5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES
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MOISES VILLENA Integración Múltiple<br />
186<br />
Llamemos S , al valor del área de la porción R de la superficie, entonces:<br />
S = dS ∫∫<br />
R<br />
El asunto sería ahora proyectar la superficie al plano xy obteniendo la<br />
región R ´ . Podemos pensar en una transformación de<br />
3<br />
R a<br />
2<br />
R .<br />
Denotando como R la función vectorial para la superficie, tenemos:<br />
R = xyf , , x, y<br />
( ( ) )<br />
Los vectores de derivadas parciales con respecto a x ( R x ) y con<br />
respecto a y ( R x ), serían:<br />
R x = ( 1, 0, fx<br />
) y R y = ( 0,1, f y)<br />
Entonces:<br />
dS = R × R dA<br />
x y<br />
Calculando el vector producto cruz y luego su magnitud:<br />
Finalmente:<br />
i j k<br />
Rx× R y = 1 0 f x = −fx, −fy,1<br />
0 1 f<br />
R × R = 1+<br />
f + f<br />
2 2<br />
x y x y<br />
∫∫ ∫∫<br />
R R´<br />
y<br />
2 2<br />
1 x y<br />
( )<br />
S = dS = + f + f dA<br />
Si la ecuación de la superficie está dada en FORMA IMPLÍCITA, es decir<br />
( )<br />
F x, y, z = 0.<br />
La formula anterior se transforma a:<br />
2 2 2<br />
Fx + Fy + Fz<br />
S = dA ¡Demuéstrela!<br />
∫∫ F<br />
R´<br />
z