiendo que el cubo tiene 4 cm. de
arista, se puede obtener los 64 cubitos que se determinan al cortar en cubitos de 1 cm.
- Las consignas no tienen igual disposición. La primera "Determinar el .....", figura
seguida de la descripción de la situación. La segunda "Explicar el...." está aparte.
Pensamos que algunas de las respuestas obtenidas están relacionadas con estas
observaciones de texto que encontramos al iniciar el análisis.
ANALISIS DE LAS RESPUESTAS AL PROBLEMA 1.
(1) Van directamente a los datos numéricos, caso típico de una lectura superficial y
fragmentaria, , operándolos sin respetar la consigna "Determinar el número.....",
así aparece:- los que relacionan los datos numéricos por medio de una regla de
tres,- los que advierten que los datos son potencias de 2 (4=2 2 ; 64=2 6 ) y
proponen como solución otras potencias de 2. (2 3 =8; 2 4 =16; 2 5 =32).- los que
efectúan 6x4= 256, y no tienen en cuenta que si hay 64 cubitos, la respuesta no
puede ser 256 con caras azules.El 16% de los que intentan la solución se ubican
en este caso (1).
(2) Dibujan correctamente un cubo con sus divisiones y cuentan mal. Es otro
ejemplo de lectura superficial, ya que no utilizan el dato control 64. Al sumar las
respuestas de las caras pintadas de cubitos que tienen 3, 2, 1, 0, caras azules
obtienen: 60, 32, 39, etc. Pensamos que estos errores también están asociados a la
dificultad con la noción de volumen, ya que al contar tienen en cuenta solo lo
visible en su esquema, tres caras, u olvidan el interior. El 30% de los que intentan
la solución se ubican en este caso.
(3) Resuelven con errores, pero fuerzan la solución para obtener suma 64. Es decir
comprenden el enunciado pero fallan en la obtención de la respuesta.
El 7% se ubican en este caso.
(4) Grafican un cubo, y abandonan el problema. No sabe que hacer con los datos.
Comprensión muy primitiva.El 15% de los que intentan se ubican en este caso.
(5) Grafican mal, evidentemente desconocen conceptos matemáticos y no manejan
nociones espaciales. Por ejemplo dibujan un cuadrado de 8x8 y trazan 64
cuadraditos. Usando este gráfico un alumno da una respuesta inesperada, dice
"hay cero cubos pintados, porque lo que se pintan son cuadraditos" . Lectura
muy fragmentaria, ya que el enunciado indica contar cubitos de 0,1,2,3 caras
pintadas de azul. Otros dibujan un tetraedro.Aproximadamente el 5 % se
encuadra en este caso.
(6) Resuelven correctamente el 27 % de los 175 alumnos que abordaron el problema.
Con respecto al análisis lingüístico del texto, observamos que dice lado en lugar de
arista, pero, no apareció ninguna situación que nos hiciera pensar que fue un
distractor, ya que el sujeto de la oración es la palabra cubo.
El hecho de que confunden cuadrado con cubo, no parece estar ligado al término
lado.
431

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Evidentemente el problema1, resultó más atractivo que el 2. Generó mayor
motivación, lo abordaron más alumnos, estimamos que es debido a que se trata de un
texto que induce a la representación de algo concreto: "un dado" , "un cubo mágico",
algo conocido por muchos.
Enunciado Problema 2.- Sobre los lados de un triángulo rectángulo isósceles de
cateto b, se construyen hacia el exterior, tres cuadrados; se unen los centros de los
tres cuadrados con líneas rectas. Calcular el área del triángulo obtenido al unir los
centros de los tres cuadrados.
Observaciones sobre el enunciado del problema 2:
Una interpretación correcta del enunciado conducirá a la representación geométrica de
la situación donde se reflejen las condiciones planteadas, llevando a lenguaje
algebraico las relaciones que se visualizan, puede obtenerse la solución con relativa
facilidad.
Como expresáramos en la introducción, la interpretación del texto está ligada al
significado de las palabras, cada significado trae aparejado el conocimiento
matemático del concepto que involucra dicho término; así en ese sentido en este
problema podemos destacar las siguientes frases y términos:
Triángulo rectángulo isósceles.
Sobre los lados de un triángulo rectángulo.
Cuadrado.
Centro de un cuadrado.
Area del triángulo.
Cateto.
Este problema, a diferencia del primero, presenta:
Un lenguaje más técnico (no tan cotidiano).
Una situación geométrica pura.
Ausencia de datos numéricos.
Estas características hacen que el número de alumnos que lo encara sea menor.
ANALISIS DE LAS RESPUESTAS AL PROBLEMA 2.
Lo interesante del análisis es observar las respuestas de aquellos alumnos que
intentaron la solución, aunque sea presentando un gráfico.
(1)
Llama la atención la interpretación que los alumnos han hecho de la palabra “sobre” y
se refleja en los gráficos.
Para algunos “sobre” significa una superposición de figuras como si las recortara y
las encimara. Muestra una comprensión muy primitiva de la situación, denotando una
lectura superficial y fragmentaria, ya que no perciben la frase completa "Sobre los
lados.......se construyen hacia el exterior, tres cuadrados". Figuras 1.a y 1.b.
Figura 1.a (12%) Figura 1.b (4%) Figura 1.c (8%)
432

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Otros interpretan el “sobre” como cuadrados apoyados sobre los lados, pero no
hacen coincidir las medidas de los lados del triángulo con las de los cuadrados. Sigue
siendo un razonamiento primitivo, ya que si no conoce la relación entre los lados de
los cuadrados y los lados del triángulo no hay camino de solución posible. Figura 1.c.
- Encontramos también la interpretación de
“sobre” como próximo. Figura 1.d
Figura 1.d (4%)
(2)
Otra dificultad que aparece es que no se entiende “sobre los lados” como equivalente
a decir, “sobre cada lado”. Además, algunos de los dibujos nos sugieren que los
alumnos piensan que la hipotenusa no es lado, porque no dibujan un cuadrado sobre
ella. Caso (2) un 14%.
(3)
En muchos casos el obstáculo para la comprensión lo constituye el desconocimiento
del significado geométrico de algunos términos
a) Hacer rectángulos en lugar de cuadrados.
b) Dibujar el triángulo isósceles estereotipado olvidar que es rectángulo.
c) Dibuja un triángulo rectángulo ignorando que los catetos son iguales.
Figura 3.a (8%) Figura 3.b (12%) Figura 3.c (12%)
(4)
El 24% grafica bien pero no expresa ninguna relación algebraica. Pensamos que el
hecho de no tener datos numéricos inhibe a operar y utilizar el Teorema de Pitágoras.
Teniendo un buen gráfico era posible otra vía de solución más sencilla utilizando
propiedades de área de triángulos. Pero ningún alumno intenta este camino.
(5)
433

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El 12% grafica bien y escribe la formula de la superficie del triángulo sin lograr
resolver, comprende el enunciado, aunque no visualiza la relación entre los datos del
problema y los elementos del triángulo obtenido al unir los centros de los cuadrados.
(6)
Resuelve bien el 4%.
Observación: La suma de estos porcentajes es mayor que 100, ya que por ejemplo un alumno
que interpreto mal el termino sobre y además dibujó un triángulo isósceles no rectángulo, esta
contado dos veces.
Conclusion
Pudimos comprobar como afirma Piaget, que los errores no son fruto del azar,
responden a una organización determinada del pensamiento, no hay detrás de los
errores ausencia de conocimiento, sino otro conocimiento que hace que ellos sean
sistemáticos, es por eso que las respuestas revelan una actividad auténtica del
pensamiento en desarrollo. El problema 2, fue tomado en 1992 a un grupo de
estudiantes de 5to. Año y los errores de interpretación fueron equivalentes.
Por otra parte analizar las producciones de los alumnos puso en evidencia:
La pluralidad de puntos de vista posibles sobre un mismo objeto matemático y las
concepciones desarrolladas por los alumnos a propósito de una noción.
El análisis realizado por el equipo, nos permitió iniciar la actividad de resolver
problemas en el curso de precálculo (primer cuatrimestre de los alumnos de la
Facultad) poniendo especial énfasis en la etapa de comprensión del enunciado, para
luego incitarlo a modelar la situación y aplicar las estrategias y conocimientos
apropiados.
Para contrastar lo ocurrido en el diagnóstico, trabajamos el problema 2 con el grupo B
de alumnos (en una clase práctico). Los estudiantes se organizaron en grupos de
discusión de tres o cuatro integrantes. Aparecieron nuevamente algunas de las
interpretaciones mencionadas, pero como ya conocían el problema e intercambiaban
ideas en el grupo, se obtuvieron mejores resultados. Aparecieron algunas soluciones
tomando casos particulares (cateto b=1) que en la situación de examen no había
ocurrido.
Bibliografía
Almeída, Alvarez y otros (1995).Metodología de la Enseñanza de la Matemática,. Cuba
Guzmán, M. de. (1991). Para Pensar Mejor”. Edit. Labor.
Guzmán, M. de. (1992). Tendencias innovadoras en Educación Matemática. OMA
Labarrere Sarduy A. (1987), Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas
matemáticos en la escuela primaria”. Edit. Pueblo y Educación.
Mason-Burton-Stacey. (1989), Pensar Matemáticamente. Edit. Labor.
Polya G. (1989 ). ¿Cómo Plantear y Resolver Problemas,. Edit. Trillas. Integrante del Proyecto de
Bruno D`Amore. (2000) PROBLEMAS, Pedagogía y Psicología de la matemática en la
actividad de resolución de problemas. Edit. Sintesis.
PÉREZ N. & CERIZOLA N. (1999) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, SU RELACIÓN CON LAS PRÁCTICAS
DOCENTES,
434

MATHDEV: SITIO WEB COMO PLATAFORMA PARA LAS MATEMÁTICAS
SUPERIORES
Lázaro Dibut Toledo, Ernesto R. Fuentes, Narciso R. De León Rodríguez
Universidad de Cienfuegos “Carlos Rafael Rodríguez”, Cuba.
ldibut2001@yahoo.es
Resumen
El presente trabajo colaborativo entre el Instituto de Investigación y Desarrollo Educativo de la Universidad
Autónoma de Baja California, México, el CETYS de Ensenada, México, y la Universidad de Cienfuegos
“Carlos Rafael Rodríguez”, Cuba, en las personas de los autores, consiste en la descripción del Examen de
Ubicación de Matemáticas (EXUMAT), en su versión 2.0, para administrar a los estudiantes que recién
ingresan a la Universidad Autónoma de Baja California (UABC). El examen está fundamentado en la Teoría
de Respuesta al Ítem (TRI) con el modelo de dos parámetros. Los propósitos del trabajo son: 1) describir la
metodología seguida para la confección del Examen de Ubicación de Matemáticas (EXUMAT) en su versión
2.0, y 2) analizar e interpretar los resultados del EXUMAT 2.0 administrado como prueba piloto a los
estudiantes de la preparatoria del CETYS de Ensenada en la primavera de 2002.
Introducción
La idea sobre la utilización de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC)
con fines educativos ha tenido un desarrollo vertiginoso entre los profesionales de la
Educación, muy particularmente entre los especialistas en Informática Educativa. Es un
término que no surge por pura idealización de necesidades, la necesidad de mejorar en este
sentido siempre ha existido. Pero en la actualidad es donde toman más fuerza las TIC y
más esfuerzos se destinan con este fin. Podríamos preguntarnos entonces: ¿qué ha llevado a
esta idea tan definitiva y generalizada en el mundo de hoy, y qué ha hecho que se tome con
tanta seriedad?. Existen dos cosas de las cuales se habla mucho: el nivel alcanzado en el
desarrollo tecnológico y la idea de repensar la enseñanza. ¿Qué aparece primero: el
desarrollo tecnológico obligando a acelerar y mejorar el proceso de enseñanza en el
hombre, o acaso el nivel adquirido por el hombre ha hecho que el desarrollo tecnológico
suceda tan aceleradamente? Estas dos cuestiones no pueden separarse, una ha llevado a la
otra y a la vez ambas se interrelacionan. Sin el nivel de conocimientos adquiridos tal vez no
se hubiera llegado a la computadora, y sin la computadora es muy probable que no se pueda
acelerar, de la forma en que necesita la humanidad, el aprendizaje de los conocimientos que
son base del desarrollo futuro. Es decir, la computadora puede verse como una causa y
efecto del desarrollo tecnológico.
En esta dirección de utilización de las TIC en la enseñanza y como parte del Proyecto de
Investigación “Desarrollo de recursos informáticos de apoyo a la enseñanza de las
Matemáticas en las carreras de Ciencias Técnicas y Económicas soportados en las Nuevas
Tecnologías de la Información y la Comunicación”, que ejecuta el Departamento de
Matemáticas de la Universidad de Cienfuegos “Carlos Rafael Rodríguez” (Ucf), se
desarrolló e implementó en la red de la Ucf el sitio web MATHDEV como plataforma
donde están incluidos los principales temas de las matemáticas superiores: límite y
continuidad de funciones, derivación de funciones, integración de funciones, ecuaciones
diferenciales, métodos numéricos y álgebra lineal. Entre otros fueron consultados los
trabajos de Artigue (1996) y Brosseau (1986). El objetivo del presente trabajo es
caracterizar el sitio web MATHDEV como plataforma para el proceso de enseñanzaaprendizaje
de las matemáticas superiores. El autor principal del presente trabajo desarrolló

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
su trabajo de tesis doctoral utilizando como plataforma el sitio web MATHDEV en el tema
“límite y continuidad de funciones”.
Caracterización del espacio web MathDev.
La caracterización del espacio web MathDev está basada en los siguientes aspectos:
Clasificación, modelo psicopedagógico y los módulos o partes funcionales del mismo.
Para la clasificación del espacio web MathDev tuvimos en cuenta las valoraciones hechas
al respecto por Khan (1998). Atendiendo a estos planteamientos, el espacio web MathDev
lo clasificamos en una WBI de tipo tutorial. Por un lado, MathDev es una WBI puesto que
contiene varios medios (textos, gráficos, animaciones, etc.) y utiliza los recursos y atributos
de Internet para lograr determinados objetivos de aprendizaje Está orientado a temas
específicos donde el objetivo de su utilización está bien definido: “herramienta en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos que se explicitan”. Los usuarios tienen
la posibilidad de validar los conocimientos que van adquiriendo o consolidando. Esta
validación consiste en evaluaciones que diseña el profesor y que aplica a los estudiantes, o
bien a través del módulo de evaluación que contiene MathDev o en el examen final de la
asignatura. El modelo psicopedagógico que sustenta a MathDev refleja las concepciones de
los autores sobre la enseñanza y el aprendizaje en general y de las matemáticas en
particular, considerando tres factores: el diseño del mismo, el papel del sujeto ante el
aprendizaje, y el contexto de aprendizaje. Basado en estos factores y tomando en
consideración las diferentes teorías y enfoques analizados (Dibut, 2000, pp. 164-174), la
WBI MathDev la enmarcamos en un modelo constructivista mediacional. Este modelo se
nutre del constructivismo de Piaget, del aprendizaje significativo de Ausubel, de las
aportaciones de Papert en el uso de ordenadores en situaciones de aprendizaje, y a las
aportaciones de Vygotsky y su escuela histórico-cultural, muy en particular los conceptos
de acción mediada, internalización y zona de desarrollo próximo.
Módulos o partes funcionales de MathDev:
El Módulo de Autentificación. Es la puerta de entrada al sitio web MATHDEV. En este
módulo es donde se definen, de acuerdo al usuario y al tipo que visita el Sitio, los permisos
a los demás módulos y por tanto las operaciones y actividades a las que tendrá acceso. El
tipo de visitante al que se hace referencia puede ser “ALUMNO” o “PROFESOR”. El
primero tendrá acceso al Módulo de Contenidos, a los sub-módulos de Aplicación de
Exámenes y Buzón de Calificaciones del Módulo Evaluativo, también podrá visitar el
Módulo de Búsquedas. Los usuarios de tipo “PROFESOR” tienen acceso a los mismos
módulos que el primero, además de acceder al Módulo de Gestión y a los sub-módulos
para la Creación o Edición de Exámenes y al de Calificación, todos del Módulo Evaluativo.
El sitio posee un usuario del tipo “PROFESOR” con características especiales denominado
“Administrador”. En cuanto a seguridad se refiere, continuamente se chequea en cada
entrada a los módulos o nodos del sitio, si previamente se ha autentificado en el Módulo de
Autentificación, y por tanto, si están definidos y asignados los derechos y accesos en el
sitio; de lo contrario, se recibirá un mensaje informándole que no posee permiso para la
operación que intentó realizar.
Módulo de Búsquedas. Está constituido por una página, la cual contiene un formulario.
En dicho formulario aparece un cuadro de texto y dos botones con las etiquetas, “Iniciar
436

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
búsqueda” y “Borrar”, respectivamente. Se utiliza dicho formulario para buscar en el sitio
web documentos que contengan palabras o combinaciones de palabras. El sistema de
búsqueda de texto mostrará una lista de documentos que las contengan, con las
coincidencias más relevantes en primer lugar. Cada elemento de la lista es un vínculo al
documento que contiene el texto buscado; si el documento tiene título lo mostrará primero;
si no, sólo mostrará el nombre del archivo. En el cuadro de texto antes mencionado, el
usuario pondrá el texto estático que desee encontrar auxiliándose para ello de un sencillo
lenguaje de consulta.
Módulo de Contenidos. En este módulo (ver anexo 1) Ud. encontrará las principales
definiciones, teoremas, ejemplos resueltos, orientaciones metodológicas, gráficas de
funciones, algunas de ellas con animación, de los contenidos matemáticos incluidos en el
sitio. En la pantalla principal del presente módulo están incluidos todos los enlaces
generales vinculados con el contenido, los cuales son:
Temas: Relación de los temas que abarcan todo el contenido.
Capítulos: Relación de los capítulos donde están incluidos los temas.
Lecciones: Relación de las lecciones que tiene cada capítulo.
Índice Temático de Contenidos: Relación de los índices temáticos por contenidos.
Índice Temático de Figuras: Relación de todas las figuras incluidas en el sitio, que
incluye gráficas de funciones y esquemas, estáticos o animados.
Bibliografía: Relación bibliográfica de alguno de los libros más importantes de
Matemática donde están incluidos estos contenidos.
El Módulo Evaluativo. Es el lugar donde los profesores diseñan y editan los exámenes, los
estudiantes se evalúan o revisan la calificación obtenida en un examen y los profesores
califican los exámenes aplicados a los alumnos. Este módulo se compone de tres submódulos:
Sub-módulo para el diseño y edición de exámenes: está destinado a crear
exámenes o editar otros existentes por parte de los visitantes de tipo “PROFESOR”. (ver
anexo 2). Sub-módulo para la aplicación de exámenes: bajo la orientación del profesor,
los alumnos seleccionan un examen basado en su código y contraseña. Con está
información brindada al sitio, los alumnos comenzarán a responder las preguntas del
examen, guardándose las respuestas en una base de datos. Sub-módulo para la calificación
de exámenes: en este sub-módulo el profesor seleccionará un examen aplicado y resuelto
por un estudiante, basado en el código y contraseña del mismo. A continuación aparecerá
una ventana con las preguntas del examen y las respuestas a las preguntas elaboradas por el
profesor y las del estudiante, respectivamente. De esta manera el profesor podrá calificar el
examen y salvar en una base de datos la calificación obtenida por el estudiante.
Módulo de Administración del Sitio. A este módulo solamente podrá tener acceso el
usuario de tipo “PROFESOR” denominado “Administrador”; en este caso podrían ser el
Administrador de la Red de la Institución donde se implemente MATHDEV o el
Webmaster. Es aquí donde se agregan o se editan las cuentas de los usuarios que podrán
visitar el sitio.
El Módulo de Gestión. Constituye una herramienta, donde el profesor, según criterios de
selección, podrá gestionar y clasificar la información sobre varios indicadores, por
ejemplo: el tiempo de conexión al Sitio de un estudiante o grupo de estos, el tiempo
437

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
invertido en la realización de un examen, frecuencia de visitas a las páginas del contenido
teórico, etc. El mismo está compuesto por tres sub-módulos que detallamos a continuación:
Sub-módulo de estadísticas generales de las visitas al sitio:este sub-módulo (ver anexo 3)
permite obtener información sobre el tiempo que han permanecido los usuarios en el sitio
web MATHDEV, agrupándolos y clasificándolos según combinación de diferentes
criterios, tales como: usuario, tipo, grupo, institución y fecha. También se realiza una
caracterización estadística del indicador: tiempo total de conexión al Sitio. Sub-módulo de
estadísticas generales de las visitas a las páginas del contenido: se utiliza para obtener una
información detallada sobre la frecuencia de visitas a los diferentes nodos o páginas del
contenido teórico, agrupándolos y clasificándolos a través de consultas a las bases de datos
asociadas al sitio, según combinación de diferentes criterios, como: usuario, tipo, grupo,
institución, página y fecha. Sub-módulo de estadísticas de las evaluaciones realizadas a
los estudiantes: se utiliza para obtener una información detallada sobre los resultados de
las evaluaciones realizadas por los estudiantes y el tiempo invertido en la realización de
éstas, agrupándolos y clasificándolos según combinación de diferentes criterios, como:
usuario, tipo, grupo, institución y fecha. Al igual que en el primer sub-módulo, se realiza
una caracterización estadística, en este caso de los indicadores: tiempo invertido en el
examen y calificación obtenida.
Conclusiones
La etapa actual de desarrollo no puede ignorar el impacto de las Tecnologías de la
Información y la Comunicación en los diversos campos de la vida social. La escuela en
general y la Universidad en particular, están en la obligación de desarrollar el proceso
docente educativo introduciendo racionalmente estas tecnologías. Desde el primer año,
cuando el joven se encuentra en el proceso de adaptación a la Educación Superior, las
disciplinas del ciclo básico deben educar en ellos una filosofía de uso consciente de la
computadora, ya sea como medio, herramienta u objeto. Cada carrera debe actualizar,
continuamente, su estrategia para el uso de la computación, en base a las exigencias del tipo
de profesional que está formando y los medios materiales de que dispone.
Los resultados más relevantes del trabajo se resumen en :
1. El sitio web MathDev es una WBI de tipo tutorial sustentada en un modelo
psicopedagógico constructivista mediacional.
2. Se desarrolló e implementó un sitio web con un esqueleto funcional que permite
adaptarlo a cualquier tipo de sitio, ya sea educativo, comercial, etc; el cual se basa en
consultas y sentencias SQL a bases de datos.
3. El sitio web MATHDEV permite hacer un tratamiento de los contenidos básicos de las
Matemáticas Superiores, caracterizados por una red de nodos o páginas relacionadas
entre si a través de hipervínculos. Se introdujeron algunos elementos de animación y
sonido.
4. Crea un marco donde involucra a estudiantes y profesores en un nuevo y novedoso
ambiente para el intercambio y adquisición de cualquier tipo de información;
proporcionando al alumno un medio de aprendizaje autodidacta, interactivo y ameno
sobre el contenido en cuestión, y al profesor un auxiliar en el proceso de evaluación del
aprendizaje alcanzado por los alumnos del contenido.
438

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
5. El sitio web MATHDEV constituye una herramienta de apoyo para la realización de
investigaciones pedagógicas enfocadas al uso y explotación de sitios web con fines
docentes.
Bibliografía
Artigue, M. (1996). Teaching and learning elementary análisis. 8 th International Congress on Mathematical
Education, Selected Lectures. Sevilla, (14-21)/july.
Brosseau, G. (1986). Fundements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques. Recherches en
Didactique des Mathématiques, 7(2), pp.33-115)
Dibut, Toledo, L.S. (2000). El espacio web MATHDEV como herramienta en el proceso de enseñanzaaprendizaje
del límite y continuidad de funciones. Tesis Doctoral. Universidad de Oviedo, España.
Khan, B. (1998) (Eds.). Web-Based Instruction. Educational Technology Publications, Inc. Englewoods
Cliffs, New Jersey
ANEXO 1: MÓDULO DE CONTENIDOS
439

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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ANEXO 2: SUB-MÓDULO DE CREACIÓN Y EDICIÓN DE EXÁMENES
ANEXO 3: SUB-MÓDULO DE ESTADÍSTICAS DE LAS VISITAS AL SITIO

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE UNA EXPERIENCIA DIDÁCTICA
INTERDISCIPLINARIA
Lidia Esper, Ma. del Carmen Pérez, Julio F. Zagarese
Fac. de Cs. Naturales e I. M. Lillo- U. N.T.; Liceo Militar G.A. de la Madrid- Argentina.
liesper@yahoo.com.ar, marype@csnat.unt.edu.ar
Resumen
En este trabajo, nos hemos abocado a investigar si mediante una propuesta didáctica en el tema de Funciones
y Gráficas, los alumnos presentaban un cambio de actitudes hacia las ciencias. En base a resultados obtenidos,
en trabajos anteriores, se realizó esta experiencia con alumnos de Educación General Básica (EGB) donde
tenían que resolver problemas, utilizando la metodología científica, a fin de contribuir a la articulación
vertical y horizontal entre las diferentes asignaturas, y estimular el desarrollo de capacidades para el trabajo
grupal. Se hizo un seguimiento de los estudiantes que cursaron la asignatura de manera tradicional y los
involucrados en la experiencia, para analizar si de algún modo habían mejorado sus concepciones sobre la
ciencia. La metodología aplicada se ha mostrado adecuada a nuestro objetivo, porque nos ha permitido
analizar estrategias a través de estudio de las respuestas de los alumnos. Los resultados muestran las diversas
facetas para las que se han producido cambios en el sentido deseado en dos grupos (G1 y G2), pero ponen de
manifiesto también la existencia de algunos núcleos de dificultad que todavía no han podido superar.
Introducción
En las tareas docentes resulta habitual planificar un curso observando el programa y
distribuyendo los temas teóricos, casi siempre en forma lineal, y de acuerdo a estos, los
ejercicios prácticos correspondientes. Estos ejercicios, calificados o no, no tienen para el
estudiante otra motivación que la de adquirir destrezas que le permitan aprobar la
asignatura. A su vez para el docente, estos ejercicios son simples aproximaciones, de nivel
cada vez más exigentes, que culminan en los ejercicios de examen. Finalmente, el docente
da por cumplida su labor con la clasificación del alumnado en aprobados y no aprobados.
Parecería que, al menos en las experiencias tradicionales, el objetivo de lograr la
motivación, la creatividad, la experimentación, y el placer de descubrir uno mismo, nada
tiene que ver con el otro objetivo que consiste simplemente en saber quienes están en
condiciones de aprobar el curso, al haber logrado el adiestramiento necesario (Pérez
Carmona y Esper, 2002).
En las últimas décadas surge la idea de que las personas seleccionan, asimilan, procesan y
confieren significados a los estímulos dejándose atrás la idea de seres humanos fáciles de
moldear y dirigir desde el exterior. Desde el punto de vista educativo, la adopción de esta
perspectiva, cuyo origen está en la explicación psicológica de los nuevos enfoques
cognitivos, supone un cambio radical en la manera de entender el proceso de enseñanza –
aprendizaje. Frente a la concepción tradicional de que el aprendizaje del alumno depende
casi exclusivamente del comportamiento del profesor y de la metodología de enseñanza
utilizada, se pone de relieve la importancia de lo que aporta el propio alumno al proceso de
aprendizaje (Wittrock, 1986): conocimientos, capacidades y destrezas previas; percepción
de la escuela, del profesor y de sus actuaciones; expectativas y actitudes ante la enseñanza,
la escuela y el profesor; motivaciones , intereses, creencias y atribuciones; etc. La actividad
constructiva del alumno aparece de este modo como un elemento mediador de primera
importancia entre la influencia educativa que ejerce el profesor, por una parte, y los
resultados de aprendizaje, por otra.
441

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En las currículas de ciencias, las estrategias de reforma de la educación científica consisten
en llevar a cabo un enfoque práctico tendiente a perfeccionar las habilidades de los
estudiantes para la indagación. Pero se olvidan del razonamiento contextualizado y las
habilidades de comunicación necesarias para entrelazar conjunta y coherentemente las
pretensiones de conocimientos de la ciencia (Kunt, 1993).
Estas curriculas deberían tener en cuenta que la educación general media ha de suministrar
al estudiante los conocimientos que en la Universidad le van a exigir. En consecuencia, los
programas han de adaptarse a las necesidades actuales para el ingreso y la permanencia en
estudios de grado y para que los jóvenes puedan insertarse en la sociedad con un discurso
coherente. Es necesario tener en cuenta, además, que sus actuaciones futuras estarán
impregnadas de sus esquemas conceptuales que, sin duda, pautarán su actuación en
diferentes contextos.
Las estrategias que se proponen a los estudiantes para aprender, no logran despertar su
interés y entusiasmo en forma suficiente. Existe un desbastador problema educativo de la
falta de motivación y de la falta de habilidad para aplicar la matemática como una
herramienta de interiorización personal y de resolución de problemas. Si se desea formar
jóvenes capaces de asumir el compromiso de desarrollar tareas creativas e innovadoras, es
preciso no tan solo instrumentar mecanismos de enseñanza que garanticen algo más que la
sola transmisión de conceptos y métodos, sino también actitudes de cooperación,
dedicación, voluntad de trabajo, buena disposición para responder a estímulos, afán de
superación, etc.
En trabajos anteriores (Esper y otros, 2002; Pérez Carmona y Esper, 2002) se diseñaron
actividades con situaciones problemáticas en donde los alumnos tenían que utilizar los
conocimientos adquiridos en Matemática y Física entre las distintas áreas del currículo,
para lograr una aproximación mucho más adecuada al trabajo científico. Siguiendo esta
línea de trabajo se decidió realizar la experiencia con alumnos de nivel medio ya que, de la
misma manera que los universitarios de los primeros cursos de carreras para no
matemáticos, los alumnos manifiestan su inquietud acerca de la utilidad de esta disciplina.
En el afán de los docentes por explicarle su aplicabilidad surgió en el aula el desafío de
contrastar lo planteado por los profesores.
Marco teórico
En este estudio se intenta mostrar la relación y/o integración de dos significados actuales:
a) la construcción del significado y el papel del contenido; que parte de la idea que el
conocimiento es un conjunto de experiencias cognitivas y psicomotoras que contribuyen a
engrandecer al individuo en la cual, la Teoría del Aprendizaje Significativo es parte
integrante (Ausubel, 1978; Moreira, 1990) y b) la integración de lo individual y social que
propone la integración del individuo como ser racional dentro de un contexto social. Si se
considera la ciencia como una construcción humana, el aprendizaje es considerado como un
proceso de elaboración colectiva en el que se confrontan ideas, se intercambian
argumentaciones, se negocian y consensuan significados (Vygotsky, 1989).
Como Vygotsky, Ausubel señala que la reestructuración que se produce debido a la
interacción entre la organización del conocimiento y la nueva información no se da
espontáneamente sino que se necesita de una instrucción formalmente establecida. Resalta
el rol de guía del profesor como facilitador del aprendizaje, en contraposición a las
adquisiciones dispersas del trabajo autónomo.
442

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Enmarcados en este enfoque, es innegable entonces que considerar al estudiante como
protagonista de su propio aprendizaje en un proceso de elaboración colectiva en donde
tenga la oportunidad de participar, colaborar, discutir y defender sus propias ideas, como
darles la oportunidad de producir en correspondencia con sus posibilidades; permitiéndoles
identificar, formular y resolver sus propios problemas, constituye una parte muy importante
del aprendizaje.
Metodología
Con el objeto de investigar si mediante la aplicación de una estrategia didáctica, los
alumnos tienen un cambio de actitudes hacia las ciencias, se trabajó con un grupo de 30
estudiantes del tercer ciclo de la Enseñanza General Básica durante 4 meses del ciclo
lectivo de 2002.
Los resultados del análisis de esta experiencia se obtuvieron en base a un estudio donde
participaron tres docentes. Los días que se reunían, profesores y alumnos, se grababan las
encuestas, lo cual permitió realizar una categorización de la problemática y los logros de
los estudiantes.
Se trabajó dividiendo al grupo en dos subgrupos, que en adelante se denominarán grupo 1
(G1), y grupo 2 (G2) respectivamente. El G1 trabajó tan solo de manera tradicional,
resolviendo los problemas planteados por los profesores donde se incluían aquellos motivo
de estudio, el G2 también resolvió los mismos problemas y otros, seleccionados por los
profesores para la experiencia, que fueron propuestos en horarios extraclase. El tema
estudiado fue Funciones y sus Aplicaciones.
Se presentan los resultados obtenidos de la aplicación y análisis de algunas situaciones
problemáticas, mediante las cuales se pretendían investigar los intereses e inquietudes que
existían en los dos grupos de trabajo.
Presentación de la información
Se desarrolló un análisis del tipo interpretativo (Ericson, 1989) sobre los datos textuales,
recogidos en las entrevistas realizadas a los alumnos en los dos grupos. El proceso de
análisis se desarrolló en las siguientes etapas:
1ª) Planteo de las situaciones problemáticas (por falta de espacio no se incluye el Anexo);
2º) Lectura de las interpretaciones completas; 3º) Segmentación y codificación de los
planteos; 4º) Formulación de conclusiones preliminares; 5º) Reducción de datos,
identificación de categorías comparables en el discurso de ambos grupos.
Las categorías, en la Resolución de Problemas, son las siguientes: i) Contenidos
Conceptuales, ii) Contenidos Procedimentales, iii) Contenidos Actitudinales, iv)
Modelización, v) Estrategias.
Análisis y discusión de los resultados
Las categorías se establecieron a partir de un análisis global de los resultados de las
entrevistas y se basó en la exploración de las respuestas dadas en las entrevistas por los dos
grupos. Para cada una de las categorías se transcriben expresiones vertidas por los
entrevistados donde las mismas fueron identificadas como:
Conceptual : G1 “...esto es física, no matemáticas, no entendemos nada”; “...están todos
los temas mezclados, si me dan las fórmulas, yo los resuelvo” ; “...es imposible, faltan
datos, la profesora de física nos enseña de otra manera”. G2 “... en realidad estamos
443

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
aplicando lo que hemos visto en matemáticas”; “... relacionamos los gráficos, los vemos de
diferente manera”; “... razonamos más”.
Procedimental: G1 ¿“...como se resuelve, no entiendo?” ; “... no tenemos las fórmulas
para resolver esto” ; “.. esto no vimos en matemáticas, ¿por qué resolvemos problemas de
otras materias? ”.
G2: “...recién ahora entendemos como se comienza a resolver un problema” ; “... ya no
importa tanto las fórmulas, primero trato de entender y después veo que formulas puedo
aplicar” ; “.. lo podemos resolver de varias maneras”.
Actitudinal: G1 ¿“...así van ha ser los problemas de la prueba?” ; ¿“... es obligación que
“hagamos” esta parte ...?” ; “...para que nos sirve” ; “...no sé.. no lo entiendo, me da
vergüenza preguntar”. G2: “... se trabaja cómodo sin presiones” ; “... nos estamos
conociendo más, discutimos y podemos decir lo que no entendemos con más confianza” ;
“... nos relacionamos con docentes de los ciclos superiores... son rebuenos”.
Modelización: G1 “¿...nos puede resolver algún ejercicio parecido? No modelizan. G2:
“...en un problema podemos ver varios temas distintos, hay que interpretar la situación” .
Utilizan distintos modelos para resolver una situación.
Estrategias: G1 “...nos faltan datos, imposible, no entendemos..” ; “... ya lo leí un montón
de veces y sigo sin entender nada”. Utilizan fórmulas, pero cuando algo no les sale ya no
entienden nada, presentan grandes falencias con las habilidades de trasposición (del
lenguaje aritmético al lenguaje algebraico o gráfico, etc.)”. G2 “...del gráfico podemos
sacar todos los datos” ; “...sí, los tres autos tienen velocidad constante” ; “...como el
espacio esta en función del tiempo, y son directamente proporcionales...entonces podemos
resolverlos de varias maneras”
El grupo piloto (G2) sigue buscando información adicional en el momento de resolver un
problema, información que les resulta muy natural por ejemplo, extraer de un libro, no
esperan que el profesor le suministre siempre toda la información. Lo que parece más
importante en el comportamiento de estos jóvenes es el cambio de actitud, se sienten
involucrados en su aprendizaje.
Demandan la atención del profesor permanentemente, pero no para que el docente les
resuelva los problemas, sino para evacuar dudas y constatar sus visiones alternativas, sus
propios razonamientos.
Si bien se hizo un seguimiento de los dos grupos de trabajo, la muestra (pequeña) puede
parecer poco significativa estadísticamente, pero los datos obtenidos durante el mismo dan
elementos de juicio prometedores que nos motivan a seguir trabajando, aplicando esta
alternativa didáctica.
En el G1 algunos alumnos manifiestan explícitamente que les cuesta “ver” solos el
problema, el producir respuestas sin la ayuda del profesor, es una dificultad que aún no
pueden superar. Son responsables y estudiosos pero esperan que el docente sea el
responsable de su aprendizaje, que les suministre toda la información, no buscan en los
libros o en cualquier otro medio la información que sea relevante para entender la situación
problemática en cuestión.
Dos de los alumnos de G2, podemos decir que superan el nivel de información, lo cual da
cuenta de un aprendizaje significativo.
En G1 hay una notoria ausencia de hipótesis de trabajo y no tienen en cuenta las relaciones
entre magnitudes relevantes. En muy pocos casos se acompañan las relaciones propuestas
444

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
con una explicación del significado de las mismas. La mayoría de los alumnos hacen una
utilización rígida de los conceptos y principios fundamentales, lo que los lleva a desarrollar
fijaciones funcionales respecto a las estrategias, a las fórmulas, como consecuencia de
asignar carácter general a estructuraciones de validez limitada.
Se observa una fuerte tendencia hacia el aspecto aritmético, esto conlleva la ausencia de
reflexiones de tipo conceptual y de algunas habilidades de trasposición entre los distintos
lenguajes. Pensamos que algunos procesos no están bien afianzados en la mente de los
estudiantes, ya que no se está dando la transición del lenguaje aritmético al algebraico, para
lo cual se requiere un alto grado de abstracción. Dicho proceso según la demanda de los
sistemas educativos deben ser asimilados en muy corto tiempo, por lo cual los estudiantes
se deben enfrentar con un nuevo lenguaje sin haber completado el proceso de asimilación
del anterior.
Otras investigaciones recientes, relativas a la enseñanza y aprendizaje del álgebra
elemental, comparten de una forma más o menos explícita un modelo que lleva a
considerar que los errores que cometen los alumnos en el aprendizaje del álgebra surgen
esencialmente, como consecuencias de generalizaciones erróneas de nociones establecidas
en aritméticas, y una carencia de formalización adecuada de los métodos aritméticos que
posibiliten una generalización en la dirección de las necesidades del álgebra, por otro lado,
debemos aceptar que los estudiantes al hacer la transición entre la aritmética y el álgebra se
deben enfrentar con un obstáculo de origen epistemológico, consistente en tener que
desarrollar una operatividad sobre signos que poco antes se correspondían con referentes y
fuentes propios del significado de la aritmética, mientras que el nuevo lenguaje que deben
desarrollar presupone un cambio esencial en dichos significados. Si a esto le sumamos la
dificultad de insertarlos en otro contexto se observarán errores al resolver problemas.
Desde este punto de vista debemos tratar de que los estudiantes vayan adquiriendo nuevas
competencias en la matemática elemental (aritmética) que las puedan considerar como el
producto de la modificación de conceptos, acciones y procedimientos. Debemos lograr
utilizar nuevos extractos de lenguaje, cada vez más abstractos en el que podamos traducir
situaciones más abstractas, esto es familias de problemas, antes irreducibles unos a los
otros. Con estos sucesivos acercamientos podemos lograr los procesos cognitivos
necesarios para lograr un aprendizaje significativo, por otro lado, estamos convencidos del
carácter constructivo del conocimiento; se debe planificar una secuencia de enseñanza para
que se produzca este aprendizaje, para lo cual es imprescindible tener en cuenta las
estructuras cognitivas de los alumnos y la capacidad de expresión verbal de los mismos, y
de este modo, poder acercarnos de una manera menos traumática a los problemas de
aprendizaje.
Conclusión
Si miramos la matemática escolar como esquemas de conocimientos que los estudiantes
van a construir a través de su experiencia en la escuela y la consideramos como un
lenguaje, los estudiantes deberán utilizar dicho lenguaje para resolver problemas en
distintos contextos y la enseñanza será el medio que debe propiciar el aprendizaje de dicho
lenguaje. De esta manera vemos que, más que la construcción del concepto a concepto
tendríamos que hacer reformulaciones importantes acerca de los objetos de estudio y de los
fenómenos que debemos observar en el aula.
445

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Los estudiantes no logran integrar los dos dominios de su conocimiento conformados, por
un lado por el manejo sintáctico del álgebra y, por otro por la resolución de problemas. Esta
integración esta condicionada por la posibilidad de construir una semántica de los símbolos
y operaciones algebraicas, ligada a las situaciones que estarán presentes en los enunciados
de los problemas que hay que resolver algebraicamente y/o gráficamente.
Otro factor a tener en cuenta son las actitudes o tendencias individuales existentes en los
alumnos hacia “preferir” ciertos métodos de resolución, los cuales varían desde los métodos
más operativos y algorítmicos, hacia los más semánticos y analíticos.
Esto se debe a que existen fenómenos de atracción de las acciones de los procesos de
modelación concreta, que dependen fuertemente de las tendencias individuales y que, por lo
tanto, es muy riesgoso hacer generalizaciones acerca de la evolución de ciertas operaciones
de un nivel concreto hacia una forma sintáctica.
A pesar de haber trabajado, en diferentes niveles educativos, aún no podemos asegurar si
la aplicación de esta experiencia será tan relevante con grupos numerosos. La duda radica
en el hecho de que con esta metodología, los estudiantes demandan con sus interrogantes y
razonamientos un gran esfuerzo en el profesor que constantemente debe suministrarles
información relevante para ellos, sin embargo no toda la clase es así, por experiencias en el
aula, sabemos que muchos grupos son apáticos, buscan realizar el menor esfuerzo posible
y su único objetivo es aprobar la asignatura. Esta experiencia resultó importante desde el
punto de vista didáctico ya que, el docente puede mantener un rol de orientador y guía,
mientras que, es el alumno el que construye su conocimiento, que al ser dinámico e
integrado, se traduce en aprendizaje significativo; estimula la originalidad, la creatividad
y la reflexión sobre los contenidos a aprender.
La experiencia, focalizada desde un plano innovador e interdisciplinario, permite la
construcción de escenarios que harán significativas la aplicación de la Matemática y otras
disciplinas que demandan curriculas profesionales específicas. Privilegia las competencias
endógenas y las aptitudes que habilitan para continuar aprendiendo mucho más que la
entrega de contenidos puntuales, además intenta realizar un aporte a la formación del
espíritu investigativo y cooperativo. Los estudiantes (G2) fueron capaces de comunicarse
entre pares y con profesores, identificar problemas, buscar información pertinente; optar
con racionalidad entre alternativas, trabajar en equipo y lograr un cambio de actitud, se
sintieron involucrados en su aprendizaje.
Se mejoró algunas habilidades lingüísticas (capacidad de expresar claramente las ideas por
escrito, comprender el lenguaje simbólico...) y habilidades de interpretación y traducción
entre diferentes formas de expresión (capacidad del lenguaje verbal al gráfico, y del
lenguaje gráfico al algebraico, así como la capacidad de realizar análisis crítico de la
situación planteada). Se considera que las actividades propuestas resultaron motivadoras
para los alumnos y docentes participantes en la experiencia.
Bibliografía
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1990)
447

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
448
APRENDIENDO MATEMÁTICA DESDE LOS CONCEPTOS
María Eugenia Ángel, Laura Polola, Graciela Fernández y Mónica Bortolotto
Universidad Nacional de La Matanza. Argentina
mangel@unlm.edu.ar, pablo@argentinavip.com.ar, polola@unlm.edu.ar
Resumen
La problemática inductora de este tema fue el deseo de encontrar y desarrollar métodos de trabajo en el aula
que permitieran facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática y resulten en una disminución
de la dificultad que los alumnos cotidianamente presentan. Las unidades de análisis principales del trabajo
fueron los alumnos ingresantes a las carreras del Departamento de Ciencias Económicas de la UNLM.
Debería ser natural identificar el aprendizaje real y efectivo de la Matemática con la conceptualización de los
contenidos que supera ampliamente el frecuente tratamiento mecanicista de los mismos, dado que el mero uso
de habilidades adquiridas en forma mecánica es incompleto como aprendizaje. Abocados a lograr la
conceptualización, se trató de estudiar el desarrollo de actividades factibles que tiendan a ello. El aprendizaje
conceptual, es uno de los factores principales que permite descubrir conscientemente el por qué, para qué y el
significado de un problema en relación a los conceptos presentes en él, para así encontrar el camino para
resolverlo efectivamente (el cómo). Al intentar analizar las dificultades que acarrea el proceso de enseñanzaaprendizaje
de la matemática, surgieron varios interrogantes que motivaron el deseo de alcanzar el siguiente
objetivo: Diseñar e implementar actividades que permitan lograr un aprendizaje conceptual acompañado de
una evaluación permanente de las mismas. Las actividades diseñadas se basaron en la implementación en el
aula de una metodología estratégica. Como este equipo no tuvo a su cargo la coordinación del Curso, se
resolvió trabajar sólo con dos comisiones de alumnos que fueron asignadas por la nueva coordinación y en las
que estarían como docentes dos integrantes del equipo. El trabajo consistió en:
1- El análisis de los contenidos a trabajar en el aula
2- La selección y aplicación de estrategias.
3- La descripción del grupo piloto –comisiones asignadas a las investigadoras-
4- La determinación de las características de los alumnos ingresantes
5- El análisis y comparación del rendimiento del grupo piloto con respecto al resto.
Antecedentes
La problemática inductora de este tema fue el deseo de encontrar y desarrollar métodos de
trabajo en el aula que permitieran facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
matemática y resulten en una disminución de la dificultad que los alumnos cotidianamente
presentan. Las unidades de análisis principales del trabajo fueron los alumnos ingresantes a
las carreras del Departamento de Ciencias Económicas de la UNLM. Es en la instancia de
ingreso, el comienzo de la formación profesional, donde el alumno debe construir las bases
o pilares del aprendizaje efectivo, para luego poder abordar temáticas de mayor
complejidad. Debería ser natural identificar el aprendizaje real y efectivo de la Matemática
con la conceptualización de los contenidos que supera ampliamente el frecuente tratamiento
mecanicista de los mismos, dado que el mero uso de habilidades adquiridas en forma
mecánica es incompleto como aprendizaje. Abocados a lograr la conceptualización, se
trató de estudiar el desarrollo de actividades factibles que tiendan a ello. El aprendizaje
conceptual, es uno de los factores principales que permite descubrir conscientemente el
por qué, para qué y el significado de un problema en relación a los conceptos presentes en
él, para así encontrar el camino para resolverlo efectivamente (el cómo). Al intentar
analizar las dificultades que acarrea el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática,
surgieron varios interrogantes, que derivan de las preguntas frecuentes que se formula todo
docente de esta disciplina: ¿por qué le cuesta tanto a los alumnos y es tan alto el índice de
reprobados?, ¿es la incorrecta interpretación de texto el determinante fundamental en la

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
falta de entendimiento de enunciados de un problema?, ¿cuáles son los factores que
dificultan la simbolización de un problema real? Lo anterior motivó el deseo de alcanzar el
siguiente objetivo para la investigación: Diseñar e implementar actividades que permitan
lograr un aprendizaje conceptual acompañado de una evaluación permanente de las
mismas. Se diseñaron diversas actividades para lograr el objetivo planteado basadas en la
implementación en el aula de una metodología estratégica. Para comenzar con el trabajo se
debieron realizar ajustes y replanteos estructurales de importancia en base al cambio de
dirección y coordinación que sufriera el Curso de Admisión de Ciencias Económicas de la
UNLM dado que este equipo ya no tuvo a su cargo esas tareas. Por tal motivo, se resolvió
trabajar sólo con dos comisiones de alumnos, en las que estarían como docentes dos
integrantes del equipo para poder aplicar en las mismas las diversas estrategias
desarrolladas. Las comisiones para trabajar fueron asignadas a las investigadoras por la
nueva coordinación y resultaron ser ambas del turno mañana. La tarea se concentró
fundamentalmente en las etapas que se presentan a continuación.
El análisis de los contenidos a trabajar en el aula
A partir del análisis efectuado al currículo, se extrajeron los nodos conceptuales a
formalizar, que permitieron la organización del trabajo áulico. Lógica - Teoría de
conjuntos - Conjuntos numéricos - Números Reales – Módulo - Polinomios – Ecuaciones -
Sistemas de ecuaciones – Inecuaciones - Ecuación de la recta - Relaciones y Funciones. La
primera tarea a abordar fue la manera de interrelacionar los temas para no presentarlos de
manera aislada e inconexa. Dada la estructura de la ejercitación, se elaboraron vínculos que
permitieran revisar y aplicar los temas vistos desde el comienzo de la cursada. De esta
manera se podría ver la utilidad de todos y la proximidad de áreas conceptuales que
parecían no relacionadas entre sí. Este carácter revisionista favorecería el hecho de
mantener latente y accesible la estructura conceptual para fortalecerla y lograr un
aprendizaje de los conceptos y su relación. Para hilvanar la serie de ejercicios que
aparecían para cada tema, se estableció un orden para su realización que respetara el grado
de dificultad creciente partiendo de los casos más sencillos. Los ejercicios de la guía fueron
analizados uno por uno y en base al objetivo intrínseco de cada uno, se detectaron todas las
posibilidades de tratamiento teórico que permitieran explicitar su carga conceptual y su
entorno. La necesidad de hacer hincapié en el entorno conceptual de todos los temas
tratados como modo de trabajo en el aula caracterizaron la metodología de enseñanza
empleada. Se establecieron contactos que vincularon los diferentes temas para luego
proponer el trabajo sobre ejercicios que los hicieran explícitos, tomándolos de la guía o
creándolos con ese fin. De esta manera se formó la red sobre la que se realizó todo el
trabajo siempre respetando la estructura original de la guía de ejercicios. Se seleccionaron
y diseñaron, cuando fue necesario, ejercicios vinculantes e integradores entre los distintos
temas que aparecían ligados conceptualmente.
La selección y aplicación de estrategias
Considerando las siguientes estrategias generales: (P) - Estrategias previas al proceso de
aprendizaje, (M) - Estrategias de motivación, (O) - Estrategias de organización, (E) -
Estrategias de elaboración y (R) - Estrategias de recuperación. Con la intención de
presentar la ejecución de ellas se organizaron los contenidos en torno a ejes conceptuales de
los que dependen. Se consideraron como ejes principales los siguientes temas: 1- Lógica,
449

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
2- Números Reales, 3- Polinomios y 4- Funciones. Si bien aparecen en el orden
presentado, al tratarlos en el aula se recorrió un camino “de ida y vuelta” entre ellos para
conceptualizarlos, y para lograr su abstracción fue preciso partir de las nociones de menor
dificultad y nivel conceptual. A continuación y a modo de ejemplo se sintetiza la
utilización de las estrategias en el eje conceptual referido a Lógica
Al ser un tema no estudiado previamente se debieron introducir prácticamente
todos los conceptos, a tal efecto se trabajó sobre enunciados del tipo (M):
Llueve - No llueve Hoy no es lunes - Hoy es lunes
A fin de relacionar (O) los valores de verdad de una proposición y de su negación,
arribando (E) a la noción de opuesto o negación como operación lógica. Análogamente se
trabajaron las operaciones binarias partiendo del significado de afirmaciones sencillas y
accesibles (M) conectadas lógicamente. Así se comenzaron a construir (O) las tablas de
verdad contemplando todas las combinaciones posibles (E). Por otra parte, se agregaron, a
los propuestos en la guía, ejercicios de menor complejidad para calcular valores de verdad.
Partiendo del resultado de una operación se propuso hallar el valor de verdad de las
proposiciones componentes presentes en ella. Por tratarse de las operaciones
proposicionales fundamentales ya definidas, el planteo del siguiente tipo de ejercicio
representa una estrategia de recuperación.
En cada caso indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a) Si p∧q es F entonces p es V y q es V. b) Si p∨q es V entonces p es V y q es F.
c ) Si p → q es V entonces p es V y q es F.
Al arribar a Teoría de Conjuntos, en la guía figuraba en primer lugar el siguiente
ejercicio:
Dados los conjuntos: “cuadriláteros”, “rectángulos”, “rombos” y “cuadrados”:
Definir por comprensión.- Establecer todas las relaciones de inclusión posibles entre ellos.
Se consideró que si bien es un ejercicio que se puede trabajar en profundidad, el tiempo
disponible no era suficiente para aplicar estrategias previas al aprendizaje, aula-taller.
Como los alumnos, en general, no recordaban algunos conceptos de geometría, se planteó
un torbellino de ideas (P y M) para hacer aflorar los conocimientos previos y que cada
alumno realizara su aporte y extraer así conclusiones valiosas (R). La puesta en común (O)
permitió enunciar las definiciones (R y E) de las distintas figuras geométricas para
introducir la definición de un conjunto por comprensión, indicando la propiedad que
cumplen sus elementos como una función proposicional -noción establecida previamente
(R) en Lógica-. De esta manera aparece una de las vinculaciones conceptuales de la red
establecida.
1.Lógica 2.Teoría de conjuntos
Para el segundo ejercicio pedido: Hacer diagramas de Venn para las siguientes
expresiones 1) A ∩ (B ∪ C) 2) A ∪ (B ∩ C) 3) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 4) (A ∪ B) ∩ (A ∪
C) se consideró conveniente intercalar situaciones problemáticas concretas entre dos o tres
conjuntos tratando de que el crecimiento de la complejidad fuera gradual.
Dados los siguientes conjuntos
i) A = { rojo, amarillo, azul } ; B = { rojo, verde, violeta, azul } y
C = { rosa, amarillo, azul, blanco }
ii) A ={ a, b} ; B = { 2, 3 } y C = { 3, 4 } (datos del ej. 18)
Hallar el resultado de las siguientes operaciones entre los conjuntos dados, definiéndolos por extensión y
utilizando diagramas de Venn:
a) A ∪ B = b) B ∪ C = c) B ∩ C = d) A ∪ (B ∩ C) =
450

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Como el tercer ejercicio era de un nivel de complejidad y abstracción bastante superior.
Demostrar: (A–B)⊂ (A ∪ B), (A⊂ B) ⇒ (AU(B - A) = B), (A∩B = ∅) ⇒ (AUB´=B´)
Se permutó con el siguiente: Dibujar sobre la recta real y escribir el resultado en forma de intervalo.
{ x / x ≥ -1 }∩{ x / -3 < x < 2 }, {x / -3 < x ≤ 1 }∩{ x / x > 2 }, {x / -3 ≤ x ≤ 0}∩{x / -2 < x < 3}
con la finalidad de habituar a los alumnos a utilizar los gráficos como herramienta de resolución antes de
abordar las demostraciones. (O)
Además se extendió el enunciado pidiendo que expresaran el resultado como conjunto
definido por comprensión y verificaran para algunos elementos del conjunto obtenido, la
pertenencia a la intersección de los conjuntos dados. (O). Cuando se verificaron los
resultados de las intersecciones, en cada ítem, se hizo hincapié en las condiciones que
debían cumplirse. Como modelo de resolución se tratará aquí el primer caso: Si el
intervalo [-1 , 2) es la solución, entonces cualquier número perteneciente a él debe verificar
ambas condiciones simultáneamente; y además ningún número real que esté fuera de dicho
intervalo lo debe hacer. Se tomaron valores dentro y fuera del intervalo para verificar que
los que pertenecen a él hacen que se cumpla la definición de intersección, expresada como
una proposición lógica. La traducción se logró estableciendo las funciones proposicionales
que definen a los conjuntos intervinientes en las operaciones: P(x) : x ≥ -1 Q(x) : -
3 < x < 2
Seguidamente se ubicó el conectivo lógico que las vincula, en este caso es “∧"
(conjunción) por ser una intersección, obteniéndose una nueva función proposicional: P(x)
∧ Q(x)
Se eligieron algunos valores a utilizar en la comprobación para asignárselos a la
indeterminada x, recordando que (p ∧ q) es verdadera sólo cuando ambas proposiciones lo
son.
Como una función proposicional al aplicarse a un elemento se transforma en una
proposición. Las proposiciones que se obtienen son:
Para x = 0 p = P(0) y q = Q(0) que se pueden expresar como:
0 ≥ -1 ∧ -3 < 0 < 2 cuyo valor de verdad es V ∧ V ⇒ V
p es V y q es V entonces p ∧ q es V
Para x = 3 ∉ [ -1 , 2) p = P(3) y q = Q(3) que se pueden expresar como:
3 ≥ -1 ∧ -3 < 3 < 2 el valor de verdad es V ∧ F ⇒ F
p es V y q es F entonces p ∧ q es F
Para x= -4 ∉ [ -1 , 2) -4 ≥ -1 ∧ -3 < -4 < 2 con valor de verdad F ∧ V ⇒ F
p es F y q es V entonces (p ∧ q) es F
Como corolario de esta forma de trabajo se pudieron reconstruir las definiciones de las
operaciones entre conjuntos por comprensión, no sólo en forma coloquial sino también
simbólicamente de la siguiente manera: A U B = { x ∈ A ∨ x ∈ B} A – B = { x ∈ A ∧ ∉ B }
De este modo se tuvo un punto de partida para encarar las demostraciones solicitadas.
La descripción del grupo piloto (las dos comisiones asignadas a las investigadoras)
Durante el dictado del curso se comprobó que para el grupo piloto el dictado de la materia
se hacía muy lento, no se podía avanzar de acuerdo al cronograma previsto por los
coordinadores del curso. Se solicitó entonces, sólo a los alumnos de este grupo, la edad y el
año de egreso del secundario. Se encontró que el 25 % de los alumnos habían terminado el
secundario hacía 7 años o más y que el 50 % habían hecho al menos hacía 4 años. De los
resultados surgió la siguiente hipótesis de trabajo: El problema de aprendizaje detectado
podría radicar en el lapso de tiempo transcurrido desde el egreso del nivel medio y la
451

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
realización del curso de ingreso a la universidad. La consecuencia podía ser el olvido, de
los temas vistos en la escuela, de allí la dificultad para avanzar en el dictado de la materia
con los tiempos estipulados.
La determinación de las características de los alumnos ingresantes
Se diseñó una encuesta anónima para realizar un diagnóstico global -no inicial- que
permitiera llegar a una descripción básica del grupo de alumnos del curso. Las variables de
interés que se incluyeron en el diseño de la encuesta se agruparon en: variables de
caracterización (edad, tipo de escuela,…) y de opinión (temas de mayor dificultad....) El
grupo de alumnos encuestado fue seleccionado aleatoriamente el día de la segunda
evaluación parcial. Abarcó un grupo heterogéneo respecto a la modalidad de trabajo llevada
a cabo hasta ese momento. Se encuestó un total 216 alumnos de los 930 inscriptos.
Algunos resultados de la encuesta
Teniendo en cuenta la edad cronológica según los turnos, se obtuvo que a la mañana
concurrió un grupo de alumnos de mayor edad que a la tarde. Se creyó conveniente
relacionar este hecho con los años transcurridos entre la finalización de los estudios
secundarios y la realización del curso y se obtuvo que El tiempo transcurrido entre el año
de egreso del nivel medio y el Curso de Admisión era mayor para los alumnos del turno
mañana. Dentro de los temas que más costaron, sobresalieron lógica -45,83%-, polinomios
–37,04%- y relaciones y funciones -35,65%-. Llamó la atención que muchos alumnos
dijeran que nunca antes habían estudiado “relaciones y funciones”.
El análisis y comparación del rendimiento del grupo piloto con respecto al resto
El análisis se efectuó en base a los resultados obtenidos en los dos exámenes parciales. De
los 930 alumnos que se inscribieron para realizar el curso, 757 rindieron el primer parcial y
637 el segundo, en ambas instancias lo hicieron 636. El 31,61% resultó “ausente”. Sólo 74
de 93 alumnos del grupo piloto rindieron ambos parciales. Para poder comparar el
rendimiento de estos alumnos se separaron los puntajes obtenidos. A continuación se
tabulan los resultados finales del curso.
452
TOTAL DE ALUMNOS GRUPO TESTIGO GRUPO PILOTO
Puntaje Cant. de alumnos F%
1 12 1,89
1,5 19 4,88
2 10 6,45
2,5 11 8,18
3 14 10,38
3,5 17 13,05
4 22 16,51
4,5 30 21,23
5 37 27,08
5,5 52 35,23
6 54 43,72
6,5 45 50,80
7 60 60,23
7,5 64 70,29
8 58 79,41
8,5 51 87,43
9 47 94,82
9,5 17 97,49
10 16 100,00
Total general 636
MODA
7,5
PROMEDIO 6,36
MEDIANA 6,5
Puntaje Cant. de alumnos F%
1 10 1,78
1,5 18 4,99
2 9 6,59
2,5 7 7,84
3 13 10,14
3,5 15 12,81
4 18 16,02
4,5 25 20,47
5 32 26,16
5,5 48 34,71
6 45 42,72
6,5 34 48,71
7 57 58,91
7,5 53 68,34
8 55 78,13
8,5 46 86,30
9 45 94,30
9,5 16 97,15
10 16 100,00
Total general 562
MODA 7
MEDIANA 7
PROMEDIO 6,42
Puntaje Cant. de alumnos F%
1 2 2,7
1.5 1 4,05
2 1 5,40
2,5 4 10,81
3 1 12,17
3,5 2 14,87
4 4 20,28
4,5 5 27,04
5 5 33,80
5,5 4 39,21
6 9 51,37
6,5 11 66,23
7 3 70,28
7,5 11 85,14
8 3 89,19
8,5 5 95,95
9 2 98,65
9,5 1 100,00
Total general 74
MODA 6,5 y 7.5
MEDIANA 6.5
PROMEDIO 6

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Con respecto a los grupos testigo y piloto se tuvieron los siguientes resultados:
grupo testigo grupo piloto
% %
entre 4 y 6,5 puntos 29,90 36,49
7 o más puntos 51,29 33,77
aplazados 12,81 14,87
El nivel de aplazados del grupo piloto fue superior –un 16% más- que el del resto de los
alumnos. La distribución de aprobados para el grupo testigo presentó mayor concentración
en los puntajes más altos sin embargo para el grupo piloto en los comprendidos entre 4 y
6,5 . A partir del seguimiento realizado, se comprobó que el rendimiento del grupo piloto
mejoró al comparar los resultados de los dos parciales rendidos
Resultados del Primer Parcial
TOTAL DE ALUMNOS GRUPO TESTIGO
1 82 10,83 1 65 9,79
2 118 26,46 2 103 25,30
3 23 29,46 3 20 28,31
4 105 43,33 4 90 41,86
5 92 55,48 5 78 53,61
6 102 68,95 6 87 66,72
7 85 80,19 7 79 78,62
8 91 92,21 8 85 91,42
9 31 96,31 9 31 96,09
10 28 100,00 10 26 100,00
Total general 757 Total general 664
MODA 2 MODA 2
MEDIANA 5 MEDIANA 5
PROMEDIO 4,97 PROMEDIO 5,08
La proporción de alumnos ausentes es similar en ambos grupos. El 37,63 % del grupo
piloto no aprobó mientras que para el resto sólo el 12,17% no aprobó. Obtuvieron entre 4 y
6 puntos el 47,31 % de los alumnos seleccionados y del resto el 38,41%. Con 7 o más
puntos aprobó el 15,06% del grupo piloto en contraposición al 33,28% del resto. Las
diferencias entre ambos grupos se lograron disminuir para la segunda evaluación.
TESTIGO
RESULTADOS DEL SEGUNDO PARCIAL
TOTAL DE ALUMNOS GRUPO
1 34 5,34 1 29 5,15
2 36 10,99 2 35 11,37
3 6 11,93 3 4 12,08
4 29 16,48 4 26 16,70
5 27 20,72 5 24 20,96
6 56 29,51 6 49 29,66
7 90 43,64 7 75 42,98
8 105 60,12 8 95 59,85
9 96 75,19 9 84 74,77
0 158 100,00 10 142 100,00
Total general 637 Total general 563
PROMEDIO 7,26 PROMEDIO 7,26
MEDIANA 8 MEDIANA 8
MODA 10 MODA 10
Grupo piloto
1 17 18,28
2 15 34,40
3 3 37,63
4 15 53,76
5 14 68,81
6 15 84,94
7 6 91,39
8 6 97,84
10 2 100,00
Total general 93
MODA 1
MEDIANA
PROMEDIO
Grupo piloto
1 5 6,76
2 1 8,11
3 2 10,81
4 3 14,87
5 3 18,92
6 7 28,38
7 15 48,65
8 10 62,16
9 12 78,38
10 16 100,00
Total general 74
PROMEDIO 7,23
MEDIANA 8
MODA 10
Los puntajes obtenidos por los alumnos de ambos grupos fueron muy parejos. El 10,81%
del grupo piloto no aprobó mientras que en el resto el 12,08% no lo hizo. Prácticamente el
mismo porcentaje de alumnos obtuvo entre 4 y 6 puntos. Con 7 o más puntos aprobó el
71,62% del grupo piloto y el 70,34% de los alumnos de las otras comisiones. Si bien los
4
415
453

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
alumnos de las comisiones asignadas para utilizar la metodología propuesta por las
investigadoras alcanzaron y superaron ligeramente el rendimiento final de los demás
alumnos, las notas del primer examen influyeron en los puntajes finales.
Bibliografía
Ángel, M. E. (2000) Matemática. ¿Leo, traduzco, resuelvo”. Ed. C&C. Bs. As. Argentina
Bortolotto, Fernández, Polola (2000),Análisis y Resolución de Situaciones problemáticas. Ed. C&C. Bs.As.
Lakatos, I. (1986) Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Alianza Editorial. 3ªEd.
Polea, G (1995) Como plantear y resolver problemas. Ed. Trilla. México. 19 na impresión.
Pozo, J. (2000) Entrevista realizada por las Lic. Anahí Mastache y Constanza Necuzzi en el marco del II
Congreso Internacional de Educación Debates y Utopías. Julio.
Skemp, 1993 Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Ed. Morata.
454

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE UNA GRÁFICA,
CONSIDERANDO LA INTERPRETACIÓN GLOBAL DE LAS REPRESENTACIONES
GRÁFICA, NUMÉRICA Y ALGEBRAICA
Alma Alicia Benítez Pérez
C.E.C.y T. 11, “Wilfrido Massieu” IPN, México D.F.
abenitez@ipn.mx
Resumen
La Interpretación Global (Duval, 1988) fomenta y fortalece la exploración de las representaciones gráficas y
numéricas para identificar la organización de las relaciones al interior de las representaciones, así como sus
relaciones exteriores, permitiendo establecer conexiones entre las representaciones gráfica, numérica y
algebraica. La identificación de la información contribuye a interpretar el contenido de las representaciones,
beneficiando la tarea de construir la expresión algebraica a partir de su gráfica.
Se implementó la Interpretación Global a un grupo de 40 alumnos, los cuales cursaban la asignatura de
álgebra (primer semestre de bachillerato), siendo el propósito del estudio, analizar las estrategias que el
alumno emplea cuando la tarea solicita la construcción de la expresión algebraica de una gráfica (recta,
parábola y la introducción al trazo cúbico). Durante la experiencia los alumnos contaron con el apoyo del
software Cabri Geometry para realizar las tareas diseñadas.
Marco Teórico
Duval (1999), menciona que la visualización “Es producir una representación que, en
ausencia de toda percepción visual de los objetos representados, permita observarlos como
si estuviera realmente delante de los ojos” (Pág. 10) [5], se considera entonces que la
visualización se basa sobre la producción de una representación semiótica, donde se
identifique de manera directa lo que está representado.
La visualización matemática no es un acto de aprehensión simultánea en el campo de la
percepción, es una actividad cognitiva intencional que produce una representación en una
superficie de dos dimensiones (pantalla y papel), la cual muestra las relaciones entre las
unidades que componen a las figuras, eso quiere decir que la visualización matemática
expone únicamente objetos, los cuales se hacen “ver” a través de las organizaciones de las
relaciones que tienen las unidades de las figuras. Estas unidades se conectan, bidimensionalmente,
porque se requiere la organización de al menos dos dimensiones para
establecerlas.
Las representaciones gráfica y numérica es un de tipo visualización en matemática,
particularmente necesarias en la investigación a realizar. Ambas representaciones poseen
organizaciones visuales bi-dimensional; el cuadriculado del plano en líneas para la gráfica y
la distribución en columnas para la tabla.
La representación gráfica posee sus propias leyes de organización (Bertin,1968), y cuyo
funcionamiento se basa en la relación de dos figuras; figura fondo referida al plano
cartesiano y figura-forma al trazo. Duval (1994) menciona tres tratamientos relacionados
con las figuras:
“1.- Un señalamiento de posiciones por selección de los puntos donde la figura forma coincide con
los puntos de intersección del campo cuadriculado. Ello permite una lectura de números.
455

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
2.- Una aprehensión global de los valores visuales de la figura forma (trazo de rectas, trazo de
curvas, inflexión,...) Es esta aprehensión perceptiva global que da a la representación gráfica un
poder intuitivo o heurístico. Este tipo de tratamiento es esencialmente cualitativo.
3.- Una modificación de la figura forma cambia la aprehensión global de los valores visuales en
juego, con los grados de libertad que da la figura-fondo. Podemos modificar la figura forma no
tomando por ejemplo, la misma unidad de graduación para los dos ejes. Podemos también
modificar la figura forma, efectuando un “zoom” en una de sus partes, es el equivalente de dividir
localmente la unidad de graduación y hacerse la cuadrícula más fina” Pág. 7, [4]
El primer tratamiento señala el puntaje como instrumento principal para explorar el
contenido de la gráfica, el cual consiste en la lectura de las coordenadas de un punto en la
gráfica, o bien para situar una posición a partir de un par de números dados.
El tercer tratamiento consiste en recobrar la ecuación correspondiente a la forma de la
figura, basado en procedimientos de cálculo, de los números leídos de la gráfica.
Particularmente Duval menciona el hecho de estas conversiones son efectuadas
cognitivamente a ciegas, pues es un trabajo incierto y difícil, si únicamente su enfoque está
en ciertas parejas de números ubicados en la figura forma. Ambos tratamientos 1 y 3
respectivamente, basan su análisis exclusivamente en la figura-fondo de la representación
gráfica, dejando de lado la figura-forma.
El segundo tratamiento, consiste en identificar los distintos valores visuales de la forma y la
orientación de la gráfica, para establecer relaciones con los valores categóricos de la
expresión algebraica (Duval, 1988). Este tratamiento es esencialmente cualitativo, para
fortalecer la aprehensión global del contenido de la representación gráfica.
La interpretación global concentra su atención en la figura-forma, y descuida la figurafondo,
el cual se considera un marco estable, sin embargo, la figura-fondo es un aspecto
relevante para explorar el contenido de la representación, ya que la modificación de la
figura-fondo, al dividir localmente la unidad de graduación origina un cambio en la figuraforma.
Actividad que altera el comportamiento del trazo, y por tanto la identificación de los
valores visuales.
Al respecto, Duval menciona que el punto central y decisivo en el aprendizaje de las
representaciones gráficas es la discriminación de los valores visuales y su coordinación con
los valores categóricos de la expresión algebraica, atendiendo la discriminación de los
valores visuales con relación a la figura-fondo. Para ello las actividades diseñadas deben
permitir explorar las variaciones de una sola variable y mantener constantes los valores de
las otras variables, con la finalidad de que los valores de las distintas variables visuales se
unifiquen para ser exploradas como única figura forma/fondo.
Metodología
El propósito de la experiencia educativa fue proporcionar al estudiante diversas situaciones
para explorar el contenido de las representaciones gráfica, numérica y algebraica,
empleando tratamientos que permitan evidenciar su riqueza, dicha actividad beneficia la
tarea de construir su expresión algebraica. Para ello se diseñó una dinámica que apoyara el
desarrollo con este tipo de actividad.
La actividad se realizó en el contexto de un curso de álgebra. Los estudiantes no habían
participado anteriormente en esta forma de trabajo, modificando la práctica en el salón de
456

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
clase, es decir, se impulsó la comunicación de ideas y la continua participación en clase. A
continuación se presenta el desarrollo de la Experiencia Educativa:
1. Fase de introducción. Los alumnos participantes provenían de diversas centros
escolares (secundarias), por tal circunstancia se asumió que no se contaba con un
ambiente adecuado para llevar a cabo la dinámica en el aula, considerando que los
alumnos estaban habituados a la exposición de conceptos por parte del profesor. Ante
esta situación, la primera semana de trabajo, se introdujo a los estudiantes a través de
conversaciones por parte del maestro, a la dinámica a desarrollar en el aula, es decir,
trabajo en equipo y discusión en el grupo, teniendo el profesor el papel de coordinador
del proceso.
2. Dinámica de trabajo en el aula. La clase se organizó en equipos de 4 a 5 integrantes,
formando un total de 6 equipos por grupo. Se entregó al inicio de la sesión una
actividad diseñada por el profesor, para trabajarla de manera colectiva, mencionado que
un integrante del equipo sería el encargado de recolectar toda la información que se
obtuviera durante el proceso de solución, mientras el profesor participaba con los
equipos como espectador y para proporcionar información. Una vez terminada la tarea,
los equipos presentaban un reporte escrito. El profesor, de acuerdo con las
observaciones realizadas a los equipos, seleccionaba un equipo para exponer su trabajo
al grupo. El criterio de selección consideraba los diferentes puntos de vista,
favoreciendo la discusión en el grupo, para aclarar dudas y superar posibles
dificultades. Los reportes de los equipos se entregaban a la siguiente sesión,
presentando diferentes anotaciones, para que el alumno de manera individual revisara el
trabajo y lo corrigiera (si era el caso), en una carpeta para ser evaluada al final del
departamental. En determinados momentos, durante la experiencia educativa, el
maestro expuso al grupo algunos tópicos que ocasionaban dificultad, por ejemplo,
identificar las diferentes variables visuales que componen a la recta y a la parábola, para
ser vinculadas con las representaciones algebraica y numérica. Cuando el profesor
realizó esta experiencia, los alumnos presentaron mayor interés para explorar los trazos.
Esta situación, se debe posiblemente a la necesidad del estudiante para que el profesor
intervenga en determinados momentos del proceso. Durante las sesiones que se
realizaron en la sala microsoft, se continuó con la misma dinámica que en el salón de
clase.
3. Después de concluir la experiencia educativa, se solicitó la participación de 6 alumnos
para formar 3 equipos. La actividad se llevó a cabo en la sala de Cómputo (Microsoft),
y cuyas sesiones se realizaron extraclases, teniendo la duración de 2 horas. Se
proporcionó la Tarea, en cuyo texto se menciona brevemente la situación, y se exponen
las indicaciones básicas para explorar el archivo (Cabri-Geometry), el cual muestra las
gráficas que generan los anchos, largos y áreas de diferentes rectángulos, así mismo se
presenta la tabla numérica vacía, para que los equipos desarrollen el tratamiento que
consideren pertinente. A continuación se muestra una de las actividades realizadas por
los equipos:
457

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En el primer cuadrante aparece la gráfica “h”. Esta gráfica y los ejes cartesianos forman una
región, dentro de esta se construyen varios rectángulos, a través de mover el punto S que
pertenece al segmento AB
¿ Determina la expresión algebraica que permite generar el ancho y largo para estos
rectángulos?
Una de las siguientes expresiones algebraica representa el comportamiento de las áreas.
¿Elige la que consideres cumpla con las condiciones de los rectángulos?
1 3
A = x + d
2
458
1 3
A = − x + cx
2
3
A = ax + 3x
3 1 3 1 2
A = ax + 8x
A = 8x
A = − x − x + cx
3 2
Resultados
Los equipos realizaron interpretaciones de tipo global y puntual a la información que se
identificó en las representaciones gráfica, numérica y algebraica.
La interpretación global se utilizó en la representación gráfica, para explorar el contenido
del trazo a través de tratamientos cualitativos, concediendo la identificación de variables y
características visuales. La interpretación global de las variables visuales otorgó establecer
conexiones con las variables categóricas de la representación algebraica, de las cuales se
mencionan las siguientes:
• Término independiente para los polinomios de grado dos, tres y cuatro
• Coeficientes lineal y cuadrático para el polinomio de grado dos y
• Los coeficientes cúbico y cuadrático para el polinomio cúbico.

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Dicha interpretación permitió: considerar estrategias, establecer conjeturas, argumentar
afirmaciones y validar resultados.
Por otra parte, la interpretación puntual se aplicó a la representación gráfica, a través de
tratamientos cuantitativos, cuya información se basó en la elección de parejas ordenadas
para verificar el tipo de trazo que se exploraba. Los equipos no establecieron conexiones
con las representaciones numérica y algebraica, sino con la misma representación gráfica
para determinar el tipo de trazo (Cúbico y Cuarto grado).
Respecto a la representación numérica, la interpretación global se realizó con la
información identificada a través de tratamientos cuantitativos, específicamente para
reconocer la segunda y tercera diferencia, lo cual permitió determinar el tipo de trazo y el
valor numérico de los coeficientes cuadrático y cúbico para los polinomios de grado dos y
tres respectivamente, estableciendo conexiones con la representación algebraica.
La interpretación puntual se aplicó a las parejas ordenadas que fueron elegidas para
identificar el valor numérico del término lineal de los polinomios cuadrático y cúbico.
Las interpretaciones que se aplicaron a la información identificada en la representación
numérica contribuyó a establecer conexiones con otras representaciones, permitiendo la
aplicación de estrategias para continuar explorando la situación.
El contenido de la representación algebraica se exploró por tratamientos cualitativos y
cuantitativos, cuya información se interpretó global y puntualmente.
La interpretación global se realizó con la identificación de las variables categórica en la
expresión algebraica, para establecer las conexiones con las variables y características
visuales del trazo.
La interpretación puntual en la representación algebraica, se llevó a cabo por
procedimientos algebraicos, es decir, los equipos eligieron parejas ordenadas de la
representación numérica, para sustituirlos en las expresiones algebraicas que consideraban
las indicadas, posteriormente llevaron a cabo procedimientos algebraicos para determinar el
valor numérico del coeficiente que se exploraba. Estableciendo la conexión con la
representación numérica.
Las interpretaciones que los equipos formularon a la información identificada en las
representaciones algebraica, numérica o gráfica, permitió establecer conexiones entre las
representaciones, concediendo a los equipos tener un panorama global y específico de la
situación.
Durante el desarrollo de las tareas los equipos emplearon la interpretación global en las 3
representaciones, mientras que la interpretación puntual se aplicó con mayor frecuencia en
la representación numérica, siendo mínimo el desempeño en la representación gráfica.
En este sentido, Duval ha mencionado, que la identificación de parejas ordenadas consiste
en recobrar la ecuación correspondiente a la forma de la figura, basado en procedimientos
de cálculo, de los números leídos de la gráfica (para el caso en la representación numérica).
Exponiendo el hecho de que estas conversiones son efectuadas cognitivamente a ciegas,
pues es un trabajo incierto y difícil, si únicamente su enfoque está en ciertas parejas de
números ubicados en la figura forma. Sin embargo, los equipos desarrollaron de manera
simultánea tanto la aprehensión global como la puntual, obteniendo información para
establecer conexiones con otras representaciones, permitiendo realizar conjeturas, misma
que fueron aceptadas o rechazadas de acuerdo con los argumentos que los equipos
emplearon, los cuales se justificaron con la información identificada.
459

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Bibliografía
Bertin, J. (1968). Gráfica (Representación). Volumen 7 de la Encyclopoedia Universalis. Pp. 955-964.
Editada en París, Francia.
Dugdale, S. (1993). Functions and Graphs Perspectives on Student Thinking. In T.A. Romberg, E. Fennema
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Sciences Cognitives 1(1988)235-253. Versión en español de Blanca M. Parra. Antología en
Educación Matemática. DME.CINVESTAV. 1993.
Duval, R. (1994). Les Représentations Graphiques: Fonctionnement et Conditions de leur Apprentissages.
C.I.E.A.E.M., Toulouse, France. Pp. 3-14.
Duval, R. (1999). Representation, Vision and Visualization : Cognitive Functions in Mathematical Thinking.
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Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. México, Vol. I,
Pp. 3-26
Duval, R. (2003). "Ver" En Matemáticas. En Eugenio Filloy (Ed.), Matemática Educativa, Aspectos de
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Goldin, G. & Kaput, J. (1996). A Joint Perspective on the Idea of Representation in Learning and Doing
Mathematics. Theories of Mathematical Learning. Paul Cobb, Gerald A. Goldin & Brian Greer. Pp.
397-430. Lawrence Erlbaum Associates. Publishers Nahwah, New Jersey.
Roth W-M (1999). Professionals Read Graphs: A Semiotic Analysis. Journal for Research in Mathematics
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Yerushalmy, M. & Schwartz, J. (1993). Seizing the Oportunity to Make Algebra Mathematically and
Pedagogically Interesting. In T.A. Romberg, E. Fennema & T. P. Carpenter (Eds.). Integraing
Research on the Graphical Representation fo Functions. Pp. 57-68. Hillsdale, Nj: Erlbaum.
460

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA CON SOFTWARE DERIVE
Nydia Dal Bianco; Rosana Botta Gioda; Nora Castro; Silvia Martínez;
Mariela Pérez Broneske; Rubén Pizarro y Fabio Prieto
Universidad Nacional de La Pampa, Argentina
dalbianco@exactas.unlpam.edu.ar, rbotta@cpnet.com.ar,
smartinez@exactas.unlpam.edu.ar
Resumen
Nuestra propuesta forma parte de un proyecto de investigación que estamos llevando a cabo docentes de la
cátedra de Matemática perteneciente al primer año del plan de estudio de las carreras de Ciencias Naturales y
Química de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de La Pampa. El marco
teórico que sustenta este trabajo de investigación sigue los lineamientos de la Ingeniería Didáctica propuestos
por Michèle Artigue. Actualmente desarrollamos la fase de experimentación. Los primeros avances
realizados en este sentido se llevaron a cabo durante el ciclo lectivo 2001 en el cual se utilizó el material de
las clases teóricas, prácticas y un apunte del software DERIVE, preparado por la cátedra, con varios ejemplos
de aplicación cuyo objetivo era facilitar la primera aproximación de los alumnos al software. Durante el ciclo
lectivo 2002 se realizaron más experiencias en el desarrollo del tema aplicaciones de las derivadas. El
software mencionado tiene como finalidad brindar apoyo didáctico al alumno en las etapas de la resolución
de problemas: ejecución del plan y verificación de la solución obtenida, para eventualmente corregir errores y
resolver cálculos que presentaran algún grado de dificultad importante. En esta propuesta relatamos una
experiencia llevada a cabo en el estudio de los temas de la currícula de Matemática: Cónicas, funciones y
derivadas. Aunque los resultados son todavía parciales, reflejan la importancia y necesidad del uso de la
Informática en el proceso de enseñanza - aprendizaje de la Matemática.
Introducción
Esta experiencia se llevó a cabo en la cátedra de Matemática a la cual asisten alumnos de
diversas carreras de Ciencias Naturales y Química. La materia es de régimen anual y
corresponde al primer año del plan de estudios. La currícula de esta asignatura involucra
gran variedad de temas relacionados con el Álgebra y el Cálculo. Las dificultades que
manifiestan los alumnos, en cuanto al manejo de conocimientos previos relacionados con la
Matemática, la falta de motivación, los altos índices de desaprobación han hecho que los
integrantes de esta Cátedra nos esforcemos para revertir esta situación. En este sentido
hemos trabajado hace ya algunos años en diferentes proyectos de investigación que tienen
a la enseñanza de la matemática como eje principal. La aparición de las nuevas
herramientas tecnológicas, acompañadas del desarrollo de softwares específicos como
Derive imponen la necesidad de reformular nuestra forma de enseñar, dándole al alumno la
posibilidad de que gradualmente se familiarice con estas herramientas. El marco teórico
que sustenta nuestro trabajo sigue los lineamientos que sugiere Michèle Artigue en la
metodología de una ingeniería didáctica.
Utilizando de forma apropiada las computadoras pueden introducirse sin mayores
dificultades, situaciones problemáticas que vinculen el campo de estudio de los alumnos y
donde sea necesario realizar excesivos cálculos.
El cambio propuesto en la asignatura se esta haciendo de a poco, por lo tanto se continúa
con las clases teóricas, que actualmente, se dictan en forma tradicional, pero se está
planificando incorporar la utilización del asistente para auxiliar al profesor en la
461

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
comunicación con los estudiantes, visualizando algunos conceptos de mayor complejidad o
de mayor nivel de abstracción y las clases prácticas, se realizan algunas en sala de
computación, y otras en el aula asumiendo que no existe conocimiento sin problema, es
decir para conocer debe haber siempre algo para resolver, para elaborar por parte del
estudiante.
Nos parece interesante compartir una reflexión de Claudi Alsina • :
462
"De nada sirve refugiarse en la validez de lo tradicional (y por tanto seguro)
cuando el mundo va por otros senderos, cuando las necesidades formativas hace
tiempo que cambiaron, cuando los empleos perennes desaparecieron, cuando el
ocio ha cambiado radicalmente, cuando las relaciones familiares han
evolucionado…Si algo nos obliga a remeditar el rol de la tecnología en nuestra
labor matemática no es la curiosidad intelectual del "a ver que va a pasar" sino el
intento de renovar una formación que ya, para muchos, es obsoleta."
Desarrollo
Para esta experiencia y como lo venimos haciendo desde hace dos años hemos aplicado
técnicas de una ingeniería didáctica, caracterizada por un esquema experimental basado en
las "realizaciones didácticas" en clase, según Michèle Artigue, es decir, siguiendo las
cuatro fases en que se halla dividida, siendo estas las fases de Experimentación y
Evaluación.
Para concretar las mismas elegimos el programa Derive for Windows 4.0 por las siguientes
razones:
• ser sencillo y potente,
• utilizar las notaciones propias de la Matemática,
• poseer un entorno fácil de manejar,
• demandar al alumno poco tiempo conocerlo.
• trabajar con entorno gráfico
• disponer del software en la Facultad.
Para organizar el trabajo de los alumnos se formaron comisiones en las cuales los
estudiantes se inscribieron en forma voluntaria, pero debían ser alumnos que habían
realizado el diagnóstico inicial (Análisis preliminar) en el comienzo de clases, haber estado
presentes en los exámenes parciales (Análisis a priori) y cumplir con cierto régimen de
asistencia. Para incentivarlos a participar los alumnos inscriptos en esta modalidad
debieron presentar un trabajo desarrollado con Derive (Experimentación), referido a
algunos temas puntuales que nosotros especificamos, temas que luego no eran evaluados
en el examen final de la asignatura (Evaluación).
Metodología
1) Los alumnos asistieron a las clases teóricas donde se desarrollaron los temas de la
currícula con ejemplos prácticos.

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
2) En la clase práctica se trabajó con un cuadernillo de actividades, que contiene
ejercitación diversa sobre los temas desarrollados, incluyendo una amplia variedad de
situaciones problemáticas relacionadas con sus campos de estudio, que intentan
responder al interrogante de los alumnos ¿cuál es la vinculación de la Matemática con
su disciplina?, sin duda un cambio gradual en la metodología de enseñanza puede
modificar algunas de estas actitudes de rechazo. Este cambio puede apoyarse en la
adopción de las nuevas tecnologías, mas específicamente de la computadora.
3) En el laboratorio, con el software DERIVE los alumnos trabajaron en una primera clase
introductoria, se dieron algunas pautas generales con el apunte entregado, que contiene
información específica sobre el uso del software y ejemplos de aplicación desarrollados
paso a paso para que tengan un acercamiento más rápido al software. Este trabajo se
realizó destinando parte de la carga horaria de las clases prácticas así como también
algunas horas extra-clase, en la que los alumnos concurrieron al gabinete de informática
acompañados por algún docente.
En primer lugar se plantearon y resolvieron algunos ejercicios en lápiz y papel y
luego se verificaron algunos de los resultados con el software especificado, como
una primera aproximación.
Para luego pasar a la resolución de problemas seleccionados con aplicaciones
específicas a los temas de sus carreras y con mayor dificultad en la utilización de
cálculos.
4) Encuesta a los alumnos que participaron de la experiencia.
5)
A continuación mostramos, el trabajo realizado por un alumno con un ejercicio de la
práctica de cónicas, como una primera aproximación al uso del software:
Nº 1. Resolver el siguiente sistema: ⎪
⎨
⎪⎩
2 ⎧x
− y
2
= 1
2 2
9x
+ y = 9
“ Ingresé las dos funciones y a ambas les despejé la “y” para poder graficarlas, e ingresé las
asíntotas para graficarlas.”
463

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En la transcripción textual del trabajo entregado por el alumno, destacamos la aplicación
del software y la secuencia de actividades utilizadas para la solución algebraica y gráfica
del ejercicio dado.
Presentamos el enunciado, de una aplicación a la Biología del tema derivadas, mostrando
qué tipos de ejercicios deben aprender a resolver nuestros alumnos.
Nº 2. El nivel en la sangre de sulfanilamida en los ratones después de una inyección de
1mg. por cada 4 grs. de peso, está descrito por:
y = -1,06 + 2,59 x - 0,77 x 2
464
Encontré x = 1
1º Iguale las funciones
Despeje
E t é 0
Sustituí y en la
Sustituí x en la
Puntos de
intersecci

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
donde y indica el log10 (concentración en mg./1000 ml) y x es log10 (tiempo en minutos
después de la inyección). Resolver analítica y gráficamente: ¿Para qué valor de x el nivel en
la sangre, medido en y, tiene un máximo?.
Los alumnos responden y grafican rápida y correctamente utilizando el software DERIVE.
Nuestra intención con este tipo de problemas es crear situaciones activas de aprendizaje,
dar sentido a los contenidos matemáticos que estudian y dar una aplicación práctica.
Resultados
Todo este trabajo con los alumnos como dijéramos al principio se lleva a cabo dentro de la
metodología que aplicamos en el proyecto, de Ingeniería Didáctica según Michèle Artigue;
que consta de cuatro fases, aquí mostramos la de Experimentación y Evaluación de
resultados.
En la aplicación de estas etapas se pueden apreciar los siguientes logros:
• Los estudiantes conocen más profundamente los algoritmos que en cursos anteriores.
• Conocen el programa y son capaces de utilizarlo en su práctica.
• A lo largo del curso se sienten más motivados hacia la asignatura que en años anteriores
debido a:
a) Una mayor vinculación a su especialidad.
b) La posibilidad de resolver problemas más reales e interesantes.
c) Mayor agilización de los cálculos manuales.
d) Utilización de las gráficas que brinda el software para resolver y validar
resultados.
Las encuestas realizadas a los alumnos arrojaron las siguientes respuestas:
1. La utilización del software no presentó dificultades importantes.
2. Facilita la resolución de problemas que requieren gran cantidad de cálculos.
3. Se descubren estrategias de control de los resultados obtenidos (utilizando distintos
caminos de resolución)
4. Agiliza la gráfica de funciones.
5. El proceso de aprendizaje es más dinámico.
Los docentes a cargo de la experiencia observamos en los alumnos mayor interés por la
materia, lo que les ha permitido una mejor apropiación de los contenidos. Favoreció la
comprensión al poder visualizar la interacción entre los distintos marcos (algebraico y
gráfico) y generó un espacio de estudio dentro del cual se logró un mejor aprovechamiento
de sus posibilidades cognoscitivas.
Conclusiones
465

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La intención de este trabajo fue dar herramientas a los futuros profesionales de las Ciencias
Naturales, utilizando nuevas y variadas estrategias metodológicas para lograr la
aprehensión de los estudiantes al concepto matemático.
Combinando los recursos tradicionales y la resolución de problemas con los informáticos
se facilitan los procesos de enseñanza – aprendizaje y el desarrollo de capacidades y
competencias.
A partir de estas experiencias positivas, se predispone al alumnado a continuar con el
desarrollo de actividades similares y contribuye a mejorar su autoestima y la actitud hacia
la Matemática (esta deja de ser una asignatura sin sentido) facilitando que se impliquen en
su aprendizaje.
A partir de esta propuesta surgieron interesantes opiniones de los que participamos en ella,
docentes y estudiantes, acerca del uso de la tecnología, y lleva a reflexionar sobre el interés
de continuar este tipo de actividades con la utilización de las herramientas informáticas
disponibles.
Bibliografía
Artigue, M. (1993). Epistemología y Didáctica. Traducción castellana de Bernardo Capdevielle, Ministerio
de Educación de la Nación, Argentina.
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466

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
EVALUACIÓN DE UN CURSO DE CÁLCULO DESDE UNA PERSPECTIVA
CONSTRUCTIVISTA
Ofelia Vizcaíno Díaz
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México
ovizcain@campus.ccm.itesm.mx
Resumen
La evaluación es una actividad compleja que involucra una gran cantidad de aspectos a ser tomados en cuenta
tales como metodología de enseñanza, concepciones del profesor y de los estudiantes acerca de cómo se debe
enseñar para aprender, actividades planteadas al interior del aula, currículo, objetivos institucionales, etc. Qué
tan efectivas fueron éstos en conjunto es el objetivo de la evaluación. La evaluación debe convertirse en un
proceso enriquecedor que permita replantear cada uno de los aspectos anteriores. Por otro lado debe permitir
a los profesores describir la situación académica de los estudiantes de la manera más fidedigna posible,
otorgando tanto a estudiantes como a profesores e institución la oportunidad de reconocer las fortalezas y
debilidades con el único fin de mejorar la parte que a cada uno le corresponde. Es importante mencionar que
existe poca investigación alrededor de este importante aspecto del proceso de enseñanza y aprendizaje. En la
posición de un grupo de investigadores RUMEC se plantea: ¿Qué podemos hacer para mejorar el aprendizaje
de los estudiantes? Éste sugiere estrategias para conseguir la mejora del proceso de enseñanza y aprendizaje,
las cuales involucran varias innovaciones entre las cuales se incluyen: el ciclo de enseñanza ACE (actividades
en la computadora, discusiones en el salón de clase y ejercicios), el aprendizaje colaborativo, discusiones
diseñadas para estimular la construcción de conceptos matemáticos. Todas éstas fundamentadas en la teoría
APOE (Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas). Pero surgen las interrogantes: ¿cómo evaluar el
conocimiento de un estudiante si su trabajo siempre ha sido colaborativo? ¿qué significado puede tener la
respuesta a una pregunta específica en un examen cronometrado? ¿cuál debe ser el mejor criterio para decidir
su calificación final? Implementan una metodología de evaluación que combina datos cuantitativos y
cualitativos para determinar la construcción de estructuras mentales. El acercamiento anterior nos presenta
una perspectiva interesante pero aún inconclusa acerca de la evaluación del proceso enseñanza y aprendizaje;
sería nuestro deseo una mayor investigación alrededor de ella. La evaluación de los aprendizajes de cualquier
clase de contenidos debe poner al descubierto lo más posible todo lo que los alumnos dicen y hacen al
construir significados valiosos a partir de los contenidos curriculares. De ahí la importancia de recurrir a la
experiencia y habilidad del docente para plantear tareas e instrumentos de evaluación sustantivas que sean
sensibles e informativas. Si los profesores no contaran con las presiones administrativas conocidas,
seguramente la metodología de evaluación elegida no serían los exámenes.
Este proyecto plantea la hipótesis: ¿La evaluación de los estudiantes a través del tratamiento instruccional
ACE genera las mismas notas de evaluación a través de entrevistas personalizadas? Nadie puede negar que
la evaluación del proceso de enseñanza y aprendizaje es una actividad compleja para los profesores, sin
embargo los métodos simplistas para mejorar ésta pueden generar resultados muy pobres y tal vez
contraproducentes, pero al mismo tiempo ese análisis constituye una tarea necesaria y fundamental en la
mejora de dicho proceso. Es compleja porque dentro del proceso educativo puede analizarse prácticamente
todo, lo cual implica aprendizajes, enseñanzas, acción docente, contexto educativo, programas, currículos y
aspectos institucionales. La evaluación del proceso de enseñanza y aprendizaje dentro de una metodología
tradicional asigna a cada alumno un valor numérico que parece ser de su exclusiva responsabilidad; así la
calificación del alumno para los padres, profesores y los mismos alumnos es el resultado de su capacidad y su
falta o derroche de esfuerzos. En el caso de fracasar será él quién deberá pagar las consecuencias. Sólo él
deberá cambiar. Lo demás, podrá seguir como estaba. Nadie cuestiona a los profesores acerca de los aspectos
que se tomaron en cuenta para generar la evaluación de los estudiantes. La evaluación se convierte en proceso
conservador. Sin la información que nos proporciona la evaluación no tendríamos argumentos suficientes
para proponer correcciones y mejoras al proceso de enseñanza y aprendizaje. Al desempeñar su función en
alguna institución educativa, cualquier docente tiene una cierta concepción implícita del modo en que se
aprende y se enseña, así como una cierta concepción coherente con ésta, sobre cómo, cuándo, por qué, y para
qué evaluar, con el fin de poder asegurarse que las experiencias educativas que proponga en el acto de
enseñanza produzcan datos positivos. El conseguir que los estudiantes se apropien de los conceptos
específicos del curso es el único fin de los profesores, pero esto no ocurre por el simple deseo de que así sea,
ahí entran en juego varios aspectos: el contenido, las creencias del profesor, la metodología usada para la
467

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
enseñanza, la teoría cognitiva elegida, las actividades planteadas a los estudiantes, los objetivos
institucionales, etc., qué tan efectivos han resultado en conjunto éstos es el objetivo de la evaluación. Aportar
a la reflexión en este ámbito es el propósito de este artículo.
Antecedentes
En los últimos años han aparecido distintas aproximaciones y paradigmas sobre el
aprendizaje de las matemáticas cuyo objetivo principal es ayudar a los estudiantes a
aprender Cálculo. Sin embargo poca ha sido la investigación en torno a la evaluación en
éstas aproximaciones. En la posición de un grupo de investigadores RUMEC (Research in
Undergraduate Mathematics Education Community) se plantea entre muchos otros el
siguiente cuestionamiento: ¿Qué podemos hacer para mejorar el aprendizaje de los
estudiantes? (Ver Dubinsky, E., 1992. [13]). El grupo plantea estrategias para conseguir
la mejora del proceso de enseñanza y aprendizaje las cuales involucran varias innovaciones
entre las cuales se incluyen: el ciclo de enseñanza ACE (actividades en la computadora,
discusiones en el salón de clase y ejercicios), el aprendizaje colaborativo, la construcción
por parte de los estudiantes de sus conceptos matemáticos en la computadora, discusiones
diseñadas para estimular la construcción de conceptos matemáticos. Todas éstas
fundamentadas en la teoría APOE. Pero surgen las interrogantes: ¿cómo evaluar el
conocimiento de un estudiante si su trabajo siempre ha sido colaborativo?; si ellos han
construido los conceptos matemáticos en la computadora, ¿cómo decidir si esas mismas
construcciones se han dado en su mente? ; ¿qué significado puede tener la respuesta a una
pregunta específica en un examen cronometrado? ; ¿los estudiantes entendieron en la
pregunta lo mismo que el profesor quiso preguntar?, ¿cómo podemos decidir con certeza si
un estudiante aprendió matemáticas en su curso?, ¿cuál debe ser el mejor criterio para
decidir su nota final?. Implementan una metodología de evaluación que combina datos
cuantitativos y cualitativos para determinar la construcción de estructuras mentales en los
estudiantes y concluyen que si los estudiantes participan en todas las actividades del curso,
cooperan en sus grupos, realizan razonablemente bien sus exámenes, etc., entonces las
construcciones mentales fueron hechas. La evaluación aplicada a los estudiantes incluye:
Tareas semanales en la computadora, tareas semanales, discusiones en el salón de clase.
tres exámenes parciales y un examen final..
La calificación final dada a los estudiantes es obtenida dando un peso igual a cada uno de
los rubros anteriormente citados. Los acercamientos anteriores nos presentan una
perspectiva interesante pero aún inconclusa acerca de la evaluación del proceso enseñanza
y aprendizaje; sería nuestro deseo una mayor investigación alrededor de ella.
Ningún instrumento es por sí mismo suficiente si no se utiliza en forma inteligente y
reflexiva.
Planteamiento del problema
El trabajo de un grupo de investigadores (RUMEC) ha mostrado una posición novedosa e
interesante con respecto a la evaluación del aprendizaje de las matemáticas. Reclaman una
actividad efectiva de los estudiantes para crear su propio conocimiento, para esto diseñan
un tratamiento instruccional ACE que se fundamenta en la teoría APOE. El tratamiento
instruccional consta de una serie de actividades que ellos realizan en el laboratorio de
468

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
computación, discusiones en clase y ejercicios tradicionales. Afirman que el análisis de la
consecución de los objetivos matemáticos debe hacerse basándose en la conducta de los
alumnos frente a ciertas actividades o tareas matemáticas en el aula y no sólo respecto
pruebas cerradas. En este nuevo tipo de análisis de logros cognitivos se afirma que la
reflexión epistemológica sobre la construcción del conocimiento proporciona ideas sobre
diversos tipos de fenómenos de aprendizaje que sobrepasan lo que un examen puede
interpretar; de manera que la evaluación pasa a ser un eje importante del proceso educativo.
Sin embargo aún existen cuestionamientos en torno a esta metodología de evaluación :
Las tareas computacionales semanales realizadas en equipo tienen por objetivo permitir que
los estudiantes mediante el trabajo colaborativo construyan las estructuras mentales
necesarias para apropiarse de un concepto, pero si el trabajo lo realizaron en equipo...,
¿cómo tener la seguridad de que cada uno de los integrantes construyó las estructuras
mentales necesarias para conseguir tal objetivo?, ¿cómo tener la seguridad de que la
calificación asignada al equipo, tiene validez para cada integrante?, ¿cómo poder asignar la
calificación a un estudiante de la manera más justa posible?.
Por otro lado los ejercicios tradicionales son entregados semanalmente y por equipo, pero,
¿cómo podemos asegurarnos de que éste fue realizado realmente en equipo?, ¿cómo
asegurar que cada estudiante entiende y puede resolver cualquiera de los ejercicios
entregados?
En el primer examen por equipo en el cual cada integrante recibe la misma calificación,
¿será justa esta medida para todos los integrantes del equipo?, ¿participaron en la misma
medida cada uno de los integrantes del equipo?
Segundo examen resuelto individualmente, cada alumno recibe dos calificaciones, la de su
examen y el promedio de calificaciones de los integrantes de su equipo, ¿qué tan justo es
asignar a cada estudiante el promedio de las calificaciones de su equipo?. Tercer examen
igual.
Examen final resuelto individualmente además de contar con un tiempo límite para su
realización, cada alumno recibe sólo su calificación. ¿Qué tanto puede reflejar la
calificación de éste los conocimientos del alumno posee?, ¿de qué manera influye en la
realización de un examen limitar el tiempo para su resolución?.
Participación en clase, cada alumno recibe una calificación por actividad efectiva durante
las sesiones de resolución de problemas.
¿De qué manera esta metodología de evaluación contribuye a la aprobación de alumnos que
no deben ser aprobados?, ¿de qué manera el trabajo colaborativo contribuye a esta
situación?
Por otro lado una metodología de evaluación capaz de generar con mayor certeza la nota de
un estudiante es a través de una entrevista personalizada. La cual mediante un adecuado
diseño, aplicación y análisis debe permitir al profesor percibir la calidad y cantidad de
conocimientos que posee cada uno de los estudiantes, así como el nivel de construcción de
estructuras cognitivas que el alumno ha desarrollado. Esta metodología de evaluación que
parece ser la solución educativa, ya que proporcionaría la información necesaria acerca de
la adquisición de los conocimientos de un alumno al terminar un curso, presenta varias
desventajas. Por un lado el diseño de los cuestionamientos aplicados deben poner al
descubierto el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, es decir, no contener
preguntas cerradas; para lo cual requiere práctica en la elaboración de éstos por parte del
profesor. Además del diseño de una metodología que permita la recopilación y análisis de
469

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
información cuantitativa, que oriente al profesor en la toma de la decisión acerca de la nota
que le corresponde a cada estudiante. Además de la gran cantidad de tiempo que requiere
la aplicación y análisis de cada una de las entrevistas. Todo lo anterior la vuelve una
metodología impráctica para ser usada durante los cursos. Este trabajo desea comparar la
metodología de evaluación planteada a través del tratamiento instruccional ACE
fundamentada en la teoría APOE, con una metodología de evaluación que da un
acercamiento más real a la situación cognitiva de los estudiantes, consistente en entrevistas
personalizadas a alumnos seleccionados aleatoriamente. La propuesta de este anteproyecto
de Tesis es: ¿La evaluación de los estudiantes a través del tratamiento instruccional ACE
genera las mismas notas que la evaluación a través de entrevistas personalizadas?
Haciendo uso de métodos cualitativos y cuantitativos generar un panorama de las ventajas y
desventajas que esta evaluación conlleva.
Avances de investigación
Evaluación propuesta por RUMEC
Durante el semestre agosto-diciembre de 2001 se implementó en un grupo de Cálculo la
metodología planteada por RUMEC, mediante la cual se sugiere el ciclo de enseñanza ACE
fundamentado en la teoría APOE. El objetivo de esta implementación fue investigar si la
evaluación planteada por RUMEC generaba los mismos resultados que los que vertiera una
evaluación realizada a través de entrevistas personalizadas.
Para realizarla se consiguieron las siguientes condiciones:
1. Organización del curso en semanas.
2. Organización de los alumnos en grupos de trabajo permanentes.
3. Actividades colaborativas realizadas en computadora.
4. Organización de discusiones en el salón de clase.
5. Realización de ejercicios tradicionales.
6. Realización del primer examen de manera colaborativa.
7. Realización del segundo examen resuelto de manera individual.
8. Realización del tercer resuelto de manera individual.
9. Realización de un examen final resuelto de manera tradicional.
10. Registro de las participaciones de los estudiantes durante las discusiones y
resolución de problemas por equipos.
La distribución del curso en semanas se hizo con el objetivo de aplicar en la medida de lo
posible el ciclo de enseñanza ACE fundamentado en la teoría APOE. La organización del
grupo en equipos permanentes de trabajo fue hecha con el fin de que las actividades en
computadora, tareas y ejercicios fueran realizados y entregados por equipo. Las actividades
en computadora fueron realizadas la primera sesión de cada semana. Los estudiantes
recibieron la instalación del programa que contenía el lenguaje ISETL en cada una de sus
computadoras, además de que se encontraba instalado en un laboratorio de computación al
cual ellos tenían acceso durante toda la semana de 7:00 a 19:00 horas. Los primeros
acercamientos que tuvieron los estudiantes con ISETL fueron de duda, ¿para qué
necesitamos un lenguaje de programación para aprender matemáticas?
Para conseguir una actitud de aceptación hacia las actividades fue necesario explicarles una
y otra vez que la filosofía del curso planteaba la necesidad de la formación de estructuras
470

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
cognitivas previas al encuentro con los conceptos a estudiar. Las discusiones en el salón de
clase se llevaban a cabo la segunda sesión de cada semana, iniciando con el planteamiento
de actividades a desarrollar de manera colaborativa y que podían ir desde 5 hasta 15
minutos al término. Finalmente cuando se consideró apropiado, se decidió dar
explicaciones, respuestas y notaciones necesarias para los estudiantes, además en esta
sesión se daban los teoremas, pruebas, ejemplos y contraejemplos necesarios para el
concepto matemático estudiado. La circulación por el salón de clase durante las actividades
permitía observar qué estudiantes permanecían al margen de la discusión, hacer anotaciones
y durante la discusión del grupo completo se trataba de hacerlos participar. Esta actividad
de volvió muy importante ya que permitía detectar qué estudiante necesitaba ayuda.
Al final de cada semana se entregó una serie de ejercicios que los estudiantes resolvieron en
equipo, éstos fueron esencialmente tradicionales.
Al principio los estudiantes repartían los ejercicios entre el número de integrantes, ellos no
veían la importancia de trabajar colaborativamente para aprender matemáticas, si por
alguna razón tenían dudas respecto a la resolución que daban recurrían a la ayuda del
profesor, pero se les indicaba que antes de buscarla tenían que discutir y buscar la solución
ellos mismos. El primer examen fue realizado en equipo y cada estudiante del equipo
recibió la calificación obtenida en éste. A pesar de que podría pensarse que los resultados
para los estudiantes sería bueno, no ocurrió así. El problema principal durante el desarrollo
de este primer examen fue que los equipos que no habían trabajado colaborativamente
entregaron exámenes no muy buenos, al cuestionarlos comentaban que no fue fácil ponerse
de acuerdo y además invirtieron mucho tiempo explicar a los estudiantes que no
comprendían la solución.
El segundo examen fue realizado individualmente y cada estudiante recibió dos
calificaciones la de su examen y el promedio de las calificaciones de los integrantes de su
equipo. El tercer examen fue realizado de la misma manera que el segundo. Éste presentó
menos discusiones acerca de sus calificaciones. El examen final fue realizado de manera
tradicional, es decir individualmente y con tiempo límite para su entrega; cada estudiante
recibió solamente su calificación.
Se trató de llevar un registro de las participaciones de cada uno de los estudiantes durante el
desarrollo de las actividades colaborativas (en computadora, discusiones y resolución de
problemas) de manera que se pudiera tener una más o menos clara idea de la situación en el
proceso de aprendizaje de cada uno de ellos. Se recordaba constantemente a los estudiantes
que un ingrediente importante para el éxito en el proceso del aprendizaje era su actitud ante
tal proceso. Para obtener la evaluación final de cada estudiante se le dio un peso igual a
cada una de las actividades contenidas en los números del 3-10. Con esta metodología se
realizó la evaluación del grupo.
Evaluación generada a través de una entrevista personalizada
Uno de los objetivos de la evaluación es describir la situación cognitiva y de habilidades
del estudiante al terminar un curso, pero cuál es la mejor manera de conseguir que ocurra.
Si pudiéramos elegir libremente y sin presiones administrativas los exámenes no se verían
muy favorecidos, quizá optaríamos por una entrevista personalizada a cada uno de los
estudiantes. Pero esta opción se vuelve impráctica por el tiempo que debemos invertir en la
aplicación y análisis de éstas a fin de conseguir una evaluación que realmente describa la
situación cognitiva del alumno.
471

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Este proyecto trata de verificar mediante una entrevista personalizada la evaluación
planteada por RUMEC, es decir pretende mostrar que el uso indistinto de la metodología de
evaluación (la propuesta de RUMEC y una entrevista personalizada) generan la misma nota
final del curso.
Para tal efecto se hizo una selección aleatoria de 10 estudiantes que habían cursado la
materia de Cálculo con el ciclo de enseñanza ACE fundamentado en la teoría APOE.
La entrevista consistía de 7 preguntas seleccionadas aleatoriamente de un total de 11.
Después de haber seleccionado al azar las preguntas que contestarían en su entrevista se les
pedía que al mirarlas con un poco de atención, decidieran por cuál empezarían, se le
proporcionó el papel necesario para hacer operaciones, analizar y resolver los problemas.
La pregunta que se hizo a todos los estudiantes antes de iniciar la resolución de cada
problema fue: ¿Entiendes qué se te pide que hagas en el problema?
El profesor permanecía como observador y en caso de notar titubeo en la respuesta procedía
a cuestionar al estudiante acerca de lo que hacía y por qué lo hacia, siempre con el objetivo
de que el estudiante reflexionara acerca de su respuesta; y que por otro lado se pudiera
percibir realmente cuál era la situación cognitiva del estudiante al dar la respuesta al
problema. Se le pedía al estudiante que escribiera todo lo que pensara que lo ayudaría a
resolver el problema.
Se registraba lo que el estudiante contestaba a los cuestionamientos planteados de la
manera más fidedigna posible, se evitaba dar opiniones y no manifestar aprobación o
desaprobación en el tono de voz usado. Se sugería al estudiante estar lo más tranquilo
posible de manera que el estrés no fuera un factor que sesgara la información que vertiera
tal entrevista.
La entrevista a los 10 estudiantes se llevó a cabo en 7 días y el análisis de cada de éstas
realizó en diez días.
Al final de cada entrevista se les preguntaba a los estudiantes; ¿qué evaluación te pareció
mejor, la realizada durante el curso o la entrevista y por qué?
La mayoría de los estudiantes expresaron que la entrevista es mejor porque permite que el
profesor conozca lo que el estudiante tiene en su mente y quiere explicar pero, a veces no
puede.
A pesar del tiempo invertido en las calificaciones de los estudiantes mediante una entrevista
personalizada sus calificaciones no cambiaron sustancialmente son respecto a la obtenida
en el curso.
Bibliografía
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472

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
EVALUACION DE UNA EXPERIENCIA DIDACTICA
Mónica Caserio, Martha Guzmán y Ana Vozzi
UTN, UNR, Rosario, Argentina
caserio@fceia.unr.edu.ar, mguzman@fceia.unr.edu.ar, amvozzi@fceia.unr.edu.ar
Resumen
En este trabajo se comenta la “puesta apunto” de una investigación que se viene realizando con alumnos de la
carrera de Ingeniería en Sistemas de Información de la UTN en seis cursos de la asignatura Algebra y
Geometría. Se trata de evaluar la aplicación de una estrategia didáctica – la que tiene como eje fundamental el
autoaprendizaje y su importancia en la incorporación de habilidades investigativas y de producción propia-
teniendo en cuenta la opinión de estudiantes involucrados.
Introducción
En el presente trabajo se muestra un aspecto de la evaluación de la investigación cuyo
reporte fue: “Una estrategia didactica para el aprendizaje de superficies”, presentado en
Relme 15. Esa evaluación consiste en el análisis de los resultados obtenidos en la
aplicación de la experiencia, con el aporte de la visión de los estudiantes involucrados en
ella. La estrategia didáctica aplicada se sostenía en tres ejes fundamentales: la
visualización, el autoaprendizaje y la investigación acción y se explayaba respecto de la
verificación de las etapas del desarrollo de la percepción espacial señaladas por R. Pallascio
y otros: Visualización – Estructuración – Traducción – Clasificación.
En la misma se intentaba incentivar en los estudiantes el espíritu de búsqueda, de
indagación, favoreciendo su independencia y creatividad, pretendiendo llevar a los alumnos
a una forma de pensamiento matemático que supere al mero aprendizaje memorístico, y
cuya meta es la comprensión, la retención de la información y el uso activo del
conocimiento. El tema elegido para realizar esta experiencia fue el estudio de superficies,
apoyado con la herramienta informática, trabajando en grupos con la orientación del
docente. En el marco de la investigación acción y dentro de la indagación autorreflexiva
que la misma conlleva, focalizamos, nuestro interés en la evaluación del proceso de
autoaprendizaje considerando fundamentalmente su impacto en los estudiantes.
El proceso de aprender
Entendemos que la Universidad no solo tiene una finalidad “profesionalizante”, sino que
debe asumir su papel educativo, cual es colocar al alumno en condiciones de aprender por
sí mismo, posibilitar que pueda vincular lo que aprende con lo que puede llegar a aprender.
De ahí que el método de enseñanza deba acercarse lo más posible al método de
investigación. Porque “....ocurre que la Universidad, hoy, es una institución diferente,
abierta al medio, orientadora, indagadora del saber y reconstructora del mismo;
profesionalizante y básicamente transformadora de la realidad, que le permite realizarse
como una institución contemporánea formadora de profesionales creadores, realistas,
críticos...” 5 Uno de los elementos que aparece reiteradamente en los diagnósticos de los
ingresantes, además de las falencias en los conocimientos matemáticos, es su falta de
curiosidad respecto de los por qué y el casi inexistente hábito de buscar y/o investigar sobre
5 Ovide Menim – Pedagogía y Universidad – Homo Sapiens Ediciones- 1998
473

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
los contenidos curriculares. Pretendemos, por lo tanto, propiciar un saber crítico y
problematizante donde lo prioritario es la búsqueda, el cuestionamiento antes que las
conclusiones definitivas. Dado que este trabajo se realiza en una facultad formadora de
ingenieros, es imprescindible que esta orientación se impulse desde los primeros años. En
esta propuesta seleccionamos temas que “quedan” para que el alumno estudie solo, lo que
nos da la oportunidad de implementar una estrategia de aprendizaje que favorezca el
“autoaprendizaje”. Entendemos por estrategia de autoaprendizaje toda aquella acción que
incluye pensamiento o comportamiento que ayude a adquirir información de modo que ésta
se integre a la ya existente.
El proceso educacional es una tarea realizada por estudiantes y profesores. Cada estudiante
debe aprender cómo convertirse en su propio instructor para toda la vida. Una de sus
finalidades debe ser hallar el modo de aprender aquello que no sabe o no conoce. Debe
desarrollar habilidad para adquirir nuevos conocimientos matemáticos y aplicarlo con
criterio ante situaciones nuevas. La enseñanza, en su más alto nivel, implica cooperación
con el estudiante de modo de ayudarle en ese desarrollo a “pensar”. Es necesario despertar
entusiasmo, buenos hábitos para aprender, buenas características de juicio crítico, un cabal
razonamiento lógico-formal y anhelo por aceptar el desafío que se plantean en diferentes
contextos y los nuevos problemas en la vida profesional. Aprender y enseñar son partes de
un mismo proceso. La enseñanza en el nivel superior se basa, en cierta forma, en una clara
apreciación del proceso de aprender. Un conocimiento del desarrollo de este proceso ayuda
a ambas partes: estudiantes y profesores a realizar su tarea en común.
En esta experiencia tomamos de distintas teorías del aprendizaje, aquellas concepciones que
a nuestro juicio aportan al crecimiento de las habilidades intelectuales, al aprendizaje
significativo de los conceptos matemáticos y a su correcta manipulación en pos de facilitar
la incorporación de futuras complejidades matemáticas. Consideramos a Robert Gagne
quien, entre otros, ha combinado los enfoques conductista y cognitivista en la dinámica del
aprendizaje, dando así lugar a una visión más integradora en la que el aprendizaje es
concebido como proceso de asociación y de reestructuración. Este modelo explica como,
de manera intencional se puede orientar el aprendizaje hacia metas específicas y por lo
tanto planificarlo, incluyendo la adquisición de aptitudes. El principio básico es la
planificación del aprendizaje con base en el análisis de la tarea. También destacamos
algunos de los principios de Carl Rogers en donde la mayor parte del aprendizaje
significativo se logra mediante la práctica y se facilita cuando el estudiante participa de
manera responsable en este proceso. Para este autor, el aprendizaje socializante más útil en
el mundo moderno es el aprendizaje del proceso de aprender, una apertura continua para la
experiencia y la incorporación, en nosotros mismos, del proceso de cambio. Por otra parte,
Vigotsky adhiere al modelo constructivista que tiene su estructura en el desequilibrioreordenación-equilibrio,
lo que le permite a la persona superarse constantemente, pero para
él la actividad constructiva no es una actividad exclusivamente individual. Considera al ser
humano un ser cultural donde el medio ambiente (zona de desarrollo próximo) tiene gran
influencia., ya que las funciones mentales superiores se adquieren en la interacción social
(deberá formar grupos de trabajo y esparcimiento).
La intervención educativa debe tener como objetivo prioritario el posibilitar que los
alumnos realicen aprendizajes significativos por sí solos, es decir, que sean capaces de
aprender a aprender. Aprender significativamente supone modificar los esquemas de
conocimiento que el alumno posee. Esta forma de aprendizaje implica una intensa actividad
474

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
por parte del alumno que consiste en establecer relaciones ricas entre el nuevo contenido y
los esquemas de conocimiento ya existentes. Extrayendo algunos conceptos de las teorías
del aprendizaje ya referidas, consideramos las siguientes fases:
° Motivación: Es la fase inicial, que consiste en crear una expectativa que mueve al
aprendizaje y que puede tener un origen externo o interno.
° Para que se desarrolle el proceso de autoaprendizaje, un alumno debe tener una “meta”,
tal como comprender o completar una tarea y estar activamente comprometido a tratar de
llegar a ella 6
° Comprensión: Se refiere a la atención del aprendiz sobre lo que es importante, y
consiste en el proceso de percepción de aquellos aspectos que ha seleccionado y que le
interesa aprender.
° Apropiación y retención: Este es el momento crucial del proceso de aprendizaje. Lo
denomina Gagne "incidente esencial" porque marca la transición del no-aprendizaje al
aprendizaje. Este incidente se produce cuando la información ya transformada en
conocimiento pasa del registro sensorial a la memoria y se acrecienta, de esta manera, la
estructura del pensamiento.
° Recuerdo, transferencia y retroalimentación: Son fases que corresponden al
perfeccionamiento del aprendizaje. El recuerdo hace posible que el conocimiento se pueda
recuperar mientras que la transferencia permite que se pueda generalizar lo aprendido, que
se traslade la información aprendida a variados contextos e intereses. La retroalimentacion
consiste en el proceso de confrontación entre las expectativas y lo alcanzado en el
aprendizaje. De esta manera el aprendizaje se verifica y se afirma, se corrige y avanza.
Diseño de la experiencia
Apoyados entre otros en los criterios enunciados, el diseño de la experiencia que realizamos
y continuamos con el mismo espíritu, propone la elaboración de un trabajo grupal sobre el
tema seleccionado -el estudio de las superficies- con el siguiente esquema:
El trabajo consiste en el estudio de un tema específico “Ecuaciones de 2do grado en tres
variables (Superficies)” que derivará en una serie de ejercicios de aplicación con la
consiguiente presentación escrita y defensa oral del trabajo. Como ejemplo tomamos esta
serie de ejercicios.
1) Estudio completo de una superficie
2) Identificación de distintas superficies a partir de sus ecuaciones
3) Reconocimiento de superficies a partir de sus representaciones gráficas.
4) Análisis de los coeficientes de la ecuación de 2do. grado
Para potenciar en los alumnos la autonomía, la autoformación, el autoaprendizaje, la
autorregulación y la autoevaluación es necesario desarrollar una metodología acorde con
esto. Que propicie la participación activa, nuevos enfoques formativos, procedimientos y
estrategias de búsqueda, procesamiento, utilización de la información, que potencien las
posibilidades de estas tecnologías y tengan en cuenta sus limitaciones o peligros.
En la experiencia se incluyó la posibilidad de utilizar elementos que motivaran al
estudiante y le permitieran entusiasmarse y comprometerse con la tarea en pos de alcanzar
su “meta”.
6 ( Shuell – 1986)
475

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El alumno debe aprender mediante su propia acción. La labor del docente consiste en crear
un contexto favorable para el aprendizaje. Sugerimos entonces, la utilización de un soft y
de diversos medios para reunir información sobre contenidos específicos y aplicaciones,
teniendo en cuenta el aporte de la herramienta informática en cuanto a lo que a
“visualización” se refiere. La curiosidad que suscita el uso de la PC, el impacto visual que
provocan las imágenes del programa actúan, en principio, como fuente de motivación para
los alumnos, quienes comienzan, mediante la manipulación y exploración de las funciones
del ordenador, a familiarizarse tanto con los contenidos procedimentales necesarios para el
correcto uso del programa como con los contenidos conceptuales de los temas a estudiar.
En el diseño de la experiencia, se propone que el trabajo grupal se desarrolle según el
siguiente esquema:
Lectura comprensiva del material bibliográfico seleccionado por los docentes.
Utilización del soft elegido en las aplicaciones propuestas (ejemplos, ejercicios)
1ra. Entrevista. Búsqueda de información adicional a la bibliografía propuesta.
Planteo de los problemas propuestos
2da. Entrevista. Resolución de los problemas y elaboración de la presentación
3ra. Entrevista. Presentación y defensa presencial y oral del trabajo
4ta. Entrevista. Evaluación final
Evaluación de la experiencia.
Las observaciones realizadas pueden resumirse en: 1ra. entrevista: Se manifiestan las
dificultades en la comprensión del material bibliográfico, en particular la decodificación del
lenguaje simbólico y las secuencias lógicas que se derivan de las expresiones algebraicas,
como así también en la manipulación del soft. 2da entrevista: En esta instancia las
dificultades se observan respecto del reconocimiento de las trazas (ejercicio del tipo 1) lo
que involucra el conocimiento previo de las secciones cónicas. Los ejercicios del tipo 2 y 3
les presentan pocos inconvenientes ya que apelan, en general, a las analogías y similitudes
para la identificación o reconocimiento. En el ejercicio tipo 4 expresan sus interrogantes
sobre el significado y consecuencias de la variación de los coeficientes intervinientes en
cada ecuación. 3ra. entrevista: Los problemas refieren fundamentalmente a las
especificidades del soft y los ajustes últimos de los ejercicios, como también a las
conclusiones que arriban.
La aparición de un nuevo conocimiento, o de alguna respuesta “inesperada” por parte de la
PC, provoca un conflicto cognitivo en los alumnos, conflicto que no puede ser resuelto
mediante estrategias del tipo “ensayo-error” debido a la función conceptualizadora del
diálogo, que obliga a los alumnos a analizar y reflexionar sobre sus acciones, para poder
argumentar con racionalidad la pertinencia de sus decisiones en la búsqueda de soluciones.
En este momento predominan las situaciones de acción, donde los alumnos interactúan con
la computadora e intentan la resolución del problema a partir del diálogo, la discusión y el
intercambio de información entre los integrantes del grupo, con intervenciones ocasionales
de las docentes y de compañeros de otros grupos. Predominan las situaciones que dan
cuenta del grado de apropiación de los contenidos conceptuales por parte de cada alumno.
Aquí tienen lugar los primeros intentos por explicitar y analizar el uso de las estrategias que
emplean mientras buscan la solución, así como también comienzan a interpretar, identificar
y definir lo que observan en la pantalla, es decir, las respuestas que les devuelve la PC.
476

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Se manifiesta claramente, el cambio de vocabulario en el estudiante, evidenciando un
aprendizaje significativo respecto a los temas involucrados.
Observamos cómo los alumnos fueron sorteando las dificultades atinentes a la selección del
material sugerido, así como a la valorización de los contenidos (separación entre lo
importante y lo accesorio), con la consecuente solicitud de apoyo docente. Este entorno
resalta la importancia de conocer o ser consciente de cómo se aprende, de que forma se
buscan soluciones a los problemas, cuales son las estrategias que se utilizan para resolver o
enfrentar las dificultades... de aprender a aprender y de ser conscientes de su estilo de
aprendizaje. Cuando el estudiante aborda la resolución de los problemas planteados desde
una posición diferente, pudiendo interpretarlos más eficazmente, interactuando entre los
contextos de teoría y práctica o aplicación, es aquí donde transfiere sus conocimientos
teóricos a una situación de aplicación primaria. Pone de manifiesto que ante las dificultades
para resolverlos, retorna a la lectura comprensiva de los temas, seleccionando en esta
oportunidad aquellos tópicos directamente relacionados con el tema de su interés.
En este entorno, la metacognición toma un significado especial, por tratarse de un entorno
con un carácter autodidáctico que la hace imprescindible. Se requiere que el alumno sepa
qué desea conseguir y cómo conseguirlo (dos características propias de la metacognición),
ya que esto tendrá una influencia directa sobre la capacidad de aprender por uno mismo, la
autonomía, la motivación haciendo al alumno consciente de su propio proceso de
aprendizaje y condicionando en gran medida el éxito de su proceso formativo.
Unida a la instancia de presentación y defensa de sus producciones y a las opiniones
recabadas en las entrevistas, se administró una encuesta con la finalidad de recabar las
opiniones respecto a la estrategia didáctica implementada.
En la cátedra Algebra y Geometría de primer año de Ingeniería en Sistemas de la
Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Rosario) en un número de
aproximadamente 800 alumnos, la población sobre la que se realiza esta investigación es
de 300, la muestra sobre la que podemos informar datos concretos se refiere a 120 de ellos.
Las entrevistas (parcialmente estructuradas) se realizaron con cada grupo de alumnos y
muchas de sus respuestas fueron enriquecidas por todos los miembros del grupo.
En el cuadro que sigue se resumen los resultados de la encuesta y entrevistas que dieron
elementos fundamentales para avalar la experiencia que se viene realizando y de algún
modo fueron significativos para la transferencia de la misma al resto de los cursos de
Algebra y Geometría.
Bibliografía Utilizada Sugerida 85% Otras 15% Ninguna 0%
Dificultades en la
comprensión del tema
Pocas 23% Medianas 47% Muchas 30%
Dificultades en el
desarrollo de la tarea
Pocas 32% Medianas 40% Muchas 28%
Tiempo extra clase
requerido
Poco 15% Mediano 33% Mucho 52%
Aprendizaje
Regular 10%
Bueno 20% Muy Bueno 70%
477

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Conclusión
Entre los docentes de matemática se encuentran instalados algunos “mitos” por ejemplo la
identificación del profesor como “dueño” de los conocimientos y al alumno como el
receptor de sus “enseñanzas”, descartando la posibilidad del autoaprendizaje, lo que se
fundamenta en la dificultad de la apropiación de conceptos matemáticos en forma
autónoma. El enfoque planteado, en la investigación, constituye un verdadero desafío para
la enseñanza de la matemática, ya que el alumno abandona su actitud de pasividad propia
de otros entornos, adoptando una actitud más activa, centrada en el proceso y no tanto en el
producto. Es participe y responsable de su proceso de aprendizaje y de sus logros en el
transcurso de la actividad, ya que el carácter autodidáctico que conserva este entorno
requiere de un buen conocimiento de los propios recursos del alumno (metacognición).
La experiencia fue considerada, por los alumnos como productiva, no obstante aclarar que
les requirió mucho esfuerzo, a lo que no están acostumbrados. Refieren también que esta
fue la primera oportunidad en la que realizan este tipo de tarea y opinan que les ocupó
mucho tiempo extra clase. Una constante en sus reflexiones es que les resulta casi
indispensable el apoyo del docente en las primeras etapas del trabajo, pero reconocen que
mucho de lo que realizaron fue producto de su propio esfuerzo y este hecho los hace sentir
más seguros respecto de los conocimientos matemáticos incorporados a lo largo de este
proceso. Sostienen asimismo haber incorporado hábitos de estudio, de búsqueda de
información y de intercambio entre pares que consideran de mucha utilidad para la
prosecución de su carrera, lo que da la pauta de una integración grupal, indicando el
esperado proceso de sociabilización.
Es evidente que el componente de autoaprendizaje adquiere un nuevo valor, al igual que la
autonomía y la autorregulación. El proceso de aprendizaje esta autogestionado por el propio
alumno, su iniciativa y motivación le hacen responsable de sus propios logros en el
transcurso de las diferentes actividades de aprendizaje. Él marca los tiempos y ritmos al
igual que diagnostica sus propias necesidades y su requerimiento de apoyo docente
Otro rasgo a destacar en el proceso de aprendizaje es que la modalidad de trabajo adoptada
(donde el énfasis está puesto en la exploración, la experimentación, la investigación, antes
que en la “respuesta correcta”) permite a los alumnos utilizar el error no ya como sinónimo
de “fracaso” sino como otro punto de partida para nuevas problematizaciones y reflexiones,
donde las posibilidades y consecuencias muchas veces son desconocidas hasta para los
propios docentes.
Bibliografía
Elliot, J. (1994) La investigación acción en la educación. Ed. Morata.
Gagné, M. R. (1976). Principios para la planificación de la enseñanza. Diana. México.
Gagné, R. M. (1987). Las condiciones del aprendizaje. México: Interamericana
Lewin, K. (1992). La investigación acción participativa. Madrid.
Moll, L.(1990) Introduction to the Book Vigotsky and Education. Cambridge University
Press, New York.
Ovide M. (1998) Pedagogía y Universidad. Homo Sapiens Ediciones.
Pallascio, R. (1986). Habilidades de la percepción espacial en un contexto infomatizado.
U. De Monreal.
478

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Perez Gomez , A I (1993). Comprender y transformar la enseñanza. Ed. Morata- Madrid.
Pozo, J. I. (1997) La crisis de la educación científica ¿Volver a lo básico o volver al
constructivismo? Revista Alambique Didáctica de las Cs. Experimentales, España.
Roger, C. (1975) Libertad y creatividad en la Educación. Edit. Paidos, Bs.As
Schoenfeld , A. (1985) La enseñanza de la matemática a debate. Ministerio de Educación
y ciencia, Madrid
Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving,
metacognition, and sense-making in mathematics. En D. A. Grouws
Shuell, T. J. (2001). Teorías el aprender y paradigmas educativos. En N. J. Smelser, y P. B.
Baltes (Eds.), Enciclopedia internacional de las ciencias sociales y del
comportamiento (vol. 13). Amsterdam: Elsevier.
Stenhouse, L. (1987). La investigación como base de la enseñanza. España.
479

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
480
GEOMETRÍA DINÁMICA EN UN CURSO REMEDIAL.
Armando López Zamudio.
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios No.94, México
larmandozam@hotmail.com
Resumen
El uso de la computadora ha generado cambios sustanciales en la forma cómo los estudiantes aprenden
matemáticas, de ahí la necesidad de generar materiales didácticos que garanticen el éxito a los involucrados
en el proceso enseñanza aprendizaje. El uso de software de geometría dinámica posibilita a los estudiantes
para inspeccionar un rango muy amplio de ejemplos geométricos, de esta manera ellos extienden sus
habilidades para formular y explorar conjeturas, así como para juzgar, construir y comunicar argumentos
matemáticos apropiadamente. En este trabajo damos a conocer los resultados de una experimentación en el
aula, que usó software de geometría dinámica en un curso-taller remedial de Geometría Euclidiana para
estudiantes de bachillerato (estudiantes de 16-17 años), comparando con un grupo control que trabajo de
manera clásica o tradicional.
Objetivos
Dar a conocer los resultados de un proyecto de investigación que consintió, en una
experimentación del diseño de una serie de prácticas didácticas que usan el software
Géomètre CABRI (Cahier de Broillon Interactif: Cuaderno de Notas Interactivo) (Baulac, I,
et. Al. 1992) para un curso remedial de geometría Euclidiana, impartido a estudiantes
irregulares del segundo semestre de bachillerato.
Antecedentes
El National Council of Teachers of Mathematics en los estándares del 2000 señala que las
tecnologías electrónicas son herramientas esenciales para enseñar, aprender y hacer
matemáticas. Proporcionan imágenes visuales de ideas matemáticas. La existencia,
versatilidad y poder de la tecnología exige examinar tanto que matemática deben aprender
los estudiantes como de que manera pueden aprenderla mejor. Con las computadoras o
calculadoras graficadoras los alumnos pueden examinar más ejemplos o formas de
representación que las posibles de hacer a mano. En particular para el estándar de
geometría de los grados 9-12, se menciona que uno de los cambios más importantes de la
enseñanza de las matemáticas tiene que ver con evidencia y justificación, especialmente
con el crecimiento de los ambientes tecnológicos, donde la geometría es un área rica en la
cual los estudiantes pueden descubrir patrones y formular conjeturas en una forma visual,
eficiente y dinámica. Arcavi y Hadas (2000) afirman que: Los ambientes dinámicos no sólo
permiten a los estudiantes construir figuras con ciertas propiedades y visualizarlas, sino
que también les permite transformar esas construcciones en tiempo real. Este dinamismo
puede contribuir en la formación de hábitos para transformar, una instancia particular,
para estudiar variaciones, invariantes visuales, y posiblemente proveer bases intuitivas
para justificaciones formales de conjeturas y proposiciones (pp. 26). Para Fritzler (1997)
el software Cabri Géomètre II (1992) apoya al estudiante en el proceso de aprender a
visualizar. Las figuras geométricas se conceptualizan como resultados de construcciones,
cuyas propiedades son definidas por las relaciones establecidas entre sus partes. Esta
visión es más difícil de transmitir por medio de construcciones hechas con lápiz y papel,
entonces la observación de las propiedades que se mantienen invariables al modificar la

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
forma y el tamaño de las figuras, motiva la explicación por parte de estudiante en un
ambiente de la geometría dinámica. Podemos entonces señalar que el uso de software de
Geometría dinámica puede funcionar como una herramienta de gran utilidad para que los
estudiantes se enganchen en procesos de búsqueda y formulación de conjeturas o relaciones
y argumentos o justificaciones matemáticas. Como resultado de este trabajo trataremos la
cuestión que Santos Trigo (2001) plantea ¿a qué nivel el uso de software dinámico ofrece o
funciona como una herramienta útil para que los estudiantes visualicen, exploren y
construyan relaciones matemáticas?
Metodología
De la población. Se formaron dos grupos de 20 alumnos cada uno (los alumnos todos eran
irregulares, es decir, ya habían tomado el curso de manera clásica pero no lo aprobaron, fue
un buen reto considerar alumnos que ya, permítanme la expresión eran “desahuciados”
desde el punto de vista académico), el grupo “A” fue el grupo testigo (tomó clases de
manera tradicional) y el grupo “B” el grupo piloto(tomó clase en un laboratorio de computo
contando con una computadora por alumno). Se contó con la supervisión de tres docentes
en el grupo Piloto, que manipulan perfectamente el CABRI y que además han impartido la
materia de geometría Euclidiana.
Del diseño de los materiales. Se diseñó un manual de prácticas o secuencias didácticas de
tres tipos:
• Prácticas guiadas: aquí se le indica al alumno paso por paso lo que debe hacer, es decir
el docente ayudado por un cañón proyector va realizando cada uno de los trazos seguido
del alumno. Y además se le cuestiona cuando es necesario para reafirmar el
conocimiento y ejercitar su razonamiento en el tema tratado.
• Prácticas semiguiadas: se le proporciona al alumno un apoyo menor, se le orienta dando
las instrucciones o comandos que debe ejecutar para lograr verificar un teorema o la
construcción de una figura. Pero debe hacerlo sólo en su computadora, únicamente
guiado por su práctica, al mismo tiempo debe ir contestando ciertas preguntas que lo van
animando a continuar con la práctica.
• Prácticas abiertas. Se espera en esta etapa que el alumno por si solo construya y aplique
su conocimiento a través de la solución de problemas. Y que plantee sus propias
conjeturas y argumentos.
Este material incluye un instructivo básico del manejo del CABRI con una breve
explicación de todos los comandos del software en uso. Se reproduce y es repartido entre
cada uno de los estudiantes.
De las sesiones de trabajo. Las prácticas están distribuidas a lo largo de 14 sesiones de 2
horas cada una. En la 1ª sesión se reunieron los grupos A y B y se les aplicó un examen
diagnóstico para determinar el nivel de conocimientos previos, en forma individual y por
grupo, al grupo piloto se le aplicó también un Test denominado “Canal de percepción
dominante” donde los canales podían ser auditivo, cenestésico o visual, con la finalidad de
conocer el canal de percepción dominante en el alumno y en el grupo. En la 2ª sesión se
inicia con una actividad guiada que introduce al manejo del CABRI. 3ª y 4ª sesiones se
continúa con actividades guiadas intercalando cuestionamientos sobre los posibles
resultados del siguiente paso, se tocaron los temas de ángulos. 5ª y 6ª sesiones continúan las
sesiones guiadas donde los alumnos construyen los diferentes tipos de triángulos, localizan
puntos y rectas notables en los triángulos, así como, demostraciones dinámicas de los
481

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
siguientes teoremas: la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera en un triángulo es
mayor que la longitud del tercero, todo triángulo equilátero es equiángulo, todo triángulo
equiángulo es equilátero, en todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados
iguales, son iguales. 7ª sesión se continúa con actividad guiada en la cual el alumno realiza
la localización de puntos y rectas notables en el triángulo, observando su ubicación de
acuerdo al triángulo en cuestión; visualiza los teoremas: las medianas correspondientes a
los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales, la altura correspondiente a la base de
un triángulo isósceles es también mediana y bisectriz, descubrir la recta de Euler. 8ª sesión
el alumno comprueba los siguientes teoremas con geometría dinámica: la suma de los
ángulos interiores de cualquier triángulo, es igual a 180°, la suma de los ángulos agudos de
un triángulo rectángulo es igual a 90°. 9ª y 10ª sesiones el alumno desarrolla la
demostración o comprobación de los siguientes teoremas con CABRI: en todo triángulo, la
medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente, la suma
de los ángulos exteriores de cualquier triángulo, vale 360°, toda correspondencia LAA
entre dos triángulos es una congruencia, si dos lados de un triángulo no son congruentes,
entonces los ángulos opuestos a éstos no son congruentes y el ángulo mayores el opuesto al
lado mayor, 11ª y 12ª sesiones el alumno desarrollará mediante el uso del software la
construcción de los siguientes teoremas: si dos lados de un triángulo son congruentes
entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes, el teorema de Pitágoras, la
hipotenusa es el lado mayor en cualquier triángulo rectángulo. 13ª sesión en base a los
conocimientos adquiridos los alumnos realizarán la construcción de una circunferencia
inscrita y circunscrita a un triángulo cualquiera, conjetura propiedades en los cuadriláteros.
14ª sesión conjeturará propiedades en las circunferencias, resolverá problemas de
aplicación en donde utilice los conceptos y habilidades adquiridas en las sesiones
anteriores. En cada una de las etapas existió la participación y supervisión de tres
profesores que ayudaban en cuestiones de logística así como en cuestiones del manejo del
software cuidando siempre los objetivos de cada una de las etapas de las secuencias
didácticas. El grupo testigo trabajo de manera clásica: un docente usando gis, pizarrón y
borrador.
Análisis de Resultados
Del Test: para determinar el canal de percepción dominante en el alumno, se detecto que el
65% su canal de percepción dominante es el visual, 12.5% es auditivo, 22.5% es
cenestésico; lo que influyó para que en el diseño de la evaluación final se le diera una
mayor importancia al canal de percepción visual, incluyendo diagramas, dibujos y
esquemas.
De la evaluación diagnóstica: fue diseñado deliberadamente de manera clásica en
estructura (preguntas abiertas, ejemplo: pregunta uno. Escribe la definición de ángulo) y en
el número de reactivos (26), el grupo piloto como resultado 0% aprobó el examen y la
calificación del grupo en promedio es de 2.3, de alumnos que contestó acertadamente cada
reactivo en los siguientes histogramas nos muestran los resultados del grupo piloto, la
primera gráfica muestra, alumnos contra número de aciertos, la segunda gráfica muestra
reactivos contra numero de alumnos que acertaron la respuesta correcta.
482

ACIERT
12
10
8
6
4
2
0
SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
El grupo ALUMNOS testigo obtuvo 0% REACTIVOS
de
aprobados en el examen diagnóstico, y su promedio fue de 2.2, en los siguientes
histogramas nos muestran los resultados del grupo testigo, la primera gráfica muestra,
alumnos contra número de aciertos, la segunda gráfica muestra reactivos contra numero de
alumnos que acertaron la respuesta correcta.
Podemos concluir que los grupos piloto y testigo tienen una cantidad de conocimientos de
geometría Euclidiana muy similar, y mínima.
ACIERT
HISTOGRAMA EXAMEN DIAGNÓSTICO
Grupo Piloto
1
10
8
6
4
2
0
3
5
7
9
11
13
15
HISTOGRAMA EXAMEN DIAGNÓSTICO
Grupo Testigo
1 3 5 7 9 11
ALUMNOS
17
19
13 15 17 19
ACIERT
ACIERT
HISTOGRAMA EXAMEN DIAGNÓSTICO
Grupo Testigo
De la evaluación final: este examen se diseñó en base a los resultados obtenidos en el Test
de canal de percepción dominante, que como ya mencionamos fue visual, así el instrumento
de avaluación contiene 15 reactivos de opción múltiple con esquemas, dibujos, son estos
los resultados que se muestran a través de los siguientes histogramas, sin embargo es
preciso señalar que también se aplico el mismo examen diagnóstico, al final del curso, los
resultados son un 1% menos favorables que los que se obtuvieron con el examen de opción
múltiple. Los resultados del examen final en el grupo Piloto fue una calificación promedio
de 6.3, aprobando 12 alumnos de los 20, es decir el 60%, es importante destacar que todos
los alumnos tuvieron avance ya que incluso los que reprobaron tuvieron un promedio de 4.7
de calificación y que incluso un alumno aprobó el examen con 10.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
16
14
12
10
8
6
4
2
0
HISTOGRAMA EXAMEN DIAGNÓSTICO
Grupo Piloto
4
7
10
13
16
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
19
REACTIVOS
22
25
483

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
ACIERT
Los resultados ALUMNOS
del
REACTIVOS
examen final en el grupo Testigo fue una calificación promedio de 4.6,
aprobando 7 alumnos de los 20, es decir el 35%. Los siguientes histogramas muestran
:
484
15
10
5
0
ACIERT
HISTOGRAMA EXAMEN FINAL
Grupo Piloto
1
15
10
3
5
7
9
11
13
15
HISTOGRAMA EXAMEN FINAL
HISTOGRAMA EXAMEN FINAL
Grupo Testigo
detalladamente los
Grupo Testigo
resultados
5
0
1
3
5
7
9
11
13
ALUMNOS
Podemos resumir que el grupo Piloto tubo un mejor aprovechamiento que el grupo testigo
de un 25% más, en la siguiente tabla resumimos los avances de cada uno de los grupos.
Evaluación
diagnóstico
Promedio del
grupo
17
15
19
17
Evaluación Final
Promedio del grupo
HISTOGRAMA EXAMEN FINAL
Grupo Piloto
% de alumnos
aprobados examen
diagnóstico
Grupo Testigo 2.3 6.3 0% 60%
Grupo Piloto 2.2 4.6 0% 35%
Diferencia 0.1 1.7 0 25%
19
ACIERT
ACIERT
20
15
10
% de alumnos
aprobados examen final
Conclusiones
Se puede señalar que el grupo testigo tuvo un avance considerable con respecto al nivel de
conocimientos adquiridos al finalizar el curso, mientras que el grupo testigo el avance fue
mucho menor. Para el alumno la computadora es una herramienta maravillosa que en el
proceso de sus aprendizaje lo motiva profundamente a continuar explorando, pero
5
0
20
15
10
5
0
1 3 5 7 9 11 13 15
1 3 5 7 9 11 13 15
REACTIVOS

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
definitivamente debe contar con un manual guía en donde se especifique las actividades a
realizar, en las diferentes etapas que se proponen de las sesiones, por otra parte es
importante la presencia de un docente que actúe como guía y que estimule al alumno a
terminar sus actividades cuando sea necesario. Es muy importante que las actividades sean
evaluadas en forma continua para mejorarlas de manera que los objetivos para la que fueron
diseñadas se cumplan lo más óptimo. Por último podemos precisar que el uso de software
de geometría dinámica es una buena alternativa que funciona como una herramienta para
visualizar y dar certeza al momento de argumentar sus conjeturas. Por lo que se recomienda
su uso como actividad complementaria en un curso normal, explorar el funcionamiento en
grupos normales y el uso del software únicamente con pizarrón electrónico es una tarea por
realizar. El autor agradece la colaboración de los docentes: José Correa B., Miguel Ángel
Cruz L. y Dante Razo R.
Bibliografía
Arcavi, Abraham, Hadas Nurit. (2000). Computer Mediated learning: Anh exaple of an approach. Internatinal
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Baulac, I, et. Al. (1992).Cabri Géomètre: The Interarctive Notebook., . Laboratoire de Structures Discretes et
de Didactique de I’IMAG of I’Université Joseph Fourier in Grenoble.Software
Fritzler H. Wolfgang (1997) Triángulos y Cuadriláteros Inscritos en un Círculo, Una aplicación del software
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México.
485

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
486
MATEMÁTICA, INFORMÁTICA Y LA ´RENEGOCIACIÓN´ DE NORMAS
PREEXISTENTES
Bonacina M.; Haidar A.; Quiroga M.; Sorribas E.; Teti C. Paván G.
UNR. Argentina
mbacuario@yahoo.com.ar
Resumen
El deseo de dar respuestas a interrogantes tales como ¿Qué tipo de conocimientos requiere una sociedad en
constante transformación?; ¿qué capacidades o estrategias debemos promover para favorecer la
formación de individuos social, cultural e intelectualmente plenos, comprometidos con su entorno?. ¿Será
posible contemplar en las planificaciones pedagógicas la secuencia evolutiva natural de la vida (ambienteenseñanzas-memorias-comportamiento
individual-comportamiento social-enseñanzas-ambiente), los tiempos
biológicos requeridos para consolidar, almacenar y dar funcionalidad a la información adquirida?; ¿ imponerse
a la aceleración (o inercia) de los tiempos administrativos? nos lleva a reflexionar sobre la propia práctica,
considerar el rediseño de la misma, a proponernos finalmente un plan de trabajo cuya estructuración
contemple tanto cuestiones atinentes a la propia disciplina como, y especialmente, a todas aquellas otras que
tuvieran que ver con una positiva integración Sociedad, Ciencia y Tecnología, S/C/T. En una primer etapa
procedimos a investigar, caracterizar y explicitar una serie de normas ´sociomatemáticas´ que llamamos
preexistentes y que a nuestro juicio serían inhibidoras del aprendizaje y relativas al contexto sociocultural en
el que nos movemos. Por contraposición establecimos normas a renegociar con nuestros estudiantes, las que
llamamos “emergentes”. Concretada la primer etapa del plan (sistema de interpretación, diseño de
instrumentos para la intervención pedagógica) generamos experiencias participativas con la presencia de
estudiantes y docentes a los fines de implementar los instrumentos diseñados, observar y evaluar la
calidad de los mismos, el sistema de interpretación en sí. El presente trabajo trata de algunos resultados y
conclusiones obtenidas en esta segunda etapa del plan.
Introducción
Creemos que la educación tal cual se materializa hoy en el nivel educativo superior no
apunta a un ser creativo y pensante, que más bien apunta a hombres y mujeres
conformistas, promueve comportamientos masivos a través de instalar en la sociedad
´patrones de respuesta´, propiciar la despersonalización, disminuir el ejercicio de la
autocrítica y así, la capacidad de elaborar respuestas propias; que esto es el resultado de
políticas educativas que no contemplan en forma integrada la diversidad de factores que
inciden sobre el acto educativo; entre ellos, el impacto que sobre el medio y la sociedad
toda tiene una Ciencia y Tecnología cada vez menos comprometida con ambos. La
historia muestra como el modelo de sociedad imperante en cada etapa ha tenido un
particular modelo educativo asociado. De allí que concluimos que el éxito de la transformación
pretendida está muy ligado a las concepciones dominantes en el contexto sociocultural que
nos rodea; que para cambiar es sobre estas concepciones que debemos actuar. Según los
neo-piagetianos Anne-Nelly Perret Clermot y Michel Nicolet, (cit. en D. Laino, 1997) “el
contexto social y cultural afecta el desarrollo de las tareas y su resolución”; “los esquemas
intelectuales de los sujetos se constituyen en interacciones con personas, objetos y
situaciones caracterizados libidinalmente en su mundo cotidiano: en esas vinculaciones
intersubjetivas se vehiculizan creencias compartidas, como componentes no racionales, que
inciden en los procesos cognoscentes”. ¿Cual sería hoy el modelo educativo
mayoritariamente imperante?. A este respecto entendemos que la acepción que una
sociedad adopta para sí del término ´inteligencia´ resulta determinante del modelo
educativo que finalmente impone y que en tal sentido estaríamos hoy ante una

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
interpretación absolutamente pragmática del mismo: inteligencia como capacidad de
adaptación, referida a la capacidad del sujeto de adoptar las conductas impuestas por el
sistema, es decir: inteligencia como ´sublimación del ordenador´. Intuimos así que la
dimensión del cambio pretendido no puede hacerse desde una sola disciplina y nos
planteamos: ¿será posible contemplar en las planificaciones pedagógicas la secuencia
evolutiva natural de la vida (ambiente-enseñanzas-memorias-comportamiento individualcomportamiento
social-enseñanzas-ambiente), los tiempos biológicos requeridos para
consolidar, almacenar y dar funcionalidad a la información adquirida? ¿ imponerse a la
aceleración (o inercia) de los tiempos administrativos?. Estas interrogantes nos llevan a
reflexionar sobre la propia práctica, considerar el rediseño de la misma, a proponernos
finalmente un plan de trabajo cuya estructuración contemplara tanto cuestiones atinentes a
la propia disciplina como, y especialmente, todas aquellas otras que tuvieran que ver con
una positiva integración S/C/T (Sociedad, Ciencia y Tecnología). Cobb y Yackel (cit.
Hershkowitz y Schwarz, 1996) dicen que así como la sociedad responde a normas de
conducta que genera como subproducto de las interrelaciones que se dan hacia el seno de la
misma; el aula, como una sociedad a escala, también genera y responde a normas sociales
en cuya renegociación los estudiantes resultan factores claves. En particular se refieren a la
renegociación de las que ellos llaman ´normas sociomatemáticas´; o sea, de normas que
caracterizan como propias de la comunidad matemática. Desde esta perspectiva estimamos
que es posible ´enseñar´ -si nos proponemos esto- desde un lugar muy distinto del
tradicional; que tendremos más y mejores oportunidades a partir de una revisión y
redefinición crítica de roles y funciones al interior del sistema educativo; de aceptar que no
basta con que el discurso sea comprendido (el saber qué), que el mismo debe contribuir al
saber cómo, al conocimiento procedural; que es sobre esta cuestión sobre la que debemos
afinar el análisis, prestando atención al valor de los argumentos esgrimidos,
particularmente, que estos sean de valor para el estudiante a más de serlo para nosotros.
Creemos que el discurso finalmente ejercerá su efecto a condición que sea reconocido.
Propuesta de un marco interpretativo. En un trabajo previo (Bonacina y otros, 2003)
procedimos a explicitar una serie de normas (que llamamos preexistentes), a nuestro juicio
inhibidoras del aprendizaje y relativas al contexto sociocultural en el que nos movemos.
Por contraposición establecimos normas a renegociar con nuestros estudiantes, las que
llamamos ´emergentes´. Obtuvimos así el ´sistema de interpretación´, ´las coordenadas de
inteligibilidad´ necesarias a los efectos de proceder al rediseño de nuestra práctica, a
interpretar los resultados de la confrontación ´teoría-empiria´ en el ámbito de la clase, a la
evaluación de las nuevas tecnologías de información y cálculo como herramientas de apoyo
para la gestión pedagógica. La incorporación de la herramienta tecnológica no siempre ha
estado precedida del análisis y modificación de criterios que tal hecho amerita; que ha
quedado instalada la necesidad de estar al día con las nuevas tecnologías, de hacer un
análisis crítico de su modo de empleo, de revisar los contenidos curriculares a la luz de las
conclusiones obtenidas; o sea, y desde otra óptica, de rediseñar actividades.
A continuación proponemos algunas de las normas detectadas, a modo de ejemplo y a los
fines de clarificar ideas. Esta base no es estática sino ´viva´, a medida que comprobemos la
inexactitud de alguna de las normas allí propuestas la reformulamos o quitamos, según
corresponda. Concretada la primer etapa del plan (sistema de interpretación, diseño de
instrumentos para la intervención pedagógica) generamos experiencias participativas con la
presencia de estudiantes y docentes a los fines de implementar los instrumentos diseñados,
487

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
observar y evaluar la calidad de los mismos, el sistema de interpretación en sí. Este trabajo
trata de algunos resultados y conclusiones obtenidas en esta segunda etapa del plan.
Normas Preexistentes
1.- Registro y apropiación de la información sin
el conveniente procesamiento de la misma.
2.- Sólo hay dos opciones posibles ante un
problema: ´reconocer´ o ´abandonar´.
3.- La PC: resolutor infalible de cualquier tipo de
problema. (lo que informa es evidencia de una
verdad oculta e inaccesible para nosotros).
4.- Evidencia gráfica y argumentación dialéctica
no son ´legítimas´, ni siquiera ´atendibles´.
5.- la vaguedad en el lenguaje no resiente la
comunicación ni el crecimiento intelectual.
488
Normas Emergentes
1.- Asimilación crítica del conocimiento a través
de someter al mismo a un necesario proceso de
´acomodación´
2.- Reconocer la existencia de una multiplicidad de
recursos para resolver problemas, la existencia de
caminos alternativos, incluso ´no formales´.
3.- La PC: auxiliar importante en la resolución de
problemas, facilitadora de manipulaciones
algebraicas y gráficas, simulaciones, verificacs…
4.- Pensar heurísticamente, graficar, son formas
válidas de explorar, refutar, inducir resultados.
5.- la precisión en el lenguaje es imprescindible no
sólo para entendernos sino también para
aprender.
Descripción de la propuesta. El eje de la propuesta está soportado en la creencia que las
normas ´sociomatemáticas´ detectadas, en el caso de ser inhibitorias del aprendizaje,
pueden ser exitosamente renegociadas a través de:
- Actividades convenientemente organizadas en torno a la resolución de problemas, al
aprendizaje por descubrimiento (desde el guiado al autónomo).
- Uso de software amigables, que permitan una vinculación dinámica y ágil entre las
representaciones (algebraicas, gráficas, numéricas-tablas) así como un simple accionar
hacia el interior de las mismas.
- Problemas o ejercicios que necesariamente lleven a reflexionar tanto sobre las propias
acciones como sobre la de los otros; que requieran de la intuición, la exploración previa,
promuevan la interacción alumno-alumno, alumno-docente y alumno-recurso informático;
que permitan al docente rescatar para el estudiante la importancia de atender al proceso,
detectar ´esquemas de resolución´, cuidar el lenguaje, ejercitarlo, etc.
Al respecto leemos, “ todas las didácticas que apuntan a la construcción de un aprendizaje
significativo señalan la importancia del trabajo pedagógico con las concepciones previas
de los alumnos; concepciones provenientes generalmente del conocimiento vulgar y que
pueden resultar en obstáculos pedagógicos. La tarea de confrontación necesaria para la
deconstrucción de hipótesis o teorías (´normas´) erróneas requiere de un trabajo
metacognitivo que obliga al sujeto que aprende a confrontar sus conocimientos y
habilidades con los nuevos problemas que se le presentan.” (Aebli, Colussi, Sanjurjo,
1995) Así, el ´concepto estructurante´ del plan de trabajo propuesto es el concepto de
metacognición, entendiendo por concepto estructurante “un concepto que puede
considerarse un instrumento, una nueva clave para la comprensión de los complejos
procesos de aprendizaje y enseñanza”. (Sanjurjo, en Aebli, Colussi, Sanjurjo, 1995) La
experiencia fue llevada a cabo con alumnos de primer año de la UNR, de la Facultad de
Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (Grupo 1) y de la Facultad de Ciencias
Bioquímicas y Farmacéuticas (Grupo 2) Se provee a los alumnos de protocolos de trabajo
y disquete con archivos con consignas de trabajo. Los protocolos constan de actividades
que requieren de un software matemático y están diseñadas de tal modo que el contenido

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
matemático es siempre el aspecto principal de la secuencia. Para cuidar esto las actividades
requieren tanto del software como del lápiz y papel. El software elegido fue el Derive por
considerarlo amigable por la facilidad de sus comandos; porque la forma de escritura y los
símbolos son similares a los usados con lápiz y papel, lo cual facilita la comunicación con
el ordenador.
Metodología de trabajo: Las actividades se implementaron en ambas Facultades en paralelo
al cursado de la asignatura Matemática. Se proponen en forma extracurricular y optativa,
según una metodología que llamamos de "Aula Taller", equiparables a las de los
laboratorios de Química y Física. El alumno debe desarrollar las actividades propuestas en
el protocolo y, al finalizar las mismas, entregar el reporte correspondiente. Las actividades
se planificaron para desarrollar en 12 horas. El plan de trabajo comprende cuatro fases:
Fase 1: Trabajo en el Aula Taller (sesiones de 2 hs. cada una). Los estudiantes trabajan
cada uno en una PC, con la supervisión o guía de docentes. Los docentes cumplen el rol
de observador-participante: toman notas de clase; preguntan, orientan y originan
debates.
Fase 2: Corrección de reportes, evaluación de registros y datos colectados en la fase 1.
Fase 3: Discusión grupal de los reportes, docentes y estudiantes. (Instancia no
concretada)
Fase 4: Evaluaciones individuales, entrevistas personales. (Instancia no concretada)
Observaciones generales relativas al diseño y desarrollo de los protocolos. Optamos por la
resolución de problemas como metodología conveniente a los objetivos propuestos ya que
esta actividad requiere de la capacidad de:
- establecer variables relevantes, interrelación entre ellas (ejercita la ´comprensión´).
- organizar datos y evaluar información para la toma de decisiones con el uso de un
método.
Nuestra experiencia indica (norma 2) que los estudiantes entienden como “problema” una
estructura canónica es decir, un texto breve en el que no faltan ni sobran datos, cuya
secuencia lógica y organización responde a algoritmos y fórmulas conocidas y que tiene
solución única. Esta concepción no se corresponde con la acepción que nosotros damos a
esta palabra (problema = situación a resolver que plantea un obstáculo o desafío que
moviliza ideas y pensamientos para su resolución.), está ligada a la norma 1 y constituye
por lo tanto una norma a ´renegociar´ con nuestros estudiantes. Una forma de concretar
este objetivo es lograr que el estudiante vivencie los beneficios de ´resolver un problema´,
de descubrir la estructura básica que muchas veces subyace detrás de ellos, que existen
esquemas generales de resolución cuya captura facilita la resolución de problemas ya que
muchas veces para llevar a cabo la misma basta con activar uno de estos esquema
aprehendidos. El fin en este tipo de metodología no es sólo que los alumnos ´resuelvan
problemas´ sino también el desarrollar lo que Flavell llama el ´conocimiento metacognitivo
acerca de las estrategias` Por otro lado la resolución de problemas con el auxilio de la PC
permite plantear una actividad distinta a la tradicional ya que posibilita una “matemática
experimental”, un paradigma en que los alumnos interactúan con hechos y conceptos y en
el que la teoría ordena; permite proponer trabajos tales como resoluciones basadas en
procesos de prueba y error, de simulación, gráficos, en suma procesos heurísticos antes que
los algorítmicos a los que estamos acostumbrados. La computadora ofrecía posibilidades
que la hacían aparecer como un buen auxiliar didáctico. Estimamos que su uso permitiría
alivianar el trabajo de rutina y centrar la atención en las capacidades que queríamos
489

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
desarrollar. Lamentablemente las expectativas nuestras y la de los estudiantes no tuvieron
nada en común. En nuestra experiencia, los alumnos llegaron al taller ´creyendo´ que sus
falencias de conocimientos serían ´suplidas´ por la computadora, es decir convencidos que
el aprender a manejar un software matemático les iba a permitir resolver cualquier
´cuestión matemática´ que se les presentara; considerando la PC como una caja mágica que,
con sólo manipular adecuados comandos proporciona la SOLUCION. “El software
matemático nos reemplaza, realiza el trabajo intelectual necesario para la resolución del
problema” (norma 3). Aparece así otra norma a renegociar, cuestión que pensamos
resolver a través de crear un conflicto entre sus creencias y la realidad. A tal efecto,
propusimos un problema cuya resolución estuviera esencialmente basada en un simple
análisis gráfico. El problema propuesto fue:
“ En un trabajo se ofrece el pago de jornal según las horas trabajadas por
semana. Para el
puesto A se ofrece 15 $ / h por las primeras 20 horas y 5 $ / h por
adicional; para el B se
ofrece 15 $ / h por las primeras 10 horas y 10 $ / h por adicional. ¿Qué
trabajo tratarías de
obtener ? ; ¿pedirías más información acerca de los puestos A y B?, ¿porqué?. ”
La forma más simple de resolver este problema es hallar las dos funciones que comprende,
graficar ambas en un mismo sistema y concluir a partir del gráfico (después de pedir más
datos acerca de cada puesto, por ejemplo, si existe un mínimo garantido de horas de
trabajo). Las funciones a hallar son funciones ´seccionalmente definidas´; o sea, funciones
que en los hechos aparecen cada vez que se necesita describir situaciones sujetas a distintas
restricciones en intervalos distintos. Aquí el alumno, a más de reconocer que las
incógnitas eran funciones, debía reconocer el tipo particular de funciones de que se trataba.
Cabe aclarar que en ejercicios anteriores se habían propuesto leyes y gráficos de funciones
de este tipo, de manera que en esta instancia debían tener todavía presente el concepto que
el problema requería, la sentencia a usar para graficar la función con la PC: If (condición,
1er. arg., 2do arg.) (la cual requiere reconocer y expresar de forma lógica las distintas
restricciones que caracterizan la función, el intervalo de validez de c/u). De manera que
podría pensarse que tenían todos los elementos para resolver el problema; que, en
principio, sólo debían reconocer que las funciones involucradas eran funciones
seccionalmente definidas, hallar luego la forma de usar las mismas para concluir.
• Primer problema: No reconocen que el concepto que relaciona datos e incógnitas es el
concepto de función. (menos el de función seccionalmente definida)
• Segundo problema: inducidos por el docente reconocen la conveniencia de proponer una
función pero, ¡no pueden encontrar (¿?) la ley de la misma!: “¡ no existe ningún
comando que me de la ley!” (un alumno). (la PC como caja mágica que produce
funciones con sólo apretar teclas).
• Tercer problema: sugerido directamente por el docente que grafiquen las funciones no
encuentran luego la forma de utilizar los gráficos, porque: “los gráficos no son precisos” (
varios alumnos)
490
Fabiola- No se cómo resolver el problema.
Docente- ¿Qué te parece si graficas las funciones encontradas?.

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
Fabiola- Pero un gráfico no es “preciso” como para leer de él la solución!
Docente- el gráfico realizado con la computadora no es “un bosquejo dudoso” como el
realizado en un cuaderno. El recurso informático te permite obtener información más
confiable. Además te permite apreciar aspectos globales, comportamientos
tendenciales, que es lo que en realidad necesitas aquí.
Otra norma a renegociar, la ´vaguedad en el lenguaje´ (norma 5) se aprecia no solo en la
comunicación oral sino, y particularmente, en la escrita, en todas sus instancias: desde la no
formulación en forma clara y explícita en la hoja de trabajo del ejercicio o problema a
resolver, los datos, las incógnitas; seguido por la falta de organización, coherencia con que
presentan los reportes de actividades, hasta llegar a que rara vez (si un problema lo amerita)
dan la respuesta en forma de oración (generalmente recuadran o subrayan el resultado
numérico allí donde terminan de hacer las cuentas). Este hecho puede obedecer a
cuestiones de orden tanto general como propias de la matemática. Así, en los últimos años
es evidente la producción de una especie de ´reduccionismo en el lenguaje´, el cual puede
caracterizarse como un fenómeno de orden sociocultural; por otro lado, también
observamos que entre los estudiantes existe una creencia, la de que todo lo que se escribe
en la clase de matemática debe estar en lenguaje matemático (Gómez, 1995). La primera
cuestión, es obvio que escapa de las manos del docente de matemática; pero, ¿qué pasa
con la segunda?: a nuestro entender la misma estaría dando cuenta de una ´norma socio
matemática´. Creemos que es una norma que puede ser renegociada por el docente, en la
clase de matemática, por estar involucrados con ella. Efectivamente, mientras explicamos
un tema generalmente escribimos en el pizarrón sólo las expresiones matemáticas, lo cual y
hasta aquí, no es bueno ni malo. ¿Donde radica el problema?: en que el estudiante, cuando
toma apuntes, escribe solo eso, lo que encuentra en el pizarrón. Luego, cuando estudia o
repasa sus apuntes se encuentra con: un listado de fórmulas. Desde esta perspectiva ya no
resulta tan sorprendente que ésta sea la forma que él finalmente adopta para informar; o sea,
no solo reproduce los conceptos, sino también la forma textual en que los registra. En el
caso de la matemática esta cuestión no es solo una cuestión de forma, o de ´elegancia de la
forma´, sino que es una cuestión atinente al proceso de resolución en sí, hace a la facilidad
o dificultad de llevarlo a cabo, tener éxito. Todas estas consideraciones, unidas al hecho
de que en la ´hoja electrónica´ la posibilidad de equivocarse, de perder la perspectiva global
del trabajo aumenta considerablemente, determinan la necesidad de dedicar tiempo y
espacio a esta cuestión, a insistir en ella. La ansiedad por ´avanzar´, en el uso del software,
sería determinante también en cuanto a no prestar atención a las consignas, no detenerse a
interpretar (analizar, verificar, cuestionar) resultados. Esto también tiene que ver con
normas sociales de carácter general: la ´rapidez´ es hoy un factor sobrevaluado por la
sociedad. Así, un grupo importante de alumnos, introducen mal una función, la grafican,
obtienen otra cosa y continúan con el ejercicio siguiente sin detenerse un instante. La
función era f(x) = 2x- 4 ; el software requiere que se introduzca como f (x) : = 4x -2 ;
ellos no ponen los dos puntos, así al dar el enter, en pantalla queda f . x = 4x -2. El
software grafica esta expresión como la hipérbola f =4x -2 / x ; con las asíntotas
perfectamente visibles en la pantalla en la que están trabajando en ese momento. Sin
embargo muchos alumnos no se percatan siquiera que el gráfico de pantalla no era el que
corresponde a la ley dada.
491

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Conclusiones. Todo lo visto nos lleva a pensar que el renegociar las normas preexistentes
requiere de una metodología adecuada y ´algo más´, que existen otros ingredientes no
considerados en el análisis previo, que estos tendrían mucho que ver con el valor que ellos
dan a las ´nuevas´ normas o con cual es el valor que las subsume. A este respecto
pensamos que en el caso de la PC tal valor podría ser el de la ´rapidez en el avance en el
conocimiento del software´. Si esto fuera así, queda claro porqué las estrategias no
funcionan: nosotros queremos enseñar matemática con el auxilio del software, ellos,
aprender un software para no tener que aprender matemática. Docentes y alumnos no
estamos en sintonía. Otra cuestión pudiera ser que les estuviéramos dando un mensaje oral
y otro procedual. Así concluimos que se abre un nuevo camino de investigación: el de
reflexionar acerca de los procesos didácticos que generamos o consolidamos (como el listado
de fórmulas); es decir “buscar la coherencia entre el saber enseñado y el saber actuado”.
Bibliografía
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492

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
VARIACIÓN Y VARIABLES CON GEOMETRÍA DINÁMICA
Marco Santillán, Arturo Ávila y Víctor Pérez
CCH-UNAM, México
marcoant50@hotmail.com
Resumen
Este trabajo es parte de un proyecto de investigación sobre la aplicación de tecnología computacional en la
enseñanza y aprendizaje de matemáticas con alumnos de nivel medio básico o secundaria (séptimo a noveno
grado) y nivel medio superior o bachillerato (décimo a doceavo grado), en particular, trata de entender la
función mediadora del efecto de “arrastre” del software de geometría dinámica en la cognición de sujetos que
estudian las nociones de variación y variable. Aquí reportamos los resultados de una exploración, usando
Cabri, en el aprendizaje de esas nociones con estudiantes de nivel medio básico de 13-14 años de edad. Se
describen las actividades, las respuestas de los estudiantes y una experiencia que sugiere el potencial de la
verbalización de los resultados por los estudiantes en el proceso de simbolización algebraica.
Introducción
Las variables son utilizadas en la simbolización de regularidades o patrones, para expresar
generalizaciones y, esencialmente, en la representación de la relación entre dos o más
cantidades que están cambiando dentro de ciertos rangos. La enseñanza tradicional del
álgebra plantea grandes dificultades de aprendizaje para los estudiantes novatos que,
además de tratar con números, se enfrentan con símbolos literales que tienen sentido de
incógnitas o números desconocidos, de números generales o parámetros y de variables
ligadas por alguna relación funcional. De los diferentes significados para estos símbolos, el
de variable es quizá, el más difícil para quienes inician sus contactos con el álgebra. Por
otra parte, junto a los problemas asociados a la variable, también hay problemas con la
variación. Moreno y Santillán (2002) reportan que estudiantes de bachillerato (15-18 años),
a todos los niveles, tienen dificultades en la comprensión de las diferentes formas de
representación de la variación. También, encuentran que los estudiantes que tienen
problemas para percibir la variación, el concepto de variable les resulta más abstracto y
difícil de entender. Ante las dificultades asociadas con el aprendizaje de la variable se han
desarrollado y utilizado ambientes computacionales, aun en sujetos que no han iniciado
formalmente la enseñanza en álgebra (Tall & Thomas, 1991; Graham & Thomas, 2000)
Una aplicación importante de una herramienta computacional en problemas de enseñanza y
aprendizaje se ha realizado con Logo, un software utilizado con diferentes enfoques para el
aprendizaje de la variable (Moreno & Sacristán, 1995; Noss & Hoyles, 1996)
Investigaciones apoyadas en Logo muestran que niños de 8 años de edad pueden acercarse
a la noción de número general apoyándose en Logo (Noss, 1986). En ese ambiente de
cómputo, algunos niños han sido capaces de considerar a los nombres de las “entradas” de
los procedimientos como representantes de un rango específico de valores, esto es,
potencialmente una variable. En su propuesta de reducir al mínimo la manipulación
simbólica y al mismo tiempo introducir situaciones algebraicas en ambientes menos
abstractos, Yerushalmy y Schwartz (1993), plantearon un enfoque visual del álgebra
centrado en el concepto de función y basado en el software Function Analyzer. Siguiendo a
Schoenfeld y Arcavi (1988), nosotros explotamos el “elemento dinámico” del efecto de
arrastre de Cabri para variar la posición y dimensiones de objetos construidos en ese
493

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
ambiente y generar así, un acercamiento diferente al tradicional que se apoya sólo en lápiz
y papel, para presentar las nociones de variación y variables en relación funcional. El efecto
de arrastre se utiliza para destacar la percepción de la variación, ver qué cambia, entender
por qué cambia y sobre esta base, concebir la relación funcional. La variación y la variable
son nociones problemáticas, es común encontrar estudiantes de bachillerato (15-17 años)
que aún no han madurado el concepto de variable como una relación funcional, por
ejemplo, conciben la tabla de valores numéricos sólo como una situación donde se
proporciona un valor para obtener otro ejecutando una serie de operaciones aritméticas,
esto es, asocian valores a dos cantidades distintas, las variables, sin entender que existe un
nexo entre ellas. Nosotros hemos encontrado alumnos de 17 años que trabajan con las
tablas numéricas la correspondencia entre variables pero les resulta totalmente ajena la idea
de variación conjunta.
El arrastre, la variación y las variables (elementos conceptuales) La representación
funcional de la variación expone la naturaleza cambiante de la variable, esto, sin embargo,
no es captado fácilmente por los estudiantes novatos en álgebra aunque construyan tablas
de datos y gráficas, el carácter abstracto de la variable no desaparece, aun con el apoyo de
calculadoras o computadoras para ejecutar las tablas y gráficas. Pero la variación tiene un
formato más cercano a la intuición cuando se presenta dinámicamente, entonces, se puede
hacer evidente que algunas cosas están cambiando y, si el aprendiz es quien manipula y
controla la variación, se abren nuevas oportunidades para que la perciba y entienda. En
este trabajo se asume que el software de geometría dinámica (Cabri, en este caso) puede
funcionar como “vía” para transitar desde las cantidades fijas que representan longitudes,
áreas y ángulos y las cantidades variables; desde la percepción de la variación hasta el
entendimiento de la variable. Con la geometría dinámica se puede construir un triángulo,
por ejemplo, y modificar las dimensiones y sus ángulos sucesivamente conforme se arrastra
uno de sus vértices en la pantalla de la computadora. Asignando etiquetas (letras) a los
valores que cambian, se presentan como versiones más concretas de cantidades variables.
Por otra parte, el arrastre, una forma de acción representada 7 , genera una percepción
“continua” de imágenes del dibujo a través del continuo temporal. La ilusión de
continuidad de los cambios de posición del dibujo se manifiestan como movimiento. Las
transformaciones sucesivas del dibujo son una premisa de la visualización, de la posibilidad
de concebir la variación. Esa ilusión de continuidad (de las transformaciones sucesivas) no
son sólo imágenes distintas, como fotografías, son relaciones espacio-temporales que llenan
de sentido, de un nuevo sentido al dibujo y al número asignado a una etiqueta que, al estar
cambiando conforme se arrastra un punto, por ejemplo, se transforma potencialmente en
variable. Así como la variación más que percibirse debe concebirse, la simbolización de las
variables no es un proceso de anotar lo que se ve sino de la toma de conciencia de la
generalización asociada a ella. Presentar simultáneamente elementos del dibujo en
movimiento y los valores numéricos que se actualizan genera un potencial para apoyar la
comprensión de la variación y las variables. El software pone las condiciones, el sujeto
debe procesarlas, coordinarlas. La coordinación da acceso al entendimiento en la medida en
7 Con la computadora es posible representar objetos matemáticos (funciones, matrices, vectores) y representar
acciones sobre esos objetos como amplificar una región de una gráfica enfocada en un punto. Hacer zoom es
una acción representada.
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SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
que una representación, el dibujo o los valores numéricos, funciona para darle sentido a la
otra. Pero, la coordinación no es ejecutada por la computadora, ésta es una actividad
humana que integra la percepción del movimiento, la lectura de los valores y la
manipulación del elemento que es arrastrado.
El estudio experimental. Participaron 28 estudiantes que iniciaban el octavo grado de
instrucción básica en una escuela pública de una zona proletaria del norte de la ciudad de
México. Ningún estudiante conocía el software y la mayoría tuvo su primera experiencia
con una computadora en esta investigación por lo que fue necesario un periodo de
entrenamiento donde los estudiantes aprendieron a construir figuras, realizar mediciones,
usar etiquetas, comentarios y se familiarizaron con el efecto de arrastre. Antes de iniciar el
trabajo con la computadora se aplicó un cuestionario que valoraba la capacidad de los
participantes para imaginar algunas transformaciones elementales en figuras geométricas
sencillas, preguntas sobre variables, funciones y actividades con tablas de valores y
gráficas. Algunas preguntas del cuestionario fueron: P1) El precio de cada fotocopia es de
20 centavos. ¿Cuánto se paga por 12 fotocopias? P2) ¿Cuánto se paga por 237 fotocopias?
P3) Escribe una relación que exprese, en general, el precio para un número cualquiera de
copias. P4) Se sabe que la temperatura en el mes de mayo es tal que aumenta, a partir del
día primero, medio grado cada día. Si el último día de abril la temperatura fue de 22º C
¿Qué temperatura hay el día primero? P5) ¿Qué temperatura habrá el día 25? P6) Escribe
una relación que exprese, en general, la temperatura de acuerdo al día. G6) El punto P se
encuentra sobre el segmento AB. Si P está siempre a la misma distancia de A y B ¿cuánto
mide AP si AB es igual a 10, 15, 17 y 21 cm?. G9) La “base” de un rectángulo mide
inicialmente 6 cm y la “altura” 4 cm de modo que el área es de 24 cm 2 y su perímetro mide
20 cm. Si el perímetro permanece sin cambiar ¿cuánto mide el área del rectángulo si
aumentamos la base a 7 cm? G10) Si la base mide 8 cm y el perímetro sigue siendo igual a
20 cm ¿cuánto mide la altura? G15) Dibuja tres rectángulos diferentes con perímetro de 20
cm y anota el valor de su área. G17) La longitud de una cuerda es de 20 cm ¿cuántos
rectángulos pueden construirse con ella si la “altura” debe permanecer igual a 5 cm?
Aunque todos respondieron correctamente P1, P2 y P5, nadie respondió P3 ni P6, ningún
estudiante pudo escribir una relación general. Solo dos respondieron correctamente G6, tres
estudiantes respondieron correctamente G10 y las respuestas a G17 fueron del tipo:
“ninguno”, “uno”, “no sé que pasa”, “no entiendo”. En esta pregunta los estudiantes no
lograron imaginar que una figura puede variar permaneciendo constante su perímetro. Para
el estudio experimental se formaron equipos de dos estudiantes, cada pareja trabajó en una
computadora, y se diseñaron ocho actividades, de las cuales, dos se utilizaron en el periodo
de entrenamiento. Los datos se recogieron en un formato tipo práctica que resolvía y
entregaba cada pareja. Finalmente, se realizaron dos entrevistas grabadas en video. En el
estudio se trabajaron actividades como las que se muestran abajo (A1, A2 y A3).
A1).- Construye un dibujo semejante al mostrado en la figura 1 de modo que P es un punto
libre sobre AB y M, A, N, y B son fijos con MA y NB perpendiculares a AB. Mide los
segmentos PA, PM y PN, simboliza PA por x y a la suma de PM con PN por z. Arrastra P,
observa detenidamente y responde: a) ¿Qué sucede cuando se arrastra el punto P? b)
¿Cuándo cambia el valor de z? c) ¿De qué depende la suma (z) de MP y NP? d)¿Hay un
valor de z que sea el mayor?
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
A2).- Construye un dibujo como el mostrado en la figura 2 en el que P sea un punto libre,
PM es perpendicular al eje horizontal y MN perpendicular al eje vertical. Designemos a OP
como b, la base del rectángulo OPMN, y a ON, la altura, como a. Mide los segmentos OP y
OM, arrastra el punto P, observa detenidamente y contesta lo siguiente: a) ¿Qué cambia
cuando se arrastra el punto P? b) ¿cambia el perímetro del rectángulo? c) ¿cambia el área?
d) ¿de qué dependen los valores del área y el perímetro? Puedes utilizar las herramientas de
Cabri que consideres necesarias.
A3).- Construye un dibujo como el mostrado en la figura 3 de modo que P sea un punto
libre sobre la circunferencia. Explora la figura y responde lo siguiente: a) Al mover el punto
P ¿qué cambia? ¿De qué depende?.
496
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Se formaron 14 parejas para trabajar con la computadora. Después de ponerse de
acuerdo, cada pareja entregaba el reporte con sus resultados en hojas impresas que
contenía el desarrollo de la actividad. Por los propósitos de este estudio no era
importante que los participantes construyeran la figura, si tenían problemas podían
copiar el archivo que la contenía y seguían adelante. No fue registrada una diferencia
notable en las respuestas si los estudiantes construían o no la figura. Las actividades
pretendían establecer, a partir de lo observado en la pantalla, una relación entre dos o
más elementos de la figura variando uno de ellos. Durante el desarrollo de las
actividades no se planteó que los estudiantes simbolizaran las relaciones que
encontraban pero se pedía que después de discutir y ponerse de acuerdo, cada pareja
las verbalizara y las anotara. Finalmente, el grupo discutía y seleccionaba la que
consideraban la correcta y la anotaba debajo de la suya. Mientras los estudiantes
realizaban las actividades el instructor a cargo del estudio era solicitado para
aclaraciones limitándose a resolver dudas con los comandos del ambiente o a guiar la
discusión sin involucrarse en resolver directamente las preguntas. Su papel sí fue
determinante para que las exploraciones de los estudiantes fueran sistemáticas.
Además de las dificultades para construir las figuras, en las primeras actividades no
fue fácil arrastrar elementos de la figura, percibir qué variaba y conectar esa variación
con los valores que se actualizaban. Una vez que los estudiantes lograron coordinar la
manipulación del objeto con la percepción del movimiento comenzaron a relacionar la
variación con las variables, con sus valores que cambiaban conforme arrastraban el
objeto seleccionado. Sin embargo, algunos estudiantes identificaron al arrastre como

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
la variable responsable de variación, esto es, el arrastre fue asociado con la variable
independiente. Conforme se desarrollaron las actividades, la mitad de los equipos (7)
comenzó a desligar el arrastre como una variable. Los resultados del estudio muestran
que, cuando las figuras fueron sencillas, la identificación de las variables no
presentaba problemas y los enunciados orales, y las anotaciones respectivas, eran
buenas descripciones de la relación funcional. Conforme las figuras tenían más
elementos los estudiantes tuvieron dificultad para identificar las variables y grandes
problemas para enunciar las relaciones. Al finalizar el estudio la generalidad de los
participantes lograban identificar los elementos que variaban y ocho de las catorce
parejas no tuvo problemas para reconocer las variables independientes y dependientes.
Algunos reportes tienen anotaciones de verbalizaciones como las siguientes: “esta
variable ( ) cambia cuando esta otra ( ) cambia”. “al variar a, cambia b”. “La suma z
depende de los valores de x”. “Los valores del área cambian al cambiar la longitud de
la base” Un mes después de terminado el estudio se realizaron dos entrevistas
videograbadas, la primera con Nadia, una estudiante de 14 años con un desempeño
regular en el estudio. En la segunda entrevista participó Javier, también de 14 años, el
estudiante con mejor desempeño en el estudio.
Entrevista 1
A Nadia (N) se le plantea la situación mostrada en la figura 4. El entrevistador (E) propone lo siguiente:
5 (E) “Mueve, arrastra el punto P y dime
¿qué cambia?”
6 (N) “y y x… Esto no se modifica”
(señala el segmento AP)
7 (E) “Y ¿quién depende de quién?”
8 (N) “x depende del arrastre …del
…(guarda silencio), del …”
9 (E) “Si dejamos de lado el arrastre.
¿Qué es lo que varía?”
13 (N) “Las medidas del segmento x y las
medidas del segmento y”
14 (E) “ Y, ¿quién depende de quién?”
15 (N) “y depende de la medida de x”
16 (E) “¿Cuántas variables tenemos?”
17 (N) “Dos, la x y la … (señala el segmento
y)”
18 (E) “¿Puedes escribir la relación que existe
allí?”
Después de pensar unos instantes la estudiante escribe en el pizarrón la expresión: y = 3.0 + x.
Figura 4
Entrevista 2
A Javier (J), se le plantea una actividad semejante a P1 donde el costo de cada copia es de cincuenta
centavos. En esta parte de la entrevista no se utiliza la computadora. El entrevistador (E) cuestiona a J:
1 (E) “¿Qué precio debes pagar por 13
fotocopias?”
2 (J) “Seis pesos y cincuenta centavos”
Se le van planteando al estudiante otras
preguntas que contesta correctamente,
entonces el entrevistador le formula una
nueva situación:
11 (E) “¿Puedes obtener una relación
para un número cualquiera de copias?”
Después de pensar brevemente el
estudiante anota en el pizarrón la
expresión: a ( 0.5 ) = b
12 (E) “¿ Qué significa 0.5?”
13 (J) “El precio por una copia”
14 (E) “Bien, ¿la letra a que significa?
15 (J) “El número de copias”
16 (E) “¿Y la letra b?”
17 (J) “El costo total de las copias”
497

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
498
Discusión. Los dos estudiantes entrevistados tuvieron un desempeño pobre en
el primer cuestionario. Como todos, no respondieron las preguntas relacionadas
con la simbolización de la variación, P3 y P6. Durante el desarrollo de las
actividades estos estudiantes se convirtieron en lideres de sus respectivas
parejas, avanzaron significativamente y en sus reportes escritos señalaron
acertadamente las relaciones entre las variables. Pero, ¿cómo se explica la
aparición de la capacidad de simbolización que anteriormente no estaba presente
en estos estudiantes? Desde luego, el efecto de arrastre juega un papel
importante, pero es insuficiente para explicar la simbolización, el arrastre sólo
abre la posibilidad de percibir la variación. Las actividades también aportan, su
diseño apunta a resaltar la variación y la conexión entre las variables en juego.
El aspecto más importante, sin embargo, parece jugarlo la verbalización que
hacen los estudiantes de la variación, el ejercicio de expresar oralmente la
coordinación de los valores que aparecen en la pantalla, que cambian conforme
es arrastrado un elemento de un dibujo, con la variación de ciertos elementos de
ese dibujo. La verbalización, las palabras que usan los estudiantes tiene además,
la huella de la herramienta utilizada. Es común la referencia al término
“arrastrar” por los estudiantes, ellos dicen y escriben: “Si arrastramos el punto a,
entonces la longitud del segmento va cambiando”. “Cuando se arrastra el punto
p hacia la derecha el área del triángulo disminuye. El área depende de la
distancia recorrida por p”. Los estudiantes aprendieron a medir y etiquetar los
objetos que variaban y el instructor enfatizó que se identificara a la etiqueta con
la variable. Como fue mencionado, los estudiantes tuvieron problemas para
desprenderse de identificar el arrastre como una variable. En la entrevista con
Nadia puede observarse que aunque ella tiene ese problema, puede simbolizar
correctamente.
Conclusiones
Entender a través de una representación no es fácil. Percibir el cambio en
diferentes registros y conectarlos, requiere aprendizaje. Aun percibir la variación
apoyada con computadoras enfrenta dificultades, pero el software de geometría
dinámica más que apoyar la percepción de la variación y proporcionar diferentes
formas de representación, da al usuario la posibilidad de experimentar, de
descubrir las relaciones estructurales de un dibujo y conectarlas con las
variables. Se requiere entrenamiento con el software pero una vez que el sujeto
se ha familiarizado, dispone de una nueva herramienta que le permite nuevos
acercamientos a algunos temas problemáticos de la matemática. Esta
exploración con el software de geometría dinámica nos lleva a considerar que la
percepción de la variación es parte del proceso de aprendizaje del concepto de
variable en una relación funcional Percibir y entender la variación parece ayudar
a los estudiantes a identificar las variables y la verbalización de las relaciones
entre las variables apoya la simbolización de las mismas. Si bien las
simbolizaciones que se muestran son muy elementales, creemos que debe
seguirse explorando el potencial del arrastre, junto con el diseño de actividades

SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS
mejor enfocadas, para apoyar los procesos de simbolización que seguirán
siendo, aun con tecnología, un problema.
Bibliografía
Graham, A & Thomas, M. (2000) Building a versatile understanding of algebraic variables
with a graphiccalculator. In Educational Studies in Mathematics. 41: 265-282.
Moreno, E. & Sacristán, A. (1996) On visual and symbolic representations In R. Sutherland &
J. Mason (Eds.) Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education.
Springer NATO ASI Series F, Vol.138, (pp. 178-189).
Moreno, L. & Santillán, M. (2002) Visualizing and understanding variation. In D. Mewborn et.
al (Eds.) Proceedings of the twenty-fourth Annual Meeting PME-NA. Vol. 2, pp.
907-914. Athens, Georgia.
Noss, R. (1986) Constructing a conceptual framework of elementary algebra through LOGO
programing. In
Educational Studies in Mathematics17: 335-357.
Noss, R. & Hoyles, C. (1996) Windows on Mathematical Meanings: Learning Cultures and
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Schoenfeld, A. & Arcavi, A. (1988) On the meaning of variable. In Mathematics Teacher
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Tall, D. & Thomas, M. (1991) Encouraging versatile thinking in algebra using the computer.
In Educational Studies in Mathematics. 22: 125-147
Yerushalmy, M. & Schwartz, J. (1993) Seizing the opportunity to make algebra mathematically
and pedagogically interesting. In T. Romberg; E. Fenema & T. Carpenter (Eds.)
Integrating Research of the Graphical Representation of functions. Lawrence Erlbaum
Publishers.
499

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y
METODOS DE ENSEÑANZA
Aquí se presentan proposiciones para la enseñanza no
necesariamente validadas si bien consideran un soporte
reflexivo y/o teórico-conceptual que aportan a las
practicas de la matemática educativa

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA:
RE- CREANDO EL ARCO CAPAZ
Cristina Ochoviet, Yacir Testa, Mónica Olave, Mario Dalcín.
Consejo de Educación Secundaria, Uruguay
princesa@adinet.com.uy, milefede@adinet.com.uy ,
Resumen
Se reporta una investigación realizada con alumnos de 15- 16 años sobre los algoritmos de construcción de un
Arco Capaz de segmento y ángulo dado.
Se propuso a los alumnos un problema cuya solución óptima es un Arco Capaz de segmento y ángulo dado, y
se les requirió luego que construyeran dicho arco utilizando regla, compás y semicírculo.
Los alumnos idearon diversas construcciones para el Arco Capaz pero en ningún momento aparece la
construcción tradicional de Euclides. Básicamente, la idea que usan los estudiantes para construir el Arco
Capaz, es la de obtener un triángulo cualquiera tal que uno de sus ángulos sea el ángulo dado para luego
determinar su circuncentro y trazar el Arco.
Introducción
En la práctica tradicional se ha detectado que, a través de generaciones, la construcción de
un Arco Capaz de segmento y ángulo dado, se realiza a través de un algoritmo geométrico
que el docente transmite a sus alumnos buscando un entendimiento instrumental más que
relacional. Como consecuencia de esta acción el algoritmo tradicional, es reproducido por
los alumnos en forma mecánica, sin que exista un cuestionamiento profundo sobre las
razones, ventajas, desventajas y alcances de su aplicación.
Como todo conjunto de reglas que es aprendido sin la participación activa del sujeto que
aprende, el algoritmo pasa a ser olvidado rápidamente y nos cuestionamos si en estas
condiciones tiene sentido la enseñanza que tradicionalmente se viene impartiendo. Lo que
se ha detectado en la práctica es lo que Skemp (1976) ha descripto como “reglas sin
razones”, llegando tanto los profesores como los alumnos a reproducir una práctica
sistemática de construcción que no alberga un entendimiento relacional.
Nuestra propuesta apunta a brindar un espacio de reflexión donde el alumno ponga en juego
sus conocimientos y habilidades para generar sus propias construcciones de un Arco Capaz.
El objetivo es generar en el alumno un entendimiento relacional, para que éste no sólo
sepa como funciona el método sino también por qué, habilitándolo a relacionar el método
con el problema a resolver y posiblemente a adaptar el método a nuevos problemas.
Proponemos una reorganización de este tópico de la geometría métrica, para que el
aprendizaje resulte significativo para los alumnos, planificando las situaciones adecuadas
para que los estudiantes desarrollen habilidades intelectuales y estratégicas, y pongan en
juego sus redes de conocimientos de forma que les permitan conducirse A
eficazmente en las situaciones que enfrenten.
Antecedentes
Entendemos por Arco Capaz de segmento AB y ángulo α, el lugar
geométrico de los puntos de un semiplano de borde AB desde los cuales
se ve el segmento AB bajo el ángulo α.
“Desde P se ve el segmento AB bajo el ángulo α, esto significa que ∠APB = α .”
P
503
B

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En 4º año liceal de Enseñanza Secundaria en el Uruguay (nivel 15-16 años) figura en el
currículo el estudio del Arco Capaz. Se estudian además temas como: ángulo al centro y
ángulo inscrito en una circunferencia, demostración de la relación entre sus medidas,
definición de Arco Capaz como Lugar Geométrico, resolución de problemas de aplicación.
En 5º año (nivel 16 – 17 años) en el curso de Geometría Métrica se aborda la misma
temática en forma más rigurosa, demostrando en la mayoría de los casos todos los
teoremas involucrados y realizando problemas de aplicación, con especial énfasis en el
Arco Capaz como Lugar Geométrico. Es habitual en la práctica docente, en cualquiera de
los dos niveles liceales mencionados anteriormente, que el profesor exponga el algoritmo
de construcción del Arco Capaz que aparece en la proposición Nº 33 del libro III de los
Elementos de Euclides y que permanece prácticamente incambiado hasta nuestros días.
Podemos ver dicha construcción
a continuación:
A modo de ejemplo, y con el
objetivo de analizar brevemente
el estado actual de la enseñanza
de este tópico, veamos la
construcción que se propone para
el Arco Capaz en un libro de
texto de uso generalizado en
nuestro país, el Curso de
Geometría de Pedro Puig Adam.
Extraído de:. Puig Adam. (1977).
Curso de Geometría Métrica.
Tomo I. Madrid. Biblioteca
Matemática. Página 85. (1ª
Edición año 1947).
El algoritmo que se presenta en
este texto, que además es el
mismo que aparece en otros
textos para los alumnos, tiene,
como vimos, sus raíces
históricas en los Elementos de
Euclides. Este algoritmo es
tradicionalmente impuesto a los alumnos y viene siendo reproducido en forma sistemática
por el profesorado sin que medie una reflexión sobre su uso y construcción. Esta
imposición lleva a que el alumno crea que es el único algoritmo posible para construir el
Arco Capaz.
De todo lo anterior se desprende que en 50 años de Educación Secundaria en nuestro país,
no ha cambiado el discurso matemático escolar, no se ha tenido en cuenta el pensamiento
matemático del alumno ni la influencia de los diferentes medios socioculturales donde el
individuo crece y se desarrolla.
504

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Metodología
Proponemos darle la posibilidad al alumno de que él cree su propio algoritmo de
construcción generando así argumentos que le permitan lograr un aprendizaje más
significativo. Con este objetivo se propuso a un grupo de 22 alumnos de nivel 15- 16 años
una secuencia didáctica con el fin de constatar si surgían construcciones alternativas del
Arco Capaz (ver ANEXO).
En forma previa a la investigación se realizó en el grupo de estudiantes una revisión de los
conceptos previos que se consideraban como necesarios para poder realizar dicha
construcción. Estos son: definición de circunferencia, mediatriz, circuncentro, ángulo al
centro y ángulo inscrito en una circunferencia, relación entre ellos, circunferencia
circunscrita a un triángulo.
La secuencia se propuso a los alumnos en forma individual, luego confrontaron sus
resultados en equipos de a tres elaborando un informe y por último se realizó una puesta en
común, comentando los resultados obtenidos.
Resultados de la investigación
A continuación aparecen algunas construcciones que crearon los estudiantes para construir
el Arco Capaz de segmento AB y ángulo α:
1) En este caso se construyó un triángulo ABC de lado AB conocido y ángulos adyacentes
de 90º y (90º-α). De esta manera el ángulo en C mide α. Se determinó el circuncentro de
dicho triángulo, que es el centro del Arco Capaz buscado.
Observemos que el alumno está utilizando la propiedad de que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180º.
O
α
C
90-α
A B
505

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
2) En este otro caso se construyó un triángulo isósceles ABC con los lados AB y AC de
igual medida y el ángulo en B de medida α. De esta manera se asegura que el ángulo en C
también mida α. Luego se determinó el circuncentro de ese triángulo, que es el centro del
Arco Capaz buscado. En este caso el alumno está usando la idea de que un triángulo
isósceles es isoángulo.
506
C
α
α
A B
3) Si el ángulo de la derecha es el ángulo de medida α dado, por A y B, respectivamente,
se trazan paralelas a los lados de dicho ángulo, que determinan un ángulo de vértice C y
medida α. Se determina luego el circuncentro del triángulo ABC y se traza el Arco Capaz
buscado.
A
B
4) Se construyó un triángulo ABC de forma que la suma de los ángulos adyacentes al
segmento AB sea de (180º - α), en consecuencia el ángulo en C mide α. Luego se
determinó el circuncentro del triángulo ABC, que es el centro del Arco Capaz buscado.
β + γ = 180º − α
C
O
α
A
C
α
β
α
γ
B

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Como podemos observar, las construcciones generadas por los estudiantes son altamente
creativas y demuestran un entendimiento relacional del tema que se está estudiando.
Deseamos destacar que en la presente investigación ningún estudiante generó la
construcción que presentan tanto Euclides como los libros de texto que fueron analizados.
Conclusiones
En primer lugar señalaremos que en ningún caso los alumnos crearon espontáneamente la
construcción de Arco Capaz tradicional ya expuesta.
En general, los alumnos crearon algoritmos de construcción cuya idea base fue la de
construir un triángulo cualquiera de modo tal que uno de sus ángulos fuera el ángulo dado y
el lado opuesto a éste fuera el segmento dado, para luego determinar su circuncentro y
trazar el Arco Capaz buscado.
Los estudiantes lograron darle significado al algoritmo que crearon, dando argumentos que
les permitieron lograr un entendimiento de carácter relacional en el sentido de Skemp
(1976).
Creemos que resultó altamente positivo haber generado un ámbito de reflexión para que los
alumnos pusieran en marcha sus propias ideas, logrando así un aprendizaje rico en significados que
pudieron posteriormente aplicar y adaptar a diferentes situaciones problemáticas.
ANEXO
Actividad 1
Un radioaficionado capta cierta
información enviada desde un barco en
situación de emergencia. Debido a la
gran interferencia en la comunicación,
generada por una tormenta eléctrica,
solo alcanza a recibir el siguiente dato:
las visuales desde el barco dirigidas al
faro de La Paloma (P) y al faro de la
Barra del Chuy (B) forman un ángulo
de 50º. Utilizando el mapa que se te
proporciona marca la posible ubicación
del barco. ¿Es única?
Faro de
La Paloma
Explica el procedimiento que realizaste.
Discute con tus compañeros de equipo los resultados que obtuviste.
Elabora una conclusión con tu equipo de la solución del ejercicio.
Puesta en común.
Actividad 2
Escribe las instrucciones necesarias para construir el arco que encontraste en la Actividad 1,
usando regla, compás y semicírculo.
2) ¿Qué datos iniciales necesitas para poder construir el arco?
P
Faro de la
Barra del Chuy
B
507

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Bibliografía
Hemmerling, E. (1981). Geometría Elemental. México: Limusa.
Euclides. (1991). Elementos . Madrid, España: Editorial Gredos S.A.
Hernández Rojas, G. (1998). El paradigma cognitivo. En Paradigmas en psicología de la educación. Cap. 6
pp.117-167. México: Paidós Educador.
Puig Adam, P. (1977). Curso de geometría métrica. Tomo 1. Madrid, España: Biblioteca Matemática.
508

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
REDES NEURONALES ARTIFICIALES APLICADAS A LA EVALUACIÓN
DOCENTE Y A LA TOMA DE DECISIONES EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
Martínez Luaces, V. Martínez Luaces, F
Universidad de la República. Universidad ORT. Uruguay.
victorml@fing.edu.uy , f.martnez@mailcity.com
Introducción y antecedentes
La evaluación ha sido un tema de constante preocupación en las diferentes áreas
educativas, pero particularmente en las Matemáticas. Mucho se ha escrito sobre la
evaluación del rendimiento estudiantil con relación a esta área del conocimiento, pero
son considerablemente menos frecuentes los trabajos que se ocupan de la evaluación
del desempeño de los docentes.
En nuestro caso, ésta ha sido una línea de investigación que tiene ya varios años de
desarrollo y en la que aún continuamos. En diversos trabajos sobre el tema, hemos
ido modificando la metodología para el tratamiento de los datos obtenidos.
En una primera instancia, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la
República de Uruguay, se utilizó un formulario de 25 preguntas con 5 opciones
distintas de respuesta para cada pregunta, tomado de la Universidad de Valencia,
España. Con este formulario, hemos recabado datos entre los años 1993 y 1996
inclusive. Con un instrumento esencialmente similar, pero esta vez utilizado en la
Facultad de Química de la misma Universidad, se obtuvieron datos entre los años
1995 y 1997 inclusive. En los hechos, el cuestionario fue modificado para atender a la
diversidad de situaciones: cursos teóricos, cursos prácticos de ejercicios y cursos
prácticos de laboratorio.
En base a los datos obtenidos en la Facultad de Química, se realizó un primer trabajo,
con estadísticas elementales, básicamente descriptivo, en esta área de investigación
(Martínez Luaces, V., 1998a). Anteriormente se trabajó con un grupo de expertos,
obteniéndose conclusiones muy similares a las que resultaron, posteriormente, de la
opinión estudiantil (Casella, S. y Martínez Luaces, V., 1996)
De todos estos insumos surgió un trabajo de carácter más general, presentado en el
Grupo de Estudio sobre la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática en el Nivel
Universitario, organizado por ICMI en Singapur a fines de 1998 (Martínez Luaces,
V., 1998b).
Años más tarde, se volvió a trabajar sobre Evaluación Docente (Gómez, A. y
Martínez Luaces, V., 2001) y Evaluación de la Calidad de Enseñanza (Gómez, A.,
Guineo, G. y Martínez Luaces, V., 2002), en la Facultad de Química, utilizando para
el tratamiento de los datos, técnicas de la Estadística No Paramétrica y del Análisis
Multivariado.
Metodología
A principios del año 2002, profundizamos en un nuevo aspecto de esta área de
investigación, al utilizar una metodología diferente: el análisis de la evaluación
docente mediante el uso de Redes Neuronales Artificiales (ANN por sus siglas en
509

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
inglés). En este trabajo se analizan datos de Facultad de Ingeniería y de Facultad de
Química, intentando predecir el juicio global de los estudiantes a partir de los
resultados de otras variables.
¿Por qué la idea de utilizar ANN en relación a la Evaluación Docente? Antes de
responder a esta pregunta comenzaremos por describir brevemente en qué consisten y
cuál fue su origen. Las ANN, como parte de la llamada computación no-lineal,
originadas hace algunas décadas, representan un intento de copiar los procesos (con
alto grado de paralelismo) que tienen lugar en las neuronas del cerebro, de acuerdo a
investigaciones procedentes de la Neurobiología. Esta herramienta ha tenido gran
difusión en los últimos años, debido al éxito que se ha obtenido con ésta técnica en
diversas áreas, al punto que en muchas de ellas, las ANN ya han abandonado el
laboratorio, para implementarse en forma industrial. Son muy diversos los problemas
para los cuales no se encontraban algoritmos lineales satisfactorios, y sin embargo, a
través de las ANN se ha arribado en muchos de ellos a una solución factible, en
particular cuando dichos problemas tienen que ver con el reconocimiento de patrones.
En el estudio de la Evaluación Docente cabría preguntarse si existen patrones que
permitan medir la eficacia docente. Al respecto, es común que las encuestas
realizadas entre el estudiantado soliciten una evaluación parcial del docente en
diversos aspectos de su desempeño. Algunos de estos aspectos son: conocimiento
disciplinar, manejo del pizarrón, motivación, relación con los estudiantes; etc.. A todo
lo anterior se agrega una evaluación global del docente.
Una situación ideal sería, sin duda, determinar si existe una relación funcional entre
dichas variables parciales y el juicio global. En la práctica esto no es viable, no
solamente por la complejidad matemática que tendría dicha función, sino porque ésta
no es estática en tiempo y espacio, sino que en diferentes dominios (en nuestro caso
encuestas en diferentes instituciones) y también en diferentes períodos, dicha relación
funcional experimentará cambios.
Minimización del error en Perceptrón Multicapa
El Perceptrón es un tipo de ANN que, como otros, se compone de unidades de
procesamiento llamadas “neuronas” o elementos de proceso (PE, en inglés). Cada
neurona tiene en general varias entradas y una única salida de datos, aunque esta
puede distribuirse entre varias neuronas. A su vez, dichas entradas se ven afectadas
por un vector de “pesos” como puede verse en la figura 1.
510
Figura 1.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Las neuronas se organizan en estructuras de datos llamadas “capas”. Cada capa recibe
información de la capa anterior y la pasa a la siguiente. La capa inicial o Capa de
Entrada, es la que toma, en nuestro caso los datos de la encuesta, luego se
interconecta con la capa siguiente llamada Capa Oculta, que es donde ocurre la parte
fundamental del proceso y finalmente hay una Capa de Salida, donde en nuestro caso,
se obtiene el juicio global resultante. Todo lo anterior se encuentra esquematizado en
la figura 2.
Figura 2.
La clave de la capacidad de las ANN para predecir resultados, radica en los pesos
(valores numéricos) que en cada neurona se asignan a las variables que se le
introducen. A su vez, dentro de cada neurona, se realiza una suma ponderada de sus
entradas con dichos pesos, y luego de transformar el resultado mediante una función
específica se pasa a las neuronas siguientes. En nuestra ANN, fijamos estos pesos
inicialmente mediante una función randómica en valores pequeños, pero luego, a
medida que se “entrena” la red, éstos deben ir variando hasta alcanzar una
configuración óptima que minimice el error del resultado final (Picton, Ph, 2001).
El proceso anteriormente descrito, se logra mediante el uso de un algoritmo llamado
“BackPropagation” o Propagación hacia atrás, que es el que utilizamos. Dicho
algoritmo consiste en entrenar la red, dándole juegos de variables, y luego de obtener
un resultado global por parte de la ANN, indicarle cual debió ser el resultado exacto,
para que realice correcciones tendientes a minimizar la función de error. En la
neurona de salida, esto es inmediato, ya que al calcular la diferencia, pueden ajustarse
sus “pesos” para que en una nueva ejecución, el error sea menor. Luego, en las
neuronas de capa oculta, el error no es explícito, porque no podemos determinar
directamente cual debió ser la salida de cada una para que el resultado final fuese
exacto. Aquí es donde se aplica el algoritmo de BackPropagation, tomado de la
Teoría de Errores, en particular aplicando el cálculo del error de las variables en
conexión con un error funcional dado. En las ANN elementales, se suele utilizar la
función “escalón” como función de transformación de la salida, pero en nuestro caso,
utilizamos la función “sigmoidal”, tangente hiperbólica, ya que tiene un
511

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
comportamiento que se aproxima a dicha función pero con la ventaja respecto a
aquella de ser derivable, un requisito esencial para implementar la Propagación Hacia
Atrás. Así, a medida que se entrena la red, se busca minimizar el error en cada
neurona, lo que significa minimizar las derivadas, por lo que también se le ha llamado
a esta técnica “algoritmo del gradiente descendente”.
Resultados
En este trabajo, se utilizaron 12 variables parciales y un juicio global obteniéndose
promedios de error del 2% y menores. En la figura 3 se puede apreciar la evolución
del error relativo con respecto al número de docentes considerados. Dicho error
fluctúa al comienzo, luego disminuye y finalmente tiende a permanecer constante.
512
3,00%
2,00%
1,00%
0,00%
ERROR PROMEDIO
1
5
9
13
17
21
25
Figura 3. Error promedio vs. Número de docentes.
Además del error promedio, ya analizado, conviene visualizar el error cometido en
cada valor predicho, respecto del valor real. En la figura 4 se representan los valores
reales de juicio global para los 27 docentes considerados y el error absoluto
correspondiente a cada caso.
Valor Real y Error
15
10
5
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25
Figura 4. Valores reales de juicio global y error absoluto correspondiente.
S1
Error Absoluto
Valores Reales

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Si bien los errores pueden ser considerados aceptables, un análisis estadístico mostró
que los resultados predichos por la red y los valores reales no coinciden. En efecto, la
aplicación del Test “t” de Muestras Ligadas, permite concluir que se trata de dos
poblaciones diferentes cuando se trabaja al nivel de significación del 0.05 (Martínez
Luaces, V., 1999). En una red que trabaja con 12 variables, como en este caso, la
información introducida al sistema podría ser “excesiva”. Concretamente, podría
contener información redundante que tiende a sobrevalorar alguna faceta por su
repetición en diversas formas en el cuestionario. También, podría estar introduciendo
“ruido” en la red debido a la inclusión de información no relevante que tiende a crear
confusión, más que permitir definir los elementos que determinan la evaluación
global.
Conclusiones
Del tratamiento de datos realizado surgen dos conclusiones inmediatas:
El error relativo tiende a estabilizarse entre 15 y 20 docentes considerados.
Los docentes con pocos alumnos encuestados (menos de diez) generan un mayor
error en la aproximación
En el caso en estudio (12 inputs), se encontraron dificultades debido al número
considerable de entradas, que paradójicamente, en el caso de ANN (y tal vez en la
mente del estudiante que participa en la encuesta) provoca confusión al introducir
información redundante o no relevante que puede ocultar los aspectos
verdaderamente esenciales del desempeño docente. En el otro extremo, disponer de
un número muy pequeño de preguntas no permitiría predecir adecuadamente un
juicio global. Cabe entonces plantearse, la posible conveniencia de una solución de
compromiso, donde se consideren los diversos aspectos de la práctica docente, pero
evitando sobrevaluar alguno de ellos, o bien incluir información no relevante. Una
posibilidad sería entonces, trabajar con “variables condensadas”, elaboradas en base a
una “clusterización” previa (Gómez, A. y Martínez Luaces, V., 2001) y así poder, en
principio, tomar como base una cantidad intermedia de variables fundamentales. Esta
combinación de técnicas de Análisis Multivariado y ANN, justifica una cierta línea
posible de continuación en este tipo de investigaciones.
Bibliografía
Gómez A., Guineo, G. y Martínez Luaces, V., 2002 “Un trabajo de Investigación-Acción en un curso
de Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería de Alimentos”. Página Web del X EMCI
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Gómez, A. y Martínez Luaces V., 2002. “Evaluación docente utilizando Análisis Multivariado”, Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa, 15.2, pp. 1016-1021. Ed. CLAME, México.
Martínez Luaces, V. 1998a. Matemática como Asignatura de Servicio: algunas conclusiones basadas
en una evaluación docente. Números. Revista Española de Didáctica de Matemática, España
Martínez Luaces, V. 1998b. Considerations about Teachers for Mathematics as a Service Subject at the
University Pre-proceedings of ICMI Study Conference, Singapore, Nanyang Technological
University
Martínez Luaces, V. y Casella, S., 1996 La educación matemática en las diferentes ramas de la
Ingeniería en el Uruguay hoy. Memorias del II Taller sobre la Enseñanza de la Matemática
para Ingeniería y Arquitectura. La Habana, Cuba.
Martínez Luaces, V., 1999. Estadística Aplicada a Ingeniería Ambiental. Ed. IMFIA, Montevideo.
Picton, Ph., 2001. Neural Networks, pp. 37-47.
513

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
¿QUÉ PINTAN UN MOTOR Y UNA BOTELLA EN EL CÁLCULO INTEGRAL?
CURSO CORTO DE DIDÁCTICA
Tomás Ortega
Universidad de Valladolid. Valladolid. España.
ortega@am.uva.es
Resumen
Se pretende crear un marco de resolución de problemas que sea motivador para los alumnos del último
año de Bachillerato o del primer año de estudios en la Universidad, y para ello se presentan cuatro
problemas reales, cuya solución requiere establecer el concepto de integral definida, y uno histórico,
que fue propuesto y resuelto por Arquímedes. Asimismo, en el desarrollo del curso se verá la
importancia del uso de herramientas didácticas, tales como el generador de volúmenes de revolución,
que se construirá en el propio curso, y el ordenador, cuyo uso será absolutamente necesario para
resolver los problemas planteados. En suma, además de promover adaptaciones curriculares
adecuadas, se fijan estos tres objetivos fundamentales: Cómo se crea un marco de resolución de
problemas y cómo se integran herramientas didácticas apropiadas 1 .
Currículo motivación y metodología: Reflexiones desde la psicopedagogía
Desde hace varias décadas psicólogos y pedagogos vienen estudiando el rendimiento
académico de los estudiantes en las aulas de matemáticas y han detectado
características muy concretas del alumnado que repercuten negativamente en el
aprendizaje. Autores como B. Martínez (1980, 30-32), B. Tierno (1989, 100-107) y E.
Mira (1979), entre otros, señalan cómo, en general, en los Centros se exige un
mínimo cultural muy inferior a las posibilidades de aprendizaje de los alumnos,
porque éstos hacen muy poco; se muestran pasivos y son muy desorganizados, y en
estas condiciones el rendimiento es bajo. Aparte de problemas de tipo psíquico y a
períodos refractarios de aprendizajes, la pasividad lleva consigo una falta de interés
por aprender que, en unas ocasiones, puede ser atribuida a que la materia que se trata
de enseñar está fuera del entorno de intereses biológicos del alumnos, y, en otras, una
falta de confianza en sus posibilidades que les lleva al abandono. En estas
circunstancias es importantísimo motivar al alumno y valorar su rendimiento
intelectual. Aunque en el aula de matemáticas quizás sea el entusiasmo del profesor el
elemento motivador más importante, también se debe buscar en la propia trasmisión
del conocimiento, de manera que se produzcan aprendizajes significativos para los
alumnos. En este sentido son muy interesantes: los apuntes históricos de la
matemáticas, aplicaciones que resuelven problemas de la vida real, crear la necesidad
de aprendizaje para resolver un problema determinado, utilizar los recursos didácticos
adecuados, aumentar la autoconfianza, etc.
Finalmente, la conducta de los alumnos en el aula es otro aspecto a tener en cuenta, y
que está directamente relacionada con la disciplina de aula, pero, sobre todo, con la
actividad desarrollada en la misma, ya que la conducta natural de las personas cuando
forman grupo y están inactivas es la de comunicarse y esto produce alboroto, y, por
tanto, se produce una perturbación. D. Fontana (1989, 19-57) hace un estudio de las
diferencias de conducta y de sus problemas, señalando, entre otros, al aburrimiento, al
1 La presentación de este Curso Corto, ha sido subvencionada, en parte, por el Proyecto BXX2000-0069 de la
Dirección General de Enseñanza Superior. España.
515

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
propósito deliberado de querer perturbar la clase o de molestar al profesor, a la
aptitud, al autoconcepto, a la ausencia de éxitos, participación en actividades ajenas a
la docencia, etc.
Propuesta curricular
Aquí sólo se hace un esbozo a título de ejemplo, ya que hay que tener en cuenta el
perfil de los alumnos como estudiantes, los estudios posteriores que tienen que
realizar (fundamentación y funcionalidad) y el perfil profesional que van a alcanzar.
516
Objetivos. Es que los alumnos entiendan el concepto de
integral definida y sean capaces de aplicarlo para resolver
problemas. Distinguir y relacionar la integral definida e
indefinida de una función con los conceptos de primitiva y
función integrable. Saber integrar numéricamente, ver su
generalidad y saber aplicarlo mediante software adecuado.
Conocer las técnicas elementales del cálculo de primitivas.
Conceptos. Integral definida. Integración numérica.
Teorema fundamental del cálculo. Conceptos elementales.
Técnicas elementales para el cálculo de primitivas.
Aplicaciones de la integral definida: áreas, volúmenes,
centros de masa, etc
Actitudes. Hacia la valoración del trabajo realizado y
confianza en las propias posibilidades de superación de las
dificultades conceptuales. Apreciación del trabajo personal
y colectivo, orden, sistematización, búsqueda y uso de
estrategias de resolución. Interés por la precisión numérica
y por la resolución analítica.
Procedimientos. El concepto de integral definida deberá establecerse a partir del cálculo de áreas definidas bajo una
curva. Se construirán las sumas de Darboux, figura 1, a la vez que se dibujarán para una función positiva. Eligiendo un
punto interior de cada subintervalo se construyen las sumas de Riemann, figura 2, lo que de forma natural aporta un
método general de integración numérica. Conviene notar que para cada partición sólo hay dos sumas de Darboux,
mientras que hay infinitas sumas de Riemann. Las de Darboux son más interesantes para relacionar el concepto con el de
área, pero las de Riemann son más apropiadas para efectuar una integración numérica. El siguiente teorema permite
utilizar unas sumas u otras indistintamente.
Si f es acotada en [a,b], entonces f es integrable Darboux sií lo es Riemann.
Cuando se haga integración numérica conviene que la partición sea uniforme. En este caso, utilizando una hoja de
cálculo los puntos en los que se evalúa la función se generan de forma automática. La regla de trapecios es muy
intuitiva y tiene mayor orden de convergencia, ...
El Teorema Fundamental del Cálculo, que debe establecerse inmediatamente después de definir el concepto de primitiva,
da un método analítico para determinar integrales definidas y con él se establece la necesidad del cálculo de primitivas.
En la actualidad tiene poco sentido que los currículos se extiendan en calculotes y en desarrollos simbólicos. Por el
contrario, en mi opinión sólo se deben desarrollar los métodos generales de cálculo de primitivas (descomposición,
sustitución e integración por partes y algún método particular sencillo) y el formalismo necesario para que la
Matemática no se distorsione.
Se deben justificar las aplicaciones de la integral definida mediante procesos de sumatorios de Riemann: de áreas de
rectángulos, de volúmenes de cilindros, de centros de masas de rectángulos, etc.
Material didáctico
Libros; Generador de volúmenes: Cartulinas de funciones; Calculadoras
programables y graficadoras; Ordenador con software Derive, Maple, Funciones,
Calcula, Excel, Quattro-Pro.
El generador de volúmenes gira las cartulinas alrededor del eje de abscisas (puede
considerarse el de ordenadas) y así se obtiene una imagen del volumen que genera el
recinto plano representado en la cartulina. Esta visión “real” del volumen permite que
los alumnos distingan las partes huecas de las macizas y en los casos donde haya
superposición de volúmenes, si el recinto plano está en ambos lados del eje de giro,
hay que elegir el que genera el volumen. En suma, los alumnos podrán entender
mejor qué límites de integración son los que debe tener la integral definida en cada
zona y qué función genera el borde del volumen.
Metodología
Dada la importancia que tiene la motivación de los alumnos, los contenidos propios
deben ir precedidos de un marco de resolución de problemas, problemas que deberán

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
resolverse después. Aquí se presenta uno en el que se formulan 5 problemas
interesantes. Habrá presentaciones y exposiciones conceptuales a cargo del profesor,
haciendo partícipes a los alumnos de las mismas mediante preguntas y propuestas de
pequeñas aplicaciones o situaciones controvertidas. Los alumnos trabajarán en grupos
e individualmente ejercicios de aplicación. Manipularán el generador de volúmenes
para delimitar los límites de integración de los volúmenes de revolución que generan
las “cartulinas” para que distingan partes “huecas” de “macizas” y, en suma, las
funciones que generan el volumen. Harán prácticas de ordenador en las que tendrán
que hacer cálculo simbólico y aplicar integración numérica, con la hoja de cálculo, y
simbólica, con Derive o Maple, para resolver problemas de cálculo de áreas,
volúmenes de revolución, centros de masas, etc.
Marco de resolución de problemas
Área de un campo de golf: En un diagrama cartesiano, se representa la delimitación
de un terreno en el que se quiere instalar un campo de golf. La parcela en cuestión
está determinada por un río y por un camino. El borde del camino coincide con el eje
de abscisas, la curva que describe el río es la representación cartesiana de la función
f(x)=x·(sen(3x/4)+1)+3 y el segmento BC está sobre la perpendicular al camino por
el punto C, que es el punto del río más cercano al camino (mínimo de la función) tras
el ensanche. ¿Cuál es su área, sabiendo que las unidades del diagrama cartesiano son
Hectómetros? ¿Se podría determinar el área si en vez de conocer la función se
supieran cuáles son las coordenadas de puntos situados en el borde del río?
El modelo físico de Arquímede: El matemático más importante de la Antigüedad,
Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.), describe cómo las investigaciones
“mecánicas” le llevaron a los descubrimientos matemáticos más importantes. Es
consciente de que sus primeros pasos carecen de rigor y postula que es más fácil
demostrar algo cuando de antemano se tiene una idea de lo que se quiere obtener.
Arquímedes indica que tiene un método mecánico, “el de la palanca” que le ayuda a
preparar el camino de las demostraciones. Uno de los teoremas que descubrió por este
método fue el siguiente “El área de un segmento parabólico, ABC, es un tercio del
área del triángulo APC, siendo AP la tangente a la parábola en A y PC “con la
misma dirección que el eje de la parábola”. La figura 4 es una representación gráfica
de este problerma que, sin duda, es precursor del Análisis Matemático, que surge con
Newton y Leibniz XIX siglos después.
Masa que contiene un volumen de revolución y capacidad del mismo: El alfarero
genera los volúmenes haciendo girar el torno y separando el barro con las manos. En
este mecanismo ancestral los recipientes se construyen como si alrededor del eje de
simetría giraran funciones: una o más (también se puede considerar definida a
intervalos) para dar la forma externa a la vasija y otra o más, para construir su
capacidad. Se va a construir una copa tal que, a escala 1/2, el perfil de la zona
campaniforme se delimita al girar alrededor del eje de ordenadas la superficie
comprendida entre las parábolas de ecuaciones y=5x 2 /8 e y= 9x 2 /16+1 y el perfil de
la base se delimitan al girar alrededor del mismo eje la zona definida por la parábola
y=-x 2 /3, por el eje de ordenadas y por la recta y=-2x/3+1, hasta que ésta corta a la
517

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
parábola y=2x 2 -3. Se trata de hallar la masa y la capacidad total de la copa con un
llenado hasta la altura delimitada por y=8. En la figura 5 están representadas las
funciones recíprocas de éstas (y=(8x/5) 1/2 , y=4/3(x-1) 1/2 , y=(-3x) 1/2 , y=-3(x-1)/2, ya
que ambas componen los mismos perfiles de la vasija.
Diseño de recipientes de volumen dado: Algunos estudios de marketing para
analizar el gusto de los consumidores por la forma de los envases. De los modelos
utilizados en el estudio, la figura 6 muestra el perfil lateral de una la botella de vidrio
diseñada con FUNCIONES (software libre del MEC) para envasar líquidos. Este
perfil es la representación gráfica de la función f(x)=a·(x-0´1) 2 ·(x-1) 2 ·((x-
2) 4 -0´04)+0´5, en [0,2] para a=3/4. Halla el valor de a para que la capacidad de la
botella sea de 3/4 l.
Centro de gravedad de un forjado de hormigón. Equilibrio estático: En una vivienda
se pretende construir un tejadito semicircular para cerrar el descansillo de una
escalera y con ello construir un mirador. Para ello se construye una “galleta” de
forjado como la forma de la figuras 7 y 8, formada por un semicírculo de 110 cm de
radio y un rectángulo de 240×36 y 20 cm de espesor. La parte rectangular se incrusta
en la pared y la semicircular soportaría el tejadito. ¿Qué altura de pared hay que
levantar por encima de la “galleta” para que el centro de gravedad del conjunto paredgalleta
esté dentro de la pared? La densidad de la galleta es la misma que la de la
pared y ésta tiene 40 cm de espesor.
Conceptos fundamentales
Función integrable, primitiva, integral indefinida, teorema de caracterización y
teorema fundamental del cálculo.
Teorema de caracterización. La función f es integrable Darboux en [a,b] sií para
cualquier aproximación positiva de cero, ε, existe una partición P de [a,b] tal que la
diferencia entre la suma superior de Darboux relativa a P y la correspondiente suma
inferior es menor que ε.
Conviene aplicar este test a algunas funciones integrables, bien a casos particulares o
bien a familias (monótonas crecientes, continuas) y a algunas que no lo sean.
Teorema Fundamental del Cálculo. Debe establecerse inmediatamente después de
definir el concepto de integral definida, ya que da un método analítico para
determinar integrales definidas y con él se establece la necesidad del cálculo de
primitivas (del que no se debe abusar). Aquí se reproducen dos formas diferentes de
entender el Teorema Fundamental del Cálculo y de ellas yo soy partidario de que se
establezca aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial
(procedimiento de la segunda columna) la que la conexión con la derivada es menos
natural en el primero y, además, tiene que ser completado con la regla de Barrow. Un
análisis bajo el punto de vista de la funciones de la demostración (verificación,
explicación, sistematización, comunicación y descubrimiento, -de Villiers, 1990-)
ponen de manifiesto que el segundo ejemplo aventaja al primero en todas las
funciones:
518

Primer teorema fundamental del cálculo
integral 2 :
Sea f integrable sobre [a, b] y se defíne F
x
sobre [a, b] por F ( x)
= ∫ f ( t)
dt
a
Si f es continua en c de [a, b], entonces F
es derivable en c, y F'(c)=f(c).
Demostración: Suponemos que c está en (a,
b); para c=a o b, los razonamientos son
análogos con las derivadas laterales.
c h
Sea h>0. Entonces: F(c+h)-F(c)
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
=
∫ +
c
f ( t)
dt
Se definen:
mh=inf{f(x):
c

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Descubrimiento: La expresión ( α ) ∆x
= G(
b)
− G(
a)
asegura que existen n nodos,
520
n
∑
1
f i i
α1, α2, ..., αν (n arbitrario) para los que el método de los rectángulos con paso
constante es exacto. Esta expresión también es indicativa de que al aumentar el
número de nodos el error de integración disminuye y se trata de un teorema de valor
medio de n nodos, con n variable (Este resultado es una primicia de este curso).
Función integrable, primitiva e integral indefinida
Son conceptos diferentes aunque, desafortunadamente, en algunos textos aparecen
con el mismo significado. Desgraciadamente esta confusión también forma parte de
las creencias de buena parte del profesorado. A continuación se exponen unos
ejemplos que clarifican esta situación.
Una integral indefinida sí que es una Primitiva, pero este concepto es más general que
el de integral indefinida. Así, por ejemplo, la integral indefinida
x
∫ cos( t ) dt = sen ( x ) − sen ( a ) nunca puede ser sen(x)+2, ..., que es una
a
primitiva.
Hay funciones integrables que no tienen primitiva, y funciones que tienen primitiva y
no son integrables. Así, por ejemplo, la función
⎧−1,
x ∈[
− 2,
0]
f ( x)
= ⎨
⎩ + 1,
x ∈[
0,
2]
es integrable en [-2,2] y, sin embargo, no tiene primitiva en dicho intervalo. Por otra
parte, la función
⎧ 2 ⎛ 1 ⎞
⎪ x sen ⎜ ⎟,
x ∈ − 1,
0 ∪ 0,
1
H ( x)
= ⎨
⎪
⎩
0,
⎝ x
2
⎠
[ ) ( ]
x = 0
⎧ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎪−
cos ⎜ ⎟ + 2 xsen ⎜ ⎟,
es una primitiva de h ( x)
=
2
2
⎨ x ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
⎪
⎩ 0,
y, sin embargo, h(x) no es integrable en [-1,1]
x ∈
x = 0
[ − 1,
0)
∪ ( 0,
1]
Tema 2. Problemas clásicos. El generador de volúmenes
En este tema se va a abordar la resolución de los problemas clásicos planteados, se va
a construir el generador de volúmenes y se va a poner en funcionamiento para ver
cómo se puede ayudar a los alumnos a delimitar los límites de integración. También
se va a utilizar software de ordenador para hacer los cálculos, de manera que los
alumnos vayan resolviendo los problemas paso a paso. El software debe utilizarse
para aprender y no para enmascarar los aprendizajes.
Cálculo de Áreas y solución del primer problema
Este apartado no merece ningún desarrollo especial, ya que la construcción de las
sumas de Darboux o Riemann es el proceso a seguir para introducir el concepto de
integral definida. Para resolver el primer problema, lo primero que debe hacerse es

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
determinar el intervalo de definición de la integral. El origen, a, es el punto de corte
de la función f(x)=x·(sen(3x/4)+1)+3 con el eje de abscisas, y el extremo, b, es la
abscisa donde la función alcanza el mínimo. Ninguno de estos valores son sencillos
de determinar y, por ello, conviene utilizar software adecuado. Con FUNCIONES se
hallan automáticamente los valores de a, de b y del área. Hállalos y transcribe los
resultados: ¿?
Una integración por partes permite obtener la primitiva: F(x)= ¿? .
Evalúa con EXCEL la función anterior y escribe: Área= ¿?
También se puede utilizar EXCEL para hacer una integración numérica. Aplica la
regla de los trapecios a 50 trapecios y la regla de los rectángulos a otros 50
rectángulos (con sumas de Riemann evaluadas en el punto medio). Escribe las
soluciones numéricas encontradas:
Trapecios: Área ≈ (( f ( x 0 ) + f ( x n )) / 2 + f ( x1
) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n −1
)) h =¿?
Rectángulos: Área ≈ ( f ( α 1 ) + f ( α 2 ) + ... + f ( α n − 1 ) + f ( α n )) h =¿?
En ambos casos, las alturas de los trapecios o rectángulos es el “paso”,h, de los nodos
equiespaciados y para n=50, h=. . . . . . . . . . . . .
Solución del problema de Arquímedes
Para resolver este problema Arquímedes consideró que AH es una palanca con punto
de apoyo en K (punto medio de PC y de AH), y demostró que si se suspenden de H
todos los segmentos lineales (indivisibles) que corforman el segmento parabólico en
la dirección del eje, se equilibra la masa del triángulo APC. La relación entre la
distancia del c.d.m. del triángulo a K y la distancia de K a H termina la demostración.
Como es lógico, aquí se utilizarán resultados del Análisis Matemático y un
simbolismo apropiado. En primer lugar se considerará una parábola particular de eje
vertical, esta situación da lugar a un esquema de prueba pre-formal (van Ash, 1993).
Sea y=-x 2 +2x+8, y los puntos de la parábola C=(0, 8) y A=(3,5).
¿Con estos puntos la recta AC tiene ecuación =? ; y ¿la recta AP esta otra?.
Ahora sólo hay que calcular las áreas que corresponden al segmento y al triángulo, y
comprobar que se verifica el resultado
3
Área del segmento: ∫ ( Ec . parábola − Ec . recta AC ) dx =
0
3
Área del triángulo:
∫ ( Ec . recta AP − Ec . recta AC ) dx =
0
Luego, se puede abordar el problema de forma general considerando la parábola
y=ax 2 +bx+c, los puntos A y C de abscisas x=h y x=k. El procedimiento es el mismo
que antes, pero ahora el cálculo simbólico se complica enormemente, razón por la que
combiene utilizar DERIVE u otro programa de cálculo simbólico.
Escribe los siguientes resultados parciales en función de a, b, c, h, k:
Coordenadas de A= . . . . . . . . . y de B= . . . . . . . . y Ecuaciones de las rectas AC y
AP
521

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
k
Área del segmento: ∫ ( Ec . parábola − Ec . recta AC ) dx =
h
k
Área del triángulo: ∫ ( Ec . recta AP − Ec . recta AC ) dx =
h
Cálculo de volúmenes de revolución y solución del tercer problema
El elemento de volumen es el cilindro, y se considera que al girar un rectángulo
alrededor de uno de sus lados, h, genera un cilindro de radio su otro lado, R, y, por
tanto, su volumen es πR 2 h. La cuestión es que si una función, f, es integrable, también
lo es πf 2 y, por tanto, las sumas de Riemann asociadas a esta función expresan la
suma de los volúmenes de los cilindros que se obtienen al girar sobre el eje de
abscisas los rectángulos que tienen como bases los subintervalos en que se ha
dividido [a,b] y alturas f(αi). Las sumas de Riemann nos proporcionan un método
numérico y la integral definida el volumen del sólido de revolución.
La solución de estos problemas es trivial si se sabe poner los límites de integración de
forma adecuada, ya que los cálculos son “sencillos”. Sin embargo, muchos alumnos
no aciertan a ver cómo se generan los volúmenes de revolución y tienen dificultades
para determinar los límites de integración, problemas que se “resuelven” con el
generador de volúmenes.
Construcción del generador de volúmenes. Se precisa: motorcito eléctrico a pilas,
pilas adecuadas para el motor, dos cables eléctricos de hilos finos para la conexión de
las pilas al motor, cinta aislante, 2 varillas delgadas para sujetar las cartulinas, 2
regletas pequeñas (una par sujetar las varillas al eje del motor y otra para el extremo
opuesto del eje), una pletina agujereada para albergar al eje, cartulina blanca o
material plastificado apto para dibujar las siluetas planas con la impresora y que se
recorte con facilidad, cartulina o material plastificado oscuro para el fondo en que
resalten los volúmenes, pegamento y tijeras. Las fotografía de la figura 9 muestra el
generador y la 14 unas plantillas de los recintos planos.
Con el programa FUNCIONES se dibujan las cartulinas correspondientes a las
regiones planas que van a determinar los volúmenes de revolución. Al girar se ven
perfectamente los volúmenes que se generan. El mismo programa permite determinar
los límites de integración para hallar las correspondientes integrales. Sin embargo,
muchas veces estos límites son las abscisas de los puntos de intersección de una de
las curvas dadas y de la simétrica de la otra respecto del eje de giro (soluciones del
sistema formado por las funciones f(x) y g(x), y del sistema f(x) y -g(x)), límites que
pasan desapercibidos para los alumnos (de hecho es una de las mayores dificultades
de aprendizaje) y el generador de volúmenes es una herramienta didáctica adecuada y
les ayuda a descubrirlos.
Representa las gráficas de las siguientes parejas de funciones:
1. y=x 2 -2, y=x. en el intervalo [-2, 2]
2. y=-x 3 /6+x 2 /2-7x/32-11/96, y=x 3 /6- 2 /2+1/3.
3. y=(9-x 2 )/3, y=(x 2 -9)(x 2 -1)/8.
4. y=|x|+1, y=x 2 -|2x|
522

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Las parejas de las funciones anteriores se representan en las figuras 10, 11, 12 y 13.
Recorta las gráficas, gíralas, señala las zonas huecas y macizas al girar sobre el eje de
abscisas, y, finalmente, escribe en el recuadro las integrales correspondientes para
calcular el volumen que se genera la girar cada una de las regiones planas alrededor
del eje de abscisas. Una de de los alumnos es ver que los límites de integración
vienen determinados por las El generador de volúmenes solventar este.
Solución del problema 3. Hay que ser cuidadosos en su resolución ya que al girar
sobre el eje de ordenadas las cosas son algo diferentes. O bien se consideran las
funciones
8y
x = , 4
= y −1
5 3
3
2
x , x = − 3y
, x = − ( y −1)
girando sobre OY o bien se consideran las funciones
8x
y = , 4
= x −1
5 3
3
2
y , y = − 3x
, y = − ( x −1
)
girando sobre OX. Estas últimas son las que se deben considerar para representar con
FUNCIONES las gráficas de estas funciones y así determinar una sección de la
vasija.
Representa las funciones y determina las abscisas que constituyen los límites de
integración.
Delimita sobre las figuras las zonas huecas y macizas. Utiliza el generador y
FUNCIONES para poner los límites de integración y rellena los apartados:
Intervalos de las: zonas huecas .¿? ; zona maciza ¿? ; Integrales de la: 1ª zona hueca
¿?
zona maciza. ¿?; 2ª zona hueca ¿? ;Masa del material utilizado ¿?
Capacidad de la copa hasta x=5 ¿?.
Tema 3. Problemas de diseño
La experimentación matemática es una de las actividades que menor atención reciben
en los currículos y, sin embargo, son las que despiertan mayor interés en los alumnos
y con las que mejor suelen captar el “funcionamiento matemático”. Aquí se va a
hacer una actividad de este tipo utilizando el programa FUNCIONES
Determinación de funciones conociendo el volumen. Solución del problema 4. La
propuesta de este problema persigue dos objetivos perfectamente diferenciados: por
una parte, se trata de que los alumnos experimenten con el programa FUNCIONES (o
con otro similar) y determinen funciones, cuyas gráficas puedan dar lugar a envases
atractivos y que cumplan las condiciones del enunciado, lo que supone hacer un
análisis de los efectos de los coeficientes, de factores, potencias, sumandos, etc., y,
por otra, una vez considerada una función adecuada se trata de aplicar el “Teorema
Fundamental del Cálculo” y hacer los cálculos y ajustes finales. El problema es
totalmente abierto y una vez que se ha encontrado una función, que puede depender
de un parámetro para ajustar la capacidad del tarro, se puede utilizar el generador de
volúmenes para visualizarlo.
Aquí se ha considerado una función polinómica, f(x)=a·(x-0´1) 2 ·(x-1) 2 ·((x-
2) 4 -0´04)+0´31, pero el grado del polinomio indica que un tratamiento manual de la
523

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
misma es poco recomendable. Nuevamente se puede aplicar software elemental para
resolver el problema. Ensayando de forma directa con el programa FUNCIONES,
enseguida se obtiene un valor para el parámetro a con el que la capacidad del
volumen de revolución de la botella en el intervalo [0,2] está muy próximo a los 0,75
l. Haz los ensayos correspondientes y escribe los resultados encontrados: Parámetro
a= ¿? . .Volumen que corresponde a este parámetro V=. ¿?
También con EXCEL se resuelve este problema, ya que se puede hacer la suma de
Riemann sin el factor a y después hallarlo. Denotando por H(x)=(x-0´1) 2 ·(x-1) 2 ·((x-
2) 4 -0´04) y por K=0´31, es claro que f(x)=aH(x)+K y, para h=0.025, las sumas de
Riemann dan la siguiente fórmula para calcular el volumen:
524
n
∑
2 2
2
V ≈ π ( a H ( α ) + 2aH
( α ) K + K ) h
1
i
En la práctica se calculan αi, H 2 (αi), H(αi), y se halla el valor de a resolviendo la
correspondiente ecuación de segundo grado. La tabla esboza este procedimiento (se
deben llenar 2/0.025 celdas con los puntos medios αi de los intervalos de la partición)
y se presentan los resultados. Para evitar cálculos innecesarios se divide por hπ el
volumen de la botella. En la ultima columna se muestra la ecuación de segundo
grado, cuya solución resuelve el problema. Utiliza EXCEL y rellena las
correspondientes celdas de la tabla siguiente.
i αi H 2 (αi) H(αi)
1 0´0125
2 0,00286585
3 0,01076785
... ... ...
79 1´9625
80 0,01931148
Sumas ΣH 2 (αι)= ΣH(αi)=
i
.
h=
P=ΣH 2 (αi)
P=
Q=2KΣH(αi)
Q=
R=K 2 -0´75/hπ
R=
a 2 P+aQ+R=0
a=
Centros de masas. Solución del problema 5. Los alumnos estudian el concepto de
centro de masas (cdm) en Física, y si cuando llega la aplicación a problemas reales
los matemáticos no lo hacemos en el aula, entonces estamos cercenando las
posibilidades curriculares y devaluamos el carácter instrumental de la matemática,
que es uno de los fines del Currículo Español de Matemáticas y uno de los pilares de
la Matemática Aplicada. Aunque en España no se suelen resolver problemas como
éste en las aulas de matemáticas, yo creo que no pueden obviarse, ya que es otro claro
exponente de la importancia de esta disciplina como ciencia resolutora de problemas
de la vida ordinaria. Sin embargo, para que los alumnos puedan comprenderlos y
hacerlos suyos hay que enlazarlos con los conceptos físicos que han estudiado, y
justificar los resultados que se van a aplicar. Se comienza determinando las
coordenadas de los centros de equilibrio de sistemas discretos sencillos y
generalizarlo a la integral.
1. El formado por 3 masas puntuales sobre una barra recta de masa despreciable.
El momento de las tres masas sobre el origen (que coincide con el punto de apoyo)
es: M0=m1x1+m2x2+m3x3. Si M0=0, el sistema está en equilibrio estático.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
El centro de masas es el punto x , donde se colocaría el punto de apoyo para obtener
el equilibrio estático. Es como si se colocara toda la masa en él, y si el punto de
apoyo se desplazara a x , entonces M0=m1(x1- x )+m2(x2- x )+m3(x3- x )=0 y, por tanto,
m 1 x1
+ m 2 x 2 + m 3 x 3
x =
m 1 + m 2 + m 3
2. El formado por 3 masas puntuales unidas por 3 barras coplanarias de masas
despreciables.
La deducción es similar a la anterior, figura 16, pero ahora hay que contemplar las
dos coordenadas:
m1x1
+ m2
x2
+ m3x3
x = ,
m1
y1
+ m2
y2
+ m3
y3
y =
m1
+ m2
+ m3
m1
+ m2
+ m3
3. El formado por n masas puntuales situadas en un plano es análogo al anterior.
Σmi
xi
x =
Σm
i
Σmi
y
y =
Σm
b
4. El formado por una lámina plana de densidad uniforme, δ, simétrica
2
respecto del eje de ordenadas, figura 17.
∫ f ( ci
) dx
a y =
(**)
2Área
El problema 5 tiene una simetría en el eje de ordenadas y por esta
2 2
simetría x =0 e y se calcula aplicando (**) a la función f ( x)
= 120 − x en el
intervalo [-R, R]. Escribe la relación correspondiente y calula el valor de y . ¿?
La simetría de la plataforma también habría permitido integrar la función en [0, R]
para calcular y .
Escribe la relación que permite hallar el momento, Mg, de la galleta respecto del
borde externo de la pared en función de δ. Mg = ¿?
El cdm de las cargas de la pared es (0, -20) y, esto permite hallar el momento, Mp, de
las cargas de la pared de altura h (incluidos los 20 cm de forjado) respecto del borde
externo de la misma. Escribe la relación en función de ρ y de h. Mp = ¿?
Por tanto, la construcción será estable si Mp>Mg, lo que permite calcular la altura
mínima, h, que debe de tener la pared. Hállala y escríbela aquí: h > ¿?
Ten en cuenta la simetría, considera 220 intervalos de la misma amplitud, escribe la
sucesión de estos intervalos y la de sus puntos medios de los intervalos, finalmente,
halla el valor de y con la hoja de calculo y escríbelo aquí: y = ¿?
Bibliografía
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i
i
525

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526

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
PROPUESTA METODOLÓGICA PARA APRENDER A RESOLVER
PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Isabel Santiesteban y Maricela Rodríguez
Centro Universitario de Las Tunas, Cuba.
isasp@ult.edu.cu
Resumen
Se ofrece una propuesta metodológica con experiencias de aprendizajes duraderas que se auxilian de la
resolución de problemas matemáticos para favorecer el aprendizaje significativo en los estudiantes de
la Enseñanza Media Básica en Cuba, fundamentada en los más actuales criterios de las teorías del
aprendizaje relacionadas con la superación de los docentes.
Introducción
Una dificultad constante de los estudiantes de la Enseñanza Media Básica en Cuba es
el incumplimiento de objetivos de la Matemática, sobre todo, los destinados a la
resolución de problemas. Se han hecho varios intentos por mejorar esos resultados; el
último de ellos esta relacionado con las transformaciones de los nuevos programas,
donde la primera de ellas se refiere a la presentación y tratamiento de los nuevos
contenidos a partir del planteamiento y resolución de problemas cotidianos. Esto se
debe a que la resolución de problemas es el proceso por el que los estudiantes
experimentan la potencia y la utilidad de las matemáticas en el mundo que les rodea.
Además de ser un modelo de indagación y aplicación integrado, con el objeto de
ofrecer un contexto sólido para el aprendizaje y la aplicación de las matemáticas. Sin
embargo, se considera que los docentes no se encuentran suficientemente preparados
para asimilar los cambios, ya que en sus clases, crearon un esquema difícil de variar y
en su formación no se le exigía la elaboración creadora de situaciones problémicas al
introducir los nuevos contenidos y la aplicación de estos a situaciones concretas de la
vida. La propuesta que se propone está dirigida a tratar de enmendar los problemas y
deficiencias que se ponen de manifiesto en el proceso de asimilación del
conocimiento en particular, y en el desarrollo de una adecuada instrucción heurística
que contribuya al desarrollo de habilidades, al resolver problemas en la enseñanza de
la Matemática.
Desarrollo
Para introducir este tipo de instrucción en la enseñanza de la Matemática en la
Enseñanza Media Básica, se ha seleccionado la situación típica “resolución de
problemas”, por ser la que brinda las mayores posibilidades para desarrollar
habilidades en los estudiantes al indagar, investigar, debatir sus propias ideas, y
desarrollar su espíritu crítico y autocrítico; lo que propicia la independencia
cognoscitiva y su aplicación a situaciones concretas de la vida.
La propuesta metodológica tiene las siguientes características:
1. El trabajo está estructurado sobre la base del diagnóstico, tanto en la esfera
cognitiva como en la afectiva, tomando como líneas principales el aprendizaje
cooperativo. De este modo propicia el intercambio franco y abierto entre
estudiantes
527

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
2. El papel del docente es primordial, pues además de diseñador, es facilitador,
supervisor y controlador durante todo el proceso de enseñanza-aprendizaje.
3. Aparecen diferentes elementos de formación como son: teoría, práctica etc, con
lo que se propicia que se contribuya al logro de los objetivos formativos.
4. El estudiante además de participar activamente en la construcción de su propio
conocimiento, propicia la construcción del conocimiento de sus semejantes,
cuando trabaja en equipos.
5. Se le propone a los estudiantes situaciones problémicas con distintos grado de
dificultad, en las que los conocimientos matemáticos a aplicar estén en
correspondencia con los contenidos del grado, y se presten a la particularización y
la generalización.
6. Se les pide a los estudiantes que traten de registrar el proceso de resolución con la
mayor cantidad posible de datos y que reflexionen sobre el proceso seguido.
7. Se propicia la discusión en grupo donde se hacen explícitas las ideas, estrategias,
razonamientos, bloqueos, etc, presentes en el proceso de resolución.
Sintaxis de las etapas propuestas.
La primera etapa (Introducción) estará dedicada a crear un clima apropiado entre
docentes y estudiantes, que facilite la comunicación. Además estará caracterizada por
tres momentos: motivación, familiarización e identificación.
En el primer momento, de motivación es para despertar el interés de los estudiantes al
resolver problemas y de entrenamiento en los conocimientos necesarios para
enfrentarlos, empleando técnicas participativas, medios de enseñanza y juegos
didácticos. La familiarización con las acciones y los heurísticos seleccionados, donde
se hace la introducción a través de la resolución de problemas, empleando el programa
heurístico general seleccionado; se utilizará como estrategia didáctica la hoja de
trabajo, donde aparecen los impulsos que se relacionan con los diferentes heurísticos.
Estos se elaboran y aplican teniendo en cuenta el nivel de razonamiento de los
estudiantes.
En el segundo momento, se declarará de forma explícita, los procedimientos
heurísticos y las acciones con los cuales se está trabajando, empleando varias hojas de
trabajo, con la finalidad de familiarizar a los estudiantes con las preguntas que se
relacionan con los diferentes procedimientos heurísticos que se propone introducir;
para que los estudiantes puedan aplicarlos a la resolución de problemas dirigidos por
el docente y con posterioridad los empleen de forma independiente.
Después se orientará la confección de una ficha donde aparezca el conjunto de
acciones fundamentadas en los procedimientos heurísticos introducidos, para su
trabajo en el próximo momento.
El tercer momento o de identificación de los procedimientos heurísticos empleados
en la resolución de los ejercicios. Los estudiantes deben identificar cuales
procedimientos han empleado en la resolución de los problemas, bajo guía del
docente, primeramente y luego de forma independiente. Para esta identificación
emplearán la ficha elaborada con anterioridad.
Se considera concluida esta etapa cuando los estudiantes son capaces de identificar
y aplicar los procedimientos heurísticos en la resolución de problemas.
528

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
La segunda etapa (Ampliación), cuenta con dos nuevos momentos, los que están
dirigidos a que los estudiantes desarrollen habilidades en la elaboración de
estrategias, empleando los procedimientos heurísticos, para la resolución de
problemas. Los dos momentos de esta etapa son: elaboración de estrategias en
colectivo y elaboración de estrategias individuales. Se auxilian del protocolo de
resolución y la reflexión sobre el proceso de resolución.
En el primer momento se utiliza la estrategia didáctica, el protocolo de resolución,
para explicar las ideas que se consideren importantes en el curso de la resolución,
lo que se intenta hacer y su parecer sobre todo ello. En la resolución de problemas
en grupo un estudiante hace de secretario y registra el proceso de resolución. Estos
protocolos favorecen la retrospección e introducen un elemento de control en el
proceso.
Como los estudiantes han elaborado protocolos de resolución, se entrevista a los
participantes pidiéndoles que cuenten el proceso y digan su percepción del mismo,
donde se ponen en común, analizando las ideas que los conducen a la solución y
los bloqueos que les impidan llegar al final, de esta manera ocurre la reflexión
sobre el proceso seguido.
Se considera concluida esta etapa cuando los estudiantes son capaces de resolver
ejercicios de forma independiente y explicar el uso del conjunto de acciones
fundamentadas en los heurísticos para su resolución.
La tercera etapa de la estrategia, (Aplicación), estará dirigida fundamentalmente a
que los estudiantes propongan problemas confeccionados por ellos, relacionados
con los contenidos propios de la matemática, con las sugerencias del docente a
partir de problemas abiertos, que propician la investigación en grupos, aquí se
utiliza la estrategia didáctica trabajo en grupo, para seguir la metodología de
trabajo propuesta ayudado por un moderador o moderadora y un secretario o
secretaria, que toman las notas y las ideas del proceso de resolución. Esto hace
posible la discusión al final de la sesión sobre el comportamiento seguido, donde
el que dirige la actividad, no ofrece ninguna respuesta ni da opinión.
Al alcanzar esta etapa, dirigirán la actividad práctica y confeccionarán problemas
que pueden ampliar su campo de aplicación a otras asignaturas en colectivo e
individualmente.
Se considera concluida la etapa cuando los estudiantes elaboran problemas para
sus compañeros de grupo.
Algunos ejemplos para trabajar con la propuesta.
El contenido para 7 mo grado comienza con la Unidad # 1 El significado de los números.
El docente aprovecha las oportunidades que ofrece la teoría de números para realizar
exploraciones que son interesantes, amenas y útiles. Estas indagaciones inciden en la
resolución de problemas, la comprensión y desarrollo de otros conceptos matemáticos,
la demostración de la belleza de las matemáticas y la comprensión de los aspectos
humanos del desarrollo histórico de los números.
Se utilizan las potencialidades de la teoría de los números para resolver diversos
problemas de interés para los estudiantes auxiliándose de técnicas participativas y
juegos didácticos como los siguientes.
Se les sugiere a los estudiantes, la posibilidad de realizar un brindis en la escuela,
529

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
con la necesidad de que traigan un dulce, preferentemente panetela o pudín. Más
tarde en el aula se conforman equipos con distintos números de estudiantes, se les
propone que repartan el dulce en cada equipo a partes iguales, y expliquen las
conclusiones a las que han arribado.
Se sugiere el juego “Estima y aproxima”.
El docente reparte en el aula hojas de trabajo, donde cada una tiene el precio de un
producto distinto que se oferta en el mercado y un descuento en particular dado en
porcentaje, por ejemplo: ($10,95; 15%). Luego reparte calculadoras en el grupo y
cada jugador tiene que hacer una estimación del precio final con el descuento.
El jugador que se haya acercado más al precio real será el ganador.
Otro aspecto que resulta de gran interés para los estudiantes, son las estadísticas del
deporte, con datos reales donde puedan generar datos nuevos e investigar toda una
gama de conjeturas.
El docente presenta una hoja de trabajo con la información de los resultados
estadísticos de un juego de baloncesto de la siguiente forma:
530
Jugador Minutos Canastas/ Rebotes Pases Puntos
juego intentos
A 37 8/19 8 5 20
B 34 8/14 1 12 19
C 31 8/14 6 9 19
D 32 10/16 9 0 26
Utilizando la hoja de trabajo los estudiantes pueden generar información nueva como
puntos/minutos, puntos/intentos, o ¿Qué jugador tiene el mejor porcentaje?
También con otros datos pueden hallar la altura de cada jugador y determinar los
rebotes/centímetros de altura de cada jugador o los puntos/centímetros de altura.
Este problema abre ante los estudiantes un mundo de preguntas, donde los mismos
desarrollan las habilidades al recoger, organizar, elaborar e interpretar tablas y gráficos
para formular inferencias y argumentos convincentes que se basen en el análisis de
datos.
La Unidad #2 Lenguaje de las variables, donde se sugiere la traducción de situaciones
de la vida al lenguaje algebraico.
Sugerimos utilizar el juego didáctico “Buscando Sinónimos”, para ejercitar la
traducción del lenguaje común al algebraico o viceversa.
Buscando sinónimos. Se forman equipos en dependencia de la cantidad de estudiantes
en las aulas y se entrega un listado de palabras o expresiones a todos los alumnos. El
docente presentará una palabra o expresión y pedirá sinónimos o expresiones que
signifiquen lo mismo y lo que han interpretado. Los estudiantes contestarán de forma
individual y su calificación será para el equipo.
Con este juego el estudiante aprende a modelar situaciones usando métodos orales,
escritos, gráficos y simbólicos.
Otro ejemplo podría enfocarse de la siguiente forma.
Piensa en un número. Añádale cinco. Multiplica el resultado por dos. Réstale cuatro.
Divídelo por dos. Réstale el número que habías pensado al principio. Verás como te
leo el pensamiento. El resultado es tres.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Este ejemplo ilustra el papel que cumplen los símbolos escritos en la representación
de ideas, cuestión esta que se recomienda utilizar a lo largo de toda la Enseñanza
Media Básica. Los estudiantes aprenden a usar un lenguaje preciso en conjunción con
los sistemas simbólicos especiales de las matemáticas.
En el 8 vo grado a los estudiantes se les prepara para utilizar modelos gráficos lineales
o bidimensionales para mostrar relaciones que impliquen números que se amplían de
coordenadas naturales a racionales, como el siguiente ejemplo.
El docente muestra en hojas de trabajo las estadísticas de la lluvia que cae en las
provincias Orientales del país, durante los meses transcurridos en el año. Los
estudiantes deben realizar una gráfica.
Se auxilian de las estrategias didácticas el protocolo de resolución y la reflexión
sobre el proceso seguido, el docente dirige la discusión sobre la época de siembra de
determinado producto en dependencia de la provincia que se analice, la época para
visitar las playas y determinados centros turísticos, la temporada de ciclones, etc.
En la Unidad #2 Igualdades que contienen variables. El docente se auxilia del
principio heurístico de analogía para resolver ecuaciones lineales de la forma ax+b=c
(a,b,c racionales con a ≠ 0 ) donde se establecen conexiones con las ecuaciones
tratadas en 7 mo grado. Y auxiliándose del principio de reducción llevar el
procedimiento a una ecuación de la forma ax=b (a,b racionales con a ≠ 0 ).
Este contenido es muy apropiado para que los estudiantes desarrollen habilidades al
modelar muchos problemas de forma concreta, recoger y organizar datos en tablas,
representar datos etc.
Como los estudiantes se han apropiado del conocimiento desde el grado anterior. El
docente utiliza las estrategias didácticas: el protocolo de resolución, la reflexión
sobre el proceso de resolución y el trabajo en grupos, de forma tal que las tareas del
grupo sean de manera que los estudiantes se dediquen a la resolución y discusión de
forma cooperada y además, siempre que sea posible utilicen la tecnología disponible.
Para introducir las ecuaciones lineales de la forma ax+by=c (con a,b,c racionales y
a ≠ 0 ) se emplea el juego didáctico “Buscando Sinónimos” para facilitar la
traducción del lenguaje común al algebraico de situaciones en las que se emplean dos
variables en una sola ecuación lineal.
El docente hace notar por medio de preguntas, que este tipo de ecuaciones tienen
infinitas soluciones en el conjunto de los números racionales y que se necesitaría una
segunda ecuación, de manera que se introduzcan los sistemas de ecuaciones lineales
en dos variables a partir de la recopilación de datos de la vida práctica.
No todos los problemas requieren un contexto del mundo real. Por el contrario, los
estudiantes se apasionan a menudo con problemas que cuentan una historia, donde el
docente se puede auxiliar de técnicas participativas, con el propósito de motivar y
despertar el interés por las matemáticas.
Un ejemplo de lo planteado anteriormente puede ser la dramatización como técnica
participativa, donde a partir de ésta queda en el aula una situación problémica como
la siguiente.
El docente narra la historia:
Andando por el desierto nómadas que cargaban sobre sus cabalgaduras sendos sacos de mercancía
para venderlas en los sitios por los cuales vagaban. Uno de caballo negro y otro de caballo blanco.
Estudiante # 1 (hombre del caballo negro). -Huf, no puedo más este sol sofoca mi
cabalgadura.
531

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Estudiante # 2 (hombre del caballo blanco). –Tienes que ser más voluntarioso, amigo.
Estudiante # 1 -Tú sin embargo no pareces cansado. Hagamos un trato. ¿Por qué no
tomas tú uno de mis sacos y me lo llevas en tu cabalgadura?
Estudiante # 2 -Oh amigo, eso no puede ser.
Estudiante # 1 -¿Por qué no?
Estudiante # 2 –Porque si yo tomo uno de tus sacos entonces yo tendré el triplo de la
cantidad de sacos que tienes tú, sin embargo si tu tomas uno de los míos entonces
ambos tenemos la misma cantidad de sacos.
Se aprovecha la ingeniosidad del problema para la solución de un sistema de dos
ecuaciones con dos variables.
En el 9 no grado se pueden analizar ejemplos que ilustran situaciones abiertas de
problemas donde los estudiantes se auxilian de la estrategia didáctica trabajo en
grupos para elaborar problemas y despliegan diversas estrategias.
Se realizó una encuesta entre estudiantes de la enseñanza media del municipio Tunas para determinar
el número de horas diarias que estudian. ¿Cuántas horas crees que salieron?
En el problema siguiente, los estudiantes tienen que generar, organizar y analizar
datos, buscar patrones que hayan observado para aplicar el principio heurístico de la
generalización
En un pueblo hay 3 calles. Todas las calles son rectas. Cada cruce tiene una farola. ¿Cuántas farolas
se necesitan? ¿Cuántas hacen falta en un pueblo de 20 calles? Generaliza para cualquier número de
calles?
Los estudiantes deben realizar un croquis o figuras de análisis para responder a la
cuestión de cómo están dispuestas las calles antes de resolverlo. Esto genera una
diferenciación de casos y diversas estrategias de solución.
Conclusiones
La propuesta metodológica contribuye por una parte, a que los estudiantes se
apropien de un conjunto de acciones al resolver problemas, y por otra, a que esta
acción se revierta favorablemente en la asimilación de los contenidos de la
Matemática que se imparten en Enseñanza Media Básica. Es aplicable ya que tiene
en cuenta los programas vigentes, parte del diagnóstico de la práctica escolar, la
asequibilidad de la enseñanza y la elevación continua de los niveles de dificultad.
El entrenamiento de los estudiantes en el uso de un conjunto de procedimientos
heurísticos se puede convertir a partir de una correcta concepción y organización del
proceso docente-educativo, en una vía de inestimable valor si se pretende que el
estudiante aprenda a buscar por sí mismo el nuevo conocimiento.
Las orientaciones metodológicas se han elaborado con el propósito de que sirvan
fundamentalmente como guía orientadora para dirigir desde el punto de vista
metodológico y heurístico, el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
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533

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
MÉTODOS NUMÉRICOS: UN ENLACE ENTRE EL CÁLCULO Y LA
MATEMÁTICA DISCRETA
Edison De Faria Campos
Universidad de Costa Rica, Costa Rica
edefaria@cariari.ucr.ac.cr
Resumen
En este artículo destacamos la importancia de los métodos numéricos como un elemento integrador
entre el cálculo diferencial e integral, el álgebra lineal y la matemática discreta. Trataremos con
métodos clásicos para la búsqueda de raíces de ecuaciones algebraicas, integración numérica mediante
sumas de Riemann y métodos de Monte Carlo, curva de ajuste vía regresión y fractales. Utilizaremos
las potencialidades de programación y del sistema computacional algebraico (CAS) de la calculadora
graficadora voyage 200 para desarrollar las aplicaciones y los programas correspondientes.
Introducción
Las Escuela de Matemática y de Ciencias de la Computación e Informática de la
Universidad de Costa Rica iniciaron durante el año 2002 un proceso de revisión de
los cursos de matemática para computación, tendiente a adecuar los contenidos de los
cursos a las necesidades reales de la carrera, incorporar las nuevas tecnologías de la
información y comunicación como herramientas didácticas, y desarrollar proyectos
conjuntos entre los docentes de las dos escuelas.
Los argumentos utilizados para proponer una reforma curricular fueron los siguientes:
1. Falta de conocimientos básicos que presentan los estudiantes al ingresar a la
Universidad. Esto lleva a un alto nivel de deserción y de reprobación en los
primeros cursos de matemática. Hemos sugerido un examen de ubicación para
determinar las deficiencias matemáticas en los estudiantes y la necesidad de
ofrecer un curso de nivelación para aquellos que presenten deficiencias en el
manejo de los conocimientos básicos de matemática.
2. Falta de correlación entre los contenidos desarrollados en los cursos de
matemática y los cursos propios de la carrera de computación. En este sentido
hemos sugerido la introducción de ejes transversales que relacionen los
contenidos de ambas disciplinas y la formación de una comisión compartida
para la búsqueda de temas y metodologías adecuadas que permitan obtener este
acercamiento.
Entre los ejes transversales hemos propuesto los métodos numéricos, pues estos
permiten establecer un puente entre lo continuo y el discreto.
3. Ausencia del uso de tecnologías. Creemos que el uso de tecnologías digitales en
los cursos de matemática para computación facilitará el trabajo en conjunto de
las dos disciplinas, logrará un aprendizaje significativo y funcionará como un
elemento motivador para los estudiantes de computación (Noguera, 1998).
4. Exceso de contenidos. Sugerimos una reducción de los contenidos y una mayor
profundización en aquellos que consideramos pertinentes.
5. Énfasis en procesos memorísticos. Llegamos a un consenso de que el énfasis
debe de ser puesto en conjeturar, desarrollar habilidades superiores del
pensamiento y resolver problemas (De Faria, 1998).
534

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Las actividades propuestas en este curso corresponden a los contenidos de
Matemática para Computación 2,3 y 4 (siglas MA0229, MA 0329, MA0429):
Cálculo Diferencial e Integral para funciones de una variable, Cálculo Diferencial e
Integral para funciones de varias variables y Álgebra Lineal y procuran hacer el
enlace entre el cálculo continuo y el discreto.
Actividad 1 : Raíces de la ecuación f ( x)
= 0
Objetivo: Programar el algoritmo de bisección, para determinar las raíces de
ecuaciones algebraicas.
En esta actividad programaremos algunos de los algoritmos clásicos para determinar
el valor aproximado de una raíz de una ecuación de la forma f ( x)
= 0.
1. Método de bisección.
Este método se basa en el teorema del valor medio (Bolzano): Si f es continua en
el intervalo [ ab , ] tal que f ( a)
y f ( b)
tienen signos opuestos (es decir f ( a)
f ( b)
< 0 )
p ∈ a,
b tal que f ( p)
= 0.
El método de
entonces existe (al menos) un número ] [
bisección requiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de [ ab , ] y, en cada
paso, localizar la mitad que contenga p. Para simplificar supongamos que existe una
única raíz en [ ab , ] , y construyamos las siguientes sucesiones:{ a n}{
, bn}{
, pn
} con
a1
+ b1
a 1 = a , b1
= b,
p1
= . Si f ( p1
) = 0 tome p = p1
. Caso contrario f ( p1)
tiene el
2
mismo signo de f ( a1)
o de f ( b1
) . Si f ( p1
) f ( a1)
< 0 entonces ] 1, 1[.
p a p ∈ En este
caso tomamos a 2 = a1,
b2
= p1.
Repetimos el procedimiento en el intervalo [ 2 , 2 ]. b a .
Caso contrario, ] 1 1[
,b p p ∈ y a 2 = p1,
b2
= b1
y repetimos el procedimiento en el
intervalo [ 2 , 2 ]. b a . Podemos utilizar alguno de los siguientes criterios de paro. Dado
ε > 0 detenga cuando:
1. p p ≤ ε
n − n−1
n − pn−1
2.
p
pn
≤ ε , pn
≠ 0
3. ( n ) ≤ ε p f
4. Cuando se ha alcanzado un número máximo de iteraciones
predefinido, n = N.
De esta forma hemos transformado un problema de calcular las raíces de una función
continua definida en un intervalo compacto en un problema discreto que consiste en
determinar los valores de { } n
p n , entero positivo tal que se cumpla la condición de
paro.
535

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Código del programa bisección (Para la calculadora Voyage 200)
(Digitar las instrucciones separadas por / en cada línea por separado)
bisecar( ) / Prgm / Local ex, aa, bb, ee, mm, n, p / Dialog / Title
“bisección” /
Request “función f(x)=”,ex / Request “extremo inferior a=”,aa / Request
“extremo superior b=”,bb / Request “tolerancia e=”,ee / Request
“Num. Máx. Iterac.=”,mm /
EndDlog / expr(ex) → ex / expr(aa) → aa / expr(bb) → bb /
expr(ee) → ee /
expr(mm) → mm / ClrIO / 0→ n / If (ex|x=aa)*(ex|x=bb)>0 Then
/
Disp “el método no se aplica en [ ab , ] ” / Stop / EndIf / If
abs(ex|x=aa)

2.
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
3. La barra de herramientas ha cambiado como en otros editores y ahora nos permite
seleccionar las instrucciones de entrada salida o de control.
4. Digite el código del programa bisecar.El comando exp(string)⇒ expresión
devuelve la cadena de caracteres contenida en string como una expresión y la
ejecuta inmediatamente.El símbolo → se obtiene al presionar la tecla ♣
Para poner comentarios presione 2 X. Aparecerá e símbolo de comentario ƒ.
El símbolo ⊆, tal que, se obtiene al presionar 2 K.
5. Ejecutar el programa.
Actividad 2: Raíces de la ecuación f ( x)
= 0
Objetivo: Programar el algoritmo de Newton-Raphson, para determinar las
raíces de ecuaciones algebraicas.
Método de Newton-Raphson
537

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Para determinar una raíz de la ecuación f ( x)
0,
x ∈ [ a,
b]
[ a, b]
. Consideremos la sucesión { n}
p 0 ∈ [ a,
b]
una aproximación inicial para la raíz, y { 1}
538
= , con f diferenciable en
p construida de la siguiente forma: Sea
p el punto en dónde la recta
tangente a la curva y = f (x)
en el punto p , f ( p )) corta el eje x . La pendiente de
la recta tangente es
f ´ ( p
0
)
f ( p
)
( 0 0
0
= , si 1 p0
p0
− p1
p ≠ . Despejando p 1 obtenemos:
f ( p0
)
p1 = p0
− si f ´ ( p0
) ≠ 0.
Si repetimos el procedimiento y trazamos la recta
f ´ ( p )
0
tangente a la curva en el punto ( p 1,
f ( p1))
y si ´ ( 1) 0 ≠ p f entonces dicha recta
f ( p1)
tangente cortará el eje x en el punto p 2 tal que p2 = p1
− si ´ ( 1) 0.
f ´ ( p1)
≠ p f De
esta forma construiremos recursivamente la sucesión
⎧ p
⎪
⎨
⎪
p
⎩
0
n+
1
aproximación
inicial
f ( p ) si
n
= pn
−
f ´ ( p )
n
f ´ ( p ) ≠ 0,
n ≥ 0
Este es el método de Newton-Raphson para aproximar una raíz de la ecuación
f ( x)
= 0,
x ∈[
a,
b].
Código del programa Newton (para la calculadora Voyage 200)
(Digitar las instrucciones separadas por / en cada línea por separado)
newton( ) / Prgm / Local ex, x0, ee, mm,n, p / Dialog / Title
“newton” /
Request “función f(x)=”,ex / Request “valor inicial x0=”,x0 /
Request “tolerancia e=”,ee / Request “Num. Máx. Iterac.=”,mm / EndDlog
/
expr(ex) → ex / expr(x0) → x0 / expr(ee) → ee / expr(mm) → mm /
ClrIO /
0 → n / x0 → p / While nee /
x0-(ex|x=x0)/(nDeriv(ex,x)|x=x0) → p / n+1 → n / If abs(ex|x=p)

2. Digite el programa.
3. Ejecute el programa.
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Actividad 3: Sumas de Riemann
Objetivo: Programar el algoritmo sumas de Riemann , para determinar el
valor aproximado de una integral definida.
Sumas de Riemann
Este programa es un poco más complejo que los dos anteriores. El usuario ingresa la
función integrando, el intervalo de integración y el número de subintervalos de la
partición del intervalo dado. Posteriormente el usuario escoge si el punto de cada
subintervalo es e extremo izquierdo, el punto medio o el extremo derecho. Para lograr
esto, se construye un menú con el comando DropDown. Este comando recibe como
entrada un título (hilera de caracteres), una lista con las opciones a seleccionar, y una
variable que contendrá los valores de los parámetros ingresados. Al hacer la partición
el intervalo [ a, b]
y aproximar el área bajo la curva por rectángulos, transformamos el
problema de cálculo del área bajo una curva representada por una función continua
por otro problema de una suma discreta de área de rectángulos.
Código del programa riemann
riemann( ) / Prgm / local a,b,c,h,n,i,r,s,v,x,y,pic1,xf,xa,xb,xn / ClrHome /
Dialog / Text "Sumas de Riemann" / Request "f(x)=", xf / Request "a=", xa /
Request "b=", xb / Request "n=", xn / EndDlog / expr(xa) → a / expr(xb) → b /
expr(xn) → n / expr("Define y1(x)="&xf) / FnOff / ClrDraw / a → xmin /
b → xmax / (b-a)/n → h / h → xscl / FnOn / 1:ZoomFit /
min(0,ymin) → ymin / max(0,ymax) → ymax / DispG / stoPic pic1 /
While n>0 / Dialog / Text "Número subdivisiones" / Request "n=", xn /
Text "Seleccionar puntos" / DropDown "Posición", {"Inicio","Centro","Fin"},c /
EndDlog / expr(xn) → n / setMode("Exact/Approx","APPROXIMATE") /
FnOff / ClrDraw / RclPic pic1 / (b-a)/n → h / a → x /
a+(c-1)*h/2 → v / 0 → s / For i,1,n / y1(v) → y / s+y*h → s /
Line v,0,v,y / Line x,0,x,y / Line x,y,x+h,y / Line x+h,y,x+h,0 /
PxlText " ",5,5 / PxlText "Σ="&string(s),5,5 / x+h → x / v+h → v /
EndFor / ∫(y1(x),x,a,b) → r / PxlText "∫f(x)dx="&string(r),15,5 /
PxlText " Error="&string(s-r),25,5 / setMode("Exact/Approx","AUTO") / Pause /
EndWhile / EndPrgm
Pasos
Abra el editor de programas. Abra un nuevo programa, y digite riemann en el campo
correspondiente al nombre del programa.
Digite el programa.
Ejecute el programa.
Algunas otras actividades que vimos en el curso pero que no podemos describirlas
completamente por falta de espacio son:
Actividad 4: Fractales
539

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Objetivo: Programar Sistemas de Funciones Iteradas (IFS), como una aplicación
de transformaciones lineales.
Actividad 5 : Regresión lineal
Objetivo: Obtener curvas de mejor ajuste para un conjunto de datos.
Actividad 6: Integración numérica por métodos de Monte Carlo
Objetivo: Aproximar integrales mediante métodos de Monte Carlo (simulación)
Actividad 11 : Multiplicadores de Lagrange
Objetivo: Programar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver
problemas de máximos y mínimos para funciones de varias variables con
restricciones.
Conclusiones
Creemos que la introducción de los métodos numéricos como un eje transversal en
los cursos de matemática para computación servirá de motivación para los y las
estudiantes y funcionará como un elemento de enlace entre las matemáticas y los
cursos de programación propios de la carrera. Esto también permitirá la utilización
de tecnologías digitales para programar los algoritmos correspondientes y abrirá
nuevas vías de diálogo entre los docentes de ambas disciplinas. Finalmente, podemos
aprovechar el potencial de las tecnologías digitales para profundizar el estudio de
ciertos contenidos de los cursos mencionados e introducir aplicaciones novedosas
como por ejemplo los fractales, integración mediante simulación, regresión y
modelización mediante ecuaciones en derivadas parciales.
Bibliografía
Castillo W., González J., Arce C. (1997) Álgebra Lineal. Universidad de Costa Rica. páginas 235, 236.
De Faria E. (1998). Calculadoras gráficas, geometría y el constructivismo. Costa Rica: Revista
Innovaciones Educativas, año V, No. 9, EUNED.
Noguera, N. (1998). A Description on Tenth Grade Student’s Attitudes and Cognitive Development
When Leaning Algebra Using Symbolic Manipulators (TI-92’s). Tesis. Ohio: Ohio
University.
540

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
542
LA FORMACIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN EN ALUMNOS DE
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
S. R. Velázquez, C. Flores, G. García, H. Hesiquio, E. Gómez y M. Gutiérrez
Centro de Investigación y Desarrollo Educativo y Universidad Autónoma de
Guerrero.
sramiro@galeana.uagfm.mx
Resumen
En este artículo se describe la realización de un taller cuyo diseño responde al marco de una
investigación en proceso, que explora los saberes que sobre el concepto de función tienen los alumnos
de educación media superior (EMS) y pretende analizar los efectos que presenta la puesta en escena de
situaciones didácticas sobre la formación del concepto de función. En la primera etapa de la
investigación se están explorando dichos saberes en 30 alumnos de EMS y 10 de los primeros
semestres de la licenciatura en matemáticas en Acapulco, Guerrero, México. También se han diseñado
situaciones didácticas para abordar este concepto, a fin de que se instrumenten en la escuela. Con estos
avances se estructuró el taller para interesados en este campo y realizado en Relme 17 con la
participación de siete profesores.
Introducción
Diversas investigaciones en el campo de la Matemática Educativa constatan que los
alumnos no tienen una comprensión cabal de este concepto que es fundamental para
la construcción de conocimiento matemático y para desempeñarse con éxito en las
diferentes ciencias. Por su parte los profesores tienen dificultades para hacer una
representación cordinada de este concepto, en varias cuestiones se guían por la forma
y no por el contenido y hacen una interpretación inadecuada de las producciones de
los alumnos en esta temática (Hitt, 1996).
Se considera que es posible diseñar e instrumentar situaciones didácticas (Brousseau,
1983) en las que los alumnos realicen diversas tareas matemáticas para que formen el
concepto de función. De modo que sean capaces de realizar una representación
cordinada de este concepto (Duval, 1998), modelen diversos fenómenos y resuelvan
problemas en los que se reflejen las 4 categorías que se consideran necesarias para la
comprensión de un concepto. Estas son la identificación, discriminación,
generalización y síntesis (Sierpinska, 1991).
En esta presentación se propone un taller dirigido a estudiantes y profesores
interesados en la Matemática Educativa, en el que se analicen las dificultades y
errores asociados de los alumnos al abordar estos contenidos y diversas situaciones
didácticas que pueden promover la formación del concepto de función.
Antecedentes de la investigación en curso
Descripción del problema
El problema de investigación consiste en que los alumnos del nivel medio superior no
tienen una comprensión cabal del concepto de función que es fundamental para la
construcción de conocimiento matemático y para desempeñarse con éxito en las
diferentes ciencias. Existen diversas investigaciones que constatan este problema, a
continuación se describen algunas de las más representativas.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Duval (1998) afirma “…se hace énfasis en que el conocimiento matemático se puede
representar bajo diversas formas semióticas. Pero muy pocos estudios se centran en la
operación de cambiar la forma semiótica mediante la cual se representa un
conocimiento. Sin embrago esta es una operación cognitiva básica”. En esta
afirmación se refleja que la falta de una representación cordinada de contenidos
matemáticos, particularmente, en la formación del concepto de función dificulta su
comprensión y por ende los alumnos no desarrollan la habilidad de visualizar. La
representación cordinada de un concepto está relacionada con la habilidad de
visualizar y consiste en cambiar el registro de cualquier representación semiótica.
Cantoral y Montiel (2002) en un trabajo sobre exploración del concepto de función en
alumnos y profesores afirman que “… el tratamiento del concepto de función ha
provocado que el alumno no desarrolle la habilidad de transitar por las distintas
representaciones del concepto, ni disponga de las herramientas o el lenguaje para
abordar problemas gráficos donde necesite el análisis numérico y algebraico, o
viceversa” . En dicho trabajo se expresan algunas dificultades y errores asociados de
los alumnos al abordar este contenido, como los siguientes: Considera que una gráfica
cartesiana que cambia de pendiente en determinados intervalos no corresponde a una
función, ve varias funciones en funciones discontinuas, asigna una función a cada par
ordenado y representa y une los puntos en el plano en el orden en que están en una
tabla.
Por nuestra parte en un estudio sobre el referido concepto en alumnos de EMS y de
los primeros semestres de la licenciatura en matemáticas, se constata que tienen
dificultades para articular la representación gráfica de una función con un contexto
real. Al plantear actividades con este fin los alumnos se guían por la forma y no por el
contenido como se ve en la fig. 1. Esta situación refleja una falta de significados del
concepto ya que éste tiene grandes potencialidades para la modelación de fenómenos
del medio físico y social.
Considerando el recipiente cuyo dibujo aparece, grafica la expresión que representa el
llenado de un líquido donde la variable independiente representa la altura del líquido
y la variable dependiente el área que ocupa dicho líquido.
Fig. 1
Además tienen dificultades en los subconceptos dominio, rango e imagen. De igual
forma sucede al identificar una función dada la gráfica, como se muestra a
continuación.
543

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Algunos aspectos del marco teórico conceptual
La formación de conceptos es una categoría esencial en la enseñanza aprendizaje de
la matemática, ya que los conceptos constituyen formas fundamentales con las que
opera y se desarrolla el pensamiento matemático. En especial la comprensión del
concepto de función es fundamental para la construcción de conocimiento
matemático y para desempeñarse con éxito en las diferentes ciencias, debido a que
por lo general en toda actividad matemática se establecen relaciones,
correspondencias y funciones. Sobre la base de estas ideas la formación del concepto
de función debe realizarse como un proceso organizado y sostenido que refleje los
objetivos a lograr, los contenidos y el tratamiento didáctico a lo largo de las diferentes
etapas escolares.
En el ámbito de la Matemática Educativa se ha construido un proceso de formación
de conceptos (Arango, 1993) que comprende tres fases principales, como se describen
a continuación: la primera fase es de familiarización con el concepto, que comprende
ejercicios preparatorios sobre situaciones y formas de trabajo referentes al contenido
correspondiente. En esta fase se incluye el análisis de contenidos ya apropiados como
los de variación proporcional directa e inversa, en conexión con ideas interesantes
como las de de Galileo que expresaba sus relaciones funcionales con palabras y en
lenguaje de proporciones. La segunda fase corresponde a la formación del concepto y
abarca el desarrollo de las funciones didácticas 4 aseguramiento del nivel de partida,
motivación, orientación hacia el objetivo e introducción del nuevo contenido. En esta
fase se desarrolla la representación coordinado del concepto. La tercera fase
corresponde a la fijación del concepto en la que se realizan diversas acciones de
profundización que amplíen la articulación de los diferentes registros de
representación.
Por otra parte es necesario insistir en que en la formación del concepto de función se
trabaje ampliamente su representación cordinada (Duval, 1998), que como ya se
afirmó en líneas anteriores consiste en cambiar el registro de cualquier representación
semiótica. A los signos, gráficos o notaciones que usamos para representar objetos
matemáticos se les denominan representaciones externas, que a su vez tienen un
equivalente en la mente de los sujetos que los emplea y se les conoce como
representaciones mentales. Duval (1998) se refiere a estas dos formas de
representación y las denomina semióticas y mentales. Las primeras las considera
como producciones constituidas por el empleo de signos que pertenecen a un sistema
4 Cada actividad que se realiza en una clase o un sistema de clases, tiene una función o tarea didáctica. Las
funciones didácticas que se consideran son la motivación, orientación hacia el objetivo, el aseguramiento del nivel
de partida, los nuevos contenidos, fijación y control.
544

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
de representación. Las representaciones mentales las define como aquellas que cubren
el conjunto de imágenes y globalmente, a las concepciones que un individuo puede
tener sobre un objeto, una situación y sobre lo que les está asociado. En el mismo
sentido afirma que las representaciones semióticas son necesarias para fines de
comunicación e igualmente esenciales para la actividad cognitiva del pensamiento,
desempeñan un papel fundamental en el desarrollo de las representaciones mentales,
en el cumplimiento de diferentes funciones cognitivas y en la producción de
conocimientos.
Otro aspecto a considerar en esta formación consiste en las 4 categorías que son
necesarias para la comprensión de un concepto. Estas son la identificación,
discriminación, generalización y síntesis (Sierpinska, 1991). Esta educadora afirma
que para asimilar un concepto se requiere de la comprensión de ejemplos y
contraejemplos del objeto, decir lo que es el objeto y lo que no es, dar cuenta de sus
relaciones con otros conceptos y reconocer que estas relaciones son análogas a
relaciones que son familiares con aplicaciones. En este sentido se utilizan las
referidas categorías, la identificación de un objeto entre otros objetos da como
resultado que algo que había sido un antecedente se convierte en el objeto principal
de la descripción, lo percibimos como algo digno de interés y estudio. La
discriminación consiste en reconocer objetos distintos, notar sus diferencias y sus
propiedades relevantes. La generalización conduce a un conocimiento a extenderse al
rango de las aplicaciones y finalmente la síntesis es la percepción de relaciones entre
hechos como resultados, propiedades y relaciones organizados de una manera
consistente. Como se puede ver estas categorías orientan el proceso de formación del
concepto de función, asegurando la organización de actividades apropiadas para cada
una de ellas.
Una concepción de situaciones didácticas
Una forma de concretar las posiciones teóricas antes expuestas es con el diseño y
puesta en escena de situaciones didácticas, en este sentido se estructura una
concepción que si bien considera aspectos de la teoría original de las situaciones
didácticas (Brousseau, 1983) incorpora otros que las acercan a las condiciones
escolares de la región. A continuación se describe brevemente esta concepción.
La escuela como centro exprofeso para promover el desarrollo intelectual de los
alumnos, es un escenario donde de manera sistemática se realiza el proceso de estudio
en general y en particular de la matemática. Sobre la base de las posiciones teóricas
que se vienen sustentando en este trabajo, estudiar matemática es un proceso
organizado y sostenido como fuente constante de tareas y problemas matemáticos. En
este sentido un proceso de enseñar y aprender matemática en la escuela, requiere de la
participación consciente de estudiantes y profesores en el planteamiento y solución
de problemas. Donde se utilicen los diversos medios didáctico-matemáticos, en la
producción de saberes que mantengan “vivo” el conocimiento matemático.
545

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Un eje rector en este proceso, es el diseño de situaciones didácticas conformadas con
series de actividades en las que los alumnos pueden resolver problemas y generar
saberes a partir de los recursos cognitivos de que disponen. Las situaciones didácticas
que en este trabajo se diseñan, se conciben principalmente, sobre la base de las
funciones didácticas enmarcadas en la teoría de la actividad (Leontiev, 1981), los 4
aspectos básicos del proceso de estudiar matemática (Chevallard, 1998) y las fases de
la apropiación del conocimiento matemático (Brousseau, 1983).
Funciones Didácticas
La actividad docente es la forma de realización de la actividad cognoscitiva en la
escuela, es por tanto una actividad humana dirigida a un fin y organizada en las fases
de orientación, ejecución y control. A cada una de estas fases le corresponde una
cierta función en el trabajo docente como proceso didáctico, esas son las funciones
didácticas. Cada actividad que se realiza en una clase o un sistema de clases, tiene
entonces una función o tarea didáctica. Las funciones didácticas que se consideran
son la motivación, orientación hacia el objetivo, el aseguramiento del nivel de partida,
los nuevos contenidos, fijación y control. Las tres primeras corresponden a la fase de
orientación, los nuevos contenidos y la fijación a la de ejecución y el control a la fase
del mismo nombre. En la instrumentación de estas funciones didácticas, destaca la
formación de conceptos como fundamental para el desarrollo del pensamiento
matemático, ya que los conceptos son la forma principal en que opera dicho
pensamiento. Como se puede ver estas funciones constituyen una guía para el
docente, en el diseño e instrumentación de situaciones didácticas.
Los cuatro aspectos básicos para el estudio de la matemática
Estos aspectos son las cuestiones a las que responde el contenido matemático que se
aborda, la unidad del razonamiento deductivo y el pensamiento conjetural, las
técnicas que se utilizan y el tecnológico-teórico.
Las cuestiones a las que responde el contenido que se aborda consideran las
necesidades y problemas que dieron origen a ese conocimiento, la forma de cómo se
construyó para ser un conocimiento matemático científico comunicable, así como su
transformación en un conocimiento matemático enseñable. En esta transformación se
responde a estas preguntas ¿Qué características tiene este contenido para ser un
conocimiento enseñable?, ¿Cuáles son las razones para que forme parte del currículo
escolar?, ¿Qué potencialidades tiene para desarrollar el pensamiento matemático?.
546
Cuando se considera el estudio como el objetivo principal del proceso
didáctico, resulta mucho más fácil traspasar al alumno una parte de la
responsabilidad matemática asignada hoy día en exclusiva al profesor.
Este nuevo reparto de responsabilidades asigna al profesor el papel de
“director de estudio”, posibilita que los alumnos reconozcan al profesor
como “matemático” y disminuye el riesgo de la “enfermedad
didáctica”. Chevallard, Y. (1998).

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
La unidad del razonamiento deductivo y el pensamiento conjetural, se refleja en la
búsqueda y aseguramiento del conocimiento matemático, es decir para el
cumplimiento de una tarea matemática se requiere de la exploración y formulación de
conjeturas hasta encontrar el conocimiento. A la vez este conocimiento se asegura a
base de demostraciones, fundamentos, argumentos y justificaciones. En este proceso
de búsqueda y aseguramiento, se ejecuta el trabajo con la técnica que consiste en la
instrumentación de procedimientos matemáticos vinculados con el contenido, a partir
de las cuales se producen nuevas técnicas y nuevos conocimientos. En este aspecto
son relevantes las técnicas y estrategias eficaces en la solución de problemas. Como
una base de orientación para los estudiantes, existe una serie de técnicas y estrategias
en la solución de problemas. Como técnicas están la lectura analítica, la modelación,
el tanteo inteligente, la determinación de problemas auxiliares y la comprobación
(Rizo . y Campistrous, 1995). Como estrategias se tiene la analogía, partir del
problema resuelto, lugares geométricos y transformaciones geométricas (Polya,
1976).
El aspecto tecnológico-teórico lo conforman los fundamentos, argumentos y
explicaciones sobre la tarea que se está realizando de manera que se amplíe su
comprensión y se eficiente el proceso de estudio.
Estos aspectos están entrelazados, se dan en unidad y caracterizan el proceso de
aprender y enseñar matemática como un proceso de estudio. Cuando las actividades
de una situación didáctica se realizan de esta manera, se descubre la naturaleza de la
matemática.
Las Fases de la Apropiación del Conocimiento Matemático
Brousseau (1983) establece que las fases de la adquisición del conocimiento
matemático son: la acción, formulación, validación e institucionalización. La acción
consiste en el planteamiento de la tarea, su comprensión y en las acciones que realiza
el alumno para cumplir con las exigencias establecidas. En la formulación se
confrontan y analizan los diversos procedimientos y resultados. En la validación se
fundamentan los procedimientos y resultados y finalmente, en la fase de
institucionalización se expresan los saberes construidos, correctamente, desde el
punto de la forma y el contenido.
Algunos resultados de la investigación marco del taller
En esta fase de la investigación se tienen los primeros resultados sobre la exploración
de saberes sobre el concepto de función, que muestran dificultades y errores
asociados al resolver situaciones relacionadas con este contenido, como se expresa en
la descripción del problema. Además se han diseñado situaciones didácticas para
abordar los contenidos programáticos referentes a este concepto, sobre la base de las
posiciones que se vienen sustentando. Estos resultados preliminares y las situaciones
didácticas diseñadas se presentaron en un curso con la participación de 28 estudiantes
y profesores de diversas partes del país, en el marco de la VI Escuela de Invierno y
Seminario Nacional de Investigación en Didáctica de la Matemática. Así como en un
taller en Relme 17 con la asistencia de 7 profesores de diversos países de América
Latina.
547

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Descripción del taller
Los objetivos del taller fueron describir las dificultades y errores asociados de los
estudiantes al realizar diversas tareas matemáticas en las que está inmerso el concepto
de función y analizar situaciones didácticas para promover la formación de este
concepto, de modo que se determine la pertinencia y eficacia de su instrumentación
en la escuela. Con el propósito ulterior de evaluar los efectos de la puesta de escena
de situaciones didácticas sobre el concepto de función. Se consideraron los
contenidos de dificultades y errores asociados de los alumnos al realizar tareas
matemáticas que involucran el concepto de función y situaciones didácticas para
promover la formación del concepto de función. Se propuso como modalidad de
trabajo para el taller que los participantes cuenten con un material impreso de apoyo,
realicen las tareas matemáticas propuestas y hagan producciones individuales, de
equipo y de grupo.
Los asistentes al taller manifestaron que se trató de un trabajo interesante y
propusieron cambios a las situaciones didácticas, particularmente en lo referente a las
lecturas de introducción en las que se sugiere considerar el desarrollo histórico del
concepto como conocimiento matemático enseñable.
Bibliografía
Arango, C. (1993), Metodología de la enseñanza de la matemática, tomo I, Pueblo y Educación,
Habana.
Brousseau, G. (1983), Los obstáculos epistemológicos y los problemas de la enseñanza, versión en
español del Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN, México, D.F.
Cantoral, R. y Montiel, G. (2002), Desarrollo del pensamiento: El caso de visualización de funciones,
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, tomo I, Grupo Editorial Iberoamérica,
México, D. F.
Duval, R. (1998), Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento,
en Investigaciones en Didáctica de la Matemática II, Grupo Editorial Iberoamérica, México,
D.F.
Hitt, F. (1996), Sistemas semióticos de respresentación del concepto de función y su relación con
problemas epistemológicos y didácticos, En Investigaciones en didáctica de la Matemática,
Grupo Editorial Iberoamérica, México, D.F.
Leontiev, A. (1981) La actividad en Psicología, Pueblo y Educación, Habana.
Sierpinska, A. (1994), Understanding in mathematics, The Falmer Press, London.
548

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
LA TOPOLOGÍA EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES
Carmen Sosa Garza, Roberto Torres Hernández
Universidad Autónoma de Querétaro, MÉXICO
carsg@uaq.mx, robert@uaq.mx
Resumen
En la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Querétaro, en México, existe y funciona
desde hace varios años la Maestría en Docencia de las Matemáticas. Este posgrado está dirigido
primordialmente a maestros de Matemáticas en ejercicio, principalmente de los niveles medio y medio
superior, cuya característica común es que no son matemáticos de profesión, es decir, no son
egresados de una licenciatura en matemáticas. En este contexto, en dicha maestría se ofrece la materia
de Topología como curso optativo de los últimos semestres. Como encargados de impartirla, hemos
observado que los libros existentes de este tema están diseñados fundamentalmente para los
estudiantes de las licenciaturas de matemáticas, con un rigor bien establecido, o bien son trabajos a
nivel de divulgación que presentan solo ciertos aspectos geométricos del tema. De cualquier modo,
estos dos extremos no nos parecen apropiados para los fines que se persiguen en esta maestría y en
general en la formación de profesores.
Así pues, nos hemos dado a la tarea de diseñar apuntes y material de trabajo, tratando de tender un
puente entre los textos de carácter matemático y los de divulgación. A grandes rasgos, la idea central
consiste en iniciar cada tema de topología con ejemplos y conceptos conocidos, principalmente
tomados del Cálculo infinitesimal e ir generalizando y abstrayendo definiciones y resultados para
llegar finalmente a resultados y definiciones propios de la topología. El esquema completo es el
siguiente:
• El valor absoluto y la distancia usual en el plano como ejemplos de distancias o métricas.
Ejemplos de diferentes distancias. El concepto de espacio métrico.
• La idea de conjunto abierto en el plano con varias métricas. La definición de espacio topológico.
• La definición de continuidad con epsilón-delta y su generalización a la definición topológica por
abiertos.
• El concepto de homeomorfismo y su uso en las deformaciones topológicas. El Teorema de
Clasificación de Superficies.
• Aplicaciones recientes de la topología a otras áreas del conocimiento, tales como la teoría de
nudos y el ADN y en particular, la aplicación de la topología a la computación.
Es en este último punto donde incide este trabajo. La idea es presentar como en una “imagen digital”
se encuentra ligada la topología, una de las geometrías del siglo XX, como ciertas propiedades
cualitativas en la imagen están relacionadas a ciertas propiedades topológicas.
Antecedentes
La topología es una rama de las matemáticas que a últimas fechas a adquirido
importancia por las diversas aplicaciones que se han encontrado. Según Victor Katz,
el principio de la topología se encuentra en los trabajos de Karl Weierstrass en 1860
analizando el concepto de límite de una función. Con este objetivo, reconstruyó
nuevamente el sistema de los números reales y reveló algunas propiedades que ahora
se llaman ''topológicas''. Posteriormente Georg Cantor desarrolló la teoría de los
conjuntos (1980) el cual es un fundamento donde la topología construye su ''casa''.
Otro aspecto de la topología, es la llamada combinatoria o algebraica, que se inicó en
1890 con el trabajo de Henri Poincaré. La palabra ''topología” se deriva del griego
τσπσ que significa ''lugar'' y αλσγια que significa ''estudio”. Tradicionalmente la
topología estudiaba las propiedades de las superficies de la geometría euclidiana.
549

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Actualmente la topología estudia la ''continuidad'' siendo fundamental para entender
el análisis. Pero lo más importante de la topología es que es una de las llaves para la
matemática moderna.
Por otra parte, el procesamiento de una imagen digital se ha desarrollado rápidamente
con muchas aplicaciones: en los negocios (lectura de documentos), la industria (la
automatización), medicina (radiografías), geología (fotos a grandes distancias), entre
otros.
El campo del tratamiento digital de imágenes está en continuo evolución. El interés
por los métodos de tratamiento digital deriva de dos áreas principales de aplicación:
la mejora de la información pictórica para la interpretación humana y el
procesamiento de los datos de la escena para percepción autónoma por una máquina,
este trabajo habla de la primera área.
Como muestra de las mejoras que se pueden lograr, considérense las dos siguientes
imágenes:
550
A partir de este momento, se relacionarán las ideas de imágenes digitales y de topología casi
simultáneamente, a veces a doble columna, para resaltar la liga entre ellos.

¿Qué es una imagen digital?
Una imagen digital es una función
bidimensional de intensidad de luz
f(x,y) donde x,y representan las
coordenadas espaciales y el valor de f
en un punto (x,y) es proporcional al
brillo (nivel de gris) de la imagen en
ese punto al que se le llama pixel. Una
imagen digital puede considerarse
como un arreglo rectangular de puntos,
donde cada punto se puede asociar con
una pareja (x,y) , el número de renglón
y el número de columna que se
encuentra, y teniendo un nivel de gris.
Por ejemplo, un tamaño típico,
comparable a una imagen monocroma
de televisión, es una matriz de
521x521 puntos con 128 niveles de
grises. Etapas fundamentales del
procesamiento de imágenes:
adquisición,
prepocesamiento,
segmentación,
descripción, reconocimiento.
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
¿Qué es topología?
La topología se considera la geometría
del siglo XX y entre sus objetivos es
clasificar superficies. También se le
conoce como la geometría de hule,
dos figuras son topológicamente
equivalentes cuando una figura se
puede deformar, sin desgarramientos o
adherencias, y obtener la otra figura.
Por ejemplo una circunferencia y un
cuadrado son topológicamente
equivalentes.
Las propiedades que quedan
invariantes bajo este tipo de
transformación son las propiedades
topológicas que no son más que las
propiedades cualitativas de la figura y
no como las que estudia la geometría
euclidiana, las propiedades métricas.
551

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
¿Cómo se pueden relacionar dos puntos?
Cada punto P = (x,y) tiene 4-vecinos, horizontal y vertical, (x-1,y), (x,y-1), (x,y+1)
y (x+1,y). También tiene 4-vecinos diagonales, (x-1,y-1), (x-1,y+1), (x+1,y+1) y
(x+1,y+1) que junto con los 4-vecinos horizontales y verticales se llaman los 8vecinos.
Nótese que si P se encuentra en el borde, algunos de sus vecinos pueden no existir.
En topología los puntos se relacionan dependiendo de las vecindades que se hayan
definido, es decir dado un conjunto X, se define un conjunto de subconjuntos de X a
los cuales llamaremos topología y tienen la propiedad de que la unión arbitraria y la
intersección finita pertenece a él.
La segmentación consiste en descomponer una imagen en subconjuntos o regiones
donde Esta etapa del proceso determina el eventual éxito o fracaso del análisis. Los
algoritmos de segmentación de imágenes monocromáticas generalmente se basan en
una de las propiedades básicas de los valores del nivel de gris: discontinuidad y
similaridad.
¿Cómo relacionar y encapsularlos los puntos para identificar las diferentes
regiones?
Un 4-camino (8-camino) de P a Q, π de longitud n es una secuencia de puntos
P = P0
, P1
,..., Pn
= Q tal que P i es 4-vecino (8-vecino) de P i+
1 , 1≤ i ≤ n-1. Por lo que
se podría hablar de una función f,
f: [1,…,n] M tal que f(j)=P j
552

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Una trayectoia topológicamente hablando es una función continua f,
f : (a,b)→X.
Cada segmentación debe ser completa; es decir cada píxel debe pertenecer a una
región y que cada región debe ser conexa. Pero ¿cómo poder asegurar que dos puntos
se encuentran en la misma región?
Topológicamente conexa significa que esta formada de una sola pieza, intuitivamente
hablando, es decir A es conexa si no existen dos subconjuntos abiertos, B y C no
vacíos, ajenos tales que la unión de estos, B ∪ C = A.
Un subconjunto S se dirá que es 4- conectado (8conectado)
si para cualquier par de puntos en S, P,Q,
existe una 4-camino (8-camino) de P a Q con puntos de
S. Dado P, la componente conexa de P con respecto a S,
son todos los puntos de S que se puedan conectar a P por
medio de puntos de S.
La componente arco-conexa de x en un espacio X,
es el conjunto más grande que tiene la propiedad
que para cualquier punto y en ella, x,y son arcoconexo.
Que es equivalente a la unión de todos los
subespacios conexos de X que contengan a x.
¿Cómo se podría aislar cada componente? Se buscaría los puntos “frontera” y
encontrar una un 4-camino (8-camino) π de longitud n donde P 0 = Pn
. Es decir
cada punto tiene exactamente dos 4-vecinos (8-vecinos) de π.
Nota: es necesario que contenga al menos 5 puntos.
553

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Topológicamente se tiene la curva de Jordan, todo subespacio o figura homeomorfa
a una circunferencia es una curva.
Teorema de Jordan: Si J es una curva en el plano, R 2 , entonces separa al plano. Es
decir R 2 -{} J tiene dos componentes
Nota: Dando la topología adecuada a M, se puede definir una curva de Jordan y
demostrar el teorema, toda curva tiene exactamente un agujero.
Uno de los objetivos de la segmentación es poder angostar, es decir eliminar puntos
de un subconjunto de M sin afectar las propiedades de conexidad tanto de S como S c .
Un punto P satisface que S - P tiene el mismo número de componentes (en el
sentido de S) y S c U P tiene el mismo número de componentes ( en el sentido de
S c ) como S c , se le llama punto simple.
Dado S, un punto aislado de S o un punto interior de S no puede ser un punto punto
simple mientras que un punto frontera de S siempre será un punto simple.
La parte teórica puede continuar hasta temas cada vez mas complejos, pero no es ese
el objetivo de este trabajo.
Resta solo por decir que el trabajar con este material con profesores que no son
profesionales de la matemática, ha sido muy enriquecedor y motivante y esperamos
que sea interesante para nuestra comunidad del RELME.
Bibliografía
Armstrong, M.A. (1987) Topología Básica. España, Ed Reverté S.A.
Chinn, W.G. y Steenrod, N.E. (1966) First Concepts of Topology. Nueva York, Random House Inc.
González, R., Woods, R. (1996) Tratamiento digital de imágenes. E.U.A., Addison-Wesley
Iberoamericana, S.A.
Rosenfeld, A. (1979) Digital topology. American Mathematical Monthly, 86. 621-630.
Wilson, R. (1990) Topología digital: una aplicación a las gráficas de computación. Memorias del XXV
Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Xalapa, Ver. 269-284.
554

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
LA INCERTIDUMBRE COMO MARCO DEL PROBLEMA. UNA APLICACIÓN DE
LA METODOLOGÍA BORROSA
Carmen M. Torrente
Universidad Nacional de Tucumán, Argentina
ctorrente@fbqf.unt.edu.ar
Resumen
En este trabajo se presenta una aplicación de la teoría de los conjuntos borrosos (TCB), ilustrando su uso a
propósito del diseño de una técnica de evaluación de pasantes. Cuando el problema bajo estudio cuenta con
información poco estructurada, o de carácter subjetivo, abordarlo demanda de un tratamiento apropiado, de
una metodología capaz de manipular ese tipo de datos. La metodología que se propone es una que se basa en
la TCB. La aplicación de la metodología borrosa requiere tanto de la identificación de las variables bajo
estudio, como de la adopción de la escala semántica. Con éstas – las variables y la escala - se construyen
ciertas matrices cuya lectura permitirá la toma de decisiones adecuadas al problema que se trata.
Introducción
Los problemas de estudio de la realidad que cuentan con datos exactos y ciertos son cada
vez más escasos, tanto los provenientes de la naturaleza como los producidos por el hombre
son mayormente inciertos. Esto es así porque la información con que se cuenta suele ser
incompleta, poco confiable, imprecisa, además de ser abundante en ciertas áreas de estudio.
El tratamiento de este tipo de información requiere de herramientas adecuadas, su análisis
no puede hacerse siempre empleando técnicas que son propias de situaciones ciertas y
aleatorias. Para las primeras se recurre a formulaciones determinísticas, para la segunda el
auxilio es la teoría de las probabilidades. La cuestión que se plantea, es cómo enfrentar a la
incertidumbre, si ésta no es mensurable por definición.
El problema del cómo orientó la búsqueda hacia otra teoría, con bases filosóficas diferentes,
para enfrentar el problema concreto que se despliega en este trabajo. En este se cuenta con
un juego de cinco factores (cualidades, competencias) –que definen al problema puntual– y
sus respectivos niveles de calificación. Estas valoraciones, o estimaciones, fueron brindadas
por un experto. A partir de esa información se construye un modelo que servirá como
parámetro de comparación para situaciones problemáticas concretas.
El propósito de este estudio es mostrar cómo se empleó la técnica borrosa para encontrar el
grado de adecuación de una situación real al modelo propuesto. Por cierto, el trabajo tiene
un cierto sesgo didáctico.
Algunas consideraciones previas
La teoría subyacente al modelo que se presenta en este trabajo es la teoría de los conjuntos
borrosos. Esta teoría nació de la mano de Zadeh en el año 1965 y rompió con la dicotomía
pertenece–no pertenece de los conjuntos clásicos, a la cual incluye como caso límite.
Permite, asimismo, construir una estructura matemática con la cual es posible manipular
datos inciertos, para los cuales la pertenencia a un conjunto tiene grados; de modo que
ciertos procesos decisorios, en condiciones de incertidumbre, podrían plantearse y
resolverse más adecuadamente por medio de la utilización de esta teoría. Con ella nos
adentramos a una manera de razonar distinta a la aristotélica, la de los términos absolutos
de cierto o falso. Con la lógica borrosa, multivalente, el mundo real puede modelarse con
mayor aproximación, pues no siempre es “blanco o negro”. También admite zonas grises,
555

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
pensar el mundo implica, entonces, perspectivas diferentes y complementarias.
Por otro lado, no debe temerse a los rótulos de “matemática blanda”, como contraposición
de la “matemática de las ciencias duras”. Piénsese en una “matemática flexible”, capaz de
interpretar las leyes que rigen el comportamiento humano y las relaciones entre los
hombres, como contraparte de una matemática rígida. Y, porque sea flexible no deja de ser
rigurosa; es la rigurosidad lo que en definitiva debemos cuidar de nuestra herramienta.
Identificación del problema
La Facultad de Medicina de la Universidad Nacional de Tucumán –UNT–, Argentina,
implementó, a partir del año 1989 un nuevo plan de estudios. En este plan se consideraron
las recomendaciones de sucesivos encuentros de Educación Médica que se realizaron en
distintos países, a partir de la reunión de Alma Ata, Rusia, en 1978. Fue en esta reunión que
se plasmó la estrategia de la Atención Primaria de la Salud –APS–con la meta de “Salud
para todos en el año 2000”.
La formación del estudiante de medicina de la Facultad de Tucumán culmina con la
pasantía rural que constituye la aplicación práctica e integración de conocimientos,
actitudes y criterios que el alumno ha adquirido en los cursos precedentes, atendiendo al
perfil de médico diseñado. Esto es, el de un médico general habilitado para resolver
situaciones en el primer nivel de atención, con clara percepción de su entorno social y
sanitario.
Durante el periodo en que se desarrolla la pasantía rural los estudiantes aprenden a resolver
problemas in situ, generar soluciones concretas, enfrentarse con el proceso salud–
enfermedad, tanto de un individuo como de la población o grupo al cual pertenece.
Con el presente trabajo se pretende evaluar dos pasantías rurales en particular, identificadas
con el nombre de Pasantía A y Pasantía B. Para ello, se confrontarán estas pasantías con el
modelo propuesto, y, según sea su grado de adecuación al modelo, se podrán identificar los
ajustes que sean necesarios para lograr una mejor adecuación y establecer un orden de
preferencia entre ambas. En suma, representará una información adicional pertinente a la
hora de tomar algún tipo de decisión al respecto.
Construcción del objeto de estudio
Si se considera que la pasantía rural se encuentra en un marco de incertidumbre, abordarla
requiere de un tratamiento apropiado. La metodología que se propone se basa en la teoría
de los subconjuntos borrosos pues permite captar los matices que configuran a la pasantía
rural, el objeto de estudio.
La aplicación de las técnicas borrosas requieren de la identificación de las variables bajo
estudio y de la adopción de una escala semántica para construir, a partir de allí, un perfil
ideal respecto al cual se podrán comparar las pasantías particulares y establecer el grado de
adecuación de las mismas.
Para definir la pasantía rural se consideraron los siguientes factores:
F1: Formación de 1° a 5° año
F2: Formación de 6°
F3: Diagnóstico y tratamiento del paciente.
F4: Diagnóstico y tratamiento de los problemas de salud del área de incumbencia.
F5: Compromiso social
F6: Comunicación social
556

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Estos factores, si bien no constituyen una lista exhaustiva, describen a la pasantía rural de
una manera bastante aproximada y dan cuenta de la correcta realización de las actividades
que se proponen en el plan de estudios. Los factores, conforman el conjunto referencial R, a
partir del cual se deriva el perfil ideal de pasantía y también las técnicas que pueden ser
utilizadas para la evaluación de pasantías concretas en el contexto en que se desarrollan.
Cada uno de los factores puede incidir en mayor o menor grado sobre los otros factores.
Por ser la incidencia una noción subjetiva, su estimación podría tomar valores entre ser
“totalmente alta” y ser “totalmente baja”, por ejemplo. Se consideró adecuado adoptar la
escala endecadaria siguiente:
1 totalmente alta
0,9 alta
0,8 prácticamente alta
0,7 casi alta
0,6 bastante alta
0,4 bastante baja
0,5 medianamente alta
0,3 casi baja
0,2 prácticamente baja
0,1 baja
0 totalmente baja
Aplicación de la técnica borrosa
El perfil ideal, el modelo respecto al cual se compararán las pasantías rurales, F ~ , se
construyó teniendo en cuenta las valuaciones asignadas a cada factor por un experto, un
especialista en el tema.
Tanto para el perfil ideal como para los candidatos a ser contrastados se dispone de sendos
subconjuntos borrosos. Los subconjuntos borrosos correspondientes a las pasantías a
contrastar, P ~ A y P ~ B, se construyeron a partir de los valores que poseen los distintos
factores.
Al establecer la comparación con el perfil teórico establecido es posible conocer el grado de
adaptación de cada una de las pasantías.
Para el conjunto referencial
R = F1, F2, F3, F4, F5, F6
Los factores con las valuaciones asignadas por el experto define el siguiente perfil ideal:
F ~ =
0,9 0,8 0,9 0,8 0,9 0,9
El subconjunto borroso F ~ indica el nivel que se exige para cada factor.
A fin de aplicar la técnica de evaluación borrosa se tomó como caso a contrastar una
pasantía real, la Pasantía A, cuyo conjunto borroso, fue construido a partir de las
valoraciones emitidas por un pasante referida a su pasantía concreta.
Para la Pasantía A el subconjunto borroso es:
P ~ A = 0,9 0,8 0,7 0,7 0,7 0,7
557

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Para la Pasantía B el correspondiente subconjunto borroso es:
La evaluación trata de plasmar mediante un “número” las cualidades que posee la pasantía
respecto del parámetro establecido. Los subconjuntos borrosos P ~ A y P ~ B se obtuvieron a
partir de la información brindada por pasantes e indican los niveles, dentro del intervalo [0,
1], conque fueron estimados los factores definidos en este estudio, Estas valuaciones se
compararon con el perfil (F) teórico propuesto.
La idea es conocer el grado de adecuación de cada una de las pasantías con el perfil para así
poder hacer, con esta información, los ajustes necesarios. Para encontrar el índice de
adecuación se siguió el procedimiento de Gil Aluja (1996).
Construcción del coeficiente de adecuación
Dados el conjunto referencial R, los subconjuntos borrosos F ~ y P ~ i y los respectivos
grados de pertenencia, µF (x) y µP(x), cuyos valores pertenecen al [0, 1], se tiene que:
Si µP (x) ≥ µF (x) , entonces, KX (p→ f) = 1
Si µP (x) < µF (x) , entonces, KX (p→ f) = 1 - [µF (x) - µP (x)]
El coeficiente de adecuación K se obtiene de sumar los KX (p→ f) y dividir el resultado por
el cardinal del conjunto referencial R de los factores.
Para la Pasantía A el valor obtenido fue:
Análogamente para la Pasantía B se obtuvo:
558
P ~ B = 0,7 0,8 0,7 0,5 0,6 0,4
~ ~ 1+
1+
0,
8 + 0,
9 + 0,
8 + 0,
8
K( PA
, F)
=
= 0,88
6
~ ~ 0,
8 + 1+
0,
8 + 0,
7 + 0,
7 + 0,
5
K( PB
, F)
=
= 0,75
6
Se puede observar que el valor máximo de adecuación, esto es K = 1, se obtendría si la
pasantía particular satisface, en todos los casos la desigualdad µP (x) ≥ µF (x). Por el
contrario, tomaría el valor mínimo, K = 0,13, cuando obtenga un 0 para todos los factores.
Además se observa que P ~ A f P ~ B . Es decir se establece un orden de preferencia que
podría arrojar información adicional a quienes coordinan las pasantías.
Se ha optado por aplicar el coeficiente de adecuación en lugar de la distancia de Hamming,
por cuanto ésta puede acercarse, o alejarse, del valor ideal por arriba o por debajo del
mismo. Y, en casos concretos, es conveniente ajustar lo que no llega al nivel requerido sin
dejar por ello de reconocer lo aspectos que posean un grado superior.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Algunos comentarios
- El modelo propuesto, construido a partir de la metodología borrosa, resulta adecuado para
una evaluación de situaciones complejas donde los aspectos inciertos, no medibles por
definición, necesitan ser estimados. Permite pasar de la semántica verbal a una escala de
valores, posee la característica de la matización y se evita, de este modo, caer en los
reduccionismos habituales.
- El modelo no se constituye en un instrumento de mero control (sobre todo de las
debilidades) sino en un instrumento orientado a mejorar la situación del sistema evaluado,
sin la pretensión de representar toda la realidad sino sólo reflejar ciertos aspectos del
problema.
- El índice de adecuación K, permite tanto una evaluación global como individual, en el
sentido que podría compararse con el modelo, factor por factor, permitiendo una visión más
acabada del problema de la evaluación.
El problema que aquí se trató está simplificado, atendiendo al propósito del trabajo, esto es:
es presentar la técnica borrosa para el tratamiento de un problema enmarcado en la
incertidumbre y, como se dijo también, guarda un cierto sesgo didáctico. Pues, obsérvese
que se tomó un solo experto, dos pasantías concretas y sólo cinco factores, como
dimensiones del problema. Es de suyo que, para un problema concreto, cuanta mayor
cantidad de variables puedan considerarse, cuanto mayores expertos contribuyan a valorar
la incidencia de cada uno de estas variables y cuanto mayor sea la cantidad de “pasantes”
que evalúen sus propias pasantías, el resultado de la evaluación y la técnica de evaluación
misma se constituyen en instrumentos valiosos para su ulterior uso.
Bibliografía
García, P; Machado, E; Slemenson P. (2001) Lógica de la intuición. Una aplicación de la metodología borrosa
al análisis del pensar, en Cuaderno del Cimbage. N°4. Facultad de Ciencias Económicas.
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Lazzari, L.; Machado, E.; Pérez, R. (1999)Los conjuntos borrosos: una introducción, en Cuaderno del
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Zadeh, L. A. (1965) Fuzzy sets. Information and Control, N°8
559

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
LAS CONCEPCIONES DE LOS DOCENTES ACERCA DE LAS DEMOSTRACIONES
Cecilia Crespo Crespo; Christiane Ponteville
Instituto Superior del Profesorado "Dr. Joaquín V. González". Universidad de Buenos Aires
ccrespo@sinectis.com.ar - chponteville@velocom.com.ar
Resumen
Uno de los conceptos matemáticos centrales a ser transmitidos a los alumnos a partir de la escuela media es el
de demostración. El presente trabajo se plantea analizar la concepción que tienen los docentes de la noción de
demostración tanto desde el punto de vista científico, como didáctico, teniendo en cuenta su puesta en
práctica dentro de la enseñanza de la matemática. Esta investigación conduce a resultados que indican que la
enseñanza de la demostración como contenido matemático, aunque es aceptada por los docentes como algo
importante desde el punto de vista teórico, no es siempre una problemática asumida por ellos en forma
sistemática, sino en algunos casos de manera intuitiva, tomando como modelo aquel en el que han sido
formados.
La demostración matemática y los docentes
La demostración es el medio de prueba de resultados característico de la matemática.
Ocupa un lugar central en esta ciencia.
El concepto de demostración es una de las nociones matemáticas medulares para ser
transmitida a los alumnos a partir de los 13 años. En nuestro país, se sugiere su
construcción en forma gradual y espiralada durante la Educación General Básica y que se
continuará posteriormente. "A lo largo de toda la EGB, el contraste de conceptos y
relaciones, la búsqueda de regularidades en un conjunto de datos (hechos, formas,
números, expresiones algebraicas, gráficos, etc.) y la formulación de generalizaciones
sobre la base de lo observado a la experiencia o a la intuición, apuntarán a la formación
del razonamiento inductivo."... "La capacidad de razonar lógicamente crece con la edad y
las experiencias de dentro y fuera de la escuela. En los distintos grados se han de ir
ampliando los contextos de aplicación de la misma (numéricos, geométricos, de
proporcionalidad, gráficos, etc.) y el rigor con que se la utilice." (Ministerio de Cultura y
Educación, 1995).
Una tendencia presente en investigaciones de matemática educativa es el análisis de los
conocimientos que poseen los docentes y la manera en que éstos influyen en la enseñanza
de los contenidos correspondientes. La importancia de estas investigaciones reside en que
sus ideas, valores y fundamentos se reflejan en sus decisiones pedagógicas. Diversas
investigaciones muestran que el docente de matemática enseña de acuerdo a las
concepciones que tiene de esta disciplina (Santos Trigo, 2001). Si la demostración es
considerada como una estructura rígida y no modificable que aparece en los libros, la
enseñará como algo acabado y que debe ser memorizado por los alumnos. En cambio si
considera que los alumnos pueden “hacer matemática”, la demostración como contenido
matemático adquirirá un perfil de elemento dinámico y modificable desde el punto de vista
didáctico pudiendo adaptarse a la situación escolar presentada.
No es necesario explicar en profundidad la relación existente entre la matemática y el
razonamiento lógico. El razonamiento matemático forma parte del proceso en el que se
560

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
formulan y resuelven problemas matemáticos. Se basa en la recolección de datos,
realización de conjeturas y en la determinación de si las mismas son válidas o no.
Las distintas formas del pensamiento lógico no siempre son logradas satisfactoriamente por
los alumnos en la escuela. Diferentes investigaciones realizadas muestran que aunque estas
aparecen desde la escuela dentro de los contenidos a enseñar sin embargo a veces ni los
estudiantes del nivel universitario tienen dominio de dichos procedimientos lógicos. (Ibañes
y Ortega, 1997).
El razonamiento lógico en el aula
El pensamiento lógico, puede decirse que es el que garantiza que el conocimiento formal
sea correcto, que se ajuste a la realidad que refleja. La corrección lógica es el único criterio
para juzgar la validez de un razonamiento. El docente debe determinar cuál es el nivel de
precisión y rigor que se desea exigir a los alumnos en cada momento del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Esta forma de pensamiento no es inherente sólo a la matemática. En cualquier ciencia, e
incluso en cualquier actividad humana aparecen procedimientos deductivos válidos
aplicables en cada uno de los campos del conocimiento, que son los que permiten
garantizar la corrección de los razonamientos.
Es importante precisar que la escuela en general y la matemática en particular deben
contribuir al desarrollo de las ideas lógicas. Es cierto que se puede observar que en el mejor
de los casos los docentes aplican en ciertas ocasiones los procedimientos lógicos de forma
no sistemática, sin un objetivo determinado y sin tener en cuenta las particularidades
esenciales que los caracterizan. Los procedimientos lógicos más elementales son los que se
relacionan con las propiedades de los conceptos. En primer lugar se aíslan propiedades,
interviniendo las operaciones racionales del pensamiento: análisis, síntesis, comparación,
abstracción, concreción, generalización y particularización. Otro procedimiento lógico
elemental relacionado consiste en asociar propiedades a un objeto. A medida que aumenta
la complejidad de los objetos y el grado de abstracción de las propiedades se hace necesario
recurrir a otros procedimientos como son: reconocer propiedades, distinguir propiedades
esenciales, necesarias, suficientes y necesarias y suficientes, identificar conceptos, definir,
clasificar, ejemplificar y deducir propiedades.
No es un secreto que en nuestras aulas se estudian muchos problemas. Dentro de estos, los
problemas de demostración, han despertado desde siempre interrogantes a alumnos y
docentes en la búsqueda de su solución. Surgen preguntas como:
"¿De dónde puedo partir para encontrar lo que me piden?",
"¿Por qué lo puedo hacer?",
"¿Qué me falta por obtener?",
"¿De dónde obtenerlo?",
"¿Por qué el trazado de la figura auxiliar?",
"¿Cómo conseguir lo que me falta?",
"¿Cómo se le ocurrió a alguien esta construcción auxiliar?";
entre otras.
Por su parte, los docentes se deberían formular preguntas del tipo:
"¿Han entendido mi reproducción de esta demostración en el pizarrón?",
561

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
"¿Siguen mis razonamientos?",
"¿Cómo y cuándo entienden los alumnos las demostraciones?",
"¿Son los alumnos conscientes de la existencia de múltiples técnicas de demostración?",
...
Los problemas vinculados con el razonamiento lógico deben favorecer las construcciones
propias, la apertura de caminos para el autoconvencimiento a través de la adquisición de la
estructura de los conceptos que intervienen en la resolución de problemas y del rigor en las
deducciones matemáticas. Además deben permitir la adquisición de una visión para la
matemática como una ciencia en constante desarrollo y crecimiento. Los problemas
planteados en el aula no corresponden, en general, a problemas de la matemática pura, pero
utilizan conceptos y esquemas de ésta.
La investigación llevada a cabo
El presente trabajo se centra en el análisis de la concepción que tienen los docentes de la
noción de demostración tanto desde el punto de vista científico, como su puesta en práctica
dentro de la enseñanza de la matemática. Se trata de la continuación de una investigación
realizada acerca de las ideas que poseen los docentes y estudiantes del último año de la
carrera de profesorado de matemática. (Crespo Crespo y Ponteville, 2001 y 2002). La
información fue recabada a través de cuestionarios y entrevistas a estudiantes y docentes en
ejercicio tanto en el nivel medio como en el terciario y universitario. Las preguntas se
orientan a analizar creencias y conocimientos acerca de la demostración, diferentes
términos vinculados con ella (verdad, verificación, etc.) e importancia dentro de la
matemática y su enseñanza.
Algunos resultados de la investigación realizada
Una de las primeras ideas que en la investigación que presentamos aparecen desdibujadas
son las diferencias entre:
qué es la matemática
qué es saber matemática
qué es aprender matemática
Sin embargo, dentro de las concepciones docentes acerca la matemática, deberían
diferenciarse dos tipos de saberes: el saber matemático en sí y el saber escolar. Esta
diferenciación que es clara en otros contenidos, no lo es para el caso de las demostraciones.
Por ejemplo, gran cantidad de docentes tiene claramente asumida la existencia de
diferencias fundamentales entre saberes conceptuales específicos (geométricos, algebraicos,
analíticos, etc.), pero no reconocen los distintos niveles existentes entre qué es demostrar,
qué es saber demostrar y qué es aprender a demostrar. Algunos de los encuestados, sobre
todo del grupo de docentes, declaran no saber exponer claramente estas diferencias.
Casi la mitad de los docentes afirma que no hace demostraciones en clase, utilizando como
justificación la falta de interés de los alumnos, el trabajo con cursos numerosos, la falta de
conocimientos previos de los alumnos, la excesiva extensión de los programas y que los
cursos "ya no son como antes".
Con respecto al grupo de alumnos que intervinieron en la investigación, la mayoría afirman
la necesidad de demostrar y de enseñar a demostrar en clase, si bien no saben especificar
562

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
cuáles son los métodos que utilizarán con este fin. Afirman que la futura práctica docente
les irá dando las "herramientas y metodologías" necesarias.
Es notable que casi todos los docentes afirman que trabajan en el aula mediante la
resolución de problemas y muchos de ellos hacen hincapié en la importancia de la
enseñanza de técnicas de resolución de problemas. Esto denota, comparando con los
resultados descriptos anteriormente, que excluyen a los problemas de deducción de la
categoría de problemas.
Entre los docentes que afirman enseñar a demostrar, algunos consideran que enseñan a
demostrar porque desarrollan demostraciones, dedicando mucho tiempo a explicar el
método utilizado, la justificación de cada paso, la obtención de resultados parciales, etc. y
pidiendo a los alumnos que reproduzcan demostraciones equivalentes. Aparece de esta
manera un componente tradicional en la enseñanza: reproducir las ideas del profesor en
contextos parecidos. Surge de esta manera la idea de "demostración tipo" y de la
presentación a los alumnos de demostraciones que utilicen distintas estrategias clásicas,
como ser las de demostraciones directas, por el absurdo, por inducción matemática o a
través de la propiedad contrarrecíproca.
A pesar de que en el plan de estudios del profesorado de matemática aparece la
demostración como un contenido a ser incorporado, los docentes y alumnos manifiestan no
haber adquirido capacidades respecto de ese tema.
Las ideas expresadas en las encuestas, permiten ver que los docentes sienten que sus
concepciones no son claras respecto de qué es demostrar, pero que pueden realizar
demostraciones en el pizarrón.
En la mayor parte de los casos, se concibe al aprendizaje de la demostración como un
proceso individual en el cual el alumno propone y desarrolla los pasos a seguir: interpretar
el planteo, identificar las hipótesis y la tesis, buscar un método de demostración y ensayar
opciones, guiado por el docente. Pocos docentes plantean que las demostraciones pueden
realizarse y aprenderse en el marco de un trabajo grupal, manifestando que esta actividad
ha enriquecido su propia concepción de la idea de demostración.
A modo de conclusión
Esta investigación permite concluir que la enseñanza de la demostración como contenido
matemático no es siempre una problemática asumida por los docentes en forma sistemática,
sino en algunos casos de manera intuitiva, tomando como modelo aquel en el que han sido
formados. Los docentes diferencian la idea de hacer demostraciones y la de enseñar a
demostrar, siendo esto último algo que pocos llevan a cabo en el aula.
En pocos casos se tiene en cuenta la importancia del aprendizaje colaborativo para adquirir
el vocabulario matemático adecuado y necesario para desarrollar una demostración, a través
de la comprensión de conceptos y argumentaciones matemáticas. Esto no significa que se
logren desde el inicio, demostraciones con rigor absoluto en el aula, sino que se vayan
formando cadenas deductivas con el suficiente rigor como para comprender y justificar
resultados matemáticos.
La falta de presencia dentro de los planes de estudio de los profesorados y dentro de las
propias planificaciones de la enseñanza de las demostraciones como contenido, hace
necesaria la reflexión y abre una brecha muy importante dentro de la investigación en
563

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
matemática educativa, pues muestra que la demostración, concepto central de la
matemática como ciencia, no lo es en la práctica dentro de su enseñanza.
Bibliografía
Crespo Crespo, Cecilia; Ponteville, Christiane (2001). La influencia de las concepciones de los docentes y los
estudiantes acerca de la matemática en la enseñanza de esta ciencia. Presentado en la XXIV Reunión
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564

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
LA HERRAMIENTA INFORMÁTICA EN ACTIVIDADES DE MOTIVACIÓN,
CONSOLIDACIÓN, REFUERZO Y/O RECUPERACIÓN DE CONOCIMIENTOS
PREVIOS AL ESTUDIO DEL CÁLCULO.
Ana María Simoniello de Álvarez; Adriana A. Negri y Jorge Humberto Búsico
Universidad Nacional del Litoral, Santa Fe, Argentina
amsimoni@fce.unl.edu.ar
Resumen
Sobre la base de investigaciones que realizamos previamente acerca de los errores frecuentes de nuestros
alumnos en las cuestiones de Álgebra básica, que les impiden incorporar adecuadamente conceptos del
Análisis Matemático, en la cátedra de esta asignatura de la Facultad de Ciencias Económicas nos propusimos
realizar diversas acciones que tiendan a modificar esa situación, con el propósito de promover que el alumno
emprenda un aprendizaje eficaz del Cálculo.
Entre otras acciones planificamos un conjunto de clases previas al desarrollo de la asignatura en las que,
sobre la base de materiales escritos de guía para el aprendizaje y con la incorporación del uso de la
herramienta computacional, el alumno tendrá oportunidad de efectuar actividades de introducción-motivación
sobre conocimientos previos, con respecto a las falencias más frecuentes que se han detectado, la cantidad y
calidad de los errores que, en general, cometen con el uso de la matemática básica. Otras actividades son de
consolidación y/o de refuerzo, de recuperación y/o ampliación a medida que se evalúa el avance del alumno.
El uso de la herramienta computacional, en este caso, el Programa Matemático-Informático DERIVE, tiene
por objeto proporcionar al alumno un primer contacto con el mismo y aprovecharlo como recurso pedagógico
en el aula, motivante y colaborador en las realización de las actividades propuestas.
Introducción
En la cátedra Análisis Matemático de la Facultad de Ciencias Económicas de la
Universidad Nacional del Litoral hemos desarrollado investigaciones oportunamente
difundidas, acerca de los errores frecuentes de nuestros alumnos en las cuestiones de
Álgebra básica, que observamos les impiden incorporar adecuadamente conceptos del
Análisis Matemático. Esta asignatura se desarrolla en el 2do cuatrimestre del Primer año de
estudios de las carreras Contador Público Nacional, Licenciatura en Administración y
Licenciatura en Economía.
¿Cuál es la situación problemática?
Esperamos que nuestros alumnos conozcan y comprendan los métodos y operatorias del
Análisis Matemático y aprendan su aplicación para interpretar, plantear y resolver
situaciones problemáticas de las diversas ciencias involucradas en sus estudios.
Pero, ... nos encontramos con alumnos que, a nuestro criterio, nos muestran que aún no
tienen práctica o no han logrado o adquirido formas de pensamiento que les permitan
relacionar los conceptos previos con las nuevas cuestiones que se le presentan en el estudio
del Análisis Matemático.Se ve involucrada en estas situaciones la falta de permanencia de
ideas y de conocimientos algebraicos básicos en el alumno; sin ellos los nuevos
aprendizajes les resultan complicados y en gran medida son motivo de frustraciones y
continuos fracasos.
Diversos interrogantes orientaron nuestro trabajo, entre ellos:
565

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
¿Qué proponer y qué hacer para lograr cambios favorables cuando nos encontramos con las
dificultades que, observamos, tienen los alumnos en la aplicación de conceptos previamente
adquiridos?
¿Cuáles dificultades encontramos?
¿Qué debemos proponer al alumno?, y... de qué forma hacerlo? ¿Cómo lograr un
aprendizaje eficaz?
¿Porqué el fracaso de cierta cantidad de nuestros alumnos en el aprendizaje de Análisis
Matemático?
¿Porqué no se produce, en general, una mayor permanencia del conocimiento en el
alumno?
Debemos reconocer que se presentan dificultades, en cierto aspecto debidas a la gran
cantidad de alumnos en el aula (70 aprox.), con un único docente, las 6 hs. semanales
durante 72 horas de un cuatrimestre. Esto dificulta, en gran medida, la posibilidad de
considerar y corregir los errores de cada uno de los alumnos.
Cabe destacar que los errores más frecuentes que detectamos en los alumnos que no logran
un aprendizaje eficaz son:
incorrecta aplicación de propiedades de operaciones con números reales.
incorrectos pasajes de términos, factores y/o divisores en igualdades o desigualdades
algebraicas.
omisión de paréntesis necesarios para la operatoria algebraica .
deficiencia en la aplicación de leyes de la lógica matemática.
no interpretar en forma adecuada el concepto de valor absoluto de un número real;
dificultades en la operatoria con ciertos tipos de expresiones literales;
para el trazado de la gráfica de una recta utilizar una tabla de valores determinando
coordenadas de más de dos puntos de la recta;
aplicación incorrecta de la fórmula resolvente de la ecuación de 2do.grado.
incorrecto trazado de la gráfica de una función cuadrática de una variable.
desconocer la determinación del vértice de la parábola. Considerar una tabla de valores
para determinar varios puntos de la misma y unirlos de cualquier forma.
dificultades para identificar la figura limitada por las representaciones gráficas de dos
funciones de una variable.
considerar datos a partir del esbozo de una gráfica, para efectuar cálculos, en lugar de
obtenerlos a partir de la resolución de una ecuación o sistema de ecuaciones posible.
inconvenientes en la verificación de soluciones de ecuaciones.
aplicación incorrecta de la definición y propiedades de logaritmos.
Nos propusimos realizar diversas acciones que tiendan a modificar esa situación del
alumno, con el propósito de promover que emprenda un aprendizaje eficaz del Cálculo.
Consideramos que hoy se puede acudir a la calculadora o computadora, con programas
adecuados para, no sólo realizar cálculos sino verificar propiedades, controlar resultados,
modificar parámetros para obtener nuevos resultados, investigar con nuevos datos, en fin,
realizar una tarea de exploración en la gráficas que pueden colaborar promoviendo la
566

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
reflexión y consolidación de conocimientos ya adquiridos, así como la posibilidad de
afianzar la introducción de otros nuevos.
Una propuesta para el cambio
Las nuevas tecnologías han aparecido y, en general podemos afirmar que invaden nuestra
vida diaria, por lo que muchos de nuestros alumnos tienen la posibilidad de manejo, aunque
sea incipiente, del ordenador. Por ello pensamos que un elemento motivador para el cambio
puede ser el uso de herramientas informáticas, como complemento de las clases iniciales de
la asignatura.
Consideramos que, dado la forma como muestran estar preparados previamente nuestros
alumnos para el aprendizaje de Análisis Matemático, puede ser útil que determinados
tópicos del Álgebra básica, que no debieran ignorar, pueden ser revisados ó aprendidos en
su caso, sobre la base de la utilización de un Programa Matemático-Informático, como
DERIVE, que permita realizar al alumno una ejercitación adecuada que contemple diversas
situaciones en el manejo de los conceptos, en forma simbólica, numérica y gráfica en
algunas clases previas al desarrollo de Análisis Matemático.
Elección de la herramienta computacional: sin desconocer la existencia de otros
Programas la elección de DERIVE se basa en las posibilidades que este programa ofrece,
en un lenguaje que es totalmente análogo al empleado en la pizarra de las clases de
Matemática. Es un Programa cuyas principales ventajas son su agilidad y rapidez, así como
su equilibrio entre prestaciones, facilidad de uso y requerimiento de hardware. Posee
amplias posibilidades operativas: utiliza un lenguaje natural, como el que se utiliza en el
aula de Matemática habitual, ofrece la visualización permanente del trabajo del usuario, su
guardado en archivo magnético e impresión en papel, opera con expresiones y relaciones
aritméticas, algebraicas y trascendentes, con ecuaciones, sistemas de ecuaciones,
aproximación de funciones, ecuaciones diferenciales, gráficas en dos y en tres dimensiones;
permite crear, programar funciones u operadores que interesen al usuario. Ha sido
incorporado a calculadoras programables a las que los alumnos tienen acceso. Ayuda a la
formación de conceptos por la interrelación y retroalimentación que permiten sus
posibilidades numéricas, simbólicas y gráficas. La versión DERIVE for Windows favorece
su uso, no sólo por la aplicación del mouse sino que se ven facilitadas las acciones con
otros programas, como procesadores de texto ó de gráficos.
Consideramos importante que, para desarrollar actividades con DERIVE, el docente debe
preparar guías orientadoras del trabajo, para el alumno, con ejercicios y problemas
adecuados a la circunstancia.
Metodología
Las prácticas informáticas serán realizadas con la Versión 4.06 del Programa DERIVE for
Windows. El contenido de las mismas se presentará al alumno en formato de Guías de
Actividades en las que además de los temas de Álgebra que se propone abordar, se
complementan con las órdenes necesarias para la utilización del Programa DERIVE en
forma adecuada. Cabe destacar que no es necesario que el alumno posea conocimientos de
informática para utilizar el mismo.
La Guía de Actividades está organizada en tres capítulos. En el primero se describen los
menús y comandos de la ventana de Álgebra del Programa y se agrega operatoria con los
567

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
mismos y cuestiones básicas de Álgebra, en especial aquellas cuestiones en las que los
alumnos muestran poseer mayores dificultades. En el segundo se describe la ventana para
gráficas en dos dimensiones de DERIVE y se complementa con el estudio de funciones en
forma simbólica, numérica y gráfica. El tercero se dedica al estudio de funciones que
particularmente son modelos de diversas situaciones problemáticas de las Ciencias
Económicas.
Se programan estas actividades para cuatro clases al inicio de cada cuatrimestre, de dos
horas cada una, en el aula-gabinete informático. Estas clases serán desarrolladas en forma
extra-programática, en horarios diferentes a las clases de la asignatura.
Desarrollo de la propuesta
Describimos los temas a tratar en cada una de las cuatro clases correspondientes a cada
iniciación del cuatrimestre lectivo.
1er. Clase: Al comenzar la clase se realiza una breve introducción al sistema operativo
Windows 98 con el propósito de familiarizar al alumno con el entorno de ventanas; para
que sea capaz de ejecutar la aplicación DERIVE, conozca la forma de organizar archivos y
de lograr su impresión en papel. A continuación se ingresa en la ventana de Álgebra de
DERIVE y se ejecutan actividades que involucran el funcionamiento del menú y de los
comandos de la barra de herramientas. Una vez analizados los elementos principales del
programa, se explica como editar expresiones matemáticas haciendo especial hincapié en
las operaciones algebraicas fundamentales, en la sintaxis correspondiente y en la asignación
de valores fijos a variables. Asimismo, se practican otras operaciones básicas que posibilita
el programa, tales como mover, reenumerar, borrar, recuperar, seleccionar, copiar y/o pegar
expresiones y subexpresiones, matemáticas o de texto.
2da. Clase: En la primera parte de la clase se explica la resolución de ecuaciones y de
inecuaciones algebraicas, por medio de comandos del menú o de operadores especiales de
DERIVE considerando también la verificación de soluciones, las respuestas del programa y
la necesaria reflexión acerca del conjunto solución en cada caso; de manera similar para
sistemas de ecuaciones lineales. A partir de esto los alumnos deben practicar y ejecutar las
actividades que se les proponen en la correspondiente guía, las que incluyen ejercicios para
interpretación, planteo, análisis de razonamientos y justificación de conclusiones.
3ra. Clase: Esta clase está dedicada al estudio de los conceptos de la topología en los
espacios euclídeos de una y de dos dimensiones; funciones elementales de una variable
real, dominio, imagen, expresiones simbólicas y gráficas, destacando propiedades
generales. En primer lugar se explica la forma de introducir funciones con argumento, en
la ventana de Álgebra de DERIVE, a efecto de poder ser evaluada para diferentes valores
de la variable. Se utilizará el Operador VECTOR para detectar imágenes y construir tablas
de valores. Luego se considerará el funcionamiento del menú y de los comandos de la barra
de herramientas correspondientes a las ventanas de gráficos en dos dimensiones. Se explica
la forma de representar gráficamente funciones u otros conjuntos de puntos en esta ventana
gráfica. Se destacará que la representación gráfica de una función permite explorar para
conocer, por ejemplo, los puntos en los que ésta no está definida o aquéllos en los que no se
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PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
verifican determinadas propiedades. Los alumnos deberán resolver ejercicios y problemas
de la Guía de actividades sobre el tema desarrollado, con características similares a las
propuestas en la clase anterior.
4ta. Clase: La última clase de esta propuesta se centra en el estudio de las funciones lineal,
cuadrática, logarítmica y exponencial; tiene por objeto el reconocimiento de sus
características principales, en forma simbólica, numérica y gráfica. Estas funciones son las
que con frecuencia en el desarrollo del Análisis Matemático se utilizarán como modelos
concretos de situaciones problemáticas que refieren a las distintas ramas de las ciencias
económicas involucradas en las carreras que cursan los alumnos. Los alumnos resolverán
ejercicios y problemas sobre el tema.
Evaluación
Al finalizar las prácticas con DERIVE, en cada uno de los cuatrimestres, se aplicará una
prueba con el ordenador para evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes. La
calificación de esta prueba consideramos podrá representar el 10% de la calificación global
de la asignatura. Para disminuir el problema de la masificación de las clases, se dará la
opción al alumno de conservar la calificación obtenida en la aprobación de esta prueba
hasta que apruebe el examen final de la asignatura.
Para la realización de la prueba y con la finalidad de que no haya más de un alumno por
ordenador será necesario desdoblar los grupos.
La prueba consiste en la resolución de un ejercicio similar a los que se han realizado
durante las clases de prácticas con el ordenador y tiene una duración de una hora. Durante
la primera media hora los alumnos resuelven el ejercicio planteado. Transcurrido este
tiempo, los dos profesores presentes en el aula imprimen y guardan en un disquete cada uno
de los exámenes. El examen impreso es devuelto a los alumnos para que lo firmen, siendo
esta copia la que se utilizará para su calificación.
Durante la realización del ejercicio propuesto, los alumnos pueden consultar la Guía de
Trabajos con DERIVE que hemos confeccionado.
Puesta en práctica: Año lectivo 2004. En principio consideramos que será posible
programar la ejecución de 4 (cuatro) clases de 2hs.cada una al iniciar el cuatrimestre de
desarrollo de la asignatura.
Resultados y conclusiones
La tarea emprendida ha resultado motivadora de diversas acciones en el grupo de docentes
afectados a la tarea. Debe organizarse la distribución de alumnos y docentes para el mejor
aprovechamiento de los espacios físicos y horarios asignados.
Estas actividades esperamos complementarlas con otras que se programarán para la finalización del
desarrollo de la asignatura, en cuyo caso se aprovechará el conocimiento previo de la herramienta
computacional y se espera sea útil para afianzar los conocimientos sobre Análisis Matemático,
adquiridos por los alumnos durante el cursado.
El trabajo se realiza en el marco del Proyecto de Investigación de la Universidad Nacional del
Litoral “Investigación de la capacidad para incorporar desarrollos tecnológicos en el
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
aprendizaje de Química y Matemática en las Facultades de Ingeniería Química y de Ciencias
Económicas", que dirigen el Ing. Pablo L'Argentiere y la Prof. Nilda Monti, en el marco del
Programa: Concentración coordinada de Investigaciones sobre la Enseñanza y el Aprendizaje
Universitarios.
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570

Resumen
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
JUEGO Y MATEMÁTICA ESCOLAR
Cecilia Tirapegui de Cerviño
Universidad Nacional Experimental de Guayana Venezuela
ctirapeg@telcel.net.ve
El juego comparte características con la actividad matemática. Sin embargo, con demasiada frecuencia se lo
confunde con ocio, pérdida de tiempo o actividad reñida con la escuela. Estudios psicológicos,
antropológicos, sociológicos y pedagógicos del juego, entre otros: UNESCO (1980); Brunner (1986);
Maturana y Volden-Zöller (1994); Reyes-Navia (1999), permiten identificar muchas de sus coincidencias con
las matemáticas. En este trabajo se analizan: (a) las características del juego como actividad humana,
comparándolas con las de la actividad matemática, (b) las relaciones entre juego, aprendizaje y desarrollo
emocional, y (c) las características de los procesos de ejercitación en el desarrollo de las habilidades y
destrezas matemáticas en educación básica y media. Se propone incluir el estudio del juego en la formación
docente, para promover una cultura lúdica entre los educadores matemáticos, sin perder de vista los
imperativos que la sociedad actual hace a la escuela, así como los principios del constructivismo pedagógico
y la transversalidad como eje de la actividad escolar. Se presenta la experiencia de la Universidad Nacional
Experimental de Guayana, UNEG, que ofrece un curso de Juegos Didácticos: futuros maestros conocen
diferentes tipos de juegos, diseñan modelos para favorecer la ejercitación de conceptos, relaciones u
operaciones matemáticas, desarrollando habilidades para resolver problemas. Además, ensayan sus juegos y
los exponen públicamente.
Juego y vida
La vida requiere que, como individuos, desarrollemos una conciencia individual y social,
vinculada a habilidades perceptuales, motrices, afectivas, lingüísticas, comunicacionales...
entre otras. Uno de los motores fundamentales de este proceso, es el juego. El balbuceo
del bebé o sus violentos pataleos al quitarle el pañal, son actividades que se realizan
libremente, completamente imperiosas y provistas de un fin en sí mismas, están
acompañadas de un sentimiento de tensión y de alegría. Estas son algunas características
del juego: no requiere ser enseñado, pues actuar, lenguajear y emocionar van juntos,
coordinados por el impulso vital propio del hombre.
Caillois (1958, citado por UNESCO, 1980), precisa que el juego es una actividad humana que se distingue de las otras, por ser
libre: a la que el jugador no puede ser obligado sin que el juego pierda inmediatamente su
carácter de diversión atractiva y gozosa;
separada: circunscrita en límites de espacio y de tiempo precisos y fijados de antemano;
incierta: cuyo desarrollo no puede determinarse, y cuyo resultado no puede fijarse
previamente, dejándose obligatoriamente a la iniciativa del jugador cierta latitud en la
necesidad de inventar;
improductiva: que no crea bienes ni riqueza, ni elemento nuevo alguno; y salvo
transferencias de propiedad dentro del círculo de jugadores, conducente a una situación
idéntica a la del comienzo de la partida;
reglamentada: sometida a reglas convencionales que suspenden las leyes ordinarias e
instauran momentáneamente una legislación nueva, única que cuenta;
ficticia: con una conciencia específica de "otra" realidad segunda o franca irrealidad en
relación con la vida ordinaria.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Böhm (1985, p. 7) expresa que un niño sumergido en el juego, permite observar el bosquejo
de una acción: (a) que se pone a sí misma las reglas de dicha acción y se entrega
libremente en reglas que se crean jugando; (b) cuyo desenlace es incierto y por consiguiente
está determinado por la audacia y el riesgo; (c) imposible de ser comparada con ninguna
otra acción, pero trae algo realmente nuevo a manera de cada persona humana en su
unicidad, inintercambiabilidad e irrepetitividad siempre nueva; (d) que lleva en sí misma su
finalidad y no recibe su valor, desde luego, de ninguna utilidad externa ni de una función
económica; (e) acompañada por la conciencia de ser distinta que la vida corriente y lleva
en sí misma la experiencia de la felicidad de ser distinto entre iguales.
Uno de los componentes de todo juego, es la emoción con que los jugadores enfrentan las
diferentes actividades: el goce, el disfrute que genera y que incita a compartir con el otro.
Brunner (1986, p.85) afirma que el juego ofrece a los niños la oportunidad inicial más
importante de atreverse a pensar, a hablar y quizá a ser ellos mismos, pero "tanto como
necesitan la soledad, necesitan también combinar las propias ideas que conciben solos con
las ideas que se les ocurre a los compañeros... es la esencia no sólo del juego, sino también
del pensamiento”.
El juego verdadero (o “verdaderamente humano”, como lo llama Chateau, 1973) puede
describirse como una actividad con características de riesgo, que incita a la acción a pesar
de una novedad plena de sorpresas, de la incalculabilidad del tiempo y esfuerzo que
requiere, entonces ¿qué tan diferente es de la actividad matemática?
Juego y matemáticas
Siguiendo el pensamiento de D’Ambrosio (1993), si matema es la acción de explicar y
comprender con el fin de trascender, desenvolverse y enfrentarse a la realidad para
sobrevivir y ticas, las técnicas que el hombre ha desarrollado y desarrolla constantemente
para esa explicación y comprensión ¿se puede afirmar que en el juego no hay matemáticas?
o que el hacer matemáticas ¿está exento de esa pulsión y libertad propias del juego?
Si lo nuevo del juego interesa por sí mismo, como nuevo, aunque no presente ningún otro
carácter interesante, el niño tratará de originarlo, variando más o menos sus movimientos,
repitiendo si es necesario, en una especie de experimentación cuyos resultados,
imprevisibles, son una fruición sensorial que lo llena de satisfacción.
Si la creatividad está presente en cada juego infantil, con ese sentido de la belleza, esa
sensibilidad estética especial… que crece cuando se comparte con “el otro” y “los otros”, se
disfruta tanto en ese compartir como en la actividad que genera.
Si la libertad, como principal virtud del juego, potencia las acciones y la posibilidad de
hallar goce y “ganas de seguir”, de ir más allá rompiendo con esquemas y patrones
previstos que lo frenen.
Si el emocionar que jamás está ausente cuando jugamos, es aquello que nos identifica como
“humanos” y nos impulsa a compartir con “el otro” y “los otros” así como al “hacer
juntos”, “disfrutar juntos” y “crear juntos”, ¿por qué no se juega en nuestras aulas
escolares? ¿Por qué relegamos las actividades lúdicas al pre-escolar?... Aunque una
pregunta que se pudiese formular es ¿por qué los adultos (padres, maestros, directivos
escolares, comunidad en general) estudiamos tan poco al juego como actividad humana?
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PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Estudiosos como Huizinga, Caillois, Bruner, Maturana y Volden-Zöller, (entre otros)
destacan la relación entre el juego y (a) el aprendizaje, (b) los procesos de socialización
(c) habilidades y las destrezas de pensamiento, y (d) la creatividad, señalan que las
actividades lúdicas infantiles se enriquecen cuando el adulto “está cerca”, acompaña,
interpreta, valora sus juegos. No se trata intervenir o coartar su juego, sino “estar allí”,
de garantizarle un ambiente estable y propicio para su actividad creadora.
Sin embargo, ¿cómo hallar “creatividad” en una clase que tenga como propósito hacer que
los niños se aprendan las tablas de multiplicar, repitiendo cada combinación una y otra vez?
El disfrute, aquel deseo de libertad, belleza y felicidad que persigue la actividad
matemática, parecen absolutamente reñidos con la mayoría de las actividades de
aprendizaje que se desarrolla en una clase de Matemáticas.
Actualmente, las habilidades matemáticas representan un importante valor social. Todos los
ciudadanos requieren una alfabetización matemática que les permita explicarse el mundo en
que se vive, interpretar las diversas situaciones con que se enfrenta y actuar consciente y
creativamente en función de su beneficio y del de los demás. En toda la educación formal
se estudian matemáticas, pero generalmente están asociadas con una actividad de aplicación
de fórmulas y colecciones de cálculos alejados de la realidad, vinculada con dificultad y
exactitud, sentimientos de inseguridad e impredecibilidad de éxito. Las matemáticas distan
mucho de ser una actividad interesante, “emocionante”, para muchos niños y jóvenes, y por
qué no decirlo, para algunos docentes.
Al analizar las características de la actividad lúdica, como esa conciencia de ser de otra
manera que en la vida ordinaria, ese fluir constante, ese acatamiento voluntario a normas y
reglas compartidas espontáneamente, combinados con ese emocionar tan humano, ¿por qué
dejarlo fuera de aula? ¿por qué desechar la posibilidad de combinar la ejercitación rutinaria
de una clase de matemáticas con juegos diseñados intencionalmente para promover la
actividad del alumno?
En el proceso de adquisición del conocimiento matemático, hay dos fases igualmente
importantes, que no se pueden descuidar (ni disociar la una de la otra). La primera está
asociada a las actividades que promueven que el aprendiz se apropie de los conceptos,
relaciones o procedimientos involucrados. La segunda corresponde a la ejercitación de esos
conceptos, relaciones o procedimientos, para lograr las habilidades y destrezas operatorias
sin las cuales difícilmente evoluciona el conocimiento matemático. En ambas fases, la
mediación del enseñante se traduce en la organización de actividades que ejecuta el
aprendiz, acompañado por él y por sus compañeros. La fase de ejercitación toma más
tiempo que la anterior, la fortalece favoreciendo la institucionalización del saber.
Es tarea del docente generar actividades que promuevan la adquisición del conocimiento
matemático, manifestado en la observación, la organización y representación de eventos, el
análisis, la toma de decisiones, la predicción, anticipación y comprensión de resultados
(entre otras). Pero, estas actividades no necesariamente han de ser ingratas o neutras
emocionalmente: ni las matemáticas ni la vida lo son. El juego representa una opción capaz
de “envolver” tanto al docente como a los alumnos en una actividad de aula productiva y
creativa.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Juego en la formación de maestros: la experiencia de la UNEG.
En la Universidad Nacional Experimental de Guayana, UNEG, desde 1994 se ofrece el
curso electivo “Juegos Didácticos” entre el 7° y 9° semestre de la carrera Educación
Integral, con el propósito de diseñar, confeccionar, ensayar y evaluar juegos con contenido
matemático. El curso que tiene un componente teórico y uno práctico: por una parte se
analizan los fundamentos del juego como actividad humana, en lo psicológico, sociológico
y pedagógico, que motivan su incorporación al aula, y en lo práctico, se juega, se hace jugar
analizando los procesos afectivos y cognitivos vivenciados.
Los juegos de estructura adaptable, como los que tradicionalmente se llaman “juegos de
salón”: bingo, dominó, memoria, rompecabezas y ponte-pilas tienen muchas posibilidades
de adaptarse a la ejercitación matemática, dado que tienen una estructura conocida y
requieren de un proceso de diseño con ciertas especificaciones que permiten generalizar
criterios para su evaluación. Sin embargo se manejan otros juegos como los laberintos,
competencias con calculadoras, juegos sin juguete, juegos de estrategia como los tipo NIM
o el ajedrez africano Ayi Cui (o Mancala), siempre revisando las habilidades cognitivas,
sociafectivas y gerenciales que se ponen en juego al jugar.
En todos los casos, se adapta un contenido matemático correspondiente a un grado escolar
específico, se exige la presentación de un guión didáctico que contiene las siete preguntas
básicas: qué es, por qué, para qué, con qué, cuándo, dónde y cómo se utilizan en el aula. Se
enfatiza que se juega con el objeto de ejercitar notaciones, relaciones operaciones o
propiedades matemáticas, como una práctica complementaria al proceso de aprendizajeenseñanza
de los contenidos matemáticos. El jugar en la clase de Matemáticas no puede
sustituir el proceso de formalización de conceptos, relaciones o procesos.
Por otra parte, las fichas de un rompecabezas o un dominó que los niños manipulan no
pueden confundirse con los materiales concretos sobre los cuales actúa el niño en su
proceso personal de aproximación a los conceptos, relaciones o procedimientos estudiados.
Es un aspecto que necesariamente ha de ser considerado al momento de diseñar un juego
con contenido matemático.
La libertad, como principal característica del juego, la incalculabilidad e incertidumbre, así
como las otras que se mencionaron al principio de este trabajo, no se negocian ni se pueden
perder de vista: el ludificar la pedagogía no se puede confundir con la “pedagogización del
juego” (que se popularizó en los años 70), o disfrazar de juego cualquier actividad escolar.
En este proceso se requiere que el docente, como diseñador de este tipo de medio didáctico,
tenga presente, así como los factores socio-afectivos asociados a la actividad de jugar.
Uno de los aspectos que se postula, es que un juego de aula debe permitir que todos los
alumnos, simultáneamente, lo practiquen: si se trata de un rompecabezas o un dominó
para cuatro participantes, debe existir ocho o nueve juegos iguales, y se evita la
competitividad y señalamiento de ganadores o perdedores: lo importante es jugar,
compartir con los otros, no necesariamente, ganar, siendo ésta, según la autora, una
especificidad del juego didáctico.
En la propuesta que se maneja en la UNEG, se define “experiencia de aprendizaje D.J.C”
(Tirapegui, 1997) como un conjunto de acciones que se proponen al educando en una clase
de Matemática para que descubran (D) como practicar un juego de contenido matemático,
jueguen (J) y posteriormente compartan (C) sus impresiones con sus compañeros. Las tres
fases de esta experiencia se detallan a continuación:
574

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
D (descubriendo) Los alumnos manipulan los elementos del juego (fichas, cartones,
barajas, tableros u otros) y se promueve una discusión para describir dichos elementos,
familiarizarse con ellos, identificar las relaciones que intervienen y descubrir la forma en
que se desarrollará la actividad (asociando fichas, ubicándolas en un tablero, arrojando un
dado, armando formas, marcando o respondiendo a una determinada señal. Fruto de esta
discusión, los niños identifican el contenido curricular que se ejercitará, y establecen las
reglas del juego.
J (jugando) Los niños juegan, mientras tanto, el docente observa y participa sólo para
proporcionar alguna ayuda u orientación específica. En ocasiones, es recomendable que él
sea un jugador más, incorporándose en cierto grupo. Esta etapa proporciona la satisfacción
de “actuar” por parte del alumno, y una retroalimentación al docente que puede darse
cuenta de cómo se van desarrollando las habilidades de los niños, qué aspectos de la
instrucción deben reforzarse, y qué alumnos manifiestan algún problema de tipo funcional
o socioafectivo que limita o dificulta la interacción normal con sus compañeros. Así, está
en mejores condiciones para buscar correctivos.
C (Compartiendo) Al terminar el juego (haya o no haya ganadores) se promueve una
discusión a través de la cual los jugadores comparten sus impresiones con respecto a la
actividad y comparan las estrategias que se fijaron quienes, en su participación individual o
grupal, culminaron exitosamente la partida. Este compartir promueve el descubrimiento de
generalidades y constancias entre los elementos y operaciones involucradas, y el desarrollo
de habilidades y destrezas, tanto numéricas como cognoscitivas y metacognoscitivas. Se
procura que exista una retroalimentación crítica de cuánto se ha aprendido y cuánto se debe
practicar para tener mejor dominio de las relaciones u operaciones ejercitadas. Esta fase de
la experiencia D.J.C. es la más importante.
Los cursantes de la asignatura “Juegos Didácticos” diseñan y confeccionan cinco juegos de
estructura adaptable, con contenido matemático, para ser practicados por los 32 o 36
alumnos de un curso de educación básica, con sus respectivos guiones didácticos. La
evaluación incluye el reporte del ensayo de uno de los juegos diseñados. Además, se
efectúa una exposición pública de los juegos producidos en el curso, cuya promoción está a
cargo de los participantes.
Un aspecto interesante, que resulta como valor agregado, es el siguiente: durante el curso,
al examinar las colecciones de ejercicios que diseñan los maestros en formación, para ser
incorporados a las estructuras de los juegos, se detectan diferentes niveles de dificultad, o
irregular presencia de los números con que se ejemplifican las relaciones u operaciones,
propiciando su análisis y corrección (siempre en forma lúdica) en la misma clase. En
ocasiones, se manifiestan concepciones inadecuadas de conceptos, algunos errores en los
ejemplos elegidos o representaciones que no favorecen la actividad del alumno. Entonces,
se generan discusiones que dan lugar a la toma de conciencia del participante del curso de
Juegos Didácticos, de la importancia que tiene la planificación y precisión de las
actividades que se proponen a los alumnos, para que "hagan" matemáticas. Estas
situaciones no siempre afloran en una clase de didáctica o de matemáticas.
Por último, tanto en el ensayo de los juegos en aulas, que se debe reportar como evaluación
del curso de Juegos Didácticos, como en la exposición pública, se tiene oportunidad de
modelar actividades que favorecen la actividad del alumno de educación básica y media,
permitiendo vivenciar, en contextos diferentes de los habituales, relaciones u operaciones
575

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
matemáticas y, lo más importante, que ejercitando actividades matemáticas es posible
emocionarse, disfrutar, sentirse bien y quedar con ganas de seguir haciéndolo.
La historia de la humanidad ha seguido y sigue el curso del emocionar, y en particular el curso de
los deseos, y no el de la disponibilidad de recursos naturales, o el curso de las oportunidades o el
curso de las ideas, valores y símbolos, como si éstos existieran como tales en sí mismos.
Humberto Maturana y Gerda Verden-Zöller. (1994).
Bibliografía
Böhm, W. (1985) Antropología y educación. Universidad de Córdoba, Mimeo.
Brunner, J. (1986) Juego, pensamiento y lenguaje. Perspectivas, Revista Trimestral de Educación Nº 57,
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D’ambrosio, U. (1993) Etnociencias. Enseñanza de la Matemática (Parte 2).Vol.1 Nº 3. ASOVEMAT,
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Huizinga, H. (2001). Homo Ludens. Madrid: Alianza.
Maturana, H. y Verden-Zöller, G. (1994). Amor y juego. Fundamentos olvidados de lo Humano. Santiago
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Bogotá: Magisterio.
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Segundo Congreso venezolano de Educación Matemática, II COVEM. Valencia: ASOVEMAT.
UNESCO. (1980). El Niño y el juego. Planteamientos Teóricos y Aplicaciones Pedagógicas. Estudios y
Documentos en Educación Nº 34. París: autor
576

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
INNOVACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA PARA LA CARRERA
DE PSICOLOGÍA EN LA UNIVERSIDAD DE VIÑA DEL MAR
Roberto C. Doniez Soro, Marco A. Rosales Riady.
Universidad de Viña del Mar, Chile
rdoniez@uvm.cl, m_a_rosales@123mail.cl
Resumen
Nos proponemos dar a conocer un proyecto de innovación docente, que están realizando el Departamento de
Matemática y la Escuela de Psicología. El proyecto apunta al diseño, implementación y experimentación de
estrategias de enseñanza y aprendizaje, sustentadas en la Ingeniería Didáctica, en los Cambios de Registros, la
Visualización y uso de Nuevas Tecnologías, en una asignatura de Matemática para los alumnos de la Carrera
de Psicología. Se propone un cambio curricular que acentúe lo formativo y diminuya el carácter instrumental
de la asignatura, de tal manera de lograr que los estudiantes adquieran habilidades y desarrollen capacidades
en las que utilicen estrategias metacognitivas en la resolución de problemas. La asignatura considera dos
sesiones semanales, cátedra y taller. Los contenidos se estructuran en tres módulos didácticos (Razonamiento
Matemático, Triángulo de Pascal y Funcionalidad), cada uno con una palabra clave: Método Científico,
Algoritmo y Modelo. El sistema de evaluación consistente en trabajos grupales (por módulo) denominados
“Proyectos por Módulo” y un examen individual final. Los ajustes y modificaciones que incorpora la réplica
de esta asignatura, nacieron de las observaciones propuestas tanto por los alumnos y los profesores de la
asignatura piloto, como por profesores de asignaturas en que la matemática es prerrequisito.
Antecedentes
Esta asignatura comenzó a dictarse el año 1997 y mantuvo su carácter instrumental hasta el
año 2001. A fines de ese año la dirección de la Carrera le solicita al Departamento de
Matemática un cambio curricular en la asignatura. Entonces un grupo de profesores
comienza a diseñar el cambio curricular requerido, que terminará por acentuar el carácter
formativo por sobre el instrumental, de manera que los estudiantes finalmente adquieran las
competencias necesarias para la resolución de problemas basados en los contenidos
matemáticos de la Enseñanza Media.
Objetivos
Las siguientes intenciones didácticas estructuran este cambio curricular:
a. Diseñar e implementar un nuevo curso para la Carrera de Psicología, ante los
requerimientos de la Dirección de la Carrera.
b. Propiciar el cambio curricular que acentúe lo formativo y disminuya el carácter
instrumental de la asignatura.
c. Diseñar, implementar y experimentar estrategias de enseñanza y aprendizaje a través de
la resolución de problemas, sustentadas en: Ingeniería Didáctica, Cambios de Registro,
Visualización y uso de Nuevas Tecnologías.
d. Generar las instancias para que los estudiantes adquieran habilidades y desarrollen sus
capacidades metacognitivas en la resolución de problemas, de manera que éstas les
permitan un mejor desempeño en sus estudios superiores.
Elementos para conformar un Marco Teórico
En nuestra propuesta docente hemos considerado:
577

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
578
• La Ingeniería Didáctica y sus fases como metodología de Investigación ya que
permite estudiar las diversas interacciones dentro de la sala de clase, tales como: los
procesos de aprendizaje de los alumnos, los procesos paramatemáticos utilizados
por ellos (argumentación, demostración, justificación...) y las estrategias didácticas
globales (resolución de problemas en forma grupal, debate).
• La Visualización, pues ella es una herramienta muy útil a la hora de resolver los
problemas propuestos, teniendo en cuenta que nuestros estudiantes poseen un
escaso dominio formal en Matemática, pero un hábito en la práctica visual.
• Los Cambios de Registros de Representación, a través de los cuales los estudiantes
aprenden a valorar la diversidad de estrategias que tienen para resolver un
problema planteado, dando cuenta así de la riqueza del problema. Creemos que así
los estudiantes mejorarán y desarrollarán más aún sus habilidades y capacidades
cognitivas, al interior de cada uno de sus proyectos educativos.
• El uso de Nuevas Tecnologías en la elaboración y defensa de los Proyectos: Word,
Excel, PowerPoint e Internet.
• Todo esto dentro del Modelo Aproximativo, que está centrado en la construcción
del saber por el alumno. Donde el profesor propone y organiza una serie de
situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas
situaciones), organiza las diferentes fases (acción, formulación, validación,
institucionalización), organiza la comunicación dentro de la clase, propone en el
momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones,
terminología, etc.). Donde el alumno ensaya busca, propone soluciones, las
confronta con las de sus compañeros, las defiende o las discute y el saber es
considerado con su lógica propia.
Estructura de la Asignatura
La asignatura ha contemplado una extensión normal de 16 semanas, con una sesión de
cátedra y otra de taller. Los contenidos se han separado en tres Módulos Didácticos cada
uno asociado con una palabra clave que lo orienta: Razonamiento Matemático –Método
Científico, Triángulo de Pascal – Algoritmo y Funcionalidad – Modelo, cada uno con una
duración de 4 semanas, con 4 sesiones de cátedra, 4 de taller y un Proyecto que intenta ser
una actividad abarcadora que incluya aspectos transversales.
o A propósito de las Sesiones de Cátedra: Cada sesión de cátedra está dividida en: a) un
conjunto de citas para reflexionar grupalmente (se espera interactividad: profesoralumno
y alumno-alumno), b) un conjunto de problemas de pensamiento lateral para
resolver grupalmente, c) un pequeño diccionario matemático de conceptos, notaciones y
nomenclaturas a la manera de notas históricas y de núcleo y d) un conjunto de
problemas para el trabajo del profesor, en los que se revisan conceptos, notaciones,
teoremas y métodos, y las palabras claves del módulo.
o A propósito de las Sesiones de Taller: En ellas se trabaja en grupos (de 3 o 4
integrantes) una Hoja de Trabajo (1 por sesión) dividida en dos partes: una para ser
abordada en el aula (4 problemas) y otra para extender el trabajo más allá del aula (2
problemas). Cada sesión comienza con una revisión de los problemas no abordados en
la sesión anterior. Se pide que cada alumno lleve una carpeta de registro de los
problemas discutidos y resueltos. La semana que se recogen los Proyectos, el taller está

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
dedicado a la defensa oral del proyecto correspondiente, por algunos grupos
seleccionados al azar.
o A propósito de los Proyectos por Módulos: Deben realizar tres Proyectos, cada uno de
los cuales considera aspectos de forma, contenido y evaluación.
o Aspectos Formales: Cada Proyecto se entrega para ser resuelto grupalmente, ciñéndose
a pautas preestablecidas y dentro de un tiempo máximo de dos semanas.
o Aspectos de Contenido: Cada proyecto consiste de 7 items separados en dos partes. Los
tres primeros referidos a: citas, pensamiento lateral y la palabra clave. La palabra clave
supone cierta familiaridad con Internet (búsqueda de temas, selección y síntesis de
ideas). Los 4 problemas restantes más “matemáticos” en su planteamiento y resolución,
han sido elegidos en concordancia a la palabra clave. Los de la Primera Unidad
Didáctica son problemas de razonamiento con énfasis en el Método Científico: lectura
del enunciado, separación de hipótesis, nominación de variables, desarrollo, resultados
o soluciones, verificación. Los problemas de la Segunda Unidad tienen como objeto de
estudio el Triángulo de Pascal, permiten entender el concepto de Algoritmo (proceso
finito que se desarrolla por pasos y tiene como objetivo resolver un problema
determinado). Los de la Tercera Unidad se basan en los conceptos de correspondencia y
funcionalidad (permiten revisar los conceptos de proporcionalidad, porcentaje y
escalas) vinculados con el concepto de Modelo (fundamental en la Ciencia
Contemporánea). Se han privilegiado aquellos problemas que pueden abordarse a través
de varios caminos (explicación literal, usando esquemas de pensamiento lateral, tablas
aritméticas, trabajo algebraico, visualización, construcción material). También se ha
pensado elegir aquellos que admitan respuestas múltiples.
o Aspectos Evaluativos: La nota de cada Proyecto resulta de la ponderación de varias
notas. 20% en Formalidades, 60% en Desarrollo del Proyecto y un 20% en Auto y Co-
Evaluación, indicadas en las columnas A, B y C de la matriz, y la nota del proyecto está
dada por la fórmula: N = A × 02 , + B × 06 , + C × 02 ,
o
Para cada una de las la
asignaciones de nota se
utilizó la norma dada por:
⎧ 3P
⎪ + 1 si 0≤
P≤C C
⎪
N = ⎨
⎪3( T − P)
⎪ + 4 si C ≤ P≤T ⎪⎩ T − C
T puntaje P puntaje obtenido C puntaje mínimo de aprobación N nota obtenida
total
o Para la auto-evaluación y co-evaluación de los proyectos grupales los estudiantes
tuvieron que completar la siguiente tabla:
579

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
580
Los 5 primeros items son
evaluados individualmente, siendo
lo más honestos posible. Los
restantes integrantes del grupo
asignan a conciencia una nota por
el desempeño global del que falta
en el items 6. Las Notas de la
Auto-evaluación (N1), Coevaluación
(N2) y Nota Final (N)
se obtienen aplicando las
fórmulas:
Item + L+
Item5
N1
=
5
1 N1
2
N2
= Item6
N =
A propósito de las Actividades Transversales: Para articular los módulos se
programaron (año 2002) tres muestras de video, seleccionados de una colección donada
por el Instituto Cultural de Francia a nuestro Departamento, con motivo del “Año
Mundial de la Matemática”, relacionados con la Ciencia (matemática, física,
astronomía, biología, medio ambiente,...). En la actual réplica se presentó otro de
contenido matemático-científico (cuestiones didácticas desarrolladas en El Palacio del
Descubrimiento, Paris-Francia y además un Diaporama que mostraban aspectos
matemáticos de la calle (suelos y paredes de la Ciudad de Viña del Mar).
A propósito de la Evaluación de la Asignatura: La nota de presentación a examen,
corresponde al promedio aritmético de las notas de los tres proyectos y la defensa oral
de un proyecto. La nota final: 70% de la nota de presentación y 30% del examen. La
escala es de 1.0 a 7.0 con nota mínima de aprobación 4.0.
A propósito de la Administración de la Asignatura: Esta asignatura contó en su versión
piloto con el trabajo de tres profesores. Uno a cargo de las 2 sesiones de cátedra (una
por paralelo) y otros dos a cargo de los talleres (cada paralelo se dividía en dos grupos
de taller). La última versión contó con dos profesores, uno a cargo de una sesión de
cátedra y una de taller y otro con una sesión de Taller.
Problemas en el corazón de la asignatura
Problema significa eso que obstruye el camino, el o los obstáculos, aquello que se ha
arrojado delante (pro: delante y blema: acción de arrojar). Un problema es una situación
frente a la cual no podemos menos que adoptar una actitud; esta actitud puede consistir en
alguna de las siguientes opciones entre otras: dar marcha atrás y desandar el camino, buscar
alguna forma de rodearlo, cambiando de rumbo o eligiendo alguna ruta alternativa, y
enfrentar el obstáculo y buscar la forma de removerlo del camino, o de dejar la ruta
despejada para poder proseguir. Esta asignatura se ha diseñado de tal manera que la
Resolución de Problemas se aloje en una zona principal: su corazón. Los problemas
planteados son muchos y han sido presentados en 4 distintos contextos: cátedras, talleres,
proyectos y evaluaciones de manera de cumplir distintos objetivos.
Entre los contenidos y criterios que se consideraron en la selección de problemas:
1. Elementos matemáticos en juego:
• Elementos de Lógica Elemental.
+ N
2

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
• Aritmética y Álgebra básicas: números naturales, enteros y racionales (fracciones,
decimales, porcentajes, probabilidad,...); potencias y raíces; ecuaciones y sistemas
de ecuaciones de grado 1 y 2.
• El Triángulo de Pascal: Números figurados, sucesiones, progresiones, binomio de
Newton, combinatoria, probabilidad, geometría fractal (conceptos, imágenes: Copo
de Nieve y Triángulo de Sierpinski).Teoremas de la Geometría (Thales y Pitágoras)
• Correspondencia y Función: ejemplos de la vida real, proporcionalidad y conversión
de medidas y monedas, lectura y construcción de gráficos a partir de textos.
2. Formas de pensamiento: Se ha incentivado el uso del Pensamiento Lateral como una
alternativa al llamado pensamiento lógico-vertical y de manera de complementar los
razonamientos deductivos e inductivos (Intento y Error).
3. Uso de Tablas (Word y/o Excel) como herramienta: Incentivo del uso de tablas para
manejar la información generada al abordar la solución de un problema.
4. Visualización como herramienta: Incentivo del uso de la Visualización (esquemas,
dibujos, monos, gráficos, tablas,...) para avanzar en la solución de un problema. Uso de
árboles, diagramas de Euler-Venn.
5. Construcción de material concreto (manipulación): Incentivo para la construcción de
material concreto que guarde relación con alguna abstracción matemática del curso.
(cuerpos geométricos que dan cuenta de un cubo de binomio, mapa plano para el
pintado de un cubo con tres colores, construcción de dos juegos de Tangram siguiendo
Escalas dadas, ...).
6. Tipo de problemas: Se incorporaron problemas donde fuera posible el uso de varias
estrategias de resolución asociados a distintos tipos de saberes. Se incluyeron problemas
que tuvieran varias respuestas posibles.
7. Uso de Internet: Asociado al trabajo con los problemas aparece el uso de Internet. Se
espera que los estudiantes puedan buscar, seleccionar y sintetizar material relacionado
con preguntas acerca de las palabras claves.
Acerca del Control durante la asignatura
El sistema evaluativo partió considerando sólo tres Proyectos grupales y un Examen
individual, sin embargo acercándose al tercer proyecto (ultimo tercio de la asignatura) y
notando cierto abandono, cierta relajación en los estudiantes, se pensó en introducir un
instrumento que los obligara a revisar cuestiones ya vistas. Se realizó entonces un control
evaluativo de tres preguntas relacionadas con los dos proyectos anteriores. Esta evaluación
(que en general no tuvo muy buenos resultados) finalmente se vinculó al tercer proyecto y
lo que se hizo fue hacer participar la nota del control con un 15% en la nota final del
Proyecto 3.
Comentarios de algunos resultados de la experimentación en el aula
En general mostraron un mayor dominio de estrategias deductivas que inductivas. La
estrategia de intento y error fue muy utilizada en problemas vinculados a visualización con
una o varias soluciones. Les interesó aquellos problemas donde se estimularan las
estrategias laterales. Los estudiantes no supieron hacer uso de tablas para ordenar las
soluciones en algunos problemas. En los problemas de trabajo algebraico continuaron
mostrando algunas dificultades propias de Enseñanza Media: (prioridad de operaciones, uso
de paréntesis, etc.). Esto se hace patente porque evitan el trabajo algebraico recurriendo a
una estrategia informal. Reconocieron en el uso de árboles una buena estrategia visual de
581

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
resolución de algunos problemas. De los teoremas clásicos la mayoría conocía el Teorema
de Pitágoras y pocos el Teorema de Thales. En aquellos problemas que conduce al planteo
de sistemas de ecuaciones (2 ecuaciones con 2 variables y 2 ecuaciones con 3 variables)
reconocieron que algunos de ellos al menos es posible resolverlo sin usar conocimientos de
sistemas de ecuaciones. Esto les permitió comparar los dos caminos. La introducción del
Triángulo de Pascal permitió estar en el cruce de varias ideas matemáticas importantes:
Números Figurados, Binomio de Newton, Combinatoria, Probabilidades, Geometría
Fractal, perímetros y áreas, idea de algoritmo, iteraciones, búsqueda de patrones numéricos,
sucesiones y progresiones... por lo que expandieron sus conocimientos. Diferenciaron los
conceptos de Correspondencia y de Función. Sacaron ejemplos de la vida real e hicieron
análisis cualitativos y cuantitativos de situaciones gráficas. Manejaron el concepto de
proporcionalidad en diferentes situaciones.
Proyecciones de la experiencia
Dentro de las proyecciones inmediatas podríamos nombrar:
1. Renovación del Banco de Problemas: Modificar, Incorporar y Diseñar, ciñéndose al
Marco Teórico actual.Incorporación de un Control escrito individual después de
cada Proyecto con problemas relacionados tanto con él como con los talleres del
módulo, de modo de optimizar el Sistema de Control General de la asignatura. La
nota final de cada proyecto así incorporará además la nota de control, quedando el
Proyecto en un 80% y el control en un 20%. La nota de presentación se obtiene del
promedio aritmético de los tres proyectos y de la defensa de éstos.Réplica de la
Asignatura en otras carreras de la Universidad, por ejemplo Sociología, e
incorporarla en el currículo de otras carreras como en Arquitectura, Diseño y
Bachillerato en Humanidades,....
Retroalimentación
Los ajustes y modificaciones que incorpora la actual réplica de esta asignatura, nacieron de
las observaciones propuestas tanto por los alumnos y los profesores de la asignatura piloto,
como por profesores de asignaturas en que la matemática es prerrequisito. Es así como al
término del curso 2002 se aplicaron dos instrumentos, uno de evaluación a los estudiantes y
otro de seguimiento al profesor de la asignatura de Lógica, que le sigue en la malla
curricular. Esta réplica también considera ambas evaluaciones retroalimentadoras, las que
se realizarán a mediados del segundo semestre, de modo de validar la información
recogida.
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PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
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583

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Resumen
584
FUNCIONES EMBOTELLADAS
Edison De Faria Campos
Universidad de Costa Rica
edefaria@cariari.ucr.ac.cr
Esta es una propuesta didáctica que consta de una serie de actividades relacionadas con la representación
gráfica de ciertas funciones y su vinculación con una representación en un contexto físico o icónico (dibujo de
un recipiente). Las actividades son de dos tipos: Dadas las formas de los recipientes, bosquejar las gráficas
correspondientes, teniendo en cuenta que la variable independiente es la altura del líquido y la variable
dependiente es el área de la superficie del líquido (o bien el volumen del líquido dentro del recipiente); dadas
las gráficas del área de la superficie del líquido versus altura, bosquejar los posibles recipientes
correspondientes. Ambas actividades son diseñadas para propiciar el cambio de un sistema de representación
a otro (Janvier, 1987; Duval, 1992, 1999; Hitt, 1992).
Introducción
En 1985 el Shell Centre for Mathematical Education (1990) publicó el módulo “El lenguaje
de las funciones y gráficas” con un gran número de actividades para realizar en el aula.
Estas actividades, ideadas principalmente por Claude Janvier, proponen el desarrollo de la
capacidad de interpretar y usar la información proporcionada por las representaciones
gráficas, pues según Janvier, muchos estudiantes están familiarizados con dichas
representaciones, pero son incapaces de extraer la información global que contienen. Es así
que Janvier (1987) justifica la importancia en las posibles “traducciones” entre cuatro
modos de representación de la función de acuerdo al cuadro abajo:
Representación Gráfica Tabular Analítica Verbal
Gráfica Reelaboración
de la gráfica
Tabular Representación
cartesiana de
puntos
Analítica Representación
gráfica
Verbal Construcción
de un esbozo
Estimación de
valores de las
variables
Reelaboración
de la tabla
Cálculo de
valores
particulares de
la fórmula
Comparación
de valores de
las variables
Elección de
una familia
verosímil
Realización de
un ajuste
Manipulación
algebraica o
analítica de la
fórmula
Elaboración
de un modelo
funcional
Interpretación
de la gráfica
Interpretación
y análisis de
datos
Identificación
y análisis de la
fórmula
Discusión y
reflexión
Investigaciones realizadas por Duval (1992) reportan que en estudios en donde se presente
un enunciado en el cual están en juego varios sistemas de representación, es importante
analizar las articulaciones que hay de un sistema a otro.
Las posibilidades de traducciones entre los distintos sistemas de representaciones llevaron a
Janvier a idear varias actividades en las que se prima la utilización de distintos modos de
representación de la función y el paso de un modo de representación a otro. Una de las

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
actividades se denominó curvas de llenado y consistía en solicitar a los estudiantes que
hicieran un esbozo de una curva que expresara como varía con el tiempo, la altura del
líquido contenido en cada una de las botellas, cuando las mismas son llenadas a caudal
constante.
El problema inverso también es importante, es decir, dibujar un posible recipiente que
corresponda a una gráfica dada tiempo-altura, y fue investigado por Hitt (1992) en México.
En este artículo propongo algunas actividades relacionadas con curvas de llenado y el
problema inverso, que pueden ser aplicadas tanto a estudiantes de la educación secundaria
como a estudiantes universitarios en un primer curso de cálculo. De esta forma realizamos
conversiones entre diferentes registros de representaciones, Duval (1992,1999), Janvier (1987).
Considero que este tipo de actividad presenta una ventaja adicional: permite visualizar el
comportamiento global de la gráfica de una función dado su modelo físico o icónico, o bien
el modelo del recipiente, dado la representación gráfica de elementos del mismo. Sabemos
que el límite o la derivada de una función en un punto dado son propiedades locales de la
función, mientras que la integral definida proporciona una comprensión más global de una
función. Ambos comportamientos, local y global, permiten que tengamos una mayor
comprensión del objeto de estudio, las funciones.
Actividad 1: Esbozar las gráficas correspondientes a llenado de recipientes
Objetivo: Pasar de la representación física a la representación gráfica
Ejemplo: El recipiente abajo (una copa) se encuentra inicialmente vacío, sobre una
superficie horizontal plana. Empezamos a llenarlo despacio (sin inclinarlo) de tal forma que
la superficie del líquido siempre se encuentre en equilibrio y coincida con la sección
transversal del recipiente. Bosquejar una posible gráfica que corresponda al llenado de la
copa, si la variable independiente es la altura del líquido y la dependiente es el área de la
superficie del líquido.
En este caso, el área inicial es igual a cero (recipiente vacío). Cuando introducimos el
líquido, el área de la superficie – con forma aproximadamente circular – aumenta con la
altura, inicialmente de manera muy pronunciada, posteriormente más despacio, hasta llegar
a un valor máximo. A partir de la altura correspondiente al área máxima, el área empieza a
disminuirse lentamente hasta alcanzar un valor límite, correspondiente a la copa llena de
líquido. Por lo tanto una posible representación gráfica que corresponde a la figura dada es
la siguiente:
585

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El área máxima corresponde a la altura h 2 , mientras que a la altura h 1 corresponde un
punto de inflexión. Aquí no utilizo ninguna escala para los ejes coordenados, por no
conocer las dimensiones reales de la copa, pero para facilitar la ubicación de las alturas
dibujé una recta que supuestamente corresponde a la gráfica de ecuación y = x.
En este ejemplo se supone que la forma de la copa es “suave” en el sentido de que las
curvas resultantes son continuas, pero podemos diseñar recipientes cuyas gráficas
corresponden a funciones discontinuas, como la siguiente botella:
De esta forma podemos asociar gráficas – correspondientes al registro de representaciones
gráficas de funciones – a la actividad de llenado de botellas (objetos físicos). Esto me llevó
a sugerir el nombre de la actividad como “funciones embotelladas”.
Las siguientes actividades fueron aplicadas a un grupo de 25 estudiantes de enseñanza de
matemática de la Universidad de Costa Rica, videograbadas y analizadas con todo el grupo.
Problema: Dadas las formas de los siguientes recipientes (no aparecen en este artículo
debido a la falta de espacio), bosquejar las gráficas correspondientes, teniendo en cuenta
586
h1
h3
h2
h1
h2
h3
Área
Área
1 h 1 h2
h1 h2 h3
Altura
h + h 1 + h2
+ h3
Altura

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
que la variable independiente es la altura del líquido y la variable dependiente es el área de
la superficie del líquido.
Actividad 2: Esbozar las gráficas correspondientes a llenado de recipientes
Objetivo: Pasar de la representación física a la representación gráfica
Problema: Para los recipientes de la actividad 1, esbozar las gráficas correspondientes, si
la variable independiente es la altura y la variable dependiente es el volumen del líquido
dentro del recipiente.
La última actividad corresponde al problema inverso, es decir, dibujar posibles recipientes
que correspondan a gráficas dadas. En todas las representaciones gráficas la variable
dependiente corresponde al área de la superficie del líquido dentro del recipiente, mientras
que la variable independiente corresponde a la altura del líquido. Para las gráficas dadas,
¿existirá algún recipiente que sea imposible de construir?
Actividad 3: Esbozar los recipientes correspondientes a las gráficas dadas
Objetivo: Pasar de la representación gráfica a la física
Problema: Dadas las gráficas del área de la superficie del líquido versus altura (no
aparecen debido a la falta de espacio), bosquejar los recipientes correspondientes.
A seguir exhibo algunas muestras de las soluciones presentador los y las estudiantes.
587

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Es interesante observar que varios estudiantes intentan seguir la forma de la gráfica cuando
esbozan el recipiente. Además pierden la proporción entre los valores del área cuando
realizan la conversión entre la representación gráfica y la icónica. Otro hecho curioso es
que en algunos casos existe la tendencia a buscar la representación algebraica para la
función, como en la primera figura V = x (en todo caso debería ser V = h ). Es posible
que esta sea la representación más utilizada por los docentes cuando desarrollan el tema de
funciones.
Conclusiones
Estoy plenamente de acuerdo con la afirmación de Kaput (1992) de que los sistemas de
representaciones son un aspecto central de la comprensión del sujeto acerca de los objetos
matemáticos y sus relaciones y de las actividades matemáticas que éste ejecuta cuando
realiza tareas que tienen que ver con esos objetos. Actividades como las propuestas en este
artículo son significativas para los estudiantes por su conexión con situaciones de la vida
real y permiten que el docente utilice materiales concretos (recipientes reales) con el fin de
que los estudiantes y las estudiantes exterioricen las distintas representaciones mentales que
poseen de un determinado concepto mediante diagramas, esbozos de curvas, frases y
símbolos. Además, este tipo de actividad abre nuevas posibilidades para que el sujeto pueda
tener una comprensión global de la gráfica de una función, y puede ser fuente de
inspiración para que docentes y estudiantes puedan trabajar juntos en la construcción
significativa del conocimiento matemático.
Una pregunta que sería importante investigar y que se relaciona con las actividades
realizadas es: ¿Cómo podríamos utilizar la tecnología digital – calculadoras graficadoras o
computadoras – para simular el llenado de recipientes con formas conocidas, y construir las
588

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
representaciones gráficas correspondientes?, ¿Podemos modelar las ecuaciones -
representación algebraica - que representan el llenado de recipientes?
Referencias
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589

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
FORMACIÓN DE PROFESORES EN LA TRANSICIÓN ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
590
Neila Sanchez, Fernando Guerrero
U. Distrital Fco. José de Caldas, Bogotá, Colombia
neila4@starmedia.com, nfguerrero@hotmail.com
Resumen
En el marco de investigar en el aula la comprensión de la variable -por el alumnado de básica- en su tránsito
de la aritmética al álgebra, para el caso de los estudiantes para profesor de la licenciatura en educación básica,
se propone y fundamenta un curso “Transición aritmética al álgebra para formadores de/y profesores de
básica” en el ámbito de la resolución de problemas, bajo la metodología de análisis de situaciones didácticas
con relación a los conceptos asociados a la transición aritmética al álgebra: ámbitos de interpretación de la
letra; de los sistemas de numeración; de los sistemas de numeración posicional; del contexto aritmético de
referencia y de las representaciones asociadas a la variable como objeto matemático. Las temáticas que se
propone abordar en el curso son: estructuras aditivas; estructuras multiplicativas; variación y número;
concepciones de álgebra. El marco de fundamentación teórico gira en torno a la conceptualización de lo que
es y puede ser el fomento del desarrollo del pensamiento numérico y algebraíco a partir de las investigaciones
llevadas a cabo por el grupo Pretexto de la Universidad Distrital y las investigaciones llevadas a cabo por
Kucheman, Collis, Vergnaud, Kieran, Usiski entre otros. Se consideran en el marco de discusión a la
propuesta de curso, la epistemología de la transición aritmética al álgebra, los problemas didácticos
vinculados y las prácticas usuales de los profesores.
Antecedentes de la propuesta
Justificación. Las concepciones que un Estudiante para Profesor (EPP) ha desarrollado
durante su proceso de formación en la escuela han generado formas de actuación que
posteriormente caracterizan sus roles y acciones profesionales y se convierten en generador
/obstáculo de nuevas construcciones de conocimiento o de acciones de transformación, así
como de las posibilidades de investigar y reflexionar sobre su desempeño profesional. Por
lo anterior, el análisis de cómo fue él enseñado, la reflexión sobre las producciones de los
niños y adolescentes con relación a sus concepciones iniciales, la indagación de cómo se
aprende la noción de variable en contextos matemáticos (aritméticos y algebraicos) en la
escuela, además de los roles del profesor en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, son problemas que deben ser tematizados (indagados, investigados,
reflexionados, develados y transformados) a profundidad en la formación de un EPP, pues
de ello dependerá la reflexión crítica sobre su práctica pedagógica y el desarrollo de su
pensamiento práctico como futuro profesor de matemáticas de la educación básica.
Formulación del problema. Cuando nos preocupa como abordar la enseñanza de alguna
noción matemática en la educación básica hacemos en nuestra mente un inventario de
estrategias metodológicas y didácticas y buscamos ayuda en los libros de Didáctica de la
Matemática. Intentamos con ello construir explicaciones y soluciones a lo que creemos que
genera dificultad de aprendizaje en los alumnos, porque pensamos que algo pasa con ellos
cuando por ejemplo, confunden un procedimiento, dan respuestas erróneas o no pueden
explicar lo que hicieron. Pese a esa primera aproximación siempre retornamos a nuestra
experiencia como el principal modo de dar respuesta a ese tipo de situaciones inquietantes.
Tomar conciencia de esta realidad nos ha ayudado a comprender que en la práctica
pedagógica en el aula necesitamos investigar sobre la cognición matemática de nuestros

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
alumnos, sobre sus características personales y los ámbitos concretos que facilitan su
desarrollo. Asimismo nos enfrentamos con varios problemas relativos al conocimiento
práctico 1 de los profesores de educación básica. ¿Cual es la relación que ellos establecen
entre el conocimiento matemático a enseñar, el conocimiento matemático que aprendieron
en su proceso de formación como profesores y el conocimiento matemático de sus
alumnos? ¿Qué saben los profesores sobre las capacidades matemáticas de alumnos y sus
procesos de pensamiento, en particular el pensamiento numérico y variacional? Asimismo
nos preguntamos por la utilidad que ellos le dan al conocimiento práctico y el lugar que
ocupa en el currículo de la formación inicial de profesores. Finalmente consideramos la
necesidad de conceptualizar acerca de qué tipo o tipos de conocimientos deben poseer los
estudiantes para profesor (EPP) cuando interactúan con sus alumnos en el aula. Surge
entonces la pregunta abarcadora:
¿Cuál es el tipo de formación que con relación al razonamiento pedagógico y
conocimiento practico debe desarrollar el EPP para gestionar democráticamente la
enseñanza y aprendizaje del tránsito de la aritmética al álgebra escolar?
Marco teórico de la propuesta del curso “Transición aritmética al álgebra para
formadores de/y profesores de básica”
Referente curricular el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y
analíticos 1 . Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los
logros para alcanzar en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos
matemáticos fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un
campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y
vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y
problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente
matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas. Los conceptos,
procedimientos y métodos que involucra la variación en la búsqueda de las interrelaciones
permiten identificar algunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que está
involucrada:
− Continuo numérico, reales, en su interior los procesos infinitos, su tendencia,
aproximaciones sucesivas, divisibilidad;
− la función como dependencia y modelos de función;
− las magnitudes;
− el álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica,
particularmente la noción y significado de la variable es determinante en este campo;
− modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para
medir el cambio absoluto y para medir el cambio relativo. La proporcionalidad cobra
especial significado.
Entendemos por conocimiento practico del profesor aquel conocimiento que pone en juego con respecto a lo que él sabe
sobre las matemáticas escolares, del como la aprendieron y acerca del como se enseña.
1 Esta conceptualizacion se ha tomado como una cita de los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998) sin ninguna
modificación dada su importancia para la comprensión y análisis del problema, pues sitúa la discusión sobre el deber ser
desde un currículo centrado en los conocimientos básicos que todo alumno de básica y media debe alcanzar para
desarrollar su pensamiento variacional.
591

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La transición aritmética al álgebra. En general, el trabajo sobre álgebra escolar
desarrollado en las aulas gira en torno a los siguientes temas: Conjuntos numéricos
(números reales), variables, simplificación de expresiones algebraicas y resolución de
ecuaciones. Ahora bien, a partir de los estudios realizados en el contexto colombiano pudo
determinarse que las dificultades de los estudiantes -que son manifestaciones de los
problemas- en relación con el trabajo algebraico coinciden, en gran parte, con las
reportadas en otros trabajos investigativos 2 , las cuales, según Kieran (1989) pueden
clasificarse en tanto estén relacionadas con:
− El cambio de convenciones respecto del referente aritmético,
− La interpretación de las letras y
− El reconocimiento y uso de estructuras.
Algunos resultados de investigaciones que dan cuenta de las dificultades encontradas al
cambiar las convenciones en la notación, respecto del referente aritmético que traen los
estudiantes, y, de manera especifica, los relacionados con las interpretaciones que estos
hacen de la letra en contextos matemáticos dicen relación con: marco aritmético de
referencia; dificultad que tienen los estudiantes para aceptar la falta de cierre, por ejemplo,
aceptar como respuesta la expresión abierta a+b que induce a escribir a+b = ab e incluso
2+3a= 5a ; el dilema proceso-producto, el cual podría estar relacionada también con la
interpretación del signo “=” como una orden de operar y con la dificultad para aceptar la
relación de igualdad como una relación de equivalencia; necesidad de tematizar el hecho
de requerir de unidades variables (por ej., para sumar 2 con 1/3, se toma como unidad de
medida 1/3, también lo serian 1/6, 1/9... mientras que para sumar 2 con ¾ se toma ¼ como
unidad de medida, y para sumar 2/3 con ¾ se toma como unidad de medida 1/12).
Interpretación de las letras: un primer acercamiento
Cuando se inicia el trabajo escolar en álgebra, al parecer, como se encontró manifestación a
partir del estudio referido, no se hace referencia explicita, o no se hace énfasis, en que
conjunto se está trabajando, pues se espera que, vistos ya los conjuntos numéricos, el
estudiante no solo esté en capacidad de manejarlos, sino de asimilar que, en el que se esta
trabajando es el más amplio posible: el conjunto de los números reales, como posiblemente
lo asume el profesor, sin verificar si entre las significaciones de los estudiantes aparece esta
noción. Similarmente, cuando se trabaja con letras, se asume también una interpretación
adecuada por parte de los estudiantes de lo que ellas significan en el contexto mencionado.
Las letras aparecen, en general, ligadas a expresiones sintácticas que adquieren sentido en
estructuras definidas a partir de relaciones como “igual que”, “menor que”, y de acuerdo
con las interpretaciones que los muchachos tengan tanto de estas relaciones, como de los
símbolos que las representan. Resulta conveniente resaltar, en particular, la importancia
que tiene para el aprendizaje del álgebra, superar la interpretación del signo igual como
orden de operar, si se quiere acceder a una interpretación de la letra que, además de ser
representación de numero, considere el tipo (en este caso el conjunto numérico) al que ella
pertenece, es decir, tanto su universo numérico como las relaciones que le dan a el
estructura (algebraica, en este caso); y en relación con esto, tanto superar, en palabras de
Matz y Davis(1980), el dilema proceso-producto, como aceptar lo que Collis(1975) llama
2 Entre otras dificultades, podemos mencionar las relacionadas con el manejo de los universos numéricos y los procesos
de simbolización. Para un análisis mas detallado ver: Grupo Pretexto(1999). Transición aritmética al álgebra. Bogotá:
Gaia. 2ª Edición
592

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
aceptación de la falta de cierre 3 . Reconocimiento y uso de estructuras Después del trabajo
con letras, particularmente orientado al uso de estas como representantes de números, se
empieza a operar con ellas en el contexto de las expresiones algebraicas. Kieran (1989)
reporta investigaciones relacionadas con la posibilidad de una aproximación geométrica
para dar sentido a las dichas expresiones y descubrir obstáculos cognitivos asociados con
esa aproximación; estas investigaciones sugieren que la construcción del sentido de tales
expresiones no lleva necesariamente al desarrollo espontáneo de sentido para la
simplificación de expresiones algebraicas. Sobre el particular, reporta investigaciones
relacionadas con el conocimiento estructural que tienen los estudiantes de dichas
expresiones, evidenciando a partir de los procesos que ellos usan para simplificarlas, y
plantea que las dificultades de los estudiantes en la asimilación de la estructura de las
expresiones algebraicas 4 influyen en su trabajo con ecuaciones.
La investigación sobre el proceso de aprender a enseñar: el conocimiento de los
profesores en formación en la transición aritmética al álgebra. Si hay un tema que haya
surgido con fuerza en los últimos cuatro años, y que haya obligado a replantear los estudios
sobre las prácticas de enseñanza, seguramente que nos refiramos a las investigaciones que
en torno al amplio descriptor de aprender a enseñar se han venido desarrollando.
Enraizadas en lo que denominó el paradigma de "Pensamiento del Profesor", la
investigación sobre aprender a enseñar ha ido evolucionando hacia la indagación de los
procesos por los cuales los profesores generan conocimiento, además de qué tipos de
conocimientos adquieren (Carter, 1990). Conocimiento Didáctico del Contenido. Los
estudios en la línea del proceso de aprender a enseñar (Marcelo, 1993) se han centrado en
tres grupos. En primer lugar los estudios sobre el procesamiento de información y
comparación expertos-principiantes cuyo foco de atención ha sido los procesos mentales
que los profesores llevan a cabo cuando identifican problemas, atienden aspectos del
ambiente de la clase, elaboran planes, toman decisiones, y evalúan (Martínez Ruiz, 1991).
Una segunda línea de investigación se centra en el estudio sobre el Conocimiento Práctico
de los profesores que "se refiere de forma amplia al conocimiento que poseen los
profesores sobre las situaciones de clase y los dilemas prácticos que se les plantean para
llevar a cabo metas educativas en estas situaciones" (Carter, 1990: 299). En relación a esta
línea de investigación, Calderhead (1991) ha revisado las investigaciones en las que se
aborda en desarrollo del conocimiento durante las prácticas de enseñanza, mostrando que
los alumnos en prácticas poseen un conocimiento inicial acerca de la enseñanza, en la
medida que han tenido experiencias con niños en clases. Además, afirma que el
conocimiento que poseen los alumnos en prácticas puede que no sea el más adecuado para
la enseñanza, ya que las investigaciones muestran que los alumnos en prácticas pueden
poseer concepciones erróneas o basadas en modelos de enseñanza transmisivos. Estas
concepciones pueden impedir que los profesores en formación adquieran conocimientos
más sofisticados sobre la enseñanza, y que predomine lo que Doyle y Ponder (1977)
denominaron la ética de lo práctico. Las investigaciones realizadas muestran que el
conocimiento de los profesores en formación está asociado a situaciones de la práctica,
3 Autores citados por Kieran(1989). Ibid.p.25.
4 Reporta una investigación de Greeno(1982), según la cual el desempeño de los estudiantes novatos en álgebra parecía
ser bastante al azar, por lo menos en un momento. Sus procedimientos contenían múltiples errores, que indicaban una
carencia de conocimiento acerca de las características estructurales del álgebra. Por ejemplo, podían simplificar 4(6x – 3y)
+ 5x como 4(6x-3y+5y) en un intento, pero hacer algo diferente en otra ocasión. Ibid, p.25.
593

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
aunque las relaciones entre pensamiento y práctica sean aun poco claras y conocidas. Sí se
ha mostrado que puede darse contradicción entre las teorías expuestas y las teorías
implícitas, y que el cambio en el conocimiento de los profesores en formación no
necesariamente conduce a cambios en su práctica. Por último, en orden cronológico Carter
sitúa las investigaciones sobre Conocimiento Didáctico del Contenido, para referirse a
aquéllos estudios en los que se analiza específicamente el conocimiento que los profesores
poseen respecto al contenido que enseñan, así como -y esto es muy importante-, la forma en
que los profesores trasladan ese conocimiento a un tipo de enseñanza que produzca
comprensión en los alumnos. Como se puede observar, el cambio que se viene produciendo
en la investigación sobre el "Pensamientos del Profesor" es hacia una investigación más
comprometida con los contenidos que enseñan los profesores (Marcelo, 1993).
Creencias, imágenes y el proceso de socialización durante las prácticas. Junto o
paralelamente a la investigación sobre el conocimiento de los profesores tanto en formación
como en ejercicio, se han venido desarrollando trabajos que se han centrado en el análisis
de las creencias e imágenes que los profesores en formación traen consigo cuando inician
su formación. Pajares (1992) ha llamado la atención a la dispersión semántica que ha
caracterizado estas investigaciones, en las que se han utilizado términos como: creencia,
actitud, valores, juicios, axiomas, opiniones, ideología, percepciones, concepciones, sistema
conceptual, preconcepciones, disposiciones, teorías implícitas, teorías explícitas, teorías
personales, procesos mentales internos, reglas de la práctica, principios prácticos, etc.
Desde esta diferenciación, las investigaciones sobre prácticas de enseñanza han venido
mostrando que "los profesores en formación entran en el programa de formación con
creencias personales acerca de la enseñanza, con imágenes de buen profesor, imagen de sí
mismos como profesores y la memoria de sí mismos como alumnos. Estas creencias e
imágenes personales generalmente permanecen sin cambios a lo largo del programa de
formación y acompaña a los profesores durante sus prácticas de enseñanza" (Kagan,
1992:142).
El desarrollo de la reflexión durante las prácticas de enseñanza. Uno de los principales
esfuerzos de las investigaciones sobre reflexión ha consistido en desarrollar instrumentos,
escalas y o taxonomías para verificar y evaluar los cambios en los niveles reflexivos por
parte de profesores, bien en formación o en ejercicio. Una de las clasificaciones más
difundida corresponde a la desarrollada por Van Manen, que Zeichner y Liston (1985)
aplicaron al análisis del discurso supervisor diferenciando entre discurso prudencial,
factual, justificatorio y crítico. Otro programa de formación del profesorado basado en la
reflexión es el denominado CITE (Collaboration for the Improvement of Teacher
Education) que incluye prácticas de campo estructuradas, microenseñanza, diarios y tareas
escritas para promover la capacidad de análisis, de formulación de preguntas y de reflexión
en los profesores en formación. Para evaluar el desarrollo de la reflexividad de los
profesores en formación elaboraron una taxonomía que incluye las siguientes categorías: 1)
no descripción; 2) descripción simple; 3) denominación de sucesos a través de conceptos
pedagógicos; 4) explicación utilizando solamente la tradición o las preferencias personales;
5) explicación utilizando principios pedagógicos; 6) explicación utilizando principios
pedagógicos y el contexto; y 7) explicación con consideraciones éticas/morales. En la
evaluación del programa los profesores en formación sólo alcanzaron el nivel 6 (Sparks-
Langer y Colton, 1991). En general, las investigaciones que se desarrollan dentro de este
594

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
ámbito toman la reflexividad como variable dependiente, analizando los cambios que se
producen como consecuencia de programas completos, o bien de elementos programáticos
más específicos, como pueden ser la redacción de casos, los diarios, la biografía, los
registros pedagógicos, etc.
Descripción del curso “Transición aritmética al álgebra para formadores de/y
profesores de básica”
Propósito del curso. En la perspectiva pedagógica que hemos asumido (compleja,
constructiva y crítica) desde el contexto del aula como instancia de realización privilegiada
del profesor, y dado que el espacio de formación de la práctica pedagógica es el eje
articulador del currículo (documento CNA), proponemos un curso tendiente a: develar y
transformar las concepciones e imágenes que sobre el hacer práctico del profesor, son
asumidas por los EPPs; que concrete acciones curriculares conducentes a la formación de
un profesor investigador en el aula; develar, analizar, investigar y transformar las
tradicionales acciones y prácticas del profesor de matemáticas –las más de las veces
segregadoras y generadoras de violencia- de manera que conviertan al profesor en un
generador y gestionador de/en aulas democráticas; en particular un curso que permita el
análisis, desde el aula de clase, del proceso de paso del aritmética al álgebra con alumnos
de educación básica.
Objetivos del curso. En contextos concretos de aulas de educación básica, para el profesor
universitario:
• Identificar, las concepciones, imágenes y representaciones que han construido los EPPs,
del profesor de matemáticas, de cómo aprenden los niños los objetos matemáticos de
fracción, igualdad y procesos de generalización y simbolización, y de los roles del
profesor en el aula, en situaciones didácticas relativas a los objetos matemáticos
mencionados.
• Identificar, analizar e indagar la red de relaciones e interacciones que se dan en el aula, de
manera que se pueda tener miradas e interpretaciones de los “hechos de clase” más
complejas, cuando los actores de dichas situaciones e interacciones trabajan con los
objetos matemáticos.
• Estudiar enfoques de investigación y realizar actividades conducentes a la formación de
un profesor investigador en el aula, con el análisis e indagación de instrumentos, de
perspectivas de investigación en el aula.
Para el estudiante para profesor:
• Analizar a partir de la aplicación de instrumentos de indagación (fracciones, signo igual,
interpretaciones de la letra; procesos de generalización y simbolización; universos
numéricos) como aprenden los niños y jóvenes en las aulas a dar significado a los
objetos matemáticos de la transición aritmética al álgebra.
• Analizar como se transforman sus prácticas pedagógicas cuando reflexiona sobre los
tipos de conocimiento que pone en juego para resolver problemas de la profesión
vinculados con la transición aritmética al álgebra.
• Analizar cambios en sus concepciones sobre el sentido de la profesión, del paso del
aritmética al álgebra.
595

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Ejes temáticos de referencia en el curso
• Indagación sobre el papel que juegan las representaciones cognitivas en la construcción
del significado de numero racional (fracciones y números relativos) por parte de los
alumnos de educación básica.
• Indagación sobre el uso de algoritmos mentales por parte de los niños en el proceso de
resolución de problemas aditivos y multiplicativos en el universo numérico de los
racionales.
• Indagación sobre formas de trabajo en el aula vinculadas a la comprensión de la variable
y del pensamiento variacional del alumno de educación básica.
• Indagación sobre la enseñanza de la variable en el presente y el pasado y el lugar que esta
ocupa en los currículos en la transición del aritmética al álgebra.
• Introducción al análisis y aplicación de instrumentos de observación, de recolección y
análisis de información con relación a la variable en contextos matemáticos en el aula.
• Introducción a la discusión de algunas perspectivas y enfoques de investigación social y
educativa que respaldan los instrumentos de indagación y observación
• Indagación sobre las concepciones propias sobre el profesor y la enseñabilidad, sobre el
profesor como potenciador de aprendizaje en relación con los alumnos de educación
básica, y sobre los roles del profesor como gestionador de aulas democráticas
• Indagación sobre las acciones del profesor que le permiten instaurarse como constructor
de sociedad civil y de la comunidad de educadores matemáticos
• Análisis de las acciones del alumno de educación básica como potenciador y valorador de
sí mismo y de los otros en sus dimensiones éticas y estéticas en el aula de clase y
como miembro de una comunidad educativa
• Análisis e indagación de los elementos de la situación didáctica (alumno, maestro y
saber) como potenciadores de aulas democráticas y no segregadoras
Tipo de evaluación para el curso
Se asume como un proceso formativo y participativo; hace parte de las concepciones que se
pretender desarrollar, potenciar y/o transformar. Se define tres modalidades de evaluación:
la evaluación dirigida que realizan sus profesores a sus EPPs; la auto evaluación que
consiste en valoraciones personales acerca de sus procesos de formación; y la coevaluacion
que son las valoraciones sociales de la producción de sus pares.
Criterios e indicadores de evaluación. Indicadores de procesos. Relación de equivalencia
• Reconocimiento: Identificar dificultades de aprendizaje y realizar análisis sobre la
Relación de equivalencia y orden en diferentes contextos aritméticos y algebraicos de
niños y jóvenes a partir de la aplicación de instrumentos de indagación y según autores.
• Interpretación: Dadas las descripciones de varios contextos aritméticos y algebraicos
desde situaciones de aula o casos caracterizarlos a partir de la relación de equivalencia y
orden.
• Aplicación: Diseñar talleres para niños y jóvenes en contextos escolares sobre
significados de la relación de equivalencia en diferentes contextos. Analizar
dificultades.
596

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Fracciones
• Reconocimiento: Identificar dificultades y realizar análisis sobre el proceso de
aprendizaje de las fracciones en contextos continuos y discretos en su interpretación
como Parte-todo a partir de la aplicación de distintos instrumentos y según autores.
• Interpretación: Dadas varias descripciones sobre situaciones de aula y casos, en
contextos matemáticos, caracterizar la fracción.
• Aplicación: Diseñar talleres para niños y jóvenes en contextos escolares sobre la
fracción desde sus distintas interpretaciones. Analizar dificultades.
Procesos de generalización y simbolización
• Reconocimiento: Identificar dificultades y realizar análisis sobre los procesos de
generalización y simbolización en contextos aritméticos y algebraicos que realizan los
niños y jóvenes a partir de la aplicación de instrumentos de indagación y según autores.
• Interpretación: Dadas varias descripciones de tareas sobre procesos de generalización y
simbolización descritas en casos de investigación o situaciones de aula identificar usos
e interpretaciones de la letra, estructuras algebraicas, modelos.
• Aplicación: Diseñar talleres para niños y jóvenes en contextos escolares sobre procesos
de generalización y simbolización. Analizar dificultades.
Bibliografía
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Colciencias-UD.Bogotá
597

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
598
FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: UNA INNOVACIÓN EN SU
ENSEÑANZA
María Rey Genicio; Graciela Lazarte; Clarisa Hernández y Silvia Forcinito
Universidad Nacional de Jujuy, Argentina
tresm@imagine.com.ar
Resumen
La propuesta didáctica que se presenta se sostiene en un Proyecto de Investigación que busca el desarrollo de
estrategias innovadoras en la enseñanza de la matemática. Se apoya en una concepción de aprendizaje
constructivo y significativo que adopta la «Ingeniería Didáctica» (Artigue, M. 1996), como metodología para
la investigación. Ésta se sustenta en un conjunto de secuencias de clases concebidas y organizadas para
efectuar un proyecto de aprendizaje que, una vez experimentado, es contrastado con los análisis a priori a fin
de validar las hipótesis planteadas. Pretende brindar al profesor un material estructurado en forma clara,
precisa y amena, elaborado con todos los elementos que consideramos necesarios para ser un instrumento
eficaz para la enseñanza de Factoreo. Fue diseñado, no como algo prescriptivo sino, como una reflexión sobre
la "buena receta", es decir, para que oriente el análisis y los criterios de acción, discuta y exprese los
supuestos y permita al docente decidir entre alternativas y comprobar resultados (DAVINI, 1997, pag 132).
Históricamente, la enseñanza de Factoreo de Expresiones Algebraicas ha presentado grandes dificultades. A
nuestro criterio esto obedece a una enseñanza basada en la memorización y el mecanicismo. Es por ello que
nos propusimos su abordaje a través de una serie de actividades mediante las cuales los alumnos podrán
construir el concepto de factoreo, ya que se les propone una mayor implicación y razonamiento que en las
propuestas tradicionales de enseñanza. En el desarrollo de las actividades se ha utilizado con frecuencia el
marco geométrico, como una forma de darle mayor significación al concepto. Además de innovarse en la
gestión de la clase por la formación de grupos de trabajo en los que los alumnos construyen el conocimiento y
por la recuperación de sus saberes para la institucionalización de los conceptos, se han diseñado también una
variedad de juegos que superan la ejercitación tradicional.
Consideraciones sobre la propuesta
En el marco de la investigación Estrategias Innovadoras en la Enseñanza de la
Matemática en el Nivel Medio se ha desarrollado una propuesta didáctica para
abordar el tema: Factoreo de Expresiones Algebraicas. Esta investigación se nutre
teóricamente de los aportes de la psicología del aprendizaje y de la didáctica de la
matemática. Sintetizamos a continuación los aportes más relevantes de cada una.
De la fuente psicológica tomamos las teorías cognitivas que entienden que el aprendizaje
efectivo requiere participación activa del estudiante en la construcción del conocimiento, ya
que este proceso está mediado por procesos de pensamiento, de comprensión y de dotación
de significado. Entonces la actividad de los alumnos es base fundamental para el
aprendizaje mientras que la acción del docente es aportar las ayudas necesarias,
estableciendo esquemas básicos sobre los cuales explorar, observar, y reconstruir
conocimientos. En esos esquemas se articulan la información (aportada por el docente, los
textos, los materiales y los alumnos) con las acciones cognitivas de los sujetos.
Se toma también el concepto de Interacción Socio−Cognitiva: la cognición humana óptima
se lleva a cabo con la colaboración de otras personas y de objetos físicos y simbólicos que
potencian las capacidades individuales. Así los procesos grupales de construcción de
conocimientos se constituyen en medios altamente eficaces para el logro de un aprendizaje

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
significativo, aunque en ellos se hace necesaria una intervención del docente cuidadosa,
optimizando las actividades, facilitando los intercambios cognitivos, supervisando
recuperando oportunamente lo producido en cada grupo, y logrando la reorganización final
de los conocimientos. Complementariamente, desde la didáctica de la matemática, en la
"Teoría de las situaciones" de Brousseau, el rol del docente consiste en organizar la
secuencia de problemas que entregará a los alumnos de modo que éstos la acepten y se
responsabilicen por encontrar la solución, y debe ser la misma situación la que permita al
alumno juzgar el resultado de su trabajo. Una vez que los alumnos hayan encontrado al
menos alguna solución o soluciones parciales procederá a la "institucionalización" en la que
dará un estatuto cultural a las producciones de los alumnos, desprendiéndolas de todo
aquello que sea irrelevante.
Por otra parte, de la fuente didáctica general tomamos el concepto de estrategia didáctica de
Bixio: conjunto de las acciones que realiza el docente con clara y conciente intencionalidad
pedagógica, o sea, de lograr un aprendizaje en el alumno. Algunos de sus componentes son
el estilo de enseñanza, la estructura comunicativa de la clase, el modo de presentar los
contenidos, las consignas, los objetivos y su intencionalidad, la relación entre materiales y
actividades, los criterios de evaluación, etc. Las estrategias deben apoyarse en las
construcciones de sentido previas de los alumnos (significatividad), orientar la construcción
de conocimientos a partir de materiales adecuados y ser factibles de desarrollarse en el
tiempo planificado, con la cantidad de alumnos con que se cuenta y con la carga horaria
destinada.
Ya en el campo de la didáctica de la matemática, la propuesta se apoya en la
«ingeniería didáctica» (Douady, 1996): elaboración de un conjunto de secuencias de
clases concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo para efectuar un proyecto de
aprendizaje. En los análisis preliminares se tuvieron en cuenta las dificultades y los
errores más frecuentes de estos aprendizajes, las prácticas habituales para el
tratamiento de este tema y los diferentes enfoques que presentan los libros de texto
sobre el mismo.
La concepción y el diseño de las actividades se encuadran dentro de «la teoría de las
situaciones didácticas» de Guy Brousseau: proponer situaciones «adidácticas» en las
que el docente no debe mostrar su intencionalidad ni intervenir indicando al alumno
qué hacer; sino provocar que el alumno acepte la responsabilidad de la situación de
aprendizaje. Así, la llamada «Situación fundamental», dada por las situaciones
adidácticas, enfrenta a los alumnos a un conjunto de problemas que evolucionan de
manera tal que el conocimiento que se quiere que aprendan es el único medio eficaz
para resolverlos. Intervienen las «variables didácticas» para que el conocimiento
evolucione en niveles crecientes de complejidad, y las «recontextualizaciones» de los
conceptos tratados en los marcos geométrico y algebraico le otorgan significatividad a
la propuesta.
En la resolución de los problemas, se espera que aparezcan distintas estrategias.
También se sugieren puestas en común en las que se validen los resultados, se detecten
los errores, se analicen las distintas propuestas y representaciones que se hayan
utilizado, se elijan las más eficaces, se debatan las argumentaciones, se identifiquen los
599

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
conocimientos puestos en juego, etc. a fin de que esos conocimientos evolucionen en la
totalidad del grupo de clase y converjan hacia el que se quiere construir.
Desde la «dialéctica instrumento – objeto» de Regine Douady, un concepto
matemático funciona como «instrumento» cuando es la herramienta que permite
resolver un problema; y funciona como «objeto» cuando es descontextualizado y
aislado como objeto matemático. Los problemas diseñados responden a las
«condiciones del buen problema» enunciadas por Douady; ya que: los enunciados
tienen sentido en relación con los conocimientos previos; todos los alumnos están en
condiciones de dar alguna respuesta, al menos para el problema inicial; admiten
distintas estrategias de resolución y se pueden formular en distintos marcos
(geométrico y algebraico). Y, principalmente, el conocimiento buscado es un
conocimiento adaptativo en tanto es el medio científico de responder eficazmente a los
problemas. Además se propone que en la puesta en marcha se cumplan las fases
enunciadas por Douady en las que, dado el problema inicial: 1º− Se movilizan los
objetos matemáticos conocidos para resolver el problema (Antigua). 2º− Se ponen en
marcha instrumentos nuevos. Aparece el “nuevo implícito” (Búsqueda). 3º− Se hacen
explícitos los conocimientos construidos en la fase anterior (Explicitación). 4º− El
docente descontextualiza el conocimiento dándole la categoría de «objeto matemático»
(Institucionalización). 5º− Se da a los alumnos diversos problemas destinados a
provocar el funcionamiento como instrumentos explícitos de lo que ha sido
institucionalizado (Familiarización – reinversión). 6º− El nuevo objeto es susceptible
de convertirse en antiguo para un nuevo ciclo de la dialéctica instrumento-objeto
(Complejidad de la tarea o nuevo problema).
Propuesta didáctica
En esta propuesta se pretende que el alumno construya el concepto de Factoreo de
Expresiones Algebraicas a través de una serie de actividades que proponen una mayor
implicación y razonamiento que en las propuestas tradicionales de enseñanza.
Se comienza el abordaje del tema "Producto de monomios por polinomios", presentando al
alumno las siguientes actividades:
Actividad 1: En un curso de un colegio secundario un grupo de alumnos quiere realizar un
afiche para promocionar un festival. El afiche a confeccionar tiene forma rectangular y su
superficie tiene un área dada por la expresión: A = ( 24 x + 12 ) . Cada alumno propone
distintas medidas para la base (dada en dm.) del afiche, las que se indican a continuación:
600
Esteban Marta Estela Leonardo Emilio Mónica
base 4 2 6 12 24 5
altura
Escribe en la tabla la expresión algebraica para la altura b) ¿Qué procedimiento realizaste
para obtener las distintas alturas? c) Propone una medida, para la base del afiche, que sea
distinta a las indicadas en la tabla y encuentra la altura correspondiente.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
d) ¿Cómo puedes verificar en cada caso que el valor hallado es correcto? e) Expresa el área
A = 24 x + 12 como un producto. ¿De cuantas formas distintas puedes hacerlo?
Actividad 2: Juan y Mirta van a organizar un baile de disfraces
para Carnaval y al finalizar el mismo quieren otorgar un premio
al mejor disfraz. Juan propone elaborar tarjetas de invitación de
forma triangular con las siguientes medidas (dadas en cm)
Mirta en cambio propone que sean dos
tarjetas de forma rectangular, una donde se
indique el horario y la dirección donde se
llevará a cabo el baile y otra donde se
especifiquen los elementos a tener en
cuenta para la elección del mejor disfraz.
2
3 x
4 x
6 x
4 x + 2
Después de una ardua discusión, deciden seleccionar la propuesta cuya tarjeta/s tenga
menor superficie. a) ¿Con esta decisión se habrá solucionado la discusión?. b) Propone
una sola tarjeta rectangular, cuyo base sea de: i) 6x ; ii) 12x y determina en ambos
casos cuál deberá ser la altura para que el costo de confección sea el mismo que el que
propone Mirta. c) Expresa P (x ) = 6x + 12 x 2 como un producto, de tres formas
distintas. Encuentra los ceros de P ( x ) , es decir las raíces de la ecuación 6x + 12 x 2 = 0.
Es el polinomio P (x) divisible por 2x + 1 ? y por 3 x ?. Justifica tu respuesta.
Al incluir en la primera actividad factores que son divisores exactos de los coeficientes del
polinomio y factores que no lo son, se introduce un aspecto innovador en la enseñanza de
este tema en tanto supera el tratamiento habitual que focaliza la extracción del máximo
común divisor, comúnmente denominado factor común. Se complejiza la actividad 2, al
trabajar con factores que contienen una parte literal. Finalizadas las actividades, la puesta
en común permitirá institucionalizar definiciones fundamentales como: factoreo, producto
de monomios por polinomios y factor común.
A continuación se propone una serie variada de ejercicios con el objetivo de que el alumno
reinvierta y se familiarice con el concepto recién construido, utilizando en alguno de ellos
el marco geométrico. A través de distintos ejercicios se realiza la generalización al caso de
Producto de expresiones algebraicas, ya que el procedimiento utilizado en el factoreo es
similar al visto para los polinomios de una variable. Mediante las siguientes actividades se
induce al alumno a construir el concepto de "Factor Común por grupo".
Actividad 3: Daniel desafía a Leonardo a factorear el polinomio P(x) =x 3 +5x+2x 2 +10.
Daniel averiguó que el polinomio es divisible por (x + 2) y realizó fácilmente el factoreo.
Leonardo, que no tuvo acceso a esa información, no pudo realizarlo. Pero después de
varios intentos, llegó a obtener la siguiente expresión P(x) = x (x 2 + 5) + 2(x 2 +5) . a)
¿Podrías factorear el polinomio de la forma en que lo hizo Daniel?. b) ¿Qué operaciones
realizó Leonardo para llegar a la expresión indicada? Te animas a ayudarlo y completar el
factoreo?
Actividad 4: Ahora es Leonardo quien le propone a Daniel factorear el polinomio
P(x) = x 5 + x − 3x 4 − 3. Daniel no pudo obtener ninguna información sobre la divisibilidad
3 x
601

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
de P(x) y no supo realizar el factoreo. Sin embargo Leonardo, después de pensar un tiempo
lo factoreó con la misma idea que usó antes. ¿Puedes decir cómo lo hizo?
En la puesta en común se analizarán las dos estrategias, considerando las ventajas y
dificultades de cada una, los conocimientos sobre los que se apoyan (divisibilidad, factor
común), las condiciones de aplicabilidad de cada una y el sentido de la denominación de
este caso.
Nuevamente se presenta una serie de ejercicios, de carácter variado, a fin de que el alumno
pueda familiarizarse con el concepto de factor común por grupo. Continuando con el
desarrollo de la propuesta se presenta la siguiente actividad (utilizando el marco
geométrico) para abordar el tema Trinomio cuadrado perfecto
Actividad 5
Susana le propone a Leonardo el
siguiente desafío: Tengo dos
rectángulos y dos cuadrados con las
medidas dadas en el gráfico y quiero
construir un cuadrado, utilizando todas
las figuras y de forma que no haya
solapamiento ni espacios libres entre ellas. Puedes ayudar a Leonardo a resolver el
problema
a) Expresa el área total de la figura obtenida: 1º) como suma de las áreas de las figuras
dadas y 2º) utilizando la fórmula del área de un cuadrado.
b) Realiza un procedimiento similar al del ítem a) para factorear la expresión:
a 2 + b 2 + 2 a b.
c) Completa y discute con tus
compañeros porqué será que (1)
recibe el nombre de Trinomio
Cuadrado Perfecto y (2) el nombre
de binomio al cuadrado. Indica qué
características debe tener un trinomio
para que sea Trinomio Cuadrado Perfecto
En esta Actividad, el ítem a) está pensado para que el alumno reconozca la igualdad de las
dos expresiones (factoreada y polinómica). El ítem b) apunta a una generalización donde
ya se incorpora el concepto de factoreo para este tipo de expresiones. El ítem c) tiene el
propósito de que el alumno se desprenda del marco geométrico y trabaje en el algebraico.
Será conveniente llevar al alumno a que relacione este caso de factoreo con el desarrollo
del cuadrado de un binomio, lo cual le permitirá enfrentar las situaciones en las que
aparezcan términos negativos. En la ejercitación que se realiza a continuación, se incluye
la siguiente actividad que tiene un doble propósito, por un lado por un lado profundiza el
concepto de trinomio cuadrado perfecto y por otro, sienta las bases para trabajar el método
de completar cuadrados:
602
3
se lo puede
factorear
como
x
a 2 + b 2 + 2 a b
( ) 2
3
3
(1)
(2)
x
x

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Actividad 6: Determina el valor que debe tomar h para que la expresión dada sea un
trinomio cuadrado perfecto. Luego reemplaza h por el valor obtenido y factorea la
expresión: a) y 2 + 10 y + h b) 9x 2 1 2 2
+ h − 36x t c) p + 9 q − h
49
Luego se presentan actividades que plantean una forma alternativa al problema de factorear
un trinomio (no cuadrado perfecto), con coeficientes enteros. Al mismo tiempo sienta las
bases para cuando la factorización se realice a partir de las raíces de la ecuación cuadrática
correspondiente y para establecer las propiedades de las raíces de dicha ecuación. Se da
gran importancia al trabajo en el marco geométrico. Las conceptualizaciones logradas para
el factoreo del trinomio cuadrado perfecto con vinculaciones algebraicas y geométricas
permiten abordar, desde un inicio, el factoreo del cuatrinomio cubo perfecto a partir de lo
algebraico, sin que por ello se descuide su desarrollo geométrico. Para construir el
concepto de factoreo de una diferencia de cuadrados se plantean 2 actividades
Actividad 7
a) Ubica las figuras A1 y A2 de tal manera que obtengas
un rectángulo y luego utiliza ambas construcciones para
factorear la expresión a 2 − b 2
b) ¿Qué nombre le pondrías a la expresión: a 2 − b 2 de
forma que te permita identificarla sin ambigüedades?
c) Enuncia con palabras la expresión factoreada de a 2 − b 2
d) Indica si es verdadero o falso que todo número positivo
se lo puede expresar como el cuadrado de un número
Actividad 8: Escribe el o los factores que faltan
a) 4 x 2 − 25 = ( 2 x − 5 )( )
b) x 8 − 16 y 4 = ( x 4 + 4y 2 ) ( ) = ( x 2 − 2y ) ( ) ( )
c) y 8 − 1 = ( y − 1 ) ( ) ( ) ( )
d) 36 a 2 − 5 = ( 6 a − 5 ) ( )
c) ( x + 2 ) 2 − 9 = ( x + 5 ) ( )
En la Actividad 6 el ítem d) busca desestructurar al alumno sobre la idea de que si un
número no es cuadrado perfecto no puede ser expresado como cuadrado de otro. La
Actividad 7 ítem a), b) y c) están pensados en una secuencia de complejidad creciente que
los lleva a realizar sucesivas factorizaciones de 2, 3 y 4 factores. En el ítem d) se incorpora
un término que no es cuadrado perfecto y en el e) aparece uno cuya base es un binomio.
Luego se plantea una variada ejercitación con un doble propósito: aplicar este caso de
factoreo (diferencia de cuadrados), y favorecer el cálculo mental y la reversibilidad del
pensamiento (Por ejemplo: Se pide calcular 12 x 8 de otra manera que no sea realizando el
producto indicado). Otros ejercicios permiten vincular las nociones de área de distintas
figuras, semejanza de triángulos y relación pitagórica con este caso de factoreo
El factoreo de la "Suma o diferencia de potencias de igual exponente" se plantea a partir de
la divisibilidad de polinomios, tomando primero un caso particular y luego realizando la
a
A1
A2
a
b
b
603

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
generalización correspondiente; trabajando el caso de factoreo tanto en el marco algebraico
como geométrico. Finalmente se propone que el alumno analice un diagrama de flujo
donde se sintetizan todos los casos de factoreo vistos, dado que es un buen recurso para que
el docente integre todo lo trabajado y permite al alumno organizar su razonamiento y
encontrar el procedimiento adecuado al enfrentarse al factoreo de una expresión algebraica
dada.
Para aplicar los distintos conceptos, se introduce el juego matemático. Los juegos que
promueven el descubrimiento y la construcción suponen, tanto en su diseño como en su
práctica, una forma de actividad muy próxima a la "creación matemática", semejante a la
del científico, y como consecuencia brindan grandes posibilidades de "hacer matemática".
Los juegos de estrategias inducen a un tipo de actividad parecido a la resolución de
problemas, núcleo central de las matemáticas. En definitiva el juego es un gran potenciador
de la motivación y la integración de estrategias mentales.
Referencias Bibliográficas
Artigue, M. (1995) Ingeniería didáctica en educación matemática. G.E.I. México.
Douady, R. Dialéctica instrumento−objeto. Juego de encuadres. Cuaderno de Didáctica de la Matemática Nº3.
Edición mecanografiada
Brousseau, G (1994) Los roles del maestro Cap. de PARRA, C, SAIZ, I, otros. Didáctica de la Matemática.
Compilación. Paidos. Bs. As. 1994
Bixio, Cecilia (1998) Enseñar y aprender. Homo Sapiens. Bs. As
Socas, Martín y otros. (1996) Iniciación al álgebra. Síntesis. Madrid.
604

Resumen
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
EXPLORANDO LA CONSTRUCCIÓN DE BASES PROPIAS Y NO PROPIAS
María Antonieta Aguilar Víquez
Instituto Tecnológico de Pachuca, CICATA- IPN; México
auva5404@prodigy.net.mx
La presente investigación tiene como objetivo recopilar la información necesaria para el diseño de situaciones
didácticas que permitan a los estudiantes de Álgebra Lineal establecer relaciones entre Bases propias y no
propias, de tal forma que una vez identificada una base cualesquiera, el estudiante podrá caracterizarla a
través de elementos como espacios y subespacios vectoriales, base canónica, dependencia e independencia
lineal y dimensión de una base.
Las relaciones que los estudiantes pueden establecer las resumimos en la tabla #1
Tipo de Base Relación Reducción Dimensión
Base propia Espacio vectorial Base Canónica
Base no propia Subespacio vectorial Carece de base canónica
# de vectores linealmente
independientes
# de vectores linealmente
independientes
La problemática que se presenta, es que a los estudiantes les resulta difícil establecer dichas relaciones,
porque en los textos existentes no las ponderan, por ejemplo, no mencionan que una base no propia pertenece
a un subespacio vectorial, esto aunado a la problemática de conceptos como espacios y subespacios
vectoriales que resultan no tangibles para los alumnos. De acuerdo a Chargoy (2002) los estudiantes en
general solo tienen la noción de base, ellos pueden escribir la definición e incluso recitarla, pero no poseen el
entendimiento del concepto. Los conceptos de combinación lineal, independencia lineal y generación de un
espacio vectorial se encuentran aislados en el estudiante.
Por eso enfatizamos en la necesidad de articular todos estos conceptos y procedimientos que le permitirá al
estudiante la adquisición real y efectiva de los conocimientos del álgebra lineal. El marco teórico que
utilizamos es el de la teoría de las situaciones didácticas, Por considerarlo acorde con nuestro objetivo
principal en la investigación. La metodología a desarrollar es la Ingeniería Didáctica. El análisis a priori que
se realizó en este marco estuvo fundamentado en considerar las dificultades que presentaron los estudiantes en
la solución de problemas en los cuales se les solicitaba encontrar bases y espacios vectoriales, ello nos
permitió establecer la problemática y por ende la necesidad de establecer relaciones por parte de los
estudiantes y por ende la necesidad de diseñar situaciones didácticas para que los alumnos logren apropiarse
de los conocimientos del álgebra lineal que son medulares en el tema de bases y dimensiones.
Introducción
La matemática educativa en términos generales, se ocupa del estudio de los fenómenos
didácticos ligados al saber matemático, consideramos que ella juega un papel primordial
para estos propósitos. Desde el enfoque de esta disciplina, en la presente investigación, nos
interesa conocer y determinar cómo los estudiantes realizan construcciones que relacionan
a las bases propias con las no propias, cuáles son los significados que ellos manejan y
reconocen en el medio escolar, y después cómo los reconstruyen cuando interactúan en esos
ambientes nuevamente.
605

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Cabe hacer mención que en el medio escolar y particularmente en los textos de álgebra
lineal, no se mencionan los términos base propia y base no propia, lo que se hace es dar la
definición de base en general como lo establece Grossman, S. (1996):
Base Un conjunto de vectores {v1, v2 ..., vn } es una base para un espacio vectorial V si
i) {v1 , v2 , ..., vn } es linealmente independiente
ii) {v1 , v2 , ..., vn} genera a V
esto da lugar a la siguiente premisa:
Como podemos leer las características fundamentales de una base propia serían que los
vectores que forman dicha base sean linealmente independientes, por un lado y por el otro,
que tales vectores generen al espacio vectorial V. En el caso de una base no propia, se trata
de encontrar bases para algún o algunos subespacios, que, finalmente cumplan con la
definición. A lo largo de nuestra práctica docente, hemos percibido que hacer esta
clasificación tiene un impacto benéfico en el aprendizaje de los estudiantes y mediante la
implementación de situaciones didácticas, así como la articulación con una metodología
apropiada, resulta pertinente para alcanzar nuestros propósitos: lograr que los
conocimientos o saberes matemáticos sean accesibles a los estudiantes, es decir que ellos se
apropien de dichos conocimientos de tal manera que sean capaces de enfrentar problemas y
resolverlos en forma adecuada. Con lo anterior se pretende que los saberes adquieran
nuevos significados, recuperen sus significantes iniciales o se profundice en ellos ya que es
la nueva problemática que nos lleva a reflexionar sobre la reorganización de la obra
matemática. Tenemos que considerar también, que en el sistema educativo nacional, existe
una confrontación entre la obra matemática y la matemática escolar, Cordero (2001), puesto
que como docentes e investigadores, nos hemos percatado de la presencia de prácticas
sociales de la actividad humana tales como: modelar, aproximar, predecir, medir, buscar
tendencias (Aguilar, 2001) y otras, que no han sido integradas a la currícula de las
instituciones en donde se imparte Álgebra Lineal. Sin embargo estas prácticas sociales han
permitido construir cierto tipo de conocimiento conducente a la reconstrucción de
significados en otras áreas de la matemática , en particular del álgebra lineal, así como
temas afines.
Nos interesa profundizar en el significado de base, para después establecer relaciones y
diferencias entre bases propias y no propias; que perciben los estudiantes, para enriquecer
dicho significados, y realizar una epistemología de las prácticas sociales, que se llevan a
cabo alrededor de esos conceptos.
Pondremos en escena dos secuencias, una que corresponde a la generación de bases propias
y la otra corresponde a la generación de bases no propias, en el marco de la aproximación
socioepistemológica, para hacer ver la necesidad de ampliar los estudios de
representaciones mentales, Aguilar(1999b) a la de las prácticas sociales.
La aproximación socioepistemológica como línea de investigación
Con la aproximación socioepistemológica, hacemos un énfasis especial en la dimensión
social y en la diferencia con otras aproximaciones teóricas que también la incluyen.
606
Todo conjunto de vectores linealmente independiente en R n es una base en R n

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
La aproximación socioepistemológica en la investigación en Matemática Educativa busca
construir una explicación sistémica de los fenómenos didácticos en el campo de las
matemáticas por medio de cuatro componentes fundamentales del conocimiento
matemático: se incorpora al estudio de la epistemología del conocimiento, la dimensión
cognitiva, la didáctica y todo esto, dentro de la dimensión social (Cantoral, 2000).
Esta última dimensión permite enfocarnos en la organización social donde el
conocimiento tiene significados propios y está conformado por versiones que se
comparan y negocian durante el proceso mismo de la actividad. La argumentación,
característica propia de una organización social, juega un papel central al intentar
convencer de la validez de versiones particulares. Esto implica reconocer los
recursos, versiones, argumentos y la construcción de consensos acerca de cierto
contenido matemático que necesariamente se dan en los contextos interactivos de los
estudiantes.
La componente social es reconocida por diversas aproximaciones teóricas que la han
incorporado a sus marcos explicativos. Sin embargo, las consecuencias de esta
incorporación varían según la base teórica que maneja cada una. Abordaremos, en
particular, el caso de la cognición situada y de las aproximaciones socioculturales.
La cognición situada adopta como principio fundamental el constructivismo social, el cual
toma en cuenta las dimensiones histórica, cultural y social de las interacciones humanas. El
aprendizaje humano es entendido como un proceso de diálogo y de socialización (Cordero,
2001), pero sus explicaciones mantienen un corte cognitivo.
La socioepistemología pretende desarrollar estrategias de investigación de naturaleza
sociales.
Elementos como argumento, consenso y herramienta, presentes en contextos
socialmente organizados, conforman la plataforma que brinda explicaciones acerca de
cómo se construye el conocimiento reconstruyendo significados, en la presente
investigación será a través del establecimiento de relaciones entre bases propias y no
propias.
La teoría de situaciones didácticas, como marco teórico
"La didáctica de las matemáticas" estudia las actividades didácticas, es decir, las
actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que tienen de
específicas respecto de las matemáticas. Los resultados, en este dominio, son cada vez más
numerosos, se refieren a los comportamientos cognitivos de los alumnos, pero también a
los tipos de situaciones puestas en juego para enseñarles y sobre todo los fenómenos a los
cuales da lugar la comunicación del saber. La producción o la mejora de los medios de
enseñanza encuentra en estos resultados más que objetivos o medios de evaluación,
encuentra en ella un apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión y de análisis,
sugerencias, incluso dispositivos y métodos, Brosseau (1986).
La ingeniería didáctica como metodología
Se caracteriza por un esquema experimental basado en las realizaciones didácticas en clase,
es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de
enseñanza. Su forma de validación es en esencia interna, basada en la confrontación entre el
análisis a priori y a posteriori Artigue (1995).
607

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La ingeniería didáctica da como resultado diversos métodos y formas de implementación de
una secuencia didáctica que a su vez forma parte de la situación.
El método
Consiste en el desarrollo de seis etapas:
La primera etapa parte de una experiencia epistemológica, estudiando el contenido matemático
correspondiente al tópico del proyecto, ahí se organiza dicho contenido matemático con base a lo que
significa entender el concepto y cómo el concepto puede ser construido por el que aprende.
En la segunda etapa, se trabajan ejemplos de diseño e implementación de situaciones, en la
realización de actividades con estudiantes, que en nuestro caso serán entrevistados en
grupos de tres.
Etapa tres, en ella se realizan análisis de los datos coleccionados y posteriormente se
reconsidera la experiencia que fue punto de partida. Las interpretaciones de las respuestas
dadas por los estudiantes ante las situaciones, estarán basadas en el marco de las
construcciones mentales; y en el desarrollo de estas ante las situaciones. Aquí se estudian
las bases para transformar los datos o hechos en fenómenos didácticos.
Etapa cuatro, consiste en la iteración con el resultado de la etapa tres. Es una revisión de la
experiencia epistemológica de la cual se partió en la etapa uno. El resultado provee los
fundamentos de la siguiente aplicación de situaciones diseñándolas e implementándolas en
una base socioepistemológica.
Etapa cinco, en ella se aplican o implementan los rediseños y se coleccionan los datos. Se
trabaja (en la investigación presente) con estudiantes en grupos de tres, ya que tenemos
evidencias de que en forma grupal, los estudiantes, realizan mayor número de
construcciones y con mayor rapidez (Aguilar, M y Martínez, M, 1998; Aguilar, 1999).
Etapa seis, se podría denominar "etapa del análisis de datos” y en ella se pretende alcanzar
un refinamiento del recorte o amplitud del entendimiento del cual se partió. Las
interpretaciones continúan dentro del marco de las construcciones mentales.
Momentos de la secuencia didáctica
M1 Localización de fuentes para la construcción de bases
i) a partir de un conjunto de vectores V = { v1 , v2 , ... , vn }
ii) a partir de un conjunto de polinomios P = {p1 , p2 , ... , pn}
iii) a partir de un conjunto de matrices M= {m1 , m2 , ... , mn}
iv) a partir de un sistema de ecuaciones lineales
M2 Realización de combinaciones lineales
M3 Generación de una matriz
M4 realización de una reducción simplex
M5 Establecimiento de criterios para determinar si la matriz original es una base propia
o no propia.
Ejercicio #1 Caracterice a Ejercicio #2 caracterice a
608
⎡1
B =
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
1
1
2
−1⎤
0
⎥
⎥
−1⎥⎦
⎡ 2
B
=
⎢
⎢
4
⎢⎣
− 6
−1
− 2
3
3 ⎤
6
⎥
⎥
− 9⎥⎦

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
*se inicia desde M3 la matriz generada ∗Se inicia desde M3 la matriz generada
es la misma es la misma
*M4 reducción simples para B1 * M4 reducción simplex para B2
1 1 - 1 1 1 -1 1 1 - 1 2 -1 3 2 - 1 3
2 1 0 0 - 2 2 0 -2 2 4 -2 6 0 0 0
1 2 - 1 0 1 0 0 0 - 2 - 6 3 -9 0 0 0
*M5 Criterios para caracterizar a B1 *M5 Criterios para caracterizar a B2
a) el # de filas de la matriz original es a) el # de filas de la matriz original
igual al # de filas de la matriz reducida igual al # de filas de la matriz red.
b) rango (ρ)= 3, nulidad (ν)=0 dim.= 3 b) rango (ρ)=1, nulidad (ν)=2,dim=2
c) por los incisos a) y b) se trata de una c) por los incisos a) y b) se trata de
base propia una base no propia
1 1 - 1 1 0
2 1 0 2 3
1 2 - 1 0 1
Parámetros para la caracterización de una base
CARACTER SIGNIFICADO BASE PROPIA BASE NO PROPIA
Dimensión
dim.
Rango
ρ
Nulidad
ν
Espacio nulo
η
Número de vectores linealmente
independientes
Número de filas de la matriz
reducida
Número de filas nulas de la
matriz reducida
Espacio generado por los
vectores linealmente
independientes de una base no
propia
Formada por los vectores
de la matriz original
Es el mismo número de
filas de la matriz original
No posee filas nulas
No tiene espacio nulo
Formada por los vectores
encontrados
Es diferente al número de
filas de la matriz original
Posee filas nulas
Tiene espacio nulo
Resultados y conclusiones
Algunos resultados obtenidos por los estudiantes son:
a) Resignificaron las nociones de base propia y base no propia
b) Encontraron que, si el número de filas de la matriz original es igual al número de filas
de la matriz reducida, el valor del determinante de la matriz reducida es diferente de
609

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
610
cero, la reducción total de la matriz original da como resultado una base canónica, se
trata de una base propia. Por otro lado, si el número de filas de la matriz original es
diferente al número de filas de la matriz reducida, el determinante de la matriz reducida
es igual a cero, la reducción total de la matriz original da una matriz no canónica, se trata
de una base no propia.
Podemos concluir que mediante la puesta en escena de una secuencia didáctica como la
propuesta en este trabajo, los estudiantes logran resignificar conceptos acerca del álgebra
lineal construyendo sus propios conocimientos, para lograr un aprendizaje efectivo.
Bibliografía
Aguilar, M. A. (1994 - 2000) Curso de Matemáticas III (Álgebra Lineal ). Impartido a estudiantes de las
carreras de Ingeniería en Sistemas, Civil, Eléctrica y Mecánica. ITP, México.
Aguilar, M. A. (2002)Relaciones entre la derivada y la primitiva; el papel del registro gráfico. Actas XV
Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. ED. Cecilia Crespo, V. 15, pp 1004 – 1009.
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PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
EXPERIENCIA SOBRE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA Y DIDÁCTICA PARA
LA CAPACITACIÓN DE PROFESORES DE EGB 3 Y POLIMODAL
M. E. Ascheri - R. A. Pizarro
Universidad Nacional de La Pampa- Argentina
mavacheri@exactas.unlpam.edu.ar
Resumen
En este trabajo presentamos los resultados obtenidos como consecuencia del dictado de un Curso de
Capacitación para Profesores de EGB 3 y Polimodal, llevado a cabo en la Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales de la Universidad Nacional de La Pampa. Aprovechando las alternativas que ofrece la evolución
tecnológica para propiciar cambios en el enfoque de enseñar y aprender matemática, teniendo en cuenta que la
informática ocupa un lugar cada vez más importante en nuestra sociedad y resulta de gran utilidad en el
campo educativo, les presentamos a los profesores una propuesta metodológica y didáctica complementaria
para la enseñanza del tema Resolución Numérica de Ecuaciones Polinómicas. Esta propuesta consiste,
básicamente, en utilizar métodos que usualmente no se enseñan en la Escuela de Nivel Polimodal, con el
complemento de la computadora como herramienta colaboradora. Estos métodos permitirán que el alumno
analice expresiones polinómicas que no tienen solución exacta, que son de orden elevado y, por consiguiente,
son difíciles de tratar por medio de los métodos convencionales. Este tipo de expresiones provienen, por lo
general, de problemas técnicos o de situaciones problemáticas de la vida real cuyo tratamiento puede motivar
al alumno, facilitando de esta manera el proceso de enseñanza - aprendizaje relativo a la Resolución Numérica
de Ecuaciones Polinómicas de cualquier orden. La motivación especial que nos condujo a la elaboración y
dictado de este Curso fue la de intentar mejorar el proceso de enseñanza - aprendizaje referido a esta temática
en los niveles educativos citados anteriormente. Los participantes respondieron activamente a las distintas
propuestas de trabajo que se presentaron a lo largo del desarrollo del Curso. Es por ello que podemos concluir
que esta experiencia resultó positiva.
Introducción
Buscar las raíces de una ecuación polinómica es uno de los problemas más antiguos de las
matemáticas, y en aplicaciones prácticas es frecuente encontrarse con la necesidad de
resolver esta dificultad. Sabemos que sólo las ecuaciones de orden bajo pueden resolverse
por fórmulas directas y van a dar valores exactos sólo en ciertos casos. También algunas
ecuaciones previamente "preparadas" por el profesor, podrán ser resueltas por fórmulas
directas y darán resultados exactos. Pero las ecuaciones que resultan de problemas técnicos
rara vez caen en esta situación. De aquí que necesitamos recurrir a otros métodos para
resolver este tipo de problemas. Las técnicas numéricas que presentamos en este Curso de
Capacitación para Profesores son adecuadas para solucionar estos problemas. El
aprendizaje de los métodos numéricos no sólo aumenta nuestra habilidad para el uso de las
computadoras, sino también amplía la pericia matemática y la comprensión de los
principios científicos básicos. Cuando un profesor y alumnos se encuentran en clase, la
regla es que el primero está ahí para enseñar un saber determinado y los alumnos para
aprender este saber en concreto. El trabajo del profesor será el de elegir puestas en escena
de saberes aceptables para los alumnos y eficaces respecto del objetivo de aprendizaje. Se
deben brindar las herramientas para la comprensión del saber matemático, para ayudar a los
alumnos en sus esfuerzos para conceptualizar la realidad, para desarrollar su agilidad
mental y su espíritu crítico. Las situaciones problemáticas que surgen de las matemáticas y
en otros contextos, constituyen un primer encuentro de los alumnos con los objetivos
implícitos, en el que se les ofrece la oportunidad de investigar por sí mismos posibles
soluciones, bien individualmente o en pequeños grupos. Pensamos que los alumnos se
611

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
verán más motivados si les presentamos este tema a través de situaciones problemáticas de
la vida real, relacionadas con otras asignaturas (física, química, etc.). Las ecuaciones que
resulten, en la mayoría de los casos, deberán ser resueltas por las técnicas numéricas que
desarrollamos en este Curso. Para resolver estas situaciones problemáticas, los alumnos
deberán hacer un análisis a priori de los datos y a posteriori de los resultados obtenidos.
Puede resultar productivo agregar actividades complementarias en donde tengan que
resolver este tipo de problemas, utilizando además la computadora como herramienta de
apoyo al docente y para fomentar el aprendizaje de los alumnos, provocar comportamientos
de iniciativa, búsqueda de coherencia y espíritu crítico. El objetivo fundamental de esta
propuesta metodológica y didáctica ha sido el de intentar mejorar el proceso de enseñanza -
aprendizaje referido a esta temática, promoviendo el protagonismo del sujeto y facilitando
el trabajo que, para alumno y profesor, supone la tarea de formación.
Desarrollo
La razón principal para resolver ecuaciones polinómicas por medio de métodos numéricos,
es que esas ecuaciones no se pueden resolver por medio de fórmulas directas y carecen de
solución exacta, excepto para muy pocos problemas. Los objetivos generales que nos
planteamos para realizar este Curso de Capacitación para Profesores fueron los siguientes:
Introducir a los participantes en el estudio de los métodos numéricos para resolver ecuaciones
polinómicas.
Proporcionar las herramientas para la solución de problemas que se relacionan con las raíces de
ecuaciones polinómicas, y que a menudo son imposibles de resolver analíticamente.
Tener la suficiente información para aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de
problemas que se relacionan con las raíces de ecuaciones polinómicas.
Dominar las distintas técnicas, valorar su confiabilidad y estar capacitado sobre la elección para
escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema particular que involucre la
determinación de las raíces de una ecuación polinómica.
Promover la comprensión de la importancia de los métodos numéricos en la resolución de
problemas que involucren ecuaciones polinómicas, vinculados con otras disciplinas.
Comprender y valorar la importancia de utilizar la computadora como una herramienta de
enseñanza - aprendizaje, para la determinación de las raíces de ecuaciones polinómicas.
Brindar herramientas teóricas y prácticas básicas para la elaboración de una clase de ensayo que
incluya las distintas técnicas numéricas analizadas a lo largo del Curso.
y los objetivos particulares fueron:
Entender la interpretación gráfica de una raíz.
Conocer la interpretación gráfica de los distintos métodos de aproximación para la obtención de
las raíces de ecuaciones polinómicas.
Saber las diferencias fundamentales entre las distintas técnicas existentes para la determinación
de las raíces de ecuaciones polinómicas.
Aplicar los métodos de aproximación para la obtención de las raíces de ecuaciones polinómicas
a situaciones problemáticas de la vida real.
Orientar a los participantes en el proceso de formulación y edición de una clase de ensayo en
vinculación con la resolución numérica de ecuaciones polinómicas.
El Curso tenía una carga horaria total de 40 horas reloj, siendo 5 las reuniones presenciales
de 3 horas reloj cada una. En estas reuniones se introdujeron a los participantes en los
temas propuestos en el Curso, desarrollando la teoría básica necesaria para tal fin. Además,
en cada una de estas reuniones los participantes debían resolver distintas situaciones
problemáticas referidas al tema previamente desarrollado, bajo nuestra coordinación y
612

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
orientación. Con esta etapa se logró una activa participación de los cursantes, y el trabajo
colectivo y grupal de los mismos. En el último encuentro se plantearon las dudas e
inquietudes referidas, fundamentalmente, a las diferentes propuestas de trabajo elaboradas
por los participantes (clase de ensayo). Las consultas sobre las propuestas de trabajo se
presentaron oralmente para su consideración colectiva y eventual revisión y / o corrección.
Las mismas podían ser elaboradas de manera individual o grupal (no más de tres
integrantes por grupo). Para aprobar este Curso, los participantes debían presentar y
defender sus propuestas de trabajo (clase de ensayo).
A continuación, presentamos una versión sintética del Programa Analítico que
desarrollamos durante el Curso:
Determinación de las raíces de una ecuación polinómica. Distintos métodos (acotación,
separación, Regla de Descartes, Teorema de Sturm, Regla de Hua, Regla de las lagunas).
Desarrollo de ejemplos.
Aproximación de las raíces de una ecuación polinómica. Distintos métodos (gráfico, bisección,
regla falsa, iterativo de punto fijo, secante, Newton, Newton – Raphson, DC o de diferencia de
cocientes). Desarrollo de ejemplos.
Si bien no se espera que todos los temas de este Programa sean tratados en un solo año del
Nivel correspondiente, sí se propone que alguno de estos contenidos los alumnos deberían
tener la oportunidad de aprender.
La estrategia utilizada para el análisis de cada uno de estos temas fue la de combinar la
enseñanza tradicional y las técnicas grupales de aprendizaje activo, utilizando la
computadora como herramienta colaboradora de las tareas a realizar.
En lo que respecta a la elaboración de las diferentes propuestas de trabajo (clase de ensayo)
que debían presentar los participantes, hicimos hincapié en el hecho de que la
implementación de las actividades debían tener como funcionalidad pretendida, facilitar el
aprendizaje como apoyatura de la explicación del profesor. En la búsqueda de las
actividades se debe tener en cuenta que cada alumno tiene sus propias necesidades,
motivaciones, deseos, aspiraciones, las cuales dependen de su estructura cognitiva y varían
por medio del aprendizaje. También es importante tener en cuenta las diferentes
motivaciones con que el alumno puede acercarse y recibir estas actividades: aprendizaje
básico de un tema, aprendizaje detallado, repaso de conocimientos, búsqueda de
información “en profundidad” o en “amplitud”, autoevaluación, evaluación.
Además, las actividades deben estar basadas en problemas genuinos que atraigan el interés
de los alumnos, a fin de que los asuman como propios y deseen resolverlos.
Para elaborar y llevar a la práctica (en un futuro) la clase de ensayo, se plantearon los
siguientes objetivos:
Que sea de fácil comprensión para los alumnos con un conocimiento mínimo de matemáticas.
Proporcionar las herramientas para la solución de problemas que se relacionan con las raíces de
ecuaciones polinómicas, y que a menudo son imposibles de resolver analíticamente.
Promover la comprensión de la importancia de los métodos numéricos en la resolución de
situaciones problemáticas que involucren ecuaciones polinómicas, vinculadas con otras
disciplinas.
Capacitar a los alumnos para que practiquen los métodos numéricos en una computadora, y
comprueben la importancia de su utilización como una herramienta colaboradora para resolver
distintas situaciones problemáticas de la vida real.
Proporcionar software que resulte fácil de comprender.
Fomentar el trabajo como miembro participante de una grupo para el desarrollo de las
actividades, en función de favorecer la integración grupal.
613

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Para alcanzar estos objetivos se deben tener en cuenta ciertos saberes previos:
El significado matemático de lo que es encontrar una raíz de una ecuación polinómica, sean
reales o complejas, tanto gráfica como analíticamente.
Los métodos estándares para obtener las raíces de una ecuación polinómica, tanto con fórmulas
directas como a través de casos de factoreo, del teorema del resto u otros.
Trazado de gráficos de funciones polinómicas, a partir de una tabla de valores.
Seguidamente presentamos algunas de las propuestas de trabajo (clase de ensayo)
elaboradas por los participantes:
Grupo 1
Una fábrica decide envasar 385.84 cm 3 de jugo natural en envases de forma cúbica (tetrabrik) y cilíndrica
(latitas), considerando que la base del cilindro es un círculo de 6.4 cm de diámetro. Determinar la altura de
ambos envases, sabiendo que el cubo tiene 4.72 cm de altura menos que el cilindro.
La ecuación es P(x) = x 3 - 14.16x 2 + 34.6852 x - 105.15405.
Aplica la Regla de Ruffini para acotar las raíces del polinomio.
Mediante la Regla de Hua verifica si el polinomio tiene raíces complejas.
Mediante el método de Newton aproxima el valor de la raíz del polinomio, utilizando como valor inicial, la
cota inferior que hallaste en el punto nº 2, iterando 2 veces. La derivada del polinomio es P'(x ) = 3x 2 - 28.32
x + 34.6852.
Utilizando un software que realice gráficos de funciones, obtiene la gráfica para comprobar el resultado
obtenido en el punto nº 4.
Solución
2) Regla de Ruffini
614
1 -14.16 34.6852 -105.15
11.5 11.15 -30.59 47.0948
1 -2.66 4.0952 -58.0552
Cota inferior = 11.5.
1 -14.16 34.6852 -105.15
15 15 12.6 709.278
1 0.84 47.2852 604.128
Cota superior = 15.
3) Regla de Hua
14.16 2 > 1 * 34.6852 34.685 2 > 14.16 * 105.15405.
Por lo tanto, el polinomio tiene un par de raíces complejas.
4) Método de Newton
3
2
xn
−14.
16xn
+ 34.
6852xn
−105.
15405
x n+
1 = xn
−
2
3xn
− 28.
32xn
+ 34.
6852
x0 = 11.5
x1 = 12.048997
x2 = 12.000189. Luego, x ≅ 12.
5) Graficamos y obtuvimos una raíz real positiva en 12.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Respuesta.
La altura de la lata es de 12 cm y la altura del tetrabrik es de 12 cm - 4.72 cm = 7.28 cm.
Grupo 2
Se quiere estudiar la variación de la temperatura promedio de la superficie de un planeta, sabiendo que
recibe radiaciones de una estrella cuya temperatura aumenta, aunque muy lentamente. La temperatura
promedio del planeta se puede calcular a través de la siguiente fórmula: T(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 5, con x en
millones de años y T en ºC.
Se desea averiguar si en un período de 4 millones de años, la temperatura promedio puede llegar a tomar el
valor de 0º C.
Paso 1: Se explicará a los alumnos la regla de Descartes.
Sea P(x) un polinomio de raíces reales y considérese la ecuación P(x) = 0, donde P(x) está
escrito en orden decreciente de las potencias de x. Aplicaremos el teorema de Descartes:
El número de raíces positivas no es más grande que el número de variaciones de signos de
P(x).
El número de raíces negativas no es más grande que el número de variaciones de signos de
P(-x).
Se dice que tiene lugar una variación de signo en P(x) si dos términos sucesivos tienen
signos opuestos, los términos que faltan son ignorados.
En la situación:
T(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 5. Apliquemos la regla: +1 -6 +11 -5, luego
hay tres o menos raíces reales positivas.
T(-x) = -x 3 - 6x 2 -11x - 5. Apliquemos la regla: -1 -6 -11 -5, luego
no hay raíces reales negativas.
Primera conclusión: Sabiendo que las raíces complejas aparecen de a pares, puede ocurrir:
1) Tres raíces reales positivas, o bien, 2) Una raíz real positiva y dos complejas.
Paso 2: Se aproximarán las raíces mediante el método gráfico. Se graficará la función T(x)
para observar en este caso, donde cruza el eje x. Este punto
proporcionará una aproximación inicial de la raíz.
En la situación:
T(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 5 = 0.
Con esta tabla de valores se
realiza la gráfica. La curva
cruza el eje x entre 0 y 1,
encontrando una
aproximación de la raíz de
0.62, que se acerca a la raíz
aproximada.
Paso 3: Se aproximarán las
raíces mediante un método
x T(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 5
-1 -23
0 -5
0.5 -0.875
0.6 -0.344
0.62 -0.248072
1 1
1.5 1.375
2 1
2.5 0.625
2.8 0.712
3 1
gráfico, pero en este caso usando herramientas computacionales como pueden ser los
programas Derive, Winfun o Graphmat.
Aclaración. Este trabajo se puede hacer en la sala de cómputos, donde los alumnos en
grupo puedan verificar que la gráfica que realizaron manualmente se aproxima a la
obtenida con la PC. Asimismo, se podrá obtener una mejor aproximación a la raíz buscada.
615

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Paso 4: Se explicará a los alumnos el método de Newton y el método de Newton –
Raphson. En cada iteración del método de Newton debemos evaluar no sólo f(x) sino
también f’(x), lo cual suele ser tedioso de realizar. Surge así la siguiente variante del
método de Newton que se conoce como método de Newton - Raphson, y que resulta de
aproximar f’(xn) con f’(x0)
x
n+
1
616
f ( xn)
= xn
−
f '(
x )
0
, n = 0, 1, ....
En la situación:
Se sabe que el valor aproximado a una raíz de
f(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 5 = 0 se encuentra en el
intervalo [0, 1]. Se realizarán unas tantas
iteraciones, teniendo en cuenta ciertas
consideraciones: f ´(x) = 3x 2 - 12x + 11, x0 = 0
Se obtienen los datos presentados en la tabla.
Mediante el método de Newton - Raphson se ha
encontrado el valor aproximado de la raíz de la
ecuación f(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 5 =0. Este valor:
x = 0.67455474, es el que nos da la solución del
problema propuesto.
n xn xn+1 f(xn+1)
0 0 0.45454545 -1.14575507
1 0.45454545 0.55870501 -0.55275215
2 0.55870501 0.6089552 -0.30063472
3 0.6089552 0.63628563 -0.17240826
4 0.63628563 0.65195911 -0.10163822
5 0.65195911 0.66119895 -0.06085024
6 0.66119895 0.66673079 -0.0367592
7 0.66673079 0.67007253 -0.02232465
8 0.67007253 0.67210205 -0.01360174
9 0.67210205 0.67333857 -0.00830323
10 0.67333857 0.67409341 -0.00507471
11 0.67409341 0.67455474 -0.00310376
0.67455474 -0.00310376
Raíz aproximada: x = 0.67455474
Paso 5: Se aproximarán las raíces mediante el
uso de un software específico. En este caso, se utiliza un programa hecho en MATLAB.
Puesta en común. Esta se realizará mediante el debate entre los grupos de alumnos y la
explicación pertinente del profesor a cargo. Mediante la misma se llegará a la solución del
problema propuesto como disparador de este trabajo.
Conclusión. Se ha constatado que la temperatura promedio puede llegar a tomar el valor
de 0° C, y como consideramos a x en millones de años, esto se producirá aproximadamente
a 674555 años de comenzada la irradiación de calor de la estrella sobre el planeta
id d
Resultados y conclusiones
Hubo una muy buena respuesta por parte de todos los grupos de trabajo. La experiencia
resultó positiva. La presentación y discusión de las propuestas de trabajo (clase de ensayo)
permitió aclarar algunas dudas que no se habían presentado durante el desarrollo del Curso.
Los participantes observaron además, que esta propuesta metodológica podían
implementarla en los temas subsiguientes a ecuaciones polinómicas: ecuaciones
exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, con amplia aplicación en otras disciplinas
(como física, química, estadística, etc.). Si bien algunos de los participantes no daban este
tema en la actualidad (por ser docentes de otros Cursos) observaron y propusieron su
aplicación en el área de Tecnología. Los principales aportes de este trabajo son:
La incorporación y contemplación de aspectos pedagógicos y educativos.
La aplicación de una variedad de estrategias apropiadas para resolver distintas situaciones
problemáticas.
El incremento de la motivación y el desarrollo de las destrezas.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
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617

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA SOBRE DIFERENTES RELACIONES DIDÁCTICAS
EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN
CARRERAS DE INGENIERÍA.
Jorge Azpilicueta, Alicia Ledesma**
Universidad Nacional de Córdoba. Argentina.
e-mail: jorgeazpilicueta@arnet.com.ar
Resumen
Dada la relevancia que tiene en la actualidad el currículum de las Matemáticas en carreras de ingeniería, el
CONFEDI (Consejo Federal de Decanos de Ingeniería) ha considerado y dejado establecido que en el proceso
de modernización de la enseñanza es necesario formular adecuadamente los objetivos de la educación
matemática, describir el papel que desempeña en la formación de los ingenieros y en su práctica profesional,
seleccionar contenidos y distribuirlos correlativamente a lo largo de la carrera, precisar sus alcances y elegir
de manera adecuada los aspectos metodológicos del trabajo en el aula, el que debe tener un fuerte acento en el
planteo de situaciones problema vinculados con la profesión.
Estos propósitos docentes deben tener en cuenta en primer lugar cual es la preparación previa de los alumnos
que deben cursar Matemática en el primer año de Ingeniería en la Universidad Nacional de Córdoba y en
segunda instancia cuales son sus expectativas y el nivel de desempeño, al inicio y durante el desarrollo de
dichos cursos.
Para conocer como se manifiestan las posibles relaciones didácticas entre docentes y alumnos durante el
proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, se plantea como objetivo de esta investigación realizar
una evaluación diagnóstica sobre: el rendimiento escolar de los alumnos que ingresan en el Ciclo de
Nivelación, las condiciones de enseñanza-aprendizaje en los cursos de Introducción al Análisis Matemático y
Análisis Matemático I, y la opinión de los docentes que dictan estas materias en contextos educativos
similares.
De los resultados de esta experiencia se puede inferir que la mayor parte de los alumnos que cursan
Matemática, tienen cierto grado de dificultad en el aprendizaje de la misma, más por razones de índole
metodológica, que por otras causas.
Una evaluación diagnóstica de este tipo es siempre un punto de partida muy útil para la toma de decisiones
con el fin de elaborar un plan de acción metodológico que facilite el logro de los aprendizajes matemáticos en
este nivel educativo y contribuir al desarrollo de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica.
Introducción
Esta experiencia visualiza cuales son las relaciones didácticas que se establecen entre
Profesor y Alumno en el Ciclo de Introducción a la Matemática y en el curso de Análisis
Matemático I en la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de la UNC.
Se parte de la premisa general de que un profesor se encuentra con sus alumnos en el aula
para enseñar un conocimiento matemático determinado que deberán aprender los alumnos.
Enseñar significa crear las condiciones que producirá la apropiación del conocimiento por
parte de los estudiantes. Para un estudiante “aprender” significa involucrarse en una
actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad del conocimiento en su
doble condición de herramienta y objeto. Las realidades pueden ser otras y dependerán de
las interacciones que se puedan establecer entre ambos protagonistas de este proceso.
La Matemática ayuda a pensar, a inducir y deducir, a analizar y sintetizar, a generalizar y
abstraer y a realizar otras operaciones mentales que contribuyen al desarrollo de la
inteligencia Nickerson, R. [8]; Resnick, L.[9]; Guzmán, M.[4]; Fernández, V. et al [3] y
Kilpatrik, J.[6]. Para Artigue, M. [1] el conocimiento matemático puede ser una
manifestación de la interacción antes mencionada para el profesor, pero no del todo para un
cierto número de estudiantes. O al contrario ser una manifestación para algunos estudiantes
y puede no serla para el profesor.
618

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Sin importar cuales son las intenciones al llegar a la Facultad de Ingeniería, cada alumno va
a tener más o menos éxito o a fracasar en su proyecto. Del otro lado, según la historia
personal del profesor, su propia representación y conocimiento de la Matemática, su
concepción del aprendizaje de la Matemática, su voluntad de conocer y la fuerza de las
restricciones a la cuales esté sometido, intentará hacer valer y defender sus convicciones en
el marco del currículum del Cálculo, según los objetivos y los aspectos metodológicos de la
educación matemática en su Institución, González, J.[4]; Moitre,D. [7] y Azpilicueta, J. [2].
Para lograr un punto de partida con mayor conocimiento de la realidad de los alumnos
ingresantes a la Facultad de Ingeniería, el objetivo de esta investigación es realizar una
evaluación diagnóstica para conocer el grado de preparación, rendimiento y las expectativas
que tienen los estudiantes en relación a la Matemática en los cursos iniciales, y la opinión
de los docentes que enseñan esta materia en la UNC, a fin de optimizar las relaciones
didácticas entre ambos protagonistas de este proceso de enseñanza-aprendizaje.
Metodología
Se trabaja en tres direcciones a través de encuestas a docentes y alumnos:
La encuesta Nº 1 se realiza a los alumnos que cursan el Ciclo de Nivelación 2001, en dos
comisiones: la 116–Ingeniería Electrónica- y la 162–Ingeniería Industrial-, con un total de
100 alumnos (tamaño de la muestra igual al quince por ciento del total de alumnos). Se
analiza en general la categoría rendimiento en el secundario y en particular las categorías en
la materia Matemática, del curso de nivelación.
La encuesta Nº 2 está orientada a determinar cuales son las condiciones iniciales de los
alumnos que cursarán Análisis Matemático I, habiendo cursado previamente, Introducción
al Análisis Matemático. El tamaño de la muestra es igual a 62, de un total de 350 alumnos
del curso regular.
La encuesta-entrevista Nº 3 se realiza a docentes que enseñan Matemática y/o Análisis
Matemático tanto en carreras de ingeniería como en otras carreras que tienen Matemática
en su currícula (Geología, Economía, Ciencias Químicas) en la Universidad Nacional de
Córdoba. El objetivo de la misma es considerar distintos aspectos pedagógico-didácticos y
específicos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en carreras para no
matemáticos.
Resultados
Respecto a la encuesta Nº 1 se observan los siguientes resultados:
A) Rendimiento académico en el último curso que realizó el alumno en el Secundario,
según el grupo al cual considera pertenecer.
Alumnos (frecuencia
relativa)
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,16
0,27
0,54
0,03 0,00
1 2 3 4 5
Rendimiento en el Secundario
619

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Fig. 1. Rendimiento académico del último curso del secundario categorizado como: 1:
grupo de los mejores; 2: grupo de los destacados; 3: grupo de los normales; 4: grupo de los
mediocres; 5: grupo de los peores.(Ajuste prueba de Chi-cuadrado).
B) Respecto a la asignatura Matemática la Tabla Nº1 muestra: aprendizaje de la materia,
adecuación de carga horaria, contenidos desarrollados y actividades propuestas (cantidad y
calidad).
No opina Muy bueno Bueno Aceptable Pobre
Aprendizaje 0,05 0,36 0,38 0,21 0
Adecuación 0,06 0,2 0,34 0,31 0,09
Cantidad 0,06 0,18 0,48 0,24 0,04
Calidad 0,08 0,24 0,41 0,23 0,04
C) Distribución del tiempo en estudio dedicado a Matemática.
620
Alumnos (frecuencia
relativa)
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0,27
0,69
0,04
0,00 0,00
20 40 60 80 100
% DEDICACIÓN = tiempo de estudio
Fig. 2. Tiempo de los alumnos dedicado al estudio de la materia. (Ajuste prueba de Chicuadrado).
D) Grado de dificultad de los alumnos en Matemática.
Alumnos (frecuencia
relativa)
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,13 0,13
0,26
0,36
0 1 2 3 4
Grado de dificultad
Fig. 3. Grado de dificultad categorizado como: 0: no opina; 1:muy alto; 2: alto; 3: medio; 4:
bajo.
E) Desempeño del profesor de matemática en el curso introductorio ver Tabla Nº2.
Tabla Nº2: Respuesta de los alumnos a las actividades del Profesor.
0,12

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
No opina Muy bueno Bueno Aceptable Pobre
Profesor (dictado) 0,05 0,65 0,16 0,14 0
Profesor (organización de
contenidos) 0,05 0,42 0,41 0,12 0
Profesor (preguntas-respuestas) 0,06 0,61 0,22 0,09 0,02
Profesor (estímulo) 0,08 0,24 0,41 0,23 0,04
La encuesta Nº2 tiene tres items: A. Condiciones iniciales de los alumnos que cursarán
Análisis Matemático I; B. Forma de estudio que realizan los alumnos y C.
Expectativas al iniciar el curso de Análisis Matemático I.
Para el punto A se observa en la Tabla Nº3.
Tabla Nº3: El cumplimiento de las expectativas, las dificultades en el cursado de la materia
y la comprensión e integración de contenidos por los alumnos.
Totalmente Parcialmente Ninguno
Cumplimiento expectativas 40% 57% 3%
Dificultades en el cursado 32,78% 62,30% 4,92%
Comprensión e integración 14,00% 79,00% 7,00%
El punto B, resume algunas condiciones de estudio que realizan los alumnos en la clase de
Análisis Matemático I (2001) y fuera de ella (Tabla Nº4).
Pregunta (Item B) Si (%) No (%)
1. Le gustaría poseer otra forma de estudio más eficaz 75,41 24,59
2. Le resulta fácil estudiar solo. 65,58 34,42
3. Le resulta fácil estudiar en grupo. 63,94 36,06
4. Le resulta más fácil que el profesor exponga siempre. 90,17 9,83
5. Le resulta fácil estudiar parte de los temas por libros. 32,79 67,21
6. Pone atención durante la explicación del profesor. 100,00 0,00
7. Realiza preguntas durante la clase si no entiende algo del 57,38
tema.
42,62
Para el punto C se presentan en la Tabla Nº 5 las categorías de las expectativas que tienen
los alumnos al iniciar el curso de Análisis Matemático I (2001) en una escala de 1 a 10
Categoría Expectativa Respuesta (%)
1 Finalizar el cursado sabiendo razonar y aplicar los 24,15
conocimientos adquiridos en la Práctica Profesional.
2 Aprender e integrar conocimientos. 16,6
3 Recordar los contenidos aprendidos en Análisis 16,67
4
Matemático I para no tener dificultades en las materias
correlativas.
Entender los conceptos desarrollados en la clase. 9,38
5 Que todos los temas sean desarrollados durante el cursado. 6,25
6 Aprobar la materia. 5,20
7 Lograr comprender algún tema en particular (por ej. 4,17
Integrales, Derivadas, Funciones, etc.)
8 Que se profundicen más los contenidos de la materia. 3,13
9 Que las explicaciones del docente sean claras. 3,13
10 Mejorar la relación docente/alumno. 3,00
621

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La encuesta-entrevista Nº 3 realizada a docentes que enseñan Matemática o Análisis
Matemático visualiza que:
existen múltiples causas por las cuales los alumnos tienen bajo rendimiento en la materia.
el nivel de los estudiantes, en Matemática al inicio de los cursos universitarios es regular o
malo.
Las dificultades se pueden categorizar, de mayor a menor, en los siguientes niveles: 1:Mala
base en el secundario; 2 :Escaso desarrollo del pensamiento lógico; 3:Dificultad lectocomprensiva;
4: Dificultad en la aplicación de los conceptos matemáticos; 5: Aprendizaje
memorístico; 6: Falta de interés de los alumnos por ser Matemática materia básica en la
Carrera; 7: Falta de una metodología de enseñanza adecuada; 8: Falta de integración de los
conceptos matemáticos con la carrera; 9: Clases tradicionales. Profesor conductista.
Exposición y Discusión de Resultados
En relación al rendimiento académico en el secundario, la mayoría de los alumnos se
consideran situados en el grupo de los normales, seguido del grupo de los destacados, de
los mejores y un bajo porcentaje en el grupo de los mediocres. Si se agrupan las tres
primeras categorías se observa que prácticamente el 97% de los alumnos están en
condiciones para comenzar un proceso de aprendizaje de la matemática sin mayores
dificultades o al menos motivados para iniciarlo (Fig. 1).
Respecto de la asignatura Matemática que se dicta en el Ciclo de Nivelación (Tabla Nº1) se
observa que el aprendizaje ha sido muy bueno y bueno en más del 70%; que la adecuación
de los contenidos desarrollados y su carga horaria aproximadamente en un 70% ha sido
buena y aceptable, y la relación cantidad y calidad de las actividades propuestas se han
definido en casi un 70% como buena y aceptable, y un 20% muy buena. La mayoría de los
alumnos ha dedicado alrededor de un 40% (promedio) del tiempo de estudio a Matemática,
con un grado de dificultad alto y medio mayoritariamente (Fig. 2 y Fig. 3). Sin embargo su
opinión en relación al desempeño del docente ha sido en general buena, tanto en el dictado
de la clase y organización de la asignatura, como las respuestas del profesor para facilitar el
razonamiento de los estudiantes (Tabla Nº2).
El análisis de los resultados de la encuesta Nº 2 muestra que para el 40% de los alumnos las
expectativas se cumplieron totalmente, un 57% considera que se dieron parcialmente y sólo
un 3% opina que no se cumplieron (Tabla Nº3).
Con respecto al grado de dificultad un 33% declara muchas dificultades, un 62% pocas y un
5% ninguna.
En relación a la forma de estudio, se observa en la Tabla Nº 4, gran interés en tener una
metodología más eficaz para el aprendizaje de la materia, no obstante no les resulta fácil
estudiar las temáticas por libros, les interesa que el profesor exponga siempre y sólo la
mitad de los alumnos hacen preguntas en la clase si no comprendieron los temas.
De acuerdo a las expectativas de los alumnos que cursan Análisis Matemático I, la Tabla Nº
5 muestra que el mayor porcentaje (24,15%) se refiere a “finalizar el cursado de la materia
sabiendo razonar y aplicar los conocimientos adquiridos en la práctica profesional”. Luego
siguen en orden decreciente con el 16%, dos categorías “aprender e integrar los
conocimientos” y “recordar los contenidos de Análisis Matemático I, para no tener
dificultades en las otras materias”. Sobre otras categorías y hasta el quinto lugar, los
alumnos expresan “entender los conceptos desarrollados en clase” (9,38%) y “que todos los
temas sean desarrollados durante el cursado” (6,25%).
622

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
La entrevista con docentes que enseñan Análisis Matemático o Matemática General en
carreras no matemáticas consideran la existencia de múltiples causas por las cuales los
alumnos tienen bajos rendimientos en estas materias. Entre las que se pueden destacar:
aprender “sin pensar”; preponderancia de lo visible sobre lo inteligible; falta de capacidad
de abstracción (básico para Matemática); lenguaje conceptual sustituido por lenguaje
perceptivo que es infinitamente más pobre; metodología de enseñanza en el nivel medio
más inductiva y conductista, que impiden alcanzar niveles de comprensión abstracta; falta
de preparación y conocimientos de los docentes de nivel medio; falta de interés por el
aprendizaje de los educandos; falta de motivación por el aprendizaje o por el proceso de
enseñanza-aprendizaje tanto de docentes como de alumnos.
Conclusiones: Como conclusión de esta investigación se puede decir, que los alumnos
ingresantes a la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales UNC (2001), tienen
afinidad y predisposición en aprender matemática, lo que facilita la relación didáctica
profesor-alumno.
En el cursado de esta materia las expectativas de los estudiantes se cumplen parcialmente y
la mayor parte de ellos tienen un grado alto y medio de dificultad, lo que impide la
integración y comprensión de contenidos de la materia. Los problemas se suscitan en
relación a la forma de estudio, expresando gran interés en tener metodologías que faciliten
su aprendizaje.
Posibles soluciones se pueden dar al respecto teniendo en cuenta los roles que deben jugar
tanto docentes como alumnos. Una de las soluciones es implementar metodologías de
aprendizajes asociadas a la participación activa de los estudiantes como la resolución de
problemas y otra la capacitación de los docentes en cursos de post-grado, con el propósito
de facilitar y coordinar los procesos de enseñanza-aprendizaje de la matemática en
contextos no tradicionales.
Bibliografía:
Artigue, M. et al. 1995. Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica.
Azpilicueta, J. 2003. Enseñanza de la Matemática para no matemáticos: una propuesta para considerar la
resolución de problemas como metodología activa de aprendizaje de Análisis Matemático. Tesis de
Maestría en Docencia Universitaria. Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional Córdoba.
Fernández, V. et al. 1999. Educación Matemática para no Matemáticos. Ed. Fundación. U.N. de San Juan.
Argentina.
González, J. 1997. Unificación curricular: experiencia argentina. I Encuentro Iberoamericano de
Directivos de Enseñanzas de Ingeniería. Madrid. España.
Guzmán, M. 1991. Para pensar mejor. Barcelona. Paidós.
Kilpatrich, J. 1985. A retrospective account of the past twenty-five years of research on teaching
mathematical problem solving. In E.A. Silver (Ed.)(pp. 1-15). Hillsdale NY: Lawrence Erlbaum.
Moitre, D. 2000. Tercer Congreso Argentino de Enseñanza de la Ingeniería.Tomo I. Bahía Blanca.
CONFEDI.
Nickerson, R. et al. 1985. Enseñar a pensar. Aspectos de la aptitud intelectual. Barcelona. Piados. 1987.
Resnick, L. 1987. Education and learning to think. Washington, D.C.. National Academy Press
623

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
624
ESTRATEGIAS PARA INTRODUCIR LA TEORÍA DE GRAFOSEN LA
ESCUELA MEDIA
Patricia Lestón y Daniela Cecilia Veiga
Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”
Buenos Aires, Argentina
patricialeston@uolsinectis.com.ar; veigadaniela@yahoo.com.ar
Resumen
El presente trabajo tiene por objetivo presentar a los docentes de la escuela media una propuesta para llevar la
teoría de grafos al aula. Dicha rama de la matemática proporciona una variedad de ejercicios y problemas
que, por su simpleza, llaman la atención de muchos alumnos, quienes se ven atraídos a resolverlos; por lo que
resulta más ameno el aprendizaje de los conocimientos básicos de la teoría de grafos. Es así como se propone
trabajar en el el concepto de ‘número’, lo que da origen a la aritmética, y sobre el concepto de ‘forma’, la que
da origen a la geometría. Muchas veces, sin embargo, se combinan ambos conceptos dando lugar a
propiedades de los números vinculados con las formas de figuras geométricas. Un ejemplo de ello es la
Teoría de Grafos que se inauguró con Leonardo Euler (1707-1783) y que ha tenido muchas aplicaciones
teóricas y prácticas referentes a figuras de la geometría”.
Esta teoría proporciona una variedad de ejercicios y problemas que, por su simplicidad,
llaman la atención de muchos alumnos, quienes se ven atraídos a resolverlos; por lo que
resulta más ameno el aprendizaje de los conocimientos básicos de la teoría de grafos.
Es así, como las autoras de este trabajo, proponen llevar al aula algunos problemas que por
su importancia histórica o por la facilidad en su resolución permitirán a la vez iniciar a los
alumnos en un terreno poco habitual de la matemática. Al mismo tiempo, desarrollar y
perfeccionar en los alumnos una manera de pensar matemáticamente bastante alejada de los
procedimientos mecánicos que muchas veces invaden nuestras aulas.
“En la situación de cambios en que nos encontramos, es claro que los procesos
verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es
lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros alumnos. En nuestro mundo científico
e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de
pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead
llamó “ideas inertes”, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de
combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los
problemas del presente.” (de Guzmán, 1994)
Marco Teórico
El trabajo se realiza sobre la base de las nuevas teorías de enseñanza-aprendizaje de la
matemática; en estas se considera a la resolución de problemas como el eje central de esta
disciplina.
Como se dijo anteriormente, la teoría de grafos proporciona una herramienta que permite
estimular en los alumnos el razonamiento matemático. Como sugiere Miguel de Guzmán:
“lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las
matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la
resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes
con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? ... Del
enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones,
actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra la
vida propia de las matemáticas” (Corbalán, 1998).
De la misma forma, se sabe que la sociedad actual exige personas cada vez más creativas,
por lo cual , el docente, se ve obligado a dejar de lado los ejercicios rutinarios y las clases
puramente expositivas con los que sólo se consigue el desinterés y se impide el desarrollo
intelectual de los alumnos; para, finalmente, adoptar una nueva forma de trabajo que
fomenta la creatividad, la discusión y la experimentación. En 1965, Polya expresó que si un
profesor de matemática “pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles
problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de
preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y
proporcionarles ciertos recursos para ello” (Santaló, 1986).
Es así como surgen los problemas como primeros protagonistas en la educación actual y lo
que se propone en este trabajo, no es reemplazar esta nueva metodología, sino
complementarla. Esto significa que los problemas que se resuelven con conceptos de la
Teoría de Grafos no son más que eso, problemas; y como tales, permiten que el aprendizaje
de los alumnos sea significativo. Sin embargo, muchos ejemplos se pueden acompañar por
preguntas sencillas a partir de las cuales es posible definir conceptos básicos de este rama
de la matemática que, por otro lado tiene múltiples aplicaciones, por ejemplo, en las
ciencias sociales y en medicina; entre otras disciplinas. Al mismo tiempo son útiles para
estudiar las relaciones familiares en una sociedad trivial y la difusión de una enfermedad
contagiosa, entre otros numerosos ejemplos de situaciones provenientes de diversas áreas.
En general, existen muchos problemas en la Teoría de Grafos que pueden ser resueltos aún
sin tener conocimiento de esta rama de la matemática; de hecho, muchos de los problemas
aparecen en revistas de entretenimiento al alcance de cualquier persona, y en general, se los
resuelve aplicando conceptos básicos de esta disciplina. Es evidente que esto constituye una
ventaja para su enseñanza. No obstante, el docente debe aprovechar este beneficio para
enseñar conceptos nuevos y perfeccionar los procedimientos que los alumnos utilizan en su
resolución; sobre esto Santaló (1986) señaló: “Enseñar matemáticas debe ser equivalente a
enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas
debe ser lo mismo que pensar en la solución de
algún problema... Naturalmente que se trata de
problemas en el sentido amplio, no solamente de
problemas reducibles a cálculos numéricos. Lo
importante es que haya algo que buscar, o un
enigma que aclarar dentro de un contexto bien
planteado. Solamente hay que enseñar, como
requisito previo, el lenguaje o la nomenclatura
usual en matemáticas, para poder plantear los
problemas correctamente y para entender la
bibliografía corriente”.
625

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Anteriormente, se mencionó que gran parte de los alumnos, resuelven problemas de la
Teoría de Grafos aún antes de conocerla y la ventaja que esto representa para su enseñanza.
Sin embargo, es importante aclarar que el docente debe aprovechar esto para acercar a los
alumnos, nuevas y mejores herramientas para la resolución de problemas; Schoenfeld
explica esto advirtiendo que “una de las diferencias entre los expertos matemáticos y los
alumnos en la resolución de problemas estriba en que estos últimos carecen de
metaconocimiento o control de sus propios recursos de solución. En ese sentido, el
profesor debe ayudar mediante diversas técnicas a hacer explícitas las estrategias de las
que dispone el alumno y su utilidad en la solución del problema”. (Echeverría, 1997).
Actividades propuestas
A continuación se proponen una serie de problemas, dentro de los que se encuentran
algunos de los problemas más conocidos y otros que ayudan a complementar la enseñanza
de la Teoría de Grafos.aula una serie de problemas, que por su importancia histórica o por
la facilidad en su resolución permitirán a la vez iniciar a los alumnos en un terreno poco
habitual de la matemática. Al mismo tiempo, desarrollar y perfeccionar en ellos una manera
de pensar matemáticamente bastante alejada de los procedimientos mecánicos que muchas
veces invaden nuestras aulas. De la misma forma, se sabe que la sociedad actual exige
personas cada vez más creativas, por lo cual, el docente, se ve obligado a dejar de lado los
ejercicios rutinarios y las clases puramente expositivas con los que sólo se consigue el
desinterés y se impide el desarrollo intelectual de los alumnos; para, finalmente, adoptar
una nueva forma de trabajo que fomenta la creatividad, la discusión y la experimentación.
Muchos de los problemas aquí presentados se pueden acompañar por preguntas sencillas a
partir de las cuales es posible definir conceptos básicos de este rama de la matemática. En
general, existen muchos problemas en la Teoría de Grafos que pueden ser resueltos aún sin
tener conocimiento de esta rama de la matemática; de hecho, muchos de los problemas
aparecen en revistas de entretenimientos al alcance de todos, y en general, se los resuelven
aplicando conceptos básicos de esta disciplina. Es evidente que esto constituye una ventaja
para su enseñanza. No obstante, el docente debe aprovechar este beneficio para enseñar
conceptos nuevos y perfeccionar los procedimientos que los alumnos utilizan en su
resolución
Introducción
¿Quién no se ha encontrado alguna vez frente a un problema como el siguiente y ha pasado
horas intentado resolverlo?
Dibujar el siguiente esquema sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma línea.
Es casi cotidiano la resolución de este tipo de problemas de ingenio en los que, sin darse
cuenta, se aplican conceptos básicos de la teoría de grafos.
626

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
La elección de esta rama de la matemática para realizar un trabajo se debe a sus
características tan particulares. Ya en 1995 Santaló afirmó: “La matemática se edifica sobre
Problema 1: Los siete puentes de Königsberg
Sin duda, uno de los problemas más conocidos históricamente es el llamado: Los siete
puentes de Königsberg; la resolución de este problema, se debe a Euler quién presentó su
ingeniosa solución en la Academia rusa de San Petersburgo en 1735. Newman, comenta
que Euler trabajaba con tanta facilidad que se decía que escribía memorias durante la
media hora entre la primera y la segunda llamada para la comida... El problema –cruzar
los sietes puentes en un paseo continuo, sin volver a cruzar ninguno de ellos- se
consideraba como una pequeña diversión de los ciudadanos de Königsberg. Euler, sin
embargo, descubrió un importante principio científico escondido en este acertijo.
En pocas palabras, el problema es el siguiente:
La ciudad de Königsberg está situada a orillas del río Pregel y sobre dos de sus islas, las
diversas partes de la ciudad se conectan entre sí por medio de siete puentes. Un turista
quiere dar un paseo por la ciudad , pero desea partir de un punto cualquiera , atravesar una
sola vez por cada uno de los puentes, y regresar al punto de partida. ¿Es posible realizar
este paseo?
El trabajo completo de Euler se puede encontrar en Newman, volumen 4 de Sigma, el
mundo de las matemáticas, Grijalbo, 1997. No obstante, si se realiza un estudio del trabajo
realizado por Euler, resulta admirable el análisis que realiza a lo largo de toda la resolución.
Se observan con claridad todas las características propias de un problema: análisis de datos,
clasificación, aplicación de algoritmos, etc.
Problema 2: Las tres casas (Versión tomada de Piñeiro, 2000)
Otro problema muy conocido es el que se describe a continuación:
Tenemos tres casas (A, B y C) y tres centrales de servicios (de gas, de teléfonos y de
electricidad).
El objetivo es conectar cada una de las casas con cada una
de las centrales de modo tal que ninguna de las nueve
líneas de conexión se cruce con otra.
La incertidumbre que crea este problema en los alumnos
se debe a que no pueden “separarse del plano”. Es decir,
tener una idea espacial del problema.
Problema 3: El cartero chino
Otro problema histórico es el conocido como El problema del cartero chino. En este
problema se desea minimizar el recorrido que debe hacer un cartero para cumplir con el
reparto del correo. Una de las variantes posibles para trasladarlo al aula es plantear este
problema para un cartero de la ciudad en la que se vive, tomando por ejemplo, la porción de
mapa que corresponde a la escuela.
627

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Problema 4:Coloreo de mapas
Un problema famoso es el conocido como problema de los cuatro colores. Se trata de
probar que cualquier mapa plano coloreado con sólo cuatro colores teniendo en cuenta la
región externa y que dos regiones fronterizas no pueden ser coloreadas con el mismo color.
Otra opción posible para el trabajo en el aula, es pedirles a los alumnos un mapa de su país
y que lo coloreen con la cantidad mínima de colores.
Otros problemas posibles:
1) En un país hay 7 lagos conectados por 10 canales de forma que se puede ir de cualquier
lago a cualquier otro lago nadando, ¿cuántas islas hay?
2) Un barquero debe cruzar un río con un lobo, una cabra y un repollo. Su pequeño bote de
remos no puede cargar más de una cosa en cada viaje; además no puede dejar al lobo solo
con la cabra ni a la cabra con el repollo.
Represente la situación mediante un grafo, indicando en cada vértice del mismo lo que
queda en la primera orilla y en la arista lo que viaja en la barca.
Indique una solución posible del problema a partir del grafo.
3) En una reunión familiar, la dueña de casa decide ubicar a los cinco invitados en una
mesa redonda para cenar. Los invitados eran: Ana, la dueña de casa; Berta, actual esposa
del ex marido de Filomena, Clara, íntima amiga de Filomena; Dorotea, suegra de Ana y
hermana de Berta; Elsa, cuñada de Ana y finalmente, Filomena.
Esta tarea se presentaba como un dolor de cabeza dadas las enemistades entre ellas
existentes. Por lo que se sabe, se ha podido determinar que Ana suele siempre discutir
agriamente con Dorotea y con Elsa. Por su parte Berta no soporta la cercanía de Clara ni de
Filomena; mientras que Dorotea está sumamente disgustada con Filomena. ¿Es posible
sentar a las invitadas alrededor de la mesa redonda de modo tal que reine la paz? Por su
parte, Elsa solamente aceptaría sentarse con sus amigas Berta y Filomena.
4) Intenta dibujar sin levantar el lápiz de la hoja ni pasar dos veces por la misma línea los
siguientes grafos.
Conclusiones
La Teoría de Grafos presenta tanto a docentes como a alumnos un material que permite
hacer que las clases de matemática pierdan la excesiva formalidad con la que se las trataba
años atrás.
El interés que los alumnos pueden presentar hacia este tipo de actividades debe ser uno de
los objetivos de los docentes. Generar en los adolescentes una atracción hacia un tema
628

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
puramente matemático es un logro con el que los docentes actuales pueden contar al hacer
uso de este tipo de trabajo.
Cualquier aporte que pueda hacerse a las clases con temas que permitan el trabajo grupal, la
discusión y el razonamiento debe considerarse como un avance en la enseñanza actual de la
matemática. No debe olvidarse que uno de los principales objetivos de la enseñanza es
desarrollar y perfeccionar el razonamiento lógico-matemático, la utilización del lenguaje
propio de la matemática y, a la vez, crear en los alumnos una actitud crítica frente a los
distintos desafíos que se propongan.
Es cierto que para muchos docentes puede ser más fácil trabajar con clases expositivas y
que los alumnos sean simples espectadores. Sin embargo, es sabido que para que un
aprendizaje sea significativo, el alumno tiene que generar sus propios conocimientos. A
esto apunta la propuesta de utilizar problemas para enseñar la Teoría de Grafos y permitir el
acercamiento entre la Matemática y la vida cotidiana.
Bibliografía
Corbalán, F. (1998). Juegos Matemáticos para secundario y bachillerato. Madrid, España: Editorial Síntesis.
Crespo Crespo, C. (2001). Cruzando puentes, pintado mapas, ... Una introducción a la teoría de grafos. En
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Volumen 14, pp 89-92, México: Grupo Editorial
Iberoamérica.
Crespo Crespo, C. (2002). Guía de ejercicios Matemática Discreta – Teoría de Grafos. Especialidad en
Computación – ISP “Dr. Joaquín V. González”. Buenos Aires, Argentina.
de Guzmán, M. (1994). Tendencias Innovadoras en Educación Matemática, JAEM. En
http://www.minedu.gob.pe/dinesst/udcrees/material_docentes/amatematica/edumatematica_sxxi.doc
Echeverría, M. (1997). La solución de problemas en matemática. En Pozo, J., Echeverría, M. y otros. La
solución de problemas. En 54-83. Buenos Aires, Argentina: Editorial Santillana.
Euler, L. (1736). Los siete puentes de Königsberg. En Newman, J. (Ed.) Sigma. El mundo de las matemáticas.
Volumen 4, pp 164-171. Barcelona, España: Editorial Grijalbo.
Santaló, L. (1986). La enseñanza de la matemática en la escuela media. Buenos Aires, Argentina: Editorial
Docencia.
Santaló, L. (1995). Matemática 3. Iniciación a la creatividad. Argentina: Editorial Kapelusz.
Piñeiro, G. (2000, Marzo). Curiosidades Matemáticas: Los puentes sobre el río Pregel. Axioma en línea
629

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
630
ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA, INTERACTUANDO CON OTRAS
DISCIPLINAS.
María Inés Rodríguez
Universidad Nacional de Río Cuarto.- Argentina.
mrodriguez@exa.unrc.edu.ar
Resumen
La sociedad actual demanda a su sistema educativo una formación estadística que capacite a sus ciudadanos
para entender, comprender y resolver, la diversidad de información y problemas surgidos desde diversos
ámbitos e interpretarlos en los contextos culturales que se presenten. En consecuencia, las curriculas
educativas han incrementado sus contenidos estadísticos, desde la enseñanza primaria, hasta la universitaria,
destacando la necesidad de la enseñanza de la estadística como una valiosa herramienta de la metodología
científica. Un buen ejemplo lo constituye la estructura curricular del Sistema Educativo Argentino que a partir
de 1995 establece la escolaridad obligatoria en 10 años, incluyendo la estadística desde los primeros cursos
del nivel inicial. La formación básica en estadística ha sido encomendada, en los niveles no universitarios, a
los profesores de matemáticas que generalmente no han recibido capacitación específica en el área. Para los
profesores que se encuentran en esta situación, la enseñanza de la estadística supone un problema debido a
que se requieren conocimientos, destrezas y experiencias en el tratamiento y elaboración de información que
demanda: la selección de técnicas e instrumentos que mejor se adapten a los datos, la flexibilización para
cambiar procedimientos, la interpretación adecuada de los resultados y la capacidad para evaluar la validez y
fiabilidad de las conclusiones extraídas. Ser capaz de dominar esta actividad o enseñarla a un grupo de
estudiantes no es una tarea simple, necesita de preparación previa y cierta experiencia. Holmes (2002) indica
que, puesto que las lecciones de estadística, dentro de los libros de matemática han sido generalmente escritas
por matemáticos, el objetivo preferente de las mismas es la actividad matemática y no la actividad estadística.
Esta puede ser la razón por la cual prevalece la idea de que la estadística que se enseña en las escuelas o
niveles básicos universitarios no refleja suficientemente la naturaleza eminentemente práctica de esta
disciplina.
Considerando como alternativa superadora de este inconveniente, su enseñanza a través de actividades en las
que, los alumnos "descubran" conceptos estadísticos al resolver problemas del mundo real, y esperando
brindar un aporte que pueda estimular la reflexión acerca de la educación estadística, se presenta en este
trabajo una experiencia implementada en nivel medio y que se puede realizar también en cursos
universitarios, para la enseñanza de la estadística a través de la realización de proyectos asequibles al nivel del
alumno, tratando de integrar la estadística dentro del proceso más general de investigación en diversas
disciplinas.
Introducción
La estadística es hoy día necesaria a un número creciente de personas, provocando, en
consecuencia, una gran demanda de formación básica en esta materia, formación que ha
sido encomendada, en los niveles no universitarios, a los profesores de matemáticas. Al
respecto es sumamente importante resaltar las diferencias metodológicas con que se deben
enfrentar estos profesores al impartir temas de estadística, ya que el pensamiento
estadístico dista mucho del pensamiento determinista que prevalece en la clase de
matemática. Una manera recomendable de encarar la enseñanza de temas estadísticos es
mediante la realización de proyectos desarrollados en contextos reales. Snee (citado por
Smith, 1998) afirma que "la colección y el análisis de datos están en el corazón del
pensamiento estadístico. La colección de datos promueve el aprendizaje por la experiencia
y conecta el proceso de aprendizaje a la realidad"
Es así muy compartida la idea de estimular la enseñanza de la estadística mediante la
realización de proyectos, los cuales aportan al alumno, experiencia con la definición de

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
problemas, la formulación de hipótesis, el diseño de un ensayo. También lo hace enfrentar
con el problema de la selección y determinación de la muestra, la obtención de datos y el
tratamiento del error de medida. Por otra parte y aprovechando las ventajas que brinda la
informática, con la posibilidad de realizar gran variedad de gráficos y cálculos estadísticos,
los proyectos son el medio adecuado para introducir una nueva filosofía en la enseñanza de
la estadística, como es el análisis exploratoio de datos, introducido por Tukey, para quien,
“El análisis exploratorio de datos no puede ser visto como el total de la historia, pero si
puede ser visto como la piedra fundamental-primer paso" ... " el análisis exploratorio de
datos es el trabajo de detective numérico”
También cabe destacar que la realización de proyectos, contribuye al desarrollo del estudio
cooperativo e interdisciplinario, en los cuales no es muy frecuente que interactúe el
profesor de matemática.
Por otra parte las actividades que permiten a los alumnos obtener sus propios datos tienen
las siguientes ventajas:
• Despiertan el interés por el análisis de los datos.
• Contribuyen a apreciar la fiabilidad que brindan los datos y a comprender su
variabilidad.
• Introducen conceptos y terminología básica en Estadística y Probabilidad.
• Ayudan a comprender la importancia de una selección adecuada de la muestra.
• Inician a los alumnos en las actividades implicadas en el proceso de investigación.
Por tal motivo, y considerando como un aporte que puede estimular la reflexión acerca de
la educación estadística, se presenta a continuación las etapas de un proyecto realizado en
forma conjunta con docentes y alumnos de nivel medio (ciclo de especialización, 16 y 17
años) de dos colegios de la localidad de Jovita (Córdoba). Este proyecto se puede concebir
como verdadera investigación asequible al nivel de los alumnos, en el cual se ha integrado
la estadística dentro de un proceso más general de investigación en diversas disciplinas, ya
que en el mismo participan docentes de Ciencias Sociales, Naturales, Matemáticas, Lengua,
Educación para la Salud, Física, Química, Biotecnología, Informática y Educación Física,
quienes desarrollaron en sus correspondientes currículas los temas relacionados con la
salud y el proyecto de investigación de acuerdo a planes previamente trazados.
Título del proyecto: hipercolesterolemia en la población estudiantil de jovita 2003.
Desarrollo del Proyecto
• Etapa 1:
Los alumnos participantes en el proyecto redactaron, distribuyeron y recogieron los
permisos firmados por los padres con el consentimiento para la realización del dosaje de
colesterol y confeccionaron la base de datos de la población escolar de instituciones
educativas de Jovita urbanos y rurales. Además, docentes y alumnos, se ocuparon de poner
a punto las técnicas de medición de las variables.
• Etapa 2: Obtención de los datos.
En la tabla siguiente se detallan los centros educativos en los que se trabajó y los
porcentajes de población evaluada en cada uno.
631

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Centro educativo
632
Total
Matrícula
No
autorizados
Se niegan
Excede
edad
Faltaron Evaluados Porcentaje
IEMJO 184 10 3 2 169 91,85
IPEM 382 43 4 10 4 321 84,03
Sarmiento 371 11 1 1 9 349 94,07
Tovagliari 122 5 3 5 109 89,34
Jardín Sarmiento 48 1 2 45 93,75
Jardín Tovagliari 15 1 2 12 80,00
Alas 13 3 1 2 2 5 38,46
CENPA 6 3 3 50,00
San Jose 16 16 100,00
Jonas Salk 14 14 100,00
Santiago Derqui 6 6 100,00
Total general 1177 74 14 15 25 1049 89,12
• Etapa 3: Curso -Taller : Análisis Exploratorio de datos
Con la participación de 12 profesores de distintas disciplinas y algunos alumnos interesados
en el procesamiento de los datos, se brindaron las herramientas necesarias para que ellos
pudieran realizar los cálculos de medidas y gráficos estadísticos, que permitieran resumir la
información registrada y conocer la prevalencia de hipercolesterolemia de la población en
estudio.
1- Objetivo del Proyecto
Determinar la prevalencia de hipercolesterolemia en la población estudiantil.
2- Procedencia de los datos.
Población en estudio: la totalidad de estudiantes entre 5 y 18 años de edad, que asisten a
alguna institución educativa de la localidad.
Variables: determinación de colesterol, mediciones de talla, peso, perímetro pélvico,
abdominal y de la tensión arterial
3- Conceptos y Procedimientos estadísticos desarrollados en el Proyecto.
• Los alumnos se encargaron de redactar la nota solicitando la autorización de los padres
para realizar el dosaje de colesterol de sus hijos, como así también la encuesta para la
obtención de los datos.
• Identificación de tipos de variables y covariables. Escala de medición.
• Elaboración de tablas de frecuencias
• Elaboración de tablas de doble entrada y cálculo de frecuencias condicionadas y
marginales.
• Elaboración de gráficos.
• Interpretación de tablas y gráficos.
• Selección de muestras aleatorias extraídas de la población. Importancia del tamaño y
representatividad de la muestra.
• Elaboración de argumentos y conclusiones a partir del análisis de datos
4- Algunas actividades realizadas

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Acordando con la idea de Bieler quien sostiene que "El currículum tradicional de
Estadística Descriptiva debiera transformarse en dirección al Análisis Exploratorio de
datos. Sería esencial dar apoyo sustancial a la actitud investigadora, contra la tendencia
de la mayor parte de las transposiciones didácticas de reducir el conocimiento a la
técnica". Presentamos a continuación algunos gráficos realizados por los alumnos, que
muestran los resultados obtenidos.
Valores de colesterol
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
PERCENTILADO DE COLESTEROL SEGÚN SEXO
varon
mujer
0 20 40 60 80 100
Percentiles
GRÀFICO DE CAJAS PARA MASA CORPORAL SEGÚN SEXO
45.8261
8.88889
masa
1 2
633

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
634
GRÁFICO DE TALLO Y HOJAS DEL COLESTEROL EN MUJERES
10* | 00123
10. | 77888999
11* | 00122234
11. | 5556678899
12* | 000001111122233333344
12. | 55555666677777889999
13* | 00000111111122222233333334444444
13. | 555556666677778888889999999
14* | 0000000000011111111112222222233333444444
14. | 5555556666677778888999999
15* | 0000011111111222222222333344444
15. | 555666667777777778888999
16* | 00000001111222333333334444
16. | 555555566667788888899
17* | 0001111222223334
17. | 55688889
18* | 0000011112233
18. | 556788
19* | 00334
19. | 55567778
20* | 01233
20. | 68
21* | 3
21. |
22* | 2
22. |
23* |
23. |
24* | 3
5- Resultados
El haber evaluado a un 90 % de la población estudiantil revela el grado de interés que
despertó esta actividad y en ello mucho tiene que ver la actitud de docentes y directivos,
que desempeñaron un rol muy importante.
Datos del screening
Población escolar total 1177
Población evaluada 1054
Porcentaje
evaluados
de alumnos
89,55%
Resultados En números En porcentaje
Población evaluada 1054 100%
Alumnos con Colesterolemia
Inferior a 176 mg/dl 705 66.88%
Entre 176
inclusive
y 199 mg/dl
219 20.78%
Superior a 199 mg/dl 129 12.24%

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Algunos resultados iniciales revelan que se detectó un 12 % de la población estudiantil de
Jovita con colesterol elevado (Superior a 199 mg/dl) . Si discriminamos por sexo, ésto
representaría un 13,19% de las mujeres y un 10,17% aproximadamente de los varones.
Haciendo referencia a la presión arterial, vemos que el 50% de los estudiantes posee
presión mínima menor o igual a 65, y máxima menor o igual a 110. Sin embargo, el 50%
de las mujeres posee presión mínima más alta que el 50% de los varones, mientras que la
máxima es igual para el 50% de ambos sexos.
Alrededor del 26,60% de la población estudiantil posee masa corporal adecuada; un 6,38%
está excedido de peso; pero lo que resulta interesante destacar es el alto índice de bajo peso,
constituido por el 67,02% de los estudiantes, lo que representaría el 61,03% de las mujeres
y el 65,12% de los varones.
Conclusiones
Tradicionalmente en la enseñanza de la estadística se ha dado gran importancia al cálculo y
a las demostraciones de propiedades, que ahora pierden importancia debido a las
posibilidades que brindan las nuevas tecnologías. En la actualidad en lugar de tener que
ejercitarse en la realización con lápiz y papel de cálculos y gráficos, el alumno debe
aprender el uso de algunas herramientas informáticas, como ser hoja de cálculo, y centrar la
atención en la interpretación y significado de los gráficos y cálculos obtenidos. Estamos
comprobando con la ejecución de este proyecto capacidades de los alumnos tanto para
generar ideas, como para interpretar resultados y conclusiones, que no se habían
manifestado anteriormente. Cabe destacar que este trabajo interdisciplinario ha despertado
interés por el conocimiento de nociones de estadística no sólo en los alumnos sino también
en la generalidad de los docentes, motivando la realización de talleres a los que concurren
docentes de distintas disciplinas interesados por mejorar su cultura estadística para poder
aplicarla mejor en sus tareas del aula y en su vida cotidiana.
Bibliografía
Batanero C. (2001). Didáctica de la Estadística. GEEUG- Universidad de Granada. . ISBN 84-699-4295-6
Pag.Internet
Batanero C.,(2000) ¿Hacia dónde va la Educación Estadística?. Blaix, 15, 2 - 13
Biehler R. (1988) Educational perspectives on exploratory data analysis. Sixth International Congress on
Mathematical Eduction.
Doran J. y Hernández E (1999) Las Matemáticas en la vida cotidiana. Addison-Wesley. Universidad
Autónoma de Madrid.
Godino,J. y Batanero C (1998) Construcción y experimentación de un modelo para una instrucción
significativa sobre análisis de datos. En L.Pereira-Mendoza et al. (Eds.) Proceedings of the Fifth
International Conference on Teaching Statistics (Vol. 2: 905 - 912). Singapur. International Statistics
Institute
Tukey J.W. (1972) Exploratory data analysis. N.Y.Addison Wesley
635

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Resumen
636
EL DISEÑO Y DESARROLLO DE UN CURSO DE CÁLCULO
EN UN SISTEMA DE EDUCACIÓN VIRTUAL.
Ramiro Ávila Godoy
Universidad de Sonora. México
ravilag@gauss.mat.uson.mx
Este es un segundo reporte de resultados obtenidos en el desarrollo de un proyecto de investigación,
financiado por CONACYT, diseñado para indagar las ventajas y dificultades que se presentan al desarrollar
un programa de educación virtual para la formación a distancia de profesores de matemáticas utilizando
tecnología de redes (internet, páginas Web, correo electrónico, multimedia, videos). En RELME-16 se
presentó un primer reporte (que deberá aparecer en las memorias de dicho evento) en el que se muestran
nuestras observaciones y reflexiones relativas a la asincronía y la no presencialidad del proceso comunicativo
en la educación virtual.
En esta ocasión reportamos las observaciones y reflexiones hechas durante la planeación, diseño de materiales
y desarrollo del curso de Cálculo correspondiente al Programa de Maestría en Ciencias en Enseñanza de las
Ciencias que ofrece el Sistema Tecnológico Nacional mexicano a sus profesores en todo el país, por medio de
un Sistema Virtual de Educación a Distancia, gracias al cual ha sido posible llevar a cabo el proyecto de
investigación mencionado (ver reporte en las memorias de RELME-16). Tales observaciones y reflexiones
constituyen un avance en la dirección del propósito fundamental del proyecto: de investigar la forma de
mejorar el uso de la tecnología de redes en el diseño y operación de programas de formación a distancia de
profesores de matemáticas en servicio.
La planeación del curso y el diseño de materiales.
Nuestra experiencia previa en la planeación, diseño e instrumentación de cursos de
matemáticas en general y de Cálculo en particular fueron nuestra base al disponernos a
planear éste, lo mismo que al diseñar las actividades de enseñanza y materiales de apoyo;
aunque de inmediato nos surgieron las primeras interrogantes derivadas del hecho de
tratarse de un curso para desarrollarse en un sistema virtual de educación, dirigido a una
comunidad de estudiantes demasiado numerosa. Algunas de tales interrogantes fueron:
¿Qué diferencia existe entre diseñar actividades para enseñar matemáticas en un sistema
virtual y diseñarlas para un sistema presencial?, ¿Qué modificaciones requieren las
actividades que han sido diseñadas para ser utilizadas en un sistema presencial, para usarse
en un sistema virtual?, ¿Cómo organizar, coordinar y conducir el trabajo de un grupo de
estudiantes tan numeroso sabiendo que constituyen una comunidad virtual?
De acuerdo con la experiencia previa mencionada, el punto de partida de nuestra planeación
fue la determinación de los propósitos generales, los que establecimos tomando en cuenta
las características del mismo, esto es, tomando en cuenta que se trataba de un curso de
Cálculo que forma parte de la currícula de un Programa de Maestría en Ciencias en
Enseñanza de las Ciencias ofrecido en un Sistema Virtual de Educación a Distancia,
dirigido a aproximadamente mil profesores de matemáticas en servicio con la finalidad de
que mejoren su desempeño como docentes.
Establecidos los propósitos y de nueva cuenta considerando las características del curso,
nos dimos a la tarea de elegir los tópicos que constituirían el contenido disciplinario del
mismo, así como los aspectos que sobre dichos tópicos habrían de abordarse.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
El siguiente paso en la planeación fue la determinación de los medios a utilizar para el
desarrollo del curso. Esta determinación está basada en nuestra concepción de la enseñanza
como la actividad a través de la cual se provoca y conduce la actividad de aprendizaje; y
del aprendizaje como el resultado de la actividad cognitiva del sujeto que aprende,
denominada precisamente, actividad de aprendizaje.
La actividad de aprendizaje (actividad cognitiva) la concebimos como la actividad
intelectual que se realiza al identificar, comparar, ordenar, establecer analogías y
diferencias, deducir, inducir, conjeturar, verbalizar, contrastar, refutar, demostrar, etc.;
mientras que la actividad de enseñanza es la actividad diseñada por el profesor con el
propósito de provocar, conducir, controlar y evaluar la actividad de aprendizaje.
En el diseño de las actividades de enseñanza asumimos que para activar intelectualmente a
los estudiantes es necesario propiciar, o la ejecución de tareas que denominamos
problémicas, o la reflexión sobre ciertos cuestionamientos que denominamos preguntas
problémicas. Tanto las tareas como las preguntas problémicas se proponen referidas a una
cierta situación elegida o diseñada para el caso. También a estas situaciones las
denominamos problémicas. Ejemplos de tareas problémicas son: el análisis de información,
el diseño de estrategias de solución, la ejecución de acciones planeadas, la evaluación de
resultados, la comunicación oral y escrita, etc.
Con base en estas concepciones nos dimos a la tarea de diseñar las situaciones problémicas
a utilizarse en el desarrollo del curso y a seleccionar los materiales bibliográficos
complementarios.
El diseño de estos materiales nos obligó a reflexionar y tomar decisiones sobre varias
cuestiones importantes que surgieron como consecuencia de saber que los materiales que
nos disponíamos a diseñar eran para utilizarse en un curso dirigido a una comunidad muy
numerosa de estudiantes en un sistema virtual de educación.
Una primera reflexión nos permitió hacernos conscientes de que al planear y diseñar
actividades de enseñanza para ser utilizadas en el sistema presencial, lo hacemos sin
precisar la forma en que las desarrollaremos en el aula, quizás por considerar que, estando
presentes, podemos decidir qué hacer en el momento justo de presentarla a los estudiantes;
es decir, la presentación e instrumentación de la actividad no es usual que la pongamos por
escrito e, incluso, con frecuencia la utilizamos de manera diferente en diferentes grupos ya
sea porque al instrumentarla en un grupo, nos percatamos de la conveniencia de algún
cambio; o por el simple hecho de que reconocemos la conveniencia de cambiar algo por
tratarse de un grupo diferente.
Por el contrario, al diseñar actividades de enseñanza para un sistema virtual, una
preocupación permanente fue el hacer explícito con el mayor detalle posible, lo que
estamos proponiendo que el estudiante haga. Esto es consecuencia de la toma de conciencia
de que en este sistema, cuando el alumno se dispone a estudiar, enciende su máquina y no
sólo debe aparecer el material con el que queremos que trabaje, sino las instrucciones
precisas de lo que queremos que haga con él. A manera de ejemplo, si le presentamos un
artículo, es necesario indicar lo que habrá de hacer (leerlo, analizarlo, comentarlo con otros
compañeros, contestar algún cuestionario, hacer un resumen, escribir un ensayo,
relacionarlo con algún otro documento, etc. Lo mismo si le presentamos una situación
problémica o una serie de ellas, es necesario que le indiquemos de manera precisa qué
queremos que haga: analizarla, identificar sus elementos, ejecutar alguna o algunas tareas,
contestar algunas preguntas, etc.).
637

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Esta concepción de la manera en que un estudiante participa en “una clase” en un sistema
virtual, muestra una diferencia con la concepción de la manera en que lo hace un estudiante
en el sistema presencial, ya que los motivos por los cuales éste asiste a clases pueden ser
muy diversos: puede ser que asista con la disposición de estudiar y aún en este caso esto
puede significar escuchar la exposición del profesor, aunque no necesariamente, también
puede asistir para que no le pongan falta, porque es su costumbre, porque asistió algún otro
compañero o compañera, etc.; en cambio, no podemos imaginar a un estudiante en un
sistema no presencial, encendiendo su máquina con otro motivo que no sea realizar alguna
actividad.
Esta primera reflexión, que nos mostró una diferencia entre ser estudiante en un sistema
presencial y serlo en un sistema virtual, nos condujo a otras más generales, sobre qué
significa ser estudiante en un sistema de educación virtual, qué características tiene que lo
distinguen de un estudiante en un sistema de educación presencial y en particular, qué
características tienen los estudiantes de este programa, considerando que es para ellos para
quienes nos disponíamos a diseñar las actividades; y relacionada con éstas surgieron otras:
sobre el papel que debe jugar el docente en este sistema de educción, sobre el papel de los
medios tecnológicos, etc.
Estas reflexiones, originadas por la necesidad de planear el curso y diseñar actividades para
su desarrollo, nos llevaron a la siguiente caracterización del estudiante: es una persona que,
por diversos motivos, tiene interés en aprender y considera que está en condiciones de
hacerlo. Considera también, que lo que en este programa se le ofrece y en particular en este
curso se le ofrecerá como objeto de aprendizaje, responde a sus expectativas de formación.
Esta concepción del estudiante nos llevó a asumir la necesidad de que los materiales que se
diseñaran tuvieran características compatibles con las de los estudiantes. Por ejemplo:
deberían ser materiales que respondieran a las que, en nuestra opinión, eran sus
expectativas: profundizar en el conocimiento de la disciplina y conocer nuevas alternativas
para su enseñanza utilizando las nuevas tecnologías; deberían ser motivadores para que
reforzaran el interés inicial por aprender que atribuimos a los estudiantes como una de sus
características.
Al diseñar las actividades de enseñanza nos surgieron otras interrogantes, tales como las
siguientes: ¿Cómo deben diseñarse las actividades para propiciar que los estudiantes
realicen procesos interactivos con el objeto de estudio, es decir, para conseguir que
observen, exploren, conjeturen, experimenten, analicen, etc.? o ¿cómo propiciar la
interacción comunicativa entre los estudiantes?, esto es, ¿cómo conseguir que formulen
planteamientos o emitan opiniones acerca de la situación problémica, objeto de estudio?,
¿cómo lograr que se interesen en conocer lo que dicen u opinan sus compañeros y lo
contrasten con lo que ellos piensan y, cuando haya diferencias, cómo estimular a que
refuten?
Para ilustrar el resultado de estas inquietudes a la hora de diseñar las actividades de
enseñanza, mostramos a continuación la primera situación planteada a los estudiantes al
iniciar el curso (desgraciadamente el espacio disponible para este reporte es muy breve y,
en consecuencia, hace imposible mostrar más de un ejemplo de las actividades diseñadas y
aún ésta que mostraremos, la mostraremos incompleta).
“Problema No. 1.Supongamos que al observar un hecho (por ejemplo dos partículas que
están girando como puede verse al hacer clic aquí) nos percatamos de la variación de una
cierta magnitud (en este caso, la distancia entre las partículas) a medida que transcurre el
638

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
tiempo. Supongamos también que habiéndonos percatado de lo dicho, nos interesamos en
ver cómo está variando dicha distancia. Así que decidimos observar el hecho, fijando
nuestra atención en la variable de interés (en nuestro caso podemos observar el fenómeno
las veces que queramos, pues es suficiente hacer clic de nuevo en donde hemos indicado
para que vuelva a producirse). Hazlo las veces que consideres necesario y luego describe
verbalmente cómo fue variando la distancia entre las partículas a medida que transcurría
el tiempo. Después de haber hecho la descripción de lo observado, intenta representar
gráficamente (utilizando un sistema de coordenadas cartesianas) la variación. Si ya hiciste
las dos cosas propuestas, reflexiona sobre las siguientes cuestiones y contéstalas:
a) ¿De qué factores dependió el que la distancia entre las partículas haya variado
como lo observaste? (Señale al menos tres)
b) ¿Cómo hubiera variado la distancia entre las partículas si el período (tiempo en
el que dan una vuelta completa) de ambas hubiera sido el mismo? (Describe
verbalmente dicha variación y luego represéntala gráficamente)…” (aquí siguen
cuatro preguntas problémicas más que no anotamos por falta de espacio).
Esta parte del diseño corresponde a lo que denominamos la etapa de interacción del
estudiante con el objeto de estudio. Luego continúa la actividad de la siguiente manera:
“…Ahora estás en condiciones de contrastar con tus compañeros de equipo lo que has
aprendido. Comenten lo que cada quien observó, la manera en que lo hizo, la descripción
verbal y la representación gráfica que generaron; los factores que señalaron como
determinantes de lo sucedido y las interpretaciones que hicieron respecto a los cambios
que en el fenómeno originarían los modificaciones de las condiciones iniciales del
mismo…”. (Aquí siguen otras consideraciones, luego continúa) “…Formulen por escrito la
versión común que el equipo tiene ahora del fenómeno pues con ella participarán en la
discusión del grupo…”
Esta parte del diseño corresponde a lo que denominamos la etapa de interacción
comunicativa entre estudiantes.
Por otra parte, las reflexiones señaladas sobre lo que significa ser estudiante en un sistema
virtual, también nos llevaron a decidir que era necesario que el “programa” del curso
contuviera, además de los objetivos generales y particulares y los contenidos, un apartado
en el que se indicara de forma explícita y muy clara, lo que se espera que hagan los
estudiantes en cada momento del desarrollo del curso. Esto con dos propósitos: uno, ayudar
al estudiante a planear, regular y llevar a cabo las actividades propuestas como necesarias
para lograr el aprendizaje requerido para alcanzar los objetivos del curso; y otro, procurar
una cierta homogeneidad en la acciones de los estudiantes.
El primer propósito responde al hecho de que consideramos que, en el sistema virtual, cada
estudiante decide cómo, cuándo, dónde, de qué manera y durante cuánto tiempo “va a
estudiar”; el segundo propósito es resultado de la importancia que le atribuimos a las
actividades de verbalización, contrastación y refutación (que forman parte del proceso
comunicativo) de las ideas en el proceso de aprendizaje y al hecho de considerar que la
homogeneidad de la acciones es condición necesaria para llevar a cabo esta interacción
comunicativa entre los estudiantes.
A este apartado, que formó parte del “programa” lo denominamos “organización del curso”
y en él se hizo una descripción pormenorizada de la totalidad de las actividades a realizar
por los estudiantes, incluidas las de interacción comunicativa, con señalamiento preciso de
639

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
los tiempos en que habrían de realizarse. Este apartado ocasionó que el “programa”
resultara un documento de aproximadamente cuarenta páginas.
La organización de los estudiantes.
Dado el número de estudiantes, aproximadamente mil, la estrategia consistió en la
formación de treinta y tres grupos de, aproximadamente treinta alumnos cada grupo, a los
que se les asignó un profesor adjunto, que previamente fue capacitado para desempeñar su
labor como orientador, motivador, asesor, coordinador y evaluador de las actividades de los
estudiantes. Estos profesores adjuntos, a su vez, fueron coordinados por dos profesores
titulares que fuimos los encargados de planear el curso, diseñar los materiales, capacitar (en
un curso presencial) a los profesores adjuntos y apoyar a éstos en el desempeño de su labor
de apoyo a los profesores estudiantes.
El desarrollo del curso.
En este apartado, el propósito es mostrar las observaciones hechas durante el desarrollo del
curso y las reflexiones que dichas observaciones originaron en la dirección ya indicada de
investigar la forma de mejorar el uso de la tecnología de redes en el diseño y operación de
programas de formación a distancia de profesores de matemáticas en servicio
Durante el desarrollo del curso la atención estuvo centrada en observar la pertinencia o no
de la metodología utilizada en el diseño, las dificultades que se presentan al desarrollar las
actividades diseñadas, las diferencias, respecto a la educación presencial, que se
manifestaran en el sistema virtual. Esto, por su parte, originó nuevas interrogantes, entre
otras la siguiente: ¿Cómo podrán observarse los acontecimientos que se presenten durante
el desarrollo del curso, de forma que permitan aprovechar esta experiencia para tratar de
mejorar la metodología empleada?
Las observaciones.
Las observaciones de lo sucedido durante el desarrollo del curso se hicieron analizando las
participaciones de los estudiantes en los diversos foros de discusión que se organizaron
para llevar a cabo la interacción comunicativa entre los estudiantes: hubo foros de equipo,
en los que interactuaban de tres a seis personas, foros de grupo para la interacción entre los
equipos e, incluso, un foro nacional para la interacción entre los diversos grupos;
encuestando a una muestra de los estudiantes y a algunos profesores adjuntos; revisando los
trabajos presentados por los estudiantes que formaron parte de las exigencias establecidas
para acreditar el curso. A continuación se enlistan algunas de las observaciones:
a) Las expectativas de los profesores respecto a este curso fueron satisfechas, en más del
ochenta por ciento de los casos. En varios de ellos, manifestaron que fueron rebasadas.
b) El enfoque del curso les resultó novedoso y motivador a la mayoría de los estudiantes.
Muchos de ellos manifestaron que lo consideraban un buen ejemplo de lo que significa
diseñar actividades de enseñanza con un enfoque constructivista. Otros expresaron que les
había llamado la atención el hecho de que el curso se hubiera desarrollado totalmente a
través de la resolución de problemas. También les llamó la atención la manera en que se
utilizaron los diversos registros de representación (verbal, numérico, gráfico y analítico) en
el planteamiento y análisis de las situaciones problémicas.
c) Respecto al trabajo en equipo la mayoría de los estudiantes manifestaron que no se
logró una buena interacción cuando el equipo era virtual. Algunos intentaron justificar su
640

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
dicho con argumentos como falta de costumbre a trabajar en equipo, exceso de trabajo,
participaciones de poca calidad de parte de algunos de los integrantes. En algunas escuelas
o localidades, en las que había más de un estudiante dentro del Programa, se organizaron
equipos presenciales. En estos casos la opinión sobre el trabajo en equipo es muy favorable,
esto también manifestaron algunos equipos virtuales.
d) Los foros de grupo y nacional no se desarrollaron de acuerdo con lo establecido, esto
es, los foros de grupo fueron concebidos para la participación de los equipos y el foro
nacional para la participación de los grupos. Esto no sucedió, salvo en contados casos. Por
lo general, las participaciones en ambos tipos de foro, fueron a nivel individual.
e) Las opiniones respecto al curso resultan más o menos homogéneas entre los estudiantes
de un mismo grupo; mientras que las opiniones analizadas por grupo, pueden resultar no
sólo diversas, sino heterogéneas.
Reflexión final.
Las observaciones y reflexiones hechas al diseñar los materiales que se utilizaron en el
curso de Cálculo, así como al planearlo y durante su desarrollo, junto con las observaciones
y reflexiones que habíamos venido haciendo durante la planeación y desarrollo de los otros
cursos de matemáticas (Álgebra y Geometría) del Programa de Maestría en Ciencias en
Enseñanza de las Ciencias que ofrece el Sistema Tecnológico Nacional mexicano a sus
profesores en todo el país, por medio de un Sistema Virtual de Educación a Distancia, nos
llevan a afirmar que el uso de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación
para diseñar programas de enseñanza en línea, en particular programas de formación y
actualización, a distancia, de profesores de matemáticas en servicio, además del beneficio
que pueda traer por reducir los costos de operación de dichos programas y por la
posibilidad de llegar a personas que, por diversas razones, no tienen posibilidades de acceso
a otro tipo de programas, está originando un proceso de reflexión social sobre la educación
en general que habrá de traducirse en un salto cualitativo.
La reflexión sobre cómo usar de mejor manera estas nuevas tecnologías en el diseño de
la enseñanza, da lugar a reflexiones sobre prácticamente todos los elementos que entran en
juego en el proceso educativo: el papel del estudiante, el papel del profesor, los objetivos y
contenidos de la enseñanza, los métodos, el entorno en el que se lleva a cabo la acción
educativa, el proceso comunicativo, los materiales de apoyo, etc. De estas reflexiones
empiezan a emerger nuevas conceptualizaciones sobre cada uno de estos elementos y como
consecuencia del proceso educativo como totalidad.
Desde luego que este proceso de reflexión apenas empieza, pero el ritmo con el que se está
llevando a cabo es, como prácticamente todo lo actual, acelerado; de tal manera que las
transformaciones pueden ser profundas, al menos en el mediano plazo.
Bibliografía.
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http://www.cuaed.unam.mx/www/index.html, http://www.distancia.unam.mx/
641

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
EL CÁLCULO DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Y LA EVALUACIÓN DEL
APRENDIZAJE
Olga Lidia Pérez González
Universidad de Camagüey, Cuba
olgapg@inf.redu.edu.cu, olguitapg@yahoo.com
Resumen
Tradicionalmente el cálculo de la integral indefinida constituye unos de los contenidos en el que los
estudiantes presentan muchas dificultades, algunas de ellas están dadas pues el enfoque dado en las clases
para calcular integrales hacen pensar en aprenderse “muchos” métodos sin existir un hilo conductor entre
ellos, por otro lado los maestros por lo general llegan evalúan si sabe o no calcular estas integrales y en este
sentido en la enseñanza de esta temática no se logra la unidad entre la lógica de la ciencia, la lógica de la
asimilación y la lógica del contenido. El objetivo de este trabajo es discutir una propuesta didáctica para la
enseñanza del cálculo de la integral indefinida, donde se asumen como referentes teóricos, el propiciar el
desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos, considerando como habilidades generalizadoras a lograr en
esta unidad a la identificación del modelo del integrando y la clasificación de las técnicas para reexpresar el
integrando y los métodos de integración, además se asume que la evaluación del aprendizaje, en la unidad de
integrales indefinidas, no debe estar dirigida a valorar si el alumno domina cada método en específico, sino el
proceso general para integrar, evaluando si se hacen diferencias entre las diferentes técnicas de reexpresión
del integrando y las posibles formas de integrar, donde se debe insistir en las generalidades de las diferentes
formas de integrar. En la primera sesión de trabajo se presentará una caracterización de los enfoques
tradicionales de la integral indefinida en la literatura especializada y de las principales dificultades en la
evaluación del aprendizaje de la Integral Indefinida. Se hará la propuesta del proceso general de Integración.
En la segunda sesión de trabajo se presentará una propuesta didáctica para la enseñanza de la Integral
Indefinida basada en el proceso general de integración, así como el sistema de tareas y las habilidades
esenciales en la integral indefinida. En la tercera sesión de trabajo se presentará una propuesta didáctica
sobre la evaluación del aprendizaje en la integral indefinida con un enfoque constructivita. Experiencias de su
aplicación en la educación superior cubana.
Introducción
Tradicionalmente el cálculo integral constituye unos de los contenidos en los que los
estudiantes presentan más dificultades para su aprendizaje y corresponde al maestro
trabajar didácticamente dicho curso. En este trabajo se propone un nuevo enfoque en el
contenido para la enseñanza del cálculo de la integral indefinida el que conduce a
desarrollar una enseñanza más efectiva. Esta propuesta permite establecer estrategias
didácticas que propician una mayor motivación y aprovechamiento de los alumnos,
integrando elementos teóricos, disciplinarios metodológicos y técnicos en la enseñanza de
esta ciencia, además brinda las herramientas necesarias para el diseño de estrategias y
proyectos didácticos que posibiliten en el alumno el aprendizaje conceptual y significativo.
Desarrollo
Cuando el maestro tiene que enseñar a sus alumnos cómo calcular una integral indefinida se
encuentra ante el dilema de que en los textos de matemáticas esta temática se expone desde
diferentes puntos de vistas, no en su concepto ni en su interpretación geométrica ni en sus
propiedades pero si se dan varios enfoques en los métodos analíticos que se proponen para
su cálculo. Por ejemplo, hay autores que consideran a la sustitución y/o cambio de variables
como un método de integración cuando este caso es realmente una de las técnicas que se
utilizan para reexpresar el integrando a una función elemental de la cual se puede hallar su
642

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
primitiva, otro ejemplo es considerar la descomposición de funciones racionales en
funciones racionales simples como un método de integración pues este es un caso similar al
anterior. Es obvio que el maestro debe enseñar al alumno todas las variantes que se le
pueden presentar teniendo en cuenta que uno de los objetivos educativos del cálculo integral
es: que los alumnos desarrollen hábitos de proceder reflexivamente, de evaluar los
resultados de su trabajo y utilización de diversa literatura, además de, contribuir a la
capacidad de razonamiento, de pensar lógicamente y contribuir a la formación
computacional de los estudiantes. Además se debe buscar una estrategia didáctica para la
enseñanza y el aprendizaje de manera tal que la evaluación del aprendizaje de los alumnos
pueda deslindar las dificultades esenciales de este contenido, pues tradicionalmente estas
dificultades están fundamentalmente en las técnicas para reexpresar el modelo del
integrando y no en la aplicación de los diferentes métodos.
Inicialmente consideramos necesario que el maestro tenga presente que las habilidades
esenciales que debe desarrollar en los estudiantes son las de identificación y la de
clasificación, la de identificación dirigida a que el alumno ante una integral indefinida
identifique cual es el modelo que tiene el integrando, para esto se le debe orientar al alumno
que el integrando puede estar dado por una función del tipo: Elemental, F(g(x))g(x),
Racional, u.dv o con primitivas no elementales. Por tanto, al inicio de la unidad las tareas
no deben estar dirigidas a calcular integrales, por el contrario el maestro debe dirigir la
atención del alumno a que identifiquen el modelo del integrando, considerando que ya ha
trabajado con las integrales inmediatas obteniéndolas como proceso de antiderivación. La
habilidad de clasificación estará dirigida a que una vez identificado el integrando,
clasifiquen que técnicas puede utilizar para reexpresar el mismo, las cuales pueden ser:
− Aplicar las propiedades de las integrales.
− Desarrollar y simplificar algebraicamente el integrando, utilizando:
Completamiento de cuadrados
Simplificación de fracciones
Descomponer fracciones racionales en fracciones simples.
Multiplicar y dividir por el conjugado pitagórico.
− Completamiento del diferencial.
− Sustitución y/o cambio de variables.
Luego los métodos de integración se pueden agrupar realmente en cuatro, ellos son: uso de
colección de integrales inmediatas, uso de las integrales inmediatas generalizadas, método
de integración por partes y uso de las tablas de integrales.
En consecuencia con lo anterior, se propone para la estructuración del contenido, trabajar
con la base orientadora de las acciones (BOA) para el proceso general de integración, la cual
se define como el conjunto de condiciones en las que realmente se apoya el alumno para
ejecutar las acciones. Esta BOA contiene 4 pasos: Identificar las características del modelo
del integrando, Reexpresión del integrando, Simplificar y por último Calcular la integral.
Esta BOA se utiliza como orientación, para el cálculo, permitiéndole al alumno identificar el
modelo del integrando, y clasificando de esta forma la vía a seguir para resolverla.
643

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Para el cálculo de primitivas en las integrales indefinidas se propone un proceso general
(Ver Anexo), esto permite que la evaluación no esté dirigida a valorar si se domina cada
método en específico, sino el proceso general para integrar. Para lograr esto la unidad se
diseñó utilizando el proceso general de integración, entonces, la evaluación estará dirigida a
valorar si se hacen diferencias entre las diferentes técnicas de reexpresión del integrando y
las posibles formas de integrar, donde se debe insistir en las generalidades de las diferentes
formas de integrar. Por ejemplo, una de las técnicas de reexpresión del integrando es el
cambio de variables. Aquí se debe valorar las operaciones que incluye esta acción, que son:
− Definir que sustitución se hará.
− Calcular el diferencial de la variable a sustituir, y por último,
− Sustituir la variable y el diferencial en la integral.
Y todo lo que queda por hacer para resolver dicha integral corresponde al 4to.paso del
proceso general de integración y donde la solución general debe corresponderse con la
variable inicial que se da, cuestión ésta que no está contenida en los pasos del método, sino
en la autovaloración que el estudiante hace de la respuesta obtenida según el problema
planteado.
De especial importancia consideramos, en esta propuesta didáctica, a la utilización del
proceso general de integración propuesto anteriormente, ya que éste permite darle un
enfoque sistémico a la unidad y es más fácil para el aprendizaje y la evaluación, pues el
enfoque dado por muchos autores para calcular integrales hacen pensar en aprenderse
“muchos” métodos sin existir un hilo conductor entre ellos y en este sentido se propone
buscar la unidad entre la lógica de la ciencia, de la asimilación y del contenido. Se
propone utilizar una tarjeta de estudio donde se refleje el proceso general de integración,
orientando la evaluación del aprendizaje a que el estudiante valore el proceso general y que
valoren el tratamiento que le dan otros autores, clasificando varios métodos. A partir de
esto los estudiantes pueden hacer un trabajo de búsqueda donde tengan que valorar esta
situación. El sistema de tarea que sugiere es el siguiente:
Dada un grupo de integrales indefinidas:
Identificar el modelo del integrando, Identifique en cuál de ellas se puede reexpresar
el integrando, aplicando las propiedades de la integral indefinida, Calcule, si utiliza
las tablas de integrales especifique que fórmula utilizó.
Dada un grupo de integrales indefinidas:
Identificar el modelo del integrando, Identifique en cuál de ellas se puede reexpresar
el integrando utilizando completamiento de cuadrados, simplificación de fracciones,
multiplicando y dividiendo por el conjugado pitagórico o descomponiendo
fracciones racionales en fracciones simples, Calcule cada caso y si utiliza las tablas
de integrales especifique que fórmula utilizó.
Dada un grupo de integrales indefinidas.
Identifique las que tengan en el modelo del integrando una función de la forma F(g(x))g´(x), Identifique, quién es f(x) y quién
g(x), clasifique, la fórmula de las tablas de integrales inmediatas con la que se puede resolver, calcule.
Dada un grupo de integrales indefinidas.
Identifique las que tengan en el modelo del integrando una función de la forma u.dv,
Identifique, quién es u y quién es dv, Aplique la fórmula de integración por partes, Calcule,
si utiliza las tablas de integrales especifique que fórmula utilizó.
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PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Dada un grupo de integrales indefinidas,
Identifique las que tengan en el modelo del integrando una función racional, Identifique si
la fracción racional es propia o impropia, Descomponga la fracción racional en fracciones
simples, Calcule la integral, si utiliza las tablas de integrales especifique que fórmula
utilizó.
Dada un grupo de integrales indefinidas:
Identifique, en cuáles de ellas, es necesario hacer sustitución y/o cambio de variables, Qué
sustitución o cambio de variables usted haría, Calcule la integral, si utiliza las tablas de
integrales especifique que fórmula utilizó. .
Dada un grupo de integrales indefinidas:
Identifique, en cuáles de ellas, es necesario completar el diferencial para obtener una
integral inmediata generalizada, Complete el diferencial, Calcule, si utiliza las tablas de
integrales especifique que fórmula utilizó.
Dada un grupo de integrales indefinidas:
Identifique el modelo del integrando, Reexprese el integrando, Integre, si utiliza las tablas
de integrales especifique que fórmula utilizó.
Tareas con las características anteriores pero exigiendo la justificación de las acciones
realizadas.
Dada un grupo de integrales indefinidas, Calcúlelas.
Las demás tareas estarán referidas a la resolución de problemas sobre diversas aplicaciones
de la integral indefinida.
Observe como el sistema de tareas anterior va orientando el alumno tanto a las técnicas de
reexpresar al integrando como a los métodos de integración. Con el mismo, es posible
dirigir la evaluación, en las primeras clases prácticas y autopreparación, a valorar el
desarrollo práctico de cada una de las operaciones que involucran el proceso general de
integración, donde el estudiante se enfrenta a este grupo de tareas con una tarjeta de estudio
en la cual aparecen todos los elementos esenciales del proceso de integración y los modelos
de las acciones a ejecutar, lo que permite valorar si se asimila la BOA dada a un nivel
reproductivo. Posteriormente, la actividad se basa en un sistema de tareas con estas mismas
características, pero dirigido fundamentalmente a ejercitar el racionamiento teórico, de
forma que la acción se transforma de la lógica de la acción a la lógica del concepto, donde
el estudiante pueda justificar lo que hizo y porqué lo hizo.
En algunas de estas tareas se orienta cada operación a desarrollar, y se pide en cada una de
ellas las integrales que no se corresponden a las que se orientan resolver y darles solución,
explicando el procedimiento seguido en cada caso. Otras están dirigidas directamente al
cálculo de integrales, sin especificar en su enunciado las posibles acciones a realizar para su
resolución. Obsérvese que en las tareas anteriormente descritas se destacan las acciones
esenciales a desarrollar: identificación y clasificación. Por tanto, en el proceso de
asimilación de este contenido, es importante valorar si el estudiante identifica el modelo del
integrando y si clasifica la(s) técnica(s) para reexpresar el integrando, así como la fórmula
para resolver la integral.
645

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En este tema, por ser un tema básico fundamental dentro del cálculo integral y de la
disciplina matemática, la evaluación parcial debe estar dirigida a las acciones esenciales:
Identificación y clasificación y a la asimilación del proceso general de integración.
Conclusiones
Esta propuesta didáctica propicia que el estudiante sepa diferenciar entre las técnicas para
reexpresar el integrando y el proceso de integrar, además, permite al profesor incidir
realmente en los métodos de integración y poder valorar si los errores de sus estudiantes
están precisamente en dichas técnicas y no en los métodos de integración. Se insiste en que
se le debe orientar a los estudiantes, en las últimas clases de la unidad, que se haga un
análisis comparativo y critico del enfoque que dan varios autores clásicos a la integral
indefinida y que ellos vean que realmente es lo mismo, sólo que muchos de ellos desglosan
las técnicas de reexpresar el integrando como métodos, por ejemplo muchos autores llaman
método de sustitución y método de descomposición de fracciones racionales en fracciones
simples, cuando realmente estas son técnicas como se relaciona en el trabajo.
Bibliografía
Blanco, R. (1997). La determinación de la Efectividad del uso de los ciclos temáticos. Cuba. Centro de
Ediciones Electrónicas del MES.
Pérez, O. L. (2000). La evaluación del aprendizaje como elemento del sistema de dirección del proceso de
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Camagüey. Cuba. Tesis de Doctorado.
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National council Teachers of Mathematics (NCTM) (1995). Assesment standards for school Mathematics.
Blanco, R. (1997). Subsistema didáctico con carácter sistémico para la enseñanza de las matemáticas en
Ciencias Técnicas fundamentado en la Teoría del conocimiento y la Teoría de la asimilación. Taller
de doctorado. IV Conferencia Ciencias de la Educación. Universidad de Camagüey.
Calderón, R. (1994). Perfeccionamiento de la enseñanza del cálculo integral en Ingeniería Mecánica. Informe
de investigación. ISPJAE. Ciudad Habana.
646

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
DISEÑO CURRICULAR Y METODOLOGÍA DIDÁCTICA PARA UN CURSO
ESPECIAL DE MATEMÁTICA
Caraballo, H; González, C; Dapoto, M.S; Parker, A.C; Barranqueras, F; Durán, P.
Universidad Nacional de La Plata. Argentina.
horacio@netverk.com.ar
Resumen
En este artículo se muestra el diseño curricular, la estrategia didáctica y la evaluación de un curso optativo de
matemática dirigido a los alumnos del ultimo año (cuarto de Polimodal) del Bachillerato de Bellas Artes
dependiente de la Universidad Nacional de La Plata.
La novedad en este diseño es su fuerte motivación propedéutica, es decir, está construido para que sirva de
base para emprender un estudio posterior
Los objetivos generales son: actualizar, reforzar y, en alguna medida, resignificar conocimientos ya
adquiridos por los alumnos a lo largo de toda su instrucción, integrándolos de tal modo que formen un
conocimiento de fondo, una base, que permita enfrentar las exigencias del nivel superior.
Presentamos además una síntesis de la evaluación del curso. Esta nos permitió corroborar una serie de
hipótesis referidas al refuerzo e integración de los conocimientos adquiridos a lo largo de todo el nivel medio
y a la posibilidad de enfrentar con éxito problemas y aplicaciones.
De la evaluación surge también un aspecto que no estaba en nuestros planes iniciales. Este aspecto está
referido a considerar a este curso como cierre de un ciclo. Estamos hablando de construir un espacio
curricular donde se resignifique, refuerce y se le de una nueva perspectiva a la educación matemática
adquirida a través de varios años.
Introducción
En el Bachillerato de Bellas Artes de la Universidad Nacional de La Plata (BBA UNLP) se
cursa el tercer ciclo de la Educación General Básica (séptimo, octavo y noveno años, de
doce a catorce años de edad), y el ciclo Superior (Polimodal, primero a cuarto año, de
quince a dieciocho años de edad). En el plan de estudios del ciclo Superior, además de las
materias regulares, los alumnos eligen dos optativas cuatrimestrales por año.
Las materias optativas correspondientes al último año del ciclo Superior tienen un carácter
propedéutico, por lo cual uno de los motivos de la elección de las mismas es el proyecto
futuro de los interesados.
En el primer cuatrimestre de 2001 y de 2002 el Departamento de Ciencias Exactas y
Experimentales propuso un curso optativo de matemática para cuarto año, simultáneamente
con la asignatura anual de Matemática. Este curso estuvo destinado a aquellos que pensaran
emprender estudios posteriores que requirieran conocimientos matemáticos. En 2002 fue
elegido por aproximadamente el 35% de los alumnos, estos se orientaban hacia carreras
como Ingeniería, Informática, Arquitectura, Medicina, Ciencias Económicas, etc.
Diseño curricular
La primera decisión que se tomó cuando se empezaron a trazar los lineamientos generales
del curso fue la de no incluir ningún contenido nuevo en el mismo. Esta afirmación parece
paradojal en dos sentidos, el primero es obvio, no se diseña un curso para no decir nada
nuevo, el segundo está relacionado con el hecho de que la materia es propedéutica.
Aclaremos estas aparentes contradicciones, que no haya contenidos nuevos no significa que
no se haga nada nuevo con ellos, se trata en nuestro caso, de darles otro contexto. Con el
desarrollo de este curso se buscó actualizar, reforzar y darle un nuevo marco a los
647

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
conocimientos ya adquiridos por los alumnos a lo largo de toda su instrucción media. El
hecho de que la materia sea propedéutica significa en nuestro caso que prepara una base
sólida a partir de la cual se puede emprender una nueva etapa en el estudio de la
matemática.
Reiteremos entonces que decidimos construir una materia cuatrimestral con los contenidos
estudiados a lo largo de toda la instrucción media, esto es, durante primero, segundo y
tercer año ya cursados por los alumnos y articulando, en alguna medida, con el cuarto año
de la matemática regular que se desarrolló simultáneamente.
Contenidos:
Para seleccionar los contenidos se revisaron las currículas de primero, segundo, tercero y
cuarto año de matemática y los cursos de ingreso de distintas facultades. Al analizar los
cursos de ingreso se encontró una gran coincidencia entre ellos. Los contenidos de estos
últimos estaban incluidos en la unión de las currículas antes mencionadas
En particular fueron consultados los cursos de ingreso a:
Facultad de Ingeniería. UNLP. (www.ing.unlp.edu.ar)
Facultad de Ciencias Exactas. UNLP. (www.exactas.unlp.edu.ar)
Facultad de Informática. UNLP. (www.info.unlp.edu.ar)
Facultad de Ciencias Agrarias y Forestales. UNLP. (www.agro.unlp.edu.ar)
Facultad de Ciencias Médicas UNLP. (www.atlas.med.unlp.edu.ar)
CBC Universidad de Buenos Aires. Area Matemática. (www.cbc.uba.edu.ar)
Curso de ingreso de la Universidad Nacional de Quilmes. (www.unq.edu.ar)
Material de estudio:
Se les proporcionó a los alumnos como material de estudio una selección de las guías de
los cursos de ingreso a las facultades mencionadas. Este material es libre y se puede
adquirir en las facultades y en algunos casos descargar del sitio web correspondiente. En el
caso de la facultad de Ciencias Agrarias y Forestales de la UNLP se tomó directamente una
simulación del curso de ingreso, donde además del material se proporcionan también los
exámenes tomados con su correspondiente criterio de corrección .
El hecho de utilizar los apuntes y las evaluaciones originadas en las facultades generó gran
interés y sirvió como elemento motivador.
Características:
Este diseño curricular tiene como característica especial el hecho de manejar contenidos ya
conocidos por los alumnos a través de varios cursos. Uno de los ejes que permitió abordar
esta situación es el referido a la estructura del conocimiento disciplinar, en este sentido nos
encontramos recreando las recomendaciones de Jerome Bruner en su libro “El proceso de la
educación”. En él se propone como un aspecto central presentar “una comprensión de la
estructura fundamental de las materias que elijamos enseñar”, esto conduce a formular
cuatro resultados, que en nuestra experiencia hemos corroborado en gran medida:
“Comprender lo fundamental permite que una materia sea mas comprensible”
“Aprender principios generales o fundamentales asegura que la pérdida de memoria no
signifique una pérdida total, y que lo que quede nos permita reconstruir los detalles que
necesitamos conocer”.
648

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
En nuestro caso este resultado predicho por Bruner presentó un carácter dual. Por un lado
trabajamos sobre el remanente cognitivo que tenían los alumnos de los diversos temas y por
otro nos ocupamos del que produciría nuestro curso a futuro.
“Comprender algo como un caso especifico de un caso mas general (que es el significado
de comprender un principio o estructura mas fundamental) es haber aprendido no solo
algo especifico, sino también un modelo para comprender otras cosas con las que podemos
encontrarnos”
“Al reexaminar constantemente el material enseñado en las escuelas elementales y
secundarias, para comprobar su carácter fundamental, podremos estrechar el vacío entre
conocimiento avanzado y conocimiento elemental”
Estrategia Didáctica
Dada la cantidad de temas en relación al tiempo disponible (podríamos decir que se
comprimieron, prácticamente, cuatro años en medio año) se los presentó de una manera
sintética en forma de resultados. Esto es, como un conjunto de definiciones, propiedades y
teoremas. La madurez cognitiva de los alumnos permitió que se presentara la teoría, se
reforzara a través de una ejercitación referida a los aspectos formales y se le dieran
significados a los resultados matemáticos en el marco de las aplicaciones fácticas. De
ninguna manera estamos refriéndonos a un esquema simplista de “explico-aplico” tan mal
usado cuando se trata de la formación de conceptos nuevos. En nuestro caso, partimos de
conceptos ya instalados en los alumnos, los reforzamos y los resignificamos. Este conjunto
de actividades genera un producto que en el caso de este curso consiste en una cantidad de
conocimientos matemáticos, una cantidad de relaciones entre las partes de éste y un
reconocimiento de que estos conocimientos y relaciones puedan ser utilizados como
herramientas. Estas últimas son de dos tipos: las formales que son internas a la matemática
propiamente dicha y las de aplicación que surgen de las anteriores cuando se les agregan
una serie de enlaces a una situación fáctica.
Los temas fueron explicados sucintamente, se seleccionaron un conjunto de trabajos
prácticos tomando los más adecuados de entre los ingresos consultados, y se propusieron
aplicaciones tratando de integrar varios temas a la vez.
Las clases fueron divididas en dos momentos, en el primero se desarrollaron las
explicaciones correspondientes a cada tema y en el segundo se resolvieron los trabajos
prácticos y las aplicaciones propuestas.
Por tratarse de una materia optativa el compromiso de los alumnos fue significativo esto
posibilitó un eficiente uso del tiempo
Evaluación
Para la evaluación del curso se usaron tres instrumentos diferentes.
1. El análisis de los resultados de los exámenes tomados en el curso.
La evaluación de los alumnos se realizó en las ultimas clases. Se tomaron una serie de
exámenes escritos. Estos fueron los exámenes de ingreso originales de matemática tomados
en marzo de 2002 en:
Facultad de Ingeniería UNLP.
Facultad de Ciencias Agrarias y Forestales UNLP.
Facultad de Ciencias Médicas UNLP.
649

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En general la mayoría de los participantes aprobaron sin dificultad y en muchos casos con
desempeño sobresaliente. El hecho de que los exámenes fueron los originales que tomaron
las facultades mencionadas en sus ingresos sirvió de motivación y permitió la comparación
de resultados.
2. Reunión final con los alumnos:
La última clase del curso consistió en una reunión en la que se discutió el desarrollo y la
metodología, a través del diálogo informal se recabaron las distintas opiniones, críticas y
aportes de los alumnos. La conclusión más importante está referida a la percepción de
algunos alumnos de un efecto de “condensación” de los conocimientos. Este efecto es
percibido por alumnos de nivel universitario luego de rendir el examen final de una
materia. Esta última parece sufrir una disminución de “tamaño” muy marcado relativo al
momento de la cursada. En nuestro caso varios participantes se refirieron a este hecho.
Correspondería preguntarse si esto es señal de una consolidación ordenada que perdurará en
el tiempo o no.
3. Encuesta:
Este instrumento forma parte del proceso de orientación comenzado en el primer año por el
Departamento de Orientación Educativa del Ciclo Superior. Ha sido diseñado a fin de
indagar los motivos por los cuales los alumnos han elegido las materias optativas para 4º,
cuál es su evaluación respecto de ellas, y si estas elecciones se correlacionan con el
proyecto vocacional futuro.
El siguiente es un resumen de una parte del modelo de la encuesta que se le realizó a los
alumnos:
¿Qué materias optativas elegiste para este año?
¿Por qué elegiste la materia (indica con una cruz el/los motivos)?
Para completar conocimientos generales __. Por la articulación con la carrera que pensas
seguir __. Por los horarios __. Para completar conocimientos sobre tu especialidad
Por descarte __. Por la propuesta que realiza el Departamento a cargo de la misma
__.Otros
¿La optativa cursada cumplió con tus expectativas? SI __ NO__ ¿Por qué?
Luego de haber cursado esa materia optativa, ¿pensas que se relaciona con la carrera/
proyecto que pensas hacer? SI __ NO__ ¿Por qué?
¿Cómo evalúas la optativa en relación a contenidos (complejos, nuevos, repetidos, etc.), la
metodología de enseñanza (adecuada o no a lo universitario, teórica/práctica, etc.),
bibliografía dada, etc.?
¿Cuál es tu proyecto para el año que viene?
Si dentro de tu proyecto se incluye estudiar, ¿qué carrera o área de conocimiento te
interesa?
Del análisis que el Departamento de Orientación Educativa hizo sobre las encuestas surgen
los siguientes puntos:
Motivos de elección: Por la articulación con la carrera que piensan seguir. Para completar
conocimientos generales. Por la propuesta departamental
Expectativas: La mayoría de los alumnos manifiesta que esta asignatura ha cumplido con
sus expectativas, dicen:
“Fue un repaso de todo lo que se vio en años anteriores”. “Pude conocer la materia y las
aplicaciones en la facultad”. “Dimos todo lo que se pensaba dar”. “Aclaró la base de
matemática que tenía, sobre la que se volcaron nuevos conceptos”. “Fue introductoria para
650

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
temas de la facultad”. “Los contenidos fueron bastante completos”. “Fue suficientemente
exigente para prepararse para los ingresos”
Evaluación general: Contenidos: en general dicen que han sido útiles y que han servido de
repaso.
Metodología: muy buena, universitaria, adecuada para rendir un examen de ingreso en la
facultad.
Bibliografía: adecuada, de gran ayuda.
Relación entre materia optativa y carrera universitaria:
La mayor parte de los alumnos opina que existe una relación entre la materia y carrera a
seguir lo cual se correlaciona con los motivos de la elección. Cabe aclarar que es la única
materia optativa cuyo motivo de elección fue la articulación con el proyecto futuro en
primer término. Esto se confirma al notar que las carreras que eligen son: Ingeniería,
Informática, Medicina, Arquitectura, Veterinaria, Economía, Astronomía.
Resultados
Describiremos algunos resultados que se obtuvieron luego de desarrollar este curso que
surgen de la evaluación del mismo:
Se produjo un refuerzo importante de conocimientos adquiridos a lo largo de toda la
instrucción media. Esto surge del análisis de las evaluaciones que mencionábamos antes,
ya que los exámenes que se les propusieron a los alumnos cubrían la casi totalidad de los
temas tratados y los resultados en estos fueron muy satisfactorios.
Los conocimientos fueron reacomodados, dándose una síntesis integradora. Los alumnos
lograron relacionar distintos temas entre si y utilizarlos para resolver aplicaciones. Este
resultado parecería estar relacionado con el efecto de “condensación” al que aludíamos
antes, aunque esta afirmación sería motivo de una investigación posterior en este sentido.
El aumento en la velocidad de presentación de los temas, mas que un escollo, se convirtió
en un elemento motivador; el descubrir que se abordan temas, que en su momento llevaron
varios meses, en pocas clases sorprendió gratamente a los alumnos.
La posibilidad de enfrentar con éxito problemas y aplicaciones creció significativamente.
En este caso debemos reconocer que los alumnos en esta etapa tienen un grado de madurez
que les permite evaluar situaciones e interpretar enunciados aparte de haber mejorado su
pericia matemática concerniente a estos problemas.
El punto anterior implica como resultado un cambio de perspectiva respecto del
conocimiento matemático. Se ve este último como una herramienta que puede ser aplicada
en distintos contextos, y no solamente como un “juego formal”
Conclusiones
Este curso fue diseñado pensando en una etapa posterior (terciaria o universitaria) con la
intención de consolidar un “background” que permitiera enfrentar los estudios posteriores
con éxito. Creemos haber logrado este propósito. En alguna medida queda confirmado en
el seguimiento parcial de los alumnos que cursaron en el año 2001.
Nos parece novedoso el hecho de haber construido un curso en el que se trabaje sobre la
estructura disciplinar, el refuerzo y la resignificación de contenidos abordados con
anterioridad y no en la construcción de los mismos.
Sin embargo la conclusión más importante a la que arribamos no tiene que ver con el
motivo que mencionamos en el párrafo anterior. Por el contrario, un espacio curricular de
651

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
esta naturaleza parece ser el cierre necesario para el ciclo de la enseñanza media en lo que
respecta a educación matemática.
Perfectamente cumpliría el doble papel, de ser preparatorio para una etapa posterior y de
funcionar como cierre de un ciclo. Nos parece importante estudiar este último punto.
Una construcción curricular que abarque todos los temas garantizaría la actualización de
los conocimientos adquiridos en todo el ciclo medio, y la mera existencia de una instancia
como esta cambiaría, en alguna medida, las expectativas de docentes y alumnos. Además se
abrirían una serie de cuestiones, dignas de discutirse, evaluación final, diagnóstico general,
realimentación a mediano plazo, etc.
Bibliografía
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UNLP (2002) Curso de Ingreso Matemática I. Matemática II. Facultad de Ciencias Exactas. Universidad
Nacional de La Plata. República Argentina.
UNLP (2002). González, C. Guía de ingreso- Matemática. Facultad de Ciencias Agrarias y Forestales.
Universidad Nacional de La Plata. República Argentina.
UNLP (2002). Matemática para Informática. Curso de ingreso a la Facultad de Informática. Universidad
Nacional de La Plata. República Argentina.
UNLP C.E.Ci.Me (2002).Módulo de Admisibilidad 2002 a la carrera de Medicina. Matemática.. Secretaría de
Prensa Facultad de Ciencias Medicas. Universidad Nacional de La Plata. República Argentina.
652

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
DESARROLLO DE CAPACIDADES COGNITIVAS GENERALES EN EL MARCO DE
LOS CURSOS DE MATEMÁTICA
Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, Eduardo Lacués
Universidad católica del uruguay, uruguay
mapagano@ucu.edu.uy; apollio@ucu.edu.uy; elacues@ucu.edu.uy
Resumen
el proceso de aprendizaje y, sus relaciones con el proceso de la enseñanza, es complejo pero, sin pretender
reducir o simplificar lo que dichos procesos suponen, debemos reconocer que para la apropiación del
conocimiento son imprescindibles ciertas capacidades cognitivas generales. estimular el desarrollo de estas
capacidades a través de planteos didácticos adecuados debería, en nuestra opinión, ser considerado como una
prioridad a lo largo del proceso de escolarización.
en matemáticas se encuentra un campo particularmente propicio para identificar algunas de esas
capacidades. entre éstas se cuentan: la de manejar distintos registros simbólicos (verbales, gráficos,
simbólicos, numéricos, etc.) y traducir la información dada en uno de los registros a otros; la de construir
modelos de la realidad utilizando entes matemáticos, obtener conclusiones mediante un manejo
matemáticamente adecuado del modelo y reinterpretar estas conclusiones en la realidad, a los efectos de la
toma de decisiones o de la descripción o predicción de fenómenos; la de calcular tanto numérica como
simbólicamente; la de concretar formulaciones generales a casos particulares o inducir generalizaciones a
partir de casos particulares; la de reconocer y utilizar correctamente diversas estructuras lógicas; la de
proponer conjeturas y explorarlas, produciendo o bien pruebas o bien refutaciones.
Introducción
El proceso de aprendizaje y sus relaciones con el de la enseñanza es complejo pero sin
pretender reducir o simplificar lo que dichos procesos suponen, debemos reconocer que
para la apropiación del conocimiento son imprescindibles ciertas capacidades cognitivas
generales. Estimular el desarrollo de estas capacidades a través de planteos didácticos
adecuados debería, en nuestra opinión, ser considerado como una prioridad a lo largo del
proceso de escolarización.
El proceso de cambio que actualmente se da en nuestros países en la educación secundaria,
en los que incluso de discute el tradicional papel propedéutico de su ciclo superior en
relación con la universidad, ha contribuido al debate acerca de qué contenidos enseñar y
qué competencias ayudar a desarrollar.
En este trabajo presentamos en primer término una descripción breve de las reformas en
enseñanza secundaria, para pasar a discutir el tema del desarrollo de capacidades, y
presentar finalmente dos secuencias didácticas en las que analizamos cómo planificar
actividades sobre diferentes contenidos que tengan la intención explícita de promover
ciertas capacidades.
PROCESOS DE CAMBIO EN ENSEÑANZA SECUNDARIA
Entre los múltiples puntos de debate que actualmente se dan en torno a la enseñanza
secundaria, queremos referirnos a tres, que consideramos pertinentes para este trabajo.
Éstos son: cuáles han de ser los objetivos de la enseñanza secundaria superior o postobligatoria,
qué conocimientos deberán adquirir los alumnos en su tránsito por el sistema
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
654
si se quiere cumplir con esos objetivos y cómo debe organizarse la enseñanza secundaria
para atender a los dos problemas anteriores.
Entre los objetivos que con frecuencia se enumeran se cuentan conseguir para los
jóvenes una capacitación para insertarse en el mundo del trabajo y proporcionarles una
formación que permita su participación como ciudadano competente en una sociedad
democrática. De estas declaraciones se desprende que la finalidad única que antes se
atribuía a este ciclo, la de preparar para el ingreso a la universidad, si bien no se
abandona queda considerada como una entre otras igualmente importantes.
La formulación de estos nuevos objetivos en parte responde a los cambios que en la
población estudiantil se han ido dando en el transcurso de las últimas décadas. En efecto,
no sólo sectores sociales anteriormente excluidos comenzaron a tener acceso a la
educación secundaria, generando con ello una mayor diversidad de perfiles afectivos,
motivacionales y cognitivos entre los estudiantes, sino que además la generalización en
el uso y el acceso a nuevas tecnologías ha tenido entre sus consecuencias la aparición y
extensión de fuentes de información no formales, que nutren gran parte de los
conocimientos de los alumnos y contribuyen a elaborar sus concepciones y a generar sus
actitudes.
Ante esta situación, nuestros países han reaccionado con la introducción de cambios en
el sistema secundario. Macedo y Katzkowitz (Macedo, B. y Katzkowicz, R., 2002), al
referirse a este asunto señalan cinco formas de organización que se reconocen en
diferentes experiencias nacionales que se han puesto en práctica:
- Un ciclo único, flexible y contextualizado;
- Dos o tres años finales claramente diversificados;
- Estructuras modulares que cada alumno cursa de acuerdo a su tiempo e interés;
- Estructuras distintas a las actuales en cuanto a los períodos de clase, divisiones del
año escolar y práctica en el mundo laboral;
- Dos ciclos, uno obligatorio y otro no obligatorio, y luego opciones claramente
diferenciadas.
Cada una de estas posibles formas de organización responde a diferentes objetivos,
algunas enfatizando las posibilidades de formación para el trabajo y otras manteniendo
el fin propedéutico como uno de los principales. No es el caso aquí discutir este aspecto
de la cuestión, pero sí hay que señalar que, en cualquier caso, el problema de qué
conocimiento se considera necesario y cómo enseñar para que se propicien los
aprendizajes buscados no se resuelve con la forma de organización del sistema de
enseñanza secundaria.
el desafío que se presenta, entonces, es encontrar formas de enseñanza que, con la mayor
independencia del contexto organizacional que sea posible lograr, facilite conseguir los
objetivos buscados. una posible respuesta a esta situación es atender a desarrollar la
enseñanza considerando no sólo los contenidos disciplinares a tratar, sino además, y de
manera especial, a las capacidades o competencias que pueden desarrollarse en el proceso
de aprendizaje de esos contenidos, haciendo explícito a los alumnos que se pretende de
ellos no sólo la adquisición de los conocimientos disciplinares, sino también que procuren
lograr esos desarrollos. En la siguiente sección nos extendemos un poco sobre este aspecto.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Desarrollo de capacidades
Es frecuente encontrar como significado de “competencia” el de “saber hacer”. Una
definición más elaborada establece que competencia es un “saber hacer, con saber y con
conciencia”, poniendo énfasis en que no se está significando sólo un saber práctico, sino
además uno que está informado por otros saberes y motivado por la intención de conseguir
cierto logro.
Existe un aparente debate entre los significados de “competencia” y “capacidad”. Por
ejemplo, en uno de los documentos de la Comisión T.E.M.S. (Comisión T.E.M.S., 2002) se
plantea que una competencia es un “indicador de capacidades más complejas que
involucran un saber, un saber hacer, y un pensamiento orientado a la construcción de
conocimientos”. Según esta postura, una competencia es indicio de la integración de
conocimientos conceptuales, con capacidades (en cuanto habilidades para desempeñar una
tarea), y con la disposición para organizar la tarea estratégicamente con la finalidad de
conseguir aprendizajes.
Una manera de aclarar esta ausencia de definición clara es dar una lista de competencias.
Una clasificación de ellas es la que proporciona la Comisión T.E.M.S. (Comisión T.E.M.S.,
2002):
- Personales: afectivas, éticas.
- Sociales: comunicación, trabajo en equipo, cooperación, solidaridad, participación
democrática, creatividad, innovación.
- Técnicas: capacidad de organización y aplicación sistemática de conocimientos
científicos y tecnológicos; generar, modelar y usar ideas y recursos matemáticos
básicos para la resolución de problemas.
- Metodológicas: obtención, procesamiento, análisis crítico de la información,
organización y presentación de ideas con variadas técnicas metodológicas y
recursos tecnológicos, proposición y resolución de problemas.
- Cognitivas: análisis, síntesis, planificación, seguimiento y evaluación.
- Metacognitivas: autoevaluación, autorregulación, autoconocimiento.
-
En otro orden, Martín y Coll (Martín, E. y Coll, C., 2003), proporcionan otra
clasificación de capacidades:
- Cognitivas: percepción, atención, uso del lenguaje, procesos de razonamiento.
- Motrices: corporalidad (motricidad fina, movimientos, posturas, etc); el cuerpo
como instrumento de relación con el entorno y de comunicación.
- Equilibrio personal: desarrollo emocional, desarrollo afectivo.
- Relación interpersonal: procesos de interacción con quienes constituyen el entorno
próximo.
- Inserción y actuación social: participación con el grupo social, integración en
ambientes laborales, responsabilidad ante temas de interés general.
Como se ve, a pesar de las diferencias de criterios de clasificación y términos para
designar competencias o capacidades, ambas listas tienen gran cantidad de
coincidencias, como para poder sostener que en esencia se está hablando de lo mismo.
Por eso, nosotros usaremos competencia y capacidad como sinónimos.
Al referirse a la relación entre la resolución de problemas y el desarrollo de capacidades,
García (García, J.E.; 2002) señala que entre otras competencias, puede atenderse a las
que tienen que ver con organizar información sistemáticamente, describir
655

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
procedimientos o métodos usados y resultados obtenidos en un cierto proceso. En un
sentido diferente, al analizar la relación entre competencias y comprensión matemática,
Godino (Godino, J.; 2002) muestra ejemplos en los que se plantea cómo el tratamiento
de ciertos contenidos es ocasión de trabajar con la intención de capacitar a los
estudiantes en habilidades matemáticas.
Para concretar esta discusión al ámbito de la enseñanza y del aprendizaje de Matemáticas,
presentamos una lista de capacidades cuyo desarrollo puede propiciarse a través del trabajo
con contenidos Matemáticos. No pretendemos ser exhaustivos, sino solamente señalar que
en casi cualquier actividad pueden encontrarse oportunidades de trabajar algunas de estas
competencias:
- Manejar distintos registros simbólicos (verbales, gráficos, lógicos, numéricos, etc.)
y traducir la información dada en uno de los registros a otros.
- Construir modelos de la realidad utilizando entes matemáticos, obtener conclusiones
mediante un manejo matemáticamente adecuado del modelo y reinterpretar estas
conclusiones en la realidad, a los efectos de la toma de decisiones o de la
descripción o predicción de fenómenos.
- Concretar formulaciones generales a casos particulares o inducir generalizaciones a
partir de casos particulares.
- Reconocer y utilizar correctamente diversas estructuras lógicas.
- Proponer conjeturas y explorarlas, produciendo o bien pruebas o bien refutaciones.
- Generar confianza en las propias posibilidades, a partir de constatar la posibilidad
de realizar construcciones personales.
- Manejar un repertorio de estrategias de abordaje de problemas.
- Flexibilizar la forma de ver la realidad, reconociendo que los modelos matemáticos
son una, entre otras, de las posibles aproximaciones a ella.
- Persistir en la búsqueda de soluciones, perseverando en el trabajo aún cuando se
perciban distantes los resultados.
- Trabajar en equipo, cooperando con otros a través de la discusión fundamentada en
argumentos.
En la siguiente sección presentamos a modo de ejemplo dos actividades, a las que
analizamos con esta perspectiva de prestar atención al desarrollo de capacidades y no
solamente a los contenidos a enseñar.
El Desarrollo De Capacidades En El Aula
las siguientes actividades han sido diseñadas para el desarrollo de algunas capacidades
específicas. fueron propuestas a un grupo de estudiantes universitarios de primer semestre
en el marco de un curso de cálculo en el cual se retoman algunos de los contenidos ya
tratados en el bachillerato, en la búsqueda de detectar y corregir algunas de sus
preconcepciones así como profundizar luego en el desarrollo de estos contenidos.
En el caso particular de las dos que se han seleccionado se busca, con la primera de ellas
detectar y corregir algunas preconcepciones erróneas en relación con el crecimiento y el
signo de las funciones exponenciales. Con la segunda evidenciar la utilidad de los
conocimientos matemáticos para la construcción de modelos así como la dificultad que tal
actividad puede traer aparejada. Ambas fueron propuestas como actividades grupales en la
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PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
búsqueda de fomentar el trabajo en equipo como un ámbito de discusión e intercambio de
saberes.
Actividad I:
Sea f(t) = C·a t con a > 0.
i) Analice en cada gráfico si C > 0, C < 0, a > 1, a < 1.
ii) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) f tiene siempre el mismo signo.
b) f es monótona.
c) f es positiva.
d) f es creciente.
e) El dominio de f es R.
f) El recorrido de f es R.
g) f(t+1) = f(t) + 1.
h) f(t+1) = C·f(t).
i) f(t+1) = a·f(t).
j) Si C > 0 y a > 1 entonces f(t) ≥ f(t+1).
Ambas partes de la actividad apelan al análisis más que a la evocación de ejercicios
tipificados o rutinarios.
En la resolución de la parte i) se ponen en juego capacidades como:
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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- Manejar de cambio entre registros gráficos y numéricos, así como la traducir de un
registro a otro
- Seleccionar una estrategia de abordaje de problemas que se considere apropiada, de
entre un repertorio de posibles estrategias disponibles, a partir de la forma de
organizar y relacionar la información disponible 5 .
En la resolución de la parte ii) se ponen en juego capacidades como:
- Concretar de formulaciones generales a casos particulares o inducir de
generalizaciones a partir de casos particulares.
- Proponer y explorar conjeturas, produciendo o bien pruebas o bien refutaciones.
- Construir de argumentos que apoyen las pruebas o las refutaciones
- Reconocer y utilizar correctamente la notación simbólica.
Actividad II 6 .:
muchos tipos de seres unicelulares se reproducen por bipartición, es decir cuando pasa un
cierto tiempo, el individuo se parte y da lugar a dos individuos. cada uno de ellos, a su vez
transcurrido un cierto tiempo, repite el proceso. partiendo de que en el tiempo inicial (0)
existía un solo individuo y si ese "cierto tiempo" del que se habla es de 2 días, calcule
cuántos individuos habrá al pasar:
a) 1 día. b) 2 días. c) 7 días (explique como calcularlo).
d) 10 días. (explique como calcularlo). e) t días.
Entre las capacidades involucradas en esta segunda actividad podemos destacar 7 :
- Construir modelos de la realidad utilizando entes matemáticos, obtener conclusiones
mediante un manejo matemáticamente adecuado del modelo y reinterpretar estas
conclusiones en la realidad, a los efectos de la toma de decisiones o de la
descripción o predicción de fenómenos.
- Generar confianza en las propias posibilidades, a partir de constatar la posibilidad
de realizar construcciones personales.
- Manejar un repertorio de estrategias de abordaje de problemas.
- Experimentar y manipular los datos con la finalidad de llegar a una fórmula luego
de la observación de regularidades
- Flexibilizar la forma de ver la realidad, reconociendo que los modelos matemáticos
son una, entre otras, de las posibles aproximaciones a ella.
El hecho de que las dos actividades fueran propuestas como grupales, permitió fomentar el
desarrollo de capacidades como la de trabajo en equipo y la de mantener discusiones
fundamentadas.
5
Esto quedó evidenciado en la puesta en práctica de esta tarea en el aula: se formaron equipos para realizar el trabajo, y
pudimos observar en los diferentes grupos que algunos integrantes determinaron el valor de C a partir del corte con el eje
Oy y luego compararon con el gráfico de a x , para determinar el valor de a, en tanto otros alumnos del mismo grupo
utilizaron herramientas del cálculo y a partir del signo de la derivada obtuvieron signo de C y posibles valores de a.
6
Agradecemos la colaboración del profesor Javier Villarmarzo quien trabajó en la propuesta de alguno de los ejercicios y
en su implementación en los cursos a su cargo
7
En primer lugar es interesante señalar que esta actividad resultó sumamente motivadora: despertó la curiosidad de los
estudiantes , que trabajaron con gran concentración.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Reflexiones finales
Hemos presentado dos actividades en las que pretendemos ejemplificar de qué manera
pueden utilizarse la enseñanza de los contenidos matemáticos, no sólo para favorecer los
aprendizajes disciplinares, sino además para tender al desarrollo de capacidades en los
estudiantes.
con esto, queremos llamar la atención acerca de que casi en cualquier nivel de enseñanza y
con cualquier contenido, el docente puede diseñar su actividad con el doble objetivo de
ayudar a sus alumnos a apropiarse del conocimiento y a desarrollar sus competencias. nos
parece que esto es particularmente importante en el momento del tránsito entre la
secundaria y la universidad, donde algunas de las características propias del trabajo
universitario pueden presentarse fácilmente a los alumnos a partir de una propuesta como
ésta.
es interesante resaltar que hacer notar a los estudiantes cuáles son las capacidades
necesarias para la realización de una tarea puede ayudarles a que evaluar su grado personal
de desarrollo. En otro orden, indicarles que se esperaba que hicieran, detallando los
procesos que podrían haber seguido, es una manera de ayudarles a buscar medios para
poder desarrollar las competencias necesarias. En cualquier caso, no alcanza con la
propuesta de las tareas, sino que es necesario referirse explícitamente a estos aspectos en la
consigna que se entrega a los estudiantes.
Esperamos que la exposición que hemos hecho constituya un aporte a una discusión que
está empezando y que consideramos de gran importancia para nuestra tarea educativa.
Bibliografía
Comisión T.E.M.S., (2002) Propuesta de diseño curricular para la educación media superior,
www.comisiontems.edu.uy.
García, J.E.; (2002) Resolución de problemas y desarrollo de capacidades, Revista Uno, 29, 20-37.
Godino, J.; (2002) Competencia y comprensión matemática: ¿qué son y cómo se consiguen?, Revista Uno, 29,
9-19
Macedo, B. y Katzkowicz, R. (2002) Educación secundaria: balance y perspectiva, en ¿Qué educación
secundaria para el siglo XXI? (pp. 123-162) UNESCO/OREALC, Santiago de Chile.
Martín, E. y Coll, C. (2003) La Educación Escolar y el Desarrollo de Capacidades, en Martín, E. y Coll, C.
(Coords.) Enseñar contenidos, aprender capacidades, Barcelona: Edebé.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
DESARROLLO DE SITUACIONES DE APRENDIZAJE EN UN ESCENARIO A
DISTANCIA INCORPORANDO OBJETOS VIRTUALES DE APRENDIZAJE
660
Apolo Castañeda Alonso
CICATA –IPN . México
acastane@ipn.mx
Resumen
Al introducir las nuevas tecnologías a los escenarios escolares se provocan reacciones (Chevallard, 1992)
debido a que altera la armonía del Sistema Didáctico (el cual está compuesto por tres componentes;
estudiantes, profesor y el saber). La relación entre los componentes del sistema didáctico se modifican debido
a que existe un instrumento mediador que participa transformando las prácticas. Este proceso de integración
requiere establecer las condiciones de equilibrio del Sistema Didáctico, al replantear el dominio del
conocimiento, al caracterizar la interacción entre los estudiantes y el profesor, al ubicar el papel de la
tecnología en el currículo, Laborde, (2001) y desde la perspectiva socioepistemológica, (Cantoral, 2004;
Castañeda, 2004) explicar cómo se modifican las prácticas y cómo se construyen nuevos escenarios para el
estudio de las matemáticas. Este trabajo de investigación propone describir las prácticas asociadas al estudio
de la derivada en un ambiente tecnológico en las que se ponen en juego diversas situaciones interrelacionadas
utilizando objetos java. Estos objetos, cuyo escenario natural de aplicación es en la red de Internet, se
caracterizan por la disponibilidad de manipulación.
Introducción
El acelerado desarrollo de la tecnología ocurrido en los últimos años, así como la reducción
de los costos en los equipos electrónicos han favorecido a que nuestra cotidianidad se vea
impactada por una gran cantidad de productos. Esta paulatina pero incesante incursión
tecnológica en varios espacios de nuestra vida, ha traído consigo una inevitablemente
modificación de nuestras usuales prácticas. En el ámbito educativo, esta evolución
tecnológica ha perturbado el habitual equilibrio en las instituciones educativas; por una
parte el fácil acceso a la tecnología de los estudiantes desafía los tradicionales
planteamientos didácticos que hacen los profesores. Este primer diagnóstico describe la
exigencia de la noosfera (Chevallard, 1991) para mantener las prácticas educativas acordes
con la evolución de la sociedad y sus prácticas., en particular de ámbito tecnológico.
Lejos de ser presiones externas las que modifiquen la actual dinámica de las instituciones
educativas, la investigación educativa ha reportado la viabilidad en el uso de la tecnología,
Laborde (2001) explica que las tecnologías, como por ejemplo las computadoras, favorecen
los procesos de abstracción al permitir múltiples experimentos en el estudio de las ideas
matemáticas. Sin embargo tal como lo explica Chevallard, (1992), al intentar introducir las
nuevas tecnologías a los escenarios escolares se provocan reacciones debido a que alteran
la armonía del Sistema Didáctico. La interacción de las tres componentes, se modifican
debido a que existe un instrumento mediador que participa transformando las prácticas. Por
ejemplo en Artigue, (2002) se reporta que …cuando los estudiantes usan la función
“graficar” en un ambiente computacional (o en calculadoras gráficas) ellos observan el
hecho de que la gráfica de una función es windows-dependent… (ventana-dependiente).
Este hecho expresa que se ha construido una noción de función a partir de la representación
en la pantalla, mostrando las limitaciones de representación que tiene el instrumento.
El proceso de integración de la tecnología al ámbito educativo es lento, porque hay que
establecer las condiciones de equilibrio del Sistema Didáctico, al replantear el dominio del
conocimiento, al caracterizar la interacción entre los estudiantes y el profesor, al ubicar el

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
papel de la tecnología en el currículo, Laborde, (2001) y desde la perspectiva
socioepistemológica, (Cantoral, 2004; Castañeda, 2004) explicar cómo se modifican las
prácticas y cómo se construyen nuevos escenarios para el estudio de las matemáticas.
Respecto al dominio del conocimiento, identificar cómo afecta la tecnología a los objetos
matemáticos y sus relaciones así como identificar los aspectos que se conservan y los que
cambian. En cuanto a la interacción de los estudiantes y profesor determinar las
condiciones de la interacción a partir de caracterizar el uso del instrumento, es decir, definir
los propósitos de su uso. En lo que se refiere al papel de la tecnología dentro del currículo,
explicar cómo y para qué se usa la tecnología dentro de un programa de estudio.
Finalmente como cuarta componente, analizar las prácticas que se derivan de la integración
de la tecnología con el fin de identificar y caracterizar el funcionamiento de la tecnología
cuando se ponen en juego para el estudio de la matemática.
Exploración en un ambiente computacional
Ubicados en esta última línea de estudio, este trabajo de investigación propone describir las
prácticas asociadas al estudio de la derivada en un ambiente tecnológico en las que se
ponen en juego diversas situaciones interrelacionadas utilizando objetos java. Estos objetos,
cuyo escenario natural de aplicación es en la red de Internet, se caracterizan por la
disponibilidad de manipulación. Todo objeto java tiene un propósito específico pues su
creación responde a un objetivo específico. Con el fin de caracterizar los objetos applets
java en un escenario didáctico, los denominamos “objetos virtuales de aprendizaje”. Esta
nomenclatura responde a su propia estructura funcional pues permiten la manipulación del
evento. Estos objetos no poseen perfil educativo ni responden a orientaciones pedagógicas
específicas, se trata de representaciones funcionales de ideas matemáticas por lo que poseen
una lógica de funcionamiento que se apega a la misma coherencia del concepto matemático
que ejemplifica. En la red Internet existen varios tipos de objetos virtuales de aprendizaje,
su origen depende del programa que permite su construcción y compilación. Describimos
brevemente tres tipos de objetos virtuales de aprendizaje.
El caso del proyecto Descartes. http://descartes.cnice.mecd.es/index.html
Descartes es un entorno de aplicación de objetos virtuales de aprendizaje desarrollada por
el Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (PNTIC) del
Ministerio de Educación y Cultura de España. Este proyecto educativo se encuentra en una
plataforma web cuyo contenido está organizado en unidades didácticas, cada una de ellas
contiene lecciones de matemáticas en las que se hace uso de los objetos java (Cfr. Fig. 1).
Applets Java de contenido matemático. http://www.ies.co.jp/math/java/ En la red
existen varios sitios que tienen publicados applets java con contenido matemático, los
cuales en su mayoría están organizados por áreas generales de estudio, pero de forma
aislada (Cfr. Fig. 2).
El proyecto Cabri Java. http://www.cabrijava.net/ Cabri Géomètre II es un programa que
permite la construcción de objetos geométricos euclidianos a través de la manipulación de
varios tipos de herramientas. El programa permite hacer experimentaciones, analizar
situaciones geométricas, comprobar resultados, inferir, refutar y demostrar ciertos teoremas
de la geometría clásica. Recientemente se le ha agregado una nueva herramienta al
programa, se trata de la utilidad de Cabri Java. Este es un compilador de las animaciones
661

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
de Cabri y las transformándolos en objetos java, esto permite su publicación en internet
(Cfr. Fig. 3).
Figura 1: Página del proyecto Descartes, en el que se estudia el tema de “Función”
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PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Figura 2: IES Web Site. The site has over 50 applets, and is updated once a week. Product
information will be included at the site.
Figura 3 La Geometría de los Mecanismos con Cabri – Géomètre II (publicado en internet
con Cabri Web. Página de José Antonio Mora, disponible en
http://teleline.terra.es/personal/joseantm/home.htm
La secuencia
Para el diseño de la actividad se incorporaron las recomendaciones de Valero, (2000) para
el estudio de la noción de derivada, aunque se hicieron adaptaciones de su diseño al
escenario computacional, agregando nuevas preguntas que se plantearon a partir de la
movilidad que tiene los objetos virtuales, por ejemplo, en cuanto a la sincronía que
muestran los objetos al representar las gráficas de su primer derivada y su primitiva: ¿qué
relación guarda la f respecto a f ’ cuando se desplaza la tangente de f ? La actividad fue
construía en formato html con frames 8 , para cargar las páginas de Internet que tiene objetos
java publicados. Se pide al usuario que ajuste el contenido de cada frame para contestar las
preguntas planteadas. Se pide que las respuestas sean enviadas por correo electrónico
cumpliéndose la primera fase de la actividad. La actividad (en formato html) se publica en
Internet para que los usuarios puedan acceder a la información de las páginas insertadas con
contenido java, sin necesidad de descargar archivos class o jar en su computadora.
8 Estos “marcos” (en español) son áreas en las que se cargan nuevas páginas con formato html dentro de una principal.
De este modo una página puede contener otra sin necesidad de abrir nuevamente el explorador.
663

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El modelo didáctico
El elemento característico que subyace en las secuencias es la acción, entendida como la
capacidad de manipulación que tiene el usuario sobre las construcciones java. Los objetos
responden a voluntad de quien los utiliza, por lo que es factible identificar regularidades,
características que les definen, comportamientos. Ya que el control lo tiene el usuario,
entonces es posible analizar la situación que se muestra en el objeto java. Sin embargo la
disponibilidad que ofrecen no es suficiente, porque estas representaciones no tienen,
necesariamente, estados contradictorios o de reflexión que permitan el tránsito de un
desequilibrio a un nuevo estado de equilibrio (Ruíz, 2001). En la perspectiva
epistemológica que asumimos, de Bachelard, (1981), los aprendizajes previos deben ser
tomados en cuenta para construir los nuevos conocimientos y para superar los obstáculos,
es decir, se conoce en contra de conocimientos anteriores.
Los objetos java, son animaciones de ideas matemáticas, sin embargo no pueden concebirse
como explicaciones o ejemplificaciones, pues cada objeto cuenta con un complejo
mecanismos de operación, por ejemplo, el trazo de la derivada a partir de una función
necesita la coordinación entre el grado de inclinación de la tangente y el eje donde se
dibujará la derivada, así como la ordenada obtenida a partir de un cálculo matemático entre
el grado de inclinación y la ordenada en cuestión. La secuencia de actividades propone
aprovechar la capacidad de manipulación de los eventos para observar las regularidades e
invariantes para formular explicaciones de los comportamientos. Existe en el diseño una
clara intención de hacer transitar al estudiante por varios momentos, los cuales se controlan
a través de variables que los mismos objetos java ofrecen.
Un primer acercamiento; elementos para la creación de las actividades
Las actividades diseñadas no tienen como objetivo facilitarle al alumno un contenido
matemático, sino, enfrentarlo a una situación en la que se conflictúe con sus conocimientos
anteriores pero que a la vez proporcionarle herramientas que le permitan abordar el
problema y construir un nuevo conocimiento. Como explica Ferrari, (2001) “… si bien la
intuición y la experiencia de un docente son importantes, no bastan para realizar el diseño
de una situación” pues requiere de un acercamiento sistémico que “permita discernir y
delimitar la problemática que deseamos abordar y decidir la manera en la que
gestionaremos el tratamiento de la misma, es decir, el camino que deseamos que los
estudiantes transiten”. El diseño debe compromete un “saber escolar” y por tanto cobra
sentido si está respaldada por un análisis preliminar 9 en el cual se contemplen los cuatro
polos involucrados en la construcción del conocimiento, a saber: su naturaleza
epistemológica; su dimensión sociocultural, los planos cognitivos que involucra y su
difusión vía la enseñanza (Cantoral y Farfán, 1998).
Planteamiento de un escenario
Este novedoso diseño de secuencia de actividades, incorpora nuevas herramientas que
ofrecen un múltiple acercamiento a los conceptos matemáticos desde varios enfoques; tales
como secuencias interactivas, fenómenos modelados en sistemas, simuladores, analizadores
en tiempo real, entre otros, los cuales emplean a la visualización como una medio para
9 El trabajo de Valero, (2000) aporta un amplio referente epistemológico sobre la noción de derivada
664

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
lograr aprendizajes (Cfr. Figs. 4 y 5). Una versión corta de la secuencia didáctica se
encuentra disponible en la dirección electrónica: http://geocities.com/apcastane/demo.htm
FIGURA 4 Primer frame en el que se estudia la relación entre la tangente y la curva y su derivada
665

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
FIGURA 5: Segundo frame de la primer secuencia en la que se estudia la relación de la primer
derivada y su primitiva
Primeros resultados: a manera de conclusión
El grupo que trabajó la secuencia estuvo compuesto por 10 estudiantes que cursan la
maestría en Matemática Educativa en la modalidad a Distancia a través de internet. Dadas
las características del grupo, no hubo problemas en el manejo de la computadora ni en el
manejo de los objetos java. Las fases de desarrollo fueron las siguientes; en primer lugar,
los estudiantes accedieron a la página web en donde está la actividad, siguieron la
secuencia de actividades, contestaron las preguntas y las enviaron por correo electrónico.
En segundo término, se pidió discutir en un foro las dificultades y dudas en los que
interactuaron todos los estudiantes y el profesor. La Secuencia Didáctica para el estudio de
la derivada estuvo compuesta de 8 secciones, cada una de ellas con el tratamiento de una
idea específica. La primera de ellas fue el estudio de la relación entre la primitiva y su
primer derivada en la que emplearon dos frames con páginas de contenido java. La primer
actividad contiene un ejercicio que tiene por objetivo identificar el valor de la ordenada en
la derivada a partir de estimar el grado de inclinación de la recta tangente de su primitiva.
De hecho, la movilidad en los objetos java favoreció la identificación de segmentos que
varían (se muestran en el primer frame), lo que permitió desarrollar la habilidad de
relacionar las gráficas de la derivada y de la función son sólo inspeccionar su forma.
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667

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
668
CURSO A DISTANCIA “FUNCIONES MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA
MEDIA”: CONTENIDOS, ACTIVIDADES, METODOLOGÍA Y ALGUNOS
RESULTADOS.
Juan Silva y Fidel Oteiza
Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile, Chile
jsilva@comenius.usach.cl y foteiza@comenius.usach.cl
Resumen
El curso funciones matemáticas en la enseñanza secundaria es la primera experiencia de capacitación masiva
de docentes a nivel nacional en la modalidad a distancia, usando las tecnologías de la información y
comunicación (TICs), con cobertura nacional e impulsada por el Ministerio de Educación de Chile. La
formación se centra en una área especifica del currículo como lo es la matemática en el nivel secundario y en
un contenido curricular concreto las funciones. El conocimiento de la reforma curricular, la generación de
material didáctico, la incorporación de las TICs en las prácticas pedagógicas y la evaluación de los
aprendizajes, han sido los contenidos sobre los cuales se ha diseñado y estructurado el curso. La metodología
de trabajo situó al docente en el centro del aprendizaje, como una aprendiz que define en forma autónoma su
camino de aprendizaje de acuerdo a sus intereses y motivaciones. Los resultados muestran una deserción
inicial importante, pero luego un alto compromiso y permanencia en el curso, valoración de los contenidos,
los recursos propuestos, las estrategias de enseñanza y, la metodología de trabajo implementada.
Introducción
“La formación a distancia, es un modelo de educación que se caracteriza por el rol
secundario de la presencia física del profesor y los estudiantes en un mismo espacio y
tiempo. Utiliza diversos materiales diseñados por un establecimiento (impresos, sonoros,
informáticos, etc.) con el fin de suplir la distancia y mediatizar el proceso de enseñanza
aprendizaje. Los roles del docente y del alumno son diferentes a los que se dan en la
formación presencial, el alumno se hace responsable de su aprendizaje y diseña un camino
autónomo para lograrlo, el docente actúa como un facilitador en el logro de los objetivos
propuestos” (Silva y Oteiza, 2002). Como se observa, los ejes centrales son: el rol
secundario de la presencia física del profesor y los estudiantes en un mismo espacio y
tiempo; la utilización de los medios; la influencia del establecimiento y los nuevos roles del
alumno y del profesor.
La Formación a Distancia, desde sus orígenes en 1840, con Isaac Pitman, hasta estos días
ha experimentado notorios cambios, desde los cursos por correspondencia hasta cursos en
el espacio virtual (Holmberg, 1981). A esto ha contribuido diferentes elementos, tales
como: la irrupción de las tecnologías de la información y las comunicaciones (TICs), el
nivel de accesibilidad creciente de las instituciones y personas a estos recursos; la
posibilidad que ofrecen estos recursos de incorporar elementos socializadores en el proceso
de enseñaza aprendizaje -interacción en línea o en forma diferida, trabajos colaborativo y
cooperativo, entre otros- los cuales permiten romper el asilamiento de quien se forma a
distancia; junto con potenciar las ofertas por medio de elementos instruccionales como
material multimedia, simulaciones, acceso a sitios web, etc. (Sigáles 2001). Por otra parte,
la necesidad creciente de formación continua a lo largo de la vida, que la sociedad de la
información genera, han dado un impulso sin precedentes a la oferta de educación a
distancia, desarrollándose distintos niveles, formatos y modalidades (Bates, 20001, Moore,
2001).

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
En Chile, de acuerdo al Mineduc 10 , en el sistema público 1.336, el 93%, de los
establecimientos de educación secundaria están conectados a la Red Enlaces, de ellos 1.157
el 87% cuentan con conexión Internet. Los profesores de estos establecimientos han sido
capacitados en el uso de los recursos informáticos, entre ellos Internet. Un estudio
reciente 11 , muestra que un 64% de los docentes, tiene equipamiento en su hogar y un 41%
de ellos cuenta con conexión a Internet. Lo anterior llevó al Mineduc a plantearse la
posibilidad de capacitar a docentes del sistema público por medio de cursos a distancia,
haciendo uso de las TICs. El curso que motiva este trabajo, es uno de los contratos
licitados por el Mineduc para la realización de un curso destinado a docentes de
matemática, en el tema de funciones matemáticas en la enseñanza media, y en su ejecución,
actuó un consorcio formado por tres instituciones: Fundación Chile responsable de los
aspectos tecnológicos, diseño del curso en la plataforma y administración de los cursos;
G&P consultores en el área de metodología y modelos de educación a distancia y el centro
Comenius de la Universidad de Santiago de Chile 12 , a cargo de los aspectos pedagógicos y
los contenidos del curso.
En este artículo encontrará elementos asociados a: el diseño pedagógico del curso; la
formación y trabajo con los tutores; los principales resultados obtenidos en la ejecución del
curso: la asistencia a sesiones presenciales y entrega de trabajos; las dificultades observadas
en el desarrollo de las actividades, y en el acceso y uso de la tecnología; y las principales
conclusiones generadas en esta experiencia.
El curso y sus principales elementos
El curso "Funciones matemáticas en la Enseñanza Media", incorpora los elementos de la
nueva propuesta curricular en el subsector de Matemática impulsada por el Mineduc, el uso
de las TICs y nuevas metodologías de enseñanza. Todo esto bajo un modelo de educación
a distancia.
Los Objetivos: Se esperaba que, una vez finalizado el curso, el participante: a) Diseñe
enfoques metodológicos coherentes con los fundamentos y orientaciones principales del
nuevo currículum del subsector de Matemática para la educación media, para ser aplicados
en su práctica docente, contextualizados a las condiciones de su medio escolar; b) Actualice
su información relacionada con las funciones matemáticas previstas en los Planes y
Programas vigentes; c) Desarrolle capacidades y habilidades necesarias para el uso, manejo
y aprovechamiento de las herramientas tecnológicas aplicadas al aprendizaje de conceptos
de funciones en los alumnos; d) Genere material didáctico destinado a mejorar la calidad
del aprendizaje de sus alumnos.
Estructura del curso: La organización del curso contempló 20 horas presenciales
distribuidas en 5 sesiones de 4 horas de duración cada una de ellas y 160 horas a distancia,
distribuidas en 4 Unidades. La siguiente figura muestra cómo se distribuyen estas sesiones
presenciales y unidades a lo largo del desarrollo del curso.
10 Datos obtenidos de www.redenlaces.cl
11 Resultados del estudio “Penetración y uso de las tecnología en los profesores”
http://www.redenlaces.cl/documentos/informe.pdf
12 El Centro Comenius de la Universidad de Santiago (www.comenius.usach.cl) es uno de los Centros de la Red Enlaces y
atiende a 774 establecimientos de las regiones Metropolitana y Sexta
669

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
670
Unidad Introductoria: va desde la matricula hasta eñ inicio del
curso y consistía en actualizar conocimientos mediante un
proceso de diagnóstico previo, utilizando instrumentos de
autoevaluación personal. Además se buscó, disminuir el
desinterés, que se puede generar, entre la inscripción e inicio del
curso.
Las Sesiones Presenciales, permitieron: presentar los
procedimientos, los espacios virtuales de trabajo; motivar,
mostrar la perspectiva general del curso y de sus unidades;
facilitar el intercambio entre participantes y propiciar el trabajo
colaborativo.
La primera unidad “Concepto de función: nuevas propuestas metodológicas”, buscó
generar, un espacio de análisis frente a la nueva propuesta curricular de matemática, en
enseñanza media. Las unidades “Función lineal: Generación de material didáctico”,
“Función cuadrática y potencia: prácticas para el uso de las TICs” y “Funciones
exponencial y logarítmica: creación de instrumentos de evaluación”, hacen énfasis en el
contenido matemático que indican y áreas transversales en el nuevo currículo de la
asignatura: material didáctico; incorporación de las TIC; instrumentos de evaluación.
Elementos que se reflejan en el producto final de cada unidad: trabajos calificados.
La evaluación formal se realizó por medio de los trabajos calificados y por la participación.
El trabajo calificado se evaluó de acuerdo a una pauta que contó con 10 categorías y sus
respectivos indicadores. En la participación se evaluó, las intervenciones por parte del
participante, en los recursos dispuestos para este efecto.
Contenidos: Los contenidos del curso se organizaron por medio de las actividades,
cada unidad tenía cuatro actividades con un propósito diferente. La primera actividad
estaba destinada a conocer la reforma curricular (planes y programas generados por
el Mineduc para las funciones en estudio), y una propuesta del equipo Comenius-
Usach de cómo interpretar esa propuesta curricular. Se trata de documentos en línea
(con respaldo en texto), con una propuesta metodológica que posee elementos
históricos, motivacionales y conceptos previos. Además considera como apoyo a la
actividad: animación; situaciones contextualizadas; y apoyo en Microsoft Excel.
Una segunda actividad se relacionó con la navegación en Internet y la búsqueda de
información de las funciones en estudio. Para esto, se entregó una lista con direcciones y
una breve descripción de lo que allí se puede encontrar. Se invitó a los docentes a hacer sus
propias búsquedas, compartirlas con el grupo curso y almacenarlas en su portafolio.
La tercera actividad relacionó los modelos matemáticos con el uso de las TIC, como
instrumento para modelar y experimentar con las funciones, su gráfica y su relación
algebraica. Para esto usó graficadores, GRAPHMATICA 13 , FUNCIONES para
WINDOWS 14 , ambos software de libre disposición que se pueden bajar desde Internet.
También se usó la planilla electrónica Microsoft EXCEL.
La cuarta actividad estaba destinada a apoyar la generación del producto calificado,
orientando su desarrollo, entregando documentos de apoyo, generando los espacios para el
trabajo colaborativo y ejemplos del producto esperado.
13 http://www.graphmatica.com/espanol/grmat16e.zip
14 http://www.xtec.es/~jlagares/download/fuwi260e.zip

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Los Ambientes de trabajo: El entorno de trabajo proveía de diferentes ambientes
destinados a poner a disposición del participante, los contenidos del curso, los ambientes de
socialización. La siguiente figura muestra estos espacios y una breve descripción de ellos.
Árbol de navegación contiene:
contenidos, biblioteca, foros,
intercambios y aportes y
documentos subidos por
participantes y/o tutor
Noticias: espacio para ir
guiando el andar de las
unidades y actividades dando
orientaciones generales del
trabajo esperado en cada una
de ellas y publicitar algunos
eventos
Las tutorías: El apoyo al participante es fundamental en el éxito de las experiencias de
formación a distancia, puesto que permite cubrir las diversas necesidades que manifiesta el
participante durantes el proceso de aprendizaje. Este sistema de tutoría, estaba compuesto
por tres niveles de apoyo: el equipo académico quién apoyó el trabajo de los tutores en los
aspectos pedagógicos y contenidos del curso; el supervisor de tutores, con un rol más
administrativo, que siguió y acompaño el trabajo del grupo de tutores. El tutor, cuyo rol era
eminentemente pedagógico, mantuvo y animo la comunidad de aprendizaje resolviendo
dudas, orientando, estimulando el trabajo colaborativo.
Algunos resultados
Selección y Formación de tutores: Se capacitó a 101 profesionales -profesores en las
universidades regionales y profesores de matemática que actúan como Capacitadores en la
red Enlaces- en el modelo a distancia, utilizando la misma plataforma y ambientes de
trabajo en le cual se desarrollaron los cursos de los participantes.
Inscritos vs Aprobados
Curso Tutores
Aprobados
58%
Menú de herramientas para la administración
del usuario (subir archivos, comunicarse con
los demás, etc.), al tutor además le permite
gestionar el curso
Reprobados
42%
Agenda: permite
agendar los
principales eventos
(charlas, entregas de
trabajo,
presenciales, etc.)
Usuarios en línea (tutor,
equipo académico y
participantes)
La formación contempló 60 horas cronológicas,
desarrolló tres unidades: introducción a la formación a
distancia; la función como modelo (primera unidad del
curso de docentes); evaluación del aprendizaje en
entornos virtuales. De los 101 participantes aprobó el
curso 59 que corresponde al 58% de los inscritos. Los
reprobados alcanzaron a 42 correspondiente a un 42%.
Inscripción de alumnos: Se llegó a un total de 1.311 docentes inscritos. Cabe señalar que
este tenía un costo base de inscripción equivalente a $8.000 equivalente a unos US$11.
Existieron alumnos inscritos en las 13 regiones, en las cuales se divide Chile.
671

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
672
Se registran las mayores concentraciones en las regios Metropolitana XIII
(donde se encuentra la capital del país), Octava, Quinta y Décima con 27%,
15%, 10% y 10% respectivamente. Se formaron 46 cursos, con un promedio de
28 participantes por curso.
Los docentes proceden de establecimientos de dependencia Municipal 778 un
59%, dependencia Subvencionado 464 un 35%, de establecimientos
particulares 62 un 5% y un 1% que no especificó a que tipo de establecimiento
pertenecía.
Sesiones Presénciales: Al analizar los resultados de las sesiones presenciales, se puede
observar una fuerte deserción entre la inscripción y la primera presencial y entre la primera
y la segunda. La segunda presencial es importante en el compromiso del alumno con el
curso, dado que marca la entrega del primer trabajo calificado.
1400
1200
1000
800
600
400
200
1311
856
512
430
353
366
0
Inscritos Sesión 1 Sesión 2 Sesión 3 Sesión 4 Sesión 5
El promedio de asistencia, a partir de la segunda sesión, fue de 425
participantes. A la primera presencial asistieron 858 de los inscritos
lo que corresponde a un 65% de los 1.311, es decir hay una
deserción previa al inicio del curso de 453 que corresponde a 34%.
Trabajos calificados: Se puede observar que entre el primero y el cuarto, existe una
disminución progresiva en la entrega de trabajos calificados.
500
450
400
350
300
487
250
200
150
100
50
0
410 390
371
390
Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Aprobados
El primer trabajo calificado lo entregan 487 que y el último 371 que
corresponde al 76% que entregaron el cuarto, es decir si tomamos la
entrega de trabajo 1, como un indicador de compromiso real con el
curso, el nivel de deserción es sólo de un 24%.
En términos generales: Del total de 1.311 inscritos, aprobaron el curso 390 el 30%, lo
reprobaron 556 un 42% y desertaron, es decir que nunca asistieron a una sesión presencial
ni entregaron un trabajo calificado, 365 un 28%.
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
1311
556
390 365
Inscritos Reprobados Aprobados Desertados
Si se analiza los resultados, se tiene que participaron en el curso
946 alumnos el 72% de los 1.311 inscritos. Los participantes
corresponden a los que asistieron a alguna presencial y/o entregaron
un trabajo. Si se analiza los resultados de los aprobados y
reprobados en relación a los participantes, se tiene que el nivel de
aprobación es de 41% y el de reprobados de 59%.
Conclusiones
La propuesta aquí planteada se enmarca dentro de unas bases de licitación. En este aspecto
creemos que es interesante analizar, a la luz de los resultado, algunos aspectos, por
ejemplo: a) la imposibilidad de desarrollar una fase piloto -salvo la unidad uno que fue
seguida por los tutores, como parte de su formación- esto obligó a ir descubriendo e intentar
resolver los problemas, durante la marcha de los cursos; b) la distribución de los tutores a lo
largo del país, quizás hubiera sido mejor agrupar un conjunto de profesionales en forma
centralizada para ejecutar las tareas de tutorías, tendiendo de esta forma el equipo de

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
supervisión mayor coordinación y monitoreo del trabajo de los tutores; c) las exigencias de
obligatoriedad de asistencia a las presénciales.
Se puede concluir que los horarios y lugares de conexión no eran los esperados, en efecto:
se usan poco los laboratorio de los establecimientos para conectarse, se conectan desde la
casa o la de algún amigo; La mayor de los docentes se conectaron en horarios nocturnos, a
partir de las 19:00 horas hasta las 24:00 horas, siendo los horarios pick entre las 21:00
horas y 23:00 horas lo que traslado el trabajo del síncrono del tutor hacia esos horarios.
Por otra parte el nivel de uso de Internet por parte de los docentes, no era muy alto lo que
dificultó al inicio del curso el acceso a la plataforma y el manejo al interior de esta, gran
parte del trabajo desarrollado en las primeras semanas se orientó al uso de la plataforma y a
la navegación en Internet. Adicionalmente las competencias de un profesor para seguir un
curso a distancia en el cual adquiere un rol autónomo y protagónico en la construcción de
conocimiento parecen no ser muy altas.
Desde el punto de visto del diseño, distribuir las tareas de supervisión de tutores y equipo
académico en dos equipos profesionales distintos tiene sus costos. La experiencia ha
demostrado que los alumnos hacen pocas consultas y que los tutores necesitan apoyo para
poder orientar mejor a sus alumnos, especialmente en el espíritu y objeto de las actividades
y de los trabajos calificados. Se necesita un canal de comunicación más directo del equipo
académico creador de los contenidos, con los tutores y los propios participantes. Lo ideal
sería que esta etapa de supervisión del trabajo de los tutores fuera realizada por un sólo
equipo que cuente con estos dos perfiles: el pedagógico y el administrativo.
El primer trabajo calificado da cuenta de los alumnos que han tomado la opción de seguir el
curso, observándose de allí en adelante un bajo nivel de deserción. Las deserciones iniciales
se deben a diferentes razones, algunas de las más comúnmente esgrimidas son: la falta de
tiempo; el acceso a la tecnología; el nivel de exigencia del curso, entre otras. Los
participantes han valorado la propuesta metodológica, la evaluación del curso, el
aprendizaje transversal que se ha producido del uso de las TICs especialmente de Internet y
software matemático y la construcción de conocimiento en forma colaborativa.
Una de las interrogantes que sería interesante poder investigar es el nivel de transferencia al aula, es decir como el profesor que ha
seguido este curso, ha sido capaz de utilizar lo aprendido en su sala de clase, en cuanto a interpretar e implementar la reforma, el
tratamiento de las funciones y otros contenidos, y la inserción de las TICs como herramienta de apoyo.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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674

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
COMPRENSIÓN DE LA APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA DE MATRICES EN LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ECONÓMICOS
Nelly Elizabeth González de Hernández
Universidad Central de Venezuela. Caracas, Venezuela
gonzalne@yahoo.com
Resumen
Si consideramos que el trabajo de un docente exige una preparación para cada clase, desarrollada bajo la
premisa ¿entenderá el alumno si explico de esta manera...? esta experiencia significa para él, una
investigación sobre la cual regresará tantas veces como oportunidades tenga para presentar nuevamente el
tema.
En nuestra búsqueda del día a día nos hemos planteado una preocupación muy específica al pretender enseñar
Operaciones Algebraicas con Matrices, donde los estudiantes rápidamente captan la secuencia lógica para
realizar operaciones, pero en la que demuestran que prefieren los procesos repetitivos y cuando se les pide
analizar la información, se confunden y ofrecen opiniones equivocadas.
El punto que nos ocupa en este trabajo es el título señalado anteriormente, Operaciones Algebraicas con
Matrices, el cual forma parte del Tema I de la materia Matemática III en la carrera de Administración y
Contaduría de la Universidad Central de Venezuela. Por la naturaleza de la formación que damos a nuestros
estudiantes, la aplicación práctica de esta Unidad está dirigida a la resolución de problemas de índole
económica estudiados en este nivel de la carrera, que suele ser el tercer semestre, de los diez que deben
aprobar.
En este trabajo se explican algunas estrategias puestas en práctica con significativo éxito, después de una
revisión del material bibliográfico recomendado hasta el momento y, posteriormente a ensayar las técnicas o
métodos encontrados en dicho material y revisadas —en algunos casos modificadas— por nuestra
experiencia.
Para realizar esta investigación se organizaron sesiones de trabajo teórico-práctico durante el primer y
segundo semestre lectivo 2002. De cada sección (el promedio semestral es de 10 secciones, con 50
estudiantes cada una) se escogieron al azar 5 estudiantes, y se procedió a aplicar las estrategias de enseñanza
que hemos diseñado para esta oportunidad.
Los resultados se han comunicado a los profesores que dictan la materia, con la finalidad de continuar
mejorando las propuestas que son fruto de este estudio, así como esperamos tener la oportunidad de compartir
esta experiencia con nuestros colegas latinoamericanos.
Introducción
El motivo que nos mueve a realizar la investigación en esta oportunidad, es la intención de
averiguar si el uso de los conocimientos teóricos, adquiridos durante la explicación de
cómo realizar operaciones de multiplicación de matrices, son eficientemente interpretados
por los estudiantes, igualmente, si la aplicación de este conocimiento obedece a la
compresión total de la información que se desea transmitir en clase y no es una repetición
automática de otras experiencias realizadas en el aula.
Considerando que no sólo es la actuación del profesor la que define cuáles son los métodos
de trabajo que utilizará el alumno, sino que los textos recomendados dirigen con especial
acentuación la forma cómo se enfrenta la resolución de problemas, hemos realizado una
minuciosa búsqueda en los libros que se especializan en el tema de la matemática para
economistas y administradores y de éstos, hemos hecho especial revisión en los que son
más populares, por su aparición insistente en los programas de estudio de nuestras
universidades
675

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Objetivos de la investigación
Establecer estrategias de enseñanza que permitan realizar el proceso en el aula de una
manera más eficiente.
Revisar los métodos de trabajo de los docentes de Matemática III en el campo del álgebra
matricial
Revisar la bibliografía dirigida a las Escuelas de Administración y Contaduría sobre el tema
de matrices y sus aplicaciones económicas
En las actividades de aula, los estudiantes enfrentan distintas estrategias de enseñanza que
difieren en el grado de complejidad y en el volumen de la información contenida. Los
alumnos se aproximan a ellas utilizando su capacidad e inteligencia en muchos casos, no
para aprender sino para descubrir un patrón donde los datos son sustituidos y la solución
aparece, no importa como. La anterior afirmación es una situación que con frecuencia se
discute en reuniones docentes, donde se plantean que, en algunas oportunidades, los
profesores en su esfuerzo de simplificar su explicación, presentan en detalle los pasos a
seguir para resolver un ejercicio, sin dejar un esfuerzo de imaginación, abstracción y
análisis al educando. Acostumbramos a los jóvenes a repetir sin convicción, a reproducir
sin criticar, a calcar sin discernimiento. Como bien lo dice el refrán, de buenas
intenciones...
Interesa comprobar con cuál experiencia se obtiene mejores resultados, revisando cuándo
el conocimiento activo y la posibilidad de seleccionar y usar de manera flexibles estrategias
para resolver problemas, favorecen un mejor aprendizaje.
Metodología utilizada
La ingeniería didáctica ha sido utilizada cumpliendo con los siguientes pasos: diseño de la
actividad de aprendizaje, aplicación de la actividad, evaluación de resultados.
Diseño de la Actividad
Primer paso:
Definición teórica de la operación multiplicación de matrices.
Segundo paso:
Explicamos la operación: Dadas dos matrices Amxp y B pxn se define la multiplicación de
AxB como una matriz Cmxn donde ∑ = c ij aik
xbkj
.
Tercer paso:
Realizamos algunos ejercicios para comprobar cuando el producto de matrices es posible y
verificamos que el producto de matrices no es conmutativo. Un modelo de estos ejercicios
puede ser:
⎡2
1 0 2⎤
⎡1
4 0⎤
Sea A 2x3
= ⎢ ⎥ y
⎣3
− 2 5⎦
Calcular:
AxB
676
B 3x4
=
⎢
⎢
5
⎢⎣
4
−1
1
0
1
3
⎥
⎥
2⎥⎦

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
BxA
Las repuestas a estos ejercicios es:
⎡22 Ejercicio 1: A 2x3xB3x4 = C2x4
= ⎢
⎣16
− 3
10
0
5
14⎤
10
⎥
⎦
Ejercicio 2: B 3x4 xA2x3
Esta multiplicación no se puede realizar porque el número de
columnas de la matriz B es diferente al número de filas de la matriz A .
Otro tipo de ejercicios consistirían en proponer la multiplicación de dos matrices de la
⎡5
forma siguiente: Sea P 2x2
= ⎢
⎣0
Calcular:
PxQ
QxP
Los resultados serían:
2⎤
⎡3
3
⎥ y Q 2x2
= ⎢
⎦ ⎣2
6⎤
1
⎥
⎦
⎡19
Ejercicio 3: P 2x2 xQ2x2
= R2x2
= ⎢
⎣ 6
32⎤
3
⎥ .
⎦
⎡15
Ejercicio 4: Q 2x2 xP2
x2
= M 2x2
= ⎢
⎣10
24⎤
7
⎥ .
⎦
Observamos que en ambos casos es posible realizar el producto de matrices pero que
⎡19
⎢
⎣ 6
32⎤
⎡15
⎥ ≠
3
⎢
⎦ ⎣10
24⎤
7
⎥ , es decir, PxQ ≠ QxP , en este caso.
⎦
Cuarto paso:
Una vez que los alumnos manejan con destreza las operaciones algebraicas con matrices,
proponemos un problema como el siguiente:
Una empresa elabora 3 artículos ( A , B,
C)
los cuales necesitan de 3 componentes ( x , y,
z)
como materia prima en las proporciones siguientes: el producto A requiere 1 unidad de x, 4
de y y 2 de z. El producto B requiere 2 unidades de z y 5 unidad de x. El producto C
necesita 3, 2, 6 unidades de y, z y x, respectivamente. Conocemos que la programación de
la producción para las próximas 3 semanas es la siguiente: del producto A se fabricará 10,
20, 15 unidades, del producto B se fabricará 25 unidades en la semana 2 y 10 unidades en la
semana 1, del producto C se elaborará 20 unidades en la semana 3. Determine la cantidad
de materia prima que se requiere para elaborar cada producto durante las próximas 3
semanas.
Quinto paso:
A todos los grupos se les explicó de igual manera el como realizar operaciones de
multiplicación de matrices pero al proponer la aplicación práctica se hizo la siguiente
diferenciación. Al primer grupo (primer semestre 2002) se le explicó que al multiplicar los
elementos que conforman las matrices, deberíamos revisar que las unidades que se
operaban fuesen consistentes, esto es, si organizamos nuestros datos de la siguiente manera:
677

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
678
Productos Producto
Componentes A B C Semana A B C
X 1 5 6 1 10 10 0
Y 4 0 3 2 20 25 0
Z 2 2 2 3 15 0 20
Vamos a establecer que la matriz
⎡1
5 6⎤
E
⎢ ⎥
3x3
=
⎢
4 0 3
⎥
y
⎢⎣
2 2 2⎥⎦
G 3x3
⎡10
=
⎢
⎢
20
⎢⎣
15
Y proponemos realizar la siguiente multiplicación E 3x3xG3x3 Verificamos que algebraicamente la operación se puede realizar porque el número de
columnas de la matriz E es igual al número de filas de la matriz G y procedemos
⎡1
ExG =
⎢
⎢
4
⎢⎣
2
5
0
2
6⎤
⎡10
3
⎥ ⎢
⎥
x
⎢
20
2⎥⎦
⎢⎣
15
10
25
0
0 ⎤ ⎡ ( 1x10)
+ ( 5x20)
+ ( 6x15)
0
⎥
=
⎢
⎥ ⎢
...
20⎥⎦
⎢⎣
...
Revisemos la operación que estamos efectuando:
unidad x Producto A unidad x Producto A unidad x Producto A
1 10
+ 5 20 + 6 15
Producto A Semana1
Producto B Semana 2 Producto C Semana 3
Estamos multiplicando necesidades de materia prima de un producto por las cantidades a
elaborar de otro producto, es inconsistente.
Planteamos ahora la operación de la siguiente manera:
⎡1
ExG '=
⎢
⎢
4
⎢⎣
2
5
0
2
6⎤
⎡10
3
⎥ ⎢
⎥
x
⎢
10
2⎥⎦
⎢⎣
0
20
25
0
15⎤
⎡ ( 1x10)
+ ( 5x10)
+ ( 6x0)
0
⎥
=
⎢
⎥ ⎢
...
20⎥⎦
⎢⎣
...
Revisemos la consistencia de las unidades:
unidad x Producto A unidad x Producto B unidad x
1 ( 10 ) + 5 ( 10 ) + 6
Producto A Semana1
Producto B Semana1
Producto C
10
25
0
...
...
...
0 ⎤
0
⎥
⎥
20⎥⎦
...
...
...
... ⎤
...
⎥
⎥
... ⎥⎦
... ⎤
...
⎥
⎥
... ⎥⎦
( 0
Producto C
)
Semana1
Este primer elemento nos indica la cantidad de materia prima x que debemos tener en existencia
para fabricar los productos A,B y C durante la semana 1. Y así, sucesivamente, verificamos la
consistencia de la operación que realizamos.
Un segundo grupo de estudiantes (del segundo semestre lectivo 2002) recibió igual información,
pero se propone que, a semejanza de la descripción del orden de una matriz, debemos especificar el
contenido de la información de la fila y la columna de cada matriz, de esta manera en el primer
planteamiento E×G, tendremos:

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Necesidad de materia prima x producto semana x producto
Al revisar que en la información contenida en la columna de la primera matriz, no coincide su
descripción con el contenido del dato que está en la fila de la segunda matriz reconoceremos que el
resultado de la multiplicación no es consistente
En el segundo planteamiento E×G’, encontramos:
Necesidad de materia prima x producto producto x semana
Observamos que la información contenida en la columnas de E y en las filas de G’ es igual, en
consecuencia el resultado será lógico y la matriz resultante contendrá en sus filas la información
necesidad de materia prima y en sus columnas la información semana.
Observaciones al docente: notemos que a propósito hemos suministrado los datos del
problema textualmente y en algunos casos desordenados, obligándolos a organizar sus
datos en una tabla de doble entrada.
Aplicación de la actividad:
Se seleccionaron al azar 5 estudiantes de cada sección, para un total de 50 alumnos en cada
grupo El primer grupo estuvo constituido por alumnos de matemática III del primer
semestre lectivo del año 2002 y el segundo por los estudiantes del segundo semestre
electivo.
Resultados de la experiencia.
El grupo de estudiantes invitados a escuchar las explicaciones que aquí hemos expuesto se
mostraron interesados en participar en la experiencia, de allí que quizás el empeño en
escuchar las clases estuvo estimulado por considerarse un grupo especial.
Nuestro interés en los resultados tenía dos propósitos. Por una parte, evaluar si el ejercicio
resuelto indicaba los resultados correctos y por otra parte, revisar si la conclusión fue
ejecutada correctamente porque efectivamente comprendió el análisis que tenía que hacer a
las unidades que estaba multiplicando y no por casualidad. Los resultados son:
100%
50%
0%
62%
38%
82%
Grupo I Grupo II
18%
Correcto Incorrecto
679

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Lo llamativo es que, aparentemente, obtendríamos mejores resultados si utilizamos la
estrategia que hemos empleado con el grupo II, sin embargo al interrogarlos sobre la
interpretación del proceso, del 62% de estudiantes que resolvieron correctamente el
ejercicio en el grupo I un 80% sabía con claridad porque había planteado las operaciones en
la secuencia que lo hizo, vs. un 50% del grupo II, que lo hizo gracias al mecanismo
aprendido y repetido.
Conclusión
Con este sencillo experimento lo que hemos querido demostrar, sin menospreciar el
método que utilicemos para enseñar, es que no siempre la simplificación extrema nos lleva
a cumplir completamente con nuestros objetivos lectivos. En muchas oportunidades es
preferible dejar que el estudiante se detenga antes de emprender un proceso, de manera que
analice, piense cuidadosa y analíticamente y responda con propiedad. La revisión
permanente de nuestros métodos de enseñaza debe ser una rutina más en nuestro trabajo, la
crítica constructiva nos ayudará a descubrir que procesos aparentemente exitosos, esconden
debilidades que podemos, sencilla y afortunadamente, corregir.
En cuanto a los materiales de apoyo dirigidos a estas carreras, lamentablemente caen
también en un facilismo que no nos ayuda en este proceso de evitar las “recetas”.
Revisamos 15 textos citados con mayor insistencia en las bibliografías de las carreras de
Economía y Administración de nuestras principales universidades y un 80% de estos libros
incluye en sus ejemplos, ejercicios sencillos donde, sin explicar por qué, se resuelven sin
mayor análisis, de manera que en los problemas propuestos se repita el mismo esquema.
Bibliografía
Arends, R. (1994) Learnig to teach. Nueva York. Editorial Mc Graw Hill
Barriga, F. (1997). Estrategias Docentes para un aprendizaje significativo. México. Editorial Mc Graw Hill
Cooper, J. (2000) Estrategias de enseñanza. México. Editorial Limusa
Sarabia, B. (1992). El aprendizaje y la evaluación de las actitudes. Madrid. Editorial Santillana
Woolfolk, A. (1990). Psicología educativa. México Editorial Prentice
Wittrock, M. (1989) La investigación en la enseñanza España. Editorial Piados
680

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
CAMINO AL COMPROMISO SOCIAL: SOFTWARE ESTADÍSTICO
Hilda Motok, Gabriela Haro, Juan Sosa, Ariel Ponce, Gustavo Domé, Pablo Remonda.
Instituto Herman Hollerith. San Miguel de Tucumán, Argentina.
hmotok@Argentina.com - in_fo_nor@hotmail.com
Resumen
En nuestros días, la Estadística ha generado gran interés por ser una eficaz herramienta para la recolección,
tratamiento y representación de grandes cantidades de información que nos permite inferir los resultados de
la aplicación de modificaciones o reemplazo de cursos de acción específicos.
Normalmente, en el aula, los datos empleados para el estudio de la estadística descriptiva son valores
extraídos de fuentes secundarias y pocas veces relacionados con las necesidades del alumno; lo que impide el
desarrollo del trabajo creativo y no contribuye a lograr un grado de generalización en el marco del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Como respuesta surge este proyecto de investigación efectuado por alumnos de tercer año del nivel terciario
de la carrera de Analista de Sistemas, realizado en un Hospital Público de la ciudad, con el objeto de registrar
las demandas insatisfechas en los consultorios externos (pacientes no atendidos). El trabajo consistió de las
siguientes etapas:
A). Realización de una encuesta, que además de cumplir todas las condiciones normalmente establecidas para
cualquier encuesta, se debió poner especial énfasis en la forma de recolección de datos para facilitar la carga y
almacenamiento de los mismos.
B). Diseño y desarrollo de un software que permita la carga, almacenamiento y procesamiento de los datos.
C). Estudio y análisis de las distintas tablas y gráficos obtenidos.
Después de trabajar un mes en la obtención de datos reales mediante un cuestionario cuya información se
cargaba mediante un lector de códigos de barras, generando una actualizada base de datos, se pudieron
comparar tablas y gráficos comprendiendo así, el verdadero significado de éstos. Este trabajo ayudó tanto a la
creatividad y a la interdisciplinaridad aplicada en la Estadística como a la responsabilidad social por el
compromiso asumido por los alumnos con dicho Hospital.
Introducción
Considerando que la matemática en la carrera de Analista de Sistemas Terciario es una
herramienta de trabajo importante, tanto para el aprendizaje de materias especificas como
para el desempeño profesional, las tareas que se proponen dentro de esta área siempre están
orientadas a trabajar sobre problemas concretos. Dentro de la materia Estadística los
Alumnos de Tercer año proponen la implementación de una metodología de captación de
Información (Software), en un Hospital Público de la ciudad Capital de la Provincia de
Tucumán, Argentina, para registrar las Demandas Insatisfechas en los Consultorios
Externos del mencionado, información no considerada para el análisis de Producción
General de la Institución.
Los objetivos del trabajo fueron:
Desarrollar el trabajo creativo.
Aplicar los conceptos aprendidos en Estadística a problemas reales.
Integrar las materias específicas de la carrera con las complementarias.
Desarrollo
Las etapas del trabajo fueron: A)la realización de una encuesta que además de cumplir
todas las condiciones normalmente establecidas para ellas, se debió poner especial énfasis
en la forma de recolección de datos para facilitar la carga y almacenamiento.
681

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Formato de la Encuestas realizada :
Lo que permitía introducir las respuestas al sistema informático, utilizando un lector de código de
barras, y así de esta manera la carga es muy ágil.
B). Diseño y desarrollo de un software que permita la carga, almacenamiento y
procesamiento de los datos.
Considere los valores 123 como afirmativos y el 320 como negativos.
C). Estudio y análisis de las distintas tablas y gráficos obtenidos.
Sobre 3218 pacientes que concurrieron al Establecimiento entre el 15/05/2002 al
15/06/2002, fueron encuestados con demanda rechazada 644 el 20% del total
682

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Las siguientes imágenes (fig.1, fig.2) nos muestran la Procedencia de los Pacientes con
D.R., notando que no solo la población en estado de atención clínica pertenecen a la
provincia sino de otras provincias limítrofes.
Figura 1
Figura 2
Notamos que los motivos de rechazos por motivo de falta de turnos y por no atender el
medico ese día son muy importantes en cantidad, el primero nos muestra la falta de mayor
cantidad de médicos para atención diaria de pacientes y la segunda la poca información
emitida desde las instituciones publicas a la comunidad, generando mayores inconvenientes
a la misma ya que el nivel económico de la población concurrente es bajo.(Fig.3,Fig.4)
683

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En las Fig.5, y Fig.6 nos muestra la necesidad de reestructurar los servicios, ampliando el
número de pacientes a ser atendidos y por lo tanto de médicos de la especialidad para
consultorio externo.
684
Figura 3
Figura 4

Figura 5
Figura 6
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Conclusión
Este proyecto nació con solamente la idea de poner en practica la metodología estadísticas
aplicando las herramientas informáticas, pero la realidad social que se encontró determinó
que se redirija los objetivos primeros, ya que al comenzar a obtener la información
mediante las encuestas genero en el grupo de trabajo la necesidad de presentar una visión
realista de la situación, que hasta ese momento el establecimiento no había analizado.
685

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Entregando por ello la presentación de los resultados obtenidos durante el periodos de
trabajo a las Autoridades correspondientes, para la aplicación de las medidas correctivas
necesarias para la mejora del problema
Bibliografía
M a J. Asencio, J. A. Romero, E de Vicente. (1999) Estadística. España, Editorial M c Graw Hill.
Murray, R. Spiegel,(1997). Estadística para la administración y economía, Grupo Editorial Iberoamerica.
Microsoft Prees.(1998). Visual Fox Pro 6.0, manual del Programador, Editorial M c Graw Hill.
686

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
UN PROBLEMA MOTIVADOR PARA UN TRABAJO INTERDISCIPLINARIO EN
MATEMÁTICA Y FÍSICA
Lina Oviedo, Ana Kanashiro, Gloria Alzugaray, Adriana Frausin
UNL, UTN, Argentina
loviedo@fiqus.unl.edu.ar; akanashi@fiqus.unl.edu.ar
Resumen
El trabajo interdisciplinario, cuando es posible, juega un papel importante en la enseñanza y aprendizaje de las
ciencias en los tres niveles de la educación argentina. En la actualidad se ha revalorizado la planificación de
las tareas de investigación y resolución de problemas (Gil,D.,et al., 1991), de modo que cuando se planifica
una unidad didáctica se deben integrar los conocimientos científicos, didácticos y la experiencia práctica, y se
deben tomar en cuenta la estructura cognitiva y las concepciones de los alumnos a quienes va dirigida.
Esta propuesta es un trabajo interdisciplinario entre la Matemática y la Física, que surge teniendo en cuenta
dichas tendencias. Además no debe olvidarse que en un principio la Física se mostraba indistinguible de la
Matemática y que los mayores avances matemáticos surgieron a partir de problemas relacionados con la
Física.
La propuesta se enmarca en un proyecto de investigación que tiene como objetivos:
• Adoptar estrategias que permiten evaluar las actividades que los alumnos hacen en clase de Física,
cuando resuelven problemas utilizando la herramienta matemática.
• Ver que uso hacen de la Matemática y de la Física los estudiantes de Ingeniería, cuando resuelven
problemas de la Mecánica, contando con el apoyo de la herramienta informática.
El objetivo particular de este trabajo es:
• Obtener la expresión de la ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea a partir de un
problema físico sencillo que involucra el movimiento oscilatorio.
Fundamentos de la propuesta
Dentro de la perspectiva actual y puesto que la ciencia en sí puede entenderse como
búsqueda de soluciones a los problemas que se nos plantean, se considera que la
Resolución de Problemas constituye y desempeña un papel fundamental en la enseñanza y
aprendizaje de las ciencias, dirigido a producir aprendizaje significativo (Ausubel, et al.,
1991) y promover un cambio en la manera de trabajo, considerando a la resolución de
problemas como una actividad de apoyo y consolidación para el aprendizaje de los
contenidos conceptuales. Actualmente, aunque se reconoce el papel fundamental de la
elaboración puramente teórica de la matemática, el principal esfuerzo se desplaza hacia la
aplicación de los métodos matemáticos para la solución de los problemas de las ciencias
naturales y la tecnología. La propuesta es trabajar simultáneamente en Matemática y Física
un mismo problema; esto es, a partir de una situación problemática física concreta se
modela la situación matemática para estudiar el tema: Ecuaciones Diferenciales Lineales
(E. D. L.) de segundo orden no homogénea y, a medida que vayan apareciendo nuevas
nociones en Física ampliar el modelo matemático. Por otro lado sabemos que los alumnos
no tienen los mismos objetivos que los docentes, ello s sienten que los temas desarrollados
en el contexto académico no le resuelven los problemas en las asignaturas específicas de su
carrera, por lo tanto, el compromiso del profesor es encontrar una afinidad entre lo que
interesa al estudiante y el tema objeto de estudio para lograr un aprendizaje significativo.
687

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Introducción
En el presente trabajo se plantea un modelo físico concreto, que el alumno trabajará en el
laboratorio de física y posteriormente con los resultados del mismo debe desarrollar el
correspondiente modelo matemático en la clase de matemática.
El modelado constituye una cuestión fundamental en la física, el mismo entendido como el
establecimiento de relaciones semánticas entre la teoría, los objetos y los fenómenos, es una
herramienta básica en la explicación científica y es una cuestión fundamental en la
resolución de problemas.
La matemática tiene un alto valor formativo porque desarrolla las capacidades de
razonamiento lógico, simbolización, abstracción, rigor y precisión que caracterizan al
pensamiento formal, además de permitir la codificación de la información.
Todo aprendizaje se transforma en significativo cuando no es arbitrario ni confuso sino que
es pertinente y relacionado y cuando se logra que el alumno esté motivado para aprender,
de manera que lo que aprende se transforma en funcional, es decir “le sirva para”.
La construcción de un concepto matemático no sólo debe permitirle arribar a una definición
del mismo, sino también reconocer los tipos de problemas que dicho concepto le permite
resolver, es decir buscar las limitaciones y alcance del mismo como modelo. En la práctica
diaria esto, generalmente, no ocurre así, nuestros alumnos creen que resolver un problema
es hacer las cuentas desconociendo que es gracias a la existencia de un modelo matemático
adecuado que se puede resolver el problema mediante la cuenta.
El docente debe ayudar al estudiante a descubrir que la matemática dispone de los recursos
necesarios para enfrentar un fenómeno o situación proveniente de cualquier campo del
conocimiento, es decir permite construir un modelo matemático y para llevarlo a cabo debe
realizarse una simplificación de la realidad y si bien la descripción del fenómeno es
aproximada gracias a la utilización del aparato matemático, se puede describir y predecir un
conjunto de hechos e incluso resultados de experiencias no realizada.
La enseñanza de la matemática debe proporcionar instrumentos para enfrentar fuera del
aula a situaciones de resolución de problemas que pocas veces se presentarán en forma
matemática, aunque para su resolución pueda ser conveniente poner en juego estrategias
similares a las que se ponen en juego en las clases de matemática.
La matemática debe ser un conjunto de instrumentos que proporcionan un modo de
enfrentarse a las situaciones desconocidas, un medio para comunicar y comunicarse con los
demás y también, como no, una vía para disfrutar, ya sea con el proceso de resolución o con
la obtención de soluciones, con la optimización de los procedimientos, con la visión o el
manejo de formas geométricas o de cualquier otro modo. Efectivizar cualquiera de estas
finalidades exige que los estudiantes adopten una disposición relativamente favorable,
razón por la cual es tarea del docente hacerle comprender al alumno que la matemática no
es algo abstracto que solo sirve para la escuela, sino que en el mundo en que vivimos
siempre o casi siempre necesitamos de la misma.
Al describir un fenómeno en términos de un modelo matemático se pueden inferir
conclusiones lógicas sobre el modelo que predice el comportamiento futuro del fenómeno y
de ahí conjeturar los cambios que se pueden producir o las regularidades que se van a
mantener.
688

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Metodología
La aplicación de una metodología que contribuya a que el pensamiento lateral se convierta
en un hábito provocará que, tanto en la resolución de problemas ya sea de lápiz y papel
como en el trabajo de experimentación en clase, confluyan varios elementos que son
significativos para el aprendizaje de los conceptos involucrados en el tema oscilaciones.
Por ejemplo la generación de procesos y procedimientos que determinen las cantidades, en
la medición de las variables involucradas, así como el establecimiento de diferenciaciones
y de las hipótesis necesarias para determinar las variables y la manera en la que intervienen
en los fenómenos presentados al alumno, es insustituible la interacción con la experiencia,
quien en distinto grado, aporta a una construcción cognoscitiva como el establecimiento de
relaciones funcionales y causales, procesos de clasificación, de significación simbólica, de
comparación con concepciones previas, etc.
Desarrollo de la Propuesta
Instancia I
Los objetivos de esta etapa son:
∗ Estudiar el comportamiento de los resortes sometidos a la acción de distintos cuerpos.
∗ Encontrar la relación existente entre la fuerza actuante y la elongación del mismo.
Desarrollo: se disponen de distintos resortes y distintas masas conocidas. La actividad
consiste en colgar las masas de los distintos resortes y medir los estiramientos con las regla
graduadas de los mismos, pudiéndose adicionar más de una masa por resorte.
Se les pedirá que con los datos obtenidos realicen:
a- las gráficas de fuerza vs elongación
b- la construcción de un dinamómetro
• Cuestiones a desarrollar por el docente:
1. Destacar la importancia, para la Mecánica, de las interacciones elásticas
fundamentales.
2. Describir el movimiento oscilatorio armónico y su aplicación en el fenómeno de
resonancia.
3. A través de preguntas poner en evidencia lo que el alumno “conoce” y lo que
“desconoce” parcial o totalmente e introducir el concepto físico de vibraciones
mecánicas.
• Cuestiones a desarrollar por el alumno:
1. Los alumnos deberán obtener conclusiones acerca del
comportamiento de un resorte sometido a la acción de distintos pesos, acorde a lo
obtenido experimentalmente.
Instancia II
Los objetivos de esta etapa son:
* Comprender el fenómeno del movimiento oscilatorio armónico.
* Aprender a controlar variables.
* Realizar razonamientos de conservación.
* Determinar qué magnitudes físicas están involucradas en el problema.
* Encontrar la ley del movimiento.
689

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Modelo físico
La física, por la propia estructura del cuerpo de conocimientos que abarca, así como por la
lógica de tratamiento de esos conocimientos, requiere para su comprensión y aprendizaje,
trabajar con modelos y aplicar razonamiento hipotético deductivo.
El sistema físico adoptado será un resorte de longitud l, con una masa m ubicada en el
extremo inferior se producirá un estiramiento ∆l (fig b). Debido a este efecto la fuerza
vertical k ∆l iguala a la fuerza peso mg
Sea x = 0 la posición de equilibrio, con la dirección + x hacia arriba. Cuando el cuerpo está
una distancia x por encima de su posición de equilibrio (fig. c) la extensión del resorte es ∆l
– x.
En el sistema masa-resorte pueden actuar fuerzas tales como:
a) la de gravedad W
b) la fuerza del resorte F que actúa de manera tal de restaurar la posición del resorte y que
supondremos obedece a la ley de Hooke
c) el efecto de las fuerzas del fluido en el que está sumergido llamadas de amortiguación,
Fa
d) fuerzas periódicas en t, F(t) causadas por ejemplo, por el soporte que sujeta al resorte.
Las consignas a trabajar por los estudiantes se pueden sintetizar en:
690
• Comparar los resultados con los obtenidos analíticamente, analizando posibles
discrepancias con el modelo teórico.
• Para cada, oscilador encontrar una ley del movimiento.
Modelo matemático
Los conocimientos previos que los estudiantes deben tener para plantear el modelo son
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden homogéneas, y Segunda Ley de
Newton.
De acuerdo a la 2da. Ley de Newton fig. (c) se cumple para el sistema masa-resorte:

mx” = W + F + Fa + F(t) (1)
Donde
x” es la aceleración.
W = - m.g , g constante gravitatoria
F = k (∆l - x) k positivo
Fa= - γ (x’(t)) γ constante de amortiguación
Sustituyedo en (1)
mx”= - mg + k (∆l - x(t)) - γ x’(t) + F(t)
mx”= -mg + k(∆l) - k x(t) - γ x’(t) + F(t) (2)
Por otro lado en la posición de equilibrio fig.(b)
W = m.g = k ∆ l (3)
Sustituyendo (3 ) en (2) se obtiene
m . x”+ γ x’+ kx = F(t)
que es una ecuación lineal de 2do. orden no homogénea.
PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Instancia III
En esta instancia se enfrenta al alumno con situaciones que deberá resolver: Se le proponen
distintas situaciones debiendo encontrar la ecuación correspondiente.
Actividades para el alumno
1. Si γ=0 y F(t)=0 el movimiento se llama oscilatorio sin amortiguación y al valor wo 2
=k/m se lo llama frecuencia angular natural. Se pide encontrar x(t).
2. Si F(t)=0 el movimiento se llama oscilatorio amortiguado siendo w’ = (k/m- γ 2 /
4m 2 ) 1/2 la frecuencia angular de la oscilación. Analizar los distintos casos que
surgen a partir de los valores de la ecuación característica mediante gráficas x(t) vs.
t, utilizando un software matemático y obtener conclusiones.
3. Si, por ejemplo, F (t) = F0 sen (w t) el movimiento se llama oscilatorio forzado, F (t)
recibe el nombre de fuerza impulsora. Nos proponemos analizar el comportamiento
del sistema frente a esta nueva perturbación.
La actividad planteada es un problema motivador para introducir el tema E. D. L. de
segundo orden, no homogénea. Los ítems 1 y 2 pueden ser resueltos sin dificultad, en
cambio para resolver el ítem 3 se necesitan de nuevos conocimientos, los que deben ser
desarrollados en la clase de Matemática.
Se puede seguir ampliando el modelo, a partir de lo trabajado hasta el momento introduciendo las nociones de resonancia y
caos para el caso de osciladores no armónicos, como por ejemplo un péndulo magnético bajo la acción de tres imanes.
Conclusiones
Las actividades propuestas permitirán a los estudiantes observar e investigar fenómenos
reales con el objetivo de posibilitar aprendizajes significativos (Ausubel, op. cit), por eso
es importante una planificación adecuada de las mismas acorde al contenido de las ciencias
que se pretende enseñar y una buena selección de técnicas de procedimientos que los
alumnos sean capaces de utilizar.
Tanto el planteamiento del problema como la solución aportada por los estudiantes
estarán vinculadas con las intenciones didácticas de este trabajo, que corroboran la
691

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
urgente necesidad de brindar una enseñanza de las ciencias enfocada con profundidad y
seriedad y que se pueden sintetizarse en:
• las ciencias pueden ayudar a los estudiantes a pensar de manera lógica sobre los hechos
cotidianos y a resolver problemas prácticos sencillos.
• las ciencias y sus aplicaciones a la tecnología, son actividades socialmente útiles que
esperamos se hagan familiares a los estudiantes y pueden mejorar la calidad de vida de
las personas.
Las variables más importantes que se espera evidencien los estudiantes y que influyan
en los resultados de la resolución de las situaciones problemáticas presentadas serán:
a- la disponibilidad de conceptos y principios en la estructura cognoscitiva, pertinentes
para los problemas particulares que se van presentando, y que se desarrollen
interactivamente con los estudiantes.
b- las características cognitivas y de personalidad como la agudeza, la capacidad de
integración, el estilo cognitivo, la sensibilidad al problema, etc., que serán
trabajados por los docentes.
La modelización de ciertas situaciones problemáticas son importantes para ver como los
alumnos hacen uso de la herramienta matemática ante problemas físicos concretos.
No debe esperarse que el estudiante elabore conceptos y relaciones entre ellos por la sola
realización de una actividad experimental o de lápiz y papel. El docente debe favorecer el
cuestionamiento, facilitar la discusión y el trabajo en grupos, llegando a una construcción
compartida del conocimiento.
Además de estos aspectos constructivos del aprendizaje de los conceptos científicos se
encuentran implícitos los aspectos normativos que están principalmente en función de la
coherencia en las descripciones y explicaciones. Para la actividad cognoscitiva no son
suficientes los hábitos ni la experiencia adquirida en la resolución de problemas. Se
requiere la habilidad de observar sistemáticamente, clasificar los objetos y sus propiedades,
formular y contraponer los conocimientos, construir las conclusiones y comprobarlas,
utilizar los conocimientos de unos objetos para el estudio de otros, etc.
Bibliografía
Ausubel, D., Novak, J y Hanesian, H. (1991) Psicología Educacional, un punto de vista cognitivo. 5ta.
Reimpresión, Trillas. México.
Bosch, M., Gascón, J. (1994) La integración del momento de la técnica en el proceso de estudio de campos
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692

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
UNA PROPUESTA DE AUTORREGULACIÓN PARA LA ENSEÑANZA Y EL
APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Elsa Rodríguez y Margarita Veliz
Universidad Nacional de Tucumán. Argentina.
eareal@herrera.unt.edu.ar ; mveliz@herrera.unt.edu.ar
Resumen
Ante las limitaciones de los métodos y procedimientos de la enseñanza tradicional, sustentados en la
actividad del docente y la pasividad del alumno, han surgido en la última década, variadas respuestas que
pretenden mejorar la práctica de la enseñanza y del aprendizaje, entre ellas, las computadoras y los tutores
inteligentes. Según Rivera Porto, E. (1997), el diseño y modificación de módulos educativos
computadorizados, debe ser parte de la formación de maestros y educadores, y una de sus actividades
cotidianas. Desde el año 2001, trabajamos con los alumnos de primer año implementando guías de
autorregulación en el aprendizaje del Cálculo Diferencial. En este trabajo, proponemos una metodología
alternativa para el proceso de enseñanza - aprendizaje, mediante la complementación de dichas guías con una
primera aproximación al empleo de un tutor inteligente, en la Facultad de Ciencias Económicas de la U.N.T.
Introducción
En la modalidad presencial vigente en nuestras aulas, las condiciones de masividad en las
cuales se desarrollan las prácticas docentes, obligan al profesor a focalizar la enseñanza
como una mera transmisión de los contenidos disciplinares. La técnica más utilizada es la
exposición, erigiéndose así el docente en la fuente principal de conocimientos. El alumno
asume un rol pasivo, asistiendo a clase en los horarios establecidos y tomando notas de los
contenidos desarrollados por el profesor. Esta concepción de la enseñanza como
transmisión, se manifiesta en tratamientos separados de la teoría y su aplicación práctica,
no sólo en tiempo y espacio sino también en desarrollos realizados por distintos docentes.
Esta metodología fragmentaria, que en principio se justifica por la exagerada desproporción
entre el número de docentes y alumnos, y la reglamentación vigente sobre las funciones de
los distintos estamentos docentes, requiere una revisión por cuanto la integración teoría -
práctica guarda una estrecha relación con la capacidad del egresado para establecer
relaciones significativas en una realidad compleja y diversa.
La computación educativa, es una disciplina en pleno crecimiento, no sólo por el interés y
múltiples aplicaciones que ha suscitado en las escuelas, universidades y centros de
entrenamiento empresarial, sino porque ha permitido emprender el camino difícil pero
fructífero de incorporar el tratamiento de la información al proceso educativo. Esta
incorporación de la computación al quehacer educativo, ya no es sólo una añadidura más,
sino que desborda su ámbito de instrumento o herramienta de enseñanza para llegar a la
esencia misma de la educación: el aprendizaje y el crecimiento intelectual de las personas.
"Al ser la actividad educativa intensiva en procesamiento de información como base del
conocimiento, la Informática y las tecnologías de la información ofrecen grandes
aportaciones para el dominio de la educación y la formación profesional; las aplicaciones
son múltiples y abarcan los aspectos curriculares, pedagógicos, administrativos y los
relacionados con la formación y la capacitación" (Téllez Reyes Retana, E. et al, 1998: 67-
78).
693

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
694
Por otro lado, no debemos olvidar que durante miles de años, la información acumulada
por la humanidad creció a un ritmo lento, casi imperceptible, pero en los últimos siglos,
el volumen de conocimientos se incrementa progresivamente con una curva de despegue
desde la revolución industrial. El incremento del nivel de conocimiento es tan rápido que
cada vez es más difícil escribir un libro y publicarlo sin que haya perdido actualidad.
Algunas estimaciones actuales calculan que en un campo como la ingeniería informática,
a partir del año 2000, la cantidad de información disponible se duplica cada año. Las
consecuencias que esto acarrea a la Universidad son, por un lado, la necesidad de una
permanente actualización y, por otro lado, la necesidad de diseñar y utilizar nuevos
modos de organizar y acceder a la información. Ante las limitaciones de los métodos y
procedimientos de la enseñanza tradicional, sustentados en la actividad del docente y la
pasividad del alumno, han surgido variadas respuestas que pretenden revolucionar la
práctica de la enseñanza y del aprendizaje. Entre esas respuestas encontramos las
computadoras y los tutores inteligentes, lo que inspiró nuestra propuesta.
En Latinoamérica son muchos los centros que se encuentran trabajando en esta línea de
investigación en educación. Un indicador de esto son las innumerables ofertas de carreras
que relacionan la Matemática y la Informática Educativa, que proponen actualmente las
distintas Universidades y Centros de Estudios de distintos lugares en el mundo, muchos de
ellos en Latinoamérica. En los tiempos de la globalización con la exigencia de eficiencia y
eficacia, la computadora se convierte en el instrumento que permitirá al docente desarrollar
el proceso de enseñanza con una mayor calidad.
Como un recurso más, producto de la ciencia de la Inteligencia Artificial, aparecen, como
ya dijimos, los tutores o entrenadores que se adaptan maravillosamente al campo de la
Matemática. Posibilitan además "ganar tiempo", pues permiten que muchos contenidos
puedan ser estudiados de forma individual por el alumno, guiado por la computadora. Estos
tutores están capacitados para instruir eficazmente sin participación directa del profesor, de
forma tal que el alumno aprende a su propio ritmo, convirtiéndolo en participante activo ya
que su empleo exige de éste respuestas frecuentes. Además, el tutor proporciona la
confirmación o corrección inmediata de la respuesta lo que permite al alumno conocer el
valor de ésta. Y desde el punto de vista afectivo, el uso de la computadora permite que la
autoestima del alumno no sufra daño, pues éste está en total libertad de equivocarse e
incorporar el error como un componente natural de su aprendizaje.
Si pensamos ahora en la Universidad Nacional de Tucumán y más específicamente en la
Facultad de Ciencias Económicas, diremos que la formación matemática de los alumnos
requiere un urgente enfoque renovador y progresista del proceso de enseñanza y
aprendizaje. Así entonces analizando nuestra realidad, sería lógico pensar que si
consiguiéramos en nuestra facultad poner al alumno frente a una computadora y a un tutor,
los docentes podríamos reducir considerablemente las semanas que actualmente dedicamos
a los tradicionales trabajos prácticos, con sus interminables listas de ejercicios, muchos de
los cuales deben ser resueltos como "modelo" en clase, y de acuerdo con lo demostrado por
Kimball, obtendríamos resultados más satisfactorios a la hora de evaluar el proceso de
aprendizaje de los estudiantes. No podemos negar la importancia radical que tiene en

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
nuestros días el ejercer una práctica docente que no permanezca alejada de las nuevas
estrategias metodológicas, surgidas de la tecnología, y que posibilitan que el aprendizaje de
los alumnos sea más significativo, dinámico y fundamentalmente más actual. El uso de la
computadora, como herramienta pedagógica fundamental capaz de captar el interés del
estudiante, se ha convertido en el recurso imprescindible del profesor del tercer milenio.
Por ello, con una mentalidad abierta a los cambios y en la búsqueda de un crecimiento
profesional y personal, creemos que los docentes debemos incorporar de manera progresiva
en los procesos de enseñanza y aprendizaje, las nuevas herramientas que nos brinda la
Informática Educativa.
La conveniencia de introducir las TIC’S (Tecnologías de Información y Comunicación)
en la enseñanza y el aprendizaje, tiene muchas finalidades. Por un lado, está el problema
económico del costo de la educación. Con estas tecnologías supuestamente se pretende
abatir los costos y en última instancia poner la educación accesible a todos. Igualmente
se maneja el hecho de extender los ofrecimientos educativos a toda la población.
Finalmente, se piensa que las TIC’S pueden mejorar sustancialmente la calidad de la
educación, tradicionalmente medida a través de índices de aprovechamiento, retención,
disminución de la reprobación etc. Ignorar las nuevas tecnologías, cuando nuestros
alumnos las utilizan, sería un camino riesgoso y sin salida, con el peligro cierto de
quedar al margen del mercado laboral. Es quizás, un planteamiento un poco duro, pero
como docentes, como formadores, como responsables de instituciones educativas, no
podemos dejar de ver que las nuevas tecnologías están instalándose muy rápidamente en
la vida cotidiana de las personas y que familiarizarse con ellas, aprender a utilizarlas, es
una forma de actualizar nuestra formación y enriquecer cualitativamente nuestra labor.
Una de las más grandes e importantes aportaciones de la computación a la educación, es
la de lograr individualizar algo más la educación, lo que significa el ir en contra de la
corriente general de la educación: la masificación.
La mayor parte de la información que hemos recibido a lo largo de toda nuestra vida
académica estaba contenida en palabras, en muchos casos escritas. Nosotros asociamos
información con libros guardados en bibliotecas. Pero esto está cambiando, el
crecimiento del peso de la imagen sobre lo escrito nos lleva a la moderna sociedad
audiovisual, dominada por los medios, fundamentalmente por la televisión. “La imagen
entra con tal fuerza que la mayoría de la población la utiliza como fuente de
información” (Bartolomé, A. R. 1999:56). Nos enfrentamos entonces a dos cambios
sociales: el que nos conduce a la cultura del espectáculo, la diversión, el entretenimiento;
y el que nos lleva hacia la participación, el diálogo, la búsqueda cooperativa. Las TIC’S
están evolucionando hacia sistemas más participativos: Internet, sistemas de aprendizaje
por computadora, foros temáticos. Además dijimos que tenemos que acceder a la
información de una manera “divertida”, porque es a través de la diversión como los
niños y los mayores de hoy acceden a ella. Si nos preguntamos porqué un alumno es
incapaz de trabajar diez minutos seguidos en una clase y puede pasar horas delante de la
computadora tendremos que darnos cuenta que allí está la diferencia entre lo aburrido y
lo divertido. Los profesores tenemos que diseñar actividades en las que los alumnos se
sientan involucrados y en cuya realización encuentren una satisfacción.
695

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Desarrollo
A partir del año 2001, en la asignatura Cálculo Diferencial de la Facultad de Ciencias
Económicas de la Universidad Nacional de Tucumán, se implementó la utilización de guías
de estudio y trabajo para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, las que contaron con
elementos de autorregulación y autoevaluación. Nuestro propósito es complementar las
guías con la utilización de la computadora, como paso previo al uso de un tutor inteligente.
Cada unidad de estudio en estas guías los orienta para que aprendan a aprender de manera
consciente, independiente y autorregulada, proporcionándoles estrategias de aprendizaje
(reconocimiento de ideas previas, mapas conceptuales, cuadros sinópticos, esquemas). En
las actividades de aprendizaje aparecen las definiciones necesarias y básicas, como así
también enunciados de propiedades y teoremas que son esenciales conocer y memorizar, a
fin de que luego puedan aplicarlos. Además se ejemplifican situaciones y se propicia su
análisis de modo que los alumnos cuenten con métodos de trabajo y una orientación para su
trabajo independiente, a la vez que vayan autorregulando su aprendizaje. Se proponen
ejercicios y problemas teniendo en cuenta los diferentes niveles de asimilación. Se da
finalmente para cada tema, propuestas de autorregulación diferenciadas según los objetivos
logrados.
En estas experiencias se trabajó con la totalidad de alumnos inscriptos en la asignatura;
cabe destacar que los resultados correspondientes a ambos períodos lectivos (2001 y 2002)
fueron muy similares. Se aplicó una encuesta, en la que se tuvieron en cuenta los diferentes
factores o componentes de autorregulación. Para las mediciones se trabajó con la Escala
Tipo Likert, adjudicándose a cada respuesta desde 5 (cinco) puntos a las totalmente
favorables en cuanto a la autorregulación, hasta 1 (un) punto a las totalmente
desfavorables, ya que los alumnos contaron con 5 (cinco) opciones para responder cada
pregunta. La mayor frecuencia se registró en ambos casos, en el nivel medio de
autorregulación. Entre los resultados obtenidos, se destacan los siguientes: los alumnos no
persisten en el trabajo cuando se enfrentan con dificultades, no tienen el hábito de
reflexionar sobre los métodos de solución empleados en sus tareas, ni sobre otras vías de
solución, una vez que consideran alcanzada la misma. Es necesario incentivarlos a que lo
realicen ya que es una ayuda a la reflexión metacognitiva y por tanto al aprendizaje
autorregulado. Respecto al control necesario para autorregular el aprendizaje, más del 50%
de los alumnos manifestó haber controlado la comprensión y los progresos y más del 60%
el tiempo dedicado al estudio y el lugar físico para estudiar. En cuanto a un factor muy
importante en el aprendizaje autorregulado, como es el de corregir sus propios errores y
aplicar correctivos en el proceso de aprendizaje para obtener mayores logros, los resultados
muestran que los alumnos en buen porcentaje buscaron ayuda para corregir errores pero en
menor porcentaje aplicaron acciones correctivas en el aprendizaje.
Se sabe que el alumno rinde más y mejor cuando está motivado. Es de interés entonces, que
nosotros, como docentes del área Matemática podamos potenciar fuertemente el desarrollo
adecuado de metodologías en esta asignatura, a fin de que los alumnos experimenten el
proceso de aprendizaje de esta disciplina como algo alcanzable por ellos, perdiendo el
miedo y la distancia que culturalmente se ha creado ante esta materia. Es por eso que
nuestra propuesta trata de complementar las guías elaboradas para la asignatura, con el
empleo de este elemento motivador como es la computadora. Respecto a este tema, se
696

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
aplicó una encuesta a 494 alumnos sobre un total de 1126 que cursaron Cálculo Diferencial
en el año 2002. Los resultados manifiestan el alto interés de nuestros alumnos por este
aprendizaje complementado guías - computadora.
Si
No
NS/NC
¿Dispone de computadora? 46% 46% 8%
¿Posee su computadora un 74% (de los que 14% (de los que 12% (de los que
kit multimedia?
disponen de PC) disponen de PC) disponen de PC)
¿Emplea la computadora 63% (de los que 34% (de los que 3% (de los que
habitualmente?
disponen de PC) disponen de PC) disponen de PC)
¿Utiliza la computadora para 74% (de los que
trabajar?
disponen de PC)
¿Utiliza la computadora para 47% (de los que
jugar?
disponen de PC)
¿Utiliza la computadora para 47% (de los que
estudiar?
disponen de PC)
¿Cree que se podría 45% (del total) 18% (del total) 37% (del total)
incorporar la computadora al
aprendizaje de esta materia?
Porque su empleo implica 29% (del total)
una forma de enseñanza más
moderna
3% (del total) 68% (del total)
Porque le permitiría realizar 27% (del total) 4% (del total) 69% (del total)
un aprendizaje más
independiente
¿Considera que la Enseñanza 37% (del total)
a Distancia es una alternativa
válida para solucionar los
36% (del total) 27% (del total)
inconvenientes que
ocasionan
numerosas?
las clases
En este trabajo, presentamos un sistema de enseñanza asistida por computadora para la
asignatura Cálculo Diferencial, como una primera aproximación al posterior empleo de
un tutor inteligente, en la Facultad de Ciencias Económicas de la UNT, que será aplicada
en el 2º cuatrimestre del periodo lectivo 2003.
Conclusiones
− Las actividades propuestas en las guías de estudio, con sus estrategias para solucionar
ejercicios y problemas, posibilitan la autorregulación del aprendizaje por el propio
alumno, dando lugar también a que reflexione sobre sus métodos de estudio y su forma
de construir el conocimiento, actividad metacognitiva de un alto valor psicopedagógico.
− El factor motivacional es de gran importancia a la hora de aplicar estrategias
metacognitivas. Es por tanto de gran interés, poder incrementar el porcentaje de
alumnos motivados para las tareas, y consideramos que una buena alternativa para
lograrlo es el empleo de la computadora, según lo manifestado por los propios alumnos.
− Se demostró que con la nueva metodología implementada para las clases prácticas de
Introducción al Análisis Matemático (Cálculo Diferencial), en las condiciones de la
697

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Facultad de Ciencias Económicas de la U.N.T., se incrementó el trabajo independiente
de los alumnos en las clases prácticas.
− La práctica de autoevaluación y el hábito del trabajo independiente se realizó
predominantemente en los alumnos con niveles altos de autorregulación.
−
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698

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
ANÁLISIS DE ALGUNAS VARIABLES QUE PODRÍAN AYUDAR EN LA
EVALUACIÓN DEL DESEMPEÑO DOCENTE. APLICACIÓN A UN CASO
PARTICULAR
Benítez, Sonia; Juárez, Graciela; Benítez, Lidia;Torres, Marta y Guanuco, Marisa
Universidad Nacional de Tucumán, Argentina.
matcat@csnat.unt.edu.ar; lidiabenitez@hotmail.com
Resumen
La enseñanza universitaria se resuelve en la interrelación dialéctica entre tres elementos, docente-alumnoconocimiento,
denominada práctica docente. Docentes y alumnos construyen y se apropian del conocimiento
que socialmente se considera valioso y, en consecuencia, debe ser transmitido. Lo que un docente "hace"
nunca está aislado, siempre surge de una trama de vínculos con los alumnos y con el conocimiento que
enseña. Por lo tanto, la tarea docente es fundamental para el proceso enseñanza-aprendizaje y sumamente
compleja a la hora de evaluar su calidad. Se llevó adelante este trabajo cuyo objetivo fue analizar
estadísticamente dos (2) variables que, a criterio del investigador, eran las más adecuadas para evaluar el
desempeño docente.
Se trabajó con resultados obtenidos de una encuesta realizada a los alumnos de la Universidad Carlos III de
España, durante los años 1994-1999. Las variables en estudio fueron "Masprofesor", relativo a la pregunta
"Ud. tomaría un nuevo Curso con este profesor?" e "Interés" que responde a la pregunta "El profesor despertó
su interés por la asignatura?", después del cursado de la misma. Se realizó una estadística descriptiva a fin de
conocer el comportamiento de cada una de las variables involucradas, y un estudio sobre la correlación entre
ellas. Para la variable "Interés" se realizaron además comparaciones considerando 2 (dos) aspectos,
cuatrimestres y cursos, a fin de detectar posibles diferencias significativas. Este trabajo pretende contribuir al
desarrollo de la investigación sobre la calidad de la enseñanza universitaria, con énfasis en la tarea docente.
Introducción
La problemática de la evaluación de la enseñanza universitaria exige considerar los elementos indispensables
que en ella intervienen: docente-alumno-conocimiento, terna denominada práctica docente. La enseñanza
integra la acción de los protagonistas principales de la práctica docente: docentes y alumnos, quienes
construyen y se apropian del conocimiento que socialmente se considera valioso y, en consecuencia, debe ser
transmitido. Cada docente y cada alumno forman parte de esta práctica, desde lo que cada uno es y trae
consigo (experiencias, afectos, conocimientos, opiniones, creencias, etc.); se encuentran en un espacio y en un
tiempo común y generan una trama de vínculos que pueden facilitar o entorpecer el aprendizaje. Para que la
enseñanza constituya un proceso incentivador y facilitador del aprendizaje, es necesario conciliar al menos
dos aspectos:
Una relación de apropiación con el campo de conocimiento a enseñar, implica hablar de los "saberes" del
docente. Cada docente desarrolla una particular relación con el conocimiento que enseña, el cual abarca no
sólo los conocimientos que posee, sino también las opiniones, ideas, sentimientos y formas de generar y
operar con ellos. Esta relación del docente con el conocimiento habla también de la relación posible del
alumno con ese conocimiento.
Una relación facilitadora del aprendizaje con los alumnos, implica un conocimiento de los procesos de
aprender de los Sujetos, de la concepción de aprendizaje que se sustenta (explícita o implícitamente) y un
permanente análisis reflexivo y crítico de la trama de vínculos que surge en toda situación educativa (positiva
o negativa). El saber a transmitir es el que da sentido y significado a esta situación. Pero al mediar un contacto
o relación entre dos o mas Sujetos se movilizan afectos, que en un sentido u otro se transmiten, y que pueden
obstaculizar o facilitar el aprendizaje.
Es decir lo que el docente "hace" nunca está aislado, siempre surge de una trama de vínculos con los alumnos
y con el conocimiento que enseña. Por lo tanto, la tarea docente es fundamental para el proceso enseñanzaaprendizaje
y sumamente compleja a la hora de evaluar su calidad. El objetivo de este trabajo fue analizar
estadísticamente dos (2) variables que, a criterio del investigador, eran las más adecuadas para evaluar el
699

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
desempeño docente y sólo pretende brindar algunos datos interesantes surgidos de uno de los protagonistas
principales de las prácticas educativas: el docente.
Materiales y Métodos
Se trabajó con los alumnos de la Universidad Carlos III de España, divididos en 1020
comisiones ordenadas por cuatrimestre y por curso. Los datos fueron resultados obtenidos
de una encuesta realizada a cada alumno durante los años 1994 y 1999.
De las doce variables planteadas se analizaron Interés y Masprofesor, definidas de la
siguiente manera:
Interés: "puntaje promedio por comisión"
Se preguntó si después del cursado de la materia despertó el interés por la misma. El
puntaje fue:
Excelente = 5; muy bueno = 4; bueno = 3; regular = 2; malo = 1.
Masprofesor: "puntaje promedio por comisión"
Se preguntó si tomarían nuevamente una clase con el mismo profesor. Esta variable fue
medida mediante una escala dividida en 5 categorías:
Muy de acuerdo = 5; de acuerdo = 4; ni si ni no = 3; en desacuerdo = 2; muy en
desacuerdo = 1
Para conocer el comportamiento de cada una de ellas, se realizó una estadística descriptiva,
gráficos adecuados para una mejor visualización de la distribución de las variables, se
hicieron pruebas estadísticas para determinar si las mismas respondían o no a una
distribución normal y se llevó a cabo un estudio sobre la correlación entre ellas
Para la variable "Interés", se realizó el test t para determinar si la diferencia entre
cuatrimestres era estadísticamente significativa y un análisis de la varianza (ANOVA) para
determinar lo mismo, pero entre cursos. El procesamiento de los datos se realizó usando el
software estadístico SPSS.
Análisis de los resultados y conclusiones
La primera variable analizada fue "Interés". El cuadro siguiente muestra los resultados:
700
IN T E R É S
Mean
95% Confidence
In terva l fo r
Mean
5% Trimm ed
Median
Varianc
Std.
DMinimum i ti
Maximum
Range
Interquartile
RS kewnes
Kurtosis
Lower
B d
Upper
B d
Statisti Std.
3,149 1,789E-
03,113
02
9
3,184
1
3,151
83 ,150
0 ,3 2 7
,5715
1,14
5,00
3,86
,7250
-,091 ,077
,1 4 2 ,153
Se observa que el error estándar es pequeño, que la mediana y la media son prácticamente
iguales pues difieren en el milésimo. El coeficiente de variación CV% = 18,14 %, es una
medida relativa de variabilidad que se calcula como la razón de la desviación estándar a la
media. El valor obtenido es próximo al 20% el cual se considera, en general, una dispersión
media.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Es notable la diferencia entre el rango intercuartil y el rango, esto indica que el 50% de los
datos centrales están más concentrados.
Del histograma dado mas abajo, se deduce que la distribución de la variable "Interés" es
aproximadamente normal. Para corroborar si realmente responde a tal distribución se
aplicaron las pruebas basadas en los coeficientes de asimetría y curtosis.
Fre
cue
ncia
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1,19
1,69
2,19
Histograma
2,69
3
3,19
INTERES
3,69
4,19
4,69
Std. Dev = ,57
Mean = 3,15
N = 1020,00
Los resultados de las mismas fueron calculados en base a los valores de la tabla descriptiva:
coef. asimetría = -1,18 y coef. curtosis = 0,93. Como ambos valores son menores que 3, se
puede afirmar que la distribución de la variable es normal. El valor 3,15 de la media y la
concentración del 50% de los datos alrededor de la misma, indica que un importante
número de alumnos mostraron gran interés por la asignatura.
En segundo lugar, se realizó el análisis descriptivo de la variable "Masprofesor" , los
resultados obtenidos se muestran en el siguiente cuadro:
MASPRO
F
Mea
95%
CInterval fid for
M
5% Trimmed
Media
Varianc
Std.
DMinimu i ti
Maximu
Rang
Interquartile
Skewnes
Kurtosi
Lower
B d
Upper
B d
Statisti Std.
3,057 E2,627E-
13,005
02
5
3,108
7
3,067
83,110
0 ,704
,8391
,00
5,00
5,00
1,197
-,260 ,077
-,179 ,153
701

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Se observa que la media difiere poco de la mediana y presenta una pequeña asimetría
hacia la izquierda.
El coeficiente de variación CV% = 27,41%, supera al valor obtenido para la variable
"Interés", lo que nos permitió afirmar que hay una mayor dispersión en la variable
“Masprofesor”.
De acuerdo a las pruebas de asimetría y curtosis: coef. asimetría = 3,3 y coef. curtosis =
1,2; la distribución de esta variable es aproximadamente normal a pesar que uno de los
coeficientes es levemente mayor que 3. Hay una buena cantidad de alumnos que quisieron
tomar nuevamente un curso con ese profesor, es decir existe una buena aceptación por parte
de los alumnos hacia los profesores, por lo tanto el nivel docente es bueno.
Con el fin de estudiar la relación entre las dos variables se realizó la correlación con su
respectiva significancia.
702
INTERÉS MASPRO
INTERÉS
Pearson Correlation
Sig. (2-tailed)
1,000
,000
F ,665**
,000
N
1020 1020
MASPRO Pearson Correlation
,665 ** 1,000
F
Sig. (2-tailed)
,000 ,000
N
1020 1020
**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).
La correlación entre las variables "Masprofesor" e "Interés" es altamente significativa
(p

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
A continuación se hicieron estudios tomando sólo la variable "Interés". Se hizo el análisis
descriptivo de la variable, por cuatrimestre.
INTERÉS
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
INTERÉS
CUATRI
ME
1,00
2,00
Group
St ti ti
N Mean Std.
Std.
EMea
510 3,171 D i i ,6069 2,687E-
510 63,126
,5334 02 2,362E-
02
Para saber si en los dos cuatrimestres el comportamiento de la variable "Interés" fue el
mismo o no, se usó el test t. Para testar si existían diferencias entre las varianzas se usó el
test de Levene para igualdad de varianzas. El cuadro anterior muestra la salida, donde se
puede observar el valor del estadístico F con su respectivo valor de probabilidad. De ellos
se deduce que existen diferencias entre las varianzas, por lo tanto se debe observar el valor
del estadístico t para el caso "no se asume igualdad de varianzas". Por lo tanto tomo el valor
de t = 1,261, df = 1001,511 y para este valor de t la probabilidad es p>0,05, es decir acepto
la hipótesis nula de que las muestras tienen igual comportamiento con respecto a la variable
estudiada, es decir que el interés de los alumnos en ambos cuatrimestres fue el mismo.
Por último, para averiguar si había diferencias significativas entre los cursos con respecto a
la variable "Interés”, se realizó un análisis de la varianza (ANOVA)
INTERÉS
Between
Groups
Within Groups
Total
Levene's Test for
Equal of variances
F
Sig.
t df
(Combined)
Linear Term
Independent Samples Test
9,571 ,002 1,261 1018 ,208 4,512E-02 3,578E-02 -2,51E-02 ,1153
1,261 1001,511 ,208
t-test for Equality of Means
Sig. (2-tailed)
Unweighted
Weighted
Deviation
ANOVA
4,512E-02 3,578E-02 -2,51E-02 ,1153
Sum of
Mean
Squares df Square F Sig.
10,959 4 2,740 8,640 ,000
3,942 1 3,942 12,430 ,000
4,215 1 4,215 13,293 ,000
6,744 3 2,248 7,089 ,000
321,862 1015 ,317
332,822 1019
Debido a que el valor de la probabilidad, dado en el cuadro como significancia,
correspondiente al estadístico F es prácticamente nula se concluye que hay diferencia entre
los grupos (cursos). Para determinar entre qué cursos se da tal diferencia se usó el test de
Bonferroni de comparaciones múltiples.
Mean
Difference
Std. Error
95% Confidence
Interval of the
Difference
Difference Lower Upper
703

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
De acuerdo a los resultados obtenidos, dados mas abajo en una tabla, se encontró
diferencias entre los alumnos del 1 er curso con los de 3 er y 5 to , entre el 2 do y 3 er , entre el 3 er y
4 to y entre el 4 to y 5 to . De esto se concluye que las diferencias se establecen
independientemente del momento en que se encuentre el alumno en la carrera, es decir que
se da algo muy interesante en la población estudiada, el interés que los profesores
despiertan en sus alumnos por sus materias no depende de si los alumnos son de los
primeros años o de los últimos años.
704
Dependent Variable:Interés
Bonferroni
(I)
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
*.
(J)
2,00
3,00
4,00
5,00
1,00
3,00
4,00
5,00
1,00
2,00
4,00
5,00
1,00
2,00
3,00
5,00
1,00
2,00
3,00
Mean
Multiple Comparisons
Differenc
95% Confidence
(I-J) Std. Sig. Lower I l Upper
-7,6846E- 4,856E- 1,00 -
5,976E-
02 - * 02 5,261E- 0,000
-2135 02 -
-5,6143E- 5,308E- 1,00 - 9,318E-
- * 6,792E- ,001 - -7,6533E-
7,685E- 26 6 02 4,856E- 1,00 -5,9759E- 4 8 02 ,213
- * 5,286E- ,005 - -3,6122E-
2,070E- 5,333E- 1,00 - ,170
- 6,811E- ,052 - 8,566E-
,261 * 5,261E- ,000 ,113 ,409
,184 * 02 5,286E- ,005 3,612E- 6,333
,205 * 5,704E- ,003 4,506E- ,366
-5,9354E- 7,105E- 1,00 -
,193
035,614E-
02 5,308E- 01,00
-9,3179E- 20 8
9,205
-2,0703E- 5,333E- 1,00 - ,129
- * 5,704E- ,003 - -4,5062E-
- * 7,140E- ,031 - -1,0582E-
,267 * 6,792E- ,001 7,653E- ,458
,190 6,811E- ,052 -8,5655E- ,382
5,935E- 7,105E- 1,00 - ,205
4,00
,211 * 7,140E- ,031 1,058E-
,412
The mean difference is significant at the
02
02
3
0 l l
Bibliografía
Cantatore de Frank, Norma. 1980. Manual de Estadística Aplicada. Editorial hemisferio sur.
Lacreu, Hector Luis; Giordano, María Francisca. 1995. La pedagogía universitaria en ciencias. Publicación de
la Universidad de Bs. As. Código 53A-533.
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Ya - Lun Chou. 1990. Análisis Estadístico. Edit. McGraw - Hill, 2 da edición.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
EL ABP EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
María Beatriz Gómez y José Salazar
Tecnológico de Monterrey, Campus Cuernavaca, México
Resumen
El trabajo que se presenta se llevó a cabo en un curso de Trigonometría impartido en el Tecnológico de
Monterrey, Campus Cuernavaca a alumnos del tercer semestre de preparatoria. En la propuesta aparecen
esencialmente tres elementos: el lenguaje, la emoción y la corporalidad de los participantes en el proceso
enseñanza-aprendizaje. Estos elementos giran alrededor del cambio que está implícito en el aprender. Así
mismo, se toma como estrategia didáctica el modelo del Aprendizaje Basado en Problemas (ABP). el cual
propicia una participación más significativa por parte de los alumnos en su proceso de aprendizaje. Los
objetivos planteados fueron: a) hacer una adecuación del ABP a las características del grupo y de la materia;
b) realizar un trabajo grupal que requiriera el aprendizaje de los contenidos del programa; c) reforzar el
concepto de autoevaluación más que el de acreditación y d) elaboración por parte de los alumnos de un
Portafolio. Para cumplir con uno de los principios del ABP, se dividió al grupo en seis equipos,
considerando cada uno de ellos como un módulo. Ante la imposibilidad de que los alumnos vieran en los
contenidos matemáticos un problema de interés personal por resolver, se recurrió a la construcción de un
juego cuyos contenidos fueran los temas del programa y que su problema se centrara en la elaboración del
mismo. El juego lo llamaron Trigotrón para el cual construyeron un tablero, una ruleta y 100 tarjetas; ellos
mismos determinaron las reglas del juego. Cada tarjeta contiene 3 preguntas, y cada una corresponde a los
contenidos de cada parcial. La elaboración de las preguntas y respuestas quedó a cargo de los equipos, además
del trabajo específico que cada uno tuvo que realizar como fue: el tablero, la ruleta y la impresión de las
tarjetas. Algunos de los resultados que se obtuvieron son: a) un cambio significativo en la relación profesoralumno
en la cual al estar el profesor más como asesor-coordinador que como expositor, dio a los alumnos la
oportunidad de interiorizar en sus procesos cognitivos, de participar más en clase, de hacer investigación, de
interactuar entre ellos; b) el tocar la parte emotiva con la construcción de un juego generó una atmósfera de
confianza que facilitó la retroalimentación mutua, la generación de preguntas, al autoaprendizaje, a la
autoevaluación del proceso del trabajo en equipo y del propio equipo y c) la revisión periódica de los
portafolios permitió hacer ajustes en la conducción del grupo,
Se considera que aunque existe un problema real en el aprendizaje de las Matemáticas, los maestros debemos
darnos y darles a nuestros alumnos la oportunidad de explorar nuevas formas de aprendizaje que permitan por
una parte, facilitar el camino por el cual el propio alumno pueda llegar al conocimiento, y por otra propicien
nuestro desarrollo personal como maestros, siendo cada vez más creativos en la planeación, aplicación,
evaluación y autoevaluación de cada curso que nos sea asignado.
Introducción
El trabajo que se presenta se llevó a cabo en un curso de Trigonometría impartido en el Tecnológico de
Monterrey, Campus Cuernavaca a alumnos del tercer semestre de preparatoria. En la propuesta aparecen
esencialmente tres elementos: el lenguaje, la emoción y la corporalidad de los participantes en el proceso
enseñanza-aprendizaje. Estos elementos giran alrededor del cambio que está implícito en el aprender. Así
mismo, se toma como base el modelo “Aprendizaje Basado en Problemas” (ABP) el cual propicia una
participación más significativa por parte de los alumnos en su proceso de aprendizaje ya que al cuestionarse
los problemas genera preguntas: porqué lo son, cómo solucionarlos, qué información es necesaria para ello,
etc. El modelo además utiliza como herramienta básica los grupos pequeños (módulos) en los cuales el
profesor se integra como uno más de los elementos del módulo, así como el coordinador y asesor del mismo,
surgiendo en forma natural el trabajo en equipo, ya que al ser el alumno el principal responsable de su
aprendizaje le resulta necesario apoyarse en el grupo.
Antecedentes e importancia del estudio
Por lo general, el profesor de Matemáticas adopta un estilo de enseñanza de acuerdo con su
personalidad, a su experiencia tanto como alumno, como profesor, programas de estudio,
escuela en que trabaja, etc. Este estilo, comúnmente es expositivo, ello se debe, entre otras
705

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
razones, a que los programas casi siempre son extensos, por lo cual no puede abarcar todo
el material que se le exige y respetar, al mismo tiempo, el ritmo de aprendizaje del alumno.
Por desgracia el precio de cubrir el programa es no dejarle a la mayoría de los alumnos otra
posibilidad que una memorización rutinaria de los temas, despertando en ellos sentimientos
de incapacidad, frustración y rechazo hacia las Matemáticas. Este problema es real pero no
necesariamente insuperable. En este trabajo se presenta las experiencias obtenidas de la
aplicación de una forma diferente de desarrollar el proceso E-A, de tal manera que el
aprendizaje de las matemáticas resultara novedoso y atractivo a los alumnos
Objetivos
Se definieron los siguientes objetivos:
• Hacer una adecuación del ABP a las características del grupo y de la materia.
• Realizar un trabajo grupal, para el cual les resultara necesario el aprendizaje de los
contenidos del programa.
• Reforzar el concepto de autoevaluación más que el de acreditación.
• No solamente aplicar la evaluación Departamental de los contenidos, sino elaborar y
aplicar instrumentos de autoevaluación (sin valor a calificación pero que contribuyeran
al cambio de actitud de los alumnos), y el diseño de formatos que permitieran dar
seguimiento al proceso interno del trabajo en equipo y a los resultados del mismo.
• Elaboración por parte de los alumnos de un “Portafolio” el cual contuviera el
Programa, los trabajos extraclase, los resultados de sus investigaciones y sus
apreciaciones personales sobre el desarrollo del curso.
Metodología
Para cumplir con uno de los principios del ABP que es el trabajar con grupos pequeños
(módulos), se dividió al grupo en seis equipos, considerando cada uno de ellos como un
módulo. Ante la imposibilidad de que los alumnos vieran en los contenidos matemáticos
un problema de interés personal por resolver, se recurrió a la construcción de un juego
cuyos contenidos fueran los temas del programa y que su problema se centrara en la
elaboración del mismo. El juego que decidieron construir lo llamaron Trigotrón para el
cual tuvieron que construir un tablero, una ruleta y 100 tarjetas, así como determinar las
reglas del juego. Las tarjetas contienen 3 preguntas y cada una a su vez corresponde a los
contenidos cubiertos para cada uno de los exámenes parciales, la primera al primero, la
segunda al segundo y así respectivamente. El cuarto periodo quedó fuera de Trigotrón por
no ser temas relacionados con la Trigonometría. La elaboración de las preguntas y
respuestas para las tarjetas quedó bajo la responsabilidad de todos los equipos, además del
trabajo específico que cada equipo tuvo que realizar como fue: el tablero, la ruleta, la
impresión de las tarjetas, etc. Las preguntas propuestas por cada equipo, las revisaban los
jefes de equipo (los cuales se fueron rolando durante el semestre) con el propósito de
determinar si eran preguntas de calidad, que no estuvieran repetidas y que cubrieran todos
los temas del período. Después hacían llegar por correo electrónico un listado de todas las
preguntas aceptadas para que el grupo se diera a la tarea de encontrar las soluciones, y el
equipo encargado de la reglamentación del juego determinara qué puntaje se le asignaba a
cada pregunta. Quincenalmente se reunían conmigo los jefes de equipo para decidir si las
tarjetas elaboradas durante ese período formaban parte o no del Trigotrón.
706

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Para la adquisición de conocimientos que les permitieran encontrar las soluciones de cada
una de las preguntas, se hizo una partición de los contenidos del programa de tal suerte, que
para cada semana quedara claro lo que se tenía que cubrir. La obligación de preparar los
temas recaía en los equipos, los cuales podían solicitar asesoría siempre y cuando ya los
hubieran investigado. Hubo temas que los exponían por equipo, otros en los que primero
investigaban para después discutirlos en el salón de clase, en varias ocasiones fue necesario
por mi parte, retomar los temas investigados o lo expuesto por ellos para aclarar, relacionar
o integrar ciertos puntos, en otras tuve que asumir el rol tradicional como expositor,
particularmente en aquellos temas que por su naturaleza lo requerían.
Resultados
1. Un cambio significativo en la relación profesor-alumno en la cual al estar el profesor más como
asesor-coordinador que como expositor, dio a los alumnos la oportunidad de interiorizar en sus
procesos cognoscitivos, de participar más en clase, de hacer investigación, de interactuar entre
ellos. El tocar la parte emotiva con la construcción de un juego generó una atmósfera de
confianza que facilitó la retroalimentación mutua. Así como obtener el mejor promedio en la
evaluación Departamental aplicada a todos los cursos paralelos del Campus.
2. El juego Trigotrón sirvió de vía para el aprendizaje de la Trigonometría, al mantener a los
alumnos motivados durante su construcción y una vez terminado, el jugarlo ayudó a la
preparación del examen final.
3. Se propició el desarrollo de habilidades como son: trabajo en equipo; comunicación efectiva;
liderazgo; creatividad; búsqueda de información; toma de decisiones; resolución de problemas;
y el manejo del editor de ecuaciones del word, así como el paintbrush para elaborar las tarjetas.
4. La aplicación del ABP coadyuvó a la generación de preguntas, al autoaprendizaje, a la
autoevaluación del proceso del trabajo en equipo y del propio equipo; además permitió la
integración de los alumnos a nivel intra e inter-grupos.
5. El Portafolio permitió hacer ajustes en la conducción del grupo, ya que al leer sus comentarios,
éstos servían de retroalimentación.
6. Los criterios que se incluyeron en los formatos para evaluar y autoevaluar el trabajo en equipo
así como las autoevaluaciones individuales para cada período sirvieron como directrices para
guiar el cambio de actitud de los alumnos.
Conclusiones
Se considera que aunque existe un problema real en el aprendizaje de las Matemáticas, los
maestros debemos darnos y darles a nuestros alumnos la oportunidad de explorar nuevas
formas de aprendizaje que permitan por una parte, facilitar el camino por el cual el propio
alumno pueda llegar al conocimiento, y por otra propicien nuestro desarrollo personal como
maestros, siendo cada vez más creativos en la planeación, aplicación, evaluación y
autoevaluación de cada curso que nos sea asignado.
Bibliografía
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707

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
708
HACIA UNA PROPUESTA PARA EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
Henry Gallardo Pérez y Mawency Vergel Ortega
Universidad Francisco de Paula Santander, Cúcuta, Colombia
hjgallar@bari.ufps.edu.co , mvergel@bari.ufps.edu.co
Resumen
En nuestra región, debido al exceso de rigurosidad y formalismo con que se trabajó la geometría en épocas
recientes, se creó un rechazo tanto en docentes como en estudiantes, causando un abandono casi total del área
en los currículos escolares. Sin embargo, en estudios preliminares y sesiones de trabajo previas, el consenso
de docentes apunta a que en la educación, el área de geometría es fundamental para lograr en el alumno el
desarrollo de capacidades que le permitan alcanzar un buen nivel de abstracción de conceptos. El proyecto
pretende acercar a los docentes a una enseñanza lúdica de la geometría, basándose en su reconocimiento como
la técnica más indicada para comprender y asimilar nuevas propiedades, por parte de los alumnos cuyo fin es
el de realizar actividades que se apoyan en vivencias, en las realidades de la vida práctica, para entenderlas
primero y luego fijarlas y retenerlas mediante procesos de razonamiento. Para cumplir con este propósito, fue
necesario explorar diferentes alternativas metodológicas que contribuyen al mejoramiento del proceso de
enseñanza y aprendizaje de la geometría y al desarrollo del pensamiento lógico deductivo e inductivo de los
estudiantes, en la solución de problemas de la vida real, sin olvidar que la base para que se produzca
enseñanza de una ciencia, es el dominio de sus contenidos. En la primera fase del proyecto, en el año 2001,
se capacitaron 60 docentes de diferentes establecimientos educativos públicos y privados de nivel básico y
medio, ubicados en el área metropolitana de la ciudad de Cúcuta. El curso de 315 horas enfatizó en la
didáctica de la geometría, uso de las técnicas del Origami, construcciones geométricas y aplicaciones de
software para el aprendizaje de la geometría, además del estudio de la geometría Euclidiana,
Transformacional y Fractal, culminando con la elaboración de una propuesta metodológica para la enseñanza
de la geometría, adaptada a su medio, que permita, entre otras, vivenciar el aula taller como el instrumento
metodológico imprescindible para la educación matemática, reconocer la necesidad de formar un pensamiento
matemático basado en procesos mentales íntimamente ligados a la acción y que a su vez permitan la
construcción del conocimiento mediante procesos lógicos, propiciar en el docente un enfoque menos
algorítmico y mas heurístico de la enseñanza de la geometría e inducirlo a utilizar ambientes educativos mas
placenteros, que permitan al estudiante explorar y probar sus propios modelos de pensamiento, que le lleven a
alcanzar un aprendizaje significativo. A lo largo del año escolar 2002 cada docente desarrolló, en su
establecimiento educativo, su propuesta metodológica con el acompañamiento permanente de los
investigadores, adicionalmente se realizaron sesiones de socialización y evaluación de avances y resultados
que a su vez permitieron enriquecer y mejorar su trabajo. En el presente año ellos actúan como agentes
multiplicadores y se ha iniciado la capacitación con un segundo grupo.
Presentación
En nuestra región, debido al exceso de rigurosidad y formalismo con que se trabajó la
geometría en épocas recientes, se creó un rechazo tanto en docentes como en estudiantes,
causando un abandono casi total del área en los currículos escolares. Sin embargo, en
estudios preliminares y sesiones de trabajo previas, el consenso de docentes apunta a que en
la educación, el área de geometría es fundamental para lograr en el alumno el desarrollo de
capacidades que le permitan alcanzar un buen nivel de abstracción de conceptos. En el año
1998, este equipo, con el apoyo del Ministerio de Educación Nacional, realizó el proyecto
Capacitación de Docentes de Matemáticas de los grados 6° y 7° del Departamento Norte de
Santander, en él se detectaron las falencias arriba mencionadas y, aun cuando en la
evaluación del impacto del proyecto realizada en el 2000 mostró una mejoría significativa,
se consideró conveniente iniciar el proceso de capacitación de profesores de educación
básica y media en los términos aquí mencionados. El proyecto pretende acercar a los
docentes a una enseñanza lúdica de la geometría, basándose en su reconocimiento como la

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
técnica más indicada para comprender y asimilar nuevas propiedades por parte de los
alumnos, cuyo fin es el de realizar actividades que se apoyan en vivencias, en las realidades
de la vida práctica, para entenderlas primero y luego fijarlas y retenerlas mediante procesos
de razonamiento. Para cumplir con este propósito, fue necesario explorar diferentes
alternativas metodológicas que contribuyen al mejoramiento del proceso de enseñanza y
aprendizaje de la geometría y al desarrollo del pensamiento lógico deductivo e inductivo de
los estudiantes, en la solución de problemas de la vida real, sin olvidar que la base para que
se produzca enseñanza de una ciencia, es el dominio de sus contenidos.
La población beneficiada corresponde a la población educativa del Departamento Norte de Santander. Se ha clasificado por estudiantes y
docentes de los niveles de educación pre-escolar, básica y media, tanto de los sectores urbano y rural como del oficial y no oficial. Se
encuentra que, para el año 2000, el total de estudiantes en el departamento es de 288.293, de los cuales el 59% están ubicados en el área
metropolitana de Cúcuta, que constituyen la población estudiantil directamente beneficiada, en primera instancia, por el proyecto; en su
mayoría ellos son del sector urbano y alrededor del 70% estudian en establecimientos oficiales. La población estudiantil del resto del
departamento, que también se beneficiarán durante la ejecución de la segunda fase del proyecto constituye el 41% del total, de ellos
solamente alrededor de la mitad están ubicados en el sector urbano y la gran mayoría estudia en colegios oficiales.
Estudiantes matriculados PRE BÁSICA BÁSICA EDUCACIÓN TOTAL
año 2000 ESCOLAR PRIMARIA SECUNDARIA MEDIA
Cúcuta Sector Urbano 17813 78477 49623 17825 163738
Sector Rural 664 4446 1343 291 6744
Total Cúcuta 18477 82923 50966 18116 170482
Resto Sector Urbano 6929 28243 20128 7850 63150
Sector Rural 3107 45769 4981 804 54661
Total Resto 10036 74012 25109 8654 117811
Total Sector Urbano 24742 106720 69751 25675 226888
Dpto.
Sector Rural 3771 50215 6324 1095 61405
Total Dpto. 28513 156935 76075 26770 288293
Estudiantes matriculados
año 2000
Cúcuta
Estudiantes matriculados por nivel educativo y sector geográfico
PRE
ESCOLAR
BÁSICA
PRIMARIA
BÁSICA
SECUNDARIA
EDUCACIÓN
MEDIA
TOTAL
Sector Oficial 11611 65382 36142 11977 125112
Sector No Oficial 6866 17541 14824 6139 45370
Total Cúcuta 18477 82923 50966 18116 170482
Resto Sector Oficial 9329 72859 24269 7925 114382
Sector No Oficial 707 1153 840 729 3429
Total Resto 10036 74012 25109 8654 117811
Total Sector Oficial 20940 138241 60411 19902 239494
Dpto.
Sector No Oficial 7573 18694 15664 6868 48799
Total Dpto. 28513 156935 76075 26770 288293
Estudiantes matriculados por nivel educativo y sector educativo
Para el año 2000, el Departamento Norte de Santander contaba con un total de 13255
docentes en educación preescolar, básica y media. La mitad de ellos están ubicados en el
área metropolitana de la ciudad de Cúcuta. El 80% se los docentes labora en el sector rural
709

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
y, también un 80% del total de docentes labora en el sector oficial. Por otra parte, en el
Departamento hay un total de 2372 planteles educativos, de los cuales sólo el 30% están
ubicados en el sector urbano, pero que absorben la mayor parte de la población estudiantil,
reflejándose así la alta concentración de estudiantes en los planteles educativos del sector
urbano, población ésta que será beneficiada directamente por el proyecto, sin olvidar que
debe enfocarse a la población estudiantil dispersa en el sector rural.
710
Docentes
año 2000
PRE
ESCOLAR
BÁSICA
PRIMARIA
SECUNDARIA
Y MEDIA
TOTAL
Cúcuta Sector Urbano 713 2895 3216 6824
Sector Rural 13 168 58 239
Total Cúcuta 726 3063 3274 7063
Resto Sector Urbano 283 1709 1697 3689
Sector Rural 45 2038 420 2503
Total Resto 328 3747 2117 6192
Total Sector Urbano 996 4604 4913 10513
Dpto.
Sector Rural 58 2206 478 2742
Total Dpto. 1054 6810 5391 13255
Docentes
año 2000
PRE
ESCOLAR
Docentes por nivel educativo y sector geográfico
BÁSICA
PRIMARIA
SECUNDARIA
Y MEDIA
TOTAL
Cúcuta Sector Oficial 341 2257 2146 4744
Sector No Oficial 385 806 1128 2319
Total Cúcuta 726 3063 3274 7063
Resto Sector Oficial 288 3662 1961 5911
Sector No Oficial 40 85 156 281
Total Resto 328 3747 2117 6192
Total Sector Oficial 629 5919 4107 10655
Dpto. Sector No Oficial 425 891 1284 2600
Total Dpto. 1054 6810 5391 13255
Docentes por nivel educativo y sector educativo
Objetivos
Vivenciar el aula taller como el instrumento metodológico imprescindible para la
Educación Matemática.
Reconocer la necesidad de formar un pensamiento matemático basado en procesos
mentales íntimamente ligados a la acción y que a su vez permitan la construcción del
conocimiento mediante procesos lógicos
Identificar la Enseñanza de la Geometría como parte del proceso formativo de la
persona, capaz de asumir una actitud critica y reflexiva frente al mundo desde el
dominio de la ciencia y desde el Proyecto Pedagógico.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Desarrollar el sentido responsable de la docencia y el respeto por la tarea educadora y
de compromiso con el estilo de vida democrático, como co-responsable de la formación
de la persona en el contexto socio-histórico particular.
Propiciar en el docente un enfoque menos algorítmico y mas heurístico de la enseñanza
de la geometría e inducirlo a utilizar ambientes educativos mas placenteros, que
permitan al estudiante explorar y probar sus propios modelos de pensamiento.
Presentar a los docentes de educación básica y media, herramientas conceptuales que le
permitan proponer y liderar proyectos de investigación a partir de la exploración de la
naturaleza, en los cuales vincule al estudiante en la interrelación con el medio y permita
la construcción de su conocimiento geométrico.
Componentes Temáticas
La capacitación en Geometría se ofrece como resultado del proceso de Investigación en
Educación Matemática, que el Departamento de Matemáticas y Estadística ha venido
realizando a lo largo de todos estos años tanto en apoyo a la formación de Docentes en
Matemáticas en las Licenciaturas como a la capacitación de docentes en servicio y pretende
responder a las necesidades educativas de la región. Cada una de las actividades
presenciales estará centrada en un tema geométrico y a través del análisis, la exploración, la
confrontación de manera progresiva se pretende llevar al docente a la construcción y
dominio de conceptos geométricos y al diseño de estrategias metodológicas para abordar su
trabajo en el aula. El desarrollo de la capacitación gira en torno a las siguientes temáticas:
Didáctica de la Geometría: Geometría y Lógica, Geometría e Intuición, Acercamiento a
la Geometría
Técnica del Origami: Puntos y Líneas, Rectas, Ángulos, Cuerpos
Construcciones Geométricas: El circuplano, su utilidad como herramienta de
aprendizaje, Construcciones con cuerdas, Razones Geométricas, Construcción de las
Cónicas
Software para el Aprendizaje de la Geometría: Aplicativos “El Geometra” y “Cabri”;
Geometría, informática y aprendizaje; Construcciones; Ilustración de conceptos;
Demostraciones; Transformaciones
Geometría Euclidiana: La Demostración y el Aprendizaje; Historia de la Geometría;
Puntos, Líneas, Rectas, Planos; Congruencias; Figuras y Cuerpos Geométricos; Sólidos
de Revolución
Geometría Transformacional: Reflexiones, Traslaciones, Rotaciones, Homotecias,
Transformación Afín
Geometría Fractal: Geometrías no Euclidianas, Geometría en la Naturaleza, Los
Fractales
Aspectos Metodológicos
El programa de capacitación contempla una primera fase de reflexión sobre la enseñanza de
la geometría, en la cual el docente asistente debe presentar situaciones problémicas de su
experiencia en la enseñanza de la geometría, que le permitan definir un proyecto
pedagógico de investigación en el aula que irá desarrollando a través del tiempo de
duración del programa. Cada una de las actividades presenciales estará centrada en un
tema geométrico y a través del análisis, la exploración, la confrontación de manera
progresiva se pretende llevar al docente a la construcción y dominio de conceptos
711

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
geométricos y al diseño de estrategias metodológicas para abordar su trabajo en el aula. A
partir de las experiencias vividas por el docente en el programa, él debe diseñar, adecuar,
implementar y analizar resultados de su aplicación el aula, para luego compartirlas con el
grupo y redactar un informe sobre el trabajo desarrollado. Con base en los conocimientos
adquiridos en el curso y las estrategias didácticas desarrolladas, los docentes elaboran una
propuesta investigativa que les permita llevar a su entorno educativo la geometría y ponerla
al alcance de los estudiantes de educación básica y media, así como la de implementar
nuevas estrategias didácticas para la exploración y el aprendizaje de la geometría. El
desarrollo de la propuesta es seguido y asesorado por los investigadores, periódicamente se
realizan sesiones de socialización de resultados y complementación de conceptos y
temáticas para su desarrollo. Los resultados de este trabajo se presentan en un informe
final, que será publicado y se socializará dentro de la comunidad educativa de la región.
Resultados
En la primera fase del proyecto, en el año 2001, se capacitaron 60 docentes de diferentes
establecimientos educativos públicos y privados de nivel básico y medio, ubicados en el
área metropolitana de la ciudad de Cúcuta. El curso de 315 horas enfatizó en la didáctica de
la geometría, uso de las técnicas del Origami, construcciones geométricas y aplicaciones de
software para el aprendizaje de la geometría, además del estudio de la geometría
Euclidiana, Transformacional y Fractal, culminando con la elaboración de una propuesta
metodológica para la enseñanza de la geometría, adaptada a su medio, que permita, entre
otras, vivenciar el aula taller como el instrumento metodológico imprescindible para la
educación matemática, reconocer la necesidad de formar un pensamiento matemático
basado en procesos mentales íntimamente ligados a la acción y que a su vez permitan la
construcción del conocimiento mediante procesos lógicos, propiciar en el docente un
enfoque menos algorítmico y mas heurístico de la enseñanza de la geometría e inducirlo a
utilizar ambientes educativos mas placenteros, que permitan al estudiante explorar y probar
sus propios modelos de pensamiento, que le lleven a alcanzar un aprendizaje significativo.
A lo largo del año escolar 2002 cada docente desarrolló, en su establecimiento educativo,
su propuesta metodológica con el acompañamiento permanente de los investigadores,
adicionalmente se realizaron sesiones de socialización y evaluación de avances y resultados
que a su vez permitieron enriquecer y mejorar su trabajo. En un municipio cercano, los
docentes participantes en el proyecto, lograron el año pasado, con el apoyo de la Alcaldía,
replicar el proceso a los docentes de matemáticas de los diferentes planteles educativos. En
el presente año todos los docentes del proyecto actúan como agentes multiplicadores y se
ha iniciado la capacitación con un segundo grupo.
Seguimiento y Evaluación
Los aspectos a tener en cuenta para evaluar el trabajo del docente en las actividades
presenciales serán los siguientes:
Capacidad de razonamiento y análisis, conocimiento y estructuras conceptuales y
procesales
Capacidad para utilizar el lenguaje formal para comunicar ideas
Capacidad para formular problemas, aplicar diversas estrategias para resolver
problemas, comparar e interpretar resultados, generalizar soluciones
712

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Capacidad para dar nombre, verbalizar y definir conceptos; identificar y generar
ejemplos valiosos y no válidos; utilizar modelos, diagramas y símbolos para representar
conceptos; pasar de un modo de representación a otro; reconocer los diversos
significados e interpretaciones de los conceptos; comparar y constatar conceptos.
Este proceso requerirá de la elaboración y aplicación de una guía de observación que
brindará información suficiente para determinar el grado en que el docente ha aprovechado
la fundamentación teórica recibida y la aplicabilidad de los saberes. El cambio en los fines
de la enseñabilidad de la geometría en la básica secundaria y la media vocacional, en
cuanto atiendan a la experimentación y a la generación de conocimientos en el aula, antes
que a la memorización repetición de conceptos. La búsqueda y adecuación de
procedimientos y técnicas de enseñanza que cumplan con los nuevos fines de la educación.
El docente debe evidenciar una transformación en su práctica educativa: desde su cultura,
mejores saberes específicos y mayor capacidad de liderazgo. Simultáneamente se estará
asesorando y evaluando el proyecto de investigación que el docente debe liderar en su
entorno. Los resultados de este proyecto, que se socializarán entre los compañeros en la
etapa final y que serán dados a conocer a la comunidad educativa, constituyen un referente
práctico válido para estimar los resultados a corto plazo del programa. El seguimiento del
trabajo será ejecutado por los docentes del programa mediante visitas a las instituciones
educativas donde labora el docente y a través de informes periódicos que éstos presenten
para registrar su avance. El impacto del programa será evaluado mediante un seguimiento
que realizará a mediano plazo el Departamento de Matemáticas y Estadística de la
Universidad Francisco de Paula Santander.
Bibliografía
Gallardo, H. y otros (2000). Exploración y Aprendizaje de la Geometría Fractal. Acta Latinoamericana de
Matemática Educativa, 13, p.186-190
Gallardo, H. (2001). Una Nota Sobre Enseñabilidad de las Ciencias, Rev. Respuestas, Cúcuta: UFPS
Flórez, R. (1995). Hacia una Pedagogía del Conocimiento. Bogotá: McGraw Hill
Martínez, A. (1979). Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría. Madrid: Síntesis
Vasco, C. (1994). Un nuevo enfoque para la didáctica de las matemáticas. Bogotá: MEN
713

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
714
LA VISUALIZACIÓN EN EL TRATAMIENTO DE EXPRESIONES NUMÉRICAS
CON EXPONENTES Y RADICALES MEDIANTE EL ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Alicia Ávalos, Vicente Carrión
U. Latina de América – Morelia; DME del CINVESTAV - México
aliavacau@hotmail. com , vcarrion@mail.cinvestav.mx
Resumen
A partir de un estudio en proceso con profesores del nivel medio sobre errores en el uso de expresiones
numéricas que contienen exponentes y radicales se propone una forma de enseñanza basada en recursos de
visualización usados en la graficación de funciones. Además de reconocer la visualización como la habilidad
de los sujetos para formar y manipular imágenes mentales se acepta como la habilidad para trazar diagramas
apropiados para representar un concepto matemático o un problema. Son reconocidos el valor y la
importancia de las imágenes visuales, en los diagramas y de otras herramientas visuales en los procesos
heurísticos, para el descubrimiento, en la enseñanza de la matemática. Se propone una forma integral de
abordar el aprendizaje de exponentes y radicales que consideran recursos visuales, numéricos y algebraicos
para obtener sus propiedades. La graficación de funciones que comprenden formas de expresiones con
exponentes y radicales, realizada por puntos, por intervalos y en forma global, favorece el análisis de la forma
en que cambian las variables e ilustra el dominio de definición de las expresiones algebraicas. Del análisis de
las representaciones gráficas se obtienen las propiedades de expresiones numéricas que incluyen exponentes y
radicales definidas tanto en los números reales como en los complejos. Utilizando el álgebra de estas curvas
se obtienen otras propiedades numéricas. Se hace uso de la calculadora graficadora y la computadora para
obtener las gráficas de las funciones y para verificar las propiedades numéricas que se establecen.
Marco teórico.
La importancia del enfoque sugerido es que relaciona varios aspectos de la matemática,
aparentemente ajenos. Se interrelacionan las formas numérica, gráfica y algebraica de
presentar los conceptos matemáticos. La lectura de representaciones gráficas presupone
distinguir las variables visuales correspondientes en la escritura algebraica mediante una
interpretación global. De acuerdo con las consideraciones visuales Duval (1993) propone
tres maneras de construir una representación gráfica, una cuantitativa de punteo, una
cualitativa-cuantitativa de extensión de trazo y una de interpretación global de las
propiedades de las figuras. La primera se caracteriza por utilizar como único recurso puntos
obtenidos con fórmulas algebraicas. Los valores de las variables independiente y
dependiente se disponen en una tabla. Esta forma de graficar se limita a unir con segmentos
de curva puntos marcados en el plano coordenado. La extensión del trazo efectuado
corresponde a actividades de interpolación y extrapolación. No sólo se apoya en un
conjunto finito de puntos, se basa en el trazo de segmentos de curvas asociados a conjuntos
infinitos de puntos potenciales, contenidos en un intervalo que se define entre dos puntos
predeterminados de la curva. La interpretación global de las propiedades de una
representación gráfica requiere de una imagen para un “objeto” descrito por una expresión
algebraica. Una modificación de la imagen que conduce a un cambio en la escritura de la
expresión algebraica determina una variable visual pertinente para la interpretación de la
gráfica. Esta vía de graficación requiere de la asociación de una variable visual de la
representación con una la unidad significativa de la escritura algebraica.
El término visualización no es muy familiar en matemáticas. Desde esta perspectiva no es
usual restringir la visualización a la habilidad de los sujetos para formar y manipular
imágenes mentales como es el uso común en psicología; se toma como la habilidad para

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
trazar un diagrama con lápiz y papel con calculadora o computadora. El diagrama sirve
para representar un concepto matemático, ayuda a comprenderlo; o para representar un
problema, ayuda a resolverlo. La visualización es un medio para conseguir comprensión en
el aprendizaje de los conceptos matemáticos (Zimmermann & Cunningham;1991). No se
habla de visualizar un diagrama sino de visualizar un concepto o un problema. La
visualización de un diagrama significa formar una imagen mental del diagrama; la
visualización de un problema significa entender el problema en términos de un diagrama o
de una imagen visual. La visualización en matemáticas es un proceso para formar imágenes
mentales con lápiz y papel, o con ayuda de tecnología, para el descubrimiento y
comprensión de nociones matemáticas, utilizándola con efectividad. Los psicólogos se han
interesado en la relación entre la visualización y los procesos mentales del razonamiento
humano. Los matemáticos reconocen el valor de los diagramas y de otras herramientas
visuales, en la enseñanza de la matemática y en los procesos heurísticos, para el
descubrimiento de la matemática. Sin embargo, conscientes de la importancia obvia de las
imágenes visuales en las actividades cognitivas humanas las representaciones visuales
permanecen en segundo término, tanto en la matemática como en su enseñanza (Barwise &
Etchemendy; 1991). Múltiples causas de las dificultades en el aprendizaje de la matemática
se deben a problemas con las conexiones entre los aspectos visuales y analíticos de los
conceptos y de los procedimientos matemáticos. Razonar a partir de lo visual demanda
hechos cognitivos de mayor nivel que hacerlo algorítmicamente y resulta más natural para
los estudiantes actuar lejos del pensamiento visual. Eisenberg & Dreyfus (1991) afirman
que la preferencia de los estudiantes para hacer argumentos no visuales no es accidental. El
argumento analítico es corto, claro, con pocas suposiciones y da el resultado sin
implicaciones extensas; para el estudiante es fácil de aprehender y aplicar a ejercicios
procediendo mecánicamente en los cálculos; para el profesor, es fácil de enseñar, no
requiere la preparación de una gráfica o elaborar un programa, o correrlo. El argumento
visual requiere prerrequisitos relacionados con cierto manejo de conocimiento visual,
muestra información adicional relacionada, es difícil de entender y provoca discusión. Los
autores citados distinguen tres tipos de razones que tienen los estudiantes para evitar la
visualización, una cognitiva: lo visual es más difícil de comprender; una sociológica: lo
visual es más difícil de enseñar; y una relacionada con la naturaleza de la matemática: se
dice que lo visual no pertenece a la matemática.
Metodología . Se presentó a profesores de bachillerato un examen que incluyó las
siguientes expresiones aritméticas con radicales.
1. − =
2
3)
2. − 2 ⋅ − 2 =
7. − 3 ⋅ − 3 =
8. −
2
( −2)
=
( 6. Resolver la ecuación x 2 = 4
3. Resolver la ecuación x 2 = (−3)
2
4. − =
2
6 9. Resolver la ecuación x 2 = 2
− ( 5)
5. −
2
7 =
10. −
2
− 2
=
715

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Se aplicó a 52 profesores del nivel medio superior. Se analizaron los resultados. Del
análisis se vio la necesidad de implementar actividades de enseñanza tendientes a la
comprensión de las propiedades de los radicales, dirigidas a profesores. Se presentan las
respuestas diferentes que dieron los profesores para la expresión 2.
716
2
− 2 ⋅ − 2 = ( −2)(
−2)
= ( −2)
= 4 = 2
14 26.9%
− 2 ⋅ − 2 = ( −2)(
−2)
=
2
( −2)
= −2
11 21.2%
− 2 ⋅ − 2 = ( 2
− 2 ) = −2
5 9.6%
− 2 ⋅ − 2
1 1
2
1
1
( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2
= − ⋅ − = − = ( − 2 ) ) 2 = ( 4 ) 2 = 2
1 1.9%
− 2 ⋅ − 2
1 1
2
1
= ( − 2 ) 2
⋅ ( − 2 ) 2 = ( − 2 ) 2 = ( −2)
= −2
7 13.5%
1 1
− 2 ⋅ − 2 = ( −2)
2 ⋅ ( −2)
2 2 2
2
⎛ 1 ⎞
= (−2)
2
= ⎜(
−2)
⎟ ( )
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
= − 2
( ) 2
= i 2 2 2
2
= i = −
1 1.9%
− 2 ⋅ − 2
1 1
2
1
= ( − 2 ) 2
⋅ ( − 2 ) 2 = ( − 2 ) 2 = ( − 2 ) = −2
1 1.9%
− 2 ⋅ − 2 = ( − 2 )( − 2)
= ( i 2 )( i
2
2 ) = 2 i = −2
3 5.8%
− 2 ⋅ − 2 = ( 2
− 2 ) = ( i
2 2
2 ) = 2 i = −2
4 7.7%
− 2 ⋅ − 2 = i 2 i 2 = i 2
2 2
= 2 i = −
5 9.6%
( )( ) ( ) 2
Algunos errores que están presentes en la resolución del problema 2 son los siguientes. Se relacionan con
definiciones mal establecidas o con el uso de propiedades que son válidas en el sistema de números reales y
no lo son en el sistema de los números complejos.
2
− 2 ⋅ − 2 = ( −2)(
−2)
( − 2)
= −2
− 2 ⋅ − 2 = ( −2
2
)
− 2 ⋅ − 2 = −
( ) 2
2
1
2
1
2
2
2 2
2
( − ) = −2
( ) ( ) ( ) 2
− 2 ⋅ − 2 = − 2
( 2 ) = ( − 2 )
2
2
( ) 2
1
1 1
2 ( ) 2 ( 4)
2=
2
−
2
2
=
2
( − 2 ) = ( − 2 )
( ) 2
− 2 = − 2
Se propone una forma integral de abordar el aprendizaje del tema de exponentes y radicales
poniendo en juego recursos visuales, numéricos y algebraicos. La graficación de funciones
que comprenden expresiones con exponentes y radicales, realizada por puntos, por
intervalos y en forma global, favorece el análisis de la manera en que cambian las variables
e ilustra el dominio de definición de expresiones algebraicas. En esta parte se examinan las
n m
gráficas de curvas de la forma y = x , donde m y n son números enteros positivos y
n m
primos relativos. Otras fórmulas para expresar estas curvas son las siguientes: y = x o
y = x
m
n
; sin embargo, debe precisarse el dominio donde las tres expresiones algebraicas
representan una misma curva. Del análisis de las representaciones gráficas se obtienen las
propiedades numéricas de las expresiones en estudio. En lo que sigue x representa un
número real y m y n son números naturales.
1

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
1. Se exhiben ejemplos de casos en que m y n son impares positivos m ≥ n.
0 < m < n,
n = 1
0 < n < m,
n ≠ 1
0 < m = n
y = x 3
3
5
y = x o
y =
3
5
x
y = x
0 < m < n,
m ≠ 1
0 < m < n, m = 1
5
y
3
5 3
= x o y = x
3
3
y = x o y = x
La expresión n m
x es un número real si m y n son enteros impares. Es positivo si x es
positivo, cero si x es cero y negativo si x es negativo.
2. Se muestran ejemplos de casos en que m es entero par y n es entero impar, ambos
positivos m < n.
1 < m < n
1 < n < m
m ≥ 2, n = 1
2
x y =
2
x
3
y
4
= x o y =
3 4
x
y = x 2
3
3
y = o
m
x es un número real positivo si m es entero par y n es entero impar,
La expresión n
ambos positivos; es cero si x es cero.
717

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
3. Se ilustra con ejemplos el caso en que m impar positivo, n par positivo y m > n.
718
m = 1,
n ≥ 2
1 < m < n
1 < m < n
y 6
= x 5
6
o y = ±
5
x
2 3
y = x o
y 2 = x o y = ± x
La expresión n
y = ±
m
x es un número real positivo si m es entero impar y n es entero par,
ambos positivos; es cero si x es cero. Además, − n
3
x
m
x es número real negativo si m es
entero impar y n es entero par, ambos positivos; es cero si x es cero.
Obsérvese que si x es menor que cero, para los mismos valores de m y n la expresión
n
m
x no está definida en los números reales. Este hecho es punto de partida interesante y
buena motivación para introducir el sistema de números complejos y las propiedades de
expresiones con exponentes y radicales en este sistema de números.
Se describen los casos posibles para expresiones numéricas con exponentes y radicales.
Características del índice n del radical y
del exponente m
Expresión
radical o
potencial
(m y n son primos relativos)
n = 1 Y = x m
m y n números
impares
m > n
m = n
n >1
m = 1 y n = 1
n m
y = x
Y = x
positivos
m < n
m = 1 n y = x
m > 1
n = 1
n m
y = x
y = x m
m número par
positivo y n
impar positivo
m > n
n >1 n m
y = x
m número impar
positivo y n par
positivo
m < n n ≥ 1 n m
y = x
m > n
m = 1 n y = ± x
m >1
m < n m ≥ 1
y = ±
y = ±
n m
x
n m
x
Dominio e imagen de las
expresiones radicales o potenciales
• Si x es número real positivo y es
real positivo.
• Si x es número real positivo y es
real positivo.
• Si x es cero y es cero.
• Si x es número real positivo y es
real positivo.
• Si x es número real negativo y es
real positivo.
• Si x es cero y es cero.
• Si x es número real positivo
n m
x es real positivo y
n m
x
− es real negativo.
• Si x es número real negativo y no
es número real.
• Si x es cero y es cero.

PROPUESTAS DE ENFOQUES Y MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Algunas propiedades sobre expresiones numéricas que contienen exponentes y radicales
que pueden derivarse del análisis de las gráficas de las funciones anteriores son las
siguientes:
1. Si a es un número real positivo la ecuación x 2 = a tiene dos soluciones reales, las raíces
cuadradas de a: x = 1 − a y x = a . Si a = 0 entonces x = 0.
2
2. Si n es número entero positivo par la ecuación x n = a, a > 0, tiene dos soluciones reales,
n x 1 = − a y x2
n = a ; tiene otras raíces que no son reales. Si a = 0 entonces x = 0.
2 y −
2
x = − x .
3. Si x∈ℜ entonces x = x
4. Propiedades que se derivan del álgebra de funciones. x∈ℜ, y x ≥ 0, m y n enteros
positivos.
a.
m n m+
n
m n m n
x x
b. ( )
n
= x
n n
d. ( y)
x y
x = e. ⎛
⎜
0
⎝
x = x
c. x
n
x
m−
n
= x , x ≠ 0
n m
x ⎞ x
⎟ = , n y ⎠ y
y ≠
m > n exponente entero
positivo.
m = n exponente cero.
m < n exponente entero
negativo.
5. Otras propiedades derivadas del álgebra de funciones; x ≥ 0, m y n enteros positivos.
n m n m
g. ( )
f. ( x ) = x = x
n n n
i.
n x n y = n x ⋅ y
m n m⋅n
x = h. x = x
n x
n
⋅ j. x
n = , y ≠ 0
y n y
m
n
l. x x
= m⋅n
, y ≠ 0 m.
n
m
y y
x m m n
k. n ⋅
m n m n
m n ⋅ +
m
x ⋅ y = x y
m
m n m n
x ⋅ x = x n. = , ≠ 0
n
⋅ x
−
x x
x
6. De las propiedades 1-5, ¿cuáles se cumplen, y cuáles no lo hacen, para los números
complejos?
7. ¿Para qué valores de m, n y x se cumple la igualdad
m
n
x = x ? ¿Para qué valores de
m, n y x no se cumple la misma igualdad?
8. Hacer una lista de propiedades de los exponentes y radicales válidas para números
complejos.
Conclusiones
Con un ejemplo se han ilustrado los errores en los que incurren los profesores del nivel
medio en la transformación de expresiones numéricas que contienen exponentes y
radicales. Se propone una forma de abordar la enseñanza del tema con el uso de recursos
visuales para graficar cierta clase de funciones y en operaciones algebraicas definidas entre
ellas. Se hace uso de la calculadora graficadora y la computadora para obtener las gráficas
de las funciones y para verificar las propiedades numéricas establecidas, relacionadas con
los exponentes enteros y racionales, positivos cero o negativos, y determinar los dominios
donde tales expresiones representan números reales o complejos relacionando las formas
numérica, gráfica y algebraica de presentar los conceptos matemáticos. Con ello se propicia
que el estudiante construya e incremente su propio discurso matemático.
n m
n
m
719

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Bibliografía
Barwise, J & Etchemendy J. (1991).Visual Information and Valid Reasoning. En Visualization in Teaching
and Learning Mathematics. Editores: W. Zimmermann y S. Cunnungham.
Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotica et functionnement cognitif de la pensée. Annales de
Didactique el de Sciences Cognitives, 5 (1993), pp. 37-65. IREM de Strasbourg. Traducción:
Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN. México.
Eisenberg, T. & Dreyfus T. (1991). On the Reluctance to Visualize in Mathematics. En Visualization in
Teaching and Learning Mathematics. Editores: W. Zimmermann y S. Cunnungham.
Zimmermann, W. & Cunningham S. (1991). Editors’Introduction: What is Mathematical Visualization? En
Visualization in Teaching and Learning Mathematics. Editores: W. Zimmermann y S. Cunningham.
720

PREFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES
E ILUSTRACIONES
Aquí se consignan reflexiones, reseñas en campos de
investigación de la disciplina, ilustraciones de métodos y
técnicas novedosas, en el marco de la preocupación por
fortalecer aprendizajes y mejorar la gestión de procesos
de enseñanza, entre otros aspectos. Sin constituir
investigaciones acabadas, se refieren aquí intuiciones,
experiencias directas anteriores a la reflexión que
sistematiza, con la potencialidad de dar cuerpo a
proyectos de investigación

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
APORTES DEL CÁLCULO Y LA TECNOLOGÍA A LA MEDICINA
Arturo Baeza, Armando Maldonado
P.Universidad Católica de Chile
aebaeza@puc.cl, ajmaldon@puc.cl
Resumen
El tratar de complementar dos ciencias que parecen tan alejadas entre si como lo son las matemáticas y la
ciencia médica, es algo que puede parecer difícil, pero en realidad no lo es y además es algo necesario. La
medicina, de hecho, necesita de las matemáticas en muchos aspectos, desde la estadística hasta ayudar a
comprender y modelar cómo trabaja el corazón cómo funciona el sistema respiratorio. Es claro que esta
complementación podría tornarse más complicada y confusa si no se contara con la ayuda de la tecnología,
elemento que no debe ser considerado como un ente simplificador del pensamiento, sino de hecho, como una
herramienta útil en la obtención del conocimiento mismo. La medicina basa sus resultados en gran medida en
la experimentación para poder comprobar o reformular alguna hipótesis, y el cálculo diferencial e integral es
una herramienta indispensable para poder evaluar estos experimentos. Si además se complementa con el uso
de tecnología para la obtención y análisis de datos, el proceso de producción del conocimiento es más veloz y
eficiente. En ningún caso es remplazado por la máquina. El trabajo que se realiza con el curso de Cálculo para
Medicina de la Pontificia Universidad Católica de Chile, ha trazado una vía que habilita el entrelazamiento y
la complementación profunda entre el Cálculo, la Medicina y la formación médica. Se parte de diferentes
modelos de la ciencia médica, y se abordan mediante el Cálculo y la complementación adecuada de la
tecnología a través de la programación con calculadoras. Dentro del trabajo realizado en el curso de Cálculo,
se exponen a continuación dos ejemplos de lo antes descrito:
− Análisis matemático de las consecuencias de una estenosis de la válvula aórtica en la función del
corazón, su regulación por parte en el seno carotídeo y la hipertrofia cardiaca compensatoria que se desarrolla.
Se trabaja con el teorema de Bernoulli de la conservación de la energía de fluidos y del Número de Reynolds,
mediante la programación en calculadoras.
− Análisis de la función respiratoria normal expresada en forma gráfica y mediante el uso de programación
con calculadoras. Evaluación de condiciones patológicas del sistema respiratorio en que se puede obtener una
limitación del flujo aéreo o una restricción del volumen ventilatorio, mediante el análisis de gráficas usando
programación en calculadora (programa que analiza la condición del paciente a partir de los valores obtenidos
durante su espirometría, entregando un diagnóstico de limitación del flujo aéreo o de restricción del volumen
ventilatorio)
Análisis matemático y fisiopatológico de la estenosis aórtica e hipertrofia ventricular.
El orificio aórtico mide aproximadamente 2,5 cm de diámetro y se sitúa en la porción
posterosuperior derecha del ventrículo izquierdo. Está rodeado por un anillo fibroso, en el
que se insertan las tres valvas semilunares de la válvula aórtica. En ocasiones, los bordes de
la válvula aórtica suelen unirse, formando una cúpula con un orificio muy estrecho en la
estenosis de la válvula aórtica. Esta unión puede ocurrir en el nacimiento (congénita) o
desarrollarse después (adquirida). La estenosis valvular impone un mayor trabajo al
ventrículo izquierdo que se hipertrofia. Así mismo se ausculta un soplo cardíaco por el flujo
turbulento de la sangre a través d la válvula estenosada. Sabiendo que
3 3
−3
−2
ρ = 1, 1×
10 kg m , µ = 2,
084×
10 Pascal • segundo [ N s m ] , presión arterial intraventricular
durante la sístole de 115 mm Hg y el flujo Q = 5lt min ; determinar:
a) ¿Qué porcentaje de disminución mínima del radio de la válvula aórtica es necesario
para causar un flujo turbulento, y así poder auscultar un soplo (determinarlo en forma
numérica, algebraica y gráfica)?
b) ¿Cuál es el flujo por la estenosis?
723

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
c) ¿En qué porcentaje disminuye la diferencia de presión?, ¿qué consecuencias podría
tener?, ¿en qué afecta a la hipertrofia del ventrículo izquierdo?
d) Diseñar un programa para la calculadora que pueda calcular el número de Reynolds y
que al entregar el resultado pueda decir si el flujo es laminar o turbulento
Solución
a) Para determinar el radio mínimo al cuál ocurriría flujo turbulento (y como consecuencia
se auscultaría un soplo cardíaco), es necesario encontrar a que radio el número de Reynolds
es 2000. R v ρ
= 2000
724
R e
= µ
Pero en la expresión se observa que mientras más grande sea el radio, más grande es el
número de Reynolds, y nosotros buscamos lo contrario ¿es posible entonces que a menor
radio tengamos flujo turbulento? La respuesta es sí, dado que si nosotros mantenemos el
flujo (o gasto cardíaco) y disminuimos el área de sección por el cual va ese flujo, la
velocidad con la que avanza es mayor, lo que nos permite tener un flujo turbulento pese a
disminuir el radio. En otras palabras
donde el área transversal es
2
A = π R
Q = Av
v =
Q
A
, por lo cual
y podemos rescribir la ecuación de Reynolds así:
A partir de esta
nueva expresión
podemos ver que
mientras menor sea
el radio, es posible
tener un flujo
turbulento, siempre
y cuando el flujo
sea el mismo. Ahora
estamos en
condiciones de calcular el mínimo radio a partir
de Q ρ
R = ×
Re
π µ
1 3000
donde si reemplazamos los
valores, obtenemos
Q
v =
π R
2
ρ
π
µ
2
Q
R
R
Re =
Q ρ
Re = ×
R π µ
1
3 3
5lt
min×
1,
1×
10 kg m
R = −3
2
2000 × 3,
14 × 2,
084 × 10 Ns m
−5
3
3 3
8,
3×
10 m seg × 1,
1×
10 kg m
=
−3
2
2000 × 3,
14 × 2,
084 × 10 Ns m
= 0,
007 m
y para saber que porcentaje es del radio normal
20
y
1
= 13,
95
x
0 0,02
13 x = 90
,
0
0

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
0,
007m
× 100
= 56%
0,
0125m
Es decir, una disminución de un 44% puede causar flujo turbulento por la válvula. Pero
este resultado podemos obtenerlo de otra forma, mediante la gráfica de la función
1
y = 13,
95 , donde nuestra variable dependiente es el número de Reynolds, y la variable
x
independiente es el radio.
Para encontrar el radio, dibujaremos la recta y = 2000 y buscaremos donde se interfecta con
nuestra curva. Además incluiremos la recta x = 0,0125 como referencia. Podemos ver
entonces que con 1,4 cm de diámetro
es posible tener flujo turbulento, y
así podremos auscultar un soplo
cardiaco, y que en condiciones
normales hay flujo laminar, con un
número de Reynolds de 1116.
b) Por la ley de la continuidad y por
lo expuesto en el punto a), el flujo no
R e
varía, lo que cambia es la velocidad.
c) La anatomía del corazón nos
muestra que antes de la válvula
h e
aórtica está la vía de salida del
corazón, el vestíbulo aórtico. Para
R v
los fines del análisis matemáticos,
tomaremos un centímetro desde la válvula hacia el vestíbulo y podemos definir algunos
parámetros de interés para el análisis: radio de la estenosis Re = 0,
007 m ; radio del vestíbulo
Rv = 0,
0125m
(asumiremos que es el mismo que el de la válvula normal); 1 0 = h y h 01m
, 0 2 = .
Para continuar, utilizaremos el teorema de Bernuolli que da una relación entre la presión, la
velocidad y la altura de un fluido
1 2
pv + ρ vv
+ ρ ghv
2
1 2
= pe
+ ρ ve
+ ρ ghe
2
Pero como
Q Q
v = =
A π R
2
2 2 ( ve
− vv
) g he
1
pv − pe
= ρ + ρ
2
, podemos reemplazar y queda
2
2
1 ⎛ Q Q ⎞
pv pe
ρ ⎜⎛
⎞ ⎛ ⎞
− =
⎟ + ρ g h
⎜ ⎜
π R ⎟ −
⎜
e π R ⎟
2
2
2
⎟
⎝⎝
⎠ ⎝ v ⎠ ⎠
donde el flujo es el mismo, de 5 lt/min. Al ir desarrollando la ecuación y factorizando, nos
queda:
2
2
1 ⎛ Q Q ⎞
pv − pe
= ρ ⎜ − + ρ g he
π Re
π R ⎟
2 4 2 4
2 ⎝
v ⎠
Expresión que resuelta da:
2
ρ Q ⎛ 1 1 ⎞
pv − pe
= ⎜ ⎟ + ρ g h
π ⎜
−
2 4 4
2 Re
R ⎟
⎝
v ⎠
e
e
725

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
726
−5
3
( 8,
3×
10 m / seg)
2
3 3
1, 1×
10 kg / m
pv − pe
=
2
2×
π
⎛ 1 1 ⎞
3 3
2
⎜
⎟
⎜
−
−1,
1×
10 kg / m 9,
8m
/ seg 0,
01m
4
4
( 0,
007m)
( 0,
0125m)
⎟
⎝
⎠
− p
2
2
= 144,
2 N / m −107,
8 N / m
2
= 36,
4 N / m = 0,
27 mm Hg
pv e
Tenemos cuanto es la diferencia de presiones, y
para obtener el porcentaje, ocupamos la presión nervio
sistólica intraventricular durante la eyección, de del seno
115 mm Hg
í Seno
pv
− pe
0,
27mm
Hg
=
= 0,
00023 = 0,
23%
pv
115mm
Hg
Este porcentaje pude ser no muy alto, pero igual es
significativo, dado que un descenso en la presión
puede ayudar aún más a la hipertrofia del
ventrículo izquierdo. El mecanismo mediante el
cual la baja de presión causada por la estenosis
carotíde
o Carótida
común
(caída de
ayuda a la hipertrofia es por estimulación de los barorreceptores ubicados en el seno
carotídeo (ubicado en la bifurcación de la arteria carótida común. Esta estructura es capaz
de censar una baja de presión y estimular un aumento de la actividad simpática en el
corazón, el cuál tiene efectos inotrópicos (aumenta la contractibilidad) y cronotrópicos
(aumenta la frecuencia) positivos sobre el músculo cardíaco. Estos efectos entran en un
círculo vicioso que aumenta la hipertrofia del ventrículo. Además, el flujo turbulento de la
sangre a causa de la estenosis causa daño endotelial y también a los elementos figurados de
la sangre.
d) Programación (Casio CFX-9850-G Plus y Álgebra FX-2.0 Plus): Para poder programar
utilizando un menú, debemos ingresar en una variable la cual es la elección del usuario, y
luego confrontar esa variable con diversas posibilidades mediante los
comandos If, Then Goto, If End, ubicado en el submenú PRGM (se activa
presionando SHIFT VARS). Además es necesario usar el comando Lbl
If A=1
Then Goto 1
IfEnd
(ubicado también en PRGM). La sintaxis es la siguiente:
Lo que hace esta sintaxis es preguntar que si la variable A
Lbl 1
es igual a 1, entonces enviar al nivel 1, para luego
ejecutar todo lo que este en el nivel 1 (Lbl 1). Hay que
tener en cuenta que al momento de escribir el programa
se deben escribir seguidas todas las “preguntas” (el
conjunto If, Then Goto, If End, dado que la calculadora
“lee hacia abajo”, es decir, si la variable no cumple con el
requisito dado, pasa inmediatamente a la línea de abajo,
buscando la condición válida. Pondremos siempre al final
de cada nivel una orden para que vuelva al principio del
programa, y para poder salir de él, basta con apretar la
tecla AC. Con estos comandos estamos en condiciones
de diseñar nuestro programa:
2) Fisiología respiratoria y análisis matemático de la
Lbl 0
"RADIO TUBO (M)"? R
"VELOCIDAD MEDIA (M/S)"? V
"DENSIDAD (KG/M^3)"? D
"VISCOSIDAD (PASCAL/S)"? U
"NRO. REINOLDS":(R×V×D)/UT
If T ≤ 2000
Then Goto 1
IfEnd
If T>2000
Then Goto 2
IfEnd
Lbl 1
" FLUJO LAMINAR"
Goto 0
Lbl 2
" FLUJO TURBULENTO"
Goto 0
espirometría. El principal objetivo del sistema respiratorio es permitir el intercambio de
gases, incorporando oxigeno y expulsando el exceso de dióxido de carbono, para ello

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
funciona como un fuelle, el que genera diferencias de presión para permitir el flujo de aire
desde el ambiente a los alvéolos, minúsculos sacos en el parénquima pulmonar donde se
desarrolla el intercambio. Son los músculos respiratorios los encargados de permitir en
última instancia del movimiento del aire. Debido a que es prácticamente imposible
cuantificar el trabajo que desarrollan directamente estos músculos, se hace indirectamente,
evaluando la cantidad de aire que se mueve, el
v
VEF1
CVF
1 2 3 4
tiempo en que lo hace y la velocidad que
desarrolla.
Veamos un ejemplo de cómo podemos utilizar
las matemáticas con fines diagnósticos para
enfermedades respiratorias. Un instrumento
bastante utilizado en respirología es el
espirómetro el cual un sujeto inspira a su
máxima capacidad y luego espira con la mayor
potencia posible (espiración forzada máxima).
Dos mediciones efectuadas son el VEF1 que
consiste en cuantificar el volumen espirado en el primer segundo, y aunque la espiración
completa dura 5-6 segundos durante el primer segundo se espira alrededor del 80% de la
capacidad vital forzada o CVF (cantidad total de aire que se puede inspirar en una
inspiración forzada). La gráfica obtenida es la inmediatamente anterior. Esta medición
simple otorga una valiosa información acerca de la fuerzas que permiten la salida del aire,
así como las fuerzas que se oponen a la salida de éste (resistencia de las vías aéreas, y por
lo tanto su calibre). El cálculo una vez con el registro es bastante sencillo, ¿qué pasos
habría que realizar para desarrollar un programa que nos indique si el individuo se
encuentra sano o no
1- Obtener los datos a partir del registro.
2- Ajustar una curva que responda de una manera adecuada a los datos (exponencial) se
deben relacionar el tiempo y el volumen.
3- Obtener f (0)- f (1), para luego dividirlo por la capacidad vital forzada.
4- Compararlo con valores normales.
Del análisis espirométrico podemos obtener otras
conclusiones acerca del estado de salud del individuo a
analizar, el parámetro a estudiar en esta ocasión es el
FEF25-75 el cual se intersectan las funciones f(x)=25% y
f(x)=75%(porcentaje con respecto a la CVF ) ,luego se
unen los puntos de intersección mediante una recta ,
finalmente obtenemos la pendiente de dicha recta en la
forma siguiente
t
El valor de la pendiente nos indica la velocidad con que el paciente puede expulsar una
cierta cantidad de aire, así pues mientras menor es la pendiente sugiere que existe baja
elasticidad en el pulmón, o bien que la resistencia de la vías aéreas está aumentada, por
ejemplo con la disminución del diámetro de dichas vías durante una reacción anafiláctica
en los bronquios. Aquí se presenta un ejemplo bastante sencillo de cómo la pendiente de la
recta nos otorga valiosa información acerca de un fenómeno fisiológico. Ahora nuestra
tarea será desarrollar un análisis matemático, para luego relacionarlo con la situación real
correspondiente, además de una posible interpretación patológica,
∆v
∆t
25%
75%
727

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
a) Describir el significado de los valores de la pendiente para distintos tiempos.
b) ¿Qué fenómeno puede causar una variación de la pendiente obtenida en el FEF25-75?
c) ¿Como puede relacionar la variación de la pendiente, con el comportamiento de los
músculos con relación a su tensión y longitud?
Solución
Una forma matemáticamente exacta de resolver la pregunta es obtener una tabla de datos
los cuales, luego de una regresión, podríamos analizar obteniendo la derivada de la función
obtenida, pero el desarrollo sería más largo de lo necesario, pues podemos comparar la
gráfica obtenida con alguna función que conozcamos previamente y luego comparar los
puntos. ¿Conoces alguna función de esta forma?. Por supuesto la respuesta la obtenemos de
la campana de gauss, pero debemos hacer algunos reparos para que la curva se ajuste bien a
nuestros datos, Primero es necesario conocer cual es el dominio y el recorrido de nuestra
función modelo, calculémoslo (La campana de Gauss tiene la forma
e
x =
728
2
− x
ln e
− x
x
2
=
2
− x
2
y
= ln y
= ln y
⎛ 1
= ln ⎜
⎝ y
⎞
⎟
⎠
⎛ 1
ln ⎜
⎝ y
⎞
⎟
⎠
Por lo tanto la expresión
⎛ 1 ⎞
ln ⎜
⎟
⎝ y ⎠
2
x
e −
>0,puesto que no existen raíces de números
negativos (en los números reales), para cumplir este requisito la expresión
(1/y) debe ser mayor que 1 ,puesto que
los logaritmos entre 0 y 1 tienen un valor
negativo, para lo cual f(x) solo puede tener lo valores
entre 0 y 1, sin embargo el valor 0 está prohibido para
f(x) por ser el denominador de la fracción, por lo tanto
el recorrido ( o codominio) será ]0,1].No existe
ninguna restricción para x por lo que el recorrido son
todos los reales. En nuestro caso el recorrido es de 0 a 5
(en litros), la conversión es fácil solo tenemos que
multiplicar por 5 la función que define a la campana de
Gauss, , en la realidad la espiración finaliza a los 5
segundos mientras, que como acabamos de calcular, el
recorrido son todos los reales, un análisis gráfico nos muestra lo siguiente. A pesar que el
recorrido son todos los reales la visualización de la gráfica nos muestra que para valores
cercanos a 2 por la derecha y a –2 por la izquierda la función se hace prácticamente 0,
nuestra tarea es poder ensanchar la función, para lo debemos logra que a un determinado
5
-5 5
2
-2
valor de x le corresponda una imagen mayor a la
que le corresponde a la función original, esto lo
logramos multiplicando x por un factor entre 0 y
1 ,pues así logramos que 1/e se elevado por un
número menor obteniendo por consiguiente un
valor mayor ¿puede explucar por que razón se
utilizó un factor que multiplicara a x y no, por
ejemplo, un valor que sume o reste a A?. Algo
similar veremos que ocurre al ajustar un modelo
para le hemoglobina. El factor más adecuado
5
)

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
para responder a los valores reales es 0,2. Por lo tanto la función obtenida es : 5
corresponde a la gráfica siguiente:
Así la grafica obtenida resulta muy adecuada puesto que
para los valores positivos de x el proceso será espiratorio,
para los valores negativos será inspiratorio. Es importante
recalcar que este modelo fundamentalmente describirá
valores de x positivos puesto que corresponde a la
medición de volúmenes espiratorios (expiración forzada).
0,
2x
e −
¿Es posible desarrollar un mejor modelo?, la respuesta es si, sin embargo éste no podrá
incluir parte del proceso inspiratorio. Este modelo lo incluiremos en el siguiente programa
el cual introduciendo ciertas variables podremos emular posibles registros espirométricos
en forma gráfica, en la cual obtendremos los valores del VEF1 FEF ,estos serán comparados
con el intervalo de valores reales , para luego obtener una conclusión , el programa es el
siguiente:
En esta primera parte del programa introducimos las variable, el factor de corrección es un valor
que va a determinar que tan abrupta es la caída de la curva , la capacidad vital forzada, como ya
comentamos será el volumen total que expulse el individuo en una espiración máxima, si el factor
de corrección es 1 y la capacidad vital es 5 la curva graficada es la curva normal, esto puede pareces
extraño, pues existe mucha variación en la edad, talla, peso, etc. Entre los distintos individuos como
para estimar que existe solo una curva de normalidad, esto es verdad, pero hemos hecho el
programa simple para que sea fácilmente comprensible, sin embargo, es posible complejizarlo más
introduciendo las variable como edad, talla o peso, ¿puedes hacerlo?. Ahora continuemos con
nuestro programa.
“VOLUMEN ESPIRATORIO FORZADO 1“:((Be(-axi.4x0))-(Be(-Ax1.4x1)))→C
“PORCENTAJE VEF1/CVF“:C/BX100→D
“FRACCIÓN ESPIRATORIA FORZADA“:(Be(ln0.75)-Be(ln0.25)
En esta sección obtenemos resultados, para calcular el volumen espiratorio forzado Se
busca el valor de la función para x =0 y x
=1 enseguida obtener la diferencia, así
obtendremos el volumen de aire que se
espira en el primer segundo. El porcentaje
de VEF 1/CVF(capacidad vital forzada)
significa que parte de todo el aire espirado
“FACTOR DE CORRECCION“?→A↵
“CAPACIDAD VITAL
FORZADA“?→B↵
CLrGraph↵
ViewWindow 0,B,1,0,B,1↵
Y=Type↵
“Be(-Ax1.4xX) “→Y1↵
If C

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
biológicamente son posible solo algunos valores, de cuales determinan (en la mayoría de los casos,
pues las excepciones siempre existen) un individuo sano.
Bibliografía
Riera, G. y Preiss R. (2003). Modelos del Cálculo para las Ciencias Médicas. En prensa, Editorial P. U. C. de
Chile.
730

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
BUSCANDO QUE LOS ESTUDIANTES CONSTRUYAN DEMOSTRACIONES
Alejandra Pollio y Berenice Verdier
St. Catherine´s School de Montevideo, Uruguay
apole@adinet.com.uy; bereniceverdier@hotmail.com
Resumen
El rol del aprendizaje significativo mediante la utilización de nuevas estrategias de enseñanza. Este
aprendizaje involucra un proceso en el que lo que aprendemos es el producto de la información nueva,
interpretada a la luz de lo que ya sabemos. Para que haya aprendizaje significativo, es necesario que el
alumno pueda relacionar el material de aprendizaje con la estructura de conocimientos de que ya dispone. De
esta forma, junto con la motivación favorable para la comprensión, y, los esfuerzos que requiere, una
condición esencial del aprendizaje de conceptos será que estos se relacionen con los conocimientos previos de
los alumnos. El nuevo conocimiento, que queremos que el alumno aprenda en esta oportunidad, surgirá de un
adecuado desarrollo del razonamiento deductivo y manejo de los conocimientos previos. Entendiendo por
razonamiento deductivo al proceso de razonamiento en que, para obtener una conclusión lógicamente
necesaria a partir de ciertas premisas, los pasos están encadenados siguiendo ciertas reglas lógicas y son
justificados rigurosamente. Las justificaciones están basadas en los axiomas y definiciones de la teoría
respectiva, en teoremas demostrados con anterioridad y en las premisas o hipótesis del problema o teorema.
El docente debe ayudar al estudiante a desarrollar y usar el poder del razonamiento deductivo
comprometiéndolo permanentemente a pensar, analizar y deducir conjeturas en clase, además debe crear y
seleccionar tareas apropiadas que puedan involucrar la generalización, la organización de datos para validar o
refutar una conjetura. Un grupo de bachillerato del último año desarrolló la demostración de un teorema de
convergencia de series, con los resultados de un 46% que la realizó exitosamente, versus un 36% que no lo
logró. Los alumnos que lograron hacer la demostración, no eran los más estudiosos pero tenían una buena
capacidad de razonamiento. En cambio los que generalmente preparan las evaluaciones y que se apoyan
mucho en la memoria, no lograron un buen desempeño.
Introducción
En la enseñanza de conceptos hay que trabajar con estrategias que eviten que nuestros
alumnos se limiten a aprender información carente de significado para ellos, superando así
un aprendizaje exclusivamente memorístico. Con este objetivo y buscando que desarrollen
su capacidad de comprender de modo significativo es que propusimos la tarea que
comunicamos en este trabajo. La experiencia de aula que se presenta buscaba evaluar la
comprensión de un conjunto de proposiciones. La tarea consistía en ordenar estas
proposiciones según una secuencia lógica de modo que construyeran la demostración de un
teorema. El marco teórico que sustenta nuestra propuesta es el del aprendizaje significativo.
El que cada alumno tuviera que ordenar las proposiciones en forma individual implicaba
que en primera instancia debía analizar y comprender lo que cada proposición involucraba,
en segunda instancia debía de conectarlas entre sí. Esta actividad permitiría a cada alumno
dotar de significado a cada proposición y al todo.
Marco teórico
Nuestra propuesta se apoya en el aprendizaje significativo. Pretendemos capacitar a los
estudiantes para hacerse cargo de su propia construcción de significados. De acuerdo a
Novack (1998): Construir significados implica pensar, sentir y actuar, aspectos, todos ellos,
que hay que integrar para conseguir un aprendizaje significativo diferente y, sobre todo
para crear nuevo conocimiento”. El aprendizaje significativo tiene lugar cuando el aprendiz
elige relacionar la nueva información con las ideas que ya conoce.
731

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Partiendo de la base que los seres humanos piensan, sienten y actúan; en todas sus
experiencias intervienen el pensamiento, el sentimiento y la acción. El significado de un
hecho u objeto depende de lo que ya sabemos sobre él y está en función de cómo ha
experimentado la combinación del pensamiento, el sentimiento y la acción a lo largo de sus
experiencias en la vida.
El aprendizaje significativo involucra un proceso en el que lo que aprendemos es el
producto de la información nueva, interpretada a la luz de lo que ya sabemos.
La enseñanza de conceptos solo podrá ser eficaz si se parte de los conocimientos previos de
los alumnos logrando activarlos y conectarlos adecuadamente con el material de
aprendizaje.
Para que haya aprendizaje significativo es necesario que el alumno pueda relacionar el
material de aprendizaje con la estructura de conocimientos de que ya dispone. De esta
forma, junto con la motivación favorable par la comprensión y los esfuerzos que requiere,
una condición esencial del aprendizaje de conceptos será que estos se relacionen con los
conocimientos previos de los alumnos.
El significado que adquirimos de un concepto se forma a partir de un conjunto de
preposiciones que sabemos que lo contienen. El aprendizaje de un concepto se produce por
dos vías: la formación del concepto y la asimilación del concepto. En el esquema siguiente
(Novack,1998:65) se presenta el desarrollo de cada una de estas vías.
El nuevo conocimiento, que queremos que el alumno aprenda en esta oportunidad, surgirá
de un adecuado desarrollo del razonamiento deductivo y manejo de los conocimientos
previos. Entendiendo por Razonamiento deductivo al proceso de razonamiento en que, para
obtener una conclusión lógicamente necesaria a partir de ciertas premisas, los pasos están
732

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
encadenados siguiendo ciertas reglas lógicas y son justificados rigurosamente. Las
justificaciones están basadas en los axiomas y definiciones de la teoría respectiva, en
teoremas demostrados con anterioridad y en las premisas o hipótesis del problema o
teorema (Hardmeyer, 2000).
El docente debe ayudar al estudiante a desarrollar y usar el poder del razonamiento
deductivo comprometiéndolo permanentemente a pensar, analizar y deducir conjeturas en
clase.
El docente debe crear y seleccionar tareas apropiadas que puedan involucrar la
generalización, la organización de datos para validar o refutar una conjetura.
La principal condición que debe cumplir un material de aprendizaje para que pueda ser
comprendido es que tenga una organización conceptual interna: cada parte debe de tener
una conexión lógica o conceptual con el resto de las partes. Además de requerir que el
material que estudia el alumno tenga una estructura conceptual conviene que la
terminología y el vocabulario empleado no sean excesivamente novedosos ni difíciles para
el alumno. Además del problema conceptual, dificultad para atribuir significados a
términos conocidos, nos encontraríamos con un problema terminológico o de vocabulario.
Los alumnos deben ir adquiriendo un cierto vocabulario específico de las materias, pero
este aprendizaje ha de ser progresivo, evitando que se introduzcan en un mismo material
muchos términos nuevos, ya que así sería más difícil que el alumno estableciera relaciones
significativas entre ellos y, por tanto, impediría su comprensión. Pero la dificultad
terminológica no es una cualidad del texto por sí sola, sino que también depende del
alumno al cual va dirigido el material.
Si el material que presentamos tiene una estructura lógica interna y un vocabulario
adecuado pero no ayuda a activar un conocimiento previo: es decir que le permita
relacionar el material con la estructura de conocimiento que ya dispone, decimos que no
estará en condiciones de comprenderlo.
La actividad
La actividad fue aplicada a un grupo del último año del Bachillerato, Opción Ingeniería
como una parte de la evaluación del tema “Series”.
El objetivo de la actividad era que los estudiantes construyeran la demostración del
teorema: ∑ a n Converge ⇒ ∑ a n Converge
Los conocimientos previos de lo alumnos eran la definición y propiedades de valor
absoluto, definición de Serie Convergente, la condición necesaria y suficiente de Cauchy
para que una serie converja. En clase se habían trabajado criterios para clasificar serie de
términos no negativos.
La tarea que el alumno debía llevar a cabo era elaborar una secuencia lógica que lo
condujera a la demostración del teorema antes mencionado, reconociendo y partiendo de la
Hipótesis para reconocer y llegar a la Tesis. El material que se les entregó a cada
estudiante, consistió en un sobre conteniendo un conjunto de tarjetas en las que en algunas
de ellas se había escrito una proposición , en otras solo ( ⇒ ) y otras estaban en blanco .
Los dos últimos grupos de tarjetas se pusieron para conectar las proposiciones y justificar
usando los conocimientos previos cada conexión.
La propuesta era la siguiente :
Ordene según una secuencia lógica las fichas del sobre numerándolas en extremo inferior izquierdo. Indique
en la ficha correspondiente la Hipótesis y la Tesis del teorema demostrado
733

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Se adjunta el conjunto de fichas
734
∑⎪a n ⎪ Converge ⎪an+1⎪ + ⎪an+2⎪ + …… + ⎪an+p⎪ < ε
⇒ Por ………………………….
ε > 0 n0 / n >n0 es ⎪Sn+p - Sn ⎪< ε ⎪an+1 + an+2 + ……… + an+p ⎪ ≤ ⎪an+1⎪ + ⎪an+2⎪
+ …… + ⎪an+p⎪
⎪Sn+p - Sn ⎪ = ⎪⎪an+1⎪ + ⎪an+2⎪ + …… +
⎪an+p⎪⎪
⇒ ⇒
⎪⎪an+1⎪ + ⎪an+2⎪ + …… + ⎪an+p⎪⎪ < ε ∑ an Convergente
⇒ Hipótesis:
Tesis:
De .…………… ............................................ se deduce
⎪an+1 + an+2 + ……… + an+p ⎪< ε
Los resultados
Adjuntamos el diagrama que resumen el desempeño de los estudiantes en dicha actividad.
Una observación a destacar es que muchos de aquellos alumnos lograron hacer la
demostración no eran los mas estudiosos pero tenían una buena capacidad de
razonamiento. En cambio los que generalmente preparan las evaluaciones, pero que se
apoyan mucho en la memoria, no lograron un buen desempeño.
Resultados de la actividad
36%
Realizaron mal
Faltaron justificaciones
18%
46%
Realizaron bien
Bibliografía
Novak, Joseph, (1998) Conocimiento y aprendizaje. Los mapas conceptual como herramienta facilitadora
para escuelas y empresas, Madrid, Alianza Editorial
Pozo, Juan Ignacio (1992) El Aprendizaje y la Enseñanza de hechos y conceptos en Los contenidos en la
Reforma. Enseñanza y Aprendizaje de Conceptos, Procedimientos y Actitudes (pp 19 – 79) Buenos
Aires, AULA XXI Santillana
González Guajardo,Hernán (1999) El Implicano. Un medio para apoyar el descubrimiento guiado deductivo
Ponencia presentada en X CIAEM, Maldonado, Uruguay
Hardmeyer, Renate Laudien (2000) Comprensión de la implicación. Ponencia presentada en V Reunión de
Didáctica Matemática del Cono Sur. Santiago de Chile, Chile

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ESTOCASTICO
Eddy Herrera Daza
Pontificia Universidad Javeriana. Colombia.
. eherrera@javeriana.edu.co
Resumen:
En este trabajo se presenta un recorrido rápido de la evolución del pensamiento estocástico a través del
desarrollo de las matemáticas y la física principalmente, posteriormente se analizan algunas de las
investigaciones sobre razonamiento estocástico, la de los psicólogos preocupados principalmente por observar
y describir lo que pasa cuando un sujeto se enfrenta a razonamientos inferenciales, para estudiar así la
estructura de pensamiento ligada a éste tipo de razonamiento y el punto de vista de los matemáticos y
estadísticos, que mayoritariamente persiguen modificar las concepciones sobre probabilidad y estadística.
Finalmente se plantean algunas sugerencias para propiciar un pensamiento estocástico en los estudiantes,
producto de las dificultades encontradas en los cursos de probabilidad, para estudiantes de las Ingeniería
El Desarrollo en la Matemática
Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilización misma.
Aproximadamente por el año 3500 a.c, los juegos de azar eran practicados con objetos de
hueso, considerados como los precursores de los dados y fueron ampliamente desarrollados
en Egipto y otros lugares. Así la estadística descriptiva tiene su origen mil o dos mil de
años antes de Cristo, en Egipto, China y Mesopotamia, donde se hacían censos para la
administración de los imperios. Los egipcios tuvieron el barómetro económico más antiguo:
un instrumento llamado ”nilometro”, que medía el caudal del Nilo y servia para definir un
índice de fertilidad, a partir del cual se fijaba el monto de los impuestos. En las ideas de
Aristóteles (384-322 AC) se encuentran tres tipos de nociones de probabilidad, que definen
más bien actitudes frente al azar y la fortuna, que siguen vigentes hoy en día: (1) el azar no
existe y refleja nuestra ignorancia; (2) el azar proviene de causas múltiples y (3) el azar es
divino y sobrenatural. Sin embargo, pasó mucho tiempo antes de que alguien intentara
cuantificar el azar y sus efectos. En la sociedad francesa, el juego era uno de los
entretenimientos más frecuentes. Los juegos cada vez más complicados y las apuestas muy
elevadas hicieron sentir la necesidad de calcular las probabilidades de los juegos de manera
racional. El caballero de Méré, planteó algunas preguntas que permitieron, en particular,
iniciar una discusión entre Blaise Pascal y Pierre Fermat (1601-1665) y así el desarrollo de
la teoría de las probabilidades. El caballero De Méré, que jugaba con frecuencia, había
acumulado muchas observaciones en diversos juegos y constató una cierta regularidad en
los resultados. Esta regularidad, a pesar de tener como base un hecho empírico, permitió
relacionar la frecuencia relativa de la ocurrencia de un suceso y su probabilidad. Las reglas
de cálculo desarrolladas hasta entonces para los juegos de azar vieron sus aplicaciones en otras
disciplinas. Los censos demográficos, que se hacían desde la antigüedad, requieren recolectar
muchos datos. Si bien la extensión de los juegos de azar a la demografía o a la matemática actuarial
fue extremadamente importante, su planteamiento tiene grandes limitaciones debido a que considera
todos los resultados posibles simétricos. Durante los siglos XVIII y XIX la estadística se expandió
sin interrupción mientras la teoría de las probabilidades no mostró progreso. Una de las aplicaciones
importante fue desarrollada al mismo tiempo por Gauss (1777-1855), Legendre (1752-1833) y
Laplace: el análisis numérico de los errores de mediciones en física y astronomía. Aparte de la
demografía y la matemática actuarial, otras disciplinas introdujeron la teoría de las probabilidades.
735

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La estadística se empezó a usar de una manera u otra en todas las disciplinas, a pesar de un
estancamiento de la teoría de las probabilidades. Para concluir, si bien la historia de la estadística no
se puede separar de la historia del cálculo de las probabilidades, la estadística no puede considerarse
como una simple aplicación del cálculo de las probabilidades. El cálculo de las probabilidades es
una teoría matemática y la estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido
concreto a la noción de probabilidad.
El desarrollo en la Física
A lo largo de la historia la Física se ha enfrentado a la dificultad de explicar los procesos
físicos naturales, un ejemplo de esto es el caso de Maxwell, que dio forma definitiva a las
ecuaciones de los campos electromagnéticos y que son un claro exponente de
determinismo. Si embargo, Maxwell fue el primero en afirmar que el segundo principio de
la termodinámica es de naturaleza estadística y con esto lo llevó a afirmar “ la verdadera
lógica de este mundo es el cálculo de probabilidades”
En general, el comportamiento no determinista de los sistemas se debe a su naturaleza no
lineal de las leyes que lo controlan, como por ejemplo las ecuaciones de la dinámica de
fluidos conocidas con el nombre de Navier-Stokes ya que basta observar un torrente para
apreciar el movimiento imprevisible de las moléculas. Lo verdaderamente significativo, es
que a pesar de las evidencias en algunos fenómenos la ciencia ha seguido principios de
causalidad y determinismo como principio fundamental y de esta manera el no
determinismo de los procesos naturales ha quedado oculto a la ciencia.
A mediados del siglo XIX, Boltzmann, estableció las bases teóricas de la física estadística.
Para ello definió el concepto de probabilidad termodinámica, en el que por primera vez, se
describe un sistema por la probabilidad de encontrarse en un determinado estado en cada
instante, en contraposición con el concepto clásico, en la que se define de forma
determinística. Con el nacimiento de este siglo, Planck realizó un postulado cuántico, que
supone que la energía total radiada por los osciladores está formada por elementos finitos.
esto choca frontalmente con el concepto de procesos deterministas.
Sin embargo a medida que la teoría cuántica avanzó, el hecho estocástico se fue haciendo
más patente, lo que conduce a un cambio de mentalidad. Un ejemplo de este cambio fue
Einstein determinista profundo
La perspectiva psicológica sobre el razonamiento estocástico
Los investigadores en sicología del desarrollo, educativa y cognitiva han estado interesados
por el razonamiento estocástico y en cómo se desarrolla y algunos psicólogos notables (e.g.,
Piaget y Inhelder, 1951;Fischbein, 1975; Kahneman, Slovicy Tversky, 1982) continúan
proporcionando una base importante a la investigación en este campo. Sin embargo
Lecoutre muestra que las concepciones erróneas sobre la probabilidad, han inducido
respuestas estereotípicas en las personas y han reflejado más el conocimiento teórico de los
sujetos sobre la probabilidad que sus opiniones o sus formas de razonar. En consecuencia,
estos retractores sugieren que se debería estudiar el origen de las concepciones estadísticas
erróneas con mayor profundidad. En consecuencia un objetivo primario de cualquier
investigación en educación estadística sería proporcionar una descripción analítica de los
procesos cognitivos subyacentes en estas concepciones erróneas con el fin de encontrar si
hay alguna coherencia interna en los juicios y razonamientos espontáneos.
736

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
La Intuición del Azar
El primer paso para comenzar a estudiar el pensamiento estocástico y el desarrollo de un
tipo de pensamiento diferente en nuestros estudiantes al determinístico, desarrollado en los
curso de Cálculo, es asegurarnos que nuestros estudiantes sean capaces de diferenciar las
situaciones aleatorias, de las determinísticas, es decir que puedan distinguir algunas de las
características básicas de la aleatoriedad. Una característica particular de los experimentos
aleatorios es su carácter irreversible, destacado ya desde los trabajos de Piaget e Inhelder
(1951), para quienes la aleatoriedad se produce por la interferencia de una serie de cadenas
causales actuando independientemente, que llevan a un resultado impredecible. Una vez
producido un resultado aleatorio, no es posible volver al estado inicial con seguridad. Por lo
tanto hasta que no se comprenda la idea de causa y se realice un razonamiento
combinatorio, para poder concebir las distintas posibilidades existentes en estas situaciones,
no se tendrá un marco de referencia para identificar los fenómenos aleatorios.
Con la adquisición de esquemas operacionales espacio –tiempo y lógico-matemático, el
niño ya comienza a distinguir entre lo aleatorio y determinístico ya que comienza a
comprender la interacción de cadenas causales que conducen a sucesos impredecibles y la
irreversibilidad de los fenómenos aleatorios. La idea de Probabilidad surge solo cuando se
comprende que mediante un razonamiento combinatorio se pueden determinar el conjunto
de posibilidades asociadas a un fenómeno aleatorio. Por lo tanto para Piaget la idea de
aleatorio y de probabilidad, no son totalmente adquiridas hasta que se desarrolle el
razonamiento combinatorio, en la etapa de la operaciones formales.
Empleo de Heurísticas
El término heurística puede definirse como un proceso cognitivo que se utiliza para reducir
la complejidad de un problema durante el proceso de resolución. Las investigaciones de los
psicólogos Daniel Kahneman y Amos Tverskey indican que los sujetos emplean un
número limitado de heurísticas parea realizar inferencias inductivas, esto contribuye a un
cambio en la forma de concebir el razonamiento no determinístico. Kahneman (1982)
define tres tipos de heurísticas atendiendo al proceso cognitivo empleado:
representatividad, disponibilidad y ajuste y anclaje.
La heurística de la representatividad consiste en calcular la probabilidad de un suceso
sobre la base de la representatividad del mismo respecto a la población de la que proviene.
Esta heurística aparece asociada a la creencia de que una muestra debería reflejar la
distribución de la población de la que se obtiene, sin embargo esta heurística no tiene en
cuenta el tamaño de la muestra en el momento de realizar las inferencias inductivas. La
Heurística de la disponibilidad, se usa al juzgar la frecuencia de una muestra.
Las heurísticas estadísticas se consideran reglas generales, intuitivas, y procesos
inferenciales. No obstante las personas no aplican siempre mecanismos de pensamiento
estadístico, ya sea por:
La claridad en la construcción del espacio muestral
Reconocimiento del papel del azar en una situación particular.
Prescripciones culturales para razonar estadísticamente sobre eventos de un
determinado tipo.
737

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
PROPUESTA DE APRENDIZAJE
Dentro de la perspectiva del aprendizaje activo, las mejores situaciones son aquellas donde
los sujetos son llevados a construir por sí mismo las representaciones adecuadas. Tal
construcción activa parece ser un factor de estabilización de dichas representaciones. Esto
concuerda con el marco de muchos programas de investigaciones recientes en educación
estadística, en los que se enfatiza que es importante que los estudiantes construir su propio
conocimiento y desarrollar conceptos probabilísticos y estadísticos a través del uso del
aprendizaje activo. Este enfoque parece tener implicaciones didácticas significativas para la
enseñanza de conceptos estadísticos. Dentro de este enfoque se debe tener en cuenta lasa
áreas donde podemos propiciar un pensamiento estadístico en los estudiantes universitarios
Investigación empírica
En la investigación empírica, los procesos de pensamiento estadístico son
operacionalizados cuando se plantean problemas durante la definición de un problema y el
estudio del diseño y cuando los datos se recogen y analizan para hacer un juicio informado
sobre una situación. Esta área está ya siendo investigada (e.g., Hancock et al., 1992;
Konoldet al., 1997, Ben-Zvi y Friedlander, 1997) quizás porque los proyectos usando la
estadística son ahora relativamente comunes en los planes de estudio actual. Sin embargo,
se necesita mucha más investigación sobre:
• cómo hacer que los estudiantes desarrollen una forma de pensamiento estadístico
durante la investigación empírica
• Los modos particulares de pensamiento hacia los cuales debiera enfocarse la
atención de los estudiantes mientras conducen una investigación.
• Los tipos de preguntas que los estudiantes debieran investigar para promover el
desarrollo del pensamiento estadístico.
Evaluación de investigaciones
La segunda área en la que opera el pensamiento estadístico es cuando una investigación
empírica se describe en un artículo de investigación, en los medios de difusión, en un
informe de recomendación para una compañía, etc. Esta área requiere diferentes tipos de
procesos de pensamiento estadístico, no sólo sobre cómo leer el informe, sino también
sobre cómo reaccionar a lo que está presente y no está presente en el informe. La
interpretación y juicio de los informes estadísticamente fundamentados debería ser mirados
como una prioridad para la investigación. Y encontrar métodos efectivos de enseñanza para
la lectura y juicio de informes estadísticamente fundamentados
La vida cotidiana
La tercera área en que se requiere el pensamiento estadístico es en la vida cotidiana, donde
la información que no se recoge formalmente como dato se usa para operar y comprender el
propio medio, para comprender las propias reacciones y racionalizar los sucesos. De
acuerdo con Snee (1999, p. 257): “podemos usar el pensamiento estadístico sin datos".
Conclusión
Las situaciones de tipo aleatorio tienen una fuerte presencia en nuestro entorno. Si
queremos que un estudiante valore el papel de la probabilidad y la estadística, es importante
738

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
que los ejemplos y aplicaciones que mostramos en la clase hagan ver de la forma más
amplia posible esta fenomenología
La estadística y la educación estadística son disciplinas nuevas, que necesitan nuevas
formas de conceptualizar el método intelectual y el razonamiento de la disciplina estadística
y que deben evolucionar con la investigación en educación estadística que busca
comprender el pensamiento, aprendizaje y enseñanza de la estadística. Plantear las tres
áreas de investigación sobre investigación empírica, evaluación de la investigación y vida
cotidiana promovería el desarrollo del pensamiento estadístico. conceptos teóricos y
métodos.
La interdisciplinariedad es también visible al enseñar estadística bajo la perspectiva del
análisis exploratorio de datos. En este enfoque, los estudiantes pueden llegar a trabajar en
tareas y proyectos en los que necesitan planear un problema y recoger datos. Estos
proyectos podrían surgir desde otras disciplinas como biología, geografía o ciencias
sociales.Si queremos que un estudiante valore el papel de la probabilidad y la estadística, es
importante que los ejemplos y aplicaciones que mostramos en la clase hagan ver de la
forma más amplia la importancia y su carácter intersisciplinario
DISCUSIÓN
Das siguientes temas podrían considerarse para estudios posteriores:
• ¿ Qué modelos psicopedagógicos pueden ayudarnos a comprender el desarrollo de
razonamiento estocástico y como se pueden usar estos modelos para facilitar su
desarrollo?.
• ¿ Qué teorías de enseñanza y aprendizaje nos pueden ayudar a comprender y a
explicar la enseñanza de la estadística?.
• ¿ Cuáles son las metas de desarrollo de los estudiantes de estos tipos de procesos
cognitivos y cómo evaluarlos?
Bibliografía
Ausubel, D. P., Novak, J. D. y Hanesian, H. (1983). Psicología educativa. Un punto de vista cognoscitivo.
México: Trillas.
Batanero, C. y Serrano, L.(1995). Aleatoriedad, sus significados e implicaciones educativas. UNO, 5, 15-28.
Batanero, C. (1998). Recursos para la educación estadística en Internet. UNO, 15,13-25.
Cañizares, M. J. (1997). Influencia del razonamiento proporcional y combinatorio y de creencias subjetivas
en las intuiciones probabilísticas primarias.
739

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA PARA LA FUNCION CUADRÁTICA
Rey Genicio, María ; Lazarte, Graciela ; Forcinito, Silvia ; Hernández, Clarisa
Facultad de Ingeniería- Universidad Nacional de Jujuy- Argentina
tresm@imagine.com.ar
Resumen
Intentar cambios en los modelos tradicionales de la enseñanza, en este caso específico en la enseñanza de la
matemática, es una tarea compleja. Si estamos dispuestos a construir una didáctica transformadora de
tradiciones pedagógicas rutinarias, necesariamente hay que tener en cuenta que el docente debe reflexionar
sobre sus prácticas, interiorizarse sobre los resultados de las nuevas investigaciones educativas, analizar y
debatir sus resultados, cotejar lo viejo y lo nuevo para hacer las rupturas necesarias y obtener nuevas
conclusiones, rescatando lo positivo de cada una de ellas. Pero este es un camino que no es fácil de andar, por
eso se justifica crear modalidades que nos posibiliten acompañarnos, como es la intención de este taller.
Este taller está dirigido al docente de matemática que cotidianamente está en la búsqueda de actividades y
estrategias nuevas, o bien diferentes, para que los alumnos se sitúen frente a los problemas de la matemática,
pongan en juego sus estrategias personales y discutan, analicen, comparen, etc, actividades mentales que los
ayudarán a construir nuevos conceptos, aprehenderlos, y finalmente aplicarlos
El taller comienza con la presentación de un problema que se complejiza a través de la variable didáctica, con
el objetivo de construir el concepto de Función Cuadrática, continuará con el análisis comparativo de distintas
estrategias para el estudio de las transformaciones (traslación, compresión, estiramiento) de la parábola y
finalizará con una secuencia de actividades, debidamente graduadas, que apuntan a la resolución de la
ecuación de segundo grado. Todas estas instancias están acompañadas por el debate y la reflexión crítica de
las mismas.
Objetivos
En el desarrollo del taller se espera que las y los participantes
a. Analicen estrategias innovadoras elaboradas para la enseñanza de función cuadrática
y ecuación cuadrática, en el marco de una "Ingeniería didáctica"
b. Analicen críticamente las prácticas docentes habituales mediante la reflexión y el
debate constructivo
Al finalizar el taller se espera que, las y los participantes
a. Tomen contacto con una " Ingeniería Didáctica" para la construcción de un concepto
matemático por parte de los alumnos.
b. Consideren la necesidad de superar las metodologías rutinarias tradicionales
c. Adquieran conceptos básicos sobre "Ingeniería Didáctica" y sobre "La Dialéctica
instrumento-objeto".
El taller contribuye a procesos más generales, como favorecer un cambio positivo sobre la
forma de enseñar matemática con respecto a las viejas metodologías.
Metodología de trabajo
Se utilizan estrategias participativas a nivel áulico, derivadas de la concepción del trabajo
grupal como una forma de resolver problemas. Además Se fomentará también en distintos
momentos, el trabajo individual, con el propósito de provocar procesos inferenciales, donde
los participantes experimenten que el “HACER” es una tarea intelectual personal.
Los temas
1. Propuesta didáctica para la construcción del concepto de función cuadrática
740

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
2. Actividades propuestas para el análisis grafico de la función. Distintas
estrategias para el estudio de las transformaciones de traslación, compresión,
estiramiento de la parábola
3. Análisis de los logros y dificultades de la puesta en marcha del ensayo áulico.
4. Propuesta didáctica para la construcción del concepto de ecuación cuadrática.
5. Fundamentos básicos de la "Ingeniería didáctica". La "Dialéctica Instrumentoobjeto.
Juego de marcos" de Regine Douady
Las actividades
1. Lea en forma individual las actividades propuestas en el "Trabajo práctico Nº 1"
2. En forma grupal, realicen un análisis didáctico del "Trabajo práctico Nº 1" ( las
siguientes consignas pueden orientar la tarea, respondan primero las que le resulten más
sencillas, las que no les sean accesibles serán tratadas en la puesta en común por algún otro
grupo o, en su defecto, por el equipo coordinador)
a) Anticipen los procedimientos que podrían realizar los alumnos para resolver la
secuencia de problemas, incluyendo los erróneos y los acertados.
b) Enuncien, para cada uno de los procedimientos, los conocimientos previos que los
alumnos deben poseer para resolver la secuencia de problemas.
c) Identifiquen él o los conocimientos a los que apunta la secuencia de problemas.
d) ¿En qué marcos aparece el concepto?
e) Analice la variable didáctica puesta en juego.
f) ¿En qué curso aplicarían la propuesta? ¿Cómo organizarían el grupo de alumnos?
¿Cómo sería la gestión de la clase? ¿Qué podría hacer peligrar la propuesta y qué
acciones permitirían superar el inconveniente? ¿Cuál sería la intervención del
docente? ¿Cómo se realizarían las validaciones de las actividades desarrolladas por
los alumnos?.
3. Puesta en común de la actividad anterior.
4. Lea en forma individual el texto: "Función polinómica de segundo grado" tomado del
libro de matemática para 4º año del Bachillerato escrito por Nelly Vásquez de Tapia,
Alicia Tapia de Bibiloni y Carlos Alberto Tapia.
5. Lea en forma individual el "Trabajo práctico Nº 2".
6. Realicen en forma grupal un análisis comparativo de las dos propuestas anteriores.; para
ello puede tener en cuenta: el rol del alumno; el rol del docente; rol del problema;
teoría de aprendizaje involucrada, modelo didáctico; conocimientos previos requeridos,
recursos didácticos necesarios, otros...
7. Puesta en común de la actividad anterior.
1 cm
B
8. Lea en forma individual las actividades propuestas en A
M
1 cm
el "Trabajo práctico Nº 3"
N
9. Realicen en forma grupal el análisis didáctico del
"Trabajo práctico Nº 3".
10. Puesta en común de la actividad anterior.
P
11. Consideraciones generales de la propuesta a cargo de 1 cm
O C
los coordinadores del taller.
D
1 cm
741

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
Situación 1
1 – Dado el cuadrado ABCD de 10 cm de lado y cuatro puntos M, N, O y P ubicados
según los datos del gráfico; encontrar el área del cuadrado MNOP.
2 – Repetir la actividad anterior considerando que las medidas de las distancias de los
puntos M , N , O y P a los respectivos vértices sean: 4 cm; 6 cm; 9 cm; 2,4 cm y 7,6
cm.
3 – Investigue cuál será la distancia de los puntos M, N, O y P a los respectivos vértices
para que el área sea mínima.
4 – Encontrar una fórmula que permita calcular el área del cuadrado MNOP cuando la
distancia a los vértices es x.
Situación 2
1 – Con los resultados obtenidos anteriormente armar una tabla de valores. Presentar los
valores de la variable independiente en orden creciente.
2 – Volcar los datos en un sistema de coordenadas cartesianas.
3 – Teniendo en cuenta lo trabajado hasta el momento.
a) ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable independiente?
b) ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable dependiente?
c) ¿Se pueden unir los puntos del gráfico con una curva? ¿Por qué?
d) Redactar un mensaje de manera que el lector pueda realizar este gráfico sin
conocerlo.
Trabajo Práctico Nº 2
1 – Realizar una tabla de valores y representar gráficamente en un sistema de coordenadas
cartesianas la función: y = x 2
2 – Del gráfico obtenido en el punto anterior escribir lo que se observa en cuanto a:
i) Eje de simetría. ii) Coordenadas del vértice iii) Abertura de la curva
3 – Detallar las similitudes y diferencias que se observan al comparar los gráficos de:
y = x 2 con Area(x) = 2x 2 – 20x + 100
4 – Modificar la fórmula de la función y = x 2 para que la parábola:
a) Quede abierta hacia abajo. e) Se desplace 3 unidades hacia abajo.
b) La curva sea más cerrada f) Se desplace 1 unidad hacia la izquierda.
c) La curva sea más abierta. g) Se desplace 2 unidades hacia la derecha.
d) Se desplace 2 unidades hacia arriba.
En cada caso, realice la gráfica correspondiente
5 – Para cada uno de los siguientes gráficos
i) Escribe las coordenadas del vértice.
ii) Indica si su abertura es: “más abierta”, “más cerrada” o “igual” a la de la parábola
base.
iii) Escribe la fórmula de la función y = f ( x ) que corresponde a cada uno de los
742

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
gráficos.
iv) Halla, en los casos en que exista, el o los valores x1 y/o x2 donde el gráfico corta al
a.- b.- c.-
eje de las x.
g.- h.- i.-
6 - ¿Qué relación existe entre los ceros de las funciones y el valor de la abscisa del vértice?
7.- Completa el siguiente cuadro:
Parábola
⎛
y = ⎜
x
⎝
−
2
1 ⎞
⎟
3 ⎟
⎠
⎛
y = −⎜
⎜
x
⎝
+
2
5 ⎞
⎟
2 ⎟
⎠
1
y =
4
2
x +
3
7
y = x 2
2 − −
Abierta
hacia
(arriba /
abajo)
Coordeadas
del
Vértice
Abertura según
la parábola
base
(más abierta,
cerrada o igual)
Desplazamientos en
unidades numéricas
arriba abajo derecha Izquierda
743

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
y = 3 ( x − 4)
3
744
2 −
2 +
y = ( x + 2)
5
y = − 2 ( ) 2
x + 1
2 −
y = − ( x − 1)
1
1
y =
3
2
x − 4
2
y =
1 ⎛
x
1 ⎞
⎜ + ⎟ + 2
2 ⎝ 4 ⎠
8 - Grafique y luego escriba la fórmula de una función cuadrática sabiendo que:
a) El vértice está en el punto V ( −4, 0 ), es abierta hacia arriba y pasa por el punto
P ( −3, 1 )
b) El punto de menor ordenada es P ( 2, −3 ) y pasa por P ( 1 , 2 )
c) El punto de mayor ordenada es P ( −2, 4 ) y | a | = 1/ 2
d) Corta al eje x en −1 y 3, el menor valor de y es −4
Trabajo Práctico Nº 3
1. − En cada caso encuentra la fórmula polinómica correspondiente a la fórmula canónica
dada:
a) y = ( x + 3) 2 2 2 4 5 2 25
− 9 b) y = ( x − ) − c) y = ( x + ) − d)
3 9
2 4
y = ( x + 1) 2 + 3 e) y = ( x − 3 ) 2 2 2 1
− 1 f) y = ( x + ) −
3 3
2.− ¿Podrías decir cuáles de los gráficos correspondientes a las funciones cuadráticas dadas
en el ejercicio anterior pasan por el origen? ( no confecciones el gráfico)
3. − En las fórmulas de las funciones cuyos gráficos pasan por el origen
a) Indica qué característica tiene la fórmula cuadrática polinómica
b) Indica qué característica tiene la fórmula cuadrática canónica.
c) Establece una vinculación entre las fórmulas cuadrática canónica y polinómica
4.− a) En cada caso, encuentra la fórmula canónica correspondiente a la fórmula
polinómica dada.
i) y = x 2 + 4x iv) y = x 2 + 8 x
ii) y = x 2 − 6x v) y = x 2 − 5 x
iii) y = x 2 − 9x
b) Cuáles serán en cada caso las coordenadas del vértice de la parábola.
5.− a) Encuentra el valor de h y k de forma que y = x 2 + b x se pueda expresar
como y = ( x + h ) 2 + k.
b) Cuál será la abscisa del vértice de la parábola ?.
c) Cuál será la ordenada del vértice de la parábola?.
d) De qué otra forma podrías haber encontrado la ordenada del vértice?
6.− Escribe cada una de las siguientes funciones de segundo grado en la forma canónica.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
a) y = x 2 + 2 x − 1 b) y = x 2 + 2 x + 5 c) y = x 2 3
− 8 x +
2
7.− a) Encuentra el valor de h y k de forma que y = x 2 + bx + c se pueda expresar
como y = ( x + h ) 2 + k.
b) Expresa y = x 2 + b x + c en la forma canónica.
8.− Escribe cada una de las siguientes funciones de segundo grado en la forma canónica.
a) y = 3 x 2 + 6 x − 3 b) y = 2 x 2 − 5 x + 3
9. – a) Encuentra el valor de h y k de forma que y = a x 2 + bx + c se pueda expresar
como y = a ( x + h ) 2 + k.
b) Expresa y = ax 2 + b x + c en la forma canónica.
c ) Escribe las coordenadas del vértice de la parábola
d ) Indica la concavidad de la curva
10. – Dada la siguiente función de segundo grado y = 2 x 2 – 10x + 8
a) Exprésala en forma canónica.
b) Escribe las coordenadas del vértice.
c) Encuentra los ceros de la función
d) Grafícala en coordenadas cartesianas ortogonales.
11. – Recordando el problema del área del cuadrado dado Área ( x ) = 2x 2 – 20x + 100
¿Cuánto tiene que valer x para que el área sea 50?
12. – Encuentra una fórmula que te permita resolver la ecuación:
a x 2 + b x + c = 0
Bibliografía
Artigue, m. (1995) ingeniería didáctica en educación matemática. G.e.i.. México.
Azcárate, carmen. Deulofeur, jordi.(1996) funciones y gráficas. Síntesis. Madrid. 1996
Bixio, cecilia (1998) enseñar y aprender. Homo sapiens. Bs. As
Brousseau, G. (1994) los roles del maestro cap. De parra, c, saiz, i, otros. Didáctica de la matemática.
Compilación. Paidos . Bs. As. 1994
Douady, R. dialéctica instrumento−objeto. Juego de encuadres. Cuaderno de didáctica de la matemática nº3.
Edición mecanografiada.
Charnay, roland. (1994) aprender (por medio de) la resolución de problemas. Cap. De parra, c, saiz, i, otros.
Didáctica de la matemática. Compilación. Paidos . Bs. As..
De tapia, nelly vásquez; tapia de bibiloni, alicia; tapia, carlos.(1984) matemática 4. Ed. Estrada. Argentina
745

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
ESTUDIO DE LA VARIACION DE LA DIRECCION DE UNA CURVA CON
SOPORTE TIC’S
Patricio Guzmán Sereño
Universidad Tecnológica Metropolitana, Chile
pguzman@utem.cl
Resumen
Una situación matemática puede ser estudiada desde tres puntos de vista; algebraica, numérica y gráfica,
desde una perspectiva cognitiva dicha situación puede ser considerada en forma integrada desde los tres
puntos de vista, permitiendo la posibilidad de establecer nuevas relaciones entre las representaciones lo que
deviene en una mayor elaboración conceptual de los objetos matemáticos en estudio, posibilitando el
aprendizaje de herramientas nuevas proporcionadas por la tecnología mediante el uso de un software algunos
de ellos muy simples, amistosos y poderosos. Ellos permiten que los registros gráfico y numérico
adquieran un nuevo estatus, pues permiten a los alumnos comprender que los problemas algebraicos se
pueden resolver, sobre la base de estos registros, gráfica o numéricamente tan bien como con la manipulación
algebraica.
Desarrollo
En un lenguaje común la curvatura de una curva se relaciona con la tendencia de un punto
en movimiento sobre una curva a cambiar de dirección. Si la curva es una línea recta no hay
cambio de dirección. La dirección de una curva se toma como la pendiente de la recta
tangente a la curva. Una de las interpretaciones de la derivada informa acerca de la
dirección de la curva en un punto, en el caso de una línea recta esta dirección es siempre la
misma, no hay cambio ni variación, en el caso de una circunferencia la curvatura es
constante, al representar una gráficamente una función es posible formarse una idea acerca
de la variación de la dirección de la curva.
El software disponible actualmente nos permite graficar con rapidez y exactitud una gran
variedad de funciones, al observar la gráfica de una función es posible formarse una
primera impresión acerca de su dirección y del cambio que esta experimenta. Aún cuando
existen ejemplos acerca de los errores en que incurren algunos programas disponibles al
graficar funciones, existe otro tipo de errores que se cometen a partir de inferencias
relativas a la variación de la dirección de una curva y que se producen al observar las
gráficas de estas funciones.
Se presenta el estudio de dos ejemplos en los cuales a partir de la representación gráfica de
funciones realizada mediante el uso de software matemático se infiere error respecto a la
variación de la derivada, Se resalta el hecho de que el soporte teórico permanece invariante
es decir permanece constante.
Variaciones en la derivada
Se propuso a los alumnos del primer curso de cálculo en las carreras de Construcción Civil
y Arquitectura dos problemas.
Problema 1
Construcción de una carretera cuyo trazado está determinado por la gráfica de la función:
746
3
x 2x
y = − − ,
3 3

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
se solicita determinar los puntos en que la curvatura de la carretera es máxima, a objeto de
colocar la correspondiente señal de tránsito.
Al parecer el problema se resuelve determinando los puntos en que la gráfica presenta
mayor cambio en su dirección
La gráfica de esta función es:
x = -0,83
Al observar la gráfica se tiene que entre los puntos A y B la curva casi no hay variación en
su pendiente, en cambio si lo hay en una vecindada de; x = - 0,83..., alcanzando valores
positivos cada vez más pequeños y tomando valores negativos a la derecha de; x = -0,83.
El cambio en la dirección de la curva al parecer es extremo .
La información gráfica parece indicar que el cambio en la dirección de la curva se produce
en los extremos de la función
El cálculo de los extremos de
Estos se presentan en; x = - 0,83; x = 0,83
A
B
3
x 2x
y = − −
3 3
747

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
2
d y
2
La expresión que da cuenta de la curvatura es: K(x)=
dx
2 ⎡ ⎧dy
⎫ ⎤
⎢1
+ ⎨ ⎬ ⎥
⎢⎣
⎩dx
⎭ ⎥⎦
La gráfica es:
Los extremos de esta curva se presentan en: x = -0,9309. , X = 0,9309.
Los cuales no coinciden con los puntos en los cuales la función presenta sus valores
extremos.
Los extremos relativos no son puntos en los cuales la función presenta curvatura máxima.
Luego el análisis gráfico y el analítico sólo han dado una respuesta aproximada, el análisis
algebraico ha dado la respuesta correcta.
Problema 2.
Construcción de una carretera cuyo trazado está determinado por la gráfica de la función: y
= e x . Se solicita determinar los puntos en que la curvatura de la carretera es máxima, a
objeto de colocar la correspondiente señal de tránsito
748
A B
3
2

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
La gráfica nos informa que esta es una curva "suave “, que no presenta una variación
significativa en su pendiente entre los puntos A y B.
La curvatura de esta función está dada por: k(x)=
[ ] 2
x
e
3
2x
1+
e
La gráfica de esta expresión con indicación de su extremo es
En este ejemplo una curva que no presenta una gran variación en su dirección presenta un
punto en el cual la curvatura es máxima
La función: y = e x; x∈ℜ, no presenta extremos relativos en cambio si presenta un punto en
que su curvatura es máxima.
Conclusiones
La información obtenida del análisis gráfico nos induce a formular propiedades de la
función que no coinciden con la información obtenida con el análisis algebraico, en el
primer caso no coinciden los extremos de la función con aquellos puntos en los cuales el
cambio de la derivada es extrema, en el segundo caso la curva presenta una pendiente suave
que si presenta un punto de curvatura máxima. Por lo tanto quien decide es el análisis
numérico.
Bibliografía
Cantoral, R. (1994). Hacia una Didáctica del Cálculo basada en la Cognición. Antologías Número 1 (pp. ; 1-
24)
Cedillo, T. (2001). La Calculadora en la Clase de Matemáticas Implicaciones hacia la Enseñanza. Memorias
de la Conferencia Internacional sobre Uso de la Tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas.
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Morelia , México.
Cordero, F. y Solís, M. (1997): Las Gráficas de las funciones como una argumentación del Cálculo. Serie
Cuadernos de Didáctica, Grupo Editorial Ibero América, 2a. edición
Hitt, F., (1997): Modelación Matemática con ayuda de Calculadora Graficadora. Memorias VIII Seminario
Nacional. Calculadoras y Microcomputadoras en Educación Matemática. CINVESTAV, México
Dolores, C (2002). Concepciones alternativas acerca del comportamiento de funciones a través de sus
gráficas, Actas RELME 16, La Habana, Cuba
749

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
EXUMAT 2.0: EXAMEN COMPUTARIZADO DE MATEMÁTICAS ADMINISTRADO
DE FORMA ADAPTATIVA FUNDAMENTADO
EN LA TEORÍA DE RESPUESTA AL ITEM
750
Lázaro Dibut Toledo, Eduardo Backhoff, José Luis Ramírez. Héctor León Velazco
U. de Cienfuegos “Carlos Rafael Rodríguez”, U. A. de Baja California; 3 CETYS
Cuba y México.
ldibut2001@yahoo.es
Resumen
El presente trabajo refleja un trabajo colaborativo entre el Instituto de Investigación y Desarrollo educativo de
la Universidad Autónoma de Baja California, México, el CETYS de ensenada, México, y la Universidad de
Cienfuegos “Carlos Rafael Rodríguez, cuba, en las personas de los autores. El trabajo consiste en la
descripción del Examen de ubicación de Matemáticas (EXUMAT), en su versión 2.0, para administrar a los
estudiantes que recién ingresan a la Universidad Autónoma de Baja California (UABC). El examen está
fundamentado en la Teoría de la Respuesta al Item (TRI) con el modelo de dos parámetros. Los propósitos
del trabajo son: 1) describir la metodología seguida para la confección del Examen de Ubicación de
Matemáticas (EXUMAT) en su versión 2.0, y 2) analizar e interpretar los resultados del EXUMAT 2.0 al ser
administrado como prueba piloto a los estudiantes de la preparatoria del CETYS de Ensenada, en la primavera
de2002
Introducción.
El desarrollo que ha alcanzado en los últimos 20 años la evaluación en sentido general y la
evaluación del aprendizaje en particular, hace de esta parte de todo proceso educativo una
fuente de creatividad y dinamismo en aras de lograr el objetivo supremo de comprobación
del aprendizaje alcanzado por los estudiantes de cualquier nivel educativo, donde las
Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) están jugando un papel importante
en esta dirección por el impacto que han tenido en la evaluación psicológica y educativa.
El Instituto de Investigación y Desarrollo Educativo (IIDE) de la Universidad Autónoma de
Baja California (UABC) tiene entre sus líneas fundamentales de investigación la
Evaluación, con un desarrollo sostenido en lo que son los exámenes computarizados, tal es
el caso del Sistema Computarizado de Exámenes (SICODEX) (Backhoff, Ibarra y Rosas,
1994,1995); otro sistema desarrollado y en explotación por varias universidades mexicanas,
es el Examen de Habilidades y Conocimientos Básicos (EXHCOBA). A partir de 1996 es
que se comienza con el desarrollo del Sistema de Exámenes Adaptativos (SEA) con el que
se administró el Examen de Ubicación de Matemáticas (EXUMAT) en su versión 1.0
(Backhoff y Rosas, 2000).
El EXUMAT 1.0 es un Examen de Ubicación de Matemáticas para los estudiantes que
ingresan a la universidad, que tiene como objetivo ubicar en su dimensión real de
conocimientos y habilidades en Matemáticas a los estudiantes, de forma tal que los mismos
tengan una medida del nivel con que enfrentarán las matemáticas universitarias, y a los
profesores les permite hacer un tratamiento de los contenidos acorde a ese nivel de los
estudiantes.
La versión 1.0 de este examen se confeccionó sobre la base de que el mismo respondiera y
pudieran interpretarse sus resultados, a partir de la Teoría de Respuesta al Item (TRI), con
el modelo de dos parámetros.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
En un trabajo colaborativo entre el IIDE, el CETYS de Ensenada y la Universidad de
Cienfuegos “Carlos Rafael Rodríguez”, Cuba, en las personas de los autores del presente
trabajo, se confeccionó una segunda versión de este tipo de examen con el objetivo de
actualizar o modificar los reactivos del mismo por considerar que en la versión anterior no
se incluyeron reactivos con determinados contenidos del tronco curricular de matemáticas
de los diferentes niveles. Esta segunda versión se aplicó en la primavera de 2002 en el
CETYS de Ensenada como prueba piloto, de forma tal que permitiera hacer una calibración
del mismo y fue administrado a los estudiantes que ingresaron a la UABC en enero de
2003. Los propósitos del presente trabajo son: (1) describir la metodología seguida en la
confección de EXUMAT 2.0, (2) analizar e interpretar los resultados de la aplicación del
mismo como prueba piloto en el CETYS de Ensenada en la primavera de 2002.
Metodología para la confección, aplicación e interpretación del EXUMAT
Para la confección, aplicación e interpretación de los resultados del EXUMAT 2.0 se
siguió la siguiente metodología:
Revisión de la documentación relacionada con EXUMAT 1.0
Análisis de los programas de estudio de Matemática del nivel primario hasta bachillerato.
Definición de las áreas nodales y habilidades asociadas.
Confección del examen.
Aplicación del examen.
Análisis e interpretación de los resultados.
A continuación se explica brevemente cada uno de los pasos de la metodología descrita
anteriormente:
Revisión de la documentación relacionada con EXUMAT 1.0
Lo primero que hizo el colectivo de investigadores fue la revisión y estudio de toda la
documentación relacionada con EXUMAT 1.0 tanto en sus aspectos teóricos,
metodológicos y computacionales, de forma tal que las insuficiencias detectadas fueran el
punto de partida en la nueva versión. En este sentido lo más significativo fue la no
inclusión, de reactivos con contenidos como la derivada e integración de funciones
trascendentes, determinación de los extremos de una función, determinación de los ceros de
una función cuadrática a partir de su gráfica, aplicación de la ley de los senos y los cosenos,
etc.
Análisis de los programas de estudio de Matemática del nivel primario hasta el
bachillerato.
Una vez revisada la documentación relacionada con EXUMAT 1.0, el grupo de
investigadores pasó a estudiar los programas de estudio de Matemática desde el nivel
primario hasta el nivel de bachillerato, tanto de escuelas públicas como privadas; en este
estudio se hizo énfasis en los objetivos que se deben lograr en cada grado o año de los
diferentes niveles, a partir de los cuales se definieron las áreas nodales que debía abarcar el
examen según el criterio de experto de los investigadores.
Definición de las áreas nodales y habilidades asociadas
Las áreas nodales constituyen los núcleos fundamentales de contenidos que estarán
reflejados en los reactivos del examen, asociados a las mismos están las habilidades a
lograr aunque esto no se puede interpretar que para todas las habilidades asociadas a cada
área nodal existan reactivos; lo que se ha tratado es de que haya una representatividad de
las habilidades en los reactivos formulados.
751

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
A continuación se presenta la tabla 1 con el resumen de la cantidad de áreas nodales y la
cantidad de reactivos por tipo de nivel :
Tabla 1. Cantidad de áreas nodales y reactivos
Nivel Cantidad de áreas nodales Cantidad de reactivos
Primaria 9 66
Secundaria 21 92
Bachillerato 25 61
Total 55 219
Confección del examen.
Teniendo en cuenta lo analizado del EXUMAT 1.0, los objetivos a lograr por cada grado o
año de cada tipo de nivel, así como las áreas nodales definidas y las habilidades asociadas,
se procedió a la confección del examen para lo cual dos de los investigadores (profesores
de Matemática) hicieron por separado un examen. Estos exámenes fueron sometidos a
debate, primero entre los dos profesores de Matemática y posteriormente entre todos los
investigadores, con el objetivo de depurar aquellos reactivos que se considerarán no
adecuados por la redacción, dificultad o cualquiera otra razón, de este proceso quedaron
219 reactivos.
Los reactivos tienen la característica de evaluar aquellos contenidos troncales del
curriculum de Matemática desde el nivel primario, a partir del tercer grado, hasta el
bachillerato, los mismos permiten dar respuestas abiertas de diferentes tipos tales como:
numérica, textual y cerrada. La calificación de la preguntas es en base al valor 1 si ésta es
correcta y 0 si es incorrecta. En la tabla 2 se muestran varios ejemplos de tipos de preguntas
y respuestas.
Tabla 2. Tipos de preguntas y respuestas del EXUMAT 2.0
Tipo de preguntas Ejemplo Respuesta
Respuesta numérica,
entera
Respuesta numérica,
entera, doble
Respuesta numérica,
decimal
752
Un excursionista hizo un recorrido de 5 días. El primer día caminó 39
Km; el segundo, 43Km; el tercero, 27Km; el cuarto, 19 Km; y el
quinto día recorrió 32 Km. ¿Qué distancia recorrió en los tres primeros
días?
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2x + y = 5; 3x + y = 8
Se compraron dos máquinas. Si una costó $68.85 y otra $57.65,
¿cuánto se gastó en total?
Respuesta textual Escribir con palabras en pesos y centavos: $352.75
Respuesta
fraccionaria
Encontrar una fracción que represente la región iluminada
109
x = 3
y = -1
126.5
Respuesta algebraica Multiplicar (m 2 + mn + n 2 )(m – n). m 3 – n 3
Trescientos
cincuenta y dos
pesos con setenta
y cinco centavos
3/8

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Respuesta cerrada de De las siguientes fracciones, cuál es la mayor: ½, 1/3, 2/5.
½
opción múltiple
Aplicación del examen.
El examen fue aplicado, como prueba piloto, a 131 estudiantes de la preparatoria del
CETYS de Ensenada en la primavera de 2002, con este fin se robusteció la versión del SEA
preparada para el EXUMAT 1.0 (Backhoff y Rosas, 2000). Debido a la extensión del
examen, 219 reactivos, este se dividió en cuatro sesiones en días sucesivos.
Análisis e interpretación de los resultados
Procesamiento con el sistema BILOG
La base de datos generada por las respuestas dadas por los 131 estudiantes a los 219
reactivos, caracterizada por datos con valores 1 (respuesta correcta) y 0 (respuesta
incorrecta) fue procesada con el sistema BILOG, el cual permite calcular los indicadores
psicométricos de los reactivos del examen: índices de discriminación a y de dificultad b.
El sistema pudo calcular los coeficientes de discriminación y de dificultad de 176 reactivos
de los 219, o sea, para 43 reactivos no se pudieron calcular estos, para un 80,4 % de
indicadores que fueron calculados correctamente. La causa fundamental fue que para esos
43 reactivos habían pocas respuestas y el sistema no podía hacer un procesamiento
correcto. La siguiente tabla refleja la disminución del número de reactivos por áreas
nodales antes y después de aplicar el BILOG:
Tabla 3. Cantidad de reactivos por áreas nodales antes y después de aplicar el BILOG
Nivel Cantidad de
áreas nodales
Cantidad de
preguntas antes
de aplicar
BILOG
(I)
Cantidad de
preguntas
después de
aplicar BILOG
(II)
Diferencia I - II % Diferencia
I - II
Primaria 9 66 48 18 27,3
Secundaria 21 92 70 22 23,9
Bachillerato 25 61 58 3 4,9
Total 55 219 176 43 19,6
De la tabla anterior se infiere que la mayor disminución en la cantidad de preguntas por
áreas nodales se encuentra en el nivel primario, seguido por el nivel secundario y la menor
disminución en el nivel de Bachillerato.
Análisis de la correspondencia entre la escala de dificultad matemática de los reactivos y
el nivel de dificultad obtenido para cada reactivo por el sistema BILOG del EXUMAT
2.0.
Al confeccionarse el EXUMAT 2.0 los investigadores tuvieron presente el grado de
dificultad matemática de los reactivos de acuerdo a la experiencia de los mismos como
profesores de matemática. La idea fue que a partir del reactivo 1, la dificultad del reactivo
siguiente fuera mayor, o al menos lograr que cuando se pasara de un nivel a otro, la
dificultad media de los reactivos aumentara. Esto es un proceso complejo pues el reactivo
que tiene una determinada dificultad para una persona no la tiene para otra y así
sucesivamente.
753

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Con el objetivo de analizar la correspondencia entre el grado de dificultad matemática de la
escala de conceptos matemáticos asociados a los reactivos y el nivel de dificultad obtenido
para cada reactivo por el sistema BILOG, se procedió a hacer lo siguiente:
Se halló el índice de dificultad medio de los reactivos según su nivel, o sea, primaria,
secundaria y bachillerato, a partir de los 176 reactivos que el sistema BILOG pudo calcular
sus índices. Para esto hubo que identificar los reactivos que quedaban de cada nivel con
respecto a los 219 reactivos iniciales.
Posteriormente se ordenaron los 176 reactivos por orden de dificultad de menor a mayor, y
se seleccionaron la cantidad de reactivos según su nivel; por ejemplo, si en el nivel
primario quedaron 48 reactivos, entonces cuando los reactivos fueron ordenados por el
índice de dificultad se buscaron los primeros 48 reactivos para comparar si eran los mismos
sin ordenamiento de dificultad y así sucesivamente con el resto de los reactivos de los otros
niveles.
Por último se compararon los índices de dificultad medio de los reactivos de los puntos 1 y
2 y se llegaron a conclusiones con relación al nivel de correspondencia.
La siguiente tabla resume el resultado obtenido:
Tabla 4. Comparación de la media del índice de dificultad para cada nivel con y sin ordenamiento de
los índices de dificultad de los 176 reactivos finales
754
Nivel Sin ordenamiento Con ordenamiento
Primario -1.918 -2.176
Secundaria -0.061 -0.197
Bachillerato 0.962 1.359
De la tabla anterior se infiere que los 176 reactivos que quedaron después de aplicar el
sistema BILOG a los resultados de las respuestas a los 219 reactivos iniciales del
EXUMAT 2.0, tienen una dificultad creciente al pasar de un nivel a otro, con y sin
ordenamiento del índice de dificultad de los reactivos, lo anterior se corrobora haciendo una
lectura vertical de las columnas dos y tres de la tabla anterior. Si la lectura la hacemos
horizontalmente, observamos diferencias, más acentuadas en el nivel de secundaria, entre
los índices de dificultad medio de cada nivel; este resultado tiene relación directa con el
hecho que al ordenar los reactivos por su índice de dificultad de menor a mayor
complejidad, la cantidad de reactivos por tipo de nivel no se corresponde cuando los
mismos están ordenados a partir de su dificultad matemática según el criterio de los
investigadores. La siguiente tabla refleja la cantidad de reactivos que no le corresponden a
cada nivel cuando los reactivos están ordenados a partir de sus respectivos índices de
dificultad, por lo que los índices de dificultad de estos reactivos distorsionan los índices
medios de la columna dos en la tabla 4.
Tabla 5. Cantidad de reactivos por niveles y ordenamiento
Nivel Cantidad de reactivos del nivel
según ordenamiento de
complejidad matemática
Cantidad de reactivos que no
le corresponden al nivel al
ordenarse por el índice de
dificultad
Primario 48 13 27.1
Secundaria 70 17 24,3
%

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Bachillerato 58 17 29.3
Totales 176 47 26,7
Conclusiones
Lo primero a considerar del trabajo es la metodología que se siguió para la confección,
aplicación e interpretación de los resultados del EXUMAT 2.0; otro aspecto que se ha
puesto de manifiesto es la aplicación del Sistema de Exámenes Adaptativos (SEA), en su
versión más actualizada, desarrollado en el IIDE para administrar el EXUMAT 2.0.
El EXUMAT 2.0 es una versión actualizada del EXUMAT 1.0 para la cual existen
reactivos que se corresponden con áreas nodales no incluidas en la versión anterior, tales
como la de derivación e integración de funciones trascendentes, determinación de los
extremos de una función, determinación de los ceros de funciones cuadráticas a partir de
sus gráficas, aplicación de la ley de los senos y los cosenos, etc.
La administración del EXUMAT 2.0 a los estudiantes de la preparatoria del CETYS de
Ensenada, como prueba piloto, permitió obtener los índices de discriminación y de
dificultad de 176 de los 219 reactivos iniciales. Para los 43 reactivos restantes faltaron las
cantidades necesarias de respuestas para el procesamiento con el sistema BILOG. Este
hecho nos pone de manifiesto que todavía se deben hacer precisiones en la formulación de
las preguntas atendiendo a factores como redacción, “dificultad matemática”, etc.
Al comparar las medias de los índices de dificultad de los reactivos por tipo de nivel, antes
y después del ordenamiento de los reactivos por el índice de dificultad, se pudo constatar
que no existe una correspondencia, a un alto grado, entre la escala de los reactivos
ordenados a partir de su dificultad matemática y el nivel escolar en que se enseñan, aunque
consideramos que los resultados obtenidos son estimulantes para continuar ajustando esta
técnica evaluativa.
Bibliografía
Backhoff, E. Ibarra, M.A. y Rosas, M. (1994). Versión Computarizada del Examen de Habilidades y
Conocimientos Básicos. Trabajo presentado en el 23 o Congreso Internacional de Psicología
Aplicada. Madrid, España.
Backhoff, E., Ibarra, M.A. y Rosas, M. (1995). Sistema Computarizado de Exámenes (SICODEX). Revista
Mexicana de Psicología, vol. 12, No. 1, pp. 55-62.
Backhoff, E., Rosas, M. (2000). Sistema Computarizado de Exámenes Adaptativos de Matemáticas. IV Foro
de evaluación educativa. Ciudad Juárez, Chihuahua, y El Paso, Texas, 30, 31 de octubre y 1 0 de
noviembre de 2000.
755

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UNA GEOMETRÍA DE HILBERT
756
Gonzalo Riera, Rubén Preiss y Hernán Carrasco
P. U. Católica de Chile, U. Diego Portales, U. de las Américas
griera@mat.puc.cl, ruben.preiss@udp.cl, hcarrasc@uamericas.cl.
Resumen
En las geometrías conocidas, tales como la Euclidiana, Esférica o Hiperbólica, damos por sentado muchas
propiedades elementales sin mayor reflexión. Por ejemplo, en la Geometría de Euclides sabemos que todos
los triángulos equiláteros de lado 1 son congruentes entre sí, con área igual a 3 . Es interesante entonces
conocer un modelo geométrico sencillo en el cual es preciso replantearse todas esas propiedades, tales como
la definición de un ángulo o el área de un triángulo. Veremos que aquí no todos los triángulos equiláteros de
igual lado son congruentes entre sí, aunque podemos hablar de ángulos, distancias y funciones
trigonométricas. El modelo que planteamos es el de la Geometría de Hilbert en un triángulo que ya fue
explicada en [ 1 ] . En este trabajo mostramos algunos resultados, con las potencialidades y beneficios
ofrecidos por la Geometría No-Euclidiana no solamente desde el punto de vista científico, sino también, desde
el punto de vista didáctico, toda vez que es posible usar este tipo de Geometría como herramienta para
motivar e integrar a docentes y estudiantes en la comprensión de la Ciencia y a usar la tecnología educativa
como campo de experimentación para desarrollar abstracciones en mundos imaginarios diferentes, donde la
geometría es tratada por medio de modelos que toman como base un conjunto convexo proporcionado por
David Hilbert y donde se hace necesario estudiar los conceptos básicos como la estructura y definición de un
círculo y un ángulo, y nos concentramos en obtener algunos teoremas importantes en la Geometría
hiperbólica. En resumen, si bien los resultados presentados en este trabajo constituyen un aporte creativo de
conocimiento en lo científico (en lo respecta al estudio, investigación y obtención de algunos de teoremas de
la Geometría No-Euclidiana), constituyen también un aporte desde el punto de vista didáctico en la
enseñanza de la Geometría No Euclidiana.
Introducción
Resumimos a continuación lo explicado en [1] para conveniencia del lector. Dados cuatro
puntos A, B, C, D en una línea recta en el plano euclideano (cartesiano) usual, la razón
doble se define por:
(A B C D) =
AC
D B
⋅
C B
A D
. Esta razón es invariante bajo proyección desde un punto.
A’ B’ C’
A B C D
Hilbert considera la distancia siguiente para dos puntos cualquiera P y Q en el interior de
un cuerpo convexo.
D’
(A B C D ) = ( A’ B’ C’ D’ )
P
Figura 1
4

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Es esta una distancia bien definida bajo la cual los puntos del borde del cuerpo convexo
están “al infinito”. Nuestro espacio es el interior de un triángulo de vértices A, B, C. En
ese espacio vimos que:
Y
P
Q
X
δ ( P , Q)
=
δ ( P , Q)
+ δ ( Q , R ) = δ ( P , R )
Log(
P Q X Y )
para puntos que no necesariamente están en línea recta y estudiamos la forma de la
circunferencia unitaria.
Ρ5
Ρ4
La “circunferencia” unitaria : δ ( O , P ) = 1
Coordenadas
Recordamos que dados dos puntos A y B, entonces un punto Q divide al segmento A B en
la razón k siA Q / Q B = k . Resolviendo para Q se tiene: Q = aA + bB con a + b = 1
donde:
a = 1/
( 1 + k)
, b = k / ( 1 + k)
.
Esta segunda forma es independiente del origen escogido en la recta por A B o en
cualquier origen en realidad. De igual forma, dados tres puntos A , B y C en el plano,
un punto P en él se escribirá:
Ρ = a A + b B + c C , a + b + c = 1
y los puntos al interior del triángulo ∆ ABC corresponden a: a ≥ 0, b ≥ 0,
c ≥ 0 .
Llamaremos (a, b, c) las coordenadas proyectivas del punto P. Los puntos (0, b, c)
corresponden al lado BC y así también para los otros dos lados. Observaremos una relación
entre las coordenadas de P y de su proyección en uno de los lados.
C
Ρ3
i
0
Ρ6
A B
Ρ2
Ρ1
Figura 3
757

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
A
758
p
Pc
C
B
a
1 − c
b
1 − c
Si P = (a, b, c) entonces: Ρ = + B
k = b /a.
c
A
De modo que
Proposición 1
Si P = (a, b, c); Q = ( u, v, w) y la recta que los une intersecta
los lados AC y BC entonces :
δ(
P,
Q)
=
⎛ v a⎞
Log ⎜ ⋅ ⎟
⎝ u b ⎠
Demostración:
Por proyección desde C se tendrá δ ( P , Q ) = Log ( P Q X Y)
= Log ( P Q B A)
C C .
Pero ( PC
QD
B A)
=
PC
B
⋅
B QC
A QC
PC
A
= L / k =
v
⋅
u
a
, de donde se obtiene la conclusión.
b
Para referencia, las coordenadas de los puntos en la figura 3 son: 0 = ( 1/3 , 1/3 , 1/3)
P1
=
1
2 + e
( 1,
e,
1)
, P 2 =
1
2e
+ 1
( 1,
e,
e)
, P 3 =
1
2 + e
( 1,
1,
e)
,
P 4 =
1
( e,
1,
e)
,
2e
+ 1
P5
=
1
2 + e
1
( e,
1,
1)
y P6
= ( e,
e,
1)
.
2e
+ 1
Además los segmentos del borde se parametrizan por
P1 P2
=
1
( t , et
, 1 − t − e t)
con
2e
+ 1
≤ t ≤
1
2 + e
= ( t , 1 − t − et
et
) ;
= ( 1 − t − et
, t et
) ; P4 P5
= ( et
, t , 1 − t − e t )
= ( et , 1 − t − et
t)
; P P = ( 1 − t − et
, et
, t)
.
P 2 P3
,
P P
,
3
4
P P
,
5
6
6
1
Junto a estas coordenadas proyectivas consideramos las coordenadas afines de un punto P
definidas por:
⎧ x = a / c
Si P = (a, b, c) con a + b + c = 1 entonces: P = [ x,
y]
con ⎨
⎩ y = b / c
(Suponemos entonces P al interior estricto del triángulo, donde a, b, c son positivos).
Si conocemos las coordenadas afines [ x, y] podemos obtener las coordenadas proyectivas
por:
a = x / ( 1 + x + y)
; b = y / ( 1 + x + y)
; c = 1 / ( 1 + x + y)
Estas coordenadas afines tienen la ventaja de ser dos (y no tres) en un espacio de dimensión
dos.
La fórmula para la distancia en estas coordenadas varía sin embargo y la escribimos aquí:
A
C
P Q
B
P = [ x, y] Q = [r, s]
⎛ s x ⎞
δ(
P , Q)
= Log⎜
⋅ ⎟
⎝ r y ⎠
;

A
C
P
Q
B
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
⎛ 1 ⎞
δ ( P , Q)
= Log ⎜ ⋅ y⎟
⎝ s ⎠
δ(
P , Q)
=
⎛ 1
Log⎜
x ⋅
⎝ r
En coordenadas afines las coordenadas de los puntos en la figura 3 son: [ 1,
1]
−1
−1
−1
−1
P 1 = [ 1,
e]
; P 2 = [ e , 1]
; P 3 = [ e , e ] ; P 4 = [ 1,
e ] ; [ e,
1]
P [ e,
e]
6 =
A
⎞
⎟
⎠
0 = ;
P 5 = ;
Funciones Trigonométricas
Debemos ahora considerar la definición de ángulo. Consideremos dos semirectas que se
intersectan en un vértice P. Por una isometría podemos llevar P al punto central O; las
semirectas intersectan a la circunferencia unitaria en dos puntos. La longitud de ese arco
será la medida de nuestro ángulo.
> U0V=α si.
δ U,
P ) + δ ( P V ) =
( 2
2 ,
P
C
Q
B
α
El ángulo completo mide entonces 6, pues la circunferencia completa mide 6. El ángulo
plano medirá 3. Tal como en el caso clásico, tomamos ahora una semi-recta en O P 1 que
empieza a girar en el sentido contrario a las agujas de un reloj. Definimos [ C ( α ) , S ( α ) ]
como las coordenadas afines del punto P si ∠ OP
= α
P 1
0
Figura 7
α
O
1
1
P = [ C (α) , S (α) ]
Ρ1
= [ 1 , e]
V
P 2
U
P 1
759

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Proposición 2
Las funciones trigonométricas tienen los valores siguientes:
1
⎪⎧
C ( α)
⎨
⎪⎩ S ( α)
=
=
− α
e
1−α
e si
⎪⎧
C ( α)
2. ⎨
0≤
α ≤ 1
⎪⎩ S ( α)
=
=
e
e
3.
⎪⎧
C ( α)
⎨
⎪⎩ S ( α)
α − 3
= e
−1
= e si
α
⎪⎧
C ( α)
= e
4. ⎨
α
2≤
α ≤ 3
⎪⎩ S ( α)
= e
5.
⎧C
( α)
= e
⎨
α−4
⎩S
( α)
= e si 4 ≤ α ≤ 5
6
⎧C
( α)
= e
6. ⎨
⎩S(
α)
= e
y se extienden por periodicidad para α ≤ 0 o también para α ≥ 6.
760
−1
1−α
− 3
− 4
−α
si
si
1≤
3≤
si
α ≤ 2
α ≤ 4
5≤
α ≤ 6
Demostración
Verificamos la fórmula 1) utilizando para ello las distintas versiones de la distancia.
⎛ 1−α
−α
1−α
1 ⎞
δ ( O , P)
= δ ( [ 1,
1]
, [ e , e ] ) ⎜ e
= Log ⋅ ⎟ = Log e = 1
⎜1
−α
⎟
⎝ e ⎠
δ ( P , P 1 ) = δ ( [ 1,
e]
,
− α 1 − α [ e , e ] ) = Log
α ⎞
⎜ e ⎟
⎜ ⎟
⎝
1
⎠
=
α
Log ( e ) = α
Las otras fórmulas son similares.
Corolario
La gráfica de la función C (α ) es la siguiente:
En tres períodos completos se verá:
e
2
1
−1
e
⎛ −
0 6 12 18
Figura 8

La gráfica de S (α ) es similar
Observamos entonces que:
relación no inmediata a partir de la definición.
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
b
Área de un Triángulo
Consideremos un triángulo en nuestra geometría de
lados de longitudes b y c y ángulo α.
Es razonable definir su área por b.c (área triángulo de
P
α
lados 1 y ángulo α). Esto nos lleva a la pregunta:
¿Cuánto vale el área de un triángulo de lados 1 y
c
ángulo α? O más precisamente aún: ¿Cuánto vale el
área de un triángulo equilátero de lados 1 y ángulo 1?
Si llevamos por una isometría el vértice P al origen 0, esa área será igual a ½ si los otros
vértices son Ρ 1 y Ρ 2 . En efecto, el área total del círculo de centro 0 y radio 1 debe ser 3.
Pero si los otros vértices no están en esa posición, la respuesta varía.
Proposición 3
Supongamos que un triángulo equilátero de lado 1 tiene un vértice en 0 y demás vértices en
Ρ = [ C ( α ) , S ( α ) ] , Q = [ C ( α + 1)
, S ( α + 1)
] .
−α
1−
α
Entonces su área es igual a
e + e − 2
Demostración
1
2
e
2
1
−1
e
Log
1 2 3 4 5 6
Figura 9
e − 1
( α − 1)
S ( α )
C =
O
[ C(
α + 1)
, S(
α + 1)
]
X
[ C(
α)
, S(
α ) ] =
P 1
P 2
761

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
1
∆O UΡ2
= ( 1 − α)
,pues el área total es 1
1O 2 = 2
2
Ρ Ρ ∆ . De igual anera: α = Ρ ∆
1
O 2 V .
2
1 1
1
Entonces: ∆OUV = ∆OUX
+ ∆OVX
= 0X ∆OUΡ2
+ 0X∆OV
Ρ2
= OX( α + ( 1 − α)
) = OX .
2 2
2
Basta calcular entonces la distancia 0 X donde X es el punto de intersección de las rectas
por U , V y por O, Ρ 2 . Eso da el resultado de la proposición.
Corolario: No todos los triángulos equiláteros de lado 1 tiene igual área.
Bibliografía
Riera, G., Carrasco H., Preiss R. (1999). La Geometría de Hilbert en un triángulo. Revista Pharos, 6 (2): 61-
69. ISSN 017-1307. Universidad de las Américas. Chile.
Buseman, H. (1955). The Geometry of Geodesics. Academic Press Inc. New York. USA.
Hilbert D. (1971). Foundations of Geometry. Open Court, La Salle. USA.
Buser, P. (1992). Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces. Birkhäuser.
Castelnuovo, G. (1959). Lecciones de Geometría Analítica. Edit. Calomino, La Plata, Argentina.
762

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA EN LA ENSEÑANZA BASICA:
GEOMETRÍA DE LA ESFERA
Nélida Pérez y Raquel Cognigni
U. Nacional de San Luis e Instituto San Agustín, San Luis, Argentina
nperez@unsl.edu.ar
Resumen
Con el convencimiento de que la Enseñanza General Básica debe ofrecer a los educandos la oportunidad de
descubrir ideas geométricas a través de actividades de manipulación de objetos cotidianos, y de que es posible
llevar contenidos no convencionales a las aulas. Encontramos en las geometrías no-euclidianas, materia
prima para alcanzar el objetivo. Trabajamos con la “Geometría de Riemann” cuyo modelo es un objeto muy
familiar: la esfera, y no es difícil imaginar un mundo de dos dimensiones sobre su superficie; mostramos que
el ejemplo más clásico de una geometría sin paralelas se obtiene observando la tierra. Nuestra metodología
estuvo orientada al sujeto que aprende, la basamos en la motivación, ya que predispone al alumno al
aprendizaje e induce al esfuerzo intelectual. Nos concentramos especialmente en una selección de
contenidos, que favorecieran la comprensión, la observación, la experimentación, el descubrimiento de
regularidades, la formulación de hipótesis y conjeturas y la comprobación de las mismas. Como conclusión
destacamos que las actividades desarrolladas, investigar y comparar la geometría Euclidiana con una no
Euclidiana condujeron a la comprensión de lo que es un sistema axiomático. En este reporte exhibimos
algunas conclusiones y describimos la experiencia realizada con alumnos de 8º año de Enseñanza General
Básica (12-13 años de edad) tomando como punto de partida la investigación realizada con los mismos
alumnos en el año 2000.
Introducción
Si queremos pensar para nuestras aulas una Geometría con un enfoque diferente a la
propuesta por Euclides, debemos remontarnos al Siglo XIX, donde comienza la historia del
cambio, con el advenimiento de las geometrías no-euclidianas. En 1854, George Friedrich
Bernhard Riemann (1826-1866), con motivo de su admisión como profesor de la
Universidad de Gotinga, presentó una disertación titulada “Sobre las Hipótesis en que se
apoyan los Fundamentos de la Geometría”. Entre otros temas, analizó el postulado dos y
cinco de Euclides, una de sus conclusiones fue que el postulado cinco era independiente y
se podía reemplazar por “Todo par de rectas se corta” (no existen las paralelas). Esta
modificación del postulado cinco condujo a lo que actualmente llamamos geometría
elíptica o geometría riemanniana.
Encontramos apropiado para lograr nuestros objetivos hacer geometría sobre la esfera,
contando con las ventajas del modelo simple, poder mostrar un mundo sin rectas paralelas
observando nuestro planeta y posibilidad de emplear variados materiales que permiten la
experimentación.
Objetivos
Realizar experiencias sensibles, visuales y táctiles que constituirán, la base de abstracciones
posteriores y son claves para el desarrollo del pensamiento geométrico.
Mostrar que intuitivamente se puede acceder a contenidos que tradicionalmente se piensan
sólo para niveles superiores.
Desarrollar actividades que acerquen a la comprensión de lo que es un sistema axiomático.
763

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Consolidar lo aprendido de geometría de la esfera, mejorando las conclusiones que se
tenían e incursionar en el trazado de figuras sobre la esfera y cálculo de áreas.
Antecedentes
El grupo de estudiantes era básicamente el mismo con el que iniciamos nuestra experiencia
con “geometría riemanniana” en el año 2000. Las conclusiones y conocimiento de aquel
primer trabajo fueron nuestro punto de partida.
Ya habían descubierto
que la distancia menor
entre dos puntos A y B,
sigue el arco de círculo
máximo que pasa por esos
dos puntos; “el círculo
máximo de una esfera es
la recta en nuestro nuevo
plano: la superficie
esférica”.
Conocían el significado
del término geodésica: distancia más corta entre dos puntos.
Habían analizado propiedades y postulados de la geometría euclidiana y controlado su
validez considerando la superficie de una esfera.
Para situarnos, enunciamos someramente conclusiones que se obtuvieron en aquella
oportunidad (alumnos de 6º año, 2do.ciclo de EGB, edades 10-11 años) y presentamos el cuadro
comparativo estableciendo diferencias y similitudes entre lo que llamaron plano viejo
(plano euclidiano) y plano nuevo (superficie de la esfera).
1. La longitud de una circunferencia dibujada sobre una superficie esférica oscila entre 2d
(2 veces el diámetro) y πd (π por diámetro).
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico es mayor que 180º y no tiene el
mismo valor para todos.
3. Se pueden encontrar triángulos con sus tres ángulos rectos.
4. No existen los rectángulos sobre la superficie esférica.
5. Para que dos triángulos sean semejantes deben ser iguales.
PLANO VIEJO (Plano euclidiano) PLANO NUEVO (Superficie de la esfera)
Dos puntos determinan una recta a la que
pertenecen.
764
Dos puntos cualesquiera determinan una circunferencia
máxima a la que pertenecen. Siempre que los puntos no
sean antipodales.
El mínimo camino entre dos puntos es el El mínimo camino entre dos puntos es el arco de cir-
segmento de recta que ellos determinan. cunferencia máxima (< que una semicircunferencia)
Una recta es infinita. Si no se designa ningún punto, el recorrido sobre una
circunferencia máxima, puede prolongarse
Por un punto exterior a una recta pasa
una y sólo una paralela a ella.
indefinidamente
Por un punto exterior a una circunferencia máxima NO
pasa ninguna circunferencia máxima paralela a ella.
Pasa otra circunferencia máxima que siempre corta a la
dada.
Tres puntos que no pertenecen a la misma Tres puntos determinan un triángulo esférico.

ecta determinan un triángulo.
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Materiales empleados: Papeles, cartulinas, hilos, globo terráqueo, esferas de telgopor o de
corcho, pelotas, esferas transparentes, trozos de tela, cinta engomada, tijeras, cuchilla para
cortar, marcadores, papel de calcar, regla, transportador, compás.
Desarrollo de la experiencia
La experiencia se realizó en uno de los Talleres de Matemáticas que se ofrecen en el
Instituto San Agustín de la ciudad de San Luis, durante el primer
cuatrimestre del 2002 con alumnos de 8º Año, (Tercer ciclo de
EGB 12-13 años de edad).
Teníamos en claro que la observación libre debe ir acompañada
de las observaciones provocadas, por lo cual las orientábamos
hacia aspectos que no siendo obvios o aparentes podían generar
gran interés y provocar la discusión y elaboración de conjeturas.
Las observaciones fueron acciones personales realizadas por
cada alumno (comparación, medición, manipulación, etc.) para lo
cual se usaba material variado, de modo que cada alumno
pudiera tener una interiorización propia del problema y obtener
una conclusión, que siempre era debatida en una puesta en
común.
A efectos de esta presentación exponemos seis temas:
Tema 1: Triángulo.
Usando marcadores, los alumnos dibujaron triángulos sobre las esferas que disponían. Se
generó una rica discusión entre ellos, ya que algunos trazaron efectivamente triángulos
esféricos, cuyos lados eran trozos de alguna circunferencia máxima y otros que, si bien a
simple vista parecía que habían dibujado un triángulo, afinando la observación no lo era, ya
que sus lados no eran rectos (no eran parte de una geodésica), esta práctica también sirvió
para reafirmar cuáles eran las rectas en el plano que trabajábamos.
Luego pudieron expresar el concepto de triángulo esférico, diciendo: “Para dibujar un
triángulo se deben trazar tres puntos A,B,C y las rectas AC, BC y AB, recordando que AC,
BC y AB son trozos de circunferencias máximas”.
Llegado a este punto, planteamos las siguientes preguntas:
¿Hay que imponer alguna condición a los puntos A, B y C para que determinen un
triángulo sobre la esfera? ¿Es posible que dos puntos, A y B sean antipodales?.
Siguieron trabajando experimentalmente y vieron que se debe pedir que los tres puntos A,
B y C no deben estar sobre la misma recta (misma geodésica) y además dos de ellos no
pueden ser antipodales.
Así enriquecieron la conclusión anterior y quedó: Tres puntos que no pertenezcan a la
misma circunferencia máxima determinan un triángulo esférico, siempre que dos de ellos
no sean antipodales.
Tema 2: Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Confiando en el procedimiento que resultó más exitoso para medir ángulos:
765

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Calcar el ángulo a medir sobre la esfera en una hoja de papel muy cerca de su vértice y
luego prolongar sus lados (considerar la tangente) para medirlo en el plano, habían obtenido
que:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico es mayor que 180º.
Se planteó mejorar la observación: “mayor que 180º”. Estaba latente la pregunta: ¿Puede
llegar a valores grandes, como por ejemplo 800º?
Volvieron a experimentar, nuevamente dibujaron triángulos con dos ángulos rectos.
Bastaba situar dos puntos A y B sobre el Ecuador y el otro punto, C en uno de los polos.
Redescubrieron el otro caso notable: trazaron por los polos dos rectas (circunferencias
máximas) perpendiculares y las cortaron con una recta a la altura del Ecuador terrestre,
obtuvieron ocho triángulos con sus tres ángulos rectos.
Es decir que eligiendo el segmento AB como un cuarto del Ecuador terrestre y el punto C
en uno de los polos obtenían un triángulo equilátero con tres ángulos rectos.
Así pudieron concluir que sobre la superficie de la esfera se pueden trazar triángulos con
sus tres ángulos rectos, (tri-rectángulos), para estos la suma de sus ángulos interiores es
270º. Continuaron dibujando gran cantidad de triángulos cóncavos y convexos (buscando
posiciones límites), hasta obtener la conclusión:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo, ya sea cóncavo o convexo, varía entre
180º y 540º.
El máximo valor para triángulos convexos se obtiene cuando cada ángulo se aproxima
180º, por lo cual la suma se acerca a 180º x 3= 540º. Para el caso de los triángulos
cóncavos, el máximo valor se obtiene cuando el ángulo cóncavo se aproxima a 360º y los
otros dos se hacen casi 90º. Luego: 360º + 90º + 90º = 540º.
El mínimo cercano a 180º se logra con triángulos de pequeñas dimensiones, ya tenían claro
que en porciones pequeñas, la superficie de la esfera se comporta como una parte del plano.
Tema 3: Figuras formadas por tres circunferencias máximas.
Aprovechando las tres circunferencias
máximas que trazaban
para marcar un triángulo, se pidió
que observaran si encontraban
alguna otra propiedad o figura que
quedara formada al trazar esas
geodésicas. Vieron que todas las
figuras que se forman son
triángulos. Los pintaron de distintos colores y pudieron comprobar que se formaban ocho
triángulos, llegando a conjeturar además que: “los triángulos opuestos son iguales”.
Para verificar esta hipótesis utilizaron una esfera transparente, y confirmaron que:
Siempre quedan formados 8 triángulos.
Cada triángulo es opuesto a un triángulo que es su reflejo a través del centro de la esfera
Tema 4: Figuras de menos de tres lados.
Con facilidad pintaron sobre la superficie esférica figuras de dos lados rectos.
Una gran diferencia con la geometría en el plano, es que dos rectas no pueden encerrar una
superficie, pero sobre la esfera, dos círculos máximos forman una figura de dos lados que
encierra un área. Se llama biángulo, también se emplea el nombre de huso, cuña esférica o
luna para designar esta figura. Los alumnos la descubrieron experimentando con los
materiales y sin haber hecho una hipótesis previa.
766

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Además llegaron a concluir que existen figuras de un solo lado recto. El único lado recto
es una circunferencia máxima, la figura es una semiesfera, o un hemisferio para usar el
nombre dado cuando se estudia geografía. Dos hemisferios cubren la tierra.
Concluyeron que: hay “polígonos” de uno y dos lados.
Tema 5: Polígonos regulares
Surgió la cuestión de cómo dibujar polígonos regulares sobre la esfera, o sea polígonos que
tuvieran la propiedad de lados de igual medida y ángulos iguales.
¿Cómo dibujar un cuadrado?
Para trazar un cuadrado se hicieron muchos experimentos. Teniendo siempre en mente que
querían lograr igualdad de ángulos, después de numerosos intentos obtuvieron una manera
práctica: trazaron dos círculos máximos intersecados a 90º (equivalente a 4 meridianos).
Desde el punto de corte, “N”, marcaron cuatro puntos, A, B, C y D uno sobre cada
meridiano de modo que NA, NB, NC y ND tuvieran la misma longitud, a continuación
unieron con rectas (círculos máximos) los puntos A, B, C y D, la figura tiene cuatro
ángulos iguales y lados de igual longitud, puede obtenerse un cuadrado cóncavo o uno
convexo, según como se tracen los lados.
Para dibujar un hexágono se trazaron 6 meridianos desde el polo N, con separación de 60º,
y procedieron como para el cuadrado.
¿Cuál era la medida de los ángulos interiores de estas figuras?
Tanto para el cuadrado como para el hexágono observaron que el ángulo interior de mayor
medida lo conseguían cuándo los vértices están muy cerca del ecuador geográfico, (en el
límite los ángulos interiores son de 180º y el polígono resulta un hemisferio) y el ángulo de
menor medida se consigue acercando los vértices al polo, siempre en un plano paralelo al
ecuador. Así comprobaron que
Para el cuadrado sobre la esfera el ángulo interior ← varía entre 90º y 180º, es decir
90º < ← < 180º, y para el hexágono la variación es: 120º < ← < 180º. Por lo tanto se
concluyó que: El valor de la suma de los ángulos interiores de cuadrado trazado sobre
una esfera oscila entre 360º y 720º.
Tema 6: Cálculo de áreas en la superficie esférica.
Los primeros intentos para calcular el área de un triángulo cualquiera se hizo por
aproximación, sirvió para interiorizarse con el concepto de área.
Luego se decidió utilizar la fórmula de área de la esfera A=4π.r 2 y a partir de ella intentar
conclusiones para otras figuras sobre la esfera.
La más simple, el área de un hemisferio: 2π.r 2 (mitad del área de la esfera).
Sabían que toda esfera queda cubierta con 8 triángulos que tienen sus tres ángulos rectos.
Por lo cual el área de uno de estos triángulos es la octava parte del área de la esfera, es decir
1 2
Area del tri-rectángulo = 2 π.r
Consideraron otro caso particular: la esfera se puede cubrir con doce triángulos isósceles
cuyos ángulos de la base miden 90º y el del vértice 60º. (Trazar tres rectas por el polo a 60º
y cortarlas con el ecuador). Cada triángulo es la doceava parte de la esfera, luego su área es
2
4πr π 2
=
r .
12 3
767

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
A efectos de continuar con la experimentación se introdujo una nueva definición: “el
exceso de un triángulo esférico es igual a la suma de los ángulos interiores del triángulo
menos 180” o usando radianes: (α + β + γ – π)
Y a continuación se enunció el siguiente Lema:
El área de un triángulo esférico es igual al producto de r 2 por el exceso del triángulo. Es
decir: Área del triángulo con ángulos interiores (α, β, γ) = r 2 (α + β + γ - π).
Aplicaron la nueva fórmula para calcular áreas de tri-rectángulos y de los triángulos
isósceles que conocían y verificaron/compararon los resultados que tenían.
La esfera está dividida en dos lunas (cada una es un hemisferio), dividiendo con un
meridiano el hemisferio a 90º, obtuvieron dos lunas, el área de cada una es πR 2 , (mitad del
hemisferio) continuando con este proceso vieron que podían obtener áreas de otras lunas.
Se intentó la generalización para obtener una fórmula.
¿Qué ocurre si dividimos un hemisferio en n lunas iguales? ¿Cuál es el ángulo de cada
luna? Claramente el ángulo de cada luna es π/n, por lo que el área de cada una de estas
lunas es 2πR 2 /n.
Dado que la manipulación algebraica de los alumnos no estaba madura, no se pudo
continuar el análisis para obtener la fórmula general del área de una luna o cuña esférica
cuyo ángulo fuera cualquiera. Pensamos continuar en esta dirección, emplear álgebra para
encontrar relaciones, hacer uso de la proporcionalidad y dar justificación intuitivaalgebraica
de varias fórmulas.
Conclusiones de la investigación
Los alumnos participantes se sintieron actores y no espectadores en el proceso de
construcción de los nuevos conocimientos. Pudieron formular, controlar y modificar
hipótesis, enriqueciendo cada vez más el proceso de aprendizaje.
La curiosidad se vio estimulada a cada momento, ya que fueron generadores de constantes
preguntas.
Se mantuvo un clima afectivo que permitió la participación individual y la imprescindible
discusión en grupo.
Se logró aumentar las habilidades de visualización, clave para el desarrollo del pensamiento
geométrico.
Las discusiones y el ir y venir sobre conceptos geométricos permitió consolidarlos.
La Geometría aporta temas donde es factible desarrollar investigaciones que aseguren la
participación de los escolares.
Las actividades de investigar y comparar la geometría Euclidiana con una no Euclidiana.
condujeron a la comprensión de lo que es un sistema axiomático.
Otros resultados
A los participantes, el tema les resultó agradable e interesante, por lo cual decidieron
comunicar su vivencia. La investigación con sus conclusiones fue presentada a la Feria
Provincial de Ciencia por tres de las alumnas que asistieron al taller, con el título de: “El
plano curvo”. Obtuvo premio en su nivel y categoría en la Provincia y consiguió el puntaje
para en el certamen Nacional que se realizó en Ushuaia (Arg) en Noviembre del 2002,
donde obtuvo el primer lugar en su categoría.
Bibliografía
Alsina, C.; Fortuny, J. y Pérez, R. ¿Por qué Geometría? Propuesta Didácticas para la ESO. Ed. Síntesis.
Boyer Carl. Historia de la Matemática. Editorial Alianza Universidad Textos.
768

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Colera, J.- Guzman, M. Matemáticas 1, 2 Y 3. Editorial Anaya.
Steen L. A. (1999) Las Matemáticas en la vida cotidiana. Capítulo: Nuevas Geometría para un nuevo
Universo. Editorial Addison y Wesley.
Filloy Yagúe, E. Didáctica e Historia de La Geometría Euclidiana. Grupo Editorial Iberomérica.
Guasco, M.J. y Crespo, C. Geometría: Su enseñanza. Editorial Pro Ciencia. Conicet.
Kasner y Newman. Matemáticas e Imaginación. Editorial Librería Hachette S. A.
Guzman, Colera y Salvador. Matemáticas 1,2 y 3. Editorial Anaya.
Oserman, R. La poesía del Universo. Editorial Drakontos.
Santaló, L. Geometrías no euclidianas. Cuadernos OEA.
Santaló, L. La geometría en la formación de profesores. Editorial, Red Olímpica.
Singer D.A. Geometry: plane and fancy. Editorial Springer.
769

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
HACER ATRACTIVO EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA, INSERTANDO
LOS CONTENIDOS DENTRO DE MODELOS REALES
Sara Arancibia C
Universidad Diego Portales
sara.arancibia@udp.cl
Resumen
Diversos estudios sobre tecnologías educativas para la docencia superior, formulan la participación activa y
aprendizajes significativos, complementado con trabajo interactivo y autoestima positiva. Investigadores en
educación afirman que “Construimos significados cuando relacionamos las nuevas informaciones con
nuestros esquemas previos de comprensión de la realidad”. Por tanto, se propone incluir los contenidos
dentro de situaciones naturales que impliquen el enfrentamiento del alumno con tareas que se asemejen a las
complejas situaciones de la vida real y profesional. Esto apoyado con tecnología, donde el objetivo sea
desarrollar actividades que permitan al alumno descubrir relaciones, propiedades, y donde desarrolle la
capacidad de análisis, creatividad y una actitud crítica hacia los resultados.
Introducción
La mayoría de los estudiantes consideran la matemática relativamente ajena a sus propios
intereses, desconectada del mundo real. La actividad de resolución de problemas no se
presenta como un medio para responder a una problemática real, sino como un fin en sí
misma, donde el alumno aprende métodos y técnicas de resolución.
“Saber matemáticas” no es solamente saber definiciones, teoremas y técnicas para
reconocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos, es “ocuparse de problemas” en un
sentido más amplio que incluye encontrar buenas preguntas tanto como encontrar
soluciones. Un buen aprendizaje por parte del alumno, exige que éste intervenga en la
actividad matemática, lo cual significa que formule enunciados y pruebe proposiciones, que
construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie
con otros.
Metodología propuesta
En el logro de un aprendizaje significativo se requiere que exista una correspondencia en el
“qué enseñar” y en el “cómo enseñar”. En el “qué enseñar” es necesario tener claro el
programa de estudio del curso, sus objetivos y los contenidos. En el cómo enseñar es
importante definir desde un principio, las actividades que se realizarán durante el curso,
acorde a los contenidos del programa. La metodología que se propone es orientar los
problemas a aplicaciones insertas en contextos naturales, donde el alumno tome un rol
activo en la clase y logre visualizar la importancia de las matemáticas en el mundo real. La
propuesta es dar énfasis a problemas que provoquen en el alumno interés por aprender.
Según la experiencia es recomendable realizar trabajos en equipo, como trabajos de
investigación, casos de estudio, exposiciones, juegos. Estas actividades interactivas
permiten que los alumnos definan colectivamente sus objetivos, tomen decisiones, repartan
tareas, se comprometan en su realización, visualicen un resultado y evalúen el desempeño
de la actividad. Además permiten;
• Desarrollo de la capacidad de ponerse metas a corto mediano y largo plazo
• Capacidad para lograr esas metas, conjuntamente con el esfuerzo para obtenerlas.
770

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
A continuación veremos un ejemplo aplicado a un curso de matemática, donde se plantea
los objetivos generales, y ejemplos de actividades y problemas de acuerdo a ciertos
contenidos.
Ejemplo
Objetivos generales:
Desarrollar en el alumno:
• La capacidad de modelamiento y resolución matemática de variados tipos de
problemas
• La capacidad de descubrir relaciones entre números u objetos, deducir fórmulas y
aplicarlas en la resolución de problemas
• El sentido crítico ante el planteamiento de un problema, junto con entender la
necesidad de la matemática como herramienta fundamental en la toma de decisiones
Los ejemplos de problemas estarán de acuerdo a los siguientes temas
“Planteo y resolución de problemas” y “Funciones y aplicaciones”
Tema: Planteo y resolución de problemas
Contenidos: Porcentajes, raíces, ecuaciones, inecuaciones, y métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones
Algunas actividades
• Plantear problemas donde el alumno proponga formas de resolverlos
• Formalizar el desarrollo del problema, utilizando herramientas matemáticas, como
por ejemplo: El planteamiento de ecuaciones e inecuaciones y su resolución,
identificando datos y variables relevantes. Resolver en grupo problemas aplicados a
la realidad, descubrir relaciones, analizar propiedades.
Ejemplos de problemas
Aplicación: Tasa de desempleo- Tasa de cesantía
En Chile, la encuesta más importante para medir el desempleo la hace periódicamente el
Instituto Nacional de Estadística (INE)
¿Cuándo se considera que una persona está desempleada?. Las personas desempleadas se
pueden distribuir en dos grupos: aquellas que buscan trabajo por primera vez y que cuando
se realiza la encuesta no han encontrado un puesto de trabajo, y los cesantes, es decir
personas que ya han trabajado con anterioridad y que aunque tienen experiencia laboral, no
encuentran un empleo.
Cesantes
6,36%
Población
Total
Mayores de 15 años
Menores de 15 años
Tasa de Cesantía y tasa de Desocupación
Oct-Dic 1998
Buscan
trabajo por
primera vez
0,81%
Fuerza de trabajo
Inactivos
Población de
15 años y
Ocupados
Desocupados
Cesantes
Composición de la población
total del país
Oct-Dic 1998
Por primera vez
buscan trabajo
Menores de
15 años
29%
771

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Sabiendo que la población total del país en el trimestre Oct _Dic 1998 se estimó en
14.896.700.habitantes y de acuerdo a los datos de las gráficas responda si es posible las
siguientes preguntas:
• ¿Cuántos habitantes menores de 15 años se estimó para el trimestre Oct-Dic de
1998, y cuántos habitantes mayores de 15 años?
• Para el trimestre Oct-Dic de 1998 ¿ cuál fue la estimación para los inactivos?
• ¿A cuánto asciende la tasa de desocupación en el trimestre Oct-Dic de 1998, y qué
significa?. Si la Fuerza de trabajo en el trimestre Oct-Dic de1996 fue 5.600.700
habitantes, y los que buscaban trabajo por primera vez 44.000 habitantes.¿Cuántos
desocupados había en ese trimestre?
Aplicación: Cálculo del IPC
El Índice de Precios al Consumidor o IPC es el indicador mensual que mide la inflación en
Chile. El IPC del país está compuesto de una canasta de bienes y servicios y cada uno de
ellos tiene una ponderación distinta de acuerdo con la importancia de éstos en el
presupuesto familiar de los chilenos. El IPC es el Índice de Precios al Consumidor e
intenta reflejar la variación de la inflación en un determinado período.
¿Cuánto a sido la inflación del mes de Abril del 2002?
¿Cuánto ha variado la inflación entre Dic de 2001 y Dic del 2002?
Proyecto de investigación: El IPC
¿Qué elementos componen la canasta de bienes ?
Resumir la metodología de cálculo del IPC
¿Cuál es la utilidad del IPC?.
Muestre un ejemplo de cómo utilizar el IPC
772

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
¿La inflación acumulada del año, es igual a la suma de las inflaciones mensuales de los 12
meses del año?¿Se puede determinar el índice conociendo la inflación del período?.
Argumente su respuesta.
Tema:Funciones y aplicaciones
Contenidos: Funciones de una y más variables, tipos de funciones, propiedades, funciones
especiales (demanda y oferta), optimización lineal. Algunas actividades
• Descubrir funciones en noticias de actualidad
• Graficar funciones e identificar propiedades de ellas
• Modelar un problema considerando sus restricciones
• Resolver problemas usando funciones
• Enunciar, plantear y analizar problemas básicos de programación lineal
Ejemplos de problemas
Aplicación: Identificar funciones en noticias
Seleccione una noticia del diario e identifique variables (dependiente e independiente) con
las cuales se podría obtener una función.
Ejemplo: Título de la noticia: “Aumento de usuarios de Ferrocarril”
Variable dependiente: Cantidad de pasajeros que usan el ferrocarril en el periodo t
Variables independientes:
Precio del pasaje en ferrocarril ( en el periodo t)
Precio del pasaje en bus ( en el periodo t)
Tiempo de viaje en ferrocarril (en el periodo t)
Calidad del servicio (en el periodo t)
Aplicación: Ingresos de un Aeropuerto
Considere el aeropuerto “Aeroalas”, que recibe ingresos por pasajeros embarcados y por
servicios comerciales como Renta Car, restaurante, estacionamientos, etc. Además recibe
un subsidio anual de parte de la DGAC. Con el fin de realizar una valoración económica
del aeropuerto, la administración desea saber los ingresos futuros proyectados para los años
2000 a 2007 ( fin del periodo de concesión).
Tabla 1
Año Pasajeros embarcados
2000 270081
2001 299790
2002 323773
2003 349675
2004 374152
2005 400434
2006 428367
2007 458353
Tabla 2
Año Subsidio (DGAC)
2000 5405
2001 5783
2002 6188
2003 6621
2004 7084
2005 7580
2006 8111
2007 8678
Para esto se ha considerado la
proyección de pasajeros
embarcados que aparece en
la tabla 1. La tarifa por
pasajero embarcado es
0,2115 UF. El ingreso por
servicios comerciales se ha
estimado que crecerá
anualmente de acuerdo a las
tasas indicadas en las tablas. Determine la función de ingresos totales para cada año del
aeropuerto entregando el flujo de ingresos futuros.
Aplicación: Utilidades
773

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La administración del Aeropuerto “Aeroalas”,
además de conocer los ingresos futuros,
desea saber la utilidad proyectada para los
años 2000 a 2007. Los costos operacionales se
han estimado que crecerán anualmente de
acuerdo a las tasas indicadas en la tabla de
costos.
Determine la proyección de utilidades para los años 2000 a 2007
774
Costos
Ingresos subconcesiones y servicios comerciales
Crecimiento 2000
Renta Car 0 4545
Taxis 0,01 677
Bus 0,01 390
Transfer 0,01 616
Cajero autom 0 132
Restaurante 0,1 1233
Estacioamiento 0,01 3151
Líneas Aéreas 0,01 2336
Comunicaciones 0,01 574
Publicidad 0,01 2525
Salón VIP 0,01 448
Locales comerciales 0,01 1483
Total 18110
Costos Operacionales 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Costos de operación
Costos administrativos 0,005 12120 12181 12242 12303 12364 12426 12488 12551
Gastos generales 0,01 2266 2289 2312 2335 2358 2382 2405 2429
Pagos al MOP 0 300 300 300 300 300 300 300 300
Costos de mantención
conservación , mantención equipos y pistas 4200 8484 4242 8569 4284 4327 8741 4371
Aplicación: Impuestos
Existen dos tipos de impuestos a los ingresos de las personas: el impuesto único al trabajo
(segunda categoría) y el impuesto global complementario. El impuesto único al trabajo
afecta a todos los trabajadores dependientes y se paga mensualmente. La empresa lo deduce
del sueldo del trabajador y se lo paga al Estado. El impuesto global complementario se
declara una vez al año, pero se hacen retenciones y pagos provisionales mensuales al Fisco
como anticipo del impuesto anual. El global complementario lo pagan los trabajadores
independientes (por ejemplo un empresario o profesional que trabaja por su cuenta) y todas
aquellas personas que tienen más de una fuente de renta.
TABLA DE IMPUESTO GLOBLAL COMPLEMENTARIO
AÑO TRIBUTARIO 2000
RENTA NETA GLOBAL
Desde Hasta FACTOR CANTIDAD A REBAJAR
(INCLUYE CREDITO 10% de 1 UTA)
0,00 3.166.560,00 Exento Exento
3.166.560,01 9.499.680,00 0,05 189.993,60
9.499.680,01 15.832.800,00 0,1 664.977,60
15.832.800,01 22.165.920,00 0,15 1.456.617,60
22.165.920,01 28.499.040,00 0,25 3.673.209,60
28.499.040,01 37.998.720,00 0,35 6.523.113,60
37.998.720,01 y mas 0,45 10.322.985,60
Fuente: El Diario- Marzo 2000
Problema: Determine la función por partes que permita calcular el impuesto global
complementario que debe pagar una persona si su ingreso es x y grafique.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Problema: Determine una función para el impuesto a las utilidades de las empresa,
sabiendo que este impuesto llamado de Primera categoría, es un impuesto proporcional
porque tiene una tasa única de 15% sobre las utilidades, cualquiera sea el nivel de éstas.
Caso de estudio: Alternativas de salario
Considere la siguiente situación, a la que se enfrentan algunas personas cuando tienen que
decidir acerca de elegir un trabajo, o distintas posibilidades de su salario mensual. La
señorita Peralta se dedica a la venta de seguros de vida y tiene que elegir entre las
siguientes alternativas de salario:
a) Sueldo base mensual de $75.000 más 0,8% de comisión sobre las ventas realizadas
en el mes
b) Sueldo mensual de $70.000 más 3.2% de comisión sobre las ventas realizadas
durante el mes.
c) Sueldo mensual de $60.000 más 4.5% de comisión sobre las ventas realizadas
durante el mes.
Cada paquete de seguro de vida tiene un valor inicial de $25.000, sobre el cual se le
aplica el porcentaje de comisión a la señorita Peralta.
¿Qué le recomendaría a la señorita Peralta y por qué? Grafique en la calculadora y analice
el problema
Aplicación : Analizar propiedades
Problema: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Argumente
analíticamente y en forma gráfica usando calculadora.
1) La función f es equivalente a la función g
f ( x)
=
x −1
x
322222
2) Para todo x en IR, se cumple que x ≤ x2
3) 1
Para todo x en IR-{0}, se cumple que ≤ 1
x
g(
x)
=
Aspectos clave
• Insertar los contenidos dentro de situaciones reales, para lograr aprendizajes
significativos. Favorecer el trabajo interactivo.
• Que el alumno tome un rol activo en la clase favoreciendo la autoestima positiva.
Bibliografía
Allende, F. Curso Tecnologías Educativas Para La Innovación En La Docencia Superior. Universidad de
Chile.
Chevallard, Y. Bosch, M. Gascón, J.(1997). Estudiar Matemáticas. Cuadernos De Educación. Editorial
Horsori.
Alonso J. Catarla E.. La motivación en el aula. Educat
Díaz, F. Barriga A. Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Una interpretación
constructivista. Mac Graw Hill
Lardner, A. Matemática Aplicadas A La Administración Y Economía. Prentice Hall
x −1
x
775

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
HORMIGAS Y ALGORITMOS
Ema Barreda y Jorge Yones
Colegio de Humanidades, Villarrica, Chile
embace13@netexplora.com
Resumen
El propósito principal de esta comunicación, en el contexto de un módulo mayor, es presentar un ejemplo
ilustrativo del modelo de las hormigas para introducir en los el trabajo con modelos a los estudiantes y
favorecer además su motivación para el trabajo en aula. Idealmente, el profesor dará una charla en una sesión
breve, antes de pasar a trabajar los demás materiales contenidos en el módulo. Sin embargo, también es
posible utilizar la charla como forma de difusión independiente, hacia otras audiencias (como apoderados u
otros alumnos). El módulo cuenta con textos de apoyo sobre las materias que se abordan, así como la Guía del
Profesor de las actividades de aula, además de un cuaderno del alumno para desarrollar su trabajo. El
ejemplo que se presenta: hormigas y matemáticas. ¿Qué tienen que ver? En principio el nombre sorprende,
incluso a los matemáticos. No se trata de usar las hormigas reales para resolver problemas matemáticos, ni de
usar las matemáticas para resolverle sus problemas a las hormigas. De lo que se trata es de estudiar cómo las
hormigas resuelven los problemas, e imitarlas para resolver los nuestros (con hormigas virtuales). En este
artículo, se habla de hormigas. Luego, de algunas "gracias" que hacen las hormigas. Después se toma un par
de problemas interesantes y se presenta la forma en que las hormigas los resuelven. Finalmente se muestra la
forma en que estos modelos del comportamiento de las hormigas ayudan a resolver nuestros problemas.
Introducción
En general, un MODELO es una representación simplificada de algo que existe en la
realidad, y lo usamos para entender mejor esa realidad, o para relacionarnos mejor con ella.
En este caso, lo que estamos haciendo es un MODELO del comportamiento "ordenador" de
las hormigas, tratando de abstraer todo lo que no es relevante para ese fin. Pero además,
entendiendo estos modelos, podemos copiarles la idea a las hormigas y tratar de usarla para
resolver problemas que se nos presentan a nosotros.
Cuando en ciencias uno dice "este fenómeno se explica por tal cosa", la forma de mostrar
que efectivamente esa explicación da cuenta del fenómeno, es hacer un modelo, y ver si el
modelo reproduce el fenómeno que queríamos explicar. La pregunta entonces: si el modelo
se basa en el comportamiento de las hormigas, ¿tiene otras “gracias” este modelo para
resolver problemas, y tiene otras aplicaciones concretas? ¿Y qué ventajas tienen estos
métodos de hormigas? Existen otros métodos para resolver problemas; los matemáticos
llevan décadas inventando métodos ("algoritmos"), para resolver el problema de camino
más corto, el del vendedor viajero, etc. Una primera ventaja, es que para algunos
problemas (como el de ruteo de llamadas telefónicas), la mejor solución conocida es la que
se obtuvo con hormigas. Además, los métodos "hormiguísticos" tienen varias gracias, que
los distinguen de otros métodos. Nos concentramos en la forma en que las hormigas
resuelven un par de problemas particulares; imitándolas, logramos resolver un montón de
problemas. En resumen, no sólo nos interesan las hormigas por todo lo que se pueda decir
de ellas. También nos interesa porque son un ejemplo de sistema complejo: un sistema
formado por unidades simples, que interactúan de manera simple, pero que en su conjunto
produce comportamientos muy complejos.
Hablemos, entonces, de las hormigas
776

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Recordemos cómo son: Las hormigas exploran el mundo por huellas, en largas filas, y así
buscan su alimento. Todos los caminos conducen al hormiguero. A veces es un montículo,
otras veces está por completo bajo tierra. Dentro del hormiguero, hay muchos túneles y
cámaras, donde se almacena comida, se cuida a las larvas, vive la Reina, descansan las
hormigas, etc. La Reina suele ser más grande que las demás hormigas. No gobierna ni nada
parecido: lo único que hace es poner huevos. Las obreras recogen los huevos y comienzan
la crianza. En ciertos días del año las “princesas” (posibles nuevas Reinas) emprenden el
vuelo, y también vuelan los machos (que sólo existen en esa época). Se juntan las hormigas
de todos los hormigueros de la zona, se cruzan, y con eso la hembra queda fecundada para
el resto de su vida. Se instala en algún rincón, y empieza a poner huevos. Cuando las
primeras hijas –obreras- empiezan a salir, empiezan a buscar comida y a excavar, hasta que
al cabo de un tiempo el hormiguero ya está formado.
Algunas gracias de las hormigas. Esta no es una lista exhaustiva de lo que las hormigas
hacen, sólo son algunos ejemplos. Tampoco debe entenderse que todas las hormigas hacen
todo esto; en realidad, no existe ninguna especie de hormigas que haga todas estas cosas a
la vez. Se reparten las tareas de manera eficiente: distintos grupos de hormigas
desempeñan las distintas tareas en el hormiguero. Si uno "secuestra" las hormigas que están
desempeñando una tarea, de manera casi instantánea algunas hormigas que estaban
haciendo otra cosa van a cambiar de tarea, de modo que ninguna tarea quede sin hacer.
Construyen nidos extremadamente complejos: a veces muy profundos, pero perfectamente
organizados, con cámaras especiales dedicadas a alimentos, larvas, la reina, "descanso"... Y
aunque la reina esté muy abajo, y no vea la luz del sol en años, se las arreglan para que
tenga un buen sistema de aireación, y de regulación de temperatura. Son capaces de
encontrar comida a distancias enormes del nido, y "explotar" esa comida de manera
organizada. Obviamente, "enorme" es en términos hormiguiles.
Tienen agricultura: cuando una hormiga camina con una hoja, no es para comerla, pues no
son capaces de digerir celulosa. Lo que hace es llevarla a una cámara del nido en que las
hormigas cultivan hongos... Le dan las hojas a los hongos, que se las comen, y luego las
hormigas se alimentan de los hongos. También tienen ganadería, por ejemplo con los
pulgones de las rosas: las hormigas los cuidan, se preocupan de alimentarlos, y ellas a su
vez se alimentan de una sustancia lechosa que secretan los pulgones.
Saben de guerra (hay especies que atacan hormigueros ajenos, matan las hormigas, las
comen, etc.), esclavitud (algunas obligan a otras especies a trabajar para ellas), y también
de algo que aquí llamo espionaje, pero es más bien infiltración: es el caso de una especie de
hormigas que no construye nido propio, sino que roba nidos ajenos. Cuando una "princesa"
(una hormiga destinada a fundar un hormiguero y ser su reina) abandona su nido materno,
lo que hace es ponerse a trabajar de obrera en alguna colonia de otra especie de hormigas.
Al comienzo la rechazan, porque huele distinto, pero lentamente, en la medida en que se va
impregnando del olor de sus nuevas compañeras, se le permite el acceso a zonas más
cercanas al nido, hasta que finalmente, cuando las otras ya no la distinguen como una
extraña, logra llegar hasta la cámara de la reina... y la mata. A partir de ese momento, la
reemplaza, y los huevos que las hormigas recogen, y cuidan, son los suyos, y no los de la
especie original. Por lo tanto, al cabo de un tiempo todas las nuevas hormigas serán hijas
suyas, y el hormiguero se habrá transformado en uno de la especie invasora.
777

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Organizan marchas de cientos de miles de individuos: ríos de hormigas. Y que están bien
organizadas: llevan consigo sus huevos, sus larvas, su reina...
Forman puentes con sus propios cuerpos: hay hormigas que cuelgan unas de otras, para
cerrar una hoja, juntando sus bordes. Una vez que lo hayan hecho, llegará otra hormiga,
trayendo una larva, y usará la baba de esa larva como pegamento para cerrar la hoja
definitivamente (la larva se usa como una especie de stick-fix). Luego la hoja podrá ser
usada para almacenar comida, agua, etc...
Una de las que nos va a interesar: las hormigas encuentran los caminos más cortos hasta la
comida. Es raro que habiendo más de un camino entre la comida y el nido, las hormigas
prefieran el más largo. Normalmente, logran encontrar el más corto. Y encontrar caminos
más cortos es un problema que a los matemáticos nos interesa resolver.
Hormigas ingenieros. Aquí se puede hacer la pregunta: ¿cómo hacen lo que hacen?
Ilustraré lo que NO ocurre con las hormigas. No tienen lenguaje para hablarse unas a otras.
No tienen memoria, salvo muy, muy breve, así que incluso si tuvieran lenguaje, no podrían
decirse mucho. No existe un mando central. Es una sociedad "democrática", o más bien
"anárquica", en el sentido de que nadie da las órdenes. La "reina" NO GOBIERNA, su
función es sólo poner huevos. No sólo no hay mando central, ni control alguno, sino que
tampoco hay información centralizada. No hay planos del hormiguero. No hay mapas del
terreno circundante, en los cuales se pudiera estudiar cómo llegar rápido a la comida. No
contestaremos el "¿cómo lo hacen?" respecto a todas las "gracias" de las hormigas (en
algunos casos, todavía no se conoce la respuesta), sino que nos concentraremos en dos
ejemplos particulares: el apilamiento de cosas, y la búsqueda de los caminos más cortos.
Otra de las cosas que hacen las hormigas es “ordenar” cosas. Lo hacen en varias
situaciones. Por ejemplo, con la basura que está cerca de la entrada del hormiguero: van
formando con ella una rumita. También ocurre con las hormigas muertas: en lugar de dejar
un desparramo de pequeños ataúdes, las hormigas forman una gran ruma con todos los
cadáveres. ¿Quién ordena la formación de un cementerio de hormigas? Algo parecido
hacen con las larvas, claro que ahí la cosa es un poquito más complicada: ordenan las larvas
según su tamaño, las más chicas con las más chicas, las más grandes con las más grandes.
Si todas las hormigas son tontas, no tienen memoria, casi no tienen vista, y nadie les da
instrucciones, ¿cómo pueden ordenar los distintos tamaños en distintos lugares? ¿Quién
decide dónde se va a acumular tal o tal cosa? Ese es el misterio, y queremos hallar una
solución.
Tomar lo esencial: un modelo. De aquí en adelante hablaremos de basura, aunque ya
sabemos que se puede tratar de diversas cosas. Las hormigas ordenan la basura; eso es un
hecho. La pregunta es, ¿cómo? Hay algunas cosas que nuestro sentido común nos aconseja
descartar: es difícil, por ejemplo, que el mecanismo de reproducción de las hormigas tenga
algo que ver con lo que hacen al ordenar basura. Tampoco la forma en que están hechas por
dentro. Intuitivamente, sea lo que sea lo que hagan las hormigas, uno esperaría que fuese
algo reproducible, imitable, que sólo dependiera de la forma en que se están comportando.
O sea, queremos capturar aquellos aspectos del comportamiento de las hormigas que son
esenciales para se produzca el apilamiento. Así estaremos más seguros de descubrir el
mecanismo. En este caso, lo que estamos haciendo es un MODELO del comportamiento
“ordenador” de las hormigas, tratando de abstraer todo lo que no es relevante para ese fin.
Lo primero es preguntarse, ¿qué es lo que uno ve, si se pone a mirar a un grupo de
778

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
hormigas que está ordenando basura, o larvas? Da la impresión de que no estuvieran
haciendo nada. Las hormigas caminan de un lado para otro (“al tuntún”), recogen algo, lo
botan, recogen otra cosa, la botan por ahí, y no parece que estuvieran haciendo nada
planificado. Por eso, un primer modelo de la situación sería imaginar que las hormigas
hacen precisamente eso: caminar al azar. Para simplificar, nuestro mundo será una hoja
cuadriculada, donde las hormigas se podrán mover de un cuadrito a otro (hacia arriba, hacia
abajo, hacia la derecha, o hacia la izquierda). Se moverán al azar: la probabilidad de que se
muevan en cualquiera de las direcciones es la misma. Cada hormiga podrá andar cargada
(con una unidad de basura), o descargada. Si una hormiga que anda descargada encuentra
basura, la recoge. Si una hormiga que anda cargada se topa con más basura (es decir, si el
cuadrito al que se piensa mover tiene basura), entonces deja en el suelo la basura que traía.
Formación de rumas. Se han propuesto dos elementos que podrían añadirse al modelo;
ambos tienen justificación en las observaciones que han hecho los mirmecólogos. Uno es
que la hormiga no recoja de inmediato después de que ha botado algo (que haya un tiempo
de espera entre botar y recoger). El otro es que el comportamiento de la hormiga, al botar y
al recoger, esté determinado por la cantidad de basura que hay alrededor suyo: mientras
más basura hay alrededor, es más probable que bote, y menos probable que recoja.
Mientras menos basura hay, por lo tanto, es menos probable que bote, y más probable que
recoja. Ya sabemos que el sólo vagar/recoger/botar no es capaz de producir la
acumulación, y sabemos que al agregar la consideración de la densidad, sí es capaz... lo que
no quiere decir que de verdad sea ese el mecanismo en juego entre las hormigas reales
(aunque se cree que sí lo es, incluyendo además el tiempo de espera). El tiempo de espera.
Será la cantidad mínima de pasos que la hormiga dará después de haber soltado algo, antes
de estar dispuesta a recoger algo. El efecto de la densidad. No hace falta explicar muy en
detalle, pero por si acaso, lo que ocurre es lo siguiente. Se consideran las 8 posiciones
alrededor de la hormiga (los cuadritos que tocan, al menos en una esquina, al cuadrito en
que la hormiga está parada). Sea n la cantidad de cuadritos, de entre esos 8, que tienen
basura. Si la hormiga lleva basura, la probabilidad de que la bote es proporcional a n. Si la
hormiga no lleva basura, y encuentra un poco, entonces la probabilidad de que la recoja es
proporcional a 8-n (o sea, proporcional a la cantidad de cuadritos sin basura). Para
justificar el primer agregado: la hormiga acaba de soltar algo, por algún motivo (cansancio,
por ejemplo), y por eso, mientras le dure su breve memoria, esa razón sigue existiendo, y
no querrá recoger. Para justificar lo segundo: si hay demasiada basura alrededor, a la
hormiga le cuesta caminar, más aún si lleva carga, así que se siente inclinada a botar la que
lleva, o a no recoger la que encuentre.
¿Cómo se forman las rumas? El mismo efecto está presente a todo nivel, y hace que a
partir de un desparramo, se vayan formando rumitas, cada vez mayores. Si hay 10 rumas de
tamaños distintos, las más grandes tienden a “comerse” a las más chicas. Es cosa de
probabilidades, así que siempre es posible que la chica se coma a la grande... pero es muy
poco probable. ¿Y si son del mismo tamaño? No importa: como siempre hay movimiento
entre las rumas, al azar, se van a producir ligeros desniveles de tamaño, y esos desniveles
van a echar a andar el proceso. Un poco más difícil que juntar cosas en un lugar, es juntar
las cosas en varios lugar, dependiendo de cómo son. No una ruma, sino varias, cada una de
un tipo distinto de “basura”. Las hormigas hacen esto en varias situaciones. La más típica
es al ordenar las larvas: si están desordenadas, las hormigas son capaces de dejar las más
grandes en un lugar, las más chicas en otro, etc... La utilidad que eso tiene para las
779

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
hormigas es que cada tipo de larva requiere distintos cuidados (distinta alimentación, por
ejemplo), y al estar separadas por grupos, es más fácil que las hormigas “nanas”, tontas
como son, alimenten a cada una de manera apropiada.
Una posible aplicación. A estas alturas ya alguien puede estarse preguntando para qué
sirve todo esto. Primero que nada, estamos entendiendo cómo las hormigas resuelven algo,
que al comienzo parecía difícil para ellas. Había un misterio, una contradicción entre lo
“tonto” de las hormigas y el efecto de su comportamiento, y eso lo estamos resolviendo.
Pero además, ahora que entendimos, podemos copiarles la idea y tratar de usarla para
resolver problemas que se nos presentan a nosotros. Ejemplos: las grandes bases de datos
de genética. O textos científicos en Internet. O simplemente páginas web. O información
sobre personas. Los ejemplos son innumerables. Y la gracia es que con las “hormigas”, los
conjuntos de datos se pueden “ordenar solos”. Pasamos al otro ejemplo. Olvidémosnos de
la basura, del recoger y el botar. Ahora el fenómeno que queremos entender, es cómo las
hormigas, sin memoria ni mapas, encuentran los caminos más cortos para ir desde el
hormiguero hasta la comida. Después de ver el ejemplo anterior, ya no es tanta sorpresa
enterarnos de que encuentran los caminos más cortos sin buscarlos. La hormiga no tiene
idea de que sus actos la harán recorrer el camino más corto. De hecho, así como las otras
hormigas “no tenían pensado” juntar la basura, aquí la hormiga no quiere buscar el camino
más corto, ni piensa en eso. Como dijimos: ¡es demasiado simple! Es la evolución la que
ha hecho el trabajo, dándole a las hormigas la pauta de comportamiento que resulta más
exitosa. Es decir. la conducta de las hormigas está grabada en sus genes, son sus instintos,
y el efecto que resulta (ya veremos cómo) es que se encuentran las rutas más cortas. En el
caso de la formación de rumas, se puede decir lo mismo. La clave para este fenómeno está
en una cierta sustancia química, llamada feromona. Muchos animales usan feromona, para
distintas cosas (es parte de la química de la atracción sexual en los humanos, por ejemplo).
Pero el uso que hacen las hormigas es otro: ir marcando los caminos por los que pasan.
Una hormiga, cuando va hacia la comida, lo que hace es ir siguiendo la feromona que va
encontrando. O sea: si está parada en un cierto punto, va a caminar en la dirección en que
huela más feromona. O mejor dicho: va a caminar en cualquier dirección, pero la
probabilidad de que se vaya en una cierta dirección será proporcional a la cantidad de
feromona que haya ahí. Si un camino tiene 2 (gramos, miligramos, da lo mismo en qué se
mida, importa la relación) de feromona, y otro tiene 1, entonces más o menos dos de cada
tres hormigas escogerán el primero, y una de cada tres escogerá el segundo. Además, la
hormiga cuando pasa por alguna parte va dejando feromona, que se agrega a la que ya
había.
¿Cuál es la consecuencia? Supongamos que al comienzo no hay feromona. La mitad de las
hormigas tomará un camino, la otra mitad otro. Las primeras hormigas que lleguen a la
comida, serán las que se vinieron por el lado más corto. Así que en el momento de
devolverse, ese camino tendrá más feromona que el otro (pues aún no llegan las que se
fueron por ahí). Así que serán más las que tomen ese camino, que las que tomen el otro.
Cuando lleguen las que habían tomado el camino viejo, le agregarán un poco a ese, pero al
devolverse la mayoría elegirá el corto, porque ya tiene más feromona que el largo. El
mecanismo se retroalimenta: la mayoría de las hormigas irá tomando el más corto, y eso
acentuará la diferencia de feromona entre uno y otro, y eso hará que el favoritismo de las
hormigas aumente, etc... Es una retroalimentación, un “círculo vicioso” (aunque virtuoso en
este caso), al igual que antes, cuando la ruma grande tendía a comerse a la ruma chica. Un
780

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
dato extra: además una hormiga que camina mucho se va agotando y va dejando menos
feromona. Así que eso también contribuye a "empobrecer" los caminos largos.
Ok. Suena bonito. ¿Pero funciona? Cuando en ciencias uno dice "este fenómeno se explica
por tal cosa", la forma de mostrar que efectivamente esa explicación da cuenta del
fenómeno, es hacer un modelo, y ver si el modelo reproduce el fenómeno que queríamos
explicar. Este modelo está hecho en el computador, aunque también se podría hacer con
pequeños robots que siguieran las mismas reglas que vamos a explicar (en el MIT lo han
hecho). Aquí las "hormigas" serán unos puntitos que se moverán por un grafo,
trasladándose en cada paso de un vértice a otro. (Ejemplos: los niños y quién es amigo de
quién, los países y quién es aliado de quien, ciudades y de cuál se puede volar a cuál,
etc.,etc.] Pondremos un hormiguero en una punta del grafo, y un lugar de comida en el
otro. Las hormigas irán del nido a la comida, de la comida al nido, del nido a la comida,
etc... Para decidir hacia donde ir en cada paso, verán cuánta feromona hay en las aristas
que van en la dirección correcta (las que van hacia abajo, si van a la comida, o las que van
hacia arriba, si van al nido). Y escogerán entre ellos de manera aleatoria, dándole a cada
arista una probabilidad proporcional a la cantidad de feromona que tiene. En cada paso que
den en una arista, dejarán un poco de feromona. Esa cantidad va bajando: en el primer paso
dejan 1, en el segundo 1/2, en el tercero 1/3, etc... Cuando llegan a su destino, y parte de
vuelta, vuelven a partir de 1, luego 1/2, etc. Existe una pequeña probabilidad, además, de
que la hormiga decida de manera completamente arbitraria, sin hacer caso a la feromona.
Pero es una probabilidad muy pequeña. La feromona se va evaporando (esto también ocurre
en la realidad), de modo que si no pasan hormigas, disminuirá. La pregunta entonces: si el
modelo es así, ¿encontrarán las hormigas el camino más corto? OK, ¿y qué hay con eso?
Es claro que con esto podemos encontrar los caminos más cortos en un grafo. Pero además,
se pueden hacer adaptaciones ingeniosas (pega para matemáticos), para utilizar los mismos
mecanismos y resolver otros problemas, como el del vendedor viajero, el de árboles de peso
mínimo (un trabajo que se hizo aquí en Chile). Asignación de tareas (un ejemplo que no es
originariamente de grafos), y un etcétera que fue creciendo a lo largo de los años 90. Un
ejemplo concreto fue la aplicación en la British Telecom. Ahí el grafo representaba una red
de centrales telefónicas, y para cada llamada que se generaba en una central y tenía otra
central como destino, había que rutearla a través de las centrales, de modo que ojalá se
usaran pocas centrales intermedias, y que la red NO se congestionara. Así que se hizo
circular "hormigas virtuales" por la red, que se demoraba más en recorrer un camino si
estaba muy congestionado, y de ese modo los "caminos más cortos" eran las rutas óptimas
de las llamadas. Después, para rutear la llamada, era cosa de que siguiera la pista de
feromona dejada por las hormigas. Como las hormigas estaban permanentemente
recorriendo, la solución se iba actualizando según los cambios en los niveles de congestión.
Hasta ahora, es la mejor solución que se ha encontrado para este problema. Existen otros
métodos para resolver problemas; los matemáticos llevan décadas inventando métodos
("algoritmos"), para resolver el problema de camino más corto, el del vendedor viajero, etc.
Una primera ventaja, es que para algunos problemas (como el de ruteo de llamadas
telefónicas), la mejor solución conocida es la que se obtuvo con hormigas. Además, los
métodos "hormiguísticos" tienen varias gracias, que los distinguen de otros métodos. Una
ventaja es que no existe información ni control centralizados. En el caso de la red
telefónica, no hace falta que las centrales estén conectadas a un computador "jefe", que esté
resolviendo el problema y diciéndole a cada llamada por dónde debe irse. Esto facilita
781

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
mucho la implementación en una red de vértices autónomos. Si se tratara de rutear emails
en internet, por ejemplo, sería imposible tener un computador en alguna parte del planeta
controlando las rutas que deben seguir los millones de emails diarios... En cambio, con
información local en cada computador, se puede encontrar la solución. Más encima, la
solución se va actualizando online. Es decir: si el problema cambia (cambia el grafo en un
caso, cambia la basura en el otro), no hace falta hacer todo de nuevo, sino que la solución
se va actualizando junto con el problema. Como se trata de agentes simples, no hacen falta
cálculos complejos, es un sistema "barato" en términos computacionales. Se está
"aprovechando el terreno para hacer el mapa". En otras palabras, las hormigas dibujan el
mapa en el mismísimo terreno, y gracias a eso pueden, siendo simples, resolver problemas
complejos, pues aprovechan la propia complejidad del problema.
A modo de cierre
Otros ejemplos de sistemas complejos son el cerebro (muchas neuronas simples
interactuando, y produciendo en conjunto fenómenos como la conciencia, la memoria, los
chistes, las matemáticas...), la biosfera (animales y plantas haciendo sus vidas, pero
produciendo una historia natural compleja, con ciclos de poblaciones, extinciones,
invasiones...), las sociedades humanas (como ejemplo, la economía: es posible modelar el
comportamiento de los agentes económicos, pero el comportamiento global es
complejísimo, y nadie puede predecir la bolsa), la evolución de las especies (aquí habría
que pensar más bien en "la evolución del DNA", la explicación es más larga).
Vimos que las hormigas que andan "al azar" son necesarias para encontrar las soluciones
novedosas en el problema del camino más corto. Compárese eso con lo que pasa en la
evolución: las especies no saben cómo deben mutar para evolucionar, sino que se producen
mutaciones al azar, y es la selección natural la que escoge las que son útiles, y así se
produce la evolución. Sin el "error" (las mutaciones al azar), no habría evolución.
Bibliografía
Moreira, A. (ene.; 2003). "Hormigas y Matemáticas". Conferencia dictada en el contexto del proyecto Idea+,
en “Primera Estadía de Especialización de Matemáticas” - Centro de Modelamiento Matemático
(CMM) y Departamento de Ingeniería de Matemática (DIM) de la Facultad de Ciencias Físicas y
Matemáticas de la Universidad de Chile.
http://www.ideamas.cl/.
http://www.cmm.uchile.cl/
http://www.dim.uchile.cl/
782

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
IMÁGENES PARA EL ALGEBRA
Ema Barreda y Felipe Saavedra
Colegio de Humanidades, Villarrica, Chile
embace13@netexplora.com, fhilip@netexplora.com
Resumen
Estas experiencias de aula, surgen como una propuesta de ejercicios tanto de operatoria como de
representación gráfica, poniendo énfasis en el uso de material propio inspirado en el software "Primer
Concurso Nacional de la Enseñanza Matemática - AutoMind Educación", a partir del Libro “Inteligencia
Matemática”. Están dirigidas fundamentalmente a alumno(a)s de 1er. año de Educación Media, existiendo
contenidos que han nacido a partir de las actividades, correspondientes a cursos superiores. Ella trata
principalmente de permitirle a lo(a)s alumno(a)s utilizar materiales concretos, para que ésto(a)s resuelvan
ecuaciones y representen expresiones numéricas y algebraicas; además despierten su curiosidad y creatividad
a través de la construcción de recursos para que sean protagonistas de su propio aprendizaje, los "aprehendan"
significativamente y se reencanten con esta disciplina. Se les entrega una guía que motive al trabajo en
equipo y se les propone ejercicios tanto de operatoria como de representación gráfica, poniendo énfasis en el
uso de material propio inspirado en figuras construidas en cartón de colores. Cada grupo tiene la misión de co
y autoevaluar su propuesta y luego presentar un informe. Se reagrupan recibiendo la guía de invitación, y
trabajan en su desarrollo; generando interacciones explicables en el producto logrado y que constituye un
testimonio de las numerosas y diversas acciones de aprendizaje, que el(la) alumno(a) debe confrontar con los
objetivos y traducirlo en un producto concreto, observable, evaluable y socializable. Los productos logrados
están referidos a los siguientes contenidos: representación de Números Enteros; operatoria con Números
Enteros; regularidades numéricas; representación geométrica de polinomios; adición de expresiones
algebraicas; factorización de expresiones algebraicas; ecuaciones de 2º grado y sistemas de ecuaciones
Representación de Números Enteros
Materiales: A lo menos 20 cuadrados de dos colores a elección, por ejemplo:
Turquesa Azul
x
x
Los números enteros los podemos representar con las baldosas así, por ejemplo:
= + 1 = - 1
Luego, el número entero representad por es 4
Y, así es -3
Operatoria con Números Enteros
Adición de Números Enteros
Para asignar el valor cero, lo representamos con la suma de las baldosas azul y
turquesa, por ejemplo:
Luego;
+ = -1 + 1 = 0
3 + 2 + = = 5
5 + (– 1) + = = 4
783

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Sustracción de Números Enteros
Análogamente a la adición. Para resolver la sustracción, la representamos con la suma del
valor opuesto del sustraendo. Así: 5 – 2 = 5 + (-2).
Luego;
3 – 2 = 3 + (-2) + = = 1
-4 – (-3) = -4 + 3 + = = -1
Multiplicación de Números Enteros
a) 4
2 • − 5
784
3 • b) ( )
Buen desafío: Observar el producto de valores negativos…
División de Números Enteros
-8 : 2 = = = -4
Otro desafío: Divisiones con divisor negativo…
Regularidades Numéricas
Materiales: A lo menos 50 cuadrados de colores a elección.
Ejemplo 1. Construcción de figuras con un número determinado de cuadrados,
considerando éstos como área 1. Así:
Con 5 cuadritos se puede construir una cruz, cuya área es de cinco cuadrados, como se ve
en la siguiente figura:
Con los mismos 5 cuadritos, pero en distinta posición, se construyen otras figuras
geométricas, cuya área sea equivalente al área de la figura anterior.
Pregunta: ¿Cuántas figuras se puede construir con los 5 cuadros de manera que el área sea
equivalente a las anteriores?
Si con 8 cuadritos pueden formarse diversas figuras geométricas, algunas de ellas aparecen
a continuación:
Calcule el número de figuras geométricas que ha construido.
Ahora; calcule el número de figuras construidas con 15 cuadritos.
Finalmente; generalice y responda ¿Cuál es el número de figuras geométricas construidas
con "n" cuadritos?
Ejemplo 2. Con ayuda de los cuadritos dados, se construyen cuadrados de lado 3 y de lado
4; al juntar los cuadritos formando un solo cuadrado, se puede expresar la igualdad de las
potencias siguientes:

3 2 + 4 2 =........
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
He aquí una regularidad curiosa:
En forma análoga construya un cuadrado de lado 2, otro de lado 3 y otro de lado 6, al juntar
los cuadraditos y construir un solo cuadrado determinando el lado, se expresa la igualdad:
2 2 + 3 2 + 6 2 = .........
En forma análoga, construya y exprese la igualdad: 3 2 + 4 2 + 12 2 = ......
Además: 4 2 + 5 2 + 20 2 = ......;
¿Se atreve a continuar? Entonces, exprese la igualdad que empieza con 10; con 18; y la
que empieza con n.
Ejemplo 3. Observando la secuencia de dibujos
Y contando los cuadritos, para la primera figura se necesita 1 y para la segunda 3.
Luego, ¿Cuántos cuadritos se necesitan para la quinta figura? Y, ¿para la décimo segunda?
Y, finalmente, ¿Cuántos cuadritos se necesitan para la n-ésima figura?
Ejemplo 4. Si la segunda figura, en lugar de ser una escalera para un solo lado, es una
escalera hacia los dos lados, así:
¿cuántos cuadritos son necesarios para la n-ésima figura?
Ejemplo 5. Observe la siguiente secuencia de "embaldosamientos":
¿Cuántas baldosas (cuadritos) se ocupará, sucesivamente, para el primer, segundo, tercero y
cuarto embaldosado?
Luego, determine el número de baldosas (cuadritos) necesaria(o)s para el embaldosado n -
ésimo.
Ejemplo 6. Otra secuencia:
Determine el número de baldosas que es necesario para construir cada uno de estos
embaldosados. ¿Qué números son los que va agregando? (Recuerde que ésta es una suma
aritmética notable). Al agregar baldosas, ¿qué números son los que se van formando?
Determine el número de baldosas necesarios para construir el n-ésimo motivo, o sea, la
suma de los n primeros números impares y analice la relación con los cuadrados perfectos.
Ejemplo 7. Visualización geométrica de sumas notables:
785

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La suma 1 + 3 + 5 + ..... + (2n-1), se puede representar como:
Visualice cuántos cuadritos hay, sin contarlos. Y, ¿cuánto es el total de cuadritos con 6, 7,
8, ... filas? (recuerde que las filas corresponden a impares consecutivos)
Luego, ¿a qué es igual la suma 1 + 3 + 5 + ..... + (2n-1)?
Ejemplo 8. Otra suma notable:
1 + 2 + 3 + ...... + n, se puede representar:
¿Cuántos cuadritos ve a simple vista, sin contarlos? Dado que la disposición de los
cuadritos es un triángulo rectángulo, exprese el número de cuadritos como producto.
Y, ¿cuánto es el total de cuadritos con 7, 8, 9,... filas? (recuerde que las filas corresponden a
números consecutivos)
Luego, ¿a qué es igual la suma 1 + 2 + 3+ 4 +..... + n?
Representación Geométrica de Polinomios
Materiales: A lo menos 10 cuadriláteros de cada forma, cuya medida de los lados se
relacionan. Todos ellos deben se “reversibles”, de colores fuertes en el anverso y una
tonalidad más baja en el reverso.
COLOR LONGITUD DE LOS LADOS ÁREA
Azul x
Verde x
y xy
Amarilla y
y
y y 2
Representaciones Polinomiales
Con las baldosas y utilizando la expresión de área en cada caso podemos representar
xy
modelos de polinomios, por ejemplo:
a) 2 x 2 + 3 x y + y 2
b) 3x 2 + 6xy
Para asignar un valor negativo, lo representamos con las baldosas por el reverso, así:
786
x
x 2

Por ejemplo:
X 2 + (-2xy)
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Luego, lo(a)s alumno(a)s pueden usar las baldosas para construir el modelo que representa
cada expresión polinomial.
Adición de expresiones algebraicas. Dado el material anterior y usando el concepto de
"cero", se pueden eliminar aquellas baldosas que se anulan, siempre que sea posible.
Por ejemplo:
(x 2 + 2xy + 3y 2 ) + (2x 2 - xy - y 2 ) = 3x 2 + xy + 2y 2
Como actividades exploratorias, lo(a)s alumno(a)s pueden representar los modelos con sus
baldosas, escribir el polinomio de cada modelo y encontrar la suma de dos o más
polinomios, dibujarlos y escribir su expresión.
Factorizacion de trinomios. Materiales: A lo menos cinco cuadrados “grandes”, 20
rectángulos y 50 cuadrados “chicos”, con las dimensiones y área que se indican y
“reversibles” con tonalidad fuerte en el anverso y más débil en el reverso:
x X 2 x X 1 1
1
x 1
Ejemplo 1. Si se construye un cuadrilátero con el área formada por X 2 + 9X + 20, así:
X
+
4
X + 5
Observamos que sus lados miden (x + 4) y (x + 5), luego y como el área X 2 + 9X + 20 =
(x + 4) (x + 5), entonces, el trinomio X 2 + 9X + 20 ha quedado factorizado.
Ejemplo 2. Para construir un cuadrilátero con el área formada por X 2 + X – 20, el material
a utilizar sería
¡NO!, Es posible si se procede así:
¿Imposible?…
y luego completamos con “ceros”, quedando:
X + 5
787

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Luego, X 2 + X – 20 = (x + 5)(x – 4).
El(la) alumno(a) puede construir un cuadrilátero con el área correspondiente a trinomios
cualesquiera, y además, determinar una regla general.
Ecuaciones de 2º grado
¡Qué gran título!... No te preocupes,... es sólo eso... puro título, nada complicado.
Si el(la) alumno(a) recuerda cómo factorizamos trinomios, ¡Excelente!... Empecemos,
entonces...
Ejemplo 1. En forma análoga a las factorizaciones, debemos construir cuadriláteros con
los trinomios, y luego, igualarlos a cero, por ejemplo:
a) Dibuja el área formada por X 2 + 5X + 6 = 0:
788
X
+ =
3
X + 2
Como el área X 2 + 5X + 6 = (x + 3) (x + 2) = 0, entonces,
(x + 3) = 0 o bién (x + 2) = 0, que al resolverlas en forma independientes, resulta:
Si x + 3 = 0, entonces:
=
agregando -3, queda:
=
Luego:
=
x = -3
X
-
4
Si x + 2 = 0, entonces:
=
agregando -2, queda:
=
Luego:
=
x = -2
Finalmente, las soluciones de la ecuación X 2 + 5X + 6 = 0, son “x = -3” y “x = -2”
Ahora, puedes resolver ecuaciones de 2º grado ¡Claro que sí, y sin quedar sólo en el
intento!
Sistemas de ecuaciones de primer grado
¡Con este título sí que estamos grandes!...

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Las variables ( o incógnitas) "x" (también "y"), se representan por barras y los coeficientes
numéricos por cuadraditos. Sus correspondientes valores negativos con colores más débiles
al reverso; así:
X Y 1 -1
Ejemplo 1. Para resolver un sistema de ecuaciones, se construirán éstas mediante las
representaciones correspondientes, por ejemplo:
2 x + y = 3
x + 2 y = 0
Su representación sería:
=
=
Si se igualan los coeficientes numéricos de una de las incógnitas. Por ejemplo, al igualar las
"x", multiplicando por 2 en la segunda ecuación, se visualiza el doble y el sistema
quedaría:
Ahora, se multiplica por (-1) la primera ecuación:
Y, sumando, queda:
Entonces:
=
=
=
=
=
=
789

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Luego:
Y = -1
Continuemos: si reemplazamos y = -1 en la segunda ecuación, por ejemplo, resulta:
=
Y queda:
Entonces:
Luego: X = 2
Las soluciones del sistema 2 x + y = 3 son “x = 2” e “y = -1”
x + 2 y = 0
Bibliografía
Araya Schulz, R. (2000). Inteligencia Matemática. Editorial Universitaria. ChileAutoMind Educación,
proyecto IDEA+http://www.ideamas.cl/ Idea+, el proyecto FONDEF (2002)responsable de la
creación de este concurso, desarrollado durante el mes de Enero, Chile.
790
=
=

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
LA EDUCACIÓN ESCOLAR INDÍGENA Y LA CIENCIA INDÍGENA KUIKURO 1
Pedro Paulo Scandiuzzi
UNESP – Campus São José do Rio Preto y Campus de Rio Claro, Brasil
pepe@edu.ibilce.unesp.br
Resumen
Este artículo presenta la ciencia del pensamiento mítico elaborada por el pueblo indígena kuikuro, habitante
del Parque Nacional del Xingú – MT, a través de la figura geométrica denominada en nuestras escuelas de
hipérbola y el impacto producido por el confronto que la educación escolar indígena elaborada por los noindígenas
causa cuando introducida en los medios indígenas. La ciencia indígena desaparecerá, pues su
constructor desaparecerá. El educador de las etnomatemáticas puede trabajar en tal contexto.
Reflejando
Pero entrar en el mundo indígena es como si nos volviésemos al revés, pues el todo
aprendido parece no decir respecto a la verdad. Entrar en el mundo indígena es conocer
otro mundo, es palpitar de emoción con una manera de ser y de existir. Entrar en el mundo
indígena es vivenciar valores tan “irreales” en relación a nuestro conocimiento como debe
de ser para ellos nuestro mundo. Sin embargo, la realidad globalizante en que vivimos nos
conduce a una intensidad del contacto con una idea que parece presente en todas las
culturas: la de la reciprocidad de las relaciones entre los grupos humanos y el mundo
exterior. (Carvallo, 1979, p.364).
Este trato cada vez más acelerado por causa de los medios de comunicación y de las
exigencias que se hacen cada vez más fuertes en el mundo en que vivimos hace que no
podamos evitar nuestro encuentro con el mundo indígena. Este encuentro empezó con el
genocidio practicado por los invasores en los primeros contactos. En nuestro caso, eso se
dió al fin del siglo pasado y principios de este siglo. El pueblo kuikuro, que vive en las
márgenes del río kuluene, en el estado de Mato Grosso, recibe, en 1884, la visita de Karl
von den Steinen, médico alemán que viene hacer estudios etnográficos juntamente con
otros dos más: Clauss que será el dibujista topográfico y Guierme, el dibujista retratista y
paisajista (Castro, 1885, p. 158-159). No serán los primeros a entrar en el área de los
kuikuro, pues el príncipe Adalberto de Prusia da noticias de un teniente de Milicias que
bajó el Xingú desde Mato Grosso en 1816 (Castro, 1885, p.220) pero serán los primeros en
estar en el área para estudios.
Este contacto que pareció amigable, sin luchas, no fue muy bueno para los pueblos
indígenas, pues, ya en 1914, ocho aldeas recencelladas por Steinen habían desaparecido
totalmente y el blanco pasó a ser conocido como ‘dueño de las enfermedades.
En los días de hoy, una nueva presión se hace presente. Ella viene con una característica
nueva, pues nos motiva a nosotros y nos impele a ser tratados como bonificadores de un
pueblo. Se conoce esta nueva presión como educación escolar indígena. Su camuflaje
viene con la necesidad de que los indios se adapten a nuestros conocimientos y a nuestras
1 Ayuda económica parcial para la presentación en Chile de la FUNDUNESP
791

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
costumbres, pues creemos que somos detenedores y productores de un saber mejor
elaborado y eso sin que conozcamos lo que ellos producen. Tal vez nuestra arrogancia sea
tan grande y tan conviviente con los medios de comunicación que nos olvidamos de
verificar la producción de estos pueblos que viven y sobreviven desde hace millares de años
y detienen el conocimiento de su contexto.
Validando el pensamiento
Para validar este argumento exploraré una única figura: la figura denominada en los
espacios escolares por hipérbola. Se hace esta elección porque el cotidiano de los kuikuro
está relleno de figuras hiperbólicas. Ellas se hallan en el formato del campo de fútbol, en
las pinturas del pelo del “pajé”, en las ‘piernas’ de los bancos en que sientan los hombres,
en las pinturas corporales masculinas. Sin embargo, en los escritos de la historia de las
matemáticas, no encontré la hipérbola como una forma geométrica descrita antes de los
estudios de Menaecmo, a no ser las observaciones características de los libros de Historia
de las matemáticas, exactamente como están en los decires de Boyer (1974; p. 70,197, 103-
107) y de Domingues (1998, p. 43), que afirman que:
792
(...) no hay un consenso sobre como ni cuando las secciones cónicas aparecieran en la
historia de las matemáticas. Pero, en la versión más difundida, la de Erastótenes (siglo III a.
C.), el origen estaría en la tentativa de Menaecmo (siglo IV a. C.) de resolver el problema
de la duplicación del cubo...
Sin embargo, el punto de vista de Seidenberg (1960 – 1962; p. 489, 492, 503, 523) nos
impulsa a pensar que la geometría tuvo su origen en los rituales, que existe una distinción
entre uso y origen y que los círculos y cuadrados eran figuras sagradas y las estudiaban los
sacerdotes tal cual ellos estudiaban las estrellas, nominalmente, para conocer mejor a sus
dioses.
Los indicios de que desde la puerta de entrada de la casa de los hombres es posible
visualizar el movimiento del sol y de la luna durante el año y de que los kuikuro determinan
la perpendicular del ángulo del meridiano local, sugieren que, para construir la aldea, este
pueblo observa las sombras proyectadas por el sol y construye la casa de los hombres
dentro del círculo. Desde esta puerta central es posible la observación, casi diaria, del
movimiento del sol y de sus sombras. Tal vez sea por este motivo que Campos y
Franchetto (1987, p. 263) explican que este tipo de construcción
(...) entera el conocimiento de los kuikuro al incorporarse en la arquitectura de sus aldeas
por el alineamiento este-oeste de tres elementos: el sitio de la lucha, el banco de tora y la
casa de los hombres. Esta incorporación hace posible que funcione una especie de reloj
solar, donde la casa funciona como abrigo a los rayos solares al proyectar su sombra sobre
la plaza de la aldea. A las tres de la tarde, cuando la plaza se encuentra bajo el sol, tiene
inicio la lucha; y termina cuando la sombra, inicialmente sobre la tora, cae sobre los
luchadores.
¿Qué observan los kuikuro especialistas en astronomía, a través de las sombras, durante el
año?
En el día de los dos solsticios – el del invierno y el del verano – cuando la curva hecha por
la sombra de algún objeto se proyecta en el suelo, se percibe que ellas forman los dos lados

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
de la hipérbola, mientras que, el día del equinoccio ellos ven una recta. El sol sale en el
horizonte, lanza sus rayos solares en dirección a la casa de los hombres, pasa por el local
del huka-huka, por la tora y por la puerta central y sigue su camino pasando por la casa del
jefe de la casa de los hombres. En este día del equinoccio, la casa de los hombres y la casa
del jefe de la casa de los hombres recibirán la luz del sol más intensamente por la puerta de
entrada.
Estas observaciones solares y lunares, entre los solsticios y equinoccios están relacionadas
con las cosechas y plantíos, una vez que el pueblo kuikuro tiene las estaciones de la sequía
y de las lluvias. Por ejemplo, inicio de la recolección de los huevos de tracajá es señal de
que las lluvias están llegando. El equinoccio de la primavera se aproxima. Será en esta
época que los arcos de la hipérbola van a cambiar el lado, cambiar su posición en relación
al eje de simetría, que, en este caso, es la sombra producida por el equinoccio y las sombras
si proyectarán simétricamente, hasta que vuelva al equinoccio del otoño. La simetría de
reflexión ocasionada por los movimientos del sol se observa en el decurso de un año.
¿Será por causa de que las observaciones se hacen a partir del sol y de la luna que la forma
geométrica del círculo y la de la circunferencia están presentes?
¿Pueden también juntarse a estas observaciones las cuatro fases de la luna? Esta última
interrogante proviene de que la observación lunar, durante las cuatro fases de la luna,
también produce una figura hiperbólica, con eje central de reflexión en la luna nueva y sus
extremos están de una luna llena a otra, caracterizando el mes, por eso el uso de “mi hijo
tiene x lunas”.
Estas observaciones confirman las conclusiones de Carvalho (1979, p. 17) respecto de la
triple encrucijada que se da entre tres círculos que se interceptan, produciendo tres espacios
definidos: el espacio que permite la relación entre personas y “cosas” que no pertenecen a
la aldea, llamado por Carvalho de “mundo exterior”geográfico; el otro espacio que
simboliza el “mundo nuestro”, mundo de los kuikuro. Estos dos espacios permiten la ida y
venida, mientras que el tercer espacio, que es el espacio formado por las curvas de la
hipérbola –espacio donde se da el eje de la simetría de la hipérbola, donde está el juego de
la vida y de la muerte, de la luna y del sol– este no tiene regreso.
La llegada de la escuela...
Pero, a partir de 1976, se implanta la primera escuela en el Puesto Indígena Leonardo
Villas-Boas, dentro del área del PQXin (Parque Nacional del Xingú), ocasionando la
destrucción sistemática de modos de vida y de pensamiento de personas diferentes de
aquellas que conducen la empresa de la destrucción, matándoles en el espíritu.
Justificamos, para el alivio de nuestra conciencia y para la satisfacción de nuestro ego, que
la necesidad de intensificación del contacto exige la implantación de esas escuelas y que los
pueblos indígenas necesitan el conocimiento difundido por ellas. Y justificamos más aún,
que, por estos motivos, debemos ‘caridosamente’ llevarles nuestra educación y nuestra
escrita. Actitud/postura, esta, cargada de altruismo y humanismo, inscrito en el corazón de
la cultura occidental, que acaba desembocando en la disolución del múltiple en uno.
793

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Por eso, en mi país, se hizo necesario un Referencial Curricular Nacional para las Escuelas
Indígenas y, optimistamente, nos alegramos con la construcción de salón de clases y
formación profesores para el Magisterio Indígena / 2 º grado de las sociedades indígenas,
accionando una fuerza centrípeta, la cual tiende a aplastar las fuerzas centrífugas inversas,
cuando las circunstancias lo exigen, descubriendo, en la esencia de la sustancia del Estado,
la fuerza de acción del Uno y la vocación de rechazo del múltiple, el terror y horror a la
diferencia, siendo el etnocídio el camino del Estado y de sus sociedades para conducir todo
el proceso.
Aun ante realidad mortífera, que no es sanguinaria, nos damos cuenta de que este pueblo
indígena utiliza de sus tácticas, siendo una de ellas la de filtrar las informaciones de sus
datos culturales y sociales, permaneciendo firmes en su identidad.
Concluyendo
Por eso, la postura del educador debe excluir toda autosuficiencia, dialogar con igualdad,
aceptar la diferencia y la alteridad, dejar que sea el otro que se defina aceptando la auto
lectura a partir de la propia identidad. Esta postura reconoce la capacidad social de decisión
y derecho de participación en la programación de los procesos de formación de los pueblos
indígenas. Reconoce y acepta la pluralidad cultural y el derecho a manejar, de manera
autónoma, los recursos de su cultura. Son eses pueblos que deben decidir su futuro, según
proyectos que partan de sus intereses y aspiraciones. Nos toca respectarlos y tratar de
conocer su producción científica. El programa de las etnomatemáticas contempla estas
condiciones.
Blibliografía
Boyer, c. B. História da matemática. São paulo. Edgard blücher ltda. 1974
Carvalho, s. M. S. Onças míticas e jogo de bola. In: revista de antropologia. Volxxii. 1979
Castro, f. P. Relatório da viagem exploratória de matto-grosso a pará pelo rio xingú 1885. In: anais da
biblioteca e arquivo públicos. Belém –pa . 1885
Domingues, h. H. Seções cônicas: história e ensino. In: revista de educação matemática. São paulo. Sbem.
Ano 6 nº4. 1998. P. 43- 49
Franchetto, b. E campos, m. D. Kuikuru: integración cielo e tierra en la economia y en el ritual. In: de
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Xxxiv – lviii. 1894/1940
794

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA EN LOS PROYECTOS PEDAGOGICOS
ESCOLARES REFLEXIONES DESDE UNA PERSPECTIVA CRITICA
Martín Andonegui
U.P. Experimental Libertador – I.P. de Barquisimeto
ioritz@hotmail.com
Resumen
Las reflexiones iniciales se centran en la dinámica de la sociedad actual, sumida en un proceso de
globalización que genera desequilibrios y paradojas. Se observa que la matemática está presente de forma
prescriptiva en la sociedad, a la que moldea por la vía del diseño de la tecnología. Para afrontar las paradojas
sociales, la educación debe concebirse como crítica y transformadora. En consecuencia, la educación
matemática se plantea como objetivo la alfabetización matemática de los individuos. Para lograrlo, debe
proponer tres tipos de conoceres: el matemático, el tecnológico y el reflexivo. En este contexto, los proyectos
pedagógicos se muestran como apropiados desde una perspectiva educativa crítica. El tema de los proyectos
es lo primero a considerar, y su selección debe responder a ciertos criterios: contextualización, intención
transformadora, posibilidad de percibir la fuerza modeladora de la matemática, y capacidad para generar
nuevos conocimientos y competencias. Además, debe tomarse en cuenta el clima de aprendizaje, centrado en
el diálogo y en la negociación.
La relación matemática – sociedad
La primera aproximación al tema se centra, indudablemente, en el análisis de la relación
existente entre la matemática y la sociedad actual. Y para iniciar este análisis debemos
asomarnos a esta última. Castells (1994) la califica como sociedad informacional, concepto
que asume e integra los calificativos de sociedad de la información y sociedad del
aprendizaje. Lo que se sostiene con tales precisiones es que el impacto de la tecnología –
particularmente las de la información y comunicación- ha incidido en las estructuras
culturales, económicas y políticas de nuestra sociedad. Se instauran, además, el
conocimiento y la información como fuentes de valor y de poder.
Pero esta transformación no se produce en un mundo equilibrado y neutro. Los fenómenos
de la globalización esconden, tras su apariencia de alcance universal y pretendidamente
igualitario, gérmenes de una nueva colonización. Los sectores nuevamente colonizados –el
Cuarto Mundo, como lo califica Castells (1994), que incluye al Tercero y también a vastos
sectores de los propios países desarrollados- son aquellos que son irrelevantes para la
producción y el consumo del conocimiento y de la información.
Este desarrollo contradictorio conduce así a la emergencia de la paradoja de la inclusión,
que “se refiere al hecho de que el actual modelo de globalización de la organización social,
que establece como principio el acceso y la inclusión universal, también conduce a una
marcada exclusión de ciertos sectores sociales”. (Skovsmose y Valero, 2002, p.386 [La
traducción es propia]).
¿Qué papel juega la matemática en este escenario? Davis y Hersh (1988) –en un texto de
sugerente título, “El sueño de Descartes: El mundo según las Matemáticas”- hablan de una
matematización prescriptiva presente desde la antigüedad en situaciones tales como la
medida de magnitudes físicas, el establecimiento de calendarios y relojes, los sistemas
795

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
monetarios, los planos para construir máquinas y edificaciones, etc. Pero esta incidencia se
ha incrementado casi ilimitadamente hasta nuestros tiempos y ha penetrado numerosos
sistemas: de calificación personal –cociente intelectual, calificaciones escolares…-, de
seguros, de comunicaciones, monetarios, de consumo, de armamentos, de votación, de
transportes… Son sistemas que regulan y alteran nuestra vida y caracterizan a nuestra
civilización. Y todos ellos reflejan una matematización prescriptiva, desconocida para la
gran mayoría de personas.
En esta misma línea, Skovsmose (1994a) suscribe también la tesis de que la matemática
tiene la capacidad de moldear -“formatear”- a la sociedad, por ser el principio básico para el
diseño de la tecnología, particularmente de la que sustenta los sistemas de información y
comunicación.
Que esta ingerencia fundamental de la matemática continuará en el futuro queda claro, por
ejemplo, en el testimonio de P. Griffiths, Secretario de la Unión Matemática Internacional,
quien concluye así su reporte acerca de las matemáticas ante el nuevo milenio: “Los
matemáticos nos planteamos dos objetivos ahora que entramos en un nuevo milenio. El
primero es el de ser capaces de mantener la tradicional fortaleza de nuestra investigación
básica, que es semillero de nuevas ideas y nuevas aplicaciones. El segundo es ampliar
nuestro contacto con el mundo que está más allá de la ciencia” (Griffiths, 2000, p. 41).
De todo lo anterior puede inferirse, pues, que la matemática está en el centro de la paradoja
de la inclusión. Ahora bien, ¿qué significa esto para nosotros como docentes de
matemática?
En primer lugar, debemos plantearnos el papel que debe jugar la educación en un escenario
como el descrito. Porque, de entrada, se presenta una nueva paradoja, la paradoja de la
ciudadanía, que alude a que, “por un lado, la educación parece dispuesta a preparar para el
ejercicio de una ciudadanía activa, pero por el otro, parece garantizar la adaptación de los
individuos al orden social establecido” (Skovsmose y Valero, 2002, p.386 [La traducción es
propia]).
Para afrontar esta segunda paradoja y so pena de convertirse en cómplice de los
desequilibrios que fomenta la actual globalización, la educación debe adoptar una postura
crítica. Esto significa que debe investigar las condiciones en las que se adquiere el
conocimiento, que debe estar atenta para identificar y evaluar los problemas que se
presentan en la sociedad, y que debe convertirse en una fuerza de reacción frente a tales
situaciones problemáticas (Skovsmose, 1994a).
Planteamiento que coincide con el que ya ha sido sustentado por diversos autores desde
hace algún tiempo y ante otros fenómenos de exclusión. Así y en nuestro medio
latinoamericano, Paulo Freire considera a la educación como práctica de la libertad
(Freire, 1969, 1970), es decir, como una acción de conocer, una aproximación crítica a la
realidad, pues sólo en su relación dialéctica con la realidad puede la educación concebirse
como un proceso transformador, de constante liberación del hombre. Para ello debe
796

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
promover la concientización, proceso que permite problematizar la realidad y percibir las
restricciones que impone, con el fin de dar paso a una acción transformadora.
La educación matemática debe situarse en este ámbito. Skovsmose (1994b) –en una línea
general ya iniciada por Freire- le asigna como objetivo propiciar la alfabetización
matemática de los individuos. Esto significa atribuirle el propósito de formar ciudadanos
críticos, mediante un empoderamiento que permita a los alumnos reorganizar y reconstruir
sus interpretaciones relativas a las instituciones sociales. Es decir, capacitarlos para discutir
críticamente la utilización de la matemática en el diseño tecnológico y, por esta vía, las
condiciones a que se ve sometida su vida por la aplicación de esta tecnología.
El mismo autor destaca tres tipos de conoceres implicados en el logro de tal propósito:
• El conocer matemático, referido al dominio de los conceptos, procedimientos y
demás competencias matemáticas al uso.
• El conocer tecnológico, referido a las habilidades para aplicar el conocimiento
matemático y para construir modelos matemáticos. Es decir, es el conocer necesario
para desarrollar y utilizar una tecnología dada.
• El conocer reflexivo, relativo a la capacidad de reflexionar acerca del uso de la
matemática, es decir, acerca de las consecuencias sociales y éticas, derivadas de la
aplicación de la tecnología en los distintos sistemas económicos, culturales y
políticos.
Skovsmose (1994b) insiste en este tercer tipo de conocer como una especie de
metaconocimiento acerca de la tecnología, que nos permite verla en un contexto más
amplio, es decir, en el contexto de las implicaciones sociales, ecológicas, económicas y
políticas. No puede haber alfabetización matemática si no se alcanza este tercer nivel del
conocer, ya que las competencias matemática y tecnológica no poseen de suyo la capacidad
de predecir y de analizar los resultados de su propia producción. Pero, a su vez, el conocer
reflexivo no tiene ningún sentido si no puede referirse a los dos anteriores.
Los proyectos pedagógicos escolares (PPE)
La perspectiva crítica de la educación y, en particular, de la educación matemática, lleva a
infundirles una orientación hacia la resolución de problemas y hacia el desarrollo de
proyectos. Vamos a detenernos en este segundo aspecto, objeto de estas reflexiones.
Al respecto, los currículos escolares de algunos países latinoamericanos incluyen a los PPE
(con diversos nombres; así, en Venezuela se denominan Proyectos Pedagógicos de Aula)
como una vía para la planificación y el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje en
el nivel básico. Estos PPE poseen como características la globalización de dicho proceso –
lo que implica buscar el modo de integrar los saberes de las diversas disciplinas escolares-,
así como servir de enlace con situaciones significativas del entorno de los alumnos. En lo
que sigue, tratamos de analizar la praxis de los PPE desde la perspectiva de la construcción
de los conoceres matemático, tecnológico y reflexivo.
El punto inicial para construir un PPE es el relativo a la selección del tema. Skovsmose
(1994b) sugiere, al respecto, algunos criterios útiles. Los dos primeros son de carácter
797

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
global; los tres últimos se refieren al enlace con el aprendizaje de la matemática que el tema
debe propiciar:
798
• Debe ser un tema familiar para los alumnos, al que puedan referirse con soltura en
su lenguaje habitual.
• Que, aun dentro de la “pequeñez” del área propuesta, posea ciertos rasgos de
ejemplaridad con respecto a otras situaciones sociales globales, cuyas estructuras
puedan vislumbrarse desde el tema seleccionado.
• Que posea su propio valor para los niños y que no se convierta simplemente en una
introducción ilustrativa para un tema matemático formal.
• Que pueda ser abordado de alguna manera por todos los niños, a pesar de sus
posibles diferencias en cuanto a capacidades y competencias matemáticas.
• Que se preste para ampliar sus conocimientos matemáticos y para desarrollar
nuevos conceptos y competencias.
A esta exposición de criterios quisiéramos agregar la insistencia que, desde el campo de la
etnomatemática (Borba, 1990), se hace en relación a que el tema sea extraído de la propia
vida diaria de los alumnos, pues de lo que se trata es de problematizar la realidad en el aula
con el fin de transformarla, y no sólo de hacer ver el poder modelador que posee la
matemática en la sociedad (Munter et al., 1994). En definitiva, se trata de contextualizar el
aprendizaje de la matemática.
Como puede apreciarse, no es tarea sencilla la selección de un tema para un proyecto
pedagógico: a su significatividad contextual y a su intencionalidad transformadora debe
aunarse su capacidad para permitir aplicar y comprender la potencia modeladora de la
matemática y para desarrollar nuevos conocimientos matemáticos en los niños. De hecho,
los proyectos reportados por el propio Skovsmose en su trabajo adolecen de algunas
debilidades: selección del tema por los docentes, construcción de escenarios un tanto
artificiales, insuficiente tratamiento matemático… Por su parte, algunos otros proyectos
desarrollados desde la perspectiva de la etnomatemática resultan demasiado puntuales, o
sólo se preocupan de los procedimientos de resolución de problemas, o surgen en ambientes
desescolarizados (Munter et al., 1994).
Haciendo referencia al caso venezolano, la selección del tema en las aulas de los grados 1º
a 6º de la Escuela Básica es guiada habitualmente por los intereses de los niños –más que
por sus necesidades, según testimonios de los mismos docentes- y negociada por la
maestra. Esta forma de actuar por parte de los sujetos de la selección parece oportuna por
cuanto puede garantizar la significatividad contextual, pero en la práctica hemos podido
apreciar que rara vez se cumplen los otros requisitos de intencionalidad transformadora, de
presencia modeladora de la matemática, y de desarrollo de nuevos conocimientos
matemáticos en los niños.
Estas dos últimas carencias son, sin duda, consecuencia de la debilidad que, en promedio,
presentan nuestros docentes de Educación Básica en cuanto a conocimientos matemáticos,
situación que compromete seriamente la planificación y el desarrollo de los proyectos

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
pedagógicos por cuanto, sin esa base, no es posible la construcción de los conoceres
tecnológico y reflexivo, ni es posible una cabal problematización de la realidad.
Además de la selección de los temas de los proyectos pedagógicos, otro de los puntos
fundamentales a tomar en cuenta es el del clima, del estilo de aprendizaje en el que deben
desarrollarse. Cabe destacar aquí, en primer lugar, que el aprendizaje se concibe como una
acción, caracterizada por una meta a alcanzar y por unas razones para iniciarla y sostenerla.
Que los alumnos puedan participar en la selección del tema es un buen inicio para lograr
que asuman la responsabilidad por su propio aprendizaje.
En resumen, el clima de aprendizaje en los proyectos pedagógicos debe incluir diálogo
acerca de las intenciones de los distintos actores –alumnos y docente-, interacción,
discusión, confrontación de opiniones y de conocimientos, cuestionamiento de contenidos y
de procedimientos, planteamiento de retos colectivos e individuales, y la negociación de
metas compartidas. Estos factores de confrontación, evaluación crítica y negociación se
consideran fundamentales para trascender los conoceres matemático y tecnológico y poder
arribar así al nivel del conocer reflexivo.
Todo lo anterior implica una revisión del papel del docente en los proyectos pedagógicos.
No parece que un estilo directivo sea el más apto. Más bien, el docente debe saber
“meterse” en el grupo, ganarse su rol de negociador y de orientador, ser aceptado como
alguien implicado en el proyecto y, como tal, corresponsable de sus resultados.
Finalmente, otro de los puntos a considerar es el del lenguaje. Son diversos los lenguajes
potencialmente presentes en el desarrollo de un proyecto pedagógico y cuya construcción
hay que potenciar. De entrada, el lenguaje común, en el que debe exponerse el tema, así
como el lenguaje matemático, cuyo objetivo fundamental es el de hacer visibles –por la vía
de la construcción y aplicación de modelos- aquellas relaciones que el lenguaje natural
puede esconder. Pero también debe buscarse el desarrollo de un metalenguaje, que permita
a los alumnos expresarse acerca de la educación y de la matemática, así como el de un
lenguaje tecnológico, propio del terreno en que se aplica la matemática.
Algunas conclusiones provisionales
1. De entrada podemos decir que el enfoque crítico de la Educación Matemática sustenta la
conveniencia de trabajar por la vía de los proyectos pedagógicos en el aula y que éstos, en
lo que a la formación matemática respecta, tendrían como objetivo la alfabetización
matemática de los alumnos. Pero, por lo que hemos podido argumentar anteriormente, es
notable la diferencia que existe entre un posible deber ser y la realidad de nuestra práctica
educativa. En particular, no podemos obviar las debilidades de nuestros docentes de
Educación Básica en lo que respecta a sus conocimientos matemáticos.
2. Por todo ello, cualquier intento de fortalecer los proyectos pedagógicos pasa, entre otras
cosas, por una formación a fondo de nuestros docentes en el área matemática. Formación en
el conocer matemático, en torno a ideas matemáticas poderosas (Skovsmose y Valero,
2002), pero orientada además hacia un conocer tecnológico, es decir, abierta hacia el poder
de modelación y hacia las aplicaciones de la matemática.
799

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
3. De un modo similar, la formación debería alcanzar a otros aspectos relativos a los
proyectos pedagógicos, tales como la generación y el mantenimiento de un clima de
diálogo, el abandono de un estilo directivo, la competencia de negociar con los alumnos –
particularmente en la selección de los temas de los proyectos-, etc.
4. Como un espacio abierto a la reflexión y a la investigación quedan algunas cuestiones,
como por ejemplo, las posibilidades y limitaciones que puede presentar la implementación
de los proyectos pedagógicos –desde la perspectiva aquí presentada- en el nivel de los tres
primeros grados de la Educación Básica. Esta interrogante se justifica por cuanto en este
nivel resulta más delicado el tratamiento de los conoceres tecnológico y reflexivo, y puede
estar menos desarrollada en los niños la capacidad de problematizar la realidad.
5. En esta misma línea, cabe preguntarse por la posibilidad de desarrollar –allí donde no se
hagan- proyectos pedagógicos en los grados 7 a 11 ó 12, niveles en los que la mayor
madurez de los alumnos y un bagaje más amplio de conocimientos matemáticos y
tecnológicos podría ofrecer una base más cabal para un conocer reflexivo y para una acción
transformadora.
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Munter, J. et al. (1994). Mathematics Education – based on Critical Mathematics Education and
Ethnomathematics. Aalborg, Aalborg University.
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800

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
LA GEOMETRIA EN LAS DANZAS FOLKLÓRICAS ARGENTINAS
Oscar Sardella
Instituto Superior del Profesorado “J.V.Gonzalez”. Argentina
oscarsardella@hotmail.com
Resumen
Es conocida la relación de la geometría con el arte, (Pedoe, 1979), así como su influencia en la arquitectura
(Alsina y Trillas, 1983) y en las realizaciones artísticas de los indígenas que ocuparon el territorio argentino
(Gonzalez, 1983) Sin embargo existen otros aspectos interesantes como por ejemplo la Geometría en las
danzas tradicionales argentinas. Son numerosas y poco conocidas las formas y características de la música
precolombina en las regiones que hoy ocupa la República Argentina. Las referencias que se tienen indican
que muchas tribus realizaban un ritual músico en sus ceremonias tanto guerreras como religiosas. En las
danzas folclóricas argentinas es característico el movimiento de los bailarines por pareja suelta, hombre y
mujer, realizando evoluciones en general independientes, es allí donde aparece la geometría. Se analizaran las
coreografías de varias danzas y se observará como existe una geometría oculta que rige sus movimientos. Los
objetivos de este trabajo son: establecer la relación entre la Matemática, más precisamente la Geometría con
otras disciplinas y hallar relaciones entre los temas que se enseñan habitualmente en la escuela, sus orígenes y
desarrollos históricos, para integrar la Matemática y su relación con otras áreas a la práctica docente.
Introducción
Es conocida la relación entre la geometría con el arte, así como su influencia en la
arquitectura y en las realizaciones artísticas de los indígenas que ocuparon el territorio
argentino. Sin embargo existen otros aspectos interesantes como por ejemplo la geometría
en las danzas folclóricas argentinas.
Son muchas y poco conocidas las formas y características de la música existente antes de la
conquista en las regiones que hay ocupa la República Argentina. Todas las referencias
indican que las tribus tenían un ritual músico que utilizaban tanto en las ceremonias
religiosas como en las guerreras.
Los que conquistaron estas tierras no tuvieron en cuenta esta música, desda ya, muy
primitiva en relación con el refinamiento de la propia, que fueron imponiendo
paulativamente.
Fandangos, rondas, zapateos y otras danzas junto con coplas, serenatas y cantares de caza,
o de guerra fueron característicos en los primeros años de la colonia.
Solamente en algunas regiones del oeste de Sudamérica, donde habitaron los núcleos
aborígenes más adelantados, entre ellas el noroeste argentino, lograron en parte hacer
sobrevivir la música autóctona.
Pese a que la música incaica tuvo gran desarrollo en los pueblos primitivos. fue
perdiéndose gradualmente ante el avance de la música española. Al ser desplazada de los
centros de mayor población solo se pudo refugiar en la intimidad de los pueblos, que aún la
ejecutan con arcaicos instrumentos.
801

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El predomino de la música española, aunque influenciada por la local. indica que el origen
de nuestro folclore viene de dicha música y allí estan las raíces de nuestras canciones y
danzas populares.
El aporte europeo llegó a estas tierras por distintas vías y esta música fue incorporada en los
salones del virreinato, para luego generalizarse en la sociedad colonial, sufriendo los
cambios propios de este pasaje.
Así siguiendo llegó a indígenas, negros y europeos de cultura inferior, hasta terminar en al
habitante rural, el criollo, que la moldea y la adopta.
En resumen de formas cultas europeas, y con los matices que le imprimeron indígenas,
negros y criollos, nace el folclore nacional con características propias.
Caracteristica de las danzas
Es característico de las danzas argentinas que los bailarines, hombre y mujer, realicen sus
movimientos en pareja suelta, siendo sus evoluciones independientes.
El ritmo de la melodía es vivo y se agiliza en la parte del zapateo.
La mayor parte de las piezas musicales consta de dos partes llamadas primera y segunda
que se inician con el aura (a la voz de aura) algunas acompañadas por pañuelos y otras con
palmas.
El canto queda reducido a coplas, más bien pequeñas, de índole amorosa y refraneras,
repitiéndose el primer verso de cada estrofa y el estribillo.
Nos ocuparemos de la danza y su relación con la geometría. La cantidad de danzas nativas
es muy grande. Mencionaremos algunas, como por ejemplo:
el Pericón, el Triunfo, el Cielito, la Media Caña, la Zamba, la Zamacueca, la Cueca, el
Gato, la Huella, el Escondido, la Chacarera, la Condición, el Sombrerito, el Palito, el
Federal, el Pala Pala, etc.
Tomaremos algunas de estas danzas y estudiaremos sus movimientos coreográficos que
responden a figuras geométricas conocidas.
El gato
Danza considerada como una de las más antiguas perteneciendo a las denominadas
picarescas, de pareja suelta, conocida también con los nombres Perdiz y Mis-mis. Se
bailaba en Chile, Perú, Paraguay y en todo el territorio argentino. Esta danza subsiste aún
hoy en nuestro país. El gato figuró, antaño, en sitios de honor, tanto en las reuniones
aristocráticas como de campaña. Es el arquetipo de las danzas nativas argentinas.
802

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Es la danza más popular del acervo folclórico argentino y ha generado distintas variantes
coreográficas que implican solo ligeras modificaciones regionales de la misma. Para el
análisis se tomó una coreografía simple, la que corresponde al “gato de un giro”.
Los tramos o ideas coreográficas son seis. Las evoluciones se realizan dentro de un
cuadrado imaginario donde los bailarines se ubican para comenzar la danza en los
extremos de una mediana, tal cual se indica en la figura.
1) Vuelta. El caballero (C) y la dama (D) recorren la circunferencia por la derecha
intentando tocar los puntos medios de cada lado del cuadrado original, volviendo al punto
de partida. Al llegar al punto de partida los bailarines se enfrentan brevemente y en seguida
comienzan el giro.
2) Giro. Caballero y dama, describen cada uno una circunferencia volviendo al lugar de
origen.
3) Zapateo-zarandeo. El caballero zapatea y la dama hace el zarandeo (describe un rombo).
4) Media vuelta. Caballero y dama describen una circunferencia como en el primer
movimiento, pero lo interrumpen por la mitad (semicircunferencia)
Como consecuencia de esta media vuelta, el caballero ocupará el lugar de la dama y ésta la
del caballero.
5) Zapateo-zarandeo. En el nuevo lugar el caballero zapatea y la dama zarandea.
6) Giro final. Caballero y dama giran a la izquierda sobre sí mismos, describiendo cada uno
una circunferencia de radio menor que la mitad del lado del cuadrado inicial.
En ese momento termina la música y los bailarines con los brazos algo extendidos de tal
modo que las manos de uno lleguen casi a tocar el hombro del otro.
Las figuras indican los seis tramos descriptos.
D C
3
La chacarera
D C D C
D C
1 2
C D
C D
4 5 6
803

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La chacarera es una danza de pareja suelta y picaresca que, según el investigador Félix
Coluccio, llegó a la Argentina procedente de Perú, que a su vez la recibió de Europa. Se
baila en todo el país con excepción de la zona sur y puede ser bailada por una o dos parejas
indistintamente, comenzándose toda la coreografía con el pie izquierdo.
Se parte de un cuadrado con la pareja en los extremos de una de sus medianas. Sus tramos y
las figuras geométricas de su coreografía son:
1) Avance y retroceso (rombos)
2) Giro (circunferencias)
3) Vuelta entera (circunferencias)
4) Zapateo y zarandeo (rombo)
5) Vuelta entera (circunferencias)
6) Zapateo y zarandeo (rombo)
7) Media vuelta (semicircunferencia)
8) Giro y coronación (circunferencias)
Ver figuras.
804
D
D
D C D C
1 2
C D C D C
3 4 5
C
D C
C D
6 7 8

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
La zamba
Según el “Diccionario Folclórico Argentino” de Félix y Susana Coluccio, la palabra zamba
proviene de “zambra”, vocablo árabe con el que se designaba la fiesta morisca en la cual
solían danzar las almeas.
Es una danza picaresca de pareja suelta, también llamada chilena, cueca, zamacueca, etc.
Al igual que en la cueca, el hombre persigue a la mujer tratando de conquistarla por su
habilida de bailarín y con el lenguaje mudo del pañuelo.
La danza se realiza en un cuadrado imaginario, donde la pareja de bailarines se ubica
inicialmente en los extremos de una de las medianas.
Los tramos y las respectivas figuras geométricas utilizadas son:
1) Vuelta entera (circunferencia), 2) arresto simple (triángulos),
3) media vuelta (semicircunferencias o arcos de elipse), 4) arresto simple (triángulos),
5) arresto girando (circunferencias), 6) media vuelta (circunferencias o arcos de elipse), 7)
arresto girando (circunferencias), 8) media vuelta al encuentro (espiral).
D C D C
1 2
D C C D C D
3 4 5
C D D C C D
6 7 8
Trabajo interdisciplinario
Se propone un trabajo coordinado entre docentes de matemática y de música.
805

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Por ejemplo, tomar la coreografía de una danza analizada en todos sus aspectos (musical,
histórico, coreográfico) en la asignatura música, luego, en matemática, identificar las
figuras geométricas utilizadas en la coreografía, definir cada una de ellas, enunciar sus
propiedades y, según los casos, demostrarlas.
Como pequeño trabajo de investigación conjunto hacer un listado de danzas nativas y
buscar las coreografias de varias de ellas, determinar qué figuras geométricas utilizan.
En caso de que aparezcan figuras distintas de las ya localizadas, definirlas y enunciar y
demostrar sus propiedades básicas. (tener en cuenta los niveles de los alumnos).
Consideraciones finales
En general la matemática representa para los alumnos de la escuela media una gran
preocupación, a veces se suele plantear que es muy abstracta, otras que no se entiende en
qué se puede aplicar y en otros casos se admite la necesidad de estudiarla pero es
rechazada.
Teniendo en cuenta lo anterior, con este trabajo se pretende dar elementos que le posibiliten
al docente trabajar en forma integrada con colegas de otras materias.
Los alumnos en este caso apreciarán la presencia de la geometría en otras disciplinas.
Esto tiende a lograr que un docente, cualquiera sea su especialidad, no debe restringirse a
conocer y estudiar solo y exclusivamente su materia. Todos los conocimientos que se
adquieran y los intereses que cultive, lo enriquecerán para realizar la tarea elegida.
Bilbliografía
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806

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL CURRÍCULUM CHILENO
Maryorie Benavides, Miguel Villarraga, Enrique Castro y Carolina Brieba
P. U. Católica de Chile, U. del Tolima Chile, U. de Granada , Mineduc-Chile
mbenavid@mat.puc.cl, miguelvr@ugr.es, ecastro@ugr.es, mbrieba@mineduc.cl
Resumen
A finales de la década de los años setenta del siglo veinte, la actividad de resolución de problemas adquirió
gran importancia en la enseñanza y aprendizaje de la matemática: sus orígenes, se sitúan en la necesidad de
modificar aspectos importantes tanto metodológicos como curriculares.
En este artículo se presenta una aproximación a “resolución de problemas”, se describen diversas
clasificaciones de problemas a partir de algunos criterios, los factores que inciden en la resolución, las
propuestas metodológicas para la enseñanza aprendizaje, el papel de la resolución de problemas en el
currículum de matemáticas y finalizamos con la resolución de problemas en el currículum chileno,
enunciando los objetivos fundamentales y contenidos mínimos relacionados con el tema.
Aproximaciones a “Resolución de problemas”
Pese a la importancia de la resolución de problemas en el ámbito científico, en el educativo
y en otros campos relacionados, las expresiones problema y resolución de problemas no
tienen un significado unívoco que las caracterice dentro de la investigación en Educación
Matemática. Se impone esclarecer estos términos para tener una caracterización
comprehensiva de la resolución de problemas aplicable a la Educación Matemática y para
precisar el sentido con que los vamos a utilizar.
Cuando observamos los tipos de problemas que se han utilizado desde una perspectiva
general de investigación vemos que incluyen tareas tan dispares como resolución de
anagramas, razonamientos silogísticos, colocación de cerillas u otros objetos según distintas
configuraciones, cambios de posición mediante secuenciación de transformaciones como en
la torre de Hanoi, tareas estratégicas como hacer cruzar lobos y corderos un río, y muchas
otras. Aún ciñéndonos a la resolución de problemas estrictamente matemáticos el campo de
tarea posibles es tan amplio que surgen dificultades a la hora de establecer una noción
general de problema.
Una manera de describir la resolución de problemas es considerar los distintos agentes que
intervienen en la resolución de un problema y los componentes que lo articulan. Desde el
punto de vista escolar, en el que estamos interesados hay que tener en cuenta que en toda
situación de resolución de los problemas de matemáticas se distinguen o intervienen tres
componentes: el problema, interrogante o cuestión que se plantea, el alumno (o los
alumnos) a quien se plantea la cuestión a la que deben encontrar respuesta y la situación en
que resuelve el problema, que en el ámbito educativo es el aula, manejada por el profesor.
La consideración de cada uno de ellos, por separado o conjuntamente, en interacción con
los otros componentes, permitirá precisar lo que entendemos por problema y por resolución
de problemas en Educación Matemática.
La componente problema hace referencia al ámbito de la matemática, donde se distinguen
problemas de demostrar y problemas de hallar. La formulación y la invención de
problemas son un aspecto clave del quehacer matemático y, hacerse preguntas de ¿qué
pasaría si? Es una estrategia para plantear nuevos problemas.
807

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Desde el punto de vista del resolutor, un problema se puede describir como “una situación
en la cual se intenta alcanzar una meta y se hace necesario encontrar un medio para
conseguirlo” porque el camino directo a la meta está bloqueado. Esta clase de formulación
es típica de los psicólogos, quienes usualmente añaden que un problema requiere un
individuo en la situación, alguien que asuma, “que tenga”, el problema. Mayer (1986)
considera que la mayoría de los psicólogos concuerdan en que un problema tiene ciertas
características: “datos ..., objetivos ..., obstáculos” (p. 18), agrega que una definición de
problema debe tener en esencia las tres ideas siguientes: “1) El problema está actualmente
en un estado, pero, 2) se desea que esté en otro estado, y 3) no hay una vía directa y obvia
para realizar el cambio.” (p. 19) Algunos autores consideran que la diferencia entre
problema y ejercicio, se refiere a que: un problema es una situación en que el resolutor no
tiene un proceso algorítmico que le conduce con certeza a la solución.
Los problemas que resuelven los alumnos en la clase de matemáticas provienen en muchas
ocasiones o están propuestos por el profesor. Con ello se introduce un matiz nuevo: En
estas situaciones de enseñanza se emplean a menudo como sinónimas las palabras
“problema” y “tarea”, sin reconocer que “tarea” implica la existencia de un emisor y un
receptor, mientras que no sucede así con “problema”. Entramos con ello en una perspectiva
sociológica de la resolución de problemas, en la cual la clase de matemáticas es un medio
social en el que los participantes tienen que interpretar las acciones e intenciones de los
demás, estructurando conjuntamente la situación a la luz de sus propias agendas.
En Educación Matemática la Investigación en Resolución de Problemas ha conducido a la
identificación de variables de análisis en resolución de problemas relativas a estas tres
componentes (Castro, 1991; Castro y Villarraga, 2001).
Clasificación de problemas
Hay varias clasificaciones de problemas. A continuación mencionaremos algunas de las
más referenciadas en la literatura.
Charles y Lester (1982) realizan una clasificación en seis tipos de problemas: Ejercicios de
repetición (desarrollan habilidades), problemas de traducción simple, problemas de
traducción compleja (realizan más de una operación para encontrar su solución), problemas
de procesos (la forma de cálculo no aparece claramente delimitada), problemas aplicados
y problemas de puzzles (muestran el potencial recreativo de las matemáticas.)
Un tipo particular de problemas: “Los problemas aritméticos cuya expresión o enunciado es
verbal se les llama “Problemas aritméticos enunciados verbalmente” y se les suele designar
con las siglas P.A.E.V.”, tal como lo define (Castro 1991, p.66). Atendiendo al número de
datos que aparecen explícita o implícitamente en la información se puede hablar de PAEV
simples y compuestos. Para resolver un PAEV simple se necesita una sola clase de
operación aritmética: adición, sustracción, multiplicación o división, a partir de las cuales
se establecen las distintas categorías semánticas que describimos a continuación.
• La categoría semántica de problemas de estructura aditiva esta formada por cuatro tipos de
problemas: problemas de cambio, problemas de combinación, problemas de comparación y problemas de
igualación.
• La categoría semántica de problemas de estructura multiplicativa, se clasifican en cuatro grupos,
según Vergnaud: problemas de “Isomorfismo de medidas” (problemas de proporcionalidad simple),
problemas de “producto de medidas”, problemas de “comparación” y problemas de “proporcionalidad
múltiple”
808

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Factores que inciden en la resolución de problemas
Charles y Lester (1982) analizan el proceso mental que supone resolver adecuadamente los
problemas matemáticos. Para ellos, los datos iniciales determinan los objetos del problema.
Las orientaciones en los datos iniciales son: el análisis de la información, los datos
esenciales y su confrontación; de donde surge el esquema general o estrategia de resolución
apoyada en un sistema de operaciones que lleve a la solución, posteriormente se confrontan
los resultados con los datos iniciales, si hay acuerdo termina la actividad, si no hay acuerdo
se vuelve al primer paso para determinar los objetivos del problema a partir de los datos
iniciales.
Existen tres conjuntos de factores del sujeto que interaccionan en el trabajo de resolución
de problemas. Los factores afectivos de: motivación, interés, perseverancia y ansiedad, los
factores de experiencia: fundamentos matemáticos previos, edad y familiaridad con
estrategias de solución y finalmente los factores cognitivos de: memoria, habilidad analítica
y lógica, y la habilidad lectora, espacial y de cálculo.
Propuestas metodológicas para la enseñanza aprendizaje de la resolución de
problemas
Schoenfeld (1980) propone un esquema similar al de Polya (1945), en cuatro etapas:
analizar y comprender un problema (dibujar un diagrama, examinar un caso especial e
intentar simplificarla), diseñar y planificar una solución (planificar la solución y explicarla),
explorar soluciones (considerar una variedad de problemas equivalentes, considerar ligeras
o amplias modificaciones del problema original, finalmente verificar la solución.
Bransford y Stein (1984) centran su interés en conseguir buenos resolutores. Proponen el
método IDEAL, de resolución de problemas que está concebido con la finalidad de facilitar
la identificación y reconocimiento de las distintas partes o componentes a tener en cuenta
en la resolución de problemas. Las letras del método IDEAL, corresponden a las iniciales
de las etapas del método propuesto: identificación del problema, definición y
representación del problema, exploración de posibles estrategias, actuación fundada en una
estrategia y logros: observación y evaluación de los efectos de las actividades.
Papel de la resolución de problemas en el currículum de matemáticas
Según Stanic y Kilpatrick y (1989), en el currículum de matemáticas la resolución de
problemas se ha utilizado como: contexto, habilidad y arte.
La resolución de problemas como contexto, consiste en utilizar los problemas como medio
para lograr otros objetivos. Según finalidad se subdividen en: resolución de problemas
como justificación, resolución de problemas como motivación, resolución de problemas
como recreación, resolución de problemas como vehículo y resolución de problemas como
práctica.
La resolución de problemas como habilidad, en este caso se entiende que la resolución de
problemas es una de las muchas habilidades que deben enseñarse en el currículum, dentro
de la jerarquía de habilidades para ser adquirida por los estudiantes. Estas distinciones
jerárquicas se hacen en función de problemas “rutinarios” y problemas “no rutinarios”. La
resolución de problemas “no rutinarios” se caracteriza por la necesidad de utilizar altos
niveles de destreza y habilidad que se pueden adquirir una vez que los estudiantes hayan
aprendido conceptos básicos y las habilidades rutinarias.
809

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La resolución de problemas como arte emerge del trabajo de George Polya. Entre sus
aportes destacan las que hacen referencia a las actitudes adecuadas y a los métodos o
heurísticas particulares que forman parte de la resolución de problemas. Polya afirma que la
mejor contribución es enseñar al alumno a pensar. La resolución de problemas es un arte
práctico, y se aprende por imitación y práctica, y el papel del profesor es el de facilitador
del aprendizaje de estrategias y técnicas necesarias, como guía para introducir a la
resolución de problemas en las clases.
La importancia de la resolución de problemas en la enseñanza aprendizaje de las
matemáticas, se resume en la siguiente cita de los Principios y Estándares para las
Matemáticas Escolares de Estados Unidos (2000):
Los programas de instrucción … deberían permitir a los estudiantes:
• construir conocimiento nuevo a través de la resolución de problemas;
• resolver problemas que surjan en matemáticas y en otros contextos;
• aplicar y adaptar una amplia variedad de estrategias para resolver problemas;
• controlar y reflejar el proceso de resolución de problemas.
La resolución de problemas en el currículum chileno
El Decreto Supremo de Educación N°220 de 1998, “Establece Objetivos Fundamentales y
Contenidos Mínimos Obligatorios para la Enseñanza Media ³ y fija normas generales para su
aplicación”. Los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la
Educación Media (Educación Secundaria) han sido formulados por el Ministerio de
Educación, respondiendo a:
• Las necesidades de actualización, reorientación y enriquecimiento curricular que se
derivan de cambios acelerados en el conocimiento
• Las políticas educacionales de Estado que impulsa el Gobierno de Chile en la última
década del siglo XX, están orientadas hacia el logro de objetivos de mejoramiento de la
calidad y la equidad de las oportunidades educativas.
El aprendizaje de la matemática se asocia al desarrollo de ciertas habilidades, que se han
considerado importantes en la formación de cada chileno:
• Habilidades referidas al aprendizaje de procedimientos y métodos que permiten el uso
de instrumentos, la realización de cálculos y estimaciones, y la aplicación de fórmulas.
• Habilidades referidas a la estructuración y generalización de los conceptos
matemáticos, búsqueda de patrones y de regularidades, integración y síntesis de
conocimientos, y encadenamiento lógico de argumentos.
• Habilidades referidas a la resolución de problemas, como la identificación de la
incógnita, estimación del orden de magnitud de la incógnita, búsqueda de caminos de
solución, análisis de las soluciones, estimación de soluciones, sistematización del ensayo y
error, y formulación de conjeturas.
Las últimas habilidades mencionadas, referidas a la resolución de problemas, son un
aspecto innovador en el currículo chileno, por cuanto intenta acercar la aritmética a la
realidad, planteando problemas de diferentes tipos, en particular:
³ La Enseñanza Media, la cursan los jóvenes de entre 14 y 18 años de edad.
810

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
“Los problemas aritméticos verbales se incluyen en el currículo escolar con la finalidad, entre
otras, de facilitar al alumno este acercamiento entre aritmética y realidad, entre aritmética y
aplicaciones a la vida real, que hacen más significativo y valioso su estudio”
(Castro, 1995, p. 17).
A continuación se presentan los objetivos fundamentales y contenidos mínimos,
relacionados con la resolución de problemas para cada nivel de enseñanza media.
Primer año Medio
Objetivos Fundamentales
Utilizar diferentes tipos de números en diversas formas de expresión (entera, decimal,
fraccionaria, porcentual) para cuantificar situaciones y resolver problemas.
Resolver problemas seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de
cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo-error.
Contenidos Mínimos
Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas.
Resolución de desafíos y problemas numéricos, tales como cuadrados mágicos o cálculos
orientados a la identificación de regularidades numéricas.
Planteo y resolución de problemas que perfilen el aspecto multiplicativo del porcentaje.
Planteo y resolución de problemas que involucren proporciones directa e inversa.
Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos.
Resolución de problemas relativos a polígonos, descomposición en figuras elementales
congruentes o puzzles con figuras geométricas.
Segundo año Medio
Objetivo Fundamental
Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la resolución de problemas, profundizar
y relacionar contenidos matemáticos.
Contenidos Mínimos
Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables
por dígito y /o números.
Representación, análisis y resolución de problemas contextualizados en situaciones como la
asignación de precios por tramo de consumo, por ejemplo de agua, luz, gas, etc.
Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren sistemas de ecuaciones.
Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales.
Tercer año Medio
Objetivo Fundamentales para el plan común
Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de
situaciones concretas.
Objetivos Fundamentales para la formación diferenciada científico-humanista
Analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas o
desafíos que involucren ecuaciones de 2° grado, lugares geométricos expresados
analíticamente y programación lineal.
Contenidos Mínimos para el plan común
811

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Resolución de problema relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden
involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos.
Resolución de problemas sencillos que involucren suma o producto de probabilidades.
Contenidos Mínimos para la formación diferenciada científico-humanista
Resolución gráfica y analítica de problemas sencillos que involucren rectas, circunferencia
y parábola.
Planteo y resolución gráfica de problemas sencillos de programación lineal.
Cuarto año Medio
Objetivo Fundamental para el plan común
Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución de problemas matemáticos
y perseverar en la sistematización y búsqueda de formas de resolución.
Objetivo Fundamental para la formación diferenciada científico-humanista
Analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas o
desafíos que involucren funciones, relaciones entre geometría y progresiones.
Contenidos Mínimos para el plan común
Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto.
Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por
rotación o traslación de figuras planas.
Contenidos Mínimos para la formación diferenciada científico humanista
Planteo de algunos problemas geométricos de probabilidades o de matemáticas financiera
que involucren la noción de sumatoria.
Progresiones aritméticas y geométricas, suma de sus términos.
Aplicación a la resolución de algunos problemas geométricos y de interés compuesto.
Bibliografía
Bransford, J. D. y Stein, B. S. (1984). Solución IDEAL de problemas. Barcelona: Labor.
Castro, E. (1991). Resolución de problemas aritméticos de comparación multiplicativa. Granada: Universidad
de Granada.
Castro, E. (1995). Niveles de comprensión en problemas verbales de comparación multiplicativa. Granada:
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Castro, E. y Villarraga, M. (2001). Resolución de Problemas matemáticos y detección de la diversidad en una
unidad conceptual. En J. Cardeñoso, A. Moreno., J. Navas y F. Ruiz (Eds.) Investigación en el aula
de Matemáticas. Atención a la Diversidad (pp. 125-133). Granada: Universidad de Granada.
Departamento de Didáctica de la Matemática.
Charles, R. y Lester, F. (1982).Teaching problem solving. What, Why, How. Palo Alto:Dale Seymour Pu.
DECRETO N°220. (1998). Publicado en el Diario Oficial de la República de Chile.
Goldin, G.A. y MaClintock, C. E. (Eds.) (1980). Task Variables in Mathematical Problem Solving.
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NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, V.A: NCTM.
Polya, G. (1945). How to Solve It. Princeton University Press.Trad. cast. Cómo plantear y resolver
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Schoenfeld, A.H. (1980). Heuristic in the classroom. En NCTM Problem solving in school Mathematics
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Stanic, G. y Kilpatrick, J. (1989). Historical perspectives on Problem Solving in the Mathematics Curriculum.
En R.I. Charles y E.A. Silver (Eds.), The Teaching and Assessing of Mathematical Problem Solving.
Reston, VA:NCTM-LEA.
812

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
LAS CALCULADORAS GRÁFICAS Y EL CONOCIMIENTO CIENTÍFICO DE LAS
MATEMÁTICAS
Olga Pérez y Ana Quiroga
U. de Camaguey, Instituto Laurens
Cuba y México
olguitapg@yahoo.com, olgapg@inf.reduc.edu.cu
Resúmen
Uno de los desafíos esenciales de la enseñanza de las matemáticas consiste en la utilización de métodos y
medios de enseñanza que propicien en los alumnos la formación de un conocimiento científico.
Se asume como referente teórico los métodos del conocimiento científico de las ciencias pedagógicas,
teniendo en cuenta que cuando el conocimiento que se quiere formar es científico, tiene que crear una
actividad cognoscitiva nueva, lo que hace que la enseñanza y los medios de enseñaza que utilicemos sean
diferentes, particularmente por el lenguaje que tiene la matemática, que ha de ser el lenguaje científico donde,
además del habitual, se da el simbólico.
El objetivo del trabajo es fundamentar la utilización de las calculadoras gráficas como un medio muy
importante y actual para lograr formar en los alumnos un conocimiento científico de las matemáticas, y
precisar que no basta con la enseñanza expositiva para que el estudiante se forme un conocimiento científico,
pues la actitud científica hay que formarla, educarla en los estudiantes.
Se caracterizan los niveles del conocimiento científico de las matemáticas, el empírico y el teórico y se
precisa que ambos niveles se distinguen por los métodos de enseñanza y aprendizaje, donde el empírico
emplea métodos que permiten describir los hechos, y es por eso que para este nivel se recomienda la
visualización con la utilización de las calculadoras gráficas, y el nivel teórico utiliza métodos para distinguir
las esencias, por ejemplo el hipotético-deductivo, el lógico histórico, la ascensión de lo abstracto a lo concreto
pensado, etc.
El trabajo aporta como resultado los principios para la utilización de las calculadoras gráficas en las clases de
matemáticas en aras de formar un conocimiento científico en la enseñanza de esta materia.
Introducción
Uno de los problemas esenciales de la enseñanza de las matemáticas consiste en la
utilización de métodos y medios de enseñanza que propicien en los alumnos la formación
de un conocimiento científico.
Cuando el conocimiento que se quiere formar es científico, tiene que crear una actividad
cognoscitiva nueva, lo que hace que la enseñanza y los medios de enseñaza que utilicemos
sean diferentes, particularmente por el lenguaje que tiene la matemática, que ha de ser el
lenguaje científico donde, además del habitual, se da el simbólico.
Las calculadoras gráficas constituyen un medio importante y actual para lograr esto, pues
no basta con la enseñanza expositiva para que el estudiante se forme un conocimiento
científico de las matemáticas, pues, la actitud científica hay que formarla, educarla en los
estudiantes.
Desarrollo
813

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Hay dos niveles del conocimiento científico de las matemáticas, el empírico y el teórico. El
nivel empírico da sólo el saber del hecho o los hechos fundamentales que caracterizan un
fenómeno, es un saber principalmente de datos, de hechos y de propiedades. Para este caso
las calculadoras gráficas son un potente medio, por ejemplo, en la enseñanza primaria, los
niños deben estudiar los movimientos del plano (reflexión, traslación y la simetría central o
rotación de 180 0 ) y deben aprender que “en un movimiento, una figura y su imagen son
iguales”, además deben conocer que estos movimientos se pueden realizar sucesivamente,
es decir, mover una figura sucesivamente según varios movimientos.
Con la visualización, a través de las calculadoras gráficas, de estos movimientos podemos
formar el nivel empírico, pues este emplea acciones materiales sobre los objetos, y esto
sienta las bases para el nivel teórico que emplea esencialmente la abstracción, sobre la base
del saber empírico, y puede así el maestro llevar al alumno a que descubra las propiedades
esenciales de la reflexión, traslación y la simetría central, para después volver a la
utilización de las calculadoras gráficas en la resolución de problemas relacionados con los
movimientos en el plano.
Como puede apreciarse en este ejemplo, el nivel empírico utiliza un lenguaje descriptivo
para obtener saber sobre los hechos, por lo que es común la utilización de los datos,
mientras que el nivel teórico emplea un lenguaje simbólico y su sentido son los objetos
ideales.
Ambos niveles se distinguen también por los métodos de enseñanza y aprendizaje. El
empírico emplea métodos que permiten describir los hechos, y es por eso que para este
nivel resulta útil la utilización de las calculadoras gráficas, y el nivel teórico utiliza métodos
para distinguir las esencias, por ejemplo el hipotético-deductivo, el lógico histórico, la
ascensión de lo abstracto a lo concreto pensado, etc.
Se distinguen, por tanto, por los resultados. El nivel empírico es un saber objetivo, libre de
errores, aunque es tan subjetivo como todo acto cognitivo. Se fija en un lenguaje diferente
de las proposiciones protocolares. El hecho empírico se obtiene mediante la repetición de
las proposiciones protocolares limpiando de lo casual para obtener así las invariantes del
conocimiento.
Una simple afirmación protocolar no es un hecho empírico, sino la separación de la
invariante y su ubicación en una teoría, ya que el hecho empírico siempre va acompañado y
tiene que ser ubicado e interpretado en un contexto teórico, o sea, que el hecho empírico no
puede ser separado de la teoría, como expresión de los niveles del conocimiento, lo que nos
afirma que estas calculadoras no lo resuelven todo sino que constituyen un medio para
llegar al conocimiento científico.
El nivel teórico arroja como resultado una teoría o generalizaciones científicas, como
formas del saber teórico y por ello podemos definir este saber teórico como un sistema de
puntos de vistas, ideas y representaciones orgánico, íntegro y no contradictorio que
descubre en forma generalizada las propiedades y enlaces regulares esenciales de la
realidad. Sobre su base se logra la explicación y el pronóstico acerca de los fenómenos.
814

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
El nivel empírico no solo precede al teórico sino que de cierto modo es su nivel de
culminación. A su tiempo, la teoría surge de la empiria y la predetermina de igual forma,
por lo que el enlace entre ambos niveles del conocimiento es dialéctico.
Por tanto, consideramos que la metodología de la utilización de las calculadoras gráficas,
para la formación de un conocimiento científico en la enseñanza de las matemáticas, se
determina por los principios siguientes:
a) Permitir la objetividad y cognocibilidad de los fenómenos;
b) Dar un enfoque multifacético en el estudio de los procesos, fenómenos y hechos, su
interacción e interdependencia;
c) Permitir la consideración de los objetos de investigación en movimiento, cambio y
desarrollo;
d) Posibilitar dar paso del análisis y la explicación del fenómeno al conocimiento de su
esencia, la revelación de las leyes, tendencias y regularidades de los fenómenos y hechos
estudiados;
e) Considerar la práctica como fuente y criterio de la veracidad.
Conclusiones
El conocimiento científico expresa siempre una aproximación más objetiva al conocimiento
verdadero porque su intencionalidad es precisamente esta, por lo que tiene que hacer uso de
medios de probada efectividad para desentrañar la esencia de los objetos y fenómenos de la
realidad y establecer diferentes instancias de complejidad de este, y las calculadoras
gráficas constituyen en la actualidad un potente medio con estas características, por lo que
desde la primaria hasta el nivel universitario se debe valorar las vías didácticas para su uso
efectivo, bajo los principios de su utilización aquí definidos los cuales se basan en los
principios de la didáctica ya definidos por varios autores.
Bibliografía
Pérez, O. L. (2000). La evaluación del aprendizaje como elemento del sistema de dirección del proceso de
enseñanza aprendizaje en la enseñanza de las matemáticas para ciencias técnicas. Universidad de
Camagüey. Cuba. Tesis de Doctorado.
Talízina N., F. (1992). La formación de la actividad cognoscitiva de los estudiantes. México. Ángeles.
NATIONAL COUNCIL TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM) (1995). Assesment standards for
school Mathematics
Valera, O. Problemas actuales de la pedagogía y la psicología pedagógica. Soporte electrónico. Ciudad
Habana. Cuba.
815

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
816
MATEMÁTICA, UNA ACTIVIDAD HUMANA
Vilma Viazzi y Gloria Suhit
UNS - Fac. Reg. B. Bca - UTN, Argentina
vviazzi@criba.edu.ar; gsuhit@criba.edu.ar
Resumen
Año tras año constatamos que los alumnos aspirantes a ingresar - tanto a la Universidad Nacional del Sur
como a la Facultad Regional Bahía Blanca, UTN - se enfrentan con distintos obstáculos asociados con los
objetos básicos del cálculo, los que se reiteran en forma sistemática. Desde nuestra experiencia creemos que
algunas posibles causas que obstaculizan el aprendizaje y muy especialmente el de los contenidos
matemáticos las podemos relacionar con una educación matemática basada durante mucho tiempo en ideas
que provienen de un enfoque formalista de la disciplina, en métodos didácticos apoyados fuertemente en la
memoria y la algoritmia, sobre valorando los procedimientos analíticos, otorgando excesiva prioridad al
marco algebraico o al numérico. En cambio, si consideramos a la matemática como una construcción humana
que surge como consecuencia de la necesidad del hombre para dar respuesta a cierta clase de problemas,
problemas que se pueden referir al mundo natural y social o bien pueden ser internos a la propia disciplina,
los objetos matemáticos (conceptos, procedimientos, teorías,…) surgen y evolucionan progresivamente, para
dar respuesta o solución a estos problemas. Esta visión obliga a una reformulación epistemológica, la cual
consiste en considerar al humano haciendo matemática y a diseñar situaciones donde el foco de atención no
esté sólo en la adquisición del conocimiento, sino también en el desarrollo de actividades, para lo cual la
formación docente es un factor primordial para iniciar el cambio.
Introducción
En la historia del desarrollo del pensamiento humano ha existido una constante conexión
entre sus corrientes filosófica y matemática. Muchos son los movimientos filosóficos que
buscaron su apoyo, su inspiración, y hasta su modelo, en el estilo y modo de proceder de la
matemática. La dinámica interna del pensamiento matemático, la lógica de su estructura,
simple y clara, hacen de él un modelo de reflexión fiable. A través de la historia hubo
períodos en que predominó la matemática como filosofía y otros en los que prevalecieron
las aplicaciones. Estos períodos se complementaron mutuamente y el progreso de la
matemática ha resultado del empuje alternado de las dos tendencias. En los dos aspectos la
matemática es profunda. Sus aplicaciones son esenciales para el desenvolvimiento en la
vida y sus concepciones enriquecen lo más puro del espíritu. La actual filosofía de la
matemática, dejó de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo
pasado sobre los problemas de fundamentación de la matemática y pasó a enfocar su
atención en el carácter cuasiempírico de la actividad matemática, así como en los aspectos
relativos a su historicidad e inmersión en la cultura en la que se origina, considerando la
matemática como un subsistema cultural con características en gran parte comunes a otros
sistemas semejantes.
En cambio, se puede considerar a la matemática como una construcción humana que surge
como consecuencia de la necesidad del hombre para dar respuesta a cierta clase de
problemas, problemas que se pueden referir al mundo natural y social o bien pueden ser
internos a la propia disciplina. En respuesta o solución a estos problemas, externos o
internos, surgen y evolucionan progresivamente los objetos matemáticos (conceptos,
procedimientos, teorías,…) sujetos a un proceso de negociación social, procesos que deben

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
considerarse en la enseñanza – aprendizaje. Esta es la posición de las teorías
constructivistas, que tienen sus raíces inmediatas en la teoría de Jean Piaget, quien
desarrolla su epistemología genética sobre el supuesto de que el conocimiento se
construye mediante la actividad del sujeto sobre los objetos, en forma progresiva y a partir
de estructuras cognoscitivas anteriores. Los objetos matemáticos ya no habitan en un
mundo eterno y externo a quien conoce, sino que son producidos, construidos, por él
mismo en un proceso continuo de asimilaciones y acomodaciones que ocurre en sus
estructuras cognitivas. La epistemología genética, mediante su método histórico- genético
(que considera a la historia como un “ laboratorio epistemológico ” en el que se rectifican
o ratifican ciertas hipótesis) muestra que hay cambios en el desarrollo de la matemática que
no corresponden a una nueva acumulación de nuevos “ descubrimientos ”. En efecto, los
conceptos matemáticos han ido reconstruyendo su significado con el transcurso del tiempo,
ampliándolo, precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o por el contrario, siendo
relegados a segundo plano.
La nueva hipótesis consiste, entonces, en que la actividad humana es la fuente de
reorganización de la obra matemática. Según esta nueva epistemología, al estudiar la
construcción del conocimiento se deben tener en cuenta cuatro componentes
fundamentales: las dimensiones epistemológica, cognitiva, didáctica y social. Esta
aproximación múltiple y sistémica recibe el nombre de acercamiento socioepistemológico
(Cordero Osorio, F; 2001)
La aproximación socioepistemológica intenta articular en sus componentes, lo humano y
su actividad para que conviertan en elementos primarios en las teorizaciones de la
matemática educativa. La enseñanza usual de los conceptos matemáticos tiende a
presentarlos como objetos universales tanto en tiempo como en espacio, el análisis
epistemológico los provee de historicidad y permite observar las disparidades entre el saber
científico y el enseñado y ello contribuye a desterrar la concepción de que los objetos de
enseñanza son copias simplificadas, pero fieles a los objetos de la ciencia. La componente
social, a través del aprendizaje cooperativo, funciona como el medio más apropiado para
estudiar las construcciones mentales que realiza el estudiante para entender los conceptos
matemáticos. Si consideramos que la matemática es una construcción humana, un
producto social y cultural, todo objeto matemático para consolidarse como tal,
necesariamente pasa por varias etapas o momentos. Comienza por ser utilizado sin mayor
conciencia de su presencia, siendo manipulado, extendido, formulado, dotado de
representaciones y significados más precisos hasta ser insertado en una teoría con
características propias.
A modo de síntesis podemos aseverar que las tendencias actuales reconocen un triple
carácter a la disciplina: como actividad humana, comprometida con la resolución de ciertas
situaciones problemáticas, como lenguaje simbólico y como un sistema conceptual
lógicamente organizado y socialmente compartido, emergente de la actividad de
matematización. Teniendo en cuenta estas tendencias, la educación matemática debería ser
coherente con este triple carácter, tanto en el diseño curricular como en la planificación de
la tarea aúlica. Los resultados de las evaluaciones de los alumnos aspirantes a ingresar a las
distintas universidades, el bajo rendimiento académico (*) y la relevante deserción que se
registra en el primer año de estudio muestran evidencias que estas tendencias no parecen
ser consideradas.
817

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
(*) A continuación se muestran los % de alumnos que, sobre el número de inscriptos,
aprobaron los trabajos prácticos de las asignaturas Análisis Matemático I y Álgebra y
Geometría Analítica, correspondientes al primer cuatrimestre del primer año de estudio de
carreras de ingeniería.
818
Asignatura 2000
UNS UTN
Análisis Matemático I
Álgebra y Geometría Analítica
40 48
37 47
2001
UNS UTN
32,7 38
33 42
2002
UNS UTN
31 43
32 40
2003
UNS UTN
27,4 28
30 23
Nuestra experiencia
Año tras año constatamos que los alumnos aspirantes a ingresar - tanto a la Universidad
Nacional del Sur como a la Facultad Regional Bahía Blanca, UTN – se enfrentan con
distintos obstáculos asociados con los objetos básicos del cálculo, los que se reiteran en
forma sistemática.
Los últimos exámenes, donde se pretendió medir la conceptualización de objetos
matemáticos como número real y función, mostraron que incluso aquellos alumnos que
tuvieron una preparación previa para el examen no lograron resolver satisfactoriamente la
ejercitación propuesta.
Así por ejemplo:
• El concepto de función es fundamental en la matemática y en muchas disciplinas
que la utilizan como herramienta, luego es esencial que lo incorporen como objeto y
como herramienta. Sin embargo se observa una gran dificultad para identificar,
representar y transferir el concepto de función.
• Ejercicios donde se pregunta si una circunferencia o una recta perpendicular al eje
de abscisas corresponden a la gráfica de una función, los resolvieron correctamente
muy pocos alumnos, así mismo un limitado número logra expresar simbólicamente
funciones a partir de problemas planteados, lo que muestra las dificultades en la
interpretación y la falta de independencia en el razonamiento.
• Los alumnos desconocen el concepto de radián y su relación con el arco y radio de
una circunferencia. Los ejercicios referidos a ello no fueron contestados por ningún
alumno.
• El análisis de la veracidad o falsedad de ciertas afirmaciones referidas a propiedades
de los números reales muestra la manera mecánica con que los alumnos realizan las
operaciones con los mismos.
• Se evidencian serias dificultades para resolver situaciones problemáticas, para
inferir e interpretar datos(en particular si los enunciados no posee valores numéricos
ni sugieren la fórmula a utilizar), buscar alternativas de solución y realizar una
mirada retrospectiva ante la solución hallada.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Los obstáculos epistemológicos de los principios básicos del cálculo se evidencian aún en
los primeros años de universidad. Si bien se puede enseñar a los estudiantes cálculos en
forma más o menos mecánica las grandes dificultades se encuentran en una comprensión
satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento, tanto en el campo del cálculo
como en el del álgebra, dificultades que, en general, están asociadas a la comprensión
lectora y se traducen en limitaciones para expresarse en forma oral y escrita, las que
perduran en alumnos avanzados en la carrera.
Algunas posibles causas que obstaculizan el aprendizaje de los contenidos matemáticos la
podemos relacionar con una educación matemática basada durante mucho tiempo en ideas
que provienen de un enfoque formalista de la misma, en métodos didácticos apoyados
fuertemente en la memoria y la algoritmia, sobre valorando los procedimientos analíticos,
otorgando excesiva prioridad al marco algebraico o al numérico, dejando de lado el manejo
de los significados en los dominios visual o verbal. De este modo el alumno no logra
percibir las relaciones entre los procedimientos con las aplicaciones más cercanas a su vida
cotidiana y se lo priva de experimentar sus propios aprendizajes en contextos distintos al
que se presentan en el aula.
Al respecto M. Artigue afirma:
“Se observa que la enseñanza tradicional tiende a centrarse en una práctica algorítmica y
algebraica del cálculo y a evaluar en esencia las competencias adquiridas en ese dominio.
Este fenómeno se convierte en un círculo vicioso: para obtener niveles aceptables de éxito,
se evalúa aquello que los estudiantes pueden hacer mejor, y esto es, a su vez, considerado
por los estudiantes como esencial ya que es lo que se evalúa”
Y haciendo nuestras las palabras del Dr. Luis Santaló, creemos que:
“En todos los niveles y en todos los temas la matemática debe tener un valor formativo y
otro informativo. Los dos objetivos deben coordinarse armoniosamente, pues las veces
que se ha ensayado la polarización en uno sólo de ellos, los resultados no han sido
buenos. Formar la mente educando las características de deducción lógica y la
capacidad de síntesis y ordenación de conocimientos, pensando que luego el alumno
aplicará por si solo la formación recibida a los problemas de la vida real o aun a
problemas teóricos de las distintas disciplinas o actividades laborales que se le
presentan, no da el resultado que podría pensarse. El alumno debe ser instruido al
mismo tiempo en la aplicación de los conocimientos adquiridos a casos especiales que
ejemplifiquen los mismos y le sirvan, por analogía, en casos parecidos. Es decir, además
de formar, la matemática debe informar. El lema debe ser “formar informando” o bien
“informar formando”. … Enseñar a pensar, pero también enseñar a usar el pensamiento
adecuado a cada oportunidad”.
En este contexto la enseñanza de la matemática debe ser vista como un quehacer de la
cultura y la educación matemática entenderse como las acciones practicadas por los
individuos sobre la realidad, donde el aprendizaje se produce como consecuencia de
compartir significados, sentimientos y en búsqueda de acciones para el bien común.
819

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Pero…. los docentes ¿están preparados para el desafío que presenta una educación
matemática con estas características? ¿cuál es la concepción que tienen respecto de la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática? ¿cuál es la concepción que tienen sobre la
naturaleza de la matemática? … en síntesis ¿cuál es la postura epistemológica del docente
frente al conocimiento matemático y cuál es la incidencia en su práctica?
Creemos que para dar respuesta a las tendencias actuales sobre educación matemática es
necesario replantearse la formación docente- inicial y continua- la que debe estar
asociada a una tarea de investigación e innovación permanente, basada en cursos que, entre
otros aspectos
820
• Proporcionen una sólida comprensión de los conceptos fundamentales
• Familiaricen con el proceso de razonamiento que subyace en la construcción de los
conocimientos.
• Valoricen el proceso de construcción y adquisición de los conocimientos sobre los
resultados del aprendizaje.
• Muestren las dificultades que es posible encuentren los alumnos al estudiar la
asignatura
• Muestren la forma peculiar de aparecer las ideas matemáticas a través del tiempo y
las conexiones con otras ciencias
• Incentiven la capacidad de reflexionar en y sobre la práctica, para descubrir,
criticar y modificar los modelos, esquemas y creencias que subyacen a la misma;
promoviendo el cambio didáctico personal desde distintas perspectivas
Bibliografía
Ausubel, Novak, y Hanesian (1983) Psicología Educativa. Trillas.México
Artigue, M (1995) Ingeniería didáctica en educación Matemática.Grupo Editorial Iberoamérica.
Brousseau, G (1983). Les obstacles épistémologiques et les problemes en mathématiques. Recherches en
Didactique des Mathématiques
Castorina,J. y otros (1996) Piaget- Vigotsky : contribuciones para replantear el debate. Paidós. Buenos
Aires.
Coll, C. (coordinador) (1999) Psicología de la instrucción de la enseñanza y el aprendizaje en la educación
secundaria. Horsori. Barcelona.
Coll, C. (1993) Aprendizaje escolar y construcción del conocimiento. Ed.Paidós
Cordero Osorio, F. (2001) Una epistemología a través de la actividad humana. RELIME. Vol. 4. N° 2.
Porlán, R (1993) Constructivismo y escuela. Diada. Sevilla
Santaló,L. y colaboradores (1994) Enfoques, hacia una didáctica humanista de la matemática. Troquel.
Buenos Aires.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
MÉTODOS ALTERNATIVOS EN LA BÚSQUEDA DE LOS PUNTOS CRÍTICOS Y
DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES
Carlos Rondero, Alexander Karelin y Anna Tarasenko
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, México
rondero@uaeh.reduaeh.mx, skarelin@uaeh.reduaeh.mx, anataras@uaeh.reduaeh.mx
Resumen
Para hacer sentir más profundamente qué son los puntos mínimos y máximos es útil regresar a sus
definiciones. Se proponen ejemplos de funciones como polinomio de tercer grado, seno, coseno y otras para
las cuales se encuentran puntos críticos sin usar la derivada.
Las nociones del límite y derivada de una función en un punto son tradicionalmente difíciles de comprender
por parte de los alumnos de bachillerato y licenciatura. Las dificultades se encuentran precisamente en las
definiciones de estas nociones, no en la aplicación de las reglas formales y en el uso de las fórmulas.
Consideramos funciones tales que en cada punto de su gráfica pasa sólo una recta L al respecto de la cual la
gráfica misma está por encima o por debajo de ella y no tiene otros puntos de intersección. La idea básica es
la siguiente: se resta de la función, la ecuación de la recta L, que corresponde a un punto x0 de tal forma que
ahora una nueva función cuyo mínimo o máximo esta precisamente en x0.
Este método nos ayuda a relacionar la derivada de una función en un punto dado con los puntos mínimos y
máximos. El manejo de tales técnicas puede ayudar a los estudiantes de matemáticas de diferentes niveles
educativos a asimilar métodos de análisis sobre características gráficas de las funciones. Su puesta en escena
se ha hecho con estudiantes de maestría en matemática educativa para evidenciar aspectos geométricos y
analíticos que complementan el estudio de la derivada y sus aplicaciones.
No queremos sustituir los métodos clásicos, pero proponemos un enfoque alternativo que posibilite al
estudiante entender mejor las nociones básicas del cálculo a través de métodos no tradicionales para analizar
el comportamiento de las funciones.
Se muestra una conexión entre la búsqueda de los puntos mínimos y máximos y el cálculo de la derivada de
una función. Después en base a la interpretación geométrica de la concavidad, se propone hallar la derivada
en un punto de algunas funciones simples.
Conexión entre las nociones de los puntos mínimos, máximos y la derivada
Consideremos las funciones y = y(x)
para las cuales en cada punto ( x 0 , y0
) de su gráfica
L : {( x,
y(
x)
:)} existe una y solo una recta R ( x0,
y0
) = mx
⋅ x + p
0
x que pasa por el punto
0
( x 0 , y0
) , no tiene otros puntos comunes con la grafica L y L está ubicada arriba o abajo
con respecto de la recta R ( x0
, y0
) . La clase de tales funciones vamos a denotar D . La
clase de tales rectas para una función y = f (x)
vamos a denotar como T ( f ) .
821

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Afirmación 1.
Vamos a escoger una función y = f (x)
de la clase D y un punto ( x 0 , y0
) , y 0 = f ( x0
) .
Una recta R ( x0
, y0
) = mx
⋅ x + b
0 x es la recta de la clase T ( f ) en el punto ( x , )
0
0 y0
para
y = f (x)
si y solo si la función y = F(x),
F ( x)
= f ( x)
− [ mx
⋅ x + p ]
0
x tiene un punto
0
mínimo o un punto máximo en x = x0
.
Usando esta conexión entre los puntos mínimos y máximos y la derivada de una función se
propone hallar la derivada de algunas funciones simples.
Polinomio de segundo grado
Hallar la ecuación de la recta tangente R ( x0
, y0
) = mx
x + p
0 x que pasa por el punto
0
2
x , ) , de la parábola y = P ( x),
P ( x)
= ax + bx + c , a ≠ 0 .
( 0 y0
Anotamos que y 0 = ax0
+ bx0
+ c .
Sea a > 0 , el caso a < 0 se estudia analógicamente.
822
y 0
y =
f (x)
2
y = m x + p
2
x0
y = f ( x)
− [ mx
x + p ]
0 x0
x 0
2
x0
y = m x + p
2
Completamos la función F( x)
= P2
( x)
− [ mx
x + p ]
0 x = ax + bx + c − m
0
x x − p
0 x . 0
Según la Afirmación 1, esta función deberá tener un punto mínimo ( a > 0 ) en el punto
x = x0
.
Por la definición del punto mínimo local en x 0 debe cumplirse la desigualdad
y 0
x0
x 0
x 0
x0
y =
y =
f ( x)
− [ mx
x + p ]
0 x0
f (x)

F( x)
≥ F(
x0
) , alrededor del punto x = x0
, x − x0
Respecto a la nueva variable z = x − x0
tenemos
< ε .
F z + x ) ≥ F(
x ) , alrededor del punto z = 0 , z < ε .
( 0
0
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Al cumplir operaciones
2
2
a ( z + x0
) + b(
z + x0
) + c −[
m(
z + x0
) + p]
≥ ax0
+ bx0
+ c −[
mx0
+ p]
,
vamos a tener
z ( az + 2ax0
+ b − m)
≥ 0 .
Cuando w ≠ 0, w = m −[
2ax0
+ b]
la desigualdad z ( az − w)
≥ 0 no se cumple alrededor de z = 0 ,
y = z(
az − w)
Cuando w = 0
2
La desigualdad az ≥ 0 se cumple alrededor de z = 0 ,
2
y = az
+ 0 +
De aquí encontramos
m = 2 ax0
+ b p = yo
− ( 2ax0
+ b)
x0
y la resolución del problema
2
= −ax0
+ c
y ( 2ax
+ b)
x − ax + c .
= 0
0
+
w
0 > 0
a
w
< 0
a
2
Consideremos la función y = x .
Vamos a encontrar una ecuación de a recta tangente y = mx + p que pasa por el punto
( 1,
1)
sin hacer uso de la derivada.
Hay una relación entre pendiente y termino independiente mx
+ p
y = , = m + p
y = 1 x=
1
1 .
2
Según la Afirmación 1, la función y = x −[
mx + b]
debe tener su punto mínimo local en
x=1
0
+
823

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Por la definición del punto mínimo local en x 0 debe cumplirse la desigualdad
− − ≥1
− 1
2
2
Cuando x −1 < ε
x
o
mx b m − b
2
( z + 1)
− m(
z + 1)
≥ 1−
m , z = x −1,
z < ε ,
2
z + 2z
− mz ≥ 0 , z ( z + 2 − m)
≥ 0,
Esta desigualdad se cumple alrededor de z = 0 cuando m = 2 .
De aquí tenemos m = 2 , p = 1− m = −1
y la resolución del problema
y = 2x −1.
Polinomio de tercer grado
Hallar la ecuación de la recta tangente R ( x0
, y0
) = mx
x + p
0 x que pasa por el punto
0
( x 0 , y0
) , de la grafica de la función
3 2
y = P ( x),
P ( x)
= a x + a x + a x + a , a 0 , a x + a ≠ 0 . Anotamos que
0
824
3
3
3
0
2
2
2
0
y = a x + a x + a x + a .
3
1
0
2
0
1
0
3 ≠
3 3 0 2
Sea a > 0 , el caso a < 0 que se estudia analógicamente.
3 2
Completamos la función F( x)
= P3
( x)
−[
m x x + p ]
0 x = a
0 3 x + a2
x + a1x
+ ao
− m x x − p
0 x . 0
Según Afirmación 1 esta función tiene su extremo local en el punto x = x0
.
Por definición del punto extremo local en p min = x0
de la función y = P3
( x)
debe
cumplirse la desigualdad F3 ( x)
≥ F3
( x0
) o F3 ( x)
≤ F3
( x0
) alrededor del punto x = x0
.
Respecto a nueve variable z = x −1
F z + x ) ≥ F(
x ) , o F z + x ) ≤ F(
x ) alrededor del punto z = 0 , z < ε ,
a
2
y = x
1
1
y = mx +
( 0
0 ( 0
0
3 ( z
3
2
x0
) + a2
( z + x0
) + a1(
z + x0
) + a0
−[
m(
z + x0
3 2
a 3x0
+ a2x0
+ a1x0
+ a0
−[
mx0
+ p]
+ ) + p]
≥
≥
o
,
a z + x
3
) + a ( z + x
2
) + a ( z + x ) + a −[
m(
z + x ) + p]
≤
3 ( 0 2 0 1 0 0
0
3
2
a 3 x0
+ a2
x0
+ a1x
0 + a0
−[
mx0
+ p]
≤
Al cumplir con las operaciones vamos a tener la desigualdad
p
2
y = x − [ m x + p
1
x
0
x
0
]

2
2
[ a3
z 3 0 2 3 0 2 0 1
z
o
+ ( 3a
x + a ) z + 3a
x + 2a
x + a − m]
≥ 0
2
z a z + ( 3a
x + a
2
) z + 3a
x + 2a
x + a − m]
≤ 0 .
[ 3
3 0 2 3 0 2 0 1
2
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Cuando w ≠ 0, w = m −[
3a3
x0
+ 2a
2 x0
+ a1]
,
z = 0 no es un raíz del polinomio en los corchetes
~
2
2
P2 ( z)
= [ a3
z + ( 3a3
x0
+ a2
) z + 3a3
x0
+ 2a
2 x0
+ a1
− m]
.
~
Alrededor de z = 0 el polinomio P 2 ( z)
es negativo o positivo y ninguna de las dos
desigualdades se cumple alrededor de z = 0 ,
~ 2 z
y = zP
( )
+
P ( z)
> 0
0
~ 2 z
y = zP
( )
+
P ( z)
< 0
0
Cuando w = 0 ,
2
la primera desigualdad toma forma z [ a3
z + ( 3a3
x0
+ a2
)] ≥ 0 ,
2
la segunda desigualdad toma forma z [ a3
z + ( 3a3
x0
+ a2
)] ≤ 0 .
Recordamos que 3a 3 x0
+ a2
≠ 0 .
Si [ a 3 z + ( 3a3
x0
+ a2
)] ≥ 0 la primera desigualdad se cumple alrededor de z = 0 .
Si a z + ( 3a
x + a )] ≤ 0 la segunda desigualdad se cumple alrededor de z = 0 .
[ 3 3 0
2
a3
x0
2
De aquí m = 3
Encontramos
+ 2a2
x0
+ a1
.
2
p = yo
− ( 3a3
x0
+ 2a
2 x0
+ a1)
x0
y la resolución del problema
3 2
= −2a3
x0
− a2
x0
+ a
2
y = ( 3a
x + 2a
x
3
+ a ) x − 2a
x − a x
2
+ a .
3
0
2
0
1
3
0
2
0
3
Consideremos la función y = x .
Vamos a encontrar una ecuación de a recta tangente y = mx + p que pasa por el punto
( 1,
1)
sin hacer uso de la derivada
0
0
~ 2
~ 2
825

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La relación entre pendiente y término independiente es 1 = m + p .
3
Según la Afirmación 1, la función y = x −[
mx + b]
debe tener su punto mínimo local en
x = 1.
Por definición del punto extremo local en p = x = 1 debe cumplirse la desigualdad
x − mx − b ≥ 1 − m1−
b
3
3
o
3
( z + 1)
− m(
z + 1)
≥ 1 − m
Después de las operaciones tenemos
3 3 0
2 3
z + z + z − mz ≥
o
( 3 3 ) 0
2
z z + z + − m ≥ .
826
min
al rededor de x = 1,
en un entorno x −1 < ε
, alrededor de z = 0 , z < ε .
La expresión ( 3 3 )
2
z + z + − m es negativa alrededor de z = 0 , cuando m < 3
( 3 3 )
2
z z + z + − m
la desigualdad no se cumple alrededor z = 0 .
La expresión es positiva alrededor de z = 0 , cuando m > 3
z
( 2
z
+ 3z
+ 3−
m)
≥ 0
la desigualdad no se cumple alrededor z = 0 .
3
Cuando m = 3 la desigualdad toma la forma z ( z + 3)
≥ 0
z
3
( z + 3)
Esta desigualdad se cumple alrededor de z = 0 .
De aquí tenemos m = 3 , p = 1− m = −2
y la resolución del problema
+
+ +
-3 0
0
0
0
+

y = 3x − 2 .
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Bibliografía
Stewart, J. (1999) Calculus:EarlyTtranscedentes, International Thomson Publ. Inc.
Rondero, C., González, M., Karelin, A., Tarasenko, A. (2002). El polinomio de tercer grado como un
modelo para estudiar las propiedades de las funciones, Artículo aceptado para su publicación
en las Actas de RELME 16.
827

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
828
MODELO MATEMATICO PARA LA DETERMINACION DE LAS TARIFAS
SOCIALES DESTINADAS A LOS CLIENTES RESIDENCIALES DEL
SERVICIO ELECTRICO
Marta Correa y Ricardo Gallo
U. Nacional de Tucumán y U. Tecnológica Nacional, Argentina
mcorrea@arnet.com.ar - rgallo@arnet.com.ar
Resumen
Este trabajo tiene como objetivo principal mostrar, a los estudiantes de los niveles superiores, los
procedimientos principales de construcción de modelos matemáticos para resolver situaciones problemáticas
que se manifiestan en la realidad cotidiana en el desarrollo de una determinada actividad profesional y como
objetivo específico establecer alternativas de tarifas sociales con destino a núcleos de clientes perfectamente
identificados en cuanto a su calidad, por su escasa capacidad de pago, y aproximadamente delimitados en
cuanto a la cantidad. Bajo la denominación de tarifa social de cualquier servicio público se entiende a
aquellas tarifas que, siguiendo distintos mecanismos, se subsidian implícita o explícitamente, parcial o
totalmente, para beneficiar a ciertos sectores de usuarios con un determinado fin. Para tener una herramienta
de análisis que permita simular distintas escenarios con el fin de fijar los subsidios a la tarifa de los clientes
residenciales y tomar decisiones al respecto, se elaboró un modelo matemático que describe esta situación.
Después del análisis de validación del modelo, mediante el trazado de superficies y curvas de nivel con la
ayuda del medio lógico Derive, se realizó una simulación numérica a fin de acotar los resultados posibles que
satisfagan los requerimientos impuestos por la situación problemática a resolver. Finalmente se concluye el
trabajo con la especificación de la tarifa social buscada.
Desarrollo
Identificación del Problema
Bajo la denominación de tarifa social de cualquier servicio público se entiende a aquellas
tarifas que, siguiendo distintos mecanismos, se subsidian implícita o explícitamente,
parcial o totalmente, para beneficiar a ciertos sectores de usuarios con un determinado fin.
En el caso que nos ocupa se buscará determinar una tarifa social mediante la asignación de
subsidios explícitos para parte de los clientes residenciales del servicio público de
electricidad de la provincia de Tucumán, que actualmente esta concesionado a un
prestatario privado.
Plantearse el problema de determinar alternativas de tarifas sociales para los clientes
residenciales del servicio eléctrico significa tratar de articular tres fines y tres actores, con
el objetivo que este servicio público no se vea interrumpido en los hogares de escasos o
nulos ingresos. Cada uno de los actores intervinientes; Estado, Cliente y Empresa, tienen,
para este caso, los siguientes fines específicos.
a) Para el Estado; es importante que todos los habitantes cuenten en sus hogares, por lo
menos, con el servicio eléctrico mínimo que ayude a la contenibilidad social del
individuo.
b) Para el Cliente; el disponer del uso de la electricidad, en cantidades y calidades mínimas,
que le permita desenvolverse en familia y en sociedad.
c) Para la Empresa; brindar un servicio acorde a los niveles de calidad que se imponen y
recibir por ello una tarifa justa y razonable que permita la continuidad de la prestación.
De acuerdo a los términos del Contrato de Concesión que liga a la empresa concesionaria
con el poder concedente (Estado Provincial), se fijan las tarifas para los distintos segmentos

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
de clientes que hacen factible el servicio y que necesariamente debe percibir. Por lo tanto
para que el cliente tenga el servicio que no puede pagar total o parcialmente, según sea el
caso, debe ser subsidiado en forma explícita. De esta manera el planteo de usar los fondos
específicos del sector eléctrico que dispone el estado provincial, para lograr una tarifa
social, debe quedar en claro que es para subsidiar al cliente y no a la empresa. Lográndose,
de esta manera, la articulación de los tres fines y los tres actores involucrados.
Delimitación y Alcance del Trabajo
La articulación de los distintos actores y sus fines es, obviamente, distinta según el marco
de ordenamiento del sector eléctrico que se tome. Así para este trabajo hemos
explícitamente asumido la continuidad del actual modelo de privatización. Bajo el supuesto
que el actual marco de concesión del servicio eléctrico no cambiará en el corto plazo, este
trabajo tiene como uno de sus objetivos establecer alternativas de tarifas sociales con
destino a núcleos de clientes perfectamente identificados en cuanto a su calidad, por su
escasa capacidad de pago, y aproximadamente delimitados en cuanto a la cantidad. Con
esto se intenta fijar dos límites muy precisos del trabajo:
a) Los fondos que se usaran en la propuesta están asignados a la provincia mediante una
Ley Nacional, y tienen una notable permanencia en el tiempo (más de cuarenta años).
Todo parece indicar que esta situación no va ha cambiar en el corto, mediano o largo
plazo.
b) Las tarifas sociales que se propongan tendrán una perfecta asignación a un conjunto de
clientes residenciales que, fehacientemente por razones económicas, no pueden pagar el
cien por cien de la tarifa y se encuentran aproximadamente identificados.
En los últimos doce años el valor más frecuente de los fondos que recibió la Provincia,
desde la Nación, está entre los $150.000 y $200.000 por mes. Si nos ponemos en el centro
del intervalo este valor se ubica en los $175.000, que es cercano a lo recibido en el año
2001 y muy inferior al promedio del período estudiado, que se ubica en $ 242.588. Tal
como se manifestó anteriormente este fondo es el específico para aplicar como subsidio a
las tarifas de clientes finales, si así lo determina el poder concedente.
Este análisis nos lleva a adoptar que el subsidio que se dispondrá bimestralmente será
de $ 350.000 y es el que se aplicará para obtener la tarifa social destinada a la franja de
clientes que a continuación se describe.
Según datos publicados por el Instituto Nacional de Estadísticas y Censos (INDEC), la
provincia de Tucumán tiene una población estimada en aproximadamente 1.300.000
habitantes, siendo el departamento Capital, de entre los diecisiete departamentos en que
está dividida la provincia, el más numeroso con un porcentaje, estimado, ligeramente
superior al 42 % del total provincial. La misma fuente indica que la tasa de electrificación
para todo el territorio provincial se ubica en el 95 %, o sea aproximadamente 1.235.000
personas tienen servicio eléctrico.
En octubre de 2001 el INDEC indicó que la tasa de desocupación en la provincia es del
17,9 %, lo que significan 221.000 personas están sin trabajo o subempleados y que
podríamos estimar que están distribuidos entre 55.000 y 70.000 hogares con servicio
eléctrico, a los que se les hace muy difícil sostener.
De este análisis surge que el número de clientes a subsidiar estará en el intervalo
[55.000, 70.000].
829

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Por el tipo de diseño tarifario adoptado en el modelo de privatización provincial, las tarifas
para los clientes residenciales son del tipo denominado binómica. Esto es, el cliente paga un
cargo fijo bimestral, tenga o no consumo, y un cargo variable por cada unidad de energía
consumida. Los montos de estos cargos, dentro de la categoría residencial, están
especificados por bloques de consumo. Cada uno de los consumos individuales de los
clientes caerá en algunos de los bloques previstos y de acuerdo a ello es el monto del cargo
fijo y del cargo variable que deberá abonar. Para nuestro caso existen dos bloques para los
clientes residenciales: hasta un consumo máximo de 300 kWh por bimestre y más de 300
kWh por bimestre. Siendo el primer bloque (de menor consumo) el más barato. Los precios
para este bloque son: para el cargo fijo sin derecho a consumo de $ 3,50 por bimestre y para
el cargo variable de $ 0,0745 por cada kWh consumido.
Como es de suponer, y dado que se trata de establecer tarifas sociales para una franja
de clientes con escasos recursos económicos, es sobre estos montos que se deberán
especificar los porcentajes de subsidios a aplicar. Por el mismo motivo, la cantidad de
energía a subsidiar deberá tener como punto de referencia máximo los 300 kWh
bimestrales.
Metodología
Marco teórico del modelo de análisis
Para tener una herramienta de análisis que permita simular distintas escenarios, que
permitan fijar los subsidios a la tarifa de los clientes residenciales y tomar decisiones al
respecto, se elaboró un modelo matemático que describe esta situación problemática y que
tiene en cuenta todas las variables analizadas en el punto 2 de este trabajo, los que en
apretada síntesis son:
1°) No se considera otro mecanismo de establecer una tarifa social que no sea la de asignar
montos explícitos a determinados bloques tarifarios y de esta manera lograr que lo que le
corresponda pagar al cliente sea menor y adecuado a su capacidad de pago. Por ejemplo, no
se considera la posibilidad de establecer tarifas mas altas para algunos segmentos de
clientes y bajar el de otros (subsidios cruzados) o cualquier otra forma de establecer tarifas
sociales.
2°) Se supone que los clientes a ser subsidiados corresponden al segmento tarifario de los
pequeños consumos de uso residencial exclusivamente, que según el contrato de concesión
vigente les corresponde la tarifa denominada 1R. Esto significa que la tasa de subsidio se
aplicará al cargo fijo establecido en 3,50 $/bimestre y sobre el cargo variable fijado en
0,0745 $/kWh.
3°) El consumo de energía a subsidiar estará por debajo de los 300 kWh bimestrales, que
dentro del cuadro tarifario es el bloque de energía más barato. Se considera que un
consumo máximo de 150 kWh. bimestrales es una cifra razonable. Para lograr que éste
valor de consumo por cliente con tarifa social no sea superado se deberá instalar en el
domicilio del cliente un limitador de energía, y de esta manera asegurar que el máximo de
consumo de energía no atraviese la barrera impuesta.
4°) La única fuente de subsidio son los fondos Nacionales para ese fin, el cual, de acuerdo
al análisis realizado, tendrá un tope máximo de $ 350.000 por bimestre.
5°) Se considera que la Tarifa Social es sin impuestos ni gravámenes de ningún tipo,
porque no sería lógico imponer estos recargos sobre tarifas que tienen el carácter de social
830

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
y además porque es el propio Estado el que suministra los fondos para su concreción y no
tendría sentido el cobrar impuestos y gravámenes sobre ellos.
Especificación del Modelo
De acuerdo al marco establecido en el apartado anterior se propone el siguiente modelo
matemático que permita plantear distintas alternativas de tarifas sociales atendiendo a las
variables que se fueron analizando a lo largo de este trabajo. Siendo:
m = monto máximo total bimestral de subsidio disponible ($ 350.000)
x = máxima cantidad de energía a subsidiar por bimestre y por cliente
u = máximo número de cliente a subsidiar en la provincia
v = monto máximo bimestral a cargo del cliente
y = porcentaje del cargo variable ($/kWh.) a subsidiar por cliente (en por unidad)
z = porcentaje del cargo fijo a subsidiar por cliente (en por unidad)
El número máximo de clientes a subsidiar por bimestre será:
u = 350000/ (0,0745xy + 3,50z) (1)
Con: 55.000 ≤ u ≤ 70000
0 ≤ x ≤ 150
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1
Los subsidios que se establezcan deberán tener presente que para distintas soluciones
del número máximo de clientes a beneficiar, que cumplan con las restricciones de las
restantes variables, se elegirá aquella que minimize el monto máximo mensual a cargo del
cliente, dado por:
v = 0,0745x(1 - y) + 3,50(1 - z) (2)
Análisis del Modelo
La u es una función multivariada definida en el espacio real de cuatro dimensiones. Como
su rango esta acotado por las condiciones del problema en el intervalo [55000 - 70000],
entonces se analizan las superficies de nivel de la función u para los extremos del intervalo.
La expresión general de estas superficies de nivel esta dada por.
z = (100000/u) - 0,0213xy
De donde se tendrá que:
1°) Para u = 55000, la superficie de nivel es: z = 1,8182 - 0,0213.x.y
De igual forma esta superficie de nivel tiene rango acotado por las condiciones del
problema al intervalo [0, 1], entonces para los valores extremos de este intervalo se tendrán
las siguientes curvas de nivel:
1°a) Para z = 0; y = 85,3615/x
1°b) Para z = 1; y = 38,4131/x
831

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
2°) Para u = 70000, la superficie de nivel es: z = 1,4286 - 0,0213.x.y
Como en el caso anterior, esta superficie de nivel tiene rango acotado en el intervalo
[0, 1], entonces para los valores extremos de este intervalo se tendrán las siguientes curvas
de nivel:
2°a) Para z = 0; y = 67,0704/x
2°b) Para z = 1; y = 20,1221/x
De este análisis se desprende que para un mínimo de u = 55000 clientes a subsidiar y
un consumo de energía bimestral x tomado en el entorno del punto x0= 150, el intervalo del
porcentaje "y" de subsidio a la tarifa variable es (0,25 - 0,57). Mientras que para un número
máximo de u = 70000 clientes y un consumo de tomado en el mismo entorno, el intervalo
del porcentaje de subsidio a la tarifa variable es (0,13 - 0,45). Como es de esperar este
intervalo queda contenido en el anterior, dado que al suponer un mayor número de clientes
a subsidiar con el mismo monto máximo de subsidio y la misma cantidad de energía
consumida por cada cliente, entonces la longitud del segundo intervalo resulta menor.
A los fines de obtener los valores de u y v, para distintas combinaciones de valores de
las variables independientes x, y, z, con las restricciones mencionadas, teniendo presente
las conclusiones que surgen del análisis de la función u, y de las superficies y curvas de
nivel, se realizó una simulación numérica. Esta simulación se hizo fijando inicialmente los
valores de x, y haciendo variar los valores de z. Los valores adoptados para x fueron de 50,
100 y 150 kWh, haciéndolos crecer de 50 en 50. Los valores de y, z se hicieron crecer
desde 0 hasta 1 con variaciones de 0,1 en 0,1.
Conclusiones
Si se adopta como valor de búsqueda en la tabla el centro del intervalo [55000,
70000], o sea u= 62500 clientes, a los cuales se les subsidiaría una energía bimestral de 150
kWh, se obtienen los siguientes valores:
Tabla N° 1: Valores Seleccionados.
832
x y z U v
150 0,2 0,9 64995 9,29
150 0,3 0,6 64191 9,22
150 0,4 0,3 63406 9,16
150 0,5 0 62640 9,09
150 0,2 1 61029 8,94
150 0,3 0,7 60319 8,87
Dadas las incertidumbres de los límites de variación de algunas de las variables, como por
ejemplo el número de clientes que fehacientemente debieran ser subsidiados, o del
consumo que cada uno de ellos realizará bimestralmente, cualesquiera de los valores
seleccionados en la tabla n° 1, es una solución posible a adoptar. No obstante se puede
especular que, dados los hábitos de consumos observados, casi con seguridad la gran
mayoría de los clientes subsidiados llegarán al límite de la demanda de energía bimestral de
150 kWh.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Todo este análisis sirvió para que las autoridades políticas provinciales tuvieran los
suficientes elementos objetivos para inclinarse por la solución de subsidiar el 40 % del
costo de la energía consumida (cargo variable) y el 30 % del cargo fijo y de esta manera
subsidiar hasta un máximo de 63406 clientes que pagarán como máximo $ 9,16 por
bimestre lo que significa 15 centavos por día.
Entonces la tarifa que se denominó Tarifa 1RS (Tarifa 1 Residencial Social) para pequeños
consumos residenciales de hasta 150 kWh bimestrales, quedó de la siguiente manera.
Tarifa 1RS (Pequeños consumos residenciales subsidiados
Unidad Importe
Cargo fijo sin derecho a consumo $/bim.. 2,45
Hasta un consumo máximo de 150 kWh/bim. $/kWh 0,0447
Bibliografía
Schuster, F.G., (1997) El Método en las Ciencias Sociales, Buenos Aires, Editores de América Latina,
Método Axiomático y Modelos, cap. 4.
Chapelon, J.,(1965) Las matemáticas y el desarrollo social, en LE LIONNAIES, F. y colaboradores, Las
grandes corrientes del pensamiento matemático, Buenos Aires, EUDEBA
Pita Ruiz, C.(1995). Cálculo Vectorial. México, Pearson Educación.
Stewart, J. (1999). Cálculo Multivariado, México, Thomson Editores.
833

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES EN LINEAS DE ESPERA
834
María Rodríguez de Estofán y Sandra Franco de Berduc
Universidad Nacional de Tucumán- Argentina
mrestofan@tucbbs.com.ar, sandranfranco@hotmail.com
Resumen
Un problema que se presenta con frecuencia en muchos organismos, como ser bancarios, gubernamentales,
supermercados, etc., es el de intentar proporcionar los mayores niveles de servicios posibles, sin necesidad de
incrementar su capacidad operativa. Nuestro trabajo consiste en analizar los fundamentos de la teoría de colas
exponiendo modelos matemáticos que permiten tomar decisiones oportunas optimizando la planificación de
un servicio y el uso de sus recursos disponibles. El objetivo esencial de conocer y aplicar la teoría de colas es
la minimización de los costos totales, que surgen de dos fuentes: la propia espera y la capacidad del sistema.
Por lo tanto el fin último de un directivo o gerente de un organismo es el de encontrar un equilibrio entre el
costo de proporcionar un determinado nivel del servicio, con una cierta capacidad, y el costo de la espera de
los clientes. Con este artículo intentamos hacer un aporte a la enseñanza de la matemática, mostrando algunos
modelos que se sustentan en la teoría de probabilidades, con gran aplicación en múltiples situaciones de la
vida real.
Introducción
Es importante mostrar los aportes que hace la matemática en la toma de decisiones de todo
tipo de organizaciones: comerciales, industriales y gubernamentales. Para ello es necesario
el estudio del comportamiento de personas, equipos, costos y procedimientos, a fin de
comprender sus funcionamientos y optimizar su eficiencia y eficacia. Un problema que se
suele presentar con frecuencia en muchos organismos es el de intentar proporcionar los
mayores niveles de servicios posibles sin necesidad de incrementar su capacidad. Por
ejemplo en una fábrica la carencia de los recursos necesarios origina la espera de trabajos a
ser procesados, cuyo almacenamiento produce retrasos con aumentos de costos del trabajo
e incumplimiento de la entrega final. Otra situación más adversa es aquella en la que el
trabajo en espera es una persona, insatisfecha por el tiempo que pierde en una cola. Este
caso es bastante habitual cuando los clientes tienden a solicitar servicios en forma aleatoria.
Ejemplos comunes de esperas se presentan en la compra de entradas para espectáculos,
oficinas de correos, mostradores de facturación en aeropuertos, hospitales, entradas y
salidas de estacionamientos, etc. Todas estas situaciones constituyen problemas de colas o
de líneas de espera. Con este artículo intentamos hacer un aporte a la enseñanza de la
matemática, mostrando algunos modelos que se sustentan en la teoría de probabilidades,
con gran aplicación en múltiples situaciones de la vida real. Nuestro trabajo consiste en
analizar los fundamentos de la teoría de colas exponiendo modelos matemáticos que
permiten tomar decisiones oportunas optimizando la planificación de un servicio y el uso
de sus recursos disponibles. Las decisiones se basan en el empleo del método científico y
en el uso de herramientas y conocimientos de muchas ciencias, entre ellas, la matemática,
la economía, la física y del comportamiento.
Teoría de colas o líneas de espera
En muchas operaciones se forman líneas de espera para la prestación de un servicio,
entre ellas, cuando los clientes esperan en fila para liquidar sus compras; las máquinas
de una fábrica esperan ser reparadas o los aviones esperan para aterrizar en un

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
aeropuerto. La característica común de estos ejemplos en apariencia distintos, es que
un número de unidades físicas (llegadas) intentan recibir un servicio de un número
limitado de instalaciones (los servidores). Como consecuencia, las llegadas deben
esperar algunas veces en líneas hasta que llegue el turno de ser atendidas.
La teoría de colas se ocupa del estudio de las colas de espera de todo tipo concebible y
la necesidad de reducir los embotellamientos y congestiones. La teoría de colas analiza
la capacidad de una unidad operacional para prestar algún servicio. Las unidades o
elementos de interés llegan a la instalación donde se presta el servicio deseado y
abandonan el sistema. Estos modelos son característicos de las cajas de supermercados,
peajes de autopistas, mostradores de ventas, instalaciones de embarque, etc.
El objetivo de los estudios realizados basándonos en la teoría de colas es determinar el
número óptimo de personas o instalaciones necesarias para atender a los clientes que
llegan al azar y minimizar los costos del servicio con el de la espera o congestión.
En general, la teoría de colas ofrece información sobre la probabilidad de que un
determinado número de personas, máquinas, etc. tenga que esperar en la cola, durante
cuanto tiempo espera hacerlo y el porcentaje de tiempo inactivo de la instalación que
presta el servicio. Estas cantidades se usan para determinar si debería aumentarse el
tamaño del espacio de espera o la velocidad del servicio. Toda esta información es
obtenida de modelos matemáticos, que constan de fórmulas analíticas, basados en las
distribuciones de probabilidades Poisson y Exponencial.
Características de la teoría de colas
Todo problema de teoría de colas puede describirse en término de tres características:
la llegada, la cola y el servidor.
1) La llegada: se describen por su distribución analítica, que pueden especificarse de
dos formas: distribución del número de llegadas por unidad de tiempo o distribución
del tiempo entre llegadas. Si la distribución de llegadas se especifica en la primera
forma, se deberá describir el número de llegadas que pueden ocurrir en cualquier
período de tiempo dado. Es posible describir el número de llegadas que ocurren en una
hora. Cuando las llegadas ocurren al azar, la información que interesa está dada por la
probabilidad de que ocurran n llegadas en un período dado, donde n = 0,1,2,...
Si se supone que las llegadas ocurren con una tasa promedio constante y que son
independientes entre sí, se presentan acorde con la distribución de probabilidad de
Poisson. La probabilidad de n llegadas en el tiempo T está dada por
P(
n,
T)
e
−λT
( λT)
n
n!
= con n = 0,1,2, ... donde:
λ = Tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo. T = Intervalo de tiempo.
n = Número de llegadas en el tiempo T.
P(n, T) = Probabilidad de que ocurra n llegadas en el tiempo T
Para valores pequeños de λ T existe una alta probabilidad de que ocurran cero
llegadas en el tiempo T y que la mayor parte de las probabilidades se concentran
alrededor de 0, 1, 2 llegadas. A medida que aumenta el valor de λ T la forma de la
distribución cambia hacia una forma más simétrica (normal) y la probabilidad del
número de llegadas aumenta.
835

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
El segundo método de especificación de llegadas está dado por el tiempo que
transcurre entre llegada y llegada. En este caso se debe especificar la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria continua que mida el tiempo transcurrido entre
una llegada y otra. Si las llegadas siguen la distribución Poisson, se demuestra
matemáticamente que el tiempo entre llegadas seguirá una distribución exponencial.
P(
T
836
≤ t)
= 1−
e
−λt
con ≤ t < ∞
0 donde:
P( T ≤ t)
es la probabilidad de que el tiempo entre llegadas T sea menor o igual que
un valor dado t.
λ tasa media de llegadas por unidad de tiempo.
t un tiempo dado.
A medida que t aumenta, la probabilidad de que haya ocurrido 1 llegad se aproxima a
1.
La distribución exponencial y la de Poisson son equivalentes en cuanto a las
suposiciones fundamentales sobre las llegadas. Por lo tanto, cualquiera de las dos
puede usarse para especificar las llegadas: todo depende si se desea calcular el tiempo
entre llegadas o el número de llegadas que ocurrirán en un tiempo dado.
2) La cola: la naturaleza de la cola también afecta el tipo de modelo de teoría de colas
que se formule. Una disciplina de colas es la bien conocida regla de “quién llega
primero se atiende primero”.
Cuando se describe la teoría de cola, es necesario especificar la longitud de la línea de
espera. Una suposición matemática común es que la línea de espera puede alcanzar
una longitud infinita.
Por último, debe definirse el comportamiento de los clientes en la cola. La conducta de
los clientes que se presupone en los modelos de teoría de colas simples, es que estos
esperarán hasta recibir el servicio.
Para propósitos analíticos, las suposiciones más comunes en las teorías de colas son:
servir primero a quién llegó primero, que la longitud de la línea es infinita y que las
llegadas esperarán en la línea hasta que se les dé el servicio.
3) El prestador del servicio: también existen varias características del prestador del
servicio que afectan al problema de teoría de colas. Una de estas, es la distribución del
tiempo de servicios. Al igual que el tiempo de llegada, el tiempo de servicio puede
variar de un cliente al siguiente. Una presuposición común para la distribución del
tiempo de servicios implica una distribución exponencial.
La segunda característica del prestador del servicio que debe especificarse es el
número de prestadores que se encontrarán presentes. En ocasiones, a cada prestador
del servicio se le llama canal.
El servicio puede proporcionarse en una sola fase o en fases múltiples. Una situación
de fases múltiples es aquella en la que el cliente debe pasar a través de dos o más
prestadores en secuencia para terminar el servicio.
La combinación de varios prestadores y varias fases del servicio da lugar a una gran
variedad de problemas de teorías de colas.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Formulación de problemas de teorías de colas
Una vez que se han dado las suposiciones sobre las llegadas, la cola y los prestadores
del servicio, se desea predecir, el desempeño de un sistema de colas específico. El
desempeño que se predice para el sistema puede describirse mediante el número
promedio de llegadas en la cola, el tiempo promedio de espera de una llegada y el
porcentaje de tiempo perdido de los prestadores del servicio. Estas medidas de
desempeño se pueden utilizar para decidir la cantidad de prestadores del servicio que
deben colocarse, los cambios que se pueden hacer en la velocidad del servicio u otros
cambios en el sistema de colas.
Cuando se evalúan las medidas de desempeño de teoría de colas, deben determinarse
los costos totales siempre que sea posible. Esto se hace añadiendo el costo del tiempo
de espera de la llegada y el costo de los prestadores del servicio. En el caso de
reparación de máquinas, el tiempo de espera de la máquina es función del costo de la
producción perdida. En los casos en que las llegadas son los clientes, resulta muy
difícil estimar el costo del tiempo de espera. No siempre es posible determinar el costo
total de un sistema de colas. En lugar de esto se utilizan objetivos sustitutos. Por
ejemplo, un objetivo sustituto es que los clientes no deben esperar más de un promedio
de 5 minutos para obtener el servicio. Las medidas y parámetros del desempeño para
los modelos de teorías de colas, se especifican mediante la siguiente notación:
λ = Tasa promedio de llegadas (el número de llegadas por unidad de tiempo).
1 λ
= Tiempo promedio entre las llegadas.
µ = Velocidad media del servicio (el número de unidades a las que se le da servicio
por unidad de tiempo cuando el prestador se encuentra trabajando).
1 µ
= Tiempo promedio requerido para el servicio.
ρ = Factor de utilización del prestador del servicio (la proporción del tiempo en que
el prestador del servicio trabaja).
P n = Es la probabilidad de que n unidades (llegadas) se encuentren en el sistema.
L q = Número promedio de unidades en la cola (longitud promedio de la cola).
L s = Número promedio de unidades en el sistema.
W q = Tiempo promedio de espera en la cola.
W s = Tiempo promedio de espera en el sistema.
En el sistema se refiere a las unidades que pueden encontrarse en la cola o en el
servicio. Es decir, W q se refiere al tiempo de espera de una unidad en la cola antes de
que comience el servicio y W s se refiere al tiempo total de espera más el tiempo
necesario para tener el servicio En condiciones uniformes, las condiciones de arranque
iniciales no afectan las medidas del desempeño. La condición uniforme se logrará
solamente cuando µ sea mayor que λ , la velocidad del servicio debe ser superior a la
velocidad de llegadas para que se presente la condición uniforme. Siempre que µ ≤ λ
el sistema de colas es inestable y la línea se puede acumular potencialmente hasta el
infinito debido a que las unidades llegan con mayor rapidez de las que reciben el
servicio. Se supondrá entonces que µ > λ a lo largo del trabajo.
837

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Modelo simple de teoría de colas
Se basa en las siguientes suposiciones: a) Un solo prestador de servicio y una fase.
b) Distribución de llegadas Poisson donde λ = tasa promedio de llegadas.
c) Tiempo de servicio exponencial, donde µ = tasa promedio del servicio.
d) Disciplina de colas de servir primero a quién llega primero, todas las llegadas
esperan en línea hasta que se les da el servicio y existe la posibilidad de una longitud
infinita en la cola.
A partir de estas suposiciones se pueden derivar las siguientes estadísticas de
desempeño:
Wq
838
λ
=
µ ( µ − λ)
λ
ρ =
µ
Ws
λ
P 0 =1 −
µ
1
=
( µ − λ)
n
⎛ λ ⎞
Pn = P0
⎜ ⎟
⎝ µ ⎠
Lq
λ
2
=
µ ( µ − λ)
Ls
λ
=
( µ − λ)
Modelo con varios prestadores del servicio
El modelo simple con llegadas tipo Poisson y tiempos de servicios exponenciales
puede extenderse para incluir sin gran dificultad a varios prestadores del servicio. Si se
establece que S es igual al número de los prestadores de los servicios, las mediciones
de desempeño del sistema de colas con varios prestadores del servicio serán:
ρ =
λ
s µ
P0
1
⎡ n ⎤ s
⎢
⎥ ⎛ λ ⎞
⎜ ⎟
⎢ s 1 ⎥
−1
⎝ µ ⎠ ⎛ λ ⎞
⎢ ∑ ⎥ + ⎜1
− ⎟
⎢n
0 n!
⎥ s!
⎝ sµ
⎠
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
−
=
⎛ ⎞
⎜ ⎛ λ ⎞ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎝ µ ⎠ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
n
⎛ λ ⎞
⎜
⎟
⎝ µ ⎠
Pn = P0
n!
⎡ n ⎤
⎢
⎛ λ ⎞
⎜ ⎟ ⎥
⎢ ⎝ µ ⎠ ⎥
1 ≤ n ≤ s
Pn = P0
⎢ ⎥
⎢s
! ( s)
n −s
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
n ≥ s
s
⎛ λ ⎞
P0
⎜ ⎟ ρ
⎝ µ ⎠
Lq
=
s!
( 1 − ρ)
2
λ
L s = Lq
+
µ
=
λ
q L
W q
1
W s = Wq
+
µ
Estas fórmulas se verifican en condiciones de uniformidad y se presupone que las
llegadas son de tipo Poisson, el tiempo de servicio exponencial; se aplica la disciplina
de colas de atender primero a quién llega primero, todas las llegadas esperan en la cola
hasta recibir servicios y la cola tiene longitud infinita.
Aplicación 1: suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una
velocidad promedio de 10 clientes por hora ( µ = 10)
. Además, suponga que los clientes
llegan a la ventanilla de los cajeros a una tasa promedio de 7 por hora ( λ = 7)
. Se
considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
la distribución exponencial. En la condición uniforme el sistema de cola tendrá las
siguientes características de desempeño:
7
=
10
P 0
7 3
1 − =
10 10
Pn n
3 ⎛ 7 ⎞
⎜ ⎟
10 ⎝10
⎠
ρ el prestador del servicio trabajará el 70% del tiempo.
= ; 30% del tiempo no habrá clientes en el sistema.
= ; esta fórmula determina la posibilidad de que n clientes se encuentren en
el sistema en cualquier momento dado, n = 1,2,3,..., 0,
21
7
2
L q
= 1,
63
10(
10 − 7)
= ; en promedio 1,63 clientes estarán en la cola.
7
L s = 2,
33
( 10 − 7)
= ; en promedio 2,33 clientes estarán en el sistema.
7
W q
= 0,
233
10(
10 − 7)
cola.
P 1 = , P 2 = 0,
147 , P 3 = 0,
1029 ; etc.
= ; el cliente pasa un promedio de 0,233 horas esperando en la
1
W s = 0,
333
( 10 − 7)
= ; el cliente pasa un promedio de 0,333 horas en el sistema.
Es posible evaluar el desempeño del sistema de colas. El administrador tendrá que
tomar en consideración el “tiempo perdido del prestador del servicio (30%), el tiempo
que espera el cliente (0,233 horas) en la cola y la longitud de la línea que se forma
(1,63 clientes)”. Si este rendimiento es inaceptable, se puede colocar un segundo
prestador del servicio o hacer otros cambios en las características de las llegadas, de la
cola o del prestador de los servicios.
Aplicación 2: suponga que se coloca un segundo cajero en la aplicación anterior. ¿Qué
tanto mejorará el servicio?. Los cálculos de desempeño para S=2 son:
7
ρ = = 0,
35 ; los prestadores utilizan el 35% del tiempo
2(
10)
P 0 = 0,
4814 ; prob. de que no haya clientes. P 1 = 0,
3369 ; prob de que haya 1 cliente.
P 2 = 0,
1179 ; prob. de que haya 2 clientes. P 3 = 0,
0413 ; prob. de que haya 3 clientes.
P 4 = 0,
0145 ; prob. de que haya 4 clientes. L q = 0,
0977 ; un prom de 0,0977 clientes estará
en la línea. L s = 0,
7977 ; un promedio de 0,7977 clientes estará en el sistema.
W q = 0,
0139 ; el cliente pasa un promedio de 0,0139 horas en la cola (menos de un 1’).
W s = 0,
1139 ; el cliente pasa un promedio de 0,1139 horas en el sistema.
Con dos prestadores del servicio, las estadísticas de los clientes mejoran. Ahora se
tiene un promedio de solamente 0,097 clientes en la línea y el cliente espera en
promedio solamente 0,0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El
costo de este servicio es que los prestadores solamente están ocupados durante el 35%
de su tiempo. A menos que se desee un servicio extraordinariamente bueno, es
probable que el banco no desee incurrir en el gasto del segundo cajero.
839

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Conclusiones
Con este trabajo hemos querido destacar la importancia de la Matemática en la toma de
decisiones de optimización de servicios a menores costos. Aunque, hemos mostrado los
casos más simples de los modelos de teorías de colas, existen muchos modelos más
elaborados, donde varían los supuestos. Uno de ellos, fue considerar que la longitud de la
cola es infinita, lo que significa que la llegada de un cliente para ser atendido o el servicio
completo, no afecta la probabilidad de futuras llegadas. Sin este supuesto las ecuaciones de
los modelos con uno o con varios prestadores de servicio difieren.
También, los modelos cambian si el tiempo de la prestación del servicio es constante que se
traduce fundamentalmente en variaciones de la longitud promedio de la cola y del tiempo
promedio de espera.
La teoría de colas no ha sido ideada sólo para contestar cuánto tiempo de espera debe
introducirse en un sistema, sino por el contrario, responde dos preguntas importantes: ¿Qué
cantidad de tiempo de espera es posible en un sistema?, ¿Cómo cambiará este tiempo de
espera luego de alterar las instalaciones? Para solucionar estos problemas los ejecutivos de
empresas recurren a los modelos que aporta la teoría de colas.
El objetivo esencial de conocer y aplicar esta teoría es la minimización de los costos
totales, que surgen de dos fuentes: la propia espera y la capacidad del sistema. Los
relacionados con la espera incluyen los costos de las personas que prestan el servicio,
del tiempo de espera de los clientes y los derivados de la posible pérdida de clientes o
de ventas por no haber sido atendidos a tiempo. El costo de la capacidad del sistema se
refiere al costo de mantener un determinado nivel del servicio. Por lo tanto el fin
último del directivo de una empresa es encontrar un equilibrio entre el costo de
proporcionar un buen nivel de servicio con una cierta capacidad y el costo de la espera
de los clientes.
Bibliografía
Gould, f. J., Eppen, G. D. y Schmidt, C. P. (1992) Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa. Prentice-Hall Hispanoamericana. México.
Kotler, P. (1973) Mercadotecnia Aplicada. Interamericana. México.
Sacristán, G., Pérez Gómez, A. (1985) La Enseñanza: su Teoría y su Práctica Capítulos 8 y
10. Akal Editor. España
Shamblin, J. E. y Stevens, G. T. (1975) Investigación de Operaciones. McGraw-Hill. México.
840

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN:
UNA EXPERIENCIA NOVEDOSA.
María E. Rodríguez Montero
Liceo Unión Panamericana, Santo Domingo, República Dominicana
j.luciano@codetel.net.do
Resumen
Como educadora en el área de la matemática trato de hacer todos mis esfuerzos en crear estrategias que
puedan servir de gran utilidad a los alumnos y alumnas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Había estado
buscando la manera de lograr que los alumnos y alumnas pudieran usar correctamente los signos de
agrupación y lograba muy poco. Mientras desarrollaba el proceso de enseñanza-aprendizaje, todos
supuestamente entendían y participaban de una forma o de otra; pero cuando evaluaba el conocimiento
adquirido a corto plazo, no respondían de la forma esperada; lo que me causaba gran inquietud. Ante esta
situación me tracé los objetivos de buscar nuevas estrategias que faciliten a los y las alumnos(as) la buena
comprensión de la Matemática, y comprender que el proceso de enseñanza-aprendizaje no es estático y
cerrado, sino que requiere de fuerza y voluntad. Para lograrlos diseñé una estrategia de socialización con
dramatización, mediante la cual los y las alumnas representaban símbolos de agrupación y elaboré ejercicios
que me permitieran ir desarrollando todo el proceso, apoyándome en los lineamientos que oferta la Propuesta
Curricular de la Secretaría de Estado de Educación. Esta experiencia de aula está programada para
desarrollarse en una sesión de clases de 40 minutos y está dirigida a estudiantes de nivel medio o de octavo
grado. Luego del desarrollo de la experiencia se entregará una práctica con problemas a resolver. En los
primeros 15 minutos se desarrollará el contenido; luego se procederá a organizar los alumnos. El maestro/a
debe asegurarse de revisar el dominio de los signos operacionales (+, -, x, ÷), así como las operaciones
algebraicas y el concepto de términos semejantes y conocer los nombres de los signos.
Marco de la experiencia
Se consideran como antecedentes históricos la introducción a los signos de agrupación
Así como la supresión de los signos de agrupación. Entre las consideraciones
metodológicas están
1) El uso del eje transversal natural y social porque usamos recursos sociales, naturales
y humanos. Realizamos esta experiencia con toda originalidad cuando usamos los
círculos con las cadenas usadas, con la participación activa de las y los alumnos y
porque logramos la integración e interacción de todas y todos los que deseaban.
2) La aprehensión de la matemática, porque todo el objetivo es dominar lo que
queremos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática lo mejor
posible, y basado en los (fundamentos del currículo, tomo II, 3-20) que los alumnos
deben tener múltiples oportunidades de apreciar la interacción de la matemática con
otras disciplinas y con la sociedad.
Por su parte los fundamentos técnicos y metodológicos refieren a la educación actual en el
uso de los ejes transversales. El proceso de enseñanza-aprendizaje se hace mas activo,
incluso se pueden prolongar los periodos de atención en clase. Es transformar con lo que
tenemos: educandos y educadore, los espacios educativos y los materiales básicos para
producir los aprendizajes. En el nuevo currículo se debe ensayar haciendo muy bien lo que
se debe y se puede hacer con los medios de que se dispone, en el ambiente en que nos
corresponde trabajar. Ese es el método de construir una transformación curricular. La
841

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
educación actual es juntar de nuevo las inteligencias colectivas, la creatividad y los talentos
para seguir elevando la calidad de la educación. Entre los aspectos que cabe citar como
desafíos al aprendizaje de la matemática están los prejuicios de la matemática. Una manera
de abordarlo es organizando grupos de trabajo para que los alumnos y alumnas trabajen
activamente.
¿Qué actividades plantear? ¿Cómo plantearlas? ¿Cómo dinamizar las clases? ¿Cómo
lograr una enseñanza activa de la matemática?. Es lo que me sigue preocupando e
inquietando a continuar buscando estrategias diferentes para lograr una enseñanzaaprendizaje
mas dinámica.
Propósitos de la experiencia
− Que los y las alumnas pierdan el temor en la solución de problema
− Que sean capaces de resolver cualquier problema en matemática
− Que vean esto como un juego, y como lo dijo el Dr. Ricardo Cantoral, la matemática
está ahí, solo se necesitan estrategias que facilitan el proceso de enseñanza-aprendizaje.
− Enseñarle a manejar los signos como un juego
− Poder colocar al alumno ante situaciones necesarias para que pueda alcanzar sin
ninguna imposición, los conceptos lógico-matemáticos que le permitan resolver la
situación ante la cual lo hemos colocado, Jiménez V. (1990).
− Que sean manipulativas: que ellos puedan manejar, palpar el proceso.
− Que sean prácticas, que durante el proceso no vean nada subjetivo o abstracto
− Que sean reales
− Que nada quede oscuro ni implícito
− Que el grado de dificultad sea reducido a su mínima expresión, y por ultimo,
− Un desafío a enfrentar los ejercicios con los signos de agrupación de manera
simultánea, con dinamismo, confianza y seguridad. Jiménez V. Pastor aconseja que
“Aquellos maestros y maestras que carecen de experiencia en algunos tipos de
dinámica de clase es aconsejable que las inicien realizando pequeños ensayos”, eso es
parte de nuestros propósitos.
La experiencia de aula
Esta experiencia de aula está programada para desarrollarse en una sesión de clase de 40
minutos y está dirigida a estudiantes de nivel medio o de octavo grado. Luego del
desarrollo de la experiencia se entregará una práctica con problemas a resolver. En los
primeros 15 minutos se desarrollará el contenido y luego se procederá a organizar los
alumnos (as) y como dice Vicente Jiménez Pastor (Op. Cit., 1990) el papel del educador
pasa a convertirse en el de un conductor y no en el de un conocedor. Adopté ejercicios
nuevos para la dinámica del uso de los signos de agrupación.
Elaboré un ejercicio de esta forma:
_____
3x + [- {-5x - 2y - (4y - - 4x - 5)}]
Observamos aquí un ejemplo donde están todos los signos de agrupación de forma
simultánea (esquema #1)
842

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Hice lo siguiente. Le escribí el ejercicio en la pizarra e invité a los alumnos a participar.
Cabe citar de nuevo a Jiménez V. (1990) quien señala a la formación de grupos como tarea
difícil. Puse mi empeño en lograrlo y formé una ronda con 4 alumnos y le puse el nombre
de corchetes. Formé una 2da ronda con el nombre de llaves, precedida por el signo menos
(-). También formé otra ronda con el signo de paréntesis, haciéndole la advertencia de la
precaución que deben tener al manejar los signos. Por último formé otra ronda con la barra
o vínculo y los alertaba para que tuvieran cuidado con los signos.
Los grupos estaban formados para afuera, de menor a mayor. Iba cancelando los signos de
agrupación y se lo mostraba. Ver figura # 2.
Observamos aquí un ejemplo donde están todos los signos de agrupación de forma
simultánea.
______
3x+ [- { -5x - 2y - (4y - - 4x - 5)}]
Nota: Puede y debemos usar las figuras que ellos deseen o más les guste.
Paso 1.
Eliminamos en la ronda #1 de adentro hacia fuera los pececillos, tomando en cuenta el
signo que llevan delante.
Quedando
843

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Ver aquí: (deben ir mostrando el cambio) y cada niño debe tener cartulina o planchas de
marquetería para aprovecharse con mas precisión.
3x+[-{-5x-2y-(4y + 4x+5)}]
Se fue la barra o vínculo.
Paso 2:Ahora vamos a eliminar la 2da ronda (ronda de las mariposas) retro-alimentándolas
en los
signos que tienen precedidos
Figura # 3
En el ejercicio queda así:
3x+[-{-5x-2y-4y-4x-5}]
Se fueron los paréntesis
Observaciones:
Los y las colegas deben resaltar siempre el color de los signos para que no olviden la
importancia de los mismos y su utilidad.
Pues ¿nos quedarán los caballitos?
3er paso. Vamos a eliminar las matitas y nos quedo así
En el ejercicio nos queda: 3x+[5x+2y+4x+5]
Se fueron las llaves. Pero, solo nos quedan los corchetes, vamos a eliminarlos también,
¡ultima ronda! Se fueron los corchetes
3x+5x+2y+4x+5
Al finalizar todos tienen que dominar correctamente el proceso.
Observaciones de los participantes
844

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Esta experiencia la presenté en el Seminario Tel-educ celebrado en el Hotel Quinto
Centenario de Santo Domingo, organizado por la Secretaría de Estado de
Educación. Al principio los (as) alumnos (as) se turbaban cuando comenzaban a
trabajar y no sabían como iniciar el proceso, no eran capaces de resolver el
problema sin la ayuda del maestro. Finalmente me formularon algunas preguntas y
sus inquietudes fueron satisfechas. Algunos técnicos de la Secretaria de Educación
me invitaron a participar como multiplicadora junto con dos catedráticas brasileñas
en las escuelas de Santo Domingo.
Preguntas que me hicieron con sus respuestas
¿Qué ejes transversales usaste? porque son varios. El Natural y el Social
¿Por qué usaste esos ejes? Porque es el que más se acerca a la interacción del alumno con la
realidad y donde se pueden involucrar los padres y allegados.
¿Qué eje temático usaste? Apreciación de la matemática
¿Por qué usaste ese eje? Porque además de darse una integración, al alumno se le hace
ciertos aprestamientos con las plásticas, para lograr el propósito deseado.
¿Cómo lo haría en computadora? En Word usted le va analizando los ejercicios, luego de
habérselo detallado; pero con la participación de ellos. Asegurarse de que todos
dominen el proceso antes de ir al computador. En Power Point usa los diseños o
figuras como se muestra en las láminas. En Microsoft Excel puede usar las gráficas
y es mucho más divertido para ellos.
Recomendaciones
− El maestro no debe obviar algunos pasos para terminar rápido. Es importante
dar todos los pasos a medida que va suprimiendo los signos, también
ponerlo a participar seguido en el aula, organizándolo como crea necesario.
− Debe asegurarse de revisar el dominio de los signos operacionales (+, -, x,
÷), así como las operaciones algebraicas, el concepto de términos semejantes
y conocer los nombres de los signos.
− Lograr una concentración total de los alumnos y alumnas para que se puedan
alcanzar los propósitos deseados.
− Comprobar también el aprendizaje a través de elevaciones, como dice
Jiménez V. (Op. Cit., 1990).
− Utilizar situaciones que conduzcan a respuestas inteligentes de tipo
matemático, las demás las provocamos nosotros mediante una enseñanza
dinámica y activa.
Bibliografía
Diccionario Enciclopédico (2000). El pequeño Larousse Ilustrado.
Fundamentos del Currículo, Tomo 1 (1994), Secretaría de Estado de Educación, Serie Innova 2000,
República Dominicana.
Jiménez , V. (1990). Como lograr una enseñanza activa de la Matemática, Aula práctica, Ediciones CEAC,
Barcelona, España.
Nole, J. (1999). Analogía entre las ecuaciones en diferencia y las ecuaciones diferenciales ordinarias. Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa, Volumen 12, Tomo1.
845

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DE DIFUSIÓN EN COORDENADAS
CILÍNDRICAS
846
Gladys Guineo Cobs yVíctor Martínez Luaces
Universidad de La República, Montevideo, Uruguay
GEGCTRINI@MIXMAIL.COM VICTORML@FING.EDU.UY
Resumen
En los cursos de Cálculo Numérico no resulta muy habitual la presentación de problemas de la vida real
vinculados a los contenidos de la asignatura (Martínez Luaces, V. y Martínez Luaces, F., 2003). Por lo
general, cuando se trabaja en la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales parabólicas, se suele
presentar el problema clásico de la transmisión de calor en una varilla fina. En este trabajo se resolverá un
problema proveniente del secado de alimentos, que en el caso de estudiantes de Ingeniería de Alimentos,
Ingeniería Química o ramas afines, puede resultar mucho más aplicado y motivador que los problemas de
difusión de calor (Martínez Luaces, V., Guineo Cobs, G, 2002).
Se presentaran distintos métodos de resolución (Mathews, J., 1987), pero por motivos didácticos se ilustrará el
algoritmo del método explícito y se analizarán sus ventajas educativas, complementando con una ilustración
gráfica que permita la visualización de los distintos elementos vinculados a la solución del problema.
En función de lo anterior se formulan algunas conclusiones y se realizan recomendaciones.
Introducción
Los problemas de difusión en Química y ciencias afines responden a modelos que
involucran Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) de tipo parabólicas. Entre los
problemas de difusión de mayor riqueza matemática y de mayor relevancia industrial se
encuentran los problemas de Transferencia de Masa. Por ejemplo, en la industria del arroz,
el secado es una de las etapas determinantes de todo el proceso de producción, algo similar
sucede en la industria del condimento o en la producción de frutas en almíbar donde la
etapa de difusión de glucosa suele ser decisiva.
La riqueza matemática de los problemas de Transferencia de Masa se basa
fundamentalmente en el hecho de trabajar con EDPs en distintos tipos de coordenadas, e
incluso con cuerpos que cambian de geometría con el tiempo. Todo ello desemboca en una
solución analítica que resulta complicada y no muy aprovechable del punto de vista
práctico y/o didáctico, en cursos de grado.
En éste trabajo analizaremos el secado de una hierba, denominada Ciboulette, que posee
cierta importancia económica y cuya geometría puede ser considerada aproximadamente
cilíndrica.
La resolución analítica de este problema involucra temas como series de Fröbenius,
funciones de Bessel de primera y segunda especie, de orden cero, uno y menos uno; series
de Fourier – Bessel, etc.
Todos estos temas no siempre se llegan a enseñar en cursos de grado por lo que muchas
veces su aplicabilidad didáctica se limita a cursos de nivel superior, como es el caso de los
cursos de postgrado, los cursos de perfeccionamiento, etc..
En cambio si se “ataca” el problema con herramientas del Cálculo Numérico, en principio
podría ser trabajado en los cursos de grado, con muy pocos prerrequisitos. El problema
tiene algunas dificultades propias de la resolución de un problema real, por ejemplo, el
trabajar con derivadas en las condiciones de borde y algunas diferencias de implementación

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
de los algoritmos utilizados normalmente para la resolución de EDP, debido a la presencia
del operador Laplaciano en coordenadas cilíndricas.
El problema en estudio
La ciboulette es una hierba de geometría cilíndrica con L 0
⎪ ∂t
⎜ 2 ⎟
⎨ ⎝ ∂r
r ∂r
⎠
⎪
∂C
⎪C
( L,
t ) = C e C ( r , 0)
= C a ( 0,
t ) = 0
⎩
∂r
Los Métodos Numéricos aplicables al problema planteado
Los Métodos Numéricos para este tipo de problemas pueden ser organizados en tres
categorías (Mathews, J., 1987):
a) Métodos Explícitos o de Diferencias Progresivas, los cuales presentan problemas de
estabilidad de las soluciones.
b) Métodos Implícitos o de Diferencias Regresivas, los cuales son asintóticamente
estables pero requieren conocer iteraciones posteriores a las que se están calculando
847

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
848
c) y Métodos semi-implícitos, que corresponden a la combinación de un método
implícito con uno explicito. Los mismos, dependiendo de las coordenadas en las que
se trabaje, resultan estables o asintóticamente estables en posición y tiempo.
El método explicito o de Diferencias Progresivas no es asintóticamente estable, y las
soluciones obtenidas pueden no responder adecuadamente al problema de origen, por lo
que no es el más conveniente del punto de vista práctico aunque tal vez si lo sea del punto
de vista didáctico. En este problema en particular este método es sumamente ilustrativo ya
que muestra claramente cuales son las dificultades que se generan al utilizar el Laplaciano
en coordenadas cilíndricas y la condición de borde de derivada nula.
Método de diferencias progresivas
Analicemos el procedimiento numérico.
Primero seleccionamos h y k, que son respectivamente los pasos en r y t, de modo tal
⎧ri
= i.
h i ∈ ( 0,
m),
i ∈ Ζ
que ⎨
generando una red cuyos puntos son (ri, tj).
⎩
t j = j.
k j ∈ Ζ≥0
Como segundo paso se obtiene el método de diferencias progresivas por serie de Taylor:
2
∂C
C(
ri
, t j + k)
− C(
ri
, t j ) k ∂ C
( ri
, t j ) =
− ( r , ) ∈ ( , 1)
2 2 i ζ j ζ j t j t j +
∂t
k
∂t
( , ) ( , ) 2
∂ C C ri
+ h t j − C ri
t j h ∂ C
ξi
∈ ( ri
, ri
+ 1)
( ri
, t j ) =
− ( ξ , t )
∂r
h
2 2 i j
∂r
i = 0,
1,...(
m −1)
2
( , ) 2 ( , ) ( . ) 2 4
∂ C C ri
+ h t j − C ri
t j + C ri
− h t j h ∂ C ς i ∈ ( ri
, ri
+ 1)
( r , ) =
− ( , t )
2 i t j
ς
12 4 i j
∂r
h
∂r
i = 1,
2,...(
m −1)
Si ahora utilizamos w[i, j] como aproximación de C(ri,tj)
2
2
2 4
k ∂ C h ∂ C h ∂ C
- El error de truncamiento es: τ ij = ( r , ) ( , ) ( , )
2 2 i ζ j + ξ
2 2 i t j + ς
12 4 i t j
∂t
∂r
∂r
- la ecuación en diferencias progresivas para la EDP estudiada queda planteada de la
w[
i,
j + 1]
− w[
i,
j]
D ⎛⎛
1⎞
⎛ 1⎞
⎞
siguiente manera:
= ⎜⎜1
+ ⎟.
w[
i + 1,
j]
+ w[
i −1,
j]
− ⎜2
+ ⎟.
w[
i,
j]⎟
k
2
h ⎝⎝
i ⎠
⎝ i ⎠ ⎠
- la condición de derivada nula, como primera aproximación puede ser reemplazada por su
w 1 , j = w 0,
j .
aproximación en diferencias progresivas, lo que conduce a [ ] [ ]
⎧w[
m,
j]
=
- y finalmente, las demás condiciones quedan expresadas como: ⎨
w[
i,
0]
=
Ce
⎩ Ca
El sistema construido posee una matriz asociada convertible en tridiagonal, A, de forma tal
que la solución aproximada queda dada por W =A.W , donde W representa la
solución obtenida en la j-ésima iteración.
Si bien este método no es incondicionalmente estable, permite comprender el algoritmo de
construcción y obtener fácilmente el método de diferencias regresivas. Posteriormente,

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
combinando ambos métodos se puede construir el método de diferencias promediadas
(método semi-implícito), el cuál permitiría obtener la solución. Para visualizar la misma se
presenta el siguiente gráfico.
Conclusiones
Podemos observar que en este procedimiento (explícito) se utilizaron muy pocas
herramientas matemáticas, concretamente Polinomio de Taylor con Resto de Lagrange y la
discretización propia de la derivación numérica. Es decir, que a diferencia de la solución
analítica la presentación de éste problema para cursos de cálculo numérico es
absolutamente inmediata. Sin embargo no es tan inmediata la implementación con otros
algoritmos más eficientes pero no tan didácticos. La combinación de las EDP parabólicas
ya conocidas por el alumno, con los elementos ya mencionados de un primer curso de
cálculo, favorece la construcción de una Zona de Desarrollo Próximo (Vigotsky, L.S.,
1978) que hace posible la adquisición de estos nuevos proceptos.
Bibliografía
Martínez Luaces, V., Guineo Cobs, G., en evaluación “Las EDP en problemas industriales de secado de
alimentos: su resolución analítica y su transferencia al aula”, enviado al III Seminario Internacional de
Matemática, Física e Informática Educativa.
Mathews, J., (1987). Numerical Methods for Mathematic, Sciencie and Enginering. Ed. Prentice-Hall. ISBN
0-13-624990-6.
Vigotsky, L.S., (1978). “Mind in society. The Development of Higher Psychological Processes”, USA:
Harvard University Press.
Martínez Luaces, V. y Martínez Luaces, F., (2003). "La importancia de la visualización en la resolución de
problemas de Cálculo Numérico", Acta Latinoamericana de Matemática Educativa.16.2 686-693.
849

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
RESULTADOS DEL USO DEL PAQUETE DIDÁCTICO PARA EL
CURSO DE ÁLGEBRA
850
Francisco Bañuelos; Guillermo Carrasco, Marta Arjona, Javier Montes y Claudio Galvan
Academia Institucional de Matemáticas y Instituto Politécnico Nacional, México.
frabate51@hotmail.com, ditac@terra.com, earjona@ipn.mx,
nopalerosmil@hotmail.com, geoancla02@hotmail.com
Resumen
El Programa ‘Paquetes Didácticos para los cursos de Matemáticas’ de la Academia Institucional de
Matemáticas del Nivel Medio Superior (AIM-NMS-IPN) en colaboración con la Dirección de Tecnología
Educativa del Instituto Politécnico Nacional, desarrollaron el Paquete Didáctico de Álgebra para el Nivel
Medio Superior que consiste en un libro y un disco compacto con software especializado. El paquete
didáctico tiene como propósito dotar al profesor y al estudiante de materiales de calidad, elaborados usando el
conocimiento generado por las investigaciones, es un conjunto de materiales que concretan operativamente
los cuatro organizadores del currículo: objetivos, contenidos, metodología y evaluación. En particular, las
estrategias didácticas y metodológicas, los conocimientos matemáticos y los elementos teóricos para ampliar
la cultura matemática de los estudiantes. Estos materiales pretenden apoyar las clases presenciales con
materiales innovadores que permitan lograr aprendizaje significativo en los alumnos que cursan esta materia.
En este trabajo se presenta un informe de los resultados del cuestionario de opinión aplicado a los alumnos de
los grupos piloto con el objetivo de conocer sus impresiones al utilizar este tipo de materiales, así como las
mejoras que propongan, todo esto para lograr que el Paquete Didáctico responda realmente a las necesidades
de los alumnos.
Introducción
El Programa ‘Paquetes Didácticos para los cursos de Matemáticas’ de la Academia
Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional
de México (AIM-NMS-IPN) tiene como propósito dotar al profesor y al estudiante de
materiales de calidad, elaborados usando el conocimiento generado por las investigaciones
y aplicado de manera sistemática, que les permitan trabajar conjuntamente para lograr los
objetivos institucionales del área de matemáticas. Estos objetivos se conciben como la
dimensión matemática de las Competencias Básicas de los Estudiantes de Bachillerato y la
formación para el trabajo. El paquete didáctico es un conjunto de materiales que concretan
operativamente los cuatro organizadores del currículo: objetivos, contenidos, metodología y
evaluación. En particular, las estrategias didácticas y metodológicas, los conocimientos
matemáticos y los elementos teóricos para ampliar la cultura matemática de los estudiantes.
La pregunta principal de este trabajo es ¿Qué características tiene el conjunto de
materiales que usa un profesor en una práctica docente profesional? En los proyectos se
descompone en varias que preguntas que en conjunto aportarán elementos para responder la
pregunta principal.
Desarrollo
Para el diseño del paquete se consideran el marco institucional y algunos estándares, tanto
nacionales como internacionales. Se define una gama de experiencias de aprendizaje
congruente con las competencias que ahí se establecen. Los materiales necesarios para
lograr los ambiciosos objetivos de la educación actual son complejos y requieren de un
profesor con una cultura profesional, capaz de aprovechar creativamente el sustento técnico
que proporciona el conocimiento profesional, principalmente el que proviene de los

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
resultados de la investigación en educación matemática. Una parte fundamental del
proyecto corresponde, entonces, a la familiarización y capacitación del profesor en el
manejo del paquete. Diversas son las estrategias que se consideran para darle viabilidad a
los paquetes. La primera se refiere a la comunicación permanente con los grupos
académicos de las escuelas mediante sus representantes en el cuerpo académico rector. La
segunda pasa por la formación de núcleos en cada escuela que promueven y asesoran a los
profesores interesados durante la instrumentación de las guías. Una tercera es la Red de
Interacción Académica (RIA) que ha comenzado a operar en internet. La capacitación de
estos núcleos se realiza en un taller que se diseña específicamente con este fin. Los
profesores participantes en este taller se prepararan para coordinar los talleres que se
realizan en las distintas zonas del área metropolitana, primero, y según la demanda de las
academias, después. La evaluación que se hace, tanto del paquete como de su
instrumentación, permite aprovechar la experiencia para mejorar el material y su uso.
Bogue y Saunders hacen una adaptación de los elementos de la ingeniería de la calidad al
campo de la educación. Definen la calidad como «la conformidad con la misión
especificada y el logro de los objetivos, dentro de estándares públicamente aceptados y en
un contexto de responsabilidad social e integridad». Estos mismo autores señalan diez
principios que orientan los esfuerzos para propiciar la calidad en la educación y se pueden
constituir en criterios para evaluarla y que hemos considerado en el proyecto.
Los principios que requieren de mayor atención, y de esfuerzos adicionales, se refieren
principalmente a los indicadores que permitan describir el desempeño de los actores y la
eficiencia de los materiales y las prácticas. Con este proyecto se tiene una mayor
probabilidad de cumplir con los objetivos institucionales pero estamos todavía lejos de
contar con indicadores válidos y confiables en algunos de los aspectos fundamentales,
señaladamente el aprendizaje de los estudiantes y del desempeño docente.
Resultados
Para evaluar el impacto que tuvo este material, el cual fue implementado en todos los
grupos del semestre 2002-I , se eligieron cinco grupos piloto de diversas escuelas, en los
cuales se hizo un seguimiento puntual de las actividades realizadas con apoyo del Paquete,
a través de diferentes instrumentos como bitácoras, formatos, exámenes y cuestionarios.
El instrumento aplicado es un cuestionario de opinión acerca de cuatro aspectos básicos:
contenidos, forma de trabajo, profesor y participantes. Consta de 30 preguntas, 18
preguntas con cinco opciones a escoger: deficiente, regular, bueno, muy bueno, excelente,
según lo que opinaran de los recursos del paquete y 12 preguntas abiertas más 1 de
observaciones generales. Se aplicó a un total de 188 alumnos de los CECyTs: ”Lázaro
Cárdenas del Río”,”Miguel Othón de Mendizábal”, ”Cuauhtémoc”, “Juan de Dios Bátiz
Paredes” y “Ricardo Flores Magón”. El cuestionario fue aplicado por los docentes en sus
escuelas y entregados los cuestionarios a la Dirección de Tecnología Educativa.
Este informe presenta los resultados del cuestionario de opinión (anexo) aplicado a los
alumnos de los grupos piloto con el objetivo de conocer sus impresiones al utilizar este tipo
de materiales, así como las mejoras que propongan, todo esto para lograr que el Paquete
Didáctico responda realmente a las necesidades de los alumnos.
851

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
I. Sobre los contenidos
852
ANEXO
PREGUNTA 1.- La secuencia de las actividades de aprendizaje
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
Excelente Total
5 36 75 60 12 188
75
80
60
60
36
40
20
0
5
12
Deficiente Bueno Excelente
Deficiente Regular Bueno Muy Bueno Excelente
1. La secuencia de las actividades se consideró buena, van de acuerdo al programa,
permiten reafirmar los conocimientos, agiliza el desarrollo de los ejercicios, ayuda a
utilizar los métodos de resolución de problemas, tienen un buen orden, de lo sencillo a
lo complicado.
PREGUNTA 2.- Los Materiales Auxiliares Para la Organización del Aprendizaje
(MAPOA).
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
Excelente Total
14 36 69 43 26 188
80
60
40
20
14
36
69
43
26
0
Deficiente Bueno Excelente
Deficiente Regular Bueno Muy Bueno Excelente

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
2. Los MAPOA se percibieron como buenos; son una buena base para aprender y
complementar los conocimientos sobre cada uno de los temas y poder desarrollarlos mejor;
permiten el análisis para facilitar la comprensión, son una manera diferente de aprendizaje.
PREGUNTA 3.- Los problemas planteados.
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
Excelente Total
5 24 62 62 35 188
80
62 62
60
40
20
0
5
24
35
Deficiente Bueno Excelente
Deficiente Regular Bueno Muy Bueno Excelente
3. Los problemas planteados están dentro de los rangos bueno y muy bueno, facilitan la
agilidad mental y se pueden tomar en cuenta aspectos que pueden alterar el planteamiento,
se utilizan varios métodos para resolverlos, son reales y lógicos; presentan situaciones
diferentes que realmente hacen pensar.
PREGUNTA 4.- Los ejercicios propuestos.
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
Excelente Total
6 17 81 57 26 187
100
80
60
40
20
0
6
17
81
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
57
26
Excelente
Deficiente Regular Bueno Muy Bueno Excelente
4. Los ejercicios propuestos se consideran buenos, son entendibles y permiten el
entendimiento de los temas que se van presentando de acuerdo al programa ya que están
bien explicados y son entretenidos; reflejan situaciones reales con calidad y creatividad. En
esta pregunta se careció de la opinión de un alumno.
853

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
PREGUNTA 5.- Las lecturas de apoyo.
854
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
Excelente Total
13 49 76 33 15 186
80
60
40
20
0
13
49
76
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
33
15
Excelente
Deficiente Regular Bueno Muy Bueno Excelente
5. Las lecturas de apoyo les parecen buenas porque dan alternativas que facilitan el
desarrollo y el entendimiento de todas las actividades, razonando un poco más cada
ejercicio; amplían los temas resolviendo dudas con información interesante, dan instrucción
para la resolución de los problemas. En esta ocasión se omitieron dos opiniones.
PREGUNTA 6.- Las autoevaluaciones.
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
Excelente Total
19 46 50 53 19 187
60
50
40
30
20
10
0
19
46
50
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
53
19
Excelente
Deficiente Regular Bueno Muy Bueno Excelente
6. Opinan que las autoevaluaciones permitieron poner en práctica los conocimientos,
verificar los errores, están bien elaboradas para ayudar a que se mejore lo aprendido cada
día y así contestar correctamente los exámenes; es como una crítica personal que orienta los
avances y ayuda a ver los errores, es el reflejo de lo aprendido; en general estas se
consideraron como muy buenas. Aquí se omitió la respuesta por parte de un alumno.

PREGUNTA 7.- El disco compacto.
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
Excelente Total
20 22 42 40 62 186
70
60
50
40
30
20
10
0
20
22
42 40
Deficiente Regular Bueno Muy
Bueno
62
Excelente
Deficiente Regular Bueno Muy Bueno Excelente
7. El disco compacto les parece un excelente apoyo, facilita el aprendizaje en forma
dinámica, contiene información fácil de usar, es una buena base para poner en práctica los
conocimientos; por sus gráficas y ecuaciones es un complemento entretenido. Faltó la
opinión de dos alumnos.
Bibliografía
Alvarado, D. (1998). Las Creencias y Concepciones en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis de
Maestría del DME-CINVESTAV-IPN.
Artigue, M. (1995) Ingeniería Didáctica. En Gómez, P. (Ed.) Ingeniería en Educación Matemática. Grupo
Editorial Iberoamérica.
Bogue, E. G. & Saunders, R. L. (1992). The evidence for quality. San Francisco: Jossey-Bass.
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Molyneux-Hodgson, S., Rojano, T., Sutherland, R., Ursini, S. (1999). Mathematical modelling: the interaction
of culture and practice. Educational Studies in Mathematics, 39, 1.
Suárez, L.; Ruiz, B.; Lezama, J.; Téllez, J. (1998) Una simulación con dispositivos de transducción y
calculadoras con poder de graficación (CBL y TI-92). Resúmenes de la III Escuela de Invierno y
Seminario Nacional de Investigación en Didáctica de las Matemáticas. ITESM.
Suárez, L. (2000). El trabajo en equipo y la elaboración de reportes en un ambiente de resolución de
problemas. Tesis de Maestría del DME-CINVESTAV-IPN.
Torres, J. (1997). La Metodología de Estudio en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis de Maestría
del DME-CINVESTAV-IPN.
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UNESCO.
Vergnaud, G. (1990). Epistemology and psychology of mathematics education. En Kilpatrick, J. y Nesher P.
(Ed.) Mathematics and Cognition: A Research Synthesis by the International Group for the
Psychology of Mathematics Education. Cambridge University Press.
855

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
856
SITUACIÓN DIDÁCTICA DEL CONCEPTO DE DERIVADA
Bertha Ivonne Sánchez Luján y Alberto Camacho Ríos
I. Tecnológico de Cd. Jiménez e I. Tecnológico de Chihuahua
isanchez@teacher.com; camachoalberto@hotmail.com
Resumen
Proponemos introducir el concepto de derivada mediante una aplicación de la velocidad media, utilizando un
simulador y el desarrollo en serie de funciones, a partir de lo cual los estudiantes proporcionen una definición
de la derivada.
Antecedentes
Como docentes del área, hemos observado como el concepto de derivada es enseñado por
medio de la recta tangente, algunas veces como una aplicación, y otras como una fórmula
dada y reconocida por los profesores, nos esforzamos por que los estudiantes la apliquen,
"comprendan" una gráfica para luego olvidarnos de ella y utilizar el formulario. El
concepto de recta tangente muestra que si tenemos una curva cuya ecuación es y=f(x) y
queremos hallar la tangente a esta recta en un punto P entonces se considera un punto Q
cercano y se calcula la pendiente de la recta secante PQ, enseguida nos acercamos a otro
punto a lo largo de la curva, tratando de que el intervalo entre P y Q tienda a cero, entonces
la tangente a la curva en el punto P es la posición límite de la recta secante PQ, cuando Q
tiende a P. Esta es la forma en que normalmente se enseña el concepto de derivada, en este
proyecto presentamos una alternativa para obtener el concepto.
Planteamiento del problema
La función llamada derivada de f , implica el uso del concepto de límite de una función
1 f ( x + h)
− f ( x)
f ( x)
= lim
para todo x donde exista este límite.
h→0
h
Esto requiere, en particular, que f esté definida en una vecindad para que f 1 (x) exista. En
los cursos de Cálculo, se proporciona la definición anterior para luego resolver problemas
de derivada de una función utilizando fórmulas, lo que hace que el estudiante no relacione
lo aprendido anteriormente.
Justificación
Notamos que existe un alto porcentaje de reprobados en la materia de Cálculo Diferencial e
Integral, y los profesores tenemos la responsabilidad de hacer más accesible lo enseñado,
debemos tomar en cuenta que nuestros estudiantes serán usuarios de la matemática dado
que es un instrumento que les permitirá abordar problemas de otras materias y en su
desarrollo laboral, por lo que debemos ayudarlos a lograr una mejor asimilación de
conceptos básicos y de esta forma puedan aplicarlos posteriormente. Los estudiantes de
estos niveles de enseñanza presentan, concepciones poco confiables en la determinación
algorítmica de expresiones que contienen límites, como lo es el concepto de recta tangente,
lo que crea en los estudiantes dificultades - obstáculos epistemológicos, como las definidas
por Brousseau (Brousseau G, 1983) - que los bloquean e impiden la aplicación real del
concepto.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Utilidad metodológica
Después de diseñar, aplicar y analizar las situaciones didácticas, se propondrán para su
implementación en el aula con el fin de crear una serie de situaciones didácticas o
escenarios para enseñar la materia.
Objetivo
Introducir el concepto de derivada en el curso de Matemáticas I, Cálculo Diferencial e
Integral, mediante situaciones didácticas donde se utilice la noción de velocidad media,
con el fin de lograr una concepción real vía la construcción del concepto.
Metas concretas
Diseñar una situación didáctica sobre el concepto de derivada
Introducir el concepto de una manera elemental en los estudiantes por medio de situaciones
didácticas. Siendo ellos mismos quienes con sus palabras establezcan la definición correcta.
Proponer las secuencias didácticas para su aplicación por parte de los profesores del área; o,
en su caso, rediseñarlas para un mejor funcionamiento en el aula.
Supuestos. Mediante la aplicación de la secuencia didáctica, el estudiante construirá el
concepto de derivada.
Marco teórico. La base teórica es la Teoría de las Situaciones de Aprendizaje. Se
realizó un análisis histórico del concepto de derivada y análisis de libros de texto.
Marco metodológico. Conocimientos previos a la aplicación de la secuencia. Antes de la
introducir el concepto de derivada, es necesario que se realicen ejercicios sobre el
Teorema del Binomio de Newton:
n−2
2
n−3
3
n n n−1
n(
n −1)
a b n(
n −1)(
n − 2)
a b
( a + b)
= a + na b +
+
+ ....
2!
3!
Se pide que realicen ejercicios como los siguientes:
1. Desarrollar (3x-1) 4
2. Si se tiene que f(x)=x 2 , f(x+∆x), obtener (x+∆x) 2
3. Si f(x)=x 3 , f(x+∆x) Obtener (x+∆x) 3
1
2
1
2
4. f ( x)
= ( x)
, f ( x + ∆x)
= ( x + ∆x)
2
De estos ejercicios se pretende concluir que f ( x + ∆x)
= f ( x)
+ B∆x
+ C∆
x + ... si
analizamos esta fórmula el segundo término al que llamaremos primera variación, y lo
comparamos con el valor obtenido en la velocidad media cuando ∆t tiende a cero, nos
damos cuenta que es el mismo valor, y además es aquel que cumple con la relación
f ( x + ∆x)
− f ( x)
lim = velocidad
∆x→0
∆x
Justificación del diseño de la situación didáctica del concepto de derivada. La secuencia
está diseñada para que mediante instrucciones sencillas, los estudiantes logren dar una
definición propia del concepto de derivada. Se presenta un problema en el que se deja caer
una pelota , se proporciona la ecuación de la distancia recorrida y la fórmula para la
velocidad promedio y se pide se complete una tabla de velocidad para diversos intervalos
de tiempo. Los valores fueron escogidos de modo que proporciones información clara y
suficiente sobre lo que se desea obtener, recordemos además que ya vieron la noción
857

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
intuitiva del concepto de límite y han realizado ejercicios sobre el Teorema del Binomio de
Newton, que es lo que los ayudará a obtener una expresión algebraica del concepto. Es una
fase importante dentro del proceso, pues las preguntas van en relación a los resultados
obtenidos y es donde los estudiantes pueden darse cuenta de los errores y aciertos. Al
completar la tabla las preguntas que se harán a los alumnos giran en torno al
comportamiento de los valores obtenidos y persiguen que ellos posean un panorama.
Análisis de la población
Las secuencias fueron aplicadas a dos grupos de estudiantes, ambos de la materia de
Matemáticas I (Cálculo Diferencial e Integral)de la carrera de Ingeniería Industrial en el
Instituto Tecnológico de Chihuahua II., por el mismo Profesor. El primer grupo que
llamaremos "A", tomaron la clase de 9:00 a 10:00 hrs., son alumnos de primer semestre.
Las clases del curso son impartidas por la Profesora A, la secuencia fue aplicada por el
Profesor B.
858
Grupo A Edades Carrera Equipo-Integrantes
34
estudiantes
De 17 a 25 años
6 estudiantes de 17 años
15 estudiantes de 18 años
8 estudiantes de 19 años
3 estudiantes de 20 años
1 estudiante de 23 años
1 estudiante de 25 años
Ing. Industrial
Nuevo ingreso
El segundo grupo, en el cual se aplicó la secuencia, lo llamaremos "B; toman la clase de
9:00 a 10:00 de la mañana, todos llevan la asignatura como repetidores y asiste un
estudiante para examen especial. Las clases durante el semestre, así como la secuencia,
fueron impartidas por el Profesor "B".
Grupo B Edades Curso Equipo-Integrantes
16
estudiantes
De 18 a 22 años
1 estudiante de 18 años
10 estudiantes de 19 años
3 estudiantes de 21 años
2 estudiantes de 22 años
Repetición 15
Especial 1
5
5
5
5
5
4
5
1B 4
2B 4
3B 4
4B 4
La secuencia se llevó a cabo en 1 clase de 1 hora cada una, previa sesión de análisis de
ejercicios utilizando el Binomio de Newton.
Se les entregó a cada uno el problema de la pelota con la tabla para completar la velocidad
promedio.
El total de los estudiantes contaban con una calculadora para realizar las operaciones,
además realizaron operaciones y anotaron resultados en la hoja del problema
Se utilizó proyector de acetatos para cada tabla y se fueron llenando en el aula con la
participación de los estudiantes.
En general se mostraron atentos y dispuestos a trabajar
Se contó con observadores y se grabó video de la clase.

Análisis de la situación didáctica del concepto de derivada
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Observaciones generales. En este punto se concentran las aportaciones de cada uno de los
equipos, y las descripciones que dieron a cada uno de los resultados a cada fase y cada una
de las secuencias.
FASE 1 PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
SECUENCIA 1
Se presenta el siguiente problema: Suponga que se deja caer una pelota desde la
plataforma de observación de la torre CN de Toronto, 450m arriba del suelo. Encuentre la
velocidad de la pelota después de 5 segundos.
La distancia recorrida después de t segundos es:
s(t) = 4.9 t 2
dis tan cia _ recorrida
velocidad _ promedio =
tiempo _ transcurrido
SECUENCIA 2
Se pide a los estudiantes que con ayuda de una calculadora completen la siguiente tabla:
Intervalo de tiempo Velocidad promedio (m/s)
5≤ t ≤6 53.9
5≤ t ≤5.1 49.49 m/s
5≤ t ≤5.01 49.049
5≤ t ≤5.001 49.0049
5≤ t ≤5.0001 49.00049
5≤ t ≤5.00001 49.000049
El profesor escribe los datos que le proporcione el grupo para completar la tabla.
FASE 2 SECUENCIA 1
El profesor pide a los estudiantes que analicen los resultados obtenidos y los comparen con
el binomio de Newton.
FASE 3 SECUENCIA 1
Se pide a los estudiantes que formen equipos de cinco integrantes para concluir con una
expresión algebraica.
Se pregunta:
¿Qué semejanza se encuentra entre el desarrollo del binomio de Newton y los resultados
obtenidos en la tabla?
¿Qué podemos concluir al respecto?
¿Es posible obtener una expresión algebraica de lo observado?
El profesor debe guiar la discusión y dar una conclusión final
GRUPO A.- Es lo mismo, sacamos el límite de una función y da lo mismo.
En equipos de cinco para concluir:
lim s( t)
= primera _ variación
Que la variación es el límite de la función x→
a
El límite de la función cuando tiende a “a” es igual que la primera variación.
La primera variación multiplicada por el límite nos da como resultado la función.
859

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
lim s(
t)
t →5
860
lim1a.
var = 49
=
t→5
= lim
t→5
lim s(
t)
1a.
var = 49
t →5
evaluada en 4.9t2
El límite de la función cuando t tiende a 5 es igual a la primera variación multiplicada por
su tendencia.
GRUPO B.-
Pero en tiempo 5 la velocidad se va alejando, ¡alejando no!, acercando.
Es un proceso al límite
El límite por la izquierda es 5.
Profesor: el límite al cual se aproxima la velocidad es 49.
Profesor: es 49 por el alejamiento de los ceros. t=5 , v(5)= 49
El límite de la función cuando t tiende a 5 es igual a 49
Lo escribieron así: v(
t)
= 49
Conclusión
lim
t→5
GRUPO A.-
1a. var( a)
= lim s(
t)
si llamamos a la 1ª. Variación = velocidad, de acuerdo a lo que vimos:
t→a
v(
a)
= lim s(
t)
si generalizamos: v(
t)
= lim s(
t)
t→a
t→a
GRUPOB.-
El profesor pide a los alumnos que realicen el proceso anterior, esto es, en forma binomial
S(t) = 4.9 t 2
2
Si hacemos t → ∆t
s( t + ∆t)
= 4.
9(
t + ∆t)
2
2
los alumnos dictan: s( t + ∆t)
= 4.
9t
+ 9.
8t∆t
+ 4.
9(
∆t)
se identifica el segundo término como la primera variación y se concluye que ésta es igual
a 9.8t = 49
Conclusiones
Cuando se desarrolla el binomio, en la primera variación cuando se sustituye se comprueba
que es el mismo resultado
v(
t)
= PV
lim
t→5
Para llegar a un mismo resultado se hicieron dos operaciones distintas.
s′
( t)
= lim s(
t)
t→a
Conclusiones
Consideramos que la inclusión del Binomio de Newton
n−2
2
n−3
3
n n n−1
n(
n −1)
a b n(
n −1)(
n − 2)
a b
( a + b)
= a + na b +
+
+ .... , como una parte del
2!
3!
proceso para la obtención del concepto de derivada, es una alternativa didáctica que se
relaciona ampliamente con el concepto de velocidad promedio, es una forma fácil de “ver”
la correspondencia entre los dos términos comparativos. Al aplicar la secuencia notamos

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
que los estudiantes presentan un proceso natural de aceptación del concepto, pues es de esa
misma manera que se introdujo el concepto de límite y de límite infinito, en este proceso,
los estudiantes participan activamente en todas las actividades encomendadas por el
profesor. El concepto es presentado de manera numérica y al compararlo con lo visto
anteriormente, se presenta en forma verbal para luego traducirlo a un lenguaje matemático,
logrando así una transposición didáctica entre el objeto del saber y el objeto del
conocimiento. Lo que demuestra, nuevamente, la dificultad de obtener el lenguaje
matemático, de pasar de la forma verbal a la algoritmia, y más aún en estudiantes del
primer semestre. Se considera que el objetivo se cumplió pues las conclusiones obtenidas
así lo demuestran:
Cuando se desarrolla el binomio, en la primera variación cuando se sustituye se comprueba
que es el mismo resultado
v(
t)
= PV
lim
t→5
Para llegar a un mismo resultado se hicieron dos operaciones distintas.
s′
( t)
= lim s(
t)
t→a
Recomendaciones
Al analizar los resultados obtenidos, se observa que los estudiantes si construyeron el
conocimiento por sí mismos, y en aplicaciones posteriores lo utilizaron acertadamente, por
lo que se presenta esta alternativa para enseñar el concepto de derivada.
Bibliografía
Artigue, M.(1992): Didactic Engineering. En Research in Didactique of Mathematics, Selected Papers.
Published with the participation of ADIREM: La Pensée Sauvage Éditions. France.
Artigue, M. (1998): Enseñanza y aprendizaje del análisis elemental: ¿qué se puede aprender de las
investigaciones didácticas y los cambios curriculares? Equipe DIDIREM, Université de Paris 7 et IUFM
de Reims. RELIME, Revista Latinoamericana de Matemática Educativa. Publicación oficial del Comité
Latinoamericano de Matemática Educativa. Internacional. Thomson Editores. México, vol. 1, núm. 1.
Boyer, Carl (1968) Historia de la matemática. Versión española. Alianza Editoraial. Madrid.
Edwards,C. Jr.(1982). The historical development of the calculus. Springer -Verlag. Second printing. New
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Edwards y Penney (1994). Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall. 4ª. Ed. México.
Farfán, R. (1997): Ingeniería Didáctica. Un estudio de la variación y el cambio. Grupo Editorial
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Leithold, L. (1998): El Cálculo. Oxford University Press. Séptima edición. México.
Piaget, J. (1975): L´equilibration des structures cognitives, problème central du développment. París URF.
Perrin-Glorian, M. J. (1994) Théorie des situations didactiques: naissance, développement, perspecives. Vingt
Ans de didactique des mathématiques en France. Artigue, M, Gras, R, et al. La Pensée Sauvage éditions
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Purcell E. y Varberg D. (1992): Calculus with analitic geometry. Prentice Hall. Sixth edition. New Jersey.
Steward, J. (2001): Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Thompson Learning.4ª. Edición.
Swokowski, E. W. (1989): Cálculo con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. 2° edición.
México.
861

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
862
UN LIBRO ELECTRÓNICO DE MATEMÁTICA: UNA EXPERIENCIA
PARA COMPARTIR
Milagros Horta N., Juan Delgado R., Lourdes Hernández R. y José Montalván H.
Universidad de Matanzas, Instituto Superior “José Antonio Echeverría”. Cuba.
milagros.horta@umcc.cu; milyh58@yahoo.es; rdelgado@ind.ispje.edu.cu
Resumen
En el último perfeccionamiento al programa de estudio (Resolución 41, 2000), realizado por el Ministerio de
Educación Superior en Cuba a la asignatura que impartimos, Matemática I para Ingenieros Industriales, se
produjeron cambios tan notables en ésta, que los libros de texto existentes hasta el momento, no respondían
eficientemente a los requerimientos de este nuevo programa; por lo que profesores de esta asignatura en
nuestro país, nos dimos a la tarea de confeccionar un texto electrónico con características inherentes a este
tipo de formato, que pudiera resolver a corto plazo la carencia de libros en nuestras universidades y ser
instalado en las intranet universitarias, de manera que todos los estudiantes que reciben esta asignatura
tuvieran acceso a él y resolver en breve período de tiempo esta situación. Este texto (Horta. M, 2001), aborda
el Cálculo Diferencial para funciones de varias variables; considerándose las funciones de una variable como
un caso particular de éstas, con lo que se logra una mejor optimización de tiempo en el tratamiento de los
diferentes aspectos de la asignatura, además de otras ventajas, que a nuestro juicio, superan a la forma
tradicional de impartir este tema (Delgado, J.R., 1999). El presente trabajo aborda esta experiencia, pero
sobre todo pretendemos mostrar las posibilidades que la informática puede brindar en el tratamiento
geométrico de los diferentes conceptos de la matemática a partir de figuras animadas que hacen más
asequibles a los estudiantes, conceptos tan abstractos como puede ser el de límite de funciones u otros, aún a
pesar de las desventajas que diferentes autores atribuyen a los hipertextos o textos con formato electrónico
(Landow, 1995).
Introducción
En nuestro país, Cuba, el ministerio de Educación superior, tiene concebido comisiones
nacionales de carreras para cada una de las especialidades que se estudian en las diferentes
universidades cubanas, la cual esta integrada por un conjunto de expertos con
representación de cada una de las universidades del país, los cuales tienen dentro de sus
tareas, revisar continuamente los planes de estudio de las diferentes carreras con vistas a su
perfeccionamiento y lograr graduados universitarios con un alto nivel científico técnico.
Durante el último plan de estudio instaurado (C` o C mejorado) se realizaron cambios
sustanciales en la disciplina Matemática para Ingenieros Industriales, esta disciplina se
imparte durante el 1er y 2do año de la carrera y la integran 5 asignaturas: Matemáticas I y II
el primer año; Álgebra Lineal el 1er semestre del 1er año y Matemáticas III y IV el segundo
año. Los cambios realizados para este nuevo plan de estudio (Resolución 41/98) -en el caso
de matemática I y matemática II- cambiaron radicalmente con respecto al plan de estudio
anterior. En la siguiente tabla se ilustra estas asignaturas con los contenidos que se
contemplaban en el plan C (penúltimo plan de estudio aplicado) y los contenidos que
deben impartirse ahora en el plan C` (plan de estudio actual).
Asignatura /período de la
carrera en que se imparte
Matemática I /1er semestre
de 1er año.
Matemática II / 2do
semestre de 1er año.
Plan C(Plan de estudio que se aplicaba
antes del plan C mejorado)
Cálculo diferencial de funciones de
una variable y cálculo integral
(integrales unidimensionales).
Cálculo diferencial de funciones de
varias variables
Plan C´ o Plan C mejorado (último
plan de estudio aplicado)
Cálculo Diferencial de funciones de
varias variables (en general para
funciones de una y varias variables).
Cálculo Integral (integrales
unidimensionales y múltiples)

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
La aplicación de este nuevo plan de estudio, que no son las razones del cambio ni las metas
que se persiguen obtener con ellos el objetivo de este trabajo, hicieron que los textos que se
utilizaban hasta el momento no se ajustaran a estos nuevos cambios y si bien nuestro
Ministerio de Educación ubicó en los centros de Educación Superior, textos que se
adecuaran, lo mejor posible, a estos cambios; a nuestro modo de ver no llenaban las
expectativas, pues consideramos que éstos sirven, sobre todo, para consultas muy puntuales
sobre determinados temas concretos, pero para el estudiante medio de ingeniería es
conveniente disponer de un material donde se desarrollen con rigor, concisión, y con la
necesaria claridad, los conocimientos básicos de la asignatura y por sobre todas las cosas,
que se traten los contenidos en concordancia a como son abordados en clases, principal
problema en los textos de matemática que están a nuestra disposición, pues no son muchos
los que tratan el estudio de las matemáticas partiendo del concepto general de funciones,
límites, etc y analizando estos conceptos para el caso de las funciones de una variable como
casos particulares, siendo esta nuestra forma de abordar estos contenidos.
Atendiendo a esta seria dificultad de carencia de texto adecuado, lo cual repercute de
manera negativa en la auto-preparación de los estudiantes, nos dimos a la tarea de
confeccionar un material de “apuntes” que ayudara a palear esta dificultad. Dada las
condiciones económicas de nuestro país, quisimos hacer este trabajo de manera que
conllevara un empleo mínimo de recursos.
Para ello confeccionamos un libro de Cálculo Diferencial de varias variables, que tratará el
caso de las funciones de una variable independiente como un caso particular de éstas, con
formato electrónico, para ser utilizado por estudiantes de primer año de la carrera de
Ingeniería Industrial, éste fue confeccionado sobre una página Web, para hacer más fácil su
manipulación a través de redes informáticas.
En el presente trabajo pretendemos ilustrar este material, hecho que no resultará fácil para
nosotros, pues mostrar en un artículo donde está limitada la cantidad de páginas en que
debemos escribir y por demás que tiene la característica de ser un material en “blanco y
negro” (impreso) hace bien difícil nuestra tarea de tratar que los lectores puedan llevarse
una idea fiel de nuestra experiencia, es decir, utilizar un material docente con características
inherentes a una técnica como es la de la computación, diferente por completo a la que se
emplea en un material de imprenta que son las de este artículo que redactamos, pero si bien
no se lograra el objetivo propuesto por los autores a partir de este trabajo, que es el de que
conozcan nuestra experiencia de cómo utilizar las TIC en nuestras aulas, tanto más
estaremos demostrando la importancia de éstas y el valor que el uso de ellas pueden tener
en la enseñanza desde el punto de vista didáctico, para la comprensión de conceptos tan
abstractos como los que abundan en la asignatura que enseñamos y que a veces las palabras
no pueden ilustrar como quisiéramos.
Desarrollo
El organizar el proceso de enseñanza de la Matemática con el referencial teórico
metodológico del enfoque histórico cultural y de la actividad, presupone partir de las
características socioeconómicas, políticas y científico-técnicas de la época. Si se tiene en
cuenta el notable y acelerado desarrollo que experimentan las TIC (Técnicas del la
Información y las Comunicaciones) en nuestros días, se explica la necesidad de
introducirlas en este proceso bajo este enfoque. Las TIC pueden ser incorporadas al
proceso docente para fortalecer y hacer eficientes y efectivas las tendencias pedagógicas
863

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
más actuales que centran su atención en la singularidad de cada alumno, estimulando su
crecimiento individual y poniendo énfasis en “aprender a aprender”, “ aprender a hacer”,
con un sentido humanista de la educación (Hernández. L.M, 2000). Por lo que un
escenario adecuado para trabajar en la dirección de integrar a los avances pedagógicos las
nuevas tecnologías de la información y las comunicaciones, con la intención de dar
respuesta a los cambios que reclama la actual sociedad llamada de la información y el
conocimiento, en profesores y estudiantes, pueden ser la confección de materiales
didácticos por parte de los profesores, que ayuden a la preparación individual de los
estudiantes, aprovechando las posibilidades formativas, educativas y el ambiente
motivacional de las TIC, así como las características de “masividad” que ofrece esta
tecnología de poder ser utilizado un material ubicado en una máquina distante, por gran
cantidad de usuarios desde diferentes computadoras, en ocasiones distantes una de otras.
Estos materiales tienen además la característica, que no poseen los libros impresos; de que
pueden ser actualizados constantemente por parte del profesor, agregando problemas
actuales del contexto en que se desarrollen las clases, donde se pueda aplicar la asignatura;
añadir sistemas de tareas de acuerdo a las características del grupo de estudiantes con el que
se esté trabajando, amén de la posibilidad de comunicación con el profesor que brinda para
aclarar cualquier dificultad, sin tener que esperar al acto de la clase, a través del correo
electrónico.
O sea que las TIC vistas desde el panorama educativo y en particular desde el plano de la
Educación Superior, pueden enriquecer y hasta transformar radicalmente las prácticas
pedagógicas y científicas en este nivel educacional, elevando significativamente el grado de
competitividad y de desarrollo en la auto-preparación de los estudiantes.
Si bien la relevancia en lo “motivacional”, por lo atractivo del entorno que crea, la facilidad
de manejo que permite, la diversidad de contextos en los que pueden ser utilizados y dada
la estructura no lineal que poseen estos materiales; hacen de ellos una valiosa herramienta
para la auto-superación de los alumnos, no podemos decir que todas sean ventajas la de
estos medios de estudio.
Refiriéndonos a las desventajas, que por sobre los materiales impresos pueden tener éstos,
podemos señalar:
• supone demora en la lectura,
• por lo general menor resolución gráfica,
• mientras más rico en información, menor transportabilidad,
• es necesario cierto aprendizaje de manejo de computadoras,
• no existe aún un interfaz estándar,
• no existe un estándar de transferencia de datos, ni canales regulares de publicación,
• posibilidad de estructura en spaghetti,
Precisamente el reto de utilizar en el sistema enseñanza - aprendizaje de nuestras
universidades (o elaborar como es nuestra propuestas) estos materiales a los que hacemos
alusión en este trabajo y que tienen inherentemente desventajas con respecto a los que
tradicionalmente se empleaban (materiales impresos), está en diseñar correctamente el
material, de manera que cumpla con objetivos previamente trazados por el profesor y que
sea coherente con los objetivos educativos-instructivos en la materia que se utilice, para de
esta manera utilizarlo como un efectivo medio de investigación y enriquecimiento de los
conocimientos adquiridos durante el acto de clase y no por el simple hecho de “estar a la
moda”.
864

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
En nuestro caso para la elaboración del texto con formato web cuya experiencia queremos
compartir con otros colegas, después de la primera fase en el proyecto de elaboración que
fue la de poner en manos de los estudiantes a corto plazo un material, con el cual no se
contaba hasta el momento, y que les permitiera prepararse en los diferentes contenidos de la
asignatura, nos dimos a la tarea de elaborar un libro de texto para ser presentado a la
Comisión Nacional de Carrera para su valoración e implementación en todas las
universidades del país, dada la carencia de un texto de calidad para las carreras de
Ingenierías en Cuba, para ello nos propusimos cumplir los siguientes objetivos:
-Realizar este texto en formato electrónico, con vista a que dada las características
económicas de nuestro país, en un breve plazo los estudiantes pudieran contar con él.
-Utilizar siempre que sea posible para hacer más asequible un concepto, el recurso de gráficos
animados que ilustren las diferentes explicaciones verbales que aparece en el libro
-Montarlo sobre una página web de manera que permita facilidad de manejo, diversidad de
contextos en los que pueda ser utilizado y la posibilidad de una estructura no lineal.
-Lograr la interdisciplinaridad en el año donde se imparte esta asignatura, es decir vinculación con
el resto de las asignaturas del año.
-Elaborar sistemas de tareas con múltiples problemas de aplicación a la carrera en la que se utilice.
A este material le dimos el nombre de: “Apuntes de Cálculo Diferencial de Funciones de
Varias Variables para Estudiantes de Ingeniería Industrial.”
Para el uso de este texto, se debe utilizar el navegador Nestcape3.0+ o Internet Explorer
3.0+ y fueron diseñadas para verse con una resolución de 800x600 píxeles con la ventana
maximizada. Se entra por el archivo index html, presenta una página principal con el título
y nombre de autores. Para pasar a la página siguiente se debe ir al botón siguiente que
aparece al final de esta página de portada. Posteriormente aparece la primera página del
libro (figura 1), ésta esta confeccionada en una página de dos marcos (izquierdo y derecho)
en el marco izquierdo aparecen los títulos de cada uno de los 4 capítulos del libro, en el
derecho aparecen los nombres de los autores y colaboradores del material, dando “clic”
sobre la palabra autor o colaborado, aparecerán en ese mismo marco los datos personales de
éstos, al final posee 2 botones que le permitirá ir hacia delante en el libro, volver a la página
anterior .
Figura 1
Ya en esta pagina principal, al accionar con el mouse en alguno de los títulos de los
capítulos, aparecerá en este mismo marco el título de cada uno de los contenidos del
capítulo pulsado que usted podrá consultar, acompañado de ilustraciones gráficas con
movimientos, que hacen de este material un valioso recurso didáctico que en un texto
impreso no se podría lograr, por razones obvias.
865

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Este libro no solo posee el contenido de cálculo Diferencial de funciones de una y varias
variables, sino que consta también, al finalizar cada capítulo, de una buena variedad de
ejercicios, o sea , que si se quiere resolver ejercicios del tema de derivada de funciones
(Capítulo III), lo podrá hacer yendo a la página principal y “cliqueando” el capítulo de
derivada, en la lista de contenidos que aparecerá después de accionar el mouse sobre éste,
va al final de ella y busca el título Ejercicios del Capítulo III, que es el que contiene los
ejercicios del tema de derivada de funciones.
Resulta importante señalar, que dentro de los objetivos de la disciplina contemplados en el
plan de estudio, aparece la enseñanza del uso de software profesionales de matemática,
donde el estudiante aprenda a utilizar éstos en la solución de problemas de la asignatura.
Por supuesto, que es sumamente difícil para el profesor de Matemática en las horas que
dispone para impartir el contenido propio de la asignatura, realizar esta tarea de enseñar a
trabajar con un paquete matemático de computación, por lo que este texto nos dio esta
posibilidad sin que las horas de la asignatura se vieran afectadas, logrando esto de manera
que el estudiante contara con materiales para ello y que en él aparecieran los intereses que
en este sentido pretende el plan de estudio, aplicando lo planteado por Salinas (1997):
…La implantación de las nuevas tecnologías se desarrolla en paralelo a los cambios en los métodos de
enseñanza e incluso en la forma de concebir el aprendizaje y la formación donde cada vez más es el propio
alumno el que toma el control del proceso, mientras que los materiales y recursos se adaptan a sus
necesidades.
El estudiante tiene en este libro electrónico, una pequeña ayuda de cómo utilizar el
DERIVE (software matemático) para resolver problemas relacionados con los aspectos
abordados en cada uno de los capítulos, amen de poseer incorporado este software, lo que
permite que el estudiante desde el mismo libro pueda acceder a él y verificar los resultados
de los ejercicios realizados por ellos. Para ello, basta cuando se encuentre en la lista de
contenido del Tema o Capítulo seleccionado (que siempre aparecerá en el marco izquierdo
de la página), ir al final de esta lista y después de los ejercicios relacionados con el tema en
cuestión aparecerá: Uso del DERIVE, si da “clic” en esta palabra caliente; en el marco de la
derecha de la página aparecerá una pequeña ayuda de cómo utilizar este software
profesional, en cálculos que aprendió a realizar en este capítulo, pero ahora lo podrá
realizar con éste sistema matemático.
El tener incorporado el paquete también nos da la posibilidad de prescindir de páginas con
las respuestas a los ejercicios propuestos, pues para verificar la eficacia o no en la solución
obtenida de éstos, ellos lo podrán realizar utilizando el DERIVE y de esta manera lo
obligamos a que estudien su manipulación.
Además este libro presenta conexiones con páginas de física y química (asignaturas del
año) en momentos donde se aplican contenidos de matemática a estas asignaturas, de
manera que con solo accionar una palabra, el estudiante puede desde un texto de
matemática refrescar conocimientos, que pueden no tener claros de otra asignatura, en el
momento en que lo necesite, también presenta materiales en Inglés que les permite aplicar
lo aprendido en esta asignatura del año, de manera que este material no solo les sirve para
el estudio y profundización de la Matemática que reciben en primer año, sino también para
corroborar “in sito” la vinculación de esta asignaturas con el resto de las asignaturas del
año.
866

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Conclusiones. El material electrónico tiene una funcionalidad totalmente distinta a la del
material impreso, se aconseja seguir un conjunto de normas sobre su elaboración. Según
Carl Arglia en 1998, diferentes estudios resaltan que los usuarios de la Web son
impacientes y no quieren perder el tiempo en esperar a que se carguen páginas
sobrecargadas de imágenes innecesarias. Existen varios aspectos relacionados con esta
afirmación: los usuarios no leen grandes cantidades de texto en la Web, avanzan
rápidamente sobre él, no son tolerantes con las frases o párrafos inacabados, tampoco
admiten fallos por incompatibilidad en las versiones de los productos utilizados, no están
dispuestos a cargar software adicional para acceder a ciertos contenidos, no desean recorrer
páginas extensas. Incluso se ha llegado a especificar un decálogo (Nielsen, 1999) de los
principales errores que hay que evitar en lo que se refiere a usabilidad (usability es un
término empleado para referirse al diseño efectivo y eficiente de un recurso web).
Otros análisis sobre la usabilidad de recursos concretos (destaca la calidad del estudio
realizado por Carl Arglia en 1998 sobre el comercio electrónico) muestran las siguientes
conclusiones: se produce en los usuarios bastante confusión cuando tienen que profundizar
demasiados niveles en la estructura jerárquica de páginas dada; los usuarios están ávidos de
recibir la información relevante sobre el dominio y no desean perder el tiempo en encontrar
aquello que buscan ni están dispuestos a repetir complicados caminos de acceso para llegar
a la información deseada.
Por lo que al elaborarse libros o hipertextos deben tenerse en cuenta estas consideraciones.
En nuestro caso teniendo éstas en cuenta, elaboramos el material, que resulta valioso y los
estudiantes dan fe de ello en encuestas realizadas en grupos de clase antes y después de
elaborado el texto. Los primeros, como mayor dificultad en los resultados docentes de
matemática I, se referían a la no tenencia de un texto adecuado, que les permitiera hacer un
correcto estudio independiente. Los segundos hoy hablan en las encuestas de cómo este
material, les hace más fácil la asimilación de contenidos tan abstractos como el de límite a
través de los gráficos animados que presenta el libro.
Bibliografía
Carl Arglia. (1998). E-Commerce tools: part II .storefronts. Corporate Internet, 4(2), 1-16.
Delgado, J.R. (1999). “La Resolución de problemas matemáticos. Dos aspectos fundamentales para lograr su
eficiencia: la estructuración sistémica de los contenidos de estudio y el desarrollo de habilidades
generales matemáticas”. Tesis Doctoral. Universidad de La Habana.
Hernández, H. (1998) “Vigosky y la estructuración del conocimiento matemático en cuestiones de didáctica
de la matemática.Homo Sapiens Ediciones.Rosario.
Hernández, L.M (2000). “Una vía transdisciplinar sobre las TIC para el desarrollo de habilidades
profesionales generales, en cursos de postgrado semipresenciales”. Tesis doctoral. Universidad de La
Habana.
HORTA. M. ET AL., (2001). “APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL PARA ESTUDIANTES DE
INGENIERÍA INDUSTRIAL”, HTTP// INFONED.UMCC.CU.
Jakob Nielsen. (1999). "Top Ten Mistakes" Revisited Three Years Later. Alterbox. Disponible:
http://www.useit.com/alertbox/990502.html [1999, Mayo 2].
LANDOW, G. (1995) Hipertexto. La convergencia de la teoría crítica contemporánea y la tecnología,
Barcelona, Paidós.
(1998)Programa Analítico para la disciplina Matemática para Ingenieros industriales, La
Habana.RESOLUCIÓN 41/98 DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR, LA HABANA, 1998.
Salinas, J. (1.997): Enseñanza flexible, aprendizaje abierto. Las redes como herramientas para la formación.
Edutec, nº10, 02/99.
867

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
868
UNA EXPERIENCIA DE AUTORREGULACIÓN EN EL APRENDIZAJE
DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Margarita Veliz de Assaf
Universidad Nacional de Tucumán (UNT), Argentina
mveliz@herrera.unt.edu.ar
Resumen
Ante los resultados de múltiples investigaciones coincidentes en resaltar el carácter reproductivo que aún
caracteriza el pensamiento de los estudiantes, y considerando que cada persona tiene un sistema personal de
aprender, para esta investigación se parte con la idea de favorecer la autorregulación del aprendizaje,
pretendiendo que los alumnos sean cada vez más autónomos, formándolos en sus propios procesos de
pensamiento y de aprendizaje, es decir, enseñándoles a aprender a aprender.
Con ese fin se implementó en el curso de Cálculo Diferencial, el uso de Guías de Estudio con elementos de
autorregulación y autoevaluación, y con propuestas de autorregulación diferenciadas según los objetivos
logrados.
Se trabajó con una muestra seleccionada al azar, a la que se aplicó una encuesta en la que se tuvieron en
cuenta los diferentes componentes de autorregulación, utilizándose la Escala Tipo Likert para las mediciones.
Los resultados indican que las actividades propuestas, con sus estrategias para solucionar ejercicios y
problemas, posibilitan la función reguladora de la actividad del alumno por parte del profesor y a la vez la
autorregulación por el propio alumno, dando lugar también a que éste reflexione sobre sus métodos de estudio
y su forma de construir el conocimiento, actividad metacognitiva de un alto valor psicopedagógico.
Introducción
Tanto el uso de técnicas grupales como el trabajo independiente, la autorregulación y la
autoevaluación son aspectos que por años estuvieron ausentes en las prácticas docentes de
Cálculo Diferencial en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de
Tucumán y que se considera importante revalorizar.
Teniendo en cuenta que los mecanismos de regulación y control se han vuelto el centro de
atención de muchos investigadores, y que la necesidad de potenciar niveles altos de control
del aprendizaje por parte de los alumnos se ha relacionado con conductas de tipo
metacognitivo, es que se realizó este trabajo de investigación durante los dos últimos
períodos lectivos.
Las investigaciones sobre las diferencias entre aprendices con distinto grado de
competencia, muestran claramente la estrecha relación que existe entre el aprendizaje y la
autorregulación deliberada y consciente. Entre otros, se pueden destacar los estudios de
Zimmerman y Schunk (1989: 1-25), Zimmerman (1990: 173-201).
Para resolver la cuestión de qué constituye la autorregulación, en 1990 Zimmerman
elaboró un marco conceptual, asegurando que un elemento que la distingue es que los
estudiantes disponen de ciertas posibilidades de elección. La autorregulación varía del nivel
bajo al elevado de acuerdo con las elecciones que puedan hacer los estudiantes, y que
pueden referirse a su participación en la tarea, al método de aprendizaje, al tiempo que le
dedicarán, al grado de competencia que buscan, en dónde y con quién aprenderán. Hay un
grado total de autorregulación si los estudiantes pueden elegir en todas las áreas.
Schunk y Zimmerman (1994: 3-21) han proporcionado un marco teórico para el aprendizaje
autorregulado. Según sus investigaciones, la autorregulación facilita metacognitivamente,
motivacionalmente y conductualmente las distintas actividades de aprendizaje.
Las investigaciones realizadas por Jorba y Sanmartí entre 1988 y 1996 en Barcelona,
sirvieron de base en la instrumentación del dispositivo pedagógico propuesto en este trabajo

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
para tener en cuenta la autorregulación del aprendizaje. Centraron su atención en cómo
enseñar a los estudiantes del nivel secundario a aprender de forma significativa y a
autorregularse en las disciplinas Matemática y Ciencias Naturales. Desarrollaron las bases
teóricas del proyecto al mismo tiempo que trabajaron en el diseño de actividades y en el
análisis de lo que sucedía al aplicarlas en el aula.
El dispositivo elaborado en la presente investigación consiste en guías de estudio que
orientan a los alumnos para estudiar de forma significativa y autorregulada, a la vez que
autoevalúen sus propios resultados. Estas guías son líneas de conducción del
autoaprendizaje; se componen de pequeños proyectos de trabajo a desarrollar con carácter
metódico, cuyo propósito es el de generar y facilitar un aprendizaje teórico–práctico de
naturaleza autónoma. Se trata así de organizar la enseñanza de modo que el alumno aprenda
a aprender, que de sujeto pasivo se convierta en el centro del proceso de aprendizaje,
propiciando el desarrollo de su capacidad de autoaprendizaje, a la vez que se autoevalúe.
Ante los resultados de múltiples investigaciones coincidentes en resaltar el carácter
reproductivo que aún caracteriza el pensamiento de los estudiantes y considerando que cada
persona tiene un sistema personal de aprender que ha ido construyendo progresivamente a
lo largo de su vida, se pretende favorecer la autorregulación del aprendizaje, entendiéndola
como el ajuste que el alumno aprende a hacer en las estrategias que utiliza para lograr un
objetivo propuesto, y luego actuar en consecuencia. Se podría decir que la autorregulación
es la actividad mental que permite crear un sistema personal de aprendizaje.
Al decir de Jorba y Casellas (1997: 28), “en la autorregulación se pretende que los alumnos
sean cada vez más autónomos, formándolos en sus propios procesos de pensamiento y de
aprendizaje, es decir, enseñándoles a aprender a aprender”.
Relación entre la autorregulación y otros procesos de logros
Según las posibilidades de elección, diversos procesos entran en escena, procesos que
tienen implicaciones para la enseñanza de habilidades autorreguladoras.
Aprendizaje y autorregulación
Estos dos procesos no son sinónimos, ya que el aprendizaje no necesita estar
autorregulado. Una componente crucial de la autorregulación es que los estudiantes tienen
algunas elecciones entre los componentes de las situaciones. Pero una situación muy
controlada por el docente que permite pocas elecciones a los alumnos, puede producir
mucho aprendizaje.
Motivación y autorregulación
La motivación es una fuerza que induce a los estudiantes a realizar y sostener acciones
dirigidas a las metas. Esta definición difiere de la de autorregulación ya que carece de
elementos de elección, pero están íntimamente vinculadas. Los estudiantes motivados para
alcanzar metas, realizan las actividades autorreguladoras que creen que les ayudarán:
organizar y repasar el material, supervisar sus progresos en el aprendizaje y modificar sus
estrategias.
869

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Metacognición y autorregulación
Flavell, J.H.(1971) fue el pionero en el estudio de la metacognición. La definió como “el
conocimiento que uno posee acerca de sus propios procesos cognoscitivos y sus productos,
o sobre algo relacionado con ellos”.
La metacognición consiste en que el alumno conozca su propio proceso de aprendizaje, la
programación consciente de estrategias de aprendizaje, de elección y toma de decisiones, de
estrategias de memoria, de solución de problemas y, en definitiva, de autorregulación.
Según Palou, M. (1998:125), “La toma de conciencia de su modo de aprender y de la
complejidad del mismo son fundamentales para poder controlar su aprendizaje y, desde allí,
planificar y organizar sus propias actividades de aprendizaje, tratando de gestar una
disposición habitual que pueda ser intrínsecamente provechosa, donde se articulen
armónicamente la reflexión, la interpelación y la imaginación”.
Autoevaluación y autorregulación
El proceso de autoevaluación de las capacidades y el progreso en la adquisición de
habilidades es crucial para lograr un aprendizaje autorregulado. Comprende tanto los
juicios sobre el desempeño personal en relación con las metas, como las reacciones propias
a estos juicios cuando determinan que su desempeño es inaceptable.
Las autoevaluaciones positivas hacen que los estudiantes se sientan eficaces para aprender
y motivados para seguir trabajando porque piensan que son capaces de adelantar.
Se tuvieron en cuenta también estrategias tanto cognitivas como metacognitivas en la
confección de las guías de estudio para inducir a los alumnos a un aprendizaje
autorregulado.
El proceso de toma de decisiones estratégicas implica el análisis y explicitación de un
conjunto de variables entre las cuales los factores personales son los primordiales.
La práctica estratégica genera inferencia y transferencia de los contenidos a otros ámbitos
semejantes, y por consiguiente, esta negociación intra – inter psicológica (metacognición)
hace crecer lo que Vigotsky llamó Zona de Desarrollo Próximo (ZDP) del individuo.
El uso de estrategias en la autorregulación
Las estrategias también influyen en la autorregulación por medio del sistema de creencias
de los estudiantes. En investigaciones sobre el tema, Zimmerman (1989, 1990) apunta que
los alumnos autorregulados se sienten eficaces en el uso de estrategias y creen que su
utilización les permitirá alcanzar metas a niveles superiores.
El conocimiento condicional, que consiste en entender cuándo y por qué emplear ciertos
conceptos y procedimientos, forma parte del aprendizaje autorregulado, que requiere que
los estudiantes decidan qué estrategias utilizar antes de entregarse a la tarea. Y mientras la
realizan, evalúan sus progresos con procesos metacognitivos. Si detectan problemas,
modifican su estrategia que podría ser más eficaz.
Los docentes pueden ayudar a sus alumnos a desarrollar el aprendizaje autorregulado si les
proporcionan estrategias para enfrentar los materiales nuevos.
Desarrollo. En los períodos lectivos 2001 y 2002 se implementó en el curso de Cálculo
Diferencial, el uso de las Guías de estudio elaboradas para facilitar el trabajo independiente
870

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
de los alumnos en las clases prácticas mediante elementos de autorregulación y
autoevaluación.
Cada unidad de estudio en estas Guías cuenta con un esquema o cuadro sinóptico, o mapa
conceptual donde se refleja todo el contenido a trabajar en las clases prácticas
correspondientes, de modo que sea una referencia sobre el avance en el tratamiento de los
temas de la unidad. Esto sirve de guía para que el alumno tenga la noción clara de lo que se
vio, se está viendo y se verá, o sea para que cuente con una vista retrospectiva, una vista
actual y una vista prospectiva de los contenidos en cada caso.
A su vez se los orienta para que aprendan a aprender de manera consciente, independiente y
autorregulada, proporcionándoles estrategias de aprendizaje (reconocimiento de ideas
previas, mapas conceptuales, cuadros sinópticos, esquemas).
En las actividades de aprendizaje aparecen las definiciones necesarias y básicas, como así
también enunciados de propiedades y teoremas que son esenciales conocer y memorizar, a
fin de que luego puedan aplicarlos. Además se ejemplifican situaciones y se propicia su
análisis de modo que los alumnos cuenten con métodos de trabajo y una orientación para su
trabajo independiente, a la vez que vayan autorregulando su aprendizaje. Se dan ejercicios
y problemas teniendo en cuenta los diferentes niveles de asimilación.
Se propone ejercitación de la guía de trabajos prácticos de la cátedra, seleccionada en
cantidad suficiente como para satisfacer las exigencias metodológicas en las cuales se
apoya este trabajo. También se ofrece un cuestionario para que los alumnos respondan al
finalizar cada tema, una guía de autoevaluación y se dan propuestas de autorregulación,
diferenciadas según los objetivos logrados.
En la primera experiencia se trabajó con la totalidad de alumnos inscriptos en la asignatura,
es decir 1230 (mil doscientos treinta) de los cuales se extrajo una muestra al azar de 257
(doscientos cincuenta y siete) alumnos a fin de inferir sobre los resultados encontrados. En
el año 2002, se tomó una muestra de 250 (doscientos cincuenta) alumnos sobre un total de
1126 (mil ciento veintiséis).
Una vez que los alumnos trabajaron a lo largo de la asignatura con las guías, se aplicó una
encuesta en la que se tuvieron en cuenta los diferentes factores o componentes de
autorregulación:
1.- Recursos personales (disponibilidad para aprender, esfuerzo personal, dedicación al
estudio, persistencia en el trabajo, conciencia de la tarea, motivación, elección de
compañero de estudio).
2.- Aplicación de estrategias metacognitivas (reflexión sobre métodos de solución,
reflexión sobre diferentes vías de solución, identificación de partes importantes de cada
tema, utilización de estrategias (esquemas, gráficos, resúmenes, tablas, etc.) para
comprender el contenido de lo que se estaba estudiando)
3.- Autocorrección (ejecución de acciones correctivas en el proceso de aprendizaje como
manera de estudiar, dedicación y esfuerzo para la obtención de mayores logros, ayuda
solicitada a fin de corregir errores o dificultades)
4.- Autocontrol (control de la comprensión y progresos para el logro de las metas
propuestas, control sobre el uso de información, control del tiempo y el lugar físico
dedicado al estudio).
Se trabajó con la Escala Tipo Likert, adjudicándose a cada respuesta desde 5 (cinco) puntos
a las totalmente favorables en cuanto a la autorregulación, hasta 1 (un) punto a las
871

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
totalmente desfavorables, ya que los alumnos contaron con 5 (cinco) opciones para
responder cada pregunta.
Se hizo un análisis de las respuestas y se establecieron 5 (cinco) niveles de autorregulación:
Muy bajo, Bajo, Medio, Alto y Muy alto.
Se analizaron los resultados sobre el conjunto de reactivos que definen cada componente y
también la totalidad.
Tanto en el año 2001 como en el 2002, la mayor frecuencia se registró en el nivel medio de
autorregulación, pero observando los niveles alto y muy alto, allí se ubica casi un 36% de
los alumnos en el año 2001 y un 41% en el año 2002. Estos resultados alientan a seguir
trabajando en el sentido de favorecer la autorregulación del aprendizaje de los estudiantes.
Los resultados indican que los alumnos, en general, son conscientes del esfuerzo que
hicieron para realizar un trabajo independiente (el 82% en 2001 y el 80% en 2002
respondió a las opciones Muy bueno y Bueno).
También un porcentaje importante de alumnos (46% en 2001 y 42% en 2002) no persiste
en el trabajo cuando se enfrenta con dificultades. Esto alerta sobre la importancia del
acompañamiento del docente en las tareas.
El 61% en 2001 y el 65% de los alumnos en 2002 fue consciente de la tarea que realizaba,
lo cual es muy necesario a fin de implementar estrategias tanto cognitivas como
metacognitivas en el aprendizaje.
Es notoria la inclinación de un gran número de alumnos en cuanto a elegir con quién
estudiar. Es de importancia el trabajo en grupo en las tareas de las asignaturas específicas
de la Facultad, por ello se considera que en este primer curso tiene gran valor el hecho de
que puedan estudiar de esa forma, ayudándose entre ellos ante dificultades y posibles
errores.
Es de destacar que los alumnos en porcentajes importantes, no tienen el hábito de
reflexionar sobre los métodos de solución empleados en sus tareas, ni sobre otras vías de
solución, una vez que consideran alcanzada la misma. Es necesario incentivarlos a que lo
realicen ya que es una ayuda a la reflexión metacognitiva y por tanto al aprendizaje
autorregulado.
También se pudo constatar que la estrategia de identificación de lo importante de cada
tema, es algo que los alumnos tienen presente. No utilizan en la misma medida estrategias
para la comprensión como esquemas, gráficos, tablas, resúmenes, lo que se debe incentivar
por la importancia que tienen en asignaturas específicas de las carreras que se dictan en la
Facultad, especialmente en Economía.
En cuanto a un factor muy importante en el aprendizaje autorregulado, como es el de
corregir sus propios errores y aplicar correctivos en el proceso de aprendizaje para obtener
mayores logros, los resultados muestran que los alumnos en buen porcentaje buscaron
ayuda para corregir errores (62% en 2001 y 67% en 2002) y en menor porcentaje (51% en
2001 y 49% en 2002) aplicaron acciones correctivas en el aprendizaje.
En cuanto al control necesario para autorregular el aprendizaje, el 52% de los alumnos en
2001 y el 54% en 2002, manifestó haber controlado la comprensión y los progresos; el 43%
en 2001 y el 48% en 2002, el uso de la información proporcionada en un problema; el 67%
en 2001 y el 64% en 2002, el tiempo dedicado al estudio y el 62% en 2001 y el 68% en
2002, el lugar físico para estudiar.
872

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Conclusiones
Las actividades propuestas, con sus estrategias para solucionar ejercicios y problemas,
posibilitan la función reguladora (de seguimiento y control) de la actividad del alumno por
parte del profesor y a la vez la autorregulación por el propio alumno, dando lugar también a
que éste reflexione sobre sus métodos de estudio y su forma de construir el conocimiento.
El factor motivacional es de gran importancia a la hora de aplicar estrategias. Es por tanto
de gran interés poder incrementar el porcentaje de alumnos motivados para las tareas, es
decir, se debe buscar alternativas a fin de lograrlo.
Los alumnos no tienen el hábito de reflexionar sobre los métodos de solución empleados en
sus tareas, ni sobre otras vías de solución, una vez que consideran alcanzada la misma. Es
necesario incentivarlos a que lo realicen ya que es una ayuda a la reflexión metacognitiva y
por tanto al aprendizaje autorregulado.
La práctica de autoevaluación se dio predominantemente en los alumnos que pertenecen a
los niveles alto y muy alto de autorregulación.
Bibliografía
Camilloni, A.; Celman, S.; Litwin, E. y Palou, M. (1998). La evaluación de los aprendizajes en el debate
didáctico contemporáneo, PAIDOS, Buenos Aires.
Jorba, J. y Casellas, E. (eds.). (1997). La regulación y la autorregulación de los aprendizajes, Editorial
Síntesis, España.
Jorba, J. y Sanmartí, N. (1996). Enseñar, aprender y evaluar: un proceso de regulación continua, Servicio de
Publicaciones del Ministerio de Educación y Cultura, Madrid.
Schunk, D. H. y Zimmerman, B. J. (1994). Dimensions of academic self-regulation: A conceptual framework
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Schunk, D. H. (1997). Teorías del aprendizaje, Prentice Hall Hispanoamericana, México.
Veliz, M. (2002). Sistema de autorregulación y autoevaluación del aprendizaje del Cálculo Diferencial para
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Nacional de Tucumán. Argentina.
Zimmerman, B. J. (1990). Self regulating academic learning and achievement: The emergence of a social
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Zimmerman, B. J. (1995). “Self regulation involves more than metacognition: A social cognitiveperspective”,
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Zimmerman, B.J. y Schunk, D.H. (eds.). 1989. Self-regulated learning and academic achievement: Theory,
research, and practice, Springer – Verlag, New York.
873

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
874
UNA CLASE EN EL LABORATORIO DE MATEMÁTICA COMO OBJETO DE
INVESTIGACIÓN
Mercedes Anido de López y Ana María Simoniello de Álvarez
Universidad Nacional de Rosario y Universidad Tecnológica Nacional - Argentina
amsimoni@fce.unl.edu.ar
Resumen
El trabajo refiere a experiencias realizadas en el aula con alumnos universitarios de primer año de estudios de
una carrera de Ingeniería de la Facultad Regional Santa Fe de la Universidad Tecnológica Nacional durante el
desarrollo de una Unidad didáctica de Matemática. Uno de los objetivos que nos planteamos consiste en
analizar las respuestas de los alumnos cuando, a través de la estrategia pedagógica especialmente diseñada, se
le proporciona la oportunidad de construir sus propias ideas para lograr la comprensión de ciertos conceptos.
Un aspecto del diseño es la inclusión de la herramienta computacional DERIVE como herramienta cognitiva
que permite colaborar con el alumno en la exploración, organización y representación del conocimiento
matemático y como un valioso instrumento para el aprendizaje de Geometría. La experiencia consistió en la
observación y descripción de las selecciones de los alumnos ante situaciones concretas planteadas en el
proceso de construcción del conocimiento.
Introducción. Fases de la investigación.
Se busca transferir, con las limitaciones que Artigue (1995) señala, los “análisis preliminares” y la
confrontación entre los análisis “a priori” y “a posteriori ”, de una Ingeniería Didáctica diseñada
para el “Taller de Prácticas” de Álgebra y Geometría Analítica en 1er. año de las carreras de
Ingeniería-2do. Cuatrimestre - Facultad Regional Santa Fe-Universidad Tecnológica Nacional.
Esta experiencia forma parte de un conjunto de Microingenierías Didácticas desarrolladas en el
marco de los Proyectos de Investigación institucionalizados en la Universidad Nacional de
Rosario: “La Enseñanza de la Matemática con Herramientas Computacionales “ y “La Ingeniería
Didáctica en el Diseño y Seguimiento de Unidades Curriculares“. Uno de los objetivos es
“integrar y complementar “los resultados de distintos análisis, según la concepción de Brousseau
(1988) , sobre el rol de las llamadas herramientas CAS ( SCILAB, MAPLE, MATEMÁTICA,
DERIVE, SAS) como parte del “medio”, en la generación de “situaciones didácticas”.
Desarrollo de la experiencia
Modalidad de trabajo: se trata de un taller de prácticas de Matemática que complementa la
actividad habitual de las clases de teoría y problemas. Para esta experiencia se acordó destinar 4
(cuatro) horas en el laboratorio de computación.
Tiempo: 1 (una) observación semanal de 2 hs. durante dos semanas.
Tamaño de la población a observar: 10(diez) alumnos, en registro narrativo, 2(dos) en
interacción con el docente y el ordenador.
Modalidad: observación participante por parte de la profesora de Matemática a cargo.
Instrumento de recolección y registro de la información: notas de campo, registro anecdótico,
grabación magnetofónica.
Criterios orientadores de la observación: se busca detectar situaciones adidácticas de acción, de
formulación o de validación. Se espera registrar la exploración del conocimiento del alumno a
través de sus acciones, conjeturas, anticipaciones, verificaciones, dudas.
Relaciones de los alumnos con los contenidos y con el medio: el trabajo del alumno con los datos
e hipótesis; función de los obstáculos didácticos; forma de apropiación de los saberes;

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
interacciones frente al ordenador: docente, alumno, ordenador; alumno, alumno, ordenador; lugar
asignado a la computadora en las situaciones de aprendizaje.
Los análisis previos
Ubicación curricular: para el alumno de primer año de Ingeniería resulta generalmente
difícil la comprensión de las relaciones recíprocas entre una ecuación con dos variables y
el conjunto de puntos del espacio de dos dimensiones que la representan geométricamente.
En particular, la interpretación geométrica de los coeficientes y sus relaciones.
Conocimientos previos: la obtención de propiedades a partir de la ecuación de una curva implica un
fluido manejo por el alumno de ciertos conceptos geométricos, del álgebra y de la geometría
analítica que significan competencias previas o adquiridas en etapas anteriores al estudio del tema.
Análisis epistemológico: nos adherimos a Polya (1981) cuando afirma que: " La obra
matemática se nos presenta, una vez terminada, como puramente demostrativa, consistente
en pruebas solamente. No obstante, esta ciencia se asemeja en su desarrollo al de cualquier
otro conocimiento humano. Hay que intuir un teorema matemático antes de probarlo, así
como la idea de la prueba antes de llevar a cabo los detalles. Hay que combinar
observaciones, seguir analogías y probar una y otra vez. El resultado de la labor
demostrativa del matemático es el razonamiento demostrativo, la prueba; pero ésta a su vez,
es construida mediante el razonamiento plausible, mediante la intuición. Si el aprendizaje
de las matemáticas refleja en algún grado la invención de esta ciencia, debe hacer en él un
lugar para la intuición, para la inferencia plausible".
Concepción didáctica: la metodología se basa en la postura epistemológica y el marco
teórico que sustenta la Ingeniería Didáctica, en cuanto a no separar el conocimiento
matemático de su propio proceso de estudio, y deriva en la participación activa del
estudiante como hacedor de un aprendizaje que se trata de facilitar con el uso “adecuado“
de la herramienta informática..
Selecciones y conjeturas del profesor, “a priori”
Selecciones conceptuales: consideramos que la conceptualización de una cónica como lugar
geométrico definido por una condición referida a elementos geométricos dados y la relación
entre esos elementos y los coeficientes de la ecuación canónica que se obtiene, es
enriquecedora desde el punto de vista geométrico ó analítico geométrico. Por esto las
herramientas conceptuales en general están referidas a la relación entre una función de una
variable, que esté explícita, o bien implícita en una ecuación, ó expresada en forma paramétrica,
y el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación en el correspondiente sistema
de referencia. Así se ven involucrados: el concepto de función implícita en una ecuación, el de
ecuaciones algebraicas equivalentes, la representación de puntos y rectas en un sistema de
referencia.
Selección de la herramienta informática: elegimos para este trabajo el Programa DERIVE en
su versión for Windows que posee amplias posibilidades operativas, utiliza un lenguaje
simbólico “ natural ” (como el que se utiliza en el aula de Matemática), ofrece la visualización
permanente del trabajo del usuario, opera con expresiones y relaciones aritméticas, algebraicas
y trascendentes, con ecuaciones, sistemas de ecuaciones, aproximación de funciones; permite
crear, programar funciones u operadores que interesen al usuario. Además ha sido incorporado
a calculadoras programables a las que los alumnos tienen mayor acceso.
875

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Selecciones metodológicas: Las actividades se derivan de las propuestas del docente a partir de
un problema inicial disparador. Se sigue en forma natural un proceso de inducción, dejando
lugar a la posibilidad de situaciones problemáticas y preguntas imprevistas de los alumnos.
Selecciones de problemas locales:
Presentación del Problema A
Dadas las ecuaciones de segundo grado en dos variables:
a) x 2 + y 2 = 5x d) 15 y = - x 2 + 8 x + 44
b) (x - 15 ) 2 = 16 ( y - 3 ) e) x 2 - 10 x + y 2 + 60 y + 825 = 0
c) y 2 - 40 y = 10 x + 30 f) ( x -13) 2 + ( y + 5 ) 2 = 35
A.1 Obtenga sus gráficas cartesianas en la pantalla 2D y exprese qué curva representa cada una de
ellas.
A.2 A partir de la visualización de las gráficas exprese características principales que las distinguen y
destacan, en cuanto a su posición y extensión en el plano.
Conjeturas del Profesor
En cuanto a la utilización de DERIVE: los alumnos no reciben preparación previa sobre el
uso del computador ni del programa DERIVE para realizar los cálculos y resolver
ecuaciones; se espera, dado la experiencia con otros grupos, que serán capaces de aplicar
los comandos necesarios del Programa sobre la base de una tabla de consignas preparada
por el Profesor para apoyar las consultas al respecto. El Profesor prestará apoyo ante
situaciones que puedan surgir al respecto, y que espera desaparezcan a medida que se
familiaricen con la lógica del programa. Se espera que el alumno reconozca las
ecuaciones de circunferencias, dado su estudio previo; distinga las ecuaciones de parábolas,
las relaciones con su forma geométrica y con otros conceptos adquiridos en Álgebra y en
Análisis Matemático, y sea capaz de reconocer y estimar algunas características principales
como los rangos de variación de sus variables, valores máximos ó mínimos, mayor o
menor dilatación o abertura, eje de simetría, intersecciones con los ejes coordenados. Se
supone que los alumnos propondrán como problema: cambiar las escalas en los ejes del
sistema coordenado , para favorecer la visualización de las gráficas.
876
Presentación del Problema B
Considere la ecuación de la parábola d) del Problema A, y su gráfica.
B.1 A partir de la visualización de la gráfica estime las coordenadas de su vértice y de las
intersecciones con los ejes coordenados, si existen; conjeture sobre la existencia de eje de
simetría; estime los rangos de variación de las variables de la ecuación; estime las coordenadas
de dos puntos que pertenezcan a la curva y de otros dos que no le pertenezcan.
B.2 Realice con DERIVE los cálculos necesarios para confirmar ó desechar sus conjeturas.
B.3 Reitere el problema con la ecuación b) del Problema A.
Conjeturas del Profesor
Con respecto a B.1:
se espera que el alumno haga las estimaciones y conjeturas a través de los datos sobre
coordenadas que le ofrece la pantalla gráfica 2D de DERIVE, según sitúen adecuadamente

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
el cursor móvil, y que propongan el trazado del eje de simetría para favorecer su conjetura
al respecto.
En cuanto a B.2 y B.3:
se espera que el alumno utilice los conocimientos sobre polinomios, sus raíces reales ó
complejas, establezca y resuelva en forma adecuada las ecuaciones correspondientes para
calcular las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados;
que el alumno realice los cálculos necesarios para determinar coordenadas de puntos de
la curva; seleccione adecuadas estrategias para controlar la simetría respecto del eje
estimado y concluya que es un eje paralelo al eje de ordenadas. Con respecto a la
determinación del vértice de la parábola es de esperar que algunos relacionen el cálculo de
su ordenada con la determinación de máximo, ó mínimo de la función cuadrática, estudiado
en Análisis Matemático; es posible que otros, una vez aceptado el eje de simetría,
encuentren el vértice como solución del sistema mixto de ecuaciones de curva y recta, ó de
abscisa igual a la semisuma de abscisas de puntos simétricos con respecto al eje.
Presentación del Problema C:
1 2
C.1 Dados la ecuación de la parábola y = x , el punto ( 0, 1) y la recta d: y + 1=0, obtenga sus
4
gráficas en el mismo sistema coordenado
C.2 Estime en la gráfica las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola, y las
coordenadas de otros tres puntos de la parábola.
C.3 Estime las distancias respectivas de cada uno de esos puntos al punto y recta dados. Elabore
conclusiones y analice la posibilidad de validación de sus conjeturas.
C.4 Considere la parábola de ecuación y = - 4 x 2 1 1
, el punto (0, - ) y la recta d: y - = 0.
16
16
Reitere, con estos datos, lo consignado en C.1, C.2 y C.3.
C.5 Realice los cálculos necesarios para confirmar ó rechazar sus conjeturas, y dar conclusiones.
Conjeturas del Profesor
Con respecto a las consignas C.1 y C.2 se esperan situaciones similares a las planteadas en el
Problema B.
En relación con C.3 se espera que el alumno utilice correctamente los conocimientos de cálculo
de distancia entre puntos, y entre punto y recta.
Es posible que algunos alumnos expresen alguna observación sobre la relación entre el
coeficiente del término cuadrático en la ecuación de la parábola y la concavidad de la gráfica,
dado que se hace evidente en las ecuaciones del problema, y además pueden asociarlo a
conocimientos previos sobre la función cuadrática. Asimismo pueden observar la relación entre la
dilatación de la parábola y el valor absoluto de aquel coeficiente.
Se supone que pueden surgir cuestionamientos del alumno acerca de: si la relación entre las
distancias calculadas se mantienen para todos los puntos de la parábola y/o, si eso ocurre con
todas las parábolas. En tal caso se habrá logrado el propósito de revalorizar el concepto de lugar
geométrico y quedará abierta la propuesta de definir la parábola como el lugar geométrico de los
puntos del plano que cumplen las condiciones analizadas.
En definitiva, consideramos que subyacen problemas abiertos como:
877

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Obtener la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje de ordenadas y vértice, el
origen, como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto y de una
recta , fijos.
Ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Traslación de
ejes para relacionar con la ecuación canónica anterior.
Relaciones entre la concavidad de la parábola y su dilatación o abertura, según el coeficiente
a , de la ecuación y = a x 2 .
Establecer analogías con respecto a parábolas cuyos ejes de simetría son paralelos al eje de
abscisas.
Demostrar que dados tres puntos no alineados sólo existe una parábola que los contiene.
El análisis “a posteriori “
Con respecto al Problema A, la tarea de incorporar a la pantalla de Álgebra las ecuaciones dadas
fue algo lenta en todos los grupos dado que siendo la primera experiencia en el uso de DERIVE,
debían familiarizarse con la introducción de exponentes, en especial, pero en general con el uso
del teclado; para algunos también era la primera vez en el uso de un teclado alfanumérico;
cometieron errores como omisiones de paréntesis y exponentes; se observó complementación de
las tareas entre los dos compañeros de cada grupo, uno de ellos dictaba las expresiones y
controlaba, mientras el otro escribía; no se observaron dificultades en el uso de DERIVE para
obtener las gráficas de las funciones y tal lo conjeturado todos solicitaron ayuda para modificar
las escalas de modo que las gráficas estuvieran dentro del rango visible en la pantalla. No
tuvieron dificultades en el reconocimiento de las ecuaciones de circunferencias y de la parábola
cuya ecuación estaba casi explícitamente dada.; les causó sorpresa el hecho que las otras dos
ecuaciones también representaran parábolas y algunos buscaron la forma de ver si se podía
explicitar la función cuadrática, como una situación adidáctica.; en cuanto a las características de
las parábolas, que debían observar por comparación y distinción con las gráficas de
circunferencias, coincidieron en términos como curva abierta, extensión infinita a partir de un
valor fijo, y un alumno expresó que la gráfica c) no correspondía a una función; esto dio lugar a
la discusión y para corroborar sus dichos luego de la intervención de la profesora, mostró que,
despejando la variable y obtenía dos funciones cuyas gráficas respectivas son las ramas superior e
inferior de la parábola de eje de simetría horizontal.
En cuanto al Problema B se observó que aprovecharon el cursor móvil sobre la curva para
estimar las coordenadas del vértice y de las intersecciones con los ejes coordenados, con la
aproximación que ofrecen los datos de la pantalla; reconocieron la existencia del eje de simetría;
dado que la gráfica intercepta al eje x en dos puntos, en tres de los grupos avanzaron obteniendo
la ecuación utilizando la semisuma de abscisas de aquéllos; los otros dos grupos optaron por
suponer que la abscisa del vértice les permitía dar esa ecuación; luego obtuvieron su gráfica y
encontraron puntos equidistantes del mismo; discutieron sobre la validación de estas
suposiciones; dos alumnos de distintos grupos opinaron que si todos llegaban a la misma
conclusión parecía que no necesitaban validación. Fue este un momento muy oportuno para la
reflexión sobre la validez o verificación de propiedades, en general, y no sólo por situaciones
particulares. En el caso de calcular coordenadas de puntos de la parábola plantearon y resolvieron
las ecuaciones correspondientes. Les produjo entusiasmo el hecho de no necesitar más que la
aplicación del Comando Solve de DERIVE para obtener las soluciones correspondientes. Se
turnaron en hacer los cálculos a través del computador, mientras el otro compañero trataba de
878

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
avanzar con cálculos en el papel, usando la calculadora; se registró que uno de ellos manifestó no
agradarle que algunas respuestas fueran números irracionales, "porque eso le complicaba todo".
Resultó interesante que un alumno propusiera verificar las soluciones de las ecuaciones, en estos
casos. Se observó en casi todos los grupos que los alumnos trataban de plasmar en el papel un
bosquejo de lo que veían en la pantalla, pareciendo que, así como con rapidez obtenían la gráfica,
asimismo podían perderla y temían no recuperarla. En el caso de considerar la ecuación b)
observaron que las raíces del polinomio debían ser complejas no reales y sólo uno intentó
calcularlas para usarlas en la conjetura sobre la ecuación del eje de simetría y en la abscisa del
vértice. El mismo alumno obtuvo más puntos de iguales ordenadas para asegurar mejor su
apreciación. A partir de la discusión, otros optaron por una estrategia similar. Ninguno abordó la
búsqueda de la solución del sistema mixto para validar esta conjetura y tres alumnos optaron por
encontrar el mínimo de la función con método del Análisis Matemático. Hasta aquí transcurrieron
las dos primeras horas.
En el Problema C, resolvieron más rápidamente y con más seguridad lo consignado en C.1 y en
C.2. En cuanto a la consigna C.3 fue cumplida por casi todos, dado que algunos no lograron
estimar las distancias de los puntos que habían elegido, a la recta y punto fijo dados; resolvieron
hacerlo con cálculos. En tres grupos trabajaron con lentitud debido a que cometieron errores en el
uso de fórmulas para el cálculo de distancias. Con la intervención de la profesora detectaron sus
errores y siguieron. Se observó error en el uso de signos, de valor absoluto, de inclusión de
paréntesis, en general, errores similares a los que generalmente cometen al operar a lápiz y papel.
Un aporte muy interesante fue el de un alumno que planteó si sería válido analizar si para todos
los puntos de la parábola se cumplía la relación entre las distancias calculadas, proponiendo
considerar un punto cualquiera (x, y) de la parábola; debido a esto, otro se preguntaba si lo mismo
podía ocurrir con todas las parábolas; luego de la discusión quedó la propuesta de confirmar o
desechar esa nueva conjetura; cinco alumnos tuvieron dificultad para comprender que su
compañero proponía que el punto de la parábola que debían considerar, para asegurar la
pertenencia, es (x, 1/4 x 2 ). Pero esta situación adidáctica permitió lo esperado, es decir,
reconocer que la parábola es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la determinada
condición.; se aprovechó para plantear la ecuación del lugar geométrico y finalizó el tiempo
asignado; así quedó el problema abierto para completar el estudio, lo que se hizo en la clase
habitual.
Confrontación de los análisis a priori y a posteriori: En los tres problemas planteados se
confirmaron en gran medida las conjeturas del profesor.
Una evaluación del avance
La propuesta de trabajo que implica experimentar, explorar, investigar, coloca al
alumno en una situación favorable hacia la adquisición de conocimientos
El rol del docente se muestra en estas instancias como el de orientador, acompañante,
moderador, principalmente en las situaciones adidácticas ya que es el momento de mayor
discusión y debe en tal caso colaborar con interrogatorio adecuado y adaptado al
cuestionamiento del alumno para encaminar y guiar la nueva problemática hacia el
desarrollo de nuevas estrategias y la reorganización de ideas y conocimientos.
La formación de pequeños grupos frente al computador favorece la creación de un
ambiente propicio para el aprendizaje significativo, que contempla los ritmos de cada
879

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
alumno favoreciendo la realización de las tareas propuestas y creando actitudes de
compromiso por el logro de los objetivos.
Bibliografía
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Polya, G. (1981) Matemática y Razonamiento Plausible. Ed. Tecnos: Madrid.
880

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
UTILIZANDO ESTUDIOS CARDIOLÓGICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS EN
LA CLASE DE MATEMÁTICA
Liliana Homilka y María del Carmen Pérez
Instituto Superior del Profesorado "Dr. Joaquín V. González"
homilkali@fhotmail.com; maria_del_carmen_perez@hotmail.com
Resumen
Este trabajo propone compartir y discutir detalles referidos a situaciones de enseñanza-aprendizaje de algunos
conceptos matemáticos que se abordan en la escuela media. La experiencia fue puesta en práctica con
alumnos de nivel medio y constituyó un medio eficaz para la motivación, ya que los alumnos optaron por un
desarrollo activo, demostrando gran interés al realizar las actividades, dado que trabajaron con situaciones
reales, buscando respuestas en la matemática a problemas concretos de otras ciencias.
Introducción
Este trabajo propone compartir y discutir detalles referidos a situaciones de enseñanzaaprendizaje
de algunos conceptos matemáticos que se abordan en la escuela media.
Considerando al aprendizaje como proceso de crecimiento, la matemática en la escuela
debe proveer de los elementos necesarios para que los alumnos desarrollen sus
potencialidades y su capacidad para pensar crítica e independientemente. El aula es el
ambiente indicado para estudiar problemas del mundo real a través de la modelización
matemática (Ministerio de Cultura y Educación, 1997), este trabajo parte de una situación
problemática (Ausubel, 1972) cuyo objeto es otorgar significatividad al concepto abstracto.
Tiene como objetivo enriquecer y mejorar nuestra práctica como profesores de matemática
frente a la necesidad de trabajar la interdisciplinariedad y la resolución de problemas como
recursos metodológicos fundamentales para la formación de habilidades, destrezas y
conocimientos.
Continuando con la investigación presentada en RELME 16 (Homilka y Pérez, 2002) éste
trabajo acerca de la determinación de las afecciones cardíacas a partir del estudio de
electrocardiogramas, angiografías y tomografías computadas permite presentar problemas
socialmente significativos desde la geometría para la resignificación y construcción de los
saberes que se propone la matemática escolar. Todo diseño de actividades se debe adaptar
a las necesidades de docentes y alumnos con el fin de mejorar el conocimiento de los
contenidos, la comprensión y el rendimiento en matemática de todos los estudiantes a largo
plazo. Pero, como los currículos educativos son muy abarcativos, una forma de construir
conocimientos socialmente significativos es trabajar la interdisciplinariedad lo que conlleva
a fomentar el interés por esta ciencia, a proponer problemas interesantes para la
resignificación y construcción de los conocimientos matemáticos escolares. Por lo tanto, la
resolución de problemas concretos se plantea como un recurso metodológico fundamental
para la formación de habilidades, destrezas y conocimientos.
En el proceso de enseñar a resolver problemas y analizar los procedimientos de resolución
se debe tener en cuenta los aportes de Schoenfeld, para la resolución es necesario disponer
de recursos, los que incluyen conocimientos y habilidades sobre los objetos matemáticos
que se relacionan con los problemas y los metacognitivos los que se relacionan con la
resolución de problemas. (Schoenfeld, A.)
881

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Desarrollo
Con el objetivo de enriquecer y mejorar nuestra práctica como profesores de matemática y
frente a la necesidad de trabajar la interdisciplinariedad entendiéndola por un lado como
proceso significativo de enriquecimiento del currículum y de aprendizaje de sus actores que
se alcanza como resultado de reconocer y desarrollar los nexos existentes entre la
matemática y las diferentes disciplinas científicas, y por otro como vía que moviliza y
motiva a trabajar tanto a profesores como a los alumnos y como proceso para fundamentar
y responder de manera efectiva a los requerimientos de los problemas que se pretende
resolver, en este caso ¿nuestro corazón está enfermo?
Durante RELME 16 se presentó el resultado de una investigación en la que se plantearon
problemas del mundo real para que el alumno adquiera la habilidad de examinar, predecir,
comprobar, generalizar y resolverlos por medio de la construcción de modelos lo que
permitió relacionar las ideas geométricas con las ideas del álgebra y del análisis (Homilka y
Pérez, 2002a y 2002b). Como el resultado fue satisfactorio, este año se continuó con la
investigación sobre la determinación de las afecciones cardíacas a partir del estudio de
electrocardiogramas, angiografías y tomografías computadas.
Lo antes mencionado fundamenta la propuesta didáctica diseñada para:
• Reflejar la utilidad de los contenidos y herramientas matemáticas
• Evaluar los conocimientos o habilidades del alumno
• Ayudar al alumno a mejorar sus ideas previas
• Desarrollar y usar ideas científicas
• Animar al alumno a que exprese, clarifique, justifique sus ideas y reflexione sobre lo
que ha aprendido
• Evaluar el proceso de enseñanza aprendizaje
• Crear el ambiente propicio para utilizar la tecnología disponible y promover la
curiosidad, la creatividad, etc.
Se comenzó en esta oportunidad presentando una situación problemática extraída de la vida
real que tiene repercusión directa en el accionar diario de las personas, mostrando que para
su análisis y solución se requiere de la matemática, valorando así el carácter que la misma
tiene como herramienta de apoyo a otras ciencias. Dicha situación consistió en que cada
alumno debía traer el electrocardiograma que presentó para poder realizar las distintas
actividades físicas programadas en el Establecimiento Educativo.
Cómo se sabe el electrocardiograma (E.C.G.), basado en el análisis de las fuerzas eléctricas
generadas por el corazón durante su actividad fisiológica, permite conocer algunas
patologías cardíacas. Partiendo de él se propusieron las siguientes actividades:
Actividad Nº 1:
a) Observe la tira de papel que corresponde al resultado del estudio solicitado y describa lo
que observa.
b) Construya el triángulo de Eintehoven.
c) El potencial cero o centro de gravedad eléctrico del corazón se halla en el ortocentro del
triángulo, márquelo.
Actividad Nº 2: Cada uno de los lados del Triángulo de Eintehoven se denominan
derivaciones y se corresponden con los tres primeros sectores del electrocardiograma. En
882

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
cada uno de ellos se observan las ondas PQRST. Nos proponemos analizar la onda T, para
ello:
a) Determine la amplitud de la misma.
b) Dibuje sendos vectores cuyo punto de aplicación se encuentra en el punto medio de
cada lado del triángulo y cuyo sentido es el indicado por la convención.
c) Halle el vector suma con origen en el punto O realizando previamente las traslaciones
que considere convenientes
d) Determine su módulo y calcule el ángulo que forma con el semieje positivo de las x.
e) Compárelo con el de su compañero. Elabore sus conclusiones
f) Compárelo con el de algún conocido que presente alguna patología cardíaca Elabore sus
conclusiones.
g) ¿La gráfica del ECG es la gráfica de una función periódica? Justifique.
Actividad 3:
Construcción del sistema unipolar precordial:
a) Grafique la función G(x) = ⎜x ⎜ y su opuesta en un mismo sistema cartesiano.
b) Realice el procedimiento anterior para el análisis de la onda T pero con el sector del
E.C.G. que se corresponde con las derivaciones precordiales
c) Comparar los gráficos normales utilizando los tres ejes espaciales (frontal, transversal y
sagital)
Del mismo modo que el electrocardiograma (E.C.G.) permite conocer algunas patologías
cardíacas se utilizan también las tomografías computadas. Partiendo de una de ellas se
propusieron las siguientes actividades:
Actividad Nº 1:
Teniendo en cuenta que la órbita que describe el desplazamiento de la cámara que se utiliza
para obtener las imágenes tomo gráficas es circular resuelve lo siguiente:
El triángulo ABC está inscripto en la
circunferencia, donde AB= 1m, AC= 80
cm y la altura AP es de 50 cm. ¿Cuál es el
radio de la órbita?
Cuando la cámara se encuentra en el punto
C, determina con los puntos E y F un
ángulo de 30 grados. En la figura AB y CD
son diámetros perpendiculares. Cuál es el
valor de AE/FE?
En la circunferencia dada COE : EOB =1:4
AOB = 60º, CD es bisectriz del mismo.
Determina el valor del ángulo EOB
B
A
A
P
A
D
C
D
B
C
B
C
E
C
883

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Actividad Nº 2
Durante la realización de una Tomografía Computada se observó en el monitor de la
computadora la siguiente figura.
884
A
B
AR = BR = 4
R RC = 8
C
Con los datos de la misma se calcula el engrosamiento de la pared ventricular. Como el
médico no sabe matemática te contrató para hallarlo. Qué le dirías? Justifica tu respuesta y
compárala con la de tus compañeros.
En el desarrollo de la misma los alumnos, utilizando diferentes estrategias de resolución en
la que aplicaron los conceptos de proporcionalidad, semejanza de figuras, trigonometría,
números irracionales, Teorema de Pitágoras, cálculo de áreas y figuras inscriptas en una
circunferencia, arriban a la misma solución, cosa que permitió la reflexión acerca de la
diferencia entre un ejercicio y un problema, además de valorar la utilización de diferentes
objetos matemáticos para la resolución de una misma situación problemática.
Conclusión
La secuencia de actividades presentada en este trabajo, permite estudiar un problema
significativo con el objeto de construir y aplicar conceptos matemáticos curriculares en
forma no tradicional, constituyéndose en un medio eficaz para la motivación ya que los
alumnos optaron por un desarrollo activo.
Permitió en la investigación llevada a cabo, analizar la diferencia entre responder a una
situación determinada desde la matemática y desde otra ciencia, reforzando el sentido
crítico y realista y valorando la herramienta matemática como apoyo en este caso a la
medicina.
Por otra parte, cabe destacar que fue posible abordar durante la experiencia múltiples
conceptos matemáticos, permitiendo al alumno comprender la interrelación existente entre
contenidos de los que por lo general posee una visión y tratamiento aislado. El abordaje de
la situación presentada, al transformarse en un proyecto interdisciplinario, en el cual los
docentes de las distintas áreas colaboraron, dio a los alumnos la posibilidad de comprobar
cómo especialistas de formaciones diversas aúnan sus esfuerzos en la investigación para
hallar soluciones a situaciones problemáticas reales.
Referencias bibliográficas:
Ausubel, D. (1972). Psicología Evolutiva: un punto de vista cognitivo. México: Trillas.
Alsina, C. y otros (1996). Enseñar matemática. Barcelona, España: Grao.
Homilka, Liliana. Pérez, María del Carmen (2002). El proceso de modelización en el aula: buscando un
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Homilka, Liliana. Pérez, María del Carmen (2002). Geometrizando el corazón humano (Nivel Superior) .
XXV Reunión de Educación Metemática (U.M.A) Santa Fe. Argentina
Ministerio de Cultura y Educación. (1997). Contenidos Básicos Comunes para la Educación Polimodal.
Buenos Aires.
Parisi, M. (1998). Temas de Biofísica. Buenos Aires, Dos Santos.
Pichel, H.; Patritti, J.; de la Fuente, L. (1988). Análisis de patologías cardíacas. Buenos Aires: Fundación

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
ENTORNO SOCIOCULTURAL Y CULTURA MATEMÁTICA EN PROFESORES
DEL NIVEL SUPERIOR DE EDUCACIÓN. UN ESTUDIO DE CASO: EL INSTITUTO
TECNOLÓGICO DE OAXACA
Luz María Minguer Allec.
Instituto Tecnológico de Oaxaca, México.
lminguer@ipn.mx; luzma16@hotmail.com
Resumen
A partir de la determinación de los elementos que conforman un bagaje único de conocimientos
(matemáticos y didácticos) con los que cada profesor de cálculo del nivel superior, enfrenta su quehacer
docente, identificamos que tanto los conocimientos matemáticos como los conocimientos didácticos de los
profesores están influenciados por las creencias y conductas de un entorno socio-cultural que abarca a la
familia, la escuela y el medio social en el que se desarrollaron estos. Estas creencias y conductas influyen
profundamente en las formas de concebir a la enseñanza y el aprendizaje de los conocimientos matemáticos, y
van ejerciendo su acción a través de la educación familiar, la educación escolar y el efecto educativo del
medio social. Dichas influencias van conformando un sentido o significado de conjunto que prevalecerá y
permanecerá a través del tiempo en el “ambiente social”. Este es un fenómeno socio-cultural que afecta a la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y que juega un papel importante en la definición de altos
índices de reprobación y de deserción en esta materia
La presente investigación tiene como objetivo general: Identificar las influencias socioculturales en la
conformación de la Cultura Matemática de los profesores de cálculo del Instituto Tecnológico de Oaxaca. Y
como pregunta de Investigación: ¿Cómo afectan las influencias socio-culturales (creencias y actitudes con
respecto a la matemática en general y a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en particular) en el
desarrollo escolar (aprendizaje ) y profesional (enseñanza) de los profesores de cálculo del ITO?. El Método a
seguir: Elaboración de la historia de vida de profesores de cálculo del ITO.
Antecedentes
Como profesora de matemáticas del Instituto Tecnológico de Oaxaca, conocedora de una
parte del numeroso grupo de instituciones de educación superior en el País (Sistema
Nacional de Institutos Tecnológicos del País), me propongo realizar una investigación que
aporte información para identificar un fenómeno sociocultural cuyas implicaciones en el
terreno educativo, son importantes: a este fenómeno lo nombro “la cultura matemática”.
Esta investigación parte de un interés central en la formación docente y profesional de
profesores de matemáticas del nivel superior de educación. Se reconoce que en este nivel
de educación los profesores son profesionales que dominan distintas áreas del conocimiento
leyes, administración de empresas, administración pública, contadores, ingenieros
arquitectos, médicos, biólogos, etc. pero que no poseen conocimientos sistematizados para
abordar el fenómeno de la enseñanza y del aprendizaje de los conocimientos profesionales
que les son propios. Surge entonces la inquietud por analizar un poco más de cerca el caso
concreto de los profesores de matemáticas de este nivel, ya que a diferencia de lo que
ocurre con otras materias de estudio, las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje
constituyen temas que generan consenso en la sociedad. Estos profesores son profesionales
cuya formación académica consta, entre el conjunto de materias que conforman su plan de
estudio, de 4 o 5 cursos de matemáticas (cálculo diferencial e integral, álgebra lineal,
métodos numéricos, etc) Por otro lado su experiencia docente se compone de los diversos
estilos “de enseñar matemáticas” de sus propios profesores y de las enseñanzas aportadas
por los diferentes cursos o programas de formación docente en el que el profesor haya
incursionado, es importante señalar que dichos cursos generalmente se encuentran
enmarcados en la didáctica tradicional.
885

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En este panorama surge el deseo de cuantificar el bagaje matemático y el bagaje didáctico
de los profesores de cálculo del nivel superior, con el objeto de identificar los elementos
que conforman un bagaje único con el que cada profesor enfrenta su quehacer docente, al
cual le llama “la cultura matemática de un profesor”. Estudiando con más detenimiento las
características de los elementos que constituyen este bagaje, identificamos que tanto los
conocimientos matemáticos como los conocimientos didácticos de los profesores están
influenciados por las creencias y conductas de un entorno socio-cultural que abarca a la
familia, la escuela y el medio social en el que se desarrollaron estos docentes. Se puede
decir entonces que por un lado existen influencias socio-culturales que definen las políticas
educativas del país (currículas, planes y programas de estudio, métodos y estrategias
didácticas para su enseñanza) que se expresan en documentos oficiales que se hacen llegar
a las instituciones escolares para su ejecución; y por otro lado se identifican influencias
socio-culturales que actúan en el medio escolar modificando el discurso escolar y las
actitudes esperadas (en los contenidos, en los profesores, en los alumnos) a través de la
influencia de creencias y actitudes arraigadas en la cultura de nuestro País.
Entiendo pues, por “cultura matemática” aquella que está compuesta por un conjunto de
conceptos que definen percepciones, adquiridos a lo largo del tiempo (conocimientos,
creencias y conductas), que se han mantenido vigentes, dando origen a la conformación de
un consenso entre los miembros de una comunidad social que está compuesta por todos
aquellos individuos que han tenido contacto de manera directa o indirecta con ambientes
escolares. Este mismo grupo se ha encargado de propagar estas creencias y conductas con
respecto a las matemáticas en general y a la enseñanza y el aprendizaje de esta materia en
particular. Las creencias y conductas influyen profundamente en las formas de concebir a
la enseñanza y el aprendizaje de los conocimientos matemáticos, y van ejerciendo su acción
a través de la educación familiar, la educación escolar y el efecto educativo del medio
social. Dichas influencias van conformando un sentido o significado de conjunto que
prevalecerá y permanecerá a través del tiempo en el “ambiente social”.
Problema
Existe un fenómeno socio-cultural que afecta a la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas y que juega un papel importante en la definición de altos índices de
reprobación y de deserción en esta materia. Tanto los conocimientos matemáticos como los
conocimientos didácticos de los profesores están influenciados por las creencias y
conductas de un entorno socio-cultural que abarca a la familia, la escuela y el medio social
en el que se desarrollaron estos docentes.
Objetivo
Identificar las influencias socioculturales en la conformación de la cultura matemática de
los profesores de cálculo del Instituto Tecnológico de Oaxaca.
Pregunta de investigación
¿Cómo afectan las influencias socio-culturales (creencias y actitudes con respecto a la
matemática en general y a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en particular)
en el desarrollo escolar (aprendizaje) y profesional (enseñanza) de los profesores de cálculo
del ITO?
886

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Marco conceptual de referencia
a) La antropología cultural. Nos interesa abordar este estudio en el marco de la
antropología cultural porque esta disciplina busca describir pero también comprender los
fenómenos culturales en sus relaciones con los comportamientos colectivos e individuales
(J. Stoetzel); ella plantea que la cultura es el fundamento de las estructuras sociales y que
toda institución se traduce en último análisis por un sistema de comportamientos impuestos
a los individuos y que es necesario compartir, aprender y transmitir. Esta disciplina tiene la
ambición de abarcar la cultura en su totalidad por lo que su enfoque es esencialmente
multidisciplinario y su relación con la educación es muy estrecha, ya que por un lado la
educación misma constituye un aspecto que es fundamental en la cultura de los grupos
sociales y por otro es el medio a través del cual esta cultura se transmite.
El campo de la Antropología Cultural se aboca al estudio de la conducta humana que es
aprendida, en contraposición con la conducta que es transmitida genéticamente, a esta
variedad de formas aprendidas y compartidas de la conducta humana se le llama Cultura. A
través de la cultura los seres humanos se adaptan a sus ambientes; la antropología cultural
pretende estudiar los orígenes de la cultura, su desarrollo, la diversidad y sus cambios a
través del tiempo en las sociedades, Se puede decir que la meta de la Antropología Cultural
es entender como funciona el cambio cultural para poder predecir y tal vez dirigir o
controlar el cambio de manera productiva. La cultura es un concepto multívoco que reúne
una gran variedad de características y de usos, de ella se han inventariado múltiples
definiciones, pero de manera tradicional siempre se ha considerado a la cultura como todo
lo que en el hombre es distinto de la “naturaleza”; se entiende entonces que es todo aquello
que el hombre crea y construye, Herskovitz la define como: “la cultura es la parte del
medio ambiente fabricado por el hombre”. La antropología cultural concibe a la cultura
como “el conjunto más o menos ligado de significaciones adquiridas, las más persistentes y
las más compartidas, que los miembros de un grupo, por su afiliación a este grupo deben
propagar de manera preponderante sobre los estímulos provenientes de su medio ambiente
y de ellos mismos, induciendo con respecto a estos estímulos actitudes, representaciones y
comportamientos comunes valorizados, para poder asegurar su reproducción por medios no
genéticos”. ( Camilleri, C. 1980)
La cultura posee un significado más antiguo que el significado antropológico y este es el de
la cultura como atributo del hombre “cultivado”. Muy frecuentemente se confunde el
significado de la “cultura antropológica” y el de la cultura como atributo del hombre
cultivado, este último significado es muy antiguo y se refiere al dominio, por el hombre, de
los saberes que le abren la posibilidad de avanzar en el conocimiento de todos los aspectos
de lo real, así como del dominio de los métodos y herramientas del pensamiento que le
permiten profundizar una ciencia. El individuo accede a un conjunto de conocimientos y
valores privilegiados por los miembros del grupo a través de un sistema de aprendizaje
particular (institución escolar u otros) que le otorga el poder de enriquecerlo a su vez. A
este tipo de cultura desde el punto de vista antropológico se le conoce como una
especialización de la cultura cuya característica especial radica en que ésta es percibida
como elemento de promoción social.
La cultura matemática. La cultura matemática puede ser vista como una especialización
cultural ya que se está hablando de patrones culturales que son compartidos solamente por
personas que pertenecen a cierta posición o estatus social. Los patrones culturales son
887

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
formas aprendidas y compartidas de conducta típica de un grupo humano en particular. Si
recordamos la definición de cultura que dice que ésta es”el conjunto más o menos ligado de
significaciones adquiridas, las más persistentes y las más compartidas, que los miembros de
un grupo, por su afiliación a este grupo, deben propagar de manera prevalente sobre los
estímulos provenientes de su medio ambiente y de ellos mismos, induciendo con respecto a
estos estímulos, actitudes, representaciones y comportamientos comunes valorizados para
poder asegurar su reproducción por medios no genéticos. (Camilleri, C. 1985).
Podemos pensar que en la sociedad existe una especialización de la cultura que podemos
denominar “cultura matemática” la que está compuesta por un conjunto de significaciones
adquiridas a lo largo del tiempo (creencias y conductas), que han prevalecido por sobre
otras y se han mantenido, generando al paso del tiempo, consenso entre los miembros de
una comunidad social que está compuesta por todos aquellos individuos que han tenido
contacto de manera indirecta o directa con ambientes escolares. Este mismo grupo se ha
encargado de propagar estas creencias y conductas con respecto a las matemáticas en
general y a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en particular. Lo mismo se
puede decir con respecto a los contenidos matemáticos escolares, ya que estos
conocimientos son “cultura” que ha sido pasada de generación en generación a través de un
grupo social que lo traspasa de manera organizada (sistema educativo) o de manera
informal (herramienta). El conjunto de influencias que intervienen (o dan forma) en la
cultura matemática está compuesto de: creencias, conductas y conocimientos matemáticos,
que se van formando a través de la educación familiar, la educación escolar y el efecto
educativo del medio social. Estas influencias van conformando un sentido o significado de
conjunto que prevalecerá y permanecerá a través de tiempo en el “ambiente social”.
b) Estudio analítico de la “aproximación socio – epistemológica”. A través del análisis
de las investigaciones que se realizan en el marco de este concepto, para llegar a construir
una definición que englobe todos los acercamientos posibles y de esta manera llegar a
constituir un marco que de explicación al tema de la cultura matemática de los profesores
de cálculo.
c) Sociología de la educación. Las creencias cumplen una función importante en la vida
del hombre, motivo por el cual él no puede dejar de tenerlas. Las creencias son personales y
sociales. Son personales ya que cada uno de nosotros tiene creencias que se han ido
formando y van variando a lo largo de la vida; y son sociales porque los grupos pequeños o
grandes al compartir esas creencias individuales generan consenso entre los miembros del
mismo y ambos, individuo y grupo social se retroalimentan. Los medios de comunicación
influyen en la difusión de las creencias de un grupo social. Las creencias de un grupo tienen
historia y dinámica y constituyen un elemento importante de la cultura. Los individuos de
un grupo social desarrollan una variedad de creencias, algunas de ellas se desprenden de las
experiencias personales, otras de la educación, y otras del adoctrinamiento. Un gran
número de creencias son innatas (nacemos con ellas como resultado de factores de la
evolución). ”Creencia es la actitud de quien reconoce algo por verdadero, pudiéndose
constatar o no la evidencia de ello” (Quintana Cabañas, 2001). “Pueden llamarse creencias
las convicciones científicas y la fe religiosa, el reconocimiento de un principio evidente o
de una demostración, como también la aceptación de un prejuicio o de una superstición”
(N. Abbagnano, 1963: 260) Según Kant existen tres grados de creencias: la opinión, la fe y
888

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
la ciencia.
Diferencia entre creencias, actitudes, valores, y convicciones.
Las creencias se tienen y se viven; no se demuestran
Las alienaciones y los peligros de las creencias.
Conformación de la cultura a través de acciones: la práctica se institucionaliza: el contexto
de la acción educativa
Método
Elaboración de la historia de vida de 10 profesores, con el objeto de identificar en ellas, las
influencias socio-culturales a lo largo de la vida familiar, escolar y profesional de estos
profesores.
Diseño del guión para las entrevistas.
Audio - grabación de las entrevistas.
Transcripción de las entrevistas.
Análisis de las entrevistas.
La investigación se encuentra en curso por lo que no se cuenta con conclusiones.
Bibliografía
Cantoral, R. (2001) Un estudio de la formación social de la analiticidad. Grupo Editorial Iberoamérica.
México.
Farfán, R. & Ferrari, M. (2001) Una visión Socioepistemológica. Estudio de la función logaritmo. Serie
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Red de CIMATES.
Cantoral, R. (2001). La Socioepistemología: Una mirada contemporánea del quehacer en Matemática
Educativa. Serie Antologías. N° 1, 331-333 Programa Editorial. Comité Latinoamericano de
Matemática Educativa. Red de CIMATES.
Cantoral, R (1998). La aproximación Socioepistemológica a la investigación en Matemática Educativa: El
caso del pensamiento y lenguaje variacional. En Acta Latinoamericana de Matemática Educativa
RELME-12, 12(1)Santafé de Bogotá, Colombia México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Francisco Cordero Osorio (2001) Incidencia de la Socioepistemología en la Red de Investigadores en
Matemática Educativa. Una experiencia. Serie Antologías. N° 1, 99-124. Programa Editorial.
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Red de CIMATES.
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Sacristán, G. (1998. Poderes inestables en educación. Ediciones Morata S.L. Madrid. España.
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Ediciones Paidos Ibérica, S.A. Barcelona.
Liston, D.&Zeichner, K (1997). Formación del profesorado y condiciones sociales de la escolarización.
Ediciones Morata S.L. Madrid.
889

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
890
GEOMETRIA ARTE Y TECNOLOGIA
Lilian Vargas
Liceo B-67 Huépil Octava Región Chile
lilivv@starmedia.com
Resumen
¿Aprender a aprender? ¿Trabajo en equipo? ¿Ritmos distintos de aprendizajes? ¿Aprendizajes significativos?
¿Uso de tecnología? Estas y tantas otras interrogantes comenzaron a inquietar nuestra labor docente,
comenzamos a preguntarnos como enfrentar el futuro con alumnos distintos a los que ya no motivan nuestra
forma de enseñanza donde ellos tienen un rol pasivo y los primeros actores somos los profesores. Aparece en
los docentes la incertidumbre ¿Cómo la manejamos? ¿Qué hacemos? ¿Cómo enfrentamos los cambios
tecnológicos? La Reforma nos entregó algunas herramientas como los PPF (Programas de Perfeccionamiento
fundamental 2 ), los GPT(Grupos Profesionales de Trabajo) al interior de las Unidades Educativas.
Reflexionamos sobre nuestras prácticas pedagógicas, nos familiarizamos con el uso de la tecnología, la
llevamos a la sala de clases, asumimos un rol distinto, damos mayor importancia al trabajo en equipo,
relacionamos los aprendizajes con el medio natural y cultural. Cambia la infraestructura de nuestros Liceos y
Colegios, se implementan laboratorios de computación, profesores asisten a pasantías en extranjero
conociendo nuevas alternativas de enseñanza aplicando tecnologías, se establecen redes de profesores y el
grado de incertidumbre disminuye, comienza para nosotros una nueva era como formadores preocupados de
desarrollar en nuestros alumnos aspectos cognitivos, habilidades y valores. En la búsqueda de estrategias
metodológicas he implementado a mis prácticas pedagógicas el uso de material didáctico construido en clases,
el uso de la calculadora y programas como CABRI II para la enseñanza de la Geometría. Las fotos muestran
el material construido en cartulinas para el posterior estudio de ellas.
Los resultados de este cambio se apreciaron a través de la respuesta y la motivación que muestran los alumnos
por aprender.
Experiencias de Aula en las que confluyen geometría, arte y tecnología
La Reforma Educacional que se está llevando a cabo en mi país ha llevado al docente a
reflexionar y buscar nuevas formas de enfrentar las prácticas Pedagógicas utilizando
nuevos recursos como el uso de la tecnología, el uso de material didáctico, la aplicación de
programas de Álgebra y Geometría. En este marco presento experiencias realizadas en el
aula que han logrado reencantar a los alumnos en el estudio de las matemáticas
motivándolos en la investigación y en la comprensión del medio natural. El uso de la
calculadora y del programa de geometría CABRI II han sido apoyos fundamentales en esta
2
Programa Ministerial de Actualización y apropiación por parte de los docentes de los nuevos planes y programas en el
marco de la reforma educativa Chilena.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
experiencia. Con la aplicación de ellas en clases hay un cambio radical, los alumnos
observan en la sala figuras geométricas que pueden manipular y analizar como ellos
estimen conveniente. La construcción de material de apoyo como cuerpos geométricos
diseñados utilizando CABRI los lleva a internalizar las propiedades de los polígonos que
forman estos cuerpos, observando de manera más crítica y desarrollando su creatividad.
Presentare tres experiencias: Abejas geométricas; Confección de maquetas geométricas y
Representación de cuerpos con superficies curvas. Con la aplicación de ellas en clases hay
un cambio radical, los alumnos cuentan en la sala con figuras geométricas que se pueden
manipular y analizar como ellos estimen conveniente. La construcción de material de apoyo
como cuerpos geométricos diseñados utilizando CABRI los lleva a internalizar las
propiedades de los polígonos que forman estos cuerpos y los invita a observar de manera
más crítica, permite también desarrollar la creatividad. Las desarrollé en un Liceo cuya
población es rural y donde las metas de los alumnos son prepararse para el mundo del
trabajo o continuar estudios en Institutos de Formación Técnica además de visualizar
algunos continuar estudios en la Universidad.
Experiencia 1
La zona donde se ubica el Liceo en el cual trabajo es en parte productora de miel, la gran
mayoría de los alumnos conoce la forma y disposición de las celdas que las abejas utilizan
en la construcción de sus panales. Teniendo en cuenta esto como uno de los conocimientos
previos comenzamos a construir sobre esta base Aprendizajes sobre Transformaciones
Isométricas.
La fabricación del pastel de cera. Un trabajo en cadena
Las “pequeñas albañiles” se unen las unas a las otras de manera de formar varias cadenas
colgantes, pues ellas se pasan de pata en pata las pequeñas bolitas de cera, amasada y
traslúcida, que sirven para construir las paredes de cada sección del panal. Las abejas
depositan su miel en las alvéolas de forma geométrica regular, sus secciones representan
una teselación del plano superficial del pastel de cera con polígonos regulares. Estos
polígonos son siempre hexágonos. Desde mucho tiempo los hombres han buscado el por
qué de ésta forma tan particular. He aquí la respuesta más comúnmente aceptada.
• Verificar (por ejemplo realizando ensayo de construcción) que estos insectos no
tienen más elección que tres tipos de polígonos regulares para completar el plano: El
triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
Nuestras queridas amigas hyménopteras tienen mucho interés por un volumen que les
lleve a reducir sus esfuerzos de construcción al mínimo.
• Primero con ayuda de la calculadora TI 92 o CABRI II experimentamos que pasa
cuando tratamos de cubrir el plano con
polígonos distintos de los nombrados
anteriormente, para luego concluir que el
triángulo equilátero, el cuadrado y el
hexágono son los polígonos que al trasladarlos
o rotarlos cubren completamente el plano sin
dejar superficies libres.
891

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
• Luego nos encontramos con un problema de optimización, nuestras abejas tienen
mucho interés por un volumen que les lleve a reducir sus esfuerzos de construcción al
mínimo. El problema es entonces el siguiente: Teniendo una sección de área S, cual
forma elegir entre las tres posibilidades encontradas para obtener el más pequeño
perímetro. Con apoyo de la TI podemos demostrar rápidamente que el Hexágono es el
indicado.
Forma y disposición.
Al examinar un panal de cera construido por las abejas para depositar la miel, constatamos
que está constituida por dos alvéolas yuxtapuesta por el eje horizontal y la abertura con la
forma de un hexágono regular. Existen dos series de celdas de cera que se juntan por los
fondos.
Experiencia 2
Para estudiar las propiedades de las figuras plana y de los cuerpos geométricos la practica
de las construcciones geométricas y la manipulación de cuerpos geométricos por parte de
los alumnos adquiere especial relevancia y les permite desarrollar otras habilidades como la
observación más crítica despertando la curiosidad de investigar más allá de lo que hacemos
en la clase. Con ayuda de CABRI II y la TI 92 diseñamos redes para construir los sólidos
Platónicos y luego analizamos que ocurren con estos cuando realizamos intersecciónes con
algunos planos. Diseñamos también otros cuerpos como intersección de un cubo con un
octaedro, cuerpos estrellados, celdas de las abejas etc.
Para construir las redes de los sólidos Platónicos necesitamos saber construir un triángulo
equilátero, un cuadrado y un pentágono.
Construcción del Triángulo equilátero Construcción del cuadrado
Y red del tetraedro regular y red del cubo
* Para construir un Pentágono lo podemos hacer a partir de la división de un
segmento aúreo y luego obtenemos la red del dodecaedro regular
892

Experiencia 3
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Una vez construido el tetraedro podemos estudiar que ocurre cuando lo intersectamos con
un plano que pase pos sus medianas. Para estudiar esto podemos dibujar en perspectiva,
CABRI nos permite manipular lo que hemos dibujado y observar que tipo de polígono que
se forma. Podemos además dibujar la red de los nuevos cuerpos de modo que con la
manipulación de ellos el alumno logre aprendizajes que sean más significativos. Esta
división nos apoya en el estudio de volúmenes, en éste caso podemos demostrar que se
forman dos nuevos cuerpos de igual volumen.
De la manera anterior podemos tomar un cubo y buscar la forma de trisectarlo
Podemos también trazar en cada cara una diagonal y descubrir que cuerpos se obtienen al
interceptar según los planos determinados por las diagonales.
893

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
En este caso para un cubo cuya arista mide “a” podemos demostrar que :
a) el volumen del tetraedro ACFH es 1/3 a 3
b) El cuerpo ABCH es una pirámide recta.
c) El volumen del tetraedro ABCH es la sexta parte del volumen del cubo
d) La altura del tetraedro ACFH es 2/3 a 3
Este tipo de problema lo podemos resolver trabajando primero con medidas concretas como
las obtenidas al medir las maquetas y luego podemos llegar a la generalización.
894
Construcción de la red para reproducir a escala las celdas que forman el panal.
Primero un poco de Historia respecto de las medidas de los ángulos que forman los rombos
del fondo de las celdas. Cassini, Miraldi, Astrónomo del observatorio de París determina
experimentalmente con presición los ángulos del rombo (1712). Koenig trata el problema
con cálculo diferencial y prueba que los ángulos de las celdas mínimo miden entre 109°26’
y 70°34’ (1739). Mac Laurin prueba en (1743) que Koenig había cometido un error y sus
cálculos resuelven el problema de forma idéntica a Miraldi, es decir 109°28’ y 70°32’.
Basados en estos datos y con ayuda de CABRI esta construida la red que se presenta a
continuación además utilizando trigonometría podemos llevar a los alumnos a demostrar la
veracidad de estas medidas.
También utilizando CABRI podemos estudiar las cónicas y diseñar redes para construir
cilindros, conos, conos truncados y cilindros con cortes que nos ayuden a visualizar el
origen de una elipse, de una parábola etc. Para estudiar este tipo de cuerpos es muy
importante que los dibujos que presentemos a nuestros alumnos sean muy bien hechos para
que ellos puedan comprender lo que queremos que ellos vean, un dibujo mal hecho lleva a

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
conclusiones erróneas. Para dibujar con CABRI un cuerpo de éste tipo lo hacemos en
perspectiva.
Red para construir un cilindro con corte a 45°
Representación de un cono truncado
Bibliografía
Arriero, C. (2000) Descubrir la Geometría del entorno. Narcea,S.A.ediciones, Madrid.
Audebert, G. (1990). La Perspective Cavaliére, Publicación de I’A.P.M.E.P., Lyon.
Carral, M. (1995). Géométrie. Ed. Ellipses. Paris.
895

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
896
LA COMUNICACIÓN DE LOS SABERES MATEMÁTICOS
Alicia Gil, Amalia Kaczuriwsky
Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza. U. N. de Cuyo
lauma@nysnet.com.ar; alivagil@hotmail.com
Resumen
El aprendizaje de la Matemática constituye un campo de estudio importante para el análisis
de las actividades cognitivas que son puestas en juego con este fin. La necesidad de poder
comunicar correctamente los saberes matemáticos requiere el uso de un lenguaje específico
el que se adquiere a través de un proceso de comprensión posible justificar desde dos
relaciones distintas: la diádica (significado/significante) y la triádica (objeto – representante
– interpretante). La primera de ellas tiene su soporte en la noción de representación
semiótica y cambios de registro; en tanto la segunda se apoya en la noción de signo. La
relación diádica considera al lenguaje lógico formal como un registro, en tanto que la
triádica postula la creación por parte de los alumnos de lenguajes formales cada vez más
avanzados, hasta lograr la expresión más abstracta.
Es una problemática que le concierne a la Didáctica de la Matemática el buscar una
solución que permita articular los distintos registros de representación para superar esos
obstáculos y uniformizar criterios que permitan realizar con éxito la comunicación de los
saberes de esta ciencia. El desafío está planteado.
El lenguaje matemático
Uno de los conflictos que surgen en la enseñanza de la Matemática tiene que ver con el
lenguaje que la misma utiliza. Cada uno de nosotros usa para comunicarse con los demás,
el lenguaje propio de su país; sin embargo, cuando nos iniciamos en la etapa escolar, nos
vamos introduciendo en un lenguaje nuevo, caracterizado por sus connotaciones de
exactitud y de rigor: el de la Matemática. Seguramente en nuestra labor como docentes nos
ha pasado, al escribir:
{a; e; i; o; u} = {x/ x es vocal}
que nuestros alumnos no reconocieran la igualdad, ya sea porque en el primer conjunto hay
cinco elementos y sólo reconocen uno en el segundo, o porque la x no es vocal y no la
identifican como variable, la toman como un elemento que se cuenta, es decir, hay uno.
Otro hecho bastante frecuente es, al preguntar a los alumnos, ¿cuántas x tengo en 3x más
5x?, que nos contesten: dos; o ¿qué nos da si a 6x le quitamos x? y nos respondan: seis...; o
¿cuál es la diferencia entre 5 y 2?, nos podrán responder que uno es par y el otro impar, que
cinco es mayor que dos, y no siempre darán la respuesta que nosotros, como docentes,
esperamos. Estos ejemplos simples, frecuentes, muestran el poco éxito de la comunicación
en Matemática, muchas veces se trata de dos interlocutores hablando del mismo objeto,
pero con ópticas distintas. No obstante, el lenguaje matemático se ha ido simplificando a
través de los tiempos, tratando también de unificarse y poniendo de manifiesto la evolución
que tuvo. No se trata, por lo tanto, de eliminar el lenguaje formal, sino de encontrar
caminos didácticos que permitan poder pasar con fluidez del lenguaje natural al formal y
viceversa. En la búsqueda de estos caminos, encontramos dos visiones: una diádica y otra
triádica.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
El lenguaje formal
El vocablo “abstraer” suele ser temido por quienes no saben reconocer las palabras que
designan las formas. En este sentido, la enseñanza no contempla el aprendizaje de las
formas. La única abstracción que llega a realizarse es en el álgebra y se suele enseñar de tal
manera, que más de un alumno puede resolver y aprobar un examen que contenga
complicadas técnicas algebraicas sin saber que el álgebra es, en algún sentido, la forma
abstracta del cálculo aritmético.
Es el estudio de la lógica que, como ciencia formal, se interesa por la forma de ciertos
conjuntos de signos, lo que permite hacer explícitas estas abstracciones, a pesar de que es
justamente el uso de esos signos lo que constituye un verdadero problema. La Matemática
es una creación de la mente humana, en consecuencia, para cada individuo existen sólo
aquellos conceptos que pueden ser construidos por procedimientos finitos a partir de
objetos primitivos que, además, deben poder explicitarse a través de un discurso. La
práctica de un discurso es inseparable de cierto funcionamiento cognitivo.
El papel del lenguaje en el funcionamiento cognitivo es fundamental pues está relacionado
con la comunicación, el tratamiento y la objetivación. Es la comunicación quien le permite
a un individuo interactuar con otro; el tratamiento es fundamentalmente la actividad de
razonar y la objetivación está relacionada con la capacidad de análisis.
Estas funciones del discurso, que son irreductibles, evidencian la importancia del
conocimiento de la lengua. La función de designar objetos es de manera analítica, sin
recurrir a la intuición ni a ningún tipo de representación temporal o espacial, los alumnos
deben realizar un aprendizaje por adaptación de estas designaciones y esto puede ser origen
de obstáculos, tal como lo plantea el Dr. Brousseau 1 .
Los signos
Cualquier sistema de comunicación está formado por unidades constituyentes que se
denominan signos, el empleo de signos que tienen sus propias limitaciones de significado y
de funcionamiento, constituyen un sistema semiótico y la disciplina que los estudia es la
Semiótica, de la que se considera fundador a Fernando de Saussure2,
La visión semiológica de Saussure se explica con las nociones de “lo significante” y de “lo
significado”, siendo “signo” sólo la relación entre uno y otro. Así por ejemplo, lo
significante puede ser la imagen sonora de la palabra casa y lo significado es el concepto de
casa que se tiene, no la casa misma. La descripción que Saussure hace del signo es de
contenido psicológico porque localiza el signo en la mente del emisor. Un concepto
(significado) se asocia de modo arbitrario con una imagen acústica (significante). Este tipo
de significante responde al carácter vocal - auditivo de las lenguas, la relación que plantea
en consecuencia es diádica: lo significante/ lo significado. De cualquier modo la postura de
Saussure, como se centra en el lenguaje verbal, ha sido vista como prototipo de perspectiva
lingüística, por el contrario a la semiótica norteamericana se la ha visto como pragmática o
dirigida al estudio del uso del signo. Charles Sanders Peirce3 inició en Estados Unidos el
1
Brousseau, Guy: “Los obstáculos epistemológicos y los problemas en Matemática”.
2
Lingüista sueco. 1857- 1913
3
Nacido en Massachussets, USA, 1839- 1914
897

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
estudio del signo: “Un signo es un objeto que está en el lugar de otro en alguna mente”4,
define, y establece que sus características son tres:
898
− Existe una relación triádica entre significado – significante – interpretante,
entendiendo como este último, a la cognición producida en una mente.
− Esta relación no es estática pues está abierta a otra cognición, que a su vez es
un signo, y así sucesivamente.
− Tampoco es arbitraria porque el signo fuerza al interpretante a referirse al
mismo signo al que él se refiere.
4 “A sign is an objet which stands for another to some mind”, Hoopes, ed. 1991, pág.141.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
La propuesta triádicaPara Peirce, la Semiótica es una relación subjetiva pues depende de
“alguien” concreto y triádica, esto lo explica a partir de la trilogía Objeto – Representante
(Signo) – Interpretante. De acuerdo con su teoría, el objeto es el objeto en sí, el que existe
en el mundo real, no la palabra que lo significa. El signo está en lugar del objeto y cada uno
puede interpretarlo de manera distinta, se crea así la noción de interpretante. El signo es un
coproducto entre el objeto y el sistema de interpretación. El interpretante de un signo se
transforma en un nuevo signo; se genera así una cadena de signos que converge hasta crear
un hábito. En su trabajo sobre “Signos, textos y sistemas matemáticos”, Luis Puig estudia
los procesos de significación y comunicación en el sentido de Peirce para quien el énfasis
está puesto en la idea de signo. Peirce distinguió tres tipos de signos: los íconos, que
guardan una relación de semejanza con el objeto designado (foto, mapa...), es una relación
racional entre el signo y la cosa; los indicios, que remiten al intérprete hacia algo que ellos
mismos no son por su inmediata relación física (humo, fuego); si el objeto no existiera, el
índice dejaría de significar, no se parecen a los objetos correspondientes y los símbolos que
serían casi en su totalidad convencionales, dejan por lo tanto, de tener significado. El
ícono y el objeto no poseen una conexión dinámica, el ícono recuerda a alguna mente un
objeto por sus semejanzas con él, es decir, existe una asociación mental por semejanza. El
índice, en cambio, se conecta físicamente con el objeto, la mente no interviene en esa
conexión, sólo la reconoce una vez establecida. El símbolo está conectado con el objeto por
una idea que existe en la mente, sin esa idea no existiría conexión. En la terminología de
Peirce las expresiones algebraicas, que generalmente conocemos como lenguaje simbólico
(por ejemplo, una ecuación), no son símbolos sino íconos pues, a partir de su observación
directa es posible deducir propiedades que tienen los objetos. Siguiendo con el ejemplo, las
letras de una ecuación tomadas en forma aislada son índices porque indican una cantidad y
los signos =, + son los símbolos. En la conceptualización de Peirce, el interpretante toma
un papel tan relevante que las representaciones pasan a ser casi exclusivamente mentales,
esta visión nos llevaría a tomar un modelo cognitivo puramente mental para analizar la
adquisición del conocimiento matemático. Lo que propone este modelo de comunicación
es generar sistemas matemáticos de signos para la escritura formal, que se utilizan
efectivamente en situaciones de enseñanza. El concepto de texto es radicalmente distinto al
que conocemos; en este sentido, un texto es una consecuencia de un acto de elaboración
realizado por una persona. Estos textos son de abstracción progresiva a medida que se
avanza en la escolaridad, es una forma de reproducir los avances que se realizaron en la
propia Historia de la Matemática. Cada sistema matemático de signos define un estrato,
cada estrato es un momento distinto de este proceso de construcción de espacios textuales.
El uso de estratos distintos o de combinaciones distintas de estratos puede hacerse pero
estableciendo la correspondencia entre los elementos utilizados.
Cuando esta correspondencia no es posible, surge un nuevo estrato más abstracto que el
anterior, es decir, un sistema matemático de signos de nivel superior.
La propuesta diádica
Por el contrario, si consideramos la teoría del Dr. Raymond Duval 5 para quien las
representaciones subjetivas se plantean como origen de conflictos para el aprendizaje, las
5
Duval, Raymond.”Representation et représentations”. Seminaires de Recherche. Conversión et articulation des representations
analogiques. Janvier 1999. Pág: 7 a 24.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
representaciones semióticas son por naturaleza, representaciones externas, y para un mismo
objeto es posible tener representaciones diferentes; cada nuevo sistema semiótico aporta
nuevos significados de representación y nuevos procesos para el pensamiento matemático;
por lo tanto, la conceptualización a tener en cuenta desde este punto de vista, es la relación
diádica “significante – significado”.
El progreso en Matemática implica el desarrollo de numerosos sistemas de representación,
de tal forma que cada nuevo sistema semiótico aporta nuevos significados. Desde esta
perspectiva, aparecen las causas de los errores pues cuando se cambia de sistema semiótico,
se modifica la representación mientras el objeto permanece constante.
Es lo que el Dr. Duval llama el carácter paradójico del conocimiento matemático: no se
puede acceder a los objetos sin los signos que los representan pero al mismo tiempo, no
deben confundirse con sus representaciones.
En Aristóteles (De interpretatione) y Platón (Cratilo) ya se ve la preocupación por estudiar
las relaciones que podían establecerse entre la configuración de los términos y la
configuración de las cosas: el semainon (significado) y el semainomenon (significante).
Desde esta relación diádica planteamos ahora el problema de la comunicación.
La función semiótica se realiza cuando expresión y contenido entran en correlación mutua,
en tanto que el concepto de representación mental es una imagen interna que tiene un
individuo sobre un objeto en correspondencia con su pensamiento; las representaciones
semióticas corresponden a un conjunto de signos que se manifiestan mediante el lenguaje
como medio de expresión de esas representaciones mentales para hacerlas visibles a otro
individuo.
En el marco de esta teoría, un objeto (por ejemplo, las funciones) tiene distintas
representaciones, que se denominan registros, y que pueden ser: gráfico, tablas,
algebraico, informático, etc.; surgen los sistemas semióticos.
El progreso de los conocimientos siempre es acompañado por la creación de sistemas
semióticos nuevos. La formación del pensamiento científico es inseparable de los
simbolismos para representar los objetos y sus relaciones.
La pluralidad de las representaciones semióticas permite que un mismo objeto sea
representado por sistemas distintos, cuando esto ocurre, es posible desarrollar mejor las
capacidades cognitivas del individuo.
El Dr. Duval sostiene que muchas veces las dificultades en la comprensión de la
Matemática no dependen de su complejidad, ni de sus conceptos, sino a la no congruencia
entre significante y significado y/o entre un registro de representación y otro.
En su obra, el Dr. Duval demuestra, mediante tareas que implican cambios de registros, que
existen obstáculos y dificultades específicos, relativos a la comprensión de la Matemática,
que no son debidos a la complejidad de la misma sino a la interferencia, inadecuación y
restricciones que provocan el uso de determinado registro de representación.
De acuerdo con esta teoría, el análisis del desarrollo de un conocimiento y los obstáculos de
aprendizaje relativos al razonamiento, a la comprensión de textos y a la adquisición de
tratamientos lógicos, se deben a tres fenómenos ligados entre sí: el primero es la
diversificación de registros de una representación semiótica, otro es la diferenciación entre
representante y representado y el tercero es la coordinación entre los diferentes registros de
representación semiótica disponibles.
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REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
La importancia que adquiere el tratamiento de la conversión de representaciones y las
actividades a plantear para facilitarlo, por todo lo dicho, es fundamental.
La conversión de una representación producida dentro de un registro en una representación
del mismo objeto en otro registro, deja explicitada una actividad de reconocimiento. Así
por ejemplo, un texto y una imagen, presentados en conjunto, deben identificarse como dos
representaciones del mismo paisaje; la escritura algebraica de una ecuación de primer grado
y su gráfica cartesiana son dos representaciones de la misma función afín.
Esta conversión de representaciones es una etapa necesaria en la resolución de un problema
o en la comprensión de un enunciado.
El Dr. Duval establece que todas las representaciones funcionan como una oposición
“mental/ material”. Las representaciones materiales corresponderían a todo lo que sea
visible: expresiones lingüísticas, fórmulas, esquemas, gráficas, tablas; por el contrario, las
representaciones mentales corresponden a lo que está dentro “de la cabeza” del sujeto y que
no se pueden exteriorizar materialmente; son las imágenes, los conceptos y tienen el
carácter de subjetivas.
Serían estas representaciones mentales las que permiten la comprensión de las materiales,
las que cumplen, esencialmente, una función de comunicación; esta especie de
subordinación hace que los sistemas semióticos dentro de toda actividad intelectual cobren
suma importancia.
Una de las mayores dificultades que manifiestan los alumnos concierne precisamente al
pasaje entre los distintos registros de representación semiótica. La comprensión conceptual
implica, en sentido estricto, el dominio de un registro de representación y la capacidad para
articular un concepto en otro registro de representación; ningún conocimiento puede ser
adquirido mediante un único registro, son necesarios al menos dos diferentes para poder
comprenderlo.
Por otra parte, una representación semiótica admite la posibilidad de un tratamiento, es
decir, sin cambiar de registro, desarrollar procedimientos que permitan una mejor
comprensión.
El tratamiento es la función que transforma una representación en otra, dentro del mismo
registro, es decir, son las transformaciones discursivas estrictamente ligadas a una misma
representación; así por ejemplo, un cálculo o una demostración de alguna propiedad. No
debemos confundir con la actividad de conversión, puesto que ésta consiste, como vimos,
en pasar de un sistema de representación a otro, el mismo objeto representado.
La importancia de la diferencia entre la actividad de tratamiento y la de conversión para
comprender el funcionamiento cognitivo está inmersa dentro del contexto de dos
fenómenos mayores. Mientras que el tratamiento hace referencia a la posibilidad de
demostrar, de desarrollar; la conversión está relacionada con la capacidad de comprensión y
la madurez intelectual del alumno.
Es importante destacar que no todos los sistemas semióticos permiten actividades de
tratamiento, tal como la lengua formal, la escritura algebraica, representaciones gráficas.
Las dificultades que aparecen cuando se efectúan cambios de registros se deben
fundamentalmente a que no se respeta el concepto de congruencia, es decir, no existe
congruencia entre un registro y otro.
Para poder determinar si dos representaciones son congruentes o no, es necesario comenzar
por segmentar a cada uno de ellas en unidades significantes y luego analizar si pueden o no
ponerse en correspondencia.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Esta congruencia se apoya en tres conceptos fundamentales:
− debe existir una correspondencia semántica de elementos significantes del
registro de partida y el de llegada,
− esa correspondencia entre unidades significantes debe ser unívoca,
− debe respetar el orden de conversión de las representaciones.
Es posible postular, por lo tanto, que de acuerdo con esta visión diádica, las causas
profundas de errores hay que buscarlas en la no congruencia entre sistemas semióticos, lo
cual revela ausencia de coordinación (o sea, la capacidad para reconocer representaciones
distintas de un mismo objeto) entre dichos sistemas.
Un ejemplo
El análisis de la definición de elemento inverso de cada elemento en un grupo finito G, ya
sea en su forma coloquial o formal, conduce a las siguientes consideraciones según cada
una de las visiones.
a) Para la visión triádica:
A partir del soporte teórico de la relación triádica de Peirce existe otra propuesta, que
plantea la generación progresiva de sistemas matemáticos de signos, no de sistemas de
signos matemáticos (la caracterización matemática la tiene el sistema, no el signo). Como
vimos, consiste en que los alumnos generen en sus espacios textuales sistemas de
matemáticos de signos que acompañen su crecimiento intelectual.
En este sistema, los textos intermedios que generan los alumnos hasta alcanzar la escritura
correcta se interpretan como distintos estratos que al superarlos se va alcanzando mayor
nivel de abstracción.
b) Para la visión diádica:
Así como ya se ha planteado la necesidad de tender un puente entre la aritmética y el
álgebra, observamos la necesidad de plantear, desde la Didáctica de la Matemática, la
creación de una representación intermedia entre ambos registros que funcione como
vínculo entre ambos lenguajes pero que no pertenezca a ninguno de los dos.
Es de destacar que las expresiones mixtas, que resultan de uso frecuente, no constituyen
una representación intermedia pues mezclan características de un registro con otras propias
del otro; carecen de reglas de formación y tratamiento.
El Dr. Duval propone como vínculo, un sistema sagital, a partir del hecho que el alumno
está familiarizado con este sistema, muy utilizado para graficar relaciones.
El sistema sagital se realiza con representaciones no discursivas; permite objetivar,
controlar o corregir la comprensión de los enunciados.
Constituye el encadenamiento de dos expresiones independientes entre sí y excluye el
análisis del enunciado con criterio semántico o sintáctico, es una representación
esquemática que se construye para apropiarse de un funcionamiento discursivo.
Bibliografía
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ISBN 958- 8030- 23- 4.
902

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
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Matemática, Universidad de Valencia.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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LA GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Marco Barrales, Michel Carral
Institut Universitaire de Formation des Maitres. IUFM Midi-Pyrénées, FRANCIA
michel_carral@toulouse.iufm.fr
Resumen
La utilización de una herramienta nueva, de cualquier tipo que sea, necesita de una reflexión sobre lo que
hacemos, muchas veces cambia nuestro modo de trabajar (actitud) y hace surgir problemas sobre las verdades
que teníamos. En matemática los conocimientos utilizados pueden ser diferentes: comparar una construcción
geométrica con regla y compás o con regla y escuadra (mecánica) o solamente con compás.
En este curso se explora de manera activa el software Cabri II. En una primera etapa se realiza la
construcción de triángulos -sus elementos secundarios- y circunsferencias incsritas y circunscritas así como
exploraciones de simetría. En una segunda etapa se elaboran macro construcciones o construcciones que
podemos grabar, para luego reutilizar en figuras más complejas, sin necesidad de rehacerlas.
A través de la exploración ya descrita se reflexiona sobre el aporte de esta herramienta al quehacer
pedagógico y/o científico. El uso del software es muy cercano a la forma de pensar en la geometría
clásica, lo que permite a los estudiantes acercarse a esta disciplina y hacer conjeturas. Corresponde
advertir que, como Cabri II no es un software de dibujo ni de demostración sino que está basado en un
ambiente numérico, hay errores de aproximación. aunque leves. Se inicia el curso explicando brevemente
el funcionamiento del software Cabri II para pasar a realizar actividades de construcción y comprobación
de relaciones geométricas.
Introducción
Hasta ahora se ha enseñado la geometría con regla y compás, favoreciendo la motricidad
fina en los educandos. Sin embargo hoy necesitamos destacar el análisis y el
pensamiento reflexivo que nos provee la geometría. Las relaciones entre los elementos
de la figura y los teoremas se dictan y suelen ser aceptados sin cuestionamiento por la
mayoría de los estudiantes, perdiéndose así el misterio y la curiosidad. Debemos
permitir una exploración mayor que la clásica con regla y compás. Gracias a los
softwares geométricos que vienen desarrollándose, una situación matemática puede ser
estudiada desde varios ángulos y de una forma dinámica, amigable para el estudiante y
que le lleva a crear sus propias soluciones. En particular, la experiencia de algunos años
viene mostrando jóvenes más motivados con el uso del software Cabri. Con éste tienen
la ventaja de crear representaciones del problema a considerar y poner a prueba
conjeturas, en trabajo tanto individual como grupal. Es interactivo y al ser un programa
que crea ambientes “geométricos”, promueve el desarrollo de este tipo de pensamiento
en los estudiantes. Así, lo que antes imaginaban ahora lo manipulan, convirtiendo los
teoremas en “realidades”.
Caracterización del software
i) Cabri no es un software de dibujo (aunque podemos utilizarlo como) y tampoco
de demostración. Está basado sobre un ambiente numérico por lo que comete
errores de aproximación, aunque la aproximación es muy buena. Eso permite
una manipulación interactiva de las configuraciones. Su modo de utilización,

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
que es muy cercano a la forma de pensar en la geometría clásica nos permite
acercarnos a los conceptos de esta disciplina y de hacer conjeturas.
ii) Hay varios tipos de objetos: objetos libres (o de base) creados con unas
funciones del menú, objetos semi-libres o sin grado de libertad (ligados a unos
objetos por otras funciones del menú – ejemplos: punto medio, punto sobre un
objeto -, o dependiendo de una construcción que hicimos).
Ver la forma del cursor cuando utilizamos una función del menú o cuando nos
acercamos de un objeto. ¿Cuándo podemos mover un objeto?
iii) Al inicio hacer uso de la tecla F1 para obtener la ayuda abajo de la pantalla.
Una visión de los menús
Los menús están agrupados por características similares: creación de objetos
comparables (Puntero, Puntos, Líneas, Curvas, Construir, Transformar, Macro,
Comprobar propiedades, Medir, Ver, Dibujo). De especial importancia para las
construcciones geométricas son los menús Macro y su importancia.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Las construcciones
C1 : Trazar (o crear) un punto, una recta, un segmento, un triángulo, un círculo.
Borrar la pantalla.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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C2 : Trazar un triángulo ABC (nombrar los vértices), un círculo C de centro O
(etiquetear el centro y la circunferencia).
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C3 : Trazar un segmento; trazar un cuadrado de lado el segmento. Validación :
modificar el segmento.
Borrar la pantalla.
C4 : Trazar una recta d, y un punto A situada afuera de d. Para todo punto M de la recta
d tomamos el punto medio M’ del segmento AM. Hacer el lugar geométrico de M’
cuando el punto M recorre la recta. ¿Qué opinan?, ¿Por qué?
Borrar la pantalla.
C5 : Trazar una recta d, y un punto A situada afuera de d. Para todo punto M de la recta
d hacemos corresponder el punto M’ intersección de la perpendicular a la recta d
pasando por el punto M y de la mediatriz del segmento AM. Hacer el lugar geométrico
de M’ cuando el punto M recorre la recta. ¿Qué opinan?, ¿Por qué?
Borrar la pantalla.
C6. Trazar un triángulo ABC y su ortocentro H. Redefinir los vértices como puntos
sobre una circunferencia, y pedir el lugar geométrico del punto H cuando el punto A
recorre la circunferencia. ¿Qué opinan?, ¿Por qué?.
Redefinir los puntos B y C como puntos libres. Y moverlos en el plano. ¿Qué sucede?
Borrar la pantalla.
Trazar el centro de la circunferencia inscrita, circunscrita, ex - inscritas, el centro de
gravedad. Hacer las Macro-construcciones.
C7. Sea un triángulo ABC; construir el círculo de Feuerbach, (o de los nueve puntos) es
decir el círculo que pasa por los puntos medios de los lados, por los pies de las alturas y
los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices. Construir
los círculos inscrito y ex-inscritos. ¿Qué vemos?
C8. Simetría oblicua : Sean una recta (d) y una dirección δ. A todo punto M del plano
asociamos el punto M’ tal que la recta MM’ sea de dirección δ y que el punto medio de
MM’ sea sobre la recta (d). Hacer la macro de esta transformación. Aplicarla a una recta,
a un círculo. ¿Qué observamos?
C9. Elaboración de una Macro-construcción :
Tomar la construcción C3, definir los dos puntos de los extremos del segmento como
objetos iniciales, el cuadrado como objeto final, validar la Macro. Definirla, escribir el
texto de la ayuda y grabarla. Utilizarla en varias situaciones (mover el segmento de
referencia).
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C10. Hacer la macro de un cuadrado cuya los dos puntos iniciales definen una diagonal.
Utilizarla en varias situaciones (mover el segmento de referencia).

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REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
C11. Hacer la macro de un cuadrado utilizando el círculo circunscrito como objeto
inicial y el mínimo de objetos iniciales. Utilizarla en varias situaciones (mover el
segmento de referencia).
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C12. Comparar esas tres ultimas construcciones. ¿ Qué opinan ?
C13. Utilizando las funciones “rotación” e “edición numérica” hacer la macro de un
triángulo cuyo dos ángulos son iguales a 25° y 32° respectivamente. Utilizarla en varias
situaciones. ¿Se puede utilizar la Macro para otros valores? Hacer el mismo trabajo con
otros tipos de polígonos.
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C14 . En una lámina rectangular se recortan en cada esquina un cuadrado de lado x (ver
el dibujo). Plegando según los segmentos punteados tenemos una caja sin la tapa.
Queremos estudiar las variaciones del volumen en función de x. Fabricar con Cabri una
configuración que nos ayude, a determinar y ver el valor del volumen cuando x varía
(también cuando modificamos los lados del rectángulo).
C15. Sean dos puntos O y I; sobre una recta consideramos dos puntos E y F tal que si el
segmento OI es el segmento unidad las coordenadas de E y F son x, y. Construir los
puntos sobre la recta OI de coordenadas, x+y, 1/x, xy, sin utilizar la calculadora. ¿ Si la
utilizamos, qué pasa? ¿Las construcciones son válidas si orientamos el segmento?.
A modo de cierre
Los actuales enfoques de la enseñanza de la geometría se orientan al proceso de
construcción y adquisición de habilidades intelectuales, en especial las relativas a
procesos de abstracción y generalización, formulación de conjeturas, proposición de
encadenamientos argumentativos y la utilización y análisis de modelos que permitan
describir y predecir el comportamiento de algunos fenómenos en diversos contextos.
Con el tipo de ambiente de trabajo que provee un software como Cabri II, durante el
proceso, los estudiantes hacen conjeturas que pueden verificar en cada paso. Se dan
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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cuenta que algunas de ellas son correctas y que otras no lo son, es decir, establecen
« hechos geométricos » a través de errores y aciertos, en función de los cuales van
cimentando su aprendizaje. De este modo aprenden que “van al colegio a equivocarse”
con la opción de no quedarse en el error, que en la discusión con sus compañeros
encontrarán la(s) solucione(s), en definitiva, irán “aprendiendo a aprender”,
aprendiendo a construir sus saberes geométricos, sobre la base de los ambientes
especiales de trabajo que proveen softwares como Cabri II.
Bibliografía
Carral, M. (1995). Géométrie. Paris. Ellipses.
España,T (1998). Cabri-géomètre en la calculadora TI-92. Madrid: Texas Instruments.
Dahan, J. (1998). Introduction à la géométrie avec la TI-92. Paris. Ellipses / édition marketing, S.A.
Barrales, M. (2002). Geometría y Análisis con la TI-92. Memoria II Encuentro de Matemática. Colegio
Alemán de Concepción. Talleres Diario El Sur S.A.
Carral, M. (2002). Construcción de funciones con Cabri Géomètre. Memorias Segundo Encuentro de
Matemática. Colegio Alemán de Concepción. Chile.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
LAS FUNCIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
M. Bonacina; A. Haidar; M. Quiroga; E. Sorribas; C. Teti; Graciela Paván
Universidad Nacional de Rosario (U.N.R) - Argentina.
mbacuario@yahoo.com.ar
Resumen
En este trabajo presentamos algunas reflexiones y una propuesta acerca de la enseñanza por resolución de
problemas, siendo el eje de esta última la aplicación y discusión del concepto de FUNCIÓN. En las carreras
´no matemáticas´ sin relegar el papel fundamental de la formación en lo teórico-conceptual los esfuerzos se
desplazan hacia la aplicación de los métodos matemáticos en la resolución de problemas de las ciencias en
general. Dado que el desarrollo mismo de la ciencia puede entenderse como resultado de la búsqueda de
solución a los distintos problemas que aquejan al hombre, creemos que la ´enseñanza por resolución de
problemas´ coadyuva a promover el cambio conceptual y metodológico que requiere actualmente el sistema
educativo en general. La propuesta consiste esencialmente en el planteo de una situación problemática
familiar al estudiante para, a partir de allí y siempre bajo la guía y supervisión del docente, proceder a su
discusión, al planteo de conjeturas e hipótesis, resolución, verificación, etc. En este caso el problema
requiere del concepto de función, concepto básico y esencial en toda disciplina que acuda a los modelos
matemáticos. Creemos que este presenta características que lo signan como concepto fuerza en la
implementación del cambio pretendido; que su uso en el marco de la resolución de problemas coadyuva a tal
propósito pues, entre otras bondades, las funciones se caracterizan por tener cuatro representaciones o
codificaciones distintas - gráfica, numérica, analítica, verbal - cada una de las cuales expresa aspectos o
propiedades didácticas no equivalentes ni equiparables entre sí, lo cual, además de ampliar el espectro de
posibilidades para trabajar con el estudiante, proporciona elementos para una mejor evaluación del mismo
(asimilando la comprensión del concepto a la capacidad de recodificar la información desde una
representación a otra).
La ciencia y su enseñanza
La ineficacia en la enseñanza de las ciencias es un hecho con el que se tropieza
habitualmente y que se evidencia tanto en los errores conceptuales y actitudinales que a
diario se detectan en los alumnos, como en la incapacidad manifiesta de los mismos para
"resolver problemas". De allí la necesidad de proponer una revisión crítica de aquellos
supuestos sobre los que descansa el paradigma de enseñanza-aprendizaje más utilizado
actualmente para, a partir de allí, reorientar la enseñanza hacia un nuevo paradigma. Esto
último podría concretarse a partir de una metodología de clase sustentada en las pautas más
recientes ofrecidas desde la didáctica de las ciencias, particularmente en aquellas relativas
al aprendizaje significativo y al cambio conceptual y metodológico (Ausubel, Novak y
Hanesian 1983; Posner et al, 1982); es decir en un modelo que concebiría el aprendizaje
como el cambio ´conceptual y metodológico´ producido en el estudiante a partir de sus
´concepciones previas´. Creemos que el logro de metas superiores está supeditado a la
posibilidad de promover tal cambio en las ideas o representaciones previas (ingenuas, no
formales, erróneas, precientíficas o rutinizadas) del sujeto que aprende. Dentro de este
modelo pedagógico estimamos la "resolución de problemas" (particularmente, la
modelización matemática) como el medio más conveniente a los fines propuestos.
La idea de aprendizaje como "cambio conceptual y metodológico" se basa en la similitud
detectada entre el aprendizaje significativo de las ciencias y el proceso de elaboración de
las teorías científicas. Esta similitud lleva a considerar conveniente a los fines propuestos
el programar y orientar el trabajo de los estudiantes de manera tal que por momentos resulte
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
comparable a la actividad de la comunidad científica. Al respecto, y en lo particular,
Schoenfeld (1994) se refiere al trabajo matemático como “ un proceso de descubrimiento,
vital y continuo, de comprender la naturaleza de objetos o sistemas matemáticos concretos”.
Entendemos que de esta manera lo acercaríamos al entramado conceptual y metodológico
del conocimiento científico a la vez que promoveríamos el cambio pretendido a los efectos
de optimizar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Sin dudas la actividad científica no es
una actividad natural; es más, podría decirse que conlleva una ruptura con formas
tradicionales del pensamiento; luego, el cambio conceptual propuesto presenta dificultades
de magnitud muy importante y su implementación no es posible si no se lo acompaña de un
cambio metodológico profundo que afecte hábitos muy enraizados tanto en los estudiantes
como (y quizás fundamentalmente), en los docentes. De allí que enfocamos el aprendizaje
como cambio conceptual y metodológico .
La experiencia indica que en la actualidad y en el mejor de los casos se obtiene un alumno
que sabe matemática pero que difícilmente puede hacer matemática. Asumimos que esta
realidad sería una de las consecuencias del hecho de no haberlo puesto nunca en contacto
con el verdadero quehacer científico. Las dificultades que presentan los alumnos a la hora
de resolver problemas avalan la hipótesis que no es suficiente que conozcan y manejen con
solvencia fundamentos explicativos de conceptos y propiedades ya que ello, por sí solo, no
les permite alcanzar la movilidad de los mismos.
Creemos así que el modelo de cambio conceptual y metodológico propone una instancia
superadora y que entre los medios para llevar adelante esta propuesta, la resolución de
problemas (en particular la confección de modelos matemáticos) aparece como un
poderoso instrumento de cambio metodológico. Cabe aclarar aquí que si bien esta
metodología es hoy ampliamente reconocida como potenciadora del aprendizaje esto no
significa que esté total y satisfactoriamente resuelta, que no existan cuestiones relativas a su
implementación aún no lo suficientemente ponderadas como, por ejemplo, la incidencia
sobre ella de los distintos modos de proceder inducidos por cada área del conocimiento; de
la ´visión del profesor´ tanto respecto de disciplina como de su rol o función dentro del
aula, Según Gómez (1995) esta visión influye en los procesos que el estudiante aprehende,
los sobredetermina, puede o no actuar a modo de catalizador de sus intereses y esfuerzos.
A este respecto creemos que muchos docentes no han captado aún la diferencia entre
´problema´ y ´ejercicio de aplicación´ y que esto interfiere con el objetivo de cambio
pretendido ya que, en el marco de la enseñanza por resolución de problemas cada una de
estas actividades tiene un objetivo didáctico distinto e importante en sí mismo.
Así; por ejercicio se entiende cualquier actividad dirigida a fijar y/o consolidar conceptos
o técnicas ya conocidas, mientras que por problema se entiende toda actividad que origine
un desequilibrio con los saberes previos, que exija al alumno algo de sí, un esfuerzo que lo
lleve al límite de sus posibilidades intelectuales y lo obligue a optimizar sus estrategias de
razonamiento (en este caso el docente, y según la analogía propuesta, actuaría a modo de
director de investigación).
Para resolver un ejercicio se requieren las siguientes capacidades y destrezas:
a) el conocimiento de conceptos, técnicas o propiedades relativos a la actividad propuesta.
b) la habilidad para procesar y trasformar los datos necesarios para las operaciones concretas que requiera
la solución. (por ej: reducir fórmulas).
912

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Para resolver un problema, además de (a) y (b), se deben poner en juego las siguientes
destrezas y capacidades :
c) habilidad para separar información relevante de la irrelevante.
d) habilidad para procesar simultánea y mentalmente un gran número de pasos o
etapas en la ejecución de la tarea propuesta., destreza que Pascual Leone (cit. en
Pómez Ruiz, 1991) denomina (*) esta capacidad hace a la
posibilidad de proponer un plan de trabajo y una estrategia acorde al mismo; o sea,
a la posibilidad de dimensionar el trabajo intelectual requerido por el problema
(según Niaz (cit. en Pómez Ruiz, 1991) la del problema).
e) habilidad para procesar y trasformar datos en varias direcciones, (*) esta
habilidad requiere el conocimiento del efecto y oportunidad de uso de cada
operación e implica el ejercicio de razonamientos hipotético-deductivo ya que
requiere del análisis comparativo de varias combinaciones y posibilidades y
resulta, por ende, una manifestación del razonamiento formal.
f) habilidad para extraer información crítica desde un contexto distinto al contexto
de aplicación o sea, movilidad o trasportabilidad de los conceptos de un área a
otra.
Es importante señalar que muchas veces es la forma de presentación de una actividad la
que finalmente determina su carácter. Así, al planificar nuestras actividades debemos tener
en claro los objetivos pretendidos en cada instancia y, fundamentalmente, el objetivo final:
desarrollar en los alumnos la capacidad de resolver problemas sin caer en la manipulación
rutinaria de datos, fórmulas y/o procesos, en la actitud de reconocer o abandonar; lograr
que pase del ´razonamiento basado en evidencias´ al razonamiento en ´término de
hipótesis´; es decir, lograr ´la formación integral del estudiante, como profesional y como
persona consciente del papel que puede y debe jugar tanto para sí como para su entorno´.
Sabemos que la concreción de este objetivo no es fácil ni simple, que ello requiere de una
profunda transformación del sistema educativo en general. Así, y aunque esto parezca una
cuestión de ´vocabulario´, creemos que es importante cambiar la forma de expresarnos;
que si lo que nos preocupa es ´formar´ y no ´informar´, una manera de imbuirnos de esta
idea es, por ejemplo, hablar de proceso de transformación en vez de proceso de enseñanza.
Es decir, creemos que para formar, debemos transformar, y que la resolución de
problemas al permitir trabajar con el proceso del cual deriva un resultado (antes que con el
resultado), ofrece importantes oportunidades para accionar en este sentido ya que permite
poner en juego cuestiones que hacen a la formación integral pretendida. Entre las más
importantes: la búsqueda de ´ método´, la capacidad de abstraer, el ´sentido de la
estética´,
(*) Resulta interesante señalar aquí cómo, para dar fuerza a la idea que se pretende difundir, nuevamente e
inconscientemente se produce una modificación del vocabulario. Así, hoy día, en vez de hablar de ´capacidad
de abstraer´ se habla de ´capacidad de modelar´, cambio este que no es ocioso ni casual ya que esta última
expresión traduce con efectividad la esencia de la concepción emergente.
Efectivamente, si por MODELO entendemos, "la expresión formal de las relaciones
existentes entre entidades reales o abstractas definidas en términos matemáticos" ; vemos
que el proceso de modelizacion utiliza la lógica y los procesos matemáticos incluso en el
contexto de lo real o concreto. De allí que la construcción y resolución de modelos deja de
ser un ejercicio puramente teórico, permite 'bajar a lo concreto' y rescata para la
Matemática un importante rol en el modelo de educación emergente.
913

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
La modelización es un modo de resolución de problemas que creció en los últimos 30 años.
Como no es una rama de la matemática pura, referida solamente a la lógica deductiva
aplicada a establecer relaciones entre entidades abstractas, entendemos que el desarrollo de
la capacidad de modelar hace tanto al aprendizaje significativo como al cambio pretendido.
El esquema siguiente resume las capacidades potenciadas a partir de la búsqueda de
modelos matemático.
914
BÚSQUEDA DEL MODELO
Requiere detectar
Capacidad de abstraer para Factores o hechos relevantes
Interrelaciones relevantes
Confección de un plan de
Desarrollar en forma óptima y organizada las actividades con el uso del
trabajp
método
Sentido de la estética
La elección de un método claro y simple; potente; efectivo
Desarrollo de una experiencia
Presentamos un ejemplo a través del cual analizamos la puesta en práctica de la
metodología propuesta. Comenzamos planificando la enseñanza del tema (en este caso:
función); reconociendo para ello la necesidad de tratar en forma integral las tres instancias
que abarca el acto educativo en el área matemática:
1- formación del concepto: el concepto se presenta teniendo en cuenta su ´origen´." el
verdadero origen del concepto función es el de plantear, pedir, producir o reproducir
dependencias o conexiones entre variables acontecidas en el mundo físico, social o
mental; esto es, en y entre estos mundos" (Freudhental, 1983) Esto permite motivar la
presentación a través de la resolución de problemas, mostrar la función como un
instrumento natural para modelizar relación entre magnitudes.
2 - ejercitación y aplicación
2.1 - ejercitacion: etapa de fijación y consolidación de los conceptos aprendidos.
2.2- aplicación: etapa destinada a alcanzar la movilidad del concepto.
Estimamos que esta última instancia debería ser, en lo posible, la de mayor peso; que la
misma posibilita el trabajo interdisciplinario, la presentación de situaciones problemáticas.
3- evaluación, entendida como un instrumento esencial para las decisiones pedagógicas.
En lo que sigue mostramos como trabajamos en la instancia de aplicación.
Modelos matemáticos. Ajuste de curvas
Recordamos que un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno del
mundo real, que la obtención de tales modelos requiere de cierta rutina ó método. Así
normalmente primero se procede a identificar las variables que intervienen, el carácter de
las mismas (dependiente o independiente), las relaciones entre ellas, para, a partir de allí,
organizar el trabajo a los efectos de hallar una función (ó ecuación) que las vincule.
A veces sucede que ya se conoce alguna ley que ligue a las variables; en tal caso, una
manipulación algebraica de la fórmula correspondiente permite obtener el modelo buscado.
Pero no siempre habrá una ley a mano que facilite el trabajo.
Se acude entonces al modelo empírico, modelo esencialmente sustentado en datos reunidos
a través de una o más observaciones o repeticiones experimentales del hecho en estudio.

(4 ) confrontar (5) corregir y/o
reformular
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
En este caso, una vez realizada la experiencia se analizan los resultados en busca de un
patrón de comportamiento. Para facilitar esto conviene presentar los datos de manera tal
que las propiedades más sobresalientes queden al descubierto, sean apreciables. Así:
se procede a la tabulación de los datos (representación numérica de la función).
si de la representación numérica podemos pasar a la representación gráfica de la
función, crecen las probabilidades de hallar patrones de comportamiento ya que muchas
propiedades pueden ser leídas directamente de un gráfico así como muchas veces la
gráfica ´sugiere´ la ecuación adecuada. Existen métodos perfectamente probados que,
para cierto tipo de curvas, permiten obtener la ecuación que mejor la ´ajusta´ ; o sea la
que mejor captura la tendencia básica de los puntos datos.
Si de la representación gráfica podemos obtener la representación analítica de la
función estaremos sin dudas en condiciones óptimas de estudiar el fenómeno, incluso
estaremos también en condiciones de hacer interpolaciones y/o extrapolaciones .
En la siguiente figura se ilustra el proceso del modelado matemático.
PROBLEMA del
MUNDO REAL
» Verificar
» Comprender, interpretar
el fenómeno.
» Interpolar
» Extrapolar (predecir)
( 1)
identificar
⎯⎯⎯⎯
⎯⎯→
←⎯⎯ ⎯⎯⎯
( 3)
resolver
UN PROBLEMA TIPO: comportamiento de un gas ideal
Observación de un fenómeno natural:
" un gas que se encuentra en un recipiente deformable, a presión constante,
sometido a cambios de temperatura presenta cambios de volumen".
Problema: ¿ Puede ser cuantificada la dependencia temperatura-volumen ? .
Resolución:
(I) Proponemos un debate a partir de la palabra cambio (el volumen: ¿aumenta ó
disminuye?); de las variables del problema, rol y relevancia de cada una de ellas, etc.
Concluimos que: "para P=cte ; aumento de temperatura implica aumento de volumen"
(II) Insistimos en lo útil
de acudir a un esquema o
representación gráfica de
la cuestión a resolver,
aun cuando este sea
muy simple o elemental.
Vo ,To
» Variables (dependiente e independiente)
» Relación entre las variables.
» tipo de modelo matemático que mejor se
ajustaría al problema
P =
cte
To <
T1
(2) Ajustar parámetros
(obtener el modelo)
MODELO MATEMÁTICO
(*) Función
(*) Ecuación
(*) Ecuación
diferencial
(*) Sistema de
ecuaciones
V1 ,T1
915

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
o Resulta muy probable que en la obtención de la macroestructura, se pierda de vista el problema en sí,
resulta conveniente entonces realizar un control de proceso: ¿ dónde estamos dentro de la estructura
propuesta? ; ¿ qué paso sigue? :
- encontramos el modelo físico (aumento de temperatura ⇒ aumento de volumen)
- debemos buscar el modelo matemático (función que ligue temperatura y volumen)
(III) Buscamos el modelo matemático.
En este momento es cuando empiezan a surgir las cuestiones más significativas en cuanto a
la matemática; por ejemplo, aparece aquí un error muy común en relación a dos variables
en las que el aumento de una determina el aumento de la otra: el alumno asocia
automáticamente la relación hallada con una relación de directa proporcionalidad.
Vemos así como esta metodología permite detectar errores, trabajar en su eliminación.
Otra cuestión importante es la relativa a los datos: experimentales vs. teóricos. Al alumno
le cuesta entender la relación entre el modelo matemático y la realidad; que el modelo
propone una situación idealizada, que interpreta los hechos bajo ciertas simplificaciones.
(En este punto, fue necesario realizar un control del proceso de enseñanza; decidir respecto del tratamiento
del error en los datos experimentales; se optó por simplificar esta cuestión informando de esto al alumno)
Así, y de acuerdo a este análisis, pusimos al alcance de los alumnos una serie de valores
de temperatura y volumen, resultado de mediciones realizadas en forma experimental.
T (ºC) 0 50 100 150 200 250 300
V (cm 3 ) 20.0 23.7 27.4 31.1 34.8 38.5 42.2
Una vez puesto en marcha el proceso intentamos que el alumno trabaje en forma
independiente, orientando las actividades a través de preguntas. Por ejemplo:
- ¿ qué concepto matemático ´comprende´ este problema?, ¿ cuál es el rol de cada
magnitud variable?, ¿cómo pasamos de la representación numérica a la representación
analítica de la función?, ¿ siempre podemos pasar de una representación a otra?, etc...
La primer pregunta permite evaluar si el alumno logró asimilar el concepto de función.
Si el alumno es capaz de reconocer que esta ante una función, el problema es un problema
motivador. Si no puede hacerlo el problema está muy lejos de él y se generan otras
situaciones distintas de las que se deseaba trabajar (las cuales deben ser atendidas).
Si el alumno reconoce que está ante una función, su atención puede centrarse en el nudo
del problema: hallar la ley de la función (ó modelo matemático para un gas ideal)
(*) Se insiste en la importancia de que el alumno registre estas preguntas, que entienda que lo que en
realidad estamos haciendo es pensar en voz alta. "Estas órdenes secretas que los docentes nos damos al
tratar de resolver un problema, facilitan patrones de conducta para el lenguaje interior, patrones que el alumno
debe imitar; este proceso será gradual y el alumno debe desplegar un lenguaje interior que irá modelando
hasta desarrollar un patrón silencioso; sin embargo, para que esto de resultado en el desempeño matemático,
el alumno debe tener habilidades básicas" (Meichenbaum cit. en Elosúa y García, 1993).
Los alumnos responden las preguntas y desarrollan las actividades que van surgiendo:
- grafican los puntos de la TABLA en un sistema coordenado.
- del gráfico leen que: los puntos se disponen sobre una recta
- reconocen el tipo de función que este hecho caracteriza: función lineal.
- recuerdan la ecuación general de la función lineal , y = m x + h ;
Este punto es crucial en cuanto a verificar si el concepto de función, de variable
independiente y dependiente, ha sido realmente internalizado, asimilado por el alumno.
Es decir, si puede relacionar las variables abstractas (x e y) de la formulación ideal de la
función lineal, con las variables concretas de su problema (T y V). Este paso (elemental
si el concepto ha sido comprendido) no resulta, en general, fácil ni obvio para el alumno
promedio. Existe un obstáculo que evidentemente les dificulta bajar del mundo de lo
916

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
abstracto e ideal al mundo de lo concreto y real. Así, detectamos que el alumno no sólo
tendría el tradicional problema de abstraer, de quitar sustancia a los objetos reales,
sino que también tendría el problema inverso, el de dar sustancia a los contenidos
abstractos . Y si bien es entendible la dificultad para formalizar o abstraer, la reversa no
aparece como algo ´difícil´ de manejar. Creemos que si detectamos dificultades, estas no son
otra cosa que la señal de que el nuevo conocimiento no ha sido incorporado con
efectividad a la estructura cognitiva; en definitiva, la señal de que el aprendizaje no se ha
producido.
Finalmente el alumno procede a traducir el fenómeno al lenguaje matemático,
cuidando de dotar de sentido a las variables.
TEORÍA EXPERIENCIAA RESULTADO
Variable Independient.
T
IndeIndependiente x
Variable Dependiente y V
FUNCIÓN y = mx+ h V = mT+ h
M = pendiente
m = ∆ y
∆x
m = ∆ V
∆T
m = V
f
T
− V
− T
f
i 22.
2
= = 0.
074
i
300
h=ordenada al origen x =0 y = h T =0V = 20 h = 20
CONCLUSIÓN V = 0. 074 T + 20
MODELO MATEMÁTICO
Este es también el momento de evaluar si los objetivos propuestos en la etapa de fijación y
consolidación del concepto función lineal, se han logrado. O sea, si se ha alcanzado el
dominio de las técnicas algebraicas, si se ha comprendido cabalmente el significado
(geométrico y físico) de los coeficientes; particularmente el de m como razón de cambio:
Teoría m variación de ´ y´ por cada cambio unitario de ´ x ´
Experiencia 0.074 variación de volumen por cada grado de temperatura.
Procedemos luego a la validación y generalización del modelo.
Por último planteamos los siguiente interrogantes, el resultado obtenido:
¿será válido para cualquier gas ?; ¿ para cualquier condición inicial en que el mismo se
encuentre ? ; o sea, ¿ siempre que se caliente un gas a presión constante este se
expandirá a razón de 0.074 cm 3 /ºC ?. ¿Coincide esto con lo visto en Química?.
Sin dudas nos encontramos ante ¡¡ otro problema !! ; que dejamos para otra ocasión,
particularmente para cuando el alumno haya visto la ecuación para un gas real en Química
(materia paralela a la nuestra) y nosotros visto derivadas y estudio de funciones.
Hacia la autonomía en el aprendizaje
Una vez resuelto un problema, si la intervención del docente ha sido muy importante, lo
óptimo es proponer una serie de problemas de naturaleza similar a los efectos de que el
alumno los resuelva solo, tratando de aplicar las reglas descubiertas.
Se insiste que un punto crucial de todo este trabajo es la estructura de la evaluación final,
que de ella depende muchas veces el éxito o fracaso de toda la propuesta. Que la misma
debe ser presentada de tal forma que resulte otra instancia de entrenamiento de aquellas
habilidades que impliquen el manejo y el control de los propios recursos cognitivos.
917

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Conclusiones
En particular, y en relación al tema desarrollado, se validaron en forma importante muchas
de las hipótesis concluidas a partir nuestro diario accionar, entre ellas:
"Que el desmedido automatismo termina por anular la capacidad de abordar
adecuadamente la resolución de problemas " .
"Que la aplicación a situaciones concretas además de facilitar la correcta
interpretación y resolución de problemas, coadyuva al aprendizaje significativo"
Bibliografía
Ausubel, D.; Novak, J.D. y Hanesian, H. (1983) Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo.
México: Trillas.
Posner, G.J.y otros (1982) Accomodation of a scientific conception: toward a theory of conceptual change.
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Schoenfeld, A. (1994). Ideas Y Tendencias , En La Resolución De Problemas. Bs. As, Argentina:
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Gomez P. (1995). Profesor: no entiendo. México: Grupo Editorial Iberoamericano.
Pomés Ruiz, J. (1991) La metodología de resolución de problemas y el desarrollo cognitivo. Enseñanza De
Las Ciencias , Volumen 9, Nº 3, 78-82
Freudhental, H. (1983) . Didactical Phenomelogy ol Mathematical Structure .
918

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
LOS NÚMEROS REALES Y PROCESOS INFINITOS EN EL BACHILLERATO
José Arredondo, Benjamín Zúñiga y Roberto Torres
Universidad Autónoma de Querétaro, México.
carlosarremx@yahoo.com.mx, benja@sunserver.uaq.mx, robert@sunserver.uaq.mx
Resumen
El presente trabajo expone ciertos aspectos de los números racionales e irracionales que generalmente son
poco trabajados en las clases sobre los números reales en el bachillerato. La célebre paradoja de Aquiles y la
tortuga sirve de pretexto para analizar a los números racionales y su periodicidad vía la noción de serie. Por lo
que respecta a los números irracionales, la comparación del lado de un cuadrado y su diagonal nos sirven para
introducir el concepto de inconmensurabilidad. Se presenta también un pequeño software, a manera de demo
para apoyo de los temas tratados.
Introducción: La manera usual de impartir el tema de los números reales en el
bachillerato, consiste generalmente en la presentación de los diversos subconjuntos
importantes tales como los números naturales, enteros, racionales e irracionales, para
después ilustrar algunas de sus características mas importantes. La idea del presente trabajo
es la profundizar un poco mas, particularmente con lo que respecta a los números
racionales e irracionales.
Dos de las principales cualidades del presente texto pretenden ser:
• Introducir al lector, con lo que respecta a los números racionales, a los procesos
infinitos, vía la expresión decimal y la noción de serie. Esta aproximación es valiosa
como recurso para iniciar las ideas del Cálculo Infinitesimal, sobre todo a nivel
preuniversitario. Con los irracionales, la idea de inconmensurabilidad de segmentos
también involucra procesos y argumentos con la idea del infinito.
• Eslabonar diversos aspectos geométricos y algebraicos, condensándolos sobre un
problema común, unificando con este material que se encuentra diseminado a lo
largo de los semestres previos al inicio del Cálculo.
Los números racionales: Un número es racional si puede expresarse como el cociente de
dos números enteros, con el denominador distinto de cero. Generalmente, se conoce
también la definición equivalente sobre periodicidad, esto es, un número es racional si su
expresión decimal es periódica. Que el Profesor promedio de secundaria y bachillerato
conozca la demostración de esta equivalencia es ya mas dudoso.
De hecho, la demostración de que un número racional tiene expresión decimal periódica,
involucra el algoritmo de la división y es muy interesante desde el punto de vista didáctico,
pues ilustra el uso de una propiedad de los números enteros en la construcción y
conocimiento del conjunto numérico que “le sigue” en complejidad, que son los números
racionales.
Sin embargo, aquí nos referiremos principalmente a la otra implicación, esto es, que un
número cuya expresión decimal es periódica debe ser necesariamente el cociente de dos
enteros, es decir, un número racional.
La prueba de esto es la siguiente:
919

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Supongamos que el decimal periódico es de la forma
= D.
d d d ... d d d
920
q 1 2 3 m m + 1 m + 2
... d
Se puede observar que el periodo de este número es
d m + 1dm
+ 2 ... dn
Si multiplicamos q por 10 m entonces el punto decimal se recorre m dígitos hacia la
derecha, esto nos permitirá localizarlo al inicio del periodo
m
q ⋅ 10 = Dd1d2d3 ... dm
. dm
+ 1dm
+ 2 ... dn
Parte entera Parte no
entera
Si multiplicamos ahora el número q por 10 n , el punto se recorrerá n dígitos hacia la
derecha, quedando al final del periodo
n
q ⋅ 10 = Dd 1d2d3
... dmdm
+ 1dm
+ 2 ... dn
. dm
+ 1dm
+ 2 ... dn
Parte entera
Obtengamos la diferencia de ambos números
Parte no
entera
n
q ⋅ 10 = d d ... dmd
d ... dn
d d
Dd 1 2 3 m + 1 m + 2 . m + 1 m + 2 ... dn
m
q ⋅ 10 = Dd1d2d3 ... dm
. dm
+ 1dm
+ 2 ... dn
n m
q(
10 − 10 ) = E . 000000000
En la resta se puede observar que la parte no entera por ser la misma en ambos números da
como resultado cero, si llamamos E a la diferencia de las partes enteras de los decimales
E = d d ... dmd
d ... dn
Dd d d ... d
Dd 1 2 3 m + 1 m + 2 - 1 2 3 m
Entonces se tendría que el valor de q es
E
q = n m
( 10 − 10 )
Como
n m
n m
E , ( 10 − 10 ) ∈ Ζ y ( 10 − 10 ) ≠ 0
Entonces
q ∈ Q
Que era lo que se quería probar.
n

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
La Paradoja de Aquiles y la tortuga: Conectemos esta idea con la siguiente historia.
Aquiles, famoso guerrero griego, es considerado el más veloz de los mortales. Una
intrépida tortuga reta a Aquiles a una carrera, aún sabiendo que Aquiles es 10 veces más
rápido que ella. Por tal circunstancia Aquiles concede a la tortuga una ventaja de 1 km.
(1000 mts.), con esta ventaja podríamos preguntar ¿Cuándo Aquiles alcanzará a la
tortuga?
Para dar respuesta a esta pregunta pensemos en lo siguiente:
Si Aquiles recorre el kilómetro de ventaja, la tortuga habrá recorrido 100 metros más, en
ese momento los 100 metros serán su nueva ventaja.
100 metros
Mientras Aquiles recorre los 100 metros que los separan, la tortuga tomará una nueva
ventaja de 10 metros.
10 metros
Es claro entonces, que si Aquiles recorre los 10 metros de nueva ventaja, la tortuga tomará
otra ventaja de 1 metro.
1 metro
921

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Puede entenderse con base en el anterior razonamiento, que si la tortuga tiene cualquier
ventaja, entonces el tiempo que tarda Aquiles en recorrer esta ventaja permitirá a la tortuga
tomar una décima parte de la ventaja anterior como su nueva ventaja.
Aquí podríamos afirmar “Aquiles nunca alcanzará a la tortuga''
Ya que en la realidad intuitivamente se percibe que Aquiles debe, no sólo alcanzar a la
tortuga, sino ganarle y por mucho aplicaremos nuestros conocimientos sobre los números
racionales y expresiones decimales para aclarar el problema.
La confusión en el razonamiento radica justamente en la solución de una suma infinita de
potencias de base 10.
Para poder explicar esto comparemos las distancias que recorren ambos en los diferentes
tiempos señalados:
En el mismo tiempo:
922
La tortuga recorre (en Km.): Aquiles recorre (en Km.):
1
10
1 1
+
10 100
1 1
+
10 100
1
+
1000
1
1
1 +
10
1 1
1 + +
10 100
. .
. .
. .
1 1 1
1 1
+ + +... 1 + +
10 100 1000
10 100
Entonces Aquiles alcanzará a la tortuga después de recorrer:
1 1
1 + +
10 100
1
+ +... Kilómetros
1000
Pero esta suma infinita, en notación decimal es:
1 . 111...
= 1.
1
cambiando este decimal periódico a cociente se tiene que
10 1
1 . 1 =
= 1 +
9 9
1
+ +...
1000

De lo anterior concluimos que Aquiles debe recorrer
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
1
1 + de kilómetros para
9
1
alcanzar a la tortuga (que en su caso habrá recorrido hasta el momento de
9
kilómetro).
Finalmente podemos concluir que: “Aquiles sí alcanza a la tortuga”
Los irracionales y segmentos inconmensurables: Ahora, relacionaremos el aspecto algebraico de los
números irracionales (que se definen como aquellos números que no son racionales) con la idea geométrica de
la inconmensurabilidad. Para ello, necesitamos la siguiente
Definición: Dos segmentos de recta son conmensurables si existe una unidad (tercer
segmento) que quepa un número entero n de veces en el primer segmento y un número
entero m de veces en el segundo.
Dados los dos segmento en la parte izquierda de la figura anterior, podemos ver que el
segmento mas pequeño en la parte derecha cabe tres veces en el primero y cinco veces en el
segundo. De esta forma decimos que dichos segmentos son conmensurables.
Notemos en este momento que para afirmar que dos segmentos no son conmensurables (y
que a partir de aquí les llamaremos inconmensurables) debemos estar seguros que ninguna
unidad mide un número entero de veces a dichos segmentos.
Un ejemplo de la situación anterior se da al considerar el lado de un cuadrado y la diagonal:
El argumento para observar que es imposible la existencia de un segmento unidad que
pueda caber un número entero de veces en el lado y la diagonal involucra un proceso que se
repite indefinidamente.
Supongamos que existe una unidad que cabe un número entero de veces en el lado del
cuadrado y otro número entero de veces en la diagonal. A partir de aquí, diremos
simplemente que la unidad mide al lado y mide a la diagonal. De ser así, consideremos el
siguiente esquema:
D
F
A B
Dado el lado AB y la diagonal AC, constrúyase el punto F sobre AC tal que AF = AB. Sea E
el punto en CB tal que EF es perpendicular a AC. Observemos ahora que los triángulos
C
E
923

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
EFA y EBA son congruentes, por ser ambos triángulos rectángulos con la misma hipotenusa
(AE) y un cateto igual (AF = AB). Esto nos dice que EF = EB.
o
Claramente, ∠ ECF = 45 por ser AC la diagonal de un cuadrado y como el ángulo en F
es recto y la suma de los ángulos interiores del triángulo CFE debe de ser 180 o , se tiene que
O
∠ FEC = 45 . Todo esto dice que el triángulo CFE es isósceles y por lo tanto CF = EF.
En conclusión, CF = EB.
Ahora, como la unidad (que está fija) mide a AC y a AF = AB, debe de suceder que mide
también a la resta de estos segmentos, es decir, mide a AC – AF = CF.
Análogamente, como la unidad mide a BC (lado del cuadrado) y a CF = EB, mide también
a la resta BC – EB = EC.
Resumiendo, tenemos que la unidad mide a CF y a EC.
Pero si observamos nuestra situación, tenemos que EC es la diagonal del cuadrado con
lados EF y CF, que es un cuadrado más pequeño que el original y al que también mide la
unidad con la que empezamos.
Repitiendo todo el argumento anterior sobre este nuevo cuadrado llegaremos a un tercer
cuadrado (mucho más chico) y al que nuestra unidad deberá medir su lado y su diagonal.
Finalmente notemos que si se repite este argumento indefinidamente, encontramos
segmentos (lados y diagonales de cuadrado) cada vez mas chicos y a los que nuestra unidad
deberá medir, lo cual no es posible por que eventualmente dichos segmentos serán mas
pequeños que la misma unidad.
De esta manera, nuestra suposición inicial acerca de la existencia de una unidad con las
características descritas no puede sostenerse, demostrándose así la inconmensurabilidad de
el lado de un cuadrado y su diagonal.
Pero, ¿qué tiene que ver esto con los irracionales?
Para responder a esta pregunta, primero notemos que por el Teorema de Pitágoras, si
llamamos a a la longitud del lado l del cuadrado, la longitud de la diagonal d será 2 a . El
hecho de que estos dos segmentos sean inconmensurables nos dice que no existe una
unidad u ni enteros n y m tales que
l = nu
d = mu
Esto en longitudes, se escribe
a = n
2 a = m
Al dividir la segunda ecuación entre la primera se tiene
2 a m
= 2 =
a n
lo que afirma que 2 es irracional.
Bibliografía
Anaya, S. (1990). Carrusel Matemático. México, D.F. Limusa-Noriega Editores.
Fregoso, A. (1980) Los elementos del lenguaje de las matemáticas. Vol. III y IV. México, D. F. Trillas.
Rodemacher y Toeplitz. (1970). Números y figuras. Madrid, España. Alianza Universidad.
924

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
PARADOJAS DE FUNDAMENTACIÓN EN LA MATEMÁTICA
María Rosa Rodríguez y Jesús Zeballos
Universidad Nacional de Tucumán, Argentina
mrestofan@tucbbs.com.ar, jesuszeballos@tucbbs.com.ar
Resumen
El interés por la fundamentación racional de la matemática estuvo presente en toda su
historia, pero se acrecienta especialmente a partir de mediados del siglo XIX. Sin embargo, los sistemas
formales elaborados durante este largo período, para hacer más explícita esta fundamentación han derivado
en paradojas, a pesar de sus formulaciones aparentemente consistentes y lógicamente correctas. Para superar
estas dificultades, se han formulado respuestas lógico-matemáticas que se clasificaron en tres grandes
líneas: el logicismo, el formalismo y el intucionismo. Kurt Gödel demostró que las respuestas de estas
escuelas fueron insatisfactorias, ya que las paradojas internas eran insalvables. Sólo podían ser superadas con
la formulación de sistemas más amplios y potentes, expresados en un lenguaje metamatemático. Tanto
formalistas como logicistas hicieron un tratamiento puramente sintáctico, pero la presencia de las paradojas
mostraba que la sintaxis formal es necesaria pero insuficiente. A ella se debe agregar una semántica, que
tiene que ver con el contenido significativo de las reglas operativas y una pragmática que esclarece lo
apropiado de su interpretación. También señalamos en este trabajo lo inadecuado de la acusación de
esterilidad al tratamiento lógico-formal de la fundamentación matemática. Nosotros sostenemos que los
sistemas formales no son estériles, puesto que engendran paradojas. En esta constitución paradojal o
antinómica de los sistemas formales, se oculta el dinamismo y el espíritu creador de la matemática. Esto nos
permite afirmar que el quehacer matemático es al mismo tiempo descubrimiento e invención. Quizá una
futura fundamentación de la matemática deba recurrir a la lógica dialéctica y a las lógicas paraconsistentes
Introducción
El saber matemático puede ser considerado desde dos perspectivas metodológicas. La
primera consiste en la determinación de su campo objetivo a través de la precisión de sus
conceptos; y la segunda, en el establecimiento de reglas rigurosas que precisen las
relaciones de deductibilidad entre sus proposiciones. La primera de estas tareas se refiere a
la definición de los términos y la segunda a la construcción de pruebas lógicas de
demostración. Aquí confluyen la matemática, la lógica y la filosofía de la matemática, cuya
conjunción constituye parte sustancial de lo que en la actualidad se denomina
“epistemología de la matemática”. Desde este punto de vista, se observan al menos tres
ámbitos interrelacionados y fácilmente discernibles: el plano ontológico o de la existencia
de los objetos matemáticos, el plano lingüístico o simbólico y el plano lógico-formal de la
deducción de teoremas, a partir de las fórmulas primitivas, axiomas.
En relación a este último aspecto, la fundamentación racional de las teorías matemáticas, se
han señalado múltiples paradojas surgidas de la construcción de sistemas, a pesar de sus
formulaciones aparentemente consistentes y lógicamente correctas. Para superar las
dificultades que supone la presencia de paradojas o inconsistencias, se han formulado
respuestas lógico-matemáticas que se clasificaron en tres grandes líneas: el logicismo, el
formalismo y el intuicionismo. Kurt Gödel demostró que las respuestas de estas escuelas
fueron insatisfactorias, ya que las paradojas internas eran insalvables. Sólo podían ser
superadas con la formulación de sistemas más amplios y potentes, expresados en un
lenguaje metamatemático. Este trabajo pretende mostrar que estas soluciones al problema
925

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
de la fundamentación matemática son también lógicamente insatisfactorias. Una alternativa
de solución podría ser la lógica dialéctica, que asume la significación de las paradojas como
un motor que dinamiza el progreso del saber matemático.
El ideal de la formalización
En toda la historia de la matemática, filósofos, lógicos y matemáticos se interesaron en
precisar los conceptos matemáticos, con definiciones “claras y distintas”, y a construir
pruebas rigurosas de demostración. En los siglos XIX y XX se acentúa significativamente
este interés, recurriendo a la abstracción y formalización del lenguaje matemático. De ello
se obtienen dos efectos inmediatos: el afinamiento riguroso de los razonamientos
matemáticos y el desarrollo de la lógica-matemática, que en algunos casos se confunde con
la metamatemática. A partir de entonces, tanto la lógica como la matemática se
estructuraron en sistemas axiomáticos deductivos, consistentes, completos e
independientes. Lo que significa en primer término la eliminación de paradojas y/o
contradicciones; en segundo lugar, la demostración completa de todos los teoremas en base
a los propios axiomas del sistema; y por último, que ninguno de los axiomas o supuestos
pueda derivarse como teorema a partir de los restantes.
Formalización Geométrica
Desde la antiguedad se consideró como un modelo de sistema axiomático-deductivo a la
geometría euclidiana (siglo III). Efectivamente, en base a unos pocos principios, que
Euclides denomina Postulados y Nociones Comunes, se deducen todos los teoremas de la
geometría. Durante siglos se consideró que esta geometría era la descripción del espacio
físico-real, “en el cual nos movemos, vivimos y somos”. Esta convicción llegó a tal punto
que Kant consideró al espacio euclídeo como una de las formas puras, a priori de la
intuición. Nunca se cuestionó la verdad de sus proposiciones euclideanas, esto es, el
espacio se comportaba tal y cual lo decía su geometría. Sumada a esa adecuación
ontológica, se daba el rigor lógico de las demostraciones deductivas. Aunque los geómetras
posteriores descubrieron algunos errores de derivación, como por ejemplo la utilización de
algunos supuestos no explícitos, en general se aceptó el rigor de las pruebas lógicas de
demostración de los teoremas. Ni el rigor sintáctico ni la verdad semántica del sistema
euclidiano estaban cuestionados.
Sin embargo, siempre se sospechó de la independencia de sus axiomas. Concretamente el
postulado 5º de las paralelas 3 parecía no gozar de las características propias de los restantes
como para ser considerado una proposición axiomática. En 1733 el matemático italiano
Girolamo Saccheri publica el libro Euclides ab omni naevo vindicatus, donde demostraba
por reducción al absurdo que el postulado de las paralelas era un axioma independiente.
Negando la validez del 5º postulado de las paralelas, creyó haber reivindicado el valor
absoluto de la geometría de Euclides. No se percató que con ello había descubierto un
nuevo sistema axiomático para la geometría. Efectivamente, logró demostrar todos los
teoremas bajo la validez de la hipótesis denominada del ángulo agudo. Con esto queremos
3 El Postulado 5º se enuncia de diversas maneras: i) Que si una línea recta corta a otras dos líneas rectas
formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas
indefinidamente, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos rectos. ii) Por un punto dado pasa sólo
una paralela a una recta dada (geometría plana) y un solo plano paralelo a otro dado (geometría del espacio).
926

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
decir que las demostraciones lógicas que elaboró Saccheri fueron absolutamente
consistentes aunque los resultados obtenidos le resultaron totalmente contra intuitivos, cosa
que él estimó como absurdas porque tenía la convicción de que la única geometría válida
era la euclídea.
Posteriormente Nicolai Ivanovitch Lobachewsky (1793-1856) y Georg Friedich Bernhard
Riemann (1826-1866) por separado construyeron nuevas geometrías. En el año 1829,
Lobachewsky publicó en el Kazan Messenger un artículo titulado “Sobre los Principios de
la Geometría”, que marca el inicio de las geometrías no euclideanas. En él se demuestra
que el postulado 5º no podía ser demostrado a partir de los otros cuatro y construye una
geometría sobre una hipótesis que contradecía dicho postulado: “Por un punto C exterior a
una recta AB puede trazarse más de una recta contenida en el plano ABC y que no corta a
la recta AB”. Con este postulado dedujo una teoría geométrica consistente, sin
contradicciones lógicas y sin preocuparse si el espacio geométrico supuesto se aplicaba a
algún espacio físico. Pero esta geometría parecía tan opuesta al sentido común que el
mismo Lobachewsky la llamó “Geometría Imaginaria”.
Riemann, en cambio, no se interesó sólo en la cuestión de cuántas paralelas podían trazarse
por un punto exterior a una recta. Sostenía, además, que la geometría no necesariamente
debería tratar de puntos, rectas y otros conceptos referentes al espacio real, sino de
conjuntos de n-uplas ordenadas que se pueden combinar de acuerdo a ciertas reglas, con lo
que logra una concepción absolutamente abstracta del espacio. Entre las reglas más
importantes está la “métrica” a definir, que determinará a priori las propiedades del espacio
a considerar. Un modelo de la geometría riemeniana, por ejemplo, toma al ‘plano’ como la
superficie de una esfera y una ‘línea recta’ como la circunferencia de un círculo máximo en
dicha esfera y en este caso la suna de los ángulos de un triángulo es siempre mayor que dos
rectos. El desarrollo científico posterior mostró que el espacio riemaniano fue de gran
utilidad en la teoría de la Relatividad de Einstein, del mismo modo que el espacio
geométrico de Euclides fue totalmente aplicable en la física clásica de Newton.
Con estas aplicaciones se muestra la utilidad de los sistemas abstractos de la geometría,
pero al mismo tiempo, se evidencia que las propiedades semánticas no son fundamentales
para la construcción de los sistemas axiomáticos en sí mismos, sino una cuestión
extrasistemática. Cuando se quiere encontrar a un sistema geométrico abstracto una
aplicación a otros campos pueden surgir paradojas, si no se tienen los recaudos necesarios
que fija una lógica de la interpretación. Y en este punto surge otra cuestión epistemológica
esencial: la prioridad e independencia lógica de las ciencias formales. No hubiera podido
existir la física de Newton sin los supuestos de la geometría de Euclides, ni la de Einstein
sin los de la geometría riemanniana. Es decir, que no puede haber física sin geometría pero
sí geometría sin física.
En la actualidad sólo se tiene en cuenta el rigor lógico-sintáctico, interno al sistema mismo.
La máxima expresión de abstracción y formalización se encuentra en la geometría de David
Hilbert (1862-1943), en la cual no se alcanza a discernir la geometría pura de una lógica y
una sintaxis pura. En 1899, Hilbert publica su Grundlagen der Geometrie donde realiza un
esfuerzo sistemático por dar un carácter absolutamente formal deductivo a la geometría.
Frente a la necesidad de una fundamentación axiomática de la geometría, Hilbert advierte
que no todos los términos se pueden definir, ni todas las proposiciones se pueden
demostrar. Hay puntos de partida para las definiciones, que son los términos indefinidos, y
puntos de partida para las demostraciones, que son los axiomas. Hilbert propone 21
927

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
axiomas, llamados “axiomas de Hilbert”, que incluyen a los postulados y a las nociones
comunes de Euclides. De esta manera quedó perfectamente axiomatizada la geometría en el
siglo XX.
Como resultado de esta formalización matemática el espacio geométrico se constituyó en
un concepto absolutamente abstracto, cuya descripción teoremática no requiere de la
intuición ni de su aplicación al espacio físico. Ilustración de estas abstracciones no son sólo
la geometría, sino también el álgebra de conjuntos, los números imaginarios, la aritmética
transfinita y las topologías. Hilbert recurre a la teoría de conjuntos para mostrar que las
ideas geométricas debían ser eliminadas y los puntos, rectas y planos debían ser
considerados simplemente como elementos pertenecientes a conjuntos dados.
Formalización Aritmética
Al reducir los conceptos geométricos a elementos pertenecientes a un conjunto, Hilbert
toma a la teoría de conjuntos de Georg Cantor (1845-1918) como base para hacer una
fundamentación absolutamente formal de la geometría, del mismo modo en que Giuseppe
Peano(1858-1932) lo hizo para la aritmética. Pero la teoría de conjuntos de Cantor encierra
contradicciones o paradojas, con lo cual el ideal de formalización para mostrar la
consistencia de los sistemas matemáticos, se vio frustrado. Estas paradojas, estrictamente
formales y/o lógico-matemáticas, contenidas en el sistema de Cantor, señaladas en 1897 por
Burali-Forti, y Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953), se deben a que el número
ordinal y el cardinal que corresponden a un conjunto de números en cuestión serán siempre
mayores en una unidad al mayor número de los que constituyen el conjunto, perteneciendo
al mismo tiempo a dicho conjunto.
En el mismo error incurre Gottlob Frege en su Grundgesetze der Aritmetik,
begriffsschriftlich abgeleiter (I, 1893; II, 1903). Bertrand Russell señala este error, en una
carta dirigida a Frege y fechada el 16 de Junio de 1902, en la que comenta: “una función no
puede jugar el papel del elemento indeterminado” o, en otros términos, “una función no
puede ser una función de sí misma”. En gramática lógica diríamos que “un predicado no
siempre predica de sí mismo”, relación que Frege inadvertidamente sostuvo y que dio
origen a la paradoja del conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismo,
señalada por Russell. La paradoja de Cantor es similar a las que Russell considera como
paradojas de las clases, de las propiedades y de las relaciones. Para dar solución a estas
paradojas, Russell en 1908 formula su teoría ramificada de los tipos y Zermelo intenta otra
solución con la teoría axiomática de los conjuntos. Más tarde, Chwistek en 1921 y Ramsey
en 1926 modifican la teoría de Russell formulando la teoría simple de los tipos.
En suma, podemos decir que la matemática y la lógica, que se origina en ella, buscaron su
propia fundamentación. Como afirmaba Ludwig Wittgenstein (1914) “deben dar cuenta de
sí mismas”. Este ideal parecía haber sido alcanzado en la construcción de sistemas
axiomáticos deductivos formales, al estilo de Arithmetics Principia: nova método exposita
de Peano (Turín, 1889), Die Grundlagen der Arithmetik (1884) y Grundgesetze der
Arithmetik (dos tomos 1893 - 1903) de Frege, Grundlagen der Geometrie (1899) de
Hilbert, Principia Matemática (1919)de Russell y Whitehead. El orden temporal de
aparición de las obras citadas coincide con la obtención de un mayor rigor en las
demostraciones que, a medida que va acrecentándose, va plasmando un lenguaje específico
y constituyendo una nueva disciplina: la metamatemática o teoría de la demostración. El
foco de interés de los matemáticos se centró en lo que en la actualidad denominamos las
928

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
propiedades metamatemáticas de consistencia, completitud e independencia de sus
axiomas.
Conclusiones
En 1931, apareció en la revista Monatshefte für Mathematik und Physik un artículo con el
título Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Matemática und verwandter
Systeme (Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Matemática y Sistemas
afines) que dio por tierra con todas las esperanzas de poder demostrar la completitud y
consistencia de un sistema axiomático. El autor era un matemático austríaco radicado en
Estados Unidos, Kurt Gödel (1906-1978) y probaba que ni ϕ ni noϕ pueden ser
decidibles en ningún sistema formal de la matemática clásica, incluidos Principia
Matemática, La Aritmética Formal de Peano, La teoría Axiomática de Conjuntos, etc. Del
mismo modo demostraba que es imposible deducir una fórmula que pruebe la consistencia
del sistema, o sea que era imposible demostrar, usando los métodos a los que hacía
referencia tanto Hilbert como Russell, que los axiomas de la aritmética no conducirían a
contradicciones. El teorema de la incompletitud de la aritmética establece por lo tanto que
no puede demostrarse la consistencia que contenga la teoría elemental de números, por
medio de las reglas de derivación propias de la misma teoría. Gödel mostró cómo construir
una fórmula aritmética ϕ que represente la afirmación matemática “la fórmula ϕ no es
demostrable”. Y demostró que ϕ es demostrable sí y solamente sí lo es su negación. Pero
si bien ϕ no es formalmente demostrable por su construcción ϕ es verdadera, ya que
afirma su propia indemostrabilidad. Puesto que ϕ es verdadera y formalmente indecidible
el sistema que la contiene es incompleto. Si supusiéramos que la fórmula ϕ signifique “la
aritmética es consistente”, por las mismas razones tampoco sería demostrable en la teoría
axiomática.
Se han ensayado otras demostraciones de consistencia distintas a las “internas al sistema
mismo” acudiendo a técnicas más potentes que las de la propia teoría, como por ejemplo la
de inducción transfinita que es una extrapolación a los números ordinales transfinitos. Pero
estas técnicas, al igual que la teoría de los tipos de Russell, nos llevan a una regresión al
infinito, en la cual no habría una base determinada de fundamentación.
Otra razón que hace inalcanzable el ideal de formalización al estilo de Hilbert o Russell
consiste en que todo sistema tiene reglas operativas. Las reglas de formación establecen
cuáles son las fórmulas que pertenecen al sistema (fórmulas bien formadas) y las reglas de
transformación determinan como se pueden obtener nuevas fórmulas a partir de las
primitivas. En términos tradicionales diríamos qué procedimientos nos permiten obtener
nuevos teoremas a partir de los axiomas o de teoremas previamente demostrados. Ahora
bien, una regla es una norma de acción que no puede ser totalmente formalizada, pues debe
entenderse el sentido de lo que prescribe. En consecuencia el tratamiento puramente
sintáctico, al que se remitían en exclusividad tanto formalistas como logicistas, es necesario
pero insuficiente para una fundamentación. A la sintaxis, se debe agregar una semántica,
que tiene que ver con el contenido significativo de las reglas operativas y una pragmática,
que esclarece lo apropiado de su interpretación.
Por último queremos señalar lo inadecuado de una acusación al tratamiento lógico-formal
de la fundamentación matemática: que los sistemas formales son estériles. Nosotros
929

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
sostenemos que no lo son, puesto que engendran paradojas. En esta constitución paradojal o
antinómica de los sistemas formales se oculta el dinamismo y el espíritu creador de la
matemática. Esto nos permite afirmar que el quehacer matemático es al mismo tiempo
descubrimiento e invención. Quizás una futura fundamentación de la matemática deba
recurrir a la lógica dialéctica y a las lógicas paraconsistentes.
Bibliografía
Boyer, C. B. (1999) Historia de la Matemática. Madrid. Alianza Editorial.
Camino Cañón, L. (1993) La Matemática Creación y Descubrimiento. Madrid.
Universidad Pontificia Comillas.
Frege, G. (1974) Escritos Lógico-Semánticos. Madrid. Editorial Tecnos.
Gödel, K. (1981) Obras Completas. Madrid. Alianza Editorial.
Lakatos, I. (1978) Pruebas y Refutaciones. Madrid. Alianza Editorial.
Russell, B. (1967) Los Principios de la Matemática. Madrid. Editorial Espasa-Calpe.
930

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Uldarico Malaspina Jurado
Pontificia Universidad Católica del Perú
umalasp@pucp.edu.pe
Resumen
Si bien es cierto que la resolución de problemas es fundamental en la enseñanza de las matemáticas, es
también cierto que en una gran mayoría de casos el profesor de matemáticas no ha sido formado de manera
adecuada para orientar las sesiones de resolución de problemas con sus alumnos. Encuestas y entrevistas
realizadas a grupos de profesores de nivel básico y superior, revelan que en un alto porcentaje sus
experiencias en resolución de problemas se reducen a experiencias individuales y a la lectura de libros y
folletos con problemas resueltos, muchos de los cuales son esencialmente algorítmicos, poco atractivos y con
dificultades centradas en lo operativo. Una manera de contribuir a llenar este vacío es realizando talleres de
resolución de problemas con profesores, en el marco de los planteamientos de Polya y de Schoenfeld . El
autor de este artículo considera que los problemas de optimización son particularmente importantes, pues la
optimización es una actividad muy natural en el hombre, y en la vida cotidiana frecuentemente estamos
resolviendo o tratando de resolver problemas de optimización apoyados fuertemente en la intuición y
haciendo conjeturas. Trabajar con problemas de optimización es una excelente oportunidad para estimular el
desarrollo del pensamiento matemático - examinar diversos casos, considerar situaciones particulares, hacer
representaciones gráficas, abstraer, formalizar, conjeturar y demostrar, buscar contraejemplos, pensar en la
existencia de soluciones, plantearse generalizaciones, prever nuevas dificultades, etc. – y para motivar el
estudio de teorías matemáticas que resuelven rigurosamente los problemas planteados o los problemas
derivados de las especulaciones matemáticas a partir de ellos.
En el presente artículo, como parte de una investigación más amplia, y fruto de las observaciones, las
reflexiones y la experiencia del autor como profesor de una maestría en enseñanza de las matemáticas, y
animando talleres con docentes de matemáticas de secundaria en ejercicio y con estudiantes universitarios, se
presentan diversos problemas de optimización, con comentarios sobre los enfoques considerados al
resolverlos, ya sea por iniciativas de los participantes o por sugerencias del autor a partir de ellas.
Introducción
Es importante que los docentes conozcamos una variedad amplia de problemas de
optimización: los que se presentan en la vida cotidiana, los que tienen que ver con juegos y
estrategias, los relacionados con construcciones, los de geometría, los que tienen que ver
con el azar, etc. Reflexionar sobre ellos, manejar adecuadamente el ensayo y error, buscar
la visualización, proponer nuevos enunciados o contextualizaciones, resolver el mismo
problema de varias formas, hacer variantes al problema y crear nuevos problemas,
contribuye a contar con mayores elementos para orientar a nuestros estudiantes, tanto
estimulando su pensamiento matemático y valorando sus aproximaciones intuitivas, como
mostrándoles una visión más amplia e integrada de las matemáticas, pues a partir de
problemas sencillos se pueden tratar temas de geometría, aritmética, álgebra, análisis,
probabilidades, etc.
En el marco de un estudio de casos se ha encontrado que de manera especial en los
problemas de optimización, juega un papel muy importante la intuición, ya sea para prever
la solución o para una buena aproximación a la solución sin usar recursos matemáticos
refinados. Esta capacidad humana puede potenciarse grandemente en nuestros alumnos
orientando adecuadamente sus aproximaciones intuitivas a problemas de optimización
cuidadosamente seleccionados, graduados y presentados.
931

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Un problema sencillo que da para mucho
Entre varios amigos han reunido 4 soles para comprar caramelos y encargan a Juanito
que vaya a comprar el mayor número posible de caramelos, debiendo gastar
completamente los 4 soles. Juanito va a la bodega y encuentra que sólo hay caramelos de
0,30 soles y de 0,50 soles. ¿Cuál es el mayor número de caramelos que puede comprar
Juanito?
Comentarios:
1. El problema resultó atractivo en casi todos los casos.
2. En la mayoría de los casos fue resuelto por ensayo y error e intuición. Excelente
oportunidad para orientar adecuadamente este procedimiento tan frecuente en la vida
diaria. No debería reducirse a un conjunto de tanteos sino a un tanteo inicial y luego
la búsqueda de una racionalidad que oriente los siguientes ensayos.
3. Una manera interesante de abordar el problema fue utilizando el criterio “comprar
más del más barato” y luego haciendo los ajustes del caso al advertir que Juanito
compraría 13 caramelos de 0,30 soles y le sobrarían 0,10 soles. Debe dejar de
comprar caramelos de 0,30 soles de modo que añadiendo a lo que le sobró complete
0,50 soles o un múltiplo entero de 0,50 soles.
4. Una vez resuelto el problema, y ante la sugerencia de hacerle algunos cambios para
examinar la eficacia del procedimiento seguido, un cambio natural fue alterar el
monto total a gastar. El considerar cantidades mayores, como 40 ó 70 soles, hace ver
la ventaja de usar el criterio de “comprar más del más barato”. Resultó
particularmente interesante discutir el caso al considerar que la cantidad total a gastar
es de 1 sol, pues entonces la solución es muy simple: comprar dos caramelos de 0,50
soles y 0 caramelos de 0,30 soles, pero se está comprando más del más caro.
5. Es frecuente que en un intento de resolver más formalmente el problema, se llegue a
plantear la ecuación 0,3x + 0,5y = 4. Se debe afrontar entonces la dificultad de tener
una sola ecuación y dos incógnitas. Ante la opción del ensayo y error para encontrar
la solución, es importante recordar que se puede obtener una ecuación equivalente
más fácil de manejar, que debe comprarse el mayor número de caramelos (¿cómo
representar esto usando las variables x e y?) y que la representación gráfica de la
ecuación podría dar algunas pistas.
6. Al hacer la representación gráfica de la ecuación 3x + 5y = 40 usando papel
cuadriculado o DERIVE, se encontró la solución al problema examinando los puntos
de coordenadas enteras de la recta correspondiente. Momento oportuno para pedirles
que enuncien un problema de geometría analítica “equivalente” al problema de
Juanito. Se llegó al siguiente enunciado:
932
Encontrar el punto (a, b) de la recta 3x + 5y = 40, tal que a y b sean enteros
no negativos y a + b sea el número mayor posible.
7. Algunas reflexiones a partir de esta solución gráfica
i) ¿La existencia de un punto de coordenadas enteras nos garantiza la existencia de
otros puntos de coordenadas enteras?
Es muy ilustrativo hacer notar que la recta de ecuación 3x + 5y = 40 tiene
pendiente –3/5 y que, en consecuencia, si se parte de un punto P de coordenadas
enteras, al mover el punto P 5 unidades hacia la derecha (o hacia la izquierda) y
luego 3 unidades hacia abajo (o hacia arriba), se tendrá otro punto de la recta y

obviamente sus coordenadas serán enteras.
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
De esta observación se pasó a generalizar un poco: si en esta recta existe un
punto de coordenadas enteras, entonces existen infinitos puntos de coordenadas
enteras.
La observación anterior puede expresarse más formalmente usando ecuaciones y
considerando que el punto P de la recta tiene coordenadas enteras (x0 , y0):
⎧x
= x0
+ 5t,
t ∈ Z
⎨
⎩y
= y0
− 3t,
t ∈ Z
Si consideramos que P es un punto cualquiera de la recta y que el
parámetro t varía en R y no sólo en Z, tenemos las ecuaciones
paramétricas de la recta, obtenidas de manera natural.
Otro nivel de generalización que se examinó: ¿Si en una recta cualquiera existe
un punto de coordenadas enteras, entonces existen infinitos puntos de
coordenadas enteras.?
ii) ¿Todos los problemas similares tienen solución?
Esta pregunta llevó a pensar en variantes al problema, de modo que se obtenga
un problema que no tiene solución. La idea del contraejemplo, tan importante en
matemáticas, resulta de manera natural.
iii) ¿Cómo garantizar que un problema similar tiene solución?
Esta pregunta llevó a examinar aspectos teóricos y prácticos para resolver
ecuaciones diofánticas: la ecuación ax + by = c, con a,b,c ∈ Z admite una
solución entera (x0, y0) si y sólo si el máximo común divisor de a y b es
también divisor de c; y en consecuencia, si a y b son primos entre sí, la
ecuación admite una solución entera. Utilizando las ecuaciones paramétricas
obtenidas anteriormente, se llegó fácilmente a utilizar el método de Euler para
resolver ecuaciones diofánticas.
8. También se trabajó con un sistema de dos ecuaciones lineales:
{
3x + 5y = 40
x + y = k, con x, y, k ∈ Z; x , y, k ≥ 0; k debe ser máximo.
•
Haciendo representaciones gráficas (considerando por razones prácticas variaciones
de x e y en R) y examinando las intersecciones de una recta fija ( 3x + 5y = 40 )
con las rectas x + y = k , para diversos valores enteros positivos de k, hasta
encontrar el punto de coordenadas enteras no negativas que corresponda al mayor
P
933

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
934
valor posible de k, se está empleando, de manera natural, un método de la
programación lineal, y más específicamente de la programación entera:
k = k 10 = 10
k = 8
k = k 6 = 6
k = 14
k = 12
k = 12
Solución:
(10, 2), con
k = 12
9. Ciertamente, todas las disquisiciones anotadas se hacen teniendo en cuenta el nivel de
los participantes. Es destacable el hecho de poder incursionar en conceptos y métodos
de diversos campos de la matemática a partir de un problema sencillo y “real”, y
respetando las iniciativas de los participantes.
Otro problema sencillo, complementario al anterior
Carlos dispone de 50 monedas de medio sol y de 60 monedas de un quinto de sol. Si desea
entregar a María S/. 13,10 empleando sólo estas monedas, pero el menor número posible
de ellas, ¿cuál es el número de monedas de cada denominación que debe emplear Juan?.
Comentarios
1. Resulta interesante plantear un problema como éste, luego de haber trabajado el
anterior (de maximización), pues brinda la oportunidad de afianzar reflexivamente los
métodos empleados, tratándose ahora de un problema de minimización.
2. Algunos intentos del autor por lograr que los participantes inventaran un problema con
estas características, luego de trabajar con el anterior, no fueron muy exitosas.
El problema de la viga
Un tronco de madera tiene la forma de un cilindro circular recto cuyo largo mide 3 metros
y cuya sección transversal tiene 20 centímetros de diámetro. Se desea obtener una viga de
sección rectangular minimizando el desperdicio de madera en el corte. ¿Cuáles deben ser
las dimensiones de tal rectángulo?
Comentarios
1. En un 90% de los casos observados, se abordó este problema empleando cálculo
diferencial, o se percibió resistencias a tratar de resolverlo al ser consciente de no
recordar bien las técnicas de este campo de la matemática. Muchos intuyeron, sin
poder explicarlo, que el rectángulo debería ser un cuadrado. Quienes lo resolvieron
planteándolo formalmente como
maximizar 4xy, sabiendo que x 2 + y 2 = 100
y haciendo las derivadas correspondientes, no encontraron novedad en el problema.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
2. En las experiencias tenidas, se percibió cierto escepticismo en los participantes
cuando se les pidió resolver el problema sin emplear cálculo diferencial. Se sugirió
usar un gráfico que muestra un rectángulo inscrito en una circunferencia, con una de
sus diagonales (que es un diámetro del círculo) y pensar en maximizar el área de
uno de los triángulos que la diagonal determina con los lados del rectángulo,
considerando la diagonal como base de longitud fija y su correspondiente altura
variando al moverse el vértice en la circunferencia. Entonces no resultó difícil
obtener la solución: cuando la altura es un radio; lo cual lleva al cuadrado.
3. El impacto que produjo el razonamiento geométrico para resolver este problema,
sobre todo a quienes lo identificaron como uno propio del cálculo diferencial y se
esforzaron por recordar sus métodos, fue ocasión propicia para conversar sobre la
belleza de las matemáticas, lo cual es sumamente importante para quienes aprenden
y para quienes enseñan esta disciplina.
Problemas de optimización en juegos
i) Con el conocido juego de las torres de Hanoi, se planteó el problema de determinar el
menor número de movimientos para trasladar los discos de un poste a otro bien
determinado, considerando inicialmente cuatro discos y luego n discos.
Comentarios:
1. Este problema-juego brinda una buena oportunidad para experimentar – y con
material concreto - la importancia de considerar un problema más simple que ayude a
resolver el problema planteado (en este caso, considerar menos de cuatro discos); para
estimular el razonamiento inductivo; para tomar conciencia de la importancia de la
demostración y para adoptar una notación adecuada para representar las situaciones.
2. Se decidió usar ternas para indicar la ubicación de los discos en su posición inicial y
después de cada movimiento. En el caso de dos discos, A y B, ubicados en el primer
poste: pasar de (AB, Φ, Φ) a (Φ, Φ, AB). Empíricamente es fácil concluir que se
requieren sólo tres movimientos. ¿Y la demostración? Un diagrama de árbol con todas
las posibles secuencias de dos movimientos, demuestra que es imposible llegar a (Φ,
Φ, AB) en menos de tres movimientos. Es muy enriquecedor matemáticamente
deducir el menor número de movimientos teniendo 4 discos en base al conocimiento
del menor número de movimientos con 3 discos y luego obtener la expresión recursiva
general para el menor número de movimientos: M(n) = 2M(n-1) + 1, siendo M(1) = 1.
La obtención de una expresión funcional para M(n) lleva a trabajar con progresiones
geométricas o con ecuaciones en diferencias de primer orden.
3. Otra línea de trabajo fue usar la obtención experimental del mínimo número de
movimientos con 1, 2 y 3 discos y la conjetura que en general el menor número de
movimientos con n discos será 2 n – 1. Fue ocasión adecuada para reflexionar sobre la
demostración matemática y en este caso para usar la inducción matemática.
ii) Otro juego muy interesante es el denominado “sol y sombra”: en una fila de 7
casillas se ubican 3 fichas azules en cada una de las tres casillas de la izquierda y 3
fichas rojas en cada una de las 3 casillas de la derecha. El problema-juego consiste
en determinar el menor número de movimientos necesarios para intercambiar la
ubicación de las fichas azules y rojas. Un movimiento es: o el desplazamiento a una
casilla adyacente vacía, o el salto por encima de una ficha de otro color a una casilla
vacía adyacente a ésta. Cada casilla puede estar ocupada a lo más por una ficha.
935

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Comentarios
Como en el caso anterior, la experimentación y la intuición llevan a la solución, pero no es
fácil pasar a una demostración y a una generalización. Fue una oportunidad para evaluar en
qué medida usarían creativamente las experiencias tenidas con las torres de Hanoi.
Adoptaron una notación y usaron diagramas de árbol, pero el análisis de los casos sencillos
no llevó muy fácilmente a una explicación lógica del número mínimo de movimientos. (En
este caso no hay un planteamiento recursivo como en el problema de las torres.) Fue útil
sugerir que expresen el número que encontraban experimentalmente distinguiendo entre
desplazamientos y saltos. Tomó tiempo demostrar que n 2 + 2n es el mínimo número de
movimientos, teniendo n fichas azules y n rojas en una fila de 2n + 1 casillas.
Problemas de optimización y geometría
Personajes de la historia de las matemáticas, como Herón de Alejandría y Jacob Steiner
están vinculados al paso de la intuición a la demostración de conjeturas sobre la solución de
problemas de optimización en geometría. Es enriquecedor matemáticamente trabajar con
problemas isoperimétricos; en particular, iniciar con el problema-juego de construir una
figura plana de perímetro dado, teniendo suficientes cuadrados de la misma área, de modo
que el área total sea máxima. Es muy formativo hacer el análisis de los casos sencillos y
llegar a una solución general.
Otra línea de trabajo es la búsqueda de los caminos más cortos. Pasar de problemas en un
cilindro circular recto o en un cubo – solucionables con argumentos de geometría plana - a
problemas en una esfera, lleva de manera natural a comentar y trabajar intuitivamente
temas importantes en la cultura matemática y en las aplicaciones actuales, como las
geometrías no euclídeas y el cálculo de variaciones. La limitación de espacio no permite
exponer las interesantes experiencias tenidas con universitarios y docentes.
A modo de conclusión
Los cursos, talleres y sesiones de trabajo tenidos por el autor con problemas de
optimización como los expuestos, fueron muy motivadores para los participantes y
brindaron experiencias en las que interactuaron la intuición, los conocimientos
matemáticos, la creación de nuevos problemas y la metacognición, lo cual fue reconocido
como muy importante para aprender y para que los docentes orienten mejor la formación
matemática de sus estudiantes.
Bibliografía
Corbalán, F. (1998). Juegos matemáticos para secundaria y bachillerato. Madrid, España: Editorial Síntesis.
Courant, R and Robbins, H. (1963). What is mathematics? New York, USA:Oxford University Press.
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Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense making
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USA: Macmillan.
936

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
UNA COESTRATEGIA PARA EL DESARROLLO DE LAS HABILIDADES
CIENTÍFICA-MATEMÁTICA: LOS PROYECTOS ESCOLARES
Laura María Benavides López.
Ministerio de Educación Pública de Costa Rica.
laura@costarricense.cr; laura17@latinmail.com
Resumen
El desarrollo de las competencias básicas científicas, matemáticas y tecnológicas son factibles cuando sus
contenidos, conceptos y procesos; entre otros, se abordan desde una comprensión social y cuando se emplea
un marco interdisciplinario para dar respuesta a los problemas. Los proyectos escolares es una estrategia
para el aprendizaje de la ciencia, matemática y la Tecnología ya que potencializa en alumnas y alumnos la
adquisición de una visión integrada de los fenómenos naturales y la comprensión de las diferentes teorías y
modelos desde una dimensión sociocultural; sobre los que se van construyendo el conocimiento. Los
objetivos del presente trabajo son (a) Promover la utilización de los proyectos escolares como una
coestrategia para el desarrollo de habilidades cognitivas científicas y matemáticas y (b) Fortalecer el abordaje
metodológico, para la iniciación de los niños y jóvenes en la investigación y formulación de proyectos de una
forma interdisciplinaria.
Marco de referencia
A partir del 2000 he pertenecido al Comité Regional de la “Feria Científica de Ciencia y
Tecnología de la Dirección Regional de Educación de San Carlos”, Costa Rica, en mi
condición de coordinadora y asesora de ciencias, he analizado un aproximado de 400
informe escrito de los proyectos y escuchado las exposiciones que realizan los jóvenes y
niños de los mismos, (las y los estudiantes que participan en este evento están en edades de
6 a los 18 años) lo que me ha permitido determinar que los proyectos de investigación
promueven la asimilación de auténticos aprendizajes, desarrollo de estructuras cognitivas,
por lo que considero que es un vehículo idóneo para el aprendizaje y contribuye a mejorar
la percepción de la sociedad civil respecto a la ciencias y tecnología. Cabe destacar que los
proyectos escolares, a diferencia de otras actividades, logran integrar a la familia, a
miembros de la comunidad en el proceso de enseñanza aprendizaje de la ciencia y
tecnología.
Descripción
Para iniciar el proceso de investigación ,ya sean en proyectos escolares científicos, sociales
o tecnológicos; y que se constituyan en una excelente coestrategia para el desarrollo de las
habilidades científico matemáticas, el papel del tutor es esencial. Él es un mediador que
debe proporcionar experiencias que incentiven el deseo por aprender e indagar acorde a los
ritmos y estilos de aprendizaje. Díaz (2001:6) cita: “La metáfora del andamiaje propuesta
por Bruner nos permite explicar la función tutorial que debe de cubrir el profesor. El
andamiaje supone que las intervenciones tutoriales del enseñante debe de mantener una
relación inversa con el nivel de competencia en la tarea de aprendizaje manifestado por el
aprendiz, de manera tal cuanto más dificultades tenga el aprendiz en lograr el objetivo
planteado tendrá no solo mayor cantidad de ayuda sino en su cualificación”. Por lo que se
debe proporcionar experiencias que incentiven el deseo por aprender, hacer e indagar. Ser
un mediador implica:
Producir desequilibrio cognitivo.
937

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Propiciar la aplicación de diferentes métodos para realizar los diferentes proyectos de
investigación, es lo más acorde a la naturaleza humana, a los estilos y ritmo de
aprendizaje.
Ayudar ver al estudiante las metas por alcanzar.
Elegir momentos significativos de aprendizaje.
Hacer sentir al alumno(a) aceptado en sus dificultades y éxitos.
Apoyar a su previa autoestima.
Comunicarle oportunamente sus logros.
Formular diferentes tipos de preguntas: reproductivas, divergentes, convergentes y
evaluativas.
La primera dificultad que se le presenta al docente es cómo generar ideas de posibles
proyectos en las y los estudiantes. En primer lugar es esencial que el docente borre de su
mente, que para hacer investigaciones, se requiere de equipo costoso de laboratorio. Como
también “superar la idea del carácter abstracto de la matemática”. Ochoa( 1999:125): “La
matemática no se produce por abstracción de la esencia de las cosas. ...La producción
matemática consta de esquemas conceptuales que representan las acciones, movimientos y
manifestaciones de los seres humanos de las cosas, o de las cosas entre sí, por medio de
manipulaciones simbólicas sobre las cuales pueden montarse otras estrategias o niveles de
manipulación matemática y así indefinidamente, sobre esquemas matemáticos puede
generarse una matematización”. Y en segundo lugar, es necesario conocer la estructura de
cada una de las disciplinas, su red conceptual. En la enseñanza constructivista, los
conceptos son “extraídos de los estudiantes, de sus análisis de sus respuestas cuando se les
presenta un problema; ellos son los que lanzan las conjeturas y posibles soluciones al
problema”. Es relevante que se tome en cuenta los siguientes pasos para el planteo del
problema:
1.-Partir de un problema, que contemple las características:
Sencillo para que todos lo entiendan y puedan opinar acerca de las posibles
soluciones.
Debe causar curiosidad e interés.
Permitir la diversidad de enfoques.
Debe facilitar al docente establecer diferentes niveles de solución desde lo más
simple a lo complejo.
2.-Brindar un espacio, para saber si todos comprendieron el problema.
3.-Discutir el problema, sin truncar el proceso.
4.-Asumir una posición al respecto y justificarla.
5.-Contraponer las razones, donde son escuchadas y respetadas.
6.-Motivar, para que cada estudiante re-evalúe su posición anterior. El cambio de
posición respecto al problema es por la veracidad, lógica y pertinencia que tenga la
otra justificación. El docente debe de mantenerse al margen, rescatando los
argumentos válidos y contraponiendo los no tan válidos.
7.-Contrastación empírica, se propone una experiencia práctica, elaboración de un
modelo, un algoritmo entre otros.
8.-Reacción de los estudiantes ante los resultados, los alumnos confirman su
“hipótesis” o pueda que alguno refute lo obtenido y solicite volver a realizar la
experiencia u otra similar.
938

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
9.-Reorganización de las ideas, de los conceptos generados en la solución del
problema.
Presentar su medio físico y natural como una fuente generadora de problemas donde
los estudiantes observen, manipulen, analicen, indaguen, discuten y formulen
preguntas; es la mejor manera de aprender a aprender.
Seleccionar “algo de ocurrencia cotidiana”; un fenómeno natural, social, tecnológico le da
significado al sustento teórico; Acevedo(2002:5): “centrado en cuestiones científicas y
tecnológicas relevantes que afectan a la sociedad, suelen ser adecuadas para motivar a los
alumnos porque conectan más fácilmente con sus intereses”.
Incentivar la observación y el análisis en diferentes dimensiones (social, económica,
técnica, científica y ética; hechos cotidianos) como podría ser:
A. Los cambios fisiológicos, sociales y económicos que ocurren cuando nos
enfermamos de gripe.
B. Los efectos de las “celebraciones navideñas” en las personas desde varios puntos de
vista. Y en diferentes niveles: familiar, comunal y nacional.
C. La tecnología novedosa que emplean las plantas hidroeléctricas, plantas
procesadoras de frutas.
D. O podrían ser aspectos del Mundial de Fútbol 2002.
La diversidad en los seres humanos, características fenotípicas: ¿de qué
dependen?
¿El idioma influye en el desempeño de cada uno de los equipos durante el
partido?
¿Por qué nos levantamos los centroamericanos, en la madrugada a ver los partidos
de televisión cuando en Japón se realizan durante el día?
El docente o tutor debe brindar diferentes escenarios, experiencia para permitir al
estudiante volver a descubrir. Las intenciones y finalidades que el docente haya planificado
para la realización de la experiencia deben ser ajenas al alumno. El docente, conocedor de
los intereses de sus estudiantes, organiza con anterioridad posibles objetos de estudio: ha
planteado preguntas claves de diferente categoría, para inducir, guiar a los alumnos(as) en
el proceso indagativo y en la resolución de problemas de una forma sistemática. La
observación y discusión de los hechos y resultados es importante que se realicen en un
ambiente participativo. Siempre se debe partir del marco conceptual preexistente de las y
los alumnos para que ellos mismos se planteen preguntas y se den las respuestas. Cuando
ellos se sienten escuchados fortalecen su confianza en su forma de pensar, por otra parte,
escucharles ayuda al docente a identificar cuánto saben y no saben. Otra estrategia sería
iniciar con una lluvia de ideas de algunos posibles temas y anotar las sugerencias en la
pizarra. Seguidamente citar los recursos disponibles con que cuenta para desarrollar cada
una de las ideas planteadas, priorizarlas; determinar el problema de estudio por consenso
(se recomienda la aplicación de los pasos para el análisis del problema citado
anteriormente). Después se les pregunta a los alumnos(as): ¿cuál sería la posible solución al
problema que han seleccionado?; a la par de cada solución que los estudiantes han
manifestado, se anotan cosas que hay que hacer para su posible verificación. De esta
manera se visualizará con qué recursos se cuenta. Se organizan los estudiantes en equipos,
donde ellos mismos se asignan tareas. Una vez que se ha planteado el problema y los
objetivos; viene la fase de indagación bibliográfica que es la base que sustenta el marco
teórico. En Costa Rica, las Ferias Científicas son espacios que permiten a los docentes
939

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
incluir dentro de las actividades educativas la formulación y ejecución de proyectos. Se han
establecido dos grandes categorías:
A. Redescubrimiento, es una estrategia desde el punto de vista de la enseñanza de la
ciencia apropiada, ya que combina el método inductivo deductivo y permite a los
estudiantes “redescubrir” soluciones y procesos.
B. Proyectos Científicos – Tecnológicos. Los alumnos establecen una hipótesis
(causa-efecto), realizan un estudio del caso o diseñan un experimento, recogen sus
propios datos, los interpretan y llegan a conclusiones válidas.
En los Proyectos Tecnológicos, plantean la posibilidad de establecer una nueva
tecnología o modificar una existente para resolver problemas específicos.
Si lo que se desea es la aplicación de un principio científico y tecnológico, el docente puede
optar por hacer una experiencia guiada, mediante la cual le proporciona los materiales y
métodos para hacer el experimento (como los que vienen en los libros de texto). En donde
los alumnos(as) realizan la experiencia, observan, anotan, registran lo ocurrido y luego
obtienen conclusiones. Después de terminado el experimento, los estudiantes realizan una
indagación bibliográfica respecto al tema, para tener mano de referencia, como también
establecer puntos de encuentro y discrepancias entre lo que dice la literatura y lo que ellos
han encontrado. Cuando la experiencia es semiguiada el docente media para que el alumno
diseñe el experimento; la ayuda que proporciona el docente es por medio de preguntas, irlo
induciendo. Una vez que se propone el diseño metodológico se siguen: la tabulación,
registro, conclusiones, análisis, revisión bibliográfica. En cambio el proyecto es una
demostración de un principio, procesos científico-tecnológicos, donde se tenga que
construir un modelo o hacer un proceso. El acompañamiento es diferente. Una vez que se
tienen el objeto de estudio y se ha planteado el problema, ejemplo: ¿Cómo verificar la
presencia de hierro en los cereales a base de maíz? Los estudiantes manifiestan que hay que
hacer un aparato, pero ¿qué rasgos debe tener ese artefacto? Es aquí donde la revisión
bibliográfica se hace primero, referente a hierro, imanes, etc; luego se construye el modelo
(que puede ser una réplica de algún artefacto). Se hace el modelo, se prueba y se anotan
observaciones, se registran y se sacan conclusiones. Pero cuando el alumno(a) opta por
demostrar un proceso; como por ejemplo: la pasteurización, es conveniente que la revisión
bibliográfica la realice después de haber demostrado la experiencia. La investigación
bibliográfica es un proceso y como tal hay que orientar las acciones. Se presenta a
continuación los pasos que se requieren propiciar en la investigación de acuerdo con
Molina (1998:70):
Determinar con claridad el fenómeno, hecho o situación sobre el cual se desea
investigar (problemas de comunidad, origen de los pobladores de la comunidad,
indicadores de la población, etc.).
Plantear interrogantes ante la situación, el hecho o el fenómeno específico al cual se
quiere dar una respuesta, o ante un objeto de estudio sobre el que se quiere aumentar
el conocimiento.
Concretar el problema, presentándolo mediante una o varias preguntas.
Señalar los aspectos básicos, derivados de la pregunta que debe ser objeto de la
investigación.
Identificar las fuentes de información (periódicos, revistas, libros de texto y de
consulta, personas de la comunidad, familiares, el maestro, etc.).
940

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Seleccionar la forma más adecuada para recoger la información (observación,
encuestas, cuestionarios, lectura y síntesis, etc.).
Aplicar las formas seleccionadas para recoger la información.
Resumir e interpretar la información obtenida.
Analizar la información recogida, organizándola de acuerdo con ciertos criterios,
elaborando resúmenes, cuadros, esquemas, etc.
Presentar un informe final sobre la investigación organizada en forma lógica y
coherente.
Es importante resaltar que la experimentación como estrategia didáctica, no es la
experimentación que realiza un científico, o la comprobación matemática como recursos de
aprendizaje implican una verificación, un volver a rehacer, a redescubrir, permite que el
estudiante construya su conocimiento mediante su propia actividad. Otro punto clave, es la
elaboración del informe escrito. Por lo general los programas de estudios de Español, en los
diferentes currículos incluye la elaboración de textos, lectura técnica y la utilización de
riqueza léxica, entre otras cosas. Esto facilita a que las instituciones educativas, las
asignaturas y los diferentes profesores se correlacionen. Los jóvenes investigadores deben
de llevar (de su puño y letra) apuntado todo lo que han hecho, observado y concluido,
aunque no tenga un orden de estructura determinada; estos apuntes a manera de bitácora
servirán para elaborar el informe escrito. Una estrategia es emplear papelógrafo para los
estudiantes de 10 a 13 años. Un miembro del equipo escribe, intercambia, unifican ideas. El
papel del educador es preguntar para que las ideas queden claras; en esta parte el docente
debe ser paciente, respetar el ritmo y estilo de aprendizaje de los alumnos. No es
conveniente señalar errores de ortografía, ni de concordancia en el momento que están
escribiendo, sino después se lee , para que ellos escuchen lo escrito y puedan corregir sus
textos. Después se realiza una segunda lectura y se determina si hay información superflua,
eliminándola , para lograr un estilo más conciso, como también se debe cuidar que el
término que se emplea sea el correcto, las frases que se usan sean claras. Hay normas ya
establecidas de presentación para el informe de un proyecto. Los proyectos escolares, no
son únicamente un punto de convergencia sino un vértice que abre un abanico de
posibilidades para enseñar y aprender de una forma integradora y vincular los contenidos a
lo cotidiano a su entorno social y cultural de los estudiantes. La interdisciplinariedad en el
desarrollo del proyecto es indispensable: vemos como la matemática se va haciendo útil y
significativa a los alumnos, se refuerza lo que es medición de unidades, utilización
adecuada de instrumentos de medición, empleo de algoritmos de operaciones básicas,
confección de tablas gráficas; el empleo de álgebra, de la estadística y probabilidad se
estimula el razonamiento lógico matemático, predicción de cálculo, estimación y la relación
de orden entre otros. El abordaje a los problemas y soluciones de cara a la realidades
sociales y culturales y comprender de que manera están interrelacionados la ciencia, la
tecnología, la matemáticas y otras disciplinas hace que “los proyectos de investigación
tengan tal movilización y aplicación de conceptos de procesos de diferentes áreas que
facilitan indiscutiblemente el desarrollo de competencias básicas”:
A. Pensamiento conceptual con raciocinio abstracto, en cuanto va a permitir el
análisis de instrucciones complejas que son necesarias para trabajar, sino para
utilizar aparatos técnicos, hacer inferencias de procesos figurados no vividos
empíricamente.
941

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
B. Capacidad para manipular modelos mentalmente, para operar sobre
representaciones que han sido construidas más en el horizonte del lenguaje digital y
funcionando con códigos de representación diferente al escrito.
C. Codificación y descodificación verbal, escrita y de imagen, cada vez el lenguaje
se hace cada vez más complicado y la manera de cómo éste será transmitido.
D. Creatividad, reorganiza el conocimiento de creación de nuevos procesos.
E. Habilidades innovativas, crear sobre la marcha colocando el potencial cognitivo al
servicio de una adaptación que hoy significa menos lo estable y es mucho más lo
cambiante, forjando cualidades personales de tipo psico-cultural para la rápida
adaptación al cambio.
Para facilitar visualizar, el enfoque Integral de los proyectos y el desarrollo de habilidades
cognitivas ,se presenta la siguiente matriz .
942
Matriz de Habilidades Cognitivas Científico – Matemáticas.
Observa
Dosificar
Compara
Infiere
Predice
Analiza
Mide
Comprueba
Propone
Hace
Manipula
instrumen-
Registra
Aplica
razonamien
Aplica
Resuelve
Plantea
problemas a
Estima
longitudes
Imaginación
Generaliza
Abstrae
constructivamente
Proyecto 1. ▒ ▒ ▒ ▒ .. ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒
Proyecto2. ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ .. ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒
Proyecto 3. ▒ ▒ ▒ ▒ .. ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒
▒ ▒ ▒ ▒ .. ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ ▒
Proyecto 4.
Honestid
ad
Disciplin
a
Racional
idad
Laborios
idad
Valores y Actividades
Toleranc
ia
Orden
Sistemati
zación
Sensibili
dad
Bibliografía.
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-Molina B., Zaida (1998). Planeamiento Didáctico. San José, Costa Rica: EUNED, 1ª edición.
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Preescolar, Primaria y Secundaria para prepararlos en la organización de Ferias de Ciencia y
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Editorial Universidad Estatal a Distancia.
943

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
944
USO DE SOFTWARE EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Marco Barrales
Colegio Alemán de Concepción, CHILE
e-mail: mbarrale@dsc.cl , marcobarrales@vtr.net
Resumen
Las clases de matemáticas no debieran tener como objetivo fundamental el aprendizaje de contenidos
(definiciones, teoremas, axiomas…) que posteriormente serán aplicados a la resolución de un gran listado de
ejercicios y problemas propuestos por el profesor y que justificará el aprendizaje de dichos contenidos, sino
que, por el contrario, debieran partir con un problema concreto y familiar para el alumno. Una vez planteado
éste y discutido por todos, estudiantes y profesor, traerá como consecuencia la obligación de resolverlo y por
tanto la necesidad del aprendizaje de las técnicas que son necesarias para ello y recurrir al uso de tecnología
disponible. Es muy importante destacar que durante todo el proceso el alumno hace conjeturas que irá
verificando en cada paso. Se dará cuenta que algunas de las conjeturas que hizo son correctas y que otras no
lo son, es decir, cometerá errores y aciertos, en función de los cuales irá cimentando su aprendizaje. Pero, por
sobre todo, debe aprender que “va al colegio a equivocarse”, pero que no debe quedarse en el error, que en la
discusión con sus compañeros y el profesorado encontrará la(s) solucione(s), que es probable que más de una
sirva, pero que también unas son mejores que otras, que en algunos casos hay una solución óptima, en
definitiva irá “aprendiendo a aprender”. Se ilustra lo anterior planteando resolver un clásico problema de
construcción de cajas utilizando como herramienta de aprendizaje el software DERIVE 5.
Problemas que favorezcan “aprender a aprender”
Las clases de matemática no debieran tener como objetivo fundamental el aprendizaje de
contenidos (definiciones, teoremas, axiomas, etc.) que posteriormente serán aplicados a la
resolución de un gran listado de ejercicios y problemas propuestos por el profesor y que
justificará el aprendizaje de dichos contenidos, sino que, por el contrario, debiera partir con
un problema concreto y familiar para el alumno, el cual, una vez planteado y discutido por
todos, traerá como consecuencia la obligación de resolverlo y por tanto la necesidad del
aprendizaje de las técnicas que son necesarias para ello y como usar la tecnología
existente. Damas, de acuerdo al nuevo enfoque metodológico impulsado por la Reforma
Educacional Chilena, se orienta al proceso de construcción y adquisición de habilidades
intelectuales, en especial las relativas a procesos de abstracción y generalización,
formulación de conjeturas, proposición de encadenamientos argumentativos y la utilización
y análisis de modelos que permitan describir y predecir el comportamiento de algunos
fenómenos en diversos contextos.
El taller que se reporta en este artículo mostró tres ilustraciones específicas que dan una
aproximación a los usos de la tecnología, en especial la calculadora gráfica. Ellas son:
a) Actividades de Matemática Integrada para hacerles ver la Matemática como un todo.
Además, haciendo problemas de Matemática Integrada podemos motivar a que los alumnos
realicen investigaciones a niveles de Enseñanza Básica y Media. Vamos a ver un ejemplo
utilizando la calculadora gráfica Voyage 200 PLT.
b) En segundo término, propone resolver el siguiente clásico de máximo y mínimo. La
construcción de cajas utilizando como herramienta de aprendizaje las ideas anteriores y el
software DERIVE 5, como una aproximación al trabajo en Resolución de problemas.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
c) Por último, recupera el análisis y el pensamiento reflexivo que nos provee la
geometría (Grecia y Euclides). Permitiendo una exploración mayor que la clásica con
regla y compás. Gracias al software, una situación matemática puede ser estudiada desde
varios ángulos y de una forma dinámica, amigable para el estudiante y que le lleva a
crear sus propias soluciones. Para ello se explora el Cabri Jr.
Ilustrando el enfoque “aprender a aprender”con un problema de construcción de
cajas en el que se recurre, como una herramienta, al software DERIVE 5
El problema. Tome una hoja de cartón de medidas 20 cm. por 25 cm. y recorte cuadrados
de x cm. por x cm. en dos esquinas. Recorte rectángulos de x cm. por 12.5 cm. en las otras
dos esquinas. Pliegue el papel de cartón para formar una caja con tapa. ¿Para qué valor de
x se obtiene el máximo volumen V (x)
de la caja?. Utilice tablas y gráficos para hallar la
solución. Comprobar utilizando criterio de la segunda derivada.
Solución.
Realizaremos un esquema (dibujo) de la situación a maximizar. Del diagrama obtenemos
las siguientes relaciones:
a + 2 x = 20 y 2 b + 2x
= 25 , si despejamos a y b respectivamente obtenemos:
945

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Con esta información expresamos el volumen de la caja en forma algebraica.
946

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
948

Conclusiones
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Trabajando con esta metodología se logra no solo adquirir competencias en el campo de la
matemática, sino también en el trabajo grupal de los estudiantes. La discusión de las
soluciones y la elección del mejor método de investigación serán un significativo aporte al
aprendizaje del respeto a las opiniones ajenas y el reconocimiento del error propio y el
acierto ajeno como también el respeto al que se equivoca.
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949

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
TALLER TÉCNICAS PARTICIPATIVAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
950
Myrna Edith Brúculo
Licenciatura en Matemática-San Pedro Nolasco-Universidad del Aconcagua
myrnabru@uolsinectis.com.ar
Resumen
Para la integración de los miembros más jóvenes a nuestra sociedad es imprescindible la adquisición de una
formación matemática que les permita plantear y resolver problemas cotidianos, desarrollar la capacidad para
explorar, formular hipótesis, predecir, analizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos, entender
situaciones e informaciones y acomodarse a contextos cambiantes. Y es allí en donde los docentes
encargados de la consecución de ese fin tienen la responsabilidad de dominar los métodos, medios
instrumentales y técnicas que les permita a los alumnos la construcción del conocimiento de manera tal que
mediante la aplicación de estos recursos se puedan desarrollar al máximo sus potencialidades. El taller que se
presenta en este artículo parte de la premisa que la actividad grupal es un medio fundamental para la
construcción del conocimiento individual y colectivo. Es por ello que se realiza una descripción detallada de:
-Técnicas de presentación
-Técnicas que contribuyen a facilitar el trabajo en grupo
-Métodos y técnicas que propician la asimilación de conocimientos
-Métodos y técnicas participativas para la solución creativa de problemas, entre otras
Estos étodos, técnicas y procedimientos serán presentados mediante la aplicación a situaciones problemáticas
concretas típicas del quehacer matemático en el aula.
El taller
Casi en el umbral de un nuevo siglo, cabe destacar que la educación matemática es ética.
No podemos pensar en aprender si no es con, por y para otros. Todo saber implica un grado
de compromiso social desde el momento en que nos planteamos como meta el aprender
para comprender y transformar la realidad. Es por ello que este trabajo surge como una
alternativa innovadora en la que se aplicarán métodos y técnicas participativas. Permitiendo
que el docente optimice al máximos los recursos a su alcance . Y logrando así los mejores
resultados en esta tarea que es enseñar a aprender.
La Estadística Aplicada en el curso de Matemática II de la modalidad Ciencias Naturales,
Salud y Ambiente posee gran importancia. Es por ello que la sociedad actual, con su
cúmulo de problemas requiere técnicos superiores con conocimientos estadísticos que le
permita ser capaz de enfrentarse a las demandas de un mundo que exige soluciones
comunes a situaciones de apariencia diferentes.
El taller TÉCNICAS PARTICIPATIVAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS tiene
como propósito que los participantes tomen conciencia de la importancia de la aplicación
de técnicas participativas en la resolución de problemas. Contempla realizar las actividades
de:
-Analizar un ejemplo propuesto y señalar las distintas técnicas participativas que se
aplican en los distintos momentos de la clase.
-Elegir una situación problemática concreta del quehacer en el aula y aplicarle las
técnicas participativas que crea pertinente.

Las técnicas y métodos
REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Si todo o casi todo cambia, es descartable o tiene fecha de vencimiento, ¿qué vale la pena
enseñar?, ¿qué es necesario saber? En todos los países del mundo se discute en torno a
estas preguntas. En matemática, una tendencia generalizada parece señalar que lo mejor
que nuestros alumnos pueden llevarse de su paso por la universidad son los buenos y
eficaces procesos de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez y que
tienen un amplio abanico de aplicaciones.
Es por ello que a través de la conversación heurística se promoverá el intercambio de ideas.
Aceptando puntos de vista contrarios a los propios. Mediante la búsqueda parcial se
facilitará el trabajo simplificando la tarea. A través del seminario se discutirá en pequeños
grupos. El P.N.I es una técnica de integración. La técnica rejilla permite que el alumno
resuelva problemas y ejercicios en corto tiempo. La situación problémica permite que se
pueda realizar una síntesis de todo lo estudiado referido al tema en cuestión. La discusión
en pequeños grupos promueve la participación activa y mancomunada de todos los
integrantes del grupo Y finalmente la discusión plenaria se utiliza como recurso integrador
final.
Técnicas que facilitan el trabajo en grupo
Algunas de las técnicas más usadas para estimular la participación e integración de los
miembros del grupo son: La técnica de presentación; El encuadre; Parejas cruzadas;
Técnicas de las expectativas de los participantes.
Métodos que propician la asimilación de conocimientos
Entre los métodos que permiten acelerar la adquisición de conocimientos está el método
de discusión en sus diferentes variantes: Discusión en pequeño grupo; Discusión plenaria;
Conferencia; Panel. Asimismo tiende a estos propósitos el método problémico: exposición
problémica; conversación heurística; método investigativo. Y, la técnica rejilla, entre
otros.
Técnicas para la solución creativa de problemas.
Entre las técnicas que favorecen el desarrollo del pensamiento creativo puede
considerarse: Las técnicas de Edwuard De Bono (P.N.I., C.T.F., donde las siglas se
corresponden con Positivo, negativo, interesante y Considere todos los factores); Tormenta
de cerebros o lluvia de ideas; El antiéxito.
Las situaciones peoblémicas
Situación 1
El tema de medidas de tendencia central (promedio, mediana y moda) y medidas de
variabilidad es fundamental en la formación de alumnado que le permite interpretar la
terminología estadística, tener nociones del alcance y limitaciones de esta disciplina. Como
así también aplicar sus conceptos a la resolución de situaciones problemáticas inherentes a
ésta especialidad.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
Objetivos
-Elaborar una tabla de frecuencias.
-Deducir las expresiones matemáticas del promedio, mediana, moda, desviación media y
varianza.
-Graficar la información con el tipo de gráfico pertinente.
-Resolver situaciones problemáticas concretas que muestren la necesidad de una teoría
cuantitativa que permita tomar decisiones e interpretar la información.
Desarrollo
-Como recurso motivador, el profesor hará una breve reseña histórica de la evolución de la
estadística hasta nuestros días. Resaltando la importancia en la toma de decisiones.
-Se formarán cinco grupos.
-El profesor le entregará a los alumnos una guía teórico práctica de completamiento.
-Se realizará una indagación de ideas previas donde se recordarán las expresiones
matemáticas del promedio, mediana antes vistas.
Grupo 1. Deberá completar en la guía el proceso a través del cual se obtiene el valor
mediante la expresión matemática del promedio (en serie simple y en intervalos de clases).
Grupo 2. Deberá completar en la guía el proceso a través del cual se obtiene el valor
mediante la expresión matemática de la mediana.
Grupo 3. Deberá completar en la guía el proceso a través del cual se el valor mediante la
expresión matemática dela moda.
Grupo 4. Deberá completar en la guía el proceso a través del cual se obtiene el valor de la
expresión matemática de la desviación media.
Grupo 5. Deberá completar en la guía el proceso a través del cual se obtiene el valor de la
expresión matemática de la varianza. Graficar la información.
Actividad práctica 1
-Discusión en pequeños grupos.
-Discusión conferencia.
Los grupos se reunirán para intercambiar opiniones referidos a las producciones que han
realizado. Expondrán las producciones que obtuvo cada grupo sobre los contenidos que se
le fueran asignados. Se evaluarán mediante interrogatorio oral. La actividad en el plenario
tendrá cuatro momentos:
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-Exposición de trabajos.
-Discusión colectiva
-Síntesis final.
-Aprobación de los indicadores de evaluación.
En el transcurso del seminario cada grupo presentará su producción en la cual podrán
participar activamente todos los alumnos mediante el intercambio de opiniones, dudas,
verificación de conclusiones. Es fundamental el rol de cada estudiante, especialmente el de
los secretarios que son los encargados de informar sobre los indicadores de evaluación y las
conclusiones a las que se arribe. Para evaluar la actividad se realizará un P.N.I.

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
Actividad práctica 2
Técnica de la rejilla
Se agruparán en cinco equipos, de cinco alumnos cada uno, según la siguiente rejilla:
EQUIPOS A B C D E
I 1 2 3 4 5
II 6 7 8 9 10
III 11 12 13 14 15
IV 16 17 18 19 20
V 21 22 23 24 25
Esta técnica consta de dos momentos.
-En el primer momento cada equipo resolverá un ejercicio. Dicho grupo estará construido
con los números que quedaron en la común.
Todos los miembros actúan como registradores y tienen la posibilidad de resolver y
entender el ejercicio asignado para poder explicarlo en el segundo momento.
-En el segundo momento los equipos se forman en filas quedando integrados por un
representante de cada uno de los grupos anteriores.
Deberán resolver todos los ejercicios propuestos para la actividad. Una vez finalizada esta
etapa, se realiza un plenario donde un grupo seleccionado al azar o designado dará una
explicación general de las soluciones de los ejercicios, procediéndose posteriormente al
debate y análisis conjunto. Al finalizar la actividad, el profesor o jefe de grupo incidirá en
los aspectos mas relevantes del tema tratado y solicitará opiniones para evaluar la técnica
usada.
Situación 2
La siguiente tabla muestra la distribución de edades de una cierta enfermedad reportada
durante un año en estado particular.
Edad Nº Xi Fi . Xi Fa Lri Lrs
[5-14 5 5
[15-24 10 15
[25-34 20 35
[35-44 22 57
[45-54 13 70
[55-64 5 75
-Completa la tabla y calcula el promedio según la expresión correspondiente.
-Realiza la gráfica conveniente que represente la distribución.
Situación 3
La siguiente tabla muestra la distribución de edades de una cierta enfermedad reportada
durante un año en estado particular.
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17
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Edad Nº Xi Fi . Xi Fa Lri Lrs
[5-14] 5 9.5
[15-24] 10 19.5
[25-34] 20 29.5
[35-44] 22 39.5
[45-54] 13 49.5
[55-64] 5 59.5
Completa la tabla y calcula la mediana según la expresión correspondiente.
Situación 4
La siguiente tabla muestra la distribución de edades de una cierta enfermedad reportada
durante un año en estado particular.
Edad Nº Xi Fi . Xi Fa Lri Lrs
[5-14 5 4.5
[15-24 10 14.5
[25-34 20 24.5
[35-44 22 34.5
[45-54 13 44.5
[55-64 5 54.5
Completa la tabla, calcula la moda según la expresión correspondiente.
Situación 5
Completa la tabla, calcula la desviación media y la varianza según la expresión
correspondiente .Grafica la información.
Edad Nº Xi Fi . Xi Fa Lri Lrs
[5-14 5 4.5
[15-24 10 14.5
[25-34 20 24.5
[35-44 22 34.5
[45-54 13 44.5
[55-64 5 54.5
Actividad práctica 3
-discusión en pequeños grupos.
-Discusión plenaria.
En esta actividad los alumnos resolverán una situación problemáticas inherentes a la
especialidad, donde harán transferencia de los conceptos aprendidos.
Ejercicio propuesto
-Los siguientes datos representan los niveles de glucosa en sangre extraída a 100 niños en
ayunas:

REFLEXIONES, MARCOS DE ANTECEDENTES E ILUSTRACIONES
60-56-61-57-77-62-75-63-55-64
59-60-57-61-57-67-62-69-67-68
80-65-72-65-61-68-73-65-62-75
64-66-61-69-76-72-57-75-68-81
64-69-64-66-65-65-76-65-58-65
56-68-71-72-58-73-55-73-79-81
71-65-60-65-80-66-80-68-55-66
65-72-73-73-75-75-74-76-68-73
63-73-74-68-59-69-55-67-65-67
59-67-56-67-62-65-75-62-63-63
-Confeccionar una tabla e indicar frecuencia, frecuencia relativa, porcentaje, marca de
clase, límites reales .
-Calcular promedio, mediana, moda, desviación media y varianza.
Actividad práctica 4
-Situación problémica.
-Plenario.
Situación 6
En una experiencia genética sobre drosóphila melangaster se analiza la longitud del ala de
20 moscas de tipo A, obteniéndose los siguientes datos:
93-90-97-90-93-91-96-94-91-91-88-93-95-91-89-92-87-88-90-86
Analizar los datos y, sin agruparlos en intervalos, hallar su modo, mediana, media,
desviación típica y desviación media representa la información en un gráfico conveniente.
Estrategias de Aprendizaje
a) Confeccionar una tabla.
b) Calcular medidas de tendencia central y medidas de dispersión.
b) Grafica la información obtenida.
Evaluación mediante plenario debate.
A modo de conclusión
Esta propuesta de trabajo es sumamente enriquecedora puesto que posee una gama variada
de recursos. Es viable y se puede aplicar en distintos contextos dada la flexibilidad que
presentan las técnicas participativas en su ejecución. Como ya hemos visto, cuando un
alumno o cualquier persona se enfrenta a una tarea del tipo que denominamos problema
tiene que poner en marcha una amplia serie de habilidades y conocimientos. La eficiencia
en la solución de problemas depende en gran medida de la disponibilidad y la activación de
conocimientos conceptuales. De allí que la tarea surge cuando el alumno debe llegar a la
solución de la situación problémica. De modo que lo problémico es aquello que permite
activar en el estudiante los resortes que lo conducirán a la solución.
Bibliografía
Pozo, J. La Resolución de Problemas. Editorial Santillana.
Pérez, G. (2000). Los Procedimientos Heurísticos en la Enseñanza de la Matemática, Apuntes.
Polya, G (1976). Cómo Plantear y Resolver Problemas. Editorial Trillas.
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