Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>4.</strong>1 PENDAHULUAN<br />
Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral<br />
lipat dua dari fungsi dua peubah. Akan dibahas bentuk-bentuk integral lipat<br />
dalam koordinat kartesius, koordinat, kutub, maupun dalam koordinat yang<br />
lebih umum. Penerapan integral lipat diantaranya untuk menghitung<br />
volume, pusat massa dan momen inersia.<br />
Setelah mempelajari bab ini, saudara akan dapat:<br />
- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kartesius,<br />
- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kutub,<br />
- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat yang lebih umum<br />
melalui penggantian peubah.<br />
<strong>4.</strong>2. <strong>INTEGRAL</strong> <strong>LIPAT</strong> ATAS DAERAH SEGIEMPAT<br />
Pada pembahasan turunan parsial, ketika menurunkan fungsi f(x,y) terhadap<br />
x maka y dianggap konstanta, dan sebaliknya. Hal demikian juga berlaku<br />
untk integral. Misal diketahui fungsi dua variabel f ( x,<br />
y)<br />
= x + 2y<br />
. Fungsi<br />
ini akan kita cari hasil integrasinya terhadap variabel x dan y , yaitu:<br />
( x + 2y)<br />
dxdy<br />
Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama<br />
diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi<br />
terhadap y .<br />
Ketika kita mengintegral kan terhadap variabel x , maka kita<br />
menganggap variabel lain sebagai konstanta. Begitu juga sebaliknya, bila<br />
kita integralkan terlebih dahulu terhadap variabel y , maka variabel yang<br />
lain dianggap sebagi konstanta.<br />
Dengan demikian, untuk persoalan diatas, misalkan kita integralkan<br />
terlebih dahulu terhadap x , maka<br />
63
{ ( x y)<br />
dx}dy<br />
( x + 2y)<br />
dxdy = + 2<br />
= { xdx + 2 ydx}dy<br />
1 2<br />
= { x + 2xy}<br />
dy<br />
2<br />
1 2<br />
= x dy + 2x<br />
ydy<br />
2<br />
=<br />
1<br />
2<br />
2<br />
x y + xy<br />
2<br />
1<br />
= xy ( x + y)<br />
.<br />
2<br />
Berikutnya akan dibahas integral lipat atas daerah segiempat.<br />
Misalkan z f ( x, y)<br />
= terdefinisi pada R, suatu daerah persegi panjang<br />
tertutup, yaitu : R =[a,b] x [c,d] = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} di bidang<br />
XY.<br />
Tujuan kita adalah menentukan volume benda yang dibatasi oleh<br />
z = f x, y di atas daerah R di bidang XY.<br />
( )<br />
Volume ini nantinya akan dinyatakan sebagai integral lipat dua<br />
f x, y dA. Untuk<br />
R<br />
( )<br />
64
memperolehnya, serupa dengan ketika kita mencari luas daerah yang<br />
dibatasi oleh y = f(x) di atas sumbu X.<br />
Bentuk partisi [a,b] menjadi m bagian dan [c,d] menjadi n bagian.<br />
Pilih ( xij , yij<br />
)<br />
∗ ∗ pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]<br />
Bentuk jumlah Riemann.<br />
∗ ∗<br />
f x , y ∆ A.<br />
Volume = ( ij ij )<br />
65
R<br />
m n<br />
i= 1 j=<br />
1<br />
∗ ∗ ( ij , ij )<br />
f x y dA<br />
Jika m,n ∞ (|P| 0) diperoleh integral lipat dua f pada R sebagai<br />
limit jumlah Riemann, yaitu<br />
R<br />
m n<br />
∗ ∗<br />
( ) ( ij ij )<br />
f x, y dA = lim f x , y ∆ A,<br />
m, n→∞<br />
i= 1 j=<br />
1<br />
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R<br />
Integrasi dari fungsi dengan dua peubah dinyatakan dengan<br />
Grafik fungsi dengan dua peubah berupa luasan permukaan dalam dimensi<br />
tiga dan integrasinya pada suatu daerah R adalah volume antara grafik<br />
dengan daerah tersebut.<br />
Sifat integral:<br />
1.) ( , ) + ( , ) = ( , ) + ( , )<br />
f x y g x y dA f x y dA g x y dA<br />
R R R<br />
2.) Jika c konstanta, ( , ) = ( , )<br />
c f x y dA c f x y dA<br />
R R<br />
66
3.) Jika f ( x, y) ≥ g ( x, y)<br />
untuk setiap ( , )<br />
f ( x, y) dA ≥ g ( x, y) dA.<br />
R R<br />
x y di dalam R , maka<br />
Jika f ( x,<br />
y)<br />
= 1, maka nilai dari volume sama dengan luas daerah R.<br />
Jika<br />
R =<br />
maka<br />
2 1<br />
1 −1<br />
f ( x,y)<br />
kontinu pada suatu daerah segiempat<br />
b d<br />
a c<br />
{ ( x,<br />
y)<br />
: a ≤ x ≤ b,<br />
c ≤ y ≤ d}<br />
d b<br />
c a<br />
( 3x<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dxdy =<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dxdy =<br />
2<br />
+ 2xy)<br />
dydx<br />
b<br />
a<br />
d<br />
c<br />
d<br />
c<br />
b<br />
a<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dx<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dy<br />
Contoh <strong>4.</strong>1:<br />
Selesaikan integral<br />
Penyelesaian .<br />
Menggunakan denfinisi diperoleh:<br />
2 1<br />
1 −1<br />
( 3x<br />
2<br />
+ 2xy)<br />
dydx =<br />
=<br />
=<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
= 14<br />
dy<br />
dx<br />
2 2 [ 3x<br />
y + xy ]<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
{ [ 3x<br />
( 1)<br />
+ x(<br />
1)<br />
] − [ 3x<br />
( −1)<br />
+ x(<br />
−1)<br />
] }<br />
2<br />
6x<br />
dx =<br />
y=<br />
1<br />
y=<br />
−1<br />
3 [ 2x<br />
]<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
= 2(<br />
2)<br />
3<br />
− 2(<br />
1)<br />
3<br />
dx<br />
67
Gaudio Fubini ( 1879 – 1943) menunjukkan bahwa integral ganda dari<br />
suatu fungsi kontinu dapat ditentukan dengan integral berulang.<br />
Selanjutnya teknik ini dikenal dengan Teorema Fubini.<br />
Teorema Fubini pada daerah segiempat<br />
Jika f kontinu pada daerah segi empat R = { ( x,<br />
y)<br />
: a ≤ x ≤ b,<br />
c ≤ y ≤ d}<br />
d<br />
c<br />
maka<br />
Contoh <strong>4.</strong>2:<br />
Selesaikan ( x − y)<br />
dA , dengan R=[0,1] x [0,2]<br />
R<br />
Penyelesiaan:<br />
R<br />
y<br />
R<br />
a b<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dA = f ( x,<br />
y)<br />
dxdy = f ( x,<br />
y)<br />
dydx<br />
2 1<br />
1 2<br />
( x − y)<br />
dA = ( x − y)<br />
dxdy = x − xy dy<br />
2<br />
0 0<br />
d b<br />
c a<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2<br />
= ( . 1 −1.<br />
y ) − 0 dy<br />
2<br />
0<br />
1<br />
= − y<br />
0 2<br />
b d<br />
a c<br />
dy<br />
x<br />
68
Atau<br />
R<br />
1 2<br />
1 1 2<br />
= y − y = −1.<br />
2 2<br />
1 2<br />
( x − y)<br />
dA = ( x − y)<br />
dydx = xy − y dx<br />
2<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1 2<br />
= x . 2 − . 2 dx<br />
2<br />
0<br />
= ( x − 2)<br />
0<br />
2 dx<br />
2<br />
= [ − x]<br />
= −1<br />
2 1<br />
0<br />
2<br />
0<br />
x .<br />
Terlihat dengan urutan intergral berbeda diperoleh hasil yang sama.<br />
b d<br />
Pada kasus f ( x, y) = g ( x) h( y)<br />
, maka ( ) ( ) = ( ) ( )<br />
, dengan R = [ a b] × [ c d ]<br />
, , .<br />
R<br />
2<br />
0<br />
g x h y dA g x dx h y dy<br />
a c<br />
π π<br />
Contoh <strong>4.</strong>3 : Jika R = 0, × 0, , tentukan sin xcos y dA.<br />
2 2<br />
Penyelesaian:<br />
Teorema Fubini untuk daerah sembarang<br />
Ada dua tipe , seperti pada dua gambar berikut:<br />
R<br />
69
R<br />
b y2<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dA = f ( x,<br />
y)<br />
dydx<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dA =<br />
Contoh <strong>4.</strong>4: Cari<br />
Penyelesaian:<br />
2<br />
1 x<br />
0<br />
x<br />
y<br />
30ydydx<br />
=<br />
1<br />
0<br />
Type I<br />
a y1<br />
1<br />
x<br />
30<br />
0 2<br />
x<br />
2 [ 15y<br />
]<br />
=<br />
=<br />
1<br />
0<br />
ydydx<br />
3 5 1 [ 5x<br />
− 3x<br />
]<br />
= 2<br />
y=<br />
x<br />
2<br />
y=<br />
x<br />
( 15<br />
dx<br />
x<br />
2<br />
−15x<br />
) dx<br />
0<br />
4<br />
= 5 − 3<br />
Contoh <strong>4.</strong>5 : Hitung (x + 3 y)dA dimana<br />
R = {( x,y)<br />
|- 1 ≤ x ≤ 1,<br />
2x<br />
≤ y ≤ 1+<br />
x<br />
R<br />
2<br />
y = g ( x)<br />
y = g ( x)<br />
a b x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
}<br />
d<br />
c<br />
R<br />
y<br />
Type II<br />
x = h ( y)<br />
1<br />
1<br />
d x2<br />
c x1<br />
x = h ( y)<br />
2<br />
2<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dxdy<br />
x<br />
70
71<br />
Penyelesaian.<br />
.<br />
-<br />
-<br />
)<br />
x<br />
-<br />
x<br />
x<br />
x<br />
-<br />
x<br />
(<br />
dx<br />
x<br />
-<br />
x<br />
x<br />
x<br />
-<br />
x<br />
x<br />
)dx<br />
)<br />
x<br />
-(<br />
)<br />
x<br />
((<br />
)<br />
x<br />
-<br />
x<br />
x(<br />
y)dydx<br />
(x<br />
y)dA<br />
(x<br />
-<br />
-<br />
R<br />
-<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3<br />
5<br />
3<br />
4<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
4<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
Contoh <strong>4.</strong>6 : Tentukan<br />
R<br />
dA<br />
y<br />
x<br />
f )<br />
,<br />
( jika:<br />
{ }<br />
(-2,1)<br />
and<br />
(3,1)<br />
(0,0),<br />
sudut<br />
titik<br />
-<br />
ik<br />
dengan tit<br />
segitiga<br />
;<br />
)<br />
,<br />
(<br />
(iii)<br />
sin<br />
dan<br />
0<br />
,<br />
,<br />
0<br />
oleh<br />
dibatasi<br />
yang<br />
daerah<br />
;<br />
)<br />
,<br />
(<br />
(ii)<br />
2<br />
0<br />
,<br />
2<br />
:<br />
)<br />
,<br />
(<br />
;<br />
4<br />
)<br />
,<br />
(<br />
(i)<br />
2<br />
2<br />
R<br />
xy<br />
y<br />
x<br />
f<br />
x<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
R<br />
y<br />
y<br />
x<br />
f<br />
y<br />
y<br />
x<br />
y<br />
y<br />
x<br />
R<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
f<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
=<br />
−<br />
=<br />
π<br />
Penyelesaian.<br />
(i). Daerah R adalah sebagai berikut<br />
x<br />
y<br />
2<br />
=<br />
y<br />
0<br />
=<br />
y<br />
y<br />
x 2<br />
=<br />
2<br />
y<br />
x =
72<br />
Maka diperoleh<br />
[ ]<br />
5<br />
36<br />
5<br />
2<br />
4<br />
2<br />
)<br />
2<br />
6<br />
(<br />
]}<br />
)<br />
(<br />
2<br />
[<br />
]<br />
2<br />
)<br />
2<br />
(<br />
2<br />
{[<br />
2<br />
)<br />
4<br />
(<br />
)<br />
4<br />
(<br />
2<br />
0<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
0<br />
4<br />
3<br />
2<br />
2<br />
0<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
y<br />
y<br />
y<br />
dy<br />
y<br />
y<br />
y<br />
dy<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
dy<br />
xy<br />
x<br />
dxdy<br />
y<br />
x<br />
dA<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
y<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
R<br />
(ii) Daerah R adalah sebagai berikut:<br />
Diperoleh<br />
.<br />
4<br />
2<br />
2<br />
sin<br />
4<br />
1<br />
)<br />
2<br />
cos<br />
1<br />
(<br />
4<br />
1<br />
2<br />
sin<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
sin<br />
0<br />
2<br />
0<br />
sin<br />
0<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
x<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
dx<br />
y<br />
dydx<br />
y<br />
dA<br />
y<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
R<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y sin<br />
=<br />
0<br />
=<br />
y<br />
0<br />
=<br />
x<br />
π<br />
=<br />
x
(iii). Daerah R adalah<br />
y = 1<br />
y = 0<br />
Maka<br />
R<br />
Catatan`:<br />
xy<br />
x = −2<br />
2<br />
dA =<br />
Aturan integrasi:<br />
y<br />
=<br />
y=<br />
1 x=<br />
3y<br />
y=<br />
0 x=<br />
−2<br />
y<br />
1<br />
0<br />
2<br />
y<br />
2<br />
1<br />
y<br />
( 9<br />
y<br />
xy<br />
2<br />
2<br />
dxdy =<br />
− 4y<br />
x = 3y<br />
− 2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
) dy =<br />
1<br />
0<br />
2<br />
x y<br />
2<br />
2<br />
5y<br />
2<br />
4<br />
x=<br />
3y<br />
x=<br />
−2<br />
y<br />
dy =<br />
• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari<br />
bentuk D (daerah integrasi).<br />
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan<br />
pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan<br />
pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.<br />
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan<br />
daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi<br />
dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.<br />
x<br />
dy<br />
5<br />
y<br />
2<br />
1<br />
0<br />
=<br />
1<br />
.<br />
2<br />
73
Contoh <strong>4.</strong>7 : : : Hitung Hitung Hitung 2 y e , , R R daerah daerah yang dibatasi dibatasi oleh x = y dan sumbu y. R<br />
2 , y =1,<br />
Penyelesaian:<br />
R<br />
( 2ye<br />
Atau Atau dibalik dibalik urutan urutan integralnya:<br />
R<br />
ye x<br />
) dA =<br />
=<br />
=<br />
( 2ye<br />
) dA =<br />
ye x<br />
2<br />
1 y<br />
0 0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
= e<br />
0<br />
=<br />
=<br />
= e<br />
x ( 2y<br />
e )<br />
2y<br />
e<br />
2y<br />
( e<br />
2<br />
y<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
x<br />
y<br />
0<br />
2<br />
y<br />
− y<br />
1<br />
2<br />
x ( 2y<br />
e )<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
x<br />
y<br />
2<br />
1<br />
− xe<br />
(<br />
dy<br />
− 1)<br />
dy<br />
0<br />
− xe dx<br />
x<br />
dx<br />
dy<br />
dy dx<br />
x<br />
x<br />
dx<br />
)<br />
x dA<br />
= e − 1 − 1 = e − 2.<br />
x<br />
1<br />
+ e = ( e − e + e)<br />
− ( 1 − 0 + 1)<br />
= e − 2.<br />
0<br />
74
LATIHAN <strong>4.</strong>2 :<br />
Untuk soal no. 1 – 5 , hitung<br />
2<br />
3<br />
R<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dA,<br />
jika:<br />
1. f ( x,<br />
y)<br />
= 12xy<br />
−8x<br />
; R = {( x,<br />
y)<br />
: 1 ≤ x ≤ 2,<br />
−1<br />
≤ y ≤ 2}<br />
2. f ( x,<br />
y)<br />
= y + 2x;<br />
R daerah segiempat yang dibatasi oleh (-1,-1), (2,-1),<br />
(2,4) dan (-1,4).<br />
2<br />
3. f ( x,<br />
y)<br />
= yx ; R = {( x,<br />
y)<br />
: 1 ≤ x ≤ 2,<br />
1−<br />
x ≤ y ≤ x}<br />
<strong>4.</strong> f ( x,<br />
y)<br />
= ( 4x<br />
− y);<br />
R = {( x,<br />
y)<br />
: y ≤ x ≤ 2y,<br />
0 ≤ y ≤ 2}<br />
5.<br />
2<br />
2<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= xy ; R daerah segitiga yang dibatasi oleh (0,0), (3,1) and (-<br />
2,1).<br />
Untuk soal no. 6 – 9, sketsakan daerah integrasi R, kemudian tulis kembali<br />
integral dengan menukar urutan integrasi<br />
6.<br />
8.<br />
1 4−2<br />
x<br />
0<br />
x<br />
1 e<br />
0 1<br />
2<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dydx 7.<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dydx 9.<br />
1<br />
0<br />
1<br />
y<br />
y<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dxdy<br />
2<br />
1−<br />
y<br />
0 2<br />
− 1−<br />
y<br />
Untuk soal no. 10 – 12, hitung integral lipat :<br />
1.<br />
2.<br />
1 2<br />
0 1<br />
R<br />
x<br />
xe<br />
dy dx<br />
y<br />
1+<br />
1+<br />
y<br />
2<br />
x<br />
dA 2<br />
1 1<br />
2<br />
3. ( )<br />
0<br />
x<br />
sin y dy dx<br />
,<br />
dengan R = [ 0,1] × [ 0,1 ] .<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dxdy .<br />
75
<strong>4.</strong>3 PENGGANTIAN VARIABEL DALAM <strong>INTEGRAL</strong> <strong>LIPAT</strong><br />
Dari transformasi T yang diberikan oleh x = g(u, v) dan y = h(u, v)<br />
didefinisikan jacobian :<br />
Misalkan T adalah Transformasi C 1 satu ke satu yang Jacobiannya tidak nol<br />
dan yang memetakan daerah S di bidang uv pada daerah R di bidang xy.<br />
Andaikan bahwa f kontinu pada R dan bahwa R serta S adalah daerahdaerah<br />
bidang jenis I atau II, maka:<br />
Dalam hal ini kita mengubah dari integral dalam x dan y ke integral dalam<br />
u dan v dengan cara mengekspresikan x dan y dalam suku u dan v dan<br />
menuliskan :<br />
Sebagai ilustrasi, perhatikan koordinat polar. Di sini transformasi T<br />
dari bidang r ke bidang xy diberikan oleh:<br />
x = g(r, ) = r cos y = h(r, ) = r sin<br />
Dan geometri transformasi, T memetakan persegi panjang biasa<br />
dalam bidang r ke persegi panjang polar di bidang xy. Jacobian T adalah:<br />
Jadi diperoleh:<br />
! " #<br />
76
'<br />
$ $<br />
(<br />
&<br />
Contoh <strong>4.</strong>8 : Gunakan penggantian variabel x = u 2 -v 2 , y = 2uv untuk<br />
%<br />
menghitung integral ) , dengan R adalah daerah yang dibatasi oleh<br />
sumbu x dan parabola-parabola y 2 = 4 – 4x dan y 2 = 4 + 4x.<br />
Penyelesaian:<br />
Pertama kita perlu menghitung Jacobain.<br />
Karena itu :<br />
Contoh <strong>4.</strong>9:<br />
/ 0 -<br />
.<br />
* *<br />
* *<br />
* $ $<br />
-<br />
.<br />
0<br />
1 1<br />
$ * + 1<br />
-<br />
.<br />
.<br />
-<br />
.<br />
-<br />
+ + " #<br />
/ 0 2 3<br />
: , 5 ;<br />
* + , ,<br />
-<br />
89-<br />
5 3 , 17 . 4 6 89.<br />
Hitung integral ) < =>? @ =A? , dengan R adalah daerah trapesium<br />
dengan titik sudut (1,0),(2,0),(0,-2), dan (0,-1).<br />
89-<br />
89.<br />
*<br />
77
Penyelesaian:<br />
Jacobian T adalah<br />
-<br />
,<br />
B<br />
*<br />
B<br />
*<br />
-<br />
,<br />
B<br />
*<br />
B<br />
*<br />
# x-y=2 x=0 x-y=1<br />
* B<br />
Jadi daerah S adalah daerah trapesium dengan titik sudut (1,1), (2,2), (-2,2)<br />
dan (-1,1).<br />
Sehingga:<br />
C DE FB G G * G G H<br />
<<br />
$ $ < 8@I K B<br />
* L<br />
= -<br />
, 0 < ?<br />
=A? < 8<br />
I J J<br />
= 1<br />
5<br />
,<br />
B<br />
*<br />
B<br />
* $ 2
Contoh <strong>4.</strong>10: Hitung ) dengan R adalah daerah trapesium yang<br />
dibatasi oleh titik – titik # # M # N O<br />
,<br />
O<br />
, P Q! NO<br />
,<br />
O<br />
, P dengan<br />
transformasi<br />
* R Q! * R<br />
Penyelesaian :<br />
Untuk y = x untuk y = -x<br />
* R * R * R * R<br />
S # + #<br />
# #<br />
Untuk M untuk M<br />
* R * R M * R * R M<br />
# G G M<br />
+<br />
+ M S M<br />
O<br />
5<br />
# G G M<br />
S<br />
E E<br />
*<br />
U<br />
R<br />
R<br />
U S S B*<br />
R<br />
$ $ * R * R F B*F<br />
.<br />
O<br />
T<br />
.<br />
O<br />
5<br />
O<br />
T<br />
79
LATIHAN <strong>4.</strong>3 :<br />
O<br />
T<br />
O<br />
5<br />
$ $ +/<br />
.<br />
.<br />
O<br />
T<br />
$ VM<br />
*<br />
.<br />
B*M<br />
+ X<br />
VM<br />
*<br />
W<br />
O<br />
T<br />
O<br />
$ *+ , J5E<br />
#<br />
1. Hitung ) YZ[4\<br />
?>,=<br />
, jika R adalah daerah yang dibatasi oleh +<br />
* + M R * B * .<br />
2. Hitung<br />
jika R adalah daerah yang dibatasi oleh :<br />
# # R B .<br />
3. Gambarkan daerah integrasi berikut, kemudian selesaikan<br />
menggunakan transformasi koordinat yang sesuai.<br />
1<br />
x+<br />
2<br />
0 − x+<br />
2<br />
y<br />
x<br />
−<br />
+<br />
x<br />
y<br />
dydx<br />
+<br />
2 −x<br />
+ 4<br />
1<br />
x<br />
y<br />
x<br />
−<br />
+<br />
x<br />
y<br />
.<br />
O<br />
T<br />
#<br />
dydx .<br />
E<br />
80