revoluciones matemáticas: geometría analítica y el cálculo ... - CIMM

REVOLUCIONES
MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA
ANALÍTICA Y EL CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
ANGEL RUIZ
Presidente,
Comité Interamericano de
Educación Matemática, CIAEM.
www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz
angelruizz@racsa.co.cr
1

A. GEOMETRÍA
ANALÍTICA
Nuestro interés:
Orígenes
Significados
2

1. Protagonistas
3

René Descartes
6

Pierre Fermat
8

2. Obras
9

Descartes
Varios libros condensan sus reflexiones:
Regulae ad Directionem Ingenii (1628), Le
Monde (1634), Principia Philosophiae
(1644), Musicae Compendium (1650), y el
famoso Discours de la méthode pour bien
conduire sa raison, et chercher la vérité
dans les sciences (1637).
10

Es en este último, en forma de apéndice,
donde se encuentra la Géométrie, con La
Dioptrique y Les Météores, una obra
central para la filosofía moderna.
Es el único texto de matemática escrito
por Descartes, y fue un aporte
fundamental para la revolución
matemática y científica de la época.
También, Descartes usó algo de
geometría coordenada para asuntos de
óptica.
11

Fermat
13

Conjetura que x n + y n = z n
no era posible para valores de x, y, z y n > 2.
Este resultado fue demostrado hasta hace muy
pocos años. En el artículo: “Modular elliptic
curves and Fermat’s last theorem”, por Andrew
J. Wiles (1995), Annals of Mathematics, Second
Series, Vol. 141, No. 3 (Mayo, 1995).
14

Fermat
Pierre de Fermat había escrito un artículo
sobre geometría antes incluso que
apareciera la Géométrie de Descartes,
pero éste fue publicado póstumamente
hasta el año de 1679.
Conocía los métodos de Vieta para
resolver problemas geométricos
Se basó directamente en los trabajos de
Diofanto y los de Apolonio, los cuales
expresó directamente de manera
algebraica.
15

3. ¿Qué es la geometría
analítica?
Geometría analítica: coordenadas
Paso geometría-álgebra-geometría
¿Por qué es una revolución?
¿Cómo o por qué se rompe el
esquema griego antiguo?
16

4. ¿Fronteras de la Antigüedad
griega?
17

Dificultad para manejar los números
irracionales.
Énfasis en la geometría cualitativa, sin
medición numérica
Débil desarrollo de la aritmética y el
álgebra.
Separación entre geometría y
aritmética, que se codificó con la
distinción entre magnitud y número
(establecida formalmente por Eudoxo).
18

Reducción a dos figuras geométricas: la
recta y el círculo, traducidas en la
construcción por medio de regla y
compás.
restricción a sólo cierto tipo de figuras
geométricas.
¿Por qué?
porque la construcción por medio de regla
y compás permitiría asegurar la existencia
de los conceptos usados
porque las rectas y los
círculos son figuras primarias básicas y
simples.
19

El manejo del infinito.
Lo infinito, como decía Aristóteles,
aparecía como imperfecto, y por lo tanto
escapaba de las necesidades de
fundamentación y rigor que se habían
establecido.
paradojas de Zenón
conectadas también con la relación
entre lo discreto y lo continuo.
20

5. ¿Cómo o por qué se rompe en la
Modernidad el esquema griego
antiguo?
El lugar del álgebra
Más curvas
Por construcción algebraica
No solo regla y compás, no solo rectas
y círculos
21

6. Orígenes geometría analítica
Árabes y otras culturas
Usos de la aritmética y el álgebra en pueblos
mesopotámicos, hindúes, árabes e incluso
alejandrinos (Diofanto)
Algebristas renacentistas
Cardano, Tartaglia
22

Algoritmo
Abu Jafar Muhammad ibn Musa
al-Khwariz-mi
23

Abdul-Fath Umar ibn Ibrahim al-Kayyami, Omar Khayyam.
24

Cardano
25

Tartaglia
26

Significado revolucionario
Utilización del álgebra
El álgebra por encima de la geometría:
decisivo
27

¿Y después de la
geometría analítica?
B. CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL
28

LO QUE NOS INTERESA:
Problemas de partida
Expansión
Historia social
29

1. Protagonistas
30

Isaac Newton
31

2. Obras
33

Isaac Newton
Series infinitas
Cálculo
Mecánica celeste
Royal Society
34

Newton escribió en el año 1669 sus ideas
sobre series y el cálculo en el libro De
analysi per aequationes numero terminorum
infinitas que, sin embargo, fue publicado
hasta 1711.
También, esta relación entre series y cálculo
se manifiesta en Methodus fluxionum et
serierum infinitorum (escrito en 1671), y
publicado en inglés en 1736 y en latín en
1742.
35

El único libro en que Newton mostró su
cálculo y publicó rápidamente fue
Philosophiae naturalis principia mathematica
(1687).
36

Newton usó el cálculo en su estudio de la
astronomía y mecánica en esta obra,
Una gran parte del libro fue expresada en
forma geométrica tradicional
para que sus contenidos fueran mejor
aceptados por la comunidad científica de
ese tiempo.
38

Leibniz
Grandes cualidades intelectuales que
además de matemático, fue filósofo,
abogado, filólogo, historiador e incluso hizo
aportes a la geología.
No llegan al nivel de las de Newton, hizo
contribuciones en mecánica, óptica,
hidrostática, neumática, ciencia náutica, en
la lógica y hasta en la construcción de
máquinas calculadoras.
39

Se ganó la vida como diplomático y
abogado, pero sus trabajos en las
matemáticas y la filosofía fueron muy
relevantes.
En 1666, escribió su tesis doctoral De Arte
Combinatoria (“Sobre el arte de las
combinaciones”), en la que formuló un
método universal para razonar.
40

Su cálculo era una aproximación geométrica
y no cinemática como en Newton.
Se percibe la influencia de Pascal y de
Barrow (especialmente Geometrical
Lectures, 1670), así como de Huygens y
Descartes.
Notación
dy/dx
integral
42

3. ¿Qué es el Cálculo?
Nuevo campo: no es álgebra, geometría,
trigonometría ni aritmética
Métodos infinitesimales
Zenón
Paradojas
Eudoxo y Arquímedes
Método de exhausción
Requisitos matemáticos
Geometría de coordenadas
relevancia del trabajo anterior
45

4. Problemas de partida
Calcular longitudes segmentos, áreas bajo
una curva o volúmenes
Velocidades instantáneas a partir de las
promedio
Pendientes de rectas tangentes a curvas
¿El cuarto problema?
46

Máximos y mínimos de curvas o
movimientos
47

5. Expansión
Protagonistas
Euler
Los Bernoulli
Franceses
Laplace, Legendre, Lagrange,
Clairaut, D’Alembert, Monge,
48

6. Historia social
Revoluciones matemáticas en un
contexto de revolución cultural y social
Revolución científica
Newton: Principia
Astronomía nueva + mecánica
nueva = mecánica celeste
49

Astronomía nueva
Renacimiento
Revolución protestante 50

K.
Revolución copernicana
Del geocentrismo al
heliocentrismo
C.
G.
51

Mecánica nueva
Métodos
Reacción
frente a
Aristóteles
y la
Escolástica
(S. T)
A.
52

Experiencia
e inducción
Bacon
Descripción
Matemática
Descartes
53

Matemática,
experiencia y
experimentación
Galileo
54

Mecánica celeste
Newton
Tres leyes
mecánica
Ley de la
gravitación
universal
55

La polémica Newton y
Leibniz
56

Newton descubre o construye: 1665
Publica de 1704 a 1736.
Leibniz descubre o construye: 1673 y
1676
Publica: entre 1684 y 1686.
Polémica
57

“Aunque sabemos ahora que Newton
descubrió el cálculo años antes que Leibniz,
publicó su trabajo mucho después.
Sobrevino un gran escándalo sobre quién
había sido el primero, con científicos que
defendían vigorosamente a cada uno de sus
contendientes. Hay que señalar, no obstante,
que la mayoría de los artículos que
aparecieron en defensa de Newton estaban
escritos originalmente por su propia mano, ¡y
publicados bajo el nombre de amigos!
Cuando el escándalo creció, Leibniz cometió
el error de recurrir a la Royal Society para
resolver la disputa.
58

Newton, como presidente, nombró un
comité ‘imparcial’ para que investigase,
¡casualmente compuesto en su totalidad por
amigos suyos!
Pero eso no fue todo: Newton escribió
entonces él mismo los informes del comité e
hizo que la Royal Society los publicara,
acusando oficialmente a Leibniz de plagio.
No satisfecho todavía, escribió además un
análisis anónimo del informe en la propia
revista de la Royal Society.”
59

Stephen Hawkins
60

Balance final
Geometría analítica y Cálculo una unidad
teórica
El Infinito: Euler, Análisis
Matemática como construcción socio-cultural
Ideas
Demostración, deducción, axiomática; intuición
Protagonistas en escenarios culturales
Virtudes y vicios
Criterios siempre históricos
Curvas y valor del álgebra, rigor
Es fundamental exhibir sentido histórico en la educación
matemática
61

1961, I CIAEM,
Bogotá, Colombia
M. Stone
Reforma de las
Matemáticas Modernas

L. Santaló U. D’Ambrosio

• Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972
• Caracas, Venezuela, diciembre/1975,
• Campinas-SP, Brasil, febrero/1979
• Guadalajara, México, noviembre/1985,
• Santo Domingo, República Dominicana,
julio/1987
• Miami, EUA, agosto/1991
• Santiago, Chile, agosto/1995,
• Maldonado, Uruguay, agosto/1999
• Blumenau, Brasil, agosto/2003

XII CIAEM,
Querétaro, Julio
2007
Formación de profesores
Resolución de
problemas

XIII CIAEM
Recife Brasil, 26-29 junio, 2011
50 AÑOS
1961-2011

MUCHAS GRACIAS
POR SU ATENCIÓN
www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz
angelruizz@racsa.co.cr

MUCHAS GRACIAS
POR SU ATENCIÓN
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