Calcul direct du Champ et du potentiel électrostatique

Ahmed Chouket
Calcul direct du champ et du potentiel électrostatiques
I) Calcul Direct
Calcul du Champ et du potentiel électrostatique
Pour cela on utilise l’expression du champ électrique crée par une distribution de charges
donnée par loi la de Coulomb, tout en exploitant les propriétés de symétrie et d’invariance s’il
y a lieu.
1) Exemple 1
a) champ créé par un fil fini de charge
On considère un fil rectiligne P 1 P 2 de densité linéique homogène 0 . On veut calculer le
champ électrique E⃗ à un point M à une distance du segment. Compte tenu des symétries, on
travaille en coordonnées cylindriques avec l'axe z confondu avec l'axe du fil. Les bouts du
segment sont respectivement z 1 et z 2 . On obtient le champ E⃗ en appliquant l'expression
intégrale de la loi de Coulomb :
E⃗ (M) =
P 2
1
∫ λ
4πε 0 ( PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0 (PM) 3) dl
P 1
Dans ce système de coordonnées cylindriques on a :
OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ze⃗⃗⃗⃗ Z et dl = dz
PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −ze⃗⃗⃗⃗ Z + ρe⃗⃗⃗
ρ
(PM) 3 = (z 2 + ρ 2 ) 3/2
et l'intégrale s'écrit :
E⃗ (M) =
Z 2
1
∫ λ
4πε 0 ( −ze ⃗⃗⃗⃗ Z + ρe⃗⃗⃗
ρ
0 (z 2 + ρ 2 ) 3/2) dz
Z 1
Z 2
E⃗ (M) = 1
ρe⃗⃗⃗
ρ
∫ λ
4πε 0 (
0 (z 2 + ρ 2 ) 3/2) dz − 1
ze⃗⃗⃗⃗
Z
∫ λ
4πε 0 (
0
Z 1
(z 2 + ρ 2 ) 3 ) dz = (I) + (II)
2
La deuxième intégrale s'éffectue avec un changement de variable avec ρ = cte:
u 2 = z 2 + ρ 2 donc udu = zdz
Z 2
(II) = − 1
z dz
∫ λ
4πε 0 (
0
(z 2 + ρ 2 ) 3 ) = − λ 0
∫ ( udu
4πε
Z 1
2
0 u 3 ) = − λ 0
∫ ( du
4πε
u 0 u 2 ) = λ 0
[ 1 4πε
1 u 0 u ] u 1
1
Or u 1 = √z 1 2 + ρ 2 = P 1 M et
u 2
Z 2
Z 1
(II) = 1
4πε 0
( 1 u 2
− 1 u 1
)
u 2 = √z 2 2 + ρ 2 = P 2 M
(II) = λ 0
( 1
4πε 0 P 2 M − 1
P 1 M ) = (II) = λ 0
(
ρ
ρ4πε 0 P 2 M − ρ
P 1 M ) = λ 0
[cos α
ρ4πε 2 − cos α 1 ]
0
Pour le composant du champ dans la direction, e⃗⃗⃗ ρ , il faut évaluer l'intégrale (I):
u 2
u 2
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Z 2
(I) = λ 0 ρ dz
∫ (
4πε 0 (z 2 + ρ 2 ) 3/2) = ρλ 0 dz
∫ (
4πε 0 (z 2 + ρ 2 ) 3/2) = ρλ 0
∫ (
dz
4πε 0 (PM) 3)
Z 1 Z 1
L’intégration s'effectue avec un changement de variable.
On a ρ = PM cos α z = PM sinα tan α = z ρ
Donc
dz
= dα
ρ cos 2 α
Z 2
dz = ρ
dα
cos 2 α
α 2
Z 2
et
ρ
cos α = PM
(I) = ρλ 0
∫ (
dz
4πε 0 (PM) 3) = ρλ 0
∫ ( cosα 3
4πε 0 ρ ) dα ρ
cos 2 = λ 0
∫ cos(α)dα
α ρ4πε
Z 1 α 0 1
α 2
(I) = λ 0
∫ cos(α)dα = λ 0
[sin α
ρ4πε 0 ρ4πε 2 − sin α 1 ]
α 0 1
E⃗ (M) = (I)e ⃗⃗⃗ ρ + (II)e⃗⃗⃗⃗ Z = λ 0
[sin α
ρ4πε 2 − sin α 1 ]e⃗⃗⃗ ρ + λ 0
[cos α
0 ρ4πε 2 − cos α 1 ] e⃗⃗⃗⃗
Z
0
E⃗ (M) = λ 0
[(sin α
ρ4πε 2 − sin α 1 )e ⃗⃗⃗ ρ + (cos α 2 − cos α 1 )e⃗⃗⃗⃗ Z ]
0
Pour un fil infini on aura α 1 → − π 2
et α 2 → + π 2
E⃗ (M) = λ 0
[(sin π ρ4πε 0 2 − sin (− π 2 )) e ⃗⃗⃗ ρ + (cos π 2 − cos (− π 2 )) e ⃗⃗⃗⃗ Z]
E⃗ (M) = λ 0
e⃗⃗⃗
ρ2πε ρ
0
b) Calcul du potentiel créé par un fil fini de charge
On considère un fil rectiligne P 1 P 2 de densité linéique homogène 0 . On veut calculer le
potentiel V(M) à un point M à une distance du segment. Compte tenu des symétries, on
travaille en coordonnées cylindriques avec l'axe z confondu avec l'axe du fil. Les bouts du
segment sont respectivement z 1 et z 2 . On obtient en appliquant la loi de Coulomb :
V(M) =
P 2
1
∫ λ 0
4πε 0 PM
P 1
dl
dl = dz PM = √z 2 + ρ 2
V(M) =
V(M) =
Z 2
1
∫ λ 0
4πε 0 PM dz
Z 1
=
Z 2
λ 0 dz
∫
= λ 0
[ln (z + √z
4πε 0 √z 2 + ρ
Z 2 4πε 2 + ρ 2 Z 2
)]
0 Z1
1
λ 0
4πε 0
[ln (z 2 + √z 2 2 + ρ 2 ) − ln (z 1 + √z 1 2 + ρ 2 )] = λ 0
4πε 0
ln [ (z 2 + √z 2 2 + ρ 2 )
(z 1 + √z 1 2 + ρ 2 ) ]
V(M) = λ 0
4πε 0
[ln(z 2 + PM 2 ) − ln(z 1 + PM 1 )]
Z 2
Z 1
α 2
α 1
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2) Exemple 2
a) champ créé par un fil infini de charge
Considérons par exemple un fil rectiligne infini parallèle à la direction donnée par (oz) et
chargé uniformément avec une densité linéique de charge . Les seuls éléments de symétrie
conservant tout point M sont le miroir méridien 1 contenant le fil, et le miroir 2
perpendiculaire au fil et contenant M. Ces miroirs devant laisser invariant le champ en M, le
champ en M est parallèle à leur intersection. On vérifie la rapidité d’utilisation de Curie, il
faudrait considérer deux éléments de fil symétriques par rapport à 2 , et le champ résultant
des deux champs élémentaires qu’ils créent.
Calcul direct
Il faut partir de la représentation suivante :
Un élément du fil de longueur dz et centré sur P crée au point M un champ électrique
1 λdz
dE⃗ (M) =
PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4πε 0 (PM) 3
Par projection selon les coordonnées cylindriques :
dE ρ (M) = dE(M)cosθ =
1 λdz
4πε
dE⃗ (M) =
0 (a 2 + z 2 ) cosθ
dE
{ z (M) = −dE(M)sinθ = −
1 λdz
4πε 0 (a 2 + z 2 ) sinθ
Ainsi, le premier élément de fil, situé à la distance OP 1 , fait apparaître un champ élémentaire
1 λdz
dE⃗⃗⃗⃗ 1 (M) =
dE 1 ρ (M) = 4πε 0 (a 2 + z 2 ) cosθ
dE
{ 1 z (M) = 1 λdz
4πε 0 (a 2 + z 2 ) sinθ
Le deuxième élément de fil, situé à la distance OP 2 , fait apparaître un champ élémentaire
dE 2 ρ (M) = 1 λdz
dE⃗⃗⃗⃗ 4πε
2 (M) =
0 (a 2 + z 2 ) cosθ
dE
{ 2 z (M) = 1 λdz
4πε 0 (a 2 + z 2 ) sinθ
de même norme que dE⃗⃗⃗⃗ 1 (M), mais dont les composantes vérifient :{ dE 1ρ (M) = dE 2ρ (M)
dE 1 z (M) = −dE 2z (M)
En conclusion, on pourra remarquer que la composante du champ électrique suivant (oz)
s’annule par raison de symétrie et le théorème de superposition donne pour deux éléments
symétriques :
dE⃗ (M) = 2dE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 (M)
ρ
Donc
E⃗ (M) = 2 ∫ dE⃗⃗⃗⃗ ρ (M) = 2e⃗⃗⃗⃗ ρ ∫
1 λdz
4πε 0 (a 2 + z 2 ) cosθ
Pour intégrer sur θ, il faut remarquer que :
dz = a
dθ
cos 2 θ
( a 2
cos θ ) = (a 2 + z 2 )
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E⃗ (M) =
2 e⃗⃗⃗⃗ 4πε ρ ∫
λdz
0 (a 2 + z 2 ) cosθ =
E⃗ (M) =
λ
2πaε 0
e ρ
π
2
λ
2πε 0
e ρ
⃗⃗⃗⃗ ∫ cosθdθ =
0
a
dθ
⃗⃗⃗⃗ ∫
cos 2 θ
( a cosθ =
λ
)2
cos θ
λ
π
e⃗⃗⃗⃗ 2πaε ρ [sinθ]
2
0
0
2πaε 0
e ρ
= λ e⃗⃗⃗⃗
2πaε ρ
0
π
2
⃗⃗⃗⃗ ∫ cosθdθ
d’où l’on tire :
E⃗ (M) =
λ e⃗⃗⃗⃗
2πaε ρ
0
Nous verrons dans le prochain chapitre comment retrouver ce résultat avec beaucoup plus de
facilité.
0
b) Calcul du potentiel crée par un fil infini chargé
E⃗ (M) = −grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ V(M) dV(M) = − E⃗ (M)dl ⃗⃗⃗⃗
λ
E⃗ (M) = e⃗⃗⃗⃗
2πrε r
0
⃗⃗⃗⃗ dl = dre⃗⃗⃗⃗
r
V(M) = − ∫
λ dr = −
λ ln r + cte
2πrε 0 2πε 0
V(M) = − ∫ E⃗ (M)dl ⃗⃗⃗⃗
3) Exemple 3 : Champ électrique sur l’axe d’un anneau uniformément chargé
Soit Q la charge totale et a le rayon de l’anneau. Un élément dl porte une charge
Q
dq = dl = λ 2πa
0dl avec dl = adθ
Le champ électrique produit en point P situé à une distance z du centre de l’anneau vaut ( en
module) :
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1 dq
‖dE⃗ (M)‖ =
4πε 0 (z 2 + a 2 )
Le champ dE⃗ (M) se décompose en : dE⃗⃗⃗⃗ 1 (M) perpendiculaire à z dE⃗⃗⃗⃗ 2 (M) parallèle à z.
Vu la symétrie axiale, la somme sur le pourtour de l’anneau des composantes dE⃗⃗⃗⃗ 1 (M)
perpendiculaires à z est nulle.
Composante parallèle : dE 2 (M) = dE(M)cosφ Or
z
cosφ =
√(z 2 + a 2 )
Donc
1 dq z
dE 2 (M) =
4πε 0 (z 2 + a 2 ) √(z 2 + a 2 ) = 1 zdq
4πε 0 (z 2 + a 2 ) 3/2 = 1 zλ 0 dl
4πε 0 (z 2 + a 2 ) 3/2
En faisant la somme de toutes les charges dq sur le pourtour de l’anneau, il vient :
Champ sur l’axe d’un anneau :
1 zλ 0 dl
E 2 (M) = E(M) =
4πε 0 (z 2 + a 2 ) 3/2 = 1
2π
zλ 0
4πε 0 (z 2 + a 2 ) 3/2 ∫ adθ
0
1 zλ 0 2πa
E 2 (M) = E(M) =
4πε 0 (z 2 + a 2 ) 3/2 = E 1 zQ
2(M) = E(M) =
4πε 0 (z 2 + a 2 ) 3/2
Pour z = 0, le champ électrique est nul. Ce résultat est-il surprenant ?
A grande distance l’anneau est vu comme un point et le champ tend vers celui d’une charge
ponctuelle. z >>>> a :
1 Q
E(M) =
4πε 0 z 2
4) Exemple 4 :
a) champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
Considérons un disque de rayon R portant la charge totale Q uniformément répartie à sa
surface, ce qui correspond à une densité surfacique :
Q
σ =
πR 2
nous nous proposons de calculer le champ électrostatique crée par ce disque en un point M de
son axe Oz à la distance z (z>0) de son centre O (Figure). Tout plan contenant la droite OM
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est un plan de symétrie paire; le champ E⃗ est nécessairement porté par la direction commune à
tous ces plans, c'est à dire par Oz.
Soit M un point de l’axe (Oz). Les plans contenant (Oz) sont des plans médiateurs pour la
distribution de charges donc E⃗ (M) est nécessairement suivant e⃗⃗⃗⃗
Z
Le champ dE⃗ (M) crée par un élément de surface dS, de charge dq = σdS,a pour
expression:
1 σdS
dE⃗ (M) =
4πε 0 r 2 e ⃗⃗⃗⃗ r,
PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = r⃗
On peut associer deux à deux les éléments symètriques de surface de façon que les
composantes normales à Oz des champs correspondants se compensent comme nous l'avons
prévu à partir des éléments de symétrie du problème, seules les composantes suivant (oz)
s'ajoutent avec dE Z (M) = dE(M)cosα . Ainsi
dE Z (M) = dE(M)cosα =
1 σdS
4πε 0 r 2 cosα
avec dS = ρdρdθ
Ainsi
(en coordonnées polaires) r 2 = ρ 2 + z 2
cosα = z r = z
√(ρ 2 + z 2 )
dE(M) = dE Z (M) =
1 σdS
1 σρdρdθ z
cosα =
4πε 0 r2 4πε 0 r 2 r = σz ρdρdθ
4πε 0 (ρ 2 + z 2 ) 3/2
L'expression du champ E⃗ (M) en M (qui se confond avec sa composante sur Oz) est donnée
par:
E(M) = ∬
σz ρdρdθ
4πε 0 (ρ 2 + z 2 ) 3/2 = σz
ρdρ
∫ dθ ∫
4πε 0 (ρ 2 + z 2 ) 3/2
2π
0
0
R
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E(M) =
R
σz ρdρ
∫
2ε 0 (ρ 2 + z 2 ) 3/2
0
On pose u = ρ 2 + z 2 donc du = 2ρdρ
E(M) =
σz
2ε 0
(R 2 +Z 2 )
∫
Z 2
du
(u) 3/2
(R 2 +Z 2 )
= σz ∫ u −3/2 d u
2ε 0
Z 2
E(M) =
(R 2 +Z 2 )
σz
∫ u −3/2 d
2ε 0
Z 2
u = − σz [u −1/2 (R
] 2 +Z 2 ) σz
2ε Z 2 = [ 1
0 2ε 0 |Z| −
1
√(R 2 + Z 2 ) ]
E(M) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
σz = [ 1
2ε 0 |Z| −
1
√(R 2 + Z 2 ) ] e ⃗⃗⃗⃗ Z
Soit: Cette expression est valable quelque soit le signe de z.
Cas limites:
* Si le point M est très éloigné du disque |Z| ≫≫ R, on aura:
E(M) =
σ
[ Z
2ε 0 |Z| − Z
√(R 2 + Z 2 ) ] = σ Z
1 −
2ε 0 |Z|
[
1
√( R2
Z 2 + 1) ]
E(M) =
E(M) =
σ Z
1 −
2ε 0 |Z|
[
σ Z
2ε 0 |Z|
1
√( R2
Z 2 + 1) ]
= σ Z
2ε 0 |Z|
−1/2
[1 − (R2
Z 2 + 1) ] ≅ σ
2ε 0
−1/2
[1 − (R2
Z 2 + 1) ]
Z
|Z|
[1 − (1 −
R2
2Z 2)]
E(M) =
σ Z
R2
[1 − (1 −
2ε 0 |Z| 2Z 2)] = σR2 Z
4ε 0 Z 2 |Z| = σπR 2 Z
4πε 0 Z 2 |Z| = Q Z
4πε 0 Z 2 |Z|
C'est l'expression du champ crée en M par une charge Q = σπR 2 (c'est la charge totale du
disque) placée en O.
* Si le point M est très proche du disque |Z| ≪< R , l'expression du champ devient
approximativement égale à :
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E(M) ≅
σ Z
2ε 0 |Z|
[
1 −
1
√( R2
Z 2 + 1) ]
Nous retrouvons ainsi, au voisinage immédiat du disque, le champ d'un plan uniformément
chargé.
≅ 1
E(z < 0) ≅ −
σ
2ε 0
E(z > 0) ≅
σ
2ε 0
Remarquons la discontinuité de σ ε 0
de E à la traversée de la couche superficielle chargée.
E(z > 0) − E(z < 0) =
σ
ε 0
b) Question : Calcul du potentiel créé par un disque de rayon R et de charge surfacique σ
uniforme sur son axe.
Potentiel créé par un disque uniformément chargé
dV =
1 σdS
4πε 0 r = 1 σ2πρdρ
4πε 0 r
0
R
σ
V = ∫ ρdρ =
2ε 0 r
R
σ ρdρ
∫
2ε 0 √(ρ 2 + z 2 )
0
On pose u = ρ 2 + z 2
du = 2ρdρ
V =
R 2 +Z 2
R 2 +Z 2
σ
∫ du = σ ∫ u −1/2 du = σ [ 1 2ε 0 √u 2ε 0 2ε 0 2 u1/2 ]Z 2
Z 2 Z 2
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R 2 +Z 2 =
σ
4ε 0
[√R 2 + Z 2 − √Z 2 ]
On remarque que le champ diverge pour R tends vers l’infini c’est normale puisqu’il y a des
charge à l’infini.
Trouver le champ électrique à partir du potentiel