5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

MOISES VILLENA Integración Múltiple
192
i j k
Rφ × Rθ
= a cosφ cosθ a cosφ
senθ −asenφ
−a
senφ senθ a senφ
cosθ 0
= +
2 2 2 2 2 2 2 2
( a sen φ cos θ, a sen φsenθ, a senφcosφcos θ a senφcosφsenθ) 2
asen
φ cos θ φ θ ( φcosφcosθ φcosφ θ)
( cos ) cos ( cos
2
)
R × R = a sen + a sen sen + a sen + a sen sen
φ θ
R × R =
φ θ
4 4 2 4 4 2 2 2 2 2
4 4 2 2 4 2 2 2 2
= asenφ θ + senθ + asenφ φ θ + senθ
4 4 4 2 2
= asenφ + asenφcos
φ
( cos )
4 2 2 2
= asenφ senφ
+ φ
φ
El área de la esfera estaría dado por:
2π
π
∫∫
0 0
π 2π
( ) ( ) ( )( )
S = a senφdφdθ = a − cosφ θ = a 1+ 1 2π = 4πa
2 2 2 2
0 0
Ejercicios propuestos 5.5
1. Calcular el área de la superficie de la parte del paraboloide x + y = z
2 2
que queda dentro
π
+ Resp. ( 13 13 − 1)
2 2 2
de la esfera x y + z = 4z
2. Encontrar el área de la superficie del plano y+ z = 4 limitado por el cilindro
6
2
z = x , y el
plano y = 0 .
32 2
Resp.
3
3.
2 2 2
Encontrar el área de la parte de la superficie esférica x + y + z = 1 situada entre los
planos z =
1
y z = −
2
1
2
4.
2 2
Calcular el área de la porción de la superficie z = xy limitada por el cilindro x + y = 4
5. Calcular el área de la porción de la esfera
x + y = ay
2 2
; siendo a>o
⎧x
= rcosφ
⎪
6. Calcular el área de la superficie dada por: ⎨y
= 2rcosφ ⎪
⎩z
= φ
2 2 2 2
x + y + z = a interior al cilindro
0 ≤ r ≤ 1,
0
≤ φ ≤ 2π
2