5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES
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MOISES VILLENA Integración Múltiple<br />
182<br />
Note que como u = u( x, y)<br />
y v = v( x, y)<br />
∂ ( xy , ) 1<br />
Podemos decir que: =<br />
∂ ( uv , ) ∂ ( uv , )<br />
∂ ( x, y)<br />
∂ ( xy , ) 1 1<br />
Entonces: = =<br />
∂ ( uv , ) ∂ ( uv , ) ux vx<br />
=<br />
1 1<br />
=<br />
1 1 3<br />
∂ xy , u v −2<br />
1<br />
Finalmente:<br />
( )<br />
y y<br />
4 4<br />
∂ ( xy)<br />
∫∫ ∂ ( uv)<br />
∫ ∫<br />
, 1 1 4 4 1<br />
A = dudv = dudv = v u = ( 4− 1) 4= 4<br />
1 0<br />
, 3 3 3<br />
Ejemplo 3<br />
R´<br />
1 0<br />
y−x y+ x<br />
Calcular e dA donde R es el paralelogramo con vértices ( )<br />
∫∫<br />
R<br />
0,1 , ( 0, 2 ) , ( 1, 0) y<br />
( 2,0 ) .<br />
SOLUCIÓN:<br />
Primero identificamos la región R , ubicando los puntos en el plano y encontrando las ecuaciones<br />
de las rectas que definen al paralelogramo<br />
x = 0<br />
( 0,1)<br />
x + y = 1<br />
( 0,2)<br />
( 1, 0)<br />
x + y = 2<br />
y = 0<br />
( 2,0)<br />
⎧u<br />
= y−x Escogemos la transformación: ⎨ ¿por qué?<br />
⎩v<br />
= y+ x<br />
Para obtener la región R ´ , aplicamos la transformación a cada recta que limita la región R ,<br />
Vamos a necesitar la transformación inversa:<br />
Sumando la primera ecuación a la segunda:<br />
R
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