Induction magnétique - Webnode

© S.Boukaddid Série n°11 MP2
Exercice n°1 : Sphère en rotation chargée uniformément
Une sphère de centre O de rayon R,portant la charge électrique q > 0 répartie uniformément
sur sa surface Σ,est en mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire
−→ ω = ω −→ e z autour de l’un de ses diamètres Oz.La sphère est isolante afin que les charges
soient entraînées dans le mouvement (courant de convection) et que la rotation n’affecte
pas la répartition surfacique de charge. L’étude est faite en coordonnées sphériques (r,θ).
1. Exprimer le vecteur densité surfacique de courant −→ j s(P) en un point P de Σ,et déduire
le courant dI dans une couronne élémentaire à définir sur Σ. Montrer que l’on peut plus
simplement trouver dI en revenant à la définition du courant
2. Etablir l’expression du champ magnétique −→ B (O) crée en O par la distribution de courant,en
fonction de µ0, q,R et −→ ω
3. Etablir l’expression du moment magnétique −→ M de la sphère
4. Retrouver −→ B (O) en le déduisant de −→ M par l’intermédiaire de leurs expressions intégrales
respectives
Exercice n°2 : Les rails de Laplace
Un circuit est constitué de deux rails rectilignes,parallèles,horizontaux,de
résistance négligeable
et dont l’écartement est l . Le circuit comprend une
−→
B
résistance R et est formé par une tige,parfaitement
conductrice,de masse m,qui peut glisser sans frottements
sur les deux rails.L’ensemble est plongé dans un
R
champ magnétique uniforme −→ B vertical.
A l’instant t = 0,il n’y a pas de courant,i (0) = 0,et la tige est lancée avec une vitesse v0 −→ e x
(v0 > 0),puis abondonnée à elle-même.
1.
1.1. Ecrire les équations du système. Comment s’applique la loi de Lenz ?Donner la vitesse
v(t) de la tige
1.2. Que devient l’énergie cinétique initiale de la tige ?
2. Dans le même dispositif qu’à la question précédente,le circuit électrique comporte en
plus de la résistance R,une capacité C en série. À l’instant t = 0,la capacité est chargée
(q = q0) et la tige est immobile (v0 = 0).
2.1. Ecrire les équations du système. Comment s’applique la loi de Lenz ?
2.2. Faire un bilan instantané de puissance
2.3. On pose 1 1
=
τ RC + B2l 2
.Donner les solutions q(t),i (t) et v(t). Que constante-t-on
mR
lorsque t → ∞ ?Expliquer
Exercice n°3 : Inductance propre ou mutuelle
Deux solénoïdes,de trés grande longueur
h,comportent respectivement n et n ′ spires
par unité de longueur. Le premier solénoïde
de rayon R est strictement contenu à l’intérieur
du second de rayon R ′ R
. On rappelle que
le champ magnétique crée par un solénoïde
infini en son extérieur est nul.
h
R’
i’
i
1 / 5
x

© S.Boukaddid Série n°11 MP2
1. Calculer l’inductance propre L du premier solénoïde en utilisant le flux
2. Calculer l’inductance propre L du premier solénoïde en utilisant l’énergie
3. Calculer l’inductance mutuelle M du second solénoïde au travers du premier
4. Calculer l’inductance mutuelle M ′ du premier solénoïde au travers du second
5. Commenter les résultats
6. On change la convention de courant dans le premier solénoïde : le courant i parcourt
le premier solénoïde en sens inverse. Quelle s sont les conséquences ?
Exercice n°4 : Induction de Neumann
1. Les deux circuits représentés ci-dessous
sont couplés par mutuelle. Le premier comporte
un générateur de fem E = E0 cosωt et
une résistance R. Son inductance propre est
L. Le second circuit comporte les mêmes éléments,le
générateur en moins. On note M la
mutuelle inductance entre les deux circuits
E
A
B
i1
R
M
i2
L L
2. Trouver les équations différentielles satisfaites par les intensités i1 et i2 des deux circuits
3. En déduire les équations satisfaites par x = i1 + i2 et y = i1 − i2
4. En étudiant la solution générale,donner l’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire
5. On se place désormais dans le cadre du régime sinusoïdal forcé. En déduire i2 intensité
dans le second circuit en notation complexe.
6. Réaliser le bilan énergétique du circuit global
Exercice n°5 : Moteur linéaire (EEI)
Dans une portion d’espace,on réalise un champ magnétique que l’on peut représenter
par −→ B = B0 cos 2πx −→
e z
λ
z
La composante suivant Ox du champ est
considérée comme négligeable. Un cadre
conducteur fermé sur lui-même est formé de
N spires rectangulaires de dimensions a et b
(b suivant Ox,et a suivant Oy). Il est placé
dans le champ magnétique,et entraîné à la vitesse
v suivant Ox (à l’instant t,le centre du
cadre est à l’abscisse x = vt).
1.
1.1. Dans l’hypothèse où b

© S.Boukaddid Série n°11 MP2
1.3. Montrer que le module de la force électromagnétique moyenne qui s’exerce sur le
π
2 cadre a pour expression : < F >= 2 φ
λ
2
Mv R
R2 + (LΩ) 2
Préciser son sens,et en déduire la puissance développée par l’opérateur qui entraîne le
cadre
1.4. Calculer la puissance moyenne perdue par effet Joule dans le cadre. Commenter
2. On alimente les bobines sources du champ magnétique avec un courant sinuspïdal de
pulsation ω en les déphasant de manière à ce que le champ magnétique soit bien représenté
par : −→ B = 3
2 B0
cos ωt − 2πx
−→e
z
λ
2.1. Montrer que c’est un champ g li ssant suivant Ox à une vitesse v0 que l’on précisera
2.2. Le cadre précédent est placé dans ce champ.
◮ Donner l’expression de la force moyenne de propulsion du cadre en fonction de
sa vitesse v. Cette expression représente la caractéristique mécanique d’un moteur
linéaire.
◮ Donner l’expression de < F0 > au démarrage
◮ Donner l’expression de vM de la vitesse pour laquelle la force est maximum
◮ Pour quelles valeurs de la vitesse le système fonctionne-t-il en moteur ou en générateur
?
◮ Quelle opportunité présente le fonctionnement en générateur lors de la traction
d’un véhicule par un moteur linéaire ?
◮ Tracer la courbe < F > (v). Que représente-t-elle ?
Exercice n°3 : Moteur à courant continu
Le rotor (partie mobile) du moteur est constitué de N spires rectangulaires (de côtés 2a
et b) tournant autour d’un axe ∆ coïncidant avec l’axe Oz,passant par leur centre O et
parallèle aux côtés CD et C ′ D ′ . Il est plongé dans un champ magnétique −→ B . Le champ
−→ B est négligeable sur les brins DD ′ , AC et A ′ C ′ . Sur les brins CD et C ′ D ′ ,il est radial et de
norme B pratiquement constante. Dans le domaine y < 0 (ce qui est le cas du brin C ′ D ′
dans la position représenté sur la figure), −→ B est radial entrant alors qu’il est radial sortant
dans le domaine y > 0 (cas du brin CD). Un point M courant du brin CD sera repéré par
−−→
OM = a −→ e X + z −→
e z avec z ∈ − b
b
, . La forme des pièces polaires N et S de l’aimant et la
2 2
présence d’un noyau de fer cylindrique d’axe Oz permet d’obtenir un champ magnétique
−→ ′ ′
B pratiquement radial,au niveau des brins CD et C D
b
D’
O
z
C’ A’ A
a
D
Y X
C
i
Y
−→ B
C’D’
Vue de face Vue de dessus
−→ B
y
S
N
−→ B
−→ B
CD
x
X
3 / 5

© S.Boukaddid Série n°11 MP2
1.
1.1. Comparer les directions et les sens des champs −→ B en un point M du tronçon CD et
en un point M ′ du tronçon C ′ D ′
1.2. Comparer les forces de Laplace −→ f CD et −→ f ′
C ′ D ′ s’exerçant sur ces deux tronçons
1.3. Montrer que le moment M1 par rapport à l’axe ∆ des forces de Laplace s’exerçant
sur la spire peut se mettre sous la forme M1 = iφ1. Exprimer φ1 et montrer qu’il a les
dimensions d’un flux magnétique
2.
2.1. L’expression de φ1 dépend-elle de la position de la spire ?Que se passe-t-il si le brin
CD passe dans le domaine y < 0 ?
2.2. Quelle serait la valeur moyenne de M1 sur un tour si l’intensité i1 comptée positivement
dans le sens de CD,était constante ?
2.3. En fait,un commutateur permet d’avoir toujours une intensité de même signe dans
le brin qui évolue dans la zone y > 0. Quel est l’intérêt de cette commutation ?
2.4. Dans la suite,on admettra que le moment des efforts de Laplace s’exerçant sur le
rotor dans son ensemble peut s’écrire M = φ.i ,avec φ = Nφ1,quelle que soit la position
du rotor. Justifier ce résultat et indiquer l’approximation effectuée
3.
3.1. La spire tourne à la vitesse angulaire Ω autour de l’axe ∆. Calculer la fem e induite. La
mettre sous la forme e = −φ2Ω. Comparer φ et φ2
3.2. Donner le schéma électrique équivalent au moteur,si on note R la résistance totale
des fils
Exercice n°4 : Haut-parleur
Un haut-parleur est composé d’un aimant permanent et fixe,cylindrique d’axe Ox et créant
un champ magnétique radial d’intensité constante B. La membrane qui est considérée
plane et régide ici,est assimilée à un disque de masse m mobile le long de l’axe Ox . Sa position
x(t) est ramenée par une suspension à un positionnement moyen grâce à un ressort
de constante de rappel k ;le couplage avec l’air est responsable de l’existance d’une force
de frottement visqueux −→ F = −f dx −→
e x
dt
Solidaire de la membrane,un cylindre portant
bobine se déplace dans l’entrefer de
l’aimant,un amplificateur est par ailleurs
connecté à la bobine,il se comporte comme
un générateur dont on notera E(t) la force
électromotrice. On précise les caractéristiques
suivantes : la résistance totale du circuit est
R,l’inductance propre L et la longueur du fil
bobiné l .On Donne : B = 2T,l = 10m,R =
6Ω,L = 0,5mH,m = 15g ,k = 6000N.m −1 et
f = 27kg .s −1
aimant
bobine
bobine
Baffle
suspension
membrane
1. Déterminer un système d’équations différentielles régissant les évolutions temporelles
de la position x(t) et de l’intensité i(t)
2. Lorsque la force électromotrice E(t) est sinusoïdale de pulsation ω,quelle est l’impédance
complexe Z du haut-parleur
S
N
S
O
4 / 5
x

© S.Boukaddid Série n°11 MP2
3. Montrer que du point de vue électrique,le couplage électromécanique se traduit par
l’existence,dans le schéma équivalent du circuit,d’un terme résistif R ′ et d’un terme inductif
L ′ supplémentaires. Exprimer R ′ et L ′ k
− mω
en fonction de a(ω) =
ω
et b =
f
B2l 2
f
4. Comment varient l’impédance additionnelle Z ′ et l’impédance totale Z en fonction de
la pulsation ?
5. Proposer un schéma équivalente au haut-parleur,sous la forme de la mise en série d’un
circuit R,L et d’un circuit Rm,Lm,Cm,ces trois derniers éléments étant placés en parallèle
les uns des autres. Quelle correspondance entre grandeurs électriques et mécaniques
retrouve-t-on ainsi ?
5 / 5