12.05.2013 Views

Geometría. Iniciación. Ejercicios resueltos. - IES Tomás Morales

Geometría. Iniciación. Ejercicios resueltos. - IES Tomás Morales

Geometría. Iniciación. Ejercicios resueltos. - IES Tomás Morales

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

2º DE BACH. CC. NATURALEZA, SALUD Y TECNOLÓGICO. GEOMETRÍA. MAY/09<br />

1.- Dados los puntos A(2,– 1, 0) y B(3, 0, 1), halla m y n para que el punto P(m, n+1, 2) esté alineado<br />

con los otros dos.<br />

<br />

m-2 n + 2 2 ⎧m<br />

− 2 = 2 → m = 4<br />

R: Vector AB = (1,1,1) y AP = (m − 2,n + 2,2) = = → ⎨<br />

1 1 1 ⎩ n + 2 = 2 → n = 0<br />

2.- Determina m para que los puntos A(1, 1 ,1), B(3, 0, 2), C(5, – 2, 2) y D(2, 1 ,m) sean coplanarios.<br />

<br />

<br />

R: Vector AB = (2, − 1,1), AC = (4, −3,1).<br />

Plano construido con AB, AC y el punto B(3,0,2)<br />

x − 3 2 4<br />

y − 0 −1 − 3 = 0 → − x + 3 − 6z + 12 + 4y + 4z − 8 + 3x − 9 − 2y = 0 ; 2x+2y−2z−2=0, equivalente a<br />

z − 2 1 1<br />

x+y−z−1=0. Pertenencia del punto D(2,1,m) al plano → 2 + 1− m − 1 = 0 → m = 2<br />

⎧ x y z 0<br />

3.- Halla las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por los planos ⎪ − − =<br />

⎨<br />

⎪ ⎪⎩ 2x + z − 1= 0<br />

R: En un sistema de 2 ecuaciones y tres incógnitas hay infinitas soluciones, pero dando valor a una de<br />

ellas el sistema se convierte en determinado. En consecuencia, calcularemos dos puntos de la recta<br />

dando dos valores a una cualquiera de las tres coordenadas x, y o z.<br />

⎧−y<br />

− z = 0<br />

x = 0 → ⎨ → z = 1, y= −1, punto A(0, −1,1)<br />

⎧x<br />

= λ<br />

⎩ z − 1 = 0<br />

<br />

⎪<br />

Vector AB = (1,3, −2) → r ≡ ⎨y<br />

= − 1+ 3λ<br />

⎧−y<br />

− z = −1<br />

x = 1 → ⎨ → z = −1, y=2, punto B(1,2, −1)<br />

⎪<br />

⎩z<br />

= 1− 2 λ<br />

⎩2<br />

+ z − 1 = 0<br />

4.- ¿Son coplanarios los puntos A(0, 1 ,–1), B(2, 2, 3), C –1, 3, 2) y D(1, 0, 1)?<br />

R: (otro método distinto al 2.-)<br />

2 1 4<br />

<br />

Vector AB = (2,1, 4), AC = ( − 1,2,3) y AD = (1, −1,2); − 1 2 3 = 8 + 3 + 4 − 8 + 6 + 2 ≠ 0<br />

No son coplanarios<br />

1 −1<br />

2<br />

5.- Halla la ecuación general del plano que contiene a los puntos A(-1,2,1), B(0,2,-1) y al origen de<br />

coordenadas.<br />

<br />

R: O(0,0,0) y los puntos A y B dan los vectores OA = ( − 1,2,1) y OB = (0,2, −1)<br />

(vectores de<br />

posición de los puntos A y B). Utilizando el punto O, la ecuación del plano es<br />

x − 0 −1<br />

0<br />

y − 0 2 2 = 0 → −2x − 2z − 2x − y = 0 → 4x + y + 2z = 0<br />

z − 0 1 −1


x x-2 y<br />

6.- Determina si las rectas = y − 1= z y = = z + 1 son o no paralelas y si tienen o no<br />

2 -1 2<br />

algún punto en común.<br />

R: Para determinar si son o no paralelas bastaría observar una proporción en sus vectores de posición;<br />

pero para decidir si tienen algún punto común hay que analizar el sistema de ecuaciones formado con<br />

las respectivas de las dos rectas. Así que directamente nos vamos al sistema (y aquí se debe elegir si<br />

montamos 4 ecuaciones, dos reducidas de cada recta, con 3 incógnitas x, y, z o montamos 3<br />

ecuaciones, igualando las paramétricas, con dos incógnitas parámetros respectivos. Parece mejor la 2ª<br />

opción)<br />

⎧ x = 2λ ⎧ x = 2 − µ<br />

x ⎪ x − 2 y ⎪<br />

. = y − 1 = z ↔ ⎨y = 1 + λ = = z + 1 ↔ ⎨ y = 2µ<br />

. Y antes de formar el sistema vemos<br />

2 ⎪ −1<br />

2<br />

z = λ ⎪<br />

⎩ ⎩z<br />

= − 1+<br />

µ<br />

que sus vectores (2,1,1) y (-1,2,1) no son proporcionales, es decir, no son paralelas. El sistema es<br />

⎧2λ<br />

= 2 − µ<br />

⎪<br />

⎨1+<br />

λ = 2µ<br />

⎪<br />

⎩λ<br />

= − 1+<br />

µ<br />

}<br />

(resolviendo con métodos tradicionales)<br />

restando 1=1+ µ → µ =0 y en λ= − 1+ µ da λ= −1<br />

la primera ecuación 2λ=2−µ daría −2=2−0 que es absurdo, así que no hay solución para el<br />

sistema. Las rectas no son paralelas y no tienen nada en común<br />

7.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 2) y por la recta de ecuación:<br />

x −1<br />

z − 2<br />

= y + 4 =<br />

2<br />

3<br />

R: Utilizaremos aquí un método constructivo a partir de dos puntos de la recta (que deben estar en el<br />

plano) y el punto A.<br />

Para obtener dos puntos de la recta (véase ejercicio 3)<br />

⎧ ⎧0<br />

= y + 4 → y = −4<br />

⎪ ⎪<br />

x = 1 → z 2 Punto B(1, −4,2)<br />

⎪<br />

⎨ −<br />

0 = → z = 2<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩ 3<br />

⎨<br />

⎪ ⎧1=y+4<br />

→ y= − 3<br />

⎪<br />

⎪<br />

x=3 → ⎨ z − 2 Punto C(3, −3,5)<br />

⎪ ⎪1 = → z = 5<br />

⎩ ⎩ 3<br />

La ecuación del plano es<br />

x − 2 −1<br />

1<br />

<br />

Vectores AB = ( −1, − 4,0) AC = (1, −3,3)<br />

y − 0 −4 − 3 = 0 ↔ 3x − 6 + 3z − 6 + 4z − 8 + 3y = 0 ↔ 3x + 3y + 7z − 20 = 0<br />

z − 2 0 3<br />

8.- Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y por la recta de<br />

⎧x<br />

= 2 + 3t<br />

⎪<br />

ecuación: ⎨y<br />

= 1−<br />

5t<br />

⎪<br />

⎩z<br />

= 6 + 2t<br />

R: Y en éste (idéntico al anterior) utilizaremos el haz de planos de la recta.


Las ecuaciones reducidas de la recta podrían ser<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎪ z − 6<br />

⎪t<br />

=<br />

⎩ 2<br />

3z −18<br />

sustituyendo → x = 2 + → 2x − 3z + 14 = 0<br />

2<br />

5z − 30<br />

sustituyendo → y = 1− → 2y + 5z + 28 = 0<br />

2<br />

En consecuencia el haz de planos de esa recta es 2x − 3z + 14 + k(2y + 5z + 28) = 0 y como debe<br />

1<br />

contener al O(0,0,0), tiene que ser 14+k(28)=0, es decir, k = −<br />

2<br />

El plano pedido es<br />

1<br />

2x − 3z + 14 − (2y + 5z + 28) = 0 → 4x − 6z + 28 − 2y − 5z − 28 = 0 → 4x − 2y − 11z = 0<br />

2<br />

Nota: En realidad hubieran salido menos laboriosos estos dos ejercicios utilizando los métodos al<br />

revés. En el 7.- el haz de planos y en el 8.- un punto y dos vectores, ya que el vector de la recta sirve<br />

para el plano, al igual que el punto de la recta.<br />

Otra nota: El ejercicio 9 no existe y no por cuestiones de superstición, sino por despiste.<br />

10.- Un plano tiene por ecuación 2x – 3y + 2z – 7 =0. Escribe sus ecuaciones vectorial y paramétricas.<br />

R: Hay que obtener tres puntos de ese plano y montar con ellos las paramétricas<br />

⎧ x = 1, y=1 → z=4 Punto A(1,1,4) ⎫<br />

⎪ ⎪ <br />

⎨ x=0, y=1 → z=5 Punto B(0,1,5) ⎬Vectores<br />

CA = (1,2, 2) CB = (0,2,3)<br />

⎪x=0, y= −1 → z = 2 Punto C(0, −1,2) ⎪<br />

⎩<br />

⎭<br />

(x,y,z)=(1,1,4)+α(1,2,2)+β(0,2,3)<br />

⎧x<br />

= 1 + α<br />

⎪<br />

⎨y<br />

= 1+ 2α + 2β<br />

⎪<br />

⎩z<br />

= 4 + 2α + 3β<br />

11.- Demuestra que los puntos A(1, 1, ), B(2, 0, 1) y C(0, 2, 1) están sobre la misma recta y deduce dos<br />

planos que la formen.<br />

¡Falta una coordenada de A!<br />

<br />

R: Proporcionalidad de las componentes de los vectores AB y AC<br />

Los dos planos se obtienen montando las ecuaciones continuas de la recta y separándolas en dos<br />

parejas distintas.<br />

12.- Determina los valores de m para que los puntos A(m, 2, – 3), B(2, m, 1) y C(5, 3, – 2) estén<br />

alineados y halla las ecuaciones de la recta que los contiene.<br />

R: Véase el 1.-. Aquí debe haber coherencia en el valor de m obtenido de las igualdades.<br />

La ecuación de la recta se monta con cualesquiera dos puntos de los tres.<br />

13.- Dadas las rectas<br />

x + 2 y −1<br />

z + 1 x −1<br />

z<br />

= = = y r = = y = determina la ecuación del plano<br />

4 2 −1<br />

− 2 3<br />

r1 2<br />

que contiene a la recta r1 y es paralelo a r2


R: La ecuación del plano se monta con el punto que se ve en la recta r1 (ya que el plano debe contener<br />

a la recta y por tanto a ese puntito) y los vectores de dirección de las dos rectas (recuerden lo de los<br />

vectores libres; el vector de dirección de r2 se puede desplazar tranquilamente al plano)<br />

14.- Halla la ecuación del plano que pasa por A(– 1, 2, 0) y contiene a la recta de ecuación<br />

⎧ x − 2y + z − 3 = 0<br />

⎨<br />

⎩ y + 3z − 5 = 0<br />

R: Véanse ejercicios 7.- u 8.-<br />

x −1<br />

15.- Calcula el valor de a para que sean paralelas r : =<br />

a<br />

y<br />

2a<br />

= z y<br />

R: Proporcionalidad de los vectores de dirección w1=(a,2a,1) y w2=(-1,-2,-a)<br />

a 2a 1 1 2 ⎧a<br />

= −1<br />

= = → − a = − a = → a = 1→<br />

⎨<br />

−1 −2 −a −a ⎩ a = 1<br />

s :<br />

⎧x<br />

= − t<br />

⎪<br />

⎨y<br />

= −2<br />

− 2t<br />

⎪<br />

⎩z<br />

= − at<br />

y + 2 z −1<br />

x + 3 y − 2<br />

16.- Estudia si las rectas r : x − 2 = = y s : = = z están en el mismo<br />

− 2 −1<br />

2 −1<br />

plano. En caso afirmativo encuentra el plano que las contiene.<br />

R: La manera más sencilla de detectar si dos rectas están o no en el mismo plano es ver si se cortan o<br />

no y, en caso de ser no, ver si son paralelas.<br />

⎧ Se cortan → están en el mismo plano de todas todas<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ Son paralelas → están en el mismo plano<br />

⎪No se cortan ⎨<br />

⎩<br />

⎩No<br />

son paralelas<br />

→ No están en el mismo plano (SE CRUZAN)<br />

Vectorialmente se puede decidir así:<br />

De estar en el mismo plano, los vectores de dirección de cada una y el formado por un punto de cada,<br />

serían linealmente dependientes (porque no formarían un espacio): tendrían rango 2. De estar en planos<br />

distintos, los tres vectores mencionados formarían un cuerpo voluminoso, un espacio (rango 3).<br />

w 1 = (1, −2, − 1); w 2 = (2, − 1,1). No son paralelas porque no hay proporcionalidad .<br />

<br />

En r A(2, −2,1) y en s B( − 3,2,0). Vector AB = ( −5,4, −1)<br />

1 −2 −1<br />

2 − 1 1 = 1+ 10 −8 − 5 − 4 − 4 ≠ 0<br />

−5 4 −1<br />

Rango 3. No están en el mismo plano<br />

SE CRUZAN

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!