Solucionario_libro_santillana_mataplic_ccss_bch1

Matemáticas 1 BACHILLERATO
aplicadas a las Ciencias Sociales
Biblioteca del profesorado
SOLUCIONARIO
El Solucionario de Matemáticas aplicadas
a las Ciencias Sociales para 1.º de Bachillerato
es una obra colectiva concebida, diseñada
y creada en el departamento
de Ediciones Educativas de Santillana,
dirigido por Enric Juan Redal.
En su realización han intervenido:
M.ª José Rey
César Santamaría
EDICIÓN
Angélica Escoredo
José Miguel Escoredo
Carlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTO
Domingo Sánchez Figueroa
Santillana

2
Presentación
El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de
presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los
contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la
vida real.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una
materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolución
de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno.
Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que
pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisición
de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el
libro del alumno.
1
Números reales
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
El código Da Vinci
SOLUCIONARIO
1
El profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su
clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en
la pizarra:
1,618
Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus
alumnos.
–¿Alguien puede decirme qué es este número?
Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba
al fondo levantó la mano.
–Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe.
–Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi.
–Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa de
suficiencia.
–Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un número
muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?
Stettner seguía en su papel de gracioso.
–¿Porque es muy bonito?
Todos se rieron.
–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse como
el número más bello del universo.
Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso.
[…] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió
Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su
papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las
plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían características
dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón
de Phi a 1.
–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las
luces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, girasoles…]–
trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos
creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del
Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos
dieciocho como «La Divina Proporción».
DAN BROWN
1+ 5
1+ 5
En realidad, el valor del número Phi es Φ= . Los números1,618 y
2
2
son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. ¿Por qué? ¿Qué error
se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?
1,618 es un número racional, ya que es un decimal exacto.
Phi es un número irracional, ya que 5 lo es y al sumar o dividir un número irracional
por un entero el resultado es un número irracional.
1+ 5
Como = 1, 61803…;
el error cometido es menor que una diez milésima.
2
44
Números reales
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
001 Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen.
27
44
4
002
003
0,7 −16 685,0091
0,7 es un número decimal periódico puro.
−0,0201 67 −456,89
−16 es un número entero.
685,0091
−0,0201 y −456,89 son números decimales exactos.
67 es un número natural.
27 34
y son números racionales.
44 8
−
es número decimal periódico mixto.
Expresa en forma de fracción.
0,22 −34,03
25,012 0,1043
−2,302
=
11
22. 511
0,22 = 25,012 = −2,302
50
900
−1123 .
521
−34,03
33
4995 .
=
= 0,1043
Obtén el valor absoluto de los números.
7 0 −1 −6
2 (−6)2
⏐7⏐ = 7 ⏐−1⏐ = 1⏐ (−6) 2 ⏐ = 36
⏐0⏐ = 0 ⏐−6 2 ⏐ = 36
Calcula las siguientes potencias.
a) 3
b) f) (−5) 7
c) (−2)
d) h) 2 5
004
⎛
⎜ −3
⎞
⎜⎝
5
⎟⎠
⎛ 5 ⎞
⎜ ⎝ −2
⎟⎠
⎛ ⎞
⎜ 4
⎜
−
⎝ 9
⎟⎠
⎛
⎜ 5 ⎞
⎜⎝
7
⎟⎠
4 e)
5
6 g)
Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son:
Byte = 2 8 bits Megabyte = 2 10 Kilobytes
Kilobyte = 2 10 bytes Gigabyte = 2 10 Megabytes
Expresa, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidades de
información en bits y bytes.
a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb.
b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb.
a) 120 Gb = 120 210 2 10 2 10 bytes = 15 2 33 bytes = 15 2 41 bits
120 Gb = 1,2885 1011 bytes = 3,2985 1013 bits
b) 512 Mb = 29 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits
512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 1011 bits
c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 220 bytes = 1,44 228 bits
1,44 Mb = 1,5099 106 bytes = 3,8655 · 10 8 bits
d) 550 Mb = 550 · 210 · 2 10 bytes = 550 · 2 20 bytes = 550 · 2 28 bits
550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 10 11 143
bits
PARA FINALIZAR…
Si es una fracción irreducible:
a) ¿Cuándo es equivalente a ? b) ¿Y cuándo es equivalente a ?
a) b)
ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab →b 2 = ab
a = b Como b es distinto de cero: b = a
Si una fracción es irreducible, ¿son las fracciones y irreducibles?
Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y los de b.
(a + b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción es
irreducible.
Como los divisores de a − b son los divisores comunes de a y los de b.
(a − b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción es
irreducible.
Demuestra la siguiente igualdad: log = 1.
1
a+ b a
b+ b b
a
a + b a − b
145
b
a · b a · b
a+ b
a · b
a−b a · b
99 + k
146
∑
k=
1 k
=
a + a
b + b
=
a
144
b
a + 1
a
a + b
a
b + 1
b
b + b
b
1
1
99
99
99
1+ k 1 1+ k 1 1+
k
∑log = ∑ log = ∑log
=
k= 1 k
k= 1 2 k 2 k=
1 k
99 1
1
= ∑(
log( 1+
k) −logk)=
( log100 −log1)=
1
2 k=
1
2
2
a) 34 = 81 e)
b) f) (−5) 7 =−78.125
c) (−2) 6 = 64 g)
d) h) 25 ⎛ 5 ⎞
⎜ 25
⎜⎜
= 32
⎝ 7 ⎟ ⎠ 49
=
⎛ ⎞
⎜
⎜⎜ −
⎝ ⎟ ⎠
=−
⎛ − ⎞
⎜
⎜⎜
⎝ ⎟ ⎠
⎛ 5 ⎞
⎜ 3125 .
⎜⎜ =−
⎝ −2
⎟ ⎠ 32
4 64
9 729
=−
3 27
5 125
5
2
3
3
3
3
SOLUCIONARIO
−34
8
1
−2300 .
999
·
Demuestra estas igualdades.
a) loga (b c) = loga b + loga c b) loga = loga b −loga c
a) Por la definición de logaritmos:
loga (b c) = x loga b = y loga c = z
ax = b c a y = b a z = c
ay a z = b c a y + z = b c loga (b c) = y + z
Es decir: loga (b c) = loga b + loga c
b) Por la definición de logaritmos:
loga = x loga b = y
a
loga c = z
x = a y = b a z a
= c
y−z y a b
b
=
z a c
c
⎛ b ⎞
Es decir: ⎜ loga = loga b − loga c
⎝⎜
c ⎠⎟
⎛ b ⎞
log ⎜
a = y − z
⎝⎜
c ⎠⎟
=
147
⎛ b ⎞
⎜
⎝⎜
c ⎠⎟
⎛
⎜ b ⎞
⎝⎜
c ⎠⎟
b
c
Demuestra la siguiente igualdad: log (a 2 − b2 ) = log (a + b) + log (a − b)
log (a + b) + log (a − b) = log [(a + b)(a − b)] = log (a2 − b2 )
Si el área de esta figura es 10 cm2 148
149
, ¿cuál es su altura?
La longitud de la base mide: 1 + 2 cm
D
C
Calculamos la altura: 10 = ( 1+ 2)
h
h
10 10 − 10 2
h = =
=− 10 + 10 2 cm
1+ 2 −1
150 Dos piezas móviles de una máquina se desplazan a la
misma velocidad. La primera pieza describe
una circunferencia de radio 5 cm y la segunda
se desplaza de un extremo al otro del diámetro de esa
1
A
1
B
circunferencia.
Si ambas piezas parten del mismo punto, ¿coincidirán
en algún momento?
Suponemos que ambas piezas parten de A.
Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles.
A
5 cm
B
La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia en los
puntos A y B es: 5π(k − 1). Siendo k un número natural. La distancia recorrida por el
móvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B: 10(k − 1). Siendo k un
número natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplaza por la
circunferencia son números irracionales, mientras que las distancias recorridas por
el móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales, por tanto nunca
coincidirán ambos móviles.
5
SOLUCIONARIO
1
45

Índice
Unidad 1 Números reales 4
Unidad 2 Aritmética mercantil 46
Unidad 3 Polinomios y fracciones
algebraicas 82
Unidad 4 Ecuaciones, inecuaciones
y sistemas 118
Unidad 5 Funciones 178
Unidad 6 Funciones elementales 210
Unidad 7 Límite de una función 258
Unidad 8 Derivada de una función 308
Unidad 9 Estadística unidimensional 368
Unidad 10 Estadística bidimensional 400
Unidad 11 Probabilidad 434
Unidad 12 Distribuciones binomial y normal 460
Tablas de distribución 493
3

4
1
Números reales
Números reales
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
El código Da Vinci
SOLUCIONARIO1
El profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su
clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en
la pizarra:
1,618
Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus
alumnos.
–¿Alguien puede decirme qué es este número?
Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba
al fondo levantó la mano.
–Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe.
–Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi.
–Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa de
suficiencia.
–Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un número
muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?
Stettner seguía en su papel de gracioso.
–¿Porque es muy bonito?
Todos se rieron.
–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse como
el número más bello del universo.
Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso.
[…] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió
Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su
papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las
plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían características
dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón
de Phi a 1.
–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las
luces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, girasoles…]–
trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos
creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del
Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos
dieciocho como «La Divina Proporción».
DAN BROWN
1+ 5
1+ 5
En realidad, el valor del número Phi es Φ= . Los números 1,618 y
2
2
son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. ¿Por qué? ¿Qué error
se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?
1,618 es un número racional, pues es un decimal exacto.
Phi es un número irracional, ya que 5 lo es y, al sumar o dividir un número irracional
y un entero, el resultado es un número irracional.
1+ 5
Como = 1, 61803…;
el error cometido es menor que una diezmilésima.
2

001
002
003
004
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen.
0,7 −16 685,0091 −0,0201 67 −456,89
0,7 es un número decimal periódico puro.
−16 es un número entero.
685,0091 es número decimal periódico mixto.
−0,0201 y −456,89 son números decimales exactos.
67 es un número natural.
27 34
y son números racionales.
44 8
−
27
44
Expresa en forma de fracción.
0,22 −34,03 25,012 0,1043 −2,302
11
0,22 =
50
22. 511
25,012 =
900
−2,302 −2. 300
=
999
−34,03 −1. 123
= 0,1043 521
=
33
4. 995
Obtén el valor absoluto de los números.
7 0 −1 −6 2 (−6) 2
⏐7⏐ = 7 ⏐−1⏐ = 1 ⏐(−6) 2 ⏐ = 36
⏐0⏐ = 0 ⏐−6 2 ⏐ = 36
Calcula las siguientes potencias.
a) 3 4 b)
e)
f) (−5) 7
c) (−2) 6 d)
g)
h) 25 a) 34 b)
= 81 e)
f) (−5) 7 c) (−2)
=−78.125
6 d)
= 64 g)
h) 25 2
⎛ 5 ⎞
⎜ 25
⎜
⎝⎜
7 ⎠⎟
49
= 32
=
⎛ ⎞
⎜
⎜−
⎝⎜
⎠⎟
=−
5
⎛ 5 ⎞
⎜
3. 125
⎜ =−
⎝⎜
−2
⎠⎟
32
⎛ − ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
3
4 64
9 729
=−
5
⎛ 5 ⎞
⎜
⎝⎜
−2
⎠⎟
2
⎛
⎜ 5 ⎞
⎝⎜
7 ⎠⎟
3
⎛
⎜ −3
⎞
⎝⎜
5 ⎠⎟
3
⎛ ⎞
⎜ 4
−
⎝⎜
9 ⎠⎟
3
3 27
5 125
SOLUCIONARIO
−34
8
1
5

6
Números reales
005
001
002
003
004
Simplifica y expresa el resultado como potencia.
a) b) 2 3 3 2
⋅ ⋅
2 4 3
3
⋅
8
⎛
7 3 −4
5 ⋅3 ⋅6
−2 −3 −14
6 ⋅3 ⋅5
− ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
a)
b) 2 3 3
3
2 3 2 3
⋅ ⋅ ⋅
2 4 3 8 2 3
⎛ − ⎞
⎜ ⋅
⎝⎜
⎠⎟
=
⋅
ACTIVIDADES
Calcula el representante canónico de estos números.
a)
−16
24
b)
18
39
c)
−24
−60
− 16 2
18 6
a) =−
b) =
c)
24 3
39 13
Escribe dos representantes de los números racionales.
7
9
8
a) b) c)
12
2
25
Respuesta abierta.
a)
b)
c)
5 − ⋅ 3 ⋅ 6
6 ⋅ 3 ⋅ 5
7 14 21
=
12 24 36
⎧ ⎨ ⎪
⎫
…, , , …⎬
⎪
⎩⎪
⎭⎪
9
2
7 3 4
−2 −3 −14
18 27
=
4 6
⎧ ⎨ ⎪
⎫
…, , , …⎬
⎪
⎩⎪
⎭⎪
8 16 24
=
25 50 75
⎧ ⎨ ⎪
⎫
…, , , …⎬
⎪
⎩⎪
⎭⎪
Halla cuántos números racionales distintos hay en esta secuencia.
5
3
2 14 7 3 3 21
6 5 5 3 3 5
=
4 6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
6 ⋅ 3 5 ⋅ 3
= =
2
2
6 2
2
5
−
3
−5
3
3
=
2
11 2 10
5
−3
Hay dos números racionales distintos, que son:
1,6
− = − 5
3
10
= =
6
5 5
3 3
5
=
−3
Una fracción que tenga un término negativo y otra que tenga sus dos términos
positivos, ¿pueden ser representantes del mismo número racional?
No pueden representar el mismo número racional, puesto que si una fracción
tiene un término negativo, el cociente es negativo; y si sus dos términos
son positivos, el cociente es positivo.
10
6
2
21 4
−
− =
24 2
60 5
1,6

005
006
007
008
009
Escribe 4 números irracionales, especificando su regla de formación.
Respuesta abierta.
Tras la coma, se sitúan todos los múltiplos de 3: 0,3691215…
Tras la coma se sitúan todos los múltiplos de 4: 0,481216…
Al número irracional 2 se le suma el número 1: 2 + 1
Al número irracional 2 se le suma el número 2: 2 + 2
SOLUCIONARIO
Decide si los siguientes números son irracionales.
a) 0,51015202530… c) 2 −π
b)
3π
4π
d)
10
17
a) Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales
que no se repiten de forma periódica.
b) Es un número decimal exacto, luego no es un número irracional.
c) Es un número irracional, porque si a un número irracional se le resta un número
entero, el resultado es un número irracional.
d) No es un número irracional, puesto que es una fracción.
Encuentra, sin hacer operaciones con decimales, un número irracional
comprendido entre − 2 y 2.
Respuesta abierta.
2 − 1
Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones.
a) La raíz de un número irracional es irracional.
b) Un número irracional al cuadrado no es racional.
a) Cierta, ya que sigue teniendo infinitas cifras decimales no periódicas.
b) Falsa, por ejemplo: (
2
2) = 2
Indica el conjunto numérico mínimo al que pertenece cada número.
a) 8,0999… c) e) 2,5
b) 1,223334444… d) 6,126 15
f) −11
a) Q d) Q
b) I e) Q
c) I f) Z
1
7

8
Números reales
010
011
012
013
Representa las raíces.
a) 11
b) 101
c) 5
d)
a) c)
b) d)
Coloca, en la recta real, el número:
0 1
Representa, en la siguiente recta real, los números 1 y 2.
Aplica la propiedad distributiva y opera.
a) b)
3 2 2 2
3
4 7 5 7
2
3 ⎛ 2 2 ⎞
⋅⎜− 4 ⎝⎜
7 5 ⎠⎟
⋅ − ⋅ + ⋅
7
a)
b) 3
4
0 1 11
0 1 10 101
1+ 5
2
0 3
0 1 2
Φ= + 1 5
2
3 ⎛ 2 2 ⎞ 3 2 3 2 30 42 1
⋅⎜ −
−
4 ⎝⎜
7 5 ⎠⎟
= ⋅ − ⋅ = =−
4 7 4 5 140
2 3
=−
140 35
2 2 2
3
7 5 7
2 2 ⎛ 3 2 ⎞ 2 67
⋅ − ⋅ + ⋅ = ⎜ − + 3
7 7 ⎝⎜
4 5 ⎠⎟
7
= ⋅ 67
=
20 70
1
5 1+ 5
36
0 1 5
0 1 36

014
015
016
017
018
SOLUCIONARIO
Ordena, de menor a mayor, los siguientes números racionales e irracionales.
2. 827
900
< π <
π
Con ayuda de la propiedad distributiva, calcula 99 2 y 999 2 sin realizar las operaciones.
99 2 = 99 ⋅ 99 = 99(100 − 1) = 9.900 − 99 = 9.801
999 2 = 999 ⋅ 999 = 999(1.000 − 1) = 999.000 − 999 = 998.001
Representa los siguientes conjuntos numéricos de todas las formas que conozcas.
a) Números menores que π.
b) Números mayores que 3 y menores o iguales que 7.
c) Números menores o iguales que 2 y mayores que −2.
d) Números comprendidos entre los dos primeros números pares, ambos incluidos.
a) (−, π) = {x: x

10
Números reales
019
020
021
022
023
Con ayuda de la calculadora, escribe
por exceso y por defecto.
3 en forma decimal y sus aproximaciones
a) A las diezmilésimas.
b) A las cienmilésimas.
c) A las millonésimas.
3 = 1, 73205080…
a) Aproximación por exceso: 1,7321
Aproximación por defecto: 1,7320
b) Aproximación por exceso: 1,73205
Aproximación por defecto: 1,73205
c) Aproximación por exceso: 1,732051
Aproximación por defecto: 1,732052
Calcula los errores absoluto y relativo al redondear el número 1,3456 a las décimas.
Vreal = 1,3456
Vaproximado = 1,3
Ea = ⏐1,3456 − 1,3⏐ = 0,0456
Piensa en una situación en la que dos mediciones tengan los mismos errores
absolutos, pero distintos errores relativos.
Respuesta abierta.
Vreal = 12,5
Valores aproximados, 12 y 13. En ambos casos, el error absoluto es 0,5;
pero los errores absolutos son distintos:
0,5
Er = = 0,0417
12
Indica dos ejemplos de medida y da sus correspondientes cotas de error.
Respuesta abierta.
Velocidad en autopista: 120 km/h; edad de jubilación: 65 años.
Calcula las cotas de error absoluto y relativo al redondear el número :
a) A las centésimas. b) A las milésimas.
a) Ea =
1
2⋅10 =
Er =
0,005
1,41− 0,005
= 0,0035
2
2
0,005
b) E a = 0,0005 E r =
0 , 0456
Er = = 0 , 0338
1, 3456
0,5
Er = = 0,0385
13
0,0005
1,414 − 0,0005
= 0,00035

024
025
026
027
028
029
SOLUCIONARIO
La población de un pueblo, redondeada a las decenas, es de 310 habitantes.
¿Puedes indicar los errores? ¿Sabrías dar las cotas de error cometido?
Para calcular los errores relativos y absolutos es necesario conocer el valor real;
por tanto, no se pueden calcular.
1
Ea =
2⋅10 E r =
−1
Calcula una cota de error absoluto cuando truncamos un número a las décimas.
¿Y si fuera a las centésimas?
1
Ea =
2⋅101 1
Ea =
2⋅102 = 5
− =
5
0,016
310 5
= 0,5
= 0,05
Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 0,0000085 c) 31.940.000.000
b) 5.000.000.000.000 d) 0,000000000479
a) 0,0000085 = 8,5 ⋅ 10−6 c) 31.940.000.000 = 3,194 ⋅ 10 10
b) 5.000.000.000.000 = 5 ⋅ 1012 d) 0,000000000479 = 4,79 ⋅ 10−10 Opera y expresa el resultado en notación científica.
a) (5,2 ⋅ 103 + 4,75 ⋅ 10−2 ) : 8,05 ⋅ 10−4 b) 3,79 ⋅ 10 8 ⋅ (7,73 ⋅ 10 4 −6,54 ⋅ 10 −2 )
a) (5,2 ⋅ 10 3 + 4,75 ⋅ 10−2 ) : 8,05 ⋅ 10−4 = 6,465968 ⋅ 10−2 b) 3,79 ⋅ 108 ⋅ (7,73 ⋅ 104 − 6,54 ⋅ 10−2 ) = 2,92966 ⋅ 1013 Decide si son ciertas estas igualdades. Razona la respuesta.
a) c)
b) d)
a) Falsa: (−2) 4 = 16 c) Falsa: (−1.000) 3 =−1.000.000.000
b) Falsa: 48 = 65.536 d) Falsa: (−2) 5 4
− 16 =−2
3
1. 000. 000 =± 1. 000
8
256 =± 4
5
32 =± 2
=−32
Calcula el valor numérico, si existe, de los siguientes radicales.
a)
4
16
c)
4
−10. 000
b)
3
−8
d)
5
243
a)
4
16 = 2
c) No existe ninguna raíz real.
b)
3
− 8 =−2
d)
5
243 = 3
1
11

12
Números reales
030
031
032
033
Transforma los radicales en potencias, y viceversa.
1
a) 3 4
b) 5
Indica si son equivalentes los siguientes radicales.
6 a) 3 y 3
5 10 b) 2 y 2
a) Son equivalentes. c) Son equivalentes.
b) No son equivalentes. d) No son equivalentes.
Efectúa estas operaciones.
a) 20 − 3 125 + 2 45
Opera y simplifica.
a) 4 27 ⋅ 5 6
b)
⎛
⎜
⎝⎜
2
3
1
c) 2 6
c) 2 6 6
= 2
4 3
3
3 3
3 6 2 3
3 3 3 96 3
b) 7 81 − 2 3 + = 21 3 − 2 3 + =
5
5 5
6
a) 20 − 3 125 + 2 45 = 2 5 − 15 5 + 6 5 =−75
32 ⎞
8 ⎠⎟
a) 4 27 · 5 6 = 20 162 = 180 2
b)
3 6 6 6
c) 2 · 3 = 4 · 27 = 108
d)
⎛
⎜
⎝⎜
1
a) 3 4 4
= 3
2
b) 5 3 3
= 5
1
6
3
3
2
3
d) 7 5
e) 10
2
7
f) 57 4
32 ⎞
5
32 2 1
= = =
3
9
8 ⎠⎟
8 2 4
3
6 4
3 · 3 3 · 3
= 12 =
4
3
3
3
d) 7 5 5
= 7
e) 10 7 7
= 10
4 7 f) 5 = 5
10 d) 5 y 5
3 6 2
b) 7 81 − 2 3 +
12
3
4
c) 36 y 6
3
c) 2 ⋅ 3
d)
3
2
7
3
7
4
2
4 4
3
3 ⋅ 3
4
3
3
3
5

034
035
036
037
Racionaliza las siguientes expresiones.
b)
−3
5 23 4
a)
2
5
Racionaliza y opera.
a)
3
5
+
4
6
Racionaliza y opera.
a)
Racionaliza estas expresiones.
a)
b) − = − 3
a)
2
5
=
2 5
5
4 3 5 2
4
3 2
10
c)
a)
b) − + = −
− +
+ = 7 5 7 2 5 7 98 2 15 7
3 2 4 7 6 28
84
1
1+ 2
1 1 2
a) = 1 2
1+ 2 1
−
=− +
−
b)
c)
5
2+ 3 2 3 7
=
5 3 6 7
42
+
3 4 3 5 4 6 18 5 + 20 6
+ = + =
5 6 5 6
30
8 2 8 6 56 2 4 6 28 2
3 + 7
46
23
=
−
=
−
− +
5 3 45 3 + 5 15
=
9−5 76
3+ 5
+
3 + 6
( )
5 5
3 + 7
b) − 7
+
3 2
b)
2
8 2
3 + 7
5
4 7
a)
3+ 3 +
5
6
+
5 5
3 + 7
=
3
=
3 15 3
3
6 30 5 15 5
4
35
1
− − + +
+ − +
=
= − 2 3 12 6 4 30 19 15 15 35
+ + −
12
+
SOLUCIONARIO
12 6 24 18 + 36 12 72 2 + 72 3
b)
=
=
=−12 2 −12
3
2 3 − 3 2 −6
−6
c)
c)
b)
2 3
6 73 5
+
5 3
9−5 12 6
2 3 −3
2
1
13

14
Números reales
038
039
040
041
Calcula, mediante la definición, estos logaritmos.
a) log2 8 c) log 1.000 e) ln e 33
b) log3 81 d) log 0,0001 f) ln e −4
g) log4 16
h) log4 0,25
a) log 2 8 = 3 e) ln e 33 = 33
b) log3 81 = 4 f) ln e −4 =−4
c) log 1.000 = 3 g) log 4 16 = 2
d) log 0,0001 =−4 h) log4 0,25 =−1
Halla, mediante la definición, los siguientes logaritmos.
a) log3 243 c) log 1.000.000 e) ln e 2 g) log7 343
b) log9 81 d) log 0,00001 f) ln e −14 h) log4 0,0625
a) log 3 243 = 5 e) ln e 2 = 2
b) log9 81 = 2 f) ln e −14 =−14
c) log 1.000.000 = 6 g) log 7 343 = 3
d) log 0,00001 = −5 h) log 4 0,0625 =−2
Calcula los logaritmos y deja indicado el resultado.
a) log4 32 c) log3 100 e) log32 4
b) log2 32 d) log5 32 f ) log2 304
a) log
b) log2 32 = 5
c)
4
log2
32 5
32 = =
log 4 2
2
log 100
log3 100 = = 4,1918…
log 3
e) log
Sabiendo que log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771 y log 7 = 0,8451; determina
los logaritmos decimales de los 10 primeros números naturales.
Con estos datos, ¿sabrías calcular log 3,5? ¿Y log 1,5?
log 4 = log (2 · 2) = log 2 + log 2 = 2 · 0,3010 = 0,6020
⎛ 10 ⎞
log 5 = log ⎜ = log 10 − log 2 = 1 − 0,3010 = 0,6990
⎝⎜
2 ⎠⎟
log 6 = log (3 · 2) = log 3 + log 2 = 0,4771 + 0,3010 = 0,7781
log 8 = log (4 · 2) = log 4 + log 2 = 0,6020 + 0,3010 = 0,9030
log 9 = log (3 · 3) = log 3 + log 3 = 0,4771 + 0,4771 = 0,9542
log 10 = 1
⎛ 7 ⎞
log 3,5 = log ⎜ = log 7 − log 2 = 0,8451 − 0,3010 = 0,5441
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛ 3 ⎞
log 1,5 = log ⎜ = log 3 − log 2 = 0,4771 − 0,3010 = 0,1761
⎝⎜
2 ⎠⎟
d)
f)
log 32
log5 32 = = 2,1533…
log 5
32
log 4 2 2
4 = =
log 32 5
2
log 304
log2 304 = = 8,2479…
log 2

042
043
044
045
046
SOLUCIONARIO
Halla, sin ayuda de la calculadora, log2 5 y log5 2. Comprueba que su producto es 1.
En el ejercicio anterior, se ha visto que log 2 = 0,3010.
Si se utilizan cambios de base, resulta:
log 10 1
log2 10 = = = 3,32
log 2 0,3010
log 2 10 = log 2 (2 · 5) = log 2 2 + log 2 5 → log 2 5 = 2,32
log
5
Como los dos números son inversos, su producto es 1.
También se puede comprobar de este modo:
log
log · log
log ·
5 log 2
2 5 5 2=
= 1
2 log 5
Halla el valor de x en las siguientes igualdades.
a) logx 256 =−8 c)
6
log5 625 = x
b) log3 x =
2
3
d) logx 3 = 2
a) 1
2
log2
2 1
2 = = = 0,43
log 5 log 5
2 2
Calcula cuánto vale loga b ⋅ log b a.
b) 2,0801… c) d)
2
3
log a log b
log a b · logb
a = · =1
log b log a
Calcula la fracción irreducible de:
a)
5
200
c)
26
130
e)
12
400
g)
88
176
b)
−1. 080
432
d)
−702
1. 053
f)
72
243
h)
104
216
5 1
26 1
12 3
88 1
a) =
c) = e) = g) =
200 40
130 5
400 100 176 2
−
72 8
104 13
b) d) = f) = h) =
243 27
216 27
− 702
−
2
=
1. 053 3
−
1. 080 45
432 18
Indica cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles.
3
15
15
18
10
13
9
6
Son fracciones irreducibles: , y 18
10 12
13 5 7
12
5
18
7
3
15
12
2
8
1
15

16
Números reales
047
048
049
050
051
¿Cuántos números racionales hay en el siguiente grupo?
1 2 −1 8 1 −4 4 6
4 3 5 12 6 20 24 8
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción,
luego todos los números del grupo lo son.
Halla x para que las fracciones sean equivalentes.
a)
3
5
=
6
x
=
9
x
=
21
x
b)
− 5
2
=
x
8
10
=
x
=
25
x
3 6 9 21
a) = = =
b)
5 10 15 35
2
¿Puedes escribir una fracción equivalente a cuyo denominador sea 10? ¿Por qué?
3
No, porque 10 no es múltiplo de 3.
Realiza estas operaciones.
a)
⎛ 5 4 ⎞
⎜ −
⎝⎜
6 5 ⎠⎟
a)
−2 −1
⎛ 2 ⎞
· ⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎛ 1 ⎞
+ ⎜
⎜
⎝ 2 ⎠⎟
−2 −1
⎛ 5 4 ⎞
⎜ −
⎝⎜
6 5 ⎠⎟
⎛ 2 ⎞
· ⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎛ 1 ⎞
+ ⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
=
−2
⎛
= ⎜ 25 24 ⎞ 3
⎜ − · +
⎝⎜
30 30 ⎠⎟
2
1
4
=
1 3
=
30
2
1
4
900 3
−2
⎛ ⎞
⎜ · +
⎝⎜
⎠⎟
=
= · +
2
1
4
=
= 1.350 +
=
1
4
=
5 401 .
4
2
2
¿Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles no lo son?
Razona tu respuesta.
a) 2,555… b) 2,525 c) 2,5255555… d) 2,525522555222…
a) Es un número racional, ya que es periódico, y cualquier número periódico
se puede expresar como fracción.
b) Es un número racional, puesto que es un decimal exacto y los decimales
exactos se pueden expresar como fracción.
c) Es un número racional, ya que es periódico.
d) Es un número irracional, puesto que tiene infinitas cifras decimales
que no son periódicas.
b)
b)
− 5 − 20 10 25
= = =
2 8 − 4 −10
⎛ 5 2 ⎞
⎜ +
⎝⎜
2 5 ⎠⎟
25
100
−1 −1
⎛ 7 ⎞
⎜ 4
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
3
−⎛
⎞
: ⎜
⎜
⎝ ⎠⎟
−1 −1
150
200
⎛ 5 2 ⎞
⎜ +
⎝⎜
2 5 ⎠⎟
⎛ 7 ⎞
⎜ 4
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
3
−⎛
⎞
: ⎜
⎜
⎝ ⎠⎟
=
−1
⎛
= ⎜ 25 4 ⎞ 3 16
⎜ − : −
⎝⎜
10 10 ⎠⎟
7 9
−1
⎛ 21⎞
3 16
= ⎜ : − =
⎝⎜
10 ⎠⎟
7 9
=
10
= :
21
3 16
−
7 9
=
70 16
= − =
63 9
42
=
63
−
2
2

052
053
SOLUCIONARIO
Indica el tipo de decimal, en cada caso, y calcula si es posible su fracción generatriz.
a) 15,3222… c) 15,32 e) 15,333
b) 15,233444… d) 15,323232… f) 15
1. 532 − 153 1. 379
a) Es un número decimal periódico mixto:
=
90 90
152. 334 − 15. 233 137. 101
b) Es un número decimal periódico mixto:
=
9. 000 9. 000
c)
1. 532
Es un número decimal exacto:
100
=
383
25
1. 532 − 15
d) Es un número decimal periódico puro:
99
1. 517
=
99
e)
15. 333
Es un número decimal exacto:
1. 000
15
f ) Es un número natural:
1
Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
a) 0,2 d) 8,0002 g) 0,01
b) 3,5 e) 42,78 h) 5,902
c) 2,37 f) 10,523 i) 0,0157
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2 1
=
10 5
35 − 3 32
=
9 9
237 − 23 214
=
90 90
80. 002 40. 001
=
10. 000 5. 000
4. 278 − 42 4. 236 1. 412
= =
99 99 33
10. 523 − 105 10. 418 5. 209
= =
990 990 495
1
100
5. 902 − 5 5. 897
=
999 999
157 − 1 156 13
= =
9. 900 9. 900 825
1
17

18
Números reales
054
055
Efectúa, utilizando las fracciones generatrices.
a) 1,3 + 3,4 c) 1,36 + 8,25 e) 3,46 + 4,295
b) 10,25 −5,7 d) 4,5 + 6,7 f) 3,21 + 4,312
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Realiza las siguientes operaciones.
a) 1,25 ⋅ 2,5 b) 0,03 : 2,92 c) 3,76 ⋅ 4,8 d) 1,25 : 2,25
a)
5
4
·
23
9
115
=
36
c)
113
·
30
44
9
=
4. 972
270
=
2. 486
135
b)
1
30
:
263
90
=
90
7. 890
=
9
789
d)
5
4
:
203
90
=
450
812
=
225
406
056 Utilizando las fracciones generatrices, comprueba si son verdaderas o falsas
las igualdades.
a) 1,9 = 2 b) 1,3 : 3 = 0,4 c) 1,89 + 0,11 = 2 d) 0,3 + 0,6 = 1
a)
19 – 1
Verdadera: = 2
9
13 − 1 12
b) Verdadera: : 3 =
9 9
: 3 =
12
27
=
4
9
c)
189 − 18 11− 1 171 10
Falsa: + = +
90 90 90 90
181
= 2
90
3 6
d) Verdadera: +
9 9
=
9
9
= 1
057
4 17
+
3 5
20 51 71
= + =
15 15 15
923 52
−
90 9
=
923 520
−
90 90
=
403
90
135 817
+
99 99
=
952
99
41 61 102
+ =
9 9 9
343 4. 253
+
99 990
=
3. 430 4. 253
+
990 990
=
7. 683
990
=
2.561
330
318 4. 269
+
99 990
=
3. 180 4. 269
+
990 990
=
7. 449
990
=
2.483
330
Escribe la expresión decimal de tres números racionales y otros tres irracionales.
Explica cómo lo realizas.
Respuesta abierta.
La expresión decimal de un número racional debe ser finita o periódica:
2,3 2,3 5,32
La expresión decimal de un número irracional debe ser infinita y no periódica:
2,1010010001000… 1,1234567891011… 2,23233233323333…

058
059
060
061
062
063
Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor.
2,999 2,95 2,955 2,59 2,599 2,559
Se ordenan los números, de menor a mayor:
2,559 < 2,59 < 2,599 < 2,95 < 2,955 < 2,999
Ordena estos números decimales, de menor a mayor.
a) 2,995 2,9 2,95 2,959 2,95
b) 4,75 4,75 4,75 4,775 4,757 4,757
Se ordenan los números, de menor a mayor:
a) 2,95 < 2,959 = 2,95 < 2,995 < 2,9
b) 4,75 < 4,75 < 4,757 < 4,75 = 4,757 < 4,775
Da un número racional y otro irracional comprendidos entre:
a) 3,4 y 3,40023 c) 1 y 2 e) −2,68 y −2,68
b) 2,52 y 2,52 d) 5,6 y 5,68 f) 0,2 y 0,25
SOLUCIONARIO
Respuesta abierta.
a) Racional: 3,40022 d) Racional: 5,62
Irracional: 3,4002201001… Irracional: 5,6201001…
b) Racional: 2,523 e) Racional: −2,67
Irracional: 2,52301001… Irracional: −2,6701001…
c) Racional: 1,1 f ) Racional: 0,21
Irracional: 1,101001… Irracional: 0,2101001…
¿Es cierto que 3,2 = 3,222? Si no lo es, escribe dos números, uno racional
y otro irracional, situados entre ellos.
No es cierto, ya que un número es decimal exacto y el otro es periódico.
Respuesta abierta.
Racional: 3,2221
Irracional: 3,222101001…
Clasifica en racionales e irracionales las raíces cuadradas de los números naturales
menores que 20.
Son racionales las raíces de los cuadrados perfectos (1, 4, 9 y 16).
Las demás raíces son irracionales.
Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.
4
5
2 2 3 5 3
Solo es irracional
5
, ya que las demás raíces son exactas.
2
9
16
36
1
19

20
Números reales
064
065
066
Deduce cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.
1+ 2
Son irracionales 1+ 2 y 8+ 10 , pues las demás raíces son exactas.
¿Qué números representan sobre esta recta numérica los puntos A, B, C y D,
donde n es un segmento cualquiera?
C = B = + D = A
+ 1 5
5 1 5
= 2+ 5
2
Representa en la recta real.
a) 2
c) 10
e) 3
g)
b) 5
d) 18
f) 7
h)
a) e)
0 1 2
b) f )
0 1 5
0 1 7
c) g)
1
0 1 10
d) h)
0 1
3+ 4
−1 0
n
1 D
n
2 C 3 B 4 A
3
18
5−9 8+ 10
1 1 1
0 1 3
0 1
0 1
3 16
14
30
2
14
1
2
5 49
30

067
068
069
SOLUCIONARIO
Ordena y representa, de forma exacta o aproximada, los siguientes números reales.
5
1,65 3
1+ 2 1,657
2
Se ordenan los números, de menor a mayor:
5
2
< 1,65 < 1,657 <
3 < 1+ 2
A =
5
2
0 1
B = 1,65
C = 1,657
D = 3
E = 1+ 2
Representa estos números en la recta real.
5
1+ 2
0 2 5 1
2 3
Ordena y representa los siguientes números.
1
3
− 0,5 2
2
4 2
Se ordenan los números, de menor a mayor:
3
2
3 1
3
− < < 05 , < < 2 < 2
2 4
2
− 3
2
2+ 2
2 5 1+ 2 1+ 5 2+ 2
0
1
4
A B C D E
1+ 5
0,5 3
2
1
2
2
2 3
2
5
3
1
21

22
Números reales
070
071
Opera y clasifica el tipo de número real.
a) b) 49 , c)
⌢
27 , ⌢
a) Es un número racional:
b) Es un número irracional:
c) Es un número racional:
Describe y representa los siguientes intervalos.
a) (0, 10) e) [5, 10)
b) (3, 7] f) [−4, +)
c) (−, −2) g) (−, 6]
d) [2, 5] h) (100, +)
a) {x: 0 < x < 10}
b) {x: 3 < x ≤ 7}
c) {x: x

072
073
074
075
076
077
SOLUCIONARIO
Escribe el intervalo que corresponde a estas desigualdades.
a) 1 < x < 3 b) 6 < x ≤ 7 c) 5 ≤ x < 9 d) 10 ≤ x ≤ 12
a) (1, 3) b) (6, 7] c) [5, 9) d) [10, 12]
Escribe el intervalo que corresponde a:
a) x ≤−2 c) x >−3 e) x

24
Números reales
078
079
080
081
082
Opera y redondea el resultado a las décimas.
a) 3,253 + 8,45 e) 13,5 ⋅ 2,7
b) 52,32 −18,93 f) 40,92 : 5,3
c) 4,72 + 153,879 g) 62,3 −24,95
d) 7,8 ⋅ 12,9 h) 100,45 : 8,3
a) Redondeo: 11,7 e) Redondeo: 36,5
b) Redondeo: 33,4 f ) Redondeo: 7,7
c) Redondeo: 158,6 g) Redondeo: 37,4
d) Redondeo: 100,6 h) Redondeo: 12,1
Halla la aproximación por redondeo hasta las diezmilésimas para cada caso.
a) 2 + 3 b)
6
+
7
7 c) 5 − 3 d)
4
+
15
8
a) 3,1463 b) 3,5029 c) 0,5040 d) 3,0951
¿Qué error absoluto cometemos al aproximar el resultado de 45,96 + 203,7 + 0,823
por el número 250,49?
45,96 + 203,7 + 0,823 = 250,483
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐250,483 − 250,49⏐ = 0,007
Si aproximamos 10,469 por 10,5; ¿qué error absoluto se comete?
¿Y si lo aproximamos por 10,4? ¿Cuál es la mejor aproximación? Razónalo.
El error absoluto cometido es: E a = ⏐10,469 − 10,5⏐ = 0,031
Si se aproxima por 10,4; el error absoluto es: Ea = ⏐10,469 − 10,4⏐ = 0,069
Es mejor aproximación 10,5; porque el error absoluto cometido es menor.
Desde la antigüedad aparece con frecuencia, el número de oro, Φ, en proporciones
de la naturaleza, así como en las medidas de construcciones, o en obras de arte
como la Gioconda.
Φ= + 1 5
= 1,61803…
2
a) Escribe la aproximación por redondeo hasta
las centésimas del número de oro.
b) ¿Puedes hallar los errores absoluto
y relativo?
a) La aproximación por redondeo a las
centésimas es 1,62.
b) No se pueden hallar los errores absoluto
y relativo, ya que el número de oro
es un número irracional y, por tanto,
tiene infinitas cifras decimales no
periódicas.

083
084
085
086
087
088
089
SOLUCIONARIO
Un truncamiento de 8,56792 es 8,56. Calcula el error absoluto y el error relativo.
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐8,56792 − 8,56⏐ = 0,00792
El error relativo cometido es: Er =
0 , 00792
8 , 56792
= 0 , 00092
1
Aproxima el número para que el error sea menor que una centésima.
7
Para que el error absoluto cometido sea menor que una centésima, hay
que calcular el cociente con dos cifras decimales. La aproximación pedida es 0,14.
Aproxima el número 12,3456 de forma que el error absoluto sea menor que 0,001.
Para que el error absoluto sea menor que una milésima, se escribe el número
con tres cifras decimales. Por tanto, la aproximación pedida es 12,345.
Escribe los 5 primeros intervalos encajados dentro de los cuales se halla 32 ,
e indica qué error máximo cometes en cada uno.
32 = 5,65685…
(5, 6) Error < 6 − 5 = 1
(5,5; 5,6) Error< 5,6 − 5,5 = 0,1
(5,65; 5,66) Error< 5,66 − 5,65 = 0,01
(5,656; 5,657) Error< 5,657 − 5,656 = 0,001
(5,6568; 5,6569) Error< 5,6569 − 5,6568 = 0,0001
¿Se puede escribir π= ? Justifica la respuesta y di cuál es el orden de error
cometido.
Al ser un número irracional es imposible escribirlo con una fracción,
ya que todas las fracciones son números racionales.
355
π=3,1415926…
= 3,1415929…
113
El error cometido es menor que una millonésima.
355
113
¿Para qué número sería 5.432,723 una aproximación a las milésimas por defecto?
¿Es la respuesta única? ¿Cuántas respuestas hay?
Respuesta abierta.
Una aproximación a las milésimas es 5.432,7231.
La respuesta no es única, ya que hay infinitos números.
Indica cuáles de los números están escritos en notación científica.
a) 54 ⋅ 1012 c) 243.000.000 e) 7,2 ⋅ 10−2 g) 0,01 ⋅ 10−30 b) 0,75 ⋅ 10 −11 d) 0,00001 f) 0,5 ⋅ 10 14 h) 18,32 ⋅ 10 4
El número 7,2 ⋅ 10 −2 está escrito en notación científica.
1
25

26
Números reales
090
091
092
093
Escribe en notación científica los siguientes números, e indica su mantisa
y su orden de magnitud.
a) 5.000.000.000 c) 31.940.000 e) 4.598.000.000 g) 329.000.000
b) 0,00000051 d) 0,0000000009 f) 0,0967254 h) 111.000
a) 5.000.000.000 = 5 · 10 9 Mantisa: 5 Orden de magnitud: 9
b) 0,00000051 = 5,1 · 10 -7 Mantisa: 5,1 Orden de magnitud: −7
c) 31.940.000 = 3,194 · 10 7 Mantisa: 3,194 Orden de magnitud: 7
d) 0,0000000009 = 9 · 10 -10
Mantisa: 9 Orden de magnitud: −10
e) 4.598.000.000 = 4,598 · 10 9 Mantisa: 4,598 Orden de magnitud: 9
f ) 0,0967254 = 9,67254 · 10 −2 Mantisa: 9,67254 Orden de magnitud: −2
g) 329.000.000 = 3,29 · 10 8
Mantisa: 3,29 Orden de magnitud: 8
h) 111.000 = 1,11 · 10 5 Mantisa: 1,11 Orden de magnitud: 5
Desarrolla estos números escritos en notación científica.
a) 4,8 ⋅ 10 8
b) 8,32 ⋅ 10 −11
c) 6,23 ⋅ 10 −18
d) 3,5 ⋅ 10 −12
a) 4,8 ⋅ 10 8 = 480.000.000 c) 6,23 ⋅ 10 −18 = 0,00000000000000000623
b) 8,32 ⋅ 10 −11 = 0,0000000000832 d) 3,5 ⋅ 10 −12 = 0,0000000000035
Realiza las operaciones.
a) 1,32 ⋅ 10 4 + 2,57 ⋅ 10 4
b) 8,75 ⋅ 10 2 + 9,46 ⋅ 10 3
c) 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3 d) 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2 e) 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102 a) 1,32 ⋅ 10 4 + 2,57 ⋅ 10 4 = 3,89 ⋅ 10 4
b) 8,75 ⋅ 10 2 + 9,46 ⋅ 10 3 = 1,0335 ⋅ 10 4
c) 3,62 ⋅ 10 4 + 5,85 ⋅ 10 −3 = 3,620000585 ⋅ 10 4
d) 2,3 ⋅ 10 2 + 3,5 ⋅ 10 −1 + 4,75 ⋅ 10 −2 = 2,303975 ⋅ 10 2
e) 3,46 ⋅ 10 −2 + 5,9 ⋅ 10 4 + 3,83 ⋅ 10 2 = 5,93830346 ⋅ 10 4
Halla el resultado de estas operaciones.
a) 9,5 ⋅ 10 4 −3,72 ⋅ 10 4
b) 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102 c) 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6 d) 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102 e) 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2 a) 9,5 ⋅ 10 4 − 3,72 ⋅ 10 4 = 5,78 ⋅ 10 4
b) 8,6 ⋅ 10 3 − 5,45 ⋅ 10 2 = 8,055 ⋅ 10 3
c) 7,9 ⋅ 10 −4 − 1,3 ⋅ 10 −6 = 7,887 ⋅ 10 −4
d) 4,6 ⋅ 10 6 + 5,3 ⋅ 10 4 − 3,9 ⋅ 10 2 = 4,652610 ⋅ 10 6
e) 5 ⋅ 10 2 − 3 ⋅ 10 −1 + 7 ⋅ 10 −2 = 4,997 ⋅ 10 2

094
095
096
097
098
Efectúa las siguientes operaciones.
a) 7,3 ⋅ 10 4 ⋅ 5,25 ⋅ 10 −3 c) 8,3 ⋅ 10 6 : 5,37 ⋅ 10 2
b) 8,91 ⋅ 10 −5 ⋅ 5,7 ⋅ 10 14 d) 9,5 ⋅ 10 −6 : 3,2 ⋅ 10 3
SOLUCIONARIO
a) 7,3 ⋅ 10 4 ⋅ 5,25 ⋅ 10 −3 = 3,8325 ⋅ 10 2 c) 8,3 ⋅ 10 6 : 5,37 ⋅ 10 2 = 1,545623836 ⋅ 10 4
b) 8,91 ⋅ 10 −5 ⋅ 5,7 ⋅ 10 14 = 5,0787 ⋅ 10 10 d) 9,5 ⋅ 10 −6 : 3,2 ⋅ 10 3 = 2,96875 ⋅ 10 −9
Simplifica el resultado de estas operaciones.
a)
−2
3
6 , 147 ⋅10 ⋅ 4 , 6 ⋅10
8 −5
79 , ⋅10⋅657 , ⋅10
b)
3, 92 ⋅10 ⋅5, 86 ⋅10
−8
13
7⋅10 ⋅9, 2⋅10 a)
b)
Halla el valor numérico de estos radicales.
4
3
5
3
4
a) 81 b) −27 c) −100. 000 d) −216 e) 625 f)
Indica los radicales equivalentes.
23 4
4
a) 81 =± 3
3
b) − 27 =−3
4
5
− 6,147 · 10 · 4,6 · 10
8 − 5
7,9 · 10 · 6,57 · 10
3,92 · 10 · 5,86 · 10
−8
13
7 · 10 · 9,2 · 10
32 5
3
3 2 2 4 212 12
= = = 2
2
2 3
4 −6
72 3
2 3 35310 10
= = = 3
Simplifica los siguientes radicales.
9
4
26 8
3
3
4
5
6
a) 16 b) 54 c) 32 d) 27 e) 75 f) 128 g) 27 h)
3 3 4
a) 16 2 2 3 2 2 3 3
= = = · = 2 2
3 3 3
b) 54 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3
= · = · = · = 3 2
4 4 5
c) 32 2 2 4 2 2 4 4
= = = · = 2 2
3
d) 27 = 3 = 3 2 = 3 · 3 2 = 3 3
2
e) 75 = 3 · 5 = 3 2 · 5 = 5 3
5 5 7
f ) 128 2 2 5 2 2 5 5
= = = · = 2 2
6 6 3
g) 27 = 3 = 3 6 = 3 2 = 3
8 8 4
h) 625 = 5 = 5 8 = 5 2 = 5
4
5
3
3
7
4
3
1
5
c) − 100. 000 =−10
9
4
2,827
=
62 · 10
4 5,1903 · 10
2,29712 · 10
=
6 6,44 · 10
3
d) − 216 =−6
78 12
1
1
1
1
1
1
2
34 10
8
3
6 2 2 8 2 4 2 20 20
= = = = 2
2 7 7 3 712 12
= = = 7
1
−1
2
2
= 5,447893185 · 10
= 3,566956522 · 10
29 12
6
2
4 −6
215 20
3
8
4
e) 625 =± 5
7
f) − 128 =−2
15
8
−3
−8
15
7
1
−128
8
625
27

28
Números reales
099
100
Escribe como potencias de exponente fraccionario estos radicales.
a) a a
3
b) a a a
e)
Expresa mediante un solo radical.
5
a) 3 5
a) a a = ( a a 2 ) = ( a 2 ) ̇
= a
c)
4 −5
d) a = a
5
a) 3 5 3 5 2 3 5 5 10 3 10 5 10 10 2
= ( ⋅ ) = ⋅ = ⋅ = 3 ⋅5
b)
⎛ 1 ⎞ 2
⎜ 1 2
1
c) 3 3 2 3 8 8
= ⎝⎜
( ) ⎠⎟
= = 3
d)
3 4
e) 2 2 4 2 12 12
= ( ) = = 2
f)
1 1
= = a
1
a
a 2
3
a
a
2
2
1
2
1
5
b)
⎛ ⎞ 2
⎜ a
= ⎜ 1
⎝⎜
a 2 ⎠⎟
⎛
⎜ 2
= ⎜
⎝⎜
2
⎛ ⎞ 2
⎜ 1
= ⎜ 1
⎝⎜
2 2 ⎠⎟
=
−5
4
1
5
3
2
2
1
2
1
3
1
⎞
⎠⎟
1
3
1
1
⎛
1 ⎞ 3 ⎛
⎜
1 2 ⎜
3
b) a a a = ⎝⎜
a( a a 2 ) ⎜
⋅ ⎠ ⎝⎜
a a
1
1 2 ( 2 )
c)
1
−1
2
1
2
1
1
2
1
5
= ( 2 6 ) = 212 12
= 2
1
a 2 a
= ( ) =
c) 3
1
a
a
d) a−5 4
1
1
1
3
1
2
1
2
1
2
−1 1
2 −1
4
2 2 2
= ( ) =
1
⎟ = (
1
3 2
2 )
−1
=
1
1
5 4
= 5 4 =
1
1
4
1
3
4
2
=
4
e)
f)
d)
1
5
4
1
⎞
⎠
⎟ = ( ⋅ 4 ) = ( 4 ) =
1
2
1
a
1
4 a
1
3
f)
g) ( a) = a
3
3
2
h)
4
3
1
2
3
1
3
1 1
= = a
1
a
a 4
1
= a
a
g) ( a ) 3
h)
−1
3
3 4
e) 2
1
7
−1
4
1
3
a a a a
3
a
f)
7
12
1
5

101
102
103
Extrae los factores que puedas de la raíz.
a) 8
b) 18
Extrae factores de los radicales.
a) 8 5 3 a
b) 16 7
4
a
Simplifica las siguientes expresiones.
a)
3
3 5 3 3 5
3
a) 8 a = 2 a = 2 a a
4 7 b) 16 4 4 7
4
a = 2 a = 2 a a
c) 2 a b = 2 a b
b) 32 4
a b c
a)
4 5 −8 −12 4 5 5 −8 −12 −2 −3
4
b) 32 a b c = 2 a b c = 2 ab c 2 a
c)
d)
e) 36 6 7 −12 6 7 −12 −26
729 a b = a b = 3ab
a
f)
a
a
12
18
5 −8 −12
3
3
3
− 8 a b c
3
−32
a b
⎛
⎜ a
⎜
⎝⎜
a
6 4 8 3 2 4
4
3 4
8a2a2aa = 3 = 3
3
4 3
81b
3 b 3b3 1
2
3
2
a
a
1
−
2
⎞
12
18
⎠⎟
3
3 −6
a a 2
1 1
= =( ) − = a =
a
=
5 2
−
3
2 a b c
3 6 4 − a b
3 5 −2 3 3 5 −2
6 4
c) 50
d) 98
3
a) 8 = 2 = 2 2
2
b) 18 = 2 ⋅ 3 = 3 2
2
c) 50 = 2 ⋅ 5 = 5 2
2
d) 98 = 2 ⋅ 7 = 7 2
6 4 8
c) 2 a b
4 6 5 9
d) a b c
c)
1
− −
1 a 2 a 2 = a
= ( ) =
3
4 8 a
3 81b
d) −
3
8 a b c
3
−32
a b
1
2
3
−6
3 5 −2
1
e) 12
f) 75
e) a b
5
f ) 15 625 3 . x y
6 4
=
5 6 10
2 5
e) a b = ab a
3
6 10
4 3
f)
⎛
⎜ a
⎜
⎝⎜
a
b 1
=
3 2 2 a c a
1
2
3
2
SOLUCIONARIO
3
g) 1. 000
3
h) 40
2
e) 12 = 3 ⋅ 2 = 2 3
2
f) 75 = 3⋅ 5 = 5 3
3 3 3 3
g) 1. 000 = 2 ⋅5= 2 ⋅5=
10
3 3 3
3
h) 40 = 2 ⋅ 5 = 2 5
4 6 5 9
2 4 2
d) a b c = abc a bc
e) 729 6
a b− 1
−
2
b
3
2 2 2
⎞
⎠⎟
2 c
7 12
1
3 4 3 3 6 4 3 2 3
f ) 15. 625 x y = 5 x y = 5 xy x
29

30
Números reales
104
105
106
Introduce los factores bajo el radical.
3
a) 2 5
4
b) 4 20
5 5 5
5
c) 3 15 = 3 ⋅ 15 = 3. 645
d)
e) 1
2
Introduce los factores dentro del radical, si es posible.
b) 4
a) a ⋅
4a−1 2 a
ab
⋅ 4
c
2 c b
8 a
a) a ⋅
b)
c)
3
5
2
4 4 4 2
8 4 5 2
4 ab c b 4 a b c b 2 a b c
⋅ 4 = 4
= 4
=
4
3 4
c 8ac 8a
2 ac
25 a b
4
2 c
2
2 3a
2 3a 3
⋅ = =
3 2
a 8 2 a 2a
2 3 3 3 6
3 3
d) − 2ab ab = − 2 a b ab = −2ab
e) No es posible introducir factores, puesto que 5 no es factor.
2 3 6 3
f) − a a = − a a = −a
Opera y simplifica.
4
5
c) 3 15
d) 3
5 2
3 3 3
3
a) 2 5 = 2 ⋅ 5 = 40
4 4 4
4
b) 4 20 = 4 ⋅ 20 = 5. 120
32 ⋅ 2
2 = =
2 5
1⋅6 6
6 = = =
4 2 16
4 4 4
4a− 1
=
2a
c)
3 7
a ) ( 3 2 −5)⋅(
4 2 −3)
b) ( 2 7 + 3 2)⋅( 5−2 2)
c) ( 3 + 2 )⋅( 3 − 2 )
d) ( 5 2 −3)⋅
( 5 2 + 3)
18
25
f) 1
e)
2
1
2
2 3a
⋅
a 8
3
8
2 3
d) −2 ab ab
a ( 4a− 1)
=
2a
2 2
f) 1
2
h) 5
4 a − a
2
3 4 7
4
4
6
1
2
3 3 3
3
g) 2 7 = 2 ⋅ 7 = 56
i)
j)
3
3
5
4
3
3
g) 2 7
h) 5
1 1
= 4 =
4 2 2 ⋅ 2
3 1 5
3
3 2 3
= = 5 = 25
5 5
3
2 3 ⋅ 2
= 3 =
3 3 5 ⋅ 3
3
1 3 3
3
⋅ = 3 = 3
3 3
7 4 7 ⋅ 4 21. 952
e) 5 + 2
2 3
f) −a a
1
5
3 5
18
125
e) ( 7 5 + 4)⋅( 5 5 −36)
f) ( 7 2 −3)⋅
( 5 3 + 2)
g) ( 6 7 + 5 )⋅( 6 7 − 5 )
h) ( 2 5 − 10)⋅ ( 2 5 + 10)
3
3
i)
j)
4
3
5
1
⋅
7
1
32
3
2
3
3
3
4

107
108
Calcula.
f ) ( 7 2 − 3) ⋅(
5 3 + 2)= 35 6 + 14 2 −15 3 −6
4 3 5 6
a) a ⋅ a ⋅ a
3 4
2 b) 3 a b⋅ 2 ab
3 3
4 3 3 5 6 4
a) a ⋅ a ⋅ a = a 4 ⋅ a 3 ⋅ a 6 = a12 ⋅ a 12 ⋅ a12 = a
b)
3 2 3a b⋅ 3 2
2 3 3
3 2 2
2
ab = ( a b) ⋅( ab) = ( 3a b) 6 ⋅(
3 2ab)
6 =
6 2 4 2 3 3 9 6 3 2 7 11
= 3 a b 2 a b = 2 3 a b
c)
5 3 4 3 2
3 4
2ab : 4ab= ( 2ab ) 5 ( 2 4 3 3 4
ab) = ( 2ab
)
= 15
3 9 12 2 ab
5 5 10 4 ab
= 15
3 9 12 2 ab
10 5 10 2 a b
=
3 3
d) ab ⋅ a b = ( ab) 2 ⋅ a b 3 a 6 b 6 a 2 b
Efectúa y simplifica.
1
1
3
5
: 15
: 2 4ab
15
1
1
1 3
1
1 1 1 1
2
( ) ( ( ) ) = 6
a) ( 2+ 2
3) − ( 2+ 3)⋅( 2− 3)
b) ( 3 + 5 )⋅( 3 − 5 )+ ( 2 −45)⋅
( 2 + 4 5 )
c) ( 3 + 5 −4
7)⋅( 3 − 5 + 4 7)
3
3 4 3
c) 2 a b : 4 ab
3 3
d) ab ⋅ a b
5
1
5 2
4
( ) =
SOLUCIONARIO
2
a) ( 3 2 − 5) ⋅
( 4 2 − 3)= 12( 2 ) −92− 20 2 + 15 =− 29 2 + 39
b) ( 2 7 + 3 2) ⋅(
5−2 2)= 10 7 − 4 14 + 15 2 − 6( 2
2)
=
= 10 7 −414
+ 15 2 −12
2 2
c) ( 3 + 2 ) ⋅ ( 3 − 2 )= ( 3 ) − 6 + 6 −( 2 ) = 3 − 2 = 1
2
d) ( 5 2 − 3) ⋅ ( 5 2 + 3)= 25( 2 ) + 15 2 −15 2 − 9 = 50 − 9 = 41
e) ( 7 5 + 4) ⋅(
5 5 − 3 6 )= 35( 2
5 ) − 21 30 + 20 5 − 12 6 =
= 175 −21
30 + 20 5 −12
6
g) ( 6 7 + 5 ) ⋅(
6 7 − 5 )= 36( 2
7 ) − 6 35 + 6 35 −(
2
5 ) =
= 252 − 5 = 247
h) ( 2 5 − 10 ) ⋅(
2 5 + 10 )= 4( 2
5 ) + 2 50 −250 −(
2
10 ) =
= 20 −10
= 10
2 1
3 3 3 2
a b a b
= =
2
a) ( 2+ 3) − ( 2+ 3) ⋅ ( 2−3)= 4+ 4 3 + 3− 4+ 3= 6+ 4 3
b) ( 3+ 5) ⋅( 3−5)+ ( 2−4 5) ⋅(
2+ 4 5)= 9− 5+ 4− 80 =−72
9
1
c) ( 3 + 5 −4
7) ⋅(
3 − 5 + 4 7)=
= 3− 15 + 4 21 + 15 − 5 + 4 35 − 4 21 + 4 35 − 112 = 109 + 8 35
20
8
15
2
27
12
ab
4 2
2
12 37 312
= a = a a
7
3
1
31

32
Números reales
109
110
111
Halla el resultado.
a) 7 −26⋅ 7 + 2 6
3 3
b) 5 3 −1⋅ 5 3 + 1
4 4
c) 3 + 2 ⋅ 3 − 2
Efectúa y simplifica.
a)
a) 7 − 2 6 ⋅ 7 + 2 6 = ( 7 −26)
( 7 + 2 6 ) = 49 − 24 = 25 = 5
3 3 3 3 3
b) 5 3 − 1⋅ 5 3 + 1= ( 5 3 + 1) ( 5 3 + 1) = 75− 1= 74
4 4 4 4
c) 3 + 2 ⋅ 3 − 2 = ( 3 + 2) ( 3 − 2) = 3− 2 = 1
3 − 2 ⋅2 ⋅ 2
4 4 3
2 2 ⋅ 2 ⋅2
b)
⎛ 1
⎜
⎜81
4 ⋅ 4
⎝⎜
1
3
⋅
b)
⎛ 1
⎜
⎜814
4
⎜ ⋅
⎝⎜
1
⋅
3
1 ⎞
8
3 ⎠⎟
1 1
3 = 3⋅3 4 ⋅3
8
⎛
a)
4 3 −4
3
2 ⋅2 ⋅ 2
5
−
2 2 ⋅ 2⋅2 2
2 4 −4
⋅2 ⋅2
3
=
1 5
−
2 2 ⋅2 2 ⋅2
2
=
2 12
4 2
=
2 12
48
2 12
12 35 = 2
:
− − ⎞ 1
⎜
: 32 ⎝⎜
⎠⎟
5
= 38 1
: 32 1
= 388 = 3
4
2
2
c) 14 + 7− 81 14 7 3 14 2 4
d)
⎛
⎜
⎝⎜
Expresa el resultado como potencia.
a) ( 3
5 ⋅ 5 )
5 5 2
b) 3 ⋅ 3 3
a a ⎞ 16 a 9 a
+
9 16 ⎠⎟
144
=
⎛ + ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟ ⎠
6
5
−
2
8
1 ⎞
3 ⎠⎟
:
−2
6
6
1 1
5
6
( ) = ( ) = ( ) =
3
a) 5 · 5 5 3 ⋅ 5 2 5 6 5
5 5 2
b) 3 3 3 3 5 2
⋅ = ⋅( 3 · 3 2 ) = 3 5 ⋅35⋅310 = 3
1 ⎛ 1 ⎞ 2
2 2 ⎜ 1 2
1
3 2 c) 2 ⋅ 2 = ( 2 3 ) ⋅⎝⎜( 2 2 ) ⎠⎟
= 2 3 ⋅2
1
1 3 ( ) = ⋅
3 5
3 4
d) 8 81 = 2 ( 3 ) 5 2 3
3
1
3
1
− 1
− 1 1
2
− − 1
2
( ) = ( + − ) = +
1
4
c) 14 + 7 − 81
⎛
d)
⎜
⎝⎜
1
3 2 c) 2 ⋅ 2
1
5
3 5
d) 8 81
4
15
( ) −
−2 −2
⎛
=
⎜
⎝⎜
1
a a ⎞
+
9 16 ⎠⎟
5
1
13
2
25a
⎞ ⎛
= ⎜ 5
⎜
144 ⎠⎟
⎝⎜
12
1
13
−2
1
8
( ) = =
7
10
= 2
11
24
1
2
−2
⎞
a
⎠
⎟ =
144
25a
4
1
=
2

112
Racionaliza y simplifica.
a)
c)
d)
6 6 −6
6
b) −5
2 5
1−2 2
5 3 4
32 5
−
−
e) −6
4
2 7
a)
c)
1−2 2
1
=
2
2
2
2 2 2
2
−
b)
(
(
)
)
=
−
− = −
( )
−
= = −
5
2 5
5 5
2
2 5
5 5
10
5
2
d)
e) − = − = −
6
4 3
3 3 7
4 4
4 4 3
2 7 7 7 7
f)
g)
h)
i)
j)
5
5 3 − 4 ( 5 3 − 4) −3
=
5 2
5 2 5 3
−3
−3 ⋅ −3
4
7+ 5 7 5 3
=
4
4 4 3
3
3 3
+ ( )
⋅
3
6 6 − 6 ( 6 6 − 6) 6
=
3
3 3 2
6
6⋅6 9
7
5 5
5
7 2
7
9 5 9 5
= =
7 5 7 2
5 5 ⋅ 5 25
3
6 5 3
5 3 − 4 ( 5 3 − 4) 3 5 3 − 4 3
=
=
3 2
3 2 3
3
3 ⋅ 3
3
f)
g)
h)
3
3 4 3
7 2 7 2 3 712 ⋅
2 ⋅ 3
= =
4 5
4 4 3
3 3 3⋅ 3 9
i)
j)
3
7+ 5
4
3
6 6 −6
3
6
9
5 55 7
5 3 − 4
3
7 2
4 5 3
= −
4
3 7
7
4 3 4
7 3 + 675
=
3
2
32 3
3
5
15 3 4 3
= − + −
−3
2
4 9
3
10 3
SOLUCIONARIO
6 6 − 6 ( 6 6 − 6) 6 6 6 6 6 66 6
=
= 6 6
2
6 ( 6 )
6
6
⋅ − ( − )
=
= −
5
15 3 −4−3 =
3
66 ( 6 3 2 6− 6 ) 6 3 2
=
= 6 6 − 6
6
10 3
1
33

34
Números reales
113
114
115
Elimina las raíces del denominador.
a)
b)
Racionaliza las siguientes expresiones.
a)
2⋅( −1
5 − 3)
b)
3⋅ (
5
7 + 2)
Racionaliza y simplifica el resultado.
a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
1
3+ 6
a)
1
2 + 1
3
2 + 3
7
11 − 3
7 11 3 7 11 21 7
11 3 11 3 11 9
11
−5
6 + 7
=
(
−5( 6 − 7)
6 + 7) ( 6 −
− 5
=
7)
6 + 5
6−7 7
= 5 6 −5
7
=
(
( + )
− ) ( + ) =
3
4 2
2 − 5
=
( 3
4 2( 3 2 + 5)
24 4 10
2 − 5) ( 3 2 + 5)
18 5
24
+
=
−
+ 21
2
=
−
−
+
−
=
+ 4
13
10
=
3
2 + 3
=
(
3( 2 +
2 − 3)
3) ( 2 −
3
3)
2
2 3
3
3 2 3
5
3 2 (
− 5( 3 + 2)
−5 3 −10
= = 5
3 − 2) ( 3 + 2)
3−4 3 + 10
=
1
2 + 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
( −
−
)
=− ( − )
=
(
−
+ ) ( − ) =
−
=
−
−
⋅ (
−
+ ) =
5⋅( 8
10 − 6)
5
8 10 6
10 6 10
8
6
10
20
6
9
7
6 3 9( −7( 6 +
6 − 3)
3) ( 6 −
−7( =
3)
6 −
27
3)
=
(
+
− ) ( + ) =
3⋅ (
5
7 + 2)
3
5
7
7
2
2
7
5
2
7
15
2 7
3
2
( ) ( − ) 2( =
10 −
5
6)
=
( +
−
) ( − ) =
⋅( −
− )
( ) ( − )
=
−
=
(
−
−
−
) ( +
−
=
)
−
1
2 5 3 2 5
5
3
3
5 3
5
4
3
1
3+ 6
=
b)
c)
d)
1− 1
5 + 7
−5
3 −2
4 2
3 2 − 5
3+ 6
3+ 6 ⋅ 3+ 6
c)
c)
=
3 3+ 6 − 18+ 6 6
=
9−6 5⋅( 8
10 − 6)
5 6 −
18
2
3+ 6
3+ 6
e)
f)
d)
11 −3
−5
6 + 7
9⋅ (
−7
6 + 3)
d)
4 3 +
12
7
3+ 6 ( 3− 6)
=
=
( 3+ 6) ( 3−6) 3 3+ 6 − 18+ 6 6
=
3
7

116
Racionaliza las siguientes expresiones.
a)
b)
b)
c)
( 3
3
2 −5)⋅(
4
−2
2 −3)
3
4 ⋅( 5 3 −1)
d)
11 11
=
5 11 7 2 35 2
19
175 2 245
5 6 −
18
2 ( 5
=
6 − 2) 2
( 18 )
18
=
5 3 2 3 ⋅ 2
18
− 6
=
5⋅3⋅2 3 − 6
=
18
=
6( 5 3−1) 5
=
6⋅3 3 −1
3
− − + − − +
−
−
= −
4
3 ⋅ 2
4
1
3 4 ⋅2 3
=
−4
3 4
312 ⋅212
−4
=
12
3 ⋅ 2
12 9 8 4 3 ⋅2 =
6
9 8 2 3 ⋅2
−
= − 12
3
4 3 1
c)
d)
3
− 2
2 ⋅ ( 125 + 2)
−4
3 ⋅ 2
4 3
3 4
=
SOLUCIONARIO
1− 1
5+ =
7 ( 1− 1+ 5− 7
5+ 7) ( 1+ 5− 7)
1 5 7
1 5 7
5
=
=
+ − −
+ −
−5+ 35+ 7+ 1+ 5− 7
= =
35− 7 − 11+ 2 35
1 5 7 11 2
=
35
+ − ( ) ( − −
− 11+ 2 35 11 2
) −11− 11
=
35
5 + 11 7 −2 35 − 2
121−140 175 + 2 245
=
( ) ( − − )
4 3 + 7 ( 4 3 + 7) 12 24 + 84 212 ( + 21)
d) =
= =
=
2
12
( 12 )
12
6⋅2 12 21 +
6
c)
−
( + ) =
− ( − ) −
=
( + ) ( − ) 2
3
2 ⋅ 125 2
2 125 2
3
2 ⋅ 125 2 125 2
250 + 2
3
121 2
2
=
=
3 2
250 2 2 2
3 3 2
121 2 2
6 9 7 5 2
− + ( )
= −
⋅
⋅ +
= − +
=
= −
b)
−
( − )
6 7 2 2
3 3 2
121 2 ⋅ 2
6 3
2 6
5⋅2 5 ⋅2
2 2
242
6 3 2( 5 5 ⋅ 2 + 2
242
6
2)
6 3
6
− 5 5 ⋅ 2 + 2 2
=
121
=
− ( + ) − +
=
( − ) ( + ) 2
3
4 ⋅ 5 3 1
25 3 1
25 ( 3 1)
=
3
3
4 ⋅ 5 3 1 5 3 1 74 4
3 2
5 3 1 5 3 1 4
=
3
3 3 2
37 4 37 4 4
3 5 3
− − ( − − )
= = −
a)
( 3
3
2 − 5) ( 4 2 − 3)
24 9
3
2 20 2 15
3
39 29 2
339
⋅
6 4 3 2 ⋅ 4 − 4
148
=
− − + =
⋅
−
=
( + )
=
( − ) ( + ) =
29 2
39 29 2 39 29
117 + 87 2
2 1. 521− 1. 682
117 + 87
=
−161
2
12 9 8 −4
3 ⋅ 2
3 4 3 ⋅2 12
3 ⋅2
12 9 8
=
1
35

36
Números reales
117
118
119
120
121
122
Realiza estas operaciones.
a)
Efectúa las operaciones.
a)
1
+
2
a)
1
5 + 5
−
a)
b)
3
1
2
1 1
+ =
3
2 2
3
1
5
3
1 1 5 5 5
3
3
5 + 5 5 5 5 5
− =
− −
=
( + )
1 1
− =
9 3
3 9
2 + 2
6 5 2
9 − 3
9 7 3
3 9
Calcula, mediante la definición, los logaritmos.
a) log 3 243 e) ln e 2
b) log9 81 f) ln e −14
c) log 1.000.000 g) log7 343
d) log 0,00001 h) log4 0,0625
3
b)
b)
1
+
6
9 3
1
3
−
9 3
5 − 5 −5
5 5 + 5 5
a) log 3 243 = 5 e) ln e 2 = 2
b) log9 81 = 2 f ) ln e −14 =−14
c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3
d) log 0,00001 =−5 h) log4 0,0625 =−2
Sabiendo que log3 2 = 0,63; halla log3 24 mediante las propiedades de los logaritmos.
log3 24 = log3 (23 · 3) = log3 23 + log3 3 = 3 log3 2 + log3 3 = 3 · 0,63 + 1 =
= 1,89 + 1 = 2,89
Calcula log4 128, utilizando las propiedades de los logaritmos, e intenta dar un
resultado exacto.
log4 128 4x = 128 22x = 128 22x = 27 7
x =
2
Halla el resultado de las expresiones, mediante las propiedades de los logaritmos.
a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49
b) log2 8 + log3 27 + log5 125
c) log5 625 − log9 81 + log8 64
1
9
a) 2 log 4 16 + log 2 32 − 3 log 7 49 = 2 · 2 + 5 − 3 · 2 = 3
b) log2 8 + log 3 27 + log 5 125 = 3 + 3 + 3 = 9
c) log5 625 − log9 81 + log8 64 = 4 − 2 + 2 = 4
6
2
3
b)
1 6
+ =
9 3
6 2
6 3
18
2 + 6
9 3 6⋅2 3 11

123
124
Desarrolla las siguientes expresiones.
a) log 3
b) log 2
2 5 a ⋅b ⋅ c
2
d
a ⋅
3 7 c
b
3 5 6
a) log3 2 5 a ⋅ b ⋅ c
2 d
2 5
2
= log 3 ( a ⋅ b ⋅ c) − log3
d =
2
5
2
= log3
a + log3 b + log3 c− log3
d =
= 2 log3 a+ 5 log3 b+ log3
c−2log3 d
3 5 6 a ⋅ b
3 5 6
3 7
b) log2 = log ( 2 a ⋅ b )− log2
c =
3 7 c
3 = log2
a + log2 b 5 − log2
c 3 =
6 7
= 3 log2 a+ log2 b+ 5 3
log2
c
c) log10 x⋅x 5 2 3 y ⋅ z
= log ( 10 x⋅ 5
x )− log10
2 3 y ⋅ z =
= log
1
( x⋅ x 2 ) − log
2
( y 5
3
⋅ z 5 )=
4
e ⋅ a
d) ln
1. 000
3 6
= log10 x + log 2
10 x −log10 y 5 − log10
z 5 =
1 2 3
= log10 x + log10 x− log10
y−log10 z
2 5 5
3 = ln( e ⋅ a 4 ) − ln 1. 000 =
3 = ln e + ln a 2
3 − ln 10 =
3
= 3 ln e+ ln a−3
ln 10
2
Determina, utilizando la calculadora.
a) log5 362 b) c) log6 100 d) log4 315 31
log 2
2
log 36
a) log 5 36 = 2 log 5 36 = 2 ⋅ = 4,4531
log 5
1
1 log 31
b) log2 31 = log231= ⋅ = 2,4771
2
2 log 2
2 log 10
c) log 6100 = log610 = 2 ⋅ = 2,5701
log 6
5 log 31
d) log4 31 = 5 log4 31=
5 ⋅ = 12,3855
log 4
10
6
3
c) log 10
4
e ⋅ a
d) ln
1. 000
6
1
10
5
x ⋅ x
y ⋅ z
3 6
7
2 3
2
SOLUCIONARIO
3
1
37

38
Números reales
125
126
127
128
Si log e = 0,4343; ¿cuánto vale ln 10? ¿Y ln 0,1?
log 10 1
ln 10 = = = 2,3025
log e 0,4343
Halla el valor de los logaritmos decimales, teniendo en cuenta que log 2 = 0,3010.
a) log 1.250 c) log 5 e) log 1,6
b) log 0,125 d) log 0,04 f) log 0,2
a)
10. 000
log 1.250 = log
8
3 = log 10. 000 − log 2 = 4 −3⋅
0,3010
= 3,097
b) log 0,125 = log
1
3 = log 1− log 2 = 0− 3⋅0,3010
= 0,903
8
c)
10
log 5 = log
2
= log 10 − log 2 = 1−
0,3010 = 0,6990
d)
2 2
log 0,04 = log
100
= 2 log 2− 2 log 10 = 2⋅0,3010 − 2=
−1,398
e) log 16 , = log
4 2
10
= 4 log 2− log 10 = 4⋅0,3010 − 1=
0,204
f )
2
log 0,2 = log
10
= log 2− log 10 = 0,3010 − 1=−0,699
Calcula el valor de x.
a) log3 x = 5 c) log2x = −1 e) log3 (x − 2) = 5 g) log2 (2 − x) = −1
b) log5 x = 3 d) log 2 x = 4 f) log5 (x + 2) = 3 h) log23 (3 + x) = 4
a) 5
log 3 x = 5 → 3 = x → x = 243
3
b) log5 x = 3 → 5 = x → x = 125
c) −1
x =− 1→ 2 = x → x = 0,5
log 2
⎛ 2 ⎞
16
d) log 2 x = 4 → ⎜ = x → x =
⎝⎜
3 ⎠⎟
81
3
5
e) log ( x − 2 ) = 5 → 3 = x − 2 → x = 243 + 2 = 245
3
3
f) log ( x + 2 ) = 3 → 5 = x + 2 → x = 125 − 2 = 123
5
−1
g) log ( 2− x) =− 1→ 2 = 2− x → x =− 0, 5+ 2= 15 ,
2
4
h) log ( 3 + x) = 4 → 23 = 3 + x → x = 279. 841− 3 = 279. 838
23
Halla cuánto vale x.
a) logx 3 =−1 b) logx 5 = 2 c) logx 3 =−2 d) logx2 = 5
a) −1
log x 3=− 1→ x = 3→
x =
1
3
2
b) log x 5= 2 → x = 5→ x = 5
−2
2 1
c) log x 3=− 2 → x = 3→
x = → x =
3
5 5
d) log x 2= 5→ x = 2 → x = 2
3
4
log 0,1
ln 0,1 = = 2,3025
log 0,4343
− 1
=−
e
1
3

129
130
Calcula el valor de x.
a) log3 9 x = 2 e) log3 9 x+3 b) f)
= 3
log 2x/2 c) ln 3x =−1 g) ln 3x+6 = 3
d) log2 4x+4 =−2 h) log3 273x+4 =
=−2
3
x 3
log 2 =
2
2
x a) log 9 = 2 → x log 9 = 2 → 2x = 2 → x = 1
x 3
3
3
b) log 2 = → x log 2 = → x = → x = 4,9829
2
2 2 log 2
x 1
c) ln 3 =− 1 x ln 3=− 1 x = x 0,9102
ln 3
−
→ → → =−
Determina el valor de x.
a) 8x = 1.024 e) 8x−2 = 1.024
d) 10 x−1 = 103 2 x b) 3 = 27
2 x − 6 c) 3 = 27
3 3
x
f) (3 x ) 2 = 27
2 x g) 3 + 18 = 27
2 x − 2x+ 1
h) 2 = 1
a) x 3 x 10 10
8 = 1. 024 → 2 = 2 → x =
3
2 x b) 3
2 x = 27 → 3 3 = 3 → x =
3
2
2 2
x −6 x −6
3 2
c) 3 = 27 → 3 = 3 → x − 6 = 3 → x = 9 =± 3
x− 1 3
d) 10 = 10 → x− 1= 3 → x = 4
e) x−2 3( x−2) 10
16
8 = 1. 024 → 2 = 2 → 3x− 6 = 10 → x =
3
f) x 2 2x 3
( 3 ) = 27 → 3 → 3 → 2x = 3→
x =
3
2
2 2 2 x x x 2 2
g) 3 + 18 = 27 → 3 = 9 → 3 = 3 → x = 2 → x = 2
2 2
x − 2x+ 1 x − 2x+ 1 0 2
h) 2 = 1 → 2 = 2 → x − 2x + 1= 0 → x = 1
SOLUCIONARIO
x+ 4 − 2 x+ 4 − 2 2x+ 8
d) log2 4 =− 2 → 2 = 4 → 2 = 2 →− 2= 2x + 8 → x = −5
x+ 3 3 x+ 3 3 3x+ 9
e) log3 9 = 3→ 3 = 9 → 3 = 3 → 3= 3x + 9 → x =−2
3x+ 4
−2
h) log 3 27 =− 2 → ( 3x + 4 ) log3
27 =− 2 → 3x + 4 =
3
− −
→ 3x
= = −
f ) log 2 2 =
3
2
→
x
2
log 2 =
3
2
3
→ x =
log 2
→ x = 9,9658
g) x+ 6
3
ln 3 = 3→ ( x + 6) ln 3= 3→
x = − 6 → x =−3,2693
ln 3
2 12
14
→ x
3
9
1
39

40
Números reales
131
132
133
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta.
a) Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción.
b) Todos los números reales son racionales.
c) Cualquier número irracional es real.
d) Hay números enteros que son irracionales.
e) Existen números reales que son racionales.
f) Todo número decimal es racional.
g) Cada número irracional tiene infinitas cifras decimales.
h) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten.
i) Todos los números racionales se pueden escribir mediante fracciones.
a) Falsa, pues los números irracionales tienen infinitas cifras decimales
no periódicas y no se pueden escribir como fracción.
b) Falsa, porque hay números reales que son irracionales.
c) Verdadera, ya que los números racionales y los irracionales forman el conjunto
de los números reales.
d) Falsa, porque si son enteros no pueden tener infinitas cifras decimales no
periódicas.
e) Verdadero, pues todos los números que se pueden expresar como fracción,
son números reales, que además son racionales.
f ) Falsa, porque los números decimales con infinitas cifras decimales no
periódicas son irracionales.
g) Verdadero, ya que tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
h) Falsa, pues los decimales exactos también son racionales.
i) Verdadero, por definición.
¿Por qué la raíz cuadrada de cualquier número terminado en 2 es un número
irracional? ¿Existe otro conjunto de números con esta característica?
Porque no hay ningún número que, al multiplicarlo por sí mismo, dé un número
terminado en 2.
Todas las familias de números terminadas en 3, 7 y 8 tienen esta característica.
Escribe en notación científica las siguientes cantidades.
a) Distancia Tierra-Luna: 384.000 km
b) Distancia Tierra-Sol: 150.000.000 km
c) Diámetro de un átomo: 0,0000000001 m
d) Superficie de la Tierra: 500 millones de km2 e) Longitud de un virus (gripe): 0,0000000022 m
f ) Peso de un estafilococo: 0,0000001 g
g) Un año luz: 9.500.000.000.000 km
h) Distancia a la galaxia más lejana: 13.000 millones de años luz
a) 384.000 = 3,84 · 10 5 e) 0,0000000022 = 2,2 · 10 −9
b) 150.000.000 = 1,5 · 10 8 f ) 0,0000001 = 1 · 10 −7
c) 0,0000000001 = 1 · 10 −10 g) 9.400.000.000.000 = 9,4 · 10 12
d) 500.000.000 = 5 · 10 8 h) 13.000.000.000 = 1,3 · 10 10

134
135
136
137
SOLUCIONARIO
Con ayuda de las propiedades de los números reales, prueba que el producto
de cero por cualquier número real da como resultado cero. En cada caso, indica
la propiedad que estás utilizando.
Por la unicidad de los elementos neutros para la suma y la multiplicación
se tiene que:
Propiedad distributiva
8
0 · a + a = a · (0 + 1) = a · 1 = a
Como 0 · a + a = a → 0 · a = 0
a
¿Qué tipo de decimal se obtiene de la fracción ,
2 3
siendo a un número entero?
2 · 5
Como nuestro sistema de numeración es decimal, al dividir un número entero
entre un número que sea potencia de 2 o 5, o de ambos, se obtiene
un decimal exacto. Si el numerador es múltiplo del denominador, se obtiene un
número entero.
¿Existe algún caso en que la aproximación por exceso y por defecto coincidan?
Y si consideramos el redondeo, ¿puede coincidir con la aproximación por exceso
o por defecto?
No pueden coincidir, ya que para aproximar por defecto se eliminan las cifras
a partir del orden considerado, y para aproximar por exceso se eliminan
las cifras a partir del orden considerado, pero se aumenta en una unidad la última
cifra que queda.
La aproximación por redondeo coincide con la aproximación por defecto si la cifra
anterior al orden considerado es menor que cinco, y coincide con la aproximación
por exceso en el resto de casos.
Razona cómo se racionalizan las fracciones del tipo:
Multiplicamos el denominador por el conjugado:
n n
n n
2 2
2 2
a + b
a b
n n n n
n 1
n
( 2 2 2 2
2 2
a − b) ( a + b)
a b
=
+
− −1
−
n n n−1 n−1
n n n−1 n−1
( 2 2 2 2
a + b) ( a + b)
2 2 2 2
a b a b
n−1 n−1 n−1
n−1
n−2 n−2
( 2 2 2
a − b) ( 2
2 2
a + b ) a b
=
( + ) ( + )
−
Por tanto, multiplicando por el conjugado n veces:
n n n n
( 2 2 ) ( 2 2
+ ) ( + )
a + b
−1 a
−1
b
a − b
⋯ a b
1
a − b
n n
2 2
1
41

42
Números reales
138
139
140
Racionaliza las siguientes expresiones.
a)
2 +
2
3 + 4
b)
2
2
2 − 3 3 + 4
c)
c)
3
2
6 −5 5 −6
3
=
(
3
2( 6 + 5 5 + 6
6 −5 5 −6
3) ( 6 + 5
3)
5 + 6 3)
=
= 2 6 5 5 6 3
b)
2
2
2 − 3 3 + 4
=
( 2
22 ( 2+ 3
2 − 3 3 + 2) ( 2
3−2) 2 + 3 3 −2)
2 2
3 ( + +
−227 −60
15
)
=
3
2 ( 6 + 5 5 + 6 3 ) ( −137 −60
−2.
471
15 )
=
=
3
2 ( 6 + 5 5 + 6 3 ) ( − 137 + 60
−2.
471
15 )
=
( + 3 3 −2)
2( 2 2 + 3 3 −2)
( −23 −12
3 )
=
=
− 23 + 12 3 ( − 23 + 12 3 ) ( − − ) =
= − − − − + +
=
= −
a)
2 +
2
2( 2 − 3 −2)
=
3 + 4 2 + 3 + 2 2 − 3 − 2
2 2 3 2
5
23 12 3
92 2 48 6 138 3 216 92 48
97
3
92 2 −48 6 −90 97
3 −124
=
( )( )
( − − ) ( − − ) − +
=
=
− −
− − − +
=
= −
2 2 3 2 ( 5 2 12 )
2 12 ( 5 2 12 )( 5 2 12 )
10 2 + 4 24 + 10 3 −24 −20 −8
25 − 48
12
=
10
=
2 −8 6 − 10
23
3 + 4+ 16 3 10
=
2 − 8 6 + 4 + 6
23
3
Indica un procedimiento general para racionalizar expresiones del tipo:
1
b1 + b2 + … + bn 6 −5 3
2
5 −6
3
teniendo en cuenta que b1, b2, …, bn son números reales.
Se multiplica el denominador por una expresión que resulta al cambiar de signo
a todos los elementos del denominador menos a uno.
Al realizar la operación el número de raíces disminuye, se repite este proceso
tantas veces como sea necesario hasta que la expresión quede racionalizada.
Considera que A, B, C y D son cuatro pueblos. La distancia medida entre A y B
ha sido de 48 km, con un error de 200 m, y la distancia entre C y D ha sido de 300 m,
con un error de 2,5 m. ¿Qué medida es mejor? ¿Por qué?
02 ,
25 ,
Se calcula el error relativo: Er = = 0,00416
Er = = 0 , 00833
48
300
Es mejor la medida tomada entre las ciudades A y B, ya que el error relativo
cometido es menor.

141
142
Comprueba las siguientes igualdades.
SOLUCIONARIO
a) e)
b)
n
a
m
· b n m = a · b
f ) a b + c = ab + ac
c)
n a + b =
n
a
n
+ b
g)
4 8 2 a b = a b
d)
n m a b
n
m
= ( a ⋅ b)
h)
2 2 a + b = a+ b
+
n
a
m
· b
n m
= ab
a ⋅ a ⋅ a ⋅ b = a a ⋅ b
⋅
a) Falso: 3
4 · 8 = 4 e) Verdadero: a · a · a · b = 3 a · b =
12 4· 8 4
= a a · b
b) Falso: 4
3
· 8 = 4 f ) Falso: 2 15+ 1 = 8
5 4 · 8 4
2 · 15+ 2 · 1 8
c) Falso: 3 5+ 3 = 2
g) Falso:
4 8 2 a b 8 2 a b 4 a 4 b 4 2 a b
3 3
5 + 3 2
2 = a b a b
d) Falso:
3 6 2 3 = 18
h) Falso: 2 2 3 + 4 = 5
3
6 ( 2 · 3) 18
3+ 4 5
Escribe 2 500 en notación científica.
a) Sabiendo que log 2 = 0,3010 y que .
b) ¿Podrías hacerlo con una calculadora científica?
c) Expresa 5500 10 = 3, 1622
en notación científica, teniendo en cuenta el primer apartado.
a) Llamamos x al número: 2 500 = x
Tenemos que encontrar y tal que 10 y = x.
2500 = x 500 = log2 x =
Por otro lado, como log x = y:
y = 500 log 2 = 150,5
10150,5 = 100,5 10150 = 3,1622 10150 log x
log 2
b) No se puede hallar con calculadora, ya que es un número demasiado grande.
c) Llamamos x al número: 5500 = x
Tenemos que encontrar y tal que 10 y = x:
5500 = x 500 = log5 x =
Por otro lado, como log x = y:
y = 500 log 5 = 349,5
10 349,5 = 10 0,5 10 349 = 3,1622 10 349
log x
log 5
1
8
2
1
1
2
= ( ) = = =
43

44
Números reales
143
144
145
146
Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son:
Byte = 2 8 bits Megabyte = 210 Kilobytes
Kilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes
Expresa, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidades
de información en bits y bytes.
a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb.
b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb.
a) 120 Gb = 120 2 10 2 10 2 10 bytes = 15 2 33 bytes = 15 2 41 bits
120 Gb = 1,2885 1011 bytes = 3,2985 1013 bits
b) 512 Mb = 29 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits
512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 1011 bits
c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 220 bytes = 1,44 228 bits
1,44 Mb = 1,5099 106 bytes = 3,8655 · 108 bits
d) 550 Mb = 550 · 210 · 210 bytes = 550 · 220 bytes = 550 · 228 bits
550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 1011 bits
PARA FINALIZAR...
a
Si es una fracción irreducible:
b
a + 1
a
a + b
a
a) ¿Cuándo es equivalente a ? b) ¿Y cuándo es equivalente a ?
b + 1
b
b + b
b
a) b)
ab + b = ab + a ab + b 2 = ab + ab → b2 a+ b a
b+ b b
= ab
a = b Como b es distinto de cero: b = a
=
a +
b +
a
b
=
1
1
a
a + b a − b
Si una fracción es irreducible, ¿son las fracciones y irreducibles?
b
a · b a · b
Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y b:
a+ b
(a + b) y a · b no tienen divisores comunes, y la fracción
es irreducible.
a · b
Como los divisores de a − b son los divisores comunes de a y b:
a−b (a − b) y a · b no tienen divisores comunes, y la fracción
es irreducible.
a · b
99
1+
k
Demuestra la siguiente igualdad: ∑log
= 1
k
99
99
99
1+ k 1 1+ k 1 1+
k
log = log = ∑ log =
k 2 k 2
k
∑ ∑
k= 1
k= 1
k=
1
99 1
1
= ∑(
log ( 1+
k) −log
k)=
( log 100 −log
1)= 1
2
2
k=
1
k=
1

147
148
149
150
Demuestra estas igualdades.
a) loga (b · c) = loga b + loga c b) loga = loga b −loga c
a) Por la definición de logaritmos:
loga (b c) = x loga b = y loga c = z
a x = b c ay = b az = c
a y a z = b c a y ⎛ b ⎞
⎜
⎝⎜
c ⎠⎟
+ z = b c loga (b c) = y + z
Es decir: loga (b c) = loga b + loga c
b) Por la definición de logaritmos:
loga = x loga b = y loga c = z
a x = a y = b a z = c
ay−z y a b
b
⎛ b ⎞
= ⎜ loga = y − z
z a c
c
⎝⎜
c ⎠⎟
⎛ b ⎞
Es decir: log ⎜
a = loga b − loga c
⎝⎜
c ⎠⎟
=
⎛ b ⎞
⎜
⎝⎜
c ⎠⎟
b
c
Demuestra la siguiente igualdad: log (a 2 − b 2 ) = log (a + b) + log (a − b)
log (a + b) + log (a − b) = log [(a + b)(a − b)] = log (a 2 − b 2 )
Si el área de esta figura es 10 cm 2 , ¿cuál es su altura?
La longitud de la base mide: 1 + 2 cm
Calculamos la altura: 10 = ( 1+ 2)
h
10
h =
1+ 2
10 − 10
=
−1
2
=− 10 + 10 2 cm
SOLUCIONARIO
Dos piezas móviles de una máquina se desplazan
a la misma velocidad. La primera pieza describe
una circunferencia de radio 5 cm y la segunda
se desplaza de un extremo al otro del diámetro
de esa circunferencia.
Si ambas piezas parten del mismo punto, ¿coincidirán
en algún momento?
Suponemos que ambas piezas parten de A.
Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles.
A
5 cm
B
La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia
en los puntos A y B es: 5π(k − 1), siendo k un número natural. La distancia recorrida
por el móvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B es: 10(k − 1),
siendo k un número natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplaza
por la circunferencia son números irracionales, mientras que las distancias
recorridas por el móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales.
Por tanto, nunca coincidirán ambos móviles.
D
1
A
1
1
C
h
B
45

46
2
Aritmética mercantil
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
Juanita la Larga
–Pues mira, Juanita –contestó don Ramón–: yo digo que no, porque
no quiero ser cómplice de tu locura y porque un pagaré firmado por
ti, que eres menor de edad, no vale un pitoche.
–El pagaré, aunque apenas tengo aún veinte años, valdría tanto como
si yo tuviese treinta. Nunca he faltado a mi palabra hablada: menos
faltaré a mi palabra escrita. Para cumplir el compromiso que contrajese,
me vendería yo si no tuviese dinero.
A don Ramón se le encandilaron algo los ojos, a pesar de que doña
Encarnación estaba presente, y dejó escapar estas palabras:
–Si tú te vendieses, aunque en el lugar son casi todos pobres, yo no
dudo de que tendrías los ocho mil reales; pero yo no quiero que tú te
vendas.
–Ni yo tampoco –replicó la muchacha–. Lo dije por decir. Fue una
ponderación. Los bienes de mi madre son míos: ella me quiere con toda
su alma y hará por mí los mayores sacrificios. No dude usted,
pues, de que dentro de seis meses tendrá los ocho mil reales que ahora
me preste, sin necesidad de que yo me venda para pagárselos. […]
–Está bien. No hay más que hablar –dijo don Ramón.
Y yendo a su escritorio, redactó los dos documentos en un periquete.
En el pagaré se comprometía Juanita a pagar, en el término de seis meses,
la cantidad de diez mil reales.
–Ya ves mi moderación –dijo el tendero murciano al presentar a la
muchacha el documento para que le firmase–. Me limito a cobrarte
sólo un 25 por 100, a pesar del peligro que corro de quedarme sin mi
dinero, porque, a despecho de todos tus buenos propósitos, no tengas
un ochavo dentro de los seis meses y tengamos que renovar el pagaré,
lo cual me traería grandísimos perjuicios.
–Ya lo creo –dijo doña Encarnación–; como que ahora andamos engolfados
en negocios tan productivos, que ganamos un ciento por
ciento al año. Créeme, Juanita; prestándote los ocho mil reales nos exponemos
a quedarnos sin ellos y además a perder otro veinticinco por
ciento, o sea otros dos mil reales, que hubiéramos ganado dando a los
ocho mil más lucrativo empleo; pero en fin, ¿qué se ha de hacer? Mi
señor esposo pierde la chaveta cuando ve un palmito como el tuyo.
JUAN VALERA
El «tipo de interés» se refiere siempre a un año. ¿Qué tipo de
interés le aplicaron los usureros al préstamo de Juanita? ¿Qué
tipo de interés se aplica actualmente en los préstamos bancarios?
Como el préstamo dura seis meses, es decir, medio año, significa
que a Juanita le aplicaron un tipo de interés del 50 %.
Al tratarse de un préstamo personal, la ley establece que no se
puede aplicar un interés superior al 34%. Si fuese así, se cometería
usura, y esto está penado por el código penal.

001
002
003
004
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Di cuáles son los términos a1, a3 y a6 de las siguientes sucesiones.
a) 6, 7, 8, 9, 10, …
b) 0, −2, −4, −6, −8, …
c) 0; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …
d) −1, −1, −1,−1, −1, …
e) −2, −4, −8, −16, −32, …
f) 1, 2, 3, 5, 8, …
a) a 1 = 6, a3 = 8, a6 = 11
b) a1 = 0, a3 =−4, a6 =−10
c) a1 = 0; a3 = 0,01; a6 = 0,00001
d) a1 =−1, a 3 =−1, a 6 =−1
e) a 1 =−2, a3 =−8, a6 =−64
f) a1 = 1, a3 = 3, a6 = 13
Invéntate el término general de una sucesión, y calcula el valor
de los términos 13, 25 y 64.
Respuesta abierta. Por ejemplo: an = 2n + 1
a 13 = 27, a25 = 51, a64 = 129
En una progresión geométrica, a1 = 51,2 y a2 = 40,96.
a) Calcula su razón y halla el término a5.
b) Escribe su término general.
a)
a5 = 51,2 ⋅ 0,8 4 r =
40,96
51,2
= 0,8
= 20,97
n –1
b) an = 51,2 ⋅ 0,8
Dada una progresión geométrica con a1 = 5 y r = 1,2:
a) Calcula el término general.
b) Halla la suma de los 8 primeros términos.
c) ¿Cuántos términos de la progresión tenemos que sumar para que dé 37,208?
n –1
a) an = 5 ⋅ 1,2
SOLUCIONARIO
b)
8 5( 1,2 −1)
S8 =
1,2 −1
= 82,49
c)
n 5( 1,2 − 1)
n
n
= 37,208 → 5( 1,2 − 1) = 7,4416 → 1,
2 − 1= 1, 48832
1,2 − 1
n n
→ 1,2 = 2,48832 → ln 1,2 = ln 2,48832 → n ⋅ ln 12 , = ln 2,48832
→ n =
ln 2, 48832
ln 12 ,
= 5 términos
2
47

48
Aritmética mercantil
005
006
007
008
009
001
Resuelve estas ecuaciones.
a) 3 2x = 45,3 b) c) (3,05) 2x x
4 2 = 32
= 4.586,02
2x 2x
ln 45,3
a) 3 = 45,3 →ln 3 = ln 45,3 → 2x⋅ ln 3= ln 45,3 → 2x
= = 3,47 → x = 1,73
ln 3
x x
b) 2 4= 32 → ln 2 4=
ln 32 →
x
⋅ ln 2 = ln 32 →
4
x
4
=
ln 32
ln 2
= 5 → x = 20
c) 2x 2x ( 3,05) = 4.586,02 → ln( 3,05) = ln 4.586,02 → 2x
⋅ ln 3,05 = ln 4.586,02
→ 2x= ln 4.586,02
ln 3,05
= 7, 56 → x = 3,78
Insertar anuncios en un periódico cuesta 10 € por 3 líneas de texto y cobran 3 €
más por cada nueva línea. Construye la tabla que relaciona las magnitudes.
¿Son magnitudes directamente proporcionales?
Líneas 3 4 5 6 7 8 9 10
Precio (€) 10 13 16 19 22 25 28 31
10
No son magnitudes directamente proporcionales, porque
3
13
.
4
Un comerciante compró 40 camisas a un fabricante por 250 €. ¿Cuánto le costaría
comprar 75 camisas más?
40
75
250
=
x
→ x = 468,75 €
Un coche que va a 120 km/h realiza un trayecto en 5 horas. ¿Cuánto hubiese
tardado circulando a 100 km/h?
100 5
= → x = 6 horas
120 x
En un restaurante han pagado 42 € por 70 barras de pan.
¿Cuánto pagarán por 85 barras?
70 42
= → x = 51€
85 x
ACTIVIDADES
Una fábrica de muebles facturó 900.000 € el año pasado. Este año ha incrementado
las ventas y ha obtenido una subida del 2 % sobre el total de la facturación del año
anterior. ¿Cuánto dinero ha facturado este año? Si la subida se mantiene, ¿cuánto
facturará el próximo año?
900.000 ⋅ 0,02 = 18.000
Este año ha facturado: 900.000 + 18.000 = 918.000 €
918.000 ⋅ 0,02 = 18.360
El próximo año facturará: 918.000 + 18.360 = 936.360 €

002
003
004
005
006
007
008
SOLUCIONARIO
El sueldo de una persona tiene dos componentes: el sueldo base
y los complementos. En el primero tiene una subida del 3 %, mientras
que los complementos suben el 5 %. ¿Puede afirmarse que la subida global
del sueldo es del 4 %?
No es cierto, ya que si el sueldo es: b + c, una subida del 4 % supone: 0,04(b + c)
Sin embargo, una subida del 3 % en el sueldo base y una subida del 5 % en los
complementos significan: 0,03b + 0,05c 0,04b + 0,04c
La igualdad es cierta cuando el sueldo base es igual a los complementos.
Un electrodoméstico cuesta 464 €, con el IVA incluido. Si el porcentaje del IVA
es del 16 %, ¿cuál es el precio sin ese impuesto?
464 €
100
⋅ = 400
116
Una camisa, tras la rebaja de un 20 %, cuesta 32 €. ¿Cuál era el precio de la camisa
antes de rebajarla?
32 €
100
⋅ = 40
80
Un comerciante rebaja un producto un 15 %. Después, decide reducir el precio
un 10 %. Cuando le llegan nuevas mercancías del producto, aplica una rebaja
del 25 % sobre el precio que tenía inicialmente, y se da cuenta de que los precios
finales no coinciden. ¿Por qué no son iguales las rebajas?
No son iguales, porque si el precio se reduce primero un 15 % y después un 10 %
85 90
el porcentaje es: ⋅ = , es decir, el precio se rebaja un 23,5 %.
100 100 100
76,5
Por una cantidad de dinero, invertida en un depósito financiero a un interés
del 3,5 % anual durante 3 años, hemos recibido 735 € como intereses.
¿Qué cantidad inicial era?
C0
⋅3,5 ⋅3
735 = → C0
= 7. 000 €
100
¿Qué interés ofrece una cuenta bancaria en la que, invirtiendo 5.000 € durante dos
años, obtienes unos intereses de 400 €?
5. 000 ⋅r⋅2 400 =
→ r = 4%
100
Un banco tiene dos clases de depósitos.
• Uno con un interés del 4,75 % anual durante 5 años.
• Otro que tiene también una duración de 5 años, con un interés del 6 % anual
durante los 3 primeros años, y en el que regalan un televisor valorado en 580 €
por los 2 últimos años.
Si invierto 5.000 €, ¿qué depósito es más ventajoso?
2
49

50
Aritmética mercantil
009
010
011
012
013
5. 000 ⋅ 4,75⋅
5
Un depósito en el primer banco produce: I =
= 1.187,50 €
100
5. 000 ⋅6⋅ 3
Y en el segundo banco produce: I =
= 900 €
100
En total, se generan: 900 + 580 = 1.480 €.
Por tanto, el segundo depósito es más ventajoso.
Una empresa recibe un crédito al 8 % anual, con la condición de devolver en un solo
pago la cantidad prestada más los intereses. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse
la deuda?
⎛
t
Cf= C C = C ⎜ 8 ⎞
t 2 0 → 2 0 0⎜1+
→ 2= 108 , → ln 2=
ln 1,08 → t ⋅ ln 1,08 = ln 2
⎝⎜
100 ⎠⎟
ln 2
→ t = = 9
ln 108 ,
La deuda, independientemente de la cantidad prestada, se duplicará en 9 años.
Depositamos 5.000 € en un banco al 4 % de interés compuesto anual. Di cuál será
el capital que obtendremos al cabo de 3 años si recibimos los intereses:
a) Cada semestre. b) Cada trimestre.
⎛ ⎞
a) Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
=
4
5. 000 1
5. 630, 81 €
200
⎛ ⎞
b) Cf = ⎜ + 5.634,12
⎝⎜
⎠⎟
=
4
5. 000 1
€
400
A Alberto le ingresan en una cuenta bancaria 500 € cada año durante 10 años.
Si la cuenta le aporta un 4,5 % anual, ¿qué capital se acumulará al cabo
de ese tiempo?
10
( 1+ 0,045)
− 1
Cf = 450( 1+
0,045)
= 5.778,53 €
0,045
Un plan de jubilación al 3 % anual implica aportaciones de 960 € al año.
Si tengo 48 años, ¿qué capital obtendré a las siguientes edades de jubilación?
a) A los 60 años. b) A los 65 años.
a)
12 ( 1+ 0,03)
− 1
Cf = 960( 1+ 0, 03) = 14.033,08 €
0,03
b)
17 ( 1+ 0,03)
− 1
Cf = 960( 1+
0,03)
= 21.517,86 €
0,03
Un ayuntamiento obtiene un préstamo al 2,5 % de interés de 10 millones de euros
para efectuar diversas obras. El préstamo ha de devolverse en 10 anualidades.
¿Cuál será el importe de cada una?
10. 000. 000 = C
0
6
12
t
10
( 1+ 0,025)
−1
10
0,025( 1+
0,025) → C0 = 1.142.587,63 €

014
015
016
Compramos una vivienda por un valor de 240.000 €. Damos una entrada
de 20.000 € y el resto se financia mediante una hipoteca al 5 % de interés anual
durante 20 años. ¿Cuál será el importe de cada cuota anual?
20 ( 1+ 0,05)
−1
220. 000 = C0→C0= 17.
653,37 €
20
0,05( 1+
0,05)
Elabora la tabla de amortización correspondiente a las 6 anualidades de un préstamo
de 20.000 € al 6 % de interés anual.
6 ( 1+ 0,06)
−1
20. 000 = C0→C0= 4.067, 25 €
6
0,06( 1+
0,06)
La cuota anual será de 4.067,25 €.
Anualidad
Tenemos un préstamo de 60.000 € al 4,5 % a 15 años. Al cabo de 5 cuotas anuales
cancelamos el préstamo. ¿Cuál es el capital pendiente en ese momento?
15
( 1+ 0,045) −1
60. 000 = C0→ C0=
5.586,83
€
15
0,045( 1+
0,045)
La cuota anual será de 5.586,83 €.
Anualidad
Intereses
del período
(€)
Intereses
del período
(€)
El capital pendiente es 44.206,99 €.
Capital
amortizado
(€)
Capital
amortizado
(€)
Cuota anual
(€)
Cuota anual
(€)
SOLUCIONARIO
Capital
pendiente
(€)
0 20.000,00
1 1.200,00 2.867,25 4.067,25 17.132,75
2 1.027,97 3.039,29 4.067,25 14.093,46
3 845,61 3.221,64 4.067,25 10.871,82
4 652,31 3.414,94 4.067,25 7.456,88
5 447,41 3.619,84 4.067,25 3.837,04
6 230,22 3.837,03 4.067,25 0
Capital
pendiente
(€)
0 60.000,00
1 2.700,00 2.886,83 5.586,83 57.113,17
2 2.570,09 3.016,74 5.586,83 54.096,43
3 2.434,34 3.152,49 5.586,83 50.943,94
4 2.292,48 3.294,35 5.586,83 47.649,59
5 2.144,23 3.442,60 5.586,83 44.206,99
2
51

52
Aritmética mercantil
017
018
019
020
021
Julia ha ingresado 70.000 € a los 60 años, para recibirlos, a partir de los 65 años,
en mensualidades durante el resto de su vida. Si el banco efectúa la operación
al 5 % anual, ¿cuánto dinero recibirá cada mes?
Al depositar 70.000 € a los 60 años se acumula durante 5 años el capital
correspondiente al 5 % anual con pagos mensuales:
Así, la cantidad mensual que recibirá Julia durante el resto de su vida es:
12⋅21, 12
⎛ ⎞
⎜ 005 ,
⎜1+
−1
⎝⎜
12 ⎠⎟
89.835,11= C0 0,
05
12 1
253 44
⎛ 005 , ⎞
⎜
⎜1+
−1
⎝⎜
12 ⎠⎟
= C0
12⋅21, 12
⎛
⎜ 005 , ⎞
005⎛
⎞
⎜ +
⎜ +
⎝⎜
12 ⎠⎟
⎜ ⎟
12 ⎝⎜
⎠
1
,
0 =
253, 44
, 005 ,
12 ⎟
→ C 574,64
⎛ ⎞
Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
=
60
5
70. 000 1
89.835,11 €
1. 200
Daniel ha hecho un plan de jubilación al 4 % anual en el que ingresa 600 €
anuales durante 15 años. Tras este período, el banco le pagará mensualmente
una cantidad durante toda su vida. ¿Cuál es esa cantidad?
Si se ingresan 600 € anuales, durante 15 años al 4 % anual, la cantidad acumulada es:
15 ( 1+ 0,04)
− 1
Cf = 600( 1+
0,04)
= 12.494,72 €
0,04
A partir de los 65 años el pago mensual del banco durante el resto de su vida es:
12.494,72 =
C 0
€
= €
Halla la Tasa Anual Equivalente de un depósito financiero que ofrece el 4,75 %
de interés anual con abonos de intereses trimestrales.
⎛ ⎞
TAE = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥ ⋅ =
⎣
⎢
⎦
⎥ 1
4
0, 0475
1 100 4,
84%
4
Una entidad bancaria abona intereses mensuales. En su publicidad se destaca
que la TAE es del 4 %. ¿Cuál es el interés anual de la operación?
12
⎛ ⎞
⎜
⎜1+
1 100 4 1
⎝⎜
12 ⎠⎟
12
El interés anual es del 3,9 %.
−
⎡
⎢ i
⎤
⎥
⎛ i ⎞
⎛ ⎞
⎢
⎥ ⋅ = → ⎜ + − = ⎜ +
⎣
⎢
⎦
⎥ ⎝⎜
⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
12 12
i
1 004 , → 1
10 , 4
12
i i
→ 1+
= 1, 0033 → = 0, 0033 → i = 0, 039
12
12
Con base 2002, elabora
la tabla de números
índice de la evolución
de la población
en cuatro autonomías.
⎛ 0,04 ⎞
⎜
⎜1+
⎝⎜
12 ⎠⎟
12⋅17, 19
0, 04 ⎛ 0,04 ⎞
⎜
⎜1+
12 ⎝⎜
12 ⎠⎟
−1
12⋅ 17, 19
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
= C
0
⎛ 0,04 ⎞
⎜
⎜1+
⎝⎜
12 ⎠⎟
206, 28
0,04 ⎛
⎜ 0,04 ⎞
⎜1+
⎟
12 ⎝⎜
12 ⎠⎟
−1
206, 28
→ C 83,86
2002 2004 2006 2008
7.403.968 7.606.848 7.849.799 8.059.461
1.187.546 1.230.090 1.269.027 1.296.655
4.202.608 4.470.885 4.692.449 4.885.029
1.073.381 1.073.094 1.083.879 1.089.990
0

022
1 073 094
1 073 381 100
4 470 885
4 202 608
. .
⋅ = 99,97
. .
100
7.606.848
⋅ 100 = 102,74
7.403.968
1. 230. 090
⋅ 100 = 103,58
1.187.546
. .
⋅ =106,38
. .
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
Elabora una tabla de números índice a partir de los datos de la tabla de la actividad
anterior, tomando los datos de 2004 como índice 100.
a) ¿Qué diferencias sustanciales aprecias con respecto a la tabla de números índice
de la actividad anterior?
b) Representa gráficamente la nueva tabla de números índice.
1 073 381
1 073 094 100
4 202 608
4 470 885
. .
⋅ =100,03
. .
100
1 187 546
1 230 090
. .
⋅ = 93,99
. .
100
7 403 968
7 606 848
. .
⋅ = 96,54
. .
100
. .
⋅ = 97,33
. .
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
a) Los números índice del año 2006 son los que más varían de una tabla
a otra según el año que se toma como referencia.
b)
115
110
105
100
95
90
85
2002 2004 2006 2008
100 103 106 109
100 104 107 109
100 106 112 116
100 100 101 102
2002 2004 2006 2008
97 100 103 106
97 100 103 105
94 100 105 109
100 100 101 102
2002 2004 2006 2008
1 083 879
1 073 381 100
4 692 449
4 202 608
. .
⋅ =100,98
. .
100
1 269 027
1 187 546
. .
⋅ =111,66
. .
100
7 849 799
7 403 968
. .
⋅ =106,86
. .
100
. .
⋅ =106,02
. .
1 083 879
1 073 094 100
4 692 449
4 470 885
. .
⋅ =101,01
. .
100
1 269 027
1 230 090
. .
⋅ =104,96
. .
100
7 849 799
7 606 848
. .
⋅ =103,17
. .
100
. .
⋅ =103,19
. .
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
SOLUCIONARIO
2
1 089 990
1 073 381 100
4 885 029
4 202 608
. .
⋅ =101,55
. .
100
1 296 655
1 187 546
. .
⋅ =116,24
. .
100
8 059 461
7 403 968
. .
⋅ =109,19
. .
100
. .
⋅ =108,85
. .
1 089 990
1 073 094 100
4 885 029
4 470 885
. .
⋅ =101,57
. .
100
1 296 655
1 230 090
. .
⋅ =109,26
. .
100
8 059 461
7 606 848
. .
⋅ =105,41
. .
100
. .
⋅ =105,95
. .
53

54
Aritmética mercantil
023
024
025
026
Tomando solo los 5 primeros grupos, con sus respectivas ponderaciones,
y las variaciones correspondientes de la tabla del ejemplo, calcula el IPC
de ese mes.
0,4 ⋅ 0,2028 + 0,9 ⋅ 0,0267 + 0,1 ⋅ 0,0881 + (−1) ⋅ 0,1026 + 0,1 ⋅ 0,0667 = 0,01803
El aumento de los precios fue, aproximadamente, del 0,02 %.
Halla el valor equivalente en 2007 a 100 € del año 2001 con los datos del
IPC de la tabla anterior. Halla el valor equivalente en 2004 de 100 €
del 2007.
IPC acumulado = 2,7 + 4 + 2,6 + 3,2 + 3,7 + 2,7 = 18,9 %
Así, el valor equivalente a 100 € del año 2001 en 2007 es 118,90 €.
IPC acumulado = 3,2 + 3,7 + 2,7 = 9,6 %
Por tanto, 100 € de 2007 equivalen a 90,40 € de 2004.
A partir de la EPA del último trimestre de 2007, realiza un diagrama de barras
referido a las comunidades autónomas.
25
20
15
10
5
0
Andalucía
Aragón
Asturias
Baleares
Canarias
Cantabria
Castilla y León
Castilla-La Mancha
Cataluña
C. Valenciana
Extremadura
Galicia
Madrid
Murcia
Navarra
País Vasco
Deduce, en la tabla anterior de la EPA, qué filas y columnas se pueden obtener
a partir de otras filas y columnas, respectivamente.
Como los valores totales de la población se distribuyen entre los activos
y los inactivos, y este dato no se da en la tabla, no se pueden obtener los valores
correspondientes.
Los porcentajes de tasa de actividad se obtienen calculando:
Activos
Tasa de actividad = ⋅100
Población
Como las personas que trabajan y las personas que se encuentran en paro forman
el colectivo de los activos, para calcular los porcentajes de la tasa de paro
se calcula:
Parados
Tasa de paro = ⋅100
Activos
La Rioja
Ceuta
Melilla
ESPAÑA

027
028
029
030
031
En una empresa hay 420 empleados. El 30 % trabaja en las oficinas,
el 55 % en el taller, y el resto en las tiendas. Halla el número de empleados
de cada departamento.
0,3 ⋅ 420 = 126 personas trabajan en las oficinas.
0,55 ⋅ 420 = 231 personas trabajan en el taller.
0,15 ⋅ 420 = 63 personas trabajan en las tiendas.
El 25 % de los coches de una empresa es de color azul, el 30 % es rojo
y los 144 coches restantes son verdes. ¿Cuántos coches tiene la empresa?
100 − 25 − 30 = 45 % de los coches son verdes.
0,45 ⋅ x = 144 → x = 320 coches
María ha comprado una maceta, una mesa
de terraza y un juego de herramientas.
La maceta ha supuesto el 20 % de la compra,
mientras que la mesa de terraza ha sido
el 45 %. Si el juego de herramientas costaba
238 €, ¿a cuánto ascendía la compra?
100 − 20 − 45 = 35 % de la compra corresponde al juego de herramientas.
0,35 ⋅ x = 238 → x = 680 € es el importe total.
Juan ha realizado hoy las siguientes operaciones en su cuenta de valores bursátiles.
• Vendió las acciones de la empresa A por 650 €, que el año pasado le habían
costado 520 €.
• La semana pasada compró acciones de la empresa B por 1.200 € y hoy ha decidido
venderlas por 1.056 €.
¿Qué porcentajes ganó y perdió en las dos operaciones?
650
520
= 1,25 Ha ganado un 25%.
→
En la oficina de recaudación de impuestos
del ayuntamiento hay un cartel que indica:
a) Pilar tiene un recibo por un importe
de 46 €. ¿Qué recargo van a cobrarle?
b) Teresa ha pagado 86,40 € por un recibo
más su recargo. ¿A cuánto ascendía el
recibo inicialmente?
c) Jesús ha tenido que pagar 25,20 € de recargo por retrasarse en el pago.
¿De cuánto era el recibo?
a) 46 ⋅ 1,15 = 52,90 €
b) x ⋅ 1,15 = 86,40 → x = 75,13 €
c) x ⋅ 0,15 = 25,20 → x = 168 €
SOLUCIONARIO
1. 056
= 088 , → Ha perdido un 12%.
1. 200
Los recibos
que se abonen fuera
de plazo tendrán
un recargo del 15 %
2
55

56
Aritmética mercantil
032
033
034
Daniel compró una plaza de garaje por 18.000 €. El año pasado se la vendió
a Miguel ganando un 15 %. Esta semana Miguel ha cerrado un trato con Eva
por el que le vende la plaza, ganando en el negocio un 20 %. Determina los precios
a los que Miguel y Eva compraron la plaza. ¿Es cierto que entre el precio que pagó
Daniel y el que pagó Eva existe una diferencia de un 15 % + 20 % = 35 %?
Si no es cierto, explica las razones.
Si Daniel ganó un 15 %, significa que vendió la plaza de garaje por:
18.000 ⋅ 1,15 = 20.700 €
Y si Miguel obtiene un 20 % de beneficio es porque le vende la plaza a Eva por:
20.700 ⋅ 1,20 = 24.840 €
No es cierto, ya que la diferencia entre los precios que pagaron Daniel y Eva es:
24. 840
= 138 , ; es decir, el aumento ha sido del 38 %, ya que el incremento
18. 000
del 20 % corresponde al precio pagado por Miguel, y no por Daniel.
Esta tabla muestra el número de infracciones urbanísticas denunciadas durante
los últimos años.
Año 2003 2004 2005 2006
N. o de infracciones 60 72 103 92
a) ¿Cuál fue el porcentaje de aumento entre 2003 y 2004? ¿Y entre 2004 y 2005?
b) ¿En qué porcentaje disminuyó el número de denuncias entre 2005 y 2006?
c) ¿Cuántas denuncias hubo en 2007 si las denuncias respecto a 2006 aumentaron
un 13 %?
a)
72
Entre 2003 y 2004:
60
= 12 , → El aumento fue del 20 %.
103
Entre 2004 y 2005:
72
= 143 , → El aumento fue del 43 %.
b)
92
103
= 089 , → La disminución fue del 11 %.
c)
x
Si el aumento fue del 13 %, entonces:
92
Por tanto, en 2007 hubo 104 denuncias.
= 113 , → x = 103,96
¿Cuánto dinero producen 15.000 € al 6 % de interés en un año? ¿Y si tenemos
que retirar el dinero tres meses antes del plazo, pero nos entregan la
parte proporcional?
En un año:
15. 000 ⋅6⋅ 1
I =
= 900 €
100
Como 9 meses = 0,75 años, a los nueve meses:
15. 000 ⋅6⋅0,75 I =
= 675 €
100

035
036
037
038
039
SOLUCIONARIO
¿A qué rédito anual se invirtieron 1.250 € si al cabo del año han producido
30 € de interés?
1. 250 ⋅r⋅ 1
= 30 → r = 2,4 %
100
Belén invierte en Letras del Tesoro una cantidad de 35.600 €. Esta inversión produce
cada año un 3,2 % de interés que le ingresan en su cuenta bancaria. ¿Cuánto dinero
tendrá al cabo de 8 años?
35. 600 ⋅3,2⋅ 8
I =
= 9.113,60 €
100
Andrés le pidió un préstamo a Jesús de 15.000 €, y se comprometió a devolvérselo
en cinco años y pagarle, al final de cada año, un 2,8 % de intereses del dinero
que le prestó. Completa la tabla, en la que Jesús ha ido anotando los pagos que
le ha hecho Andrés.
15. 000 ⋅2, 8 ⋅ 1
I =
= 420 €
100
Año 2003 2004 2005 2006 2007
Cantidad 420 420 420 420 15. 420
María le ha prestado dinero a su hermana Beatriz con un interés del 3 %.
Con los datos reflejados en la tabla, deduce la cantidad que María le ha prestado
a Beatriz.
4.635 − 135 = 4.500
135
= 0,03 → 3 %
4. 500
Por tanto, María le ha prestado 4.500 €.
Esther consiguió que un banco le prestara 25.000 €
con la condición de que devolvería en un solo plazo
todo el dinero, más el 5 % por cada año que tardase
en devolverlo. Después de varios años, ha pagado
35.000 € y ha cancelado su deuda. ¿Cuántos años
ha tardado en cancelar su deuda?
35.000 − 25.000 = 10.000
Año 2004 2005 2006 2007
Cantidad 135 135 135 4.635
25. 000 ⋅5⋅ t
= 10. 000 → t = 8 años
100
2
57

58
Aritmética mercantil
040
041
042
043
044
Calcula en qué se convertirán 1.200 € si los ingresamos:
a) Durante 8 años, a un interés compuesto del 4 %.
b) Durante 6 años, a un 6 % de interés compuesto.
c) Durante 4 años, a un 8 % de interés compuesto.
⎛ ⎞
a) Cf = ⎜ + 1.642,28
⎝⎜
⎠⎟
=
4
1. 200 1
€
100
⎛ ⎞
b) Cf = ⎜ +
.702,22
⎝⎜
⎠⎟
=
6
1. 200 1
1 €
100
⎛ ⎞
c) Cf = ⎜ + 1.632,59
⎝⎜
⎠⎟
=
8
1. 200 1
€
100
El capital final de una inversión es de 31.633 €. ¿Cuánto dinero ingresé hace 6 años
a un 4 % anual, pagando los intereses y acumulándolos al capital al final
de cada año?
⎛ 4 ⎞
31. 633 = C ⎜
0⎜1+
→ C0=
25. 000 €
⎝⎜
100 ⎠⎟
¿A qué rédito anual estaba sometida una operación bancaria por la que 120 €
se convirtieron, al cabo de 5 años, en 146 €?
Ingreso 20.000 € en un banco y se comprometen a pagarme un 3 % anual,
abonando los intereses semestralmente. ¿Cuánto dinero tengo al cabo
de 5 años?
5⋅2 ⎛ ⎞
Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
=
3
20. 000 1
23.210,82 €
200
Un banco que opera por Internet ofrece
su cuenta verde a un 4,5 % anual de interés
que se paga mensualmente. Si abro una
cuenta con 12.000 € y acumulo
en esa cuenta los intereses mensuales
que me pagan, ¿cuánto dinero tendré
al cabo de 2 años?
5
212 ⋅
⎛ ⎞
Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
=
4,5
12. 000 1
13.127,88 €
1. 200
6
8
6
4
5
⎛
146 = 120⎜ r ⎞ ⎛
⎜1+
⎜ r ⎞
r
→ 1+
⎝⎜
100 ⎠⎟
⎜ = 1,22 → 1+
= 1,04 → r = 4 %
⎝⎜
100 ⎠⎟
100

045
046
047
Jacinto acude a una caja de ahorros con el propósito de abrir una cuenta con 1.400 €
y mantenerla durante 4 años. Le ofrecen tres alternativas:
a) Un rédito del 3,49 % anual, con pago trimestral de intereses.
b) Un rédito del 3,5 % anual, pagando los intereses cada semestre.
c) Un rédito del 3,51 % anual, pagando los intereses anuales.
¿Cuál es la opción que más le interesa?
⎛ ⎞
a) Cf = ⎜ +
1.608,76
⎝⎜
⎠⎟
=
349 ,
1. 400 1
€
400
⎛ ⎞
b) Cf = ⎜ +
.608,43
⎝⎜
⎠⎟
=
35 ,
1. 400 1
1 €
200
c)
4⋅4 4⋅2 ⎛ 3,51⎞
Cf = ⎜ + 1.607,15
⎝⎜
⎠⎟
=
1. 400 1
€
100
La opción más interesante es la del apartado a).
4
Germán abrió tres cuentas hace cinco años, cada una de ellas con 2.000 €.
Las condiciones eran:
a) Rédito anual: a %. Pago trimestral de intereses.
b) Rédito anual: b %. Pago semestral de intereses.
c) Rédito anual: c %. Pago trimestral de intereses.
Actualmente tiene en las cuentas: 2.322,37 €, 2.378,89 € y 2.433,31 €,
respectivamente.
¿Qué valor tienen a, b y c?
5⋅4 a)
⎛
2.322,37 = ⎜ a ⎞
2. 000⎜1+ ⎝⎜
400 ⎠⎟
a
→ 1+
400
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
= 1,16
→ 1+
a
400
= 1,0075 → a = 3 %
5⋅2 b)
⎛
2.378,89 = ⎜ b ⎞
2. 000⎜1+ ⎝⎜
200 ⎠⎟
b
→ 1+
200
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
= 119 ,
b
→ 1+
= 1,0175 → b = 3,5 %
200
54 ⋅
c)
⎛
2.433,31= ⎜ c ⎞
2. 000⎜1+ ⎝⎜
400 ⎠⎟
c
→ 1+
400
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
= 122 ,
→ 1+
c
400
= 1,0099 → c = 3,94 %
Calcula a cuánto ascenderá la anualidad que hay que pagar para amortizar
un crédito de 120.000 € en 10 años al 6 % de interés.
10 ( 1+ 0,06)
−1
120. 000 = C0→C0= 16. 304,15 €
10
0,06( 1+
0,06)
10
20
20
SOLUCIONARIO
2
59

60
Aritmética mercantil
048
049
050
051
Un plan de jubilación exige que quien lo suscriba aporte 2.400 € cada año.
Si le aplican un 4 % de interés, ¿qué capital se habrá formado al cabo
de 15 años?
15 ( 1+ 0,04)
− 1
Cf = 2. 400( 1+
0,04)
= 49.978,87 €
0,04
Marta quiere comprarse un piso, pero necesita pedir dinero prestado
a su banco.
Si ella puede pagar un máximo de 7.200 € anuales, y el banco presta dinero al 4 %
para hipotecas de 25 años de duración, ¿cuánto dinero puede pedir prestado,
como máximo?
25 ( 1+ 0,04)
−1
Cf = 7. 200 ⋅ = 112.478,98 € como máximo
25
0,04( 1+
0,04)
Matías quiere formar en 20 años un capital de 60.000 €. Una caja de ahorros le ofrece
invertir al 3,5 %. ¿Qué cantidad anual deberá aportar?
20
( 1+ 0,035)
−1
60. 000 = C0( 1+
0,035)
→ C0=
2.049,92
€
0,035
Carmen se va a comprar un coche, y para ello va a pedir un préstamo de 12.000 €
que devolverá en cinco años.
a) ¿Cuál será la anualidad que pagará si le piden un 8 % de interés?
b) ¿Y si le hacen una rebaja del tipo y se lo dejan en el 6,5 %?
a)
b)
5 ( 1+ 0,08)
−1
12. 000 = C0→C0= 3.005,48
€
5
0,08( 1+
0,08)
5 ( 1+ 0,065)
−1
12. 000 = C0→ C0=
2.887,61
€
5
0,065( 1+
0,065)

052
053
054
055
056
Andrés está pagando 220 € al año al amortizar un crédito que el banco
le concedió para comprarse un ordenador. Las condiciones eran que debería
devolver el dinero en 4 años y que le aplicaban un 5 % de interés.
¿Cuánto dinero pidió prestado?
4 ( 1+ 0,05)
−1
Cf = 220 ⋅ = 780,11 €
4
0,05( 1+
0,05)
Julián ha firmado un contrato por el que se compromete a vender una casa
por 120.000 € dentro de 6 años a su amigo Juan. Este decide aportar dinero cada
año para constituir el capital que necesita. Un banco le ofrece pagarle un 3 %
de interés. ¿Cuánto dinero tendrá que aportar anualmente para conseguir
los 120.000 €?
6 ( 1+ 0,03)
−1
120. 000 = C0( 1+
0,03)
→ C0=
18.011,36
€
0,03
Calcula la mensualidad que hay que pagar para amortizar un crédito de 120.000 €
al 5 % durante 30 años.
120. 000 = C
0
Determina la deuda contraída por una persona que está pagando 180 €
al mes durante 20 años, sabiendo que es una hipoteca con un tipo de interés
del 6 %.
⎛ ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
Cf = ⋅
€
−
1
1
12
180
+
12 1
0,06
= 25.124,54
240
0,06 ⎛
⎜ 0,06 ⎞
⎜
⎝⎜
12 ⎠⎟
240
360
1
1
12
€
12 1
⎛ ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
−
0,05
→ C0
= 644,19
360
0,05 ⎛
⎜ 0,05 ⎞
⎜ +
⎝⎜
12 ⎠⎟
SOLUCIONARIO
Halla el tiempo que tardaría en pagar un préstamo de 105.000 € al 6 % anual
si abono una cuota anual de 8.500 €.
t ( 1+ 0,06)
−1
105. 000 = 8. 500 ⋅ → 12,35
=
t 0,06( 1+
0,06)
t 1,06 − 1
t 0,06 ⋅ 1,06
t t
→ 0,74 ⋅ 1,06 = 1,06 −1
t t t → 0,26
⋅ 1,06 = 1→ 1,06 = 3,86 → ln 1,06 = ln 3,86 → t =
ln 3, 86
ln 1,06
= 23,2 años
2
61

62
Aritmética mercantil
057
058
Determina el tiempo que tardaría en pagar un préstamo de 88.000 € al 4,75 % anual,
si pago una cuota mensual de 955 €.
⎛ ⎞
⎜
⎜1+
1
⎝⎜
12 ⎠⎟
88. 000 = 955 ⋅
−
0,0475
0,0475 ⎛
⎜ 0,0475 ⎞
⎜1+
12 ⎝⎜
12 ⎠⎟
Haz la tabla de amortización anual de un crédito bancario de 183.000 €, a un interés
del 5,25 % anual, durante 20 años.
20
( 1+ 0,0525)
−1
183. 000 = C0
€
20
0,0525( 1+
0,0525) La cuota anual será de 14.997,27 €.
→ C0 = 14.997,27 €
Anualidad
12t
Intereses
del período
(€)
12t
12t
1,004 −1
→ 92,15 =
0,004 ⋅ 1,004
12t 12t
12t 12t
→ 0,37 ⋅ 1,004 = 1,004 −1→
0,63
⋅ 1,004 = 1→
1,004 = 1,58
12t
ln 1,58
→ ln 1,004 = ln 1,58 → 12t = → 12t
= 115,18 → t = 9,6 años
ln 1,004
Capital
amortizado
(€)
Cuota anual
(€)
Capital
pendiente
(€)
0 183.000,00
1 9.607,50 5.389,77 14.997,27 177.610,23
2 9.324,54 5.672,73 14.997,27 171.937,50
3 9.026,72 5.970,55 14.997,27 165.966,95
4 8.713,26 6.284,01 14.997,27 159.682,94
5 8.383,35 6.613,92 14.997,27 153.069,02
6 8.036,12 6.961,15 14.997,27 146.107,87
7 7.670,66 7.326,61 14.997,27 138.781,26
8 7.286,02 7.711,25 14.997,27 131.070,01
9 6.881,18 8.116,09 14.997,27 122.953,92
10 6.455,08 8.542,19 14.997,27 114.411,73
11 6.006,62 8.990,65 14.997,27 105.421,08
12 5.534,61 9.462,66 14.997,27 95.958,42
13 5.037,82 9.959,45 14.997,27 85.998,97
14 4.514,95 10.482,32 14.997,27 75.516,65
15 3.964,62 11.032,65 14.997,27 64.484,00
16 3.385,41 11.611,86 14.997,27 52.872,14
17 2.775,79 12.221,48 14.997,27 40.650,66
18 2.134,16 12.863,11 14.997,27 27.787,55
19 1.458,85 13.538,42 14.997,27 14.249,13
20 748,08 14.249,19 14.997,27 0
12t

059
060
Elabora la tabla de amortización mensual de un crédito bancario de 86.000 €,
a un interés del 6,75 % anual, durante 15 años.
86. 000 = C
0
La cuota anual será de 761,02 €.
Anualidad
⎛
⎜ 0,0675 ⎞
⎜1+
⎝⎜
12 ⎠⎟
15⋅ 12
Intereses
del período
(€)
1 −
0,0675 ⎛
⎜ 0,0675 ⎞
⎜1+
12 ⎝⎜
12 ⎠⎟
15⋅ 12
→ C = 761,02 €
Capital
amortizado
(€)
¿En cuánto se ha valorado la vivienda de un hombre de 75 años
que ha contratado una hipoteca inversa al 4 % y que recibe
anualmente 6.122 €?
10, 37
( 1+ 0,04)
−1
Cf = 6. 122 ⋅ C
€
10, 37
0,04( 1+
0,04) → f = 51.144,50 €
0
Cuota anual
(€)
SOLUCIONARIO
Capital
pendiente
(€)
0 86.000,00
1 483,75 277,27 761,02 85.722,73
2 482,19 278,83 761,02 85.443,90
3 480,62 280,40 761,02 85.163,50
4 479,04 281,98 761,02 84.881,53
5 477,46 283,56 761,02 84.597,97
6 475,86 285,16 761,02 84.312,81
7 474,26 286,76 761,02 84.026,05
8 472,65 288,37 761,02 83.737,68
9 471,02 290,00 761,02 83.447,68
10 469,39 291,63 761,02 83.156,05
11 467,75 293,27 761,02 82.862,79
12 466,10 294,92 761,02 82.567,87
… … … … …
172 37,47 723,55 761,02 5.937,53
173 33,40 727,62 761,02 5.209,91
174 29,31 731,71 761,02 4.478,20
175 25,19 735,83 761,02 3.742,37
176 21,05 739,97 761,02 3.002,40
177 16,89 744,13 761,02 2.258,27
178 12,70 748,32 761,02 1.509,95
179 8,49 752,53 761,02 757,42
180 4,26 756,76 761,02 0
2
63

64
Aritmética mercantil
061
062
063
064
Consulta la tabla de esperanza de vida, para determinar la cuota
mensual que el banco abonará a un hombre de 70 años, que
aporta una vivienda valorada en 248.000 € a un interés del 3,5%.
a) ¿Cuánto dinero perdería el banco si el hombre sobrepasase
su esperanza de vida en 5 años?
b) ¿Y si muriera 5 años antes de superar su esperanza de vida?
248. 000 = C
→ C 0 = 1.910,94 € mensuales
a) El banco perdería: 1.910,94 ⋅ 5 ⋅ 12 = 114.656,40 €
b) El banco no tendría que pagar la misma cantidad del apartado anterior,
es decir, ganaría 114.656,40 €.
En el contrato de mi tarjeta de crédito figura que, por el aplazamiento de los pagos,
me cobran un 3,5 % mensual. Determina la Tasa Anual Equivalente (TAE).
⎛ 0,035 ⋅ ⎞
TAE = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎢
⎦
⎥ ⋅
1
12
12
1 100
= 51,11%
12
Una entidad bancaria oferta un depósito a plazo fijo, para un año, al 5,1 % anual
a favor del cliente, liquidable y abonable trimestralmente en otra cuenta del mismo
cliente y asociada a esta. Calcula la TAE de este tipo de depósito.
⎛ 0,051⎞
TAE = ⎜ +
5,
⎝⎜
⎠⎟
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥ ⋅ =
⎣
⎢
⎦
⎥ 1
4
1 100 2%
4
Esta tabla muestra la evolución de la población en dos comarcas.
1990
1995
2000
2005
⎛
⎜ 0,035 ⎞
⎜1+
⎝⎜
12 ⎠⎟
Tomando como base 1990, construye una tabla de números índice.
392 947
380 912 100
.
⋅ =103,16
.
298 004
308 445 100
.
⋅ = 96,61
.
690. 951
⋅ 100 = 100, 23
689. 357
0
12⋅ 13, 61
0,035 ⎛ 0,035 ⎞
⎜
⎜1+
12 ⎝⎜
12 ⎠⎟
− 1
12⋅ 13, 61
= C
⎛ 0,035 ⎞
⎜
⎜1+
⎝⎜
12 ⎠⎟
Los Ángeles
de San Lorenzo
San Amador Total
380.912 308.445 689.357
392.947 298.004 690.951
403.398 278.841 682.239
415.446 305.804 721.250
403 398
380 912 100
.
⋅ =105,90
.
278. 841
⋅ 100 = 90,40
308. 445
682 239
689 357 100
.
⋅ = 98,97
.
0
163, 32
0,035 ⎛
⎜ 0,035 ⎞
⎜1+
12 ⎝⎜
12 ⎠⎟
− 1
163, 32
415 446
380 912 100
.
⋅ =109,07
.
305 804
308 445 100
.
⋅ = 99,14
.
721 250
689 357 100
.
⋅ =104,63
.

065
1990
1995
2000
2005
Los Ángeles
de San Lorenzo
San Amador Total
100 100 100
103 97 100
106 90 99
109 99 105
Esta tabla muestra el número de defunciones en una ciudad durante las últimas
décadas.
a) Elabora una tabla de números índice, tomando los datos correspondientes
al año 1950 como referencia 100.
b) ¿En qué año hubo mayor número de defunciones? ¿Y en qué año hubo menos?
Estudia la evolución del número de defunciones a lo largo de estas décadas.
32 330
a) 89,96
35 940 100
.
⋅ =
.
Año Población N. o de defunciones
1950 35.940 389
1960 32.330 404
1970 37.659 322
1980 42.358 325
1990 51.256 358
2000 50.345 315
37 659
35 940 100
.
⋅ =104,78
.
42 358
35 940 100
.
⋅ =117,86
.
50 345
35 940 100
51. 256
⋅ 100 = 142, 62
35. 940
.
⋅ =140,08
.
404
389 100 ⋅ =103,86
322
⋅ 100 = 82, 78
389
325
389 100 ⋅ = 83,55
315
389 100
358
389
⋅ = 80,98
100 ⋅ = 92,03
Año Población N. o de defunciones
1950 100 100
1960 90 104
1970 105 83
1980 118 84
1990 143 92
2000 140 81
SOLUCIONARIO
b) En 1960 hubo el mayor número de defunciones, y en 2000, el menor.
La evolución después de crecer en 1960 fue un descenso en 1970 y 1980,
un aumento en 1990 y un nuevo descenso en el año 2000.
2
65

66
Aritmética mercantil
066
El índice bursátil INFOREX ha tenido, el día 1 de cada mes, en este año
los siguientes valores.
a) Toma como base 100 la cotización del 1 de enero, y establece los números índice
correspondientes a las demás fechas.
b) Estudia la evolución del índice bursátil, y determina los máximos y mínimos
de cotización durante este período.
186
145 100
169
145
⋅ =128,28
100
132
145
⋅ =116,55
100
153
a) 105,52
145
⋅ = 91,03
100 ⋅ =
Evolución del índice bursátil INFOREX
Enero 145
Febrero 153
Marzo 162
Abril 150
Mayo 132
Junio 147
Julio 166
Agosto 169
Septiembre 172
Octubre 181
Noviembre 186
Diciembre 182
Evolución del índice bursátil INFOREX
01-enero 100
01-febrero 106
01-marzo 112
01-abril 103
01-mayo 91
01-junio 101
01-julio 114
01-agosto 117
01-septiembre 119
01-octubre 125
01-noviembre 128
01-diciembre 126
182
145 100
172
145
⋅ =125,52
100
147
145
⋅ =118,62
100
162
145
⋅ =101,38
100 ⋅ =111,72
181
145 100
166
145
⋅ =124,83
100
150
145
⋅ =114,48
100 ⋅ =103,45

067
068
b) El índice creció en los meses de febrero y marzo, descendió en abril y mayo,
volvió a subir en los meses siguientes hasta noviembre y descendió
en diciembre. El máximo de cotización se alcanzó en noviembre y el mínimo
en mayo.
La evolución del Índice de Precios de Consumo (IPC) en Extremadura ha sido:
Se ha establecido como base los datos de noviembre de 2006. Reelabora la tabla
estableciendo como base los datos de enero de 2002.
90,757
⋅ 100 = 103,13
88,004
92,379
⋅ 100 = 104,97
88,004
94 803
88 004 100
,
⋅ =107,73
,
98,167
⋅ 100 = 111,55
88,004
100, 202
⋅ 100 =113,86
88, 004
Índice de Precios de Consumo. Extremadura
Índice de Precios de Consumo. Extremadura
Enero
2002 2003 2004 2005 2006 2007
100 103 105 108 112 114
El IPC medido en enero durante los últimos años en España es:
Año IPC Índice base 2000 Índice base 2007
2000 2,9 100
2001 3,7 103,7
Enero
2002 2003 2004 2005 2006 2007
2002 3,1 106,9147
2003 3,7 110,870544
2004 2,3 113,420566
2005 3,1 116,936604
2006 4,2 121,847941
2007 2,4 124,772292
SOLUCIONARIO
88,004 90,757 92,379 94,803 98,167 100,202
Completa la tabla estableciendo como base el año 2007.
a) ¿Cuánto valdría en 2000 un producto que cuesta 120 € en 2007?
b) ¿Cuánto deberemos pagar en 2008 por un producto que en el año 2003 valía 65 €?
2
67

68
Aritmética mercantil
069
100
⋅ 100 = 80,15
124,772292
103,7
⋅ 100 = 83,11
124,772292
106,9147
⋅ 100 = 85,69
124,772292
110,870544
⋅ 100 = 88,86
124,772292
113,420566
⋅ 100 = 90,90
124,772292
116,936604
⋅ 100 = 93,72
124,772292
121,847941
⋅ 100 = 97,66
124,772292
Año IPC Índice base 2000 Índice base 2007
2000 2,9 100 80
2001 3,7 103,7 83
2002 3,1 106,9147 86
2003 3,7 110,870544 89
2004 2,3 113,420566 91
2005 3,1 116,936604 94
2006 4,2 121,847941 98
2007 2,4 124,772292 100
a) IPC acumulado = 3,7 + 3,1 + 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 22,5 %
x ⋅ 1,225 = 120 → x = 97,96 €
b) IPC acumulado = 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 12 %
En 2008 el producto vale: 65 ⋅ 1,12 = 72,80 €
Las subidas del IPC en un país han sido durante los últimos cuatro años
del 5 %, 6 %, 7 % y 5 %. A un trabajador le han mantenido el sueldo sin variaciones
durante estos cuatro años. Para recuperar el poder adquisitivo al cabo
de los cuatro años le suben un 24 % el sueldo. ¿Pierde o gana poder adquisitivo?
¿Cuánto dinero es?
IPC acumulado = 5 + 6 + 7 + 5 = 23 %. Si la subida es del 24 % el trabajador
gana un 1 % más de poder adquisitivo. Si su sueldo es x la cantidad de dinero
es el 1 % de x

070
071
La tabla presenta el número de trabajadores y trabajadoras en activo por grupos
de edad. Complétala.
Edades
Encuesta de Población Activa
Activos (Miles de personas)
Valor absoluto Porcentaje
2005 2006 2005 2006
De 16 a 19 538,90 541,10 2,58 2,51
De 20 a 24 1.955,80 1.932,90 9,36 8,95
De 25 a 29 3.125,60 3.154,10 14,97 14,61
De 30 a 34 3.192,00 3.325,70 15,28 15,41
De 35 a 39 2.964,70 3.092,50 14,19 14,33
De 40 a 44 2.732,90 2.837,80 13,09 13,15
De 45 a 49 2.333,00 2.467,80 11,17 11,43
De 50 a 54 1.820,60 1.905,30 8,72 8,83
De 55 a 59 1.364,60 1.419,60 6,53 6,58
De 60 a 64 714,70 758,10 3,42 3,51
De 65 a 69 92,50 101,00 0,44 0,47
De 70 y más 50,50 48,80 0,24 0,23
Total 20.885,70 21.584,80 100 100
SOLUCIONARIO
En un país han presentado su Encuesta de Población Activa (EPA) correspondiente
al último año. Los datos se han organizado por trimestres y referidos a su población
mayor de 16 años.
Trimestre Activos Ocupados Parados Inactivos
Primero 3.652.040 3.104.180 547.860 2.970.045
Segundo 3.543.982 2.980.456 563.526 3.096.550
Tercero 3.893.218 3.471.443 421.775 2.839.436
Cuarto 3.796.766 3.217.786 578.980 3.001.034
a) Tomando como referencia 100 los datos del primer trimestre, estudia
la evolución de la población mayor de 16 años en ese país.
b) Halla el porcentaje por cada 1.000 habitantes de personas desocupadas
por trimestre.
a) Trimestre Activos Ocupados Parados Inactivos
Primero 100 100 100 100
Segundo 97 96 103 104
Tercero 107 112 77 96
Cuarto 104 104 106 101
Fuente: INE, 2007.
Los activos y los ocupados disminuyeron en el segundo trimestre, aumentaron
en el tercero y volvieron a disminuir en el cuarto. Al contrario, los parados
y los inactivos aumentaron en el segundo trimestre, disminuyeron
en el tercero y volvieron a aumentar en el cuarto.
2
69

70
Aritmética mercantil
072
073
b)
Trimestre Parados Totales
Determina, por grupos de edades, los índices que relacionan la población ocupada
extranjera con la española.
Ocupados por nacionalidad, sexo y grupo de edad
(Miles de personas)
Edades Extranjera Española
De 16 a 24 19 100
De 25 a 34 20 100
De 35 a 44 15 100
De 45 a 54 8 100
De 55 y más 4 100
Compara las tasas
de paro de estas tres
regiones. Halla la tasa
de inactividad
en cada región.
Ocupados por nacionalidad, sexo y grupo de edad
(Miles de personas)
Edades Extranjera Española Total
De 16 a 24 328,00 1.702,70 2.030,70
De 25 a 34 989,50 4.899,50 5.889,10
De 35 a 44 733,10 4.780,70 5.513,80
De 45 a 54 320,00 3.793,20 4.113,30
De 55 y más 90,40 2.110,40 2.200,90
Total 2.461,10 17.286,60 19.747,70
Región Activos Ocupados Parados Inactivos
Freeland 53.408 40.980 12.428 43.090
Happyland 104.932 98.046 6.886 115.954
Endland 123.219 84.943 38.276 99.652
Región Parados Totales Tasa de paro
Freeland 12.428 96.498 12,88
Happyland 6.886 220.886 3,12
Endland 38.276 222.871 17,17
Porcentaje de desocupados
por cada 1.000 habitantes
Primero 547.860 6.622.085 82,73
Segundo 563.526 6.640.532 84,86
Tercero 421.775 6.732.654 62,65
Cuarto 578.980 6.797.800 85,17
Región Inactivos Totales Tasa de inactividad
Freeland 43.090 96.498 44,65
Happyland 115.954 220.886 52,49
Endland 99.652 222.871 44,71

074
075
Observa los datos publicados por el Ministerio de Educación y Ciencia.
Completa la tabla con una columna en la que se reflejen los porcentajes
de los alumnos de Bachillerato por edades.
Alumnado matriculado por edad Porcentaje
De 16 y menos años 205.720 33,53
De 17 años 234.151 38,16
De 18 años 92.693 15,11
De 19 años 41.757 6,81
De 20 y más años 39.260 6,39
Total 613.581 100
En la tabla se refleja la población adulta (mayores de 18 años) y el número
de estas personas que tienen estudios medios o superiores en dos comarcas.
Completa la tabla siguiente con las tasas por 1.000 habitantes (porcentaje
por cada 1.000 habitantes).
San Lorenzo
San Amador
Total
San Lorenzo
San Amador
Total
Tasas por 1.000 habitantes
Estudios
medios
Alumnado matriculado por edad
De 16 y menos años 205.720
De 17 años 234.151
De 18 años 92.693
De 19 años 41.757
De 20 y más años 39.260
Total 613.581
Fuente: Ministerio de Educación y Ciencia.
Total
de adultos
Estudios
superiores
382,32 60,08
302,62 87,94
353,06 70,31
Estudios
medios
Estudios
superiores
320.456 122.516 19.254
185.880 56.251 16.346
506.336 178.767 35.600
SOLUCIONARIO
2
71

72
Aritmética mercantil
076
077
La tabla presenta
la población y el número
de automóviles matriculados
en cada comunidad
autónoma española.
Determina el porcentaje
del número de automóviles
por cada mil habitantes (tasa)
en cada comunidad y en el
total de España, y completa
la tabla.
La población de cinco provincias españolas el 1 de enero de 2002 y de 2007
se muestra en la tabla.
Determina los índices de crecimiento de la población de cada provincia en 2007
respecto a 2002.
Burgos
Castellón
Guadalajara
León
Lugo
Burgos
Castellón
Guadalajara
León
Lugo
Autonomía Población
1 de enero de 2002 1 de enero de 2007
348.786 359.582
484.585 557.205
174.998 215.246
488.013 483.752
357.050 348.062
1 de enero de 2002 1 de enero de 2007
100 103
100 115
100 123
100 99
100 97
N. o de
automóviles
Tasa
Andalucía 7.340.052 3.625.986 494
Aragón 1.189.909 622.322 523
Asturias 1.076.567 505.986 470
Baleares 845.630 678.195 802
Canarias 1.716.276 796.352 464
Cantabria 531.159 272.485 513
Castilla-La Mancha 1.734.261 900.081 519
Castilla y León 2.479.118 1.271.788 513
Cataluña 6.261.999 3.938.797 629
Ceuta 75.241 48.305 642
C. Valenciana 4.120.729 2.480.679 602
Extremadura 1.069.420 516.530 483
Galicia 2.731.900 1.436.979 526
La Rioja 220.729 115.441 523
Madrid 5.205.408 3.305.434 635
Melilla 66.263 35.252 532
Murcia 1.149.328 729.823 635
Navarra 543.757 325.710 599
País Vasco 2.098.596 1.051.397 501
España 40.456.342 22.657.543 560,05

078
079
Marta pidió un préstamo de 20.000 €. Lo estuvo pagando al 4 % de interés durante
6 años. El día en que recibió el dinero lo invirtió a un 3 % anual de interés compuesto.
Si sumas las cantidades que tuvo que pagar y las que recibió, ¿ganó o perdió?
¿Cuánto dinero es?
Para amortizar el préstamo Marta tuvo que ingresar:
6 ( 1+ 0,04)
−1
20. 000 = C0→C0= 3.815, 24 € anuales
6
0,04( 1+
0,04)
En total, son: 6 ⋅ 3.815,24 = 22.891,44 €
Los intereses ascienden a: 22.891,44 − 20.000 = 2.891,44 €
Por la inversión Marta recibe:
⎛ ⎞
Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
=
3
20. 000 1
23.881,05 €
100
6
Así, la ganancia es: 23.881,05 − 20.000 = 3.881,05 €
Marta ganó y el dinero obtenido es 3.881,05 − 2.891,44 = 989,61 €
Jesús ingresa 2.500 € en una cuenta bancaria al 6 % de interés con capitalización
anual. ¿Cuántos años debe dejar invertida esa cantidad para que el saldo
de la cuenta supere los 6.000 €?
t
SOLUCIONARIO
⎛ 6 ⎞
6. 000 = 2. 500 ⋅ ⎜
t
t
⎜1+
→ 1,06 = 2,4 → ln1,06
= ln 2,4 → t ⋅ ln 1,06 = ln 2,4
⎝⎜
100 ⎠⎟
ln 2,4
→ t = = 15,02
ln 1,06
Para que el saldo supere los 6.000 € Jesús debe dejar el dinero invertido
al menos 16 años.
Elena y Diego recibieron hace
cuatro años una herencia
de un familiar argentino. A cada uno
le correspondieron 180.000 €.
Diego los invirtió en Bolsa
y ha conseguido una revaloración
media anual de un 5 %. Elena compró
Letras del Tesoro, que le pagaban
un 5 % anual. Los intereses se los
ingresaban anualmente en una cuenta
que le daba un rédito de un 1 % anual.
¿Quién tiene ahora más dinero?
⎛ ⎞
El capital acumulado por Diego es: Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
Elena recibe cada año: 180.000 ⋅ 0,05 = 9.000 €
4 ( 1+ 0,05)
−1
Así, sus beneficios ascienden a: Cf = 9. 000 ⋅ = 31.913,55 €
4
0,05( 1+
0,05)
Por tanto, el capital acumulado por Elena es 211.913,55 € y Diego tiene más
dinero que ella.
=
080
4
5
180. 000 1
218.791,13 €
100
2
73

74
Aritmética mercantil
081
082
083
Una persona ha ganado 120.000 € en la Lotería Primitiva. Acude a un banco
a ingresarlos y le ofrecen dos productos.
a) Con esa cantidad de dinero se compran cuatro plazas de garaje por un período
de diez años. El banco alquilará las plazas de garaje. Al cabo de los diez años,
volverá a comprar las plazas de garaje por 120.000 € y pagará 188 € por cada
mes y por cada plaza.
b) Ingresar esa cantidad al 6 % de interés anual con capitalización anual.
¿Cuál de los dos productos te parece más interesante?
a) 188 ⋅ 12 ⋅ 10 ⋅ 4 = 90.240 €
b)
⎛ ⎞
Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
214.901,72
El segundo producto es más interesante que el primero.
=
6
120. 000 1
100
→ 214.901,72 − 120.000 = 94.901,72 €
Un banco ofrece un depósito que te remunera la inversión al 12 % de interés
el primer mes y el resto al 3,7 %.
a) ¿Cuántos beneficios se obtendrían con una inversión de 100 € al cabo de un año?
b) ¿Cuál es la Tasa Anual Equivalente (TAE) de esta operación?
Al final del primer mes, el beneficio es:
⎛ ⎞
Cf = ⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
=
12
100 ⋅ = 1 €
1. 200
11
37 ,
101 1
104,80 €
1. 100
Por tanto, los beneficios al cabo de un año son 4,80 €.
Así, el interés producido por 1 euro en un año es 0,0480; luego la TAE
es del 4,8 %.
El sueldo de un trabajador se refleja en la tabla.
Año Salario IPC (%)
2003 20.350 5
2004 21.045 3
2005 21.678 2
2006 22.034 3,20
2007 23.246 2,50
a) ¿Qué porcentaje de subida ha tenido su sueldo en los cinco años?
b) ¿Cuál ha sido la subida acumulada del IPC?
c) ¿Ha ganado o ha perdido poder adquisitivo en estos cinco años?
a)
23. 246
20. 350
= 1,14 → La subida ha sido del 14 %.
b) IPC acumulado = 5 + 3 + 2 + 3,2 + 2,5 = 15,7 %
c) Ha perdido poder adquisitivo, porque el IPC
acumulado es mayor que la subida salarial.
10

084
085
La evolución del IPC en la economía española durante los últimos años
(medida en enero) ha sido:
a) ¿Qué valor tiene en 2007 un producto que valía el equivalente a 50 €
en 1996?
b) En 2007 hacemos la compra por 180 €. ¿Cuánto nos habría costado esa compra
en 2002? ¿Y en 1996?
a) IPC acumulado = 2,9 + 2 + 1,5 + 2,9 + 3,7 + 3,1 + 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 =
= 31,8 %
50 ⋅ 1,318 = 65,90 €
b) IPC acumulado desde 2002 = 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 15,7 %
x ⋅ 1,157 = 180 → x = 155,57 €
Como el IPC acumulado desde 1996 es del 31,8 %:
x ⋅ 1,318 = 180 → x = 136,57 €
Los datos reflejados en la tabla se refieren a la variación del IPC a principios de cada
año en Guipúzcoa, y tomando como base los datos del año 1994.
Guipúzcoa
Año IPC
1996 3,9
1997 2,9
1998 2
1999 1,5
2000 2,9
2001 3,7
2002 3,1
2003 3,7
2004 2,3
2005 3,1
2006 4,2
2007 2,4
Año IPC Año IPC
1994 100 2001 125,7191
1995 104,9 2002 129,9935
1996 109,7254 2003 134,5433
1997 112,688 2004 137,5032
1998 114,9417 2005 140,9408
1999 118,0452 2006 146,5784
2000 121,3504 2007 149,8032
SOLUCIONARIO
2
75

76
Aritmética mercantil
086
Fijándote en los datos relativos a 2005, calcula:
a) El porcentaje de variación sobre el año anterior.
b) El porcentaje de variación desde 1999.
c) El porcentaje de variación en la década que acaba en 2005.
140,9408
a) ⋅ 100 = 102,5 → El IPC ha aumentado un 2,5 %.
137,5032
140,9408
b) ⋅ 100 = 119,40 → El IPC ha crecido un 19,4 %.
118,0452
140,9408
c) ⋅ 100 = 134,36 → El IPC ha aumentado un 34,36 %.
104,9
En esta tabla se muestra el coste de un producto que en 1998 valía 1 peseta
y el coste de otro producto que en 2006 valía 1 euro.
¿Serías capaz de completarla?
0,93445019
0,88513574
1
0,93445019
1,15926373
1,07704832
1,07704832
1,037322
= 1,056 → 1,056 ⋅1,15926373
= 1,22385095
= 1,0701 → 1,0701⋅ 1,22385095 = 1,30970164
= 1,076334 → 1,076334 ⋅ x = 0, 88513574 → x = 0,82236159
= 1,038297 → 1,038297 ⋅ x = 0,82236159
→ x = 0,79202925
1,037322
= 1,037322 → 1,037322 ⋅ x = 0,79202925 → x = 0,76353268
1
Año Pesetas Euros
1996 1 0,76353268
1998 1,037322 0,79202925
2000 1,07704832 0,82236159
2002 1,15926373 0,88513574
2004 1,22385095 0,93445019
2006 1,30970164 1
Año Pesetas Euros
1996 1
1998 1,037322
2000 1,07704832
2002 1,15926373 0,88513574
2004 0,93445019
2006 1

087
Completa la tabla en la que se refleja la transformación del valor en el tiempo
de una unidad monetaria.
Vale en el año
2002
2003
2004
2005
2006
2007
1,032
1
= 1,032 → 1,032 ⋅ x = 1 → x = 0,969
1,073
1,032
= 1,0397 → 1,0397 ⋅ 1= 1,0397
1,099
1,073
= 1,024 → 1,024 ⋅ 1,0397 = 1,065
1,12
1,099
= 1,019 → 1,019 ⋅ 1,065 = 1,085
1,154
1,12
= 1,03 → 1,03 ⋅ 1,085 = 1,118
U. M. del año
2002 2003 2004 2005 2006 2007
1,073
1,032
= 1,0397 → 1,0397 ⋅ x = 1 → x = 0,962
1,032
1
= 1,032 → 1,032 ⋅ x = 0,962 → x = 0,932
1,099
1,073
= 1,024 → 1,024 ⋅ 1= 1,024
1,12
1,099
= 1,019 → 1,019 ⋅ 1,024 = 1,043
1,154
1,12
= 1,03 → 1,03 ⋅ 1,043 = 1,074
1
1,032 1
1,073 1
1,099 1
1,12 1
1,154 1
1,099
1,073
= 1,024 → 1,024 ⋅ x = 1 → x = 0,977
1,073
1,032
= 1,0397 → 1,0397 ⋅ x = 0,977 → x = 0,94
1,032
1
= 1,032 → 1,032 ⋅ x = 0,94 → x = 0,911
1,12
1,099
= 1,019 → 1,019 ⋅ 1= 1,019
1,154
1,12
= 1,03 → 1,03 ⋅ 1,019 = 1,05
SOLUCIONARIO
2
77

78
Aritmética mercantil
088
1,12
1,099
= 1,019 → 1,019 ⋅ x = 1 → x = 0,981
1,099
1,073
= 1,024 → 1,024 ⋅ x = 0,981 → x = 0,958
1,073
1,032
= 1,0397 → 1,0397 ⋅ x = 0,958 → x = 0,922
1,032
1
= 1,032 → 1,032 ⋅ x = 0,922 → x = 0,893
1,154
1,12
= 1,03 → 1,03 ⋅ 1= 1,03
1,154
1,12
= 1,03 → 1,03 ⋅ x = 1 → x = 0,971
1,12
1,099
= 1,019 → 1,019 ⋅ x = 0,971 → x = 0,953
1,099
1,073
= 1,024 → 1,024 ⋅ x = 0,953 → x = 0,93
1,073
1,032
= 1,0397 → 1,0397 ⋅ x = 0,93 → x = 0,895
1,032
1
= 1,032 → 1,032 ⋅ x = 0,895 → x = 0,867
Vale en el año
2002
2003
2004
2005
2006
2007
PARA FINALIZAR...
¿Cuál de estos depósitos financieros a interés compuesto produce más intereses?
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital C 0, a un rédito r % durante
un tiempo 2t.
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital 2C 0, a un rédito r %
durante un tiempo t.
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital C 0, a un rédito 2r % durante
un tiempo t.
2t
U. M. del año
2002 2003 2004 2005 2006 2007
1 0,969 0,932 0,911 0,893 0,867
1,032 1 0,962 0,94 0,922 0,895
1,073 1,0397 1 0,977 0,958 0,93
1,099 1,065 1,024 1 0,981 0,953
1,12 1,085 1,043 1,019 1 0,971
1,154 1,118 1,074 1,05 1,03 1
⎛ r ⎞
⎛ r ⎞ ⎛
Cf= C ⎜ + Cf= C ⎜
0 1
2 0
⎝⎜
⎠⎟
⎜1+
= ⎜ 2r
⎞
CfC0 100
⎝⎜
100 ⎠⎟
⎜1+
⎝⎜
100 ⎠⎟
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el primer depósito es el que produce
más intereses.
t
t

089
090
¿Cuál de estas opciones produce un mayor beneficio?
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización C0, a un rédito r %
durante 2t años.
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización 2C0, a un rédito r %
durante t años.
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización C0, a un rédito 2r %
durante t años.
⎛ r ⎞
⎜ +
⎛ r ⎞
Cf= C ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
−
1
1
100
0 1
100 r
100
⎛ r ⎞
⎜ +
⎛ r ⎞
Cf= C ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
−
1
1
100
2 0 1
100 r
100
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el primer fondo de pensiones
es el que produce más beneficios.
¿Cuál de estas opciones produce un mayor beneficio?
• Un préstamo con una anualidad de amortización C0, a un rédito r % durante 2t años.
• Un préstamo con una anualidad de amortización 2C0, a un rédito r % durante t años.
• Un préstamo con una anualidad de amortización C0, a un rédito 2r % durante t años.
C = C
f
0
r ⎛ r ⎞
⎜ +
100 ⎝⎜
⎠
1
100 ⎟
⎛ r ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
Cf= C
r r
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el segundo préstamo es el que ofrece
mayor cantidad de dinero prestado:
−
1
1
100
2
⎛ ⎞
⎜ +
100 ⎝⎜
⎠
1
0
t
100 ⎟
2t
2t
⎛ r ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
−
1
1
100
1
1
100
2
100 1
⎛ r ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
C0
>
r r
100
−
2t
⎛ ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
t
2t
2t
t
⎛ r ⎞
⎜ +
⎛ r ⎞
Cf= C ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
−
2
1
1
2 100
0 1
100 2r
100
C = C
⎛ r ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
r r
−
2
1
1
100
2 ⎛
⎜ +
100 ⎝⎜
1
t
2 ⎞
100 ⎠⎟
Entonces, si suponemos que la cantidad de dinero prestado es el mismo
en los tres casos, al duplicar la cuota pagamos antes el préstamo.
f
0
SOLUCIONARIO
t
t
2
79

80
Aritmética mercantil
091
092
La cesta básica de la compra de un país está formada por las cantidades mínimas
de alimentos para satisfacer las necesidades de calorías de una persona.
Las familias cuyos ingresos son inferiores al coste total de dicha cesta por mes
son consideradas familias de extrema pobreza.
Esta tabla muestra los datos de dos países:
Nortelandia
Surlandia
Precio de la
cesta básica
Nivel de
pobreza
Considerando que los valores de la inflación se mantienen invariantes
y que el nivel de pobreza de los dos países aumenta en la misma proporción
que la inflacción, ¿en qué momento se espera que Nortelandia tenga un mayor
nivel de pobreza?
Considerando x como el número de años que transcurren, en Nortelandia
tenemos:
Primer año: x = 1
Nivel de pobreza = 0,12 + 0,15 ⋅ 0,12 = 0,12(1+ 0,15)
Segundo año: x = 2
Tercer año: x = 3
Nivel de pobreza = 0,12(1 + 0,15) 3
Podemos definir la función nivel de pobreza de Nortelandia como:
f(x) = 0,12 ⋅ 1,15x Nivel de pobreza = 0,12( 1+ 0,15) + 0,15( 0,12( 1+ 0,15
0,12 1 0,15 2
)) = ( + )
De la misma manera, la función nivel de pobreza en Surlandia es:
g(x) = 0,18 ⋅ 1,08 x
Veamos cuándo se iguala el nivel de pobreza en los dos países:
0,12 1,08
0,12 ⋅ 1,15 = 0,18 ⋅ 1,08 =
0,18 1,15
⎛ ⎞
x x → ⎜
⎜
→ ln 0,67 = x ⋅ ln 0,94 → x = 6,67
⎝ ⎠⎟
Después de los seis años y medio, el nivel pobreza se igualará entre los dos países.
A partir de ese momento será mayor el nivel de pobreza de Nortelandia.
Llevo dos años pagando un crédito a 10 años de 210.000 € con un interés anual
del 7,5 %. Me acaban de ofrecer, en otra entidad bancaria, renegociar
la deuda que me queda al 6 % durante 8 años.
x
Inflación anual
esperada
31,80 € 12 % 15 %
39,30 € 18 % 8%

El banco en el que inicialmente pedí el crédito me cobra un 2 % de la deuda
que aún queda por pagar por gastos de cancelación, y el banco que me ofrece
el nuevo crédito me cobra 368 € por gastos de apertura del crédito. ¿Me conviene
cambiar de banco?
10
( 1+ 0,075)
−1
210. 000 = C0→C0= 30.594,04 €
10
0, 075( 1+
0,075) La cuota anual del primer crédito es de 30.594,04 €.
Los intereses generados el primer año son: 210.000 ⋅ 0,075 = 15.750 €
Así, el capital amortizado es: 30.594,04 − 15.750 = 14.844,04 €
Por tanto, el capital pendiente después del primer pago asciende a:
210.000 − 14.884,04 = 195.155,96 €
Los intereses del segundo año son: 195.155,96 ⋅ 0,075 = 14.636,70 €
El capital amortizado es: 30.594,04 − 14.636,70 = 15.957,34 €
Por tanto, el capital pendiente es: 195.155,96 − 15.957,34 = 179.198,62 €
Si se cancela el préstamo con la primera entidad los gastos son:
179.198,62 ⋅ 0,02 = 3.583,97 €
Teniendo en cuenta los gastos de apertura del crédito en la segunda entidad,
la deuda que queda es: 179.198,62 + 3.583,97 + 368 = 183.150,59 €
8 ( 1+ 0,06)
−1
183.150,59 = C0→ C0=
29.493,83
€
8
0,06( 1+
0,06)
SOLUCIONARIO
La cuota anual del segundo crédito es de 29.493,83 €. Al ser menor que la cuota
del primer crédito es más conveniente cambiar de banco y renegociar la deuda.
2
81

82
3
Polinomios y fracciones algebraicas
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
La máquina de leer los pensamientos
–Dumoulin, ¿conoce usted al profesor Windbag?
–Vagamente... Sólo le vi el día que le devolvimos la visita... Me pareció
brillante, untuoso y mediocre.
–Todos sus calificativos son justos... Windbag es, en efecto, un ser
mediocre que enseña aquí Pedagogía. Da clases sobre el arte de «medir»
las aptitudes de un estudiante o el valor profesional de un maestro.
Sabe revestir con sabiduría un asomo de pensamiento. Fue él
quien inventó, para determinar la ecuación personal de un alumno, la
siguiente fórmula:
( T2 −T2N)( I −S2)
X =
I I
A − −
P P
1 2
T significa el número de horas de las clases semanales; N, el número
de alumnos del grupo; S, se me ha olvidado lo que era; A, la edad de
los padres del alumno; P 1, el tiempo que duró la educación del padre,
y P2, el tiempo de educación de la madre.
–Está usted de broma, Hickey.
–¡Ojalá, amigo mío, fuera una broma, pero no es así! Estas locuras se
enseñan seriamente a los futuros profesores, que luego preparan, bajo la
vigilancia del profesor Windbag, cualquier tesis increíble sobre «El papel
de la mujer de hacer faenas en los cursos superiores de las jóvenes
estudiantes...». Y no solamente se enseñan estas cosas, sino que inspiran
la mayor admiración a ciertos señores y bienhechores nuestros.
ANDRÉ MAUROIS
Opera en esa expresión hasta convertirla en una fracción
algebraica con varias variables.
( T2−T2N)( I− S2)
( T2−T2N)( I− S2) P1P2 X =
=
I I
A − −
AP1P2−IP2−IP1 P P
1 2

001
002
003
004
005
006
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios.
a) x d) −4f 8 g) 7xyz 5
b) 5y e) 2xy 2 h) −4ydf 8
c) 7z 5 f) 5yzd 3
a) Coeficiente: 1 Parte literal: x Grado: 1
b) Coeficiente: 5 Parte literal: y Grado: 1
c) Coeficiente: 7 Parte literal: z 5
Grado: 5
d) Coeficiente: −4 Parte literal: f 8 Grado: 8
e) Coeficiente: 2 Parte literal: xy 2
Grado: 3
f) Coeficiente: 5 Parte literal: yzd 3 Grado: 5
g) Coeficiente: 7 Parte literal: xyz 5
Grado: 7
h) Coeficiente: −4 Parte literal: ydf 8 Grado: 10
Indica si los monomios son o no semejantes, y determina su opuesto.
a) xyz, xy e y b) ab, a 2b y7b c) 87xy2 y 7x 2y a) No b) No c) No
Haz estas operaciones.
a) 3xy + 8xy + 9xy c) 10xy 2 ⋅ 6x 2y b) 11a 2b − 15a 2b + 7a 2b d) 15x 8 :3x3 a) 20xy c) 60x 3 y 3
b) 3a 2 b d) 5x 5
Aplica la propiedad distributiva en las siguientes expresiones.
a) 7(x + 2) c) (−2x)(3x 2 −4x + 7)
b) 3x(x −5) d) 9(x −4)
a) 7x + 14 c) −6x 3 + 8x 2 − 14x
b) 3x 2 − 15x d) 9x − 36
Saca factor común en las expresiones.
a) (2n + 2)3n + (2n + 2)6 b) 4(7n −7) −(7n −7)(4n −8)
a) (2n + 2)(3n + 6)
b) (7n − 7)(4 − (4n − 8)) = 7(n − 1)(12 − 4n)
Desarrolla las siguientes igualdades notables.
a) (x + 3y) 2
b) (3x 3 − a 2 ) 2
a) x 2 + 6xy + 9y 2
b) 9x 6 − 6x 3 a 2 + a 4
c) x 2 − x 6
SOLUCIONARIO
c) (x + x 3 )(x − x 3 )
3
83

84
Polinomios y fracciones algebraicas
001
002
003
004
005
ACTIVIDADES
Dado P(x) = 4 −3x 2 + x − x 2 −1 −3x, reduce este polinomio y halla su valor
numérico para:
a) x = 0 c) x =−1
b) x = 1 d) x = 3
P(x) =−4x 2 − 2x + 3
a) P(0) = 3
b) P(1) =−4 − 2 + 3 =−3
c) P(−1) =−4 + 2 + 3 = 1
d) P(3) =−36 − 6 + 3 =−39
Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numérico para x = 2.
a) P(x) = 4 −3x 2 + x − x 2 + 1
b) P(x) = x 4 −4 −3x 2 + x −x 2 + 1 −3x 4 −3x
a) P(x) =−4x 2 + x + 5 → P(2) =−16 + 2 + 5 =−9
b) P(x) =−2x 4 − 4x 2 − 2x − 3 → P(2) =−32 − 16 − 4 − 3 =−55
Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 1.
a) P(x) = x + 1 c) P(x) = x 3 + 1
b) P(x) = x 2 + 1 d) P(x) = x 4 + 1
a) P(1) = 2 c) P(1) = 2
b) P(1) = 2 d) P(1) = 2
Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x n + 1 para x =−1. ¿Qué observas?
P(x) = x n + 1 → P(−1) = (−1) n + 1
Si n es par, entonces: P(−1) = 1 + 1 = 2
Si n es impar, entonces: P(−1) =−1 + 1 = 0
Suma y resta cada par de polinomios.
a) P(x) = 3x 3 − x −4 Q(x) = x 3 − x 2 + 3
b) P(x) = x 7 −8x 4 + 3 Q(x) = x 5 + 3x 3 −6
c) P(x) = 10x 4 + x 2 + 1 Q(x) = x 5 + 7x 2 − x
a) S(x) = (3x 3 − x − 4) + (x 3 − x 2 + 3) = 4x 3 − x 2 − x − 1
R(x) = (3x 3 − x − 4) − (x 3 − x 2 + 3) = 2x 3 + x 2 − x − 7
b) S(x) = (x 7 − 8x 4 + 3) + (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 + x 5 − 8x 4 + 3x 3 − 3
R(x) = (x 7 − 8x 4 + 3) − (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 − x 5 − 8x 4 − 3x 3 + 9
c) S(x) = (10x 4 + x 2 + 1) + (x 5 + 7x 2 − x) = x 5 + 10x 4 + 8x 2 − x + 1
R(x) = (10x 4 + x 2 + 1) − (x 5 + 7x 2 − x) =−x5 + 10x 4 − 6x 2 + x + 1

006
007
Halla la suma, la resta y el producto de cada par de polinomios.
a) R(x) = x 4 − x + 1 S(x) = x 2 + 1
b) R(x) = x + 1 S(x) = x 2 + x −1
c) R(x) = 5x 7 − x 8 + 1 S(x) = x 2 + x 6 −1
a) P(x) = (x 4 − x + 1) + (x 2 + 1) = x 4 + x 2 − x + 2
Q(x) = (x 4 − x + 1) − (x 2 + 1) = x 4 − x 2 − x
x 4 − x + 1
× x 2 + 1
x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
x 6 − x 3 − x 3 + x 2 − x + 1
x 6 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
b) P(x) = (x + 1) + (x 2 + x − 1) = x 2 + 2x
Q(x) = (x + 1) − (x 2 + x − 1) =−x 2 + 2
x 2 + x − 1
× x + 1
x 2 + x − 1
x 3 + 1x 2 − x + 1
x 3 + 2x 2 + 2 − 1
c) P(x) = (5x 7 − x 8 + 1) + (x 2 + x 6 − 1) =−x 8 + 5x 7 + x 6 + x 2
Q(x) = (5x 7 − x 8 + 1) − (x 2 + x 6 − 1) =−x 8 + 5x 7 − x 6 − x 2 + 2
−x 8 + 5x 7 + 1
× x 6 + x 2 − 1
x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
− x 10 + 5x 9 − x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 −x 10 + 5x 9 x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 − x 10 + 5x 9 + x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
Calcula el resultado de multiplicar los siguientes polinomios.
a) R(x) = x 3 + x + 1 S(x) = 2x
b) R(x) = x 3 −1 S(x) = x
c) R(x) = x 4 + x S(x) = x + 3
d) R(x) = x 5 + 6x + 2 S(x) = x 3 + x 2
a) P(x) = (x 3 + x + 1)2x = 2x 4 + 2x 2 + 2x
b) P(x) = (x 3 − 1)x = x 4 − x
c) P(x) = (x 4 + x)(x + 3) = x 4 (x + 3) + x(x + 3) =
= x 5 + 3x 4 + x 2 + 3x
d) P(x) = (x 5 + 6x + 2)(x 3 + x 2 ) = x 5 (x 3 + x 2 ) + 6x(x 3 + x 2 ) +
+ 2(x 3 + x 2 ) = x 8 + x 7 + 6x 4 + 6x 3 + 2x 3 + 2x 2 =
= x 8 + x 7 + 6x 4 + 8x 3 + 2x 2
SOLUCIONARIO
3
85

86
Polinomios y fracciones algebraicas
008
009
010
Indica el grado del polinomio resultante de esta operación.
(x 4 −2x + 1)(2x 2 − x + 1)
Es la suma de los grados: 4 + 2 = 6.
Realiza las siguientes divisiones de polinomios, y señala las que son exactas.
a) (x −1) : x
b) (x 2 −1) : (x + 1)
c) (x 2 −5x + 6) : (x −2)
d) (x 3 + 2x 2 + 1) : (x 2 + 1)
a)
b)
c)
d)
Halla las divisiones y luego comprueba que P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x).
a) (x 3 −1) : x
b) (x 3 −1) : (x + 1)
c) (x 3 −1) : (x 2 −2)
d) (x 3 −1) : x 3
a)
−x − 1 x
−x
−x − 1
1 → No es exacta
−x 2 − x − 1 x + 1
−x 2 − x x − 1 → Es exacta
−x 2 − x − 1
−x 2 + x + 1
−x 2 − x + 0
−x 2 − 5x + 6 x − 2
−x 2 + 2x x − 3 → Es exacta
−x 2 − 3x + 6
−x 2 + 3x − 6
−x 2 − x 0
−x 3 + 2x 2 − x + 1 x 2 + 1
−x 3 + 2x 2 − x x + 2 → No es exacta
−x 2 − 2x 2 − x + 1
−x 2 − 2x 2 − x − 2
−x 3 + 2x 2 − x − 1
−x 3 − 1 x
−x 3 x 2
−x 3 − 1
x 3 − 1 = x ⋅ x 2 − 1

011
b)
c)
d)
x 3 − 1 = (x + 1)(x 2 − x + 1) − 2 = x 3 + 1 − 2
x 3 − 1 = (x 2 − 2) x + 2x − 1 = x 3 − 2x + 2x − 1
x 3 − 1 = x 3 ⋅ 1 − 1
Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) (x 4 + x 3 −5x 2 + 2x −5) : (x + 3)
b) (x 3 −10x 2 + 23x −10) : (x −3)
c) (x 5 − x 4 − x 3 + 2) : (x −1)
d) (−x 6 − x 5 −6x 3 + 10) : (x + 1)
e) (−x 7 + 2x 6 + x 4 −4x 2 + 7x −5) : (−x + 2)
f) (2x 5 + 6x 4 − x 2 + 9) : (−x −3)
a)
b)
c)
−x 3 − x 2 − 1 x + 1
−x 3 − x 2 x 2 − x + 1
−x 2 − x 2 + x − 1
−x 2 + x 2 + x
−x 2 − x 2 + x − 1
−x 2 − x 2 − x − 1
−x 2 − x 2 − x − 2
−x 3 + 2x − 1 x 2 − 2
−x 3 + 2x x
−x 3 + 2x − 1
−x 3 − 1 x 3
−x 3 1
−x 3 − 1
−3 1 −1 −5 −2 −5
−3 1 −3 −6 −3 −3
−3 1 −2 −1 −1 −2
Cociente: x 3 − 2x 2 + x − 1. Resto: −2
3 1 −10 − 23 −10
3 1 − 3 −21 −16
3 1 −7 21−4 Cociente: x 2 − 7x + 2. Resto: −4
1 1 −1 −1 −0 −0 −2
1 1 −1 −0 −1 −1 −1
1 1 −0 −1 −1 −1 −1
Cociente: x 4 − x 2 − x − 1. Resto: 1
SOLUCIONARIO
3
87

88
Polinomios y fracciones algebraicas
012
d)
e)
f)
Cociente: −x 5 − 6x 2 + 6x − 6. Resto: 16
Cociente: x 6 − x 3 − 2x 2 − 7. Resto: −9
Cociente: −2x 4 + x − 3. Resto: 0
Calcula el valor de m para que las divisiones sean exactas.
a) (x 4 + m) : (x −1)
b) (2x 5 + x 3 + m) : (x + 2)
c) (6x 3 + x 2 + 4x + m) : (x + 1)
d) (2x 7 −4x 6 −2x 3 + x + m) : (x −4)
Una vez que obtengas el valor de m, escribe el dividendo como producto
de dos factores.
a)
b)
c)
d)
−3 −1 −1 0 −6 0 −0 10
−1 −1 −1 0 −0 6 −6 06
−3 −1 −0 0 −6 6 −6 16
1 1 −2 0 −1 −0 −4 −7 −05
2 1 −2 0 −0 −2 −4 −0 −14
1 1 −0 0 −1 −2 −0 −7 0−9
−3 −2 −6 0 1 −0 −9
−3 −1 −6 0 0 −3 −9
−3 −2 −0 0 1 −3 −0
3 1 0 0 0 m
1 3 1 1 1 1
m + 1 = 0 → m =−1
Descomposición: (x − 1)(x 3 + x 2 3 1 1 1 1 m + 1
+ x + 1)
−3 2 −0 1 −00 00 m
−2 −4 8 −18 36 −72
m − 72 = 0 → m = 72
Descomposición: (x + 2)(2x 4 − 4x 3 + 9x 2 −3 2 −4 9 −18 36 m − 72
− 18x + 36)
−3 6 −1 4 m
−1 −6 5 −9
m − 9 = 0 → m = 9
Descomposición: (x + 1)(6x 2 −3 6 −5 9 m − 9
− 5x + 9)
3 2 −4 00 00 −2 000.0 000.1 m
4 −8 16 64 256 1.016 4.064 16.260
3 2 −4 16 64 254 1.016 4.065 m + 16.260
m + 16.260 = 0 → m =−16.260,
Descomposición: (x − 4)(2x 6 + 4x 5 + 16x 4 + 64x 3 + 254x 2 + 1.016x + 4.065)

013
014
015
Calcula, mediante el teorema del resto, el valor numérico del polinomio P(x)
para los valores de x indicados en cada apartado.
P(x) = x3 − 7x 2 + x − 7
a) x = 1 c) x = −1 e) x = 3
b) x = 5 d) x = 7 f) x = −5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1 −7 −1 −7
1 −1 −6 −5
1 −6 −5 −12
1 −7 −1 −7
5 −5 −10 −45
1 −2 −9 −52
1 −7 1 −7
−1 −1 8 −9
1 −8 9 −16
1 −7 1 −7
7 −7 0 −7
1 −0 1 0
1 −7 − 1 −7
3 −3 −12 −33
1 −4 −11 −40
1 −7 1 −7
−5 −5 60 −305
1 −12 61 −312
Dado P(x) = x4 −3x + 2, halla, utilizando la definición de valor numérico y mediante
el teorema del resto, su valor para:
a) x = 2 b) x = −1
a) P(x) = x 4 − 3x + 2 → P(2) = 12
1 0 0 −3
2
2 2 4 8 10
1 2 4 5 12 → P( 2) = 12
b) P(x) = x 4 − 3x + 2 → P(−1) = 6
→ P(1) =−12
→ P(5) =−52
→ P(−1) =−16
→ P(7) = 0
→ P(3) =−40
→ P(−5) =−312
1 0 0 −3
2
−1 −1 1 −1
4
1 −1 1 − 4 6 → P( 2) = 12
Determina cuánto vale a, sabiendo que el valor numérico de P(x) = x 3 −2x 2 −3x + a,
para x = 2, es nulo: P(2) = 0.
1 −2 −3
a
2 2 0 −6
1 0 −3 a−6 → a− 6 = 0 → a = 6
SOLUCIONARIO
3
89

90
Polinomios y fracciones algebraicas
016
017
018
019
020
Calcula estos números combinatorios.
a)
⎛7⎞
⎜
⎝⎜
2⎠⎟
b)
⎛7⎞
⎜
⎝⎜
5⎠⎟
c)
⎛12⎞
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
d)
⎛8⎞
⎜
⎝⎜
7⎠⎟
a)
⎛7⎞
⎜
7!
=
⎝⎜
2⎠⎟
2!· 5!
=
7 · 6
2 · 1
= 21 c)
⎛
⎜12⎞
12!
=
⎝⎜
3 ⎠⎟
3!· 9!
12 · 11 · 10
=
3 · 2 · 1
= 220
b)
⎛
⎜7⎞
7!
=
⎝⎜
5⎠⎟
5!· 2!
= 21
d)
⎛
⎜8⎞
8!
=
⎝⎜
7⎠⎟
7!· 1!
= 8
Desarrolla las siguientes potencias, utilizando el binomio de Newton.
a) (2x −5) 3 b) (x3 + 2x) 5
a) (2x − 5) 3 = 8x 3 − 60x 2 + 150x − 125
b) (x 3 + 2x) 5 = x 15 + 10x 13 + 40x 11 + 80x 9 + 80x 7 + 32x 5
Comprueba si los siguientes números son raíces del polinomio
P(x) = x4 + 3x3 −2x 2 + 6x −8.
a) x = 1 b) x = 2 c) x =−1 d) x =−4
a) P(1) = 1 4 + 3 ⋅ 1 3 − 2 ⋅ 1 2 + 6 ⋅ 1 − 8 = 0
Por tanto, x = 1 es una raíz del polinomio.
b) P(2) = 2 4 + 3 ⋅ 2 3 − 2 ⋅ 2 2 + 6 ⋅ 2 − 8 = 36
c) P(−1) = (−1) 4 + 3 ⋅ (−1) 3 − 2 ⋅ (−1) 2 + 6 ⋅ (−1) − 8 =−18
d) P(−4) = (−4) 4 + 3 ⋅ (−4) 3 − 2 ⋅ (−4) 2 + 6 ⋅ (−4) − 8 = 0
Por tanto, x =−4 es una raíz del polinomio.
Calcula las raíces enteras de estos polinomios.
a) P(x) = x 3 −1
b) Q(x) = x 3 −9x 2 − x + 105
a) 1 0 0 −1 b) 1 −9
−1
1 1 1 1
7 7 −14
1 1 1 0
1 −2
−15
5 5 15
1 3 0
La raíz entera del polinomio es 1. Las raíces enteras son {−3, 5, 7}.
Factoriza estos polinomios.
a) 2x 3 −8x 2 + 2x + 12
b) 3x 3 −8x 2 −20x + 16
c) 2x 4 + 15x3 + 31x2 + 12x
a) 2x 3 − 8x 2 + 2x + 12 = 2(x + 1)(x − 2)(x − 3)
b) 3x 3 − 8x 2 − 20x + 16 = (x + 2)(x − 4)(3x − 2)
c) 2x 4 + 15x 3 + 31x 2 + 12x = x(x + 3)(x + 4)(2x + 1)
105
−105
0

021
022
023
Encuentra las raíces enteras de los polinomios.
a) 12x + 2x 3 + 4 + 9x2 b) x4 −8x 2 −9
c) 2x 5 + 10x4 + 28x3 + 32x2 a) 2 9 12
−2 −4
−10
2 5 2
−2 −4
−2
2 1 0
b) 1 0 −8
−3 −3
9
1 −3
1
3 3 0
1 0 1
Esta raíz no es entera.
c) Sacamos factor común: 2x 2 (x 3 + 5x 2 + 14x + 16)
Simplifica estas fracciones algebraicas.
a)
2 x + 2x + 1
x( x+
1)
b)
2 2
( x −9)( y −16)
2
xy( 2x− 6)( y + 4)
a)
b)
1
2x + 1= 0 → x =−
2
1 5 14 16
−2 −2 −6 −16
1 3 8 0
( x + ) x
x( x+
) x
= +
1 2 1
1
( x + )( x− )( y + )( y−
) ( x )(
=
xy ( x − )( y + )
+
3 3 4 4 3 y − 4)
2
2 3 4
2xy( y + 4)
Reduce a común denominador.
a)
x − 1
y
xy
x + 2
y −1
b)
x
,
2 ( x −1)
−3 x
y
−x−1 4
4
−4
0
0
−3
−3
3
0
−9
9
0
( x−1)( y−1)
xy( x + 2)
a) y
xy( y −1)
xy( y −1)
2
2
2
4x
−12( x −1)
−x( x− 1)(
x+1
b) , y
2
2
4x( x−1)
4x( x−1)
4 1 2
)
x( x− )
La única raíz entera es −2.
Las raíces enteras son {−3, 3}.
Las raíces enteras son {−2, 0}.
SOLUCIONARIO
3
91

92
Polinomios y fracciones algebraicas
024
025
Resuelve las operaciones y simplifica el resultado.
a)
c) 1
Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
a)
b)
2 x 7( x −1)
+
y xy
3
b) − +
x y
+ − y
y
a)
b) − 3
3
3yxx − 3y
+ =
2 2 2 2
2 2
x y x y x y
c)
d) − − − 2 2
3x( x 2) x + x −4
=
x x
x
e)
f)
2 4xy1 ⋅
y xy
−
xy 3y
2 ( x −1) x −1
:
⎡
x + 1 ⎤
c) ⎢(
2+ 4x)
⋅ ⎥ : ( 4x+ 4)
⎢
⎣ 6x+ 3⎥
⎦
a)
b)
c)
2 2
3 3
x 7x7 x 7x 7
+
xy xy
xy
− + −
=
y y
y
+
y y
y
− 2 2( − 1)
=
( x + )( x−
) x x
x x x( x
+
x −
x
x
− +
1 1 3 1 2 − 3 2 − 3
= =
1 −1
−1
x −1
6x
2x
2
3
2
x
y
3 6x − 4x
x 1 5x1 − +
2 2 2
2x
2x
2x
+ +
=
2 4x ( y−
1) 4x( y−1)
=
2 2
xy
y
xy( x − 1)
x
=
2 3y( x−1)
3( x − 1)
22 ( x + 1)( x + 1)
1
12( 2x + 1)( x + 1)
6
=
d) − − − ( x )
3
x
2 2
2 x − 3x + 1
e) ( x + 1)
+
x −1
2 3x− 2 x −1
f) 3x
− +
2
x 2x
2 2 )

026
027
028
Sean los polinomios P(x) = x 3 −5x 2 + 2x −3, Q(x) =−x 3 + 5x +1
y R(x) =−2x2 − x + 2.
Determina los siguientes valores numéricos.
a) P(2)
b) Q(−1) e) R(−1) + Q(2)
f) Q −
⎛
c) R
⎞
⎜ 2
⎝⎜
3 ⎠⎟
1
d) P( 2 )
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
3 2
a) Px ( ) = x − 5x+ 2x− 3→P( 2) =−11
⎛ ⎞
c) Rx ( )=− x − x+ R ⎜
⎝⎜
⎠⎟
d) P( 2)= 4 2 −13
=
3 b) Qx ( ) =− x + 5x+ 1→Q( − 1) =−3
2 1
2 2 → 1
2
e) R( − 1) + Q(
2) = 1+ 3= 4
f) Q −
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=−
2 55
3 27
Encuentra el valor de a y b de modo que, para P(x) = 8x 3 + ax2 + bx + 1, se cumple
que P(−1) = −29 y P .
1 ⎛ ⎞
⎜ 4
⎝⎜
2 ⎠⎟
=
3 2
P( − 1) =−29 → 8( − 1) + a( − 1) + b( − 1) + 1=−29 → a− b =−22
1
P 4 8 a
2
1
3
⎛ ⎞
⎜
1
⎜
⎝⎜
⎠⎟
2 2
=
⎫⎪
32
⎪ a =−
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ ⎜ + ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜ + ⎜
⎬
⎪
1
3
b
⎝⎜
⎠⎟
⎜ + 1= 4 → a+ 2b = 12 ⎪
⎝⎜
⎠⎟
⎪ 34
2
b =
⎭⎪
3
Realiza las siguientes operaciones.
a) (3x + 5)(x −2)
b) (4x −1)(4x + 1)
c) (2x −3) 2
d) (−3a + 6) 2
e) (2p 2 −3q) 2
f) (−3x 2 −1) 2
g) (5a 3 b −2ab 2 )(5a 3 b + 2ab 2 )
2
a) ( 3x + 5)( x − 2) = 3x − x −10
2
b) ( 4x − 1)( 4x + 1) = 16x −1
2 2
c) ( 2x − 3) = 4x − 12x + 9
2 2
d) ( − 3a+ 6) = 9a − 36x + 36
e) ( 2p − 3q) = 4p − 12pq+ 9q
2 2 4 2
2 2 2
f) ( −3x − 1) = 9x + 6x + 1
g) ( 5ab− 2ab)( 5ab+ 2ab) = 25ab−4ab 3 2 3 2 6 2 2 4
SOLUCIONARIO
3
93

94
Polinomios y fracciones algebraicas
029
030
031
Efectúa y compara los resultados de estas operaciones.
a) 5(x 2 − x + 1) −2(x2 + 3)
b) 5(x 2 − x) + 1 −2x2 + 3
c) 5(x 2 − x) + 1 −(2x2 + 3)
d) 5x 2 −(x + 1)(−2x2 + 3)
e) (5x 2 − x + 1)(−2x2 + 3)
2 2 2
a) 5( x − x + 1) − 2( x + 3) = 3x −5x −1
2 2 2
b) 5( x − x) + 1− 2x + 3 = 3x − 5x + 4
2 2 2
c) 5( x − x) + 1− ( 2x + 3) = 3x −5x −5
2 2 3 2
d) 5x − ( x + 1)( − 2x + 3) = 2x + 7x −3x −3
2 2 4 3 2
e) ( 5x − x + 1)( − 2x + 3) =− 10x + 2x + 13x − 3x + 3
Los resultados son diferentes según el orden de las operaciones determinado
por los paréntesis.
Efectúa y simplifica lo máximo posible.
a) (3x2 −5)(−x + 3) − x2 + 3x
b) (−x + y) 2 + (x − y) 2
c) 3a2 −5a(a2 −2a)
d) (3a 2 −5a)(a2 −2a)
2 2 3 2
a) ( 3x −5)( − x + 3) − x + 3x =− 3x + 8x + 8x −15
b) ( − x + y) + ( x − y) = 2x − 4xy + 2y
2 2 2 2
c) 3a −5a( a − 2a) =− 5a + 13a
2 2 3 2
d) ( 3a −5a)( a − 2a) = 3a − 11a + 10a
2 2 4 3 2
Realiza las operaciones, siendo:
P(x) = x 2 −3x + 5 Q(x) = 2x2 + 5 R(x) = 4x −3
a) P(x) + Q(x) − R(x)
b) P(x) − Q(x) ⋅ R(x)
c) (P(x) − Q(x)) ⋅ R(x)
d) 3Q(x) −(x + 1) ⋅ R(x)
e) −P(x) + 2Q(x)
f) P(x) − R(x) 2
2
a) P( x) + Q( x) − R( x) = 3x− 7x+ 7
3 2
b) P( x) −Q( x) ⋅ R( x) =− 8x + 7x − 23x + 20
3 2
c) ( P( x) −Q( x)) ⋅ R( x) =−4x− 9x+ 9x
2 2
d) 3Q( x) − ( x+ 1) ⋅ R( x) = 6x + 15 − ( x+ 1)( 4x − 3) = 2x
− x+
12
2
e) − P( x) + 2Q( x) = 3x+ 3x+ 5
2 2
f) P( x) − R( x) =− 15x + 21x −4

032
033
Haz estas divisiones y comprueba su resultado.
a) (x 3 −2x2 + 4x −3) : (x2 + 3x −1)
b) (2x 3 −5x + 2) : (x2 −2x + 1)
c) (x 4 + 4x3 ) : (x2 −2)
d) (x 3 + x2 −14x −16) : (2x −4)
a) 3 2 x − 2x + 4x− 3 2 x + 3x−1 3 2 −x − 3x + x x−5
2 − 5x + 5x−3 2 5x
+ 15x − 5
20x − 8
2 3 2
( x + 3x−1)( x− 5) + 20x− 8 = x − 2x + 4x−3 b) 3 2x − 5x + 2 2 x − 2x + 1
3 2 − 2x + 4x − 2x 2 4x − 7x + 2
2 − 4x
+8x−4 x − 2
2x + 4
2 3
( x − 2x + 1)( 2x + 4) + x− 2= 2x − 5x + 2
c)
4 3 x + 4x 2 x −2
4 − x 2 + 2x 3 2 4x + 2x
2 x + 4x + 2
3 − 4x + 8x
2 2x+ 8x
2 − 2x+ 4
8x+ 4
2 2 4 3
( x − 2)( x + 4x + 2) + 8x + 4 = x + 4x
3 x + 2 x −14x−16 2x−4 3 2 − x + 2x
2 3x −14x−16 − 3 + 6
1 2 3
x + x−4
2 2
− 8 −16
8 −16
− 32
⎛
2 − 4 ⎜ + −
⎝⎜
1
d)
2 x x
x
x
2 3 ⎞
3 2
( x ) x x 4 − 32 = x + x −14x−16 2 2 ⎠⎟
Comprueba si esta igualdad es cierta.
(x2 −3x + 2)(2x −1) + (3x −2) = 2x3 −7x2 + 10x −4
2 3 2
( x − 3x + 2)( 2x − 1) + ( 3x − 2) = 2x − 7x + 7x − 2+ ( 3x − 2)
=
3 2 = 2x − 7x + 10x −4
SOLUCIONARIO
3
95

96
Polinomios y fracciones algebraicas
034
035
036
Encuentra P(x), Q(x), R(x) y S(x), tales que:
a) P(x) + (x2 −3x + 5) = x3 −6x + 2
b) 2x3 −6x + 3 − Q(x) = x2 + 5x −2
Rx ( )
c) 1−
= x + 3
2 ( 2x− 1)
d)
3 2 2x − 5x + 5x + 4
= 2x+ 1
Sx ( )
3 2 3 2
a) P( x) = x − 6x+ 2−( x − 3x+ 5) = x − x −3x−3 3 2 3 2
b) Q( x) = 2x− 6x+ 3− ( x + 5x− 2) = 2x− x − 11x+ 5
2 2 3 2
c) Rx ( ) = ( 1− ( x+ 3))( 2x− 1) = ( −x−2)( 4x− 4x+ 1) =−4x
− 4x + 7x −2
3 2
d) S( x) = ( 2x− 5x+ 5x+ 4) : ( 2x+ 1)
3 2 2x − 5x + 5x + 4 2x + 1
3 2 2
−2x − x x − 3x + 4 = S( x)
2 − 6x + 5x
+ 4
2 6x + 3x
8x+ 4
−8x−4 0
¿Cuánto deben valer a y b para que se cumplan estas igualdades?
a) (x −3)(ax + b) = 2x 2 −7x + 3 c) a(x −2) + b(2x + 1) = 13x −1
b) (ax + 3)(4x − b) = 8x2 + 6x −9 d) a(x2 + 2x) + b(3x + 7) + x2 = 5x2 − x −21
a) ( x − 3)( ax + b) = 2x − 7x + 3
2 →
b) ( ax + 3)( 4x− b) = 8x + 6x−9 2 →
⎧a
=
⎨
⎪ 2
⎩⎪ b =−1
⎧a
=
⎨
⎪ 2
⎩⎪ b =−3
⎧a
=
c) ax ( − ) + b( x+ ) = x−
⎨
⎪ 3
2 2 1 13 1→
⎩⎪ b = 5
⎧
2 2 2
a = 4
d) ax ( + 2x) + b( 3x+ 7) + x = 5x− x−21→⎨
⎪
⎩⎪
b =−3
Realiza estas divisiones, empleando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto.
a) (x3 −3x2 + 5x −1) : (x −2) c) (2x4 + 3x2 + 5) : (x + 1)
b) (2x3 + x2 −4) : (x + 3) d) (x3 −2x ) : (x −3)
a) 1 −3 5 −1
2 2 −2
6
1 – 1 3 5 2
→ C( x) = x − x+ 3 R( x)
= 5

037
038
039
b) 2 1 0 −4
−3−615 −45
2 −515 − 49 2
→ C( x) = 2x − 5x + 15 R( x)=−49
c) 2 0 3 0 5
−1 −2 2 −5
5
2 −2 5 − 5 10 3 2
→ C( x) = 2x− 2x+ 5x−5 R(x)
= 10
d) 1 0 −2
0
3 3 9 21
1 3 7 21 2
→ C( x) = x + 3x+ 7 R( x)
= 21
Completa las siguientes divisiones.
a) 1 2
2 2
1 2
b) 2 4 7 −2
−1 −2
−2 −5
2 2 5 −7
c) 2 −5 0 −4
1
3 6 3 9 15
2 1 3 5 16
Determina el valor de m.
−3 5
8 10
5 15
−4
1 m −3 0
−20
SOLUCIONARIO
1 m −3
0
−4 −4 16−4m 16m−52 1 m−4 13−4m −20 → 16m− 52=−20 → m = 2
Utiliza la regla de Ruffini para decidir si el primer polinomio es divisible
por el segundo.
a) P(x) = x4 −3x3 + 2x2 −10x + 3 y Q(x) = x −3
b) P(x) = 2x3 + 5x2 −10x + 8 y Q(x) = x + 5
a) 1 −3 2 −10
3
3 3 0 6 −12
1 0 2 −4 −9 → No es divisible
b) 2 5 −10
8
−5 −10 25 −75
2 −5 15 −67 → No es divisible
3
97

98
Polinomios y fracciones algebraicas
040
041
042
043
044
045
046
Comprueba, sin emplear la regla de Ruffini, si el primer polinomio es divisible
por el segundo.
a) P(x) = 2x3 −3x2 −14x + 15 y Q(x) = x −3
b) P(y) = y 3 + 2y2 −6y −9 y Q(y) = y + 2
a) P(3) = 54 − 27 − 42 + 15 = 0 → Es divisible
b) P(−2) =−8 + 8 + 12 − 9 = 3 → No es divisible
Calcula el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas ni emplear la regla de Ruffini.
a) P(x) = x 4 + 2x3 −x2 + 4x −6 y Q(x) = x −3 c) P(x) = x3 −10x + 3 y Q(x) = x −1
b) P( t) = 2t 3 + 4t −8 y Q( t) = t + 5 d) P(x) = 3x −x3 −10x2 y Q(x) = x + 2
a) R = P(3) = 81 + 54 − 9 + 12 − 6 = 132 c) R = P(1) = 1 − 10 + 3 =−6
b) R = P(−5) = −250 − 20 − 8 =−278 d) R = P(−2) =−6 + 8 − 40 =−38
¿Qué valor debe tomar a para que el resto de dividir x 3 + ax 2 −3x −a entre x −4 sea 67?
Determina a y b de manera que el polinomio x 3 + ax 2 + bx −6 sea divisible
por x −2 y por x + 3.
Comprueba si M(x) = 2x 3 −5x 2 + 4x −4 es divisible por x −2 y, en caso afirmativo,
encuentra un polinomio N(x) que permita escribir M(x) de la forma:
M(x) = (x −2) ⋅ N(x).
Calcula x para que se cumplan las siguientes igualdades.
a)
R = P( 4) = 67 → 64+ 16a−12− a = 67 → 15a = 15 → a = 1
Si es divisible por x− 2 → P( 2) = 0 → 8+ 4a+ 2b− 6 = 0 → 4a+ 2b
=−2
Si es divisible por x + 3 → P( − 3) = 0 → − 27+ 9a−3b− 6 = 0 → 9a−
3b = 33
2a+ b =−1⎫a2
⎬
⎪ =
3a− b = 11⎭⎪b=−5
2 −5 4 −4
2 4 −2
4
2 − 1 2 0 2
→ N( x) = 2x− x+
2
⎛8⎞⎛8⎞
⎜ = ⎜
⎝⎜
x⎠⎟
⎝⎜
6⎠⎟
b)
⎛ x⎞⎛x⎞ ⎜ = ⎜
⎝⎜
3⎠⎟ ⎝⎜
7⎠⎟
c) a ⎛ ⎞ ⎛
⎜ a⎞
= ⎜
⎝⎜
x⎠⎟
⎝⎜
5⎠⎟
a) x = 2 b) x = 10 c) x = a − 5
Desarrolla y simplifica.
a) (x + 3) 4 c) (3p + 2) 4 i) (x2y −3) 5
b) (x − y) 5 d) (−p + 2p2 ) 4 f) (−3p −5p2 ) 3 h) 5 2 2 j)
⎛
⎜ 2 1 ⎞
x +
⎝⎜
x ⎠⎟
5
g)
(
3 2
− )
4
e)
5
⎛ 1 ⎞
⎜ −2
⎝⎜
x
3 ⎠⎟
( + )
6

d) ( − + ) = ( )
⎛
⎜4⎞
− +⎛⎜4⎞
⎞
2 4 4
3 2 p 2p
p
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
− ⋅ +⎛⎜4
2 2 2
( p) p ( −p) ⋅ ( p ) +⎛⎜4⎞
2
2 − ⋅ +
⎟ ⎝⎜
2⎠⎟
⎝⎜
3⎠⎟
+ ⎛
( p) ( 2p
)
⎞
⎜4
( p ) = p
⎝⎜
4⎠⎟ 2
4
c) ( 3 2)
( ) (
0
23
2 4 4 5 6 7 8
− 8p + 24p − 32p + 16p
3
4 4 4
p+ = p
1
⎛ ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ 3 4 2 2 4
3p) ⋅ 2+
( 3p) 2
⎝⎜
⎠⎟
2 3
⎛ ⎞
⎜ ⋅ +
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
⎜
4
3 2
⎝⎜
⎠⎟
4 2
3 4
p ⋅ +
4 3 2
81p 216p 216x 96
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
b) ( x− y) = x x (
= + + + x + 16
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5 ⎜5
5+ ⎜5
4⋅−y)
+ x ( y) x (
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ ⋅− +
⎝⎜
⎠⎟
⎛
5
⎞
3 2 ⎜5
2⋅− +
2 ⎝⎜
3⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ ⋅− +
⎝⎜
⎠⎟
+ ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
−
3 5
4
y) x ( y)
4
5
( y) x x y x y x y xy y
5
5 5 4 3 2 2 3 4 5
a) ( x + ) = x x
= − 5 + 10 − 10 + 5 −
⎛
⎜4⎞
⎛
+ ⎜4⎞
⎛
4 4 3 4⎞
3
⋅ 3 + ⎜ 2 2 4 3 4
⋅ 3 + 3
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
3 4
⎛ ⎞ ⎞
x ⎜ x⋅ +⎛⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜⎝
⎠⎟
= 4 3
4 3 2
= x + 12x + 54x + 108x + 81
5
i) 2 5 5 2 5 5
( x y− 3)
= ( x y)
0 1
⎛ ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ ⋅− +
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ ⋅− +
⎝⎜
⎠⎟
⎛
2 4 5 2 3 2 5⎞
( x y) ( 3)
( x y)
( 3)
⎜ ⋅− +
2
⎝⎜
3⎠⎟
+ ⎛
2 2 3
( x y)
( 3)
⎞
⎜5
2 x y⋅(
− +
⎝⎜
4⎠⎟
⎛
h) ( 5 − 2
5 5
2 ) =
0
5 5
5
1
5
⎞
4 3 ⎜5
5
) ( − 3)
=
⎝⎜
5⎠⎟
10 5 8 4 6 3 4 2 2
= x y − 15x y + 90x
y − 270x y + 405x y−243
⎛ ⎞
⎜ (
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
) + ⎜ (
⎝⎜
⎠⎟
) ⋅− ( )+ ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
( ) ⋅− ( ) +
+ ⎛
4
2
5
2
2
3
5 2
2
2
⎜5⎞
(
⎝⎜
3⎠⎟
2
5) ⋅− ( 2
3 ⎛ ⎞
) + ⎜5
2
⎝⎜
4⎠⎟
4 ⎛5⎞
5 ⋅− ( 2 2)
+ ⎜
⎝⎜
5⎠⎟
−
g) ( 3 +
4 4
2 ) =
0
4 4
3
1
3
5
( 2 2)
=
= 25 5 − 250 2 + 400 5 − 800 2 + 320 5 −128 2
⎛ ⎞
⎜ (
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
) + ⎜ (
⎝⎜
⎠⎟
)3⋅( 4
2 )+
2
2
3
2
2
4
3
⎛ ⎞
⎜ (
⎝⎜
⎠⎟
) ⋅( ) +
+ ⎛
f) ( − − ) = ( )
⎞
⎜ (
⎝⎜
⎠⎟
3)⋅( 3 ⎛ ⎞
) + ⎜4
2 (
⎝⎜
4⎠⎟
4
2 ) =
= 9+ 12 6 + 36+ 8 6 + 4 = 49 + 20 6
⎛
⎜3⎞
− +⎛⎜3⎞
⎟
⎞
23 3
2 2 3p 5p
3p
− ⋅ − +⎛⎜3
2 2 3 2 3
( 3p) ( 5p
) ( −3p) ⋅( −5p
) + 5
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎟⎠
⎝⎜
2⎠⎟
3
3 4 5
27 135 225
⎛ ⎞
⎜ ( − p ) =
⎝⎜
⎠⎟
=− p − p − p −125
6
e)
⎛ 1 ⎞
⎜
⎛5⎞⎛
1 ⎞
⎜ − 2 = ⎜ ⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
0⎠⎟
⎜
⎟ ⎛
x + ⎜5⎞⎛
⎜ 1 ⎞
5⎞⎛
⎝⎜
3 ⎟ ⎠ ⎝⎜
⎠⎟
⎜ ⋅− ( 2x)
+⎛ ⎜ ⎜ 1 ⎞
1 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
⎜ ⋅− +⎛⎜5⎞
⎟
⎛ ⎞
2 ( 2x)
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
3⎠⎟
⎜ ⋅− +
⎝⎜
⎠⎟
+
p
⎛
1
3 ( 2x)
3
⎞
⎜5
1
⋅ ( − ) + ( )
⎝⎜
4⎠⎟
3
⎛ ⎞
4 ⎜5
5
2x
− 2x
=
⎝⎜
5⎠⎟
1 10 40 2 80 3 80 4 5
= − x + x − x + x −32x
243 81 27
9 3
6
5 4
j)
⎛
⎜ 2
⎜x
+
⎝⎜
1 ⎞ ⎛6⎞
2 6 6
= ⎜ x +
x ⎠⎟
⎝⎜
0⎠⎟
1
⎛ ⎞
( ) ⎜ ⋅ +
⎜⎝
⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ ⋅
⎝⎜
⎠⎟
⎛
25 1 6 24
( x ) ( x ) ⎜ 1 ⎞ ⎛ ⎞
⎜ + ⎜ ⋅
x 2 ⎝⎜
x ⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
⎛ 6 ⎞
23 ⎜ 1
( x ) ⎜ +
3 ⎝⎜
x ⎠⎟
4
6 22 1 6
+
4
5
⎛ ⎞
⎜ ⋅
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
⎜
⎛ ⎞
( x ) ⎜ + ⎜ ⋅
⎝⎜
x ⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
⎛
5
⎞
⎜
⎛ ⎞⎛
2 1
⎜ + ⎜6
1 ⎞
x
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
⎝⎜
6⎠⎟
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
=
6
12 9 6 3
1
= x + 6x + 15x + 20x + 15+ 6⋅
+
3 x
1
x6 3
2
SOLUCIONARIO
2
3
3
99

100
Polinomios y fracciones algebraicas
047
048
049
Determina en los desarrollos los términos que se indican.
a) Séptimo término de (x + 2y) 10 .
b) Décimo término de (x2 −3) 15 .
c) Decimosexto término de (2p + q 2 ) 28 .
d) Decimocuarto término de (−a + 2) 21 .
a) 10 ⎛ ⎞
⎜ x ⋅ ( 2y) = 13. 440x
y
⎝⎜
6 ⎠⎟
b) 15 ⎛ ⎞
⎜ ( x ) ⋅− ( 3) =−98.
513. 415x
⎝⎜
9 ⎠⎟
c)
4 6 4 6
2 6 9 12
⎛28⎞
⎜
13 2 15
( 2p) ⋅ ( q ) = 306. 726. 174.
720p q
⎝⎜
15⎠⎟ d) 21 ⎛ ⎞
⎜ ( −a) ⋅ 2 = 1. 666. 990. 080a
⎝⎜
13⎠⎟
8 13 8
Encuentra los términos indicados de los siguientes desarrollos.
a) El término central de (3p 2 −2q) 12 .
b) El término que contiene x 12 en (2x2 + 1) 9 .
c) El término que contiene x11 10
⎛ 2 ⎞ 2
en ⎜ − x .
⎝⎜
x ⎠⎟
a) 12 ⎛ ⎞
⎜ 2 6 6 12
( 3p ) ⋅− ( 2q) = 43. 110. 144p
q
⎝⎜
6 ⎠⎟
6
b) 9 ⎛ ⎞
⎜ ( 2x ) ⋅ 1 = 5. 376x
⎝⎜
6⎠⎟ 2 6 3 12
3
c) 10 ⎛ ⎞⎛
2 ⎞
⎜ ⎜
27
8
120
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎜ ⋅− ( x ) =− ⋅ ⋅ x −960x
⎝⎜
x ⎠⎟
3 x
14 11
Calcula, empleando la fórmula del binomio de Newton, el valor de 5,13 y 0,992 ;
teniendo en cuenta que:
5,1 = 5 + 0,1 0,99 = 1 −0,01
13 30
3 3 3 3
5,1 5 0,1
0 5
3
= + =
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ + ⎜
3
( ) 5
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
2 5
2 2 3
⋅ +
3
⎛ ⎞ ⎞
⎜ ⋅ +⎛⎜
3
0,1 0,1 0,1 =
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
= 125 + 7,5 + 0,15 + 0,001= 132,651
2 2 2 2
0,99 1 0,01
0 1
2
= − =
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
( ) ⎜ + ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎟ ⋅− +⎛⎜2⎞
2
1 ( 0,01) ( − 0,01)
=
⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
= 1−
0,02 + 0,0001= 0,9801

050
051
052
Estas expresiones se obtienen al desarrollar algunas potencias. Hállalas.
a) 4x 2 + 20x + 25
b) 4a2 −12a + 9
c) 27x 3 −54x 2 + 36x −8
d) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16
a) 4x 2 + 20x + 25 = (2x + 5) 2
b) 4a 2 − 12a + 9 = (2a − 3) 2
c) 27x 3 − 54x 2 + 36x − 8 = (3x − 2) 3
d) 81p 4 + 216p 3 + 216p 2 + 96p + 16 = (3p + 2) 4
El séptimo y el octavo términos del desarrollo de una potencia son 1.792x 2 y 12
y 1.024xy 14 , respectivamente. Calcula la potencia.
Al ser dos monomios consecutivos y positivos, la potencia corresponde a un binomio
con dos términos positivos.
Como las potencias de x en los monomios conocidos corresponden
al antepenúltimo y al penúltimo términos del desarrollo del binomio de Newton,
y se trata de los términos séptimo y octavo, entonces la potencia correspondiente
es 8.
⎛8⎞
8⎞
⎜
2 12 2 12
= 28 → 1. 792x y = 28 ⋅ 64x
y =⎛⎜⋅
⎝⎜
6⎠⎟
⎝⎜
6⎠⎟
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
2 2 6 x ( 2y
)
8
14
14 8
2 7
8 → 1. 024xy
= 8 ⋅ 128 = 2
7
7
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅
xy x ( y )
La potencia es (x + 2y 2 ) 8 .
Factoriza estos polinomios.
a) 2x 3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
d) x 3 −5x2 + 3x + 9
e) 12x + 2x3 + 4 + 9x2 f) x4 −8x2 −9
g) 2x5 + 10x 4 + 28x 3 + 32x 2
3 2
a) 2x − 8x + 2x + 12 = 2( x−3)( x− 2)( x + 1)
3 2
b) 3x −8x − 20x + 16 = ( x− 4)( x + 2)( 3x−2) 4 3 2
c) 2x + 15x + 31x + 12x = x( x + 3)( x + 4)( 2x + 1)
3 2 2
d) x − 5x + 3x + 9 = ( x− 3) ( x + 1)
3 2 2
e) 12x + 2x + 4 + 9x = ( x + 2) ( 2x + 1)
4 2 2
f) x −8x − 9 = ( x− 3)( x + 3)( x + 1)
5 4 3 2 2 2
g) 2x + 10x + 28x + 32x = 2x ( x + 2)( x + 3x + 8)
SOLUCIONARIO
3
101

102
Polinomios y fracciones algebraicas
053
054
055
056
Determina las raíces de los siguientes polinomios.
a) (x −3)(x + 5)(x −2) e) x 3 + 8x2 + 17x + 10
b) x(x −2) 2 (2x + 1) f ) 3x3 + 7x2 −22x −8
c) (2x −1)(3x + 2)(x + 3) 2 g) 2x4 −11x3 + 21x2 −16x + 4
d) x 3 −3x 2 −6x + 8 h) x 4 −4x 3 −12x 2 + 32x + 64
a) ( x− 3)( x + 5)( x−2)
→ { 3,
−5,
2}
⎧
b) x( x− ) ( x+
) ⎨
⎪
⎫
2 1
2 2 1 → 0, 2,
− ⎬
⎪
⎩⎪ 2 ⎭⎪
⎧ 2 1 2
c) ( 2x− 1)( 3x + 2)( x + 3)
⎨
⎪
⎫
→ , − , −3⎬
⎪
⎩⎪ 2 3 ⎭⎪ ⎪
3 2
d) x −3x − 6x + 8 = ( x−4)( x− 1)( x + 2) → { 4, 1,
−2}
3 2
e) x + 8x + 17x + 10 = ( x + 1)( x + 2)( x + 5) → { −1, −2, −5}
⎧
3 2
1
f) 3x + 7x −22x− 8 = ( x− 2)( x + 4)( 3x + 1) → ⎨2,
−4, −
3
⎪
⎫
⎬
⎪
⎩⎪ ⎭⎪
4 3 2 2
g) 2x − 11x + 21x − 16x + 4 = ( x−2) ( x−1)( 2x−1) → 2, 1,
1 ⎧
⎨
⎪
⎫
⎬
⎪
⎩⎪ 2 ⎭⎪
4 3 2 2 2
h) x −4x − 12x + 32x + 64 = ( x− 4) ( x + 2) → { 4, −2}
De un polinomio de segundo grado, P(x), se sabe que P(1) =−6, que P(0) =−3
y que una de sus raíces es 3. Determina ese polinomio.
Por ser de segundo grado, el polinomio es de la forma: P(x) = ax2 + bx + c
Si P(1) =−6 → a + b + c =−6
Como P(0) =−3 → c =−3
Si 3 es una raíz del polinomio: P(3) = 0 → 9a + 3b + c = 0
Entonces, tenemos que:
Así, el polinomio es: P(x) = 2x2 a+ b =−3⎫a
⎬
⎪ = 2
9a+ 3b = 3⎭⎪b=−5
− 5x − 3
Obtén el valor de m para que el polinomio P(x) = mx 3 −6x 2 −4x + 8 tenga 2
como raíz.
Si 2 es una raíz del polinomio:
P(2) = 0 → 8m − 24 − 8 + 8 = 0 → 8m = 24 → m = 3
Halla el valor de n para que el polinomio P(x) = 2x 3 + 2x 2 + nx + 3 tenga −3
como raíz.
Si −3 es una raíz del polinomio:
P(−3) = 0 → −54 + 18 − 3n + 3 = 0 → −3n = 33 → n =−11

057
058
059
060
Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 2, 3 y 5, y otro polinomio
con el mismo grado que tenga como raíces −2, −1 y 4.
3 2
P( x) = ( x−2)( x−3)( x− 5) = x − 10x + 31x−30 3 2
Q( x) = ( x+ 2)( x+ 1)( x− 4) = x − x −10x−8 Encuentra un polinomio P(x) de segundo grado cuyas raíces sean 1 y −2,
y tal que P(3) = 30.
2
P( x) = a( x− 1)( x+ 2) = a( x + x−2)
Si P( 3) = 30 → a⋅ 10 = 30 → a = 3
2
Luego, el polinomio es: P( x)= 3x+ 3x−6 Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 3, −1 y −1
y tal que Q(2) =−18.
2 3 2
Q( x) = a( x− 3)( x+ 1) = a( x − x −5x−3) Si Q( 2) =−18 → a⋅( − 9) =− 18 → a = 2
3 2
Por tanto, el polinomio es: Q( x)= 2x−2x−10x−6 Descompón estos polinomios y calcula su máximo común divisor.
a) 6x 2 y 12x 3 y 2 z 18xy 3 z 2
b) 3x −6 5x −10 7x −14
c) 8x + 24 12x + 36 20x + 60
d) x 2 + x −6 2x2 −3x −2
e) 3x 2 + 9x −12 2x2 + 4x −16
f) 4x 2 + 16x + 16 6x2 + 42x + 60
g) 24x 2 −12x 90x2 + 135x −90
h) x 3 −2x2 −5x + 6 2x3−7x2 + 2x + 3
i) x 3 + 5x 2 + 6x 3x 3 + 9x 2
j) 3x 3 −7x 2 + 5x −1 x 3 −3x 2 + 3x −1
2 3 2 3 2
a) m.c.d. ( 6x y, 12x y z, 18xy z) = 6xy
b) 3x− 6 = 3( x−2)
⎫ ⎪
5x− 10 = 5( x−2)
⎪
⎬
7x− 14 = 7( x−2)
⎭
⎪ m.c.d. ( 3x−6, 5x−10, 7x−
14) = x−2
⎪⎪
SOLUCIONARIO
c) 8x + 24 = 8( x + 3)
⎫ ⎪
12x + 36 = 12( x + 3)
⎪
⎬ m.c.d. ( 8x + 24, 12x + 36, 20x
+ 60) = x + 3
⎪
20x + 60 = 20( x + 3)
⎪
⎭⎪
2 d) x + x− 6 = ( x− 2)( x + 3)
⎫
2
⎬
⎪
2 2 m.c.d. ( x + x−6, 2x
−3x− 2) = x−2
2x −3x− 2 = ( x− 2)( 2x + 1)
⎭⎪
3
103

104
Polinomios y fracciones algebraicas
061
062
Obtén el valor numérico de estas fracciones algebraicas en los valores
que se indican.
2 x + 1
a) para x = 3
3x+ 2
2 2x − 8x + 6
b) para x = 3
x −1
Simplifica, si es posible, estas fracciones algebraicas.
a)
b) 12 2 3 abc
2 3 8bc
c) 3 2 3 abd
5 3 6ba
d)
e)
2 e) 3x + 9x− 12 = 3( x− 1)( x + 4)
⎫
2
⎬
⎪
2 2
m.c.d. ( 3x + 9x− 12, 2x
+ 4x− 16)
=
2x + 4x− 16 = 3( x− 2)( x + 4)
⎭⎪
= 3( x + 4)
= 3x+ 12
2 2
f) 4x + 16x + 16= 4( x + 2)
⎫
2 6x + 42x + 60 = 6( x + 2)( x + 5)
⎬⎪
2 2
m.c.d. ( 4x + 16x + 16, 6x
+ 42x + 60)
=
⎭⎪
= 2( x + 2)
= 2x+ 4
2 g) 24x − 12x = 12x( 2x−1) ⎫
2
⎬
⎪
2 2
m.c.d. ( 24x − 12x, 90x + 135x− 90)
=
90x + 135x− 90 = 45( x + 2)( 2x−1)
⎭⎪
= 3(
2x− 1) = 6x−3 3 2
h) x −2x − 5x + 6 = ( x−3)( x− 1)( x + 2)
⎫
3 2
⎬
⎪
2x − 7x + 2x + 3=
(x−3)( x− 1)( 2x + 1)
⎭⎪
3 2
3 2 2
m.c.d. ( x −2x − 5x + 6, 2x
− 7x + 2x + 3) = ( x−3)( x− 1) = x − 4x + 3
3 2
i) x + 5x + 6x = x( x + 2)( x + 3)
⎫
3 2 2
⎬
⎪
3 2 3 2
m.c.d. ( x + 5x + 6x, 3x + 9x
) =
3x + 9x = 3x ( x + 3)
⎭⎪
2
= x( x+ 3) = x + 3x
3 2 2
j) 3x − 7x + 5x− 1= ( x−1) ( 3x−1) ⎫
3 2 3 2
( , )
3 2
3 ⎬
⎪ m.c.d. 3x − 7x + 5x−1 x − 3x + 3x− 1 =
x − 3x + 3x− 1= ( x−1)
⎭⎪
2 2
= ( x− 1) = x − 2x+ 1
a)
b)
2 xyz
2 z x
3+ 2x
3x
3+ 2x
2 2x
3 1 10
3⋅ 3+ 2 11
=
2 +
2 2⋅3 −8⋅ 3+ 6
= 0
3−1 c)
2 2a−a
6 − a
para a =−2
d)
2 y − 2xy
x + 2y
para x = 3 e y =−1
f)
g)
h)
i)
j)
c)
d)
3+ 6x
3x
2 3a −5a
3a
20 − 8a+ 4a
12 + 8a
6ab −3a
4b−2a 2
3 2
9x + 27x
18x + 54x
2( −2) −( −2)
6−− ( 2)
2 ( −1) −2⋅3( −1)
= 7
3+ 2( −1)
4 3
2
2
=−1

063
Realiza estas operaciones y simplifica.
a)
b)
c)
a)
b) 12 2 3
2
abc 3ab
=
2 3
2
8bc
2c
c) 3 2 3 abd d
=
6ba 2ab
d)
e)
3+ 2x
3x
3+ 2x
x
2 2
x x x
+ + − − +
2 5 3 3 1
3 4 6
3a−2 7 −a − 3+ 12a
− −
5 2 10
2 2
a −3 3a −11a
2a 1
− −
8 12 6
−
d) 3 2 x 8xy
⋅
2y
9
2 x yz xy
2 z x z
=
5 3 2
d) 3x
8xy
4x
⋅ =
2y
9 3
2 3
e) ab 2 3 2
8a
3b
: =
2c
6b
8ac
f) 3 + 4 6 2
⋅ =
2 9 − 9
+
x
x
x − x
f)
g)
h)
i)
j)
3+ 6 1 2
=
3
+ x
x
x
x
2 3a − 5a
3a−5 =
3a
3
20 − 8a+ 4a
12 + 8a
6ab − 3a
4b−2a 3 2 9x + 27x
18x + 54x
4 3
3a( 2b−a)
3a
=
=
22 ( b−a) 2
SOLUCIONARIO
2 9x x + 3 1
=
3 18x x + 3 2x
=
( )
( )
c)
2 2 2 2
a − 3 3a −11a
2a 1 3a 9 6a 22a 8a 4
− −
8 12 6
2
− − − + − +
=
4
2 3 14 5
=
24
=
− + −
b)
3a−2 7 − a − 3+ 12a
− −
5 2 10
=
6a−4− 35 + 5a+ 3 −12a
10
a
=
a a
− − 36
f)
a)
x + 2 5−3x +
3 4
3x + 1
− =
6
4x + 8+ 15−9x−6x− 2
12
− 11x + 21
=
12
10
3
e)
+ x
2
4
⋅
9 − x
ab2
2c
:
3 8a
6b
2
5 2
=
3 2
− + a a
+ a
2 2
3
105

106
Polinomios y fracciones algebraicas
064
065
Efectúa estas operaciones y simplifica.
a)
b)
c) a2
3 −3 3a −11a
2a1 − −
2
8a
12a
6
−
d)
Realiza estas sumas y restas, y simplifica el resultado.
a)
b)
2 5 3a+
b
− +
a b ab
1+ 2y 5y−x 3xy− 2x
− −
2 x
y
xy
3 1 2
a+ 2 2a 4 3a 6
− + − +
a)
b)
c) a2
3
3 3
− 3 3a −11a
2a 1 3a 9a 6a 22a 8
− −
2
8a
12a
6
− − − + − a
=
2 24a
2 11a 4a 13
=
24a
+ 4a
− + +
d)
e)
f)
g)
2 5 3a+ b 2b− 5a+ 3a+ b − 2a+ 3b
− + =
=
a b ab
ab
ab
1+ 2
2
5
−
2 3 2 2 2 3 2
2 5 3
− −
− = + − + −
y
x
y x
y
xy x
xy
y y x y x x y + 2x
2 x y
=
3 2 2
3x − 8x y + y + 2y
2 x y
3 1 2 18 3 4 11
a+ 2 2a 4 3a 6 6 a 2 6a 12
− + − − −
= =
+ ( + ) +
2 2
3−2 1 3 9 2 6 2 2
+ 2 3
2
+ +
+ =
p p p+ − p − p+ p+ p + + p p
=
p p
( p + )( p + )
p p
− + 2 11
2
3
+ 5 + 6
3 1 3 2 1
2a− 6 3 a 2a 6 2a 6
+ −
=
− − =
−
2 2
3x−1 x 2 3x 9x x 3 x 3x 2x 6
4x+ 12 4x12 4
− +
−
=
− − + − − − −
=
( x + 3)( x−3)
2 2x −15x−3 =
2 4x−36 3 1 2 x
+ +
2 3x + 6x
x 6x12 −
+
x + 1 2−3x −
2 2
x + x−6x
+ 3x
2
e)
f)
g)
c)
d)
3−2 1
+ 2 3
+ + p p
p p +
3 1
2a− 6 3 a
+ −
3x−1 x 2
4x+ 12 4x12 − +
−
3 2
=
=
2−3 1 1 2
2 2
+ 4 + 4 2 4 4
− a
+ a
−
a a a+
a −
4
3
2 2
3x −3x−18 2x 2x 4
−
+ −
3

066
Calcula y simplifica el resultado.
a)
b)
c)
a)
2 2
2
x + 1 2−3x x + x− 2x + 4+ 3x −6x
4x − 7x + 4
b)
− =
=
2 2
3 2
x + x−6x
+ 3x
x( x+
3)(
x − 2)
x + x −6x
c)
d)
⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ −1
1
⎝⎜
x ⎠⎟
: ⎜ +
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛ x ⎞
⎜
y
− y x
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
−
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
1
1 2
2 − 2
+
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
− ⎛
⎜ x ⎞
:
x ⎝⎜
x − ⎠⎟
a)
⎛ x ⎞ y
x y y x
b) ⎜
2 2
⎜ − y x
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
2
−
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
= − ⋅ − 5xy −2x−2y =
2
4
1
3
c)
1 2
2 − 2 2
+
⎛ ⎞ ⎛
⎜
⎜ x ⎞ − x x − 4 ( 3− x)( x−2)
3 − x
: −
⎝⎜
⎠⎟
⎜ = : = =
x ⎝⎜
x − ⎠⎟
− x x − 2 ( 2− x)( x−
4)
4 − x
⎛ 1 3
d) 3 − 3⎜
a + ⎞ ⎛ ⎞
⎜ −1
+ ⎜
1 3 2
+ 2 3
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎜ a ⋅ = −3⋅
2
⎝⎜
2 ⎠⎟
2 2
3 3
3
3 2
2
6 3 3 6 4
2
− + +
⋅ =
= − − + + =
= − + + +
a a
a
a
a a
= + a 15
2
e)
3 1 2 x 6 6x 12 2x
x
+ +
2 3x + 6x
x 6x12 6x x 2
−
+ = + + + −
( + )
2−3 1 1 2
2 2
+ 4 + 4 2 4 4
2 4 6 8 12
− +
−
+ − =
a
a
a a a a
2 2
a− a − + a− a + 4−2a−4a −4−8a =
=
2 2( a+ 2) ( a−2)
2 − 11a + 6a−8 =
3 2 2
2a
− 4a + 8a − 16a+ 8a−16 4
3
2 2
3x −3x−18 2x 2x 4
8x 8 9x 27
6 x 3 x 2
−
+ − =
− − +
2
( − )( + )( x − 1)
x 19
4 2 6x 54x 24x 72
=
=
− +
− − +
⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞
⎜
1 x x 2
⎜ −1
⎜ − +
: + 1
⎝⎜
x ⎠⎟
⎜ = : =
⎝⎜
2 ⎠⎟
x 2
− 2 2x
2 x + 2x
e)
x +
x −
x +
x
x + x
− −
⎛ 1 3
d) 3 −3⎜
a + ⎞ ⎛ ⎞
−1
2
⎝⎜
2 ⎠⎟
+ ⎜ +
⎝⎜
a
2 ⎠⎟
·
2
2 9
·
2 6 1
3 6 2 −6
2 2
x + x +
x
x x
⋅
x − x + x
x
− −
− =
2 2 6 1
( + 2) ⋅ 2( + 3)
− x
−
2 9 3 6 2 6 ( + 3)(
x− ) ⋅ ( x + ) ( x − )
x
( x ) ( x )
=
1
3 3 2 2 3
2 1−
1+ 3x
= − =
3 − 3 2 − 3 6x−18 f)
6x−28 4 1
2 x −x− 6 x + 2 x 3
− ⎛
⎞
: ⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
6x−28 4 1 6x28 f)
2 2
x − x− 6 x + 2 x 3 x
− ⎛
⎞
⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
=
−
x −
x
:
− x − x − x−
x
=
3 14 6 − 28
:
= 2
2 6
6 3 −14
2
SOLUCIONARIO
2 − x + 8x + 18
=
2 6x + 12x
3
107

108
Polinomios y fracciones algebraicas
067
068
069
Demuestra esta igualdad.
1
1
1
1 1
2 x −
1 1 x 1
x x x
+ ⎛
⎜
⎝⎜
⎞
+ ⎠⎟
−
⎛ ⎞
⎜ + − 1
⎜ =
⎝⎜
⎠⎟
2 −1 1
1 1
1
1
⋅ − =
−
− + = 1 1
1 1
x
x
x
( x )( x ) x +
1
1
2 x − x x
1
x 1
+ ⎛
⎞
⎜
⎝⎜
+ ⎠⎟
−
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
= +
Halla los valores de A y de B para que se cumpla la igualdad.
A
x +
B
x
x
x x
+ − =
2 4
−16
2 −2 −8
La relación entre el dividendo (D), el divisor (d), el cociente (C) y el resto (R)
en una división se puede expresar como:
Es decir, si al dividir x2 D
d
= C +
R
d
+ 3x + 5 entre x + 2 obtenemos como cociente x + 1 y resto 3,
podemos escribir:
2 x + 3x + 5
= x + 1+
x + 2
3
x + 2
Expresa de esta manera las siguientes fracciones algebraicas.
a)
b)
c)
d)
A
x +
B
x
Ax Bx
A B x A
x x
A+ B = 1 ⎫ A B A
→ ⎬
⎪ + = 1 ⎫
→ ⎬
⎪ = 3
− 4A+ 2B =−16⎭⎪2A−
B = 8⎭⎪B=−2
+ − =
− + +
=
+ −
+ −
2 4
( 4) ( 2)
( ) 4 + 2B
2 ( 2)( 4)
x −2x−8 =
x −16
2 x −2x−8 2 x + 3x
x + 4
2 2x − x + 3
x −2
3 2 x − 2x + 5x−1 2 x − x + 2
3 2x+ 2
2 x − x + 1
2 a) x + 3x x + 4 2 x + 3x
x
2 −x −4x
x → = x −
x + 4 x + 4
− x
b) 2 2x − x + 3 x−2
2 − 2x + 4x 3x+ 3
− 3x+ 6
9
2x + 3
2 2x − x + 3
→ = 2x+ 3+
x − 2
9
x − 2

070
071
072
d) 3 2x + 2 2 x − x + 1
3 2 − 2x + 2x − 2x 2 2x − 2x + 2
2 − 2x + 2x−2 0
2x + 2
→
3 2x+ 2
= 2x+ 2
2 x − x + 1
La igualdad (3x + 5) 2 = 9x2 + 25 es falsa, porque: (3 ⋅ 2 + 5) 2 9 ⋅ 22 + 25
Usa el mismo procedimiento para comprobar que las siguientes afirmaciones
son falsas, y después escríbelas correctamente.
a) (3 −2p) 2 = 9 −4p2 b) (2x −1) 2 = 2x2 −4x + 1
c) (5 −3x)(5 + 3x) = 25 −6x 2
a) Respuesta abierta: (3 − 2 ⋅ 3) 2 9 − 4 ⋅ 3 2
(3 − 2p) 2 = 9 − 12p + 4p 2
b) Respuesta abierta: (2 ⋅ 2 − 1) 2 2 ⋅ 22 − 4 ⋅ 2 + 1
(2x − 1) 2 = 4x2 − 4x + 1
c) Respuesta abierta: (5 − 3 ⋅ 1)(5 + 3 ⋅ 1) 2 25 − 6 ⋅ 12 (5 − 3x)(5 + 3x) = 25 − 9x2 .
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x 2 −2x −15, sabiendo que es múltiplo
de 4x + 5?
2 8x − 2x− 15 4x + 5
2 −8x −10x 2x−3 2 → 8x −2x− 15= ( 4x + 5)( 2x−3) −12x −15
12x + 15
0
SOLUCIONARIO
c) 3 2 x − 2x + 5x−1 2 x − x + 2
3 2 − x + x −2x 2 − x + 3x−1 2 x − x + 2
2x + 1
x−1
3 2 x − 2x + 5x−1 → = x − 1+
2 x − x + 2
2x+ 1
2 x − x + 2
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x2 −10x −3, sabiendo que una
3
de sus raíces es ?
2
3
Si es una raíz, entonces 2x − 3 es un factor del polinomio.
2
2 8x −10x−3 2x−3 2 − 8x + 12x 4x + 1
2
2x−3 → 8x −10x− 3= ( 2x− 3)( 4x + 1)
− 2x+ 3
0
3
109

110
Polinomios y fracciones algebraicas
073
074
075
076
Divide por medio de la regla de Ruffini el polinomio P(x) = x 3 −2x 2 + 3x + 1 entre:
a) x − 1
2
a)
1
2
1 −2
3 1
1
2
3
−
4
9
8
1
3
−
2
9
4
17
8
2 3 9
→ C( x) = x − x+ 2 4
17
R( x)
=
8
b) 1 −2
3 1
2 2 2−2 2 5 2 −4
1 2 −2 5−2 2 5 2 − 3
2
C( x) = x + 2 −2
x 5−
2 2 Rx ( ) = 5 2 −3
Determina un polinomio del que sabemos que:
a) Es de tercer grado. c) Se anula para x = 1.
b) Solo tiene dos términos. d) P(2) = 28
Al ser un polinomio de tercer grado es de la forma: P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Si se anula para x = 1: P(1) = 0 → a + b + c + d = 0
Como P(2) = 28 → 8a + 4b + 2c + d = 28
Si solo tiene dos términos, hay tres posibilidades:
a+ b = 0 ⎫ a 7
1) Si b0 y c = d = 0
⎬
⎪ = ⎫
→
⎬
⎪ → P( x) = 7x−7x 8a+ 4b = 28⎭⎪b=−7⎭⎪
14 ⎫⎪
a
a+ c = 0 ⎫
= ⎪
2) Si c 0 y b = d = 0
⎬
⎪ 3 14 3 14
→
⎬
⎪ → P( x) = x − x
8a+ 2c = 28⎭⎪
14
⎪
c =− ⎪
3 3
⎪
3 ⎭⎪
a+ d = 0 ⎫ a 4
3) Si d 0 y b = c = 0
⎬
⎪ = ⎫⎪
→
⎬
⎪
3
→ P( x) = 4x−4 8a+ d = 28⎭⎪c=−4⎭⎪
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea ab 2 c y cuyo mínimo común
múltiplo sea a 3 b 2 c 2 d.
Respuesta abierta.
P(x) = a 3 b 2 c
Q(x) = ab 2 c 2 d
( ) +
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea 2(x −3)(x + 5) 3 y cuyo
mínimo común múltiplo sea 2 ⋅ 3 2 (x −3) 3 (x + 5) 3 (x + 7).
Respuesta abierta.
P(x) = 18(x − 3)(x + 5) 3 (x + 7)
Q(x) = 2(x − 3) 3 (x + 5) 3
b) x − 2
3 2

077
078
079
080
Calcula estas raíces, sabiendo que los dos polinomios son cuadrados perfectos.
2 a) 9x − 12x + 4
4 3 2
b) x − 6x + 7x + 6x + 1
2 2
a) 9x − 12x + 4 = ( 3x− 2) = 3x−2 4 3 2 2 2 2
b) x − 6x + 7x + 6x + 1 = ( x −3x− 1) = x −3x−1 Comprueba con varios ejemplos que si m y n son dos números naturales
consecutivos, entonces:
m2 + n2 + m2n2 es un cuadrado perfecto.
Encuentra una demostración general de esta propiedad.
Si m= 1yn= 2 → m + n + m n = 9 = 3
Si m= 2 y n= 3→m + n + m n = 49 = 7
Si m= 3 y n= 4 → m + n + m n = 169 = 13
En general:
2 2 2 2 2 2 4 3 2
n= m+ 1→ m + ( m+ 1) + m ( m+ 1) = m + m + 2m+ 1+ m + 2m
+ m =
= m + 2m + 3m + 2m+ 1= ( m + m+
1)
El término general de la progresión aritmética: 5, 8, 11, 14, 17, 20, … es an = 3n + 2.
Calcula la expresión del término general de estas progresiones.
a) 1, 5, 9, 13, 17, …
b) −5, −3, −1, 1, 3, …
c) 8, 3, −2, −7, −12, …
d) −1, −4, −7, −10, …
a) a n = 4n − 3
b) a n = 2n − 7
c) a n =−5n + 13
d) a n =−3n + 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 3 2 2 2
Completa esta tabla y determina el polinomio que expresa el número de diagonales
de un polígono convexo en relación con su número de lados.
N. o de lados 3 4 5 6 7
N. o de diagonales 0 2 5 9 14
SOLUCIONARIO
x( x−
3)
1 2 3
Si x es el número de lados, entonces: P( x)
= = x − x
2 2 2
3
111

112
Polinomios y fracciones algebraicas
081
082
El director de un supermercado ha observado
que el número de clientes atendidos cada hora
por un dependiente está relacionado con su
experiencia. Ha estimado que ese número
puede calcularse de forma aproximada
40d
con la función: Cd ( )= , donde d
d + 3
es el número de días que el dependiente
lleva trabajando y C es el número de clientes
atendidos en una hora.
a) ¿Cuántos clientes por hora atendería un
dependiente que lleve trabajando
dos días?
b) El director sabe que un dependiente empieza a ser rentable a la empresa cuando
atiende a 32 clientes por hora. ¿Cuándo sucede eso?
c) Investiga lo que sucede con el número de clientes atendidos por dependientes
que tienen mucha experiencia. ¿Puedes constatar alguna característica
especial?
40 ⋅ 2
a) C( 2)
= 16 clientes
2+ 3
=
40d
b) 32 40d 32d 96 8d 96 d 12 días
d + 3
= = + = =
→ → →
c)
N. o de días 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
N. o de clientes 38,83 39,88 39,99 39,99 39,99
Si los dependientes tienen mucha experiencia, el número de clientes atendidos
se aproxima a 40, sin llegar a superarlo.
Una plancha de cartón mide 30 ×40 cm. En cada uno de sus vértices
recortamos un cuadrado de x cm de lado. Doblando las solapas que quedan
se forma una caja.
30 cm
40 cm
a) Expresa su volumen en función de x.
b) Calcula el volumen si x mide 2, 4, 6 y 8 cm.
c) Determina la medida de x para que el volumen de la caja sea máximo.
x
x

083
a) V(x) = x(40 − 2x)(30 − 2x)
b) V(2) = 1.872 cm3 V(4) = 2.816 cm 3
V(6) = 3.024 cm 3
V(8) = 2.688 cm 3
c) V(5) = 3.000 cm 3
V(7) = 2.912 cm 3
Suponiendo que el lado tiene como longitud un número entero, el volumen es
máximo cuando x = 6 cm.
Determina A, B y C para que se cumpla que:
2 7x+ 7
3 2 x −x −x− 2
Ax B
2 x x 1
C
x 2
=
+
+ + + −
Fíjate en la descomposición que hemos hecho de la fracción, para expresar
estas fracciones algebraicas como la suma de otras fracciones más sencillas.
2 x + x + 9
19 −2x
a)
b)
3 2 x + 2x + 9
2 x + x−6
2
2
7x+ 7 Ax B x 2 C x x 1
3 2
3 2
x − x − x−
2
x x x
=
( + )( − ) + ( + + )
− − − 2
2 2
7x + 7 = ( Ax + B)( x− 2) + C( x + x + 1)
=
2
2
= Ax − 2A
x + Bx −2B+
Cx + Cx + C =
2 = ( A+ C) x +− ( 2A+ B+ C) x +− ( 2B+
C)
A + C=
7⎫
⎪
C = 7 − A⎫⎪
A = 2
− A+ B+ C=
⎪
A B
2 0⎬−
2A+ B+
7− A = ⎬
⎪ − 3 + = 0⎫
0
⎪
− 2B+ C=
7⎪
⎪
⎬
⎪ B =−1
A B
⎭⎪
− B+ − A=
⎪ − 2 = 0
2 7 7⎭⎪
⎭⎪ C = 5
3 2 2
a) x + 2x + 9 = ( x + 3)( x − x + 3)
2 x + x + 9 Ax B C
3 2 2
x + 2x + 9 x x 3 x 3
2 x x 9 Ax B
=
+
− + + +
2
+ + = ( + )( x + 3) + C( x − x + 3)
=
2 2
= Ax + 3Ax + Bx + 3B+ C x − C x + 3C=
2 = ( A+ C) x + ( 3A+ B− C) x + ( 3B+ 3C)
2 x + x + 9 2 1
3 2 2
x + 2x + 9 x x 3 x 3
=
− + + +
2 b) x + x− 6 = ( x + 3)( x−2)
SOLUCIONARIO
A + C = 1⎫
⎪
C = 1−
A⎫⎪
A = 0
A+ B − C =
⎪
4A B 2
3 1⎬3A+
B− 1+ A=
1⎬
⎪ + = ⎫
⎪
3B+ 3C = 9⎪
⎪
⎬
⎪ B = 2
3A 3B 6
⎭⎪
3B+ 3− 3A= 9⎪−
+ =
⎭⎪
⎭⎪ C = 1
19 − 2
2 + − 6
=
−5
+ 3
3
2
+ 19 − 2
2 + − 6 3 2
19 2 2 3
x
x x x x −
= + + x A B
x x x x −
A+ B=−2⎫
− x = A( x− ) + B( x+ ) = ( A+
− +
⎬
⎪ A =−5
B) x 2A3B→ − 2A+ 3B= 19⎭⎪B=
3
3
113

114
Polinomios y fracciones algebraicas
084
085
PARA FINALIZAR...
Demuestra la propiedad que cumplen los números combinatorios.
⎛n⎞⎛n⎞⎛n⎞
⎞
a) ⎜ + ⎜ + ⎜ + +⎛⎜
⎝⎜
0⎠⎟ ⎝⎜
1⎠⎟ ⎝⎜
2⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
=
…
n
n 2
n
⎛55⎞
⎛55⎞
55⎞
⎛
b) ⎜ + ⎜ + … +⎛⎜
= ⎜55⎞
⎛
+ ⎜55⎞
⎛55⎞
+ …+ ⎜
⎝⎜
0 ⎠⎟
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎝⎜
54⎠⎟
⎝⎜
1 ⎠⎟
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
55⎠⎟
a) Si n = 1
Si n = 2
⎛
⎜1⎞
⎛
+ ⎜1⎞
→ = 1+ 1= 2
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ ⎜ + ⎜ + ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎠
2 2 2
= 1+ 2+ 1= 4 = 22
0 1 2⎟
⎛
Si n = ⎜3⎞
⎛
+ ⎜3⎞
⎛
+ ⎜3⎞
⎛
3 → + ⎜3⎞
= 1+ 3+ 3+ 1= 8 = 2
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
⎝⎜
3⎠⎟
3
Los números combinatorios verifican que:
⎛n⎞n⎞⎛n⎞
⎛
⎜ = 1=⎛⎜
⎜ = ⎜ n −1⎞
⎛n
+ ⎜ −1⎞
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
n⎠⎟
⎝⎜
m⎠⎟
⎝⎜
m −1⎠
⎟ ⎝⎜
m ⎠⎟
Así, para n = 4:
Análogamente, si para n la suma es 2 n , entonces para n + 1 la suma es:
2n ⎛4⎞
⎛4⎞
⎛4⎞
⎜
4
+ ⎜ + ⎜
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
n + 1 ⋅ 2 = 2 + ⎛ ⎞ ⎛4⎞
⎛4⎞
⎜
3
+ ⎜ = ⎜
⎝⎜
3⎠⎟
⎝⎜
4⎠⎟
⎝⎜
0⎠⎟
+ ⎛ ⎞ ⎛3⎞
⎛3⎞
⎜
3
+ ⎜ + ⎜
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
+ ⎛ ⎞ ⎛3⎞
⎛3⎞
⎜
4
+ ⎜ + ⎜
⎝⎜
2⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
⎝⎜
3⎠⎟
+ ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
4⎠⎟
3 3
0 1
=
= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎜ + ⎜ 3⎞
⎛3⎞
⎛4⎞
⎛
+ ⎜ + ⎜ + ⎜ 3⎞
⎛3⎞
⎛4⎞
+ ⎜ + ⎜ + ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
⎝⎜
3⎠⎟
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎝⎜
2⎠⎟
⎝⎜
4⎠⎟
=
= 8+ 8 = 8⋅ 2 = 24 b) n ⎛ ⎞
⎜
n
⎜
⎝⎜
m⎠⎟
n m
= ⎛ ⎞ ⎛
⎜ → ⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
⎝
55⎞
⎛
= ⎜55⎞
⎜
⎜ 0 ⎠⎟
⎝⎜
55⎠⎟
⎛
⎜55⎞
⎛55⎞
⎜ = ⎜
⎝⎜
1 ⎠⎟
⎜⎝
54⎠⎟
⎛55⎞
⎛55⎞
55⎞
⎛
⎜ + ⎜
⎝⎜
0 ⎠⎟
⎜ + …+⎛⎜ ⎝⎜
2 ⎠⎟
⎜ = ⎜55⎞
⎛
⎝ ⎜ ⎜54⎠⎟
⎜ + ⎜55⎞
⎛55⎞
⎝⎜
⎠⎟
⎜ + …+ ⎜
1 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⎜
⎝⎜
55⎠⎟
Demuestra, utilizando el método de inducción, las siguientes igualdades.
a) 1+ 2+ 3+
… + n =
nn ( + 1)
2
b) 2 2 2 2
1 + 2 + 3 + … + n =
nn ( + 1)(2n + 1)
6
c)
2
⎡
3 3 3 3 nn ( + 1)
⎤
1 + 2 + 3 + … + n = ⎢ ⎥
⎣
⎢ 2 ⎦
⎥
⎛
⎜55⎞
⎛
⎜ = ⎜55⎞
⎜
⎝⎜
2 ⎠ ⎟ ⎝⎜
53⎠⎟
⎛
⎜55⎞
⎛
⎜ = ⎜55⎞
⎜ ⎟
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
52⎟⎠
11 ( + 1)
a) Si n = 1 → 1=
2
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.

086
Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
2 2 2 2 2 kk ( + 1)( 2k+ 1)
2
1 + 2 + 3 + …+ k + ( k + 1)
=
+ ( k + 1)
=
6
=
3 2 2k + 3k
+ k
6
2 + k + 2k + 1
3 2 2k + 9k + 13k + 6
=
6
k 1 k
= +
→
( )( + +
=
= + + + +
2
+ 1
+ 3 + 2
1+ 2+ 3+ + + + 1=
+ + 1=
2
2
=
=
1
2 11 ( + 1)( 2⋅ 1+ 1)
b) Si n = 1→
1 =
6
2)( 2k 3)
6
( k 1)( k 2)( 2( k 1) 1)
6
+
kk ( )
k k
… k k
k
( k )( k + 2)
2
( k + 1)(( k + 1) + 1)
=
2
⎡ + ⎤
3 11 ( 1)
c) Si n = 1 → 1 = ⎢ ⎥
⎣
⎢ 2 ⎦
⎥
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
⎡
3 3 3 3 3 kk ( + 1)
⎤
1 + 2 + 3 + …+ k + ( k+
1)
= ⎢ ⎥ + ( k + 1)
⎣⎢
2 ⎦⎥
3 =
2 2
4 3 2 3 2
k ( k + 2k+ 1)
3 2
k + 2k + k + 4k
+ 12k + 4
=
+ k + 3k + 3k+ 1=
4
4
=
4 3 2 k 6k 13k 12k 4
=
4
2 2
k 1 k 2
4
+ + + + 2
( + )( + ) ⎡ ( k+ 1)(( k+
1) + 1)
⎤
= = ⎢
⎥
⎣
⎢ 2 ⎦
⎥
Dados los polinomios:
P(x) = 3x4 + 8x3 − 15x2 − 32x + 12
Q(x) = 2x4 + x3 − 16x2 + 3x + 18
determina los polinomios A(x) y B(x) de menor grado que cumplan que:
P(x) ⋅ A(x) + Q(x) ⋅ B(x) = 0
P( x) ⋅ A( x) + Q( x) ⋅ B( x) = 0 → P( x) ⋅ A( x) =−Q( x) ⋅ B( x)
→ Ax ( ) Q( x)
=−
B( x)
P( x)
P( x) = 3x + 8x −15x − 32x + 12 = ( x− 2)( x+ 2)( x+ 3)( 3x
4 3 2 −1)
Q( x) = 2x + x − 16x + 3x + 18 = ( x− 2)( x + 1)( x + 3)( 2x−3 4 3 2 )
Ax ( ) Q( x)
( x− 2)( x + 1)( x + 3)( 2x−3) ( x + 1)( 2x−3) =− =− =−
B( x)
P( x)
( x − 2)( x + 2)( x + 3)( 3x− 1)
( x + 2)( 3x −1)
Así, A(x) =−2x 2 + x + 3 y B(x) = 3x 2 + 5x − 2.
2
2
SOLUCIONARIO
3
115

116
Polinomios y fracciones algebraicas
087
088
089
Demuestra que, para cualquier número entero n, la siguiente expresión es múltiplo
de 24.
n4 + 2n 3 − n 2 − 2n
n 4 + 2n3 − n2 − 2n = (n − 1)n(n + 1)(n + 2)
Como el polinomio es el producto de cuatro números enteros consecutivos,
al menos uno de ellos ha de ser múltiplo de 3.
Siendo n un número entero, hay dos posibilidades:
1) Si n es impar, entonces n − 1 y n + 1 son pares y, además, son pares
consecutivos; por tanto, uno de ellos es múltiplo de 4. Así, (n − 1)(n + 1)
es múltiplo de 8, luego el polinomio es múltiplo de 24.
2) Si n es par; entonces n + 2 también es par, y como en el caso anterior,
uno de ellos es múltiplo de 4. Por tanto, n(n + 2) es múltiplo de 8
y el polinomio es múltiplo de 24.
Un polinomio P(x) verifica que:
P(2) = 3
es divisible por x + 1.
Al dividirlo entre x − 5, el resto es 15.
Calcula el resto de la división P(x) : Q(x), siendo:
Q(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 5)
P(x) = C(x) ⋅ Q(x) + R(x), siendo grado R(x) < grado Q(x) = 3
R(x) = ax 2 + bx + c
P(2) = C(2) ⋅ Q(2) + R(2) → 3 = C(2) ⋅ 0 + R(2) → 3 = 4a + 2b + c
P(−1) = C(−1) ⋅ Q(−1) + R(−1) → 0 + C(−1) ⋅ 0 + R(−1) → 0 = a − b + c
P(5) = C(5) ⋅ Q(5) + R(5) → 15 = 25a + 5b + c
4a+ 2b+ c = 3⎫⎪
1 1
a− b+ c = 0⎬
⎪
→ a = b =
⎪
25a+ 5b+ c = 0⎪
2 2
⎭⎪
1
Así, el resto es: Rx ( ) = xx ( + 1)
2
c = 0
Completa la siguiente fila del triángulo de Tartaglia.
1................3.003 2.002 1.001.................1
⎛ n ⎞
⎜
n
⎝⎜
k − ⎠⎟
k n k
=
!
3. 003 →
1
( −1)!( −( −1))!
= 3.
003 → n! = 3. 003( k−1)!( n−( k−1))!
⎛n⎞
⎜ = 2. 002 →
⎝⎜
k⎠⎟
n!
k!( n− k)!
= 2. 002 → n! = 2. 002k!(
n−k)! ⎛ n ⎞
⎜ 1 001
⎝⎜
k + 1⎠⎟
1 1
100
=
n!
. →
( k + )!( n− ( k + ))!
= . 1 → n! = 1. 001( k + 1)!( n− ( k + 1))!

090
Igualando cada par de expresiones:
2. 002k!( n− k)! = 3. 003( k−1)!( n−( k−1))!
⎫ k n k
⎬
⎪ 2 = 3 ( − + 1)
⎫
⎬
⎪ 5k− 3n= 3⎫
⎬
⎪ n = 14
2. 002k
!( n− k)! = 1. 001( k + 1)!( n− ( k + 1))!
⎭⎪ 2( n− k) = k + 1⎭⎪2n−
3k = 1⎭⎪k=
9
Entonces la fila del triángulo está compuesta por:
⎛14⎞
⎜ 1
⎝⎜
0 ⎠⎟
14
14
1
=
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
⎛14⎞
⎜ 2 002
⎝⎜
5 ⎠⎟
14
300
6
=
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
. . 3
⎛14⎞
⎜ 1 001
⎝⎜
10⎠⎟
14
= .
⎛ ⎞
⎜ 364
⎝⎜
11⎠⎟
=
Haz esta suma.
99 1
99 ⎛ 1 1 ⎞
∑ = ∑ ⎜ − =
n= 1 nn ( + 1)
n=
1⎝⎜
n n+
1⎠⎟
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜
⎜1−
+ ⎜ −
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎜ + ⎜ −
⎝⎜
2 3 ⎠⎟
⎜ + + ⎜ −
⎝⎜
3 4 ⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
…
1
1 A B
A B 0
1 An ( 1)
Bn ( A Bn ) A
nn ( + 1) n n 1
A
1
99 100
= + + = ⎫
→ = + + = + + → ⎬
⎪ A = 1
+
= 1⎭⎪
B =−1
1 99
= 1−
=
100 100
⎛14⎞
⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
= 91
99 1
∑
n = 1 n( n+
1)
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
14
364
3
⎛14⎞
⎜
14
3 432
3 003
⎝⎜
7 ⎠⎟
8
=
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
. .
⎛14⎞
⎜ 91
⎝⎜
12⎠⎟
=
⎛14⎞
⎜
⎝⎜
13⎠⎟
= 14
SOLUCIONARIO
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
14
1.001
4
⎛14⎞
⎜ 2 002
⎝⎜
9 ⎠⎟
= .
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
14
1
14
3
117

118
4
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
El último Catón
El calor era infernal, apenas quedaba aire y ya casi no veía, y no sólo
por las gotas de sudor que me caían en los ojos, sino porque estaba
desfallecida. Notaba un dulce sopor, un sueño ardiente que se apoderaba
de mí, dejándome sin fuerza. El suelo, aquella fría plancha de
hierro que nos había recibido al llegar, era un lago de fuego que deslumbraba.
Todo tenía un resplandor anaranjado y rojizo, incluso
nosotros. […]
Pero, entonces, lo comprendí. ¡Era tan fácil! Me bastó echar una última
mirada a las manos que Farag y yo teníamos entrelazadas: en aquel
amasijo, húmedo por el sudor y brillante por la luz, los dedos se habían
multiplicado… A mi cabeza volvió, como en un sueño, un juego
infantil, un truco que mi hermano Cesare me había enseñado cuando
era pequeña para no tener que aprender de memoria las tablas de
multiplicar. Para la tabla del nueve, me había explicado Cesare, sólo
había que extender las dos manos, contar desde el dedo meñique de la
mano izquierda hasta llegar al número multiplicador y doblar ese dedo.
La cantidad de dedos que quedaba a la izquierda, era la primera
cifra del resultado, y la que quedaba a la derecha, la segunda.
Me desasí del apretón de Farag, que no abrió los ojos, y regresé frente
al ángel. Por un momento creí que perdería el equilibrio, pero me sostuvo
la esperanza. ¡No eran seis y tres los eslabones que había que dejar
colgando! Eran sesenta y tres. Pero sesenta y tres no era una combinación
que pudiera marcarse en aquella caja fuerte. Sesenta y tres
era el producto, el resultado de multiplicar otros dos números, como
en el truco de Cesare, ¡y eran tan fáciles de adivinar!: ¡los números de
Dante, el nueve y el siete! Nueve por siete, sesenta y tres; siete por
nueve, sesenta y tres, seis y tres. No había más posibilidades. Solté un
grito de alegría y empecé a tirar de las cadenas. Es cierto que desvariaba,
que mi mente sufría de una euforia que no era otra cosa que el resultado
de la falta de oxígeno. Pero aquella euforia me había proporcionado
la solución: ¡Siete y nueve! O nueve y siete, que fue la clave
que funcionó. […] La losa con la figura del ángel se hundió lentamente
en la tierra, dejando a la vista un nuevo y fresco corredor.
MATILDE ASENSI
Justifica algebraicamente por qué funciona el truco para la tabla
de multiplicar por 9 y demuestra que no existe un truco parecido
para multiplicar por un número distinto de 9.
En la tabla del nueve, a medida que vamos multiplicando
por un número mayor, sumamos una unidad en las decenas
y restamos otra unidad en las unidades:
9 · n = n(10 − 1) = 10n − n
Por este motivo funciona el truco.
En las tablas de multiplicar, desde la tabla del uno hasta la tabla
del ocho, a medida que vamos multiplicando por un número
mayor no siempre sumamos una unidad en las decenas.

001
002
003
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
a) El doble de un número menos 9.
b) La tercera parte de un número más 8.
c) El cuadrado del triple de un número.
d) El triple del doble de un número.
e) La cuarta parte de un número más 6.
a) 2x − 9 c) (3x) 2
b)
d) 3 · 2x
Clasifica estas igualdades algebraicas.
⎛ 2 2 1 ⎞ ⎛
2 7 ⎞
a) ⎜ x + 3x
− x x x
⎝⎜
2 ⎠⎟
= ⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛
x = ⎜
1 ⎞ ⎛
⎜ + ⋅ − ⋅ = ⋅⎜7 ⎞
3 3 3 3 3 3 ⋅
⎝⎜
⎠⎟
⎜
⎟
2 ⎝⎜
2 ⎠
La expresión corresponde a una identidad.
3
⎛
a) x = ⎜
1 ⎞ ⎛
⎜ + ⋅ − ⋅ = ⋅⎜7 ⎞
0 0 3 0 0 0 ⋅
⎝⎜
⎠⎟
⎜
2 ⎝⎜
2
2 2 2
→
⎟
0
2 2 2
→
⎠⎟
⎛
b) x = ⎜
1 ⎞ 2
0 → ⎜0−6⋅
0+
⋅0
2⋅0−3 ⎝⎜
2 ⎠⎟
La expresión es una ecuación.
Representa estas rectas.
a) y = x −2 b) y =−x + 1 c) 2x−y = 3
a)
b)
x
+ 8
3
Y
1
Y
1
1
1
X
X
⎛
⎞
b) ⎜ x− x + x x
⎝⎜
⎠⎟
= −
6
1
2 3
2
c)
e)
x
+ 6
4
Y
1
1
SOLUCIONARIO
X
4
119

120
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
004
005
006
Indica los elementos de esta ecuación: (x + 2) ⋅ (x −5) + 2 = 7 − x 2
Términos: x 2 ; −3x; −8; 7; −x 2
Primer miembro: (x + 2) ⋅ (x − 5) + 2
Multiplicando el primer miembro: x2 − 3x − 8
Segundo miembro: 7 − x2 Incógnita: x
Grado: 2
Soluciones: x1 =−2,09; x2 = 3,59
x + 4 1 5 − x
¿Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la ecuación − = ?
3 2 2
a) x = 1
b) x = 5
c) x =−2
d) x = 2
La solución de la ecuación es la del apartado d), x = 2.
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c)
2x x x
− − − 1 1
=
3 7 2
3( x −2) −(2x − 1) = 0
2
4( x−3) 5( x + 8)
− = 6( x + 3) −2
2 6
⎛ 2 ⎞
d) 3⎜
x 4
x−4(2x 1
2( x 4
⎝⎜
3 ⎠⎟
7
+ − = + ) − + )
a)
b)
c)
2x−1 x− 1 x
− = → 28x−14 − 6x + 6 = 21x → x = 8
3 7 2
3( x − 2)
−( 2x− 1) = 0 → 3x−6− 4x + 2= 0 → x =−4
2
4( x−3) 5( x + 8)
− = 6( x + 3) −2 → 12x−36−5x− 40 =
2 6
172
= 36x
+ 108 − 12 → x =−
29
⎛ 2 ⎞
d) 3⎜
x 4
⎜x−42x
1
2 x 4 21x
⎝⎜
3 ⎠⎟
7
+ − = + ( ) − ( + ) → −14
+ 56x − 28 =
1
= x + 4−14x− 56 → x =−
9

001
ACTIVIDADES
Clasifica y resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x 2 −10x + 21 = 0 f) 3x 2 −18x = 0
b) 3x 2 + 20x + 12 = 0 g) 4x 2 −36 = 0
c) 3x 2 + 9x − 4 = 0 h) −8x 2 + 40 = 0
d) 4x 2 −12x + 9 = 0 i) −5x 2 + 30x = 0
e) −2x 2 + 5x −8 = 0 j) 3x 2 = 2x 2
a) Ecuación completa:
−− ( 10) ± 2 x − 10x + 21= 0 → x =
2 ( −10) −4 ⋅1⋅21 2⋅1 10 ± 4
→ x =
2
1 7
→
2
x ⎧ =
⎨
⎪
⎩⎪ x = 3
b) Ecuación completa:
− 20 ± 2 3x + 20x + 12= 0 x =
2 20 −4⋅3⋅12 2⋅3 20 16
x =
6
− ±
→
→ → x
⎧⎪
2
1 =−
⎨
⎪
⎪ 3
⎪
⎩⎪
x2
=−6
c) Ecuación completa:
− 9± 2 3x + 9x− 4 = 0 x =
2 9 −4⋅3⋅ −4
2⋅3 9
x =
6
129
x1
− ±
→
( )
→
=
→
− +
=
=
− −
⎧ ⎪ 9 129
⎪
⎨
⎪ 6
⎪ 9 129
⎪
⎩
⎪x
2
⎪
6
0,39
=−339
,
d) Ecuación completa:
2
−− ( 12) ± ( −12) −4 ⋅4 ⋅9
2 4x − 12x + 9 = 0 → x =
2⋅4 12 3
→ x = =
8 2
e) Ecuación completa:
SOLUCIONARIO
− ± − ⋅ − ⋅ −
− + − = = =
⋅−
− ±
2 5 5 4 ( 2) ( 8)
2
5 −39
2x 5x 8 0 → x → x
2 ( 2)
−4
f )
No tiene soluciones reales.
Ecuación incompleta: 3x 2 − 18x = 0 → 3x(x − 6) = 0 → x1 = 0 x2 = 6
g) Ecuación incompleta: 4x 2 − 36 = 0 → x = → x1 =−3 x2 = 3
h) Ecuación incompleta: −8x2 + 40 = 0 → x =
i) Ecuación incompleta: −5x 2 + 30x = 0 → 5x(−x + 6) = 0 → x1 = 0 x2 = 6
j) Ecuación incompleta: 3x 2 = 2x2 → x2 9
5
= 0 → x = 0
4
121

122
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
002
003
Resuelve estas ecuaciones.
a) 3(x 2 −1) + 2(x −5) −20 = 0
b) (2 − x)(5x + 1) −(3 + x)(x − 1) + 8x2−15x + 3 = 0
c) (x + 2)(x −3) − x(2x + 1) + 6x = 0
d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) −2 = 3x(x + 4)
e) (2 − x)(2x + 2) −4(x −3) −5x = 0
a) 3(x2 − 1) + 2(x − 5) − 20 = 0 → 3x2 + 2x − 33 = 0
x =
x
x
− ± − ⋅ ⋅ −
⋅
= − ± =−
2 2 2 4 3 ( 33)
2 3
2 20
6
⎧ ⎪
11
1
→ ⎨ 3
2 = 3
⎪
⎪
⎩⎪
b) (2 − x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x 2 − 15x + 3 = 0
2
8± 64−64 2x − 8x + 8 = 0 →
= 2
4
c) (x + 2)(x − 3) − x(2x + 1) + 6x = 0 → −x 2 + 4x − 6 = 0
−− ±
x =
− − ⋅ ⋅
⋅
=
No tiene solución real.
± −
( 4) 2 ( 4) 4 1 6
2 1
4 8
2
d) 3x(x − 2) + 2(1 + 9x) − 2 = 3x(x + 4)
0 = 0 → No es una ecuación, es una identidad.
e) (2 − x)(2x + 2) − 4(x − 3) − 5x = 0 → −2x 2 − 7x + 16 = 0
7 177
x1
=
→
4
7 177
x2
4
158
508
− +
=
=
− −
−− ±
x =
− − ⋅ − ⋅
⋅ −
=
⎧ ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
,
=− ,
±
( 7) 2 ( 7) 4 ( 2) 16
2 ( 2)
7 177
−4
Determina, sin resolver la ecuación, el número de soluciones que tiene.
a) −2x 2 + 5x −8 = 0 d) 2x2−x−3 = 0
b) 9x2 + 30x + 25 = 0 e) −x2 + 9x −2 = 0
c) −5x2 + 9x −6 = 0 f) 0,34x2 + 0,5x −1 = 0
Calculamos el discriminante:
a) Δ=b 2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−8) =−39 < 0. No tiene solución real.
b) Δ=b 2 − 4ac = 302 − 4 ⋅ 9 ⋅ 25 = 0. Tiene una solución.
c) Δ=b 2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−5) ⋅ (−6) =−39 < 0. No tiene solución real.
d) Δ=b 2 − 4ac = (−1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−3) = 25 > 0. Tiene dos soluciones.
e) Δ=b 2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) = 73 > 0. Tiene dos soluciones.
f) Δ=b 2 − 4ac = 0,52 − 4 ⋅ 0,34 ⋅ (−1) = 1,61 > 0. Tiene dos soluciones.

004
005
¿Cuántas soluciones pueden tener estas ecuaciones bicuadradas? Resuélvelas.
a) 4x 4 −37x2 + 9 = 0 c) 25x2 (x2 −1) + 11(x4 + 1) −7 = 0
b) x2 (x2 −1) = 16(x2 −1)
Como las ecuaciones son de cuarto grado, pueden tener un máximo de cuatro
soluciones.
a) 4x4 − 37x 2 z = x
+ 9 = 0 ⎯⎯→
2
4z 2 − 37z + 9 = 0
z1 = 9 → x1 =−3 x2 = 3
z2 = → x3 = − x4 =
1
2
1
z =
z
z
1
4
2
−− ± − − ⋅ ⋅
2 ( 37) ( 37) 4 4 9
2⋅4 ⎧⎪
1 = 9
37 ± 35
= → ⎨
⎪
1
8 ⎪ 2 =
⎩⎪
4
b) x2 (x 2 − 1) = 16(x 2 − 1) → x 4 − 17x 2 z = x
+ 16 = 0 ⎯⎯→
2
z 2 − 17z + 16 = 0
z =
z1 = 1 → x1 =−1 x2 = 1
z2 = 16 → x3 =−4 x4 = 4
−− ± − − ⋅ ⋅
( 17) 2 ( 17) 4 1 16
2⋅1 c) 25x 2 (x2 − 1) + 11(x4 + 1) − 7 = 0
→ 36x4 − 25x 2 z = x
+ 4 = 0 ⎯⎯→
2
36z 2 − 25z + 4 = 0
Halla la solución de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas.
b)
4
4 x
2 3 x
+
2 x
0
− a) x +
1
=
x + 1
2x
+ 7
x + 1
=
1 2x+ 7 2
a) x + = → x − x−
6 = 0
x + 1 x + 1
b)
17 ± 15 ⎧z1
= 1
= → ⎨
2 z2
= 16
⎪
⎩⎪
z1 = → x1 = x2 =
z2 = → x3 = − x4 =
2
3
2
−
1
2
4
9
3
1
z =
z
z
1
4
2
−− ± − − ⋅ ⋅
( 25) 2 ( 25) 4 36 4
2⋅36 =
25 ± 7
72
⎧ ⎪
1
⎪ 1=
→ ⎨
⎪ 4
⎪ 4
⎪ 2 =
⎩⎪
9
SOLUCIONARIO
z =
z
z
z1 =−1→ No tiene solución real.
z2 = 4 → x1 = 2 x2 =−2
− ± − ⋅ − ⋅
⋅ −
= − ±
4
4 x
2 3 x
+
2 x
4 2
z x2
2
0 x 3x 4 0 z 3z 4 0
3 2 3 4 ( 1) 4
2 ( 1)
3 5 ⎧ =−
⎨
⎪ 1 1
→
−2
⎩⎪ 2 = 4
− x =
x
x
=
= → − + + = ⎯⎯→ − + + =
−− ± − − ⋅ ⋅ −
⋅
= ± =
( 1) 2 ( 1) 4 1 ( 6)
2 1
1 5 ⎧⎪
1 3
→ ⎨
2
2 =−2
⎪
⎩⎪
4
123

124
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
006
007
Resuelve estas ecuaciones con radicales.
a) x + 4 + 2x−
1 = 6
2 2 b) x − 3x
− 2 = 4
a) x + 4 + 2x− 1 = 6 → 2x− 1= x + 4− 12 x + 4 + 36
2 → ( x − 41) = ( −12
2 2
x + 4 ) → x − 226x + 1. 105 = 0
x
x =
La solución es x = 5.
−− ± − − ⋅ ⋅
2
( 226) ( 226) 4 1 1. 105 226 ± 216 ⎧ 1 = 5
= → ⎨
⎪
2⋅1 2 ⎩⎪ x 2 = 221
2 2 4 2 2 4 2
b) x − 3x − 2 = 4 → x − 8x + 16 = 3x −2→ x − 11x + 18 = 0
z1 = 9 → x1 =−3 x2 = 3
z2 = 2 → x3 = 2 x4 = − 2
Las soluciones son x1 =−3 y x2 = 3.
x =
x
x
La solución es x = 4.
−− ± − − ⋅ ⋅
⋅
= ± =
( 9) 2 ( 9) 4 2 4
2 2
9 7
4
⎧⎪
1
⎨
⎪ 1
→
⎪⎪⎪ 2
⎩ 2 = 4
x = −− ± − − ⋅ ⋅
2
( 249 ) ( 249 ) 4 64 171 249 ± 135
=
2⋅64 256
La solución es x = 3.
c) x + x + 12 = 8x
+ 4
d) 2 x + 1−3 4x−
3 + 5= 0
z = x
⎯⎯→
2
z
z =
z
−− ± − − ⋅ ⋅
=
⋅
± =
2
( 11) ( 11) 4 1 18 11 7 ⎧⎪
1 9
→ ⎨
2 1
2
2 = 2
⎪
⎩⎪
→ 1
Estas ecuaciones aparecen factorizadas. Encuentra su solución.
a) 3(x −1)(x + 2)(x −4) = 0 d) 2x 2 (x −3) 2 (3x + 4) = 0
b) x(x −2)(x + 3)(x −12) = 0 e) 5x(x−1) 2 (2x + 7) 3 = 0
c) (2x −1)(4x + 3)(x −2) = 0
z 2 − 11z + 18 = 0
c) x + x + 12 = 8x + 4 → x + 2 2 x + 12x + x + 12 = 8x + 4
2
2 2
→ 4x + 48x = 36x
− 96x + 64 → 2x − 9x + 4 = 0
d) 2 x + 1 −3 4x− 3 + 5 = 0 → ( 2 2 x + 1) = ( 3 2
4x−3−5) 2 → ( 6−32x) =− ( 30 2 2
4x−3) → 64x − 249x + 171= 0
⎧⎪
57
x =
⎨
⎪
⎪ 64
⎪
⎩⎪x
2 = 3
a) x1 = 1 x2 =−2 x3 = 4 d) x1 = 0 x2 = 3 x3 =
b) x1 = 0 x2 = 2 x3 =−3 x4 = 12 e) x1 = 0 x2 = 1 x3 =
c) x1 = x2 = − x3 = 2
3
−
1
2 4
7
−
2
4
3

008
009
010
Factoriza las ecuaciones y resuélvelas.
a) x4 −2x3 −13x2 + 38x −24 = 0
b) x 5 −6x4 + 10x3 −6x 2 + 9x = 0
c) x 4 + 8x3 + 17x2 + 8x + 16 = 0
a) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 4) = 0
x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 =−4
b) x(x − 3) 2 (x 2 + 1) = 0
x1 = 0 x2 = 3
c) (x + 4) 2 (x2 + 1) = 0
x =−4
Escribe una ecuación que tenga como soluciones: x = 3, x = 2 y x =−7.
¿Cuál es el mínimo grado que puede tener?
Respuesta abierta.
(x − 3)(x − 2)(x + 7) = 0
El mínimo grado que puede tener es 3.
Resuelve estos sistemas de ecuaciones.
a) 4x + 6y
= 0 ⎫
⎬
⎪
6x− 9y
=−6⎭⎪
Escoge el método que consideres más adecuado.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
3
6
2
9 6
3
1
3
1
⋅
3
2
1
2
− 4x + 6y = 0 ⎫ 3y
⎬
⎪ → x =−
6x− 9y =−6⎭⎪
2
y
− y =− → y =
− ⋅
→ x = =−
b) Resolvemos el sistema por reducción:
⋅ 3
5p+ 2q= 1 ⎫ 15p 6q 3
⎬
⎪ ⎯→ − − =− ⎫
⎬
⎪
15p− 10q= 11⎭⎪
15p − 10q
= 11 ⎭⎪
Sumamos las ecuaciones:
−15p− 6q=−3⎫ ⎬
⎪
15p− 10q= 11⎭⎪
1
− 16q= 8 → q=−
2
Sustituimos en una de las ecuaciones:
5p+ ⋅ p
− 1
2
2 = 1→
=
2
5
b) 5p+ 2q
= 1 ⎫
⎬
⎪
15p− 10q
= 11⎭⎪
SOLUCIONARIO
4
125

126
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
011
012
Halla las soluciones de estos sistemas.
a) 3(2x + y−1) −6(4x− y)
= 15⎫
⎬
⎪
− x + y + 3( x− 2y
+ 6) = 4 ⎭⎪
x− 5 2y−
1 ⎫⎪
b) + = 2 ⎪
⎬
⎪
3 5
⎪
3(2 − x) + 4( y + 1) = 36⎪
⎭⎪
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
32 ( x + y−1) −64 ( x− y)
= 15⎫
⎬
⎪ − 2x + y = 2 ⎫
→ ⎬
⎪
− x + y + 3( x− 2y + 6) = 4 ⎭⎪ 2x− 5y =−14⎭⎪
Resolvemos por reducción:
− 2x + y = 2 ⎫
⎬
⎪
2x − 5y = −14⎭⎪
− 4y= − 12→y= 3
b)
Sustituimos en una de las ecuaciones:
−2x + 3 = 2 → x =
x− 5 2y− 1 ⎫⎪
+ = 2
x
⎬
⎪ 5 + 6y= 58 ⎫
3 5 →
⎬
⎪
⎪
32 ( − x) + 4( y + 1) = 36⎪
− 3x + 4y = 26⎭⎪
⎭⎪
Resolvemos por reducción:
3
5x + 6y = 58⎫⋅
15x 18y 174
⎬
⎪ ⎯→ + = ⎫
⋅ 5
− 3x + 4y = 26⎭⎪
⎯→
⎬
⎪
− 15x + 20y = 130⎭⎪
38y = 304 → y = 8
Sustituimos en una de las ecuaciones:
5x + 6 ⋅ 8 = 58 → x = 2
Clasifica estos sistemas de ecuaciones, y resuélvelos por el método más adecuado.
a) 8x− 2y
= 4 ⎫
⎬
⎪
− 12x + 3y
=−6⎭⎪
1
2
b) p+ 2q
= 1 ⎫
⎬
⎪
3p−
2q
= 11⎭⎪
a) 8x− 2y = 4 ⎫
⎬
⎪ → y = 4x−2 − 12x + 3y =−6⎭⎪
Sistema compatible indeterminado: y = 4x − 2.
b) Resolvemos el sistema por reducción:
⋅ ( −3)
p+ 2q= 1⎫
p q
⎬
⎪ ⎯→ −3 − 6 =−3⎫
⎬
⎪
3p− q=
11⎭⎪3p−
q=
11⎭⎪8
− 7q= 8→q=−
7
Sustituimos en una de las ecuaciones:
16
23
p− = 1→
p =
7
7
Sistema compatible determinado.

013
014
015
016
017
Decide de qué tipo son estos sistemas de ecuaciones, y representa gráficamente
su solución.
a) − 12x + 9y
=−2⎫
⎬
⎪
8x− 6y
= 0 ⎭⎪
a) Sistema incompatible. b) Sistema compatible determinado.
Y
Y
0,3
0,3
Expresa en forma de ecuación.
a) La diferencia de dos números es 10.
b) El doble de la suma de dos números es 36.
c) La suma de dos números es igual a su producto.
a) x − y = 10 b) 2(x + y) = 36 c) x + y = x ⋅ y
La suma de las edades de Fernando y su padre es 40 años. Además, la edad del padre
es 7 veces la edad del hijo. ¿Qué edades tienen ambos?
Llamamos x a la edad de Fernando e y a la de su padre.
x + y = 40⎫
⎬
⎪ → x 7x 40 → x 5, y 35
y = 7x⎭⎪
Fernando tiene 5 años y su padre, 35 años.
Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada acierto le dan 2 puntos,
y por cada fallo le quitan 1 punto. Si la calificación final fue de 8 puntos,
¿cuántos aciertos y fallos tuvo?
Llamamos x al número de aciertos e y al de fallos.
x + y = 10⎫
⎬
⎪
→ x 10 y
2x− y = 8⎭⎪
2(10 y) y 8 → 20 2y y 8 → y 4, x 6
Tuvo 6 aciertos y 4 fallos.
En un hotel de 120 habitaciones hay habitaciones dobles e individuales.
Si el número de camas es 195, ¿cuántas habitaciones son de cada tipo?
X
b) 21a− 14b
= 35 ⎫
⎬
⎪
− 12a+ 18b
=−20⎭⎪
SOLUCIONARIO
Llamamos x al número de habitaciones dobles e y al de individuales.
x + y = 120⎫
⎬
⎪
→ x 120 y
2x + y = 195⎭⎪
2(120 y) + y 195 → 240 2y y 195 → y 45, x 75
Son 75 habitaciones dobles y 45 Individuales.
1
1
4
X
127

128
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
018
019
020
Resuelve estos sistemas.
a) x − y = 3 ⎫⎪
3x + 2y = 19⎬
⎪
⎪
2x + 3y = 16⎪
⎭⎪
a) x − y = 3 ⎫ ⎪
x − y = 3 ⎫⎪
E E
x + y =
⎪ 2= 2−3E
⎪
1
x
3 2 19⎬⎯⎯⎯⎯→
5y= 10
⎪ = 5
⎬
⎪ E 2
2x + 3y = 16⎪3=
E3− E1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯⎯→ 5y= 10⎪y=
2
⎭⎪
b) x+ y+ 2z= 0⎫
⎪
x+ y+ 2z= 0⎫⎪
x+ y− z=
⎪ E2= E2−2E ⎪
x+ y+ 2z= 0⎫⎪
⎧
1
2 5 6 0⎬⎯⎯
⎯→ 3y− 10z= 0
⎪
⎪
⎪x
= 0
⎬
3y− 10z=
0
⎪
⎪ E E E
3x+ 4y+ z=
0⎪3=
3−3 E E E
1
⎪ 3=− 3 +
⎬→
⎨
⎪
y = 0
3 2
⎭⎪
⎯⎯⎯⎯→ y−5z
= 0⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯⎯→
⎪
5z= 0⎪
⎪
⎭⎪
⎪
⎩⎪
z = 0
Resuelve los sistemas.
a) x + y + z = 2⎫⎪
3x − y = 1⎬
⎪
⎪
5x + 7y − 3z = 3⎪
⎭⎪
b) x −y − 2z = 8 ⎫⎪
2x + y − 3z = 11⎬
⎪
⎪
x + 2y + 3z = 5 ⎪
⎭⎪
⎧ ⎪
1
a) x+ y+ z=
2⎫
⎪
x+ y+ z=
2⎫
x
⎪
3x− y=
1
⎪
⎪
x+ y+ z=
2 ⎫⎪
⎪ =
2
⎬
⎪ E3= E3+
− =
⎪
⎪ ⎪
3E 3x y 1⎬
1 =
5x+ 7y− 3z= 3⎪ ⎭⎪
⎯⎯⎯→
⎪ E3
E E x y
3+ 10 3 − = 1
⎪
⎬→
⎨
⎪
1
2
8x+ 10y= 9⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯⎯→
⎪ y
38x = 19⎪
⎪ =
⎭⎪
⎪ 2
⎩
⎪ z = 1
⎧ ⎪
43
⎪x
=
b) x−y− 2z= 8⎫
⎪
x+ y− 2z= 8 ⎫⎪
E
2x+ y− 3z= 11
⎪ 2= E2−2E ⎪
+ − 2 = 8 ⎫
⎪
x y z ⎪ ⎪ 6
1
⎬ ⎯⎯⎯→ 3y+ z=−5
⎪
⎪ ⎪
⎬
3 5
⎪ E
x+ 2y+ 3z= 5⎪3=
E3−E1 ⎪ E + =−
3= E − 3 E y z
⎪
⎬ ⎨
⎪ 11
→ y =−
2
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 3y+ 5z=−3⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→
⎪
4z= 2 ⎪
⎪
⎭⎪
⎪ 6
⎪
1
⎪ z =
⎩ ⎪ 2
Resuelve los sistemas.
a) 2 2 x + y = 202⎫
⎬
⎪
x + y = 20 ⎭⎪
b)
2 x + xy = 24⎫
⎬
⎪
x + 2y
= 13⎭⎪
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
2 2 x + y = 202⎫
⎬
⎪ → x = 20 − y
x + y = 20 ⎭⎪
⎧
2 2 2 1 = 11
( 20 − y) + y = 202 y − 20y + 99 = 0 ⎨
⎪ y
→ →
⎩⎪ y2
= 9
Sustituimos en la ecuación:
x 1 = 20 − 11 = 9
x 2 = 20 − 9 = 11
b) x + y + 2z = 0⎫⎪
2x + 5y − 6z = 0⎬
⎪
⎪
3x + 4y + z = 0⎪
⎭⎪

021
022
023
b) Resolvemos el sistema por sustitución:
(13 − 2y) 2 + (13 − 2y)y = 24 → 2y 2 2 x + xy = 24⎫
⎬
⎪ → x = 13 −2y
x + 2y = 13 ⎭⎪
⎧⎪
y1
= 5
− 39y + 145 = 0 → ⎨
⎪
29
⎪ y2
=
⎩⎪
2
Sustituimos en la ecuación:
29
x1 = 13 − 2 ⋅ 5 = 3 x2 = 13 − 2 ⋅ =−16
2
Calcula dos números, sabiendo que su suma es 42 y la suma de sus inversos es
Planteamos el sistema de ecuaciones:
Resolvemos el sistema por sustitución:
72y + 72(42 − y) = 7(42 − y)y → y 2 x + y = 42 ⎫ ⎪ x y
+ =
⎬
⎪ = 42 − ⎫
1 1 7 →
⎬
⎪
⎪ y x x
x y ⎪ 72 + 72 = 7 y
72
⎭⎪
⎭⎪
⎧ y1
= 18
− 42y + 432 = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ y2
= 24
x1 = 42 − 18 = 24
x 2 = 42 − 24 = 18
Los números pedidos son 18 y 24.
Resuelve la siguiente inecuación:
Razona los pasos realizados para resolverla.
• Resolvemos la ecuación: x − 4 = 3x + 1 → x =−2
• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:
x =−4 de (−, −2) x = 0 de (−2, +)
• Comprobamos si esos puntos son soluciones:
Si x = −4 → →(−, −2) es solución.
Si x = 0 → −4 ≥ 1 → (−2, +) no es solución.
• Comprobamos si el extremo es solución:
Si x = −2 → − = → x =−2 es solución.
Por tanto, la solución de la inecuación es el intervalo (−, −2].
− − =
2
5 −4 ≤ 3⋅( − 2) + 1=−5 2
− 1
x −4 ≤ 3x
+ 1
2
1
2
4
6 −4 ≤ 3⋅( − 4) + 1=−11 2
Encuentra el error cometido en la resolución de esta inecuación.
2x ≤8x −12
−6x ≤−12 → 6x ≤12 → x ≤2 → (−, 2)
SOLUCIONARIO
Al pasar del segundo al tercer paso, se ha multiplicado la ecuación por −1,
y se debería haber cambiado el sentido de la desigualdad, por las relaciones
de orden que cumplen los números reales.
4
7
.
72
129

130
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
024
Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
a) x 2 −3x + 2 ≤0 f) (x−3)(x + 4) ≥0
b) x2 −3x + 2 ≥0 g) (x + 3)x 0 h) x2 −30 > x
d) x2 −9 0 → (−, 0) es solución de la inecuación.
Si x = 1 → 12 − 9 ⋅ 1 < 0 → (0, 9) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 9 ⋅ 10 > 0 → (9, +) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−, 0) ∪ (9, +).
d) Resolvemos la ecuación: x2 − 9 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → (−10) 2 − 9 > 0 → (−, −3) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 9 < 0 → (−3, 3) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 →
− 9 > 0 → (3, +) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−3, 3).
x
⎧x1
= 0
⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 9
⎧ 1 =−3
⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 3
e) El primer miembro de la inecuación siempre será positivo.
Por tanto, la inecuación no tiene solución.
f) Resolvemos la ecuación: (x − 3)(x + 4) = 0 →
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → (−10 − 3)(−10 + 4) > 0 → (−, −4) es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → (0 − 3)(0 + 4) < 0 → (−4, 3) no es solución de la inecuación.
x ⎧ 1 =−4
⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 3

025
SOLUCIONARIO
Si x = 10 → (10 − 3)(10 + 4) > 0 → (3, +) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son también de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−, −4] ∪ [3, +).
g) Resolvemos la ecuación: (x + 3)x = 4
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → (−10 + 3) ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−, −4) no es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → (0 − 3) ⋅ 0 − 4 < 0 → (−4, 1) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → (10 − 3) ⋅ 10 + 4 > 0 → (1, +) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−4, 1).
h) Resolvemos la ecuación: x2 − x − 30 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → (−10) 2 −10 − 30 > 0 → (−, −5) no es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 0 − 30 < 0 → (−5, 6) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 →
i)
− 10 − 30 > 0 → (6, +) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−5, 6).
El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero.
Por tanto, la inecuación no tiene solución.
j) El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero.
Por tanto, la inecuación no tiene solución.
x
→
⎧ 1 =−5
⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 6
x ⎧ 1 =−4
⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 1
Resuelve estas inecuaciones de grado superior, siguiendo el método utilizado
para las inecuaciones de segundo grado.
a) (x −2)(x −3)(x2 −2) ≥0 c) x 3 + 2x 2 + 3x −6 0
a) Resolvemos la ecuación: (x − 2)(x − 3)(x 2 − 2) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 1,5 x = 2,5 x = 10
Si x =−10 → (−10 − 2)(−10 − 3)((−10) 2 − 2) > 0 → es solución.
Si x = 0 → (0 − 2)(0 − 3)(0 2 − 2) < 0 → no es solución.
Si x = 1,5 → (1,5 − 2)(1,5 − 3)(1,5 2 − 2) > 0 → es solución.
Si x = 2,5 → (2,5 − 2)(2,5 − 3)(2,52 − 2) < 0 → (2, 3) no es solución.
Si x = 10 → (10 − 2)(10 − 3)(10 2 − −
( 2, − 2)
( 2, 2)
− 2) > 0 → (3, +) es solución.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es ( −, − 2⎤ ⎦ ∪ ⎡
⎣ 2 , 2⎤ ⎦ ∪[
3,
+ )
.
, 2
⎧ ⎪
⎪x1
=− 2
⎪
→
x2
= 2
⎨
⎪
⎪
⎪x
3 = 2
⎪
⎩
⎪
⎪x
4 = 3
( )
4
131

132
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
b) Resolvemos la ecuación: x(x − 4)(x +1)(x3 − 1) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x =−0,5 x = 0,5 x = 2 x = 10
Si x =−10 → −10 ⋅ (−10 − 4)(−10 + 1)((−10) 3 − 1) > 0 → (−, −1)
no es solución.
Si x =−0,5 → −0,5 ⋅ (−0,5 − 4)(−0,5 + 1)((−0,5) 3 − 1) < 0 → (−1, 0)
es solución.
Si x = 0,5 → 0,5 ⋅ (0,5 − 4)(0,5 + 1)(0,53 − 1) > 0 → (0, 1) no es solución.
Si x = 2 → 2 ⋅ (2 − 4)(2 + 1)(2 3 − 1) < 0 → (1, 4) es solución.
Si x = 10 → 10 ⋅ (10 − 4)(10 + 1)(10 3 ⎧ ⎪
x1
=−1
⎪
x2
= 0
→ ⎨
⎪
⎪
⎪x
3 = 1
⎪
⎩⎪
x4
= 4
− 1) > 0 → (4, +) no es solución.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es [−1, 0] ∪ [1, 4].
c) Resolvemos la ecuación: x 3 + 2x2 + 3x − 6 = 0 → x = 1
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = 0 x = 10
Si x = 0 → 0 3 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 − 6 < 0 → (−, 1) es solución.
Si x = 10 → 103 + 2 ⋅ 10 2 + 3 ⋅ 10 − 6 > 0 → (1, +) no es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−, 1).
d) Resolvemos la ecuación: x4 − 5x3 + 4x2 + 9x − 9 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 2 x = 2,5 x = 10
Si x =−10 → (−10) 4 − 5 ⋅ (−10) 3 + 4 ⋅ (−10) 2 + 9 ⋅ (−10) − 9 > 0
→ es solución.
Si x = 0 → 04 − 5 ⋅ 03 + 4 ⋅ 02 + 9 ⋅ 0 − 9 < 0 → no es solución.
Si x = 2 → 2 4 − 5 ⋅ 23 + 4 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 − 9 > 0 → es solución.
Si x = 2,5 → 2,54 − 5 ⋅ 2,53 + 4 ⋅ 2,52 + 9 ⋅ 2,5 − 9 < 0 →
no es solución.
Si x = 10 → 104 − 5 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 1 13
1, 2
⎛ 1+ 13 ⎞
⎜ 3
⎝⎜
,
2 ⎠⎟
+ 9 ⋅ 10 − 9 > 0 → (3, +) es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
⎛ 1−13 ⎞ ⎛ 1 13
Por tanto, la solución es ⎜
+ ⎞
⎜−,
∪
⎜
⎜1,
∪(
3 , +)
.
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎝⎜
2 ⎠⎟
+
1 13
x1
=
2
x2
1
→
1 13
x3
2
x4
3
⎛ 1−13 ⎞
⎜
⎜−,
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛
⎜ 1−13 ⎞
⎜ 1
⎝⎜
,
2 ⎠⎟
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
−
=
= +
⎧ ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪ =

026
027
028
Representa en el plano la región solución de estas inecuaciones.
a) x + y 1
b) x − y ≤0 d) y −2 ≥0
a) Y
c)
1
b) Y
d)
1
Dibuja las siguientes regiones del plano.
a) Los puntos del plano con abscisa positiva.
b) Los puntos del plano con ordenada mayor o igual que cero.
Encuentra una inecuación que tenga cada una de esas regiones como conjunto
solución.
a) x > 0 b) y ≥ 0
Y
Y
1
1
1 X
Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.
a) x + 3> 5⎫
⎬
⎪
2x
− 1> 11⎭⎪
b) 15 + 7x
≥8⎫
⎬
⎪
3x < 14x
+ 6⎭⎪
a) x + 3> 5 ⎫ x
⎬
⎪ > 2⎫
→ ⎬
⎪
2x
− 1> 11⎭⎪
x > 6⎭⎪
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: (2, +).
1
b) 15 + 7 ≥ 8 ⎫
x ≥− ⎫⎪
x
⎬
⎪ → 6 ⎬
⎪
3x < 14x
+ 6⎭⎪
x >− ⎪
11⎪
⎪
⎭
⎛ ⎞
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: ⎜ 6
− + .
⎝⎜
,
11 ⎠⎟
X
1 X
SOLUCIONARIO
Y
1
Y
1
1
1 X
1 X
1 X
4
133

134
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
029
030
031
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.
2 a) x − 3x
< 6⎫
2 ⎬
⎪
6x + 4x
≥3⎭⎪
2 2
b) 2x + x < 3x
+ 4⎫
⎬
⎪
2 7x + x ≥2x −6⎭⎪
a)
b)
3−33 3 33
2
x
x − 3x
< 6 ⎫
< <
2 ⎬
⎪ 2
2
6x + 4x
≥ 3⎭⎪
2 22
⎡
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: ⎢ −2− ⎢
⎣⎢
6
2 2
2x + x < 3x
+ 4⎫
Siempre se cum
2
⎬
⎪ → plen.
7x + x ≥ 2x
−6⎭⎪
Son ciertas para todos los números reales.
22 − 2+ ,
6
22 ⎤
⎥
⎦⎥
+ ⎫ ⎪
→
⎬
⎪
− −
− 2+ 22 ⎪
≤ x ≤ ⎪
6
6 ⎭
⎪
Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.
a) x + 2y
< 4⎫
⎬
⎪
− 2x
+ y ≥3⎭⎪
b) 12x −3y ≥7⎫
⎬
⎪
− x + 2y
≤12⎭⎪
a) Y
b)
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
a) 2x − 3y
+ 6> 0 ⎫
⎬
⎪
x + 2y
< 11⎭⎪
b) 4x −y ≥0⎫
⎬
⎪
x < 2⎭⎪
a) Y
b) Y
2
2
2 X
2 X
Y
2
2
2 X
2 X

032
033
Comprueba si el número indicado en cada apartado es solución de la ecuación.
a) 2(x 2 − x −2) + 6(3 − x) −2(x −3) −8 = 0
x =−2
b) 2(−x −2)(1 − x) −2(x + 1) = 0
x = 3
c) (2 + x)5x − (3x −4) + 3(x −1) − x 2 + 2(x + 4) = 0
d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) + 11 = 0
x = 1
x =−
2
3
2
a) No, las soluciones son x1 = 2 y x2 = 3.
b) Sí, las soluciones son x1 =− y x2 = .
c) Sí, la solución es x = − .
d) No, esta ecuación no tiene solución real.
3
3 3
2
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con denominadores.
a) 2 2 − x 3 − x 23
+ + = 0
3 4 12
b)
2
2 − x 3x − 2x 19x
+ + = 0
2 3 6
x =
x
x
−− ± − − −
−
= − −
a)
2 2−
x 3−
x 23
2 2
+ + = 0→ 8− 4x + 9− 3x+ 23= 0→
−4x −3x+
40 = 0
3 4 12
( 3) 2 ( 3) 4⋅( 4) ⋅ 40
2 ⋅ ( 4)
⎧ ⎪ 3 649
⎪ 1
→
8
⎨
⎪
⎪ − 3 + 649
⎪ 2 =
⎩⎪
8
b)
c)
d)
2 2
2−
x 3x − 2x 19x 6 − 3x 6x − 4x 19x
2 + + = 0 → + + = 0 → x + 2x+
1= 0
2 3 6
6 6 6
x = x
− ± − ⋅
2 2 2 4 1⋅1 → =−1
2⋅1 x − 2x 3x
x
= −
+
1
2
4
2 2
2 2 2
→ 2x − 4x = 4−3x − x → 3x
− 5x + 4 = 0
x = x
No tiene solución real.
− − ± − −
= ± −
( 5) 2 ( 5) 4⋅ 3⋅ 4
2⋅3 5 23
→
6
x(7x + 12) = 0 → x1 = − x2 = 0
12
2 x + x
5
( x + 2) x
+
2
2 2 2
= 0 → 2x + 2x + 5x + 10x = 0 → 7x + 12x
= 0
7
c)
d)
SOLUCIONARIO
x −2x
3x
x
= − +
1
2
4
2 2
2 x + x ( x + 2) x
+ = 0
5 2
4
135

136
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
034
035
Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas
y comprueba, al menos, una de las soluciones.
a)
2 1− x
x
3x
+ 1
+ +
4
1
= 0
6
b)
2 x + 4
x
1−
4x
+
3
8
+
15
= 0
c)
2− x
2x
=
2 5 3x −2x
−
6 3x
x =
x
x
x
2 1− 3
3
3⋅3+ 1 1
+ +
4 6
− 8 10 1
= + +
3 4 6
= 0
− ± − −
−
= − ±
a)
2 1− x 3x
+ 1 1
2 2 2
+ + = 0→12− 12x + 9x + 3x+ 2x = 0→
−3x
+ 5x + 12 = 0
x 4 6
5 2 5 4⋅( 3) ⋅12
2 ⋅ ( 3)
⎧⎪
4
5 13
1 =−
→ → ⎨
⎪
3
−6
⎪
⎩⎪
2 = 3
x = x
x
2 5 + 4 1−4⋅5 8 29 19 8
+ + = − + = 0
5 3 15 5 3 15
− ± − −
−
= − ±
b)
2 x + 4
x
1−4x +
3
8
2 2
+ = 0 → 15x + 60+ 5x − 20x + 8x
= 0
15
2 → −5x
+ 13x
+ 60 = 0
13 2 13 4 ⋅( 5) ⋅ 60
2 ⋅ ( 5)
13 37
→
−10
⎧⎪
12
1 =−
→ ⎨
⎪
⎪ 5
⎪
⎩⎪
x 2 = 5
c)
x = x
− − ± − −
( 2) ( 2)
=
2 2− x
2x
=
2 5 3x − 2x
−
6 3x
2 2
→ 6− 3x = 5x− 6x + 4x → x − 2x
+ 1=
0
4⋅1⋅1 2⋅1 → 1
2
2−1 5 3⋅1 − 2⋅1 1 5 1
− +
= − + = 0
2⋅1 6 3⋅1 2 6 3
Resuelve las ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula correspondiente.
a) x(x + 3) −2(x2 −4) −8 = 0 b) (2x + 3) 2 −8(2x + 1) = 0
a) x(x + 3) − 2(x 2 − 4) − 8 = 0
Operamos: −x 2 + 3x = 0
Es una ecuación incompleta cuyas soluciones son x 1 = 0 y x2 = 3.
b) (2x + 3) 2 − 8(2x + 1) = 0
Operamos: 4x2 − 4x + 1 = 0
Factorizamos el primer miembro de la ecuación utilizando las igualdades notables:
(2x − 1) 2 = 0
La solución es x = .
1
2

036
037
038
039
La suma de las dos raíces de una ecuación de segundo grado es 4 y su producto
es −21.
a) Escribe la ecuación correspondiente.
b) Determina dichas soluciones.
a) x(4 − x) =−21
x
b) − 2 x + 4x + 21 = 0 → x = →
x
Las soluciones son −3 y 7.
− ± − −
2 4 4 4⋅( 1) ⋅ 21 ⎧ =−
⎨
⎪ 1 3
2 ⋅ ( −1)
⎩⎪ 2 = 7
Calcula k en cada caso.
a) x 2 + kx + 25 = 0 tiene una solución.
b) x 2 −4x + k = 0 no tiene soluciones.
c) kx 2 + 8x + 5 = 0 tiene dos soluciones.
a) k 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 0 → k = 10
b) (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k < 0 → (4, 8)
c) 8 2 ⎛ ⎞
− 4 ⋅ k ⋅ 5 > 0 → ⎜
⎜−
⎝⎜
,
⎠⎟
16
5
Resuelve la ecuación de segundo grado utilizando las igualdades notables.
Relaciona el resultado con el número de soluciones.
2 2 bx c
ax + bx + c = 0 → x + +
a a
= 0
2 bx
x +
a
c
=−
a
2 bx
→ x + +
a
2 b
2 4a =
2 b c
−
2 4aa
2
⎛
⎜ b ⎞
x +
⎝⎜
a ⎠⎟
=
2
2 b c
−
2 4aa b
→ x +
2a =±
2 b c
−
2 4aa
b
x =
a
− ±
2
2 Si b − 4ac < 0 → No tiene solución.
2 Si b − 4ac = 0 → Tiene una solución.
2 Si b − 4ac > 0 → Tiene dos soluciones.
¿Qué valor debe tomar k para que los números indicados sean soluciones
de las ecuaciones?
a) 2x2 + 5x + k = 0 b) k(x2 −5x + 1) −6(x + 2) + 4(k − x) −65 = 0
x = x =−2
3
2
2
2 b − 4ac
2 4a
b b ac
x =
a
− ± − 2 4
→
2
3
a) 2 5
2
3
⋅ 0 12
2
⎛ ⎞
⎜ + ⋅ + k = k =−
⎝⎜
⎠⎟
→
SOLUCIONARIO
b) k[(−2) 2 − 5 ⋅ (−2) + 1] − 6 ⋅ ((−2) + 2) + 4 ⋅ (k − (−2)) − 65 = 0 → k = 3
4
137

138
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
040
041
042
¿Qué valores deben tomar a y b para que la ecuación ax 2 + bx −30 = 0 tenga
dos soluciones, x 1 = 5 y x2 =−3?
Sustituimos las dos soluciones en la ecuación y formamos un sistema donde
las incógnitas son a y b:
· 3
25a+ 5b−
30 = 0⎫
75a 15b
⎬
⎪ ⎯→ + = 90 ⎫
· 5
⎬
⎪
9a−3b− 30 = 0⎭⎪
⎯→ 45a− 15b
= 150 ⎭⎪
120a
= 240 → a = 2
→ 9⋅2−3b−30 = 0 → b =−4
Di, sin resolverlas, cuál es la suma y el producto de las raíces de las siguientes
ecuaciones, y luego calcúlalas para comprobarlo.
a) x2 + 5x −14 = 0 c) 9x2 + 9x −10 = 0
b) x 2 + x = 0 d) 4x2−4x + 1 = 0
Partimos de una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a y b:
(x − a)(x − b) = 0
Después, multiplicamos: x2 − ax − bx + ab = 0 → x2 − (a + b)x + ab = 0
Por tanto, el producto de las raíces es el término independiente y la suma
de las raíces es el opuesto al coeficiente del término de primer grado.
a) El producto de las raíces es −14 y la suma es −5.
Las raíces son x1 =−7 y x2 = 2.
b) El producto de las raíces es 0 y la suma es −1.
Las raíces son x1 =−1 y x2 = 0.
c) El producto de las raíces es −
2
Las raíces son x1 = − y x2 = .
3
y la suma es −1.
1
d) El producto de las raíces es
1
4
La raíz es x = .
2
y la suma es 1.
5
10
9
3
Escribe ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones sean:
a) x1 =−4 y x2 = 2 c) x1 = 3 y x2 =−3
b) x1 = 0 y x2 =−7
Respuesta abierta.
d) x1 = y x2 =
a) (x + 4)(x − 2) = 0
b) x(x + 7) = 0
c) (x − 3)(x + 3) = 0
d)
⎛ ⎞
⎜x−x
⎝⎜
⎠⎟
−
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
3 1
2 2
3 1
0
2 2

043
Resuelve las ecuaciones.
a) 2x − − x
−
x − x + =
3 3
0
2 1 1
b)
c)
d)
e)
3 5 x
0
x + 2 x 1
− −
+ =
− + −
−
− − =
x 3 9 x
0
2
x 1 x 1
x
x + −2x
−
x − x −x− =
4 1
0
2 3
6
a) 2x
− − x
− 2x x 4x x 2x
x − x + = − + − + = − =
3 3
2 2
0 → 3 3 0 →
0
2 1 1
e)
x
2 − 4
x −1
3
+ 2
x + 2 x 2
= − −
x1 = 0 x2 = 2
3 5 x
2 2
b) 0 3x 3 x 3x
10 0 x 7 0
x + 2 x 1
− −
+ = + + − − = − =
→ →
x =− 7 x = 7
1 2
− x + 3 9 − x
2 2
c) − = 0 →− x + 2x + 3− 9+ x = 0 → x − 3x
+ 6 = 0
2
x −1 x − 1
−− ± − −
x = = ± −
2
( 3) ( 3) 4⋅1⋅ 6 3 15
2⋅1 2
No tiene solución real.
d)
x
+
2 x − 4
x −1
x + 2
3
2 2
2 x x 3x 2 3x 6 2x
8
x 2
= − + − + = + − +
− →
2 → 3x −5x− 12 = 0
x
x =
x
− − ± − − −
= ±
2 ⎧
( 5) ( 5) 4⋅ 3⋅(
12)
⎪ 1 = 3
5 13
→ ⎨
⎪
4
2⋅3 6 ⎪ 2 =−
⎩⎪
3
x +
2x
x 6x 2x x 8x
x − x x
−
4 1−
2 2
= 0 → + + 8− 1+ = 0 → + + 7 = 0
2 3 − − 6
x
x =
x
− ± −
= − ± =−
2 8 8 4⋅1⋅7 8 6 ⎧
⎨
⎪ 1 1
→
2⋅1 2 ⎩⎪ 2 =−7
SOLUCIONARIO
4
139

140
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
044
045
Estas ecuaciones tienen menos de cuatro soluciones. Determínalas.
a) 8x4 + 26x2 + 15 = 0
b) 9x4 + 80x2 −9 = 0
d) 9(1 − x 2 )(1 + x2 ) + 80x2 c)
5
6 −
2 x
+
2
4 x
= 0
= 0
z =
z
z
No tiene solución real.
− ± −
= − ±
a)
2
4 2 z = x 2
8x + 26x + 15 = 0 ⎯⎯→ 8z + 26z
+ 15 = 0
26 2 26 4 ⋅ 8 ⋅15
2⋅8 26 14
16
⎧ ⎪
3
⎪ 1 =−
→ ⎨
⎪ 4
⎪ 5
⎪ 2 =−
⎩⎪
2
2
4 2 z = x 2
b) 9x + 80x − 9 = 0 ⎯⎯→ 9z + 80z−
9 = 0
z =
z
z
1
z1 = 1→
x1 =−
3
x2
=
1
3
z2 =−9→ No tiene solución real.
− ± − − = − ± 80 2 80 4 ⋅ 9 ⋅(
9)
2⋅9 ⎧
80 82
⎪ 1
1 =
→ ⎪
⎨ 9
18 ⎪
⎩⎪
2 =−9
2
5 2
4 2 z = x 2
c) 6 − + = 0 → 6x − 5x + 2= 0 ⎯⎯→ 6z − 5z
+ 2= 0
2 4 x x
− − ±
z =
− −
=
No tiene solución real.
± −
( 5) 2 ( 5) 4⋅ 6⋅ 2
2 ⋅ 6
5 23
12
2
2 2 2 4 2
z = x 2 d) 9(1 − x )(1+ x ) + 80x = 0→− 9x + 80x
+ 9= 0 ⎯⎯→ − 9z + 80z+
9= 0
z1 = 9 → x1 =−3 x2 = 3
z2 = − → No tiene solución real.
1
z
z =
z
9
− ± − −
=
−
− ±
2 ⎧
80 80 4 ⋅( 9) ⋅ 9
⎪ 1 = 9
80 82
→ ⎨
⎪
1
2 ⋅ ( 9)
−18
⎪ 2 =−
⎩⎪
9
Obtén las soluciones de las ecuaciones.
2 2 b) 3 x ( x − 2) =
x
3
c)
12
8x +
x
=
20
3 x
d)
9
2 2x
2 = 1−3x
−
a)
3 2 x( x −7x)
= 6
2 2x
−12
2 2

046
z1 = 9 → x1 =−3 x2 = 3
z2 = 4 → x3 =−2 x4 = 2
No tiene solución real.
Completa las siguientes ecuaciones escribiendo un número en el segundo miembro,
de manera que tengan estas soluciones.
a) x + 7 − 2
x = 2
4x
+ 1 =
b)
a)
2
2
2 2 x 2
4 2 z x 2
b) 3x ( x − 2) = 9x 19x 2 0 9z 19
3
−
=
→ − + = ⎯⎯→ − z + 2= 0
2
12 20
4 2 z = x 2
c) 8x + = → 2x
+ 3x − 5= 0 ⎯⎯→ 2z + 3z− 5= 0
3 x x
d)
1
x
+
1
x + 5
1
4x
x 4
= −
=
a) x + 7 − 2 4x + 1 =−3
b)
3
2
2 x( x − 7 x)
4 2 z = x 2
= 6 → x − 13x + 36 = 0 ⎯⎯→ z −13z
+ 36 = 0
2 2x
−12
z
z =
z
−− ± − −
= ± =
( 13) ( 13) ⎧⎪
⎨
=
2 4⋅1⋅ 36 13 5
1 9
→
2⋅1 2
2 4
⎪
⎩⎪
z
z =
z
−− ± − −
⎧
( 19) ( 19) ±
=
=
=
2 4⋅ 9⋅ 2
1
19 17
⎪ 2
→ ⎨
⎪
1
2⋅9 18 ⎪ 2
⎩⎪
9
z = 2 → x =− 2 x = 2
1 1
1
1 1
z2 = → x3 =− x4
=
9
3 3
z1 = 1 → x1 =−1 x2 = 1
z2 = − → No tiene solución real.
5
z =
z
z
2
− ± − − 3 2 3 4⋅ 2⋅( 5)
2⋅2 − 3± 7
=
4
⎧⎪
1 = 1
→ ⎨
⎪
5
⎪
2 =−
⎪⎩
2
9
2x
2
2
2 4 2 z = x 2
= 1−3x → 6x − 2x + 9 = 0 ⎯⎯→ 6z − 2z + 9 = 0
−− ± − −
z = = ± −
2 ( 2) ( 2) 4⋅ 6⋅ 9 2 212
2⋅6 12
1 1 13 1
+
x x + 5 12 4x
= −
2
SOLUCIONARIO
4
141

142
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
047
048
Resuelve y comprueba las soluciones.
a) x + 2x
+ 3 = 6
b) 2 3x + 1− 2x
+ 2 = 0
2 2
a) x + 2x + 3 = 6 → 2x + 3= x − 12x + 36 → x − 14x + 33= 0
2
b) 2 3x + 1 − 2x + 2 = 0 → 4x − 20x = 0
c)
x
x =
x
−− ± − − 2
( 14) ( 14) 4 ⋅1⋅ 33 14 ± 8 ⎧ 1 = 3
= → ⎨
2⋅1 2
2 = 11
⎪
⎩⎪
x = 3→3+ 2⋅3+ 3 = 6
x = 11 → 11+ 2 ⋅ 11+ 3 6
x = 5→2 3⋅ 5+ 1− 2⋅ 5+ 2= 2⋅ 4− 10+ 2= 0
x = 0 → 2 3⋅ 0+ 1− 2⋅ 0+ 2= 2⋅1+ 20 2x−2 2 = 1→x − 12x + 27 = 0
x − 5
x
x =
x
−− ± − −
= ± =
2
( 12) ( 12) 4 ⋅1⋅ 27 12 6 ⎧⎪
1 9
→ ⎨
2⋅1 2
2 = 3
⎪
⎩⎪
x = 9 →
x = 3 →
d) x + 2 − x−6 − 2= 0 → x + 2= x− 6+ 4 x− 6 + 4 → 1= x−6
x = 7 → 7+ 2 − 7−6 − 2= 3−1− 2= 0
Estas ecuaciones tienen cero, una o dos soluciones. Determínalas.
d)
3
1+
=
5
3
−
a) 2 x + 1−3 4x−3
− 5= 0
x
x
b) 3x−2 − x−
2 = 2
2 c) x + 3x
− x + 8 = 0
2 9−2 4
= = 1
9−5 4
⋅
2 3−2 2
= 1
3−5 −2
⋅
a) No tiene solución.
b) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 = 6
c) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 =−4
d) Tiene una solución: x = 4
e) No tiene solución.
c)
2x −
x −
=
2
1
5
d) x + 2 − x−6
− 2 = 0
e) 2x−2 − x−
5 + 1= 0

049
050
Las ecuaciones tienen tres soluciones. Dada una solución, calcula las otras
dos soluciones.
a) (x + 3)(x2 −2x −3) = 0 b) (2a−1)(4a2 x =−3
+ 20a + 25) = 0
a) Resolvemos la ecuación x2 − 2x − 3 = 0:
x =
x
x
−− ± − − − ( 2) 2 ( 2) 4⋅1⋅( 3)
2⋅1 2± 4
=
2
⎧⎪
1 =−1
→ ⎨
2 = 3
⎪
a =
⎩⎪
1
2
b) Resolvemos la ecuación 4a 2 + 20a + 25 = 0:
a = a
− ± −
20 2 20 4 ⋅ 4 ⋅ 25
2⋅4 =
20
8
→ =
5
2
Halla la solución de estas ecuaciones.
a) x 3 + 4x2 + x −6 = 0 c) x2 (x2 + 1) + 2x3 + 36 = 12x(x + 1)
b) x 2 (x + 6) = 32 d) 2x 3 −5x 2 −14x + 8 = 0
a) 1
1
1
−2
1
−3
1
x 1 =−3 x2 =−2 x3 = 1
2 3 2
b) x ( x + 6) = 32 → x + 6x − 32= 0
2
−4
−4
x1 =−4 x2 = 2
2 2 3 4 3 2
c) x ( x + 1) + 2x + 36 = 12x( x + 1) → x + 2x −11x − 12x
+ 36 = 0
2
2
−3
−3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
5
−2
3
−3
0
6
2
8
−4
4
−4
0
2
2
4
2
6
−3
3
−3
0
1
5
6
−6
0
0
16
16
−16
0
x 1 =−3 x 2 = 2
−6
6
0
−32
32
0
−11
−12
8 −6
−3
−18
12 18
9 0
−9
0
36
−36
0
SOLUCIONARIO
4
143

144
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
051
052
d) 2 −5
−2 −4
2 −9
4 8
2 −1
2x− 1= 0
−14
18
4
−4
0
x =
1
2
1
x1 =
2
x2 =−2 x3 = 4
Escribe ecuaciones factorizadas que tengan las soluciones y el grado indicados.
a) Grado 3 y soluciones 5, −2 y 7.
Respuesta abierta.
b) Grado 4 y soluciones 1, −3 y −4.
a) (x + 2)(x − 5)(x − 7) = 0 b) (x− 1) 2 (x + 3)(x + 4) = 0
Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a) 6x3 −7x 2 − x + 2 = 0
b) 4x 3 (x −3) + 2x2 + 30(x + 1) = 23x(x −1)
c) x 4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0
a) 6 −7−12 1 6 −1 −2
6 −1 −2
0
Resolvemos la ecuación 6x2 − x − 2 = 0:
x =
1 2
x1=− x2 = x3
= 1
2 3
x
x
−− ± − − − = ±
2 ( 1) ( 1) 4⋅ 6⋅( 2)
2⋅6 1 7
12
⎧ ⎪
1
⎪ 1 =−
→ ⎨
⎪ 2
⎪ 2
⎪ 2 =
⎩⎪
3
3 2 4 3 2 b) 4x ( x− 3) + 2x + 30( x + 1) = 23x( x−1) → 4x −12x −21x
+ 53x + 30 = 0
4 −12 −21
−2 −8
40
4 −20
19
3 12 −24
4 −8 −5
8
−8
0
53
−38
15
−15
0
30
−30
0
Resolvemos la ecuación 4x 2 − 8x − 5 = 0:
x
x =
x
1
5
x1=− x2 =− 2 x3 = x4
= 3
2
2
−− ± − − − = ±
⎧⎪
1
2 ⎪
( 8) ( 8) 4⋅ 4⋅( 5)
=−
8 12 ⎪ 1
→ ⎨
⎪ 2
2⋅4 8 ⎪ 5
⎪ 2 =
⎩⎪
2

053
c) x 4 + 3x 3 −11x 2 + 2x = 0 → x(x 3 + 3x 2 − 11x + 2) = 0
Resolvemos la ecuación x 2 + 5x − 1 = 0:
Resuelve estas ecuaciones.
a)
x + x
3 2
⎛ 2 7 ⎞
b) 3x
⎜
⎜4
+
⎝⎜
x ⎠⎟
6 17x
4
x
c)
2 x
( x + 7) + x + 1= 0
16
=
( − )
a)
3
1 3 −11
2 2 10
1 5 −1
x = − ± − − 2 5 5 4⋅1⋅( 1)
− 5± 29
=
2⋅1 2
5 29
5 29
x1= x2 x3 0 x4
2
2
2
− −
= − +
= =
x x
x x
3 2 + + 1
3 2
+ = x + 1→2x + 3x −5x− 6 = 0
3 6
−1
−2
x x + 1
+ = x + 1
6
2
2
2
3
−2
1
−4
−3
2x− 3= 0
x =
3
2
x1=− 2 x2 =− 1 x3
=
3
2
⎛ 7 ⎞
2 6 17 4
3 2
b) 3x ⎜
x
⎜4
+
4x 7x 34x
⎝⎜
x ⎠⎟
x
=
( − )
→ + − + 8 = 0
4 7 −34
2 8 30
4 15 −4
−4 −16
4
4 −1
0
4x− 1= 0
2
−2
0
−5
−1
−6
6
0
−6
6
0
8
−8
0
x =
1
4
x1=− 4 x2 =
1
4
x3
= 2
d)
e)
3 2 1 5
x + 1 x 1 x 2
+ − =
−
2 2x ( x− 2)
+ 4x
= 3
2 x + 1
SOLUCIONARIO
4
145

146
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
054
c)
d)
e)
2 x
3 2
( x + 7) + x + 1= 0 → x + 7x + 16x + 16 = 0
16
1 7 16 16
−4 −4 −12 −16
1 3 4 0
Resolvemos la ecuación x 2 + 3x + 4 = 0:
− ± − ⋅ ⋅
x = =
⋅
− ± −
2 3 3 4 1 4 3 7
→ No tiene solución real.
2 1
2
x =−4
3 2 1 5
3 2 5x 8x 3x 2 0
x + 1 x 1 x 2
+ − = − + + + =
− →
−5
8 3
2 −10 −4
−5 −2 −1
Resolvemos la ecuación −5x 2 − 2x − 1 = 0:
−− ± − − ⋅ − ⋅ −
x = =
⋅−
± −
2
( 2) ( 2) 4 ( 5) ( 1)
2 16
→ No tiene solución real.
2 ( 5)
−10
x = 2
2 2x ( x− 2) + 4x
3 2
= 3→2x − 7x + 4x− 3= 0
2 x + 1
2 −7
4
3 6 −3
2 −1
1
Resolvemos la ecuación 2x 2 − x + 1 = 0:
−− ± − − ⋅ ⋅
x = =
⋅
± −
2
( 1) ( 1) 4 2 1 1 7
→ No tiene solución real.
2 2
4
x = 3
−3
3
0
Del sistema de ecuaciones se sabe que x =−1 forma parte de su solución.
Determina el valor de y.
− 2x
+ y = 2 ⎫
⎬
⎪ → y = 0
2x− 5y
=−2⎭⎪
2
−2
0
3(2x + y−1) −6(4x− y)
= 15⎫
⎬
⎪
− x + y + 3( x− 2y)
+ 6 = 4 ⎭⎪

055
056
057
058
Resuelve los siguientes sistemas.
a) − 2( x + 4) + 3( 3−2y) − 1= 12⎫
⎬
⎪
5( x + y) − 4( x + 1) − 2y
+ 10 = 0 ⎭⎪
b) 6( x−2y−3) − 3(2x + y− 3) + x + 7 = 0⎫
⎬
⎪
3( x−6 y) −2( x− y) + y = 0⎭⎪
a) − 2( x + 4) + 3( 3−2y) − 1= 12⎫
⎬
⎪ −2x− 6y = 12⎫
→ ⎬
⎪ → x =−3y−6 5( x + y) − 4( x + 1) − 2y + 10 = 0 ⎭⎪ x + 3y + 6 = 0 ⎭⎪
Sistema compatible indeterminado.
b) 6( x−2y−3) − 3( 2x + y− 3) + x + 7 = 0⎫
⎬
⎪ x− 15y = 2⎫
→ ⎬
⎪
3( x−6y) −2( x− y) + y = 0⎭⎪
x− 15y = 0⎭⎪
Sistema incompatible.
Dada la ecuación 2x −5y = 14, encuentra otra ecuación para que juntas formen
un sistema de dos ecuaciones que:
a) Tenga una sola solución.
b) No tenga soluciones.
Respuesta abierta.
c) Tenga infinitas soluciones.
a) 3x − 7y = 1 b) 2x−5y = 0 c) 4x− 10y = 28
Halla, si es posible, un valor de a para que el sistema:
a) Sea incompatible.
b) Sea compatible indeterminado.
c) Sea compatible determinado.
6 −4
=
− 9 a
6a = 36 → a = 6
a) No es posible. b) a = 6 c) a 6
Encuentra, si es posible, un valor de b para que el sistema:
8x− 12y
= 20⎫
⎬
⎪
4x + 9y
= b ⎭⎪
a) Sea incompatible.
b) Sea compatible indeterminado.
c) Sea compatible determinado.
8 12
4 9
−
6x− 4y = 12 ⎫
⎬
⎪
− 9x + ay =−18⎭⎪
El sistema es siempre compatible determinado.
SOLUCIONARIO
4
147

148
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
059
060
Resuelve los siguientes sistemas con tres ecuaciones y dos incógnitas,
y representa las soluciones.
a) 2x
+ y =−1⎫⎪
− x + y =−4⎬
⎪
⎪
−4x− y =−1⎪
⎭⎪
c) 2x
+ y = 0⎫⎪
−3x− 2y
= 1⎬
⎪
⎪
x− 3y
= 7⎪
⎭⎪
b) x + y = 7⎫⎪
2x−
y = 2
⎪
⎬
⎪
3x− 2y
= 0⎪
⎭⎪
d) − 4x + 2y
= 0 ⎫⎪
6x− 3y
= 2 ⎬
⎪
⎪
3x− 2y
=−2⎪
⎭⎪
a) 2x + y =−1⎫
⎪ x y 4
− x + y =−4
⎪ − + =− ⎫
⎬ → ⎬
⎪ → x = 1→− 1+ y =− 4 → y =−3
⎪ 4
−4x− y =−1⎪−x−
y =−1⎭⎪
⎭⎪
x = 1 y =−3
b) x + y = 7⎫⎪
2x− y = 2⎬
⎪
⎪
3x− 2y = 0⎪
⎭⎪
Las soluciones de las dos primeras ecuaciones son x = 3 e y = 4,
que no verifican la tercera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.
c) 2x + y = 0⎫
⎪ 2 4x 2y 0
−3x − 2y = 1
⎪ ⋅ + = ⎫
⎬ ⎯→ ⎬
⎪ → x = 1→ 4⋅ 1+ 2y = 0 → y =−2
⎪
x − 3y = 7⎪
−3x
− 2y = 1⎭⎪
⎭⎪
x = 1 y =−2
d) − 4x + 2y = 0 ⎫⎪
6x− 3y = 2 ⎬
⎪
⎪
3x− 2y =−2⎪
⎭⎪
10
Las soluciones de la segunda y tercera ecuaciones son x = e y = 6,
3
que no verifican la primera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.
Simplifica estos sistemas de ecuaciones, y utiliza el método de Gauss para obtener
su solución.
a) 4x + 6y = 0 ⎫
⎬
⎪
6x− 9y =−6⎭⎪
c) 32 ( x + y−1) −64 ( x− y)
= 15⎫
⎬
⎪
− x + y + 3x−
2y + 6 = 4 ⎭⎪
b) 5p+ 2q = 1 ⎫
⎬
⎪
15p− 10q = 11⎭⎪
d)
x− 5 2y− 1 ⎫⎪
+ = 2 ⎪
3 5
⎬
⎪
2 − x y + 1 ⎪
+ = 3 ⎪
4 3 ⎭⎪
a)
⎧ ⎪
1
4x + 6y = 0 ⎫
x
4x6 ⎬
⎪
+ y = ⎫ ⎪ =−
0
E2= 2E2−3E1 ⎬
⎪ → ⎨
⎪ 2
6x − 9y =−6⎭⎪⎯⎯⎯⎯→
− 36y =−12⎭⎪
⎪ 1
⎪ y =
⎩⎪
3
⎧ ⎪
2
b) 5p+ 2q = 1 ⎫
p
5p
⎬
⎪
+ 2q= 1⎫⎪
=
E2= E2−3E 5
1
⎬
⎪ → ⎨
⎪
15p− 10q = 11⎭⎪
⎯⎯⎯⎯→ − 16q = 8⎭⎪
⎪ 1
⎪q
=−
⎩⎪
2

061
Resuelve estos sistemas de ecuaciones, aplicando el método de Gauss.
a) 2x
+ 3 y + 1 ⎫⎪
+ = 3 ⎪
3 5
⎬
⎪
x−52y− 1 ⎪
− = 0 ⎪
2 3 ⎭⎪
b)
c) 3( 2x + y −1) −6( 4x − y)
= 15⎫
⎬
⎪ − + = ⎫
→ ⎬
⎪
− x + y + 3x − 2y + 6 = 4 ⎭⎪ − =− ⎭⎪ =
18x 9y 18
y 2x
2x y 2
d)
x + 3 y−
5 ⎫⎪
− = 0 ⎪
9 8
⎬
⎪
2x− y + 1 x + 2y− 3 ⎪
− = 0 ⎪
2
5 ⎭⎪
a)
b)
x − 5 2y − 1 ⎫⎪
+ = 2 ⎪
3 5
x
⎬
⎪ 5 − 25+
6y− 3= 30⎫5
6 58
→
⎬
⎪ x + y = ⎫
→
⎬
⎪
2 − x y + 1 ⎪
+ = 3 ⎪ 6− 3x + 4y + 4 = 36⎭⎪−
3x+ 4y=
26⎭⎪
⎪
4 3 ⎭⎪
5x + 6y = 58 ⎫
E2= 5E2+ 3E1
⎬
⎪ x = 2
⎯⎯⎯⎯→ 38y = 304⎭⎪
y = 8
2x + 3 y + 1 ⎫⎪
+ = 3 ⎪
3 5
10x
⎬
⎪ + 15 + 3y + 3 = 45⎫
→ ⎬
⎪ 10x + 3y = 27⎫
→ ⎬
⎪
x − 5 2y − 1 ⎪
− = 0⎪
3x −15− 4y + 2= 0 ⎭⎪ 3x
− 4y= 13⎭⎪
⎪
2 3 ⎭⎪
10x + 3y = 27⎫
E2= 10E2−3E1 ⎬
⎪ ⎧ =
⎨
⎪ 3
→
⎯⎯⎯⎯→ −49y
= 49⎭⎪
⎩⎪ =−1
x
y
x+ 3 y−
5 ⎫⎪
− = 0 ⎪
9 8
⎬
⎪
8x+ 24− 9y+ 45= 0⎫8x
→ ⎬
⎪ − 9y=−69⎫ →
⎬
⎪
2x− y+ 1 x+ 2y− 3 ⎪
− = 0⎪
10x− 5y+ 5−2x− 4y+ 6 = 0⎭⎪
8x− 9y=−11⎭⎪ ⎪
2
5 ⎭⎪
8x− 9y=
−69⎫
E2= E2−E1 ⎬
⎪
⎯⎯⎯⎯→ 0= 58 ⎭⎪
Sistema incompatible.
c) − ( 2x + 3y −2) − 6( x − y + 1) = −15⎫8
3 11
⎬
⎪ − x + y = − ⎫
→
⎬
⎪
4( x + 3) −12( x − y + 3)
= −32⎭⎪
− 8x + 12y = −8
⎭⎪
⎧ ⎪
⎪x
− 8x + 3y = −11⎫
=
E2= E2−E1 ⎬
⎪ → ⎨
⎯⎯⎯⎯→ 9y= 3 ⎭⎪ y =
⎪ ⎪
⎩⎪
d) 6( x+ 2y−3) −5( − 2x+ 3y− 1) + 3= 6 ⎫⎪
3y
⎬
⎪ 16x− 3y= 16⎫
⎬
⎪ 16x −16
→ → y =
16 = ⎪
x −1⎪
⎪ 16x− 3y= 16⎭⎪
3
⎭
Sistema compatible indeterminado.
SOLUCIONARIO
4
c) − ( 2x + 3y−2) −6( x− y + 1) =−15⎫
⎬
⎪
4( x + 3) −12( x− y + 3)
=−32⎭⎪
d) 6( x + 2y−3) −5( − 2x + 3y−
1) + 3= 6⎫⎪
3y
⎬
⎪
16 = ⎪
x −1
⎪
⎭⎪
3
2
1
3
149

150
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
062
063
Determina las soluciones de estos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas,
utilizando el método de Gauss.
a) 2x + 3y
+ 3z
= 11 ⎫⎪
c) 2x + 3y + 5z
= 0 ⎫⎪
x − 2y + 3z
= 6 ⎬
⎪
−4x− 6y + 7z
=−3⎬
⎪
⎪
⎪
− x + 3y − 3z
=−2⎪
3x−
y + z = 3 ⎪
⎭⎪
⎭⎪
b) 2x
− 2y + 2z
= 4⎫⎪
− x + 3y − 2z
= 1⎬
⎪
⎪
x + 2y
+ 2z
= 1⎪
⎭⎪
a) 2x + 3y + z = 11 ⎫⎪
2x + 3y + z = 11⎫⎪
x − 2y + 3z = 6 ⎬
⎪ E2= 2E2−E1
⎯⎯⎯→ − 7y + 5z = 1 ⎬
⎪
⎪ E E E
− x + y − z =−2⎪3=
2 3+ 1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 5y
− z = 7 ⎪
⎭⎪
2x + 3y + z = 11⎫⎪⎧⎪x=
1
− 7y
+ 5z= 1 ⎬
⎪
→ ⎨
⎪
y = 2
E3= 7E3+ 5E2
⎪
⎯⎯⎯⎯→ 18z = 54⎪
⎪
⎭⎪
⎪
⎩⎪
z = 3
b) 2x− y+ z=
4⎫⎪
2x− y+ z=
4 ⎫⎪
2x− y+ z=
4 ⎫⎪
⎧⎪
x = 3
E2
− x+ 3y− 2z= 1⎬
⎪ = 2E2+
E1
⎯⎯⎯→ 5y− 3z= 6 ⎬
⎪
5y− 3z= 6 ⎬
⎪
→⎨
⎪
y = 0
⎪ E
x+ 2y+ z=
1⎪3=
2E3−E1
⎪ E
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 5y+ z=−2⎪3=
E3−E2 ⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 4z=−8⎪ ⎪
⎭⎪
⎪
⎩⎪
z =−2
c)
⎧ ⎪
177
⎪ x =
2x + 3y + 5z = 0 ⎫ ⎪
2x + 3y + 5z = 0 ⎫
⎪
⎪ ⎪ 187
−4x − 6y + 7z =−3
⎪ E2= E2+ 2E
⎪ ⎪
1
63
⎬ ⎯⎯⎯→ 17z =−3
⎪
⎬ → ⎨
⎪
y =−
⎪ E E E
3x − y + z = 3 ⎪ 3= 2 3−3 1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ −11y − 13z = 6 ⎪
⎪ 187
⎭⎪
⎪
3
⎪ z =−
⎩⎪
17
d) 2x+ 4y+ z=
0⎫
⎪
2x+ 4y+ z=
0 ⎫⎪
E2
x−3y− 2z= 5
⎪ = 2E2−E
⎪
2x+ 4y+ z=
0 ⎫⎪
⎧
1
⎬ ⎯⎯⎯→ −10y− 5z= 10
⎪
⎪
⎪ x = 1
⎬ 3
⎪
E E E − y− z
E = 2 +
− x+ y− z=
1⎪
3 E3 E1
⎪ = + 10 5 = 10
⎪
⎬→
⎨
⎪
y = 0
3 3 2
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 6y
− z = 2 ⎪ 5
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ − = ⎪
⎪
4z8 ⎭⎪
⎪
⎩⎪
z =−2
Resuelve, empleando el método de Gauss.
a) x + y + z = 10⎫⎪
x + 2y− z = 2 ⎬
⎪
⎪
x + y + 2z = 15⎪
⎭⎪
b) 3x−y− z =−10⎫⎪
5x− z =−10⎬
⎪
⎪
− 6x + 3y + 2z = 22 ⎪
⎭⎪
c) 2x + 4y + z = 0⎫⎪
x−3y− 2z = 5⎬
⎪
⎪
− x + y− z = 1⎪
⎭⎪
d) 2x + 4y
+ z = 0⎫⎪
x−3y− 2z
= 5⎬
⎪
⎪
− x + y− z = 1⎪
⎭⎪
d) 2x− 3y + z = 3 ⎫⎪
4y− 3z = 10 ⎬
⎪
⎪
− x + 2y + 3z =−8⎪
⎭⎪
e) 2x + 2y− 8z = 12⎫⎪
− x + 3y + 5z = 7 ⎬
⎪
⎪
3x + 4y− z = 32⎪
⎭⎪
f) 4x + 3y + 5z + 2 = 0⎫⎪
− 2x + 6y−z− 2 = 0⎬
⎪
⎪
8x + 9y + 11z+ 10 = 0⎪
⎭⎪
a) x + y + z = 10⎫
⎪
x + y + z = 10 ⎫⎪
⎧
E
x + y − z =
⎪ 2=
E2−E ⎪
⎪ x = 3
1
2 2 ⎬ ⎯⎯⎯→ y − 2z =−8
⎪
⎬ → ⎨
⎪
y = 2
⎪ E E E
x + y + 2z = 15⎪3=
3− 1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→
z = 5 ⎪
⎪
⎭⎪
⎪
⎩⎪
z = 5

064
b) 3x − y − z =−10⎫
⎪
3x − y − z =−10⎫⎪
5x − z =−10
⎪
⎪
⎬
5x − z =−10
⎪
⎬
⎪ E3= E3+ 3E1
− 6x + 3y + 2z = 22 ⎪
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 3x − z =−8
⎪
⎭⎪
3x − y − z =−10⎫⎪⎧
⎪
⎪ x =−1
5x − z =−10
⎪
⎬ → ⎨
⎪
y = 2
E3= E3−E2 ⎪
⎯⎯⎯→ − 2x= 2 ⎪
⎪
⎭⎪
⎪
⎩⎪
z = 5
c) 2x + 4y + z = 0⎫
⎪
2x + 4y + z = 0 ⎫⎪
E2
= 2E
x −3y − 2z = 5
⎪ 2−E1 ⎪
⎬ ⎯⎯⎯→ −10y − 5z = 10
⎪
⎬
⎪ E = 2 +
− x + y − z = 1⎪
3 E3 E1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 6y
− z = 2 ⎪
⎭⎪
2x + 4y + z = 0 ⎫⎪
⎧
⎪
⎪ x = 1
E = E +
3
E −10y −5z
= 10
⎪
⎬ → ⎨
⎪
y = 0
3 3 5 2
⎪
⎯⎯⎯→ − = ⎪
⎪
4z8 ⎭⎪
⎪
⎩⎪
z =−2
d) 2x − 3y + z = 3 ⎫ ⎪
2x − 3y + z = 3 ⎫⎪
4y − 3z = 10
⎪
⎪
⎬
4y − 3z = 10
⎪
⎬
⎪ E E E
− x + 2y + 3z = −8⎪3=
2 3+ 1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ y + 7z = −13⎪
⎭⎪
2x − 3y + z = 3 ⎫⎪
⎧
⎪
⎪ x = 4
4y − 3z = 10
⎪
⎬ → ⎨
⎪
y = 1
E3= 4E3−E2
⎪
⎯⎯⎯→ 31z =−62⎪
⎪
⎭⎪
⎪
⎩⎪
z =−2
e) 2x + 2y − 8z = 12⎫
⎪
2x + 2y − 8z = 12⎫⎪
E
− x + 3y + 5z = 7
⎪ 2= 2E2+
E1
⎪
⎬ ⎯⎯⎯→ 8y + 2z
= 26
⎪
⎬
⎪ E E E
3x + 4y − z = 32⎪3=
2 3−3 1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 2y + 22z = 28⎪
⎭⎪
2x + 2y −8z
= 12⎫⎪
⎧
⎪
⎪ x = 7
8y + 2z = 26
⎪
⎬ → ⎨
⎪
y = 3
E3= 4E3−E2
⎪
⎯⎯⎯→ 86 = 86⎪
⎪⎪⎪
z
⎭⎪
⎩ z = 1
f) 4x + 3y + 5z + 2 = 0⎫
⎪
4x + 3y + 5z = −2⎫⎪
− 2x + 6y − z − 2 = 0
⎪ E2= 2E
+ E
⎪
2 1
⎬ ⎯⎯⎯→ 15y + 3z = 2
⎪
⎬
⎪ E = E − E
8x + 9y + 11z + 10 = 0⎪
3 3 2 1
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 3y + z = −6⎪
⎭⎪
⎧ x
4x+ 3y
+ z = − ⎫
⎪ =
5 2 ⎪ ⎪
17
⎪ ⎪
y + z =
⎪ 10
15 3 2 ⎬ → ⎨
⎪
y =
E3= 5E3−E2
⎪
⎯⎯⎯→
2z=−32⎪ ⎪ 3
⎭⎪
⎪
⎩⎪
z = −16
Resuelve las inecuaciones.
a) −x + 15 ≤3 −7x c) −x −13 ≤3 + 7x
b) x + 11 ≥3 −4x d) 2x + 11 ≥6 + 5x
a) −x + 15 ≤ 3 − 7x → 6x ≤−12 → x ≤ 2 → (−, −2]
b) x + 11 ≥ 3 − 4x → 5x ≥−8→ x ≥ →
c) −x − 13 ≤ 3 + 7x → −16 ≤ 8x → −2 ≤ x → [−2, +)
d) 2x + 11 ≥ 6 + 5x → 5 ≥ 3x → ≥ x → −
⎛ ⎤
⎜
⎝⎜
, ⎥
⎦
⎥
5
8 ⎡ 8 ⎞
− ⎢−
, +
⎣
⎢
5 5 ⎠⎟
5
3
3
SOLUCIONARIO
4
151

152
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
065
066
Encuentra la solución de las inecuaciones.
a)
b)
− + 3
+
4 − 1 5
4
3
2
2 x
5
6 x
3
1
+ ≥0
2
4 − x + x
−
5
1
≤
2
a)
⎛ ⎤
⎜
⎜−
⎝⎜
, ⎥
⎦
⎥
63
− +
b) +
22
−
2 3x
6 4x
1
+ ≥ 0 → − 12+ 18x + 60− 40x + 15≥ 0
5 3 2
63
→ −22x
≥−63 → x ≤
22
c)
2 − 5 1−4 1−
+
6 2
(1, +)
−
1
0 6 2 5 3 12 2 2 0
3
− x x x
< → − x + + − x − x + <
→ − 16x 1
Determina las soluciones de estas inecuaciones.
c)
2x x −
2x
− b)
3x x x
1
3
2 + 1
− ≥ 5
4
− − − a)
x + 2
+
3
x( x−
1)
> 0
5
2
1
2 3
+ 1< 0
a)
b)
1−5x 4 + 3x
1
− 2 ≤ → 5−25x −32−24x ≤10
4 5 2
→ −49x ≤ 37 → x ≥−
⎡ 37 ⎞
⎢−
, +
⎣
⎢
49 ⎠⎟
37
49
d)
2
2 3 16
3 −
2 3
0
e)
2 x −1 12x − x
−
4 3
2 2x
+ 1
≥ − x
3
− x x + x
+ ≥
x + 2 x( x−
1)
2 2
+ > 0 → 5x + 10+ 3x − 3x > 0 → 3x + 2x + 10> 0
3 5
El primer miembro de la inecuación es siempre positivo, por lo que siempre
se cumple. Es cierta para todos los números reales.
2
3x−1 x− x
2 2
− + 1< 0 → 9x−3− 2x + 2x + 6< 0 → 2x + 7x + 3<
0
2 3
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x =−1 x = 0
Si x =−10 → 2 ⋅ (−10) 2 ⎧⎪
x1
=−3
2 2x + 7x + 3= 0 → ⎨
⎪
1
⎪
⎪x
2 =−
⎩⎪
2
+ 7 ⋅ (−10) + 3 > 0 → (−, −3) no es solución
de la inecuación.
c)
2 5 1 4 1
1−
0
6 2 3
− + − − − x x x

e)
Si x =−1→ 2 ⋅ (−1) 2 + 7 ⋅ (−1) + 3 < 0 → es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → 2 ⋅ 02 ⎛
⎜ 1 ⎞
− −
⎝⎜
3,
2 ⎠⎟
⎛
+ 7 ⋅ 0 + 3 > 0 → ⎜ 1 ⎞
− + no es solución de la inecuación.
⎝⎜
,
2 ⎠⎟
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
⎛ ⎞
Por tanto, la solución es ⎜ 1
⎜−3,
− .
⎝⎜
2 ⎠⎟
x x
c) x − x x x x
− 2
1 2 2 + 1
2 2
− ≥5→12 − 4+ 8 −6 −3≥60→− 6 + 20x−67≥0
3 4
Resolvemos la ecuación: −6x2 + 20x − 67 = 0
No tiene solución real. Como el primer miembro de la ecuación toma siempre
valores negativos, la inecuación no tiene solución.
2 3 16
d) 3 −
2 3
− x x + x
+
2
2
≥ 0 → 18− 6x + 9+ 32x + 2x ≥ 0
2 → 2x+ 26x
+ 27≥ 0
SOLUCIONARIO
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x =−5 x = 0
Si x =−10 → 2(−10) 2 + 26 ⋅ (−10) + 27 > 0 →
es solución de la inecuación.
Si x =−5→ ⋅2(−5) 2 + 26 ⋅ (−5) + 27 < 0 →
no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → ⋅2 ⋅ 02 13
x1
=
2 2x + 26x + 27 = 0
2
13
x2
2
115
115
⎛
⎜
⎜−
⎝⎜
,
−13 −
2
115 ⎞
⎠⎟
⎛
⎜ −13 −
⎜
⎝⎜
2
115
,
− 13 +
2
115 ⎞
⎠⎟
⎛
+ 26 ⋅ 0 + 27 > 0 →
⎜ − 13 +
⎜
⎝⎜
de la inecuación.
2
115 ⎞
, + es solución
⎠⎟
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
⎛
Por tanto, la solución es
⎜
⎜−,
⎝⎜
−13 −
2
115 ⎤ ⎡
⎥ − +
⎥
∪ ⎢ 13
⎢
⎦⎥
⎣⎢
2
115 ⎞
, + ⎟.
⎟⎠
− −
= − +
⎧ ⎪
→ ⎨
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
33
x1
=
2
Resolvemos la ecuación: 4x + 33x + 7 = 0
8
33
x2
8
977
977
− −
= − +
2 x − 1 12x
− x
−
4 3
2 2x + 1
2
≥ − x → 4x + 33x + 7≥ 0
3
⎧ ⎪
→ ⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x =−5 x = 0
Si x =−10 → 4 ⋅ (−10) 2 ⎛
+ 33 ⋅ (−10) + 7 > 0 →
⎜ −33 − 977 ⎞
⎜−
⎝⎜
,
⎠⎟
es solución de la inecuación.
8
4
153

154
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
067
Si x =−5→ 4 ⋅ (−5) 2 + 33 ⋅ (−5) + 7 < 0 →
no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 4 ⋅ 02 ⎛
⎜ −33 − 977 − 33 + 977 ⎞
⎜
⎝⎜
,
8
8 ⎠⎟
⎛
+ 33 ⋅ 0 + 7 > 0 →
⎜ − 33 + 977 ⎞
⎜
+ es solución
⎝⎜
,
de la inecuación.
8 ⎠⎟
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
⎛ − − ⎤ ⎡
Por tanto, la solución es
⎜ 33 977
⎜−
⎥ − + ⎞
, .
⎝⎜
⎥
∪ ⎢ 33 977
⎢
, + ⎟
8 ⎦⎥
⎣⎢
8 ⎟⎠
¿Cuál es la solución de estas inecuaciones?
a) x 2 − x −6 < 0 c) 2x 2 + 5x + 6 < 0 e) 2x 2 + 5x −3 > 0
b) −x 2 −2x + 8 < 0 d) −x 2 + 3x −4 < 0 f) 6x2 + 31x + 18 ≤0
a) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → (−10) 2 + 10 − 6 > 0 → (−, −2) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 0 − 6 < 0 → (−2, 3) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 10 − 6 > 0 → (3, +) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−2, 3).
b) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → −(−10) 2 − 2 ⋅ (−10) + 8 < 0 → (−, −4) es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → −02 − 2 ⋅ 0 + 8 > 0 → (−4, 2) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → −102 c)
− 2 ⋅ 10 + 8 < 0 → (2, +) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−, −4) ∪ (2, +).
Resolvemos la ecuación: 2x2 +5x + 6 = 0 → No tiene solución real.
El primer miembro de la ecuación siempre toma valores positivos.
No tiene solución.
d) Resolvemos la ecuación: −x2 + 3x − 4 = 0 → No tiene solución real.
El primer miembro de la ecuación siempre toma valores negativos.
Es una identidad.
e) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → 2 ⋅ (−10) 2 ⎧
2 x1
=−2
x − x−
6 = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 3
⎧
2 =−
− − + = ⎨
⎪x1
4
x 2x 8 0 →
⎩⎪ x2
= 2
⎧⎪
x1
=−3
2 2x + 5x− 3= 0 → ⎨
⎪
1
⎪
⎪x
2 =
⎩⎪
2
+ 5 ⋅ (−10) − 3 > 0 → (−, −3) es solución
de la inecuación.

068
Si x = 0 → 2 ⋅ 02 + 5 ⋅ 0 − 3 < 0 → no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 2 ⋅ 10 2 + 5 ⋅ 10 − 3 > 0 → es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es
f ) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x =−1 x = 0
Si x =−10 → 6 ⋅ (−10) 2 + 31 ⋅ (−10) + 18 > 0 → no es solución
de la inecuación.
Si x =−1→ 6 ⋅ (−1) 2 + 31 ⋅ (−1) + 18 < 0 → es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → 6 ⋅ 02 ⎛ ⎞
⎜−
⎝⎜
3
⎠⎟
⎛ 1 ⎞
⎜ , +
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛
( − , − ) ∪ ⎜ 1 ⎞
3 ⎜ , +
⎝⎜
.
2 ⎠⎟
⎧ ⎪
9
⎪x1
=−
2 6x + 31x + 18 = 0 → ⎨
⎪ 2
⎪ 2
⎪x
2 =−
⎩⎪
3
⎛
⎜ 9 ⎞
− −
⎝⎜
,
2 ⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ 9 2
− −
⎝⎜
,
2 3 ⎠⎟
⎛ ⎞
+ 31 ⋅ 0 + 18 > 0 → ⎜ 2
− + no es solución
⎝⎜
,
⎠⎟
de la inecuación.
3
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
⎡ 9 2 ⎤
Por tanto, la solución es ⎢−
, − ⎥.
⎣
⎢ 2 3 ⎦
⎥
1
,
2
Resuelve estas inecuaciones que contienen fracciones algebraicas.
a)
x +
x − <
3
0
5
b) 2x −
x + <
3
0
3
(−3, 5)
d)
1
2 −
3 3
1 0
0 5
2 + 5
2 5
2
⎛ ⎞
⎜ 5
⎜−
, −1
⎝⎜
2 ⎠⎟
− >
− −
+ >
⎛ ⎞
⎜
⎜−3
⎝⎜
⎠⎟
c)
− + − + < ⎫
x > 1 ⎫⎪
x 1
x 1 0
> 0 → ⎬
⎪ → 2
⎪
⎬
2−3x 2− 3x> 0⎭⎪
x < ⎪
3
⎪
⎭⎪
⎛ ⎞
⎜ 2
⎜−
∪ +
⎝⎜
, ( 1,
⎠⎟
)
3
x − ⎪
⎭⎪
3
b)
3
2x−3 2x3 0 x
0
3
3 0 2
x + x
x 3
,
2
<
a)
x +
x
x
x − x
x
⎫
− < ⎫
⎪
⎬
⎪ < ⎪
→ → ⎬
⎪
+ > ⎭⎪ ⎪
>− ⎪
⎭⎪
<
3 + 3> 0⎫
⎬
⎪ >−3⎫
0 → → ⎬
⎪
5 − 5< 0⎭⎪
< 5 ⎭⎪
c)
− +
− 3
>
x 1
0
2 x
SOLUCIONARIO
4
2 −
d) 1 0
2 + 5
− >
x
x
155

156
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
069
070
Resuelve estos sistemas de inecuaciones.
d) − + ⋅ − +
>
⋅ − 3 ⎫⎪
b) 42 ( x − 5) + 28 ( − 2x) + 7≥ 0⎫
⎬
⎪ + > ⎫
x >− ⎪
4x3 0
⎪
→ ⎬
⎪ → 4 ⎪
⎛
⎬ → ⎜
⎜−
31 ( −2x) −32 ( x − 1) + 1≥ 0⎭⎪
− 12x + 7 ≥ 0⎭⎪
7 ⎪
x ≤ ⎪ ⎝⎜
⎪
12 ⎭⎪
⎤
⎥
⎦
⎥
c)
x − 2 1−
x
+
5 3
2−3x 3−3x −
6 2
⎫⎪
⎫
< 0⎪
1 ⎪
⎪ x
⎬
⎪ −2
− < ⎫
x > ⎪
1 0 ⎪
→
⎬
⎪ 2
⎬
⎪
⎛ 7 ⎞
→ → ⎜ , +
⎪
> 0⎪
6x− 7> 0⎭⎪
7 ⎪
⎪
x > ⎪ ⎝⎜
6 ⎠⎟
⎪
⎭⎪
6 ⎭⎪
2 5x
⎫⎪
3( x 1) 2
1 ⎪
3
⎬
⎪ − − > ⎫
x 3⎭⎪
2x
>−3⎭⎪
x >− ⎪ ⎝⎜
2 ⎠
2 ⎭⎪
,
4
7
12
2
→ → , 5
d) − 3( + ) ⋅ −
2
⎟
+ >
⋅ − a) 2( x−5) −3(2 − 2x)
< 0⎫
⎬
⎪
− x + 3(2 + x)
> 3⎭⎪
c)
x− 2 1−
x
+
5 3
2 −3x 3 − 3x
−
6 2
⎫⎪
< 0 ⎪
⎬
⎪
⎪
> 0 ⎪
⎭⎪
b) 4(2x− 5) + 2( 8− 2x)
+ 7≥0⎫⎪ ⎬
⎪
3( 1−2x) −3(2x− 1) + 1≥0⎭⎪ 2 x ⎫⎪
x 1 2
1 ⎪
3
⎬
⎪
x 1 1 ⎪
2 + < 0 ⎪
5 5 ⎪⎭
⎪
Obtén las soluciones de estos sistemas.
2 a) x −3x− 4> 0⎫
⎬
⎪
2x
− 3< 0⎭⎪
2 b) x −3x− 4< 0⎫
⎬
⎪
2x
− 3< 0⎭⎪
2 c) x −3x− 4> 0⎫
⎬
⎪
2x
− 3> 0⎭⎪
2 d) x −3x− 4< 0⎫
⎬
⎪
2x
− 3> 0⎭⎪
Resolvemos cada una de las inecuaciones:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → (−10) 2 − 3 ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−, −1) es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 3 ⋅ 0 − 4 < 0 → (−1, 4) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 a) 2 x −3x− 4 > 0⎫
⎬
⎪
2x− 3< 0⎭⎪
⎧
2 x1
=−1
x −3x− 4 = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 4
− 3 ⋅ 10 − 4 > 0 → (4, +) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.

071
Por tanto, la solución es (−, −1) ∪ (4, +).
Por tanto, la solución es .
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una
de las inecuaciones: (−, −1).
b) Repitiendo el proceso del apartado anterior, la solución es .
c) Repitiendo el proceso del primer apartado, la solución es (4, +).
3
d) Repitiendo el proceso del primer apartado, la solución es .
2 4 ,
⎛ ⎞
⎜
⎜−1
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
3
⎛ ⎞
⎜
⎜−
⎝⎜
,
⎠⎟
,
2
3
3
2x− 3< 0 → x <
2
2
Resuelve estos sistemas de inecuaciones.
a) 2
10 −3x− x < 0 ⎫
⎬
⎪
3x
+ 5>−16⎭⎪ c) 2 x + 4x−
5> 0 ⎫
⎬
⎪
3x
− 2< 10⎭⎪
b) 2
10 −3x− x < 0 ⎫
⎬
⎪
2x
− 3> 13⎭⎪
d) 2 x + 4x−
5< 0 ⎫
⎬
⎪
3x
− 2> 10⎭⎪
SOLUCIONARIO
a) Resolvemos cada una de las inecuaciones:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → −(−10) 2 − 3 ⋅ (−10) + 10 < 0 → (−, −5) es solución.
Si x = 0 → −02 − 3 ⋅ 0 + 10 > 0 → (−5, 2) no es solución.
Si x = 10 → −102 ⎧
2 =−
− − + = ⎨
⎪x1
5
x 3x 10 0 →
⎩⎪ x2
= 2
− 3 ⋅ 10 + 10 < 0 → (2, +) es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−, −5) ∪ (2, +).
3x + 5 >−16 → x >−7
Por tanto, la solución es (−7, +).
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una
de las inecuaciones: (−7, −5) ∪ (2, +).
b) La inecuación de segundo grado es la misma que en el apartado anterior.
Por tanto, la solución es (−, −5) ∪ (2, +).
2x − 3 > 13 → x > 8
Por tanto, la solución es (8, +).
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una
de las inecuaciones: (8, +).
c) Resolvemos cada una de las inecuaciones:
⎧
2 x1
=−5
x + 4x− 5= 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 1
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
4
157

158
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
072
073
Si x =−10 → (−10) 2 + 4 ⋅ (−10) − 5 > 0 → (−, −5) es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → 0 2 + 4 ⋅ 0 − 5 < 0 → (−5, 1) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 10 2 + 4 ⋅ 10 − 5 > 0 → (1, +) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−, −5) ∪ (1, +).
3x − 2 < 10 → x < 4
Por tanto, la solución es (−, 4).
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una
de las inecuaciones: (−, −5) ∪ (1, 4).
d) Repitiendo el proceso del apartado anterior, vemos que el sistema
no tiene solución.
Obtén gráficamente las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones.
a) 2x− 3y
+ 6< 0 ⎫
⎬
⎪
x + 2y
> 11⎭⎪
b) 2x− 3y
+ 6> 0 ⎫
⎬
⎪
x + 2y
> 11⎭⎪
a) La solución es la región más oscura. b) La solución es la región más oscura.
Calcula las soluciones de estos sistemas.
a) 2x−
y + 6< 0⎫
⎬
⎪
− 4x + 2y
< 2⎭⎪
b) 2x−
y + 6< 0⎫
⎬
⎪
− 4x + 2y
> 2⎭⎪
c) 2x−
y + 6> 0⎫
⎬
⎪
− 4x + 2y
< 2⎭⎪
d) 2x−
y + 6> 0⎫
⎬
⎪
− 4x + 2y
> 2⎭⎪
Y
2
2 X
Y
2
2 X

074
a) No tiene solución. c) La solución es la región más oscura.
b) La solución es la región más oscura. d) La solución es la región más oscura.
Resuelve los sistemas.
a)
2x + y y + 6 ⎫⎪
< ⎪
3 5
⎬
⎪
4 − x 2 − y ⎪
+ < 2 ⎪
3 5 ⎭⎪
1 2 3
1
b) −
2 3
2
2 4 2 3
1
0
3 2
− + − +
≥
− − − x y x y ⎫ ⎪
⎬
⎪
x y x + y ⎪
+ ≥ ⎪
⎭⎪
Y
1
Y
1
a) La solución es la región más oscura. c) La solución es la región más oscura.
Y
2
b) La solución es la región más oscura.
Y
1
1 X
1 X
2 X
1 X
c)
SOLUCIONARIO
Y
1
Y
1
x + 1 6x
+ y 3 − y ⎫⎪
+ < ⎪
2 25 5 ⎪
⎬
− x + 1 2x + y− 3 3x
+ 1⎪
−2⋅ < ⎪
3
2
4 ⎭⎪
Y
2
1 X
1 X
2 X
4
159

160
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
075
076
Determina la suma y el producto de las soluciones de la ecuación.
x2 −9x + 14 = 0
Halla las soluciones. ¿Puedes explicar lo que sucede?
El producto de las raíces es 14 y la suma es 9.
Las raíces son x1 = 2 y x2 = 7.
Si el coeficiente del término de segundo grado es 1, el producto de las raíces
es el término independiente y la suma de las raíces es el opuesto al coeficiente
del término de primer grado.
Estudia el valor de los coeficientes de la ecuación bicuadrada ax 4 + bx 2 + c = 0,
para que tenga cuatro, tres, dos, una o ninguna solución.
Analizamos el número de raíces de la ecuación bicuadrada ax 4 + bx 2 + c = 0
a partir de las raíces obtenidas en la ecuación de segundo grado asociada,
az 2 + bz + c = 0.
2 Si Δ= b − 4ac < 0 → No tiene solución.
Si Δ= − = = Si No tiene solució
− b
→ Si = 0 ( b = 0, c = 0) → Tiene una solución: x = 0.
2a
− b
→ Si > 0 → Tiene dos soluciones opuestas.
2a
− − 2 b
b
b 4ac 0 → z → < 0 → n.
2a2a 2 Si Δ= b − 4ac > 0 → La ecuación de segundo grado tiene dos
soluciones.
Si las dos soluciones son negativas, la ecuación bicuadrada no tiene solución.
2 2
−b− b −4ac
−b− b −4ac
< 0 y < 0 → No tiene solución.
2a
2a
Si una solución es negativa y la otra es cero:
c = 0 y
− b
a
< 0 → Tiene una solución: x = 0.
Si una solución es positiva y la otra es cero:
c = 0 y
− b
a
> 0 → Tiene tres soluciones: x = 0,
x =±
−b
.
a
Si las dos soluciones son positivas, la ecuación bicuadrada tiene cuatro
soluciones.
±
x =
b
b
b ac
a
b ac
a
− + −
± − − −
−b− 2 b −4ac
2a
> 0 y
−b− 2 b −4ac
2a
> 0 → Tiene cuatro soluciones.
⎧ ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩⎪
2 4
2
2 4
2

077
Utiliza el método de sustitución para resolver estos sistemas de ecuaciones
no lineales.
a) 2 y = x ⎫
⎬
⎪
x + y−
2 = 0 ⎭⎪
c) 10 = xy⎫
⎬
⎪
x + 2 = y + 5⎭⎪
b) 2 y−x − 5x
+ 3= 0⎫
⎬
⎪
y = 6x−1⎭⎪
d) 2 y + x − 5x
+ 6 = 0⎫
⎬
⎪
x− y + 9 = 0⎭⎪
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
x 2 + x − 2 = 0
x =
x
x
Las soluciones son: x1 =−2
Si x1 =−2 → y1 = 4
Si x2 = 1 → y2 = 1
x2 = 1
−± − ⋅ ⋅−
⋅
= −± =−
2 y = x ⎫
⎬
⎪
x + y−
2= 0 ⎭⎪
1 2 1 4 1 ( 2)
2 1
1 3
2
⎧
⎨
⎪ 1 2
→
⎩⎪ 2 = 1
b) Resolvemos el sistema por sustitución:
−x 2 + x + 2 = 0
x
x =
x
Las soluciones son: x1 = 2 x2 =−1
Si x1 = 2 → y1 = 6 ⋅ 2 −1 = 11
Si x2 =−1 → y2 = 6 ⋅ (−1) − 1 =−7
−± − ⋅− ⋅
=
⋅−
−±
2 y− x − 5x + 3= 0⎫
⎬
⎪
y = 6x−1⎭⎪ 2 1 1 4 ( 1) 2 1 3 ⎧ =
⎨
⎪ 1 2
→
2 ( 1)
−2
⎩⎪ 2 =−1
SOLUCIONARIO
c) Resolvemos el sistema por sustitución:
x 2 − 3x − 10 =0
Las soluciones son: x1 =−2
Si x1 =−2 → y1 = =−5
x2 = 5
Si x2 = 5 → y2 = = 2
d) Resolvemos el sistema por sustitución:
x 2 x =
x
x
10
−2
10
5
2 y + x − 5x + 6 = 0⎫
⎬
⎪
x− y + 9 = 0⎭⎪
− 4x + 15 = 0
Esta ecuación no tiene solución real, por lo que el sistema no tiene solución.
−− ± − − ⋅ ⋅ −
⋅
= ± =−
( 3) 2 ( 3) 4 1 ( 10)
2 1
3 7
2
⎧ 1 2
→ ⎨
2 = 5
⎪
10 = xy⎫
⎬
⎪
x + 2= y + 5⎭⎪
⎩⎪
4
161

162
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
078
079
Resuelve la ecuación.
1
Trata de hacerlo sustituyendo en la expresión x − = t y obtendrás una ecuación
x
de segundo grado. Calcula las soluciones para la incógnita t y luego sustituye
para hallar el valor de x.
Sustituimos:
Resolvemos la ecuación: 2t 2 x −
1
x
= t
− 3t = 0
3
t1 =
2
t2 = 0
Sustituimos para calcular x:
x 3 =−1 x 4 = 1
Determina la solución de estas ecuaciones realizando las sustituciones de variable
necesarias.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
a) 2 ⎜ x + − 9⎜
x + 10 0
⎝⎜
x ⎠⎟
⎜ + =
⎝⎜
x ⎠⎟
b)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2 ⎜
⎜x
− −3⎜x− 0
⎝⎜
x ⎠⎟
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
=
1 3
x − =
x 2
1
x1 =− x2=
2
2
2
2
2 x
6x
8 0
2 x − 6x
+ 9 x 3
− + =
−
a) Sustituimos:
Resolvemos la ecuación: 2t2 t = x−
1
x
= 0
− 9t + 10 = 0
t1= 5
2
t2
= 2
Sustituimos para calcular x:
1 5
x + =
x 2
1
x1= x2
= 2
2
x +
1
x
= 2
x3 = 1
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2 ⎜ x − −3⎜x− 0
⎝⎜
x ⎠⎟
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
=

080
081
082
b) Factorizamos el denominador de segundo grado:
2 x 6x
− + 8 = 0
2 ( x − 3)
x − 3
Lo expresamos como una igualdad notable:
2
Sustituimos:
Resolvemos la ecuación: t 2 x
x −
x
t = − 3
x − 3
− 1 = 0
t1 =−1 t2 = 1
Sustituimos para calcular x:
x
1=
− 3→x1= 4
x − 3
x
− 1=
− 3→x2= 6
x − 3
−
⎛ ⎞
⎜ 3 − 1= 0
⎝⎜
3 ⎠⎟
Si Max sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menos
que si los sube de dos en dos. ¿Cuántos escalones tiene la torre?
Llamamos x al número de escalones:
x x
+ 30 = → 2x + 180 = 3x → x = 180
3 2
La torre tiene 180 escalones.
El jeque Omar tiene dispuesto en su testamento que la tercera parte de sus camellos
se entregue a su primogénito, Alí; la tercera parte del rebaño sea para su segundo
hijo, Casim, y el resto vaya a parar a su esposa Fátima. A la muerte de Omar y, una vez
hecho el reparto, a Fátima le corresponden 140 camellos. ¿Cuántos camellos
componían el rebaño del jeque?
Llamamos x al número de camellos del jeque:
x x
x − − = 140 → 3x− 2x = 420 → x = 420
3 3
El rebaño del jeque estaba compuesto por 420 camellos.
En una bodega venden dos tipos de vino: crianza
y reserva. Averigua cuál es su precio si sabemos
que Juan compró 3 botellas de reserva
y 12 botellas de crianza y pagó 69 €,
mientras que Belén compró 6 botellas de crianza
y 8 botellas de reserva, y pagó 80 €.
SOLUCIONARIO
Llamamos x al precio de la botella de crianza
e y al precio de la botella de reserva:
12x + 3y = 69⎫
12x 3y 6
⎬
⎪ ⎯⎯→ + = 9 ⎫
·( −2)
⎬
⎪ →− 13y =− 91 → y = 7
6x + 8y = 80⎭⎪⎯⎯→
−12x − 16y =−160⎭⎪
6x + 8 ⋅ 7 = 80 → x = 4
El precio de la botella de crianza es de 4 € y el precio de la botella de reserva
es de 7 €.
4
163

164
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
083
084
085
086
Esther viaja de Barcelona a Sevilla en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva
una velocidad constante de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, Juan coge,
a esa misma hora, un autobús que viaja a 70 km/h, con la misma dirección
que Esther. ¿A qué hora se encuentra Esther con el autobús? ¿Qué distancia
ha recorrido cada uno?
El tiempo que tardan en encontrarse es x, y como:
90x = 110 + 70x → 20x = 110 → x = 5,5 horas, se encuentran
a las 13 h 30 min. La distancia recorrida por Esther es: 5,5 ⋅ 90 = 495 km
y la distancia recorrida por Juan es: 495 − 110 = 385 km.
A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz a una velocidad
de 75 km/h. A la misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora
en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 60 km/h. ¿A qué hora
se cruzarán Tomás y Natalia? ¿A qué distancia estarán de Cádiz?
Siendo x el tiempo que tardan en encontrarse, y considerando que están
a una distancia de 660 km:
75x + 60x = 660 → 135x = 660 → x = 4,888 horas = 4 h 53 min 20 s, es decir,
se cruzarán a las 11 h 53 min 20 s y estarán a 4,888 ⋅ 60 = 293,333 km de Cádiz.
Tenemos un alambre de 17 cm. ¿Cómo hemos de doblarlo para que forme un ángulo
recto de modo que sus extremos queden a 13 cm?
Trozo mayor: x. Trozo menor: 17 − x. Diagonal:
x 2 + (17 − x) 2 = 13 2 → 2x 2 − 34x + 289 = 169 → x 2 2 2
x + ( 17 − x)
.
− 17x + 60 = 0
17 ±
x =
289 −240
2
⎧ ⎪
17 + 7
⎪ x1
= = 12
= ⎨
⎪ 2
⎪ 17 − 7
⎪x
2 = = 5
⎩⎪
2
Las dimensiones son 12 cm y 5 cm.
Un cine tiene igual número de filas que de butacas por fila. El propietario decide
remodelarlo quitando una butaca por fila y tres filas. Después de la remodelación,
el número de butacas es 323.
a) ¿Cuántas filas tenía el cine antes del cambio?
b) ¿Cuántas butacas hay ahora en cada fila?
Butacas iniciales = filas iniciales = x Butacas finales = x − 1 Filas finales = x − 3
(x − 1)(x − 3) = 323 → x 2 − 4x − 320 = 0
x
x =
x
± +
=
=
+
=
= −
⎧ ⎪
4 36
⎪ 1
20
4 16 1. 280 ⎪ 2
⎨
⎪
2 ⎪ 4 36
⎪ 2 =−18
⎩⎪
2
La solución negativa no es válida.
a) El número de filas iniciales era de 20.
b) Ahora hay 20 − 1 = 19 butacas en cada fila.

087
088
089
090
091
Reparte el número 20 en dos partes tales que la suma de sus cuadrados valga 202.
Parte 1: x Parte 2: 20 − x
x 2 + (20 − x) 2 = 202 → 2x 2 − 40x + 400 = 202 → x 2 − 20x + 99 = 0
⎧ ⎪
20 + 2
x = =
± −
⎪ 1
11
20 400 396
x =
= ⎨
⎪ 2
2 ⎪ 20 − 2
⎪x
2 = = 9
⎪⎩
2
Las partes son 11 y 9.
Para embaldosar un salón de 8 m de largo por 6 m de ancho, se han utilizado
300 baldosas cuadradas. ¿Cuánto mide el lado de las baldosas?
Lado de la baldosa: x
300x 2 = 8 ⋅ 6 → x 2 = 0,16 → x = 0,4 m
El lado de la baldosa mide 40 cm.
Dos kilos de albaricoques y tres kilos de fresas cuestan
13 €. Tres kilos de albaricoques y dos kilos de fresas
cuestan 12 €. ¿Cuál es el precio del kilo de albaricoques?
¿Y el de fresas?
Albaricoques: x Fresas: y
2x + 3y = 13⎫6x
+ 9y = 39 ⎫
⎬
⎪
→
⎬
⎪
3x + 2y = 12⎭⎪−6x−
4y =−24⎭⎪
Sumando queda: 5y = 15 → y = 3, x = 2
Los albaricoques cuestan 2 €/kg y las fresas 3 €/kg.
SOLUCIONARIO
Se han comprado sellos de 0,26 € y de 0,84 €. En total se ha pagado 5,18 €
por 11 sellos. ¿Cuántos sellos son de 0,26 €? ¿Y de 0,84 €?
Sellos de 0,26 €: x Sellos de 0,84 €: y
x + y = 11 ⎫
⎬
⎪
→ x = 11 − y → 2,86 − 0,26y + 0,84y = 5,18 → y = 4, x = 7.
026 , x− 084 , y = 518 , ⎭⎪
Hay 7 sellos de 0,26 € y 4 sellos de 0,84 €.
En una compra se han utilizado monedas de 2 € y billetes de 5 €. En total, son
13 monedas y billetes y se ha pagado 32 €. ¿Cuántas monedas de 2 € se utilizan?
¿Y cuántos billetes de 5 €?
Monedas: x Billetes: y
x + y = 13⎫
⎬
⎪
→ x = 13 − y → 26 − 2y + 5y = 32 → y = 2, x = 11
2x− 5y = 32⎭⎪
Se utilizan 11 monedas de 2 € y 2 billetes de 5 €.
4
165

166
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
092
093
094
095
096
Para una merienda se han comprado bocadillos de jamón, a 2,80 € la unidad,
y de queso, a 2,50 €. En total se pagan 48 € por 18 bocadillos. ¿Cuántos bocadillos
se compran de jamón? ¿Y de queso?
Jamón: x Queso: y
x + y = 18⎫
⎬
⎪
→ x = 18 − y → 50,4 − 2,8y + 2,5y = 48 → y = 8, x = 10.
2, 80x− 2, 50y = 48⎭⎪
Se compran 10 bocadillos de jamón y 8 de queso.
Se mezcla vino de 12 €/¬ con vino de 15 €/¬, de modo que resultan 50 ¬ de vino
de 13 €/¬ de mezcla. ¿Cuántos litros de cada tipo de vino se han mezclado?
Vino de 12 €/¬: x Vino de 15 €/¬: y
x + y = 50 ⎫
50 100
⎬
⎪
→ x = 50 − y → 600 − 12y + 15y = 650 → y = , x =
12x + 15y = 50 ⋅13⎭⎪
3 3
100
Se mezclan
3
50
litros de vino de 12 €/¬ y litros de vino de 15 €/¬.
3
Se han mezclado 40 kg de café, a 10 €/kg, con otra
cantidad de café a 14 €/kg. ¿Cuántos kilos se han usado
de cada clase si se vende la mezcla a 12,80 €/kg?
Café de 14 €/kg: x Total de café: y
x− y = 40 ⎫
⎬
⎪
→ y = 40 + x
12, 8y− 14x = 400⎭⎪
512 + 12,8x − 14x = 400 → x = 93,3; y = 133,3
Se han usado 93,3 kg de café de 14 €/kg para
obtener 133,3 kg.
Para hacer un lingote de 9 kg de oro de ley 0,85 se funde oro de ley 0,81 con oro
de ley 0,9. ¿Qué cantidad de cada ley hay que tomar?
Kilos de oro de ley 0,81: x Kilos de oro de ley 0,9: y
x + y = 9⎫
⎬
⎪ y = 9 − x
9⋅ 085 , = x ⋅ 081 , + y ⋅09
, ⎭⎪
→ 9 ⋅ 0,85 = x ⋅ 0,81 + (9 − x) ⋅ 0,9 → 0,09x = 0,45 → x = 5, y = 4
Se toman 5 kg de ley 0,81 y 4 kg de ley 0,9.
→
Se dispone de 7.500 g de plata de ley 0,94. ¿Con qué cantidad de otro metal
menos valioso hay que fundirla para hacer un lingote de ley 0,8?
¿Cuánto pesará el lingote?
Otro metal: x Total: y
y − x = 7. 500⎫
⎬
⎪
→ y = 8.812,5; x = 1.312,5.
08 , y = 7500 . ⋅094
, ⎭⎪
Hay que fundirla con 1.312,5 g de oro, y el lingote pesará 8.812,5 g.

097
098
099
100
Se dispone de 3.500 g de oro de ley 0,85. ¿Con qué cantidad de oro puro habría
que fundirlo para conseguir un lingote de ley 0,88? ¿Cuánto pesará el lingote?
Oro: x Total: y
y − x = 3. 500⎫
⎬
⎪
→ y = 3.500 + x
088 , y − x = 3500 . ⋅085
, ⎭⎪
3.080 + 0,88x − x = 2.975 → x = 8,75; y = 3.508,75
Habría que fundirlo con 8,75 g de oro, y el lingote pesará 3.508,75 g.
El perímetro de una parcela rectangular es de 350 m y el triple de su largo es igual
al cuádruple de su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
Largo: x Ancho: y
y
→ x =
8y
+ 2y = 350 → y = 75, x = 100
3
Las dimensiones de la parcela son 100 m y 75 m.
4
2x + 2y = 350⎫
⎬
⎪
3x = 4y⎭⎪
3
SOLUCIONARIO
Las edades de Marta, Miguel y Carmen suman 94 años. Dentro de diecisiete años
las edades de Marta y Miguel sumarán un siglo. Calcula sus edades, sabiendo
que Marta le lleva siete años a Carmen.
x + y + z = 94⎫
⎪
x + y + z = 94⎫⎪
x + + y + =
⎪
⎪
x + y + z = 94 ⎫⎪
17 17 100⎬
→ x + y = 66
⎪
⎪
⎬
x + y = 66
⎪
⎪
E3 E3 E1
x = z + 7⎪
⎪ = +
⎬
⎭⎪
x − z = 7 ⎪
⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ 2x + y = 101⎪
⎭⎪
x + y + z = 94⎫
⎪
x =
x + y = 66
⎪
E = E −E
⎬ → y =
3 3 2
⎪
⎯⎯⎯→
x = 35⎪
⎭⎪
z =
Marta tiene 35 años, Miguel tiene 31 años y Carmen tiene 28 años.
Tres amigos compran acciones de tres valores: la empresa aseguradora ABX (A),
el Banco BETRIX (B) y la empresa de construcciones CONSUR (C).
Calcula cuánto vale cada una de las acciones si:
• Félix ha comprado 100 acciones de A, 60 de B y 20 de C, y ha tenido
que pagar 1.660 €.
• Damián ha comprado 60 acciones de A, 10 de B y 100 de C, y ha desembolsado
1.570 €.
• Carlos, que ha gastado 1.560 €, tiene 30 acciones de A y 150 de C.
100x + 60y + 20z = 1. 660⎫
⎪
5x + 3y + z = 83 ⎫⎪
60x + 10y + 100z = 1. 570
⎪
⎪
5x + 3y + z = 83 ⎫⎪
⎬ → 6x + y + 10z = 157
⎪ E2= 3E
−E
⎪
2 1
⎬ ⎯⎯⎯→ 13x + 29z
= 388
⎪
⎬
⎪
30x + 150z
= 1. 560⎪
⎪
⎭⎪
x + 5z
= ⎪
⎪
52
⎭⎪
x + 5z = 52 ⎪
⎭⎪
5x + 3y
+ z = 83 ⎫ ⎪
x = 12
13x + 29z = 388
⎪
⎬ → y = 15
E3= 13E3−E2
⎪
⎯⎯⎯⎯→ 36z = 288⎪
⎭⎪
z = 8
Las acciones de A valen 12 €, las acciones de B valen 15 € y las acciones
de C valen 8 €.
4
35
31
28
167

168
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
101
102
103
En dos empresas, A y B, hay un puesto de comercial vacante. En la empresa A pagan
de salario 300 € fijos más 75 € por cada venta, y en la empresa B se cobra 125 €
por cada venta, sin fijo. ¿A partir de cuántas ventas se cobra más en la empresa B
que en A?
Salario en la empresa A: y = 300 + 75x
Salario en la empresa B: y = 125x
Y
100
A partir de 6 ventas se cobra más en la empresa B que en la empresa A.
En la playa Miralinda alquilan sillas y tumbonas. Por cada silla cobran 3 €
a la hora y por cada tumbona 5 €, más 2 € por cada hora.
¿A partir de cuántas horas es más económico alquilar una tumbona
que una silla?
Coste de las sillas: y = 3x
Coste de las tumbonas: y = 5 + 2x
Y
2
1
1
X
X
A partir de 5 horas es más económica una tumbona que una silla.F
Un comerciante compra melones a 40 céntimos/kg y los vende a 60 céntimos.
Halla cuántos kilogramos de melones compró si se le estropearon 10 kg
y obtuvo 42 €.
Llamamos x al número de kilogramos de melones que compró:
0,20(x − 10) = 42
x = 220
El comerciante compró 220 kg de melones.

104
105
106
107
SOLUCIONARIO
Carmen se dispone a invertir 100.000 €.
En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A,
al 4 % de interés anual, y Fondo Riesgo B, al 6 %
de interés anual. Invierte una parte en cada tipo
de fondo y al cabo del año obtiene 4.500 € de
intereses. ¿Cuánto adquirió de cada producto?
Llamamos x al dinero invertido en el Fondo Tipo A
e y al dinero invertido en el Fondo Riesgo B:
x + y = 100. 000⎫
⎬
⎪
0,04x + 0,06y
= 4. 500 ⎭⎪
→ 4. 000 − 0,0
4y + 0,0 6y = 4. 500
→ 0,02y
= 500 → y = 25. 000
x = 100.000 − 25.000 = 75.000
Adquirió 75.000 € del Fondo Tipo A, y 25.000 € del Fondo Riesgo B.
Un ciclista y un coche parten uno al encuentro del otro desde dos ciudades separadas
por 180 km. Sabiendo que el ciclista avanza cuatro veces más despacio que el coche
y que tardan 1 h 48 min en encontrarse, ¿cuál es la velocidad de cada uno?
Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v ⋅ t.
Llamamos x a la distancia recorrida por el ciclista e y a su velocidad:
1 h 48 min = 1,8 h
x = 18 , y⎫
⎬
⎪ → 180 − 1, 8y = 7, 2y → y = 20
180 − x = 7, 2y⎭⎪
x = 1,8 ⋅ 20 = 36
La velocidad del ciclista es de 20 km/h, y la velocidad del coche es de 80 km/h.
Un camión sale de una ciudad a 80 km/h y dos horas después parte en la misma
dirección un coche a 100 km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo y cuánta distancia
habrá recorrido hasta ese momento?
Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v ⋅ t.
Llamamos x a la distancia recorrida por el camión e y al tiempo que tarda
en alcanzarlo:
x = 80y
⎫
⎬
⎪ → 80y + 160 = 100y → y = 8
x + 160 = 100y⎭⎪
x = 80 ⋅ 8 = 640
Tardará 8 horas en alcanzarlo y habrá recorrido 800 kilómetros.
Los lados de un rectángulo se diferencian en 2 m. Si aumentáramos en 2 m cada
lado, el área se incrementaría en 40 m2 . Halla las dimensiones del rectángulo.
Llamamos x al lado menor del rectángulo e y a su área:
xx ( + 2)
= y ⎫
⎬
⎪ 2 2
→ x + 6x + 8 = x + 2x
+ 40 → 4x = 32 → x = 8
( x + 2)( x + 4) = y + 40⎭⎪
y = 8(8 + 2) = 80
Los lados del rectángulo miden 8 y 10 m, respectivamente.
4
169

170
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
108
109
110
Calcula un número, sabiendo que la suma de sus cifras es 14, y que si se invierte
el orden en que están colocadas, el número disminuye en 18 unidades.
Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades:
x + y = 14⎫
y x
⎬
⎪ = 14 − ⎫
→
⎬
⎪
10y + x + 18 = 10x
+ y⎭
⎪ 9y− 9x + 18 = 0⎭
⎪
→ 126 −9x− 9x + 18 = 0 → 18x = 144 → x = 8
y = 14 − 8 = 6
El número es 86.
El alquiler de una tienda de campaña cuesta 80 € al día. Inés está preparando
una excursión con sus amigos y hace la siguiente reflexión: «Si fuéramos
tres amigos más, tendríamos que pagar 6 € menos cada uno». ¿Cuántos amigos
van de excursión?
Llamamos x al número de amigos de Inés, e y al dinero que tiene que pagar
cada uno:
xy = 80⎫
⎬
⎪
⎛
⎜ 80 ⎞
480
→ ⎜ + 3 ( y − 6) = 80 → 80−
+ 3y− 18 = 80
( x + 3)( y− 6) = 80⎭
⎪ ⎝⎜
y ⎠⎟
y
2 → y −6y− 160 = 0
y
y = −− ± − − ⋅ ⋅ −
=
⋅
± =−
2
( 6) ( 6) 4 1 ( 160)
6 26 ⎧ 1 10 → Solución no válida
→ ⎨
⎪
2 1
2 ⎩⎪ y2 = 16
Si y2 = 16 → x2
=
80
16
= 5
Van de excursión 5 amigos.
Jacinto está cercando un terreno de forma rectangular. Cuando lleva puesto alambre
a dos lados consecutivos del terreno, se da cuenta de que ha gastado 170 m
de alambre. Si sabe que la diagonal del rectángulo mide 130 m,
¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno?
Llamamos x e y a las dimensiones del terreno:
x + y = 170 ⎫
⎬
⎪ 2 → y − 170y + 6. 000 = 0
2 2 2
x + y = 130 ⎭⎪
y =
y
Si y1 = 120 → x1 = 170 − 120 = 50
−− ± − − ⋅ ⋅
( 170) 2 ( 170) 4 1 6. 000
2⋅1 170 ± 70
=
2
⎧ 1 = 120
→ ⎨
⎪
⎩⎪ y 2 = 50
Si y 2 = 50 → x2 = 170 − 50 = 120
Las dimensiones del terreno son 120 y 50 m, respectivamente.
El área del terreno mide 6.000 m 2 .

111
112
113
La apotema de un hexágono regular mide 8 cm. Determina la medida de su lado,
y su área.
Llamamos x al lado del hexágono, y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo
rectángulo que tiene por catetos a la apotema y la mitad del lado, y por
hipotenusa, la longitud del lado:
La longitud del lado es cm.
P ap El área de un polígono regular es: A =
2
Por tanto, el área mide: A = 128 3 cm
⋅
2
2 2 x
2 2
256
x = 8 + 4x 256 x x x1
2
3
16 3
3
2
⎛ ⎞
⎜
16 3 16 3
⎜ → = + → = → =−
x 2 =
⎝⎜
⎠⎟
3
3
Averigua las dimensiones que tiene un pliego rectangular de papel, sabiendo
que si dejamos los márgenes laterales de 1 cm y los verticales de 2,5 cm, el área
es 360 cm2 , y que si los márgenes laterales son de 2 cm y los verticales son de 1,25 cm,
el área es la misma.
Llamamos x e y a las dimensiones del pliego:
35
350 + 2 ⋅
35
2
Si y1=− x1= 14 Si y2 25 x2
2
35
5
2
Las dimensiones del pliego son 20 y 25 cm, respectivamente.
−
y
y =
350 + 2 ⋅25
→ =− = → =
= 20
−
−
25− 5
−− ± − − ⋅ ⋅ −
=
⋅
± =−
350 + 2y
⎫⎪
x = ⎪
( x− )( y−
) = ⎫
⎪
2 5 360
⎬
⎪
y − 5
→
⎬
⎪ 2 → 2y −15y−875 = 0
( x−4)( y−
2, 5) = 360⎭⎪
350 + 4y
⎪
x = ⎪
y − 25 , ⎭
⎪
⎧
2
⎪ 35
( 15) ( 15) 4 2 ( 875)
15 85
1
→ ⎨
⎪
2
2 2
4 ⎪
⎩⎪
y 2 = 25
Calcula un número entero, sabiendo que si al cuadrado del siguiente número
le restamos ocho veces su inverso obtenemos 23.
Llamamos x al número:
(x + 1) 2 − = 23 → x 3 + 2x 2 + x − 8 = 23x → x 3 + 2x 2 8
x
−22x − 8 = 0
1 2 −22 −8
4 4 24
1 6 2
8
0
2
2
− 6± 6 −4⋅1⋅2 6 2 7 x1
3 7
x + 6x + 2= 0 x = =
2⋅1 2
x2
− ± =− − ⎧
→ → ⎨
⎪
⎩
⎪ =− 3+ 7
x1=−3− 7 x2 =− 3+ 7 x3
= 4
El número entero es 4.
SOLUCIONARIO
4
171

172
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
114
115
116
Si aumentáramos en 4 cm la arista de un cubo, su volumen se multiplicaría por 8.
Halla la medida de la arista.
Llamamos x a la arista del cubo:
(x + 4) 3 = 8x3 → −7x3 + 12x2 + 48x + 64 = 0
x = 4
−7x2 − 16x − 16 = 0 → 7x2 + 16x + 16 = 0
− ±
x =
− ⋅ ⋅
⋅
=
La longitud de la arista es de 4 cm.
− ± −
−7
12 48 64
4 −28 −64
−64
−7 −16 −16
0
16 2 16 4 7 16
2 7
16 192
14
→ No tiene solución.
Dos vacas y tres terneros valen lo mismo que dieciséis ovejas. Una vaca y cuatro
ovejas valen igual que tres terneros. Tres terneros y ocho ovejas cuestan lo mismo
que cuatro vacas. Averigua el precio de cada animal.
Llamamos x al precio de las vacas, y al precio de los terneros y z al precio
de las ovejas:
2x + 3y = 16z⎫
⎪ x = 4z
⎫⎪
x + 4z = 3y
⎪
⎬ → 8 ⎬
⎪
⎪ y z
3y + 8z = 4x
⎪ = ⎪
⎭⎪
3
⎪
⎭⎪
Una vaca vale lo mismo que cuatro ovejas, y un ternero cuesta igual que ocho
terceras partes del precio de una oveja.
Un número que tiene tres cifras lo representamos en la forma abc. Determínalo,
sabiendo que si escribes cab, el número disminuye en 459 unidades; si escribes bac,
el número disminuye en 360 unidades, y que bca es 45 unidades menor que bac.
A la cifra de las centenas la llamamos a, a la cifra de las decenas b y a la cifra
de las unidades c:
100a+ 10b+ c = 100c+ 10a+ b+
459⎫
⎪
90a+
9b− 99c = 459 ⎫⎪
100a+ 10b+ c = 100b+ 10a+
c+
⎪
⎪
360⎬
→ 90a− 90b = 360
⎪
⎬
⎪
b+ c+ a = b+ a+ c−
⎪
⎪
100 10 100 10 45
⎭⎪
− 9a+ 9c =−45⎪
⎭⎪
10a+ b− 11c = 51 ⎫ ⎪
− =
⎪ a= c+ 5 b− c = 1 ⎫
→ 10a 10b 40 ⎬ ⎯⎯⎯→
⎬
⎪
⎪
− + =− ⎪ − 10b+ 10c =−10
a c 5
⎭⎪
⎭⎪
a = c + 5 y b = c + 1
Para determinar la solución sabemos que los tres números son enteros y,
por tanto, c es un número de 0 a 9. Como a = c + 5, c solo puede valer 0, 1, 2, 3 y 4.
Para cada uno de estos valores de c resultan a y b.
Si c = 0, entonces: a = 5 y b = 1. El número es 510.
Si c = 1, entonces: a = 6 y b = 2. El número es 621.
Si c = 2, entonces: a = 7 y b = 3. El número es 732.
Si c = 3, entonces: a = 8 y b = 4. El número es 843.
Si c = 4, entonces: a = 9 y b = 5. El número es 954.

117
118
119
SOLUCIONARIO
El triple de un número menos su mitad es siempre mayor que 3.
¿Qué números cumplen esta propiedad?
Llamamos x al número:
Los números que cumplen esta propiedad son los números mayores que .
De un número se sabe que si a su cuadrado le restamos su mitad, se obtiene
un número menor que 1. ¿Qué número puede ser?
Llamamos x al número:
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → 2 ⋅ (−10) 2 − (−10) − 1 > 0 → no es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → 2 ⋅ 02 − 0 − 1 < 0 → es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 2 ⋅ 102 1 17
x1
=
2 2x − x−
2= 0
4
1 17
x2
4
⎛
⎜ 1−17 ⎞
⎜−
⎝⎜
,
4 ⎠⎟
⎛ 1− 17 1+ 17 ⎞
⎜ ,
⎝⎜
4 4 ⎠⎟
⎛ 1+ 17 ⎞
− 10 − 1 > 0 → ⎜ + no es solución de la inecuación.
⎝⎜
,
4 ⎠⎟
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
⎛ 1− 17 1+ 17 ⎞
Por tanto, la solución es
⎜ ,
.
⎝⎜
4 4 ⎠⎟
−
= +
x
6 ⎛ 6 ⎞
3x
− > 3→ 6x− x > 6 → x > → ⎜ , +
2
5 ⎝⎜
5 ⎠⎟
6
5
2 x
2
x − < 1→2x − x−
2< 0
2
⎧ ⎪
→ ⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
1−17 1+ 17
Los números pedidos son los números mayores que y menores que .
4
4
¿Es cierto que la suma de un número y de su cuadrado es siempre positiva?
¿Qué números cumplen esa condición?
Llamamos x al número:
Vemos que no se verifica que:
x + x 2 > 0
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x =−0,5 x = 10
Si x =−10 → (−10) 2 − 10 > 0 → (−, 0) es solución de la inecuación.
Si x =−0,5 → (−0,5) 2 − 0,5 < 0 → (−1, 0) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − +
⎧
2 x1
=−1
x + x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x2
= 0
+ 10 > 0 → (0, +) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−, −1) ∪ (0, +).
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=−
2
1 1 1
2 2 4
4
173

174
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
120
121
Encuentra todos los números enteros que, multiplicados por el siguiente número,
den un resultado menor que 24.
Llamamos x al número: x(x + 1) < 24 → x2 + x − 24 < 0
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → (−10) 2 − 10 − 24 > 0 → no es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → 02 + 0 − 24 < 0 → es solución
de la inecuación.
Si x = 10 → 102 −
⎛
⎜ −− 1 97 −+ 1 97 ⎞
⎜
,
⎝⎜
2
2 ⎠⎟
⎛ −− ⎞
+ 10 − 24 > 0 →
⎜ 1 97
⎜
+ no es solución
⎝⎜
,
⎠⎟
de la inecuación.
2
−−
1 97
x1
=
2 x + x−
24 = 0
2
1 97
x2
2
⎛
⎞
⎜ 1 97
⎜
⎝⎜
,
2 ⎠⎟
−−
= −+
⎧ ⎪
→ ⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
⎛
Por tanto, la solución es
⎜ −− 1
⎜
⎝⎜
2
97
,
−+ 1
2
97 ⎞
.
⎠⎟
−− 1
Los números pedidos son los números mayores que
2
−+ 1 97
que .
2
97
y menores
Determina para qué valores de x es posible realizar las operaciones indicadas.
a)
b)
c)
d) log (2 −5x)
e) log (6 − x − x2 )
f) log (x 2 5 −3x
x −3
2
4−3x−x −2x + 1)
b) x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3
[3, +)
c) 4 − 3x − x 2 ⎛ ⎤
⎜
⎜−
⎝⎜
, ⎥
⎦
⎥
≥ 0
⎧
2 =−
Resolvemos la ecuación: − − + = ⎨
⎪x1
4
x 3x 4 0 →
⎩⎪ x2
= 1
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
5
a)
5
5 −3x ≥ 0 → x ≤
3
3

122
Si x =−10 → −(−10) 2 − 3 ⋅ (−10) + 4 < 0 → (−, −4) no es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → −02 − 3 ⋅ 0 + 4 > 0 → (−4, 1) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → −10 2 − 3 ⋅ 10 + 4 < 0 → (1, +) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es [−4, 1].
⎛ ⎞
⎜
⎜−
⎝⎜
,
⎠⎟
2
2
d) 2 − 5x > 0 → x <
5
5
e) 6 − x − x2 > 0
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x =−10 x = 0 x = 10
Si x =−10 → −(−10) 2 − (−10) + 6 < 0 → (−,−3) no es solución
de la inecuación.
Si x = 0 → −02 −0 + 6 > 0 → (−3, 2) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → −10 2 ⎧
2 =−
− − + = ⎨
⎪x1
3
x x 6 0 →
⎩⎪ x2
= 2
− 10 + 6 < 0 → (2, +) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−3, 2).
f) x2 − 2x + 1 > 0
La ecuación solo se anula para x = 1, y en el resto de los valores el primer
miembro de la inecuación es siempre positivo.
x 1
Jesús y Beatriz quieren saber cuánto cuesta un bote de refresco, pero no recuerdan
exactamente lo que pagaron. Jesús compró 8 botes y sabe que pagó con un billete
de 5 € y que le devolvieron una moneda de 2 € y algo más de dinero. Beatriz
compró 18 botes y recuerda que pagó la cantidad exacta con un billete de 5 €,
una moneda de 2 € y alguna moneda más. Con estos datos, ¿qué podrías
decir del precio del bote de refresco?
Llamamos x al precio del bote de refresco:
3 ⎫⎪
5− 8 > 2⎫
x < ⎪
x
⎪
⎬
⎪ → 8
⎬
⎪
18x < 7⎭⎪
7 ⎪
x < ⎪
18 ⎭⎪
El precio del bote de refresco
es menor que 0,375 €.
SOLUCIONARIO
4
175

176
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
123
124
125
126
PARA FINALIZAR...
¿Qué es mayor, 2x 3 o x + 1?
Si x < 1, entonces 2x3 es menor que x + 1.
Si x > 1. entonces 2x 3 3 3
2x > x + 1→2x − x − 1> 0
3 2
2x − x − 1= 0 → ( x − 1)( 2x + 2x + 1)
= 0 → x = 1
es mayor que x + 1.
Resuelve este sistema de ecuaciones.
Sean A , y
x
⎫⎪
⎫
⎪
⎪ ⎧⎪
11
A+ B− C = ⎪
⎪ ⎪
2 3 1 ⎪
A+ 2B− 3C = 1 ⎪ ⎪ A =
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ 6
17
2A− 4B+ 5C
=
⎪ E2= E2−2E1 11 ⎪ ⎪
⎬ ⎯⎯⎯⎯→ − 8B+ 11C
=
⎪
⎬ → ⎨
⎪ 11
B =−
3 ⎪
3 ⎪
2 ⎪
⎪
⎪
⎪ E3= E3−3E1 7 ⎪
⎪ 12
3A+ 6B− 2C
= ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎯⎯⎯⎯→ 7C
=− ⎪
⎪
3 ⎭⎪
⎪
⎪
1
=−
3 ⎭⎪
⎪C
⎩⎪
3
6 12
x = , y =− , z =−3
11 11
B
1 1 1
= = C = .
y z
Discute las soluciones de la siguiente ecuación, según los valores de m.
x2 −2x + log m = 0
Por la definición de logaritmo, m > 0: Δ=b2 − 4ac = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ log m
Para que la ecuación no tenga solución: 4 − 4 log m < 0 → (10, +)
Para que la ecuación tenga una solución: 4 − 4 log m = 0 → m = 10
Para que la ecuación tenga dos soluciones: 4 − 4 log m > 0 → (−, 10)
Si las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son x1 y x2, escribe ecuaciones
de segundo grado cuyas soluciones sean:
a) Los cuadrados de x1 y x2.
b) Los inversos de x1 y x2.
c) Los opuestos de x1 y x2.
a) (x − x 1 2 )(x − x2 2 ) = 0 → x 2 − (x1 2 + x2 2 )x+ x1 2 ⋅ x2 2
⎛ ⎞
b) ⎜
⎜x
− x
x
⎝⎜
x ⎠⎟
x
−
1 ⎛
⎜ 1 ⎞
⎛
2 1 1 ⎞
⎜ = 0 → −⎜
1 1
x
⎝⎜
⎠⎟
⎜ + + ⋅ = 0
⎝⎜
x x ⎠⎟
x x
1 2
1 2 3 ⎫⎪
+ − = 1 ⎪
x y z ⎪
2 4 5 17⎪
− + = ⎪
⎬
x y z 3 ⎪
3 6 2 2 ⎪
+ − = ⎪
x y z 3 ⎪
⎭⎪
1 2 1 2
c) (x + x 1)(x + x 2) = 0 → x 2 + (x 1+ x 2) + x 1 ⋅ x 2 = 0

127
128
129
SOLUCIONARIO
Halla la relación entre los coeficientes de la ecuación ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
y la suma, el producto y la suma de los dobles productos de sus tres raíces.
(x − α)(x − β)(x − γ) = 0 → x 3 − (α+β+γ)x 2 + (αβ + αγ + βγ)x − α βγ = 0
Dividiendo la ecuación de tercer grado entre el coeficiente del monomio de mayor
grado, y comparando los coeficientes, se obtiene que:
El coeficiente de segundo grado es el opuesto a la suma de las tres raíces.
El coeficiente de primer grado es la suma del resultado de multiplicar las raíces
dos a dos.
El término independiente es el opuesto del producto de las tres raíces.
Juan y Luis suben en una escalera mecánica. Juan sube tres veces más rápido
que su amigo, haciéndolo ambos de peldaño en peldaño. Al terminar de subir, Juan
contó 75 escalones y Luis contó 50 escalones. Con esos datos, calcula los peldaños
«visibles» de la escalera.
Mientras Juan sube un escalón, la escalera mecánica ha subido x escalones,
y el número de escalones visibles es 75 + 75x.
Luis sube 50 escalones. Como lo hace tres veces más despacio que Juan, mientras
que Luis sube un escalón, la escalera sube 3x. El número de escalones visibles
es 50 + 150x.
1
Por tanto, resulta que: 75 + 75x = 50 + 150x → x =
3
El número de peldaños «visibles» es 100.
Tenemos un suelo rectangular, formado por baldosas enteras cuadradas de color
claro, que está rodeado de baldosas oscuras, también cuadradas. ¿Qué dimensiones
debe tener el rectángulo claro para que el número de baldosas de la zona clara
sea igual al de la franja oscura que lo rodea?
Sean x e y el número de baldosas claras que hay en el largo y el ancho.
(x + 2)( y + 2) = 2xy → Esta ecuación tiene infinitas soluciones.
Una solución de esta ecuación es: x = 10 e y = 3
Es decir, el rectángulo claro tendrá 10 baldosas de largo y 3 baldosas de ancho.
4
177

178
5
Funciones
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
En busca de Klingsor
Cierta vez, un reportero preguntó a Einstein:
–¿Existe una fórmula para obtener éxito en la vida?
–Sí, la hay.
–¿Cuál es? –preguntó el reportero, insistente.
–Si A representa al éxito, diría que la fórmula es A = x + y + z, en
donde x es el trabajo e y la suerte –explicó Einstein.
–¿Y qué sería la z?
Einstein sonrió antes de responder:
–Mantener la boca cerrada.
Un joven norteamericano, Bacon, estudia Física en el Instituto de Estudios
Avanzados de Princeton y allí conoce a Einstein, del que recuerda algunas
anécdotas como esta. Al finalizar la Segunda Guerra Mundial, se hace espía
y viaja a Alemania para encontrar al máximo responsable de las investigaciones
atómicas realizadas por los nazis, que se esconde bajo el seudónimo de
Klingsor. En sus pesquisas le ayuda un matemático, de nombre Links, que formó
parte del equipo de investigación nuclear.
¿Por qué estábamos juntos el teniente Bacon y yo [pensaba Links]?
¿Cuándo nos encontramos por primera vez? ¿Cuál era nuestra misión?
¿Cómo se cruzaron, en fin, nuestras vidas paralelas? Para responder a
estos cuestionamientos no me queda más remedio que hablar un poco
de mí.
Ubico mi nacimiento en el mapa de mi imaginación como un pequeño
punto dibujado en el centro de un plano cartesiano. Hacia arriba, en el
eje de las y, está todo lo positivo que me ha ocurrido; en contraposición,
hacia abajo descubro mis desventuras, mis retrocesos y mis requiebros.
A la derecha, en el eje de las x, encuentro los actos que me
definen, aquellos que voluntariamente he convertido en el centro de
mi vida –deseos, anhelos, obsesiones–, mientras que, a la izquierda,
yacen esas porciones de mi ser que me han modelado contra mi voluntad
o mi conciencia, esas partes aparentemente impredecibles o espontáneas
que, no puedo negarlo, también me han llevado adonde estoy
ahora. ¿Cuál sería el resultado final de un ejercicio como éste? ¿Qué
forma aparecería en medio de la hoja? ¿Sería posible trazar las coordenadas
que he recorrido a lo largo de mi trayecto? ¿Y obtener, a partir de
esa línea, la fórmula que me resuma en cuerpo y alma?
JORGE VOLPI
Juzga la metáfora de Links. ¿Sería posible representar una «vida»
mediante una curva en un sistema de coordenadas cartesianas?
No sería posible, ya que los elementos que se describen en el texto
no son traducibles a puntos del plano que puedan describir
una curva.

001
002
003
004
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Dada la función f(x) = log (sen x):
a) ¿Está definida para ? b) ¿Y para x = ?
3π
x =
2
π
2
→ La función está definida para x = .
π
⎛ π⎞π a) f ⎜
sen 1 0
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
2
=
⎛ ⎞
log ⎜ = log =
⎝⎜
⎠⎟
→ La función no está definida para x = ,
porque no existe el logaritmo de −1.
3
⎛ 3π⎞3
π
b) f⎜ π
⎜
sen
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
2
=
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
log log (−1)
Expresa las siguientes condiciones en forma de intervalo.
a) −1 ≤ x

180
Funciones
001
002
003
004
ACTIVIDADES
Justifica si las siguientes gráficas corresponden a funciones.
a) Y
b) Y
a) La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de x le corresponde
un único valor de y.
b) La gráfica no corresponde a una función, porque hay valores de x a los que
les corresponden varios valores de y.
Razona, en cada caso, si la relación entre las magnitudes es una función o no.
a) La distancia entre dos ciudades y el tiempo que se tarda en ir de una a otra.
b) La cantidad de fruta que compra una familia, en kilogramos, y el precio
por kilogramo.
c) La altura de los alumnos de un centro escolar y su edad.
a) No se trata de una función, ya que según sea la distancia entre dos ciudades,
el tiempo que se tarda puede tomar valores distintos, dependiendo
de la velocidad a la que se circule.
b) Es una función, puesto que para cada cantidad de fruta que se compre
hay un precio único según el peso por kilogramo adquirido.
c) No se trata de una función, porque distintos alumnos pueden tener la misma
altura, aún siendo de edades distintas.
Determina el dominio y el recorrido
de esta función.
Dom f = [−4, 3] ∪ (4, 6)
Im f = [−3, 2] ∪ {4}
¿Cuál es el dominio de estas funciones?
X
c) f(x) = 9x3 + 6x2 a) fx ()= x+
4
−9x
b) fx ()=
2x−5 2 x −16
d) f(x) = cos x
a) Dom f = [−4, +) c) Dom f = R
b) Dom f = R − {−4, 4} d) Dom f = R
Y
1
X
1
X

005
006
007
008
009
¿En qué intervalos es creciente esta función?
¿Y decreciente? En x = 2, ¿es cóncava o convexa?
La función es creciente en (−6, −2) ∪ (−1, 2).
La función es decreciente en (−2, −1) ∪ (2, 4).
En x = 2, la función no es ni cóncava
ni convexa.
Estudia el crecimiento de la función.
La función es decreciente en (−, −2),
es constante en (−2, 1) y es creciente
en (1, +).
¿En qué puntos de la función hay máximos
relativos? ¿Y mínimos relativos? ¿Tiene máximos
o mínimos absolutos?
Existe un máximo relativo en el punto x =−2.
No tiene mínimos relativos ni absolutos
y no hay máximos absolutos.
Y
Estudia el dominio, el recorrido, el crecimiento
y los máximos y mínimos de f(x).
1
Dom f = (−, 6]
1
Im f = [−3, +)
f(x)
La función es decreciente en
(−, −3) ∪ (−1, 5) y es creciente
en (−3, −1) ∪ (5, 6).
Existe un máximo relativo en x =−1 y un mínimo absoluto en x = 5.
No hay máximos absolutos.
Dibuja la gráfica de una función para que sea:
a) Impar. b) Par.
Respuesta abierta.
a)
Y
2
2
X
b)
f(x)
SOLUCIONARIO
Y
2
Y
1
Y
1
Y
1
1
2
1
1
f(x)
f(x)
X
5
X
X
X
X
181

182
Funciones
010
011
012
013
Justifica si estas funciones son simétricas.
b) gx ( )= x −
a)
4 ( − x)
+ 2
f( − x)
= =
2 ( −x)
4 x + 2
2 x
= fx () → f(x) es simétrica respecto del eje Y.
b) g( − x) = 3 ( −x) − 3 = 3 −x −3
→ g(x) no es simétrica.
3 a) fx ( )=
4 x + 2
2 x
3
Representa una función periódica tal que el período lo determine esta gráfica.
Razona si las siguientes gráficas corresponden a funciones periódicas.
a) Y
b) Y
1
1
a) La función es periódica y su período es 4.
b) La función no es periódica, porque la gráfica no se repite.
Teniendo en cuenta la gráfica de y = f(x), identifica a qué función corresponde
cada una de las gráficas que aparecen en la figura.
g(x) =−f(x)
h(x) = f(−x)
i(x) = f(x −3)
Y
2
h
4
X
Y
1
Y
1
X
1
1
f
g
1
1
i
X
X
X

014
015
A partir de la gráfica de y = f(x), representa estas funciones.
a) y = f(x) −3 b) y = f(x + 2) c) y =−f(−x)
a)
b)
c)
f(x + 2)
− f(−x)
Y
1
Y
1
Y
1
1
1
1
f(x) − 3
Determina el valor de las estas funciones en el punto x =−5,
si f(x) = x2 −3 y g(x) =
a) (f − g)(x)
.
b) (f⋅g)(x) f
c)
g x
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
()
x + 3
x
Y
1
f(x)
1
f(x)
f(x)
SOLUCIONARIO
x
b) ( f ⋅ g)( x) = ( x − ) ⋅
x
x x x
+
a) ( f − g)( x) = x − −
x
x
2 − 5+ 3 108
( f − g)(
− 5) = ( −5) −3− =
−5
5
⎛ ⎞
2 3 ⎜ 3
⎜ =
⎝⎜
⎠⎟
3 2 + 3 −3
− 9
x
+
2 3
3
c)
f
g
⎛
⎜ f ⎞
3 ( −5) −3( −5)
⎜ ( − 5)
= = 55
⎝⎜
g ⎠⎟
− 5+ 3
x
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
x
x
x
x x
x
=
−
+ = −
3 2
( − 5) + 3( −5) −3( −5) −9
( f ⋅ g)(
− 5)
= =
−5
44
5
()
2 3
3
3 3
+ 3
X
X
X
f(x)
X
5
183

184
Funciones
016
017
018
Teniendo en cuenta que f(x) = y g(x) = , halla el valor de las siguientes
funciones en los puntos que se indican.
a) (f ⋅ g)(−4)
⎛ f ⎞
b)
⎜ −( )
⎝⎜
g ⎠⎟
1
2 x + 3
x
x + 1
5
x
a) ( f ⋅ g)( x) = x ⋅
x
+ 2
5 3
+ 1
No existe (f · g)(−4), porque ( −4) no es real por ser el radicando negativo.
5
No existe , porque ( −1) no es real por ser el radicando negativo.
5
⎛ f ⎞
⎜
⎝⎜
g ⎠⎟
− ( ) 1
b)
f
g x
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
x
x
x
x x
x
=
+
+
= +
()
5
2 3
1
5 ( 1)
2 + 3
Determina el valor de la composición de funciones que se indica en cada apartado,
en x =−4, si f(x) = x2 y g(x) =
x −1
.
x
a) (f g)(x) c) (ff )(x)
b) (g f )(x) d) (gg)(x) a) ( f g)( − ) = f( g( − )) = f
b)
15
( gf)( − 4) = g( f( − 4))
= g(
16)
=
16
c) ( f f)( − 4) = f( f( − 4)) = f(
16) = 256
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
5 25
4 4
4 16
d) ( gg)( − ) = g( g( − )) = g
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
5 1
4 4
4 5
2x 3
Si f(x) = y g(x) = x −4, halla el valor de estas funciones en los puntos
que se indican, determinando primero la composición de funciones
correspondiente.
a) (f g)(5) b) (g f )(5)
Justifica, a partir de los apartados anteriores, si la composición de funciones
es conmutativa.
a) ( f g)( x) = f( g( x)) = f( x− 4) = 2( x−4)
3
( f g)(
5) = 2
3 3
b) ( g f)( x) = g( f( x)) = g( 2x )= 2x −4
( gf)( 5) = 250 − 4 = 5 10 −4
( f g)( 5) ( g f)(
5)
→ La composición de funciones no es conmutativa.

019
020
Si f(x) = 3x + 2 y gx ()=
x
:
x + 1
a) Determina g f, f g y g g.
b) Halla las funciones inversas de f(x) y de g(x), y comprueba que f f −1 y g −1 g
dan la función identidad.
3x+ 2
a) ( g f)( x) = g( f( x)) = g( 3x + 2)
=
3x+ 3
y
x
b) y = x + x = f x
−
= −
2 −1
2
3 2 → → ( )
3
3
Averigua cuál es la función inversa de .
a) Representa las funciones f(x) y f −1 fx ()=
x
x
(x).
b) Comprueba si sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x.
+ 7
x
y = xy x xy x x
f x
x
y
x
+ 7
7 −1
7
→ = 7+ → − = 7 → = → ( ) =
−1
−1
a)
x
⎛ x ⎞ x
( g g)( x) = g( g( x)) = g ⎜
⎝⎜
x + ⎠⎟
x
x
=
+
+ +
⎛ x ⎞ x
( f g)( x) = f( g( x)) = f ⎜
⎝⎜
x + ⎠⎟
x
1 x
=
1
1
2x+ 1
1
= ⋅ 5x+ 2
3 + 2 =
1 + 1 x + 1
⎛
− −
x−⎞ 1 1 x
( f f )( x) = f( f ( x)) = f⎜
2 − 2
⎜ = 3 ⋅ + 2 = x
⎝⎜
3 ⎠⎟
3
x
⎛ x ⎞
− − −
( g g)( x) = g ( g( x)) = g ⎜
⎝⎜
− x ⎠⎟
=
1 1 1
1
1−
x
x
1
1−
x
x
x 1 x
x
+
y =
x
y
→ xy + y = x → x − xy = y → x =
x + 1 1−y −1
x
→ g ( x)
=
1−x
=
+ −
=
f −1 (x)
Y
2
2
f(x)
b) Las funciones son simétricas respecto a la recta y = x.
X
SOLUCIONARIO
5
185

186
Funciones
021
022
Razona si las siguientes gráficas pueden corresponder a una función.
a)
Y
b)
c)
d)
1
Y
1
Y
1
Y
1
1
1
1
1
a) La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de x le corresponde
un único valor de y.
b) La gráfica no corresponde a una función, porque a los valores de x situados
entre los vértices de la elipse les corresponden dos valores de y.
c) La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de x le corresponde
un único valor de y.
d) La gráfica no corresponde a una función, porque hay valores de x a los que
les corresponden varios valores de y.
Realiza una tabla y representa estas funciones.
a) Cada número entero lo relacionamos con su número de divisores positivos.
b) Cada número real lo relacionamos con su parte entera.
c) A cada número le hacemos corresponder él mismo menos su valor absoluto.
d) A cada número le corresponde el valor 2.
X
X
X
X

a)
b)
c)
d)
x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
f(x) 3 2 2 1 0 1 2 2 3
Y
1
1
x −2 −1,6 −1 −0,4 0 0,7 1 1,5 2
f(x) −4 −3,2 −2 −0,8 0 0 0 0 0
Y
1
x −2 −1 0 1 2
f(x) 2 2 2 2 2
Y
1
Y
1
x −2 −1,6 −1 −0,4 0 0,7 1 1,5 2
f(x) −2 −2 −1 −1 0 0 1 1 2
1
1
1
X
X
X
X
SOLUCIONARIO
5
187

188
Funciones
023
024
025
A lo largo de un día medimos la longitud, en metros,
de la sombra que proyecta una farola desde el amanecer
hasta que anochece.
Las medidas, tomadas cada dos horas, desde las 6:00 h,
se muestran a continuación.
0 25 17 5 2
6 19 32 0
a) ¿Crees que las tablas definen una función?
b) En caso afirmativo, identifica sus variables.
a) La tabla define una función porque a cada hora le corresponde una única
longitud de la sombra.
b) La variable independiente x corresponde con la hora del día y la variable
dependiente y corresponde con la longitud, en metros, de la sombra.
Comprueba si los siguientes puntos están en los dominios de cada función.
a) Los puntos x = 3, x = 2 y x =−5 para la función .
b) Los puntos x = 3, x = 4 y x = 5 para la función f(x) = ln (x −4).
c) Los puntos x = 2, x =−2 y x = 0 para la función fx ( )=
x
.
x
−
fx ( )= x+1
3 6
+ 2
a) 3+ 1 = 2 → x = 3∈Domf
2+ 1 = 3 → x = 2∈Dom
f
− 5+ 1 = −4 ∉ ℝ → x =−5∉ Dom f
b) ln (3 − 4) = ln (−1) ∉ R → x = 3 ∉ Dom f
ln (4 − 4) = ln 0 ∉ R → x = 4 ∉ Dom f
ln (5 − 4) = ln 1 = 0 → x = 5 ∈ Dom f
3( −2) −6
12
= 2
− 2+ 2 0
3⋅0−6 =− 3→x = 0∈Dom
f
0+ 2
− 3⋅2−6 c) = 0 → x = 2∈Domf
2+ 2
∉ ℝ → x =− ∉ Dom f
Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas
funciones.
a) Las ordenadas y = 3, y = 2 e y =−5 para la función .
b) Las ordenadas y = 0, y = 30 e y =−3 para la función f(x) = x2 −5x + 6.
c) Las ordenadas y = 1, y = e y =−7 para la función fx ( )=
x
.
x
−
fx ( )= 3x−3 13
6
2 5
+ 2
a) 3x− 3 = 3→ 3x− 3= 9 → x = 4 → y = 3∈Imf
3x− 3 = 2 → 3x− 3= 4 → x =
7
3
→ y = 2 ∈Im
f
y =−5 ∉ Im f, porque la raíz no puede tomar valores negativos.

026
027
028
b) x 2 − 5x + 6 = 0 → x = 2 o x = 3 → y = 0 ∈ Im f
x 2 − 5x + 6 = 30 → x 2 − 5x − 24 = 0 → x = 8 o x =−3 → y = 30 ∈ Im f
x 2 − 5x + 6 =−3 → x2 − 5x + 9 = 0 → Δ=−11 < 0
→ La ecuación no tiene soluciones → y =−3 ∈ Im f
2x−5 7 2x 5 7x 14 x 1 y 7 f
x + 2
=− − =− − =− =− ∈
2x−5 13
13
12x 30 13x 26 x 56 y f
x + 2 6
6
→ → → Im
= − = + =− = ∈
2x−5 c) 1 2x 5 x 2 x 7 y 1 Im f
x + 2
→ → → Im
= − = + = = ∈
→ → →
Determina el dominio de estas funciones.
a) fx ( )=
x
b) fx ( )=
7
x −3
c) fx ( )=
2 x
2 x + 1
a) Dom f = R c) Dom f = R
b) Dom f = R − {3} d) Dom f = R − {−2, 0}
−3
7
Estudia el dominio de las siguientes funciones.
a) y = x + 3
c) y = 2 x − 4x
+ 4 e) y = x + 2x
+
b) y = 2 2x + 3x−2 d) y = 5−2x f ) y = 2
6 + x−x a) Dom f = [−3, +)
⎧⎪
x =−2
2 b) 2x + 3x− 2 = 0 → ⎨
⎪
1
⎪ x =
⎩⎪
2
⎛ ⎞
Dom f =− ( , −2) ∪ ⎜ 1
⎜ , +
⎝⎜
2 ⎠⎟
SOLUCIONARIO
c) x2 −4x + 4 = 0 → x = 2
Dom f = R
e) x 2 d) Dom f = −
+ 2x + 9 = 0 → Δ=−32 < 0 → La ecuación no tiene soluciones.
Dom f = R
⎧
2 =−2
f) 6 + − = 0 ⎨
⎪x
x x →
⎩⎪ x = 3
Dom f = [−2, 3]
⎛ ⎤
⎜
⎝⎜
, ⎥
⎦
⎥
5
2
2 9
Escribe el dominio de las funciones.
a) y = log4 (x −4) c) y = 3ln x ⎛
e) y = ⎜ 10 ⎞
ln
⎝⎜
4 − x ⎠⎟
b) y = cos (1 − x) d) y = sen (x −π)
a) Dom f = (4, +) c) Dom f = (0, +) e) Dom f = (−, 4)
b) Dom f = R d) Dom f = R
d)
5
x −1
fx ( )=
2 x + 2x
189

190
Funciones
029
030
031
Analiza el dominio de las siguientes funciones.
a) y = log4 (5 + x)
b) y = 2 3x−6
= −
1
2
c) y 5 x
d) y = 2 − tg x
3
e) y =
⎛
tg ⎜ π ⎞
x +
⎝⎜
2 ⎠⎟
a) Dom f = (−5, + )
b) Dom f = R
c) Dom f = R − {2}
⎧
e) Dom f = − ⎨
⎪ π π ⎫
ℝ + k k ∈ℤ⎬
⎪
⎩⎪ 2 2 ⎭⎪
,
⎧
d) Dom f = − ⎨
⎪ π
⎫
ℝ + kπ, k ∈ℤ⎬
⎪
⎩⎪ 2
⎭⎪
Determina el dominio de las funciones.
a) y = x + 1 + 8−x
3 b) y = x + 2 ⋅ x + 3
c) y = 2x−4 ⋅ 1−x
a) Dom f = [−1, 8]
b) Dom f = [−3, +)
c) Dom f =∅
Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.
a) y = 5x −3
d) y = 2 −4x c) y =
x
3
b) y = 2+ x−1
e) y = 3− x + 3+
x
f) y =
2
x −2
a) Dom f = R d) Dom f = R
Im f = R Im f = (−, 2)
b) Dom f = [1, +) e) Dom f = [−3, 3]
Im f = [2, +)
Im f =
c) Dom f = R − {0} f) Dom f = R − {2}
Im f = R − {0} Im f = R − {0}
⎡ ⎣ 6, 2 3⎤
⎦

032
Estudia las características de las siguientes funciones.
a) Y
c)
Y
1
b) Y
d)
1
1
1
X
X
a) Dom f = R − {0} Im f = R − {0}
La función es decreciente en (−, 0) ∪ (0, +).
No existen máximos ni mínimos relativos y absolutos.
Es convexa en (−, 0) y es cóncava en (0, +).
La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
No hay periodicidad.
b) Dom f = R − {0} Im f = R
La función es creciente en (−, −2) y es decreciente en (−2, 0) ∪ (0, +).
No existen máximos ni mínimos relativos y absolutos.
Es convexa en (−, −2) ∪ (−2, 0) y es cóncava en (0, +).
La función no es simétrica ni periódica.
Im f = R
La función es creciente en (−, −2) ∪ (2, +) y es decreciente
en ( − , − ) ∪ −1,
, .
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
∪⎛
3 ⎜ 3 ⎞
2 1
⎜
2 ⎝⎜
2 ⎠⎟
2
c) Dom f = − −
⎧
⎨
⎪
⎫
ℝ 1 ⎬
⎪
⎩⎪ ⎭⎪
3
,
2
Existe un máximo relativo en x =−2 y un mínimo relativo en x = 2.
⎛
Es convexa en y es cóncava en ( − , ) ∪ ⎜ 3 ⎞
(− − ∪ 10 ⎜ , + .
⎝⎜
2 ⎠⎟
La función no es simétrica ni periódica.
⎛ ⎞
, 1) ⎜
⎜0,
⎝⎜
⎠⎟
3
2
d) Dom f = R − {−1,5; 1; 3,5} Im f = R
La función es creciente en (−; −1,5) ∪ (−1,5; −0,5) ∪ (0,5; 1) ∪ (1; 3,5) ∪ (3,5; 4,5)
y es decreciente en (−0,5; 0,5) ∪ (4,5; +).
Máximo relativo en x =−0,5 y en x = 4,5 y mínimo relativo en x = 0,5.
Es cóncava en (−; −1,5) ∪ (0, 1) ∪ (1; 3,5) y es convexa en (−0,5; 0) ∪ (3,5; 5).
La función no es simétrica ni periódica.
Y
1
1
1
1
SOLUCIONARIO
X
X
5
191

192
Funciones
033
034
035
Considera la función que relaciona el tiempo, en días, con la superficie visible
de la Luna.
a) ¿Es una función periódica?
b) En caso afirmativo, indica el período.
a) Al depender la superficie visible de las fases en la rotación de la Luna alrededor
de la Tierra, la función es periódica.
b) El período es de 28 días.
Estudia las simetrías de la función.
f(x) = x 3 −3x
f(−x) = (−x) 3 −3(−x) =−x 3 + 3x =−f(x) → La función es simétrica respecto
del origen de coordenadas.
Dada la gráfica de la función y = x 2 :
representa estas funciones.
a) y = (x −2) 2
c) y = (x + 3) 2
b) y = x 2 + 3 d) y = x 2 −4
a)
b)
y = x 2 + 3
Y
1
Y
1
1
1
y = x 2
y = (x − 2) 2
y = x 2
Y
1
X
X
1
c)
d)
X
y = (x + 3) 2
Y
1
y = x 2
1
Y
1
y = x 2
1
y = x 2 − 4
X
X

036
A partir de la siguiente función:
obtén la gráfica de estas funciones.
a) gx ( )
a)
b)
c)
d)
12
=
x −2
h(x)
f (x)
f (x)
Y
2
Y
2
Y
2
Y
2
b) hx ( )
2
2
2
4
f (x)
i(x)
f (x)
j(x)
g(x)
Y
5
12
=
x + 4
X
X
X
X
5
f( x)=
x
12
c) i( x)
X
12
= +
x
SOLUCIONARIO
1
d) j( x)
5
=−
x
12
193

194
Funciones
037
Con la gráfica de esta función:
f(x) = x 2 −2x
representa gráficamente las siguientes funciones.
a) f(x −2) b) −f(x) c) f(x + 1) d) f(x) + 2
Razona cómo lo haces y calcula su expresión algebraica.
a)
b)
c)
d)
f (x)
f (x + 1)
f (x) + 2
Y
2
Y
2
Y
2
Y
2
1
2
2
f (x)
−f (x)
2
f (x)
f (x)
f (x − 2)
X
X
X
X
Y
1
1
f(x − 2) = (x − 2) 2 + 2(x − 2) = x 2 − 2x
−f(x) =−x 2 − 2x
f(x + 1) = (x + 1) 2 + 2(x + 1) = x 2 + 4x + 3
f(x) + 2 = x 2 + 2x + 2
X

038
A partir de cada gráfica, dibuja la gráfica de las funciones que se indican.
a) f(−x) y −f(x)
Y
b) g(x) + 1 y g(x) −3
c) h(x + 1) y h(x −2)
a)
b)
c)
f (−x)
−f (x)
h(x + 1)
h(x)
Y
g(x) + 1
g(x)
1
1
Y
2
h(x − 2)
2
g(x) − 3
Y
1
h(x)
f (x)
1
g(x)
X
X
2
Y
1
X
1
1
Y
1
1
f(x)
SOLUCIONARIO
X
X
X
5
195

196
Funciones
039
040
La gráfica pertenece a la función y = .
x
2
Construye a partir de ella la gráfica de las
funciones.
2
a) y = + 3
x − 1
2
b) y = 2 −
x −3
a)
b)
y =
x
2
y =
x
2
Dada la función fx ( )= , determina la expresión algebraica de estas funciones
y represéntalas. x
8
a) f(x −3) b) f(x) + 3 c) f(−x) d) −f(x)
8
a) fx ( − 3)
=
x − 3
Y
1
f (x)
Y
2
Y
2
1
2
2
2
y = + 3
x − 1
2
y = 2 −
x − 3
f (x − 3)
X
X
X
2
c) y = −1
x + 2
2
d) y =−1− x + 1
c)
d)
b) f( x)
Y
1
2
y = −1
x + 2
2
y =−− 1
x + 1
8
+ 3 = + 3
x
f (x)
Y
2
1
Y
1
Y
1
2
y
1
1
=
x
2
y =
x
2
y =
x
2
f (x) + 3
X
X
X
X

041
c) f( − x)
=−
x
8
SOLUCIONARIO
Dadas las funciones:
calcula.
a) (f + g)(5)
b) (f − g)(3)
c)
d)
(f ⋅ g)(0) e)
f)
(f ⋅ f )(2)
(g + f )(5)
g) (g − f )(3)
h) (f + f ⋅ g)(0)
i)
j) f 2 ⎛ f ⎞
⎜ −( )
⎝⎜
g ⎠⎟
(2)
2
⎛ g ⎞
⎜
⎝⎜
f ⎠⎟
−( ) 2
fx ( )= x+
2
g( x)=
3
2 x −1
3
a) ( f + g)( x) = x + 2 +
2 x −1
3
b) ( f − g)( x) = x + 2 −
2 x −1
3 x + 2
c) ( f ⋅ g)( x)
=
2 x −1
d)
e) ( f ⋅ f )( x) = x +2
3
f) ( g+ f )( x)
= + x + 2
2 x − 1
3
g) ( g− f )( x)
= − x + 2
2 x −1 3 x + 2
h) ( f + f ⋅ g)( x) = x + 2 +
2 x −1
i)
f (x)
f
g x
⎛ ⎞
⎜
x x
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
2 ( − 1) + 2
()
3
⎛ g ⎞
⎜ x
⎝⎜
f ⎠⎟
x x
=
3
()
2 ( − 1) + 2
⎛ g ⎞
⎜ no es real, porque el denominador de una fracción no puede ser igual a 0.
⎝⎜
f ⎠⎟
− ( ) 2
j) ( f )( x) = x +
2 2
Y
2
2
f (−x)
( f )( ) 2 2 = 4
X
8
d) − f( x)
=−
x
1
( f + g)(
5) = 7 +
8
3
( f − g)(
3) = 5 −
8
( f ⋅ g)(
0) =−3
2
⎛ f ⎞
⎜ ( − 2) = 0
⎝⎜
g ⎠⎟
( f ⋅ f )( 2) = 4
f (x)
1
( g+ f )( 5)
= +
8
3
( g− f )( 3)
= −
8
( f ⋅ g)(
0) =−2
2
Y
2
7
5
2
−f (x)
X
5
197

198
Funciones
042
043
Calcula el dominio de las funciones.
Utiliza el resultado para calcular el dominio de las siguientes funciones.
a) (f + g)(x) c)
⎛ g ⎞
b) (f ⋅ g)(x) d) ⎜ x
⎝⎜
f ⎠⎟
( )
Dom f = (−, −2] ∪ [2, + )
Dom g = [−5, 5]
a) Dom (f + g) = [−5, −2] ∪ [2, 5]
b) Dom (f · g) = [−5, −2] ∪ [2, 5]
c) Dom f ⎛ ⎞
⎜ =− ( 5, −2] ∪[
2, 5)
⎝⎜
g ⎠⎟
⎛ g ⎞
d) Dom ⎜ = [ −5, −2) ∪(
2, 5]
⎝⎜
f ⎠⎟
Dadas las funciones:
n(x) = x + 6
define las siguientes funciones y determina sus dominios.
a) (m + n)(x) c)
n
m
b) (n + p)(x) d) (m⋅n + p)(x)
x
px ( )=
x
x
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
( )
−
mx ( )= x −
1
+ 1
2 4
2 a) ( m+ n)( x) = x − 4 + x + 6
c)
Dom (m + n) = (−, −2] ∪ [2, +)
x
b) ( n+ p)( x) = x + +
x
−1
6
+ 1
Dom (n + p) = R − {−1}
n
m x
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
= ( )
fx ( )= x − 2 4
x + 6
2 x − 4
Dom n ⎛ ⎞
⎜ =− ( , − ) ∪ ( , + )
⎝⎜
m ⎠⎟
2 2
f
g x
⎛ ⎞
⎜ ( )
⎝⎜
⎠⎟
x
d) ( m⋅ n+ p)( x) = x − ⋅ ( x + ) +
x
−
2 1
4 6
+ 1
Dom (m · n + p) = (−, −2] ∪ [2, +)
2
gx ( )= 25 −x

044
045
Dadas las funciones:
f(x) = 2 x g(x) = x 2
calcula las composiciones de funciones.
a) f g d) g f
b) g h e) h g
c) h f f) f h
Determina el valor de cada función para x = 3.
x
a) ( f g)( x) = f( g( x)) = f( x ) =
( f g)(
3) = 512
b) ( g h)( x) = g( h( x)) = g
x x
( gh)( 3)
=
1
9
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
1 1
2
c) ( h f)( x) h( f( x)) h( )
1
( hf)( 3)
=
8
x 1
= = 2 =
x 2
x x
d) ( g f)( x) = g( f( x)) = g( 2 ) = 22 ( gf)( 3) = 64
2 1
e) ( h g)( x) = h( g( x)) = h( x ) =
2 x
1
( hg)( 3)
=
9
f) ( f h)( x) = f( h( x)) = f
x
3
( f h)(
3) = 2
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
1
2
Comprueba con las funciones fx ( )= x+1y
g(x) = 3x −2 que la composición
de funciones no es conmutativa. Calcula el dominio de f g y de g f.
( f g)( x) = f( g( x)) = f( 3x− 2) = 3x−1 ( g f)( x) = g( f( x)) = g( x + 1)= 3 x + 1−2 (f g)(x) (g f )(x) → La composición de funciones no es conmutativa.
⎡ 1 ⎞
Dom ( f g)
= ⎢ , +
⎣
⎢
3 ⎠⎟
Dom ( g f ) =− [ 1, + )
2 2 2
1
x
hx ( )=
x
1
SOLUCIONARIO
5
199

200
Funciones
046
047
Explica de qué manera hay que componer las funciones:
g(x) = 5x + 1
para obtener las siguientes funciones.
b) n(x) = 25x + 6 c) px ( )=
x
x
a) ( g f)( x) = g( f( x)) = g( 2 x + 4)= 5 2 x + 4 + 1=
m( x)
+
fx ( )= x +
hx ( )=
2
x + 1
a) mx ( )= 5 2 x + 4 + 1
11
+ 1
2 4
c)
⎛ ⎞
( g h)( x) = g( h( x)) = g ⎜
⎝⎜
x + ⎠⎟
x
= + +
2
1
10
1=
1
+
+ =
b) ( g g)( x) = g( g( x)) = g( 5x + 1) = 5( 5x + 1) + 1= 25x + 6 = nx ()
x 11
px ( )
x 1
Determina f f −1 y f −1 f en los pares de funciones para comprobar
si son inversas o no.
a) f(x) = 3x −1 y
b) f(x) = 2x y
c) f(x) = 2 x y f −1 (x) = log2 x
d) f(x) = sen x y f −1 (x) = arc sen x
e) f(x) = x 2 − 1 1
f ( x) = x + 1
3
x
⎛ ⎞
− 1 f x = ⎜ 1
( )
⎝⎜
2 ⎠⎟
− 1
+ 2 y f ( x) = x−2
⎛ ⎞
− −
a) ( f f )( x) = f( f ( x)) = f ⎜ x +
⎝⎜
⎠⎟
Las funciones no son inversas.
=
1 1 1
1 3
3
1 ⎛ ⎞
⎜ x + 1 − 1= x + 2
⎝⎜
3 ⎠⎟
−1 −1
−1 1
2
( f f)( x) = f ( f( x))
= f ( 3x−1)= ( 3x− 1) + 1=
x +
3 3
x
− −
b) ( f f )( x) = f( f ( x)) = f
⎛ ⎛ ⎞
1 1 ⎜
⎜⎜
1
⎞
⎜⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
2 ⎠⎟
=
⎛
⎝⎜⎜
2
−1 −1
x
( f f)( x) = f ( f( x)) = f ( ) = ⎛ ⎞
−1 ⎜ 1
2 ⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
Las funciones no son inversas.
c) −1 −1
log x
( f f )( x) = f( f ( x)) = f(log 2 x) = 2 = x
− ( f
2
1 −1 −1
x f)( x) = f ( f( x)) = f ( 2 ) = log x 2 = x
Las funciones son inversas.
−1 −1
d) ( f f )( x) = f( f ( x)) = f( arc sen x) = sen ( arc senx)
= x
−1 −1 −1
( f f)( x) = f ( f( x)) = f ( sen x) = arc sen ( sen x) = x
Las funciones son inversas.
−1 −1
e) ( f f )( x) = f( f ( x)) = f( x−2)= x− 2+ 2=
x
−1
−1 −1
2 ( f f)(
x) = f ( f( x)) = f ( x + 2) = 2 x + 2− 2 = x
Las funciones son inversas.
x
1 ⎞
2 ⎠⎟
2
x 2

048
Calcula la función inversa de cada función.
a) y = 2x + 5
b)
c)
y
= − 3
2
x
y = 3 2x−3 Comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz
del primer cuadrante.
y
x
a) y = x + x = f x
−
= −
5 −1
5
2 5→
→ ( )
2
2
f −1 (x)
x
b) y = x y f x x
− 3
−1
→ = 3− 2 → ( ) = 3−2 2
f (x)
f (x)
Y
2
y +
x
c) y = x− x =
f x =
+
3
3
3
3 −1
3
2 3 → → ( )
2
2
f −1 (x)
Y
1
2
Y
2
1
2
f −1 (x)
f (x)
X
X
X
SOLUCIONARIO
5
201

202
Funciones
049
050
Dada la gráfica de la función y = x 3 :
dibuja la gráfica de su función inversa.
Dibuja las funciones inversas.
a)
b)
f −1 (x)
Y
1
Y
1
1
1
Y
f (x)
1
1
X
Y
1
y = ln (x + 3)
y = 1 + 2 x
1
X
X
y = x 3
X

c)
d)
a)
b)
c)
d)
y
= + 1
2
log 2
f (x)
f −1 (x)
Y
x
1
Y
1
1 X
Y
Y
2
Y
1
Y
1
1
1
1
f (x)
1
f −1 (x)
2
f (x)
f −1 (x)
1 X
f −1 (x)
f (x)
y = 2x − 1
X
X
X
X
SOLUCIONARIO
5
203

204
Funciones
051
052
Dibuja funciones que cumplan estas propiedades.
a) Su dominio y su recorrido son R.
b) Su dominio es R −{1}.
c) Es creciente y su dominio es R −{−1, 2}.
d) Es logarítmica y su dominio es (3, +).
e) Es logarítmica y su dominio es (−, −2).
f) Es exponencial y su dominio es R −{0}.
Respuesta abierta.
a)
b)
c)
Y
1
Y
1
Y
1
1
2
1
f (x)
f (x)
f (x)
En una vivienda pagan 10 euros de gasto fijo y 0,50 euros por cada kilovatio
consumido a la empresa que les suministra electricidad.
X
X
X
a) Obtén una expresión de la relación que existe entre el consumo y el precio
y represéntala.
b) Si a esta cantidad hay que aumentarle el 16 % de IVA, ¿cómo será la ecuación?
¿Qué variación sufre la gráfica?
d)
e)
f)
Y
1
f (x)
1
Y
1
f (x)
1
Y
1
f (x)
1
X
X
X

053
054
a) f(x) = 10 + 0,5x
Y
8
b) g(x) = (10 + 0,5x) · 1,16 = 11,6 + 0,58x
Y
8
La gráfica es otra recta con mayor pendiente que la primera.
Halla el dominio de las funciones del tipo fx ( )=
Si n es impar: Dom f = R − {0}
n
x
, siendo n un número natural.
1
Si n es par: Dom f = (0, +)
El manual de usuario de un vehículo afirma que el ruido producido por el motor
sigue aproximadamente la fórmula:
donde t es el número de años
de antigüedad del vehículo;
a es un número fijo, que
se denomina coeficiente
de atenuación, y r es el nivel
de ruido, medido
en decibelios.
2
2
g(x)
f (x)
f (x)
r = at 2 + 2,8t + 8
La semana pasada llevé mi vehículo a pasar la revisión de los cuatro años y en el
informe figura que la medición fue de 27 decibelios. ¿Cuál es el coeficiente de
atenuación? ¿Cuántos decibelios producirá a los ocho años?
27 = a · 4 2 + 2,8 · 4 + 8 → 16a = 7,8 → a = 0,4875
X
X
SOLUCIONARIO
A los ocho años producirá: r = 0,4875 · 8 2 + 2,8 · 8 + 8 = 61,6 decibelios
5
205

206
Funciones
055
056
En una circunferencia de 5 cm de radio
se inscribe un rectángulo de lado x.
a) Expresa el área en función de x. ¿Cuál es su dominio?
b) Realiza un tanteo para determinar el máximo valor
que puede tomar esa función. ¿Cuánto medirán
los lados del rectángulo en ese caso? ¿Qué tanto
x
10
por ciento de la superficie del círculo ocupa
el rectángulo?
b
a)
2 2 2
Por el teorema de Pitágoras: 10 = b + x → b = 2 100 − x
El área del rectángulo viene dada por la función: fx ()= x 2 100 − x
b) Al ser x la medida de un lado, el dominio de la función es: Dom f = [0, 10]
El máximo valor del área es, aproximadamente, 49,98 cm2 . En ese caso,
el lado x mide 7 cm. Así, el otro lado mide: = 7,14 cm
El área del círculo mide: cm 2
A= πr =
49, 98
Como = 0,6364, el área del rectángulo ocupa el 63,64 %
78, 53
de la superficie del círculo.
2 b = 51
78, 53
Considera los triángulos cuya superficie mide S.
a) Escribe la expresión algebraica que relaciona la base en función de la altura
en estos triángulos.
b) ¿Cuál es la función que relaciona la altura en función de la base?
c) Representa ambas funciones.
A
a) b =
h
2
c)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (x) 0 9,95 19,59 28,62 36,66 43,3 48 49,98 48 39,23 0
h
b
Y
2
Las dos gráficas son iguales.
2
b
h
b
X
h
b
A
b) h =
b
2
Y
2
2
h
X

057
058
059
PARA FINALIZAR…
Sean las funciones y .
Comprueba que se cumple que [g(x)] 2 −[f(x)] 2 gx ( )=
x x e + e
= 1.
−
fx ( )=
x −x
e −e 2
2
Calcula las funciones inversas de:
Por tanto, las funciones inversas son de la forma:
e
x Si z = e :
.
2y
= z +
1
z
2
2y ±
→ z − 2yz + 1= 0 → z =
2 4y −4
2
x → e = y ± y 2 x Si z = e :
1
2y
= z−
z
2
2y ±
→ z −2yz− 1= 0 → z =
2 4y + 4
2
x → e = y ± y
y = ln ( x + 2 x + 1)
y = ln ( x− 2 x + 1)
−1
2 y =
x x e e
x y e
x e
+ 1
−
y =
x x e + e
−
2
1
→ 2 = −
−
y =
x −x
e −e 2
2
Por tanto, las funciones inversas son de la forma: y = ln x + 2 x −1
e y = ln ( x− 2 x −1)
.
Si la función definida por , con x − , verifica que f [f(x)] = x,
¿cuánto vale c?
3
cx
fx ( )=
2x+ 3
2
cx
c
⎛ cx ⎞
x
ffx (( ))= f ⎜
⎝⎜
x + ⎠⎟
cx
x
=
⋅ 2
2 + 3
c x
2 2 2
=
= x → c x = 2cx + 6x + 9x
2 3
2⋅ + 3
2cx + 6x+ 9
2 + 3
x + x
Si c = x + 3: f x =
x
x +
=
2
2 2 3
( )
2 3
x
Si c =− : f x =
x
−3
3 ( )
2 + 3
2
2
x −x x −x
SOLUCIONARIO
⎛
2 2 e
[ gx ( )] − [ fx ( )] = ⎜
⎝⎜
+ e
2
⎞ e
⎠⎟
e
−
⎛
⎜
⎝⎜
−
2
⎞ 2 2 2 2
2
2
⎠⎟
4
4
2
=
+ + + −
− =
= +
x − x x − x
e e e e
2
= 1
4
( )
2x 2 2 2
→ c x−2cx−6x − 9x = 0→c
=
± 4x + 24x 2x
+ 36x
= x± 2 x + 6x+ 9 = x± 2 ( x+ 3) = x± ( x+
3)
5
2 4 3 2
=
207

208
Funciones
060
061
En un cuadrado de 16 cm de lado se suprime, de cada esquina, un triángulo
rectángulo e isósceles de cateto x. Expresa el área y el perímetro del polígono
resultante en función de x. ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido?
x
x
16
2
El área de la figura viene dada por la función: f( x)=
16 −4⋅ 2 x
2
= 256 −2x
2 2 2
La hipotenusa de los triángulos mide: a = x + x → a =
El perímetro de la figura viene dado por la función:
2x
Y
50
2
gx ( ) = 4 2x+ 4( 16− 2x) = 4 2−8 x 64
f (x)
X
Dom f = ⎡
⎣08
, 2⎤
⎦
Dom g = ⎡
⎣08
, 2+ 16⎤
⎦
Im f = [0, 256] Im g = [0, 64]
Un grupo de alumnos de 1. o Bachillerato pide presupuesto en dos agencias de viajes
para realizar una excursión.
La primera agencia les hace la siguiente propuesta.
• Si el número de alumnos que va a la excursión es 40 o menos, les cobrará 200 €
por alumno.
• Si el número de alumnos es superior a 40 le descontará un 10 % a cada uno
de los alumnos que se inscriba.
La oferta de la segunda agencia es:
• Si completan un autobús, con capacidad para 60 personas, el precio será de 150 €
por persona. Si alguno de los autobuses no está completo, se incrementará el
precio en un 1 % por cada persona que falte para completarlo.
¿Qué agencia les conviene más?
Un descuento del 10 % en el precio de 200 € significa un precio de: 200 · 0,9 = 180 €
Así, la función que representa la propuesta de la primera agencia es:
⎧ x ≤ x ≤
f( x)=
⎨
⎪200
si 0 40
⎩⎪ 180x si x > 40
Y
10
( ) +
10
g(x)
X
2

062
El incremento de un 1 % por cada persona que falte significa que el precio será:
⎛ 60
2
150 ⋅ ⎜ − x ⎞
2
⎜1+
x = 150x + 1,5( 60x− x ) = 240x−1,5x ⎝⎜
100 ⎠⎟
La función que representa la propuesta de la segunda agencia es:
Los puntos de intersección de ambas funciones son:
⎧⎪
x = 0
2 2
• Si 0 ≤ x ≤ 40 → 200x = 240x−1,5x → 1,5x
− 40x = 0 → ⎨
⎪
80
⎪ x = = 26, 6
⎩⎪
3
⎧
2 2
x = 0
• Si 40 < x < 60 → 180x = 240x−1,5x → 1,5x
− 60x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 40
• Si x ≥ 60 → 180x = 150x → x = 0
Por tanto, la primera agencia resulta más conveniente si el número de alumnos
es menor o igual a 26. A partir de 27 alumnos, es más económica la segunda
agencia.
⌢
⎧
2 x− , x ≤ x <
gx ( ) = ⎨
⎪240
1 5 si 0 60
⎩⎪ 150x si x ≥ 60
Una farola tiene 7 m de altura.
En su base hay una persona
de 1,80 m de altura que empieza
a andar en línea recta, alejándose
de la farola a una velocidad
de 2 m/s.
Al cabo de 10 segundos, ¿cuál
será la longitud de su sombra?
Halla una función que exprese la
longitud de la sombra en función
del tiempo, t, que se camina.
Al cabo de 10 segundos, la persona ha recorrido 20 m.
7 m
20 m
7 m
Como la farola y la persona forman ángulos rectos con el suelo, sus alturas determinan
dos lados paralelos de triángulos que se encuentran en posición de Tales.
7 20 1,8 ⋅ 20
= → s = = 5,14 m
1,8 s
7
La función que expresa la longitud de la sombra en función del tiempo es:
1,8 ⋅ 2t
3,6t
ft ()= =
7 7
1,80 m
1,8 m
SOLUCIONARIO
s
5
209

210
6
Funciones elementales
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
El árbol de la ciencia
Al decir Andrés [estudiante de medicina] que la vida, según su profesor
Letamendi, es una función indeterminada entre la energía individual
y el cosmos, y que esta función no puede ser más que suma, resta,
multiplicación y división, y que no pudiendo ser suma, ni resta, ni
división, tiene que ser multiplicación, uno de los amigos de Sañudo
[estudiante de ingeniería] se echó a reír.
–¿Por qué se ríe usted? –le preguntó Andrés sorprendido.
–Porque en todo eso que dice usted hay una porción de sofismas y de
falsedades. Primeramente hay muchas más funciones matemáticas
que sumar, restar, multiplicar y dividir.
–¿Cuáles?
–Elevar a potencia, extraer raíces... Después, aunque no hubiera más
que cuatro funciones matemáticas primitivas, es absurdo pensar que
en el conflicto de estos dos elementos, la energía de la vida y el cosmos,
uno de ellos, por lo menos, heterogéneo y complicado, porque
no haya suma, ni resta, ni división, ha de haber multiplicación. Además,
sería necesario demostrar por qué no puede haber suma, por qué
no puede haber resta y por qué no puede haber división. Después habría
que demostrar por qué no puede haber dos o tres funciones simultáneas.
No basta decirlo.
–Pero eso lo da el razonamiento.
–No, no; perdone usted –replicó el estudiante–. Por ejemplo, entre
esa mujer y yo puede haber varias funciones matemáticas: suma, si
hacemos los dos una misma cosa ayudándonos; resta, si ella quiere
una cosa y yo la contraria y vence uno de los dos contra el otro; multiplicación,
si tenemos un hijo, y división si yo la corto en pedazos a
ella o ella a mí.
–Eso es una broma –dijo Andrés.
–Claro que es una broma –replicó el estudiante–, una broma por el estilo
de las de su profesor; pero que tiende a una verdad, y es que entre
la fuerza de la vida y el cosmos hay un infinito de funciones distintas:
sumas, restas, multiplicaciones, de todo, y que además es muy posible
que existan otras funciones que no tengan expresión matemática.
PÍO BAROJA
Existen algunas proteínas de gran tamaño a las que se les pueden
unir hormonas para modificar
su función en el cuerpo humano.
Este mecanismo está regulado
por la fórmula
Y
10 kx
y = ,
1+
kx
siendo y la concentración
de hormonas unidas,
1
1
X
la concentración total de hormonas y k una constante.
Representa esta función para k = 1.

001
002
003
004
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(−2, 3).
m =− 1
2
Obtén las ecuaciones de las rectas que pasan por los pares de puntos indicados.
a) (1, 5) y (7, 23) c) (−1, 4) y (3, 16)
b) (−5, 1) y (1, 2) d) (−3, −1) y (5, −4)
a) AB = (6, 18)
x − 1 y − 5
La ecuación de la recta es: = → y = 3x + 2
6 18
b) AB = (6, 1)
x +
La ecuación de la recta es: =
y −
y =
x +
5
6
1
→
1
11
6
c) AB = (4, 12)
x + 1 y − 4
La ecuación de la recta es: = → y = 3x + 7
4 12
d) AB = (8, 3)
x +
La ecuación de la recta es: =
y +
x
y =
−
− −
3
8
1
3 17
→
3
8
SOLUCIONARIO
Transforma grados en radianes y radianes en grados: 60°, 90°, 159°, 300°,
rad, rad y rad.
rad,
y =
360 ⋅
=
5
y =
360 ⋅
=
x =
2π⋅159 360
=
53π
rad
60
y =
π
360 ⋅
5
2π
= 36°
x =
2π⋅300 360
=
5π
rad
3
π
2
2π
450°
2
y =
360 ⋅
=
x =
2π⋅90 360
=
π
rad
2
π
3
2π
120°
3
3π
2π
π 5π
2
3 5 2
x =
2π⋅60 360
=
π
rad
3
π
2
2π
270°
Indica el signo de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes
de la circunferencia goniométrica.
α (grados) 1. er cuadrante 2. o cuadrante 3. er cuadrante 4. o cuadrante
sen α positivo positivo negativo negativo
cos α positivo negativo negativo positivo
tg α positivo negativo positivo negativo
6
211

212
Funciones elementales
005
001
002
003
Calcula las siguientes razones trigonométricas.
a) b) c) d) e) f)
a) c) no existe. e)
b) d) f ) tg no existe.
ACTIVIDADES
Representa, sobre los mismos ejes de coordenadas, las funciones y = 3x −1
e y = 5x + 4. Halla el punto común a las dos gráficas.
5
sen
π
2
10
cos
cos
4π
1
=−
3 2
π
=−
6
3
2
9
sen
3π
tg
2
π
=
4
2
2
3
tg
π
=
4
2
2
5
cos
π
2
9
sen
π
4
10
tg
π
6
3
cos
π
2
4
sen
π
3
3π
4
Dibuja todos los tipos de rectas que conoces y encuentra aquellos que no
corresponden a una función. Escribe sus ecuaciones.
Respuesta abierta.
1
2
Y
2
2
3
Y
1
y = 4 es una función constante.
3 3
y = x − es una función afín.
4 2
y =−3x es una función lineal.
x = 4 no es una función.
Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas.
a) y =−3x 2 − x −1 b) y = x 2 + 2x −2
a)
⎛
V⎜ 1 11 ⎞
⎜−
, −
⎝⎜
6 12 ⎠⎟
b) V (−1, −3)
Y
1
1
1
4
X
X
X
El punto de intersección es:
⎛
⎜ 5 17 ⎞
⎜−
, −
⎝⎜
2 2 ⎠⎟
1
2
3
4
Y
1
1
X

004
005
006
Representa en el intervalo [−1, 1], con una escala que sea lo suficientemente grande,
las funciones.
f(x) = x f(x) = x2 f(x) = x 3
f(x) = x 4
Describe sus propiedades.
En todas las funciones, el dominio es R y el punto de corte con los ejes es el origen
de coordenadas.
Las funciones de exponente par son decrecientes para los valores negativos de x,
son crecientes para los valores positivos, tienen un máximo absoluto en x = 0
y son simétricas respecto del eje de ordenadas.
Las funciones de exponente impar son crecientes, no tienen máximos ni mínimos
y son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Halla la recta de interpolación lineal correspondiente a los datos (10, 45)
y (20, 57).
Determina con ella el valor correspondiente a estos valores.
a) x = 13 b) x = 16 c) x = 22
57 − 45
12
y = 45 + ( x − 10 ) = 45 + ( x −10
)
20 − 10
10
a)
b)
c)
Y
1
1
12
y = 45 + ( 13 − 10 ) = 48 , 6
10
12
y = 45 + ( 16 − 10 ) = 52, 2
10
12
y = 45 + ( 22 − 10 ) = 59 , 4
10
En el gráfico de un puerto de montaña, que tiene una pendiente aproximadamente
constante, aparece que en el kilómetro 5 la altura sobre el nivel del mar
es de 1.200 m, y en el kilómetro 13, de 2.100 m. Calcula por interpolación lineal
la altura en el kilómetro 10.
2. 100 − 1. 200
900
y = 1. 200 +
( x − 5) = 1. 200 + ( x −5)
13 − 5
8
900
y = 1. 200 + ( 10 − 5) = 1. 762, 5 m
8
X
SOLUCIONARIO
6
213

214
Funciones elementales
007
008
La tabla muestra el número de turistas, en millones, que entraron en España
en el período 1995-2005.
a) Halla los valores para 1998, 2002 y 2008.
b) ¿En qué año se superaron los 80 millones?
2
54 , 4 = 1. 995 a+ 1. 995b
+ c⎫
⎪ 54 , 4 = 3. 980. 025a+
1. 995b+
c⎫⎪
2
74 , 6 = 2. 000 a+ 2. 000 b+ c⎬
⎪
→ 20 , 2 = 19. 975a + 5b
⎬
⎪
2
⎪
92
, 6 = 2. 005 a+ 2. 005b+
c⎪
⎪
⎭⎪
38 , 2 = 40. 000 a + 10 b ⎭
⎪
54 , 4 = 3. 980. 025a+ 1. 995b+
c⎫⎪⎧⎪
20 , 2 = 19. 975a + 5b
⎬
⎪ ⎪
a =−0,
044
→ =
⎪
⎨
⎪b
179 , 82
−22
, = 50 a
⎭
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩⎪
c =−183.
565, 4
La función de interpolación cuadrática es: y = −0,044x 2 + 179,82x − 183.565,4
a) Para 1998: y = 66,784 millones
Para 2002: y = 82,064 millones
Para 2008: y = 102,344 millones
b)
Los 80 millones se superaron desde el 2002 hasta el 2085.
A partir de los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 3):
a) Determina la función de interpolación lineal para los puntos (0, 0) y (1, 1).
b) Si utilizamos los tres puntos, ¿cuál será la función de interpolación
cuadrática?
c) ¿Qué valor toma para x = 1,5 en cada uno de los casos? ¿Y para x = 4?
a)
b) 0 = 4a+ 4b+
c⎫⎪
1 4 4
1 = 4 + 4 + ⎬
⎪ = a + b⎫
a 05
a b c →
⎪
⎬
⎪
⎧ =
⎨
⎪ ,
→
3= 4a+ 2b+
c⎭
⎪ 3= 4a+ 2b
b 05
⎪
⎭⎪ ⎩
⎪ = ,
c)
2 − 0 , 044 x + 179 , 82 x − 183. 565, 4 = 80
⎧
2
x = 2 001 4
→ − 0 , 044 x + 179 , 82 x − 183. 645, 4 = 0 ⎨
⎪ . ,
→
⎩
⎪
⎪x
= 2. 085, 4
y = + x y x
− 1 0
0 ( − 0 ) → =
1−0 Año 1995 2000 2005
Turistas 54,4 74,6 92,6
La función de interpolación cuadrática es: y = 0,5x 2 + 0,5x
⎧ y =
x = ⎨
⎪ 15 ,
15 , →
2
⎩⎪ y = 0, 5⋅ 15 , + 0, 5⋅ 15 , = 1875 ,
⎧ y =
x = 4 ⎨
⎪ 4
→
2
⎩⎪ y = 05 , ⋅ 4 + 05 , ⋅ 4= 10

009
010
011
Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad inversa.
a) b) y = −
x
1
y =
x
2
3
a)
b)
Representa estas funciones racionales, y relaciónalas con las funciones
de proporcionalidad inversa.
a) b) y =
x
1
1
y =
2
x + 2
a)
Es una traslación horizontal de la
función de proporcionalidad inversa:
1
1
f( x)
= → f( x+
2)
=
x
x + 2
Halla el dominio de las funciones con radicales.
a) fx ( )= x −
b)
2 3 4
a) Dom f = R
b) Dom g = (−, −6] ∪ [6, +)
Y
1
Y
2
Y
2
1
1
2
X
X
X
b)
Es el producto por sí misma de la
función de proporcionalidad inversa:
1 1
f( x)
= → f( x) ⋅ f( x)
=
2
x
x
gx ( )= x − 2 36
SOLUCIONARIO
Y
1
1
X
6
215

216
Funciones elementales
012
013
014
Representa gráficamente estas funciones.
a) fx ( )= x+
2
c)
b) g( x)= x−
4
d)
a)
b)
Y
1
Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes
o decrecientes.
a) f(x) = 1,2x b)
c) h(x) = 0,8x g( x)=
⎛
⎜ 2 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
d) i( x)=
( 3 )
x
x
1
Y
2
a) 1,2 > 1 → f(x) es creciente.
b)
2
< 1 → g(x) es decreciente.
3
c) 0,8 < 1 → h(x) es decreciente.
d) 3 > 1 → i(x) es creciente.
1
Representa gráficamente estas funciones.
a) y =−2x c) e) y =−2−x x
y = ⎛
⎜ 4 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
b) y = 2 −x d) y = 0,1 x f) y
X
X
hx ( )= 3 x−1
i( x)= 3 x+
2
c)
d)
Y
1
x
= 2 3
Y
2
3
1
X
X

015
016
a)
b)
c)
Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.
a) f(x) = log1,2 x c) h(x) = log7 x e) j( x)= log 3 x
b) gx ( )= log 2 x
d) i(x) = log0,8 x f) k(x) = log8,2 x
3
Y
2
a) 1,2 > 1 → f(x) es creciente.
b)
2
3
< 1 → g(x) es decreciente.
c) 7 > 1 → h(x) es creciente.
d) 0,8 < 1 → i(x) es decreciente.
e) 3 > 1 → j(x) es creciente.
f) 8,2 > 1 → k(x) es creciente.
Y
1
Y
1
1
1
1
Representa gráficamente estas funciones.
a) y =−log2 x c) y = log 4 x
e)
b) y = log2 (−x) d) y = log0,1 x f) y =
X
X
X
3
d)
e)
f)
y =−log2 ( −x)
log 2
SOLUCIONARIO
Y
1
Y
2
Y
1
1
1
1
⎛ x ⎞
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
X
X
X
6
217

218
Funciones elementales
017
018
a)
b)
c)
Y
1
Y
1
1
Describe las características de estas funciones.
a) f(x) = sen (x −1)
b) g(x) = (sen x) − 1
Y
2
1
1
a) Dom f = R Im f = [−1, 1]
La función es periódica, de período 2π radianes. No es simétrica.
π
3π
Presenta máximos en x = 1+
+ 2kπy
mínimos en x = 1+
+ 2kπ,
2
2
siendo k ∈ Z.
b) Dom g = R Im g = [−2, 0]
La función es periódica, de período 2π radianes. No es simétrica.
π
Presenta máximos en x =
2
siendo k ∈ Z.
3π
+ 2kπy
mínimos en x = + 2kπ,
2
Representa las funciones y di qué observas.
a)
⎛
fx ( )= sen ⎜ x+
⎝⎜
π ⎞
2 ⎠⎟
⎛ ⎞
b) gx ( )= cos⎜ π
⎜x
− ⎟
⎝⎜
⎟
2 ⎠⎟
X
X
X
d)
e)
f)
Y
1
Y
1
1
1
1
Y
1
X
X
X

019
020
021
a)
Describe las características de estas funciones.
⎛
a) fx ( )= tg⎜ π ⎞
⎜ x−
b) g(x) = tg (x + 1)
⎝⎜
2 ⎠⎟
a) Dom f = R − {kπ, k ∈ Z} Im f = R
La función es periódica, de período π radianes.
Es siempre creciente y simétrica respecto del origen de coordenadas.
⎧ π
b) Dom g = R − ⎨
⎪
⎫
− 1 + kπ, k ∈ Z⎬
⎪ Im g = R
⎩⎪ 2
⎭⎪
La función es periódica, de período π radianes.
Es siempre creciente y no es simétrica.
Representa las funciones inversas.
a)
⎛
f( x)= arc cos ⎜ x +
⎝⎜
π ⎞
2 ⎠⎟
b) g(x) = arc sen (x −π)
a)
1
Y
⎛ ⎞
f( x)= sen ⎜
⎜x
+
x
⎝⎜
⎠⎟
=
π
cos
2
Y
1
π
π
X
X
Representa gráficamente esta función definida a trozos.
⎧ ⎪
4
fx ( )= ⎨
⎪ 2 x
⎪
⎩⎪
1
si
si
si
x ≤−2
− 2< x ≤1
x > 1
Y
Describe sus principales características.
1
Dom f = R Im f = [0, 4]
1
X
La función es continua, no es periódica
ni simétrica.
Es decreciente en (−2, 0) y es creciente en (0, 1). Tiene un mínimo absoluto en x = 0.
b)
b)
SOLUCIONARIO
Y
1
⎛ ⎞
gx ( )= ⎜
⎜x
− senx
⎝⎜
⎠⎟
=
cos
π
2
Y
1
π
π
X
6
X
219

220
Funciones elementales
022
023
024
En un contrato mensual de telefonía móvil se factura a 0,12 € por minuto.
Si el consumo no llega a 9 €, entonces se abona esa cantidad.
a) Halla la expresión de la función que relaciona el consumo, en minutos,
y el importe de la factura mensual, en euros.
b) Representa la función.
a) ⎧ ⎪
9 si 0≤ x < 76
⎪
912 , si 76≤ x < 77
⎪924
, si 77≤ x < 78
f( x)
= ⎨
⎪
⎪
⎪93
, 6 si 78≤ x < 79
⎪
938 , si 79≤ x < 80
⎪
⎩ ⎪ …
b)
9,38
9,36
9,24
9,12
9
El servicio de correos cobra 0,30 € por los primeros 25 g de envío y, a partir de esa
cantidad, cobra 0,20 € por cada 25 g (o fracción) de peso extra. Representa la gráfica
del coste del envío de cartas hasta 150 g.
Y
1,30
1,10
0,90
0,70
0,50
0,30
Y
75 76 77 78 79
25
La función que asocia a cada número su parte decimal es:
f(x) = x −[x]
Representa la función y analiza sus propiedades.
Dom f = R Im f = [0, 1)
La función no es continua. Todos los números
enteros son puntos de discontinuidad
inevitable de salto finito.
Es periódica, de período 1. No es simétrica.
Es creciente en (k, k + 1), siendo k ∈ Z.
No tiene máximos ni mínimos.
X
X
Y
1
1
X

025
026
Representa, sin hacer las tablas de valores correspondientes, las funciones lineales
y afines.
x
a) y =
b) y =−x + 4
1
c) y = x + 1
2
d) y =−2x
− 3
3
a)
b)
Y
1
Y
1
1
Escribe la expresión algebraica de las funciones representadas,
y calcula su pendiente y su ordenada en el origen.
v
2
s
t r
r: y = x + 2 m = 1 n = 2
s: y =−3x− 2 m =−3 n =−2
t: y = x m= − n = 0
u: y =
1
x − 1
3
m =
1
3
n =−1
2
−
3
2
3
X
X
Y
1
c)
d)
5
SOLUCIONARIO
Y
1
Y
2
X
1
1
6
X
X
221

222
Funciones elementales
027
028
029
Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas, y relaciona la abertura
de las ramas de cada parábola con el coeficiente de x 2 .
a) y = x2 b) c) y = 2x2 y = x
d)
1 2
2
Y
2
1
La abertura es menor cuando el coeficiente es mayor.
Halla los vértices y los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas.
a) f(x) = x2 −2x + 2 b) g(x) =−2x2 + x −1 c) h(x) =−x2 −2
a) V(1, 1)
No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, 2)
b) V
No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, −1)
1 ⎛ 7 ⎞
⎜ , −
⎝⎜
4 8 ⎠⎟
c) V(0, −2)
No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, −2)
Haz la representación gráfica de las siguientes funciones cuadráticas,
indicando el vértice y los cortes con los ejes.
a) y = x2 −2x −8
b) y =−x2 + 3x
c) y = x2 + 4x + 4
d) y = 2x2 + 3x −2
a) V(1, −9)
Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y (4, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, −8)
X
y = x
1 2
4
Y
1
1
X

030
b)
V
Puntos de corte con el eje X: (0, 0) y (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 0)
3 ⎛ 9 ⎞
⎜ ,
⎝⎜
2 4 ⎠⎟
c) V(−2, 0)
Punto de corte con el eje X: (−2, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 4)
d)
1
Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y
2
Punto de corte con el eje Y: (0, −2)
0 ,
⎛
V⎜ 3 25 ⎞
⎜−
, −
⎝⎜
4 8 ⎠⎟
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
Representa la función y = x 2 y, a partir de ella, dibuja las gráficas
de estas funciones polinómicas.
a) y = (x −2) 2
b) y = x2 + 3
c) y = (x + 3) 2
d) y = x 2 −4
¿Qué relación guardan las gráficas de las últimas cuatro funciones con la gráfica
de la primera?
a)
Y
1
1
X
SOLUCIONARIO
La función se traslada horizontalmente 2 unidades a la derecha.
Y
1
1
Y
1
Y
1
1
1
6
X
X
X
223

224
Funciones elementales
031
b)
c)
d)
Y
1
La función se traslada verticalmente 3 unidades hacia arriba.
Y
1
La función se traslada horizontalmente 3 unidades a la izquierda.
Y
1
La función se traslada verticalmente 4 unidades hacia abajo.
Haz la gráfica de la función f(x) = x2 + 2x. Obtén la expresión algebraica
de las siguientes funciones y represéntalas.
a) f(x −2) c) f(x + 1)
b) f(x) −4 d) f(x) + 2
¿Hay alguna relación entre estas gráficas?
a) f(x − 2) = (x − 2) 2 + 2(x − 2) = x 2 − 2x
Y
2
1
1
1
f(x − 2)
3
X
X
X
X

032
b) f(x) − 4 = x 2 + 2x − 4
c) f(x + 1) = (x + 1) 2 + 2(x + 1) = x 2 + 4x + 3
f(x + 1)
d) f(x) + 2 = x 2 + 2x + 2
Y
2
Y
3
Y
1
Considera las siguientes funciones.
f(x) = x 2 −2x + 1 g(x) = (x −1) 2 h(x) = 3x
Calcula la expresión algebraica de la función que se indica en cada apartado,
y represéntala gráficamente.
a) f(−x) c) g(−x) e) h(−x)
b) −f(x) d) −g(x) f) −h(x)
a) f(−x) = (−x) 2 − 2(−x) + 1 = x 2 + 2x + 1
Y
1
1
1
1
2
f(x) − 4
f(x) + 2
f(−x)
X
X
X
X
SOLUCIONARIO
6
225

226
Funciones elementales
b) −f(x) =−x 2 + 2x − 1
−f(x)
c) g(−x) = (−x− 1) 2 = x 2 + 2x + 1
d) −g(x) =−(x − 1) 2 =−x 2 + 2x − 1
e) h(−x) = 3(−x) =−3x
f) −h(x) =−3x
Y
1
Y
1
Y
3
Y
3
Y
1
1
1
1
1
1
g(−x)
h(−x)
−h(x)
−g(x)
X
X
X
X
X

033
034
035
Construye la tabla de valores y dibuja la gráfica de las funciones.
a) y = x3 + 2x2 + 3
b) y =−x3 + 6x + 1
a)
b)
x −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 1 2
f(x) −0,125 3 4,125 4 3,375 3 6 19
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) 10 −3 −4 1 6 5 −8
Y
1
Y
1
1
1
Halla los puntos donde cortan las siguientes funciones polinómicas al eje X.
a) y = 3x + 9 d) y = 8x 2 + 10x −3
b) y =−2x + 5 e) y = 2x2 + x + 3
c) y = 6x2 + 17x −3
a)
b)
x =−3 d)
e) No tiene puntos de corte.
c) x =−3, x = 1
x =
6
5
2
1 3
x = , x =−
4 2
X
X
SOLUCIONARIO
Halla los puntos donde estas funciones cortan al eje X.
a) y = (x −1)(x + 2) b) y = (2x −1) 2 c) y = (x −2)(x + 3)(2x + 1)
a) x = 1, x =−2 b) c) x = 2, x =−3, x =− 1
x =
2
1
2
6
227

228
Funciones elementales
036
Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte
con los ejes.
a) y = 4x2 + 4x + 1 d) y = x3 −2x2 −7x −4
b) y = x 3 − x 2 −9x + 9 e) y = x 3 −2x 2 −2x −3
c) y = 2x 3 −9x2 + x + 12
a)
⎛
Punto de corte con el eje X: ⎜ 1 ⎞
⎜−
⎝⎜
2 ⎠⎟
Punto de corte con el eje Y: (0, 1)
Y
0 ,
b) Puntos de corte con el eje X:
(−3, 0), (1, 0) y (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 9)
c) Puntos de corte con el eje X:
3
(− 1, 0), y (4, 0)
2
Punto de corte con el eje Y: (0, 12)
0 ,
Y
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
3
d) Puntos de corte con el eje X: (−1, 0) y (4, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 4)
e) Punto de corte con el eje X: (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, −3)
Y
6
Y
2
Y
1
1
1
1
1
1
4
X
X
X
X
X

037
038
039
Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica.
a) c)
b) y = 2x 2 −2x + 1 d) y =−2x2 y =
2 x
2
+ 3x−1 2 x
y = − − x + 2
3
+ x + 1
f(x) g(x)
h(x) i(x)
a) y = f(x), porque si a =
1
> 0,
la parábola es abierta hacia arriba y c =−1.
2
b) y = h(x), pues si a = 2 > 0, la parábola es abierta hacia arriba y c = 1.
c)
1
y = g(x), porque si a =− < 0,
la parábola es abierta hacia abajo y c = 2.
3
d) y = i(x), ya que si a =−2 < 0, la parábola es abierta hacia abajo y c =−1.
Representa funciones de la forma y = ax 2 −3x + 2 con distintos valores de a,
y estudia su variación en función del parámetro.
Respuesta abierta.
Si a = 1 → f(x) = x2 − 3x + 2
Si
Si
Si a =−1 → i(x) =−x2− 3x + 2
Si a =−3 → j(x) =−3x2 Y
3
3 2
a = → g() x = x − 3x + 2
2
2
1
1 2
a =− → h() x =− x − 3x + 2
2
2
− 3x + 2
4
4
La abertura de las parábolas es menor cuanto mayor es el valor absoluto de a.
Representa funciones de la forma y = x 2 + bx + 2 con distintos valores de b,
y explica cómo varían en función del parámetro.
Y
1
Respuesta abierta.
Si b = 1 → f(x) = x2 + x + 2
Si
Si
Si b =−1 → i(x) = x2 − x + 2
Si b =−3 → j(x) = x2 Y
3
2 3
b = → g() x = x + x + 2
2
2
1
2 1
b =− → h() x = x − x + 2
2
2
1
1
− 3x + 2
La abertura de las parábolas es mayor cuanto mayor es el valor absoluto de b.
1
SOLUCIONARIO
X
6
X
X
229

230
Funciones elementales
040
041
042
Representa funciones de la forma y = x 2 + 2x + c con distintos valores de c,
y analiza su variación en función del parámetro.
Respuesta abierta.
Si c = 1 → f(x) = x2 + 2x + 1
Si
Si c = 2 → h(x) = x2 + 2x + 2
Si
Si c =−1 → j(x) = x2 + 2x − 1
Si c =−3 → k(x) = x2 Y
c =
3
2
2 → g() x = x + 2x
+
3
2
2
2
1
c =−
2
2 → i() x = x + 2x
−
1
2
+ 2x − 3
Todas las parábolas tienen la misma abertura. Se trasladan verticalmente,
hacia arriba si c es positivo, y hacia abajo si c es negativo.
Escribe funciones con las siguientes características.
a) Una parábola que corte al eje X en x = 3 y x = 5.
b) Una parábola que corte al eje X en x =−2 y x = 1.
c) Una parábola que corte dos veces al eje X en x = 2.
d) Una función cúbica que corte al eje X en x =−3, x =−1 y x = 1.
e) Una función cúbica que corte al eje X dos veces en x = 2 y una vez en x =−1.
f) Una función cúbica que corte una vez al eje X en x = 5.
g) Una función polinómica de cuarto grado que corte al eje X en x =−1, x = 3,
x = 4 y x = 5.
h) Una función de cuarto grado que solo corte dos veces al eje de abscisas,
en x =−2 y en x = 5.
Respuesta abierta.
a) y = (x − 3)(x − 5) e) y = (x − 2) 2 (x + 1)
b) y = (x + 2)(x − 1) f ) y = (x − 5) 3
c) y = (x − 2) 2 g) y = (x + 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
d) y = (x + 3)(x + 1)(x − 1) h) y = (x + 2) 2 (x − 5) 2
Explica las diferentes situaciones que pueden producirse al determinar dónde corta
al eje X una función polinómica de cuarto grado.
Para determinar los puntos de corte con el eje X se iguala la expresión de
la función a cero. Entonces se obtiene una ecuación polinómica de cuarto grado
que puede tener como máximo cuatro soluciones. Por tanto, la función puede
no cortar el eje, o cortarlo una, dos, tres o cuatro veces, según el número de raíces
del polinomio.
X

043
044
045
046
3
3
3
Halla 110 por interpolación lineal, sabiendo que 64 = 4 y que 125 = 5.
5−4 1
y = 4 + ( x − 64 ) = 4 + ( x − 64 )
125 − 64
61
1
y = 4 + ( 110 − 64 ) = 4 , 754
61
⎛40⎞
⎛40⎞
Si
⎜ 9 880 ⎜
40
= . y ⎜ = 658.
008,
calcula utilizando la interpolación lineal.
⎝⎜
37⎠⎟
⎝⎜
35⎠⎟
36
Determínalo ahora con la calculadora y compara los resultados.
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
658. 008 − 9. 880
y = 9. 880 +
( x − 37 ) = 9. 880 −324.064(
x − 37 )
35 − 37
y = 9.880 − 324.064(36 − 37) = 333.944
⎛40⎞
⎜ = 91. 390
⎝⎜
36⎠⎟
Los resultados difieren en: 333.944 − 91.390 = 242.554
En un informe sobre población, el Ayuntamiento de una localidad ha presentado
estos datos.
Año 1950 1955 1965 1970 1975
Población 600 540 450 300 180
Observa que en la tabla no aparece la población de 1960. ¿Podrías estimarla?
2
600 = 1. 950 a + 1. 950 b + c⎫
⎪ −600
= 3. 802. 500
a + 1. 950 b + c⎫
⎪
2
540 = 1. 955 a + 1. 955b
+ c⎬
⎪ → − 660
= 19. 525 a + 5b
⎬
⎪
⎪
450 = + +
⎪
⎪
2 1. 965 a 1. 965b
c⎪
⎭⎪
− 150 = 58. 725 a + 15b
⎪
⎭⎪
− 600 = 3. 802. 500 a + 1. 950 b + c⎫⎪⎧
⎪ ⎪
a = 02 ,
− 60 = 19. 525a + 5b
⎬
⎪ → ⎨
⎪
b =−793
⎪
− 30 = 150
a
⎪
⎪
⎭⎪
⎩⎪
c = 786. 450
La función de interpolación cuadrática es: y = −0,2x 2 − 793x − 786.450
Para 1960: y = 490
En una ciudad se disputa una liga de baloncesto juvenil con 15 equipos. Cada equipo
juega dos veces contra cada uno de los otros. Cada victoria supone tres puntos;
cada empate, uno, y las derrotas, cero. Uno de los equipos ha tenido las siguientes
puntuaciones.
Jornada 3 6 8
Puntos 4 6 14
SOLUCIONARIO
a) ¿Qué puntuación podría tener en la jornada 5? ¿Y en la jornada 7?
b) La liga se acaba en la jornada 28. ¿Qué puntuación podemos esperar
para el equipo? ¿Es razonable el resultado?
6
231

232
Funciones elementales
047
⎧⎪
2
14
= 9a+ 3b+
c⎫
⎪
4 = 9a+ 3b+
c⎫
⎪
4 = 9a+
b+ c⎫⎪a
=
3 ⎪ ⎪
⎪ ⎪ 3
16
= 36a+ 6b+
c⎬
⎪→
2= 27a+ 3b
⎬
⎪→
2= 27a+ 3b
⎬
⎪ → ⎨
⎪ 16
⎪
14 = 64 + 8 +
⎪
⎪
a b c
⎭⎪
10 = 55 + 5
⎪
⎪
a b
⎭⎪
− =− a
⎪
⎪b
=−
20 30
⎪
⎭⎪
⎪ 3
⎪
⎩⎪
c = 14
2 2 16
La función de interpolación cuadrática es: y = x − x + 14
3 3
a) En la jornada 5: y = 4 puntos
Y en la 7: y = 9,3 puntos
b) En la jornada 28: y = 387,3 puntos
El resultado no es razonable porque los valores utilizados para calcular
la función de interpolación están muy alejados.
Los ingenieros de mantenimiento de una presa vigilan constantemente
la amplitud de las grietas que se dan en la construcción. Han comprobado
que la temperatura exterior influye sobre la amplitud de una de ellas y han recogido
los siguientes datos.
Temperatura (°C) 17 20 23 25
Amplitud (micras) 840 920 1.040 1.250
a) ¿Cuál será la amplitud esperada de la grieta con una temperatura de 21 °C?
¿Y con 12 °C? ¿Y si alcanza los 28 °C?
b) Si la grieta alcanzara las 3.350 micras, la situación debería ser considerada
peligrosa. ¿A qué temperatura exterior cabe esperar alcanzar esa amplitud?
La función de interpolación cuadrática es:
a) Para 21 °C: y = 955,5
Para 12 °C: y = 795,5
Para 28 °C: y = 1.328,9
b)
20 2 500 10. 280
x − x +
9 9 9
2
x
= 3. 350 → 2 x −50 x − 1. 987 = 0 →
La situación sería peligrosa con 46,4 °C o con −21,4 °C.
=
1.
840 = 289 a + 17 b + c⎫
⎪ 840 = 289 a + 17 b + c⎫
⎪
1.
920 = 400 a + 20 b + c⎬
⎪
→ 180 = 111a + 13b⎬
⎪
⎪
1. 040 = 529 a + 23b
+ c
⎪
⎪
⎭⎪
200 = 240 a + 16
b
⎪
⎭⎪
⎧⎪
20
⎪
⎪a
=
840 = 289 a+ 17 b+ c⎫⎪⎪
⎪ ⎪ 9
⎪
→ 880 = 111a + 13b
⎬
⎪
→ ⎨
⎪ 500
b =−
⎪
840 = 118
a
⎪ ⎪ 9
⎪⎭
⎪ 10. 280
⎪c
=
⎩⎪
9
y =
20 2 500 10. 280
x − x +
9 9 9
⎧
⎨
⎪ 46 , 4
⎩⎪ x =−21,
4

048
049
El año 2004 se creó en Internet la página web
de un instituto y se recibieron 1.420 visitas.
En 2005 se recibieron 2.930 visitas, mientras
que en el año 2006 tuvieron 8.020. ¿Cuántas
visitas deberían esperarse para 2008?
El director del instituto ha dado a conocer
que los datos relativos a 2007 son
de 10.050 visitantes. Calcula, con esta nueva
información, los datos esperados para el año 2008.
Explica la razón de obtener resultados
tan diferentes.
2
1. 420 = 2. 004 a+ 2. 004 b+ c⎫
⎪ 1. 420 = 4.
016. 016 a+ 2. 004 b+ c⎫
⎪
2
2. 930 = 2. 005 a + 2. 005b+
c⎬
⎪ → 1. 510 = 4. 014. 009 a+ 2. 004 b ⎬
⎪
⎪
2
8. 020 = 2. 006 a+ 2. 006 b+ c
⎪
⎪
⎪
⎭⎪
6.
600 = 401 . 8. 020 a+ 200 . 2b
⎪
⎭⎪
La función de interpolación cuadrática es:
y = 1.790x 2 − 7.174.600x + 7.189.231.180
Para 2008: y = 28.940 visitas
2
12.
930 = 2. 005 a + 2. 005b+
c⎫
⎪ 293 . 0 = 4. 020. 025a + 2. 005b+
c⎫
⎪
2
18.
020 = 2. 006 a+ 2. 006 b+ c⎬
⎪ → 5. 090 = 402 . 4. 011a
+ 200 . 5b
⎬
⎪
⎪
2
10. 050 = 2. 007 a+ 2. 007 b+ c
⎪
⎪
⎪
⎭⎪
7. 120 = 402 . 8. 024 a+ 200 . 2b
⎪
⎭⎪
La nueva función de interpolación cuadrática es:
y = −1.530x 2 + 6.141.920x − 6.163.908.420
Para 2008: y = 9.020 visitas
Los resultados son diferentes porque en la segunda extrapolación los datos
están más próximos al valor utilizado.
Encuentra las funciones cuadráticas que pasan por los siguientes puntos.
a) (0, −3), (1, −2) y (−4, −27) b) (1, −1), (−2, 23) y (3, 13)
a)
1. 420 = 4. 016. 016 a+ 2. 004 b+ c⎫⎪⎧
⎪
⎪
a = 1. 790
→ 1. 510 = 401 . 4. 009 a + 2. 004 b ⎬
⎪→
⎨
⎪b
=−7.
174. 600
⎪
3. 580 = 4. 014. 002
a
⎪
⎪
⎭⎪
⎩⎪
c = 7. 189. 231. 180
−2.
930 = 4. 020. 025a+ 2. 005b+
c⎫⎪⎧
⎪
⎪
a =−1.
530
→ −5.
090 = 402 . 4. 011a
+ 2. 005b
⎬
⎪ → ⎨
⎪ b = 6. 141. 920
⎪
− 3. 060 = 4. 020. 022
a
⎪
⎪
⎭⎪
⎩⎪
c =−6.
163. 908. 420
− 23
= + c⎫⎪
⎧
⎪
⎪ 1
− = + + ⎬
⎪ −21=
16 + 4 ⎫ ⎪
a =−
a b
2216a 4b
c → ⎬
⎪→
⎨b
= 2
⎪
− 27 = 16 a− 4 b+ c
⎪ − 24 = 16 a−4b⎭ ⎪
⎭⎪
c =−3
⎪
⎪
⎩⎪
La función de interpolación cuadrática es: y = −x 2 + 2x − 3
SOLUCIONARIO
6
233

234
Funciones elementales
050
051
b)
− 1=
4a+ 4b+
c⎫
⎪
−1=
4a+ 4b+ c⎫
⎪
− 1=
44a+
4 b+ c⎫⎪
⎧
⎪
⎪
a = 3
23 = 4 a− 2b+
c⎬
⎪ → 24 = 3a −3b
⎬
⎪ → 24 = 43
a −3b
⎬
⎪→
⎨
⎪b
=−5
⎪
13 = 9 a + 3b+
c
⎪
⎪
⎭⎪
14 = 8 a + 2b
⎪
⎪
⎭⎪
90 = 30 a
⎪
⎪
⎭⎪
⎩⎪
c = 1
La función de interpolación cuadrática es: y = 3x 2 − 5x + 1
A continuación puedes ver una parte de la tabla de tarifas de una empresa
de transporte de mercancías.
ENVÍOS A MADRID
10 kg = 22 euros
20 kg = 37 euros
25 kg = 42 euros
Utiliza la interpolación cuadrática para responder a estas preguntas.
a) ¿Cuánto me costará enviar a Madrid un paquete que pesa 12 kg?
b) Ayer envié otro paquete y me cobraron 29 euros y 50 céntimos.
¿Cuánto pesaba el paquete?
c) ¿Cuánto crees que puede costar enviar un paquete de 32 kg?
22 = 100 a + 10 b+ c⎫
⎪
22 = 100 a+ 10 b+ c⎫
⎪
37 = 400 a+ 20 b+ c⎪
⎬ → 15 = 300 a+ 10 b ⎬
⎪
⎪
42 = 625a + 25b+
c
⎪
⎪
⎭⎪
20 = 525a + 15b
⎪
⎭⎪
⎧⎪
1
⎪
a =−
22 = 100 a+ 10 b+ c⎫⎪⎪
⎪ ⎪ 30
⎪
→ 15 = 300 a+ 10 b ⎬
⎪→
⎨
⎪ 5
b =
⎪
− 1= 330
⎪ ⎪
a
⎪ 2
⎭⎪
⎪ 1
⎪ c =
⎩⎪
3
1 2 5 1
La función de interpolación cuadrática es: y =− x + x +
30 2 3
a) Si el paquete pesa 12 kg cuesta: y = 25,53 €
1 2 5 1
⎧
2
x = 14 , 51
b) − x + x + = 29 , 5 → − x + 75 x − 875 = 0 → ⎨
⎪
30 2 3
⎩
⎪
⎪x
= 6055
,
Según la tabla de tarifas, el paquete pesaba 14,51 kg.
c) Si el paquete pesa 32 kg cuesta: y = 46,20 €
¿Cuál es el dominio de estas funciones racionales?
a) fx ( ) =
7
( x + 7)( x − 4)
b) g( x)=
2x+ 3
2 x + 3x −10
a) R − {−7, 4} b) R − {−5, 2}

052
Observa la gráfica de la función y = .
x
9
Representa las siguientes funciones.
a) c) y =− e)
x
9
9
y =
x − 3
9
9
b) y = −3
d) y = f)
x
x + 2
a)
b)
c)
Y
2
Y
2
Y
2
2
2
2
Y
1
X
X
X
1
d)
e)
f)
y =
x
9
X
SOLUCIONARIO
9
y = + 2
x
9
y = −
x −1
Y
2
Y
2
Y
2
2
2
2
6
X
X
X
235

236
Funciones elementales
053
La gráfica de la función y = es:
x
3
Encuentra la relación que tienen estas funciones con la función y = y represéntalas.
x
3
x
a) . Ten en cuenta que: y = .
x x
+
+ = + x
4
3
y = 1
x
1 + 1
+ 4
+ 1
b)
c)
d)
x
y =
x
− 2 5
− 1
x
y =
x
− + 2 1
+ 1
x
y =
x
− − 5
+ 2
a)
b)
x
y =
x x
+
+ = + 4 3
1
1 + 1
x −
y =
x − x
= − 2 5 3
2
1 − 1
Y
2
Y
4
2
4
X
X
Y
1
1
c)
d)
y =
x
3
Y
2
x
y =
x x
− + 2 1 3
= − 2
+ 1 + 1
x
y =
x x
− −
+ =− − 5
3
1
2
+ 2
X
Y
2
2
2
X
X

054
055
056
057
Determina el dominio de estas funciones con radicales.
a) fx ( )= x + 7
c)
b) g( x)=− x +5
d)
a) Dom f = [0, +) c) Dom h = [−7, +)
b) Dom g = [0, +) d) Dom i = [−5, +)
Halla el dominio de las siguientes funciones con radicales.
a) fx ( )= 3 x−1
b)
a) Dom f = R
b) Dom g = (−, −3] ∪ [3, +)
¿Cuál es el dominio de estas funciones con radicales?
a) fx ( )=
7x
2 − x −5
b) g( x)=
3x−1 4 − x + 1
a) Dom f = [5, 9) ∪ (9, +) b) Dom g = [−1, 15) ∪ (15, +)
La gráfica de la función fx ( )= xes:
Obtén la expresión algebraica y representa las siguientes funciones.
a) f(x −2) c) 1 + f(x) e) −1 − f(x)
b) f(x + 3) d) −f(x) f) f(x) −2
a) fx ( − 2) = x−
2
b)
Y
1
1
Y
1
1
X
hx ( )= x+
7
i( x)=− x+5
g( x)= x − 4 81
f( x)= x
fx ( + 3) = x+
3
Y
1
SOLUCIONARIO
1
X
6
X
237

238
Funciones elementales
058
059
c) 1+ fx () = 1+
x
e)
Y
1
d) − fx () = − x
f)
Y
1
1
1
Con ayuda de la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la función
y = x + . Determina su dominio y su recorrido.
2 1
x −2 −1 0 1 2
f(x) 2,23 1,41 1 1,41 2,23
Dom f = R
Im f = [1, +)
A partir de la gráfica de la función y = x + , explica cómo harías
la representación gráfica de las siguientes funciones con radicales.
2 1
a) y = 1+ 2 x + 1
c) y = 1− 2 x + 1
b) y =− 2+ 2 x + 1
d) y = 2 x + 2x + 2
Y
2
X
X
2
−1− fx () = −1− x
f( x)− 2 = x − 2
a) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia arriba.
b) La función se desplaza verticalmente 2 unidades hacia abajo.
c) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia abajo.
d) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia arriba y se dibuja abierta
hacia abajo con la misma abertura.
Y
1
Y
1
X
1
1
X
X

060
061
062
063
Representa la gráfica de las funciones y = 2 x e y = 3 x .
A partir de ellas, razona cómo será la gráfica
de las funciones y = 5 x e y = 10 x .
Las gráficas de las funciones y = 5 x e y = 10 x
también son crecientes y pasan por
el punto (0, 1), pero su crecimiento es más
lento si x < 0, y es más rápido si x > 0,
cuanto mayor es el valor de la base.
Ayúdate de la calculadora y realiza una tabla
de valores para representar x
la función exponencial y = .
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
x −2 −1 0 1 2
f(x) 9 3 1 0,33 0,11
Representa las funciones e . A partir de las gráficas,
x
¿cómo serán las gráficas de las funciones e y = ?
⎛
x
⎜ 1 ⎞
y = ⎜
⎝⎜
10 ⎠⎟
⎛
y =
⎜ 1 ⎞
⎜
⎝⎜
5 ⎠⎟
⎛
⎜ 1 ⎞
y = ⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
Y
1
1
Esta es la gráfica de la función exponencial f(x) = 4 x .
x
f(x) = 4 x
X
x
Las gráficas de las funciones
x
e y = también son
decrecientes y pasan por el punto (0, 1),
pero su decrecimiento es más lento si x < 0,
y es más rápido si x > 0, cuanto menor
es el valor de la base.
⎛
x
⎜ 1 ⎞
y = ⎜
⎝⎜
10 ⎠⎟
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜
⎝⎜
5 ⎠⎟
Y
1
1
SOLUCIONARIO
X
Y
1
Y
1
1
1
6
X
X
239

240
Funciones elementales
064
Obtén la expresión algebraica y representa las siguientes funciones.
a) f(x −3) c) 4 + f(x) e) 2−f(x) b) f(x + 1) d) −f(x) f) f(x) −2
a) f(x − 3) = 4 x − 3 c) 4 + f(x) = 4 + 4 x
Y
1
b) f(x + 1) = 4 x + 1 d) −f(x) =−4 x
Y
1
1
1
e) 2 − f(x) = 2 − 4x f) f(x) − 2 = 4x − 2
Y
Y
1
A partir de la gráfica de la función , explica cómo harías la representación
gráfica de las siguientes funciones.
a) c)
x
y = x + 2
e) y = 3 ⎛
x
y =
−
⎞
⎜ 1
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
⎛
y =
−3
⎞
⎜ 1
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
b) y = 3 x
d) f) y =
a) La función se traslada horizontalmente 3 unidades hacia la derecha.
⎛
y = ⎜ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
x
−1
1
−1
X
X
X
x + 1
2−
x
x
b) y = =
La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría
de ambas.
⎛ ⎛
⎜ ⎞
⎜⎜
1
⎞ ⎛ x
⎛
⎜⎜
= ⎜ 1 ⎞ ⎞
⎜
3
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
x
Y
1
Y
1
1
1
1
1
X
X
X

065
066
c)
x x
y =
La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría
de ambas. Coincide con la anterior.
⎛
−
⎜ 1 ⎞ ⎛
⎜⎛
⎞
⎜ = ⎜⎜
1
⎞
⎝⎜
⎠⎟
⎜
⎟
⎜
3 ⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
3 ⎟⎠
d) La función se traslada horizontalmente 1 unidad hacia la izquierda.
e)
Primero se traslada horizontalmente 2 unidades hacia la izquierda y,
después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas.
x x
f) y =
Primero se traslada horizontalmente 2 unidades hacia la derecha y,
después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas.
⎛
x
x y = =
−1
2− ⎞ ⎛ −2
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎜
⎜ = ⎜⎜
1
⎞
⎝⎜
⎠⎟
⎜⎜
3 ⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
=
−
+
+ 2
1
1
⎛ +
⎛
2
1 ⎞ ⎞
⎜
3
⎜
⎜
3 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
−1
x 2
Con la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la función
logarítmica y = log 3 x.
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0,63 1 1,26 1,46
Y
1
Representa la gráfica de las funciones.
y = log 2 x y= log 3 x
Deduce, a partir de ellas, cómo será la gráfica de las funciones y = log 5 x e y = log x.
Y
1
1
1
−1
X
X
SOLUCIONARIO
Las gráficas de las funciones y = log 5 x e y = log x también son crecientes y pasan
por el punto (1, 0), pero su crecimiento es más rápido si 0 < x < 1, y es más lento
si x > 1, cuanto mayor es el valor de la base.
6
241

242
Funciones elementales
067
068
Representa las funciones y = log 1 x e y = log 1 x.
¿Cómo serán las gráficas de las funciones y = log 1 x e y = log 1 x?
Y
1
Las gráficas de las funciones y = log 1 x e y = log 1 x también son decrecientes
5
10
y pasan por el punto (1, 0), pero su decrecimiento es más rápido si 0 < x < 1,
y es más lento si x > 1, cuanto menor es el valor de la base.
Esta es la gráfica de la función logarítmica f(x) = log x.
Obtén la expresión algebraica y representa las siguientes funciones.
a) f(x −4) c) 4 + f(x + 1) e) 2 − f(x −2)
b) f(x + 3) d) −f(x) f) f(2 − x)
a) f(x − 4) = log (x − 4) c) 4 + f(x + 1) = 4 + log (x + 1)
Y
Y
1
1
1
b) f(x + 3) = log (x + 3) d) −f(x) =−log x
Y
Y
1
1
Y
1
1
2
X
X
X
3
5
f(x) = log x
1
1
1
1
10
X
X
X

069
070
e) 2 − f(x − 2) = 2 − log (x − 2) f) f(2 − x) = log (2 − x)
A partir de la gráfica de la función logarítmica y = log3 x, explica cómo harías
la representación gráfica de las siguientes funciones.
a) y = log3 3x c)
⎛
y = ⎜ 1 ⎞
log3 ⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
e) y = log 1 3x
3
b) y = log 1 x
d)
⎛ ⎞
y = log ⎜ 3
1 ⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
f)
⎛ x ⎞
y = log ⎜ ⎟
3
⎝⎜
9 ⎠⎟
a) y = log3 3x = 1 + log3 x
La función se traslada verticalmente 1 unidad hacia arriba.
b)
La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría
de ambas.
c) La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría de ambas.
Coincide con la anterior.
⎛
d) y = ⎜ 3 ⎞
log3⎜= 1−log3x
⎝⎜
x ⎠⎟
Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas
y, después, se traslada verticalmente1 unidad hacia arriba.
e)
f)
3
Y
1
1
y = log x = log − x
1
3
y = log 3x = log 3+ log x =− 1+ log −1
x
1
3
3 1
1
3
1
3
Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas
y, después, se traslada verticalmente 1 unidad hacia abajo.
⎛ x ⎞
y = log ⎜
3⎜= log3x−
2
⎝⎜
9 ⎠⎟
La función se traslada verticalmente 2 unidades hacia abajo.
Dibuja la gráfica de y = cos x y, a partir de ella, haz la gráfica de las siguientes
funciones.
a) y =−cos x c) y = 1 + cos x
b)
⎛
y = ⎜ π ⎞
cos ⎜x
+ ⎟
⎝⎜
⎟
2 ⎠⎟
d) y = cos (−x)
X
3
3
SOLUCIONARIO
Y
1
1
6
X
243

244
Funciones elementales
071
072
a)
b)
Dibuja la gráfica de y = sen x y, a partir de ella, haz la gráfica de estas funciones.
a) y =−sen x c) y =−2 + sen x
b)
⎛
y = ⎜ π ⎞
sen ⎜x
+ ⎟
⎝⎜
⎟
2 ⎠⎟
d) y =−sen (−x)
a)
b)
Y
1
Y
1
Y
1
Y
1
π
π
π
π
Realiza una gráfica y estudia las características de estas funciones.
y = sen 2x y= sen 3x
A partir de lo anterior explica cómo serán las gráficas de las funciones
y = sen 4x e y = sen 6x.
X
X
X
X
c)
d)
c)
d)
Y
1
Y
1
Y
1
Y
1
π
π
π
π
X
X
X
X

073
074
Las gráficas de las funciones y = sen 4x
e y = sen 6x tienen el mismo dominio
y recorrido y son periódicas,
pero el período es mayor cuanto mayor
es el valor por el que se multiplica
la variable independiente x.
Ayudándote de su gráfica, comprueba que estos pares de funciones no son iguales.
a) c)
b) y sen x
y tg
⎛ ⎞
= ⎜
⎟
⎝⎜
⎟
2⎠⎟ y =
sen x
2
x
= y
tg x
⎛
⎛ x ⎞
y = cos ⎜
⎟
⎝⎜
⎟
2⎠⎟ y =
cos x
2
⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
2⎠⎟ =
2
a)
b)
Y
1
Y
1
Y
1
π
π
π
X
Representa y estudia las características de estas funciones.
y = cos
x
2
y = cos
x
3
Y
Explica, a partir del estudio anterior, cómo
serán las gráficas de las siguientes funciones.
1
a) y = cos
x
5
b) y = cos
x
6
π
a)
x
La gráfica de la función y = cos tiene el mismo dominio y recorrido
5
y es periódica, pero el período es 10π.
x
b) La gráfica de la función y = cos tiene el mismo dominio y recorrido
6
y es periódica, pero el período es 6π.
X
X
c)
SOLUCIONARIO
Y
1
π
6
X
X
245

246
Funciones elementales
075
076
Utiliza la gráfica de y = tg x para construir las gráficas de las siguientes funciones.
a) y = tg (x +π) b) y = 1 − tg x
a)
A continuación puedes ver la gráfica de la función y = arc sen x.
−
Realiza las gráficas de las funciones.
a) y = 2 + arc sen x
b) y = 3 − arc sen x
⎛
c) y = arc sen⎜1⎞ ⎜x
− ⎟
⎝⎜
⎟
2 ⎠⎟
d) y = arc sen (x −1)
π
2
a)
b)
−1
−1
Y
π
Y
π
2
1
1
Y
1
−1
X
X
π
Y
π
2
X
y = arc sen x
1
b)
X
c)
d)
−1
Y
π
2
Y
π
2
1
1
Y
1
X
X
π
X

077
078
Esta es la gráfica de la función y = arc cos x.
Realiza las gráficas de las funciones.
a) y = 2 + arc cos x
b) y = 3 − arc cos x
⎛
c) y = arc ⎜ 1 ⎞
cos ⎜x
− ⎟
⎝⎜
⎟
2 ⎠⎟
d) y = arc cos (x −1)
a)
b)
−1
−1
π
2
Y
π
π
2
Y
π
x
La función cuya expresión algebraica es y = se llama función signo de x.
⏐⏐ x
Encuentra su expresión algebraica como una función definida a trozos.
a) ¿Cuánto vale si x = 3? b) ¿Y si x =−5? c) ¿Y si x =−3,4?
⎧ x >
fx ()= ⎨
⎪ 1 si 0
⎩⎪ − 1 si x < 0
1
1
X
X
a) f(3) = 1 b) f(−5) =−1 c) f(−3,4) =−1
Y
1
1
c)
d)
Y
π
π
2
−1
−1
y
−1
Y
π
π
2
x
=
⏐⏐ x
π
2
SOLUCIONARIO
Y
π
1
1
X
X
X
y = arc cos x
1
X
6
247

248
Funciones elementales
079
080
Representa y describe las características de las siguientes funciones.
a) Dom f = R Im f = R
La función es creciente en
(−, 2) ∪ (2, +).
No es continua en x = 2, y este es un punto
de discontinuidad inevitable de salto finito.
No tiene asíntotas.
No es simétrica ni periódica.
b) Dom g = R Im g =
La función es creciente en ∪ (3, +)
y es decreciente en .
Tiene un mínimo absoluto en x = .
No es continua en x = 3, y este es un punto de discontinuidad evitable.
No tiene asíntotas. No es simétrica ni periódica.
3
⎛ ⎞
⎜
⎜−
,
⎝⎜
⎠⎟
2
3
3
2
2
3 ,
a)
⎧ x +
fx ( )= ⎨
⎪2
1
⎩⎪ x−5 si x < 2
si x ≥2
b)
⎧ 2 ⎪ x − 3x g( x)=
⎨
⎪6
⎪
⎩⎪
− x + 3
si x < 3
si x = 3
si x > 3
c)
⎧ ⎪
6
hx ( )=
⎪
⎨
⎪
x −1
⎪
⎩⎪
2x + 1
si x < 2
si x ≥2
Y
2
2
⎡ 9 ⎞
⎢−
, +
⎣
⎢ 4 ⎠⎟
Y
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
1
1
c) Dom h = R − {1} Im h = (−, 0) ∪ [6, +)
Y
La función es decreciente
en (−, 1) ∪ (1, 2) y es creciente en
(2, +).
2
Tiene un mínimo relativo en x = 2.
No es continua en x = 1, y este es
un punto de discontinuidad inevitable
de salto infinito.
2
Tiene una asíntota vertical en x = 1 y una asíntota horizontal en y = 0.
No es simétrica ni periódica.
Escribe como funciones definidas a trozos.
a) y = ⏐x + 2⏐ b) y = ⏐12 −3x⏐
a)
⎧ x +
f( x)=
⎨
⎪ 2
⎩⎪ −x− 2
si
si
x ≥−2
x 4
X
X
X

081
082
083
Observa la gráfica de la función y = x 2 − x −6.
Realiza la gráfica de y = ⏐x 2 − x −6⏐.
Representa la función.
⎧ 2 ⎪
⎪⏐x
+ 3x⏐ si x −1
Estudia el valor que toma la función en los puntos próximos a −1,
completando las tablas.
Describe lo que le sucede a la función en las proximidades de −1.
Por la izquierda de −1 los valores de la función se acercan a 2,
y por la derecha se acercan a 4.
Escribe como una función definida a trozos y representa las funciones.
a) y = ⏐x2 −4x −5⏐ c) y = ⏐2x2 −7x + 3⏐
b) y = ⏐x2 −4x + 5⏐
d) y = ⏐−x2 + 4x −5⏐
a)
Y
1
1
y = x 2 − x − 6
Izquierda de −1 −2 −1,5 −1,1 −1,05
f(x) 2 2,25 2,09 2,0475
Derecha de −1 0 −0,5 −0,9 −0,95
f(x) 3 3,5 3,9 3,95
⎧ 2 x − x − x ≤− , x ≥
f( x)
= ⎨
⎪ 4 5 si 1 5
2
⎪⎩
− x + 4x + 5 si − 1< x < 5
X
Y
1
1
SOLUCIONARIO
X
2
Y
2
6
X
249

250
Funciones elementales
084
085
b)
c)
d)
Expresa como una función definida a trozos.
a) y = ⏐x⏐ + ⏐x + 2⏐
b) y = ⏐x + 1⏐ −⏐1 − x⏐
c) y = ⏐x −1⏐ −⏐1 − x⏐
d) y = ⏐2x + 1⏐ −⏐2 − x⏐
a)
b)
Y
1
⎧
⎪
2
1
⎪2x
− 7x + 3 si x ≤ , x ≥ 3
f( x)
= ⎪
⎨
2
⎪ 2
1
⎪−
2x + 7x − 3 si < x < 3
⎩⎪
2
Y
1
1
⎧ ⎪
−2x − 2 si x ≤−2
f( x)=
⎪
⎨ 2 si − 2 < x ≤ 0
⎪
⎩⎪
2x + 2 si x > 0
⎧ ⎪
−2 si x ≤−1
f( x)=
⎪
⎨ 2x si − 1< x ≤1
⎪
⎩⎪
2 si x > 1
1
c) f(x) = 0
El número de alumnos afectados por una epidemia de gripe se obtiene a partir
de la función:
30x
fx ( )=
x + 2
siendo x el número de días transcurridos desde el comienzo de la epidemia.
a) ¿Cuántos afectados hubo el primer día?
b) ¿En qué momento el número de afectados fue 15?
c) Representa la función y comprueba los resultados que has obtenido en
los apartados anteriores.
X
X
d)
Y
1
⎧ ⎪
1
⎪−x
− 3 si x ≤−
⎪
2
f( x)=
⎪
⎨
1
⎪
3x −1 si − < x ≤ 2
⎪
2
⎩
⎪ x + 3 si x > 2
1
X

086
087
a) f(1) = 10 afectados
b)
30x
x + 2
15 30x 15x 30 15x 30 x 2
Hubo 15 afectados dos días después del comienzo de la epidemia.
= = + = =
→ → →
c)
Un capital de 5.000 €
está depositado en un banco,
y produce un interés
anual del 2 %.
a) ¿Cuánto dinero hay
al cabo de un año?
b) ¿Y a los dos años?
c) ¿Y a los n años?
a) 5.100 € b) 5.202 € c) C = 5.000 · 1,02 n
La tabla recoge el interés que ofrece un banco al ingresar dinero durante un año.
a) Representa la función que determina el interés obtenido dependiendo del dinero
que se ingresa. ¿De qué tipo de función se trata?
b) Si se ingresan 1.800 €, ¿cuánto dinero tendré al final del año?
c) ¿Y si ingreso 500 €?
a)
Y
5
500
Y
20
2
Dinero (€) Interés (%)
Hasta 1.000 5
De 1.000 a 2.500 10
De 2.500 a 5.000 15
Más de 5.000 20
Se trata de una función definida a trozos.
X
X
SOLUCIONARIO
b) 1.800 · 1,1 = 1.980 €
c) 500 · 1,05 = 525 €
6
251

252
Funciones elementales
088
089
En una oficina se está elaborando un estudio sobre siniestralidad laboral
y se tiene que:
a) Calcula, de modo aproximado y utilizando la interpolación, el número
de siniestros esperables en una empresa de 30 trabajadores.
b) ¿Cuántos siniestros cabe esperar en una empresa que tiene 900 empleados?
c) Una empresa tuvo el año pasado 24 siniestros. Estima el número
de sus empleados.
d) Una empresa con 84 empleados tuvo 6 siniestros durante el año pasado.
¿Era un número esperable? ¿Es mayor o menor de lo esperado?
a)
N. o de trabajadores 50 500 1.000
N. o de siniestros 4 20 35
24= 125 . 2. 500 a+ 10 . 50 b+ c⎫
⎪
24 = 1.
22.
500 a+ 250
b+ c⎪⎫
⎪
20 = 1. 250. 000 a+ 1.
500 b+ c⎬
⎪ → 16 = 247. 500 a + 450 b ⎬
⎪
⎪
35 = 1. 000. 000 a+ 1. 000 b+ c
⎪
⎪
⎭⎪
31 = 997. 500 a + 950b
⎪
⎭⎪
−1.
224 = 213. 242. 500 a+ 450
b+ c⎫⎪⎧
⎪
⎪
a =−0,
0000058
→ −1.
216 = 213.
247. 500
a+ 450 b ⎬
⎪ → ⎨
⎪ b = 0 , 039
⎪
− 1. 250 = 213. 750. 000 a
⎪
⎪
⎭⎪
⎩⎪
c = 2, 076
La función de interpolación cuadrática es:
y =−0,0000058x 2 + 0,39x + 2,076
Si en una empresa hay 30 trabajadores: y = 3,24 siniestros
b) Si hay 900 empleados: y = 32,48 siniestros
c) 0,0000058x 2 + 0,39x + 2,076
⎧
2
x = 624 , 23
→ − 0 , 0000058 x + 0 , 039 x − 21, 924 = 0 → ⎨
⎪
⎩
⎪
⎪x
= 60 . 05, 77
Dados los datos de la tabla, la empresa tendrá 624 empleados.
d) Si la empresa tiene 84 empleados se esperan: y = 5,31 siniestros
Si hubo 6 siniestros este número es solo una unidad mayor
que el número esperado así que la estimación es bastante aproximada.
Encuentra las funciones inversas de estas funciones.
a) y = 3x −1 f) y = ln (x + 3)
b) g) y = 3 + 4 ⋅ 5x c)
d)
y = sen 2x
tg x
y =
h)
i) y = ⏐x −1⏐
e) y = arc cos (x −2) j) y = x
+ 1
2
x
y = + 1
y = x
log3 5
a) y = x − y + = x x =
y
f x
x
b) y = x 2 −1
2
→ x = y → f ( x) = x
+
= +
3 1→ 1 3 →
1 −1
→ ( )
3
1
3

090
x
y
h) y = y x x y x f
+
= + = − = −
x x y
y
g) y = + = x
f
1 log3
5 1 −1 5x−1 5 1 log3 → log3
5 1→ 3 → ( x)
= 3
5
− 3
⎛ −
= ⎜ 3 ⎞ −
3 4 · 5 → 5 → log5⎜→
4
⎝⎜
4 ⎠⎟
1
d)
tg x
y = y tgx x arctg y f x ar
e) −1
y = arc cos ( x − 2) → cos y = x − 2 → x = 2 + cos y → f ( x)
= 2 + cos x
f) y y −1
x
y = ln(
x + 3) → x + 3 = e → x = e − 3 → f ( x) = e − 3
⎛ x − 3 ⎞
( x)
= log⎜
5 ⎜
⎝⎜
4 ⎠⎟
+
c)
arc sen y −1
arc sen
x
y = sen 2x→ 2x=
arc sen y → x = → f ( x)
=
2
2
1
−1
→ 2 − 1= → = ( 2 − 1) → ( ) = ctg ( 2x−1) 2
i)
⎧ x −
f( x)=
⎨
⎪ 1
⎩⎪ − x + 1
si
si
x ≥1
x < 1
y = x − 1→x = y + 1 ⎫
x
⎬
⎪
⎧
−1
+ 1
→ f ( x)
= ⎨
⎪
y =− x + 1→x =− y + 1⎭⎪⎩⎪
− x + 1
si
si
x ≥ 1
x < 1
j) y = x → x = y → f −1 (x) = x
Una granja de caracoles ha ajustado sus gastos de producción por x kilogramos
de caracoles según la función:
Sus ingresos se rigen por la fórmula:
Averigua cuál es el número de kilogramos de caracoles con el que se obtiene
el beneficio máximo.
Los beneficios de la granja se obtienen a partir de la función:
1 2 f( x) = 8. 000 + 2x
− x +
1. 000
1 2
= 6. 000 + 2x
− x
1. 000
1 3 x − 2. 000 −
200. 000
1 3 x =
200.
000
Se trata de una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola.
Al ser el coeficiente de x 2 un valor negativo la parábola está abierta hacia abajo.
Entonces la función alcanza su máximo en el vértice de la misma:
b
x =− =
2a
1
Gx ( ) = 2. 000 +
x
200. 000
1
1
I( x) = 8. 000 + 2x
− x +
x
1. 000 200. 000
2. 000
kg
3
2 3
SOLUCIONARIO
6
253

254
Funciones elementales
091
092
093
Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales
110
tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula: P = 1 + t ∈ ( 0, 30)
2 t + 10
donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días
transcurridos desde el tsunami.
a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día?
b) ¿Y cuántas habrá al cabo de tres semanas?
c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2.000 camas,
¿hasta qué día estuvo desbordada la capacidad?
a) 11.000 personas
b) 1.243 personas
c) 1 +
110
2 t + 10
2 2 2
= 2 → t + 120 = 2t + 20 → t − 100 = 0 → t = ± 10
Como el número de personas hospitalizadas decrece según el número de días
la capacidad de hospitalización estuvo desbordada hasta el décimo día.
La evolución de una población viene determinada por la función P(t) = 100 ⋅ 2t ,
y la de los alimentos que necesitan sigue la función A(t) = 1.000t + 1.000.
a) ¿Cuánta población había al principio? ¿Y alimentos?
b) ¿Y después de 2 años?
c) ¿A partir de qué año la población tendrá menos alimentos de los que son necesarios?
a) P(0) = 100 A(0) = 1.000
b) P(2) = 400 A(2) = 3.000
c)
1.000
PARA FINALIZAR...
Razona para qué valor de x se hace mayor la diferencia x −⏐x⏐.
2 + 1
Y
3
Y
1
2
X
X
A partir del sexto año.
La diferencia alcanza el mayor valor
para x = 0.

094
095
096
La función f(x) está formada por cuatro
segmentos.
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f[f(x)] = 6?
Como f(1) = f(−2) = 6, las soluciones
de la ecuación son los valores para los
que las ordenadas son iguales a 1 y a −2.
En total hay seis puntos que cumplen
estas condiciones, es decir, la ecuación
tiene seis soluciones.
Calcula los valores máximo y mínimo (extremos absolutos) que puede alcanzar
la función f(x) =⏐1 − x 2 ⏐en el intervalo [−2, 2].
En el intervalo [− 2, 2], el máximo valor es 4, ya que los puntos
x = 2 y x =−2 son los máximos absolutos, y el mínimo valor es 0,
porque los puntos x = 1 y x =−1 son los mínimos absolutos.
¿Cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el intervalo [−π , π]?
a) e x = 2 − x2 b) ln x =−x c)
x
sen x =
2
a)
b)
Y
Tiene dos soluciones.
Y
Tiene una solución.
1
y = 2 − x 2
2
1
Y
2
1
y = ln x
y = e x
y = –x
X
X
X
B(−2, 6) C(1, 6)
A(−7, −4)
SOLUCIONARIO
Y
2
2
D(5, −6)
6
X
255

256
Funciones elementales
097
c)
y = sen x
y
x
= 2
Tiene tres soluciones.
Y
1
Las manecillas de un reloj miden 20 y 30 cm. Entre las 12 horas y las 12 horas y 30 minutos:
a) Expresa el ángulo que forman en función del tiempo, t, medido en minutos.
b) Halla el área del triángulo creado al unir sus extremos en función de t.
¿Puede tomar el valor cero? ¿A qué hora alcanza su mayor valor?
c) Expresa la distancia entre los extremos de las agujas en función de t.
a) Como la manecilla que marca las horas tarda 12 horas en completar una vuelta
(2π radianes), su velocidad es:
v h =
2π
720
=
π
360
rad/min
Análogamente, la velocidad de la otra manecilla es:
vm =
2π
=
60
π
rad/min
30
El ángulo que forman ambas manecillas es la diferencia entre los ángulos
recorridos por cada una, en función del tiempo t transcurrido:
α =
π
t −
30
π 11π
t = trad
360 360
⎛ ⎞
b) A =
sen ⎜ t sen
⎝⎜
⎠⎟
=
1
11π
11π
· 20 · 30 ·
300
2 360
360 t
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
π
Esta función se anula si el ángulo mide kπ radianes, con k ∈ Z. En el intervalo
de tiempo dado esta condición solo se cumple a las 12 horas (α=0).
Como el mayor valor de la función seno se alcanza cuando el ángulo mide
π
radianes, hay que calcular a qué hora el ángulo formado tiene esta amplitud:
2
11π
π
t = → t = 16, 36
360 2
El área es máxima a las 12 horas y 16,36 minutos.
c) Por el teorema del coseno, la distancia entre las agujas es:
X
d =
⎛ ⎞
+ −
⎜ t
⎝⎜
⎠⎟
=
2 2 11π
20 30 2 · 20 · 30 · cos
360
⎛ 11 ⎞
13 . 00 − 1 200 ⎜
⎝⎜
360 ⎠⎟
1
10 13 12
=
π
. cos t
⎛ 1π
⎞
= − cos ⎜ t
⎝⎜
360 ⎠⎟

098
La temperatura media diaria, medida en grados Celsius, en una ciudad,
durante el año pasado, viene dada por la siguiente función.
5 ⎡
2 ⎤
T = ⎢13
− 23 cos t − 32 ⎥
9 ⎣⎢
365 ⎦⎥
π ( )
donde t es el tiempo en días, correspondiendo t = 1 al 1 de enero, y el ángulo está
medido en radianes. Halla la temperatura correspondiente a los días 1 de enero
y 10 de agosto. Calcula las temperaturas máxima y mínima del año.
Para calcular la temperatura del 1 de enero: t = 1 → T = −3,77 grados
Para calcular la temperatura del 10 de agosto: t = 222 → T = 19,89 grados
Como en la expresión dada, el coseno del ángulo está multiplicado por un número
negativo, la función alcanza el máximo si su amplitud es de π radianes.
2π
( t − 32) = π → t = 214, 5 días
365
Por tanto, la temperatura máxima es: T = 20 grados
Análogamente, la función alcanza el mínimo si dicho ángulo mide 0 radianes.
2π
( t − 32) = 0 → t = 32
365
Así, la temperatura mínima es: T = −5,55 grados
SOLUCIONARIO
6
257

258
7
Límite de una función
Límite de una función
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
El ocho
SOLUCIONARIO1
Sharrif iba sacando los libros [de mi bolsa] y ordenándolos en una
pila sobre el escritorio mientras leía cuidadosamente los títulos.
–Juegos matemáticos de ajedrez... ¡ah! ¡Los números de Fibonacci! –exclamó,
con esa sonrisa que me hacía sentir que tenía algo contra mí.
Señalaba el aburrido libro de Nim–. ¿De modo que te interesan las
matemáticas? –preguntó, mirándome con intención.
–No mucho –dije, poniéndome en pie y tratando de volver a guardar
mis pertenencias en la bolsa. [...]
–¿Qué sabe exactamente sobre los números de Fibonacci? [...]
–Se usan para proyecciones de mercado –murmuré–. [...]
–¿Entonces no conoce al autor? [...] Me refiero a Leonardo Fibonacci.
Un italiano nacido en Pisa en el siglo XII, pero educado aquí, en Argel.
Era un brillante conocedor de las matemáticas de aquel moro famoso,
Al-Kwarizmi, que ha dado su nombre a la palabra «algoritmo». Fibonacci
introdujo en Europa la numeración arábiga, que reemplazó a los
viejos números romanos...
Maldición. Debí haber comprendido que Nim no iba a darme un libro sólo
para que me entretuviera, aun cuando lo hubiera escrito él mismo. [...]
Permanecí leyéndolo casi hasta el amanecer y mi decisión había resultado
productiva, aunque no sabía con certeza cómo. Al parecer, los números
de Fibonacci se usan para algo más que las proyecciones del mercado
de valores. La resolución de un problema había llevado a Fibonacci a formar
esta interesante sucesión de números empezando por el uno y sumando
a cada número al precedente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... [...] Descubrió
que los cocientes entre cada término y el anterior se aproximan al
número 1 + 5
y que este número describía también la estructura
2
de todas las cosas naturales que formaban una espiral.
KATHERINE NEVILLE
Los números de Fibonacci aparecen con frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo, el número
de espirales de los girasoles o de las piñas es siempre uno de estos números.
Además, como se dice en esta novela, al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci
entre el anterior, se obtiene una nueva sucesión de números que se aproximan
1+ 5
cada vez más al número de oro: . Aunque no la descubrió Fibonacci, esta propiedad
2
es verdadera. Compruébala tú mismo.
La sucesión que se obtiene al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el anterior es:
a1 = 1
a3 =
3
= 15 ,
2
a5 =
8
= 16 ,
5
21
a7 = = 1, 615…
13
a2 = 2 a4 =
5
3
= 1,6
13
a6 = = 1, 625
8
a8 =
34
= 1, 619…
21
1+ 5
Estos valores se aproximan a: = 1, 618…
2

001
002
003
004
001
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Escribe los términos 14, 123 y 2.345 de estas sucesiones.
a) b)
n
an
=
n
a) a14 = 156 a123 = 14.762 a2.345 = 5.491.992
18
b) a14 =
29
127
a123 =
247
2. 349
a2.345 =
4. 691
+
2 an = n − 3n+ 2
4
2 + 1
Factoriza este polinomio: P(x) = 7x 5 + 14x 4 −35x 3 − 42x 2
P(x) = 7x 2 (x − 2)(x + 1)(x + 3)
Simplifica estas fracciones algebraicas.
a)
2 x + 2x + 1
x( x + 1)
c)
2 2 x ( x − 4 )
b) d)
x( x−2)
a)
b)
c)
d)
2 2
x + 2x + 1 x + 1 x 1
=
x x + 1 x x + 1 x
= +
( )
( ) ( )
2 2 2
x ( x − 4 ) x ( x + 2)( x −2)
=
= x( x + 2)
x( x − 2)
x( x − 2)
y ( x − 4x + 4)
y ( x − 2)
=
x( x − 2)
x( x − 2)
2 2 2 2 2
2 2
( x −9)( y −16)
xy( 2x− 6)( y + 4)
Resuelve estas operaciones y simplifica el resultado.
a) b) ( 2x−2) −
x 1
3x
−
2 x − 3x + 1
( x + 1)
−
x −1
2 2 2
x − 3x + 1 x −1− x + 3x −1
3x−2 a) ( x + 1)
−
=
=
x − 1
x − 1
x − 1
2 2
x 1 6x 6x x 1 6x 7x 1
b) ( 2x−2) −
3x
3x
3x
− − − + − +
=
=
ACTIVIDADES
Obtén el término general de estas sucesiones.
3 1 −1−3 a) … b) , , , , …
1 4 9 16
3 7 11
, , ,
5 15 45
4n−1 a) an
=
b) a
n−
5⋅3 1
2
2 2 y ( x − 4x + 4)
x( x−2)
2 2
( x −9)( y −16)
2
xy ( 2x− 6)( y + 4)
y ( x − 2)
=
x
n =
− 2n+ 5
2 n
SOLUCIONARIO
( x + 3)( x − 3)( y + 4)
( y − 4 ) ( x + 3)( y −4)
=
=
2
2xy( x − 3)( y + 4)
2xy( y + 4)
7
259

260
Límite de una función
002
003
004
005
006
007
Con tu calculadora, halla los cinco primeros términos de la sucesión recurrente
an
=
an−1
+ 3
, siendo a1 = 1, y determina el número al que se aproxima.
a + 1
5
7
19
a1 = 1 a2 = 2 a3 = = 1,6 a4 = = 175 , a5 = = 1,72
3
4
11
Los términos de la sucesión se aproximan a:
Con ayuda de tu calculadora, halla el límite de las siguientes sucesiones.
a) b) an = n 2
an n = − c)
2 3
an = n − n d) an n = 02 ,
+ 2 4 ( 1) a) lim an
= 1 b) lim an
=+ c) lim an
=−
d) lim a
Escribe sucesiones de números reales que cumplan que su límite, cuando n
tiende a infinito, es:
a) lim an
= 3 b) lim an
=−
c) lim an
=+ d) lim an
n→
Respuesta abierta.
a) b) c) an = n + d)
2 an
=
3n
n + 1
an = 4 − n
3
Calcula estos límites de sucesiones.
a)
3 lim n
b) lim n
c)
3 4 lim n
d)
n→
n−1
n→
3 3 4
n
a) lim n =+ b) lim n =+ c) lim n =+ d) lim 05 , = 0
n→
n→
n→
n→
n→
Halla los límites de las sucesiones cuyos términos generales son los siguientes.
a)
8 n
2 2n + 3n−1 b)
10 ( n −1)
10 ( n + 2)
8 n
( n − 1)
a) lim
= 0
b) lim
n→
2 2n + 3n− 1
n→
( n + 2)
Halla los siguientes límites.
a) lim
c)
n ⎛ 2
4
3 −1 4n⎞
⎜ ⋅
n→ 3
4
⎝⎜
n 2n+ 3⎠⎟
b) lim
d)
n2
+ 7
ln
n→ 2 n
n→
lim
n ⎛
⎜ + 1 n −1⎞
⎜ −
n→ ⎝⎜
n −1 n + 1⎠⎟
a) c)
b) d)
⎛ n + n − ⎞
lim ⎜ −
n→⎝⎜
n − n + ⎠⎟
=
lim ln
1 1
0
1 1
n
lim
n→
2 3n+ 1
2 n + n+
2
3
2 + 7
2n
=+
=
⎛ 2 n
lim ⎜ 3 − 1
⎜ ⋅
n→
3 ⎝⎜
n
4 4n⎞
0
4 2n+ 3⎠⎟
=
n→
lim
n→
3 = 1, 732…
n→
n→
10
10
2 3n+ 1
2 n + n+
2
= 1
n→
n
n→
n
an = − + 1 ( 1) lim
n→
05 ,
n→
no existe
n
= 0

008
009
010
011
Calcula estos límites.
a) lim
c)
b)
3 2n+ 1
lim ln
n→
3 2 n + n
d)
n4
+ 1
n→ 4 2n+ 1
3 n
3 3n n 1
+
⎛
⎜
⎝⎜
− ⎞
+ + ⎠⎟
a) c)
b)
3 2n+ 1
lim ln 0
n→
3 2n
+ n
d)
=
4
3
n + 1
n
lim
n→
4
3
2n+ 1 3n n 1
1
6
+
⎛
− ⎞
⎜
⎝⎜
+ + ⎠⎟
=
SOLUCIONARIO
Explica por qué no son indeterminaciones.
a) ⋅ b) c) d) 1
0
0
a) El producto de valores muy grandes resulta un valor aún más grande.
b) Al dividir cero entre cualquier número distinto de él, el resultado es cero.
c) El cociente de un valor muy grande entre un número muy próximo a cero
es un valor aún más grande.
d) Cualquier número elevado a uno es el mismo número.
Pon ejemplos de límites que produzcan indeterminaciones de los tipos.
a) 0 ⋅ b) 1
c) 0 d) 00 Respuesta abierta.
a)
n
⎛ 1 ⎞
lim ⎜ n
n→
⎝⎜
4 ⎠⎟
c)
1
lim ( n − 4 ) n
n→
ln
2 n
⎛
⎛ 1 ⎞
b) lim ⎜ n + 1⎞
⎜
d) lim ⎜
n→
n→
2
⎝⎜
n − 1⎠⎟
⎝⎜
n ⎠⎟
Calcula los siguientes límites, resolviendo las indeterminaciones que puedan presentar.
a) lim
n→
n + n
n
b) lim
n→
n+ n+1
2 n
3
a)
lim
n→
lim
n→
n + n
→
n
3
3
n + n
= 0
n
n+ n+1
b) lim
→
n→
2n
n+ n+
1 1
lim
=
n→
2n
2
lim 9
n→
lim 01 ,
n→
2 n + 1
2 2n
n + 1
2 n
2
lim 9 2n
= 3
n→
2
lim 01 , n = 1
n→
2 n + 1
n+
1
1
n
7
261

262
Límite de una función
012
013
014
¿Presentan indeterminaciones del tipo estas sucesiones?
En caso afirmativo, halla el límite.
a) lim
n→
2 5 −n
n
b) lim
n→
3 2 5 −n
n
a) No es una indeterminación, porque la raíz cuadrada no está definida
para valores grandes de n.
3 2
5 − n
b) Es una indeterminación del tipo : lim
n→
n
= 0
Calcula los siguientes límites.
a)
3
2
n + 2n+ 1 n
lim
n→
2 2n−1 n 1
b)
− ⎛
⎞
⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
a)
b)
Halla estos límites.
a)
b)
c)
lim ( 2 2
n −4 − n −3n)
n→
2
lim 2n− n + 5
n→
2 2
lim n + 7 + 3n+
n
n→
a)
b)
⎛ 3
2
n + 2n+ 1 n ⎞
lim ⎜
− → − n→
2 ⎝⎜
2n−1 n − 1⎠⎟
⎛ 3
2
n + 2n+ 1 n ⎞
lim ⎜
− lim
n→ 2 ⎝⎜
2n−1 n − 1⎠⎟
n→
=
4 3 2
−n − n + 3n − n−1
=−
3 2 2n −2n − n+
1
4
3
n
n 2
lim
→
n→
2 n + 1 n
+ − +
⎛
⎞
⎜
−
⎝⎜
⎠⎟
4
3 3
n
n 2 n 2
lim lim
n→ 2 n + 1 n
n→
+ − +
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
2 − + n + 2
=−1
3 n + n
( )
( )
lim ( 2 2
n −4 − n −3n)
→ − n→
lim ( 2 2
n −4 − n −3n)=
lim
n→ n→
lim ( 2 2n− n + 5)
→ − n→
2
lim ( 2
3n5 3
2n− n + 5)=
−
lim
=
n→ n→
2 2 4n + n + 5 4
c) lim ( 2 2
n + 7 + 3n
+ n)=+
n→
4
3
n
n 2
lim
n→ 2 n + 1 n
+ − +
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
3n−4 3
=
2 2
n − 4 + n −3n
2

015
016
017
018
Calcula los siguientes límites.
a)
n
1
lim 1
n→
n
b)
5 ⎛ ⎞
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
a)
b)
Halla estos límites.
a)
n
⎛ 5 ⎞
lim ⎜
⎜1+
n→
⎝⎜
n ⎠⎟
b)
⎛ 5 ⎞
a) lim ⎜
⎜1+
→ 1
n→
⎝⎜
n ⎠⎟
b)
Halla los siguientes límites.
a)
3
⎛ x
lim ⎜ 2 ⎞
⎜
x →+ ⎝⎜
x −1⎠⎟
b)
⎛
a) lim ⎜ 2x
⎞ 3
⎜ = 2 = 8 b)
x→+
⎝⎜
x −1⎠⎟
Calcula estos límites.
a) lim
b)
x
x
⎛
⎜ + 1 ⎞
⎜
x →+ ⎝⎜
3x+ 3⎠⎟
a)
b)
⎛ 1 ⎞
lim ⎜
⎜1+
n→
⎝⎜
n ⎠⎟
⎛ 1 ⎞
lim ⎜
⎜1−
n→
⎝⎜
n ⎠⎟
⎛ 3 ⎞
lim ⎜
⎜1+
n→
⎝⎜
2n
⎠⎟
⎛ x + ⎞
lim ⎜
→+ ⎝⎜
x + ⎠⎟
=
1
0
3 3
x
⎛ 2
lim ⎜ x + 2 x ⎞
⎜
→ + ⎝⎜
2 x + 1 ⎠⎟
→ 1
x
⎛ 2
x ⎡
x + x ⎞
x
lim ⎜ 2 ⎛ 2 − 1⎞
⎢⎛
⎜ = lim ⎜1+
1
→+ ⎝⎜2 x + 1 ⎠⎟
⎜
= lim ⎢⎜
+
x →+
2 ⎝⎜
x + 1⎠⎟
⎜
x → + ⎢⎜
⎢ ⎜
⎢⎜
⎣⎝
1 ⎞
2 x + 1
2x−1 ⎠⎟
x
x
n
5
2n
3
n
3n−2 3
→ 1
→ 1
x
→ 1
x
⎛ ⎞
lim ⎜
⎜1−
n→
⎝⎜
n ⎠⎟
⎛ 3 ⎞
lim ⎜
⎜1+
n→
⎝⎜
2 n ⎠⎟
⎛ 2 x + x
lim ⎜ 2 ⎞
⎜
→+ ⎝⎜
2 x + 1 ⎠⎟
x
⎛ 1 ⎞ 3
lim ⎜
1
⎜1−
lim 1
n→⎝⎜n⎠⎟
n→
n
= + ⎡
⎢⎛
⎞
⎜
⎢⎜
⎝⎜
− ⎟
⎣⎢
⎠
lim
x →+
n
1 3
2
4
( 3x + 1)
x
( x −6)( 2x −1)
2 3
lim
n
2n
x→+
3n−2
4 ( 3x + 1)
x
( x −6)( 2x−1) 2 3
x
SOLUCIONARIO
1
5 1
5
⎛ 1 ⎞ ⎡
5 ⎛ 1 ⎞ ⎤
lim ⎜
⎜1+
= lim
⎢⎜1+
⎥
n→⎝⎜n⎠⎟
⎢⎜
n→
⎝⎜
n⎟⎥
⎣⎢
⎠ ⎦⎥
=
n
e
− −
2
n 3 2
−
3
n ⎡
n ⎤
⎛ 5 ⎞ ⎢⎛
1 ⎞ 5 ⎥
lim ⎜
⎜1+
= lim ⎢⎜1+
n→⎝⎜n⎠⎟
⎜ ⎥ = e
n→⎢⎜
⎢⎜
n ⎥
⎜ ⎥
⎝⎜
5 ⎠⎟
⎣
⎢
⎦
⎥
3n−2
⎡
2n
⎤
⎛ 3 ⎞ ⎢⎛
1 ⎞ 3 ⎥
lim ⎜
⎜1+
= lim ⎢⎜1+
n→⎝⎜2n⎠⎟
⎜ ⎥
n→⎢
⎜ 2n
⎥
⎢⎜
⎥
⎜⎝
3 ⎠⎟
⎣
⎢
⎦
⎥
5
⎤
⎥
⎦⎥
= e
3
=
8
5
2 x + 1
2x−1
3( 3n−2)
2n
⎤
⎥
⎦
=
x( 2x−1) 2 x + 1
7
9
e 2
= e
2
263

264
Límite de una función
019
020
021
022
023
Calcula los límites laterales en el punto x = 3 de:
lim f( x) = lim ( x − 3) = 0
− −
x→3 x→3
Halla los límites laterales en x = 0 de las funciones.
a) f( x)=
x
x
b)
x
f( x)=
⏐⏐ x
−1
2
a)
b)
x
Calcula el límite de la función f( x)=
en x = 2 y en x = 5.
x
− 2 1
− 5
lim f( x)=−1
x →2
Razona si existe o no el límite de la función
en x = 2, en x = 3 y en x = 4.
5
lim f( x)
→
x →2
0
37
lim f( x)=
x →3 6
Halla los siguientes límites.
a)
3 2
x − 2 x + x
lim
x→1 2 x − 3x+ 2
b)
a) lim
3 2 x − 2x
+ x 0
→
x →1
2 x − 3x + 2 0
b)
lim f( x)
=−
x →0− ⎧ x >
f( x)=
⎨
⎪1
si 0
⎩⎪ − 1 si x < 0
4 x − 16 0
lim →
3 x + 8 0
x →−2
24
lim f( x)
→
x →5
0
lim f( x)
=−⎫⎪
− →2
⎬
⎪ → No existe lim f( x).
lim f( x)
=+ ⎪
x →2
+ →2
⎭
⎪
x
x
⎧x
x
f( x)=
⎪ − 3 si < 3
⎨ 2
⎩⎪ x + 1 si x ≥ 3
lim f( x)
=+
x →0 +
53
lim f( x)=
x →4 14
lim x 4 −16
2 3 x + 8
x→ −
2 lim f( x) = lim ( x + 1) = 10
+ +
x→3 x→3
lim f( x)
=−1
− x →0
x x
f( x)=
x x
−
+ + + 2 3
3 − 2
x −
x x x
lim lim
x→− x + x→−
x
=
4
2
16 ( + 4)( + 2)( −2)
8
=−
2 3 8
2
2 ( + 2)( x − 2x + 4)
3
lim f( x)
=−⎫⎪
− →5
⎬
⎪ → No existe lim f( x).
lim f( x)
=+ ⎪
x →5
+ →5
⎭
⎪
x
x
lim f( x)
= 1
+ x →0
3 2
2
x − 2x
+ x
x x 1
lim lim
x→12 x − 3x + 2 x→1x
1 x
=
( − )
0
( − )( −2)
=

024
025
026
m x − 1
m−1 m−2
lim = lim ( x + x + … + x + 1)
= m
x →1 x − 1 x →1
SOLUCIONARIO
Calcula si m = 2 y m = 3.
¿Puedes determinar el límite para un valor m cualquiera?
3 x − 1
2
lim = lim ( x + x + 1) = 3
x→1x− 1 x→1
lim
2 x − 1
lim = lim ( x + 1) = 2
x→1x− 1 x→1
3 x − 1
→
x →1
x − 1
0
0
lim
lim
2 x − 1
→
x →1
x − 1
0
0
x m −1
x→1
x −1
Pon un ejemplo de una función que tenga como asíntotas verticales las rectas
cuyas ecuaciones son:
x = 1 x = 2 x = 3
1
Respuesta abierta. Por ejemplo: f( x)
=
( x −1)( x −2)( x−3)
Halla las asíntotas verticales de las funciones.
a) f( x)=
x
b) f( x)=
1
2 x −1
c) f( x)=
1
3 x − 4x
1
a) Dom f = − {0}
lim f( x)
=−⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ → f (x) tiene una asíntota vertical en x = 0.
lim f( x)
=+ ⎪
+ x →0
⎭
⎪
b) Dom f = − {−1, 1}
lim f( x)
=+ ⎫⎪
− x →−1
⎬
⎪ → f (x) tiene una asíntota vertical en x =−1.
lim f( x)
=−⎪
+ x →−
⎭
⎪
1 ⎪
lim f( x)
=−⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ → f (x) tiene una asíntota vertical en x = 1.
lim f( x)
=+ ⎪
+ x →1
⎭
⎪
c) Dom f = − {−2, 0, 2}
lim f( x)
=−⎫⎪
− →−2
⎬
⎪ →f
(x) tiene una asíntota vertical en x =−2.
lim f( x)
=+ ⎪
+ →−
⎭
⎪
2 ⎪
lim f( x)
=−⎫⎪
− →2
⎬
⎪ → f (x) tiene una asíntota vertical en x = 2.
lim f( x)
=+ ⎪
+ →2
⎭
⎪
lim f( x)
=+ ⎫⎪
− →0
⎬
⎪ → f (x) tiene una asíntota vertical en x = 0.
lim f( x)
=−⎪
+ →0
⎭
⎪
x
x
x
x
x
x
7
265

266
Límite de una función
027
028
¿Puede ocurrir que una función tenga una asíntota horizontal y otra oblicua
cuando x → +? Razona la respuesta.
No puede ocurrir, ya que si tiene una asíntota horizontal se verifica que: lim f( x) = k
f( x)
Y si lim
x →+ x
= 0,
la función no tiene asíntota oblicua.
x →+
Calcula sus asíntotas y representa las funciones.
a) f( x)
=
x
2
x + 1
b) f( x)
=
2
x
2
x + 1
c) f( x)
=
3
x
2
x + 1
x
a) lim
→ f (x) tiene una asíntota horizontal: y = 0.
x →+
x + = 0
2 1
Y
1
1 X
x
b) lim
→ f (x) tiene una asíntota horizontal: y = 1.
x →+
x + =
2
1
2 1
Y
1
1 X
f x
x
lim = lim
x→+ x x→+
x + x
c) f (x) tiene una asíntota oblicua: y = x.
x
lim
x
x → + x
=
+ −
3
( )
1
3
⎛ 3 ⎞
⎜
2
⎝⎜
1 ⎠⎟
=
−
+ =
⎫ ⎪
⎬
⎪ →
x ⎪
lim
0⎪
⎪
x → +
2 x 1 ⎪
⎭
Y
1
1 X

029
030
031
032
Estudia la continuidad de estas funciones.
a) f( x)= x
b) f( x)= x−4
c)
−2
a) Dom f = − {0} → f (x) es continua en − {0}.
b) Dom f = [4, +) → f (x) es continua en [4, +).
c) Dom f = (−1, 1) → f (x) es continua en (−1, 1).
Halla m y n para que la función f ( x) sea continua en .
⎧ ⎪
2 si x ≤1
f( x)=
⎨
⎪mx
+ n si 1< x < 3
⎪
⎩⎪
4 si x ≥ 3
f (x) es continua en x = 1 si se verifica que: f ( 1)
= lim f( x)
x →1
lim f( x)
= 2 ⎫⎪
− x →1
⎪
lim f( x) = m+ n⎬
⎪ → m+ n= 2
+ x →1
⎪
f ( 1) = 2
⎪
⎭
⎪
f (x) es continua en x = 3 si se verifica que: f ( 3)
= lim f( x)
x →3
lim f( x) = 3m+
n⎫⎪
− x →3
⎪
lim f( x)
= 4 ⎬
⎪ → 3m+ n=
4
+ x →3
⎪
f (3) = 4
⎪
⎭
⎪
m+ n=
2⎫
m
⎬
⎪ = 1
→
3m+ n=
4⎭⎪n=
1
SOLUCIONARIO
2
f( x) = ln ( 1−
x )
Estudia la continuidad de la función que asigna a cada número su parte entera.
y = [x]
Especifica los tipos de discontinuidades que presenta esta función.
La función no es continua para todos los valores enteros. Todos los números
enteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.
Estudia la continuidad de estas funciones.
a) f( x)=
x
x
b)
⎧⎪
1
⎪ x
f( x)
= ⎪
⎨
⎪x
⎪
⎩⎪
5
si x ≤ 1
si 1< x < 4
si x ≥ 4
a) Dom f = − {2}
lim f( x)
=−⎫⎪
− x →2
⎬
⎪ → No existe lim f( x)
y f(x) no es continua en x = 2.
lim f( x)
=+ ⎪
x →2
+ x →2
⎭
⎪
+ 1
− 2
La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntota
vertical en x = 2.
7
267

268
Límite de una función
033
034
035
b) Dom f = − {0}
lim f( x)
=−⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ → No existe lim f( x)
y f(x) no es continua en x = 0.
lim f( x)
=+ ⎪
x →0
+ x →0
⎭
⎪
La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntota
vertical en x = 0.
lim f( x)
= 1⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ → ∃ lim f( x)=
1
lim f( x)
= 1⎪
x →1
+ x →1
⎭
⎪
Como ∃ f( 1)
= lim f( x)
, la función es continua en x = 1.
x →1
lim f( x)
= 4⎫⎪
− x →4
⎬
⎪ →No
existe lim f( x)
y f(x) no es continua en x = 4.
lim f( x)
= 5⎪
x →4
+ x →4
⎭
⎪
La discontinuidad es inevitable de salto finito.
Halla el término general de las sucesiones cuyos primeros términos son:
a) 1, −1, 1, −1, … b) 1, 2, 4, 8, …
a) an = (−1) n−1
b) an = 2 n−1
Con ayuda de la calculadora, halla el límite de esta sucesión definida de forma
recurrente.
a1 = 1 an
=
3an−1+ 2
4a+ 3
a 1 = 1
a 2
a 3
5
= = 0 , 71428…
7
29
= = 0 , 70731…
41
Los términos de la sucesión se aproximan a:
Calcula el límite de la siguiente sucesión con ayuda de la tabla.
n
an
=
n
− 2 1
2 + 1
lim a
n
n→
=+
a 4
a 5
n−1
169
= = 0 , 70711…
239
985
= = 0 , 707106…
1. 393
1
2
n 5 50 500 5.000 50.000
a n 2,18 24,74 249,74 2.499,74 24.999,74
= 0 , 7071…

036
037
038
Comprueba la igualdad con ayuda de la tabla.
4−6n lim
3
n→ 2n+ 1
=−
a)
b)
c)
d)
Obtén los resultados de:
a) lim
n→
2 4n + n−3
3n+ 1
b) lim
n→
2 8n + 3n + 2
3 4
n + 2n
c)
a)
b)
n 5 50 500 5.000 50.000
an −2,36 −2,93 −2,993 −2,9993 −2,9999
⎛ 2 2
5n
+ n n + 2 ⎞
lim ⎜ − → − n→
⎝⎜
n − 3 n − 1 ⎠⎟
⎛ 2 2
5n
+ n n + 2 ⎞
n
lim ⎜
4
⎜ −
lim
n→⎝⎜n−3n−1⎠⎟ n→
=
3 2 − n − 3n + 6
=+
2 n − 4n+ 3
⎛ 2 2
n − 3n+ 2 n ⎞
lim ⎜
− → − n→
⎝⎜
3nn+ 3⎠⎟
⎛ 2 2
n − 3n+ 2 n ⎞
lim ⎜
− lim
n→⎝⎜3nn+ 3⎠⎟
n→
=
⎛
2 4n − 2n+ 7⎞
lim ⎜
⎜2n
−
→ − n→
⎝⎜
2n+ 1 ⎠⎟
⎛
2 4n − 2n+ 7⎞
n
lim ⎜
4
⎜2n
−
lim
n→⎝⎜2n+ 1 ⎠⎟
n→
=
− 7
2
2n + 1
=
2 2
6n+ 1 9n5 lim
→
n→
2n+ 4 3n6 −
⎛
− ⎞
⎜
−
⎝⎜
+ ⎠⎟
2 2
6n+ 1 9n5 lim lim
n→2n+ 4 3n6 n→
−
⎛
− ⎞
⎜
⎝⎜
+ ⎠⎟
= 13
0
6( n + 2)
=
lim
n→
2 4n + n−3
3n+ 1
→
2 8n + 3n+ 2
lim
→
n→
3 4 n + 2n
c) lim
n→
5− 2n+ 6n
2 n − n−6
3
= 0
2n
− 7n+ 6
=−
2 3n + 9n
− 3
lim
n→
SOLUCIONARIO
Halla los siguientes límites de sucesiones.
a)
⎛ 2 2
5n
+ n n + 2 ⎞
lim ⎜ − ⎟
n→ ⎝⎜
n − 3 n −1
⎠⎟
c)
⎛
2 4n − 2n+ 7⎞
lim ⎜2
n −
⎟
n→ ⎝⎜
2n+ 1 ⎠⎟
b) d) lim
n2
2
6 + 1 9n5 n→ 2n+ 4 3n6 −
⎛ 2 2
n − 3n+ 2 n ⎞
⎛
⎜
− ⎞
lim ⎜
− ⎟
⎟
n→ ⎝⎜
3nn+ 3⎠⎟
⎝⎜
+ ⎠⎟
lim
n→
2 4n + n−3
2
=
3n+ 1 3
5− 2n+ 6n
2 n − n−6
7
2 8n + 3n+ 2 8
lim
= = 4 2
n→
3 4 n + 2n
2
3
269

270
Límite de una función
039
040
041
Determina los límites.
a)
b)
c)
2 lim n − n + 4n−1 n→
2 lim 4n+ n + 31−3n n→
2
lim 4n− 16n+ 2
n→
a)
b)
c)
Halla los siguientes límites.
a) 3 2
lim x + 2x−3 x→+
c) lim
x →−
4
2 x + 2x + 1
b)
1
lim
x →−
ln⏐⏐
x
d)
x lim xe
x→+
a) c) lim
x →− x + x +
b)
1
lim = 0
x →−
ln⏐⏐
x
d)
x lim xe
x → +
=+
=
3 2
lim ( x + 2x − 3)
=+
x → +
4
0
2 2 1
Representa las funciones.
A partir de la gráfica,
calcula los siguientes límites.
a) lim f ( x)
c)
x →−
b) lim g( x)
d)
x →−
( )
( )
( )
lim ( 2 n− n + 4n−1) → − n→
lim ( n− 2 n + 4n−1)= lim
− 4n+ 1
=−2
n→ n→
n+ 2 n + 4n−1 lim ( 2 4n + n+ 31−3n) → − n→
lim ( 2 4n + n+ 31−3n)= lim
n→ n→
lim ( 2
4n− 16n + 2)
→ − n→
lim ( 4n− 2 16n + 2)=
lim
−2
= 0
n→ n→
4n+ 2 16n + 2
a) lim f( x)
=−
c)
x →−
b) lim g( x)
=+ d) lim g( x)
=+
x →−
2
f( x) = 2x− 3 g( x) = x + 2x−1 lim f ( x)
x →+
lim g( x)
x →+
lim f( x)
=+
x →+
x →+
2 − 5n + n+
31
=−
2 4n + n+
31 + 3n
Y
g(x) f(x)
1
2 X

042
043
044
045
Calcula.
a) lim 3 2 ( x − 3x
)
c)
x→+
4 3 2
b) lim ( x + 2x+ x −17x)
d)
x→+
a)
b)
c)
d)
Determina los límites.
a) lim 3 2 ( 6x + x )
c)
x →−
4 3 2
b) lim ( x + 4x+ 7x− 12x+ 1)
d)
x →−
a)
b)
c)
d)
Halla los límites.
a)
2
lim ⏐− 2t+ 5⏐
b)
t→+
2
a) lim ⏐− 2t+ 5⏐=+
b)
t→
+
Calcula los límites, y comprueba el resultado con tu calculadora.
a)
2 2x − 6x + 3
lim
x→+ 2 x − 3x + 5
d) lim
x→+
2 4x + x−12
2 3 x − x + 2
b) lim
x→+
2 3
2x − 6x − x + 1
2 4x + 5x−2 e)
1+ x− 6x
+ x
lim
x→+
2 3x + 2x −3
c)
3 5x + 3x−1 lim
x→+ 2 3 6x − 3x
+ x
x − x +
a) lim
d)
x → + x − x + =
2 2 6 3
2
2 3 5
2 3 2x − 6x − x + 1
b) lim
=−
e)
x → + 2 4x + 5x −2
c) lim
3 2
lim ( x − 3x
) =+
x → +
4 3 2
lim ( x + 2x + x − 17x)
=+
x → +
4 3 2
lim ( − 2x + 8 x − 3x + 27x − 42 ) =−
x → +
3 2
lim ( 1− 3x + 5x − 6x)
=−
x → +
3 2
lim ( 6x + x ) =−
x →−
4 3 2
lim ( x + 4x + 7x − 12x + 1)
=+
x →−
3 2
lim ( 5x −3x − 16x + 3)
=−
x →−
2 3
lim ( 7− 12x+ 3x + 9x
) =−
x →−
x → +
x + x −
x − x + x
=−
3 5 3 1 5
2 3 6 3
3
3 lim ⏐t+ 6t+ 3⏐
t →− lim
x → +
lim
x → +
SOLUCIONARIO
3 2
lim ( 1− 3x+ 5x−6x) x→+
3 2
lim ( 5x−3x− 16x+ 3)
x →−
2 3
lim ( 7− 12x+ 3x+ 9x)
x →−
3 lim ⏐t + 6t + 3⏐=+
t→
−
4 3
x + x −
x − x + =
2 4 12
0
2 3 2
1+ x − 6x
+ x
2 3x + 2x −3
4 3
=−
7
4 3 2
lim ( − 2x+ 8x− 3x+ 27x−42) x→+
271

272
Límite de una función
046
047
048
049
Halla estos límites con ayuda de la calculadora, y comprueba el resultado obtenido.
a) lim
x →−
2 x + 5x + 7
2 2x + x + 1
c)
3 2 x −2x −10x
lim
x →−
2 3 − x + 2x − x + 3
b)
3
4+ x −2x
lim
x →−
2 2x − 3x + 11
d) lim
x →−
2 − x + 3x + 21
2 3 5x − 4x + 2x
x + x +
a) lim
c)
x →− x + x + =
2 5 7 1
2 2 1 2
+ x − x
b) lim
d)
x →− x − x + =+
3
4 2
2 2 3 11
Escribe, en cada caso, un polinomio, P(x), para obtener los resultados indicados
cuando calculamos el límite.
2 8x + 6x−1 lim
x→+ P( x)
a) 4 b) 5 c) 0 d) + e) − f) 1
Respuesta abierta.
a) P(x) = 2x 2 + x + 1 c) P(x) = 2x 3 + x e) P(x) =−1
b) P(x) = x2 + x + 1 d) P(x) = x + 1 f) P(x) = 8 x2 8
5
Encuentra el valor de:
a) lim 2 4x+ 2x− 2 4x−3 b)
x→+
a)
b)
Halla los límites.
a) b)
x
lim
x →− x − x
x
x
−
⎛ 2 2
lim ⎜ 5x+ 1 3−x⎞
⎜ +
x →−
⎝⎜
x x + 2 ⎠⎟
⎛ 3
⎜
⎝⎜
2 2
2 2 + 1⎞
2 − 4 ⎠⎟
a)
( )
lim
x → +
lim (
2 4x + 2x −
2 4x + 2x −
2 4x −3
→
2 4x −3)=
lim
2x+ 3
x→+ x→+
4x + 2x + 4x
x → +
lim ( 2 x − 2x + 1− 2 x − 2x + 4)=
→ +
= lim
−3
x → + 2 x − 2x + 1 + 2 x − 2x + 4
x
( ) −
lim ( 2 2
x − 2x + 1− x − 2x + 4)
→ − ⎛ x + − x ⎞
lim ⎜ +
→− ⎝⎜
x x + ⎠⎟
lim
→−
x
=
⎛ 2 2
lim ⎜ 5x+ 1 3−x⎞
⎜ + →
→−
⎝⎜
x x + ⎠⎟
−
2
5 1 3
2
4
x
2 2 3 2
x x
2 x + 2x
2 2
lim x − 2x+ 1− x − 2x+ 4
x→+
lim
x →−
lim
x →−
x − x − x
− x + x − x + =
3 2 2 10 1
2 3 2 3 2
2 − x + 3x + 21
= 0
2 3 5x − 4x + 2x
( )
2 2 −
= 0
+ 10x + 4 x + 2
=−
1
=
3 2

050
051
052
b)
Obtén los resultados de:
a) lim
x →−
2 − 3x + 6x
2 x + 2
b)
2 − 3x + 6x
a) lim
= 0 b)
x → −
2 x + 2
Determina.
a)
2− lim
x →0
x + 4
x
b) lim
x →2
a)
b)
⎛
lim ⎜ x
⎜
x→− ⎝⎜
x − x
x + ⎞
−
lim
x − ⎠⎟
x→−
=
⎛ 3
lim ⎜ x
⎜
x → −⎝⎜ 2 x − 2x
2 2x+ 1⎞
− →
x − ⎠⎟
− 2 4
3
2 2
2 2 1
− x
2 4 2 2x − 4x
= 0
2− lim
x→0 x + 4
x
− x
1
= lim lim
x→0 x→0
x( 2+ x + 4)
2 x 4
=
2− lim
x →0
x + 4
x
→
0
0
−
+ +
lim
x →2
x − 2 0
→
x − 2 0
x − 2
x − 2
1
lim = lim lim
x→2 x − 2
x→2 x→2
x − 2 ( x + 2)
x
=
( )
+
Determina los límites, calculando previamente sus límites laterales.
a) lim
x →2
2 x − 3x + 2
2x−5 d)
4−2x lim
x →−1
2 x − 2x
x 1
b) e) lim ln
x →2 3
+ ⎛ ⎞
x
lim ( 1+ 2x)
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
x →3
⎠⎟
2 x − 2x+ 3
c) lim f )
x →0 x + 1
lim
x →−
lim
x − 2
x − 2
5
4
x →− 3 +
a) d)
b) e)
x 1
lim ln
0
x →2 3
+ ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
2 x − 3x + 2
lim
= 0
x →2 2x−5 4−2x lim
x →−1
2 x − 2x
= 2
x
lim ( 1+ 2x )
x →3
= 343
2 x − 2x + 3
c) lim
= 3 f ) lim
x →0 x + 1
2x + 5x −2x
3x−1 4 3 2
x
lim
x → −
5
4
x →− 3 + x
2x + 5x −2x
3x
− 1
4 3 2
= 5
SOLUCIONARIO
2
=−
=− 1
4
=
1
=
2 2
7
2
4
273

274
Límite de una función
053
054
055
Con ayuda de la calculadora, completa la tabla y comprueba que
2 x
si f( x)
= , entonces lim f ( x)
=−05
, .
x − 3
x →1
Calcula los límites indicados en la función.
a) lim g( x)
c) lim g( x)
e)
b) lim g( x)
d) lim g( x)
f )
2 b) lim g( x) = lim ( x − 2x+ 1) = 25 e)
c) lim g( x) = lim ( 2x+ 4) = 12 f )
Observa las gráficas de las funciones f(x) y g(x), y halla los siguientes límites.
a)
b)
x →−3
x →6 −
a) lim g( x) = lim ( 2x+ 4) =−2
d) lim g( x) = lim ( 2x+ 4) = 10
lim f x
x →1− ( )
lim f x
x →1 +
( )
lim g x
x →1− ( )
lim g x
x →1 +
( )
x 0 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1
f (x) 0 −0,38 −0,48 −0,49 −0,501 −0,51 −0,63
x→−3 x→−3
− −
x→6 x→6
− −
x→4 x→4
a) lim f( x)
=+
b)
x →1− lim f( x)
=+
x →1 +
⎧ x x
gx ( ) = ⎪2
+ 4 si < 4
⎨
⎩
⎪ 2
⎪ x − 2x + 1 si x ≥ 4
x →4 −
x →3
Y
lim g( x)
=−
x →1− lim g( x)
=+
x →1 +
lim g x
x →6 +
( )
lim g x
x →4 +
( )
x→3 x→3
2 lim g( x) = lim ( x − 2x+ 1) = 25
+ +
x→6 x→6
2 lim g( x) = lim ( x − 2x+ 1) = 9
+ +
x→4 x→4
1 f (x)
Y
1
1 g(x)
1
X
X

056
057
058
Determina los límites, y si es preciso, calcula los límites laterales.
a) lim c) lim
x →4
2 x + 2 x
8−2x b)
3
lim
x →3
2 9 − x
d)
4−2x lim
x →1 2 x − 2x+ 1
x
x →2
2 + 6
x − 2
a)
2 x + 6
lim
x →2
x − 2
→
10
0
b)
3
lim
x →3
2 9 − x
→
3
0
c)
2 x + 2x
lim
x →4
8−2x →
24
0
4 − 2x
2
d) lim
→
x →1
2 x − 2x + 1 0
a)
b)
c)
d) lim cos x
→
x →π
sen x
Dada la función f(x) definida a trozos, encuentra los límites.
⎧⎪
2x+ 1 si x

276
Límite de una función
059
060
Calcula los límites laterales y el siguiente límite.
2 x − x −6
0
lim
→
x →3
2 x − 6x + 9 0
2 x − x −6
x 3 x 2
lim lim
x→32 x x
x→32
− 6 + 9
x 3
=
( − )( + ) x + 2 5
= lim →
( − )
x →3
x − 3 0
lim
− x →3
lim
+ x →3
Resuelve los límites.
a)
( 2x− 3)( x + 3)
lim
x →−3
( x + 1)( x + 3)
d) lim
x →5
3 2 x − 9x + 15x + 25
3 2 x − 5x + 2x−10 b) lim
x →2
2 2x − 9x + 10
2 3x − 7x + 2
e) lim
x →2
2 2x − 11x + 14
2 4x − 16x + 16
c)
3 2
3x + 12x − x−4
lim
x →−4
3 2 x + 7x + 14x + 8
f )
3 2 x + x − x−1
lim
x →−1 3 2
x + 2x
+ x
a)
2 2x − 9x + 10 0
b) lim
→
x →2
2 3x − 7x + 2 0
c)
2 x − x −6
2 x − 6x + 9
2 x x 6
2 x 6x 9
=+
⎫⎪
⎪
⎬
⎪
− − ⎪
=+ ⎪
⎪
− + ⎭
⎪
( 2x − 3)( x + 3)
0
lim
→
( x + 1)( x + 3)
0
x →−3
lim
x →3
→ lim
x →3
( 2x − 3)( x + 3)
2x−3 lim = lim
→− ( x + 1)( x + 3)
→−
x + 1
x 3 x 3
2 2x − 9x + 10 x 2 2x 5
lim lim
x→22 3x − 7x + 2 x→2x
=
( − )( − )
( − − =
−
− =−
2x5 1
lim
2)( 3x 1)
x →2
3x1 5
3 2
3x + 12x − x −4
0
lim
→
x →−4
3 2 x + 7x + 14x + 8 0
3 2 3x + 12x − x −4
lim
x→−4 3 2 x + 7x + 14x + 8
x 4
lim
x→−4
=
2
( + )( 3x−1) 2 ( x + 4)( x + 3x + 2)
2 3x1 x 4 2 x 3x
=
−
= lim =
→− + + 2
47
6
3 2 x − 9x + 15x + 25 0
d) lim
→
x →5
3 2 x − 5x + 2x −10
0
2 x − x−6
2 x − 6x + 9
− −
− + =+
2 x x 6
2 x 6x 9
= 9
2
3 2
2
2
x − 9x + 15x + 25 ( x − 5)(
x −4x −5)
x −4x −5
lim = lim
= lim = 0
x→53 2 x − 5x + 2x −10
x→52
( x )( x )
x 5 2
− 5 + 2
→ x + 2

061
062
2 2x − 11x+ 14 0
e) lim
→
x →2
2 4x − 16x +
16 0
f)
Dada la función:
SOLUCIONARIO
determina los siguientes límites.
a) lim f ( x)
b) lim f ( x)
c) lim f ( x)
d)
x →+
a)
b)
c)
d) lim f( x)
→
x →−2
0
0
2 2x + 3x −2
( x+ 2)( 2x −1)
lim = lim
= lim
x→−22 x − 4
x→−2(
x + 2)(
x − 2)
x →
Encuentra el límite de la función cuando x tiende a 0 y cuando x tiende a 3.
4 x
f( x)
=
3 2
x − 3x
Especifica el valor de los límites laterales, si es necesario.
lim
4 x
x →0
x − 3x
lim
x →3
lim
− x →3
lim
+ x →3
2 2x − 11x+ 14 ( x −2)( 2x − 7)
2x−7 lim = lim
= lim
x→22 4x − 16x + 16 x→2(
x −2)( 4x − 8)
x →2
4x−8 3
→ −
0
2 2x − 11x + 14
lim
=+
− x →2
2 4x − 16x + 16
lim
+ x →2
2 2x − 11x + 14
2 4x − 16x + 16
=−
3 2 x + x − x −1
lim
→
x →−1
3 2 x + 2x
+ x
0
0
3 2
2
x + x − x −1
( x + 1) ( x −1)
lim = lim
=
x→−13 2 x + 2x
+ x x→−1x(
x + 1)
lim
→
lim
x →+
lim f( x)=−1
x →1
lim
x → −
3 2
4 x
x − 3x
f( x)
= 2
f( x)
= 2
3 2
4 x
x − 3x
4 x
x − 3x
3 2
3 2
→
→
0
0
81
0
x →1
2 2x + 3x−2 f( x)
=
2 x − 4
x →−
⎫⎪
=−
⎪
4
⎬
⎪
x
→ No existe lim
⎪
x →3
=+
⎪
x − 3 x
⎪ ⎭⎪
2 x −1
4
2
x
x
lim = lim 0
x→03 2 x − 3x x→0x−
3
=
3 2
.
−2
x − 1
= 2
x
x −
x − =
2 1 5
2 4
lim f ( x)
x →−2
7
277

278
Límite de una función
063
064
065
066
Determina el límite, y comprueba el resultado con la calculadora.
⎛ x x
lim ⎜ −
⎜
→+ ⎝⎜
x +
⎞
− x
⎠⎟
x
lim
→+
=
2 3 4
2
3
−10
x + =−
⎛ 2 x x
lim ⎜ 3 − 4
⎜
→ + ⎝⎜
x + 2
⎞
− 3x
→ −
⎠⎟
2
10
x
x x
⎛ 2 3x − 4x
⎞
lim ⎜ −3
x
⎝⎜
x + 2 ⎠⎟
x→+
Observa las tablas de valores de la función.
2 4x − 5x
f( x)
=
2 2x+ 7
x 1 10 100 1.000 10.000
f (x) −0,11 1,69 1,974 1,9975 1,99975
x −1 −10 −100 −1.000 −10.000
f (x) 1 2,17 2,024 2,0025 2,00025
¿Es cierto que y = 2 es una asíntota? Cuando x tiende a +, ¿está la función por
encima o por debajo de la asíntota? ¿Qué sucede cuando x tiende a −?
Sí, es cierto que y = 2 es una asíntota horizontal.
Cuando x tiende a +, la función está por debajo de la asíntota.
Cuando x tiende a −, la función está por encima de la asíntota.
x
Decide si la función y = tiene alguna asíntota horizontal, y sitúa la función
x
respecto de esa asíntota.
− 3 2
+ 1
− x
lim
→ La función tiene una asíntota horizontal: y =−2.
x → + x +
Si x = 1.000, f ( x) > −2, y cuando x tiende a + la función está por encima
de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) < −2, y cuando x tiende a − la función está por debajo
de la asíntota.
=−
3 2
2
1
Observa las tablas de valores de la función.
3x+ 1
f( x)
=
x − 3
x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999
f (x) −7 −17 −97 −997 −9.997 −99.997
x 3,0001 3,001 3,01 3,1 3,5
f (x) 100.003 10.003 1.003 103 23

067
068
SOLUCIONARIO
¿Es cierto que x = 3 es una asíntota vertical? Cuando x tiende a 3 por la izquierda,
¿la rama infinita de la función tiende a + o −? ¿Qué sucede cuando x tiende
a 3 por la derecha?
Sí, es cierto que x = 3 es una asíntota vertical.
Cuando x tiende a 3 por la izquierda, la rama infinita de la función tiende a −.
Cuando x tiende a 3 por la derecha, la rama infinita de la función tiende a +.
1
Decide si la función y = tiene alguna asíntota vertical,
2 x −3x−4 y estudia sus ramas infinitas próximas a esas asíntotas.
Dom f = − {−1, 4}
1 1
lim
→
x →−1
2 x − 3x −4
0
x − x −
La función tiene una asíntota vertical en x =−1.
x x
=+
− − =−
1
⎫⎪
⎪
2
⎪
3 4
⎬
⎪ →
1
⎪
⎪
2 3 4 ⎭⎪
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +, y por la derecha, a −.
1 1
lim
→
x →4
2 x − 3x −4
0
1
lim
− 2
→4
x − 3x − 4
La función tiene una asíntota vertical en x = 4.
1
lim
+ 2
→4
x 3x 4
=−
⎫⎪
⎪
⎬
⎪ →
⎪
= + ⎪
− − ⎭⎪
x
x
lim
− x →−1
lim
+ x →−1
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −, y por la derecha, a +.
Observa la tabla de valores de la función.
2 4x + 6x
f( x)
=
2x−3 x 10 100 1.000 10.000
f (x) 27,06 206,09 2.006,009 20.006,0009
Esta es la tabla de valores de la recta y = 2x + 6.
x 10 100 1.000 10.000
y = 2x + 3 26 206 2.006 20.006
¿Es cierto que la recta es una asíntota de la otra función?
¿Qué posición tienen cuando x tiende a +? Investiga la posición relativa
de ambas cuando x tiende a −.
Sí, es cierto que y = 2x + 3 es una asíntota oblicua.
Cuando x tiende a +, la función está por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − 2x − 3 > 0, y cuando x tiende a − la función está
por encima de la asíntota.
7
279

280
Límite de una función
069
070
071
2 x + 5x
Comprueba si la recta y = x + 3 es una asíntota oblicua de la función y = .
x + 2
En caso afirmativo, decide la posición que ocupa una respecto de la otra.
2
f( x)
x + 5x
lim = lim = 1
→+ x →+
2 x + 2x
⎛ 2 x + 5x ⎞
lim ⎜
x
⎜ − x
→ + ⎝⎜
x + ⎠⎟
x x
=
+ =
⎫ ⎪
⎬ →
3 ⎪
lim
3 ⎪
2
→ + 2 ⎪
⎪⎭
x x
x
La función tiene una asíntota
oblicua: y = x + 3.
Si x = 1.000, f ( x) − x − 3 < 0, y cuando x tiende a + la función está
por debajo de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − x − 3 > 0, y cuando x tiende a − la función está
por encima de la asíntota.
Calcula las asíntotas oblicuas de las funciones y su posición relativa respecto de ellas.
a) f( x)
=
2 2x+ 4
x −1
b) f( x)
=
2 2x+ 4
2 + x
f x
x +
lim = lim
x→+ x x→+
x − x
a) La función tiene una asíntota
x
lim
oblicua: y = 2x + 2.
x → +
=
2
( ) 2 4
2
2
⎛ 2 2 + 4 ⎞
⎜
x
⎜ − x
⎝⎜
x − ⎠⎟
x x
=
+
− =
⎫ ⎪
⎬
⎪ →
4 2 ⎪
2 lim
2 ⎪
1
→ + 1 ⎪
⎭⎪
Si x = 1.000, f ( x) − 2x − 2 > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − 2x − 2 < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
2
f( x)
2x + 4
lim = lim = 2
x→+ x x→+
2 2x+
x
b) La función tiene una asíntota
⎛ 2 2x
+ 4 ⎞
lim ⎜
4 4
⎜ − 2
4 oblicua: y = 2x − 4.
x → + ⎝⎜
2 + ⎠⎟
1
=
⎫ ⎪
⎪
⎪
⎬ →
− x ⎪
x lim = − ⎪
x
x → + x − ⎪
⎭⎪
Si x = 1.000, f ( x) − 2x + 4 > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − 2x + 4 < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
Determina todas las asíntotas de las funciones, y sitúa sus ramas infinitas.
a) f( x)
=
x
x
d) f( x)
=
3
x −1
− 2 6
+ 3
2
3
3x + 2x
x
b) f( x)
=
e) f( x)
=
2 x + 1
x − 5x + 6
3 4x
x
c) f( x)
= f ) f( x)
=
x − 5
x + x +
2 1

SOLUCIONARIO
a)
La función tiene una asíntota vertical en x =−3.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −, y por la derecha, a +.
− x
lim
→ La función tiene una asíntota horizontal: y =−6.
x → + x +
Si x = 1.000, f ( x) >−6, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000 → f ( x) 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − 3x + 1 < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
c)
La función tiene una asíntota vertical en x = 5.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −, y por la derecha, a +.
x
lim
→ La función no tiene asíntota horizontal.
x → + x − =+
3 4x
lim
− x →5
x − 5
3 4x
lim
+ x →5
x 5
3 4
5
=−
− =+
2
f( x)
3x + 2x
lim = lim
= 3
x→+ x
x→+
2 x + x
⎛ 2 3x
+ 2x
⎞
lim ⎜
x
⎜ − 3x
1
x → + ⎝⎜
x + 1 ⎠⎟
x x 1
3 4x
500
lim →
x →5
x − 5 0
⎫⎪
⎪
⎬
⎪ →
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
=
−
+ =−
2 3x + 2x
1
lim →
x →−1
x + 1 0
2 3x
+ 2x
⎫⎪
lim =−
⎪
− x →−1
x + 1
⎬
⎪ →
2 3x + 2x
⎪
lim
=+ ⎪
+ x →−1
x + 1 ⎭
⎪
2 3x + 2x
lim
=+ →
x → + x + 1
⎫ ⎪
⎪
⎬ →
⎪
lim
⎪
→ + ⎪
⎭⎪
lim
3 4x
=+ → La función no tiene asíntota oblicua.
x 5x
x → + 2 −
7
281

282
Límite de una función
d)
La función tiene una asíntota vertical en x = 1.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −, y por la derecha, a +.
lim → La función tiene una asíntota horizontal: y = 0.
x → + x −
Si x = 1.000, f ( x) > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
=
3
lim
− x →1
x − 1
→
3
lim
+ x →1
x 1
3
0
1
=−
− =+
3 3
lim →
x →1
x −
1 0
⎫⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭⎪
e)
La función tiene una asíntota vertical en x = 2.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +, y por la derecha, a −.
La función tiene una asíntota vertical en x = 3.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −, y por la derecha, a +.
x
lim
x → + x − x +
→ La función no tiene asíntota horizontal.
=+
3 x
lim
− 2
x →3
x − 5x + 6
3 x
lim
+ 2
x →3
x 5x 6
3
2 5 6
=−
− + =+
3 x
lim
− 2
x →2
x − 5x + 6
3 x
lim
+ 2
x →2
x 5x 6
3 x
lim
x →3
2 x − 5x + 6
→
27
0
⎫⎪
⎪
⎪
⎬ →
⎪
⎪
⎭⎪
=+
− + =−
3 x
lim
x →2
2 x − 5x + 6
→
8
0
⎫⎪
⎪
⎪
⎬ →
⎪
⎪
⎭⎪
3
f( x)
x
lim = lim
= 1
x→+ x x→+
3 2 x − 5x + 6x
La función tiene una
3
2
x
5 6
lim
asíntota oblicua:
x → + 2
2
x − 5 + 6
5 6
y = x + 5.
Si x = 1.000, f ( x) − x − 5 > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − x − 5 < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
−
− + =
⎫ ⎪
⎬
⎪ →
x x ⎪
x lim
5 ⎪
x
x → + x x ⎪
⎭⎪

072
SOLUCIONARIO
f ) Dom f = → La función no tiene asíntota vertical.
x
lim
→ La función tiene una asíntota horizontal: y = 0.
x → + x + x +
Si x = 1.000, f ( x) > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
= 0
2 1
Obtén todas las ramas infinitas y las asíntotas de las funciones, y decide la posición
que tienen entre sí.
a) f( x)
=
3 x − 7x + 1
2 3
2x − 5x
b) f( x)
=
3 x − 7x + 1
2 2x−8 c) f( x)
=
3 x − 7x + 1
2 2x+ 8
3 x − 7x + 1
d) f( x)
=
2x+ 8
a) Dom f = −
3 x − 7x + 1
lim
→
x →0
2 3 2x − 5x
1
0
⎧ ⎨ ⎪0
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
2
,
5
3 x − 7x + 1
lim
=+
− 2 3
→0
2x
− 5x
La función tiene una asíntota vertical en x = 0.
3 x − 7x + 1
lim
+ →0
2 2x−5x3 =+
⎫ ⎪
⎬
⎪ →
⎪
⎪
⎭
⎪
x
x
Las dos ramas infinitas de la función tienden a +.
3 x − 7x + 1 − 1, 736
lim
→
2 2 3 2x − 5x
0
x →
5
La función tiene una asíntota vertical en x = .
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −,
y por la derecha tiende a +.
2
3 x − 7x + 1 ⎫⎪
lim
=−⎪
2 2 3 ⎪
−
x → 2x − 5x
⎪
5
3
⎬
⎪
x − 7x + 1 ⎪
lim
=+ ⎪
5
⎪
+ 2 2
x → 2x
− 5 ⎪
5
⎭⎪
3
→
x
7
283

284
Límite de una función
La función tiene una asíntota horizontal: y =− .
1
Si x = 1.000, f( x)
− , y cuando x tiende a − la función
5
está por encima de la asíntota.
1
3 x − 7x + 1 1
lim
=− →
x → + 2 3 2x − 5x
5
5
Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
b) Dom f = − {−2, 2}
3 x − 7x + 1 7
lim
→
x →−2
2 2x−8 0
3 x − 7x + 1 ⎫⎪
=+ ⎪
2
⎪
2x−8 ⎬
⎪ → La función tiene una asíntota vertical en x =−2.
3 x − 7x + 1 ⎪
=−
⎪
2 2x−8 ⎭
⎪
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +,
y por la derecha tiende a −.
lim
x →2
3 x − 7x + 1 ⎫⎪
lim
=+ ⎪
2
⎪
− →2
2x−8 ⎬
⎪ → La función tiene una asíntota vertical en x = 2.
3 x − 7x + 1 ⎪
lim
=−
+ 2
⎪
→2
2x−8 ⎭
⎪
x
x
lim
− x →−2
lim
+ x →−2
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +,
y por la derecha tiende a −.
lim
x → +
3 x − 7x + 1 −5
→
2 2x−8 0
3 x − 7x + 1
=+ → La función no tiene asíntota horizontal.
2 2x−8 3
f( x)
x − 7x + 1 1
lim = lim
=
x→+ x x→+
3 2x
− 8 x 2
⎛ 3 x − 7x + 1 1 ⎞
lim ⎜
3x1 ⎜
− x
x → +
2
⎝⎜
2x−8 2 ⎠⎟
x 2
1
Si x = 1.000, f( x) − x < 0,
y cuando x tiende a + la función está
2
por debajo de la asíntota.
=
− +
lim
→ + x 2 0
− 8
=
⎫ ⎪ La función tiene
⎪
⎬ →
una asíntota oblicua:
⎪ y = x.
⎪
⎭⎪
1
2
1
Si x =−1.000, f( x) − x > 0,
y cuando x tiende a − la función
2
está por encima de la asíntota.

073
SOLUCIONARIO
c) Dom f = → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
3
f( x)
x − 7x + 1 1
lim = lim
=
x→+ x x→+
3 2x + 8x
2
⎛ 3 x − 7x + 1 1 ⎞
lim ⎜
11x 1
⎜
− x
x → + 2
⎝⎜
2x+ 8 2 ⎠⎟
x
1
Si x = 1.000, f( x) − x < 0,
y cuando x tiende a + la función está
2
por debajo de la asíntota.
1
Si x =−1.000, f( x) − x > 0,
y cuando x tiende a − la función
2
está por encima de la asíntota.
=
− +
lim
0
→ + 2 2x + 8
=
3 x − 7x + 1
lim
=+ →
x → + 2 2x+ 8
⎫ ⎪ La función tiene
⎪
⎬
⎪ →
una asíntota oblicua:
⎪ y = x
⎪
.
⎭⎪
1
2
d) Dom f = − {−4}
3 x − 7x + 1 −35
lim
→
x →−4
2x+ 8 0
3 x − 7x + 1 ⎫⎪
lim
=+ ⎪
− x →−4
2x+ 8
⎬
⎪ → La función tiene una asíntota vertical en x =−4.
3 x − 7x + 1 ⎪
lim
=−
⎪
+ x →−4
2x+ 8 ⎭
⎪
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +, y por la derecha
tiende a −.
3 x − 7x + 1
lim
=+ → La función no tiene asíntota horizontal.
x → + 2x+ 8
3
f( x)
x − 7x + 1
lim = lim
=+ → La función no tiene asíntota oblicua.
x→+ x x→+
2 2x + 8x
Halla las asíntotas de estas funciones, y la posición de las ramas infinitas.
a) d)
b) e) f( x)
=
x x x
( x )
c) f( x)
=
3 2
x − 6x + 12x −8
x − 2
f ) f( x)
=
3 2
x − 6x + 12x −8
2 x + 4
a) Dom f = − {−3}
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
x →−3
x + 3
→
−125
0
− + −
f( x)
=
3 2
x − 6x + 12x −8
x + 3
f( x)
=
3 2
x − 6x + 12x −8
2 x − 4
f( x)
=
3 2
x − 6x + 12−8 2 x + x −6
3 2 6 12 8
2 − 2
lim
− x →−3
lim
+ x →−3
3 2 x − 6x + 12x −8
⎫⎪
=+ ⎪
x + 3
⎬
⎪ →
3 2 x − 6x + 12x−8⎪
=−
⎪
x + 3
⎪
⎭⎪
7
La función tiene una asíntota vertical
en x =−3. Por la izquierda la rama
infinita de la función tiende a +,
y por la derecha tiende a −.
285

286
Límite de una función
La función no tiene asíntota horizontal.
oblicua.
La función no tiene asíntota
b) Dom f = − {−3, 2}
La función tiene una asíntota vertical
en x =−3. Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −,
y por la derecha tiende a +.
→ La función no tiene asíntota vertical en x = 2.
c)
La función no tiene asíntota horizontal.
3 2
f( x)
x − 6x + 12x −8
lim = lim
= 1
x→+ x x→+
3 2 x + x − 6x
⎛ x − x + x − ⎞
lim
⎜
− x lim
x → + ⎝⎜
x + x − ⎠⎟
→ La función tiene una asíntota oblicua: y = x − 7.
Si x = 1.000, f ( x) − x + 7 > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − x + 7 < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
Dom f = − {2}
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
x →2
x − 2
→
0
0
3 2
2
x − 6x + 12x −8
( x −2)( x − 4x + 4)
lim = lim
x→2x−2x→2x−2 no tiene asíntota vertical en x = 2.
= 0 → La función
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
=+ → La función no tiene asíntota horizontal.
x → + x − 2
f( x)
lim
x→+ x
oblicua.
3 2 x − 6x + 12x −8
= lim
=+ → La función no tiene asíntota
x→+
2 x − 2x
=
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
=+ →
x → + x + 3
f( x)
lim
x→+ x
3 2 x − 6x + 12x −8
= lim
=+ →
x→+
2 x + 3x
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
x →−3
2 x + x −6
→
−125
0
3 2 x − 6x + 12x −8
⎫⎪
lim
=−
−
2
⎪
x →−3
x + x −6
⎬
⎪ →
3 2 x − 6x
+ 12x −8
⎪
lim
=+ ⎪
+
2
x →−3
x + x −6
⎪
⎭⎪
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
x →2
2 x + x −6
→
0
0
3 2
2
x − 6x + 12x −8
( x −2)( x − 4x
+ 4)
lim = lim
x→22 x + x −6
x→2(
x − 2)( x + 3)
= 0
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
=+ →
x → +
2 x + x −6
⎫ ⎪
3 2
⎬
⎪
2
6 12 8
− 7x + 18x −8
⎪
=−7⎪
2
⎪
6
x → +
2 x + x −6
⎪
⎭⎪

SOLUCIONARIO
d) Dom f = − {−2, 2}
La función tiene una asíntota vertical
en x =−2. Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −,
y por la derecha tiende a +.
La función
no tiene asíntota vertical en x = 2.
La función no tiene asíntota horizontal.
3 2
f( x)
x − 6x + 12x −8
lim = lim
= 1
x→+ x x→+
3 x − 4x
⎛ − + − ⎞
lim ⎜
−
x →+ ⎝⎜
−
⎠⎟
→+
→ La función tiene una asíntota oblicua: y = x − 6.
Si x = 1.000, f ( x) − x + 6 > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − x + 6 < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
=
3 2 x − 6x + 12x −8
−64
lim
→
x →−2
2 x − 4
0
3 2 x − 6x + 12x −8
⎫⎪
lim
=−
−
2
⎪
x →−2
x − 4
⎬
⎪ →
3 2 x − 6x + 12x−8
⎪
lim
=+
+
2
⎪
x →−2
x − 4
⎭
⎪
3 2 x − 6x + 12x −8
0
lim
→
x →2
2 x − 4
0
3 2
2
x − 6x + 12x −8
( x −2)( x − 4x + 4)
lim = lim
= 0 →
x→22 x − 4
x→2(
x − 2)( x + 2)
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
=+ →
x → +
2 x − 4
⎫ ⎪
3 2
2
⎬
x 6x 12x 8
−6x
+ 16x
−8
⎪
x lim =−6⎪
2 x 4
x
2
⎪
x − 4 ⎪
⎭⎪
e) Dom f = − {2}
vertical en x = 2.
La función no tiene asíntota
La función no tiene asíntota horizontal.
3 2
f( x)
x − 6x + 12x −8
lim = lim
= 1
x→+ x x→+
3 2 x − 4x + 4x
→ La función
⎛ x − x + x − ⎞
lim ⎜
− x l
x → + ⎝⎜
x − x + ⎠⎟
tiene una asíntota oblicua: y = x − 2.
f ( x) − x + 2 = 0 → La expresión de la función coincide con la ecuación
de la asíntota salvo en x = 2.
=
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
x →2
2 ( x − 2)
→
0
0
3 2
3
x − 6x + 12x −8
( x − 2)
lim = lim
x→22 x
x→22
( − 2)
( x − 2)
= 0 →
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
=+ →
x → +
2 ( x − 2)
⎫ ⎪
⎬
⎪
3 2
2
6 12 8
− 2x + 8x
−8
⎪
im
=−2
⎪
2 4 4
x → + 2 x − 4x
+ 4 ⎪
⎭⎪
7
287

288
Límite de una función
074
f ) Dom f = → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
3 2
f( x)
x − 6x + 12x −8
lim = lim
= 1
x→+ x x→+
3 x + 4 x
⎛ − + − ⎞
lim ⎜
−
x →+ ⎝⎜
+
⎠⎟
→+
→ La función tiene una asíntota oblicua: y = x − 6.
Si x = 1.000, f ( x) − x + 6 > 0, y cuando x tiende a + la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000, f ( x) − x + 6 < 0, y cuando x tiende a − la función
está por debajo de la asíntota.
=
3 2 x − 6x + 12x −8
lim
=+ →
x → +
2 x + 4
⎫ ⎪
3 2
2
⎬
⎪
x 6x 12x 8
−6x
+ 8x
−8
⎪
x lim =−6
⎪
2 x 4
x
2 x + 4 ⎪
⎭⎪
Calcula las ramas infinitas y asíntotas de las funciones.
a) y = x 2 + 5x − 1 b) y = 2 x − 1 c) y = log x d) y = tg x
a) Dom f = → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.
b) Dom f = → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.
c) Dom f = (0, +)
lim x → La función tiene una asíntota vertical en x = 0.
x →0
La rama infinita de la función tiende a −.
lim log x =+ → La función no tiene asíntota horizontal.
x → +
f( x)
lim
x→+ x
log x
= lim
x→+
x
= 0 → La función no tiene asíntota oblicua.
+
2 lim ( x + 5x − 1)
=+ →
x → +
f( x)
lim
x→+ x
2 x + 5x − 1
= lim
=+ →
x→+
x
x lim ( 2 − 1)
=+ →
x → +
f( x)
lim
x→+ x
x 2 − 1
= lim =+ →
x→+
x
log =−
⎧
d) Dom f = − ⎨
⎪ π
⎫
+ kπ, k ∈⎬
⎪
⎩⎪ 2
⎭⎪
1
lim tg x →
π 0
x →
2
La función tiene una asíntota vertical en x = .
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +, y por la derecha, a −.
Al ser una función periódica, de período π, todos los puntos
que no pertenecen al dominio son asíntotas del mismo tipo.
Por tanto, la función no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.
π
lim tg x =+ ⎫⎪
π − ⎪
x →
⎪
2
⎬
⎪ →
lim tg x =−⎪
2
π + ⎪
x →
⎪
2
⎭⎪

075
076
Encuentra las asíntotas de las funciones.
a)
⏐2x−3⏐ y =
x
b) y =
2x
4 − x
a)
SOLUCIONARIO
Dom f = − {0}
− 2x+ 3 3
lim →
x →0
x 0
− 2x+ 3 ⎫⎪
lim =−⎪
− x x
⎪
→0
⎬
⎪ → La función tiene una asíntota vertical en x = 0.
− 2x+ 3 ⎪
lim =+
⎪
+ x →0
x ⎪⎭
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −, y por la derecha, a +.
2x− 3
lim = 2 → La función tiene una asíntota horizontal: y = 2.
x → + x
Si x = 1.000, f ( x) < 2, y cuando x tiende a + la función está por debajo
de la asíntota.
− 2x+ 3
lim =−2
→ La función tiene una asíntota horizontal: y =−2.
x → + x
Si x =−1.000, f ( x)

290
Límite de una función
077
078
lim f( x)
= 2
− x →0
lim f( x)
= 3
− x →2
La función es continua salvo en x = 2, ya que no existe f(2).
Completa la tabla para la función.
Comprueba que su límite, cuando x tiende a 3, es: lim f ( x)
= 4
¿Cuánto vale f (3)? Haz una representación de la función.
¿Qué diferencia hay entre las gráficas de f (x) y de y = x + 1?
No existe f(3).
La gráfica de f(x) coincide con la gráfica de la recta y = x + 1,
salvo en el punto x = 3.
Dibuja una función que sea continua, salvo en x =−1, que tenga un salto infinito
y que tenga en x = 3 un salto finito.
Respuesta abierta.
lim f( x)
= 2
+ x →0
lim f( x)=
3,5
x→3
2 x −2x−3 f( x)
=
x − 3
lim f( x)=
2
x →0
lim f( x)=
3
x →2
x →3
x 2,5 2,9 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5
f(x) 3,5 3,9 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5
Y
4
Y
2
3 X
3 X

079
080
SOLUCIONARIO
Dibuja una función cuyo domino sea [0, +), y que presente un punto
de discontinuidad evitable en x = 4.
Respuesta abierta.
Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
a) y =
1
x + 3
e) y =
x + 2
2 x − 7x + 12
x + 2
b) y =
f )
2 x − x + 12
c) y = 4 + x
g)
2
d) y = 4−3x − x
h)
a) Dom f = − {−3}
lim
x →−
3 + 3
lim
− x→−
x +
No existe lim f( x)
, y x =−3 es un punto
x→−3
lim
+
de discontinuidad inevitable de salto infinito.
x→−
x
b) Dom f = → No hay puntos de discontinuidad.
=−
+ =+
1 ⎫⎪
⎪
3 3
⎬
⎪ →
1 ⎪
⎪
3 3 ⎭
⎪
c) Dom f = [−4, +) → No hay puntos de discontinuidad.
d) Dom f = [−4, 1] → No hay puntos de discontinuidad.
e) Dom f = − {3, 4}
x + 2 5
lim
→
2 x − 7x + 12 0
x →3
x
x
Y
1
→
1 4
X
1
0
y = x−5
2 y = x −2x −8
2 y = x − 2x + 8
x + 2
lim
− x→3
2 x − 7x + 12
No existe lim f( x)
, y x = 3 es un punto
x 2
x→3
lim
+
de discontinuidad inevitable de salto infinito.
x→3
2 x 7x 12
=+
+
− + =−
⎪⎫
⎪
⎬
⎪ →
⎪
⎪
⎭
⎪
7
291

292
Límite de una función
081
x + 2 ⎫⎪
lim
=−⎪
2
⎪
− x →4
x − 7x + 12
⎬
⎪ → No existe lim f( x)
, y x = 4 es un punto
x + 2 ⎪
x →4
lim
=+ ⎪ de discontinuidad inevitable de salto infinito.
+ 2
x →4
x − 7x + 12 ⎭
⎪
f ) Dom f = [5, +) → No hay puntos de discontinuidad.
g) Dom f = (−, −2] ∪ [4, +) → No hay puntos de discontinuidad.
h) Dom f = → No hay puntos de discontinuidad.
Estudia la continuidad de las funciones en x = 3, y si presentan discontinuidad,
decide de qué tipo de discontinuidad se trata.
⎧⎪
x + 3 si x < 3
⎧⎪
12
x <
a) d) f( x) = ⎪
si 3
f( x)
=
⎪
⎨
⎪
6 si x = 3
⎨ x − 3
⎪
⎩
⎪ 2
⎪x
− 2x + 3 si x > 3
⎩
⎪
⎪x−15
si x ≥ 3
x
⎧⎪
x + 1
x
x ≠
b) e) f( x)
= ⎪
si 3
f( x)
=
⎨ x −1
x
⎪
⎩
⎪
⎪−
2 si x = 3
x x
−
⎧⎪
12
⎪
si < 3
⎪ 1
⎨
⎪
6 si = 3
⎪
⎩⎪
− 2 si > 3
c)
x + 2 6
lim
→
2 x − 7x +
12 0
x →4
⎧⎪
ln ( x− 2) si x < 3
f( x)
=
⎪
⎨
⎪
− 2 si x = 3
⎩
⎪
⎪sen
( x− 3) si x > 3
a) f (3) = 6
lim f( x) = lim ( x+
3) = 6 ⎫⎪
− −
x→3 x→3
2
⎬
⎪
lim f( x)
= lim ( x − 2x
+ 3) = 6⎪
+
+
x→3x→3⎭ ⎪
Como f (3) = lim f( x)
, la función es continua en x = 3.
x →3
b) f (3) = 6
12
lim f x=
lim 6
− −
x→3 x→3
x − 1 No existe lim f( x)
, y la función no es continua
x →3
lim f x lim
+ x→3x→ en x = 3.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.
=
⎫⎪
( )
⎪
⎬
⎪ →
( ) = ( x − 2) = 1
⎪
+ 3 ⎭⎪
c) f (3) =−2
lim f( x) = lim ( ln ( x−2)
)= 0⎫⎪
− −
x→3 x→3
⎬
⎪ → lim f( x)
= 0
lim f( x)
= lim
sen ( x − 3) = 0⎪x→3
+
+
x →3
x →3
⎭
⎪
Como f (3) lim f( x)
, la función no es continua en x = 3.
x →3
lim f( x)
= 6
→
x →3
Se trata de un punto de discontinuidad evitable.

082
SOLUCIONARIO
d) f (3) =−12
12
lim f x=
lim
− −
x→3 x→3
x − 3
No existe lim f( x)
, y la función no es
x →3
lim f x lim
+ x→3x continua en x = 3.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
=−
⎫⎪
( )
⎪
⎬
⎪ →
( ) = ( x
− 15) = −12
⎪
+ →3
⎭⎪
e) f (3) =−2
Como f (3) lim f( x)
, la función no es continua en x = 3.
Se trata de un punto de discontinuidad evitable.
¿Qué valor debe tomar a para que las funciones sean continuas?
⎧ ⎪
3
⎧⎪
−π
⎪
si x −2
⎩⎪
−2x− 7 si x >−2
b)
⎧ x−1
x ≤−
f( x)
= ⎪2
si 2
⎨
⎩
⎪
⎪ax
− 2 si x >−2
a) f (−2) = a
b)
x + 1
lim f( x)=
lim 2
x→3 x→3
x − 1
=
lim f x=
lim
x +
lim f x li
=−
3
⎫⎪
( )
3 ⎪
1 ⎬
⎪ → ∃ lim f( x)
=−3
⎪
x →−2
( ) = m ( −2x− 7) =−3⎪
+ x →−
⎭
⎪
2
⎪
− −
x→−2 x→−2
+ x →−2
La función es continua si f (−2) = lim f( x)
→ a =−3.
−3
1
f ( − 2) = 2 =
8
x−1
1
lim f( x)
= lim 2 =
− −
→−2 →−2
8
lim f( x)
= lim
ax a
+ →−2
x →−
1
17
→ ∃ lim f( x) si =−2a− 2 → a=−
x →−2
8
16
+
⎫ ⎪
⎬
⎪
( − 2) =−2 −2
⎪
2
⎭⎪
x x
x
x →3
x →−2
c) f (−2) = 1
− π
lim f( x) = lim tg = 1
− −
x→−2 x→−2
2x
lim f( x)
= lim
ax a
+ x →−2
x →−
3
→ ∃ lim f( x) si 1= log ( − 2a+ 7)
→ a=−
x →−2
2
+
⎫ ⎪
⎬
⎪
log ( + 7) = log ( − 2 + 7)
⎪
2
⎭⎪
7
293

294
Límite de una función
083
084
Razona si la siguiente función es continua en x = 3 y en x = 0.
f (3) = 7
12 ⎫⎪
lim f( x)
= lim + 3= 7 ⎪
− −
→3 →3
x ⎬
⎪
x ⎪
lim f( x)
= lim ( 2 − 1) = 7⎪
+
+
→3→3 ⎭
⎪
x x
x x
Como f( 3)
= lim f( x)
, la función es continua en x = 3.
x →3
No existe f(0).
⎛ 12 ⎞
lim f x=
lim ⎜ + 3
− −
x→0 x→0
⎝⎜
x ⎠⎟
No existe lim f( x)
, y la función no es continua
x →0
lim
en x = 0.
x →
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
=−
( )
⎛ 12 ⎞
= ⎜ + 3
+ +
0 0 ⎝⎜
⎠⎟
=+
⎫ ⎪
⎬
⎪
f( x)
lim
x → x
⎭
⎪ →
⎪⎪⎪⎪
Estudia la continuidad en todo el dominio de las funciones.
Determina los puntos de discontinuidad que presenta cada una de ellas.
a) y = sen (x +π)
b) y = ln (x + e)
c)
d) y = 2x−3 ⎛
y = ⎜ π ⎞
tg x−
⎟
⎝⎜
2 ⎠⎟
a) Dom f = → No hay puntos de discontinuidad.
b) Dom f = (−e, +) → No hay puntos de discontinuidad.
c) Dom f = − {π+kπ, k ∈ }
⎧ x ⎪
2 −1 si x ≥ 3
y =
⎪
⎨
⎪ 12
⎪ + 3 si x < 3
⎩⎪
x
→ lim
x →3
⎛ π ⎞
lim tg ⎜x
−
− x →π
⎝⎜
⎠⎟
No existe lim f( x)
, la función no es continua
π
x →π
lim tg x
en x =π.
+ x →π
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Al ser una función periódica, de período π, todos los puntos en los que falla
el dominio son puntos de discontinuidad inevitable de salto infinito.
=+
2
⎛ ⎞
⎜
−
⎝ 2 ⎠⎟
=−
⎫ ⎪
⎬
⎪ →
⎪
⎪
⎭⎪
d) Dom f = → No hay puntos de discontinuidad.
∃
f( x)

085
Investiga si las funciones son continuas.
a)
b)
c)
⎧ ⎪
log ( x + 7) si x < 3
⎪
f( x)
= ⎪ 1 si x = 3
⎨
⎪ 5
⎪
si x > 3
⎪⎩
x + 2
⎧ ⎪ 3x+ 5
⎪
si x −1
x
x
f( x)
=
x
x
x
−
⎧ ⎪
<
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩⎪
+ >
+
5
si 1
2
5 si 1
1
⎪2
1 si 1
SOLUCIONARIO
a) Si x < 3: f (x) = log (x + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hay puntos
de discontinuidad.
Si x = 3: f (3) = 1
Como , la función es continua en x = 3.
5
Si x > 3: f( x)=
Dom f = (3, +) → No hay puntos
x + 2
de discontinuidad.
→
lim f( x) = lim ( log ( x+
7) )= 1⎫⎪
− −
⎪
x→3 x→3
5 ⎬
⎪ → ∃ lim f( x)
= 1
lim f( x)
= lim = 1 ⎪
x →3
⎪
+
+ x →3
x →3
x + 2 ⎭⎪
f( 3)
= lim f( x)
x →3
La función es continua en (−7, +).
b) Si x −1: f (x) = x + 1 → Dom f = (−1, +) → No hay puntos
de discontinuidad.
⎡ 5 ⎞
La función es continua en ⎢−
, −1∪
(−1, +).
⎣
⎢ 3 ⎠⎟
7
295

296
Límite de una función
086
087
c) Si x < 1: → Dom f = (−, 1) → No hay puntos de discontinuidad.
Si x = 1: f (1) = 5
5
lim f x=
lim 5
− −
x→1 x→1
2 − x
lim f x lim
+ x→1 x→1
=
5
f( x)=
2
− x
⎫⎪
( )
⎪
⎬
⎪ → ∃ lim f( x)
= 5
x+
1 ⎪
x →1
( ) = ( 2 + 1) = 5⎪
+
⎭
⎪
Como , la función es continua en x = 1.
Si x > 1: f (x) = 2 x + 1 f() 1 = lim f( x)
x →1
+ 1 → Dom f = (1, +) → No hay puntos de discontinuidad.
La función es continua en .
Estudia la continuidad de la siguiente función.
Si presenta puntos de discontinuidad, estudia el límite cuando t tiende a ellos
y decide qué tipos de discontinuidades son.
Si t < 3: g(x) = log (t + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hay puntos de discontinuidad.
Si t = 3: g(3) = 2
lim g() t = lim log( t+
7) = 1⎫⎪
− −
t→3 t→3
⎪
4 ⎬
⎪ → lim g() t = 1
lim g() t = lim
= 1 ⎪ t→
3
⎪
+
+ t→
3
t→
3 7 − t ⎭⎪
Como g( 3)
= lim g( t)
, la función es continua en t = 3.
t→
3
4
Si t > 3: g( t)=
→ Dom f = (3, +) − {7}
7 − t
4
lim g t = lim
− −
t→7 t→7
7 − t
No existe lim g( t)
y la función no es
t→7
lim g t lim
+ t→7t→ continua en t = 7.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
La función es continua en (−7, 7) ∪ (7, +).
=+
⎫⎪
( )
⎪
⎬
⎪ →
4 ⎪
( ) = =−
⎪
+ 7 7 − t ⎭⎪
Estudia la continuidad de las funciones.
⎧ ⎪
log ( t + 7) si t < 3
⎪
g( t)
= ⎪ 2 si t = 3
⎨
⎪ 4
⎪
si t > 3
⎪⎩
7 − t
a) y = [x] (Parte entera de x) c)
2 y = ⏐x −1⏐
b)
x
y =
⏐⏐ x
1
d) y =
2
⏐x−1⏐

Como f (−1) = lim f( x)
, la función es continua en x =−1.
x →−1
Si x = 1: f (1) = 0
2
lim f( x) = lim ( − x + 1) = 0⎫⎪
− −
x→1 x→1
→ f x
2 ⎬
⎪ lim ( ) = 0
lim f( x)
= lim ( x − 1) = 0 ⎪ x →1
+
+
x →1
x →1
⎭⎪
Como f (1) = lim f( x)
, la función es continua en x = 1.
x →1
La función es continua en .
SOLUCIONARIO
a) La función es continua salvo en los números enteros.
Si No existe .
Todos los números enteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.
b)
No existe f (0).
No existe , y la función no es continua en x = 0.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.
La función es continua en − {0}.
c)
Si x =−1: f (−1) = 0
2
lim f( x) = lim ( x − 1) = 0
− −
x→−1 x→−1
→ lim f x
lim f( x)
= lim
x
x →−
+
+ x →−1
x →−
− + =
lim f( x) = a−1⎫⎪
− x→a a ∈ → ⎬
⎪ →
lim f( x)
lim f( x) = a ⎪
x→a + x→a ⎭⎪
⎧−
f( x)=
⎨
⎪ 1
⎩⎪ 1
si x < 0
si x > 0
lim f( x)
=−1⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ →
lim f( x)
lim f( x)
= 1 ⎪
x →0
+ x →0
⎭
⎪
⎧ 2 x −
f( x)=
⎨
⎪ 1
2
⎩⎪ − x + 1
si x 1
si −1≤
x ≤1
⎫⎪
⎬
⎪ ( ) = 0
2 ( 1) 0⎪
1
1
⎭⎪
d)
No existe f (−1).
La función no es continua en x =−1.
Es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
No existe f (1).
1
lim f x=
lim
− − 2
x→1 x→1
− x + 1
La función no es continua en x =−1.
lim f x lim
+ x →1
Es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
La función es continua en − {−1, 1}.
=+
( )
→
1
( ) =
+ 2
x →1
x − 1
=+
lim f x=
lim
− −
x→− x→−
x −
lim f x l
+ x →−
⎫ ⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭⎪
=+
1
( )
2
1 1 1
→
( ) = im
1
x →−
x + − + =+
⎧⎪
1
⎪
si x 1
2
f( x)=
x −
⎨
⎪ 1
⎪ 1
⎪
si − 1< x < 1
2
⎩⎪
−x−1 ⎫ ⎪
⎬
⎪
1 ⎪
2 ⎪
1 1 ⎭⎪
7
297

298
Límite de una función
088
089
090
Observa la gráfica de la función
y determina los límites que se indican.
a)
b)
c)
d)
lim f ( x)
x→−
lim f ( x)
x→+
lim f ( x)
x →−2
lim f ( x)
x →−1
a) lim f( x)
=+
c) lim f( x)
no existe.
b) lim f( x)
= 0
d) lim f( x)
no existe.
Calcula los límites indicados en la función definida a trozos.
⎧ 2 x x x
hx ( )= ⎪ + 5 + 1 si

091
092
Haz la gráfica aproximada de una función que cumpla las siguientes condiciones.
•
•
•
•
Respuesta abierta.
Realiza la gráfica aproximada de una función que cumpla las siguientes condiciones.
•
•
•
•
lim f ( x)
= 0
x→−
lim f ( x)
=+
x →− − 2
lim f ( x)
=+
x→+
lim f ( x)
=−
x →− + 2
lim g( x)
=−
x→−
lim g( x)
= 3
− x →2
lim g( x)
=−2
+ x →2
lim g( x)
= 0
x→+
Respuesta abierta.
Y
2
Y
1
2
1
X
X
SOLUCIONARIO
7
299

300
Límite de una función
093
094
Construye la gráfica aproximada de una función que cumpla estas condiciones.
•
•
•
•
lim h( x)
= 1
x→−
lim h( x)
=−
x →0 −
lim h( x)
=+
x →0 +
lim h( x)
= 1
x→+
Respuesta abierta.
Representa tres funciones que cumplan que lim f ( x)
= 5 y cada una de estas
x →3
condiciones.
a) f(3) = 5
b) f(3) no existe.
c) f(3) = 2
Respuesta abierta.
a)
Y
5
Y
1
1
3
X
X

095
b)
c)
Dibuja una función continua que cumpla que f(x) es negativa si x > 3 y es positiva
si x < 3.
a) ¿Cuánto vale lim f ( x)
? ¿Y f(3)?
x →3
b) ¿Hay un posible resultado? Razona la respuesta.
Respuesta abierta.
a)
lim f( x)=
0
x →3
Y
1
f (3) = 0
Y
5
Y
5
3
3
3
X
SOLUCIONARIO
b) Sí, porque si la función es continua tiene que verificarse que: lim f( x) = f(
3)
X
X
x →3
7
301

302
Límite de una función
096
Halla las asíntotas de estas funciones.
Razona las diferencias entre ambas funciones.
Dom f = − {−1, 2}
x − x +
lim
− x→−
x − x−
La función tiene una asíntota vertical en x =−1.
x x
lim
+ x→−
x x
=+
2 4 4
2
1
2
2 − 4 + 4
2
1 − −
=−
2 x − 4x + 4 9
lim
→
x →−1
2 x − x −2
0
⎫ ⎪
⎬
⎪ →
⎪
⎪
2 ⎭⎪
2 x − 4x + 4 0
lim
→
x →2
2 x − x −2
0
2
2
x − 4x + 4
x − 4x + 4
f( x)
=
g( x)
=
2
2
x −x−2 x + x−2
vertical en x = 2.
La función no tiene una asíntota
x − x +
lim
x→
+ x − x−
→ La función tiene una asíntota horizontal: y = 1.
Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.
=
2 x − 4x + 4
lim
x→22 x − x−
2
2 x 2
lim
x→2x
1 x 2
2 4 4
2 2
1
=
−
− − =
( )
( )( )
0 →
Dom g = − {−2, 1}
2 x − 4x + 4
lim
x →−2
2 x + x −2
→
16
0
La función tiene una asíntota vertical en x =−2.
La función tiene una asíntota vertical en x = 1.
x − x +
lim
→ La función tiene una asíntota horizontal: y = 1.
x→
+ x + x−
Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.
Las funciones f(x) y g(x) tienen distintas asíntotas verticales, porque los valores
que anulan el denominador en cada una de ellas son diferentes.
=
2 x − 4x + 4
lim
− 2
x→1
x + x−
2
2 x 4x 4
lim
+ 2
x→1
x x 2
2 4 4
1
2 2
=−
x − x +
lim
− x→−
x + x−
x x
lim
+ x→−
x x
2 x − 4x + 4 1
lim
→
x→1
2 x + x−2
0
⎫⎪
⎪
⎬
⎪ →
− + ⎪
=+
⎪
+ − ⎪
⎭⎪
=+
2 4 4
2
2
2
2 − 4 + 4
2
2 + − =−
⎫ ⎪
⎬
⎪ →
⎪
⎪
2 ⎪
⎭⎪

097
098
099
Escribe una función racional para cada caso.
a) Que tenga x = 2 y x =−3 como únicas asíntotas.
b) Sus únicas asíntotas son x =−2 e y = 3.
c) Sus asíntotas son x = 4 e y = 2x −1.
Respuesta abierta.
4 x
a) f( x)
=
( x − 2)( x + 3)
b)
2 2x − 9x
c) f( x)=
x − 4
Calcula el valor de a para que el límite tenga valor finito: lim
.
Con ese valor de a, halla b para que se verifique que:
x +
ax
x →+ x − −
2 2 3
1
2 2x+ 3
¿Qué relación existe entre la función y = y la recta y = ax + b?
x −1
El límite tiene valor finito si el grado del numerador es menor o igual
que el denominador, por lo que a = 2.
⎛ x + ⎞
lim ⎜ − x −b
lim
x→+ ⎝⎜
x − ⎠⎟
x→+
=
2 2 3
3+ 2x
− bx + 1
2
= 2− b = 0 → b = 2
1
x − 1
2 2x+ 3
La recta y = 2 x + 2 es la asíntota oblicua de la función y = .
x − 1
Se ha estimado que la población de zorros en una finca se rige
2 6t+ 3
por la fórmula z = 100 , donde z representa el número de zorros
2 2 + t
y t es el tiempo transcurrido, en meses.
El veterinario de la finca ha observado que, en los primeros seis meses, la población
ha aumentado. Investiga si el crecimiento será indefinido, si tenderá a estabilizarse
la población o si tenderá a disminuir.
⎛ t + ⎞
lim ⎜ ⋅
→ + ⎝⎜
+ t ⎠⎟
=
2 6 3
100 600
2 2
t
3x
f( x)=
x + 2
x +
x
lim ax lim
→+ x − →+
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
2 2 2
2 3
2 + 3−
ax + ax
1
x − 1
x x
lim
x →+
x 2 2 + 3
−ax − b = 0
x −1 La población de zorros tenderá a estabilizarse.
SOLUCIONARIO
7
303

304
Límite de una función
100
101
La famosa fórmula M =
mc
se debe a Einstein, y expresa la masa M de un
2 2 c − v
cuerpo en función de su velocidad v, siendo c la velocidad de la luz (300.000 km/s).
Calcula el límite de la masa M cuando v tiende a c. A la vista de ese resultado,
¿crees que un cuerpo puede alcanzar esa velocidad?
lim
mc
c − v
v→c 2 2
=+
Para que la velocidad llegara a ser la de la luz el cuerpo debería tener
una masa infinita.
Representa mediante una función definida a trozos la tarifa de un aparcamiento.
a) Estudia su continuidad.
b) Clasifica los puntos de discontinuidad, si los tuviera.
Y
10
8
6
4
2
2 4 6 8
a) La función no es continua en:
x = 10
x = 11
x = 12
x = 13
x = 14
APARCAMIENTO
Horario: de 10:00 a 22:00 horas
Tarifas:
• Cada hora o fracción: 2 €
• Más de 5 horas: 10 €
• Estancia máxima: 12 horas
b) Los puntos son de discontinuidad inevitable de salto finito.
X

102
103
104
105
PARA FINALIZAR…
2 x + kx+
2
Calcula el valor de k para que el siguiente límite sea un número real: lim
x →2 2 x − 4
Para el valor de k obtenido, ¿cuánto vale el límite?
2 x + kx+
2 2k+ 6
lim
→
x →2
2 x − 4 0
0
Si k =−3, entonces la indeterminación es:
0
2 x − 3x + 2 ( x −2)( x −1)
Así, el límite vale: lim = lim
x→22 x − 4
x→2(
x − 2)( x + 2)
Calcula los límites.
a)
1
lim x ⋅ sen
x →0 x
b)
1
lim ⋅ cos x
x → x
Aunque no sepamos el valor que toman el seno y el coseno de un ángulo cuando
el ángulo tiende a infinito, sí sabemos que es una cantidad acotada,
pues tanto el seno como el coseno de un ángulo tienen un valor comprendido
en [−1, 1], y al multiplicar por cero una cantidad acotada, el resultado es cero.
1
a) lim x ⋅ sen = 0
b)
x →0 x
¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 si el coeficiente a tiende
a cero y los coeficientes b y c son constantes, siendo b 0?
Las soluciones de la ecuación son de la forma: x = − ± −
2 − b+ b −4ac
lim
a→0
2a
− b+ lim
a→0 2 b − 4 ac
2a 2 2 b −( b − 4 ac )
= lim
a→02
2a(
−b− b − 4 ac )
a 0
b
2 c
2 b 4 ac
c
b
=
= lim
→
− − −
=−
Comprueba que lim e x no existe.
lim e
− x →0
lim e
+ x →0
1
x
1
x
x →0
1
→
0
0
⎫⎪
= 0 ⎪
1
⎬
⎪ → No existe lim e x .
⎪
x →0
=+ ⎪
⎪
⎭⎪
1
lim ⋅ cos x = 0
x → + x
= 1
4
SOLUCIONARIO
b b
a
ac
2 2
4
7
2 −b− b − 4ac
−2b
lim
→ →
a→0
2a
0
305

306
Límite de una función
106
107
Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones.
⎧ x ⎪2
si x ≤ 0
⎧ 1
x
a) y = ⎪
⎨
b) y = ⎪
1
⎨5
si x < 0 c)
⎪ x
x
x >
⎩
⎪
⎩⎪
5 si 0
⎪2
si x ≥ 0
a) f (0) = 1
x lim 2 = 1 ⎫⎪
− ⎪
x →0
1 ⎬
⎪
x lim 5 =+
⎪
⎪
+ x →0
⎭⎪
No existe lim f( x)
, y la función no es continua en x = 0.
x →0
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
La función es continua en − {0}.
b) f (0) = 1
No existe lim f( x)
, y la función no es continua en x = 0.
x →0
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.
La función es continua en − {0}.
c) f (0) = 0
⎛ 2 1 ⎞
lim ⎜
⎜x
⋅ sen 0
x →0⎝⎜
x ⎠⎟
=
Al ser f( 0)
= lim f( x)
, la función es continua en x = 0.
x →0
Así, la función es continua en .
b
Demuestra que la recta de ecuación y es una asíntota
a
2 2
x y
de la hipérbola − = 1.
2 2 a b
x =
2 2
x y
2 2 2 2 2 2 2 b x − a b
− = 1→
b x − a y = a b → y =
2 2
2
a b
a
lim
x → +
1 ⎫
x ⎪
lim 5 = 0⎪
− →0
⎬
⎪
x lim 2 = 1
⎪
+ →0
⎭⎪
x
x
⎛
⎜ b
⎜
⎝⎜
a
b
x a
a x
⎞
2 2 − − → −
⎠⎟
b
b
lim x a
lim
a
a x
⎛
⎞ ⎛
⎜ 2 2
b
⎜ − − =
⎜ ⋅
→+ ⎝⎜⎠⎟ ⎜ →+
⎝⎜a
x x
→ y =±
2 2 2 2
b x − a b
2 a
2 2 2 2
2 − a ⎞
0
2 2 x − a + x ⎠⎟
=
⎧⎪
2 1
x ⋅ sen x
y = ⎪
si 0
⎨
⎪
x
⎩⎪
0 si x = 0
b
=± x −a
a
2 2

108
Si medimos el ángulo x en radianes, demuestra que .
Si el ángulo x se mide en grados sexagesimales, entonces
Como la medida de la longitud del arco está comprendida
entre la longitud de los segmentos AC y AB, entonces
el área del sector circular está comprendida entre el área
de los triángulos.
Área de OAC < Área de sector < Área OAB
.
R⋅R sen x
x R R tg x
< R ⋅ <
2 R sen x
2
2 < R ⋅
x
2
<
2 R tg x
2
2 R
Simplificamos dividiendo entre : sen x < x < tg x
2
sen x
Dividimos entre sen x:
sen x
<
x
sen x
<
tg x
sen x
→
sen x
sen x
>
sen x
x
>
sen x
tg x
→ 1> sen x
x
> cos x
Hacemos límites con x → 0:
sen x
lim 1> lim
x→0 x→0 x
sen x
> lim cos x → 1>
lim
x→0 x→0
x
sen x
> 1→lim x →0
x
= 1,
que es lo
que queríamos demostrar.
Si x viene medido en grados:
⋅
sen x
lim
x →0 x
=
180
2
2 π
2π2 π
sen x
lim
x →0 x
= 1
R⋅R sen x
x R R tg x R sen x R
< R ⋅ < x
⋅
2 2
2
π
π
→ < ⋅ <
2 360 2 2 360
R π
Simplificamos dividiendo entre : sen x < ⋅ x < tg x
180
Dividimos entre sen x:
sen x
sen x
π x
< ⋅
180 sen x
<
tg x
sen x
π x
→ 1<
⋅
180 sen x
<
1
cos
x
180 sen x
→ 1> ⋅
π x
> cos x
Hacemos límites con x → 0:
2
2
180 sen x
lim 1> lim ⋅
x→0 x→0 π x
180 sen x
> lim cos x → 1>
⋅ lim
x→0
π x →0
x
> 1
180 sen x
→ ⋅ lim
π x →0
x
= 1
sen x
Y despejando, resulta que: lim =
x →0 x 180
π
SOLUCIONARIO
O
x
2 R tg x
2
C
7
B
A
307

308
8
Derivada de una función
Derivada de una función
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
La ciudad Rosa y Roja
Aquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al observar
que cada día muchos se quedaban enredados en su peine. Pero,
para su tranquilidad, la cuenta se mantenía siempre alrededor de los
ciento cincuenta mil cabellos, pese a que se le caían unos cincuenta
diarios, por lo que no parecía probable que fuera a perder su dorado
atributo.
Llegado el momento de tomar esposo, la princesa declaró que sólo se
casaría con quien adivinara la longitud de su cabellera. Eran datos sobradamente
conocidos el número de sus cabellos y los que perdía diariamente,
así como el hecho de que nunca se los cortaba, ya que la augusta
melena era uno de los temas de conversación más frecuentes en
palacio. Así que el astrónomo real, que la amaba en silencio, se presentó
ante la princesa (que para confundir a sus pretendientes se recogía
el pelo en un enorme moño) y le dijo:
–Si tenéis ciento cincuenta mil cabellos y se os caen unos cincuenta
diarios, dentro de tres mil días se habrán caído todos los que ahora
adornan vuestra cabeza (aunque, naturalmente, para entonces tendréis
otros ciento cincuenta mil, que os habrán ido saliendo al mismo
ritmo que se os caen, puesto que la cuenta diaria demuestra que el número
de vuestros cabellos permanece constante). Lógicamente, los últimos
en caer serán los que hoy mismo os han salido, lo que equivale
a decir que la vida media de un cabello es de tres mil días. Puesto que
el cabello humano (incluso el principesco) crece a razón de un centímetro
al mes, y tres mil días son cien meses, vuestra cabellera debe
medir en su punto de máxima longitud (ya que en realidad tenéis cabellos
de todas las medidas) aproximadamente un metro.
La princesa se casó con el astrónomo, que, acostumbrado a contar las
estrellas, pasó a ocuparse personalmente del cómputo de los cabellos,
uniendo al rigor del científico la solicitud del esposo.
CARLO FRABETTI
Al suponer que la «velocidad» de crecimiento del cabello es constante: 1 cm/mes, la función
que relaciona la longitud, en cm, del cabello (l ) y el tiempo, en meses, transcurrido (t )
es l = t. Si la velocidad de crecimiento fuera de 2 cm/mes, la fórmula sería l = 2t.
Pero esta velocidad no es siempre constante. Imagina que, por efecto de un crecepelo, la
relación entre la longitud y el tiempo viene expresada por la fórmula . Determina
la velocidad de crecimiento entre los meses 2. o y 7. o , 2. o y 6. o , 2. o y 4. o l = 3 t
. ¿Es constante?
l( 7) − l(
2)
3 7 − 3 2
=
= 0,73
7−2 5
l( 6) − l(
2)
3 6 − 3 2
=
= 0,77
6−2 4
l( 4) − l(
2)
=
4−2 6 3
2
2
La velocidad de crecimiento no es constante.
−
= 0,87

001
002
003
004
005
006
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
SOLUCIONARIO
Determina cuáles de estos vectores son paralelos y cuáles son perpendiculares
a v= (−2, 1).
a) v1 = (−6, 3)
b) v2 = (−2, −4)
c) v 3 = (8, −4)
a) v 1 = 3v → Los vectores son paralelos.
b) v⋅ v2 = 0 → Los vectores son perpendiculares.
c) v 3 =−4v → Los vectores son paralelos.
El ángulo que forma una recta con el eje de abscisas, ¿puede medir más de 180°?
¿Por qué?
No, porque si la inclinación de la recta sobrepasa la inclinación del eje,
la semirrecta que queda por encima del mismo determina el ángulo menor
de 180° que hay que considerar para calcular la pendiente.
Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por el punto A(−3, 6)
y que tiene como vector director v= (2, −4).
y − 6 =−2(x + 3)
Estudia la continuidad de estas funciones.
5
a) fx ( )=−
x −1
b) gx ( )= x − 2 4
c) hx ( )= ln
x
1
a) f(x) es continua en − {1}.
b) g(x) es continua en (−, −2] ∪ [2, +).
c) h(x) es continua en (0, +).
Dadas las funciones f (x) = (2x −1) 2 y gx ( )= x−2,
calcula (g f )(2) y (f g )(2).
2 ( g f )( x) = g[ f( x)] = g[( 2x− 1) ] = 2 ( 2x−1) − 2 = 2 4x −4x−
1 → ( gf )( 2) = 7
( f g)( x) = f[ g( x)] = f( x−2)= ( 2
2
x−2
−1)
→ ( f g)(
2) = 1
Si la función f (x) crece en el intervalo (−10, −2) y decrece en el intervalo (−2, 22),
¿qué ocurre en el punto x =−2?
En x =−2 la función presenta un máximo.
8
309

310
Derivada de una función
001
002
003
004
ACTIVIDADES
Halla la tasa de variación media de las funciones f (x) = x2 + x y g(x) = x3 + x
en los siguientes intervalos.
a) [0, 1] b) [2, 3]
a)
T.V.M.
T.V.M.
([ 01 , ]) =
g − g 2 0
=
1−0 1
2
− (1) − f(0)
([ 01 , ]) =
1−0 =
2 0
1
2
(1) (0)
=
− f
=
b)
f(3) − f(2)
T.V.M. ([ 2, 3])
=
3−2 12 6
=
1
6
T.V.M. ([ 2, 3])
=
g( 3) − g(
2)
30 − 10
=
3−2 1
= 20
− =
La cotización de una acción sigue durante una semana la función f (x) = 0,02x 2 + 1,
donde x es el día de la semana (0 = lunes, 1 = martes, …). Halla la tasa
de variación media de esa cotización de lunes a viernes.
f( 4) − f(
0)
1,32 − 1
TVM . . . ([ 0, 4])
= = = 0,08
4−0 4
Calcula la derivada de estas funciones en x = 1.
a) f (x) = 4x + 2 b) fx ( )=
x
1
2
a) f' (1) = lim
h→0 f( 1+ h) −f(
1) h
= lim
h→0
4( 1+ h)
+ 2−6 h
= lim
h→0
4+ 4h− 4
h
= 4
b) f' (1) = lim
h→0 f( 1+ h) −f(
1)
h
= lim
h→0
1
−1
2 ( 1+
h)
= lim
h
h→0
2 1− ( 1+
h)
2 h( 1+
h)
=
2
1−1−2h− h
= lim
h→0
2 h(
1+
h)
= lim
h→0
−2− h
=−2
2 ( 1+
h)
Halla la derivada de las funciones en los puntos x = 0 y x = 1.
a) f (x) = x3 b)
a) f (0) lim
f h f
h
lim
f'(1) = lim
h→0 f( 1+ h) −f(
1) h
= lim
h→0
3 ( 1+ h)
− 1
= lim
h
h→0
2 3
1+ 3h+ 3h + h − 1
=
h
2
= lim ( 3+ 3h+ h ) = 3
h
' =
h→0 ( 0+ ) − ( 0)
=
h→0 3
h
= lim h
h→0
2 fx ( )= x
= 0
h→0
b) f (0) lim
f h f
h
lim
f'(1) = lim
h→0 = lim
h→0
f( 1+ h) −f(
1) = lim
h
h→0 1 1
=
1+ h + 1 2
1+ h − 1
= lim
h
h→0
1+ h −1
=
h( 1+ h + 1)
h
' =
h→0 ( 0+ ) − ( 0) =
h→0 h
= lim
h→0
1
h
→ No existe.

005
006
007
008
Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x 2 + 2
en x = 2.
f'( 2)
= lim
h→0 f( 2+ h) −f(
2) h
= lim
h→0
2 ( 2+ h)
+ 2− 6
h
= lim
h→0
2
4+ 4h+ h − 4
h
=
= lim ( 4+ h)
= 4
h→0
La pendiente de la recta tangente es 4.
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x 3
en x =−1?
f'( − 1)
= lim
h→0 f( −+ 1 h) −f( − 1) h
= lim
h→0
3 ( −+ 1 h)
+ 1
=
h
= lim
h→0 2 3
−+ 1 3h− 3h + h + 1
2
= lim ( 3− 3h+ h ) = 3
h
h→0
La pendiente de la recta tangente es 3.
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = 2x 2
en el punto P (−1, 2). ¿Cuál es la ecuación de la recta normal?
f'( − 1)
= lim
h→0 f( −+ 1 h) −f( − 1) h
= lim
h→0
2 2( −+ 1 h)
−2
h
= lim
h→0
2
2− 4h+ 2h − 2
h
=
= lim ( − 4+ 2h) =−4
h→0
La ecuación de la recta tangente es: y − 2 =−4(x + 1) → y =−4x− 2
La ecuación de la recta normal es: y− 2 =
1
( x + 1)
→ y =
4
1
4
x +
9
4
Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f (x) = x 3 + 1
en los puntos x = 1 y x =−1. Comprueba que son paralelas a la recta y = 3x + 4.
f'(1) = lim
h→0 f( 1+ h) −f(
1) h
= lim
h→0
3 ( 1+ h)
+ 1− 2
h
= lim
h→0
2 3
1+ 3h+ 3h + h − 1
=
h
2
= lim ( 3+ 3h+ h ) = 3
h→0
La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 1
3
2 3
f( −+ 1 h) −f( − 1) ( −+ 1 h)
+ 1 −+ 1 3h− 3h + h + 1
f'( − 1)
= lim = lim
= lim
=
h→0 h
h→0
h
h→0
h
2
= lim ( 3− 3h+ h ) = 3
h→0
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 3(x + 1) → y = 3x + 3
2
Y
1
X
SOLUCIONARIO
8
311

312
Derivada de una función
009
010
011
012
Halla la función derivada de f (x) = 4x + 2, aplicando la definición de derivada
de una función en un punto. A partir del resultado que has obtenido,
calcula la derivada de f (x) en estos puntos.
a) x = 2 b) x =−7
Comprueba que obtienes el mismo resultado que si utilizas la definición
de derivada en un punto.
f'( x) = lim
h→0 fx ( + h) −fx
( )
h
= lim
h→0
4( x + h) + 2−( 4 x + 2) h
= lim
h→0
4x + 4h−4x h
= 4
a) f'(
2) = 4
f' ( 2)
= lim
h→0 f( 2+ h) −f(
2) h
= lim
h→0
4( 2+
h)
+ 2− 10
h
= lim
h→0
8+ 4h− 8
h
= 4
b) f'(
7) = 4
f' ( 7)
= lim
h→0 f( 7+ h) −f(
7) h
= lim
h→0
4( 7+
h)
+ 2 −30
h
= lim
h→0
28 + 4h −28
h
= 4
¿Cuál es la función derivada de estas funciones?
a) b) fx ( )=
x
1
fx ( )= x
2
a) f'( x) = lim
h→ f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→
x + h −
h
x
= lim
h→0
1
x + h + x
=
1
2 x
0 0 h
x + h− x
= lim
=
→0
h( x + h + x )
b) f'( x) = lim
h→0 f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→0
1 1
−
2 2
( x + h) x
h
= lim
h→0
x − ( x + h)
2 2
hx ( + h) x
= lim
h→0
2 2 x − x −2hx
− h
hx+ h x
= lim
h
− x− h
x + h x
x
=
x
− 2
2 2 ( ) →0
2
2 2 ( )
2
4
2
=−
3 x
2 2
Utiliza la definición para calcular la función derivada de la función f (x) = 2x 3 + x 2 .
f'( x) = lim
h→0 f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→0
3
2 3 2
2 ( x + h) + ( x + h)
− ( 2x
+ x )
h
=
= lim
h→0
3 2 2 3 2
2 3 2
2x + 6hx + 6h x + 2h + x + 2hx
+ h −2x− x
h
=
= lim
h→0
2 2 3 2
6hx + 6hx+ 2h+ 2hx
+ h
h
2 2
= lim ( 6x+ 6hx+ 2h+ 2x+
h)
=
h→0
2 = 6x + 2x
Calcula la derivada de estas funciones, y comprueba que se cumple que el resultado
es igual a la suma de las derivadas de las funciones que las forman.
a) f (x) = 7x + 2x 2 b) f (x) = x−2 + 3x
=

013
a) f'( x) = lim
h→0 f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→0
2 2
7( x + h) + 2 ( x + h) − ( 7x + 2x
)
h
=
= lim
h→0
2 2
2
7x + 7h+ 2x + 4hx + 2h −7x−2x
h
= lim
h→0
7h+ 4hx + 2h
h
= lim ( 7+ 4x+ 2h) = 7+
4x
h→0
f'( x) = lim
h→0 7( x + h) − 7x h
+ lim
h→0
2 2
2( x + h) −2x
h
= lim
h→0
7x + 7h− 7x
h
+
+ lim
h→0
2 2 2
2x + 4hx + 2h −2x
h
= 7 + lim
( 4x+ 2h) = 7+ 4x
h→0
b) g'( x) = lim
h→0 gx ( + h) − gx ( )
h
= lim
h→0
−2
−2
( x + h)
+ 3( x + h) − ( x + 3x)
h
=
= lim
h→0
1
1
+ 3x + 3h−
−3x
2 2
( x + h)
x
h
=
= lim
h→0
2 4 2 3 2 2 2 2
x + 3hx + 6h x + 3h x − x −2hx− h
2 2
hx ( + h) x
=
= lim
h→0
4 3 2
4
3x + 6hx + 3hx −2x− h 3x−2x
=
2 2
4
( x + h) x
x
=
3 3x−2 3 x
g'( x) = lim
h→0 −2 −2
( x + h) − x
+ lim
h
h→0
3( x + h) −3x
h
= lim
x h x
h
lim
x h x
h
lim x
h→0
1 1
−
2 2
( + )
+
+
h→0 3 + 3 −3
=
h→0
2 2 2
− x −2hx− h
+ 3 =
2 2
hx ( + h) x
= lim
h→0
−2x− h
2x
+ 3 =
2 2 4
hx ( + h)
x
x
3
3 3x2 3 x
− + =
−
Halla la derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición de derivada
del producto de un número por una función.
a) f (x) = 8x3 b) c) f (x) = −5x2 fx ( )= 4 x
a) lim
h→0 3 3
( x + h) − x
h
= lim
h→0
3 2 2 3 3
x + 3hx + 3h
x + h − x
h
= lim
h→0
2 2 3
3hx + 3hx+
h
h
=
2 2
= lim ( 3x+ 3hx+
h ) = 3 2 x
f'(x) = 8 · 3x 2 = 24x 2
h→0
b) lim
x + h −
h
x
= lim
h
x + h− x
x + h + x
1
f'( x)
= 4 ⋅
2 x
=
2
x
( ) =
h→0 h→0 h→0
SOLUCIONARIO
1
1
lim =
x + h + x 2 x
c) lim
h→0 2 2
( x+ h) − x
= lim
h
h→0 2 2 2
x + 2hx+
h − x
= lim
h
h→0
2 2hx
+ h
= lim ( 2x+ h) = 2x
h
h→0
f'( x) =−5⋅ 2x =−10x
2
8
=
313

314
Derivada de una función
014
015
016
017
Calcula el producto de las funciones f (x) = x 2 − 4 y g(x) = x + 1, y después halla
su derivada. Comprueba que el resultado es el mismo que si aplicamos la fórmula
de la derivada del producto de funciones.
2 3 2
px ( ) = fx ( ) ⋅ gx ( ) = ( x − 4)( x+ 1) = x + x −4x−4 3 2 3 2
( x+ h) + ( x+ h) − 4( x+ h) −4− ( x + x −4x− 4)
p'( x)
= lim =
h→0
h
3 2 2 3 2 2
3 2
x + 3hx + 3h x+ h + x + 2hx+ h −4x−4h−4− x − x + 4x+ 4
= lim =
h→0
h
2 2 3 2
3hx + 3hx+ h + 2hx + h −4h2
2
= lim = lim ( 3x + 3hx+ h + 2x+ h−
4)
=
h→0
h
h→0
2 = 3x + 2x−4 Aplicando la fórmula: p'( x) = f'( x) ⋅ g( x) + f( x) ⋅ g'(
x)
=
= lim
h→0
2 2
( x + h) −4−( x −4) 2
⋅ ( x + 1) + ( x −4) ⋅ lim
h
h→0
( x + h) + 1− ( x + 1)
h
=
= lim
h→0
2 2 2
x + 2hx
+ h − x
2
⋅ ( x + 1) + ( x −4) ⋅ lim
h
h→0
x + h− x
h
=
2 2 2
= lim ( 2x
+ h) ⋅ ( x + 1) + ( x −4) ⋅ 1= 2x( x + 1) + x − 4 = 3x + 2x−4 h→0
Halla las derivadas de las funciones f (x) = x2 + 1 y g(x) = −x + 5.
fx ( )
gx ( )
¿Cuál es la derivada del cociente ? ¿Y la derivada del cociente ?
gx ( )
fx ( )
⎡ gx ( ) ⎤
⎢ ⎥
⎢ f( x)
⎥
⎣ ⎦
g ( x) f( x) g( x) f ( x)
[( f x
=
' ' ⋅ − ⋅ '
2 )]
2 ( 1)( 1) ( 5) 2
=
2 2 ( 1)
2 10 1
(
− + − − + ⋅
+
= − −
⎡ f( x)
⎤
⎢ ⎥
f ( x) g( x) f( x) g ( x)
⎢ gx ( ) ⎥
⎣ ⎦
[ gx (
x x x
x
x x
2 2 x + 1)
=
' 2
2
' ⋅ − ⋅ ' 2 ⋅− ( + 5) − ( + 1)( −1)
10 1
=
=
2
2
)]
( − + 5)
(
− + +
x x x
x x
x
− x + 5 2
f'( x) = lim
h→0 2 2
( x + h) + 1− ( x + 1) h
= lim
h→0
2
2 2
x + 2hx + h − x
h
= lim ( 2x+ h) = 2x
h→ 0
g'( x) = lim
h→0 − ( x + h) + 5−( − x + 5)
h
= lim
h→0
−x− h+ x
h
= −1
)
Calcula la derivada de esta función, indicando los pasos que sigues para hallarla.
f (x) = x 2 + 2x
Se aplica la derivada de la suma de funciones, la derivada de la función potencial
(n = 2), la derivada del producto de un número por una función y la derivada
de la función identidad: f'(x) = 2x 2−1 + 2 ⋅ 1 = 2x + 2
Halla la derivada de la siguiente función:
Se aplica la derivada del cociente de funciones. Para derivar la función
del numerador se usa la derivada de la suma de funciones, la derivada
de la función identidad y la derivada de la función constante. Para obtener
la derivada del denominador se aplica la derivada del producto de un número
por una función y la derivada de la función potencial (n = 5):
x ( x ) x x x
f'( x)
=
( x )
x
⋅ − − ⋅ ⋅
= − +
5 4
5 4
1 2 3 2 5 8 30
=
52
10
2
4
− + 4 15
2 6
x
fx ( )=
x
x
x
−3
2 5

018
019
020
021
Halla la derivada de las siguientes funciones.
a) f (x) = 5 sen x + 3 cos x b) f (x) = (5x 2 ⋅ sen x) + (x ⋅ cos x)
a) f'(x) = 5 · cos x + 3 · (−sen x) = 5 cos x − 3 sen x
b) f'(x) = (5 · 2x · sen x + 5x2 · cos x) + (1 · cos x + x · (−sen x)) =
= 10x sen x + 5x2 cos x + cos x − x sen x
Obtén la derivada de estas funciones.
a) f (x) = e x ⋅ tg x b) f (x) = 3x 2 − arc sen x
a) f'(x) = e x · tg x + e x · (1 + tg2 x) = e x (1 + tg x + tg2 x)
b) f'( x)= 6x−
1
2 1−
x
Halla la derivada de estas funciones aplicando la regla de la cadena.
a) f (x) = ln (cos x) c) f (x) = (x 4 + 2) 9
b) f (x) = cos (ln x) d) f (x) = x
b) f'( x) =−sen (ln x)
⋅
x
1
a) f'( x)
=
1
cos x
⋅( − sen x) =−tgx
c) f'( x) = 9( x + 2) ⋅ 4x = 36x ( x + 2)
4 8 3 3 4 8
d) f'( x) = 1⋅ −
3 1 3
2x + 1 + x⋅ ( 2x + 1) 2 2 ⋅ 6x
=
2
= 3 2x+ 1 +
3 3x
3 2x+ 1
3 5x1 3 2x1 =
+
+
Calcula la derivada de estas funciones.
a) f (x) = sen c) f (x) = ln
b) f (x) = 3 sen x 2 + 2 sen2 2 x + 3x
1+
x
1−
x
x
(
d) f (x) = e
2
x + 1) −
2
2 1 2
( 2x+ 3) cos x + 3x
a) f'( x) = cos x + 3x
⋅ ( x + 3x) 2 ⋅ ( 2x + 3)
=
2
2 2 x + 3x
2 2 b) f'( x)= 3⋅ cos x ⋅ 2x+ 2⋅2⋅ sen x ⋅ cos x = 6x⋅ cos x + 4⋅sen
x cos x
c) f'( x)
=
1
1+
x
1−
x
1⋅( 1− x) − ( 1+ x)
⋅( −1)
2
⋅
=
2 ( 1−
x)
1−
x 2
2
( x + ) −
2
1
x
f'( x)= e ⋅ ( x + )⋅
1
( + )
x 2
1
2 1 = e ⋅
2
1
1
1
3 2x + 1
x + 1
x
SOLUCIONARIO
8
315

316
Derivada de una función
022
023
024
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.
a) f (x) = x2 −6x + 5
b) f (x) = 8x + x2 a) f'(x) = 2x − 6
2x − 6 = 0 → x = 3
La función es decreciente en (−, 3) y es creciente en (3, +).
b) f'(x) = 8 + 2x
8 + 2x = 0 → x =−4
La función es decreciente en (−, −4) y es creciente en (−4, +).
Determina los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de estas
funciones.
a) f (x) = x3 −3x
b) f (x) = 2 − x
a) f'(x) = 3x2 − 3
3x2 − 3 = 0 → x =±1
La función es creciente en (−, −1) ∪ (1, +) y es decreciente en (−1, 1).
Presenta un máximo en x =−1 y un mínimo en x = 1.
b) f'(x) =−1 < 0
La función es decreciente en . No tiene máximos ni mínimos.
Calcula los máximos y mínimos de estas funciones.
a) f (x) = x4 −4x 2 + 2
b) f (x) =
c) f (x) = x3 −12x
d) f (x) = x
8
2 x + 2
2
3 x + 1
f'(0) < 0 f'(4) > 0
0 3 4
f'(−5) < 0 f'(0) > 0
−5 −4 0
f'(−2) > 0 f'(0) < 0
f'(2) > 0
−2 −1 0
1 2

025
a) f'(x) = 4x 3 − 8x
f"(x) = 12x2 ⎧
3 2
x = 0
4x − 8x = 0 → 4x( x − 2) = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪
x =±
− 8
2
f" ( − 2)= 16> 0 → En x =− 2 tiene un mínimo.
f"(0) =−8 < 0 → En x = 0 tiene un máximo.
f" ( 2)= 16> 0 → En x = 2 tiene un mínimo.
x
b) f'( x)
=
( x )
x
( x )
x
f" ( x)
−
+
−
+
= =
= −
16
2 2 2
16
2 2 2
0 → 0
2 2 2
16( x + 2) + 16x⋅ 2( x + 2) ⋅2x
2 4 ( x + 2)
=
2 48x − 32
2 ( x + 2 3 )
f"(0) =−4 < 0 → En x = 0 tiene un máximo.
c) f'(x) = 3x2 − 12
3x2 − 12 = 0 → x =±2
f"(x) = 6x
f"(−2) =−12 < 0 → En x =−2 tiene un máximo.
f"(2) = 12 > 0 → En x = 2 tiene un mínimo.
SOLUCIONARIO
x⋅ ( x + ) − x ⋅ x
d) f'( x)
=
( x + )
x x
=
( x
f"(0) = 2 > 0 → En x = 0 tiene un mínimo.
3 2
3
f" ( 2 )=− < 0 → En x = 2
3
tiene un máximo.
− +
3 2 2
2 1 3
3 2 1
4 2
3 2 + 1)
4 − x + 2x
3 2 ( x + 1)
⎧
4
= 0
= 0 − + 2 = 0 ⎨
⎪x
→ x x →
3
⎩⎪
x = 2
( x )( x ) ( x x) ( x ) x
f"(
x)
=
(
− + + − − + ⋅ + ⋅
3 3 2 4 3 2
4 2 1 2 2 1 3
3 4 x + 1)
6 3 2x − 14x + 2
=
3 3 ( x + 1)
Si la función f (x) = x 3 + ax + b tiene un mínimo en el punto (1, 5), determina
los valores de a y b. ¿Tiene algún otro máximo o mínimo esta función?
f'(x) = 3x 2 + a
Si la función tiene un mínimo en x = 1: f'(1) = 0 → 3 + a = 0 → a =−3
Como el punto (1, 5) pertenece a la gráfica de la función f(x), se verifica que: f(1) = 5
Al ser f(x) = x 3 − 3x + b, se tiene que: 1 − 3 + b = 5 → b = 7
Por tanto, la expresión de la función es: f(x) = x 3 − 3x + 7
f'(x) = 3x 2 − 3
3x 2 − 3 = 0 → x =±1
f"(x) = 6x
f"(−1) =−6 < 0 → En x =−1 tiene un máximo.
8
317

318
Derivada de una función
026
027
Halla los máximos y mínimos de f (x) = sen 2 x en [0, 2π].
f'( x)= 2 sen x cos x
⎧⎪
⎧
⎪
⎪x
= 0
sen x = 0 → ⎪
⎪
⎨
⎪
⎩⎪ x = π
⎪
⎧
2 sen x cos x = 0 →
⎪
⎨
⎪
⎪
π
⎪x
=
⎪
⎪cos
x = 0 ⎨
⎪ 2
⎪ →
⎪
⎪ 3π
⎪
⎪x
=
⎩⎪
⎩⎪
2
2 2
f"( x) = 2( cos x− sen x)
tiene un mínimo.
tiene un máximo.
tiene un mínimo.
f" x tiene un máximo.
3
f" x
f"( π) = 2> 0 → En x = π
⎛
⎜ π⎞3π ⎜ =− 2< 0 → En =
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
π π
f"( 0) = 2> 0 → En x = 0
⎛ ⎞
⎜ =− 2< 0 → En =
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
Representa estas funciones.
a) fx ( )=
x
c) fx ( )=
x
x
+ x +
b) fx ( )=
2 x + 1
2 x − x
d) fx ( )=
2
2 x + 3
1
2
a) Dom f = − {0}
lim
x→0
1
=+ → x = 0 es una asíntota vertical.
2 x
1
lim
x→+
2 x
= 0 → y = 0 es una asíntota horizontal.
No hay puntos de corte con los ejes.
f'( x)=−
x
2
3
Si x > 0 → f'(x) < 0 → f(x) es decreciente en (0, +).
Si x < 0 → f'(x) > 0 → f(x) es creciente en (−, 0).
La función no tiene máximos ni mínimos.
Y
1
f(x)
1
X
2 1

f(x) es decreciente en (−; −2,41) ∪ (0,41; 1) ∪ (1, +) y es creciente
en (−2,41; 0) ∪ (0; 0,41)
Y
Mínimo: (−2,41; 0,82)
f(x)
Máximo: (0,41; −4,82)
c) Dom f =
lim
x→+
x
→ y = 0 es una asíntota horizontal.
x + x +
Punto de corte: (0, 0)
=
0
2 1
( x x ) x ( x )
x
f'( x)
=
( x x ) ( x
⋅ + + − ⋅ +
2
2
1 1 2 1 1−
=
x x
2 2
2 + + 1
+ x + = − = =±
2 0→1 0→ 1
2 1)
f'(−2) < 0 f'(0) > 0
f(x) es decreciente en (−, −1) ∪ (1, +)
y es creciente en (−1, 1).
Mínimo: (−1, −1)
Máximo: (1; 0,33)
f'(2) < 0
−2 −1 0
1 2
SOLUCIONARIO
b) Dom f = − {0, 1}
x = 0 es una asíntota vertical. x = 1 es una asíntota vertical.
y = 1 es una asíntota horizontal.
No hay puntos de corte con los ejes.
− − +
= − − + = =
−
±
x⋅( x − x) − ( x + ) ⋅( x−
) x x
f'( x)
=
=
( x − x)
2 x 2x 1
2
2 8
0 → x 2x 1 0 → x
2 2 ( x x)
−2
=− 1± 2
− −
lim
2 2
2 2 1 2 1 2 + 1
2 2
2 2 ( x − x)
x
x→+
+
x − x
=
lim
2 1
1 →
2
x
− x→
+ x→
+
x − x
x
x x
=−
+
− =+
lim
1
lim
1
2 1 ⎫⎪
⎪
2 ⎪
⎬
⎪
2 1 ⎪
⎪
2
⎭⎪
x
lim
x x
x
− x→0
+ x→0
2 + 1
2 −
2 1
2 x x
=+
+
− =−
lim
⎫⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭⎪
x
lim
x→1
2 + 1
→
2 x − x
2
0
x
x→0
2 + 1
→
2 x − x
1
0
f'(−3) < 0 f'(−1) > 0 f'(0,2) > 0 f'(0,5) > 0
f'(2) < 0
−3 −2,41 −1
0,2 0,5
0 0,41 1 2
1
Y
1
1 f(x)
1
8
X
X
319

320
Derivada de una función
028
d) Dom f =
lim → y = 0 es una asíntota horizontal.
x→+
x +
No hay puntos de corte con los ejes.
=
2
0
2
3
4x
f'( x)
=−
( x + 3)
2 2
4x
− = 0 → x = 0
2 2 ( x + 3)
Si x > 0 → f'(x) < 0 → f(x) es decreciente en (0, +).
Si x < 0 → f'(x) > 0 → f(x) es creciente en (−, 0).
Máximo: (0; 0,66)
Y
1
Representa las siguientes funciones.
a) b)
a) Dom f =
f'(x) = 3x 3 − 3x 2 fx
e
− 6x
⎧ ⎪
x = 0
3 2 2
3x −3x − 6x = 0 → 3x( x − x − 2) = 0 → ⎪
⎨
⎧
2
x = 2
⎪x
− x − 2= 0 → ⎨
⎪
⎪
⎩⎪
⎩⎪ x = −1
x
fx ( )=
3 4 3 2
x −x− 3x+ 6
4
( )=
1
−1
f'(−2) < 0 f'(−0,5) > 0
−2 −1 −0,5 1 2 3
0
f(x) es decreciente en (−, −1) ∪ (0, 2) y es creciente en (−1, 0) ∪ (2, +).
Mínimos: (−1; 4,75) y (2, −2)
Máximo: (0, 6)
Y
1
1
1
f(x)
f(x)
X
X
f'(1) < 0
f'(3) > 0

029
b) Dom f = − {0}
1 1
lim →
x→0
x e −1
0
1
lim− x→0
x e − 1
x = 0 es una asíntota vertical.
1
lim+ x→0
x e 1
=−
− =+
⎫⎪
⎪
⎬
⎪ →
⎪
⎪
⎭⎪
lim → y = 0 es una asíntota horizontal.
→+
x e − =
1
0
1
x
lim → y =−1 es una asíntota horizontal.
→−
x e − =−
1
1
1
x
No hay puntos de corte con los ejes.
x e
f'( x)
=−
x 2 ( e −1) f'(x) < 0 → f(x) es decreciente en (−, 0) ∪ (0, +).
No hay máximos ni mínimos.
Halla dos números naturales positivos cuya suma sea 60 y sabiendo que la suma
de uno más el cuadrado del otro es la mayor posible.
x + y = 60 → y = 60 − x
2
f( x)= 60 − x+ x
f'( x)=− 1+ 2x
1
−+ 1 2x = 0 → x =
2
1
f"( x)=− 2< 0 → En x = tiene un máximo.
2
Los números son: 1
2
Y
1
f(x)
1
119
y
2
X
SOLUCIONARIO
8
321

322
Derivada de una función
030
031
El área de un rectángulo es de 100 cm 2 . Si queremos que tenga el menor perímetro
posible, ¿cuáles son sus dimensiones?
f"( x)=
x
400
f( x)= 2x+ 2⋅ = x +
x
x
200
f'( x)=
2 −
2 x
200
2
2 − = 0 → 2x − 200 = 0 → x = ± 10
2 x
3
100
100
x⋅ y = 100 → y =
x
200
2
f"( 10) > 0 → En x = 10 tiene un mínimo.
Como el valor de x corresponde a la medida de un lado, no puede ser
x =−10. Por tanto, las dimensiones del rectángulo son: x = y = 10 cm.
Se trata de un cuadrado de 10 cm de lado.
Una pieza con forma de triángulo rectángulo tiene un cateto cuya longitud
es 1 m y el otro cateto mide 3 m. Determina el rectángulo de lados paralelos
a los catetos y cuya área sea la mayor posible que se puede obtener de ella.
Si el triángulo se apoya sobre los ejes de coordenadas, los vértices coinciden
con los puntos (0, 0), (3, 0) y (0, 1).
Y
1
1
(x, y)
Entonces el rectángulo de lados paralelos a los catetos tiene un vértice
sobre la recta que contiene a la hipotenusa:
x − 3 y
= → x + 3y = 3
3 −1
x = 3−3y f( y) = ( 3− 3y) y= 3y−3y2 tiene un máximo.
Así, los lados del rectángulo miden 1
x = 3−3⋅ =
my
2
3
m.
2
1
f'( y)= 3−6y 3− 6y = 0 → y =
1
2
f"( y)=− 6< 0 → En y =
1
2
3
2 2
X

032
033
SOLUCIONARIO
Se han construido cajas de cartón, de base cuadrada y sin tapa, cuya capacidad
es de 1 m3 . Si queremos mantener el volumen, pero modificar la base, ¿cuáles serán
sus dimensiones para minimizar el gasto de cartón empleado?
tiene un mínimo.
La arista de la base mide m y la altura del ortoedro es m.
Sabemos que el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una circunferencia
es el cuadrado. ¿Sucederá lo mismo si consideramos una semicircunferencia?
Para comprobarlo, halla las dimensiones de un rectángulo de área máxima,
inscrito en una semicircunferencia de 5 cm de radio, sabiendo que su base
está situada sobre el diámetro.
f" x tiene un máximo.
5 2
Como el valor de x corresponde a la medida de un lado, no puede ser x = − .
2
y =
25
25 −
2
=
25
2
=
5 2
2
5 2
Se trata de un cuadrado cuyo lado mide
en la semicircunferencia.
2
cm; por tanto, también se verifica
5 2
2 x y= 1→
y=
1
2 x
2 f( x)= x + 4x⋅
1
2 x
2 = x +
4
x
y
f'( x)= 2x−
4
2 x
2x
−
4
2 x
3 3
= 0 → x − 2 = 0 → x = 2
x
x
f"( x)=
2 +
8
3 x
3 3
f" ( 2)> 0 → En x = 2
1
y = = 2
( 3
2 )
1
3
4
3
2
1
3
4
2 2 2 x + y = 5 → y = 2 25−
x
f( x)= x 2 25 − x
f'( x)= 2 25 − x + x⋅
2
−2x
2 25−x
=
5 cm
y
=
2 25 − 2 x
2 25 − x
x
2 25 − 2x
2 25 − x
2
= 0 → 25− 2x = 0 → x = ±
25
2
5 2
= ±
2
f"( x)
=
−4x 2 2
25− x −( 25−2x )
2 25 − x
−x
2 25 − x
3 2x − 75x
=
2 2
( 25 − x ) 25 − x
⎛ ⎞
⎜
5 2
⎜ < 0 → En =
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
8
323

324
Derivada de una función
034
035
036
037
Determina la tasa de variación media de la función y = x 2 −2x + 6
en el intervalo [1, 3].
¿Cuál es la tasa de variación media de la función fx ( )= en el intervalo [1, 4]?
x
12
Calcula la tasa de variación media en los
intervalos indicados para la siguiente función.
a) [1, 2]
b) [1, 3]
c) [2, 3]
f( 3) − f(
1)
9 5
T.V.M. ([ 1, 3])
= = 2
3−1 2
− =
f( 4) − f(
1)
3 12
T.V.M. ([ 1, 4])
= = 3
4−1 3
− =−
f( 2) − f(
1)
3 2
a) TVM . . . ([ 1, 2])
= = 1
2−1 1
− =
f( 3) − f(
1)
6 2
b) TVM . . . ([ 1, 3])
= = 2
3−1 2
− =
f( 3) − f(
2)
6 3
c) TVM . . . ([ 2, 3])
= = 3
3−2 1
− =
Determina la tasa de variación media de esta función en cada uno de los intervalos.
a) [−1, 1] b) [1, 3] c) [−1, 3]
f( ) −f( − )
a) TVM . . . ([ − , ]) =
=
−− ( )
− 1 1 1 2 1
11
=−
1 1 2 2
f( 3) − f(
1)
4 1 3
b) TVM . . . ([ 1, 3])
= =
3−1 2 2
− =
f( ) −f( − )
c) TVM . . . ([ − , ]) =
=
−− ( )
− 3 1 4 2 1
1 3
=
3 1 4 2
Y
1
1
1
X
Y
1
X

038
039
040
041
042
Halla la tasa de variación media de la función y = 2x 2 − x en el intervalo [2, 2 + h].
Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media de la función
en los siguientes intervalos.
a) [2, 3] b) [2, 5] c) [2, 8]
2
f( 2+ h) −f(
2)
22 ( + h)
− ( 2+
−
TVM . . . ([ 2, 2+
h])
=
=
2+ h −2
=
= + + − − − h)
6
h
2
8 8h 2h 2 h 6
h
= 7+ 2h
a) T.V.M. ([2, 3]) = 7 + 2 · 1 = 9
b) T.V.M. ([2, 5]) = 7 + 2 · 3 = 13
c) T.V.M.([2, 8]) = 7 + 2 · 6 = 19
Calcula el valor de a de modo que la tasa de variación media de la función
f (x) = 2x + ax −5 en el intervalo [0, 2] sea 1.
f( 2) − f( 0)
4 2a 5 ( 5)
4 2
TVM . . . ([ 0, 2])
= =
2−0 2
+ − − − + a
= = 2+ a = 1→a =−1
2
Encuentra dos funciones polinómicas de segundo grado que pasen por los puntos
(0, 4) y (3, 10). Comprueba que la tasa de variación media en el intervalo [0, 3]
es la misma para las dos funciones.
Respuesta abierta.
La función es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c
Como la gráfica pasa por el punto (0, 4), se verifica que: c = 4
Al pasar también por el punto (3, 10), se cumple que: 9a + 3b + 4 = 10 → 3a + b = 2
Sean f(x) = x 2 − x + 4 y g(x) = 2x2 − 4x + 4 las funciones pedidas.
g( 3) − g(
0)
10 4
TVM . . . ([ 0, 3])
=
= 2
3−0 3
− f( 3) − f(
0)
10 4
TVM . . . ([ 0, 3])
= = 2
3−0 3
=
− =
¿Por qué la tasa de variación media de la función y = 2x −3 en cualquier intervalo
es siempre 2?
Porque la gráfica de la función es una recta de pendiente 2,
y esta indica su variación en cualquier intervalo.
SOLUCIONARIO
El espacio recorrido por un objeto, en metros, se expresa con la fórmula: e = 4t 2 + 2t + 1
a) ¿Qué espacio ha recorrido a los 4 segundos? ¿Y a los 7 segundos?
b) ¿Cuál es la velocidad media que ha mantenido entre los 4 y 7 segundos?
a) A los 4 segundos: e = 73 m A los 7 segundos: e = 211 m
b)
211− 73
TVM . . . ([ 4, 7])
=
7−4 = 46 m /s
8
325

326
Derivada de una función
043
044
Aplica la definición de derivada en un punto para calcular las derivadas
de las funciones en los puntos que se indican.
a) y = 3x − 1 en x = 2
b) y = x2 + x en x = 3
c) en x =−1
d) en x = 1
e) y = (x − 1) 2 y =
x
en x =−2
6
y =
4x+ 3
2
f( 2+ h) −f(
2) 3( 2+ h)
−1−5 6+ 3h− 6
a) f'( 2)
= lim = lim
= lim
= 3
h→0 h
h→0
h
h→0
h
f( 3+ h) −f(
3) b) f'( 3)
= lim
h→0 h
= lim
h→0
2 ( 3+ h) + 3+
h−
12
h
=
= lim
h→0 2
9+ 6h+ h + h−
9
h
= lim ( 7+ h)
= 7
h→
0
c) f'( − 1)
= lim
h→0 f( −+ 1 h) −f( − 1)
h
= lim
h→0
4( −+ 1 h)
+ 3 1
+
2 2
h
=
= lim
h→0
− 4+ 4h+ 3+ 1
= 2
2h
d) f'( 1)
= lim
h 0
f( 1+ h) −f(
1)
h
= lim
h 0
6
6
1+
h
h
li
−
→ →
= m
h→0
6−6−6h =
h 1+
h
−6
= lim
h→0
1+
h
6 =−
( )
e) f'( − 2)
= lim
h→0 f( − 2+ h) −f( − 2) h
= lim
h→0
2
( − 2+ h −1)
− 9
h
=
= lim
h→0 2
9− 6h+ h − 9
h
= lim ( − 6+ h)
=−6
h→0
Calcula, utilizando la definición de derivada en un punto, f'(2) y f'(0) para la siguiente
función: f (x) = 2x 2 − x + 3
f'( 2)
= lim
h→0 f( 2+ h) −f(
2) h
= lim
h→0
2 2( 2+ h) − ( 2+
h)
+ 3− 9
h
=
= lim
h→0 2
8+ 8h+ 2h −2− h−
6
h
= lim ( 7+ 2h)
= 7
h→0
2
f( 0+ h) −f(
0) 2h − h+
3− 3
f'( 0)
= lim = lim = lim
( 2h− 1) =−1
h→0 h
h→0
h
h→0

045
046
047
048
049
x + 6
Si fx ( )= , determina a partir de la definición de derivada en un punto
3
las siguientes derivadas.
a) f'(−3) b) f'(2)
a)
f( − 3+ h) −f( − 3)
f'( − 3)
= lim = lim
h→0 h
h→0
− 3+ h + 6
−1
3
= lim
h
0
+ 3− 3 1
=
3 3
f( 2+ h) −f(
2)
b) f'( 2)
= lim = lim
h→0 h
h→0
2+ h + 6 8
−
3 3
h
= lim
h→0
h + 8− 8 1
=
3h
3
h
h→ h
Obtén la pendiente de la recta tangente a la función y = 3x 2 + 2x en el punto
de abscisa x = 5.
f'( x) = 6x + 2 → f'(
5) = 32
La pendiente de la recta tangente es 32.
Halla la derivada de la función y =−t 2 + 2t en el punto t = 8.
f'() t =− 2t+ 2 → f'()
8 =−14
El espacio, en metros, que recorre un móvil en función del tiempo, en segundos,
viene descrito por la expresión.
2 2 e = t + t
3
Calcula la velocidad instantánea del móvil a los 3 segundos.
4
f'() t = t+ 1→f'() 3 = 5
3
La velocidad instantánea del móvil a los 3 segundos es de 5 m/s.
SOLUCIONARIO
Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x 2 en el punto de abscisa 1.
f(1) = 3
f'( x) = 6x → f'(
1) = 6
La ecuación de la recta tangente es: y − 3 = 6(x − 1) → y = 6x − 3
8
327

328
Derivada de una función
050
051
Demuestra gráficamente que la derivada de esta función en el punto de abscisa 3
tiene un valor comprendido entre 2 y 3.
Y
1
1
La derivada de la función en el punto x = 3
es la pendiente de la recta tangente,
y observando el dibujo de la misma se obtiene
que, por cada unidad en horizontal, el avance
vertical está comprendido entre 2 y 3 unidades.
A partir de la definición, calcula las funciones derivadas de las funciones
que se indican.
a) y = 2x + 3 c) y = x3 b) d) y = 2x
e)
2 − 3x f) y = (3x 2 + 2) 2
x
y =
a) f'( x) = lim
h→0 f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→0
2( x + h)
+ 3−( 2x+ 3)
h
=
= lim
h→0
2x + 2h−2x h
= 2
b) f'( x) = lim
h→0 f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→0
2( x + h)
−1 2x−1 −
4
4
h
=
= lim
h→0
2x + 2h−1− 2x + 1
=
4h
1
2
− 2 1
4
y =
x
12
c) f'( x) = lim
h→0 f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→0
3 3
( x + h) − x
h
=
= lim
h→0 3 2 2 3 3
x + 3hx + 3h
x + h − x
h
2 = lim ( 3x+ 3hx+
h ) = 3x
h→0
X
2 2
e) f'( x) = lim
h
f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h
x + h x
h
−
→0 →0
12 12
12x−12x−12h = lim =
h→0
hx( x + h)
= lim
h→0
−12
x( x+ h)
=−12
d) f'( x) = lim
h→0 f( x+ h) −f(
x)
h
= lim
h→0
2
2
2( x + h)
−3(
x + h) −( 2x −3x)
h
=
= lim
h→0
2 2
2
2x + 4hx + 2h −3x−3h−2x + 3x
h
= lim ( 4x+ 2h− 3) = 4x−3 h→ 0
2 x
Y
1
1
X

052
053
054
055
SOLUCIONARIO
2 2 2 2
f( x+ h) −f(
x)
( 3( x+ h)
+ 2) − ( 3x+ 2)
f) f'( x) = lim = lim =
h→0 h
h→0
h
4 2 4 2
9( x+ h) + 12( x+ h) + 4−9x −12x − 4
= lim =
h→0
h
4 3 2 2 3 4 2 2 4 2
9x + 36hx + 54h x + 36h x+ 9h
+ 12x + 24hx+ 12h −9x −12x
= lim =
h→0
h
3
2 2 3 3
= lim ( 36x + 54hx
+ 36h x+ 9h + 24x+ 12h) = 36x + 24x
h→0
Obtén, aplicando la definición, la función derivada de f (x) = x 2 − 2x + 4, y calcula
la derivada en estos puntos.
a) f'(1) b) f'(−3) c) f'(2)
f( x+ h) −f(
x)
f'( x) = lim = lim
h→0 h
h→0
2 2
( x+ h) − 2 ( x+ h)
+ 4−( x − 2x+ 4)
=
h
= lim
h→0
2 2 2
x + 2hx+ h −2x− 2h+ 4−
x + 2x− 4
= lim ( 2x+ h − 2) = 2x−2 h
h→0
a) f'(1) = 0 b) f'(−3) =−8 c) f'(2) = 2
A partir de la definición, encuentra la función derivada de f (x) = x 2 + 2x + 2,
y calcula f'(0), f'(−1) y f'(3). Decide el tipo de crecimiento de la función
en los puntos de abscisa 0, −1 y 3.
f( x+ h) −f(
x)
f'( x) = lim = lim
h→0 h
h→0
2 2
( x+ h) + 2 ( x+ h)
+ 2− ( x + 2x+ 2)
=
h
= lim
h→0
2 2 2
x + 2hx+ h + 2x+ 2h+ 2−
x −2x− 2
= lim ( 2x+ h + 2) = 2x+ 2
h
h→ 0
f'(0) = 2 > 0 → La función es creciente en x = 0.
f'(−1) = 0 → No se puede decir si la función tiene un mínimo o un máximo en x =−1.
f'(3) = 8 > 0 → La función es creciente en x = 3.
La función derivada de y = ln x es y'
= . Utiliza el resultado para determinar
x
la ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto de abscisa 1.
1
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 1(x − 1) → y = x − 1
Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva
en el punto de abscisa 4.
1
y'
= 1+
2 x
La ecuación de la recta tangente es:
y− 6 =
5
( x− 4)
→ y =
4
5
x + 1
4
La ecuación de la recta normal es:
4
4 46
y− 6 =− ( x− 4)
→ y =− x +
5
5 5
y = x + x
8
329

330
Derivada de una función
056
057
058
059
060
061
¿Es horizontal la recta tangente a la función y = x 3 + x 2 en el origen de coordenadas?
Si es cierto, ¿cuál será la ecuación de la recta normal?
y' = 3x2 + 2x
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 0(x − 0) → y = 0
Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x = 0
¿Es cierto que la curva tiene una tangente horizontal
en el punto (1, 0)?
y x x ⎛ ⎞
' = ⎜ − + x ⋅ = x − x
⎝⎜
⎠⎟
2
⎛ x ⎞
2 y = x ⎜ 1
⎜ −
⎝⎜
3 2 ⎠⎟
1 2 1 2
3 2 3
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 0(x − 1) → y = 0
Es una recta horizontal.
¿Se verifica que la recta tangente a la curva y = (x 2 − x)(2x + 1),
en el punto de abscisa −1, es paralela a la recta 14x − 2y − 3 = 0?
2 2
y' = ( 2x− 1)( 2x + 1) + ( x − x) ⋅ 2= 6x −2x−1 La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 7(x + 1) → y = 7x + 7
3
14x −2y − 3 = 0 → y = 7x
−
2
Como las pendientes de las rectas son iguales, se verifica que son paralelas.
Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función y = cos x
en el punto de abscisa π.
y' =−sen x
La ecuación de la recta tangente es: y + 1 = 0(x −π) → y =−1
Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x =π
¿Cuánto tiene que valer a para que la función f (x) = x ln x − ax tenga, en el punto
de abscisa e, una recta tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante?
La bisectriz del primer cuadrante es: y = x
Esta recta y la recta tangente son paralelas si sus pendientes son iguales.
La pendiente de la recta tangente a la función, en x = e, es:
1
f'( x) = ln x + x⋅
− a = ln x + 1− a → f'( e) = 2−
a
x
Entonces, tenemos que: 2 − a = 1 → a = 1
Halla la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos indicados.
a) y = 23x−8 en x = 3 b) y = x2 ln (x + 3) en x =−2 c) y = (3x − 5) 6 en x = 2
a) y' = 23x−8 ⋅ 3
La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 6(x − 3) → y = 6x − 16
1
1 5
La ecuación de la recta normal es: y− 2 =− ( x− 3)
→ y =− x +
6
6 2

062
063
2 1
b) y' = 2x ln ( x + 3)
+ x ⋅
x + 3
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 4(x + 2) → y = 4x + 8
La ecuación de la recta normal es:
c) y' = 6(3x − 5) 5 ⋅ 3 = 18(3x − 5) 5
1
1 1
y− 0 =− ( x + 2)
→ y =− x−
4
4 2
La ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 18(x − 2) → y = 18x − 35
1
1 10
La ecuación de la recta normal es: y− 1=−
( x− 2)
→ y =− x +
18
18 9
Determina la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos
indicados.
a) y = 2x + 6 en x = 5
b) y = sen (2x + π) en x = 0
c) y = tg
π−
x
2
en x =π
a)
1
−
y' = ( 2x + 6) 2 ⋅ 2=
2
1
2x+ 6
La ecuación de la recta tangente es: y − 4 =
1
( x − 5)
→ y =
4
1 11
x +
4 4
La ecuación de la recta normal es: y − 4 =−4(x − 5) → y =−4x + 16
b) y' = cos ( 2x+ π)
⋅2
1
SOLUCIONARIO
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 =−2(x − 0) → y =−2x
La ecuación de la recta normal es:
⎛ − x ⎞
c) y' = ⎜ + tg
⎝⎜
⎠⎟
1
1 π
La ecuación de la recta tangente es: y− 0 =− ( x− π)
→ y =− x +
2
2 2
La ecuación de la recta normal es: y − 0 = 2(x −π) → y = 2x − 2π
⋅−
⎛
1
1
y− 0 = ( x− 0)
→ y = x
2
2
⎞
2 π
1
⎜ 1
⎜
2 ⎝⎜
2 ⎠⎟
Obtén las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x 3 + 3x 2 + 3x + 4,
que son paralelas a la recta de ecuación 6x − 2y + 1 = 0.
Esta recta y las rectas tangentes son paralelas si sus pendientes son iguales.
y' = 3x 2 1
6x − 2y + 1= 0 → y = 3x
+
2
+ 6x + 3
⎧
2 2
x = 0
3x + 6x + 3= 3→ x + 2x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x =−2
Si x = 0, la ecuación de la recta tangente es: y − 4 = 3(x − 0) → y = 3x + 4
Si x =−2, la ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 3(x + 2) → y = 3x + 8
8
331

332
Derivada de una función
064
065
066
Halla los puntos en los que la función y = x 3 + 4x 2 + 2x + 1 tiene rectas tangentes
de pendiente −2. Determina también la ecuación de dichas rectas tangentes.
y' = 3x2 + 8x + 2
Si x =− , la ecuación de la recta tangente es:
31 ⎛
y − =− ⎜ 2 ⎞
5
2⎜
x + → y =−2x −
27 ⎝⎜
3 ⎠⎟
27
Si x =−2, la ecuación de la recta tangente es:
y − 5 =−2(x + 2) → y =−2x + 1
2
⎧⎪
2
2 2
x =−
3x + 8x + 2=− 2 → 3x + 8x + 4 = 0 → ⎨
⎪
⎪ 3
⎪
⎩⎪
x =−2
3
Aplica las reglas de derivación a la función y = x3 − 3x2 + 2x − 5 para calcular:
a) La función derivada.
b) La derivada en los puntos de abscisa −1, 0 y 3.
c) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 3.
a) f'(x) = 3x 2 − 6x + 2
b) f'(−1) = 11
f'(0) = 2
f'(3) = 11
c) y − 1 = 11(x − 3) → y = 11x − 32
Emplea las reglas de derivación para calcular la función derivada de:
f (x) = (2x + 3)(x − 2)
A partir del resultado obtenido, determina:
a) f'(2) f'(−2) f'
b) La ecuación de la recta tangente en el punto x =−2.
c) La ecuación de la recta tangente en el punto x = 2.
1 ⎛ ⎞
f' −
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎛
⎜ 3 ⎞
⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
f'( x) = 2( x − 2) + ( 2x + 3) ⋅ 1= 4x −1
a) f'(
2) = 7
⎛ 3 ⎞
f'
⎜
⎜−
7
⎝⎜
2 ⎠⎟
f'(
2) 9
1
f'
3
=−
− =−
⎛ ⎞
⎜ 1
⎜ =
⎜⎝
⎠⎟
3
b) y − 4 =−9(x + 2) → y =−9x− 26
c) y − 0 = 1(x − 2) → y = x − 2

067
068
069
Aplica las reglas de derivación para calcular la función derivada de las siguientes
funciones.
a) y = x3 − 2x2 + 5x − 6 c) y = 2x b) y = log3 x d)
2
a) y' = 3x − 4x + 5
b) y'
=
x
1
ln 3
Utiliza las reglas de derivación para hallar la función derivada de estas funciones.
a) c) e)
b) y = 42x d) f ) y = (6x) 4
e) y' =
c) y'
=
2x−3 2
f) 3 3
y' = 46 ( x) ⋅ 6= 246 ( x)
2
d)
x
y'
=
x x
b) 2x y' = 4 ⋅ln 4⋅2 7
−
y =
x
a) y' =
4
1 −
⋅ x 5 =
5
1
5 4 5 x
3 4
4 2 ( )
4
=−
5
1
y =
x x
y =
2x+ 5
7
4
− +
y = x
2 3 8
2
5
Halla la derivada de estas operaciones de funciones.
a) y = (x − 2)(x 2 + 3x) e) y = ln x + e x
b) f )
c) y = x2 log x − 1 g) y = x2 ⋅ 2x y = x x
3
y = x − x
3
8
3x+ 4
d) y = h) y =
2x−1 2x−1 2 2
a) y' = 1⋅ ( x + 3x) + ( x− 2)( 2x + 3) = 3x + 2x−6 b) y' =
1 − 1 −
⋅ x 2 − ⋅ x 3 =
2 3
1
2 x
1
−
3 2 3 x
c) 2
y' = 2x
log x + x ⋅
1
x ln 10
x
= 2x
log x +
ln 10
−8⋅2 16
d) y'
= =−
( 2x−1) ( 2x−1) 2 2
e) y
e
x
f)
⎛
y' =
⎜ 1
⎜ ⋅ x
⎝⎜
3
2 ⎞
3 ⋅
⎠⎟
x
⎛
3
+ x ⋅
⎜ 1
⎜ ⋅ x
⎜⎝
2
x ' =
1
+
1
− −
2
x 2 x
g) y' = 2x⋅ 2 + x ⋅2 ⋅ln
2
1
32 ( x−1) − ( 3x + 4) ⋅2
11
h) y'
=
=−
( 2x−1) ( 2x−1) 2
y = 6x5 x c) y' = 2 ⋅ln
2
−
4
2
1 5
15x
15x
d) y' = 6x 2 4
( ) ⋅ 30x
= =
2 5 6x
6x
2 2
1
SOLUCIONARIO
8
⎞
3
x x 2x + 3x
5
= + = =
⎠⎟
3 2
6 7
6
3 x 2 x 6 x 6 x
333

334
Derivada de una función
070
071
Calcula la derivada de las siguientes operaciones de funciones.
a) y =
ln x + 4
d) y =
ln x
+ 4
e x
b) e) y = 5e x − 3x x
y =
x
−8
c) y = (x 2 + 2) log2 x f)
a) y'
=
1
⋅ e − (ln x + 4)
e
x
2 ( e )
1⋅ x − x −8
x
b) y'
=
x
1
( )
2
2 ( )
d) y'
=
x x
⋅ e − x⋅ e
x
x e
x x
=
x xe
−
c) y' = x⋅ x + x + ⋅
x
= x x +
x
x
1
ln
2 ( )
1 ln
+
2
2 log 2 ( 2)
1
ln 2
2 log2
2 2
ln 2
x x
e) y' = 5e −3 ⋅ln
3
3 4
4x ( x−1) − x ⋅1
3x − 4x
f) y'
=
=
2
2
( x −1)
( x −1)
Deriva las siguientes funciones trigonométricas.
a) y = sen x cos x d) y = x tg x
b)
c) y = sec x cosec x
e)
f)
y = x arc cos x
y =
tg x
1
cos x
y =
2 x
2 2
a) y' = cos x − sen x
c) y'
=
sen x
cos x
cos x
⋅ cosec x + sec x ⋅ −
sen x
⎛
b)
−sen x ⋅ x − cos x ⋅ x
y'
=
x
x sen x cos x
=
x
2
⎞
⎜ =
⎝⎜
2
⎠⎟
1 1
−
2 2
cos x sen x
− −
2 2
4
2
3
2 2
d) y' = 1⋅ tg x+ x⋅ ( 1+ tg x) = x+ tg x+ x tg x
⎛
e) y' = ⋅ arc cos x + x⋅
⎜
⎜−
⎝⎜
− x
1
1
1
tg x
f) y'
=−
tg x
+ 1 2
2
x x
4 x
y =
x −1
x x
=
xe
− +
1 (ln 4)
x x
1
−
2
e x
=
4 3
2
x
x −
x x
x
x x
−
= +
8
2
8
2
⎞
= arc cos x −
⎠⎟
x
1−
x
2

072
073
074
075
Calcula la derivada de las siguientes operaciones donde intervienen funciones
trigonométricas.
a) y = 2x + arc sen x + arc cos x
b) y = (1 + x2 ) arc tg x
c) y = ln x ⋅ tg x
d) y = e x sen x
e) y =
cos x
2 − x
a) y'
= 2 +
1 1
−
1−
x 1−
x
2 2
2 1
b) y' = 2x⋅ arc tg x + ( 1+
x ) ⋅
1+
x
1
2
c) y'
= ⋅ tg x + ln x ⋅ ( 1+
tg x)
x
x x x
d) y' = e ⋅ sen x + e ⋅ cos x = e ( sen x + cos x)
−senx− x − cos x ⋅ − x sen x c
e) y'
= =
− x
− +
( 2 ) ( 1)
( 2)
os x
2
2
( 2 )
( 2 − x)
Determina las derivadas que se indican.
a) f (x) = ln x f'' (x) y f'''(x)
b) f (x) = x 5
f'(x) y f'' (x)
c) f (x) = x5 − 3x 4
f''' (x) y f IV (x)
1 1 2
a) f' ( x)
= → f" ( x)
=− → f'" ( x)
=
2 3
x
x
x
b) f' ( x) = 5x → f" ( x) = 20x
4 3
= 2
4 3 3 2
2 c) f' ( x) = 5x − 12x → f" ( x) = 20x − 36x → f'" ( x) = 60x
− 72x
→ f x = 120x −72
IV ( )
Calcula las seis primeras derivadas de las funciones y = sen x e y = cos x.
IV
y = sen x → y' = cos x → y" =− sen x → y'" =− cos x → y = sen x
V VI
→ y = cos x → y =−sen
x
IV
y = cos x → y' =− sen x → y" =− cos x → y'" = sen x → y = cos x
V VI
→ y =− sen x → y =−cos
x
kx
Halla el valor de k para que la función fx ( )= cumpla que f'(−1) = 19.
x
−5
2 + 3
k ( x ) ( kx ) k
f'( x)
=
( x ) ( x )
⋅ + − − ⋅
2 3 5 2 3 + 10
=
2 2
2 + 3
2 + 3
f'( − 1) = 3k + 10 = 19 → k = 3
2
= 1+ 2xarctgx
SOLUCIONARIO
8
335

336
Derivada de una función
076
077
Escribe las funciones que componen las siguientes funciones y halla la derivada
en cada caso.
a) y = log3 (2x + 1) e) y = 23x−4 b) y = (3x 2 − 3x + 1) 4
f)
c) g) y = cos ln x
d) y = arc tg e x
y = x −
y = sen x
cos x
h) y = 3 2 4
1
a) f( x) = log 3 x y g( x) = 2x+ 1
y =
1
⋅ =
( 2x + 1) ln 3 ( x +
b) 4 f( x) = x y
2
g( x) = 3x− 3x+ 1
2 3
y' = 43 ( x − 3x + 1)( 6x−3) 2
'
2
2 1)ln3 c) f( x) = sen x y g( x) = x
y'= cos
1
1 −
x ⋅ x 2 =
2
cos
2
x
x
d) f( x) = arc tg x y
x g( x) = e
x
1
x e
y'
= ⋅ e =
x 2 2x
1+ ( e ) 1+
e
e) x f( x) = 2 y g( x) = 3x−4 3x−4 y'
= 2 ⋅ln 2⋅3 f)
4
f( x) = x y
2
g( x) = x −1
y'= 3
1
−
2 ( x −1) 4 ⋅ 2x
=
4
2
x
2 ( x −
g) f( x) = cos x y g( x) = ln x
y'=−sen ln x⋅
1
x
sen ln x
=−
x
h) x f( x) = 3 y g( x) = cos x
cos x y'= 3 ⋅ln 3⋅(
−sen
x)
Calcula la función derivada de estas funciones, aplicando la regla de la cadena.
a) y = ln (x2 − 5x) c)
b) y = 23x−5 d)
1
2x−5 a) y'
= ⋅( 2x− 5)
=
2 2
x − 5x
x − 5x
3x−5 b) y' = 2 ⋅ln 2⋅3 1
−
2
2x+ 1
c) y' = ( x + x) 2 ⋅ ( 2x + 1)
=
2
2 2 x + x
1
1
1 3
4 )
y = x + x 2
y = log3 x
1
− 1 1 1
d) y' = (log 3 x)
2 ⋅ = ⋅
2
x ln 3 2 log x x ln 3
3

078
079
SOLUCIONARIO
Aplica la regla de la cadena para determinar la función derivada de estas funciones.
a) y = ln tg x f) y = tg ln x
b) g)
c) y = log2 x 2
h) y = log2 2 x
d) y = sen (cos x) i) y = cos (sen x)
e) y = arc tg x2 j) y = arc tg2 y = cos x
y = cos x
x
a) y'
=
1
tg x
2 ⋅ ( 1+
tg x)
b) y' =
1
1 −
sen x
( cos x) 2 ⋅( − sen x)
=−
2 2 cos x
1
c) y'
= ⋅ x =
x ⋅ 2 x
2
2
2 ln ln 2
d) y' = cos ( cos x) ⋅( −sen
x)
e)
1
2x
y'
= ⋅ 2x
=
22 4
1+
( x ) 1+
x
f) 2
y' = ( 1+
tg ln x)
⋅
1
x
g) y' = ( −sen
1
1 − sen
x )⋅ x 2 =−
2 2
x
x
h) y' = 2 log2
x⋅
1
x ⋅ ln 2
i) y' =−sen ( sen x) ⋅cos
x
1
j) y' = 2 arc tg x⋅
1+
x
2
Halla los coeficientes y exponentes desconocidos para que se verifique
que las funciones y sus derivadas se corresponden.
a) f (x) = x 3 + ax2 + bx + 6 f'(x) = 3x2 + 4x − 3
b) g (x) = a ln x + bx
c)
d)
i'( x)=
b
x
a) a = 2, b =−3
b) a = 3, b =−5
c) a = 2, b = 1
d) b = 3
2
g'( x)=
3
−5
x
hx ( )=
x a
b x
⎛ ⎞
x
h'( x)= a ⎜ ln 2 1
⎜ −
⎝⎜
2 x x ⎠⎟
ix ( )=
x
b
x
3
8
337

338
Derivada de una función
080
081
Deriva las siguientes funciones.
a) y = x2 ⋅ 2x2 d)
b) y = 5 x ln x e) y = ln (xex y =
ln x e
x
)
ln x
c) f ) y = ln x ⋅ e x
x y = e
2 2 2
x 2 x x + 1 3
a) y' = 2x⋅ 2 + x ⋅2 ⋅ln 2⋅ 2x = 2 ( x + x ln 2)
e) y'
=
x xe
x x ⋅ e + xe =
x
x
+
c)
x
y' = e x ⋅
⋅ x− x⋅
x
x
x
= e x ⋅
x
x
d) y'
=
ln x 1
ln x
e ⋅ ⋅ x− e ⋅1
x
= 0
2 x
1
( )
1
−
b)
⎛ ⎞
x ln x x x
y' = ⋅ ⋅ ⎜ 1
ln
5 ln 5 ⎜ln
x + x⋅
= 5 ⋅ln
5⋅ (ln x + 1)
⎝⎜
x ⎠⎟
ln
1
ln 1 ln
1 ln
2 2
1
f) y'
= ⋅ e + ln x⋅ e
x
x x
Halla la derivada de estas funciones.
a) y = (2x + 1) 3 ⋅ 3x d) y =
x − 2 3
b) e)
c) f ) y = x −
x
2
y =
x
x
3
− 2
y =
2 x −3
3 x
y =
2 x −3
3 x
3
3
2 x 3 x
2
a) y' = 32 ( x + 1) ⋅2⋅ 3 + ( 2x + 1) ⋅3⋅ ln 3= [ 6+ ( 2x + 1)
ln 3] ⋅ ( 2x+ 1) ⋅3
1
−
⎛ 2 1 x − x x x
b) y'
= ⋅⎜
3⎞2 3 2
2
2
3
2 ⋅ −( −3) ⋅3xx9
x
⎜ ⋅
=
2 ⎝⎜
3 x ⎠⎟
6
4
2
x
2xx3 − + ⋅
−
−
3 2 1 3
2x ⋅ x −( x −3) ⋅ ⋅( x ) 2 ⋅3x
2
c) y'
=
3 x
x x
e x e
x
d) y'
=
x x
e
e
⋅ − − ⋅ = −
2 ( 2 3) 5 2
2
1
−
2 ⋅( x −3) ⋅2x ⋅ x − x −3 ⋅3x
2
e) y'
=
6 x
−
3 ⋅ ⋅ x ⋅ x
f) y' = 2x
+
x
1 3 ( ) 2 3
2
3
1
2 3 2 2
1
2
e x
1
3
2
3 4x − 3x(
x
=
2
2 − 3)
x + 9
=
2 3
2
2x
x 2x
x
= 2x
+
2 9x
= 2x
+
3 2x
3 x
=
2 2 x −3( x −3)
=
2 2x9 4 x 2 x − 3
4 x 2 x 3
− +
−
9
2 2 x x
x

082
083
Calcula la derivada de estas funciones trigonométricas.
a) y = cos
1
x
e) y = sen
x
cos x
b) y =
cos x
x
f ) y =
sen x
cos x
c) g)
d) y = cos x
x
h) y = x arc tg x
⎛
y =
cos x
y =
x
sen cos x
⎜
⎝⎜
1 ⎞
⎠⎟
1
a) y' =−sen ⋅ − sen
x x
x x
⎛ 1 ⎜ 1 ⎞ 1 1
⎜ = ⋅
⎝⎜
2⎠⎟ 2
c)
sen x
y'
=−
cos x
sen x
cos x
−
b)
sen x x cos x x sen x cos x
y'
=
x
x
2
=
2
− ⋅ − ⋅ − −
= 1
2 2
d) y' = −sen ⋅ − x c
x x
⎛ ⎛
⎜ 1 ⎞
⎜ 1 ⎞ 1 1 1 1
⎜ ⎜ ⋅ + os ⋅ 1=
sen ⋅ + cos
⎝⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎠⎟
x
x x x
x cos x + x sen x
e) y' = cos ⋅
2
cos x cos x
SOLUCIONARIO
2 2
cos x ⋅ cos x − sen x ( −senx)
cos x + sen x 1
f) y'
=
=
=
2
2 2
cos x
cos x cos x
⋅ sen cos x − x cos cos x −senx
g) y'
=
sen cos x
1 ( ) ( )( ) sen ( cos x) + x cos ( cos x) ⋅ sen x
=
2
2
( )
sen ( cos x)
1 1 −
x
h) y' = 1⋅
arc tg x + x⋅
⋅ x 2 = arc tg x +
2
1+
( x ) 2 21 ( + x) x
Decide si la siguiente función es continua y derivable en todo su dominio.
Si en algún punto no es continua o derivable, razónalo.
Y
1
1
La función es continua en y es derivable en − {−3, 2}, porque en los puntos
x =−3 y x = 2 la gráfica presenta «picos», es decir, en estos puntos no puede
determinarse una tangente a la función, ya que las pendientes en los puntos
que están a su izquierda y a su derecha tienen distinto signo.
1
X
8
339

340
Derivada de una función
084
085
Dibuja una función continua que no sea derivable en el punto de abscisa x = 4,
que en el resto del dominio sea derivable y que su derivada se anule si x es mayor
o igual que 4.
Respuesta abierta.
Estudia si las siguientes funciones son continuas y derivables en los puntos
en los que la función cambia su expresión algebraica.
⎧⎪
4x + 5 si x < 2
⎧ 2 x + x x

086
¿Son continuas y derivables las funciones en todos los puntos de su dominio?
a) y = ⏐x 2 − 4⏐
b) y = ⏐x 2 + 1⏐
a)
⎧ 2 ⎪ x −4 si x ≤−2
f( x)=
⎪ 2
⎨−
x + 4 si − 2< x < 2
⎪ 2
⎩⎪
x −4 si x ≥ 2
Si x ∈ − {−2, 2}, la función es continua. Se estudian los puntos
en los que la función cambia de expresión:
f(−2) = 0
2
lim f( x) = lim ( x − 4) = 0
− −
→−2 →−2
lim f( x) = lim
x
+
+ →−2
x→−
− + =
⎫⎪
⎬
⎪
( 4) 0⎪
2
⎭⎪
x x
x
f( − 2)
lim f( x)
=
x →−2
f(x) es continua en x =−2.
f(2) = 0
2
lim f( x) = lim ( − x + 4) = 0⎫⎪
− −
x→2 x→2
→ lim f x
2 ⎬
⎪ ∃ ( ) = 0
lim f( x) = lim ( x − 4) = 0 ⎪
x →2
+
+ x →2
x →2
⎭⎪
f( 2)
lim f( x)
=
x →2
f(x) es continua en x = 2.
Por tanto, la función es continua en .
⎧ ⎪
2x si x

342
Derivada de una función
087
Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones.
a)
⎧ 2 x − x
fx ( )= ⎨
⎪ 5
2
⎩⎪ 3x −2x−2 si x 5
Si x ∈ − {3, 5}, la función es derivable. Se estudian los puntos
en los que la derivada cambia de expresión:
− f'(
3 ) = 8⎫
+ ⎬
⎪ → La función es derivable en x = 3.
f'(
3 ) = 8⎭⎪
− f'(
5 ) = 16 ⎫
+ ⎬
⎪ → La función no es derivable en x = 5, porque los valores
f'(
5 ) =−32
ln 2⎭⎪no
coinciden.
Luego la función es derivable en x ∈ − {5}.

088
089
SOLUCIONARIO
Decide si estas funciones crecen o decrecen en los puntos que se indican.
a) y =−2x3 + 3x2 − x + 1
En x = 1
b) y =
2 2x − 3x + 1
x
En x =−2
c) y = 2 x + 3 ln x − 8
En x = 4
d) y = 2x + 3
En x = 9
x
a) f'(x) =−6x 2 + 6x − 1
f'(1) =−1 < 0 → La función es decreciente en x = 1.
b) f'( x)
=
2
( 4x −3) x −( 2x − 3x + 1) 2 x
2 2x − x −1
=
2 x
f'( − 2)
=
7
4
> 0 → La función es creciente en x =−2.
c) x f'( x)
= 2 ⋅ ln 2+
3
x
f'( 4) = 16 ln 2+
3
d) f'( x)=
2 +
2 x
3
4
> 0 → La función es creciente en x = 4.
f'( 9)
5
= > 0 → La función es creciente en x = 9.
2
Determina los puntos de las gráficas de estas funciones cuya tangente es horizontal.
a) y = 3x 2 − 15x + 13
b) y = 2x3 + 3x2 − 36x + 8
c) y = 2x 3 + 3x2 + 6x − 12
d)
e) y =
x
x
+
y =
2 x + 2x + 2
x + 1
2
−2
La tangente es horizontal si la pendiente es igual a cero.
a) y' = 6x −15
6x − 15= 0 → x =
5
2
2
b) y' = 6x + 6x −36
⎧
2 2
x = 2
6x + 6x − 36 = 0 → x + x − 6 = 0 → ⎨
x =−3
⎪
⎩⎪
8
343

344
Derivada de una función
090
2
c) y' = 6x + 6x + 6
2 2
6x + 6x + 6 = 0 → x + x + 1= 0
3 x
d) y =
x +
La ecuación no tiene solución, por lo que no hay puntos que tengan tangente
horizontal.
2
( 2x + 2)( x + 1) − ( x + 2x + 2)
d) y'
=
2 ( x + 1)
=
2 x + 2x
2 ( x + 1)
2 x + 2x
2 ( x + 1)
⎧
2
x = 0
= 0 → x + 2x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x =−2
e) y'
=
x − − x +
=
x −
x
x
−
2 ( 2)
4
( 2)
( − 2)
−4
2 ( − 2)
= 0 → − 4 = 0
La ecuación no tiene solución, y no hay puntos que tengan tangente
horizontal.
¿En qué puntos de las gráficas de estas funciones es horizontal la tangente?
Decide si son máximos o mínimos.
a) y =
x x
x
b) y =
2 x
2 − x
c) y =
2 x + 9
x
− +
2 3 3
−1
2 4
2 2
a)
2
( 2x −3)( x −1) −( x − 3x + 3)
f'( x)
=
2 ( x − 1)
=
2 x − 2x
2 ( x − 1)
2 x − 2x
2 ( x − 1)
⎧
2
=
= 0 − 2 = 0 ⎨
⎪x
0
→ x x →
⎩⎪ x = 2
f"
( x)
=
2
( x − 1) 3
f"( 2) = 2> 0 → En x = 2 tiene un mínimo.
f"( 0) =− 2< 0 → En x = 0 tiene un máximo.
2
2x( 2− x) − x ( −1)
b) f'( x)
=
2 ( 2 − x)
=
2 4x
− x
2 ( x − 2)
2 4x
− x
2 ( x − 2)
⎧
2
x = 4
= 0 → 4x − x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 0
f" ( x)
=
8
( 2 − x) 3
f"( 0) = 1> 0 → En x =−1tiene
un mínimo.
f"( 4) =− 1< 0 → En x = 1tiene
un máximo.

091
c) f'( x)
=
2 2x ⋅ x − ( x + 9) 2 x
=
2 x − 9
2 x
2 x − 9
2 x
2 = 0 → x − 9 = 0 → x =± 3
f"( x)
=
2 2
2x ⋅ x −( x −9) ⋅2x
4 x
18
=
3 x
2
f"( − 3)
=− < 0 → En x =−3
tiene un máximo.
3
2
f"( 3)
= > 0 → En x = 3 tiene un mínimo.
3
2 2 3
3x ⋅ ( x + 4) − x ⋅2x
d) f'( x)
=
2 2 ( x + 4)
=
4 2
x + 12x
2 2 ( x + 4)
4 2
x + 12x
2 2 ( x + 4)
4 2
= 0 → x + 12x = 0 → x = 0
3 2 2 4 2 2
( 4x
+ 24x)( x + 4) − ( x + 12x ) ⋅ 2( x + 4) ⋅2x
f" ( x)
=
2 4 ( x + 4)
96x − 8x
=
2 3 ( x + 4)
f"( 0) = 0 → En x = 0 no tiene un máximo ni un mínimo.
Sea la función f (x) = 4x 3 + 15x2 − 18x + 10.
a) Determina los máximos y mínimos de la función.
b) Calcula lim f( x) y lim f( x)
.
x→− x→+
c) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
2
a) f'( x)= 12x + 30x −18
1
2 2 2
12x + 30x − 18 = 0 → 2x + 5x − 3 = 0 → 2
3
24 30
x
⎧⎪
=
⎨
⎪
⎪
⎩⎪
x =−
f"( x) = x +
c)
f" x tiene un mínimo.
f"( − 3) =− 42< 0 → En x =−3
tiene un máximo.
1 ⎛ ⎞
⎜
1
⎜ = 42 > 0 → En =
⎝⎜
2 ⎠⎟
2
b) lim f( x)
=−
x →−
lim f( x)
=+
x →+
f(x)
20
Y
1
X
SOLUCIONARIO
3
8
345

346
Derivada de una función
092
3 x
Sea la función fx ( )= .
2 1−
x
a) Encuentra los máximos y mínimos de la función.
b) Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas.
c) Construye un esbozo de la gráfica de la función.
a)
2 2 3
3x ⋅( 1− x ) − x ( −2x)
f'( x)
=
22 ( 1−
x )
2 4 3x
− x
=
22 ( 1−
x )
2 4 3x
− x
22 ( 1−
x )
⎧
2 4
x = 0
= 0 → 3x − x = 0 → ⎨
⎪
⎩
⎪ ⎪x
=± 3
3 2 2 2 4 2 ( 6x−4x )( 1− x ) −( 3x − x ) ⋅2( 1− x )( −2x)
f"( x)
=
2 4 ( 1−
x )
=
3 6x + 2x
23 ( 1−
x )
f" ( −
3 3
3 )=
2
> 0 → En x =− 3 tiene un mínimo.
f"( 0) = 0 → En x = 0no
tiene un máximo ni un mínimo.
f''( 3 3
3 ) =−
2
< 0 → En x = 3 tiene un máximo.
b) Dom f = − {−1, 1}
lim f( x)
=+ ⎫⎪
− x→−1
⎬
⎪ → x =−1
es una asíntota vertical.
lim f( x)
=−⎪
+ x→−1
⎭⎪
lim f( x)
=+ ⎫⎪
− x→1
⎬
⎪ → x = 1 es una asíntota vertical.
lim f( x)
=−⎪
+ x→1
⎭⎪
c)
lim f( x)
=−
→ No hay asíntota horizontal.
x→+
f x
x
m = lim = lim
x x x x − x
n lim f
x
Asíntota oblicua: y =−x
Si x = 1. 000 → f( x) −( − x)
< 0 → Cuando x tiende a +, la función está
por debajo de la asíntota.
Si x =−1. 000 → f( x) −( − x)
> 0 → Cuando x tiende a −, la función está
por encima de la asíntota.
=−
3
( )
1
→+ →+
3
x
= [( x) − mx] = lim
x lim
→+
x − x
x
+
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
⎫ ⎪
3
3 3 ⎬
⎪
x + x − x ⎪
= 0 ⎪
→+
2 1
→+
2 1−
x ⎪
⎭⎪
Y
1
f(x)
2
X

093
094
095
SOLUCIONARIO
x
Halla los máximos y mínimos de la función: fx ( )=
x − 4
Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas.
Haz también un esbozo de la gráfica de la función.
( x ) x
f'( x)
=
( x ) ( x )
⋅ − −
=
−
−
1 4
4
4 − 4
No hay máximos ni mínimos, f'(x) < 0 → La función es decreciente.
Dom f = − {4}
lim f( x)
=−⎫⎪
− x→
4
⎬
⎪ → x = 4 es una asíntota vertical.
lim f( x)
=+ ⎪
+ x→
4 ⎭⎪
Y
lim f( x) = 1→ y = 1es
una asíntota horizontal.
x→+
Si x = 1.000 → f(x) > 1
Cuando x tiende a +, la función está
por encima de la asíntota.
Si x =−1.000 → f(x) < 1
Cuando x tiende a −, la función está
por debajo de la asíntota.
Obtén los vértices de las siguientes parábolas, teniendo en cuenta que la tangente
es horizontal en ellos.
a) y = 3x2 − 6x + 1
b) y = 3x2 + x + 9
b) y' = x +
x + = x =− V −
⎛
a) y' = 6x−6 6x− 6 = 0 → x = 1→ V(
1, −2)
6 1
1
6 1 0 →
6
⎞
⎜ 1 107
→ ⎜ ,
⎝⎜
6 12 ⎠⎟
Representa una función continua y derivable cuya derivada se anule en los puntos
(−1, 4) y (2, −3), y que cumplan estas condiciones.
lim f( x)
=−
x→−
Respuesta abierta.
Y
1
1
2 2
f(x)
X
lim f( x)
=+
x→+
2
2
f(x)
8
X
347

348
Derivada de una función
096
Dada la función y = x 3 + 6x 2 − 36x + 29, resuelve.
a) Determina su dominio.
b) Halla sus asíntotas.
c) ¿Tiene puntos de corte con los ejes? ¿Cuáles son?
d) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
e) Halla los máximos y mínimos.
f) Representa la función.
a) Dom f =
b)
La función no tiene asíntota horizontal.
f( x)
lim =+
x→+ x
La función no tiene asíntota oblicua.
c) Si x = 0 → y = 29
3 2 2
Si y = 0 → x + 6x − 36x + 29 = 0 → ( x − 1)( x + 7x − 29) = 0
⎧ ⎪
x = 1
→
⎪
⎨ − 7 ±
⎪
⎪x
=
⎩⎪
2
165
2
d) f'( x)= 3x + 12x−36 2 2
x
3x + 12x− 36= 0→ x + 4x− 12= 0→
= ⎧
⎨
⎪ 2
⎩⎪ x =−6
f(x) es creciente en (−, −6) ∪ (2, +).
f(x) es decreciente en (−6, 2).
e) Mínimo: (2, −11)
Máximo: (−6, 245)
f)
lim f( x)
=+
x→+
f'(−7) > 0
−7 −6 0
2 3
Y
50
3
f(x)
X
f'(0) < 0 f'(3) > 0

097
Estudia y representa las funciones polinómicas.
a) y = 3x 4 − 4x 3 − 36x 2 + 10
b) y = x 3 − 6x2 + 12x − 5
c) y = 3x 4 − 4x 3 − 48x 2 + 144x + 212
a) Dom f =
La función no tiene asíntotas.
3 2
f'( x) = 12x −12x −72x
⎧⎪
x = 0
3 2 2
12x −12x − 72x = 0 → x( x − x−6)
= 0 → ⎨
⎪x
= 3
⎪
⎩⎪
x =−2
f'(−3) < 0
−3 −2 −1 0 1 3 4
SOLUCIONARIO
f(x) es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +) y es decreciente en (−, −2) ∪ (0, 3).
Mínimos: (−2, −54) y (3, −179)
Máximo: (0, 10)
f(x)
b) Dom f =
La función no tiene asíntotas.
Y
30
2
f'( x) = 3x − 12x + 12
2 2
3x − 12x + 12= 0 → x − 4x + 4 = 0 → ( x −2)
2 = 0 → x = 2
f'(x) > 0 → f(x) es creciente en .
f'(2) = 0 → En x = 2 no tiene un máximo ni un mínimo.
f"(x) = 6x − 12.
f"(x) > 0 si x > 2 → f(x) es cóncava en (2, +).
f"(x) < 0 si x < 2 → f(x) es convexa en (−, 2).
Y
1
f'(−1) > 0 f'(1) < 0 f'(4) > 0
1
2
f(x)
X
X
8
349

350
Derivada de una función
098
c) Dom f =
La función no tiene asíntotas.
3 2
f'( x)= 12x −12x − 96x + 144
3 2 12x −12x − 96x + 144 = 0 → x ⎧ =−
⎨
⎪ 3
⎩⎪ x = 2
f'(−4) < 0
−4 −3 0 2 3
f(x) es creciente en (−3, 2) ∪ (2, +) y es decreciente en (−, −3).
Mínimo: (−3, −301)
f"(x) > 0 si x > 2 → f(x) es cóncava en (2, +).
4
⎛
f"( x) < x 0
a) Dom f = − {−4}
es una asíntota vertical.
lim
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
x −
→ y
x→+
x + = =
b) lim
3 2
3 3
4
x
lim
x
x
− x→−
+ x→−
−
+
x
=+
−
+ =−
4
4
3 2 ⎫⎪
⎪
4
⎬
⎪ → x =−4
3 2 ⎪
⎪
4 ⎭
⎪
X

099
2
c) Punto de corte con el eje X:
3
⎛ 1 ⎞
Punto de corte con el eje Y: ⎜
⎜0,
−
⎝⎜
2 ⎠⎟
0 ,
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
3( x + 4) −( 3x−2) 14
d) f'( x)
=
=
( x + 4)
( x + 4)
f'(x) > 0 → f(x) es creciente en (−, −4) ∪ (−4, +).
e) La función no tiene máximos ni mínimos.
f)
f(x)
Estudia y representa estas funciones racionales.
a) c)
b) y =
x x
x
d) y =
2 2x + 2x−4 2 x + x−6
− +
y =
5x+ 1
x −2
y =
2 x
2 − x
2 2 1
−3
Y
2
2 2
SOLUCIONARIO
a) Dom f = − {2}
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
⎛
Punto de corte con el eje X: ⎜ 1 ⎞
⎜−
⎝⎜
5 ⎠⎟
0 ,
lim
x
lim
5 + 1
= 5 → y = 5
x→+
x − 2
x
x
lim
x
5 + 1
− x→2
− 2
5 1
+ x→2
x 2
=−
+
− =+
⎫⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪ → x = 2
⎪⎪
⎛ 1 ⎞
Punto de corte con el eje Y: ⎜
⎜0,
−
⎝⎜
2 ⎠⎟
( x− ) − ( x + )
f'( x)
=
=
( x−) ( x )
−
5 2 5 1 11
2
− 2
2
2 2
f'(x) < 0 → f(x) es decreciente en (−, 2) ∪ (2, +).
X
8
351

352
Derivada de una función
La función no tiene máximos ni mínimos.
b) Dom f = − {3}
es una asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
2 x − 2x + 1
m = lim = 1
x→+
2 x − 3x
2 x − 2x + 1
n = lim − x lim
x→+
x − 3
Punto de corte con el eje X: (1, 0)
⎛ 1 ⎞
Punto de corte con el eje Y: ⎜
⎜0,
−
⎝⎜
3 ⎠⎟
x
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
x x
=
+
− =
2 x − 2x + 1 ⎫⎪
lim =−
⎪
− x→3
x − 3
2
⎬
⎪ → x = 3
x − 2x + 1 ⎪
lim =+
⎪
+ x→3
x − 3 ⎭⎪
2 x − 2x + 1
lim =+ →
x→+
x − 3
⎫ ⎪
⎬
⎪ → Asíntota oblicua: y = x + 1
1 ⎪
1⎪
⎪
→+ 3 ⎪
⎭
2
( 2x −2)( x −3) −( x − 2x + 1)
f'( x)
=
2 ( x − 3)
⎧
2
=
− + = ⎨
⎪x
1
x 6x 5 0 →
⎩⎪ x = 5
=
2 x − 6x + 5
2 ( x − 3)
f'(0) > 0
Y
4
f(x) es creciente en (−, 1) ∪ (5, +) y es decreciente en (1, 3) ∪ (3, 5).
Máximo: (1, 0) Mínimo: (5, 8)
Y
3
4
f(x)
6
X
f'(2) < 0 f'(4) < 0 f'(6) > 0
0 1 2 3 4 5 6
X

c) Dom f = − {2}
es una asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
Punto de corte con los ejes: (0, 0)
2
2x( 2−
x) + x
f'( x)
=
2 ( 2 − x)
2 x
4x − x = 0 →
=
2 4x
− x
2 ( 2 − x)
=
x
m = lim
x x− x
x
n lim
x
x
x
⎧
⎨
⎪ 0
⎩⎪ x = 4
=−
=
− +
2
1
→+
2 2
⎛ 2 ⎞
⎜
→+
⎝⎜
2 ⎠⎟
=
− =−
lim
lim
x→+
2x
2 x
⎫ ⎪
⎬
⎪ → Asíntota oblicua: y =−x−2 ⎪
2 ⎪
⎭⎪
x
lim
2
x→+
2 − x
=+ →
x
lim
x
x
− x→2
+ x→2
2
2 −
2
2 x
=+
− =−
⎫⎪
⎪
⎬
⎪ → x = 2
⎪
⎪
⎭⎪
f'(−1) < 0
f(x) es decreciente en (−, 0) ∪ (4, +) y es creciente en (0, 2) ∪ (2, 4).
Máximo: (4, −8) Mínimo: (0, 0)
Y
2
4
f'(1) > 0 f'(3) > 0 f'(5) > 0
−1 0 1 2 3 4 5
d) Dom f = − {−3, 2}
es una asíntota vertical.
es una asíntota vertical.
lim
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
x
2 2x + 2x −4
⎫⎪
lim =+ ⎪
− x →−3
2
⎪
x + x −6
2
⎬
⎪ → x =−3
2x + 2x −4
⎪
lim =−
⎪
+ x →−3
2 x + x −6
⎭
⎪
2 2x + 2x −4
⎫⎪
lim =−⎪
− x →2
2
⎪
x + x −6
2
⎬
⎪ → x = 2
2x + 2x −4
⎪
lim =+
⎪
+ x →2
2 x + x − 6 ⎭
⎪
2 2 + 2−4 = 1→y= 1
x→+
2 x + x−
6
X
SOLUCIONARIO
8
353

354
Derivada de una función
100
Puntos de corte con el eje X: (1, 0) y (−2, 0)
Punto de corte con el eje Y:
x
f'( x)
=
( x x )
x x
− −
⎛ ⎞
⎜
⎜−3
⎝⎜
⎠⎟
16 8
2 2 + −6
1
−16 − 8 = 0 → =−
2
1
,
2
f'(–4) > 0 f'(−1) > 0 f'(0) < 0 f'(3) < 0
−4 −3 −1 0 2 3
− 1
2
⎛
f(x) es creciente en (−, −3) ∪ y es decreciente en ⎜ 1 ⎞
⎜−
∪ (2, +).
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛ ⎞
Máximo: ⎜ 1 18
⎜−
,
⎝⎜
2 25 ⎠⎟
2 ,
−
⎛ ⎞
⎜ 3
⎝⎜
⎠⎟
1
,
2
Y
4
f(x)
4
Representa estas funciones racionales, analizando sus características.
a) y =
x
2 x −3x−4 d) y =
2 x + 4x + 2
2 x
b) y =
2 x + 2x + 3
2 x + 2x + 1
e) y =
2x
2 x + x−6
c) y =
x + 5
2 x −3x−4 f )
x −3
y =
( x + 1)( x−1)
a) Dom f = − {−1, 4}
X
es una asíntota vertical.
x
lim−
x→
4 2 x −3x− 4
es una asíntota vertical.
x
lim+
x→
4 2 x 3x 4
x
lim
= 0 → y = 0 es una asíntota horizontal.
x →+
2 x −3x − 4
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
=−
− − =+
x
lim − x→−
x − x−
x
lim + x→−
x x
⎫⎪
⎪
⎬ → x = 4
⎪
⎪
⎭⎪
=−
− − =+
⎫⎪
⎪
1 2 3 4 ⎪
⎬ → x =−1
⎪
⎪
1 2 3 4 ⎪
⎭⎪

Punto de corte con los ejes: (0, 0)
x x x( x ) x
f'( x)
=
( x x ) ( x x
− − − −
=
− −
− −
2
2
3 4 2 3
4
2 2
2
3 4
− 3 − 4 2 )
f'(x) < 0 → f(x) es decreciente en (−, −1) ∪ (−1, 4) ∪ (4, +).
La función no tiene máximos ni mínimos.
b) Dom f = − {−1}
x + x +
lim − →−
x + x +
es una asíntota vertical.
x x
lim + →−
x
2 x + 2x + 3
lim = 1→y= 1es
una asíntota horizontal.
2 x + 2x + 1
=+
2 2 3
1 2 2 1
x 1
2 + 2 + 3
1 2 + 2x+ 1
=+
⎫ ⎪
⎬
⎪ → =−
⎪
⎪
⎭⎪
x
x
x→+
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con el eje Y: (3, 0)
2 2
( 2x + 2)( x + 2x + 1) − ( x + 2x + 3)( 2x + 2)
f'( x)
=
=
2 ( x + 2x
+
− − 4x4 1)
( x + 2x + 1)
−4x− 4 = 0 → x =−1∉ Dom f
f'(x) > 0 si x < −1 → f(x) es creciente en (−, −1).
f'(x) < 0 si x > −1 → f(x) es decreciente en (−1, +).
La función no tiene máximos ni mínimos.
f(x)
2
Y
Y
1
2
1
f(x)
X
X
SOLUCIONARIO
2 2 2
8
355

356
Derivada de una función
c) Dom f = − {−1, 4}
es una asíntota vertical.
lim−
x→
4
lim+
x→
4
x + 5
2 x −3x− 4
x 5
2 x 3x 4
es una asíntota vertical.
x + 5
lim
x→+
2 x −3x− 4
= 0 → y = 0es
una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con el eje X: (−5, 0)
⎛ 5 ⎞
Punto de corte con el eje Y: ⎜
⎜0,
−
⎝⎜
4 ⎠⎟
=−
+
− − =+
x +
lim − x→−
x − x−
x
lim + x→−
x x
⎫⎪
⎪
⎬ → x = 4
⎪
⎪
⎭⎪
=+
+
− − =−
5 ⎫⎪
⎪
1 2
⎪
3 4 ⎪
⎬ → x =−1
5 ⎪
⎪
1 2 3 4 ⎪
⎭⎪
x x ( x )( x ) x x
f'( x)
=
( x x )
− − − + −
=
− −
− −
2
2
3 4 5 2 3
10 + 11
2 2
2 2
3 4
( x −3x−4) 2 −x − 10x + 11
⎧
2
x =−
= 0 → −x−10x+ = ⎨
⎪ 11
11 0 →
2 2
( x −3x−4) ⎩⎪ x = 1
f'(−12) < 0
f(x) es creciente en (−11, −1) ∪ (− 1, 1) y es decreciente
en (−, −11) ∪ (1, 4) ∪ (4, +).
⎛
Mínimo: ⎜ 1 ⎞
⎜−11,
− Máximo: (1, −1)
⎝⎜
25 ⎠⎟
2
Y
f(x)
6
f'(−2) > 0 f'(0) > 0
d) Dom f = − {0}
2 x + 4x + 2 ⎫⎪
lim =+ ⎪
x→0
2 ⎪
−
x
⎪
es una asíntota vertical.
2
⎬
⎪ → x = 0
x + 4x + 2 ⎪
lim =+
⎪
+ x→0
2 x
⎪
⎭⎪
2 x + 4x + 2
lim = 1→y= 1es
una asíntota horizontal.
x→+
2 x
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
X
f'(3) < 0
f'(5) < 0
−12 −11 −2 −1 0 1 3 4 5

Puntos de corte con el eje X: − 2 −2,
0 y 2 2, 0
f'( x)
=
( x + ) ⋅ x − ( x + x + ) ⋅ x
( x )
x
=
x
− −
2 2
2 4 4 2 2
22
4 4
3
−4x−
4 = 0 → x =−1
f'(−2) < 0
f(x) es decreciente en (−, −1) ∪ (0, +) y es creciente en (−1, 0).
Mínimo: (−1, 1)
1
Y
e) Dom f = − {−3, 2}
es una asíntota vertical.
2x
lim−
x→2
2 x + x−
6
es una asíntota vertical.
2x
lim+
x→2
2 x x 6
=−
+ − =+
lim − x→−
lim + x→−
x
x + x−
x
x x
⎫⎪
⎪
⎬ → x = 2
⎪
⎪
⎭⎪
=−
+ − =+
3
3
2
⎫⎪
⎪
2
⎪
6
⎬
⎪ → x =−3
2
⎪
⎪
2 6 ⎪
⎭⎪
2x
lim
= 0 → y = 0 es una asíntota horizontal.
x→+
2 x + x−
6
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con los ejes: (0, 0)
( x + x− ) − x( x + ) x
f'( x)
=
=
( x + x−
) ( x
− −
2
2
2 6 2 2 1 2 12
2 2 6
+ x −6)
f'(x) < 0 → f(x) es decreciente en (−, −3) ∪ (−3, 2) ∪ (2, +).
La función no tiene máximos ni mínimos.
Y
1
1
1
f(x)
f(x)
( ) ( − )
f'(−0,5) > 0 f'(1) < 0
−2 −1 −0,5 0 1
X
X
2 2
SOLUCIONARIO
8
357

358
Derivada de una función
101
f) Dom f = − {−1, 1}
es una asíntota vertical.
x − 3
lim−
x→1
x + 1 x−
1
es una asíntota vertical.
x 3
lim+
x→1
x 1 x 1
=+
x −
lim − x→−
x + x−
x
lim + x→−
x x
⎫⎪
⎪
( )( ) ⎪
⎬ → x = 1
−
⎪
=−
⎪
( + )( − ) ⎪
⎭⎪
=−
3
1 ( 1)( 1)
1
− 3
1 ( + 1)(
−1)
=+
⎫ ⎪
⎬ → x =−
⎪
⎪
⎭⎪
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con el eje X: (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 3)
f'( x)
=
x − −( x− ) ⋅ x
( x − )
x x
=
( x )
− + −
x − 3
lim
x→+
( x + 1)( x−
1)
= 0 → y = 0
2 1 3 2
2 2 1
2 6 1
2 2 −1
2 −x
+ 6x−1 2 = 0 → − x + 6x− 1= 0 ⇒ x = 3± 2
2 2 ( x −1)
2
f'(−2) < 0 f'(0) < 0 f'(0,5)
−2 −1 0 0,5 1 2 3+ 2 2 6
3−2 2
f(x) es decreciente en ( −, −1) ∪( −1, 3−2 2)∪ ( 3+ 2 2,
+ )
y es creciente en ( 3−2 2, 1)∪ ( 1, 3+ 2 2)
.
⎛
Máximo:
⎜
⎜3+
2
⎝⎜
2, 3−2 2
2 ⎞
⎠⎟
⎛
Mínimo:
⎜
⎜3−2
⎝⎜
2, 3+ 2
2
2 ⎞
⎠⎟
Y
1
1
f(x)
f'(2) < 0
Calcula la tasa de variación media de la función f (x) = 2x 2 − 2x + 3
en el intervalo [1, 1 + h].
a) Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media
en los intervalos [1, 3], [1, 5] y [1, 8].
b) Calcula el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación media
en el intervalo [1, 1 + h], y comprueba que equivale a f'(1).
X
f'(6) < 0

102
103
2
f( 1+ h) −f(
1)
21 ( + h)
−2( 1+ + 3− 3
TVM . . . ([ 11 , + h])
=
=
=
1+ h −1
=
2
2 4 2 2 2
2 2
+ + − −
h)
h
h h h
h
= h +
a) T.V.M. ([1, 3]) = 2 · 2 + 2 = 6
T.V.M. ([1, 5]) = 2 · 4 + 2 = 10
T.V.M. ([1, 8]) = 2 · 7 + 2 = 16
b) lim
f( 1+ h) −f(
1)
= lim ( 2h+ 2) = 2 f' ( x)
= 4x− 2 → f'(
1) = 2
1+ h −1
h→0 h→0
A partir de la definición, halla la función derivada de estas funciones.
a) b) y =
x
1
y = x +1
a)
f( x+ h) −f(
x)
f'( x) = lim = lim
h→0 h
h→0
x+ h+ 1− h
x+
1
=
+ + − +
=
( + + + + ) =
x h 1 ( x 1)
lim
lim
h→0 h→0
h x h 1 x 1
1
x+ h+
+ + =
1 x 1 2
1
x + 1
fx ( + h) −fx
( )
b) f'( x) = lim = lim
x+ h x
h h
h h
l
−
1 1
→0 →0
−1
1
= lim =−
h→0
2
( x+ h) x x
= im
h→0
x− ( x+ h)
=
hx ( + hx )
Las siguientes funciones se pueden expresar como composición de otras funciones
más sencillas. Halla sus funciones derivadas de dos modos diferentes, y compara
los resultados que obtienes.
a) y = 23x+5 b) y = (x2 + 7x) 2 c) y = ln (3x) d) y = log3 2 x
3
a) x f( x) = 2 y g( x) = 3x+ 5 3x+ 5
y'=
2 ⋅ln 2⋅3 3x5 3x 5 3x+ 5
y = 2 ⋅2
→ y'
= 2 ⋅ln 2⋅3⋅ 2 = 2 ⋅ln 2⋅3 2 2 2 3
2
b) f( x) = x y g( x) = x + 7x y'= 2( x + 7x)( 2x+ 7) = 4x+ 42x
+ 98x
2 2 2
2
y = ( x + 7x) ⋅ ( x + 7x) → y' = ( 2x + 7) ⋅ ( x + 7x)
+ ( x + 7x) ⋅ ( 2x + 7)
=
3 2
= 4x + 42x + 98x
c) f( x) = ln x y g( x) = 3x
y'=
1
3x
⋅ 3 =
1
x
y = ln ( 3x) = ln 3+
ln
x → y'
=
x
1
d) f( x) = log 3 x y g( x)
=
2 x
3
y'
=
1
2 x ⋅ ln 3
2x
⋅
3
=
2
x ⋅ ln 3
3
y = log3 2 x
3
1
= 2 log3 x− log3 3= 2 log3
x− 1→y'= 2⋅
=
x ⋅ ln 3
2
x ⋅ ln 3
Los resultados obtenidos coinciden.
SOLUCIONARIO
8
359

360
Derivada de una función
104
105
106
Obtén las funciones derivadas de estas funciones utilizando la regla de la cadena.
ln x
a) y = e
b)
y =
x x x
⎛
⎜ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ −3⎜ ⎝⎜
⎠⎟
⎜ + ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠
2
5 2 ⎛ ⎞
− ⎜
⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
+ 4 2
3
x
c)
d) y = ln (x 2 y sen
e)
x
=
2
4 3
b) y'
=
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
4 ⎜ − ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜ +
⎝⎜
⎠⎟
⎝
2
9 2
10 2
3 2
⎞
⎜ ⎠⎟
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
⋅−
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=−
4
a) ln x 1
y' = e ⋅
x
1
= x ⋅
x
= 1
2 64 72 40
+ − +
2
5 4 3 x x x x
8
2 x
c) y cos x 1
' = ⋅
2 2
1 2
d) y'
= ⋅ 2xe
=
2 x e
x
Determina el valor de la expresión a para que la función no sea derivable
en el punto x = 3.
⎧ a x <
fx ( )= ⎨
⎪
si 3
2
⎩⎪ x + 3x−5 si x ≥3
f(3) = 13
lim f( x) = a ⎫⎪
− x→3
⎬
⎪ → Si a 13, la función no es continua y no es derivable.
lim f( x)
= 13⎪
+ x→3
⎭⎪
Completa la siguiente función para que sea derivable en todo el conjunto .
⎧ 2 x + x x <
fx ( )= ⎨
⎪
si 2
⎩⎪ bx + 4 si x ≥2
Para que sea derivable, la función tiene que ser continua: f(2) = 2b + 4
lim f( x)
= 6 ⎫⎪
− x→2
⎬
⎪ → Si 6 = 2b + 4, la función es continua → b = 1.
lim f( x) = 2b+ 4⎪
+ x→2
⎭⎪
⎧ x + x <
f'( x)
= ⎨
⎪2
1 si 2
⎩⎪ 1 si x ≥ 2
− f'(
2 ) = 5⎫
+ ⎬
⎪ → La función no es derivable.
f'(
2 ) = 1⎭⎪
2

107
108
109
La recta cuya ecuación es y = 9x − 14 es tangente a la función y = x 3 − 3x + k.
Determina en qué punto son tangentes y halla el valor de k. ¿Hay una sola solución?
La función tiene dos puntos en los que la tangente es horizontal. Hállalos y escribe
la ecuación de esas rectas.
f'(x) = 3x 2 − 3
Cuando la recta dada es tangente: 3x 2 − 3 = 9 → x 2 = 4 → x =±2
Si x = 2 → y − (2+ k) = 9(x − 2) → y = 9x − 16 + k → k = 2
Si x =−2 → y − (−2 + k) = 9(x + 2) → y = 9x + 16 + k → k =−2
Luego hay dos soluciones válidas.
Cuando la tangente es horizontal, se cumple que: 3x 2 − 3 = 0 → x 2 = 1 → x =±1
Si x = 1 → y − (−2 + k) = 0 · (x − 1) → y =−2 + k
Si x =−1 → y − (2 + k) = 0 · (x + 1) → y = 2 + k
¿Es cierto que la función y = x 3 es siempre creciente? ¿Qué ocurre en el origen
de coordenadas?
f'(x) = 3x 2
Si x 0 → f'(x) > 0 → f(x) es creciente en (−, 0) ∪ (0, +).
Si x = 0 → f'(0) = 0 → La función no es creciente ni decreciente en este punto.
Se ha estimado que el gasto de electricidad
de una empresa, de 8 a 17 horas,
sigue esta función.
E (t) = 0,01t3 − 0,36t 2 + 4,05t − 10
donde t pertenece al intervalo (8, 17).
a) ¿Cuál es el consumo a las 10 horas?
¿Y a las 16 horas?
b) ¿En qué momento del día es máximo
el consumo? ¿Y mínimo?
c) Determina las horas del día en las que
el consumo se incrementa.
a) E(10) = 4,5
E(16) = 3,6
2
b) E'( t)= 0,03t − 0,72t+ 4,05
2 9
0,03t − 0,72t+ 4,05 = 0 →
15
t ⎧ =
⎨
⎪
⎩⎪ t =
E"( t) = 0,06t−0,72 E"( 9) =− 018 , < 0 → En t = 9 tiene un máximo.
E"( 15) = 0, 18 > 0 → En t = 15 tiene un mínimo.
SOLUCIONARIO
Por tanto, el consumo es máximo a las 9 horas y es mínimo a las 15 horas.
c) Como t = 9 es un máximo, el consumo crece de las 8 horas a las 9 horas.
Del mismo modo, como t = 15 es un mínimo, el consumo crece
de las 15 horas a las 17 horas.
8
361

362
Derivada de una función
110
111
112
Un investigador está probando la acción de un medicamento sobre una bacteria.
Ha comprobado que el número de bacterias, N, varía con el tiempo, t, una vez
suministrado el medicamento, según la función:
N = 20t 3 − 510t 2 + 3.600t + 2.000
a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el medicamento?
¿Y al cabo de 10 horas?
b) En ese momento, ¿el número de bacterias está creciendo o disminuyendo?
c) ¿Cuál es el momento en que la acción del producto es máxima?
d) ¿En qué momento empieza a notarse el efecto del medicamento?
e) ¿Y en qué momento empieza a perder su efecto el medicamento?
a) Si t = 0 → N = 2.000 bacterias
Si t = 10 → N = 7.000 bacterias
2
b) N' = 60t − 1.020t+ 3.600
2 t
60t − 1. 020t+ 3. 600 = 0 → = ⎧
⎨
⎪ 5
⎩⎪ t = 12
f'(0) > 0 f'(6) < 0 f'(20) > 0
0 5 6
12 20
El número de bacterias crece hasta las 5 horas y vuelve a crecer
a partir de las 12 horas. Este número decrece entre las 5 horas y las 12 horas.
c) El medicamento alcanza su máxima acción a las 12 horas.
d) El efecto del medicamento empieza a notarse a partir de las 5 horas.
e) El medicamento empieza a perder su efecto a partir de las 12 horas.
¿Cuál es la ecuación de una parábola que pasa por el punto (0, 9) y en el punto (2, 9)
tiene como recta tangente y − 6x + 3 = 0?
Sea f(x) = ax 2 + bx + c.
Como la parábola pasa por el punto (0, 9) → c = 9
Y como también pasa por el punto (2, 9) → 4a + 2b + 9 = 9 → 4a + 2b = 0 → b =−2a
Así, resulta que: f(x) = ax 2 − 2ax + 9 → f'(x) = 2ax − 2a
Si y = 6x − 3 es la tangente en el punto x = 2, entonces:
f'(2) = 6 → 4a − 2a = 6 → a = 3
La ecuación de la parábola es: f(x) = 3x 2 − 6x + 9
Obtén la expresión algebraica de una función que pasa por (2, 5),
sabiendo que su derivada es: f'(x) = 2x 2 + 6x − 3
2 2 3 2
Si f'( x) = 2x + 6x− 3 → f( x) = x + 3x − 3x
+ k
3
Como la función pasa por el punto (2, 5) → f(2) = 5
2
19
⋅ 8+ 12− 6+ k = 5 → k =−
3 3
2 3 2 19
La ecuación de la parábola es: f( x)= x + 3x−3x− 3
3

113
114
115
Representa la función y =
x
a) Considera un punto cualquiera de la función que esté en el primer cuadrante.
Comprueba que la recta tangente a la función en ese punto forma un triángulo
con los semiejes positivos.
b) Demuestra que, independientemente del punto que se escoja,
el área de ese triángulo es siempre la misma.
1 .
Y
1 f(x)
1
b) Si a > 0, entonces a, es un punto de la función en el primer cuadrante.
a
1 ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
Como y'
=− la ecuación de la recta tangente en x = a es:
x
1 1
y − =− ( x− a)
2 a a
Las coordenadas de los puntos de corte de la tangente con los ejes determinan
la base y la altura del triángulo.
1
2 ,
1 1 2
Si x = 0 → y−
= → y =
a a
a
X
Si y
a a x
a a x
1 1 1 1 2
= 0 → 0−
=− + → = → x = 2a
2 2 a
Así, el área del triángulo es: u2 2
2a
⋅
A =
a
= 2 , independientemente
2
del valor de a.
La recta tangente a una función f (x) en el punto de abscisa x = 2 es y = 5x −7.
Halla el valor de la función y de su derivada en el punto de abscisa 2.
y = 5x − 7 → y − 3 = 5(x − 2) → f ⎧ ( 2) = 3
⎨
⎪
⎩⎪ f ( 2) = 5 '
Explica cuánto valen f'(0) y g'(0) en las funciones f (x) = ln x y gx ( )= x.
(Puedes hacer la gráfica de las funciones, si es necesario).
a)
Dom f = (0, +) → f'(0) no existe porque la función no está definida en x = 0.
Dom g = [0, +) → g'(0) no existe porque la función no está definida para valores
menores que 0 y no existe g'(0− ).
Y
1
SOLUCIONARIO
1
f(x)
X
8
363

364
Derivada de una función
116
117
118
La función derivada de una parábola es una recta que pasa por los puntos
y . Halla la abscisa del vértice de esa parábola.
Como la ecuación de una parábola es y = ax 2 + bx + c, su derivada es y' = 2ax + b.
La ecuación de la recta que pasa por los puntos es:
x −
−
y
y x
=
1
⎛
⎜ 11⎞
⎜−1,
−
⎝⎜
2 ⎠⎟
1
2
1
−
2
−6
5
→ = 3 −
2
1 ⎛
⎜ ,
⎝⎜
⎞
2 ⎠⎟
Igualando coeficientes, resulta:
b
La abscisa del vértice es: x =−
2a
5
−
=−
2
2 ⋅
=
3
3
2ax = 3x→a=
2
5
b =−
2
2
5
6
Si trazamos la recta tangente y la recta normal a la función y = x 3 − 12x2 + 42x − 40,
en el punto (3, 5) se forma, con los semiejes positivos de coordenadas,
un cuadrilátero. Determina su área.
Y
2
f'( x) = 3x − 24x + 42
f'(
3) =−3
La ecuación de la recta tangente en (3, 5) es:
y− 5=−3( x− 3) → y =− 3x + 14
Y la ecuación de la recta normal es:
El cuadrilátero tiene como vértices: (0, 0), (0, 4), (3, 5) y .
Para calcular su área se descompone en tres figuras:
• El rectángulo de vértices (0, 0), (4, 0), (3, 4) y (3, 0) mide 12 u2 .
• El triángulo de vértices (4, 0), (3, 4) y (3, 5) mide u2 .
• El triángulo de vértices (3, 5), (3, 0) y mide u2 .
Luego el área del cuadrilátero es: u2 14 25
3 6
3 25 53
12 + + =
2 6 3
0 ,
14
3
3
⎛ ⎞
2
⎜
⎝⎜
⎠⎟
0 ,
1
1
y− 5 = ( x− 3)
→ y = x + 4
3
3
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
Sea una función que no es continua en x = 3.
lim f( x) f(
3)
x→3
Demuestra que la función no puede ser derivable en ese punto estudiando el límite.
f( 3+ h) −f(
3)
lim
h→0 h
1
1
X

119
120
Si la función es derivable en x = 3 entonces existe el límite:
f( 3+ h) −f(
3)
lim = l → lim (( f 3+ h) − f( 3))
= l lim
h
h→0 h
h→0
h→0
→ lim (( f 3+ h) − f( 3)) = 0 → lim f( 3+
h)
= lim f(
3)
Esto no es cierto, porque la función no es continua en x = 3, y la función no puede
ser derivable en este punto.
Considera una parábola general expresada de la forma:
y = ax2 + bx + c
a) Como en el vértice la tangente será horizontal, la derivada se anula en ese punto.
Compruébalo y despeja el valor de x.
b) Encuentra también el valor de y, aplicándolo a la parábola y =−2x 2 + 8x + 4.
a) y' = 2ax
+ b
b
2ax + b = 0 → x =−
2a
b
b
b
b) x =− y = a − b
a
a
a
⎛ ⎞
⎜ + −
⎝⎜
⎠⎟
⎛ ⎞
2 2 2
⎜
b b − b + 4ac
→ ⎜ ⎟ + c = − + c =
2 2 ⎝⎜
2 ⎟ ⎠ 4a2a 4a
PARA FINALIZAR…
h→0 h→0
sen x
Sea fx ( )= arctg . Estudia si f(x) y f'(x) son constantes.
1+
cos x
2
2
1
cos x( 1+
cos
x) + sen x
f'( x)
=
⋅ 2
2 ⎛ sen x ⎞
1+
⎜
( 1+
cos x)
⎜
⎝⎜
1+
cos x ⎠⎟
cos x + 1
=
2 2
( 1+ cos x) + sen x
=
cos x +
=
+ cos x + cos x + sen x
cos x +
=
cos x + =
1
2 2
1 2
1 1
2 2 2
Al ser f'(x) constante y no nula, la función f(x) no es constante.
SOLUCIONARIO
h→0
8
365

366
Derivada de una función
121
122
123
124
125
Dada la gráfica de una función f(x), representa
la función f'(x) de forma aproximada.
Si la gráfica de una función f'(x)
es la siguiente, representa de forma
aproximada la función f(x).
Y
1
1
Y
1
1
f’(x)
f(x)
Si f(x) y g(x) son funciones inversas, es decir, (g f )(x) = x, ¿se verifica que
(g' f')(x) = x?
No se verifica. Si se consideran las funciones f(x) = x3 3
y g(x) = x , se tiene que
son inversas ya que cumplen que: (g o f )(x) = x
2
Sin embargo, resulta que: ( g' f')( x) = g'( f'( x)) = g'( 3x
) =
1
=
1
x
Luego f’(x) y g’(x) no son funciones inversas.
3 22 3 ( 3x)
3
3x9x Se define el ángulo de dos curvas en un punto común como el ángulo formado
por sus rectas tangentes en ese punto.
Aplícalo a las curvas y = x2 y x = y2 .
2 y = x ⎫
⎬
⎪ → ( 00 , )
2 es el punto de intersección de las curvas.
x = y ⎭⎪
La recta tangente en este punto a la primera curva es: y = 0
La recta tangente en el mismo punto a la segunda curva es: x = 0
Como las rectas son perpendiculares, el ángulo que forman las dos curvas mide 90°.
Verifica que si un polinomio tiene una raíz doble, también lo es de su derivada.
Resuelve la ecuación 12x3 −16x2 + 7x −1 = 0, sabiendo que una de sus raíces es doble.
Si un polinomio tiene una raíz doble a, entonces: f(x) = (x − a) 2 ⋅ p(x)
2 f'() x = 2( x − a) ⋅ p() x + ( x− a) ⋅ p'() x = ( x− a)[ 2p()
x + ( x − a) ⋅ p'( x)]
Por tanto, a es también una raíz de la derivada.
X
X
Y
1
Y
1
1
1
f(x)
f’(x)
X
X

126
127
3 2
Sea fx ()= 12x − 16x + 7x−1. ⎧ ⎪
1
⎪ x =
2
2
Como f'( x)= 36x − 32x + 7,
resulta que: 36x − 32x + 7 = 0 → ⎨
⎪ 2
⎪ 7
⎪x
=
⎩⎪
18
Y como una de las raíces es doble coincide con una de las anteriores:
⎛ 1 ⎞
⎛
3 2
1 ⎞
f ⎜ = 0 → 12x − 16x + 7x− 1=
⎜
2
x−
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎜ ⋅ ( 12x − 10x + 2)
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎧ ⎪
1
⎪x
=
2 12x − 10x + 2 = 0 → ⎨
⎪ 2
⎪ 1
⎪x
=
⎩⎪
3
1
1
Las soluciones de la ecuación son: (doble) y
2
3
¿Cómo debe descomponerse un número positivo a en la suma de dos números
no negativos para que la suma de los cuadrados de los dos sumandos sea mínima?
¿Y para que sea máxima?
Sea x tal que 0 ≤ x ≤ a, de modo que a = x + (a − x).
2 2
fx () = x + ( a− x)
f'() x= 2x+ 2( a− x) ⋅( − 1) = 4x−2a ⎛ a ⎞
f'' () x = 4 f"
⎜ = 4 > 0 → x =
⎝⎜
2 ⎠⎟
4x−2a
= 0 → x =
a
esun mínimo.
2
a
2
a a
Luego si el número a se descompone en + , la suma de los cuadrados
2 2
2 2 2 2
es mínima. Al ser fx () = x + ( a− x) = 2x− 2ax+
a una parábola abierta hacia
arriba, como 0 ≤ x ≤ a,
la suma de los cuadrados es máxima si x = 0 o si x = a,
es decir, si el número se descompone en a + 0.
Demuestra que la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al
radio en ese punto.
2 2 2
Sea una circunferencia centrada en el origen de coordenadas de radio r: x + y = r
Si y = 2 2 r − x → y'=
−2x
=−
x
2 2 2 r − x
2 2 r − x
a
Entonces la ecuación de la recta tangente en un punto (a, b) es: y− b =− ( x− a)
b
La recta determinada por el radio de la circunferencia que pasa por este punto es:
x y
= y =
a b
→
Las rectas son perpendiculares ya que: b
a
b
a x
1
=−
a
−
b
SOLUCIONARIO
8
367

368
9
Estadística unidimensional
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
Cansados de estar muertos
Morgana estudia tercero de Matemáticas. Si alguien le pregunta por
qué, ella se refugiará en la historia del astrónomo, el físico y el matemático
que llegaron a Escocia y distinguieron, a través de la ventana del
salón del hotel en el que se hospedaban, una oveja negra que pastaba
en el prado que circundaba el edificio. El astrónomo exclamó: Qué fascinante,
en Escocia las ovejas son negras, suscitando la protesta del físico,
que reaccionó corrigiéndole: No, algunas ovejas escocesas son negras.
El matemático, al ser requerido para que interviniese, se limitó a
sugerir: Sólo puedo decir que en Escocia existe al menos un prado que
tiene al menos una oveja con al menos uno de sus costados de color
negro. Aquella anécdota […] expresaba mejor que cualquier confesión
personal por qué a Morgana le entusiasmaba una disciplina erigida sobre
la pura abstracción que permitía mirar a la apariencia de las cosas
sin dejarse engañar por ellas. […] Las matemáticas abolían las opiniones
y los credos basados en el humo de la fe, y esto era suficiente motivo
para confiar en ellas, para encontrar calor en su frialdad.
[Faustino, de cuarenta años, un antiguo novio de la madre de Morgana,
vivía solo y para combatir la rutina de su vida utilizaba distintas
estrategias. Por ejemplo, en la época en que había un único canal de
televisión, las noches que emitían una película, anotaba] en un cuaderno
una especie de hit-parade en el que iba detallando las películas
y el número de ventanas iluminadas que había contado a la hora de su
emisión en los edificios a los que su mirada llegaba a alcanzar. El resultado
distaba mucho de sus anhelos de revolucionario, ya que la noche
en la que programaron Emmanuel se batió el record de audiencia,
treinta y siete ventanas iluminadas, que hasta entonces ostentaba El
imperio de los sentidos, veinticuatro ventanas. No se le escapaba que
aquel método de contabilidad carecía de rigor y reparaba en que muchas
de las ventanas iluminadas no tenían por qué delatar a espectadores
de las películas del horario de madrugada, pero daba igual. La
noche en que emitieron El acorazado Potemkin, reforzado con un documental
acerca de la personalidad del director, sólo permanecieron
iluminadas cinco ventanas. El ciclo dedicado a Murnau no mereció
más que el seguimiento de aquellos que se cobijaran tras dos ventanas
iluminadas. La revolución pendiente tardaría mucho en llegar.
JUAN BONILLA
¿Son representativos estos datos para conocer los gustos cinematográficos
de la población? Haz una tabla de frecuencias con ellos. ¿Cuál es la variable estadística?
Calcula, si es posible, alguna medida de centralización.
Los datos no son representativos, porque no puede
determinarse la composición de la muestra,
ni si las ventanas iluminadas corresponden
Películas
Emmanuel
Frecuencias
37
a espectadores de las películas.
El imperio de los sentidos 24
La variable estadística es el número de ventanas
El acorazado Potemkin 5
iluminadas durante la noche en la que se emite
cada película.
Ciclo Murnau 2
Como la variable es cualitativa, solo puede determinarse la moda: Emmanuel.

001
002
003
004
005
006
007
008
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Da dos ejemplos de cada clase de intervalo.
Abierto: (3, 4) y (−2, 0).
Cerrado: [1, 5] y [−3, 8].
Abierto por la derecha y cerrado por la izquierda: [−4, 2) y [−5, 0)
Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (2, 8] y (9, 13]
Calcula el punto medio de los siguientes intervalos.
a) [1, 3] b) (−3, −1) c) [−3, 1)
a) Punto medio de [1, 3] = 2
b) Punto medio de (−3, −1) = −2
c) Punto medio de [−3, 1) = −1
Obtén el valor absoluto de estos números.
a) 7 c) 0 e) −1
b) −8 d) 6 f) 62
a) ⏐7⏐ = 7
b) ⏐−8⏐ = 8
c) ⏐0⏐ = 0
d) ⏐6⏐ = 6
e) ⏐−1⏐ = 1
f) ⏐62⏐ = 62
Calcula el 18 % de 540.
18
18 % de 540 = = 97,2
100 540 ⋅
Un jugador de baloncesto anota 13 de los 25 tiros libres que ha realizado.
¿Cuál es su porcentaje de acierto?
a
a% de 25 = 13 → ⋅ 25 = 13 → a = 52
100
Elabora una encuesta en la que se recoja información sobre la profesión que desean
ejercer tus compañeros cuando terminen sus estudios.
Respuesta abierta.
Haz un recuento de los datos obtenidos en la encuesta anterior.
Respuesta abierta.
Pregunta a tus compañeros por su número de hermanos, y haz una tabla
de frecuencias que refleje el resultado.
Respuesta abierta.
SOLUCIONARIO
9
369

370
Estadística unidimensional
001
002
003
004
ACTIVIDADES
Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra.
a) La longitud de los tornillos que fabrica ininterrumpidamente una máquina.
b) La talla de un grupo de cinco amigos.
a) Es más conveniente estudiar una muestra.
b) Al tratarse de un grupo de cinco amigos es más conveniente estudiar la población.
Pon dos ejemplos de variables estadísticas unidimensionales.
a) Cualitativas.
b) Cuantitativas discretas.
c) Cuantitativas continuas.
Respuesta abierta.
a) Color de los ojos de los alumnos de un curso y nombre de la madre
de los estudiantes de un centro escolar.
b) Puntuaciones obtenidas en un test de verdadero-falso de diez preguntas
y nacimientos registrados cada semana en una población.
c) Peso de los paquetes entregados en una oficina de correos durante
una semana y cantidad de lluvia recogida en una zona durante un mes.
Estos datos reflejan el tiempo, en minutos, que tardan en llegar a su centro escolar
varios alumnos.
10 15 11 11 14 14 11 14 17 11 17 15
10 16 12 12 13 16 13 16 18 12 18 16
Organiza los datos en una tabla de frecuencias absolutas y relativas.
xi fi hi Fi Hi
10 2 0,08 2 0,08
11 4 0,17 6 0,25
12 3 0,13 9 0,38
13 2 0,08 11 0,46
14 3 0,13 14 0,59
15 2 0,08 16 0,67
16 4 0,17 20 0,84
17 2 0,08 22 0,92
18 2 0,08 24 1
La tabla muestra la estatura, en cm, de un grupo de personas.
Estatura [165, 175) [175, 185) [185, 195)
N. o de personas 40 85 25
a) Elabora una tabla de frecuencias.
b) ¿Qué porcentaje de personas miden entre 165 cm y 175 cm? ¿Y menos de 185 cm?

005
006
a)
Estatura xi fi hi Fi Hi
[165, 175) 170 40 0,27 40 0,27
[175, 185) 180 85 0,57 125 0,83
[185, 195) 190 25 0,17 150 1,80
N = 150
∑ hi = 1
SOLUCIONARIO
b) El porcentaje de personas que miden entre 165 cm y 175 cm es del 27 %
Y el porcentaje de personas que miden menos de 185 cm es del 83 %.
Estas son las edades, en años, de 18 jóvenes.
13 15 14 16 13 15 14 16 15
14 13 13 13 15 14 16 14 14
Realiza un gráfico de sus frecuencias relativas.
Antes de dibujar el gráfico es necesario hacer la tabla de frecuencias.
Aunque los valores parecen discretos, al representarlos consideramos
que alguien que afirma tener 14 años, realmente tiene más de 14 años
y menos de 15 años. Por esta razón utilizamos un histograma.
6
5
4
3
2
1
0
x i f i h i
13 5 0,278
14 6 0,333
15 4 0,222
16 3 0,167
13 14 15 16 17
Representa estos datos con el gráfico adecuado.
Sector Agrario Industrial Servicios Otros
Trabajadores 28 % 21 % 44 % 7%
Agrario
Industrial
Servicios
Otros
9
371

372
Estadística unidimensional
007
008
009
El sexo de 20 bebés nacidos en un hospital ha sido:
H M H H M
M M M H M
Construye la tabla asociada a estos datos, y represéntalos.
Sexo f i hi
Hombre 8 0,4
Mujer 12 0,6
M H H M M
M H H M M
Hombre
40%
60 % Mujer
Completa la tabla de frecuencias, y dibuja el histograma de frecuencias
absolutas y acumuladas con los datos de esta tabla.
f i
20
16
12
8
4
0
Edad (años) [15, 30) [30, 45) [45, 60) [60, 75)
N. o de trabajadores 20 10 12 8
Edad f i h i F i H i
[15, 30) 20 0,44 20 0,44
[30, 45) 10 0,24 30 0,64
[45, 60) 12 0,24 42 0,84
[60, 75) 8 0,16 50 144,
15 30 45 60 75
Frecuencias absolutas
Fi 50
40
30
20
10
0
15 30 45 60 75
Frecuencias absolutas acumuladas
Los resultados de un test de inteligencia realizado a 24 personas fueron:
100 80 92 101 65 72 121 68 75 93 101 100
102 97 89 73 121 114 113 113 106 84 94 83
Obtén la tabla de frecuencias y de porcentajes, tomando intervalos de amplitud 10.
Representa los datos en un histograma.
Intervalos fi hi Fi Hi
[65, 75) 4 0,17 4 0,17
[75, 85) 4 0,17 8 0,34
[85, 95) 4 0,17 12 0,51
[95, 105) 6 0,25 18 0,76
[105, 115) 4 0,17 22 0,93
[115, 125) 2 0,08 24 1,00
6
5
4
3
2
1
65 75 85 95 105 115 125

010
011
Construye las tablas de frecuencias que corresponden a los siguientes gráficos
estadísticos, indicando de qué tipo es cada uno.
a) En este histograma están representados las frecuencias absolutas
y el polígono de frecuencias. La tabla de frecuencias correspondiente es:
Frecuencias
b) En este histograma están representados las frecuencias acumuladas
y el polígono de frecuencias. La tabla de frecuencias correspondiente es:
Frec. acumuladas
7
5
3
1
7
5
3
1
10 20 30 40 50 60 70
10 20 30 40 50 60 70
SOLUCIONARIO
Intervalos f i h i
[10, 20) 6 0,19
[20, 30) 5 0,16
[30, 40) 7 0,23
[40, 50) 4 0,13
[50, 60) 6 0,19
[60, 70) 3 0,14
Intervalos Fi Hi
[10, 20) 1 0,125
[20, 30) 3 0,375
[30, 40) 4 0,5
[40, 50) 5 0,625
[50, 60) 7 0,875
[60, 70) 8 1
Organiza, en una tabla de frecuencias, estos datos relativos al peso, en kg,
de 20 personas.
42 51 56 66 75
69 59 50 70 59
47 51 45 63 79
xi
42
45
fi
1
1
hi
0,05
0,05
Fi
1
2
Hi
0,05
0,10
62 54 60 63 58
47 1 0,05 3 0,15
Calcula sus medidas de centralización.
50 1 0,05 4 0,20
La media aritmética es:
1. 179
x = = 58, 95
20
La mayor frecuencia es 8,
51
54
56
58
2
1
1
1
0,10
0,05
0,05
0,05
6
7
8
9
0,30
0,35
0,40
0,45
que corresponde a 51, 59 y 63.
59 2 0,10 11 0,55
Ordenamos los datos:
60 1 0,05 12 0,60
42, 45, 47, 50, 51, 51, 54, 56, 58, 59,
62 1 0,05 13 0,65
59, 60, 62, 63, 63, 66, 69, 70, 75, 79
63 2 0,10 15 0,75
Me =
59 + 59
2
= 59
66
69
1
1
0,05
0,05
16
17
0,80
0,85
70 1 0,05 18 0,90
75 1 0,05 19 0,95
79 1 0,05 20 1,00
9
373

374
Estadística unidimensional
012
013
A partir de los datos, construye la tabla de frecuencias, y calcula e interpreta
las medidas de centralización.
23 10 25 12 13 24 17 22
16 20 26 23 22 13 21 18
16 19 14 17 11 17 15 26
xi fi hi Fi Hi
10 1 0,04 1 0,04
11 1 0,04 2 0,08
12 1 0,04 3 0,13
13 2 0,08 5 0,21
14 1 0,04 6 0,25
15 1 0,04 7 0,29
16 2 0,08 9 0,38
17 3 0,13 12 0,5
18 1 0,04 13 0,54
19 1 0,04 14 0,58
20 1 0,04 15 0,63
21 1 0,04 16 0,67
22 2 0,08 18 0,75
23 2 0,08 20 0,83
24 1 0,04 21 0,88
25 1 0,04 22 0,92
26 2 0,08 24 1,00
N = 24 ∑ hi = 1
x =
440
24
= 18,33
Mo = 17 ya que el valor más frecuente es 17.
17 + 18
Me =
2
=17,5
Hay tantos valores menores que 17,5 como mayores.
Estos son los pesos de los últimos 20 pacientes de una consulta médica. Organiza los
siguientes datos en una tabla de frecuencias y calcula sus medidas de centralización.
42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
Intervalos xi fi fi ⋅ xi Fi
[40, 50) 45 3 135 3
[50, 60) 55 8 440 11
[60, 70) 65 6 390 17
[70, 80) 75 3 225 20
20 1.190

014
015
016
1. 190
Media: x = =59,5
20
El intervalo modal es [50, 60).
El intervalo mediano, donde la frecuencia acumulada es mayor
que 10, es [50, 60).
La siguiente tabla indica el consumo, en m 3 , de agua de los distintos hoteles
de una ciudad. Halla las medidas de centralización.
945
Media: x = = 11,81
80
El intervalo modal es [10, 15).
El intervalo mediano, donde la frecuencia acumulada es mayor
que 40, es [10, 15).
Con los datos de la tabla del ejemplo anterior,
calcula los siguientes percentiles.
a) P 22 c) P98
b) P7
Consumo [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20)
N. o de hoteles 10 12 37 21
Consumo xi fi fi ⋅ xi Fi
[0, 5) 2,5 10 25,5 10
[5, 10) 7,5 12 90,5 22
[10, 15) 12,5 37 462,5 59
[15, 20) 17,5 21 367,5 80
d) P66
80 945,5
Datos f i hi Fi Hi
1 11 0,18 11 0,18
2 27 0,45 38 0,63
3 4 0,07 42 0,71
4 18 0,31 60 1,91
a) P 22 = 2 b) P 7 = 1 c) P 98 = 4 d) P 66 = 3
SOLUCIONARIO
¿Qué tipo de frecuencias se utilizan para calcular las medidas de posición?
¿Es la mediana una medida de posición?
Para calcular las medidas de posición se utilizan las frecuencias
acumuladas.
La mediana se puede considerar una medida de posición, ya que divide
la distribución de los datos en dos partes iguales:
Me = Q 2 = P50
9
375

376
Estadística unidimensional
017
018
019
020
021
Salen 20 plazas a concurso por oposición y se presentan 200 personas.
Notas 3 4 5 6 7 8 9 10
fi 6 25 34 42 50 27 13 3
¿Con qué nota se obtiene una de las plazas mediante el concurso por oposición?
¿Qué percentil es la nota 5?
Hay 200 − 20 = 180 personas que suspenden la oposición. Como 180
es el 90 % de 200, y P 10 = 8, que es la nota mínima para aprobar. Ordenados los datos,
del 32.° al 65.° tienen de nota 5, luego 5 es el percentil P 16, P 17, …, hasta P 32.
Lidia ha obtenido las siguientes notas.
7 5 6 10 9 7 6
Halla las medidas de dispersión.
x = 7,14 σ 2 = 2,69 σ=1,64 CV = 0,23
Calcula las medidas de dispersión de estos datos.
N. o de vehículos 0 1 2 3
N. o de familias 115 456 268 161
xi f i |xi − − x | (xi − − x ) 2
fi ⋅ (xi − − x ) 2
0 115 1,475 2,175 250,125
1 456 0,475 0,225 102,600
2 268 0,525 0,275 140,700
3 161 1,525 2,325 374,325
1.000 867,750
De un estudio sobre el peso de los elefantes y el peso de los ratones
se tiene esta información.
• Peso de los elefantes:
x = 2.000 kg σ=100 kg
• Peso de los ratones:
x = 0,05 kg σ=0,02 kg
Compara la dispersión en las variables.
CVe =
100
2. 000
= 005 , CVr
=
002 ,
005 ,
= 04 ,
La dispersión en los ratones es mayor, ya que su coeficiente de variación es mayor.
Un estudio estadístico recoge estos datos.
1 3 2 5 2 5
a) Halla las medidas de centralización.
b) Calcula las medidas de dispersión.
c) ¿Qué conclusiones extraes al compararlas?
x − = 1,475
σ 2 = 0,867
σ=0,931
CV = 0,631

022
023
18
a) x = = 3 Mo = 2 y 5 (distribución bimodal) Me = 2,5
6
b) R = 5 − 1 = 4
153 ,
CV = = 051 , = 51%
3
c) La varianza y la desviación típica son grandes, teniendo en cuenta el valor
de la media y el rango de valores de la distribución, así que los datos no están
muy agrupados respecto de las medidas de centralización.
La tabla muestra la cantidad de fruta que ha consumido, al mes, una familia durante
el último año.
Calcula las medidas estadísticas y analízalas.
250
x = = 20,83 Mo = 15 Me = 20
12
R = 40 − 0 = 40
σ
8
DM = = 133 ,
6
σ
68
= − 3 = 2, 33
6
2 2
6. 100
= − 20 , 83 = 74 , 44
12
2 2
863 ,
CV = = 041 , = 41
20 , 83
La varianza y la desviación típica, así como el coeficiente de variación, no son muy
grandes; por tanto, se puede decir que los datos no están muy dispersos respecto
de las medidas de centralización.
Compara la media y la desviación típica de los datos de esta tabla.
1. 942, 5
x = = 25,9
75
σ= 233 , = 153 ,
Cantidad (kg) [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40)
N. o de meses 1 5 4 2
90
DM = = 75 ,
12
Intervalos [10, 15) [15, 20) [20, 35) [35, 50)
Frecuencias 25 12 13 25
62. 568 , 75
2
σ= − 25, 9 = 163, 44 = 12, 78
75
σ= 74 , 44 = 8 , 63
SOLUCIONARIO
La desviación típica no es grande respecto a la media; por tanto, los datos
no están muy separados de ella.
9
377

378
Estadística unidimensional
024
025
026
Las edades de dos grupos de personas son:
Grupo A: 18 26 20 26 22 26 23 27 25 25
Grupo B: 20 21 20 21 22 23 23 24 25 25
a) ¿En cuál de ellos están más concentrados los datos?
b) ¿Hay algún dato atípico?
a)
238
x A =
10
= 23,8 σ A =
5. 744
2 − 23, 8
10
= 7 , 96 = 2, 82
224
x B =
10
= 22, 4
282 ,
18 ,
CVA = = 012 ,
CVB = = 008 ,
23, 8
22, 4
Los datos están más concentrados en el grupo B.
b) No hay datos atípicos.
Indica el tipo de variable estadística que estamos estudiando y razona,
en cada caso, qué sería mejor, si estudiar una muestra o la población.
a) El cantante favorito de los miembros de tu familia.
b) La talla de pantalón de los alumnos de un IES.
c) La precipitación media mensual de tu provincia.
d) La altura de los habitantes de un país.
e) La nacionalidad de los habitantes de un pueblo.
f ) El número de SMS recibidos a la semana por tus amigos.
g) Los efectos de la gravedad en un cultivo de bacterias.
h) El tipo de calzado de tus compañeros de clase.
a) Variable cualitativa. Es más conveniente estudiar la población.
b) Variable cuantitativa discreta. Es más adecuado estudiar
una muestra.
c) Variable cuantitativa continua. Sería mejor estudiar la población.
d Variable cuantitativa continua. Es más adecuado estudiar
una muestra.
e) Variable cualitativa. Es más adecuado estudiar una muestra.
f) Variable cuantitativa discreta. Es más adecuado estudiar la población.
g) Variable cuantitativa continua. Sería mejor estudiar una muestra.
h) Variable cualitativa. Es más adecuado estudiar la población.
Queremos hacer un estudio estadístico del número de veces que los alumnos
de 1. o Bachillerato van al cine durante un mes.
a) Elige una muestra para realizar el estudio.
b) ¿Qué tamaño tiene dicha muestra?
c) ¿Cuál es la población?
Respuesta abierta.
5. 050
2
σB = − 22, 4 = 3, 24 = 1, 8
10

027
028
029
En una revista leemos que el pastor alemán
tiene una alzada media de 55 cm.
¿Crees que han medido a todos los pastores
alemanes?
Explica cómo crees que se ha llegado
a esta conclusión.
No los han medido a todos, sino que han
estudiado una muestra y han hallado
la alzada media.
El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:
3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2
0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3
a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias.
b) ¿Qué significan las frecuencias acumuladas?
a)
Horas fi hi Fi Hi
0 3 0,10 3 0,10
1 8 0,27 11 0,37
2 7 0,23 18 0,60
3 6 0,20 24 0,80
4 3 0,10 27 0,90
5 3 0,10 30 1,23
30 1,23
SOLUCIONARIO
b) Las frecuencias acumuladas son los alumnos que estudian como máximo
el número de horas correspondientes.
De los 30 alumnos de una clase, el 10 % aprobó todo, el 20 % suspendió una asignatura,
el 50 % suspendió dos asignaturas y el resto suspendió más de dos asignaturas.
Realiza una tabla de frecuencias con estos datos. ¿Hay algún tipo de frecuencia que
responda a la pregunta de cuántos alumnos suspendieron menos de dos asignaturas?
Razona tu respuesta.
Asignaturas
suspensas
fi hi Fi Hi
Ninguna 3 0,1 3 0,1
Una 6 0,2 9 0,3
Dos 15 0,5 24 0,8
Más de dos 6 0,2 30 1,0
La frecuencia absoluta acumulada de una asignatura suspensa indica cuántos
alumnos suspendieron menos de dos asignaturas; así, 9 alumnos suspendieron
menos de dos asignaturas.
9
379

380
Estadística unidimensional
030
031
032
033
Calcula la marca de clase del intervalo [10, 15). Si, en este intervalo, la frecuencia
absoluta es 32, ¿qué interpretación se da a la marca de clase?
¿Por qué se utiliza la marca de clase en algunas variables estadísticas?
10 + 15
La marca de clase es: xi = = 12, 5
2
La marca de clase es la media teórica de los datos que hay en el intervalo.
Se utiliza por la dificultad en manejar muchos datos, todos diferentes.
En un zoológico han hecho recuento de los felinos, pero se han perdido algunos
datos. Completa la tabla de frecuencias a partir de los datos que aparecen en ella.
Datos fi hi Porcentajes
Tigre 5 0,10 10
León 8 0,16 16
Puma 9 0,18 18
Leopardo 12 0,24 24
Guepardo 16 0,32 32
Total 50 1,00 100
En una empresa han preguntado a sus empleados por el número de personas
que viven en su casa, y se han reflejado algunos datos en la tabla.
Completa los datos que faltan.
Datos fi hi Porcentajes
3 3 0,075 7,5
4 9 0,225 22,5
5 12 0,3,00 30,0
6 11 0,275 27,5
7 5 0,125 12,5
Total 40 1,000 100,0
Completa, si es posible, la siguiente tabla de frecuencias.
Clases fi hi Porcentajes Fi
[0, 20) 3
1
12
8,33 3
[20, 40) 5 0,1389 13,89 8
[40, 60) 9
1
4
25,00 17
[60, 80) 11 0,3055 30,55 28
[80, 100) 8
2
9
22,22 36

034
035
036
Construye la tabla de frecuencias que da lugar
al gráfico siguiente, donde se representa la variable
Notas en el último examen de Matemáticas
de una clase de 24 alumnos.
Notas fi hi Fi Hi Porcentajes
Suspenso 3 0,125 3 0,125 12,5
Aprobado 9 0,375 12 0,50 50,0
Notable 6 0,250 18 0,75 25,0
Sobresaliente 6 0,250 24 1,00 25,0
Un médico anotó la hora
en la que recibió a cada uno
de sus pacientes, y reflejó
los datos en este gráfico.
Construye la tabla de frecuencias
correspondiente.
Hora del día fi hi Fi Hi
[9, 10) 6 0,20 6 0,20
[10, 11) 8 0,27 14 0,47
[11, 12) 9 0,30 23 0,77
[12, 13) 5 0,17 28 0,94
[13, 14) 2 0,06 30 1,00
Esta semana se celebró una reunión
para decidir sobre la ubicación
del Certamen de Física y la Feria
Tecnológica. Hay ocho ciudades
que son candidatas y los resultados
de las votaciones son:
Construye la tabla de frecuencias
para cada una de las votaciones.
Certamen de Física Feria Tecnológica
Ciudades f i h i F i H i
Berlín 8 0,170 8 0,170
Madrid 12 0,250 20 0,420
Moscú 6 0,125 26 0,545
Nueva York 0 0,000 26 0,545
París 3 0,060 29 0,605
Pekín 9 0,190 38 0,795
Tokio 6 0,125 44 0,920
Toronto 4 0,080 48 1,000
N. o de pacientes
10
8
6
4
2
14
12
10
8
6
4
2
Berlín
9
Madrid
Moscú
Sobresaliente
SOLUCIONARIO
Notable
25 %
25 %
12,5 %
9
Suspenso
37,5 %
10 11 12 13 14
Hora del día
Nueva York
París
Pekín
Tokio
Toronto
Aprobado
Física
Tecnología
Ciudades f i h i F i H i
Berlín 3 0,06 3 0,06
Madrid 4 0,08 7 0,14
Moscú 9 0,19 16 0,33
Nueva York 11 0,23 27 0,56
París 8 0,17 35 0,73
Pekín 7 0,15 42 0,88
Tokio 5 0,10 47 0,98
Toronto 1 0,02 48 1,00
381

382
Estadística unidimensional
037
038
039
El dueño de un quiosco quiere saber la venta que tienen los periódicos News y Money.
Construye el gráfico que te parezca más adecuado para reflejar los datos de la tabla
que ha realizado.
News Money
Lunes 24 42
Martes 25 38
Miércoles 12 50
Jueves 36 30
Viernes 25 44
Sábado 42 58
Domingo 68 92
100
50
10
News
Money
L M X J V S D
Calcula la media aritmética, la moda y la mediana en los siguientes datos.
a) 3, 5, 9, 5, 6, 6 y 8
b) 3, 5, 9, 5, 6, 2 y 12
c) 3, 5, 9, 5, 6, 6, 9 y 5
d) 3, 5, 9, 5, 6, 6, 7 y 7
e) 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6 y 8
a) x = 6 Mo = 5 y 6 Me = 6
b) x = 6 Mo = 5 Me = 5
c) x = 6 Mo = 5 Me = 5,5
d) x = 6 Mo = 5, 6 y 7 Me = 6
e) x = 7 Mo = 6 y 8 Me = 7
La tabla muestra la edad de los alumnos de un taller de teatro.
Edad 16 17 18 19 20 21
Halla las medidas de centralización.
fi 4 15 7 2 1 1
524
x = = 17,47 Mo = 17 Me = 17
30

040
041
042
La tabla refleja el número de asignaturas suspensas en un curso de 1. o Bachillerato.
0 12
1 8
2 3
3 1
Calcula.
a) La media aritmética. b) La moda. c) La mediana.
a)
17
x =
24
= 0,71 b) Mo = 0 c) Me = 0,5
La tabla muestra los datos recogidos en un centro de salud sobre el peso, en kg,
de un grupo de niños.
Peso (kg) fi
[4, 10) 32
[10, 16) 19
[16, 22) 26
[22, 28) 24
[28, 34) 19
a) ¿Cuál es el peso medio?
b) Calcula la mediana.
c) Determina la moda de los datos.
a)
2. 154
x =
120
=17,95 b) Me = 19 c) Mo = 7
Las edades de los niños matriculados en un centro escolar son las que se muestran
en la tabla.
Edad 6 7 8 9 10 11 12
fi 22 36 40 24 16 12 10
Determina los percentiles 30, 40, 60, 70 y 80.
Edad fi Fi
6 22 22
7 36 58
8 40 98
9 24 122
10 16 138
11 12 150
12 10 160
N. o de suspensos f i
SOLUCIONARIO
30 % de 160 = 48 → P 30 = 7
40 % de 160 = 64 → P 40 = 8
60 % de 160 = 96 → P 60 = 8
70 % de 160 = 112 → P 70 = 9
80 % de 160 = 128 → P 80 = 10
9
383

384
Estadística unidimensional
043
044
El profesor de Educación Física ha anotado el peso y la altura de todos
los alumnos de 1. o Bachillerato.
Peso (kg) f i
[46, 51) 14
[51, 56) 26
[56, 61) 49
[61, 66) 32
[66, 71) 14
[71, 76) 5
Total 140
Para seleccionar a los alumnos con un peso y una altura más centrados,
descarta los valores extremos: el 25 % inferior y el 25 % superior.
a) ¿Cuáles son los datos que se descartan?
b) ¿Qué porcentaje de alumnos tienen medidas comprendidas en esos intervalos?
c) Halla los percentiles 33 y 66 en ambas variables.
a) 25 % de 140 = 35 → Se descartan los datos del intervalo [46, 51) en la variable
peso y los datos del intervalo [152, 160) en la variable altura.
75 % de 140 = 105 → Se descartan los datos del intervalo [66, 76) en la variable
peso y los datos del intervalo [184, 200) en la variable altura.
107
b) En la variable peso: = 076 , → El 76 % de los alumnos está comprendido
140
en los intervalos.
104
En la variable altura: = 074 , → El 74 % de los alumnos está comprendido
140
en los intervalos.
c) 33 % de 140 = 46,2
En la variable peso: P33 = 58,5 En la variable altura: P33 = 172
66% de 140 = 92,4
En la variable peso: P66 = 63,5 En la variable altura: P66 = 180
Carmen ha anotado el número de hermanos
de los compañeros de su clase.
Calcula.
a) La media aritmética.
b) La desviación media.
c) La varianza.
d) La desviación típica.
a) x = = 1,6 c) σ 2 = − 1,6 2 48
180
= 3,44
30
30
39, 2
b) DM = = 1,31 d) σ= 344 , = 185 ,
30
Altura (cm) f i
[152, 160) 12
[160, 168) 28
[168, 176) 30
[176, 184) 46
[184, 192) 22
[192, 200) 2
Total 140
N. o de hermanos fi
0 10
1 6
2 8
3 4
5 1
9 1
Total 30

045
046
La estatura, en cm, de las jugadoras de un equipo
de baloncesto es:
189 197 203 208 194 190 194 184 192 195
Determina.
a) La media aritmética.
b) La desviación media.
c) La varianza.
d) La desviación típica.
a) x = = 194,6 c) σ2 = − 194,62 1. 946
379. 120
= 42,84
10
10
49 , 2
b) DM = = 4,92 d) σ=
10
42, 84 = 6 , 55
Una mina de carbón extrae mineral de dos calidades diferentes. La producción diaria,
en toneladas, durante los últimos días ha sido la que se muestra en la tabla.
Día Calidad A Calidad B
16 12 4
17 10 6
18 9 9
19 13 3
20 12 6
23 10 7
24 11 9
25 10 10
26 9 12
27 11 8
SOLUCIONARIO
a) Calcula la media aritmética y la desviación típica de la producción de cada tipo
de carbón.
b) Determina el coeficiente de variación para decidir cuál de las dos variables
es más dispersa.
a)
107
x A =
10
= 10,7
σA =
1. 161
2 − 10 , 7
10
= 1, 61 = 1, 27
74
x B = = 7,4
10
σB =
616
2 − 74 ,
10
= 684 , = 262 ,
b)
127 ,
CVA = = 012 ,
10 , 7
CVB =
262 ,
74 ,
= 035 ,
La variable carbón de calidad B es más dispersa que la variable carbón de calidad A.
9
385

386
Estadística unidimensional
047
048
049
Se está estudiando los años que llevan funcionando las empresas informáticas
en una ciudad.
Años [0, 3) [3, 6) [6, 9) [9, 12) [12, 15) [15, 18)
N.
Halla cuánto tiempo, por término medio, lleva funcionando una empresa
y sus medidas de dispersión.
684
x =
152
= 4,5 años
o de empresas 64 48 22 13 4 1
σ=
4. 788
2 − 4 , 5
152
= 11, 25 = 3, 35
CV =
335 ,
45 ,
= 074 ,
La tabla presenta las notas que han
obtenido los alumnos de un curso en
Inglés y Economía.
Haz una tabla de frecuencia para cada
asignatura y calcula sus medias y
desviaciones típicas. Usa el coeficiente
de variación para decidir cuál de las dos
variables es más dispersa.
Inglés fi 4 6
5 7
6 10
7 4
8 3
171
199
x = = 5,7 x = = 6,63
30
30
1. 019
2
σ= − 57 , = 148 , = 122 ,
30
122 ,
CV = = 021 ,
57 ,
Inglés
Economía
Economía fi
5 3
6 12
7 8
8 7
1. 347
2
σ= − 663 , = 094 , = 097 ,
30
097 ,
CV = = 015 ,
663 ,
4 5 6 7 8
5 2 1 0 0 0
6 3 3 3 1 2
7 1 2 2 2 1
8 0 1 5 1 0
La variable notas de Inglés es más dispersa que la variable notas de Economía.
María y Esther han realizado una encuesta a 40 alumnos de un instituto, elegidos
al azar, que contiene tres preguntas.
• Tiempo aproximado, en minutos, que tardan en llegar al instituto, X.
• Valoración personal del funcionamiento del centro, Y. Respuestas posibles:
MB (Muy bien), B (Bien), R (Regular), M (Mal) y MM (Muy mal).
• Número de cursos que llevan en el centro, Z.

Los resultados que han obtenido son los siguientes.
X Y Z
18 M 2
3 MB 1
12 MB 4
32 B 5
20 B 6
15 R 3
12 M 5
28 R 4
37 MB 6
20 B 1
15 R 4
5 M 2
4 MB 5
3 MB 2
2 B 3
8 B 4
27 B 5
9 R 4
16 B 2
34 MB 3
a) Toma cada una de las variables y realiza un recuento; si hay muchos datos
diferentes, agrúpalos en clases.
b) Confecciona las tablas de frecuencias.
c) Realiza el gráfico más adecuado para cada una.
d) Determina, si es posible, sus medidas de centralización.
e) Obtén los cuartiles inferior y superior.
f ) Halla, si es posible, las medidas de dispersión de cada una de las series.
g) Decide, entre X y Z, cuál es más dispersa.
a) 40 = 6 , 32 → 6 intervalos
Tiempo fi [3, 9) 15
[9, 15) 5
[15, 21) 10
[21, 27) 4
[27, 33) 4
[33, 39) 2
Valoración fi
MB 11
B 14
R 10
M 5
MM 0
X Y Z
12 MB 1
23 B 4
2 M 5
15 R 1
30 R 1
4 B 1
20 B 2
18 R 3
6 MB 2
24 B 1
21 R 3
17 M 1
8 R 2
24 B 2
12 B 1
6 B 1
3 MB 3
8 MB 2
5 R 2
4 MB 4
37 − 3
= 538 ,
40
SOLUCIONARIO
Cursos fi 1 10
2 10
3 6
4 7
5 5
6 2
9
387

388
Estadística unidimensional
b)
c)
10
2
R
Tiempo xi fi hi Fi Hi
[3, 9) 6 15 0,375 15 0,375
[9, 15) 12 5 0,125 20 0,500
[15, 21) 18 10 0,250 30 0,750
[21, 27) 24 4 0,100 34 0,850
[27, 33) 30 4 0,100 38 0,950
[33, 39) 36 2 0,050 40 1,000
Valoración f i h i F i H i
MB 11 0,275 11 0,275
B 14 0,350 25 0,625
R 10 0,250 35 0,875
M 05 0,125 40 1,000
MM 00 0,000 40 1,000
Cursos fi hi Fi Hi
1 10 0,25 10 0,250
2 10 0,25 20 0,500
3 06 0,15 26 0,650
4 07 0,175 33 0,825
5 05 0,125 38 0,950
6 02 0,05 40 1,000
3 9 15 21 27 33 39
M
MM
B
MB
10
2
1 2 3 4 5 6

050
d) En la variable tiempo que tardan en llegar al instituto:
x =
618
40
= 15,45 minutos Mo = 6 Me = 15
En la variable valoración personal del funcionamiento del centro: Mo = B
En la variable número de cursos que llevan los alumnos en el centro:
113
x = = 2,825 cursos
40
Mo = 1 y Mo = 2 Me = 2,5
e) En la variable del tiempo que tardan los alumnos en llegar al instituto:
Q1 = 6 y Q3 = 21
En la variable del número de cursos que llevan los alumnos en el centro:
Q1 = 1,5 y Q3 = 4
f) En la variable del tiempo que tardan los alumnos en llegar al instituto:
2 12. 996
2
σ = − 15, 45 = 86 , 19
40
σ= 86 , 19 = 9 , 28
En la variable del número de cursos que llevan los alumnos en el centro:
2 σ =
413
2 − 2, 825 = 2, 34
40
σ= 234 , = 153 ,
g)
928 ,
CV = = 06 ,
15, 45
CV =
153 ,
2, 825
= 054 ,
La variable X es más dispersa que la variable Z.
Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de la serie.
12 24 16 18 14 10 15 20
a) Añade datos para que la variable tenga como media 16 y un coeficiente
de variación menor que el anterior.
b) A partir de la primera, escribe los datos de otra variable con media 50
y con menor coeficiente de variación.
129
x = = 16,125
8
2. 221
2
σ= − 16 , 125 = 17 , 61 = 4 , 2
8
42 ,
CV = = 026 ,
16 , 125
129 + a
a) x = 16 → = 16 → a = 15
9
2. 446 2
σ= − 16 = 15, 78 = 3, 97 < 4 , 2
9
SOLUCIONARIO
b) 50 − 16,125 = 33,875
Añadiendo este valor a los datos, la nueva serie es:
45,875 57,875 49,875 51,875 47,875 43,875 48,875 53,875
9
389

390
Estadística unidimensional
051
052
053
Hemos representado cuatro variables estadísticas de las que conocemos su media y
su desviación típica.
Serie A: x = 2,5 σ= 0,76
Serie B: x = 2,5 σ= 1,12
Serie C: x = 3 σ= 1
Serie D: x = 2,5 σ= 1,38
Asocia, sin hacer los cálculos, los parámetros con los siguientes gráficos.
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
1 2
Serie I
Serie II
3 4
1 2 3 4
Serie A: Serie I Serie B: Serie II Serie C: Serie IV Serie D: Serie III
En la tabla se muestra el número
mensual de faltas de asistencia
escolar de un grupo de 40 alumnos.
Se han perdido dos datos, aunque
conocemos que la media aritmética
es 2,2. Con esta información,
¿puedes completar la tabla?
x = 22 , →
4a+ 3⋅ 12+ 2⋅ 7+
b
40
= 22 , → 4a+ b = 38
Con estos datos no se puede completar la tabla.
Serie III
1 2 3 4
En la siguiente tabla se muestra el número de hijos de los 20 trabajadores
de una empresa.
La media aritmética es 1,3 y la desviación
típica es 1,1. ¿Podrías completar la tabla
con estos datos?
N. o de hijos
0
1
2
Frecuencias absolutas
8
3
4
2
6
5
4
3
2
1
8
6
4
2
Serie IV
1 2 3 4
Faltas de asistencia Frecuencias absolutas
4
3 12
2 7
1
0 4

054
8+ 2b+ 3⋅ 2+ 4c
x = 13 , → = 13 , → 2b+ 4c = 12
20
8 + 4 b+ 18 + 16c
2
σ= 11 , →
− 13 , = 11 ,
20
2b+ 8c + 13
→ − 1, 69 = 1, 21 → 2b + 8c = 16
10
b+ 2c = 6⎫
b
⎬
⎪
⎧ =
⎨
⎪ 4
→
b+ 4c = 8⎭
⎪ ⎩
⎪ c = 1
La tabla completa es:
El seleccionador de baloncesto está eligiendo a los jugadores
que van a participar en el próximo partido, pero hay
dos puestos que aún tiene sin cubrir. Necesita un jugador que sea
buen anotador, pero que no tenga grandes variaciones en sus resultados.
Ha preseleccionado a dos candidatos cuyas anotaciones en los últimos 12 partidos
han sido:
Jugador 1:
18 24 26 22 20 21 23 20 26 18 22 24
Jugador 2:
22 21 18 15 28 16 22 29 23 26 25 19
¿Qué jugador elegirías tú?
Justifica tu respuesta con datos objetivos.
También debe seleccionar un base que sea un buen lanzador de tiros triples,
y cuenta con dos candidatos. Estos datos muestran el número de triples anotados
en los últimos 10 partidos:
Jugador 3:
6 3 2 4 3 3 4 6 5 4
Jugador 4:
1 7 2 3 8 2 6 10 1 0
¿Qué jugador escogerías ahora? Justifica tu elección.
264
Jugador 1: x =
12
= 22
N.º de hijos Frecuencias absolutas
0 5
1 8
2 4
3 2
4 1
Total 20
5. 890 2
σ= − 22 = 6 , 83 = 2, 61
12
SOLUCIONARIO
261 ,
CV = = 012 ,
22
9
391

392
Estadística unidimensional
055
056
264
Jugador 2: x =
12
= 22
σ=
6. 030 2 − 22
12
= 18 , 5 = 4 , 3
CV =
43 ,
22
= 019 ,
Elegiría al jugador 1, porque aunque ambos tienen la misma media de resultados,
el primero tiene un coeficiente de variación menor.
40
Jugador 3: x = = 4
10
176 2 σ= − 4 = 16 , = 126 ,
10
40
Jugador 4: x = = 4
10
268 2 σ= − 4 = 10, 8 = 3, 29
10
En este caso, elegiría al jugador 3, que tiene la misma media que el jugador 4,
pero es más regular.
Un corredor entrena, de lunes a viernes,
recorriendo las siguientes distancias:
2, 5, 5, 7 y 3 km, respectivamente.
Si el sábado también entrena:
a) ¿Cuántos kilómetros debe recorrer
para que la media sea la misma?
b) ¿Y para que la mediana no varíe?
c) ¿Y para que la moda permanezca
constante?
126 ,
CV = = 032 ,
4
329 ,
CV = = 082 ,
4
a)
22
x = = 44 , →
5
22 + a
6
= 44 , → a = 44 ,
b) Cualquier recorrido de 5 o más kilómetros hace que la mediana no varíe.
c) Si recorre 5 km, o cualquier distancia que no sea 2, 3 o 7 km, se mantiene
la moda constante.
Calcula la media aritmética y la desviación típica de los siguientes datos.
3 8 9 12 11
a) Añade dos datos a la serie inicial, de modo que se mantenga la media aritmética
y la desviación típica aumente.
b) Escoge otros dos datos para añadir a los cinco primeros datos, y que resulte
una serie con la misma media aritmética y menor desviación típica.
c) Añade dos datos a los cinco datos iniciales, y consigue que aumente la media
aritmética, pero que no se incremente la desviación típica.
d) Haz lo mismo sin que aumente la desviación típica y la media disminuya.

43
x =
5
= 86 ,
419
2
σ= − 86 , = 984 , = 314 ,
5
43 + a+ b
a) x = 86 , → = 86 , → a+ b = 172 ,
7
Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden 5,2 y 12 a la serie, la media
se mantiene y la desviación típica es:
590 , 04
2
σ= − 8 , 6 = 10 , 33 = 3, 21> 3, 14
7
b) Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden 7,2 y 10 a la serie, la media
se mantiene y la desviación típica es:
570 , 84
2
σ= − 86 , = 759 , = 275 , < 314 ,
7
SOLUCIONARIO
c) Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden los valores 12,3 y 12,4 a la serie,
los parámetros son: x = 9,67 σ = 3,14
d) Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden los valores 4,8 y 4,9 a la serie,
los parámetros son: x = 7,53 σ = 3,14
057 Tenemos una variable estadística cuya media aritmética es m y su desviación
típica es d. Investiga qué sucede con ambos parámetros si:
a) Sumamos 4 a todos los números.
b) Restamos 4 a todos los números.
c) Multiplicamos por 4 todos los números.
d) Dividimos entre 4 todos los números.
(Pon una serie de ejemplo y realiza los cálculos. Haz una hipótesis general
y trata de encontrar la demostración a tu hipótesis.)
a) Si sumamos 4 a todos los valores, la media es m + 4 y la desviación típica es d.
Por ejemplo, se considera la serie: 5 6 8 9
28
x = = 7
4
σ=
206 2 − 7
4
= 2, 5 = 158 ,
Al sumar 4 a todos los números: 9 10 12 13
x =
44
4
= 11
σ=
494 2 − 11
4
= 2, 5 = 1, 58
b) Si restamos 4 a todos los números, la media es m − 4 y la desviación típica es d.
Teniendo en cuenta la serie anterior, al restar 4 a todos los valores: 1 2 4 5
12
x = = 3
4
σ=
46 2 − 3
4
= 2, 5 = 158 ,
c) Si multiplicamos por 4 todos los valores, la media es 4m y la desviación
típica es 4d.
La nueva serie es: 20 24 32 36
112
x = = 28
4
σ=
3. 296 2 − 28
4
= 40 = 6 , 32
9
393

394
Estadística unidimensional
058
059
1
1
d) Si dividimos entre 4 todos los números, la media es m y la desviación típica es d.
4
4
La nueva serie es: 1,25 1,5 2 2,25
x =
7
4
= 175 ,
σ=
12, 875
2 − 175 ,
4
= 0, 16 = 0, 39
Los diplomados en Informática de gestión tienen un salario medio, en su primer
empleo, de 1.080 €, con una desviación típica de 180 €, y los diplomados
en Informática de sistemas, un salario medio de 960 €, con una desviación
típica de 150 €.
Si a un diplomado en Informática de gestión le ofrecen un sueldo de 1.200 €,
y a un diplomado en Informática de sistemas, un sueldo de 1.140 €,
¿cuál de los dos recibe mejor oferta? ¿Por qué?
1. 200 − 1. 080
Si comparamos la oferta del diplomado en Informática de gestión:
= 067 ,
180
1. 140 − 960
Para el diplomado en Informática de sistemas, la comparación es:
= 12 ,
150
Así, el diplomado en Informática de sistemas recibe una oferta mejor, porque
su valoración respecto a su grupo es más alta.
Para un experimento sobre diabetes se seleccionan 120 personas cuyos niveles
de glucosa en sangre son:
a) Calcula la media y la desviación típica correspondiente a estos datos.
b) El equipo médico desea seleccionar un intervalo de niveles de glucosa
centrado en la media, es decir, del tipo ( x − a, x + a) y que contenga al 50 %
de las personas.
c) ¿Cuáles serán los extremos del intervalo?
13. 280
a) x = = 110 , 67
120
b)
120
⎫⎪
= 30 → Q1
= 104 ⎪
4
⎬
⎪
3 ⋅ 120
⎪
= 90 → Q3
= 120 ⎪
4
⎭⎪
Nivel de glucosa Frecuencia absoluta
[80, 96) 28
[96, 112) 40
[112, 128) 32
[128, 144) 14
[144, 160) 6
1. 507. 840
2
σ= − 110 , 67 = 317 , 48 = 17 , 82
120
→ El 50% de los datos se encuentra en el intervalo (104, 120).
c) Entonces el intervalo (110,67 − 9,33; 110,67 + 9,33) = (101,34; 120) contiene
al 50 % de las personas.

060
061
En un concurso de televisión se forma a las aspirantes para ser modelos. Al concurso
se han presentado 2.400 candidatas, y para seleccionar a las 12 participantes
deberán pasar por diferentes eliminatorias. La primera se hará midiendo su altura,
y se exige que midan entre 173 y 191 cm, ambas medidas incluidas.
Las alturas de las aspirantes se muestran
en la tabla.
a) ¿Cuántas aspirantes quedarán eliminadas
por la altura?
(Por ejemplo, del intervalo [170, 180) deberás
eliminar el intervalo [170, 173). Halla
qué porcentaje de la amplitud de clase
es este intervalo y elimina el mismo
porcentaje de chicas.)
b) Si consideramos las aspirantes que superan la prueba de la altura, calcula las
medidas de centralización y de dispersión correspondientes.
3
9
a) Por la altura deben ser eliminadas: 80 + 430 + ⋅ 1 020 + ⋅ 180 = 978 chicas
10 10
b) La nueva tabla es:
.
Altura Frecuencias absolutas
[150, 160) 80
[160, 170) 430
[170, 180) 1.020
[180, 190) 690
[190, 200) 180
Altura Frecuencias absolutas
[173, 180) 714
[180, 190) 690
[190, 191) 18
257. 100
x = = 180 , 8 Mo = 185 Me = 176,5
1. 422
46. 511. 181
2
σ= − 180 , 8 = 19 , 64 = 4 , 43
1. 422
SOLUCIONARIO
443 ,
CV = = 002 ,
180 , 8
Una asociación de consumidores ha realizado una prueba sobre la duración, en días,
de unas bombillas. Ha mantenido encendidas 100 bombillas hasta
que se han fundido.
El resumen de los resultados obtenidos
se muestra en la siguiente tabla.
Días
[36, 42)
Frecuencias absolutas
12
a) Completa la tabla de frecuencias.
[42, 48) 28
b) Representa los datos mediante
el gráfico estadístico que consideres más
adecuado.
c) Calcula las medidas de centralización.
d) Halla las medidas de dispersión.
e) Interpreta las medidas estadísticas calculadas.
[48, 54)
[54, 60)
[60, 66)
44
11
5
f ) El fabricante asegura en su publicidad que sus bombillas duran más
de 1.000 horas. ¿Qué porcentaje de las bombillas no cumple lo anunciado?
g) En las especificaciones técnicas, el fabricante asegura que un 10 % de sus
bombillas supera las 1.350 horas de iluminación ininterrumpida. ¿Es esto cierto?
9
395

396
Estadística unidimensional
062
a)
b)
50
25
Duración en días fi hi Fi Hi
[36, 42) 12 0,12 12 0,12
[42, 48) 28 0,28 40 0,40
[48, 54) 44 0,44 84 0,84
[54, 60) 11 0,11 95 0,95
[60, 66) 5 0,05 100 1,00
5
36 42 48 54 60 66
c) x =
4. 914
100
= 49 , 14 Mo = 51 Me = 51
d) σ=
244. 980
2 − 49 , 14
100
= 35, 06 = 5, 92
CV =
592 ,
49 , 14
= 012 ,
e) La duración media de las bombillas es de unos 49 días con una desviación
de 5,92.
f ) 1.000 : 24 = 41,67 → El 12 % de las bombillas no cumple lo anunciado.
g) 1.350 : 24 = 56,25 → Sí es cierto.
Se va a valorar la eficiencia de dos baterías para cámaras fotográficas.
Se repite el siguiente proceso 50 veces:
• Se recarga totalmente la batería.
• Se coloca en la cámara y se hace una fotografía
cada tres segundos.
• Se cuenta el número de fotografías que ha sido
posible hacer.
Los resultados han sido:
BATERÍA A
N. o de fotos fi
[300, 350) 3
[350, 400) 12
[400, 450) 20
[450, 500) 13
[500, 550) 1
[550, 600) 1
BATERÍA B
N. o de fotos fi
[320, 360) 5
[360, 400) 9
[400, 440) 19
[440, 480) 15
[480, 520) 2
a) Valora cuál es la media aritmética de fotografías que se puede hacer
con una recarga de cada tipo de batería y su desviación típica.
b) ¿En cuál de los dos casos hay menor dispersión?
c) ¿Qué batería recomendarías comprar, sin considerar el precio? ¿Por qué?

063
21. 250
a) x = = 425
50
9. 156. 250
2
σ= − 425 = 2. 500 = 50
50
21. 000
x = = 420
50
8. 903. 200
2
σ= − 420 = 1. 664 = 40 , 79
50
b) La dispersión es menor en el caso de la batería B.
c) Sería más conveniente comprar la batería B, porque sus resultados están más
centrados respecto de la media.
A un laboratorio han llegado 24 botellas de agua, 12 botellas de 1 litro
y 12 botellas de medio litro, para analizar su contenido en sales.
Se han obtenido los siguientes datos, expresados en mg.
Botellas de 1 litro:
46 25 27 30 48 40
27 44 37 62 56 29
Botellas de medio litro:
76 75 49 59 33 52
54 45 66 69 34 53
a) Clasifica la variable estadística de concentración de sales.
b) Justifica si es conveniente tomar o no intervalos al realizar una tabla.
a) La variable es cuantitativa continua.
b) Se pueden agrupar los datos en intervalos para realizar la tabla y facilitar
su estudio.
24 = 4 , 9 → 5 intervalos
76 − 25
24
= 10 , 41
5
1
Contenido (mg) fi
[25, 36) 7
[36, 47) 5
[47, 58) 6
[58, 69) 3
[69, 80) 3
25 36 47 58 69 80
SOLUCIONARIO
50
CV = = 012 ,
425
9
40 , 79
CV = = 009 ,
420
397

398
Estadística unidimensional
064
065
066
067
PARA FINALIZAR...
Tenemos 120 datos que hemos clasificado en tres grupos
y queremos representarlos mediante un diagrama
de sectores. Analizando los distintos grupos hemos
llegado a estas conclusiones.
• Sector 1: representa el primer conjunto de datos,
y comprende el 60 % del diagrama.
• Sector 2: compuesto por el segundo grupo de datos,
está representado por un ángulo de 90°.
• Sector 3: representa el tercer grupo de datos.
90°
60 %
Construye el diagrama y calcula el número de datos que contiene cada sector.
Si el 60 % corresponde al primer conjunto de datos, como en total son 120 datos,
en este grupo se encuentran: 0,6 ⋅ 120 = 72 datos.
Como el segundo sector es de 90° corresponde a una frecuencia relativa
de 0,25; por tanto, en el segundo grupo hay: 0,25 ⋅ 120 = 30 datos.
Así, el tercer conjunto de datos está formado por: 120 − 72 − 30 = 18 datos.
En un examen, en el que la puntuación varía entre 0 y 10, la media aritmética
de los 12 primeros datos de la lista, en un grupo de 20 alumnos, fue 6,5.
¿Cuáles son los valores mínimo y máximo que puede tomar la media del grupo?
Suma de 12 primeros
= 6 , 5 → Suma de 12 primeros = 78
12
x =
El valor mínimo de la media se alcanza si los 8 últimos alumnos del grupo
obtienen 0 como calificación, y entonces:
78
x = = 39
20
El valor máximo se obtiene si los 8 últimos alumnos consiguen 10 como
calificación, en este caso:
78 + 80
x = = 79 ,
20
,
78 + Suma de 8 últimos
20
La media de un conjunto de 12 datos es 6, y la media de otro conjunto
con 13 datos es 5,5. ¿Cuál sería la media si uniéramos todos los datos en un único
conjunto de 25 datos?
6⋅ 12+ 5,5⋅ 13
x =
= 574 ,
25
Se ha hecho un estudio del profesorado de Bachillerato a nivel nacional. Este estudio
indica que entre los docentes menores de 40 años hay más mujeres que hombres:
en concreto, están en la relación 11 a 10. Es decir, por cada 11 mujeres
que ejercen la docencia en esta etapa educativa, hay 10 hombres que también
desarrollan su función educadora en estos niveles.

068
Si la edad media de las profesoras es de 34 años y la de los profesores es de 32 años,
¿cuál es la media de edad de los docentes menores de 40 años en Bachillerato?
34 ⋅ 11n+ 32 ⋅10n
694 n
x =
= =
11n+ 10n
21n
33, 05 años
Las puntuaciones medias en un concurso de los chicos, las chicas, y los chicos
y chicas conjuntamente, de dos centros A y B, sobre una puntuación máxima
de 150 puntos, son las que se indican en la tabla.
¿Cuál fue la media de las chicas de los dos centros a la vez?
Si x es el número de chicos del centro A e y es el número de chicas:
71x + 76y
= 74 → 3 x− 2y = 0
x + y
Análogamente, si m es el número de chicos del centro B y n el de chicas:
81m+ 90 n
= 84 → 3m− 6 n=
0
m+ n
Y como x es el número de chicos del centro A y m es el número de chicos
del centro B:
71x + 81m
= 79 → 8x− 2m = 0
x + m
3x − 2y = 0⎫
⎪ 2
8
m− 2n= 0⎬
⎪ → x = y → m = y → n=
⎪
4x − m = 0⎪3
3
⎭⎪
Así, la media de las chicas de los dos centros es:
A B A y B
Chicos 71 81 79
Chicas 76 90
Chicos y chicas 74 84
4
3 y
76 90 4
y + ⋅ y
3 228y + 360y
588y
=
= = 84
4
3y + 4y
7y
y + y
3
SOLUCIONARIO
9
399

400
10
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
La caverna
Estadística bidimensional
Buenas tardes, señor Algor, Buenas tardes, señor, Supongo que imagina por qué motivo le estoy telefoneando
hoy, Supone bien, señor, dígame, Tengo ante mí los resultados y las conclusiones del
sondeo acerca de sus artículos, [...] Y esos resultados cuáles son, señor, preguntó Cipriano Algor,
Lamento informarle de que no fueron tan buenos cuanto desearíamos, Si es así nadie lo lamentará
más que yo, Temo que su participación en la vida de nuestro Centro ha llegado al final, [...] Vaya tomando
nota de los resultados, Dígamelos, El universo de los clientes sobre el que incidiría el sondeo
quedó definido desde el principio por la exclusión de las personas que por edad, posición social,
educación y cultura, y también por sus hábitos conocidos de consumo, fuesen previsible y
radicalmente contrarias a la adquisición de artículos de este tipo, es bueno que sepa que si tomamos
esta decisión, señor Algor, fue para no perjudicarlo de entrada, Muchas gracias, señor, Le doy
un ejemplo, si hubiéramos seleccionado cincuenta jóvenes modernos, cincuenta chicos y chicas de
nuestro tiempo, puede tener la certeza, señor Algor, de que ninguno querría llevarse a casa uno de
sus muñecos, o si se lo llevase sería para usado en algo así como tiro al blanco, Comprendo, Escogimos
veinticinco personas de cada sexo, de profesiones e ingresos medios, personas con antecedentes
familiares modestos, todavía apegadas a gustos tradicionales, y en cuyas casas la rusticidad del
producto no desentonaría demasiado, E incluso así, Es verdad, señor Algor, incluso así los resultados
fueron malos, Qué le vamos a hacer, señor, Veinte hombres y diez mujeres respondieron que no
les gustaban los muñecos de barro, cuatro mujeres dijeron que quizá los compraran si fueran más
grandes, tres podrían comprarlos si fuesen más pequeños, de los cinco hombres que quedaban,
cuatro dijeron que ya no estaban en edad de jugar y otro protestó por el hecho de que tres de las figurillas
representasen extranjeros, para colmo exóticos, y en cuanto a las ocho mujeres que todavía
faltan por mencionar, dos se declararon alérgicas al barro, cuatro tenían malos recuerdos de esta
clase de objetos, y sólo las dos últimas respondieron agradeciendo mucho la posibilidad que les había
sido proporcionada de decorar gratuitamente su casa con unos muñequitos tan simpáticos, hay
que añadir que se trata de personas de edad que viven solas, Me gustaría conocer los nombres y las
direcciones de esas señoras para darles las gracias, dijo Cipriano Algor, Lo lamento, pero no estoy
autorizado a revelar datos personales de los encuestados, es una condición estricta de cualquier
sondeo de este tipo, respetar el anonimato de las respuestas. [...] Buenas tardes, Buenas tardes.
Resume los datos en una tabla de frecuencias y represéntalos en un gráfico estadístico.
¿Puedes calcular alguna medida de centralización?
Se ha elegido una muestra de 50 personas con características personales y profesionales
similares.
Respuestas fi
No les gustan los muñecos (1) 30
Los comprarían si fueran más grandes (2) 4
Los comprarían si fueran más pequeños (3) 3
No están en edad de jugar (4) 4
Protestan por figurillas de extranjeros (5) 1
Alérgicas al barro (6) 2
Malos recuerdos (7) 4
Agradecidas por ser gratuitas (8) 2
No es posible calcular ninguna medida de centralización porque la variable no es cuantitativa.
Frecuencias
Y
25
5
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Respuestas
JOSÉ SARAMAGO
X

001
002
003
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
En una revista leemos que el pastor alemán tiene una alzada media de 55 cm.
¿Crees que han medido a todos los pastores alemanes del planeta?
Explica cómo crees que han llegado a esta conclusión.
No los han medido. Se elige una muestra representativa de la población
de pastores alemanes y se estudia el valor de la media en dicha muestra.
Indica el tipo de variable estadística que estamos estudiando.
a) El programa favorito de los miembros de tu familia.
b) El número de calzado de los alumnos de un IES.
c) La temperatura media diaria de tu provincia.
d) La edad de los habitantes de un país.
e) El sexo de los habitantes de un pueblo.
f) El dinero gastado a la semana por tus amigos.
g) Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.
h) El color del pelo de tus compañeros de clase.
a) Cualitativa
b) Cuantitativa discreta
c) Cuantitativa continua
d) Cuantitativa discreta
e) Cualitativa
f ) Cuantitativa discreta
g) Cualitativa
h) Cualitativa
El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:
3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2 0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3
a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias.
b) ¿Qué significan las frecuencias acumuladas?
a)
Horas
0
1
2
3
4
5
f i
h i
3 0,1
8 0,27
7 0,23
6 0,2
3 0,1
3 0,1
N = 30 ∑ hi = 1
b) Las frecuencias acumuladas indican el número de alumnos que estudian
como máximo el número de horas correspondiente. Por ejemplo,
la frecuencia acumulada para el valor 2 es 18, es decir, hay 18 alumnos
que estudian 0, 1 o 2 horas.
Fi
Hi
3 0,1
11 0,37
18 0,6
24 0,8
27 0,9
30 1
SOLUCIONARIO
10
401

402
Estadística bidimensional
004
001
002
De los 30 asistentes a una cena, el 20 % comió ternera, el 40 % cordero y el resto
tomó pescado. Indica la variable estadística y organiza los resultados en una tabla
de frecuencias; después, representa los datos en un diagrama de sectores.
La variable estadística es el plato elegido en la cena.
ACTIVIDADES
Considera estas variables bidimensionales, y escribe las variables unidimensionales
correspondientes y tres pares de valores que las determinan.
a) Edad y sexo de los asistentes a un concierto.
b) Tamaño de un archivo informático y tiempo que se tarda en copiarlo.
a) X → Edad, en años, de los asistentes al concierto
Y → Sexo de los asistentes
(20, mujer) (25, hombre) (28, mujer)
b) X → Tamaño, en kb, del archivo informático
Y → Tiempo, en s, que se tarda en copiarlo
(220, 35) (158, 24) (285, 42)
En un estudio estadístico se han obtenido estos datos.
(1, 4) (1, 8) (2, 8) (3, 6) (3, 6)
(2, 6) (2, 4) (1, 8) (1, 6) (2, 8)
a) ¿Cuáles son las frecuencias absolutas conjuntas? ¿Y las marginales?
b) Determina las frecuencias relativas.
a)
Plato
Ternera
Cordero
Pescado
fi
hi
6 0,2
12 0,4
12 0,4
N = 30
∑ hi = 1
Datos
Frecuencias
absolutas conjuntas
(1, 4) 1
(1, 6) 1
(1, 8) 2
(2, 4) 1
(2, 6) 1
(2, 8) 2
(3, 6) 2
Fi
Hi
6 0,2
18 0,6
30 1
Pescado
xi
yi
fi
1 4
2 4
3 2
fi
4 2
6 4
8 4
Ternera
Cordero

003
004
b)
Datos
Frecuencias
relativas conjuntas
(1, 4) 0,1
(1, 6) 0,1
(1, 8) 0,2
(2, 4) 0,1
(2, 6) 0,1
(2, 8) 0,2
(3, 6) 0,2
xi
SOLUCIONARIO
fi
1 0,4
2 0,4
3 0,2
y i
f i
4 0,2
6 0,4
8 0,4
10
Observa esta tabla de doble entrada.
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta
Y
X
5 10 15 Total
conjunta del par (10, 200)?
100 3 2 5 10
¿Y la relativa conjunta
de este par?
b) Indica las frecuencias marginales
de 5 y 300.
200
300
Total
1
2
6
8
1
11
6
2
13
15
5
30
8
a) La frecuencia absoluta conjunta es 8 y la relativa es = 027 , .
30
6
b) La frecuencia absoluta marginal de 5 es 6 y la relativa es = 02 , .
30
5
La frecuencia absoluta marginal de 300 es 5 y la relativa es = 017 , .
30
Ordena estos datos en una tabla de doble entrada.
X Y
0 18
0 12
1 7
2 8
X Y
1 14
2 23
1 17
2 8
a) ¿Hay pares de datos que tengan la misma frecuencia absoluta conjunta?
b) Indica las frecuencias marginales de la variable X.
Y
X
0 1 2 Total
7 0 1 0 1
8 0 0 2 2
12 1 0 0 1
14 0 1 0 1
17 0 1 0 1
18 1 0 0 1
23 0 0 1 1
Total 2 3 3 8
403

404
Estadística bidimensional
005
006
007
a) Todos los pares tienen b)
la misma frecuencia absoluta
conjunta salvo el (2, 8).
Construye la tabla de doble entrada y las tablas marginales correspondientes.
Y
Tabla de frecuencias Tabla de frecuencias
marginales de X marginales de Y
xi
fi
13 1
14 3
15 1
16 2
17 2
18 1
Total 10
X 16 17 18 16 14 17 14 13 14 15
Y 5 4 6 6 8 3 5 4 8 8
X
13 14 15 16 17 18 Total
3 0 0 0 0 1 0 1
4 1 0 0 0 1 0 2
5 0 1 0 1 0 0 2
6 0 0 0 1 0 1 2
8 0 2 1 0 0 0 3
Total 1 3 1 2 2 1 10
Determina la covarianza para los datos que aparecen en la siguiente tabla.
X 8 10 11 9 13 12 9 14
Y 20 18 16 22 10 10 21 9
x =
86
=10,75
8
126
y =
8
= 15,75
1. 279
σXY =
8
− 10,75 ⋅ 15,75 = −9,44
Representa la nube de puntos correspondiente a la siguiente variable estadística
bidimensional.
X 1 1 3 5 2 4 5 2 5 2 4 3 2 1 1
Y 4 5 2 5 5 4 5 3 6 5 1 2 8 6 3
y i
xi
f i
3 1
4 2
5 2
6 2
8 3
Total 10
fi
0 2
1 3
2 3

008
009
010
011
Y
1
1
Indica la dependencia entre estas variables.
Dependencia lineal débil y positiva.
Describe el grado de correlación
entre las dos variables
representadas.
La correlación lineal es débil
y negativa.
Y
Si el signo de la covarianza entre dos variables es negativa, ¿qué podemos decir
del signo del coeficiente de correlación?
¿Y si la covarianza es positiva?
Si la covarianza es negativa, el coeficiente de correlación es negativo.
Y si la covarianza es positiva, el coeficiente de correlación es también positivo.
Representa el diagrama de dispersión y halla el coeficiente de correlación
de esta variable.
Y
X 39 43 40 40 42 41 42 38 39 44
Y 167 184 177 168 185 173 180 164 170 194
¿Qué relación puedes describir entre ellos?
x =
408
10
= 40,8
1. 762
y = = 176,2
10
σX = 336 , = 1,83 σY = 81, 96 = 9,05
72. 046
13, 6
σXY = − 40,8 ⋅ 176,25 = 13,6 rXY = = 0,82
10
183 , · 905 ,
X
Y
195
185
175
X
165
SOLUCIONARIO
38 40 42 44 46 48
X
10
X
405

406
Estadística bidimensional
012
013
014
015
Razona qué valor tomará el coeficiente de correlación.
a) Y
b)
a) El coeficiente de correlación tomará un valor relativamente cercano a −1,
porque la nube de puntos se aproxima bastante a una recta con pendiente
negativa y la correlación es fuerte.
b) El coeficiente de correlación es 1, ya que la nube de puntos coincide
con una recta de pendiente positiva.
Halla la recta de regresión de Y sobre X.
x = = 6 y = = 16
σX 2 30
5
80
5
30
= = 6
5
σXY =
570
− 6 ⋅ 16 = 18
5
18
Recta de regresión de Y sobre X: y − 16 = (x − 6) → y = 3x − 2
6
Determina la recta de regresión correspondiente.
x = = 40,7 y = = 174,5
σX 2 = − 40,72 407
10
1. 745
10
16. 599
10
= 3,41 σXY =
71. 145
10
− 40,7 ⋅ 174,5 = 12,35
12, 35
Recta de regresión de Y sobre X: y − 174,5 = (x − 40,7) → y = 3,62x + 27,17
341 ,
Determina las dos rectas de regresión, e indica la relación que hay entre las variables.
a)
X 39 40 40 42 43 38 39 44 42 40
Y 167 168 180 164 177 154 185 195 183 172
X 10 10 13 15 12
Y 6 5 2 3 5
X
X 2 5 6 8 9
Y 4 13 16 22 25
b) X 8 10 11 12 16 13 12 17 13 13
Y 15 10 15 10 20 15 10 25 10 15
Y
X

016
60
21
a) x = = 12 y = = 4,2
5
5
σX 2 = − 12 2 738
241
= 3,6 σXY = − 12 ⋅ 4,2 = −2,2
5
5
22 ,
Recta de regresión de Y sobre X: y − 4,2 = − (x − 12) → y = −0,61x + 11,52
36 ,
σX 2 = − 4,2 2 99
= 2,16
5
22 ,
Recta de regresión de X sobre Y: x − 12 = − (y − 4,2) → x = −1,02y + 16,28
216 ,
σX = 36 , = 1,89 σY = 216 , = 1,47
22 ,
rXY =− = −0,79 → La dependencia es débil y negativa.
189 , · 147 ,
125
145
b) x = = 12,5 y = = 14,5
10
10
σX 2 = − 12,52 1. 625
1. 890
= 6,25 σXY = − 12,5 ⋅ 14,5 = 7,75
10
10
775 ,
Recta de regresión de Y sobre X: y − 14,5 = (x − 12,5) → y = 1,24x − 1
625 ,
σX 2 = − 14,52 2. 325
= 22,25
10
775 ,
Recta de regresión de X sobre Y: x − 12,5 = ( y − 14,5) → x = 0,35y + 7,43
22, 25
σX = 625 , = 2,5 σY = 22, 25 = 4,72
775 ,
rXY = = 0,66 → La dependencia es débil y positiva.
25 , · 472 ,
Razona cuál es el grado de dependencia entre las variables en cada caso.
a) Y
b) Y
a) La dependencia es fuerte y negativa.
b) La dependencia es débil y negativa.
X
SOLUCIONARIO
X
10
407

408
Estadística bidimensional
017
018
019
En un estudio sobre los ingresos mensuales, X, y la superficie de las viviendas, Y,
resulta: y = 0,02x + 47,96.
a) Halla la estimación de la superficie de la vivienda de una familia cuyos ingresos
mensuales son de 3.200 €.
b) Si una familia vive en una casa de 90 m2 , ¿cuáles serán sus ingresos mensuales?
a) y = 0,02 ⋅ 3.200 + 47,96 = 111,96 m 2
b) 0,02x + 47,96 = 90 → x = 2.102 €
En un estudio estadístico, el coeficiente de correlación entre dos variables X e Y
es −0,8. Se sabe que x = 20; σX = 4; y = 8 y σY = 1.
a) Determina las dos rectas de regresión, represéntalas y analiza la correlación
que existe entre las variables.
b) Si x = 30, ¿cuál es la estimación de y?
a) −0,8 = → σXY = −3,2
4⋅1 32 ,
Recta de regresión de Y sobre X: y − 8 =− (x − 20) → y =−0,2x + 12
16
32 ,
Recta de regresión de X sobre Y: x − 20 =− ( y − 8) → x =−3,2y + 45,6
1
Y
La dependencia es fuerte y negativa.
b) y =−0,2 ⋅ 30 + 12 = 6
Utiliza la calculadora para determinar todas las medidas estadísticas.
a)
b)
2
2
σ XY
X 2 4 2 3 5 1 4 5 1 3 4 2 1 3 4
Y 5 8 8 7 6 5 9 6 7 7 8 9 5 6 5
X 24 27 22 23 24 26 27 28 22 23
Y 2 1 2 4 5 2 3 4 1 2
a) x = 2,93 y = 6,73
σ X 2 = 1,82 σY 2 = 1,97
σ X = 1,35 σY = 1,4
σ XY = 0,35
r XY = 0,19
X
b) x = 24,6 y = 2,6
σ X 2 = 4,44 σY 2 = 1,64
σ X = 2,11 σY = 1,28
σ XY = 0,44
r XY = 0,16

020
021
Estudia la correlación entre estas variables, utilizando la calculadora para realizar
las operaciones.
Determina la recta de regresión y razona si tiene sentido estimar el valor de Y
si la variable X toma el valor 18.
x = 14,4 y = 33,9
2 σX = 2,24 σY 2 = 4,49
σX = 2,11 σY = 2,12
σXY = 0,14
rXY = 0,03
014 ,
Recta de regresión de Y sobre X: y − 33,9 = (x − 14,4) → y = 0,06x + 33
224 ,
Como la correlación es casi nula, no tiene sentido estimar el valor de y para x = 18.
Representa la nube de puntos asociada a las siguientes distribuciones bidimensiones.
a) (2, 2) (3, 6) (5, 10) (6, 14) (8, 19) (9, 23) (10, 25)
b) (5, 2) (6, 0) (8, −2) (10, −7) (11, −9) (13, −13) (15, −17)
c) (120, 60) (122, 75) (126, 60) (128, 90) (130, 50) (132, 100) (136, 70)
d) (7, 3) (8, 9) (9, 2) (10, 8) (11, 5) (12, 1) (13, 7)
Decide si existe dependencia entre las variables y de qué tipo es.
a)
b)
20
4
Y
Y
2
1
2
X 14 16 17 14 15 12 13 13 14 16
Y 32 34 36 34 32 34 31 36 38 32
10
X
X
c)
d)
Y
100
20
Y
1
120
6
SOLUCIONARIO
10
130 160
X
X
409

410
Estadística bidimensional
022
Representa la nube de puntos asociada a estas variables bidimensionales, y decide
si hay dependencia entre las variables que las forman.
En caso afirmativo, califícala.
a)
b)
A 6 8 9 11 13 15 16 18
B 8 13 13 16 21 26 28 33
C 1 3 6 7 10 13 17 18
D 25 21 18 20 12 15 8 6
a) La dependencia es fuerte
y positiva.
b) La dependencia es fuerte
y negativa.
c) No se aprecia dependencia entre
las variables E y F.
d) No se aprecia dependencia entre
las variables G y H.
c)
d)
B
25
5
D
25
5
F
50
10
H
12
6
E 110 112 115 116 118 120 121 124
F 40 45 35 40 60 70 45 33
G 26 24 23 22 18 15 14 12
H 8 12 14 7 10 11 9 13
2 10
2 10
110
120
10 20
20
20
A
C
E
G

023
024
A partir de los diagramas de dispersión, decide si hay o no dependencia lineal
y, en su caso, si es fuerte o débil, y si es positiva o negativa.
a) Y
c)
b) Y
d)
a) No hay dependencia lineal.
b) La dependencia lineal es fuerte y negativa.
c) La dependencia lineal es débil y positiva.
d) La dependencia lineal es fuerte y positiva.
Representa las nubes de puntos correspondientes a las variables bidimensionales
definidas por estas fórmulas.
a) y = 2x + 5
b) y = x2 + 3x
¿Qué tipo de dependencia presentan?
a)
Y
2
X
X
2
X
Y
Y
La dependencia es lineal. La dependencia es funcional.
b)
SOLUCIONARIO
X
X
Y
2
2
10
X
411

412
Estadística bidimensional
025
La tabla muestra el número de cuadros que han pintado los alumnos de un taller
sobre paisajes y bodegones.
a) Determina las tablas de frecuencias
marginales de paisajes y bodegones.
b) Calcula las medias y las desviaciones
típicas de cada una de las variables.
c) Usa el coeficiente de variación para
decidir cuál de las dos variables es más
dispersa.
d) Realiza el diagrama de dispersión
correspondiente a la variable
bidimensional.
a) Tabla de frecuencias marginales Tabla de frecuencias marginales
de los paisajes de los bodegones
b) x = 5,47 y = 5,82
σ X = 1,15 σY = 1,19
c) CVX = 0,21 CVY = 0,204
La variable de los paisajes es un poco más dispersa que la de los bodegones.
d)
Bodegones
Paisajes
4 5 6 7 8
4 2 1 0 0 0
5 4 4 3 0 1
6 2 5 4 2 0
8 0 0 3 2 1
Y
1
x i
1
f i
4 8
5 10
6 10
7 4
8 2
Total 34
X
y i
f i
4 3
5 12
6 13
8 6
Total 34

026
027
Construye la tabla de doble entrada que
corresponde a esta variable bidimensional,
representada mediante el diagrama
de dispersión.
Y
A partir de este diagrama de dispersión,
construye la tabla de doble entrada
correspondiente.
Y
X
X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 Total
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 4
5 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2
6 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3
7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2
9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Total 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 15
3 4 5 6 7 8 9 10 Total
1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
3 0 0 0 1 0 0 0 0 1
4 0 0 0 0 1 0 0 0 1
5 0 0 1 1 0 1 0 0 3
6 1 0 0 1 0 0 1 0 3
7 0 0 1 0 0 1 1 1 4
9 0 0 0 0 0 0 1 0 1
10 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Total 1 1 2 3 1 2 3 2 15
Y
1
Y
1
1
1
SOLUCIONARIO
10
X
X
413

414
Estadística bidimensional
028
029
030
031
Construye la tabla de doble entrada correspondiente, a partir del diagrama de
dispersión, teniendo en cuenta la frecuencia de los datos que figura entre paréntesis.
Y
8
6
4
2
(9)
(9)
1 2
(3)
(3)
(6)
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación para las variables
bidimensionales indicadas en las siguientes tablas.
P 0 1 2 3 4 5 6 7
Q 20 18 17 15 12 10 7 4
R 90 80 70 60 50 40 30
S −5 −7 −8 −11 −13 −16 −17
σ PQ =−7,22 r PQ =−0,11 σ RS = 84,29 r RS = 0,99
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación correspondientes a estas variables
estadísticas.
T −12 −14 −15 −16 −18 −20 −22
U 8 5 3 12 20 10 6
V 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2
W 100 150 220 270 340 400 460 520
σ TU =−3,69 rTU =−0,22 σVW = 127,5 rVW = 0,99
Representa la variable bidimensional cuyos pares de valores son:
(8, 2) (12, 6) (10, 4) (12, 2) (8, 6)
a) Calcula su covarianza y razona el resultado.
b) Elimina un punto de manera que se mantenga
la correlación.
Y
a) σXY = 0
No hay dependencia entre las variables,
por lo que la covarianza es nula.
b) Al eliminar el punto (10, 4), la correlación
no varía.
1
(12)
3 4 5 X
Y
X
1 2 3 4 5 Total
2 0 9 0 6 0 15
4 9 0 3 0 0 12
6 0 0 3 0 0 3
7 0 0 0 0 12 12
Total 9 9 6 6 12 42
6
X

032
033
034
Construye el diagrama de dispersión correspondiente a la variable bidimensional
determinada por los siguientes pares de datos.
(10, 20) (16, 30) (10, 30) (16, 20)
a) Calcula su covarianza y explica a qué se debe el resultado.
b) Añade un punto de manera que
se mantenga la correlación.
Y
a) σXY = 0
No hay dependencia entre
las variables, por lo que la covarianza
es nula.
b) Al añadir el punto (13, 15),
la correlación no varía.
En la tabla se presentan datos climatológicos referidos a una ciudad: la temperatura,
en °C; la humedad relativa del aire, en %, y la velocidad del viento, en km/h.
Días L M X J V S D
Temperatura 22 24 25 24 23 21 20
Humedad 78 90 80 92 88 74 80
Velocidad del viento 1 3 6 4 4 1 0
Determina la covarianza y el coeficiente
de correlación de las siguientes variables
bidimensionales.
a) Temperatura–Humedad.
b) Temperatura–Velocidad del viento.
c) Humedad–Velocidad del viento.
a) σ TH = 6,46 rTH = 0,59
b) σ TV = 3,17 r TV = 0,93
c) σ HV = 6,404 rHV = 0,507
2 10 20
Se ha hecho una encuesta a personas que han tenido un accidente de tráfico,
preguntando por el número de meses transcurridos e incluyendo el grupo de edad.
Las respuestas han sido:
Carmen, 35: [60, 70) Jesús, 24: [50, 60)
Teresa, 15: [50, 60) Marta, 12: [30, 40)
Pilar, 12: [50, 60) José, 28: [40, 50)
Esther, 6: [20, 30) Andrés, 3: [20, 30)
Juan, 8: [40, 50) María Jesús, 20: [40, 50)
Jacinto, 15: [30, 40) Beatriz, 16: [30, 40)
a) Construye la tabla correspondiente a la variable bidimensional.
b) Representa el diagrama de dispersión.
c) Estudia si hay correlación entre ambas variables, y determina su coeficiente
de correlación lineal.
25
5
SOLUCIONARIO
10
X
415

416
Estadística bidimensional
035
036
a)
Y
b) La correlación es débil y positiva. c) σXY = 89,5
Y
rXY = 0,73
50
10
X
3 6 8 12 15 16 20 24 28 35 Total
[20, 30) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
[30, 40) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 3
[40, 50) 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 3
[50, 60) 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3
[60, 70) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Total 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 12
3 15 30
En la siguiente tabla se han perdido dos datos.
x1 23 24 25 27 28 29 33 34 36
2 4 3 5 y5 6 7 9 6 8
Se sabe que la media de la primera variable es 28 y la media de la segunda variable
es 5,8. Completa la tabla y determina el coeficiente de correlación.
x1 + 259
x = 28 →
10
rXY = 0,802
= 28 → x1 = 21
y5 + 50
y = 5,8 →
10
= 5,8 → y5 = 8
Se está estudiando imponer un impuesto a
las empresas químicas que sea proporcional
a sus emisiones de azufre a la atmósfera.
Se ha experimentado con varios procedimientos
para medir dichas emisiones, pero no se ha
encontrado ninguno fiable. Finalmente,
se ha decidido investigar algún método indirecto.
Se cree que la emisión de azufre puede estar
relacionada con el consumo eléctrico,
con el consumo de agua o con el volumen de las chimeneas de las fábricas.
Para valorarlo se ha realizado un estudio en un medio controlado. Los resultados
pueden verse en la tabla.
Cantidad de azufre (t) 2,3 1,8 1 0,4 0,6 3 0,5
Consumo eléctrico (kWh) 1.400 1.250 1.850 600 300 3.400 400
Consumo de agua (¬) 100 230 45 50 10 540 22
Volumen de las chimeneas (m 3 ) 18 16 12 5 6 21 4
¿Cuál de las medidas estadísticas se relaciona de forma más evidente
con las emisiones de azufre? Justifica la respuesta.
X

037
038
El volumen de las chimeneas es la variable que más se relaciona con la cantidad
de emisiones de azufre.
Traza a mano alzada, y sin realizar cálculos, la recta de regresión de las siguientes
variables bidimensionales.
a)
Representa, sin hallar su ecuación, la recta de regresión correspondiente
a estas variables.
a)
Y
Y
a)
Y
2.500
1.500
500
Y
1 2 3
X
X
X
X
Y
500
100
b)
b)
1 2 3
Y
Y
b)
Y
X
SOLUCIONARIO
500
100
X
X
Y
1 2 3
X
10
X
417

418
Estadística bidimensional
039
Para las variables bidimensionales representadas a continuación, hemos ajustado
diferentes rectas de regresión a las nubes de puntos correspondientes. Estima
el valor que tendrá y en cada una de ellas para un valor de x = 12.
a)
b)
c)
a)
Y
5
Y
5
Y
5
Y
5
y =−1,33x + 29,25
5
5
y = 1,99x − 0,04
y = 0,35x + 13,67
¿Cuál de las estimaciones te parece más fiable?
a) y = 1,99 ⋅ 12 − 0,04 = 23,84
b) y =−1,83 ⋅ 12 + 29,25 = 7,29
c) y = 0,35 ⋅ 12 + 13,67 = 17,87
La estimación más fiable es la del apartado a).
X
X
X
X
b)
Y
X

040
SOLUCIONARIO
Determina la recta de regresión de Y sobre X y la recta de regresión de X sobre Y
correspondientes a estas tablas.
a) X 10 11 12 13 14 15 16 17
b)
c)
d)
Y 20 24 28 30 36 32 42 40
X 60 70 80 90 100 110 120
Y −5 −8 −12 −15 −16 −24 −20
X −3 −4 −5 −6 −9 −10 −13
Y 80 92 100 88 76 70 60
X 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 0,9 1 1,2
Y 40 50 120 70 40 40 60 50
a) x = 13,5 y = 31,5 σXY = 15,5
σX 2 = 5,25
2
σY = 50,75
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 31,5 = (x − 13,5) → y = 2,95x − 8,33
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 13,5 = ( y − 31,5) → x = 0,31y + 3,74
b) x = 90 y =−14,29 σXY =−115,33
σX 2 = 400 σY 2 = 37,22
Recta de regresión de Y sobre X:
y + 14,29 =− (x − 90) → y = −0,29x + 11,81
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 90 =− ( y + 14,29) → x = −3,099y + 45,72
c) x =−7,14 y = 80,86 σXY = 34,48
σX 2 = 11,31 σY 2 = 159,37
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 80,86 = (x + 7,14) → y = 3,049x + 102,63
Recta de regresión de X sobre Y:
x + 7,14 = ( y − 80,86) → x = 0,22y − 24,93
d) x = 0,71 y = 58,75 σXY =−1,088
σX 2 = 0,099 σY 2 15, 5
525 ,
15, 5
50, 75
115, 33
400
115, 33
37, 22
34, 48
11, 31
34, 48
159, 37
= 635,94
Recta de regresión de Y sobre X:
1, 088
y − 58,75 =− (x − 0,71) → y = −10,99x + 66,55
0, 099
Recta de regresión de X sobre Y:
1, 088
x − 0,71 =− ( y − 58,75) → x = −0,0017y + 0,81
635, 94
10
419

420
Estadística bidimensional
041
042
Encuentra cinco puntos que pertenecen a la recta y = 4x + 6.
a) Calcula el coeficiente de correlación correspondiente y explica el resultado.
b) Halla las dos rectas de regresión.
Respuesta abierta.
x −2 −1 0 1 2
y −2 2 6 10 14
a) x = 0 y = 6 σX = 2 = 1,41 σY = 32 = 5,66 σXY = 8
rXY = 1 → La dependencia es lineal.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y − 6 =
8
(x − 0) → y = 4x + 6
2
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 0 =
8
1
( y − 6) → x = y −
32
4
3
2
Obtén cinco puntos que pertenecen a la recta.
y =−20x + 10
a) Calcula el coeficiente de correlación y explica el resultado.
b) Halla las dos rectas de regresión. Razona los resultados obtenidos.
Respuesta abierta.
x −2 −1 0 1 2
y 50 30 10 −10 −30
a) x = 0 y = 10 σX = 2 = 1,41 σY = 800 = 28,28 σXY =−40
r XY =−1 → La dependencia es lineal.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y − 10 =− (x − 0) → y = −20x + 10
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 0 =− ( y − 10) → x = − y + 1
40
2
40
1
800
20 2

043
044
Se cree que el número de zorros en una finca está relacionado con el número
de conejos.
En los últimos años se han realizado ocho censos de ambos animales,
resultando estos datos.
Si la correlación es fuerte:
a) Determina las dos rectas de regresión.
b) Estima la cantidad de conejos que habría si hubiera 10 zorros.
c) ¿Cuántos zorros serían si hubiéramos contado 350 conejos?
d) ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?
SOLUCIONARIO
N. o de zorros 20 32 16 18 25 30 14 15
N. o de conejos 320 500 260 300 400 470 210 240
a) x = 21,25 y = 337,5 σX = 42, 19 = 6,5 σY = 10. 168, 75 = 100,84
σXY = 653,13 rXY = 0,99 → La dependencia es fuerte y positiva.
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 337,5 =
653, 13
(x − 21,25) → y = 15,48x + 8,55
42, 19
Recta de regresión de X sobre Y:
653, 13
x − 21,25 = ( y − 337,5) → x = 0,064y − 0,35
10. 168, 75
b) x = 10 → y = 15,48 ⋅ 10 + 8,55 = 163,35
En este caso habría 163 conejos.
c) y = 350 → x = 0,064 ⋅ 350 − 0,35 = 22,05
En este caso serían 22 zorros.
d) Como el coeficiente de correlación es muy próximo a 1, las dos estimaciones
son bastante fiables.
A lo largo de un día se han medido la tensión y el pulso cardíaco de una persona,
tratando de decidir si ambas variables tienen alguna relación.
Los datos obtenidos se han reflejado en la tabla.
Nivel mínimo de tensión 6 5 9 4 10 8 6 9
N. o de pulsaciones por minuto 60 55 80 40 95 75 55 90
10
a) Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación y las dos rectas de regresión.
b) Si la correlación es fuerte, estima las pulsaciones que tendrá la persona cuando
su nivel mínimo de tensión sea 15.
c) ¿Qué nivel mínimo de tensión se estima cuando las pulsaciones cardíacas
por minuto son 70?
d) ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?
e) Dibuja la nube de puntos y la recta de regresión correspondientes.
421

422
Estadística bidimensional
045
a) x = 7,13 y = 68,75 σX = 404 , = 2,01 σY = 323, 44 = 17,98
σXY = 35,44 rXY = 0,98 → La dependencia es fuerte y positiva.
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 68,75 =
35, 44
(x − 7,13) → y = 8,77x + 6,22
404 ,
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 7,13 =
35, 44
( y − 68,75) → x = 0,11y − 0,43
323, 44
b) x = 15 → y = 8,77 ⋅ 15 + 6,22 = 137,77
En este caso tendría 138 pulsaciones por minuto.
c) y = 70 → x = 0,11 ⋅ 70 − 0,43 = 7,27
Se estima que tendría un nivel mínimo de 7.
d) Las dos estimaciones son muy fiables, porque el coeficiente de correlación
es bastante cercano a 1.
e) Y
Tenemos dos variables bidimensionales representadas por estas nubes de puntos.
(I)
Y
5
90
60
30
5
1 5 10
X
a) Elige los coeficientes de correlación de ambas y razónalo.
−0,92 0,6 0,95 −0,65
b) Ahora decide cuáles son las ecuaciones de las dos rectas de regresión
correspondientes.
y = 3x + 0,2 y = 1,3x + 0,9 y =−0,6x + 10 y =−2x + 12,6
Justifica la respuesta.
X
(II)
a) El coeficiente de correlación de las variables representadas en el gráfico I
es 0,95; porque la nube de puntos muestra una dependencia entre las variables
fuerte y positiva. El coeficiente de correlación de las variables representadas en
el gráfico II es −0,65; por ser la dependencia entre las variables débil y negativa.
b) La recta de regresión del gráfico I es y = 1,3x + 0,9; ya que la pendiente
de la recta dibujada es un valor próximo a 1. La recta de regresión del gráfico II es
y =−0,6x + 10, puesto que el valor de la ordenada de la recta representada es 10.
Y
2
5
X

046
047
Una empresa está investigando la relación entre sus gastos en publicidad
y sus beneficios (en millones de euros).
Este es un resumen del estudio.
Año 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
Gastos 2 2,4 2 2,8 3 3,2 3,2 3,3 3,5 4
Beneficios 12 15 13 15 18 19 19 20 20 22
a) Comprueba si existe relación entre las magnitudes y, si es posible, estima
los beneficios que se obtendrán en el año 2008, si se van a invertir 4,2 millones
de euros en publicidad.
b) ¿Qué inversión sería necesaria para alcanzar 30 millones de euros de beneficios?
a) x = 2,94 y = 17,3 σX = 038 , = 0,61 σY = 10, 01 = 3,16 σXY = 1,89
rXY = 0,98 → La dependencia es fuerte y positiva.
Recta de regresión de Y sobre X:
189 ,
y − 17,3 = (x − 2,94) → y = 4,97x + 2,69
038 ,
x = 4,2 → y = 4,97 ⋅ 4,2 + 2,69 = 23,56
Los beneficios serían de 23,56 millones de euros.
b) Recta de regresión de X sobre Y:
189 ,
x − 2,94 = ( y − 17,3) → x = 0,19y − 0,35
10, 01
y = 30 → y = 0,19 ⋅ 30 − 0,35 = 5,35
La inversión tendría que ser de 5,35 millones de euros.
María y Diego viven en la misma calle, pero en aceras opuestas. Los dos tienen
un termómetro en su balcón y, como María cree que el suyo está estropeado,
deciden tomar la temperatura exterior, en °C, durante una semana y a la misma
hora del día.
Han anotado los resultados en una tabla.
Diego 22 24 25 27 18 20 21
María 18 20 18 17 20 21 16
SOLUCIONARIO
10
a) ¿Crees que las dos variables están relacionadas? ¿Y opinas que deberían estarlo?
b) Razona si con estos datos se puede obtener alguna conclusión sobre
el termómetro de María.
a) x = 22,43 y = 18,57 σX = 2,86 σY = 1,69 σXY =−2,097
rXY =−0,43 → La dependencia es débil y negativa.
Las dos variables están poco relacionadas, pues al estar los termómetros
en lados opuestos de la acera reciben distinta exposición solar.
b) Como la dependencia es débil no se puede concluir nada sobre el termómetro
de María.
423

424
Estadística bidimensional
048
049
050
Se ha medido el peso, X, y la estatura, Y, de los alumnos de una clase. Su peso medio
ha sido de 56 kg, con una desviación típica de 2,5 kg.
La ecuación de la recta de regresión que relaciona la estatura y el peso es: y = 1,8x + 62
a) ¿Qué estatura puede estimarse en un alumno que pesa 64 kg?
b) ¿Y si pesara 44 kg?
c) ¿Cuál es la estatura media de los alumnos de esa clase?
d) La pendiente de esa recta es positiva. ¿Qué significa esto?
a) x = 64 → y = 1,8 ⋅ 64 + 62 = 177,2 → El alumno medirá 1,77 m.
b) x = 44 → y = 1,8 ⋅ 44 + 62 = 141,2 → En este caso medirá 1,41 m.
c) y = 1,8 ⋅ 56 + 62 = 162,8 → La estatura media es 1,63 m.
d) Si la pendiente es positiva, entonces la correlación entre las variables también
es positiva, es decir, cuando los valores de una variable aumentan, los valores
de la otra variable también lo hacen.
Daniel afirma que si una nube de puntos es de una recta, el coeficiente de
correlación siempre vale 1 o −1. Como Eva no está de acuerdo, Daniel prueba con
los puntos de la recta cuya ecuación es y =−5x + 20, y Eva hace lo mismo
con los puntos de y = 2x − x2 .
a) ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
b) Si la hipótesis de Daniel no resulta cierta, ¿podrías formularla de forma
que se verifique siempre?
a) Si y =−5x + 20, entonces algunos de los puntos son:
x = 0 y = 20 σX = 1,41 σY = 7,07 σXY =−10
rXY =−1 → La dependencia es lineal.
Si y = 2x − x 2 , no es una recta, y algunos de los puntos son:
x = 0 y =−2 σX = 1,41 σY = 3,29 σXY = 4
r XY = 0,86 → La dependencia es débil; por tanto, Eva no tiene razón.
b) Es cierta.
X −2 −1 0 1 2
Y 30 25 20 15 10
X −2 −1 0 1 2
Y −8 −3 0 1 0
Un equipo de alpinistas que escaló una montaña, midió la altitud
y la temperatura cada 200 metros de ascensión. Luego reflejó
los datos en estas tablas.
Altitud (m) 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000
Temperatura (°C) 22 20 17 15 11 9 8
Altitud (m) 2.200 2.400 2.600 2.800 3.000 3.200
Temperatura (°C) 5 3 2 2 2 1

051
SOLUCIONARIO
10
a) Toma las diez primeras mediciones y, si la correlación es fuerte, calcula la recta
de regresión de la temperatura sobre la altitud.
b) Estima la temperatura que habrá a los 1.900 metros de altitud.
c) ¿Qué temperatura se estima a los 3.200 metros? ¿Cómo explicas las diferencias?
a) x = 1.700 y = 11,2 σX = 574,46 σY = 6,69 σXY =−3.820
r XY =−0,99 → La dependencia es fuerte y negativa.
Recta de regresión de Y sobre X:
3. 820
y − 11,2 =− (x − 1.700) → y = −0,012x + 31,6
330. 000
b) x = 1.900 → y = −0,012 ⋅ 1.900 + 31,6 = 8,8
La temperatura estimada es de 8,8 °C.
c) x = 3.200 → y = −0,012 ⋅ 3.200 + 31,6 = −6,8
La diferencia se debe a que el valor no está incluido en el intervalo [800, 2.600],
formado por los datos que se han utilizado para calcular la recta
de regresión.
El alcalde de un pueblo ha constatado una reducción del número de nacimientos
de niños, y ha encargado realizar un estudio.
a) ¿Puede establecerse, de forma fiable, una fórmula que relacione el año
con el número de nacimientos?
b) ¿Cuántos nacimientos pueden estimarse en 2008? ¿Y en 2010? ¿Qué puede
estimarse para 2050?
c) ¿Es fiable esta última estimación? Razona la respuesta.
a)
Año 86 89 92 95 98 01 04 07
Nacimientos 50 54 40 33 34 23 21 17
X 0 3 6 9 12 15 18 21
Y 50 54 40 33 34 23 21 17
x = 10,5 y = 34 σX = 6,87 σY = 12,61 σXY =−83,63
rXY =−0,97 → La dependencia es fuerte y negativa, por lo que puede utilizarse
la recta de regresión para relacionar las dos variables.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
83, 63
y − 34 =− (x − 10,5) → y = −1,77x + 52,59
47, 25
En el año 2008 se estiman: x = 22 → y = −1,77 ⋅ 22 + 52,59 = 13,65 nacimientos
En el año 2010 se estiman: x = 64 → y = −1,77 ⋅ 64 + 52,59 = −60,69 nacimientos
Para el año 2050 se estiman −60 nacimientos.
c) No es fiable, ya que el año 2050 está muy alejado del rango de años estudiados
en la regresión.
425

426
Estadística bidimensional
052
053
En una empresa se está estudiando el número de días de baja por enfermedad, Y,
de cada uno de sus empleados en el último año. Para compararlo con la antigüedad,
X, de los empleados dentro de la empresa, se ha elaborado la siguiente tabla.
a) Calcula las medias y las desviaciones típicas de las distribuciones marginales.
b) Determina la covarianza y el coeficiente de correlación.
c) Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima, si es fiable, el número de días
de baja que puede esperarse en un empleado con 6 años de antigüedad
en la empresa.
a) Tabla de frecuencias marginales Tabla de frecuencias marginales
de los años de antigüedad de los días de baja
xi
Y
fi
X
1 2 3 4 5
0 6 12 8 3 0
2 4 5 3 2 1
3 0 1 3 2 0
5 0 0 2 2 1
9 0 0 0 0 1
1 10
0 29
2 18
2 15
3 16
3 6
4 9
5 5
5 3
9 1
Total 56
Total 56
x = 2,59 y = 1,46
σX = 1,11 σY = 1,89
b) σXY = 1,02 rXY = 0,49
c)
102 ,
Recta de regresión de Y sobre X: y − 1,46 = (x − 2,59) → y = 0,83x − 0,69
123 ,
La dependencia es débil, por lo que la estimación no es fiable.
Un inversor bursátil quiere predecir la evolución que va a tener el Índice de la Bolsa
de Madrid (IBEX).
Ha concluido que lo que sucede con el IBEX un día es lo que le sucede a la cotización
de la empresa AW&B el día anterior.
Investiga si esto es correcto, a partir de sus cotizaciones durante una semana
y los valores alcanzados por el IBEX al día siguiente.
Día 1. o
2. o
3. o
4. o
5. o
6. o
7. o
AW&B 21,8 23,4 19,6 19,4 18,4 19,9 19,2
Día 2. o 3. o 4. o 5. o 6. o 7. o 8. o
IBEX 12.560 12.720 11.580 11.420 10.930 11.450 11.480
yi
fi

054
a) ¿Qué cotización tendrá AW&B el día anterior al día
en que el IBEX alcance los 14.000 puntos?
b) Si un día AW&B tiene una cotización de 24 euros,
¿qué valor podemos esperar que alcance el IBEX
al día siguiente?
x = 20,24 y = 11.734,29
σX = 277 , = 1,66 σY = 366. 809, 62 = 605,65
σXY = 977,26
rXY = 0,97 → La dependencia es fuerte y positiva.
a) Recta de regresión de X sobre Y:
977, 26
x − 20,24 = (y − 11.734,29) → x = 0,0027y − 11,44
366. 809, 62
y = 14.000 → x = 0,0027 ⋅ 14.000 − 11,44 = 26,36
b) Recta de regresión de Y sobre X:
977, 26
y − 11.734,29 = (x − 20,24) → y = 352,8x − 4.593,62
277 ,
x = 24 → y = 352,8 ⋅ 24 − 4.593,62 = 3.873,58
Encuentra el coeficiente de correlación de la variable bidimensional cuyas rectas
de regresión son:
• Recta de Y sobre X: 2x − y −1 = 0
• Recta de X sobre Y: 9x −4y −9 = 0
a) Halla la media aritmética de cada una de las variables.
b) ¿Podrías calcular la desviación típica de Y sabiendo que la de la variable X
es 2?
2x − y − 1= 0 → y = 2x − 1→ σ XY
2 σ X
= 2→
σ X =
σ XY
2
9x − 4y − 9 = 0 → x =
4
y + 1 →
9
σ XY
2 σ
=
4
9
→ σY
=
3 σ XY
2
r
XY
=
a) Las rectas de regresión se cortan en el punto ( x, y).
b) σ
2x − y − 1= 0 ⎫
⎬
⎪ → x = 5, y = 9
9x − 4y − 9 = 0⎭⎪
Entonces, resulta que: x = 5, y = 9
X
σ
XY
σ 3 σ
·
2 2
XY XY
2 2
= =
3
094 ,
σ XY
3 · 2
= 2 → = 2 → σXY = 4 → σY=
= 3
2
2
Y
SOLUCIONARIO
10
427

428
Estadística bidimensional
055
056
Se tiene la siguiente variable bidimensional.
Investiga lo que sucede con la covarianza y el coeficiente de correlación en cada caso.
a) Sumamos 10 a todos los valores de la variable X.
b) Sumamos 10 a todos los valores de la variable X y de la variable Y.
c) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable X.
d) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable X y de la variable Y.
x = 8,86 y = 5,29 σXY = 6,42
σX = 14, 07 = 3,75 σY = 502 , = 2,24 rXY = 0,76
a)
b)
c)
d)
X 3 5 8 9 10 12 15
Y 2 3 7 4 8 5 8
X 13 15 18 19 20 22 25
Y 2 3 7 4 8 5 8
x = 8,86 + 10 = 18,86 σ XY = 6,42
σ X = 3,75 rXY = 0,76
X 13 15 18 19 20 22 25
Y 12 13 17 14 18 15 18
y = 5,29 + 10 = 15,29 σXY = 6,42
σ Y = 2,24 r XY = 0,76
X 12 20 32 36 40 48 60
Y 2 3 7 4 8 5 8
x = 8,86 ⋅ 4 = 35,44 σ XY = 6,42 ⋅ 4 = 25,68
σ X = 3,75 ⋅ 4 = 15 rXY = 0,76
X 12 20 32 36 40 48 60
Y 8 12 28 16 32 20 32
y = 5,29 ⋅ 4 = 21,16 σXY = 6,42 ⋅ 16 = 102,72
σ Y = 2,24 ⋅ 4 = 8,96 rXY = 0,76
Investiga sobre las siguientes cuestiones.
a) ¿Es cierto que el signo de las pendientes de las dos rectas de regresión de una
variable bidimensional es siempre igual?
b) ¿Qué sucede si las dos rectas de regresión tienen la misma pendiente? ¿Cómo es
la correlación?
a) Es cierto, porque el signo de las pendientes de las rectas de regresión coincide
con el signo de la covarianza en ambas.
b) Como las dos rectas pasan por el punto ( x, y), si tienen la misma pendiente,
entonces son coincidentes. Por tanto, la dependencia entre las dos variables
unidimensionales es lineal.
La correlación es igual a 1 o 0.

057
El ángulo que forman las dos rectas de regresión de una distribución bidimensional
es mayor cuanto menor sea el coeficiente de correlación.
Vamos a comprobarlo estudiando las dos magnitudes en estas distribuciones.
10 12 14 16 18
x = 14 y = 4,6 σXY =−0,4
σX = 8 = 2,83 σY = 155 , = 1,24 rXY =−0,11
04 ,
Recta de regresión de Y sobre X: y − 4,6 =− (x − 14) → y = −0,05x + 5,3
8
04 ,
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 =− ( y − 4,6) → x = −0,26y + 15,2
155 ,
El ángulo que forman las rectas es:
cos α=
3 8 1 9 2
10 12 14 16 18
3 6 8 6 7
10 12 14 16 18
5 6 6,5 8,5 9
026 , + 005 ,
2 2 ( − 1) + 0, 05 · 2 2
( − 0, 26) + 1
= 029 , → α=72° 33' 48"
y = 6 σY = 28 , = 1,67 σXY = 3,2 rXY = 0,68
Recta de regresión de Y sobre X: y − 6 =
32 ,
(x − 14) → y = 0,4x + 0,4
8
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 =
El ángulo que forman las rectas es:
32 ,
( y − 6) → x = 1,14y + 7,16
28 ,
cos α =
114 , − 04 ,
= 045 , → α = 63°330
' "
2 2 1 + 0, 4 · 2 2
114 , + ( −1)
y = 7 σY = 24 , = 1,55 σXY = 4,2 rXY = 0,96
SOLUCIONARIO
Recta de regresión de Y sobre X: y − 7 =
42 ,
(x − 14) → y = 0,53x − 0,42
8
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 =
El ángulo que forman las rectas es:
42 ,
( y − 7) → x = 1,75y + 1,75
24 ,
cos α =
175 , + 053 ,
= 099 , → α = 1° 49'
16"
2 2 1 + 0, 53 · 2 2 175 , + 1
10
429

430
Estadística bidimensional
058
Se ha realizado un test de memoria, X, y otro test de atención, Y, a varios alumnos
y se han reflejado los resultados en esta tabla.
a) Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.
b) Determina las dos rectas de regresión.
c) Si es factible, estima qué puntuación
obtendrá Andrés en memoria,
si ha obtenido 33 en atención.
d) Si es factible, estima qué puntuación
obtendrá Eva en atención, si ha obtenido
27 en memoria.
xi
Y
X [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)
[0, 10)
[10, 20) Beatriz Jesús Marta
[20, 30) Daniel
María
Esther
Miguel
[30, 40) Elena
Jacinto
Carmen
Inés
[40, 50) Diego
yj
5 15 25 35 45 Total
5 0 0 0 0 0 0
15 1 1 1 0 0 3
25 0 1 2 1 0 4
35 0 0 1 1 1 3
45 0 0 0 1 0 1
Total 1 2 4 3 1 11
a) x = 25,91 y = 26,82 σXY = 71,0038
σX = 117, 31 = 10,83 σY = 87, 51 = 9,35 rXY = 0,7
b) Recta de regresión de Y sobre X:
71, 0038
y − 26,82 = (x − 25,91) → y = 0,61x + 11,01
117, 31
Recta de regresión de X sobre Y:
71, 0038
x − 25,91 = ( y − 26,82) → x = 0,81y + 4,19
87, 51
c) y = 33 → x = 0,81 ⋅ 33 + 4,19 = 30,92
d) x = 27 → y = 0,61 ⋅ 27 + 11,01 = 27,48

059
060
061
PARA FINALIZAR…
Halla la relación existente entre el coeficiente de correlación lineal de una
distribución bidimensional y las pendientes de sus rectas de regresión.
Comprueba el resultado obtenido para estos datos.
X 10 13 16 14 17 18
Y 3 6 7 8 11 11
Las pendientes de las rectas de regresión son:
⎧ ⎪ σ XY
⎪mX
⎪
=
2
⎪
X
⎨
⎪ σ
⎪ σ XY ⎪ mY
=
2
⎩⎪
σY
→ σ X =
→ σY
=
σ XY
mx
σ XY
mY
2
2
Entonces, resulta que: rXY
=
σ XY
σX · σY
=
σ XY
σXY ·
m
σXY
m
= mX · mY
x = 14,67 y = 7,67 σXY = 6,98
σX = 712 , = 2,67 σY = 784 , = 2,8 rXY = 0,93
Recta de regresión de Y sobre X: y − 7,67 =
698 ,
(x − 14,67) → mX = 0,98
712 ,
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14,67 =
mX ⋅ mY = 0,93
698 ,
( y − 7,67) → mY = 0,89
784 ,
Discute si es posible que la recta de regresión de X sobre Y y la recta de regresión
de Y sobre X sean paralelas. ¿Y perpendiculares?
No es posible que sean paralelas, ya que tienen siempre un punto común: ( x, y)
Son perpendiculares si la correlación es nula.
Investiga sobre cómo varía el coeficiente de correlación entre dos variables estadísticas
cuando multiplicamos los datos relativos a una de ellas por una cantidad constante, k.
¿Y si las multiplicamos por la misma constante? ¿Qué sucedería si multiplicamos
cada variable por una constante distinta?
Al multiplicar los datos de una variable por una cantidad constante k, sus medidas
estadísticas verifican que:
n
n
∑fi
· kxi
k · ∑fi
· xi
i=
1
N
=
i=
1
N
= k · x
n
2
∑fi
·( kxi − kx)
2 2
∑fi
· k ( xi − x)
2 k · ∑fi·
( xi − x)
i=
1
N
=
i=
1
N
=
i=
N
2 2 k · σ = k · σ
n
X X
X
Y
n
Y
SOLUCIONARIO
= k · σ
1 2 2
X
2
10
X
431

432
Estadística bidimensional
062
Entonces la covarianza entre las dos variables es:
n
n
n
fi · kxi · yi
k· fi · xi · y
⎛
∑
∑
i
fi · xi · y
⎞
⎜ ∑
i
i=
1 i=
1
i
− kx· y =
− kx· y = k⎜
=
⎜ − x· y k ·
N
N
⎝⎜
N ⎠⎟
=
1
σ
Así, el coeficiente de correlación es:
k · σ XY
k · σ · σ
σ XY
=
σ · σ
= r
Si se multiplican los datos de las dos variables por la misma constante k,
entonces el coeficiente de correlación es:
2 k · σ XY σ XY
= = rXY
k · σ · k · σ σ · σ
Y si multiplicamos la segunda variable por un constante m:
k · m · σ XY
k · σ · m · σ
σ XY
=
σ · σ
= rXY
Demuestra que el coeficiente de correlación de dos variables estadísticas no varía
si a cada valor de las dos variables se les suma o resta un mismo número.
Utiliza esta propiedad para calcular el coeficiente de correlación de las siguientes
variables estadísticas.
Si se suma un valor c a cada valor de una variable estadística, entonces la media
de los datos obtenidos es:
n
∑fi
·( xi + c)
n
n
∑ fi · xi + ∑fi·
c
n
n
∑ fi · xi
+ c · ∑fi
i=
1
N
=
i=
1
N
i=
1
=
i = 1
N
i=
1
=
n
∑ fi · xi + c · N
=
i=
1
N
= x + c
La varianza de estos datos verifica que:
Por tanto, la desviación típica también coincide.
La covarianza entre las dos variables es:
n
X 2.001 2.002 2.003 2.004 2.005
Y 7.390 7.350 7.240 7.210 7.110
n
X Y
X Y
X Y
2
∑fi
·( xi + c − ( x + c))
∑fi
·( xi − x)
i=
1
N
=
i=
N
n
X Y
X Y
X Y
∑fi
·( xi + c)· yi
∑ fi · xi · yi + ∑fi
· c · yi
i=
1
N
− ( x + c) · y =
i=
1
N
i=
1
− x · y − c · y =
n
n
∑ fi · xi · yi + c · ∑fi
· yi
=
i=
1
N
i=
1
− x · y − c · y =
n
∑fi
· xi · yi
=
i=
1
N
+ c · y − x · y − c · y =σXY n
XY
1 2
X
n
2
= σ
XY

063
064
Así, el coeficiente de correlación es igual que el de las variables iniciales.
Del mismo modo, si se suma o se resta un mismo número a las dos variables
el coeficiente no varía.
En dos estudios realizados sobre los datos de una variable bidimensional, las rectas
de regresión fueron las siguientes.
En el primer estudio, la recta de regresión de Y sobre X es: 8x −3y −61 = 0
y la recta de X sobre Y es: x − y + 18 = 0.
Y en el otro estudio, las rectas de regresión son, respectivamente:
8x −5y + 20 = 0 5x−2y−10 = 0
Si conocemos x = 23, y = 41 y r = 0,8, comprueba cuál de los estudios es válido.
8x − 3y − 61= 0⎫
⎬
⎪ → x = 23, y = 41
x − y + 18 = 0 ⎭
⎪
El primer estudio es el correcto, ya que las rectas se cortan en el punto ( x, y).
Sean dos variables estadísticas X e Y. Sabemos que:
• La recta de regresión de Y sobre X pasa por los puntos (1, 3) y (2, 5).
• La recta de regresión de X sobre Y tiene pendiente m = 3 y su ordenada
en el origen es 2.
• La varianza de Y es 3.
Calcula las medidas estadísticas de cada una de las variables estadísticas
y el coeficiente de correlación.
La recta que pasa por los puntos (1, 3) y (2, 5) tiene como ecuación: y = 2x + 1
La ecuación de la otra recta es: y = 3x + 2
2x − y + 1= 0⎫
⎬
⎪ → x =− 1, y =−1
3x − y + 2 = 0⎭⎪
⎧x
=−
Entonces, resulta que: ⎨
⎪ 1
⎪
⎩⎪
y =−1
El coeficiente de correlación es igual a la raíz cuadrada del producto de la
pendiente de la recta de regresión de Y sobre X por la inversa de la pendiente de la
recta de regresión de X sobre Y:
1 σ XY σ XY σ XY
r = m⋅ = ⋅ =
2 2
m'
σ σ σ ⋅ σ
Por tanto, tenemos que: r = 2 ⋅ = 0,8164
1
3
8x − 5y + 20 = 0⎫
⎬
⎪ → x = 10, y = 20
5x − 2y − 10 = 0⎭
⎪
El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas de regresión es:
σ XY
2 σ X
2 σY
σ XY
⎫⎪
= 2 ⎪
⎬
⎪ →
⎪
= 3 ⎪
⎭⎪
2 σY
2 σ X
2 2
= 2⋅3→ σY = 6σX → σY = 6σX
2
Como la varianza de Y es 3: σ X =
1
2
X
Y
X Y
SOLUCIONARIO
10
433

434
11
Probabilidad
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
El curioso incidente del perro a medianoche
El señor Jeavons decía que a mí me gustaban las matemáticas porque
son seguras. Decía que me gustaban las matemáticas porque consisten
en resolver problemas, y esos problemas son difíciles e interesantes,
pero siempre hay una respuesta sencilla al final. Y lo que quería decir
era que las matemáticas no son como la vida, porque al final en la vida
no hay respuestas sencillas.
Eso es así porque el señor Jeavons no entiende los números.
He aquí una famosa historia llamada El Problema de Monty Hall, que
he incluido en este libro porque ilustra lo que quiero decir.
Había una columna titulada «Pregúntale a Marilyn» en una revista llamada
Parade, en Estados Unidos. Y esa columna la escribía Marilyn
vos Savant y en la revista se decía que tenía el mayor coeficiente intelectual
del mundo según el Libro Guinness de los Récords. En la columna
respondía a preguntas sobre matemáticas enviadas por los lectores.
En septiembre de 1990 envió la siguiente pregunta Craig F. Whitaker,
de Columbia, Maryland […]:
«Estás en un concurso en la televisión. En este concurso la idea es ganar
como premio un coche. El locutor del programa te enseña tres
puertas. Dice que hay un coche detrás de una de las puertas y que detrás
de las otras dos hay cabras. Te pide que elijas una puerta. Tú eliges
una puerta, que no se abre todavía. Entonces, el locutor abre una
de las puertas que tú no has elegido y muestra una cabra (porque él
sabe lo que hay detrás de las puertas). Entonces dice que tienes una
última oportunidad de cambiar de opinión antes de que las puertas se
abran y consigas un coche o una cabra. Te pregunta si quieres cambiar
de idea y elegir la otra puerta sin abrir. ¿Qué debes hacer?».
Marilyn vos Savant dijo que siempre debías cambiar y elegir la última
puerta, porque las posibilidades de que hubiese un coche detrás de
esa puerta eran de 2 sobre 3.
Pero, si usas la intuición, decides que las posibilidades son de 50 y 50,
porque crees que hay igual número de posibilidades de que el coche
esté detrás de cualquiera de las puertas.
Mucha gente escribió a la revista para decir que Marilyn vos Savant se
equivocaba, incluso después de que ella explicara detalladamente por
qué tenía razón. [...]
MARK HADDON
Demuestra que la respuesta correcta a El problema de Monty Hall
es la que dio Marilyn vos Savant.
Si la puerta elegida tenía una cabra detrás, y esto ocurre en dos
de los tres casos, hay dos posibilidades: mantener la opción
y ganar una cabra, o cambiarla y elegir la otra puerta
(la que no se ha abierto), donde estará el coche.
Si la puerta elegida tenía detrás el coche también hay dos
posibilidades: mantener la opción y ganarlo, o cambiarla
y elegir la otra puerta, en la que hay una cabra.
Por tanto, si se cambia de puerta dos de las tres veces se gana
el coche.

001
002
003
004
005
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Calcula el resultado de estas operaciones.
a) 10 ⋅ 9!
b) 10! −9!
c) 4! + 5!
d) 10! ⋅ 9!
a) 10 ⋅ 9! = 10! = 3.628.800
b) 10! − 9! = 9! ⋅ (10 − 1) = 9! ⋅ 9 =3.265.920
c) 4! + 5! = 4! ⋅ (1 + 5) = 4! ⋅ 6 = 144
d) 10! ⋅ 9! = 1.316.818.944.000
Haz estas operaciones.
a)
⎛7⎞
⎛7⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝⎜
4⎠⎟
⎝⎜
5⎠⎟
c)
⎛
⎜5⎞
⎛
⎟ 10⎞
⎛8⎞
⎛9⎞
+ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
⎝⎜
4⎠⎟
⎝⎜
5 ⎠⎟
⎝⎜
7⎠⎟
⎝⎜
3⎠⎟
⎛10⎞
⎛9⎞
b) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
d)
⎝⎜
6 ⎠⎟
⎝⎜
6⎠⎟
a)
b) 10 ⎛ ⎞ ⎛9⎞
⎜
10 9
+ ⎜ ! ! 10 · 9 · 8 · 7 9 · 8 · 7
= + = + = 210 + 84 = 294
⎝⎜
6 ⎠⎟
⎝⎜
6⎠⎟
6!· 4!
6!
· 3!
4 · 3 · 2 · 1 3 · 2 · 1
c)
⎛5⎞
⎛10⎞
⎛
⎜
8⎞
⎛
+ ⎜ − ⎜ − ⎜9⎞
=
⎝⎜
4⎠⎟
⎝⎜
5 ⎠⎟
⎝⎜
7⎠⎟
⎝⎜
3⎠⎟
5!
+
4!· 1!
10!
−
5!· 5!
8!
−
7!· 1!
9!
3!· 6!
=
= 5 + 252 − 8 − 84 = 165
d)
Hemos alquilado un palco en el teatro con 6 asientos. ¿De cuántas formas podemos
sentarnos mis padres, mi hermana y yo?
V6, 4
⎛7⎞
⎛7⎞
⎛
⎜
8⎞
+ ⎜ = ⎜ 8!
8 · 7 · 6
= = = 56
⎝⎜
4⎠⎟
⎝⎜
5⎠⎟
⎝⎜
5⎠⎟
5!· 3!
3 · 2 · 1
10
∑
i=
0
⎛10⎞
⎜
10 = 2 = 1. 024
⎝⎜
i ⎠⎟
6!
= = 6 · 5 · 4 · 3 = 360 formas
2!
Con 14 bolas rojas, 13 azules, 12 naranjas y 11 blancas, ¿cuántos collares diferentes
de 10 bolas podemos hacer?
10
VR50, 10 = 50 collares
¿Cuántas formas hay de ponerse 5 anillos, uno en cada dedo de la mano?
P5 = 5! = 120 formas
10
∑
i=
0
⎛10⎞
⎜ ⎟
⎝⎜
i ⎠⎟
SOLUCIONARIO
11
435

436
Probabilidad
006
001
002
003
004
Con 4 botes de pintura: amarilla, azul, roja y blanca, ¿cuántas mezclas de dos colores
puedes realizar?
C4, 2
ACTIVIDADES
4!
= = 6 mezclas
2!· 2!
Describe tres experimentos aleatorios y otros tres deterministas.
Respuesta abierta.
Experimentos aleatorios: lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara
superior; extraer una de las cinco bolas distintas de una urna y anotar su color,
y hacer girar una ruleta numerada del 1 al 7 y anotar el número
en el que se detiene.
Experimentos deterministas: hallar el volumen de agua desplazado por un objeto
en un recipiente; medir el tiempo necesario para realizar un trayecto
a una velocidad constante, y calcular la altura alcanzada por un proyectil
lanzado verticalmente.
Indica los sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno
de los experimentos aleatorios de la actividad anterior.
Respuesta abierta.
Los sucesos elementales del primer experimento son: {cara} y {cruz}
El espacio muestral es: E = {cara, cruz}
Los sucesos elementales del segundo experimento son: {blanca}, {amarilla}, {azul},
{roja} y {negra}
El espacio muestral es: E = {blanca, amarilla, azul, roja, negra}
Los sucesos elementales del tercer experimento son: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} y {7}
El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Halla experimentos aleatorios que tengan:
a) Cuatro sucesos elementales.
b) Seis sucesos elementales.
Respuesta abierta.
a) Lanzar un dado tetraédrico y anotar el resultado de la cara inferior.
b) Elegir una de las tarjetas de un sobre en el que hay una tarjeta de cada uno
de estos colores: amarillo, naranja, verde, azul, violeta y marrón.
Razona por qué no se puede encontrar ningún experimento aleatorio con un solo
suceso elemental.
Si solo hay un suceso elemental, entonces el espacio muestral tiene un único
elemento, es decir, solo hay un resultado posible. Por tanto, el experimento
es determinista, y no aleatorio.

005
006
007
008
Con ayuda de un diagrama de árbol, calcula el espacio muestral asociado
al experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas y anotar el número
de caras y cruces.
Cara CCC
Cara
Cruz CCX
Cara
Cara CXC
Cruz
Cruz CXX
Cara XCC
Cara
Cruz XCX
Cruz
Cara XXC
Cruz
Cruz XXX
El espacio muestral es: E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar 3 monedas,
encuentra dos sucesos compatibles y dos incompatibles.
Escribe dos sucesos seguros y dos imposibles.
Respuesta abierta.
Dos sucesos compatibles son: «Obtener cara en una moneda» y «Obtener cruz
en una moneda».
Dos sucesos incompatibles son: «Obtener tres caras» y «Obtener cruz
en una moneda».
Dos sucesos seguros son: «Obtener cara o cruz en cada moneda»
y «Obtener 0, 1, 2 o 3 cruces».
Dos sucesos imposibles son: «Salir un número par» y «Salir un as».
Al extraer una carta de una baraja española, expresa estos sucesos en forma
de uniones e intersecciones.
a) A = «Salir una figura de copas» b) B = «Salir una sota o bastos»
a) A = {Salir la sota de copas} ∪ {Salir el caballo de copas} ∪ {Salir el rey de copas}
b) B = {Salir una sota} ∪ {Salir una carta de bastos}
Pon un ejemplo y comprueba las siguientes igualdades.
a) A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)
Respuesta abierta.
En el experimento que consiste en lanzar un dado consideramos los sucesos:
A = {1, 2, 4, 6} B = {1, 2, 3} C = {1, 3, 5}
a) A∩ ( B ∪ C) = A∩
{ 1235 , , , } = { 12 , }
( A∩ B) ∪ ( A∩ C)
= { 12} , ∪ { 1} = { 1, 2}
SOLUCIONARIO
b) A∪ ( B ∩ C) = A∪
{ 13 , } = { 12346 , , , , }
( A∪ B) ∩ ( A∪ C)
= { 1, 2346 , , , } ∩ { 123456 , , , , , } = { 12346 , , , , }
11
437

438
Probabilidad
009
010
011
012
013
Lanzamos 2 monedas y contamos el número de caras.
a) Describe el espacio muestral.
b) ¿Podrías asignarle alguna probabilidad a los sucesos elementales?
a) El espacio muestral es: E = {CC, CX, XC, XX }
b) La probabilidad de obtener una cara o una cruz en una moneda es igual.
Repartimos la probabilidad total entre los sucesos elementales y obtenemos:
PCC ( )= 1
4
PXC ( )= 1
4
PCX ( )= 1
4
PXX ( )= 1
4
En un llavero hay 3 llaves de las que solo una llave abre un cofre.
a) ¿Qué probabilidad hay de abrir en un intento?
b) ¿Y de abrir en tres intentos o menos?
1
a) P(Abrir en un intento) =
3
b) P(Abrir en tres intentos o menos) = 1
Se lanza un dado de 6 caras donde hay marcados tres 1, dos X y un 2.
Calcula la probabilidad de estos sucesos.
a) «Salir 1» b) «Salir X» c) «Salir 2»
1
1
1
a) P(Salir 1) = b) P(Salir X) = c) P(Salir 2) =
2
3
6
De 20 alumnos hay que elegir a 3 representantes para formar un grupo de trabajo.
Calcula la probabilidad de que los representantes sean Marta, Julia y Rodrigo.
C20, 3 =
20!
3!· 17!
=
20 · 19 · 18
3 · 2 · 1
= 1. 140
1
P(Salir Marta, Julia y Rodrigo) = = 0,00088
1. 140
En una empresa de rodamientos tienen una máquina que fabrica arandelas.
Diseña un método para calcular la probabilidad de que la máquina fabrique
una arandela que sea defectuosa.
Se examina un número grande de arandelas para ver cuántas son defectuosas
y se apuntan las frecuencias absolutas. Se calculan las frecuencias relativas
para observar su tendencia y asignar la probabilidad de que la máquina fabrique
una arandela defectuosa.

014
015
016
017
018
Al lanzar un dado se han obtenido estos resultados.
1 2 3 4 5 6
fi 51 48 52 50 49 102
¿Qué conclusión puedes deducir?
La frecuencia relativa del último valor es
aproximadamente el doble de las demás;
por tanto, el dado está trucado de modo
que el suceso «Salir 6» tenga el doble de
probabilidad que el resto de los sucesos
elementales.
Si P( A) = 0,2; P( B) = 0,7 y P( A ∩ B) = 0,1; calcula.
a) P( A ∪ B) b) P( A ∪ B) c) P( A − B) d) P( B − A)
a) PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) − PA ( ∩ B)
= 02 , + 07 , − 01 , = 08 ,
b) PA ( ∪ B) = PA ( ∩ B) = 1− PA ( ∩ B)
= 1− 01 , = 0, 9
c) PA ( − B) = PA ( ∩ B) = PA ( ) − PA ( ∩ B)
= 02 , − 01 , = 01 ,
d) PB ( − A) = PB ( ∩ A) = PA ( ∪ B) = 1− PA ( ∪ B)
= 1− 08 , = 02 ,
Razona las siguientes afirmaciones.
a) Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,45; los sucesos A y B son compatibles.
b) Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,4; A y B son contrarios.
a) P(A) + P(B) > 1 → P(A ∩ B) 0 → A y B son sucesos compatibles.
b) P(A) + P(B) = 1 → P(A) = 1 − P(B) → A y B son sucesos contrarios.
En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas.
Si escogemos una persona al azar, calcula la probabilidad de que:
a) Sea chica, sabiendo que lleva gafas. b) Lleve gafas, sabiendo que es chico.
A = «Ser chica» B = «Ser chico» G = «Llevar gafas»
6
a) PAG ( / )= =
10
En un panel electrónico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciende
una luz. Halla la probabilidad de acertar con el interruptor correcto:
a) En el primer intento. c) En el tercer intento.
b) En el segundo intento. d) En el cuarto intento.
a) PA ( 1)
=
1
4
b) PA ( 2/ A1)
=
1
3
3
5
4
b) PG ( / B)=
=
8
1
2
1
c) PA ( 3/ A1∩ A2)
=
2
d) PA ( / A ∩ A ∩ A ) =
SOLUCIONARIO
4 1 2 3 1
11
Resultados fi hi
1 51 0,14
2 48 0,14
3 52 0,15
4 50 0,14
5 49 0,14
6 102 0,29
N = 352
439

440
Probabilidad
019
020
021
022
En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas.
Si escogemos un trabajador al azar, calcula las siguientes probabilidades.
a) Sea chica y no lleve gafas.
b) No lleve gafas y sea chico.
A = «Ser chica» B = «Ser chico» G = «Llevar gafas»
a)
9
PA ( ∩ G) = PA ( ) · PG ( / A)
=
17
·
3
9
3
=
17
7 4 4
b) PG ( ∩ B) = PG ( ) · PBG ( / ) = · =
17 7 17
En un panel electrónico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciende
una luz. Consideramos el experimento aleatorio que consiste en anotar el número
de interruptores que necesito pulsar para encender la luz. Describe el espacio
muestral y calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.
E = {un conmutador, dos conmutadores, tres conmutadores, cuatro conmutadores}
P( un conmutador ) = P( A1)
=
1
4
P( dos conmutadores ) = P( A1∩ A2/ A1)
=
3
4
·
1
=
3
1
4
P( tres conmutadores ) = P( A1∩ A2/ A1∩ A3/ A1∩ A2)
=
3
·
4
2
3
·
1
2
=
1
4
P( cuatro conmutadores ) = P( A ∩ A / A ∩ A / A ∩ A ∩ A /A ∩ A ∩ A)
=
Completa la siguiente tabla de contingencia,
explicando cómo obtienes los datos
que faltan.
60 + 45 = 105 fumadores
60 + 50 = 110 hombres
200 − 110 = 90 mujeres
90 − 45 = 45 mujeres que no fuman
50 + 45 = 95 no fumadores
Utilizando la tabla de la actividad anterior, calcula las siguientes probabilidades.
a) Al elegir una persona, ¿qué probabilidad hay de que sea fumadora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar no fume y sea mujer?
c) Si la persona fuma, ¿qué probabilidad hay de que sea un hombre?
A = «Ser hombre» B = «Ser mujer» F = «Ser fumador»
105 21
a) PF ( )= =
200 40
1 2 1 3 1 2 4 1 2 3
3 2 1
4 3 2 1
1
= · · · =
4
Hombre
Mujer
45
b) PF ( ∩ B)
= =
200
9
40
Fuma No fuma
60 50
45 45
105 95
110
90
200
60
c) PAF ( / )= =
105
4
7

023
024
025
026
Describe tres experimentos aleatorios, y determina sus sucesos elementales
y el espacio muestral de cada uno.
Respuesta abierta.
Si se tienen cinco tarjetas con las vocales en una bolsa y se extrae una de ellas;
los sucesos elementales son: {a}, {e}, {i}, {o} y {u}, y el espacio muestral es:
E = {a, e, i, o, u}
Se lanza un dado con las caras de distintos colores y se anota el color de la cara
superior; los sucesos elementales son: {blanco}, {azul}, {verde}, {amarillo}, {rojo}
y {negro}, y el espacio muestral es: E = {blanco, azul, verde, amarillo, rojo, negro}
En una caja se tienen las fichas de un damero y se extrae una de ellas; los sucesos
elementales son: {blanca} y {negra}, y el espacio muestral es: E = {blanca, negra}
Indica experimentos aleatorios que tengan:
a) Tres sucesos elementales.
Respuesta abierta.
b) Doce sucesos elementales.
a) Se extrae una bola de una urna en la que hay bolas azules, rojas y amarillas.
b) Se extrae una tarjeta de una caja en la que hay tarjetas numeradas del 1 al 12.
Si un experimento aleatorio tiene dos sucesos elementales, A y B:
a) ¿Cuántos sucesos tiene el experimento?
b) Describe la unión, la intersección y los contrarios de los sucesos A y B.
a) El experimento tiene tres sucesos: A, B y el suceso seguro E.
b) A ∪ B = E A ∩ B = ∅ A = B B = A
A partir del gráfico, comprueba las siguientes
igualdades de sucesos.
a) A− B = A ∩ B c)
b) A ∪ B = A ∩ B d)
a)
b)
A ∩ B = A ∪ B
A = A
A −B A ∩ B
A ∪ B
A ∩ B
E
A
SOLUCIONARIO
B
11
441

442
Probabilidad
027
028
029
c)
d)
En el experimento que consiste en lanzar 3 veces una moneda,
consideramos los siguientes sucesos.
A = «Salir dos cruces» C = «La última es una cruz»
B = «Salir alguna cara» D = «La primera es una cara»
Describe los casos elementales que componen los sucesos.
a) A ∩ C c) A ∪ C e) C ∩ D
b) A − B d) B ∩ D
f) C ∪ D
a) A ∩ C = { CXX, XCX }
b) A− B =∅
c) A ∪ C = { CXX, XCX, XXC, CCX, XXX }
A ∩ B
A ∪ B
A
A = A
d) B ∩ D = { XCC, XCX, XXC }
e) C ∩ D = { CCX, CXX }
f) C ∪ D = E
Se lanzan tres monedas y se consideran los sucesos:
A = «Salir dos caras» B = «Salir tres cruces» C = «Salir una cara»
Define verbalmente estos sucesos.
a) C
b) A ∪ B
c) C ∩ B
a) «Salir dos caras, tres o ninguna» c) «Salir una cara»
b) «Salir una cara, tres o ninguna»
→
Lanzamos tres veces un dado de cuatro caras, anotando
el resultado de la cara oculta, y consideramos los sucesos.
A = «Salir, al menos, un 1»
B = «No salir un 2»
C = «Los tres números sumen menos que 8»
D = «Salir más de un 3»
E = «Salir menos de dos números 4»
Describe los sucesos contrarios de cada uno de los sucesos anteriores.
A = «No salir ningún número 1» D = «Salir uno o ningún número 3»
B = «Salir uno, dos o tres números 2» E = «Salir dos, tres o cuatro números 4»
C = «Los tres números sumen 8 o más»

030
En una caja tenemos carteles con las siguientes letras.
a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u
a) En el experimento aleatorio consistente en extraer uno de los carteles,
describe los sucesos indicando los sucesos elementales que los componen.
V = «Vocal»
C = «Consonante»
A = «Letra alta como b o f»
B = «Letra baja como g»
M = «Letra mediana como a o c»
b) Enumera los sucesos elementales que tiene cada uno de estos sucesos.
A ∪ B M∩A M ∪ V
A
C ∪ A ∪ B
M ∩ V
A ∩ C
C − A
c) Comprueba las propiedades.
C ∩ M = C ∪ M
C ∪ M = C ∩ M
a) V = {a, e, i, o, u}
C = {b, c, d, f, g, h, j}
A = {b, d, f, h}
B = {g, j}
M = {a, c, e, i, o, u}
b) A ∪ B = { b, d, f, g, h, j}
M ∩ A=∅
M ∪ V = { a, c, e, i, o, u}
A = { a, c, e, g, i, j, o, u}
C∪ A∪ B= { a, b, d, e, f, g, h, i, j, o, u}
M ∩ V = { a, e, i, o, u}
A ∩ C = { a, c, e, g, i, j, o, u}
C − A = {, c g, j}
c) C∩ M= { C} → C∩ M= { a, b, d, e, f, g, h, i, j, o, u}
C = { a, e,
i, o, u}
⎫
⎬
⎪ → C∪ M= { a, b, d, e,
f, g, h, i, j, o, u}
M = { b, d, f, g, h, j}
⎪
⎭⎪
C ∪ M = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u} → C ∪ M = ∅
C = { a, e, i,
o, u}
⎫
⎬
⎪ → C ∩ M = ∅
M = { b, d, f, g, h, j}
⎪
⎭⎪
SOLUCIONARIO
11
443

444
Probabilidad
031
032
033
Un experimento consiste en sacar una bola de una urna con 4 bolas rojas,
numeradas del 1 al 4; 5 azules, numeradas del 1 al 5, y 3 negras, numeradas del 1 al 3.
R = «Salir bola roja»
A = «Salir bola azul»
N = «Salir bola negra»
I = «Salir número impar»
P = «Salir número par»
Describe los sucesos.
a) R ∪ P c) P ∩ N
e) N
b) I ∪ P d) R ∩ I f) R ∪ A
a) R ∪ P = { R1, R2, R3, R4, A2, A4, N2}
b) I ∪ P = { R1, R2, R3, R4, A1, A2, A3, A4, A5, N1, N2, N3}
c) P ∩ N = { N1, N3}
d) R ∩ I = { R1, R3}
e) N = { R1, R2, R3, R4, A1, A2, A3, A4, A5}
f) R ∪ A= { N1, N2, N3}
En una caja hay 5 botones rojos, 3 azules y 7 verdes. Si sacamos un botón al azar,
calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
A = «Salir botón rojo»
B = «Salir botón verde o azul»
C = «No salir botón azul»
PA ( )= 1
3
Una baraja española se compone de 40 cartas. Llamamos figuras a las sotas,
los caballos y los reyes. En el experimento consistente en sacar una carta de la baraja,
consideramos A = «Salir un as», C = «Salir copas» y F = «Salir una figura».
Determina las siguientes probabilidades.
P( A) P( C) P( F)
P( A ∩ F) P( A ∪ C) P( C ∩ F)
P( A ∩ F) P( A ∩ C) P( A ∪ C)
PA ( )= 1
10
PA ( ∩ F)
= 0
PA ( ∩ F)
= 3
10
PB ( )= 2
3
PC ( ) = 1
4
PA ( ∪ C)
= 13
40
PA ( ∩ C)
= 9
40
PC ( ) = 4
5
PF ( )= 3
10
PC ( ∩ F)
= 3
40
PA ( ∪ C)
= 31
40

034
035
En una empresa disponen de los tipos y las marcas de vehículos reflejados en la tabla.
Si las llaves están en una caja y elegimos una llave al azar, determina cuál será
la probabilidad de que:
a) Las llaves sean de un vehículo de la marca Seat.
b) Las llaves sean de una furgoneta de la marca Renault.
c) Las llaves pertenezcan a un turismo que no sea Opel.
d) Las llaves no sean de una furgoneta, ni de un vehículo de la marca Seat.
b) PF ( ∩ R)
= 2
a) PS ()=
25
13
25
El 35% de los vecinos de un barrio
practica algún deporte (D).
El 60 % está casado (C) y el 25 %
no está casado, ni hace deporte.
Describe, en función de D y C,
los siguientes sucesos y calcula
sus probabilidades.
a) Está casado y practica deporte.
b) Practica deporte, pero no está casado.
c) Está casado, pero no practica deporte.
d) No está casado.
e) No está casado, ni practica deporte.
a)
b)
c)
d)
e)
C ∩ D
PC ( ∩ D) = 025 , → PC ( ∪ D)
= 075 ,
→ PC ( ∩ D) = PC ( ) + PD ( ) −P(
C ∪ D)
= 06 , + 035 , − 075 , = 02 ,
D ∩ C
PD ( ∩ C) = PD ( ) − PD ( ∩ C)
= 035 , − 02 , = 015 ,
C ∩ D
PC ( ∩ D) = PC ( ) − PC ( ∩ D)
= 06 , − 02 , = 04 ,
C
PC ( ) = 1− PC ( ) = 1− 0, 6 = 0, 4
C ∩ D
PC ( ∩ D)
= 025 ,
Opel Renault Seat
Turismo 3 6 5
Furgoneta 1 2 8
d) PF ( ∩ S)
= 9
c) PT ( ∩ O)
=
25
11
25
SOLUCIONARIO
11
445

446
Probabilidad
036
037
038
Un vidente predice que, en el próximo sorteo de lotería, el primer premio
va a ser un número con tres cifras distintas de 0 y, además, todas serán diferentes.
Juan ha comprado el número 00175, Belén ha comprado 13340 y Andrés
ha comprado 00643.
En el caso de que el vidente esté en lo cierto, di cuál es la probabilidad de los
siguientes sucesos.
a) Juan resulte afortunado.
b) Belén acierte la terminación.
c) Andrés acierte las tres primeras cifras (006).
c) Podemos hacer: 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 números de tres cifras distintas de cero.
⎛5⎞
Hay ⎜ 10 formas distintas de colocar 2 ceros en un número de 5 cifras.
⎝⎜
2⎠⎟
Si el vidente tiene razón, el número de posibilidades es: 10 ⋅ 504 = 5.040
posibilidades, y de ellas 56 posibilidades comienzan por 006,
56
luego la probabilidad es:
5. 040
=
1
90
=
b)
9 · 8 · 7 · 6 · 1 1
9 · 8 · 7 · 7 · 6 7
=
a)
1
9 · 8 · 7 · 7 · 6
=
1
21. 168
El espacio muestral de un experimento aleatorio se compone de los sucesos
elementales a, b, c y d.
Sabiendo que estos sucesos son equiprobables y que:
M = {a} N = {b} P = {c, d } Q = {b, c, d}
Calcula las probabilidades de los sucesos:
a) M b) M ∪ Q c) P d) P ∪ N e) M ∩ Q f) Q ∪ P
a) c) e)
b) d) PP ( ∪ N)
= f)
1
PP ( )=
PM ( ∪ Q)
=1
2
1
PM ( )=
2
1
4
PM ( ∩ Q)
= 0
PQ ( ∪ P)
= 3
4
Se lanzan dos dados y se calcula la diferencia entre los resultados mayor y menor.
Halla las siguientes probabilidades.
a) La diferencia sea 0.
b) La diferencia sea 1.
c) La diferencia sea 2.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea 3 o más?
e) ¿Y de que la diferencia se encuentre entre 2 y 4, ambos números incluidos?
a) c) e)
b) d) 12
6
36
=
1
6
8
36
=
2
9
18
36
=
1
2
10
36
5
=
18
36
=
1
3

039
040
041
Los médicos de un hospital hacen guardias tres días a la semana.
a) Calcula la probabilidad de que un médico haga guardia el lunes, el martes
y el miércoles.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que libre el fin de semana (sábado y domingo)?
c) ¿Y de que esté de guardia tres días alternos, es decir, con un día de descanso
entre la primera y la segunda guardias, y otro día de descanso entre la segunda
y la tercera?
a) P(Hacer guardia lunes, martes y miércoles) =
1
C 7, 3
=
1
35
b) P(No hacer guardia sábado y domingo) = 1 − P(Hacer guardia sábado,
domingo y otro día de la semana) = 1−
5
35
=
6
7
c) P(Hacer guardia lunes, miércoles y viernes) +
+ P(Hacer guardia lunes, miércoles y sábado) +
+ P(Hacer guardia lunes, jueves y sábado) +
+ P(Hacer guardia lunes, viernes y domingo) +
+ P(Hacer guardia martes, jueves y sábado) +
+ P(Hacer guardia martes, jueves y domingo) +
+ P(Hacer guardia martes, viernes y domingo) +
8
+ P(Hacer guardia miércoles, viernes y domingo) =
35
Sacamos una ficha del dominó. Determina las probabilidades de los siguientes
sucesos.
a) Que la ficha obtenida tenga un 1.
b) Que la suma de sus puntos sea mayor que 4.
c) Que la ficha se pueda encadenar a la ficha 3:5.
Imagina que hemos sacado una ficha y ha resultado ser la ficha 2:6.
¿Cuál es la probabilidad de sacar otra ficha y de que no se pueda encadenar
a esta?
7 1
17
12 3
a) =
b) c) =
28 4
28
28 7
15
La probabilidad pedida es:
28
SOLUCIONARIO
En un experimento aleatorio sabemos que:
P( A) = 0,6 P( B) = 0,5 P( A ∩ B) = 0,2
Calcula.
a) P( A) d) P( A − B)
b) P( A ∪ B) e) P( B − A)
c) P( A ∪ B) f) P( A∪B)
11
447

448
Probabilidad
042
043
044
045
046
a)
b)
c)
PA ( ) = 1− PA ( ) = 0, 4
PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) − PA ( ∩ B)
= 09 ,
PA ( ∪ B) = PA ( ∩ B) = 1− PA ( ∩ B)
= 08 ,
d)
e) PB ( − A) = PB ( ) − PB ( ∩ A) = − PB ( ) − ⎡PA
( ) − PA ( ∩ B)
⎤
⎣
⎦
f) PA ( ∪ B) = 1− PA ( ∪ B)
= 01 ,
=
PA ( − B) = PA ( ) − PA ( ∩ B)
= 04 ,
1 1− PA ( ∪ B)
= 01 ,
Si A y B son incompatibles y P( A) = 0,6 y P( A ∪ B) = 0,9; halla:
P( B) P( A − B) P( A ∩ B)
PB ( ) = PA ( ∪ B) − PA ( ) = 03 ,
PA ( − B) = PA ( ) − PA ( ∩ B)
= 06 ,
PA ( ∩ B) = PB ( ) − PA ( ∩ B)
= 03 ,
Determina P( A ∪ B), P( A ∪ B) y P( A ∩ B), si:
P( A) = 0,6 P( B) = 0,5 P( A ∩ B) = 0,3
PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) − PA ( ∩ B)
= 08 ,
PA ( ∪ B) = PA ( ∩ B) = 1− PA ( ∩ B)
= 07 ,
PA ( ∩ B) = PA ( ∪ B) = 1− PA ( ∪ B)
= 02 ,
Halla P( A), P( B) y P( A ∩ B), si:
P( A ∪ B) = 0,8 P( B) = 0,6 P( A ∩ B) = 0,3
PB ( ) = 1− PB ( ) = 0, 4
PA ( ) = PA ( ∪ B) − PB ( ) + PA ( ∩ B)
= 07 ,
PA ( ∩ B) = PB ( ) − PA ( ∩ B)
= 01 ,
¿Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) = 0,6; P( B) = 0,8 y P( A ∪ B) = 0,7?
No es posible.
P( A∪ B) = P( A∩ B) = 07 , → 1− P( A∩ B) = 07 , → P( A∩ B)
= 03 ,
PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) − PA ( ∩ B)
= 06 , + 08 , − 03 , = 11 , > 1
¿Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) = 0,3; P( B) = 0,6 y P( A ∩ B) = 0,3?
¿Cómo son esos sucesos?
Sí, es posible, pues: PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) − PA ( ∩ B)
= 03 , + 06 , − 03 , = 06 , .
El suceso A está contenido en el suceso B.

047
048
049
050
051
052
¿Es posible encontrar dos sucesos tales que P( A) = 0,5; P( B) = 0,2 y P( A ∩ B) = 0,6?
Sí, es posible.
P( A∩ B) = P( A∪ B) = 1− P( A∪ B) = 0, 6 → P( A∪ B)
= 0, 4
PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) − PA ( ∩ B) = 04 , → PA ( ∩ B)
= 03 ,
Si P( A) = 0,7 y P( B) = 0,4; ¿pueden ser incompatibles?
No, porque si PA ( ∩ B) = 0 → PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) > 1.
SOLUCIONARIO
Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,3; ¿pueden ser incompatibles? En caso afirmativo, ¿cuánto
tiene que valer P( A ∪ B)?
Sí, pueden ser incompatibles: PA ( ) + PB ( ) = 06 , + 03 , < 1
Entonces, resulta que: PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) = 09 ,
Sabemos que P( A ∪ B) = P( A) − P( A ∩ B).
a) Decide cómo son los sucesos A y B.
b) Calcula P( A ∪ B) y P( A ∩ B).
El enunciado indica que PA ( ∪ B) = PA ( ) − PA ( ∩ B)
, y por otra parte, sabemos
que PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) − PA ( ∩ B)
.
De ambas igualdades obtenemos que P(B) = 0 y P(A ∩ B) = 0.
a) Los sucesos A y B son disjuntos, pues la probabilidad de su intersección es cero.
b) P(A ∪ B) = P(A) P(A ∩ B) = 0
Si E = {S1, S2, S3, S4} es el espacio muestral de un experimento aleatorio,
¿puede suceder que P( S1) =
1 2
, P( S2) = , P( S3) =
5 3
1
4
1
y P( S4) = ?
6
1 2
+
5 3
+
1
4
+
1
6
=
57
60
< 1
No puede suceder, porque la probabilidad no puede valer más de 1.
Discute si estás de acuerdo con el razonamiento.
«Cuando lanzo dos dados y sumo los resultados, para obtener 11 necesito un 5
y un 6. Si deseo conseguir 12 es preciso que aparezcan dos 6. Es decir, hay un caso
favorable para cada uno de los sucesos, luego la probabilidad es la misma».
Comprueba el resultado anterior, calculando su probabilidad de manera
experimental: lanza un dado 200 veces (o cinco dados 40 veces) y estudia cuál
de los dos sucesos sale más veces.
El razonamiento no es correcto, porque hay dos formas de obtener un 5 y un 6;
por tanto, la probabilidad de obtener 11 es el doble que la de obtener 12.
P(Obtener 11) = P(Obtener 12) = 1
2 1
=
36 18
36
11
449

450
Probabilidad
053
054
055
Un jugador de parchís fabrica un dado trucado, donde
todos los números tengan la misma probabilidad
de salir, salvo el 5, que quiere que salga dos veces
más que el 1, el 2, el 3 y el 4, y el 6, que quiere
que salga el doble de veces que el 5. ¿Cuál es
la probabilidad de cada número?
P(Salir 1) = x P(Salir 3) = x P(Salir 5) = 2x
P(Salir 2) = x P(Salir 4) = x P(Salir 6) = 4x
1
P( E)= 1→ x + x + x + x + 2x + 4x = 1→ 10x = 1→
x =
10
Entonces:
1
P(Salir 1) =
10
1
P(Salir 2) =
10
1
P(Salir 3) =
10
1
P(Salir 4) =
10
1
P(Salir 5) =
5
2
P(Salir 6) =
5
En un montón de cartas hemos determinado que
5
P( Oros ) = , P(Copas) =
12
1
, P( Espadas) =
4
1
3
y P(
Bastos)
= 0
¿Cuántas cartas de cada palo hay en el montón?
5
1 3
1 4
P(Oros) = P(Copas) = =
P(Espadas) = =
12
4 12
3 12
El número de cartas del montón es proporcional a 12, luego si suponemos que se
trata de una sola baraja, puede haber 12, 24 o 36 cartas y, por tanto, habrá 5, 3 y 4;
10, 6 y 8; o 15, 9 y 12 cartas de oros, copas y espadas, respectivamente. No hay cartas
de bastos, porque la suma de las probabilidades de oros, copas y espadas es 1.
Vamos a extraer una bola de una urna que contiene 3 bolas rojas, 2 azules y 5 verdes,
numeradas del 1 al 3, del 1 al 2 y del 1 al 5, respectivamente.
Consideremos los sucesos.
R = «Salir bola roja»
A = «Salir bola azul»
V = «Salir bola verde»
S2 = «Salir bola con un 2»
S3 = «Salir bola con un 3»
S5 = «Salir bola con un 5»
Determina las probabilidades.
a) P( R/S3) d) P( A/S2) g) P( S5 ∩V)
b) P( V/S2) e) P( S3 /R) h) P( A ∩S2)
c) P( S5 /V) f) P( V/S5)

056
057
a) PRS ( / 3)
=
1
2
b) PV ( / S2)
=
2
3
c) PS ( 5/
V)
=
1
5
d) PAS ( / 2)
=
1
3
A una excursión acuden niños, padres y profesores de dos colegios, como se indica
en la tabla.
Si llamamos N = «Ser niño», P = «Ser padre», F = «Ser profesor», A = «Pertenecer
al colegio A» y B = «Pertenecer al colegio B», calcula las probabilidades.
a) P( P) c) P( A/N) e) P( P ∩B)
b) P( A) d) P( B/F) f) P( P/B)
Comprueba si los sucesos P y B son independientes.
a) PP ( )=
b) PA ( )=
60
95
12
=
19
c) PAN ( / )=
50
80
=
5
8
8
95
Niños Padres Profesores
Colegio A 50 5 5
Colegio B 30 3 2
8 35 3
PP ( ) · PB ( ) = · = PP ( ∩ B) → P y Bno
son sucesos independientes.
95 95 95
Una empresa de transporte tiene dos autobuses,
A y B, y tres conductores, Diego (D), Elena (E)
e Inés (I ). Los viajes realizados por los conductores
y los autobuses durante el último mes se han
reflejado en la tabla.
Diego Elena Inés
Autobús A 10 5 20
Autobús B 30 10 30
1
e) PS ( 3/
R)
=
3
f) PVS ( / ) = 1
f) PPB ( / )= 3
e) PP ( ∩ B)
=
35
3
d) PBF ( / )=
95
2
7
Durante uno de los viajes se produjo un accidente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que condujera Elena?
b) ¿Y de que el autobús afectado fuera B?
c) Estudia si E y B son sucesos independientes.
d) Haz lo mismo con los sucesos I y A.
5
SOLUCIONARIO
11
g) PS ( 5 V) PV ( ) · PS ( 5/
V)
1
2
·
h) PA ( ∩ S2) = PA ( ) · PS ( 2/
A)
=
1
·
5
1 1
=
2 10
1
∩ = = =
1
2
451

452
Probabilidad
058
059
a)
15
PE ( )=
105
=
1
7
70
b) PB ( )=
105
=
2
3
c)
10
PE ( ∩ B) =
105
=
2
= PE ( ) · PB ( ) → E y Bson
sucesos independientes.
21
d)
20 4 10 1
PI ( ∩ A) = = · = PI ( )· PA ( ) → Iy Ano
son
sucesos independientes.
105 21 21 3
Una urna contiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul.
a) Extraemos una bola, anotamos su color, la devolvemos a la urna, sacamos otra
bola y anotamos su color. Halla las siguientes probabilidades.
• Que las dos bolas sean rojas.
• Que haya alguna bola azul.
• Que no haya ninguna bola verde.
b) Repetimos el experimento sin devolver la bola a la urna. Determina las mismas
probabilidades.
Si sacáramos las dos bolas a la vez, ¿en cuál de las dos situaciones anteriores
nos encontraríamos?
1 1 1
a) PR ( 1∩ R2)
= · =
2 2 4
5 5 11
P(Al menos una bola azul) = 1− PA ( 1∩ A2)
= 1−
· =
6 6 36
2 2 4
PV ( 1∩ V2)
= · =
3 3 9
1 2 1
b) PR ( 1∩ R2)
= · =
2 5 5
5 4 1
P(Al menos una bola azul) = 1− PA ( 1∩ A2)
= 1−
· =
6 5 3
2 3 2
PV ( 1∩ V2)
= · =
3 5 5
Nos encontraríamos en la situación del apartado b), ya que si se sacan dos bolas
a la vez no hay reemplazamiento como en el primer caso.
De una caja que contiene 3 fichas azules y 5 rojas sacamos 2 fichas.
Determina las siguientes probabilidades.
a) Salgan 2 fichas azules.
b) Sean 2 fichas rojas.
c) La primera sea azul y la segunda roja.
d) Haya una ficha azul y otra roja.
a) PA ( 1∩ A2) = PA ( 1) · PA ( 2/ A1)
=
3
8
·
2
7
=
3
28
b) PR ( 1∩ R2) = PR ( 1) · PR ( 2/ R1)
=
5
8
·
4
7
5
=
14
c) PA ( 1 ∩ R2) = PA ( 1) · PR ( 2/ A1)
=
3
8
·
5
7
=
15
56
e) La segunda sea roja, si la primera
es azul.
f) La segunda sea roja, si la primera
es roja.

060
061
d) PA ( 1 ∩ R2) + PR ( 1 ∩ A2)
=
3
8
15
·
5
7
+
5
8
·
3
7
=
15
28
e) PR ( 2/ A1)
=
PA ( 1 ∩ R2)
PA ( 1)
=
56
3
8
=
5
7
f) PR ( 2/ R1)
=
PR ( 1 ∩ R2)
PR ( 1)
=
5
14
5
8
=
4
7
De una bolsa en la que tenemos 3 fichas azules y 5 rojas sacamos dos fichas
con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que:
a) Las dos fichas sean azules.
b) Las dos fichas sean rojas.
c) La primera ficha sea azul y la segunda roja.
d) Haya una ficha azul y otra roja.
Al realizar el experimento con reemplazamiento, las dos extracciones
son independientes:
a) PA ( 1 ∩ A2) = PA ( 1) · PA ( 2)
=
3
8
·
3
8
=
9
64
b) PR ( 1 ∩ R2) = PR ( 1) · PR ( 2)
=
5
8
·
5
8
=
25
64
c) PA ( 1 ∩ R2) = PA ( 1) · PR ( 2)
=
3
8
·
5
8
=
15
64
d) PA ( 1 ∩ R2) + PR ( 1 ∩ A2)
=
3
8
·
5
8
+
5
8
·
3
8
=
30
64
=
15
32
Un examen tipo test consta de dos preguntas para las que se ofrecen
cuatro posibles respuestas, de las que solo una es correcta.
Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar dos preguntas?
¿Y de no acertar ninguna? Resuélvelo considerando que el examen consta
de cuatro preguntas.
PA ( 1∩ A2)
=
1
4
·
1
4
1
=
16
PA ( 1∩ A2)
=
3
4
·
3
4
9
=
16
PA ( 1∩ A2 ∩ A3 ∩ A4)
=
1
4
·
1
4
·
1
4
·
1
4
=
1
256
PA ( 1∩ A2 ∩ A3 ∩ A4)
=
3
4
·
3
4
·
3
4
·
3
4
=
81
256
SOLUCIONARIO
11
453

454
Probabilidad
062
063
064
¿Cuál es la probabilidad de tener 15 aciertos en una quiniela
de fútbol compuesta por 15 partidos? ¿Y de tener 14 aciertos?
1
P(15 aciertos) = = 0,000000069
3 15
1 2
P(14 aciertos) = 15 · · = 0,00000209
14 3 3
De una baraja extraemos dos montones de cartas; en el primer montón hay 5 oros
y 2 copas, y en el segundo montón hay 2 oros, 3 copas y 5 espadas.
Se saca una carta del primer montón y otra del segundo. Determina
las probabilidades de los siguientes sucesos.
a) Salen dos cartas de oros.
b) Son dos cartas de copas.
c) Hay una carta de oros y otra de copas.
d) La segunda carta es de espadas.
e) La segunda carta es de espadas, sabiendo que la primera fue de copas.
a) PO ( 1∩ O2)
=
5
7
2
·
10
=
1
7
b) PC ( 1∩ C2)
=
2
7
3
·
10
=
3
35
c) PO ( 1∩ C2) + PC ( 1∩ O2)
=
5
7
3
·
10
+
2
7
2
·
10
=
19
70
5
d) PE ( 2)
=
10
=
1
2
e) PE ( 2/ C1)
=
1
, porque los sucesos son independientes.
2
En un cajón tengo 3 calcetines rojos, 5 verdes y 8 negros. Si con la luz apagada
saco un par, determina la probabilidad de que los calcetines sean de los colores
que se indican en cada caso.
a) Ambos sean verdes.
b) Los dos sean del mismo color.
c) No haya ninguno rojo.
d) Si el primero que saqué resultó ser verde, el segundo también lo sea.
e) El primero es verde y el segundo es de cualquier otro color, excepto el verde.
a)
5
PV ( 1∩ V2) = PV ( 1) · PV ( 2/ V1)
=
16
4
·
15
1
=
12
b) PR ( 1∩ R2) + PV ( 1∩ V2) + PN ( 1∩ N2) = PR ( 1)· PR ( 2/ R1)
+ PV ( 1)· PV ( 2/ V1) + PN ( 1)· PN ( 2/ N1)
=
3
=
16
2
·
15
5
+
16
4
·
15
8
+
16
7
·
15
41
=
120

065
066
067
c)
d)
13 12 13
PR ( 1 ∩ R2) = PR ( 1) · PR ( 2/ R1)
= · =
16 15 20
4
PV ( 2/ V1)
=
15
e) PV ( 1 ∩ R2) + PV ( 1 ∩ N2) = PV ( 1) · PR ( 2/ V1) + PV ( 1)
· P(
N2/ V1)
=
5
=
16
3
·
15
5
+
16
8
·
15
=
11
48
En una caja hay 3 fichas rojas y 1 ficha azul. Un juego consiste en sacar una ficha,
anotar su color, devolverla a la caja y seguir sacando hasta el momento
en que se hayan conseguido 2 fichas azules.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar con menos de cuatro extracciones?
b) ¿Y cuál es la probabilidad de sacar 5 fichas y no ganar?
b) P( R ∩ R ∩ R ∩ R ∩ R) + P( A∩ R ∩ R ∩ R ∩ R)
= ⎛
5
⎜ 3 ⎞
5
⎜ +
⎝⎜
4 ⎠⎟
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
5
a) PA ( ∩ A) + PA ( ∩R∩ A) + PR ( ∩ A∩ A)
=
1 1 1 3 1 3 1 1 10 5
· + · · + · · = =
4 4 4 4 4 4 4 4 64 32
·
1
4
4
3 81
·
4 128
En una urna hay 5 bolas rojas, 2 negras y un número indeterminado de bolas azules.
Se sabe que la probabilidad de que, al sacar dos bolas, haya 1 bola roja y 1 bola azul
es de . Determina el número de bolas azules que hay en la urna.
Sea x el número de bolas azules de la urna.
5
5 1
2 14
→ → 30 42 13 →
7 + 6 + 7 6 3
+ 1
3
1
PR ( 1 ∩ A2) + PA ( 1 ∩ R2) = PR ( 1) · PA ( 2/ R1) + PA ( 1) · PR ( 2/A1)
=
3
x
x
⎧x
=
· · = x = + x + x ⎨
⎪
x x + x + x
⎩⎪ x = 3
Para recibir las quejas de los clientes, una empresa
telefónica dispone de una oficina atendida por
tres empleados.
• El empleado A está exclusivamente dedicado
a la atención a los clientes y los otros dos
empleados realizan, además, otras tareas.
• El empleado A atiende al 60 % de los visitantes, B
al 25 % y C al resto.
• El empleado más efectivo es A, que resuelve
el 95 % de los problemas que le plantean
los clientes, mientras que B solo resuelve
el 80 % y C el 60 %.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no me atienda
el empleado A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema?
SOLUCIONARIO
11
455

456
Probabilidad
068
c) ¿Cuál es la probabilidad de que me resuelvan el problema si no me atiende A?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema si me atiende A?
e) Si no me han resuelto el problema, ¿cuál es la probabilidad de que me haya
atendido B?
a) PA ( ) = 1− PA ( ) = 0, 4
b) PR ( ) = PA ( ) · PR ( / A) + PB ( ) · PR ( / B) + PC ( )· PR ( / C)
=
= 06 , · 005 , + 025 , · 02 , + 015 , · 04 , = 014 ,
PR ( ∩ A)
PB ( )· PRB ( / ) + PC ( )· PRC ( / ) 025 , · 08 , + 015 , · 06 ,
c) PR ( / A)
= =
=
= 0, 725
PA ( )
PA ( )
04 ,
d) PR ( / A)
= 005 ,
PB ( ) · PR ( / B)
025 , · 02 ,
e) PBR ( / ) =
= = 036 ,
PA ( ) · PR ( / A) + PB ( ) · PR ( / B)
+ PC ( )· PR ( / C)
014 ,
PARA FINALIZAR...
Se lanza un dardo sobre el rectángulo determinado por las rectas x =±2
e y =±1 en un sistema de ejes coordenados.
Calcula la probabilidad de que el dardo impacte sobre un punto que:
a) Tenga su abscisa mayor que su ordenada.
b) La suma de sus coordenadas sea mayor que 1.
c) El producto de sus coordenadas sea positivo.
d) La suma de los valores absolutos de sus coordenadas sea mayor que 1.
4 1
a) P(La abscisa es mayor que la ordenada) = =
8 2
Y
1
1 X
Y
1
1 X

069
2 1
b) P(La suma de las coordenadas es mayor que 1) = =
8 4
Y
1
c)
4
P(El producto de las coordenadas es positivo) =
8
Y
=
1
2
6 3
d) P(La abscisa es mayor que la ordenada) = =
8 4
Y
1
1
1 X
1 X
1 X
En la ecuación de segundo grado:
x 2 + ax + b = 0
los coeficientes, a y b, son los posibles resultados al lanzar dos dados.
Calcula la probabilidad de que la ecuación no tenga solución real.
SOLUCIONARIO
11
Los resultados al lanzar dos dados son:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
La ecuación de segundo grado no tiene solución si el discriminante es negativo:
2 2
Δ= a − 4b < 0 → a < 4b
→ P(
No solución ) =
17
36
457

458
Probabilidad
070
071
En la ecuación de segundo grado x 2 + ax + b = 0, los coeficientes, a y b,
son dos números reales escogidos al azar en el intervalo [0, 1].
Calcula la probabilidad de que tenga dos soluciones reales distintas.
La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas si el discriminante
2 2
es positivo: Δ= a − 4b > 0 → a > 4b
Y
1
Área encerrada bajo la curva = = ⎡
x
⎢
x ⎤
dx ⎥
4 ⎢
⎣ 12⎥
⎦
=
1
0 12
P(Dos soluciones distintas) =
Área favorable
Área posible
=
1
12
1
1
=
12
¿Cuál es el mínimo número de personas necesarias, para que la probabilidad
de que, al menos, dos de ellas cumplan años el mismo día, sea superior
al 50 %?
Suponemos que el año tiene 365 días.
Si estudiamos un grupo de n personas, el número de casos posibles es 365n .
365 · 364 · …· ( 365 − n + 1)
P(n personas no cumplen años el mismo día) =
n 365
P(Al menos dos personas del grupo de n personas cumplen años el mismo día) =
= 1 − P (n personas no cumplen años el mismo día) =
n Probabilidad
5 0,027
10 0,12
15 0,25
20 0,41
25 0,57
1 X
El mínimo número de personas es 23.
1 0
2 3
1
365 · 364 · …· ( 365 − n + 1)
= 1−
n 365
n Probabilidad
20 0,41
21 0,44
22 0,47
23 0,51

072
Tenemos dos urnas iguales, una con 25 bolas rojas y otra con 25 bolas negras.
Cambiamos el número de bolas que queramos de una urna a otra. Si después
se elige una urna al azar y se saca una bola:
¿Cómo distribuirías las bolas para que la probabilidad de sacar una bola roja
sea la mayor posible? ¿Cuál es esa probabilidad?
U1 U2 Probabilidad
25 rojas 25 negras
25 rojas y 5 negras 20 negras
25 rojas y 20 negras 5 negras
20 rojas y 5 negras 20 negras y 5 rojas
15 rojas y 5 negras 20 negras y 10 rojas
20 rojas 25 negras y 5 rojas
15 rojas 20 negras y 10 rojas
10 rojas 25 negras y 15 rojas
5 rojas 25 negras y 20 rojas
1 roja 25 negras y 24 rojas
1
2 1
1
2 0
1
· + · = = 05 ,
2
SOLUCIONARIO
1 5 1
2 6 2 0
1 5 5
· + · = · = = 041 ,
2 6 12
1 4 1
2 9 2 0
1 4 4
· + · = · = = 022 ,
2 9 18
1 4 1 1 1
2 5 2 5 2 1
1
· + · = · = = 05 ,
2
1 3 1 1 1 13 13
· + · = · = = 054 ,
2 4 2 3 2 12 24
1
2 1
1 1 1 7 7
· + · = · = = 058 ,
2 6 2 6 12
1
2 1
1 2 1 9 9
· + · = · = = 064 ,
2 7 2 7 14
1
2 1
1 3 1 11 11
· + · = · = = 069 ,
2 8 2 8 16
1
2 1
1 4 1 13 13
· + · = · = = 072 ,
2 9 2 9 18
1
2 1
1 24 1 73 73
· + · = · = = 074 ,
2 49 2 49 98
Observamos que, al cambiar las bolas negras de urna, la probabilidad
de extraer una bola roja es menor que al cambiar las bolas rojas. Por tanto,
esta probabilidad es máxima al pasar 24 bolas rojas a la segunda urna, junto
con las 25 bolas negras, y su valor es 0,74.
11
459

460
12
Distribuciones binomial y normal
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
El teorema
–Como la mayoría de los que estamos presentes en esta aula, Laplace
fue incomprendido por sus padres –dijo Caine mientras caminaba por
delante de la pizarra–. Aunque su padre quería que fuera soldado o
sacerdote, Laplace se decidió por la vida académica. Por lo tanto,
cuando cumplió los dieciocho años marchó al epicentro académico de
Francia: París. Allí consiguió un trabajo como profesor de geometría
de los cadetes de una academia militar. Entre ellos había un chico bajito
llamado Napoleón Bonaparte que, según me han dicho, hizo después
algunas cosas extraordinarias.
Los doce estudiantes reunidos alrededor de la mesa se rieron cortésmente.
–En 1770, Laplace presentó su primer trabajo en la prestigiosa Académie
des Sciences. Después de aquello, quedó claro para todos que era
un genio matemático. Así que dedicó el resto de su vida a dos campos:
la probabilidad y la astronomía. Casi treinta años más tarde, en 1799,
unió los dos campos cuando publicó el libro de astronomía más importante
de la época: Tratado de la mecánica celeste. El libro no sólo
contenía una exposición analítica del sistema solar, sino que también
incluía nuevos métodos para calcular las órbitas planetarias.
»Sin embargo, la razón por la que el Tratado de la mecánica celeste sigue
considerándose hoy muy importante no es por sus hallazgos astronómicos,
sino porque fue la primera persona que aplicó la teoría de
las probabilidades a la astronomía. Laplace demostró que las múltiples
observaciones de la posición de una estrella tendían a formar una curva
con forma de campana. […]
–¿A qué se refiere con «múltiples observaciones de la posición de una
estrella»?–, preguntó un estudiante paliducho y con pelo lacio y oscuro.
–Ah, buena pregunta. –Caine se acercó a la pizarra–. En aquel entonces,
uno de los grandes problemas de la astronomía era que todos tomaban
sus mediciones un poco a ojo de buen cubero y, como las personas
cometen errores, los datos no eran claros. Veinte astrónomos
diferentes medían la posición de una estrella y obtenían veinte lecturas
diferentes. Lo que hizo Laplace fue tomar aquellas veinte observaciones
diferentes y elaborar un gráfico. Cuando lo hizo, vio que las
posiciones formaban una curva con forma de campana como ésta.
–Caine señaló una gráfica de distribución normal en la pared–. En
cuanto vio esto, exclamó: «Ajá, si las observaciones están en una distribución
normal, entonces la punta nos indica la posición más probable
de la estrella».
ADAM FAWER
Mide las dimensiones, en mm, de tu mesa y calcula su superficie.
Con los datos de tus compañeros elabora un polígono de
frecuencias y, a partir de él, calcula la superficie más probable
de la mesa.
Respuesta abierta.

001
002
003
004
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Indica el tipo de variable estadística.
a) Talla de una persona. c) Sexo de una persona.
b) Temperatura. d) Dinero gastado a la semana.
a) Cuantitativa continua
b) Cuantitativa continua
c) Cualitativa
d) Cuantitativa discreta
Organiza en una tabla de frecuencias estos datos relativos al peso, en kg, de 20 personas.
Respuesta abierta.
42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
Lidia ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas: 7, 5, 6, 10, 9, 7 y 6.
Calcula la media, la varianza y la desviación típica.
50
x = = 7,14
7
σ
σ=1,65
Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad
de que la suma:
a) Sea 3. c) Sea inferior a 11.
b) No sea 7. d) Sea 4 o 5.
a)
Peso
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
376
= − 7,14 = 2,73
7
2 2
2 1
=
36 18
fi
6 5
b) 1−
=
36 6
hi
3 0,15
8 0,4
6 0,3
3 0,15
N = 20 ∑ hi = 1
Fi
3 11
c) 1−
=
36 12
d)
Hi
3 0,15
11 0,55
17 0,85
20 1
3 4 7
+ =
36 36 36
SOLUCIONARIO
12
461

462
Distribuciones binomial y normal
001
002
ACTIVIDADES
Lanzamos dos dados de 6 caras.
a) Comprueba que la función que asigna a cada suceso elemental
la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria.
b) Elabora su tabla de valores y represéntala gráficamente.
a) El espacio muestral es: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),
(4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
La función X que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones
es una variable aleatoria.
X(1, 1) = 2 X(1, 2) = 3 X(1, 3) = 4 X(1, 4) = 5 X(1, 5) = 6 X(1, 6) = 7
X(2, 1) = 3 X(2, 2) = 4 X(2, 3) = 5 X(2, 4) = 6 X(2, 5) = 7 X(2, 6) = 8
X(3, 1) = 4 X(3, 2) = 5 X(3, 3) = 6 X(3, 4) = 7 X(3, 5) = 8 X(3, 6) = 9
X(4, 1) = 5 X(4, 2) = 6 X(4, 3) = 7 X(4, 4) = 8 X(4, 5) = 9 X(4, 6) = 10
X(5, 1) = 6 X(5, 2) = 7 X(5, 3) = 8 X(5, 4) = 9 X(5, 5) = 10 X(5, 6) = 11
X(6, 1) = 7 X(6, 2) = 8 X(6, 3) = 9 X(6, 4) = 10 X(6, 5) = 11 X(6, 6) = 12
b)
X P(X = xi) P(X ≤xi)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
36
1
18
1
12
1
9
5
36
1
6
5
36
1
9
1
12
1
18
1
36
1
36
1
12
1
6
5
18
5
12
7
12
13
18
5
6
11
12
1
12
1
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda.
a) Calcula el espacio muestral y la probabilidad de cada suceso elemental.
b) Define sobre este experimento dos variables aleatorias y represéntalas.
a) El espacio muestral es:
E = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, X), (2, X), (3, X), (4, X), (5, X), (6, X)}
1
La probabilidad de cada suceso elemental es .
12

003
004
b) Respuesta abierta.
La función X asigna a cada suceso el número obtenido en el dado.
X P(X = x i) P(X ≤x i)
1
2
3
4
5
6
La función Y asigna a cada suceso el número elemental 1 si sale cara
en la moneda y 2 si sale cruz.
Y(1, C) = 1 Y(2, C) = 1 Y(3, C) = 1 Y(4, C) = 1 Y(5, C) = 1 Y(6, C) = 1
Y(1, X) = 2 Y(2, X) = 2 Y(3, X) = 2 Y(4, X) = 2 Y(5, X) = 2 Y(6, X) = 2
Y P(Y = y i) P(Y ≤y i)
1
2
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
2
1
2
1
6
1
3
1
2
2
3
5
6
1
2
Consideramos la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones al lanzar
dos dados de 6 caras. Calcula los parámetros de esta variable aleatoria.
Media: μ=7
Desviación típica: σ= 5,852 = 2,419
1
1
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
¿Puedes encontrar una variable aleatoria discreta que proceda de una variable
estadística continua? ¿Y lo contrario?
0,18
0,5
0,1
2 3 4 5 6
Consideramos la variable estadística cuantitativa continua «altura de las personas
de un país, medida en metros». Definimos sobre esta variable estadística
la variable aleatoria:
⎧ h ≤
Para cada altura h→ X( h)=
⎨
⎪0
si 1
⎩⎪ 1 si h > 1
Esta variable está definida para cualquier suceso elemental de la variable estadística,
es decir, cada una de las alturas; además, es discreta, pues solo toma dos valores.
Por tanto, de una variable estadística continua se puede obtener una variable
aleatoria discreta, pero no a la inversa, pues un número finito de valores no puede
tener un número infinito de imágenes.
1
1
SOLUCIONARIO
X(1, C) = 1 X(2, C) = 2 X(3, C) = 3 X(4, C) = 4 X(5, C) = 5 X(6, C) = 6
X(1, X) = 1 X(2, X) = 2 X(3, X) = 3 X(4, X) = 4 X(5, X) = 5 X(6, X) = 6
2
12
463

464
Distribuciones binomial y normal
005
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados de 6 caras,
consideramos la variable aleatoria X, que asocia a cada suceso elemental el producto
de las puntuaciones que se ven. Halla y representa las funciones de probabilidad
y de distribución.
X(1, 1) = 1 X(1, 2) = 2 X(1, 3) = 3 X(1, 4) = 4 X(1, 5) = 5 X(1, 6) = 6
X(2, 1) = 2 X(2, 2) = 4 X(2, 3) = 6 X(2, 4) = 8 X(2, 5) = 10 X(2, 6) = 12
X(3, 1) = 3 X(3, 2) = 6 X(3, 3) = 9 X(3, 4) = 12 X(3, 5) = 15 X(3, 6) = 18
X(4, 1) = 4 X(4, 2) = 8 X(4, 3) = 12 X(4, 4) = 16 X(4, 5) = 20 X(4, 6) = 24
X(5, 1) = 5 X(5, 2) = 10 X(5, 3) = 15 X(5, 4) = 20 X(5, 5) = 25 X(5, 6) = 30
X(6, 1) = 6 X(6, 2) = 12 X(6, 3) = 18 X(6, 4) = 24 X(6, 5) = 30 X(6, 6) = 36
X P(X = xi) P(X ≤xi)
1
2
3
4
5
6
8
9
La función de probabilidad es:
⎧ ⎪
1
⎪ 36
⎪ 1
⎪ 18
f( x)
= ⎨
⎪
1
⎪ 12
⎪ 1
⎪ 9
⎪
⎩⎪
0
1
36
1
18
1
18
1
12
1
18
1
9
1
18
1
36
si x = 1, 9, 16, 25, 36
si x = 2358101
, , , , , 518202430
, , , ,
si x = 4
1
36
1
12
5
36
2
9
5
18
7
18
4
9
17
36
si x = 612 ,
en el resto
Y
0,2
X P(X = xi) P(X ≤xi)
10
1
18
19
36
12
1
9
23
36
15
1
18
25
36
16
1
36
13
18
18
1
18
7
9
20
1
18
5
6
24
1
18
8
9
25
1
36
11
12
30
1
18
35
36
36
1
36
1
5 10 15 20 25 30 35 X

La función de distribución es:
⎧ ⎪
0 si − < x < 1
⎪ 1
⎪ si 1≤ x < 2
⎪ 36
⎪ 1
⎪
si 2≤ x < 3
⎪
12
⎪ 5
⎪ si 3 ≤ x < 4
⎪ 36
⎪
2
⎪ si 4 ≤ x < 5
⎪ 9
⎪ 5
⎪ si 5≤ x < 6
⎪ 18
⎪ 7
⎪
si 6≤ x < 8
⎪ 18
⎪ 4
⎪
si 8≤ x < 9
⎪
9
⎪ 17
⎪ si 9≤ x < 10
⎪ 36
⎪ 19
Fx ()= ⎪
⎨ si 10 ≤ x < 12
⎪ 36
⎪ 23
⎪ si 12 ≤ x < 15
⎪ 36
⎪ 25
⎪
si 15≤
x < 16
⎪
36
⎪ 13
⎪
si 16 ≤ x < 18
⎪
18
⎪ 7
⎪ si 18 ≤ x < 20
⎪ 9
⎪
5
⎪ si 20 ≤ x < 24
⎪ 6
⎪ 8
⎪ si 24 ≤ x < 25
⎪ 9
⎪ 11
⎪ si 25 ≤ x < 30
⎪
12
⎪ 35
⎪
si 30 ≤ x < 36
⎪
36
⎪
⎩⎪
1 si 36≤x

466
Distribuciones binomial y normal
006
007
008
009
Esta es la gráfica de una función
de distribución. Halla y representa
la función de probabilidad.
1
0,2
Y
⎧ ⎪
0
⎪
⎪01
,
⎪
⎪03
,
⎪
Fx () = ⎪
⎨06
,
⎪
⎪07
,
⎪
08 ,
⎪
⎩⎪
1
si − < x < 1
si 1≤ x < 2
⎧⎪
si 2≤ x < 3
⎪
01 ,
⎪
02 ,
si 3≤
x < 4 → f( x)
= ⎨
⎪
⎪
si 4≤ x < 5
⎪03
,
⎪
si 5≤ x < 6
⎩⎪
0
si 6≤
x

010
011
012
013
014
Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula.
a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color.
b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo.
a) PX ( = ) + PX ( = ) = ⎛
⎜3⎞
⎛
⋅ ⎜ 2 ⎞ 3 3 2
3 0
⎝⎜
⎠⎟
⎜ ⋅
3 ⎝⎜
5 ⎠⎟
5 0 5
⎛ ⎞
⎜
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ + ⎜ ⋅ ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
⎜ ⋅ ⎜
⎝⎜
⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
3
0,28
5
3 2 3
b) 1− = 3 = 1−
3 5
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅
PX
⎛ ⎞
( )
⎜ = 0,936
⎝⎜
5 ⎠⎟
Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas
que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolas
blancas y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente.
Calcula, utilizando la tabla de la distribución binomial, la probabilidad
de que haya anotado 2 bolas blancas.
X B(3; 0,4)
P(X = 2) = 0,288
Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula.
a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color.
b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo.
a) P(X = 3) + P(X = 0) = 0,064 + 0,216 = 0,28
b) 1 − P(X = 3) = 1 − 0,064 = 0,936
Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad,
y halla la función de distribución asociada a ella.
1= b⋅h= 2k
→ k =
1
2
⎧ ⎪
0
⎪ 2 x
Fx ( )= ⎨
⎪
⎪ 4
⎪
⎪⎩
1
si − < x < 0
si 0≤ x ≤ 2
si 2<
x

468
Distribuciones binomial y normal
015
016
017
018
Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ=3 y σ=2.
a) x1 = 3 b) x2 = 4,5 c) x3 =−0,5 d) x4 =−1
b) 4,5
a)
3− 3
= 0
2
− 3
= 0,75
2
Compara los datos de estas distribuciones.
x1 = 2 (con μ=1, σ=2)
x2 = 1 (con μ=2, σ=1)
x3 = 1,5 (con μ=1,5; σ=1,5)
2 1
z1 =
2
z2 < z3 < z1 − = 0,5
Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X N(5, 2), calcula
las siguientes probabilidades.
a) P(X < 2) c) P(X = 4) e) P(X < 7)
b) P(X > 3) d) P(X = 6) f) P(X = 8)
c) P(X = 4) = 0
d) P(X = 6) = 0
e) PX P 0,841
f) P(X = 8) = 0
X ⎛ − − ⎞
( < ) = ⎜ < = PZ ( < ) =
⎝⎜
⎠⎟
7
b) PX P
5 7 5
1 3
2 2
X ⎛ − − ⎞
( > ) = ⎜ > = PZ ( >− ) = PZ ( <
⎝⎜
⎠⎟
3
a) PX P 1,5
5 3 5
1 1) = 0,8413
2 2
X ⎛ − − ⎞
( < ) = ⎜ < = PZ (

019
020
021
Una fábrica de componentes elabora 2.000 circuitos electrónicos al día.
Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del 1 %,
¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos
sea mayor que 50? ¿Y menor que 25?
X B( 2. 000; 0,01) ≈ N(
20;
4,45)
PX P X ⎛ − − ⎞
( > ) = ⎜ > = PZ ( >
⎝⎜
⎠⎟
50
20 50 20
6,74) = 1−PZ ( ≤ 6,74)
= 1− 1= 0
4,45 4,45
PX P X −
( < ) = <
PZ (
−
⎛
⎞
⎜
= <
⎝⎜
⎠⎟
25
20 25 20
1,12) = 0,8686
4,45 4,45
El 10 % de las personas de una ciudad afirma que no ve nunca televisión.
Calcula la probabilidad de que, escogidas 100 personas al azar,
haya al menos 14 personas que no vean televisión. ¿Qué probabilidad hay
de que sean exactamente 14?
X B( 100; 0,1) ≈ N(
10, 3)
PX P X ⎛ − − ⎞
( ≥ ) = ⎜ ≥ = PZ ( ≥ ) =
⎝⎜
⎠⎟
14
10 14 10
1,33 1−
PZ ( < 1,33)
=
3 3
= 1−
0,9082 = 0,0918
⎛ 13,5 − 10 X − 10 14,5 − ⎞
PX ( = 14)
= P( 13,5 < X< 14,5)
= P ⎜ < <
⎝⎜
3 3
⎠⎟
=
10
3
= PZ ( < 1,5) − PZ ( < 1,17) = 0,9332 − 0,879 = 0,0542
En una urna hay 5 bolas rojas y 3 bolas azules. Se sacan 3 bolas y se anota el número
de bolas azules que se han conseguido. Realiza una tabla con la distribución de
probabilidad, y halla la media y la desviación típica.
X P(X = xi) P(X ≤xi)
0
1
2
3
5
28
15
28
15
56
1
56
9
Media: μ= = 1,125
8
5
28
5
7
55
56
Desviación típica: σ= 0,502 = 0,709
1
SOLUCIONARIO
12
469

470
Distribuciones binomial y normal
022
023
En el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una ficha de dominó,
se considera la variable X = «mayor número de las dos puntuaciones
de la ficha».
Construye la distribución de probabilidad y halla la media, la desviación típica
y la varianza.
Varianza: σ2 112
Media: μ= = 4
28
= 3
Desviación típica: σ=1,732
Se lanzan dos dados y se considera la variable aleatoria que a cada suceso elemental
le hace corresponder la diferencia entre el mayor y el menor de los resultados
de ambos dados.
a) Clasifica la variable aleatoria.
b) Describe la distribución de probabilidad en forma de tabla.
a) Es una variable discreta.
b)
X P(X = xi) P(X ≤xi) 0
1
28
1
28
1
1
14
3
28
2
3
28
3
14
3
1
7
5
14
4
5
28
15
28
5
3
14
3
4
6
1
4
1
X P(X = xi) P(X ≤xi) 0
1
6
1
6
1
5
18
4
9
2
2
9
2
3
3
1
6
5
6
4
1
9
17
18
5
1
18
1

024
025
026
Hemos pintado tres caras de un dado con un 1, dos caras con un 2 y una cara con un 3.
Si consideramos la variable que asigna a cada suceso elemental su puntuación:
a) Elabora una tabla con la distribución de probabilidad.
b) Halla la media y la desviación típica.
a) X
1
P(X = xi) 1
2
P(X ≤xi) 1
2
5
b) Media: μ= = 1,667
3
Desviación típica: σ= 0,554 = 0,745
2
1
3
5
6
3
1
6
1
Un juego consiste en lanzar dos dados, anotar la suma de los resultados dividida
entre 2 y aproximarla, por exceso, al número entero más próximo.
a) Realiza la distribución de probabilidad.
b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica.
a)
X P(X = xi) P(X ≤xi)
1
1
36
1
36
2
5
36
1
6
3
1
4
5
12
4
11
36
13
18
5
7
36
11
12
6
1
12
1
Varianza: σ2 135
b) Media: μ= = 3,75
36
= 1,52
Desviación típica: σ=1,23
Dada la siguiente tabla, que corresponde a los valores que toma una variable
aleatoria X y a sus probabilidades:
a) Comprueba que corresponde a una distribución de probabilidad.
b) Calcula la función de distribución.
c) Halla su media y su desviación típica.
a) 0,6 + 0,2 + 0,15 + 0,05 = 1
b)
⎧ ⎪
0
⎪
06 ,
Fx ( ) = ⎨
⎪08
,
⎪
⎪095
,
⎪
⎩⎪
1
si − < x < 4
si 4≤ x < 5
si 5≤ x < 6
si 6≤
x < 7
si 7≤
x

472
Distribuciones binomial y normal
027
028
Con la distribución de la actividad anterior, determina las siguientes probabilidades.
a) P(X >4) c) P(4 ≤ X

029
030
031
Calcula las probabilidades que se indican en las siguientes distribuciones binomiales.
a) En B(8; 0,2) P(X = 4), P(X = 1), P(X = 0)
b) En B(12; 0,9) P(X = 2), P(X 1) = 1−PX ( ≤ 1) = 1− ( PX ( = 0) + PX ( = 1)) = 1−( 0,3487
+ 0,3874) = 0,2639
⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
0
10 0 10
0
Un examen tipo test tiene 30 preguntas
a las que se ofrecen cuatro respuestas
posibles.
a) Si se responde al azar, ¿cuál es
la probabilidad de acertar más
de dos preguntas?
b) Si para aprobar hay que tener más
de 15 respuestas correctas,
¿cuál es la probabilidad de obtener
un aprobado?
X B(
30; 0,25)
SOLUCIONARIO
7,5 7,5
b) PX P
2,37 2,37
X −
( > ) = > −
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
15
7,5 7,5
a) PX P
2,37 2,37
15
PZ ( > 3,16) = 1−PZ
( ≤ 3,16)
=
= 1−
0,9992 = 0,0008
X −
( > ) = > P(
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
2
np = 7,5 > 5 ⎫
⎬
⎪ → X B( 30;
0,25)
≈ N(
7,5; 2,37)
n( 1− p)
= 22,5 > 5⎭⎪
2
Z >− 2,32) = P( Z < 2,32) = 0,9898
12
473

474
Distribuciones binomial y normal
032
033
Se lanza el dado 25 veces. Cada vez que se obtiene un número mayor que 2
gana Eva. En caso contrario, gana Daniel.
a) Describe la función de probabilidad y la función de distribución.
b) ¿Cuáles son la media y la desviación típica de esta distribución?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Eva gane exactamente 3 veces?
d) ¿Cual es la probabilidad de que Daniel gane más de 22 veces?
a) La función de probabilidad es:
i
La función de distribución es: Fx ()=
i
⎛
x
⎛ ⎞
⎜
f( x)= ⎝⎜
x ⎠⎟
x ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎜25
⎞
⋅ ⎜ 2
⎝⎜
⎠⎟
⎜ ⋅ ⎜ 1
∑
⎝⎜
⎠⎟
⎜
i=
0 3 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
⎧ ⎪ 25 2 ⎞
⎜ 1
⎨
⎪ ⎜
3 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⎪
⎩⎪
0
σ= 25 ⋅ ⋅ =
2
b) μ = 25 ⋅ = 16,67
1
3 3
2,36
2
3
−
PX ( = ) = P( < X< ) = P
<
X −
⎛ 2,5 16,67
3 2,5 3,5 ⎜
⎝⎜
2,36
16,67
2,36
3,5 − 16,67 ⎞
<
2,36 ⎠⎟
5,5
=
c) np = 16,67 > 5 ⎫
⎬
⎪ → X B(
25;
0,66)
≈ N(
16,67; 2,36)
n( 1− p)
= 8,33 > 5⎭⎪
= P( − 6 < Z

034
035
036
SOLUCIONARIO
En un laboratorio de análisis clínicos saben que el 98 % de las pruebas de diabetes
que realizan resulta negativo. Si han recibido 10 muestras para analizar:
a) Determina la probabilidad de que haya 2 personas a las que la prueba
les dé positivo.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de 1 persona?
a) PX ( = ) = 0,02 0,98 0,01531
b) PX ( > 1) = 1−PX ( ≤ 1) = 1− ( PX ( = 0) + PX ( = 1))
=
⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
2
X B(
10; 0,02)
10 2 8
2
= − ⎛
⎜10⎞
⎞
1 ⋅ ⋅ −⎛⎜
⎝⎜
0 ⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
⋅
10
0,02 0,98 0,02
1
0 10 1
12
d) PX ( < 6) = PX ( = 0) + PX ( = 1) + PX ( = 2) + PX ( = 3) + PX ( = 4 ) + PX ( = 5)
=
= 0,000005904 + 0,0001378 + 0,001447 + 0,009002 + 0,03676 + 0,1029 =
=
0,15025
El 20 % de la población de una ciudad es inmigrante de procedencia africana.
Se eligen cinco personas al azar. Determina la probabilidad de que:
a) Haya un inmigrante africano. d) Haya, al menos, un africano.
b) Sean dos o más inmigrantes africanos. e) Sean cuatro inmigrantes africanos.
c) Las cinco sean inmigrantes africanos.
e) PX ( = ) = 0,2 0,8 0,0064
⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
4
d) PX ( ≥ ) = − PX ( < ) = − PX ( = ) = −
5 4 1
4
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅
c) PX ( = ) = 0,2 0,8 0,00032
5 0 5
1 1 1 1 0 1 0,2 ⋅ 0,8 = 1− 0,3277 = 0,6723
0 ⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
5
b) PX ( ≥ ) = − PX ( < ) = − ( PX ( = ) + PX ( = )) =
= −
5 5 0
5
⎛
a) PX ( = ) = 0,2 0,8 0,4096
2 1 2 1 0 1
5⎞
⎞
1 ⎜ 0 5 ⋅0,2 ⋅0,8 −⎛⎜5
1 4 ⋅0,2 ⋅0,8
= 1−0,3277 − 0,4096 = 0,2627
⎝⎜
0⎠⎟
⎝⎜
1⎠⎟
⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
1
X B(
50,2 ; )
5 1 4
1
Juan suele dar en el blanco con una de cada tres flechas
que lanza a la diana.
a) ¿Es cierto que si lanza 3 flechas, al menos
una de ellas dará en el blanco?
b) ¿Qué probabilidad hay de que eso suceda?
c) Y si lanza 6 flechas, ¿puede estar seguro de que
alguna de sus flechas va a dar en el blanco?
d) ¿Cuántas flechas debería lanzar para asegurar,
con una probabilidad de más del 95%,
que va a conseguirlo?
9 ⋅ 0,98 = 1−0,8171−
0,1667 = 0,0162
475

476
Distribuciones binomial y normal
037
038
a) No, la probabilidad no puede asegurar el resultado del lanzamiento.
PX ( ≥ ) = − PX ( < ) = − PX ( = ) = − ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅
3 ⎛ 1 ⎞
1 1 1 1 0 1 ⎜
0 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⋅⎛
b) X B 3
0 3
⎞
⎜ 2
⎜ = 1− 0,2963 = 0,7037
⎝⎜
3 ⎠⎟
1 ⎛ ⎞
⎜ ,
⎝⎜
3 ⎠⎟
c) No, la probabilidad no varía y no puede asegurar el resultado.
n
PX ( ≥ ) = − PX ( < ) = − PX ( = ) = − ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅
⎛ 1 ⎞
1 1 1 1 0 1 ⎜
0 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⋅⎛
0 n
⎜ 2 ⎞
⎜ = −⎛⎜
2 ⎞
1
⎝⎜
⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠
⎟
3 3 ⎟ =
d) X B n,
n
1 ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎛ 2 ⎞
→⎜ log 0,05
⎜ = 0,05 → n = = 7,21
⎝⎜
3 ⎠⎟
2
log
3
A partir de 8 flechas, la probabilidad de que al menos una flecha dé
en el blanco es más del 95%.
En una distribución N(0, 1), calcula las probabilidades.
a) P(Z −0,38)
b) P(Z −1,297)
c) P(Z ≤1,77) g) P(Z =−2,75)
d) P(Z − 038 , ) = PZ ( < 038 , ) = 0,648
f ) PZ ( >− 1,297) = PZ ( < 1,297) = 0,9026
g) PZ ( =− 275 , ) = 0
h) PZ ( ≥− 1,04) = PZ ( ≤ 1,04) = 0,8508
En una distribución N(0, 1), halla las siguientes probabilidades.
a) P(Z >3,58) e) P(Z

039
040
041
En una distribución N(0, 1), obtén las probabilidades.
a) P(0,26 < Z

478
Distribuciones binomial y normal
042
043
En una distribución N(56, 4), calcula las siguientes probabilidades.
a) P(X >68,4) c) P(X = 56) e) P(X
= PZ ( > 31 , ) = 1−PZ ( ≤ 31 , ) =
⎝⎜
4
4 ⎠⎟
= 1−
0,999 = 0,001
46,877
h) PX 46,877 P X ⎛ − − ⎞
( < ) = ⎜ <
⎝⎜
⎠⎟
=
56
56
PZ (

044
045
SOLUCIONARIO
e)
58,89 −
P( 58,89 < X < ) = P
<
X
f)
⎛ 69 − 90 X − 90 87 − 90 ⎞
P( 69 < X < 87)
= P ⎜ < < = P( − 1,75 < Z
P(
⎝⎜
⎠⎟
=
200
192 200 192
Z > 0,67) = 1−P(
Z ≤ 0,67)
=
12 12
= 1−
0,7486 = 0,2514
479

480
Distribuciones binomial y normal
046
047
Se ha comprobado que el tiempo medio que resiste un adulto sin respirar
es de 40 segundos, con una desviación típica de 6,2 segundos, y que los datos
anteriores siguen una distribución normal.
a) Halla el porcentaje de personas que aguantan más de 53 segundos
y menos de 30 segundos.
b) ¿Qué porcentaje resiste entre 30 y 50 segundos?
a) PX PX P
6,2 6,2
El porcentaje de personas es del 0,09 %.
X −
( > ) ⋅ ( < ) = >
−
⎛
⎜ 40 53 40 ⎞
53 30 ⎜
⎟
⎝⎜
⎠⎟
⋅
⎛ − − ⎞
⎜ <
⎝⎜
⎠⎟
=
P
= >
X 40 30 40
6,2 6,2
PZ ( 2,09)
⋅ PZ ( ) = ⎜ > = PZ ( >
⎝⎜
⎠⎟
40
35 40 35
5) = 1−PZ
( ≤ 0,5)
=
10 10
= 1−
0,6915 = 0,3085

048
049
El peso de las ovejas adultas se distribuye normalmente con una media de 53 kg
y una desviación típica de 2,4 kg.
a) ¿Qué porcentaje de las ovejas pesará entre 50 y 57 kg?
b) Si pretendemos separar una cuarta parte de las ovejas, siendo las más pesadas
del rebaño, ¿a partir de qué peso se hará la separación?
a)
⎛ 50 53
P( 50 < X < 57)
= P⎜−
⎜ <
⎝⎜
24 ,
X − 53 57 − 53 ⎞
< = P( − 1,25 < Z < 1,67 ) =
24 , 24 , ⎠⎟
= PZ ( < 1,67 ) −( 1− PZ ( < 1,25)) = 0,9525 − 1+
0,8944 = 0,8469
b)
⎛ X − a−⎞
PX ( > a) = 0,25 P ⎜ > P
⎝⎜
2,4 2,4 ⎠⎟
La separación debe hacerse a partir de 54,63 kg.
=
→
53 53
a
Z >
a
P Z
− ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
= − ≤ −
53
2,4
⎛
⎜ 53 ⎞
⎜
⎟
⎛ − ⎞
1
= ⎜ ≤
⎝⎜
2,4 ⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
a 53
0,25 → P Z
0,75
24 ,
→
a − 53
2,
4
= 0,68 → a = 54,63
El tiempo medio de espera de un viajero en una estación ferroviaria, medido
en minutos, sigue una distribución normal N(7,5; 2). Cada mañana 4.000 viajeros
acceden a esa estación. Determina el número de viajeros que esperó:
a) Más de 9 minutos.
b) Menos de 6 minutos.
c) Entre 5 y 10 minutos.
d) Completa la frase:
«Los 1.000 viajeros
que menos tiempo
tardaron en subir al tren
tuvieron que esperar
menos de … minutos».
a)
b)
c)
SOLUCIONARIO
7,5 7,5
PX P 0,75
X −
( > ) = > PZ (
−
⎛
⎞
⎜
= >
⎝⎜
⎠⎟
9
9
) = 1−PZ
( ≤ 0,75)
=
2 2
= 1−
0,7734 = 0,2266
0,2266 ⋅ 4.000 = 906,4 → 906 viajeros esperaron más de 9 minutos.
7,5 7,5
PX P 0,7
X −
( < ) = < PZ (
−
⎛
⎞
⎜
=

482
Distribuciones binomial y normal
050
051
052
053
d)
1. 000
4. 000
− 75 , 7,5
= 025 , ( < ) = 0,25
<
2
Los 1.000 viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron
que esperar menos de 8 minutos.
−
⎛ X a ⎞
→ PX a → P ⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
02
2
=
< − ⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
0,25
a 7,5
a 75
→ P Z
, 5 → P Z ≤
2
→
a 75
→ a
2
− ⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
,
0,75
− ,
= 0,68 = 8,86
Se sabe que el 98,61% de los tornillos fabricados por una empresa tiene un diámetro
menor que 3,398 mm. Si el diámetro de los tornillos se distribuye según una normal
de media μ=3,2 mm, determina la desviación típica.
PX P X ⎛ − , −
( < ) = ⎜ 32 3,398 3,2 ⎞
3,398 0,9861 → ⎜ <
⎝⎜
σ σ ⎠⎟
=
⎛ ⎞
⎜ <
⎝⎜
⎠⎟
=
0,9861
0,198
0, 198
→ P Z
0,9861 → = 2,2 → σ = 0,09
σ
σ
Dos amigos están jugando al parchís. Uno de ellos asegura que ha tirado el dado
30 veces y no le ha salido ningún 5. El otro amigo afirma que eso es imposible.
¿Es realmente imposible? ¿Cuál es la probabilidad de que eso suceda?
No es imposible, porque la probabilidad no puede asegurar el resultado
de los lanzamientos.
X B 30 1 ⎛ ⎞
⎜ ,
⎝⎜
6 ⎠⎟
El 60 % de una población de 20.000 habitantes tiene los ojos oscuros.
Si elegimos, al azar, 50 personas de esa población, ¿cuál es la probabilidad
de que haya menos de 30 personas con los ojos oscuros?
→
PX P X ⎛ − − ⎞
( < ) = ⎜ < = PZ ( <
⎝⎜
⎠⎟
30
X B(
50; 0,6)
np = 30 > 5 ⎫
⎬
⎪ X B( 50; 0,6) ≈ N(
30;
3,46)
n( 1− p)
= 20> 5⎭⎪
30 30 30
0) = 0,5
3,46 3,46
El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Se empaquetan en cajas
de 80 unidades para distribuirlos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja
haya más de 10 pantalones defectuosos?
X B(
80; 0,07)
PX ( = ) = ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
30 1
0
⎜ 5 ⎞
⎜
0 6 ⎝⎜
6 ⎠⎟
= 0,0042
np = 56 , > 5 ⎫
⎬
⎪ → X B( 80;
0,07 ) ≈ N(
5,6; 2,28)
n( 1− p)
= 78, 4 > 5⎭⎪
PX P X −
( > ) = >
P(
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
10
5,6 10 5,6
Z > 1,93) = 1−P(
Z ≤ 1,93)
=
2,28 2,28
= 1−
0,9732 = 0,0268
0
30

054
055
SOLUCIONARIO
Se está experimentando una nueva
vacuna para la malaria que resulta efectiva
en el 60 % de los casos. Si se eligen al azar
45 personas, halla las siguientes
probabilidades.
a) La probabilidad de que en ese grupo
la vacuna sea efectiva en 27 personas.
b) La probabilidad de que sea efectiva
en un número de personas comprendido
entre 25 y 27, ambos inclusive.
c) La probabilidad de que resulte efectiva
en menos de 20 personas.
c) PX P
3,28 3,28
X ⎛ − − ⎞
( < ) = ⎜ <
P(
⎝⎜
⎠⎟
=
20
b)
25 − 27
P( 25 ≤ X ≤ 27)
= P ≤
3,28
X 27
3,28
27 27
3,28
27 20 27
Z 5 ⎫
⎬
⎪ → X B( 45; 0,6)
≈ N(
27;
3,28)
n( 1− p)
= 10,8 > 5⎭⎪
27
= P( − < Z < ) = PZ ( < 0,15) −( 1−
PZ ( < 0,15))
=
= 2⋅0,5596 − 1= 0,1192
Se estima que 1 de cada 8 españoles padece hipertensión. Si elegimos a 60 personas
al azar:
a) Determina la probabilidad de que en ese grupo haya exactamente 7 personas
hipertensas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de diez personas hipertensas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo tengan hipertensión 11 personas
o menos?
6,5 − 7,5 X 7,5
a) PX ( = ) = P( 6,5 < X < 7,5)
= P <
2,56 2,5
−
⎛
7,5 − 7,5 ⎞
7
⎜
<
⎝⎜
6 2,56 ⎠⎟
0,39
=
X B(
60; 0,125)
np = 7,5 > 5 ⎫
⎬
⎪ → X B(
60;
0,125)
≈ N( 7,5; 2,56)
n( 1− p)
= 6,56 > 5⎭⎪
= P( − < Z < 0 ) = P( Z < 0,39) − PZ ( < 0)
= 0,6517 − 0,5 = 0,1517
c)
7,5 7,5
PX P
2,56 2,56
X −
( ≤ ) = ≤ −
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
11
b)
7,5 7,5
PX P
2,56 2,56
11
PZ ( ≤ 1,36) = 0,9131
X −
( > ) = >
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
10
10
PZ ( > 0,97) = 1−PZ
( ≤ 0,97)
=
= 1−
0,834 = 0,166
12
483

484
Distribuciones binomial y normal
056
057
Las compañías de seguros han calculado que 1 de cada 5 vehículos tiene
un accidente al año. Si se toman al azar 40 vehículos, determina.
a) La probabilidad de que ese año 10 de ellos tengan un accidente.
b) La probabilidad que sean entre 10 y 12 vehículos, ambos números incluidos.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese año se accidenten más de 15 vehículos?
⎛ 9,5 − 8 X − 8 10,5 − ⎞
a) PX ( = 10)
= P( 9,5 < X < 10,5)
= P ⎜ < <
⎝⎜
2,53 2,53 2,53 ⎠⎟
0,59 0,98
=
X B(
40; 0,2)
np = 8> 5 ⎫
⎬
⎪ → X B( 40; 0,2) ≈ N(
8;
2,53)
n( 1− p)
= 6,4 > 5⎭⎪
8
= P( < Z < ) = P( Z < 0,98) − PZ ( < 0,59)
=
= 0,8365 − 0,7224 = 0,1141
b)
c)
⎛ 10 − 8 X − 8 12 − 8 ⎞
P( 10 ≤ X ≤ 12)
= P ⎜ ≤ ≤ = P( 0,79 ≤ Z ≤ 1,58)
=
⎝⎜
2,53 2,53 2,53 ⎠⎟
= PZ ( ≤158 , ) −PZ ( ≤ 0,79)
= 0,9429 − 0,7852 = 0,1577
PX P
2,53 2,53
X ⎛ − − ⎞
( > ) = ⎜ > = PZ ( >
⎝⎜
⎠⎟
15
8 15 8
2,76) = 1−PZ
( ≤ 2,76)
=
= 1−
0,9971= 0,0029
En un concurso dan a elegir una entre tres pruebas.
Si las probabilidades de encestar lanzando un tiro son
y las de acertar al blanco son , elige la prueba
en la que tengas más probabilidad de ganar.
• Lanzar 5 tiros a una canasta de baloncesto y encestar
2 por lo menos.
• Tirar 6 veces al blanco y acertar 3 como mínimo.
• Tirar 2 veces a canasta y hacer 1 tiro al blanco.
Para superar la prueba se debe conseguir 1 canasta
por lo menos y dar en el blanco.
En la primera prueba:
En la segunda prueba:
PY ( ≥ 3) = 1− P( Y< 3)= 1− ( PY ( = 0) + PY ( = 1) + PY ( = 2))
=
= 1− ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
0
6 1 ⎞
⎜ 2
⎜
0 ⎝⎜
⎠
⎟
3 3 ⎟ −⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
6 1
6 1 ⎞
⎜ 2
⎜
⎟ ⎞
−⎛⎜
1 3 ⎝⎜
3 ⎠⎟
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
5 2
6 1 ⎞
⎜ 2
⎜
2 3 ⎝⎜
3 ⎠⎟
=
Y B 6
4
= 1−0,0878 −0,2634 − 0,3292 = 0,3196
1
PX ( ≥ ) = − P( X < )= − ( PX ( = ) + PX ( = )) =
= −
⎛ ⎞
⎜ ;
⎝⎜
3 ⎠⎟
⎛
2 1 2 1 0 1
⎜5⎞
1
⎜
⎝0⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
−⎛
0 5
1 4 5⎞
⎜
5 5 ⎝⎜
1⎠⎟
⋅⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅⎛
X B 5
1 4
1 ⎞
⎜ 4
⎜ = 1−0,3277
− 0,4096 = 0,2627
5 ⎝⎜
5 ⎠⎟
1
1
1
5
3
⎛ ⎞
⎜ ;
⎝⎜
5 ⎠⎟

058
059
En la tercera prueba:
PZ ( ≥ ) = − PZ ( < ) = − PZ ( = ) = − ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅
2 ⎛ 1 ⎞
1 1 1 1 0 1 ⎜
0 ⎝⎜
5 ⎠⎟
⋅⎛
Z B 2
0 2
⎞
⎜ 4
⎜ = 1− 0,64 = 0,36
⎝⎜
5 ⎠⎟
1 ⎛ ⎞
⎜ ;
⎝⎜
5 ⎠⎟
1
La probabilidad de ganar es: 0,36 ⋅ = 0,12
3
Por tanto, hay más probabilidad de ganar la segunda prueba.
Solo el 10 % de los boletos de una tómbola tienen premio. ¿Qué es más fácil,
tener dos premios comprando 10 boletos o conseguir un premio comprando
3 boletos?
Si se compran 10 boletos: PX ( = ) = ,
⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
2
10 2 8 01 0,9 0,1937
2
Si se compran 3 boletos: PX ( = ) = ,
Así, es más probable conseguir un premio comprando 3 boletos.
⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
1
3 1 2 0 0,9 0,243
1
La talla media del pie de los bomberos que ingresaron en el cuerpo el año pasado
era 42, con una desviación típica de 1,4. Este año ingresarán 40.000 personas
en el cuerpo de bomberos.
a) Determina el número aproximado de los bomberos que tendrán una talla media
del pie de 44 o 45.
b) Calcula el número de botas del número 38 que debería encargar el cuerpo
de bomberos.
(Consideramos que un pie tiene talla 40 cuando le correspondería un tallaje
comprendido en [39,5; 40,5). Por ejemplo, si a una persona le corresponde
una talla de 36,7; diremos que su tallaje es 37. Y si es 38,4; diremos que su tallaje
es 38.)
X N(
42; 1,4)
43, 5 − 42 X 42 45, 5 4
a) P( 43, 5 ≤ X < 45, 5)
= P ≤
14 , 14 ,
−
⎛
− 2 ⎞
⎜
<
⎝⎜
14 , ⎠⎟
( 107 , 25 , ) ( 25 , ) (
=
= P ≤ Z< = PZ< −PZ≤
107 , ) =
= 0,9938 − 0,8577 = 0,1361
0,1361 ⋅ 40.000 = 5.444 bomberos
37, 5 − 42 X 42 38, 5 4
b) P( 37, 5 ≤ X < 38, 5)
= P ≤
14 , 14 ,
−
⎛
− 2 ⎞
⎜
<
⎝⎜
14 , ⎠⎟
( 321 , 25 , ) ( 321 , )
=
= P− ≤ Z

486
Distribuciones binomial y normal
060
061
La distribución de edades de los miembros de una asociación sigue una ley normal
N(μ, σ). Sabiendo que el 94,52 % tiene menos de 32 años, y un 21,19 % tiene menos
de 20 años, calcula su media y su desviación típica.
PX P
32 − μ = 1, 6σ
⎫ 24
⎬
⎪ μ =
20 − μ =−0,
8σ⎭⎪σ=
5
X ⎛
( < ) = ⎜ − μ 20 − μ ⎞ ⎛
⎜ < = P⎜ 20 − μ ⎞
20
Z <
⎝⎜
⎠⎟
⎜
σ σ ⎝⎜
σ ⎠⎟
=
5 ⎫
⎬
⎪ → X B(
100;
0,375)
≈ N( 37,5; 4,84)
n( 1− p)
= 62,5 > 5⎭⎪
= P( − < Z < − 0,41) = PZ ( < 0,62) − PZ ( < 0,41)
=
= 0,7324 − 0,6591=
0, 0733
c)
35 − 37,5 X 37,5 39 37,
P( 35 < X < 39)
= P <
4,84 4,84
−
⎛
− 5 ⎞
⎜
<
⎝⎜
4,84 ⎠⎟
0,51 0,31 0,31
=
= P( − < Z < ) = P( Z < ) −( 1−
PZ ( < 0,51))
=
= 0,6217 − 1+
0,695 = 0,3167
d) P(3 hijas) = 0,5 3 = 0,125
− X
PX ( = ) = P( < X < ) = P
< −
⎛ 11,5 12,5 12,5 12,5 −12,5
⎞
12 11,5 12,5 ⎜
<
⎝⎜
0,33 0,33 0,33 ⎠⎟
=
X B(
100; 0,125)
np = 12,5 > 5 ⎫
⎬
⎪ → X B(
100;
0,125)
≈ N( 12,5; 0,33)
n( 1− p)
= 87,5 > 5⎭⎪
= P( − 3< Z < 0) = PZ ( < 3) − PZ ( < 0) = 0,9987 − 0,5 = 0,4987

062
063
En un instituto se han comprado 150 ordenadores para 4 aulas de informática.
La duración de la batería permite tener una media de trabajo de 180 minutos,
con una desviación típica de 25 minutos.
a) Calcula la probabilidad de que la batería de uno de los ordenadores solo dure
dos horas.
b) ¿Cuántos ordenadores tendrán una batería cuya carga dure más de 200 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que 110 de esos ordenadores sigan trabajando
a los 180 minutos?
PX P X ⎛ − − ⎞
( ≤ ) = ⎜ ≤
= P Z ≤−
⎝⎜
⎠⎟
120
a) X N(
180, 25)
180 120 180
( 24 , )= 1− P( Z < 24 , )=
25 25
= 1−
0,9918 = 0,0082
b) PX P X ⎛ − − ⎞
( > ) = ⎜ >
P Z
⎝⎜
⎠⎟
=
200
180 200 180
( > 08 , )= 1−P( Z ≤ 08 , )=
25 25
= 1−
0,7881= 0,2119
Como 0,2119 ⋅ 150 = 31,785; en 31 ordenadores la carga de la batería durará
más de 200 minutos.
c) PX P X ⎛ − − ⎞
( ≥ ) = ⎜ ≥
P Z
⎝⎜
⎠⎟
=
180
180 180 180
( ≥ 0)= 1− P( Z < 0)= 1− 0, 5= 0, 5
25 25
Y B(
150; 0,5)
SOLUCIONARIO
⎛ 109, 5 − 75 Y − 75 110, 5 − 75 ⎞
PY ( = 110) = P( 109, 5 < Y< 110, 5)
= P ⎜ < <
⎝⎜
612 , 612 , 612 , ⎠⎟
( 562 , 5,
=
np = 75 > 5 ⎫
⎬
⎪ → Y B( 150; 0,5 ) ≈ N(
75;
612 , )
n( 1− p)
= 75> 5⎭⎪
= P < Z < 8) = PZ ( < 5, 8) − PZ ( < 5, 62) = 1− 1= 0
La estatura de los 1.200 alumnos de un colegio sigue una distribución normal,
de media 156 cm y desviación típica 9 cm.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar mida más
de 180 cm?
b) ¿Cuántos estudiantes debemos esperar que midan entre 140 y 170 cm?
12
487

488
Distribuciones binomial y normal
064
c) Busca un intervalo de alturas que contenga el 90 % de los alumnos y que
sea el mínimo posible.
d) Si elijo 10 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 6 de ellos midan
más de 165 cm?
e) Si elijo 40 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 10
que midan más de 165 cm?
Como 0,9031 ⋅ 1.200 = 1.083, hay 1.083 estudiantes que miden entre 140
y 170 cm.
c)
156 − a−156 P( 156 − a < X < 156 + a) = P
<
9
X 156
9
156 a
−
⎛
⎜
⎝⎜
+ − ⎞
<
⎠⎟
=
156
9
⎛
= ⎜ a
a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ ⎛ a ⎞⎞
P⎜−
< Z < = P⎜Z < 1 P Z
⎝⎜
9 9⎠⎟
⎜ −⎜− ⎜ <
⎝⎜
9 ⎠⎟
⎜ ⎜
⎝⎜
⎝⎜
9 ⎠⎟
⎠⎟
=
b)
140 −156
156 170 156
( 140 < < 170)
=
<
9
9
9
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= 2 ⎜ a
P⎜Z < − 1= 09 P⎜ a
, → <
⎝⎜
⎠⎟
⎜Z
⎟ = 095 , →
9
⎝⎜
9 ⎠⎟
a
9
= 165 ,
→ a = 14, 85 → ( 141, 15; 170, 85)
es el intervalo de alturas.
−
⎛
⎜
X
− ⎞
X P⎜
<
⎜⎝
⎠⎟
=
a) PX P
= P( − 178 , < Z < 156 , ) = P( Z < 156 , )−( 1− P( Z < 178 , )) =
= 0, 9406 − 1+ 0, 9625 = 0, 9031
X ⎛ − − ⎞
( > ) = ⎜ >
= P Z >
⎝⎜
⎠⎟
180
156 180 156
( 2, 67)= 1−P( Z ≤ 2, 67)=
9
9
= 1−
0,9962 = 0,0038
d) PX P X ⎛ − − ⎞
( > ) = ⎜ >
= P Z >
⎝⎜
⎠⎟
165
156 165 156
( 1)=
1−P( Z ≤1)=
9
9
= 1− 0, 8413 = 0, 1587
PY ( = ) = , , ,
⎛ ⎞
⎜ ⋅
⎝⎜
⎠⎟
⋅ =
6
Y B(
10; 0,1587)
10
0 1587
6
0 8413 0 001
6 4 7
e) Y' B(
40; 0, 1587)
np = 6, 348 > 5 ⎫
⎬
⎪ → Y B(
40; 0, 1587)
≈ N(
6, 348; 2, 31)
n( 1− p)
= 33, 652 > 5⎭⎪
PY P Y'
− ,
,
( ' > ) =
>
,
,
−
⎛
⎜ 6 348 10 6 348 ⎞
10 ⎜
⎟ = P >
⎝⎜
231 231 ⎟ ( Z 158 , )= 1−P( Z ≤158
, )=
⎠
= 1− 0, 719 = 0, 281
El peso de los recién nacidos se distribuye según una distribución normal
de media μ y desviación típica σ. Si los últimos datos publicados aseguran
que los percentiles 75 y 90 de esta distribución son 3,2 y 3,5 kg,
respectivamente:
a) Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,5 kg.
b) Halla la probabilidad de que un recién nacido pese más de 4 kg.
c) ¿Cuál es el percentil 10?
d) Determina la mediana de la distribución.

065
a) PX P X
PX P
32 , − μ = 068 , σ⎫286
,
⎬
⎪ μ =
35 , − μ = 129 , σ⎭⎪σ=
049 ,
⎛ − , , − , ⎞
( < 25 , ) = ⎜ 286 25 286
⎜ < ⎟ = P ) =
>
,
,
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
4
286 4 2 86
P( Z > 232 , )= 1−P( Z ≤ 232 , ) =
049 049
= 1− 0, 9898 = 0, 0102
X − , a ,
c) PX ( < a) = , P <
,
,
−
⎛
⎜ 286 286⎞
⎜
⎟
⎛ − ⎞
01→
= ⎜ <
⎝⎜
049 049 ⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
≤− −
a 286 ,
P Z
01 ,
049 ,
⎛ a 28 , 6 ⎞
→ P⎜ a − 286 ,
⎜Z
= 09 , →− = 129 , → a = 2,
23
⎝⎜
049 , ⎠⎟
049 ,
d)
X − , M ,
PX ( ≤ M) = , P ≤
,
,
−
⎛
⎜ 286 286⎞
⎜
⎟
⎛ − ⎞
05→
= ⎜ ≤
⎝⎜
049 049 ⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
M 286 ,
P Z
05 ,
049 ,
→
M − 286 ,
04 , 9
= 0 → M = 2, 86
El sueldo de los trabajadores de una empresa sigue una distribución normal
de media 1.500 €. Si el sueldo de un técnico de categoría 3 es de 960 €,
y el 75 % de los trabajadores de la empresa cobra más que él:
a) Calcula la probabilidad de que el sueldo de un empleado escogido al azar
sea superior a 1.600 €.
b) El sueldo más elevado es el de los directivos. Si estos representan el 5 %
de los empleados de la empresa, ¿cuál es su sueldo mínimo?
PX P X ⎛ − . − .
( > ) = , ⎜ 1 500 960 1 500 ⎞ ⎛ ⎞
960 0 75 → ⎜ >
⎟ = ⎜ >−
⎝⎜
σ σ ⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
540
P Z
σ
⎛ ⎞
= ⎜ 540
540
P⎜Z < = 075 , → = 068 , → σ = 794,12
⎝⎜
σ ⎠⎟
σ
a) PX P X ⎛ −1.
500 1. 600 −1.
500 ⎞
( > 1. 600)
= ⎜ >
= P 013 1 013
⎝⎜
794, 12 794, 12 ⎠⎟
( Z > , )= −P( Z ≤ , ) =
= 1−0, 5517
= 0, 4483
b)
X − . a .
PX ( ≥ a) = , P ≥
,
,
−
⎛ 1 500 1 500 ⎞ ⎛
005→
⎜
− ⎞
⎜
= ⎜ ≥
⎝⎜
794 12 794 12 ⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
a 1. 500
P Z
00 , 5
794, 12
a 1 500
→ P Z < 095→
794 12
a 1 500
− ⎛
⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
.
,
,
− .
794, 12
= 1, 65 → a = 2. 810, 29
El sueldo mínimo de los directivos es de 2.810,29 euros.
SOLUCIONARIO
12
489

490
Distribuciones binomial y normal
066
067
068
PARA FINALIZAR…
El barquillero del parque entrega en cada tirada los barquillos
que indica el número en que se para la flecha.
Si cada barquillo le cuesta 3 céntimos y cobra 20 céntimos
por 3 tiradas. ¿Cuánto dinero, por término medio,
ganará después de 100 tiradas?
N.º de barquillos f i h i
0 2
2
12
1 4
4
12
2 3
3
12
3 2
2
12
4 1
1
12
12 1
Media de barquillos:
2
x = 0 + 1 + + + =
12
4 3 2 1
⋅ ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅
12 12 12 12
= + + + 4 6 6 4 20 5
= =
12 12 3
Por término medio en cada tirada gana:
5
20 − − 3= 15céntimos
3
En 100 tiradas:
100 ⋅ 15 = 1.500 céntimos = 15,00 €
La probabilidad de que un reloj sea defectuoso es del 4 %. Halla.
a) El número de relojes defectuosos que se estima en un lote de 1.000.
b) La probabilidad de menos de 10 defectuosos.
a) μ=1.000 ⋅ 0,04 = 40 relojes
b) B(1.000; 0,04) N(40; 6,19)
X −
PX ( < ) = <
P Z
, ,
−
⎛
⎞
⎜
=
005 ,
⎝⎜
σ σ ⎠⎟
⎜
⎝⎜
⎠⎟
28, 6
=
μ
σ
⎛
⎜ − μ ⎞
→ P⎜Z ≤ ⎟
⎝⎜
σ ⎠⎟
= 095 , →
28, 6 − μ
σ
= 165 , → 286 , − μ = 165 , σ
1
3
4
2
1
0
0
1
2
2
3
1

069
070
Las bolas para rodamiento se someten a un control de calidad consistente
en eliminar las que pasan por un orificio de diámetro d y, también, las que no pasan
por otro orificio de diámetro D, con d < D.
Calcula la probabilidad de eliminar una bola, sabiendo que la medida de sus
diámetros sigue una distribución normal de parámetros: .
D d D d
X − d
PX ( < d) + PX ( > D) = P
( D d)
( D d
+
− <
− +
⎛
⎞
⎜
2 2
⎜
⎝⎜
0,3 0,3 − ) ⎠⎟
( )
+
− +
− >
D d
X D −
P
D d
D
⎛
+ ⎞
⎜
2
⎜
⎝⎜
0,3
− ⎠⎟
=
d
2
03 , ( D d)
⎛ d−D ⎞ ⎛
⎜
D−d ⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
2
= P
⎜
⎜
⎜
⎜Z
< + P
⎜
2
Z >
⎝⎜
0,3 ( D−d) ⎠⎟
⎜
⎝⎜
0,3 ( D − d)
⎠⎟
P Z
,
=
⎛
= ⎜ 1 ⎞
⎜
⎡ D+ d ⎤
N ⎢ ; 03 , ( D−d) ⎥
⎣
⎢ 2
⎦
⎥
⎛ ⎞
P⎜ 1
⎜Z
= PZ ( 167 , )=
⎝⎜
06 , ⎠⎟
= 2PZ ( > 1, 67) = 2( 1− 0, 9525) = 0, 095
Una máquina tiene 800 componentes y la probabilidad de que, en un tiempo
determinado, falle uno de ellos es 2 ⋅ 10−4 . Calcula la probabilidad
de que en ese tiempo:
a) Falle al menos 1 componente.
b) Fallen exactamente 2 componentes.
c) Fallen, como máximo, 2 componentes.
d) Calcula la media y la desviación típica de la distribución.
X B(
800; 0,0002)
800 ⋅ 0,0002 = 0,16 < 5 → No se puede aproximar con una distribución normal.
a) PX ( ≥ ) = − PX ( < ) = − PX ( = ) = − ⎛
⎜800⎞
0 800
1 1 1 1 0 1
⎝⎜
0 ⎠⎟
⋅0, 0002 ⋅ 0, 9998 =
⎟
= 1−0, 8521≃
0,1479
b) PX ( = ) = , ,
⎛ ⎞
⎜ ⋅ ⋅ =
⎝⎜
⎠⎟
2
800
2 798 −8 0 0002 0 9998 319. 600 ⋅ 4 ⋅10 ⋅0,8724
≃ 0, 001
2
c) PX ( ≤ ) = PX ( = ) + PX ( = ) + PX ( = ) = ⎛
⎜800⎞
2 0 1 2
⎝⎜
⎟⋅
⋅ +
0 ⎠⎟
+ ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
⋅
0 800
0, 0002 0, 9998
800
1 799 800
2
000 , 02 ⋅ 0 9998 + 0 0002 0 99
1
2
⎛ ⎞
⎜
798 , ⋅ , ⋅ , 98 =
⎝⎜
⎠⎟
−8 = 0, 8521+ 800 ⋅0, 0002 ⋅ 0, 8523 + 319. 600 ⋅ 4 ⋅10
⋅ 0, 8224 ≃ 0, 9894
d) μ = 800 ⋅ 0,0002 = 0, 16
σ = 800 ⋅0, 0002 ⋅ 0, 9998 = 0, 39
SOLUCIONARIO
12
491

Tablas de distribución

494
Tabla de distribución binomial B(n, p)
P(X = r) = n
r pr (1 −p) n−r
n r 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
1 0
1
2 0
1
2
3 0
1
2
3
4 0
1
2
3
4
5 0
1
2
3
4
5
6 0
1
2
3
4
5
6
7 0
1
2
3
4
5
6
7
8 0
1
2
3
4
5
6
7
8
p
0,9500 0,9000 0,8500 0,8001 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000
0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4001 0,4500 0,5000
0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500
0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000
0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500
0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250
0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750
0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750
0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250
0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625
0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500
0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750
0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,2500
0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625
0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0312
0,2036 0,3280 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,1562
0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125
0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125
0,0000 0,0004 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,1562
0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0312
0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156
0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,0938
0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,2344
0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,3125
0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,2344
0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,0938
0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083 0,0156
0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078
0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,0547
0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,1641
0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,2734
0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,2734
0,0000 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,1641
0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0084 0,0172 0,0320 0,0547
0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0078
0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039
0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,0312
0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,1094
0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2787 0,2568 0,2188
0,0004 0,0046 0,0815 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,2734
0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,2188
0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,1094
0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0312
0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039

Tabla de distribución normal N(0, 1)
F(a) = P(Z ≤ a)
−
F(a)
0
a 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
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Dirección de arte: José Crespo
Proyecto gráfico:
Portada: Carrió/Sánchez/Lacasta
Interiores: Manuel García, Rosa Barriga
Ilustración: Enrique Cordero, José María Valera
Jefa de proyecto: Rosa Marín
Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera
Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda
Desarrollo gráfico: Rosa María Barriga, José Luis García, Raúl de Andrés
Dirección técnica: Ángel García Encinar
Coordinación técnica: Félix Rotella
Confección y montaje: MonoComp, S. A.
Corrección: Marta Rubio, Gerardo Z. García
Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas
Fotografías: A. Toril; E. Marín; F. de Madariaga; F. Ontañón; I. Rovira; J. I. Medina;
J. Jaime; J. Lucas; J. V. Resino; M.ª A. Ferrándiz; Prats i Camps; S. Cid;
S. Enríquez; S. Padura; A. G. E. FOTOSTOCK/Maarten Udema; COMSTOCK;
COVER/SYGMA / KEYSTONE; COVER/Oronoz; DIGITALVISION;
EFE/Bernardo Rodríguez, EPA/Peter Kneffel, EPA/Armin Weigel, A. Estévez;
EFE/SIPA-PRESS/J. Sommers; FOTONONSTOP; GETTY IMAGES SALES
SPAIN/The Bridgeman Art Library, David Young-Wolff, Stone/Ryan McVay;
HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES;
PHOTODISC; STOCKBYTE; MATTON-BILD; Olympus Optical España, S. A.;
SERIDEC PHOTOIMAGENES CD/Image Source Limited; ARCHIVO SANTILLANA
© 2008 by Santillana Educación, S. L.
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PRINTED IN SPAIN
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ISBN: 978-84-294-4360-8
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