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5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

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MOISES VILLENA Integración Múltiple<br />

186<br />

Llamemos S , al valor del área de la porción R de la superficie, entonces:<br />

S = dS ∫∫<br />

R<br />

El asunto sería ahora proyectar la superficie al plano xy obteniendo la<br />

región R ´ . Podemos pensar en una transformación de<br />

3<br />

R a<br />

2<br />

R .<br />

Denotando como R la función vectorial para la superficie, tenemos:<br />

R = xyf , , x, y<br />

( ( ) )<br />

Los vectores de derivadas parciales con respecto a x ( R x ) y con<br />

respecto a y ( R x ), serían:<br />

R x = ( 1, 0, fx<br />

) y R y = ( 0,1, f y)<br />

Entonces:<br />

dS = R × R dA<br />

x y<br />

Calculando el vector producto cruz y luego su magnitud:<br />

Finalmente:<br />

i j k<br />

Rx× R y = 1 0 f x = −fx, −fy,1<br />

0 1 f<br />

R × R = 1+<br />

f + f<br />

2 2<br />

x y x y<br />

∫∫ ∫∫<br />

R R´<br />

y<br />

2 2<br />

1 x y<br />

( )<br />

S = dS = + f + f dA<br />

Si la ecuación de la superficie está dada en FORMA IMPLÍCITA, es decir<br />

( )<br />

F x, y, z = 0.<br />

La formula anterior se transforma a:<br />

2 2 2<br />

Fx + Fy + Fz<br />

S = dA ¡Demuéstrela!<br />

∫∫ F<br />

R´<br />

z

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