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Nouvelles perspectives pour la statique graphique - Consulter en ligne

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Expertise<br />

Analyse des structures<br />

<strong>Nouvelles</strong> <strong>perspectives</strong><br />

<strong>pour</strong> <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

On peut lire <strong>en</strong> 1926, dans le Cours élém<strong>en</strong>taire de résistance des matériaux et de stabilité des constructions de l’École spéciale<br />

des travaux publics du bâtim<strong>en</strong>t et de l’industrie, que « l’emploi de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> se généralise de plus <strong>en</strong> plus. Elle offre<br />

l’avantage d’utiliser des épures dont l’œil suit mieux les constructions que l’esprit ne saisit l’<strong>en</strong>chaînem<strong>en</strong>t des calculs. Elle<br />

permet une série de vérifications <strong>graphique</strong>s qui permett<strong>en</strong>t d’éviter les erreurs grossières ». Soixante-dix ans plus tard, l’article<br />

« Statique <strong>graphique</strong> » de l’ouvrage L’art de l’ingénieur se conclut ainsi : « La <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> est aujourd’hui définitivem<strong>en</strong>t<br />

<strong>en</strong>trée dans le musée des outils au passé prestigieux ».<br />

Maniées très couramm<strong>en</strong>t par les architectes et les ingénieurs jusqu’au milieu du XX e siècle, les méthodes de <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

ont été supp<strong>la</strong>ntées par le calcul algébrique et <strong>la</strong> méthode des élém<strong>en</strong>ts finis, depuis l’apparition de <strong>la</strong> calcu<strong>la</strong>trice et surtout de<br />

l’informatique. Ces techniques, permettant de modéliser le comportem<strong>en</strong>t mécanique des structures hyper<strong>statique</strong>s, complexes,<br />

tridim<strong>en</strong>sionnelles, ont autorisé le développem<strong>en</strong>t de formes nouvelles, qu’il est dev<strong>en</strong>u possible de dim<strong>en</strong>sionner de façon raisonnable<br />

et sûre. Cep<strong>en</strong>dant, l’usage quasi exclusif des logiciels de calcul par élém<strong>en</strong>ts finis <strong>pour</strong> l’analyse des structures et <strong>la</strong><br />

confiance parfois trop absolue dans les résultats fournis par une « boîte noire » r<strong>en</strong>d<strong>en</strong>t leur utilisation discutable <strong>pour</strong> un certain<br />

nombre d’applications, que ce soit <strong>en</strong> conception ou <strong>en</strong> analyse.<br />

Les méthodes de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> ont quant à elles <strong>pour</strong> principal inconvéni<strong>en</strong>t le temps de résolution associé à <strong>la</strong> complexité<br />

du tracé géométrique. De ce fait, des approches de type « essais et erreurs », typiques de <strong>la</strong> conception, ne sont guère compatibles<br />

avec sa mise <strong>en</strong> œuvre « papier-crayon ». Aujourd’hui, les outils informatiques de géométrie dynamique sont susceptibles de<br />

redonner une deuxième vie aux méthodes de <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>. Ils r<strong>en</strong>d<strong>en</strong>t <strong>en</strong> effet possible <strong>la</strong> construction de figures associées<br />

non pas à une géométrie et une combinaison de forces figées mais à leurs caractéristiques topologiques. Ainsi, les élém<strong>en</strong>ts de<br />

l’épure vari<strong>en</strong>t de façon instantanée avec les variations des données d’<strong>en</strong>trée (int<strong>en</strong>sité, position, ori<strong>en</strong>tation des forces, position<br />

des nœuds) commandées à <strong>la</strong> souris.<br />

> Sommaire<br />

1 • Principes de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

2 • Exemples d’application<br />

3 • Apport des logiciels de géométrie dynamique<br />

4 • Apport de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> dans <strong>la</strong> formation<br />

et <strong>la</strong> pratique professionnelle<br />

5 • Bibliographie et webographie<br />

En France, ce nouveau souffle impulsé à <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

par <strong>la</strong> géométrie dynamique a été amorcé il y a une<br />

dizaine d’années, dans un cadre pédagogique et de recherche,<br />

à l’école d’architecture de Paris-La-Villette, par Louis-Paul<br />

Untersteller. Depuis, le nombre d’<strong>en</strong>seignants-chercheurs et <strong>la</strong><br />

variété des publications sci<strong>en</strong>tifiques et des sites web à vocation<br />

pédagogique qui exploit<strong>en</strong>t cette nouvelle voie témoign<strong>en</strong>t<br />

de <strong>la</strong> vitalité de ce mouvem<strong>en</strong>t (1) .<br />

Aujourd’hui, le pot<strong>en</strong>tiel avéré de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> <strong>en</strong><br />

dynamique conduit à <strong>en</strong>visager l’ext<strong>en</strong>sion de son usage aux<br />

pratici<strong>en</strong>s ingénieurs, architectes ou compagnons.<br />

François FLEURY<br />

Docteur <strong>en</strong> génie civil, François Fleury est chercheur au sein<br />

du <strong>la</strong>boratoire d’analyse des formes <strong>en</strong> morphomécanique<br />

appliquée à l’histoire de <strong>la</strong> construction et à <strong>la</strong> conception<br />

architecturale, et <strong>en</strong>seignant à l’École nationale supérieure<br />

d’architecture de Lyon (ENSAL). Il <strong>en</strong>seigne les principes de<br />

résistance des matériaux, des structures spatiales et du génie<br />

parasismique <strong>pour</strong> <strong>la</strong> conception.<br />

(1) Les référ<strong>en</strong>ces biblio<strong>graphique</strong>s <strong>en</strong> fin d’article constitu<strong>en</strong>t <strong>la</strong> sélection<br />

d’un nombre réduit de publications significatives et de sites web donnés<br />

<strong>pour</strong> l’exemple.<br />

60 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Analyse des structures<br />

Expertise<br />

1 Principes de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

Pour <strong>la</strong> c<strong>la</strong>rté de l’exposé, le rappel des principes fondam<strong>en</strong>taux<br />

de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> est énoncé <strong>pour</strong> un problème p<strong>la</strong>n,<br />

c’est-à-dire <strong>pour</strong> un système de forces toutes cont<strong>en</strong>ues dans<br />

un même p<strong>la</strong>n. La <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> consiste à représ<strong>en</strong>ter<br />

<strong>graphique</strong>m<strong>en</strong>t <strong>la</strong> réalisation des conditions de l’équilibre <strong>en</strong><br />

trans<strong>la</strong>tion et <strong>en</strong> rotation de ce système de forces.<br />

1.1 Représ<strong>en</strong>tation <strong>graphique</strong> d’une force<br />

L’effet <strong>en</strong> trans<strong>la</strong>tion d’une force est caractérisé mathématiquem<strong>en</strong>t<br />

par un vecteur, c’est-à-dire une direction (un<br />

angle), un s<strong>en</strong>s et une int<strong>en</strong>sité. Ces élém<strong>en</strong>ts sont représ<strong>en</strong>tés<br />

<strong>graphique</strong>m<strong>en</strong>t par une flèche dans un p<strong>la</strong>n muni d’un axe de<br />

référ<strong>en</strong>ce. Ainsi les deux flèches (fig. 1) représ<strong>en</strong>t<strong>en</strong>t le même<br />

vecteur. N’étant pas positionné dans le p<strong>la</strong>n, le vecteur ne peut<br />

caractériser à lui seul une force.<br />

Fig. 1. Définition <strong>graphique</strong> d’un vecteur.<br />

L’effet <strong>en</strong> rotation d’une force est appelé mom<strong>en</strong>t. Le vecteur<br />

de <strong>la</strong> force étant donné, son mom<strong>en</strong>t dép<strong>en</strong>d uniquem<strong>en</strong>t de sa<br />

position dans le p<strong>la</strong>n. Cette position peut être définie <strong>graphique</strong>m<strong>en</strong>t<br />

sans ambiguïté par une droite parallèle au vecteur, nommée<br />

<strong>ligne</strong> d’action, située par rapport à un point de référ<strong>en</strong>ce.<br />

La figure 2, qui représ<strong>en</strong>te des forces et non plus des vecteurs,<br />

montre que l’effet d’une force n’est pas modifié quand on<br />

dép<strong>la</strong>ce son point d’application le long de sa <strong>ligne</strong> d’action :<br />

les deux flèches de longueur, d’ori<strong>en</strong>tation et de s<strong>en</strong>s id<strong>en</strong>tiques<br />

représ<strong>en</strong>t<strong>en</strong>t <strong>en</strong> effet <strong>la</strong> même force, puisqu’elles sont<br />

situées sur <strong>la</strong> même <strong>ligne</strong> d’action.<br />

L’int<strong>en</strong>sité du mom<strong>en</strong>t d’une force par rapport à un point P est<br />

quantifiée par l’int<strong>en</strong>sité de <strong>la</strong> force F multipliée par <strong>la</strong> distance d<br />

de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action au point considéré (bras de levier) :<br />

M F/P<br />

= F × d<br />

où M : mom<strong>en</strong>t (<strong>en</strong> N.m) ;<br />

F : force (<strong>en</strong> N) ;<br />

d : bras de levier (<strong>en</strong> m).<br />

Fig. 2. Ligne d’action d’une force.<br />

Remarque<br />

L’effet d’une force <strong>en</strong> rotation autour de tout point situé sur sa <strong>ligne</strong><br />

d’action est nul.<br />

1.2 Construction des épures<br />

Les techniques de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> repos<strong>en</strong>t sur <strong>la</strong><br />

construction de <strong>la</strong> somme de deux forces : l’effet de <strong>la</strong> résultante,<br />

<strong>en</strong> termes de trans<strong>la</strong>tion et de rotation, doit être égal à<br />

<strong>la</strong> somme des effets. Concrètem<strong>en</strong>t, <strong>la</strong> somme vectorielle est<br />

d’abord réalisée dans une zone quelconque du p<strong>la</strong>n de représ<strong>en</strong>tation,<br />

puis <strong>la</strong> résultante est positionnée de sorte que le<br />

mom<strong>en</strong>t de <strong>la</strong> somme soit égal à <strong>la</strong> somme des mom<strong>en</strong>ts. Cette<br />

manière de procéder conduit à <strong>la</strong> réalisation de deux épures :<br />

− le polygone ou dynamique, associé à une échelle de force,<br />

réalise les opérations sur les vecteurs (ori<strong>en</strong>tation, int<strong>en</strong>sité,<br />

s<strong>en</strong>s) ;<br />

− le funicu<strong>la</strong>ire, associé à une échelle des distances, permet de<br />

déterminer les positions des <strong>ligne</strong>s d’action, dont les ori<strong>en</strong>tations<br />

sont données par les vecteurs.<br />

Une flèche représ<strong>en</strong>te ainsi un vecteur ou une force, selon<br />

qu’elle est dessinée respectivem<strong>en</strong>t sur le polygone ou le<br />

funicu<strong>la</strong>ire.<br />

1.2.1 Somme de forces non parallèles<br />

Soi<strong>en</strong>t deux forces F 1<br />

et F 2<br />

positionnées dans le p<strong>la</strong>n (fig. 3,<br />

funicu<strong>la</strong>ire). Pour réaliser <strong>la</strong> somme vectorielle sur le polygone,<br />

il suffit de dessiner le deuxième vecteur (F 2<br />

) « à <strong>la</strong> suite » du<br />

premier (F 1<br />

), <strong>la</strong> résultante R étant obt<strong>en</strong>ue <strong>en</strong> joignant l’origine<br />

de F 1<br />

à l’extrémité de F 2<br />

(fig. 3, polygone).<br />

Situer <strong>en</strong>suite <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action de <strong>la</strong> somme de deux forces<br />

revi<strong>en</strong>t à chercher un point autour duquel son mom<strong>en</strong>t est nul.<br />

Les mom<strong>en</strong>ts de chacune des deux forces F 1<br />

et F 2<br />

, dont on<br />

cherche <strong>la</strong> somme, sont tous les deux nuls autour du point O,<br />

intersection de leurs <strong>ligne</strong>s d’action (fig. 3, funicu<strong>la</strong>ire). La<br />

<strong>ligne</strong> d’action de <strong>la</strong> résultante R passe donc par ce point O, où<br />

<strong>la</strong> somme des mom<strong>en</strong>ts et le mom<strong>en</strong>t de <strong>la</strong> somme sont nuls.<br />

COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008<br />

www.editionsdumoniteur.com | 61


Expertise<br />

Analyse des structures<br />

l’intersection de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> précédemm<strong>en</strong>t tracée et de celle de<br />

<strong>la</strong> force rajoutée.<br />

6. La position de <strong>la</strong> résultante R est alors située sur l’intersection<br />

de <strong>la</strong> dernière <strong>ligne</strong> tracée avec <strong>la</strong> première : <strong>en</strong> effet, <strong>la</strong><br />

première <strong>ligne</strong> correspond à <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action de – F i<br />

, ajoutée à<br />

<strong>la</strong> fin <strong>pour</strong> obt<strong>en</strong>ir R.<br />

Fig. 3. Somme de deux forces non parallèles.<br />

1.2.2 Sommes de forces quelconques<br />

Cette méthode n’est pas applicable <strong>pour</strong> <strong>la</strong> somme de deux<br />

forces parallèles F 1<br />

et F 2<br />

, puisque le point d’intersection des<br />

<strong>ligne</strong>s d’action n’existe pas. Dans ce cas, l’idée consiste à<br />

réaliser <strong>la</strong> somme F i<br />

+ F 1<br />

+ F 2<br />

– F i<br />

, F i<br />

étant une force fictive<br />

quelconque non parallèle aux deux autres, que l’on ajoute au<br />

début et que l’on retranche à <strong>la</strong> fin.<br />

Les forces F 1<br />

et F 2<br />

étant données par leurs vecteurs sur le<br />

polygone et leurs positions sur le funicu<strong>la</strong>ire, <strong>la</strong> construction<br />

se détaille de <strong>la</strong> façon suivante.<br />

• Sur le polygone (fig. 4, polygone)<br />

1. Construire <strong>la</strong> somme vectorielle R sur le polygone des<br />

forces, <strong>en</strong> dessinant le vecteur F 2<br />

à <strong>la</strong> suite du vecteur F 1<br />

: R<br />

a <strong>pour</strong> origine celle du vecteur F 1<br />

, et <strong>pour</strong> extrémité celle du<br />

vecteur F 2<br />

; il s’agit <strong>en</strong>suite de déterminer <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action de<br />

R.<br />

2. Choisir un point P quelconque proche de ce polygone, qui<br />

définira le vecteur imaginaire F i<br />

ayant <strong>pour</strong> origine P et <strong>pour</strong><br />

extrémité l’origine du vecteur F 1<br />

.<br />

3. Construire l’une après l’autre les sommes partielles :<br />

F i<br />

+ F 1<br />

;<br />

(F i<br />

+ F 1<br />

) + F 2<br />

;<br />

(F i<br />

+ F 1<br />

+ F 2<br />

) – F i<br />

= F 1<br />

+ F 2<br />

=R.<br />

• Sur le funicu<strong>la</strong>ire (fig. 4, funicu<strong>la</strong>ire)<br />

4. Tracer <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action <strong>pour</strong> <strong>la</strong> force fictive F i<br />

, parallèle au<br />

vecteur correspondant du polygone mais positionnée de façon<br />

quelconque ; l’opposée de cette force, – F i<br />

, aura par définition<br />

<strong>la</strong> même <strong>ligne</strong> d’action.<br />

5. Dans l’ordre de <strong>la</strong> somme vectorielle, reporter <strong>la</strong> <strong>ligne</strong><br />

d’action de chaque somme partielle sur le funicu<strong>la</strong>ire, à<br />

Remarque<br />

Dans <strong>la</strong> terminologie c<strong>la</strong>ssique de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>, le point<br />

construit dans le polygone à l’origine du premier vecteur fictif est appelé<br />

pôle, et les segm<strong>en</strong>ts supports des sommes partielles sont appelés rayons<br />

po<strong>la</strong>ires.<br />

La méthode <strong>pour</strong> déterminer <strong>la</strong> résultante de deux forces dans<br />

l’association du polygone et du funicu<strong>la</strong>ire traduit le principe<br />

de l’équilibre, fondem<strong>en</strong>t de <strong>la</strong> mécanique des structures, et<br />

suffisant <strong>pour</strong> l’analyse de stabilité et le dim<strong>en</strong>sionnem<strong>en</strong>t<br />

<strong>en</strong> résistance des systèmes iso<strong>statique</strong>s. Les exemples qui<br />

suiv<strong>en</strong>t illustr<strong>en</strong>t <strong>la</strong> mise <strong>en</strong> œuvre de ces deux épures <strong>pour</strong><br />

trois problèmes c<strong>la</strong>ssiques : l’analyse d’un arc <strong>en</strong> maçonnerie,<br />

<strong>la</strong> détermination des réactions d’appui et <strong>la</strong> détermination des<br />

efforts dans un treillis.<br />

2 Exemples d’application<br />

2.1 Analyse d’un arc <strong>en</strong> maçonnerie<br />

2.1.1 Ligne de pression<br />

La <strong>ligne</strong> de pression donne <strong>la</strong> variation de direction et de<br />

position de <strong>la</strong> résultante d’un système de forces situées d’un<br />

même côté d’une section fictive, lorsque cette section se<br />

dép<strong>la</strong>ce le long de l’élém<strong>en</strong>t de structure considéré. Elle est<br />

exploitée ici <strong>pour</strong> l’arc <strong>en</strong> maçonnerie mais elle trouve d’autres<br />

applications, notamm<strong>en</strong>t <strong>pour</strong> l’analyse de poutres <strong>en</strong> flexion<br />

composée.<br />

Considérons un arc symétrique et soumis à un chargem<strong>en</strong>t vertical<br />

symétrique, représ<strong>en</strong>té par des forces ponctuelles (fig. 5).<br />

Sa moitié gauche (fig. 6) est soumise :<br />

– à <strong>la</strong> réaction d’appui (décomposée <strong>en</strong> support et butée) ;<br />

– aux forces extérieures ;<br />

– à l’action de <strong>la</strong> moitié droite, F i<br />

(le problème étant symétrique,<br />

cette action est nécessairem<strong>en</strong>t horizontale).<br />

Partant d’une hypothèse sur l’int<strong>en</strong>sité de F i<br />

et sur <strong>la</strong> position<br />

verticale de sa <strong>ligne</strong> d’action, on se propose de déterminer<br />

<strong>graphique</strong>m<strong>en</strong>t <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression de ce système, <strong>en</strong> considérant<br />

les forces à droite d’une section fictive (fig. 6), <strong>la</strong>quelle<br />

se dép<strong>la</strong>ce depuis l’axe de symétrie jusqu’à <strong>la</strong> naissance de<br />

l’arc à gauche.<br />

Au fur et à mesure que l’on dép<strong>la</strong>ce <strong>la</strong> section fictive du<br />

sommet vers <strong>la</strong> naissance de l’arc (fig. 7), <strong>la</strong> portion de<br />

62 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Analyse des structures<br />

Expertise<br />

Fig. 4. Somme de deux forces quelconques.<br />

Fig. 5. Géométrie et forces appliquées.<br />

Fig. 6. Actions exercées par <strong>la</strong> partie droite sur <strong>la</strong> partie gauche.<br />

COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008<br />

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Expertise<br />

Analyse des structures<br />

structure située à droite de cette section est sollicitée d’abord<br />

par F i<br />

seule, puis par F i<br />

+ F 1<br />

, puis par F i<br />

+ F 1<br />

+ F 2<br />

et ainsi de<br />

suite. Les directions, s<strong>en</strong>s et int<strong>en</strong>sités de cette accumu<strong>la</strong>tion<br />

sont construits sur le polygone des forces. La <strong>ligne</strong> de pression<br />

est <strong>en</strong>suite obt<strong>en</strong>ue sur le funicu<strong>la</strong>ire <strong>en</strong> joignant les points<br />

d’intersection successifs des <strong>ligne</strong>s d’action correspondantes.<br />

2.1.2 Application à l’arc <strong>en</strong> maçonnerie<br />

La <strong>ligne</strong> de pression est utilisée <strong>pour</strong> <strong>la</strong> vérification, <strong>la</strong> conception<br />

ou le dim<strong>en</strong>sionnem<strong>en</strong>t de l’arc <strong>en</strong> maçonnerie.<br />

Pour qu’un tel arc soit stable, il faut que :<br />

– <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression soit cont<strong>en</strong>ue dans une fraction de l’épaisseur<br />

de l’arc. Cette fraction dép<strong>en</strong>d des limites de contraintes<br />

admissibles. Une <strong>ligne</strong> d’action qui passe à l’intérieur du tiers<br />

c<strong>en</strong>tral garantit que <strong>la</strong> section est comprimée partout. Si l’on<br />

admet une faible ouverture de joint, <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression peut<br />

alors se rapprocher davantage de l’intrados ou de l’extrados.<br />

En pratique, ret<strong>en</strong>ir <strong>la</strong> moitié c<strong>en</strong>trale comme limite de pression<br />

permet de garantir un niveau de sécurité suffisant ;<br />

– les angles <strong>en</strong>tre les normales des joints et <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action (à<br />

leur intersection) ne soi<strong>en</strong>t pas supérieurs à l’angle limite de<br />

frottem<strong>en</strong>t, afin de garantir le non-glissem<strong>en</strong>t des voussoirs.<br />

L’angle limite dép<strong>en</strong>d de <strong>la</strong> nature du joint et de <strong>la</strong> qualité de<br />

<strong>la</strong> taille, mais <strong>la</strong> valeur de 35° fait référ<strong>en</strong>ce.<br />

Pour démontrer <strong>la</strong> stabilité d’un arc donné, il suffit de trouver<br />

un couple int<strong>en</strong>sité-position <strong>pour</strong> F i<br />

tel que <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression<br />

vérifie ces deux critères. Comme <strong>la</strong> force F i<br />

n’est pas connue<br />

et que <strong>la</strong> courbure de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression est <strong>en</strong> raison inverse<br />

de l’int<strong>en</strong>sité de F i<br />

(fig. 8), il faut multiplier par tâtonnem<strong>en</strong>ts<br />

les constructions <strong>graphique</strong>s correspondant aux hypothèses<br />

sur <strong>la</strong> force F i<br />

jusqu’à trouver une solution admissible. La<br />

méthode proposée par Méry <strong>en</strong> 1840 vise précisém<strong>en</strong>t à limiter<br />

ce nombre d’itérations.<br />

Pour <strong>en</strong> savoir plus<br />

E. Méry, ingénieur des Ponts et Chaussées, publie <strong>en</strong> 1840 son célèbre<br />

Mémoire sur l’équilibre des voûtes <strong>en</strong> berceau, qui expose une méthode<br />

pratique <strong>pour</strong> tracer les deux <strong>ligne</strong>s de pression extrêmes correspondant<br />

aux valeurs minimales et maximales de <strong>la</strong> poussée. Le tracé n’est plus<br />

construit sur <strong>la</strong> base de l’int<strong>en</strong>sité et de <strong>la</strong> position de l’effort à <strong>la</strong> clé<br />

mais sur l’hypothèse de deux points de passage de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression.<br />

L’int<strong>en</strong>sité de <strong>la</strong> poussée devi<strong>en</strong>t alors un résultat de <strong>la</strong> construction. Ces<br />

points de passage correspond<strong>en</strong>t aux points de rotation des joints qui<br />

s’ouvr<strong>en</strong>t dans les mécanismes d’instabilité associés aux valeurs extrêmes<br />

de <strong>la</strong> poussée. Pour t<strong>en</strong>ir compte du critère de résistance, les points<br />

<strong>en</strong> question sont ram<strong>en</strong>és aux bornes du tiers c<strong>en</strong>tral du joint.<br />

Fig. 7. Construction de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression.<br />

64 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Analyse des structures<br />

Expertise<br />

Fig. 8. La courbure de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression est <strong>en</strong> raison inverse de l’int<strong>en</strong>sité de F i<br />

.<br />

Aujourd’hui, les nouveaux logiciels de géométrie dynamique<br />

permett<strong>en</strong>t, à partir d’une construction unique, d’obt<strong>en</strong>ir<br />

instantaném<strong>en</strong>t <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression <strong>en</strong> faisant varier à <strong>la</strong> souris<br />

aussi bi<strong>en</strong> <strong>la</strong> position que l’int<strong>en</strong>sité de <strong>la</strong> force F i<br />

.<br />

Les <strong>ligne</strong>s de pression correspondant à une famille de charges<br />

(poids propre, surcharge ponctuelle ou répartie) permett<strong>en</strong>t<br />

aussi de concevoir <strong>la</strong> forme de l’arc, puis de dim<strong>en</strong>sionner son<br />

épaisseur de manière à les cont<strong>en</strong>ir toutes.<br />

2.2 Détermination des réactions d’appui<br />

Autre construction emblématique de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>,<br />

l’épure de Cremona s’adresse à un tout autre domaine<br />

d’application : celui des treillis iso<strong>statique</strong>s. Avant d’aborder<br />

cette nouvelle méthode, il est intéressant de savoir déterminer<br />

<strong>graphique</strong>m<strong>en</strong>t les réactions d’appui, qui font partie des<br />

données d’<strong>en</strong>trée de <strong>la</strong> construction.<br />

Les réactions d’appui sont des forces extérieures, exercées sur<br />

<strong>la</strong> structure par un massif réputé fixe et résistant, généralem<strong>en</strong>t<br />

le sol. Organisées par le concepteur qui définit <strong>la</strong> nature des<br />

liaisons susceptibles de les fournir, ces réactions s’oppos<strong>en</strong>t<br />

aux sollicitations subies par <strong>la</strong> structure (poids propre,<br />

surcharges) et permett<strong>en</strong>t ainsi <strong>la</strong> réalisation de l’équilibre.<br />

Pour un problème p<strong>la</strong>n, il est possible de déterminer <strong>graphique</strong>m<strong>en</strong>t<br />

<strong>la</strong> valeur des réactions d’appui à condition que les<br />

composantes de réaction générées par les liaisons soi<strong>en</strong>t au<br />

nombre de trois, et qu’elles ne soi<strong>en</strong>t ni toutes parallèles ni<br />

toutes concourantes.<br />

COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008<br />

Soit F r<br />

<strong>la</strong> résultante des actions extérieures sur une structure<br />

quelconque appuyée à gauche sur un appui simple vertical<br />

(fig. 9, point a) et à droite sur une articu<strong>la</strong>tion (fig. 9, point b).<br />

L’appui simple fournit une composante verticale de réaction<br />

d’int<strong>en</strong>sité inconnue, tandis que l’articu<strong>la</strong>tion est susceptible<br />

de fournir deux composantes (horizontale et verticale), qui se<br />

combin<strong>en</strong>t <strong>en</strong> une seule force de réaction dont il faut déterminer<br />

<strong>la</strong> direction et l’int<strong>en</strong>sité.<br />

Pour déterminer les forces de réaction, il faut les construire<br />

de façon que leur somme R b<br />

+ R a<br />

soit l’opposé de F r<br />

: mêmes<br />

direction, int<strong>en</strong>sité et <strong>ligne</strong> d’action mais de s<strong>en</strong>s opposé. Sur<br />

le polygone, R b<br />

est tracé à partir de l’extrémité de F r<br />

. Pour<br />

fermer le polygone, R a<br />

, qui est vertical, doit avoir son extrémité<br />

sur l’origine de F r<br />

. Ne connaissant pas <strong>la</strong> direction de R b<br />

,<br />

une infinité de solutions est possible <strong>pour</strong> le couple R a<br />

et R b<br />

,<br />

dont deux sont ici prés<strong>en</strong>tées (fig. 9, polygone) ; mais une<br />

seule satisfait l’équilibre <strong>en</strong> rotation.<br />

Remarque<br />

La même indétermination existerait si F r<br />

, et donc les deux réactions,<br />

étai<strong>en</strong>t toutes verticales.<br />

Selon <strong>la</strong> construction prés<strong>en</strong>tée au § 1.2.2 <strong>pour</strong> obt<strong>en</strong>ir <strong>la</strong><br />

somme de deux vecteurs, un pôle P est construit (2) , support<br />

d’une force imaginaire F i<br />

que l’on ajoute devant R b<br />

(fig. 10,<br />

(2) Le pôle est le point construit dans le polygone à l’origine du premier<br />

vecteur fictif. Les rayons po<strong>la</strong>ires sont les segm<strong>en</strong>ts supports des sommes<br />

partielles.<br />

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Expertise<br />

Analyse des structures<br />

Si <strong>la</strong> prés<strong>en</strong>tation de <strong>la</strong> méthode est un peu longue et technique,<br />

<strong>en</strong> revanche <strong>la</strong> construction elle-même est finalem<strong>en</strong>t re<strong>la</strong>tivem<strong>en</strong>t<br />

simple et rapide.<br />

S’agissant de forces extérieures (au même titre que les<br />

actions), <strong>la</strong> connaissance des int<strong>en</strong>sités et directions des<br />

réactions est nécessaire <strong>pour</strong> déterminer les efforts internes<br />

dans les structures, que ce soit par une méthode analytique<br />

ou par une méthode <strong>graphique</strong> telle que l’épure de Crémona<br />

prés<strong>en</strong>tée ci-après.<br />

2.3 Épure de Cremona<br />

Fig. 9. Différ<strong>en</strong>tes solutions <strong>pour</strong> fermer le polygone.<br />

polygone). Ne connaissant pas <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action de R b<br />

, il faut<br />

faire passer celle de F i<br />

par b (fig. 10, funicu<strong>la</strong>ire), nécessaire<br />

et unique point d’intersection <strong>en</strong>tre les deux <strong>ligne</strong>s de F i<br />

et de<br />

R b<br />

. Le dernier rayon de cette somme (F i<br />

+ R b<br />

+ R a<br />

), qui joint le<br />

pôle P à l’extrémité de R a<br />

(donc à l’origine de F r<br />

), correspond<br />

à une force dont <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action doit couper celle de F i<br />

sur <strong>la</strong><br />

<strong>ligne</strong> d’action de F r<br />

. En effet, ce point définit <strong>la</strong> position de <strong>la</strong><br />

somme des réactions qui, <strong>pour</strong> être opposée à F r<br />

, doit avoir <strong>la</strong><br />

même <strong>ligne</strong> d’action que celle-ci.<br />

Ainsi, il ne reste plus qu’à terminer <strong>la</strong> construction du polygone<br />

(fig. 11) <strong>en</strong> traçant le rayon intermédiaire F i<br />

+ R b<br />

, dont <strong>la</strong> direction<br />

est donnée par le segm<strong>en</strong>t cb du funicu<strong>la</strong>ire, c étant l’intersection<br />

de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> d’action de R a<br />

avec celle de F i<br />

+ R b<br />

+ R a<br />

. Ce<br />

rayon permet de remonter aux vecteurs R b<br />

et R a<br />

.<br />

Pour <strong>en</strong> savoir plus<br />

Luigi Cremona (1830-1903) est un mathématici<strong>en</strong> itali<strong>en</strong> qui consacre ses<br />

recherches d’abord à <strong>la</strong> géométrie pure puis au calcul <strong>graphique</strong> et plus<br />

particulièrem<strong>en</strong>t à <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>. Emboîtant le pas à Carl Culmann,<br />

il est l’un des grands promoteurs de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>. Il publie ses<br />

contributions sur ce sujet dans deux ouvrages clés : Le figure reciproche<br />

nel<strong>la</strong> statica grafica (1872) et Elem<strong>en</strong>ti di calcolo grafico (1874).<br />

L’épure de Cremona permet de déterminer les int<strong>en</strong>sités des<br />

efforts normaux dans les barres constitutives d’une structure<br />

triangulée iso<strong>statique</strong> chargée aux nœuds (fig. 12).<br />

Il s’agit de traduire <strong>graphique</strong>m<strong>en</strong>t l’équilibre de chaque nœud,<br />

sachant que les <strong>ligne</strong>s d’action des forces exercées par les barres<br />

sur le nœud sont portées par ces mêmes barres. Il faut donc déterminer<br />

les s<strong>en</strong>s et int<strong>en</strong>sités des forces inconnues qui converg<strong>en</strong>t<br />

sur un nœud, telles que celui-ci soit <strong>en</strong> équilibre, <strong>en</strong> connaissant<br />

toutes les directions des forces <strong>en</strong> prés<strong>en</strong>ce. La résolution de ce<br />

problème ne possède de solution unique qu’à <strong>la</strong> condition que<br />

seules deux forces soi<strong>en</strong>t inconnues dans le système.<br />

Fig. 10. Détermination des réactions : état intermédiaire du tracé.<br />

66 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Analyse des structures<br />

Expertise<br />

Fig. 11. Détermination des réactions : état final du tracé.<br />

les nœuds correspondant aux forces initialem<strong>en</strong>t inconnues. Il<br />

s’agit de cheminer de nœud <strong>en</strong> nœud, partant d’un point vers<br />

lequel seules deux barres converg<strong>en</strong>t, <strong>la</strong> détermination de leurs<br />

efforts normaux permettant de réduire le nombre d’inconnues<br />

à deux <strong>pour</strong> le nœud suivant, et ainsi de suite. L’astuce est de<br />

construire le polygone <strong>en</strong> ajoutant les forces connues dans<br />

l’ordre donné par un même s<strong>en</strong>s de rotation autour de chaque<br />

nœud. De cette façon, le tracé des vecteurs <strong>pour</strong> l’équilibre<br />

d’un nœud peut servir directem<strong>en</strong>t <strong>pour</strong> le nœud suivant, ce<br />

qui réduit le nombre d’opérations.<br />

Fig. 12. Exemples de structures de type treillis iso<strong>statique</strong>s.<br />

Considérons le point A (fig. 13) vers lequel converg<strong>en</strong>t des<br />

forces connues, F 1<br />

, F 2<br />

et F 3<br />

, et deux forces inconnues, N 1<br />

et N 2<br />

, dont les <strong>ligne</strong>s d’action sont D 1<br />

et D 2<br />

. Ce système de<br />

forces est <strong>en</strong> équilibre si le polygone des forces se referme<br />

(somme vectorielle nulle). La méthode <strong>la</strong> plus simple consiste<br />

à comm<strong>en</strong>cer par construire <strong>la</strong> somme des cinq forces, <strong>en</strong><br />

partant des forces connues (F 1<br />

, F 2<br />

et F 3<br />

). Puis le polygone<br />

doit être fermé par des vecteurs dont les directions sont celles<br />

de D 1<br />

et D 2<br />

. Il suffit alors de tracer les parallèles de D 1<br />

et D 2<br />

passant respectivem<strong>en</strong>t par l’origine de F 1<br />

et l’extrémité de<br />

F 3<br />

sur le polygone, leur point d’intersection I permettant de<br />

définir l’extrémité et l’origine respectivem<strong>en</strong>t de N 1<br />

et N 2<br />

. Les<br />

int<strong>en</strong>sités et s<strong>en</strong>s de ces forces sont ainsi déterminés.<br />

L’épure de Cremona consiste à résoudre ce problème type<br />

<strong>pour</strong> tous les nœuds de <strong>la</strong> structure, les actions des barres sur<br />

COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008<br />

Considérons un treillis (fig. 14) soumis à deux forces inégales F 1<br />

et F 2<br />

appliquées aux nœuds B et D, les réactions d’appui R A<br />

et<br />

R F<br />

ayant déjà été déterminées par <strong>la</strong> méthode décrite au § 2.2.<br />

Il est impossible de comm<strong>en</strong>cer <strong>la</strong> résolution par l’un des<br />

nœuds B, C, D ou E puisque, initialem<strong>en</strong>t, le nombre de forces<br />

inconnues y est supérieur à deux. Nous suivons donc le trajet<br />

suivant :<br />

– nœud A : détermination de N 1<br />

et N 2<br />

connaissant R A<br />

;<br />

– nœud B : détermination de N 3<br />

et N 4<br />

connaissant N 1<br />

et F 1<br />

;<br />

– nœud C : détermination de N 5<br />

et N 6<br />

, connaissant N 2<br />

et N 4<br />

;<br />

– nœud D : détermination de N 7<br />

et N 8<br />

connaissant N 5<br />

, N 3<br />

et F 2<br />

;<br />

– nœud E : détermination de N 9<br />

connaissant N 6<br />

et N 8<br />

;<br />

– nœud F : vérification de l’équilibre sous l’action de N 9<br />

, N 7<br />

et R F<br />

.<br />

Les quatre constructions (fig. 15, quatre derniers schémas)<br />

montr<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t les états du polygone correspondant<br />

successivem<strong>en</strong>t à l’équilibre des nœuds A, B, et C ainsi que le<br />

résultat final. Sur les trois schémas re<strong>la</strong>tifs aux nœuds A, B et<br />

C, les forces connues sont représ<strong>en</strong>tées <strong>en</strong> vert. Sur le schéma<br />

final, les traits verts indiqu<strong>en</strong>t les élém<strong>en</strong>ts comprimés.<br />

www.editionsdumoniteur.com | 67


Expertise<br />

Analyse des structures<br />

Fig. 13. Équilibre d’un nœud soumis à plusieurs forces dont deux sont inconnues.<br />

Fig. 14. Géométrie et forces appliquées.<br />

Concernant l’équilibre du nœud A, les s<strong>en</strong>s déterminés <strong>pour</strong><br />

N 1<br />

et N 2<br />

montr<strong>en</strong>t que ces forces sont dirigées respectivem<strong>en</strong>t<br />

vers le nœud <strong>pour</strong> <strong>la</strong> barre 1, et à l’opposé <strong>pour</strong> <strong>la</strong> barre 2, ce<br />

qui signifie que <strong>la</strong> première est <strong>en</strong> compression, <strong>la</strong> seconde<br />

<strong>en</strong> traction. Il est important de reporter ces s<strong>en</strong>s sur le schéma<br />

de <strong>la</strong> structure <strong>en</strong> notant que si <strong>la</strong> barre 1 « pousse » sur le<br />

nœud A, elle fait de même sur le nœud B ; il faudra donc <strong>la</strong><br />

considérer <strong>en</strong> s<strong>en</strong>s inverse <strong>pour</strong> traduire l’équilibre de ce nœud,<br />

comme indiqué sur l’état suivant de <strong>la</strong> construction.<br />

L’effort normal N 1<br />

étant à prés<strong>en</strong>t connu, il est possible de<br />

progresser vers le nœud B, <strong>en</strong> réalisant <strong>la</strong> somme N 1<br />

+ F 1<br />

dans<br />

l’ordre donné par un s<strong>en</strong>s de rotation autour du nœud id<strong>en</strong>tique<br />

à celui considéré <strong>pour</strong> l’étape précéd<strong>en</strong>te, c’est-à-dire dans<br />

le s<strong>en</strong>s des aiguilles d’une montre. N 3<br />

et N 4<br />

sont <strong>en</strong>suite<br />

déterminées.<br />

En procédant de cette façon, les tracés des forces N 2<br />

et N 4<br />

peuv<strong>en</strong>t être utilisés tels quels (moy<strong>en</strong>nant l’inversion du<br />

s<strong>en</strong>s) afin de <strong>pour</strong>suivre <strong>la</strong> démarche par <strong>la</strong> construction des<br />

forces N 5<br />

et N 6<br />

nécessaires à l’équilibre du nœud C.<br />

Sur le schéma donnant le résultat final, l’int<strong>en</strong>sité et <strong>la</strong><br />

nature de l’effort N 9<br />

déterminées par l’équilibre du nœud E<br />

Fig. 15. Étapes de tracé de l’épure de Cremona.<br />

(sous-polygone N 6<br />

, N 8<br />

, N 9<br />

) vérifi<strong>en</strong>t aussi l’équilibre du<br />

nœud F, comme le montre <strong>la</strong> fermeture du sous-polygone N 9<br />

,<br />

N 7<br />

, R F<br />

. R F<br />

a <strong>en</strong> effet son origine sur l’extrémité de F 2<br />

, et son<br />

extrémité sur l’origine de R A<br />

, puisque R A<br />

+ F 1<br />

+ F 2<br />

+ R F<br />

doit<br />

être nul. En représ<strong>en</strong>tant <strong>en</strong> vert les efforts de compression, le<br />

68 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Analyse des structures<br />

Expertise<br />

tracé final synthétise l’<strong>en</strong>semble des int<strong>en</strong>sités et des natures<br />

d’effort sur l’<strong>en</strong>semble de <strong>la</strong> structure.<br />

La démarche traditionnelle consiste à déterminer <strong>en</strong>suite les<br />

sections des barres <strong>pour</strong> satisfaire à <strong>la</strong> condition de résistance.<br />

Si les sections obt<strong>en</strong>ues se révèl<strong>en</strong>t trop massives ou si les<br />

données du projet évolu<strong>en</strong>t <strong>en</strong> termes de portée, de distribution<br />

de charge ou de profondeur de <strong>la</strong> poutre treillis, il faut<br />

recomm<strong>en</strong>cer l’<strong>en</strong>semble du processus, à moins d’avoir utilisé<br />

un logiciel de géométrie dynamique.<br />

3 Apport des logiciels de géométrie<br />

dynamique<br />

Les logiciels de géométrie dynamique (fig. 16) permett<strong>en</strong>t de<br />

réaliser des constructions géométriques par informatique, <strong>en</strong><br />

utilisant exclusivem<strong>en</strong>t <strong>la</strong> souris. Par rapport à d’autres logiciels<br />

de dessin (Illustrator, CorelDraw, PowerPoint, Autocad, etc.)<br />

qui ne conserv<strong>en</strong>t des objets créés que leurs paramètres de<br />

position, ces outils (Cabri Géomètre, GEONExT, GeoGebra,<br />

etc.) conserv<strong>en</strong>t <strong>la</strong> structure de <strong>la</strong> construction, c’est-à-dire les<br />

re<strong>la</strong>tions ou contraintes géométriques <strong>en</strong>tre les objets (parallélisme,<br />

milieu de deux points ou d’un segm<strong>en</strong>t, longueurs<br />

égales, point de passage, etc.).<br />

Fig. 17. Exemple de construction <strong>en</strong> géométrie dynamique.<br />

<strong>la</strong> droite D 2<br />

: ce sont des objets esc<strong>la</strong>ves. Pour modifier <strong>la</strong><br />

position de D 2<br />

, il faut dép<strong>la</strong>cer P 2<br />

, qui a été défini au départ<br />

sans re<strong>la</strong>tion avec d’autres objets : P 2<br />

est un objet maître.<br />

Dép<strong>la</strong>cer P 2<br />

ne modifie pas l’ori<strong>en</strong>tation de D 2<br />

, qui reste<br />

perp<strong>en</strong>dicu<strong>la</strong>ire à D 1<br />

, mais conduit au dép<strong>la</strong>cem<strong>en</strong>t de P i<br />

sur D 1<br />

. Enfin, si l’on fait varier à <strong>la</strong> souris l’ori<strong>en</strong>tation de D 1<br />

,<br />

qui est une variable d’<strong>en</strong>trée, les conséqu<strong>en</strong>ces sur les objets<br />

résultats sont visualisées instantaném<strong>en</strong>t : le point P i<br />

décrit un<br />

cercle de diamètre P 1<br />

P 2<br />

(fig. 18).<br />

Fig. 16. Exemple de f<strong>en</strong>être d’un logiciel de géométrie dynamique.<br />

Pour illustrer simplem<strong>en</strong>t ce concept, considérons <strong>la</strong> construction<br />

suivante (fig. 17) :<br />

– définition d’un point P 1<br />

, positionné par un clic de <strong>la</strong> souris<br />

sur un p<strong>la</strong>n év<strong>en</strong>tuellem<strong>en</strong>t muni d’un repère ;<br />

– définition d’une droite D 1<br />

, passant par P 1<br />

, et dont <strong>la</strong> direction<br />

est <strong>en</strong>core définie à <strong>la</strong> souris ;<br />

– définition d’un point P 2<br />

, non situé sur D 1<br />

;<br />

– construction de <strong>la</strong> droite D 2<br />

, passant par P 2<br />

et perp<strong>en</strong>dicu<strong>la</strong>ire<br />

à D 1<br />

;<br />

– obt<strong>en</strong>tion du point P i<br />

, intersection de D 1<br />

et de D 2<br />

.<br />

Dans cette construction, on ne peut pas dép<strong>la</strong>cer le point P i<br />

directem<strong>en</strong>t : il est le résultat des re<strong>la</strong>tions géométriques <strong>en</strong>tre<br />

les objets définis précédemm<strong>en</strong>t. Il <strong>en</strong> est de même <strong>pour</strong><br />

Fig. 18. Évolution du tracé par variation de <strong>la</strong> direction de <strong>la</strong> droite<br />

passant par P 1<br />

.<br />

Pour l’ingénieur, et surtout <strong>pour</strong> l’architecte, un tel outil ouvre<br />

de nombreuses possibilités, à l’instar des tableurs ou des<br />

logiciels de calcul formel. De fait, après avoir été <strong>la</strong>rgem<strong>en</strong>t<br />

adoptée par les <strong>en</strong>seignants de géométrie du secondaire, <strong>la</strong><br />

géométrie dynamique trouve de nombreuses applications dans<br />

les écoles d’architecture, qu’il s’agisse de faire compr<strong>en</strong>dre<br />

<strong>la</strong> perspective, d’illustrer les concepts de cinématique, de<br />

construire des projections ou intersections <strong>pour</strong> <strong>la</strong> génération<br />

de formes, ou <strong>en</strong>core d’explorer les méthodes de <strong>la</strong><br />

stéréotomie.<br />

Appliqué à <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>, ce type de logiciel représ<strong>en</strong>te<br />

un apport extraordinaire dès lors qu’il s’agit de réaliser<br />

COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008<br />

www.editionsdumoniteur.com | 69


Expertise<br />

Analyse des structures<br />

itérativem<strong>en</strong>t des constructions complexes dép<strong>en</strong>dantes d’un<br />

nombre réduit de variables. Avec <strong>la</strong> possibilité de cacher une<br />

sélection de <strong>ligne</strong>s de construction intermédiaires, de définir<br />

des <strong>en</strong>sembles d’opérations à l’aide de macros (3) , de rejouer<br />

toutes les étapes de tracés, <strong>la</strong> construction elle-même est<br />

facilitée. Or le nombre d’opérations de construction, le temps<br />

passé à un tracé parfois d<strong>en</strong>se et <strong>en</strong>combré sont les principaux<br />

facteurs de l’abandon de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> au profit des<br />

logiciels de calcul numérique.<br />

Ainsi <strong>la</strong> méthode de Méry, qui nécessite le tracé de plusieurs<br />

<strong>ligne</strong>s de pression dép<strong>en</strong>dant des paramètres de <strong>la</strong> poussée à<br />

<strong>la</strong> clé (voir § 2.1.2), peut être mise <strong>en</strong> œuvre <strong>en</strong> géométrie<br />

dynamique avec une seule construction, dont <strong>la</strong> généralité<br />

dép<strong>en</strong>d des re<strong>la</strong>tions <strong>en</strong>tre objets géométriques. Il devi<strong>en</strong>t<br />

possible <strong>pour</strong> une géométrie d’arc et un chargem<strong>en</strong>t donnés<br />

d’obt<strong>en</strong>ir précisém<strong>en</strong>t et de visualiser <strong>en</strong> temps réel <strong>la</strong> courbe<br />

<strong>en</strong> fonction de l’effort à <strong>la</strong> clé. De plus, le modèle est d’emblée<br />

paramétré par les données <strong>en</strong>trées, telles que le rayon et<br />

l’épaisseur de l’arc ou <strong>en</strong>core <strong>la</strong> hauteur de <strong>la</strong> surcharge.<br />

Pr<strong>en</strong>ons comme exemple le problème qui consiste à déterminer<br />

<strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression <strong>pour</strong> un arc gothique portant un mur<br />

(fig. 19). Une macro est au préa<strong>la</strong>ble construite, qui fournit les<br />

vecteurs forces <strong>pour</strong> les poids des c<strong>la</strong>veaux et des surcharges<br />

à partir de leurs géométries respectives. Les charges correspondantes<br />

sont représ<strong>en</strong>tées au-dessus de <strong>la</strong> géométrie comme<br />

résultat intermédiaire. La figure indique les quatre variables<br />

(trois points et le rayon du cercle) qui pilot<strong>en</strong>t l’<strong>en</strong>semble de<br />

<strong>la</strong> construction. Le dép<strong>la</strong>cem<strong>en</strong>t à <strong>la</strong> souris de l’un quelconque<br />

de ces paramètres se répercute instantaném<strong>en</strong>t et <strong>en</strong> continu<br />

sur l’<strong>en</strong>semble de l’épure. Pouvoir cacher les <strong>ligne</strong>s de tracé<br />

intermédiaires (fig. 20) facilite grandem<strong>en</strong>t <strong>la</strong> lisibilité et<br />

l’utilisation de <strong>la</strong> figure.<br />

Concernant le deuxième grand domaine d’application traditionnel<br />

de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> – le calcul des efforts internes<br />

au sein d’une structure <strong>en</strong> treillis iso<strong>statique</strong> – les logiciels<br />

de géométrie dynamique sont plus efficaces que le calcul<br />

numérique par <strong>la</strong> méthode des élém<strong>en</strong>ts finis. En effet, si<br />

le temps nécessaire à « monter le modèle » est légèrem<strong>en</strong>t<br />

plus court dans l’approche numérique, toute modification de<br />

chargem<strong>en</strong>t ou de géométrie du modèle élém<strong>en</strong>ts finis nécessite<br />

<strong>en</strong> premier lieu de passer par une interface particulière,<br />

souv<strong>en</strong>t <strong>en</strong> interv<strong>en</strong>ant dans des tableaux de chiffres, puis<br />

de re<strong>la</strong>ncer le calcul avant de visualiser le nouveau résultat.<br />

Même si ces opérations sont rapides, le processus n’est pas<br />

(3) Une macro est une suite d’opérations prédéfinies par l’utilisateur, qui<br />

opère sur des données d’<strong>en</strong>trée <strong>pour</strong> fournir un résultat utilisable au même<br />

titre que tout autre objet créé directem<strong>en</strong>t par les fonctions du logiciel. En<br />

géométrie dynamique, par exemple, <strong>la</strong> construction du c<strong>en</strong>tre de gravité<br />

d’un triangle peut faire l’objet d’une macro, qui réalisera les opérations de :<br />

(1) création des points milieu des côtés, (2) tracé des médianes, (3) création<br />

du point d’intersection. Accessible par un m<strong>en</strong>u, cette macro opérera sur<br />

trois points <strong>pour</strong> générer automatiquem<strong>en</strong>t le résultat att<strong>en</strong>du.<br />

Fig. 19. Tracé de <strong>la</strong> <strong>ligne</strong> de pression <strong>pour</strong> un arc « quint point » (4) et<br />

variables « pilotes ».<br />

continu. En revanche, le résultat de <strong>la</strong> construction <strong>graphique</strong><br />

<strong>en</strong> géométrie dynamique répond <strong>en</strong> temps réel à <strong>la</strong> modification<br />

commandée à <strong>la</strong> souris, que ce soit le dép<strong>la</strong>cem<strong>en</strong>t d’un<br />

nœud ou d’une <strong>ligne</strong> d’action ou <strong>la</strong> variation d’ori<strong>en</strong>tation et<br />

d’int<strong>en</strong>sité d’une force.<br />

R<strong>en</strong>due instantanée et continue, <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion <strong>en</strong>tre un paramètre<br />

et son influ<strong>en</strong>ce sur les répartitions d’efforts est visuellem<strong>en</strong>t<br />

explicite, ce qui permet une approche empirique du<br />

phénomène.<br />

L’utilisation éc<strong>la</strong>irée de ces deux outils requiert des connaissances<br />

plutôt phénoménologiques et concrètes <strong>pour</strong> <strong>la</strong> <strong>statique</strong><br />

<strong>graphique</strong>, et plutôt théoriques et abstraites <strong>pour</strong> <strong>la</strong> méthode<br />

des élém<strong>en</strong>ts finis.<br />

4 Apport de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

dans <strong>la</strong> formation et <strong>la</strong> pratique<br />

professionnelle<br />

4.1 Au cours de <strong>la</strong> formation<br />

La manière d’aborder <strong>la</strong> structure, que ce soit dans une<br />

situation d’analyse ou de conception, dép<strong>en</strong>d <strong>pour</strong> une part<br />

(4) L’arc « quint point » de Vil<strong>la</strong>rd de Honnecourt est construit <strong>en</strong> divisant<br />

<strong>la</strong> base <strong>en</strong> six parties égales, ce qui donne cinq points intermédiaires. Le<br />

rayon des arcs ayant quatre de ces parties, leurs c<strong>en</strong>tres sont situés sur les<br />

points intermédiaires 2 et 4, comptant <strong>pour</strong> zéro le point d’extrémité de <strong>la</strong><br />

base (fig. 20).<br />

70 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Analyse des structures<br />

Expertise<br />

Fig. 20. Ensemble des <strong>ligne</strong>s de construction (hors macro) de <strong>la</strong> figure 19.<br />

des représ<strong>en</strong>tations des phénomènes de mécanique qui ont<br />

été formées au cours des études de compagnon, d’ingénieur<br />

ou d’architecte. Même si l’<strong>en</strong>seignem<strong>en</strong>t de <strong>la</strong> <strong>statique</strong>, de<br />

<strong>la</strong> résistance des matériaux et de <strong>la</strong> mécanique des structures<br />

prés<strong>en</strong>te des <strong>en</strong>jeux spécifiques à ces différ<strong>en</strong>tes formations, il<br />

est néanmoins généralem<strong>en</strong>t admis que <strong>la</strong> connaissance intime<br />

de phénomènes liés à <strong>la</strong> matérialité des structures constitue<br />

une base utile à ces futurs pratici<strong>en</strong>s. Il s’agit de compléter<br />

une vision parfois trop théorique et réglem<strong>en</strong>taire <strong>pour</strong> les uns,<br />

parfois trop conceptuelle ou étrangère <strong>pour</strong> les autres.<br />

Faire appel à d’autres représ<strong>en</strong>tations que <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

<strong>pour</strong> aborder les questions de rupture et de déformation est<br />

évidemm<strong>en</strong>t nécessaire. Les conditions de stabilité constitu<strong>en</strong>t<br />

cep<strong>en</strong>dant un impératif, avant même de pouvoir remplir<br />

les critères de résistance et de raideur. Il est impossible de<br />

formuler l’esquisse m<strong>en</strong>tale cohér<strong>en</strong>te d’une structure sans<br />

une amorce de schéma <strong>statique</strong>. Une représ<strong>en</strong>tation, même a<br />

minima, d’un principe de transfert de forces, permet à l’objet<br />

de l’idée de passer du statut de forme à celui de structure.<br />

L’expéri<strong>en</strong>ce kinesthésique est toujours première dans notre<br />

compréh<strong>en</strong>sion du monde ; elle fonde l’intuition, <strong>la</strong>quelle est<br />

prioritairem<strong>en</strong>t mobilisée lors de l’analyse et de <strong>la</strong> conception.<br />

L’intuition continue à se construire par l’association de gestes<br />

et de leurs conséqu<strong>en</strong>ces dans les manipu<strong>la</strong>tions du quotidi<strong>en</strong>.<br />

La représ<strong>en</strong>tation théorique formalisée des phénomènes peut<br />

<strong>en</strong>suite permettre d’étayer, de généraliser, de fiabiliser cette<br />

connaissance par un savoir. Or le phénomène très simple<br />

COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008<br />

de l’équilibre peut être décrit par divers formalismes, dont<br />

certains très abstraits se prêt<strong>en</strong>t moins à une connexion avec<br />

l’expéri<strong>en</strong>ce. La représ<strong>en</strong>tation d’un mom<strong>en</strong>t par un produit<br />

vectoriel, par exemple, est d’un niveau d’abstraction tel qu’il<br />

est difficile de <strong>la</strong> connecter efficacem<strong>en</strong>t à l’<strong>en</strong>jeu d’un grand<br />

porte-à-faux. Au contraire, <strong>la</strong> représ<strong>en</strong>tation schématique<br />

apparaît comme une interface efficace et opérationnelle <strong>en</strong>tre<br />

l’abstrait et le concret.<br />

La <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> exploite ainsi les vertus du schéma <strong>en</strong><br />

donnant corps (ou plutôt forme) au concept de force, tout <strong>en</strong><br />

lui attribuant des propriétés mathématiques formelles. Quand,<br />

<strong>en</strong> 1586, Simon Stevin cherche les conditions d’équilibre de<br />

trois forces, il les matérialise par des ficelles qui fourniss<strong>en</strong>t<br />

directem<strong>en</strong>t par elles-mêmes le support du tracé représ<strong>en</strong>tatif<br />

du phénomène (fig. 21) : ficelles concourantes (<strong>ligne</strong>s<br />

d’action) et int<strong>en</strong>sités données par le triangle HIC, dont les<br />

côtés sont parallèles aux ficelles.<br />

Pour <strong>en</strong> savoir plus<br />

Simon Stevin (1548-1620) est un ingénieur et mathématici<strong>en</strong> f<strong>la</strong>mand.<br />

Le schéma reproduit ici (fig. 21) est extrait de son traité Les élém<strong>en</strong>ts<br />

de l’art de peser, publié <strong>en</strong> 1586, qui représ<strong>en</strong>te un apport considérable<br />

à <strong>la</strong> <strong>statique</strong>. En s’appuyant sur ses études du p<strong>la</strong>n incliné, il démontre<br />

<strong>la</strong> méthode du parallélogramme des forces et reconnaît le principe de<br />

composition des forces dans les systèmes de cordes.<br />

Appliquée concrètem<strong>en</strong>t <strong>pour</strong> faire compr<strong>en</strong>dre les <strong>en</strong>jeux<br />

de structure dans les câbles, les arcs et les treillis, <strong>la</strong> <strong>statique</strong><br />

www.editionsdumoniteur.com | 71


Expertise<br />

Analyse des structures<br />

Fig. 21. Schéma de Stevin <strong>pour</strong> l’équilibre de trois forces.<br />

<strong>graphique</strong> permet le développem<strong>en</strong>t d’une réelle vision des<br />

re<strong>la</strong>tions <strong>en</strong>tre formes et forces, mobilisable efficacem<strong>en</strong>t <strong>en</strong><br />

analyse ou <strong>en</strong> conception.<br />

Grâce à <strong>la</strong> géométrie dynamique, <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> a ainsi<br />

déjà trouvé un second souffle dans les contextes des écoles et<br />

de <strong>la</strong> recherche <strong>en</strong> architecture. Cep<strong>en</strong>dant, son introduction<br />

dans le milieu professionnel n’<strong>en</strong> est qu’à ses prémices.<br />

4.2 Dans <strong>la</strong> pratique professionnelle<br />

La <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong> ne remp<strong>la</strong>cera jamais <strong>la</strong> méthode des<br />

élém<strong>en</strong>ts finis dans les bureaux d’études, du fait de ses limitations<br />

aux systèmes iso<strong>statique</strong>s et de son incapacité à évaluer<br />

les contraintes et dép<strong>la</strong>cem<strong>en</strong>ts, critères du dim<strong>en</strong>sionnem<strong>en</strong>t.<br />

Elle est cep<strong>en</strong>dant une alternative au tout-analytique (ou toutcalcu<strong>la</strong>toire)<br />

dans plusieurs situations. De plus, son appropriation<br />

par les pratici<strong>en</strong>s <strong>pour</strong>rait conduire à de nouvelles<br />

<strong>perspectives</strong> <strong>en</strong>core à inv<strong>en</strong>ter.<br />

Dans les périodes sereines d’activité, un professionnel est<br />

am<strong>en</strong>é à faire le point sur ses connaissances, et à rev<strong>en</strong>ir sur<br />

des concepts de base manipulés quotidi<strong>en</strong>nem<strong>en</strong>t de façon plus<br />

ou moins implicite, mais dont <strong>la</strong> connaissance perd <strong>en</strong> acuité<br />

avec le temps. L’intérêt pédagogique de <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

est donc égalem<strong>en</strong>t va<strong>la</strong>ble <strong>pour</strong> le pratici<strong>en</strong> désireux de se<br />

ressourcer, de r<strong>en</strong>ouveler son regard sur <strong>la</strong> structure.<br />

Dans une perspective opérationnelle, le domaine d’application<br />

privilégié reste sans doute l’analyse de stabilité des structures<br />

<strong>en</strong> maçonnerie. L’analyse des structures <strong>en</strong> maçonnerie non<br />

armée (p<strong>la</strong>tes-bandes, arcs, voûtes d’ogive ou p<strong>la</strong>tes, élém<strong>en</strong>ts<br />

contrebutés ou <strong>en</strong> tas de charge, isolés ou <strong>en</strong> série, dômes,<br />

escaliers, etc.) au moy<strong>en</strong> de logiciels usuels de calcul par<br />

élém<strong>en</strong>ts finis est délicate, voire risquée. En effet, ces outils<br />

mett<strong>en</strong>t <strong>en</strong> œuvre <strong>la</strong> théorie de l’é<strong>la</strong>sticité linéaire, <strong>en</strong> général<br />

isotrope, au sein d’un milieu continu, ainsi que des hypothèses<br />

de liaisons parfaites. Palier ces hypothèses simplificatrices<br />

demande une interprétation très experte des résultats de calcul.<br />

De même, <strong>la</strong> mise <strong>en</strong> œuvre d’élém<strong>en</strong>ts finis spécifiques <strong>pour</strong><br />

les joints et de lois de comportem<strong>en</strong>t non linéaires <strong>pour</strong> gérer<br />

le frottem<strong>en</strong>t, l’ouverture ou <strong>la</strong> refermeture des joints, requiert<br />

d’autres familles de logiciels ainsi que des compét<strong>en</strong>ces<br />

spécialisées, disponibles ess<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t dans les <strong>la</strong>boratoires<br />

universitaires. Or l’<strong>en</strong>jeu <strong>pour</strong> les structures <strong>en</strong> maçonnerie<br />

porte moins sur <strong>la</strong> déformation ou <strong>la</strong> résistance que sur<br />

l’importance des poussées et les conditions géométriques de<br />

stabilité. Généralem<strong>en</strong>t, le problème consiste à vérifier qu’il<br />

existe un (ou des) intervalle(s) <strong>pour</strong> les inconnues <strong>statique</strong>s<br />

(poussées, par exemple) tels(s) que le funicu<strong>la</strong>ire de <strong>la</strong> distribution<br />

de forces <strong>statique</strong>m<strong>en</strong>t admissible associé soit compris<br />

dans l’épaisseur de <strong>la</strong> maçonnerie structurelle. Il s’agit d’un<br />

problème c<strong>la</strong>ssique de <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>, <strong>pour</strong> lequel <strong>la</strong><br />

géométrie dynamique exprime tout son pot<strong>en</strong>tiel.<br />

Pour les structures de type treillis iso<strong>statique</strong>, poutre soust<strong>en</strong>due<br />

ou franchissem<strong>en</strong>t susp<strong>en</strong>du, <strong>la</strong> <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong><br />

<strong>en</strong> dynamique permet <strong>la</strong> visualisation instantanée des conséqu<strong>en</strong>ces<br />

de <strong>la</strong> forme sur les réactions et effort internes. En<br />

poussant un peu plus loin, sur <strong>la</strong> base de <strong>la</strong> définition par<br />

l’utilisateur d’une re<strong>la</strong>tion linéaire <strong>en</strong>tre l’effort et <strong>la</strong> section,<br />

le tracé peut aller jusqu’à <strong>la</strong> représ<strong>en</strong>tation, sur <strong>la</strong> structure, des<br />

épaisseurs prédim<strong>en</strong>sionnées. L’impact visuel d’une option de<br />

conception peut ainsi être évalué <strong>en</strong> termes d’<strong>en</strong>combrem<strong>en</strong>t<br />

ou de transpar<strong>en</strong>ce de <strong>la</strong> structure.<br />

Enfin, <strong>la</strong> recherche de formes est un domaine d’application<br />

pot<strong>en</strong>tiel : les fermes construites à Chiasso ou les ponts érigés<br />

par Robert Mail<strong>la</strong>rt, <strong>la</strong> Sagrada Familia d’Antoni Gaudi, les<br />

arcs organiques de Santiago Ca<strong>la</strong>trava ou <strong>en</strong>core les couvertures<br />

des gares de Jean-Marie Duthilleul (fig. 22) sont tous<br />

inspirés de funicu<strong>la</strong>ires.<br />

Il suffirait de considérer d’autres combinaisons de forces<br />

qu’une charge verticale uniformém<strong>en</strong>t répartie ou des points<br />

de passage imposés originaux <strong>pour</strong> <strong>en</strong>richir le vocabu<strong>la</strong>ire<br />

architectural, à <strong>la</strong> manière de <strong>la</strong> colonnade du Parc Güell<br />

d’Antoni Gaudi (fig. 23).<br />

Comme exemple simple, considérons <strong>la</strong> construction d’une<br />

arcade, passant par trois points, funicu<strong>la</strong>ire d’un chargem<strong>en</strong>t<br />

72 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Analyse des structures<br />

Expertise<br />

vertical uniforme (fig. 24). Le point intermédiaire correspond<br />

à <strong>la</strong> naissance droite et gauche respectivem<strong>en</strong>t de l’arc de<br />

gauche et de droite. Il sera supporté par une colonne ori<strong>en</strong>tée<br />

comme <strong>la</strong> réaction nécessaire à l’équilibre, qui est un résultat.<br />

Deux autres variables de contrôle sont nécessaires <strong>pour</strong> définir<br />

de façon unique <strong>la</strong> forme funicu<strong>la</strong>ire : les ori<strong>en</strong>tations des<br />

réactions à chaque extrémité de l’arcade. Les tracés montr<strong>en</strong>t<br />

quelques variantes obt<strong>en</strong>ues <strong>en</strong> modifiant ces points de<br />

contrôle. Les transformations associées aux variations de ces<br />

paramètres sont tracées <strong>en</strong> temps réel au cours du dép<strong>la</strong>cem<strong>en</strong>t<br />

des points à <strong>la</strong> souris. De nouvelles formes peuv<strong>en</strong>t ainsi voir<br />

le jour de façon très empirique.<br />

Fig. 22. Gare d’Orléans. Architecte : Jean-Marie Duthilleul. Crédit<br />

photo<strong>graphique</strong> : SNCF DAAB-AREP / D. Boy de <strong>la</strong> Tour, photographe.<br />

Fig. 24. Recherche de formes par tracés de funicu<strong>la</strong>ires.<br />

Fig. 23. Colonnade du Parc Güell. Architecte : Antoni Gaudi. Crédit<br />

photo<strong>graphique</strong> : www.teije.nl<br />

COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008<br />

www.editionsdumoniteur.com | 73


Expertise<br />

Analyse des structures<br />

5 Bibliographie et webographie<br />

5.1 Publications sci<strong>en</strong>tifiques<br />

« De l’esquisse d’architecture à main levée au modèle<br />

numérique », T. Cib<strong>la</strong>c, F. Guéna, L.-P. Untersteller, SCAN05,<br />

Paris, décembre 2005.<br />

« Real-time limit analysis of vaulted masonry buildings »,<br />

P. Block, T. Cib<strong>la</strong>c, J. Ochs<strong>en</strong>dorf, Computers and Structures,<br />

84, p. 1841-1852, 2006.<br />

« Usage de l’image numérique dans <strong>la</strong> conception de<br />

structures », T. Cib<strong>la</strong>c, L.-P. Untersteller, SCAN07, Liège,<br />

mai 2007.<br />

5.2 Sites web à vocation pédagogique<br />

De <strong>la</strong> géométrie à l’image, L.-P. Untersteller, T. Cib<strong>la</strong>c :<br />

http://www.paris-<strong>la</strong>villette.archi.fr/uel8gi<br />

Simu<strong>la</strong>tions et évaluations techniques du projet, T. Cib<strong>la</strong>c :<br />

http://www.paris-<strong>la</strong>villette.archi.fr/simu<strong>la</strong>tions-evaluations<br />

Interactive thrust, P. Block, T. Cib<strong>la</strong>c :<br />

http://web.mit.edu/masonry/interactiveThrust/examples.html<br />

5.3 Pour rev<strong>en</strong>ir aux fondam<strong>en</strong>taux<br />

The stone skeleton: structural <strong>en</strong>gineering of masonry architecture,<br />

J. Heyman, Cambridge University Press, Cambridge,<br />

1995.<br />

La <strong>statique</strong> <strong>graphique</strong>, A. Pirard, éditions Dunod, Paris, 1967.<br />

5.4 Ouvrages cités<br />

L’art de l’ingénieur, A. Picon (dir.), éditions du C<strong>en</strong>tre Georges<br />

Pompidou/éditions du Moniteur, Paris, 1997.<br />

5.5 Du même auteur<br />

Compr<strong>en</strong>dre simplem<strong>en</strong>t <strong>la</strong> résistance des matériaux, F. Fleury,<br />

R. Mouterde, éditions du Moniteur, Paris, 2007.<br />

www.editionsdumoniteur.com<br />

74 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008


Bibliographie<br />

Prés<strong>en</strong>tation de l’éditeur<br />

Une approche intuitive de <strong>la</strong> mécanique des structures.<br />

Fondem<strong>en</strong>t de toute construction, <strong>la</strong> structure ne doit pas<br />

être une contrainte, mais un support de créativité. Pour ce<strong>la</strong>,<br />

les principes et les <strong>en</strong>jeux de <strong>la</strong> résistance des matériaux et<br />

<strong>la</strong> connaissance des grandes familles de systèmes structuraux<br />

doiv<strong>en</strong>t être maîtrisés dès <strong>la</strong> phase de conception.<br />

Cet ouvrage, abondamm<strong>en</strong>t illustré, est d’abord un manuel<br />

qui permet de compr<strong>en</strong>dre simplem<strong>en</strong>t <strong>la</strong> résistance des<br />

matériaux et les principes du dim<strong>en</strong>sionnem<strong>en</strong>t. Il explique<br />

aussi <strong>pour</strong>quoi et comm<strong>en</strong>t les <strong>en</strong>jeux fondam<strong>en</strong>taux d’une<br />

conception structurelle doiv<strong>en</strong>t être abordés dès l’origine<br />

du projet. Son axe pédagogique conjugue trois approches<br />

complém<strong>en</strong>taires : l’expéri<strong>en</strong>ce commune, <strong>la</strong> démarche<br />

sci<strong>en</strong>tifique et l’exemple.<br />

Dans une première partie, les fondem<strong>en</strong>ts de <strong>la</strong> résistance<br />

des matériaux sont prés<strong>en</strong>tés à partir des notions de force<br />

et d’équilibre, <strong>pour</strong> pénétrer progressivem<strong>en</strong>t au cœur de<br />

<strong>la</strong> matière. La compréh<strong>en</strong>sion des mécanismes physiques<br />

permet <strong>en</strong>suite d’aborder <strong>en</strong> détails les <strong>en</strong>jeux des grandes<br />

familles de structures p<strong>la</strong>nes. La structure devi<strong>en</strong>t ainsi système<br />

matériel qui permet au concepteur de développer ses<br />

int<strong>en</strong>tions architecturales avec assurance loin des schémas<br />

étriqués. Pour illustrer <strong>la</strong> diversité des possibilités offertes,<br />

plusieurs réalisations contemporaines sont analysées.<br />

Enfin, le comportem<strong>en</strong>t plus subtil et complexe des structures<br />

spatiales est abordé dans <strong>la</strong> même optique pédagogique<br />

et pratique.<br />

Cet ouvrage est avant tout un outil précieux <strong>pour</strong> tous<br />

les concepteurs qui doiv<strong>en</strong>t donner forme aux structures<br />

de bâtim<strong>en</strong>t ou de génie civil. Il s’adresse égalem<strong>en</strong>t aux<br />

architectes et aux ingénieurs <strong>en</strong> formation, ainsi qu’à leurs<br />

<strong>en</strong>seignants.<br />

Avis de <strong>la</strong> rédaction<br />

Ici, les auteurs, tous deux <strong>en</strong>seignants chercheurs, pr<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t<br />

le temps de rappeler dans le détail mais avec une dose de<br />

bons s<strong>en</strong>s pratique les notions de base de <strong>la</strong> RdM. Avant<br />

de se <strong>la</strong>ncer dans les équations, ils pos<strong>en</strong>t et expliqu<strong>en</strong>t, au<br />

moy<strong>en</strong> de figures simples, les fondem<strong>en</strong>ts qui rafraîchiront<br />

les connaissances des lecteurs… Les auteurs se conc<strong>en</strong>tr<strong>en</strong>t<br />

ainsi sur les bases de <strong>la</strong> conception de structures,<br />

livrées de manière simple et efficace, illustrées et exposées<br />

de façon pédagogique…<br />

Dans cet ouvrage, les équations sont minutieusem<strong>en</strong>t comm<strong>en</strong>tées,<br />

au moy<strong>en</strong> de dessins illustratifs et pédagogique.<br />

Les six premiers chapitres revi<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t sur les notions<br />

indisp<strong>en</strong>sables — force, triangu<strong>la</strong>tion, flexion, f<strong>la</strong>mbem<strong>en</strong>t,<br />

hyperstaticité, etc. : le septième est réservé à des études de<br />

cas passés au crible : <strong>la</strong> gare TGV de Roissy (Paul Andrieu,<br />

architecte), l’aéroport de Lyon-Saint-Exupéry (Santiago<br />

Ca<strong>la</strong>trava, architecte et ingénieur), l’usine Inmos de<br />

Newport (Richard Rogers, architecte) ou <strong>en</strong>core <strong>la</strong> gare de<br />

Waterloo (Nicho<strong>la</strong>s Grimshaw, architecte)… Que du beau<br />

monde et des structures magistrales expliquées à <strong>la</strong> loupe…<br />

Un ouvrage indisp<strong>en</strong>sable <strong>pour</strong> compr<strong>en</strong>dre et maîtriser <strong>la</strong><br />

conception des structures…<br />

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Compr<strong>en</strong>dre simplem<strong>en</strong>t<br />

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François Fleury, Rémy Mouterde<br />

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Au sommaire<br />

Concepts de base Échelle globale : force et équilibre :<br />

Concept de force – L’objet mathématique et ses applications<br />

– Réalisation de l’équilibre • Échelle de <strong>la</strong> section : forces in-<br />

ternes : La structure comme canal de forces – Efforts de <strong>la</strong><br />

résistance des matériaux (RdM) – Diagramme des efforts •<br />

Échelle du matériau : contraintes et déformations<br />

: Contrain-<br />

te – Déformation – Re<strong>la</strong>tion contrainte-déformation • Critères<br />

de dim<strong>en</strong>sionnem<strong>en</strong>t : Étude des contraintes – Étude de<br />

<strong>la</strong> déformée – F<strong>la</strong>mbem<strong>en</strong>t – Quelques outils de prédim<strong>en</strong>sionnem<strong>en</strong>t•<br />

Approche p<strong>la</strong>ne du système structuré • Principales<br />

logiques de franchissem<strong>en</strong>t<br />

La structure : un système – Les poutres : une réponse immédiate<br />

grâce à <strong>la</strong> flexion – La triangu<strong>la</strong>tion supprime <strong>la</strong> flexion<br />

– La traction remp<strong>la</strong>ce <strong>la</strong> flexion : les systèmes funicu<strong>la</strong>ires<br />

– Arcs et portiques • Enjeux de l’hyperstaticité : Définition<br />

– Distribution des forces internes – S<strong>en</strong>sibilité de l’état é<strong>la</strong>stique<br />

– Ductilité et charge de ruine – Raideur et efficacité –<br />

Réalisation et problèmes d’ajustem<strong>en</strong>t – Élém<strong>en</strong>ts d’aide à <strong>la</strong><br />

décision • Études de cas<br />

: Verrière de <strong>la</strong> gare TGV de Roissy –<br />

Ca<strong>la</strong>trava : un architecte ingénieur – Usine Inmos à Newport<br />

– La ch<strong>en</strong>ille de Waterloo • Les principes des structures<br />

spatiales : La troisième dim<strong>en</strong>sion n • Géométries p<strong>la</strong>nes :<br />

Réseaux de poutres – P<strong>la</strong>ques • Surfaces courbes : Filets –<br />

Membranes – Coques – Conclusion • Annexes : Annexe 1 :<br />

Caractéristiques de quelques profilés métalliques et sections<br />

rectangu<strong>la</strong>ires – Annexe 2 : Diagrammes d’efforts et flèches<br />

maximales <strong>pour</strong> différ<strong>en</strong>tes configurations de poutres<br />

www.editionsdumoniteur.com | 75


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intégrer les contraintes dim<strong>en</strong>sionnelles et structurelles dès <strong>la</strong> conception,<br />

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anticiper les exig<strong>en</strong>ces de mise <strong>en</strong> sécurité des bâtim<strong>en</strong>ts existants,<br />

évaluer les conséqu<strong>en</strong>ces des travaux de rénovation,<br />

programmer les opérations de vérification et de maint<strong>en</strong>ance <strong>en</strong> cours<br />

d’exploitation.<br />

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• Quelles sont les structures d’accueil <strong>pour</strong> personnes âgées ou handicapées<br />

qui relèv<strong>en</strong>t du règlem<strong>en</strong>t de sécurité des ERP ?<br />

• Quel est le c<strong>la</strong>ssem<strong>en</strong>t minimal des matériaux de revêtem<strong>en</strong>t de sol<br />

dans les lieux de travail ?<br />

• Quelle est <strong>la</strong> fréqu<strong>en</strong>ce des vérifications obligatoires des équipem<strong>en</strong>ts<br />

de dés<strong>en</strong>fumage dans les bâtim<strong>en</strong>ts d’habitation ?<br />

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