Ejercicios resueltos de C´ALCULO
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<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong><br />
CÁLCULO<br />
Agustín Valver<strong>de</strong> Ramos<br />
***** BORRADOR *****<br />
Editado electrónicamente por Agustín Valver<strong>de</strong>
c○ Agustín Valver<strong>de</strong> Ramos<br />
Dpto. <strong>de</strong> Matemática Aplicada<br />
Escuela Técnica Superior <strong>de</strong> Ingeniería Informática<br />
Universidad <strong>de</strong> Málaga<br />
Bvd. Louis Pasteur, s/n (Campus <strong>de</strong> Teatinos)<br />
29071 Málaga
Introducción<br />
Notación <strong>de</strong> ejercicios: cap.ej(apart) o cap.ej o ej(apart) o ej<br />
iii
Índice general<br />
1. El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 1<br />
2. Sucesiones y series numéricas 27<br />
3. Sucesiones y series funcionales 110<br />
4. El espacio métrico R n .<br />
Curvas parametrizadas 156<br />
5. Cálculo en varias variables 236<br />
iv
6. Optimización no-lineal 279<br />
7. Integración 339<br />
8. Ecuaciones diferenciales ordinarias 577<br />
v
Capítulo 1<br />
El cuerpo <strong>de</strong> los<br />
números complejos<br />
1
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 2<br />
Problema 1 Hallar el módulo y el argumento <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los siguientes números:<br />
3 + 4i; (3 + 4i) −1 ; (1 + i) 5 ;<br />
7√ 3 + 4i; |3 + 4i|<br />
Recor<strong>de</strong>mos que el recorrido consi<strong>de</strong>rado para la función arc tg es (−π/2, π/2); a<strong>de</strong>más, esta función es<br />
impar y verifica la siguiente igualdad:<br />
✎ |3 + 4i| = √ 3 2 + 4 2 = 5<br />
arg(3 + 4i) = arc tg 4/3<br />
✎ Utilizamos el apartado anterior:<br />
|(3 + 4i) −1 | = |3 + 4i| −1 = 1/5<br />
arc tg x + arc tg 1<br />
x<br />
arg((3 + 4i) −1 ) = − arg(3 + 4i) = − arc tg 4/3<br />
✎ Resolvemos este apartado <strong>de</strong> una forma alternativa utilizando la notación <strong>de</strong> Euler y la fórmula <strong>de</strong><br />
Moivre<br />
= π<br />
2<br />
(1 + i) 5 = ( √ 2( 1 √ +<br />
2 1<br />
√ i))<br />
2 5 = ( √ 2(cos π π<br />
+ i sen<br />
4 4 ))5 = 4 √ 2(cos 5π 5π<br />
+ i sen<br />
4 4 )<br />
Por tanto, |(1 + i) 5 | = 4 √ 2 y arg(1 + i) 5 = 5π<br />
4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 3<br />
✎ Dado que |3 + 4i| = 5, | 7√ 3 + 4i| = 7√ 5. Por otra parte, un número complejo tiene n raíces n−ésimas<br />
distintas cuyos módulos coinci<strong>de</strong>n; si α = arc tg 4 es el argumento <strong>de</strong> 3 + 4i, entonces los argumentos<br />
3<br />
πk para k = 0, 1, . . . , 6.<br />
<strong>de</strong> las 7 raíces septimas son 1 2<br />
α + 7 7<br />
✎ Dado que |3 + 4i| = 5 es un número real positivo, coinci<strong>de</strong> con su valor absoluto y su argumento es 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 4<br />
Problema 2 Expresar cada uno <strong>de</strong> los siguientes números complejos en la forma “a + bi”:<br />
e πi/2 ; 2e −πi/2 ; 3e πi ; −e −πi ; i + e 2πi ; e πi/4 ; e πi/4 − e −πi/4 ;<br />
✎ eπi/2 = cos π<br />
π + i sen 2 2<br />
✎ 2e −πi/2 = −2i.<br />
✎ 3e πi = −3.<br />
✎ −e −πi = 1.<br />
✎ i + e 2πi = i + 1.<br />
✎ e πi/4 = 1<br />
√ 2 + i 1<br />
√ 2 .<br />
= i.<br />
✎ e πi/4 − e −πi/4 = 2iIm(e πi/4 ) = 2i sen π/4 = 2i 1 √ 2 = i √ 2<br />
✎<br />
1 − eπi/2 1 − i<br />
πi/2 =<br />
1 + e 1 + i<br />
= 1<br />
2 (1 − i)2 = −i<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 − e πi/2<br />
1 + e πi/2
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 5<br />
Problema 3 En cada caso, hallar todos los valores <strong>de</strong> x e y que satisfacen la relación dada:<br />
x + iy = xe iy ; x + iy = ye ix ; e x+iy = −1;<br />
1 + i<br />
1 − i<br />
= xeiy<br />
✎ x + iy = xe iy :<br />
Si x = 0, entonces y = 0; si x = 0, y dado que xe iy = x cos y + ix sen y, <strong>de</strong>be ocurrir que cos y = 1 y,<br />
en tal caso, sen y = 0 e y = x sen y = 0. Por tanto, las soluciones son todos los complejos con parte<br />
imaginaria nula.<br />
✎ x + iy = ye ix : Si y = 0, entonces x = 0; si y = 0, y dado que ye ix = y cos x + iy sen x, <strong>de</strong>be ocurrir<br />
que sen x = 1 y en tal caso cos x = 0 y x = y cos x = 0; finalmente, dado que la igualdad y = iy no es<br />
posible para ningún y = 0, <strong>de</strong>ducimos que la única solución es (0, 0).<br />
✎ Dado que −1 = e iπ , las soluciones <strong>de</strong> la ecuación e x+iy = −1 son: x = 0 e y = π + 2kπ<br />
✎ Dado que<br />
1 + i<br />
1 − i = i = eiπ/2 , las soluciones <strong>de</strong> la ecuación<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 + i<br />
1 − i = xeiy son: x = 1 e y = π<br />
+ 2kπ 2
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 6<br />
Problema 4 Resolver las ecuaciones siguientes:<br />
1. x 2 + ix + 1 = 0; 2. x 4 + x 2 + 1 = 0; 3. x 3 − x 2 − x − 2 = 0; 4.<br />
⎧<br />
⎨<br />
ix − (1 + i)y = 3<br />
⎩(2<br />
+ i)x + iy = 4<br />
1. x 2 + ix + 1 = 0 ⇐⇒ x = 1<br />
2 (−i ± √ −1 − 4)<br />
Por tanto, las dos soluciones <strong>de</strong> la ecuación son x1 = 1<br />
2 (√ 5 − 1)i y x2 = − 1<br />
2 (√ 5 + 1)i.<br />
2. Esta es una ecuación bicuadrada:<br />
x 4 + x 2 + 1 = 0 ⇐⇒ x 2 = 1<br />
2 (−1 ± √ 1 − 4) = 1<br />
2 (−1 ± i√ 3)<br />
Por tanto, las dos soluciones <strong>de</strong> la ecuación en x 2 son:<br />
y1 = 1<br />
2 (−1 + i√3) = cos 2π 2π<br />
+ i sen<br />
3 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
y2 = 1<br />
2 (−1 − i√3) = cos 4π 4π<br />
+ i sen<br />
3 3
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 7<br />
Las cuatro soluciones <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong>l enunciado son las dos raíces cuadradas <strong>de</strong> y1 y las dos <strong>de</strong> y2:<br />
x1 = cos π π<br />
+ i sen<br />
3 3<br />
x2 = cos 4π<br />
3<br />
x3 = cos 2π<br />
3<br />
x4 = cos 5π<br />
3<br />
+ i sen 4π<br />
3<br />
+ i sen 2π<br />
3<br />
+ i sen 5π<br />
3<br />
= 1<br />
2 (1 + i√ 3)<br />
= −1<br />
2 (1 + i√ 3)<br />
= 1<br />
2 (−1 + i√ 3)<br />
= 1<br />
2 (1 − i√ 3)<br />
3. Dado que el polinomio x 3 − x 2 − x − 2 tiene grado impar, al menos una <strong>de</strong> las tres soluciones es real;<br />
comprobando los divisores <strong>de</strong>l término in<strong>de</strong>pendiente, encontramos que 2 es esta solución; las otras<br />
dos, son las soluciones <strong>de</strong> la ecuación x 2 + x + 1 = 0 que hemos resuelto en el apartado anterior. Las<br />
tres soluciones son:<br />
x1 = 2 x2 = 1<br />
2 (−1 + i√ 3) x3 = 1<br />
2 (−1 − i√ 3)<br />
4. Aplicamos el método <strong>de</strong> reducción o método <strong>de</strong> Gauss:<br />
<br />
ix − (1 + i)y = 3<br />
(2 + i)x + iy = 4<br />
⇐⇒<br />
⎧<br />
⎨ ix − (1 + i)y = 3<br />
⎩ ix + i2<br />
⎫<br />
⎬<br />
4i<br />
y = ⎭<br />
2 + i 2 + i<br />
⇐⇒<br />
Por tanto, y =<br />
i − 6<br />
3i<br />
1<br />
3 + (1 + i)y<br />
= + 2i y x = 3 i<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= − 1(5<br />
+ 7i).<br />
3<br />
⎧<br />
⎫<br />
⎨ ix − (1 + i)y = 3⎬<br />
⎩<br />
3i i − 6<br />
y = ⎭<br />
2 + i 2 + i
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 8<br />
Problema 5 Hallar todas las raíces cuartas <strong>de</strong> i en la forma “a + bi” sin hacer intervenir ninguna función<br />
trigonométrica.<br />
<br />
π 2π<br />
Las cuatro raíces cuartas <strong>de</strong> i son: zk = exp +<br />
2 · 4 4 k<br />
<br />
, k = 0, 1, 2, 3:<br />
z1 = cos π<br />
π + i sen 8 8 ; z2 = cos 5π<br />
5π + i sen 8 8 ; z3 = cos 9π<br />
9π + i sen 8 8 ; z4 = cos 13π<br />
13π + i sen 8 8<br />
Las siguientes igualda<strong>de</strong>s permiten el cálculo exacto <strong>de</strong> estas raíces:<br />
cos π<br />
8<br />
1 π = cos 2 4 =<br />
Por tanto, las raíces son:<br />
1<br />
2<br />
z1 = cos π<br />
π<br />
+ i sen 8 8 =<br />
z2 = cos 5π<br />
8<br />
z3 = cos 9π<br />
8<br />
z4 = cos 13π<br />
8<br />
<br />
π 1 + cos = 4<br />
√ 2+ √ 2<br />
√ √ √ √<br />
2+ 2 2− 2<br />
+ i 2 √ 2<br />
√ √ √<br />
5π 2+ 2 2− 2<br />
+ i sen = − + i<br />
8 √ 2<br />
2<br />
√ √ √<br />
9π 2+ 2 2− 2<br />
+ i sen = − − i<br />
8 2<br />
2<br />
13π + i sen 8 =<br />
√ √ √ √<br />
2+ 2 2− 2<br />
− i 2<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
sen π<br />
8<br />
1 π = sen 2 4 =<br />
z3<br />
1<br />
2<br />
z2<br />
<br />
√ √<br />
π 2− 2<br />
1 − cos = 4 2<br />
Im<br />
i<br />
z4<br />
z1<br />
π 8<br />
Re
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 9<br />
Problema 6 Expresar los números complejos siguientes en la forma “a + bi”:<br />
(1 + i) 2 ; 1/i; 1/(1 + i); (2 + 3i)(3 − 4i); (1 + i)/(1 − 2i); i 5 + i 16 ;<br />
✎ (1 + i) 2 = 1 + 2i − 1 = 2i.<br />
✎ 1<br />
i<br />
✎ 1<br />
1 + i<br />
= i<br />
i 2 = −i.<br />
= 1 − i<br />
1 + 1<br />
1 1<br />
= −<br />
2 2 i.<br />
✎ (2 + 3i)(3 − 4i) = 6 − 12i 2 + i = 18 + i.<br />
✎<br />
1 + i<br />
1 − 2i<br />
= 1<br />
5<br />
1<br />
(1 + i)(1 + 2i) = (−1 + 3i).<br />
5<br />
✎ i 5 + i 16 = (−1) 2 i + (−1) 8 = i + 1.<br />
✎ 1<br />
2 (1 + i)(1 + i−8 ) = 1<br />
(1 + i)(1 + 1) = 1 + i.<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
2 (1 + i)(1 + i−8 )
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 10<br />
Problema 7 Simplificar la siguiente expresión para cada n ∈ N<br />
1 + i + i 2 + · · · + i n<br />
Para simplificarla, vamos a multiplicar y dividir por (1 − i):<br />
1 + i + i 2 + · · · + i n = (1 + i + i2 + · · · + i n )(1 − i)<br />
1 − i<br />
= 1 + i + i2 + · · · + i n − i − i 2 − · · · − i n − i n+1<br />
1 − i<br />
Por lo tanto, esta expresión <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la congruencia <strong>de</strong> n módulo 4:<br />
Si n = 4k, 1 + i + i 2 + · · · + i n =<br />
Si n = 4k + 1, 1 + i + i 2 + · · · + i n =<br />
Si n = 4k + 2, 1 + i + i 2 + · · · + i n =<br />
Si n = 4k + 3, 1 + i + i 2 + · · · + i n =<br />
1 − i4k+1<br />
1 − i<br />
1 − i4k+2<br />
1 − i<br />
1 − i4k+3<br />
1 − i<br />
1 − i4k+4<br />
1 − i<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 1 − i<br />
1 − i<br />
= 1 + 1<br />
1 − i<br />
= 1 + i<br />
1 − i<br />
= 1 − 1<br />
1 − i<br />
= 1<br />
= 1 + i<br />
= i<br />
= 0<br />
= 1 − in+1<br />
1 − i
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 11<br />
Problema 8 Representar el conjunto <strong>de</strong> todos los complejos z que satisfacen cada una <strong>de</strong> las condiciones<br />
siguientes:<br />
1. |2z + 3| < 1; 2. |z + 1| < |z − 1|; 3. |z − i| ≤ |z + i|; 4. |z| ≤ |2z + 1|<br />
Las representación <strong>de</strong> los lugares geométricos <strong>de</strong>terminados por las inecuaciones es la siguiente:<br />
Im<br />
1<br />
3/2<br />
Re<br />
Im<br />
Re<br />
|2z + 3| < 1 |z + 1| < |z − 1| |z + i | ≥ |z − i |<br />
|z| ≥ |2z − 1|<br />
1. |2z + 3| < 1 ⇐⇒ <br />
3<br />
z + 1<br />
< 2 2 : interior <strong>de</strong> la circunferencia <strong>de</strong> radio 1/2 y centro en ( 3/2, 0).<br />
Recor<strong>de</strong>mos que los números complejos que verifican |z| = r son los situados en la circunferencia <strong>de</strong><br />
radio r centrada en el origen; los que verifican |z| < r correspon<strong>de</strong>n al interior <strong>de</strong> esta circunferencia.<br />
En general, los números z que verifican |z − z0| = r son los situados en la circunferencia <strong>de</strong> radio r y<br />
centro en z0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Im<br />
Re<br />
Im<br />
1/3<br />
2/3<br />
Re
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 12<br />
2. Consi<strong>de</strong>rando z = x + iy, tenemos<br />
3. Consi<strong>de</strong>rando z = x + iy, tenemos<br />
4. Consi<strong>de</strong>rando z = x + yi, tenemos:<br />
|z + 1| < |z − 1| ⇐⇒ (x + 1) 2 + y 2 < (x − 1) 2 + y 2<br />
⇐⇒ x 2 + 2x + 1 < x 2 − 2x + 1<br />
⇐⇒ 4x < 0 ⇐⇒ x < 0<br />
|z − i| ≥ |z + i| ⇐⇒ x 2 + (y − 1) 2 ≥ x 2 + (y + 1) 2<br />
⇐⇒ y 2 + 2y + 1 ≥ y 2 − 2y + 1<br />
⇐⇒ 4y ≥ 0 ⇐⇒ y ≥ 0<br />
|z| ≥ |2z − 1| ⇐⇒ x 2 + y 2 ≥ (2x − 1) 2 + 4y 2 ⇐⇒ y 2 +<br />
<br />
x − 2<br />
2 ≤<br />
3<br />
1<br />
9<br />
Es <strong>de</strong>cir, la solución es el interior <strong>de</strong> la circunferencia <strong>de</strong> radio 1/3 y centro en ( 2/3, 0)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 13<br />
Problema 9<br />
1. Hallar la parte real y la parte imaginaria <strong>de</strong> senh z, cosh z y tgh z.<br />
2. Hallar tgh(2 + i π<br />
4 )<br />
✎ senh(x + iy) = 1<br />
2 (ex+iy − e −x−iy )<br />
= 1<br />
2 (ex (cos y + i sen y) − e −x (cos y − i sen y))<br />
= 1<br />
2 (ex − e −x ) cos y + i 1<br />
2 (ex + e −x ) sen y<br />
= senh x cos y + i cosh x sen y<br />
✎ cosh(x + iy) = 1<br />
2 (ex+iy + e −x−iy )<br />
= 1<br />
2 (ex (cos y + i sen y) + e −x (cos y − i sen y))<br />
= 1<br />
2 (ex + e −x ) cos y + i 1<br />
2 (ex − e −x ) sen y<br />
= cosh x cos y + i senh x sen y<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 14<br />
✎ Para evaluar la función tgh dividimos las expresiones anteriores y simplificamos simplificamos el resultado:<br />
senh(x + iy) senh x cos y + i cosh x sen y<br />
tgh(x + iy) = =<br />
cosh(x + iy) cosh x cos y + i senh x sen y<br />
= (senh x cos y + i cosh x sen y)(cosh x cos y − i senh x sen y)<br />
(cosh x cos y + i senh x sen y)(cosh x cos y − i senh x sen y)<br />
✎ tgh(2 + i π<br />
4<br />
= senh x cosh x cos2 y + senh x cosh x sen2 y + i(cosh 2 x sen y cos y − senh 2 x sen y cos y)<br />
cosh 2 x cos2 y + senh 2 x sen2 y<br />
= senh x cosh x + i sen y cos y<br />
=<br />
= senh 2x + i sen 2y<br />
cosh 2 x cos 2 y + senh 2 x sen 2 y<br />
1<br />
2<br />
senh 2x + i 1<br />
2<br />
sen 2y<br />
cosh 2 x cos 2 y + senh 2 x sen 2 y + cosh 2 x sen 2 y − cosh 2 x sen 2 y<br />
2(cosh 2 x − sen 2 y)<br />
) = senh 4 + i sen π<br />
2<br />
= senh 4 + i<br />
2(cosh 2 2 − sen 2 π<br />
4<br />
cosh 4<br />
2(cosh 2 2 − 1<br />
2<br />
i<br />
= tgh 4 +<br />
cosh 4 ≈ 0′ 999329 + i0 ′ 036619<br />
) = senh 4 + i<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
) = senh 4 + i<br />
2 cosh 2 2 − 1
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 15<br />
Problema 10 Resolver la ecuación sen z = 2.<br />
Empezamos utilizando la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> la función seno<br />
2 = sen z = 1<br />
2i (eiz − e −iz ) = e2iz − 1<br />
2eizi De aqui obtenemos: e 2iz − 1 = 4e iz i. Esta es una ecuación <strong>de</strong> segundo grado en e iz y sus soluciones son<br />
e iz = 1<br />
2 (4i ± √ −16 + 4) = i(2 ± √ 3)<br />
Entonces, las soluciones <strong>de</strong> la ecuación propuesta verifican:<br />
z = 1<br />
i log i(2 ± √ 3) = −i log i(2 ± √ 3) = −i(log i + log(2 ± √ 3))<br />
= −i(i( π<br />
2 + 2nπ) + log(2 ± √ 3))<br />
= π<br />
2 + 2nπ − i log(2 ± √ 3)<br />
Es <strong>de</strong>cir, para cada n ∈ Z tenemos dos soluciones:<br />
z1n = π<br />
2 + 2nπ − i log(2 + √ 3) z2n = π<br />
2 + 2nπ − i log(2 − √ 3)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 16<br />
Problema 11 El objetivo <strong>de</strong> este ejercicio es calcular el coseno <strong>de</strong> los ángulos π/5 y 2π/5.<br />
1. Sea z = cos θ + i sen θ una raíz quinta <strong>de</strong> −1. Probar que, si z = −1, entonces z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = 0<br />
y <strong>de</strong>ducir que 4 cos 2 θ − 2 cos θ − 1 = 0. Concluir que cos π/5 = 1<br />
4 (√ 5 + 1).<br />
2. Sea z = cos θ+i sen θ una raíz quinta <strong>de</strong> la unidad. Probar que, si z = 1, entonces z 4 +z 3 +z 2 +z+1 = 0<br />
y <strong>de</strong>ducir que 4 cos 2 θ + 2 cos θ − 1 = 0. Concluir que cos 2π/5 = 1<br />
4 (√ 5 − 1).<br />
Efectivamente, el valor <strong>de</strong> los cosenos <strong>de</strong> los ángulos pedidos está relacionado con las raíces quintas <strong>de</strong> 1<br />
y <strong>de</strong> −1, ya que, por la fórmula <strong>de</strong> Moivre:<br />
π π 5 cos + i sen = cos π + i sen π = −1<br />
5 5<br />
2π 2π 5 cos + i sen = cos 2π + i sen 2π = 1<br />
5 5<br />
Vamos a explicitar la solución <strong>de</strong>l primer apartado, puesto que la <strong>de</strong>l segundo es exactamente igual. La<br />
primera afirmación <strong>de</strong>l enunciado es trivial, puesto que una simple división <strong>de</strong> polinomios prueba que:<br />
z 5 + 1 = (z + 1)(z 4 − z 3 + z 2 − z + 1)<br />
Dado que z = cos π π<br />
+ i sen es una <strong>de</strong> las cinco raíces quintas <strong>de</strong> -1 distinta <strong>de</strong> -1, este numero <strong>de</strong>be ser raíz<br />
5 5<br />
<strong>de</strong>l polinomio <strong>de</strong> grado 4; llamando α = cos π<br />
π y β = sen y sustituyendo z por α + iβ en dicho polinomio,<br />
5 5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 17<br />
obtenemos:<br />
0 = z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = α 4 + 4iα 3 β − 6α 2 β 2 − 4iαβ 3 + β 4<br />
− α 3 − 3iα 2 β + 3αβ 2 + iβ 3<br />
+ α 2 + 2iαβ − β 2<br />
− α − iβ + 1<br />
Por lo tanto, tanto la parte imaginaria como la parte real <strong>de</strong> la expresión <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong>ben ser 0.<br />
Debemos serparar y simplificar ambas partes para obtener la expresión más sencilla posible; en este caso,<br />
la expresión mas simple se obtiene <strong>de</strong> la parte imaginaria, pero el lector <strong>de</strong>bería <strong>de</strong>sarrollar igualmente la<br />
parte real para comprobarlo.<br />
Dividiendo por β obtenemos:<br />
0 = 4α 3 β − 4αβ 3 − 3α 2 β + β 3 + 2αβ − β<br />
0 = 4α 3 − 4αβ 2 − 3α 2 + β 2 + 2α − 1<br />
Dado que tenemos que obtener un polinomio en α, sustituimos β 2 por 1 − α 2 :<br />
0 = 4α 3 − 4α + 4α 3 − 3α 2 + 1 − α 2 + 2α − 1<br />
= 8α 3 − 4α 2 − 2α<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 18<br />
Finalmente, dividiendo por 2α obtenemos el polinomio buscado:<br />
0 = 4α 2 − 2α − 1<br />
La resolución <strong>de</strong> esta ecuación <strong>de</strong> segundo grado, conduce finalmente al valor <strong>de</strong> cos π<br />
5<br />
la solución positiva):<br />
α = cos π<br />
5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 1<br />
8 (2 + √ 20) = 1<br />
4 (1 + √ 5)<br />
(tomamos solamente
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 19<br />
Problema 12 Deducir las siguientes igualda<strong>de</strong>s haciendo uso <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> las funciones hiperbólicas<br />
en el cuerpo <strong>de</strong> los números complejos.<br />
1. senh z cosh u + cosh z senh u = senh(z + u)<br />
2. cosh z cosh u + senh z senh u = cosh(z + u)<br />
A partir <strong>de</strong> ellas <strong>de</strong>ducir las siguientes:<br />
3. cosh 2 z − senh 2 z = 1<br />
4. 2 senh z cosh z = senh 2z<br />
5. cosh 2 z + senh 2 z = cosh 2z<br />
6. senh z cosh u = 1<br />
(senh(z + u) + senh(z − u))<br />
2<br />
7. senh z senh u = 1(cosh(z<br />
+ u) − cosh(z − u))<br />
2<br />
8. cosh z cosh u = 1(cosh(z<br />
+ u) + cosh(z − u))<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 20<br />
Problema 13 Deducir las siguientes igualda<strong>de</strong>s haciendo uso <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> las funciones trigonométricas<br />
en el cuerpo <strong>de</strong> los números complejos.<br />
1. sen z cos u + cos z sen u = sen(z + u)<br />
2. cos z cos u − sen z sen u = cos(z + u)<br />
A partir <strong>de</strong> ellas <strong>de</strong>ducir las siguientes:<br />
3. cos 2 z + sen 2 z = 1<br />
4. 2 sen z cos z = sen 2z<br />
5. cos 2 z − sen 2 z = cos 2z<br />
6. sen z cos u = 1<br />
(sen(z + u) + sen(z − u))<br />
2<br />
7. sen z sen u = 1(−<br />
cos(z + u) + cos(z − u))<br />
2<br />
8. cos z cos u = 1(cos(z<br />
+ u) + cos(z − u))<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 21<br />
Problema 14 Deducir las siguientes expresiones para las funciones inversas <strong>de</strong> las funciones hiperbólicas:<br />
arg senh x = log(x + √ x 2 + 1) arg cosh x = log(x + √ x 2 − 1)<br />
La función cosh no es inyectiva, ya que cosh x = cosh −x. Por lo tanto, la función arg cosh x podría tomar<br />
dos valores para cada x; el valor que se consi<strong>de</strong>ra en la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> dicha función es el positivo. Por otra<br />
parte, si la función la consi<strong>de</strong>ramos <strong>de</strong>finida sobre los números complejos, las expresiones anteriores son<br />
válidas, pero los posibles valores <strong>de</strong>l logaritmo son infinitos; en este caso, la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> las funciones<br />
inversas se hace tomando los valores principales <strong>de</strong>l logaritmo.<br />
Deducir una expresión para la función arg cosh se reduce a <strong>de</strong>spejar y en función <strong>de</strong> x en la expresión<br />
e z + e −z<br />
2<br />
Multiplicando por 2e z , la igualdad anterior se convierte en la siguiente ecuación <strong>de</strong> segundo grado en e z :<br />
= x<br />
e 2z − 2e z x + 1 = 0<br />
Cuyas soluciones son ez = 2x ± √ 4x2 − 4<br />
= x ±<br />
2<br />
√ x2 − 1. De don<strong>de</strong> obtenemos la solución propuesta en el<br />
enunciado: arg cosh x = log(x + √ x2 − 1). Debemos observar que, efectivamente, la otra solución coinci<strong>de</strong><br />
con esta, pero con signo contrario:<br />
log(x − √ x 2 − 1) = log x2 − (x 2 − 1)<br />
x + √ x 2 − 1 = − log(x + √ x 2 − 1)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 22<br />
El <strong>de</strong>sarrollo para obtener la expresión para arg senh x es similar obteniendo como solución:<br />
e z = x ± √ x 2 + 1<br />
Hay que observar no obstante, que la solución e z = x − √ x 2 + 1 no tiene sentido si trabajamos solo con<br />
números reales, pero sí en el caso <strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar números complejos. La función arg senh se <strong>de</strong>fine entonces<br />
como: arg senh x = log(x + √ x 2 + 1).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 23<br />
Problema 15<br />
1. Si m y n son enteros, <strong>de</strong>mostrar que<br />
2π<br />
0<br />
e inx e −imx dx =<br />
<br />
0 si m = n,<br />
2π si m = n.<br />
2. Utilizar el apartado anterior para <strong>de</strong>ducir las relaciones <strong>de</strong> ortogonalidad <strong>de</strong> las funciones seno y<br />
coseno: si m y n son enteros positivos y m = n, entonces<br />
2π<br />
1. Si n = m, entonces<br />
Si n = m:<br />
0<br />
sen nx cos mxdx =<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
sen 2 nxdx =<br />
e inx e −imx dx =<br />
2π<br />
0<br />
sen nx sen mxdx =<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
cos nx cos mxdx = 0,<br />
cos 2 nxdx = π si n = 0.<br />
dx = 2π.<br />
e inx e −imx <br />
1<br />
dx =<br />
i(n − m) einxe −imx<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2π<br />
0<br />
= 0
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 24<br />
2. Supongamos que m = n; la integral correspondiente <strong>de</strong>l apartado anterior se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomponer como<br />
sigue:<br />
0 =<br />
2π<br />
0<br />
e inx e −imx dx =<br />
2π<br />
0<br />
((cos nx cos mx + sen nx sen mx) + i(sen nx cos mx − cos nx sen mx))dx<br />
A<strong>de</strong>más, sustituyendo n por −n, <strong>de</strong>ducimos la siguiente igualdad<br />
0 =<br />
2π<br />
e<br />
0<br />
−inx e −imx 2π<br />
dx =<br />
0<br />
Sumando las igualda<strong>de</strong>s 1.1 y 1.2 obtenemos:<br />
Por tanto, necesariamente:<br />
2π<br />
0<br />
0 =<br />
(1.1)<br />
(cos nx cos mx − sen nx sen mx) + i(− sen nx cos mx − cos nx sen mx) dx<br />
2π<br />
cos nx cos mx dx = 0<br />
Sustituyendo estas igualda<strong>de</strong>s en 1.1, obtenemos que<br />
0<br />
(2 cos nx cos mx − 2i cos nx sen mx)dx<br />
2π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
2π<br />
sen nx sen mx dx = 0<br />
0<br />
cos nx sen mx dx = 0<br />
(1.2)
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 25<br />
Para las dos últimas igualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l enunciado basta sustitur m por −n en la igualdad <strong>de</strong>l primer<br />
apartado:<br />
0 =<br />
=<br />
2π<br />
e inx e inx dx =<br />
2π<br />
(cos nx cos nx − sen nx sen nx) + i(sen nx cos nx − cos nx sen nx) dx<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
(cos<br />
0<br />
2 nx − sen 2 nx) dx (1.3)<br />
Por otra parte, trivialemente se tiene que<br />
Sumando las igualda<strong>de</strong>s 1.3 y 1.4, obtenemos:<br />
y restándolas obtenemos:<br />
2π<br />
(cos<br />
0<br />
2 nx + sen 2 2π<br />
nx) dx =<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
2 cos 2 nxdx = 2π<br />
2 sen 2 nxdx = 2π<br />
dx = 2π (1.4)
El cuerpo <strong>de</strong> los números complejos 26<br />
Problema 16<br />
1. Para x real, <strong>de</strong>mostrar que po<strong>de</strong>mos elegir log (x + i) y log (x − i) como<br />
log (x + i) = 1<br />
2 log (1 + x2 ) + i π<br />
2 − arc tg x ; log (x − i) = 1<br />
2 log (1 + x2 ) − i 2.<br />
π − arc tg x<br />
2<br />
<br />
1 1 1 1<br />
De la expresión:<br />
= −<br />
1 + x2 2i x − i x + i<br />
dx 1<br />
se obtiene, formalmente:<br />
= [log (x − i) − log (x + i)]<br />
1 + x2 2i<br />
Utilizar la parte (a) para comprobar que esta solución concuerda con la usual.<br />
1.<br />
<br />
1<br />
exp<br />
2 log (1 + x2 <br />
π<br />
<br />
) + i − arc tg x<br />
2 <br />
= √ x2 <br />
π<br />
<br />
+ 1 exp − arc tg x<br />
2<br />
= √ x2 <br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
+ 1 cos − arc tg x + i sen − arc tg x =<br />
2 2 √ x2 <br />
<br />
x 1<br />
+ 1 √ + i√<br />
= x + i<br />
x2 + 1 x2 + 1<br />
Por tanto, efectivamente, se verifica la primera igualdad propuesta. La segunda igualdad se obtiene <strong>de</strong><br />
forma análoga.<br />
2. Restando las igualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l apartado (a) se obtiene:<br />
1<br />
1<br />
[log (x − i) − log (x + i)] =<br />
2i 2i<br />
que es, efectivamente, una primitiva <strong>de</strong> la función<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
−2i<br />
<br />
π<br />
2<br />
1<br />
1 + x2 <br />
− arc tg x = (arc tg x) − π<br />
2
Capítulo 2<br />
Sucesiones y series numéricas<br />
27
Sucesiones y series numéricas 28<br />
Problema 17<br />
1. Demostrar que an = log(n + k) y bn = log n son infinitos equivalentes.<br />
2. Demostrar que an = log(kn) y bn = log n son infinitos equivalentes.<br />
3. Sea P un polinomio y k ∈ N; <strong>de</strong>mostrar que an = P (n) y bn = P (n + k) son infinitos equivalentes.<br />
4. Demostrar que la sucesión P (n) = apn p +ap−1n p−1 +· · ·+a1n+a0 es un infinito equivalente a bn = apn p .<br />
5. Demostrar que an = (n + 1) α − n α y bn = αn α−1 son infinitos equivalentes.<br />
1. lím<br />
log(n + k)<br />
log n<br />
2. lím log(kn)<br />
log n<br />
= lím log n 1 + k<br />
<br />
n<br />
log n<br />
= lím log k + log n<br />
log n<br />
3. lím apn p + ap−1n p−1 + · · · + a1n + a0<br />
apn p<br />
= lím log n + log 1 + k<br />
<br />
n<br />
<br />
= lím 1 +<br />
<br />
= lím<br />
1 + log 1 + k<br />
n<br />
log n<br />
log n<br />
<br />
log k<br />
= 1<br />
log n<br />
<br />
= lím 1 + ap−1 a1<br />
+ · · · +<br />
apn apnp−1 + a0<br />
apnp <br />
= 1<br />
<br />
= 1<br />
4. Si P es un polinomio, entonces P (n) y P (n + k) son polinomios <strong>de</strong>l mismo grado y, a<strong>de</strong>más, coinci<strong>de</strong>n<br />
P (n)<br />
sus coeficientes <strong>de</strong>l término <strong>de</strong> mayor grado; por lo tanto, lím = 1.<br />
P (n + k)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 29<br />
5. lím (n + 1)α − n α<br />
αn α−1<br />
<br />
= lím nα n+1<br />
n<br />
α <br />
− 1<br />
αn α−1<br />
<br />
n<br />
= lím<br />
α log<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
α n + 1<br />
= lím log<br />
n<br />
n n + 1<br />
= log e = 1<br />
n
Sucesiones y series numéricas 30<br />
Problema 18 Usar el teorema <strong>de</strong> compresión para <strong>de</strong>mostrar las siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
1. Si f es una función acotada en un entorno abierto <strong>de</strong> a y lím<br />
x→a g(x) = 0, entonces lím<br />
x→a f(x)g(x) = 0.<br />
2. Si an es una sucesión acotada y lím bn = 0, entonces lím anbn = 0.<br />
1. Sea M tal que<br />
Entonces:<br />
|f(x)| < M para todo x ∈ (a − δ, a + δ)<br />
−Mg(x) < f(x)g(x) < Mg(x) para todo x ∈ (a − δ, a + δ)<br />
Dado que lím<br />
x→a (−Mg(x)) = 0 = lím<br />
x→a (Mg(x)), por el teorema <strong>de</strong> compresión <strong>de</strong>ducimos que<br />
lím f(x)g(x) = 0<br />
x→a<br />
2. Sea M tal que |an| < M. Entonces −Mbn < anbn < Mbn y, dado que lím(−Mbn) = 0 = lím(Mbn),<br />
<strong>de</strong>ducimos por el teorema <strong>de</strong> compresión que lím anbn = 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 31<br />
Problema 19 Sea an un sucesión. Una sucesión bn se dice que es una subsucesión <strong>de</strong> an si existe una<br />
función estrictamente creciente, f : N → N tal que bn = af(n). Demostrar las siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
1. Si bn es una subsucesión <strong>de</strong> an y lím an = ℓ ∈ R, entonces lím bn = ℓ.<br />
2. Si bn y cn son dos subsucesiones <strong>de</strong> an tales que {bn} ∪ {cn} = {an} y lím bn = ℓ = lím cn, entonces<br />
lím an = ℓ ∈ ¯ R.<br />
1. Supongamos que ℓ ∈ R. Sea f : B ⊆ N → N una aplicación estrictamente creciente y tal que bn = af(n).<br />
Sea ε > 0 y N ∈ N tal que |an − ℓ| < ε para todo n ≥ N. Dado que f es estrictamente creciente,<br />
existirá un N1 ∈ B tal que f(N1) > N y por lo tanto, |bn − ℓ| = |af(n) − ℓ| < ε para todo n ≥ N1; en<br />
consecuencia, lím bn = ℓ.<br />
2. Sean f : B ⊆ N → N y g : C ⊆ N → N dos aplicaciones crecientes tales que bn = af(n) y cn = ag(n). Sea<br />
ε > 0; por las hipótesis, existen dos naturales N1 ∈ B y N2 ∈ C tales que |bn −ℓ| < ε y |cn −ℓ| < ε. Sea<br />
N = máx{f(N1), f(N2)} y n ≥ N; dado que {bn} ∪ {cn} = {bn}, se verifica una <strong>de</strong> las dos situaciones<br />
siguientes:<br />
an ∈ {bn} y en tal caso existe m tal que n = f(m); por ser f creciente, m ≥ N1 y<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
|an − ℓ| = |af(m) − ℓ| = |bm − ℓ| < ε
Sucesiones y series numéricas 32<br />
an ∈ {cn} y en tal caso existe m tal que n = g(m); por ser g creciente, m ≥ N2 y<br />
|an − ℓ| = |ag(m) − ℓ| = |cm − ℓ| < ε<br />
En cualquier caso hemos <strong>de</strong>ducido que |an − ℓ| < ε para todo n ≥ N y por lo tanto, lím an = ℓ.<br />
La <strong>de</strong>mostración en los casos ℓ = +∞ y ℓ = −∞ se hace <strong>de</strong> la misma forma.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 33<br />
Problema 20 Resolver los siguientes límites:<br />
1. lím<br />
<br />
1 − 1<br />
3n<br />
2n<br />
; 2. lím 3√ n − 3√ n − 1; 3. lím<br />
<br />
1. lím 1 − 1<br />
2n = lím exp<br />
3n<br />
2n log 1 − 1<br />
<br />
3n<br />
<br />
= lím exp 2n 1 − 1<br />
<br />
− 1<br />
3n<br />
<br />
n 1 − 3<br />
<br />
1 − a<br />
<br />
; 4. lím n (<br />
n<br />
n√ a − n−1√ a)<br />
(Infinitésimos equivalentes)<br />
= e −2/3<br />
2. lím( 3√ n − 3√ <br />
<br />
√3 3 n<br />
n − 1) = lím n − 1 − 1<br />
⎛<br />
n − 1<br />
= lím ⎝ 3√ n − 1 log 3<br />
⎞<br />
n<br />
⎠<br />
n − 1<br />
(Infinitésimos equivalentes)<br />
<br />
1<br />
= lím<br />
3√ n<br />
3√<br />
n − 1<br />
n − 1 log = lím<br />
3 n − 1 3(n − 1)<br />
(Infinitésimos equivalentes)<br />
= lím n1/3<br />
3n<br />
= lím 1<br />
= 0 2/3 3n<br />
(Infinitos equivalentes: ej. 17)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 34<br />
<br />
3. lím n 1 − 3<br />
<br />
1 − a<br />
<br />
= lím −n log<br />
n<br />
3<br />
<br />
1 − a<br />
<br />
(Infinitésimos equivalentes)<br />
<br />
n<br />
= lím − n<br />
3 log<br />
<br />
1 − a<br />
<br />
= lím −<br />
n<br />
n<br />
<br />
−<br />
3<br />
a<br />
<br />
(Infinitésimos equivalentes)<br />
n<br />
= a<br />
3<br />
4. lím (n( n√ a − n−1√ <br />
a)) = lím n n√ <br />
a a 1<br />
<br />
1<br />
− n n−1 − 1<br />
<br />
= lím n n√ <br />
a a −1 <br />
n(n−1) − 1<br />
<br />
= lím −n n√ a log a 1 <br />
n(n−1) (Infinitésimos equivalentes))<br />
n√ <br />
a log a log a<br />
= lím − = − = 0<br />
n − 1 ∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 35<br />
Problema 21 Utilizar el teorema <strong>de</strong> compresión para calcular los siguientes límites:<br />
1. lím n!<br />
nn 2.<br />
<br />
(n − 1)!<br />
lím<br />
(1 + √ 1)(1 + √ 2) . . . (1 + √ n)<br />
3.<br />
<br />
1<br />
lím<br />
n2 1<br />
+<br />
(n + 1) 2 1<br />
+ · · · +<br />
(n + n) 2<br />
<br />
4.<br />
<br />
n<br />
lím<br />
n2 n<br />
+<br />
+ 1 n2 n<br />
+ · · · +<br />
+ 2 n2 <br />
+ n<br />
Al aplicar el teorema <strong>de</strong> compresión, una <strong>de</strong> las dos acotaciones (la superior y la inferior) pue<strong>de</strong> ser una<br />
constante; en los tres primeros apartados <strong>de</strong> este ejercicio, la acotación inferior es la constante cero y por lo<br />
tanto, el trabajo <strong>de</strong> acotación solo se hará para la cota superior.<br />
1. 0 < n!<br />
n n =<br />
Dado que 1<br />
n<br />
1 · 2 · · · (n − 1)n<br />
n · n · · · n · n<br />
< 1 · n · · · n · n<br />
n · n · · · n · n<br />
= 0, <strong>de</strong>ducimos que lím n!<br />
n n = 0.<br />
= 1<br />
n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 36<br />
2. 0 <<br />
(n − 1)!<br />
(1 + √ 1)(1 + √ 2) . . . (1 + √ n) <<br />
Dado que lím 1<br />
√ n = 0, <strong>de</strong>ducimos que: lím<br />
(n − 1)!<br />
√ 1 √ 2 . . . √ n − 1 √ n < 1<br />
√ n<br />
<br />
(n − 1)!<br />
(1 + √ 1)(1 + √ 2) . . . (1 + √ = 0.<br />
n)<br />
3. 0 < 1<br />
n2 1<br />
+<br />
(n + 1) 2 1<br />
+ · · · +<br />
(n + n) 2 < n 1<br />
n2 = 1<br />
n<br />
Dado que lím 1<br />
<br />
1<br />
= 0, <strong>de</strong>ducimos que lím<br />
n n2 1<br />
+<br />
(n + 1) 2 1<br />
+ · · · +<br />
(n + n) 2<br />
<br />
= 0.<br />
4.<br />
n<br />
n2 n<br />
+<br />
+ 1 n2 n<br />
+ · · · +<br />
+ 2 n2 + n<br />
n<br />
n2 n<br />
+<br />
+ 1 n2 n<br />
+ · · · +<br />
+ 2 n2 + n<br />
Dado que lím n2<br />
n 2 + 1<br />
n<br />
< n<br />
n2 n2<br />
=<br />
+ 1 n2 + 1<br />
n<br />
> n<br />
n2 n<br />
=<br />
+ n n + 1 <br />
n<br />
n<br />
= 1 = lím , <strong>de</strong>ducimos que: lím<br />
n + 1 n2 n<br />
+<br />
+ 1 n2 n<br />
+ · · · +<br />
+ 2 n2 <br />
= 0<br />
+ n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 37<br />
Problema 22 Aplicar el criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro para resolver los siguientes límites.<br />
1. lím<br />
3. lím<br />
log n<br />
n<br />
2 + 4 + · · · + 2n<br />
3 + 9 + · · · + 3 n<br />
5. lím 1<br />
n2 (2 + 32 (n + 1)n<br />
+ · · ·<br />
2 nn−1 ) 6. lím<br />
(log n)2<br />
2. lím<br />
n<br />
4. lím 1p + 2p + · · · + np n p+1<br />
log(1 · 2 · · · · · n)<br />
n log n<br />
log n log(n + 1) − log n n + 1<br />
1. lím = lím = lím log = 0<br />
n n + 1 − n<br />
n<br />
Dado que la sucesión an = n es creciente y divergente a infinito y, a<strong>de</strong>más, el último límite calculado<br />
existe, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
2. lím<br />
(log n)2<br />
n<br />
= lím (log(n + 1)) 2 − (log n) 2<br />
(Criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro)<br />
= lím (log(n + 1) − log n)(log(n + 1) + log n) = lím<br />
<br />
log<br />
n + 1<br />
n<br />
= lím 1<br />
log((n + 1)n) (Equivalencia <strong>de</strong> infinitésimos)<br />
n<br />
= lím log(n + 2)(n + 1) − log(n + 1)n <br />
(Criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro)<br />
= lím log<br />
(n + 2)(n + 1)<br />
(n + 1)n<br />
= log 1 = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
<br />
log((n + 1)n)
Sucesiones y series numéricas 38<br />
Dado que la sucesión an = n es creciente y divergente a infinito y, a<strong>de</strong>más, el último límite calculado<br />
existe, las aplicaciones <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro son correcta.<br />
2 + 4 + · · · + 2n<br />
3. lím<br />
3 + 9 + · · · + 3n = lím 2n+1<br />
3n+1 = 0<br />
De las <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s 3n−1 < 3 + 9 + · · · + 3n−1 < 3 + 9 + · · · + 3n−1 + 3n , se <strong>de</strong>duce que la sucesión<br />
<strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador es creciente y divergente a infinito; a<strong>de</strong>más, el último límite calculado existe y, por<br />
lo tanto, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
4. lím 1p + 2 p + · · · + n p<br />
n p+1<br />
= lím<br />
= lím<br />
(n + 1)p<br />
(p + 1)n p<br />
(n + 1) p<br />
(n + 1) p+1 − n p+1<br />
(Infinitos equivalentes: ej. 17)<br />
(Criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro)<br />
= 1<br />
p + 1<br />
Dado que p > 0, la sucesión an = n p es creciente y divergente a infinito; a<strong>de</strong>más, el último límite<br />
calculado existe y, por lo tanto, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
5. lím 1<br />
n2 (2 + 32<br />
2<br />
(n + 1)n<br />
+ · · · +<br />
nn−1 ) = lím<br />
n n + 2 n + 2<br />
= lím<br />
2n + 1 n + 1<br />
(n + 2) n+1<br />
(n + 1) n<br />
(n + 1) 2 − n2 = e<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(Criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro)
Sucesiones y series numéricas 39<br />
Dado que la sucesión an = n 2 es creciente y divergente a infinito y, a<strong>de</strong>más, el último límite calculado<br />
existe, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 40<br />
6. lím<br />
log(1 · 2 · · · · · n) log 1 + log 2 + · · · + log n<br />
= lím<br />
n log n<br />
n log n<br />
log(n + 1)<br />
= lím<br />
(Criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro)<br />
(n + 1) log(n + 1) − n log n<br />
log(n + 1)<br />
= lím<br />
log<br />
= lím<br />
= lím<br />
(n + 1)n+1<br />
n n<br />
log(n + 1)<br />
n n + 1<br />
log + log(n + 1)<br />
n<br />
1<br />
<br />
n + 1<br />
log<br />
n<br />
log(n + 1)<br />
n<br />
+ 1<br />
=<br />
1<br />
= 1<br />
1<br />
+ 1<br />
∞<br />
Las sucesiones an = n y bn = log n son crecientes y divergentes a infinito y, por lo tanto, también lo<br />
es la sucesión <strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>l límite propuesto; a<strong>de</strong>más, el último límite calculado existe y, en<br />
consecuencia, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 41<br />
Problema 23 Utilizar el criterio <strong>de</strong>l cociente para resolver los siguientes límites.<br />
1. lím n√ n 2. lím n√ n 2 + n<br />
3. lím n (n + 1)(n + 2) . . . (n + n) 4. lím 1<br />
n n (3n + 1)(3n + 2) . . . (3n + n)<br />
1. lím n√ n + 1<br />
n = lím = 1<br />
n<br />
Dado que el límite final existe, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong>l cociente es correcta.<br />
2. lím n√ n2 + n = lím (n + 1)2 + n + 1<br />
n2 = 1<br />
+ n<br />
Dado que el límite final existe, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong>l cociente es correcta.<br />
3. lím n (n + 1)(n + 2) . . . (n + n)<br />
((n + 1) + 1)((n + 1) + 2) . . . ((n + 1) + (n + 1))<br />
= lím<br />
(n + 1)(n + 2) . . . (n + n)<br />
(2n + 1)(2n + 2)<br />
= lím = +∞<br />
n + 1<br />
Dado que el último límite es +∞, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong>l cociente en la primera igualdad es<br />
correcta.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 42<br />
4. lím 1<br />
n n (3n + 1)(3n + 2) . . . (3n + n) = lím n<br />
<br />
(3n + 1)(3n + 2) . . . (3n + n)<br />
nn (3(n + 1) + 1)(3(n + 1) + 2) . . . (3(n + 1) + (n + 1))nn<br />
= lím<br />
= lím<br />
(3n + 1)(3n + 2) . . . (3n + n)(n + 1) n+1<br />
(4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4)<br />
(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1)<br />
n<br />
n + 1<br />
n<br />
= 44<br />
3 3 e<br />
Dado que el último límite calculado existe, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong>l cociente en la segunda igualdad<br />
es correcta.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 43<br />
Problema 24 Utilizar la constante <strong>de</strong> Euler para calcular los siguietnes límites.<br />
1. lím e√e 3√ e . . . n√ e<br />
n<br />
3. lím 1 + 1<br />
<br />
1<br />
+ · · · +<br />
3 2n + 1<br />
2. lím<br />
log(1 + 1<br />
2<br />
La constante <strong>de</strong> Euler, γ, se <strong>de</strong>fine como:<br />
<br />
γ = lím 1 + 1<br />
<br />
1 1<br />
+ + · · · + − log n<br />
2 3 n<br />
+ · · · + 1<br />
n )<br />
log(log n)<br />
4. lím 1 1<br />
1<br />
+ + · · · +<br />
n + 1 n + 2 n + n<br />
y sabemos que es un número real estrictamente positivo y estrictamente menor que 1. Po<strong>de</strong>mos usar este<br />
límite como herramienta <strong>de</strong> cálculo para otros límites a través <strong>de</strong> las siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
1 + 1 1<br />
1<br />
+ + · · · + 2 3 n = γ + cn + log n, en don<strong>de</strong> cn es un infinitésimo.<br />
1 + 1 1<br />
1<br />
+ + · · · + 2 3 n<br />
y log n son infinitos equivalentes.<br />
En los casos en los que no se pueda aplicar la sustitución <strong>de</strong> infinitos equivalentes, podremos usar la<br />
primera propiedad; en particular, ninguno <strong>de</strong> los cuatro límites aquí propuestos pue<strong>de</strong> resolverse mediante<br />
la sustitución <strong>de</strong> infinitos. Sin embargo, en el segundo apartado vamos a utilizar la equivalencia aunque sin<br />
realizar la sustitución explícitamente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 44<br />
1. lím e√ e 3√ e . . . n√ e<br />
n<br />
1 1<br />
+···+<br />
e1+ 2 n<br />
n<br />
= lím = lím elog necn+γ = lím e<br />
n<br />
cn+γ = eγ 2.<br />
1<br />
1<br />
log(1 + + · · · +<br />
lím 2 n )<br />
<br />
1<br />
1<br />
1 + + · · · +<br />
log 2 n + log(log n)<br />
log n<br />
= lím<br />
log(log n)<br />
log(log n)<br />
<br />
1<br />
1<br />
1 + + · · · +<br />
log 2 n <br />
log n<br />
0<br />
= lím<br />
+ 1 = + 1 = 1<br />
log(log n)<br />
∞<br />
3.<br />
<br />
lím 1 + 1<br />
<br />
1<br />
+ · · · + = lím 1 +<br />
3 2n + 1<br />
1<br />
<br />
1 1 1 1 1<br />
+ + · · · + − + + · · · +<br />
<br />
2 3 2n + 1 2 4 2n<br />
= lím 1 + 1<br />
<br />
1 1<br />
+ + · · · + −<br />
2 3 2n + 1<br />
1<br />
<br />
1 +<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
+ · · · +<br />
2 n<br />
<br />
= lím log(2n + 1) + γ + c2n+1 − 1<br />
<br />
(log n + γ + cn)<br />
2<br />
<br />
2n + 1<br />
= lím log √ +<br />
n γ<br />
2 + c2n+1 − 1<br />
2 cn<br />
<br />
= (+∞ + γ<br />
+ 0 − 0) = +∞<br />
2<br />
4.<br />
<br />
1 1<br />
1<br />
lím + + · · · + = lím 1 +<br />
n n + 1 n + n<br />
1<br />
<br />
1<br />
+ · · · + − 1 +<br />
2 n + n<br />
1<br />
<br />
1<br />
+ · · · +<br />
2 n − 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 45<br />
= lím (log(2n) + γ + c2n − (log(n − 1) + γ + cn−1))<br />
<br />
2n + 1<br />
= lím log<br />
n − 1 + c2n<br />
<br />
− cn−1 = log 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 46<br />
Problema 25 Dada una sucesión an tal que lím an = ℓ ∈ R, calcular los siguientes límites.<br />
1. lím n√ a1a2 · · · an<br />
a1 +<br />
3. lím<br />
a2 an + · · · +<br />
2 n<br />
log n<br />
5. lím ea1 a2/2 an/n + e + · · · + e − n<br />
log(n + 1)<br />
1. Utilizamos el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
lím n√ a1a2 · · · an = lím a1a2 · · · an+1<br />
a1a2 · · · an<br />
2. lím a1 + a2 · · · an<br />
n<br />
4. lím a1 + 2a2 + · · · + nan<br />
n 2<br />
= lím an = ℓ<br />
Dado que la sucesión an es convergente, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong>l cociente es correcta.<br />
2. En este apartado, utilizamos el criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro:<br />
lím a1 + a2 + · · · + an<br />
n<br />
= lím a1 + · · · + an+1 − a1 − · · · − an<br />
n + 1 − n<br />
= lím an+1 = ℓ<br />
Dado que la sucesión an es convergente, la aplicación <strong>de</strong>l Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 47<br />
3. Aplicamos el criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro:<br />
lím<br />
a1 + a2<br />
an + · · · +<br />
2 n<br />
= lím<br />
log n<br />
an+1<br />
n + 1<br />
log(n + 1) − log n<br />
(∗)<br />
= lím<br />
an+1<br />
n<br />
log(n + 1) − log n<br />
= lím<br />
log<br />
an+1<br />
n + 1<br />
n<br />
n = ℓ<br />
En la igualdad (∗) hemos aplicado un equivalencia <strong>de</strong> infinitos (ej. 17); dado que el último límite existe,<br />
la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
4. Aplicamos el criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro:<br />
lím a1 + 2a2 + · · · + nan<br />
n 2<br />
= lím<br />
(n + 1)an+1<br />
(n + 1) 2 − n 2<br />
(∗)<br />
= lím (n + 1)an+1<br />
2n<br />
En la igualdad (∗) hemos aplicado un equivalencia <strong>de</strong> infinitos (ej. 17); a<strong>de</strong>más, dado que el último<br />
límite existe, la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
5. Aplicamos el criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro:<br />
lím ea1 + e a2/2 + · · · + e an/n − n<br />
log(n + 1)<br />
= ℓ<br />
2<br />
= lím ean+1/(n+1) − n − 1 + n<br />
log(n + 2) − log(n + 1) = lím ean+1/(n+1) − 1<br />
log n+2<br />
(∗)<br />
= lím<br />
n+1<br />
En la igualdad (∗) hemos aplicado un equivalencia <strong>de</strong> infinitésimos; dado que el último límite existe,<br />
la aplicación <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro es correcta.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
an+1<br />
n+1<br />
1<br />
n+1<br />
= ℓ
Sucesiones y series numéricas 48<br />
Problema 26 Determinar el término general <strong>de</strong> las siguientes sucesiones y calcular su límite.<br />
1. 0 ′ 9, 0 ′ 99, 0 ′ 999,. . .<br />
2. 0 ′ 3, 0 ′ 33, 0 ′ 333,. . .<br />
1. El término general <strong>de</strong> esta sucesión<br />
es an = 1 − 1<br />
10 n y por lo tanto su límite es 1.<br />
2. El término general <strong>de</strong> la sucesión<br />
0 ′ 9, 0 ′ 99, 0 ′ 999, . . .<br />
0 ′ 3, 0 ′ 33, 0 ′ 333, . . .<br />
lo po<strong>de</strong>mos escribir como bn = 3 · 10 −1 + 3 · 10 −2 + · · · + 3 · 10 −n y po<strong>de</strong>mos calcular su límite usando<br />
el criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro:<br />
lím(3 · 10 −1 + 3 · 10 −2 + · · · + 3 · 10 −n ) = lím 3 · 10n−1 + 3 · 10 n−2 + · · · + 3 · 10 + 3<br />
10 n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= lím<br />
3 · 10n<br />
10n+1 3 1<br />
n = lím =<br />
− 10 10 − 1 3
Sucesiones y series numéricas 49<br />
Problema 27 Calcular el límite lím nα<br />
e n para todo α ∈ R.<br />
Para α ≤ 0 el cálculo es inmediato:<br />
lím nα 1<br />
n = lím<br />
e n−α <br />
1<br />
n = = 0<br />
e ∞<br />
Supongamos que α > 0 y consi<strong>de</strong>remos la función E(x) que <strong>de</strong>vuelve la parte entera <strong>de</strong> x:<br />
lím nα<br />
en = lím (n + 1)α − nα en+1 − en = lím αnα−1<br />
(e − 1)e n<br />
= lím α<br />
e − 1<br />
n α−1<br />
e n<br />
(Criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro)<br />
(Equivalencia <strong>de</strong> infinitos: ej. 17)<br />
(Aplicamos E(α)–veces el Criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro)<br />
= lím<br />
α(α − 1) . . . (α − E(α))<br />
(e − 1) E(α)+1<br />
nα−E(α)−1 en = 0 (Ya que α − E(α) − 1 < 0)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 50<br />
Problema 28 Dada la sucesión an =<br />
1<br />
n log n<br />
<br />
calcular el límite lím n<br />
1 − an+1<br />
an<br />
Observamos en primer lugar que, usando el ejercicio 17, <strong>de</strong>ducimos que el límite propuesto es una<br />
in<strong>de</strong>terminación, ya que:<br />
lím an+1<br />
an<br />
= lím<br />
n log n<br />
(n + 1) log(n + 1)<br />
El cálculo <strong>de</strong>l límite pue<strong>de</strong> hacerse como sigue:<br />
= lím n<br />
n + 1<br />
<br />
.<br />
log n<br />
= 1<br />
log(n + 1)<br />
<br />
lím n 1 − an+1<br />
<br />
<br />
n log n<br />
= lím n 1 −<br />
= lím<br />
an<br />
(n + 1) log(n + 1)<br />
n<br />
<br />
<br />
n log n<br />
n + 1 −<br />
n + 1 log(n + 1)<br />
<br />
<br />
n log n<br />
= lím n + 1 − (Equivalencia <strong>de</strong> infinitos: ej. 17)<br />
log(n + 1)<br />
<br />
= lím n + 1 − n log(n + 1) + log n<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
n log n+1<br />
n+1<br />
= lím n + 1 − n −<br />
log(n + 1)<br />
log(n + 1)<br />
<br />
= lím 1 − log <br />
n n <br />
n+1<br />
e<br />
= 1 − = 1<br />
log(n + 1)<br />
+ ∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 51<br />
Problema 29<br />
Dada la sucesión an =<br />
1<br />
n(log n) 2 <br />
calcular el límite lím n<br />
1 − an+1<br />
an<br />
La serie asociada a la sucesión an es divergente, pero como vemos en este ejercicio, el límite <strong>de</strong>l criterio<br />
<strong>de</strong> Raabe es 1. Observamos en primer lugar que el límite propuesto es una in<strong>de</strong>terminación (usamos el<br />
ejercicio 17):<br />
lím an+1<br />
an<br />
= lím<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
n(log n) 2<br />
2 n log n<br />
2 = lím = 1<br />
(n + 1)(log(n + 1)) n + 1 log(n + 1)<br />
<br />
.
Sucesiones y series numéricas 52<br />
El cálculo <strong>de</strong>l límite pue<strong>de</strong> hacerse como sigue:<br />
<br />
lím n 1 − an+1<br />
<br />
= lím n<br />
an<br />
= lím n<br />
n + 1<br />
<br />
= lím<br />
⎛<br />
n(log n) 2<br />
(n + 1)(log(n + 1)) 2<br />
<br />
1 −<br />
<br />
n(log n)2<br />
n + 1 −<br />
(log(n + 1)) 2<br />
<br />
n(log n)2<br />
n + 1 −<br />
(log(n + 1)) 2<br />
<br />
(Infinitos equivalentes: ej. 17)<br />
⎞ ⎛<br />
n<br />
2 <br />
log(n + 1) + log<br />
= lím ⎝n<br />
n+1<br />
+ 1 − n<br />
⎠ = lím ⎝n + 1 − n 1 +<br />
log(n + 1)<br />
⎛<br />
⎞<br />
n<br />
n<br />
2<br />
log log<br />
= lím ⎝n<br />
n+1<br />
n+1<br />
+ 1 − n − 2n − n<br />
⎠<br />
log(n + 1) log(n + 1)<br />
⎛ n n log n+1<br />
= lím ⎝1 − 2<br />
log(n + 1) −<br />
n n log n+1 log<br />
log(n + 1)<br />
n<br />
⎞<br />
n+1 ⎠<br />
log(n + 1)<br />
<br />
1 1 0<br />
= 1 − 2 −<br />
= 1<br />
+ ∞ + ∞ + ∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
⎞<br />
n<br />
2<br />
log n+1 ⎠<br />
log(n + 1)
Sucesiones y series numéricas 53<br />
Veamos un procedimiento alternativo:<br />
<br />
lím n 1 − an+1<br />
<br />
n(log n)<br />
= lím n 1 −<br />
an<br />
2<br />
(n + 1)(log(n + 1)) 2<br />
<br />
= lím n<br />
n + 1 (log(n + 1)) 2<br />
(n + 1)(log(n + 1)) 2 − n(log n) 2<br />
= lím (n + 1)(log(n + 1))2 − n(log n) 2<br />
(log(n + 1)) 2<br />
= lím (log(n + 1))2 + n((log(n + 1)) 2 − (log n) 2 )<br />
(log(n + 1)) 2<br />
<br />
n(log(n + 1) − log n)(log(n + 1) + log n)<br />
= lím 1 +<br />
(log(n + 1)) 2<br />
<br />
⎛ n n+1 log <br />
<br />
n<br />
= lím ⎝1<br />
log n<br />
+<br />
1 +<br />
log(n + 1) log(n + 1)<br />
⎞<br />
⎠<br />
<br />
1<br />
= 1 + (1 + 1)<br />
+ ∞<br />
= 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 54<br />
Problema 30 Justificar que las siguientes sucesiones son convergentes y calcular sus límites<br />
1. a1 = 3, an+1 = √ 1 + an<br />
2. b1 = √ 2, bn+1 = 2 √ bn<br />
3. c1 = a > 0, cn+1 = a + (cn) 2<br />
4. d1 = 0, d2 = 1, dn+2 = dn+1 + dn<br />
2<br />
1. Evaluando algunos términos <strong>de</strong> la sucesión an, po<strong>de</strong>mos intuir que es <strong>de</strong>creciente. La <strong>de</strong>mostración la<br />
hacemos por inducción; tenemos que probar que an > an+1 para todo n ∈ N.<br />
(i) Para n = 1: a1 = 3 > 2 = √ 1 + 3 = a2<br />
(ii) Supongamos que ak > ak+1; tenemos que probar que, entonces, ak+1 > ak+2. La siguiente secuencia<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s completa la prueba:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
ak > ak+1<br />
1 + ak > 1 + ak+1<br />
√ 1 + ak > 1 + ak+1<br />
ak+1 > ak+2
Sucesiones y series numéricas 55<br />
Por lo tanto, efectivamente an > an+1 para todo n ∈ N.<br />
En segundo lugar, observamos que la sucesión está acotada inferiormente, ya que an > 0 para todo<br />
n ∈ N, y por lo tanto, la sucesión es convergente. Si ℓ = lím an, entonces:<br />
ℓ = lím an+1 = lím √ 1 + an = √ 1 + ℓ<br />
Despejando ℓ <strong>de</strong> la igualdad anterior, obtenemos que ℓ = 1 + √ 5<br />
.<br />
2<br />
2. Evaluando algunos términos <strong>de</strong> la sucesión, intuimos que la sucesión es creciente. Hacemos la <strong>de</strong>mostración<br />
por inducción, es <strong>de</strong>cir, vamos a probar que bn < bn+1 para todo n ∈ N.<br />
(i) Para n = 1: b1 = √ 2 < 2 4√ 2 = b2<br />
(ii) Supongamos que bk < bk+1; tenemos que probar que, entonces, bk+1 < bk+2. La siguiente secuencia<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s completa la prueba:<br />
bk < bk+1<br />
bk < bk+1<br />
2 bk < 2 bk+1<br />
bk+1 < bk+2<br />
Por lo tanto, efectivamente bn < bn+1 para todo n ∈ N.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 56<br />
En segundo lugar, <strong>de</strong>mostramos que la sucesión está acotada superiormente por 4, es <strong>de</strong>cir, bn < 4<br />
para todo n ∈ N. Nuevamente, hacemos la <strong>de</strong>mostración por inducción.<br />
(i) Para n = 1, b1 = √ 2 < 4.<br />
(ii) Supongamos que bk < 4; tenemos que probar que, entonces, bk+1 < 4, lo que hacemos con la<br />
siguientes secuencia <strong>de</strong> <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s:<br />
bk < 4<br />
bk < √ 4 = 2<br />
2 bk < 4<br />
bk+1 < 4<br />
Por lo tanto, efectivamente bn < 4 para todo n ∈ N.<br />
Probado que la sucesión es creciente y acotada superiormente, concluimos que es convergente. El límite,<br />
ℓ = lím bn, es solución <strong>de</strong> la ecuación ℓ = 2 √ ℓ y por lo tanto, ℓ = 4.<br />
Para adivinar que 4 es una cota <strong>de</strong> la sucesión, calculamos en primer lugar su límite con la última<br />
ecuación <strong>de</strong>ducida; una vez justificada la convergencia, el cálculo <strong>de</strong>l límite resulta correcto.<br />
3. Demostramos en primer lugar que la sucesión cn es creciente y lo hacemos por inducción; es <strong>de</strong>cir,<br />
vamos a probar que cn < cn+1 para todo n ∈ N.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 57<br />
(i) Para n = 1: c1 = a < a + a 2 = c2, ya que a = 0.<br />
(ii) Supongamos que ck < ck+1; tenemos que probar que ck+1 < ck+2 y lo hacemos con la siguiente<br />
secuencia <strong>de</strong> <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s:<br />
ck < ck+1<br />
(ck) 2 < (ck+1) 2<br />
a + (ck) 2 < a + (ck+1) 2<br />
ck+1 < ck+2<br />
Por lo tanto, la sucesión es convergente o divergente a +∞. En el caso en que cn sea convergente, se<br />
verifica que<br />
ℓ = lím cn+1 = lím(a + (cn) 2 ) = a + ℓ 2<br />
Resolviendo esta ecuación, obtenemos que los posibles valores <strong>de</strong>l límite son 1 + √ 1 − 4a<br />
y<br />
2<br />
1 − √ 1 − 4a<br />
.<br />
2<br />
En cualquier caso, si cn es convergente, necesariamente 1 − 4a <strong>de</strong>be ser positivo, es <strong>de</strong>cir a ≤ 1/4.<br />
Recíprocamente, veamos que si a ≤ 1/4, entonces la sucesión está acotada superiormente y por lo<br />
tanto es convergente. Concretamente, vamos a ver que si a ≤ 1/4, entonces cn < 1/2 para todo n ∈ N<br />
y lo <strong>de</strong>mostramos por inducción.<br />
(i) Para n = 1: c1 = a ≤ 1<br />
4<br />
< 1<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 58<br />
(ii) Supongamos que ck < 1<br />
2 ; tenemos que probar que ck+1 < 1<br />
2<br />
secuencias <strong>de</strong> <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s:<br />
ck < 1<br />
2<br />
(ck) 2 < 1<br />
4<br />
a + (ck) 2 < a + 1<br />
4<br />
ck+1 < 1<br />
2<br />
1 1<br />
< +<br />
4 4<br />
y lo hacemos con la siguientes<br />
Por lo tanto, efectivamente la sucesión cn está acotada superiormente por 1/2. En consecuencia, la<br />
sucesión es convergente y su límite también es menor que 1/2, es <strong>de</strong>cir, ℓ = lím cn = 1 − √ 1 − 4a<br />
. En<br />
2<br />
resumen:<br />
⎧<br />
⎨1<br />
−<br />
lím cn =<br />
⎩<br />
√ 1 − 4a<br />
si 0 < a ≤<br />
2<br />
1/4<br />
+∞ si a > 1/4<br />
4. Evaluando algunos términos <strong>de</strong> la sucesión, observamos que no es monótona pero que las subsucesiones<br />
<strong>de</strong> los términos pares y la <strong>de</strong> los impares sí son monótonas; concretamente, observamos que se verifican<br />
las siguientes <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
d2n+1 < d2n+3 < d2n+4 < d2n+2 para todo n ∈ N
Sucesiones y series numéricas 59<br />
Probadas estas <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s podremos <strong>de</strong>ducir que la subsucesión d2n es <strong>de</strong>creciente y acotada inferiormente<br />
por d1 = 0 y que la subsucesión d2n+1 es creciente y acotada superiormente por d2 = 1.<br />
Pasamos a <strong>de</strong>mostrar las <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s por inducción:<br />
(i) Para n = 1: d1 = 0 < 1<br />
2 = d3 < 3<br />
4 = d4 < 1 = d2<br />
(ii) Supongamos que d2k−1 < d2k+1 < d2k+2 < d2k; tenemos que probar que d2k+1 < d2k+3 < d2k+4 <<br />
d2k+2 y lo hacemos con la siguiente secuencia <strong>de</strong> <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s<br />
d2k+1 < d2k+2<br />
d2k+1 < d2k+1 + d2k+2<br />
2<br />
d2k+1 < d2k+3 < d2k+2<br />
< d2k+2<br />
d2k+1 < d2k+3 < d2k+3 + d2k+2<br />
2<br />
d2k+1 < d2k+3 < d2k+4 < d2k+2<br />
d2k+1 < d2k+3 < d2k+4 < d2k+2<br />
(Téngase en cuenta que si 0 < a < b, entonces a <<br />
a + b<br />
2<br />
< d2k+2<br />
Por lo tanto, quedan probadas las <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s para cada n ∈ N. Po<strong>de</strong>mos concluir entonces que las<br />
subsucesiones d2n y d2n+1 son convergentes. Por el ejercicio 19, la sucesión dn será convergente si y<br />
solo si lím d2n = lím d2n+1, lo cual es cierto: si ℓ1 = lím d2n+1 y ℓ2 = lím d2n, entonces, ℓ1 = ℓ2 + ℓ1<br />
simplificando la expresión, se obtiene que ℓ1 = ℓ2.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
< b).<br />
2<br />
y,
Sucesiones y series numéricas 60<br />
Problema 31<br />
1. Demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2; es <strong>de</strong>cir, √ 2 ∈ Q.<br />
1<br />
+ . Demostrar que<br />
2 an<br />
dicha sucesión (<strong>de</strong> números racionales) es <strong>de</strong>creciente y acotada inferiormente (y en consecuencia<br />
convergente en R). Demostrar a continuación que el límite es √ 2.<br />
2. Consi<strong>de</strong>rar la sucesión an <strong>de</strong>finida recursivamente por: a0 = 2, an+1 = an<br />
1. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que √ 2 es racional y sean p y q dos naturales<br />
primos entre sí tales que 2 = p2<br />
q 2 ; en tal caso,<br />
p 2 = 2q 2<br />
y 2 divi<strong>de</strong> a p2 y en consecuencia a p, pudiendo escribir p = 2k; <strong>de</strong>ducimos entonces a partir <strong>de</strong> 2.1<br />
que:<br />
4k 2 = 2q 2<br />
y <strong>de</strong> ahí: 2k 2 = q 2 ;<br />
por lo tanto, 2 divi<strong>de</strong> a q 2 y en consecuencia a q, lo cual es contradictorio con la hipótesis inicial.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(2.1)
Sucesiones y series numéricas 61<br />
2. La <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este segundo apartado queda estructurada en los siguientes pasos:<br />
a) “an > 0 para todo n”: ya que a0 es positivo y las operaciones <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición recursiva mantienen<br />
esta propiedad.<br />
b) “a 2 n > 2 para todo n > 0”:<br />
a 2 n =<br />
an−1<br />
2<br />
= a2 n−1<br />
4<br />
(∗)<br />
> 2 an−1<br />
2<br />
= 2<br />
+ 1<br />
an−1<br />
2<br />
1<br />
+<br />
a2 + 1<br />
n−1<br />
1<br />
an−1<br />
+ 1<br />
En el paso (∗) hemos utilizado que x 2 + y 2 > 2xy para todo x = y,<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 62<br />
c) “an es <strong>de</strong>creciente”: a partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>sigualdad anterior <strong>de</strong>mostramos este hecho fácilmente:<br />
a 2 n<br />
a2 n<br />
2an<br />
an<br />
2<br />
an<br />
2<br />
> 2<br />
> 2<br />
2an<br />
1<br />
><br />
an<br />
+ an<br />
2<br />
an > an+1<br />
1<br />
> +<br />
an<br />
an<br />
2<br />
d) “an está acotada inferiormente”: volvemos a utilizar la <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong>l segundo apartado: dado<br />
que a 2 n > 2 > 1, an > 1.<br />
De los dos últimos puntos se <strong>de</strong>duce que la sucesión an (<strong>de</strong>creciente y acotada) converge en R. Sea ℓ<br />
su límite; entonces:<br />
ℓ = ℓ 1<br />
+<br />
2 ℓ<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>duce que ℓ 2 = 2.<br />
Esta sucesión pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rarse como un ejemplo <strong>de</strong> una sucesión (o conjunto) acotado que no tiene<br />
mínimo en Q pero sí lo tiene en R.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 63<br />
El ejercicio se pue<strong>de</strong> generalizar para <strong>de</strong>mostrar que las raíz cuadrada <strong>de</strong> un número racional positivo es<br />
un número real: si a es un número racional positivo, la sucesión b0 = 1, bn+1 = 1<br />
<br />
bn +<br />
2<br />
a<br />
<br />
es una sucesión<br />
an<br />
<strong>de</strong> números racionales con limite √ a.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 64<br />
Problema 32 Demostrar que la sucesión sen n no es convergente.<br />
Hacemos uso <strong>de</strong> subsucesiones para <strong>de</strong>mostrar este hecho: si la sucesión fuera convergente, toda subsucesión<br />
sería convergente al mismo límite, pero vamos a construir dos subsucesiones que en tal caso tendrían<br />
diferentes límites.<br />
Consi<strong>de</strong>remos los intervalos Im = π<br />
3π + 2mπ, 4 4 + 2mπ , m ∈ N. Dado que la amplitud <strong>de</strong> estos intervalos<br />
es mayor estrictamente que 1, necesariamente cada uno <strong>de</strong> estos intervalos contiene un número natural:<br />
sea mn ∈ N ∩ In este número y consi<strong>de</strong>remos la subsucesión bn = amn. Dado que sen amn > sen π<br />
4 =<br />
√<br />
2<br />
2 , si bn<br />
√<br />
2<br />
fuera convergente, su límite sería mayor que<br />
2 . De la misma forma, con los intervalos Jm =<br />
<br />
5π<br />
7π<br />
+ 2mπ, 4 4 + 2mπ , encontraríamos una subsucesión que, <strong>de</strong> ser convergente, tendría un límite menor<br />
√<br />
2<br />
−<br />
2 .<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 65<br />
Problema 33 Hallar los siguientes límites.<br />
x<br />
1. lím<br />
x→6<br />
2 − 6x<br />
x2 − 7x + 6<br />
2x + 6<br />
4. lím<br />
x→−3 4x2 − 36<br />
7. lím<br />
x→0 −<br />
sen x 2<br />
x 3<br />
<br />
1<br />
2. lím<br />
x→2 x − 2 −<br />
5. lím<br />
h→0<br />
8. lím<br />
x→∞<br />
6<br />
x2 <br />
+ 2x − 8<br />
1 2 3 3<br />
(x + h ) − x<br />
h<br />
<br />
|4x| + |x − 1|<br />
x<br />
1.<br />
x<br />
lím<br />
x→6<br />
2 − 6x<br />
x2 x(x − 6)<br />
x 6<br />
= lím<br />
= lím =<br />
− 7x + 6 x→6 (x − 1)(x − 6) x→6 x − 1 5<br />
2.<br />
<br />
1<br />
lím<br />
x→2 x − 2 −<br />
6<br />
x2 <br />
1<br />
= lím<br />
+ 2x − 8 x→2 x − 2 −<br />
<br />
6<br />
(x − 2)(x + 4)<br />
3.<br />
<br />
4<br />
lím − 1 t = lím (4 − t) = 4<br />
t→0 t t→0<br />
4. lím<br />
x→−3<br />
5. lím<br />
h→0<br />
2x + 6<br />
4x 2 − 36 =<br />
(x + h 2 ) 3 − x 3<br />
h<br />
2(x + 3)<br />
4(x + 3)(x − 3)<br />
= lím<br />
h→0<br />
= − 1<br />
12<br />
x 3 + h 6 + 3x 2 h 2 + 3xh 4 − x 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
h<br />
<br />
4<br />
3. lím<br />
t→0 t<br />
<br />
− 1<br />
t<br />
<br />
1<br />
6. lím<br />
x→0 x4 − 1<br />
<br />
x<br />
9. lím x sen<br />
x→∞ 1<br />
x2 = lím<br />
h→0 (h 5 + 3x 2 h + 3xh 3 ) = 0
Sucesiones y series numéricas 66<br />
<br />
1<br />
6. lím<br />
x→0 x4 − 1<br />
<br />
= lím<br />
x x→0<br />
7. lím<br />
x→0 −<br />
sen x 2<br />
x 3<br />
<br />
3 1 − x<br />
x4 <br />
= +∞<br />
= lím<br />
x→0− x2 x3 = lím<br />
x→0− 1<br />
x<br />
= −∞<br />
|4x| + |x − 1| 4x + x − 1<br />
8. lím<br />
= lím<br />
= 5<br />
x→∞ x<br />
x→∞ x<br />
9. 10. lím<br />
x→∞ x sen 1<br />
x 2 = 0: producto <strong>de</strong> función convergente a 0 por función acotada.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 67<br />
Problema 34 Resolver los siguientes límites<br />
1. lím<br />
θ→0 (θ 2 cosec 2 θ) = lím<br />
θ→0<br />
1 − cos<br />
2. lím<br />
x→0<br />
2 x<br />
x2 3. lím sen(cos x) = 0<br />
x→π/2<br />
<br />
2 2 t − π<br />
4. lím<br />
t→π cos<br />
t − π<br />
1. lím (θ<br />
θ→0 2 cosec 2 1 − cos<br />
θ) 2. lím<br />
x→0<br />
2 x<br />
x2 3. lím sen(cos x) 4. lím<br />
x→π/2 t→π cos<br />
<br />
2 2 t − π<br />
t − π<br />
θ 2<br />
sen 2 θ<br />
= lím<br />
θ→0<br />
θ2 2 = 1<br />
θ<br />
(1 − cos x)(1 + cos x)<br />
= lím<br />
x→0 x2 = lím<br />
x→0<br />
= lím<br />
t→π cos (t + π) = cos 2π = 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x2 (1 + cos x)<br />
2<br />
x2 = 1
Sucesiones y series numéricas 68<br />
Problema 35 Hallar los siguientes límites.<br />
1.<br />
√<br />
u + 4 − 3<br />
lím<br />
;<br />
u→5 u − 5<br />
√<br />
9x2 + 6<br />
4. lím ;<br />
x→∞ 5x − 1<br />
2.<br />
√ √<br />
x + h − x<br />
lím<br />
h→0 h<br />
5. lím<br />
x→−∞<br />
1. lím<br />
u→5<br />
2. lím<br />
h→0<br />
√ u + 4 − 3<br />
u − 5<br />
√ x + h − √ x<br />
h<br />
4 −<br />
3. lím<br />
x→1<br />
√ x + 15<br />
x2 − 1<br />
√<br />
9x2 + 6<br />
4. lím<br />
x→∞ 5x − 1<br />
= lím<br />
u→5<br />
= lím<br />
h→0<br />
( √ u + 4 − 3)( √ u + 4 + 3)<br />
(u − 5)( √ u + 4 + 3)<br />
= lím<br />
u→5<br />
( √ x + h − √ x)( √ x + h + √ x)<br />
h( √ x + h + √ x)<br />
4<br />
=<br />
2 − (x + 15)<br />
(x2 − 1)(4 + √ x + 15) =<br />
<br />
9 +<br />
= lím<br />
x→∞<br />
6<br />
x2 5 − 1<br />
√<br />
9 3<br />
= =<br />
5 5<br />
x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= lím<br />
h→0<br />
4 −<br />
; 3. lím<br />
x→1<br />
√ x + 15<br />
x2 − 1<br />
− 5x 2 + 6x + 3<br />
√ x 4 + x 2 + 1<br />
(u + 4) − 32 (u − 5)( √ = lím<br />
u + 4 + 3) u→5<br />
x + h − x<br />
h( √ x + h + √ x)<br />
− 1<br />
(x + 1)(4 + √ 1<br />
= −<br />
x + 15) 16<br />
= lím<br />
h→0<br />
1<br />
√ =<br />
u + 4 + 3 1<br />
6<br />
1<br />
√ √ =<br />
x + h + x 1<br />
2 √ x
Sucesiones y series numéricas 69<br />
5. lím<br />
x→−∞<br />
− 5x 2 + 6x + 3<br />
√ x 4 + x 2 + 1 = −5.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 70<br />
Problema 36 Estudiar la existencia <strong>de</strong> los siguientes límites<br />
1. lím<br />
x→0<br />
<br />
2 + sen 1<br />
x<br />
<br />
; 2. lím<br />
x→0<br />
1. Este primer límite no existe: las sucesiones xn = 1<br />
πn e yn =<br />
2 + sen 1<br />
xn<br />
x<br />
2 + sen 1<br />
; 3. lím<br />
x→0<br />
x<br />
2<br />
π(1 + 4n))<br />
= 2 + sen(πn) = 2 y 2 + sen 1<br />
yn<br />
x<br />
1 − sen 1<br />
x<br />
convergen a 0 pero<br />
= 2 + sen π<br />
2 + 2nπ = 3<br />
2. Estudiamos este límite viendo que la función es el producto <strong>de</strong> una funció convergente a 0 por una<br />
1<br />
función acotada: <strong>de</strong>mostremos que<br />
2 + sen 1<br />
x<br />
está acotada:<br />
−1 < sen 1<br />
< 1<br />
x<br />
1 = 2 − 1 < 2 + sen 1<br />
< 2 + 1 = 3<br />
1<br />
3 <<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x<br />
1<br />
2 + sen 1<br />
x<br />
< 1<br />
1
Sucesiones y series numéricas 71<br />
x<br />
3. Estudiamos el lím<br />
x→0<br />
1 − sen 1<br />
usando la caracterización secuencial; vamos <strong>de</strong>terminar dos sucesiones<br />
x<br />
convergentes a 0 y contenidas en el dominio <strong>de</strong> la función, pero cuyas imágenes tienen límites distintos.<br />
x<br />
f(x) =<br />
1 − sen 1<br />
Dom(f) = R<br />
x<br />
∗ π <br />
−1<br />
+ 2πn , n ∈ Z<br />
2<br />
−1 −1 3π<br />
π 1<br />
Consi<strong>de</strong>remos las sucesiones an = + 2πn y bn = + 2πn − que son convergentes a 0<br />
2 2 n<br />
y están contenidas en el dominio <strong>de</strong> f. En primer lugar tenemos que<br />
Y por otra parte:<br />
lím f(bn) = lím<br />
(∗)<br />
= lím<br />
= lím<br />
lím f(an) = lím<br />
<br />
π 1<br />
+ 2πn − 1 − sen<br />
2 n<br />
1<br />
<br />
π 1<br />
+ 2πn −<br />
2 n<br />
4n 3<br />
4πn 2 + 3πn − 2<br />
2<br />
π(3 + 4n)(1 − sen 3π2/2)<br />
= 0<br />
1<br />
<br />
1 − cos 1<br />
n<br />
= +∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
π 1<br />
+ 2πn −<br />
2 n<br />
(∗∗)<br />
= lím<br />
1<br />
<br />
π 1 1<br />
+ 2πn −<br />
2 n 2n2
Sucesiones y series numéricas 72<br />
En (∗) hemos utilizado la fórmula <strong>de</strong>l seno <strong>de</strong>l ángulo complementario y en (∗∗) hemos utilizado<br />
infinitésimos equivalentes.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 73<br />
Problema 37 Calcular los siguientes limites:<br />
1. lím<br />
2. lím<br />
3. lím<br />
1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2)<br />
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 1)<br />
k − m<br />
k − m + 1<br />
2k − m kn − m<br />
· · ·<br />
2k − m + 1 kn − m + 1<br />
a(a + 1) · · · (a + (n − 1))<br />
n!<br />
= a a+1<br />
· · · 1 2 a+(n−1)<br />
n<br />
, 0 < a < 1<br />
1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2)<br />
1. Sea an =<br />
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 1) y consi<strong>de</strong>remos la sucesión bn construida rellenando los huecos en el<br />
<strong>de</strong>nominador y numerador <strong>de</strong> an:<br />
bn =<br />
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · · · · · (3n − 5) · (3n − 4) · (3n − 3) · (3n − 2)<br />
2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · · · · · (3n − 4) · (3n − 3) · (3n − 2) · (3n − 1)<br />
1<br />
Por tanto, bn =<br />
3n − 1 y es convergente a 0. Por otra parte, la sucesión bn se pue<strong>de</strong> escribir como<br />
producto <strong>de</strong> 3 sucesiones, bn = xnynzn:<br />
xn = an =<br />
1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2)<br />
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 1) ; yn<br />
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 4)<br />
=<br />
3 · 6 · 9 · · · · · (3n − 3) ; zn =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3 · 6 · 9 · · · · · (3n − 3)<br />
4 · 7 · 10 · · · · · (3n − 2)
Sucesiones y series numéricas 74<br />
Estas tres sucesiones son convergentes, ya que son positivas y <strong>de</strong>crecientes:<br />
xn<br />
xn−1<br />
= 3n − 2<br />
< 1;<br />
3n − 1<br />
yn<br />
yn−1<br />
= 3n − 4<br />
< 1;<br />
3n − 3<br />
zn<br />
zn−1<br />
= 3n − 3<br />
< 1<br />
3n − 2<br />
Si lím xn = ℓ1, lím yn = ℓ2, lím zn = ℓ3, entonces ℓ1ℓ2ℓ3 = 0 y por tanto, uno <strong>de</strong> los tres límites es nulo.<br />
n<br />
Teniendo en cuanta el crecimiento <strong>de</strong> la sucesión , <strong>de</strong>ducimos las siguientes <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s:<br />
n + 1<br />
xn < yn < zn < 2xn<br />
Y por tanto, si una converge a cero, las <strong>de</strong>más también, en particular, lím an = 0.<br />
2. El calculo <strong>de</strong>l apartado anterior se pue<strong>de</strong> generalizar a cualquier par <strong>de</strong> naturales k y m. La sucesión<br />
k − m<br />
bn =<br />
se escribe como producto <strong>de</strong> k sucesiones <strong>de</strong>crecientes y acotadas y en consecuencia<br />
nk − m + 1<br />
convergentes a 0; entre ellas se encuentra la sucesión estudiada e igual que antes, la convergencia a 0<br />
<strong>de</strong> una <strong>de</strong> ella permite concluir que todas las <strong>de</strong>más tambien convergen a 0.<br />
a(a + 1) · · · (a + (n − 1))<br />
3. Sea an = =<br />
n!<br />
a<br />
1<br />
es <strong>de</strong>cir, tal que a < 1 − 1;<br />
entonces:<br />
k<br />
a + 1<br />
2<br />
· · ·<br />
a + (n − 1)<br />
, 0 < a < 1; sea k ∈ N tal que 1 − a ><br />
n<br />
1<br />
k ,<br />
2 − 1<br />
k<br />
an = a a + 1 a + (n − 1)<br />
· · · <<br />
1 2 n<br />
1 − 1<br />
1 n − k<br />
k k − 1 2k − 1 nk − 1<br />
· · · = · · ·<br />
1 2 n k 2k nk<br />
La sucesión mayorante es la estudiada en el apartado anterior para m = 1 y, en consecuencia, es<br />
convergente a 0, por lo que el límite <strong>de</strong> an es también 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 75<br />
Problema 38 (Criterio <strong>de</strong> Pringsheim). Supongamos que lím n c an = 0 siendo an una sucesión <strong>de</strong><br />
términos positivos. Probar que:<br />
1. Si c > 1 entonces, Σan converge.<br />
2. Si c ≤ 1 entonces, Σan no converge.<br />
Este criterio es un caso particular <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> comparación por paso al límite. Si lím ncan = lím an<br />
1<br />
nc = 0,<br />
el criterio <strong>de</strong> comparación por paso al límite nos dice que la serie an tiene el mismo carácter que la serie<br />
c-armónica y en consecuencia: si c > 1 la serie converge y si c ≤ 1 la serie diverge.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 76<br />
Problema 39 Sea {an} una sucesión <strong>de</strong> términos positivos. Probar que si<br />
∞<br />
n=1<br />
∞<br />
an es convergente, entonces<br />
a 2 n también lo es. ¿Es cierto el resultado si la serie no es <strong>de</strong> términos positivos? ¿Es cierto el recíproco?<br />
Dado que la serie es <strong>de</strong> términos positivos, po<strong>de</strong>mos aplicar el criterio <strong>de</strong> comparación por paso al límite:<br />
lím a2 n<br />
an<br />
= lím an = 0<br />
Este límite efectivamente vale 0 por la condición necesaria. Dado que la serie asociada a la sucesión <strong>de</strong>l<br />
<strong>de</strong>nominador es convergente, el criterio <strong>de</strong> comparación permite <strong>de</strong>ducir que la serie asociada al numerador<br />
tambien.<br />
pero<br />
∞<br />
n=1<br />
El que la serie sea <strong>de</strong> términos positivos es una condición necesaria: la serie<br />
∞<br />
n=1<br />
<br />
n 2<br />
(−1)<br />
√ =<br />
n<br />
∞<br />
1<br />
no lo es.<br />
n<br />
n=1<br />
Por otra parte, el recíproco tampoco es cierto: la serie<br />
1<br />
4√ n 3<br />
no lo es.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∞<br />
√1 n3 =<br />
n=1<br />
∞<br />
n=1<br />
n=1<br />
∞<br />
n=1<br />
2 1<br />
4√<br />
n3 (−1) n<br />
√ n es convergente,<br />
es convergente, pero
Sucesiones y series numéricas 77<br />
Problema 40<br />
1. Demostrar que si<br />
∞<br />
n=an<br />
es convergente y<br />
∞<br />
n=bn<br />
es divergente, entonces<br />
2. Dar un ejemplo <strong>de</strong> dos series divergentes cuya suma sea convergente.<br />
1. Si<br />
∞<br />
an + bn) fuera convergente, entonces<br />
n=(<br />
n=1<br />
∞<br />
n=bn<br />
con lo supuesto.<br />
∞<br />
<br />
1<br />
2. La series<br />
n2 − 1<br />
∞<br />
1<br />
y son divergentes mientras que<br />
n n<br />
es convergente.<br />
n=1<br />
∞<br />
n=1<br />
=<br />
∞<br />
an + bn) es divergente.<br />
n=(<br />
∞<br />
an + bn − an) también lo sería, e contradicción<br />
n=(<br />
<br />
1 1 1<br />
2 − + =<br />
n n n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∞ 1<br />
n2 n=1
Sucesiones y series numéricas 78<br />
Problema 41 Consi<strong>de</strong>remos la serie<br />
vamente; <strong>de</strong>mostrar que entonces:<br />
1. Si q − p ≤ 1 la serie diverge.<br />
2. Si q − p > 1 la serie converge<br />
∞ P (n)<br />
don<strong>de</strong> P y Q son dos polinomios <strong>de</strong> grados p y q respecti-<br />
Q(n)<br />
n=1<br />
El resultado es consecuencia <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> comparación, ya que la serie propuesta tiene el mismo carácter<br />
que la serie (q − p)-armónica, 1<br />
q−p . Debemos observar, sin embargo, que po<strong>de</strong>mos aplicar el criterio <strong>de</strong><br />
n<br />
comparación; teniendo en cuenta que la serie es un cociente <strong>de</strong> polinomios, po<strong>de</strong>mos concluir que numerador<br />
y <strong>de</strong>nominador tienen signo constante a partir <strong>de</strong> un natural N, cualquier natural mayor que todas las raíces<br />
<strong>de</strong> los polinomios P y Q. Por lo tanto, el cociente es siempre positivo o siempre negativo a partir <strong>de</strong> este<br />
natural N, y po<strong>de</strong>mos aplicar el criterio <strong>de</strong> comparación.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 79<br />
Problema 42 Aplicar el ejercicio anterior para <strong>de</strong>cidir el carácter <strong>de</strong> las siguientes series.<br />
1. n<br />
(n + 1) 3<br />
4. n + 2<br />
(n + 1) √ n + 3<br />
7. 1<br />
3√<br />
n2 − 1<br />
1. n<br />
es convergente.<br />
(n + 1) 3<br />
2. (9 − a 2 )n 3 + 3n 2 + 1<br />
7n 4 − 1<br />
3. 4n 2 − n + 3<br />
n 3 + 2n<br />
es divergente.<br />
2. (9 − a2 )n3 + 3n2 + 1<br />
7n4 − 1<br />
5. n + √ n<br />
2n3 − 1<br />
es convergente si y solo si a 2 = 9<br />
3. 4n2 − n + 3<br />
n3 + 2n<br />
6. n + 3<br />
(n − 1) √ n − 1 − n<br />
En las cuatro series restantes no po<strong>de</strong>mos utilizar directamente el ejercicio anterior, puesto que la expresiones<br />
no son polinómicas; en ellas aparecen expresiones con raíces que tienen un comportamiento similar.<br />
4. n + 2<br />
(n + 1) √ n + 3 tiene el mismo carácter que 1<br />
√n , que es divergente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 80<br />
5. n + √ n<br />
2n3 − 1 tiene el mismo caracter que 1<br />
, que es convergente.<br />
n2 6. n + 3<br />
(n − 1) √ n − 1 − n tiene el mismo carácter que 1<br />
√n , que es divergente.<br />
7. 1<br />
3√ tiene el mismo caracter que<br />
n2 − 1 1<br />
, que es divergente.<br />
n2/3 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 81<br />
Problema 43<br />
1. Demostrar que si R es una función racional y |r| = 1, entonces la serie<br />
∞<br />
R(n)rn converge si y solo<br />
si |r| < 1. (Para el caso r = 1, ver el ejercicio 41.)<br />
∞<br />
2. Demostrar que la serie (−1)<br />
n=1<br />
n P (n)<br />
don<strong>de</strong> P es un polinomio <strong>de</strong> grado p y Q un polinomio <strong>de</strong> grado<br />
Q(n)<br />
q verifica:<br />
a) Si q − p ≥ 21 la serie converge absolutamente.<br />
b) Si q − p = 1 la serie converge condicionalmente.<br />
c) Si q − p ≤ 0 la serie diverge.<br />
1.<br />
P (n)<br />
Supongamos que R(n) = don<strong>de</strong> P es un polinomio <strong>de</strong> grado p y Q un polinomio <strong>de</strong> grado q.<br />
Q(n)<br />
Entonces, por el ejercicio 17 se verifica que:<br />
<br />
<br />
lím <br />
P (n)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
α − log |r|<br />
n<br />
= 0 si y solo si |r| < 1<br />
Q(n) rn<br />
λnp−q<br />
= lím<br />
(en = lím λ<br />
− log |r| )<br />
e n<br />
A<strong>de</strong>más, en este caso la serie converge absolutamente, lo que se <strong>de</strong>muestra con el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
<br />
<br />
lím <br />
P (n + 1)Q(n)r<br />
<br />
n+1<br />
Q(n + 1)P (n)rn <br />
<br />
<br />
= |r| < 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
n=1
Sucesiones y series numéricas 82<br />
2. Consi<strong>de</strong>remos la serie<br />
∞<br />
n=1<br />
(−1) n P (n)<br />
Q(n)<br />
Si q − p ≥ 2 la serie converge absolutamente: ejercicio 41.<br />
don<strong>de</strong> P es un polinomio <strong>de</strong> grado p y Q un polinomio <strong>de</strong> grado q:<br />
Si q − p ≤ 01 la serie diverge, ya que no verifica la condición necesaria.<br />
Si q − p = 1 la serie converge condicionalmente; esto se razona por el criterio <strong>de</strong> Leibniz: En<br />
<br />
primer lugar observamos que lím P<br />
(n) <br />
<br />
Q(n) = 0; a<strong>de</strong>más, por ser cociente <strong>de</strong> polinomios, la función<br />
P ′ (x)/Q ′ (x) es positiva o negativa en un intervalo [N, +∞) y por lo tanto, P (x)/Q(x) es creciente,<br />
y por lo tanto negativa, en [N, +∞) o es <strong>de</strong>creciente, y por lo tanto positiva, en [N, +∞); en<br />
<br />
cualquiera <strong>de</strong> los casos, la sucesion P<br />
(n) <br />
<br />
Q(n) es <strong>de</strong>creciente para n ≥ N.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 83<br />
Problema 44 Determinar el carácter <strong>de</strong> las siguientes series.<br />
1. n 2 + 1<br />
n5 n 2. 3 n<br />
4. 2n n2 + 1<br />
7. an n<br />
5. n 2<br />
n · 5 n 3. 2 n−1<br />
(3n + 2) · n 4/3<br />
e n<br />
8. n · a n<br />
6. n + 1<br />
a n<br />
Todas estas series son casos particulares <strong>de</strong>l ejercicio anterior; utilizaremos el criterio <strong>de</strong>l cociente en los<br />
tres primeros apartados y el ejercicio anterior en el resto.<br />
1. n 2 + 1<br />
n5 n<br />
es convergente: lím ((n + 1)2 + 1)n5n (n + 1)5n+1 (n2 1<br />
= < 1<br />
+ 1) 5<br />
2. 3n n es convergente: lím<br />
n · 5 3n+1n5n (n + 1)5n+13n = 3<br />
< 1<br />
5<br />
3. 2n−1 es divergente: lím<br />
4/3 (3n + 2) · n 2n (3n + 2) · n4/3 (3n + 5)(n + 1) 4/3 n−1 = 2 > 1<br />
2<br />
4. 2 n<br />
n 2 + 1<br />
es divergente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 84<br />
5. n 2<br />
6. n + 1<br />
n es convergente.<br />
e<br />
a n<br />
es absolutamente convergente si |a| > 1 y condicionalmente convergente si a = −1; en los<br />
otros casos, es divergente.<br />
7. an es absolutamente convergente si |a| < 1 y condicionalmente convergente si a = −1; en los otros<br />
n<br />
casos, es divergente.<br />
8. n · a n es absolutamente convergente si |a| < 1 y condicionalmente convergente si a = −1; en los<br />
otros casos, es divergente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 85<br />
Problema 45 Estudiar el carácter <strong>de</strong> las siguientes series.<br />
1. n!<br />
n n<br />
4. log na n!<br />
7. nn n!<br />
10. (n!) 2<br />
(2n)!<br />
2. (n!) 2 · 4n (2n)!<br />
5. n! an nn 8. n · an (n + 1)!<br />
11. (n!) c<br />
(3n)!<br />
3. (a + 1) · · · (a + n)<br />
n!<br />
6. na n!<br />
9. xn n!<br />
12. (n!) 3<br />
(an)!<br />
1. n!<br />
n es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
n<br />
2. (n!) 2 · 4 n<br />
(2n)!<br />
lím<br />
(n + 1)!nn<br />
(n + 1) n+1 n!<br />
(n + 1)nn nn 1<br />
= lím n+1 = lím n =<br />
(n + 1) (n + 1) e<br />
es divergente, aunque el criterio <strong>de</strong>l cociente no lo <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>:<br />
lím ((n + 1)!)2 4 n+1 (2n)!<br />
(2n + 2)!(n!) 2 4 n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
4(n + 1)<br />
= lím<br />
2<br />
(2n + 2)(2n + 1)<br />
= 1<br />
< 1
Sucesiones y series numéricas 86<br />
Sin embargo, <strong>de</strong>l cálculo realizado <strong>de</strong>ducimos que:<br />
an+1<br />
an<br />
= lím<br />
4(n + 1) 2<br />
(2n + 2)(2n + 1) = lím 4n2 + 8n + 4<br />
4n2 > 1<br />
+ 6n + 2)<br />
y en consecuencia la sucesión es creciente y no pue<strong>de</strong> converger a 0. Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>ducir esto directamente<br />
usando la fórmula <strong>de</strong> Stirling:<br />
lím (n!)2 · 4 n<br />
(2n)! = lím (nn e −n√ 2πn) 2 4 n<br />
(2n) 2n e −2n√ 2π2n = lím 2n2n e −2n πn4 n<br />
2 · 4 n n 2n e −2n√ πn = lím √ πn = +∞<br />
3. (a + 1) · · · (a + n)<br />
; estudiamos el carácter según el valor <strong>de</strong> a:<br />
n!<br />
Si a es un entero negativo no nulo, a partir <strong>de</strong>l lugar N = −a, todos los términos se anulan, y<br />
por tanto la serie es una suma finita.<br />
Para a = 0 la serie es 1 · 2 · · · n<br />
=<br />
n!<br />
1, y por tanto divergente.<br />
Solo nos queda estudiar el carácter para a ∈ Z− ∪{0}; el criterio <strong>de</strong>l cociente no <strong>de</strong>ci<strong>de</strong> el carácter,<br />
lím an+1<br />
an<br />
= lím<br />
(a + 1) · · · (a + n)(a + n + 1) n!<br />
(n + 1)! (a + 1) · · · (a + n)<br />
= lím<br />
n + a + 1<br />
n + 1<br />
pero la simplificación permite <strong>de</strong>ducir que se trata <strong>de</strong> una serie hipergeométrica, que es convergente<br />
si y solo si a < −1.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 1
Sucesiones y series numéricas 87<br />
4. log na n!<br />
es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong>l cociente (hacemos uso <strong>de</strong> los infinitos equivalentes<br />
<strong>de</strong>l ejercicio 17):<br />
5. n! a n<br />
n n<br />
absoluta:<br />
lím an+1<br />
an<br />
= lím<br />
a log(n + 1)<br />
(n + 1)!<br />
n!<br />
a log n<br />
= lím log(n + 1)<br />
(n + 1) log n<br />
1<br />
= lím = 0 < 1<br />
n + 1<br />
converge si y solo si |a| < 1. Utilizamos el criterio <strong>de</strong>l cociente para estudiar la convergencia<br />
lím |an+1|<br />
|an|<br />
= lím (n + 1)!|a|n+1<br />
(n + 1) n+1<br />
nn n n<br />
n = lím |a| =<br />
n!|a| n + 1<br />
|a|<br />
e<br />
Por tanto, si |a| < e la serie converge; a<strong>de</strong>más, <strong>de</strong>l cálculo anterior <strong>de</strong>ducimos que<br />
|an+1|<br />
|an|<br />
= |a|<br />
n<br />
n + 1<br />
n<br />
> |a|<br />
e<br />
y por lo tanto, si |a| > e, la serie no converge por no verificar la condición necesaria.<br />
Finalmente, para a = ±e tampoco se verifica la condición necesaria:<br />
lím n!en<br />
nn = lím nne−n√2πn en nn <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= lím √ 2πn = +∞
Sucesiones y series numéricas 88<br />
6. n a<br />
n!<br />
7. n n<br />
n!<br />
es convergente para todo a, según establece el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
lím an+1<br />
an<br />
<br />
(n + 1)a n! n + 1<br />
= lím a = lím<br />
(n + 1)! n n<br />
es divergente, según establece el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
lím an+1<br />
an<br />
= lím<br />
(n + 1)n+1<br />
(n + 1)!<br />
n!<br />
n = lím<br />
n<br />
a<br />
n + 1<br />
n<br />
1<br />
n + 1<br />
n<br />
= 0 < 1<br />
= e > 1<br />
8. n · an es absolutamente convergente para todo a.<br />
(n + 1)!<br />
Si a = 0, la serie es constantemente nula y por tanto convergente. Para a = 0, estudiamos la convergencia<br />
absoluta con el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
9. x n<br />
n!<br />
lím |an+1|<br />
|an|<br />
= lím (n + 1)|a|n+1<br />
(n + 2)!<br />
(n + 1)! |a|(n + 1)<br />
n = lím<br />
n |a| n(n + 2)<br />
es absolutamente convergente para todo x, según establece el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
lím |an+1|<br />
|an|<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
|x|n+1 n! |x|<br />
= lím n = lím = 0<br />
(n + 1)! |x| n + 1<br />
= 0
Sucesiones y series numéricas 89<br />
10. (n!) 2<br />
(2n)!<br />
es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
lím<br />
((n + 1)!)2<br />
(2n + 2)!<br />
11. (n!) c<br />
; utilizamos el criterio <strong>de</strong>l cociente:<br />
(3n)!<br />
lím an+1<br />
an<br />
= lím<br />
((n + 1)!)c<br />
(3n + 3)!<br />
(2n)!<br />
2 = lím<br />
(n!)<br />
Si c < 3, entonces ℓ = 0 y la serie converge.<br />
(3n)!<br />
c = lím<br />
(n!)<br />
si c = 3, entonces ℓ = 1/27 < 1 y la serie converge.<br />
Si c > 3, entonces ℓ = +∞ y la serie diverge.<br />
lím an+1<br />
an<br />
(n + 1) 2<br />
(2n + 1)(2n + 2)<br />
= 1<br />
4<br />
< 1<br />
(n + 1) c<br />
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)<br />
12. (n!) 3<br />
; para que tenga sentido la serie, a <strong>de</strong>be ser un número natural; utilizamos el criterio <strong>de</strong>l<br />
(an)!<br />
cociente:<br />
((n + 1)!)3 (an)!<br />
(n + 1)<br />
= lím 3 = lím<br />
(an + a)! (n!) 3<br />
= ℓ<br />
(an + a) · · · (an + 1)<br />
Si a > 3, entonces ℓ = 0 y la serie converge.<br />
Si a = 3, entonces ℓ = 1/27 < 1 y la serie converge.<br />
Si a = 1 o a = 2, ℓ = +∞ y la serie diverge.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= ℓ
Sucesiones y series numéricas 90<br />
Problema 46 Estudiar el carácter <strong>de</strong> las siguientes series.<br />
1+ 1<br />
1. a<br />
1<br />
1+ 2<br />
3. 1 + 1<br />
1 + · · · + 2 n<br />
n3 +···+ 1<br />
n 2. 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)<br />
5. 1 + 2 1 + · · · + 2 n<br />
4 n<br />
1. a 2<br />
equivalentes para el cálculo <strong>de</strong>l límite):<br />
<br />
lím n 1 − an+1<br />
<br />
= lím n 1 − a 1/n+1 = lím<br />
2 · 4 · · · (2n)<br />
4. 2 + 4 + 8 + · · · + 2n 3n 6. n + 2n + · · · + n2 n5 +···+ 1<br />
n , a > 0; estudiamos la convergencia usando el criterio <strong>de</strong> Raabe (usamos infinitésimos<br />
an<br />
− n log a<br />
n + 1<br />
= − log a<br />
Por tanto, si a > 1<br />
1<br />
1<br />
, la serie diverge y si a < , la serie converge. Estudiamos el caso a =<br />
e e e por<br />
comparación con la serie 1<br />
elog n = 1<br />
, que es divergente:<br />
n<br />
lím<br />
1 1<br />
+···+<br />
e1+ 2 n<br />
= log n e<br />
lím e<br />
En resumen, la serie converge si y solo si 0 < a < 1<br />
e .<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 1<br />
1+ +···+ 2 n −log n = e γ = 0
Sucesiones y series numéricas 91<br />
2. 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)<br />
es divergente, según establece el criterio <strong>de</strong> Raabe:<br />
2 · 4 · · · (2n)<br />
<br />
<br />
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) 2 · 4 · · · (2n)<br />
2n + 1<br />
lím n 1 − = lím n 1 − = lím<br />
2 · 4 · · · (2n + 2) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)<br />
2n + 2<br />
n 1<br />
=<br />
2n + 2 2<br />
Obsérvese que por el cálculo realizado, po<strong>de</strong>mos concluir que la serie es hipergeométrica.<br />
3. 1 + 1<br />
1 + · · · + 2 n<br />
n3 es convergente. La forma <strong>de</strong> la serie hace que los criterios <strong>de</strong>l cociente, <strong>de</strong> la raíz<br />
o <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación no sean a<strong>de</strong>cuados; usaremos el criterio <strong>de</strong> comparación.<br />
1 + 1 1<br />
+ · · · +<br />
2 n<br />
n3 < 1 + · · · + 1<br />
n 3<br />
= n 1<br />
3 =<br />
n n2 Dado que la serie mayorante es convergente, la serie propuesta también.<br />
Po<strong>de</strong>mos usar también infinitos equivalentes para <strong>de</strong>ducir que la serie propuesta tiene el mismo carácter<br />
que log n<br />
n 3 ; el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación permite <strong>de</strong>ducir fácilmente la convergencia <strong>de</strong> esta serie.<br />
4. 2 + 4 + 8 + · · · + 2 n<br />
3 n<br />
es convergente. Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cidirlo <strong>de</strong> dos formas:<br />
En primer lugar, po<strong>de</strong>mos observar que la sucesión <strong>de</strong>l numerador es la suma parcial n-ésima <strong>de</strong><br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 92<br />
una serie geométrica y por tanto:<br />
2 + 4 + 8 + · · · + 2 n<br />
3 n<br />
= 2 n+1 − 2<br />
3 n<br />
Al ser suma <strong>de</strong> dos series geométricas <strong>de</strong> razones 2/3 y 1/3 respectivamente, <strong>de</strong>ducimos que la serie<br />
es convergente.<br />
En lugar <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntificar la serie, po<strong>de</strong>mos utilizar el teorema <strong>de</strong> compresión:<br />
2 + 4 + 8 + · · · + 2 n<br />
3 n<br />
< 2n + · · · + 2 n<br />
3 n<br />
Dado que la serie mayorante es convergente, por ser aritmético-geométrica <strong>de</strong> razón 2/3, <strong>de</strong>ducimos<br />
que la serie propuesta también lo es.<br />
5. 1 + 21 + · · · + 2n 4n ; siguiendo el mismo razonamiento <strong>de</strong>l apartado anterior, <strong>de</strong>ducimos que es convergente.<br />
6. n + 2n + · · · + n 2<br />
n 5<br />
= 1 + 2 + · · · + n<br />
n 4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= n(n + 1)<br />
2n 4<br />
= n<br />
2<br />
3<br />
es convergente.<br />
n
Sucesiones y series numéricas 93<br />
Problema 47 Estudiar el carácter <strong>de</strong> las siguientes series:<br />
1. 1<br />
(log n) n<br />
4. n n<br />
(2n + 1) n<br />
2. <br />
n + 1<br />
log<br />
n − 1<br />
5. <br />
n<br />
7n + 4<br />
n<br />
4n−2<br />
1. 1<br />
n es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong> la raíz:<br />
(log n)<br />
lím n√ an = lím 1<br />
= 0 < 1<br />
log n<br />
2. <br />
n + 1<br />
n log es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong> la raíz:<br />
n − 1<br />
lím n√ an = lím log<br />
n + 1<br />
n − 1<br />
3. <br />
n + 1<br />
n +<br />
n<br />
2n<br />
−n n − 1<br />
= 0 < 1<br />
3. <br />
n + 1<br />
n +<br />
n<br />
2n<br />
−n es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong> la raíz:<br />
n − 1<br />
lím n√ <br />
n + 1<br />
n an = lím<br />
+<br />
n<br />
2n<br />
−n = (e + 2)<br />
n − 1<br />
−1 < 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 94<br />
4. nn n es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong> la raíz:<br />
(2n + 1)<br />
5. <br />
n<br />
7n + 4<br />
4n−2<br />
lím n√ an = lím n 1<br />
= < 1<br />
2n + 1 2<br />
es convergente, según establece el criterio <strong>de</strong> la raíz:<br />
lím n√ <br />
an = lím<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
n<br />
7n + 4<br />
4n−2<br />
n<br />
= 1<br />
4 < 1<br />
7
Sucesiones y series numéricas 95<br />
Problema 48 Estudiar el carácter <strong>de</strong> las series:<br />
1. √ √ <br />
n + 1 − n 2. √ <br />
n2 + 1 − n 3. ( √ na + 1 − √ na )<br />
4. n a ( √ n + 1 − 2 √ n + √ n − 1) 5. log n<br />
2n3 6.<br />
− 1<br />
1<br />
7.<br />
log n<br />
n + 1<br />
log<br />
n + 2<br />
8. 1<br />
n(log n) 2<br />
9. 1<br />
(log n) r<br />
10. sin 4 n<br />
n2 11. 1 + sin 3 n<br />
nn 12. 2 πn<br />
n · cos 3<br />
2n 13. sin3 n<br />
n4 14. 1 + cos2 n<br />
n3 15. sen nx<br />
n2 16. sen 1<br />
n<br />
17. 1<br />
1 + an (a > 0)<br />
Aunque las diferencias <strong>de</strong> raíces son difíciles <strong>de</strong> tratar, el uso <strong>de</strong> los conjugados armónicos disminuye<br />
estas dificulta<strong>de</strong>s, como vemos en este ejercicio.<br />
Por otra parte, en este ejercicio usamos varias veces los criterios <strong>de</strong> comparación y <strong>de</strong>bemos recordar que<br />
es necesario que la serie a la que se le aplica sea <strong>de</strong> términos positivos; en caso <strong>de</strong> que la serie no sea <strong>de</strong><br />
términos positivos, podremos estudiar la convergencia absoluta.<br />
1. √ n + 1 − √ n = n + 1 − n<br />
√ n + 1 + √ n es divergente, ya que tiene el mismo carácter que 1<br />
√n .<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 96<br />
2. √ <br />
n2 + 1 − n = 1<br />
√ es divergente, ya que tiene el mismo carácter que<br />
n2 + 1 + n 1<br />
n .<br />
3. ( √ na + 1 − √ na ) = 1<br />
√ √<br />
na + 1 + na tiene el mismo carácter que 1<br />
, que converge si y<br />
a/2 n<br />
solo si a > 2.<br />
4. n a ( √ n + 1 − 2 √ n + √ n − 1) = n a (√n + 1 + √ n − 1) 2 − 4n<br />
√ √ √<br />
n + 1 + 2 n + n − 1<br />
= 2n a<br />
√<br />
n2 − 1 − n<br />
√ √ √<br />
n + 1 + 2 n + n − 1<br />
= − 2na ( √ n2 − 1 + n) √ n + 1 + 2 √ n + √ n − 1<br />
Por tanto, la serie tiene el mismo carácter que 1<br />
1<br />
que converge si y solo si a < (3/2)−a n 2 .<br />
5. log n<br />
2n3 ; haciendo uso <strong>de</strong> infinitos equivalentes, <strong>de</strong>ducimos que esta serie tiene el mismo carácter<br />
− 1<br />
que log n<br />
n3 y esta, a su vez, por el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación, tiene el mismo carácter que (log 2) k<br />
,<br />
4k que es convergente por ser aritmético-geométrica <strong>de</strong> razón 1/4.<br />
6. 1<br />
log n ; por el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación, tiene el mismo carácter que 2k , que es divergente,<br />
k log 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 97<br />
ya que no verifica la condición necesaria:<br />
lím<br />
k→+∞<br />
2 k<br />
k<br />
= lím<br />
k→+∞<br />
(Hemos hecho uso <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Stöltz-Cesaro.)<br />
2 k+1 − 2 k<br />
k + 1 − k<br />
= lím<br />
k→+∞ 2k = +∞<br />
7. n + 1<br />
log<br />
n + 2 = − n + 2<br />
log ; haciendo uso <strong>de</strong> infinitos equivalentes, <strong>de</strong>ducimos que (la serie <strong>de</strong><br />
n + 1<br />
términos positivos) tiene el mismo carácter que 1<br />
, que es divergente.<br />
n + 1<br />
8. 1<br />
n(log n) 2 ; por el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación, esta serie tiene el mismo carácter que 1<br />
(log 2) 2 2 ,<br />
k<br />
que es convergente.<br />
9. 1<br />
2<br />
r ; por el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación, esta serie tiene el mismo carácter que<br />
(log n)<br />
k<br />
k<br />
kr r que es<br />
(log 2)<br />
divergente, según se establece en el ejercicio 43. Obsérvese que para aplicar el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación<br />
es necesario que r > 0, pero, en caso contrario, el límite <strong>de</strong>l término general es +∞ y en consecuencia<br />
la serie tampoco converge.<br />
10. sin 4 n<br />
n 2<br />
es convergente, ya que 0 < sin4 n<br />
n 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
≤ 1<br />
n2 y la serie 1<br />
es convergente.<br />
n2
Sucesiones y series numéricas 98<br />
11. 1 + sin 3 n<br />
n n<br />
convergente.<br />
es convergente, ya que 0 ≤ 1 + sin3 n<br />
nn ≤ 2<br />
nn ≤ 2<br />
n3 si n > 3 y la serie 1<br />
es<br />
n3 12. 2 πn n · cos 3<br />
2n es convergente, ya que 0 <<br />
aritmético-geométrica <strong>de</strong> razón 1/2.<br />
13. sin 3 n<br />
n 4<br />
14. 1 + cos 2 n<br />
n 3<br />
n · cos 2 πn<br />
3<br />
2 n<br />
es absolutamente convergente, ya que | sin3 n|<br />
n 4<br />
es convergente, ya que 0 ≤ 1 + cos2 n<br />
n 3<br />
15. sen nx<br />
n2 es absolutamente convergente para todo x ∈ R, ya que 0 ≤<br />
es convergente.<br />
≤ n<br />
2n y la serie n<br />
n es convergente por ser<br />
2<br />
≤ 1<br />
n4 y la serie 1<br />
es convergente.<br />
n4 ≤ 1<br />
n3 y la serie 1<br />
es convergente.<br />
n3 | sen nx|<br />
n 2<br />
≤ 1<br />
n 2 y la serie 1<br />
n 2<br />
16. sen 1<br />
; haciendo uso <strong>de</strong> infinitésimos equivalentes, <strong>de</strong>ducimos que la serie tiene el mismo carácter<br />
n<br />
que 1<br />
, que es divergente.<br />
n<br />
17. 1<br />
n , a > 0, converge si y solo si a > 1. Estudiamos en primer lugar la condición necesaria:<br />
1 + a<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 99<br />
Si a = 1, entonces<br />
1<br />
1 + an = 1<br />
2<br />
y la serie es divergente.<br />
Si a < 1, entonces lím 1<br />
1 + a n = 1 y la serie es divergente.<br />
Si a > 1, entonces lím 1<br />
1 + a n = 0 y seguimos estudiando la serie.<br />
Para a > 1, la serie tiene el mismo carácter que 1<br />
n , que es convergente:<br />
a<br />
1 + an<br />
lím<br />
an <br />
1<br />
= lím n + 1 = 1<br />
a<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 100<br />
Problema 49 Estudiar el carácter <strong>de</strong> las siguientes series.<br />
1. (−1) n<br />
2.<br />
2n<br />
(−1) n 1<br />
n log n<br />
4. n log n<br />
(−1) 5.<br />
n<br />
<br />
1 1<br />
−<br />
n n!<br />
7. n!<br />
(−2) n 8. (−1) n<br />
√ √<br />
n + n + 1<br />
3. (−1) n−1<br />
n√<br />
5<br />
6. n (n!)2<br />
(−1)<br />
(2n)!<br />
9. (−1) n<br />
<br />
n(n + 1)<br />
1. (−1) n<br />
2n es condicionalmente convergente, ya que 1<br />
es divergente pero la serie converge por el<br />
2n<br />
es <strong>de</strong>creciente y convergente a 0.<br />
criterio <strong>de</strong> Leibniz: an = 1<br />
n<br />
2. (−1) n 1<br />
n log n es condicionalmente convergente. Por el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsacion, la serie 1<br />
n log n<br />
tiene el mismo carácter que 1<br />
k(log 2) que es divergente; por otra parte, las sucesión an<br />
1<br />
=<br />
n log n<br />
es <strong>de</strong>creciente y convergente a 0 y por lo tanto, por el criterio <strong>de</strong> Leibniz, la serie es efectivamente<br />
convergente.<br />
3. (−1) n−1<br />
n√ 5<br />
no es convergente, ya que el límite lím (−1)n−1<br />
n√ 5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
no existe.
Sucesiones y series numéricas 101<br />
4. n log n<br />
(−1) es condicionalmente convergente. El criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación permite afirmar que la<br />
n<br />
serie no converge absolutamente. Por otra parte, en el ejercicio 22 <strong>de</strong>mostramos que la sucesión an =<br />
log n<br />
log x<br />
es convergente a 0 y, a<strong>de</strong>más, es <strong>de</strong>creciente: basta observar que la función f(x) = es<br />
n<br />
x<br />
<strong>de</strong>creciente en [3, ∞) ya que f ′ 1 − log x<br />
(x) =<br />
x2 < 0 en ese intervalo; por lo tanto, el criterio <strong>de</strong> Leibniz,<br />
permite afirmar que la serie es condicionalmente convergente.<br />
5. <br />
1 1<br />
− . La serie<br />
n n!<br />
1<br />
n es divergente y la serie 1<br />
es convergente (ejercicio 45(9) para x = 1);<br />
n!<br />
entonces, según se establece en el ejercicio 40, la serie propuesta es divergente.<br />
6. n (n!)2<br />
(−1)<br />
(2n)!<br />
es absolutamente convergente: ver ejercicio 45(10).<br />
7. n!<br />
n (−2)<br />
es divergente, ya que no verifica la condición necesaria (hacemos uso <strong>de</strong> la fórmula <strong>de</strong><br />
Stirling):<br />
lím n!<br />
2n = lím e−nnn√2πn 2n = lím √ n n<br />
2πn = +∞<br />
2e<br />
y por lo tanto, el límite lím n!<br />
(−2) n no existe.<br />
8. (−1) n<br />
√ n + √ n + 1 es condicionalmente convergente. La serie <strong>de</strong> valores absolutos tiene el mismo<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 102<br />
carácter que 1<br />
√n , que es divergente, pero la serie propuesta verifica las condiciones <strong>de</strong>l crite-<br />
rio <strong>de</strong> Leibniz: las sucesiones √ n y √ n + 1 son crecientes y divergentes a infinito, y por lo tanto,<br />
1<br />
√ n + √ n + 1 es <strong>de</strong>creciente y convergente a 0.<br />
9. (−1) n<br />
n(n + 1) es condicionalmente convergente. La serie <strong>de</strong> valores absolutos tiene el mismo carácter<br />
que 1<br />
, que es divergente, pero la serie propuesta verifica las condiciones <strong>de</strong>l criterio <strong>de</strong> Leibniz:<br />
n<br />
las sucesiones √ n y √ 1<br />
n + 1 son crecientes y divergentes a infinito, y por lo tanto, es<br />
n(n + 1)<br />
<strong>de</strong>creciente y convergente a 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 103<br />
Problema 50 Sumar las siguientes series aritmético-geométricas y geométricas.<br />
1.<br />
∞<br />
2n + 1<br />
10n ; 2.<br />
∞<br />
2n+3 3n ; 3.<br />
∞<br />
(−1) n+1 1<br />
2n ; 4.<br />
1.<br />
n=2<br />
n=1<br />
n=1<br />
∞<br />
(−1) n+1 n<br />
2n En lugar <strong>de</strong> aplicar las correspondientes fórmulas utilizaremos el correspondiente método.<br />
9Sn<br />
10<br />
Sn = 5 7 2n + 1<br />
2 + 3 + · · · +<br />
10 10 10n Sn 5 7 2n + 1<br />
= 3 + 4 + · · · +<br />
10 10 10 10n+1 9Sn 5 2 2 2 2n + 1<br />
= 2 + 3 + 4 + · · · + n −<br />
10 10 10 10 10 10n+1 9Sn 5 2 2<br />
2 2n + 1<br />
= 3 + 4 + 5 + · · · + n+1 −<br />
100 10 10 10 10 10n+2 9Sn 81<br />
− =<br />
100 100 Sn = 5 3 2n − 3 2n + 1<br />
2 − 3 − n+1 +<br />
10 10 10 10n+2 ∞ 2n + 1<br />
10n 100<br />
=<br />
81 lím<br />
<br />
5 3 2n − 3 2n + 1<br />
2 − 3 − n+1 +<br />
10 10 10 10n+2 <br />
n=2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 100<br />
81<br />
n=3<br />
<br />
5 3<br />
2 −<br />
10 103 <br />
= 47<br />
810
Sucesiones y series numéricas 104<br />
2.<br />
3.<br />
∞<br />
n=1<br />
2<br />
Sn = 24<br />
3<br />
+ 25<br />
3<br />
3<br />
3 n<br />
2n+2 2n+3<br />
2 + · · · + n−1 +<br />
3 Sn = 25 26 2n+3 2n+4<br />
2 + 3 + · · · + n +<br />
3 3 3 3n+1 1<br />
3 Sn = 24 2n+4<br />
−<br />
3 3n+1 2n+3 n = 3 lím<br />
3<br />
2 4<br />
3<br />
− 2n+4<br />
3 n+1<br />
<br />
= 2 4 = 16<br />
Sn = 1 1<br />
1<br />
1<br />
− 2 + · · · + (−1)n n−1 + (−1)n+1<br />
2 2 2 2n 1<br />
2 Sn = 1 1<br />
1<br />
1<br />
2 − 3 + · · · + (−1)n n + (−1)n+1<br />
2 2 2 2n+1 3<br />
2 Sn = 1<br />
1<br />
+ (−1)n+1<br />
2 2n+1 ∞<br />
n+1 1 2<br />
(−1) n =<br />
2 3 lím<br />
<br />
1<br />
1<br />
+ (−1)n+1<br />
2 2n+1 <br />
= 1<br />
3<br />
n=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 105<br />
4.<br />
3Sn<br />
2<br />
Sn = 3 4<br />
n − 1<br />
n<br />
3 − 4 + · · · + (−1)n n−1 + (−1)n+1<br />
2 2 2 2n Sn<br />
2<br />
3Sn<br />
2<br />
3Sn<br />
4<br />
3 4<br />
n − 1<br />
n<br />
= 4 − 5 + · · · + (−1)n n + (−1)n+1<br />
2 2 2 2n+1 3 1 1<br />
1<br />
n<br />
= 3 − 4 + 5 + · · · + (−1)n+1 n + (−1)n+1<br />
2 2 2 2 2n+1 3 1 1<br />
1<br />
n<br />
= 4 − 5 + 6 + · · · + (−1)n+1 n+1 + (−1)n+1<br />
2 2 2 2 2n+2 3Sn 9Sn 3 2<br />
n + 1<br />
n<br />
+ = = 3 + 4 + (−1)n+1 n+1 + (−1)n+1<br />
4 4 2 2 2 2n+2 ∞<br />
n+1 n 4<br />
(−1) n =<br />
2 9 lím<br />
<br />
3 2<br />
n + 1<br />
n<br />
3 + 4 + (−1)n+1 n+1 + (−1)n+1<br />
2 2 2 2n+2 <br />
n=3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 2<br />
9
Sucesiones y series numéricas 106<br />
Problema 51 Determinar cuales <strong>de</strong> las siguientes series hipergeométricas son convergentes y sumarlas.<br />
1.<br />
n=4<br />
5.<br />
7.<br />
9.<br />
∞<br />
1<br />
4n2 − 1<br />
∞ (a + 1)(a + 2) · · · (a + n)<br />
n!<br />
∞<br />
n! an (1 + a)(1 + 2a) · · · (1 + na)<br />
n=4<br />
n=1<br />
n=3<br />
∞<br />
1<br />
4n2 − 1 =<br />
∞<br />
1<br />
(2n + 1)(2n − 1)<br />
n=4<br />
; an+1<br />
an<br />
= (2n + 1)(2n − 1)<br />
6.<br />
8.<br />
∞<br />
1<br />
(4n − 1)(4n + 3)<br />
∞ a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n)<br />
b(b + 1)(b + 2) · · · (b + n)<br />
n=4<br />
n=2<br />
(2n + 3)(2n + 1)<br />
= 2n − 1<br />
2n + 3 ; (2n + 3)an+1 = (2n − 1)an:<br />
11a5 + 13a6 + · · · + (2n + 1)an + (2n + 3)an+1 = 7a4 + 9a5 + · · · + (2n − 3)an−1 + (2n − 1)an<br />
2a5 + 2a6 + · · · + 2an + (2n + 3)an+1 = 7a4<br />
2Sn + (2n + 3)an+1 = 9a4 = 9 1<br />
=<br />
63 7<br />
∞ 1<br />
4n2 <br />
1 1<br />
= lím − (2n + 3)an+1<br />
− 1 2 · 7 2<br />
n=4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 1<br />
14
Sucesiones y series numéricas 107<br />
2.<br />
3.<br />
∞<br />
1<br />
(4n − 1)(4n + 3)<br />
n=4<br />
∞<br />
n=1<br />
; an+1<br />
an<br />
= (4n − 1)(4n + 3)<br />
(4n + 3)(4n + 7)<br />
= 4n − 1<br />
4n + 7 ; (4n + 7)an+1 = (4n − 1)an:<br />
23a5 + 27a6 + · · · + (4n + 3)an + (4n + 7)an+1 = 15a4 + 19a5 + · · · + (4n − 5)an + (4n − 1)an<br />
8a5 + 8a6 + · · · + 8an + (4n + 7)an+1 = 15a4<br />
8Sn + (4n + 7)an+1 = 23a4 = 23 23<br />
=<br />
15 · 19 285<br />
∞<br />
<br />
1<br />
23 1<br />
= lím − (4n + 7)an+1<br />
(4n − 1)(4n + 3) 8 · 285 8<br />
n=4<br />
= 23<br />
2280<br />
(a + 1)(a + 2) · · · (a + n)<br />
; según vimos en el ejercicio 45(3), esta serie converge si y solo si a < −1<br />
n!<br />
y es hipergeométrica si a<strong>de</strong>más, a ∈ Z; en este caso: (n + 1)an+1 = (n + a + 1)an y por lo tanto:<br />
2a2 + · · · + nan + (n + 1)an+1 = (2 + a)a1 + (3 + a)a2 + · · · + (n + 1 + a)an<br />
∞<br />
n=1<br />
(n + 1)an+1 = (2 + a)a1 + (1 + a)a2 + · · · + (1 + a)an<br />
(n + 1)an+1 = a1 + (1 + a)Sn = a + 1 + (1 + a)Sn<br />
<br />
(a + 1)(a + 2) · · · (a + n) 1<br />
= lím<br />
n!<br />
1 + a (n + 1)an+1<br />
<br />
− 1 = −1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series numéricas 108<br />
4.<br />
∞<br />
n=0<br />
a(a + 1) · · · (a + n)<br />
. En primer lugar observamos que:<br />
b(b + 1) · · · (b + n)<br />
El término general <strong>de</strong> la serie no tiene sentido si b ∈ Z − ∪ {0}.<br />
Si a ∈ Z − ∪ {0}, la serie es constantemente nula y, en consecuencia, convergente a 0.<br />
Si a, b ∈ Z − ∪ {0}; en este caso la serie es hipergeométrica,<br />
a(a + 1) · · · (a + n)(a + n + 1)<br />
b(b + 1) · · · (b + n)(b + n + 1)<br />
b(b + 1) · · · (b + n)<br />
a(a + 1) · · · (a + n)<br />
= n + a + 1<br />
n + b + 1<br />
y es convergente si y solo si b > a + 1, caso en el que calculamos la suma:<br />
(2 + b)a2 + · · · + (n + b)an + (n + 1 + b)an+1 = (2 + a)a1 + (3 + a)a2 + · · · + (n + 1 + a)an<br />
∞<br />
n=1<br />
a(a + 1) · · · (a + n)<br />
b(b + 1) · · · (b + n)<br />
(n + 1 + b)an+1 = (2 + a)a1 + (1 + a − b)a2 + · · · + (1 + a − b)an<br />
(n + 1 + b)an+1 = (1 + b)a1 + (1 + a − b)Sn<br />
<br />
(n + 1 + b)an+1<br />
= lím<br />
−<br />
1 + a − b<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
(1 + b)a(a + 1)<br />
=<br />
(1 + a − b)b(b + 1)<br />
a(a + 1)<br />
b(b − a − 1)
Sucesiones y series numéricas 109<br />
Problema 52 Estudiar el carácter y sumar en su caso las siguientes series.<br />
1.<br />
∞ (−1)<br />
n=1<br />
n−1 (2n + 1)<br />
n(n + 1)<br />
2.<br />
∞<br />
1<br />
2n(n + 1)<br />
n=1<br />
∞ log n<br />
3.<br />
n=2<br />
1 + 1<br />
n+1 n<br />
(log(n + 1) n+1 ) log nn 4.<br />
∞ 2n + n(n + 1)<br />
2n+1n(n + 1)<br />
5.<br />
∞ (n + 1)2<br />
log<br />
n(n + 2)<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
∞<br />
n=1<br />
n=1<br />
n=1<br />
(−1) n−1 (2n + 1)<br />
n(n + 1)<br />
∞<br />
1<br />
2n(n + 1) =<br />
∞<br />
n=2<br />
∞<br />
n=1<br />
∞<br />
n=1<br />
=<br />
∞<br />
<br />
n−1 (−1)<br />
n=1<br />
log n 1 + 1<br />
n+1 n<br />
(log(n + 1) n+1 ) log nn =<br />
<br />
n 2 + n(n + 1)<br />
2n+1 <br />
=<br />
n(n + 1)<br />
n<br />
n=1<br />
<br />
1<br />
2n −<br />
<br />
1<br />
=<br />
2(n + 1)<br />
1<br />
2<br />
n=1<br />
∞<br />
n=2<br />
1<br />
log n n −<br />
∞<br />
1<br />
2n(n + 1)<br />
− (−1)n<br />
<br />
= 1 (serie telescópica).<br />
n + 1<br />
(serie telescópica).<br />
1<br />
log(n + 1) n+1<br />
<br />
= log 4 (serie telescópica).<br />
1<br />
+<br />
2n+1 = 1 1<br />
+<br />
2 2<br />
= 1. El primer sumando es la serie telescópica<br />
sumada más arriba y el segundo sumando es una serie geométrica <strong>de</strong> razón 1/2.<br />
∞ (n + 1)2<br />
log<br />
n(n + 2) =<br />
∞<br />
<br />
<br />
n + 1 n + 2<br />
log − log = log 2<br />
n n + 1<br />
n=1<br />
n=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Capítulo 3<br />
Sucesiones y series funcionales<br />
110
Sucesiones y series funcionales 111<br />
Problema 53 Estudiar la convergencia <strong>de</strong> las siguiente sucesión <strong>de</strong> funciones.<br />
fn(x) = x +<br />
Calculamos en primer lugar el límite puntual:<br />
lím<br />
n→+∞<br />
<br />
x +<br />
(1 + nx)2<br />
1 + n 2 x 2<br />
(1 + nx)2<br />
1 + n2x2 <br />
= x + 1<br />
Mostramos a continuación la representación gráfica <strong>de</strong> las seis primeras funciones <strong>de</strong> la sucesión y <strong>de</strong>l límite.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 112<br />
-1<br />
1<br />
-1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1
Sucesiones y series funcionales 113<br />
Problema 54 Estudiar la convergencia <strong>de</strong> las siguientes sucesiones <strong>de</strong> funciones.<br />
1. fn(x) = 2 n2 − x 2<br />
n 3 + x fn(x) = n 2 (1 − x)x n fn = xe −nx<br />
fn = nxe −nx fn =<br />
(1 + nx)2<br />
1 + n 2 x 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
fn(x) = 1<br />
<br />
(1 − x) n<br />
n<br />
2 +1
Sucesiones y series funcionales 114<br />
Problema 55 Sumar las siguientes series<br />
1. 1 1 1 1 (−1)k<br />
− + − + · · · +<br />
4 6 8 10 2k<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
+ · · · 2.<br />
∞<br />
k=0<br />
k 3<br />
2 k
Sucesiones y series funcionales 115<br />
Problema 56 Sumar las siguientes series <strong>de</strong>l tipo p(n)/n!<br />
1.<br />
∞<br />
n<br />
(n + 1)!<br />
n=1<br />
2.<br />
∞<br />
n2 n!<br />
n=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3.<br />
∞<br />
n=2<br />
n 2 + 3n − 1<br />
n!
Sucesiones y series funcionales 116<br />
Problema 57 Comprobar que la serie<br />
tenido en (−1, 1). Aplicar este hecho para <strong>de</strong>mostrar que su suma vale<br />
∞<br />
x4n−1 converge uniformemente en todo intervalo cerrado con-<br />
4n − 1<br />
n=1<br />
1 1 + x 1<br />
log − arc tg x<br />
4 1 − x 2<br />
El teorema ?? nos dice que una serie <strong>de</strong> potencias converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado<br />
contenido en su campo <strong>de</strong> convergencia. Por tanto, el problema quedará resuelto si <strong>de</strong>mostramos que el campo<br />
<strong>de</strong> convergencia es (−1, 1).<br />
Si hacemos la i<strong>de</strong>ntificación<br />
∞<br />
amx m =<br />
m=0<br />
∞ x4n−1 n=1<br />
4n − 1<br />
<strong>de</strong>ducimos que la sucesión <strong>de</strong> coeficientes es la siguiente:<br />
⎧<br />
⎨ 1<br />
si m = 4n − 1<br />
am = m<br />
⎩<br />
0 en otros casos<br />
Por tanto, no po<strong>de</strong>mos aplicar la proposición ??, ya que el cociente am<br />
am+1<br />
sucesión m√ am no es convergente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
no está <strong>de</strong>finido para todo m, y la
Sucesiones y series funcionales 117<br />
Aplicamos, entonces, el criterio <strong>de</strong>l cociente a la serie <strong>de</strong> potencias:<br />
<br />
<br />
lím <br />
x<br />
<br />
4n+3 4n − 1<br />
4n + 3 x4n−1 <br />
<br />
<br />
= |x4 |<br />
Deducimos que la serie es convergente para |x| < 1, es <strong>de</strong>cir, el radio <strong>de</strong> convergencia es 1. Dado que las<br />
∞<br />
1<br />
series<br />
4n − 1 y<br />
∞<br />
− 1<br />
son divergentes, el campo <strong>de</strong> convergencia es (−1, 1) y, efectivamente, la serie<br />
4n − 1<br />
n=1<br />
n=1<br />
es uniformemente convergente en cada intervalo cerrado contenido en (−1, 1).<br />
Sea f(x) =<br />
y <strong>de</strong> ahí:<br />
∞<br />
x4n−1 ; entonces,<br />
4n − 1<br />
n=1<br />
f ′ (x) =<br />
f(x) =<br />
∞<br />
n=1<br />
x<br />
0<br />
x 4n−2 = x 2<br />
f ′ (t)dt =<br />
∞<br />
n=1<br />
x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
(x 4 ) (n−1) = x 2<br />
1<br />
1 − x4 x ∈ (−1, 1)<br />
t2 1 x + 1 1<br />
dt = log − arc tg x<br />
1 − t4 4 x − 1 2
Sucesiones y series funcionales 118<br />
Problema 58 Hallar la suma <strong>de</strong> la serie<br />
∞<br />
n=1<br />
(−1) n x 4n−1<br />
4n .<br />
Aplicamos el criterio <strong>de</strong>l cociente para hallar el radio <strong>de</strong> convergencia<br />
<br />
<br />
lím <br />
x<br />
<br />
4n+3 4n<br />
4n + 4 x4n−1 <br />
<br />
<br />
= |x|4<br />
es <strong>de</strong>cir, la serie es convergente para |x| < 1 y el radio <strong>de</strong> convergencia es 1. Dado que las series<br />
∞<br />
n=1<br />
(−1) n+1<br />
4n<br />
∞<br />
n=1<br />
(−1) n<br />
4n y<br />
son convergentes, el campo <strong>de</strong> convergencia es [−1, 1] y la serie es uniformemente convergente<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 119<br />
en [−1, 1]. Sea f(x) =<br />
∞<br />
n=1<br />
xf(x) =<br />
d<br />
(xf(x)) =<br />
dx<br />
xf(x) =<br />
x4n−1 ; entonces,<br />
4n<br />
∞<br />
(−1)<br />
n=1<br />
∞<br />
n=1<br />
x<br />
0<br />
n x4n<br />
4n<br />
(−1) n x 4n−1 = −x 3<br />
tf ′ (t)dt =<br />
x<br />
x ∈ [−1, 1]<br />
∞<br />
n=1<br />
(−x 4 ) n−1 = −x 3<br />
f(x) = − 1<br />
4x log(1 + x4 ) x ∈ [−1, 1] {0}<br />
f(0) = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
1<br />
1 + x4 x ∈ [−1, 1]<br />
−t3 dt = −1<br />
1 + t4 4 log(1 + x4 ) x ∈ [−1, 1]
Sucesiones y series funcionales 120<br />
Problema 59 Determinar el radio <strong>de</strong> convergencia <strong>de</strong> las siguientes series:<br />
a)<br />
b)<br />
a)<br />
∞<br />
x n log n b)<br />
n=2<br />
∞<br />
n=1<br />
n 2 x n<br />
2 n<br />
c)<br />
∞<br />
n=0<br />
En todos los apartados po<strong>de</strong>mos aplicar la proposición ??.<br />
∞<br />
xn log n;<br />
n=2<br />
∞<br />
log n y<br />
n=2<br />
∞<br />
n=1<br />
n 2 x n<br />
2 n ;<br />
∞<br />
n2 y<br />
n=1<br />
2n − 1<br />
3n + 1 xn<br />
d)<br />
∞<br />
n=1<br />
nn <br />
x +<br />
n!<br />
1<br />
n 2<br />
log n<br />
R = lím = 1<br />
log(n + 1)<br />
∞<br />
(−1) n log n son divergentes y por tanto, el campo <strong>de</strong> convergencia es (−1, 1)<br />
n=2<br />
R = lím n22n+1 (n + 1) 2 2n2<br />
= lím = 2<br />
2n (n + 1) 2<br />
∞<br />
− 1) nn2 son divergentes, y por tanto, el campo <strong>de</strong> convergencia es (−2, 2).<br />
n=(<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 121<br />
c)<br />
d)<br />
∞<br />
2n − 1<br />
3n + 1 xn ;<br />
n=0<br />
∞<br />
2n − 1<br />
3n + 1 y<br />
n=0<br />
∞<br />
n=1<br />
n n<br />
n!<br />
<br />
x + 1<br />
2<br />
∞<br />
n=0<br />
n<br />
’<br />
(−1) n 2n − 1<br />
3n + 1<br />
lím<br />
(2n − 1)(3n + 4)<br />
(2n + 1)(3n + 1)<br />
= 1<br />
son divergentes y por tanto, el campo <strong>de</strong> convergencia es (−1, 1).<br />
lím nn (n + 1)!<br />
(n + 1) n+1 = lím<br />
n! nn<br />
∞<br />
n<br />
n=1<br />
1<br />
=<br />
(n + 1) n e<br />
n<br />
n!en diverge (tiene el mismo carácter que ∞<br />
√2πn<br />
1<br />
); (−1)<br />
n=1<br />
n nn n!en Leibniz:<br />
converge por el criterio <strong>de</strong><br />
lím nn 1<br />
= lím √ = 0 (Fórmula <strong>de</strong> Stirling)<br />
n!en 2πn<br />
an+1<br />
an<br />
= 1<br />
e<br />
n + 1<br />
n<br />
n<br />
Por tanto, el campo <strong>de</strong> convergencia es [− 1<br />
2<br />
< e<br />
e = 1 ⇒ an <strong>de</strong>creciente<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 1 1 − , − + e 2 e )
Sucesiones y series funcionales 122<br />
Problema 60 Desarrollar en serie <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> x la función x2 + x<br />
(1 − x) 3 y <strong>de</strong>terminar su radio <strong>de</strong> convergencia.<br />
Como ya hemos comprobado en varias ocasiones, la mejor forma <strong>de</strong> manejar las funciones racionales es<br />
<strong>de</strong>scomponiendolas en otras más simples (ver ejercicio 7.3):<br />
x2 + x 1<br />
3 = −<br />
(1 − x) x − 1 −<br />
3<br />
−<br />
(x − 1) 2<br />
2<br />
(x − 1) 3<br />
A partir <strong>de</strong> aquí, y usando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las series <strong>de</strong> potencias, po<strong>de</strong>mos hacer el <strong>de</strong>sarrollo:<br />
f(x) = 1<br />
1 − x =<br />
−<br />
−<br />
3<br />
∞<br />
n=0<br />
x n<br />
(x − 1) 2 = 3f ′ (x) = 3<br />
2<br />
|x| < 1<br />
∞<br />
nx n−1 ∞<br />
= 3 (n + 1)x n<br />
n=1<br />
(x − 1) 3 = −f ′′ (x) = −<br />
Y sumando las tres igualda<strong>de</strong>s,<br />
n=0<br />
∞<br />
(n + 2)(n + 1)x n<br />
n=0<br />
x2 + x<br />
3 =<br />
(1 − x)<br />
|x| < 1<br />
|x| < 1<br />
∞<br />
n 2 x n , |x| < 1<br />
n=0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 123<br />
Problema 61 Calcular los cinco primeros términos <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> x <strong>de</strong> las funciones<br />
f(x) =<br />
1<br />
1 + sen x<br />
g(x) =<br />
cos x<br />
1 + sen x<br />
h(x) =<br />
cos x<br />
1 − 2x<br />
Vamos a usar las propieda<strong>de</strong>s algebraicas <strong>de</strong>l operador polinomio <strong>de</strong> Taylor para resolver el ejercicio (el<br />
lector pue<strong>de</strong> usar igualmente la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> dicho polinomio). Recordamos primeramente los <strong>de</strong>sarrollos<br />
elementales que vamos a utilizar:<br />
1<br />
1 − 2x =<br />
∞<br />
n=0<br />
sen x → x − x3<br />
6<br />
cos x → 1 − x2<br />
2<br />
+ x5<br />
120<br />
+ x4<br />
24<br />
(2x) n → 1 + 2x + 4x 2 + 8x 3 + 16x 4 + 32x 5<br />
La función f es cociente <strong>de</strong> funciones elmentales y por tanto, tenemos que utilizar el algoritmo <strong>de</strong><br />
división larga (los puntos suspensivos indican que los sumandos restantes no nos importan):<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 124<br />
1 1 + x − x3<br />
6<br />
−1 − x + x3 x5<br />
6 − 120<br />
+x + x 2 − 1<br />
+ · · ·<br />
6x4 +x2 + 1<br />
6x3 − 1<br />
6x4 − 1<br />
−x2 − x3 + 1<br />
6x5 − 5<br />
6x3 − 1<br />
6x4 + 19<br />
+ · · ·<br />
+ 5<br />
6x3 + 5<br />
6x4 + · · ·<br />
+ x5<br />
120<br />
1 − x + x 2 − 5<br />
6 x3 + 2<br />
3 x4 − 61<br />
120 x5<br />
120 x5<br />
120 x5<br />
+ 2<br />
3x4 + 19<br />
120x5 − 2<br />
3 x4 − 2<br />
3 x5<br />
− 61<br />
120 x5<br />
Para obtener el polinomio <strong>de</strong> g(x) = (cos x)/(1 + sen x) multiplicamos los polinomios <strong>de</strong> f y <strong>de</strong> cos x<br />
ignorando los términos <strong>de</strong> grado mayor que 5:<br />
(1 − x2<br />
2<br />
+ x4<br />
24 )(1 − x + x2 − 5<br />
6 x3 + 2<br />
3 x4 − 61<br />
120 x5 )<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
+ · · ·<br />
+ · · ·<br />
+ · · ·<br />
+ · · ·<br />
+ · · ·<br />
= 1 − x + (1 − 1<br />
2 )x2 + ( 1 5<br />
−<br />
2 6 )x3 + ( 1 1 2<br />
− +<br />
24 2 3 )x4<br />
+ (− 1 5 61<br />
+ −<br />
24 12 120 )x5 + · · ·<br />
= 1 − x + 1<br />
2 x2 − 1<br />
3 x3 + 5<br />
24 x4 − 2<br />
15 x5 + · · ·
Sucesiones y series funcionales 125<br />
El polinomio <strong>de</strong> g es 1 − x + 1<br />
2 x2 − 1<br />
3 x3 + 5<br />
24 x4 − 2<br />
15 x5 .<br />
Para hallar el polinomio <strong>de</strong> h(x) = cos x/(1 − 2x) usamos el método <strong>de</strong>l apartado anterior:<br />
(1 − x2<br />
2<br />
+ x4<br />
24 )(1 + 2x + 4x2 + 8x 3 + 16x 4 + 32x 5 )<br />
el polinomio <strong>de</strong> h es 1 + 2x + 7<br />
2 x2 + 7x 3 + 337<br />
24 x4 + 337<br />
12 x5 .<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 1 + 2x + (− 1<br />
2 + 4)x2 + (−1 + 8)x 3<br />
+ ( 1<br />
24 − 2 + 16)x4 + ( 1<br />
12 − 4 + 32)x5 + · · ·<br />
= 1 + 2x + 7<br />
2 x2 + 7x 3 + 337<br />
24 x4 + 337<br />
12 x5 + · · ·
Sucesiones y series funcionales 126<br />
Problema 62 Probar que las series trigonométricas<br />
son uniformemente convergentes.<br />
<br />
n cos nx<br />
(−1)<br />
n2 ; sen nx<br />
n √ n<br />
y<br />
1<br />
(cos nx − sen nx)<br />
n!<br />
El ejercicio es inmediato usando la prueba M <strong>de</strong> Weierstrass: tenemos que acotar el valor absoluto <strong>de</strong>l<br />
término general <strong>de</strong> cada sucesión por una serie numérica convergente<br />
<br />
n cos nx<br />
(−1)<br />
n2 <br />
| cos nx|<br />
≤<br />
n2 ≤ 1<br />
n2 <br />
<br />
<br />
sen nx<br />
n √ <br />
<br />
<br />
| sen nx|<br />
n ≤<br />
n √ 1<br />
≤<br />
n n √ n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
(cos nx − sen nx) <br />
| cos nx|<br />
n! ≤<br />
n!<br />
+ | sen nx|<br />
n!<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
≤ 2<br />
n!
Sucesiones y series funcionales 127<br />
Problema 63 Calcular las series <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> las siguientes funciones <strong>de</strong> periodo 2π:<br />
⎧<br />
⎨−1<br />
f(x) =<br />
⎩1<br />
en (−π, 0)<br />
;<br />
en (0, π)<br />
g(x) = |x| en [−π, π];<br />
⎧<br />
⎨0<br />
h(x) =<br />
⎩x<br />
en [−π, 0]<br />
en (0, π)<br />
La función f es impar y por tanto, an = 0 para todo n y;<br />
bn = 2<br />
π<br />
π<br />
0<br />
f(x) sen nx dx = 2<br />
π<br />
De aquí se <strong>de</strong>duce que b2k = 0 y b2k+1 =<br />
π<br />
0<br />
sen nx dx = 2<br />
2<br />
(1 − cos nπ) =<br />
πn πn (1 − (−1)n )<br />
4<br />
, k ≥ 1:<br />
π(2k + 1)<br />
∞ 4<br />
f(x) ∼<br />
sen(2k + 1)x<br />
π(2k + 1)<br />
k=0<br />
g es una función par y por tanto, bn = 0 para todo n y:<br />
a0 = 2<br />
π<br />
an = 2<br />
π<br />
π<br />
0 π<br />
0<br />
g(x) dx = 2<br />
π<br />
π<br />
g(x) cos nx dx = 2<br />
π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
x dx = π<br />
π<br />
0<br />
x cos nx dx<br />
= 2<br />
2<br />
(cos nπ − 1) =<br />
πn2 πn2 ((−1)n − 1)
Sucesiones y series funcionales 128<br />
De aquí se <strong>de</strong>duce que a2k = 0 y a2k+1 =<br />
g(x) ∼ π<br />
2 −<br />
− 4<br />
π(2k + 1) 2 , k ≥ 0:<br />
∞<br />
k=0<br />
La función h no verifica ninguna condición <strong>de</strong> simetría:<br />
bn = 1<br />
π<br />
a0 = 1<br />
π<br />
an = 1<br />
π<br />
π<br />
−pi<br />
π<br />
−pi<br />
π<br />
−pi<br />
Por tanto, a0 = π<br />
2 , a2k = 0 y a2k−1 = −<br />
4<br />
cos(2k + 1)x<br />
π(2k + 1) 2<br />
π<br />
h(x) sen nx dx = 1<br />
x sen nx dx = −<br />
π 0<br />
1 (−1)n+1<br />
cos nπ =<br />
n n<br />
h(x) dx = 1<br />
π<br />
x dx =<br />
π 0<br />
π<br />
2<br />
h(x) cos nx dx = 1<br />
π<br />
x cos nx dx<br />
π 0<br />
= 1 1<br />
1<br />
(cos nπ − 1) =<br />
π n2 πn2 ((−1)n − 1)<br />
h(x) ∼ π<br />
4 +<br />
n=1<br />
2<br />
π(2k − 1) 2 , k ≥ 1:<br />
∞<br />
( 1 − (−1)n<br />
πn2 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
cos nx + (−1)n+1<br />
n<br />
sen nx)
Sucesiones y series funcionales 129<br />
Problema 64 Desarrollar en serie <strong>de</strong> Fourier las funciones <strong>de</strong> periodo 2π:<br />
⎧<br />
⎨π/4<br />
f(x) =<br />
⎩−π/4<br />
si x ∈ (0, π)<br />
;<br />
si x ∈ (−π, 0)<br />
⎧<br />
⎨π<br />
− x<br />
g(x) =<br />
⎩π<br />
+ x<br />
si x ∈ [0, π]<br />
si x ∈ [−π, 0]<br />
Aplicar dichos <strong>de</strong>sarrollos para calcular la suma <strong>de</strong> las siguientes series:<br />
1 − 1 1 1 (−1)n<br />
+ − + · · · +<br />
3 5 7 2n + 1<br />
+ · · · , 1 + 1<br />
3<br />
La función f es impar y por tanto, an = 0 para todo n y:<br />
Por tanto, f(x) ∼ Sf(x) =<br />
∞<br />
k=0<br />
bn = 2<br />
π<br />
π<br />
0<br />
1<br />
sen(2k + 1)x<br />
2k + 1<br />
La función g es par y por tanto, bn = 0 para todo n y:<br />
a0 = 2<br />
π<br />
an = 2<br />
π<br />
π<br />
0 π<br />
0<br />
(π − x)dx = π<br />
(π − x) cos nx = 2<br />
(1 − cos nπ)<br />
πn2 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
1<br />
+ + · · · + + · · ·<br />
2 52 (2n + 1) 2<br />
π<br />
1<br />
sen nx dx = (1 − cos nπ)<br />
4 2n
Sucesiones y series funcionales 130<br />
Por tanto, g(x) = π<br />
2 +<br />
∞<br />
k=0<br />
4<br />
2 cos(2k + 1)x (se da la igualdad por la continuidad <strong>de</strong> g).<br />
π(2k + 1)<br />
Dado que f es continua en π/2, se tiene que π<br />
4 = f(π/2) = Sf(π/2) =<br />
Dado que g es continua en 0, π = g(0) = g(x) = π<br />
2 +<br />
∞<br />
k=0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∞<br />
k=0<br />
1 π2<br />
=<br />
(2k + 1) 2 8<br />
∞ (−1) k<br />
2k + 1 .<br />
n=0<br />
4<br />
2 y <strong>de</strong> ahí se <strong>de</strong>duce que:<br />
π(2k + 1)
Sucesiones y series funcionales 131<br />
Problema 65 Desarrollar en serie <strong>de</strong> Fourier la función <strong>de</strong> periodo 2π dada por f(x) = x en (−π, π).<br />
Deducir <strong>de</strong> dicho <strong>de</strong>sarrollo la función suma <strong>de</strong> la serie<br />
∞<br />
n=1<br />
sen nx<br />
n<br />
La función es impar y por tanto, an = 0 para todo n y:<br />
La serie <strong>de</strong> Fourier es: f(x) ∼<br />
∞<br />
n=1<br />
bn = 2<br />
π<br />
π<br />
0<br />
x sen nx dx = − 2<br />
n<br />
− 2<br />
sen nx. De aquí se <strong>de</strong>duce que<br />
n<br />
1)π; k ∈ Z} (para los valores restantes, la serie es constantemente nula).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∞<br />
n=1<br />
sen nx<br />
n<br />
= −2f(x) si x ∈ {(2k +
Sucesiones y series funcionales 132<br />
Problema 66 Justificar la igualdad<br />
x 2 = π2<br />
3<br />
∞<br />
n cos nx<br />
+ 4 (−1)<br />
n2 , x ∈ [−π, π]<br />
n=1<br />
y aplicarla para calcular las sumas <strong>de</strong> las series<br />
∞ 1<br />
;<br />
n2 n=1<br />
∞ (−1) n<br />
La función f <strong>de</strong>finida como f(x) = x 2 si x ∈ [−π, π] y extendida por periodicidad a R, es continua en<br />
R; para hallar su serie <strong>de</strong> Fourier tenemos en cuenta que es una función par, es <strong>de</strong>cir, bn = 0 para todo n y:<br />
a0 = 2<br />
π<br />
π<br />
an = 2<br />
π<br />
0 π<br />
0<br />
x 2 dx = 2<br />
3 π2<br />
x 2 n 4<br />
cos nx dx = (−1)<br />
n2 n=1<br />
Teniendo en cuenta que f es continua en R, se verifica que:<br />
f(x) = π2<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
n 2<br />
∞<br />
n cos nx<br />
+ 4 (−1)<br />
n2 .<br />
n=1
Sucesiones y series funcionales 133<br />
Evaluando en x = π obtenemos que π 2 = π2<br />
3<br />
Evaluando en x = 0, se obtiene que 0 = π2<br />
3<br />
∞<br />
1<br />
+ 4<br />
n<br />
n=1<br />
2 ∞<br />
1<br />
y <strong>de</strong> ahí:<br />
n<br />
n=1<br />
2 = π2<br />
6 .<br />
∞<br />
+ 4 (−1) nn2 y <strong>de</strong> ahí:<br />
∞<br />
n=1<br />
n=1<br />
(−1) n n 2 = − π2<br />
12<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 134<br />
Problema 67 Partiendo <strong>de</strong> la igualdad obtenida en el ejercicio anterior,<br />
x 2 = π2<br />
∞<br />
n cos nx<br />
+ 4 (−1)<br />
3 n2 , x ∈ [−π, π]<br />
obtener<br />
n=1<br />
x(x 2 − π 2 ) = 12<br />
∞<br />
n sen nx<br />
(−1)<br />
n3 , x ∈ [−π, π]<br />
n=1<br />
La función f <strong>de</strong>finida como f(x) = x2 si x ∈ [−π, π] y extendida por periodicidad a R, es continua y<br />
<strong>de</strong>rivable a trozos en R. Por tanto, po<strong>de</strong>mos aplicar el teorema ??:<br />
x3 3 =<br />
x<br />
t 2 dt = π2<br />
∞ 1 sen nx<br />
x + 4 (−1)n<br />
3 n n2 ∞ π2<br />
n sen nx<br />
= x + 4 (−1)<br />
3 n3 0<br />
Con unas simples manipulaciones algebraicas <strong>de</strong>ducimos la igualdad pedida:<br />
x(x 2 − π 2 ∞<br />
n sen nx<br />
) = 12 (−1)<br />
n3 , x ∈ [−π, π]<br />
n=1<br />
n=1<br />
Dado que el segundo miembro <strong>de</strong> esta última igualdad es una serie trigonométrica, po<strong>de</strong>mos afirmar que es<br />
el <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> la función <strong>de</strong>l primer miembro. Es <strong>de</strong>cir, en este ejemplo, hemos podido<br />
usar el teorema <strong>de</strong> integración <strong>de</strong> series <strong>de</strong> Fourier para obtener otro <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> una forma más sencilla,<br />
pero el <strong>de</strong>sarrollo no correspon<strong>de</strong> a la primitiva <strong>de</strong> la función inicial.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
n=1
Sucesiones y series funcionales 135<br />
Problema 68 Sea f una función <strong>de</strong> periodo 2π tal que su serie <strong>de</strong> Fourier converge uniformemente. Demostrar<br />
que entonces se verifica la siguiente igualdad llamada i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval.<br />
π<br />
[f(x)] 2 <br />
a<br />
dx = π<br />
2 0<br />
2 +<br />
∞<br />
(a 2 n + b 2 <br />
n)<br />
−π<br />
Indicación: Usar la expresión en serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> f, multiplicar ambos miembros por f(x) e integrar<br />
ambos miembros sobre el intervalo [−π, π] usando la convergencia uniforme.<br />
Dado que la serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> f converge uniformemente, la función f es continua y es igual a su serie;<br />
a partir <strong>de</strong> aquí seguimos la indicación <strong>de</strong>l enunciado:<br />
π<br />
−π<br />
f(x) = a0<br />
2 +<br />
∞<br />
an cos nx + bn sen nx<br />
n=1<br />
f(x) 2 = a0<br />
f(x) +<br />
2<br />
[f(x)] 2 dx = a0<br />
2<br />
π<br />
−π<br />
n=1<br />
∞<br />
anf(x) cos nx + bnf(x) sen nx<br />
n=1<br />
f(x) dx +<br />
= a0<br />
2 a0 +<br />
∞<br />
(an<br />
n=1<br />
π<br />
−π<br />
f(x) cos nx dx + bn<br />
∞<br />
(anπan + bnπbn) = π<br />
n=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
a 2 0<br />
2 +<br />
π<br />
∞<br />
n=1<br />
−π<br />
f(x) sen nx dx)<br />
(a 2 n + b 2 n)
Sucesiones y series funcionales 136<br />
En la tercera igualdad hemos utilizado la convergencia uniforme para po<strong>de</strong>r conmutar los signos <strong>de</strong> serie y<br />
<strong>de</strong> integral; en la cuarta igualdad hemos usado la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> los coeficientes <strong>de</strong> Fourier para la evaluación<br />
<strong>de</strong> las integrales.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 137<br />
Problema 69 Justificar aplicando la i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval que la serie trigonométrica<br />
∞<br />
n=2<br />
sen nx<br />
log n<br />
no es la serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> ninguna función continua a trozos a pesar <strong>de</strong> que dicha serie converge para todo<br />
real x.<br />
Si la serie trigonométrica fuera serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una función continua, entonces la i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval<br />
∞<br />
1<br />
nos diría que la serie numérica<br />
(log n)<br />
n=2<br />
2 es convergente, lo cual no es cierto (Ejercicio 5.14.k). Por tanto,<br />
la afirmación <strong>de</strong>l enunciado es correcta.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 138<br />
Problema 70 Aplicar la i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval al <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> periodo<br />
2π dada por f(x) = |x|, |x| ≤ π.<br />
En el ejercicio 8 obtuvimos la serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> la función f:<br />
<br />
<br />
Dado que <br />
<br />
cos(2k + 1)x<br />
π(2k + 1) 2<br />
<br />
<br />
<br />
≤<br />
f(x) = π<br />
2 +<br />
∞<br />
k=0<br />
1<br />
π(2k + 1) 2 y la serie<br />
y po<strong>de</strong>mos aplicar la i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval:<br />
De don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>duce que:<br />
∞<br />
k=0<br />
π 2<br />
2 +<br />
∞<br />
k=0<br />
4<br />
cos(2k + 1)x<br />
π(2k + 1) 2<br />
∞<br />
1<br />
π(2k + 1) 2 es convergente, la convergencia es absoluta<br />
n=0<br />
16<br />
π2 π<br />
= x<br />
(2k + 1) 4<br />
−π<br />
2 dx = 2<br />
3 π3<br />
<br />
1 π4 2 1<br />
4 = π − .<br />
(2k + 1) 16 3 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 139<br />
Problema 71 Desarrollar en serie <strong>de</strong> Fourier la función <strong>de</strong> periodo 4 <strong>de</strong>finida en [−2, 2) por f(x) = x.<br />
La función es periódica <strong>de</strong> periodo 4 = 2 · 2 y es impar, por tanto, an = 0 para todo n y:<br />
La serie <strong>de</strong> Fourier es:<br />
bn = 2<br />
2<br />
2 0<br />
x sen π<br />
4<br />
4<br />
nx dx = − cos nπ = (−1)n+1<br />
2 nπ nπ<br />
f(x) ∼<br />
∞<br />
n+1 4<br />
(−1)<br />
nπ<br />
n=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
sen π<br />
2 nx
Sucesiones y series funcionales 140<br />
Problema 72 Para cada una <strong>de</strong> las siguientes funciones dar su <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> Fourier:<br />
⎧<br />
⎨2<br />
− x<br />
f(x) =<br />
⎩x<br />
− 6<br />
si 0 < x < 4<br />
;<br />
si 4 < x < 8<br />
⎧<br />
⎨sen<br />
x<br />
g(x) =<br />
⎩0<br />
si 0 ≤ x ≤ π<br />
si π < x < 2π ;<br />
h(x) = E[x] si x ∈ (−1, 2); k(x) = 1 − x si x ∈ [0, 2π)<br />
f es periódica <strong>de</strong> periodo 8:<br />
a0 = 1<br />
8<br />
4<br />
an = 1<br />
4<br />
bn = 1<br />
4<br />
4<br />
8<br />
f(x)dx =<br />
0<br />
1<br />
(2 − x)dx +<br />
4 0<br />
1<br />
(x − 6)dx = 0<br />
4 4<br />
8<br />
f(x) cos nx dx =<br />
0<br />
1<br />
4<br />
(2 − x) cos nx dx +<br />
4 0<br />
1<br />
8<br />
(x − 6) cos<br />
4 4<br />
π<br />
x dx<br />
4<br />
= 4<br />
n2 4<br />
−<br />
π2 n2 4<br />
cos nπ −<br />
π2 n2 4<br />
+<br />
π2 n2 4<br />
=<br />
π2 n2 (1 − cos nπ)<br />
π2 8<br />
f(x) sen nx dx =<br />
0<br />
1<br />
4<br />
(2 − x) sen nx dx +<br />
4 0<br />
1<br />
8<br />
(x − 6) sen<br />
4 4<br />
π<br />
x dx<br />
4<br />
= 2 2 2 2 2<br />
+ cos nπ − − = (cos nπ − 1)<br />
nπ nπ nπ nπ nπ<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 141<br />
Por tanto, si n es par, an = 0 y bn = 0, y en consecuencia, la serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> f es:<br />
f(x) =<br />
∞<br />
k=0<br />
8<br />
(2k + 1) 2 π<br />
cos<br />
π2 4<br />
(2k + 1)x −<br />
4<br />
(2k + 1)π<br />
g es periódica <strong>de</strong> periodo 2π y no verifica ninguna condición <strong>de</strong> simetría.<br />
a0 = 1<br />
π<br />
π<br />
an = 1<br />
π<br />
bn = 1<br />
π<br />
0 π<br />
0 π<br />
0<br />
sen x dx = 2<br />
π<br />
sen x cos nx dx =<br />
sen x sen nx dx = 0<br />
1<br />
π(1 − n2 (cos nπ + 1) =<br />
)<br />
Los coeficientes an con n impar son nulos y por tanto:<br />
g(x) = 1<br />
π +<br />
∞<br />
k=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
π(1 − 4k2 cos 2kx<br />
)<br />
π<br />
sen (2k + 1)x<br />
4<br />
1<br />
π(1 − n 2 ) ((−1)n + 1)
Sucesiones y series funcionales 142<br />
h es periódica <strong>de</strong> periodo 3;<br />
a0 = 2<br />
2<br />
3<br />
−1<br />
2<br />
E[x]dx = 4<br />
3<br />
an = 2<br />
E[x] cos<br />
3 −1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
πnx dx = − cos<br />
3 3 −1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
πnx dx + cos<br />
3 3 1<br />
2<br />
πnx dx<br />
3<br />
= − 1 2 1 2 1 4 2 2 1 4<br />
sen nπ − sen nπ + sen nπ = − sen nπ + sen<br />
nπ 3 nπ 3 nπ 3 nπ 3 nπ 3 nπ<br />
bn = 2<br />
2<br />
E[x] sen<br />
3 −1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
πnx dx = − sen<br />
3 3 −1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
πnx dx + sen<br />
3 3 1<br />
2<br />
πnx dx<br />
3<br />
= 1 1 2 1 2 1 4 1 1 4<br />
− cos πn + cos πn − cos πn = − cos<br />
nπ nπ 3 nπ 3 nπ 3 nπ nπ 3 πn<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 143<br />
Los valores <strong>de</strong> los coeficientes son:<br />
a0 = 4<br />
3<br />
a3k = 0<br />
a3k+1 = − 3√ 3<br />
2(3k + 1)π<br />
a3k+2 =<br />
3 √ 3<br />
2(3k + 2)π<br />
b3k = 0<br />
3<br />
b3k+1 =<br />
2(3k + 1)π<br />
3<br />
b3k+2 =<br />
2(3k + 1)π<br />
k es periódica <strong>de</strong> periodo 2π y no verifica ninguna condición <strong>de</strong> simetría.<br />
a0 = 1<br />
π<br />
an = 1<br />
π<br />
bn = 1<br />
π<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
(1 − x)dx = 2(1 − π)<br />
(1 − x) cos nxdx = 0<br />
(1 − x) sen nxdx = 2<br />
n
Sucesiones y series funcionales 144<br />
k(x) ∼ 1 − π +<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∞ 2<br />
sen nx<br />
n<br />
n=1
Sucesiones y series funcionales 145<br />
Problema 73 Sea f una función periódica <strong>de</strong> periodo 2π y supongamos que su serie <strong>de</strong> Fourier converge<br />
uniformemente. Demostrar que en tal caso:<br />
π<br />
−π<br />
(f(x)) 2 dx = π<br />
2 a2 0 + π<br />
Esta igualdad se conoce como I<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval<br />
∞<br />
n=1<br />
(a 2 n + b 2 n)<br />
Si la serie <strong>de</strong> Fourier converge uniformemente, entonces necesariamente f es continua y:<br />
f(x) = a0<br />
2 +<br />
∞<br />
(an cos nx + bn sen nx)<br />
n=1<br />
La siguiente secuencia <strong>de</strong> igualda<strong>de</strong>s concluye en la i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval; téngase en cuenta que en<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 146<br />
aquellas igualda<strong>de</strong>s don<strong>de</strong> se permuta la integral y la serie se está haciendo uso <strong>de</strong> la convergencia uniforme.<br />
π<br />
−π<br />
π<br />
f(x) = a0<br />
2 +<br />
∞<br />
(an cos nx + bn sen nx)<br />
n=1<br />
(f(x)) 2 = a0<br />
f(x) +<br />
2<br />
(f(x)) 2 dx = a0<br />
2<br />
π<br />
+<br />
−π<br />
∞<br />
(anf(x) cos nx + bnf(x) sen nx)<br />
n=1<br />
f(x) dx<br />
∞<br />
<br />
n=1<br />
(f(x)) 2 dx = a0<br />
2 πa0 +<br />
−π<br />
π<br />
(f(x)) 2 dx = π<br />
2 a20 −π<br />
+ π<br />
an<br />
π<br />
−π<br />
f(x) cos nx dx + bn<br />
∞<br />
(anπan + bnπbn)<br />
n=1<br />
∞<br />
n=1<br />
(a 2 n + b2 n )<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π<br />
−π<br />
<br />
f(x) sen nx dx
Sucesiones y series funcionales 147<br />
Problema 74 Consi<strong>de</strong>remos la función f(x) = sen x, x ∈ [0, π].<br />
1. Hallar la serie <strong>de</strong> cosenos <strong>de</strong> f.<br />
2. Sumar la serie:<br />
∞<br />
k=0<br />
1<br />
4k 2 − 1<br />
3. Aplicar la i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la función f.<br />
4. Sumar la serie:<br />
1. a0 = 2<br />
π<br />
π<br />
0<br />
1<br />
1232 + 1<br />
3252 + 1<br />
5272 + · · ·<br />
sen x dx =<br />
<br />
− 2<br />
π cos x<br />
π<br />
a1 = 2<br />
π<br />
sen x cos x dx =<br />
π 0<br />
1<br />
π<br />
Si n > 1, entonces:<br />
an = 2<br />
π<br />
sen x cos nx dx<br />
π<br />
0<br />
π<br />
0<br />
0<br />
= 4<br />
π<br />
sen 2x dx = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 148<br />
π<br />
= 1<br />
(sen(x + nx) − sen(nx − x)) dx<br />
π 0<br />
<br />
π <br />
π 1<br />
1<br />
= − cos(n + 1)x − − cos(n − 1)x<br />
(n + 1)π 0 (n − 1)π 0<br />
= − (−1)n+1<br />
(n + 1)π +<br />
1 (−1)n−1<br />
+<br />
(n + 1)π (n − 1)π −<br />
1<br />
(n − 1)π<br />
= 2 (−1)n+1<br />
π(n2 1<br />
− 2<br />
− 1) π(n2 − 1)<br />
Por tanto, a2k+1 = 0 y a2k =<br />
2. Del punto anterior <strong>de</strong>ducimos que:<br />
∞<br />
k=0<br />
− 4<br />
π(4k2 para todo k ≥ 0 y la serie <strong>de</strong> cosenos <strong>de</strong> sen x es:<br />
− 1)<br />
sen x = 2<br />
π −<br />
∞ 4<br />
π(4k2 cos 2kx x ∈ [0, π]<br />
− 1)<br />
∞<br />
k=1<br />
k=1<br />
1<br />
4k2 = −1 +<br />
− 1<br />
3. La serie <strong>de</strong> cosenso <strong>de</strong> f converge uniformemente, ya que:<br />
1<br />
4k2 1 π<br />
cos 2kx = − sen x. Por lo tanto:<br />
− 1 2 4<br />
∞<br />
k=1<br />
4<br />
π(4k2 | cos 2kx| ≤<br />
− 1)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
4k2 1 π<br />
= −1 + − sen 0 = −1<br />
− 1 2 4 2<br />
4<br />
π(4k 2 − 1)
Sucesiones y series funcionales 149<br />
4.<br />
y la serie numérica<br />
∞<br />
k=0<br />
De don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>duce que:<br />
1<br />
1232 + 1<br />
3252 + 1<br />
5272 + · · ·<br />
1<br />
4k 2 − 1<br />
∞<br />
k=1<br />
es convergente. La i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval <strong>de</strong> la función f es:<br />
π<br />
−π<br />
∞ 1<br />
=<br />
(2k − 1)<br />
k=1<br />
2 2 =<br />
(2k + 1)<br />
= π<br />
<br />
π −<br />
16<br />
8<br />
<br />
π<br />
= π2 1<br />
−<br />
16 2<br />
sen 2 x dx = 8<br />
π +<br />
∞<br />
k=1<br />
16<br />
π(4k 2 − 1) 2<br />
16<br />
π(4k2 π<br />
= sen<br />
− 1) 2<br />
−π<br />
2 x dx − 8<br />
π<br />
∞<br />
k=1<br />
1<br />
(4k 2 − 1) 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= π − 8<br />
π
Sucesiones y series funcionales 150<br />
Problema 75 Desarrollar en serie <strong>de</strong> Fourier y = cosh αx, x ∈ [−π, π] y <strong>de</strong>ducir <strong>de</strong> dicho <strong>de</strong>sarrollo la<br />
suma <strong>de</strong> la serie<br />
∞ 1<br />
n=1<br />
α2 , α ∈ R {0}<br />
+ n2 La función es par y por tanto, bn = 0 para todo n. Calculamos en primer lugar el coeficiente a0:<br />
a0 = 2<br />
π<br />
π<br />
0<br />
cosh αx dx = 2<br />
π<br />
<br />
1<br />
senh αx<br />
α<br />
π<br />
0<br />
= 2<br />
senh απ<br />
απ<br />
Para calcular los coeficientes an con n ≥ 1, utilizamos integración por partes:<br />
π<br />
an = 2<br />
cosh αx cos nx dx<br />
π 0 π 2<br />
= cosh αx sen nx −<br />
πn 0<br />
2α<br />
πn<br />
= − 2α<br />
π<br />
senh αx sen nx dx<br />
πn 0 π 2α<br />
= senh αx cos nx −<br />
πn2 0<br />
2α2<br />
πn2 n 2α<br />
α2<br />
= (−1) senh απ − an<br />
πn2 n2 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π<br />
0<br />
π<br />
0<br />
senh αx sen nx dx<br />
cosh αx cos nx dx
Sucesiones y series funcionales 151<br />
De la igualdad obtenida po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>spejar an para obtener:<br />
Por lo tanto, si α = 0 y x ∈ [−π, π], entonces<br />
cosh αx = 1<br />
senh απ +<br />
απ<br />
En particular, para x = π se obtiene:<br />
y <strong>de</strong> ahí:<br />
∞<br />
n=1<br />
2α<br />
an = (−1) n<br />
π(α2 + n2 )<br />
∞<br />
(−1) n<br />
n=1<br />
cosh απ = 1<br />
senh απ +<br />
απ<br />
1<br />
α2 =<br />
+ n2 ∞<br />
∞ 1<br />
α2 π<br />
=<br />
+ n2 2α<br />
n=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
senh απ<br />
2α<br />
π(α 2 + n 2 )<br />
2α<br />
π(α<br />
n=1<br />
2 + n2 )<br />
senh απ cos nx<br />
senh απ<br />
1<br />
cotgh απ − 2 , α = 0<br />
2α
Sucesiones y series funcionales 152<br />
Problema 76 Aproximar el número log 5 con un error menor que 10 − n<br />
log 5 = − log(1/5) = −<br />
∞<br />
(−1) n+1<br />
n=1<br />
<br />
4 n<br />
5<br />
n =<br />
∞<br />
4 n<br />
n5<br />
n=1<br />
n<br />
Si usamos el criterio <strong>de</strong>l cociente para establecer la convergencia <strong>de</strong> esta serie, obtenemos la siguiente<br />
acotación <strong>de</strong>l error:<br />
ε ≤ aN<br />
4/5<br />
1 − 4/5 = 4aN = 4N+1<br />
N5N Para N = 24 obtenemos que ε < 1270 −1 < 10 −3 y S24 = 1 ′ 60877. De las 5 cifras <strong>de</strong>cimales dadas solo las<br />
dos primeras son exactas:<br />
1 ′ 60877 ≤ log 5 ≤ 1 ′ 60877 + 0 ′ 001 = 1 ′ 60977<br />
Sin embargo, para conseguir esas dos cifras exactas es suficiente con S20; en este caso el error esta acotado<br />
por 0 ′ 002305 y S20 = 1 ′ 60755:<br />
1 ′ 60755 ≤ log 5 ≤ 1 ′ 60755 + 0 ′ 002305 = 1 ′ 60985<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Sucesiones y series funcionales 153<br />
Problema 77 Hallar el campo <strong>de</strong> convergencia <strong>de</strong> las siguientes series:<br />
∞<br />
(−1) n <br />
∞<br />
α n x n<br />
n=0<br />
Recor<strong>de</strong>mos que la importancia <strong>de</strong>l límite 37(3) está en que permite afirmar la siguiente igualdad:<br />
2 α ∞<br />
<br />
α<br />
=<br />
α > −1<br />
n<br />
n=0<br />
ya que si α > −1, po<strong>de</strong>mos encontrar una constante a con 0 < a < 1 y un polinomio P (n) tales que<br />
tal que α (−1)<br />
= n<br />
n<br />
a(a+1)···(a+(n−1))<br />
=<br />
P (n) n!<br />
a a+1<br />
· · · 1 2 a+(n−1)<br />
. Por otra parte, si α < −1, se verifica que n<br />
α<br />
= n<br />
don<strong>de</strong> a > 1, y por lo tanto, su límite no es 0.<br />
(−1) n a(a+1)···(a+(n−1))<br />
n!<br />
= a a+1 · · · 1 2 a+(n−1)<br />
n<br />
El teorema <strong>de</strong> Abel y el estudio anterior nos lleva a completar la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> convergencia<br />
∞ <br />
n <strong>de</strong> la serie binomia; para la serie x con α ∈ {−1, 0, 1}<br />
n=0<br />
α<br />
n<br />
Si α > 0: converge para x ∈ [−1, 1]<br />
Si −1 < α < 0: converge para x ∈ (−1, 1]<br />
Si α < −1: converge para x ∈ (−1, 1)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
n=0<br />
α<br />
n<br />
x n
Sucesiones y series funcionales 154<br />
Problema 78 Vamos a estudiar la convergencia <strong>de</strong> la serie <strong>de</strong> potencias:<br />
<br />
1 + 1<br />
n2 (1 + x)<br />
n<br />
n<br />
Por el criterio <strong>de</strong> la raiz <strong>de</strong>ducimos que el radio <strong>de</strong> convergencia es r = 1/e; para establecer si la serie<br />
converge en los extremos tenemos que estudiar las series<br />
1<br />
e n<br />
<br />
1 + 1<br />
n2 n<br />
(−1) n<br />
e n<br />
<br />
1 + 1<br />
n2 n<br />
Ninguna <strong>de</strong> las dos series converge; lo <strong>de</strong>mostramos usando la condición necesaria <strong>de</strong> convergencia:<br />
ya que:<br />
ya que:<br />
lím 1<br />
en <br />
1 + 1<br />
n2 <br />
= lím exp −n + n<br />
n<br />
2 log<br />
lím −n + n 2 <br />
n + 1<br />
log = lím<br />
n<br />
−x + log(1 + x)<br />
lím<br />
x→0 x2 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
n + 1<br />
= e<br />
n<br />
−1/2 = 0<br />
1 − n + log 1 + 1<br />
n<br />
1<br />
n 2<br />
= − 1<br />
2<br />
<br />
= − 1<br />
2
Sucesiones y series funcionales 155<br />
Aunque no es significativo para el estudio <strong>de</strong> la serie, es fácil comprobar que la serie <strong>de</strong> términos positivos<br />
es <strong>de</strong>creciente:<br />
an+1<br />
= 1<br />
2 n + 2n<br />
e n2 n2 + 2n + 1<br />
<br />
n+1<br />
2<br />
n + 2 n + 1 1 1<br />
<<br />
n + 1 n + 2 e e e2 · 1 = 1<br />
an<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Capítulo 4<br />
El espacio métrico R n .<br />
Curvas parametrizadas<br />
156
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 157<br />
Problema 79 Curvas <strong>de</strong> Bezier. Pierre Bezier<br />
fue un ingeniero <strong>de</strong> Renault que durante los años<br />
60 realizó un estudio con el objetivo <strong>de</strong> mejorar el<br />
diseño <strong>de</strong> las componentes <strong>de</strong> los automóviles. Paralelamente,<br />
otro ingeniero perteneciente a la empresa<br />
Citroën y llamado Paul <strong>de</strong> Faget <strong>de</strong> Casteljau,<br />
estaba trabajando sobre el mismo campo. De<br />
este último no se llegó a publicar nada en principio,<br />
con lo cual Bezier fue el que se llevó los honores y<br />
el que da nombre a este tipo <strong>de</strong> curvas.<br />
Una curva <strong>de</strong> Bezier une cuatro puntos no alineados en el plano, P0 = (x0, y0), P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2)<br />
y P3 = (x3, y3), y se <strong>de</strong>scribe como sigue: para cada t ∈ [0, 1]: el punto P4(t) es el punto <strong>de</strong>l segmento P0P1<br />
(x 1,y<br />
1)<br />
P (t)<br />
4<br />
(x 0,y<br />
0)<br />
que verifica |P0P4(t)|<br />
|P0P1| = t, el punto P5(t) es el punto <strong>de</strong>l segmento P1P2 que verifica |P1P5(t)|<br />
|P1P2|<br />
P (t)<br />
7<br />
P (t)<br />
5<br />
C(t)<br />
P (t)<br />
8<br />
(x 2,y<br />
2)<br />
P (t)<br />
6<br />
(x 3,y<br />
3)<br />
= t, el punto P6(t)<br />
es el punto <strong>de</strong>l segmento P2P3 que verifica |P2P6(t)|<br />
|P2P3| = t, el punto P7(t) es el punto <strong>de</strong>l segmento P4(t)P5(t)<br />
que verifica |P4(t)P7(t)|<br />
|P4(t)P5(t)| = t, el punto P8(t) es el punto <strong>de</strong>l segmento P5(t)P6(t) que verifica |P5(t)P8(t)|<br />
|P5(t)P6(t)|<br />
punto γ(t) es el punto <strong>de</strong>l segmento P7(t)P8(t) que verifica |P7(t)C(t)|<br />
= t.<br />
|P7(t)P8(t)|<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= t y el
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 158<br />
<br />
1. Demostrar que: C(t) =<br />
x(t)<br />
y(t)<br />
=<br />
<br />
x0 x1 x2 x3<br />
y0 y1 y2 y3<br />
⎛<br />
−1<br />
⎜ 3<br />
⎜<br />
⎝−3<br />
3<br />
−6<br />
3<br />
−3<br />
3<br />
0<br />
⎞ ⎛<br />
1 t<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0⎠<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
3<br />
t2 ⎞<br />
⎟<br />
t ⎠<br />
1<br />
2. Probar que el segmento P0P1 es tangente al punto γ(0) = P0 y que el segmento P2P3 es tangente al<br />
punto γ(1) = P3.<br />
3. Determinar la curva <strong>de</strong> Bezier para los puntos P0 = (0, 0), P1 = (1, 2), P2 = (2, 3), P3 = (3, 0).<br />
Escribirla como y = f(x) y dibujarla.<br />
4. Tres <strong>de</strong> los puntos pue<strong>de</strong>n estar alineados: <strong>de</strong>terminar la curva <strong>de</strong> Bezier para los puntos P0 = (0, 0),<br />
P1 = (1, 0), P2 = (2, 2), P3 = (3, 0). Escribirla como y = f(x) y dibujarla.<br />
1. La <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> la curva <strong>de</strong>termina las siguientes igualda<strong>de</strong>s:<br />
P4(t) = P0 + t(P1 − P0) = (1 − t)P0 + tP1; P7(t) = P4(t) + t(P5(t) − P4(t)) = (1 − t)P4(t) + tP5(t)<br />
P5(t) = P1 + t(P2 − P1) = (1 − t)P1 + tP2; P8(t) = P5(t) + t(P6(t) − P5(t)) = (1 − t)P5(t) + tP6(t)<br />
P6(t) = P2 + t(P3 − P2) = (1 − t)P2 + tP3; C(t) = P7(t) + t(P8(t) − P7(t)) = (1 − t)P7(t) + tP8(t)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 159<br />
De don<strong>de</strong> se obtiene que<br />
C(t) = (1 − t)P7(t) + tP8(t)<br />
= (1 − t)((1 − t)P4(t) + tP5(t)) + t((1 − t)P5(t) + tP6(t))<br />
= (1 − t) 2 P4(t) + 2t(1 − t)P5(t) + t 2 P6(t)<br />
= (1 − t) 2 ((1 − t)P0 + tP1) + 2t(1 − t)((1 − t)P1 + tP2) + t 2 ((1 − t)P2 + tP3)<br />
= (1 − t) 3 P0 + 3t(1 − t) 2 P1 + 3t 2 (1 − t)P2 + t 3 P3<br />
⎛<br />
(1 − t)<br />
⎜<br />
= (P0P1P2P3) ⎜<br />
⎝<br />
3<br />
3t(1 − t) 2<br />
3t2 (1 − t)<br />
t3 ⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ = (P0P1P2P3) ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎛<br />
−1 3<br />
⎜ 3 −6<br />
= (P0P1P2P3) ⎜<br />
⎝−3<br />
3<br />
−3<br />
3<br />
0<br />
⎞ ⎛<br />
1 t<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0⎠<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
3<br />
t2 ⎞<br />
⎟<br />
t ⎠<br />
1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
−t3 + 3t2 − 3t + 1<br />
3t3 − 6t2 + 3t<br />
−3t3 + 3t2 t 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 160<br />
2. C ′ ⎛<br />
−1<br />
⎜ 3<br />
(t) = (P0P1P2P3) ⎜<br />
⎝−3<br />
3<br />
−6<br />
3<br />
−3<br />
3<br />
0<br />
⎞ ⎛<br />
1 3t<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0⎠<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
2<br />
⎞<br />
2t<br />
⎟<br />
1 ⎠<br />
C<br />
0<br />
′ ⎛<br />
−1<br />
⎜ 3<br />
(0) = (P0P1P2P3) ⎜<br />
⎝−3<br />
3<br />
−6<br />
3<br />
−3<br />
3<br />
0<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜0<br />
⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
0⎠<br />
⎝1⎠<br />
1 0 0 0 0<br />
= −3P0+3P1 = 3(P1−P0) y por lo tanto, efectivamente,<br />
la tangente a C(0) = P0 es el segmento que une los puntos P0 y P1.<br />
C ′ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
−1 3 −3 1 3<br />
⎜ 3 −6 3 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜2<br />
⎟<br />
(1) = (P0P1P2P3) ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−3<br />
3 0 0⎠<br />
⎝1⎠<br />
1 0 0 0 0<br />
= −3P2+3P3 = 3(P3−P2) y por lo tanto, efectivamente,<br />
la tangente a C(1) = P3 es el segmento que une los puntos P2 y P3.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 161<br />
3. Aplicamos la igualdad matricial <strong>de</strong>l apartado anterior:<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
−1 3 −3 1 t<br />
0 1 2 3<br />
⎜ 3 −6 3 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
C(t) =<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0 2 3 0 ⎝−3<br />
3 0 0⎠<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
3<br />
t2 ⎞<br />
⎟<br />
t ⎠<br />
1<br />
=<br />
<br />
De la igualdad x = 3t obtenemos:<br />
y = − x3<br />
9<br />
− x2<br />
3<br />
+ 2x<br />
4. Aplicamos la igualdad matricial <strong>de</strong>l apartado anterior:<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
−1 3 −3 1 t<br />
0 1 2 3<br />
⎜ 3 −6 3 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
C(t) =<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0 0 2 0 ⎝−3<br />
3 0 0⎠<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
3<br />
t2 ⎞<br />
⎟<br />
t ⎠<br />
1<br />
=<br />
<br />
De la igualdad x = 3t obtenemos:<br />
y = − 2<br />
9 x3 + 2<br />
3 x2 .<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3t<br />
−3t 3 − 3t 2 + 6t<br />
3t<br />
−6t 3 + 6t 2<br />
<br />
<br />
Y<br />
(0,0)<br />
Y<br />
(1,2)<br />
(0,0) (1,0)<br />
(2,3)<br />
(2,2)<br />
(3,0)<br />
(3,0)<br />
X<br />
X
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 162<br />
Problema 80 Esbozar las siguientes curvas y hallar una ecuación en x e y eliminando el parámetro:<br />
1. x = 4t, y = t + 2.<br />
2. x = cos θ + 1, y = sen θ.<br />
1. x = 4t, y = t + 2; eliminando el parámetro t obtenemos: x = 4(y − 2). Esto significa que la curva dada<br />
está contenida en la recta 4y − x − 8 = 0; dado que el rango <strong>de</strong> la función x es R, po<strong>de</strong>mos afirmar<br />
que la curva coinci<strong>de</strong> con la recta.<br />
2. x = cos θ + 1, y = sen θ. De las dos ecuaciones se obtiene que cos θ = x − 1 y sen θ = y; por tanto,<br />
(x − 1) 2 + y 2 = 1 para todo punto (x, y). Esto significa que la curva propuesta está contenida en<br />
la circunferencia (x − 1) 2 + y 2 = 1; dado que el rango <strong>de</strong> y es [−1, 1] y el rango <strong>de</strong> x es [0, 2], la<br />
curva propuesta coinci<strong>de</strong> con la circunferencia. Por último, hay que observar que la parametrización<br />
dada para la circunferencia, recorre infinitas veces la circunferencia, y el intervalo [0, 2π] basta para<br />
<strong>de</strong>scribirla.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 163<br />
Problema 81 Hallar una representación paramétrica para cada una <strong>de</strong> las curvas siguientes:<br />
1. 2x 2 + y 2 = 1 2. 4xy = 1 3. 3x 2 − y 2 = 1<br />
4. y = cos 2x 5. y = x 3 + 1 6. y 2 = x + x 2<br />
1. 2x 2 + y 2 = 1. La curva es una elipse, una parametrización es:<br />
x(θ) = 1<br />
√ 2 cos θ y(θ) = sen θ θ ∈ [0, 2π]<br />
2. 4xy = 1. La curva es una hipérbola; dado que, en este caso, la curva pue<strong>de</strong> ser gráfica <strong>de</strong> una función,<br />
una parametrización es:<br />
x(t) = t y(t) = 4<br />
t<br />
t ∈ R ∗<br />
3. 3x 2 − y 2 = 1. La curva es una hipérbola; una parametrización es:<br />
x(θ) = 1<br />
√ 3 cosh θ y(θ) = senh θ θ ∈ R<br />
4. y = cos 2x. Dado que la curva es gráfica <strong>de</strong> una función, una parametrización es:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x(t) = t y(t) = cos 2t t ∈ R
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 164<br />
5. y = x 3 + 1. Nuevamente la curva es gráfica <strong>de</strong> una función y por tanto, una parametrización es:<br />
x(t) = t y(t) = t 3 + 1 t ∈ R<br />
6. y2 = x + x2 . La curva es una cónica que admite la ecuación (x + 1<br />
2 )2 − y2 = 1<br />
4<br />
que admite la parametrización:<br />
x(θ) = 1 1<br />
cosh θ −<br />
2 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
y(θ) = 1<br />
senh θ θ ∈ R<br />
2<br />
que es una hipérbola
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 165<br />
Problema 82 Parametrizar la circunferencia x 2 + y 2 − 2ax = 0:<br />
1. usando coor<strong>de</strong>nadas polares;<br />
2. usando como parámetro el ángulo comprendido entre el eje OX y el radio.<br />
1. La circunferencia tiene el centro en (a, 0) y su radio es a. Dado que<br />
el ángulo α <strong>de</strong> la figura es recto, se verifica que f(θ) = 2a cos θ.<br />
Para recorrer una vez la circunferencia, basta consi<strong>de</strong>rar θ ∈<br />
[− π π<br />
, 2 2 ].<br />
2. La parametrización que se <strong>de</strong>duce al usar como parámetro el<br />
ángulo comprendido entre el eje OX y el radio, es la parametrización<br />
usual <strong>de</strong> la circunferencia:<br />
x(ϕ) = sen ϕ + a y(ϕ) = cos ϕ ϕ ∈ [0, 2π]<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
θ<br />
ϕ<br />
α<br />
(r,θ)<br />
2a
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 166<br />
Problema 83<br />
1. Si γ : [a, b] → R 3 es una parametrización continua <strong>de</strong> una curva, <strong>de</strong>ducir la fórmula para calcular su<br />
longitud.<br />
2. Hallar la longitud <strong>de</strong> la curva (t 2 , t 4 ) para t ∈ [0, 1].<br />
2. La longitud es:<br />
1 1<br />
(2t) 2 + (4t3 ) 2 dt =<br />
0<br />
2 0<br />
<br />
1<br />
=<br />
4 (z√1 + z2 + argsenh z)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2 √<br />
1 + z2 2<br />
dz (z = 2t )<br />
2<br />
0<br />
= 2 √ 5 + log(2 + √ 5)
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 167<br />
Problema 84 Hallar la longitud <strong>de</strong> la curva e t cos t √ t 3 + 1, 2e t cos t √ t 3 + 1 sobre [0, 1].<br />
La curva está contenida en la recta Y = 2X. Por otra parte, la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> x,<br />
x ′ (t) = e t√ t 3 + 1(cos t − sen t) + e t cos t<br />
3t 2<br />
2 √ t 3 + 1<br />
es positiva en el intervalo [0, 1] (obsérvese que todos los sumandos son positivos en este intervalo), y en<br />
consecuencia, la función x es creciente en este intervalo. Por tanto, la curva es el segmento <strong>de</strong> la recta<br />
Y = 2X <strong>de</strong>terminado por los puntos (x(0), y(0)) y (x(1), y(1)), es <strong>de</strong>cir, (1, 2) y (e √ 2 cos 1, e √ 2 cos 1), y la<br />
longitud es la distancia entre ambos: (e √ 2 cos 1 − 1) √ 5.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 168<br />
Problema 85 Sea x = a cos t + b e y = a sen t + d, a > 0; probar que la velocidad <strong>de</strong> recorrido es constante<br />
y que la longitud <strong>de</strong> la curva en [t0, t1] es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo (t1 − t0).<br />
La curva propuesta es una circunferencia <strong>de</strong> radio a y centro en (b, d)). La coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l vector<br />
velocidad en cada instante, v(t) = (x ′ (t), y ′ (t)), son:<br />
x ′ (t) = −a sen t y ′ (t) = a cos t<br />
Por tanto, la velocidad <strong>de</strong> recorrido, es <strong>de</strong>cir, el módulo <strong>de</strong>l vector velocidad en cada instante es:<br />
||v(t)|| = [x ′ (t)] 2 + [y ′ (t)] 2 = √ a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t = a<br />
Por tanto, la longitud <strong>de</strong> la curva (circunferencia) entre los instantes t0 y t1 es:<br />
t1<br />
t0<br />
||v(t)|| dt =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
t1 at<br />
t0<br />
= a(t1 − t0)
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 169<br />
Problema 86 Un objeto se mueve <strong>de</strong> izquierda a <strong>de</strong>recha a lo largo <strong>de</strong> la curva y = x 3/2 a velocidad<br />
constante. Si el punto está en (0, 0) al mediodía y en (1, 1) a la una <strong>de</strong> la tar<strong>de</strong> ¿dón<strong>de</strong> se encontrará a la<br />
una y media?<br />
a<br />
0<br />
El espacio recorrido entre los puntos (0, 0) y (a, a3/2 ) es:<br />
<br />
<br />
1<br />
1 + (y ′ ) 2 dx = 1 + 9<br />
<br />
2<br />
x dx = (1 +<br />
4 3<br />
9<br />
4 x)3<br />
a = 2<br />
1 +<br />
3<br />
9<br />
4 a<br />
<br />
3/2<br />
− 1<br />
0<br />
Dado que la velocidad es constante, su valor coinci<strong>de</strong> con el espacio recorrido<br />
entre el mediodía y la una, es <strong>de</strong>cir, el valor <strong>de</strong> la expresión anterior para a = 1:<br />
v = 1<br />
12 (−8 + 13√13). A la una y media, el objeto se encontrara en un punto<br />
(a, a3/2 ) tal que<br />
2<br />
1 +<br />
3<br />
9<br />
4 a<br />
<br />
3/2<br />
− 1 = 3 1<br />
2 12 (−8 + 13√13) <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0 1 1’5
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 170<br />
Problema 87 Hallar la ecuación <strong>de</strong> la recta tangente a la curva parametrizada x = 2 cos θ e y = θ − sen θ<br />
cuando θ = π/2.<br />
Para θ = π/2, el punto <strong>de</strong>scrito es (0, π − 1). Para cada θ, un vector tangente es<br />
2<br />
(x ′ (θ), y ′ (θ) = (−2 sen θ, 1 − cos θ)<br />
Por tanto, para θ = π/2 el vector tangente es (−2, 1) y la recta tangente:<br />
X<br />
−2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π<br />
= Y − + 1<br />
2
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 171<br />
Problema 88 Hallar una curva parametrizada x = f(t), y = g(t) que pase por los puntos (1, 1), (2, 2),<br />
(4, 2), (5, 1), (3, 0) y (1, 1) tal que f y g sean funciones lineales a trozos, con lo cual la curva es un polígono<br />
cuyos vértices son los puntos dados en ese mismo or<strong>de</strong>n.<br />
1. Hallar la longitud <strong>de</strong> la curva mediante la fórmula <strong>de</strong>ducida anteriormente y <strong>de</strong>spués usando geometría<br />
elemental.<br />
2. Hallar la superficie y el volumen <strong>de</strong> revolución <strong>de</strong>l sólido obtenido al girar el polígono alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje<br />
OY .<br />
El polígono <strong>de</strong>l enunciado aparece en la figura siguiente.<br />
(1,1)<br />
(2,2) (4,2)<br />
(3,0)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(5,1)
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 172<br />
Una parametrización <strong>de</strong> la curva es:<br />
⎧<br />
(t − 1)(1, 1) + (1, 1) t ∈ [1, 2]<br />
⎪⎨<br />
(t − 2)(2, 0) + (2, 2) t ∈ [2, 3] ⎪⎨<br />
(2t − 2, 2) t ∈ [2, 3]<br />
(f, g)(t) = (t − 3)(1, −1) + (4, 2) t ∈ [3, 4] = (t + 1, 5 − t) t ∈ [3, 4]<br />
La <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> esta parametrización es:<br />
La Longitud <strong>de</strong>l polígono es:<br />
L =<br />
2<br />
1<br />
√ 1 + 1 dt +<br />
(t − 4)(−2, −1) + (5, 1) t ∈ [4, 5]<br />
⎪⎩<br />
(t − 5)(−2, 1) + (3, 0) t ∈ [5, 6]<br />
3<br />
2<br />
√ 4 + 0 dt +<br />
(f ′ , g ′ )(t) =<br />
4<br />
3<br />
√ 1 + 1 dt +<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
⎧<br />
(1, 1) t ∈ (1, 2)<br />
⎪⎨<br />
(2, 0) t ∈ (2, 3)<br />
(1, −1) t ∈ (3, 4)<br />
(−2, −1) t ∈ (4, 5)<br />
⎪⎩ (−2, 1) t ∈ (5, 6)<br />
5<br />
4<br />
⎧<br />
(t, t) t ∈ [1, 2]<br />
(−2t + 13, −t + 5) t ∈ [4, 5]<br />
⎪⎩<br />
(−2t + 13, t − 5) t ∈ [5, 6]<br />
√ 4 + 1 dt +<br />
6<br />
5<br />
√ 4 + 1 dt<br />
= √ 2 + 2 + √ 2 + √ 5 + √ 5 = 2 √ 5 + 2 √ 2 + 2
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 173<br />
La superficie <strong>de</strong> revolución al girar alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY es:<br />
S =<br />
2<br />
1<br />
+<br />
2π|t| √ 1 + 1 dt +<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2π| − 2t + 13| √ 4 + 1 dt +<br />
2<br />
2π|2t − 2| √ 4 + 0 dt +<br />
6<br />
= 3π √ 2 + 12π + 9 √ 2π + 8 √ 5π + 4 √ 5π<br />
El volumen <strong>de</strong> revolución al girar alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY es:<br />
V =<br />
=<br />
6<br />
1<br />
2<br />
1<br />
= 14<br />
3<br />
+<br />
2πf(t)g(t)f ′ (t) dt<br />
2πt 2 dt +<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
2π(4t − 4)2 √ 4 + 0 dt +<br />
5<br />
4<br />
2π(−2t + 13)(−t + 5)(−2) √ 4 + 1 dt +<br />
π + 24π + 40<br />
3<br />
π − 26<br />
3<br />
10<br />
π − π = 30π<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3<br />
4<br />
3<br />
2π|t + 1| √ 1 + 1 dt<br />
2π| − 2t + 13| √ 4 + 1 dt<br />
2π(t + 1)(5 − t) √ 1 + 1 dt<br />
6<br />
5<br />
2π(−2t + 13)(t − 5)(−2) √ 4 + 1 dt
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 174<br />
Problema 89 Se <strong>de</strong>fine el centro <strong>de</strong> curvatura C en un punto (a, b) <strong>de</strong> una curva como el extremo <strong>de</strong>l vector<br />
−rn trasladado al punto (a, b), don<strong>de</strong> r es el radio <strong>de</strong> curvatura. La circunferencia <strong>de</strong> radio r centrada en C<br />
es tangente a la curva en el punto (a, b) (tiene el mismo vector tangente) y recibe el nombre <strong>de</strong> circunferencia<br />
osculatriz.<br />
Se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar que las coor<strong>de</strong>nadas, (α, β) <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> una función<br />
y = f(x) dos veces <strong>de</strong>rivable y <strong>de</strong> curvatura no nula en (a, b) son<br />
α = a − f ′ (a) 1 + f ′ (a) 2<br />
f ′′ (a) 2<br />
β = b + 1 + f ′ (a) 2<br />
f ′′ (a) 2<br />
Usar estas fórmulas para hallar la circunferencia osculatriz a las siguientes curvas en los puntos que se<br />
indican:<br />
y = x 2 en el punto (1, 1).<br />
y = tg x en (π/4, 1).<br />
x(t) = t 2 , y(t) = t 3 en t = 1.<br />
y = x 2 en el punto (1, 1); y ′ = 2x, y ′′ = 2:<br />
1 + 4<br />
α = 1 − 2 = 1 −<br />
4<br />
√ 5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
β = 1 +<br />
1 + 4<br />
4<br />
= 1 −<br />
√ 5<br />
4
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 175<br />
y = tg x en (π/4, 1); y ′ = 1 + tg 2 x, y ′′ = 2 tg x(1 + tg 2 x):<br />
α = π + 4<br />
− 21<br />
4 16<br />
π 5<br />
= −<br />
4 8<br />
β = 1 +<br />
1 + 4<br />
16<br />
= 1 + 5<br />
16<br />
x(t) = t2 , y(t) = t3 en t = 1; el punto es (a, b) = (1, 1); eliminando el parámetro <strong>de</strong>ducimos la<br />
representación cartesiana y = f(x) = x3/2 , x ≥ 0; f ′ (x) = 3<br />
2x1/2 , f ′′ (x) = 3<br />
4x−1/2 :<br />
α = 1 + 3<br />
2<br />
1 + 9<br />
4<br />
9<br />
16<br />
= 26<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
β = 1 +<br />
1 + 9<br />
4<br />
9<br />
16<br />
= 52<br />
9
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 176<br />
Problema 90 El conjunto <strong>de</strong> centros <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong> una curva dada recibe el nombre <strong>de</strong> evoluta <strong>de</strong> la<br />
curva, mientras que la curva dada es la involuta <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> centros <strong>de</strong> curvatura. Una curva sólo<br />
tiene una evoluta, pero un conjunto <strong>de</strong> puntos pue<strong>de</strong> tener muchas involutas: ¿cuál es la evoluta <strong>de</strong> una<br />
circunferencia?, ¿cuáles son las involutas <strong>de</strong> un punto?<br />
En el ejercicio ??, <strong>de</strong>mostramos que la curvatura <strong>de</strong> una circunferencia en cada punto coinci<strong>de</strong> con el<br />
radio <strong>de</strong> la circunferencia; <strong>de</strong> aquí se <strong>de</strong>duce que la evoluta <strong>de</strong> una circunferencia se reduce a un único punto:<br />
su centro. Por tanto, cualquier circunferencia centrada en el mismo punto, tendrá la misma evoluta, y estas<br />
serán todas las evolutas <strong>de</strong>l punto.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 177<br />
Problema 91 Hallar una ecuación parametrizada para la evoluta <strong>de</strong> la parábola y = x 2 .<br />
Del ejercicio 89, se <strong>de</strong>duce que el centro <strong>de</strong> curvatura<br />
en el punto (t, t 2 ) es:<br />
1 + 4t2<br />
α(t) = t − 2t<br />
β(t) = t 2 +<br />
4<br />
1 + 4t2<br />
4<br />
= −2t 3 + 1<br />
2 t<br />
= 2t 2 + 1<br />
4<br />
Estas ecuaciones dan la parametrización <strong>de</strong> la evoluta.<br />
En la figura mostramos las dos curvas juntas. Obsérvese<br />
que las paramétrizaciones <strong>de</strong> las dos curvas usan el<br />
mismo parametro, la primera coor<strong>de</strong>nada <strong>de</strong>l punto <strong>de</strong><br />
la parábola. E interesante saber como se recorren las<br />
curvas y, para ello, indicamos con cabezas <strong>de</strong> flecha,<br />
la dirección en que se recorren, y mostramos como se<br />
localiza el centro <strong>de</strong> curvatura correspondiente a un<br />
punto <strong>de</strong> la parábola (el punto (x(1), y(1))).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
t=1<br />
t=1
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 178<br />
Problema 92 Trocoi<strong>de</strong>. Un círculo <strong>de</strong> radio r rueda sin <strong>de</strong>slizarse por una recta (eje OX). Hallar las<br />
ecuaciones <strong>de</strong> la trayectoria <strong>de</strong> un punto unido rígidamente al círculo y que se encuentra a una distancia d<br />
<strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> este. Esta curva recibe el nombre <strong>de</strong> trocoi<strong>de</strong>; si r = d, la curva se <strong>de</strong>nomina cicloi<strong>de</strong>; si r < d,<br />
se <strong>de</strong>nomina cicloi<strong>de</strong> larga; por último, si r > d, se <strong>de</strong>nomina cicloi<strong>de</strong> corta. En la figura 4.1 se muestran<br />
las gráficas <strong>de</strong> estas dos últimas. Dar ejemplos <strong>de</strong> objetos que, al moverse, <strong>de</strong>scriben tales curvas.<br />
y (θ )<br />
r<br />
x(θ )<br />
En la figura mostramos como se <strong>de</strong>scribe un punto <strong>de</strong> una cicloi<strong>de</strong> larga, pero pue<strong>de</strong> observarse, que el<br />
razonamiento es válido para cualquier caso.<br />
Como parámetro elegimos el ángulo <strong>de</strong> giro <strong>de</strong>l círculo, θ; a<strong>de</strong>más, suponemos que en el instante inicial<br />
el punto <strong>de</strong> referencia está sobre el eje OY (es <strong>de</strong>cir, para θ = 0, el punto <strong>de</strong> la curva es (0, r − d)). Cuando<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
θ<br />
rθ
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 179<br />
Figura 4.1: Trocoi<strong>de</strong>s. Ejercicio 14<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 180<br />
el círculo ha girado un ángulo θ, la distancia <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> la misma al eje OY es rθ (ya que rueda sin<br />
<strong>de</strong>slizarse); a partir <strong>de</strong> esta observación y <strong>de</strong>l dibujo, se <strong>de</strong>duce fácilmente que:<br />
x(θ) = rθ − d sen θ y(θ) = r − d cos θ<br />
Los signos que aparecen en las dos ecuaciones están, aparentemente, justificados por la posición elegida en<br />
la figura; obsérvese que, en cualquier otra posición, los signos son igualmente correctos.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 181<br />
Problema 93 Epicicloi<strong>de</strong>. Cuando una circunferencia rueda sin <strong>de</strong>slizarse por el exterior <strong>de</strong> otra circunferencia<br />
(por ejemplo cuando se gira una moneda sobre otra) cada punto P <strong>de</strong> la primera circunferencia<br />
<strong>de</strong>scribe una curva llamada epicicloi<strong>de</strong>. Supóngase que la circunferencia fija tiene radio a y su centro está en<br />
el origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas; supóngase también que la circunferencia móvil tiene radio b y que la posición inicial<br />
<strong>de</strong>l punto P es (a, 0). Compruébese que las ecuaciones paramétricas <strong>de</strong> la epicicloi<strong>de</strong> así <strong>de</strong>scrita son<br />
<br />
a + b<br />
x(θ) = (a + b) cos θ − b cos θ<br />
b<br />
<br />
a + b<br />
y(θ) = (a + b) sen θ − b sen θ<br />
b<br />
don<strong>de</strong> θ es el ángulo formado entre el eje OX y la línea que une los centros <strong>de</strong> ambas circunferencias. La<br />
figura 4.2 muestra algunos ejemplos <strong>de</strong> epicicloi<strong>de</strong>s.<br />
Indicación: Hállese primero dón<strong>de</strong> se encuentra el centro <strong>de</strong> la circunferencia móvil. ¿Qué representa<br />
(a + b)θ/b?<br />
la parte inferior <strong>de</strong> la figura 4.2 <strong>de</strong> la página 182 se observa como se <strong>de</strong>scribe un punto <strong>de</strong> la epicicloi<strong>de</strong>.<br />
En primer lugar observamos que aθ = bφ, ya que la circunferencia rueda sin <strong>de</strong>slizarse, y por tanto, φ = a<br />
b θ.<br />
Por otra parte, cuando la circunferencia móvil ha girado un ángulo θ, el centro <strong>de</strong> esta se encuentra en<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 182<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 183<br />
((a + b) cos θ, (a + b) sen θ). A partir <strong>de</strong> aquí, la figura nos ayuda a <strong>de</strong>ducir que:<br />
x(θ) = (a + b) cos θ − b cos(θ + φ)<br />
y(θ) = (a + b) sen θ − b sen(θ + φ)<br />
Sustituyendo φ por aθ,<br />
obtenemos las ecuaciones <strong>de</strong>l enunciado.<br />
b<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 184<br />
Problema 94 Se toman dos monedas <strong>de</strong>l mismo tamaño y, fijando una <strong>de</strong> ellas, se gira una alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong><br />
la otra. ¿Cuántas vueltas da sobre sí misma? (la respuesta no es una) ¿y si el radio <strong>de</strong> la moneda que gira<br />
es un tercio <strong>de</strong> la que está fija?<br />
Indicación: ¿Qué representa (a + b)θ/b?<br />
En el ejercicio anterior vimos que si giramos la circunferencia móvil un ángulo θ alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la fija, la<br />
circunferencia móvil gira un ángulo (a+b)θ/b sobre si misma. Si rodamos la circunferencia móvil hasta volver<br />
al punto <strong>de</strong> partida, estamos dando una vuelta alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la circunferencia fija y un ángulo 2a(2π)/a = 4π<br />
sobre si misma, es <strong>de</strong>cir, dos vueltas.<br />
Si el radio <strong>de</strong> moneda móvil es un tercio <strong>de</strong> la que está fija, el ángulo <strong>de</strong> giro sobre si misma es:<br />
(3b + b)(2π)/b = 8π, es <strong>de</strong>cir, cuatro vueltas.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 185<br />
Problema 95 Hipocicloi<strong>de</strong>. En este problema se hace rodar una circunferencia por el interior <strong>de</strong> una circunferencia<br />
fija. En las mismas hipótesis que en el problema 15 se pi<strong>de</strong> comprobar que las ecuaciones<br />
paramétricas <strong>de</strong>l punto P son:<br />
<br />
b − a<br />
x(θ) = (a − b) cos θ + b cos θ<br />
b<br />
<br />
b − a<br />
y(θ) = (a − b) sen θ + b sen θ<br />
b<br />
Don<strong>de</strong> a es el radio <strong>de</strong> la circunferencia fija y b < a es el radio <strong>de</strong> la móvil. La figura 4.3 muestra algunos<br />
ejemplos <strong>de</strong> hipocicloi<strong>de</strong>s.<br />
En la parte inferior <strong>de</strong> la figura 4.3 <strong>de</strong> la página 186 mostramos como se <strong>de</strong>scribe un punto <strong>de</strong> la<br />
hipocicloi<strong>de</strong>. En primer lugar observamos que aθ = −bφ (el signo se <strong>de</strong>be a que el ángulo φ crece en sentido<br />
contrario a θ) y por tanto, φ = − a<br />
b<br />
b−a<br />
θ y φ+θ = θ. Por otra parte, cuando la circunferencia móvil ha girado<br />
b<br />
un ángulo θ, el centro <strong>de</strong> esta se encuentra en ((a − b) cos θ, (a − b) sen θ). A partir <strong>de</strong> aquí, la figura nos<br />
ayuda a <strong>de</strong>ducir que:<br />
x(θ) = (a − b) cos θ + b cos(θ + φ)<br />
x(θ) = (a − b) sen θ + b sen(θ + φ)<br />
Sustituyendo φ por − aθ,<br />
obtenemos las ecuaciones <strong>de</strong>l enunciado.<br />
b<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 186<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 187<br />
Problema 96 Compruébese que la astroi<strong>de</strong> x(t) = a cos 3 t, y(t) = a sen 3 t es una hipocicloi<strong>de</strong> en la que<br />
b = a/4.<br />
Las fórmulas <strong>de</strong> Moivre nos dicen que:<br />
cos 3θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ<br />
sen 3θ = 3 sen θ − 4 sen 3 θ<br />
De don<strong>de</strong> se obtiene que:<br />
cos 3 θ = 1<br />
(cos 3θ + 3 cos θ)<br />
4<br />
sen 3 θ = 1<br />
(3 sen θ − sen 3θ)<br />
4<br />
Con estas fórmulas po<strong>de</strong>mos reescribir las ecuaciones <strong>de</strong>l astroi<strong>de</strong>:<br />
x(t) = a cos 3 t = 3a<br />
4<br />
y(t) = a sen 3 t = 3a<br />
4<br />
a<br />
cos t + cos 3t<br />
4<br />
a<br />
sen t − sen 3t<br />
4<br />
Y, efectivamente, las nuevas ecuaciones son las ecuaciones <strong>de</strong> una hipocicloi<strong>de</strong>; a es el radio <strong>de</strong> la circunfe-<br />
rencia fija y y b = a<br />
4<br />
el radio <strong>de</strong> la circunferencia que rueda: (a − b) = 3a<br />
4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
y b−a<br />
a<br />
= − 3<br />
4 .
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 188<br />
Obsérvese que no hemos parametrizado las curva <strong>de</strong> dos formas distintas, solo hemos transformado<br />
algebraicamente las ecuaciones.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 189<br />
Problema 97 Considérese la curva parametrizada dada por x(t) = cos mt e y = sen nt, para valores enteros<br />
<strong>de</strong> m y n. Una curva tal se dice que es una figura <strong>de</strong> Lissajous<br />
1. Esbozar la curva para m = 1 y n = 1, 2, 3, 4.<br />
2. Describir el comportamiento general <strong>de</strong> la curva si m = 1 para cualquier valor <strong>de</strong> n. ¿Es importante<br />
si n es par o impar?<br />
3. Esbozar la curva para m = 2 y n = 1, 2, 3, 4, 5.<br />
4. Esbozar la curva para m = 3 y n = 4, 5.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 190<br />
Problema 98<br />
O<br />
Cisoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Diocles. (ver figura). Sea una circunferencia con diámetro OA <strong>de</strong> longitud 2a y la tangente<br />
a ella en el punto A. Des<strong>de</strong> el punto O se traza una recta OC y se <strong>de</strong>nota por B el punto <strong>de</strong> corte con la<br />
circunferencia. Se <strong>de</strong>fine el punto M <strong>de</strong> tal forma que d(O, M) = d(B, C). Al girar la recta OC alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l<br />
punto O, el punto M se <strong>de</strong>splaza por una trayectoria que se <strong>de</strong>nomina cisoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Diocles. Hallar la ecuación<br />
<strong>de</strong> esta trayectoria en coor<strong>de</strong>nadas polares.<br />
Si r = f(θ) es la representación polar <strong>de</strong> la curva, f(θ) = d(OM) = d(BC); es <strong>de</strong>cir, tenemos que obtener<br />
la distancia d(BC) en función <strong>de</strong> θ.<br />
El triángulo OBA es rectángulo en B (propiedad elemental <strong>de</strong> las circuferencias); por tanto, d(BA) =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
M<br />
θ<br />
B<br />
θ<br />
C<br />
A
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 191<br />
2a sen θ. Dado que el ángulo en A <strong>de</strong>l triángulo rectángulo ABC es θ, se tiene que f(θ) = d(B, C) =<br />
d(A, B) tg θ = 2a sen θ tg θ.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 192<br />
F 1 F 2<br />
Figura 4.4: óvalos <strong>de</strong> Cassini. Ejercicio 21.<br />
Problema 99 óvalos <strong>de</strong> Cassini. Escribir la ecuación <strong>de</strong>l lugar geométrico constituido por todos los puntos<br />
cuyo producto <strong>de</strong> distancias a dos puntos dados, F1 y F2 tales que d(F1, F2) = 2b, es una magnitud constantemente<br />
igual a a 2 . Estas curvas se <strong>de</strong>nominan óvalos <strong>de</strong> Cassini; para el caso particular a = b, la curva<br />
que se <strong>de</strong>fine se <strong>de</strong>nomina lemniscata <strong>de</strong> Bernouilli. En la figura 4.4 se muestran simultáneamente varios<br />
óvalos, los dos más externos correspon<strong>de</strong> a a > b, el doble lazo (con forma ∞) es la lemniscata y las dos<br />
curvas interiores pertenecen a un mismo óvalo con a < b.<br />
Para simplificar los cálculos, suponemos que los focos estan sobre el eje OX y son F1 = (−b, 0) y<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 193<br />
F2 = (b, 0). Las distancias <strong>de</strong> un punto arbitrario M = (x, y) a estos focos son:<br />
d(F1, M) = (x + b) 2 + y 2 d(F2, M) = (x − b) 2 + y 2<br />
Por tanto, los puntos pertenecientes al óvalo <strong>de</strong> Cassini son aquellos que verifican la ecuación<br />
que es equivalente a<br />
(x + b) 2 + y 2 (x − b) 2 + y 2 = a 2 ,<br />
[(x + b) 2 + y 2 ][(x − b) 2 + y 2 ] = a 4<br />
Suprimiendo paréntesis y simplificando sta ecuación cartesiana se llega a:<br />
(x 2 + y 2 ) 2 − 2b 2 (x 2 − y 2 ) = a 4 − b 4<br />
Para a = b la curva obtenida se <strong>de</strong>nomina lemniscata <strong>de</strong> Bernouilli; esta curva admite las siguientes representaciones<br />
en forma cartesiana y en forma polar (para esta última basta hacer x = r cos θ e y = r sen θ en<br />
la primera):<br />
(x 2 + y 2 ) 2 = 2b 2 (x 2 − y 2 ) r 2 = 2a 2 cos 2θ<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 194<br />
Problema 100 Curva <strong>de</strong> Agnesi. Sea la circunferencia<br />
x 2 +<br />
<br />
y − a<br />
2 =<br />
2<br />
a2<br />
4<br />
centrada en (0, a/2) y <strong>de</strong> radio a/2 y la recta tangente a la misma por el punto C(0, a). Des<strong>de</strong> el punto O<br />
se traza una recta cuyos puntos <strong>de</strong> corte con la circunferencia y la recta tangente se <strong>de</strong>notan por D y E,<br />
respectivamente. Por el punto E se traza una paralela al eje OY , y por el punto D se traza una paralela al<br />
eje OX; estas dos rectas se cortan en un punto M. Al girar la recta OE alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l punto O el punto M<br />
<strong>de</strong>scribe una curva que se <strong>de</strong>nomina curva <strong>de</strong> Agnesi. (Ver figura)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
C<br />
O<br />
y<br />
a/2<br />
θ<br />
D<br />
E<br />
x<br />
M
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 195<br />
Elegimos como parámetro el ángulo θ que forma el segmento OE con la eje OX (obsérvese que esto<br />
“no” nos da una representación polar, ya que el punto no está sobre dicho segmento); entonces, la recta que<br />
contiene al segmento OE es Y = X tg θ. La coor<strong>de</strong>nada x(θ) <strong>de</strong> la curva, es la coor<strong>de</strong>nada X <strong>de</strong>l punto E,<br />
es <strong>de</strong>cir, a = tg θx(θ); por tanto,<br />
x(θ) = a cotg θ<br />
La coor<strong>de</strong>nada y(θ) <strong>de</strong> la curva, es la coor<strong>de</strong>nada y <strong>de</strong>l punto D, es <strong>de</strong>cir, cotg 2 θy(θ) 2 + (y(θ) − a<br />
2 )2 = a2<br />
4 ,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se obtiene:<br />
y(θ) =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
a<br />
1 + cotg 2 θ = a sen2 θ
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 196<br />
Problema 101<br />
Concoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Nicome<strong>de</strong>s. Por el punto (0, a) se traza una recta, r, paralela al eje OX. Una recta arbitraria<br />
que pase por el origen cortará a r en un punto K. Se toman en r los puntos M1 y M2 que distan <strong>de</strong> K una<br />
magnitud fija ℓ. Al girar la recta r alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l punto O, los puntos M1 y M2 <strong>de</strong>scriben dos curvas que se<br />
<strong>de</strong>nominan concoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Nicome<strong>de</strong>s. Dar una parametrización (en coor<strong>de</strong>nadas polares) <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las<br />
curvas. En la figura ?? se muestran las curvas para ℓ < a, ℓ = a y ℓ > a respectivamente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
a<br />
ℓ<br />
ℓ
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 197<br />
Dada una recta arbitraria que pase por el polo y forme con el eje polar un ángulo θ, la distancia <strong>de</strong>l<br />
polo al punto <strong>de</strong> corte con la recta Y = a es (a/ sen θ), por tanto, la representación polar <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong><br />
las curvas que componen la concoi<strong>de</strong> es:<br />
r = a<br />
a<br />
+ ℓ r = − ℓ<br />
sen θ sen θ<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 198<br />
Problema 102 Esbozar las siguientes curvas en coor<strong>de</strong>nadas polares:<br />
r = a cos 2θ r = a sen 3θ r = a sen θ/2<br />
r = a cos 3θ/2 r 2 = a 2 cos 2θ r 2 = a 2 cos 3θ<br />
r = a(4 cos 2θ) r = a(2 + cos 3θ) r = ae θ<br />
La sección ?? explica con <strong>de</strong>talle los pasos a seguir para representar una curva polar. Por ello, en este<br />
ejercio solo mostramos, para cada función, la representación cartesiana y la representación polar; todos los<br />
<strong>de</strong>talles <strong>de</strong> la representación están explicados en dicha sección y es conveniente leerla atentamente antes <strong>de</strong><br />
abordar este tipo <strong>de</strong> problemas.<br />
En las páginas 200 y 201 vemos la representación <strong>de</strong> seis <strong>de</strong> las nueve curvas. Las puntas <strong>de</strong> flecha ayudan<br />
a seguir el recorrido <strong>de</strong> las mismas siguiendo el número que las acompaña. Las curvas representadas son:<br />
1. r = a cos 2θ: es una rosa <strong>de</strong> cuatro pétalos.<br />
2. r = a sen θ:<br />
la función es periódica <strong>de</strong> periodo 4π por lo que es necesario representar el recorrido para<br />
2<br />
θ ∈ [0, 4π] para completarla.<br />
3. r = a cos 3θ<br />
2<br />
4<br />
: la función tiene periodo π y, por tanto, necesitamos dos vueltas, θ ∈ [0, 4π], para<br />
3<br />
recorrerla completamente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 199<br />
4. r 2 = a 2 cos 3θ: en realidad, esta ecuación representa dos curvas polares, r = a √ cos 3θ y r = −a √ cos 3θ;<br />
<strong>de</strong> ellas solo representamos la primera; obsérvese que el dominio <strong>de</strong> la curva contenido en [0, 2π] son<br />
los intervalos [0, π<br />
6<br />
5. r = a(2 + cos 3θ).<br />
], [ 3π<br />
6<br />
, 5π<br />
6<br />
], [ 7π<br />
6<br />
, 7π<br />
6<br />
11π<br />
] y [ , 2π]. 6<br />
6. r = ae θ : es una espiral; la curva polar que se muestra en la figura no coinci<strong>de</strong> exactamente con esta<br />
espiral, ya que el rápido crecimiento <strong>de</strong> la función exponencial nos obligaría a hacer un gráfico mucho<br />
más gran<strong>de</strong>.<br />
Por último, obsérvese que la curva r 2 = a 2 cos 2θ es la lemniscata <strong>de</strong> Bernouilli y se muestra en la figura 4.4<br />
(ver problema 21).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 200<br />
a<br />
−a<br />
a<br />
−a<br />
π<br />
4<br />
f(θ) = a cos 2θ<br />
f(θ) = a sen θ<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong>a Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3π<br />
4<br />
5π<br />
4<br />
7π<br />
4<br />
π 3π 4π<br />
2π<br />
2π<br />
3<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2<br />
4<br />
r = a<br />
5 6<br />
1<br />
3<br />
r = a<br />
5<br />
5<br />
1
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 201<br />
2a<br />
a<br />
a<br />
π<br />
6<br />
π<br />
3<br />
3π<br />
6<br />
5π<br />
6<br />
7π<br />
6<br />
9π<br />
6<br />
11π<br />
6<br />
2π<br />
f(θ) = a √ cos 3θ<br />
2π π 4π 5π 2π<br />
3 3 3<br />
f(θ) = a(2 + cos 3θ)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
3<br />
r = a<br />
4<br />
1<br />
r = a<br />
2<br />
1
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 202<br />
Problema 103 Hallar el área <strong>de</strong> las regiones que se indican usando integración en coor<strong>de</strong>nadas polares:<br />
La región acotada por r = 3 + 2 cos θ.<br />
La región acotada por una hoja <strong>de</strong> la rosa r = a cos 2θ.<br />
La región total interior a r 2 = a 2 sen 2θ.<br />
La región <strong>de</strong>l semiplano <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha limitada por r = a sen θ/2.<br />
La curva r = 3 + 2 cos θ es un caracol <strong>de</strong> Pascal (ver figura 4.7, página 232). El área encerrada por la<br />
curva es:<br />
2π<br />
1<br />
0 2 [r(θ)]2 2π<br />
1<br />
dθ =<br />
0 2 (3 + 2 cos θ)2 2π 11<br />
1<br />
dθ = θ + 6 sen θ + sen 2θ = 11π<br />
2 2 0<br />
La curva r = a cos 2θ se representa en el ejercicio anterior (ver página 200). El área <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los<br />
pétalos es:<br />
π/4<br />
1<br />
2<br />
0 2 [r(θ)]2 π/4<br />
dθ = a<br />
0<br />
2 cos 2 <br />
2θ dθ = a 2 ( 1<br />
π/4 1<br />
θ + sen 4θ) =<br />
2 8 π<br />
8 a2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 203<br />
La curva r2 = a2 sen 2θ es la lemniscata <strong>de</strong> Bernouilli girada sobre el origen π/4 radianes, ya que:<br />
r2 = a2 sen 2θ = a2 cos(2(θ − π))<br />
(ver ejercicio 21). Por tanto, el área total <strong>de</strong> esta curva es:<br />
4<br />
π/2<br />
1<br />
4<br />
π/4 2 [r(θ)]2 π/2<br />
dθ = 2 a<br />
π/4<br />
2 <br />
sen 2θ dθ = −a 2 π/2 cos 2θ = a<br />
π/4<br />
2<br />
La curva r = a sen θ/2 está representada en la página 200 y la región cuya área <strong>de</strong>bemos calcular<br />
aparece sombreada. Por las condiciones <strong>de</strong> simetría <strong>de</strong> la curva, este área la po<strong>de</strong>mos calcular como<br />
π<br />
1<br />
2<br />
π/2 2 [r(θ)]2 π/2<br />
1<br />
dθ − 2<br />
0 2 [r(θ)]2 π<br />
dθ = a<br />
π/2<br />
2 2 θ<br />
sen dθ −<br />
2<br />
2 a<br />
=<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π/2<br />
0<br />
(θ − sen θ)<br />
a 2 2 θ<br />
sen<br />
π<br />
π/2<br />
2 dθ<br />
2<br />
π/2<br />
a<br />
− (θ − sen θ) = a<br />
2 0<br />
2
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 204<br />
Problema 104 Hallar la pendiente <strong>de</strong> la espiral r = θ cuando θ = π/2.<br />
Representamos esta curva por ecuaciones paramétricas:<br />
La <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> esta parametrización es<br />
x(θ) = θ cos θ y(θ) = θ sen θ<br />
x ′ (θ) = cos θ − θ sen θ y ′ (θ) = sen θ + θ cos θ<br />
Para θ = π/2 el vector velocidad es (−π/2, 1) y por tanto, la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente es −2/π.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 205<br />
Problema 105 Hallar todos los puntos <strong>de</strong>l caracol r = 1 + 2 sen θ que tienen tangente horizontal.<br />
El ejercicio podría resolverse gráficamente a partir <strong>de</strong> la figura 4.7 teniendo en cuenta que el caracol<br />
r = 1 + 2 sen θ se obtiene girando π/2 radianes el caracol r = 1 + 2 cos θ.<br />
Las ecuaciones paramétricas <strong>de</strong>l caracol son:<br />
x(θ) = (1 + 2 sen θ) cos θ = cos θ − sen 2θ y(θ) = (1 + 2 sen θ) sen θ = sen θ + 2 sen 2 θ<br />
La <strong>de</strong>riva <strong>de</strong> <strong>de</strong> esta parametrización es:<br />
x ′ (θ) = − sen θ − 2 cos 2θ y ′ (θ) = cos θ + 4 sen θ cos θ = cos θ(1 + 4 sen θ)<br />
Los puntos <strong>de</strong> tangencia horizontal correspon<strong>de</strong>n a los ángulos, θ, tales que y ′ (θ) = 0, es <strong>de</strong>cir, tales que<br />
cos θ = 0 o sen θ = −1/4. Los cuatro puntos son<br />
(0, 1), (0, 3) para cos θ = 0; ( 3<br />
8<br />
√ 17, − 1<br />
8<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
), (−3<br />
8<br />
√ 1<br />
17, − ) para sen θ = −1<br />
8 4
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 206<br />
Problema 106 Hallar el ángulo agudo que forma la curva polar r = a cos θ/2 con el eje OY cada vez que<br />
lo corta en un punto distinto <strong>de</strong>l origen.<br />
Dado que r = a cos θ/2 = −a sen((1/2)(θ − π)), la curva coinci<strong>de</strong> con la <strong>de</strong> la curva r = a sen θ/2 (página<br />
200) pero recorrida siguiendo las flechas 2-3-4-5-6-1-2.<br />
A partir <strong>de</strong> las ecuaciones cartesianas <strong>de</strong> la curva polar, po<strong>de</strong>mos obtener un vector tangente a cada<br />
punto y la tangente <strong>de</strong>l ángulo, α, que forma con el eje OY :<br />
Para la curva <strong>de</strong>l enunciado, se tiene<br />
x(θ) = f(θ) cos θ y(θ) = f(θ) sen θ<br />
x ′ (θ) = f ′ (θ) cos θ − f(θ) sen θ y ′ (θ) = f ′ (θ) sen θ + f(θ) cos θ<br />
tg α = x′ (θ)<br />
y ′ (θ) = f ′ (θ) cos θ − f(θ) sen θ<br />
f ′ (θ) sen θ + f(θ) cos θ<br />
x ′ (θ) = − a θ<br />
θ<br />
sen cos θ − a cos<br />
2 2 2 sen θ, y′ (θ) = − a θ<br />
θ<br />
sen sen θ + a cos cos θ<br />
2 2 2<br />
tg α =<br />
a θ<br />
θ<br />
− sen cos θ − a cos sen θ<br />
2 2 2<br />
− a<br />
2<br />
sen θ<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
sen θ + a cos θ<br />
2<br />
cos θ
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 207<br />
Los puntos don<strong>de</strong> la curva corta al eje OY pero no son el origen, correspon<strong>de</strong>n a los águlos θ = π<br />
2<br />
en estos puntos, la ecuación anterior se simplifica bastante:<br />
tg α = 1 θ<br />
cotg<br />
2 2<br />
+ kπ, y<br />
Dado que la función es periódica <strong>de</strong> periodo 4π, hay cuatro águlos posibles, π/2, 3π/2, 5π/2 y 7π/2,<br />
correspondientes a los puntos:<br />
√ √<br />
2<br />
2<br />
(0, f(π/2)) = (0, a ) (0, f(3π/2)) = (0, −a<br />
2 2 )<br />
√ √<br />
2<br />
2<br />
(0, f(5π/2)) = (0, a ) (0, f(7π/2)) = (0, −a<br />
2 2 )<br />
y las tangentes <strong>de</strong> los ángulos que forman con el eje OY sus respectivas rectas tangentes son:<br />
tg α1 = 1 π<br />
cotg<br />
2 4 = 2 tg α2 = 1 3π<br />
cotg<br />
2 4<br />
tg α3 = 1 5π<br />
cotg<br />
2 4 = 2 tg α4 = 1 7π<br />
cotg<br />
2 4<br />
= −2<br />
= −2<br />
Es <strong>de</strong>cir, las cuatro rectas tangentes forman un ángulo <strong>de</strong> arc tg 2 ≈ 63 ′ 4 ◦ con el eje OY .<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 208<br />
Problema 107 Probar que la espiral r = e θ forma un ángulo constante con la recta radial en cada punto.<br />
Hallar este ángulo.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que la tangente <strong>de</strong>l ángulo formado por la recta radial y la recta tangente en un punto <strong>de</strong><br />
una curva polar viene dada por:<br />
tg ψθ = f(θ)<br />
f ′ (θ)<br />
Para la curva r = f(θ) = e θ , se tiene que f ′ (θ) = e θ y para cada punto la tangente <strong>de</strong>l ángulo es: tg ψθ =<br />
e θ<br />
e θ = 1; es <strong>de</strong>cir, en cualquier punto, el ángulo es π/4.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 209<br />
Problema 108 Probar que el ángulo que forma el radio vector <strong>de</strong> cualquier punto <strong>de</strong> la cardioi<strong>de</strong> r =<br />
a(1 − cos θ) con la curva, es la mitad <strong>de</strong>l que forma el radio vector con el eje polar.<br />
Si f(θ) = a(1 − cos θ), f ′ (θ) = a sen θ; la tangente <strong>de</strong>l ángulo formado por la recta tangente a la curva<br />
en (f(θ), θ) y su radio vector (o recta radial) es<br />
tg ψθ =<br />
a(1 − cos θ)<br />
a sen θ<br />
Por tanto, efectivamente, se verifica que ψθ = θ<br />
2 .<br />
= 1 − cos2 θ<br />
θ<br />
+ sen2 2 2<br />
2 sen θ<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
cos θ<br />
2<br />
=<br />
2 θ<br />
sen 2<br />
2 sen θ<br />
2<br />
cos θ<br />
2<br />
= tg θ<br />
2
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 210<br />
Problema 109 Una partícula se mueve en sentido contrario a las agujas <strong>de</strong>l reloj sobre la cardioi<strong>de</strong> r =<br />
4(1 + cos θ), con dθ/dt = π/6 rad/s. Expresar su velocidad y aceleración en términos <strong>de</strong> ur y uθ.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que los vectores ur y uθ para cada θ son los siguientes vectores unitarios:<br />
ur(θ) = (cos θ, sen θ) uθ(θ) = (− sen θ, cos θ)<br />
Se verifica que:<br />
dur<br />
duθ<br />
= uθ<br />
= −ur<br />
dθ dθ<br />
El enunciado <strong>de</strong>l ejercicio dice que la posición <strong>de</strong> un particula en cada instante t viene dada por la función<br />
vectorial<br />
F (t) = f(θ(t))ur(θ(t)) = 4(1 + cos θ(t))ur(θ(t))<br />
don<strong>de</strong> θ es un función verificando dθ π<br />
(t) = . En general se tiene que el vector velocidad en cada instante<br />
dt 6<br />
es:<br />
Para la función propuesta:<br />
Abreviadamente: v = − 2π<br />
F ′ (t) = f ′ (θ(t))θ ′ (t)ur(θ(t)) + f(θ(t))θ ′ (t)uθ(θ(t))<br />
F ′ (t) = −4 sen θ(t) π<br />
6 ur(θ(t)) + 4(1 + cos θ) π<br />
6 uθ(θ)<br />
3 sen θur + 2π<br />
3<br />
(1 + cos θ)uθ.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 211<br />
Derivando la función velocidad obtenemos la aceleración; <strong>de</strong>rivando directamente en la expresión <strong>de</strong> v y<br />
simplificando obtenemos: <br />
2<br />
2<br />
π 2π<br />
π 2π<br />
a = − cos θur − + sen θuθ<br />
9 3<br />
9 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 212<br />
Problema 110 Hallar la longitud <strong>de</strong> la espiral parabólica r = aθ 2 cuando θ ∈ [0, 2π].<br />
La longitud es:<br />
L =<br />
2π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
2π √<br />
a2θ4 + 4a2θ2 dθ<br />
<br />
[f(θ)] 2 + [f ′ (θ)] 2 dθ =<br />
0<br />
<br />
1 <br />
= (a2θ2 + 4) 3<br />
3a<br />
2π<br />
= 8<br />
3a ((a2 π 2 + 1) 3/2 + 1)<br />
0
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 213<br />
Problema 111 Hallar el área <strong>de</strong> las regiones sombreadas <strong>de</strong> la figura, cada circunferencia tiene radio uno.<br />
La circunferencia centrada en el origen se representa en coor<strong>de</strong>nadas polares por r = 1 y la circunferencia<br />
centrada en (1, 0) se representa por r = 2 cos θ (Ejercicio 3). Estas circunferencias se cortan en el ángulo θ<br />
tal que<br />
1 = 2 cos θ,<br />
es <strong>de</strong>cir, para θ = π/3. El área <strong>de</strong> la parte <strong>de</strong> la región contenida en el primer cuadrante es la cuarta parte<br />
<strong>de</strong>l área total y viene dada por:<br />
π/2 π/2<br />
A/4 = dθ − 2 cos θ dθ = π<br />
24 +<br />
√<br />
3<br />
4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π/3<br />
-1<br />
π/3<br />
Y<br />
1<br />
X
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 214<br />
Problema 112 Tres estaciones <strong>de</strong> navegación situadas, en coor<strong>de</strong>nadas polares, en los puntos (a, 0), (0, 0) y<br />
(a, π/4) emiten simultáneamente señales <strong>de</strong> radio. Un barco que recibe las señales observa que las <strong>de</strong> la<br />
segunda y tercera estación llegan a a/2v segundos <strong>de</strong>spués que las <strong>de</strong> la primera. Si v es la velocidad <strong>de</strong> una<br />
señal <strong>de</strong> radio, ¿cuál es, en coor<strong>de</strong>nadas polares, la localización <strong>de</strong>l barco?<br />
Las señales que provienen <strong>de</strong> las estaciones situadas en (0, 0) y (a, π/4) llegan simultáneamente al barco y<br />
por tanto, se encuentran a la misma distancia <strong>de</strong> este, es <strong>de</strong>cir, sobre la mediana <strong>de</strong> estos puntos: Y = a √ 2 −X;<br />
haciendo X = r cos θ e Y = r sen θ, obtenemos la representación polar <strong>de</strong> esta recta:<br />
r =<br />
a √ 2<br />
2(sen θ + cos θ)<br />
El teorema <strong>de</strong> los cosenos nos permite hallar la distancia, d, entre un punto <strong>de</strong> la recta (r, θ), y el tercer<br />
punto, (a, 0):<br />
d 2 = a 2 + r 2 − 2ar cos θ. (4.2)<br />
El tiempo que tarda la señal al punto (a, 0) es t = d<br />
y según el enunciado, el tiempo que tarda en llegar<br />
v<br />
al punto (0, 0) es t ′ = d a + v 2v . Por tanto, la distancia <strong>de</strong>l barco al punto (0, 0) es r = vt′ = d + a;<br />
<strong>de</strong>spejando<br />
2<br />
d <strong>de</strong> esta igualdad y sustituyendo en 4.3, obtenemos la siguiente relación:<br />
a 2 + r 2 − 2ar cos θ = (r − a<br />
2 )2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(4.1)
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 215<br />
De don<strong>de</strong>, simplificando, se obtiene que:<br />
De las ecuaciones 4.1 y 4.3<br />
r =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3a<br />
4(2 cos θ − 1)<br />
(4.3)
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 216<br />
Problema 113 Rosáceas. Se llama rosácea a cualquier curva <strong>de</strong>finida en coor<strong>de</strong>nadas polares por una<br />
ecuación <strong>de</strong> la forma<br />
r = a sen nθ r = a cos mθ<br />
don<strong>de</strong> a > 0 y n es un entero positivo.<br />
Para n = 1 se obtienen circunferencias. Comprobar que si n es par entonces la curva es una rosa <strong>de</strong><br />
2n hojas, y si n es impar entonces es una curva con n hojas. La figura 4.8 muestra algunos ejemplos <strong>de</strong><br />
rosáceas.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 217<br />
Problema 114 Caracol <strong>de</strong> Pascal. Se llama caracol <strong>de</strong> Pascal a cualquier curva <strong>de</strong>finida en coor<strong>de</strong>nadas<br />
polares por una ecuación <strong>de</strong> la forma<br />
la figura 4.7 muestra distintos tipos <strong>de</strong> caracoles.<br />
Comprobar las siguientes afirmaciones:<br />
r = a ± b sen θ r = a ± b cos θ<br />
1. Según los casos, la curva es simétrica respecto <strong>de</strong>l eje OX o respecto <strong>de</strong>l eje OY .<br />
2. Si a ≥ b el arco es simple; el polo no pertenece a la curva si a > b y sí pertenece si a = b.<br />
3. Si a < b el polo es el único punto doble.<br />
4. Comprobar que las gráficas <strong>de</strong> las funciones r = 2a cos θ y r = 2a sen θ son circunferencias <strong>de</strong> radio a<br />
que pasan por el origen y con centro sobre alguno <strong>de</strong> los ejes coor<strong>de</strong>nados.<br />
5. Deducción <strong>de</strong> la simplificación <strong>de</strong> la fórmula (??):<br />
a) Aplíquese la fórmula <strong>de</strong>l coseno <strong>de</strong> una suma a<br />
<br />
2πt<br />
U cos<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Td<br />
− 2πtn<br />
<br />
Td
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 218<br />
y <strong>de</strong>dúzcase<br />
Q = U cos 2πtn<br />
Td<br />
y R = U sen 2πtn<br />
b) úsese la relación fundamental <strong>de</strong> la trigonometría para obtener la siguiente expresión <strong>de</strong> U:<br />
<br />
U = 1 − cos2 <br />
2πn<br />
sen<br />
365<br />
2 α<br />
c) Deducir una fórmula para la puesta <strong>de</strong> sol a partir <strong>de</strong> la fórmula (??).<br />
d) ¿Qué ángulo forma el Sol con el horizonte en París (latitud 49 ◦ ) a las tres <strong>de</strong> la tar<strong>de</strong> <strong>de</strong>l 15 <strong>de</strong><br />
Enero? ¿y en Málaga?<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Td
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 219<br />
Problema 115 La siguiente curva parametrizada se conoce como Folio <strong>de</strong> Descartes:<br />
x(t) = 3t<br />
1 + t 3<br />
y(t) = 3t2<br />
1 + t 3<br />
Dibújala, <strong>de</strong>muestra que tiene una asíntota en la recta Y + X + 1 = 0 y <strong>de</strong>muestra que es simétrica respecto<br />
<strong>de</strong> la recta Y = X.<br />
Las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la curva quedan <strong>de</strong>terminadas por las funciones x(t), y(t) y p(t) = x′ (t)<br />
y ′ (t)<br />
Las dos primeras secciones están <strong>de</strong>dicadas a la representación gráfica <strong>de</strong> curvas <strong>de</strong>finidas por ecuaciones<br />
paramétricas y curvas polares. En cada caso estudiaremos las características que nos ayu<strong>de</strong>n a realizar un<br />
esbozo bastante preciso; nos basaremos en la representación gráfica <strong>de</strong> funciones reales <strong>de</strong> variable real.<br />
Queremos representar una curva <strong>de</strong>scrita por ecuaciones paramétricas, (x(t), y(t)), t ∈ I con I intervalo.<br />
Para seguir más fácilmente los distintos pasos <strong>de</strong>l método, haremos paralelamente el estudio <strong>de</strong> un ejemplo<br />
concreto, en este caso, el Folio <strong>de</strong> Descartes,<br />
en los intervalos (−∞, −1) y (−1, ∞)<br />
x(t) = 3t<br />
1 + t 3<br />
y(t) = 3t2<br />
1 + t 3<br />
Recorrido <strong>de</strong> la curva. En primer lugar <strong>de</strong>bemos hallar los puntos críticos <strong>de</strong> las funciones x e y, lo que<br />
nos dará los puntos <strong>de</strong> tangencia vertical y horizontal, y estudiaremos los límites <strong>de</strong> ambas funciones en los<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 220<br />
extremos <strong>de</strong>l intervalo I. El primer paso <strong>de</strong> la representación será representar estos límites y los puntos <strong>de</strong><br />
la curva correspondientes a los valores <strong>de</strong>l parámetro que son puntos críticos <strong>de</strong> x o y.<br />
Los puntos críticos <strong>de</strong> las funciones divi<strong>de</strong>n el intervalo I en subintervalos don<strong>de</strong> los signos <strong>de</strong> las<br />
<strong>de</strong>rivadas, x ′ e y ′ , son constantes; <strong>de</strong> esta forma po<strong>de</strong>mos representar la curva, entre los puntos antes<br />
dibujados, como flechas indicando la dirección constante que correspon<strong>de</strong> al intervalo.<br />
Todo lo dicho hasta ahora se seguirá más fácilmente con las graficas <strong>de</strong> x e y lo que hacemos en el ejemplo<br />
<strong>de</strong>l Folio:<br />
x(t) = 3t<br />
1 + t 3<br />
−1<br />
<br />
3 1/2<br />
−1<br />
y (t) = 3t2<br />
1 + t 3<br />
A partir <strong>de</strong> estas, hacemos una tabla don<strong>de</strong> indicamos los puntos señalados y los intervalos <strong>de</strong> dirección<br />
constante; por ejemplo, para t ∈ ( 3 1/2, 3√ 2), x ′ (t) < 0 e y ′ (t) > 0, y en consecuencia la dirección <strong>de</strong>l vector<br />
velocidad <strong>de</strong> los puntos correspondientes a ese intervalo es ↖:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3 √ 2
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 221<br />
(−∞, −1) (−1, 0) (0, 3 1/2) ( 3 1/2, 3√ 2) ( 3√ 2, ∞)<br />
(0, 0)(+∞, −∞) (−∞, +∞)(0, 0) (0, 0)( 3√ 4, 3√ 2) ( 3√ 4, 3√ 2)( 3√ 2, 3√ 4) ( 3√ 2, 3√ 4)(0, 0)<br />
↘ ↘ ↗ ↖ ↙<br />
En la primera fila aparecen los subintervalos <strong>de</strong>stacados; en la segunda fila aparecen los puntos <strong>de</strong> la<br />
curva correspondientes a los extremos <strong>de</strong> los subintervalos o el límite <strong>de</strong> la función vectorial en dichos valores;<br />
y en la tercera fila aparece la dirección <strong>de</strong> los vectores velocidad en el intervalo correspondiente.<br />
El primer esbozo <strong>de</strong>l Folio aparece en la figura 4.9.<br />
Concavidad y convexidad. Como po<strong>de</strong>mos observar, el esbozo logrado con el estudio <strong>de</strong> la primera sección<br />
no es todavia satisfactorio: necesitamos convertir las flechas en curvas.<br />
Con el estudio <strong>de</strong> la sección anterior sabemos que las flechas correspon<strong>de</strong>n a segmentos regulares <strong>de</strong> la<br />
curva, es <strong>de</strong>cir, que <strong>de</strong>beremos dibujarlos como curvas suaves. Igualmente, sabremos si alguno <strong>de</strong> los puntos<br />
ya dibujados es un punto <strong>de</strong> no regularidad, en tal caso, la curva podría presentar un pico en dicho punto.<br />
Si no hemos encontrado ningún punto <strong>de</strong> no regularidad, todo el trazado <strong>de</strong>be hacerse suave.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 222<br />
Para hacer la transformación <strong>de</strong> flechas a curvas, solo nos hace falta reconocer los tramos <strong>de</strong> concavidad<br />
y convexidad <strong>de</strong> la curva. Para hacer esto, vamos a utilizar una tercera función, la función pendiente, esto<br />
es, p(t) = y′ (t)<br />
x ′ , que nos da la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente en cada punto:<br />
(t)<br />
1. Si x ′ (t0) = 0 e y ′ (t0) = 0, t0 no está en el dominio <strong>de</strong> la función p, pero sabemos que la curva es regular<br />
en este punto y la tangente es vertical.<br />
2. Si x ′ (t0) = 0 y y ′ (t0) = 0, el punto <strong>de</strong>terminado por t0 es un punto don<strong>de</strong> la curva pue<strong>de</strong> no ser regular.<br />
En este caso, el estudio <strong>de</strong> los límites lím<br />
t→t +<br />
0<br />
p(t) y lím<br />
t→t −<br />
0<br />
p(t) nos <strong>de</strong>terminarán el comportamiento.<br />
La forma <strong>de</strong> la curva en cada subintervalo viene <strong>de</strong>terminada por la siguiente tabla:<br />
p creciente, x creciente: convexa<br />
p creciente, x <strong>de</strong>creciente: cóncava<br />
p <strong>de</strong>creciente, x creciente: cóncava<br />
p <strong>de</strong>creciente, x <strong>de</strong>creciente: convexa<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 223<br />
Es <strong>de</strong>cir, la transformación flecha–curva se representa por el siguiente esquema<br />
p creciente<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
p <strong>de</strong>crecien te
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 224<br />
Representamos a continuación la grafica <strong>de</strong> p para el Folio y el segundo esbozo <strong>de</strong> la curva:<br />
p (t) =<br />
2t − t4<br />
1 − 2t 3<br />
−1<br />
<br />
3 1/2<br />
3√ 2<br />
t → −1 +<br />
t → +∞<br />
t = 0<br />
t = 3√ 2<br />
t → −∞<br />
t = 3 1/2<br />
t → −1<br />
Asíntotas. La existencia <strong>de</strong> asíntotas es otra importante característica <strong>de</strong> una curva. Debemos estudiar<br />
si la curva tiene una asíntota cuando el parámetro t tien<strong>de</strong> a t0 (brevemente: en t → t0) si t0 es un extremo<br />
<strong>de</strong>l intervalo (pue<strong>de</strong> ser un número real o ±∞).<br />
1. Si lím<br />
t→t0<br />
t → t0.<br />
x(t) = ±∞ y lím<br />
t→t0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
y(t) = m ∈ R, la recta Y = m es una asíntota horizontal para la curva en<br />
−
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 225<br />
2. Si lím<br />
t→t0<br />
t → t0.<br />
3. Si lím<br />
t→t0<br />
y(t) = ±∞ y lím<br />
t→t0<br />
y(t) = ±∞ y lím<br />
t→t0<br />
x(t) = m ∈ R, la recta X = m es una asíntota vertical para la curva en<br />
x(t) = ±∞, la curva pue<strong>de</strong> tener una asíntota oblicua en t → t0. Si los límites<br />
lím<br />
t→t0<br />
p(t) = m lím<br />
t→t0<br />
y(t) − mx(t) = n<br />
existen y son números reales, entonces efectivamente tiene una asíntota: la recta Y = mX + n.<br />
La recta Y = −X − 1 es una asíntota oblicua <strong>de</strong>l Folio en t → −1:<br />
lím<br />
t→−1<br />
2t − t4 = −1 lím<br />
1 − 2t3 t→−1<br />
3t2 3t<br />
+ = −1<br />
1 + t3 1 + t3 Simetrías. I<strong>de</strong>ntificar simetrías en una curva no es siempre sencillo, pero una vez hechos los primeros<br />
esbozos, es posible intuir alguna u observar la imposibilidad <strong>de</strong> ellas. En caso <strong>de</strong> creer que la curva tiene<br />
alguna simetría, <strong>de</strong>bemos verificarlo.<br />
En el ejemplo <strong>de</strong> Folio parece que tenemos una simetría respecto <strong>de</strong> la recta Y = X; para comprobarlo,<br />
tenemos que <strong>de</strong>mostrar que para cada valor <strong>de</strong>l parámetro, t, existe otro valor, s, tal que (y(t), x(t)) =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 226<br />
(x(s), y(s)) (cada simetría se traducirá en una igualdad <strong>de</strong> este tipo)<br />
3s2 3t<br />
=<br />
1 + s3 1 + t3 ⇒<br />
1 + t3 t<br />
=<br />
1 + s3 s2 3s 3t2<br />
=<br />
1 + s3 1 + t3 ⇒<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
1 + t3 t2<br />
=<br />
⎪⎭<br />
1 + s3 s<br />
⇒<br />
t t2<br />
=<br />
s2 s<br />
⇒ 1<br />
s<br />
Por tanto, efectivamente los puntos ((x(t), y(t)) y (x(1/t), y(1/t)) son simétricos respecto <strong>de</strong> la recta Y = X.<br />
Terminamos esta sección con la representación completa <strong>de</strong>l Folio <strong>de</strong> Descartes<br />
Y = −X − 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= t
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 227<br />
Problema 116 Dibuja la curva polar: f(θ) = 1 + 2 cos θ<br />
Recor<strong>de</strong>mos que una curva polar es la representación gráfica <strong>de</strong> una función, f, en coor<strong>de</strong>nadas polares,<br />
es <strong>de</strong>cir, el conjunto <strong>de</strong> puntos {(f(θ), θ)} <strong>de</strong>scritos por coor<strong>de</strong>nadas polares.<br />
Para esbozar la gráfica polar <strong>de</strong> una función nos vamos a basar en la representación cartesiana <strong>de</strong> la misma<br />
función. El método consiste simplemente en saber como se transforma una representación cartesiana en una<br />
representación polar. Aparte <strong>de</strong> esto, pue<strong>de</strong> ser útil expresar la curva polar en ecuaciones paramétricas<br />
y utilizar las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> estas. Este recurso pue<strong>de</strong> ser especialmente conveniente cuando queremos<br />
i<strong>de</strong>ntificar la curva polar con otra curva, como pue<strong>de</strong> ser una recta, una circunferencia, una parábola, etc.<br />
En la representación cartesiana, cuando la variable θ crece, nos movemos por el eje OX hacia la <strong>de</strong>recha;<br />
en la representación polar, cuado la misma variable θ crece, giramos alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l polo en dirección contraria<br />
a las agujas <strong>de</strong>l reloj. En la representación cartesiana, el valor <strong>de</strong> la función en cada θ, f(θ), es la distancia<br />
<strong>de</strong>l punto <strong>de</strong> la gráfica al eje OX; en la representación polar, el valor <strong>de</strong> la función en un ángulo θ, es<br />
la distancia <strong>de</strong>l punto <strong>de</strong> la gráfica al polo. Teniendo en cuenta esto, se <strong>de</strong>duce la regla principal para la<br />
transformación que buscamos:<br />
Si f es positiva y creciente en un intervalo [α, β], los puntos <strong>de</strong> la representación polar <strong>de</strong> f se alejan<br />
<strong>de</strong>l polo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 228<br />
Si f es positiva y <strong>de</strong>creciente en un intervalo [α, β], los puntos <strong>de</strong> la representación polar <strong>de</strong> f se<br />
acercan <strong>de</strong>l polo.<br />
En los intervalos don<strong>de</strong> la función es negativa se verifica una regla parecida; teniendo en cuenta que si<br />
f(θ) < 0, el punto que se representa es (−f(θ), θ + π), se <strong>de</strong>duce que:<br />
Si f es negativa y creciente en un intervalo [α, β], los puntos <strong>de</strong> la representación polar <strong>de</strong> f se acercan<br />
<strong>de</strong>l polo sobre los radios correspondientes a [α + π, β + π].<br />
Si f es positiva y <strong>de</strong>creciente en un intervalo [α, β], los puntos <strong>de</strong> la representación polar <strong>de</strong> f se alejan<br />
al polo sobre los radios correspondientes a [α + π, β + π].<br />
Con estas cuatro reglas ya podríamos hacer un primer esbozo <strong>de</strong> cualquier curva polar, pero necesitamos<br />
fijarnos en más características <strong>de</strong> f para afinar más la representación. Las principales características son:<br />
1. Periodicidad: nos interesa principalmente saber si la función es periódica con periodo 2kπ, en tal<br />
caso, basta estudiar la gráfica en el intervalo [0, 2kπ]. Si la función es periodica <strong>de</strong> periodo (2k + 1)π,<br />
necesitaríamos el intervalo [0, 2(2k + 1)π] para la representación completa. (Cualquier otro periodo<br />
pue<strong>de</strong> ser utilizado para <strong>de</strong>terminar posibles simetrías <strong>de</strong> la curva aunque las conclusiones son menos<br />
generales).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 229<br />
2. Simetrías: Las simetrías <strong>de</strong> la gráfica cartesiana se transforman en simetrías <strong>de</strong> la gráfica polar; conocer,<br />
por tanto, las primeras es fundamental para dar mayor precisión a la representación polar.<br />
3. Puntos <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada nula: estos puntos son muy importantes por la siguiente regla:<br />
Si la recta Y = f(θ0) es tangente a la representación cartesiana en θ0, la circunferencia R = f(θ0)<br />
es tangente a la representación polar en θ0.<br />
4. Puntos <strong>de</strong> corte con el eje OX: los valores que anulan la función correspon<strong>de</strong>n a los valores <strong>de</strong>l ángulo<br />
en los que la curva polar pasa por el polo. Pero a<strong>de</strong>más, en estos puntos hay que seguir otra importante<br />
regla:<br />
Si f(θ0) = 0, la recta radial Θ = θ0 es tangente a la representación polar en el polo para el ángulo<br />
θ0.<br />
5. Asíntotas verticales: Las asíntotas verticales <strong>de</strong> la representación cartesiana pue<strong>de</strong>n correspon<strong>de</strong>r a<br />
asíntotas <strong>de</strong> la representación polar:<br />
Asíntotas: Es <strong>de</strong>cir, si lím<br />
θ→θ0<br />
f(θ) = ±∞, la curva pue<strong>de</strong> tener una asíntota:<br />
1. Si θ0 = π/2 + kπ, y lím f(θ) cos θ = m ∈ R, la curva tiene una asíntota vertical para θ tendiendo a<br />
θ→θ0<br />
θ0; esta recta es X = m.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 230<br />
2. Si θ0 = kπ, y lím f(θ) sen θ = m ∈ R, la curva tiene una asíntota horizontal para θ tendiendo a θ0;<br />
θ→θ0<br />
esta recta es Y = m.<br />
3. Si θ0 = π/2 + kπ y lím f(θ)(sen θ − tg θ0 cos θ) = n ∈ R, la curva tiene una asíntota para θ tendiendo<br />
θ→θ0<br />
a θ0; esta recta es Y = tg θ0X + n.<br />
Para ilustrar el método, mostramos en la página 235 el proceso <strong>de</strong> construcción <strong>de</strong> la curva r = 1+2 cos θ<br />
que explicamos a continuación. En primer lugar dibujamos la gráfica cartesiana <strong>de</strong> la función f(θ) = 1+2 cos θ<br />
3<br />
−1<br />
2π/3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
1<br />
R<br />
4π/3<br />
Θ<br />
2π
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 231<br />
1. La función es periódica <strong>de</strong> periodo 2π y por tanto, basta representarla para θ ∈ [0, 2π].<br />
2. A<strong>de</strong>más, la gráfica cartesiana es simétrica respecto <strong>de</strong> recta X = π lo que en la representación polar<br />
se traduce en una simetría respecto <strong>de</strong>l eje OX.<br />
3. f(0) = 3 y f ′ (0) = 0; por tanto, en θ = 0 la curva polar es tangente a la circunferencia r = 3. En<br />
(0, 2π/3) la función f es <strong>de</strong>creciente y por tanto, la curva polar se va acercando al polo hasta alcanzarlo<br />
en θ = 2π/3. (En cualquier valor intermedio que tomemos, la curva polar cortará no-tangencialmente<br />
a la circunferencia correspondiente).<br />
4. f(2π/3) = 0 y f ′ (2π/3) = 0; por tanto, la curva polar es tangente a la recta Θ = 2π/3 en el polo para<br />
θ = 2π/3.<br />
5. En el intervalo (2π/3, π) la función es negativa, y en consecuencia, los puntos correspondientes a estos<br />
ángulos se representan sobre los radios (2π/3 + π, π + π). Por otra parte, en este intervalo la función<br />
−f es creciente, y por tanto, los puntos se alejan <strong>de</strong>l polo, hasta llegar a θ = π.<br />
6. −f(π) = 1 y f ′ (π) = 0; por tanto, la curva polar es tangente a la circunferencia r = 1.<br />
7. La gráfica se pue<strong>de</strong> terminar por simetría, o se pue<strong>de</strong> seguir analizando como en los puntos anteriores.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 232<br />
1<br />
-1<br />
2<br />
-1 3<br />
-2<br />
r = 1 + cos t<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
-1<br />
1<br />
-1<br />
4<br />
-4<br />
1 3<br />
r = 1 + 2 cos t<br />
r = 2 + cos t r = 4 + 3 cos t<br />
7
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 233<br />
1<br />
-1 1<br />
-1<br />
Figura 4.8: Gráficas <strong>de</strong> r = sen 7θ y <strong>de</strong> r = sen 4θ.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
-1<br />
1<br />
-1<br />
1
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 234<br />
t → −1 +<br />
t → +∞<br />
t = 3√ 2<br />
t = 0<br />
t → −∞<br />
t = 3 1/2<br />
t → −1 −<br />
Figura 4.9: Primer esbozo <strong>de</strong>l Folio<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 235<br />
θ = 2π<br />
3<br />
θ = π<br />
6<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
θ = 5π<br />
6<br />
θ = 2π<br />
6<br />
r = 1 r = 2 r = 3
Capítulo 5<br />
Cálculo en varias variables<br />
236
Cálculo en varias variables 237<br />
Problema 117 Demostrar que la noción <strong>de</strong> diferenciabilidad <strong>de</strong> campos escalares es in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> la<br />
norma utilizada.<br />
Hablaremos <strong>de</strong> · -diferenciabilidad para referirnos a la diferenciabilidad utilizando la norma · .<br />
Sean · y · ∗ dos normas equivalentes en R n y sea λ la constante real estrictamente positiva tal que:<br />
λv ∗ ≤ v<br />
Sea f : R n → R un campo vectorial · ∗ -diferenciable.<br />
lím<br />
h→0<br />
f(a + h) − f(a) − dfa(h)<br />
h<br />
En consecuencia, f también es · -diferenciable.<br />
≤ lím<br />
h→0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 f(a + h) − f(a) − dfa(h)<br />
λ h∗ = 0
Cálculo en varias variables 238<br />
f(x, y ) = 1<br />
xy<br />
f(x, y ) = log(x + y )<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín X Valver<strong>de</strong><br />
Y<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
Z<br />
0<br />
Y<br />
X<br />
0<br />
5 10<br />
0<br />
0
Cálculo en varias variables 239<br />
Y<br />
f(x, y ) = senh (x 2 + y 2 )<br />
X<br />
5<br />
2.5<br />
0<br />
-2.5<br />
-10<br />
-5<br />
-2<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
f(x, y ) = y<br />
x 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Y<br />
2<br />
0<br />
2<br />
10<br />
Y<br />
Z<br />
X
Cálculo en varias variables 240<br />
Problema 118 Indicar el dominio y la imagen <strong>de</strong> los siguientes campos y <strong>de</strong>scribir sus curvas <strong>de</strong> nivel:<br />
a) f(x, y) = 1/xy b) f(x, y) = log (x + y) c) f(x, y) = 4 − x 2 − y 2<br />
d) f(x, y) = y/x 2 e) f(x, y) = e x−y f) f(x, y) = senh (x 2 + y 2 )<br />
a) f(x, y) = 1/xy. El dominio <strong>de</strong> la función está formado por aquellos puntos (x, y) tales que xy = 0; es<br />
<strong>de</strong>cir:<br />
Dom f = R ∗ × R ∗<br />
La función pue<strong>de</strong> tomar todos los valores distintos <strong>de</strong> 0, es <strong>de</strong>cir, Imf = R ∗ .<br />
Las curvas <strong>de</strong> nivel vienen dadas en forma cartesiana por xy = c, es <strong>de</strong>cir, son todas las hipérbolas<br />
con asíntotas en los ejes coor<strong>de</strong>nados.<br />
b) f(x, y) = log(x + y). El dominio <strong>de</strong> la función está formado por aquellos puntos (x, y) tales que<br />
x + y > 0; es <strong>de</strong>cir:<br />
Dom f = {(x, y)|x + y > 0}<br />
La función pue<strong>de</strong> tomar todos los valores reales, y por tanto, su imagen es R.<br />
Las curvas <strong>de</strong> nivel vienen dadas en forma cartesiana por x+y = c, c > 0, es <strong>de</strong>cir, son rectas paralelas<br />
a la recta x + y = 0, bisectriz <strong>de</strong>l segundo y cuarto cuadrante y frontera <strong>de</strong>l dominio.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 241<br />
c) f(x, y) = 4 − (x 2 + y 2 ). El dominio <strong>de</strong> la función está formado por los puntos (x, y) tales que<br />
x 2 + y 2 ≤ 4, es <strong>de</strong>cir son los puntos interiores a al circunferencia x 2 + y 2 = 4.<br />
Por tanto, 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 y 0 ≤ f(x, y) ≤ 2; es <strong>de</strong>cir, la imagen <strong>de</strong> f es el intervalo [0, 2]. A<strong>de</strong>más,<br />
dado que [f(x, y)] 2 + y 2 + x 2 = 4, se verifica que la gráfica <strong>de</strong> f es una semiesfera <strong>de</strong> radio 2.<br />
Las curvas <strong>de</strong> nivel vienen dadas en forma cartesiana por x 2 + y 2 = 4 − c 2 = r 2 y son circunferencias<br />
con centro común (0, 0) y radio r ∈ [0, 2].<br />
d) f(x, y) = y/x 2 . El dominio <strong>de</strong> la función está formado por aquellos puntos cuya primera coor<strong>de</strong>nada<br />
es no nula:<br />
Dom f = R ∗ × R<br />
La función pue<strong>de</strong> tomar cualquier valor real, es <strong>de</strong>cir, la imagen <strong>de</strong> f es R.<br />
Las curvas <strong>de</strong> nivel vienen dadas en forma cartesiana por y = cx 2 , y por tanto, son las parábolas cuyo<br />
vértice es el origen y su eje es el eje OX.<br />
e) f(x, y) = e x−y . El dominio <strong>de</strong> la función está formado por todos los puntos <strong>de</strong> R 2 .<br />
La función pue<strong>de</strong> tomar cualquier valor positivo, y por tanto, la imagen <strong>de</strong> f es R + .<br />
Las curvas <strong>de</strong> nivel vienen dadas en forma cartesiana por x − y = log c = d, es <strong>de</strong>cir, son todas las<br />
rectas paralelas a la recta y = x, bisectriz <strong>de</strong>l primer y tercer cuadrante.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 242<br />
f) f(x, y) = senh (x 2 + y 2 ). El dominio <strong>de</strong> la función es R 2 . Dado que x 2 + y 2 ≥ 0 para todo (x, y), se<br />
verifica que senh (x 2 + y 2 ) ≥ 0 y a<strong>de</strong>más, la imagen <strong>de</strong> la función es [0, ∞). Las curvas <strong>de</strong> nivel son<br />
todas las circunferencias <strong>de</strong> centro (0, 0).<br />
En las páginas 238 y 239 mostramos las curvas <strong>de</strong> nivel y las gráficas correspondientes a las funciones<br />
<strong>de</strong> los apartados a), b), d) y f).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 243<br />
Problema 119 Hallar los límites (si existen):<br />
a) lím<br />
(x,y)→(1,1) log |1 + x2 y 2 | b) lím<br />
(x,y,z)→(1,2,6)<br />
d) lím<br />
(x,y)→(0,π/2)<br />
g) lím<br />
(x,y)→(0,2)<br />
sec x tg y e) lím<br />
cos x − 1<br />
x 2<br />
<br />
y − 2<br />
y2 <br />
− 4<br />
a) lím<br />
(x,y)→(1,1)<br />
log |1 + x 2 y 2 | = log |1 + 1| = log 2.<br />
<br />
1 1 1<br />
b) lím + +<br />
(x,y,z)→(1,2,6) x y z<br />
c) lím<br />
(x,y)→(0,4)<br />
x<br />
√ =<br />
y 0<br />
= 0<br />
2<br />
= 1 1 1 5<br />
+ + =<br />
1 2 6 3<br />
(x,y)→(0,0)<br />
h) lím<br />
(x,y)→(−2,2)<br />
<br />
1 1 1<br />
+ +<br />
x y z<br />
cos x2 + y 2<br />
x + y + 1<br />
xy + y − 2x − 2<br />
x + 1<br />
c) lím<br />
(x,y)→(0,4)<br />
f) lím<br />
(x,y)→(1,0)<br />
i) lím<br />
(x,y)→(1,1)<br />
x<br />
√ y<br />
x sen y<br />
x 2 + 1<br />
x 3 y 3 − 1<br />
xy − 1<br />
d) lím sec x tg y. Este límite no existe: si lo consi<strong>de</strong>ramos sobre y < π/2, el límite vale +∞ y si lo<br />
(x,y)→(0,π/2)<br />
consi<strong>de</strong>ramos sobre y > π/2, el límite vale −∞.<br />
e) lím cos<br />
(x,y)→(0,0)<br />
x2 + y2 0<br />
= cos = 1<br />
x + y + 1 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 244<br />
f)<br />
x sen y<br />
lím<br />
(x,y)→(1,0) x2 1 · 0<br />
= = 0<br />
+ 1 1 + 1<br />
g)<br />
<br />
cos x − 1<br />
lím<br />
(x,y)→(0,2) x2 <br />
y − 2<br />
y2 <br />
− 4<br />
h) lím<br />
(x,y)→(−2,2)<br />
i) lím<br />
(x,y)→(1,1)<br />
xy + y − 2x − 2<br />
x + 1<br />
x 3 y 3 − 1<br />
xy − 1<br />
= lím<br />
(x,y)→(0,2)<br />
= 0<br />
= 0<br />
− 1<br />
−x 2 /2<br />
= lím<br />
(x,y)→(1,1) (x2 y 2 + xy + 1) = 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x 2<br />
<br />
1<br />
y + 2<br />
<br />
= − 1 1<br />
2 4<br />
= −1<br />
8
Cálculo en varias variables 245<br />
Problema 120 Consi<strong>de</strong>rando diferentes líneas <strong>de</strong> aproximación, <strong>de</strong>mostrar que las funciones siguientes no<br />
tienen límite cuando (x, y) tien<strong>de</strong> a (0, 0):<br />
f(x, y) =<br />
x − y<br />
; g(x, y) =<br />
x + y<br />
Basta consi<strong>de</strong>rar el límite sobre rectas:<br />
x − y<br />
lím<br />
(x,y)→(0,0) x + y<br />
y=λx<br />
x<br />
xy<br />
; h(x, y) =<br />
x2 + y2 |xy| .<br />
(1 − λ)x<br />
= lím<br />
x→0 (1 + λ)x<br />
= 1 − λ<br />
1 + λ<br />
Dado que estos límites <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> λ, es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong>l camino por el que nos acercamos al origen,<br />
<strong>de</strong>ducimos que el límite propuesto no existe.<br />
lím<br />
(x,y)→(0,0)<br />
y=λx<br />
x<br />
x 2 + y 2<br />
Por tanto, el límite propuesto tampoco existe.<br />
= lím<br />
x→0<br />
h(x, y) = xy<br />
|xy| =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x<br />
√ x 2 + λ 2 x 2<br />
⎧<br />
⎨<br />
1 si xy > 0<br />
⎩−1<br />
si xy < 0<br />
= 1<br />
1 + λ 2
Cálculo en varias variables 246<br />
Por tanto:<br />
lím<br />
(x,y)→(0,0)<br />
y=x<br />
y el límite no existe.<br />
h(x, y) = lím<br />
x→0 1 = 1 lím<br />
(x,y)→(0,0)<br />
y=−x<br />
h(x, y) = lím<br />
x→0 − 1 = −1<br />
En la página 247 mostramos las gráficas <strong>de</strong> las funciones f y g. En la superficie <strong>de</strong> la misma se pue<strong>de</strong>n<br />
observar las imagenes <strong>de</strong> las rectas que hemos tomado para probar la no existencia <strong>de</strong> los dos límites.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 247<br />
5<br />
2.5<br />
0<br />
-2.5<br />
-2 0 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> -5 <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Z<br />
Y<br />
-2<br />
2<br />
f(x, y ) =<br />
0<br />
0<br />
Y<br />
g(x, y ) =<br />
x − y<br />
x + y<br />
X<br />
-2<br />
2<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
Z<br />
x<br />
x 2 + y 2
Cálculo en varias variables 248<br />
Problema 121 Hallar D1f = ∂f/∂x y D2f = ∂f/∂y en las funciones siguientes:<br />
a) f(x, y) = x 2 + y 2<br />
b) f(x, y) = e x cos y c) f(x, y) = arc tg (y/x);<br />
d) f(x, y) = cosh (y/x) e) f(x, y) = y f) f(x, y) = 9 − x 2 − y 2<br />
g) f(x, y) = x/(x 2 + y 2 x log y<br />
) h) f(x, y) = (x + 2)(y + 3) i) f(x, y) = e<br />
j) f(x, y) = tgh (2x + 5y) k) f(x, y) = log | sec xy + tg xy|<br />
l) f(x, y) = 5xy−7x 2 −y 2 +3x−6y+2<br />
Todas las funciones que aparecen en este ejercicio viene expresadas en términos <strong>de</strong> operaciones algebraicas<br />
entre funciones elementales; por tanto, po<strong>de</strong>mos obtener sus <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong>rivando formalmente.<br />
Esto no ocurre en el apartado f (ver nota en la página ??) y tendremos que calcular las parciales en los<br />
puntos don<strong>de</strong> se anula la raíz usando la <strong>de</strong>finición.<br />
a) f(x, y) = x 2 + y 2 .<br />
b) f(x, y) = e x cos y.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D1f(x, y) = 2x D2f(x, y) = 2y<br />
D1f(x, y) = e x cos y D2f(x, y) = −e x sen y
Cálculo en varias variables 249<br />
c) f(x, y) = arc tg (y/x)<br />
d) f(x, y) = cosh (y/x)<br />
e) f(x, y) = y<br />
D1f(x, y) =<br />
− y<br />
x 2<br />
1 + y2<br />
x 2<br />
= − y<br />
x 2 + y 2<br />
D1f(x, y) = − y y<br />
senh<br />
x2 x<br />
D2f(x, y) =<br />
1<br />
x<br />
1 + y2<br />
x 2<br />
=<br />
D2f(x, y) = 1 y<br />
senh<br />
x x<br />
D1f(x, y) = 0 D2f(x, y) = 1<br />
f) f(x, y) = 9 − x 2 − y 2 . Si (x, y) es tal que x 2 + y 2 = 9 se tiene:<br />
x<br />
D1f(x, y) = −<br />
9 − x2 − y2 Sea (a, b) tal que a 2 + b 2 = 9, es <strong>de</strong>cir, f(a, b) = 0:<br />
D1f(a, b) = lím<br />
t→0 +<br />
1<br />
(f(a − t, b) − f(a, b))<br />
t<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= lím<br />
t→0 +<br />
x<br />
x 2 + y 2<br />
y<br />
D2f(x, y) = −<br />
9 − x2 − y2 9 − (a − t) 2 − b 2<br />
t 2<br />
= lím<br />
t→0 +<br />
<br />
−1 + 2a<br />
t<br />
= +∞
Cálculo en varias variables 250<br />
D2f(a, b) = lím<br />
t→0 +<br />
1<br />
(f(a, b − t) − f(a, b))<br />
t<br />
= lím<br />
t→0 +<br />
9 − a 2 − (b − t) 2<br />
t 2<br />
= lím<br />
t→0 +<br />
<br />
−1 + 2b<br />
t<br />
= +∞<br />
Los límites están tomados en cero por la <strong>de</strong>recha para po<strong>de</strong>r afirmar que los puntos (a−t, b) y (a, b−t)<br />
están en el dominio <strong>de</strong> f.<br />
g) f(x, y) = x/(x 2 + y 2 )<br />
h) f(x, y) = (x + 2)(y + 3)<br />
x log y<br />
i) f(x, y) = e<br />
j) f(x, y) = tgh (2x + 5y)<br />
D1f(x, y) = (x2 + y 2 ) − 2x 2<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
= y2 − x 2<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
D1f(x, y) = y − 3 D2f(x, y) = x + 2<br />
D2f(x, y) = − 2xy<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
D1f(x, y) = e x log y x log y x<br />
log y D2f(x, y) = e<br />
y<br />
D1f(x, y) = 2(1 − tgh 2 (2x + 5y)) D2f(x, y) = 5(1 − tgh 2 (2x + 5y))<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 251<br />
k) f(x, y) = log | sec xy + tg xy| = log(1 + sen xy) − log | cos xy|<br />
D1f(x, y) =<br />
l) f(x, y) = 5xy − 7x 2 − y 2 + 3x − 6y + 2<br />
y cos xy<br />
1 + sen xy + y tg xy D2f(x, y) =<br />
x cos xy<br />
+ x tg xy<br />
1 + sen xy<br />
D1f(x, y) = 5y − 2y − 6 D2f(x, y) = 5x − 14x + 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 252<br />
Problema 122 Calcular las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> la función dada respecto a cada variable:<br />
a) f(x, y, z) = z cosec(y/x)<br />
b) f(r, θ, z) =<br />
a) f(x, y, z) = z cosec (y/x) b) f(r, θ, z) =<br />
c) f(u, v, w) = (u 2 + v 2 + w 2 ) −1/2<br />
e) f(x, y, r, s) = sen 2x cosh 3r+senh 3y cos 4s<br />
D1f(x, y, z) = y y y<br />
cos cosec2<br />
x2 x x<br />
r(2 − cos 2θ)<br />
r 2 + z 2<br />
D3f(x, y, z) = cos y<br />
x<br />
d) f(x, y, z) = (xy) z<br />
∂f<br />
∂r (r, θ, z) = (2 − cos 2θ)(r2 + z2 ) − 2r2 (2 − cos 2θ)<br />
(r2 + z2 ) 2<br />
∂f<br />
2r<br />
(r, θ, z) =<br />
∂θ r2 sen 2θ<br />
+ z2 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
r(2 − cos 2θ)<br />
r 2 + z 2<br />
D2f(x, y, z) = − 1 y y<br />
cos cosec2<br />
x x x<br />
= (2 − cos 2θ)(z2 − r 2 )<br />
(r 2 + z 2 ) 2<br />
∂f<br />
− cos 2θ)<br />
(r, θ, z) = −2zr(2<br />
∂z (r2 + z2 ) 2
Cálculo en varias variables 253<br />
c) f(u, v, w) = (u 2 + v 2 + w 2 ) −1/2<br />
∂f<br />
∂u (u, v, w) = −u(u2 + v 2 + w 2 ) −3/2<br />
∂f<br />
∂w (u, v, w) = −w(u2 + v 2 + w 2 ) −3/2<br />
d) f(x, y, z) = (xy) z = e z log xy . El dominio <strong>de</strong> esta función es<br />
Las parciales son:<br />
∂f<br />
∂v (u, v, w) = −v(u2 + v 2 + w 2 ) −3/2<br />
Dom f = {(x, y, z)|xy > 0} ∪ {(x, y, z)|xy = 0, z > 0, z = 1}<br />
∂f<br />
log xy z<br />
(x, y, z) = ez<br />
∂x x<br />
e) f(x, y, r, s) = sen 2x cosh 3r + senh 3y cos 4s.<br />
∂f<br />
log xy z<br />
(x, y, z) = ez<br />
∂y y<br />
∂f<br />
(x, y, r, s) = 2 cos 2x cosh 3r<br />
∂x<br />
∂f<br />
(x, y, r, s) = 3 sen 2x senh 3r<br />
∂r<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂f<br />
∂z (x, y, z) = ez log xy log xy<br />
∂f<br />
(x, y, r, s) = 3 cosh 3y cos 4s<br />
∂y<br />
∂f<br />
(x, y, r, s) = −4 senh 3y sen 4s<br />
∂s
Cálculo en varias variables 254<br />
Problema 123 En los siguientes apartados, hallar el vector <strong>de</strong> intensidad eléctrica E = −∇V para cada<br />
función <strong>de</strong> potencial V en el punto dado:<br />
a) V = 2z 3 − 3(x 2 + y 2 )z, (1, 1, 1)<br />
b) V = log x 2 + y 2 , (3, 4, 0)<br />
c) V = e 3x+4y cos 5z, (0, 0, π/6)<br />
a) V = 2z 3 − 3(x 2 + y 2 )z, (1, 1, 1):<br />
∂f<br />
(x, y, z) = −6xz<br />
∂x<br />
Evaluando en el punto indicado obtenemos.<br />
b) V = log x 2 + y 2 , (3, 4, 0):<br />
∂f<br />
(x, y, z) =<br />
∂x<br />
∂f<br />
(x, y, z) = −6yz<br />
∂y<br />
E(1, 1, 1) = −∇V (1, 1, 1) = (6, 6, −3)<br />
x<br />
x 2 + y 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂f<br />
(x, y, z) =<br />
∂y<br />
∂f<br />
∂z (x, y, z) = 6z2 − 3(x 2 + y 2 )<br />
y<br />
x 2 + y 2<br />
∂f<br />
(x, y, z) = 0<br />
∂z
Cálculo en varias variables 255<br />
Evaluando en el punto indicado obtenemos.<br />
c) V = e 3x+4y cos 5z, (0, 0, π/6)<br />
E(3, 4, 0) = −∇V (3, 4, 0) = (− 3 4<br />
, − , 0)<br />
25 25<br />
∂f<br />
∂x (x, y, z) = 3e3x+4y cos 5z<br />
∂f<br />
∂z (x, y, z) = −5e3x+4y sen 5z<br />
Evaluando en el punto indicado obtenemos.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂f<br />
∂y (x, y, z) = 4e3x+4y cos 5z<br />
E(0, 0, π/6) = −∇V (0, 0, π/6) = ( 3√ 3<br />
2 , 2√ 3, 5<br />
2 )
Cálculo en varias variables 256<br />
Problema 124 Hallar la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f en P0 y en la dirección <strong>de</strong>l vector que se indica:<br />
a) f = x 2 + y 2 , P0(1, 0), i − j<br />
b) f = cos xy, P0(2, π/4), 4i − j<br />
c) f = x 2 + 2xy − 3y 2 , P0(1/2, 1/2), √ 3i + j<br />
d) f = xy + yz + zx, P0(1, −1, 2), 10i + 11j − 2k<br />
Las <strong>de</strong>rivadas direccionales se calculan consi<strong>de</strong>rando vectores unitarios, por tanto, a partir <strong>de</strong> los vectores<br />
<strong>de</strong>l enunciado tomaremos vectores unitarios <strong>de</strong> su misma dirección y sentido. Por otra parte, todas las<br />
funciones son <strong>de</strong>rivables en los puntos señalados y por tanto, po<strong>de</strong>mos usar la diferencial para hallar las<br />
<strong>de</strong>rivadas direccionales:<br />
a) f(x, y) = x 2 + y 2 , P0(1, 0), v = (1, −1), u = ( 1 √ 2 , − 1<br />
√ 2 ).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D1f(x, y) = 2x; D2f(x, y) = 2y; ∇f(1, 0) = (2, 0)<br />
Duf(1, 0) = ∇f(1, 0) · ( 1 √ 2 , − 1 √ 2 ) = 1 √ 2
Cálculo en varias variables 257<br />
b) f(x, y) = cos xy, P0(2, π/4), v = (4, −1), u = ( 4<br />
√ 17 , − 1<br />
√ 17 ).<br />
D1f(x, y) = −y sen xy D2f(x, y) = −x sen xy ∇f(2, π/4) = (− π<br />
, −2)<br />
4<br />
Duf(2, π/4) = (− π 4<br />
, −2) · ( √ , −<br />
4 17 1 2 − π<br />
√ ) = √<br />
17 17<br />
c) f(x, y) = x 2 + 2xy − 3y 2 , P0(1/2, 1/2), v = ( √ 3, 1), u = ( √ 3/2, 1/2)<br />
D1f(x, y) = 2x + 2y D2f(x, y) = 2x − 6y ∇f(1/2, 1/2) = (2, −2)<br />
Duf(1/2, 1/2) = (2, −2) · ( √ 3/2, 1/2) = √ 3 − 1<br />
d) f(x, y, z) = xy + yz + zx, P0(1, −1, 2), v = (10, 11, −2), u = ( 2 11 2 , , − 3 15 15 ).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D1f(x, y, z) = y + z D2f(x, y, z) = x + z<br />
D3f(x, y, z) = y + x ∇f(1, −1, 2) = (1, 3, 0)<br />
Duf(1, −1, 2) = (1, 3, 0) · ( 2 11 2 43<br />
, , − ) =<br />
3 15 15 15
Cálculo en varias variables 258<br />
Problema 125 Hallar la dirección en la cual f crece más rápidamente en P0, y la razón <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> f<br />
en esa dirección:<br />
f(x, y, z) = e xy + z 2 , P0(0, 2, 3)<br />
Recor<strong>de</strong>mos que la dirección en la cual f crece más rápidamente es la dada por el vector ∇f, y a<strong>de</strong>más,<br />
la tasa <strong>de</strong> cambio en esa dirección es ∇f.<br />
D1f(x, y, z) = ye xy ; D2f(x, y, z) = xe xy ; D3f(x, y, z) = 2z; ∇f(0, 2, 3) = (2, 0, 6).<br />
Si u es el vector unitario en la dirección <strong>de</strong>l gradiente, la tasa <strong>de</strong> cambio en esta dirección es:<br />
Duf(1, −1, 2) = ∇f(1, −1, 2) = √ 40 = 2 √ 10<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 259<br />
Problema 126 En los siguientes apartados, hallar la dirección en la cual f <strong>de</strong>crece más rápidamente en<br />
P0, y la razón <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> f en esa dirección:<br />
a) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 , P0(−1, 1)<br />
b) f(x, y, z) = z log (x 2 + y 2 ), P0(1, 1, 1)<br />
Recor<strong>de</strong>mos que la dirección en la cual f <strong>de</strong>crece más rápidamente es la dada por el vector −∇f, y<br />
a<strong>de</strong>más, la tasa <strong>de</strong> cambio en esa dirección es −∇f.<br />
a) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 , P0(−1, 1)<br />
D1f(x, y) = 2x + y D2f(x, y) = x + 2y − ∇f(−1, 1) = (1, −1)<br />
Si u es el vector unitario en la dirección <strong>de</strong> −∇f(−1, 1), la tasa <strong>de</strong> cambio en esta dirección es:<br />
b) f(x, y, z) = z log (x 2 + y 2 ), P0(1, 1, 1)<br />
Duf(−1, 1) = −∇f(−1, 1) = − √ 2<br />
D1f(x, y, z) = 2zx<br />
x 2 + y 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D2f(x, y, z) = 2zy<br />
x 2 + y 2
Cálculo en varias variables 260<br />
D3f(x, y, z) = log (x 2 + y 2 ) − ∇f(1, 1, 1) = (1, 1, log 2)<br />
Si u es el vector unitario en la dirección <strong>de</strong> −∇f(−1, 1), la tasa <strong>de</strong> cambio en esta dirección es:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Duf(1, 1, 1) = −∇f(1, 1, 1) = − 2 + (log 2) 2
Cálculo en varias variables 261<br />
Problema 127 ¿En qué dos direcciones se anula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f(x, y) = (x 2 − y 2 )/(x 2 + y 2 ) en P0(1, 1)?<br />
Hallamos en primer lugar el vector gradiente en el punto:<br />
D1f(x, y) = 2x(x2 + y 2 ) − 2x(x 2 − y 2 )<br />
(x 2 + y 2 ) 2 = 4xy2<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
D2f(x, y) = −2y(x2 + y 2 ) − 2y(x 2 − y 2 )<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
∇f(1, 1) = (1, −1)<br />
= −2(x3 + y 3 )<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
Para encontrar las direcciones en las que se anula la <strong>de</strong>rivada basta buscar un vector v tal que (1, −1)·u = 0;<br />
las direcciones buscadas serán u y −u. En este caso las direcciones se calculan fácilmente y son (1, 1) y<br />
(−1, −1).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 262<br />
Problema 128 En los siguientes apartados, esbozar la curva <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> f(x, y) que pasa por el punto P0<br />
y hallar el vector normal a la curva en P0:<br />
a) f(x, y) = x 2 /3 + 3y 2 /4, P0(2, 2 √ 5/3)<br />
b) f(x, y) = x 2 − y, P0(1, 0)<br />
Recor<strong>de</strong>mos que un vector normal a una curva <strong>de</strong> nivel en un punto, viene dado por el gradiente <strong>de</strong> la<br />
función en dicho punto; teniendo en cuenta esto, basta calcular el gradiente <strong>de</strong> las funciones en los puntos<br />
dados para obtener los vectores pedidos. En la figura 5.4 aparecen representadas las gráficas <strong>de</strong> las dos<br />
funciones así como las curvas <strong>de</strong> nivel pedidas y las rectas tangente y normal en el punto indicado.<br />
a) f(x, y) = x 2 /3 + 3y 2 /4, P0(2, 2 √ 5/3):<br />
b) f(x, y) = x 2 − y, P0(1, 0).<br />
D1f(x, y) = 2<br />
3 x D2f(x, y) = 3<br />
2 y ∇f(2, 2√ 5/3) = ( 4<br />
3 , √ 5)<br />
D1f(x, y) =<br />
x<br />
x 2 − y<br />
D2f(x, y) =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
−1<br />
x 2 − y<br />
∇f(1, 0) = (1, − 1<br />
2 )
Cálculo en varias variables 263<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
P ,<br />
0<br />
-2<br />
2√5 3 ) (2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
X<br />
0<br />
Z<br />
-2<br />
Y<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-1<br />
Q(1 0)<br />
0<br />
f(x, y ) = x2<br />
3<br />
1<br />
+ 3y 2<br />
4<br />
2<br />
f(x, y ) = x 2 − y
Cálculo en varias variables 264<br />
Problema 129 En los siguientes apartados, escribir las ecuaciones <strong>de</strong>l plano tangente y la recta normal a<br />
la superficie <strong>de</strong> nivel dada en el punto P0:<br />
a) z 2 − x 2 − y 2 = 0, P0(3, 4, −5)<br />
b) z − log (x 2 + y 2 ) = 0, P0(1, 0, 0)<br />
c) x 2 + 2xy − y 2 + z 2 = 7, P0(1, −1, 3)<br />
a) z 2 − x 2 − y 2 = 0, P0(3, 4, −5). Es superficie <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función f(x, y, z) = z 2 − x 2 − y 2 .<br />
D1f(x, y, z) = −2x D2f(x, y, z) = −2y D3f(x, y, z) = 2z<br />
∇f(3, 4, −5) = (−6, −8, −10)<br />
Por tanto, el plano tangente a la supercie y la recta normal a la misma son respectivamente:<br />
−6(X − 3) − 8(Y − 4) − 10(Z + 5) = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
X − 3 = −6λ<br />
Y − 4 = −8λ<br />
Z + 5 = −10λ
Cálculo en varias variables 265<br />
b) z − log (x 2 + y 2 ) = 0, P0(1, 0, 0). Es curva <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función g(x, y, z) = z − log (x 2 + y 2 ):<br />
D1g(x, y, z) = − 2x<br />
x 2 + y 2 D2g(x, y, z) = − 2y<br />
x 2 + y 2<br />
∇g(1, 0, 0) = (−2, 0, 1)<br />
D3g(x, y, z) = 1<br />
Por tanto, el plano tangente a la supercie y la recta normal a la misma son respectivamente:<br />
−2(X − 1) + Z = 0<br />
X − 1 = −2λ<br />
Y = 0<br />
Z = λ<br />
c) x 2 +2xy −y 2 +z 2 = 7, P0(1, −1, 3). Es superficie <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función h(x, y, z) = x 2 +2xy −y 2 +z 2<br />
D1h(x, y, z) = 2x + 2y D2h(x, y, z) = 2x − 2y D3h(x, y, z) = 2z<br />
∇h(1, −1, 3) = (0, 4, 6)<br />
Por tanto, el plano tangente a la supercie y la recta normal a la misma son respectivamente:<br />
4(Y + 1) + 6(Z − 3) = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
X − 1 = 0<br />
Y + 1 = 4λ<br />
Z − 3 = 6λ
Cálculo en varias variables 266<br />
Problema 130 En los siguientes apartados, <strong>de</strong>terminar el plano tangente y la recta normal a la superficie<br />
dada en el punto dado:<br />
a) z = x 2 + y 2 , (3, 4, 25)<br />
b) z = x/ x 2 + y 2 , (3, −4, 3<br />
5 )<br />
c) z = (x + y)/(xy − 1), (1, 2, 3)<br />
d) y = 4 − x 2 − 4z 2 , (0, 0, 1)<br />
En este ejercicio vamos a hallar planos y rectas tangentes a gráficas <strong>de</strong> funciones. Para ello, basta recordar<br />
que el vector (D1f(x, y), D2f(x, y), −1) es un vector perpendicular a la gráfica <strong>de</strong> f en el punto (x, y).<br />
a) z = x 2 + y 2 , (3, 4, 25). Es la gráfica <strong>de</strong> la función f(x, y) = x 2 + y 2<br />
D1f(x, y) = 2x D2f(x, y) = 2y<br />
Por tanto, el vector (6, 8, −1) es perpendicular a la gráfica <strong>de</strong> f en (3, 4, 25); el plano tangente y la<br />
recta normal son respectivamente:<br />
6(X − 3) + 8(Y − 4) − (Z − 25) = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
X − 3 = 6λ<br />
Y − 4 = 8λ<br />
Z − 25 = −λ
Cálculo en varias variables 267<br />
b) z = x/ x2 + y2 , (3, −4, 3).<br />
La superficie es la gráfica <strong>de</strong> la función f(x, y) =<br />
5<br />
D1f(x, y) =<br />
Entonces ∇f(3, −4) = ( 9<br />
125<br />
(3, −4, 3<br />
5<br />
x 2<br />
(x 2 + y 2 ) 3/2<br />
−12<br />
9<br />
, ) y el vector ( 125 125<br />
D2f(x, y) =<br />
); el plano tangente y la recta normal son respectivamente:<br />
9<br />
12<br />
3<br />
(X − 3) − (Y + 4) − (Z − ) = 0<br />
125 125 5<br />
−xy<br />
(x 2 + y 2 ) 3/2<br />
x<br />
x 2 + y 2 :<br />
−12 , , −1) es perpendicular a la gráfica <strong>de</strong> f en<br />
125<br />
X − 3 = 9<br />
125 λ<br />
Y + 4 = − 12<br />
125 λ<br />
Z − 3<br />
= −λ<br />
5<br />
c) z = (x + y)/(xy − 1), (1, 2, 3). La superficie es la gráfica <strong>de</strong> la función f(x, y) =<br />
D1f(x, y) = − y2 + 1<br />
(xy − 1) 2<br />
D2f(x, y) = − x2 + 1<br />
(xy − 1) 2<br />
x + y<br />
xy − 1 :<br />
Entonces ∇f(1, 2) = (5, 2) y el vector (5, 2, −1) es perpendicular a la gráfica <strong>de</strong> f en (1, 2, 3); el plano<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 268<br />
tangente y la recta normal son respectivamente:<br />
5(X − 1) + 2(Y − 2) − (Z − 3) = 0<br />
X − 1 = 5λ<br />
Y − 2 = 2λ<br />
Z − 3 = −λ<br />
d) y = 4 − x 2 − 4z 2 , (0, 0, 1). Es una superficie <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función g(x, y, z) = 4 − x 2 − 4z 2 − y.<br />
D1g(x, y, z) = −2x D2g(x, y, z) = −1 D3g(x, y, z) = −8z<br />
Entonces, ∇g(0, 0, 1) = (0, −1, −8) es un vector normal a la superficie en el punto (0, 0, 1); las ecuaciones<br />
<strong>de</strong>l plano tangente y <strong>de</strong> la recta normal son respectivamente:<br />
−Y − 8(Z − 1) = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
X = 0<br />
Y = −λ<br />
Z − 1 = −8λ
Cálculo en varias variables 269<br />
Problema 131 Determinar los puntos <strong>de</strong> la superficie<br />
en los que la normal es paralela al plano Y Z.<br />
(y + z) 2 + (z − x) 2 = 16<br />
La superficie es superficie <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función g(x, y, z) = (y + z) 2 + (z − x) 2 ; un vector normal a la<br />
superficie en un punto (x, y, z) <strong>de</strong> la superficie es ∇f(x, y, z). Para que este vector sea paralelo al plano Y Z<br />
<strong>de</strong>be ocurrir que la tercera coor<strong>de</strong>nada <strong>de</strong>l vector ∇f(x, y, z) sea nula.<br />
D3f(x, y, z) = 2(x − z)<br />
Por tanto, los puntos (x, y, z) que buscamos son aquellos que verifican:<br />
El conjunto <strong>de</strong> estos puntos son las rectas:<br />
x − z = 0 y (y + z) 2 + (z − x) 2 = 16<br />
y + z = 4<br />
x = z<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
y<br />
y + z = −4<br />
x = z
Cálculo en varias variables 270<br />
Problema 132 Hallar los puntos <strong>de</strong> la superficie<br />
en los que el plano tangente es paralelo al XY .<br />
xy + yz + zx − x − z 2 = 0<br />
La superficie es superficie <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función f(x, y, z) = xy +yz +zx−x−z 2 = x(y +z −1)+z(y −z).<br />
Para que dos planos sean paralelos <strong>de</strong>be ocurrir que los respectivos vectores normales sean paralelos. Como<br />
∇f(x, y, z) es normal al plano tangente, y (0, 0, 1) es normal al plano XY , lo dicho antes es equivalente a<br />
que D1f(x, y, z) = D2(x, y, z) = 0;<br />
D1f(x, y, z) = y + z − 1 D2f(x, y, z) = x + z<br />
Por tanto, los puntos (x, y, z) buscados son aquellos que verifican<br />
y + z − 1 = 0 x + z = 0 x(y + z − 1) + z(y − z) = 0<br />
Estos puntos coinci<strong>de</strong>n con la recta x = −y = −z<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 271<br />
Problema 133 Para la función f(x, y) = x 2 y + 2y 2 x, en el punto P0(1, 3), hallar<br />
a) la dirección <strong>de</strong> mayor crecimiento en f,<br />
b) la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f en la dirección <strong>de</strong> mayor crecimiento en f,<br />
c) las direcciones en las que la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f es cero,<br />
d) la ecuación <strong>de</strong>l plano tangente a la superficie z = f(x, y) en (1, 3, 21).<br />
a) La dirección <strong>de</strong> mayor crecimiento correspon<strong>de</strong> a la dirección <strong>de</strong>l vector gradiente:<br />
D1(x, y) = 2xy + 2y 2<br />
D2(x, y) = x 2 + 4yx ∇f(1, 3) = (14, 13)<br />
b) Si u es el vector unitario en la dirección y sentido <strong>de</strong>l vector gradiente, la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f en la dirección<br />
u es<br />
Duf(1, 3) = ||∇f(1, 3)|| = √ 14 2 + 13 2<br />
c) Si v = (v1, v2) es un vector unitario, Dvf(1, 3) = ∇f(1, 3) · v = 14v1 + 13v2. Por tanto, la <strong>de</strong>rivada<br />
direccional se anula en la dirección <strong>de</strong>l vector (−13, 14).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 272<br />
d) El plano tangente a la superficie z = f(x, y) en (1, 3, 21) es perpendicular al vector (D1f(1, 3), D2f(1, 3), −1) =<br />
(14, 13, −1) y por tanto, su ecuación es<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
14(X − 1) + 13(Y − 3) − (Z − 21) = 0
Cálculo en varias variables 273<br />
Problema 134 Hallar las rectas tangentes a las curvas siguientes en los puntos dados:<br />
a) x 2 + y 2 = 4, P0( √ 2, √ 2)<br />
b) x 2 + xy + y 2 = 7, P0(1, 2)<br />
c) x 5 + 4xy 3 − 3y 5 = 2, P0(1, 1)<br />
Como ya sabemos, ∇f(x0, y0) es un vector normal a la curva <strong>de</strong> nivel f(x, y) = f(x0, y0), por tanto, la<br />
ecuación <strong>de</strong> la recta tangente es<br />
a) x 2 + y 2 = 4, P0( √ 2, √ 2);<br />
b) x 2 + xy + y 2 = 7, P0(1, 2);<br />
D1f(x0)(X − x0) + D2f(x0, y0)(Y − y0).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D1f(x, y) = 2x D2f(x, y) = 2y<br />
Recta: 4(X − 2) + 2 √ 2(Y − √ 2) = 0<br />
D1f(x, y) = 2x + y D2f(x, y) = x + 2y<br />
Recta: 4(X − 1) + 5 √ 2(Y − 2) = 0
Cálculo en varias variables 274<br />
c) x 5 + 4xy 3 − 3y 5 = 2, P0(1, 1);<br />
D1f(x, y) = 5x + 4y 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D2f(x, y) = 12xy 2 + 15y 4<br />
Recta: 9(X − 1) + 27(Y − 1) = 0
Cálculo en varias variables 275<br />
Problema 135 La fuerza gravitacional ejercida sobre un objeto <strong>de</strong> masa m situado en el punto (x, y, z) por<br />
un objeto <strong>de</strong> masa M situado en el origen es, por la ley <strong>de</strong> la gravitación universal,<br />
F = GMm<br />
r3 r<br />
don<strong>de</strong> r = xi + yj + zk y r = ||r||. Comprobar que R = −∇V para algún campo escalar V (V recibe el<br />
nombre <strong>de</strong> potencial gravitacional) y comprobar también que F es ortogonal a las superficies <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> V .<br />
(Indicación: comprobar primero que ∇(1/r) = −(1/r 3 )r).<br />
La indicación nos dice quien es la función potencial; consi<strong>de</strong>rando<br />
tenemos que:<br />
f(r) = f(x, y, z) = − 1<br />
r<br />
1<br />
= −<br />
x2 + y2 + z2 D1f(x, y, z) = x(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = x<br />
r 3<br />
D2f(x, y, z) = y(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = y<br />
r 3<br />
D3f(x, y, z) = z(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = z<br />
r 3<br />
Por tanto, V (x, y, z) = − GMm √ . El hecho <strong>de</strong> que F = −∇V sea ortogonal a las superficies <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong><br />
x2 +y2 +z2 V es una propiedad fundamental <strong>de</strong>l vector gradiente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Cálculo en varias variables 276<br />
Problema 136 En las siguientes funciones, hallar las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n<br />
f(x, y) = e x log(3 − y 2 ); g(x, y) = (x − y)/xy; h(x, y, z) = xy + yz + zx.<br />
f(x, y) = e x log(3 − y 2 ).<br />
g(x, y) = (x − y)/xy:<br />
D1f(x, y) = e x log(3 − y 2 ) D2f(x, y) = −2yex<br />
3 − y 2<br />
∂ 2 f<br />
∂x 2 (x, y) = ex log(3 − y 2 )<br />
∂ 2 f<br />
∂y 2 (x, y) = −2ex y2 + 3<br />
y 2 − 3<br />
∂2f ∂x∂y (x, y) = ∂2f −2yex<br />
(x, y) =<br />
∂y∂x 3 − y2 D1f(x, y) = 1<br />
x 2<br />
∂2f 2<br />
(x, y) = −<br />
∂x2 x3 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D2f(x, y) = − 1<br />
y 2<br />
∂2f 2<br />
(x, y) =<br />
∂y2 y3 ∂2f ∂x∂y (x, y) = ∂2f (x, y) = 0<br />
∂y∂x
Cálculo en varias variables 277<br />
h(x, y, z) = xy + yz + zx:<br />
D1f(x, y) = y + z D2f(x, y) = x + z D3f(x, y) = y + x<br />
∂2f (x, y) = 0<br />
∂x2 ∂2f (x, y) = 1<br />
∂y∂x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂2f (x, y) = 0<br />
∂y2 ∂2f (x, y) = 1<br />
∂z∂x<br />
∂2f (x, y) = 0<br />
∂z2 ∂2f (x, y) = 1<br />
∂z∂y
Cálculo en varias variables 278<br />
Problema 137 Comprobar que D1,2w = D2,1w para<br />
w = arc tg (y/x)<br />
w = e x senh y + cos (2x − 3y):<br />
w = arc tg (y/x) y zw = e x senh y + cos (2x − 3y)<br />
D1w(x, y) = − y<br />
x 2 + y 2<br />
D1w(x, y) =<br />
D2,1w(x, y) = D2(D1w)(x, y) = − (x2 + y 2 ) − 2y 2<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
D1,2w(x, y) = D1(D2w)(x, y) = (x2 + y 2 ) − 2x 2<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
x<br />
x 2 + y 2<br />
= y2 − x 2<br />
x 2 + y 2<br />
= y2 − x 2<br />
x 2 + y 2<br />
D1w(x, y) = e x senh y − 2 sen (2x − 3y) D2w(x, y) = e x cosh y + 3 sen (2x − 3y)<br />
D2,1w(x, y) = D2(D1w)(x, y) = e x cosh y − 6 cos (2x − 3y)<br />
D1,2w(x, y) = D1(D2w)(x, y) = e x cosh y − 6 cos (2x − 3y)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Capítulo 6<br />
Optimización no-lineal<br />
279
Optimización no-lineal 280<br />
Problema 138 En los siguientes apartados hallar dw/dt, primero expresando w explícitamente como función<br />
<strong>de</strong> t y diferenciando, y luego por medio <strong>de</strong> la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na:<br />
(a) w = xy<br />
x 2 +y 2 , x = cosh t, y = senh t<br />
(b) w = xe y + y sen x, x = t, y = t 2<br />
(a) w = xy<br />
x 2 + y 2 , x = cosh t, y = senh t;<br />
y por tanto,<br />
w(t) =<br />
cosh t senh t<br />
cosh 2 t + senh 2 t<br />
dw<br />
dt (t) = 1 − tgh2 2t =<br />
1<br />
= tgh 2t<br />
2<br />
1<br />
cosh 2 2t<br />
Para usar la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na consi<strong>de</strong>remos f(u, v) = uv<br />
u 2 + v 2 ; entonces<br />
w = f ◦ (x, y) y<br />
dw ∂f<br />
(t) =<br />
dt ∂u<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂f<br />
(x, y)dx(t)<br />
+ (x, y)dy<br />
dt ∂v dt (t) = y y2 − x2 (x2 + y2 ) 2 senh t + x x2 − y2 (x2 + y2 cosh t<br />
) 2<br />
= − senh2 t<br />
cosh 2 2t + cosh2 t<br />
cosh 2 2t =<br />
1<br />
cosh 2 2t
Optimización no-lineal 281<br />
(b) w = xe y + y sen x, x = t, y = t 2 ;<br />
y por tanto,<br />
w(t) = te t2<br />
+ t 2 sen t<br />
dw<br />
(t) = et2 + 2t<br />
dt 2 e t2<br />
+ 2t sen t + t 2 cos t =<br />
Sea f(u, v) = ue v + v sen u; entonces, w = f ◦ (x, y) y<br />
dw ∂f<br />
∂f<br />
(t) = (x, y)dx(t)<br />
+ (x, y)dy<br />
dt ∂u dt ∂v dt (t) = (ey + y cos x) + (xe y + sen x)(2t)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= e t2<br />
+ t 2 cos t + (te t2<br />
+ sen t)(2t)
Optimización no-lineal 282<br />
Problema 139 Determinar ∂w/∂x si w = uv + log v, u = x + y 2 , v = e x cos y. (Dar la respuesta respecto<br />
<strong>de</strong> u y v.)<br />
Sea f(s, t) = st + log t; entonces, w = f ◦ (u, v) y<br />
∂w<br />
∂x<br />
∂f ∂u ∂f ∂v<br />
= +<br />
∂s ∂x ∂t ∂x<br />
= v +<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
u + 1<br />
<br />
e<br />
v<br />
x cos y = v + uv + 1
Optimización no-lineal 283<br />
Problema 140 Hallar ∂w/∂u si w = x 2 + y 2 , x = u − v, y = ve 2u . (Dar la respuesta en x e y.)<br />
Sea f(s, t) = s 2 + t 2 ; entonces w = f ◦ (x, y) y<br />
∂w<br />
∂u<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂f ∂x ∂f ∂y<br />
= +<br />
∂s ∂u ∂t ∂u = 2x + 4yve2u = 2x + 4y 2
Optimización no-lineal 284<br />
Problema 141 Hallar ∂w/∂v cuando u = 0, v = 0 si w = (x 2 + y − 2) 4 + (x − y + 2) 3 ,<br />
x = u − 2v + 1, y = 2u + v − 2.<br />
Sea f(s, t) = (s 2 + t − 2) 4 + (s − t + 2) 3 ; entonces, w = f ◦ (x, y) y<br />
∂w<br />
∂v<br />
∂f ∂x ∂f ∂y<br />
= +<br />
∂s ∂v ∂t ∂v<br />
Dado que x(0, 0) = 1 e y(0, 0) = −2, se tiene que<br />
= 4(x 2 + y − 2) 3 (2x) + 3(x − y + 2) 2 (−2)<br />
+ 4(x 2 + y − 2) 3 + 3(x − y + 2) 2 (−1) <br />
= (4 − 16x)(x 2 + y − 2) 3 − 9(x − y + 2) 2<br />
∂w<br />
∂v (0, 0) = (4 − 16)(1 + (−2) − 2)3 − 9(1 − (−2) + 2) 2 = 3024<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 285<br />
Problema 142 Si w = log (x 2 + y 2 + 2z), x = r + s, y = r − s, z = 2rs, hallar ∂w/∂r y ∂w/∂s.<br />
Lo hacemos sin usar la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na. Sustituyendo en la expresión <strong>de</strong> w obtenemos:<br />
y por tanto,<br />
w(r, s) = log 2 + 2 log(r + s)<br />
∂w<br />
∂r<br />
= 2<br />
r + s<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂w<br />
∂s<br />
= 2<br />
r + s
Optimización no-lineal 286<br />
2 ∂z<br />
Problema 143 Sean z = f(t), t = (x + y)/xy. Probar que x<br />
∂x<br />
Aplicamos la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na:<br />
Por tanto:<br />
∂z<br />
∂x = f ′ (t) ∂t<br />
∂x = −f ′ (t) 1<br />
x2 ∂z<br />
∂y = f ′ (t) ∂t<br />
∂y = −f ′ (t) 1<br />
y2 2 ∂z<br />
x<br />
∂x = −f ′ (t)<br />
2 ∂z<br />
y<br />
∂y = −f ′ (t)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= y2 ∂z<br />
∂y .
Optimización no-lineal 287<br />
Problema 144 Si sustituimos las coor<strong>de</strong>nadas polares x = r cos θ e y = r sen θ en una función w = f(x, y)<br />
con <strong>de</strong>rivadas parciales continuas, probar que<br />
∂w<br />
∂r = D1f cos θ + D2f, sen θ y<br />
1 ∂w<br />
r ∂θ = −D1f sen θ + D2f cos θ.<br />
Sea φ(r, θ) = (x, y) = (r cos θ, r sen θ); la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na nos dice que ∇w = ∇f · Jφ, es <strong>de</strong>cir:<br />
<br />
<br />
<br />
∂w ∂w<br />
cos θ −r sen θ<br />
, = (D1f, D2f)<br />
∂r ∂θ<br />
sen θ r cos θ<br />
De esta igualdad se obtienen fácilmente las propuestas.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 288<br />
Problema 145 Hallar zxx si z = f(u, v), u = x 2 − y 2 y v = 2xy. Expresar la respuesta en términos <strong>de</strong><br />
u, v y las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> f.<br />
∂z<br />
∂x<br />
∂u ∂v<br />
= D1f + D2f<br />
∂x ∂x = D1f(u, v) · (2x) + D2f(u, v)(2y) = 2xD1f(u, v) + 2yD2f(u, v)<br />
zxx = ∂2 z<br />
∂x 2 = 2D1f + 2x (D11f · (2x) + D21f · (2y)) + 2y (D12f · (2x) + D22f · (2y))<br />
= 2D1f + 4x 2 D11f + 8xyD21f + 4y 2 D22f<br />
Obsérvese que en la simplificación hemos usado la igualdad D21f = D12f que se <strong>de</strong>duce <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong><br />
Schward.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 289<br />
Problema 146 Mediante distintos experimentos se ha podido comprobar que una magnitud ondulatoria,<br />
como la luz, verifica la siguiente ecuación <strong>de</strong> onda<br />
∂2w ∂t2 = c2 ∂2w ∂x2 Probar que las siguientes funciones son soluciones <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> onda:<br />
a) w = sen (x + ct);<br />
a) w = sen (x + ct); b) w = sen (x + ct) + cos (2x + 2ct); c) w = tg (2x − 2ct).<br />
b) w = sen (x + ct) + cos (2x + 2ct);<br />
∂w<br />
= c cos(x + ct)<br />
∂t<br />
∂w<br />
= cos(x + ct)<br />
∂x<br />
∂w<br />
= c cos(x + ct) − 2c sen(2x + 2ct)<br />
∂t<br />
∂w<br />
= cos(x + ct) − 2 sen(2x + 2ct)<br />
∂x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂2w ∂t2 = −c2 sen(x + ct)<br />
∂2w 2 = − sen(x + ct)<br />
∂x<br />
∂ 2 w<br />
∂t2 = −c2 sen(x + ct) − 4c 2 cos(2x + 2ct)<br />
∂2w 2 = − sen(x + ct) − 4 cos(2x + 2ct)<br />
∂x
Optimización no-lineal 290<br />
c) w = tg (2x − 2ct);<br />
∂w<br />
∂t = 2c(1 + tg2 (2x − 2ct))<br />
∂w<br />
∂x = 2(1 + tg2 (2x − 2ct))<br />
∂ 2 w<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∂t2 = 8c2 tg (2x − 2ct)(1 + tg 2 (2x − 2ct))<br />
∂2w ∂x2 = 8 tg (2x − 2ct)(1 + tg2 (2x − 2ct))
Optimización no-lineal 291<br />
Problema 147 ¿Con qué exactitud pue<strong>de</strong> calcularse V = πr 2 h si las mediciones <strong>de</strong> r y h tienen un error<br />
<strong>de</strong> un 1 %?<br />
Que las medidas <strong>de</strong> r y h se hagan con un error <strong>de</strong>l 1 % significa que si las medidas que tomamos son r0 y<br />
h0 respectivamente, las medidas reales son r = r0 + k1 y h = h0 + k2 don<strong>de</strong> |k1| ≤ |r0|/100 y |k2| ≤ |h0|/100.<br />
Si tomamos πr 2 0 h0 como valor <strong>de</strong>l volumen en vez <strong>de</strong> πr 2 h cometemos un error E verificando<br />
E ≤ (M1, M2)(k1, k2) = M1k1 + M2k2<br />
don<strong>de</strong> M1 es una cota <strong>de</strong> D1f y M2 es una cota <strong>de</strong> D2f en un entorno <strong>de</strong> (r0, h0) conteniendo a (r, h).<br />
En las condiciones que estamos:<br />
D1V (r, h) = 2πrh D2V (r, h) = πr 2<br />
|D1V (r, h)| = π|2rh| ≤ 2|r0| 101 101<br />
|h0| = M1 |D2V<br />
100 100<br />
Por tanto, el error cometido está acotado por<br />
2 101 |r0|<br />
E ≤ M1k1 + M2k2 ≤ 2π|r0||h0|<br />
100 100 + πr2 0<br />
2 2(101)<br />
= πr 2 0 h0<br />
100 3<br />
≈ r 2 0 h0(0 ′ 021)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(r, h)| = πr 2 ≤ r 2 0<br />
2 101 |h0|<br />
100 100<br />
2 101<br />
= M2<br />
100
Optimización no-lineal 292<br />
Por tanto, el error relativo es <strong>de</strong> un 2 ′ 1 %.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 293<br />
Problema 148 Si r = 5 cm y h = 12 cm, redon<strong>de</strong>ados al milímetro más cercano, ¿cuál es el error máximo<br />
porcentual previsible al calcular V = πr 2 h?<br />
Que las medidas <strong>de</strong> r y h se redon<strong>de</strong>en al milímetro más cercano significa que si las medidas que tomamos<br />
son r0 y h0 respectivamente, las medidas reales son r = r0 + k1 y h = h0 + k2 don<strong>de</strong> |k1| ≤ 0 ′ 1 y |k2| ≤ 0 ′ 1.<br />
El error cometido al tomar πr 2 0 h0 como valor <strong>de</strong>l volumen en vez <strong>de</strong> πr 2 h lo acotamos siguiendo el método<br />
<strong>de</strong>l ejercicio anterior;<br />
|D1V (r, h)| = π|2rh| ≤ 2π(5 ′ 1)(12 ′ 1) ≤ π(123 ′ 5) = M1<br />
|D2V (r, h)| = πr 2 ≤ π(26 ′ 1) = M2<br />
Por tanto, el error cometido está acotado por<br />
E ≤ M1k1 + M2k2 ≤ π(14 ′ 96) ≤ 47<br />
Dado que πr 2 0h0 = π25 · 12 ≈ 942, el error porcentual que cometemos es <strong>de</strong>l 5 % (obsérvese que los errores<br />
porcentuales en las variables eran <strong>de</strong>l 2 % en el radio y <strong>de</strong> 1 % en la altura).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 294<br />
Problema 149 Para calcular el volumen <strong>de</strong> un cilindro <strong>de</strong> unos 2 m <strong>de</strong> radio y alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> 3 m <strong>de</strong> altura,<br />
¿con qué precisión han <strong>de</strong> medirse el radio y la altura para que el error al estimar el volumen no exceda 0 ′ 1<br />
m 3 ? [Supóngase que los errores posibles ∆r y ∆h al medir r y h son iguales].<br />
Siguiendo el método <strong>de</strong> los ejercicios 12 y 13 po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>ducir fácilmente, <strong>de</strong> forma general, que si<br />
tomamos las medidas <strong>de</strong>l radio y <strong>de</strong> la altura con un error ɛ, que po<strong>de</strong>mos suponer menor que 0 ′ 1, entonces<br />
el error al evaluar el volumen está acotado por<br />
E ≤ π(2(2 + ɛ)(3 + ɛ)ɛ + (2 + ɛ) 2 ɛ) ≤ 71ɛ<br />
Para conseguir que este error esté por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> 0 ′ 1 basta tomar ɛ < 0 ′ 001.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 295<br />
Problema 150 La resistencia R producida por otras dos en paralelo <strong>de</strong> x e y ohms pue<strong>de</strong> calcularse mediante<br />
la fórmula 1/R = 1/x + 1/y. ¿En qué porcentaje aproximado cambiará R si x crece <strong>de</strong> 20 a 20,1<br />
ohms e y <strong>de</strong>crece <strong>de</strong> 25 a 24,9 ohms?<br />
Sea f(x, y) =<br />
1<br />
x<br />
−1 1 + ; y<br />
la variación aproximada <strong>de</strong> f(20, 25) a f(20 ′ 1, 244 ′ 9) es<br />
E ≤ |D1f(20, 25)|0 ′ 1 + |D2f(20, 25)|0 ′ 1 ≤ 5 · 10 −2<br />
Dado que f(20, 25) = 11 ′ 2, la variación porcentual es <strong>de</strong>l 0 ′ 5 % aproximadamente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 296<br />
Problema 151 Determinar los máximos, mínimos y puntos <strong>de</strong> silla <strong>de</strong> las siguientes superficies. Calcular<br />
los valores <strong>de</strong> la función en estos puntos:<br />
a) z = x 2 + 3xy + 3y 2 − 6x + 3y − 6 b) z = 2xy − 5x 2 − 2y 2 + 4x + 4y − 4<br />
c) z = y 2 + xy − 2x − 2y + 2 d) z = 2xy − x 2 − 2y 2 + 3x + 4<br />
e) z = 3x 2 + 6xy + 7y 2 − 2x + 4y f) z = 4x 2 − 6xy + 5y 2 − 20x + 26y<br />
g) z = x 2 + y 2 − 2x + 4y + 6 h) z = x 2 − 2xy + 2y 2 − 2x + 2y + 1<br />
i) z = 3 + 2x + 2y − 2x 2 − 2xy − y 2<br />
j) z = x 2 − xy + y 2 + 2x + 2y − 4<br />
k) z = 5x 2 − 4xy + 2y 2 + 4x − 4y + 10 l) z = x 3 + y 3 + 3x 2 − 3y 2 − 8<br />
m) z = 9x 3 + y 3 /3 − 4xy n) z = x 3 + 3xy + y 3<br />
Todos los apartados se resuelven con el corolario ??.<br />
a) f(x, y) = x 2 + 3xy + 3y 2 − 6x + 3y − 6.<br />
El único punto crítico es: (15, −8).<br />
D1f(x, y) = 2x + 3y − 6 D2f(x, y) = 3x + 6y + 3<br />
D11f(x, y) = 2 D21f(x, y) = 3 D22f(x, y) = 6<br />
(15, −8) es un mínimo ya que |Hf(15, −8)| = 3 > 0 y D11f(15, −8) = 2 > 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 297<br />
b) f(x, y) = 2xy − 5x 2 − 2y 2 + 4x + 4y − 4.<br />
El único punto crítico es: (2/3, 4/3).<br />
(2/3, 4/3) es un máximo.<br />
c) f(x, y) = y 2 + xy − 2x − 2y + 2<br />
El único punto crítico es: (−2, 2).<br />
D1f(x, y) = 2y − 10x + 4 D2f(x, y) = 2x − 4y + 4<br />
D11f(x, y) = −10 D21f(x, y) = 2 D22f(x, y) = −4<br />
D1f(x, y) = y − 2 D2f(x, y) = 2y + x − 2<br />
D11f(x, y) = 0 D21f(x, y) = 1 D22f(x, y) = 2<br />
(−2, 2) es un punto silla, ya que |Hf(−2, 2)| = −1 < 0.<br />
d) f(x, y)z = 2xy − x 2 − 2y 2 + 3x + 4<br />
El único punto crítico es: (3, 3/2).<br />
(3, 3/2) es un máximo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D1f(x, y) = 2y − 2x + 3 D2f(x, y) = 2x − 4y<br />
D11f(x, y) = −2 D21f(x, y) = 2 D22f(x, y) = −4
Optimización no-lineal 298<br />
e) f(x, y) = 3x 2 + 6xy + 7y 2 − 2x + 4y.<br />
El único punto crítico es: (13/12, −3/4).<br />
(13/12, −3/4) es un mínimo.<br />
f) f(x, y)z = 4x 2 − 6xy + 5y 2 − 20x + 26y.<br />
El único punto crítico es: (1, −2).<br />
(1, −2) es un mínimo.<br />
g) f(x, y) = x 2 + y 2 − 2x + 4y + 6<br />
El único punto crítico es: (1, −2).<br />
(1, −2) es un mínimo.<br />
D1f(x, y) = 6x + 6y − 2 D2f(x, y) = 6x + 14y + 4<br />
D11f(x, y) = 6 D21f(x, y) = 6 D22f(x, y) = 14<br />
D1f(x, y) = 8x − 6y − 20 D2f(x, y) = −6x + 10y + 26<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D11f(x, y) = 8 D21f(x, y) = −6 D22f(x, y) = 10<br />
D1f(x, y) = 2x − 2 D2f(x, y) = 2y + 4<br />
D11f(x, y) = 2 D21f(x, y) = 0 D22f(x, y) = 2
Optimización no-lineal 299<br />
h) f(x, y) = x 2 − 2xy + 2y 2 − 2x + 2y + 1<br />
El único punto crítico es: (1, 0).<br />
(1, 0) es un mínimo.<br />
i) f(x, y) = 3 + 2x + 2y − 2x 2 − 2xy − y 2<br />
El único punto crítico es: (0, 1).<br />
(1, −2) es un máximo.<br />
j) f(x, y) = x 2 − xy + y 2 + 2x + 2y − 4.<br />
El único punto crítico es: (−2, −2).<br />
(1, −2) es un mínimo.<br />
D1f(x, y) = 2x − 2y − 2 D2f(x, y) = −2x + 4y + 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D11f(x, y) = 2 D21f(x, y) = −2 D22f(x, y) = 4<br />
D1f(x, y) = 2 − 4x − 2y D2f(x, y) = 2 − 2x − 2y<br />
D11f(x, y) = −4 D21f(x, y) = −2 D22f(x, y) = −2<br />
D1f(x, y) = 2x − y + 2 D2f(x, y) = −x + 2y + 2<br />
D11f(x, y) = 2 D21f(x, y) = −1 D22f(x, y) = 2
Optimización no-lineal 300<br />
k) f(x, y) = 5x 2 − 4xy + 2y 2 + 4x − 4y + 10.<br />
El único punto crítico es: (0, 1).<br />
(1, −2) es un mínimo.<br />
l) f(x, y) = x 3 + y 3 + 3x 2 − 3y 2 − 8.<br />
D1f(x, y) = 10x − 4y + 4 D2f(x, y) = −4x + 4y − 4<br />
D11f(x, y) = 10 D21f(x, y) = −4 D22f(x, y) = 4<br />
D1f(x, y) = 3x 2 + 6x D2f(x, y) = 3y 2 − 6y<br />
Los únicos puntos críticos son: (0, 0), (0, 2), (−2, 0) y (−2, 2).<br />
D11f(x, y) = 6x + 6 D21f(x, y) = 0 D22f(x, y) = 6y − 6<br />
(0, 0) es punto silla, (0, 2) es mínimo, (−2, 0) es máximo y (−2, 2) es punto silla.<br />
m) f(x, y) = 9x 3 + y 3 /3 − 4xy<br />
Los únicos puntos críticos son: (0, 0) y (4/9, 4/3).<br />
(0, 0) es punto silla y (4/9, 4/3) es mínimo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D1f(x, y) = 27x 2 − 4y D2f(x, y) = y 2 − 4x<br />
D11f(x, y) = 54x D21f(x, y) = −4 D22f(x, y) = 2y
Optimización no-lineal 301<br />
n) f(x, y) = x 3 + 3xy + y 3<br />
Los únicos puntos críticos son: (0, 0) y (−1, −1).<br />
(0, 0) es puntos silla y (−1, −1) es máximo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D1f(x, y) = 3x 2 + 3y D2f(x, y) = 3y 2 + 3x<br />
D11f(x, y) = 6x D21f(x, y) = 3 D22f(x, y) = 6y
Optimización no-lineal 302<br />
234<br />
1<br />
0<br />
0 1<br />
0<br />
2 3 4<br />
T (x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 6x<br />
(x, y ) ∈ [0, 5] × [−3, 3]<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
10<br />
40<br />
20<br />
-2<br />
P(x, y ) = x 2 − xy + y 2 + 1<br />
0<br />
x ≤ y ≤ 4 x ∈ [0, 4]<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5
Optimización no-lineal 303<br />
Problema 152 En los siguientes apartados, hallar los máximos y mínimos absolutos <strong>de</strong> las funciones en<br />
los dominios dados:<br />
(a) P (x, y) = x 2 −xy +y 2 +1 en la región triangular cerrada en el primer cuadrante acotada por las rectas<br />
x = 0, y = 4, y = x.<br />
(b) T (x, y) = x 2 + xy + y 2 − 6x en la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3.<br />
(c) f(x, y) = 48xy − 32x 3 − 24y 2 en la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.<br />
(a) La función P no tiene puntos críticos en el interior <strong>de</strong> la región, ya que las <strong>de</strong>rivadas parciales:<br />
D1P (x, y) = 2x − y D2P (x, y) = −x + 2y<br />
solo se anulan en el punto (0, 0) que se encuentra en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la misma.<br />
El bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la placa está formado por los siguientes segmentos:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
S1 = (0, 0)(0, 4) S2 = (0, 4)(4, 4) S3 = (4, 4)(0, 0)
Optimización no-lineal 304<br />
La función P sobre cada uno <strong>de</strong> estos segmentos viene dada por:<br />
P1(t) = P (0, t) = t 2 + 1 t ∈ (0, 4)<br />
P2(t) = P (t, 4) = t 2 − 4t + 17 t ∈ (0, 4)<br />
P3(t) = P (t, t) = t 2 + 1 t ∈ (0, 4)<br />
Los puntos críticos <strong>de</strong> estas funciones son los puntos críticos <strong>de</strong> P en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la placa; estos puntos<br />
son (0, 0) (t = 0 en P1 y P3) y (2, 4) (t = 2 en P2). Por tanto, los extremos absolutos <strong>de</strong> P en la<br />
región dada están entre los puntos (0, 0), (2, 4), (0, 4) y (4, 4) (hay que consi<strong>de</strong>rar los extremos <strong>de</strong> los<br />
segmentos):<br />
P (0, 0) = 1 P (2, 4) = 13 P (0, 4) = 17 P (4, 4) = 50<br />
El punto (4, 4) es máximo absoluto, mientras que (0, 0) es el mínimo absoluto.<br />
(b) Las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> T son:<br />
D1T (x, y) = 2x + y − 6 D2T (x, y) = x + 2y<br />
Su único punto crítico se encuentra en el rectángulo indicado y es (4, −2).<br />
El bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la placa está formado por los siguientes segmentos:<br />
S1 = (0, −3)(0, 3), S2 = (0, 3)(5, 3), S3 = (5, 3)(5, −3), S4 = (5, −3)(0, −3)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 305<br />
La función P sobre cada uno <strong>de</strong> estos segmentos viene dada por:<br />
P1(t) = P (0, t) = t 2<br />
t ∈ (−3, 3)<br />
P2(t) = P (t, 3) = t 2 − 3t + 9 t ∈ (0, 5)<br />
P3(t) = P (5, t) = t 2 + 5t − 5 t ∈ (−3, 3)<br />
P2(t) = P (t, −3) = t 2 − 9t + 9 t ∈ (0, 5)<br />
Los puntos críticos <strong>de</strong> estas funciones son los puntos críticos <strong>de</strong> T en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la región; estos puntos<br />
son (0, 0) (t = 0 en P1), (3/2, 3) (t = 3/2 en P2), (5, −5/2) (t = −5/2 en P3) y (9/2, −3) (t = 9/2 en<br />
P4). Por tanto, los extremos absolutos <strong>de</strong> P en la región dada están entre los puntos (4, −2), (0, 0),<br />
(3/2, 3), (5, −5/2), (9/2, −3), (0, −3), (0, 3), (5, 3) y (5, −3) (hay que consi<strong>de</strong>rar los extremos <strong>de</strong> los<br />
segmentos):<br />
T (4, −2) = −12 T (0, 0) = 0 T (3/2, 3) = 27/4<br />
T (5, −5/2) = −45/4 T (9/2, −3) = −45/4 T (0, −3) = 9<br />
T (0, 3) = 9 T (5, 3) = 19 T (5, −3) = −11<br />
El punto (5, 3) es máximo absoluto mientras que (4, −2) es el mínimo absoluto.<br />
En la figura 6.1 <strong>de</strong> la página 302 están representadas las gráficas <strong>de</strong> las funciones P y T en las regiones<br />
indicadas.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 306<br />
Problema 153 Hallar los extremos relativos <strong>de</strong>l campo escalar f(x, y) = sen(xy).<br />
Las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> f son<br />
D1f(x, y) = y cos(xy) D2f(x, y) = x cos(xy)<br />
Los puntos críticos <strong>de</strong> f son, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong>l (0, 0), todos aquellos puntos (x, y) tales que xy = π<br />
2<br />
algún n ∈ Z. Consi<strong>de</strong>remos los siguientes conjuntos<br />
C1 = {(x, y)|xy = π<br />
+ 2kπ para algún k ∈ Z}<br />
2<br />
C2 = {(x, y)|xy = π<br />
+ (2k + 1)π para algún k ∈ Z}<br />
2<br />
+ nπ para<br />
Los puntos <strong>de</strong> C1 ∪ C2 son los puntos críticos <strong>de</strong> f distintos <strong>de</strong> (0, 0). El lector pue<strong>de</strong> comprobar que el<br />
criterio <strong>de</strong> la hessiana no clasifica ninguno <strong>de</strong> los puntos.<br />
Sin embargo, en este caso, po<strong>de</strong>mos clasificar casi todos los puntos acotando directamente la función:<br />
−1 ≤ f(x, y) ≤ 1. Como f(a, b) = 1 si (a, b) ∈ C1 y f(a, b) = −1 si (a, b) ∈ C2, <strong>de</strong>ducimos que los puntos <strong>de</strong><br />
C1 son máximos absolutos <strong>de</strong> f y que los puntos <strong>de</strong> C2 son mínimos absolutos. Solo tenemos que clasificar<br />
el punto (0, 0) y para ello basta consi<strong>de</strong>rar las siguientes funciones (corolario ??):<br />
g1(t) = f(t, t) = sen t 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
g2(t) = f(t, −t) = sen(−t 2 ) = − sen t 2
Optimización no-lineal 307<br />
Dado que 0 es mínimo relativo <strong>de</strong> g1 y máximo relativo <strong>de</strong> g2, po<strong>de</strong>mos concluir que (0, 0) no es extremo<br />
relativo <strong>de</strong> f.<br />
Para ver gráficamente lo que hemos <strong>de</strong>ducido, vemos a continuación la representación <strong>de</strong> f en el rectángulo<br />
[0, 2π] × [0, 2π]:<br />
Z<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
-4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Y<br />
1<br />
X<br />
-2<br />
0<br />
2<br />
4 -4<br />
-2<br />
0<br />
2<br />
4
Optimización no-lineal 308<br />
Problema 154 Hallar el punto crítico <strong>de</strong><br />
f(x, y) = xy + 2x − log x 2 y<br />
en el primer cuadrante abierto (x > 0, y > 0), y mostrar que f alcanza en él un mínimo.<br />
D1f(x, y) = y + 2 − 2<br />
x<br />
D2f(x, y) = x − 1<br />
y<br />
El punto crítico es por tanto (1/2, 2). Las segundas <strong>de</strong>rivadas parciales son:<br />
y la hessiana en (1/2, 2): Hf(1/2, 2) =<br />
relativo.<br />
D11f(x, y) = 2<br />
x2 D21f(x, y) = 1 D11f(x, y) = 1<br />
y2 <br />
8 1<br />
1 1/4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
. Por tanto, efectivamente, el punto crítico es un mínimo
Optimización no-lineal 309<br />
Problema 155 El discriminante fxxfyy − f 2 xy <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las siguientes funciones es cero en el origen.<br />
Determinar si la función tiene o no un máximo o un mínimo en este punto.<br />
Ver sección ??<br />
a) f(x, y) = x 2 y 2 b) f(x, y) = 1 − x 2 y 2 c) f(x, y) = xy 2<br />
d) f(x, y) = x 3 y 2 e) f(x, y) = x 3 y 3<br />
f) f(x, y) = x 4 y 4<br />
a) f(x, y) = x 2 y 2 tiene un mínimo absoluto en el origen ya que x 2 y 2 ≥ 0 = f(0, 0) para todo x e y.<br />
b) f(x, y) = 1 − x 2 y 2 tiene un máximo absoluto en el origen ya que x 2 y 2 ≥ 0 para todo x e y y por tanto,<br />
1 − x 2 y 2 ≤ 1 = f(0, 0).<br />
c) f(x, y) = xy 2 tiene un punto silla en el origen ya que la función g(t) = f(t, t) = t 3 tiene un punto <strong>de</strong><br />
inflexión en 0.<br />
d) f(x, y) = x 3 y 2 tiene un punto silla en el origen ya que la función g(t) = f(t, 1) = t 3 tiene un punto <strong>de</strong><br />
inflexión en 0.<br />
e) f(x, y) = x 3 y 3 tiene un punto silla en el origen ya que la función g(t) = f(1, t) = t 3 tiene un punto <strong>de</strong><br />
inflexión en 0.<br />
f) f(x, y) = x 4 y 4 tiene un mínimo en el origen ya que x 4 y 4 ≥ 0 para todo x e y.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 310<br />
Problema 156 Si y = mx+b es la recta <strong>de</strong> mejor ajuste, en el sentido <strong>de</strong> los cuadrados mínimos, pruébese<br />
que:<br />
(a) la suma <strong>de</strong> las <strong>de</strong>sviaciones<br />
n<br />
(yi − mxi − b)<br />
es cero, (Esto significa que las <strong>de</strong>sviaciones positivas y negativas se anulan); y que<br />
(b) el punto<br />
i=1<br />
(¯x, ¯y) =<br />
<br />
1<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
está sobre la recta <strong>de</strong>terminada por el método <strong>de</strong> los mínimos cuadrados. (Esto significa que la recta<br />
que mejor se ajusta a la nube <strong>de</strong> puntos pasa por el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> los n puntos).<br />
Los dos enunciados son consecuencia inmediata <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> los mínimos cuadrados; este método se<br />
reduce a resolver un sistema <strong>de</strong> dos ecuaciones y estas ecuaciones son las que aparecen en cada apartado<br />
(ver página 447 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> teoría, o consultar cualquier libro don<strong>de</strong> se enuncie el método).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
xi, 1<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
yi
Optimización no-lineal 311<br />
Problema 157 Hallar los extremos <strong>de</strong> f(x, y) = xy sujetos a la restricción<br />
g(x, y) = x 2 + y 2 − 10 = 0.<br />
La función lagrangiana asociada al problema es<br />
L(x, y, λ) = xy − λ(x 2 + y 2 − 10)<br />
El sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos es<br />
x 2 + y 2 − 10 = 0<br />
y − 2λx = 0<br />
x − 2λy = 0<br />
Los puntos críticos son por tanto: ( √ 5, √ 5) con λ = 1/2, (− √ 5, √ 5) con λ = −1/2, ( √ 5, − √ 5) con λ = −1/2<br />
y (− √ 5, − √ 5) con λ = 1/2<br />
Para clasificar estos puntos, tenemos que consi<strong>de</strong>rar las funciones<br />
F1(x, y) = L(x, y, 1/2) = xy − 1<br />
2 (x2 + y 2 − 10)<br />
F2(x, y) = L(x, y, −1/2) = xy + 1<br />
2 (x2 + y 2 − 10)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 312<br />
y sus respectivas matrices hessianas<br />
HF1(x, y) =<br />
<br />
−1 1<br />
1 −1<br />
<br />
HF2(x, y) =<br />
<br />
1 1<br />
1 1<br />
Para hallar los polinomios característicos en cada punto, necesitamos los vectores gradientes:<br />
∇g( √ 5, √ 5) = (2 √ 5, 2 √ 5) ∇g(− √ 5, − √ 5) = (−2 √ 5, −2 √ 5)<br />
∇g(− √ 5, √ 5) = (−2 √ 5, 2 √ 5) ∇g( √ 5, − √ 5) = (2 √ 5, −2 √ 5)<br />
El polinomio característico en ( √ 5, √ 5) es:<br />
<br />
<br />
0 Jg(a)<br />
p(λ) = <br />
Jg(a) t <br />
<br />
<br />
<br />
HF1(a) − λI =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y por tanto, el punto ( √ 5, √ 5) es un máximo.<br />
0 2 √ 5 2 √ 5<br />
2 √ 5 −1 − λ 1<br />
2 √ 5 1 −1 − λ<br />
El polinomio característico en (− √ 5, − √ 5) es:<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
p(λ) = <br />
<br />
<br />
−2 √ 5 −2 √ −2<br />
5<br />
√ 5<br />
−2<br />
−1 − λ 1<br />
√ 5 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= −40(−λ − 2)<br />
<br />
−1 − λ <br />
y por tanto, el punto (− √ 5, − √ 5) también es un máximo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= −40(−λ − 2)
Optimización no-lineal 313<br />
El polinomio característico en ( √ 5, − √ 5) es:<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
p(λ) = <br />
<br />
<br />
2 √ 5 −2 √ 2<br />
5<br />
√ 5<br />
−2<br />
1 − λ 1<br />
√ 5 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= −40(−λ + 2)<br />
<br />
1 − λ <br />
y por tanto, el punto ( √ 5, − √ 5) es un mínimo.<br />
El polinomio característico en (− √ 5, √ 5) es:<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
p(λ) = <br />
<br />
<br />
−2 √ 5 2 √ −2<br />
5<br />
√ 5<br />
2<br />
1 − λ 1<br />
√ 5 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= −40(−λ + 2)<br />
<br />
1 − λ <br />
y por tanto, el punto (− √ 5, − √ 5) también es un mínimo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 314<br />
Problema 158 Calcular la distancia mínima entre la recta y = x + 1 y la parábola y 2 = x.<br />
Para plantear el problema vamos a utilizar un función que nos dé la distancia entre un punto <strong>de</strong> la recta<br />
y cualquier otro punto: la distancia entre un punto <strong>de</strong> la recta, (x, x + 1), y otro punto <strong>de</strong>l plano, (y, z), es:<br />
d = (y − x) 2 + (z − x − 1) 2 ;<br />
por tanto, para minimizar esta distancia, nos basta minimizar la función f(x, y, z) = (y − x) 2 + (z − x − 1) 2 ;<br />
a<strong>de</strong>más, como queremos encontrar la distancia mínima a la parábola y 2 = x, tenemos que minimizar la<br />
función f con la condición g(z, y) = z 2 − y = 0 (¡cuidado con el nombre <strong>de</strong> las variables!).<br />
La función lagrangiana asociada a este problema es<br />
L(x, y, z, λ) = (y − x) 2 + (z − x − 1) 2 − λ(z 2 − y)<br />
El sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos es<br />
z 2 − y = 0<br />
−2(y − x) − 2(z − x − 1) = 0<br />
2(y − x) + λ = 0<br />
2(z − x − 1) − 2zλ = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 315<br />
y su única solución es el punto (−1/8, 1/4, 1/2) con λ = −3/4. Con una simple mirada a las gráficas <strong>de</strong><br />
la recta y la parábola po<strong>de</strong>mos concluir que efectivamente esta es la solución <strong>de</strong>l problema, pero vamos a<br />
<strong>de</strong>ducirlo usando el polinomio característico. Consi<strong>de</strong>ramos la función<br />
F (x, y, z) = L(x, y, z, −3/4) = (y − x) 2 + (z − x − 1) 2 + (3/4)(z 2 − y)<br />
La matriz hessiana <strong>de</strong> esta función es:<br />
HF (x, y, z) =<br />
El vector gradiente <strong>de</strong> g en (−1/8, 1/4, 1/2) es<br />
El polinomio característico en dicho punto es:<br />
<br />
<br />
0 Jg(a)<br />
p(λ) = <br />
Jg(a) t <br />
<br />
<br />
<br />
HF1(a) − λI =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
4 −2 −2<br />
−2 2 0<br />
−2 0 7/2<br />
∇g(−1/8, 1/4, 1/2) = (0, −1, 1)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 −1 1<br />
0 4 − λ −2 −2<br />
−1 −2 2 − λ 0<br />
1 −2 0 7<br />
2<br />
− λ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= −2(t 2 − 27<br />
λ + 6)<br />
2<br />
y en consecuencia, efectivamente, el punto es un mínimo. Teniendo en cuenta el significado <strong>de</strong> la función f<br />
que hemos utilizado, hemos obtenido que los puntos (−1/8, 7/8) y (1/4, 1/2) son los puntos <strong>de</strong> la recta y <strong>de</strong><br />
la parábola respectivamente, más próximos.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 316<br />
Este problema se pue<strong>de</strong> resolver <strong>de</strong> varias formas. Teniendo en cuenta que todo punto <strong>de</strong> la recta es <strong>de</strong><br />
la forma (x, x + 1) y todo punto <strong>de</strong> la parábola es <strong>de</strong> la forma (y 2 , y), el problema se resolvería minimizando<br />
la función h(x, y) = (x − y 2 ) 2 + (x + 1 − y) 2 (sin restricciones); esta sería la forma más sencilla <strong>de</strong> resolver<br />
el problema usando métodos <strong>de</strong> este capítulo. Sin embargo, la forma más simple <strong>de</strong> resolver el problema es<br />
localizando el punto <strong>de</strong> la parábola cuya tangente es paralela a la recta; este punto es el buscado. El lector<br />
<strong>de</strong>bería <strong>de</strong>sarrollar estos dos métodos alternativos.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 317<br />
Problema 159 Determinar los puntos sobre la curva x 2 y = 2 más próximos al origen.<br />
Teniendo en cuenta que todo punto <strong>de</strong> la recta es <strong>de</strong> la forma (x, 2/x 2 ), la distancia <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> la<br />
curva al origen viene dada por<br />
d = x 2 + (2/x 2 ) 2<br />
Para localizar el punto <strong>de</strong> la curva más próximo al origen nos basta minimizar la función<br />
f(x) = x 2 + (2/x 2 ) 2<br />
En este caso hemos reducido el problema a minimizar una función <strong>de</strong> una variable (los mínimos son x = √ 2<br />
y x = − √ 2); sin embargo, este tipo <strong>de</strong> problemas no siempre admiten este camino <strong>de</strong> resolución (o resulta<br />
<strong>de</strong>masiado laborioso), como ocurre en el ejercicio siguiente, y la única forma <strong>de</strong> resolverlo será usando el<br />
método <strong>de</strong> los multiplicadores; (resuelva el lector este ejercicio usando el método <strong>de</strong> los multiplicadores <strong>de</strong><br />
Lagrange).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 318<br />
Problema 160 Hallar los puntos sobre la curva x 2 + xy + y 2 = 1 más próximos y más alejados <strong>de</strong>l origen.<br />
Como <strong>de</strong>cíamos en el ejercicio anterior, este problema no lo po<strong>de</strong>mos resolver reduciendolo a una variable,<br />
ya que no tenemos expresiones que nos caractericen los puntos <strong>de</strong> la curva <strong>de</strong>l enunciado (o bien, tal expresión<br />
no es sencilla) y por tanto, la mejor forma <strong>de</strong> plantear el problema es usando el método <strong>de</strong> los multiplicadores<br />
<strong>de</strong> Lagrange. La función que tenemos que minimizar es<br />
f(x, y) = x 2 + y 2<br />
y por tanto, la función lagrangiana asociada al problema es<br />
L(x, y, λ) = x 2 + y 2 − λ(x 2 + xy + y 2 − 1)<br />
El sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos es:<br />
x 2 + xy + y 2 − 1 = 0<br />
2x − 2λx − λy = 0<br />
2y − 2λy − λx = 0<br />
y las soluciones son: (1/ √ 3, 1/ √ 3) y (−1/ √ 3, −1/ √ 3) con λ = 2/3 y (1, −1) y (−1, 1) con λ = 2.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 319<br />
Para clasificar estos puntos, tenemos que consi<strong>de</strong>rar las funciones<br />
F1(x, y) = L(x, y, 3/2) = 1<br />
3 x2 + 1<br />
3 y2 − 2 2<br />
xy +<br />
3 3<br />
F2(x, y) = L(x, y, 2) = −x 2 − y 2 − 2xy + 2<br />
y sus respectivas matrices hessianas<br />
<br />
HF1(x, y) =<br />
2/3 −2/3<br />
−2/3 2/3<br />
<br />
HF2(x, y) =<br />
<br />
−2 −2<br />
−2 −2<br />
Los vectores gradientes <strong>de</strong> g(x, y) = x 2 + xy + y 2 − 1 en los puntos críticos son:<br />
∇g(1/ √ 3, 1/ √ 3) = ( √ 3, √ 3) ∇g(−1/ √ 3, −1/ √ 3) = (− √ 3, − √ 3)<br />
∇g(1, −1) = (1, −1) ∇g(−1, 1) = (−1, 1)<br />
El polinomio característico en el punto (1/ √ 3, 1/ √ 3) es<br />
<br />
<br />
0<br />
√<br />
p(λ) = 3<br />
√<br />
3<br />
√<br />
3<br />
2 − λ 3<br />
2 −<br />
√ <br />
3 <br />
<br />
2 <br />
− 3 <br />
<br />
− λ <br />
y en consecuencia, (1/ √ 3, 1/ √ 3) es mínimo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3<br />
2<br />
3<br />
= −6(−λ + 8<br />
6 )
Optimización no-lineal 320<br />
El polinomio característico en el punto (−1/ √ 3, −1/ √ 3) es<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
p(λ) = <br />
<br />
<br />
− √ 3 − √ −<br />
3<br />
√ 3 2<br />
− λ 3<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
− 3 = −6(−λ +<br />
<br />
− λ <br />
8<br />
6 )<br />
y por tanto, también es mínimo.<br />
− √ 3 − 2<br />
3<br />
El polinomio característico en el punto (1, −1) es<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
p(λ) = 1<br />
<br />
−1<br />
1<br />
−2 − λ<br />
−2<br />
<br />
−1 <br />
<br />
<br />
−2 = −2(−λ − 4)<br />
<br />
−2 − λ <br />
y en consecuencia, es máximo.<br />
El polinomio característico en el punto (−1, 1) es<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
p(λ) = −1<br />
<br />
1<br />
−1<br />
−2 − λ<br />
−2<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
−2 = −2(−λ − 4)<br />
<br />
−2 − λ <br />
y en consecuencia, también es máximo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
3
Optimización no-lineal 321<br />
Problema 161 Sea f un campo escalar, se dice que f es homogéneo <strong>de</strong> grado p si<br />
f((λx1, . . . , λxn) = λ p f((x1, . . . , xn) para todo λ ∈ R.<br />
(a) Si f es diferenciable en ((x1, . . . , xn) <strong>de</strong>mostrar que<br />
x1D1f((x1, . . . , xn) + · · · + xnDnf((x1, . . . , xn) = pf((x1, . . . , xn)<br />
Esto se conoce como teorema <strong>de</strong> Euler para funciones homogéneas. (Indicación: para ((x1, . . . , xn) fijo<br />
<strong>de</strong>fínase g(λ) = f((λx1, . . . , λxn) y calcular g ′ (1).)<br />
(b) Hallar p y verificar el teorema <strong>de</strong> Euler para el campo f(x, y, z) = x − 2y − √ xz para x, z > 0.<br />
(c) Comprobar el teorema <strong>de</strong> Euler para el campo f(x, y) = log(x/y).<br />
(a) Sigamos la indicación y consi<strong>de</strong>remos g(λ) = f((λx1, . . . , λxn) para una tupla fija ((x1, . . . , xn). Para<br />
hallar la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> g usamos la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na:<br />
Por tanto,<br />
g ′ (λ) = x1D1f((λx1, . . . , λxn) + · · · + xnDnf((λx1, . . . , λxn)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
g ′ (1) = x1D1f((x1, . . . , xn) + · · · + xnDnf((x1, . . . , xn) (6.1)
Optimización no-lineal 322<br />
Por otra parte, dado que f es homogénea <strong>de</strong> grado p, se tiene que<br />
g(λ) = λ p f((x1, . . . , xn);<br />
a partir <strong>de</strong> esta expresión volvemos a obtener la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> g:<br />
De don<strong>de</strong> se obtiene que<br />
g ′ (λ) = pλ p−1 f((x1, . . . , xn)<br />
De las igualda<strong>de</strong>s 6.1 y 6.2 se <strong>de</strong>duce la propuesta en el ejercicio.<br />
g ′ (1) = pf((x1, . . . , xn) (6.2)<br />
(b) Sea λ ≥ 0 (esta restricción se <strong>de</strong>be al dominio impuesto a f; en un dominio más amplio la función no<br />
sería homogénea: ¿Por qué?)<br />
f(λx, λy, λz) = λx − 2λy − √ λ 2 xz<br />
= λ(x − 2y − √ xz)<br />
Por tanto, efectivamente, la función es homogénea <strong>de</strong> grado 1. Verifiquemos el teorema <strong>de</strong> Euler:<br />
xD1f(x, y, z) + yD2f(x, y, z) + zD3f(x, y, z) = x(1 − z<br />
2 √ x<br />
) − 2y + z<br />
xz 2 √ xz<br />
= x − 2y − 2zx<br />
2 √ =<br />
xz<br />
x − 2y − √ xz = f(x, y, z)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 323<br />
(c)<br />
xD1f(x, y) + yD2f(x, y) = x 1 −1<br />
+ y = 0<br />
x y<br />
Por tanto, si f es homogénea, necesariamente el grado <strong>de</strong>be se 0, y efectivamente lo es ya que:<br />
f(λx, λy) = log λx<br />
λy<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= log x<br />
y = λ0 f(x, y)
Optimización no-lineal 324<br />
Problema 162 Hallar el valor máximo <strong>de</strong> la función w = xyz sobre la recta x = 20 − t, y = t, z = 20. ¿En<br />
qué punto o puntos sobre la recta ocurre el máximo? [Indicación: A lo largo <strong>de</strong> la recta, w pue<strong>de</strong> expresarse<br />
en función únicamente <strong>de</strong> la variable t.]<br />
El valor <strong>de</strong> la función w sobre la recta dada viene dado por la función<br />
f(t) = w(20 − t, t, 20) = 20t(20 − t)<br />
el máximo <strong>de</strong> esta función es t = 0, es <strong>de</strong>cir, el punto <strong>de</strong> la recta don<strong>de</strong> es máximo w es (20, 0, 20).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 325<br />
Problema 163 Utilizar el método <strong>de</strong> los multiplicadores <strong>de</strong> Lagrange para hallar las dimensiones <strong>de</strong>l rectángulo<br />
<strong>de</strong> mayor área que pue<strong>de</strong> inscribirse en la elipse x 2 /16 + y 2 /9 = 1 con los lados paralelos a los ejes<br />
coor<strong>de</strong>nados.<br />
(El ejercicio 4.42 resuelve este mismo problema usando funciones en una variable) La condición <strong>de</strong> que<br />
los lados <strong>de</strong>l rectángulo son paralelos a los ejes coor<strong>de</strong>nados, nos reduce el problema a localizar el vértice<br />
(x, y) <strong>de</strong>l rectángulo que esta en el primer cuadrante; es <strong>de</strong>cir, po<strong>de</strong>mos suponer que x ≥ 0 e y ≥ 0. Por otra<br />
parte, si (x, y) es el vértice <strong>de</strong>l rectángulo y dado que la elipse y el rectángulo están centrados en el origen,<br />
el área <strong>de</strong>l rectángulo es A = 4xy. Por tanto, para resolver el problema, tenemos que encontrar el máximo<br />
<strong>de</strong> la función f(x, y) = xy con la restricción g(x, y) = (x/4) 2 + (y/3) 2 = 1. La función lagrangiana asociada<br />
a este problema es<br />
L(x, y, λ) = xy − λ((x/4) 2 + (y/3) 2 − 1);<br />
y el sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos es:<br />
(x/4) 2 + (y/3) 2 − 1 = 0<br />
y − 1<br />
λx = 0<br />
8<br />
x − 2<br />
λy = 0<br />
9<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 326<br />
La única solución positiva <strong>de</strong>l sistema es el punto ( √ 8, 3/ √ 2) con λ = 6. Para comprobar que efectivamente<br />
este punto es máximo, consi<strong>de</strong>ramos la función<br />
La matriz hessiana <strong>de</strong> F es:<br />
F (x, y) = L(x, y, 6) = xy − 6((x/4) 2 + (y/3) 2 − 1)<br />
HF (x, y) =<br />
<br />
−3/4 1<br />
1 −4/3<br />
El vector gradiente <strong>de</strong> g en el punto crítico es ( 1 √ ,<br />
8 √ 2)<br />
y el polinomio característico en este punto<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
p(λ) = <br />
<br />
<br />
0 √8 1<br />
√<br />
2<br />
3<br />
1√<br />
8<br />
− 3<br />
√<br />
2<br />
3<br />
− λ 4<br />
1<br />
1<br />
− 4<br />
3<br />
− λ<br />
lo que nos indica que efectivamente el punto es un máximo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= − 25 48<br />
(−λ −<br />
72 25 )
Optimización no-lineal 327<br />
Problema 164 Hallar los valores máximo y mínimo <strong>de</strong><br />
f(x, y, z) = x − 2y + 5z en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 30<br />
La función lagrangiana asociada al problema es<br />
L(x, y, z, λ) = x − 2y + 5z − λ(x 2 + y 2 + z 2 − 30)<br />
El sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos es<br />
x 2 + y 2 + z 2 − 30 = 0<br />
1 − 2λx = 0<br />
−2 − 2λy = 0<br />
5 − 2λz = 0<br />
Las soluciones <strong>de</strong> este sistema son los puntos (1, −2, 5) con λ = 1/2 y (−1, 2, −5) con λ = −1/2. Para<br />
clasificar los puntos consi<strong>de</strong>ramos las funciones<br />
F1(x, y, z) = L(x, y, z, 1/2) = x − 2y + 5z − (1/2)(x 2 + y 2 + z 2 − 30)<br />
F2(x, y, z) = L(x, y, z, −1/2) = x − 2y + 5z + (1/2)(x 2 + y 2 + z 2 − 30)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 328<br />
La matrices hessianas <strong>de</strong> estas funciones son:<br />
⎛<br />
−1<br />
⎜<br />
HF1(x, y, z) = ⎝ 0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
1<br />
⎜<br />
HF2(x, y, z) = ⎝ 0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎠<br />
0 0 −1<br />
0 0 1<br />
La forma cuadrática asociada a HF1 es <strong>de</strong>finida negativa sobre R 3 y en particular sobre cualquier<br />
subespacio; por tanto, (1, −2, 5) es máximo. Análogamente, la forma cuadrática asociada a HF2 es <strong>de</strong>finida<br />
positiva sobre cualquier subespacio y, por tanto, el punto (−1, 2, −5) es mínimo.<br />
Si el estudio <strong>de</strong>l signo <strong>de</strong> las formas cuadráticas es sencillo, como en este caso, pue<strong>de</strong> ahorrarnos tiempo.<br />
Esta simplificación solo es posible cuando la forma, sobre R 3 , es <strong>de</strong>finida negativa o positiva; si la forma<br />
fuera semi<strong>de</strong>finida o in<strong>de</strong>finida, tendríamos que realizar el estudio <strong>de</strong> la forma cuadrática restringida.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 329<br />
Problema 165 Si a, b y c son números positivos, hallar el valor máximo que pue<strong>de</strong> tomar f(x, y, z) =<br />
ax + by + cz sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.<br />
La función lagrangiana asociada al problema es:<br />
L(x, y, z, λ) = ax + by + cz − λ(x 2 + y 2 + z 2 − 1)<br />
El sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos es<br />
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0<br />
a − 2λx = 0<br />
b − 2λy = 0<br />
c − 2λz = 0<br />
Las soluciones <strong>de</strong> este sistema son los puntos<br />
<br />
−<br />
<br />
a<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 ,<br />
a<br />
√ a 2 + b 2 + c 2<br />
, −<br />
b<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 ,<br />
b<br />
√ a 2 + b 2 + c 2<br />
, −<br />
c<br />
√ a 2 + b 2 + c 2<br />
c<br />
√ a 2 + b 2 + c 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
<br />
con λ0 = 1√<br />
a2 + b2 + c2 2<br />
con λ1 = − 1<br />
2<br />
√ a 2 + b 2 + c 2
Optimización no-lineal 330<br />
(dado que λ = 0, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>spejar <strong>de</strong> las ecuaciones 2, 3 y 4, x, y y z respectivamente en función <strong>de</strong> λ;<br />
sustituyendo las expresiones en la primera ecuación hallamos los valores <strong>de</strong> λ y a partir <strong>de</strong> aquí se obtiene<br />
inmediatamente los puntos.)<br />
Sea Fλ = L(x, y, z, λ); entonces,<br />
HFλ(x, y, z) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2λ 0 0<br />
0 −2λ 0<br />
0 0 −2λ<br />
Por tanto, la forma cuadrática asociada a HFλ0 es <strong>de</strong>finida negativa y el punto<br />
<br />
a<br />
<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 ,<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
b<br />
√<br />
a2 + b2 + c2 ,<br />
c<br />
√<br />
a2 + b2 + c2 es máximo; asimismo, la forma cuadrática asociada a HFλ1 es <strong>de</strong>finida positiva, y el punto<br />
<br />
a<br />
b<br />
−<br />
, −<br />
, −<br />
c<br />
<br />
es mínimo.<br />
√ a 2 + b 2 + c 2<br />
√ a 2 + b 2 + c 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
√ a 2 + b 2 + c 2
Optimización no-lineal 331<br />
Problema 166 Dados n números positivos a1, a2, . . . , an, hallar el valor máximo <strong>de</strong> la expresión<br />
w = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn<br />
si las variables x1, x2, . . . , xn están restringidas a que la suma <strong>de</strong> sus cuadrados sea 1.(Este ejercicio es una<br />
generalización <strong>de</strong>l anterior y la forma <strong>de</strong> resolución es idéntica)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 332<br />
Problema 167 Un plano <strong>de</strong> la forma<br />
ha <strong>de</strong> ✭✭ajustarse✮✮ a los siguientes puntos (xi, yi, zi):<br />
z = Ax + By + C<br />
(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, −1).<br />
Determinar el plano que minimiza la suma <strong>de</strong> los cuadrados <strong>de</strong> las <strong>de</strong>sviaciones<br />
La función que <strong>de</strong>bemos maximizar es<br />
f(A, B, C) =<br />
4<br />
i=1<br />
Las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> f son<br />
4<br />
(Axi + Byi + C − zi) 2 .<br />
i=1<br />
(Axi + Byi + C − zi) 2 = (B + C − 1) 2 + (A + B + C − 1) 2 + (A + C + 1) 2<br />
D1f(A, B, C) = 2(A + B + C − 1) + 2(A + C + 1) = 4A + 2B + 4C<br />
D2f(A, B, C) = 2(B + C − 1) + 2(A + B + C − 1) = 2A + 4B + 4C − 4<br />
D3f(A, B, C) = 2(B + C − 1) + 2(A + B + C − 1) + 2(A + C + 1)<br />
= 4A + 4B + 6C + 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 333<br />
La única solución <strong>de</strong>l sistema es (4, 6, −7). La hessiana <strong>de</strong> la función es<br />
⎛<br />
4<br />
⎜<br />
HF (A, B, C) = ⎝ 2<br />
2<br />
4<br />
⎞<br />
4<br />
⎟<br />
4 ⎠<br />
4 4 6<br />
Usando cualquiera <strong>de</strong> los métodos (en este caso el método <strong>de</strong> Sylvester es el más sencillo), obtenemos que el<br />
punto es efectivamente un mínimo. Por tanto, el plano que más se ajusta a los puntos dados por el método<br />
<strong>de</strong> los mínimos cuadrados es z = 4x + 6y − 7<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 334<br />
Problema 168 Calcular el valor máximo <strong>de</strong> f(x, y, z) = x 2 + 2y − z 2 sujeto a las restricciones 2x − y = 0<br />
e y + z = 0.<br />
La función lagrangiana asociada al problema es<br />
L(x, y, z, λ, µ) = x 2 + 2y − z 2 − λ(2x − y) − µ(y + z)<br />
y el sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos<br />
2x − y = 0<br />
y + z = 0<br />
2x − 2λ = 0<br />
2 + λ − µ = 0<br />
−2z − µ = 0<br />
La única solución <strong>de</strong> este sistema es el punto (2/3, 4/3, −4/3), con λ = 2/3 y µ = 8/3. Consi<strong>de</strong>remos la<br />
función<br />
F (x, y, z) = L(x, y, z, 2/3, 8/3) = x 2 + 2y − z 2 − (2/3)(2x − y) − (8/3)(y + z)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 335<br />
La matriz hessiana <strong>de</strong> esta función es<br />
HF (x, y, z) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 −2<br />
El jacobiano <strong>de</strong> la función g(x, y, z) = (2x − y, y + z) es<br />
<br />
Jg(x, y, z) =<br />
2<br />
0<br />
−1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
Entonces, el polinomio característico en el punto crítico es:<br />
<br />
<br />
<br />
p(λ) = <br />
<br />
0 Jg(a)<br />
Jg(a) t HF (a) − λI<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y en consecuencia, el punto es efectivamente máximo.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 2 −1 0<br />
0 0 0 1 1<br />
2 0 2 − λ 0 0<br />
−1 1 0 −λ 0<br />
0 1 0 0 −2 − λ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 9(−λ − 2<br />
3 )<br />
Obsérvese que en este caso la forma cuadrática es in<strong>de</strong>finida y no po<strong>de</strong>mos evitar el uso <strong>de</strong>l corolario ??,<br />
como hicimos en el ejercicio 33.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 336<br />
Problema 169 (a) Hallar el valor máximo <strong>de</strong> w = xyz entre todos los puntos pertenecientes a la intersección<br />
<strong>de</strong> los planos x + y + z = 40 y z = x + y.<br />
(b) Argumentar geométricamente el hecho <strong>de</strong> que haya resultado un valor máximo (y no un mínimo) <strong>de</strong><br />
xyz sujeto a las restricciones.<br />
(a) La función lagrangiana asociada al problema es<br />
L(x, y, z, λ, µ) = xyz − λ(x + y + z − 40) − µ(z − x + y)<br />
y el sistema <strong>de</strong> ecuaciones que nos da los puntos críticos<br />
x + y + z − 40 = 0<br />
z − x + y = 0<br />
yz − λ + µ = 0<br />
xz − λ − µ = 0<br />
xy − λ − µ = 0<br />
La única solución <strong>de</strong> este sistema es el punto (20, 10, 10), con λ = 150 y µ = 50. Consi<strong>de</strong>remos la<br />
función<br />
F (x, y, z) = L(x, y, z, 150, 50) = xyz − 150(x + y + z − 40) − 50(z − x + y)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 337<br />
La matriz hessiana <strong>de</strong> esta función es<br />
⎛<br />
0<br />
⎜<br />
HF (x, y, z) = ⎝ z<br />
z<br />
0<br />
⎞<br />
y<br />
⎟<br />
x ⎠ ;<br />
⎛<br />
0<br />
⎜<br />
HF (20, 10, 10) = ⎝ 10<br />
10<br />
0<br />
⎞<br />
10<br />
⎟<br />
20 ⎠<br />
y x 0<br />
10 20 0<br />
El jacobiano <strong>de</strong> la función g(x, y, z) = (x + y + z − 40, z − x + y) es<br />
<br />
Jg(x, y, z) =<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Entonces, el polinomio característico en el punto crítico es:<br />
<br />
<br />
0<br />
p(λ) = <br />
Jg(a)<br />
Jg(a)<br />
t HF (a) − λI<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
−λ<br />
10<br />
10<br />
1<br />
1<br />
10<br />
−λ<br />
20<br />
<br />
1 <br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
10 = 8(−λ − 20)<br />
<br />
20 <br />
<br />
−λ <br />
y en consecuencia, el punto es efectivamente máximo.<br />
(b) Una interpretación geométrica <strong>de</strong>l problema es la siguiente: dado un punto (x, y, z) <strong>de</strong> la recta dada<br />
(que es paralela al plano XY y corta a los planos XZ e Y Z), po<strong>de</strong>mos construir un paralepípedo<br />
con dos vértices opuestos en el origen y en (x, y, z) y cuyas caras son paralelas a los planos XY , XZ<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Optimización no-lineal 338<br />
e Y Z; en esta situación, w = xyz nos da el volumen <strong>de</strong> este paralepípedo. El volumen mínimo es 0<br />
(correspon<strong>de</strong> a los casos <strong>de</strong>fectivos) y existe un paralepípedo <strong>de</strong> volumen máximo ya que todos están<br />
contenidos en un prisma recto <strong>de</strong> base triangular; este paralepípedo es el que hemos obtenido.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Capítulo 7<br />
Integración<br />
339
Integración 340<br />
Problema 170 Usar integración por partes para resolver las siguientes integrales:<br />
<br />
<br />
a) x sen 5x dx b) x 3 cos x 2 <br />
dx c) x 3 e x dx<br />
a)<br />
b)<br />
d)<br />
<br />
x 5 sen x 3 dx e)<br />
<br />
x 3 dx<br />
3√ 9 − x 2<br />
Recor<strong>de</strong>mos la fórmula <strong>de</strong> integración por partes:<br />
<br />
f(x)g ′ <br />
(x)dx = f(x)g(x) −<br />
<br />
x sen 5x dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
tenemos: <br />
<br />
x 3 cos x 2 dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
f)<br />
<br />
x 3√ 4 − x 2 dx<br />
g(x)f ′ (x)dx<br />
f(x) = x f ′ (x) = 1<br />
g ′ (x) = sen 5x g(x) = − 1<br />
cos 5x 5<br />
x sen 5x dx = − 1<br />
<br />
1<br />
x cos 5x +<br />
5 5<br />
f(x) = x2 f ′ (x) = 2x<br />
g ′ (x) = x cos x2 g(x) = 1<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
cos 5x dx = − 1 1<br />
x cos 5x + sen 5x<br />
5 25<br />
sen x2
Integración 341<br />
c)<br />
(hemos tenido que <strong>de</strong>jar una x en g ′ para po<strong>de</strong>r hallar g), se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
x 3 cos x 2 dx = 1<br />
2 x2 sen x 2 − 1<br />
2<br />
2x sen x 2 dx = 1<br />
2 x2 sen x 2 + 1<br />
cos x2<br />
2<br />
x 3 e x dx; (En el ejercicio 5 se obtendrá una fórmula reducción para estas integrales). Consi<strong>de</strong>rando:<br />
se tiene que: <br />
f(x) = x 3 f ′ (x) = 3x 2<br />
g ′ (x) = e x g(x) = e x<br />
x 3 e x dx = x 3 e x <br />
− 3<br />
Po<strong>de</strong>mos nuevamente aplicar integración por partes con<br />
y se llega a <br />
x 3 e x dx = x 3 e x <br />
− 3<br />
Aplicando una vez más la fórmula con<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
f(x) = x 2 f ′ (x) = 2x<br />
g ′ (x) = e x g(x) = e x<br />
x 2 e x dx<br />
x 2 e x dx = x 3 e x − 3x 2 e x <br />
+ 6<br />
f(x) = x f ′ (x) = 1<br />
g ′ (x) = e x g(x) = e x<br />
xe x dx
Integración 342<br />
d)<br />
e)<br />
se termina el cálculo:<br />
<br />
x 3 e x dx = x 3 e x − 3x 2 e x <br />
+ 6<br />
<br />
x 5 sen x 3 dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
se obtiene<br />
<br />
<br />
x3 dx<br />
3√ . Consi<strong>de</strong>rando:<br />
9 − x2 xe x dx<br />
<br />
= x 3 e x − 3x 2 e x + 6xe x − 6<br />
e x dx<br />
= x 3 e x − 3x 2 e x + 6xe x − 6e x = (x 3 − 3x 2 + 6x − 6)e x<br />
f(x) = x3 f ′ (x) = 3x2 g ′ (x) = x2 sen x3 g(x) = − 1<br />
3<br />
x 5 sen x 3 dx = − 1<br />
3 x3 cos x 3 + 1<br />
<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
cos x3<br />
3x 2 cos x 3 dx = − 1<br />
3 x3 cos x 3 + 1<br />
sen x3<br />
3<br />
f(x) = x 2 f ′ (x) = 2x<br />
g ′ (x) = x(9 − x 2 ) −1/3 g(x) = − 3<br />
4 (9 − x2 ) 2/3
Integración 343<br />
f)<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
x 3 dx<br />
3√ 9 − x 2<br />
x 3√ 4 − x 2 dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
se tiene que:<br />
<br />
= −3<br />
4 x2 (9 − x 2 ) 2/3 + 3<br />
<br />
4<br />
2x(9 − x 2 ) 2/3<br />
= − 3<br />
4 x2 (9 − x 2 ) 2/3 − 9<br />
20 (9 − x2 ) 5/3 = − 1<br />
20 (6x2 + 81) (9 − x 2 ) 3<br />
x 3√ 4 − x2 dx = − 1<br />
3 x2 (4 − x 2 ) 3/2 + 1<br />
<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
f(x) = x 2 f ′ (x) = 2x<br />
g ′ (x) = x(4 − x 2 ) 1/2 g(x) = − 1<br />
3 (4 − x2 ) 3/2<br />
2x(4 − x 2 ) 3/2<br />
= − 1<br />
3 x2 (4 − x 2 ) 3/2 − 2<br />
15 (4 − x2 ) 5/2 = − 1<br />
15 (32 + 4x2 − 3x 4 ) √ 4 − x 2
Integración 344<br />
Problema 171 Resolver las siguientes integrales <strong>de</strong> dos modos distintos, usando el método <strong>de</strong> Hermite y<br />
sin usarlo.<br />
2 2x + 2x − 2<br />
a)<br />
x3 <br />
2x<br />
dx b)<br />
+ 2x<br />
2 − 3x + 3<br />
x3 − x2 3 2 3x + 3x − 5x + 7<br />
dx c)<br />
+ x − 1 x4 dx<br />
− 1<br />
<br />
x + 3<br />
d)<br />
x2 <br />
x + 4<br />
dx e)<br />
− 5x + 7 (x2 3 2 x + 2x + 2x + 1<br />
dx f)<br />
− x + 1) 2 (x2 − x + 1) 2 dx<br />
a)<br />
2 2x + 2x − 2<br />
x3 dx. Factorizamos primeramente el <strong>de</strong>nominador: x<br />
+ 2x<br />
3 + 2x = x(x2 + 2). Dado que la<br />
multiplicidad <strong>de</strong> las raíces es 1, usando o no el método <strong>de</strong> Hermite se obtiene la misma <strong>de</strong>scomposición:<br />
2x 2 + 2x − 2<br />
x 3 + 2x<br />
= A<br />
x<br />
Bx + c<br />
+<br />
x2 + 2 = (A + B)x2 + Cx + 2A<br />
x3 + 2x<br />
A continuación tenemos que hallar las constantes A, B y C i<strong>de</strong>ntificando los coeficientes <strong>de</strong> los polinomios:<br />
2 = A + B C = 2 − 2 = 2A<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 345<br />
b)<br />
Por tanto. A = −1, B = 3 y C = 2:<br />
<br />
2 2x + 2x − 2<br />
x3 dx<br />
+ 2x<br />
=<br />
<br />
−1 3x + 2<br />
+<br />
x x2 =<br />
<br />
dx<br />
+ 2<br />
<br />
3 2x<br />
− log |x| +<br />
2 x2 + 2 +<br />
1<br />
(x/ √ 2) 2 <br />
dx<br />
+ 1<br />
= − log |x| + 3<br />
2 log(x2 + 2) + √ 2 arc tg(x/ √ 2)<br />
2x 2 − 3x + 3<br />
x 3 − x 2 + x − 1 dx. El <strong>de</strong>nominador se factoriza: x3 − x 2 + x − 1 = (x − 1)(x 2 + 1). Dado que la<br />
multiplicidad <strong>de</strong> las raíces es 1, usando o no el método <strong>de</strong> Hermite se obtiene la misma <strong>de</strong>scomposición:<br />
2x2 − 3x + 3<br />
x3 − x2 A Bx + C<br />
= +<br />
+ x − 1 x − 1 x2 + 1 = (A + B)x2 + Cx − A<br />
x3 − x2 + x − 1<br />
I<strong>de</strong>ntificando coeficientes, hallamos fácilmente las constantes: A = 1, B = 1 y C = −2. Ya po<strong>de</strong>mos<br />
resolver la integral<br />
<br />
1 x − 2<br />
+<br />
x − 1 x2 <br />
dx<br />
+ 1<br />
=<br />
<br />
1 2x<br />
log |x − 1| +<br />
2 x2 1<br />
− 2<br />
+ 1 x2 <br />
dx<br />
+ 1<br />
= log |x − 1| + 1<br />
2 log(x2 + 1) − 2 arc tg x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 346<br />
c)<br />
d)<br />
3 2 3x + 3x − 5x + 7<br />
x4 dx. El <strong>de</strong>nominador se factoriza:<br />
− 1<br />
x 4 − 1 = (x 2 − 1)(x 2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x 2 + 1);<br />
nuevamente las raíces son simples y los dos métodos <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición coinci<strong>de</strong>n:<br />
3x 3 + 3x 2 − 5x + 7<br />
x 4 − 1<br />
= A B Cx + D<br />
+ +<br />
x − 1 x + 1 x2 + 1<br />
Operando e i<strong>de</strong>ntificando coeficientes, se calculan las constantes y se obtiene: A = 2, B = −3, C = 4<br />
y D = −2. Con esto resolvemos fácilmente la integral:<br />
3 2 3x + 3x − 5x + 7<br />
x4 dx =<br />
− 1<br />
<br />
2 3 4x − 2<br />
− +<br />
x − 1 x + 1 x2 <br />
dx<br />
+ 1<br />
= 2 log |x − 1| − 3 log |x + 1| + 2 log(x 2 + 1) − 2 arc tg x<br />
<br />
x + 3<br />
x2 dx. El <strong>de</strong>nominador no tiene raíces reales; por tanto, po<strong>de</strong>mos aplicar directamente la<br />
− 5x + 7<br />
fórmula vista en la sección ??:<br />
<br />
x + 3<br />
x2 1<br />
dx =<br />
− 5x + 7 2 log(x2 − 5x + 7) + 11 2x − 5<br />
√ arc tg √<br />
3 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 347<br />
e)<br />
<br />
x + 4<br />
(x 2 − x + 1) 2 dx. El polinomio (x2 − x + 1) 2 no tiene raíces reales. En este apartado usaremos la<br />
<strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hermite:<br />
x + 4<br />
(x2 d<br />
=<br />
− x + 1) 2 dx<br />
<br />
Ax + B<br />
x2 <br />
+<br />
− x + 1<br />
Cx + D<br />
x 2 − x + 1<br />
Para po<strong>de</strong>r hallar las constantes introducidas tenemos que efectuar la <strong>de</strong>rivación indicada<br />
x + 4<br />
(x2 <br />
d Ax + B<br />
=<br />
− x + 1) 2 dx x2 <br />
+<br />
− x + 1<br />
Cx + D<br />
= −Ax2 − 2Bx + (A + B)<br />
(x 2 − x + 1) 2<br />
x2 − x + 1<br />
+ Cx + D<br />
x2 − x + 1<br />
= −Ax2 − 2Bx + (A + B) + (Cx + D)(x 2 − x + 1)<br />
x 2 − x + 1<br />
= Cx3 + (D − C − A)x 2 + (C − D − 2B)x + (A + B + D)<br />
x 2 − x + 1<br />
De don<strong>de</strong>, i<strong>de</strong>ntificando coeficientes, se obtiene que A = 3, B = −2, C = 0 y D = 3. Con esto ya<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 348<br />
f)<br />
po<strong>de</strong>mos resolver la integral:<br />
<br />
x + 4<br />
(x2 dx =<br />
− x + 1) 2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
3x − 2<br />
x2 − x + 1 +<br />
<br />
3<br />
x2 − x + 1 dx<br />
3x − 2<br />
x2 <br />
1<br />
+ 3<br />
− x + 1 x2 − x + 1 dx<br />
3x − 2<br />
x2 2 2x − 1<br />
+ 3√<br />
arc tg √<br />
− x + 1 4 − 1 4 − 1<br />
3x − 2<br />
x2 − x + 1 + 2√ 2x − 1<br />
3 arc tg √<br />
3<br />
3 2 x + 2x + 2x + 1<br />
dx. Po<strong>de</strong>mos utilizar los cálculos <strong>de</strong>l apartado anterior para escribir:<br />
(x 2 − x + 1) 2<br />
x3 + 2x2 + 2x + 1<br />
(x2 − x + 1) 2 = d<br />
<br />
Ax + B<br />
dx x2 <br />
+<br />
− x + 1<br />
Cx + D<br />
x2 − x + 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= Cx3 + (D − C − A)x 2 + (C − D − 2B)x + (A + B + D)<br />
x 2 − x + 1
Integración 349<br />
En este caso se obtiene: A = 0, B = −2, C = 1 y D = 3; <strong>de</strong> don<strong>de</strong>:<br />
x 3 + 2x 2 + 2x + 1<br />
(x 2 − x + 1) 2 dx =<br />
−2<br />
x2 − x + 1 +<br />
<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
=<br />
x + 3<br />
x 2 − x + 1 dx<br />
−2<br />
x2 1<br />
+<br />
− x + 1 2 log(x2 − x + 1) + 7 √ arc tg<br />
3<br />
2x − 1<br />
√ 3
Integración 350<br />
Problema 172 Un caso particular <strong>de</strong> funciones racionales son aquellas cuyo <strong>de</strong>nominar tiene solamente<br />
una raíz real,es <strong>de</strong>cir, tiene la forma: (x − a) n . En estos casos, obtener la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> la función<br />
racional es bastante sencillo y no requiere el planteamiento <strong>de</strong> ningún sistema <strong>de</strong> ecuaciones. Si tenemos que<br />
<strong>de</strong>scomponer P (x)/(x − a) n , basta <strong>de</strong>sarrollar el polinomio P en potencias <strong>de</strong> (x − a) utilizando el <strong>de</strong>sarrollo<br />
<strong>de</strong> Taylor; una sencilla simplificación por sumandos nos permite concluir la <strong>de</strong>scomposición. Utilizando este<br />
método, resolver las siguientes integrales:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
3 2 6x − 58x + 191x − 213<br />
(x − 3) 6<br />
dx<br />
4 3 2 x + 3x + 2x + 3x − 5<br />
(x − 1) 5<br />
dx<br />
4 3 2 2x + 19x + 61x + 8x + 30<br />
(x + 2) 4 dx<br />
5 4 3 2 6x + 31x + 61x + 48x − 8x − 24<br />
(x + 1) 7<br />
dx<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 351<br />
3 2 6x − 58x + 191x − 213<br />
(x − 3) 6<br />
2 3<br />
5(x − 3) − 4(x − 3) + 6(x − 3)<br />
dx =<br />
(x − 3) 6<br />
dx<br />
<br />
5 4 6<br />
=<br />
− +<br />
(x − 3) 5 (x − 3) 4 (x − 3) 3<br />
<br />
dx<br />
5<br />
4<br />
6<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−4(x − 3) 4 −3(x − 3) 3 −2(x − 3) 2<br />
5 4 3<br />
= − + −<br />
4(x − 3) 4 3(x − 3) 3 (x − 3) 2<br />
4 3 2 x + 3x + 2x + 3x − 5<br />
(x − 1) 5<br />
dx<br />
2 3 4<br />
4 + 20(x − 1) + 17(x − 1) + 7(x − 1) + (x − 1)<br />
=<br />
(x − 1) 5<br />
dx<br />
<br />
<br />
4 20 17 7 1<br />
=<br />
+ + + + dx<br />
(x − 1) 5 (x − 1) 4 (x − 1) 3 (x − 1) 2 (x − 1)<br />
4<br />
20<br />
17 7<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+ + log |x − 1|<br />
−4(x − 1) 4 −3(x − 1) 3 −2(x − 1) 2 −(x − 1)<br />
1 20 17 7<br />
= − − − − + log |x − 1|<br />
(x − 1) 4 3(x − 1) 3 2(x − 1) 2 (x − 1)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(a)<br />
(b)
Integración 352<br />
4 3 2 2x + 19x + 61x + 8x + 30<br />
(x + 2) 4<br />
dx<br />
2 3 4<br />
138 − 72(x + 2) − 5(x + 2) + 3(x + 2) + 2(x + 2)<br />
=<br />
(x + 2) 4<br />
dx<br />
<br />
138 72 5 3<br />
=<br />
− − + + 2 dx<br />
(x + 2) 4 (x + 2) 3 (x + 2) 2 x + 2<br />
138 72 5<br />
=<br />
−<br />
− + log |x + 2| + 2x<br />
−3(x + 2) 3 −2(x + 2) 2 −(x + 2)<br />
= − 46 36 5<br />
+ + + 3 log |x + 2| + 2x<br />
(x + 2) 3 (x + 2) 2 x + 2<br />
5 4 3 2 6x + 31x + 61x + 48x − 8x − 24<br />
(x + 1) 7<br />
dx<br />
2 3 4 5<br />
−4 − 15(x + 1) − 9(x + 1) − 3(x + 1) + (x + 1) + 6(x + 1)<br />
=<br />
(x + 1) 7<br />
dx<br />
<br />
−4 15 9 3 1 6<br />
=<br />
− − − + +<br />
(x + 1) 7 (x + 1) 6 (x + 1) 5 (x + 1) 4 (x + 1) 3 (x + 1) 2<br />
<br />
dx<br />
−4 15<br />
9<br />
3<br />
1<br />
6<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−6(x + 1) 6 −5(x + 1) 5 −4(x + 1) 4 −3(x + 1) 3 −2(x + 1) 2 −(x + 1)<br />
2 3 9 1 1 6<br />
= + + + − −<br />
3(x + 1) 6 (x + 1) 5 4(x + 1) 4 (x + 1) 3 2(x + 1) 2 x + 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(c)<br />
(d)
Integración 353<br />
Problema 173 Usar integración por partes para <strong>de</strong>mostrar las siguientes fórmulas <strong>de</strong> reducción:<br />
a)<br />
<br />
sen n x dx = − 1<br />
n senn−1 <br />
n − 1<br />
x cos x + sen<br />
n<br />
n−2 b)<br />
<br />
x dx<br />
cos n x dx = 1<br />
n cosn−1 <br />
n − 1<br />
x sen x + cos<br />
n<br />
n−2 x dx<br />
a)<br />
<br />
sen n x dx; para aplicar la fórmula <strong>de</strong> integración por partes consi<strong>de</strong>ramos:<br />
f(x) = sen n−1 x f ′ (x) = (n − 1) sen n−2 x cos x<br />
g ′ (x) = sen x g(x) = − cos x<br />
con esto se tiene:<br />
<br />
sen n x dx = − cos x sen n−1 <br />
x + (n − 1) sen n−2 x cos 2 x dx<br />
= − cos x sen n−1 <br />
x + (n − 1) sen n−2 x(1 − sen 2 x) dx<br />
= − cos x sen n−1 <br />
x + (n − 1) sen n−2 <br />
x dx − (n − 1)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
sen n x dx
Integración 354<br />
b)<br />
<br />
A partir <strong>de</strong> esta igualdad se obtiene fácilmente la fórmula requerida; pasamos el término (n−1)<br />
al primer miembro y dividimos por n:<br />
<br />
sen n x dx = − 1<br />
n senn−1 <br />
n − 1<br />
x cos x +<br />
n<br />
<br />
sen n−2 x dx<br />
cos n x dx. Seguimos los mismos pasos que en el apartado anterior; consi<strong>de</strong>ramos:<br />
f(x) = cos n−1 x f ′ (x) = −(n − 1) cos n−2 x sen x<br />
g ′ (x) = cos x g(x) = sen x<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se obtiene:<br />
<br />
cos n x dx = sen x cos n−1 <br />
x + (n − 1) cos n−2 x sen 2 x dx<br />
= sen x cos n−1 <br />
x + (n − 1) cos n−2 <br />
x dx − (n − 1)<br />
Y <strong>de</strong> ahí: <br />
cos n x dx = − 1<br />
n cosn−1 <br />
n − 1<br />
x sen x +<br />
n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
cos n x dx<br />
cos n−2 x dx<br />
sen n x dx
Integración 355<br />
Problema 174 Hallar fórmulas <strong>de</strong> reducción para las siguientes integrales:<br />
<br />
a) (log ax) n <br />
dx b) x n e ax <br />
dx c) x n sen ax dx<br />
<br />
d) x n <br />
cos ax dx e) tg n <br />
ax dx f) sec n x dx<br />
a)<br />
b)<br />
<br />
(log ax) n dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
f ′ n−1 a<br />
(x) = n(log ax)<br />
x<br />
g ′ (x) = 1 g(x) = x<br />
f(x) = (log ax) n<br />
se obtiene: <br />
<br />
x n e ax dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
f(x) = x n<br />
g ′ (x) = e ax<br />
f ′ (x) = x n−1<br />
g(x) = 1<br />
a eax<br />
(log ax) n dx = x(log ax) n <br />
− na<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(log ax) n−1 dx
Integración 356<br />
c)<br />
d)<br />
obtenemos: <br />
<br />
x n sen ax dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
f(x) = x n<br />
f ′ (x) = x n−1<br />
g ′ (x) = sen ax g(x) = − 1<br />
cos ax<br />
a<br />
se obtiene: <br />
<br />
x n cos ax dx. Consi<strong>de</strong>rando:<br />
f(x) = x n<br />
x n e ax dx = 1<br />
a xne ax − 1<br />
<br />
a<br />
x n sen ax dx = − 1<br />
a xn cos ax + 1<br />
<br />
a<br />
f ′ (x) = x n−1<br />
g ′ (x) = cos ax g(x) = 1<br />
sen ax<br />
a<br />
se obtiene: <br />
x n cos ax dx = 1<br />
a xn sen ax − 1<br />
<br />
a<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x n−1 e ax dx<br />
x n−1 cos ax dx<br />
x n−1 sen ax dx
Integración 357<br />
e)<br />
<br />
tg n ax dx =<br />
<br />
<br />
n sen ax<br />
cosn dx. Para n = 1 y n = 2, las primitivas son inmediatas:<br />
ax<br />
<br />
sen ax<br />
tg ax dx = dx = −1 log | cos ax|<br />
cos ax a<br />
tg 2 <br />
ax dx = ((1 + tg 2 ax) − 1) dx = 1<br />
a tg2 ax − x<br />
Para n > 2 consi<strong>de</strong>ramos:<br />
f(x) = sen n−1 ax f ′ (x) = a(n − 1) sen n−2 ax cos ax<br />
g ′ sen ax<br />
(x) =<br />
cosn ax<br />
1<br />
g(x) = −<br />
a(n − 1) cosn−1 ax<br />
Y se obtiene: <br />
tg 2 1<br />
ax dx = −<br />
a(n − 1) tgn−1 <br />
ax +<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
tg n−2 ax dx
Integración 358<br />
f)<br />
<br />
sec n <br />
x dx. Para n = 2 y n = 1 se tiene que<br />
<br />
sec x dx =<br />
→<br />
<br />
<br />
<br />
1 cos x<br />
dx =<br />
cos x cos2 x dx<br />
dt<br />
1 − t 2<br />
= 1 |t + 1|<br />
log<br />
2 |t − 1|<br />
→ 1 1 + sen x<br />
log<br />
2 1 − sen x<br />
<br />
sec 2 x dx = tg x y:<br />
sen x → t<br />
cos xdx → dt<br />
(t → sen x)<br />
Los valores absolutos se han quitado atendiendo a que 1 + sen x ≥ 0 y 1 − sen x ≥ 0.<br />
Para n ≥ 3 consi<strong>de</strong>ramos:<br />
f(x) = sec n−2 x f ′ (x) = (n − 2)(sec n−3 sen x<br />
x)<br />
cos2 x<br />
g ′ (x) = sec 2 x g(x) = tg x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 359<br />
y obtenemos:<br />
<br />
sec n x dx = tg x sec n−2 <br />
x − (n − 2)<br />
= tg x sec n−2 <br />
x − (n − 2)<br />
= tg x sec n−2 <br />
x − (n − 2)<br />
y <strong>de</strong> ahí: <br />
sec n−3 x sen2 x<br />
cos 3 x dx<br />
sec n x(1 − cos 2 x) dx<br />
sec n <br />
x dx + (n − 2)<br />
sec n x dx = 1<br />
n − 1 tg x secn−2 <br />
n − 2<br />
x +<br />
n − 1<br />
sec n−2 x dx<br />
sec n−2 x dx<br />
Otra forma <strong>de</strong> hallar estas integrales es mediante los cambios <strong>de</strong> variable dados para funciones trigonométricas:<br />
si n es par tg x → t y si n es impar sen x → t.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 360<br />
Problema 175 Usar el método <strong>de</strong> sustitución para resolver las siguientes integrales (es posible que algunas<br />
<strong>de</strong> ellas salgan <strong>de</strong> forma igualmente fácil integrando por partes):<br />
a)<br />
d)<br />
g)<br />
j)<br />
m)<br />
o)<br />
r)<br />
u)<br />
√<br />
x<br />
1 + √ <br />
dx<br />
x<br />
x<br />
b)<br />
5√ 9 + x3 <br />
dx e)<br />
sen 3 x cos 4 x dx h)<br />
x1/2 dx s)<br />
4 + x1/3 <br />
<br />
<br />
cos x<br />
√ 4 − sen 2 x dx c)<br />
x 3√ 9 + x 2 dx f)<br />
sen 2 3x dx i)<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
x 1/2 + x 1/3<br />
x √ 25 − x 2 dx<br />
tg 3 x sec 2 x dx<br />
<br />
sen3 x<br />
1 + cos2 <br />
<br />
dx<br />
dx<br />
dx k)<br />
dx l)<br />
x sen x + cos x 1 + cos x<br />
<br />
<br />
dx<br />
1 − x<br />
√ n)<br />
−4x2 + 8x − 3 2 + √ <br />
dx<br />
dx ñ)<br />
3 + 6x − 9x2 (x − 2) √ 5x − x2 − 4<br />
<br />
x 5 3 √ 1 + x3 <br />
x<br />
dx p)<br />
2<br />
<br />
dx<br />
dx q)<br />
(1 + x2 ) 3 x2√x2 − 1<br />
<br />
<br />
x √ <br />
1 − x dx t) cos 6 x dx<br />
<br />
sen3 x<br />
1 − cos2 dx v)<br />
x<br />
<br />
dx<br />
x 4√ 1 + x 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
w)<br />
<br />
x<br />
<br />
(1 + x3 ) 2 dx<br />
3
Integración 361<br />
√<br />
x<br />
1 + √ <br />
dx → 2<br />
x<br />
<br />
t 2<br />
1 + t dt<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Sección ??<br />
x → g(t) = t 2 , Dom g = [0, ∞)<br />
dx → 2t dt<br />
<br />
= 2 t − 1 + 1<br />
<br />
dt<br />
t + 1<br />
= t 2 − 2t + 2 log |t + 1|<br />
→ x − 2 √ x + log(1 + √ x) 2<br />
<br />
cos x<br />
√ dx →<br />
4 − sen2 x<br />
dt<br />
√ 4 − t 2 =<br />
= arc sen t<br />
2<br />
sen x<br />
→ arc sen<br />
2<br />
{t → √ x<br />
<br />
(t → sen x)<br />
sen x → t<br />
cos xdx → dt<br />
Hemos utilizado una sustitución vista en la sección ??. En aquella se recomendaba esta sustitución en<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(a)<br />
(b)
Integración 362<br />
funciones racionales en sen y cos, sin embargo, aquí lo hemos utilizado en una función irracional.<br />
<br />
<br />
dx<br />
x1/2 <br />
=<br />
+ x1/3 ⎧<br />
⎪⎨<br />
Sección ??<br />
x → t 6<br />
t<br />
6<br />
5<br />
t3 2 dt<br />
+ t ⎪⎩<br />
dx → 6t5 <br />
= 6 t 2 − t + 1 − 1<br />
<br />
dt<br />
t + 1<br />
= 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 log |t + 1|<br />
→ 2 √ x 3 − 3 √ x 2 + 6 √ x − log(1 + √ x) 6<br />
{t → √ x<br />
x 5√ 9 + x3 <br />
1<br />
dx →<br />
3 t(9 + t)1/2dt (Integral binomia: x → t1/3 ) (d)<br />
→ 2<br />
<br />
(z<br />
3<br />
2 − 9)z 2 dz (Integral binomia: t → z2 − 9)<br />
= 2<br />
15 z5 − 2z 3<br />
→ 2<br />
15 (9 + t)5/2 − 2(9 + t) 3/2<br />
→ 2<br />
15 (9 + x3 ) 5/2 − 2(9 + x 3 ) 3/2<br />
<br />
2<br />
=<br />
15 x6 + 2<br />
5 x3 − 36<br />
<br />
√x<br />
3 + 9<br />
5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(z → √ 9 + t)<br />
(t → x 3 )<br />
(c)
Integración 363<br />
<br />
x 3√ 9 + x2 <br />
1<br />
dx →<br />
2 t(9 + t)1/2dt (Integral binomia: x → √ <br />
t) (e)<br />
→ (z 2 − 9)z 2 dz (Integral binomia: t → z2 − 9)<br />
= 1<br />
5 z5 − 3z 3<br />
→ 1<br />
5 (t + 9)5/2 − 3(t + 9) 3/2<br />
→ 1<br />
5 (x2 + 9) 5/2 − 3(x 2 + 9) 3/2<br />
<br />
1<br />
=<br />
5 x4 + 3<br />
5 x2 − 54<br />
<br />
√x<br />
2 + 9<br />
5<br />
(z → √ t + 9)<br />
(t → x 2 )<br />
El lector pue<strong>de</strong> resolver esta primitiva usando las sustituciones por funciones trigonométricas e hiperbólicas<br />
vistas en la sección ??.<br />
<br />
x √ 25 − x2 <br />
dx → 5 sen t 25(1 − sen2 <br />
t)5 cos tdt (x → 5 sen t) (f)<br />
= 125 sen t cos 2 tdt<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= − 125<br />
3 cos3 t<br />
→ − 1<br />
(25 − x2 ) 3 (cos t →<br />
3<br />
1√<br />
25 − x2 )<br />
5
Integración 364<br />
<br />
sen 3 x cos 4 x dx →<br />
<br />
sen 2 3x dx =<br />
<br />
= t7<br />
7<br />
→ 1<br />
(t 2 − 1)t 4 dt<br />
− t5<br />
5<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Sección ??<br />
cos x → t<br />
− sen xdx → dt<br />
7 cos7 x − 1<br />
5 cos5 x {t → cos x<br />
<br />
1<br />
1 1<br />
(1 − cos 6x) dx = x − sen 6x<br />
2 2 12<br />
(h)<br />
Hemos utilizado una fórmula trigonométrica muy conocida para la reducción <strong>de</strong> la primitiva; se pue<strong>de</strong> utilizar<br />
igualmente la fórmula <strong>de</strong> reducción vista en el ejercicio 4.<br />
<br />
tg 3 x sec 2 x dx = 1<br />
4 tg4 x (i)<br />
¡Hay que apren<strong>de</strong>r a ver rápidamente las integrales inmediatas!<br />
<br />
sen3 x<br />
1 + cos2 <br />
1 − t2<br />
dx → − dt (cos x → t) (j)<br />
x 1 + t2 <br />
= 1 − 2<br />
t2 <br />
dt<br />
+ 1<br />
= t − 2 arc tg t<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
→ cos x − 2 arc tg(cos x) (t → cos x)<br />
(g)
Integración 365<br />
<br />
dx<br />
sen x + cos x<br />
<br />
<br />
2<br />
x<br />
dx →<br />
dt (tg → t) (k)<br />
2t + 1 − t2 2<br />
√ <br />
2 1<br />
=<br />
2 t − 1 + √ 2 −<br />
1<br />
t − 1 − √ <br />
dt<br />
2<br />
√<br />
2<br />
=<br />
2 log t − 1 + √ 2<br />
t − 1 − √ 2<br />
√<br />
2<br />
→<br />
2<br />
dx<br />
1 + cos x =<br />
<br />
log tg x<br />
2 − 1 + √ 2<br />
tg x<br />
2 − 1 − √ 2<br />
dx<br />
2 cos 2 x<br />
2<br />
= tg x<br />
2<br />
Como se pue<strong>de</strong> ver, el conocimiento <strong>de</strong> las distintas fórmulas trigonométricas pue<strong>de</strong> ahorrar mucho trabajo;<br />
la sustitución tg x<br />
→ t también permite una rápida resolución.<br />
2<br />
<br />
<br />
dx<br />
dx<br />
√ = <br />
−4x2 + 8x − 3 1 − (2x − 2) 2<br />
<br />
dt<br />
→<br />
2<br />
(m)<br />
√ 1 − t2 (2x − 2 → t)<br />
= 1<br />
arc sen t<br />
2<br />
→ 1<br />
arc sen(2x − 2)<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(l)
Integración 366<br />
<br />
1 − x<br />
2 + √ <br />
dx =<br />
3 + 6x − 9x2 1 − x<br />
2 + dx<br />
4 − (3x − 1) 2<br />
2(1<br />
− sen t)<br />
3 →<br />
2 + √ 4 − 4 sen2 2<br />
cos t dt (3x − 1 → sen t)<br />
t 3<br />
= 2<br />
<br />
cos t − cos t sen t<br />
dt<br />
9 1 + cos t<br />
= 2<br />
<br />
−1 + 1 + cos t + (−1 + 1 + cos t) sen t<br />
dt<br />
9<br />
1 + cos t<br />
= 2<br />
<br />
<br />
1<br />
− sen t<br />
1 − − sen t + dt<br />
9 1 + cos t 1 + cos t<br />
= 2<br />
<br />
t − tg<br />
9<br />
t<br />
<br />
+ cos t + log |1 + cos t|<br />
2<br />
(Apartado (l) e integrales inmediatas)<br />
→ 2<br />
<br />
<br />
3x − 1 1 3x − 1<br />
arc sen − tg arc sen<br />
9<br />
2 2 2<br />
<br />
3x − 1<br />
− cos arc sen + log 1 + cos arc sen<br />
2<br />
= 2<br />
<br />
3x − 1<br />
arc sen<br />
9<br />
2<br />
+ 1<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
−<br />
3x − 1 +<br />
√<br />
3 + 6x − 9x2 3x − 1<br />
<br />
3x − 1<br />
2<br />
√ 3 + 6x − 9x 2 − log(2 + √ 3 + 6x − 9x 2 ) + log 2<br />
<br />
(n)
Integración 367<br />
<br />
dx<br />
(x − 2) √ 5x − x2 − 4 →<br />
<br />
−dt √ 2t 2 + t − 1 (o)<br />
⎧<br />
Sección ??<br />
⎪⎨<br />
1 → t x−2<br />
x →<br />
⎪⎩<br />
1 + 2 t<br />
dx → − 1<br />
t2 = − 1<br />
2 √ 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
5x − x2 − 4 → 2t2 +t−1<br />
t2 <br />
dt<br />
(4t + 1) 2 − 9<br />
= − 1<br />
8 √ 4t + 1<br />
argcosh<br />
2 3<br />
→ − 1<br />
8 √ x + 2<br />
argcosh<br />
2 3(x − 2)<br />
(t → 1<br />
x − 2 )
Integración 368<br />
<br />
x 5 3 √ 1 + x3 <br />
1<br />
dx →<br />
3 t 3√ 1 + t dt (x 3 → t; x 2 dx → 1<br />
<br />
dt)<br />
3<br />
(p)<br />
→ (u 3 − 1)u 3 du (1 + t → u 3 ; dt → 3u 2 )<br />
= 1<br />
7 u7 − 1<br />
4 u4<br />
→ 1 <br />
3 1 <br />
(1 + t) 7 3<br />
− (1 + t) 4<br />
7<br />
4<br />
→ 1 <br />
3<br />
1 <br />
(1 + x3 ) 7 3<br />
− (1 + x3 ) 4<br />
7<br />
4<br />
Hemos hallado la primitiva consi<strong>de</strong>rando la integral como binomia; el lector pue<strong>de</strong> usar la integración por<br />
partes como en el primer ejercicio para resolverla <strong>de</strong> otra forma.<br />
<br />
x2 <br />
dx = x<br />
(1 + x2 ) 3 2 (1 + x 2 ) −3/2 dx<br />
<br />
(q)<br />
→ senh 2 t(cosh 2 t) −3/2 cosh t dt (x → senh t; dx → cosh t dt)<br />
<br />
= tgh 2 <br />
t dt = − (−1 + 1 − tgh 2 )dt<br />
= t − tgh t → argsenh x − tgh argsenh x<br />
x<br />
= argsenh x − √<br />
x2 + 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 369<br />
Esta integral pue<strong>de</strong> resolverse igualmente consi<strong>de</strong>rándola como binomia; nuevamente invito al lector que la<br />
resuelva utilizando ese método.<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
x2√x2 − 1 →<br />
<br />
− sen t dt (x → 1<br />
) (r)<br />
sen t<br />
= cos t → cos arc sen 1<br />
x =<br />
√<br />
x2 − 1<br />
x<br />
x1/2 <br />
6t<br />
dx →<br />
4 + x1/3 8<br />
<br />
= 6<br />
= 6<br />
x √ <br />
1 − x dx →<br />
4 + t 2 dt (x → t6 ) (s)<br />
t 6 − 4t 4 + 16t 2 − 64 + 256<br />
t 2 + 4<br />
<br />
dt<br />
1<br />
7 t7 − 4<br />
5 t5 + 16<br />
3 t3 − 64t + 128 arc tg t<br />
2<br />
→ 6<br />
7 x7/6 − 24<br />
5 x5/6 + 32x 1/2 − 384x 1/6 + 768 arc tg x1/6<br />
2<br />
−2t 2 (1 − t 2 )dt → − 2<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
2<br />
(1 − x) 3 + (1 − x) 5 (t)<br />
5
Integración 370<br />
<br />
dx<br />
x4√ <br />
1 dt<br />
→<br />
1 + x2 2 t3/2 (1 + t) 1/2<br />
<br />
→ (u 2 − 1)du (<br />
= 1<br />
3 u3 − u<br />
→ 1<br />
<br />
(1 + t) 3<br />
3 t3 <br />
1 + t<br />
−<br />
t =<br />
<br />
1 + t<br />
t<br />
<br />
1 2 √1<br />
→ − + x2 3x3 3x<br />
(x 2 → t) (w)<br />
1 + t<br />
t → u2 ; t → 1<br />
u2 −2u<br />
; dt →<br />
− 1 (u2 du)<br />
− 1) 2<br />
<br />
1 2<br />
−<br />
3t 3<br />
En este caso hemos resuelto la integral como una binomia; el lector pue<strong>de</strong> resolverla usando la sustitución<br />
<strong>de</strong> la sección ??: x → senh t.<br />
<br />
<br />
x<br />
1 dt<br />
dx →<br />
3 (1 + x3 ) 2 3 t1/3 (1 + t) 2/3<br />
(x 3 → t) (x)<br />
<br />
−du<br />
→<br />
u3 − 1 =<br />
<br />
1<br />
3(1 − u) +<br />
2 + u<br />
3(1 + u + u2 <br />
1 + t<br />
du (<br />
)<br />
t → u3 )<br />
= − 1<br />
<br />
1 4u + 2 + 6<br />
log |u − 1| +<br />
3 3 (2u + 1) 2 + 3 du<br />
= − 1<br />
1<br />
log |u − 1| +<br />
3 6 log((2u + 1)2 √<br />
3 2u + 1<br />
+ 3) + arc tg √<br />
3 3<br />
No <strong>de</strong>shacemos los cambios para no oscurecer el resultado.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 371<br />
Problema 176 Las integrales que se proponen a continuación necesitarán manipulaciones algebraicas y<br />
geométricas, integración por partes y por sustitución. Todo un reto.<br />
a)<br />
<br />
1 + cos x<br />
sen2 dx b)<br />
x<br />
<br />
x arc tg x dx c)<br />
<br />
sen 3 d)<br />
3 sen x<br />
cos<br />
x dx<br />
2 dx e)<br />
x<br />
<br />
x dx<br />
√<br />
x2 − 2x + 2<br />
f)<br />
<br />
x tg 2 g)<br />
<br />
√1<br />
− sen x dx h)<br />
<br />
sen<br />
x dx<br />
√ x + 1 dx i)<br />
<br />
log(x + √ x2 − 1)dx<br />
j)<br />
<br />
dx<br />
dx<br />
x − x3/5 k)<br />
<br />
log(a 2 + x 2 ) dx l)<br />
<br />
log(x + √ x) dx<br />
<br />
1 + cos x<br />
sen 2 x<br />
dx =<br />
<br />
1<br />
sen2 cos x<br />
+<br />
x sen2 <br />
dx = − cotg x −<br />
x<br />
1<br />
sen x<br />
x arc tg x dx = 1<br />
2 x2 arc tg x − 1<br />
<br />
1 −<br />
2<br />
1<br />
x2 <br />
dx<br />
+ 1<br />
= 1<br />
2 x2 arc tg x − 1 1<br />
x − arc tg x<br />
2 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Integración por partes<br />
f(x) = arc tg x f ′ (x) = 1<br />
1+x 2<br />
g ′ (x) = x g(x) = 1<br />
2 x2<br />
(a)<br />
(b)
Integración 372<br />
3 sen x<br />
cos2 dx =<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
x dx<br />
√ =<br />
x2 − 2x + 2<br />
sen x(1 − cos 2 x)<br />
cos 2 x<br />
x dx<br />
(x − 1) 2 + 1<br />
<br />
sen x<br />
dx =<br />
cos2 <br />
− sen x dx =<br />
x 1<br />
+ cos x (d)<br />
sen x<br />
<br />
1 + senh t<br />
→<br />
cosh tdt (x − 1 → senh t)<br />
cosh t<br />
<br />
= (1 + senh t)dt = t + cosh t<br />
→ argsenh(x − 1) + √ x 2 − 2x + 2 (t → argsenh(x − 1))<br />
x tg 2 <br />
x dx = x(tg x − x) − (tg x − x)dx<br />
= x(tg x − x) + log | cos x| + x2<br />
2<br />
<br />
√1<br />
− sen x dx = 1 − cos( π<br />
<br />
√2 <br />
<br />
− x) dx = sen<br />
2<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Integración por partes<br />
f(x) = x f ′ (x) = 1<br />
g ′ (x) = tg 2 x g(x) = tg x − x<br />
(Ejercicio 5.g)<br />
π<br />
4<br />
(e)<br />
(f)<br />
x<br />
<br />
<br />
− dx (g)<br />
2<br />
Dado que el integrando es una función afectada por valores absolutos, no es posible <strong>de</strong>finir la primitiva con<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 373<br />
una única expresión. A continuación vemos dos ejemplos <strong>de</strong> integrales <strong>de</strong>finidas a partir <strong>de</strong> esta última:<br />
5π/2<br />
π/2<br />
9π/2<br />
5π/2<br />
√ 1 − sen x dx =<br />
√ 1 − sen x dx =<br />
<br />
<br />
5π/2<br />
π/2<br />
9π/2<br />
5π/2<br />
sen √ <br />
x + 1 dx →<br />
− √ <br />
π<br />
2 sen<br />
4<br />
√ <br />
π<br />
2 sen<br />
4<br />
log(x + √ x2 <br />
− 1 dx →<br />
x<br />
<br />
− dx = −2<br />
2<br />
√ <br />
π x<br />
<br />
2 cos −<br />
4 2<br />
5π/2 = 4<br />
π/2<br />
√ 2<br />
<br />
dx = 2 √ <br />
π x<br />
<br />
2 cos −<br />
4 2<br />
9π/2 = 4 √ 2<br />
− x<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
5π/2<br />
2t sen t dt (x + 1 → t 2 ; t ∈ [0, ∞)) (h)<br />
(Integración por partes)<br />
<br />
= −2t cos t + 2 cos t dt = −2t cos t + 2 sen t dt<br />
→ −2 √ x + 1 cos √ x + 1 + 2 sen √ x + 1<br />
t senh t dt (x → cosh t; t ∈ [0, ∞)) (i’)<br />
(Integración por partes)<br />
<br />
= t cosh t − cosh t dt = t cosh t − senh t<br />
→ x argcosh x − √ x 2 − 1 (t → argcosh x)
Integración 374<br />
En este ejercicio hemos optado por la sustitución x → cosh t en vez <strong>de</strong> x → cosec t ya que la expresión <strong>de</strong>l<br />
integrando lo aconseja y no hay problema con el dominio (ver sección ??).<br />
A continuación hallamos esta misma primitiva reconociendo que la función <strong>de</strong>l integrando es la función<br />
argumento <strong>de</strong>l coseno hiperbólico (ejercicio 3.45):<br />
<br />
log(x + √ x2 <br />
− 1) dx = argcosh x dx (i”)<br />
<br />
= x argcosh x −<br />
x<br />
√ dx<br />
x2 − 1<br />
(por partes)<br />
<br />
→ x argcosh x − √ x 2 − 1<br />
<br />
dx<br />
dx →<br />
x − x3/5 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
5t<br />
t 2 − 1 dt (x → t5 ) (j)<br />
= 5<br />
2 log |t2 − 1| → 5<br />
2 log |t2/5 − 1|
Integración 375<br />
<br />
<br />
log(a 2 + x 2 ) dx = x log(a 2 + x 2 ) −<br />
log(x + √ <br />
x) dx →<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
<br />
2x2 a2 dx (k)<br />
+ x2 Integración por partes<br />
f(x) = log(a 2 + x 2 ) f ′ (x) = 2x2<br />
a 2 +x 2<br />
g ′ (x) = 1 g(x) = x<br />
<br />
<br />
2<br />
2 − 2 dx<br />
+ 1<br />
= x log(a 2 + x 2 ) − <br />
x<br />
a<br />
= x log(a 2 + x 2 ) − 2x + 2a arc tg x<br />
a<br />
2t log(t 2 + t) dt (x → t 2 ) (l)<br />
= t 2 log(t 2 + t) −<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
= t 2 log(t 2 + t) −<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2t 2 + t<br />
t + 1 dt<br />
Integración por partes<br />
f(x) = log(t 2 + t) f ′ (x) = 2t+1<br />
t 2 +t<br />
g ′ (x) = 2t g(x) = t 2<br />
<br />
2t − 1 + 1<br />
<br />
dt<br />
t + 1<br />
= t 2 log(t 2 + t) − t 2 + t − log |t + 1|<br />
→ x log(x + √ x) − x + √ x − log( √ x + 1)
Integración 376<br />
Problema 177 Para quienes superaron el reto (y aún tienen fuerzas):<br />
a)<br />
<br />
√5 5x + 6 dx b)<br />
<br />
cos x sen 3 x dx c)<br />
<br />
dx<br />
(3x + 4) 4<br />
d)<br />
<br />
cos 3x e sen 3x dx e)<br />
<br />
arc tg x<br />
2 dx f)<br />
(x − 1)<br />
<br />
tg 4 g)<br />
<br />
dx<br />
h)<br />
tg x<br />
<br />
x dx<br />
1 + x<br />
x dx<br />
4<br />
i)<br />
<br />
x 2 j)<br />
m)<br />
<br />
x arc tg x dx k)<br />
<br />
dx<br />
n)<br />
1 + cos x<br />
<br />
<br />
x arc tg 2<br />
2 dx l)<br />
4 + x<br />
dx<br />
(x − 2)<br />
log x dx<br />
<br />
arc cos x − x<br />
√ dx<br />
1 − x2 √ ñ)<br />
x + 2<br />
<br />
x dx<br />
a4 + x4 o)<br />
<br />
sen 2x dx<br />
√ p)<br />
1 + cos2 x<br />
<br />
cos x log sen x dx q)<br />
<br />
e √ r)<br />
√<br />
sen x<br />
√ dx s)<br />
x<br />
<br />
arc tg<br />
x<br />
dx<br />
√ x dx t)<br />
2 x + 3x − 4<br />
x2 − 2x − 8 dx<br />
u)<br />
<br />
dx<br />
√<br />
28 − 12x − x2 v)<br />
x)<br />
3 2 2x + x + 4<br />
x<br />
<br />
cos(log x) dx w)<br />
<br />
2 dx y)<br />
+ 4<br />
<br />
log(log x)<br />
dx<br />
x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3x + 5<br />
x 3 − x 2 − x + 1 dx
Integración 377<br />
<br />
√5 5x + 6 dx = (5x + 6) 1/5 dx = 1<br />
(5x + 6)6/5<br />
6<br />
<br />
cos x sen<br />
(a)<br />
3 x dx = 1<br />
4 sen4 <br />
x<br />
<br />
dx<br />
4 = (3x + 4)<br />
(3x + 4)<br />
(b)<br />
−4 dx = − 1<br />
(3x + 4)−3<br />
9<br />
<br />
cos 3x e<br />
(c)<br />
sen 3x dx = 1 3x<br />
esen<br />
3<br />
(d)<br />
<br />
arc tg x arc tg x<br />
2 dx =<br />
(x − 1) 1 − x −<br />
<br />
dx<br />
(1 + x2 )(1 − x)<br />
=<br />
(e)<br />
arc tg x<br />
<br />
1 1 x + 1<br />
− +<br />
1 − x 2 1 − x 1 + x2 <br />
dx<br />
= arc tg x<br />
<br />
1<br />
− − log |1 − x| +<br />
1 − x 2<br />
1<br />
2 log(x2 <br />
+ 1) + arc tg x<br />
<br />
tg 4 <br />
t<br />
x dx →<br />
4<br />
dt (tg x → t)<br />
1 + t2 <br />
= t<br />
(f)<br />
2 − 1 + 1<br />
t2 <br />
dt =<br />
+ 1<br />
1<br />
3 t3 − t + arc tg t<br />
→ 1<br />
3 tg3 x − tg x + x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 378<br />
<br />
dx<br />
(x − 2) √ x + 2 →<br />
<br />
<br />
dx<br />
= log | sen x| (g)<br />
tg x<br />
<br />
x dx 1 2x<br />
4 =<br />
1 + x 2 1 + (x2 1<br />
dx = arc tg x2<br />
(h)<br />
) 2 2<br />
<br />
x 2 log x dx = 1<br />
3 x3 <br />
1<br />
log x −<br />
3 x2dx = 1<br />
3 x3 log x − 1<br />
9 x3<br />
(i)<br />
x <br />
arc tg 2 1 1<br />
2 dx =<br />
4 + x 4 1 + <br />
x 2 arc tg<br />
2<br />
x 1<br />
<br />
dx = arc tg<br />
2 8<br />
x<br />
2 (k)<br />
2<br />
<br />
arc cos x − x<br />
√ dx = −<br />
1 − x2 1<br />
2 (arc cos x)2 + 1<br />
3 (1 − x2 ) 3/2<br />
(l)<br />
<br />
dx<br />
1 + cos x =<br />
<br />
1 1<br />
2 cos2 x<br />
dx = 4 tg (m)<br />
(x/2) 2<br />
2dt<br />
t2 (x + 2 → t<br />
− 4<br />
2 )<br />
<br />
1<br />
=<br />
2(t − 2) −<br />
<br />
1<br />
dt<br />
2(t + 2)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 1<br />
1<br />
1<br />
log |t − 2| − log |t + 2| →<br />
2 2 2 log |√x + 2 − 2| − 1<br />
2 log |√x + 2 + 2|<br />
(n)
Integración 379<br />
<br />
<br />
x dx<br />
a4 1 x2<br />
4 = arc tg<br />
+ x 2a2 a2 <br />
sen 2x dx 2 sen x cos x dx<br />
√ = √ =<br />
1 + cos2 x 1 + cos2 x<br />
(o)<br />
2<br />
3 (1 + cos2 x) 3/2<br />
<br />
(p)<br />
cos x log sen x dx = sen x(log sen x − 1) (q)<br />
Si el lector no recuerda una primitiva <strong>de</strong> la función logaritmo neperiano, pue<strong>de</strong> obtenerla fácilmente integrando<br />
por partes.<br />
<br />
e √ <br />
x<br />
dx → 2te t dt = 2te t <br />
− 2e t dt = 2te t − 2e t → 2 √ xe √ √<br />
x x<br />
− 2e (r)<br />
<br />
arc tg √ <br />
x dx →<br />
2t arc tg t dt<br />
sen √ x<br />
√ x<br />
dx = −2 cos √ x (s)<br />
= t 2 arc tg t − t − arc tg t → x arc tg √ x − √ x − arc tg √ x (t)<br />
(Ver el ejercicio 9(b))<br />
2 x + 3x − 4<br />
x2 <br />
dx = 1 +<br />
− 2x − 8 4<br />
<br />
1<br />
+ dx = x + 4 log |x − 4| + log |x + 2| (u)<br />
x − 4 x + 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 380<br />
<br />
dx<br />
√<br />
28 − 12x − x2 =<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
82 − (x + 6) 2 →<br />
<br />
= t → arc sen<br />
<br />
cos(log x) dx →<br />
x + 6<br />
8<br />
dt (x + 6 → 8 sen t) (v)<br />
e t cos tdt (x → e t ) (w)<br />
Hallamos aparte esta primitiva aplicando dos veces la fórmula <strong>de</strong> integración por partes:<br />
<br />
e t cos tdt = e t <br />
sen t − e t sen t dt = e t sen t + e t <br />
cos t − e t cos t<br />
De aquí se <strong>de</strong>duce que: et cos tdt = 1<br />
2 (et sen t + et cos t) y po<strong>de</strong>mos concluir la integral propuesta:<br />
<br />
<br />
cos(log x) dx → e t cos tdt = 1<br />
2 (et sen t + e t cos t) → 1<br />
(x sen log x + x cos log x)<br />
2<br />
<br />
3x + 5<br />
x3 − x2 <br />
dx =<br />
− x + 1<br />
(Ver ejercicio 3)<br />
4<br />
−<br />
(x − 1) 2<br />
3 2 2x + x + 4<br />
x2 dx =<br />
+ 4<br />
1<br />
2(x − 1) +<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
1<br />
dx<br />
2(x + 1)<br />
= 4 1<br />
1<br />
− log |x − 1| + log |x + 1| (x)<br />
1 − x 2 2<br />
<br />
1 + 2x − 8x<br />
4 + x2 <br />
dx = x + x 2 − 4 log(4 + x 2 ) (y)
Integración 381<br />
log(log x)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x<br />
dx = 1<br />
(log x)2<br />
2<br />
(z)
Integración 382<br />
Problema 178 He aquí la última selección <strong>de</strong> integrales, para estar entretenidos durante un buen rato.<br />
a)<br />
<br />
dx<br />
x √ x2 + 4x − 4 b)<br />
<br />
dx<br />
x2 d)<br />
<br />
dx<br />
x<br />
− 1<br />
c)<br />
x 2x e − 3e<br />
x dx<br />
1 + e 1<br />
3 + x 1 e)<br />
2<br />
<br />
cos x dx<br />
sen3 x + 2 cos2 x sen x f)<br />
<br />
x<br />
cos2 g)<br />
√<br />
1 − x<br />
1 −<br />
2 dx<br />
x √ dx h)<br />
x<br />
<br />
dx<br />
√<br />
x − 1<br />
i)<br />
<br />
sen x<br />
cos3 x dx<br />
j)<br />
<br />
e x tg e x dx k)<br />
<br />
dx<br />
cos x − sen x<br />
l)<br />
<br />
log x √ x m)<br />
<br />
a<br />
dx<br />
2x dx n)<br />
<br />
ex dx<br />
√<br />
ex + 1<br />
ñ)<br />
<br />
dx<br />
ex − 2e−x o)<br />
<br />
dx<br />
2x2 p)<br />
− 2x + 1<br />
<br />
sen 2x cos x dx q)<br />
<br />
dx<br />
x2√a2 + x2 r)<br />
<br />
dx<br />
√<br />
4x2 − 4x + 4<br />
s)<br />
5 4 3 2 3x + 10x + 32x + 43x + 44x + 36<br />
(x2 + 4x + 4)(x4 + 8x2 dx<br />
+ 16)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 383<br />
<br />
dx<br />
x √ x 2 + 4x − 4 →<br />
− dt<br />
2 − (2t − 1) 2<br />
( 1<br />
x<br />
→ t)<br />
= − 1 2t − 1<br />
arc cos √ → −<br />
2 2 1 2 − x<br />
arc cos<br />
2 x √ 2<br />
x 2x <br />
e − 3e 1 − 3t<br />
x dx →<br />
1 + e 1 + t dt (ex → t)<br />
<br />
4<br />
= − 3 dt = 4 log |1 + t| − 3t → 4 log |1 + e<br />
1 + t x | − 3e x<br />
<br />
cos x dx<br />
sen3 x + 2 cos2 x sen x →<br />
<br />
dt<br />
t( √ 2 − t)( √ 2 + t)<br />
<br />
(sen x → t)<br />
= 1 1<br />
log |t| −<br />
2 4 log |t2 − 2| → 1<br />
1<br />
log | sen x| −<br />
2 4 log | sen2 x − 2| (e)<br />
x<br />
cos2 2 dx = −1 arccotg x2<br />
x 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(a)<br />
(c)<br />
(f)
Integración 384<br />
√<br />
1 − x<br />
1 − √ √ √ √<br />
1 − x(1 + x) 1 + x<br />
dx =<br />
dx = √ dx (g)<br />
x 1 − x<br />
1 − x<br />
<br />
=<br />
<br />
1 −2x<br />
√ −<br />
1 − x 2 <br />
dx<br />
x(1 − x)<br />
<br />
=<br />
<br />
1 1 − 2x<br />
√ −<br />
1 − x 2 x(1 − x) +<br />
1<br />
2 √ <br />
x<br />
√ dx<br />
1 − x<br />
= −2 √ 1 − x − x(1 − x) + arc sen √ x<br />
Este no es el camino más intuitivo, pero sí el más rápido. El lector pue<strong>de</strong> buscar la primitiva <strong>de</strong> otras formas<br />
como, por ejemplo, con la sustitución x → t 2 (requerirá un segundo cambio <strong>de</strong> variable).<br />
<br />
dx<br />
√ =<br />
x − 1 4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
x1/2 − 1 + 1<br />
√<br />
x3/2 − x<br />
= 4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
x1/2 − 1<br />
2 √ x3/2 1<br />
8 2<br />
+<br />
− x 3<br />
√ x<br />
2 √ =<br />
x − 1 4<br />
x<br />
3<br />
3/2 − x + 8<br />
<br />
√x 8 4√<br />
√x<br />
− 1 = ( + x) − 1 (h)<br />
3<br />
3 3<br />
Un camino alternativo es la sustitución x → t 2 .<br />
<br />
e x tg e x dx = − log | cos e x | (j)<br />
<br />
log x √ x dx = 3<br />
<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
log x dx = 3<br />
x(log x − 1) (l)<br />
2
Integración 385<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sen 2x cos x dx =<br />
dx<br />
x2√a2 <br />
1<br />
→<br />
+ x2 a2 1<br />
senh 2 1<br />
dt = − cotgh t<br />
t a2 a 2x dx = 1<br />
2 log a a2x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(m)<br />
e x dx<br />
√ e x + 1 = 2 √ e x + 1 (n)<br />
2 sen x cos 2 xdx = − 2<br />
3 cos3 x (q)<br />
→ − 1<br />
x<br />
cotgh argsenh<br />
a2 a<br />
= −<br />
√ x 2 + a 2<br />
a 2 x<br />
(r)
Integración 386<br />
Problema 179 Usar sumas <strong>de</strong> Riemann para calcular los siguientes límites:<br />
(Ver sección ??)<br />
a) lím n√ e + n√ e2 + · · · + n√ en n<br />
<br />
n<br />
c) lím (n+1) 2 + · · · + n<br />
(n+n) 2<br />
<br />
lím<br />
lím<br />
n√ e + n √ e 2 + · · · + n√ e n<br />
n<br />
n√ e + n √ e 2 + · · · + n√ e 2n<br />
n<br />
b) lím n√ e + n√ e2 + · · · + n√ e2n n<br />
d) lím <br />
1<br />
1 + · · · + n+1 n+n<br />
= lím 1 <br />
1/n 2/n n/n<br />
e + e + · · · + e<br />
n<br />
<br />
= lím 1<br />
n<br />
e k/n<br />
=<br />
1<br />
0<br />
n<br />
k=1<br />
e x dx =<br />
<br />
e x<br />
1 0<br />
= e − 1<br />
= lím 1 <br />
1/n 2/n 2n/n<br />
e + e + · · · + e<br />
n<br />
<br />
= lím 1<br />
n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
=<br />
2<br />
0<br />
2n<br />
e k/n<br />
k=1<br />
e x dx =<br />
<br />
e x<br />
2 0<br />
= e 2 − 1<br />
a)<br />
b)
Integración 387<br />
<br />
lím<br />
n<br />
2 + · · · +<br />
(n + 1)<br />
n<br />
(n + n) 2<br />
<br />
= lím 1<br />
n<br />
= lím 1<br />
n<br />
=<br />
1<br />
0<br />
n<br />
<br />
n<br />
n + k<br />
n<br />
<br />
1 + k<br />
n<br />
k=1<br />
k=1<br />
(1 + x) −2 dx =<br />
2<br />
−2<br />
<br />
1<br />
1<br />
lím + · · · + = lím<br />
n + 1 n + n<br />
1<br />
n n<br />
n n + k<br />
k=1<br />
= lím 1<br />
n<br />
<br />
1 +<br />
n<br />
k=1<br />
k<br />
−1 n<br />
1<br />
= (1 + x) −1 <br />
= log(1 + x)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
<br />
−(1 + x) −1<br />
1 1<br />
0<br />
0<br />
= log 2<br />
= 1<br />
2<br />
c)<br />
d)
Integración 388<br />
Problema 180 2. a) Hallar las sumas superior e inferior para f(x) = x 2 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 0 a 2 usando la partición<br />
con x0 = 0, x1 = 1<br />
2 , x2 = 3<br />
4 , x3 = 1, x4 = 5<br />
4 , x5 = 3<br />
2 y x6 = 2.<br />
b) Usando las fórmulas <strong>de</strong>l ejercicio 16, hallar el área que queda por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f entre 0 y<br />
2.<br />
a) La partición tomada es: P = {0, 1<br />
2<br />
, 3<br />
4<br />
3 , 1, , 2}. Dado que la función f es creciente, el máximo en cada<br />
2<br />
subintervalo se alcanza en el extremo superior <strong>de</strong> estos y el mínimo se alcanza en el extremo inferior;<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 389<br />
por tanto:<br />
<br />
1 1<br />
3 3 1<br />
UP = f − 0 + f − + f(1) 1 −<br />
2 2 4 4 2<br />
3<br />
<br />
4<br />
<br />
3 3<br />
+ f − 1 + f(2) 2 −<br />
2 2 3<br />
<br />
2<br />
= 1 9<br />
+<br />
4 · 2 42 1 9<br />
+ 2 +<br />
· 4 4 22 4 221<br />
+ =<br />
· 2 2 64 < 3′ 46<br />
<br />
1<br />
1 3 1 3<br />
LP = f(0) − 0 + f − + f 1 −<br />
2 2 4 2 4<br />
3<br />
<br />
4<br />
<br />
3<br />
3<br />
+ f(1) − 1 + f 2 −<br />
2 2<br />
3<br />
<br />
2<br />
= 0 + 1<br />
22 9<br />
+<br />
· 4 42 1 9<br />
+ +<br />
· 4 2 22 117<br />
=<br />
· 2 64 > 1′ 82<br />
Es <strong>de</strong>cir, el área, A, que queda por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f verifica: 1 ′ 82 < A < 3 ′ 46.<br />
b) Sabemos que f es integrable en [0, 2] (por ser continua), y por tanto, para calcular el área pedida,<br />
nos basta tomar cualquier sucesión <strong>de</strong> sumas <strong>de</strong> Riemann, {RPn}, con lím ||Pn|| = 0; el área será:<br />
A = lím RPn. Para cada n tomamos una partición regular Pn, con norma 2<br />
; la elección <strong>de</strong> los puntos<br />
n<br />
intermedios la hacemos tomando los extremos izquierdos <strong>de</strong> los subintervalos. Por tanto, efectivamente,<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 390<br />
lím ||Pn|| = lím 2<br />
n = 0 y a<strong>de</strong>más, dado que f es creciente, RPn = LPn. Por tanto, el área es:<br />
n−1<br />
A = lím LPn = lím f<br />
k=0<br />
n−1<br />
<br />
= lím<br />
k=0<br />
= lím 8<br />
n 3<br />
<br />
k 2<br />
n n<br />
<br />
k 2<br />
8k2 8<br />
3 = lím<br />
n n3 n−1<br />
k=0<br />
(n − 1)(n)(2n − 2 + 1)<br />
6<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 16<br />
6<br />
= 8<br />
3
Integración 391<br />
Problema 181 3. a) Estimar el área bajo la gráfica <strong>de</strong> x3 a lo largo <strong>de</strong> [1, 5] usando una suma <strong>de</strong> Riemann<br />
RP con una partición regular con n = 4 y tomando como puntos intermedios, x∗ i , los puntos medios<br />
<strong>de</strong> cada subintervalo.<br />
b) Usando las fórmulas <strong>de</strong>l ejercicio 16, hallar el área que queda por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x) = x 3 .<br />
(Ver ejercicio anterior)<br />
a) La partición <strong>de</strong>finida es P = {1, 2, 3, 4, 5} y la elección <strong>de</strong> puntos intermedios: { 3 5 7 9<br />
, , , }. La esti-<br />
2 2 2 2<br />
mación <strong>de</strong>l área con esta suma <strong>de</strong> Riemann es:<br />
<br />
3 5 7 9<br />
RP = f + f + f + =<br />
2 2 2 2<br />
1224<br />
= 156<br />
8<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 392<br />
b) Tomando las sumas superiores asociadas a particiones regulares, po<strong>de</strong>mos calcular el área pedida como:<br />
A = lím UPn = lím<br />
= lím<br />
= lím<br />
n<br />
f<br />
k=1<br />
n<br />
k=1<br />
<br />
1 + k 4<br />
<br />
1 + 4k<br />
n<br />
n 4(n + 4k) 3<br />
k=1<br />
= lím 4<br />
n 4<br />
= lím 4<br />
n 4<br />
n<br />
k=1<br />
<br />
n 4<br />
4<br />
n<br />
n<br />
3 4<br />
n<br />
(n 3 + 12n 2 k + 48nk 2 + 64k 3 )<br />
(n − 1)n 3 + 12n 2<br />
<br />
n<br />
<br />
k<br />
k=1<br />
<br />
n<br />
+48n k 2<br />
<br />
n<br />
+ 64 k 3<br />
<br />
k=1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
k=1
Integración 393<br />
= lím 4<br />
n4 <br />
(n − 1)n 3 2 n(n + 1)<br />
+ 12n<br />
2<br />
n(n + 1)(2n + 1)<br />
+48n + 64<br />
6<br />
n2 (n + 1) 2 <br />
4<br />
= 4(1 + 6 + 16 + 16) = 156<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 394<br />
Problema 182 Estimar el área bajo la gráfica <strong>de</strong> f(x) = sen x a lo largo <strong>de</strong> [0, π] usando la suma superior e<br />
inferior dadas por la partición regular con n = 4 e igualmente tomando la suma <strong>de</strong> Riemann con la elección<br />
<strong>de</strong> los puntos medios <strong>de</strong> los subintervalos.<br />
La suma superior dada por la partición es:<br />
La suma inferior es:<br />
UP = π<br />
<br />
sen<br />
4<br />
π<br />
<br />
π π 3π<br />
+ sen + sen + sen =<br />
4 2 4 4<br />
π(2 + √ 2)<br />
≈ 2<br />
4<br />
′ 68<br />
LP = π<br />
<br />
sen 0 + sen<br />
4<br />
π<br />
<br />
3π<br />
+ sen + sen π =<br />
4 4 π√2 4 ≈ 1′ 11<br />
La suma <strong>de</strong> Riemann dada por los puntos medios es:<br />
RP = π<br />
4<br />
<br />
sen π 3π<br />
+ sen + sen 5π8 + sen 7π8<br />
8 8<br />
<br />
≈ 2 ′ 05<br />
(El valor exacto <strong>de</strong>l área que queda por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong>l seno en ese intervalo es ‘2’).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 395<br />
Problema 183 Estimar el área bajo la gráfica <strong>de</strong> sen 2 x a lo largo <strong>de</strong> [0, 2π] usando una partición regular<br />
con n = 4 y los puntos medios <strong>de</strong> cada subintervalo.<br />
1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
π<br />
4<br />
π<br />
2<br />
3π<br />
4<br />
π<br />
(Seguir el razonamiento observando la gráfica <strong>de</strong> f en la figura <strong>de</strong> arriba). La partición regular para<br />
n = 4 está formada por los puntos {0, π/2, π, 3π/2, 2π} y los puntos medios <strong>de</strong> los subintervalos son<br />
{π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4} cuyas imágenes por f coinci<strong>de</strong>n. Por tanto, la suma <strong>de</strong> Riemann así <strong>de</strong>finida coin-<br />
ci<strong>de</strong> con el área <strong>de</strong> un rectángulo <strong>de</strong> base 2π y altura sen2 π<br />
4<br />
<strong>de</strong> la función nos permiten <strong>de</strong>ducir que este es el valor exacto <strong>de</strong> la integral.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
5π<br />
4<br />
3π<br />
2<br />
7π<br />
4<br />
2π<br />
= 1<br />
2 , es <strong>de</strong>cir, RP = π. A<strong>de</strong>más, las simetrías
Integración 396<br />
Problema 184 Usar el teorema fundamental, propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida y geometría para evaluar<br />
las siguientes integrales <strong>de</strong>finidas:<br />
1<br />
a) x 4 2<br />
dt<br />
dx b)<br />
t2 4 <br />
2<br />
c)<br />
x2 + √ <br />
x dx<br />
a)<br />
b)<br />
d)<br />
g)<br />
j)<br />
m)<br />
o)<br />
1<br />
−1 x4 dx =<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
8<br />
y1/3 + y1/2 1<br />
π/3<br />
−π/6<br />
ln 5<br />
0<br />
1<br />
<br />
0<br />
π/2<br />
π/4<br />
1 x 5<br />
5<br />
y<br />
dy e)<br />
sec t tg tdt h)<br />
e t dt k)<br />
d( √ x3 <br />
+ 1)<br />
dx n)<br />
dx<br />
(sen x − cos x)dx p)<br />
−1<br />
= 2<br />
5<br />
dt<br />
t2 = 2<br />
1 t−2 <br />
−1<br />
2<br />
t<br />
dt = =<br />
− 1 1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
π/2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
log 6<br />
4 cos tdt f)<br />
x 2 dx i)<br />
log 2<br />
3 2<br />
−1<br />
−2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3<br />
e −x dx l)<br />
x<br />
<br />
4dt dx ñ)<br />
(−4)dx q)<br />
1<br />
π/4<br />
0<br />
1<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
e<br />
1<br />
sec 2 xdx<br />
(x + √ 1 − x 2 )dx<br />
x + 2<br />
x dx<br />
3 d<br />
dx3 (x2 <br />
+ 3x − 1) dx<br />
2<br />
y dy
Integración 397<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
h)<br />
i)<br />
4<br />
1<br />
8<br />
1<br />
π/2<br />
0<br />
π/4<br />
0<br />
<br />
2<br />
x2 + √ x dx = 4 <br />
−2 1/2 2x + x 1<br />
<br />
dx = 2 x−1<br />
4 x3/2<br />
+ =<br />
− 1 3/2 1<br />
37<br />
6<br />
y1/3 +y1/2 dy = y<br />
8 <br />
−2/3 −1/2 y + y 1<br />
<br />
1/3<br />
8<br />
y y1/2<br />
dy = + = 2 + 4<br />
1/3 1/2 1<br />
√ 2<br />
4 cos t =<br />
sec 2 xdx =<br />
π/2 4 sen t = 4<br />
0<br />
<br />
tg x<br />
π/4<br />
0<br />
= 1<br />
π/3<br />
−π/6 sec t tg tdt = π/3<br />
−π/6 sen t cos−2 tdt =<br />
<br />
cos−1 π/3 t = 2 −<br />
−π/6<br />
2 √ (Si no ha i<strong>de</strong>ntificado esta primitiva<br />
3<br />
rápidamente, no se preocupe, el capítulo siguiente está <strong>de</strong>dicado al cálculo <strong>de</strong> primitivas)<br />
0<br />
1 x2 <br />
3<br />
0<br />
x<br />
dx = = −<br />
3 1<br />
1<br />
Obsérvese que el signo negativo es <strong>de</strong>bido a que el extremo superior <strong>de</strong> la<br />
3<br />
integral es menor que el inferior.<br />
1<br />
0 (x+√1 − x2 )dx = 1<br />
0 xdx+ 1 √ <br />
1 − x2 1<br />
dx = 0<br />
0 xdx+ 1 √<br />
1 − x2dx La primera integral correspon<strong>de</strong><br />
0<br />
al área <strong>de</strong> un triángulo rectángulo cuyos catetos mi<strong>de</strong>n 1 y la segunda integral correspon<strong>de</strong> al área <strong>de</strong><br />
una semicircunferencia <strong>de</strong> radio 1. Por tanto, la integral vale: 1 π<br />
+<br />
2 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 398<br />
j)<br />
k)<br />
log 5<br />
0<br />
e t dt =<br />
<br />
et log 5<br />
log 6<br />
log 2 e−x <br />
dx = −e−x 0<br />
= 5 − 1 = 4<br />
log 6<br />
log 2<br />
= − 1 1<br />
+<br />
6 2<br />
= 1<br />
3<br />
l)<br />
3 x+2<br />
1 x dx = m)<br />
3 3 1<br />
(1 + 2 )dx = x + 2 log x = 2(1 + log 3)<br />
1 x 1<br />
I = √ <br />
1 d( x3 +1)<br />
dx = 0 dx<br />
1<br />
0 f ′ (x)dx, siendo f(x) = √ x3 + 1. Por tanto, I = f(1) − f(0) = √ 2 − 1.<br />
n)<br />
<br />
3 2<br />
−1 x 4dt<br />
<br />
dx = <br />
2<br />
3<br />
4t dx = −1<br />
x<br />
<br />
3<br />
(8 − 4x)dx = 8x − 2x −1 2<br />
3 = 16<br />
−1<br />
ñ)<br />
<br />
2 d3 0 dx3 (x2 <br />
+ 3x − 1) dx = 2<br />
0 f ′′′ (x)dx = f ′′ (2) − f ′′ (0), siendo f(x) = x2 + 3x − 1. Dado que la<br />
segunda <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f es una constante, f ′′ (x) = 2, se <strong>de</strong>duce que la integral pedida es 0.<br />
o)<br />
<br />
π/2 π/2<br />
(sen x − cos x)dx = − cos x − sen x = π/4<br />
π/4<br />
√ 2 − 1<br />
p)<br />
−2 −2<br />
(−4)dx = −4x = 20<br />
3<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 399<br />
q)<br />
e<br />
1<br />
e 2dy<br />
= y 2 log x = 2<br />
1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 400<br />
Problema 185 Usar las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida y el teorema fundamental para hallar las siguientes<br />
<strong>de</strong>rivadas:<br />
t<br />
d<br />
x<br />
dt 1<br />
2 <br />
dx<br />
d2 dt2 t <br />
√<br />
x2 + 1dx<br />
2<br />
t<br />
d √<br />
−1 <br />
√<br />
x2 + 4dx + x2 + 4dx<br />
dt 2<br />
t<br />
d2 dt2 t<br />
<br />
√<br />
3 + 4x2dx −t<br />
3t <br />
d 1<br />
dx<br />
dt 1 4 + x2 t3 d<br />
dt t2 <br />
1<br />
dx<br />
4 + 3x2 Recor<strong>de</strong>mos que el teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo dice: dada una función f continua en [a, b], la<br />
función F <strong>de</strong>finida por F (x) = x<br />
a f(t)dt en [a, b], es una función <strong>de</strong>rivable en (a, b) y F ′ (x) = f(x).<br />
Aplicando la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na se <strong>de</strong>duce que si F (x) = g(x)<br />
a<br />
f(t)dt (suponiendo que tal función está bién<br />
<strong>de</strong>finida en algún intervalo), se tiene que: F ′ (x) = f(g(x)) · g ′ (x). Teniendo en cuenta esto, el ejercicio es<br />
fácil <strong>de</strong> resolver. d<br />
t<br />
dt<br />
√ <br />
t2 t<br />
+ 1 = √<br />
t2 + 1<br />
d<br />
dt<br />
1 x2 dx<br />
d<br />
dt<br />
<br />
= t2 , aplicando directamente el teorema fundamental. d2<br />
dt2 t √ <br />
x2 −1 √ <br />
+ 4dx + x2 + 4dx<br />
2<br />
t<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
t<br />
2<br />
√ <br />
x2 + 1dx =
Integración 401<br />
= d<br />
−1 √ <br />
x2 + 4dx = 0<br />
dt 2<br />
d2 dt2 t<br />
<br />
√<br />
3 + 4x2dx =<br />
−t<br />
d2<br />
dt2 0<br />
<br />
√<br />
3 + 4x2dx +<br />
−t<br />
d2<br />
dt2 = − d2<br />
dt2 −t<br />
<br />
√<br />
3 + 4x2dx + d2<br />
dt2 = d<br />
√ <br />
3 + 4t2 dt<br />
4t<br />
= 2√<br />
3 + 4t2 0<br />
+ d<br />
dt<br />
t<br />
√ <br />
3 + 4t2 <br />
√<br />
3 + 4x2dx <br />
√<br />
3 + 4x2dx 0<br />
t<br />
Obsérvese que en la tercera igualdad se ha aplicado la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na. d<br />
3t<br />
dt 1<br />
t3 d<br />
dt t2 <br />
1<br />
dx =<br />
4 + 3x2 d<br />
t3 dt 0<br />
t2 1<br />
dx −<br />
4 + 3x2 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
1<br />
dx<br />
4 + 3x2 0<br />
= 3t 2 ·<br />
1<br />
4+x2 <br />
dx = 3 ·<br />
1<br />
4 + (3t) 2<br />
1<br />
4 + 3(t3 1<br />
+ 2t ·<br />
) 2 4 + 3(t2 •<br />
) 2<br />
•
Integración 402<br />
Problema 186 Hallar el valor <strong>de</strong> c tal que el valor medio <strong>de</strong> la función f(x) = x 4 − 1 sobre [−c, c] es 0.<br />
El valor medio <strong>de</strong> una función f en un intervalo [a, b] es<br />
resolver la siguiente ecuación en c ∈ R + : c<br />
−c (x4 − 1)dx = 0<br />
c 5<br />
5<br />
c<br />
−c<br />
(x 4 − 1)dx = 0<br />
5 x<br />
− x<br />
5<br />
− c + c5<br />
5<br />
c<br />
−c<br />
= 0<br />
− c = 0<br />
c = 4√ 5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 b<br />
f; por tanto, el problema consiste en<br />
b − a a
Integración 403<br />
Problema 187 Las mediciones <strong>de</strong> la temperatura a las horas en punto en el aeropuerto <strong>de</strong> la capital son<br />
las siguientes:<br />
Hora Temp. Hora Temp. Hora Temp. Hora Temp.<br />
0:00 7 ◦ 6:00 8 ◦ 12:00 14 ◦ 18:00 16 ◦<br />
1:00 6 ′ 5 ◦ 7:00 8 ′ 5 ◦ 13:00 16 ◦ 19:00 15 ◦<br />
2:00 6 ◦ 8:00 8 ◦ 14:00 18 ◦ 20:00 13 ◦<br />
3:00 5 ◦ 9:00 8 ′ 5 ◦ 15:00 17 ◦ 21:00 12 ◦<br />
4:00 6 ◦ 10:00 10 ◦ 16:00 17 ◦ 22:00 10 ◦<br />
5:00 6 ′ 5 ◦ 11:00 11 ◦ 17:00 16 ◦ 23:00 9 ◦<br />
Usar la regla <strong>de</strong> Simpson para hallar la temperatura media.<br />
La fórmula <strong>de</strong> Simpson nos da la siguiente aproximación <strong>de</strong> la media <strong>de</strong> una función:<br />
b<br />
1<br />
f ≈<br />
b − a a<br />
1<br />
3n (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + 4f(xn))<br />
Siendo {xi} n i=0 los puntos <strong>de</strong> una partición regular. Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar una función que nos dé la temperatura<br />
en el aeropuerto en cada instante, <strong>de</strong> tal forma que la tabla recoja los valores <strong>de</strong> la función en los puntos<br />
{0, 1, 2, . . . , 16}, es <strong>de</strong>cir, en los puntos <strong>de</strong> una partición regular <strong>de</strong>l intervalo [0, 16]. Por tanto, aunque no<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 404<br />
conocemos la función, po<strong>de</strong>mos aproximar el valor medio <strong>de</strong> la función usando la fórmula <strong>de</strong> Simpson:<br />
M = 1<br />
3 · 16 (7 + 4 · 6′ 5 + 2 · 6 + 4 · 5 + 2˙6 + 4 · 6 ′ 5 + 2 · 8 + 4 · 8 ′ 5 + 2 · 8 + 4 · 8 ′ 5<br />
+ 2 · 10 + 4 · 11 + 2 · 14 + 4 · 16 + 2 · 18 + 4 · 17 + 2 · 17 + 4 · 16 + 2 · 16<br />
+ 4 · 15 + 2 · 13 + 4 · 12 + 2 · 10 + 4 · 9) = 783<br />
48 = 16′ 31<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 405<br />
Problema 188 Determinar el número <strong>de</strong> subintervalos necesarios para aproximar hasta las milésimas el<br />
valor <strong>de</strong> las siguientes integrales usando tanto el método <strong>de</strong> los trapecios como el <strong>de</strong> Simpson.<br />
a)<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
a)<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
b)<br />
1<br />
1<br />
; sea f(x) = ; f es infinitamente <strong>de</strong>rivable en (0, ∞) y<br />
x<br />
1/2<br />
f (k) (x) = (−1) k k!x −k−1<br />
cos √ x dx<br />
Método <strong>de</strong> los trapecios: usando el método <strong>de</strong> los trapecios con una partición regular <strong>de</strong> n puntos<br />
cometemos el siguiente error:<br />
En =<br />
(b − a)3<br />
12n 2 f ′′ (c) = 1<br />
6n 2 c 3<br />
para algún c ∈ (a, b) = (1, 2). Dado que 1 < c < 2, 1<br />
2 3 < 1<br />
c 3 < 1, se obtiene la siguiente acotación <strong>de</strong>l<br />
error: En < 1<br />
6n 2 . Si queremos obtener una aproximación hasta las milesimas (error menor que 10 −3 )<br />
tenemos que tomar el primer natural n que verifique que 1<br />
6n 2 < 10 −3 , es <strong>de</strong>cir n = 13.<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: Con el método <strong>de</strong> Simpson, el error cometido viene dado por:<br />
En =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(b − a)5<br />
180n 4 f (4) (c) =<br />
2<br />
15n 4 c 5
Integración 406<br />
b)<br />
para algún c ∈ (1, 2); en este caso, dado que 1<br />
25 < 1<br />
c5 < 1, tenemos la siguiente acotación En < 2<br />
15n4 .<br />
Para obtener una aproximación hasta las milesimas tenemos que tomar el primer natural n que verifique<br />
2<br />
15n4 < 10−3 , es <strong>de</strong>cir, n = 3.<br />
1<br />
1/2<br />
cos √ x dx; sea f(x) = cos √ x; f es infinitamente <strong>de</strong>rivable en (0, ∞) y<br />
f ′′ (x) = − cos √ x<br />
4x + sen √ x<br />
4x √ x , f (4) (x) = cos √ x<br />
16x2 − 3 sen √ x<br />
8x2√x − 15 cos √ x<br />
16x3 + 15 sen √ x<br />
16x3√x Método <strong>de</strong> los trapecios: Existe c ∈ (1/2, 1) tal que:<br />
En =<br />
(b − a)3<br />
12n 2 f ′′ (c) =<br />
1<br />
8 · 12n2 √<br />
sen c<br />
4c √ c − cos √ <br />
c<br />
4c<br />
Teniendo en cuenta que 1 < 1 < 2 po<strong>de</strong>mos dar la siguiente acotación <strong>de</strong>l error:<br />
c<br />
ɛ = |En| ≤<br />
1<br />
96n2 <br />
sen √ c<br />
4c √ <br />
<br />
<br />
c +<br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
<br />
√ ≤<br />
<br />
c<br />
<br />
4c <br />
1<br />
96n2 =<br />
<br />
3/2 2 2<br />
+<br />
4 4<br />
√<br />
2 + 1<br />
1<br />
2 <<br />
192n 64n2 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 407<br />
(en la última <strong>de</strong>sigualdad hemos utilizado que √ 2 + 1 < 3). Por tanto, para obtener un error menor<br />
que 10 −3 tenemos que tomar el primer natural n que verifique<br />
1<br />
64n 2 < 10 −3 , es <strong>de</strong>cir n = 4.<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: Para una partición regular <strong>de</strong> n puntos, existe un c ∈ (1/2, 1) tal que el error<br />
cometido al tomar la fórmula <strong>de</strong> Simpson como valor <strong>de</strong> la integral es:<br />
(b − a)5<br />
En =<br />
180n4 f (4) 1<br />
(c) =<br />
25180n4 √<br />
cos c<br />
16c2 − 3 sen √ c<br />
8c2√c − 15 cos √ c<br />
16c3 + 15 sen √ c<br />
16c3√ <br />
c<br />
En este caso, dado que 1 < 1 < 2, po<strong>de</strong>mos dar la siguiente acotación <strong>de</strong>l error:<br />
c<br />
1<br />
ɛ = |En| ≤<br />
25180n4 <br />
cos √ c<br />
16c2 <br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
<br />
3 sen<br />
<br />
√ c<br />
8c2√ <br />
<br />
<br />
c +<br />
<br />
<br />
<br />
15 cos<br />
<br />
√ c<br />
16c3 <br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
<br />
15 sen<br />
<br />
√ c<br />
16c3√ <br />
<br />
<br />
c <br />
1<br />
≤<br />
25180n4 <br />
4<br />
16 + 3 · 22√2 +<br />
8<br />
15 · 23<br />
16 + 15 · 23√ <br />
2<br />
16<br />
= 31 + 36√2 4 · 25 1<br />
4 <<br />
180n 281n4 Por tanto, para obtener un error menor que 10 −3 tenemos que tomar el primer natural n que verifique<br />
1<br />
281n 4 < 10 −3 , es <strong>de</strong>cir n = 2.<br />
Este ejercicio muestra como la fórmula <strong>de</strong> Simpson da un buena aproximación <strong>de</strong> la integral; con particiones<br />
no muy finas, se consiguen errores pequeños. El método <strong>de</strong> los trapecios necesita particiones más<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 408<br />
finas para conseguir estimaciones parecidas.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 409<br />
Problema 189 Usar el método <strong>de</strong> los trapecios y el método <strong>de</strong> Simpson con n = 4 para aproximar las<br />
siguientes integrales. Comparar, cuando sea posible, el resultado obtenido con el valor exacto dado por la<br />
regla <strong>de</strong> Barrow.<br />
a)<br />
d)<br />
5<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
dx b)<br />
x<br />
√<br />
x2 + 1 dx e)<br />
2<br />
1<br />
π<br />
0<br />
x<br />
dx c)<br />
x + 1<br />
sen x<br />
dx f)<br />
x + π<br />
5<br />
2<br />
π<br />
0<br />
x 2<br />
x + 2 dx<br />
dx<br />
2 + sen x dx<br />
Para comparar los tres resultados <strong>de</strong> cada apartado daremos las aproximaciones <strong>de</strong> cada uno con tres o<br />
más <strong>de</strong>cimales exactos. El lector <strong>de</strong>bería utilizar las fórmulas <strong>de</strong> los errores <strong>de</strong> ambos métodos para <strong>de</strong>ducir<br />
una acotación <strong>de</strong> los mismos.<br />
a) I =<br />
5<br />
1<br />
1<br />
dx; la partición es: P = {1, 2, 3, 4, 5}.<br />
x<br />
Método <strong>de</strong> los trapecios: I ≈ 4 1 1 1<br />
(1 + 2 + 2 + 2 8 2 3 4<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: I ≈ 4 1 1 1<br />
(1 + 4 + 2 + 4 12 2 3 4<br />
Valor exacto: I =<br />
<br />
log x<br />
5<br />
1<br />
= log 5 ≈ 1 ′ 609.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 101 + ) = 5 60 ≈ 1′ 683.<br />
1 73 + ) = 5 45 ≈ 1′ 622.
Integración 410<br />
b) I =<br />
c) I =<br />
2<br />
1<br />
x<br />
x + 1<br />
dx; la partición es: P = {1, 5<br />
4<br />
, 6<br />
4<br />
7 , , 2}. 4<br />
Método <strong>de</strong> los trapecios: I ≈ 1 1 5 3 7<br />
( + 2 + 2 + 2 8 2 9 5 11<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: I ≈ 1 1 5 3 7<br />
( + 4 + 2 + 4 12 2 9 5 11<br />
Valor exacto:<br />
5<br />
2<br />
x 2<br />
x + 2<br />
I =<br />
2<br />
1<br />
dx; partición: {2, 11<br />
4<br />
2 4703 + ) = 3 7920 ≈ 0′ 593.<br />
2 7063 + ) = 3 11880 ≈ 0′ 59452.<br />
<br />
2 x<br />
dx = x − log(x + 1) = 1 + log 2 − log 3 ≈ 0, 59453.<br />
x + 1 1<br />
, 14<br />
4<br />
17 , , 5}. 4<br />
Método <strong>de</strong> los trapecios: I ≈ 3 1 121 49 289<br />
( + 2 + 2 + 2 8 3 76 22 100<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: I ≈ 1 1 121 49 289<br />
( + 4 + 2 + 4 4 3 76 22 100<br />
Valor exacto:<br />
I =<br />
5<br />
2<br />
x2 dx =<br />
x + 2<br />
5<br />
2<br />
x − 2 + 4<br />
x + 2 dx<br />
2 x<br />
=<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
25 104947<br />
+ ) = 7 15400 ≈ 6′ 81.<br />
25 161619<br />
+ ) = 7 23100 ≈ 6′ 99.<br />
5 − 2x + 4 log(x + 2) =<br />
2<br />
9<br />
2 + 4 log 7 − 4 log 4 ≈ 6′ 73.
Integración 411<br />
d) I =<br />
e) I =<br />
1<br />
−1<br />
√<br />
x2 1 1<br />
+ 1 dx; partición: P = {−1, − , 0, , 1}.<br />
2 2<br />
Método <strong>de</strong> los trapecios: I = 1<br />
4 (√2 + 2 5/4 + 2 · 1 + 2 5/4 + √ 2) = √ 5+ √ 2+1<br />
2<br />
≈ 2 ′ 32.<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: I = 1<br />
4 (√2 + 4 5/4 + 2 · 1 + 4 5/4 + √ 2) = 2√5+ √ 2+1 ≈ 2 3<br />
′ 2954.<br />
Valor exacto:<br />
I =<br />
1<br />
−1<br />
√ √ 1<br />
x2 + 1 dx = 2 +<br />
2 log<br />
√<br />
2 + 1<br />
√ ≈ 2<br />
2 − 1 ′ 2955.<br />
(Apren<strong>de</strong>remos a resolver esta integral en el capítulo siguiente)<br />
π<br />
0<br />
sen x<br />
dx; partición P = {0, π/4, π/2, 3π/4, π}.<br />
x + π<br />
Método <strong>de</strong> los trapecios: I ≈ π<br />
8 (0 + 2 2√2 2<br />
+ 2 5π 3π + 2 2√2 5π + 0) = 6√2+5 30<br />
≈ 0′ 4495.<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: I ≈ π<br />
12 (0 + 4 2√2 2 + 2 5π 3π + 4 2√2 5π + 0) = 12√2 45 ≈ 0′ 4882.<br />
No es posible encontrar una primitiva en términos <strong>de</strong> funciones elementales <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> este<br />
apartado y por tanto, solo po<strong>de</strong>mos aproximar su valor. La expresión <strong>de</strong>l error cometido con el método<br />
<strong>de</strong> Simpson nos permite <strong>de</strong>ducir que los tres primeros <strong>de</strong>cimales son exactos.<br />
f) I =<br />
π<br />
0<br />
dx<br />
dx;partición P = {0, π/4, π/2, 3π/4, π}.<br />
2 + sen x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 412<br />
Método <strong>de</strong> los trapecios: I ≈ π 1 2 ( + 2 8 2 4+ √ 1 2 + 2 + 2<br />
2 3 4+ √ 2<br />
Método <strong>de</strong> Simpson: I ≈ π 1 2 ( + 4 12 2 4+ √ 1 2 + 2 + 4<br />
2 3 4+ √ 2<br />
Valor exacto: I = π<br />
3<br />
siguiente).<br />
1 5π π<br />
+ ) = + 2 24 4+ √ 2 ≈ 1′ 23474.<br />
1 5π 4π<br />
+ ) = + 2 36 12+3 √ 2 ≈ 1′ 2099.<br />
− π<br />
6 ≈ 1′ 2092 (apren<strong>de</strong>remos a hallar una primitiva <strong>de</strong> esta función en el capítulo<br />
Deducción <strong>de</strong>l error <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> los trapecios. Primero estudiaremos el error cometido en la aproximación<br />
<strong>de</strong>l área en cada subintervalo. Este error pue<strong>de</strong> ser expresado como<br />
E =<br />
x1<br />
x0<br />
f(x) dx − h<br />
f(x0) + f(x1)<br />
2<br />
<br />
a) Supongamos que f ′′ es continua en [a, b] y consi<strong>de</strong>remos el error como función <strong>de</strong> la distancia h entre<br />
x0 y x1,<br />
x0+h<br />
E(h) = f(x) dx − h<br />
f(x0) + f(x0 + h)<br />
2<br />
<br />
x0<br />
Usando el teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo, obténgase la segunda <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> E respecto <strong>de</strong> h,<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
E ′′ (h) = − h<br />
′′<br />
f (x0 + h)<br />
2
Integración 413<br />
b) Compruébese que E(0) = E ′ (0) = 0, por lo que tomando integrales en ambos miembros <strong>de</strong> la igualdad<br />
anterior obtenemos<br />
E ′ (h) = E ′ (0) − 1<br />
h<br />
tf<br />
2 0<br />
′′ (x0 + t) dt<br />
que, por el segundo teorema <strong>de</strong>l valor medio para integrales, pue<strong>de</strong> expresarse como<br />
para algún ξ ∈ [x0, x0 + h].<br />
E ′ (h) = − 1<br />
2 f ′′ (ξ)<br />
h<br />
0<br />
t dt = − h2<br />
4 f ′′ (ξ)<br />
c) Usar la misma técnica que en el punto anterior para obtener E(h) = − h3<br />
12 f ′′ (c1). En particular, si<br />
f ′′ (x) > 0 hemos obtenido una aproximación por exceso y si f ′′ (x) < 0 la aproximación es por <strong>de</strong>fecto.<br />
Interpretar geométricamente este hecho.<br />
d) Una vez conocida una expresión exacta <strong>de</strong>l error cometido en cada subintervalo po<strong>de</strong>mos hallar el<br />
error total sumando todos los errores. Efectuar los cálculos para obtener<br />
E =<br />
n<br />
i=1<br />
don<strong>de</strong> cada ci ∈ [xi−1, xi] y h = (b − a)/n.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
− h3<br />
12 f ′′ (ci) = − h3<br />
12<br />
n<br />
f ′′ (c1)<br />
i=1
Integración 414<br />
e) Sólo queda expresar el resto en función <strong>de</strong> un único ci. Aplicar el teorema <strong>de</strong> los valores intermedios<br />
para <strong>de</strong>mostrar que existe un c ∈ [a, b] tal que<br />
a)<br />
con lo que<br />
E = − h3<br />
12<br />
E(h) =<br />
x0+h<br />
x0<br />
n<br />
i=1<br />
f ′′ (c1) = − nh3<br />
12<br />
f ′′ (c) = 1<br />
n<br />
· 1<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
f ′′ (ci)<br />
i=1<br />
f(x) dx − h<br />
f(x0) + f(x0 + h)<br />
2<br />
<br />
E ′ (h) = f(x0 + h) − 1<br />
2 (f(x0) + f(x0 + h)) − h<br />
2 f ′ (x0 + h)<br />
= 1<br />
2 (f(x0 + h) − f(x0)) − h<br />
2 f ′ (x0 + h)<br />
f ′′ (c1) = − nh3<br />
12 f ′′ (b − a)3<br />
(c) = −<br />
12n2 f ′′ (c)<br />
E ′′ (h) = 1<br />
2 f ′ (x0 + h) − 1<br />
2 f ′ (x0 + h) − h<br />
2 f ′′ (x0 + h) = − h<br />
2 f ′′ (x0 + h)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 415<br />
b) Es inmediato que E(0) = E ′ (0) = 0. Tomando integrales en ambos miembros <strong>de</strong> la igualdad <strong>de</strong>l<br />
apartado (a) obtenermos:<br />
h<br />
E ′′ (t)dt =<br />
h<br />
0<br />
0<br />
E ′ (h) − E ′ (0) = − 1<br />
h<br />
2 0<br />
− t<br />
2 f ′′ (x0 + t)<br />
− t<br />
2 f ′′ (x0 + t)<br />
Efectivamente, por el segundo teorema <strong>de</strong>l valor medio se <strong>de</strong>duce que existe algún punto ξh ∈ [x0, x0+h]<br />
tal que:<br />
E ′ (h) = − 1<br />
2 f ′′ (ξh)<br />
h<br />
0<br />
t dt = − h2<br />
4 f ′′ (ξh)<br />
c) Po<strong>de</strong>mos repetir los mismos pasos <strong>de</strong>l apartado anterior para <strong>de</strong>ducir la igualdad:<br />
para algún c1 ∈ [x0, x0 + h].<br />
E(h) = − h3<br />
12 f ′′ (c1)<br />
Para justificar que po<strong>de</strong>mos aplicar nuevamente el segundo teorema <strong>de</strong>l valor medio, tendríamos que<br />
<strong>de</strong>mostrar la continuidad <strong>de</strong> la “función”g(t) = f ′′ (ξt). En general, g no tiene que ser ni siquiera<br />
función, ya que el teorema <strong>de</strong>l valor medio no asegura la unicidad <strong>de</strong> los puntos ξ. No obstante, sí se<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 416<br />
pue<strong>de</strong> construir una función ξ(t) continua sobre un intervalo y verificando tal propiedad; y a partir<br />
<strong>de</strong> ahí tomar g(t) = f ′′ (ξ(t)). La <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este hecho es <strong>de</strong>masiado técnica y queda fuera <strong>de</strong>l<br />
objetivo <strong>de</strong> este ejercicio.<br />
d) En cada intervalo [xi−1, xi] hemos encontrado un ci <strong>de</strong> tal forma que el error total cometido por el<br />
método <strong>de</strong> los trapecios es:<br />
E = − h3<br />
12<br />
n<br />
f ′′ (c1)<br />
e) Sean M = máx{f ′′ (x); x ∈ [a, b]} y m = mín{f ′′ (x); x ∈ [a, b]}, entonces se verifica:<br />
m = 1<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
m ≤ 1<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
i=1<br />
f ′′ (ci) ≤ 1<br />
n<br />
n<br />
M = M<br />
Por la continuidad <strong>de</strong> f ′′ y el teorema <strong>de</strong> los valores intermedios, existe un c ∈ [a, b] tal que<br />
Esto nos permite completar la <strong>de</strong>mostración:<br />
E = − h3<br />
12<br />
n<br />
i=1<br />
1<br />
n<br />
f ′′ (c1) = − nh3<br />
12<br />
n<br />
i=1<br />
· 1<br />
n<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
f ′′ (ci) = f ′′ (c)<br />
n<br />
i=1<br />
i=1<br />
f ′′ (c1) = − nh3<br />
12 f ′′ (b − a)3<br />
(c) = −<br />
12n2 f ′′ (c)
Integración 417<br />
Problema 190 Deducción <strong>de</strong>l error en el método <strong>de</strong> Simpson.<br />
Los pasos a seguir en este problema son exactamente los mismos que en el problema anterior. Primero<br />
se estudia el error cometido en cada par <strong>de</strong> subintervalos y, posteriormente, se obtiene la expresión<br />
general. El error cometido en un par <strong>de</strong> subintervalos es<br />
E =<br />
x2<br />
x0<br />
f(x) dx − h<br />
f(x0) + 4f(x1) + f(x2)<br />
3<br />
<br />
a) Supongamos que f (4) es una función continua. Fijemos x1 y consi<strong>de</strong>remos el error como una<br />
función <strong>de</strong> h <strong>de</strong>l siguiente modo:<br />
E(h) =<br />
x1+h<br />
x1−h<br />
f(x) dx − h<br />
f(x1 − h) + 4f(x1) + f(x1 + h)<br />
3<br />
<br />
usando el teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo, y algo <strong>de</strong> paciencia, es posible obtener<br />
E ′′′ (h) = − h<br />
′′′<br />
f (x1 + h) − f<br />
3<br />
′′′ (x1 − h) = − 2h2<br />
3 f (4) (ξ)<br />
don<strong>de</strong> la última igualdad es consecuencia <strong>de</strong> la aplicación <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong>l valor medio a la función<br />
f ′′′ sobre el intervalo [x1 − h, x1 + h].<br />
b) Usar el segundo teorema <strong>de</strong>l valor medio para integrales junto con el hecho <strong>de</strong> que R(0) = R ′ (0) =<br />
R ′′ (0) = 0 para obtener que<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
E(h) = − h5<br />
90 f (4) (c)
Integración 418<br />
para algún c ∈ [x1 − h, x1 + h].<br />
c) Sumando los errores para cada par <strong>de</strong> subintervalos <strong>de</strong>ducir que el error cometido al aproximar<br />
b<br />
f(x) dx usando una partición regular <strong>de</strong> n = 2m trozos y el método <strong>de</strong> Simpson es<br />
a<br />
E = − h5<br />
90<br />
m<br />
f (4) (ci)<br />
d) Aplicar el teorema <strong>de</strong> los valores intermedios existe un c ∈ [a, b] tal que<br />
y, por lo tanto,<br />
f (4) (c) = 1<br />
m<br />
i=1<br />
m<br />
f (4) (ci)<br />
i=1<br />
E = − mh5<br />
90 f (4) (c) =<br />
(b − a)5<br />
180n 4 f (4) (c)<br />
(La <strong>de</strong>mostración pedida en este ejercicio repite exactamente los pasos <strong>de</strong>l ejercicio anterior. Una vez<br />
visto ese ejercicio y con todas las indicaciones <strong>de</strong>l enunciado, el lector no <strong>de</strong>be tener problema en la<br />
resolución.)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 419<br />
Problema 191 Sabemos que una integral <strong>de</strong> una función continua es el límite <strong>de</strong> las sumas <strong>de</strong> Riemann<br />
cuando se toman particiones cuya norma tien<strong>de</strong> a cero. En particular, si tomamos particiones<br />
regulares tenemos<br />
b<br />
a<br />
f(x) dx = lím<br />
n→∞<br />
b − a<br />
n<br />
n<br />
f(x ∗ i )<br />
Puesto que el <strong>de</strong>nominador es estrictamente creciente y <strong>de</strong> limite infinito po<strong>de</strong>mos aplicar el criterio<br />
<strong>de</strong> Stöltz y, por lo tanto<br />
lím<br />
n→∞<br />
b − a<br />
n<br />
n<br />
f(x ∗ i )<br />
i=1<br />
= (b − a) lím<br />
n→∞<br />
= (b − a) lím<br />
n→∞<br />
= (b − a) lím<br />
n→∞ f(x ∗ n+1 )<br />
i=1<br />
f(x ∗ 1 ) + · · · + f(x∗ n )<br />
aplicando Stöltz<br />
n<br />
∗ f(x1 ) + · · · + f(x∗ n+1 ) − f(x∗ 1 ) + · · · + f(x∗n )<br />
(n + 1 − n)<br />
= (b − a) · f(b) (f es continua y xn+1 ∈ [xn, b])<br />
Según lo cual obtenemos el valor exacto <strong>de</strong> b<br />
f(x) dx = (b − a)f(b). ¿Qué falla en el razonamiento<br />
a<br />
anterior?<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 420<br />
El fallo <strong>de</strong>l razonamiento está en la simplificación <strong>de</strong> la tercera igualdad. Tal error proviene <strong>de</strong> una<br />
excesiva relajación <strong>de</strong> la notación utilizada en algunas fórmulas. La utilizada en este razonamiento tal<br />
y como la vimos en el teorema ?? y particularizada a una partición regular es:<br />
b<br />
a<br />
f = lím 1<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
f(x ∗n<br />
i )<br />
Siendo f una función integrable en [a, b], Pn = {x0, x1, . . . , xn} la partición regular en n subintervalos<br />
<strong>de</strong> [a, b] y ∗n = {x ∗n<br />
1 , . . . x∗n n } una elección <strong>de</strong> puntos intermedios para cada partición Pn. Si hubieramos<br />
utilizado estas expresiones en el razonamiento <strong>de</strong>l enunciado, nos hubieramos dado cuenta que en la<br />
tercera igualdad no se pue<strong>de</strong> simplificar f(x ∗n+1<br />
i<br />
) con f(x ∗n<br />
i ), ya que, en general, pue<strong>de</strong>n no coincidir.<br />
Este ejercicio nos <strong>de</strong>be llevar a la conclusión <strong>de</strong> no simplificar en exceso las notaciones, por engorrosas<br />
que nos parezcan, ya que pue<strong>de</strong> llevarnos a conclusiones erróneas. Piense el lector que, en este caso,<br />
la conclusión es lo bastante absurda como para hacernos sospechar, pero que igualmente podríamos<br />
haber llegado a un resultado menos sospechoso y no por ello menos falso.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 421<br />
a)<br />
Problema 192 Demostrar por inducción las fórmulas siguientes:<br />
n<br />
i =<br />
i=1<br />
a)<br />
n<br />
i =<br />
i=1<br />
n(n + 1)<br />
.<br />
2<br />
n(n + 1)<br />
2<br />
b)<br />
(i) La fórmula es válida para n = 2:<br />
n<br />
i 2 =<br />
i=1<br />
n(n + 1)(2n + 1)<br />
6<br />
1 + 2 =<br />
2 · 3<br />
2<br />
c)<br />
n<br />
i 3 <br />
n(n + 1)<br />
=<br />
2<br />
(ii) Supongamos que la fórmula es válida para n = k. (Tenemos que <strong>de</strong>ducir que, en tal caso, también<br />
es válida para n = k + 1):<br />
k+1<br />
i = (k + 1) +<br />
i=1<br />
k<br />
i<br />
i=1<br />
k(k + 1)<br />
= (k + 1) +<br />
2<br />
= (k + 1)(k + 2)<br />
2<br />
Y, efectivamente, esta última expresión correspon<strong>de</strong> a la fórmula propuesta evaluada en k + 1.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
i=1<br />
2
Integración 422<br />
b)<br />
c)<br />
Por tanto, la fórmula es válida para todo n ∈ N.<br />
n<br />
i 2 =<br />
i=1<br />
n(n + 1)(2n + 1)<br />
.<br />
6<br />
(i) La fórmula es válida para n = 2:<br />
1 + 4 =<br />
2 · 3 · 5<br />
6<br />
(ii) Supongamos que la fórmula es válida para n = k − 1. (Tenemos que <strong>de</strong>ducir que, en tal caso,<br />
también es válida para n = k):<br />
k<br />
i=1<br />
<br />
i 2<br />
i 2 = k 2 k−1<br />
+<br />
i=1<br />
= k 2 (k − 1)k(2k − 1)<br />
+<br />
6<br />
= 2k3 + 3k2 + k<br />
=<br />
6<br />
k(k + 1)(2k + 1)<br />
6<br />
Y, efectivamente, esta última expresión correspon<strong>de</strong> a la fórmula propuesta evaluada en k.<br />
Por tanto, la fórmula es válida para todo n ∈ N.<br />
n<br />
i=1<br />
i 3 = n2 (n + 1) 2<br />
.<br />
4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 423<br />
(i) La fórmula es válida para n = 2:<br />
1 + 8 =<br />
(ii) Supongamos que la fórmula es válida para n = k − 1. (Tenemos que <strong>de</strong>ducir que, en tal caso,<br />
también es válida para n = k):<br />
k<br />
i=1<br />
<br />
i 3<br />
i 3 = k 3 k−1<br />
+<br />
i=1<br />
= k 3 + (k − 1)2 k 2<br />
4<br />
= k4 + 2k 3 + k 2<br />
4<br />
= k2 (k + 1) 2<br />
4<br />
Y, efectivamente, esta última expresión correspon<strong>de</strong> a la fórmula propuesta evaluada en k.<br />
Por tanto, la fórmula es válida para todo n ∈ N.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
4 · 9<br />
4
Integración 424<br />
Problema 193 Hallar el área total <strong>de</strong> la región o regiones acotadas por las curvas dadas:<br />
a) y = x 4 , y = 1 b) y = x, y = x 3 ; c) y = x 2 , y = x 3 ;<br />
d) x = y 2 , y = x − 2 e) y = x 2 − 1, y = √ 1 − x 2 ; f) y = x 2 − 1, y = x + 1;<br />
g) x = y2 − 4, x = 2 − y h) y = ex − e, x = 0, y = 0 i) y = 9<br />
, x + y = 2;<br />
4x+5<br />
j) y = cosec2 x para π/3 ≤ x ≤ 2π/3, y = 4<br />
3 k) x = 2y2 , x = 8;<br />
a) y = x4 , y = 1. Estas dos curvas se cortan en x = −1 y x = 1 y entre estos dos puntos, la recta y = 1<br />
está por encima <strong>de</strong> la curva y = x4 ; por tanto, el área que queda entre ellas es:<br />
1<br />
A = (1 − x 4 <br />
)dx = x − x5<br />
1 5<br />
= (1 − 1 1 8<br />
) − (−1 + ) =<br />
5 5 5<br />
−1<br />
b) y = x, y = x3 . Estas dos curvas se cortan en x = −1, x = 0 y x = 1. Por tanto, el área que queda<br />
entre ellas es:<br />
<br />
0<br />
<br />
(x − x<br />
−1<br />
3 <br />
<br />
)dx<br />
+<br />
<br />
1<br />
<br />
(x − x<br />
0<br />
3 <br />
<br />
)dx<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
2 0<br />
x<br />
<br />
x4 <br />
− <br />
2 4 −1<br />
+<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
2 1<br />
x<br />
<br />
x4 <br />
− <br />
2 4 0<br />
<br />
<br />
<br />
−1 <br />
1<br />
+ <br />
2 4<br />
+<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
− <br />
2 4<br />
= 1<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
−1
Integración 425<br />
c) y = x 2 , y = x 3 ; los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las dos curvas son x = 0 y x = 1. Por tanto, el área que queda<br />
entre ellas es<br />
<br />
<br />
A = <br />
<br />
1<br />
(x<br />
0<br />
2 − x 3 )dx<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
3<br />
x<br />
<br />
3<br />
− x4<br />
4<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
= −<br />
3 4<br />
d) x = y 2 , y = x − 2. La región coinci<strong>de</strong> con la región comprendida entre las gráficas <strong>de</strong> f(y) = y 2 y<br />
g(y) = y + 2 (ver apartado g); los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las dos gráficas son y = −1 y y = 2 y por tanto,<br />
el área que queda entre ellas es:<br />
<br />
2<br />
A = <br />
(y 2 <br />
<br />
− y − 2)dy<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
(<br />
<br />
y3<br />
3<br />
−1<br />
− y2<br />
2<br />
2 − 2y)<br />
−1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 1<br />
12<br />
= 33<br />
6<br />
e) y = x 2 − 1, y = √ 1 − x 2 ; los puntos <strong>de</strong> corte son x = −1 y x = 1 y el área pedida es:<br />
<br />
<br />
A = <br />
<br />
1<br />
(x<br />
−1<br />
2 − 1 − √ 1 − x2 )dx<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
−4 <br />
π <br />
− <br />
3 2 <br />
4 π<br />
= +<br />
3 2<br />
f) y = x2 − 1, y = x + 1; los puntos <strong>de</strong> corte son x = −1 y x = 2 y el área:<br />
<br />
2<br />
A = <br />
(x + 1 − x 2 <br />
<br />
+ 1)dx<br />
=<br />
<br />
2<br />
<br />
(−x 2 <br />
<br />
+ x + 2)dx<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
9<br />
<br />
2<br />
<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
−1<br />
−1<br />
= 9<br />
2
Integración 426<br />
g) x = y 2 − 4, x = 2 − y. Dado que no po<strong>de</strong>mos expresar y como función <strong>de</strong> x en la primera curva,<br />
po<strong>de</strong>mos calcular el área consi<strong>de</strong>rando la región simétrica respecto <strong>de</strong> la bisectriz <strong>de</strong>l primer y tercer<br />
cuadrante; es <strong>de</strong>cir, el área pedida coinci<strong>de</strong> con el área <strong>de</strong>terminada por las curvas y = x 2 −4, y = 2−x<br />
x = y 2 − 4<br />
Y<br />
x = 2 − y<br />
X<br />
−3<br />
−2<br />
y = x 2 − 4<br />
Los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> estas curvas son x = −3, x = 2 y el área:<br />
A =<br />
2<br />
−3<br />
(2 − x − x 2 + 4)dx = 22<br />
3<br />
Y<br />
y = 2 − x<br />
h) y = ex − e, x = 0, y = 0; el punto <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> la curva con el eje OX es x = 1 y el área pedida es:<br />
<br />
1<br />
<br />
(e x <br />
<br />
− e)dx<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
(e<br />
<br />
x <br />
1<br />
<br />
− ex) = | − 1| = 1<br />
<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0<br />
2<br />
X
Integración 427<br />
i) y = 9<br />
, x + y = 2; los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las dos curvas son x = −1/2 y x = 1 y el área:<br />
4x + 5<br />
<br />
<br />
A = <br />
<br />
1<br />
−1/4<br />
<br />
9<br />
<br />
( − 2 + x)dx<br />
4x + 5 =<br />
<br />
<br />
<br />
9<br />
2<br />
log 3<br />
2<br />
<br />
65<br />
− <br />
32<br />
65 9 3<br />
= − log<br />
32 2 2<br />
j) y = cosec2 x para π/3 ≤ x ≤ 2π/3, y = 4.<br />
Los únicos puntos <strong>de</strong> corte en el intervalo [π/3, 2π/3] son<br />
3<br />
los extremos <strong>de</strong>l intervalo; por tanto, el área pedida es:<br />
2π/3<br />
π/3<br />
<br />
4<br />
3 − cosec2 2π/3 4<br />
x dx = + cotg x =<br />
3 π/3<br />
4π 2<br />
− √<br />
9 3<br />
k) x = 2y 2 , x = 8. Razonando como en el apartado g, este área coinci<strong>de</strong> con la <strong>de</strong> la región comprendida<br />
entre las curvas y = 2x 2 e y = 8; los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> estas dos curvas son x = −2 y x = 2 y el área<br />
pedida:<br />
2<br />
−2<br />
(8 − 2x 2 )dx =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
8x − 2<br />
3 x3<br />
2 =<br />
−2<br />
64<br />
3
Integración 428<br />
Problema 194 Calcular el área <strong>de</strong> la región <strong>de</strong>l primer cuadrante limitada por las curvas x 2 + y 2 = 2,<br />
y = 0 e y = x 2 .<br />
Las curvas (en el primer cuadrante) se cortan solo en el punto x = 1 y por tanto el área pedida es:<br />
1<br />
0<br />
<br />
x 2 − √ 2 − x2 3 x<br />
dx =<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 x√<br />
x<br />
− 2 − x2 − arc sen √2<br />
2<br />
0<br />
= π 1<br />
−<br />
4 2
Integración 429<br />
Problema 195 Expresar en términos <strong>de</strong> una integral el área <strong>de</strong> la región más gran<strong>de</strong> limitada por x 2 +y 2 =<br />
25 y la recta x = −3.<br />
La región <strong>de</strong>scrita es un segmento circular <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> centro (0, 0) y radio 5; <strong>de</strong> los dos segmento<br />
formados, el mayor correspon<strong>de</strong> a x ∈ (−3, 5) y su área es:<br />
5<br />
<br />
√<br />
2 25 − x2 dx = x<br />
−3<br />
√ 25 − x2 + 25 arc sen x<br />
5 =<br />
5 −3<br />
25π<br />
3<br />
+ 12 + 25 arc sen<br />
2 5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 430<br />
Problema 196 Hallar el valor <strong>de</strong> c tal que el triángulo limitado por y = 2x, y = 0, y x = 4 está dividido<br />
en dos regiones <strong>de</strong> áreas iguales por la recta y = c.<br />
El área total <strong>de</strong>l triángulo se pue<strong>de</strong> calcular como:<br />
8<br />
0<br />
(4 − y<br />
)dy =<br />
2<br />
<br />
4y − y2<br />
8 = 16<br />
4 0<br />
Si cortamos el triángulo por la recta y = c, el área <strong>de</strong> una <strong>de</strong> las mita<strong>de</strong>s se calcula como:<br />
c<br />
0<br />
(4 − y<br />
)dy =<br />
2<br />
<br />
4y − y2<br />
4<br />
Por tanto, el número c que buscamos es solución <strong>de</strong> la ecuación:<br />
4c − c2<br />
4<br />
= 8,<br />
c<br />
0<br />
= 4c − c2<br />
4<br />
es <strong>de</strong>cir, c = 8 − 4 √ 2 (la otra solución <strong>de</strong> la ecuación es mayor que 8 y por tanto no es válida como solución<br />
<strong>de</strong>l ejercicio).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 431<br />
Problema 197 Hallar el valor <strong>de</strong> c tal que la región limitada por y = x 2 e y = 4 está dividida en dos<br />
regiones <strong>de</strong> áreas iguales por y = c.<br />
Dado que la curva y = x 2 es simétrica respecto <strong>de</strong>l eje OY , basta hacer el estudio para x ∈ (0, 2).<br />
Seguimos el camino <strong>de</strong>l ejercicio anterior; el área total <strong>de</strong> la región es:<br />
4<br />
0<br />
( √ y) dy =<br />
<br />
2<br />
3 y3/2<br />
4 =<br />
0<br />
16<br />
3<br />
Si cortamos por la recta y = c, el área <strong>de</strong> una <strong>de</strong> las mita<strong>de</strong>s es:<br />
c<br />
0<br />
( √ y) dy =<br />
2<br />
3 y3/2<br />
c<br />
0<br />
= 2<br />
3 c3/2<br />
Por tanto, el número c buscado es solución <strong>de</strong> la ecuación 2<br />
3 c3/2 = 8<br />
3 , es <strong>de</strong>cir, c = 2 3√ 2.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 432<br />
Problema 198 La <strong>de</strong>nsidad longitudinal <strong>de</strong> masa ρ(x) <strong>de</strong> una varilla a una distancia x <strong>de</strong> un extremo <strong>de</strong><br />
dicha varilla es la masa que tendría una varilla <strong>de</strong> una unidad <strong>de</strong> longitud que tuviera la misma composición<br />
y grosor que tiene en x en todas partes. Una varilla <strong>de</strong>lgada <strong>de</strong> 3 cm <strong>de</strong> longitud tiene <strong>de</strong>nsidad longitudinal<br />
1 x + 5<br />
·<br />
20 x + 1 kg/m<br />
a una distancia x <strong>de</strong>l extremo más grueso <strong>de</strong> la varilla. Hallar la masa <strong>de</strong> la varilla.<br />
Para aproximar la masa total <strong>de</strong> la varilla po<strong>de</strong>mos dividirla en n trozos iguales, y suponer que la<br />
<strong>de</strong>nsidad longitudinal en cada trozo es constante:<br />
Mn =<br />
n<br />
ρ(x ∗ i )(xi − xi−1)<br />
i=1<br />
La masa exacta <strong>de</strong> la varilla será el límite <strong>de</strong> la sucesión así formada. Dado que la función ρ(x) es continua<br />
y en consecuencia integrable, este límite existe y coinci<strong>de</strong> con el valor <strong>de</strong> la integral entre 0 y 3. (Tenemos<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 433<br />
que asegurarnos <strong>de</strong> que la función es integrable para po<strong>de</strong>r afirmar que el método es el a<strong>de</strong>cuado).<br />
La masa es:<br />
3<br />
0<br />
0 x1 x2 x3 x4 xn −1 3 0<br />
3<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
ρ (x ∗ 1) ρ (x ∗ 2)ρ (x ∗ 3)ρ (x ∗ 4) ρ (x ∗ n )<br />
M n =<br />
n<br />
ρ (x ∗ n )(xi − xi−1)<br />
i=1<br />
3<br />
1 x + 5<br />
· dx =<br />
2000 x + 1 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
M =<br />
3<br />
0<br />
ρ (x) dx<br />
3 1 4<br />
1<br />
(1 + ) dx = (x + 4 log(x + 1)) =<br />
2000 x + 1 2000 0<br />
3 + 4 log 4<br />
2000
Integración 434<br />
Problema 199 La <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> superficie <strong>de</strong> masa (masa por unidad <strong>de</strong> área) se <strong>de</strong>fine para una lámina<br />
<strong>de</strong>lgada <strong>de</strong> material <strong>de</strong> modo análogo a la <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad longitudinal <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>l ejercicio anterior. Una<br />
lámina <strong>de</strong>lgada <strong>de</strong> material cubre la región plana limitada por y = (x − 2) 2 e y = 1. Si las unida<strong>de</strong>s están<br />
en metros y el área <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> (x, y) es x/2 kg/m 2 , hallar la masa <strong>de</strong> la lámina.<br />
(Ver el problema anterior). Sea f(x) = 1 − (x − 2) 2 ; el área <strong>de</strong> la region <strong>de</strong>scrita es la integral <strong>de</strong> esta<br />
función f entre 1 y 3.<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
1 x1 x2 x3 xn −1 3<br />
ρ (x∗ 1) ρ (x∗ 2) ρ (x∗ 3) ρ (x∗ n )<br />
Como ya sabemos, para aproximar este área po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar una partición <strong>de</strong>l intervalo [1, 3] en n trozos<br />
iguales; la aproximación será An = n<br />
i=1 f(x∗ i )(xi − xi−1). A partir <strong>de</strong> esta expresión y suponiendo que en<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 435<br />
cada trozo la <strong>de</strong>nsidad es constante, po<strong>de</strong>mos obtener una aproximación <strong>de</strong> la masa <strong>de</strong> la lámina:<br />
Mn =<br />
n<br />
i=1<br />
ρ(x ∗ i )f(x ∗ i )(xi − xi−1);<br />
dado que las funciones ρ y f son continuas, el límite <strong>de</strong> la sucesión así formada nos da la masa exacta <strong>de</strong> la<br />
lámina y vale:<br />
3<br />
1<br />
ρf. Por tanto,<br />
M =<br />
3<br />
1<br />
ρ(x)f(x) dx =<br />
3<br />
1<br />
x<br />
2 (1 − (x − 2)2 ) dx = 4<br />
3<br />
Por último, hay que observar que el planteamiento anterior lo hemos podido hacer porque la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> la<br />
lámina <strong>de</strong>pendía solamente <strong>de</strong> la coor<strong>de</strong>nada x, en otros casos, tendremos que recurrir a integración multiple<br />
(capítulo 13).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 436<br />
Problema 200 En los siguientes apartados usar el método <strong>de</strong> discos para hallar el volumen <strong>de</strong>l sólido<br />
generado al girar la región dada entre los límites dados sobre el eje indicado:<br />
a) Limitada por y = x 2 + 1, y = 0, x = 1, x = −1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
b) Limitada por y = √ x, x = 4, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
c) Limitada por y = x 2 , y = 3 − 2x alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
d) Limitada por y = sen x para 0 ≤ x ≤ π, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
e) Limitada por y = sen x para 0 ≤ x ≤ π, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta y = 1.<br />
f) Limitada por y = x 2 , y = 1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta y = 2.<br />
a) Limitada por y = x 2 + 1, y = 0, x = 1, x = −1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX:<br />
V =<br />
1<br />
π(x<br />
−1<br />
2 + 1) 2 dx =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
π( x5 2<br />
+<br />
5 3 x3 1 + x) =<br />
−1<br />
56<br />
15 π
Integración 437<br />
b) Limitada por y = √ x, x = 4, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX:<br />
V =<br />
4<br />
0<br />
πxdx =<br />
<br />
π x2<br />
4 = 8π<br />
2 0<br />
c) Limitada por y = x 2 , y = 3 − 2x alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX. Los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las dos curvas son<br />
x = −3 y x = 1 y el volumen pedido es:<br />
V =<br />
1<br />
−3<br />
π(3 − 2x) 2 dx −<br />
1<br />
−3<br />
π(x 2 ) 2 dx = π( 364<br />
3<br />
d) Limitada por y = sen x para 0 ≤ x ≤ π, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX:<br />
V =<br />
π<br />
0<br />
π sen 2 x dx = π2<br />
2<br />
− 244<br />
5 )<br />
e) Limitada por y = sen x para 0 ≤ x ≤ π, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta y = 1. (Obsérvese que la curva no<br />
corta al eje <strong>de</strong> giro).<br />
En los casos en que la región que se gira no esté situada en el plano <strong>de</strong> tal forma que el eje <strong>de</strong> giro<br />
coincida con uno <strong>de</strong> los ejes coor<strong>de</strong>nados, solamente tenemos que <strong>de</strong>splazar la región y el eje por el<br />
plano hasta conseguirlo.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 438<br />
En este caso, la región <strong>de</strong>scrita coindi<strong>de</strong> con la región comprendida entre la gráfica <strong>de</strong> f(x) = sen x − 1<br />
y el eje OX y el sólido <strong>de</strong>scrito se genera al girar esta región alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> este eje. Es conveniente que<br />
el lector se ayu<strong>de</strong> <strong>de</strong> las representaciones gráficas para enten<strong>de</strong>r lo que se ha hecho; en el apartado<br />
siguiente se pue<strong>de</strong> ver otro ejemplo similar con su representación (este tipo <strong>de</strong> manipulaciones son<br />
frecuentes en los problemas <strong>de</strong> aplicación <strong>de</strong> la integral). El volumen pedido es:<br />
V =<br />
π<br />
0<br />
π(1 − sen x) 2 dx = 3<br />
2 π2 − 4π<br />
f) Limitada por y = x 2 , y = 1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta y = 2. Los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las curvas son x = −1<br />
y x = 1.<br />
y =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Y<br />
2<br />
1<br />
x2<br />
X<br />
y<br />
= 2 − x 2<br />
1<br />
Y<br />
X
Integración 439<br />
Seguimos el método <strong>de</strong>l apartado anterior, y observamos que el cuerpo <strong>de</strong>scrito coinci<strong>de</strong> con el obtenido<br />
al girar la región comprendida entre y = 2 − x 2 e y = 1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX y su volumen es:<br />
V =<br />
1<br />
π(2 − x<br />
−1<br />
2 ) 2 1<br />
dx −<br />
−1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π dx = 56<br />
15 π
Integración 440<br />
Problema 201 Se corta una cuña <strong>de</strong> un tronco (cilíndrico) <strong>de</strong> radio 2 dm dando dos cortes con una sierra<br />
mecánica que llegan hasta el centro <strong>de</strong>l tronco. Si uno <strong>de</strong> los cortes se hace perpendicular y el otro formando<br />
un ángulo <strong>de</strong> 30 ◦ con el primero, ¿qué volumen tendrá la cuña?<br />
X<br />
y<br />
= √ 4 − x<br />
30<br />
√<br />
4 − x2 ◦<br />
2<br />
Y<br />
√ 3 √ 4 − x 2<br />
Situando el sólido como se muestra en la figura, tenemos que el área <strong>de</strong> cada sección perpendicular al eje<br />
OX es A(x) = √ 3<br />
2 (4 − x2 ), y por tanto, el volumen <strong>de</strong> la cuña es:<br />
2 √<br />
2<br />
3<br />
V = A =<br />
−2 −2 2 (4 − x2 )dx = 8 √ 3dm 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 441<br />
Problema 202 Se va a diseñar un contenedor <strong>de</strong> papel para reciclar con la forma <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> truncada,<br />
en la que las bases inferior y superior son cuadrados <strong>de</strong> lado 100 y 60 cm, respectivamente. ¿Qué altura <strong>de</strong>be<br />
tener el contenedor para que su volumen sea exactamente un metro cúbico?<br />
100<br />
Y<br />
x<br />
y = 100 −<br />
Situamos el contenedor como se muestra en la figura, <strong>de</strong> forma que el eje <strong>de</strong> la pirami<strong>de</strong> coinci<strong>de</strong> con el<br />
eje OX y cada sección perpendicular a este eje es un cuadrado. Si la altura <strong>de</strong>l tronco es h, su volumen es:<br />
V =<br />
h<br />
0<br />
h<br />
60<br />
40<br />
h<br />
(100 − 40<br />
h x)2 dx = 19600<br />
h cm3<br />
3<br />
Por tanto, la altura buscada es solución <strong>de</strong> la ecuación: 19600<br />
7500<br />
h = 1000000, es <strong>de</strong>cir, h = 3 49<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x<br />
X
Integración 442<br />
Problema 203 La base <strong>de</strong> un sólido es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa <strong>de</strong> longitud a.<br />
Cada sección plana <strong>de</strong>l sólido cortada por un plano perpendicular a la hipotenusa es un cuadrado. Hallar el<br />
volumen <strong>de</strong>l sólido.<br />
Z<br />
Y<br />
y = x<br />
Situamos el sólido como se muestra en la figura, haciendo coincidir el eje OX con la hipotenusa <strong>de</strong> la<br />
base <strong>de</strong>l sólido. El área <strong>de</strong> cada sección perpendicular al eje OX es A(x) = ( a<br />
2 − x)2 y el volumen <strong>de</strong>l sólido<br />
(completo) es:<br />
V = 2<br />
a/2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
a/2<br />
( a<br />
2 − x)2 dx = a3<br />
24<br />
X
Integración 443<br />
Problema 204 Un sólido tiene como base una región plana limitada por x = y 2 y x = 4. Cada sección<br />
plana <strong>de</strong>l sólidos cortada por un plano perpendicular al eje OX es un triángulo rectángulo isósceles con un<br />
ángulo recto en la gráfica <strong>de</strong> √ x. Hallar el volumen <strong>de</strong>l sólido.<br />
Situando el sólido como muestra la figura 7.1, se tiene que el area <strong>de</strong> cada sección perpendicular a OX<br />
es A(x) = 1<br />
2 (2√ x) 2 = 2x 2 , y el volumen <strong>de</strong>l cuerpo<br />
V =<br />
4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
2x 2 dx = 128<br />
3
Integración 444<br />
Z<br />
y = √<br />
− x<br />
4<br />
X<br />
y = √ x<br />
Figura 7.1: Ejercicio 12.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 445<br />
Problema 205 En los siguientes apartados usar el método <strong>de</strong> las capas para hallar el volumen <strong>de</strong>l sólido<br />
generado al girar la región con los límites dados alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje indicado:<br />
a) Limitada por y = x 2 , y = 1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta x = 2.<br />
b) Limitada por y = x, y = x 2 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
c) Limitada por x = y 2 , x = y + 2 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta y = 2.<br />
d) Limitada por y = sen x para 0 ≤ x ≤ π, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta x = 2π.<br />
a) Limitada por y = x2 , y = 1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta x = 2: los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las curvas son x = −1<br />
y x = 1. El sólido así generado es el mismo que el generado al girar la región limitada por la curva<br />
y = 1 − (x − 2) 2 y el eje OX alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY ; por tanto, su volumen es:<br />
V =<br />
3<br />
1<br />
2πx(1 − (x − 2) 2 ) dx = 8<br />
3 π<br />
b) Limitada por y = x, y = x2 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX: los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las curvas son x = 0, x = 1.<br />
El sólido así generado coinci<strong>de</strong> con el generado al girar la región comprendida entre y = √ x e y = x<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY (hacemos esto para utilizar el método <strong>de</strong> las capas). El volumen pedido es:<br />
V =<br />
1<br />
0<br />
2πx √ x dx −<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
0<br />
2πx 2 dx = 2<br />
15 π
Integración 446<br />
c) Limitada por x = y 2 , x = y + 2 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta y = 2: Los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las curvas son<br />
y = −1 e y = 2. El sólido así generado es el mismo que el generado al girar la región comprendida<br />
entre las curvas y = (2 − x) 2 e y = (2 − x) + 2, x ∈ (0, 3), alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY ; por tanto, el volumen<br />
pedido es:<br />
V =<br />
3<br />
0<br />
2πx(4 − x)dx −<br />
3<br />
0<br />
2πx(2 − x) 2 dx = 27<br />
2 π<br />
d) Limitada por y = sen x para 0 ≤ x ≤ π, y = 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta x = 2π. El sólido coinci<strong>de</strong> con<br />
el generado al girar la región limitada por la curva y = sen 2π − x = − sen x para π ≤ x ≤ 2π, y = 0<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY :<br />
V =<br />
2π<br />
π<br />
−x sen x dx =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2π 2π<br />
2πx cos x − 2π cos x dx = 6π<br />
π π<br />
2
Integración 447<br />
Problema 206 Derivar la fórmula V = 4<br />
3 πa3 para el volumen <strong>de</strong> la esfera <strong>de</strong> radio a, usando el método <strong>de</strong><br />
capas.<br />
Si giramos la región por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x) = √ a 2 − x 2 con x ∈ (0, a), alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY ,<br />
obtenemos una semiesfera; por tanto, el volumen <strong>de</strong> la esfera se pue<strong>de</strong> calcular como:<br />
V = 2<br />
a<br />
2πx<br />
0<br />
√ a2 − x2 dx =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
− 4<br />
3 π(a2 − x 2 ) 3/2<br />
a<br />
0<br />
= 4<br />
3 πa3
Integración 448<br />
Problema 207 Una cáscara esférica <strong>de</strong> radio r y <strong>de</strong> grosor h es, por <strong>de</strong>finición, la región comprendida<br />
entre dos esferas concéntricas <strong>de</strong> radio r − h/2 y r + h/2.<br />
a) Hallar una fórmula para el volumen, V (r, h), <strong>de</strong> una cáscara esférica <strong>de</strong> radio r y <strong>de</strong> grosor h.<br />
b) Para un radio fijo r, ¿cuánto vale d<br />
V (r, h) cuando h = 0? Interpretar el resultado en términos <strong>de</strong><br />
dh<br />
la superficie <strong>de</strong> la esfera.<br />
c) El volumen <strong>de</strong> la cascara esférica <strong>de</strong> radio r y <strong>de</strong> grosor h la po<strong>de</strong>mos calcular restándole al volumen<br />
d)<br />
<strong>de</strong> la esfera <strong>de</strong> radio r + h<br />
2<br />
el volumen <strong>de</strong> la esfera <strong>de</strong> radio r − h<br />
2 :<br />
V (r, h) = 4 h<br />
π((r +<br />
3 2 )3 − (r − h<br />
2 )3 ) = 4πr 2 h + 1<br />
3 h3<br />
d<br />
dh V (r, h) = 4πr2 + h 2 ; d<br />
dh V (r, h)(0) = 4πr2 . Esta <strong>de</strong>rivada coinci<strong>de</strong> con el valor <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la<br />
esfera.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 449<br />
Problema 208 En los siguientes apartados hallar la longitud <strong>de</strong> la curva con la ecuación dada:<br />
a) y = 1<br />
3 (x2 − 2) 3/2 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 2 a x = 4.<br />
b) 9(x + 2) 2 = 4(y − 1) 3 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> y = 1 a y = 4, x ≥ −2.<br />
c) y = x 3 + 1<br />
12x<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 1 a x = 2.<br />
d) x = y 4 + 1/(32y 2 ) <strong>de</strong>s<strong>de</strong> y = −2 a y = −1<br />
e) x 2/3 + y 2/3 = a 2/3<br />
a) f(x) = 1<br />
3 (x2 − 2) 3/2 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 2 a x = 4;<br />
f ′ (x) = x √ x 2 − 2 x ∈ [2, 4]<br />
[f ′ (x)] 2 = x 2 (x 2 − 2)<br />
1 + [f ′ (x)] 2 = √ 1 − 2x 2 + x 4 = x 2 − 1<br />
L =<br />
4<br />
2<br />
(x 2 − 1) dx = 50<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 450<br />
b) 9(x + 2) 2 = 4(y − 1) 3 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> y = 1 a y = 4, x ≥ −2; x = 2<br />
3 (y − 1)3/2 − 2, y ∈ [1, 4]:<br />
f(y) = 2<br />
3 (y − 1)3/2 − 2 y ∈ [1, 4]<br />
f ′ (y) = y − 2<br />
1 + [f ′ (y)] 2 = 1 + y − 2 = y − 1<br />
L =<br />
4<br />
1<br />
y − 1 dy = 2 √ 3<br />
c) y = x 3 + 1/(12x) <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 1 a x = 2;<br />
f(x) = x 3 + 1<br />
12x<br />
f ′ (x) = 3x 2 − 1<br />
1 + [f ′ (x)] 2 =<br />
L =<br />
x ∈ [1, 2]<br />
12x2 <br />
362x16 + 72x4 + 1<br />
144x4 = 36x4 + 1<br />
12x2 2<br />
1<br />
36x4 + 1<br />
dx =<br />
12x2 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
3x 2 + 1 169<br />
dx =<br />
12x2 24
Integración 451<br />
d) x = y 4 + 1/(32y 2 ) <strong>de</strong>s<strong>de</strong> y = −2 a y = −1;<br />
f(y) = y 4 + 1<br />
32y 2<br />
f ′ (y) = 4y 3 − 1<br />
1 + [f ′ (y)] 2 =<br />
L =<br />
y ∈ [−2, −1]<br />
16y3 <br />
163y12 + 2 · 43y6 + 1<br />
−1<br />
−2<br />
16 2 y 6<br />
− 43y6 + 1<br />
dy =<br />
16y<br />
−1<br />
−2<br />
= − 43 y 6 + 1<br />
16y 3<br />
−(4y 3 + 1 1923<br />
3 )dy =<br />
16y 128<br />
Hemos introducido un signo “−” al simplificar la raíz para hacer positiva la expresión, es <strong>de</strong>cir, tenemos<br />
que tomar la raíz positiva.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 452<br />
e) x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 . La figura siguiente muestra la curva completa.<br />
−a<br />
Y<br />
a<br />
Consi<strong>de</strong>ramos la función f cuya gráfica nos da la curva correspondiente al primer cuadrante, por lo<br />
que la longitud total será cuatro veces la <strong>de</strong> este segmento:<br />
f(x) = (a 2/3 − x 2/3 ) 3/2<br />
f ′ (x) = −x −1/3 (a 2/3 − x 2/3 ) 1/2<br />
1 + [f ′ (x)] 2 = (a/x) 1/3<br />
L = 4<br />
a<br />
0<br />
(a/x) 1/3 dx =<br />
−a<br />
x ∈ [0, a]<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
3<br />
2 (ax2 ) 1/3<br />
a 0<br />
a<br />
= 3<br />
2 a<br />
X
Integración 453<br />
Problema 209 En los siguientes apartados hallar el área <strong>de</strong> la superficie obtenida al girar la curva dada<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje indicado:<br />
a) x = 2y <strong>de</strong>s<strong>de</strong> (2, 1) a (6, 3) alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
b) y = x − 3 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 3 a x = 5 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta x = −1.<br />
c) y = √ x <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 1 a x = 3 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
d) x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 para x ≥ 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY .<br />
a) x = 2y <strong>de</strong>s<strong>de</strong> (2, 1) a (6, 3) alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX:<br />
6<br />
S = 2π<br />
2<br />
x<br />
<br />
1 +<br />
2<br />
1<br />
√<br />
5<br />
dx =<br />
4 4 πx2<br />
6 = 8<br />
2<br />
√ 5π<br />
b) y = x − 3 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 3 a x = 5 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la recta x = −1; la superfice así generada coinci<strong>de</strong> con la<br />
generada al girar la curva y = (x − 1) − 3 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 3 + 1 a x = 5 + 1 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY ; su área es:<br />
S =<br />
6<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
4<br />
2π(x − 4) √ 1 + 1 dx = 4 √ 2
Integración 454<br />
c) y = √ x <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 1 a x = 3 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX:<br />
3<br />
S = 2π √ <br />
x 1 + 1<br />
3<br />
dx =<br />
4x<br />
1<br />
1<br />
π √ 4x + 1 dx = π<br />
6 (√ 13 3 − √ 5 3 )<br />
d) x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 para y ≥ 0 alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX. Según la figura <strong>de</strong>l apartado (d) <strong>de</strong>l ejercicio<br />
anterior, nos basta hallar el área <strong>de</strong> la superficie generada al girar la función f(x) = (a 2/3 − x 2/3 ) 3/2<br />
con x ∈ [0, a] alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OY , el área pedida será el doble <strong>de</strong> esta:<br />
a<br />
S = 2 2πx(a/x)<br />
0<br />
1/3 dx =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
12<br />
5 πa1/3 x 5/3<br />
a<br />
0<br />
= 12<br />
5 πa2
Integración 455<br />
Problema 210 Si un cono tiene una base <strong>de</strong> radio r y generatriz s, el área <strong>de</strong> su superficie es πrs. Derivar<br />
esta fórmula al girar el segmento <strong>de</strong> la recta y = (r/h)x <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = 0 a x = h alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX.<br />
Comprobar el resultado obtenido usando el teorema <strong>de</strong> Pappus.<br />
Usando la fórmula dada en la sección ??, el área <strong>de</strong>l cono es:<br />
h<br />
S = 2π<br />
0<br />
r<br />
h x<br />
<br />
1 + r2<br />
<br />
dx = π<br />
h2 r<br />
h sx2<br />
h = πrs<br />
0<br />
El centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong>l segmento y = (r/h)x, x ∈ [0, h], es ( h x , ), y por tanto, el teorema <strong>de</strong> Pappus nos<br />
2 2<br />
dice que el área <strong>de</strong>l cono es:<br />
S = 2π r<br />
s = πrs<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 456<br />
Problema 211 Expresar las integrales impropias como una suma <strong>de</strong> integrales impropias <strong>de</strong> tipo básico.<br />
Establecer la convergencia o divergencia <strong>de</strong> las integrales, si es posible:<br />
a)<br />
d)<br />
π<br />
0<br />
4<br />
0<br />
tg xdx b)<br />
dx<br />
x 2 − 2x − 3 e)<br />
1<br />
0<br />
∞<br />
−∞<br />
dx<br />
x2 + x<br />
c)<br />
dx<br />
3√<br />
x + x3 f)<br />
2<br />
−2<br />
π<br />
0<br />
dx<br />
x2 − 4<br />
dx<br />
sen x − cos x<br />
El simple estudio <strong>de</strong>l dominio <strong>de</strong>l integrando nos da los puntos don<strong>de</strong> las integrales son impropias:<br />
a) I =<br />
b)<br />
π<br />
0<br />
tg xdx =<br />
π/2<br />
0<br />
π<br />
π/2<br />
π/2<br />
0<br />
tg xdx +<br />
π<br />
π/2<br />
tg xdx;<br />
<br />
t tg xdx = lím<br />
t→π/2<br />
(− log(cos x))<br />
tg xdx = lím<br />
t→π/2<br />
Por tanto, la integral I no converge.<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
x 2 + x<br />
= lím<br />
t→0<br />
<br />
log<br />
x<br />
x + 1<br />
<br />
(− log(− cos x))<br />
1<br />
0<br />
= +∞<br />
0<br />
0 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= +∞<br />
t<br />
= −∞
Integración 457<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
2<br />
−2<br />
dx<br />
x2 − 4 =<br />
0<br />
−2<br />
0<br />
−2<br />
2<br />
0<br />
dx<br />
x 2 − 4<br />
dx<br />
x 2 − 4<br />
dx<br />
x2 − 4 +<br />
2<br />
0<br />
<br />
1<br />
= lím<br />
t→−2 4<br />
= lím<br />
t→−2<br />
dx<br />
x 2 − 4 :<br />
2 − x<br />
log<br />
x + 2<br />
<br />
1 2 − x<br />
log<br />
4 x + 2<br />
0<br />
t<br />
t 0<br />
= −∞<br />
= −∞<br />
Por tanto, la integral propuesta diverge a −∞.<br />
4<br />
0<br />
dx<br />
x 2 − 2x − 3 =<br />
3<br />
0<br />
4<br />
3<br />
3<br />
0<br />
dx<br />
x 2 − 2x − 3<br />
dx<br />
x 2 − 2x − 3<br />
dx<br />
x 2 − 2x − 3 +<br />
<br />
1<br />
= lím<br />
t→3 4<br />
= lím<br />
t→3<br />
Por tanto, la integral no converge.<br />
∞<br />
−∞<br />
dx<br />
3√ x + x 3 =<br />
0<br />
−∞<br />
dx<br />
3√ x + x 3 +<br />
4<br />
3<br />
3 − x<br />
log<br />
3 + x<br />
<br />
1 x − 3<br />
log<br />
4 3 + x<br />
∞<br />
0<br />
dx<br />
x 2 − 2x − 3 :<br />
3<br />
0<br />
3 0<br />
= −∞<br />
= +∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
dx<br />
3√ 3 . Dado que lím<br />
x + x x→∞<br />
1<br />
3√<br />
x+x3 x3 ∞<br />
dx<br />
= 1 = 0, y la integral<br />
1 x3
Integración 458<br />
f)<br />
es convergente, la integral<br />
integral<br />
π<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
dx<br />
3√ x + x 3<br />
dx<br />
sen x − cos x =<br />
<strong>de</strong> f(x) =<br />
<br />
0<br />
−∞<br />
dx<br />
3√ x + x 3<br />
también es convergente. De la misma forma, se <strong>de</strong>duce que la<br />
también es convergente y en consecuencia, la integral propuesta es convergente.<br />
π/4<br />
0<br />
1<br />
sen x − cos x :<br />
dx<br />
sen x − cos x =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
dx<br />
sen x − cos x +<br />
π<br />
π/4<br />
<br />
2 dt<br />
t2 (t = tg<br />
+ 2t − 1<br />
x<br />
2 )<br />
1<br />
2 √ <br />
1<br />
2 t + 1 − √ 2 −<br />
1<br />
t + 1 + √ <br />
dt<br />
2<br />
1<br />
2 √ 2 log t + 1 − √ 2<br />
t + 1 + √ 2<br />
1<br />
2 √ 2<br />
1<br />
2 √ 2<br />
log tg x<br />
2 + 1 − √ 2<br />
tg x<br />
2 + 1 + √ 2<br />
x sen 2 log + (1 − √ 2) cos x<br />
2<br />
sen x<br />
2 + (1 + √ 2) cos x<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
dx<br />
; hallamos en primer lugar una primitiva<br />
sen x − cos x
Integración 459<br />
A partir <strong>de</strong> aquí y teniendo en cuenta que tg π<br />
8 = √ 2 − 1,<br />
π/4<br />
0<br />
π<br />
π/4<br />
dx<br />
sen x − cos x<br />
dx<br />
sen x − cos x<br />
= lím<br />
t→π/4<br />
= lím<br />
t→π/4<br />
<br />
1<br />
2 √ 2<br />
<br />
1<br />
2 √ 2<br />
Por tanto, la integral propuesta no converge.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x sen 2 log + (1 − √ 2) cos x<br />
2<br />
sen x<br />
2 + (1 + √ 2) cos x<br />
t 2 0<br />
x sen 2 log + (1 − √ 2) cos x<br />
2<br />
sen x<br />
2 + (1 + √ 2) cos x<br />
π 2 t<br />
= −∞<br />
= +∞
Integración 460<br />
Problema 212 Determinar si la integral impropia converge o no, y hallar su valor si converge:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
∞<br />
1<br />
0<br />
−∞<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
a)<br />
d)<br />
∞<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
√ x dx b)<br />
1<br />
√ dx e)<br />
2x − x2 <br />
1<br />
√ dx = 2<br />
x √ ∞ x = +∞<br />
1<br />
x2 x3 <br />
1<br />
dx =<br />
+ 1 3 log |x3 0 + 1| = −∞<br />
−∞<br />
1<br />
dx =<br />
(x − 1) 2<br />
<br />
− 1<br />
2 = +∞<br />
x − 1 1<br />
<br />
1<br />
√ dx = arc sen(x − 1)<br />
2x − x2 1<br />
0<br />
0<br />
x<br />
−∞<br />
2<br />
x3 dx c)<br />
+ 1<br />
∞<br />
0<br />
= π<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
e −x sen xdx f)<br />
2<br />
1<br />
π/2<br />
0<br />
1<br />
dx<br />
(x − 1) 2<br />
√ cos x cotg xdx
Integración 461<br />
e)<br />
f)<br />
∞<br />
0<br />
e −x sen xdx; hallamos una primitiva <strong>de</strong>l integrando:<br />
<br />
<br />
Por tanto:<br />
∞<br />
0<br />
e −x sen x dx = −e −x cos x −<br />
= −e −x cos x − e −x sen x −<br />
<br />
e −x cos x dx<br />
<br />
(Por partes)<br />
e −x sen x dx (Por partes)<br />
e −x sen x dx = − 1<br />
2 e−x (cos x + sen x). Ya po<strong>de</strong>mos estudiar la integral impropia:<br />
e −x sen xdx =<br />
<br />
− 1<br />
= lím<br />
t→+∞<br />
2 e−x ∞ (cos x + sen x)<br />
<br />
1 1<br />
−<br />
2<br />
0<br />
2 e−t <br />
(cos t + sen t)<br />
(para justificar este límite, téngase en cuenta que lím<br />
t→+∞ e−t = 0 y (cos t+sen t) es una función acotada)<br />
π/2<br />
0<br />
√ cos x cotg xdx =<br />
π/2<br />
0<br />
<br />
cos x<br />
√ dx = 2<br />
sen x √ π/2 sen x = 2.<br />
0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 1<br />
2
Integración 462<br />
Problema 213 Consi<strong>de</strong>rar la región <strong>de</strong>terminada por la gráfica <strong>de</strong> 1/x sobre la semirrecta x ≥ 1.<br />
¿Tiene la región área finita?<br />
Demostrar que el sólido ilimitado obtenido al girar la región alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje OX tiene volumen finito,<br />
y calcular este volumen.<br />
¿El sólido <strong>de</strong> volumen finito <strong>de</strong>scrito en el apartado anterior tiene el área <strong>de</strong> superficie finita?<br />
El área <strong>de</strong> la región se calcula como sigue:<br />
A =<br />
Por tanto, la región no tiene área finita.<br />
El volumen <strong>de</strong>l sólido así generado es:<br />
V =<br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
+∞<br />
1<br />
dx = log x = +∞<br />
x 1<br />
<br />
1<br />
dx = −<br />
x2 1<br />
+∞<br />
= 1<br />
x 1
Integración 463<br />
El área <strong>de</strong> la superficie es:<br />
S =<br />
+∞<br />
1<br />
2π 1<br />
<br />
1 +<br />
x<br />
1<br />
dx =<br />
x4 +∞<br />
1<br />
√<br />
x4 + 1<br />
2π<br />
x3 dx = +∞<br />
(para <strong>de</strong>ducir que esta integral es divergente, basta compararla con +∞<br />
1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
dx<br />
x<br />
que es divergente).
Integración 464<br />
Problema 214 Consi<strong>de</strong>rar la región <strong>de</strong>terminada por la gráfica <strong>de</strong> 1/ √ x en el intervalo semiabierto (0, 1]<br />
y el eje OX.<br />
a) ¿La región tiene área finita?<br />
b) Demostrar que el sólido ilimitado obtenido al girar la región alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje Y tiene volumen finito,<br />
y calcular este volumen.<br />
c) ¿El sólido <strong>de</strong> volumen finito <strong>de</strong>scrito en el apartado anterior tiene el área <strong>de</strong> superficie finita?<br />
(ver el ejercicio anterior)<br />
a) A =<br />
b) V =<br />
c) S =<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
dx<br />
√ = 2<br />
x √ 1 x = 2<br />
0<br />
2π x <br />
4<br />
√ dx =<br />
x 3 πx3/2<br />
2πx<br />
<br />
1 + 1<br />
dx =<br />
4x3 tiene el mismo carácter que<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
= 4<br />
3 π<br />
<br />
4x3 <br />
+ 1<br />
4x3 +1√<br />
π dx; dado que lím x = 1 = 0. La integral impropia<br />
x<br />
x→0 x<br />
dx<br />
√ , es <strong>de</strong>cir, convergente y en consecuencia el área <strong>de</strong> la superficie es<br />
x
Integración 465<br />
finita. (Si el lector intenta calcular el valor <strong>de</strong> este área, se encontrará con una integral binomia que<br />
no pue<strong>de</strong> resolverse).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 466<br />
Problema 215 Decidir si las integrales dadas convergen o divergen y razonar la respuesta. No es necesario<br />
calcular el valor <strong>de</strong> la integral si converge:<br />
a)<br />
d)<br />
h)<br />
10<br />
−3<br />
∞<br />
2<br />
∞<br />
1<br />
dx<br />
√ x + 3<br />
dx<br />
x 2 − 4<br />
b)<br />
e)<br />
| cos x|<br />
x2 dx i)<br />
∞<br />
x<br />
2<br />
3 + 3x + 2<br />
x5 dx c)<br />
− 8x<br />
∞<br />
dx<br />
0 x2/3 + x3/2 f)<br />
∞<br />
0<br />
| sen x|<br />
dx j)<br />
x3/2 ∞<br />
dx<br />
x 2 − 3x − 4<br />
3<br />
2<br />
dx<br />
√<br />
0 2x2 − x3 π/4<br />
0<br />
tg x<br />
dx<br />
x3/2 g)<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x(log x)<br />
Vamos a establecer solo la convergencia o divergencia <strong>de</strong> cada integral y para ello usaremos los criterios<br />
<strong>de</strong> comparación vistos en la sección ??; en todos los apartados se usaran las p-integrales para la comparación.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
10<br />
−3<br />
∞<br />
dx<br />
√ x + 3 es una p-integral convergente.<br />
x<br />
2<br />
3 + 3x + 2<br />
x5 dx solamente es impropia en +∞; tiene el mismo carácter que<br />
− 8x<br />
gente.<br />
2<br />
dx<br />
2 que es conver-<br />
x<br />
∞<br />
dx<br />
3 x2 − 3x − 4 =<br />
4<br />
dx<br />
3 x2 − 3x − 4 +<br />
∞<br />
dx<br />
4 x2 ; el primer sumando es una integral impropia en<br />
− 3x − 4<br />
1<br />
4 y el segundo es una integral impropia en +∞. Dado que lím<br />
x→4 x2 4<br />
dx<br />
(x − 4) = 5 = 0, y<br />
− 3x − 4 x − 4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
∞<br />
3
Integración 467<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
es divergente, el primer sumando es divergente y po<strong>de</strong>mos afirmar que la integral propuesta también<br />
<br />
es divergente. (Sin embargo, el segundo sumando si es convergente, ya que tiene el mismo carácter que<br />
∞<br />
dx<br />
2 .)<br />
x<br />
4<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
dx<br />
2 x2 − 4 =<br />
dx<br />
2 x2 − 4 +<br />
dx<br />
0 x2 . De la misma forma que en el apartado anterior, <strong>de</strong>ducimos que<br />
− 4<br />
el primer sumando es divergente y el segundo convergente, y en consecuencia, la integral propuesta es<br />
divergente.<br />
∞<br />
∞<br />
dx<br />
0 x2/3 dx<br />
; en 0 tiene el mismo carácter que que es convergente; en +∞, tiene el mismo<br />
3/2 2/3 + x 0 x<br />
∞<br />
dx<br />
carácter que que también es convergente; por tanto, la integral propuesta es convergente.<br />
3/2 x<br />
2<br />
dx<br />
√<br />
0 2x2 − x3 ∞<br />
que<br />
2<br />
0<br />
dx<br />
1 x(log x)<br />
divergente.<br />
0<br />
∞<br />
dx<br />
; en 0 tiene el mismo carácter que que es divergente; en 2 tiene el mismo carácter<br />
0 x<br />
dx<br />
que es convergente; por tanto, la integral propuesta es convergente.<br />
1/2 (2 − x)<br />
1<br />
solo es impropia en 1; es divergente, ya que lím (x − 1) = 1 = 0 y<br />
x→1 x log x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x − 1 es
Integración 468<br />
h)<br />
i)<br />
j)<br />
∞<br />
| cos x|<br />
1 x2 | cos x|<br />
dx;<br />
x2 ≤ 1<br />
x2 y como la integral correspondiente a la función mayorante es convergente,<br />
la propuesta también lo es.<br />
∞<br />
0<br />
| sen x|<br />
dx =<br />
3/2 x<br />
π/2<br />
0<br />
| sen x|<br />
dx+<br />
3/2 x<br />
∞<br />
π/2<br />
y el primero también converge por que lím<br />
t→0<br />
π/4<br />
0<br />
| sen x|<br />
| sen x| 1<br />
dx. El segundo sumando converge por que 3/2 3/2 ≤<br />
x x x3/2 | sen x|<br />
= 1<br />
x<br />
| sen x|<br />
x3/2 (x1/2 ) = lím<br />
t→0<br />
π/4<br />
tg x<br />
1<br />
dx converge, ya que tiene el mismo carácter que dx.<br />
3/2 1/2 x 0 x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 469<br />
Problema 216 Hallar<br />
∞<br />
1<br />
∞<br />
<br />
dx<br />
2 = arc tg x<br />
1 + x<br />
1<br />
∞ 1<br />
1<br />
dx, si la integral converge.<br />
1 + x2 = lím<br />
t→+∞<br />
π π π<br />
(arc tg t − ) = −<br />
4 2 4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= π<br />
4
Integración 470<br />
Problema 217 Hallar<br />
∞<br />
2<br />
∞<br />
∞ dx 1<br />
2 = = lím<br />
x(log x) log x t→+∞<br />
2<br />
2<br />
dx<br />
, si la integral converge.<br />
x(log x) 2<br />
<br />
1 1<br />
− = −<br />
log t log 2<br />
1<br />
log 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 471<br />
Problema 218 Hallar<br />
∞<br />
0<br />
dx<br />
√ , si la integral converge.<br />
x + x3/2 Hallemos una primitiva <strong>de</strong> la función <strong>de</strong>l integrando:<br />
<br />
dx<br />
√ x + x 3/2 =<br />
<br />
2dt<br />
1 + t 2<br />
(x = t 2 )<br />
= 2 arc tg t = 2 arc tg √ x<br />
A partir <strong>de</strong> aquí calculamos fácilmente la integral:<br />
1<br />
0 ∞<br />
1<br />
dx<br />
√ x + x 3/2<br />
dx<br />
√ x + x 3/2<br />
π<br />
= lím (2 arc tg 1 − 2 arc tg t) =<br />
t→0 2<br />
π<br />
= lím (2 arc tg t − 2 arc tg 1) = π −<br />
t→∞ 2<br />
Por tanto, el valor <strong>de</strong> la intergral propuesta es π π + 2 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= π.<br />
= π<br />
2
Integración 472<br />
Problema 219 Determinar la convergencia o divergencia <strong>de</strong> las siguientes integrales impropias:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
∞<br />
2<br />
∞<br />
−1<br />
−2<br />
−∞<br />
2<br />
1<br />
∞<br />
−∞<br />
a)<br />
∞<br />
2<br />
x + 7<br />
x2 dx b)<br />
− 1<br />
∞<br />
−∞<br />
1<br />
dx c)<br />
1 + x3 2<br />
x + 7<br />
x2 − 1 dx diverge (tiene el mismo carácter que ∞ dx<br />
2 x ).<br />
1<br />
dx =<br />
1 + x3 1<br />
1+x3 dx y 0<br />
−1<br />
−2<br />
−∞<br />
−1<br />
1<br />
3 dx+<br />
1 + x −2<br />
0<br />
1<br />
3 dx+<br />
1 + x −1<br />
1<br />
sen x<br />
√ x − 1 dx d)<br />
∞<br />
1<br />
3 dx+<br />
1 + x 0<br />
∞<br />
1<br />
1+x3 dx divergen porque tienen el mismo carácter que −1<br />
−2<br />
sen x<br />
√ x − 1 dx converge, ya que<br />
sen x<br />
√ x − 1 ≤<br />
dx<br />
1+x5 diverge (plantear igual que b).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
√ 1<br />
para x ∈ [1, 2] y<br />
x − 1 1<br />
−∞<br />
dx<br />
1 + x 5<br />
1<br />
3 dx diverge, (los sumandos<br />
1 + x<br />
1<br />
1+xdx). dx<br />
√ x − 1 converge.
Integración 473<br />
Problema 220 En los siguientes apartados, la velocidad v <strong>de</strong> un cuerpo en una recta está dada como una<br />
función <strong>de</strong> tiempo t. Hallar la distancia entre el punto <strong>de</strong> comienzo y el punto final y el espacio total recorrido<br />
en los intervalos <strong>de</strong> tiempo indicado:<br />
a) v = 3t 2 − 4, 2 ≤ t ≤ 3<br />
b) v = t 2 − 3t + 2, 0 ≤ t ≤ 2<br />
c) v = sen t, 0 ≤ t ≤ 3π<br />
d) v = sen (πt/2) + cos (πt/2), 0 ≤ t ≤ 2<br />
e) v = sen (πt/2) + cos (πt/2), 0 ≤ t ≤ 4<br />
Ver sección ??.<br />
a) v(t) = 3t 2 − 4. v(t) > 0 para t ∈ [2, 3]:<br />
b<br />
a<br />
v(t)dt =<br />
b<br />
a<br />
|v(t)|dt =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3<br />
2<br />
(3t 2 − 4)dt = 15
Integración 474<br />
b) v(t) = t 2 − 3t + 2. v(t) ≥ 0 para t ∈ [0, 1] y v(t) ≤ 0 para t ∈ [1, 2].<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
v(t)dt =<br />
|v(t)|dt =<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
(t 2 − 3t + 2)dt = 2<br />
3<br />
(t 2 − 3t + 2)dt +<br />
2<br />
1<br />
−(t 2 − 3t + 2)dt = 5 1<br />
+<br />
6 6<br />
c) v(t) = sen t. v(t) ≥ 0 para t ∈ [0, π] ∪ [2π, 3π] y v(t) ≤ 0 para t ∈ [π, 2π]:<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
v(t)dt =<br />
|v(t)|dt =<br />
3π<br />
0<br />
π<br />
0<br />
sen t dt = 2<br />
sen t dx +<br />
2π<br />
d) v(t) = sen (πt/2) + cos (πt/2) = √ 2 cos( πt<br />
2<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
v(t)dt =<br />
|v(t)|dt =<br />
2<br />
0<br />
3/2<br />
0<br />
√ πt<br />
2 cos(<br />
2<br />
√ πt<br />
2 cos(<br />
2<br />
= 2 + 2√ 2<br />
π<br />
π<br />
− sen t dt +<br />
− π<br />
4<br />
π 4<br />
− )dt =<br />
4 π<br />
π<br />
− )dt +<br />
4<br />
+ 2√ 2 − 2<br />
π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3π<br />
2π<br />
sen t dt = 6<br />
). v(t) ≥ 0 si t ∈ [0, 3<br />
2<br />
2<br />
3/2<br />
= 4√ 2 − 2<br />
π<br />
− √ 2 cos( πt<br />
2<br />
= 1<br />
3<br />
] y v(t) ≤ 0 si t ∈ [ , 2]: 2<br />
− π<br />
4 )dt
Integración 475<br />
e) v(t) = sen (πt/2) + cos (πt/2): v(t) ≥ 0 si x ∈ [0, 3/2] ∪ [7/2, 4] y v(t) ≤ 0 si x ∈ [3/2, 7/2]:<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
v(t)dt = 0<br />
7/2<br />
|v(t)|dt = 2 −(sen(πt/2) + cos(πt/2))dt =<br />
3/2<br />
8√2 π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 476<br />
Problema 221 Supongamos que se consigue <strong>de</strong>sarrollar una nave espacial a energía solar para que salga<br />
<strong>de</strong>l sistema solar siguiendo una trayectoria recta con velocidad v <strong>de</strong> v = 3e −t para t ≥ 0 (evi<strong>de</strong>ntemente, al<br />
transcurrir el tiempo existe mayor distancia al Sol y, por lo tanto, la velocidad <strong>de</strong>sarrollada es menor).<br />
a) Hallar la distancia s que el cuerpo realiza en función <strong>de</strong>l tiempo t.<br />
b) ¿Qué distancia recorrerá la nave durante toda la eternidad? Supóngase que nunca pasa suficientemente<br />
cerca <strong>de</strong> una estrella como para aprovechar su energía.<br />
a) El espacio recorrido en cada instante es:<br />
s(t) =<br />
t<br />
0<br />
3e −x dx =<br />
<br />
−3e −x<br />
t b) La distancia que recorrerá la nave durante toda la eternidad es<br />
+∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0<br />
= 3(1 − e −t )<br />
3e −x dx = lím<br />
t→+∞ 3(1 − e−t ) = 3
Integración 477<br />
Problema 222 Un sólido <strong>de</strong> aspecto retorcido se engendra como sigue: se tiene una recta fija R en el espacio<br />
y un cuadrado <strong>de</strong> lado l en un plano perpendicular a R, un vértice <strong>de</strong>l cuadrado está en R, cuando este<br />
vértice se mueve a velocidad uniforme una distancia h a lo largo <strong>de</strong> R el cuadrado completa una revolución<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> R. Hállese el volumen <strong>de</strong>l sólido generado. ¿Cuál sería el volumen si el cuadrado completara<br />
dos revoluciones al moverse la misma distancia a lo largo <strong>de</strong> R?<br />
Aunque aparentemente el sólido tiene una forma rara, su volumen se calcula fácilmente. La fórmula para<br />
calcular volúmenes por secciones es V = b<br />
A(x)dx don<strong>de</strong> A(x) es el área <strong>de</strong> la sección <strong>de</strong>l sólido por el<br />
a<br />
plano X = x. En este caso, si hacemos coincidir la recta R con el eje OX, las áreas A(x) coinci<strong>de</strong>n con el<br />
área <strong>de</strong>l cuadrado: A(x) = ℓ2 . Por otra parte, dado que el vértice recorre una distancia h, po<strong>de</strong>mos suponer<br />
que el sólido está limitado por X = 0 y X = h. Por tanto,<br />
V =<br />
h<br />
ℓ<br />
0<br />
2 dx = hℓ 2<br />
Como la velocidad <strong>de</strong>l vértice sobre R es constante, las distancia al completar dos revoluciones es 2h y el<br />
volumen <strong>de</strong> esta nueva figura es 2hℓ 2 .<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 478<br />
Problema 223 La sección transversal <strong>de</strong> un sólido en cualquier plano perpendicular al eje OX es un círculo<br />
<strong>de</strong> diámetro AB, con A sobre la curva y 2 = 4x y B en la curva x 2 = 4y. Hállese el volumen <strong>de</strong>l sólido entre<br />
los puntos <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong> las curvas.<br />
Las dos curvas se cortan en x = 0 y x = 4. Para cada x, el diámetro <strong>de</strong> la sección por el plano X = x es<br />
d(x) = 2 √ x − x2<br />
4 y el área <strong>de</strong> la sección: A(x) = π(√ x − x2<br />
8 )2 . El volumen <strong>de</strong>l sólido es:<br />
4<br />
0<br />
π( √ x − x2<br />
8 )2 <br />
dx = π(x + 1<br />
64 x4 − 1<br />
4 x3/2 )<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
4<br />
0<br />
= 72<br />
35 π
Integración 479<br />
Problema 224 De un cilindro circular recto <strong>de</strong> radio r se corta una cuña mediante dos planos. Uno <strong>de</strong><br />
ellos es perpendicular el eje <strong>de</strong>l cilindro (la base), el otro forma un ángulo α con el primero y lo corta por<br />
un diámetro <strong>de</strong>l cilindro. Hállese el volumen <strong>de</strong> la cuña. (Ver problema 9)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 480<br />
Problema 225 En los siguientes apartados se muestran ejemplos <strong>de</strong> integrales impropias que se pue<strong>de</strong>n<br />
estudiar con facilidad usando las funciones Γ y/o β:<br />
a) Usar el cambio <strong>de</strong> variable x = at para obtener la siguiente igualdad:<br />
a<br />
b) Usar el cambio <strong>de</strong> variable t = log(1/y) y obtener<br />
1 <br />
log 1<br />
y<br />
c) Usar el cambio <strong>de</strong> variable t = x p para obtener<br />
a)<br />
a<br />
0<br />
x m−1 (a − x) n−1 dx =<br />
0<br />
1<br />
0<br />
x m−1 (a − x) n−1 dx = a m+n−1 β(m, n)<br />
1<br />
0<br />
0<br />
n−1<br />
dy = Γ(n)<br />
x m−1 (1 − x p ) n−1 dx = 1<br />
p β<br />
<br />
m<br />
, n<br />
p<br />
a n+m+1 t m−1 (1 − x) n−1 dt (x = at)<br />
= a n+m+1 β(m, n)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 481<br />
b)<br />
c)<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
log 1<br />
n−1 dy =<br />
y<br />
=<br />
0<br />
x m−1 (1 − x p ) n−1 dx =<br />
+∞<br />
+∞<br />
0<br />
=<br />
t n−1 (−e −t ) dt<br />
t n−1 e −t dt = Γ(n)<br />
1<br />
= 1<br />
p<br />
t m−1<br />
p (1 − t)<br />
0<br />
n−1 1<br />
p<br />
n−1 1<br />
p<br />
t 1<br />
p −1 dt<br />
0<br />
1<br />
t<br />
0<br />
m−1<br />
1<br />
p (1 − t) t p −1 dt<br />
1<br />
t m<br />
p −1 (1 − t) n−1 dt = 1<br />
p β<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
m<br />
, n<br />
p
Integración 482<br />
Problema 226 Hállense los centroi<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las superficies acotadas por las curvas y rectas dadas:<br />
a) El eje OY y la curva x = y − y 3 , 0 ≤ y ≤ 1.<br />
b) La curva y = x − x 2 y la recta x + y = 0.<br />
a) Región σ limitada por el eje OY y la curva x = y − y 3 , 0 ≤ y ≤ 1. Esta región es simétrica respecto <strong>de</strong><br />
la recta X = Y a la región σ ′ limitada por el eje OX y la curva y = x − x 3 , 0 ≤ x ≤ 1; los centroi<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> las dos regiónes verificarán la misma relación. Hallemos el centroi<strong>de</strong> <strong>de</strong> σ ′ :<br />
Mx = 1<br />
2<br />
My =<br />
A =<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
(x − x 3 ) 2 dx = 4<br />
105<br />
x(x − x 3 )dx = 2<br />
15<br />
(x − x 3 )dx = 1<br />
4<br />
¯x = 8<br />
15<br />
¯y = 16<br />
105<br />
Por tanto, el centroi<strong>de</strong> <strong>de</strong> σ es ( 16 8 , 105 15 ).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 483<br />
b) Región limitada por la curva y = x − x 2 y la recta x + y = 0; los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las curvas son<br />
x = 0 y x = 2 y el centroi<strong>de</strong>:<br />
Mx = 1<br />
2<br />
My =<br />
A =<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
((x − x 2 ) 2 − x 2 )dx = 28<br />
15<br />
x(x − x 3 + x)dx = 4<br />
3<br />
(x − x<br />
0<br />
3 + x)dx = 4<br />
3<br />
¯x = 1 ¯y = 7<br />
5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 484<br />
Problema 227 Determínese el centroi<strong>de</strong> <strong>de</strong>l cuadrante <strong>de</strong> círculo x 2 + y 2 = r 2 para 0 ≤ x ≤ r.<br />
Mx =<br />
My =<br />
r<br />
0<br />
r<br />
0<br />
A = πr2<br />
4<br />
¯x = 4r<br />
π<br />
1<br />
2 (r2 − x 2 )dx = r3<br />
3<br />
x √ r 2 − x 2 dx = r3<br />
3<br />
¯y = 4r<br />
π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 485<br />
Problema 228 Un tronco <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> 120 cm <strong>de</strong> largo tiene forma <strong>de</strong> tronco <strong>de</strong> cono alargado, con un<br />
diámetro <strong>de</strong> 10 cm en un extremo y <strong>de</strong> 5 cm en el otro. ¿a qué distancia <strong>de</strong>l extremo mayor está su punto<br />
<strong>de</strong> equilibrio?<br />
Por ser un sólido <strong>de</strong> revolución nos basta hallar el centroi<strong>de</strong> <strong>de</strong> un trapecio equilátero <strong>de</strong> altura 120 cm<br />
y con bases 10 cm y 5 cm. La región limitada por las rectas y = 5 − x<br />
48<br />
x e y = − 5 es este trapecio, y la<br />
48<br />
coor<strong>de</strong>nda X <strong>de</strong> su centroi<strong>de</strong> es la distancia referida. El área <strong>de</strong>l trapecio es A = 7 ′ 5 · 120 = 900cm 2 y su<br />
momento respecto <strong>de</strong> OY :<br />
La distancia pedida es ¯x = 160<br />
3<br />
My =<br />
120<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
2x(5 − x<br />
)dx = 48000<br />
48
Integración 486<br />
Problema 229 Hállese el centroi<strong>de</strong> <strong>de</strong> la región acotada por las curvas y = 2x 2 − 4x e y = 2x − x 2 .<br />
Los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> las curvas son x = 0 y x = 2;<br />
Mx = 1<br />
2<br />
My =<br />
A =<br />
2<br />
((2x − x<br />
0<br />
2 ) 2 − (2x 2 − 4x) 2 )dx = − 8<br />
5<br />
2<br />
x((2x − x<br />
0<br />
2 ) − (2x 2 − 4x))dx = 4<br />
2<br />
((2x − x<br />
0<br />
2 ) − (2x 2 − 4x))dx = 4<br />
¯x = 1 ¯y = − 2<br />
5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 487<br />
Problema 230 Determínese el centroi<strong>de</strong> <strong>de</strong> la región <strong>de</strong>l primer cuadrante acotada por dos círculos concéntricos<br />
y los ejes coor<strong>de</strong>nados, si los primeros tienen radios a y b, b > a > 0, y sus centros están en el origen.<br />
Hállense también los límites <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l centroi<strong>de</strong> cuando ‘a’ tien<strong>de</strong> a ‘b’, y analícese el significado<br />
<strong>de</strong>l resultado.<br />
Por la simetría <strong>de</strong>l sector <strong>de</strong> la corona, se <strong>de</strong>duce que los dos momentos son iguales:<br />
My = Mx = 1<br />
2<br />
b<br />
0<br />
A = π<br />
4 b2 − a 2<br />
¯x = ¯y = 4<br />
3π<br />
(b 2 − x 2 )dx − 1<br />
2<br />
b 2 + ab + a 2<br />
b + a<br />
a<br />
0<br />
(a 2 − x 2 )dx = b3<br />
3<br />
Si ahora hallamos el límite <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas ¯x y ¯y cuando ‘a’ tien<strong>de</strong> a ‘b’, obtendremos el centro <strong>de</strong> masas<br />
<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> circunferencia:<br />
x ′ = y ′ 4 b<br />
= lím<br />
a→b 3π<br />
2 + ab + a2 =<br />
b + a<br />
2a<br />
π<br />
Obsérvese que este centroi<strong>de</strong> es exterior a la curva.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
− a3<br />
3
Integración 488<br />
Problema 231 Utilícense los teoremas <strong>de</strong> Pappus para encontrar el área <strong>de</strong> la superficie lateral y el volumen<br />
<strong>de</strong> un cono circular recto.<br />
Un cono circular recto <strong>de</strong> altura h y radio <strong>de</strong> la base r, se genera girando un triángulo rectángulo <strong>de</strong><br />
catetos h y r respecto <strong>de</strong>l cateto <strong>de</strong> longitud h. Por las propieda<strong>de</strong>s básicas <strong>de</strong> los triángulos sabemos que<br />
la distancia <strong>de</strong>l centroi<strong>de</strong> <strong>de</strong>l triángulo, al cateto h es r/3 y su área es rh;<br />
por tanto, su volumen es:<br />
2<br />
V = 2π r rh<br />
3 2<br />
= π<br />
3 r2 h<br />
La superficie lateral está calculada por este método en el ejercicio 18.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 489<br />
Problema 232 Mediante el segundo teorema <strong>de</strong> Pappus, y sabiendo que el área <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> una<br />
esfera <strong>de</strong> radio r es 4πr 2 , <strong>de</strong>termínese el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong>l arco semicircular <strong>de</strong> ecuación y = √ r 2 − x 2<br />
don<strong>de</strong> x ∈ [−r, r].<br />
Dado que el arco es simétrico respecto <strong>de</strong>l eje OY , la coor<strong>de</strong>nda ¯x <strong>de</strong>l centroi<strong>de</strong> será nula. El teorema<br />
<strong>de</strong> Pappus dice que el área <strong>de</strong> la superfice <strong>de</strong> revolución es S = 2πdL don<strong>de</strong> d es la distancia <strong>de</strong>l centroi<strong>de</strong><br />
al eje y que, en este caso, coinci<strong>de</strong> con ¯y, y L es la longitud <strong>de</strong>l arco, que en este caso es πr. Por tanto:<br />
Es <strong>de</strong>cir, el centroi<strong>de</strong> es (0, 2r<br />
π ).<br />
¯y = d = S<br />
2πL<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= 4πr2<br />
2π 2 r<br />
= 2r<br />
π
Integración 490<br />
Problema 233 Una placa triangular ABC se sumerge verticalmente en agua. El lado AB, <strong>de</strong> 4 m <strong>de</strong><br />
longitud, está 1 m por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la superficie, mientras que C se encuentra a 5 metros por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> AB.<br />
Hállese la fuerza total ejercida sobre una cara <strong>de</strong> la placa.<br />
1<br />
4<br />
h<br />
5 − h<br />
La base <strong>de</strong>l triángulo (lado AB) y su altura (<strong>de</strong>s<strong>de</strong> AB hasta C) son iguales a 4; el teorema <strong>de</strong> Tales<br />
(página ??) nos permite <strong>de</strong>ducir que la anchura <strong>de</strong>l triángulo a una profundidad h es 5 − h (igual que la<br />
altura <strong>de</strong>l triángulo formado por este segmento y C). Por tanto, la fuerza ejercida sobre la placa es:<br />
F =<br />
4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
5 − h<br />
h(5 − h) dh = 385<br />
6
Integración 491<br />
Problema 234 Una placa semicircular se sumerge verticalmente en agua, con su diámetro en la superficie.<br />
Hállese la fuerza ejercida sobre un cara <strong>de</strong> la placa si su diámetro es <strong>de</strong> 2 metros.<br />
h<br />
2 1 − h 2<br />
A una distancia h <strong>de</strong> la superficie, el ancho <strong>de</strong> la placa es L(h) = 2 √ 1 − h2 ; por tanto, la fuerza ejercida<br />
sobre la placa es:<br />
F =<br />
1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
2h √ 1 − h 2 dh = 2/3
Integración 492<br />
8<br />
10<br />
h<br />
6<br />
A (h ) = π 52 2<br />
h<br />
42 Figura 7.2: Ejercicio 43.<br />
Problema 235 Calcúlese el trabajo realizado al bombear todo el agua <strong>de</strong> un tanque cónico <strong>de</strong> 10 m <strong>de</strong> radio<br />
en la parte superior y <strong>de</strong> 8 metros <strong>de</strong> altura, elevándola hasta una altura <strong>de</strong> 6 m sobre el bor<strong>de</strong> superior <strong>de</strong>l<br />
tanque.<br />
(ver figura 7.2 en la página 492) A un profundidad h, el radio <strong>de</strong> la sección paralela a la superficie es<br />
10<br />
25<br />
h y por tanto su área es A(h) = 8 16h2 . El trabajo necesario para vaciar el <strong>de</strong>pósito es<br />
8<br />
W =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
(h + 6) 25<br />
16 πh2 dh = 3200π
Integración 493<br />
Problema 236 El conductor <strong>de</strong> un camión cisterna con capacidad para 3000 litros, que transportaba agua<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> Granada hasta la cumbre <strong>de</strong>l pico Veleta, <strong>de</strong>scubrió antes <strong>de</strong> llegar a su <strong>de</strong>stino que el tanque goteaba y<br />
había perdido la mitad <strong>de</strong> su capacidad. El camión inició su viaje lleno, subió a velocidad constante y tardó 50<br />
min en alcanzar un cambio <strong>de</strong> altura <strong>de</strong> 1250 metros. Si el agua goteaba a un ritmo fijo, ¿cuánto trabajo<br />
supuso el transporte <strong>de</strong>l agua a la cima? (Sin incluir el trabajo realizado sobre el camión y el conductor).<br />
Dado que el ritmo <strong>de</strong> vaciado <strong>de</strong>l <strong>de</strong>pósito es constante, esta tasa <strong>de</strong> pérdida es 1500/1250 = 30/61ℓ/m.<br />
Una vez alcanzada una altura h, el peso <strong>de</strong> la cisterna es P (h) = 3000 − 30h.<br />
Por tanto, el trabajo realizado<br />
61<br />
para subir el contenido <strong>de</strong> la cisterna es<br />
W =<br />
1250<br />
(Obsérvese que el dato 50min es superfluo)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
(3000 − 30 205312500<br />
h)dh =<br />
61 61
Integración 494<br />
Problema 237 Una ciudad ha <strong>de</strong>cidido perforar un pozo para incrementar el aprovisionamiento <strong>de</strong> agua.<br />
Los ingenieros han <strong>de</strong>terminado que será necesaria una torre <strong>de</strong> agua que proporcione la presión requerida<br />
para la distribución. El pozo ha <strong>de</strong> tener 100 metros <strong>de</strong> profundidad, el agua tiene que elevarse por una<br />
tubería <strong>de</strong> 25 cm <strong>de</strong> radio hasta la base <strong>de</strong> un tanque cilíndrico <strong>de</strong> 7 metros <strong>de</strong> diámetro y 8 metros <strong>de</strong><br />
altura, el fondo <strong>de</strong>l tanque estará a 20 metros sobre el suelo y la bomba tiene que estar sumergida en el pozo<br />
por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong>l agua. Si se preten<strong>de</strong> instalar una bomba que trabaja a una potencia <strong>de</strong> 10000<br />
watios ¿cuánto tiempo tardará el llenarse el tanque por primera vez?<br />
Hallemos primeramente el trabajo necesario para llenar el <strong>de</strong>pósito, Wd, y la tubería, Wt:<br />
300<br />
Wt = 1000<br />
Wd = 1000<br />
hπ0<br />
0<br />
′ 25 2 dh = 2812500πkp.m = 27562500πJ<br />
308<br />
300<br />
hπ7 2 dh = 119168000πkp.m = 1167850000πJ<br />
El trabajo total es 1195412500πJ y el tiempo necesario para realizarlo con el motor <strong>de</strong> 10000 watios es:<br />
1195412500π/10000 = 119541 ′ 25πs=33 ′ 2059π horas<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 495<br />
Problema 238 Un dique tiene forma <strong>de</strong> trapecio, con sus dos lados horizontales <strong>de</strong> 70 y 35 metros; el lado<br />
más largo está en la parte superior; la altura es <strong>de</strong> 7 metros. ¿Cuál es la fuerza <strong>de</strong> la presión ejercida sobre<br />
el dique cuando el agua está al nivel <strong>de</strong> la parte superior <strong>de</strong>l dique?<br />
La anchura <strong>de</strong>l dique a una profundidad h es L(h) = 35 + 35h<br />
y por tanto, la fuerza ejercida sobre el<br />
7<br />
dique es:<br />
7<br />
F = 9800<br />
0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
h(35 + 5h) dh = 42017500<br />
kp/m<br />
00
Integración 496<br />
Problema 239 Un recipiente se llena con dos líquidos que no se mezclan, <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s d1 y d2, d1 < d2.<br />
Hállese la fuerza ejercida sobre una cara <strong>de</strong> un cuadrado ABCD, <strong>de</strong> 6 √ 2 metros <strong>de</strong> lado, inmerso en los<br />
líquidos con la diagonal AC perpendicular a la superficie, si el punto más alto A <strong>de</strong> este cuadrado está 2<br />
metros por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la superficie, y BD está en la superficie que separa los dos líquidos.<br />
Hallaremos la fuerza ejercida en cada uno <strong>de</strong> los dos triángulos; el triángulo superior está sumergido<br />
estrictamente en el fluido <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad d1 y el triángulo inferior en el fluido <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad d2. La altura <strong>de</strong><br />
cada triángulo es 6√ √2 2 = 6.<br />
2<br />
6<br />
h<br />
2(h−2)<br />
6 2<br />
h<br />
2(14−h)<br />
Para hallar la fuerza sobre el triángulo superior, basta tener en cuenta que el ancho <strong>de</strong> la placa a una<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 497<br />
profundidad h es L(h) = 2(h − 2) (nuevamente hemos usado el Teorema <strong>de</strong> Tales):<br />
F1 = d1<br />
8<br />
2<br />
2h(h − 2) dh = 216d1<br />
Para el triángulo inferior, la anchura a una profundidad h es L(h) = 2(14 − h):<br />
La fuerza total es F = 216d1 + 360d2.<br />
F2 = d1<br />
1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
8<br />
42h(14 − h) dh = 360d2
Integración 498<br />
Problema 240 Consi<strong>de</strong>rar la región D limitada por las gráficas <strong>de</strong> y = x2 e y = 4. Colóquese una cuadrícula<br />
sobre R que corresponda a las rectas x = −2, x = − 3<br />
1<br />
<br />
, x = −1, · · · , x = 2; y = 0, y = , y = 1,<br />
2 2<br />
· · · , y = 4. Aproximar la integral doble xydxdy empleando una suma <strong>de</strong> Riemann, en don<strong>de</strong> los (x∗ i , y∗ j )<br />
se elijan en la esquina inferior <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> cada rectángulo Ri,j en R.<br />
D<br />
−2<br />
3<br />
−<br />
2 − 1 − 1<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Y<br />
1<br />
2<br />
1<br />
p i,j<br />
3<br />
2<br />
2<br />
4<br />
7<br />
2<br />
3<br />
5<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
X
Integración 499<br />
Debemos recordar que si la región <strong>de</strong> integración no es un rectángulo, la integral se <strong>de</strong>fine como:<br />
<br />
<br />
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy<br />
D<br />
en don<strong>de</strong> R es un rectángulo que contiene a D y el campo f se <strong>de</strong>fine como: f(x, y) = f(x, y) si (x, y) ∈ D y<br />
f(x, y) = 0 si (x, y) ∈ D. La figura <strong>de</strong> arriba muestra la región <strong>de</strong> integración D, el rectángulo [−2, 2] × [0, 4]<br />
que contiene a dicha región y la partición <strong>de</strong>scrita en el enunciado. La parte sombreada correspon<strong>de</strong> a las<br />
subintervalos <strong>de</strong> la partición que tocan a la región D, <strong>de</strong> tal forma que los sumandos <strong>de</strong> la correspondiente<br />
suma <strong>de</strong> Riemann pue<strong>de</strong>n tomar un valor no nulo; los puntos resaltados, son los puntos elegidos para la<br />
suma <strong>de</strong> Riemann y que estan contenidos en la región D. Dado que el área <strong>de</strong> cada cuadrado es 1/4, la suma<br />
<strong>de</strong> Riemann pedida es:<br />
R = 1<br />
4<br />
R<br />
<br />
f(x ∗ i , x∗j )<br />
i,j<br />
Es fácil observar que esta suma vale 0, puesto que: para los puntos tales que x∗ i = 0, la función vale 0 y para<br />
el resto <strong>de</strong> los puntos se verifica que f(x∗ i , y∗ j ) = −f(x∗ i ′ y en consecuencia los sumandos se anulan dos a dos.<br />
Las mismas observaciones <strong>de</strong> simetría <strong>de</strong> la región <strong>de</strong> integración y <strong>de</strong> la función permiten concluir que la<br />
integral <strong>de</strong> la función vale 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 500<br />
Problema 241 1. Consi<strong>de</strong>rar la región R limitada por la gráfica <strong>de</strong> (x − 3) 2 + y 2 = 9. ¿Representa la<br />
<br />
integral doble<br />
R<br />
(x + 5y)dxdy un volumen? Explíquese.<br />
2. Consi<strong>de</strong>rar la región R <strong>de</strong>l segundo cuadrante limitada por las gráficas <strong>de</strong> −2x+y = 6, x = 0, e y = 0.<br />
¿Representa la integral doble (x 2 + y 2 )dxdy un volumen? Explíquese.<br />
<br />
1. La integral<br />
R<br />
R<br />
(x + 5y)dxdy en la región R ≡ (x − 3) 2 + y 2 = 9 no representa un volumen, ya que la<br />
función toma valores positivos y valores negativos <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> dicha región.<br />
<br />
2. En este caso, la integral<br />
R<br />
(x 2 + y 2 )dxdy en la región R <strong>de</strong>scrita en el enunciado sí correspon<strong>de</strong> al<br />
volumen comprendido entre la gráfica <strong>de</strong> la campo escalar y el plano XY , ya que la función es positiva<br />
en toda la región.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 501<br />
<br />
Problema 242 Suponiendo que<br />
R<br />
<br />
R<br />
<br />
xdxdy = 3,<br />
−5xdxdy<br />
R<br />
ydxdy = 7 evaluar las siguientes integrales dobles:<br />
<br />
R<br />
(x − y)dxdy<br />
Por las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> linealidad <strong>de</strong>l operador integral (multiple), se tiene que:<br />
<br />
R<br />
<br />
R<br />
<br />
−5xdxdy = −5<br />
R<br />
<br />
(x − y)dxdy =<br />
R<br />
x dxdy = −5 · 3 = −15<br />
<br />
x dxdy −<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
R<br />
y dxdy = 3 − 7 = −4
Integración 502<br />
Problema 243 Si f y g son funciones <strong>de</strong> una sóla variable probar que<br />
d b<br />
b d <br />
f(x)g(y) dx dy = f(x)dx g(y)dy<br />
c a<br />
a<br />
c<br />
La igualdad es consecuencia <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida en una variable:<br />
d b<br />
c<br />
a<br />
d b<br />
<br />
f(x)g(y) dx dy = f(x)g(y) dx dy<br />
d<br />
c a<br />
b <br />
= g(y) f(x) dx dy (7.1)<br />
c<br />
b<br />
a<br />
d <br />
= f(x) dx g(y)dy<br />
(7.2)<br />
En la igualdad 7.1 hemos sacado g(y) fuera <strong>de</strong> la integral<br />
x. En 7.2 hemos sacado la constante<br />
a<br />
b<br />
a<br />
c<br />
b<br />
f(x) dx fuera <strong>de</strong> la integral<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
a<br />
dx, ya que es constante respecto <strong>de</strong> la variable<br />
d<br />
c<br />
dy.
Integración 503<br />
Problema 244 Evaluar las siguientes integrales iteradas:<br />
(a)<br />
(d)<br />
(f)<br />
a)<br />
d)<br />
1 3<br />
y<br />
−1 0<br />
5 e xy3<br />
3 2<br />
0 0<br />
1 2<br />
−1<br />
0<br />
3 2<br />
0<br />
1 2<br />
−1<br />
0<br />
dx dy =<br />
0<br />
x 3 y dx dy b)<br />
(yx) 2 dx dy e)<br />
x 3 y dx dy =<br />
(yx) 2 dx dy =<br />
1<br />
−1<br />
<br />
y 2 e xy3<br />
3 1<br />
3<br />
0<br />
−1<br />
2 4<br />
0 1<br />
1 1<br />
−1<br />
dy<br />
x=0<br />
0<br />
x 3 y dy dx c)<br />
ye x dy dx f)<br />
2 1<br />
(yx) 2 dy dx<br />
0 −1<br />
1 3<br />
y<br />
−1 0<br />
5 e xy3<br />
dx dy<br />
<br />
1<br />
4 x4 2 3 <br />
y dy = 4y dy = 2y<br />
x=0 0<br />
2<br />
3 = 16<br />
0<br />
<br />
1<br />
3 x3y 2<br />
2 =<br />
x=0<br />
1<br />
(y<br />
−1<br />
2 e 3y3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
dy =<br />
1<br />
−1<br />
− y 2 )dy =<br />
8<br />
3 y2 <br />
8<br />
dy =<br />
9 y3<br />
1 =<br />
−1<br />
16<br />
9<br />
<br />
1<br />
9 e3y3 − 1<br />
3 y3<br />
1 =<br />
−1<br />
1<br />
9 (e3 − e −3 ) − 2<br />
3
Integración 504<br />
Problema 245 Hallar la integral doble <strong>de</strong> los campos indicados:<br />
(a) f(x, y) = (x + 2y) 2 sobre R = [−1, 2] × [0, 2].<br />
(b) f(x, y) = y 3 cos 2 x sobre R = [−π/2, π] × [1, 2].<br />
(c) f(x, y) = x 2 + 2xy − y √ x sobre R = [0, 1] × [−2, 2].<br />
(d) f(x, y) = xy 3 e x2 y 2<br />
sobre R = [1, 3] × [1, 2].<br />
(e) f(x, y) = xy + x/(y + 1) sobre R = [1, 4] × [1, 2].<br />
(f) f(x, y) = y 5 sen xe y3 cos x sobre R = [0, 1] × [−1, 0].<br />
(b)<br />
2 π<br />
y<br />
1 −π/2<br />
3 cos 2 2 π<br />
x dx dy =<br />
1 −π/2<br />
2<br />
=<br />
1<br />
<br />
1<br />
2 y3 + 1<br />
2 y3 <br />
cos 2x dx dy<br />
1<br />
2 y3 x + 1<br />
4 y3 cos 2x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π<br />
dy =<br />
x=−π/2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
4 πy3 <br />
3<br />
dy =<br />
16 πy4<br />
2 =<br />
1<br />
45<br />
16 π
Integración 505<br />
(d)<br />
(e)<br />
2 3<br />
xy<br />
1 1<br />
3 e x2y2 2 4<br />
1<br />
1<br />
dx dy =<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
2 yex2 y2 3 <br />
xy + x<br />
2<br />
dx dy =<br />
y + 1<br />
1<br />
2<br />
x=1<br />
dy =<br />
<br />
y + 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
2 ye9y2<br />
<br />
1<br />
=<br />
36 e9y2 − 1<br />
4 ey2<br />
4<br />
− 1<br />
2 yey2<br />
<br />
dy<br />
2<br />
1<br />
= 1<br />
36 (e36 − e 9 ) − 1<br />
4 (e4 − e)<br />
1<br />
2 x2<br />
dy<br />
1 + y x=1<br />
<br />
15<br />
y +<br />
2<br />
1<br />
<br />
dy =<br />
1 + y<br />
15<br />
<br />
1<br />
2 2 y2 2 + log |1 + y| =<br />
1<br />
15<br />
<br />
3 3<br />
+ log<br />
2 2 2
Integración 506<br />
Problema 246 Hallar el volumen <strong>de</strong> la región bajo la gráfica <strong>de</strong> f(x, y) y entre los planos x = a, x = b,<br />
y = c e y = d.<br />
(a) f(x, y) = x sen y + 3, a = 0, b = 2, c = π, d = 3π.<br />
(b) f(x, y) = xy 5 + 2x 4 + 6, a = 0, b = 1, c = −1, d = 1.<br />
(c) f(x, y) = 2x 4 + 3y 2/3 , a = −1, b = 1, c = 0, d = 2.<br />
(d) f(x, y) = xy x 2 + 3y 2 , a = 1, b = 2, c = 1, d = 2.<br />
(a)<br />
V =<br />
2 3π<br />
0<br />
π<br />
(x sen y + 3)dy dx =<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
<br />
3π 2<br />
−x cos y + 3y dx = 3πdx = 6π<br />
y=π 0
Integración 507<br />
(d)<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
(xy x 2 + 3y 2 )dx dy =<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
3 y(x2 + 3y 2 ) 3/2<br />
2 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
dy<br />
=<br />
=<br />
2 <br />
1<br />
1 3 y(4 + 3y2 ) 3/2 − 1<br />
3 y(1 + 3y2 ) 3/2<br />
<br />
dy<br />
<br />
1<br />
45 (4 + 3y2 ) 5/2 − 1<br />
45 (1 + 3y2 ) 5/2<br />
2 = 352<br />
15<br />
− 1<br />
45 (135/2 + 7 5/2 )<br />
1
Integración 508<br />
Problema 247 Evaluar las siguientes integrales:<br />
(a)<br />
π 3 sen x<br />
0<br />
sen x<br />
a)<br />
c)<br />
e)<br />
π 3 sen x<br />
0 sen x<br />
4 y3 2 y2−1 1 x<br />
0<br />
x 2<br />
x(1 + y) dy dx =<br />
x(1 + y) dy dx b)<br />
3 dx dy d)<br />
(x + y) 2 dy dx f)<br />
π<br />
0<br />
<br />
xy + 1<br />
2 xy2<br />
=<br />
π<br />
1 x cos 2πx<br />
(x 2 + xy + 1) dy dx<br />
0 x−1<br />
1 x2 (x<br />
0 0<br />
2 + xy − y 2 ) dy dx<br />
1 3y<br />
0<br />
3 sen x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
=<br />
0<br />
y=sen x<br />
0<br />
dx<br />
e x+y dx dy<br />
<br />
x sen x + 1<br />
2 x sen2 x<br />
<br />
−x cos x + sen x + 1<br />
<br />
dx<br />
8 x2 − 1<br />
8<br />
1<br />
x sen 2x − cos 2x<br />
16<br />
π<br />
0<br />
= π + π2<br />
8
Integración 509<br />
(d)<br />
(f)<br />
1 x2 (x<br />
0 0<br />
2 + xy − y 2 1<br />
) dy dx =<br />
0<br />
1 3y<br />
0<br />
0<br />
e x+y dx dy =<br />
<br />
x 2 y + 1<br />
2 xy2 − 1<br />
3 y3<br />
x2 dx<br />
y=0<br />
1<br />
0<br />
<br />
e x+y<br />
3y <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x=0<br />
dy =<br />
1<br />
0<br />
=<br />
1<br />
0<br />
<br />
x 4 + 1<br />
2 x5 − 1<br />
3 x6<br />
<br />
dx = 33<br />
140<br />
e 4y − e y dy = 3 1<br />
− e −<br />
4 4 e4
Integración 510<br />
Problema 248 Esbozar la región sobre la que se integra, intercambiar el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración y evaluar las<br />
siguientes integrales:<br />
a)<br />
c)<br />
1 1<br />
0 x<br />
1 1<br />
0<br />
1−y<br />
Recor<strong>de</strong>mos que la representación<br />
xy dy dx b)<br />
(x + y 2 ) dx dy d)<br />
b g2(t)<br />
a<br />
g1(t)<br />
π/2 cos θ<br />
cos θ dr dθ<br />
0 0<br />
4 <br />
1<br />
√ x<br />
(x<br />
1<br />
2 + y 2 ) dy dx<br />
indica que estamos integrando en la región <strong>de</strong>l plano com-<br />
prendida entre las gráficas <strong>de</strong> g1 y g2 en el intervalo [a, b]; si la variable t se correspon<strong>de</strong> a la coor<strong>de</strong>nada X, la<br />
gráfica se enten<strong>de</strong>rá como los puntos (x, g(x)); pero si la variable t correspon<strong>de</strong> a la coor<strong>de</strong>nada Y , la gráfica<br />
la enten<strong>de</strong>remos como el conjunto <strong>de</strong> puntos (g(y), y) (es <strong>de</strong>cir, la curva simétrica a la gráfica <strong>de</strong> g respecto<br />
<strong>de</strong> la recta Y = X). Por otra parte, no hay que olvidar que el signo <strong>de</strong> integral siempre está asociado a<br />
coor<strong>de</strong>nadas cartesianas y por tanto, las representaciones gráficas <strong>de</strong>ben hacerse en coor<strong>de</strong>nadas cartesianas<br />
y no en coor<strong>de</strong>nadas polares, esféricas o cilíndricas.<br />
Por la sencillez <strong>de</strong> las integrales no <strong>de</strong>tallaremos la resolución <strong>de</strong> las mismas.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 511<br />
1<br />
y<br />
y<br />
0<br />
(a) La región sobre la que estamos integrando es el triángulo sombreado <strong>de</strong> la figura. El or<strong>de</strong>n <strong>de</strong><br />
integración en la expresión <strong>de</strong>l enunciado equivale al siguiente proceso <strong>de</strong> cálculo: en primer lugar, para<br />
cada x, hallamos el área A(x) = 1<br />
xy dy <strong>de</strong> la sección por el plano X = x (para cada x, el recorrido <strong>de</strong><br />
x<br />
integración es el segmento vertical que se representa en la figura); a continuación, integramos la función<br />
A(x) en el intervalo [0, 1]. Si ahora queremos invertir el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración, el proceso <strong>de</strong> cálculo resultante<br />
xy dx <strong>de</strong> la sección por el plano<br />
Y = y (para cada y el recorrido <strong>de</strong> integración es el segmento horizontal que se representa en la figura); a<br />
continuación, integramos la función B(y) en el intervalo [0, 1]. En resumen, la igualdad obtenida es<br />
sería el siguiente: en primer lugar, para cada y, hallamos el área B(y) = y<br />
0<br />
1 1<br />
0<br />
x<br />
xy dy dx =<br />
x<br />
1<br />
x<br />
1 y<br />
0<br />
0<br />
1<br />
xy dx dy<br />
(b) (Léase la introducción <strong>de</strong> la solución y véase el apartado anterior). En este caso, el nombre <strong>de</strong> las<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 512<br />
variables no indica a priori la correspon<strong>de</strong>ncia con las coor<strong>de</strong>nas cartesianas; para evitar posibles confusiones,<br />
cambiamos las variables como sigue:<br />
1<br />
Y<br />
π/2 cos x<br />
0<br />
0<br />
arccos y<br />
cos x dy dx<br />
Teniendo en cuenta la figura, <strong>de</strong>ducimos la siguiente igualdad:<br />
π/2 cos x<br />
0<br />
0<br />
y<br />
0<br />
cos x dy dx =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x<br />
cos x<br />
0<br />
π<br />
2<br />
1 arc cos y<br />
0<br />
0<br />
X<br />
cos x dx dy
Integración 513<br />
(d)<br />
4 <br />
1<br />
√ x<br />
(x<br />
1<br />
2 + y 2 1 4<br />
) dy dx =<br />
1 y2 (x 2 + y 2 ) dx dy<br />
1<br />
1<br />
x<br />
√ x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2<br />
y<br />
Y<br />
1<br />
4<br />
y 2<br />
4<br />
X
Integración 514<br />
Problema 249 Integrar las funciones dadas sobre las regiones indicadas:<br />
(a) f(x, y) = x − y sobre el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (2, 1).<br />
(b) f(x, y) = (x 2 + 2xy 2 + 2) sobre la región acotada por el grafo <strong>de</strong> y = −x 2 + x, el eje OX y las rectas<br />
x = 0 y x = 2.<br />
La regiones correspondientes a las integrales se muestran en las siguientes figuras; a<strong>de</strong>más, en ellas<br />
aparecen representados los or<strong>de</strong>nes <strong>de</strong> integración más sencillos<br />
y<br />
1<br />
y +1<br />
2y<br />
x = 2y<br />
x = y + 1<br />
Por tanto, el cálculo <strong>de</strong> las integrales propuestas es:<br />
(a)<br />
1 y+1<br />
0<br />
2y<br />
(x − y)dx dy = 1<br />
3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
2<br />
Y<br />
x−x 2<br />
0<br />
y = x − x 2<br />
1<br />
0<br />
x−x 2<br />
2 X
Integración 515<br />
(b)<br />
1 x−x2 (x<br />
0 0<br />
2 + 2xy 2 2 0<br />
+ 2)dy dx +<br />
1 x−x2 (x 2 + 2xy 2 + 2)dy dx = 27 1249 19<br />
+ =<br />
70 210 3<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 516<br />
Problema 250 Evaluar las integrales dobles en la región R limitada por las gráficas <strong>de</strong> las ecuaciones<br />
indicadas. úsese el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración más conveniente:<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
<br />
R<br />
<br />
R<br />
<br />
R<br />
(x + 1)dA, y = x, x + y = 4, x = 0,<br />
x<br />
√ y dA, y = x 2 + 1, y = 3 − x 2 ,<br />
sen πx<br />
y dA, x = y2 , x = 0, y = 1, y = 2.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 517<br />
Problema 251 Demostrar que<br />
x t<br />
0<br />
0<br />
<br />
F (u) du dt =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x<br />
u<br />
U<br />
t<br />
0<br />
t<br />
x<br />
u<br />
x<br />
0<br />
(x − u)F (u) du.<br />
x<br />
T
Integración 518<br />
En la figura se muestra el cambio <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración que utilizamos para obtener la igualdad pedida:<br />
x t <br />
F (u) du dt<br />
0 0<br />
x x <br />
= F (u) dt du<br />
0<br />
x <br />
u<br />
x = tF (u) du<br />
=<br />
0<br />
x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
u<br />
(x − u)F (u) du
Integración 519<br />
Problema 252 Evaluar las siguientes integrales triples:<br />
(a)<br />
<br />
R<br />
(x 2 + y 2 + z 2 ) dV , don<strong>de</strong> R es la región acotada por x + y + z = a (con a > 0), x = 0, y = 0, y<br />
z = 0.<br />
<br />
(b) z dV , don<strong>de</strong> R es la región acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, z = 1 y el cilindro<br />
(c)<br />
R<br />
x2 + y2 = 1, con x, y ≥ 0.<br />
<br />
R<br />
(1 − z 2 ) dV , don<strong>de</strong> R es la pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong> vértice superior en (0, 0, 1) y los vértices <strong>de</strong> la base en<br />
(0, 0), (1, 0), (0, 1) y (1, 1).<br />
<br />
(d)<br />
R<br />
(x 2 + y 2 ) dV , don<strong>de</strong> R es la pirámi<strong>de</strong> anterior.<br />
Para evaluar las integrales triples usando el teorema <strong>de</strong> Fubini, <strong>de</strong>bemos en primer lugar establecer el<br />
or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración a<strong>de</strong>cuado. En algunos casos no será posible utilizar cualquier or<strong>de</strong>n y cuando sea posible<br />
utilizar más <strong>de</strong> uno, habrá que elegir el que conduzca a las integrales más sencillas. Para establecer el or<strong>de</strong>n<br />
<strong>de</strong> integración y <strong>de</strong>terminar los límites se pue<strong>de</strong> seguir el siguiente proceso:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 520<br />
En primer lugar elegimos una sección perpendicular a un eje; la variable correspondiente a este eje<br />
nos dará la integral más externa (la última en evaluar) y el rango <strong>de</strong> la variable <strong>de</strong>termina los límites <strong>de</strong><br />
integración. De esta sección elegimos una arista paralela a un segundo eje; la variable correspondiente a<br />
este eje nos dará la segunda integral; a<strong>de</strong>más, esta arista tendrá sus extremos en dos curvas, estas curvas<br />
constituyen los límites <strong>de</strong> integración para esta segunda integral. Por último, una sección (<strong>de</strong> la sección<br />
primera) perpendicular a la arista elegida, nos da el recorrido <strong>de</strong> la integral más interna (la primera en<br />
evaluarse); esta sección tendrá sus extremos en dos superficies, que son los límites <strong>de</strong> integración <strong>de</strong> esta<br />
última integral.<br />
Para que este proceso se entienda perfectamente <strong>de</strong>be seguirse paralelamente a los ejercicios siguientes<br />
y sobre la figura 7.3, que representa la regiones <strong>de</strong> integración. Para asegurarse <strong>de</strong> que se ha comprendido<br />
bien, el lector pue<strong>de</strong> elegir, para cada una <strong>de</strong> las regiones, or<strong>de</strong>nes <strong>de</strong> integración diferentes a los empleados<br />
en las soluciones.<br />
(a) Para cada x ∈ [0, a], 0 ≤ y ≤ a − x y 0 ≤ z ≤ a − x − y, por tanto:<br />
<br />
R<br />
(x 2 + y 2 + z 2 a a−x a−x−y<br />
) dV =<br />
(x<br />
0 0 0<br />
2 + y 2 + z 2 ) dz dy dx<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 521<br />
a−x−y<br />
dz<br />
X<br />
0<br />
Z<br />
Plano<br />
Z = a − X − Y<br />
a−x<br />
dy<br />
0<br />
1−z<br />
dx<br />
0<br />
Recta<br />
Y = a − X<br />
Z = 0<br />
Recta<br />
Y<br />
X = 1 − Z<br />
Y = 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Plano<br />
Z<br />
Y<br />
X<br />
1−z<br />
dy<br />
0<br />
Z<br />
√ 1−x2 dy<br />
Apartado (a) Apartado (b)<br />
0<br />
1<br />
dz<br />
0<br />
Y
Integración 522<br />
(b) Para cada x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ √ 1 − x 2 y 0 ≤ z ≤ 1, por tanto:<br />
<br />
R<br />
z dV =<br />
1 √ 1−x2 1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
z dz dy dx<br />
(c) y (d) Para cada z ∈ [0, 1], 0 ≤ x ≤ 1 − z y 0 ≤ y ≤ 1 − z, por tanto,<br />
<br />
R<br />
f(x, y, z) dV =<br />
1 1−z 1−z<br />
(Las integrales son sencillas <strong>de</strong> evaluar y se <strong>de</strong>jan al lector)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0<br />
0<br />
f(x, y, z) dy dx, dz
Integración 523<br />
Problema 253 Expresar, sin realizar la integración, las integrales dadas en el or<strong>de</strong>n indicado. (Indicación:<br />
para ello habrá que esbozar la región <strong>de</strong> integración).<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)<br />
1 π/2 cos z<br />
−2 0<br />
0 0<br />
0<br />
1+x+y<br />
−1 −y−1 0<br />
5 0 16−x2 2<br />
−4<br />
0<br />
xyz 2 dy dz dx en el or<strong>de</strong>n x, y, z.<br />
xyz 2 dz dx dy en el or<strong>de</strong>n y, z, x.<br />
(x + 1) dz dx dy en el or<strong>de</strong>n x, y, z.<br />
(Ver el problema 22) en la figura 7.4 se muestran las regiones <strong>de</strong> los tres apartados; en cada caso, a la<br />
izquierda aparece representado el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración <strong>de</strong>l enunciado y a la <strong>de</strong>recha, el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración<br />
que nos pi<strong>de</strong> el ejercicio.<br />
(a)<br />
Las igualda<strong>de</strong>s que se obtienen son:<br />
1 π/2 cos z<br />
−2<br />
0<br />
0<br />
xyz 2 dy dz dx =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π/2 cos z 1<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
xyz 2 dx dy dz
Integración 524<br />
X<br />
−1<br />
1<br />
Z<br />
1<br />
π/2<br />
dz<br />
0<br />
cos z<br />
0<br />
dy<br />
cos z<br />
π/2 π/2<br />
1+x+y<br />
dz<br />
0<br />
Z<br />
Y<br />
0<br />
−y −1<br />
Apartado (a)<br />
dx<br />
X<br />
Z<br />
x+1<br />
1 dz 1<br />
Y<br />
−1<br />
−1<br />
Apartado (b)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
X<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
Z<br />
z −x−1<br />
0<br />
dy<br />
dy<br />
0<br />
1<br />
1<br />
dx<br />
Y<br />
−2<br />
Y<br />
X
Integración 525<br />
(b)<br />
(c)<br />
0 0<br />
−1<br />
−y−1<br />
1+x+y<br />
0<br />
5 0 16−x2 2<br />
−4<br />
0<br />
xyz 2 dz dx dy =<br />
(x + 1) dz dx dy =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0 x+1 0<br />
−1<br />
0<br />
z−x−1<br />
16 5 √ 16−z<br />
0<br />
2<br />
0<br />
xyz 2 dy dz dx<br />
(x + 1) dx dy dz
Integración 526<br />
Problema 254 Hallar la integral <strong>de</strong> la función f sobre la región R indicada:<br />
(a) f(x, y, z) = y sobre la región acotada por z = 1 − y 2 , x = 0, x = 4 y z = 0. Usar simetría.<br />
(b) f(x, y, z) = yz sobre la región acotada por los planos coor<strong>de</strong>nados y los planos x + y = 1 y z = 4.<br />
(a) Para cada x ∈ [0, 4] y cada y ∈ [−1, 1], 0 ≤ z ≤ 1 − y 2 y por tanto, la integral pedida es<br />
4 1 1−y2 0<br />
−1<br />
0<br />
y dz dy dx =<br />
4 1<br />
0<br />
−1<br />
y(1 − y 2 ) dy dx =<br />
4<br />
0<br />
0 dx = 0<br />
Este resultado lo podíamos haber <strong>de</strong>ducido sin realizar la integral; dado que la región es simétrica<br />
respecto <strong>de</strong>l plano Y = 0 y la función verifica que f(x, −y, z) = −f(x, y, z), la integral sobre la mitad<br />
<strong>de</strong> la región con y ≤ 0, es igual a la integral sobre la otra mitad pero con signo contrario; por tanto,<br />
la integral propuesta se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomponer en dos integrales que se anulan.<br />
(b) Para cada z ∈ [0, 4] e y ∈ [0, 1], se tiene que 0 ≤ x ≤ 1 − y; por tanto, la integral propuesta es:<br />
4 1 1−y<br />
0<br />
0<br />
0<br />
yz dx dy dz =<br />
4 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0<br />
(1 − y)yz dy dz =<br />
4<br />
0<br />
1 8<br />
z dz =<br />
6 9
Integración 527<br />
Problema 255 Sea R = [−1, 1] × [2, 4] y sea f(x, y) = x(1 + y). Esbozar el grafo <strong>de</strong> f sobre R. Usar la<br />
simetría para <strong>de</strong>ducir que el valor <strong>de</strong> la integral f(x, y)dxdy <strong>de</strong>be ser cero.<br />
5<br />
0<br />
Plano<br />
XY<br />
-5<br />
-1<br />
-0.5<br />
0<br />
R<br />
0.5<br />
La gráfica <strong>de</strong> esta función es fácil <strong>de</strong> imaginar teniendo en cuenta que, haciendo x constante, la gráfica<br />
resulta una recta (es <strong>de</strong>cir, las secciones <strong>de</strong> la gráfica con planos X = x0 son rectas) y lo mismo ocurre si<br />
hacemos y constante.<br />
Dado que f(−x, y) = −f(x, y), se verifica que la gráfica <strong>de</strong> f es simétrica respecto <strong>de</strong>l eje OX. La región<br />
R también es simétrica respecto <strong>de</strong>l eje OX, y concluimos que el volumen que queda entre la gráfica y el<br />
plano XY (por <strong>de</strong>bajo) en la región [−1, 0] × [2, 4] es el mismo que el volumen que queda entre la gráfica y<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 2<br />
2.5<br />
3<br />
4<br />
3.5
Integración 528<br />
el plano XY (por encima) en la región [0, 1] × [2, 4]; <strong>de</strong> todo esto, <strong>de</strong>ducimos que efectivamente la integral<br />
es 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 529<br />
Problema 256 Sea f(x, y) = 1, sean D = [0, 3] × [0, 1] y D ′ = [0, 1] × [0, 1] y sea T (u, v) = (−u 2 + 4u, v).<br />
Comprobar que T transforma D ′ sobre D y que<br />
<br />
<br />
f(x, y) dx dy =<br />
D<br />
Dado que la función f es constantemente 1, tenemos que:<br />
<br />
D<br />
<br />
D ′<br />
<br />
f(x, y) dx dy =<br />
f x(u, v), y(u, v) <br />
du dv =<br />
D<br />
D ′<br />
dx dy = (área <strong>de</strong> D) = 3<br />
D ′<br />
f x(u, v), y(u, v) du dv<br />
du dv = (área <strong>de</strong> D ′ ) = 1<br />
Por tanto, efectivamente, las dos integrales son distintas. Para completar el ejercicio, tenemos que comprobar<br />
que la aplicación T transforma D ′ en D.<br />
Dado que y(u, v) = v, es evi<strong>de</strong>nte que<br />
v ∈ [0, 1] ↔ y(u, v) ∈ [0, 1].<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 530<br />
Por otra parte:<br />
u ∈ [0, 1] ↔ 4 − u ∈ [0, 3] =⇒ x(u, v) = u(4 − u) ∈ [0, 3]<br />
por tanto, efectivamente, se tiene la transformación indicada.<br />
Este ejercicio muestra un contraejemplo que prueba la incorrección <strong>de</strong> la igualdad<br />
<br />
<br />
f(x, y) dx dy = f x(u, v), y(u, v) du dv,<br />
D<br />
siendo necesario usar (correctamente) el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
D ′
Integración 531<br />
Problema 257 Evaluar las siguientes integrales pasando a coor<strong>de</strong>nadas polares:<br />
a)<br />
c)<br />
e)<br />
3 √ 9−x2 x 2 + y 2 dy dx b)<br />
−3 0<br />
1 <br />
0<br />
√ 1−y2 e<br />
0<br />
x2 +y2 dx dy d)<br />
4 x<br />
(x<br />
0 0<br />
2 + y 2 ) dy dx f)<br />
1<br />
0<br />
a<br />
√ 2y−y 2<br />
0<br />
√ a2−y2 xy dx dy<br />
(1 − x 2 − y 2 ) dx dy<br />
0 0<br />
2 y<br />
(x<br />
0 −y<br />
2 + y 2 ) dx dy<br />
Recor<strong>de</strong>mos la fórmula <strong>de</strong> integración <strong>de</strong> una función f efectuando el cambio a coor<strong>de</strong>nadas polares:<br />
<br />
<br />
f(x, y)dx dy = rf(r cos θ, r sen θ)dr dθ<br />
R<br />
R ′<br />
Don<strong>de</strong> R y R ′ representan la misma región <strong>de</strong>l plano pero <strong>de</strong>finida por coor<strong>de</strong>nadas cartesianas y coor<strong>de</strong>nadas<br />
polares respectivamente.<br />
Por tanto, para realizar el cambio <strong>de</strong> variable <strong>de</strong>bemos <strong>de</strong>terminar, en primer lugar, la región <strong>de</strong>l plano<br />
en que estamos integrando y <strong>de</strong>scribirla por coor<strong>de</strong>nadas polares.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 532<br />
(a) La región sobre la que estamos integrando es el semicírculo x 2 + y 2 ≤ 3 2 , y ≤ 0.<br />
3 √ 9−x2 −3<br />
0<br />
x 2 + y 2 dy dx =<br />
3 π<br />
r<br />
0 0<br />
√ r2 cos2 θ + r2 sen2 θdθ dr<br />
3 π<br />
=<br />
0<br />
0<br />
r 2 dθ dr =<br />
3<br />
0<br />
πr 2 dr = 9π<br />
(b) Dado que 2y − y 2 = 1 − (y − 1) 2 , se <strong>de</strong>duce que la región don<strong>de</strong> se integra es el cuadrante <strong>de</strong> la<br />
circuferencia x 2 + (y − 1) 2 = 1 que verifica x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1. El cambio <strong>de</strong> variable que nos interesa<br />
en este caso es<br />
(x, y) → g(r, θ) = (r cos θ, 1 + r sen θ) |Jg(r, θ)| = r<br />
La función g transforma rectángulos [0, c] × [0, 2π] en círculos x 2 + (y − 1) 2 ≤ c 2 .<br />
1<br />
0<br />
√ 2y−y 2<br />
0<br />
(1 − x 2 − y 2 1 0<br />
) dx dy = r(1 − r<br />
0 π/2<br />
2 cos 2 θ − r 2 sen 2 θ) dθ dr<br />
1 0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
=<br />
0<br />
π/2<br />
r(1 − r 2 ) dθ dr =<br />
1<br />
0<br />
π<br />
2 r(1 − r2 ) dr = π<br />
8
Integración 533<br />
(e) La región don<strong>de</strong> se integra es el triángulo que se muestra a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> la siguiente figura:<br />
R<br />
4<br />
φ (θ ) = 4<br />
cos θ<br />
π<br />
4<br />
Θ<br />
g<br />
La <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> esa región en coor<strong>de</strong>nadas polares es la siguiente: la coor<strong>de</strong>nada θ <strong>de</strong> cada punto<br />
verifica que 0 ≤ θ ≤ π/4; para cada punto (r, θ), la coor<strong>de</strong>nada r verifica que 0 ≤ r ≤ 4<br />
. Esto lo<br />
cos θ<br />
hemos representado en la figura anterior <strong>de</strong> la siguiente forma; la aplicación g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ)<br />
(cambio <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas a polares) transforma la región comprendida entre el eje Θ y la gráfica <strong>de</strong><br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
Y<br />
4<br />
X
Integración 534<br />
φ(θ) = 4<br />
cos θ<br />
en [0, π/4], en el triángulo don<strong>de</strong> estamos integrando. Por tanto:<br />
4 x<br />
(x<br />
0 0<br />
2 + y 2 π/4 4/ cos θ<br />
) dy dx =<br />
0 0<br />
(ver el ejercicio 5 <strong>de</strong>l capítulo 7)<br />
r 3 dr dθ =<br />
π/4<br />
0<br />
1 4<br />
4<br />
4<br />
cos4 θ dθ<br />
= 64<br />
<br />
1<br />
3 tg θ sec2 θ + 2<br />
π/4 tg θ =<br />
3 0<br />
256<br />
3<br />
(f) Teniendo en cuenta que la función f(x, y) = x 2 + y 2 verifica que f(x, −y) = f(x, y) y por la transformación<br />
vista en el apartado anterior, tenemos:<br />
2 y<br />
0<br />
−y<br />
(x 2 + y 2 2<br />
) dx dy = 2<br />
0<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
y<br />
0<br />
(x 2 + y 2 ) dx dy<br />
2 x<br />
= 2 (y<br />
0 0<br />
2 + x 2 π/4 2/ cos θ<br />
) dy dx = 2<br />
0 0<br />
r 3 dr dθ = 16<br />
3
Integración 535<br />
Problema 258 Hallar el área <strong>de</strong> la región plana que se indica usando integración en coor<strong>de</strong>nadas polares:<br />
(a) La región interior a una hoja <strong>de</strong> r = a sen 2θ.<br />
(b) La región <strong>de</strong>l primer cuadrante acotada por x 2 + y 2 = a 2 , y = 0 y x = a/2.<br />
(c) La región interior al bucle gran<strong>de</strong> y exterior al pequeño <strong>de</strong>l caracol r = a(1 + 2 cos θ).<br />
(d) El área total <strong>de</strong> la lemniscata r 2 = 2a 2 cos 2θ.<br />
Como ya sabemos, una forma <strong>de</strong> calcular el área <strong>de</strong> una región R <strong>de</strong>l plano es mediante la integral:<br />
<br />
dx dy<br />
R<br />
Si esta misma región la tenemos <strong>de</strong>finida por coor<strong>de</strong>nadas polares, el área se calculará con la integral<br />
<br />
r dr dθ,<br />
don<strong>de</strong> R ′ representa a la región R <strong>de</strong>finida por coor<strong>de</strong>nadas polares<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
R ′
Integración 536<br />
(a) La curva r = a sen 2θ es una rosa <strong>de</strong> cuatro pétalos y el interior <strong>de</strong> la hoja <strong>de</strong>l primer cuadrante<br />
está formado por los puntos (r, θ) que verifican: 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ r ≤ a sen 2θ; por tanto, su área es:<br />
2<br />
π/2 a sen 2θ<br />
0<br />
0<br />
r dr dθ =<br />
π/2<br />
0<br />
1<br />
2 a2 sen 2 θ dθ = π<br />
8 a2<br />
(b) Si a la región <strong>de</strong>finida por 0 ≤ r ≤ a y 0 ≤ θ ≤ π<br />
le quitamos aquellos punto que verifican x ≤ a/2<br />
6<br />
(que forman un triángulo <strong>de</strong> base a/2 y altura a √ 3/2), obtenemos la región <strong>de</strong>finida. Por tanto, su<br />
área es: a<br />
0<br />
π/6<br />
0<br />
r dθ dr<br />
<br />
−<br />
√<br />
3<br />
8 a2 = π<br />
12 a2 √<br />
3<br />
−<br />
8 a2<br />
(c) La representación <strong>de</strong>l caracol pue<strong>de</strong> verse en la figura 4.7; <strong>de</strong> ella se <strong>de</strong>duce que el área pedida es:<br />
2π/3 a(1+2 cos θ) π<br />
2<br />
r dr dθ − 2<br />
0 0<br />
= 2<br />
2π/3 0<br />
2π/3<br />
0<br />
a(1+2 cos θ)<br />
(d) El área total <strong>de</strong> la lemniscata r2 = 2a2 cos 2θ es:<br />
π √ 2a2 cos 2θ<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
r dr dθ<br />
a 2<br />
2 (1 + 2 cos θ)2 dθ − 2<br />
r dr dθ = 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π<br />
2π/3<br />
π<br />
42a<br />
0<br />
2 cos 2θ dθ = 2a 2<br />
a 2<br />
2 (1 + 2 cos θ)2 dθ = a 2 (π + √ 27)
Integración 537<br />
Problema 259 Pasar las siguientes integrales a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas y evaluarlas.<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)<br />
1 √ 1−x2 3<br />
0<br />
− √ 1−x 2<br />
2 √ 4−x2 0<br />
x dz dy dx.<br />
√ x2 +y2 z dz dy dx.<br />
−2 − √ 4−x2 0<br />
√ 2 √ 2−z2 1+y2 +z2 − √ 2<br />
− √ 2−z 2<br />
0<br />
z 3 dx dy dz.<br />
Recor<strong>de</strong>mos la igualdad que nos permite calcular una integral mediante el cambio a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas:<br />
<br />
<br />
f(x, y, z) dx dy dz = f(r cos θ, r sen θ, z)r dr dθ dz<br />
R<br />
don<strong>de</strong> R ′ y R representan la misma región <strong>de</strong> R 3 <strong>de</strong>finida en coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas y cartesianas respectivamente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 538<br />
(a) La región don<strong>de</strong> se integra es un cuarto <strong>de</strong> cilindro.<br />
1 √ 1−x2 3<br />
0<br />
− √ 1−x 2<br />
0<br />
x dz dy dx =<br />
π/2 1 3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
r 2 cos θ dz dr dθ<br />
=<br />
π/2 1<br />
0<br />
0<br />
3r 2 cos θ dr dθ =<br />
π/2<br />
0<br />
cos θ dθ = 1<br />
(b) La región don<strong>de</strong> se integra son los puntos comprendidos entre el cono z = x 2 + y 2 y el plano XY<br />
que verifican −2 ≤ x ≤ 2 y x 2 + y 2 ≤ 4; esta región en coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas queda <strong>de</strong>finida por:<br />
0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ z ≤ r. Por tanto, la integral se evalua como sigue:<br />
2 √ 4−x2 −2<br />
− √ 4−x 2<br />
√ x2 +y2 z dz dy dx =<br />
0<br />
2 π/2 r<br />
0<br />
0<br />
0<br />
zr dz dθ dr<br />
=<br />
2 π/2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2 r3 2<br />
π<br />
dθ dr =<br />
0 4 r3 dr = π<br />
Una forma bastante conveniente <strong>de</strong> interpretar lo que hemos hecho es la que se muestra en la figura<br />
7.5 y que se enuncia: la aplicación g(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) (cambio <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas a cilíndricas)<br />
transforma la región formada por los puntos comprendidos entre el plano ΘR y el plano Z = R con<br />
r ∈ [0, 2] y θ ∈ [0, π/2] en la región don<strong>de</strong> queremos integrar.<br />
Esta interpretación siempre <strong>de</strong>be tenerse en cuenta ya que, como aquí ocurre, la región <strong>de</strong> la izquierda<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 539<br />
2π<br />
Θ<br />
Z<br />
2<br />
R<br />
g<br />
Figura 7.5: Ejercicio 34 b.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
X<br />
2<br />
Z<br />
2<br />
Y
Integración 540<br />
pue<strong>de</strong> no ser un cubo, y en tal caso tenemos que utilizar las técnicas <strong>de</strong> los ejercicios anteriores para<br />
establecer el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración y los intervalos.<br />
(c) La región está formada por los puntos comprendidos entre el plano Y Z y el paraboloi<strong>de</strong> x = 1+y 2 +z 2<br />
que verifican que z 2 + y 2 ≤ 2. En primer lugar observamos que esta región es un sólido <strong>de</strong> revolución<br />
y que OX es su eje <strong>de</strong> giro; por tanto, vamos a renombrar las variables <strong>de</strong> tal forma que el eje <strong>de</strong> giro<br />
<strong>de</strong> la figura sea OZ; <strong>de</strong> esta forma, el cambio a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas será realmente útil. Una vez<br />
hecho esto, el ejercicio es bastante sencillo:<br />
√ 2 √ 2−z2 1+y2 +z2 − √ 2<br />
=<br />
=<br />
− √ 2−z2 0<br />
2 2π 1+r2 0 0<br />
2π<br />
0<br />
0<br />
864<br />
35 sen3 θ dθ = 0<br />
z 3 dx dy dz =<br />
√ 2<br />
− √ 2<br />
(r sen θ) 3 r dz dθ dr =<br />
√ 2−y 2<br />
√<br />
− 2−y2 1+x 2 +y 2<br />
y 3 dz dx dy<br />
0<br />
2π 2<br />
r<br />
0 0<br />
4 sen 3 θ(1 + r 2 ) dr dθ<br />
(Este resultado se podía haber <strong>de</strong>ducido a partir <strong>de</strong> las características <strong>de</strong> simetría <strong>de</strong> la función y <strong>de</strong><br />
la región)<br />
El renombramiento <strong>de</strong> variables que hemos hecho al inicio <strong>de</strong>l ejercicio es una forma rápida <strong>de</strong> realizar<br />
cambios <strong>de</strong> variables triviales. Aunque no hace falta, este renombramiento pue<strong>de</strong> formalizarse mediante<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 541<br />
un cambio <strong>de</strong> varibles cuyo Jacobiano vale 1 en valor absoluto. El lector pue<strong>de</strong> hacer esta formalización<br />
como ejercicio.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 542<br />
Problema 260 Hallar el volumen <strong>de</strong> la región dada usando una integral triple en coor<strong>de</strong>nadas esféricas:<br />
(a) La región entre los conos z 2 = x 2 + y 2 y 3z 2 = x 2 + y 2 y bajo la semiesfera z = 4 − x 2 − y 2 .<br />
(b) La región acotada lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 = 4, superiormente por el cono z = x 2 + y 2 e<br />
inferiormente por el plano Z = 0.<br />
(c) La región acotada inferiormente por el plano z = b, superiormente por el plano z = c y lateralmente<br />
por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , para −a < b < c < a. Expresar el volumen como una diferencia <strong>de</strong><br />
integrales.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que la fórmula <strong>de</strong> integración en coor<strong>de</strong>nadas esféricas es:<br />
<br />
<br />
f(x, y, z) dx dy dz = f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ)ρ 2 | cos φ|dφ dθ dρ<br />
R<br />
don<strong>de</strong> R y R ′ representan la misma región <strong>de</strong>l plano <strong>de</strong>finida por coor<strong>de</strong>nadas cartesianas y por coor<strong>de</strong>nadas<br />
esféricas respectivamente. (!No <strong>de</strong>be olvidarse el valor absoluto <strong>de</strong> la fórmula!)<br />
Por tanto, si tenemos una región <strong>de</strong>l plano S <strong>de</strong>finida por coor<strong>de</strong>nadas esféricas, su volumen es:<br />
<br />
V = ρ 2 | sen φ|dφ dθ dρ<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
S
Integración 543<br />
(Ver el segundo apartado <strong>de</strong>l ejercicio 27)<br />
(a) Esta región queda <strong>de</strong>finida por: π<br />
3<br />
V =<br />
2 2π π/3<br />
0<br />
0<br />
π/4<br />
ρ 2 sen φ dφ dθ dρ =<br />
(b) Esta región queda <strong>de</strong>finida por: π<br />
4<br />
π/2 2π cosec φ<br />
π/4<br />
0<br />
0<br />
ρ 2 sen φ dρ dθ dφ<br />
π<br />
≤ φ ≤ , 0 ≤ ρ ≤ 2 y 0 ≤ θ ≤ 2π; por tanto su volumen es:<br />
3<br />
2 2π<br />
0<br />
0<br />
√<br />
2 − 1<br />
ρ<br />
2<br />
2 dθ dρ<br />
=<br />
2<br />
0<br />
π( √ 2 − 1)ρ 2 dρ = 8<br />
3 π(√ 2 − 1)<br />
π<br />
1<br />
≤ φ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ ρ ≤ ; por tanto, su volumen es:<br />
2 sen φ<br />
=<br />
π/2 2π<br />
π/4<br />
0<br />
1<br />
3 sen2 π/2<br />
2π<br />
dθ dφ =<br />
φ π/4 3 sen2 2π<br />
dφ =<br />
φ 3<br />
(c) La región propuesta es una bola <strong>de</strong> radio a a la que se le han cortado dos casquetes con planos paralelos.<br />
Para calcular el volumen resultante, nos basta con calcular el volumen <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> estos casquetes; más<br />
concretamente, nos basta con calcular el volumen <strong>de</strong>l casquete <strong>de</strong> la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 limitado<br />
inferiormente por el plano z = d con d ≥ 0 (compruebe el lector que a partir <strong>de</strong> este volumen po<strong>de</strong>mos<br />
obtener el volumen <strong>de</strong> la figura propuesta sea cual sea la relación existente entre a, b y c). Este casquete<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 544<br />
queda <strong>de</strong>finido en coor<strong>de</strong>nadas esféricas por: 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ arc cos d<br />
a<br />
el volumen <strong>de</strong>l casquete es:<br />
arc cos d/a a<br />
0<br />
d/ cos φ<br />
2π<br />
0<br />
ρ 2 sen φ dθ dρ dφ =<br />
0<br />
arc cos d/a<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
=<br />
0<br />
arc cos d/a a<br />
2π<br />
3<br />
d/ cos φ<br />
2πρ 2 sen φ dρ dφ<br />
<br />
a 3 sen φ − d3 sen φ<br />
cos3 <br />
φ<br />
y d<br />
cos φ<br />
≤ ρ ≤ a; por tanto,<br />
dφ = 2π<br />
3 a3 + π<br />
3 d3 − πa 2 d
Integración 545<br />
Problema 261 Transformar a coor<strong>de</strong>nadas esféricas la integral dada en cilíndricas por<br />
2π 2 √ 8−r2 0<br />
0<br />
r<br />
r 2 z dz dr dθ<br />
La transformación <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas a esféricas es:<br />
T (ρ, θ, φ) = (ρ sen φ, θ, ρ cos φ)<br />
El valor absoluto <strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> su jacobiano es:<br />
<br />
<br />
<br />
sen φ<br />
<br />
||JT (ρ, θ, φ)|| = <br />
0<br />
<br />
<br />
cos φ<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
ρ cos φ <br />
<br />
<br />
0 <br />
= | − ρ| = |ρ|<br />
<br />
−ρ sen φ <br />
Por tanto, la fórmula <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variables <strong>de</strong> cilíndricas a esféricas es:<br />
<br />
<br />
f(r, θ, z) dr dθ dz = f(ρ sen φ, θ, ρ cos φ)|ρ| dρ dθ dφ<br />
R<br />
R ′<br />
don<strong>de</strong> R y R ′ representan la misma región <strong>de</strong>l plano <strong>de</strong>finida en coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas y esféricas respectivamente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 546<br />
La integral <strong>de</strong>l enunciado se hace sobre la región comprendida entre un cono (el ángulo <strong>de</strong> su generatriz<br />
y el eje OZ es π/4) y un esfera <strong>de</strong> radio √ 8; esta región en coor<strong>de</strong>nadas esféricas queda <strong>de</strong>finida por:<br />
0 ≤ ρ ≤ √ 8, 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ φ ≤ π<br />
y por tanto:<br />
4<br />
2π 2 √ 8−r2 0<br />
0<br />
r<br />
r 2 z dz dr dθ =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π/4 <br />
0<br />
√ 8 2π<br />
ρ<br />
0 0<br />
2 cos 2 φρ cos φρ dθ dρ dφ<br />
π/4 <br />
=<br />
0<br />
√ 8<br />
2πρ<br />
0<br />
4 cos 3 π/4 <br />
φ dρ dφ =<br />
0<br />
√ 8<br />
0<br />
256√<br />
3 128<br />
2π cos φ dφ =<br />
5<br />
3 π
Integración 547<br />
Problema 262 Expresar la siguiente integral en coor<strong>de</strong>nadas esféricas:<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
−2<br />
√ 4−y2 <br />
√<br />
− 4−y2 √ x2 +y2 0<br />
x 2 dz dx dy
Integración 548<br />
Problema 263 Hallar el volumen bajo la gráfica <strong>de</strong> f(x, y) = 4x 2 + 3y 2 + 27 sobre el disco <strong>de</strong> radio 2<br />
centrado en (0, 1).<br />
Damos sólo el planteamiento <strong>de</strong> la integral; el cálculo directo es posible pero resulta un poco largo.<br />
La integración sobre este tipo <strong>de</strong> regiones se hace más fácilmente cambiando a coor<strong>de</strong>nadas polares, como<br />
veremos en el ejercicio 30.<br />
Dado que la circunferencia <strong>de</strong> radio 2 y centro en (0, 1) está formada por las gráficas <strong>de</strong> las funciones<br />
g1(x) = 1 − √ 4 − x 2 y g2(x) = 1 + √ 4 − x 2 , x ∈ [−2, 2], la región sobre la que tenemos que integrar es la<br />
región comprendida entre ellas, y por tanto, el volumen se pue<strong>de</strong> calcular como sigue:<br />
2 √<br />
1+ 4−x2 −2 1− √ 4−x2 (4x 2 + 3y 2 + 27)dy dx<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 549<br />
Problema 264 Aplicar una integral doble para <strong>de</strong>terminar el área <strong>de</strong> la región R limitada por las gráficas<br />
<strong>de</strong> las ecuaciones indicadas:<br />
1. x = y 2 , x = 2 − y 2 ,<br />
2. √ x + √ y = 2, x + y = 4,<br />
3. y = −x 2 + 3x, y = −2x + 4, y = 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 550<br />
Problema 265 Recuér<strong>de</strong>se que si f2(x, y) ≥ f1(x, y) para todo (x, y) <strong>de</strong> una región R, entonces el volumen<br />
<strong>de</strong>l sólido entre las dos superficies y sobre R, es V = <br />
[f2(x, y) − f1(x, y)]dA. Aplica este resultado para<br />
evaluar el volumen comprendido entre las gráficas <strong>de</strong> las ecuaciones indicadas:<br />
z = x 2 + y 2 , z = 9; 2z = 4 − x 2 − y 2 , z = 2 − y.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
R
Integración 551<br />
Problema 266 Determinar el volumen <strong>de</strong>l sólido limitado por las gráficas <strong>de</strong> las ecuaciones indicadas:<br />
1. z = 4 − y 2 , x = 3, sobre el primer octante,<br />
2. y = x 2 , y + z = 3, z = 0,<br />
3. z = x + y, x 2 + y 2 = 9, sobre el primer octante,<br />
4. z = 4 − x 2 − 1<br />
4 y2 , z = 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 552<br />
Problema 267 Hallar el área <strong>de</strong> la porción <strong>de</strong>l cilindro x 2 +z 2 = 1 que está <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l cilindro x 2 +y 2 = 1.<br />
El problema se pue<strong>de</strong> enunciar como sigue: tenemos que calcular el área <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x, y) = √ 1 − x 2<br />
en la región x 2 + y 2 = 1. Esto solo nos dará la mitad <strong>de</strong>l área pedida en el enunciado, ya que estamos<br />
consi<strong>de</strong>rando solo la raíz cuadrada positiva. El área así <strong>de</strong>finida se calcula con la fórmula:<br />
<br />
<br />
A = 1 + (D1f(x, y)) 2 + (D2f(x, y)) 2dx dy<br />
Las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> f son D1f(x, y) = x<br />
√ 1−x 2 , D2f(x, y) = 0.<br />
R<br />
En este caso, resolvemos la integral directamente sin usar ningún cambio <strong>de</strong> variable:<br />
A =<br />
1 √ 1−x2 −1<br />
− √ 1−x 2<br />
1<br />
1<br />
√ dy dx = 2dx = 4<br />
1 − x2 −1<br />
(No hay ninguna referencia que nos diga, a priori, si es preferible usar una cambio <strong>de</strong> variable o integrar<br />
directamente aplicando el teorema <strong>de</strong> Fubini; cuando ya se tenga práctica con el cálculo <strong>de</strong> integrales<br />
multiples, se pue<strong>de</strong> realizar mentalmente parte <strong>de</strong> los cálculos y <strong>de</strong>ducir el camino menos laborioso).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 553<br />
Problema 268 Una esfera <strong>de</strong> radio 1 tiene su centro sobre la superficie <strong>de</strong> otra esfera <strong>de</strong> radio a > 1.<br />
Probar que el área <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la segunda esfera limitada por la primera es π, in<strong>de</strong>pendientemente<br />
<strong>de</strong>l radio a. ¿Cómo se pue<strong>de</strong> interpretar este curioso resultado?<br />
Po<strong>de</strong>mos tomar las siguientes ecuaciones para las dos esferas<br />
x 2 + y 2 + z 2 = a 2<br />
x 2 + y 2 + (z − a) 2 = 1<br />
Para hallar la intersección <strong>de</strong> estas dos esferas restamos las dos ecuaciones; una vez hecho esto, po<strong>de</strong>mos<br />
<strong>de</strong>spejar el valor <strong>de</strong> z constante: z = 2a2 −1<br />
2a ; si sustituimos este valor en cualquiera <strong>de</strong> las ecuaciones obtenemos<br />
la relación entre x e y en los puntos <strong>de</strong> la intersección: x 2 + y 2 = 1 − 1<br />
circunferencia contenida en el plano Z = 2a2 −1<br />
2a<br />
<strong>de</strong> radio<br />
<br />
1 − 1<br />
4a 2 y con el centro en el eje Z.<br />
4a 2 . Es <strong>de</strong>cir, la intersección es una<br />
Por tanto, el área que tenemos que calcular es la <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> la función f(x, y) =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 554<br />
<br />
a2 − x2 − y2 2 2 1<br />
en la región x + y = 1 − 4a2 :<br />
<br />
<br />
A = 1 + (D1f(x, y)) 2 + (D2f(x, y)) 2 dx dy<br />
R<br />
<br />
=<br />
R<br />
<br />
=<br />
R<br />
<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
<br />
1 +<br />
x2 a2 − x2 y<br />
+<br />
− y2 2<br />
a2 − x2 dx dy<br />
− y2 a<br />
dx dy<br />
a2 − x2 − y2 ar<br />
√ dr dθ<br />
a2 − r2 R ′<br />
<br />
1− 1<br />
4a2 2π<br />
ar(a<br />
0<br />
0<br />
2 − x 2 − y 2 ) −1/2 dθ dr<br />
<br />
1− 1<br />
4a2 2πar(a<br />
0<br />
2 − r 2 ) −1/2 dr<br />
<br />
1− 1<br />
4a2 <br />
−2πa √ a 2 − r 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
= π
Integración 555<br />
Problema 269 Calcular el área <strong>de</strong>l grafo <strong>de</strong> la función f(x, y) = xy <strong>de</strong>finida en el dominio R = [0, 1]×[0, 1].<br />
El planteamiento <strong>de</strong> la solución no tiene dificultad, puesto que conocemos la fórmulas que calcula el área<br />
<strong>de</strong>l grafo <strong>de</strong> un campo escalar f <strong>de</strong>finido en un dominio R; si las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong>l campo escalar son<br />
continuas, el área viene dada por:<br />
<br />
<br />
A = 1 + (D1f(x, y)) 2 + (D2f(x, y)) 2dxdy R<br />
Como vemos a continuación, la dificultad <strong>de</strong>l ejercicio resi<strong>de</strong> en el cálculo <strong>de</strong> primitivas, aún cuando las<br />
expresiones iniciales y la región <strong>de</strong> integración parecen simples.<br />
Para el campo propuesto, la integral que <strong>de</strong>termina el área es:<br />
A =<br />
<br />
<br />
1 + y2 + x2dxdy [0,1]×[0,1]<br />
Abordamos su resolución <strong>de</strong> dos formas distintas; en primer lugar, aplicando directamente el teorema <strong>de</strong><br />
Fubini, camino que por otra parte es el, a priori más aconsejable por la forma <strong>de</strong>l dominio <strong>de</strong> integración.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 556<br />
<br />
[0,1]×[0,1]<br />
1 1<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1 + y 2 + x 2 dxdy<br />
0 0<br />
1 1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
1 + y2 + x2dxdy <br />
<br />
1 + y2 1 + x2<br />
2 dxdy<br />
1 + y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
senh u = x<br />
<br />
1 + y2 <br />
cosh udu = <br />
dx<br />
<br />
1 + y2 1 1<br />
arg senh √<br />
1+y2 0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
(1 + y 2 )<br />
(1 + y 2 )<br />
arg senh<br />
0<br />
<br />
1 + y2 1 + senh 2 u 1 + y2 cosh ududy<br />
1<br />
√ 1+y 2<br />
<br />
u 1<br />
+ senh 2u<br />
2 4<br />
cosh 2 ududy<br />
arg senh<br />
u=0<br />
1<br />
√ 1+y 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
dy
Integración 557<br />
=<br />
=<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
(1 + y 2 <br />
u<br />
)<br />
(1 + y 2 )<br />
<br />
<br />
2<br />
arg senh<br />
1<br />
+ senh 2u<br />
4<br />
<br />
1<br />
arg senh<br />
2<br />
u=0<br />
1<br />
√ 1+y 2<br />
dy<br />
1 1<br />
+ senh 2 arg senh<br />
1 + y2 4<br />
0<br />
3y2 + y4 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
<br />
1<br />
dy<br />
1 + y2 senh 2 arg senh α = 2(senh arg senh α)(cosh arg senh α) = 2α √ 1 + α2 1<br />
= (1 + y<br />
0<br />
2 <br />
<br />
1<br />
1 1 1<br />
) arg senh + 1 +<br />
2 1 + y2 2 1 + y2 1<br />
1 + y2 <br />
dy<br />
<br />
1<br />
1<br />
=<br />
0 2 (1 + y2 <br />
1 1<br />
) arg senh + 2 + y2 dy<br />
1 + y2 2<br />
= 1<br />
1<br />
(1 + y<br />
2 0<br />
2 1<br />
1 1 <br />
) arg senh dy + 2 + y2dy 1 + y2 2 0<br />
<br />
<br />
Integración por partes<br />
<br />
<br />
u = arg senh 1<br />
y<br />
⇒ du = −<br />
<br />
1 + y2 (1 + y<br />
<br />
<br />
<br />
2 ) y2 + 2 dy<br />
dv = (1 + y2 )dy ⇒ v = y + y3<br />
3<br />
y <br />
1 y3<br />
1<br />
= + arg senh +<br />
2 6<br />
1 + y2 1<br />
1<br />
3y<br />
6 0<br />
2 + y4 (1 + y2 ) y2 1<br />
1 <br />
dy + 2 + y2dy + 2 2 0<br />
<br />
<br />
1<br />
2 1<br />
2
Integración 558<br />
La simplificación <strong>de</strong>l resultado final <strong>de</strong> la evaluación requiere aplicar varias igualda<strong>de</strong>s y manipular<br />
expresiones con radicales. Concretamente <strong>de</strong>bemos recordar las siguientes igualda<strong>de</strong>s:<br />
arg senh x = log(x + √ x2 + 1); arc tg(1 − x) + arc tg(1 + x) = arc tg 2 π<br />
2 =<br />
x 2<br />
En particular, para x = √ 3 − 1, tenemos que x2<br />
2 = 2 − √ 3 y <strong>de</strong> ahí:<br />
arc tg(2 − √ 3) + arc tg √ 3 = π<br />
2 − arc tg(2 − √ 3)<br />
arc tg(2 − √ 3) + π<br />
3<br />
arc tg(2 − √ 3) = π<br />
12<br />
Terminamos la evaluación <strong>de</strong> la integral:<br />
= π<br />
2 − arc tg(2 − √ 3)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
x2<br />
− arc tg , x ≥ 0<br />
2
Integración 559<br />
A = 2<br />
3 log<br />
⎛<br />
⎝ 1<br />
⎞<br />
3<br />
√ + ⎠ −<br />
2 2<br />
1 2<br />
+<br />
6 3 log √ 2 + 1 π<br />
−<br />
6 12<br />
1<br />
+<br />
3( √ 2<br />
−<br />
2 3 − 1) 3 log(√3 − 1) − 1<br />
12 (√3 − 1) 2 + 1<br />
3 arc tg (√3 − 1) 2<br />
2<br />
= 2<br />
3 log(1 + √ 3) − 2<br />
3 log √ 2 + 1 π<br />
log 2 −<br />
3 12 +<br />
1<br />
3( √ 2<br />
−<br />
2 3 − 1) 3 log(√3 − 1)<br />
− 1<br />
12 (√3 − 1) 2 + 1<br />
3 arc tg(2 − √ 3)<br />
= 2<br />
3 log(1 + √ 3) − 1 1 π<br />
log 2 + log 2 −<br />
3 3 12 +<br />
− 1<br />
12 (√3 − 1) 2 + π<br />
36<br />
= 2<br />
3 log<br />
√<br />
3 + 1 1<br />
√ +<br />
3 − 1 3( √ 1<br />
−<br />
2 3 − 1) 12 (√3 − 1) 2 − π<br />
18<br />
= 2<br />
3 log (√3 + 1) 2<br />
+<br />
2<br />
= 4<br />
3 log(1 + √ 3) − 2<br />
log 2 +<br />
3<br />
1<br />
3( √ 1<br />
−<br />
2 3 − 1)<br />
√ 3<br />
3<br />
1<br />
3( √ 2<br />
−<br />
2 3 − 1)<br />
12 (√3 − 1) 2 − π<br />
18<br />
− π<br />
18 ≈ 1′ 28079<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3 log(√ 3 − 1)
Integración 560<br />
La misma integral pue<strong>de</strong> ser resuelta con el cambio por coor<strong>de</strong>nadas polares; vamos a ver que la complejidad<br />
<strong>de</strong> la integral es similar.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 561<br />
<br />
[0,1]×[0,1]<br />
=<br />
=<br />
1 + y 2 + x 2 dxdy<br />
<br />
T −1 (R)<br />
r √ 1 + r 2 drdθ<br />
<br />
<br />
0 ≤ θ ≤<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
π/4<br />
0 ≤ r ≤ 1<br />
cos θ<br />
π/4 ≤ θ ≤ π/2<br />
π/ 4<br />
1/ cos θ<br />
0<br />
π/ 4<br />
0<br />
0 ≤ r ≤ 1<br />
sen θ<br />
r √ 1 + r 2 drdθ +<br />
Y<br />
π/ 2<br />
1/ sen θ<br />
π/ 4<br />
π/ 2<br />
0<br />
X<br />
r √ 1 + r 2 drdθ<br />
= 1<br />
senθ<br />
r<br />
= 1<br />
cos θ<br />
r<br />
<br />
1<br />
=<br />
0 3 (1 + r2 ) 3/ 1/ cos θ<br />
1<br />
2 dθ +<br />
π/ r=0<br />
3 4<br />
(1 + r2 ) 3/ 1/ sen θ<br />
2 dθ<br />
r=0<br />
= 1<br />
<br />
π/ 4<br />
1 +<br />
3 0<br />
1<br />
cos2 3/ 2<br />
− 1 dθ +<br />
θ<br />
1<br />
<br />
π/ 2<br />
1 +<br />
3 π/ 4<br />
1<br />
sen2 3/ 2<br />
− 1 dθ<br />
θ<br />
= − π<br />
π/ 4 1<br />
+ 1 +<br />
6 3 0<br />
1<br />
cos2 3/ 2<br />
dθ +<br />
θ<br />
1<br />
π/ 2<br />
1 +<br />
3 π/ 4<br />
1<br />
sen2 3/ 2<br />
dθ<br />
θ<br />
<br />
<br />
tg θ = t ⇒<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sen2 θ<br />
cos2 θ = t2 ⇒ 1<br />
cos2 θ = t2 + 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(1 + tg 2 θ)dθ = dt ⇒ dθ = dt<br />
1 + t 2
Integración 562<br />
1<br />
= − π 2 (2 + t<br />
+<br />
6 3 0<br />
2 ) 3/ 2<br />
2 dt<br />
1 + t<br />
<br />
√<br />
2 + t2 2 2 − u<br />
= u + t ⇒ 2 = u + 2ut ⇒ t =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2u<br />
2 + u2<br />
dt = −<br />
2u2 du<br />
El cambio <strong>de</strong> variable lleva a una función racional en u.<br />
= − π<br />
<br />
2<br />
−<br />
6 3<br />
√ 3−1<br />
(2 + u<br />
√<br />
2<br />
2 ) 4<br />
4u3 (4 + u4 ) du<br />
= − π<br />
<br />
2<br />
+<br />
6 3<br />
√ 2 <br />
u 1 2 4u<br />
+ √ 3 + +<br />
3−1 4 u u 4 + u4 <br />
du<br />
= − π<br />
2 2 u 1<br />
u2<br />
+ − 2 + 2 log u + arc tg<br />
6 3 8 2u 2<br />
√ 2<br />
√<br />
3−1<br />
= 4<br />
3 log(1 + √ 3) − 2<br />
√<br />
3 π<br />
log 2 + −<br />
3 3 18<br />
La última evaluación y simplificación es similar a la realizada en el procedimiento anterior.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 563<br />
Problema 270 Un sólido <strong>de</strong>l primer octante está acotado inferiormente por el plano z = 0, lateralmente<br />
por el plano y = 0 y la superficie x = y 2 , y superiormente por la superficie z = 4 − x 2 . La <strong>de</strong>nsidad es<br />
δ(x, y, z) = kxy don<strong>de</strong> k es una constante. Hallar la masa <strong>de</strong>l sólido.<br />
La masa viene dada por:<br />
<br />
R<br />
δ(x, y, z) dx dy dz =<br />
2 √ x 4−x2 0<br />
0<br />
0<br />
kxy dz dy dx<br />
=<br />
2 √ x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0<br />
kxy(4 − x 2 ) dy dx =<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2 kx2 (4 − x 2 ) dx = 32<br />
15 k
Integración 564<br />
Problema 271 Un toro <strong>de</strong> masa m es generado cuando un círculo <strong>de</strong> radio a gira alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje <strong>de</strong><br />
su plano a una distancia b <strong>de</strong>l centro (b > a). Hállese su momento <strong>de</strong> inercia respecto al eje <strong>de</strong> revolución.<br />
Si d(x, y, z) nos da la distancia <strong>de</strong> un punto (x, y, z), <strong>de</strong> la región R, a un recta ℓ, y δ(x, y, z) nos da la<br />
<strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l sólido en cada punto, el momento <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong>l sólido respecto a ℓ es<br />
<br />
Iℓ = (d(x, y, z)) 2 δ(x, y, z) dx dy dz<br />
R<br />
Supongamos ahora que el eje ℓ es OX; en este caso, la distancia <strong>de</strong> un punto al eje, coinci<strong>de</strong> con la primera<br />
coor<strong>de</strong>nada cilíndrica <strong>de</strong>l punto, es <strong>de</strong>cir, d(r cos θ, r sen θ, z) = r. Por tanto, la mejor forma <strong>de</strong> evaluar la<br />
integral es efectuando el cambio a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas y se tiene que:<br />
<br />
IOX = r 3 δ(r cos θ, r sen θ, z) dr dθ dz<br />
don<strong>de</strong> R ′ es la región R <strong>de</strong>finida por coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas.<br />
R ′<br />
El toro <strong>de</strong>scrito en el enunciado se <strong>de</strong>fine por coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas por: θ ∈ [0, 2π], z ∈ [−a, a] y<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 565<br />
b − √ a 2 − z 2 ≤ r ≤ b + √ a 2 − z 2 . Por tanto, su momento <strong>de</strong> inercia respecto <strong>de</strong> OX es:<br />
IOX =<br />
a √<br />
b+ a2−z2 2π<br />
−a<br />
b− √ a 2 −z 2<br />
0<br />
r 3 dθ dr dz =<br />
=<br />
a<br />
−a<br />
a √<br />
b+ a2−z2 −a<br />
b− √ a 2 −z 2<br />
2πr 3 dr dz<br />
(4π(b 3 − ba 2 ) √ a 2 − z 2 + 4πbz 2√ a 2 − z 2 )dz = 2π 2 a 2 (b 3 − ba 2 ) + π2<br />
2 a4 b<br />
(Las primitivas <strong>de</strong> los dos sumandos se obtienen con el cambio z → a sen u)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 566<br />
Problema 272 1. La <strong>de</strong>nsidad en cada punto <strong>de</strong> una placa cuadrada <strong>de</strong> un metro <strong>de</strong> lado es 4 + r 2<br />
gramos por centímetro cuadrado, don<strong>de</strong> r es la distancia en centímetros <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto al centro <strong>de</strong> la<br />
placa. ¿Cuál es la masa <strong>de</strong> la placa?<br />
2. ¿Cuál es la masa <strong>de</strong> la placa si r es la distancia al vértice inferior izquierdo <strong>de</strong> la placa.<br />
1. Supongamos que la placa está situada sobre el plano XY con los lados paralelos a los ejes coor<strong>de</strong>nados<br />
y con su centro sobre el origen; entonces, la distancia <strong>de</strong> cada punto (x, y) <strong>de</strong> la placa al centro es<br />
r = f(x, y) = x 2 + y 2 . La masa <strong>de</strong> la placa se calcula como sigue:<br />
1/2 1/2<br />
−1/2<br />
−1/2<br />
(4 + r 2 )dx dy =<br />
1/2 1/2<br />
(4 + x<br />
−1/2 −1/2<br />
2 + y 2 1/2<br />
)dx dy =<br />
−1/2<br />
<br />
49<br />
+ y2 dy =<br />
12 25<br />
6<br />
2. En este caso situamos la placa con el vértice inferior izquierdo sobre el origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas y en el<br />
primer cuadrante <strong>de</strong> plano. De esta forma, volvemos a tener r = x 2 + y 2 y la masa <strong>de</strong> la placa es:<br />
1 1<br />
0<br />
0<br />
(4 + r 2 )dx dy =<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 1<br />
(4 + x<br />
0 0<br />
2 + y 2 1<br />
)dx dy =<br />
0<br />
13<br />
3<br />
+ y2<br />
<br />
dy = 14<br />
3
Integración 567<br />
Problema 273 Hallar el valor medio <strong>de</strong> las siguientes funciones sobre las regiones dadas.<br />
(a) f(x, y) = y sen xy, R = [0, π] × [0, π].<br />
(b) f(x, y) = 1/(x + y), R = [e, e 2 ] × [e, e 2 ].<br />
(c) f(x, y) = x 2 + y 2 , sobre el anillo comprendido entre las circunferencias x 2 + y 2 = 1/4 y x 2 + y 2 = 1.<br />
Si A es el área <strong>de</strong> la región R, el valor medio <strong>de</strong> una función f(x, y) en R es:<br />
V M = 1<br />
<br />
f<br />
A<br />
(a)<br />
V M = 1<br />
<br />
A<br />
R<br />
f = 1<br />
π2 π<br />
0<br />
π<br />
0<br />
(y sen xy)dx dy<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
R<br />
= 1<br />
π 2<br />
π<br />
0<br />
(1 − cos πy)dy = 1<br />
π2 <br />
π − 1<br />
<br />
sen π2<br />
π
Integración 568<br />
(c) Sea C1 el círculo x 2 + y 2 ≤ 1 y C2 el círculo x 2 + y 2 ≤ 1/4.<br />
V M = 1<br />
<br />
A<br />
R<br />
f = 4<br />
3π<br />
⎛<br />
<br />
⎝<br />
C1<br />
<br />
f −<br />
Para calcular las integrales hacemos el cambio <strong>de</strong> variable a coor<strong>de</strong>nadas polares, es <strong>de</strong>cir<br />
C2<br />
⎞<br />
f⎠<br />
(x, y) → g = (g1(r, θ), g2(r, θ)) = (r cos θ, r sen θ) |Jg(r, θ)| = r<br />
Esta función g transforma rectángulos [0, ρ] × [0, 2π] en círculos x 2 + y 2 ≤ ρ 2 . Por tanto, la integrales<br />
las calculamos como sigue:<br />
<br />
C1<br />
f =<br />
1 2π<br />
(r<br />
0 0<br />
2 cos 2 θ + r 2 sen 2 1 2π<br />
θ)rdθ dr =<br />
0 0<br />
<br />
C2<br />
El valor medio <strong>de</strong> la función es:<br />
f =<br />
1/2 2π<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0<br />
r 3 dθ dr =<br />
1/2<br />
V M = 4<br />
<br />
π π<br />
<br />
− =<br />
3π 2 32<br />
5<br />
8<br />
0<br />
r 3 dθ dr =<br />
2πr 3 dr = π<br />
32<br />
1<br />
0<br />
2πr 3 dr = π<br />
2
Integración 569<br />
Problema 274 Hallar el centro <strong>de</strong> masas <strong>de</strong> la región entre y = x 2 e y = x si la <strong>de</strong>nsidad viene dada por<br />
x + y.<br />
El centro <strong>de</strong> masas, (¯x, ¯y), <strong>de</strong> una placa que cubre una región <strong>de</strong>l plano R y cuya <strong>de</strong>nsidad viene dada<br />
por una función ρ(x, y) es:<br />
<br />
<br />
xρ(x, y)dx dy<br />
yρ(x, y)dx dy<br />
R<br />
R<br />
¯x = <br />
¯y = <br />
ρ(x, y)dx dy<br />
ρ(x, y)dx dy<br />
Hallemos las tres integrales necesarias para la región propuesta:<br />
<br />
R<br />
<br />
R<br />
<br />
R<br />
xρ(x, y)dx dy =<br />
yρ(x, y)dx dy =<br />
ρ(x, y)dx dy =<br />
Por tanto: ¯x = 11 20<br />
120 3<br />
R<br />
1 x<br />
0 x2 1 x<br />
0 x2 1 x<br />
0<br />
x 2<br />
(x 2 + xy)dy dx = 11<br />
120<br />
(xy + y 2 )dy dx = 13<br />
168<br />
(x + y)dy dx = 3<br />
20<br />
11 13 20 65<br />
= , ¯y = =<br />
18 168 3 126<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
R
Integración 570<br />
Problema 275 Hallar el centro <strong>de</strong> masas <strong>de</strong>l disco <strong>de</strong>terminado por (x − 1) 2 + y 2 ≤ 1 si la <strong>de</strong>nsidad es x 2 .<br />
(Ver el problema anterior) Para resolver las integrales <strong>de</strong>l ejercicio vamos a utilizar el siguiente cambio<br />
<strong>de</strong> variable:<br />
(x, y) → g(r, θ) = (1 + r cos θ, r sen θ) |Jg(r, θ)| = r<br />
La función g transforma rectángulos [0, c] × [0, 2π] en círculos (x − 1) 2 + y 2 ≤ c 2 .<br />
Las tres integrales necesarias para hallar las coor<strong>de</strong>nadas ¯x e ¯y <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> masas son:<br />
<br />
2π 1<br />
xρ(x, y)dx dy = (1 + r cos θ)(1 + r cos θ) 2 r dr dθ<br />
R<br />
<br />
R<br />
yρ(x, y)dx dy =<br />
0<br />
=<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
1 2π<br />
0<br />
0<br />
<br />
1 1<br />
+<br />
2 4 cos3 θ + cos 2 θ + 3<br />
<br />
cos θ dθ = 2π<br />
2<br />
r sen θ(1 + r cos θ) 2 r dθ dr = 0<br />
(Obsérvese que en cada caso optamos por el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración atendiendo a la simplicidad <strong>de</strong>l cálculo <strong>de</strong><br />
la primitiva correspondiente).<br />
<br />
2π 1<br />
ρ(x, y)dx dy = (1 + r cos θ) 2 2π<br />
r dr dθ = ( 1 1<br />
+<br />
2 4 cos2 θ + 2<br />
5<br />
cos θ)dθ =<br />
3 4 π<br />
R<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
0<br />
0
Integración 571<br />
Por tanto: ¯x = 2π 4<br />
5π<br />
8<br />
= , ¯y = 0.<br />
5<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 572<br />
Problema 276 Hállese el momento <strong>de</strong> inercia respecto al eje OX <strong>de</strong> la región acotada por el eje OX, la<br />
curva y = e x y las rectas x = 0, x = 1 sabiendo que la <strong>de</strong>nsidad en cada punto <strong>de</strong> la región viene dada por<br />
δ(x, y) = y + 1.<br />
El momento <strong>de</strong> inercia respecto al eje OX se calcula mediante la siguiente fórmula<br />
<br />
Ix = y 2 δ(x, y) dx dy<br />
Con los datos <strong>de</strong>l enunciado tenemos:<br />
IX =<br />
1 ex 0<br />
0<br />
y 2 (y + 1) dy dx =<br />
R<br />
1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
<br />
1<br />
4 e4x + 1<br />
3 e3x<br />
<br />
dx = − 25 1<br />
+<br />
144 3 e3 + 1<br />
16 e4
Integración 573<br />
Problema 277 Calcúlese el momento <strong>de</strong> inercia y el radio <strong>de</strong> giro respecto al eje OX <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las<br />
figuras siguientes:<br />
(a) La región rectangular 0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ h.<br />
(b) El disco encerrado por la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 .<br />
(c) La región acotada por la elipse (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1.<br />
(a)<br />
En los tres apartados suponemos que la <strong>de</strong>nsidad es constante e igual a 1.<br />
IX =<br />
h b<br />
0<br />
0<br />
y 2 dx dy =<br />
h<br />
0<br />
by 2 dy = 1<br />
3 h3 b<br />
Para calcular el radio <strong>de</strong> giro necesitamos la masa <strong>de</strong> la placa; como estamos suponiendo que la<br />
<strong>de</strong>nsidad es 1, la masa coinci<strong>de</strong> con la superficie.<br />
<br />
IX<br />
RX =<br />
m =<br />
<br />
h3b 1<br />
= √ h<br />
2bh 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Integración 574<br />
(b)<br />
IX =<br />
a<br />
−a<br />
√ a2−y2 y 2 dx dy =<br />
√<br />
− a2−y2 a<br />
−a<br />
<br />
πa4 a<br />
RX = =<br />
4πa2 2<br />
(c) (Los cálculos son exactamente iguales que en el apartado anterior).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2y 2 a 2 − y 2 dy = π<br />
4 a4
Integración 575<br />
Problema 278 Invierte el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración:<br />
5<br />
−5<br />
√ 25−y2 f(x, y) dx dy;<br />
0<br />
1 √<br />
y<br />
0<br />
0<br />
f(x, y) dx dy +<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2 3−y<br />
0<br />
y/2<br />
2 √ 2−y<br />
1<br />
0<br />
f(x, y) dx dy;<br />
f(x, y) dx dy.
Integración 576<br />
Problema 279 Evaluar las integrales iteradas que se indican invirtiendo el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> integración:<br />
1 2<br />
0<br />
2y<br />
e −y/x dx dy;<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 √ 1−x2 −1<br />
− √ 1−x 2<br />
x 1 − x 2 − y 2 dy dx.
Capítulo 8<br />
Ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
577
Ecuaciones diferenciales ordinarias 578<br />
Problema 280 Estudiar la convergencia <strong>de</strong> las siguientes integrales impropias y, en su caso, calcular su<br />
valor:<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
3<br />
−2<br />
+∞<br />
0<br />
+∞<br />
e<br />
π<br />
0<br />
dx<br />
(x + 2)(3 − x)<br />
e −2x cos ax dx<br />
dx<br />
x log x<br />
tg x dx<br />
3<br />
dx<br />
1. La integral es impropia en los dos extremos y en los dos es convergente, ya que<br />
−2 (x + 2)(3 − x)<br />
3<br />
3<br />
dx<br />
dx<br />
en −2 tiene el mismo carácter que √ y en 3 tiene el mismo carácter que √ y ambas<br />
−2 x + 2 −2 3 − x<br />
series son convergentes por ser (1/2)-integrales.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 579<br />
Vamos a calcular la integral <strong>de</strong> dos formas distintas. En la primera, utilizaremos la sustitución <strong>de</strong><br />
Euler:<br />
(x + 2)(3 − x) = u(x + 2)<br />
Haciendo las operaciones necesarias llegamos a:<br />
<br />
3 − x<br />
u =<br />
x + 2<br />
Los límites <strong>de</strong> integración cambian a:<br />
<br />
3 − x<br />
lím<br />
x→3 x + 2<br />
3 − 2u2<br />
, x =<br />
u2 5<br />
, x + 2 =<br />
+ 1 u2 + 1<br />
= 0, lím<br />
x→−2 +<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
<br />
3 − x<br />
x + 2<br />
− 10u<br />
, dx =<br />
(u2 2 du<br />
+ 1)<br />
= +∞
Ecuaciones diferenciales ordinarias 580<br />
Y entonces:<br />
3<br />
−2<br />
0<br />
dx<br />
=<br />
(x + 2)(3 − x) +∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
=<br />
=<br />
− 10u<br />
(u 2 + 1) 2<br />
5u<br />
u2 du<br />
+ 1<br />
+∞<br />
2<br />
0 u2 + 1 du<br />
+∞<br />
2 arc tg u<br />
= lím 2 arc tg u = 2π<br />
u→+∞ 2<br />
0<br />
= π
Ecuaciones diferenciales ordinarias 581<br />
Una sustitución por función trigonométrica conduce a un cálculo igual <strong>de</strong> simple:<br />
2. La integral<br />
+∞<br />
0<br />
3<br />
−2<br />
dx<br />
(x + 2)(3 − x) =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
3<br />
−2<br />
3<br />
−2<br />
π/ 2<br />
−π/ 2<br />
π/ 2<br />
−π/ 2<br />
dx<br />
√ 6 + x − x 2<br />
<br />
5<br />
2<br />
dx<br />
1 − 2<br />
5<br />
(x − 1<br />
2 ) 2<br />
<br />
2<br />
5<br />
<br />
<br />
dx = 5<br />
cos θ<br />
2<br />
5 cos θ 2 √ dθ<br />
1 − sen2 θ<br />
5<br />
2<br />
dθ<br />
= π π<br />
+<br />
2 2<br />
e −2x cos ax dx converge, ya que<br />
Para a = 0 la integral se reduce a<br />
+∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
= π<br />
1 (x − ) = sen θ, θ ∈ ( −π/2, π/2)<br />
2<br />
+∞<br />
|e −2x cos ax| ≤ e −2x<br />
0<br />
e −2x dx = 1 1<br />
Γ(1) =<br />
2 2 .<br />
e −2x dx converge y
Ecuaciones diferenciales ordinarias 582<br />
Para a = 0 calculamos la integral utilizando integración por partes:<br />
+∞<br />
0<br />
e −2x cos ax dx =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dv = cos ax dx v = 1 sen ax a<br />
<br />
+∞ +∞<br />
−2x 1<br />
2<br />
= e sen ax +<br />
a a e−2x sen axdx<br />
+∞<br />
u = e −2x du = −2e −2x dx<br />
0<br />
0<br />
= 2<br />
e<br />
a 0<br />
−2x sen axdx<br />
<br />
<br />
u = e<br />
<br />
<br />
−2x du = −2e−2xdx dv = sen ax dx v = − 1 cos ax a<br />
= 2<br />
<br />
+∞<br />
−2x 1<br />
−e cos ax −<br />
a a 0<br />
2<br />
+∞<br />
2<br />
a 0 a e−2x cos axdx<br />
2<br />
= lím<br />
x→+∞ a2 <br />
−2x 4<br />
−e cos ax + 1 −<br />
a2 +∞<br />
e −2x cos axdx<br />
= 2 4<br />
2 −<br />
a a2 +∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
e −2x cos axdx<br />
0
Ecuaciones diferenciales ordinarias 583<br />
De don<strong>de</strong> se obtiene que:<br />
3. Dado que la función f(x) =<br />
+∞<br />
0<br />
1<br />
x log x<br />
función log x son crecientes), la integral<br />
e −2x cos ax dx =<br />
2<br />
a 2<br />
1 + 4<br />
a 2<br />
= 2<br />
a 2 + 4<br />
es <strong>de</strong>creciente en [2, +∞) (ya que tanto la función x como la<br />
+∞<br />
e<br />
dx<br />
x log x tiene el mismo carácter que la serie 1<br />
n log n ;<br />
por el criterio <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación esta serie tiene el mismo carácter que 1<br />
que es divergente.<br />
k log 2<br />
Vamos a estudiar directamente la convergencia a través <strong>de</strong>l cálculo <strong>de</strong> la integral. El cambio <strong>de</strong> variable<br />
x = eu hace que el estudio directo sea prácticamente idéntico al realizado arriba:<br />
+∞<br />
dx<br />
e x log x =<br />
+∞<br />
e<br />
1<br />
udu eu +∞<br />
du<br />
u =<br />
log e 1 u<br />
La integral <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha no es convergente y en consecuencia la integral propuesta tampoco.<br />
4. La integral<br />
π<br />
0<br />
tg x dx es impropia en un punto intermedio <strong>de</strong>l intervalo <strong>de</strong> integración, π/2. Aparen-<br />
temente, la simetría <strong>de</strong> la función tangente en el intervalo <strong>de</strong> integración respecto <strong>de</strong>l punto ( π/2, 0)<br />
permitiría <strong>de</strong>ducir que la integral propuesta converge a 0.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 584<br />
Y<br />
π/2 π<br />
Sin embargo, vamos a ver que, <strong>de</strong> hecho, esta integral no converge. Según la <strong>de</strong>finición, la integral<br />
π<br />
0<br />
tg x dx converge si y solo si convergen las integrales<br />
π/ 2<br />
0<br />
tg x dx y<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π<br />
π/ 2<br />
X<br />
tg x dx
Ecuaciones diferenciales ordinarias 585<br />
Estudiamos la primera:<br />
π/ 2<br />
0<br />
tg x dx =<br />
Por lo tanto, la integral propuesta no converge.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
π/ 2<br />
− log cos x<br />
0<br />
= lím<br />
x→π/ (− log cos x) = +∞<br />
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias 586<br />
Problema 281 1. Demostrar que la integral impropia Γ(x) =<br />
(0, +∞).<br />
2. Demostrar que la integral impropia β(x) =<br />
y ∈ (0, +∞).<br />
1<br />
0<br />
+∞<br />
0<br />
t x−1 e −t dt converge para cada x ∈<br />
t x−1 (1 − t) y−1 dt converge para cada x ∈ (0, +∞),<br />
1. Según el valor <strong>de</strong> x la integral Γ(x) pue<strong>de</strong> ser impropia en 0 o solamente en +∞; estudiamos entonces<br />
la convergencia distinguiendo varios casos.<br />
+∞<br />
Para x = 1: Γ(1) = e<br />
0<br />
−t <br />
dt = −e −t<br />
+∞<br />
= lím<br />
t→+∞<br />
0<br />
(−e−t Para 0 < x < 1:<br />
+ 1) = 1<br />
+∞<br />
dt<br />
Γ(x) =<br />
0 t1−x 1<br />
dt<br />
t =<br />
e 0 t1−xet +∞<br />
dt<br />
+<br />
1 t<br />
<br />
1−xet .<br />
<br />
La integral I1 es impropia en 0 y es convergente, ya que tiene el mismo carácter que<br />
0 < 1 − x < 1:<br />
lím<br />
t→0<br />
1<br />
t 1−x e t<br />
1<br />
t 1−x<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
I1<br />
= lím<br />
t→0<br />
I2<br />
1<br />
t = 1 = 0<br />
e<br />
1<br />
0<br />
dt<br />
1−x y<br />
t
Ecuaciones diferenciales ordinarias 587<br />
La integral I2 es impropia en +∞; teniendo en cuenta que la integral<br />
lím<br />
t→+∞<br />
<strong>de</strong>ducimos que I2 también converge.<br />
1<br />
t 1−x e t<br />
1<br />
e t<br />
= lím<br />
t→+∞<br />
1<br />
1−x = 0<br />
t<br />
+∞<br />
0<br />
e −t dt converge y que:<br />
Para x > 1, el teorema <strong>de</strong> integración por partes permite <strong>de</strong>ducir la siguiente igualdad:<br />
+∞<br />
Γ(x) = t x−1 e −t <br />
dt = −t x−1 e −t<br />
+∞ +∞<br />
+ t x−2 e −t dt<br />
0<br />
=<br />
+∞<br />
0<br />
0<br />
0<br />
t x−2 e −t dt = (x − 1)Γ(x − 1)<br />
Por lo tanto, Γ(x) converge si y solo si Γ(x − 1) converge. Si E <strong>de</strong>nota a la función parte entera<br />
y n = E(x), entonces se verifica que Γ(x) converge si y solo si Γ(x − n) converge, lo cual es cierto<br />
por el punto anterior, ya que 0 < x − n < 1.<br />
2. Según los valores <strong>de</strong> x e y la integral β(x, y) pue<strong>de</strong> ser impropia en 0 y/o en 1 e incluso no ser impropia;<br />
estudiamos entonces la convergencia distinguiendo varios casos.<br />
β(1, 1) =<br />
1<br />
0<br />
dt = 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 588<br />
Si x > 1 e y > 1, la integral no es impropia y la función β está bien <strong>de</strong>finida por que el integrando<br />
es una función continua.<br />
1<br />
Si x = 1, β(x, 1) = t<br />
0<br />
x−1 x 1<br />
t<br />
dt = =<br />
x 0<br />
1<br />
. Obsérvese que, si x < 1, la integral es impropia en 0,<br />
x<br />
pero el cálculo realizado es igualmente válido.<br />
1<br />
Si y = 1, β(1, y) = (1 − t)<br />
0<br />
y−1 1 (1 − t)y<br />
dt = − =<br />
y 0<br />
1<br />
. Nuevamente, si y < 1, la integral es<br />
y<br />
impropia en 1.<br />
Si 0 < x < 1 y 0 < y < 1, entonces la integral es impropia en 0 y 1; en 0 tiene el mismo<br />
carácter que<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
t x−1 dt que es convergente (ya que 1 − x < 1) y en 1 tiene el mismo carácter que<br />
(1 − t) y−1 dt que es convergente (ya que 1 − y < 1).<br />
Si 0 < x < 1 e y > 1, entonces la integral es impropia solo en 0 y tiene el mismo carácter que<br />
1<br />
0<br />
t x−1 dt que es convergente.<br />
Si x > 1 y 0 < y < 1, entonces la integral es impropia solo en 1 y tiene el mismo carácter que<br />
1<br />
0<br />
(1 − t) y−1 dt que es convergente.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 589<br />
Problema 282 Hallar el área <strong>de</strong> la región limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por y(x 2 +1) =<br />
x, y a la izquierda por x = 1.<br />
Observamos en primer lugar que la curva xy = 1 está por encima <strong>de</strong> y(x 2 + 1) = x para x = 0:<br />
Por lo tanto, el área pedida es<br />
+∞<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x<br />
x 2 + 1<br />
<br />
1 x<br />
−<br />
x x2 <br />
dx = log x −<br />
+ 1<br />
1<br />
2 log(x2 +∞<br />
+ 1)<br />
0<br />
= x2 + 1<br />
x 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
> 1<br />
=<br />
<br />
+∞<br />
x<br />
log √ = 0 − log<br />
x2 + 1 0<br />
1 √ = log<br />
2 √ 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias 590<br />
Problema 283 Usando la función β calcular:<br />
π/ 2<br />
sen<br />
0<br />
3 θ cos 4 θ dθ = 1<br />
π/ 2<br />
sen<br />
0<br />
3 θ cos 4 θ dθ.<br />
2 β(4<br />
5 Γ(2)Γ(5/2) 1!Γ(5/2)<br />
, ) =<br />
2 2 2Γ( 9/2)<br />
=<br />
2 7<br />
2<br />
5 =<br />
Γ(5/2) 35<br />
En la simplificación hemos utilizado la igualdad: Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1).<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
2 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias 591<br />
Problema 284 Utilizar el teorema <strong>de</strong> Green para <strong>de</strong>mostrar que el área encerrada por una curva cerrada<br />
y simple C, recorrida en el sentido contrario a las agujas <strong>de</strong>l reloj, es:<br />
A = 1<br />
<br />
−ydx + xdy<br />
2<br />
Por lo tanto, si γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], es una parametrización <strong>de</strong> C, entonces:<br />
1<br />
2<br />
C<br />
a<br />
(−y(t)x<br />
b<br />
′ (t) + x(t)y ′ (t))dt<br />
Calcular el área <strong>de</strong> la región interior al lazo <strong>de</strong>l folium <strong>de</strong> Descartes, es <strong>de</strong>cir, la región limitada por la curva:<br />
x(t) = 3t<br />
t 3 + 1<br />
y(t) = 3t2<br />
t 3 + 1<br />
La <strong>de</strong>mostración es una mera comprobación; si F (x, y) = (−y, x), entonces el teorema <strong>de</strong> Green establece<br />
que si C está recorrida en sentido positivo (sentido contrario al <strong>de</strong> la agujas <strong>de</strong>l reloj), entonces:<br />
<br />
<br />
<br />
(−ydx + xdy) = F = (D1F2 − D2F1)dxdy = (1 + 1)dxdy = 2A<br />
C<br />
Y en consecuencia A = 1<br />
<br />
(−ydx + xdy).<br />
2 C<br />
Recor<strong>de</strong>mos la forma <strong>de</strong> curva <strong>de</strong>nominada folium <strong>de</strong> Descartes:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
C<br />
D<br />
D
Ecuaciones diferenciales ordinarias 592<br />
t → −1 +<br />
t → +∞<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
t = 0<br />
t → −∞<br />
t → −1 −
Ecuaciones diferenciales ordinarias 593<br />
El lazo <strong>de</strong> esta curva correspon<strong>de</strong> al intervalo [0, +∞) y en consecuencia su área es:<br />
A = 1<br />
<br />
(−ydx + xdy) =<br />
2 C<br />
1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
= − 3<br />
2<br />
+∞<br />
<br />
− 3t2<br />
t3 3(t<br />
+ 1<br />
3 + 1) − 9t3 (t3 + 1) 2 + 3t<br />
t3 + 1<br />
0<br />
+∞<br />
9t<br />
0<br />
2 + 9t5 (t3 3 dt<br />
+ 1)<br />
+∞<br />
− 3t<br />
0<br />
2<br />
(t3 2 dt<br />
+ 1)<br />
= − 3<br />
<br />
1<br />
2 t3 +∞<br />
+ 1 0 <br />
3<br />
= lím −<br />
t→+∞ 2(t3 <br />
3<br />
+ =<br />
+ 1) 2<br />
3<br />
2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
6t(t 3 + 1) − 9t 4<br />
(t 3 + 1) 2<br />
<br />
dt
Ecuaciones diferenciales ordinarias 594<br />
Problema 285 Utilizar la <strong>de</strong>finición para calcular la trasformada <strong>de</strong> Laplace <strong>de</strong> la siguiente función y<br />
especificar su dominio.<br />
⎧<br />
⎨−1<br />
f(t) =<br />
⎩1<br />
si 0 < t < 1<br />
si t ≥ 1<br />
L {f(t)} =<br />
+∞<br />
+∞<br />
0<br />
e −st f(t)dt =<br />
1<br />
1<br />
0<br />
+∞<br />
<br />
−st e<br />
= + −<br />
s t=0<br />
e−st<br />
s<br />
= e−s<br />
−st<br />
1 e<br />
− − lím<br />
s s t→+∞ s<br />
= 2e−s − 1<br />
−<br />
s<br />
1<br />
s lím<br />
+∞<br />
t=1<br />
t→+∞ e−st<br />
−e −st dt +<br />
− e−s<br />
s<br />
<br />
+∞<br />
1<br />
e −st dt<br />
Si s = 0, la integral impropia e<br />
1<br />
−st dt = dt no converge; si s > 0, el límite lím<br />
1<br />
t→+∞ e−st es igual a<br />
+∞ y por lo tanto la integral impropia no converge; si s < 0, el límite lím<br />
t→+∞ e−st es igual a 0 y por lo tanto,<br />
la integral impropia converge. En consecuencia, el dominio <strong>de</strong> la transformada <strong>de</strong> Laplace es (0, +∞) y:<br />
L {f(t)} = 2e−s − 1<br />
s<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 595<br />
Po<strong>de</strong>mos calcular la transformada utilizando el segundo teorema <strong>de</strong> traslación y teniendo en cuenta que<br />
f(t) = 2H(t − 1) − 1 (la función H es la función <strong>de</strong> Heavisi<strong>de</strong>);<br />
L {f(t)} = 2L {H(t − 1)} − L {1} = 2e −s L {1} − L {1} = 2e−s − 1<br />
s<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 596<br />
Problema 286 Demostrar que si α > −1, entonces L {t α } =<br />
Utilizar este resultado para calcular L {t −1/2 } y L {t 3/2 }.<br />
L {t α } =<br />
=<br />
+∞<br />
e<br />
0<br />
−st t α dt<br />
+∞<br />
= 1<br />
s α+1<br />
= Γ(α + 1)<br />
Γ(α + 1)<br />
sα+1 .<br />
<br />
<br />
u = st du = s dt<br />
−u uα<br />
e<br />
du<br />
s<br />
0 sα +∞<br />
e<br />
0<br />
−u u α du<br />
sα+1 Para que tenga sentido la última expresión necesariamente α > −1. Por otra parte, si α es un número<br />
natural, entonces:<br />
L {t n } = n!<br />
s n+1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 597<br />
✎ L {t −1/2 } = Γ(1/2)<br />
s 1/2<br />
✎ L {t 3/2 } = Γ(5/2)<br />
s 5/2<br />
=<br />
=<br />
π<br />
s<br />
3 1<br />
2<br />
2Γ(1/2) s5/2 = 3<br />
<br />
π<br />
4 s5 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 598<br />
Problema 287 Use la lista <strong>de</strong> transformadas básicas y la propiedad <strong>de</strong> linealidad para calcular las transformadas<br />
<strong>de</strong> las siguientes funciones:<br />
1. f(t) = t 2 + 6t − 3<br />
2. f(t) = e t senh t<br />
3. f(t) = sen t cos 2t<br />
1. L {t2 + 6t − 3} = L {t2 } + 6L {t} − 3L {1} = 2<br />
s3 + 6 1<br />
s2 − 3 1 2 + 6s − 3s2<br />
=<br />
s s3 2. L {et senh t} = L { e2t − 1<br />
} =<br />
2<br />
1<br />
2 L {e2t } − 1<br />
2<br />
3. Utilizamos la igualdad:<br />
Por lo tanto:<br />
L {1} =<br />
1 1<br />
−<br />
2(s − 2) 2s =<br />
cos α sen β = 1<br />
1<br />
sen(α + β) − sen(α − β)<br />
2 2<br />
L {sen t cos 2t} = L { 1 1<br />
sen 3t − sen t} =<br />
2 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
3<br />
2(s 2 + 9) −<br />
1<br />
s(s − 2)<br />
1<br />
2(s 2 + 1) =<br />
s 2 − 3<br />
(s 2 + 9)(s 2 + 1)
Ecuaciones diferenciales ordinarias 599<br />
Problema 288 Calcular la transformada <strong>de</strong> Laplace <strong>de</strong> la siguiente función:<br />
⎧<br />
⎨e<br />
g(t) =<br />
⎩<br />
3t si t ≥ 0, t = 5<br />
1 si t = 5<br />
¿Po<strong>de</strong>mos afirmar que la transformada inversa <strong>de</strong> Laplace <strong>de</strong> una función es única?<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 600<br />
L {g(t)} =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+∞<br />
0<br />
5<br />
e −st g(t)dt<br />
e −st g(t)dt +<br />
+∞<br />
e −st g(t)dt<br />
0<br />
5<br />
5<br />
e<br />
0<br />
−st e 3t +∞<br />
dt + e<br />
5<br />
−st e 3t dt<br />
5 6 +∞<br />
0<br />
e t(3−s) dt +<br />
5<br />
e t(3−s) dt +<br />
5 6 +∞<br />
t(3−s)<br />
t(3−s)<br />
t(3−s)<br />
e e e<br />
= + +<br />
3 − s 0 3 − s 5 3 − s 6<br />
5(3−s)<br />
6(3−s)<br />
e 1<br />
e<br />
= lím − + lím<br />
t→5 3 − s 3 − s t→5 3 − s<br />
= 1<br />
+ lím<br />
s − 3 t→+∞<br />
= 1<br />
s − 3<br />
e t(3−s)<br />
3 − s<br />
si s > 3<br />
6<br />
e t(3−s) dt<br />
t(3−s)<br />
et(3−s)<br />
e<br />
− + lím<br />
3 − s t→+∞ 3 − s<br />
<br />
e6(3−s)<br />
−<br />
3 − s<br />
Si s ≤ 3, el último límite es +∞ y por lo tanto la integral no converge. Hemos obtenido entonces que<br />
L {g(t)} = L {e 3t } y en consecuencia po<strong>de</strong>mos concluir que dos funciones distintas pue<strong>de</strong>n tener la misma<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 601<br />
transformada <strong>de</strong> Laplace. En realidad, las funciones no pue<strong>de</strong>n ser muy diferentes: dos funciones tienen la<br />
misma transformada <strong>de</strong> Laplace si difieren en un conjunto finito <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> su dominio.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 602<br />
Problema 289 Demuéstrese que la función f(t) = 1/t 2 no admite transformada <strong>de</strong> Laplace.<br />
La existencia <strong>de</strong> la transformada está <strong>de</strong>terminada por la convergencia <strong>de</strong> la integral impropia que la<br />
<strong>de</strong>fine:<br />
L {1/t 2 +∞<br />
e<br />
} =<br />
0<br />
−st 1<br />
e<br />
dt =<br />
t2 0<br />
−st +∞<br />
e<br />
dt +<br />
t2 1<br />
−st<br />
dt<br />
t2 Esta integral no converge puesto que la integral básica<br />
divergente<br />
1<br />
0<br />
1<br />
dt:<br />
t2 lím<br />
t→0<br />
e −st<br />
t 2<br />
1<br />
t 2<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1<br />
0<br />
= lím<br />
t→0 e −st = 1<br />
e−st dt tiene el mismo carácter que la serie<br />
t2
Ecuaciones diferenciales ordinarias 603<br />
Problema 290 Hallar la transformada <strong>de</strong> Laplace <strong>de</strong> la siguientes función escribiéndolas en términos <strong>de</strong><br />
la función <strong>de</strong> Heavisi<strong>de</strong>.<br />
⎧<br />
⎨sen<br />
t<br />
f(t) =<br />
⎩0<br />
si 0 ≤ t < 2π<br />
si t ≥ 2π<br />
La estrategia para calcular la transformada <strong>de</strong> Laplace <strong>de</strong> este tipo <strong>de</strong> funciones es expresarlas en términos<br />
<strong>de</strong> la función <strong>de</strong> Heavisi<strong>de</strong>. En este caso, es facil comprobar que:<br />
f(t) = sen t − H(t − 2π) sen t = sen t − H(t − 2π) sen(t − 2π)<br />
El segundo teorema <strong>de</strong> traslación permite calcular fácilmente la transformada:<br />
L {f(t)} = L {sen t} − L {H(t − 2π) sen(t − 2π)}<br />
= 1<br />
s2 + 1 − e−2πsL {sen t}<br />
= 1<br />
s2 + 1 − e−2πs 1<br />
s2 + 1<br />
= 1 − e−2πs<br />
s2 + 1<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 604<br />
Problema 291 Utilizar la lista <strong>de</strong> transformadas básicas y la propiedad <strong>de</strong> linealidad para calcular la transformada<br />
inversa <strong>de</strong> Laplace <strong>de</strong> las siguientes funciones:<br />
a) F (s) =<br />
a) L −1 {<br />
(s + 1)2<br />
s 3 b) F (s) =<br />
(s + 1)2<br />
s 3<br />
s − 1<br />
s 2 (s 2 + 1)<br />
} = L −1 { s2 + 2s + 1<br />
s3 }<br />
= L −1 { 1<br />
s } + L −1 { 2<br />
s2 } + L −1 { 1<br />
3 }<br />
s<br />
= L −1 { 1<br />
s } + 2L −1 { 1 1<br />
2 } +<br />
s 2 L −1 { 2<br />
3 }<br />
s<br />
= 1 + 2t + 1<br />
2 t2<br />
b) Efectuamos en primer lugar la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> la función racional:<br />
s − 1<br />
s2 (s2 A<br />
=<br />
+ 1) s<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
B Cs + D<br />
+ 2 +<br />
s s2 + 1<br />
c) F (s) = e−2s<br />
s 2 (s − 1)
Ecuaciones diferenciales ordinarias 605<br />
Efectuando la suma e igualando coeficientes obtenemos:<br />
y en consecuencia:<br />
c) L −1 {<br />
s − 1<br />
s 2 (s 2 + 1)<br />
L −1 s − 1<br />
{<br />
s2 (s2 + 1) } = L −1 { 1<br />
s<br />
e −2s<br />
s 2 (s − 1) } = H(t − 2)L −1 {<br />
= 1<br />
s<br />
1 s − 1<br />
− 2 −<br />
s s2 + 1<br />
1 s − 1<br />
− 2 −<br />
s s2 } = 1 − t − cos t + sen t<br />
+ 1<br />
1<br />
s2 (s − 1) }t→t−2<br />
= H(t − 2)L −1 {− 1 1 1<br />
− 2 +<br />
s s s − 1 }t→t−2<br />
<br />
= H(t − 2) −1 − t + e t<br />
<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
t→t−2<br />
= (−1 − (t − 2) + e t−2 )H(t − 2) = (1 − t + e t−2 )H(t − 2)
Ecuaciones diferenciales ordinarias 606<br />
Problema 292 Usar el teorema <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> la transformada <strong>de</strong> Laplace para n = 1 para calcular<br />
f(t) = L −1 {arc tg 1/s}<br />
Por el teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> la transformada <strong>de</strong> Laplace, po<strong>de</strong>mos escribir:<br />
Entonces:<br />
L {tf(t)} = − d<br />
L {f(t)}}<br />
ds<br />
f(t) = − 1<br />
t L −1 { d<br />
L {f(t)}}<br />
ds<br />
= − 1<br />
t L −1 { d<br />
arc tg 1/s}<br />
ds<br />
= − 1<br />
t L −1 − 1<br />
{<br />
s2 + 1 }<br />
= − 1<br />
(− sen t)<br />
t<br />
= sen t<br />
t<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 607<br />
Problema 293 Calcular las siguientes transformadas:<br />
a) L {1 ∗ t 3 t<br />
} b) L {t ue<br />
0<br />
−u du}<br />
a) La transformada se calcula facilmente con el teorema <strong>de</strong> convolución:<br />
L {1 ∗ t 3 } = L {1}L {t 3 } = 1<br />
s<br />
6 6<br />
4 =<br />
s s5 Calculando previamente la convolución el cálculo queda igual <strong>de</strong> simple:<br />
L {1 ∗ t 3 t<br />
} = L { u<br />
0<br />
3 du} = L { 1<br />
4 t4du} = 1 4! 6<br />
=<br />
4 s5 s5 <strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 608<br />
b) Aplicando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la transformada y la convolución:<br />
t<br />
L {t ue<br />
0<br />
−u du} = L {t(te −t ∗ 1)} Def. <strong>de</strong> convolución<br />
= − d<br />
ds L {te−t ∗ 1} T. <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> la transformada<br />
= − d<br />
ds (L {te−t }L {1}) Teor. <strong>de</strong> convolución<br />
= − d<br />
ds (L {t}s→s+1L {1}) Primer teorema <strong>de</strong> traslación<br />
= − d<br />
ds<br />
<br />
1<br />
(s + 1) 2<br />
1<br />
s<br />
<br />
= 3s2 + 4s + 1<br />
(s + 1) 4 3s + 1<br />
2 =<br />
s (s + 1) 3s2 Calculando la primitiva <strong>de</strong> la función a transformar, po<strong>de</strong>mos hacer el cálculo sin utilizar la convolución:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 609<br />
t<br />
L {t ue<br />
0<br />
−u <br />
du} = L {t −ue −u − e −u<br />
t }<br />
0<br />
= L {t(−te −t − e −t + 1)}<br />
= L {−t 2 e −t − te −t + t)}<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
= −L {t 2 e −t } − L {te −t } + L {t}<br />
= −L {t 2 }s→s+1 − L {t}s→s+1 + L {t}<br />
= −<br />
2 1 1 3s + 1<br />
3 − 2 + 2 =<br />
(s + 1) (s + 1) s<br />
(s + 1) 3 s 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias 610<br />
Problema 294 Usar el teorema <strong>de</strong> convolución para calcular L −1 1<br />
{<br />
s(s2 + 1) }<br />
Por el teorema <strong>de</strong> convolución tenemos que:<br />
L −1 1<br />
{<br />
s(s2 + 1) } = L −1 { 1<br />
s } ∗ L −1 1<br />
{<br />
s2 } = 1 ∗ sen t<br />
+ 1<br />
Calculamos finalmente la convolución que hemos obtenido:<br />
Por lo tanto:<br />
1 ∗ sen t = sen t ∗ 1 =<br />
La propiedad <strong>de</strong> linealidad y la igualdad<br />
resultado.<br />
t<br />
0<br />
sen udu =<br />
L −1 1<br />
{<br />
s(s2 } = 1 − cos t<br />
+ 1)<br />
1<br />
s(s 2 + 1)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
1 s<br />
= −<br />
s s2 + 1<br />
u=t − cos u = 1 − cos t<br />
u=0<br />
conduce <strong>de</strong> una forma más simple al mismo
Ecuaciones diferenciales ordinarias 611<br />
Problema 295 Describir la curva que forma un cable flexible <strong>de</strong> longitud ℓ que está colgado por sus extremos<br />
entre dos postes <strong>de</strong> alturas h1 y h2 respectivamente y separados por una distancia d. ¿Qué tensión lateral<br />
soportan los postes?<br />
Vamos a situar los ejes <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> forma que el eje <strong>de</strong> or<strong>de</strong>nadas que<strong>de</strong> sobre el poste izquierdo,<br />
<strong>de</strong>jando el origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas en el extremo inferior <strong>de</strong>l mismo, según se muestra en la figura siguiente;<br />
la curva vendrá dada por la grafica <strong>de</strong> una función y <strong>de</strong> x que tendremos que <strong>de</strong>terminar.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
h2<br />
h1<br />
T0<br />
0<br />
T (x) cos θ(x) = T<br />
T (x) sen θ(x)<br />
= P (x) − T0<br />
x<br />
d
Ecuaciones diferenciales ordinarias 612<br />
En cada punto <strong>de</strong>l cable actúa la tensión <strong>de</strong>l mismo en la dirección tangente a la curva, T (x); la componente<br />
horizontal <strong>de</strong> esta tensión es la misma en cada punto, T = T (x) sen θ(x), ya que no actúa ninguna<br />
fuerza externa en ningún punto <strong>de</strong>l cable, sin embargo, la componente vertical es distinta, ya que coinci<strong>de</strong><br />
con el peso <strong>de</strong> la cuerda que queda por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> dicho punto. Es <strong>de</strong>cir, el valor <strong>de</strong> esta componente vertical<br />
es igual al peso <strong>de</strong> la cuerda <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su extremo izquierdo, P (x), menos la tensión vertical que ejerce el poste<br />
izquierdo, T0; si δ es la <strong>de</strong>nsidad lineal, el valor <strong>de</strong> esta tensión es:<br />
T (x) sen θ(x) = P (x) − T0 = δ<br />
x<br />
0<br />
1 + (y ′ (t)) 2 dt − T0<br />
Dividiendo las expresiones que <strong>de</strong>terminan las dos componentes <strong>de</strong> la tensión, obtenemos la siguiente igualdad:<br />
y ′ x<br />
sen θ(x) δ T0<br />
(x) = = 1 + (y ′ (t)) 2dt −<br />
cos θ(x) T<br />
T<br />
y <strong>de</strong>rivando ambos miembros, obtenemos la ecuación diferencial que <strong>de</strong>scribe la curva buscada:<br />
y ′′ (x) =<br />
sen θ(x)<br />
cos θ(x)<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
0<br />
δ <br />
= 1 + (y ′ (x)) 2<br />
T
Ecuaciones diferenciales ordinarias 613<br />
Esta ecuación es una ecuación en variables separables en y ′ ,<br />
y ′′<br />
1 + (y ′ ) 2<br />
arg senh y ′ = δ<br />
x + C1<br />
T<br />
y ′ <br />
δ<br />
= senh x + C1<br />
T<br />
y = T<br />
δ cosh<br />
<br />
δ<br />
x + C1 + C2<br />
T<br />
= δ<br />
T<br />
y por lo tanto:<br />
Ya tenemos <strong>de</strong>terminada la forma <strong>de</strong>l cable: coinci<strong>de</strong> con la grafica <strong>de</strong>l coseno hiperbólico (salvo las<br />
constantes que <strong>de</strong>terminan el <strong>de</strong>splazamiento y la apertura). Posiblemente una <strong>de</strong> las aplicaciones más<br />
importantes <strong>de</strong> este ejercicio sea <strong>de</strong>terminar la tensión lateral que soportan los postes y que condicionará la<br />
resistencia <strong>de</strong> los mismos. Esta tensión es uno <strong>de</strong> los parámetros que <strong>de</strong>termina la curva anterior y que<br />
habrá que calcular a partir <strong>de</strong> los datos iniciales <strong>de</strong>l problema: longitud <strong>de</strong>l cable, ℓ, separación <strong>de</strong> los postes,<br />
d, altura <strong>de</strong>l poste izquierdo, h1, altura <strong>de</strong>l poste <strong>de</strong>recho, h2 y <strong>de</strong>nsidad lineal <strong>de</strong>l cable, δ. Para hacer este<br />
último cálculo, aplicamos las condiciones inciales <strong>de</strong>l problema a la ecuación obtenida; las condiciones son:<br />
y(0) = h1<br />
y ′ (0) = T0<br />
T<br />
y(d) = h2<br />
y ′ (d) =<br />
ℓδ − T0<br />
T<br />
Una vez aplicadas a la ecuación <strong>de</strong> la curva, obtenemos el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones numéricas:<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 614<br />
C2 + T<br />
δ cosh C1 = h1<br />
C2 + T<br />
δ cosh<br />
<br />
δ<br />
d + C1<br />
T<br />
senh C1 = − T0<br />
T<br />
<br />
δ<br />
senh d + C1 =<br />
T ℓδ − T0<br />
= h2<br />
T<br />
Vamos a trabajar con estas cuatro ecuaciones para dirigir el cálculo <strong>de</strong> los parámetros T , C1 y C2 en<br />
función <strong>de</strong> los datos iniciales.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
(8.1)<br />
(8.2)<br />
(8.3)<br />
(8.4)
Ecuaciones diferenciales ordinarias 615<br />
T<br />
δ<br />
<br />
δd<br />
<br />
cosh + C1<br />
T<br />
2 T<br />
δ senh<br />
<br />
δd<br />
+ C1<br />
2T<br />
<br />
δd<br />
<br />
senh + C1<br />
2 cosh<br />
− cosh C1<br />
<br />
<br />
= h2 − h1<br />
senh δd<br />
2T = h2 − h1<br />
(8.2)-(8.1)<br />
(8.5)<br />
− senh C1 =<br />
T ℓδ<br />
T<br />
<br />
δd<br />
<br />
+ C1 senh<br />
2T<br />
(8.4)-(8.3)<br />
δd ℓδ<br />
=<br />
2T T<br />
<br />
δd<br />
<br />
tgh + C1 =<br />
2T<br />
(8.6)<br />
h2 − h1<br />
ℓ<br />
<br />
δd<br />
<br />
h2 − h1<br />
senh + C1 = <br />
2T ℓ2 − (h2 − h1)<br />
(8.5):(8.6) (8.7)<br />
2<br />
(8.8)<br />
senh δd δ <br />
= ℓ2 − (h2 − h1)<br />
2T 2T<br />
2 De (8.5) y (8.8) (8.9)<br />
Por lo tanto, la tensión T es la solución <strong>de</strong> la ecuación (8.9). Obsérvese que dicha ecuación tiene solución,<br />
ya que para que el problema esté bien planteado <strong>de</strong>be cumplirse que ℓ 2 > d 2 + (h2 − h1) 2 , y en este caso,<br />
la ecuación senh δd<br />
<br />
2<br />
δd ℓ − (h2 − h1)<br />
=<br />
2T 2T<br />
2<br />
d2 tiene solución, que es única si tenemos en cuenta que T > 0. A<br />
partir <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> T y <strong>de</strong> la ecuación (8.7) po<strong>de</strong>mos hallar el valor <strong>de</strong> C1 y finalmente, con este valor y la<br />
ecuación (8.1) hallamos C2.<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 616<br />
La ecuación (8.9) no pue<strong>de</strong> resolverse <strong>de</strong> forma algebraica y para cada problema concreto se resolverá <strong>de</strong><br />
forma numérica:<br />
a0 = 1<br />
<br />
ℓ2 − (h2 − h1)<br />
an =<br />
2<br />
arg senh an−1<br />
d<br />
α = lím an<br />
T = δ <br />
ℓ2 − (h2 − h1)<br />
2α<br />
2<br />
Por ejemplo, supongamos que δ = 1 kg/m, d = 10 m, ℓ = 12 m, h1 = 4 m y h2 = 6 m, entonces:<br />
a0 = 1<br />
<br />
7<br />
an = arg senh an−1<br />
5<br />
α = lím an ≈ a100 ≈ 1,20867<br />
T = 1 √<br />
140 ≈ 4,89472 Kp<br />
2α<br />
C1 = arg tgh 2 10<br />
− ≈ −0,853273<br />
12 2T<br />
C2 = 4 − T cosh C1 ≈ −2,78735<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong>
Ecuaciones diferenciales ordinarias 617<br />
Por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong> curva que forma el cable es:<br />
<br />
x<br />
y = 4,89472 cosh − 0,853273 − 2,78735<br />
4,89472<br />
El siguiente gráfico ha sido generado con un or<strong>de</strong>nador y correspon<strong>de</strong> a la grafica <strong>de</strong> la función anterior<br />
4<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>resueltos</strong> <strong>de</strong> Cálculo. c○Agustín Valver<strong>de</strong><br />
6<br />
10 12