51 A Sommerfeld-féle atommodell A Bohr elmélet már többre képes ...

Atomfizika 52 A Sommerfeld-féle atommodell
H-atom legbelső pályájának sugara, Z pedig a rendszám. A második
kvantumfeltétel az ellipszispálya kis és nagytengelyének arányát írja elő.
Innen világos, hogy a lehetséges elektronpályák megadásához már nem
elégséges egyetlen kvantumszám. Az n kvantumszám neve mostantól
kezdve főkvantumszám. Ez határozza meg az elektron magtól való
átlagos távolságát. Lehetséges értékei: n = 1, 2, 3, 4,…. Az l neve
mellékkvantumszám. A fenti formula alapján világos, hogy lehetséges
értékei: l = 0, 1, 2, …n -1. Egy adott főkvantumszámhoz tehát tartozik
egy körpálya, és n – 1 db ellipszis. Mint látszik a mellékkvantumszám
voltaképpen a pálya lapultságát jellemzi.
A spektroszkópiában adott fő és mellékkvantumszámok
által meghatározott állapotokat egy-egy betűvel
jelölik. A főkvantumszámok n = 1, 2, 3, 4, 5, …stb értékei
esetén a K, L, M, N, O, …stb betűjeleket is használják,
az l = 1, 2, 3, 4, 5, …stb mellékkvantumszám értékek
esetén pedig az s, p, d, f, g,…stb betűjeleket
írják. Ezt a jelölést láthatjuk a mellékelt ábrákon
az ellipszispályák mellett.
Sommerfeld kiszámította az elektronok lehetséges
energiáit, és a következő eredményt kapta:
E
n
2 4 2 2
2π me k Z 1
= − ⋅
2 2
h n
ami pontosan megegyezik a Bohr-elmélet
által adott eredménnyel. Eszerint az elektron
energiája nem függ a mellék-
kvantumszámtól, tehát ez az általánosítás
egyelőre nem magyarázza meg a színkép
finomszerkezetét.
A színkép finomszerkezetének részletes
tanulmányozása során kiderült, hogy a multiplett
színképvonalak hullámszámának
relatív eltérése 10 -4 nagyságrendű. Már
kiszámítottuk a hidrogénatom legbelső pályáján keringő elektron sebes-
ségét, amely v
c
= 137 -nek adódott. Vagyis a fénysebességhez nagyon
közeli érték. A speciális relativitáselmélet szerint fénysebességhez közeli
sebességek esetén a tehetetlen tömeg megnövekszik, és a növekedés