Periodico di matematiche - Mathesis

Rivista quadrimestrale - Poste Italiane SpA - Sped. in Abb. Postale - D.L. 353/2003 (conv. in L. n. 46 del 27/02/2004) art. 1 comma 2 - CNS BA 

Periodico 

di matematiche 

Organo della 

MATHESIS 

Società italiana di scienze 

matematiche e fisiche 

fondata nel 1895 

Numero 1 Gen-Apr 2011 

Volume 3 Serie XI 

Anno CXXI

Organizzazione della della Mathesis Mathesis 

CONSIGLIO CONSIGLIO NAZIONALE NAZIONALE24020 

24020 Gorle Gorle (BG) (BG) 

Via P. Via Bucci P. Bucci 

tel. 349 tel. 2629318 349 2629318 

Presidente: Presidente: Emilio Emilio Ambrisi Ambrisi 

carmelita.fratus@alice.it 

Vicepresidente: Luciano Luciano Corso Corso 

Segretario: Segretario: Ferdinando Ferdinando Casolaro Casolaro 

BRESCIA BRESCIA 

Tesoriere: Tesoriere: Tiziana Tiziana Bindo Bindo 

Annalisa Annalisa Santini Santini 

Consiglieri: Consiglieri: Sergio Sergio De Nuccio, De Nuccio, 

Via Uberti, Via Uberti, 19 19 

Francesca Francesca Galasso, Galasso, Giuseppe Giuseppe 

25127 25127 Brescia Brescia 

Isernia, Isernia, Andrea Andrea Laforgia, Laforgia, 

tel. 030 tel. 3099016 030 3099016 

Antonio Antonio Maturo, Maturo, Fabio Fabio 

mathesisbs@tiscali.it 

Mercanti, Mercanti, Salvatore Salvatore Rao. Rao. 

87036 87036 Rende(CS) Rende(CS) 

tel.0984496450 tel.0984496450 

c.costabile@unical.it 

CROTONE CROTONE 

Carmine Carmine Mazzei Mazzei 

Via Venezia, Via Venezia, 99 99 

88900 88900 Crotone Crotone 

tel. 0962 tel. 26904 0962 26904 

mazzei.carmine@libero.it 

CAMERINO CAMERINO 

PRESIDENTI PRESIDENTI DELLE DELLE SEZIONI SEZIONI 

FOGGIA FOGGIA 

Carlo Carlo Toffalori Toffalori 

Carmen Carmen Talia Talia 

ANZIO ANZIO 

Dipart. Dipart. di Mat. di e Mat. Inf. e Inf. Via G. Via Matteotti, G. Matteotti, 111 111 

Alberto Alberto Trotta Trotta 

Università Università di Camerino di Camerino 71100 71100 Foggia Foggia 

Via Goja, Via 47 Goja, 47 

62032 62032 Camerino Camerino (MC) (MC) tel. 328 tel. 2015735 328 2015735 

00040 00040 Lavinio Lavinio Lido di Lido Enea di (RM) Enea (RM) tel. 0737 tel. 402513 0737 402513 

carmentalia@libero.it 

tel. 06 tel. 9864039 06 9864039 

mathesis.camerino@unicam.it 

albertotrotta@virgilio.it 

GAETA GAETA 

CAMPOBASSO 

ASCOLI ASCOLI PICENO PICENO - - 

Sergio Sergio De Nuccio De Nuccio 

SAN BENEDETTO SAN BENEDETTO DEL TRONTO DEL TRONTO 

Via IV Via Novembre, IV Novembre, 24 24 

Giovanni Giovanni Annibali Annibali 

86100 86100 Campobasso Campobasso 

Via Murri, Via Murri, 19 19 

tel. 0874 tel. 62788 0874 62788 

63039 63039 S. Benedetto S. Benedetto del Tronto del Tronto (AP) (AP) 

sedenuc@tin.it sedenuc@tin.it 

tel. 0735 tel. 583857 0735 583857 

Maria Maria Rosa Valente Rosa Valente 

Piazza Piazza della Libertà, della Libertà, 6 6 

04024 04024 Gaeta Gaeta (LT) (LT) 

tel. 0771 tel. 462601 0771 462601 

mrvalente@tiscali.it 

FIRENZE FIRENZE 

giannibali@libero.it 

Maria Maria Giuditta Giuditta Campedelli Campedelli 

CASERTA CASERTA 

Università Università di Firenze di Firenze 

AVELLINO AVELLINO 

Anna Anna Vellone Vellone 

Dip. Mat. Dip. Mat. 

Antonio Antonio Tropeano Tropeano Viale Lincoln Viale Lincoln trav. Pirandello, trav. Pirandello, 4 4 

50129 50129 Firenze Firenze 

Centro Centro Sociale Sociale Rione Rione Mazzini Mazzini 81100 81100 Caserta Caserta 

mathesis@math.unifi.it 

Rione Rione Mazzini Mazzini 

tel. 0823 tel. 324931 0823 324931 

83100 83100 Avellino Avellino 

vellone@tin.it vellone@tin.it 

GROTTAGLIE GROTTAGLIE 

mathesis_avellino@hotmail.it 

CASTELLAMMARE 

Tiziana Tiziana Bindo Bindo 

BARI BARI 

DI STABIA DI STABIA 

Via Madonna Via Madonna di Pompei, di Pompei, 22 22 

Franco Franco Nuzzi Nuzzi 

Elisa Savarese Elisa Savarese 

74023 74023 Grottaglie Grottaglie (TA) (TA) 

Via Manzoni, Via Manzoni, 24 24 

Via Salario, Via Salario, 12 12 

tiziana.bindo@gmail.com 

70122 70122 Bari Bari 

80053 80053 Castellammare Castellammare di Stabia di (Na) Stabia (Na) 

tel. 080 tel. 5214472 080 5214472 

tel. 339 tel. 6396066 339 6396066 

GIOIA GIOIA DEL COLLE DEL COLLE 

fnuzzi01@alice.it 

mathemare@tin.it 

Francesca Francesca Galasso Galasso 

Piazza Piazza XX Settembre, XX Settembre, 44 44 

BARLETTA BARLETTA 

Emilia Defente 

CATANIA 

70023 Gioia del Colle (BA) 

Emilia Defente 

CATANIA 

70023 Gioia del Colle (BA) 

Scuola Secondaria E. Fieramosca 

Giuseppe Zappalà 

tel. 080 3448581 

Scuola Secondaria E. Fieramosca 

Giuseppe Zappalà 

tel. 080 3448581 

Via Zanardelli, 3 

Via Barriera del Bosco, 12 segreteriagioia@gioiamathesis.it 

Via Zanardelli, 3 

Via Barriera del Bosco, 12 segreteriagioia@gioiamathesis.it 

70051 70051 Barletta Barletta (BT) (BT) 

95030 95030 S. Agata S. Agata li Battiati li Battiati (CT) (CT) 

tel. 0883 349454 

zappala@dmi.unict.it 

ISERNIA 

tel. 0883 349454 

zappala@dmi.unict.it 

ISERNIA 

Camillo Camillo Ciarlante Ciarlante 

bamm07800n@istruzione.it 

CHIETI CHIETI 

Via XXIV Via XXIV Maggio, Maggio, 289 289 

BENEVENTO BENEVENTO 

Giacomo Giacomo Pisani Pisani 

86100 86100 Isernia Isernia 

Mario Mario Innocente Innocente Mandrone Mandrone Via Colle Via dell’Ara, Colle dell’Ara, 92 92 tel. 333 tel. 3022571 333 3022571 

Via A. Via Cifaldi, A. Cifaldi, 2/A 2/A 

66013 66013 Chieti Chieti Scalo Scalo camcia@virgilio.it 

82100 82100 Benevento Benevento 

tel. 0871 tel. 561569 0871 561569 

tel. 338 tel. 6315130 338 6315130 

giacomo.pisani@yahoo.it 

IMPERIA IMPERIA 

almavit@libero.it 

Rita Gandolfo Rita Gandolfo 

BERGAMO BERGAMO 

Carmelita Carmelita Fratus Fratus 

Via Dante Via Dante Alighieri, Alighieri, 4/B 4/B 

COSENZA COSENZA 

Carlo Carlo Costabile Costabile 

Dipartimento Dipartimento di Matematica di Matematica 

Via Duca Via d’Aosta, Duca d’Aosta, 114 114 

18030 18030 Poggio Poggio di Sanremo di Sanremo (IM) (IM) 

gandolfo.rita@libero.it

Numero 1 Gen-Apr 2011 Volume 3 Serie XI Anno CXXI 

Rivista quadrimestrale - Poste Italiane SpA - Sped. in Abb. Postale - D.L. 353/2003 

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Periodico 

di matematiche 

Organo della MATHESIS 

Società italiana di scienze 

matematiche e fisiche 

fondata nel 1895 

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Comitato di redazione 

Direttore: Emilio Ambrisi, Mathesis c/o Dipartimento di Matematica, Via Vivaldi, 43 

81100 Caserta; e-mail: presidente@mathesisnazionale.it 

Condirettore: Antonio Maturo, Dipartimento di Scienze Sociali, Facoltà di Scienze 

Sociali, Università di Chieti-Pescara, Via dei Vestini, 31 – 66013 Chieti, e-mail: 

amaturo@unich.it 

Segretario di redazione: Giuseppe Isernia, Consiglio Nazionale Mathesis, e-mail: 

giuseppe.isernia@barletta.org 

Autorizzazioni e supporti 

Autorizzazione Tribunale di Bologna n. 266 del 29/3/1950. 

L’uso della testata PERIODICO DI MATEMATICHE è gentilmente concesso alla 

Mathesis dalla proprietaria Casa Editrice Nicola Zanichelli – Bologna. 

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Il PERIODICO DI MATEMATICHE è distribuito gratuitamente ai soci Mathesis. 

Coloro che desiderano associarsi devono rivolgersi al Presidente di una delle sezioni 

elencate sul sito www.mathesisnazionale.it 

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Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze 

Seconda Università di Napoli 

Via Vivaldi 43 - 81100 Caserta 

www.mathesisnazionale.it 

ISSN 1582-8832

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Editoriale 

Il prossimo 6 maggio a Roma si terrà il Congresso “Matematica e Tecnologie: 

esperienze europee a confronto” organizzato dalla Casio Italia in collaborazione con 

la Mathesis. 

Un congresso che mira a discutere dell’insegnamento / apprendimento con particolare 

riguardo a quanto e come esso possa giovarsi dell’uso delle tecnologie ed in 

particolare degli strumenti di calcolo. Un tema non nuovo, dibattuto da tempo, ma un 

congresso di cui c’era grande bisogno per porre a confronto esperienze diverse e i loro 

risultati in Italia e in altri Paesi d’Europa. 

Nelle finalità del Congresso non c’è alcun “se”. Chiedersi se l’uso delle macchine 

e degli strumenti di calcolo per l’apprendimento della matematica sia utile o no 

apparirebbe, nel secolo della tecnologia, del tutto pleonastico e ancor più superfluo 

apparirebbe chiederselo per lo specifico caso della matematica la cui aspirazione è 

sempre stata la meccanizzazione delle sue procedure come ci insegna la storia. Non 

mancano citazioni al riguardo; tra queste, una delle più esplicite è di Leibniz: asseriva, 

nel 1671, che non è conveniente che uomini di genio perdano il loro tempo appresso a 

calcoli che bene potrebbero affidarsi a delle macchine. E non pochi hanno osservato 

che forse Keplero sarebbe vissuto qualche anno in più se avesse potuto disporre di un 

calcolatrice come quelle di oggi, Eulero avrebbe forse evitato o limitato la sua cecità 

e Gauss avrebbe raggiunto vette ancora più elevate applicando quei procedimenti di 

calcolo che lo avevano portato, tra l’altro, a ritrovare la traiettoria del pianeta Cerere. 

E gli esempi e le citazioni potrebbero moltiplicarsi trovando in ogni periodo storico un 

riferimento adeguato e pertinente. Il problema cioè non è il vantaggio dello strumento 

di calcolo o di disegno nel fare matematica o nell’insegnare la matematica perché 

questo è nella natura stessa della matematica. Ed è un vantaggio ed un’opportunità 

che da noi, in Italia, era già ampiamente riconosciuto nei programmi d’insegnamento 

ministeriali ed ora ancor più esplicitamente è affermato nelle più moderne ed attuali 

Indicazioni Nazionali per lo sviluppo del curricolo del primo e del secondo ciclo di 

istruzione. 

Nelle nostre Indicazioni nazionali per il primo ciclo, infatti, è esplicitamente scritto 

che: “L’uso consapevole e motivato delle calcolatrici e del computer deve essere 

incoraggiato opportunamente fin dai primi anni della scuola primaria, ad esempio 

per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per esplorare i fenomeni 

del mondo dei numeri e delle forme”. E, nelle Indicazioni per i nuovi licei si legge 

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4 Periodico di matematiche 1/2011 


che “Al termine del percorso liceale lo studente padroneggia i piu comuni strumenti 

software per il calcolo, la ricerca e la comunicazione in rete, la comunicazione 

multimediale, l’acquisizione e l’organizzazione dei dati, applicandoli in una vasta 

gamma di situazioni, ma soprattutto nell’indagine scientifica, e scegliendo di volta in 

volta lo strumento piu adatto”. 

La calcolatrice e il computer sono strumenti di cui l’educazione e la formazione 

non possono fare a meno e il cui utilizzo è raccomandato dunque nei documenti ufficiali 

che regolano il nostro sistema scolastico. E anche nelle prove scritte agli esami di stato 

conclusivi del liceo scientifico l’uso della calcolatrice non è solo ammesso, anche se 

limitato a quelle non grafiche, ma è incoraggiato da specifiche richieste contenute nei 

problemi o nei quesiti della prova d’esame che negli ultimi anni sono divenute sempre 

più presenti. La limitazione in sede di esame alle sole macchine calcolatrici non 

programmabili, espressione che viene generalmente intesa come “non grafiche”, fu 

una scelta operata un paio di decenni fa ed è oggetto di discussione e pareri discordanti: 

una recente indagine effettuata dalla rivista Tuttoscuola direbbe che la “collettività” è 

favorevole ad eliminare il divieto di usare le più moderne calcolatrici grafiche mentre 

dall’indagine effettuata annualmente con il supporto tecnico della Facoltà d’Ingegneria 

della Seconda Università di Napoli attraverso il sito www.matmedia.it la risposta 

dei docenti appare a larga maggioranza negativa. 

L’opposto risultato dei sondaggi merita certamente di essere oggetto di più specifiche 

e approfondite riflessioni non trascurando però che si tratta di campioni diversi 

essendo quello dell’indagine Matmedia costituito da docenti nel periodo in cui assolvono 

al compito di commissari agli esami di stato. Non è altresì da trascurare il fatto 

che in tema di istruzione e di formazione ogni forma di “divieto” appare decisamente 

inappropriata. Il Congresso certamente affronterà anche questo aspetto e il prossimo 

fascicolo del Periodico pubblicherà ampie sintesi degli interventi e della discussione. 

Una più recente presa di posizione sull’argomento su cui vale, però, la pena di 

soffermarsi è di questi giorni e proviene dall’Invalsi — l’Istituto Nazionale per la valutazione 

del sistema dell’istruzione — che quest’anno per la prima volta somministrerà 

le sue prove agli studenti del secondo anno della scuola secondaria superiore, quindi 

dei licei, degli istituti tecnici e degli istituti professionali. La finalità della somministrazione 

non è un esame, non serve a promuovere o bocciare, nè gli studenti, nè le 

scuole e i docenti, ma serve per avere informazioni circa gli apprendimenti realizzati 

con riferimento agli ordinamenti vigenti, dunque a ciò che è prescritto dalle norme che 

si insegni. Che cosa ha fatto l’Invalsi! Ha fornito la lista degli strumenti consentiti per 

lo svolgimento della prova di matematica. La lista prevede: il Righello, la Squadra, il 

Compasso, il Goniometro, la Calcolatrice intendendo qualsiasi tipo di calcolatrice 

ma con la condizione, alquanto inutile, in verità, che essa NON sia quella dei telefoni 

cellulari e che NON sia collegabile né alla rete internet né a qualsiasi altro strumento 

(ad esempio, tramite bluetooth, wireless, ecc.). L’Invalsi ha inteso precisare altresì 

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EditorialE 

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Editoriale 5 

che righello e calcolatrice sono fortemente consigliati per un adeguato svolgimento 

della prova. 

Una tale posizione, pur comprensibile in qualche sua remota motivazione, ha 

ulteriormente ravvivato il già vivace dibattito sulla funzione e il ruolo della valutazione 

operata dall’Invalsi perché investe chiaramente aspetti pedagogici e didattici che 

appartengono alla sfera di competenza dei docenti. Non pochi insegnanti dei primi 

bienni della scuola superiore sono rimasti disorientati: nel loro insegnamento non 

hanno mai fatto ricorso a tali strumenti. Chiedono il perché di una tale decisione e se, 

in particolare, per il giorno della prova le famiglie debbano provvedere a comprare 

per i loro figli il set completo degli strumenti consentiti o, almeno i due fortemente 

consigliati. E la calcolatrice, sarà conveniente acquistarne una più evoluta? Sarà 

veramente necessaria per affrontare adeguatamente queste prove Invalsi? E perché 

poi? Si tratta di una matematica diversa? Ci sono certamente ragioni che ci fanno 

condividere la scelta operata dall’Invalsi ma ce ne sono certamente altre che la fanno 

apparire, se non altro, esorbitare da quello che è il compito dell’Istituto. Dal punto di 

vista pedagogico si potrebbe dire che nella scelta Invalsi c’è una impostazione alla 

Rousseau (ad esempio: disegnare figure con accuratezza e misurare le grandezze con 

altrettanta accuratezza è fondamentale per l’apprendimento della geometria) mentre 

la situazione molto più generale nella quale si trova l’insegnamento nelle scuole del 

primo biennio superiore è di considerare trascurabile ciò che è ottenibile con gli 

strumenti (ad esempio: la geometria come arte di ragionare correttamente su figure 

sbagliate. Non c’è bisogno di disegnare segmenti e cerchi con righello e compasso, 

sono gli occhi della mente che devono vederli tali). Nell’una e nell’altra, come spesso 

accade per le scelte didattiche e pedagogiche, c’è qualcosa che si perde e qualcosa 

che si guadagna. Questo è talmente risaputo da far apparire effettivamente discutibile 

questa tendenza dell’Invalsi a volersi porre in una dimensione di convinto “orientatore” 

pedagogico e assumere il ruolo di chi dice: la matematica è questa e si insegna così! E 

poi in un momento abbastanza delicato che non è solo della realizzazione della prima 

esperienza di sondare gli apprendimenti realizzati a conclusione del primo biennio, 

ma anche di passaggio ad un nuovo ordinamento dell’istruzione secondaria superiore. 

Tutto questo poi con una “governance” ministeriale abbastanza debole, vistosamente 

mancante di dirigenti tecnici, costituita per lo più da esperti esterni o già in quiescenza! 

Un passaggio quello sancito dal “riordino” che, forse proprio per questa debolezza 

del quadro generale di riferimento, non è stato ancora perfettamente compreso e che 

imporrebbe un altro dibattito. E cioè che al centro della riflessione ci sia il che cosa si 

vuole valutare. In definitiva, quali siano i traguardi dell’apprendimento e quali siano le 

competenze matematiche che si vuole che gli studenti posseggano a livello intermedio 

e a conclusione del loro percorso di studi. Il grande tema cioè affrontato con la stesura 

delle Indicazioni Nazionali, un lavoro che si è concluso solo in parte perchè ancora 

in corso per il secondo biennio e quinto anno degli istituti tecnici e professionali. La



funzione delle Indicazioni Nazionali cioè è proprio quella di indicare alle scuole e ai 

docenti le mete dell’azione didattica e allo stesso tempo di costituire il riferimento per 

l’Invalsi per la sua azione di monitoraggio. Compreso questo, apparirà certamente più 

chiaro a chiunque il compito che deve svolgere. 

L’Amministrazione Centrale ha assolto al suo compito di definizione delle mete 

dell’azione didattica attraverso il D.M. 139/2007 per l’obbligo d’istruzione e successivamente 

attraverso le indicazioni per i licei e le linee guida per gli istituti tecnici e 

professionali (ancora da completare come già si è detto). Il compito delle scuole e 

dei docenti è quello di raggiungerle nell’esercizio della loro autonomia organizzativa 

e didattica, ovvero con la più ampia libertà di scelta di itinerari, metodi, strumenti e 

tempi. All’Invalsi, infine, spetterà di pensare prove (queste sì “adeguate”) e somministrarle 

per informare il sistema circa il livello di raggiungimento di quelle mete (e non 

altre, ovviamente). In questa ripartizione dei compiti, la sofferenza maggiore è dei 

docenti e delle scuole perché non possono svolgerlo se quelle mete, fissate a livello 

centrale e per tutti, non sono chiare e comprensibili. Se il “che cosa” è importante, se 

i risultati di apprendimento attesi per la matematica (l’insieme di conoscenze, abilità e 

competenze) non emergono in modo esatto dalla lettura di queste Indicazioni come 

fanno le scuole ad operare perchè gli studenti li acquisiscano? E, se è così, come fa 

l’Invalsi ad accertarne l’acquisizione. E forse è questa la realtà: sono state prodotte 

“Indicazioni Nazionali” che si presentano con nomi diversi, pensate in modo diverso, 

scritte in modo diverso e scritte male, con poca accuratezza e tante contraddizioni! 

Ecco dunque la tendenza, come per l’Invalsi, a fare altre cose e non quello che è il 

compito assegnato. 

La Mathesis come è noto dedicherà al tema delle Indicazioni Nazionali il prossimo 

suo Congresso di Ottobre 2011 a Caserta e il Periodico continuerà la sua azione di 

stimolo alla riflessione più attenta e competente ponendosi come “una palestra per tutti 

i colleghi, per tutte le idee, in amichevole anche se eventualmente vivace dibattito”. 

E’ l’augurio che formulava Bruno de Finetti nell’esposizione del suo programma di 

lavoro da Presidente e direttore del Periodico. Un programma che risale a quant’anni 

fa e che de Finetti divulgò in un ciclostilato, autentico numero “zero” della nuova serie 

del Periodico. L’intero ciclostilato, che de Finetti organizzò tutto da solo e realizzò con 

l’aiuto di Bruno Rizzi e della sig.ra Rosanna Gramazio, è riprodotto anastaticamente 

in appendice al presente fascicolo perché il lettore se ne possa giovare. 

Emilio Ambrisi 

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Nessuna liturgia nell’insegnamento della Matematica 

Andrea Laforgia 

Abstract: We formulate some remarks on the teaching of mathematics in Italian secondary and high 

schools. 

In una sua Nota del 1974, divenuta ormai classica e dall’eloquente titolo Contro 

la Matematica per Deficienti, Bruno de Finetti offriva al lettore alcune riflessioni sulla 

deprecabile condizione dell’insegnamento della matematica nella scuola italiana di 

quegli anni. Nel suo lavoro de Finetti osservava, in particolare, che lo stato complessivo 

della scuola faceva ritenere che lo scadentissimo livello in cui l’insegnamento della 

matematica si collocava, non aveva ancora raggiunto il suo estremo declino. “Pur 

rifuggendo da giudizi precisi”, scrive de Finetti, “ritengo tuttavia di dover convenire 

che nella prassi scolastica, le tendenze al peggio sembrano destinate sistematicamente 

ad aver presa con maggiore forza”. 

Il matematico lamentava, in particolare, che il nobile capitolo della Geometria 

algebrica che ha visto e ancor oggi vede matematici di tutto il mondo impegnarsi 

in studi e ricerche d’avanguardia, genera, nell’insegnamento, un “sottoprodotto”: lo 

studio delle curve algebriche, le stereotipate curve da concorso a molti note appunto 

come “curve da concorso” le quali si disegnano dopo avvilenti ricerche di nodi, 

tacnodi, . . . . Oggi possiamo dire che, per fortuna, le curve algebriche non sono più 

oggetto delle tematiche concorsuali. 

“A sua volta” scrive ancora de Finetti, “questo sottoprodotto genera un sottoprodotto” 

(dunque un sottoprodotto di un sottoprodotto), che porta a studiare delle 

equazioni in cui un parametro adombra la seconda variabile dell’equazione. Si tratta 

di problemi la cui soluzione richiede soltanto inutili e ripetitive “discussioni” di equazioni 

di secondo grado da eseguire bovinamente: un esempio di come l’insegnamento 

possa diventare una caricatura della ricerca. 

La situazione attuale non è diversa e le caricature della ricerca sono tante. Sebbene 

le curve da concorso siano state (speriamo definitivamente) accantonate e sebbene 

Tartenville sia stato rottamato, resistono ancora sottoprodotti che altro non sono che 

una ingenua e spesso forviante simulazione (caricature appunto) di temi centrali della 

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matematica che hanno caratterizzato e caratterizzano ancora rilevanti argomenti della 

ricerca scientifica. Uno dei temi più nobili dell’Analisi classica è rappresentato dalle 

Funzioni speciali: strumento essenziale e insostituibile che offre all’Ingegneria e alla 

Fisica, soluzioni di problemi spesso assai difficili e che da queste discipline riceve 

significativi impulsi per nuovi risultati e per lo sviluppo di nuove teorie. 

Ebbene le Funzioni speciali, il cui studio richiede la conoscenza e l’applicazione 

di sofisticati risultati e metodi dell’Analisi asintotica, delle equazioni differenziali 

ordinarie e alle derivate parziali, delle equazioni integrali e di tanti altri settori 

dell’Analisi classica, hanno generato anch’esse un sottoprodotto: lo studio delle funzioni 

elementari che spesso angoscia inutilmente, senza cioè alcun arricchimento 

concettuale, giovani che si preparano alla prova scritta di matematica dell’esame di 

stato. Il calcolo del dominio, il comportamento agli estremi, la ricerca di eventuali 

massimi, minimi e flessi, asintoti, . . . conferiscono a questo argomento un carattere 

inequivocabilmente liturgico. Lo studente viene addestrato a calcolare dapprima il 

dominio della funzione in oggetto, quindi a studiare il comportamento agli estremi, . . . , 

senza mai una variazione del metodo, che va eseguito senza offrire alcuna occasione 

di riflessione personale: come la recita del rosario. E ciò accade nonostante che in 

quasi quarant’anni trascorsi dalla pubblicazione dell’articolo di de Finetti si siano 

moltiplicate le occasioni per una riqualificazione dell’insegnamento della matematica. 

In questi quarant’anni si sono sviluppati in maniera impetuosa, settori dell’Analisi 

numerica, del Calcolo delle probabilità, della Ricerca operativa, della Statistica, . . . ; 

tutti temi centrali della matematica che hanno offerto e offrono ancora lo spunto per 

una nuova più efficace e più formativa didattica della matematica. Per non parlare 

dell’importanza di familiarizzare lo studente all’uso delle disuguaglianze, (oggi sono 

posti al centro dell’attività didattica soltanto i risultati “esatti”) argomento da noi 

trattato in modo puntuale e sistematico negli ultimi trent’anni e che non ha ancora 

trovato lo spazio che merita nei programmi che il docente sviluppa in classe. 

Ancora una volta condanniamo (chi scrive lo ha già fatto nelle sedi ministeriali 

preposte e nella commissione ministeriale per la prova scritta di matematica all’esame 

di stato) quelle forme impersonali e tuttora diffusissime e prevalenti di insegnamento 

consistenti nella fredda esposizione di “formule esatte”, modelli di trasformazione, 

tecniche risolutive, presentate in classe secondo lo schema spiego-interrogo-valuto. La 

“riforma” avrebbe dovuto almeno incoraggiare uno stile meno informativo, più propositivo, 

aperto e confidenziale in cui trovino posto le osservazioni, l’intuizione, l’ipotesi, 

le congetture, l’errore, la correzione e l’autocorrezione, le valutazioni statistiche e 

probabilistiche, la discussione, la deduzione, la formalizzazione, la generalizzazione, 

i calcoli approssimati, la formulazione di nuovi problemi, le applicazioni, l’uso 

intelligente della calcolatrice e del computer, . . . Se l’insegnamento della matematica 

subisse questa svolta, lo studente sarebbe motivato allo studio della matematica e 

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andrEa laforgia 

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Andrea Laforgia 9 

diventerebbe egli stesso il vero protagonista e artefice della lezione che il docente deve 

condurre in classe in modo saggio e sapiente. Già, ma quanta fatica costa far lezione 

così! E chi me lo fa fare! Meglio spiegare, interrogare e valutare. 

Riferimenti bibliografici 

DE FINETTI B. (1974), “Contro la Matematica per Deficienti”, Periodico di 

Matematiche. 

LAFORGIA A. (2007), “In cattedra con la matita spuntata”, Sapere, Dedalo, numero 

5, 23–27. 

✉ANDREA LAFORGIA 

Dipartimento di Matematica 

Università di Roma3 

Largo San Leonardo Murialdo, 1 

00146 ROMA. 

laforgia@mat.uniroma3.it



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Pedagogia della lumaca o. . . pedagogia del gambero? 

. . . La nostra amministrazione scolastica si è dimostrata estremamente sollecita 

a recepire quanto in alcune scuole avanzate dei Paesi ad alto sviluppo si viene realizzando, 

anche con un deciso sostegno offerto dalla stessa Unione europea. Alludo 

alla svolta che potremmo chiamare, anche con una certa enfasi, epocale, quella che ci 

invita a far sì che i sistemi di istruzione e di formazione non si limitino più a valutare 

le conoscenze terminali raggiunte dagli alunni, ma, facendo un deciso passo in avanti, 

a certificare addirittura le competenze da loro acquisite. 

Che significato assume una proposta del genere? Andiamo ai fatti. 

. . . che cosa dovrebbe fare la nostra amministrazione? Semplicemente regolarsi 

di conseguenza e avviare un riordino del sistema di istruzione . . . : un riordino in cui, 

in primo luogo, siano indicate con chiarezza le competenze terminali da accertare e 

certificare e, in secondo luogo, si disegni una strategia di insegnamento/apprendimento 

che sia congruente con finalità così impegnative. 

In effetti, però, come ha operato la nostra amministrazione? Per quanto riguarda le 

competenze terminali, si è limitata a rabberciare quelle di fine obbligo accompagnate 

da un modello di certificazione assai discutibile; per quanto riguarda le competenze 

terminali di quinquennio, le Indicazioni per i licei glissano, le Linee guida per i tecnici 

e i professionali sono ancora in elaborazione. . . . 

Roma, 25 marzo 2011 

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Maurizio Tiriticco 

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Probabilità e paradossi 

Antonino Giambò 

1. Nell’esame di Stato 2010, scientifico sperimentale, sessione ordinaria, è stato 

assegnato un quesito di probabilità (il N° 7) che ha suscitato ampie discussioni fra 

gli addetti ai lavori. Sembra addirittura che alcuni commissari d’esame lo abbiano 

trovato ambiguo, alcuni hanno proposto una soluzione del quesito altri una soluzione 

diversa. Anche sui siti web che si sono occupati della vicenda sono comparse soluzioni 

contrastanti. Insomma una gran confusione. 

In questo articolo mi propongo non solo di mostrare che il quesito dell’esame 

2010 non fosse per nulla ambiguo ed avesse una ed una sola soluzione, ma di illustrare 

anche due procedimenti per risolverlo: uno elementare, oserei dire da conti della serva, 

l’altro complicato. 

Siccome poi un quesito dello stesso tenore era stato assegnato in una precedente 

edizione dell’esame e precisamente nel 2005 (quesito N° 8) farò pure vedere come 

questo quesito sia dello stesso genere di quell’altro. Occorre precisare che quella volta, 

nel 2005, non ci furono particolari commenti o rimostranze, o perlomeno non furono 

segnalate, e tutto passò sotto silenzio, quasi certamente perché il quesito fu assegnato 

nella sessione suppletiva e quindi interessò un numero sparuto di candidati. 

Mostrerò a seguire qualche altro quesito riconducibile allo stesso modello. 

Allargherò poi il campo per un cenno alle situazioni paradossali in questioni di 

probabilità. 

Mi soffermerò infine su una curiosità storica per sottolineare come anche studiosi 

di valore abbiano preso cantonate su argomenti similari. 

2. Incominciamo a riportare il testo del quesito del 2010: 

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una 

cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. 

La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. 

Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. 

Si chiede: qual è la probabilità che anche l’altro figlio della sig.ra Anna 

sia femmina? Si argomenti la risposta. 

11 

11



Il quesito, sfrondato dagli aspetti romanzeschi, è sostanzialmente il seguente: 

Una signora ha due figli, almeno uno dei quali è femmina. Qual è la 

probabilità che anche l’altro lo sia? 

Il ragionamento istintivo, irrazionale, porta a ragionare nel seguente modo: “Un 

figlio è certamente femmina, l’altro o è maschio o è femmina. Due casi possibili ed uno 

solo favorevole. Quindi la probabilità è 1/2”. Ed in realtà molti studenti e purtroppo 

anche dei docenti hanno ragionato così. Ed hanno clamorosamente sbagliato. 

Risolviamo il quesito procedendo come si fa con i conti della serva. I casi possibili, 

a fronte di due figli, sono i seguenti, dove M sta per maschio ed F sta per femmina e 

dove quello scritto per primo è il figlio maggiore: 

MM, MF, FM, FF. 

La prima possibilità è da escludere dal momento che sappiamo che una figlia è 

femmina. Restano in piedi 3 possibilità, in 2 delle quali il secondo figlio è maschio ed 

in uno è femmina. Tre casi possibili, un caso favorevole. La probabilità è 1/3. 

Ma questo ragionamento, che pure è semplice ed elementare, non convince molti. 

La spiegazione che danno alcuni è la seguente: “MF ed FM non sono due casi diversi 

ma lo stesso caso. Quindi 2 casi possibili, uno solo favorevole. La probabilità è 1/2”. 

Si potrebbe tentare di convincerli argomentando che le coppie che si considerano 

sono coppie ordinate e quindi i casi MF ed FM sono differenti, ma voglio provare 

a fare un ragionamento completamente diverso, anche se più complicato. Un 

ragionamento che chiama in causa la formula di Bayes. 

Detto per curiosità, questa formula prende il nome dallo studioso che la scoprì, 

il reverendo inglese Thomas Bayes (1702–1761) e fu pubblicata per la prima volta 

nel 1763, dopo la morte del suo autore. Essa però divenne celebre soltanto dopo che 

il francese Pierre Simon de Laplace (1749–1827) la rispolverò includendola nel suo 

celebre trattato Théorie analytique des probabilitès (1812), divenuto poi un classico 

del calcolo delle probabilità. 

Incominciamo a costruire un grafo che sintetizzi la situazione (Fig. 1). 

Calcoliamo anzitutto la probabilità che almeno una delle due figlie sia femmina. 

Si ha: 

p(almeno una femmina) = p(M) p(F) + p(F) p(M) + p(F) p(F) = 3/4. 

Pertanto, in virtù della formula di Bayes, la probabilità che anche l’altra figlia sia 

femmina, sapendo che lo è almeno uno dei figli, è la seguente: 

p(altra F|almeno una F) = 

p(almeno una F|altra F) p(altra F) 

p(almeno una F) 

1 

= 2 

3 

4 

· 1 

2 

= 1 

3 · 

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antonino giaMBÒ 

13 

Antonino Giambò 13 

Fig. 1 

Esattamente come con l’altro procedimento. 

3. Ma allora, qual è la ragione di fondo per la quale molti sostengono, anche se 

istintivamente e senza riflettere, che la probabilità cercata sia 1/2? 

Io ritengo che essi in realtà pensino inconsciamente ad un quesito diverso, precisamente 

il seguente: 

Una signora ha due figli, il maggiore (o equivalentemente: il minore) dei 

quali è femmina. Qual è la probabilità che anche l’altra lo sia? 

Adesso i casi possibili sono realmente 2: FM e FF, mentre di favorevoli ce n’è 

uno solo. Quindi la probabilità è effettivamente 1/2. 

Ora, se si mettono a confronto il quesito assegnato nell’esame con quello considerato 

poco sopra, ci si rende facilmente conto che in quest’ultimo c’è un’informazione 

in più rispetto al primo (la figlia femmina è la maggiore) e perciò è comprensibile che 

anche la probabilità sia maggiore. 

4. Andiamo ad occuparci adesso del quesito assegnato nell’esame del 2005, 

incominciando a riportarne il testo: 

In un’urna ci sono due palline bianche, in una seconda urna ci sono 

due palline nere e in una terza urna ci sono una pallina bianca e una 

pallina nera. Scegli a caso un’urna ed estrai, sempre a caso, una delle 

due palline in essa contenute: è bianca. Saresti disposto a scommettere 

alla pari che la pallina rimasta nell’urna che hai scelto sia essa pure 

bianca? 

Scommettere alla pari significa attribuire probabilità 1/2 all’evento “la pallina 

rimasta nell’urna è bianca”. 

In realtà molti pensano che effettivamente questa probabilità sia 1/2. Il loro 

pseudo-ragionamento: “Se ho estratto una pallina bianca devo escludere che l’urna sia 

quella con le due palline nere, per cui i casi possibili sono due: urna con palline di



colore diverso ed urna con palline bianche. In un solo caso, di questi due, la pallina 

rimasta nell’urna è bianca. E perciò la probabilità è 1/2” Di nuovo si tratta di un 

ragionamento istintivo e non razionale. Andiamo a vedere come stanno realmente le 

cose. 

Ricorriamo alla formula di Bayes e per questo visualizziamo la situazione con un 

grafo (Fig. 2), indicando con X l’urna con le palline bianche, con Y quella contenente 

palline di colore diverso e con Z l’urna con le palline nere. 

Fig. 2 

Osserviamo anzitutto che la probabilità di estrarre pallina bianca, dopo aver scelto 

a caso una delle tre urne, è: 

p(B)=p(X) · p(B)+p(Y ) · p(B)+p(Z) · p(B)= 1 1 1 1 1 

· 1 + · + · 0 = 

3 3 2 3 2 · 

Pertanto, la probabilità che la pallina rimasta nell’urna estratta a caso sia bianca, 

sapendo che è stata estratta una pallina bianca, è, per il teorema di Bayes: 

p(X |B)= p(B|X)p(X) 

p(B) 

= 

1 · 1 

3 

= 

1 

2 

2 

3 · 

Conviene certamente scommettere alla pari che la pallina rimasta nell’urna sia 

bianca. Ci sono infatti più probabilità di vincere che di perdere. 

Anche adesso, come nell’altro quesito, il ricorso alla formula di Bayes è esagerato. 

Il problema si può risolvere, infatti, con considerazioni elementari. Bisogna solo capire 

che, una volta estratta una pallina bianca da un’urna scelta a caso, la pallina rimasta 

nell’urna è bianca solo se proviene dall’urna X, ma può esserlo in due modi: pallina 

B1 o pallina B2, dal momento che nell’urna vi sono due palline bianche. Ed è proprio 

questa situazione che chi risolve istintivamente non tiene nella debita considerazione. 

Ora, una volta scelta a caso un’urna e ancora a caso una delle due palline in essa 

contenute, se si constata che è bianca, i casi possibili sono i tre seguenti: 

a) la pallina proviene dall’urna X: quella che rimane è B1 (se è stata estratta B2) o 

è B2 (se è stata estratta B1); 

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15 


b) la pallina proviene dall’urna Y : quella che rimane è N. 

Solo nel caso in cui la pallina proviene dall’urna X il suo colore è ancora bianco: 

ma sono due le possibilità favorevoli. Pertanto la probabilità che, estratta pallina 

bianca, quella rimasta nell’urna sia essa pure bianca è: p = 2/3. 

Come sopra, ma in modo più semplice e senza scomodare il teorema di Bayes. 

5. A scanso di equivoci, vorrei chiarire che non sto criticando l’uso della formula 

di Bayes, ma sto dicendo semplicemente che in qualche circostanza se ne può fare a 

meno. In altri casi invece, certamente più importanti e significativi di quelli presi in 

esame, essa è indispensabile e decisiva. 

Ecco comunque alcuni quesiti riconducibili allo stesso modello (o ad un modello 

analogo) dei due precedenti. Come quelli si possono risolvere in modo semplice e in 

modo complicato, ma il risultato non cambia. 

a) Lancio due monete, le cui facce hanno la stessa probabilità di uscire, e vedo 

una testa. Qual è la probabilità che ci sia una seconda testa? 

b) Il sig. Rossi ha tre figli, uno dei quali è maschio. Scegliendo a caso fra gli altri 

due, qual è la probabilità che sia maschio? 

c) In un’urna ci sono tre palline, di cui due bianche ed una nera. Viene estratta 

una pallina e si constata che è bianca. Senza rimetterla nell’urna si estrae una 

seconda pallina. Qual è la probabilità che anche questa sia bianca? 

d) Durante una festa paesana Tizio, con un fantasmagorico cappello in testa, 

sta facendo questo gioco. Fa vedere tre cartoncini uguali in tutto fuorché nel 

colore: uno è rosso su entrambe le facce, uno è nero su entrambe le facce, uno 

è rosso su una faccia e nero sull’altra. Infila i tre cartoncini in una busta e ne fa 

estrarre uno a caso da uno spettatore in modo però che del cartoncino estratto 

si veda solo una faccia. Che questa sia rossa o che, indifferentemente, sia nera 

scommette alla pari che l’altra faccia è dello stesso colore. Pensi che il gioco 

sia equo? 

6. Alcuni, come ho segnalato all’inizio, hanno ritenuto “ambiguo” il quesito 

assegnato nell’esame 2010. Ho fatto vedere chiaramente che l’ambiguità non esiste 

proprio ed il quesito è chiarissimo. Forse la conclusione è paradossale, questo sì, ma 

il paradosso è spesso presente nei quesiti di probabilità. 

Un caso fra tanti è costituito dal celebre problema del compleanno, proposto per 

la prima volta nel 1939 dallo scienziato austriaco Richard von Mises (1883–1953). 

Risolvendolo si scopre, com’è noto ai più, un fatto apparentemente sbalorditivo: in 

un gruppo casuale di appena 23 persone ci sono più probabilità di trovarne due che 

festeggiano lo stesso compleanno piuttosto che di non trovarle. In effetti la probabilità



di trovarle è p ≈ 50,73%. Con un gruppo di 50 persone si ha una probabilità all’incirca 

del 97,04%. 

Perché il risultato suscita sorpresa? Suggerisco un’ipotesi, ma non è detto che sia 

quella giusta. Enunciamo prima di tutto il problema: 

Qual è la probabilità di trovare, in un gruppo casuale di n persone, due 

persone che festeggiano il compleanno nello stesso giorno? 

Indicata con p(n) tale probabilità, si dimostra che: 

 

p(n)=1 − 1 − 1 

 

1 − 

365 

2 

 

··· 1 − 

365 

Questa funzione è rappresentata in figura 3. 

Fig. 3 

 

n − 1 

· 

365 

Ebbene io ritengo che in realtà molti, anche se inconsciamente, non pensino a 

questo problema, ma abbiano in mente quest’altro, che è completamente diverso dal 

precedente: 

Qual è la probabilità che, scelta a caso una persona in un gruppo casuale 

di n persone, ve ne sia almeno un’altra che festeggi lo stesso compleanno? 

Esso è risolto dalla seguente formula: 

p(n)=1 − 

n−1 1364 

365 

la cui rappresentazione grafica è riprodotta in figura 4. 

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17 


Fig. 4 

Ora, effettivamente, affinché la probabilità di trovare una seconda persona che 

festeggi lo stesso compleanno di un’altra scelta a caso nel gruppo sia maggiore di 

quella di non trovarla, richiede che nel gruppo stesso vi siano almeno 254 persone. 

Con questo numero la probabilità di trovare la persona in questione è infatti: p ≈ 

50,05%. Mentre per avere una probabilità del 97% occorrono almeno 1280 persone. 

E questa situazione evidentemente non provoca alcuno sconcerto. 

7. Per concludere consiglio a coloro che hanno preso delle cantonate nella risoluzione 

del quesito dell’esame 2010 di non deprimersi. Primo perché in questioni 

del genere l’errore è dietro l’angolo. Secondo perché si trovano in compagnia di 

personaggi celebri. Ne cito due fra tanti, Gilles Personne de Roberval (1602–1675) e 

Jean Baptiste Le Rond d’Alembert (1717–1783), poiché i loro errori sono simili. 

Vado a descrivere l’errore del primo. Di fronte al problema della divisione delle 

parti, quando mancano due partite per chiudere la competizione, la situazione è la 

seguente: al giocatore A per chiudere manca di vincere una partita, al giocatore B ne 

mancano due. Roberval ragiona in questo modo: 

- A vince la penultima partita ed è inutile giocare l’ultima: il gioco è chiuso con 

la vittoria finale di A; 

- B vince la penultima partita ed A vince l’ultima: il gioco si chiude con la vittoria 

di A; 

- B vince le ultime due partite: il gioco si chiude con la vittoria di B. 

Tre sono i casi possibili: in due vince A ed in uno vince B. La probabilità di vittoria 

finale di A è2/3, quella di B è1/3. 

Oggi, e per la verità da molto tempo, sappiamo che questo modo di ragionare è sbagliato 

e che il modo corretto, descritto da Pierre de Fermat (1601–1665), presuppone 

di considerare i seguenti esiti possibili nelle due ultime partite:



vince A - vince A; vince A - vince B; vince B - vince A; vince B - vinceB. 

Quattro casi possibili: in tre A si aggiudica la vittoria finale, in uno se l’aggiudica 

B. Ragion per cui: p(A) = 3/4; p(B) = 1/4. 

L’errore di d’Alembert riguarda il lancio di una moneta per due volte. Egli sostiene 

che, nei due lanci, l’uscita di almeno una croce abbia probabilità 2/3. Egli infatti 

considera come esaustivi i seguenti casi: 

- esce croce nel primo lancio (inutile continuare); 

- esce prima testa e poi croce; 

- escono due teste. 

Che si tratti di un ragionamento sbagliato e che la probabilità di almeno una croce 

sia 3/4 lo sanno ormai anche i ragazzini di scuola media (pardon: scuola secondaria 

di 1° grado) ed è superfluo soffermarsi sulla risoluzione. 

Pensierino finale. 

La teoria delle probabilità è un campo della matematica insolitamente ricco di 

paradossi; verità che appaiono così in contrasto con il senso comune da essere 

difficilmente credibili anche dopo che ci si è trovati di fronte alla loro dimostrazione. 

✉ANTONINO GIAMBÒ 

Ispettore tecnico MIUR in pensione 

Macerata. 

Martin Gardner, (1997), Enigmi e giochi matematici, 

Milano, BUR Supersaggi, pag. 40. 

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Spigolando tra i quesiti assegnati agli esami di Stato 

la distanza minima di un punto da una parabola 

Rocco Brunetti 

Sunto: Prendendo spunto da un quesito assegnato all’esame di Stato, si studia la variazione della distanza 

di una generica parabola da un punto qualsiasi dello stesso piano. 

Abstract: Starting from one of the questions at the maturità, we discuss the measure of the distance 

between a generic parabola and a point in the parabola’s plane. 

1 Un quesito assegnato agli esami di maturità 

Nella prova di matematica della sessione suppletiva 2010, per i corsi sperimentali 

del liceo scientifico, all’interno del questionario, è stato assegnato il seguente quesito 

(quesito n. 6): 

Si determini il punto della parabola 4y = x 2 più vicino al punto di coordinate 

(6,−3). 

La strada più immediata (perché utilizza i concetti di analisi dell’ultimo anno) per 

i candidati consiste nel determinare il minimo della funzione che descrive la distanza 

del punto di cui sono assegnate le coordinate dal generico punto della parabola. 

Osservato che la nostra parabola ha il vertice nell’origine degli assi, per asse di 

simmetria l’asse delle ordinate e rivolge la concavità verso l’alto per cui è situata nel 

semipiano delle ordinate non negative, si deduce che il punto richiesto appartiene 

all’arco di parabola situato nel primo quadrante. 

 

Posto P(6,−3) e indicato con Q x, x2 

 

il generico punto di detto arco della parabola, 

4 

possiamo limitarci a considerare il caso di x > 0. La distanza tra i due punti è data 

dalla funzione 

 

d(x) = (x − 6) 2 

x2 + 

4 

2 

+ 3 

= 1 

x 

4 

4 + 40x2 − 192x + 720, 

19 

19


20 Periodico di matematiche ??/201? 

da cui 

d ′ (x) = 

x 3 + 20x − 48 

2 √ x 4 + 40x 2 − 192x + 720 = (x − 2)(x2 + 2x + 24) 

2 √ x 4 + 40x 2 − 192x + 720 · 

Avendosi d ′ (x) ≥ 0 per x ≥ 2, la distanza PQ è minima per x = 2 e Q ha quindi 

coordinate (2,1). 

Il punto Q può essere anche determinato in modo diverso. 

Supposto Q il punto del nostro arco di parabola più vicino al punto P, osserviamo che 

la tangente in Q alla parabola lascia alla sua sinistra tutti gli altri punti della parabola 

e che la circonferenza di centro P e raggio PQ, avendo in comune con la parabola 

soltanto Q, ha in Q la stessa tangente. Osservato che PQ è perpendicolare a detta 

tangente, possiamo affermare che Q è il punto in cui la normale (perpendicolare alla 

tangente) alla parabola passa per P. 

Considerato che la tangente in Q non è parallela a nessuno degli assi cartesiani, 

possiamo ragionare sui coefficienti angolari e affermare che il punto Q è il punto 

dell’arco di parabola situato nel primo quadrante per il quale, con ovvio significato 

dei simboli, risulta m(tQ) · m(PQ) = −1. 

Deve quindi risultare 

x 

2 · 

x2 + 3 

4 

x − 6 

= −1 e quindi 

 

x =6 

x 3 + 20x − 48 = 0 

Si ottiene così, in maniera più semplice, il punto (2,1). 

Sia nell’uno che nell’altro modo, la soluzione del quesito non presenta particolari 

difficoltà, per cui il quesito risulta ben posto all’interno del questionario. Occorre 

tuttavia precisare che l’assenza di difficoltà è legata alla particolare parabola data e 

alla particolarità delle coordinate del punto assegnato. Nel caso generale l’equazione 

di terzo grado di cui l’ascissa di Q è soluzione può non avere radici razionali per cui 

la sua risoluzione non è alla portata dei candidati, non conoscendo essi la formula 

di Cardano per risolvere l’equazione generale di terzo grado. In tal caso tuttavia le 

soluzioni reali dell’equazione possono essere contate ed approssimate. 

Il problema può essere generalizzato nella determinazione del punto di una generica 

parabola avente distanza minima da un generico punto P(α,β) non appartenente 

alla parabola stessa o, ancora, nella determinazione del punto di una generica conica 

avente distanza minima da un generico punto P(α,β) non appartenente ad essa. Qui 

mi limito a trattare il caso della parabola. 

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rocco BrunEtti 

21 

Rocco Brunetti 21 

2 Caso generale con parabola di equazione y = ax 2 

Possiamo supporre a > 0 dato che una parabola qualsiasi, con la scelta di un 

sistema di riferimento cartesiano ortogonale opportuno, può sempre rappresentarsi 

con un equazione del tipo y = ax 2 con a > 0. Consideriamo separatamente il caso del 

punto P situato sull’asse delle y dal caso di P non appartenente all’asse delle ordinate. 

In tale ultimo caso limiteremo l’analisi a P appartenente al semipiano delle ascisse 

positive data la simmetria della parabola rispetto all’asse delle ordinate. 

2.1 Minima distanza da un punto P appartenente all’asse delle y 

Se P appartiene al semiasse negativo, il punto della parabola più vicino a P è 

evidentemente il vertice O né vi sono altri punti della parabola per i quali la distanza 

da P risulti stazionaria. 

Sia ora P(0,β) con β > 0 un punto del semiasse positivo delle ordinate. Ricordiamo 

che la curvatura K(x) di una curva piana di equazione y = y(x) è data dalla 

formula 

K(x) = 

|y ′′ (x)| 

 

1 + [y ′ (x)] 2 3 2 

· (2.1) 

Ricordiamo anche che il reciproco di K(x) è il raggio di curvatura della nostra 

curva piana nel suo punto di ascissa x e rappresenta il raggio r(x) del cerchio osculatore, 

cerchio che ha un contatto almeno tripunto con la parabola in detto punto di ascissa x. 

Nel vertice O la nostra parabola ha, pertanto, curvatura K = 2a. La normale alla 

parabola nel suo vertice (l’asse delle ordinate) passa evidentemente per P; la distanza 

di P dal generico punto Q della parabola è quindi stazionaria in O. 

Consideriamo adesso la circonferenza di centro P e raggio β. 

Se risulta β < 1 1 

, avendosi > 2a, la nostra circonferenza, che è tangente in O 

2a 

β 

alla parabola, ha in O curvatura maggiore della curvatura della parabola. Tutti gli altri 

punti della parabola sono esterni alla nostra circonferenza e il vertice O è, pertanto, il 

punto della parabola che risulta più vicino a P. 

Se risulta β > 1 

1 

, avendosi < 2a, la nostra circonferenza, sempre tangente 

2a 

β 

in O alla parabola, ha in O curvatura minore della curvatura della parabola e quindi 

incontra la stessa parabola in altri due punti R ed S simmetrici rispetto all’asse delle 

ordinate. I due archi aperti (privati degli estremi) di parabola OR ed OS sono pertanto 

interni alla nostra circonferenza e i loro punti hanno distanza da P inferiore a β. Il 

punto O è un punto relativamente più lontano da P cioè la distanza di P dal generico 

punto della parabola presenta in O un massimo relativo. Per determinare i punti 

della parabola a distanza minima da P andiamo ad individuare gli altri punti nei quali



la normale alla parabola passa per P. Detto Q(x,ax2 ) con x =0 il generico punto 

della parabola distinto dal vertice, la condizione m(tQ) · m(PQ)=−1 dà la relazione 

2ax ax2 − β 

= −1 da cui 2a 

x 

2x2 − 2aβ + 1 = 0 e da cui si ricava x = ± 1 

4aβ − 2. 

2a 

Pertanto, nel caso β > 1 

, vi sono due punti della parabola posti a minima distanza 

2a 

dal punto P(0,β) ovvero i punti 

 

Q1 − 1 

 

1 

1 1 

4aβ − 2,β − e Q2 4aβ − 2,β − . 

2a 

2a 

2a 

2a 

Essi sono simmetrici rispetto all’asse delle y e la loro ordinata è data dall’ordinata 

di P diminuita di una quantità pari al reciproco della curvatura della parabola nel 

vertice ovvero al reciproco della massima curvatura della parabola. Considerato che la 

curvatura di una curva in un suo punto è il reciproco del raggio di curvatura (raggio 

del cerchio oscuratore) della stessa curva in quel punto, possiamo anche dire che 

l’ordinata dei due punti a distanza minima dal punto P è uguale all’ordinata di P 

diminuita del minimo raggio di curvatura della parabola. 

Se, infine, risulta β = 1 

2a , i due punti Q1 e Q2 coincidono con il vertice O e la 

circonferenza di centro P e raggio β ha in O un contatto quadripunto con la parabola; 

O è il punto a distanza minima da P. Nella figura 1, per mezzo di circonferenze 

con centro in P e tangenti alla parabola, sono evidenziati il caso β < 1 

con la 

2a 

circonferenza c1 con centro in P1, il caso β = 1 

2a con la circonferenza c2 avente centro 

in P2, il caso β > 1 

2a con le due circonferenze c3 e c ′ 3 aventi lo stesso centro P3. 

Figura 1. Distanza della parabola y = 1 

4 x2 dai punti dell’asse yP1 di ordinata 

β1 < 2, P2 di ordinata β2 = 2, P3 di ordinata β3 > 2. 

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23 


2.2 Minima distanza da un punto P non appartenente all’asse delle y 

Sia P(α,β) con α > 0 e sia ancora Q(x,ax2 ) con x =0 il generico punto della 

nostra parabola distinto dal vertice. 

La condizione m(tQ)·m(PQ)=−1 dà la relazione 2ax ax2 − β 

= −1, da cui, potendo 

x − α 

anche supporsi x =α, si ottiene l’equazione di terzo grado 

2a 2 x 3 − (2aβ − 1)x − α)=0. (2.2) 

Al fine di individuare il numero delle soluzioni reali della (2.2) andiamo a vedere 

qual’è l’andamento della funzione ϕ(x)=2a 2 x 3 − (2aβ − 1)x − α al variare della x. 

Risultando ϕ ′ = 6a 2 x 2 − (2aβ − 1), la crescenza e la decrescenza di ϕ(x) dipendono 

dal segno della quantità 6a 2 x 2 − (2aβ − 1). Possiamo distinguere i due casi: 

Caso β ≤ 1 

2a 

In questo caso ϕ ′ (x) è sempre positivo, la funzione ϕ(x) è sempre crescente 

e, pertanto, l’equazione (2.2) ha un’unica soluzione che è l’ascissa del punto della 

parabola situato a distanza minima da P. Poiché ϕ(0)=−α < 0, detta soluzione della 

(2.2) è positiva e quindi il nostro punto Q si trova nel primo quadrante (vedi figura 2). 

Figura 2. Distanza della parabola y = 1 

4 x2 dai punti P1 e P2 del primo quadrante 

aventi ordinata minore di 2. 

Caso β > 1 

2a 

In questo secondo caso ϕ ′ (x) si annulla per x = ± 1 

 

2aβ − 1 

ed è positiva per 

a 6 

x < − 1 

 

2aβ − 1 

e per x > 

a 6 

1 

 

2aβ − 1 

. La funzione ϕ(x) ha, pertanto, un massimo 

a 6 

relativo per x = xM = − 1 

 

2aβ − 1 

e un minimo relativo per x = xm = 

a 6 

1 

 

2aβ − 1 

. 

a 6



Le ordinate dei punti di massimo e di minimo relativi sono rispettivamente 

ϕ(xM)= 2 

3a √ 6 (2aβ − 1) 3 2 − α e ϕ(xm)=− 2 

3a √ 6 (2aβ − 1) 3 2 − α. 

Mentre l’ordinata del minimo è sempre negativa, per l’ordinata del massimo invece si 

ha 

ϕ(xM) ≤ 0 per β ≤ 1 

 

3 3 a2α 2 

+ 

2a 2a 2 

ϕ(xM) > 0 per β > 1 

 

3 3 a2α 2 

+ 

2a 2a 2 · 

Di conseguenza per 1 

 

1 3 3 a2α 2 

< β < + , avendo il massimo relativo di 

2a 2a 2a 2 

ϕ(x) ordinata negativa, l’equazione (2.2) ha una sola radice reale per cui esiste un solo 

punto della parabola in cui la normale alla parabola passa per P e che quindi è posto 

a distanza minima da P. Se invece risulta β > 1 

 

3 3 a2α 2 

+ , avendo il massimo 

2a 2a 2 

relativo di ϕ(x) ordinata positiva, l’equazione (2.2) ha tre soluzioni reali x1 < x2 < x3, 

le prime due negative e la terza positiva. Ad esse corrispondono (vedi figure 3 e 4) tre 

punti della parabola Q1, Q2, Q3, il terzo nel primo quadrante e i primi due nel secondo 

quadrante, nei quali la distanza da P è stazionaria. Quello situato nel primo quadrante 

ha distanza minima (assoluta) da P; nei punti Q1 e Q2 la distanza dal punto P presenta 

rispettivamente un minimo ed un massimo relativi. 

Figura 3. Punto P(α,β) esterno alla parabola y = 1 

2 x2 e di ordinata 

β > 1 + 3 3 

 

α2 8 · 

Se risulta β = 1 

 

3 3 a2α 2 

+ i punti Q1 e Q2 coincidono in un punto di 

2a 2a 2 

inflessione della distanza dal punto P. 

Se poniamo α = x e β = y, la relazione β = 1 

 

3 3 a2α 2 

+ si trasforma nel- 

2a 2a 2 

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25 


Figura 4. Punto P(α,β) interno alla parabola y = 1 

2 x2 e di ordinata 

β > 1 + 3 3 

 

α2 8 · 

l’equazione y = 1 

 

3 3 a2x2 + che nel piano cartesiano della nostra parabola ha 

2a 2a 2 

come grafico una cubica (più precisamente una parabola semicubica) γ (vedi fig. 5) 

simmetrica rispetto all’asse delle y. Essa presenta una cuspide di prima specie nel 

punto 0, 1 

 

con tangente cuspidale coincidente con l’asse y e rivolge la concavità 

2a 

sempre verso il basso. 

Figura 5. Parabola y = 1 

9 x2 con la relativa parabola semicubica.



⎧ 

⎨ 

y = 

Inoltre, dal sistema 

⎩ 

1 

 

3 3 a2x2 + 

2a 2a 2 

y = ax2 , si ottiene come risolvente, l’equazione 

(4a2x2 + 1) 2 (a2x2 √ 

2 

− 2) = 0 le cui radici reali sono ± per cui la curva γ incontra la 

√ a 

2 2 

nostra parabola nei due punti ± , . Poiché 

a a 

1 

2a è il raggio di curvatura rO della 

parabola nel suo vertice O, abbiamo che la cuspide di γ e i punti di intersezione di γ 

con la parabola hanno ordinata, rispettivamente, rO e 4rO. 

Restando al semipiano delle ascisse positive, ma la stessa cosa si può dire per 

simmetria anche per il semipiano delle ascisse negative, si hanno pertanto i seguenti 

risultati: 

– per ogni punto situato al di sotto di γ esiste un unico punto della parabola per il 

quale la distanza da P è stazionaria e risulta minima; 

– per ogni punto situato al di sopra di γ esiste un punto Q3 sull’arco di parabola appartenente 

al primo quadrante che si trova a minima distanza da P ed esistono due punti 

Q1, Q2 appartenenti all’arco della parabola contenuto nel secondo quadrante aventi 

ascisse x1 < x2 nei quali la distanza da P è stazionaria e presenta, rispettivamente, 

un minimo ed un massimo relativi; 

– per ogni punto appartenente a γ esiste un punto Q dell’arco della parabola situato 

nel primo quadrante che ha distanza minima da P e un altro punto Q ′ appartenente 

all’arco della parabola situato nel secondo quadrante nel quale la distanza della 

parabola da P è stazionaria e presenta un’inflessione, essendo essa decrescente sia a 

sinistra che a destra di Q ′ . 1 

✉ROCCO BRUNETTI 

Dirigente scolastico a riposo. 

brunettirocco@yahoo.it 

1 le figure, 1, 2, 3, 4 sono state realizzate con il programma Cabrì Géomètre II plus; la figura 5 è 

stata realizzata con il programma Derive 5. 

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Legame ristabilito tra Fisica e Matematica 1 

Antonio D’Onofrio 

Premesso che non sono un esperto “pedagogo” né un “epistemologo”, desidero 

però riconoscere che il titolo propostomi dal Presidente Nazionale della MATHESIS, 

prof. Emilio Ambrisi, per questo mio intervento mi dà lo spunto per proporre alcune 

mie riflessioni che “a rigor di tema” potrebbero essere in buona parte “ortogonali” a 

quanto viene dibattuto in un convegno dal titolo “La matematica nel riordino della 

Scuola Secondaria di 2° Grado”. 

L’intervento si svilupperà secondo i temi seguenti: 

1. Testimonianza tratta dall’esperienza dell’insegnamento della Fisica Generale I 

e II in corsi di laurea delle Facoltà di Ingegneria e Scienze. 

2. Commenti (o piuttosto opinioni) sui principi ispiratori del “riordino” dell’insegnamento 

della Matematica e della Fisica nella Scuola Secondaria di 2° 

Grado. 

3. Spunti per discussioni e proposte per il profilo formativo dei futuri docenti di 

Matematica e di Fisica (o di “Matematica e Fisica” ?). 

1 Testimonianza . . . 

La mia esperienza ventennale nell’insegnamento della Fisica Generale e del 

Laboratorio di Fisica Generale si è svolta nei corsi di Laurea in Ingegneria Civile, 

Scienze Ambientali, Biologia, Matematica e più recentemente Fisica. Quindi io 

ho interagito e interagisco con studenti, formalmente, del 1° e 2° anno dei corsi 

universitari, che provengono prevalentemente dai bacini territoriali delle province di 

Salerno e Caserta. 

Quasi indipendentemente dal corso di Laurea, oltre la metà degli studenti (in 

alcuni casi i due terzi) provengono dai licei Scientifici e Classici, con prevalenza dei 

primi. 

1 Relazione tenuta dall’autore al convegno di Caserta del 28 marzo 2011: La Matematica nel riordino 

della scuola secondaria di 2° grado. 

27 

27



Alcuni dati “statistici qualitativi”: 

a) Gli studenti delle prime lezioni del corso di Fisica Generale I, per frazioni che 

vanno dal 10% ed in alcuni casi arrivano al 50% e più, sono studenti iscritti 

ad anni successivi al primo. Per Fisica Generale II la tendenza è ancora più 

accentuata. 

b) I corsi sono di solito organizzati in “semestri” che durano 12 settimane con 6–7 

ore di lezione a settimana. Il numero di studenti presenti alle lezioni decresce 

con legge quasi esponenziale con “costante di tempo” di 3–4 settimane. Il 

valore “asintotico” del numero di studenti presenti non ha mai superato il 50% 

del numero di studenti iniziale. Il numero di studenti che si “presentano” agli 

appelli delle prime 2 sessioni dopo la fine del corso, non di quelli che “superano” 

l’esame, raramente è superiore al 10% di quelli che hanno seguito il corso. 

c) Per un numero consistente di studenti (fino al 10%) gli esami di Fisica costituiscono 

gli ultimi esami superati prima della Laurea (e ciò è vero anche per gli 

studenti di Ingegneria e Matematica). 

d) Gli studenti hanno tendenza a prendere appunti durante la lezione ed usare solo 

questi per la preparazione all’esame. Spesso non rivedono gli appunti prima 

della lezione successiva. 

e) Le domande poste durante la lezione riguardano raramente argomenti delle 

lezioni, più frequentemente questioni organizzative, in particolare degli appelli 

di esame. 

f) Malgrado ci sia una forte richiesta di esercitazioni, quando queste vengono 

offerte, il numero di studenti presenti è sempre inferiore alla media e c’è una 

diffusa ritrosia degli studenti ad “esporsi” accettando di venire alla lavagna 

per impostare e svolgere problemi. Per questi esiste una diffusa tendenza a 

realizzare “cataloghi” di problemi svolti, piuttosto che uno sforzo a classificare 

gli stessi in categorie omogenee. 

g) È generalizzata la difficoltà a passare dai principi generali alla loro schematizzazione 

e applicazione in casi particolari. 

h) La quasi totalità degli studenti (indipendentemente dal tipo di scuola di provenienza) 

ha difficoltà ad utilizzare simboli invece di numeri; ovvero a liberarsi 

da “pregiudizi” legati ai “nomi” dei simboli (molti studenti sanno come fare 

d 

dx (aebx ); ma rimangono a “bocca aperta” di fronte a d 

dt (aebt )). 

i) Esiste una “pulsione spasmodica” all’uso della calcolatrice, fin dai primi passi 

dello svolgimento di un problema, ed una, per me conseguente, incapacità quasi 

totale di calcolo mentale. 

j) La familiarità con l’uso e la rappresentazione di funzioni elementari (e.g. lineari, 

quadratiche, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche . . . ) è molto scarsa, 

spesso anche per studenti provenienti dal liceo scientifico. Lo stesso dicasi dei 

vettori e delle operazioni con gli stessi. 

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antonio d'onofrio 

29 

Antonio D’Onofrio 29 

k) Gli studenti hanno notevoli difficoltà con i concetti di ordini di grandezza e cifre 

significative, oltre che con il vocabolario di base della Fisica e con gli aspetti 

“fenomenologici” elementari. 

Da “Fisico Sperimentale” mi corre l’obbligo di sottolineare che quello che ho 

descritto si riferisce ad un campione limitato e non rappresentativo di studenti e comunque 

si tratta di tendenze “qualitative”: ovviamente ho incontrato studenti, purtroppo 

pochi, brillanti che certamente corrispondono alle “Linee Generali e Competenze e 

agli Obiettivi Specifici di Apprendimento” contenuti nelle “Indicazioni Ministeriali 

Nazionali” passate, presenti e future. 

2 Commenti (o piuttosto opinioni) sui principi . . . 

Nel leggere le “indicazioni nazionali” per la Matematica (per tutti i tipi di scuole) 

ho colto un’impostazione molto “applicata” della materia. 

Ho l’impressione che la Matematica, per sopravvivere, ha dovuto pagare “pegno” 

all’ineluttabilità dell’ideologia attualmente imperante e apparentemente vincente che 

ha diritto di esistere ciò che è “applicabile”, obbligatoriamente e subito, “ad altro” per 

non incappare nell’ “infamia” dell’accusa di “autoreferenzialità” e quindi nelle sue 

nefaste conseguenze. . . 

Certo, andando oltre la forma, obbligata dai rapporti di forze esistenti attualmente 

nella società italiana (ma non solo) si intravede in filigrana l’impostazione “classica”, 

che io condivido, che consente alla Matematica di giocare tutto il suo ruolo culturale 

e formativo che permette di trasmettere ai nostri giovani le capacità di astrazione e 

generalizzazione attraverso metodi/ragionamenti deduttivi e/o induttivi o piuttosto 

ricorsivi. 

Certamente le applicazioni della Matematica a tutti i campi di interesse della 

società contemporanea (a partire dalla Fisica) dovrebbero rappresentare, secondo me, 

degli strumenti operativi per aiutare tutti gli studenti a prendere “maggiore gusto” nel 

costruire i loro strumenti culturali di base di cui la Matematica è una delle materie 

prime indispensabili, anche ai fini della tenuta democratica della nostra società (si 

pensi all’importanza sia per i cittadini, ma soprattutto per i politici, di saper distinguere 

fra milioni e miliardi di Euro . . . ). 

Le “Indicazioni Nazionali” per la Fisica apparentemente, almeno a livello delle 

Scuole Medie di 2° Grado, non devono pagare lo stesso “pegno” della Matematica, 

considerato che i suoi principi e le sue leggi (che avrebbero un grado di generalità e 

astrazione del tutto simili alla Matematica) possono meglio “mimetizzarsi” in approcci 

applicativi o comunque legati all’esperienza e al senso comune. 

Questa peculiarità della Fisica, a mio avviso, è anche il motivo di una maggiore 

sinteticità delle indicazioni a essa relative, rispetto a quelle relative alla Matematica.



Come direbbe qualcuno dei miei amici francesi, “ça va sans dire” che se la 

nostra società riuscisse a formare e motivare docenti che “plasmassero” (nel senso 

“demiurgico” e non nel senso di “inculcare” . . . ) i nostri giovani in accordo con lo 

spirito delle “indicazioni nazionali”, un mio collega docente di Fisica Generale fra 

venti anni avrebbe il piacere di fare una relazione molto diversa da quella che sto 

facendo io. 

3 Spunti per discussioni e proposte . . . 

Tornando, per concludere, al titolo di questo intervento, “Legame ristabilito tra 

Fisica e Matematica”, constato con piacere che, al di là delle motivazioni certamente 

opinabili da me espresse prima, le “Indicazioni Nazionali” per la Matematica e la 

Fisica spingono verso una interazione e integrazione sempre più stretta fra di esse, per 

cui potrebbe essere opportuno in futuro che vengano insegnate da figure professionali 

che abbiano seguito uno stesso percorso formativo. 

E qui si apre il dibattito che, credo, sia solo all’inizio sulle realtà che sostituiranno 

le Scuole di Formazione per i Docenti (talvolta denominate SICSI). 

Per quanto riguarda la Matematica e la Fisica io oserei pensare ad un percorso 

universitario 3+2 e anche oltre in cui siano presenti con peso significativo sia la 

Matematica che la Fisica (con particolare attenzione agli aspetti sperimentali per 

quest’ultima) e che possa rappresentare un’offerta formativa significativa e orientata 

all’insegnamento, ma che, nello spirito delle nuove leggi vigenti, abbia alle spalle un 

“robusto” Dipartimento di Scienze Matematiche e Fisiche, che svolga significative 

attività di ricerca di base e applicata. 

La discussione è aperta e credo sarà lunga e articolata . . . 

✉ANTONIO D’ONOFRIO 

Docente di Fisica Sperimentale 

Facoltà di SMFN – SUN. 

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Supporti tecnologici, contributi metodologici 

e apprendimento della Matematica 1 

Gabriele Lucchini 

Abstract: Resources, interactions and risks of the new media are considered in connection with the 

idea of Mathemactics, of knowledge of Mathematics, of contributions of Mathematics to education and 

culture. That is done starting from the development of technical media and considering methodological 

contributions in the framework of the use of technical devices and methods in teaching and learning. 

Moreover, the algorithm strategy introduced by NAZARENO TADDEI is considered and the example is 

proposed of the feasible constructions of regular polygons. 

Finally, a card-index is suggested in order to improve teachers’ work. 

1 Introduzione 

Parecchi anni fa, sentii un illustre matematico affermare “non userò mai una 

lavagna luminosa”: allora lavagna luminosa e microfono erano usati principalmente 

come amplificatori nelle aule grandi, anche se qualcuno — in ambito matematico 

considerato un po’ “stravagante” — ardiva riflettere su metodologizzazioni didattiche 

(o, anche soltanto, comunicative) dei supporti tecnologici disponibili, abitualmente 

non prodotti per utilizzazioni nella scuola, ma spesso proposti alla scuola con materiali 

didattici, che alcuni usavano; l’università aveva la sua autonomia ed erano possibili 

studi e sperimentazioni non soltanto sui “contenuti”. 2 

Riferimenti storici esulano dagli obiettivi di questo articolo, anche se ritengo auspicabile 

un buon quadro di riferimento storico, almeno per quanto riguarda iniziative 

in campo matematico e collegamento a studi generali. 3 

1 In http://users.mat.unimi.it/users/lucchini/g304.htm sono consultabili o segnalati 

complementi a questo articolo (v. Allegato 1); in rimandi successivi questo file è indicato con g304 di 

nota 1. Sarò grato di osservazioni e suggerimenti. 

Le ultime correzioni a questo articolo sono del 2011-03-14 (per le date in cifre seguo la norma ISO 8601 

— v. g304 di nota 1). 

2 Ritengo che sia opportuno tenere presenti le iniziative e gli studi nell’ambito della “formazione 

aziendale”. A questo proposito è interessante considerare la circolare ministeriale n. 267 del 1991-09-10 

sull’anno di formazione (v. g304 di nota 1). 

3 In g304 di nota 1 sono raccolte alcune indicazioni; mi auguro di avere il tempo di ampliarle e sarò 

grato di segnalazioni. 

31 

31



Anche se il passare degli anni mi ha, presumibilmente, portato dall’essere “stravagante” 

4 (nel senso predetto) all’essere “superato”, 5 colgo volentieri questa occasione 

per proporre stimoli alla riflessione e provocazioni al dibattito, in particolare in vista 

di servizi agli insegnanti, 6 confidando in auspicabili sviluppi almeno di segnalazioni 

per le mie pagine internet. 7 

2 Sussidi didattici, giochi e supporti tecnologici 

La tavola inserita nella pagina successiva 8 dà un’idea della situazione alla fine 

degli anni ’60 del secolo scorso e permette di cogliere il radicale cambiamento nella 

situazione attuale, dal punto di vista sia delle offerte tecnologiche e sia delle possibilità 

e opportunità di impiego, anche per l’esplosione di commercializzazione, con aspetti 

di passaggio da “sussidi per l’insegnamento” a “giochi” che possono essere sussidi 

per l’apprendimento. 9 

Mi pare ragionevole invitare a riflettere, in particolare, sul fatto che l’evoluzione 

“generazionale” dei sussidi e degli strumenti non necessariamente comporta 

l’obsolescenza dei precedenti, anche se l’ampliamento di sollecitazioni e di offerta 

può richiedere riflessioni sulle utilizzazioni e, in particolare, sulle implicazioni di 

sostituzioni di versioni “tradizionali” con materiali tecnologici. 

Un esempio, che mi pare significativo per la sua elementarità, è quello delle 

proposte tecnologiche sulla “battaglia navale”, nelle varie versioni individuabili in 

internet (v. g304 di nota 1). 

Un aspetto che mi pare opportuno richiamare è quello della utilizzabilità con 

diversi criteri in relazione a livelli di età e di interesse, come è facile riconoscere per 

geopiano, tangram, torre di Hanoi (v. g304 di nota 1). 

Richiamo, anche, la possibilità di supporti tecnologici per destinatari particolari, 

come, per esempio, i non vedenti. 

4 V. g304 di nota 1. 

5 Mi sono trovato “escluso” da varie iniziative, delle quali ho soltanto frammenti di informazioni, ed 

è possibile che di alcune sia all’oscuro, come molti altri, anche per la mancanza di un servizio informativo 

e per gestioni di informazioni come strumento di potere (v. g304 di nota 1). 

6 A servizi agli insegnanti ho accennato nell’articolo sugli “insuccessi in Matematica” nel n. 3 del 

2010 del Periodico di Matematiche e in altre sedi (v. g304 di nota 1). 

7 Verranno segnalate in g304 di nota 1. 

8 La riprendo da p. 52 di L’insegnamento della matematica e le nuove metodologie (v. g304 di 

nota 1), dove è proposta come “quadro storico delle generazioni” di W. SCHRAMM riportato da MAURO 

LAENG in L’educazione nella civiltà tecnologica (Roma, Armando, 1969; p. 286). La tavola è, anche, a 

p. 481 di Laboratorio multimediale del Centro Europeo dell’Educazione (Roma, Fratelli Palombi Editori, 

1970). 

9 Un esempio è la “torre rossa” di MARIA MONTESSORI, proposta, anche, in internet e variamente 

“imitata” o “ritrovata” (anche per inscatolamento).

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gaBriElE lucchini 

33



3 Tecnologizzazione e metodologizzazione di insegnamento 

e apprendimento 

Seguendo, non soltanto in questo, l’impostazione di NAZARENO TADDEI (v. g304 

di nota 1), uso “tecnologizzazione” per la semplice introduzione di strumenti senza 

particolari accorgimenti e “metodologizzazione” per l’utilizzazione di strumenti in 

base a metodi studiati (non importa da chi) per raggiungere determinati obiettivi. 

Riprendendo l’accenno iniziale alla lavagna luminosa: usarla come 

ingranditore è (anche se c’è un obiettivo di leggibilità da lontano) una 

tecnologizzazione dell’insegnamento; il ricorrere a sovrapposizioni 

di trasparenti (ad esempio per scandire una costruzione di figura o le 

tappe di un ragionamento) è una metodologizzazione dell’uso della 

lavagna luminosa. 10 

Discorso analogo può essere fatto per la cosiddetta lavagna interattiva multimediale 

(LIM), 11 che mi pare un esempio significativo, anche per la notorietà dello 

strumento e per la varietà di proposte per la sua diffusione. 

Questa notorietà è legata non soltanto a iniziative ministeriali 

di inserimento in scuole 12 (oltre che a utilizzazioni scolastiche indipendenti 

da queste) ma anche a impieghi in trasmissioni televisive. 

Richiamo che si parla, anche, di “limbook”, di “scuola digitale”, di 

“LIM e nativi digitali”. 13 

Ovviamente, i confini tra metodologizzazione e tecnologizzazione 

possono essere ritenuti labili e opinabili, ma ritengo importante evidenziare 

l’opportunità di conoscenze e riflessioni metodologiche sulle possibilità offerte dagli 

strumenti (non soltanto tecnologici), anche al di là delle proposte dei “venditori” 

e tenendo presente che, almeno in alcuni casi, gli studi possono essere utilizzati 

indipendentemente dall’effettivo uso degli strumenti. 14 

10 Sulla adattabilità dello spunto all’uso di “PowerPoint”, o supporti analoghi, non mi pare necessario 

soffermarmi. 

11 Per chi avesse bisogno di informazioni in proposito, segnalando per più ampie informazioni 

la sezione “LIM” di “scuola digitale” nella home page dell’Agenzia Nazionale per lo sviluppo della 

Autonomia Scolastica — ex Indire (riconsultata il 2011-03-09) e la consultabilità di altri siti internet, 

riporto (con adattamenti grafici) l’inizio del testo di Wikipedia, che prosegue con indicazioni sulle 

tipologie: 

“La lavagna interattiva multimediale, detta anche LIM, è un dispositivo elettronico avente le dimensioni 

di una tradizionale lavagna didattica, sul quale è possibile disegnare usando dei pennarelli virtuali. 

Tipicamente è collegata ad un personal computer, del quale riproduce lo schermo. Permette quindi di 

mantenere il classico paradigma didattico centrato sulla lavagna, estendendolo con l’integrazione di 

multimedia, l’accesso ad internet e la possibilità di usare software didattico in modo condiviso.”. 

12 Dati sono riportati nel testo utilizzato nella nota precedente. 

13 Informazioni su proposte per la LIM sono reperibili in internet. 


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35 

Gabriele Lucchini 35 

Mi permetto di ricordare che ne L’insegnamento della Matematica e le nuove 

metodologie (1977 e 1983) intitolai la terza parte “Dalle tecnologie alle metodologie: 

indicazioni per l’insegnamento della Matematica” 15 e inserii ampi riferimenti, non 

soltanto in questa parte, alla strategia dell’algoritmo di N. TADDEI (v. inizio di questa 

§ 3), della quale riporto lo schema del 1971, 16 anche come documento storico. 

4 New media: possibilità, implicazioni e rischi 

Ai tempi del libro predetto si parlava di “civiltà dell’immagine” e si consideravano, 

in particolare, possibilità, implicazioni e rischi del “linguaggio dell’immagine”; 17 

oggi la situazione è più complicata per l’evoluzione e la presenza dei cosiddetti new 

media (oltre che di fattori sociologici), indipendentemente dalla loro utilizzazione 

o utilizzabilità didattica nel quadro delle varie possibilità di impiego nell’insegnamento, 

nell’apprendimento, nelle relazioni interpersonali, nell’amministrazione, nella 

gestione da parte dei vari possibili utenti. 

Mi pare che la vignetta del n. 2373 del 1976 de La settimana enigmistica 18 evidenzi 

bene un aspetto del problema nei rapporti con gli studenti, con ovvia necessità di 

passare dalla televisione ai new media e di tenere conto dei nuovi elementi, 19 che 

hanno portato a parlare, anche, di “emergenza educativa” 20 e a riflettere, e a invitare a 


16 Sulla strategia dell’algoritmo ho scritto un articolo pubblicato nel n. 381 di EDAV (giugno 

2010) e consultabile in internet all’indirizzo indicato in g304 di nota 1; titolo e struttura sono riportati 

nell’Allegato 2. 

17 Sui contributi di N. TADDEI rimando a g304 di nota 1. 


19 Segnalo il Messaggio per la XLV Giornata mondiale delle comunicazioni sociali di S.S. 

BENEDETTO XVI e la reperibilità del testo in internet (dal 2011-01-24). 

20 Alcune indicazioni sono in g304 di nota 1.



riflettere, sui modi di comportarsi, di apprendere, 

di pensare, di accedere al sapere, di considerare 

il sapere e la cultura. 

L’accenno precedente alle “relazioni interpersonali” 

e il fatto che si parli, anche, di social media 

va considerato, per quanto qui interessa, rispetto 

ai rapporti tra studenti e agli aspetti di formazione 

di mentalità, non soltanto dei cosiddetti nativi 

digitali. 

5 L’idea di Matematica, conoscenza della Matematica, contributo 

della Matematica alla formazione e alla cultura 

A mio parere, il punto centrale rimane, comunque, quello dell’idea di Matematica, 

di conoscenza della Matematica, di contributo della Matematica alla formazione e alla 

cultura, indipendentemente da sussidi e media: ritengo che la Matematica meriti di 

essere proposta a tutti sia come opera dell’uomo che è arrivata all’assiomatizzazione, 

sia come occasione di conoscenza di un modo di pensare, sia come strumento per 

tante realizzazioni. 

Un’occasione scolastica che ritengo significativa (e che ho visto perdere) è quella 

della costruibilità dei poligoni regolari (convessi o no), perché consente di riflettere 

su quello che si intende in Matematica per “costruibilità con determinati strumenti”, 

anche in relazione a quello che si fa in altre discipline scolastiche e si può fare con 

new media. 

Come è ben noto, negli Elementi di EUCLIDE, 21 utilizzando riga e compasso nel 

senso euclideo, 22 secondo i postulati, 23 oltre alla possibilità di raddoppiare il numero 

dei lati dei poligoni già costruiti (dimezzando gli angoli: Proposizione I, 9), sono 

trattati i poligoni di 3, 4, 5, 6, 10, 15 lati, 24 senza considerazioni sulla costruibilità in 

generale. 25 

Come pure è ben noto, da più di due secoli, 26 CARL FRIEDRICH GAUSS 27 ha 

risolto il problema della costruibilità con riga e compasso per quanto riguarda la 


22 Riga non graduata e compasso con apertura non trasportabile. 


24 Segnalo le proposizioni I, 1 (n = 3), I, 46 (n = 4), IV, 2–5 (n = 3 inscritto e circoscritto come 

implicito nel triangolo), 6–16 (n = 4, 5, 6, 15 inscritti e circoscritti); nel libro XIII è considerato il 

decagono regolare. 

25 

EUCLIDE si occupa di quello che sa fare o dimostrare. 

26 Segnalo gli articoli di FEDERIGO ENRIQUES e di LUIGI BRUSOTTI indicati in g304 di nota 1: L. 

BRUSOTTI cita Disquisitiones aritmeticae, Leipzig, 1801, § 366. 

27 1777–1855; informazioni sono reperibili, anche, in internet. 

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37 


“forma” del numero n dei lati, anche se rimane aperta la possibilità o eventualità di 

individuare ulteriori casi effettivi: 28 

 

ν 

n = 2 2 2ν 

1 

+ 1 2 2ν 

2 

+ 1 ... 2 2νs 

 

+ 1 , [v ≥ 0,s ≥ 0,νj ≥ 0] 

con νi diversi tra loro e i fattori entro parentesi tonde numeri primi. 

Nelle considerazioni sulla Matematica, che qui interessano, è significativo osservare 

che adottando i criteri della piegatura della carta od origami 29 si costruiscono, 

anche, altri poligoni regolari, 30 essendo la forma di n 

n = 2 h 3 k q1q2 ...qj 

con qi numeri primi diversi tra loro della forma 2 r 3 s + 1. 

La situazione della costruibilità in base ai risultati di EUCLIDE (E), C. F. GAUSS 

(G), piegatura della carta (P) può essere riassunta, per 3 ≤ n ≤ 41, con il seguente 

quadro comparativo: 

3: E G P 16: E G P 29: – – – 

4: E G P 17: – G P 30: E G P 

5: E G P 18: – – P 31: – – – 

6: E G P 19: – – P 32: E G P 

7: – – P 20: E G P 33: – – – 

8: E G P 21: – – P 34: – G P 

9: – – P 22: – – – 35: – – – 

l0: E G P 23: – – – 36: – – P 

11: – – – 24: E G P 37: – – P 

12: E G P 25: – – – 38: – – P 

13: – – P 26: – – P 39: – – P 

14: – – P 27: – – P 40: E G P 

15: E G P 28: – – P 41: – – – 

Chiaramente, la situazione della piegatura della carta è diversa da quella del disegno 

tecnico e di quei pacchetti applicativi per elaboratore elettronico che impiegano 

costruzioni fatte con criteri non limitati a riga e compasso in senso euclideo: per la piegatura 

della carta sono dichiarati gli assiomi che sostituiscono quelli della Geometria 

euclidea. 31 

28 Per n primo si conoscono 3, 5, 17, 257, 65537 corrispondenti a νi = 0, 1, 2, 3, 4; non si conoscono 

altri νi per i quali n risulti primo; se ne conoscono per i quali n è composto. 

29 Presentazioni sono reperibili in internet, tra le altre, in Matematicamente (con distrazioni in 

formule) e in Polymath. 

30 I valori dei qi inferiori a 100 sono: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97. 

31 Non è questa la sede per considerare le “omissioni” di EUCLIDE.



Si tenga presente che la questione è concettuale di evidenziazione del ragionamento 

matematico rispetto al disegno tecnico o ai pacchetti applicativi, che rischiano di 

far ritenere costruibili tutti i poligoni regolari quando non specificano gli strumenti 

ammessi. 

E proprio la costruibilità con gli strumenti ammessi è l’aspetto particolarmente 

significativo, indipendentemente dalla qualità dell’eventuale disegno e dal fatto che 

questo possa venire addirittura meglio con il goniometro. 

6 Educazione a, educazione con, educazione in presenza di 

media 

Oltre che nei confronti della Matematica, 32 l’attenzione a educazione a, educazione 

con, educazione in presenza di (implicita nelle considerazioni iniziali di § 5) 

va rivolta ai media, e in particolare a quelli considerati alla fine di § 4, per le loro 

implicazioni indipendenti dalle utilizzazioni scolastiche nel senso là accennato. 

Ma il tener conto dell’essere in presenza di new media non deve far accantonare 

le riflessioni sul senso dell’apprendimento della Matematica come fatto formativo e 

culturale, cioè sul “perché dovrebbero studiare Matematica?”: 33 l’adeguarsi alle nuove 

situazioni dovrebbe essere una scelta tattica per evitare il rifiuto della Matematica, 

non una rinuncia a far conoscere e apprezzare la Matematica per quello che è e che 

può dare anche a chi non si dedicherà a studi o attività che richiedano conoscenze 

matematiche. 34 

Mi pare importante che gli insegnanti di Matematica non abbiano paura di dire, e 

di testimoniare, perché val la pena di studiare Matematica, ovviamente sempre che 

lo pensino, anche per l’essere stati messi in condizione di comprenderlo grazie a 

indicazioni esplicite in proposito. 

7 Formazione degli insegnanti e servizi agli insegnanti 

In effetti, gli insuccessi scolastici in Matematica hanno portato e portano a riflettere, 

oltre che sui programmi di insegnamento (indipendentemente dalla denominazione 

ufficiale), sull’adeguatezza della preparazione di una parte (variamente valutata) 

degli insegnanti di Matematica e sulle sollecitazioni che sono state loro offerte sia 

sulla Matematica e sia sulla professione di insegnante, ovviamente tenendo conto 

della varietà di orientamenti dei docenti universitari per la formazione iniziale, degli 


33 Nel 2007 scrissi un contributo con questo titolo pubblicato sul numero 476 di Tuttoscuola 

(novembre, pp. 51–53). Informazioni sono in g304 di nota 1. 

34 Segnalo il dibattito sulla Matematica nella scuola aperto in Polymath di dicembre 2010 con un 

articolo di G. V. RAMANATHAN. 

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operatori dell’aggiornamento per la formazione in servizio, degli studiosi per le 

proposte agli uni e agli altri (e agli insegnanti) e per le scelte degli oggetti e dei modi 

di studio e di comunicazione. 

I new media offrono occasioni di riflessione e possibilità di comunicazione che, 

secondo me, 35 meritano grande attenzione e mi pare veramente auspicabile, in particolare, 

uno schedario di documentazione e di informazione anche sui new media in un 

quadro di servizi agli insegnanti (sia in formazione, sia in servizio), 36 con contributi 

di mediazione alla gestione dell’accumulo di fonti, testi, materiali, che va al di là delle 

attuali possibilità di singoli. 

Allegato 1 (v. nota 1) 

I complementi segnalati in nota 1 riguardano la documentazione, che avrebbe allungato 

e appesantito questo articolo fino a renderlo impubblicabile: potendo utilizzare le 

pagine internet 

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/g304.htm 

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/gabl00.htm 

ho adottato — come faccio da tempo — il ricorso a un file guida a file complementari, 

appositi o preesistenti, raggiungibili con link, configurando una struttura ipertestuale 

con itinerario di lettura (oltre che di lavoro) e link a file, secondo criteri per i quali 

rimando a g304 di nota 1. 

Non mi pare necessario riportare, qui, l’elenco dei file proposti in g304 di nota 1. 

Allegato 2 (v. nota 16) 

Strategia dell’algoritmo: storia e attualità di un metodo 

EDAV - educazione audiovisiva, n. 381 (giugno 2010), pp. 25–29 

25 [introduzione] 

Il riferimento del 1971 

26 Lo schema del 1974 

Lo schema del 1976 

35 Nell’articolo sugli “insuccessi in Matematica” nel n. 3 del 2010 del Periodico di Matematiche (già 

citato in nota 6) ho accennato al mio essere su “posizione minoritarie”. 

36 Non sono un esperto di finanziamenti pubblici (sui quali penso che sarebbe interessante la disponibilità 

di dati su investimenti e prodotti) e penso che non vadano disdegnate collaborazioni con enti 

commerciali.



27 Alcuni contributi 

Strategia dell’algoritmo, audiovisivi e multimedialità 

Strategia dell’algoritmo e unità algoritmiche 

Strategia dell’algoritmo e “unità di apprendimento” 

28 Strategia dell’algoritmo e comunicazione 

Attualità della strategia dell’algoritmo 

Unità di riferimento per insegnanti 

29 L’esempio della LIM 

Dati di riferimenti bibliografici e sitografici 

✉GABRIELE LUCCHINI 

Dipartimento di Matematica “F. Enriques” 

Università degli Studi di Milano 

Via C. Saldini, 50 - 20133 Milano 

(in pensione dal 2009-11-01). 

E-mail: gabriele.lucchini@unimi.it (gentile concessione). 

Pagine internet: 

http://users.mat.unimi.it/users/lucchini/gabl00.htm 

(gentile concessione). 

—————— ◦ ◦ —————— 

Nel precedente fascicolo del Periodico, il n. 3/2010, è stato recensito un libro 

di Gabriele Lucchini senza che ne fosse chiaramente leggibile la casa editrice. L’ha 

segnalato il prof. Antonio Barbanera, appassionato socio della Mathesis e per anni 

presidente della sezione di Terni. Il PdM, grato al prof. Barbanera, dà completezza al 

riferimento bibliografico: 

Gabriele Lucchini, Insuccessi in matematica, programmi di insegnamento, formazione 

degli insegnanti – Documenti e spunti di riflessione, ARACNE, Roma, 

2008. 

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Aspettando Achille 

Carlo Toffalori 

1 La perpetua corsa di Achille e della tartaruga 

Un “gioiello . . . immortale”: così Borges definisce il paradosso di Zenone su 

Achille e la tartaruga. Dunque, anche se a riguardo di quell’antico argomento tutto 

sembra ormai detto e stradetto, è lecito sognare che esso nasconda ancora qualche 

riflesso inatteso o bagliore imprevisto. È a questa illusione che è dedicata questa nota: 

la quale tratta appunto del paradosso e ripete su di esso molte osservazioni arcinote, 

ma aspira pure ad aggiungere qualche postilla originale. 

Procediamo comunque con ordine. È infatti giusto ricordare anzitutto chi fu 

Zenone di Elea: filosofo del V secolo avanti Cristo, discepolo di Parmenide, condivise 

col maestro la teoria “monista” di un tutto univoco, immobile e indiviso. Venne inserito 

da Platone tra i protagonisti del dialogo dedicato appunto a Parmenide, dove fa da 

interlocutore a un giovane Socrate e viene descritto “di notevole statura e gradevole a 

vedersi”. A sostegno del suo credo e a critica dell’idea opposta di una realtà molteplice 

e mutevole, Zenone compose i suoi quattro paradossi, i quali, in verità, sono arrivati 

ai giorni nostri non direttamente, ma tramite il filtro di Aristotele, che ce li riferisce 

nella Fisica. È lì infatti che leggiamo: “quattro sono gli argomenti di Zenone intorno 

al movimento che offrono difficoltà di soluzione. Primo, quello sulla inesistenza del 

movimento, per la ragione che il mosso deve giungere prima alla metà che non al 

termine. Il secondo argomento di Zenone è quello chiamato di Achille. Ragiona che il 

più lento non sarà raggiunto dal più veloce perché l’inseguitore deve passare per il 

luogo che l’inseguito ha appena abbandonato, di modo che il più lento ha sempre un 

certo vantaggio”. Seguono gli altri due paradossi, quello della freccia e quello dello 

stadio. Come si vede, il resoconto aristotelico è rapido e stringato, senza concessione 

alcuna a digressioni aneddotiche e favolistiche: per esempio il piè veloce Achille 

è accennato solo di sfuggita e la tartaruga nemmeno nominata. Molti secoli dopo, 

Borges pare quasi rammaricarsene e in Metempsicosi della tartaruga si domanda chi 

fu l’antico poeta — forse lo stesso Zenone? — che arricchì l’argomento filosofico 

dei due personaggi “di un eroe e di una tartaruga”. Lo stesso Borges provvede nella 

stessa sede a riparare all’omissione aristotelica e a riproporci il paradosso, caricandolo 

di un minimo di tensione e di pathos. 

41 

41



“Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di 

lentezza. Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga e le concede 

dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga 

percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un 

decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga un centimetro; 

Achille percorre quel centimetro, la tartaruga un millimetro; Achille il 

millimetro, la tartaruga un decimo di millimetro, e così all’infinito; di 

modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla”. 

Ancora Borges richiama altrove nella sua opera, per la precisione nei Prologhi, il 

primo paradosso di Zenone, quello dell’impossibilità del movimento; parla infatti 

dell’itinerario ipotetico che da un punto di partenza A dovrebbe condurre il “mobile” 

protagonista a un traguardo B, e tuttavia si rivela impercorribile perché “prima di 

arrivare a B si deve attraversare il punto intermedio C, ma prima di arrivare a C sarà 

necessario attraversare il punto intermedio D, ma prima di arrivare a D . . . ” e via 

dicendo. 

Come detto, nel corso dei millenni, miriadi di pensatori si sono affannati a contestare 

i quattro paradossi, a cominciare proprio da Aristotele, la cui confutazione 

è, per dirla ancora con Borges, di “brevità quasi sdegnosa”, o dalla critica altrettanto 

stringata che Kierkegaard attribuisce a Diogene e sottoscrive all’inizio de La 

ripetizione: 

“Visto che gli Eleati negavano il movimento, intervenne Diogene nel 

ruolo di oppositore; intervenne davvero, in quanto come noto non disse 

una parola, ma camminò semplicemente avanti e indietro due tre volte, 

col che stimò di averli confutati a sufficienza”. 

Obiezione senza dubbio incisiva, e assai più profonda e penetrante di quel che possa 

apparire. Ma gli argomenti di Zenone sembrano resistere a questo e altri assalti, perché 

coinvolgono il tema insidioso dell’infinito, il quale sembra sottrarsi per sua stessa 

natura a ogni seria misurazione scientifica. È per questo motivo che la critica di 

quei ragionamenti riesce tutt’altro che agevole e anzi espone a sua volta il fianco a 

giustificate obiezioni. Per esempio, si ha un bel dire che, come la distanza percorsa da 

Achille o dalla tartaruga, così anche il tempo impiegato a descriverla si suddivide in 

infinite parti; si ha un bell’affermare che in nessuno dei due casi, né per la distanza 

né per il tempo, questa infinita divisibilità equivale all’infinità, in altre parole si può 

benissimo essere infinitamente divisibili e contemporaneamente finiti. Di fronte a 

queste considerazioni resistono i dubbi e le perplessità che nascono, appunto, dal 

mancato sostegno di una salda teoria scientifica, che sappia estendere i suoi calcoli 

e i suoi controlli pure all’infinito. Come osserva infatti Bertrand Russell ne La 

matematica e i metafisici — uno dei saggi che compongono Misticismo e logica — 

“Zenone affrontava in realtà tre problemi più astratti del moto”, e cioè quelli “degli 

infinitesimi, dell’infinito e della continuità”. 

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carlo toffalori 

43 

Carlo Toffalori 43 

2 La vita e le opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo 

Gli sviluppi della matematica dell’Ottocento parvero rimediare a questa carenza: 

si ebbero, infatti, da un lato la sistemazione del calcolo infinitesimale e integrale 

e l’elaborazione del concetto di continuità, dall’altro la nascita della teoria degli 

insiemi e lo studio Cantoriano dell’infinito matematico. Si affacciarono allora accurate 

spiegazioni del paradosso di Achille e della tartaruga. La teoria delle serie numeriche, 

e la conseguente possibilità di calcolare appropriatamente somme di infiniti addendi, 

stabilirono per esempio l’argomentazione che segue. La riportiamo sommariamente, 

trascurando qualche finezza che sarebbe forse opportuna ma attarderebbe l’esposizione. 

Assumiamo dunque con Borges, tanto per semplificare le idee, che Achille corra dieci 

volte più veloce della tartaruga. Supponiamo poi che l’indice n denoti i successivi 

spostamenti dei due nella loro rincorsa. Allora 

• lo spazio S percorso dalla tartaruga risulta 1 + 10 −1 + 10 −2 + ··· + 10 −n + ... 

• quello S ′ percorso da Achille è invece 10 + 1 + 10 −1 + 10 −2 + ··· + 10 −n + ... 

Si osserva allora che la somma S, troncata a un qualunque numero finito di addendi, 

resta minore di 2, anzi di 10/9. Corrispondentemente S ′ rimarrà minore di 10 + 10/9. 

In particolare le due somme, S e S ′ , sono finite. D’altra parte la seconda somma si 

ottiene dalla prima moltiplicando per 10: in altre parole S ′ = 10S. Inoltre sottraendo 

la seconda somma dalla prima si ricava 9S = 10S − S = S ′ − S = 10. Si deduce che 

S = 10/9 e conseguentemente S ′ = 10 + 10/9. Si conclude che, quando la tartaruga 

ha percorso 10/9 di un metro, Achille la raggiunge. Così, una volta fissata la velocità 

sia di Achille che, conseguentemente, della tartaruga, riesce agevole calcolare pure il 

tempo del ricongiungimento: 10/9 di secondo, se si assume, per esempio, che Achille 

corra a un metro al secondo, e quindi la tartaruga a un decimetro al secondo. 

L’argomento appena proposto si estende facilmente a ogni serie geometrica di 

ragione q con 0 < q < 1, e non solo a q = 1/10. In altre parole, la spiegazione resta 

valida quale che sia il rapporto q tra le velocità della tartaruga e di Achille, e non solo 

nel caso particolare che abbiamo considerato, che è appunto q = 1/10. Del resto 

• la condizione q > 0 equivale a escludere che la tartaruga sia ferma, 

• l’altra q < 1 ad accettare che Achille sia più veloce. 

In realtà si potrebbe coinvolgere anche il caso q = 0, quello per cui la tartaruga resta 

immobile. A esso pure si applica il ragionamento, andando in realtà a dirimere il 

primo paradosso di Zenone. 

Un’altra spiegazione matematica, basata stavolta sulla teoria di Cantor dell’infinito, 

ci viene proposta da Bertrand Russell proprio ne La matematica e i metafisici. 

Secondo Russell la rincorsa di Achille e della tartaruga è un’ulteriore conferma delle 

imprevedibili sorprese che si incontrano quando si procede nel terreno insidioso



dell’infinito, illudendosi di potervi applicare le leggi che regolano l’ambito più rassicurante 

e familiare del finito. È infatti incontrovertibile che, se a una collezione finita di 

oggetti se ne toglie, o se ne aggiunge uno, quelli che restano non sono più tanti come 

prima. Consideriamo allora, per n che varia tra i naturali, le posizioni che la tartaruga 

e Achille occupano dopo il loro n-mo spostamento. C’è una corrispondenza biunivoca 

che lega le une alle altre, associando, per ogni n, l’ubicazione della tartaruga a quella 

di Achille. Inoltre, per ogni n, la posizione della tartaruga è differente da quella di 

Achille, e anzi la precede. Allora, finché l’attenzione si restringe a una sequenza 

finita di spostamenti, nessun ricongiungimento è ammissibile: affermarlo sarebbe 

come sostenere che, pur mantenendosi la corrispondenza biunivoca di cui sopra, ad 

Achille è concessa una posizione in più — il che ovviamente smentisce le precedenti 

considerazioni. 

Ma quel che è uno scandalo in un mondo finito diviene accettabilissimo all’infinito. 

È noto infatti che se alla collezione N dei numeri naturali n se ne toglie uno, per 

esempio 0, oppure se ne aggiunge un altro, come dire ∞, si ottengono tanti elementi 

quanti ce n’erano prima, esiste infatti una corrispondenza biunivoca tra N e N − {0}, 

come pure tra N e N ∪ {∞}. È quindi lecito ammettere che Achille occupi una 

posizione in più, raggiungendo la tartaruga, senza per questo contraddire la biiezione 

tra le posizioni di lui che rincorre, e di lei che viene inseguita. Il classico assioma che 

“il tutto è maggiore della parte” viene irrimediabilmente smentito. 

L’argomento riesce in verità meno convincente e incisivo del precedente, e tuttavia 

fascinoso, tanto più che Russell lo accompagna con altre spiritose esemplificazioni, 

attingendole dalla letteratura, per la precisione da Laurence Sterne e da La vita 

e le opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo. Si immagina infatti in quell’opera 

che il protagonista, Tristram Shandy appunto, si proponga di compilare la propria 

autobiografia ma, dopo aver impiegato un anno e oltre duecento pagine per sviluppare 

incredibili divagazioni sul proprio giorno natale, s’accorga che, mantenendo quel 

ritmo di composizione — un giorno all’anno —, non arriverà mai a completare la sua 

impresa. È dunque, in questo caso, Tristram Shandy a inseguire se stesso, nel tempo 

invece che nello spazio, e a far contemporaneamente da Achille e da tartaruga. Inoltre 

l’originario argomento di Zenone si ribalta, perché i tempi della rincorsa, anziché 

restringersi, si dilatano e la distanza tra inseguitore e inseguito s’accresce invece che 

diminuire. Tuttavia, sostiene Russell, se Shandy fosse stato eterno, non avrebbe avuto 

motivo di preoccuparsi: “nessuna parte della biografia sarebbe rimasta non scritta. 

Infatti: nel centesimo anno avrebbe descritto il centesimo giorno, nel millesimo anno 

il millesimo giorno, e così via”. La rincorsa temporale di Shandy, la sua ricerca del 

tempo perduto, sarebbe coronata dal successo. 

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45 


3 La spedizione al Polo Nord 

È tuttavia un dato di fatto, sorprendente quanto si vuole, ma incontestabile, che 

l’interesse di poeti e scrittori verso i paradossi di Zenone non sia minimamente scemato 

dopo l’avvento del calcolo infinitesimale e le presunte spiegazioni matematiche, e 

anzi si sia mantenuto vigile e desto, quasi più vivo di prima. A confermarlo stanno 

anzitutto Tolstoj e quel brano di Guerra e pace che accenna al caso di Achille e della 

tartaruga — “il così detto sofisma degli antichi consistente in questo, che Achille 

non raggiungerà mai la tartaruga, la quale cammina davanti a lui, nonostante che 

Achille vada dieci volte più in fretta della tartaruga”. In realtà in questo frangente 

l’inseguimento di Achille serve allo scrittore russo proprio come spunto per avviare 

una lunga digressione sul calcolo infinitesimale, che ne discute la nascita e i meriti, 

nonché le imprevedibili applicazioni all’arte bellica e all’analisi storica. 

Invece la rincorsa di Achille dà a Borges in Discussione — nei due brevi saggi già 

parzialmente richiamati, La perpetua corsa di Achille e della tartaruga e Metempsicosi 

della tartaruga — l’estro per la famosa critica all’idea dell’infinito, “concetto che 

corrompe e ammattisce tutti gli altri”, “parola di spavento che abbiamo generato 

temerariamente e che, una volta ammessa in un pensiero, esplode e lo uccide”. 

Aggiunge Borges che “ci sono altri moniti antichi contro il commercio di una parola 

tanto perfida: c’è la leggenda cinese dello scettro dei re di Liang, che diminuiva di 

una metà ad ogni nuovo re; lo scettro, mutilato da dinastie, esiste ancora”. Situazione 

che, come si vede, corrisponde al primo paradosso di Zenone e, comunque, dal punto 

di vista matematico, all’esistenza di successioni, come 2 −n oppure 10 −n al variare di 

n, 

• decrescenti, 

• a termini positivi 

• e tuttavia convergenti a 0. 

Si noti però che il secondo paradosso di Zenone è più sottile; infatti non sempre 

una simile successione determina una serie convergente a una somma finita, come 

testimoniato dalla progressione 1/n. 

Altri autori, poi, sottolineano degli argomenti di Zenone nuove imprevedibili valenze 

extra-matematiche, che nessuna teoria di limiti e serie sembra capace di spiegare. 

È il caso di Kierkegaard e del suo Diario, le cui sconfinate pagine racchiudono anche 

la parabola della Spedizione al Polo Nord. In esso il primo paradosso di Zenone è 

adattato a un tema caro al pensatore danese, e cioè al contrasto tra Cristianesimo e cristianità, 

tra la radicalità del messaggio evangelico e i compromessi, le convenienze e le 

ipocrisie delle chiese che lo professano. Immagina dunque Kierkegaard che l’umanità 

si convinca che una spedizione al Polo Nord sia essenziale per la beatitudine eterna. 

D’altra parte bisogna riconoscere che l’impresa si prospetta difficile e pericolosa, 

destinata verosimilmente solo a una ristretta minoranza di eletti. I parroci danesi, però,



non si fanno scoraggiare dall’intoppo, trovano facilmente una via d’uscita e prendono 

a predicare che perfino il semplice abbozzo di un tentativo di spedizione al polo — 

un comodo viaggio verso la tappa intermedia di Londra, oppure, perché no?, una 

passeggiata domenicale nel parco o addirittura il solo anelito a compierlo — è già un 

passo decisivo verso la salvezza. 

Il paradosso di Kierkedgaard è citato da Borges in Altre disquisizioni, nel saggio 

dedicato a Kafka e i suoi precursori, dove ulteriori trasposizioni letterarie di Zenone, 

dovute per esempio a Léon Bloy e Lord Dunsany, sono citate e confrontate. Né 

l’elenco si esaurisce qui, altri autori si potrebbero aggiungere al proposito, come Carlo 

Emilio Gadda e la personalissima cronaca ch’egli redige della rincorsa di Achille nel 

Primo libro delle favole. 

Ma lo scrittore che più facilmente si accosta a Zenone è ovviamente Franz Kafka. 

Dice Borges sempre in Kafka e i suoi precursori, a proposito del paradosso della 

tartaruga, che “la forma di questo illustre problema è, esattamente, quella del Castello, 

e il mobile e la freccia e Achille sono i primi personaggi kafkiani della letteratura”. In 

effetti l’agrimensore K. — il protagonista del romanzo, il quale anela senza successo di 

accedere al Castello che pure l’ha convocato — rivive gli stessi imbarazzi dell’antico 

“mobile” di Zenone, così come sibillini, criptici e inconcludenti sono i messaggi che 

dal Castello dovrebbero arrivargli e i latori che dovrebbero recapitarglieli. Il tema 

della lettera che non arriva, nell’ambasciatore che non sa districarsi dagli infiniti 

ostacoli che lo bloccano, compare del resto già nell’altro famoso racconto kafkiano 

dal titolo Il messaggio dell’imperatore, e viene anzi ripreso in Durante la costruzione 

della grande muraglia cinese dove anzi si congiunge a molteplici varianti dei vecchi 

paradossi, tant’è vero che Borges, nel suo Prologo dedicato a Kafka: la metamorfosi, 

ne compendia il contenuto nel modo che segue: 

“per arrestare l’avvicinarsi di eserciti infinitamente lontani, un imperatore 

infinitamente remoto nel tempo e nello spazio comanda che infinite 

generazioni costruiscano una muraglia infinita che circoscriva il suo 

infinito impero”. 

Echi kafkiani di Zenone si colgono in Una confusione quotidiana, dove due vicini si 

rincorrono inutilmente senza riuscire mai a incontrarsi; oppure nel Prossimo villaggio, 

dove si tratta il tempo smisurato e inaccessibile che si impone per raggiungere a cavallo 

il paese vicino; oppure, finalmente, in Davanti alla legge, racconto che viene ripreso 

e ampliato anche nel finale del Processo. In esso si immagina che il protagonista 

consumi l’intera vita seduto su uno sgabello, nell’inutile attesa di accedere appunto alla 

legge. In tutti questi casi gli antichi paradossi diventano lo spunto per simboleggiare, 

più che l’impossibilità del movimento, il dramma umano dell’incomunicabilità e 

dell’esclusione, la ricerca angosciata e inconclusa di un senso della propria vita. 

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4 Quel che la tartaruga disse ad Achille 

Di fronte a tanta dovizie di esempi letterari, tutti successivi alla crescita del calcolo 

differenziale, e di fronte all’autorità dei geni che li hanno composti, spesso consapevoli 

di queste novità scientifiche, viene seriamente da dubitare che la matematica sappia 

realmente dipanare l’essenza del problema zenoniano. Viene anzi in mente un altro 

grande della poesia, Paul Valéry, nel suo Cimitero marino taccia di “crudele” l’antico 

filosofo greco. L’irraggiungibile tartaruga sembra infatti, più che un esercizio inoffensivo 

di matematica, l’emblema dell’imperfezione umana, della nostra incapacità di 

conoscerci e conoscere. C’è allora quasi da sottoscrivere l’opinione di Kant, secondo 

cui le antinomie di Zenone sono non divertimenti sofistici o contorsioni mentali, ma 

solo l’inevitabile conseguenza degli insuperabili limiti della nostra ragione. L’inspiegabile 

paradosso diventa proprio come la tartaruga, e i nostri tentativi di comprenderlo 

come l’inutile rincorsa del piè veloce Achille. 

Né una simile conclusione genera, matematicamente parlando, eccessivi sconcerti, 

ché anzi si collega facilmente ai teoremi di incompletezza di Gödel: i quali pure 

sottolineano, a proposito dei numeri naturali, l’impossibilità umana di coglierne 

efficacemente i fondamenti, e contemporaneamente la coscienza, anzi la prova provata 

— matematicamente provata — di questa impossibilità. Infatti ogni sistema coerente 

di assiomi e regole di deduzione, che la mente elabora per dominare l’aritmetica, 

sperimenta zone d’ombra, s’imbatte in affermazioni che non sa né dimostrare né 

confutare e in definitiva rimanda a teorie più ricche e potenti — capaci finalmente 

di dirimere quella particolare questione, e tuttavia ancora vulnerabili e incomplete, 

perché condannate ad analoghi imbarazzi: per quanto avanti ci si spinga nel mondo 

dei numeri, per quanto si perfezioni la loro analisi, restano sempre zone inesplorate 

da raggiungere. In questo ordine di idee diventa allora automatico, quasi scontato, 

paragonare la tartaruga all’aritmetica e Achille ai tentativi di comprenderla. Come 

proprio Tristram Shandy annota, perfino la scienza è “divisibile ad infinitum”. 

Sempre in tema di matematica, c’è un’ulteriore legame con i paradossi di Zenone 

che vale la pena illustrare, relativamente recente e anzi ispirato dagli orizzonti 

dell’informatica teorica e della moderna crittografia. Per introdurlo, conviene far 

riferimento all’altra celebre variante del vecchio argomento di Zenone che Lewis 

Carroll propone in Quel che la tartaruga disse ad Achille. Come ricorderete, vi si 

immagina che Achille e la tartaruga, abbandonata la loro gara inconcludente, prendano 

a discutere di geometria, in particolare della “prima proposizione di Euclide” relativa 

alla costruzione di un triangolo equilatero di lato assegnato AB. La procedura per 

ottenerla è facile da riassumere: 

• si tracciano le circonferenze con raggio AB e centro A, B rispettivamente; 

• si considera un loro punto di intersezione C — passaggio in realtà controverso, 

dato che i postulati euclidei non assicurano affatto che un tale punto C esista:



ma non sono questi il momento e il luogo di soffermarsi sulla questione; 

• si osserva poi che AC è raggio della prima circonferenza, e quindi uguale ad 

AB; 

• allo stesso modo BC è raggio della seconda circonferenza, e come tale ancora 

uguale ad AB; 

• si conclude che AC e BC, in quanto uguali ad AB, sono uguali tra loro. 

La tartaruga e Achille discutono in particolare il sillogismo finale: 

a) due cose uguali a una terza sono uguali tra loro; 

b) i due segmenti AC e BC sono uguali ad AB; 

z) i due segmenti AC e BC sono uguali tra loro. 

La tartaruga accetta le premesse a) e b) ma nega che esse giustifichino da sole la 

conclusione z). Persuade anzi Achille della necessità di interporre una proposizione 

ipotetica: 

c) se a) e b) sono valide, z) è valida. 

Ma neppure a questo punto la tartaruga si dichiara soddisfatta: accetta infatti la validità 

di a), b) e c), ma nega che se ne possa dedurre z). Achille è allora portato a interpolare: 

d) se a), b) e c) sono valide, z) è valida. 

Tuttavia neanche d) è la tappa decisiva del sillogismo, l’intrico prosegue senza fine, 

scomodando ipotesi intermedie sempre uguali e sempre nuove, così che al narratore 

non resta che chiosare: “alcuni mesi più tardi . . . Achille era ancora seduto sul guscio 

della paziente tartaruga e scriveva ancora sul taccuino, che sembrava tutto riempito”. 

Come si vede, stavolta ad affannarsi è non la tartaruga che fugge, ma l’eroe che 

cerca una logica spiegazione; l’animale, invece, regge beffardo le fila del gioco, forte 

di una logica superiore, certo di non essere raggiunto. Ebbene, la storia fantastica di 

Carroll serve per introdurre nel modo migliore gli sviluppi della moderna complessità 

computazionale cui già si accennava, a cominciare dalla questione P = NP. In che 

cosa essa consista, immaginiamo che sia ben noto al lettore. Conviene però che la 

ricapitoliamo sommariamente, per meglio apprezzare il collegamento con Zenone. 

Supponiamo allora, tanto per fare un esempio, che n sia un numero naturale 

prodotto di due primi distinti p e q, che la tartaruga conosca questi fattori ma Achille 

invece li ignori e cerchi di trovarli. In teoria l’eroe ha la garanzia assoluta di coronare 

i suoi sforzi, sa infatti dal teorema fondamentale dell’aritmetica che n si decompone 

in modo unico in fattori primi; dunque, in linea di principio, gli basta controllare se 

n è divisibile per 2, poi per 3,5,7,11 e via dicendo, per scoprire prima o poi p e q. 

Nella pratica, però, non c’è garanzia alcuna che i suoi calcoli scorrano così lisci. Al 

contrario, se p e q fossero enormemente grandi, i suoi tentativi si accumulerebbero 

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senza successo. Per ottenere i due primi misteriosi, Achille dovrebbe infatti controllare 

una quantità sterminata di casi intermedi, senza certezza alcuna d’arrivare in breve 

alla soluzione. È un dato di fatto: quand’anche Achille abbandonasse le procedure 

artigianali appena descritte e ricorresse agli algoritmi più sofisticati che la teoria 

dei numeri propone e ai calcolatori più rapidi e potenti che l’informatica dispone, 

sperimenterebbe analoghi imbarazzi e la sua ricerca potrebbe richiedergli, come nel 

caso di Carroll, non il breve palpito di un attimo ma, senza esagerazione alcuna, “tutto 

il tempo del mondo”, e cioè tanti secondi quanti ne sono trascorsi dalla scintilla del 

Big Bang originario fino a oggi, e forse anche di più. D’altra parte, basterebbe che la 

tartaruga, che invece conosce i due fattori primi, si degnasse di rivelargliene anche uno 

solo, per esempio p, perché Achille con la semplice divisione di n per p recuperasse 

anche q e l’intera decomposizione. È questa appunto la situazione dei problemi di NP. 

Infatti in teoria della complessità 

• P denota la classe dei problemi che si risolvono “rapidamente”, 

• NP è invece la classe dei problemi che ammettono soluzione rapida solo quando 

si può ricorrere a un qualche “aiutino”. 

La ricerca di p e q a partire da n è appunto l’esempio di un problema che sta certamente 

in NP, ma chissà se anche in P. Ovviamente la definizione rigorosa delle due classi, P 

e NP, presuppone che si chiarisca preliminarmente che cosa sia un algoritmo “rapido” 

di soluzione — al che provvedono teorie sottili e controverse. La lettera P sta proprio 

a sottolineare, tanto in P quanto in NP, la deliberazione secondo cui una procedura è 

veloce quando opera in tempi al più “polinomiali” rispetto alla lunghezza degli input. 

P per polinomiale, dunque: ipotesi dibattuta, come si diceva, ma della quale non è il 

caso di disquisire qui. 

A prescindere da queste finezze teoriche, la situazione di P e NP richiama i quiz 

serali della televisione, in cui il concorrente è tenuto a rispondere in tempi ragionevoli 

ma, quando non sa districarsi da solo, può talora avvalersi di qualche suggerimento 

telefonico. Il caso in cui il concorrente fa presto e bene da sé è quello di P, l’altro, in 

cui si affida all’ausilio esterno, corrisponde invece a NP. La questione P = NP chiede 

allora fino a che punto l’aiutino è decisivo. È evidente, infatti, che il suggerimento 

accelera la risposta. Ma nulla vieta che, in sua assenza, la soluzione arrivi ugualmente 

in tempi forse più rilassati, ma del tutto accettabili: un po’ meno rapidi, ma pur sempre 

rapidi. D’altra parte niente esclude che, al contrario, in assenza di aiuto l’attesa della 

risposta si dilati e superi ogni limite ragionevole. Il caso di n, p e q ce lo conferma: 

Achille può spendere una vita intera se si intestardisce a procedere da solo; ma se 

la tartaruga si degna di aiutarlo, diventa capace di rispondere quasi immediatamente. 

Situazione che evidentemente richiama il primo paradosso di Zenone e sottolinea la 

distanza incolmabile che talora si stabilisce tra chi detiene l’informazione e chi invece 

la ignora.



5 Metempsicosi della tartaruga 

Si potrebbe sostenere che il secondo paradosso di Zenone è più “dinamico” del 

primo. È vero che l’uno e l’altro servono a criticare l’idea del moto, e quindi una 

loro classifica per solerzia appare decisamente esagerata e fuori luogo. Tuttavia l’idea 

stessa di uno sprint tra due contendenti suscita certamente maggior emozione che non 

il personalissimo travaglio del “mobile” solitario. Mal si adatta, allora, a questo spirito 

di competizione l’esempio di P e NP, dove la tartaruga è la depositaria immobile e 

consolidata del sapere, quasi come una sibilla, così che sta solo alla sua discrezione 

e al suo umore di elargirlo o no all’angosciato Achille. Si preferirebbe invece che il 

gioco fosse più vivo e partecipato e che pure l’animale vi svolgesse un ruolo attivo. 

Ebbene, c’è un altro orizzonte della teoria informatica della computabilità che 

corrisponde pienamente a questa aspirazione. Si tratta della così detta complessità 

interattiva. In essa si immagina che due interlocutori collaborino al buon esito di una 

procedura: da un lato chi, come Achille, si sforza di trovare la soluzione e dall’altro 

chi, come la tartaruga, può talora illuminarlo nella ricerca; in termini più calzanti e 

generali, da una parte l’uomo che si affida al calcolatore e dall’altra la macchina che 

provvede ad assisterlo. Si suppone allora che colui, o colei, che interpella il computer 

possa ogni tanto fermarsi, ricapitolare lo stato del lavoro e riformulare in termini più 

mirati la sua domanda iniziale. 

Dobbiamo però confessare che non Achille e la tartaruga, ma altri personaggi 

leggendari sono evocati a rappresentare i due protagonisti, almeno secondo le convenzioni 

che si sono ormai stabilite in informatica: per l’esattezza il giovane Artù e il 

Mago Merlino, l’uno come ragazzo cocciuto e ignorante, deciso a farsi convincere 

solo dall’assoluta evidenza; l’altro come saggio depositario della verità e dispensatore 

dei suoi frammenti. Artù come Achille, dunque, o come un ricercatore seduto al 

computer, e Merlino come la tartaruga, o come la macchina che elargisce le risposte. 

Né c’è da dispiacersi troppo che questi due nuovi interpreti vengano a sostituire gli 

antichi protagonisti della tenzone. Borges, per esempio, non potrebbe che rallegrarsi 

della gran varietà di personaggi che provvedono a vivacizzare il paradosso: non solo il 

“Pelide” e la tartaruga, ma anche Tristram Shandy all’inseguimento di se stesso, come 

si diceva poco fa, oppure Artù e Merlino, come scopriamo adesso. 

Ma ritorniamo agli algoritmi interattivi, affidandoci per semplicità ancora ad 

Achille e alla tartaruga per spiegarne lo svolgimento. La situazione di partenza è la 

seguente: si immagina che ci sia un enigma da risolvere, con due possibili risposte 

— sì oppure no —, ad esempio che ci sia da decidere se un dato numero n è primo 

oppure no, e che la tartaruga debba convincere Achille che la risposta è sì. Come 

anticipavo parlando di Artù, si presuppone che Achille non abbia né scienza né cultura 

e sia capace al massimo di svolgere qualche conto semplice semplice; in compenso è 

testardo e sospettoso e non vuol farsi persuadere se non di fronte all’evidenza. Così gli 

è data facoltà di incalzare la tartaruga con domande insistite, ma casuali, capricciose, 

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senza logica alcuna se non quella dell’ispirazione del momento. L’animale, a sua 

volta, è tenuto a rispondere, ma non ha l’obbligo di essere sincero, può mentire e anzi 

ingannare, se vuole. Nel modello informatico, però, si prevede espressamente che 

• se la risposta finale è sì, la tartaruga abbia alta probabilità di convincerne Achille, 

• se la risposta invece è no, la probabilità che la tartaruga imbrogli Achille e lo 

persuada del contrario sia bassa. 

Sempre nel canone scientifico si richiede, ovviamente, che la corrispondenza tra 

Achille e la tartaruga sia sbrigata in tempi ragionevoli, che non troppi, né troppo 

lunghi, siano i messaggi che i due si scambiano. La classe dei problemi che si 

prestano a una tale procedura di soluzione è denotata IP, a significare “interattivo 

polinomiale”. C’è un teorema famoso che la identifica alternativamente come la 

classe dei problemi che si risolvono impiegando risorse di memoria al più polinomiali 

rispetto alla lunghezza degli input. 

Questo ci insegna la complessità computazionale. Ma passando a Zenone possiamo 

bene immaginare il protocollo appena illustrato come un’ulteriore esemplificazione 

dell’antico inseguimento. La tartaruga, infatti, ben si presta a rappresentare la verità, o 

comunque chi la possiede, e Achille a interpretare chi la rincorre. L’una può erogare 

all’altro briciole di informazioni oppure bugie. Se poi escludiamo dal protocollo 

informatico ogni preoccupazione di onestà, ogni aspirazione a un lieto fine, così da 

abolire i vincoli che sanzionano eventuali inganni e scadenzano i tempi di risposta, 

ecco che la tartaruga acquista libertà assoluta di condurre il gioco, di rispondere il vero 

o il falso a suo piacimento e in definitiva di pilotare Achille fin quando e dove vuole, 

sino all’infinito, proprio come nel caso di Carroll e dei suoi sillogismi. Prospettiva 

che non costituisce solo l’ennesima variante dell’antico gioco zenoniano, ma giunge a 

trasmettere qualche accigliata apprensione, quando si osserva come per quest’ultima 

sua “crudele” metempsicosi la tartaruga scelga le vesti del calcolatore e ne sottolinei 

così i poteri inquietanti e i margini di inaffidabilità. 

✉CARLO TOFFALORI 

Scuola di Scienze e Tecnologie 

Università di Camerino.


I GIOVANI E LA MATEMATICA 

È vero che la Matematica può anche essere interessante? 

L’intervista tra i giovani della sezione Mathesis di Rovigo 

Qualche tempo fa siamo stati invitati, come sezione giovani della Mathesis rodigina, 

a scrivere un articolo riguardo al nostro rapporto con la matematica, facendo particolare 

attenzione a come ci sia apparsa al liceo e come e perché l’abbiamo scelta come disciplina 

Universitaria. 

Per rendere la questione più concreta e sincera abbiamo scelto di intervistare tre ragazzi 

della stessa sezione giovani, per meglio capire cosa sia per loro la Matematica, come si siano 

appassionati e come la vivano all’interno della loro realtà di liceali e universitari. 

La prima intervista è rivolta a LORENZO VALENTINI, giovane iscritto alla Mathesis di 

Rovigo studente di quinta del Liceo Scientifico Paleocapa, anch’esso di Rovigo. 

Qual è stato il tuo primo approccio con la Matematica al liceo? 

LORENZO : La Matematica era una delle materie che preferivo sin dalle scuole elementari, 

ma il Liceo mi ha fatto scoprire quel qualcosa in più che ha permesso mi appassionassi 

definitivamente a questa disciplina. La cosa che mi ha subito colpito fu come il professore 

avesse introdotto in modo logico e dimostrativo le classiche operazioni quali l’addizione, la 

moltiplicazione ecc. che fino allora credevo processi meccanici sui quali non ci fosse nulla 

da discutere. Lezione dopo lezione ci venivano spiegati i concetti di definizione, assioma, 

teorema: mi divenne chiaro come la Matematica fosse molto più che “fare i conti”. Si spalancò 

ai miei occhi un complesso sistema logico, dove tutto veniva dimostrato, nulla lasciato al caso. 

C’è stato un argomento che ti è stato particolarmente utile per apprezzare la Matematica? 

L. : Un ruolo fondamentale l’ha giocato la geometria euclidea studiata al biennio. Si trattava 

di una geometria diversa da quella studiata alle medie. Le formule applicate in maniera 

meccanica lasciarono spazio a dimostrazioni di teoremi: anche le proprietà più banali non 

sfuggivano a questo sistema rigoroso. Studiare i vari teoremi giorno per giorno e applicarli in 

esercizi mai banali, dove un ruolo importante era giocato dall’intuizione, mi stimolava e mi 

divertiva. Fu da allora che la matematica cominciò davvero ad affascinarmi. La geometria 

analitica cominciata al triennio fu poi un altro argomento basilare: ora le figure venivano 

trattate con numeri, la geometria e l’algebra del biennio si erano fuse in questo nuovo, grande 

argomento: tutto tornava, sembrava quasi una strana magia. 

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MathEsis rovigo, sEzionE giovani 

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Mathesis Rovigo, sezione giovani 53 

Credi che oggi, in particolare nella tua scuola, ci siano opportunità per rendere 

piacevole e interessante la matematica a tutti gli studenti? 

L. : Sì, e molteplici. 

In primo luogo grazie al “Progetto nazionale lauree scientifiche”, da quest’anno promosso 

a “Piano nazionale lauree scientifiche”, sono stati organizzati al Liceo Paleocapa una serie 

di incontri sulla Matematica sull’argomento “Sistemi Dinamici”, aperti anche agli studenti 

di altre scuole della provincia. Durante i vari incontri si è preso in esame come usare 

la matematica per studiare sistemi variabili nel tempo, come ad esempio l’aumento della 

popolazione. Dal momento che molti ragazzi, a mio parere, si allontanano dalla matematica 

per la sua apparente astrazione dal mondo, il corso risultava molto interessante per vedere 

come invece la matematica sia utile in ambiti quotidiani. 

In secondo luogo il progetto “Olimpiadi della Matematica” cui la scuola ha aderito ritengo sia 

un’ottima occasione per approfondire personalmente argomenti di solito trascurati a scuola 

(combinatoria, teoria dei numeri.). La vena competitiva del progetto è stimolante e permette 

sia di vedere la matematica come uno sport sia di confrontarsi con studenti di tutta Italia sul 

proprio livello di dimestichezza con tale disciplina. 

Ultima, ma non per importanza, la neonata associazione rodigina “Mathesis”: la speranza è 

quella di avvicinare il maggior numero possibile di ragazzi alla “regina della scienze” con la 

promozione di conferenze, cineforum, pubblicazioni di argomento matematico, cercando un 

taglio originale e divulgativo. 

Segue l’intervista in parallelo a MATTIA FOGAGNOLO e GIACOMO ELEFANTE, due 

ragazzi iscritti al primo anno del corso di Laurea in Matematica, presso l’Università di Padova. 

Anch’essi sono iscritti alla Mathesis e sono ex studenti del Liceo Paleocapa. 

Perché avete scelto Matematica come corso di studi universitario? Quali sono gli 

aspetti della materia che più vi affascinano? 

M.F. : Beh il motivo principale per quanto mi riguarda è piuttosto scontato e se vogliamo 

banale, matematica è sempre stata la materia in cui ho ottenuto i migliori risultati, e che è 

sempre riuscita a mantenermi vivo l’interesse durante le lezioni. La “scintilla” è scattata 

tuttavia durante il terzo anno del liceo, con le prime nozioni di geometria analitica, che mi 

hanno fatto avvicinare a quella che è tutt’ora la mia materia preferita, e cioè l’analisi. La 

decisione di iscrivermi a Matematica l’ho presa infatti solamente al quinto anno, in quanto 

affascinato da concetti più avanzati come la teoria delle derivate e il calcolo integrale. Ad un 

livello più generale amo della matematica le sue basi prettamente teoriche, forse perché si 

adattano in un certo senso alla mia personalità, assai poco pratica. 

G.E. : La prima risposta è ovviamente il fatto che la matematica mi è sempre piaciuta, ma 

posso dire di essere stato anche fortunato poiché, fin dalle medie, passando poi per le superiori, 

ho sempre avuto degli insegnanti che mi hanno stimolato nell’apprendimento di questa materia. 

Nonostante questo però la scelta di iscrivermi a Matematica è stata presa alla fine del quarto 

anno di scuole superiori, anche se mi sono sempre continuato a chiedere se fosse la scelta 

giusta, avendo da sempre un debole per l’astronomia. Penso tuttavia di aver scelto per il 

meglio; mi sono da sempre sentito portato verso questa materia e, credo, mi sarei rimproverato 

per sempre se non avessi intrapreso questo percorso. Adoro l’eleganza di questa materia e il



fatto che la matematica possa essere, allo stesso tempo, sia raffinata e astratta ma anche pratica 

e applicata a problemi quotidiani. 

Si sente e si legge molto spesso che il corso di Matematica sia particolarmente 

impegnativo, tanto da essere considerato a volte quasi proibitivo. Che cosa ne 

pensate? 

G.E. : Sono d’accordo sul fatto che sia impegnativo. Non si può pensare di passare gli esami 

in maniera perfetta senza nemmeno impegnarsi, ma questo vale per molte facoltà. Lo studio è 

necessario ma non lo è passare giornate intere sui libri, si può benissimo avere una vita sociale 

e vari altri impegni. All’inizio magari può anche un po’ spaventare, sia per il ritmo diverso, 

più veloce e intenso, ma anche per gli argomenti più completi e difficili rispetto a quelli del 

liceo. 

M.F. : Non posso assolutamente negare che il corso sia impegnativo; la frequenza costante alle 

lezioni è quasi obbligatoria per ottenere risultati decorosi, e una certa attitudine alla materia 

non è assolutamente sufficiente a garantirsi il successo. L’impegno è quindi fondamentale, e 

ancor più la convinzione e l’interesse per gli argomenti. Ammetto che i primissimi periodi sono 

risultati piuttosto sconfortanti, per via soprattutto del ritmo e dello stile delle lezioni piuttosto 

diversi da quelli del liceo. Chiariamo subito però che è non affatto necessario “uccidersi di 

studio” per continuare, io e Giacomo ad esempio, ma con noi molte altre matricole, stiamo 

affrontando il corso in modo sereno e senza trascurare la vita sociale e svariati interessi. 

Quindi non è necessario essere “geni” per studiare Matematica? 

M.F. : Beh avere un certo talento sicuramente aiuta, ma penso che molto più importanti siano 

l’impegno e la passione per la materia. 

G.E. : Essere portati per la materia aiuta sicuramente, conosco molte persone che sono 

talentuose e capiscono al volo gli argomenti, ma di certo non basta. Lo studio e l’esercizio, 

nonché l’interesse degli argomenti, sono altrettanto importanti, se non di più. 

Per concludere, a chi e perché consigliereste di scegliere Matematica? 

M.F. : Consiglio di prendere in considerazione Matematica a tutti coloro che provano entusiasmo 

per certi aspetti della materia e hanno intenzione di darsi da fare per questa. Se 

riusciranno a entrare nel giusto “ordine di idee” (è piuttosto difficile da spiegare a parole, 

chiedo scusa), di sicuro non verranno delusi dalla profondità degli argomenti che solo il corso 

di Matematica ha in programma. 

G.E. : A chi ama la matematica, a coloro che riescono ad appassionarsi e a capire la soddisfazione 

che può portare lo studio di questa bellissima materia. Certo, non potranno piacere tutti 

gli argomenti, ma è la vastità e la profondità che ognuno di essi ha che affascina. Quindi se 

c’è interesse verso questa materia sono sicuro che si sarà soddisfatti dalla scelta di studiare 

Matematica. 

Mathesis Rovigo 

sezione giovani 

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Matematica ed educazione linguistica 

Bruno Carbonaro 

Abstract: An english abstract for this paper seems to be rather paradoxical, since the object of the present 

discussion is the possibility of using mathematical (or rather meta-mathematical) ideas and perspectives 

as a tool for education to a correct way of teaching and viewing italian language, not only from a logical 

but mainly from a morphological viewpoint. But, of course, should this use of mathematics turn out to 

be effective for linguistic education, it could be applied to any natural language. 

1 Preliminari sull’interdisciplinarità e sulla “mentalità matematica” 

Questa nota vuole proporre e discutere la tesi che la lingua italiana (o qualsiasi 

altra lingua naturale), non solo e non tanto nei suoi aspetti logici, ma anche nei suoi 

aspetti morfologici, si possa insegnare in una prospettiva e con una metodologia interdisciplinare, 

facendo uso di schemi logici e strumenti matematici o, più correttamente, 

meta-matematici. 

Sono consapevole che questa proposta apparirà incongrua e velleitaria alla maggior 

parte dei lettori matematici, anche i più innamorati della loro disciplina; peggio ancora 

accadrebbe se un docente d’italiano nelle scuole medie inferiori e superiori si trovasse 

per caso a leggere queste frasi: quasi certamente liquiderebbe la mia tesi come un puro 

non-senso, e si sentirebbe offeso dal tentativo di un profano di invadere un campo che 

ritiene di sua esclusiva competenza. 

Il motivo per cui bisogna attendersi questo genere di reazioni è duplice. 

In primo luogo, sebbene la parola “interdisciplinarità” imperversi ormai da almeno 

trent’anni in ambiente scolastico e universitario, e in tutte le formulazioni accattivanti 

di progetti didattici, la didattica interdisciplinare — almeno a quanto mi risulta 

— è stata realizzata soltanto intorno ad argomenti ovviamente ibridi. Per esempio, 

la geografia nella prospettiva del docente di lettere e la matematica intervengono 

paritariamente nell’insegnamento dei fusi orari, della cartografia, e delle differenze 

stagionali tra diversi luoghi; oppure, la matematica e l’educazione musicale forniscono 

due prospettive che si integrano vicendevolmente nella comprensione del funzionamento 

degli strumenti musicali; o ancora, educazione musicale e lettere possono 

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completarsi in un serio studio della metrica e degli aspetti ritmici della poesia. Ma qui, 

come caso particolare di una tesi più generale, secondo la quale “interdisciplinarità” 

dovrebb’essere integrazione di metodi e prospettive, non solo giustapposizione di 

aspetti complementari e dei differenti linguaggi atti a descriverli, si propone che le 

competenze e gli obiettivi del letterato e del linguista si giovino dei metodi e dei modi 

di vedere dei matematici. 1 E questo può far paura: si può temere di essere espropriati 

di parte dei propri scopi e di dover subire una non condivisibile formulazione dei 

propri problemi, nonché di dover abbandonare le prospettive cui si è affezionati per il 

fatto stesso di dover apprendere un linguaggio del tutto nuovo per descriverle. 

A ciò si deve aggiungere, come secondo motivo di rifiuto, l’istintiva diffidenza che 

tutti i cultori di discipline che non utilizzino storicamente il linguaggio matematico, e 

fra queste segnatamente le cosiddette “discipline umanistiche”, provano nei confronti 

dei matematici. La classica incomunicabilità e apparente incompatibilità tra le “due 

culture”, la scientifico-formale e l’umanistica, che trentacinque anni fa occupò gli 

scritti di numerosi autori e studiosi di didattica, al cui superamento tutti i più illustri 

teorici della scuola da allora richiamano i docenti e gli alunni di tutte le scuole di 

ogni ordine e grado, non soltanto resiste quasi imperturbata, ma riceve costantemente 

nuovo impulso da numerosissime istanze sub-culturali espresse dalla società attuale. 

Per effetto di questa dicotomia, quasi tutti i non-matematici, e soprattutto gli umanisti, 

tendono a considerare i matematici quasi esclusivamente come “specialisti della 

quantificazione”, e perciò non soltanto incapaci di intervenire nello sviluppo e nell’insegnamento 

di tutto ciò che non è “quantificabile”, 2 ma anche rigidamente schematici 

e schiavi di regole immutabili. Sembra impossibile riuscire a far entrare in testa ai 

non-matematici, ma talvolta anche a qualche matematico, che dagli inizi del secolo 

scorso, o addirittura dalla fine del secolo XIX (GEYMONAT, 1976), con la scoperta 

dell’indipendenza dell’assioma delle parallele dagli altri della geometria euclidea, con 

la nascita delle geometrie ellittica e iperbolica, da un lato, e la pubblicazione della 

fondamentale opera di G. Boole (BOOLE, 1976) sull’applicazione delle procedure 

algebriche alla logica, dall’altro, e le conseguenti indagini sui fondamenti della matematica 

(GEYMONAT, 1976; MESCHKOWSKI, 1976; STABLER, 1970; WAISMANN, 

1971), con l’enunciazione dello slogan russelliano “la matematica può essere definita 

come la disciplina nella quale non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se 

quel che stiamo dicendo sia vero” (RUSSELL, 1970), e con la proposta hilbertiana 

di una prospettiva puramente formale per la fondazione e lo sviluppo di ogni teoria 

matematica (MESCHKOWSKI, 1976), il significato, gli scopi e i metodi di questa 

1 Storicamente, questo è ciò che è accaduto ogni volta che una qualsiasi disciplina ha trovato 

una controparte etichettata con l’aggettivo “matematica” (fisica → fisica matematica, logica → logica 

matematica, ed oggi, gloriosamente, biologia → biologia matematica ed economia → economia 

matematica). 

2 Qui, gioverà ricordarlo, “quantificare” la descrizione di un’esperienza significa esclusivamente 

associare a tale esperienza un numero, come risultato di un conteggio o di una misura. 

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Bruno Carbonaro 57 

disciplina si debbono considerare radicalmente mutati, sì che la “quantificazione” deve 

ormai ritenersi come l’ultima preoccupazione del matematico, a meno che non la si 

intenda come la rappresentazione simbolica strettamente non ambigua degli oggetti del 

discorso e delle loro possibili relazioni (e delle possibili relazioni tra le loro relazioni, 

e delle possibili relazioni tra le mutue relazioni delle loro relazioni, . . . e così via). 

Inoltre, anche quando sia stata riconosciuta questa indipendenza della matematica 

dalla percezione puramente quantitativa (nel senso aritmetico e agrimensurale) del 

mondo, la preoccupazione squisitamente linguistica di evitare le ambiguità descrittive 

si interpreta di norma come una manifestazione di pignoleria (la famosa pignoleria 

dei matematici) che sarebbe fuori luogo in qualsiasi applicazione nelle problematiche 

“umanistiche” (linguistiche, sociali, politiche, etiche), dove l’ambiguità si considera 

quasi alla stregua di una legge di natura. Questo, a mio avviso, si deve alla diffusa 

confusione tra ambiguità descrittiva e ambiguità percettiva, ossia differenza di percezione 

di uno stesso oggetto (o di una stessa situazione) da parte di individui diversi, 

che rende possibile la formazione di una molteplicità di opinioni inconciliabili e in 

competizione: ne consegue che l’impegno di eliminare le ambiguità si interpreta come 

inimicizia nei confronti della pluralità delle opinioni (espressa dal vecchio, odioso 

adagio “la matematica non è un’opinione”, il quale, tra l’altro, come vedremo tra poco, 

è in larga misura falso). 

In realtà, un po’ di riflessione su quegli stessi elementi della recente evoluzione 

storica della matematica che abbiamo ricordato precedentemente rivelerebbe ai 

non matematici (e anche a qualche matematico) che il compito cui è approdata la 

matematica moderna è la suddivisione delle opinioni in “gruppi di compatibilità”: 

in ciascun gruppo, devono trovar posto soltanto opinioni che non si contraddicano 

vicendevolmente — e cioè che non siano tali che la verità di una comporti la falsità 

di qualcuna delle altre — e le loro conseguenze comuni. Ed è anche importante 

controllare, alla scoperta di ogni nuova conseguenza, che non ci siano contraddizioni 

tra essa e le conseguenze precedentemente riconosciute. È questa la ricerca della 

coerenza (o, come i matematici amano dire, consistenza) che deve caratterizzare la 

“compatibilità” tra tutte le affermazioni appartenenti a uno stesso gruppo. Ogni gruppo 

di compatibilità può ambire allo status di teoria matematica, tanto che si potrebbe 

addirittura sostenere che la matematica potrebbe oggi ragionevolmente definirsi come 

“l’arte di riconoscere (e classificare) le opinioni in quanto tali, sì che nessuna possa 

ambire a prevalere sulle altre”. L’approfondimento di questa descrizione, tuttavia, non 

fa parte degli scopi di questa nota, e dobbiamo lasciarlo da parte. Quello che invece 

vogliamo sottolineare è il valore educativo che di conseguenza si dovrebbe riconoscere 

a quegli stessi metodi che assicurano alla matematica il successo nel raggiungimento 

del suo obiettivo (cfr. PUTNAM, 1993; VON WRIGHT, 1989). 

Ciò premesso, siamo indotti a considerare una diversa possibile concezione 

dell’ “interdisciplinarità”, nella quale conteggi, misure, tecniche di calcolo e descrizio-



ni geometriche si considerino aspetti riservati ad applicazioni specifiche, al di sopra 

e al di fuori delle quali si persegua l’utilizzo della caratteristica più fondamentale 

della matematica, comune a tutte le teorie che ne fanno parte: quella che potremmo 

permetterci di identificare come la “mentalità matematica”. Oggi questa mentalità 

può identificarsi proprio con la sopra descritta ricerca della coerenza o consistenza dei 

sistemi di affermazioni, e quindi nel tentativo di perfezionare le capacità di riconoscere 

— date certe affermazioni libere, le tanto amate “opinioni” — tutte le altre che ad esse 

sono necessariamente vincolate e che, utilizzando il modo di dire matematico, ne sono 

gli inevitabili “teoremi”. 

L’applicazione di questa mentalità e di questa ricerca non soltanto alla nostra 

formulazione, ma soprattutto alla didattica, delle regole del linguaggio, e alla comunicazione 

del loro significato e del loro valore, sarà l’oggetto di questa nota. 

2 La ricerca della coerenza nelle discipline normative 

Il nostro scopo è applicare la sistematica ricerca della coerenza alla pratica della 

didattica del linguaggio. A tal proposito, cominceremo con l’osservare che lessico, 

dizione, ortografia, morfologia, grammatica e analisi logica, le sei tradizionali fasi 

nelle quali si articola lo studio di qualsiasi linguaggio, sono discipline normative 

(o sistemi normativi). A tal proposito, non sarà forse inutile rammentare che sono 

tradizionalmente qualificate come “normative” le discipline come la fisica e la chimica, 

in quanto sistemi di asserzioni che esprimono “leggi di natura”, destinate ad orientare 

le nostre attese circa esperienze future, dalle quali possono essere smentite (POPPER, 

1970). Ma qui l’attributo “normativo” è inteso in un senso diverso e più completo, 

come sistema di regole, attinente in particolare all’ “addestramento” dell’individuo, 

ossia la prescrizione delle decisioni che egli deve o può prendere in diverse circostanze 

in vista di scopi pre-assegnati. In tal senso sono sistemi normativi tutti i codici di 

leggi, il manuale delle lezioni di guida o quello sull’uso dell’equipaggiamento per le 

immersioni subacquee o per il paracadutismo (cfr. ad esempio CONTE, 2001 e VON 

WRIGHT, 1989). 

Forse, a un primo sguardo, qualcuno potrà sostenere le sei discipline elencate 

sopra andrebbero piuttosto considerate come descrittive anziché normative, con la sola 

eccezione di alcune esplicite istruzioni facilmente reperibili nei libri di grammatica. 

Ma si tratta di un equivoco che trae origine dall’ovvia circostanza che non tutte le 

regole d’uso di una lingua possono essere espresse da istruzioni nella stessa lingua, 

cosicché — almeno a uno stadio iniziale — è necessario ricorrere a un linguaggio 

ostensivo, ossia alla rappresentazione analogica degli usi consentiti di un certo numero 

abbastanza elevato di elementi linguistici fondamentali. Un tale equivoco scompare 

quando studiamo una lingua straniera, poiché in tal caso chi ci insegna può utilizzare la 

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nostra lingua madre per darci le istruzioni d’uso degli elementi di quella che vogliamo 

imparare. 

Ciò chiarito, rivolgiamo la nostra attenzione alla questione che c’interessa. Ovviamente, 

il problema della coerenza si presenta per ogni disciplina (in quanto sistema 

di asserzioni). Siamo tuttavia abituati all’idea che esso debba assumere particolare 

rilievo per i sistemi assiomatico-deduttivi (indipendentemente dal fatto che gli assiomi 

definiscano oggetti del tutto astratti o invece abbiano la pretesa di descrivere proprietà 

evidenti di elementi del mondo empirico). Ma possiamo facilmente convincerci che 

esso dev’essere almeno altrettanto importante per le discipline normative nel senso 

che intendiamo qui. 3 A parte il fatto che possiamo riconoscere l’ovvia possibilità 

di istituire un’immediata analogia tra scienze “predittive” — come la fisica — e 

sistemi normativi, 4 se si interpreta correttamente la nozione di “coerenza di un sistema 

normativo”, ovvero di un complesso di istruzioni, si comprende subito che la simultanea 

validità delle due regole (a) “nelle circostanze c1,c2,...,cn, esegui l’azione a” 

e (b) “nelle circostanze c1,c2,...,cn, non eseguire l’azione a”, comunque derivata, 

risulterebbe del tutto paralizzante, vanificando l’esistenza stessa del sistema normativo 

che le avesse prodotte entrambe. 

Applicare ai sei sistemi normativi elencati prima, nei quali si ripartiscono tutte le 

regole linguistiche, la ricerca di coerenza che abbiamo sopra delineato significherà 

dunque anzitutto impedire che si presentino come simultaneamente valide due regole 

come quelle appena viste. Ma questo non basta. Dobbiamo essere più precisi. In 

effetti, la negazione della regola (a) non è la (b), ma la regola (c) “nelle circostanze 

c1,c2,...,cn, ti è consentito eseguire qualsiasi azione diversa da a (e perciò anche 

l’azione a, se è consentita)”. Questo, d’altra parte, è intuitivo, poiché la negazione 

dell’esistenza di un obbligo dev’essere l’assenza di qualsiasi obbligo. Così, per 

garantire la coerenza di un sistema normativo, occorre accertare che in esso non sono 

mai compresenti due regole della forma (a) e (c) (con gli stessi valori di c1,c2,...,cn, 

ed a). 

In conclusione, la teoria dell’uso degli elementi di un linguaggio è un sistema 

normativo, e chi ha il compito di elaborarla, formalizzarla e comunicarla dovrebbe 

avere, tra gli altri, il compito di tentare di difenderne la coerenza. Ma soprattutto 

potrebbe suggerire a coloro che la studiano di non limitarsi a imparare le regole ed 

3 Non è qui possibile approfondire questo punto, tanto per motivi di spazio quanto in vista del 

limitato obiettivo di questa nota. Ci limitiamo ad osservare che non per caso la struttura delle discipline 

normative ha dato origine a una vera e propria branca della logica, la “logica deontica”, il cui problema 

tuttora più arduo è proprio quello della coerenza (PIZZO, 2010, VON WRIGHT, 1989) 

4 A tal proposito, potrebbe essere sufficiente notare che una tipica asserzione di una disciplina 

normativa, ossia “nelle tali condizioni agisci in uno di questi modi e in nessun’altro”, può tradursi in 

un’asserzione normativo-descrittiva (come quelle della fisica) della forma “nelle date tali condizioni 

l’agire in uno di questi modi produce l’effetto che ci siamo posto come scopo; nessun’altro modo di 

agire lo produce”.



obbedire ad esse, ma anche di comprenderne l’origine e di sottoporre a critica logica 

la loro coesistenza. 

3 Dal sistema normativo all’educazione linguistica 

A questo punto sarà necessario aprire una parentesi, per chiarire due punti 

importanti della discussione precedente. 

In base a quanto si è prospettato al principio di questa discussione, lo scopo di 

questa nota è suggerire un modo di “insegnare” la lingua (italiana in particolare, 

ma — perché no? — qualsiasi lingua, anche straniera) facendo uso di un“attitudine 

procedurale” di tipo matematico: e nelle Sezioni precedenti si è identificata questa 

“attitudine procedurale” come l’analisi meta-logica della coerenza del sistema delle 

regole della lingua riguardato come sistema normativo in senso logico. 

Ora, si deve riconoscere che il riferimento al puro e semplice insegnamento (scolastico) 

della lingua è quanto meno riduttivo e inappropriato, per almeno due ragioni: 

(1) l’insegnamento della lingua è essenzialmente la notifica delle sue possibilità e 

delle regole per il suo uso; (2) non può essere diversamente, visto che esso si svolge 

nella scuola primaria e secondaria (media) inferiore, con gli ultimi approfondimenti al 

primo anno della scuola secondaria superiore: in altri termini, se si prescinde dallo 

studio della storia della letteratura e dalla lettura dei classici, l’insegnamento della 

lingua — almeno nel senso che qui ci interessa — si svolge, e con ogni evidenza deve 

svolgersi, in un periodo della vita dei discenti nel quale qualsiasi proposta di analisi 

metalogica è quasi certamente prematura. 

In realtà, come indicato nel titolo, questa nota mira a proporre un progetto di 

educazione linguistica, non solo di insegnamento, soprattutto se, come in questo caso, 

con questa parola deve intendersi il puro e semplice addestramento. La differenza tra 

addestramento ed educazione è profonda e di enorme importanza, e tuttavia non sembra 

che sia oggetto dell’accurata riflessione che meriterebbe, né in ambito scolastico, 

né in ambito sociale, né in ambito politico. 5 Il primo mira a sviluppare la capacità 

di eseguire correttamente e facilmente e senza problemi “funzionali” determinate 

azioni (prescritte in relazione alle circostanze, ossia come “funzioni” di queste); la 

seconda mira a sviluppare la capacità di decidere — in vista di scopi non imposti, ma 

condivisi, e dopo una valutazione razionale dei motivi che hanno suggerito certe regole 

a priori — le azioni da compiere in ciascun caso. L’addestramento ha sempre una 

dominante meccanica (come ad esempio nel caso della cosiddetta scuola-guida, sia in 

teoria che nella pratica), l’educazione mai. Addestrare qualcuno alla guida significa 

abituarlo a rispettare la segnaletica, e ad eseguire determinate sequenze di gesti perché 

5 Anche perché, a quanto possiamo vedere, nell’attuale struttura sociale ed economica non soltanto 

del nostro paese, ma ormai di quasi tutti i paesi del mondo, i responsabili delle strutture politiche, sociali 

ed economiche preferiscono di gran lunga avere cittadini addestrati che educati. 

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si sa che esse produrranno certi comportamenti del veicolo; educare qualcuno alla 

guida significa fame una persona capace di capire la necessità e l’importanza della 

segnaletica, e di decidere consapevolmente e responsabilmente di osservare le regole 

ma, se necessario, decidere cosa fare in circostanze non esplicitamente codificate. 6 

E, tanto per concludere con un esempio molto specifico, l’addestramento alla matematica 

produce eccellenti solutori di esercizi, ma solo l’educazione alla matematica 

può produrre — in condizioni favorevoli — persone capaci di trovarne applicazioni 

insospettate, e fondatori di teorie matematiche. 

Ciò premesso, l’educazione linguistica, intesa come sviluppo della capacità di 

interpretare gli scopi delle regole della lingua, e di sottoporre ad esame critico la 

loro coerenza, deve superare i limiti dell’insegnamento scolastico, ed essere ripresa 

nella scuola secondaria e, se necessario, anche all’università (per coloro che vogliano 

dedicarsi a una professione nella quale l’uso della lingua abbia un ruolo centrale). In 

tal modo, si otterranno non solo utenti abili, ma utenti consapevoli, capaci di trovare 

motivi razionali per accettare o rifiutare occasionali trasgressioni delle regole, siano 

esse derivanti da limitata conoscenza dell’adattabilità della lingua a circostanze nuove 

e inaspettate, o dettate da situazioni a descriver le quali la lingua risulti effettivamente 

inadeguata. 

4 Coerenza normativa ed “evoluzionismo linguistico” 

In questa Sezione conclusiva, allo scopo di evidenziare le motivazioni della proposta 

elaborata nelle Sezioni precedenti, e di illustrarne il significato pratico, delineeremo 

l’applicazione della ricerca della coerenza normativa al problema dell’ “evoluzionismo 

linguistico”. Con questo nome si può indicare una posizione filosofica (o, se si vuole, 

un atteggiamento culturale) secondo la quale ogni violazione di una regola di qualcuno 

dei sistemi normativi sui quali si basa l’uso della lingua va accettata come segno 

del suo carattere storico e della sua dipendenza dai tempi. “La lingua si evolve” è 

il principio unico di questa corrente di pensiero, ripetuto ogni volta che si constati 

un’alterazione del codice linguistico riconosciuto, accettato e proposto in fase di addestramento. 

Ora, riconosciuta l’innegabilità del carattere storico di tutti gli strumenti 

di comunicazione, e quindi in particolare di ogni linguaggio verbale scritto e parlato, 

vogliamo però esaminare questo principio alla luce della prospettiva descritta nella 

Sezione 2. 

Preliminarmente, non si può far a meno di osservare che il principio evoluzionista 

non è del tutto onesto. L’uso del verbo “evolversi” sembra pensato apposta per contrabbandare 

un giudizio positivo: poiché, nelle nostre abitudini mentali e linguistiche, un 

individuo o un popolo o uno strumento evoluto (anche e soprattutto se questa parola è 

6 Esistono forme di addestramento alla decisione. Ma in tal caso sono codificati i tipi di circostanze 

inaspettate, in base alle classi di informazioni mancanti.



intesa nel senso darwiniano) è migliore di un individuo o popolo o strumento arretrato, 

nel principio è implicito il messaggio che ogni alterazione è immancabilmente un 

bene. Ma ciò che si ha in realtà il diritto di sostenere (e che tra l’altro è ovvio) è che 

ogni lingua — esattamente come ogni altra cosa, del resto — cambia, e anche molto 

velocemente: ma a qualcuno dovrebbe pur balenare in mente il pensiero che non ogni 

mutamento è un miglioramento. D’altra parte, la nozione di “evoluzione” contiene in 

sé quella di “selezione”, e quest’ultima rinvia all’esistenza di “controlli severi”. Ora, 

se — in nome del diritto all’evoluzione — accettiamo qualsiasi violazione di norme 

non esplicitamente annullate o modificate in vista di obiettivi funzionali, eliminiamo 

appunto uno dei caratteri qualificanti dell’evoluzione, ossia escludiamo ogni possibilità 

di evoluzione reale. Questo è esattamente un esempio di rinuncia alla coerenza, 

anche se al livello del meta-sistema normativo riguardante le regole di applicazione 

del sistema normativo linguistico. Allo stesso livello, l’accettazione indiscriminata 

delle violazioni esclude le possibilità di addestramento, e perciò è un’incoerenza 

dalla quale dovrebbero guardarsi particolarmente tutti coloro che hanno la funzione 

di istruttori, ossia il compito di enunciare i sistemi normativi che reggono l’uso della 

lingua e di controllarne l’applicazione, 7 poiché la loro posizione “evoluzionistica” di 

fatto annulla l’efficacia e nega l’esistenza stessa di quei sistemi normativi. 8 

Siamo dunque giunti alla conclusione che l’ “evoluzionismo linguistico”, se propugnato 

senz’alcuna precauzione, produce vere e proprie incoerenze a livello metateorico. 

Questo, come accennato, dipende dal fatto che le violazioni delle regole, di 

qualunque tipo siano, sono semplicemente accettate come inevitabili, e tutto sommato 

positivi, cambiamenti di struttura. Ma la natura, dalla quale mutuiamo del tutto 

arbitrariamente la nozione di “evoluzione”, è molto severa con gli “errori” casuali. 

Immaginiamo che in una popolazione di ghepardi nascano alcuni ghepardi senza 

coda. Come si regola la natura con questo “errore”? I ghepardi scodati nuovi arrivati 

debbono dimostrare di poter sopravvivere quanto i vecchi ghepardi regolarmente 

caudati, svolgendo le stesse funzioni: in caso contrario, si estinguono in breve tempo, 

lasciando i loro predecessori trionfanti sul campo. I professionisti della lingua dovrebbero 

dunque fornire non solo dei criteri, ma anche dei metodi di selezione, attraverso i 

quali stabilire se e quali modifiche del linguaggio possano sopravvivere, soppiantando 

7 Capita spesso, invero, che docenti di lingua (italiana, in particolare) siano particolarmente comprensivi, 

e accoglienti, nei confronti di forme linguistiche che risultano nuove in quanto in palese contrasto 

con quelle norme che essi stessi insegnano. Da un lato, c’è da domandarsi perché le novità rinvenute 

nei compiti degli alunni debbano essere considerate “strafalcioni” che comportano votacci, mentre gli 

strafalcioni di alcuni giornalisti debbono essere considerati “novità”. 

8 C’è un’evidente analogia tra il comportamento degli “evoluzionisti linguistici” e quello degli 

scienziati che, secondo la descrizione di Kuhn (KUHN, 1978), cercano di salvare il paradigma corrente di 

una teoria scientifica includendovi, tramite l’adozione di appropriate ipotesi aggiuntive, anche evidenze 

sperimentali che da esso sarebbero vietate (secondo l’analisi di (POPPER, 1970)). Ma, nel contesto 

linguistico, si tratta solo di salvare un’etichetta di lingua. 

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— se opportuno — forme linguistiche precedenti. E, naturalmente, stare attenti ad 

utilizzare soltanto quelle forme riconosciute degne di sopravvivenza. 

Ora, è ben difficile assegnare dei criteri ampiamente condivisi per decidere quali 

forme linguistiche meritino di sopravvivere e quali no. Ci sono molte possibilità diverse: 

criteri di economia, criteri di semplicità, criteri di conservazione della ricchezza 

espressiva. Ad esempio, in base ai primi, parole come “posizionare” e “scannerizzare” 

sono replicanti inutili di “collocare” e “scandire”; e secondo gli ultimi lo stesso verbo 

“posizionare” manifesta un’ingiustificata pervasività, evidenziata dal suo uso come sostituto 

unico di tutta una famiglia di verbi (“mettere”, “porre”, “disporre”, “collocare”, 

“piazzare”, etc.) ricca di sfumature. 

Però, a parte il fatto che è ben difficile che ciascuno dei questi tipi di criteri possa 

essere unanimemente accettato, è evidente che ciascuno di essi è di natura squisitamente 

psicologica e filosofica. Dobbiamo lasciarli perciò da parte, e limitarci ad analizzare 

qualche conseguenza dell’unico criterio che qui ci interessa in connessione con la 

cultura matematica e col modo di pensare che da essa deriva, ossia il già descritto 

criterio di consistenza (o coerenza). 

L’adozione di questo solo criterio porta a conseguenze alquanto sorprendenti, che 

meritano un’accurata riflessione. Agli occhi di un “evoluzionista linguistico” che voglia 

adottarlo rigorosamente, e limitarsi ad esso come strumento di selezione naturale, 

errori ortografici che qualsiasi docente sottolineerebbe in blu come strafalcioni, quali 

“legere” in luogo di “leggere” e “faggioli” in luogo di “fagioli”, risulterebbero tutto sommato, 

purché coerentemente ripetuti in ogni occorrenza (e, nel caso del verbo “leggere”, 

in ogni sua forma), peccati venialissimi se paragonati alla presenza (in testi di articoli 

giornalistici prodotti da penne illustri) di frasi come “uno di quelli che fa ”, oppure 

“è trent’anni che”, o ancora (in qualche intervista televisiva, detto da qualche cinquantenne) 

“faccio questo da quando sono un ragazzino”. In fondo, gli errori ortografici 

violano convenzioni locali, ossia circoscritte alle singole parole sbagliate, e potrebbero 

(se proprio si volesse) essere accettati subito come modifiche del linguaggio ad effetto 

immediato (dopotutto, il verbo italiano “leggere” nasce proprio da un errore di ortografia 

rispetto al verbo latino). Gli altri errori che abbiamo citato, invece, richiedono — 

per salvare la coerenza normativa della grammatica — la riscrittura di tutti i codici di 

coniugazione dei verbi, nei quali agli attuali “essi fanno” ed “essi sono”, peraltro regolarmente 

usati rispettivamente dovunque non compaia il pronome relativo preceduto 

dal partitivo e dovunque non si dia un’informazione temporale, andrebbero sostituiti 

“essi fa” 9 (dove il verbo “fare” è qui usato come variabile per qualsiasi verbo italiano) 

ed “essi è”, e all’attuale “io ero” andrebbe sostituito “io sono”, così producendo una 

pericolosa ambiguità tra la coniugazione del presente e quella dell’ imperfetto. 

9 Quarant’anni fa, si favoleggiava del presidente di una squadra di calcio il quale, riferendosi al 

proprio potere economico che gli consentiva l’acquisto di calciatori particolarmente bravi, diceva “C’è 

chi può e chi non può: io può.” Ma era oggetto di scherno, non di imitazione.



Nessun evoluzionista linguistico, che però voglia mantenere un minimo di rigore 

riguardo ad uso e pronunzia dell’h in italiano, potrebbe ammettere come inevitabile 

risultato di un processo evolutivo quanto accade nella trasmissione televisiva 

(scientifica) Geo&Geo, i cui conduttori ne pronunziano il titolo, che abbiamo appena 

scritto, come “gheo-en-gheo”. Qui si realizza la perfezione dell’incoerenza, poiché la 

pronunzia rivela incertezza persino sull’uniformità linguistica della sequenza verbale. 

L“en” centrale fa pensare a una sequenza anglosassone, ma in inglese il gruppo “geo” 

dei vocaboli che traducono il nostro “geografia” e aggettivi collegati si pronunzia, per 

quanto attiene alla dolcezza della g, esattamente come in italiano. E allora dev’essere 

un’altra lingua, che comunque non è l’italiano. Ma quale, e perché? 

In conclusione, si può ribadire che tutte queste forme linguistiche andrebbero come 

minimo sottoposte a una sorta di controllo di idoneità, analogo a quelli cui la natura 

sottopone ogni forma di vita mutante, nella prospettiva della preservazione (o della realizzazione 

tramite una qualche analisi logica graduale) della non-autocontraddittorietà 

dei codici normativi dell’uso della lingua (e, va da sé, del comportamento didattico 

di coloro che hanno il compito di garantire l’applicazione di tali codici). In questa 

nota abbiamo voluto soltanto, un po’ per gioco e un po’ con la speranza di dare un 

contributo culturale all’unità e all’armonia dello sviluppo delle conoscenze dell’individuo, 

prospettare cosa dovrebbe accadere se ci si preoccupasse di fondere o integrare 

le abitudini mentali sollecitate da discipline diverse. 

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BOOLE G. (1976), Indagine sulle leggi del pensiero su cui sono fondate le teorie 

matematiche della logica e della probabilità, trad. it., Torino, Einaudi. 

CONTE A.G. (2001), Filosofia del linguaggio normativo, Torino, Giappichelli. 

GEYMONAT L. (1976), Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. IV, V e VI, 

Milano, Garzanti. 

KUHN T.S. (1978), La struttura delle rivoluzioni scientifiche, trad. it., Torino, 

Einaudi. 

MESCHKOWSKI H. (1976), Mutamenti nel pensiero matematico, trad. it., Torino, 

Boringhieri. 

PIZZO A. (2010), Logica del linguaggio normativo. Saggi su logica deontica e 

informatica giuridica, Roma, Aracne. 

POPPER K. (1970), Logica della scoperta scientifica, trad. it., Torino, Einaudi. 

PUTNAM H. (1993), Matematica: materia e metodo, trad. it., Milano, Adelphi. 

RUSSELL B. (1970), “La matematica e i metafisici”, trad. it., in RUSSELL B., 

Misticismo e logica, Milano, Longanesi, 1970, 7, 1–92. 

STABLER E.R. (1970), Il pensiero matematico, trad. it., Milano, Boringhieri. 

VON WRIGHT G.H. (1989), Norma e azione. Un ’analisi logica, trad. it., Bologna, 

Il Mulino. 

WAISMANN F. (1971), Introduzione al pensiero matematico, trad. it., Torino, 

Boringhieri. 

✉BRUNO CARBONARO 


Seconda Università degli Studi di Napoli, Caserta. 

bruno.carbonaro@unina2.it



Scuole Estive Mathesis 

14 - 17 luglio, 26 - 30 luglio 2011 

Terni, Villa Spirito Santo 

La Mathesis Nazionale, quale ente riconosciuto dal MIUR per la formazione dei 

docenti, organizza due scuole estive: 

• dal 14 al 17 luglio 2011 

per i docenti della scuola dell’infanzia e primaria; 

• dal 26 al 30 luglio 2011 

per i docenti della scuola secondaria di 2° grado. 

La partecipazione alla Scuola prevede una serie di attività in presenza: 

- lezioni, 

- seminari, 

- attività di laboratorio, 

che si svolgeranno presso la sede del Centro Formazione della Diocesi di Terni, Narni 

e Amelia: 

Villa Spirito Santo 

Strada di Collerolletta 15 

05100 Terni (TR). 

Per partecipare è necessario inviare la domanda a segreteria@mathesisnazionale.it 

entro il 30 maggio 2011. Per ulteriori informazioni e scaricare il modello di domanda 

consultare il sito www.mathesisnazionale.it. 

Il Comitato Organizzatore, selezionerà 40 partecipanti per ciascuna delle due scuole, 

con precedenza ai soci della Mathesis più giovani. 

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Onde elettromagnetiche ed Elettrosmog: 

l’inquinamento invisibile 

Vito Capozzi 

Nel corso del convegno 1 sono state illustrate le principali proprietà ed applicazioni 

delle onde elettromagnetiche (e.m.). Esse hanno uno spettro di frequenza molto vasto 

(Fig. 1) che va dalle onde radio fino ai raggi gamma, comprendendo le microonde, 

(frequenze tipiche della telefonia mobile e dei sistemi di comunicazione delle reti 

wireless) e la luce visibile. 

Fig. 1: Spettro delle onde elettromagnetiche. 

Le onde e.m., sin dalla loro scoperta avvenuta nella seconda metà del XIX secolo 

hanno avuto uno sviluppo enorme nel campo delle telecomunicazioni (radio, televisione, 

telefoni cellulari) e della medicina, (la Marconi-terapia, le radiografie a raggi X, la 

tomografia assiale computerizzata (TAC), la radioterapia con raggi gamma). La stessa 

vita sulla terra non potrebbe esistere senza le radiazioni visibili ed infrarosse che ci 

arrivano dal sole. Infatti, l’energia solare, può arrivare sulla terra, grazie alle proprietà 

1 CONVEGNO di STUDI Onde elettromagnetiche ed elettrosmog: L’inquinamento invisibile, 5 

Maggio 2010, Liceo Classico “V. Lanza” di Foggia. L’Autore ringrazia la Direzione del Liceo Classico 

ed in particolare la prof.ssa Carmen Talia per l’organizzazione del Convegno. 

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68 Periodico di matematiche ?/201? 

che hanno le onde elettromagnetiche di propagarsi attraverso lo spazio alla velocità di 

circa 300 000 km/s. 

Negli ultimi decenni, lo sviluppo delle telecomunicazioni ha influito decisamente 

sul nostro modo di vivere, migliorando la qualità stessa della vita. Come tutte le 

innovazioni tecnologiche, oltre ai tanti vantaggi presentano anche aspetti negativi. Si 

pensi alla scoperta dell’energia nucleare con i suoi aspetti positivi (centrali nucleari 

per la produzione di energia elettrica) e aspetti negativi (sviluppo delle armi nucleari). 

Si pensi ancora allo sviluppo automobilistico con gli ovvi vantaggi nel campo dei 

trasporti, ma anche con gli enormi problemi di inquinamento da parte dei gas di scarico 

e l’aumento di anidride carbonica (CO2) nell’atmosfera. 

Anche le telecomunicazioni alle frequenze delle microonde usate nelle trasmissioni 

radio-TV e della telefonia mobile hanno come effetto negativo l’elettrosmog. Questa 

forma recente di inquinamento è rappresentato dal livello di fondo del campo e.m. 

esistente soprattutto nei centri urbani ed è dovuto alla presenza delle tante antenne 

radiotelevisive e di telefonia mobile esistenti nelle città. Questa radiazione e.m. di 

fondo investe continuamente il corpo umano ed è assorbita dalle nostre cellule e 

tessuti, a seconda della frequenza delle singole componenti di frequenza presenti nella 

radiazione e.m.. Infatti, mentre il corpo umano è trasparente alle onde radio tra 10 3 

Hz e 10 6 Hz, esso assorbe in misura crescente le microonde dei canali TV e della 

telefonia mobile, che hanno frequenza tra 10 8 Hz e 10 11 Hz (JACKSON, 1984). 

Questa capacità di assorbimento del corpo umano è dovuta, principalmente, alla 

presenza di acqua in tutte le nostre cellule. L’energia elettromagnetica, assorbita dalle 

cellule, oltre a farne aumentare la temperatura, può attivare dei processi biochimici 

che possono condurre ad alterazioni ed anomalie del funzionamento cellulare. 2 

Non solo l’acqua, ma anche i tanti costituenti di una cellula (es. DNA, aminoacidi, 

proteine, lipidi, etc.) possono assorbire le microonde e dar luogo, per esempio, a 

rottura dei legami chimici che costituiscono il delicato equilibrio del nostro DNA 

(PAULRAJ ET AL., 2006). 

La “dose” di radiazione assorbita dal corpo umano è definita come l’energia 

elettromagnetica assorbita nell’unità di tempo (1 s) in 1 kg di materia biologica ed è 

nota come SAR (Specific Absorption Rate), misurata in W/kg. 

Quando il nostro corpo è esposto ai campi elettromagnetici (CEM), ci possono 

essere effetti indotti sulla salute umana, che dipendono da tre fattori: 

a) intensità delle onde e.m.; 

b) frequenza delle onde e.m.; 

c) tempo di esposizione alle onde e.m. 

Da alcuni decenni, molti laboratori di ricerca nel mondo, stanno studiando i 

possibili effetti biologici indotti dall’esposizione ai CEM. Ciò viene fatto seguendo 

due approcci sperimentali: 

2 Per una rassegna sull’argomento, si consulti (LEVIS, 2008). 

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vito capozzi 

69 

Vito Capozzi 69 

a) esperimenti in “vitro” su cellule umane (ARDOINO ET AL., 2004; LOVISOLO 

ET AL., 1999); 

b) esperimenti in “vivo” su cavie d laboratorio (BIAGI ET AL., 2009). 

La normativa vigente in Italia ha fissato dei limiti di salvaguardia per l’esposizione 

ai CEM di 20 V/m (corrispondenti ad una intensità di 1W/m 2 ) per ambienti esterni e 

di 6 V/m (corrispondenti a 0.1 W/m 2 ) per ambienti interni e permanenza superiore a 4 

ore (DPCM, 2003). 

Gli esperimenti “in vitro” e “in vivo” sono condotti con CEM ad alta intensità, 

quando si superano i 20 V/m. Per valori inferiori a 20 V/m si parla di basse intensità 

di CEM. 

Gli effetti biologici indotti da CEM ad alta intensità sono diversi ed oggi sono 

accettati e condivisi dalla comunità scientifica (LEVIS, 2008). Per esposizione di cavie 

da laboratorio a CEM di intensità maggiore di 100V/m ed alla frequenza di microonde 

dell’ordine di 1 GHz (tipica della telefonia cellulare) la letteratura scientifica riporta le 

seguenti evidenze sperimentali osservate in molti laboratori di ricerca e quindi risultati 

condivisi ed accettati: 

• evidenza di cataratta; 

• alterazione del sistema ematopoietico (es. riduzione dei linfociti, modificazione 

delle proteine plasmatiche, monocitosi); 

• alterazione del sistema nervoso e comportamentale (es. aggressività, vertigini, 

insonnia); 

• alterazione del sistema endocrino (es. alterazione degli ormoni tiroidei); 

• danni alla catena del DNA. 

Sempre per l’esposizione a CEM di alta intensità, studi epidemiologici su alcune 

categorie particolari (militari e tecnici di impianti radar, tecnici di antenne TV 

trasmittenti) riportano i seguenti risultati: 

• evidenza di cataratta; 

• riduzione della fertilità e casi di sterilità; 

• alterazioni neurologiche: insonnia, vertigini, astenia, irascibilità; 

• maggiore predisposizione all’insorgenza di neoplasie. 

Lo scenario diventa più difficile per l’esposizione a CEM di bassa intensità (< 20 

V/m), perché gli effetti biologici e sanitari sono meno evidenti e necessitano di lunghi



tempi di esposizione per accumulare una dose SAR sufficiente a indurre alterazioni 

sanitarie (BRAUTTI, 1994). 

Nella letteratura scientifica esistono molti esperimenti “in vitro” su cellule umane 

(JOUBERT ET AL., 2007), in cui sono stati riscontrati a bassi livelli di esposizione a 

CEM e lunghi tempi di esposizione (settimane), i seguenti effetti biologici: 

• alterazione del trasporto di ioni alcalini (es. Ca, Na e K) attraverso la membrana 

cellulare; 

• alterazione delle proteine della membrana cellulare; 

• anomalie nella replica del DNA; 

• alterazione dell’apoptosi cellulare. 

Questi effetti biologici potrebbero tradursi in alterazioni della funzione cellulare con 

conseguenti effetti sulla salute, ma per fortuna esistono nelle cellule meccanismi di 

difesa e di riparazione cellulare. 

I meccanismi di interazione delle onde e.m. che sono alla base degli effetti biologici 

suddetti, non sono ancora del tutto compresi e sono oggetto di ricerca in molti 

laboratori su scala internazionale. 

Passando ad esperimenti condotti su cavie da laboratorio esposte a CEM di bassa 

intensità (< 20 V/m) la letteratura scientifica presenta i seguenti risultati: 

• disturbi della funzione riproduttiva; 

• disturbi del sistema immunitario; 

• alterazione del DNA; 

• aumento dell’incidenza di linfomi, rispetto alle cavie non irradiate. 

Oggi esistono anche studi epidemiologici su volontari (Svezia) e tecnici addetti 

alle antenne radar e di telecomunicazioni, esposti a bassi CEM e per lunghi periodi 

(anni) che hanno mostrato le seguenti alterazioni (LEVIS, 2008): 

• disturbi delle funzioni cognitive (calo della concentrazione, amnesie a breve 

termine); 

• disturbi neuro-fisiologici (cefalee, aggressività, depressione, ansia, insonnia); 

• disturbi al sistema neurovegetativo (nausea, astenia, vertigini); 

• disturbi al sistema immunitario; 

• anomalie nella catena del DNA e nei cromosomi. 

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Vito Capozzi 71 

Purtroppo, a bassi livelli di intensità, manca ancora una buona statistica su grandi 

numeri e studi epidemiologici su campioni significativi di popolazione. Pertanto, la 

ricerca scientifica non ha ancora chiarito la connessione causa-effetto, cioè la relazione 

tra lo stimolo esterno dei CEM e la risposta biologica all’interno delle nostre cellule. 

Comunque, i risultati prodotti dalla ricerca scientifica devono far riflettere sull’esposizione 

cronica a CEM ed indurre misure di precauzione. Per questa ragione, è 

stato adottato il “principio di cautela” in base al quale gli organismi internazionali 

di controllo (tra cui l’Organizzazione Mondiale di Sanità) fissano le linee guida e 

gli standards internazionali sui livelli di intensità e di potenza delle onde e.m., a cui 

bisogna adeguarsi. Quindi, mentre l’esposizione a CEM di elevata intensità (> 100 

V/m) produce effetti sanitari accettati e riproducibili, l’esposizione a bassi livelli di 

CEM è oggetto di continuo dibattito nella ricerca scientifica. 

In attesa che la ricerca risolva questa fondamentale connessione tra causa-effetto 

dei CEM, cosa possiamo fare per difenderci dall’elettrosmog? Potremmo rinunciare in 

massa al telefono cellulare e alle trasmissioni TV, ma questa è una strada, certamente, 

non percorribile! Sarebbe come rinunciare all’automobile per eliminare l’inquinamento 

chimico dei gas di scarico. Chi è disposto a farlo? Sicuramente pochissimi! 

Possiamo, però, adottare degli accorgimenti molto semplici per ridurre e difenderci 

dall’elettrosmog: 

a) trasferire le antenne della telefonia mobile e soprattutto le antenne radio-TV 

trasmittenti al di fuori delle periferie urbane; 

b) non tenere il cellulare vicino al cuore; 

c) persone con “pace-maker” dovrebbero evitare l’uso del telefono cellulare, o 

almeno mantenerlo a 30-50 cm di distanza; 

d) usare l’auricolare o la tecnologia Blu-tooth; 

e) telefonate brevi e tenersi a distanza da altre persone (l’antenna dei cellulari 

emette CEM di alcune decine di V/m); 

f) evitare l’uso dei “cordless” e preferire il telefono col cavo elettrico, perché 

il livello dei CEM di un “cordless” è maggiore di quello emesso dei telefoni 

cellulari; 

g) evitare di usare il cellulare all’interno delle automobili, perché la carrozzeria 

metallica riflette le onde e.m. all’interno dell’abitacolo; 

h) essere a qualche metro di distanza dalle antenne dei moderni “wireless” e 

preferire i collegamenti via cavo alla rete “internet”.



Queste semplici precauzioni riducono notevolmente la “dose” di radiazione a radiofrequenza 

assorbita da ciascuno di noi e ci permettono di convivere con le innovazioni 

tecnologiche nel campo delle telecomunicazioni che, fuori da ogni dubbio, hanno 

molto migliorato la qualità della nostra vita. 


ARDOINO L., LOPRESTO V., MANCINI S., PINTO R. e LOVISOLO G.A. (2004), 

“ 1800 MHz in vitro exposure device for experimental studies on the effects of mobile 

communication system”, Radiation Protection Dosimetry, vol. 112, pp 419 – 428. 

BIAGI P.F., CASTELLANA L., MAGGIPINTO T., MAGGIPINTO G., LIGONZO T., 

SCHIAVULLI L., LOIACONO D., LASALVIA M., PERNA G. e CAPOZZI V. (2009), 

“A reverberation chamber to investgate possible effects of in vivo exposure of rats 

to 1.8 GHz electromagnetic fields”, Progress in Electromagnetic Research, PIER, 

vol. 94, pp. 133 – 152. 

BRAUTTI G. (1994), “Un esperimento sugli effetti biologici delle radiazioni non 

ionizzanti”, Il Nuovo Saggiatore, vol.10:2, pp. 29 – 33. 

Decreto del Presidente del Consiglio dei Ministri 8 luglio 2003; (G.U. n. 199 del 

28-8-3003). 

JACKSON J.D. (1984), Elettrodinamica Classica, Ed. Zanichelli, cap. 7, p. 263. 

JOUBERT V., LEVEQUE P., CUEILLE M., BOURTHOUMIEN S. e C. YARDIN 

(2007), Bioelectromagnetics, vol. 22, pp.115 – 121. 

LEVIS A. G. (2008), “Effetti biologigi e sanitari a breve e lungo termine delle Radiofrequenze 

e delle microonde”, Bollettino dell’Associazione Padovana Prevenzione e 

Lotta all’Elettrosmog (APPLE), www.applelettrosmog.it 

LOVISOLO G., ARDOINO L., ASTA D., GALLONI P., PINTO R. e MARINO C. 

(1999), “Metodologie sperimentali nella ricerca bioelettromagnetica”, Alta Frequenza 

- Rivista di Elettronica, vol. 11 n. 3, pp. 13 – 21. 

PAULRAJ R. e BEHARI J. (2006), “Single strand DNA breaks in rat brain cells 

exposed to microwave radiation”, Mutation Research, vol. 596, pp. 76 – 80. 

✉VITO CAPOZZI 

Prof. Ordinario di Fisica Applicata, Responsabile del Laboratorio di Fisica Medica 

Dipartimento di Scienze Biomediche, Facoltà di Medicina e Chirurgia 

Università di Foggia, Viale Luigi Pinto, 71100 Foggia; v.capozzi@unifg.it. 

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Proprietà di strutture n-volte irrazionali 

Arnaldo D’Amico, Michiel Bertsch 

Sunto: Si evidenziano, per k > 1 intero, alcune proprietà espresse da strutture del tipo 

 

k 

x + k 

 

x + ··· k 

 

x + k x + k√ x + a0 

che chiameremo n-volte irrazionali, dove n, il numero di radici presenti nell’espressione, tende a ∞, 

nonché una semplice relazione che consente di generare numeri reali qualunque sia il numero k > 1. 

Introduciamo, in quanto ci servirà nel seguito, l’equazione che esprime la parte 

aurea del segmento unitario. Dato un segmento unitario [0,1] e detto N un punto 

interno ad esso, (fig. 1) si definisce parte aurea del segmento il valore di N che soddisfa 

la proporzione 

1 N 

= , (1) 

N 1 − N 

Fig. 1 – Segmento unitario con indicazione della parte aurea del segmento. 

dalla quale si ha l’equazione 

N 2 + N − 1 = 0 

le cui soluzioni sono N1 = −1+√5 2 = 0,618...e N2 = −1−√5 2 

di equazione y = N 2 + N − 1 (fig. 2) si dice aurea. 

73 

73 

= −1,618...La parabola



a: 

Fig. 2 – Parabola aurea di equazione Y = N 2 + N − 1. 

Si fa notare che esiste un’altra parabola aurea, di equazione y = N 2 −N −1 relativa 

N 2 − N − 1 = 0, 

rappresentata in fig. 3, che fornisce soluzioni opposte a quelle precedentemente trovate, 

cioè −0,618... e 1,618... Ciò deriva dal considerare un’altra proporzione, simile 

alla (1), così espressa e relativa alla fig. 4: 

1 N 

= 

N 1 + N · 

Per inciso si ricorda che limn→∞ Fn−1 

Fn 

Fn 

= 0,618...(fig. 5) e limn→∞ = 1,618... 

Fn−1 

(fig. 6), dove Fn−1 e Fn sono due numeri consecutivi della ben nota successione di 

Fibonacci: 0, 1, 1(= F1), 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233(= F12)... 

Si fa notare che (1,618...) 2 = 2,618... e che i tre numeri N1 = 0,618..., −N2 = 

1,618... e N2 2 = 2,618... hanno le stesse cifre decimali: N1 = −1+√5 2 ; 1+√5 2 

(−N2)+1 e N2 2 √ 2 1+ 5 = 2 = 3+√5 2 

+ 1 = 

= N1 + 2. La prima proprietà continua a valere 

per le 2 soluzioni di N2 − N − x = 0, dove x > 0: 1+√1+4x 2 = − 1−√1+4x 2 + 1. 

Un’altra proprietà dei tre numeri di cui sopra è la seguente: le due curve di 

equazione 

y = ±(N − 0,618...)(N − 1,618...)(N − 2,618...) 

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a. d'aMico - M. BErtsch 

75 

A. D’Amico, M. Bertsch 75 

Fig. 3 – Parabola aurea di equazione Y = N 2 − N − 1. 

Fig. 4 – Segmento unitario con parte aurea esterna al segmento. 

intersecano l’asse delle y nei punti y = ∓2,618... (punti A e B in fig. 7). Inoltre 

se si calcolano le ordinate delle due equazioni in corrispondenza di N = 2,618...+ 

0,618...= 3,236... si ottiene ancora ±2,618... (punti C e D). 

L’equazione N2 −N −1 = 0, una volta generalizzata, si presta a particolari ulteriori 

considerazioni. Introduciamo prima una struttura algebrica, detta n-volte irrazionale, 

di questo tipo: 

an = k 

 

 

 

k 

x + x + ··· k 

 

x + k 

 

x + k√ x + a0 , 

dove n è il numero di radici presenti nell’espressione, x > 0, a0 > 0 e l’intero k > 1. 

Si osservi che, scelto a0 > 0, an è determinata da una relazione ricorsiva: 

 

a0 > 0 dato, 

an+1 = k√ x + an 

per n = 0,1,2,...



Fig. 5 – Convergenza dei rapporti (numero minore diviso numero 

maggiore) dei numeri di Fibonacci al valore 0,618... 

Fig. 6 – Convergenza dei rapporti (numero maggiore diviso numero 

minore) dei numeri di Fibonacci al valore 1,618... 

È facile far vedere che 

 

 

 

k k 

x + x + ··· k 

 

x + k 

 

x + k√ x + a0 → N+ per n → ∞, (2) 

dove N+ > 0 è l’unica soluzione positiva dell’equazione k√ x + N = N, ovvero di 

N k − N = x. (3) 

La relazione (3) consente di approssimare numeri reali N, quindi anche tutti gli 

interi, inserendo nella relazione (2), al posto di x, il valore ottenuto dalla (3), dove k 

rappresenta l’ordine delle radici coinvolte. 

Elenchiamo alcuni esempi, in cui prenderemo sempre a0 = k√ x : 

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Fig. 7 – Figura che esprime le due curve sovrapposte di equazione Y =+o − (N − 

0,618...)(N − 1,618...)(N − 2,618...). Le due curve intersecano l’asse delle ordinate 

nei quattro punti di coordinare: A(0 , 2,618. . . ); B(0 , −2,618. . . ); C(2,618. . . + 0,618. . . , 

2,618. . . ); D(2,618. . . + 0,618. . . , −2,618. . . ). Si noti che i punti fondamentali sono sempre 

legati ai numeri aurei. 

1. Volendo generare N = 5, con k = 3 (radici cubiche), dalla (3) si ottiene 53 −5 = 

120 = x, per cui applicando la (2) si ha 

 

3 

120 + 3 

 

120 + 3 

 

···+ 3 120 + 3√ 120 → 5 per n → ∞. 

2. Volendo generare il numero aureo N = 1,618... con k = 2 (radici quadrate), si 

ha, per la (3), (1,618...) 2 − 1,618...= 2,618...− 1,618...= 1 = x, per cui, 

applicando la (2) si ha: 

 

1 + 

 

1 + 

 

···+ 1 + √ 1 → 1,618... per n → ∞. 

È anche possibile generare il numero aureo 1,618... utilizzando le radici 

cubiche con x = 2,618..., cioè per n → ∞



 

3 

2,618... + 3 

 

2,618... + 3 

 

··· + 3 2,618... + 3√ 2,618... → 1,618... 

Infatti, applicando la (3) si ha 

(1,618...) 3 −1,618... = (2,618...−1)(1,618...) = (1,618...) 2 = 2,618... 

3. Se k = 2 e x = 2 la struttura n-volte irrazionale fornisce nel limite il numero 2. 

4. Se k = 5 ed il numero N da generare è 10 si ha, applicando la (2), un valore per 

x pari a 99990, quindi, per n → ∞, 

 

3 

99990 + 3 

 

99990 + 3 

 

··· + 3 99990 + 3√ 99990 → 10. 

Tornando all’esempio 3, se k = x = 2 e a0 > 0, per la (2) 

 

 

 

 

 

an = 2 + 2 + ··· + 2 + 2 + a0 → 2 per n → ∞ 

È noto “quanto velocemente” an converge a 2: per ogni 0 < a0 < 2 esiste una costante 

C > 0 tale che 2 − an ∼ C 2 4 −n per grandi valori di n, ovvero, più precisamente, 

2 n 2 − an → C per n → ∞. 

La costante C dipende dal valore di a0 ed è difficile da determinare. È notevole 

osservare che se a0 = √ 2, il valore di C è noto: 

2 m 

 

 

 

 

 

2 − 2 + ··· + 2 + √ 2 = π per m → ∞ (4) 

dove m è il numero di radici quadrate presenti nell’espressione. 

Questa relazione non 

 

deve meravigliare in quanto l’espressione 2 − 2 + ··· 2 + 2 + √ 2 nella (4) 

rappresenta la lunghezza di un lato di un poligono inscritto in una circonferenza di 

raggio unitario, mentre 2 m rappresenta il numero di tali lati. Non si conosce però una 

dimostrazione analitica (cioè, non geometrica) della (4). 

Ci si può chiedere se esistano strutture n-volte irrazionali che possano consentire 

l’impiego di valori negativi di x. La risposta è affermativa purché l’equazione N k − 

N − x = 0 abbia due soluzioni, 

1 − 

N+ > k k−1 > N− > 0, (5) 

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e a0 sia maggiore di quella più piccola: 

k − 

x > −(k − 1)k k−1 e a0 > N− . (6) 

In tal caso an converge a N+, la maggiore delle soluzioni di N k − N = x: 

an = k 

 

 

 

k 

x + x + ··· k 

 

x + k 

 

x + k√ x + a0 → N+ per n → ∞. 

Per esempio, se k = 2 la prima condizione equivale a x > −2 −2 = − 1 

4 , mentre a0 = 

|x| verifica la seconda: 

an = 

 

 

 

 

 

 

x + x + ··· x + x + |x| → 1 + √ 1 + 4x 

2 

Elenchiamo alcuni esempi in cui x < 0 e a0 = k |x| : 

1. Si consideri la (2), con k = 2 ed N = 0,8. Per la (3) x = −0,16: 

 

−0,16 + −0,16 + ··· −0,16 + √ −0,16 + 0,4 → 0,8. 

2. Si consideri la (2), con k = 2 e N = 0,7. Per la (3) x = −0,21: 

 

−0,21 + −0,21 + ··· −0,21 + −0,21 + √ 0,21 → 0,7. 

per n → ∞. 

3. È possibile generare 0,618... con le radici cubiche: per n → ∞ 

 

3 

−0,382... + 3 

 

−0,382... + ··· 3 

 

−0,382... + 3 −0,382... + 3√ 0,382... 

→ 0,618... , 

dove 0,382... = (0,618...) 2 = 3−√5 2 . 

Infatti: (0,618...) 3 − 0,618... = −0,382... 

In questo caso la prima condizione nella (6), con k = 3, è “appena” soddisfatta 

(si nota che 0,618... coincide con N+ , poiché 0,618... > 3 −1/2 ; cf. (5) con 

k = 3); non per caso la convergenza a 0,618... risulta essere molto lenta.



Conclusioni. 

Le strutture n-volte irrazionali sono governate dalla semplice relazione N k −N = x, 

dove N rappresenta il numero da calcolare, k l’ordine della radice ed x il numero da 

inserire sotto le n radici come radicando. La dimostrazione della convergenza si basa 

su tecniche matematiche elementari, ma è omessa in questo lavoro, orientato invece 

a mettere in evidenza alcune proprietà di queste strutture che le rende di un certo 

interesse per ulteriori speculazioni. Per particolari valori di x e di k si ottengono la 

sezione aurea, il suo inverso, ed il quadrato del suo inverso, numeri con le stesse cifre 

decimali. 

✉ARNALDO D’AMICO 

Università di Roma Tor Vergata, 

Dipartimento di Ingegneria Elettronica 

Via del Politecnico, 1 – 00133 Roma. 

arnaldo.damico@miur.it 

✉MICHIEL BERTSCH 

Università di Roma Tor Vergata, 


e IAC-CNR, Roma. 

bertsch.michiel@gmail.it 

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Ancora due dimostrazioni del Teorema di 

Cantor-Bernstein 

C. Coppola, G. Gerla, S. Tortoriello 

Sunto: Riprendendo il discorso iniziato in un nostro articolo già apparso su questo periodico, si considera 

un argomento fondamentale della teoria ingenua degli insiemi, il teorema detto di Cantor-Bernstein. Lo 

scopo è fornire materiale per possibili percorsi didattici legati alla nozione di equipotenza. 

Abstract: This paper deals with a fundamental topic of the naïve set theory, the Cantor-Bernstein theorem. 

It continues a paper proposed by the same authors and already published in this journal [COPPOLA ET 

AL., 2010]]. The aim is to give hints for possible teaching paths related with the equipotence relation. 

1 Introduzione e un po’ di storia 

Con questo lavoro riprendiamo il discorso iniziato con un nostro articolo già 

pubblicato su un numero precedente di questo giornale (si veda [COPPOLA ET AL., 

2010]) nel quale è stata affrontata la questione di come si possa trovare una strategia 

dimostrativa per il famoso teorema di Cantor-Bernstein. 

Non ci inoltreremo nella storia del teorema e delle sue tante dimostrazioni. È una 

storia alquanto intricata e si sviluppa attraverso vari episodi riguardanti la vita dei 

matematici coinvolti. Ci limitiamo ad esporre brevemente alcune notizie tratte da una 

serie di articoli, reperibili in rete, di A. Hinkis. 

La prima volta che compare l’enunciato del Teorema sembra essere nella lettera 

del 5 novembre 1882 di Cantor a Dedekind. Questa lettera, in cui Cantor delinea la 

sua teoria sui numeri transfiniti, rappresenta un punto di rottura nei rapporti tra i due 

matematici che per ben 17 anni interromperanno ogni rapporto epistolare. Nella lettera 

Cantor dice che mentre in un loro precedente incontro aveva parlato del teorema come 

di una congettura, ora ne ha trovato finalmente una dimostrazione. Cantor, tuttavia, 

non espone questa dimostrazione ma, alla fine della lettera, enuncia di nuovo il teorema 

e lo presenta come un “aufgabe”, cioè come un “compito di ricerca” (così come viene 

interpretato il termine da vari storici). Ma solo chi si pone come “maestro” può pensare 

di porre un problema di cui ha già trovato la soluzione e, quindi, questo “assegno per 

casa” deve essere stato probabilmente percepito da Dedekind come inappropriato ed 

81 

81


82 Periodico di matematiche ?/2011 

offensivo. 1 Ad ogni modo sembra che Dedekind abbia fatto una prima dimostrazione 

corretta del teorema tra il 1887 ed il 1897 anche se tale dimostrazione sarà pubblicata 

solo nel 1932. Nel frattempo, nel giro di pochi anni, vari autori troveranno nuove 

diverse dimostrazioni. Ad esempio, 17 anni dopo la lettera della “rottura”, Cantor in 

una lettera a Dedekind del 1899 dice che Bernstein aveva presentato per la prima volta 

la sua dimostrazione del teorema in un seminario ad Halle nel 1897. 2 

La dimostrazione di Bernstein, leggermente modificata, compare in un’appendice 

al libro sulla teoria delle funzioni di Borel apparso nel 1898. Borel racconta di averla 

ricevuta da Cantor e lo ringrazia per avergli dato il permesso di pubblicarla. Può 

sembrare strano che Cantor abbia preso l’iniziativa di dare a Borel la dimostrazione di 

Bernstein e che non abbia tenuto conto dell’importanza che una sua pubblicazione 

avrebbe potuto avere per quest’ultimo che all’epoca aveva 19 anni. Forse Cantor 

non dava molta importanza al teorema visto che lui stesso aveva annunciato di averlo 

provato già nel 1882. Ad ogni modo non entreremo nella ingarbugliata questione 

delle precedenze. Ci limiteremo a riportare, nei prossimi paragrafi, due dimostrazioni, 

quella di Borel e quella di König, che ci sembrano particolarmente interessanti dal 

punto di vista didattico. 

2 La dimostrazione di Borel 

La dimostrazione di Borel, che ricorda le tecniche di manipolazione delle serie 

di potenze positive, si basa sul fatto che l’equipotenza è compatibile con l’unione 

disgiunta. 

Proposizione 1. Date due famiglie (Xi)i∈I e (Yi)i∈I di insiemi a due a due disgiunti e 

posto X = 

Xi e Y = 

Yi, risulta che 

i∈I 

i∈I 

Xi ≡ Yi, per ogni i ∈ I ⇒ X ≡ Y. 

Dimostrazione. Sia, per ogni i ∈ I, fi : Xi → Yi una funzione biettiva tra Xi ed Yi e 

definiamo la funzione f al modo seguente. Detto x un elemento di X, sia i ∈ I tale che 

x ∈ Xi. Tale indice i, essendo gli elementi della famiglia (Xi)i∈I a due a due disgiunti, 

esiste ed è unico. Poniamo allora f (x) = fi(x). Ovviamente f è ben definita. Per 

1 Naturalmente non è certo questa l’unica causa dell’interruzione dei rapporti tra Cantor e Dedekind. 

2 In proposito si racconta un aneddoto, riportato in [HINKIS, Internet]), secondo cui Bernstein 

avrebbe trovato l’idea per la dimostrazione mentre si stava radendo. Anche se l’autenticità dell’aneddoto 

non è accertata, tuttavia è interessante pensare a Bernstein che, davanti ad uno specchio, improvvisamente 

viene illuminato da una idea per la dimostrazione. Infatti due specchi posti uno di fronte all’altro evocano 

una situazione che corrisponde ad una possibile dimostrazione del teorema (si veda la successione di 

stelle e di cerchi in [ COPPOLA ET AL., 2010]). 

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c. coppola - g. gErla - s. tortoriEllo 

83 

C. Coppola, G. Gerla, S. Tortoriello 83 

provare che f è biettiva consideriamo un elemento qualunque y ∈ Y . Allora esiste uno 

ed un solo i tale che y ∈ Yi e, quindi, esiste uno ed un solo x ∈ Xi tale che fi(x)=y e 

cioè tale che f (x)=y. 

Torniamo ora alla dimostrazione del teorema che enunciamo indicando con S 

e C i due insiemi coinvolti poiché, come abbiamo fatto in [ COPPOLA ET AL., 

2010], vogliamo illustrare il ragionamento considerando una stella ed un cerchio, 

rispettivamente. 

Teorema 2. Siano S e C due insiemi tali che C abbia potenza uguale ad una parte 

propria C di S e che S abbia potenza uguale ad una parte propria S di C. Allora S e C 

sono equipotenti. 

Dimostrazione. Per ipotesi esiste una funzione iniettiva f : S → C con S = f (S) ed 

una funzione iniettiva g: C → S tale che g(C) =C. Illustreremo la dimostrazione 

con figure in cui S è una stella, C un cerchio, f una traslazione che porta la stella ad 

inscriversi nel cerchio e g sia una contrazione che porta il cerchio ad inscriversi nella 

stella 3 (Figura 1). 

Figura 1. 

Per provare che S e C sono equipotenti proviamo che S è equipotente a C, infatti in 

tale caso per la transitività seguirebbe l’equipotenza tra S e C. Ciò consente di riferirci 

ad un solo insieme (la stella). Ora osserviamo che la funzione composta h = g ◦ f 

si presenta come una applicazione iniettiva di S in sé. 4 Nell’esempio fatto, h è una 

funzione della stella in sé che, essendo una composizione di una traslazione ed una 

contrazione, conserva la forma delle figure. 

3 Il discorso fatto per la stella ed il cerchio può essere ovviamente ripetuto anche per il pentagono 

ottenuto congiungendo i vertici della stella. Tale pentagono “stellato”, chiamato anche pentalfa o 

pentagramma, è una delle figure “misteriose” delle geometria pitagorica. Da notare che, se denotiamo 

con Φ il valore del numero aureo, allora il rapporto tra le aree dei cerchi circoscritti e inscritti nella stella 

è di Φ 2 , mentre il rapporto tra le aree dei pentagoni stellati, così come tra le aree delle stelle è di Φ 4 . 

Infine il rapporto tra l’area del cerchio circoscritto alla stella e la stella stessa è il valore costante 2Φ. 

4 Abbiamo leggermente semplificato la dimostrazione di Borel senza alterarne lo spirito.



Poniamo: 

A1 = S −C (stella meno cerchio: in scuro nella Figura 2). 

A2 = C − h(S) (cerchio meno stella: in chiaro nella Figura 2). 

Figura 2. 

Inoltre definiamo per ricorsione i valori successivi ponendo (Figura 3) 

A3 = h(A1)=h(S) − h(C) (stessa forma di A1 quindi stella meno cerchio) 

Figura 3. 

A4 = h(A2) (stessa forma di A2 quindi cerchio meno stella) 

... 

An = h(An−2) 

... 

Si noti che gli elementi della successione (An)n∈N sono a due a due disgiunti. Inoltre 

gli elementi di indice pari sono equipotenti tra loro e lo stesso vale per quelli di indice 

dispari. Posto I = 

An (nella nostra figura I è il punto centrale della stella), S può 

essere scomposto al modo seguente 

n 

S = I ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ ... 

mentre il cerchio C può essere scomposto al modo seguente 

C = I ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ ... 

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Commutando opportunamente abbiamo anche che 

C = I ∪ A3 ∪ A2 ∪ A5 ∪ A4 ∪ ... 

Essendo A1 equipotente ad A3, A2 equipotente ad A2, A3 equipotente ad A5, . . . possiamo 

concludere che S è equipotente a C. 

3 La dimostrazione di König 

Nel 1906 il matematico ungherese Julius König (1849-1913) diede una nuova 

dimostrazione del teorema di Cantor-Bernstein. Questa dimostrazione viene considerata 

particolarmente importante perché si presta a possibili generalizzazioni in nuovi 

contesti che probabilmente nemmeno lo stesso König aveva previsto. La strategia 

dimostrativa si basa sulla seguente proposizione che è una ovvia riformulazione in 

termini di partizione della Proposizione 1. 

Proposizione 3. Dati due insiemi X ed Y consideriamo una partizione di X ∪Y in 

classi di equivalenza in modo che in ciascuna classe gli elementi di X siano tanti 

quanti quelli di Y . Allora X è equipotente ad Y . 

Utilizzando le stesse notazioni del Teorema 2, la dimostrazione è la seguente. Per 

ogni x ∈ S costruiamo la seguente successione di elementi di S ∪C, che indichiamo 

con [x], 

... f -1 (g -1 (x)), g -1 (x), x, f (x), g( f (x)),.... 

Tale successione può sempre essere continuata verso destra, ma non sempre verso 

sinistra. Infatti g -1 è definito solo se x ∈ g(C), f -1 (g -1 (x)) è definito solo se g -1 (x) ∈ 

f (S), e così via. Analogamente a partire da un elemento y ∈ C possiamo costruire la 

sequenza, che indichiamo con [y] 

...g -1 ( f -1 (y)), f -1 (y), y,g(y), f (g(y)),.... 

che ancora può essere prolungata indefinitamente verso destra, ma non sempre verso 

sinistra. Vogliamo provare che la classe di tali sequenze costituisce una partizione di 

S ∪C. È evidente che tale classe costituisce un ricoprimento. Inoltre se due sequenze 

hanno un elemento in comune anche l’elemento che segue sarà lo stesso e, se esiste, 

sarà lo stesso anche quello che lo precede (perché f e g sono iniettive). Dunque le due 

sequenze coincidono. Essendo 

S = 

S ∩ [z] e C = 

C ∩ [z], 

z∈S∪C 

z∈S∪C



per dimostrare l’equipotenza tra S ed C è sufficiente mostrare che, per ogni z ∈ S ∪C, 

l’insieme S ∩ [z] è equipotente ad C ∩ [z]. A tale scopo, chiamiamo S-stopper una 

sequenza che si ferma a sinistra con un elemento di S e C-stopper una sequenza che 

si ferma a sinistra con un elemento di C. Ora se la classe [z] è S-stopper, allora f è 

una biezione che porta S ∩ [z] in C ∩ [z]. Se [z] è C-stopper, allora g è una biezione che 

porta C ∩ [z] in S ∩ [z]. Negli altri casi, cioè quando [z] si prolunga indefinitamente a 

sinistra, sia f che g sono biezioni tra le due classi. 

In effetti la partizione proposta da König è legata alla più generale nozione di 

relazione di equivalenza generata da una data relazione. Ricordiamo come si può 

ottenere tale relazione. Nel seguito, data una relazione binaria R in un insieme X 

indichiamo con R -1 la relazione {(x,y): (y,x) ∈ R}, indichiamo invece con Diag(X) 

la relazione {(x,x): x ∈ X}. 

Proposizione 4. Data una relazione binaria R in un insieme X, la più piccola relazione 

riflessiva contenente R è 

Ri f l(R) = R ∪ Diag(X). 

La più piccola relazione simmetrica contenente R è 

Simm(R) = R ∪ R -1 . 

La più piccola relazione transitiva contenente R è 

Trans(R) = {(x,y): esiste x1,...,xn con x = x1,(xi,xi+1) ∈ R e xn = y}. 

Proposizione 5. La più piccola relazione di equivalenza contenente R è 

Eq(R) = Trans(Simm(Ri f l(R))). 

Possiamo ora provare la seguente proposizione. 

Proposizione 6. La partizione definita da König è la partizione associata alla relazione 

di equivalenza Eq( f ∪ g) generata dalla relazione binaria f ∪ g nell’insieme S ∪C. 

Dimostrazione. Dobbiamo calcolare Trans( f ∪ g ∪ f -1 ∪ g -1 ∪ Diag(S ∪C)). È evidente 

allora che si devono considerare catene x1,...,xn in cui xi+1 si ottiene da xi 

applicando una delle funzioni f , g, f -1 , g -1 . Inoltre ci si può limitare a catene in cui 

tali funzioni si applicano alternativamente. È evidente che in tale modo le classi di 

equivalenza determinate da Trans( f ∪ g ∪ f -1 ∪ g -1 ∪ Diag(S ∪C)) coincidono con le 

classi definite da König. 

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Concludiamo questo paragrafo osservando che le dimostrazioni del teorema di 

Cantor-Bernstein non si limitano certo a quelle esposte da questo articolo o dal 

precedente. Ad esempio, nove ne sono state date prima di quella di König: da Cantor 

(1882), da Dedekind (1887, 1897), da Schröder (1896), da Bernstein (1897), da Borel 

(1898), da Schenflies (1900), da Zermelo (1901), da Russell (1902) e da Peano (1906). 

4 Considerazioni di carattere didattico 

La dimostrazione esposta in [COPPOLA ET AL., 2010] e quella esposta nel paragrafo 

2 di questo articolo forniscono spunti di tipo didattico. Infatti mostrano che anche 

per un argomento tanto lontano dalla geometria, come è il teorema di Cantor-Bernstein, 

sono possibili “dimostrazioni” che, in un senso debole, possono essere viste come 

dimostrazioni di tipo “visuale” cioè dimostrazioni in cui si “percepisce” la verità di 

un enunciato semplicemente guardando alcune figure. Proviamo infatti, riprendendo 

il discorso effettuato in [ COPPOLA ET AL., 2010], a chiedere ad uno studente se 

una stella sia equipotente ad un cerchio e di indicare eventualmente una funzione che 

esprima l’equipotenza. È improbabile che si riesca ad avere una risposta. Proviamo 

invece a mostrare le seguenti due figure (Figura 4). In tale caso è possibile suggerire 

Figura 4. 

che l’equipotenza può essere “percepita” immaginando di trasformare la stella nel 

cerchio al modo seguente: 

1. Si trasla la parte scura nella figura a sinistra verso destra. 

2. Si allarga la parte in chiaro nella figura a sinistra per poi traslarla a destra in modo 

opportuno. 

Naturalmente si dovrebbe per prima cosa convincere uno studente che dilatando 

una figura si conserva l’equipotenza. La cosa non dovrebbe essere difficile in quanto 

basta mostrare che proiettando l’ombra di una figura su un piano si ottiene una figura 

“con altrettanti punti”. Per seconda cosa si dovrebbe mostrare che figure scomponibili 

in pezzi equipotenti sono equipotenti, cosa anche questa che non sembra presentare



difficoltà. Ciò suggerisce anche la possibilità di attività di tipo manipolativo che 

potrebbero essere una naturale estensione di un modulo didattico per il calcolo delle 

aree tramite la nozione di equiscomponibilità (in questo caso si pensa a studenti di 

scuola secondaria). Si ricorda che la nozione di equiscomponibilità viene utilizzata 

per il calcolo delle aree per il fatto che figure equiscomponibili hanno la stessa area. 

Pertanto il calcolo dell’area di una figura si può ricondurre al calcolo, già noto, 

dell’area di un’altra figura con essa equiscomponibile. Tipico esempio è quando si 

mostra che ogni triangolo è equiscomponibile con un rettangolo con la stessa base ed 

avente come altezza la metà dell’altezza del triangolo oppure che un parallelogramma 

è equiscomponibile ad un rettangolo con la stessa altezza e la stessa base (Figura 5). 

Si tratta allora di estendere la nozione di equiscomponibilità sostituendo alla nozione 

“avere la stessa estensione” la nozione “essere equipotenti”. 

Figura 5. 

Successivamente, si dovrebbe suggerire che la stella si può scomporre in due figure 

e che traslando una figura (la parte scura) e sostituendo i pezzi dell’altra (i pezzi in 

chiaro) in pezzi simili è possibile ottenere un cerchio. Naturalmente essendo i pezzi in 

bianco infiniti la sperimentazione non può che essere approssimata e non può evitare 

che si attivi una intuizione dei processi infinitari. D’altre parte ogni manipolazione 

di materiale didattico per l’introduzione di concetti geometrici non può che essere 

approssimativa per l’ovvio fatto che nessun oggetto fisico può rappresentare un ente 

geometrico. 

Un altro modo di percepire l’equipotenza è quello di immaginare che la figura a 

sinistra (in Figura 4) sia stata disegnata su di un vetro in due diverse tonalità di grigio 

e che tale figura sia proiettata a destra su di uno schermo tramite due tipi di proiezione. 

Una proiezione è con raggi paralleli e porta la parte in grigio scuro nella parte in grigio 

scuro. L’altra proiezione è con raggi che partono da un opportuno punto C e porta la 

parte in grigio chiaro nella parte in grigio chiaro. 

Naturalmente non si sostiene che queste visualizzazioni siano una “dimostrazione” 

(nemmeno parziale) del teorema. Le stesse usuali dimostrazioni visuali, come ad 

esempio quelle sopra esposte, hanno un valore dimostrativo maggiore poiché si 

rivolgono a figure “generiche” che si ritengono rappresentative di tutte le possibili 

figure del dato tipo. In questo caso invece ci si riferisce ad un esempio particolare 

(anche se non è difficile estendere tale esempio a moltissime altre figure, e sostituire, 

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ad esempio, la stella con pentagono o con un triangolo). Tuttavia è chiaro che 

attività e visualizzazioni come quella della stella e del cerchio portano a considerare 

plausibile un risultato che in prima istanza non lo sembrerebbe e portano a sviluppare 

una intuizione che può nel seguito essere la base per un discorso rigoroso e di tipo 

strettamente insiemistico. 

In accordo con tali idee, attualmente stiamo progettando alcune di attività da 

proporre in una scuola secondaria superiore che pongono al centro del discorso la 

nozione di equipotenza tra insiemi non necessariamente finiti. 


COPPOLA C., GERLA G. e TORTORIELLO S. (2010), “Cercare una dimostrazione 

del Teorema di Cantor-Bernstein”, Periodico di Matematiche, 3, 2010, pp. 115–125. 

BARONE E. e LENZI D. (2006), “Dalla cardinalità degli intervalli reali al teorema di 

Cantor-Bernstein”, Periodico di Matematiche, 6, 2006, pp. 3–10. 

BERNSTEIN F. (1901), Untersuchungen aus der Mengenlehre, Ph.D. thesis. 

Göttingen, Germany. 

HINKIS A., Bernstein, Borel and the Cantor-Bernstein theorem, in 

http://www.hinkis.org/Mathematical_papers/04_01_Bernstein_Borel_CBT_02.pdf. 

— On the ruptures in the Cantor-Dedekind correspondence, in 

http://www.hinkis.org/Mathematical_papers/01_06_Cantor_Dedekind_01.pdf. 

KLEE V. e REAY J.R. (1998), “A surprizing but easily proved Geometric 

Decomposition Theorem”, Math. Magazine, 71, 1998, 3–11. 

✉CRISTINA COPPOLA 

Università di Salerno, DMI 

84084 Fisciano (Salerno). 

ccoppola@unisa.it 

✉S. TORTORIELLO 

Università degli Studi di Salerno 

Dipartimento di Scienze Farmaceutiche 


fstortoriello@unisa.it 

✉GIANGIACOMO GERLA 

Università di Salerno, DMI 


gerla@unisa.it


A Roma, venerdì 6 maggio 2011 

ore 8.30 – 17.30 

Il Congresso: 

MATEMATICA e TECNOLOGIA 

esperienze europee a confronto 

Un congresso di cui c’era bisogno quale occasione d’incontro e riflessione su un tema 

tanto dibattuto e che la collaborazione instaurata tra CASIO Italia e la MATHESIS ha 

consentito di realizzare. 

Il Congresso avrà luogo a Roma presso l’Istituto Tecnico del Turismo “Cristoforo 

Colombo”, in via Panisperna 255 diretto dalla preside Ester Rizzi. 

Parteciperanno al congresso relatori provenienti da diversi Paesi europei. Per l’Italia 

relazioneranno il prof. CARLO SBORDONE e le prof.sse TIZIANA BINDO e FILOME- 

NA ROCCA. 

Animeranno la tavola rotonda i proff. MICHELANGELO DI STASIO, ADRIANA LAN- 

ZA e LISA LORENZETTI. Nel corso del Congresso saranno anche presentati i risultati 

di due esperienze didattiche realizzate in scuole secondaria di 2° grado delle province 

di Latina e Torino. 

A introdurre i lavori del congresso sarà il presidente della Mathesis, EMILIO AMBRISI. 

Il Periodico di Matematiche pubblicherà sul prossimo numero (n. 2/2011) le sintesi 

degli interventi e delle relazioni. 

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Ipazia e lo strano caso della marchesa Diodata 

Corrado Bonfanti 

Quando si parla di “scienza al femminile”, Ipazia di Alessandria (circa 370–415) 

è una delle icone più apprezzate e più rappresentative; ma lo è anche — e questo ora 

c’interessa — quando si parla di integralismi avversi al libero pensiero. 

Filosofa, astronoma e matematica, allieva e continuatrice di suo padre Teone, 

ella ebbe gran seguito nei circoli intellettuali di quella Alessandria d’Egitto, che 

— inconsapevole dell’imminente tracollo — aveva nella cosmopolita Biblioteca il 

centro di confluenza, di irradiazione e di rielaborazione della cultura mediterranea, 

accumulata nel corso di secoli. Scrisse opere di rilievo — principalmente eruditi 

commentari ai classici della scienza — purtroppo perdute e note solo per testimonianze 

e citazioni di altri autori e cronachisti. 

Donna, a quanto si tramanda, di assai piacevole aspetto, Ipazia era personalmente 

affezionata alle credenze religiose radicate nella tradizione egizio-ellenica e alla 

più recente teosofia neoplatonica; il suo insegnamento, iniziato quando era appena 

ventenne e aperto a persone di ogni ceto e di ogni provenienza, era però saldamente 

ispirato a posizioni dichiaratamente tolleranti e, da buona scienziata, sostanzialmente 

laiche. 

Ebbe però la ventura di vivere in un’epoca di grandi mutazioni: all’ormai irreversibile 

declino di un Impero oscillante tra Oriente e Occidente, faceva riscontro il 

vigore del giovane cristianesimo, seppure ancora magmatico e litigioso al proprio 

interno riguardo all’assetto istituzionale e a quello teologico-filosofico, tra accuse e 

contraccuse di eresia. Comunque sia, il popolo cristiano e i suoi capi erano inebriati 

e spesso fuorviati — con buona pace del messaggio evangelico — dall’essere usciti 

dallo status di movimento perseguitato per assurgere provvidenzialmente al ruolo di 

unica religione di stato. Un percorso di pochi decenni, avviato dall’editto di tolleranza 

emanato da Costantino (313) e, dopo l’ininfluente interludio di Giuliano l’apostata, 

concluso dall’editto di Teodosio (393), che risultò definitivamente vessatorio per i 

non-cristiani. 

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A livello locale, il potere dei vescovi-capipopolo si andava mescolando con quello 

delle autorità civili e si avviava a soppiantarlo, una volta dissolto l’Impero, almeno in 

Occidente. Erano i primi sintomi di quella contesa tra il potere religioso (il papato di 

Roma) e il potere temporale (l’impero, ormai “romano” solo di nome) che sarebbe 

stata il motivo conduttore della grande politica europea per tutto il medioevo e oltre. 

Dalle parti di Alessandria, a quel tempo, era il vescovo Cirillo a fare il bello e il cattivo 

tempo, all’insegna di un integralismo ferocemente avverso a veri o presunti eretici, 

a pagani e a infedeli di ogni sorta. Con l’obiettivo di prevalere sulle fazioni in lotta 

tumultuosa, e non soddisfatto di aver espulso gli ebrei dalla città, il bravo Cirillo (nulla 

a che fare con Cirillo e Metodio, posteriori di quattro secoli) se la prese con Ipazia, 

pubblico emblema della non-cristianità: sguinzagliò quindi una squadraccia di monaci 

invasati e misogini, tristamente conosciuti come i Parabalani, i quali sequestrarono la 

bella Ipazia e, ancora ben viva, la disossarono a colpi di affilate valve di conchiglie, 

l’usuale succedaneo delle costose lame di metallo. Nulla poté la leale — e rischiosa! 

— solidarietà dimostrata a Ipazia da due tra i suoi antichi allievi: Oreste e Sinesio, nel 

frattempo divenuti prefetto imperiale di Alessandria il primo e l’altro, benché in cuor 

suo agnostico, vescovo di Tolemaide, nella vicina Cirenaica. 

Tutto questo è storia, ben conosciuta fin dall’antichità e, ai giorni nostri, resa anche 

popolare dal film Agorà, ai cui sceneggiatori si perdonano volentieri le pur suggestive 

illazioni — di sapore scopertamente kepleriano — sulle intuizioni scientifiche di 

Ipazia e l’addolcimento — se mai possibile — del massacro finale. Ma non sembra 

che ne sia stata al corrente una certa marchesa Diodata Saluzzo Roero (1774–1840), 

letterata attiva in Torino nel primo Ottocento e incline al genere didascalico-edificante. 

Ecco infatti lo “strano caso”: nel suo poema Ippazia ovvero delle Filosofie, del 1827, 

la marchesa Diodata dipinge la fine di Ipazia con questi versi 

«Languida rosa sul reciso stelo / Nel sangue immersa la vergin giacea / 

Avvolta a mezzo nel suo bianco velo, / Soavissimamente sorridea / 

Condannatrice de l’altrui delitto, / Mentre il gran segno redentor stringea.» 

Ipazia, insomma, martirizzata mentre testimonia la propria fede stringendo a sé il 

crocefisso! E il taglio dell’intero poema è conforme a questi versi. 

Ma non basta: a questo ineffabile svarione — grossolana ignoranza o revisionismo 

intenzionale maturato nel clima codino e gesuitico della restaurazione sabauda? — 

aderì volentieri il cavaliere abate Giuseppe Maffei, contemporaneo della Roero e 

autore di una non celebrata storia della letteratura italiana in cui non si peritò di 

scrivere 

«Nella schiera di quelle valorose donne che illustrarono la nostra età [. . . ] 

surse [. . . ] Diodata Saluzzo Roero, la quale in un poema cantò Ippazia 

che coltivò la filosofia e le matematiche in Alessandria e morì martire di 

Cristo.» (Maffei, 1834) 

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corrado Bonfanti 

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Corrado Bonfanti 93 

Tra i contemporanei, il Maffei non fu peraltro il solo ad esprimere un consenso 

acritico nei confronti della marchesa Diodata. Questo episodio pressoché sconosciuto 

di storia matematico-letteraria è stato infatti ripreso all’inizio del Novecento da uno 

dei tanti biografi di Ipazia, il quale c’informa che: 

[Tra le opere su Ipazia] abbiamo un Poema d’Ipazia ossia delle Filosofie, 

del quale uno scrittorello del Giornale Araldico, dell’anno 1827, ci dice 

“essere stato mandato alla luce dalla marchesa Diodata Saluzzo Roero”, e 

di superba fattura; ma a giudicare dai pochi passi riferiti, si tratta di una 

poesia di ben poco valore artistico e di niuno storico. Basti osservare che 

l’autrice, per la quale il recensore ha una vera e propria cornucopia di 

lodi entusiastiche, riteneva la nostra eroina una martire cristiana, mentre, 

come vedremo, [. . . ] (Agàbiti, 1914) 

Si potrebbe anche riflettere sulla mancata reazione da parte dei cultori di scienza, 

che pur non mancavano in quel tempo e in quei luoghi, dove era ancora fresca la 

memoria della matematica milanese Maria Gaetana Agnesi (1718–99) e del grande 

torinese Giuseppe Luigi Lagrange (1736–1813). Ai matematici in particolare, in 

una Torino semifrancofona, doveva essere nota se non altro la monumentale e allora 

recente Histoire des Mathématiques del Montucla, dove si legge la veritiera storia di 

Ipazia, «conosciuta [dice l’autore] da tutti quelli che hanno familiarità con la storia 

ecclesiastica di quel secolo.» (Montucla, 1802) 


MAFFEI G. (1834), Storia della letteratura italiana, Società tipogr. de’ classici 

italiani, Milano, vol. IV, pp. 274–5. 

AGÀBITI A. (1914), Ipazia - La prima martire della libertà di pensiero, Enrico 

Voghera Editore, Roma, pp. 34–5. 

MONTUCLA J.É. (1802), Histoire des mathématiques, Chez Henri Agasse, Paris, 

Tome I er , p. 332. 

✉CORRADO BONFANTI 

Socio onorario Mathesis, Sezione di Udine. 

corrado.bonfanti@uniud.it

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GIUSEPPE ISERNIA 

Recensione 

Paolo Linati 

L’algoritmo delle occasioni perdute 

La matematica nella scuola della seconda 

metà del novecento 

Edizioni Erickcson 

QUESTO libro è una riflessione sull’insegnamento della matematica nella scuola 

secondaria italiana fra il 1955 ed il 2005, fra accadimenti ed esperienze 

dell’autore. 

Un viaggio fra le occasioni perdute, sia nel passaggio dalla scuola per pochi alla scuola 

di tutti, sia nel rinnovamento dell’insegnamento della Matematica tanto nei contenuti 

(dall’insiemistica alla nuova geometria, dalla matematica per il reale a quella per 

il cittadino, la probabilità, . . . ) quanto nelle metodologie che tenessero conto anche 

dei cambiamenti dell’atteggiamento della società, ed in particolare degli studenti, 

nei confronti della scuola. 

In un algoritmo di “concatenazioni fra cause-effetti” l’autore rivisita cinquant’anni 

di vita professionale basandosi su ricordi personali e citazioni da riviste, testi e 

documenti. 

Non si parla solo di matematica. Vengono affrontati quei temi che nella seconda 

metà del secolo scorso hanno portato a quello che per l’autore è stato “un vero cambiamento 

antropologico”: temi che hanno riguardato non solo gli insegnanti, ma anche 

tutti quegli italiani che quel periodo hanno vissuto; il libro è perciò rivolto non 

solo agli insegnanti di matematica, ma anche ai giovani che di quegli anni hanno 

sentito parlare e che vogliono capire e comprendere. 

Abbiamo già avuto occasione di apprezzare l’approfondita e puntuale riflessione 

sui temi proposti dal prof. Linati con la relazione Professionalità dell’insegnante di 

matematica nella seconda metà del Novecento tenuta durante il Congresso Nazionale 

della Mathesis 2010 (Matematica: Apprendimento e Professionalità docente) e ci fa piacere 

poterli affrontare nel loro insieme leggendo una prosa scorrevole e piacevole, anche 

per i non addetti ai lavori, che alleggerisce argomentazioni solitamente destinate ad 

un pubblico circoscritto. 

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Indice 

EMILIO AMBRISI 

Editoriale p. 3 

ANDREA LAFORGIA 

Nessuna liturgia nell’insegnamento della Matematica “ 7 

ANTONINO GIAMBÒ 

Probabilità e paradossi “ 11 

ROCCO BRUNETTI 

Spigolando tra i quesiti assegnati agli esami di Stato 

la distanza minima di un punto da una parabola “ 19 

ANTONIO D’ONOFRIO 

Legame ristabilito tra Fisica e Matematica “ 27 

GABRIELE LUCCHINI 

Supporti tecnologici, contributi metodologici e apprendimento 

della Matematica “ 31 

CARLO TOFFALORI 

Aspettando Achille “ 41 

BRUNO CARBONARO 

Matematica ed educazione linguistica “ 55 

VITO CAPOZZI 

Onde elettromagnetiche ed Elettrosmog: l’inquinamento invisibile “ 67 

A. D’AMICO - M. BERTSCH 

Proprietà di strutture n-volte irrazionali “ 73 

C. COPPOLA - G. GERLA - S. TORTORIELLO 

Ancora due dimostrazioni del Teorema di Cantor-Bernstein “ 81 

CORRADO BONFANTI 

Ipazia e lo strano caso della marchesa Diodata “ 91 

Recensioni: 

PAOLO LINATI 

L’algoritmo delle occasioni perdute “ 94 

Inserzioni: 

Pedagogia della lumaca o. . . pedagogia del gambero? (p. 10) - È vero che la 

Matematica può anche essere interessante? L’intervista tra i giovani della sezione 

Mathesis di Rovigo (p. 52) - Scuole Estive Mathesis (p. 66) - Congresso Mathesis- 

Casio (p. 90). 

95 

95


Istruzioni per gli autori 

Politica editoriale: 

Il Periodico di matematiche pubblica articoli, in lingua italiana o inglese, inerenti le Scienze 

Matematiche e Fisiche di carattere Scientifico, Storico e Didattico, di effettiva originalità. I 

lavori vengono sottoposti alla consulenza di esperti anonimi che riferiscono al Direttore, a cui 

compete il giudizio definitivo. 

Standard da rispettare: 

Il lavoro deve essere scritto con carattere Time New Roman, su fogli formato A4 e con 

interlinea 1. 

La dimensione del carattere è 11 pt ad eccezione del titolo che è 14 pt in grassetto e del nome 

degli autori 12 pt. 

I margini sono: 

superiore 5,7 cm; inferiore 6 cm; destra e sinistra 4,5 cm. 

Il testo è quindi contenuto in un riquadro di 12 cm×18 cm. 

L’articolo deve contenere un sunto in lingua inglese di al più 10 righe. 

1. Titolo del primo paragrafo 

Primo paragrafo 

etc. 

Dopo ogni paragrafo aggiungere uno spazio verticale di 11 pt. 

Di norma l’articolo non può superare le 12 pagine, salvo autorizzazione speciale della direzione 

del periodico. 

Il testo va giustificato a sinistra e a destra. 

Le formule devono essere allineate a sinistra, con il numero allineato a destra: 

formula (2.3) 

(formula n. 3 del paragrafo n. 2). 

Le tabelle e le figure seguono una numerazione a parte. 

I teoremi e le definizioni vanno numerati a parte e separati dal testo di un’interlinea. 

Limitare allo stretto essenziale le note a piè di pagina. 

L’ultimo paragrafo va seguito da due spazi verticali e dalla bibliografia essenziale che va 

riportata con criteri diversi a seconda che si tratti di un articolo su rivista, su atti di Congresso 

o Convegno o in un libro, come negli esempi seguenti: 

COGNOME N. (anno di pubblicazione), Titolo del libro (in corsivo), numero edizione (se 

diversa dalla prima), numero del volume (per opere in più volumi), Luogo di pubblicazione, 

Editore, titolo dell’eventuale collana, numero d’ordine dell’opera, pagine (se si fa riferimento 

a specifiche porzioni del libro). 

COGNOME N. (anno di pubblicazione), “Un articolo su periodico”, Nome rivista (in corsivo), 

Luogo di pubblicazione, num. periodico, pagine contenenti l’articolo. 

COGNOME N., COGNOME N. (anno di pubblicazione), “Un articolo ad un convegno”, in: Atti 

del Convegno (in corsivo), numero del volume contenente l’articolo (per opere in più volumi), 

Luogo di pubblicazione, Editore, pagine contenenti l’articolo (o altre indicazioni). 

COGNOME N. (anno di pubblicazione), “Un articolo su testo monografico”, in COGNOME 

N. (editor), Titolo del libro (in corsivo), numero del volume contenente l’articolo (per opere 

in più volumi), Luogo di pubblicazione, Editore, anno di pubblicazione, pagine contenenti 

l’articolo (o altre indicazioni). 

Modalità di invio dei lavori 

Gli articoli vanno inviati tramite posta elettronica, in formato Word o LaTex e simultaneamente 

in formato pdf, a ciascuno dei componenti del Comitato di redazione. È gradita una nota di 

presentazione. 

96

✐ 

✐

LATINA 

Marcello Ciccarelli 

Via Cena, 38 

04100 Latina 

tel. 0773 697807 

pbal0452@panservice.it 

LECCE 

Sebastiano Rizzo 


Via Arnesano 

73100 Lecce 

tel. 0832 316965 

sebastiano.rizzo@unile.it 

MANTOVA 

Fabio Mercanti 

Polo regionale di Mantova 

Piazza d’Arco, 1 

46100 Mantova 

tel. 335 7793114 

famerca@alice.it 

MILANO 

Paola Gario 


Via Saldini, 50 

20133 Milano 

tel. 02 7388514 

mathesis.milano@unimi.it 

ORISTANO 

Castriota Marco Maria 

Via Sinis, 27 

09170 Oristano 

0783 211177 

marcocas@yahoo.it 

ORTONA - LANCIANO 

Antonio Iarlori 

Via Cappuccini, 433/8 

66034 Lanciano 

tel. 0872 49610 

NAPOLI 

Salvatore Rao 

DMA “R. Caccioppoli” 

Università “Federico II” 

Via Cintia, Monte S.Angelo, Ed. 5A 

80126 Napoli 

tel. 081 675664 

salvatore.rao@unina.it 

PARMA 

Paola Vighi 

Dip. di Matematica - Università 

Campus Universitario 

Parco Area delle Scienze, 53/A 

paola.vighi@unipr.it 

impaginazione e ottimizzazione grafica 

Giuseppe Isernia 

PAVIA 

Angela Pesci 

Dip. Matematica-Università 

Via Ferrata, 1 

27100 Pavia 

tel. 0382 985660 

angela.pesci@unipv.it 

PESCARA 

Antonio Maturo 

Via Pianacci, 21 

65015 Montesilvano (PE) 

tel. 085 4492569 

amaturo@unich.it 

PIACENZA 

Piero Lodigiani 

Strada Farnesiana, 13 

29100 Piacenza 

tel. 0523 616396 

plodigiani@libero.it 

REGGIO CALABRIA 

Caterina Romeo 

S.S. 106 Diram Irto, 22 

89131 Ravagnese (RC) 

tel. 0965 891272 

caterina.romeo@tin.it 

ROMA 

Stefano Geronimo 

Via Angelo Poliziano, 27 

00184 Roma 

tel. 06 70454168 

domenico.geronimo@alice.it 

ROVERETO 

Bruno Firmani 

Via Matteotti, 20 

38100 Trento 

firmani@ing.unitn.it 

ROVIGO 

Lisa Lorenzetti 

Liceo Paleocapa 

45100 Rovigo 

SALERNO 

Giovanni Vincenzi 

Dip. di Matematica e Informatica 

Via Ponte Don Melillo 

84084 Fisciano (SA) 

gvincenzi@unisa.it 

SERRA SAN BRUNO 

Vincenzo Iorfida 

Piazza Mastro Bruno Pelaggi 

89822 Serra San Bruno (VV) 

SEREGNO 

Luigi Landra 

Viale Santuario, 70 

20038 Seregno (MI) 

tel. 0362 230557 

landra.luigi@libero.it 

SUD SALENTO (ex Tricase) 

Lorenzo Barone 

Via Adriatica, 177 

73100 Lecce 

tel. 0832 493558; 328 2896778 

enzo.barone@libero.it 

TERNI 

Ivano Argentini 

c/o Liceo Ginnasio Tacito 

Viale Fratti, 12 

05100 Terni 

tel. 0744 274134 

i.argentini@tin.it 

TREVIGLIO 

Annamaria Manenti 

Via Oberdan, 14 

24047 Treviglio (BG) 

manenti.annamaria@simail.it 

UDINE 

Paolo Giangrandi 

c/o ISIS “A. Malignani” 

Viale Leonardo da Vinci, 10 

33100 Udine 

paolo.giangrandi@uniud.it 

VASTO 

Antonella Pellegrini 

Via delle Gardenie, 11 

66054 Vasto (CH) 

tel. 0873 58541 

pelant@tiscali.it 

VERBANIA 

Marisa Capra 

Via Pola, 3 

28922 Verbania (VB) 

tel. 0323 503335 

marisa.capra@gmail.com 

VERONA 

Luciano Corso 

Via IV Novembre, 11 b 

37126 Verona 

tel. 045 8344785 

lcorso@iol.i 

VICENZA 

Francesco Rizzotto 

ITG Ceccato 

Via Vanzetti, 14 

36016 Thiene (VI) 

rizzotto@mathesisvicenza.it 

www.editricerotas.it 

aprile 2011

Maria Gaetana Agnesi, una donna e un’amante appassionata 

della più duratura delle regine: la matematica. 

Le sue Istituzioni analitiche le dedica a un’altra grande regina, 

un’altra donna, Maria Teresa d’Austria, e l’intera dedica 

è un manifesto del femminismo settecentesco: Parmi 

infatti, che in questa età, …debbano le Donne tutte servire 

alla gloria del loro sesso… La sua è un’opera pedagogica, 

tradotta in altre lingue, riferimento per più di una generazione 

di giovani e di maestri. Il titolo completo è Instituzioni 

analitiche ad uso della gioventù italiana. “Gioventù 

italiana”! E siamo nel 1748, passerà ancora esattamente 

un secolo per la prima guerra d’indipendenza! Comincia 

così l’opera: Non avvi alcuno, il quale informato essendo 

delle Matematiche cose, non sappia altresì quanto, in oggi 

spezialmente, sia necessario lo studio dell’Analisi… Ma 

quanto è chiara la necessità di lei, onde la gioventù ardentemente 

s’invogli di farne acquisto, grandi altrettanto 

sono le difficoltà, che vi s’incontrano, sendo noto, e fuor 

di dubbio, che non ogni Città, almeno nella nostra Italia, 

ha persone, che sappiano o vogliano insegnarla, e non 

tutti hanno il modo di andar fuori della Patria a cercarne i 

Maestri… Le sue Istituzioni le scrive quindi per la gioventù 

italiana e le scrive in Italiano; non dà ascolto a chi ne 

consiglia la traduzione in Latino – idioma che da alcuni 

credasi più convenire a tal materia –ma segue l’autorevole 

esempio di tanti celebri Matematici Oltramontani, ed Italiani 

ancora, le di cui opere nella loro natìa favella vanno 

a comune vantaggio stampate. 

Con l’Agnesi il binomio Italiano-Matematica diviene 

strumento vincente nella formazione dell’identità di 

gioventù italiana, vero fondamento della costruzione 

dell’Italia unita, di cui, quest’anno, festeggiamo il 150° 

dell’avvenuta realizzazione. (ea) 

Mathesis 

Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche 

Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze 

Seconda Università di Napoli 

Via Vivaldi 43 – 81100 Caserta 

www.mathesisnazionale.it 

ISSN: 1582-8832

Periodico di matematiche - Mathesis

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