Ejercicios resueltos de Integrales - E.T.S.I.T.G.C.

Integrales
1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a)
2
x
t
F(x) e (sent cos t)dt b)
x
3
x
0
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G(x) senx cos tdt .
2. a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes
integrales:
dx dx
x 3 x
1 3
1 2
2
b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el
área encerrada entre la función f(x)
el intervalo [-2,2].
x
2
4 x
3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas:
a) En el intervalo [2,3]
b) Para x 3
4.- Calcular
1 1 1 , y
2 2 2
1 1
y 1 , y2
2 3
x 1 x x :
5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias
2
y el eje de abscisas (OX) en
senx senx cos x 1
a) dx con p > 0 b)
1 p dx c)
1 3
dx
x x 0 1 x x
6.- Dada la función 2
f(x) 2x 1 x se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
2
a) r 3sen 2
b) r 2sen 3
1

2
Integrales
8.- Calcular el área encerrada dentro de la curva
x(t)
3 2 cos t
y(t) 2 5sent
9. Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma
altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación
es:
x
y c cosh
c
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.
O
10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad
¿Cuál es la profundidad del agua?
11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el
arco de curva y=senx entre x = 0 y x = y cuyas secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva:
cos(t)[2 cos(2t)]
x(t) =
4
sen(t)[2 cos(2t)]
y(t) =
4
2 2
13.- Dada la hipérbola x y 1. Hallar:
c
x
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa
positiva.
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x 1.
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la
hipérbola respecto del eje X siendo x
1, 2
.
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Integrales
x(t)
a(t sent)
14.- Para un arco de cicloide
. Se pide:
y(t)
a(1 cost) a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OX.
d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide
respecto del eje X.
15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide:
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje
X alrededor del eje OX.
d) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje
X.
16.- Determinar la curva que pasa por el punto (4π 2 ,1) y cuya pendiente, en
cada punto (x,y), tal que x>0, es
cos x
x
17.- Hallar el valor de que cumpla que
2
f(x) dx =2,
0
siendo
3
si 0 x 1
f(x)=
5
si 1 x 2
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.
¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que
f(c)=? ¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?
18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -/2 y /2.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de
corte hallados en el apartado anterior.
3

4
Integrales
3 2
x 3x 2
19.- Dada la función f(x) =
, cuya gráfica es la de la figura, se
3 2
x x 2
pide:
a) Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el eje Y.
b) Calcular el área encerrada por f(x) y el eje X en el intervalo [-1,0].
c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,)?
20.- Analizar, aplicando algún criterio de convergencia el carácter de las
integrales siguientes:
a) 1
dx , b)
0 3
x x
1 1
dx .
0 1 x x
21.- Para la función
2
x
f(x) 1
5
3
, determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva y = f(x) y el eje
de abscisas alrededor de dicho eje.
22.- Calcular la longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
2
2 x
23.- a) Hallar el área limitada por la curva y y sus asíntotas.
2
1x b) Hallar el volumen generado por la curva cuando gira alrededor del eje x, entre
0 y 1/2.
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Integrales
24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada
de lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la
superficie de hierba que puede comer la vaca.
25.- Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura. Sabiendo
que el material reflectante del faro tiene un precio de 10 euros/m 2 , hallar el
precio de dicho material para a=0,15m.
26.- Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras
geométricas:
a) Esfera
b) Cilindro recto de radio R y altura H
c) Cono recto de radio R y altura H
d) Tronco de cono recto de radios R1 y R2 y altura H
27.- a) Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región
2 y x 2
limitada por las funciones
alrededor del eje de abscisas.
y x 4
r 2
b) Sean las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas
r 8sen(2 )
planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante
28.- Hallar el área común a los círculos r=2 cos(a), r=1, r=2 sen(a)
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5

6
Integrales
29.- Hallar:
3 a) Longitud total de la curva, dada en coordenadas polares, r sen
3
.
b) Área de la superficie de revolución obtenida al girar, alrededor del eje de
abscisas, la curva de ecuaciones paramétricas:
t
x(t) e cos t
para t t
y(t) e sen t
0,
.
2
2 2
x y
c) Área limitada por la elipse 1.
2 2
a b
1
0
1
2
1
2
30.- Calcular
1 x x dx
31.- a) La base de un sólido es la región comprendida entre las parábolas
x = y 2 , x = 3-2y 2 . Hallar el volumen del sólido sabiendo que las secciones
perpendiculares al eje son triángulos equiláteros.
b) Hallar la longitud del primer lazo (en el primer cuadrante) de la curva r = 2
sen (3)
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral
32.- Dada la curva plana y 2 =(2-x) 3 /x (cisoide), se pide:
x 1,2
a) Longitud del arco de curva para
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0
1
dx
x(1 x)
b) Área de la región comprendida entre la cisoide y su asíntota.
c) Volumen que engendra la región comprendida entre la cisoide y su asíntota al
girar alrededor del eje de abscisas.
x 1,2 .
d) Área de la superficie de revolución para
33.-a) Hallar el área de la porción de esfera generada al girar, en torno al eje
y, la gráfica de la función y = 2
9 x en 0 x 2.
b) Hallar la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones paramétricas
x(t) ln t
en el intervalo 1 t 2
2
y(t) t
c) Estudiar, sin calcular, la convergencia de la integral
3
0
1
dx .
2
x 2x

Integrales
3
x a cos t
34.- Hallar el perímetro de la curva
3
y a sen t
35.- a) Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva
recta y=1.
b) Hallar la longitud de las siguientes curvas:
x 2sent sen(2t)
cardioide
y 2 cos t cos(2t)
espiral r = e para 0
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y
e e
4
2x 2x
36.- Estudiar la naturaleza de la siguiente integral en función de los valores de p
b dx
a
p y calcularla cuando sea convergente.
x a
37.- a) Hallar la longitud del arco de curva dada en polares r=4+2sec(α) en el
intervalo [2/3, 4/3].
b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas:
y 2 =2(x+1/2); y 2 =4(x+1); y 2 =6(3/2-x); y 2 =4(1-x).
38.- a) Estudiar si la integral
2 cos
d es impropia y, en su caso, decir
0 1 sen
de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la definición.
b) Hallar el área generada en la rotación de la mitad superior de la cardioide
r a(1 cos )
, a R , alrededor de su eje polar.
y la
7

8
Integrales
39.- En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada por las
3 3
coordenadas: x a cos t , y a sen t
2 2
Se pide:
a) Longitud del camino recorrido por el móvil entre los instantes t = 0 y t = 1.
b) Área de la superficie obtenida por la revolución de la curva descrita por el
móvil desde el inicio (t = 0) hasta volver a la posición inicial, al girar alrededor
del eje OX.
c) Volumen del sólido obtenido en el apartado anterior.
40.- Calcular el área delimitada por la curva r=cosθ.
41.- Calcular el volumen del elipsoide.
42.- Hallar el volumen engendrado por la rotación de la circunferencia
x 2 +(y-4) 2 =1 al girar alrededor del eje OX.
43.- La curva r=a sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular el volumen
obtenido.
44.- Hallar la longitud total de la curva dada por las ecuaciones paramétricas:
2
x cos t
3
y sen t
45.-Calcular la longitud del primer paso de la espiral de Arquímedes r = aθ con
a>0.
46.- Dada la curva r = 3cos(3)
a) Estudiar el dominio de r.
b) Hallar el área limitada por los tres lazos de la curva del enunciado.
47.- a) Hallar la longitud del arco de la curva:
x = cos t + t sen t
y = sen t – t cost
desde el punto (1, 0) hasta el punto (-1, ).
b) Realizar una gráfica aproximada de la longitud que se pide.
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Integrales
c) Hallar el área encerrada entre la función
cos x
1senx Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
y el eje x entre 0 y .
48.- Dada la curva r 2 = 4 cos(2). Calcular:
a) Dominio de r
b) El área limitada por la curva dada (Explicar los límites de integración)
49.- Se consideran las curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares son
r y r 2( 1) . Calcular:
a) El área encerrada entre ambas curvas entre sus puntos de intersección: el
origen de coordenadas y el punto de intersección en el segundo cuadrante
b) Perimetro del recinto anterior
50.-Hallar la longitud del arco de la curva r = 1 + cos (cardioide) que está
situado en el primer cuadrante, respondiendo a los siguientes apartados:
a) Dibujar la gráfica de la curva dada y sobre la gráfica resaltar la longitud L
del arco de la curva que está situado en el primer cuadrante.
b) Indicar y explicar los límites de integración.
c) Escribir la fórmula teórica para calcular la longitud de una curva en forma
polar.
d) Solución del problema.
51.- Sea la función f(x) = senx – xcosx. Calcular aproximadamente el valor de:
a) El área encerrada por f(x) y las rectas x = -, x = y el eje OX.
b) La longitud del arco de curva de la función y = f(x) entre los puntos (-, -) y
(, ).
c) La superficie de revolución generada por el arco de curva anterior al girar
alrededor del eje de abscisas.
52.- Hallar el área encerrada entre las funciones f(x)
para x 3
1
2
x 1 y 1
g(x) 3
x
1
53.- Para la función f(x) se pide: a) Representar la función
2
x 1
9

10
Integrales
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
c) Calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por f(x) y el eje de
abscisas alrededor de dicho eje.
x(t) ln t
54.- Para la curva dada en forma paramétrica 1 1
se pide, para el
y(t)
t
2 t
intervalo 1 ≤ t ≤ 10:
a) Representar la gráfica
b) Longitud del arco
c) Superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas
d) Volumen de revolución engendrado al girar el área comprendida entre la curva
e) Superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el área comprendida entre
la curva y el eje de abscisas
55.- Hallar la superficie de revolución generado por la lemniscata de ecuación
x( t) 4 cos(t)
al girar alrededor del eje de abscisas.
y(t) 4sen(t)cos(
t)
1
56.- Dada la función f(x) p
x
siendo p un número real tal que p > 1 se pide
a. Calcular paso a paso la integral
f(x)dx siendo a>1 un número real
a
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
57.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2 sen(2α);
r2(α)=1, se pide:
a. Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1≥0 ; r2≥0)
b. Estudiar las simetrías de r1 y r2
c. Obtener las intersecciones de r1 y r2
d. Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas
e. Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2
1
58.- Dada la función f(x) p
x
a. Calcular paso a paso la integral a
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
siendo p un número real tal que p1 un número real.
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Integrales
59.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2 cos(2α);
r2(α)=1, se pide:
a. Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1>0; r2>0)
b. Estudiar las simetrías de r1 y r2
c. Obtener las intersecciones de r1 y r2
d. Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas
e. Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2
x(t) ln t
60.- Para la curva dada en forma paramétrica 1 1
se pide, para el
y(t)
t
2 t
intervalo 0 ≤ x ≤ 1:
a) Longitud de la curva en el intervalo x [0,1] el eje de abscisas.
b) Área encerrada entre la curva y el eje de abscisas en dicho intervalo.
61.- Dada la función f(x)=x 2 obtener los siguientes volúmenes de revolución
a) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
b) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OY.
62.- Determinar las áreas siguientes:
a) Encerrada por la función f(x) y el eje OX siendo
x 6
si 6 x 6
4
x 6
f(x)
3
en otro caso
2
x x 20
b) Encerrada por la curva r( ) a sen(2 ) con a 0
c) De la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX, el lazo de la curva
9 y 2 = x (3 - x) 2
63.- Calcular:
a) La longitud del arco de la parábola y = x 2 – 2x + 5 comprendido entre los
3 17
puntos (1, 4) y ,
2 4 .
b) El área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1 (ecuación en
2
coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva r cos .
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12
Integrales
1
64.- Dada la función f(x) = , cuya gráfica es la de la figura, se pide:
3 2
x x 2
a) Calcular el área encerrada por f(x),
x = -2 y el eje Y.
b) Calcular el área encerrada por f(x),
y el eje X en [2,).
c) Estudiar la convergencia de
2
1
f(x) dx .
d) Estudiar la convergencia de
f(x) dx .
0
65.- Calcular
2
-x
- e dx
.
66.- Considerando la circunferencia de radio R en coordenadas polares, hallar:
a) El área del círculo.
b) La longitud de la circunferencia.
c) El volumen de la esfera.
d) La superficie de la esfera.
dP 100 25t
67.- La tasa de variación en la población de conejos es 2
dt t 8t 16,1
tiempo en años) Hallar:
a) Al cabo de cuánto tiempo es máxima dicha población.
b) Si la población inicial de conejos es de 50 unidades, hallar el número
máximo de conejos.
c) ¿Se extinguirán los conejos?
1
68.- a) Demostrar que si y = arg th x, entonces y'
2
1x 2
t
b) Calcular la derivada de la siguiente función: F(x) e dt
ln x
c) Calcular el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y =
x 2 el eje OX, entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
1 1
d) Calcular ,
2 2
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3
x
(t

Integrales
1
69.- a) Demostrar que si y = arg sh x, entonces y'
2
x 1
3
x ln t
b) Calcular la derivada de la siguiente función: F(x) dt
2
e t
c) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral de
f(x) tgx en el intervalo
0,
2
.
d) Calcular (4)
2
70.- a) Demostrar la siguiente relación: arg sh x = ln x x 1
b) Calcular la derivada de la siguiente función:
3
x sent
F(x) dt
x t
c) La curva y 2 = e -2x gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del
cuerpo limitado por la superficie engendrada entre la curva, el eje de abscisas
(OX) cuando x>0.
7 d) Calcular ,
sabiendo que
2 1
2 2 2
71.- a) Demostrar la siguiente relación: ch x sh x ch 2x
b) Calcular la derivada de la siguiente función:
c) La integral 2
d) Calcular (4,5)
72.-Dada la función
0
x
4 x
2
dx , ¿es impropia? Calcularla.
2
x
f(x) e
. Se pide:
3
x sent
F(x) dt
2
x t
a) Calcular el área encerrada por la función f(x) y su asíntota.
b) Calcular el volumen generado por la función f(x) al girar alrededor de su
asíntota.
c) Hallar la longitud de la función f(x) en el intervalo [0,1].
d) La función f(x) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie
obtenida en el intervalo [-1,1].
2 2
1 t t(1 t )
73.- a) Hallar el área del lazo de la estrofoide , 2 2
1 t 1 t
2 2
t 1 t(1 t )
b) Calcular el volumen de un lazo de la estrofoide , 2 2
1 t 1 t
alrededor del eje de simetría.
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al girar
13

14
Integrales
2 2
t(1 t ) 1 t
c) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide , 2 2
1 t 1 t
d) Calcular la superficie generada por el lazo de la estrofoide
2 2
t(1 t ) t 1
, 2 2
1 t 1 t
al girar alrededor del eje de abscisas.
74.- a) Hallar el área de un lazo de la curva r(α) = 2sen(2α).
b) La curva r(α) = 2sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular e1 volumen
obtenido.
c) Determinar la longitud de un lazo de la curva r(α) = sen(2α).
d) La curva r(α) = cos(α) gira alrededor del eje polar. Calcular la superficie
engendrada.
75.- Dada la curva en coordenadas polares r = e α , con α < 0, se pide:
a) El área de la región entre la curva y el eje OX.
b) La longitud de la curva.
76. Hallar el área limitada por las regiones: x 2 +y 2 2x; x 2 +y 2 4x; yx; y0
77.- a) Sea
1
cos x si x - , 0
2
f(x)
4 sen x si x 0,
2
a ) Hallar I = 2
2
2
f(x) dx .
a ) Hallar el valor de k tal que I = .k
a 3)
¿Existe algún punto c del intervalo
,
2 2
tal que f(c) = k?
a ) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral?
4
b) Hallar el área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1
2
(ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva r cos
4 .
78.- a) Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada en la
circunferencia de ecuación (x-2) 2 + (y-4) 2 = 1 cuando gira alrededor del eje OX.
b) Dada la curva (en coordenadas polares): r sencos calcular su longitud.
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79.- Dada la curva
Integrales
x t cos 2t
t
yt
tg
2 .
a) Calcular el área encerrada por la curva y el eje OY en el segundo
cuadrante (x < 0, y > 0).
b) El área del apartado anterior gira alrededor del eje OY, calcular el
volumen de revolución obtenido.
80.- Área interior simultáneamente a las dos curvas siguientes dadas en
2
coordenadas polares: r= sen y r = 1
2
radio 1
2 ).
2 2
81.- La elipse de ecuación 1
9 4
y x
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(circunferencia de centro en el polo y
gira alrededor del eje de abscisas.
Calcular el volumen y la superficie del cuerpo de revolución que se obtiene.
82.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) F(x)=
d) I(x)=
g) L(x)=
3
4
x
x
2
ln (t ) dt ; b) G(x) =
5
5x
tgx
sen x
3
x
1
sen x cos t dt ; e) J(x)=
cos t dt ; h) M(x)=
ln x t dt ; c) H(x) =
ln x
tg t dt ; f) K(x)= 2
3
3
x
x
cos x sen t dt ; i) N(x)= 2
2
x
x
2
x
tg x
x
sen t dt .
tg x sen t dt ;
tg x sen t dt
83.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva en polares
r 7 cos6 y la circunferencia de centro el origen y radio 6.
84.- Calcular la longitud de la curva
2
9y x(3 x)
85.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas del arco de la curva y = lnx comprendido entre 0 y 1. Indica, en su
15

16
Integrales
caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es
convergente o divergente.
86.- Calcular la superficie del elipsoide de revolución engendrada por la rotación
alrededor del eje de abscisas de la elipse cuyas ecuaciones paramétricas son:
x 2cost
.
y 3sent
87.- Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el
arco de la curva y =sen 2 x comprendido entre x = 0 y x =.
88.- Calcular la longitud de la curva y x(x 1) . Indica, en su caso, si la
integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o
divergente.
89.- Hallar la superficie del sólido generado por la astroide de ecuación
3 x cos t
al girar alrededor del eje OY.
3
y sen t
90.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas del arco de la curva y = xe -x para x ≥ 0. Indica, en su caso, si la
integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o
divergente.
91.- Calcular el área comprendida entre las curvas en polares:
a) r 1 cos y r cos .
b) r 1 cos y r cos .
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Integrales
92.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
1
de abscisas de la curva y . Indica, en su caso, si la integral que has
4
x 1
utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
93.- Las curvas, en polares, r sen2 y r cos2
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, se cortan dando lugar
a varios recintos interiores comunes a ambas curvas, todos de la misma área.
Calcular el área de uno de estos recintos.
94.- Plantear la integral que da la longitud del primer arco de la espiral r
(coordenadas polares).
95.- Calcular el volumen obtenido por la rotación de la curva 2 3 x
y
3
x
alrededor del eje de abscisas. Indica, en su caso, si la integral que has utilizado
es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
96.- Calcular la superficie de revolución engendrada por la rotación alrededor del
eje de abscisas del bucle derecho de la curva
97.-
a) Hallar el área limitada por las regiones
2 2
x y 2x;
x cost
y sen 3t
2 2
x y 4x;
y x;
y 0.
b) Hallar el área limitada por las curvas
x 1 costx
2 2costx
tx
t
; ; ;
y sent y 2sent y t
y 0
c) Hallar el área limitada por las curvas
r 2cos
; r 4cos
; tg 1 ; sen 0
98.- Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida
entre y=x 2 e y=2x alrededor del eje X.
17

18
Integrales
99.-Hallar la superficie engendrada por la rotación de la circunferencia de
ecuación (x-2) 2 + (y-4) 2 = 1 cuando gira alrededor del eje OX.
100.-a) Hallar el área interior al círculo r=1 y exterior a la cardioide r=1-cosα.
b) Determinar la longitud de la cardioide r=1-cosα
101.- Obtener el área de la superficie generada por la curva r 2cos2 al
girar alrededor del eje polar.
102.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva
eje de abscisas.
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2 2 4
y x x alrededor del
103.- Estudiar si el área de la región comprendida entre la curva de ecuaciones
x(t)
2 tg(t)
2
y(t) 2cos ( t)
y su asíntota es finita o no.
104.- Hallar la longitud de la elipse de ecuación
105.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva
de MacLaurin) alrededor del eje de abscisas.
r
5
3 2cos
.
2
2 x 3 x
y
1x 106.- Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros:
x 2 + y 2 = r 2 ; y 2 + z 2 = r 2
107.- Dada la curva en coordenadas polares r = sen ,
se pide:
3 a) Período de la curva
b) Dominio de r ( )
(Trisectriz
c) Longitud de la curva (para valores de dentro del dominio de la función).

Integrales
108.- Hallar el área encerrada entre la curva 2
x
cos t
y tg t
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y su asíntota.
109.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva
2 2
y x ( 3 x) alrededor del eje de abscisas.
110.- Dada la curva en coordenadas polares r = cos ,
se pide:
3 a) Período de la curva
b) Dominio de r ( )
c) Longitud de la curva (para valores de dentro del dominio de la función).
111.- Hallar el área encerrada entre la curva
1
x
tg t
2
y
sen t
y su asíntota.
112.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva
2 2 4
x (y 1)
y alrededor del eje de ordenadas.
113.- Dada la curva en coordenadas polares r = tg ,
se pide:
2
a) Período de la curva
b) Dominio de r ( )
c) Área encerrada por la curva y el eje OY (para valores de dentro del
dominio de la función).
114.- Hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada entre la curva
2 x cos t
y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
y tg t
115.- Hallar la longitud de la curva 1
2 4
y x x .
2
19

Integrales
EJERCICIOS PROPUESTOS
P1.- Calcular, si son convergentes, las integrales:
2 52x p1 ax
a) xe dx b) x e dx con a>0.
0
P2.- Calcular
1
0
ln x
dx .
x
0
2 5 3
P3.- Hallar p y q para que 2 sen t cos t dt =(p,q) y calcular
P4.- Lo mismo para
0
2
0
4 6
sen t cos t dt .
P5.- Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
2 a)
0 tgxdx
b) 1
dx
4
c) 0 x1 dx
dx
2cosx d) e)
dx
1 x x
4x e 2 x
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2
0
5 3
P6.- Hallar el área común al círculo ρ1 = 3cosα y a la cardioide ρ2 = 1+ cosα.
sen t cos t dt .
P7.- Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros x 2 + y 2 = r 2 ; y 2 + z 2 = r 2
P8.- La curva y 2 = 2xe -2x gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado
por la superficie engendrada.
19

20
Integrales
1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a)
2
x
t
F(x) e (sent cos t)dt b)
x
3
x
0
Solución:
a)
Sea
a
x
G(x) f(t)dt G'(x) f(x)
G(x) senx cos tdt .
Consideramos la función continua en R: f(t)=e -t (sent+cost) y g(x)=x 2 una función derivable.
Entonces:
2 2 2
x a x x x
t t t t t
F(x) e (sent cost)dt e (sent cos t)dt e (sent cos t)dt e (sent cos t)dt e (sent cos t)dt
x x a a a
g(x) x
f(t)dt f(t)dtG(g(x)) G(x)
a a
Derivando:
b)
Sea
a
x
2
F'(x) G'(g(x))g'(x) G'(x) f(g(x))g'(x) f(x) f(x )2x f(x)
F(x) f(t)dt F'(x) f(x)
2
2
-x 2 2 -x
=e sen(x )+cos(x ) 2x-e (senx+cosx)
-x 2 2 -x
F'(x)=2xe sen(x )+cos(x ) -e (senx+cosx)
Consideramos la función continua en R: f(t)=cost y g(x)=x 3 una función derivable. Entonces:
3 3
x x g(x)
G(x) senx cos tdt senx cos tdt senx f (t)dt senx.F(g(x))
0 0 0
Derivando el producto
G '(x) (senx)'G(x) senx.G '(g(x)).g '(x) cos x.G(x) senx.f (g(x)).g '(x)
3
x
3 2 3 2 3
cos x costdt senx cos(x ) 3x cos x (sen(x ) sen0) 3x senx cos(x )
0
3 2 3
G '(x) cos x sen(x )
3x senx cos(x )
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Integrales
2.- a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes
integrales:
dx dx
x 3 x
1 3
1 2
2
b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y
el área encerrada entre la función f(x)
el intervalo [-2,2].
Solución:
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2
x
2
4 x
y el eje de abscisas (OX) en
a) La función dada, f(x)=1/x 2 es discontinua x=0∈[-1,1] por lo que la integral que se desea calcular
es una integral impropia de segunda especie.
1
1
1 dx 0 dx 1dx 01dx 1 dx 1 1
lím lím lím lím
1 2 1 2 0 2 2 2
x
x
x 101 x 2002x 10 x 20
x
1 1
lím 1 lím 1 La integral pedida es DIVERGENTE
10
20
1 2
La función f(x)=1/(3-x) 2 no está acotada en x=3∈[2,3], se trata de otra integral impropia de
segunda especie.
3 3
2 2
3 x 3 x
3 x
3
dx dx 1 1 = lím = lím lím 1 es DIVERGENTE
2 0 2
0 0
2
b)
2
I2 xdx
2
4x 0
2 xdx
2
4x 2
0 xdx
2
4x 0
lím 102 1
xdx
2
4x 2
lím 200
xdx
2
4x
lím 0 0
2
4x
lím 0
22
2
4x 22 0 u. CONVERGENTE
1 212 0
2 x 2 xdx
área dx 222 2
2 0
2
4x 4x 4 u 2 CONVERGENTE
1
2
21

22
Integrales
3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas
1 1
y 1 , y2
2 3
x 1 x x :
a) En el intervalo [2,3]
b) Para x 3
Solución:
a)
3 2
3 1 1 3 x - x + x + 1 1 3 2
A dx dx ln
2 2 3
2 2 2
x 1xx ln
x·(x + 1)·(x - 1) 2 4
3 u2
b)
3 2 3 2
1 1 x - x + x + 1 k x - x + x + 1
3 2 3 2 2 2 k
2 2 2
A dx dx lím dx
x1xx x·(x + 1)·(x - 1) x·(x + 1)·(x - 1)
k 2 k
2
3
k
1 x1 x 1 k1 k 1 2 3
lím ln ln lím ln ln
ln ln
2 x1 x 1 2 k1 k 1
2 4 10
1 3 3
00ln ln
ln
2 10 5 u2
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4.- Calcular
Solución:
Sabemos que:
1 1 1 , y
2 2 2
Integrales
2 2p12q1 2
(p,q) 2 sen x cos xdx , luego
0
0
1 1 1
( ) ( ) ( )
(p) (q)
1 1
2
(p,q) y resulta(
, ) 2 2
(p q)
2 2 1 1
( )
(1)
2 2
1 1
( , ) 2 dx 2
2 2 , además
2
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2
1
( )
2
23

24
Integrales
5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias:
senx senx cos x 1
a) dx con p > 0 b)
1 p dx c)
1 3
dx
x x 0 1 x x
Solución:
senx
a) dx con p > 0
1 p
x
senx k senx
y como p p p
dx lím dx
x x
1 p
k
1 p
senx senx 1
resulta
x x x
k
senx k 1 1 1 1
dx lím dx lím
x x
1p x
p1 1 p k 1 p k p1 p1 1
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convergente, por tanto la integral original
es CONVERGENTE si p>1.
¿Qué ocurre cuando 0

Estudiemos cada integral por separado:
1 1 1 1
I 1=
dx= lím dx
0 0 1 x x 1 x x
pero si 0

26
Integrales
6.- Dada la función 2
f(x) 2x 1 x se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
Solución:
a)
1 1
2 2
3/2 2
4
A2 f(x)dx 2 2x 1x dx 2 1x
0 0
3
0
o bien,
#1: 2·AREA(x, 0, 1, y, 0, f(x))
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
1
3 5
1
3 u2
1 2 1
2 2 x x
b) V2 f(x) dx 2 4x 1 x dx
8
0
0
3 5
0
16
15
o bien,
#2: 2·VOLUME_OF_REVOLUTION(f(x), x, 0, 1)
u3

Integrales
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
2
a) r 3sen 2
Solución:
b) r 2sen 3
a)
#1: r=√(3·SIN(2·α))
#2: SOLVE(0 = √(3·SIN(2·α)), α, Real)
π π
#3: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = 0
2 2
⎛ π ⎞
#4: 2·POLAR_ARC_LENGTH ⎜√(3·SIN(2·α)), α, 0, ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
π/2
⌠ 1
#5: 2·√3· ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⌡ √(SIN(2·α))
0
#6: 9.081122899
o bien,
#7: r(α) ≔ √(3·SIN(2·α))
π/2
⌠ 2 2
#8: 2 ·⌡ √(r(α) + r'(α) ) dα
0
π/2
⌠ 1
#9: 2·√3·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⌡ √(SIN(2·α))
0
#10: 9.081122899
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
27

)
28
Integrales
Para calcular el área podemos usar dos
procedimientos:
Como los pétalos comienzan y acaban en el origen,
resolvemos r = 0 y nos quedamos con las
soluciones entre 0 y π/2.
2sen(3α)=0; α = 0, π/3.
La longitud del primer pétalo viene dada por
L1=POLAR_ARC_LENGTH(2sen(3α),α,0,π/3)=
4.454964406 u.
Luego la longitud de la curva completa es
L=3L1=13.36489321 u. O bien mediante la
fórmula:
/3 2 2
3 r( ) r'( ) d.
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0

Integrales
8.- Calcular el área encerrada dentro de la curva
Solución:
x(t)
3 2 cos t
y(t) 2 5sent
Usamos la fórmula para el cálculo del área de una curva cerrada dada por unas ecuaciones
paramétricas:
2 2 2 2
2 1cos2t y(t)x '(t)dt 25sent 2sentdt 4sent 10sen tdt 4sent 10 dt
0
0
0 0
2
2
5
4cost5t sen(2t) 4104 2
10 u
2
0
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29

30
Integrales
9. Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma
altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación
es:
x y c cosh
c
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.
Solución:
x 1 x x
f (x) c cosh f'(x) c senh senh
c c c c
x x
2
x
L 1fx dx 1senh dx (*
c
)
0 0
x x
como 1senh cosh
c c
2
x 2 x
x
x x x x
(*) cosh dx cosh dx csenh csenh csenh0
c
c c c
0 0
O
c
x
2
0
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x
csenh c u

Integrales
10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad
¿Cuál es la profundidad del agua?
Solución:
Consideramos una circunferencia de centro O(0,0) y
de radio r=50 y despejamos x en función de y:
2 2 2 2
x y 50 x 2500y y como el volumen
de una esfera de radio r=50 es
4 3 4 3 500000
V r 50 resulta el volumen
3 3 3
500000
del agua: Vagua 0,216 36000. 3
Planteamos el volumen ocupado por el agua como
una integral:
agua
2
h
2
h
2
50 50
2
3
h
y
V x dy 2500 y dy
h
(2500 y )dy 2500y
50
3
50
3
h 250000
3
2500h 36000h 7500h 142000 0
cuya ecuación tiene como raíz
3 3
h 20
2
entera a h=-20 quedando h20h20h 7100 0 cuya única solo factible
h 1060 2
es h=-20 m que da lugar a una profundidad de -20-(-50)=30 m
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31

32
Integrales
11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el
arco de curva y=senx entre x = 0 y x = y cuyas secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
Solución:
La sección plana es un cuadrado de lado senx, por tanto A(x)=sen 2 x. El volumen por secciones
viene dado por la integral
2 2
1cos2x V A(x)dx sen xdx 1cos xdx
0 0 1 dx
0
0
2
1 1sen2x 1cos 2xdx x
2
0
2 2
2
0
u 3
0
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1 cos2x dx
2

Integrales
12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva:
cos(t)[2 cos(2t)]
x(t) =
4
sen(t)[2 cos(2t)]
y(t) =
4
Solución:
Longitud:
COS(t)·(2 - COS(2·t))
#1: x(t) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
SIN(t)·(2 + COS(2·t))
#2: y(t) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
#3: [x(t), y(t)]
#4: PARA_ARC_LENGTH([x(t), y(t)], t, 0, 2·π) = 3, o bien,
t1
2 2
L x' (t) y' (t)dt
t0
2·π
⌠ 2 2
#5: ⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt = 3 u
0
Área:
t1
t0
A y t x
t dt
#6: 2·∫ y(t)·x'(t) dt = 3
32
π
0
u 2
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33

34
Integrales
2 2
13.- Dada la hipérbola x y 1. Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa
positiva.
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x 1.
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la hipérbola
respecto del eje X siendo x
1, 2
.
Solución:
a) Sabiendo que el foco de abscisa positiva es 2,0 , y por simetría será el doble de la integral entre
el vértice y el foco:
2 2
2
A2 f(x)dx 2 x 1dx
=
1 1
2
2-Ln1+ 2 u
b) Considerando la asíntota y=x:
2
1
1
A xf(x) dx x x 1
dx =
c)
SL 2 2 2
2 f (x) 1f'(x) dx 2 1 1 2
2
2 x
x 11 dx 2 2
x 1
1
2
2x 1dx
=
2
2Ln 6 3 222 61
u
2
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Integrales
x(t)
a(t sent)
14.- Para un arco de cicloide
. Se pide:
y(t)
a(1 cost) a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OX.
d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide
respecto del eje X.
Solución:
Un arco va de t=0 a t=2п:
x(t) a(t sent) x'(t)
a(1cost)
y(t)
a(1cost) y'(t)
a
sent
a)
t12
A y(t)x'(t)dt y(t)x'(t)dt (*)
2
0
t00
2
2 2 2 2
(*) a(1 cost)a(1 cost)dt a (1 cos t) dt a (12costcos t)dt (**)
Calculando las tres integrales por separado.
2 2
0
dt t 2
0
2 2
0
cos tdt sent 0
0
0
1cos2t 1
1 sen2t
cos tdt dt dt cos 2tdt t
2 2
2
2
2 2 2 2
2
0 0 0 0
2
sustituyendo en la igualdad (**) a 20
t12 b)
t00 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
0
2 2
3a u
2 2 2 2
L y '(t) x '(t) dt y '(t) x '(t) dt (*)
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(*) a sen t a (1cos t) dt a sen t a2a cos t acos tdt
0 0
2 2 2
t
a 2 2cos tdt a21 cos tdt 2a 2 s en dt
0
0 0
2 2
2
t t
2a s en dt 4a cos
0
2
2
8a u
c)
t12 2 2
t00 0
2 2
V y (t)x'(t)dt y (t)x'(t)dt
a (1 cos t) a(1 cos t)dt
2
3 3
3 2 3
a (1 cos t) dt a (1 3cos t 3cos t cos t)dt
0
0
2 2 2 2
3 2 3
0 0 0 0
2
)
a dt 3 cos tdt 3 cos tdt cos tdt (**
Calculando las cuatro integrales por separado.
2 2
0
dt t 2 0
2
0
t=2п
t=0 t=2п
2
0
35

36
2 2
0
cos tdt sent 0
0
Integrales
1cos2t 1
1 sen2t
cos tdt dt dt cos 2tdt t
2 2
2
2
2 2 2 2
2
0 0 0 0
3
2 2
2 sen t
cos tdt cos t cos tdt cos t 1sen t dt cos tdt cos tsen tdt 0
0
0
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
3
sustituyendo en la igualdad (**) a 2030
3 2 3
5a u
d) Para el volumen alrededor del eje OY debemos plantear dos integrales, teniendo en cuenta que el
volumen de la región en rojo se resta:
t1
0
2 2 2 2
V x (t)y'(t)dt x (t)y'(t)dt x (t)y'(t)dt x (t)y'(t)dt (*)
e)
t02 0 2
0
2 2
(*) a (t s ent) a s entdt
2
2
3 2 3
a
(1 3cos t 3cos t cos t)dt
0
3 3 2 2
a (sen t2tsen tt sent)dt
2
0
3 3 3
6a u
t12 2 2
2 2
L 2 y(t) y'(t) x'(t) dt 2 y(t) y'(t) x'(t) dt (*)
t00 2 2
2 2 2 2 2
(*) 2 a(1 cos t) a sen t a (1 cos t) dt 2a (1 cos t) 2(1 cos t)dt
0 0
2 2
2 2 t t 2 2
t t
8a sen sen dt 8 a 1 cos sen dt
0
2 2 0
2 2 2 2
2 2
2 t
2
t t
2 t 2 3
t
8a sen dt cos sen dt
0
2 0
8a 2cos cos
2 2
2
3 2
0 0
=
2 2
64 a u
3
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
0
2
0

Integrales
15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide:
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X
alrededor del eje OX.
d) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje
X.
Solución:
1 22 2 1
2 1
2
2
2
a) A r d r d 2 r d 1 cos d
2
1
2
0 2 0
(1 2cos t cos t)dt
0 (**)
0
Calculando las tres integrales por separado:
dt t
0 0
cos tdt sent 0
0 0
2 1cos2t 1 1sen2t cos tdt dt dt cos2tdt
0 0 2 2 0
t
0 2
2
0
3 2
sustituyendo en la igualdad (**) u
2 2
b)
2 2 2
0
2 2
L r r' d
2 1cos sen d
0
2 2 2cosd 2 2 1cosd 2 2 2 cos d 4 cos d
2
4 2sen
2
2
0 0 0 0
= 8 u
c)
2 232
3
2
2 3
V r sen d 1cos sen d
3 13 1 3cos 3cos cos sen
d
0
3
0
2
2 3
sen d3cossen d3cos sen d cos sen d
0 0 0 0
(**)
3
Calculando las cuatro integrales por separado.
0
send cos 2
0
1 2
cossend cos 0
0
2
0
2 1 3 2
cos send cos
0
3
3
3 1 4
cos send cos 0
0
4
0
0
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
0
37

sustituyendo en la igualdad
38
Integrales
2 2
(**) 203 0 3 3
8
u
3
d) 2
2
S 2rsen r r' d
0
0
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
3
2 2
2 1cos sen 1cos sen d
2 1cos sen 2 2cos d 2
2 1cossen 1 cos d
0 0
2 41cossen cos d 4 2cos sen cos d
2
2 2
0 0
3 3 4
8cos sen d8 cos 2cos sen d 16 cos sen d
2
2 2 2 2 2
0 0 0
4 2 5
16 cos sen d16 cos
2 2
5 2
0 0
32
u
5
2

Integrales
16.- Determinar la curva que pasa por el punto (4π 2 ,1) y cuya pendiente, en cada
cos x
punto (x,y), tal que x>0, es .
x
Solución:
cos x
f'(x)
x
cos x
f(x) dxC2senxC x
f(4 ) 2sen 4 C1C 1
2 2
y como
resulta f(x) 2sen x 1
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39

40
Integrales
17.- Hallar el valor de que cumpla que
2
f(x) dx =2,
0
siendo
3
si 0 x 1
f(x)=
5
si 1 x 2
¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que f(c)=?
¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?
Solución:
2 1 2
f (x) dx 3dx 5 dx 35 (20) = 4 .
0 0 1
No existe ningún c[0,2] en que f(c) = 4. Esto no contradice el teorema del valor
medio puesto que este teorema se refiere a funciones continuas y f(x) no lo es en el intervalo
[0,2].
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Integrales
18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -/2 y /2.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de
corte hallados en el apartado anterior.
Solución:
a)
sen(2x)=2senxcosx
tgx=senx/cosx
entonces: 2senxcosx=senx/cosx resulta cos 2 x=1/2
x
4
b)
A =
4
4
4
0
4
0
x
4
f(x) g(x)dx 2 f(x) g(x)dx 2 sen(2x) tan(x)dx
senx 4
4
cos(2x)
= 2 sen(2x) dx 2 Ln cos x
0 cos x
2
(1 - Ln2) u 2
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0
y
41

42
Integrales
3 2
x 3x 2
19.- Dada la función f(x) =
, cuya gráfica es la de la figura, se pide:
3 2
x x 2
a) Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el eje Y.
b) Calcular el área encerrada por f(x) y el eje X en el intervalo [-1,0].
c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,)?
Solución:
a) A=
3 2
0 x 3x 2
2Ln(12) 2
dx u
2
3 2
5
x x 2
3 2
0 x 3x 2
2Ln(2)
b) A dx
1
3 2 1 u
x x 2
5 5
c) Se trata de una integral impropia
2
3 2
x 3x 2
1dx 2 3 2
x x 2
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Integrales
20.- Analizar, aplicando algún criterio de convergencia el carácter de las integrales
siguientes:
a) 1
dx , b)
0 3
x x
1 1
dx .
0 1 x x
Solución:
a) Observemos que
0 3
1
dx =
x x
1
x x
1
dx +
0 3 1 3
1
dx
x x
1 1
1
Designaremos I1= dx e I2 = dx
0 3
3
x x .
1 x x
1
I1 es una integral impropia de segunda especie pues la función se hace infinita en x = 0 y el
3
x x
intervalo de integración (0,1] es finito. Se verifica que:
1 1
Luego dx tiene el mismo carácter que
0 3
x x
1 1
dx que es divergente.
0 x
1
Luego podemos afirmar que dx es divergente, sea cual sea el carácter de I2.
0 3
x x
Aunque no se necesita vamos a probar que I2 es convergente:
1
I2 es una integral impropia de primera especie pues la función es continua en [1,) que es un
3
x x
intervalo de longitud infinita y tiende a 0 cuando x .
Se verifica que:
3 3 1
x x x x1, 3
x x
< 1
x 3 1,
x 1
1
dx < dx
1 3
3
x x ,
1 x
1
1
luego dx es convergente porque dx
1 3
3
x x
es convergente.
1 x
1 1
b) dx . Observemos que:
0 1x x
1 1
1 xx x x0,1 < x (0,1],
1x x x
1 1
1 1
luego dx es convergente porque dx
0
0
x x
es convergente.
x
1 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
43

21.- Para la función
44
2
x
f(x) 1
5
Integrales
3
, determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva y = f(x) y el eje de
abscisas alrededor de dicho eje.
Solución:
a)
2
3
x
A f(x)dx 1 dx =
5
b)
3
2
2
2 x
3 5
u
8
63 5
V f(x) dx 1 dx =
u
5 256
2
2 3
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Integrales
22.- Calcular la longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
Solución:
La ecuación de una elipse de semiejes 3 y 4 es:
2 2
x y 3
1 y 16 x
16 9 4
La longitud del arco de curva correspondiente al primer cuadrante será:
2
4 2 4 3 1
4 7 9
0 0 2
0
2
4 6 x 16
L 1 y' dx 1 dx dx 5,5254
16 x
La longitud total de la elipse es: 4L=22,1017
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
45

46
Integrales
2
2 x
23.- a) Hallar el área limitada por la curva y y sus asíntotas.
2
1x b) Hallar el volumen generado por la curva cuando gira alrededor del eje x, entre 0
y 1/2.
Solución:
a)
A4 ydx 4 0 0
x
1x dx 4 1x
0
1 1 1/2
1
2
4 u
2
2
b)
2
1/2
1/2 1/2
2 x 1 x1
V y dx dx Ln x
0 0 2
1x 2
x1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
0
1
Ln3 1 u
2
3

Integrales
24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de
lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la superficie de
hierba que puede comer la vaca.
Solución:
El punto de intersección del cuadrado de lado 10 con la circunferencia de radio 12 es
2 2
a 12 10 44 2 11
Por tanto, la superficie buscada será el área del rectángulo de lados 10 y 2 11 más la integral
10
2 2
11
I 12xdx 36288arctg
2 11
11
28.75861727.
Resultando final S 10211 28.75861727
2
95,09111307 m
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47

48
Integrales
25.- Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura. Sabiendo que
el material reflectante del faro tiene un precio de 10 euros/m 2 , hallar el precio de
dicho material para a=0,15m.
Solución:
Hemos de calcular la superficie lateral del espejo obtenido al girar la parábola alrededor del eje OX
entre 0 y a:
a 2 a a a 8 2
S2 y 1y' dx 2 4ax 1 dx 4 a a xdx a 2 2 1
0
0 x 0 3
8
0,15 2 2 110
3,4465 euros
3
2
Si a=0,15 el coste será
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Integrales
26.- Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras
geométricas:
a) Esfera
b) Cilindro recto de radio R y altura H
c) Cono recto de radio R y altura H
d) Tronco de cono recto de radios R1 y R2 y altura H
-r r
r
r
Solución:
La esfera se obtiene al girar el circulo x 2 +y 2 =r 2 alrededor del eje
OX. Con los limites de integración entre –r y r.
2
2 2 x
2 x
y r x y' y'
2 2
2 2
r x
r x
2 2
2 x r
1y' 1
r x r x
2 2 2 2
b 2
r r
2 2 2 r
S 2fx 1fx dx 2 r x dx 2rdx
r 2 2
r x r
a
2 2
4 r u
b 2
3
2 2 2 2 x
V (f x ) dx r x dx r x
3
a r
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r
4 3 3
ru
3
R R
y x R1.
H
d) Tronco de cono recto de radios R1 y R2 y altura H: la recta generatriz es: 2 1
R1
H
b
2
H
0
a
R2
R2 R1 R2 R1
S2 f x 1 f x dx 2 xR1 1 dx
H H
2
49

50
2 1 H
Integrales
2 1
2 2 2 2
2
H
R2 R 1 R2 R1
x
0 1 1
H H H H 2 0
H R R H R R
2 xR dx 2 R x
2
2
H R 2
2 R1 R2 R1 H
2 R1H
H H 2
2
2 2
R1R2 H R2 R1 u (1)
b
2 2
H H
2 R2 R1 R2 R1 R2 R
1
2
V (fx )
dx x R
0 1 dx x 2 xR
0
1R1 dx
H
H H
a
2 1
2 3
x 2 1
2
x 2
H
2 1
2 3
H 2 1
2
H 2
1 1 1 1
R R
H
R
2 3
R
H
R
R x 2 0 R R
H
3
R R
2 H
R
2
R
H=
2 1
2 H 2 2 3
H R2 R1 R2 R1R1R1
3
R1 R1R2 R
2 u
3 (2)
c) Cilindro recto de radio R y de altura H. d) Cono recto de radio R y de altura H.
H
R
Al ser R1=R2=R resulta:
2
(1) S2 RHu y (2) V R Hu
2 3
Al ser R1=0; R2=R resulta:
2 2 2 1
(1) SR R H u y (2) V R Hu
3
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
H
R
2 3

Integrales
27.- a) Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región
2
y x 2
limitada por las funciones
alrededor del eje de abscisas.
y x 4
r 2
b) Sean las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas
r 8sen(2 )
planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante
Solución:
a)
⎡ 2 ⎤
#1: SOLVE(⎣y = x + 4, y = x + 2⎦, [x, y])
#2: [x = -1 ∧ y = 3, x = 2 ∧ y = 6]
El volumen pedido es igual al obtenido por la rotación de la recta
menos el obtenido por la rotación de la parabola entre x=-1 x=2
#3: VOLUME_OF_REVOLUTION(x + 4, x, -1, 2)= 63·π
2 153·π
#4: VOLUME_OF_REVOLUTION(x + 2, x, -1, 2)= ⎯⎯⎯⎯⎯
5
Respuesta:
153·π 162·π
#5: 63·π - ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯
5 5
#6: SOLVE(2 = √(8·SIN(2·α)), α, Real)
7·π 5·π π
#7: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯
12 12 12
En el primer cuadrante tenemos los rayos ©=¹/12 y ©=5¹/12
b)
El área común se obtiene como suma de
tres superficies:
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
51

Área de la superficie limitada
por r=2 y los rayos ©=¹/12 y
©=5¹/12
⎛ π 5·π ⎞
POLAR_AREA⎜r, 0, 2, α, ⎯⎯, ⎯⎯⎯⎟=
⎝ 12 12 ⎠
2·π
=⎯⎯⎯
3
Integrales
Área de la superficie limitada por
r=‹(8sen(2©)) y los rayos ©=5¹/12 y
©=¹/2
⎛ 5·π π ⎞
POLAR_AREA⎜r,0,√(8·SIN(2·α)),α, ⎯⎯⎯,⎯⎟
⎝ 12 2 ⎠
= 2 - √3
Ár Área de la superficie limitada por
r r=‹(8sen(2©)) y los rayos ©=0 y ©=¹
1
⎛ π ⎞
POLAR_AREA⎜r, 0, √(8·SIN(2·α)),α, 0, ⎯⎯⎟
⎝ 12 ⎠
= 2 - √3
Respuesta: la suma de las tres superficies es:
2·π
#11: 2 - √3 + ⎯⎯⎯ + 2 - √3
3
2·π
#12: ⎯⎯⎯ - 2·√3 + 4
3
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Integrales
28.- Hallar el área común a los círculos r=2 cos(a), r=1, r=2 sen(a)
Solución:
#1: r = 2·COS(a)
#2: r = 2·SIN(a)
#3: r = 1
#4: SOLVE([r = 2·SIN(a), r = 1], [a, r])
⎡ π 5·π 7·π ⎤
#5: ⎢a = ⎯ ∧ r = 1, a = ⎯⎯⎯ ∧ r = 1, a = - ⎯⎯⎯ ∧ r = 1⎥
⎣ 6 6 6 ⎦
#6: SOLVE([r = 2·COS(a), r = 1], [a, r])
⎡ π π 5·π ⎤
#7: ⎢a = ⎯ ∧ r = 1, a = - ⎯ ∧ r = 1, a = ⎯⎯⎯ ∧ r = 1⎥
⎣ 3 3 3 ⎦
π/6
1 ⌠ 2
#8: ⎯·⌡ (2·SIN(a)) da
2 0
2·π - 3·√3
#9: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
π/3
1 ⌠ 2
#10: ⎯·⌡ 1 da
2 π/6
π
#11: ⎯⎯
12
π/2
1 ⌠ 2
#12: ⎯·⌡ (2·COS(a)) da
2 π/3
2·π - 3·√3
#13: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 53

Integrales
π/6 π/3 π/2
1 ⌠ 2 1 ⌠ 2 1 ⌠ 2
#14: ⎯·⌡ (2·SIN(a)) da + ⎯·⌡ 1 da + ⎯·⌡ (2·COS(a))
da
2 0 2 π/6 2 π/3
5·π - 6·√3
#15: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
O bien, mediante sus ecuaciones cartesianas:
2 2
#16: x + y = 1
2 2
#17: (x - 1) + y = 1
2 2
#18: x + (y - 1) = 1
⎡ 2 2 2 2 ⎤
#19: SOLVE(⎣x + y = 1, (x - 1) + y = 1⎦, [x, y])
⎡ 1 √3 1 √3 ⎤
#20: ⎢x = ⎯ ∧ y = ⎯⎯, x = ⎯ ∧ y = - ⎯⎯⎥
⎣ 2 2 2 2 ⎦
⎡ 2 2 2 2 ⎤
#21: SOLVE(⎣x + y = 1, x + (y - 1) = 1⎦, [x, y])
⎡ √3 1 √3 1 ⎤
#22: ⎢x = ⎯⎯ ∧ y = ⎯, x = - ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎥
⎣ 2 2 2 2 ⎦
2 2
#23: SOLVE((x - 1) + y = 1, y, Real)
#24: y = - √(x·(2 - x)) ∨ y = √(x·(2 - x))
2 2
#25: SOLVE(x + y = 1, y, Real)
2 2
#26: y = - √(1 - x ) ∨ y = √(1 - x )
2 2
#27: SOLVE(x + (y - 1) = 1, y, Real)
2 2
#28: y = 1 - √(1 - x ) ∨ y = √(1 - x ) + 1
0.5
#29: ∫ √(x·(2 - x)) dx
0
√3/2
⌠ 2
#30: ⌡ √(1 - x ) dx
0.5
√3/2
⌠ 2
#31: ⌡ (√(1 - x ) + 1) dx
0
√3/2 √3/2
0.5 ⌠ 2 ⌠ 2
#32: ∫ √(x·(2 - x)) dx + ⌡ √(1 - x ) dx - ⌡ (1 - √(1 - x
)) dx
0 0.5 0
5·π √3
#33: ⎯⎯⎯ - ⎯⎯
12 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
54

Integrales
29.- Hallar:
a) Longitud total de la curva, dada en coordenadas polares,
3 r sen
3
.
b) Área de la superficie de revolución obtenida al girar, alrededor
del eje de abscisas, la curva de ecuaciones paramétricas:
t
x(t) e cos t
para t t
y(t) e sen t
0,
2
.
2
x
c) Área limitada por la elipse 2
a
Solución:
a)
2
y
2
b
1.
⎛ ⎛ t ⎞3 3·π ⎞ 3·π
#1: 2·POLAR_ARC_LENGTH⎜SIN⎜⎯⎟ , t, 0, ⎯⎯⎯⎟ = ⎯⎯⎯
⎝ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎠ 2
b)
t
#2: x(t) ≔ e ·COS(t)
t
#3: y(t) ≔ e ·SIN(t)
π/2 π
⌠ 2 2 4·√2·π·e 2·√2·π
#4: 2·π·⌡ y(t)·√(x'(t) + y'(t) ) dt )= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 5 5
c)
a
⌠ 2 2 ⎮ b ⎮
#5: 2·⎮ √(a - x )·⎮⎯⎮ dx = π·a·⎮b⎮
⌡ ⎮ a ⎮
-a
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 55

1
0
1
2
1
2
30.- Calcular
Solución:
1
p1 q1 (p,q) x (1 x) dx
0
1 x x dx
Integrales
es la función de Euler y en nuestro caso p-1=1/2 y q-1=-1/2
luego p=3/2 y q=1/2.
1
Por tanto la integral pedida vale
0
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1
2
1 3 1
1x 2 x dx ,
2 2
(p) (q)
Como (p,q) resulta
(p q)
3 1 1 1 1
1
3 1
2 2 2 2 2
,
2
2 2 3 1
2
2 2
1!
1
2
56

Integrales
31.- a) La base de un sólido es la región comprendida entre las
parábolas x = y 2 , x = 3-2y 2 . Hallar el volumen del sólido sabiendo que
las secciones perpendiculares al eje X son triángulos equiláteros.
b) Hallar la longitud del primer lazo (en el primer cuadrante) de la
curva r = 2 sen (3)
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral
Solución:
a)
Resolviendo el sistema obtenemos los puntos de intersección
2
x y
x 1
2
x 3y
El área del triángulo equilátero de lado 2y es: 1/2√3y2y=√3y 2
b 1 3
2
V A(x)dx 1
a 3y dx
0 1 1 3
2
3y2 dx 3xdx
0 1
3x 3 dx
2
= 3 3
2 u3
b) Hallar la longitud del primer lazo (en el primer cuadrante) de la curva:
#1: r = 2·SIN(3·α)
Dibujamos la curva:
1
dx
x(1 x)
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0
2y

Integrales
#2: 0 = 2·SIN(3·α)
#3: SOLVE(0 = 2·SIN(3·α), α, Real)
π π
#4: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
3 3
d
#5: ⎯⎯ (2·SIN(3·α))
dα
#6: 6·COS(3·α)
2 2
#7: √((2·SIN(3·α)) + (6·COS(3·α)) )
π/3
⌠ 2 2
#8: ⌡ √((2·SIN(3·α)) + (6·COS(3·α)) ) dα
0
π/3
⌠ 2
#9: 2·⌡ √(8·COS(3·α) + 1) dα
0
Aproximadamente 4.454964406
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral:
∞
⌠ 1
#22: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ √x·(1 + x)
0
integral impropia de 3ª especie, se descompone en suma de dos integrales
1 ∞
⌠ 1 ⌠ 1
#23: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ √x·(1 + x) ⌡ √x·(1 + x)
0 1
analizando cada una por separado
1 1
⌠ 1 ⌠ 1
#24: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ ⎮ ⎯⎯ dx
⌡ √x·(1 + x) ⌡ √x
0 0
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58

Integrales
1
⌠ 1
#25: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ 2
⌡ √x·(1 + x)
0
convergente
∞ ∞
⌠ 1 ⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ ⎮ ⎯⎯⎯⎯ dx
#26: ⌡ √x·(1 + x) ⎮ 3/2
1 ⌡ x
1
∞
⌠ 1
#27: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ 2
⌡ √x·(1 + x)
1
convergente
Por tanto, la integral pedida es convergente
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 59

Integrales
32.- Dada la curva plana y 2 =(2-x) 3 /x (cisoide), se pide:
a) Longitud del arco de curva para x 1,2
b) Área de la región comprendida entre la cisoide y su asíntota.
c) Volumen que engendra la región comprendida entre la cisoide y su
asíntota al girar alrededor del eje de abscisas.
d) Área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva
alrededor del eje de abscisas para x 1,2 .
Solución:
b
2
a) Longitud = L1 y' dx
a
2
⌠ ⎛ 3·x + 2 ⎞
⎮ √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dx= -2√3LN(7√15 - 12√5 - 16√3+28) + 4√5 – 8 u
#1: ⎮ ⎜ 3 ⎟
⌡ ⎝ x ⎠
1
3
b
2
b) Área = A f(x) dx2 a 0
2 x
x
dx = 3·π u2 b
c) Volumen = Vf x dx
a
2
( )
3
2 2 x
dx = ∞
0 x
b
d) Área de la superficie = 2 fx 1
fx dx
a
2
2
⌠ ⎛ 3 ⎞
⎮ ⎜ (2 - x) ⎟ ⎛ 3·x + 2 ⎞
#8: ⎮ 2·π·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dx
⎮ ⎝ x ⎠ ⎜ 3 ⎟
⌡ ⎝ x ⎠
1
⎛ √15 ⎞
32·√3·π·ATAN⎜⎯⎯⎯⎟
#9: ⎝ 5 ⎠
6·√5·π - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯u2 3
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60

Integrales
33.-a) Hallar el área de la porción de esfera generada al girar, en
torno al eje y, la gráfica de la función y = 2
9 x en 0 x 2.
b) Hallar la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones
x(t) ln t
paramétricas
en el intervalo 1 t 2
2
y(t) t
c) Estudiar, sin calcular, la convergencia de la integral
3 1
dx .
0 2
x 2x
Solución:
a)
2
#1: AREAY_OF_REVOLUTION(√(9 - x ), x, 0, 2) = π·(18 - 6·√5)
o bien, despejando x en la función, puesto que se gira alrededor del
eje Y
2
#2: SOLVE(y = √(9 - x ), x, Real)
2 2
#3: x = - √(9 - y ∨ x = √(9 - y )
Área de la superficie = 2
2 x 1
x' dy
d 2
#4: ⎯⎯ √(9 - y )
dy
d
c
y
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#5: 2
√(9 - y )
3
⌠ 2 ⎛ ⎛ y ⎞2⎞
⎮ 2·π·√(9 - y ) ·√⎜1 + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dy = π·(18 - 6·√5)
#6: ⎮ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟
⌡ ⎝ ⎝ √(9 - y ) ⎠ ⎠
√5
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 61

)
Integrales
⎡ 2⎤
#1: ⎣LN(t), t ⎦
d ⎡ 2⎤
#2: ⎯⎯ ⎣LN(t), t ⎦
dt
⎡ 1 ⎤
#3: ⎢⎯, 2·t⎥
⎣ t ⎦
2
⌠ ⎛⎛ 1 ⎞2 2⎞
#4: ⎮ √⎜⎜⎯⎟ + (2·t) ⎟ dt
⌡ ⎝⎝ t ⎠ ⎠
1
⎛ √65 5·√13 √5 1 ⎞
LN⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯⎟
#5: ⎝ 16 16 16 16 ⎠ √65 √5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ - ⎯⎯
2 2 2
#6: valor aproximado 3.091362424
O bien, con la función:
#7: ⎡ 2⎤
PARA_ARC_LENGTH(⎣LN(t), t ⎦, t, 1, 2) =
⎛ √65 5·√13 √5 1 ⎞
LN⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯⎟
⎝ 16 16 16 16 ⎠ √65 √5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ - ⎯⎯
2 2 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
62

Integrales
c)
3
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
#1: ⎮ 2
⌡ x - 2·x
0
#2: ?
Descomposición en fracciones simples:
1 1
#3: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯
2·(x - 2) 2·x
La integral
2
⌠ 1
#4: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ 2·(x - 2)
0
es impropia de segunda especie y por ser de la forma
p 1 es divergente.
2
⌠ 1
#5: ⎮ ⎯⎯⎯ dx
⌡ 2·x
0
es impropia de segunda especie y por ser de la forma
p 1
es divergente.
Análogamente,
3
⌠ ⎛ 1 1 ⎞
#6: ⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎟ dx = ∞
⌡ ⎝ 2·(x - 2) 2·x ⎠
2
La integral propuesta es divergente
b
dx con
a
p
xb Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 63
1
1
b
dx con
a
p
xa

Integrales
3
x a cos t
34.- Hallar el perímetro de la curva 3
y a sen t
Solución:
Otra forma:
3
#1: x(t) ≔ a·COS(t)
3
#2: y(t) ≔ a·SIN(t)
π/2
⌠ 2 2
#3: 4·⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt = 6·⎮a⎮
0
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
64

Integrales
35.- a) Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva
y
2x
e
2x
e
y la recta y=1
4
b) Hallar la longitud de las siguientes curvas:
x 2sent sen(2t)
cardioide
y 2 cos t cos(2t)
espiral r = e para 0
Solución:
a)
2·x - 2·x
e e
#1: y = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 4
2·x - 2·x
e e
#2: 1 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 4
⎛ 2·x - 2·x ⎞
⎜ e e ⎟
#3: SOLVE⎜1 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, Real⎟
⎝ 4 4 ⎠
LN(2 - √3) LN(√3 + 2)
#4: x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
⎛ 2·x - 2·x ⎞
d ⎜ e e ⎟
#5: ⎯⎯ ⎜⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
dx ⎝ 4 4 ⎠
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 65

Integrales
2·x - 2·x
e e
#6: ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
⎛ ⎛ 2·x - 2·x ⎞2⎞
⎜ ⎜ e e ⎟ ⎟
#7: √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
LN(√3 + 2)/2
⌠ ⎛ ⎛ 2·x - 2·x ⎞2⎞
⎮ ⎜ ⎜ e e ⎟ ⎟
#8: ⎮ √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dx = √3
⌡ ⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
LN(2 - √3)/2
Y el segmento LN(√3 + 2) - LN(2 - √3)
LN(√3 + 2) - LN(2 - √3) + √3
o bien
LN(√3 + 2)/2
#9:∫ √1 dx + √3 = √3 - LN(2 - √3)+ LN(√3 + 2)/2
LN(2 - √3)/2
Aproximadamente, 3.049008704
b)
#1: x(t) ≔ 2·SIN(t) - SIN(2·t)
#2: y(t) ≔ 2·COS(t) - COS(2·t)
#3: [x(t), y(t)]
2 2
#4: √(x'(t) + y'(t) )
2·π
⌠ 2 2
#5: ⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt
0
#6: 16
c)
α
#1: r(α) ≔ e
0
⌠ 2 2
#2: ⌡ √(r(α) + r'(α) ) dα
-∞
#3: √2
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66

Integrales
36.- Estudiar la naturaleza de la siguiente integral en función de los
valores de p
b dx
a
p y calcularla cuando sea convergente.
x a
Solución:
dx
b
discontinuidad en x=a (integral impropia de 2ª especie)
a
p
xa dx dx
lim
b b
0
xa xa a p a
p
si p=1
b dx b dx
b
lim limLn(xa) lim a LnbaLn
a a
x a 0 x a 0
0
DIVERGENTE
si p≠ 1
b
I dx
b
lim dx
1p b
(xa)
lim 1 p
1p 1p (ba)
lim (*)
1p 1p
x a x a
a p
0 a
p
0 0
a
Si p11p0I Si
(b a)
1p 1p CONVERGENTE
1p (b a)
p 11p 0 I DIVERGENTE
1p Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 67

Integrales
37.- a) Hallar la longitud del arco de curva dada en polares
r=4+2sec(α) en el intervalo [2/3, 4/3].
b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas:
y 2 =2(x+1/2); y 2 =4(x+1); y 2 =6(3/2-x); y 2 =4(1-x).
Solución:
a)Longitud del arco de la curva:
#1: r(α) ≔ 4 + 2·SEC(α)
para © variando en [2¹/3,4¹/3].
⎛ 2·π 4·π ⎞
#2: POLAR_ARC_LENGTH⎜4 + 2·SEC(α), α, ⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝ 3 3 ⎠
4·π/3
⌠ 4 3
⎮ √(4·COS(α) + 4·COS(α) + 1)
#3: 2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⎮ 2
⌡ COS(α)
2·π/3
#4: 5.812830804
ó bien:
4·π/3
⌠ 2 2
#5: ⌡ √(r(α) + r'(α) ) dα
2·π/3
4·π/3
⌠ 4 3
⎮ √(4·COS(α) + 4·COS(α) + 1)
#6: 2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⎮ 2
⌡ COS(α)
2·π/3
#7: 5.812830804
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
68

Integrales
b) Área encerrada por las parábolas:
2 ⎛ 1 ⎞
#10: y = 2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
2
#11: y = 4·(x + 1)
2 ⎛ 3 ⎞
#12: y = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟
⎝ 2 ⎠
2
#13: y = 4·(1 - x)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
#14: 2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎞
#15: SOLVE⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟, x⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#16: x = 1
⎛ 1 ⎞
#17: 2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 4·(1 - x)
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞
#18: SOLVE⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 4·(1 - x), x⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
1
#19: x = ⎯⎯⎯
2
⎛ 3 ⎞
#20: 4·(x + 1) = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ 3 ⎞ ⎞
#21: SOLVE⎜4·(x + 1) = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟, x⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
1
#22: x = ⎯⎯⎯
2
#23: 4·(x + 1) = 4·(1 - x)
#24: SOLVE(4·(x + 1) = 4·(1 - x), x)
#25: x = 0
2 ⎛ 1 ⎞
#26: y = 2·⎜1 + ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞
#27: SOLVE⎜y = 2·⎜1 + ⎯⎯⎯⎟, y⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#28: y = - √3 ∨ y = √3
2 ⎛ 1 1 ⎞
#29: y = 2·⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 2 ⎠
⎛ 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎞
#30: SOLVE⎜y = 2·⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎟, y⎟
⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
#31: y = - √2 ∨ y = √2
2 ⎛ 1 ⎞
#32: y = 4·⎜⎯⎯⎯ + 1⎟
⎝ 2 ⎠
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 69

Integrales
⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞
#33: SOLVE⎜y = 4·⎜⎯⎯⎯ + 1⎟, y⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#34: y = - √6 ∨ y = √6
2
#35: y = 4·(1 - 0)
2
#36: SOLVE(y = 4·(1 - 0), y)
#37: y = -2 ∨ y = 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1
#38: ⎜0 < x < ⎯⎯⎯ ∧ √(4·(1 - x)) < y < √(4·(x + 1))⎟ ∨ ⎜⎯⎯⎯ < x < 1 ∧
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 3 ⎞⎞⎞
√⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟⎟ < y < √⎜6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟⎟⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠⎠
El área pedida es dos veces el área rayada.
#39: √(4·(x + 1)) - √(4·(1 - x))
1/2
#40: ∫ (√(4·(x + 1)) - √(4·(1 - x))) dx
0
√2 8
#41: ⎯⎯⎯⎯ + √6 - ⎯⎯⎯
3 3
⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
#42: √⎜6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟⎟ - √⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠
1
⌠ ⎛ ⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞⎞
#43: ⎮ ⎜√⎜6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟⎟ - √⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟⎟⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠⎠
1/2
2·√2 4·√3 2·√6
#44: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 3 3
⎛⎛ √2 8 ⎞ ⎛ 2·√2 4·√3 2·√6 ⎞⎞
#45: 2·⎜⎜⎯⎯⎯⎯ + √6 - ⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟
⎝⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 3 ⎠⎠
10·√6 8·√3 16
#46: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 2·√2 - ⎯⎯⎯⎯
3 3 3
#47: 1.041257447
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
70

Integrales
38.- a) Estudiar si la integral
2 cos
d es impropia y, en su
0 1 sen
caso, decir de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la
definición.
b) Hallar el área generada en la rotación de la mitad superior de la
cardioide r a(1 cos ),
a R , alrededor de su eje polar.
Solución:
⎛ π COS(α) ⎞
#1: IF⎜0 < α < ⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 √(1 - SIN(α)) ⎠
COS(α)
#2: lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
α→π/2 √(1 - SIN(α))
#3: ± √2
a) No es una integral impropia, pues la función es continua en
(0,π/2)
π/2
⌠ COS(α)
#4: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⌡ √(1 - SIN(α))
0
#5: 2
b)
1
0
2 2
S 2 f sen f f d
#6: r = a·(1 - COS(θ))
d
#7: ⎯⎯ (a·(1 - COS(θ)))
dθ
#8: a·SIN(θ)
2 2
#9: 2·π·a·(1 - COS(θ))·SIN(θ)·√((a·(1 - COS(θ))) + (a·SIN(θ)) )
2
32·π·a ·SIGN(a)
#10: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
5
32πa2 /5 u2 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 71

Integrales
39.- En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada por
3 3
las coordenadas: x a cos t , y a sen t
2 2
Se pide:
a) Longitud del camino recorrido por el móvil entre los instantes t = 0 y
t = 1.
b) Área de la superficie obtenida por la revolución de la curva descrita
por el móvil desde el inicio (t = 0) hasta volver a la posición inicial, al
girar alrededor del eje OX.
c) Volumen del sólido obtenido en el apartado anterior.
Solución:
⎛ t·π ⎞3
#1: x(t) ≔ a·COS⎜⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ t·π ⎞3
#2: y(t) ≔ a·SIN⎜⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
a)
t1
2 2
L x' (t) y'
(t)dt
t0
1
⌠ 2 2 3·⎮a⎮
#3: ⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt = ⎯⎯⎯⎯⎯
0 2
t1
b)
L
t0
2 2
S 2 y t x t y t dt
1 2
⌠ 2 2 12·π·a ·SIGN(a)
#4: 2·2·π·⌡ y(t)·√(x'(t) + y'(t) ) dt = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 5
t1
2
c) V y (t)x'(t)dt
t0
1 3
⌠ 2 32·π·a
#5: 2·π·⌡ y(t) ·x'(t) dt = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 105
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
72

Integrales
40.- Calcular el área delimitada por la curva r=cosθ
Solución:
Calculamos el área del semicírculo y multiplicamos por 2:
1 2
2 1 2 2
1
0
2
0
S 2
r d 2
2
r d
2 2
cos d 0
/2 1cos2 1 /2 /2
1sen2 d 0 dcos2d 0 0
2 2
2
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 73
/2
0
4
2
u

Integrales
41.- Calcular el volumen del elipsoide.
Solución:
2 2 2
x y z
Ecuación de la elipse: 1
2 2 2
a b c
b
a
V A x dx
El área de la sección A(x) es el área de la elipse, cuyos semiejes dependen del punto de
intersección x
Z
c
Y
b
Al cortar con el plano perpendicular al eje OX,
2 2 2 2 2
y z x y z
1 1
2 2 2 2 2
b c a 2 x 2
x
b 1 c 1
2 2
a a
2
x
2
2
x
Semiejes: b 1 y c 12 a a
a
2 2 2
x x x
A(x) b 1 c 1 bc 1
2 2 2
a a a
Por consiguiente, teniendo en cuenta los limites sobre el eje X:
a a 2 3
x x
V Axdx bc1 dx bcx
a 3a
2 2
a a a
X
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a
4 3
abc u
3
74

Integrales
42.- Hallar el volumen engendrado por la rotación de la circunferencia
x 2 +(y-4) 2 =1 al girar alrededor del eje OX.
Solución:
Al girar un círculo alrededor de un eje que está en el mismo plano que el círculo pero
que no corta a éste se obtiene un toro:
Debemos considerar el volumen del cuerpo obtenido al girar la semicircunferencia
superior menos el correspondiente a la semicircunferencia inferior, ya que la generatriz
es una curva cerrada.
2
y 4 1 x
b
1
2 2
2 2
a
1
2
y 4 1 x
2 2
V f (x) g
(x) dx 41x 41x dx
2 3
8
u
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 75

Integrales
43.- La curva r=a sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular el
volumen obtenido.
Solución:
El volumen es generado por dos pétalos y por simetría el doble del obtenido con un solo pétalo.
2
3
2
1 3 2
3
2 3
0 2
3
2
0
3
2 0
3
3
2
0
3
V r sen d 2 r sen d 2 asen2 sen d
4
a 3 sen2 4
sen d a 3 2sencos sen d
32 3 2 4 3
a sen cos d (*)
3
0
La función beta de Euler permite resolver esta integral.
3
(3 / 2)1 (1)
32 3 1 16 3 (5/ 2) (2)
16 3
(*) a (5 / 2, 2) a a 2
3 2 3 5 3 7 7 2
2 2 2 3 3
(3 / 2)1 (1) (3 / 2)1 (1)
16 3 2 16 3
a a
2
64 3 3
a u
3 75 5 3 753 3 105
22 2 222 2
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3
76

Integrales
44.- Hallar la longitud total de la curva dada por las ecuaciones
paramétricas:
2
x cos t
3
y sen t
Solución:
t=п/2
t=0
Obtenemos la gráfica y observamos que es simétrica respecto el eje de abscisas, luego
nos limitaremos a calcular la longitud de una rama.
t1
2 2
2 2 2
t00
L x' (t) y' (t)dt 2 x' (t) y' (t)dt (*)
Calculamos las derivadas:
x'(t)
2cost
sent
2
y'(t) 3sen tcost
(*)
2 2
0
2 2
cos tsen t(4
2
9sen t)dt
2 2 2
x' (t) 4cos t sen t
2 4 2
y' (t) 9sentcos t
26 13 16
u
27 27
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Integrales
45.-Calcular la longitud del primer paso de la espiral de Arquímedes
r = aθ con a>0.
Solución:
Tenemos que: r=aθ, luego r’=a, por tanto,
2
2 2
L r r' d
1
2 2 2 2
2
2
0 0
a a da 1 d (*)
Con el cambio: sht dchtdt t argsh argsh(2 ) argsh(2 ) argsh(2 ) argsh(2 ) 2 2 2
1ch2t (*) a sh t 1chtdt a ch t chtdt a ch tdt a tdt
0
0
0 0
2
t
arg sh(2 )
argsh
2
1
2
0
0
a
2
2sht cht
2
a
2
a
Ln 2 2
2 2
1 1
0
a Ln2 2 2
4 12 2
4 1
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78

Integrales
46.- Dada la curva r = 3cos(3)
a) Estudiar el dominio de r.
b) Hallar el área limitada por los tres lazos de la curva del
enunciado.
Solución:
a) Para pertenecer al dominio de r son todos los nº Reales menos aquellos que
hagan a r menor que cero, infinito o no sea un nº real.
Resolvemos la ecuación trigonométrica:
#1: r(α) ≔ 3·COS(3·α)
#2: 3·COS(3·α) = 0
#3: SOLVE(3·COS(3·α) = 0, α, Real)
π π π
#4: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = ⎯
6 6 2
Dibujo de un lazo (-π/6≤ α ≤π/6):
a) Dominio de r:
cos(3α)≥0, luego, 3α variando en:
⎡ π ⎤ ⎡ 3·π 5·π ⎤ ⎡ 7·π 9·π ⎤ ⎡ 11·π ⎤
#5: ⎢0, ⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯⎯, 6·π⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
Es decir, α variando en:
⎡ π ⎤ ⎡ π 5·π ⎤ ⎡ 7·π 3·π ⎤ ⎡ 11·π ⎤
#6: ⎢0, ⎯⎥ ∪ ⎢⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯⎯, 2·π⎥
⎣ 6 ⎦ ⎣ 2 6 ⎦ ⎣ 6 2 ⎦ ⎣ 6 ⎦
que es el dominio de r(α).
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 79

) Área encerrada por la curva:
Integrales
Si = π/6 r = 0
Si = 0 r = 3
Es 6 veces el área encerrada por medio lazo (ó tres veces el área
encerrada por un lazo)
⎛ π/6 ⎞
⎜ 1 ⌠ 2 ⎟
#7: 6·⎜⎯·⌡ (3·COS(3·α)) dα⎟
⎝ 2 0 ⎠
9·π
#8: ⎯⎯⎯ u 2
4
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
80

Integrales
47.- a) Hallar la longitud del arco de la curva:
x = cos t + t sen t
y = sen t – t cost
desde el punto (1, 0) hasta el punto (-1, ).
b) Realizar una gráfica aproximada de la longitud que se pide.
cos x
c) Hallar el área encerrada entre la función
y el eje x
1 senx
entre 0 y .
Solución:
a) Se calcula t para el primer punto (1, 0) para ello se realiza el sistema de ecuaciones:
1 = cos t + t sen t
0 = sen t – t cost
Elevamos al cuadrado las ecuaciones y sumamos las dos ecuaciones.
#1: (1 = COS(t) + t·SIN(t))
2 2 2
#2: 1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t)
2
#3: (0 = SIN(t) - t·COS(t))
2 2 2
#4: 0 = t ·COS(t) - 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t)
2 2 2 2
2
#5: (1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t) ) + (0 = t ·COS(t)
2
- 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t) )
2
#6: 1 = t + 1
2
#7: SOLVE(1 = t + 1, t)
#8: t = 0
Se calcula t para el segundo punto (-1, π)
-1 = cos t + t sen t
π = sen t – t cost
Elevamos al cuadrado las ecuaciones y sumamos las dos ecuaciones.
Sustituimos x por -1 e y por π:
2
#9: (-1 = COS(t) + t·SIN(t))
2 2 2
#10: 1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t)
2
#11: (π = SIN(t) - t·COS(t))
2 2 2 2
#12: π = t ·COS(t) - 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t)
2 2 2 2 2
2
#13: (1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t) ) + (π = t
·COS(t)
2
- 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t) )
2 2
#14: π + 1 = t + 1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 81

Integrales
2 2
#15: SOLVE(π + 1 = t + 1, t)
#16: t = -π ∨ t = π
Representación gráfica de la curva desde t=0 a t = π
#17: [COS(t) + t·SIN(t), SIN(t) - t·COS(t)]
Cálculo de la longitud de la curva desde t=0 a t=π
#18: [COS(t) + t·SIN(t), SIN(t) - t·COS(t)]
d
#19: ⎯⎯ [COS(t) + t·SIN(t), SIN(t) - t·COS(t)]
dt
#20: [t·COS(t), t·SIN(t)]
2 2
#21: √((t·COS(t)) + (t·SIN(t)) )
π
⌠ 2 2
#22: ⌡ √((t·COS(t)) + (t·SIN(t)) ) dt
0
#23:
2
u
b) Representación gráfica de la curva desde t=0 a t = π
#24: [COS(t) + t·SIN(t), SIN(t) - t·COS(t)]
c) Hallar el área encerrada entre la función
COS(x)
#25: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(1 - SIN(x))
Representación gráfica:
⎛ COS(x) ⎞
#26: IF⎜0 < x < π, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝ √(1 - SIN(x)) ⎠
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
cos x
1
senx
y el eje x entre 0 y
82

Integrales
#27: √(1 - SIN(x))
#28: SOLVE(√(1 - SIN(x)), x)
5·π 3·π π
#29: x = ⎯⎯⎯ ∨ x = - ⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯
2 2 2
Luego el denominador se hace cero en π/2
COS(x)
#30: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(1 - SIN(x))
π/2
⌠ COS(x)
#31: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ √(1 - SIN(x))
0
#32: 2
COS(x)
#33: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(1 - SIN(x))
⎮ COS(x) ⎮
#34: ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮ √(1 - SIN(x)) ⎮
π
⌠ ⎮ COS(x) ⎮
#35: ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx
⌡ ⎮ √(1 - SIN(x)) ⎮
π/2
#36: 2
Área total: 2 + 2 = 4 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 83

Integrales
48.- Dada la curva r 2 = 4 cos(2). Calcular:
a) Dominio de r
b) El área limitada por la curva dada (Explicar los límites de
integración)
Solución:
1. Dominio
Resolvemos la inecuación 4cos(2) ≥ 0
cos(2) = 0 2 = arc cos0 2 = /2 + k = /4 + /2 k
3
5
7
Son positivos en
0 ,
,
, 2
4 4 4 4
3
5
7
a) Dominio de r =
0 ,
,
, 2
4 4 4 4
Cálculo del área:
1ª forma. Integrando cada parte del Dominio:
π/4
⌠ 1
#1: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 1
⌡ 2
0
225·π/180
⌠ 1
#2: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 2
⌡ 2
135·π/180
2·π
⌠ 1
#3: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 1
⌡ 2
315·π/180
b) Área = 4
2ª Forma El área pedida consta de 4 partes iguales, es decir
π/4
⌠ 1
#4: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 1
⌡ 2
0
Área total = 4*1 = 4 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
84

Integrales
49.- Se consideran las curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares
son r y r 2( 1) . Calcular:
a) El área encerrada entre ambas curvas entre sus puntos de
intersección: el origen de coordenadas y el punto de intersección en el
segundo cuadrante
b) Perimetro del recinto anterior
Solución
Denominemos a las curvas
Dominio de r1: α > 0
Dominio de r2: (α-1) > 0 α > 1
La intersección de ambas curvas se obtiene haciendo r1 = r2 de donde se obtiene el
ángulo α = 2 y
La representación gráfica de ambas curvas es la siguiente:
Para calcular el área encerrada entre la primera curva y el origen polar, entre los valores
de α=0 y α = 2: A1 =
1 2 2
2 1 11 2
rd
0
1
d 1
2
2
0
2 2
El área encerrada entre la segunda curva y el origen polar entre esos mismos valores
1 2 2
2 1
1 2
2 1
angulares: A2 = r21d 2( 1)d
2
0 2
0
2 02
El área encerrada entre ambas será, por tanto, A = A1-A2 = 1
2 u2
b) El perímetro viene dado por
2
2 2
L r r' d
1
En nuestro caso el perímetro será la suma de las longitudes de las dos curvas que
encierran el área y se calculan
2
2
2 2
1
L1 r1 r1' d d
≈
2.583 u
1
0 4
1
≈
1.293 u
4( 1)
2
2
2 2
L2 r2 r2' d 1 d
1
0
(Esta integral no puede calcularse, pero si se puede obtener un valor aproximado, por
ejemplo, con Derive). Así que el perímetro vale P = L1 + L2 ≈ 3.877 u
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 85
2
0

Integrales
50.-Hallar la longitud del arco de la curva r = 1 + cosθ (cardioide) que
está situado en el primer cuadrante, respondiendo a los siguientes
apartados:
a) Dibujar la gráfica de la curva dada y sobre la gráfica resaltar la
longitud L del arco de la curva que está situado en el primer cuadrante.
b) Indicar y explicar los límites de integración.
c) Escribir la fórmula teórica para calcular la longitud de una curva en
forma polar.
d) Solución del problema.
Solución:
a) Dibujar la gráfica de la curva resaltando la longitud pedida
b) Indicar y explicar los límites de integración.
Primer cuadrante: si = 0º r = 1 + cos 0º = 1 + 1 = 2
si = 90º r = 1 + cos 90º = 1 + 0 = 2
Para calcular la longitud del arco de la curva r = 1 + cos situado en el primer
cuadrante, el ángulo va desde 0º a 90º.
c) Fórmula teórica: L r r d
1 2 2
'
0
d) Resolviendo con Derive:
π/2
⌠ ⎛ 2 ⎛d ⎞2⎞
#1: ⎮ √⎜(1 + COS(θ)) + ⎜⎯⎯ (1 + COS(θ))⎟ ⎟ dθ
⌡ ⎝ ⎝dθ ⎠ ⎠
0
#2: 2·√2 u
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
86

Integrales
51.- Sea la función f(x) = senx – xcosx. Calcular aproximadamente el
valor de:
a) El área encerrada por f(x) y las rectas x = -, x = y el eje OX.
b) La longitud del arco de curva de la función y = f(x) entre los puntos
(-, -) y (, ).
c) La superficie de revolución generada por el arco de curva anterior al
girar alrededor del eje de abscisas.
Solución:
#1: SIN(x) - x·COS(x)
#2: (-π < x < 0 ∧ 0 > y > SIN(x) - x·COS(x)) ∨ (0 < x < π ∧ 0 < y <
SIN(x) - x·COS(x))
b
a)
A f x dx
a
π
#3: 2·∫ (SIN(x) - x·COS(x)) dx = 8 u 2
0
b)
b 2
L 1 f'(x) dx
a
#4: f’(x) = x·SIN(x)
2
#5: √(1 + (x·SIN(x)) )
π
⌠ 2 2
#6: 2·⌡ √(x ·SIN(x) + 1) dx
0
#7: 9.396791035 u
b
c) L
S 2 f x 1 f x dx
a
2
π
⌠ 2
#8: 2·⌡ 2·π·(SIN(x) - x·COS(x))·√(1 + (x·SIN(x)) ) dx
0
#9: 82.20904341 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 87

Integrales
52.- Hallar el área encerrada entre las funciones f(x)
g(x)
Solución:
1
3
x
para x 3
El área encerrada viene dada por
A f( x) g( x) dx ( f( x) g(
x)) dx
3 3
Se trata, por tanto de una integral impropia.
Puesto que se comprueba que la inecuación
1 1
f( x) g( x)
es cierta para x 3 es decir,
2 3
x 1
x
Resolviendo
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
3
1
2
x 1 y
1 1 b 1 1 1
1
A dx lim dx lim arctg 2 3 2 3 x 0 arctg(3)
3
3
2
x 1 x b x 1 x b
2x
2 18
2
0.266 (u )
b
88

Integrales
1
53.- Para la función f(x) se pide:
2
x 1
a) Representar la función
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
c) Calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por f(x) y el
eje de abscisas alrededor de dicho eje.
Solución:
a) Se realiza un representación gráfica aproximada con Derive
Datos analíticos:
1. Dominio de f(x) =
2. La función es simétrica respecto del eje OY pues f(-x)=f(x)
3. Corte con los ejes coordenados. No corta porque la función siempre es
positiva
4. Asíntotas:
a. Verticales no hay puesto que Dom(f)=
b. Horizontales
1
i. lim 0 asíntota horizontal eje OX
x 2
1
x
1
lim 0 asíntota horizontal eje OX
ii.
x 2
1
x
Con lo cual ya se tienen todos los datos necesarios para plantear la integral. Se trata
de una integral impropia pues el intervalo de integración es [ , ]
b) El área viene dada por (por ser una función simétrica respecto del eje OY)
1
A dA2 f( x) dx2 dx
0 0 2 1x b
A 2limarctgx 2 lim arctg( b) arctg0
2
2 (u )
b 0 b 2
se trata de una integral inmediata
c) La expresión general del volumen generado por una función cuando gira alrededor
del eje de abscisas es:
El volumen del elemento diferencial (cilindro recto de radio f(x) y altura dx) viene dado
por la expresión dV = f 2 (x) dx
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 89

Y
Integrales
Por tanto, el volumen de revolución buscado viene dado por la expresión (aplicando la
propiedad de simetría de la función)
2
b
1 arctg(x) x 2 2 2 lim 2 2
V dV dx 0 (0 0)
0
0
2
2
1x b
2 2( x 1)
2
0
2
3
= u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
dx
y=f(x)
X
90

Integrales
x(t) ln t
54.- Para la curva dada en forma paramétrica 1 1
se
y(t)
t
2 t
pide, para el intervalo 1 ≤ t ≤ 10:
a) Representar la gráfica
b) Longitud del arco
c) Superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas
d) Volumen de revolución engendrado al girar el área comprendida
entre la curva
e) Superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el área
comprendida entre la curva y el eje de abscisas
Solución:
a) Se representa la curva
Campo de variación de t, cualquier valor de t del intervalo dado
No tiene sentido estudiar las simetrías pues en el intervalo dado, t es siempre t>0
Puntos críticos
1 1
x'( t)
t
x'( t)
0 en el intervalo dado
t
2 2
1t1
ambas derivadas existen en el
1 t 1
y'( t)
2
y'( t) 0 t 1
2
2 t 2 t
intervalo de estudio
x(1) ln 1 0
Punto crítico t=1
punto de tangencia horizontal
y(1)
1
101
En el intervalo dado, la curva tiene una única rama que va de P 0,1 a Qln10,
20
2
1t1 2 2
y'( t) 2 t t 1
f '( x)
que es positiva en todo el intervalo y por tanto, la
x '( t) 1 2t
t
función es creciente.
2
y''( t) x'( t) x''( t) y'( t) t 1
f ''( x)
que es positiva en todo el intervalo, por lo tanto,
2 2
x'( t)
2t
la función es cóncava.
Dibujo de la gráfica de la función en el intervalo dado:
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 91

Integrales
b) La longitud del arco de curva viene dado por la expresión
2 2
2
4 2 2
2 2 1 t 1 t 2t 1 t 1
dl x'( t) y'( t) dt dl
dt dt dt
2 2 2
t
2t
2t 2t
2
t1
t 1
Por tanto, L dt
t 2
0 2t
2
t 1
t 2
Como dt C
2
2t 2 t
La longitud buscada es
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
10
t2 99
L
2 t
4,95 (u)
20
c) La superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas viene dada por
t110 1 11 A y(t)x'(t)dt y(t)x'(t)dt
t dA t dt
0
1
2 tt 1 11 t 1
t dt C
….. obsérvese que es la misma integral anterior
2 tt 2 2t
10 1 11 t1
At dt
1
2 tt
2 2t
d) El volumen de revolución viene dado por
Como
2
dV y '( t) x '( t) dt
2
2
t 1 4
ln t t 1
dt C
3 2
4t 2 8t
2 2 4
10
t t t
10
1
1
10
t2 99
2
A
4,95
(u )
2 t
20
1
2
2
t 1
dV dt 3
4t
10 1 ln 1 ln10 9999
V dt
1
3 2
4t 2 8t 2 800
1
e) La superficie lateral de revolución viene dada por
2 2
dS 2 y() t dl 2 y()
t x '() t y '() t dt
Como
2
1 1 t 1
3
42,88 (u )
2
2
t 1
dS 2 y( t) dl 2 t dt
dt
2 3
2 t 2t 2t
2
2
t 1 4
t 1
dt ln t C
3 2
2t 4t
2 2 4
10
t t
10 1 1 9999
S dt ln t
ln10
1
3 2
2t 4t
400
1
2
85,77 (u )
92

Integrales
55.- Hallar la superficie de revolución generado por la lemniscata de
ecuación
Solución
x( t) 4 cos(t)
al girar alrededor del eje de abscisas.
y(t) 4sen(t)cos(
t)
Hallamos los valores de t para los que y=0
2
0 y(t) 4sen(t)cos(t) t 0
x
0
2y0 t
x
4
0
y0
Luego (0, π/2) son los puntos de intersección del primer lazo con OX
Para obtener la superficie, tenemos:
L
t1
t0
2 2
S 2 y t x t y t dt
d ⎡ 2 ⎤
⎯⎯ [4·COS(t), 4·SIN(t)·COS(t)] = ⎣ - 4·SIN(t), 8·COS(t) - 4⎦
dt
2 2 2 4 2
√((- 4·SIN(t)) + (8·COS(t) - 4) ) = 4·√(4·COS(t) - 5·COS(t) + 2
π/2
⌠ 2 2 2
2·⌡ 2·π·4·SIN(t)·COS(t)·√((- 4·SIN(t)) + (8·COS(t) - 4) ) dt =
0
89.29614921 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 93

56.- Dada la función f(x) p
se pide
Integrales
1
x
siendo p un número real tal que p > 1
a. Calcular paso a paso la integral
f(x)dx siendo a>1 un número real
a
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
Solución:
a.
1p d
1p 1p 1p
d
x d a a
f( x) dxlim f( x) dxlim
lim 0
d d 1 p d
1 p 1 p 1
p
a a
b. Se trata de una integral impropia de primera especie
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
a
1
p
a
p 1
94

Integrales
57.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2
sen(2α); r2(α)=1, se pide:
a) Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1≥0 ; r2≥0)
b) Estudiar las simetrías de r1 y r2.
c) Obtener las intersecciones de r1 y r2.
d) Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas.
e) Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2.
Solución:
a.
2 [0, ]
3
r1( ) 0 sen(2
) 0 0, ,
2
[2 ,3 ]
2
2
r ( ) 0 0, 2
2
b.
r( 1 ) 2sen( 2 ) r( 1 )
no hay simetría respecto del eje x
r ( ) 2sen(2( )) r ( )
no hay simetría respecto del eje y
1 1
r( ) 2sen(2( )) r( )
SIMÉTRICA RESPECTO DEL
ORIGEN
1 1
r2 ( )
es una circunferencia por lo que presenta todas las simetrías
c.
Las intersecciones (del primer cuadrante) se obtienen de resolver la ecuación
2
1
6 12
2 sen(2 ) 1 2
arcsen
2 5
2
5
6 6
12
Como ambas funciones son simétricas respecto del origen, las otras dos intersecciones
vendrán dadas por:
5
12
12
Obviamente, en los cuatro puntos, r=1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 95

Integrales
Dado que ambas curvas son simétricas respecto del origen de coordenadas, el área total
se puede calcular como el doble de la encerrada en el primer cuadrante. Por tanto
5
1
1
1
AT A A 2A
2 12
2
r ( )
d
12
2
r ( )
d
2
2
1 3 1
1
2 5
r1
( )
d
2
0
2
2
12
12
3 3
AT AT
2 3
6 4 3 6 4 3
2
1.228( u
)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
96

58.- Dada la función f(x) p
pide:
Integrales
1
x
a. Calcular paso a paso la integral a
siendo p un número real tal que p1 un número real.
1p a
1p 1p 1p
1
p
x a d a a
f ( x) dx lim f ( x) dx lim lim 0 1 p 1 p 1 p 1
p 1
p
b. Distinguiremos dos casos:
Si p 0 es una integral definida
Si 0 p 1 se trata de una integral impropia de segunda especie
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 97

Integrales
59.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2
cos(2α); r2(α)=1, se pide:
a) Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1>0 ; r2>0)
b) Estudiar las simetrías de r1 y r2
c) Obtener las intersecciones de r1 y r2
d) Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas
e) Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2
Solución:
a.
2
0, 0,
2 4
3 5 3 5
r1
( ) 0cos(2 ) 0 2 , ,
2 2
4 4
7 7
2 ,4 ,2
2
4
3 5 7
0, , , 2
4
4 4
4
r ( ) 0 0, 2
2
b.
r 1( ) 2cos( 2 ) r 1(
)
SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE X
r ( ) 2cos(2( )) r ( )
SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE Y
1 1
r( ) 2cos(2( )) r( )
Es simétrica
respecto del origen
r es una circunferencia por lo que presenta todas las simetrías
1 1
2 ( )
c.
Las intersecciones se obtienen de resolver la ecuación
1
2cos( 2
) 1 2
arccos
2
1
2 3 6
Como ambas funciones son simétricas respecto del los ejes X e Y, se pueden obtener
sólo las intersecciones del primer cuadrante y luego calcular el resto por la simetría
11
Por la simetría respecto del eje x 4 2
6 6
5
7
Por la simetría respecto del eje Y
2
1 3 y 3 1
6
6
Obviamente, para todos los puntos, r=1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
98

Integrales
Como ambas curvas son simétricas simultáneamente respecto de los eje X e Y para
calcular el área total encerrada se puede calcular el área encerrada en el primer
cuadrante y multiplicarla por 4.
1
1 1
3
4 4 6
2
( ) 4
2
AT A1
A2
A3
A4
A1
r2
d
1 ( )
4
1
2
0
r d
2 2
6 2
6
3
AT
1.
228(
u
3 2
2 2
)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 99

Integrales
x(t) ln t
60.- Para la curva dada en forma paramétrica 1 1
se
y(t)
t
2 t
pide, para el intervalo 0 ≤ x ≤ 1:
a) Longitud de la curva en el intervalo x [0,1]del eje de abscisas.
b) Área encerrada entre la curva y el eje de abscisas en dicho
intervalo.
Solución:
a) Se representa la curva
Hay que ver a qué valores de t corresponde el intervalo dado
sobre el eje OX.
x
Despejando t e por lo que el intervalo será
0 1
t [ e , e ] t [
1,
e]
Campo de variación de t, cualquier valor de t del
intervalo dado
No tiene sentido estudiar las simetrías pues en el intervalo dado, t es siempre t>0
Puntos críticos
1 1
x'( t)
t
x'( t)
0
Nunca en el intervalo dado
t
2
2
ambas derivadas existen
1t1 1 1
y'( t)
2
t y'( t) 0 t 1
2
2 t 2 t
en el intervalo de estudio
x(1) ln 1 0
Punto crítico t=1
punto de tangencia horizontal
y(1) 1
En el intervalo dado, la curva tiene una
P 0,1 a
única rama que va de
1 1
Q 1,
e
1, 1.
54
2
e
Dibujo de la gráfica de la función en el
intervalo dado:
Como la función es continua en el intervalo se puede aplicar la regla de Barrow
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
100

Integrales
a) La longitud del arco de curva viene dado por la expresión
2 2
2
4 2 2
2 2 1 t 1 t 2t 1 t 1
dl x'( t) y'( t) dt dl
dt dt dt
2 2 2
t
2t
2t 2t
2
1
Por tanto, 1 2
2
e t
L dt
t
2
t 1
t 2
Como dt C
2
2t 2 t
2
t 2
e 1
La longitud buscada es L
1.
17(
u)
2
t
2e
b) La superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas viene dada por
1 11 dA y() t x '() t dt dA t dt
2 tt 1 11 t 1
t dt C
….. obsérvese que es la misma integral anterior
2 tt 2 2t
e
2
t 2
e 1
2
A
1.
17(
u )
2
t
2e
1
e
1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 101

Integrales
61.- Dada la función f(x)=x 2 obtener los siguientes volúmenes de revolución
a) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
b) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OY.
Solución:
2
2
a. El volumen viene dado por
0
5
2
x 32
2
V x dx
5 5
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
0
3
20.11(u )
b. El volumen viene dado por el volumen del cilindro exterior menos el volumen que genera el
área encerrada entre la curva y el eje OY
2
3
El volumen del cilindro exterior es V 2 4 16
( u )
El volumen del área encerrada viene dado por
2
4
4 4
2
y
V x (y)dy ydy
0
0
2
0
3
8
(u )
102

Integrales
62.- Determinar las áreas siguientes:
a) Encerrada por la función f(x) y el eje OX siendo
x 6
si 6 x 6
4
x 6
f(x)
3
en otro caso
2
x x 20
b) Encerrada por la curva r( ) a sen(2 ) con a 0
c) De la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX, el lazo de la curva
9 y 2 = x (3 - x) 2
Solución:
a)
b
A f x dx
a
⎛ x - 6 3 ⎞
IF⎜-6 < x < 6, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#1: ⎜ 4 2 ⎟
⎝ x + 6 x - x - 20 ⎠
-6 6 ∞
⌠ ⎮ 3 ⎮ ⌠ ⎮ x - 6 ⎮ ⌠ ⎮ 3 ⎮
⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx + ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx + ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮dx
#2: ⎮ ⎮ 2 ⎮ ⎮ ⎮ 4 ⎮ ⎮ ⎮ 2 ⎮
⌡ ⎮ x - x - 20 ⎮ ⌡ ⎮ x + 6 ⎮ ⌡ ⎮ x - x - 20 ⎮
-∞ -6 6
1/4 ⎛ 6·√6 + 431 6·√6 + 431 ⎞
24 ·ATAN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#3: ⎜ 1/4 1/4 ⎟
⎝ 430·(2·54 - 1) 430·(2·54 + 1) ⎠
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -
2
⎛ 1/4 ⎞
1/4 ⎜ 2·54 - 6·√6 - 1 ⎟
24 ·LN⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎜ 1/4 ⎟ 1/4
⎝ 2·54 + 6·√6 + 1 ⎠ LN(55) 24 ·π
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 3 2
#4: 4.794039633 (u 2 )
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 103

Integrales
1 2
2
b) Sr d
2 1
#5: r = a ⎮SIN(2·θ)⎮
Obsérvese la simetría de la curva y que el máximo se obtiene para
r = a ⎮SIN(2·θ)⎮ = 1, es decir θ = π/4
Se trata de una rosa de 4 hojas. El área encerrada se obtiene integrando y
multiplicando por 8 el área encerrada por la curva entre los límites 0 y π/4,
es decir
π/4 2
⌠ 1 2 π·a
#6: 8·⎮ ⎯·(a·⎮SIN(2·θ)⎮) dθ = ⎯⎯⎯⎯
⌡ 2 2
0
b
2
c) S 2
fx
1
fx dx
a
2 2
#7: 9·y = x·(3 - x)
Para la parte superior de la curva para 0≤x≤3, tenemos
1
#8: y ≔ ⎯·(3 - x)·√x
3
el elemento diferencial es
d ⎛ ⎞
#9: ⎯⎯ ⎜ y ⎟
dx ⎝ ⎠
1 - x
#10: ⎯⎯⎯⎯⎯
2·√x
sustituyendo en la fórmula
b
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
104

Integrales
⌠ ⎛ ⎛d ⎞2⎞
#11: 2·π·⎮ y·√⎜1 + ⎜⎯⎯ y⎟ ⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝dx ⎠ ⎠
a
obtenemos
1
⎯·(3 - x)·√x·(x + 1)
#12: 3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·√x
#13: x Real (0, ∞)
3
⌠ 1
⎮ ⎯·(3 - x)·√x·(x + 1)
#14: ⎮ 3
2·π·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ 2·√x
0
#15: 3·π (u 2 )
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 105

Integrales
63.- Calcular:
a) La longitud del arco de la parábola y = x 2 – 2x + 5 comprendido entre los
3 17
puntos (1, 4) y ,
2 4 .
b) El área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1 (ecuación en
2
coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva r cos .
Solución
a)
2
#1: y = x - 2·x + 5
⎛ 3 2 ⎞
#2: IF⎜1 < x < ⎯, x - 2·x + 5⎟
⎝ 2 ⎠
b
2
La integral L 1y' dx proporciona la longitud entre x=a y x=b
a
d 2
#3: ⎯⎯ (x - 2·x + 5)
dx
#4: 2·x - 2
2
#5: √(1 + (2·x - 2) )
3/2
⌠ 2
#6: ⌡ √(1 + (2·x - 2) ) dx
1
LN(√2 + 1) √2
#7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯
4 4
O bien, aproximadamente
#8: 0.5738967873
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
106

)
2
#9: r = COS(α)
#10: r = 1
2
#11: COS(α) < r < 1
Integrales
Sean r f( )
y r g( )
dos curvas continuas en 1, 2y
tal que 0

Integrales
1
64.- Dada la función f(x) = , cuya gráfica es la de la figura, se pide:
3 2
x x 2
a) Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el eje Y.
b) Calcular el área encerrada por f(x), y el eje X en [2,).
c) Estudiar la convergencia de 2
d) Estudiar la convergencia de
1
0
f(x) dx .
f(x) dx .
Solución:
Primeramente calculamos una función primitiva de f(x) por el método de descomposición en
fracciones simples, podemos escribir:
2
1 1 A MxN A(x 2x2) (MxN)(x1)
3 2 2 2 2
x x2 (x 1)(x 2x2) x 1x 2x2 (x 1)(x 2x2) Obteniendo
1
A
AM 0
5
1
2A MN0M 5
2A N1
3
N
5
Sustituyendo los valores obtenidos podemos resolver
1 1/5 1/5x3/5 I dx dx dx
3 2 2
x x 2 x1 x 2x2 1 1 1 x 3 1
dx dx dx
2 2
5
x1 5 x 2x2 5x 2x2 1 1 x11 3 1
ln x 1 dx dx
2 2
5 5
x 2x2 5 x 2x2 1 1 1 2x1 2 1
ln x 1 dx dx
2 2
5 5 2
x 2x2 5 x 2x2 1 1 1 2 2 1
ln x 1 ln x2x2 dx 2
5 5 2 5
(x1) 1
1 1 2 2
1 x1 2
ln x 1 ln x2x2 artg x1C ln artg x1C 5 10 5
5 2
x 2x2 5
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
108

Integrales
a)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#1: 3 2
x + x - 2
1
-2 < x < 0 ∧ 0 > y > ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#2: 3 2
x + x - 2
Área= 2 1 1 x1 2
dx
0 3 2 ln artg x1
x x 2
5 2
x 2x2 5 0
1 21
2 1 2
ln artg 21 ln 2 artg 1
5 2
2 2( 2) 2
5 10 5
1 1 2 1 2 1
ln 3 ln 2 ln 2 ln 3
5 10 5 2 10 5 2 5
0
⌠ ⎮ 1 ⎮ LN(3) π
⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx = ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯
#3: ⎮ ⎮ 3 2 ⎮ 5 5
⌡ ⎮ x + x - 2 ⎮
-2
b)
1
2 < x ∧ 0 < y < ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#4: 3 2
x + x - 2
Área
1 k 1
2 3 2
k
2 3 2
k lím ln artg x1 2
dx límdx x x 2 x x 2
2
1 x1 2
5 x 2x2 5
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 109
k
2

Integrales
1 k1 2 1 21 2
5 2 5 5 2
k 2k2 2 222 5
= lím ln artg k1 ln artg 21 k = 2 2 1
2 1 1
arctg3 ln10 = arctg ln10
52 5 10 5 5
2 3
10
= 1 2 1
ln10 arctg
10 5
3
⎛ 1 ⎞
∞ 2·ATAN⎜⎯⎟
⌠ ⎮ 1 ⎮ LN(10) ⎝ 3 ⎠
#5: ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎮ ⎮ 3 2 ⎮ 10 5
⌡ ⎮ x + x - 2 ⎮
2
c)
1
1 < x < 2 ∧ 0 < y < ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#8: 3 2
x + x - 2
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 2
x + x - 2
#6: lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→1+ 1
⎯⎯⎯⎯⎯
x - 1
1
#7: ⎯
5
La integral
2
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ∞
⌡ x - 1
1
Es divergente y por el criterio del cociente:
2
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ∞
#9: ⎮ 3 2
⌡ x + x - 2
1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
110

Integrales
d)
∞
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
#10: ⎮ 3 2
⌡ x + x - 2
0
∞ 1 2
⌠ 1 ⌠ 1 ⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx +
#11:⎮ 3 2 ⎮ 3 2 ⎮ 3 2
⌡ x + x - 2 ⌡ x + x - 2 ⌡ x + x - 2
0 0 1
∞
⌠ 1
+ ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ∞
⎮ 3 2
⌡ x + x - 2
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 111

65.- Calcular
Solución:
2
-x
- e dx
.
Integrales
2 2
con el cambio de variable x 2 =z
2
-x
Al ser e una función par tenemos que
-x
e
- dx 2
0
-x
e dx
resulta 2xdx=dz y con los límites de integración iguales ya que 0 2 =0 y ∞ 2 =∞. Por tanto,
2 2
-x -x -z 1
-z
e dx 2e dx 2 e dz= e
-
0 0 2x 0 1
1 -
-z 1
2
dz= e z dz=
0
z 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
112

Integrales
66.- Considerando la circunferencia de radio R en coordenadas polares, hallar:
a) El área del círculo.
b) La longitud de la circunferencia.
c) El volumen de la esfera.
d) La superficie de la esfera.
Solución:
#1: r = R
a) Área del circulo de radio R
⎛ π ⎞
⎜ 1 ⌠ 2 ⎟
#2: 2·⎜⎯·⌡ R dα⎟
⎝ 2 0 ⎠
2
#3: π·R
b) Longitud de la circunferencia de radio R
π
⌠ 2
#4: 2·⌡ √R dα
0
#5: 2·π·R
c) Volumen de la esfera de radio R
π
2 ⌠ 3
#6: ⎯·π·⌡ R ·SIN(α) dα
3 0
3
4·π·R
#7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
d) Superficie de la esfera
π
⌠ 2
#8: 2·π·⌡ R·SIN(α)·√R dα
0
2
#9: 4·π·R
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 113

Integrales
dP 100 25t
67.- La tasa de variación en la población de conejos es 2
dt t 8t 16,1
tiempo en años) Hallar:
a) Al cabo de cuánto tiempo es máxima dicha población.
b) Si la población inicial de conejos es de 50 unidades, hallar el número
máximo de conejos.
c) ¿Se extinguirán los conejos?
Solución:
P(t) es el número de conejos después de t años.
a) Buscamos el máximo, es decir, un punto extremo de la función P(t). Para ello resolvemos la
ecuación dP/dt=0
⎛ 100 - 25·t ⎞
SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, t, Real⎟
#1: ⎜ 2 ⎟
⎝ t - 8·t + 16.1 ⎠
#2: t = ±∞ ∨ t = 4
Confirmamos con la derivada segunda que es un máximo
dP 100 - 25·t
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#3: dt 2
t - 8·t + 16.1
2
250·(10·t - 80·t + 159)
#4: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
(10·t - 80·t + 161)
Para t=4
2
250·(10·4 - 80·4 + 159)
#5: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
(10·4 - 80·4 + 161)
#6: -250

Integrales
Al cabo de 4 años la población será de 113 conejos
c) ¿Existe un valor de t=x para el cuál P(t)=0?
x
⌠ 100 - 25·t
50 + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt = 0
#9: ⎮ 2
⌡ t - 8·t + 16.1
0
⎛ x ⎞
⎜ ⌠ 100 - 25·t ⎟
SOLVE⎜50 + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt = 0, x, Real⎟
#10: ⎜ ⎮ 2 ⎟
⎜ ⌡ t - 8·t + 16.1 ⎟
⎝ 0 ⎠
4 4
√10·√(161·e - 1) √10·√(161·e - 1)
#11: x = 4 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 4
10 10
#12: x = 33.64675725 ∨ x = -25.64675725
En 33,64 años, no habrá conejos
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 115

Integrales
1
68.- a) Demostrar que si y = arg th x, entonces y'
2
1x 2
t
b) Calcular la derivada de la siguiente función: F(x) e dt
ln x
c) Calcular el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y =
x 2 el eje OX, entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
1 1
d) Calcular ,
2 2
Solución:
a)
1 1 1 1 1 1 1
y' argthx ln 1x ln 1x' 2
2 2 21x 21x 1x Otra forma:
shy 2
1 1
y=argthx x=thy= 1= 1-th yy' y'
derivando respecto x
2 2
chy 1 th y 1 x
b)
x
Sea G(x) f(t)dt G'(x) f(x)
siendo f una función continua en [a,x]
a
2
t
Consideramos la función continua en R: f(t) = e y g(x)=x 3 , h(x)=lnx funciones derivables.
3
x
ln x
2
t
a
ln x
2
t
3
x 2
t
a 3
x 2
t
a lnx
a
2
t
g(x) h(x)
Entonces:
a a
F(x) e dt e dt e dt e dt e dt
f(t)dt f(t)dt G(g(x)) G(h(x))
Derivando:
c)
d)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
3
x
F'(x) G'(g(x))g '(x) G'(x)h '(x) f (g(x))g '(x) f (h(x))h '(x) f (x )3x flnx x
Aplicando la propiedad
2
2 x 1 lnx =3xe - e
x
3 2
5
2
b 2 2
2 2
2
4 x
V= y dx= x dx x dx
a
0 0
5
p,q 2 2p12q1 2 sen t cos dt
0
1 1
2
1
2 1 2
1
2 1
2
2
0 0
0
5
2
5
u
, 2
sen tcos dt 2 dt 2
2 2 2
3 2 1
3
116

Integrales
1
69.- a) Demostrar que si y = arg sh x, entonces y'
2
x 1
3
x ln t
b) Calcular la derivada de la siguiente función: F(x) dt
2
e t
c) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral de
f(x) tgx en el intervalo
0,
2
.
d) Calcular (4)
Solución:
a)
y' argshx'lnx Otra forma:
2x
1
2
2
x 1 2 x 1
'
2
xx 1 1
2
x 1
1
y=argshx x=shy 1=chyy' y' 2 2 derivando respecto x chy ch yshy1 1
2
shy 1 1
2
x 1
b)
x
Sea G(x) f(t)dt G'(x) f(x)
siendo f una función continua en [a,x]
a
Consideramos la función continua en R: f(t)=lnt/t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x 3 ,
3
x lnt g(x)
función derivable. Entonces: F(x) dt 2
e t f(t)dtG(g(x)) a
Derivando:
3 3
3 2 2 ln(x ) ln(x )
F'(x) G'(g(x))g'(x) f(g(x))g'(x) f(x )3x 3x 3 3
x x
c)
Impropia de 2º especie puesto que no está acotada en x= .
2
senx
2 2 2
I tgx dx límtgx dx lím dx
0 00 00
cos x
límln(cos x) 2lím ln(cos ln(cos 0) 0 0
0
2
. DIVERGENTE
d)
Sabiendo que (p) (p 1)! para cualquier p natural
(4) = 3! = 3.2.1 = 6
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 117

Integrales
2
70.- a) Demostrar la siguiente relación: arg sh x = ln x x 1
b) Calcular la derivada de la siguiente función:
3
x sent
F(x) dt
x t
c) La curva y 2 = e -2x gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del
cuerpo limitado por la superficie engendrada entre la curva, el eje de abscisas
(OX) cuando x>0.
7 d) Calcular ,
sabiendo que
2 Solución:
1
2 a)
x x
e e
Del seno hiperbólico sh(x) y
2
x 1
x 2x 2x x
2y e 2ye e1e2ye1 0 resolviendo la ecuación de segundo grado
x
e
2
x 2y 4y 4
2
e y y 1 0 y una única solución factible
2
2
definición de logaritmos yargsh(x) lnx x 1
b)
Sea
a
x
G(x) f(t)dt G'(x) f(x)
siendo f una función continua en [a,x]
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
x 2
e y y 1 y según la
Consideramos la función continua en R: f(t)=sent/ t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x 3 ,
h(x)=x funciones derivables. Entonces:
3 3 3
x sent asent x sent x sent xsent
F(x) dt
x dt dt dt dt
x
a
a
a
t t t t t
g(x) h(x)
f(t)dt f(t)dt G(g(x)) G(h(x))
a a
Derivando:
3 2
F'(x) G'(g(x))g'(x) G'(x)h'(x) f(g(x))g'(x) f(h(x))h'(x) f(x )(3x ) f(x)
3
2 sen(x ) sen(x)
=3x -
3
x
c)
Obviamente la asíntota horizontal es el eje de abscisas y la expresión del volumen:
b k
2 2x 2x 1 2k 1 2.0
V f (x)dx e dx lím e dx lím e e
1
a 0 k 0 lím
k
2k
2 2
k 2
2e 2
d)
Sabiendo que (p) (p1) (p 1) para cualquier p>1
7 7 7 5 5 53 3 531 1 1 1
2 2 2 2 2 22 2 222 2 15
8
x
118

Integrales
2
71.- a) Demostrar la siguiente relación: ch x
2
sh x ch 2x
Solución:
a)
b) Calcular la derivada de la siguiente función:
c) La integral 2
d) Calcular (4,5)
0
x
4 x
2
dx , ¿es impropia? Calcularla.
x x 2
x x 2
2x 2x
3
x sent
F(x) dt
2
x t
2 2 e e e e e e
ch (x) sh (x) ch(2x)
2 2 2
b)
x
Sea G(x) f(t)dt G'(x) f(x)
siendo f una función continua en [a,x]
a
Consideramos la función continua en R: f(t)=sent/t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x 3 ,
h(x)=x 2 funciones derivables. Entonces:
3 3 3 2
x sent a sent x sent x sent x sent
F(x) dt dt dt dt dt
2 2
x t
x t
a t
a t a t
g(x) h(x)
f(t)dt f(t)dt G(g(x)) G(h(x))
a a
Derivando:
3 2 2
F'(x) G'(g(x))g '(x) G'(x)h '(x) f (g(x))g '(x) f (h(x))h '(x) f (x )3x f (x )2x
3 2
3 2
2 sen(x ) sen(x ) sen(x ) sen(x )
=3x -2x =3 -2
3 2
x x
x x
c)
Impropia de 2º especie puesto que no está acotada en x=2.
2 xdx 2xdx
I lím 0 2 0
0
2
4x 4x
2
2
lím 4 x 2R. CONVERGENTE
0
0
d)
(p) (q)
(4) (5) 3! 4!
1
Sabiendo que: (p,q) y resulta (4,5)
(p q)
(4 5) 8! 875 1
280
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 119

72.-Dada la función
2
x
Integrales
f(x) e
. Se pide:
a) Calcular el área encerrada por la función f(x) y su asíntota.
b) Calcular el volumen generado por la función f(x) al girar alrededor de su
asíntota.
c) Hallar la longitud de la función f(x) en el intervalo [0,1].
d) La función f(x) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie
obtenida en el intervalo [-1,1].
Solución:
a)
2
#1: - x
e
El eje de abscisas es la asíntota de la función, ya que:
2
- x
#2: lim e
x→∞
#3: 0
Asíntota horizontal y = 0
b
a
A f x dx
∞
⌠ 2
#4: ⎮ - x
⌡ e dx
-∞
#5: √π u 2
b)
b
2
V y dx
a
∞
⌠ ⎛ 2⎞2
#6: ⎮ ⎜ - x ⎟
⌡ π·⎝e ⎠ dx
-∞
3/2
√2·π
#7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ u3 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
120

c)
⎛ 2⎞
#8: ⎜ - x ⎟
IF⎝0 < x < 1, e ⎠
Integrales
2
L1 y' dx
a
d 2
#9: ⎯⎯ - x
dx e
2
#10: - x
- 2·x·e
1
⌠ ⎛⎛ 2⎞2 ⎞
#11: ⎮ ⎜⎜ - x ⎟ ⎟
⌡ √⎝⎝- 2·x·e ⎠ + 1⎠ dx
0
1
⌠ 2 ⎛ 2 ⎞
#12: ⎮ - x ⎜ 2·x 2⎟
⌡ e ·√⎝e + 4·x ⎠ dx
0
#13: 1.20444107 u
d)
2
#14: - x
-1 < x < 1 ∧ 0 < y < e
b
a
b
2 f x 1 f x dx
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 121

Integrales
d 2
#15: ⎯⎯ - x
dx e
2
#16: - x
- 2·x·e
⎛ 2⎞2
#17: ⎜ - x ⎟
1 + ⎝- 2·x·e ⎠
2 ⎛ ⎛ 2⎞2⎞
#18: - x ⎜ ⎜ - x ⎟ ⎟
2·π·e ·√⎝1 + ⎝- 2·x·e ⎠ ⎠
1
⌠ 2 ⎛ ⎛ 2⎞2⎞
#19: ⎮ - x ⎜ ⎜ - x ⎟ ⎟
⌡ 2·π·e ·√⎝1 + ⎝- 2·x·e ⎠ ⎠ dx
-1
#20: 11.07528523 u2 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
122

Integrales
2 2
1 t t(1 t )
73.- a) Hallar el área del lazo de la estrofoide , 2 2
1 t 1 t
2 2
t 1 t(1 t )
b) Calcular el volumen de un lazo de la estrofoide , 2 2
1 t 1 t
alrededor del eje de simetría.
2 2
t(1 t ) 1 t
c) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide , 2 2
1 t 1 t
d) Calcular la superficie generada por el lazo de la estrofoide
2 2
t(1 t ) t 1
, 2 2
1 t 1 t
al girar alrededor del eje de abscisas.
Solución:
a)
⎡ 2 2 ⎤
⎢ 1 - t t·(1 - t ) ⎥
#3: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
⎛⎡ 2 2 ⎤ ⎞
⎜⎢ 1 - t t·(1 - t ) ⎥ ⎟
#4: SOLVE⎜⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0⎥, [t]⎟
⎜⎢ 2 2 ⎥ ⎟
⎝⎣ 1 + t 1 + t ⎦ ⎠
#5: [t = -1, t = 1]
⎛⎡ 2 2 ⎤ ⎞
⎜⎢ 1 - t t·(1 - t ) ⎥ ⎟
#6: SOLVE⎜⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0⎥, [t]⎟
⎜⎢ 2 2 ⎥ ⎟
⎝⎣ 1 + t 1 + t ⎦ ⎠
#7: [t = 0]
2
d 1 - t
#8: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dt 2
1 + t
al girar
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 123

Integrales
4·t
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#9: 2 2
(t + 1)
1
⌠ ⎮ 2 ⎮
⎮ ⎮ t·(1 - t ) ⎛ 4·t ⎞⎮
#10: 2·⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎮ dt
⎮ ⎮ 2 ⎜ 2 2 ⎟⎮
⌡ ⎮ 1 + t ⎝ (t + 1) ⎠⎮
0
4 - π
#11: ⎯⎯⎯⎯⎯ u 2
2
b)
⎡ 2 2 ⎤
⎢ t - 1 t·(1 - t ) ⎥
#11: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
Obviamente el eje de simetría es el eje de abscisas
Buscamos los puntos de intersección con el eje de abscisas
⎛ 2 ⎞
⎜ t - 1 ⎟
#12: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#13: t = -1 ∨ t = 1
⎛ 2 ⎞
⎜ t·(1 - t ) ⎟
#14: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#15: t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
124

Integrales
2
t - 1
#16: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -1
2
1 + t
⎛ 2 ⎞
⎜ t - 1 ⎟
#17: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -1, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#18: t = 0
t1
2
V y (t)x'(t)dt
t0
2
d t - 1
#19: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dt 2
1 + t
4·t
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#20: 2 2
(t + 1)
t1
2
V y (t)x'(t)dt
t0
1
⌠ ⎛ 2 ⎞2
⎮ ⎜ t·(1 - t ) ⎟ 4·t
#21: π·⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
⎮ ⎜ 2 ⎟ 2 2
⌡ ⎝ 1 + t ⎠ (t + 1)
0
4·π
#22: 2·π·LN(2) - ⎯⎯⎯u3 3
c)
t1
2 2
L x' (t) y'
(t)dt
t0
⎡ 2 2 ⎤
⎢ t·(1 - t ) 1 - t ⎥
#3: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
Buscamos el punto de cruce o punto doble, en este caso el (0,0):
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 125

Integrales
⎛ 2 ⎞
⎜ t·(1 - t ) ⎟
#4: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#5: t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0
⎛ 2 ⎞
⎜ 1 - t ⎟
#6: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#7: t = -1 ∨ t = 1
⎡ 2 2 ⎤
d ⎢ t·(1 - t ) 1 - t ⎥
#8: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
dt ⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
⎡ 4 2 ⎤
⎢ t + 4·t - 1 4·t ⎥
#9: ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎣ (t + 1) (t + 1) ⎦
1
⌠ ⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
⎮ ⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#10: ⎮ √⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dt
⎮ ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
⌡ ⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
-1
1
⌠ 4 2
⎮ √(t + 6·t + 1)
#11: 2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
⎮ 2
⌡ t + 1
0
#12: 2.489597270 u
d)
⎡ 2 2 ⎤
⎢ t·(1 - t ) t - 1 ⎥
#8: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
126

t1
t0
Integrales
2 2
2 y t x t y t dt
Obtenemos los puntos de intersección con el eje de abscisas
⎛ 2 ⎞
⎜ t·(1 - t ) ⎟
#9: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#10: t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0
⎛ 2 ⎞
⎜ t - 1 ⎟
#11: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#12: t = -1 ∨ t = 1
⎡ 2 2 ⎤
d ⎢ t·(1 - t ) t - 1 ⎥
#16: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
dt ⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
⎡ 4 2 ⎤
⎢ t + 4·t - 1 4·t ⎥
#17: ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎣ (t + 1) (t + 1) ⎦
⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#18: √⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ ⎟
⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
2 ⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
2·π·(t - 1) ⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#19: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·√⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
2 ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
1 + t ⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
-1
⌠ 2 ⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
⎮ 2·π·(t - 1) ⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#20: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·√⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dt
⎮ 2 ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
⌡ 1 + t ⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
1
⎛ 1 1 ⎞
⎜ ⌠ 4 2 ⌠ 4 2 ⎟
⎜ ⎮ √(t + 6·t + 1) ⎮ √(t + 6·t + 1) ⎟
#21: 4·π·⎜2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt - ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt⎟
⎜ ⎮ 2 2 ⎮ 2 ⎟
⎜ ⌡ (t + 1) ⌡ t + 1 ⎟
⎝ 0 0 ⎠
#22: 8.360409629 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 127

Integrales
74.- a) Hallar el área de un lazo de la curva r(α) = 2sen(2α).
b) La curva r(α) = 2sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular e1 volumen
obtenido.
c) Determinar la longitud de un lazo de la curva r(α) = sen(2α).
d) La curva r(α) = cos(α) gira alrededor del eje polar. Calcular la superficie
engendrada.
Solución:
a)
#1: r = 2·SIN(2·α)
#2: 0 = 2·SIN(2·α)
#3: SOLVE(0 = 2·SIN(2·α), α, Real)
π π
#4: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
2 2
Un pétalo se obtiene entre 0 y el π/2
1 2
Ar d
2
1
π/2
⌠ 1 2
#5: ⎮ ⎯·(2·SIN(2·α)) dα
⌡ 2
0
π
#6: ⎯u2 2
b)
2 2
3
V r sen d
3
1
⎛ π/2 ⎞
⎜ 2 ⌠ 3 ⎟
#7: 2·⎜⎯·π·⌡ (2·SIN(2·α)) ·SIN(α) dα⎟
⎝ 3 0 ⎠
512·π
#8: ⎯⎯⎯⎯⎯u3 105
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
128

Integrales
c)
#24: r = SIN(2·α)
#25: 0 = SIN(2·α)
#26: SOLVE(0 = SIN(2·α), α, Real)
π π
#27: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
2 2
2
2 2
L r r' d
1
d
#28: ⎯⎯ SIN(2·α)
dα
#29: 2·COS(2·α)
π/2
⌠ 2 2
#30: ⌡ √(SIN(2·α) + (2·COS(2·α)) ) dα
0
π/2
⌠ 2
#31: ⌡ √(3·COS(2·α) + 1) dα
0
#32: 2.422112055 u
d)
#12: r = COS(α)
#13: SOLVE(0 = COS(α), α, Real)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 129

Integrales
3·π π π
#14: α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
2 2 2
#15: SOLVE(1 = COS(α), α, Real)
#16: α = - 2·π ∨ α = 2·π ∨ α = 0
d
#17: ⎯⎯ COS(α)
dα
2
2 2
SL2 rsen r r' d
1
#18: - SIN(α)
π/2
⌠ 2 2
#19: ⌡ 2·π·COS(α)·SIN(α)·√((- SIN(α)) + COS(α) ) dα
0
#20: πu 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
130

Integrales
75.- Dada la curva en coordenadas polares r = e α , con α < 0, se pide:
a) El área de la región entre la curva y el eje OX.
b) La longitud de la curva.
Solución:
a)
b)
1 1 1 1
A r d e d e d lím e d
2
2
2
0
0
2 0
2
2 12 2 2 k
k
1 1 2 0 1
2k
lím e 1 lím e
2 k 2
k 4 k
2
0 0 0
2 2
2
2
=
k
L r r' d e e d 2 e d 2 lím e d
1 k
0
0 k
2 lím e 2
k e lím e
k
2 u
k
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 131
1
4
2
u

Integrales
76. Hallar el área limitada por las regiones:
x 2 +y 2 2x; x 2 +y 2 4x; y x; y0
Solución:
2 2
#1: x + y > 2·x
2 2
#2: x + y < 4·x
#3: y < x
#4: y > 0
2 2 2 2
#5: x + y > 2·x ∧ y > 0 ∧ x + y < 4·x ∧ y < x
⎡ 2 2 ⎤
#6: SOLVE(⎣x + y = 2·x, y = x⎦, [x, y])
#7: [x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 1]
⎡ 2 2 ⎤
#8: SOLVE(⎣x + y = 4·x, y = x⎦, [x, y])
#9: [x = 0 ∧ y = 0, x = 2 ∧ y = 2]
⎡ 2 2 ⎤
#10: SOLVE(⎣x + y = 2·x⎦, [y])
#11: [y = √(x·(2 - x)), y = - √(x·(2 - x))]
⎡ 2 2 ⎤
#12: SOLVE(⎣x + y = 4·x⎦, [y])
#13: [y = √(x·(4 - x)), y = - √(x·(4 - x))]
2 4
#14: ∫ (x - √(x·(2 - x))) dx + ∫ √(x·(4 - x)) dx
1 2
3·π 3
#15: ⎯⎯⎯ + ⎯ u 2
4 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
132

77.- a) Sea
1
Integrales
cos x si x - , 0
2 f(x)
4 sen x si x 0,
2
a ) Hallar I = 2
2
2
f(x) dx .
a ) Hallar el valor de k tal que I = .k
a 3)
¿Existe algún punto c del intervalo
,
2 2
tal que f(c) = k?
a ) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral?
4
b) Hallar el área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1
(ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva
2
r cos
4 .
Solución:
a1) Hallar I =
2
2
f ( x)
dx .
0 0
2 I cos x dx 4sen x dx senx 4xcosx2 21
0
2
a2) I 21 k 0
21
k
cos c si x [
- , 0]
a3) f(c) k, para cualquier c
, , pues f ( c)
2
, luego,
2 2
4 sen x si x ( 0, ]
2
0, 1 si x [
- , 0]
f ( c)
2
.
4,
5
si x ( 0, ]
2
a4) No contradice esto el Teorema del valor medio integral, pues al no ser f continua en 0, no
se verifican las hipótesis del teorema:
lim f ( x)
cos 0 1 lim f ( x)
4 sen 0 5
x0
x0
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 133

)
#2: r1(α) ≔ 1
⎛ π ⎞2
#3: r2(α) ≔ COS⎜α - ⎯⎟
⎝ 4 ⎠
Intersección de ambas curvas:
Integrales
⎛ π ⎞2
#4: 1 = COS⎜α - ⎯⎟
⎝ 4 ⎠
⎛ ⎛ π ⎞2 ⎞
#5: SOLVE⎜1 = COS⎜α - ⎯⎟ , α, Real⎟
⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠
11·π 9·π 7·π 5·π 3·π
#6: α = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ----
4 4 4 4 4
π
∨ α = ⎯
4
Ángulos para los que r2 pasa por el polo:
⎛ π ⎞
#7: COS⎜α - ⎯⎟ = 0
⎝ 4 ⎠
⎛ ⎛ π ⎞ ⎞
#8: SOLVE⎜COS⎜α - ⎯⎟ = 0, α, Real⎟
⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠
5·π 3·π π
#9: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯
4 4 4
Área del círculo:
2
#10: π·1 = π
Área encerrada por r2: 4 A1, siendo A1 medio lazo.
⎛ π/4 ⎞
⎜ 1 ⌠ ⎛ π ⎞4 ⎟
#11: 4·⎜⎯·⎮ COS⎜α - ⎯⎟ dα⎟
⎜ 2 ⌡ ⎝ 4 ⎠ ⎟
⎝ - π/4 ⎠
3·π
#12: ⎯⎯⎯
8
Área dentro del círculo r1 y fuera de los lazos r2:
3·π 5·π
#13: π - ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ u 2
8 8
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
134

Integrales
78.- a) Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada en la
circunferencia de ecuación (x-2) 2 + (y-4) 2 = 1 cuando gira alrededor del eje OX.
b) Dada la curva (en coordenadas polares): r sencos calcular su longitud.
Solución:
a)
Al ser una circunferencia de centro (2,4) y radio 1 los límites de
integración correspondiente al girar alrededor del eje X son:
2-1=1 y 2+1=3
Resolviendo en y queda 2
y4 1 x 2
El volumen engendrado, en general, viene dado por
b
2
V y dx
a
En este caso, el volumen del toro de revolución es el generado por el área encerrada entre la
semicircunferencia superior y el eje X, restando el generado por el área que queda entre la
semicircunferencia inferior y el eje X.
2 2
3 2 3
2
V 41x2 dx41x2 dx
1 1
3
1
2
2 3
8 (u )
V 16 x 4x3 dx
b)
Antes de calcular la longitud hay que ver el dominio de la función r. Sólo se tendrán en cuenta
aquellos valores angulares para los que r > 0.
Es evidente que para ángulos del primer cuadrante r>0 así como para ángulos del tercer cuadrante
r0 se da para los ángulos mayores o menores que los dados en cada
cuadrante. En el segundo cuadrante, r>0 para ángulos menores que 3/4π y en el cuarto cuadrante,
r>0 para ángulos mayores que 7/4π.
El resumen puede verse en la zona sombreada del gráfico
2
2 2
L r( ) r'( ) d,
=3/4π
en general,
1
2 2
como en este caso
3
4
0
2
7
4
2 (u)
L 2 d 2 d
O bien, simplemente
3
4
-
4
L 2 d 2 (u)
r( ) r'( ) 2 se tiene que
=7/4π
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 135

79.- Dada la curva
Integrales
x t cos 2t
t
yt
tg
2 .
a) Calcular el área encerrada por la curva y el eje OY en el segundo
cuadrante (x < 0, y > 0).
b) El área del apartado anterior gira alrededor del eje OY, calcular el
volumen de revolución obtenido.
Solución:
⎡ ⎛ t ⎞⎤
#1: ⎢COS(2·t), TAN⎜⎯⎟⎥
⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
Período = m.c.m.(π,2π) = 2π
⎡ ⎛ 3·π ⎞⎤
⎢ ⎜ ⎯⎯⎯ ⎟⎥
#7: ⎢ ⎛ 3·π ⎞ ⎜ 4 ⎟⎥
⎢COS⎜2·⎯⎯⎯⎟, TAN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦
#8: [0, √2 + 1]
t
a) Área 2º cuadrante:
#2: COS(2·t) = 0
#3: SOLVE(COS(2·t) = 0, t, Real)
3·π π π
#4: t = ⎯⎯⎯ ∨ t = - ⎯ ∨ t = ⎯
4 4 4
⎡ ⎛ π ⎞⎤
⎢ ⎜ ⎯ ⎟⎥
#5: ⎢ ⎛ π ⎞ ⎜ 4 ⎟⎥
⎢COS⎜2·⎯⎟, TAN⎜⎯⎯⎯⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦
#6: [0, √2 - 1]
1
A y' t x
t dt
t0
d ⎡ ⎛ t ⎞⎤
#9: ⎯⎯ ⎢COS(2·t), TAN⎜⎯⎟⎥
dt ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
⎡ 1 ⎤
#10: ⎢ - 2·SIN(2·t), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎣ COS(t) + 1 ⎦
1
#11: COS(2·t)·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
COS(t) + 1
COS(2·t)
#12: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
COS(t) + 1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
136

⎮ COS(2·t) ⎮
#13: ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮ COS(t) + 1 ⎮
Integrales
3·π/4
⌠ ⎮ COS(2·t) ⎮
#14: ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dt
⌡ ⎮ COS(t) + 1 ⎮
π/4
#15: π – 2 unidades lineales las que estemos empleando.
b) Volumen de revolución alrededor de OY:
t1
2
⎮ 2 1 ⎮
#16: π·⎮COS(2·t) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮ COS(t) + 1 ⎮
V x (t).y'(t)dt
2
π·COS(2·t)
#17: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
COS(t) + 1
3·π/4
⌠ 2
⎮ π·COS(2·t)
#18: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
⌡ COS(t) + 1
π/4
t
0
#19: π·(4 - π) unidades cúbicas las que estemos empleando.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 137

Integrales
80.- Área interior simultáneamente a las dos curvas siguientes dadas en
coordenadas polares:
r =
2
sen y r = 1
2
(circunferencia de centro en el polo y radio 1
2 ).
Solución:
2
#20: SIN(α)
El período es π. La curva queda dibujada entera para 0 ≤ α ≤ 2π.
Puntos de corte entre ambas curvas:
1 2
#22: ⎯ = SIN(α)
2
5·π 5·π 3·π 3·π π π
#24: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
4 4 4 4 4 4
En el primer cuadrante el punto de corte se obtiene para α = π/4.
Valores de α para los que la curva alcanza el polo:
2
#25: SIN(α) = 0
2
#26: SOLVE(SIN(α) = 0, α, Real)
#27: α = -π ∨ α = π ∨ α = 0
En el primer cuadrante: α = 0.
Calculamos el área del primer cuadrante y la multiplicamos por 4.
1 2
2
Ar d
2 1
π/4 π/2
1 ⌠ 2 2 1 ⌠ ⎛ 1 ⎞2
#27: ⎯·⌡ (SIN(α) ) dα + ⎯·⎮ ⎜⎯⎟ dα
2 0 2 ⌡ ⎝ 2 ⎠
π/4
5·π - 8
#28: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
64
5·π - 8
#29: 4·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
64
5·π - 8
#30: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯unidades cuadradas las que estemos empleando.
16
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
138

Integrales
2 2
81.- La elipse de ecuación 1
9 4
y x
gira alrededor del eje de abscisas.
Calcular el volumen y la superficie del cuerpo de revolución que se obtiene.
Solución:
2 2
x y
#1: ⎯⎯ + ⎯⎯ = 1
9 4
Corte con OX:
2 2
x 0
#2: ⎯⎯ + ⎯⎯ = 1
9 4
2
x
#3: ⎯⎯ = 1
9
⎛ 2 ⎞
⎜ x ⎟
#4: SOLVE⎜⎯⎯ = 1, x, Real⎟
⎝ 9 ⎠
#5: x = -3 ∨ x = 3
Volumen de revolución:
b
a
V f x dx
3
⌠ ⎛ ⎛ 2 ⎞⎞
⎮ ⎜ ⎜ x ⎟⎟
#7: ⎮ π·⎜4·⎜1 - ⎯⎯⎟⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝ 9 ⎠⎠
-3
#8: 16·π u 3
Superficie de revolución:
⎛ 2 2 ⎞
⎜ x y ⎟
#9: SOLVE⎜⎯⎯ + ⎯⎯ = 1, y, Real⎟
⎝ 9 4 ⎠
L
b
a
2
S 2y 1 y´ dx
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 139

Integrales
2 2
2·√(9 - x ) 2·√(9 - x )
#10: y = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 3
2
d 2·√(9 - x )
#11: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx 3
2·x
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#12: 2
3·√(9 - x )
2
2·√(9 - x ) ⎛ ⎛ 2·x ⎞2⎞
#13: 2·π·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·√⎜1 + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
3 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟
⎝ ⎝ 3·√(9 - x ) ⎠ ⎠
⎛ 2 ⎞
2 ⎜ 5·x - 81 ⎟
4·π·√(9 - x )·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#14: ⎜ 2 ⎟
⎝ x - 9 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
9
3
⌠ ⎛ 2 ⎞
⎮ 2 ⎜ 5·x - 81 ⎟
⎮ 4·π·√(9 - x )·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#15: ⎮ ⎜ 2 ⎟
⎮ ⎝ x - 9 ⎠
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ 9
-3
⎛ √5 ⎞
72·√5·π·ATAN⎜⎯⎯⎟
#16: ⎝ 5 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 8·π
5
#17: 67.67287265 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
140

Integrales
82.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) F(x)=
d) I(x)=
g) L(x)=
Solución:
3
4
x
x
2
ln (t ) dt ; b) G(x) =
5
5x
tgx
sen x
3
x
1
sen x cos t dt ; e) J(x)=
cos t dt ; h) M(x)=
2 3 2 2 6
a) F‘(x) = ln
( x ) 3x ln
x 3x .
4
x
b) G(x) = ln x
t dt
G'(
x)
5x
4 1 x
t dt
x .
5x
3 4
ln x4xx55x
1 sen(tg x)
sen(tg x)
0 .
cos x cos x
c) H‘(x) = 2 2
d) I(x) = tgx
I'(x)
e) J‘(x) =
senx
sen x cos tdt=
sen x cos tdt
ln x t dt ; c) H(x) =
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 141
2
tg x
ln x
x
tg t dt ; f) K(x)= 2
3
x
3
x
x
cos x sen t dt ; i) N(x)= 2
2
x
x
tgx
senx
tgx
1
cos x cos tdt sen x cos(tg x) cos x cos(sen x)
senx
2
=.
cos x
1 tg( ln x)
tg( ln x)
0 .
x x
x
f) K(x) = tg x sen t dt
x 2
= 2
x
x
tg x sen tdt
tg x ' sen tdt tg x
sen tdt
'
x x
x =
x
K'(x) 2 2
1 x
1
2 2
cos x
2
2
sen tdttg x sen x 2xsenx x
.
x
2 3
g) L‘(x) = 3x cosx
h) M(x) = cos x sen t dt
x
x
2
3
.
3
x
2 3 2
2
x
M '(x) senx sen t dt cos x 3x sen x 2xsen
x
.
x
i) N(x) = tg x sen t dt
G'( )
x 2
2
x
x
=tg x sen tdt
tg x ' sen tdttg x
sen tdt
'
x x
x 2 2
x x
=
1 x
1
2 2
cos x
2
2
sen tdttg x sen x 2xsenx x
.
x
sen t dt .
tg x sen t dt ;
tg x sen t dt

Integrales
83.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva en polares
r 7 cos6 y la circunferencia de centro el origen y radio 6.
Solución:
7 cos6
6 , ,...
6 2
Por las simetrías de las curvas, el área A pedida es 12 veces el
área rayada de la figura. Por tanto,
1
1
A = 12 6
2
6 2
7 cos 6 d
6 d
=
2
0
2 0
33
9 27 2
= 6 6
= 6 = u
4 4 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
142

84.- Calcular la longitud de la curva
Solución:
Integrales
b
2
9y x(3 x)
2
L = 1
f '(
x)
dx
a
2
#90: 9·y = x·(3 - x)
Puntos de corte con OX (y = 0): x = 3 ∨ x = 0
2
#95: SOLVE(9·y = x·(3 - x), y)
√(x·(3 - x)) √(x·(3 - x))
#96: y = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 3
d √(x·(3 - x)) 3 - 2·x
#97: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx 3 6·√(x·(3 - x))
⎛ ⎛ 3 - 2·x ⎞2⎞
#99: √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
⎝ ⎝ 6·√(x·(3 - x)) ⎠ ⎠
3
⌠ ⎛ ⎛ 3 - 2·x ⎞2⎞
L= 2 ⎮ √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dx = 6.682099172 u
⌡ ⎝ ⎝ 6·√(x·(3 - x)) ⎠ ⎠
0
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 143

Integrales
85.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas del arco de la curva y = lnx comprendido entre 0 y 1. Indica, en su
caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es
convergente o divergente.
Solución:
V =
1
2
f ( x) dx
0
1 1 2
2
V ln ( ) lim ln x dx x dx 2 u 3
0 c
c
Es una integral impropia de segunda especie:
función no acotada en intervalo de integración finito
pues 2
lim ln x
x0
Es convergente.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
144

Integrales
86.- Calcular la superficie del elipsoide de revolución engendrada por la rotación
alrededor del eje de abscisas de la elipse cuyas ecuaciones paramétricas son:
Solución:
x 2cost
.
y 3sent
La elipse es simétrica respecto de los ejes y periódica de periodo 2π (por serlo x e y), en
consecuencia, el elipsoide se genera rotando la mitad superior (intervalo [0, π].
Para t= 0(2,0) y para t= π (-2,0)
t
2
S = 2 y
t x'
t y'dt
t
0
=
t 2
2
2
2 2
2 3sent 2sent 3cost
dt =18·π -
1 75 12 5 ln
5
2
89 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 145

Integrales
87.- Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el
arco de la curva y =sen 2 x comprendido entre x = 0 y x =.
Solución:
2
3
f x dx x dx
8 u
2 2
V = ( )
sen
b 2
a 0
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
3
146

Integrales
88.- Calcular la longitud de la curva y x(x 1) . Indica, en su caso, si la
integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o
divergente.
Solución:
La curva corresponde a una semicircunferencia. Su dominio es el intervalo [0,1] que son los valores
donde xx ( 1) 0
b
2
L = 1
f '(
x)
dx =
2
a
Es una integral impropia de segunda especie: función no acotada en intervalo de integración
12x finito pues lim 1
e igual para x1
x0
x(1 x)
-
Es convergente.
0
1
12x 1
dx =
x(1 x)
2 2
0.5 0.5
12x 12x
1 dx 2lim 1
dx
(1 ) (1 )
x x x x
2 u
0
c0
c
2
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 147

Integrales
89.- Hallar la superficie del sólido generado por la astroide de ecuación
3 x cos t
al girar alrededor del eje OY.
3
y sen t
Solución:
Por las simetrías de la curva, el volumen obtenido al girar alrededor del eje OY coincide con el
obtenido al girar alrededor de OX:
⎡ 3 3⎤
#50: ⎣COS(t) , SIN(t) ⎦
La curva en el primer cuadrante se obtiene para t 0,
2
, por tanto:
0
2
S = 2∙2 2 y
t x'
t y'dt
t , y también:
0
S =2∙ 2 2 x
t x'
t y'dt
t ,
d ⎡ 3 3⎤ ⎡ 2 2 ⎤
#51: ⎯⎯ ⎣COS(t) , SIN(t) ⎦ = ⎣ - 3·SIN(t)·COS(t) , 3·SIN(t) ·COS(t)⎦
dt
π/2
⌠ 3 2 2 2 2 2
2·2·π⌡ COS(t) ·√((- 3·SIN(t)·COS(t) ) + (3·SIN(t) ·COS(t) ) ) dt
0
12π
#58: ·⎯⎯⎯⎯⎯ u 2
5
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
2
148

Integrales
90.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas del arco de la curva y = xe -x para x ≥ 0. Indica, en su caso, si la
integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o
divergente.
Solución:
0
V = f x dx
2
c
-x
2
-x
2 3
V = π xe dx lim xe dx u
0 c0
4
Es una integral impropia de primera especie (intervalo
de integración infinito y función continua en el
intervalo) convergente.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 149

Integrales
91.- Calcular el área comprendida entre las curvas en polares:
Solución:
a) r 1 cos y r cos .
b) r 1 cos y r cos .
a) Ambas curvas son periódicas de periodo 2π y simétricas respecto del eje polar por serlo el
coseno, en consecuencia, el área es 2 veces la región por encima del eje de abscisas.
Los límites de integración se obtienen por intersección para r=0:
r 1cos0; r cos0 2
Y para r=1 en la circunferencia r cos1 0
Y r=2 en la cardioide r 1cos2 0
1 2
Por lo tanto, A= r( ) d
2
1
2 1
2
2
2 1cos cos
2 d
0 2
d
0
5
4
b) Ambas curvas son periódicas de periodo 2π y simétricas respecto del eje polar por serlo el
coseno, en consecuencia, el área es 2 veces la región por encima del eje de abscisas
1 2
Por lo tanto, A= r( ) d
2
1 2 1 /2
2
2
1cos cos
2 d 0 2
d
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
u2
5
u2
4
150

Integrales
92.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
1
de abscisas de la curva y . Indica, en su caso, si la integral que has
4
x 1
utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
Solución:
V =
=2 lim
f x dx dx
x 1
2
b
2
1
( ) 2
a 0 4
c
2
c 1
0 4
dx
x 1
2
3 2
8
Es una integral impropia de primera especie (función continua en intervalo de integración
infinito: (0,∞) y es convergente.
u
3
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 151

Integrales
93.- Las curvas, en polares, r sen2 y r cos2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
, se cortan dando lugar
a varios recintos interiores comunes a ambas curvas, todos de la misma área.
Calcular el área de uno de estos recintos.
Solución:
#1: COS(2·α) = SIN(2·α)
#6: SOLVE(COS(2·α) = SIN(2·α), α, Real)
5·π 3·π π
#7: α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯
8 8 8
COS(2·α) = 0
SOLVE(COS(2·α) = 0, α)
3·π π π
α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
4 4 4
SIN(2·α) = 0
SOLVE(SIN(2·α) = 0, α, Real)
π π
α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
2 2
La fórmula a utilizar es:
1 2
A r d
2
π/8
⌠ 2
⌡ SIN(2·α) dα
0
π 1
⎯⎯ - ⎯
16 8
π/4
⌠ 2
⌡ COS(2·α) dα
π/8
π 1
⎯⎯ - ⎯
16 8
1 ⎛ π 1 ⎞ 1 ⎛ π 1 ⎞ π - 2
A = ⎯·⎜⎯⎯ - ⎯⎟ + ⎯·⎜⎯⎯ - ⎯⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯ u 2
2 ⎝ 16 8 ⎠ 2 ⎝ 16 8 ⎠ 16
152

Integrales
94.- Plantear la integral que da la longitud del primer arco de la espiral r
(coordenadas polares).
Solución:
#70: √α
Para valores de α entre 0 y 2·π, se obtiene el primer arco de la espiral:
2
0
La longitud viene dada por: L r
r'
d
d
#71: ⎯⎯ √α
dα
1
#72: ⎯⎯⎯⎯
2·√α
2·π
⌠ ⎛ 2 ⎛ 1 ⎞2⎞
#74: L = ⎮ √⎜√α + ⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα
⌡ ⎝ ⎝ 2·√α ⎠ ⎠
0
Aproximando esta integral con el comando de Derive:
#76: 11.27394126
2
L = 11.27394126 u
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 153
2

Integrales
95.- Calcular el volumen obtenido por la rotación de la curva 2 3 x
y
3
x
alrededor del eje de abscisas. Indica, en su caso, si la integral que has utilizado
es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
Solución:
2/3
27·3
#42: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
10
2/3
27·3
V = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ u 3 .
10
2 3 - x
y = ⎯⎯⎯⎯⎯
#40: 1/3
x
y = 0 x = 3
El volumen pedido viene dado por: V =
3
⌠ 3 - x
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯ dx
#41: ⎮ 1/3
⌡ x
0
La integral utilizada es una integral impropia de segunda especie (función no acotada en un
intervalo de integración finito) convergente.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
3
0
y
2 dx
154

Integrales
96.- Calcular la superficie de revolución engendrada por la rotación alrededor del
eje de abscisas del bucle derecho de la curva
Solución:
x cost
y sen 3t
#16: [COS(t), SIN(3·t)]
Trigonometry ≔ Expand
#17: SOLVE(SIN(3·t), t, Real)
5·π 4·π 2·π 2·π π π
#18:t = ⎯⎯⎯ ∨ t = ⎯⎯ ∨ t = - ⎯⎯⎯ ∨ t = ⎯⎯ ∨ t = - ⎯ ∨ t =
3 3 3 3 3 3
∨ t = -π ∨ t = π ∨ t = 0
Para t = 0, se obtiene el punto: (1, 0).
Para t = π/3, se obtiene el punto (1/2, 0).
S 2
3
0
y
2
2
t x'
t y'dt
t
d
#19: ⎯⎯ [COS(t), SIN(3·t)]
dt
⎡ 2 ⎤
#20: ⎣ - SIN(t), COS(t)·(3 - 12·SIN(t) )⎦
2 2
#21: 2·π·SIN(3·t)·√((- SIN(t)) + (3·COS(3·t)) )
π/3
⌠ 2 2
#22: ⌡ 2·π·SIN(3·t)·√((- SIN(t)) + (3·COS(3·t)) ) dt
0
π/3
⌠ 2 2
#23: 2·π·⌡ SIN(3·t)·√(9·COS(3·t) + SIN(t) ) dt
0
Aproximando esta integral con el comando de Derive:
#24: 6.825649852 u 2
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 155

Integrales
97.-
a) Hallar el área limitada por las regiones
2 2
x y 2x;
2 2
x y 4x;
y x ; y 0.
b) Hallar el área limitada por las curvas
x 1 cost
;
y sent
x 2 2cost
;
y 2sent
x t
;
y t
x t
y 0
c) Hallar el área limitada por las curvas
r 2cos;
r 4cos
; tg 1 ; sen 0
Solución:
a) Buscamos los puntos de intersección entre las circunferencias y la recta:
2 2
2 2
x y 2x
x y 4x
A(1,1)
B(2, 2)
yx
yx
2 4 2 2 4
2 2 2 2
1 2 1 1 2
A x 2x x dx 4x x dx x dx 2x x dx 4x x dx *
Calculamos cada integral por separado:
2
2
2
x 3
I1 x dx
1
2 2
1
2 2
2 2 2 2 2 2 1cos2t 2
I2 2x x dx 1 (x 1) dx 1 sen t cos tdt cos tdt dt
1
1
0 0 0
2
2
1 sen2t
t
2
2
4
0
4 4
2 2 2 2 2 2 1cos2t 2
I3 4x x dx 4 (x 2) dx 4 4sen t 2cos tdt 4 cos tdt 4 dt
2
2
0 0 0
2
2
1 sen2t
4 t
2
2
0
3 3 3
Quedando, A=(*)= I1I2 I3
2 4 2 4
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
156

Integrales
b) Buscamos los puntos de intersección entre las circunferencias y la bisectriz del primer cuadrante:
x 1cost1 x 22cost1
ysent1
y2sent1
t1 t1
x t
2
2
x t
2
2
yt
2
yt
2
Obviamente con el eje de abscisas resulta en los dos casos t=0.
xt En el caso de la recta los límites son 1 y 2
yt t1
La fórmula a utilizar será: A y(t)x'(t) dt
t0
x(t) t 2 3
x'(t) 1I1 t1dt 1
y(t) t 2
x 1cost 2 2
x'(t) sentI2 sentdt ysent 0
4
x 22cost 2 2
x'(t) 2sent I34sen tdt
y2sent 0
3 3 3
Quedando, A= I1I2 I3
2 4 2 4
Obsérvese que I2 e I3 son la cuarta parte de círculos de radios 2 y 1 respectivamente.
c) La recta tgα=1 tiene un ángulo de 45º, es
decir, π/4 radianes con el eje polar, luego:
1 1 1
3( 2)
I r d r r d 16cos 4cos d6 cos d 4
2
2 2 2 2 4 2 2 4 2
2 1
21 21 20
0
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 157

Integrales
98.- Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida
entre y=x 2 e y=2x alrededor del eje X.
Solución:
b
2 2
El volumen pedido viene dado por: V = 1 2
a
Haciendo x 2 =2x, resulta los puntos x=0, x=2
y y dx
b 2 2
2 2 2 2 4 4 3 1 5
y y dx 2x x dx 4x x dx x x
a 0 0
3 5
2 2
V = 1 2
=
3
64 (u )
15
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
0
158

Integrales
99.-Hallar la superficie engendrada por la rotación de la circunferencia de
ecuación (x-2) 2 + (y-4) 2 = 1 cuando gira alrededor del eje OX.
Solución:
Al ser una circunferencia de centro (2,4) y radio 1 los límites de
integración correspondiente al girar alrededor del eje X son:
2-1=1 y 2+1=3
Resolviendo en y queda
y4 1 x2 y'
La superficie engendrada, en general, viene dada por
L
2
2x
1 x2 b 2
S 2 y 1 y' dx
En este caso, la superficie del toro de revolución es la generado por el área encerrada entre la
semicircunferencia superior y el eje X, e igual la generada por el área que queda entre la
semicircunferencia inferior y el eje X.
L
3 2
S 22 y 1 y' dx
1
3
1
2
2
2
2 2x 1x2 4 4 1 x2 1 dx 8 2 1 (u )
a
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 159
2

Integrales
100.-a) Hallar el área interior al círculo r=1 y exterior a la cardioide r=1-cosα.
b) Determinar la longitud de la cardioide r=1-cosα
Solución:
1 2
2 2
a) La fórmula a utilizar es: A r2 r1 d
2
1
Los puntos de intersección entre las dos curvas son
r 1
cos 0
2
r 1cos
2
b)
2
2
1
2
2 (u )
4
A
2 1
2
2
1 cos d
Al ser una curva de periodo 2, la longitud viene dada por:
2
2 2
2 2 2
0 0
8(u)
L r (r ') d 1cos sen d
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
160

Integrales
101.- Obtener el área de la superficie generada por la curva r 2cos2 al
girar alrededor del eje polar.
Solución:
En el polo r=0, obtenemos
r 0 2cos 2 cos(2 ) 0 Y en la intersección con el eje polar r 2 2cos 2cos(2 ) 10,
2
2
2
cos2 r 2cos 2 r2cos 2
2sen 2 2sen 2
r' r'
cos 2
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 161
4
2
2sen 2
cos 2
2
2 2
4
S 2 rsen r r' d 2 2 2cos2sen2cos2 d
1
0
2
8 4 2 (u )

Integrales
102.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva
eje de abscisas.
Solución
Es decir, resolvemos
El volumen pedido viene dado por: V =
b
2
a ydx
4 2
x x 0 x 0
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2 2 4
y x x alrededor del
1
1
b 1 1
2 4 2 4 2
V = ydx x x dx 2 x x dx
a
1
0
4
0 15
Calculamos los puntos de intersección con el eje de
abscisas
u2 15
162

Integrales
103.- Estudiar si el área de la región comprendida entre la curva de ecuaciones
x(t)
2 tg(t)
2
y(t) 2cos ( t)
Solución
y su asíntota es finita o no.
Tiene una asíntota horizontal que es el eje de abscisas (y=0) para t=
2
2
lim 2tgt ;lim 2cos t 0
t t
2 2
Además la curva es simétrica respecto del eje de ordenadas pues
x( t) 2
tg( t) 2tg(t) x(t)
2 2
y( t) 2cos ( t) 2cos (t) y(t)
La fórmula a utilizar será:
x'(t)
2
2
cos t
t1
A y(t)x'(t) dt
t1
2 2 2
2
A y(t)x'(t) dt 2 2cos t dt 8 dt
t 2
0
0 cos t
0
4u 2
t0
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 163

Integrales
104.- Hallar la longitud de la elipse de ecuación
Solución
La fórmula a utilizar es:
2
2 2
L r (r') d
1
Estableciendo los límites de integración entre 0 y 2pi
d 5 10·SIN(α)
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#1: dα 3 - 2·COS(α) 2
(2·COS(α) - 3)
⎛⎛ 5 ⎞2 ⎛ 10·SIN(α) ⎞2⎞
√⎜⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ =
#2: ⎜⎝ 3 - 2·COS(α) ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎟
⎝ ⎝ (2·COS(α) - 3) ⎠ ⎠
5·√(13 - 12·COS(α))
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
(2·COS(α) - 3)
2π
⌠ 5·√(13 - 12·COS(α))
·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα = 16.53724725 u.
#3: ⎮ 2
⌡ (2·COS(α) - 3)
0
2
2
2
5 10sen
0 2
L d
16.53724725 u
32cos 32cos
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
r
5
3 2cos
.
164

Integrales
105.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva
de Maclaurin) alrededor del eje de abscisas.
Solución
El volumen pedido viene dado por: V =
2
2
x 3x 0
0x
1x 3
b
2
a ydx
b 2 3x
3 x
V y dx
8ln2 3 u
a 0 1x 3
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 165
2
2 x 3 x
y
1x Calculamos los puntos de
intersección con el eje de abscisas.
(Trisectriz

Integrales
106.- Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros:
x 2 + y 2 = r 2 ; y 2 + z 2 = r 2
Solución:
Podemos observar que al hacer cortes perpendiculares a la sección común de los dos cilindros se
obtienen cuadrados de lado 2y. Por lo tanto,
b
El volumen pedido viene dado por: V =
a A(x)dx
2
2 2 2
A(x) 2y 2 r x
r
r
3
2 2 2 x 4 3
r
3
3
r
16
V4 r x dx 4 r x 4 r r
3
2 2 2
x y
r
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
3
166

Integrales
107.- Dada la curva en coordenadas polares r = sen ,
se pide:
3 a) Período de la curva
b) Dominio de r ( )
c) Longitud de la curva (para valores de dentro del dominio de la
función).
Solución
a) T = 3 2
6
b) La curva se dibuja completa para 0 , 60,
2
3
Ha de ser r 0, es decir: sen
0 0,
0,
3
3 3
c)
⎛ α ⎞
#63: SIN⎜⎯⎟
⎝ 3 ⎠
d ⎛ α ⎞
#64: ⎯⎯ SIN⎜⎯⎟
dα ⎝ 3 ⎠
⎛ α ⎞
COS⎜⎯⎟
#65: ⎝ 3 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
1
L
0
2
2
f f d
3·π
⌠ ⎛ ⎛ ⎛ α ⎞ ⎞2⎞
⎮ ⎜ ⎜ COS⎜⎯⎟ ⎟ ⎟
#67: ⎮ ⎜ ⎛ α ⎞2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟
⎮ √⎜SIN⎜⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα
⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠
0
3·π
⌠ ⎛ ⎛ α ⎞2 ⎞
⎮ √⎜8·SIN⎜⎯⎟ + 1⎟ dα
#68: ⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎠
0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
#69: 6.682446610 u
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
168

ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
108.- Hallar el área encerrada entre la curva 2
x
cos t
y tg t
Solución
⎡ 2 ⎤
#33: ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
#34: SOLVE(TAN(t), t, Real)
#35: t = -π ∨ t = π ∨ t = 0
⎡ 2 ⎤
#36: lim ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
t→π/2
#37: [0, ±∞]
b
y su asíntota.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 169
t1
A f x dx y t xt
dt
a t0
d ⎡ 2 ⎤
#38: ⎯⎯ ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
dt
⎡ 1 ⎤
⎢ - 2·SIN(t)·COS(t), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
#39: ⎢ 2 ⎥
⎣ COS(t) ⎦
π/2
⌠ 2 1
⎮ 2·COS(t) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
#41: ⎮ 2
⌡ COS(t)
0
#42: π u 2

Integrales
109.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva
2 2
y x ( 3 x) alrededor del eje de abscisas.
Solución
2 2
#23: y = x - (3 - x)
2
#24: SOLVE(x - (3 - x) , x, Real)
7 √13 √13 7
#25: x = ⎯ - ⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯ + ⎯
2 2 2 2
2 2
#26: SOLVE(y = x - (3 - x) , y, Real)
2 2
#27: y = - √(- x + 7·x - 9) ∨ y = √(- x + 7·x - 9)
b b
2 2
S2 f(x) 1 f x dx 2 y 1 y' dx
a a
d 2
#28: ⎯⎯ √(- x + 7·x - 9)
dx
7 - 2·x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#29: 2
2·√(- x + 7·x - 9)
√13/2 + 7/2
⌠ 2 ⎛ ⎛ 7 - 2·x ⎞2⎞
⎮ 2·π·√(- x + 7·x - 9)·√⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
#31: ⎮ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝ 2·√(- x + 7·x - 9) ⎠ ⎠
7/2 - √13/2
#32: 40.84070174 u 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
170

ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
110.- Dada la curva en coordenadas polares r = cos ,
se pide:
3 a) Período de la curva
b) Dominio de r ( )
c) Longitud de la curva (para valores de dentro del dominio de la
función).
Solución
a) T = 3 2
6
b) La curva se dibuja completa para 0 , 60,
2
3
Ha de ser r 0, es decir:
3
3
9
cos 0 0,
, 2
0,
, 6
3 3 2
2 2 2
c)
⎛ α ⎞
#70: COS⎜⎯⎟
⎝ 3 ⎠
L
2
2
f f d
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 171
1
0
d ⎛ α ⎞
#71: ⎯⎯ COS⎜⎯⎟
dα ⎝ 3 ⎠
⎛ α ⎞
SIN⎜⎯⎟
#72: ⎝ 3 ⎠
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
3·π/2 6·π
⌠ ⎛ ⎛ ⎛ α ⎞ ⎞2⎞ ⌠ ⎛ ⎛
⎮ ⎜ ⎜ SIN⎜⎯⎟ ⎟ ⎟ ⎮ ⎜ ⎜
#76: ⎮ ⎜ ⎛ α ⎞2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟ ⎮ ⎜ ⎛ α ⎞2 ⎜
⎮ √⎜COS⎜⎯⎟ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα + ⎮ √⎜COS⎜⎯⎟ + ⎜-
⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝
0 9·π/2
⎛ α ⎞ ⎞2⎞
SIN⎜⎯⎟ ⎟ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα
3 ⎠ ⎠
#77: 6.682446610 u

Integrales
111.- Hallar el área encerrada entre la curva
Solución
⎡ 1 2⎤
#43: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
⎣ TAN(t) ⎦
⎡ 1 2⎤
#44: lim ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
t→0 ⎣ TAN(t) ⎦
#45: [±∞, 0]
⎡ 1 2⎤
#46: lim ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
t→π/2 ⎣ TAN(t) ⎦
#47: [0, 1]
b
1
x
tg t
2
y
sen t
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
t1
A f x dx y t xt
dt
a t0
d ⎡ 1 2⎤
#48: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
dt ⎣ TAN(t) ⎦
⎡ 1 ⎤
⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 2·SIN(t)·COS(t)⎥
#49: ⎢ 2 ⎥
⎣ SIN(t) ⎦
π/2
⌠ 2 ⎮ 1 ⎮
⎮ 2·SIN(t) ·⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dt
#51: ⎮ ⎮ 2 ⎮
⌡ ⎮ SIN(t) ⎮
0
#52: πu 2
y su asíntota.
172

ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
112.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva
2 2 4
x (y 1)
y alrededor del eje de ordenadas.
Solución
2 2 4
#12: x = (y + 1) - y
2 4
#13: SOLVE((y + 1) - y , y)
1 √3·i 1 √3·i 1 √5
#14: y = - ⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ∨ y = - ⎯ + ⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯ - ⎯⎯ ∨ y =
2 2 2 2 2 2
√5 1
⎯⎯ + ⎯
2 2
2 2 4
#15: SOLVE(x = (y + 1) - y , x)
4 2 4 2
#16: x = - √(- y + y + 2·y + 1) ∨ x = √(- y + y + 2·y + 1)
d
c
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 173
S2 x 1 x' dy
d 4 2
#17: ⎯⎯ √(- y + y + 2·y + 1)
dy
3
2·y - y - 1
#18: - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 2
√(- y + y + 2·y + 1)
√5/2 + 1/2
⌠ ⎛ ⎛
⎮ 4 2 ⎜ ⎜
#20: ⎮ 2·π·√(- y + y + 2·y + 1)·√⎜1 + ⎜-
⎮ ⎜ ⎜
⌡ ⎝ ⎝
1/2 - √5/2
3 ⎞2⎞
2·y - y - 1 ⎟ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dy = 27.21509683 u 2
4 2 ⎟ ⎟
√(- y + y + 2·y + 1) ⎠ ⎠
2

Integrales
113.- Dada la curva en coordenadas polares r = tg ,
se pide:
2 a) Período de la curva
b) Dominio de r ( )
c) Área encerrada por la curva y el eje OY (para valores de dentro del
dominio de la función).
Solución
a) T = 2 2
b) La curva se dibuja completa para 0 , 20,
2
Ha de ser r 0, es decir: tg 0
0,
0,
2 2 2
c)
π/2
⌠ 1 ⎛ α ⎞2
#82: ⎮ ⎯·TAN⎜⎯⎟ dα
⌡0 2 ⎝ 2 ⎠
4 - π
#83: ⎯⎯⎯⎯⎯ u 2
4
⎛ α ⎞
#78: TAN⎜⎯⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ α ⎞ ⎞
#79: SOLVE⎜TAN⎜⎯⎟, α, Real⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#80: α = - 2·π ∨ α = 2·π ∨ α = 0
1
1 2
A f d
2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
0
174

Solución
ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
114.- Hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada entre la curva
2 x cos t
y tg t
⎡ 2 ⎤
#53: ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
#54: SOLVE(TAN(t), t, Real)
y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
#55: t = -π ∨ t = π ∨ t = 0
⎡ 2 ⎤
#56: lim ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
t→π/2
#57: [0, ±∞]
V
t
1
2
y t xtdt
t0
d ⎡ 2 ⎤
#58: ⎯⎯ ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
dt
⎡ 1 ⎤
⎢ - 2·SIN(t)·COS(t), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
#59: ⎢ 2 ⎥
⎣ COS(t) ⎦
π/2
⌠ 2 2 1
⎮ 2·π·(COS(t) ) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
#61: ⎮ 2
⌡ COS(t)
0
2
π
#62: ⎯⎯ u3 2
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 175

Integrales
115.- Hallar la longitud de la curva 1
Solución
2 2 4
#1: y = (x + 1) - x
2 4
#2: SOLVE((x + 1) - x , x)
1 √3·i
#3: x = - ⎯ - ⎯⎯⎯⎯
2 2
1 √3·i
x = -⎯ - ⎯⎯⎯⎯
2 2
1 √5
x = ⎯ - ⎯⎯ ∨
2 2
√5 1
x = ⎯⎯ + ⎯
2 2
L
b
a
1
2 4
y x x .
2 fx dx
2 2 4
#5: SOLVE(y = (x + 1) - x , y)
4 2 4 2
#6: y = - √(- x + x + 2·x + 1) ∨ y = √(- x + x + 2·x + 1)
d 4 2
#7: ⎯⎯ √(- x + x + 2·x + 1)
dx
3
2·x - x - 1
#8: - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 2
√(- x + x + 2·x + 1)
√5/2 + 1/2
⌠ ⎛ ⎛ 3 ⎞2⎞
⎮ ⎜ ⎜ 2·x - x - 1 ⎟ ⎟
#10: ⎮ √⎜1 + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dx
⎮ ⎜ ⎜ 4 2 ⎟ ⎟
⌡ ⎝ ⎝ √(- x + x + 2·x + 1) ⎠ ⎠
1/2 - √5/2
#11: 4.498824500 u
Hay que multiplicar por 2 para obtener la longitud total de la curva, pues el
resultado anterior se refiere a la parte positiva (y0):
L = 2 (4.498824500) = 8.997649000 u
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
2
176

Soluciones de los ejercicios propuestos:
Integrales
1.- Calcular, si son convergentes, las integrales:
a)
2 52
x
x e dx b)
p1
ax
x e dx con a>0.
0
Solución: a) e 5 /4
(p)
b) p
a
2.- Calcular 1
0
Solución: -4
ln x
dx .
x
0
3.- Hallar p y q para que 2 2 5 3
sen t cos t dt =(p,q) y calcular
0
2 5 3
sen t cos t dt .
0
Solución: 1/24
4.- Lo mismo para 2
0
4 6
sen t cos t dt
Solución: 3
512
5.- Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
2 a)
0 tgxdx
b) 1
dx
4
c) 0 x1 dx
dx
2cosx d) e)
dx
1 x x
4x e 2 x
2
Solución: a)
0 tgxdx
(diverge) b) 1
dx
4
(diverge) c) 0
x1 dx
(converge)
4x dx
d) (converge)
1 x x
e 2
2cosx e) dx (diverge)
x
6.- Hallar el área común al círculo ρ1 = 3cosα y a la cardioide ρ2 = 1+ cosα.
Solución: 5
4
7.- La curva y 2 = 2xe -2x gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la
superficie engendrada.
Solución:
2
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 167

http://www2.topografia.upm.es/...ras/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Derivada%20de%20una%20integral.JPG[17/02/2012 10:52:29]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Convergencia.JPG[17/02/2012 10:52:30]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Integral%20definida.JPG[17/02/2012 10:52:31]

http://www2.topografia.upm.es/...tematicas/primero/Apuntes/Vademecum/%c1rea%20de%20una%20figura%20plana.JPG[17/02/2012 10:52:32]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Integral%20impropia.JPG[17/02/2012 10:52:32]

http://www2.topografia.upm.es/...ero/Apuntes/Vademecum/Vol%famenes%20de%20cuerpos%20de%20revoluci%f3n.JPG[17/02/2012 10:52:33]

http://www2.topografia.upm.es/...icas/primero/Apuntes/Vademecum/Longitud%20de%20un%20arco%20de%20curva.JPG[17/02/2012 10:52:33]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Coordenadas%20polares.JPG[17/02/2012 10:52:34]

http://www2.topografia.upm.es/...gnaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Volumen%20por%20secciones.JPG[17/02/2012 10:52:53]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Hip%e9rbola.jpg[17/02/2012 10:52:54]

http://www2.topografia.upm.es/...aticas/primero/Apuntes/Vademecum/As%edntotas%20de%20una%20hip%e9rbola.JPG[17/02/2012 10:52:55]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Foco.JPG[17/02/2012 10:52:56]

http://www2.topografia.upm.es/...Apuntes/Vademecum/%c1rea%20de%20una%20superficie%20de%20revoluci%f3n.JPG[17/02/2012 10:52:57]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/casquete.JPG[17/02/2012 10:52:57]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Cicloide.JPG[17/02/2012 12:48:54]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Cardioide.JPG[17/02/2012 12:48:55]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Pendiente.JPG[17/02/2012 12:48:55]

http://www2.topografia.upm.es/...ras/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Teorema%20del%20Valor%20Medio.JPG[17/02/2012 12:48:56]

http://www2.topografia.upm.es/...tematicas/primero/Apuntes/Vademecum/As%edntotas%20de%20una%20funci%f3n.JPG[17/02/2012 12:49:35]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Esfera.JPG[17/02/2012 12:49:44]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/cilindro.JPG[17/02/2012 12:49:46]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/cono.JPG[17/02/2012 12:49:47]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/tronco%20de%20cono.JPG[17/02/2012 12:49:48]

http://www2.topografia.upm.es/...naturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Ecuaciones%20param%e9tricas.JPG[17/02/2012 12:49:58]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Par%e1bola.jpg[17/02/2012 12:49:59]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Equil%e1tero.JPG[17/02/2012 12:50:00]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Cisoide.JPG[17/02/2012 12:50:01]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Circunferencia.JPG[17/02/2012 12:50:23]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Dominio.JPG[17/02/2012 12:50:24]

http://www2.topografia.upm.es/...ero/Apuntes/Vademecum/Simetr%edas%20de%20una%20curva%20en%20polares.JPG[17/02/2012 12:51:15]

http://www2.topografia.upm.es/...as/primero/Apuntes/Vademecum/Integral%20impropia%20de%201%ba%20especie.JPG[17/02/2012 12:51:52]

http://www2.topografia.upm.es/...as/primero/Apuntes/Vademecum/Integral%20impropia%20de%202%ba%20especie.JPG[17/02/2012 12:51:55]

http://www2.topografia.upm.es/...atematicas/primero/Apuntes/Vademecum/M%e1ximos%20locales%20o%20relativos.JPG[17/02/2012 12:51:59]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Eje.JPG[17/02/2012 12:52:08]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Elipse.jpg[17/02/2012 12:52:23]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Divergencia.JPG[17/02/2012 12:52:31]

http://www2.topografia.upm.es/...ticas/primero/Apuntes/Vademecum/As%edntotas%20en%20una%20curva%20plana.JPG[17/02/2012 12:52:50]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Lemniscata.JPG[17/02/2012 12:52:51]

http://www2.topografia.upm.es/.../matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Funci%f3n%20gamma%20de%20Euler.JPG[17/02/2012 12:53:00]

http://www2.topografia.upm.es/...ras/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Funci%f3n%20beta%20de%20Euler.JPG[17/02/2012 13:19:33]

http://www2.topografia.upm.es/...ticas/primero/Apuntes/Vademecum/Periodocidad%20en%20una%20curva%20plana.JPG[25/11/2012 20:37:57]