PDF - Matematica e Applicazioni

" " o&
peripheria circuli
exponentialis
Leonardo Colzani
LA QUADRAT URA DEL CERCHIO
E DELL 0 IP ERBOLE
3; 1415926535 8979323846
2643383279 5028841971
6939937510 5820974944
5923078164 0628620899
8628034825 3421170679 :::
2; 7182818284 5904523536
0287471352 6624977572
4709369995 9574966967
6277240766 3035354759
4571382178 5251664274 :::
1

Sassi gettati in acqua formano cerchi
che si intersecano lungo iperboli.
”Qual è ’l geometra che tutto s’a¢ ge per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,...”
”Il quadrato è il …ne del travagliamento delle super…tie geometriche... Quella
super…tie è sempre quadrabile in se medesima, alla quale si dà quadrato eguale
a lei...”
”Frustra laborant quotquot se calculationibus fatigant pro inventione quadraturae
circuli...”
”Madama, veramente, in questo mondo, conciossia cosa quando fosse che il
quadro non è tondo.”
Ci siamo serviti di queste dotte citazioni dal XXXIII canto del ”Paradiso” di
Dante Alighieri, da Leonardo da Vinci, ”omo sanza lettere”, da Michael Stifel,
ed in…ne dal ”Don Giovanni”di Wolfgang Amadeus Mozart e Lorenzo da Ponte,
per introdurre il problema della retti…cazione e quadratura del cerchio, cioè la
costruzione di un segmento con la stessa lunghezza di una data circonferenza
e di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Denotiamo con ,
” " " o&”, ”peripheria circuli”, il rapporto tra la lunghezza della circonferenza
ed il diametro di un cerchio, o che è lo stesso, il rapporto tra l’area ed
il quadrato del raggio,
= circonferenza
diametro
= area del cerchio
2
quadrato del raggio :

Albrecht Durer 1554 Leonardo da Vinci
Joanne Keplero
1615
Un cerchio può essere scomposto in triangoli con altezza il raggio
e somma delle basi la circonferenza. L’area è il prodotto del raggio
per metà circonferenza. Il perimetro è proporzionale al raggio, 2 R,
e l’area è proporzionale suo quadrato, R 2 . Il problema è la natura
della costante di proporzionalità .
La quadratura del cerchio è stata uno dei problemi centrali della matematica
per più millenni e ha dato origine ad una vera e propria malattia, il ”morbus
cyclometricus”, che in certe epoche ha assunto dimensioni di epidemia, non ancora
completamente debellata. Anzi, in epoche più recenti è anche comparso
il ”morbus decimalium”, la spasmodica ricerca delle cifre decimali. Anche noi
contagiati, senza alcuna pretesa di rigore …lologico ed in modo un po’disordinato,
vogliamo presentare qualche notizia sulla storia, sul calcolo numerico, ed
altre curiosità su questo numero e, già che ci siamo, anche sul suo fratello
naturale, il numero e, ”exponentialis”. Non sappiamo dare referenze precise per
tutto quanto segue, anzi forse qualcosa lo abbiamo frainteso o ce lo siamo pure
inventato. Comunque, l’indice della nostra esposizione è il seguente:
0- Cronologia di .
1- Quadratura di cerchio e iperbole. Babilonesi, egizi, ebrei. Matematica
greca. Matematica in Asia. Ultimi seguaci di Archimede. Logaritmi. Nascita
3

del calcolo. Analisi. Costruzioni con riga e compasso. Numeri algebrici e
trascendenti. Equiscomponibilità e decomposizioni paradossali. Morbo decimale.
Morbo ciclometrico.
2- Metodo di esaustione.
3- Tavole di corde e logaritmi.
4- Prodotti in…niti.
5- Serie di logaritmi e arco tangenti.
6- Serie dei reciproci di potenze.
7- Frazioni continue.
8- Metodi Montecarlo.
9- Problema del cerchio.
10- Lemniscata e medie aritmetico geometriche.
11- Catenaria e problema isoperimetrico.
12- Cicloide.
13- Numeri razionali, algebrici, trascendenti.
14- Riga, compasso, origami.
15- Lunule.
16- De…nizione astratta di .
Il capitolo zero è una tabella con vari valori numerici attribuiti a . Il primo
capitolo copre circa quattromila anni di storia ed è piuttosto discorsivo, gli altri
sono brevi ma un poco più tecnici. In ogni caso, ogni capitolo è indipendente
dagli altri.
4

Lunule nel Codice Atlantico di Leonardo da Vinci
5

CRONOLOGIA
= 3; 1415926535:::
2000 a.C. Babilonesi 3 + 1=8 = 3; 125
2000 a.C. Egizi (16=9) 2 = 3; 160:::
1200 a.C. Cinesi 3
550 a.C.
380 a.C.
Ebrei
Platone
p p
3
2 + 3 = 3; 146:::
250 a.C. Archimede 3 + 10=71 < < 3 + 1=7 = 3; 142:::
150 d.C.
250
Tolomeo
Chung Hing
377=120
p
= 3; 1416:::
10 = 3; 162:::
250 Wang Fau 142=45 = 3; 155:::
263 Liu Hui 3927=1250 = 3; 1416
480 Zu Chongzhi 3; 1415926 < < 3; 1415927
499
640
Aryabhata
Brahmagupta
62832=20000
p
= 3; 1416
10 = 3; 162:::
800 Al Khowarizmi 3; 1416
1220 Leonardo Pisano 864=275 = 3; 1418:::
1429
1464
Al Kashi
Nicola da Cusa
16 decimali
(3=4) p 3 + p 6 = 3; 13:::
1573 V. Otho 355=113 = 3; 1415929:::
1583 S. Duchesne (39=22) 2 = 3; 142:::
1593 F. Viete 9 decimali
1593 A. van Rooman 15 decimali
1609 L. van Ceulen 35 decimali
1630 Grienberger 39 decimali
1674 Seki 10 decimali
1723 Takebe 41 decimali
1730 Kamata 25 decimali
1739 Matsunaga 50 decimali
6

= 3; 1415926535:::
1665 I. Newton 16 decimali
1699 A. Sharp 71 decimali
1706 J. Machin 100 decimali
1719 F. de Lagny 127 decimali (112 corretti)
1794 G. von Vega 140 decimali
1824 W. Ruthenford 208 decimali (152 corretti)
1844 M.Z. Dase 200 decimali
1847 T. Clausen 248 decimali
1853 W. Lehmann 261 decimali
1853 W. Ruthenford 440 decimali
1874 W. Shanks 707 decimali (527 corretti)
1947 D.S. Ferguson & J.W. Wrench 808 decimali
1949 L.B. Smith & J.W. Wrench 1120 decimali
1949 G.W. Reitwiesner (ENIAC) 2037 decimali
1958 F. Genuys (IBM) 10020 decimali
1961 D. Shanks & J.W. Wrench (IBM) 100265 decimali
1973 J. Guilloud & M. Bouyer (CDC7600) Un milione di decimali
1989 D. Chudnovsky & G. Chudnovsky Un miliardo di decimali
2002 Y. Kanada (Hitachi). Mille miliardi di decimali
e = 2; 7182818284:::
1714 R. Cotes 12 decimali
1739 L. Eulero 23 decimali
1794 G. von Vega 42 decimali
1854 W. Shanks 205 decimali (187 corretti)
1926 D.H. Lehmer 707 decimali
1949 J. von Neumann (ENIAC) 2010 decimali
1994 R. Nemiro¤ and J. Bonnell Un milione di decimali
2010 S. Kondo & A.J. Yee Un miliardo di decimali
7

QUADRAT URA
DI CERCHIO
E IP ERBOLE
Il titolo 3,1415926535... è lungo perché è lunga la storia da raccontare e poi
la quadratura del cerchio risulta così strettamente connessa alla storia di tutta
la matematica che ad ogni passo si cade nella tentazione di qualche digressione.
Non tutti i numeri sono nati uguali, e questo vale in particolar modo per e
per e. Entrambi sembrano essere dei …gli di nessuno e non sappiamo darne una
precisa data di nascita, il secondo può essere stato concepito con il problema
dell’interesse composto ed è venuto alla luce solo dopo la comparsa dei logaritmi,
il primo deve essere vecchio quanto il cerchio ed anche il luogo di nascita è
sconosciuto.
8

Ossi di babbuino,
Lembobo,
35000 a.C.
Ossi di babbuino,
Ishango, 20000 a.C.
PREISTORIA:
11 + 21 + 19 + 9
11 + 13 + 17 + 19
3 + 6 + 4 + 8 + 10 + 5 + 5 + 7
Australopithecus
Afarensis (Lucy),
3,4 milioni di anni.
Ossi di lupo,
Dolni Vestonice,
30000 a.C.
Nel paleolitico ci sono già i numeri, ma sono interi e non c’è traccia di .
9

BABILONESI; EGIZI; EBREI:
YBC 7289 YBC 7302
Iniziamo la nostra storia in Mesopotamia. Sembra che nel quarto millennio
a.C. sia comparsa la ruota. E il cerchio? Nella tavoletta d’argilla YBC 7302,
2000 a.C., c’è un cerchio con numeri in caratteri cuneiformi. L’area 45=60 è un
dodicesimo di 9, che è il quadrato della circonferenza 3, R 2 = (2 R) 2 =12, cioè
= 3. In un’altra si stima il rapporto tra i perimetri di un esagono inscritto ed
una circonferenza circoscritta, da cui si deduce = 3 + 7=60 + 30=3600 = 3; 125.
In un’altra ancora si legge: ”La lunghezza è 4 e la diagonale 9. Quant’è la
larghezza? 4 per 4 è 16, 5 per 5 è 25, se da 25 si toglie 16 rimane 9 e per ottenere
9 si deve moltiplicare 3 per 3. La larghezza è 3”. Nella tavoletta Plimpton 322 ci
sono delle liste di numeri che possono essere interpretati come terne pitagoriche
a 2 + b 2 = c 2 , con i rapporti a 2 =b 2 che sono i quadrati della cotangente di un
angolo del triangolo con lati (a; b; c). Nella tavoletta YBC 7289, accanto alla
diagonale di un quadrato, si trova il numero 1 + 24=60 + 51=60 2 + 10=60 3 =
1; 414212:::. Se il lato è uno, la diagonale è p 2 = 1; 414213:::. Nella tavoletta AO
6770 compare un’equazione esponenziale: ”Si presta con interesse un gur. Dopo
quanti anni capitale e interesse saranno uguali?”. Il codice di Hammurabi del
10

XVIII secolo a.C. …ssa un interesse massimo del 20%, con pene per i trasgressori.
Si ottiene quindi l’equazione (1 + 20=100) x = 2 con soluzione x = 3; 80:::. La
soluzione babilonese, ottenuta probabilmente tabulando (6=5) n ed interpolando
linearmente tra 3 e 4, è invece 3 + 47=60 + 13=60 2 + 20=60 3 = 3; 78:::, 3 anni 9
mesi 13 giorni. Infatti (6=5) 3 = 216=125, (6=5) 4 = 1296=625, (x 3) = (4 3) =
(2 216=125) = (1296=625 216=125), x = 409=108.
Papiro Rhind
e Golenishchev
Il papiro Golenischef del 1850 a.C. contiene la formula esatta del volume
di un tronco di piramide, V = a 2 + ab + b 2 h=3. Anche nel papiro Rhind
datato intorno al 1700 a.C., ”per la conoscenza di tutte le cose e gli oscuri
segreti... copiato da Ahmes nel 4 o mese della stagione dell’inondazione nel 33 o
anno del regno del re dell’alto e basso Egitto Auserre...”, ci sono alcuni problemi
collegati alla costruzione delle piramidi. ”La base di una piramide è 360 cubiti e
l’altezza 250. Quant’è l’inclinazione? Dividi 360 per 2, 180, dividi 180 per 250,
1/2+1/5+1/50, moltiplica per 7, 5+1/25.” L’inclinazione viene misurata dal
rapporto tra lo spostamento orizzontale in palmi e quello verticale in cubiti e,
siccome un cubito sono sette palmi, questa inclinazione è 7 volte la cotangente
dell’angolo. Per il calcolo dell’area di un cerchio nel papiro copiato dallo scriba
Ahmes si trova la seguente regola:
”Modo di operare per un campo rotondo di 9 khet. Quant’è l’area? Sottrai
1/9 di esso, cioè 1, il resto è 8, moltiplica 8 per 8, il risultato è 64. Questa è l’
area, 64 setat.
11

Fai così:
setat.”
1 1=9
9 1
, tolto questo rimane 8, 1 2 4 8
8 16 32 64
, l’ area è 64
Secondo Ahmes, un cerchio con diametro 9
ha la stessa area di un quadrato con lato 8.
Di fatto l’area del cerchio è poco meno di 64,
(9=2) 2 = 63; 617:::.
Un setat è un khet quadrato, un khet è cento cubiti, un cubito sono sette
palmi ed un palmo quattro dita. Misurandosi le dita si arriva alla stima di un
campo del diametro di 450 metri. Generalizzando, per quadrare un cerchio basta
togliere 1/9 del diametro e costruire un quadrato sul rimanente. Se D = 2R
è il diametro, la stima per l’area è (D D=9) 2 = 256=81R 2 = 3; 16:::R 2 . Gli
egizi usano solo frazioni con numeratore uno, se invece di 1/9 del diametro si
toglie 1/8 o 1/10 l’approssimazione peggiora. La piramide di Cheope ha base
di 440 cubiti e altezza 280, il rapporto tra perimetro di base e altezza 44/7 è
molto prossimo a 2 . Questo ed altro danno adito a parecchie speculazioni sui
costruttori della grande piramide, ma secondo Erodoto le dimensioni sono tali
che la super…cie di ogni faccia è uguale al quadrato dell’altezza. Se L ed A sono
il lato e l’altezza, 2L=A = pp 20 2 = 3; 144:::. Anche il rapporto tra lato e
altezza della piramide del sole maya è prossimo a . La congettura naturale è
che per ogni " > 0 esiste un n tale che ogni insieme di n misure contiene una
combinazione che di¤erisce da per meno di ".
Nel ”Libro dei Re”e nelle ”Cronache”, descrivendo un vaso di bronzo a forma
emisferica, chiamato il mare a motivo della sua capacità e posto all’ingresso del
Tempio di Salomone (X secolo a.C.), si stima che il rapporto tra circonferenza
e diametro sia circa 3:
”Salomone fece venire Chiram da Tiro... Questi si recò dal re ed eseguì le
sue commissioni... Fece un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo
all’altro, rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti e la circonferenza di trenta
cubiti.”
Il cubito è la misura dell’avanbraccio, circa 44 cm. e 10 30 cubiti sono
circa 62 cm. Per alcuni commentatori il diametro è esterno e la circonferenza
interna, tenendo conto dello spessore di un palmo il conto torna. Per altri più
fondamentalisti il rapporto tra circonferenza e diametro è cambiato nel tempo,
12

prima lo spazio era più curvo e la circonferenza più corta. Per i più tolleranti
un errore relativo ( 3) = inferiore al 5% è solo un peccato veniale.
13

Il teorema di Pitagora negli Elementi d’Euclide
di Federico Commandino MDLXXV
14

MATEMATICA GRECA:
La scuola di Atene, con Ra¤aello tra i matematici a destra.
Nel VI secolo a.C. Talete di Mileto e Pitagora di Samo importano in Grecia
le conoscenze matematiche egizie e babilonesi ed alla scuola pitagorica si
attribuisce la scoperta che non esiste un sottomultiplo comune del lato e della
diagonale di un quadrato non è un rapporto tra numeri interi. Questa è forse
15

la prima dimostrazione di impossibilità in matematica. Se il rapporto tra diagonale
e lato di un quadrato è un numero complicato, …guriamoci il rapporto tra
circonferenza e diametro di un cerchio. Nel V secolo a.C. tra i primi a cercare
di quadrare un cerchio, cioè costruire un quadrato con la stessa area di un dato
cerchio, troviamo Anassagora di Clazomene. Secondo Plutarco, ”nessun luogo
può privare un uomo della sua felicità, virtù o saggezza. Infatti Anassagora
ha scritto della quadratura del cerchio in prigione”. L’accusa è di empietà per
opinioni cosmologiche contrarie alla natura divina degli astri, il Sole è un sasso
incandescente e la Luna è fatta di terra e non brilla di luce propria. Sempre
nel V secolo a.C. il so…sta Antifonte enuncia, più o meno, il principio di esaustione.
Si parte da un poligono regolare inscritto in un cerchio e su ogni lato si
costruisce un triangolo isoscele con vertice sul punto medio dell’arco, ottenendo
in questo modo un poligono regolare con un numero doppio di lati. Ripetendo
più volte la costruzione, il poligono tende a confondersi con la circonferenza,
quindi se è possibile quadrare un poligono, allora deve anche essere possibile
quadrare un cerchio. Secondo Aristotele (384-322 a.C.), ”anche ammettendo la
quadratura del cerchio possibile”, l’argomentazione ”non è fondata sui principi”.
Ma se dal punto di vista di un logico la conclusione non è corretta, l’algoritmo
funziona, perché i triangoli che si costruiscono ad ogni passo riempiono più della
metà della regione tra cerchio e poligono e l’errore si riduce di più della metà.
Brisone di Eraclea ritiene che l’area di un cerchio sia la media aritmetica delle
aree dei poligoni inscritti e circoscritti. Ippia di Elide costruisce una curva poi
usata da Dinostrato, Nicomede, e altri, per trisecare gli angoli e quadrare i cerchi.
Aristofane nella commedia ”Uccelli” si prende gioco di questi geometri che
sprecano il loro tempo cercando di trasformare un cerchio in quadrato.
La quadratrice di Ippia è l’intersezione
tra una retta uniformemente traslata ed
una uniformemente ruotata. Se queste rette
hanno equazioni x = 1 # e y=x = tan ( #=2) ,
l’intersezione è y = x cot ( x=2) ed al limite
limx!0 x cot ( x=2) = 2= .
Ippocrate di Chio, omonimo e contemporaneo del medico, dopo vani sforzi
di quadrare un cerchio per primo riesce a quadrare delle regioni curve, le lunule.
In particolare, è attribuito ad Ippocrate un risultato poi riscoperto dal matematico
arabo medioevale Ibn Al Haitham (965-1039) e da Leonardo da Vinci
(1452-1519). Se sui lati di un triangolo rettangolo si tracciano tre semicerchi,
per il teorema di Pitagora la somma delle aree dei semicerchi costruiti sui
cateti è uguale all’area del semicerchio costruito sull’ipotenusa. La somma delle
aree delle due lunule interne ai semicerchi sui cateti ed esterne al semicerchio
16

sull’ipotenusa che passa per i tre vertici del triangolo è uguale all’area del triangolo.
Per quadrare queste lunule basta poi quadrare il triangolo.
Lunule di
Ippocrate.
Se sui lati di un quadrato inscritto in un cerchio si tracciano quattro
semicirconferenze, le quattro lunule hanno area uguale al quadrato.
Se sui lati di un esagono regolare inscritto in un cerchio si tracciano
sei semicirconferenze, sei lunule più due semicerchi hanno area
uguale all’esagono.
Codice Atlantico
di Leonardo.
”Qui sempre li due semicirculi a, b insieme sono equali al terzo,
dov’è fatto l’ortogonio. E se a cose equali si leva la parte equale, il
rimanente saranno equali. Se dunque che tolto il depennato (ch’è
doppio) allo a e tolto al b restano le e lunole; e di poi, tolto il
depennato al semicirculo maggiore n che vale a due predetti,
seguita che n, ortogonio resta equale alle due lunole a, b;
resta a dare la parte dell’ortogonio a esse due lunole che sia
quadrabile, la qual si farà nell’angolo delle proporzioni.”
17

ABD = F BC;
ABD = (1=2) BD BL;
F BC = (1=2) AB BF:
Nessuna opera matematica ha avuto tante edizioni ed un in‡usso paragonabile
agli ”Elementi” di Euclide (III secolo a.C.). Non si hanno molte notizie
della sua vita, ma sembra sia vissuto ad Alessandria d’Egitto. Si racconta che
quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide
ordinò al suo schiavo di dare all’allievo una moneta: ”Ha bisogno di trarre
guadagno da ciò che impara”. Ed al re Tolomeo I che chiedeva di imparare
in fretta e senza fatica la matematica rispose: ”Non c’è una via regia per la
geometria”. Proclo lo colloca tra i discepoli di Platone (427-347 a.C.):
”Euclide raccolse gli ”Elementi”, ne ordinò in sistema molti di Eudosso, ne
perfezionò molti di Teeteto, e ridusse a dimostrazioni inconfutabili quelli che
suoi predecessori avevano dimostrato poco rigorosamente. Visse al tempo del
primo Tolomeo, perché Archimede, che visse dopo Tolomeo primo, cita Euclide.
Si racconta anche che a Tolomeo che gli chiedeva se non ci fossero delle vie
più brevi degli Elementi per apprendere la geometria, egli rispose che non esistevano
vie regie per la geometria. Euclide era dunque più giovane dei discepoli
18

di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede che erano fra loro
contemporanei, come a¤erma in qualche luogo Eratostene. Per le idee Euclide
era platonico ed era molto familiare con questa …loso…a, tanto che si propose
come scopo …nale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle …gure
chiamate platoniche.”
Euclide
Libro Secondo
Propositione 5
”Se’l serà segata una linea retta un due parti equali, & in due altre non
equale, il rettangolo che è contenuto sotto alle settioni inequali, di tutta
la linea, con il quadrato che vien descritto da quella linea che è fra l’una,
& l’altra settione, è equale al quadrato che vien descritto dalla mità di
tutta la linea dutta in se medesima”. Cioè, xy + (x y) 2 =4 = (x + y) 2 =4,
ma i greci non conoscono il calcolo simbolico e l’algebra.
Le lunghezze hanno dimensione uno, le aree dimensione due, i volumi dimensione
tre. In particolare, il perimetro di un cerchio deve essere proporzionale
al raggio e l’area al quadrato del raggio, la super…cie di una sfera deve essere
proporzionale al quadrato del raggio ed il volume al cubo. Infatti, nel XII Libro
degli ”Elementi” di Euclide, insieme alla determinazione dei volumi di cilindri
e coni si trovano le seguenti proposizioni:
”De ogni duoi circuli, la proportione di l’uno all’altro, e si come la proportione
del quadrato del suo diametro, al quadrato del diametro dell’altro.”
”Di ogni due sphere, la proportione di una a l’altra, e si come la proportione
treppiata del suo diametro al diametro di l’altra.”
Pare che questi enunciati, riproposti nella traduzione di Nicolo Tartalea
Brisciano, la prima in italiano, siano essenzialmente dovuti ad Ippocrate, ma le
dimostrazioni sono basate sulla teoria della proporzioni e sul principio di esaustione
di Eudosso di Cnido (IV secolo a.C.). Alla base di questo principio sta la
proposizione: ”Se da due proposte quantità inequale, dalla maggiore sia detratto
piu della mita, & del rimanente anchora sia levado via piu della mita, & da li
indietro seguitando per el medesimo modo, …nalmente è necessario che rimanga
una quantità minore, della proposta minore”. La dimostrazione che le aree
dei cerchi sono proporzionali ai quadrati dei diametri utilizza la proposizione
19

analoga per poligoni: ”De ogni due super…cie simili de molti angoli descritte
dentro di duoi cerchii, la proportione di l’una all’altra, e si come la proportione
de li quadrati che pervengono dalli diametri di cerchii circonscribenti quelle”.
Questo enunciato per i poligoni segue facilmente dall’analogo enunciato per i
triangoli: il rapporto tra le aree di triangoli simili è il quadrato del rapporto tra
i lati. Dati due cerchi con aree C e e C e diametri D e e D, se C : e C 6= D 2 : e D 2 ,
esiste un’area X 6= e C tale che C : X = D 2 : e D 2 . Se X < e C, si iscrive in questo
cerchio un poligono di area e P , con X < e P < e C. Questo segue dalla proposizione,
inscrivendo nel cerchio un quadrato e raddoppiando ripetutamente i
lati. Si iscrive poi nel cerchio C un poligono di area P simile a e P . Quindi, per
la proposizione sui poligoni simili, P : e P = D 2 : e D 2 = C : X. Ma se X < e P
per costruzione e P < C, perché il poligono è inscritto nel cerchio, si ha anche
P : e P < C : X.
”Petizione prima. Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto
in qualunque ponto si possi condurre una linea retta.”
”Petizione 2. Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare
una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare.”
”Petizione 3. Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque
centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare.”
”Petizione 4. Similmente adimandiamo che ci sia concesso tutti li angoli
retti esser fra loro equali.”
”Petizione 5. Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta
cascarà sopra due linee rette, & duoi angoli da una parte siano minori di duoi
angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte
sia necessario congiongersi.”
Il primo ed il terzo di questi postulati di Euclide sono alla base delle costruzioni
con riga e compasso. Problemi classici della geometria greca sono la trisezione
dell’angolo, la duplicazione del cubo, la retti…cazione e quadratura del cerchio,
possibilmente con il solo utilizzo di questi mezzi. Scrive Pappo di Alessandria
(IV secolo d.C.):
20

”Ci sono tre tipi di problemi in geometria, piani, solidi, lineari. Quei problemi
che possono essere risolti utilizzando linee rette e circonferenze di cerchi
sono chiamati piani, perché le linee con cui sono risolti hanno origine nel piano.
Invece, quei problemi che richiedono l’utilizzo di una o più sezioni di cono sono
chiamati solidi, perché utilizzano super…ci di …gure solide, cioè super…ci coniche.
In…ne, ci sono i problemi chiamati lineari, perché nelle loro costruzioni si utilizzano,
oltre a quelle menzionate, altre linee con origini più complicate e meno
naturali, generate da super…ci più irregolari e da movimenti complicati... Luoghi
su super…ci... Spirali, quadratrici, cocloidi e cissoidi...”
Duplicazione
del cubo di
Ippocrate e
Menecmo.
Per costruire un cubo con volume x 3 : a 3 = b : a basta trovare due medie
proporzionali tra i dati a e b, a : x = x : y = y : b. Infatti, a 3 : x 3 = (a : x) 3
= (a : x)(x : y)(y : b) = a : b. Il punto (x; y) è l’intersezione tra le parabole
x 2 = ay e y 2 = bx e l’iperbole xy = ab.
Ippocrate osserva che, se per duplicare un quadrato basta inserire una media
proporzionale tra 1 e 2, 1 : x = x : 2, per duplicare un cubo basta inserirne due,
1 : x = x : y = y : 2. Una piccola digressione: per ottenere una scala musicale
temperata, Johan Sebastian Bach divide un’ottava in 12 semitoni inserendo 11
medie proporzionali tra 1 e 2. Menecmo (IV secolo a.C.), tagliando un cono
con base circolare, scopre le coniche e dimostra che intersecando queste curve si
possono sia duplicare i cubi che trisecare gli angoli. Sempre per risolvere questi
problemi, Diocle (II secolo a.C.) introduce la cissoide (a x)y 2 = x 3 , e Nicomede
(II secolo a.C.) la concoide (a x) 2 x 2 + y 2 = b 2 x 2 . Per esempio, i punti
della cissoide y= (a x) = (y=x) 3 sono intersezione delle rette y=(a x) = t e
y=x = 3p t. Se la prima retta interseca l’asse x = 0 in (0; at), la seconda interseca
l’asintoto x = a in a; a 3p t . Quindi con la cissoide, o con qualche altra curva
di terzo grado, si possono estrarre le radici cubiche.
21

Edera,
cissoide
di Diocle.
Se A e B sono due punti di intersezione di una retta per un punto O con
due curve e e se P è un punto sulla retta tale che jP Oj = jA Bj ,
al variare della retta il luogo dei punti P è a cissoide di e rispetto
ad O. Partendo da un cerchio, una sua tangente ed il punto sul cerchio
opposto al punto di contatto, si ottiene la cissoide di Diocle.
Conchiglia,
concoide di
Nicomede.
Se A è un punto di intersezione di una retta per un punto …sso O con una
curva , sulla retta esistono due punti P e Q tali che jP Aj = jQ Aj =
k, costante …ssata. Al variare della retta il luogo di questi punti P e Q è
la concoide di rispetto ad O. Quella di Nicomede è la concoide di una
retta rispetto ad un punto. Se la costante k è minore, uguale, o maggiore
della distanza del polo dalla retta, la concoide presenta un punto isolato,
una cuspide, un nodo. La concoide di Nicomede è anche la cissoide di
una retta ed un cerchio rispetto al centro del cerchio.
Accanto a queste curve algebriche, i greci ne introducono anche di trascendenti.
La quadratrice di Ippia e Dinostrato è il luogo dei punti intersezione
di una retta traslata ed una ruotata con moto uniforme. Se i fasci di rette
traslate e ruotate hanno equazioni x = 1 # e y=x = tan ( #=2), l’intersezione
è y = x cot ( x=2) ed al limite per x ! 0 si ha x cot ( x=2) ! 2= . È semplice
costruire dei dispositivi che permettono di tracciare la cissoide e la concoide, un
poco più complicato è tracciare la quadratrice di Ippia. Anzi, nella de…nizione
di rotazione uniforme sembra essere implicitamente già presente la misura degli
archi di cerchio che si vogliono misurare. Comunque, con queste curve è possibile
trisecare gli angoli e quadrare i cerchi, ma in modo ”meccanico”, non ”geometrico”.
Questo contrasta con l’ideologia dell’Accademia di Platone: ”Procedendo
in modo meccanico si perde il meglio della geometria”. Insomma, le costruzioni
geometriche perfette sono solo quelle con riga e compasso. Il problema della
22

trisezione dell’angolo è quello di dividere un dato angolo in tre parti uguali utilizzando
solo la riga ed il compasso. Il problema della duplicazione del cubo è
quello di costruire con riga e compasso il lato di un cubo con volume doppio
di un cubo dato. Il problema della retti…cazione e quadratura del cerchio è
quello di costruire con riga e compasso un segmento con la stessa lunghezza di
una data circonferenza ed un quadrato con la stessa area di un dato cerchio.
Insomma, …ssata una unità di misura, si tratta di costruire con riga e compasso
dei segmenti di lunghezza 2 e p .
Secondo Leonardo da Vinci, il doppio
di un cubo con lato di quattro braccia
è un cubo di cinque braccia, più una
piccola quantità inde…nibile:
3p 2 4 3 = 5; 039:::
A parte le lunule di Ippocrate, la prima quadratura esatta di una regione
curva sembra essere quella della parabola, dovuta ad Archimede di Siracusa
(287-212 a.C.). A lui si attribuiscono le famose a¤ermazioni ”eureka” e ”datemi
un punto d’appoggio e solleverò il mondo”. In e¤etti, con leve reali Archimede
costruisce macchine da guerra per difendere la sua città, e con leve immaginarie
trova una quadratura meccanica della parabola. Questa quadratura meccanica
viene presentata nel trattato sulla ”Quadratura della parabola”, insieme ad una
quadratura geometrica basata sul principio di esaustione.
23

”Se mi date un
punto d’appoggio,
vi sollevo il mondo”.
Su un segmento di parabola si costruisce un triangolo rettangolo con
ipotenusa sulla tangente alla parabola ed un cateto sulla base del segmento,
poi si raddoppia il segmento di base. Se si considera questo doppio segmento
come una leva con fulcro nel punto di mezzo, le sezioni di triangolo con rette
parallele ad un cateto bilanciano le sezioni di parabola spostate all’estremo
della leva. Quindi tutto il triangolo lasciato dove sta bilancia esattamente il
segmento di parabola spostato all’estremo della leva. Siccome il baricentro
del triangolo si trova ad un terzo dell’altezza, il triangolo ha un’area tripla
del segmento di parabola.
24

La quadratura
della parabola
di Archimede.
Se '(x) =
2x se 0 x 1=2;
2 2x se 1=2 x 1;
' 3 (x) = '('('(x))),..., allora x(1 x) =
e se ' 2 (x) = '('(x)),
+1X
4 n'n (x).
Per dimostrare la formula basta osservare che un triangolo iscritto nella
parabola y = x(1 x) con vertici di ascisse a, b, (a + b)=2, ha altezza
a + b
2
1
a + b
2
a(1 a) + b(1
2
b)
= (b a)2
:
4
In un segmento di parabola delimitato da una corda AB si iscrive un triangolo
ABC, con C il punto della parabola con tangente parallela alla corda
AB. Questo punto C è l’intersezione tra la parabola e la retta parallela all’asse
passante per il punto medio di AB. Le corde AC e CB delimitano due nuovi
segmenti di parabola e i triangoli inscritti in questi segmenti hanno ciascuno
area 1/8 del precedente. Iterando la costruzione si ottiene un’in…nità di triangoli
che riempiono il segmento di parabola e la somma delle aree di questi
triangoli è una serie geometrica,
n=1
1 + 1=4 + 1=4 2 + 1=4 3 + ::: ABC = 4=3 ABC:
Nella matematica greca le lunghezze, aree e volumi non sono numeri, ma
grandezze che vengono confrontate con grandezze della stessa specie. Il formalismo
algebrico a cui siamo abituatiZè piuttosto recente. Comunque, la formula
x
ottenuta è equivalente all’integrale x2dt = x3 =3. Nel trattato ”Sulle spirali”
0
Archimede de…nisce una curva descritta da un punto che si muove uniformemente
su una semiretta che a sua volta ruota uniformemente intorno al suo
estremo, in coordinate polari = #. L’area e la lunghezza di un tratto di
spirale sono rispettivamente
Z # q
0
Z #
0
(d ) 2 + ( d#) 2 =
2 =2 d# = 2 =2
Z #
0
# 2 d# = 2 # 3 =6;
Z # p p
1 + # 2d# = ( =2) # 1 + # 2 log p 1 + # 2 # :
0
Anche la lunghezza del tratto di parabola y = x2 Z
=2 dal vertice al punto (x; y)
xp
è data dall’integrale 1 + x2dx. Non conoscendo i logaritmi, Archimede
calcola le aree ma non le lunghezze.
0
25

”Se si traccia nel piano una linea
retta, se con un’estremo …sso questa
viene ruotata con velocità costante,
e se al tempo stesso sulla linea che
ruota si trasporta con moto uniforme
un punto a partire dall’estremo …sso,
il punto descrive una spirale.”
”L’area delimitata dalla spirale e dalla retta ritornata nella posizione
da cui è partita è la terza parte del cerchio con centro nel punto …sso
e raggio uguale alla distanza percorsa lungo la retta dal punto mobile
in una rivoluzione. L’area delimitata dalla prima rivoluzione è un sesto
di quella aggiunta nella seconda. Le aree aggiunte nelle rivoluzioni
successive sono multipli dell’area aggiunta nella seconda, l’area
della terza è il doppio della seconda, la quarta il triplo,...”
Sempre di Archimede sono le formule per il perimetro e l’area del cerchio e
per la super…cie ed il volume della sfera. La ”Misura del cerchio” contiene tre
sole proposizioni:
”Ogni cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo se ha il raggio uguale ad
un cateto e la circonferenza uguale alla base.”
”Il cerchio ha con il quadrato del diametro il rapporto che 11 ha con 14.”
”La circonferenza di un cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di
meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi.”
3 + 10=71 < < 3 + 1=7:
Secondo un commentatore, anche Apollonio di Perga (262-190 a.C.) ha ottenuto
stime simili, se non più precise. Comunque, quest’opera di Archimede
ha uno scopo pratico: ”È un libro necessario per i bisogni della vita”. È poi
probabile che l’opera pervenutaci sia un sunto e qualche copista abbia invertito
l’ordine delle proposizioni, infatti la seconda proposizione presuppone la prima,
la terza poi non è un risultato esatto ma una stima dell’area con 22=7.
26

I poligoni regolari con n lati
inscritti e circoscritti in un
cerchio di raggio uno hanno
perimetri
n sin ( =n) < < n tan ( =n) :
Raddoppiando il numero dei
lati l’approssimazione di
migliora di un fattore quattro,
n tan ( =n) n sin ( =n) < 3 =n 2 :
Archimede ottiene delle approssimazioni per difetto ed eccesso di iscrivendo
e circoscrivendo ad un cerchio dei poligoni regolari. I poligoni regolari con n
lati iscritti e circoscritti in una circonferenza di raggio uno hanno lati 2 sin( =n)
e 2 tan( =n), quindi i perimetri di questi poligoni inscritti e circoscritti sono
rispettivamente P (n) = 2n sin( =n) e Q(n) = 2n tan( =n), si ha P (n) < 2 <
Q(n) e aumentando il numero dei lati l’approssimazione migliora. Archimede
ricava Q(2n) prendendo la media armonica tra P (n) e Q(n) e poi ricava P (2n)
prendendo la media geometrica tra P (n) e Q(2n):
Q(2n) =
2Q(n)P (n)
Q(n) + P (n) ; P (2n) = p Q(2n)P (n):
La veri…ca di queste formule è un esercizio di trigonometria. Un modo
alternativo per ottenere P (2n) in funzione di P (n) e Q(2n) in funzione di Q(n)
consiste nell’applicare le formule di bisezione del seno e della tangente,
r
q
P (2n) = 4n sin ( =2n) = 2n 2 2 1 sin 2 ( =n)
= 2n
r
2
q
4 (P (n)=n) 2 :
In questo modo, partendo dall’esagono regolare iscritto in un cerchio che ha
27

perimetro sei volte il raggio e raddoppiando ripetutamente i lati si ottiene
6 sin( =6) = 3;
q
12 sin( =12) = 6 2 p 3;
r
q
24 sin( =24) = 12 2 2 + p 3;
48 sin( =48) = 24
s
2
r
q
2 + 2 + p 3;
96 sin( =96) = 48
v
u
t
2
s
r
q
2 + 2 + 2 + p 3; :::
Il calcolo numerico di radici senza un adeguato sistema di numerazione non è
banale. Partendo dagli esagoni inscritti e circoscritti con perimetri 12 sin( =6) =
6 e 12 tan( =6) = 12= p 3, Archimede approssima 1= p 3 = 0; 5773502::: dal di
sotto con 780=1351 = 0; 5773501::: e dal di sopra con 153=265 = 0; 5773584:::.
Una possibile spiegazione per queste frazioni è (1351) 2
3 (780) 2 = 1 e (265) 2
3 (153) 2 = 2. Poi, utilizzando un’aritmetica degli intervalli per controllare gli
errori, Archimede stima per difetto ed eccesso il perimetro di poligoni con 12,
24, 48, 96 lati. Il risultato …nale 3 + 10=71 = 3; 140::: < < 3 + 1=7 = 3; 142:::
è un’approssimazione di a meno di 22=7 223=71 = 1=497. Per diagnosticare
una forma maligna del ”morbus cyclometricus”, il più delle volte è su¢ ciente
confrontare una presunta quadratura del cerchio con queste stime, ma spesso
non ci si arrende neanche di fronte all’evidenza. Se in un cilindro con base
circolare ed altezza metà del diametro di base si iscrive una semisfera e nella
semisfera si iscrive un cono, il volume del cono risulta uguale ad un terzo del
cilindro e si può congetturare che la sfera, intermedia tra cono e cilindro, sia
due terzi del cilindro. Questa congettura è corretta. Nel trattato ”Sul cilindro
e la sfera”, ideale continuazione del XII Libro degli ”Elementi” di Euclide, si
trovano le seguenti proposizioni:
”La super…cie di una sfera è quadrupla del suo cerchio massimo.”
”La sfera è quadrupla del cono con base uguale al cerchio massimo e altezza
uguale al raggio.”
”Un cilindro con base il cerchio massimo della sfera e altezza il diametro è
una volta e mezza la sfera e la sua super…cie, comprese le basi, è una volta e
mezza la super…cie della sfera.”
28

”Sul cilindro e la sfera”.
”Un cilindro con base il cerchio massimo
di una sfera ed altezza il diametro è una
volta e mezza la sfera e la sua super…cie,
basi comprese, è una volta e mezza
la super…cie della sfera.”
Più in generale, Archimede trova anche volumi ed aree di calotte sferiche:
”La super…cie di un segmento sferico è uguale ad un cerchio con raggio la
distanza tra il vertice del segmento e la circonferenza di base.”
”Un settore sferico è uguale ad un cono con base uguale alla super…cie del
segmento sferico ed altezza il raggio della sfera.”
Nel secondo libro ”Sul cilindro e la sfera” si a¤rontano problemi del tipo:
”Tagliare una sfera in modo che i due segmenti di sfera abbiano un dato rapporto”.
Questo conduce ad una equazione cubica x 2 (a x) = b, che Archimede
risolve intersecando la parabola y = x 2 con l’iperbole y (a x) = b. Archimede
dimostrare anche che il prodotto x 2 (a x) è massimo quando x = 2a=3. Poi il
libro si chiude con una proprietà isoperimetrica della sfera: ”Tra tutti i segmenti
sferici compresi da super…ci uguali, il maggiore è l’emisfera”. Questi risultati
sono dimostrati in modo rigorosamente geometrico, ma nel ”Metodo”Archimede
spiega ad Eratostene di Cirene (276-194 a.C.) come sia arrivato a ”scoprire certe
verità matematiche per mezzo della meccanica”.
Il palinsesto di Archimede del X secolo.
Sotto le preghiere ci sono: ”Equilibrio dei
piani”, ”Spirali”, ”Misura del cerchio”,
”Sfera e cilindro”, ”Corpi galleggianti”,
”Il metodo”, ”Stomachion”.
29

”Archimede ad Eratostene salute...
Ti scrivo per esporti un certo metodo
che ti darà la possibilità di trattare
problemi matematici per mezzo della
meccanica...”
Tagliamo il cilindro y 2 + z 2 4R 2 ; 0 x 2R , il cono
y 2 + z 2 x 2 ; 0 x 2R e la sfera x 2 + y 2 + z 2 2Rx con la
famiglia di piani fx = tg . Pensando all’asse x come una leva con fulcro
in x = 0, le sezioni di sfera 2Rt t 2 e cono t 2 spostate in x = 2R
bilanciano la sezione del cilindro 4 R 2 lasciata in x = t, quindi la sfera
ed il cono con baricentri in x = 2R bilanciano il cilindro con baricentro
in x = R. Se il volume del cilindro 8 R 3 è il doppio del cono 8=3 R 3 più
la sfera, il volume della sfera è 4=3 R 3 . In modo analogo è anche possibile
calcolare il volume di segmenti di sfera. In…ne, come un cerchio è equivalente
ad un triangolo con base il perimetro del cerchio ed altezza il raggio, così
una sfera è equivalente ad un cono con base la super…cie della sfera ed
altezza il raggio. Quindi la super…cie della sfera è 4 R 2 .
Compiaciuto dell’elegante rapporto tra volume e area del cilindro e della
sfera, Archimede chiede che sulla sua tomba sia incisa una sfera inscritta in un
cilindro. Non sappiamo se ultime parole di Archimede al soldato che lo avrebbe
ammazzato siano state pronunciate in greco: ”M o o & o & ”,
o latino: ”Noli tangere circulos meos”, ma tradotte in varie lingue sono entrate
nell’uso comune.
”Il centro del corpo umano è l’ombelico. Se un uomo allarga le braccia e
le gambe, le dita delle mani e dei piedi toccano la circonferenza descritta da
un compasso centrato nell’ombelico. E come il corpo umano dà un contorno
30
0
0

circolare, così è possibile trovarvi una …gura quadrata. Se si misura l’altezza dai
piedi alla testa e la larghezza delle braccia distese, queste risultano le stesse.”
Oltre a queste interessanti speculazioni, nel ”De architectura” Marcus Pollio
Vitruvius (I secolo a.C.) descrive l’odometro, un congegno che contando i giri
di una ruota permette di misurare le distanze, e usa 3 + 1=8 come approssimazione
di . Di fatto, questa frazione è meno precisa, ma di più semplice uso
della frazione 3 + 1=7 di Archimede. Se in molte applicazioni pratiche una semplice
formula approssimata può essere più e¢ ciente di una complicata formula
esatta, nei calcoli astronomici è spesso richiesta la miglior precisione possibile.
In particolare, la creazione della trigonometria piana e sferica è stimolata dalla
necessità di una geometria ed astronomia quantitative.
Antologia Palatina
IX 577, attribuito a Tolomeo:
”So che sono mortale e non duro
che un giorno. Ma quando indago
le corse circolari degli astri, i miei
piedi non toccano più la terra ma
accanto a Zeus stesso mi sazio di
ambrosia, il cibo degli dei.”
Aristarco e Copernico Tolomeo
31

Aristotele osserva che durante le eclissi di Luna il bordo dell’ombra della
Terra è sempre circolare, indipendentemente dalle posizioni di Sole Terra Luna.
Se la Terra fosse un disco piatto, si vedrebbero anche ombre ellittiche. Deduce
quindi che la terra è una sfera. Argomenta anche che il raggio della Terra non
può essere troppo grande, perché ci sono stelle visibili in Grecia ed invisibili
in Egitto, e viceversa. Aristarco di Samo (III secolo a.C), un precursore di
Nicolaus Copernicus (1473-1543) nel formulare l’ipotesi eliocentrica, scrive un
trattato ”Sulle dimensioni e distanze di Sole e Luna”.
”Ipotesi:
) La Luna riceve la sua luce dal Sole.
) La Terra è al centro della sfera su cui la Luna si muove.
) Quando la Luna ci appare dimezzata, il cerchio che divide le parti della
Luna in ombra ed illuminate è nella direzione dei nostri occhi.
) Quando la luna ci appare dimezzata, la sua distanza dal sole è minore di
un quadrante per un trentesimo di quadrante.
") L’ampiezza dell’ombra della Terra è il doppio della Luna.
) La Luna sottende la quindicesima parte di un segno dello Zodiaco.
Tesi:
La distanza del Sole dalla Terra è maggiore di 18 volte, ma minore di 20
volte la distanza della Luna dalla Terra. Questo segue dall’ipotesi della mezza
Luna. Ed il diametro del Sole ha con quello della Luna la stessa proporzione.
Ed il diametro del Sole sta a quello della Terra in un rapporto maggiore di 19
a 3, ma minore di 43 a 6. Questo segue dal rapporto tra le distanze, l’ipotesi
sull’ombra, e l’ipotesi che la Luna sottende la quindicesima parte di un segno
dello Zodiaco”.
Dimensioni e distanze di Sole e Luna
Zodiaco (VI secolo d.C.)
La mezza Luna si presenta un poco prima della metà dell’intervallo tra quella
nuova e quella piena. Stimando questo anticipo, Aristarco calcola che quando
la Luna ci mostra esattamente metà della sua faccia l’angolo Terra Luna Sole
è retto e l’angolo Luna Terra Sole è 87 o , deducendo che l’angolo Luna Sole
Terra è 3 o ed il rapporto tra le distanze Terra Luna e Terra Sole è sin ( =60), e
32

1=20 < sin ( =60) < 1=18: ”La distanza del Sole dalla Terra è maggiore di 18
volte, ma minore di 20 volte la distanza della Luna dalla Terra”. Inoltre, Sole
e Luna visti dalla Terra sembrano avere lo stesso diametro, infatti durante le
eclissi di Sole il disco della Luna copre quasi esattamente quello del Sole. Dai
rapporti tra le distanze si può quindi risalire ai rapporti tra le dimensioni: ”Il
diametro del Sole è maggiore di 18 volte, ma minore di 20 volte il diametro
della Luna”. In…ne, nelle eclissi di Luna l’ombra della Terra sembra avere un
diametro doppio della Luna. Questo permette di confrontare le dimensioni di
Sole e Luna con la Terra: ”Il rapporto tra il diametro del Sole e della Terra è
maggiore di 19 a 3, ma minore di 43 a 6... Il rapporto tra il diametro della Terra
e della Luna è maggiore di 108 a 43, ma minore di 60 a 19”. La conclusione di
Aristarco è che se il Sole è molto più grande della Terra, forse siamo noi a girare
intorno a lui, e non il viceversa. Archimede osserva che l’ipotesi di una Terra
mobile e la mancanza di un parallasse osservabile delle stelle …sse implicano un
universo enormeme. Tutti questi ragionamenti sono corretti, ma le conclusioni
risultano viziate da errori di misura. L’angolo Luna Terra Sole è circa 89 o 50 0 ed
il rapporto tra le distanze circa 1/350. Anche la stima di 2 o per la dimensione
angolare della Luna è errata. La Luna impiega circa due minuti a tramontare,
cioè vista dalla Terra sottende un angolo che è 1/720 un angolo giro, mezzo
grado. Per passare dalle distanze relative a quelle assolute, basta osservare la
Luna impiega circa un mese a ruotare intorno alla Terra ed al massimo tre ore
per transitare nel cono d’ombra della Terra durante le eclissi. Siccome il cono
d’ombra ha un diametro circa uguale al diametro terrestre, segue che la distanza
della Luna è circa 60 volte il raggio della Terra.
Un calcolo più fortunato è dovuto a Eratostene. Questi misura al solstizio
d’Estate l’altezza del Sole ad Alessandria e a Siene, una a Nord e l’altra a Sud
sullo stesso meridiano. Quindi dalle di¤erenti altezze del Sole, un cinquantesimo
di cerchio, e dalla distanza tra le due città, 5000 stadi (circa 740 km), deduce
che la circonferenza della Terra è circa 250000 stadi, un errore del 1% rispetto
al valore reale di 40000 km. Altri fanno conti simili, misurando l’altezza di
certe stelle sull’orizzonte a diverse latitudini. Posidonio (II secolo a.C.) osserva
che la stella Canopus a Rodi non si alza dall’orizzonte, mentre ad Alessandria
33

aggiunge un’altezza di 7 o 30 0 . Stimando in 5000 stadi la distanza tra Rodi
ed Alessandria, ricava una circonferenza della Terra di 240000 stadi. Di fatto
l’angolo è 5 o 15 0 ed anche la distanza è minore, ma questi errori si compensano.
Stime più precise della lunghezza di un meridiano terrestre sono ottenute solo
nel XVII secolo d.C., utilizzando una tecnologia più so…sticata ma ancora la
stessa matematica di Eratostene. Anche Fidia, il padre di Archimede, si occupa
delle dimensioni del cosmo ed il …glio nell’”Arenario”, dopo aver introdotto un
opportuno sistema di numerazione, stima che si possa riempire l’intero universo
con al più 10 63 granelli di sabbia. Ipparco di Nicea (II secolo a.C.), basandosi su
osservazioni astronomiche babilonesi, scopre la precessione degli equinozi, che
stima di 57 00
l’anno. Poi, confrontando le osservazione di Aristarco del solstizio
del 280 a.C. con le proprie nel 135 a.C., stima in 365 + 1=4 1=300 giorni la
lunghezza di un anno solare, cioè 365 giorni, 5 ore e 55 minuti e 12 secondi.
Il passaggio del Sole tra due equinozi di primavera si accorcia di circa mezzo
secondo ogni secolo ed oggi ha una durata di circa 365 giorni 5 ore 48 minuti
e 45 secondi. Calcola anche la durata del mese lunare in 29 giorni 12 ore 44
minuti e 2 secondi e mezzo, che di¤erisce di circa un secondo dal valore attuale.
Sia Ipparco che Menelao (I secolo a.C.) costruiscono delle tavole di corde in un
cerchio. Anche la ”Sintassi matematica”, o ”Almagesto”, di Claudio Tolomeo
(87-165 d.C.) contiene una tavola delle corde:
”Costruiremo ora una tavola di queste rette, dividendo la circonferenza in
360 parti. Tutti gli archi della nostra tavola andranno crescendo di mezzo grado
e daremo per ognuno di questi archi il valore della corda, supponendo il diametro
diviso in 120 parti... Adopereremo la divisione sessagesimale per evitare
le frazioni, e nelle moltiplicazioni e divisioni prenderemo sempre i valori più
approssimati...”
360 è un numero con tanti divisori vicino a 365 ed il Sole si sposta nello
zodiaco di circa un grado al giorno. La stima per la corda di un grado è 1+2=60+
50=60 2 , da cui si ricava, moltiplicando per 360 gradi e dividendo per il diametro
120, il rapporto tra circonferenza e diametro 3 + 8=60 + 30=60 2 = 3:141666:::.
Se ai numeratori delle ultime frazioni si aggiungono o tolgono delle unità le
approssimazioni peggiorano.
Meccanismo
di Antikythera
(II secolo a.C.)
34

Euclide, Elementi, Libro II Proposizione 12:
In li triangoli che hanno un angolo ottuso tanto è piu potente quella
linea che sotto tende a l’angolo ottuso, de ambi li altri duoi lati che
contengono l’angolo ottuso, quanto è quello che è contenuto sotto uno
di quelli lati, & quella linea a se direttamente congionta a l’angolo
ottuso tagliata perpendicolare di fora del triangolo due volte.
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AB AD;
BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB AC cos \BAC :
La formula di Erone per
l’area di un triangolo con
lati A, B, C, e perimetro 2P .
Area = 1
1
AB sin ( ) =
2 2 ABp1 cos2 ( )
= 1
2 AB
s
A
1
2 + B2 C2 2
=
2AB
1
q
4A
4
2B2 (A2 + B2 C2 ) 2
= 1p
(A + B + C) (B + C A) (A + C B) (A + B C)
4
= p P (P A) (P B) (P C):
L’area di un segmento
di cerchio nella
”Metrica” di Erone.
Se la base b è molto più grande dell’altezza a, si può approssimare il segmento
di cerchio con una parabola con area 4=3 del triangolo di base b e altezza a.
Se la base è comparabile all’altezza, si può approssimare l’area con
a (a + b)=2 + (b=2) 2 =14. Per l’area di un semicerchio di raggio R
si ottiene la stima di Archimede 22=14R 2 .
35

”Collezione Matematica”
di Pappo d’Alessandria.
”Se nello spazio tra tre semicerchi tra loro tangenti, che viene detto Arbelo,
si tracciano dei cerchi tangenti ai semicerchi e tra loro, il diametro del primo
cerchio risulta uguale alla distanza del suo centro dalla base, il diametro del
secondo cerchio uguale al doppio della distanza del suo centro dalla base,
quello del terzo il triplo,...” Una dimostrazione moderna utilizza l’inversione
rispetto ad un cerchio con centro in un estremo della base ed ortogonale al
cerchio che si vuole considerare.
Terminiamo l’excursus sulla matematica greca con un problema aritmetico
attribuito ad Archimede, scoperto nel 1773 e risolto nel 1880:
”O amico, se sei sapiente calcola esattamente il numero dei bovini del Sole.
Calcola in qual numero pascolavano un giorno nei campi dell’isola di Trinacria,
distribuiti in quattro mandrie di diversi colori, bianco latte, nero splendente,
bruno dorato, screziato. In ogni mandria i tori erano in quantità considerevole
distribuiti secondo i seguenti rapporti. I bianchi erano la metà e la terza parte di
tutti i neri più i bruni, i neri la quarta e quinta parte degli screziati più i bruni,
gli screziati la sesta e settima parte dei bianchi più i bruni. Invece le giovenche
erano distribuite nei seguenti rapporti. Le bianche erano la terza e quarta parte
di tutta la mandria nera, le nere la quarta e quinta parte della mandria screziata,
le screziate la quinta e sesta parte della mandria bruna, le brune la metà
della terza e la settima parte della mandria bianca. Quando avrai determinato
esattamente quanti erano i tori e le giovenche del Sole, distinti per ciascun colore,
non ti si chiamerà certamente ignorante nè incapace nei numeri, però non
ti si ascriverà ancora fra i sapienti. Ma ora bada bene a questi altri rapporti
fra i tori del Sole. Quando i tori bianchi si mescolavano ai neri formavano
una …gura uguale in lunghezza e larghezza ed il loro numero riempiva le vaste
pianure della Trinacria. Invece i tori bruni con gli screziati costituivano una
…gura triangolare. Amico, se sarai capace di trovare tutto questo, esponendolo
in forma intelligibile, sarai coronato di gloria come un vincitore e considerato
ricco di scienza”.
36

8
><
>:
A = (1=2 + 1=3) B + C
B = (1=4 + 1=5) D + C
D = (1=6 + 1=7) A + C
E = (1=3 + 1=4) (B + F )
F = (1=4 + 1=5) (D + H)
H = (1=5 + 1=6) (C + G)
G = (1=6 + 1=7) (A + E)
A + B = I 2
C + D = L (L + 1) =2
Il sistema lineare delle prime 7 equazioni nelle prime 8 incognite ha in…nite
soluzioni, 8> <
>:
A = 7460514 k
B = 10366482 k
C = 4149387 k
D = 7358060 k
E = 7206360 k
F = 4893246 k
G = 5439213 k
H = 3515820 k
Un totale di A+B +C +D +E +F +G+H = 50389082 k capi di bestiame.
Fin qui, anche se non ci siamo mostrati ignoranti, non possiamo ancora dirci
sapienti.
I 2 = A + B = (7460514 + 10366482) k = 2 2 3 11 29 4657 k:
Questo numero è un quadrato se e solo se
In…ne,
k = 3 11 29 4657 m 2 = 4456749 m 2 :
L (L + 1) =2 = C + D = (4149387 + 7358060) k = 51285802909803 m 2 ;
L = 1 + p 1 + 410286423278424 m2 :
2
Il numero è triangolare solo se quanto sotto radice è un quadrato,
1 + 410286423278424 m 2 = n 2 :
37
:
:

Per mostrarci sapienti dobbiamo risolvere questa equazione. Se X non è un
quadrato, l’equazione n 2 X m 2 = 1 ha in…nite soluzioni, ed una soluzione
fondamentale si può ricavare dalle frazioni parziali n=m dello sviluppo in frazioni
continue di p X. In particolare, la più piccola soluzione del problema è stata
calcolata nel 1981 ed ha 206545 decimali,
A + B + C + D + E + F + G + H 7; 7::: 10 206544 :
Epigrammi di Metrodoro
nella Antologia Palatina:
”Ecco la tomba che racchiude Diofanto, una
meraviglia da contemplare! Con arti…cio
aritmetico la pietra insegna la sua età: Dio
gli concesse di rimanere fanciullo un sesto
della sua vita. Dopo un altro dodicesimo le
sue guance germogliarono. Dopo un settimo
accese la …accola del matrimonio. Dopo
cinque anni gli nacque un …glio. Ma questo
giovane disgraziato e pur tanto amato morì
appena raggiunta la metà dell’età cui doveva
arrivare suo padre. Mitigando il dolore coll’
occuparsi della scienza dei numeri, quattro
anni ancora attese Diofanto prima di
giungere al termine della sua esistenza”.
Attribuito ad Euclide:
”Un asino e un mulo viaggiavano insieme,
portando sacchi di grano, od otri di vino.
Il mulo disse all’asino che si lamentava
per il carico eccessivo: ”Di che ti lamenti?
Se mi dessi uno solo dei tuoi sacchi, ne
avrei il doppio di te. Ma se ti dessi uno
dei miei, ne avremmo uguali”. O sapiente
lettore, dimmi quanti sacchi portava
l’asino e quanti il mulo”.
38

”Archimedis Circuli Dimensio” per Nicolaum Tartaleam Brixianum
39

MATEMATICA IN ASIA:
Liu Hui (264d.C.) Zhu Shi Jie 1303 XII secolo
Sia in India che in Cina si ottengono ottime approssimazioni di . Apastamba
(IV secolo a.C.) in una costruzione di un quadrato uguale ad un cerchio
implicitamente pone uguale a 3,09. Nei ”Nove capitoli dell’arte matematica”
di Liu Hui (III secolo d.C.) si trova la seguente regola pratica per stimare l’area
di un campo circolare:
”Per trovare l’area di un cerchio... moltiplica metà circonferenza per metà
diametro. Oppure moltiplica il diametro per sé stesso, poi per tre e dividi per
quattro. Oppure moltiplica la circonferenza per sé stessa e dividi per dodici.”
Il primo metodo è corretto, gli altri due presuppongono uguale a 3, comunque
Liu Hui sa che questa è solo un’approssimazione.
L’approssimazione
dell’area di un cerchio
di Liu Hui.
Se l(n) e a(n) sono lato ed apotema di un poligono
q
regolare con n
lati inscritto in un cerchio di raggio r, si ha a(n) = r2 (l(n)=2) 2 q
e
l(2n) = (l(n)=2) 2
(r a(n)) 2 . Se A(n) = na(n)l(n)=2 è l’area del
poligono ed A l’area del cerchio, si ha anche A(2n) = nrl(n)=2 e
A(2n) < A < A(n) + 2 (A(2n) A(n)) .
Utilizzando il teorema di Pitagora, Liu Hui calcola le aree dei poligoni regolari
con 6, 12, 24, 48, 96 e 192 lati inscritti in un cerchio di raggio 10 ed ottiene la
40

stima (314 + 4=25) =100 = 3; 1416. La stessa stima 62832=20000 = 3; 1416
è ottenuta da Aryabhata (475-550) con un poligono di 384 lati:
”Aggiungi 4 a 100, moltiplica la somma per 8 e aggiungi 62000. Il risultato
è approssimativamente la circonferenza di un cerchio con diametro 20000.
Somayaji Nilakantha (1444-1544) commenta: ”Perché diamo un valore approssimato
invece di uno esatto? Perché il rapporto tra circonferenza e diametro
non si può esprimere come rapporto tra numeri interi”. Brahmagupta (VI secolo
d.C.) suggerisce 3 come ”valore pratico” e p 10 = 3; 162::: come ”valore
esatto”. Questa è una stima piuttosto popolare per tutto il medio evo, sia in
oriente che in occidente. Zu Chongzhi (430-501) con il metodo di Liu Hui ed
un poligono di 24576 lati trova le approssimazioni 3; 1415926 < < 3; 1415927.
Con queste stime a partire dal raggio si potrebbe calcolare la circonferenza della
Terra con un’approssimazione inferiore al metro. Zu Chongzhi suggerisce anche
le approssimazioni razionali 22/7 e 355/113. La frazione 355=113 = 3; 1415929:::
è ritrovata da Adrian Metius (1527-1607), che dimostra in modo archimedeo la
disuguaglianza 333=106 < < 377=120 e poi prende la media aritmetica dei numeratori
e dei denominatori. Per meglio apprezzare questi risultati osserviamo
che 22/7 e 355/113 sono ridotte dello sviluppo in frazioni continue di ,
= 3 + 0; 1415926535::: = 3 +
1
1
0; 1415926535:::
1
= 3 +
1
7 +
1
0; 0625133059:::
1
= 3 +
1
7 +
1
15 +
1
1 +
292 + :::
Le ridotte dello sviluppo in frazioni continue di danno le approssimazioni
3 < 333 355 22
< < <
106 113 7 :
La stima ”inaccurata” 3 + 1=7 = 22=7 è la migliore approssimazione di
con frazioni con denominatori minori di 57, mentre la stima ”accurata” 3 +
1=(7 + 1=(15 + 1=1)) = 355=113 è la migliore approssimazione con frazioni con
denominatori minori di 16604. Questa approssimazione è molto buona perché
il termine successivo nello sviluppo in frazioni continue 292 è piuttosto grande.
Aggiungendo anche questo termine si ottiene l’approssimaziome 103993/33102
con nove decimali corretti. Tutte queste approssimazioni con numeri via via più
grandi sembrano suggerire che non è una frazione.
Lasciamo ora il cerchio per occuparci della sfera. Nei ”Nove capitoli dell’arte
matematica” di Liu Hui si trova la seguente regola, che ha un errore relativo di
poco superiore al 2%:
”Moltiplica il volume della sfera per 16 e dividi per 9, poi prendi la radice
cubica. Il risultato è il diametro.”
41
:

L’idea è la seguente. Si parte da una sfera inscritta in un cilindro inscritto
in un cubo. Le sezioni del cilindro e del cubo con piani paralleli alle basi hanno
rapporto =4, quindi anche il rapporto tra i volumi del cilindro e del cubo è
=4. Assumendo che anche il rapporto tra i volume della sfera e del cilindro sia
circa =4, si arriva ad un rapporto tra i volumi della sfera e del cubo di 2 =16,
che diventa 9/16 se si stima uguale a 3. Comunque Liu Hui è ben cosciente
che queste sono solo approssimazioni. Infatti osserva che se si intersecano i due
cilindri x 2 + z 2 1 e y 2 + z 2 1 , le sezioni di questa …gura con i piani
di normale z sono quadrati di area 4 1 z 2 . Questi stessi piani tagliano la
sfera x 2 + y 2 + z 2 1 in cerchi di area 1 z 2 . Quindi il rapporto tra il
volume della sfera ed il volume dell’intersezione dei cilindri è esattamente =4.
Il volume dell’intersezione dei cilindri, già noto ad Archimede, è poi calcolato
da Zu Gengzhi (VI secolo d.C.), …glio di Zu Chongzhi, che osserva che le sezioni
con i piani di normale z della regione interna al cubo fjxj 1; jyj 1; jzj 1g
ed esterna all’intersezione tra i cilindri hanno area 4z 2 , esattamente come le
sezioni di una piramide con base di area 4 ed altezza 1. Quindi il volume
dell’intersezione tra i cilindri è uguale al volume del cubo meno il volume di
due piramidi, quindi il volume di una sfera di raggio uno è (4=3) . Osserviamo
che nella dimostrazione di questi risultati sia Liu Hui che Zu Gengzhi utilizzano
sistematicamente il principio di Bonaventura Cavalieri (1598-1647), che
Zu Gengzhi enuncia così:
”Se si costruiscono dei volumi sovrapponendo delle aree e se le aree corrispondenti
sono uguali, allora i volumi non possono essere diversi”.
1671
I raggi A, B, C, di tre cerchi tangenti ad
una retta e tra loro sono legati dalla
relazione 1= p A + 1= p B = 1= p C:
42

”Nove capitoli dell’arte matematica”
Un bambù alto 10 syaku si spezza e
la cima tocca terra a distanza 3 syaku
dalla radice. A che altezza si è spezzato?
3 2 + x 2 = (10 x) 2 ; x = 4 + 11=20:
43

ULTIMI SEGUACI DI ARCHIMEDE:
Nelle ”Propositiones ad acuendos juvenes” di Alcuino da York (VIII secolo
d.C.), insieme alla ”Propositio de lupo et capra et fasciculo cauli”, si trova la
seguente proposizione:
”Est campus rotundus, qui habet in gyro perticas CCCC. Dic, quot aripennos
capere debet. Solutio I: ... LXVIIII. Solutio II: ... XCVI”.
Se A è l’area e C la circonferenza e se A = C 2 =4 , nella prima soluzione
= 4 e nella seconda = 3, ed anche in altri problemi ci sono errori di calcolo.
In un testo dell’anno 1000 si ritrova la regola di Ahmes per la quadratura del
cerchio: ”Circumducto quantolibet circulo, alterum circulum interiorem exteriori
circulo nona parte contractiorem, aequos habebis quadratum et circulum”.
In altri testi le regole sono di¤erenti e c’è chi commenta: ”Hi omnes a veritate
longe absunt”. Ed anche Dante Alighieri (1265-1321) nel ”Convivio” stigmatizza
questo paradosso della geometria: ”Lo cerchio è perfettissima …gura...”,
Ciò nonostante: ”Lo cerchio per lo suo arco è impossibile a quadrare perfettamente”.
Nel ”Libro d’abaco” di Leonardo da Pisa, il Fibonacci (1180-1250), si
trova il seguente problema: ”Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario
germinentur”.
”Quante coppie di conigli si generano in un anno se, iniziando con una coppia,
ciascuna coppia produce ogni mese una nuova coppia che diviene produttiva
al secondo mese della sua esistenza?... 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, 377.”
Il modello teorico prevede la crescita esponenziale, ma nella realtà dopo
qualche mese le simpatiche bestiole sono pronte per essere cucinate. Il Fibonacci
importa dall’oriente in Italia il sistema di numerazione decimale: ”Novem …gure
indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem …guris, et cum hoc
signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius
44

demonstratur”. Con questo sistema il calcolo numerico risulta facilitato e Fibonacci,
dichiarando di poter far meglio di Archimede, trova un’approssimazione
di con tre decimali corretti. Dai poligoni inscritti e circoscritti con 96 lati ottiene
i valori 1440=(458 + 4=9) e 1440=(458 + 1=5) e, prendendo una media,
1440=(458 + 1=3) = 3; 1418:::. Inizia a di¤ondersi il ”morbus decimalium”. A
Samarcanda l’astronomo Al Kashi (XV secolo), che calcola con la stessa facilità
con cui le aquile volano, per calcolare la circonferenza di un cerchio grande come
l’intero universo con un’approssimazione inferiore ad un crine di cavallo, con un
poligono di 3 2 28 lati calcola le prime sedici cifre decimali di 2 ,
6 + 16
60
+ 59
60
28 1 34 51 46 14 50
+ + + + + + + :
2 603 604 605 606 607 608 609 Di fatto, il rapporto tra la distanza della Terra dal Sole e lo spessore di un
capello è dell’ordine di 10 16 , sedici decimali sono appena su¢ cienti per calcolare
con l’approssimazione di un capello l’orbita della Terra intorno al Sole. Adrian
Rooman (1561-1615) con un poligono di 2 30 lati trova quindici decimali di .
Nel 1584 S.van der Eycke stima = 1521=484 = 3; 142:::, ma nel 1585 con un
poligono di 192 lati Ludolph van Ceulen (1540-1610) dimostra che < 1521=484,
van der Eycke replica con la stima = 3; 1416055 e van Ceulen nel 1586 dimostra
che 3; 14103 < < 3; 142732. Poi van Ceulen calcola il perimetro di un poligono
di 60 2 33 lati e pubblica nel 1596 i primi venti decimali di , in…ne ne calcola
trentacinque che vengono anche inscritti sulla sua pietra tombale.
”Hic iacet sepultus Mr. Ludol¤ van Ceulen, professor belgicus dum viveret
mathematicarum scientiarum in athenaeo huius urbis, natus hildeshemia anno
1540 die XXVIII ianuarii et denatus XXXI decembris 1610, qui in vita sua
multo labore circumferentiae circuli proximam rationem ad diametrum invenit
sequentem: quando diameter est 100000000000000000000000000000000000 tunc
circuli circumferentia plus est quam 3141592653589793233846264338327950288
et minus quam 3141592653589793233846264338327950289.”
Dopo tanta fatica, ”requiescat in pace”. La quadratura del cerchio è nella
sua formulazione originaria un problema geometrico, ma nel XVI secolo entrano
in gioco l’algebra e l’analisi.
”L’aritmetica è una scienza tanto quanto lo è la geometria. Alle grandezze
razionali sono associati i numeri razionali ed alle irrazionali gli irrazionali. Se
qualcuno misura delle grandezze con numeri ed ottiene valori di¤erenti da quelli
reali, non è colpa dei calcoli ma del calcolatore. Come dice Proclo, l’aritmetica
è più esatta della geometria. Per un calcolatore accurato, se il diametro è una
unità, il perimetro del dodecagono inscritto è la radice del binomio 72 p 3888.
Chiunque a¤ermi qualcosa di diverso sbaglia, sia il geometra con le sue misure
o il calcolatore con i suoi numeri.”
45

François Viète (1540-1603) con poligoni di 6 2 16 lati stima compreso tra
3,1415926535 e 3,1415926537 e nel 1593 pubblica una formula che, almeno in
Europa, è forse la prima espressione analitica in…nita di :
=
r 1
2
s r
1 1 1
+
2 2 2
2
v
u s
u
r
t1 1 1 1 1
+ +
2 2 2 2 2
Anche questa formula viene ottenuta con un procedimento archimedeo, partendo
dall’area di un quadrato iscritto in un cerchio di raggio uno ed ottenendo
in modo ricorsivo l’area dei poligoni regolari con 8, 16, 32,... lati. L’area del
quadrato è 2, l’area dell’ottagono è 2= p 1=2, l’area del poligono con sedici lati
è 2= p q
1=2 1=2 + 1=2 p 1=2 ,...
La quadratura del
cerchio di Cartesio.
”Per quanto riguarda la quadratura del cerchio, non trovo niente di
più appropriato che aggiungere ad un quadrato dato di base AB il
rettangolo di base BC con vertice sul prolungamento della diagonale
del quadrato ed area un quarto del quadrato, poi un altro rettangolo
di base CD con vertice sul prolungamento della diagonale del quadrato
ed area un quarto del rettangolo precedente, e così via all’in…nito. Tutti
questi rettangoli saranno uguali ad un terzo del quadrato e la base AX
sarà il diametro di una circonferenza uguale al perimetro del quadrato.
Infatti AC è il diametro di un cerchio inscritto in un ottagono con lo
stesso perimetro del quadrato, OC il diametro di un cerchio inscritto
in una …gura con sedici lati, e così via all’in…nito.”
René Descartes (1596-1650) esprime seri dubbi sulla possibilità di quadrare
esattamente delle regioni curve: ”La geometria non dovrebbe occuparsi di linee
che sono come corde, un po’ dritte e un po’ storte, perché i rapporti tra
linee dritte e curve non sono noti e credo che neanche possano essere scoperti,
quindi nessuna conclusione su questi rapporti può essere considerata rigorosa
ed esatta”. Comunque Cartesio invece di quadrare un cerchio trova il modo di
rendere rotondo un quadrato. Il diametro del cerchio inscritto in un poligono
regolare di perimetro p e m lati è d = p=m cot ( =m). Se xn è il diametro del
46
:

cerchio inscritto in un poligono regolare con perimetro 4x0 e 2 n+2 lati, allora
xn (xn xn 1) = 4 n x 2 0. Si possono così ottenere in modo ricorsivo i diametri
dei cerchi inscritti in poligoni isoperimetrici con 4, 8, 16,..., lati e questi diametri
convergono al diametro del cerchio isoperimetrico al quadrato.
Nel 1634 Cartesio comunica alla principessa
Elisabetta di Boemia che se A, B, C, D, sono i
reciproci dei raggi di cerchi tangenti tra loro,
(A + B + C + D) 2 = 2 A 2 + B 2 + C 2 + D 2 :
Per esempio, i cerchi con curvatura 18, 23, 27,
sono tangenti al cerchio interno con curvatura
146 e a quello esterno con curvatura 10.
In uno spazio con dimensione d i raggi di d + 2 sfere mutuamente tangenti
0 12
Xd+2
Xd+2
veri…cano l’equazione @ 1=R(j) A = d (1=R(j)) 2 .
j=1
Il problema della retti…cazione della circonferenza consiste nel cercare di
stimare un arco di cerchio, che è storto ed intrinsecamente di¢ cile da misurare,
con delle combinazioni di segmenti dritti ad esso collegati ed esplicitamente
misurabili, come il seno ed il coseno. In particolare, il metodo di calcolo della
lunghezza di una circonferenza con poligoni inscritti e circoscritti si basa sul
fatto che un arco di cerchio è compreso tra il seno e la tangente dell’angolo, ma
nella ”Perfezione matematica” il Cardinale Nicola da Cusa (1401-1464) trova
un’approssimazione migliore:
”Il rapporto tra tre semidiametri e tre semidiametri meno una freccia è minore
del rapporto tra arco e corda”.
In un cerchio di raggio uno ad un arco 2x corrispondono una corda 2 sin(x)
ed una freccia 1 cos(x) e si ha la disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x, che
è una disuguaglianza più stretta di sin(x) < x,
sin(x) <
3 sin(x)
< x:
2 + cos(x)
La disuguaglianza sin(x) < 3 sin(x)= (2 + cos(x)) è equivalente a cos(x) < 1.
Per dimostrare la disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x utilizzando la nostra
tecnologia, basta osservare che la funzione x 3 sin(x)= (2 + cos(x)) si annulla
in zero ed è crescente,
d
dx x
3 sin(x)
2 + cos(x)
47
j=1
(1 cos(x))2
= 2 :
(2 + cos(x))

Ponendo x = =6 nell’uguaglianza approssimata x 3 sin(x)= (2 + cos(x))
si ottiene 18= 4 + p 3 = 3; 140:::. Per trovare i primi due decimali di
Archimede deve utilizzare un poligono con 96 lati, a Nicola da Cusa basta
l’esagono. E conclude: ”Ora la scienza delle corde emerge perfettamente fondata.
La quadratura del cerchio ha raggiunto il suo scopo”. Sostenitore della
concordanza dei contrari, Nicola da Cusa congettura anche una relazione tra il
poligono con il minimo numero di lati e quello con il massimo, il triangolo ed
il cerchio. Inscrive un quadrato in un cerchio e stima questo cerchio uguale al
triangolo equilatero inscritto in un cerchio di diametro il lato del quadrato più il
raggio del cerchio dato. La costruzione fornisce per il valore 3 p 3 + p 6 =4,
ma nel 1464 Johann Müller Regiomontano (1436-1476) dimostra che questa
quadratura non è corretta e a sua volta propone il valore 3,14343.... A Regiomontano
si deve anche una rinascita dell’interesse per la trigonometria piana
e sferica.
Nel “Ciclometricus”del 1621 Willebrord Snell (1580-1626) completa la scoperta
di Nicola da Cusa, trovando che
3 sin(x)
2 + cos(x)
tan(x) + 2 sin(x)
< x < :
3
Queste stime corrispondono alle seguenti costruzioni geometriche. Dato il
cerchio x 2 + y 2 = 1, la retta per A = (cos(#); sin(#)) e B = ( 2; 0) interseca
la tangente al cerchio x = 1 nel punto di ordinata 3 sin(#)= (2 + cos(#)).
Invece la retta per A = (cos(#); sin(#)) e C = ( 2 cos(#=3); 0) interseca x =
1 nel punto di ordinata tan(#=3) + 2 sin(#=3). Quest’ultima costruzione coincide
con la trisezione dell’angolo attribuita ad Archimede. Il punto D =
( cos(#=3); sin(#=3)) è la seconda intersezione della retta BC con la circonferenza,
il segmento CD ha lunghezza uno e forma con l’asse delle ascisse un angolo
#=3. Con queste disuguaglianze Snell scopre anche un e¢ ciente metodo per
accelerare la convergenza nel calcolo di . Se con poligoni di 96 lati Archimede
trova due decimali di , con gli stessi poligoni Snell ne trova sei,
3 sin( =96)
3; 1415926::: = 96
2 + cos( =96)
< < 96tan( =96) + 2 sin( =96)
3
= 3; 1415928::::
Se con poligoni di 60 2 33 van Ceulen calcola 20 decimali, con poligoni di
2 30 lati Snell ne trova 34. Anche se Snell non dimostra in modo soddisfacente i
suoi risultati, queste applicazioni numeriche che forniscono le stesse cifre di van
Ceulen sono un convincente indizio della loro correttezza.
48

La retti…cazione di
un arco di cerchio
di Nicola da Cusa
e Snell.
Un arco di cerchio # ha lunghezza compresa tra sin(#) e tan(#).
Se A = (1; 0), B = (cos(#); sin(#)) , C = (1; #) , l’arco AB è uguale al
segmento AC. La retta BC interseca l’asse y = 0 nel punto di ascissa
(cos(#) sin(#)) = (# sin(#)) e questa ascissa tende a 2 se # ! 0.
Viceversa, se B = (cos(#); sin(#)) e D = ( 2; 0), la retta BD interseca
la retta x = 1 nel punto di ordinata 3 sin(#)= (2 + cos(#)) . Invece, se
l’angolo tra la retta per B e l’asse orizzontale è #=3, questa retta
interseca x = 1 nel punto di ordinata tan(#=3) + 2 sin(#=3).
Christiaan Huygens (1629-1695) dimostra rigorosamente con metodi di geometria
elementare i risultati di Snell e nel 1654 pubblica ”La scoperta della grandezza
del cerchio”, con 20 proposizioni, cioè 14 teoremi più 4 problemi.
Stimando di esserci occupati recentemente con qualche successo dell’antico
problema della quadratura del cerchio, il più celebre di tutti anche agli occhi di
quelli che non si intendono di Matematica, e avendo ottenuto alcuni risultati
migliori di quelli trovati …no ad oggi, almeno secondo noi, vogliamo comunicarli
ai geometri insieme alle loro dimostrazioni...
”Teorema 1: Se in un segmento di cerchio minore di metà cerchio si iscrive il
più grande triangolo possibile e similmente si iscrivono dei triangoli nei segmenti
restanti, il primo triangolo risulta minore del quadruplo della somma degli altri
due.”
”Teorema 2: Dato un segmento di cerchio minore di metà cerchio e sulla base
un triangolo con i due altri lati tangenti al segmento, tracciata una tangente
al segmento nella sua sommità, questa retta taglia nel triangolo un triangolo
maggiore della metà del più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento.”
”Teorema 3: Il rapporto tra un segmento di cerchio minore di metà cerchio
ed il più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento è più grande di
quattro a tre.”
”Teorema 4: Un segmento di cerchio minore di metà cerchio è minore dei
due terzi del triangolo con la stessa base ed i due altri lati tangenti al segmento.”
”Teorema 5: Un cerchio è maggiore di un poligono equilatero iscritto più
un terzo della di¤erenza tra questo poligono ed un poligono inscritto con metà
lati.”
49

”Teorema 6: Un cerchio è minore dei due terzi di un poligono equilatero
circoscritto più un terzo del poligono simile inscritto.”
”Teorema 7: La circonferenza di un cerchio è maggiore del perimetro di un
poligono equilatero iscritto più un terzo della di¤erenza tra i perimetri di questo
poligono e di un poligono inscritto con metà lati.”
”Teorema 8: Se all’estremità del diametro di un cerchio si traccia la tangente
e dall’estremità opposta si tira una retta che taglia il cerchio ed incontra la
tangente, i due terzi della tangente intercettata più un terzo della retta che a
partire del punto di intersezione cade ad angolo retto sul diametro sono maggiori
dell’arco tagliato adiacente.”
”Teorema 9: La circonferenza di un cerchio è minore dei due terzi del
perimetro di un poligono equilatero iscritto più un terzo del perimetro di un
poligono simile circoscritto.”
”Problema 1:Trovare il rapporto tra la circonferenza ed il diametro, quanto
si voglia vicino al vero.”
”Problema 2: Prendere una retta uguale alla circonferenza di un dato cerchio.”
”Problema 3: Prendere una retta uguale ad un arco qualsiasi.”
”Teorema 10: Il lato di un poligono equilatero iscritto in un cerchio è medio
proporzionale tra il lato del poligono simile circoscritto e la metà del lato del
poligono inscritto con metà lati.”
”Teorema 11: La circonferenza di un cerchio è minore della più piccola delle
due medie proporzionali tra i perimetri di poligoni regolari simili, uno inscritto
nel cerchio e l’altro circoscritto. E il cerchio è più piccolo del poligono simile a
questi, con perimetro uguale alla più grande delle medie.”
”Teorema 12: Se fra il prolungamento del diametro di un cerchio e la circonferenza
si pone una retta uguale al raggio, che prolungata taglia ancora il cerchio
ed incontra la tangente ad esso nell’estremità opposta del diametro, questa retta
intercetta sulla tangente una parte più grande dell’arco adiacente formato.”
”Teorema 13: Se al diametro di un cerchio si aggiunge un semidiametro e
a partire dall’estremità della retta aggiunta si conduce una retta che taglia il
cerchio incontrando la tangente al cerchio nell’estremità opposta del diametro,
questa retta intercetta sulla tangente una parte più piccola dell’arco adiacente
formato.”
”Teorema 14: Il centro di gravità di un segmento di cerchio divide il diametro
del segmento in modo tale che la parte al vertice è più grande dell’altra e minore
una volta e mezzo dell’altra.”
”Teorema 15: Un segmento di cerchio minore di un semicerchio sta al triangolo
massimo inscritto in un rapporto più grande di quattro a tre, ma più
piccolo del rapporto tra tre ed un terzo del diametro del segmento restante ed il
diametro del cerchio con il triplo della retta dal centro del cerchio alla base del
segmento.”
”Teorema 16: Un arco qualunque, più piccolo di una semicirconfernza, è più
grande della corda sottesa aumentata di un terzo della di¤erenza tra la corda ed
il seno. Ma un tale arco è minore della corda più la retta che sta al detto terzo
50

come il quadruplo della corda più il seno sta al doppio della corda più il triplo
del seno.”
”Problema 4: Trovare il rapporto tra la circonferenza e il diametro e, per
mezzo di corde date inscritte in un cerchio, trovare la lunghezza degli archi ai
quali esse sono sottese.
Denotando con A(n) = n sin( =n) cos( =n) e B(n) = n tan( =n) le aree dei
poligoni regolari con n lati inscritti e circoscritti ad un cerchio di raggio uno
e con P (n) = 2n sin( =n) e Q(n) = 2n tan( =n) i perimetri di questi poligoni
inscritti e circoscritti, i teoremi 5 e 6 si traducono nelle disuguaglianze
A(2n) + 1
3
1 2
(A(2n) A(n)) < < A(n) +
3 3 B(n):
Ponendo poi x = =n, questi teoremi si riducono alle disuguaglianze trigonometriche
8 sin(x) sin(2x) sin(2x) + 4 tan(x)
< x < :
6
6
Similmente, i teoremi 7 e 9 si traducono nelle disuguaglianze
P (2n) + 1
(P (2n)
3
P (n)) < 2
2 1
< P (n) +
3 3 Q(n);
8 sin(x=2)
3
sin(x) 2 sin(x) + tan(x)
< x < :
3
Il teorema 11 si traduce nelle disuguaglianze
2 < 3p Q(n)P 2 (n); < 3p A(n)B 2 (n);
x < sin(x)
p :
3 cos(x)
Nel teorema 14, nel cerchio x 2 + y 2 1 il segmento con vertice (1; 0) ed
estremi (cos(#); sin(#)) ha diametro con estremi (cos(#); 0) e (1; 0) e l’ascissa
del baricentro è
Z 1
2
2
cos(#)
Z 1
cos(#)
x p 1 x 2 dx
p 1 x 2 dx
Le disuguaglianze nel teorema sono dunque
1
2 sin 3 (x)
3x 3 sin(x) cos(x)
2 sin 3 (x) 3
<
3x 3 sin(x) cos(x) 2
=
cos(x) < 1
2 sin 3 (#)
3# 3 cos(#) sin(#) :
2 sin 3 (x)
3x 3 sin(x) cos(x) ;
2 sin 3 (x)
3x 3 sin(x) cos(x)
51
cos(x) :

Svolgendo i conti, la prima disuguaglianza si trasforma nella disuguaglianza
già contenuta nei teoremi 5 e 7, 4 sin(x) sin(x) cos(x) < 3x. Invece la seconda
disuguaglianza si trasforma in
x < sin(x) 10 + 6 cos(x) cos2 (x)
6 + 9 cos(x)
In…ne, i teoremi 15 e 16 si traducono in disuguaglianze contenute nei teoremi
precedenti. Tutti questi teoremi sono dimostrati da Huygens utilizzando
solo la geometria euclidea, ma una volta tradotti in formule trigonometriche
non è di¢ cile dimostrarli con un po’ d’analisi. Per esempio, per dimostrare
l’ultima disuguaglianza, che è la più precisa tra quelle presentate da Huygens,
è su¢ ciente osservare che la funzione
si annulla in x = 0 ed è crescente
d
dx
sin(x) 10 + 6 cos(x) cos 2 (x)
6 + 9 cos(x)
sin(x) 10 + 6 cos(x) cos 2 (x)
6 + 9 cos(x)
x
!
= 2 (1 + cos(x)) (1 cos(x))3
x
:
4 + 12 cos(x) + 9 cos 2 (x)
E dopo la teoria Huygens passa alla pratica. Nel problema 1 si osserva che
il perimetro di un esagono regolare inscritto in un cerchio di raggio 10000 è
60000 ed il perimetro di un dodecagono è circa 62116 + 1=2 ed un terzo della
di¤erenza dei perimetri è 705 + 1=2. Quindi, applicando il teorema 7, si deduce
un rapporto tra circonferenza e diametro un poco maggiore di 62822=20000 =
3; 1411, un risultato migliore di quello ottenuto da Archimede con poligoni di
96 lati. Poi nel problema 4, utilizzando il teorema sui baricentri di segmenti di
cerchio, si ottengono stime ancora più precise. Comunque dopo Huygens tutti
questi metodi vengono sostituiti dalle nuove tecniche del calcolo di¤erenziale ed
integrale. In particolare, Isaac Newton (1642-1727) nella sua corrispondenza con
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) osserva che le disuguaglianze di Snell ed
i teoremi di Huygens si possono dimostrare facilmente sviluppando in serie di
potenze le funzioni interessate:
”Per trovare un’approssimazione di un arco con corda A e con B la corda
di metà arco, se z è l’arco e r il raggio del cerchio, allora A, il doppio del seno
della metà di z, e B sono
B = z
2
A = z
z 3
+
4 6r2 z 5
&c:
4 4 120r4 z3 z
+
2 16 6r2 5
&c:
2 16 16 120r4 Moltiplichiamo B per un numero …ttizio n, dal prodotto sottraiamo A, poi
poniamo uguale a zero il termine nz 3 = 2 16 6r 2 z 3 = 4 6r 2 . Da questo
risulta n = 8 e
8B A = 3z
3z5 + &c:
64 120r4 52
0:

Quindi z = (8B A) =3, con un errore per eccesso di solo z 5 =7680r 4 &c.
Questo è il teorema di Huygens.”
Poi Newton dimostra come far meglio di Huygens. Per stimare la misura
dell’arco di cerchio x 2 + y 2 = 1 da (0; 0) a (cos(#); sin(#)), che ha lunghezza #,
si traccia la retta per i punti ( + cos (#) ; 0) e (cos(#); sin(#)), che interseca
la tangente al cerchio x = 1 in un punto di ordinata
= # +
sin(#) (
y =
+ (
1 + cos (#))
1) cos (#)
+
6 (1
+ 2
) #3 +
( + 11 + 4) ( + 1) 10 ( + + 2) ( 1)
120 ( + 1) 2 # 5 + :::
Scegliendo = 9=5 e = 1=5 si annullano i coe¢ cienti di # 3 e # 5 e si
ottiene
sin(#) (14 + cos (#))
9 + 6 cos (#)
= # # 7 =2100 # 9 =18000 + :::
Se nell’uguaglianza approssimata # sin(#) (14 + cos (#)) = (9 + 6 cos (#)) si
sostituisce # = =6 si ottiene 81 25 p 3 =12 = 3; 14156:::. Alla luce di
queste osservazioni di Newton, torniamo ad analizzare il metodo di Archimede
ed i successivi ra¢ namenti di Nicola da Cusa, Snell, Huygens. Iniziamo con le
disuguaglianze utilizzate da Archimede:
sin(x) = x x 3 =6 + x 5 =120 x 7 =5040 + x 9 =362880 + :::
tan(x) = x + x 3 =3 + 2x 5 =15 + 17x 7 =315 + 62x 9 =2835 + :::
Quindi, sostituendo all’arco x il seno o la tangente si commette un errore
per difetto dell’ordine di x 3 =6 o per eccesso dell’ordine di x 3 =3. Veniamo ora
alle disuguaglianze di Nicola da Cusa e Snell:
3 sin(x)
2 + cos(x) = x x5 =180 x 7 =1512 x 9 =25920 + :::
tan(x) + 2 sin(x)
3
= x + x 5 =20 + x 7 =56 + 7x 9 =960 + :::
In entrambi i casi le approssimazione dell’arco x è dell’ordine di x 5 , se l’arco è
piccolo il guadagno rispetto alle approssimazioni di Archimede è notevole. Consideriamo
in…ne alcune delle disuguaglianze di Huygens, iniziando dai teoremi
5 e 6:
8 sin(x) sin(2x)
6
sin(2x) + 4 tan(x)
6
= x x 5 =30 + x 7 =252 x 9 =4320 + :::
= x + 2x 5 =15 + 2x 7 =63 + 2x 9 =135 + :::
In entrambi i casi l’approssimazione dell’arco x è dell’ordine di x 5 ed anche
nei teoremi 7, 9, 11 l’ordine dell’approssimazione è lo stesso. Invece nel teorema
53

14 l’approssimazione è dell’ordine di x 7 :
sin(x) 10 + 6 cos(x) cos 2 (x)
6 + 9 cos(x)
= x + x 7 =350 + x 9 =4500 + :::
A questo punto risulta naturale congetturare che esistono approssimazioni
ancora migliori. Un semplice modo per ottenerle è di partire dall’identità x =
arcsin (sin(x)) o x = arctan (tan(x)) e sviluppare in serie di potenze l’arco seno
o l’arco tangente. È chiaro che allontanandoci dalla tradizione greca stiamo
incontrando una nuova matematica.
54

LOGARITMI:
Per il matematico policefalo Nicolas Bourbaki gli esponenziali ed i logaritmi
sono degli isomor…smi tra il gruppo additivo R ed il gruppo moltiplicativo
R+. Detto in modo più popolare, gli esponenziali ed i logaritmi trasformano
i prodotti in somme. I prodotti sono operazioni più complicate delle somme e
prima dell’introduzione
dei logaritmi si sono usate delle tavole dei quadrati e delle tavole trigonometriche
per trasformare questi in quelle,
a b = (a + b)2 (a b) 2
4
;
cos(
cos( ) cos( ) =
) + cos(
2
+ )
:
Georg Joachim Rheticus (1514-1576), discepolo e collaboratore di Copernico,
inizia la compilazione di tavole trigonometriche con 15 decimali, poi completate
nel 1596.
55

Nell’”Arenario” di Archimede si trova la seguente a¤ermazione:
Albrecht
Dürer
1554.
”Siano dati dei numeri in proporzione continua A, B, C, D, E, F, G, H,
I, K, L,..., a partire dall’unità A. Si moltiplichi D per H e si prenda nella
proporzione il termine L distante da H quanto D dista dall’unità, allora L è
uguale al prodotto D per H.”
L’”Arithmetica integra” di Michael Stifel (1487-1567) contiene la tavola
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
1=8 1=4 1=2 1 2 4 8 16 32 64
”L’addizione in progressioni aritmetiche corrisponde alla moltiplicazione in
progressioni geometriche... La sottrazione corrisponde alla divisione... La moltiplicazione
all’elevamento a potenza... La divisione all’estrazione di radice...”
Una tavola di numeri simile ma abbastanza densa rende possibile e conveniente
la trasformazione di prodotti in somme. Nel 1614 John Napier (1550-
1617) pubblica la ”Descrizione del meraviglioso canone dei logaritmi”e nel 1619
la ”Costruzione del meraviglioso canone dei logaritmi”, con la de…nizione:
”I logaritmi sono numeri che associati a proporzioni conservano uguali differenze.”
" 0
o o
` # 0
o&", numero del rapporto. I logaritmi di progressioni geo-
metriche sono progressioni aritmetiche. In una progressione geometrica a, ax,
ax 2 , ax 3 ,..., il rapporto x tra due termini consecutivi è la ragione, x 2 la ragione
seconda, x 3 la ragione terza,..., i numeri 0, 1, 2, 3,... sono i numeri della
ragione. Nepero dà anche una descrizione cinematica dei suoi logaritmi, che
sono logaritmi di seni di angoli. Se un punto x si muove tra r e 0 con velocità
decrescente x e se contemporaneamente un punto y si muove tra 0 e +1
56

con velocità uniforme r, allora y è il logaritmo di x. Si tratta del sistema di
equazioni di¤erenziali
dx=dt = x;
x(0) = r;
dy=dt = r;
y(0) = 0;
con soluzioni x(t) = r exp( t) e y(t) = rt, cioè x = r exp( y=r) e y = r log(r=x).
In questa de…nizione il logaritmo del prodotto non è la somma dei logaritmi,
ma quasi, se x1 e x2 hanno logaritmi y1 e y2, allora y1 + y2 è il logaritmo di
r 1 x1x2. In particolare, se r è una potenza di 10 ed i numeri sono scritti in
frazioni decimali, la conversione da r 1 x1x2 a x1x2 è immediata. Infatti la
scelta di Nepero per r è 10 7 ed a lui si deve l’odierna notazione decimale:
”Nei numeri con un punto in mezzo, quello che viene dopo il punto è una
frazione, il denominatore della quale è una unità con tanti zeri quante sono le
cifre dopo il punto. Per esempio, 10000000:04 è lo stesso che 10000000 4
100 ”.
In…ne, Nepero osserva che per calcolare il logaritmo di un numero intero è
su¢ ciente conoscere i logaritmi dei fattori primi, è quindi possibile costruire
una tavola di logaritmi a partire da un numero ridotto di logaritmi primitivi.
Nepero non ha una precisa idea di base per il suo sistema di logaritmi, le sue
tavole fanno semplicemente corrispondere una progressione aritmetica ad una
geometrica. Il legame tra il logaritmo e la funzione esponenziale e la de…nizione
di logaritmo come esponente da dare ad una base per ottenere un numero si trova
in James Gregory (1638-1675), ”gli esponenti sono come logaritmi”, poi in John
Wallis (1616-1703) che nella sua ”Algebra” del 1685 considera le progressioni
aritmetiche 0, 1, 2, 3,... e geometriche r 0 , r 1 , r 2 , r 3 ,... ed osserva:
”Gli esponenti si chiamano logaritmi. Questi sono numeri arti…ciali che
sono associati ai numeri naturali in modo tale che le loro addizioni e sottrazioni
corrispondono alle moltiplicazioni e divisioni dei numeri naturali”.
In…ne, nella ”Introduzione all’analisi dell’in…nito”pubblicata nel 1748 Leonhardo
Eulero (1707-1783) de…nisce esplicitamente le funzioni esponenziali ed i
logaritmi:
”Le quantità esponenziali non sono nient’altro che potenze con esponente
variabile e dalla loro inversione si arriva in modo naturale i logaritmi... a z è la
potenza di una quantità costante a con un esponente variabile z... Se a z = y...
questo valore z si chiama logaritmo di y...ed a si chiama base del logaritmo”.
La base dei logaritmi naturali è il numero e, ”il numero il cui logaritmo iperbolico
è uguale ad uno”. In quest’opera, dopo il capitolo ”Sulle quantità esponenziali
ed i logaritmi”, nel capitolo ”Sulle quantità trascendenti che nascono dal
cerchio”si de…niscono anche le funzioni trigonometriche nel modo tuttora in uso.
Joost Bürgi (1552-1632) sembra sia arrivato alla scoperta dei logaritmi qualche
anno prima di Nepero, ma pubblica le sue tavole solo nel 1620. Le prime tavole di
logaritmi neperiani sono basate sulla progressione geometrica 10 7 1 10 7 n ,
cioè il logaritmo neperiano di 10 7 1 10 7 n è n, mentre quelle di Bürgi sono
57

asate sulla progressione 10 8 1 + 10 4 n . In entrambi i casi si intravede in
embrione la de…nizione di e = limn! 1 (1 + 1=n) n e dei logaritmi naturali
compaiono in appendice all’opera di Nepero, con l’osservazione che numeri con
rapporto 2 hanno logaritmi con di¤erenza 6931469; 22 e numeri con rapporto
10 hanno logaritmi con di¤erenza 23025842; 34. Infatti log(2) = 0; 693147::: e
log(10) = 2; 302585:::..
I logaritmi suscitano un immediato e generale entusiasmo:
”La matematica ha ricevuto considerevoli vantaggi prima dall’introduzione
dei caratteri indiani e poi delle frazioni decimali. Ora dall’invenzione dei logaritmi
sta raccogliendo almeno tanto quanto dalle altre due assieme. Per mezzo
di questi, come tutti sanno, dei numeri quasi in…niti ed in altro modo intrattabili
sono trattati facilmente e rapidamente. Il marinaio governa il suo vascello,
il geometra investiga la natura delle curve, l’astronomo determina la posizione
delle stelle, il …losofo spiega i fenomeni naturali e, per …nire, l’usuraio calcola
gli interessi dei suoi soldi”.
Nepero e Henry Briggs (1561-1639) si accordano per costruire delle tavole
con il logaritmo di 1 uguale a 0 e quello di 10 uguale a 1. Prendendo delle
radici iterate p 10, pp
qpp 2 10, 10,..., Briggs arriva a calcolare 10 54
e, posto
54
2 log10 (1) = 0 e log10 10 = 2 54 , utilizzando il fatto che il logaritmo del
prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi, costruisce delle tavole di logaritmi
in base 10 con quattordici decimali. Le tavole di Briggs sono pubblicate
nel 1624. All’amico ed ex insegnante Michael Maestlin (1550-1631), che esprime
dubbi sulla teoria di questi logaritmi e che osserva che non è poi il caso
di entusiasmarsi tanto per un mero aiuto al calcolo, Johannes Keplero (1571-
1630) replica dimostrando le proprietà dei logaritmi a partire dalla teoria delle
proporzioni nel Libro V degli ”Elementi” di Euclide. Poi calcola delle tavole
di logaritmi con otto cifre. Queste ”Tabulae Rudolphinae”, insieme a tabelle
e regole per predire la posizione dei pianeti ed un catalogo con più di mille
stelle, sono pubblicate dal 1624 al 1627. Per il povero Keplero, che ha pagato di
tasca propria la pubblicazione, non è un gran successo editoriale: ”I compratori
58

sono pochi. È sempre così con delle opere di matematica, specialmente in questi
tempi di caos”. Quale ausilio alla navigazione, nel 1620 Edmund Gunter (1581-
1626) costruisce dei regoli rudimentali e qualche anno dopo William Oughtred
(1574-1660) ne costruisce di più perfezionati. Nel 1653 viene pubblicato il primo
trattato sui logaritmi in Cina e nel 1722 i logaritmi raggiungono il Giappone.
Concludiamo con qualche curiosità. Nel XIX secolo si scopre che nostra
risposta a stimoli luminosi, acustici, o altri, non dipende dalla di¤erenza tra
le intensità di questi stimoli, ma dal loro rapporto, cioè la scala delle nostre
percezioni è logaritmica. Anche senza saperlo, abbiamo sempre avuto i logaritmi
nel cervello. Nel 1881 l’astronomo Simon Newcomb (1835-1909), osservando che
le prime pagine delle sue tavole dei logaritmi sono più sporche e consunte delle
ultime, formula la legge empirica che le frequenze dei numeri che iniziano con
una data cifra d = 1; 2; 3; :::; 9 non sono tutte uguali a 1=9 = 0; 111:::, ma la cifra
d ha una frequenza log 10(1 + 1=d), in particolare l’uno compare più del due, il
due più del tre,..., il nove meno di tutti.
Cifra 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frequenza 0,301 0,176 0,124 0,096 0,079 0,066 0,057 0,051 0,045
”I numeri in natura sono quozienti di quantità. Quindi, invece di scegliere a
caso un numero, dobbiamo sceglierne due, e dobbiamo chiederci qual’è la probabilità
che la prima cifra signi…cativa del loro rapporto sia n”. Scrivendo i numeri
come potenze di 10, per calcolarne un rapporto basta sottrarre gli esponenti.
La prima cifra dipende solo dalla parte frazionaria degli esponenti, e Newcomb
congettura che questa parte frazionaria sia equidistribuita: ”Le mantisse dei
logaritmi sono equiprobabili”. Nel 1938 il …sico Frank Benford (1883-1948), analizzando
le più disparate tavole di numeri, comprese le statistiche dell’American
League di baseball, arriva a formulare la stessa legge. Se una variabile aleatoria
X ha una distribuzione uniforme in [0; 1], allora 10 X soddisfa la legge di
Benford. Insomma, viviamo in un mondo logaritmico.
59

Regolo di Oughtred
60
Compasso geometrico di Galileo

P. Gregorii a S to Vincentio Opus Geometricum Quadreaturae Circuli
Et Sectionum Coni Decem Libris Comprehensum MDCXLVII
61

NASCITA DEL CALCOLO:
Il problema di calcolare la velocità conoscendo lo spazio percorso in funzione
del tempo ed il problema inverso di calcolare lo spazio conoscendo la velocità
conducono in modo naturale allo studio delle tangenti e delle aree sottese dalle
curve che descrivono il moto. Anche i problemi di ri‡essione e rifrazione in ottica
conducono allo studio delle tangenti. Nel XVII secolo, con la meccanica di
Galileo Galilei (1564-1642) e la geometria analitica di Descartes e Pierre Fermat
(1601-1665), vengono studiate molte nuove curve e per mezzo del nascente calcolo
se ne tracciano le tangenti e misurano il perimetro e l’area. I risultati sono
così numerosi e si susseguono con tale rapidità che risulta di¢ cile assegnarne la
paternità.
”La …gura ovale esser doppia del circolo
posto nel medesimo parallelo di tal …gura
ovale... e questa tal prova resta persuasiva
immaginando esser diviso il circolo in
istrettissimi paralleli, a modo di sottilissimi
capelli in continuo contatto tra loro e che
il moto di ciascun parallelo sia rectamente
duplicato nel medesimo parallelo...”.
62
Codice Atlantico

La scodella di Galileo
ed il volume della sfera
secondo Luca Valerio.
Tagliando il cilindro x 2 + y 2 R 2 ; 0 x R , il cono x 2 + y 2 z 2 ;
0 z Rg e la semisfera x 2 + y 2 + z 2 R 2 ; 0 x R con i piani
fz = tg , si ottengono sezioni di area R 2 , t 2 , R 2 t 2 . Quindi le
sezioni della semisfera sono uguali alle sezioni del cilindro meno il
cono, la semisfera ha volume uguale al cilindro meno il cono.
L’area di un triangolo
sferico secondo
Albert Girard.
Tre archi di cerchio massimo dividono una sfera di raggio R nei triangoli
A, B, C, T , più altri quattro triangoli antipodali uguali. In particolare,
T + A + B + C = 2 R 2 . I triangoli A e T formano uno spicchio di angolo
ed area A + T = 2 R 2 . Similmente, B + T = 2 R 2 e C + T = 2 R 2 .
Sommando, A + B + C + 3T = 2 ( + + ) R 2 , e sempli…cando,
T = ( + + ) R 2 .
Le quadrature di parabole ed ellissi sono opera di Archimede. Fermat,
Cavalieri e Evangelista Torricelli (1608-1647) quadrano le parabole ed iperboli
generalizzate ym = xn e ymxn Z b
= 1. In notazione moderna x dx =
b +1 a +1 = ( + 1), se +1 6= 0. Torricelli osserva anche che dalla conoscenza
della quadratura si ricava la regola per la costruzione delle tangenti, e viceversa.
Ecco come Cavalieri calcola l’area sotto la curva y = x 2 . Sommando le ordinate
dell’identità x 2 + (a x) 2 = a 2 =2 + 2 (x a=2) 2 , noi diremmo integrando,
Z a
x 2 Z a
dx +
0
0
(a x) 2 dx = a 2 =2
Z a Z a
dx + 2 (x a=2) 2 dx:
I primi due integrali sono uguali al volume di una piramide con base quadrata
di lato a e altezza a. Il terzo integrale è il volume di un parallelepipedo con lati
63
0
0
a

a, a, a=2. L’ultimo integrale, a parte il fattore 2, è il volume di due piramidi con
basi e altezza a=2. Per la similitudine tra le piramidi, se quelle grandi hanno
volume V , quelle piccole hanno volume V=8. Si ottiene quindi l’uguaglianza
2V = a 3 =2 + V=2, da cui si ricava V = a 3 =3. Anche se è un risultato già
noto ai greci, il metodo è nuovo e si presta ad essere generalizzato a potenze
superiori alla seconda. Per calcolare l’area sotto la curva y = x , Fermat divide
l’intervallo 0 < x < a in una progressione geometrica a, aq, aq 2 , aq 3 ,..., con
q < 1, ed approssima la regione sotto la curva con i rettangoli di base aq n aq n+1
e altezza (aq n ) . Quindi, sommando rispetto ad n e prendendo il limite per
q ! 1 ,
Z a
0
x dx = lim
q!1
= a +1 lim
q!1
(
+1X
(aq n ) aq n
aq n+1
n=0
+1
1 q a
=
1 q +1 + 1 :
In questo conto > 1, ma un conto analogo permette di calcolare
)
Z +1
a
x dx
con < 1. Il calcolo dell’integrale di x 1 è opera del Gesuita Gregorio di San
Vincenzo (1584-1667). Nella sua ”Opera geometrica per la quadratura del cerchio
e delle sezioni di cono” del 1647, insieme a presunte quadrature del cerchio
subito contestate da Cartesio e confutate da Huygens, si trova anche una vera
quadratura dell’iperbole:
”Se delle parallele ad un asintoto di una iperbole tagliano segmenti di area
uguale, queste parallele sono in progressione continua”.
Se da un asintoto di una iperbole si tracciano delle parallele all’altro asintoto
e se le aree dei quadrilateri mistilinei che si vengono a formare sono uguali, allora
64

le lunghezze dei segmenti paralleli sono in progressione geometrica e viceversa,
se le lunghezze sono in progressione geometrica, allora le aree sono uguali. Si
Z b
dx
tratta della relazione
x =
Z ab
dx
che si può dimostrare con un cambio di
x
1
a
variabile x ax, se la base dx si dilata di un fattore a e l’altezza 1=x si contrae
di 1=a, l’area dx=x non cambia. La dimostrazione di Gregorio utilizza il metodo
di esaustione, dividendo le basi dei segmenti di iperbole in una progressione
geometrica. Nell’iperbole y = 1=x l’area compresa tra le ascisse qn e qn+1 è
compresa tra q n 1 qn+1 qn e q n qn+1 qn , cioè 1 q 1 e q 1. Quindi
l’area da qm a qn è compresa tra (n m) 1 q 1 e (n m) (q 1), se le ascisse
crescono un modo geometrico, le aree crescono in modo aritmetico.
Marin Mersenne (1588-1648) pone il problema: ”Date tre grandezze, razionali
o irrazionali, ed i logaritmi di due di queste, trovare geometricamente il
logaritmo della terza”. Alfonso Antonio de Sarasa (1618-1667) risolve il problema,
traducendo la proposizione del confratello Gregorio in termini di logaritmi,
l’area sotto un’iperbole soddisfa l’equazione funzionale del logaritmi,
Z ab
1
dx
x =
Z a
1
dx
x +
Z ab
a
dx
x =
Z a
1
dx
x +
L’area
Z
sotto l’iperbole equilatera y = 1=x de…nisce i logaritmi iperbolici
x
dt
log(x) = e la base di questi logaritmi è il numero e. Di fatto i logar-
1 t
itmi così de…niti sono l’unica funzione di¤erenziabile che trasforma i prodotti in
somme, L(x y) = L(x)+L(y). Infatti, ponendo x = y = 1 in questa uguaglianza,
si ricava L(1) = 0. Derivando rispetto a y si ottiene xL0 (x y) = L0 (y) e, per
y = 1, si ottiene anche L0 (x) = L0 (1)=x. Quindi, L(x) = L0 Z x
dt
(1) e la scelta
1 t
naturale per la costante L0 (1) è 1. Nella ”Geometria speciosa” del 1659 Pietro
Mengoli (1625-1686) de…nisce esplicitamente i logaritmi naturali come limiti di
successioni,
1 1 1
log(p=q) = lim + + ::: +
n!+1 qn qn + 1 pn :
Infatti, dividendo l’area sotto
Z
la curva y = 1=x in rettangoli con base
pn
dx
uno si vede che log(p=q) = è maggiore dell’ipologaritmo e minore
qn x
dell’iperlogaritmo,
1 1 1
+ + ::: +
qn + 1 qn + 2 pn <
Z pn
dx 1 1
< + + ::: +
x qn qn + 1 1
pn 1 :
qn
65
Z b
1
dx
x :

di
Per dimostrare la formula log(xy) = log(x) + log(y) basta poi osservare che
lim
n!+1
log a
b
c
d
1
+ ::: +
bdn
= lim
n!+1
1
adn 1
= log a
b
1
1
+ ::: +
bdn acn 1 =
+ lim
n!+1
+ log c
d :
1
+ ::: +
dan
1
can 1
In particolare, Mengoli osserva che il logaritmo di 2 è il limite per n ! +1
1=n + 1=(n + 1) + ::: + 1=2n
= (1 + 1=2 + ::: + 1=2n) (1 + 1=2 + ::: + 1=(n 1))
= (1 + 1=3 + 1=5 + ::: + 1=(2n 1)) (1=2 + 1=4 + 1=6 + ::: + 1=2n)
= 1 1=2 + 1=3 1=4 + ::: + 1=(2n 1) 1=2n:
Cavalieri si fa divulgatore dei logaritmi in Italia e Torricelli per primo studia
le proprietà della curva esponenziale, che chiama semi iperbole logaritmica
perché si costruisce con i logaritmi ed assomiglia ad una iperbole con un solo
asintoto, ne traccia il gra…co, calcola l’area sottostante, determina il volume
del solido generato dalla rotazione della curva attorno all’asse delle ascisse. Nel
1638 Florimond de Beaune (1601-1652) pone a Cartesio il problema di determinare
una curva con sottotangente costante. La sottotangente è il rapporto
tra l’ordinata e la pendenza, si tratta quindi di risolvere l’equazione di¤erenziale
dy=dx = y=m. Nel 1644 Torricelli dimostra che soluzione è la curva log-
aritmica, se y = a x si ha dy=dx = a x log(a) e la sottotangente è 1= log(a).
Torricelli dimostra anche che l’area Z tra due ascisse è la di¤erenza tra le ordi-
q
nate per la sottotangente, cioè
p
a x dx = (a q a p ) = log(a). Nel 1661 Huygens
de…nisce una curva con la proprietà che l’ordinata del punto medio tra due
ascisse è media proporzionale tra le ordinate di queste ascisse e, come Torricelli,
chiama questa curva logaritmica. Utilizzando delle tavole di logaritmi,
Huygens calcola il rapporto tra la sottotangente ed il tempo di dimezzamento,
1= log(2) che approssima con 13/9. Calcola anche 17 cifre decimali del logaritmo
in base 10 di e, ma apparentemente non considera questa costante come
il logaritmo di un numero, poi il numero e appare esplicitamente in una lettera
di Leibniz a Huygens. In…ne, nel 1684 Leibniz pubblica le sue ricerche
sul calcolo di¤erenziale, con la sua soluzione del problema di de Beaune, una
curva con sottotangente costante è esponenziale. Il numero e corrisponde alla
sottotangente uno. La funzione esponenziale fa la sua apparizione anche in
…sica. Nel 1668 Huygens studia la caduta di un corpo soggetto ad una gravità
costante e ad una resistenza proporzionale alla velocità. Risolvendo l’equazione
a(t) = g k R t
a(s)ds, con a(t) l’accelerazione, riconosce nella soluzione la fun-
0
zione logaritmica. La teoria non si accorda però con gli esperimenti e Huygens
sostituisce una resistenza proporzionale al quadrato della velocità, ma la
66

soluzione si complica. Nel 1701 Newton presenta i risultati dei suoi esperimenti
sulla di¤usione del calore che mostrano che un oggetto riscaldato si riavvicina
alla temperatura ambiente in modo approssimativamente esponenziale. In particolare,
Newton congettura una perdita di calore del corpo proporzionale alla
di¤erenza tra la temperatura del corpo e dell’ambiente e da questo deduce che
il logaritmo della di¤erenza di temperatura varia uniformemente col tempo. Le
applicazioni …siche dell’esponenziale si moltiplicano e risulta di¢ cile farne un
elenco, per esempio la scoperta di E.Rutherford (1871-1937) del decadimento
radioattivo è del 1903. L’interpretazione probabilistica del fenomeno è che gli
atomi non hanno memoria e la probabilità di decadere in un certo intervallo di
tempo ha una distribuzione esponenziale.
Se un oggetto è trascinato con una fune con un estremo che si muove
lungo una retta, la traiettoria è la trattrice di Huygens. Se la fune ha
lunghezza uno ed un estremo sull’asse delle ascisse, le coordinate (x; y)
dell’oggetto soddisfano l’equazione di¤erenziale dy=dx = y= p 1 y 2 ,
con soluzione x c = log 1 + p 1 y 2 =y p 1 y 2 .
Nell’opera ”Aritmetica degli in…niti” pubblicata nel 1665 Wallis de…nisce
le potenze con esponenti negativi o frazionari. Con un complicato processo di
induzione ed interpolazione passa dall’area sotto le curve y = 1 x 2 n a quella
sotto le curve y = 1 x 2 n=2 ed esprime l’area del semicerchio y = p 1 x 2
sotto forma di prodotto in…nito,
2
= 2 2 4 4 6 6 8 8 :::
1 3 3 5 5 7 7 9 ::: ;
67

ottenendo anche le approssimazioni
8
><
4 3
<
2
3
4
5
4
5
6
7
6
7
8
9
8
9
10
11
10
11
12
13
12
13
14
>:
4 3
>
2
3
4
5
4
5
6
7
6
7
8
9
8
9
10
11
10
11
12
13
12
13
14
2 n=2
Le curve y = 1 x
ed il prodotto in…nito di Wallis.
Z +1
1 x
1
2 1=2 dx = 1
2 ;
Z +1
1 x
1
2 3=2 1 3
dx =
Z +1
1 x
1
2 5=2 dx =
Z +1
1 x
lim
n!+1
1
2 n+1=2 dx
Z +1
(1
1
x2 ) n dx
2 4 ;
1
2
3
4
5
6 ;
= 1;
r
1 + 1
13 ;
r
1 + 1
14 :
Z +1
1 x
1
2 1 dx = 2
3 2;
Z +1
1 x
1
2 2 2 4
dx =
Z +1
1
1 x2 3 dx =
2
3 5 2;
2
3
4
5
6
2; :::
7
= 2 2 4 4 6 6 :::
1 3 3 5 5 7 ::: :
Dopo il cerchio x 2 + y 2 = 1, Wallis a¤ronta l’iperbole x 2 y 2 = 1, questa
volta senza successo. Comunica le sue scoperte a William Brouncker (1620-
1684), il primo presidente della Royal Society, che riesce a calcolare l’area tra 1
e 2 sotto l’iperbole xy = 1 sotto forma di serie 1 1=2 + 1=3 1=4 + ::: e riesce
a trasformare il prodotto in…nito di Wallis nello sviluppo in frazioni continue
4
= 1 +
2 +
1 2
3 2
2 + 52
2 + :::
Le frazioni continue sono implicitamente contenute nell’algoritmo euclideo
per la ricerca del massimo comun divisore tra due numeri e sono introdotte nel
”L’Algebra” da Raphael Bombelli (1526-1573) come ”modo di formare il rotto
nella estrattione delle radici quadrate”. Sono poi esplicitamente de…nite, ”rotti,
& rotti di rotti...”, da Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) nel ”Trattato del modo
brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri, et regole da approssimarsi
di continuo al vero nelle radici de’ numeri non quadrati...”. Prima di scoprire
le frazioni continue, nel ”Trattato della quadratura del cerchio” Cataldi cerca di
68
:

trasformare i primi venti decimali di in frazioni. Nella progettazione degli ingranaggi
di un planetario, Huygens utilizza le frazioni continue per approssimare
i rapporti tra i periodi di rivoluzione dei pianeti con frazioni di denominatore
basso.
I triangoli ABD e ABF sono simili. Se l è
il lato e d la diagonale, d : l = l : (d l).
Se d : l = x, si ha x2 x 1 = 0, ed anche
x = 1 + 1=x = 1 + 1= (1 + 1=x) = :::. Quindi
1 + p 5
2
1
= 1 +
1
1 +
1 + 1
.
1 + :::
Se L e D sono il lato e la
diagonale di un quadrato,
D D L 1
= 1 + = 1 +
L L L
D L
1
= 1 +
= 1 +
2L D
1 +
D L
1
1 + D
:
p L
2 è soluzione dell’equazione
x = 1 + 1= (1 + x) .
p 1
2 = 1 +
1
2 +
2 + 1
:
2 + :::
Trascuriamo ancora per un momento il cerchio e l’iperbole per occuparci
brevemente di qualche altra curva. Una spirale è una curva descritta in coordinate
polari da un’equazione = f(#). La prima ad essere studiata è stata la
spirale di Archimede = #, per le altre si è dovuto aspettare quasi 1800 anni.
Nella navigazione lossodromica, descritta dal cartografo Pedro Nunes (1502-
1578) e da Thomas Harriot (1560-1621), seguendo la bussola si tagliano i meridiani
con angoli costanti e si percorre una spirale sulla sfera terrestre. Nel 1590
Harriot calcola anche l’area e la lunghezza della spirale logaritmica, l’immagine
su una carta geogra…ca della spirale sulla sfera attraverso una proiezione cilindrica
di Gerardus Mercator (1512-1594).
69

Portolano del XVI secolo. Pedro Nunes.
Nel ”Dialogo dei massimi sistemi” Galileo Galilei, discorrendo del moto di
un proiettile, osserva che un corpo che ruota attorno ad un centro con velocità
angolare uniforme e cade verso il centro con velocità uniforme descrive una
spirale di Archimede, ma se la velocità verso il centro è uniformemente accelerata
la curva descritta è di¤erente. Galileo ritiene che sia un semicerchio, invece è
ancora una spirale, # = t e = t 2 , quindi = 2 # 2 . Fermat calcola
l’area spazzata da questa spirale e ne studia altre, m = # n . Nel 1638 Cartesio,
forse insoddisfatto della teoria di Galileo e pensando che il moto dei pianeti sia
provocato da immensi vortici di etere, de…nisce una curva con la proprietà di
essere tagliata con angoli costanti da rette per l’origine, d =( d#) = , quindi
log( ) = # + . È una spirale logaritmica, che ad angoli in progressione
aritmetica associa raggi in progressione geometrica. Cartesio dimostra che la
lunghezza di un tratto di spirale è proporzionale alla distanza dal centro ed
anche Torricelli studia questa curva, calcolandone la lunghezza e l’area spazzata
dal raggio. In notazione in…nitesimale, la lunghezza di un tratto in…nitesimo
di spirale = exp( # + ) è
q
(d ) 2 + ( d#) 2 = p 1 + 2 d e un elemento
in…nitesimo di area è 2 1 2 d# = 2 1 1 d . In particolare, la lunghezza di un
tratto di curva è direttamente proporzionale all’incremento del raggio e l’area
spazzata dal raggio è proporzionale al quadrato del raggio.
70

Broccolo romano. Ammonite (Giurassico). Galassia M101.
”Spirali
in…nite” di
Torricelli.
Quadratura e retti…cazione
della spirale logaritmica di
Thomas Harriot: L’area della
spirale è uguale al triangolo
isoscele con vertice X, e la
lunghezza della spirale è la
somma dei lati AX + XO.
Le tangenti ad una spirale logaritmica hanno un angolo costante con
i raggi per il polo O. Se P è un punto sulla spirale e Q l’intersezione
tra la tangente alla spirale in P e la retta per O perpendicolare al
raggio OP , il segmento P Q è lungo quanto il tratto di spirale da P
ad O e l’area del triangolo OP Q è doppia dell’area spazzata dal
raggio nei suoi in…niti avvolgimenti da P a O.
71

”Indivisibili”
di Cavalieri e
”Iperboli in…nite”
di Torricelli.
Il ”solido iperbolico acutissimo” ottenuto ruotando l’iperbole
f0 < y < 1=xg intorno all’asintoto y = 0 può essere scomposto
nnegli
”indivisibili curvi” formati dalle super…ci laterali dei cilindri
0 < x < t; p y2 + z2 o
= 1=t , che sono tutte uguali a 2 . Il solido
n
in…nito x > 0; p y2 + z2 o
< min f1=a; 1=xg ha area in…nita ma
volume …nito 2 =a. Si può riempire di vernice, ma non pitturare!
Z +1 q
Area = 2 y 1 + (dy=dx)
a
2 Z +1
dx
dx > 2 = +1;
Z a x
+1
V olume = y2 Z +1
dx
dx =
x2 = a :
a
Anche Newton, come Cartesio e Torricelli, all’inizio pensa che la traiettoria
di un proiettile soggetto ad una forza centripeta sia una spirale, invece R.Hooke
(1635-1703) avanza l’ipotesi di una traiettoria ellittica. Newton ci ripensa e
sostituendo ad una accelerazione uniforme una inversamente proporzionale al
quadrato della distanza riesce a dare ragione delle leggi di Keplero.
Una curva molto studiata è la cicloide, descritta da un punto di un cerchio
che rotola lungo una retta. Questa Elena dei matematici, bella ma fonte di
dispute, suscita l’interesse di Nicola da Cusa e poi di Galileo Galilei, Gilles
Personne de Roberval (1602-1675), Blaise Pascal (1623-1662), Chistopher Wren
(1632-1723), Fermat, Cartesio, Torricelli, Huygens, Wallis, Leibniz, Newton,
dell’intera famiglia Bernoulli e di tanti altri.
72
a

La cicloide di
Galileo Galilei.
”Quella linea arcuata sono più di cinquant’anni che mi venne in mente
il descriverla, e l’ammirai per una curvità graziosissima per adattarla
agli archi di un ponte. Feci sopra di essa e sopra lo spazio da lei e dalla
sua corda compreso diversi tentativi per dimostrarne qualche passione,
e parve da principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio
che lo descrive ma non fu così, benché la di¤erenza non sia molta.”
Evangelista
Torricelli.
Gilles
Personne de
Roberval.
La cicloide riceve il suo nome da Galileo, che nel 1599 osserva come un
modello di un arco di cicloide pesi circa tre volte più del suo cerchio generatore.
Conscio dei possibili errori di misura e nella costruzione dei modelli e forse
sospettoso per un numero così semplice, congettura che il rapporto tra l’area
73

della cicloide e del cerchio sia . Invece Roberval, e poi Cartesio, Fermat, Torricelli,
provano che l’area sotto la cicloide è proprio tre volte quella del cerchio
generatore. Oltre alla quadratura, questi studiosi riescono anche a determinare
le tangenti alla cicloide. In particolare, per studiare la cicloide Roberval introduce
e studia la sua curva compagna, la sinusoide. Tiene però segrete le sue
ricerche, salvo poi accusare di plagio Torricelli quando questi riscopre gli stessi
risultati. Cartesio giudica il risultato di Roberval ”bello, uno che non avevo
ancora notato, ma che non avrebbe causato di¢ coltà ad un geometra di media
abilità” e rende pubblica la sua soluzione solo ”per far vedere a quelli che fanno
troppo rumore che questa è molto facile”. Wren, architetto della cattedrale di
S.Paolo a Londra, prova che la lunghezza dell’arco di cicloide è otto volte il
raggio del cerchio generatore. Infatti, la cicloide di equazioni x = # sin(#) e
Z 2
Z 2 p
y = 1 cos(#) ha area ydx = 3 e lunghezza dx2 + dy2 = 8. Pascal
0
trova molte altre proprietà di questa curva, che lo distraggono dall’insonnia e
dal mal di denti. O¤re poi premi in denaro per la soluzione di problemi su aree
e centri di gravità di parti di cicloide sopra segmenti paralleli alla base e su
volumi e centri di gravità dei solidi di rotazione generati da queste parti. Wallis
ottiene solo soluzioni parziali ma niente soldi. Huygens scopre che l’evoluta di
una cicloide è ancora una cicloide e scopre anche l’isocronia delle oscillazioni su
un arco di cicloide, poi progetta e costruisce a partire dal 1657 orologi a pendolo
cicloidali. Pubblica in…ne nel 1673 le sue scoperte di dinamica nel trattato
”Horologium oscillatorium”. Mentre gli orologi con bilanciere a verga prima di
Huygens hanno una imprecisione di qualche minuto al giorno, gli orologi di Huygens,
i primi a pendolo, hanno una imprecisione di qualche secondo al giorno.
Si studiano anche cicloidi accorciate o allungate, descritte da un punto interno
o esterno ad un cerchio che rotola lungo una retta. Roberval ne trova l’area e
Pascal osserva che la loro lunghezza dipende da quella delle ellissi. Newton utilizza
queste cicloidi per ”trovare ad un dato tempo la posizione di un corpo che si
muove lungo una ellisse”, cioè risolvere l’equazione di Keplero t = A# B sin(#).
Cicloidi accorciate e allungate
0
x = r# d sin(#);
y = r d cos(#):
Invece di rotolare lungo una retta il cerchio può anche rotolare lungo un’altra
curva. Per esempio, il moto dei pianeti intorno alla Terra è composizione di moti
quasi circolari uniformi. Se al moto del Pianeta intorno al Sole si somma il moto
del Sole intorno alla Terra, con raggi delle orbite A e B e periodi di rivoluzione
74

e ,
P T = (P S) + (S T ) = A exp 2 i t + B exp 2 i t :
Gli epicicli di Tolomeo sono i progenitori delle serie di Jjean Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830). Le orbite della Terra, eccentricità 1/60, e di Venere, eccentricità
1/150, sono praticamente circolari ed i conti tornano. Al contrario,
l’eccentricità dell’orbita di Marte è 1/11 e per vincere la sua ”guerra contro
Marte” Keplero deve cambiare sistema.
Visto da Terra, il moto di Marte
contro il cielo delle stelle …sse.
Le osservazioni di Tycho Brahe
dell’angolo Sole Terra Marte e la vera orbita.
L’anno marziano è 1,88 volte il terrestre
e la distanza media di Marte dal Sole è
1,52 volte la distanza del Sole dalla Terra.
75

Torniamo alle curve algebriche. Cartesio e Fermat sanno che un’equazione
di primo grado in (x; y) rappresenta una retta ed una di secondo grado una
conica. Sanno anche che con opportune traslazioni e rotazioni degli assi queste
equazioni si posso portare a delle forme canoniche, la parabola y = ax2 , l’ellisse
(x=a) 2 + (y=b) 2 = 1, l’iperbole (x=a) 2
(y=b) 2 = 1. Nella ”Classi…cazione delle
curve del terz’ordine” Newton asserisce che tutte le curve piane di terzo grado si
possono ricondurre con appropriate scelte degli assi a quattro forme canoniche:
xy 2 + ey = ax 3 + bx 2 + cx + d;
xy = ax 3 + bx 2 + cx + d;
y 2 = ax 3 + bx 2 + cx + d;
y = ax 3 + bx 2 + cx + d:
A seconda degli zeri del polinomio di destra, Newton trova 72 tipi di cubiche.
Nel 1717 James Stirling (1692-1770) trova quattro nuove cubiche ed il catalogo
viene completato nel 1740 con l’aggiunta di altre due. Newton asserisce anche
che tutte queste curve si possono ottenere da y 2 = ax 3 + bx 2 + cx + d per mezzo
di opportune proiezioni. Per risolvere le equazioni di grado …no al quarto grado,
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, si possono intersecare due coniche, y = x 2 e
ay 2 + bxy + cy + dx + e = 0. Similmente, per risolvere le equazioni …no al nono
grado si possono intersecare due cubiche.
Cubiche y 2 = ax 3 + bx 2 + cx + d
2 zeri complessi: y 2 = x x 2 + 1 . 3 zeri coincidenti: y 2 = x 3 .
2 zeri coincidenti: y 2 = x 2 (x + 1) . 3 zeri distinti: y 2 = x (x + 1) (x 1) .
Intorno al 1640 Robenval e Torricelli dimostrano che il primo giro della spirale
= # ha la stessa lunghezza dell’arco di parabola 2 y = x 2 con 0 x
76

2 , ma non calcolano esplicitamente questa lunghezza. Nel 1657 Hendrich van
Heuraet (1633-1660) e William Neil (1637-1670), smentendo il dogma cartesiano
sull’impossibilità di retti…care esattamente delle linee curve, retti…cano la
parabola semicubica. La lunghezza dell’arco di curva y 2 = x 3 dall’origine a
Z x
Z
p xp
(x; y) è 1 + (dy=dx) 2 3=2
dx = 1 + 9 x=4dx = (4 + 9 x)
8 =27 .
0
0
Di fatto, tutte le lunghezze delle parabole generalizzate y2n = x2n+1 sono calcolabili
algebricamente. Nel 1658 Huygens e Wallis dimostrano che l’area tra la
cissoide di Diocle e l’asintoto è tre volte l’area del Z cerchio generatore, l’area tra
p
( x) 3 2 =xdx = 3 =4.
la cissoide xy 2 = ( x) 3 e l’asintoto x = 0 è 2
Poi Newton dimostra che anche la lunghezza di un arco di cissoide si può calcolare
in modo elementare. Un’altra cubica la cui quadratura è riconducibile a
quella del cerchio è la ”versaria” o ”curva con seno verso”, che si incontra in
Fermat, Huygens, Guido Grandi (1671-1742) e nelle ”Instituzioni analitiche ad
uso della gioventù italiana di D.na Maria Gaetana Agnesi Milanese...” (1718-
1799), pubblicate nel 1748. Si tratta della curva y = a p (a x)=x, cioè x =
a3 = a2 + y2 Z +1
. L’area tra la versiera e l’asintoto è a
1
3 a2 + y2 1
dy = 2 a .
Insomma, le quadrature dell’ellisse, della cicloide, della versiera e di molte altre
curve si riconducono a quella del cerchio, ma questo sembra resistere imperterrito
ad ogni tentativo di quadratura elementare.
I …ori geometrici che G.Grandi
dedica alla contessa Clelia Borromeo,
= sin (k#) :
”La rodonea è generata da un duplice movimento, uno di un raggio che
ruota con moto circolare intorno al centro, l’altro di un punto che si muove
su e giù su questo raggio, sollecitato da una forza armonica uguale al seno
di un angolo in un dato rapporto …sso con l’angolo descritto dal raggio.”
”L’area di una foglia di rodonea = sin (#a=b) sta al quadrante di
cerchio come b sta ad a.”
77
0

Leonardo
Durer
78
Keplero

ANALISI:
Leibniz 1682 Newton 1723 Eulero 1748
”Ci sono 7 case e in ogni casa 7 gatti, ogni gatto mangia 7 topi, ogni topo ha
mangiato 7 chicchi di grano ed ogni chicco avrebbe prodotto 7 misure di grano.
Quant’è il totale? 7 case + 49 gatti + 343 topi + 2401 chicchi di grano + 16807
misure di grano = 19607.”
Nel papiro copiato dello scriba Ahmes c’è 2301 invece di 2401, ma noi ci
siamo permessi di correggere l’errore. Questo è comunque uno dei primi esempi
di somma di una progressione geometrica. Nel IX libro degli ”Elementi” di
Euclide si trova la seguente proposizione:
”Dati quanti si voglia numeri in proporzione continua, la di¤erenza fra il
secondo e il primo sta al primo come la di¤erenza tra l’ultimo e il primo sta
alla somma di tutti i termini che precedono l’ultimo.”
Cioè, data la progressione geometrica a, ax, ax 2 ,..., ax n , si ha
ax a
a
=
axn a
a + ax + ax2 :
+ ::: + axn 1
La dimostrazione di Euclide, basata sulla teoria delle proporzioni, può essere
sostituita da una veri…ca diretta:
(1 x) 1 + x + ::: + x n 1 n 1
= 1 + x + ::: + x
Quindi, per ogni x 6= 1 si ha
X
x + ::: + x n 1 + x n = 1 x n :
n 1
xk = (1 xn ) = (1 x) e, come osserva
k=0
Viète, se jxj < 1 e n ! +1 si ottiene
+1X
k=0
x k = 1= (1 x). Questa serie geo-
metrica è la capostipite di una lunga dinastia. In particolare, Gregorio di San
80

Vincenzo propone una soluzione dei paradossi di Zenone di Elea (V secolo a.C.)
sommando delle serie geometriche e calcola l’istante esatto in cui il pie’veloce
Achille raggiunge e sorpassa la tartaruga. Secondo Zenone non può esistere
movimento perché per passare da un punto iniziale ad uno …nale si deve prima
passare per il punto medio e, anche ammesso che ci arrivi, si deve poi passare
per il punto medio del rimanente, e così via ad in…nitum. Per Aristotele non ha
senso dividere inde…nitivamente lo spazio e il tempo, per Gregorio, se ha senso
una divisione in…nita deve avere anche senso una somma in…nita. Se la distanza
iniziale è 1, la metà è 1/2, la metà della metà 1/4, la metà della metà della metà
1/8 e, sommando la serie geometrica, 1=2 + 1=4 + 1=8 + ::: = 1. Nell’opera di
Gregorio di San Vincenzo si trova anche una delle prime de…nizioni limite e di
serie.
Nel 1668 Nicola Mercatore (1620-1687) pubblica lo sviluppo in serie del logaritmo,
log(1 + x) = x x 2 =2 + x 3 =3 x 4 =4 + ::::
Da Gregorio di San Vincenzo si sa che l’area sotto l’iperbole è un logaritmo.
Basta quindi integrare termine a termine la serie armonica 1=(1 + x) =
1 x + x 2 x 3 + :::. Queste serie di potenze sono fondamentali nell’opera
matematica di Newton. ”Applicando all’algebra la dottrina delle frazioni decimali,...
ed osservando l’analogia tra numeri decimali e termini algebrici continuati
all’in…nito...”, intuisce che, come i numeri possono essere sviluppati in
somme di potenze di 10, così le funzioni possono essere sviluppate in somme di
potenze delle variabili. Negli anni 1665 e 1666, tornato a casa dall’università di
Cambridge chiusa per peste, scopre la formula delle potenze di un binomio:
”Le estrazioni di radici possono essere molto abbreviate dal seguente teorema:
(P + P Q) m=n = P m=n + m
n
AQ + m n
2n
BQ + m 2n
3n
m 3n
CQ + CQ + etc:
4n
P + P Q è la quantità di cui si deve ricercare la radice... P indica il primo
termine di tale quantità, Q i rimanenti termini divisi per il primo, m=n l’indice
numerico della potenza di P + P Q... il termine A è P m=n , il termine B è
(m=n)AQ, e cosí per gli altri termini.”
81

Ispirato dalle ricerche di Wallis sulle aree sotto le curve y = 1 x 2 n=2 ,
Newton scopre la formula del binomio estendendo all’indietro il triangolo aritmetico
di Pascal e riempiendo gli spazi tra le righe,
::: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :::
::: 2 3=2 1 1=2 0 1=2 1 3=2 2 5=2 3 :::
::: 3 15=8 1 3=8 0 1=8 0 3=8 1 15=8 3 :::
::: 4 35=16 1 5=16 0 1=16 0 1=16 0 5=16 1 :::
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
I numeri in colonna sono i coe¢ cienti di xn nello sviluppo del binomio (1 +
x) ,
( 1)
(1 + x) = 1 + x + x
1 1 2
2 ( 1)( 2)
+ x
1 2 3
3 + ::::
Newton non ha una dimostrazione rigorosa della sua formula, ma si limita
a veri…carne la validità per esponenti razionali positivi e negativi, con divisioni
82

ed estrazioni di radice. Una pseudo dimostrazione, che presuppone l’esistenza
di uno sviluppo in serie e l’unicità della soluzione di una equazione di¤erenziale,
è la seguente:
(1 + x) = 1 + ax + bx 2 + cx 3 + :::;
(1 + x) d
(1 + x) = (1 + x) ;
dx
(1 + x) a + 2bx + 3cx 2 + ::: = 1 + ax + bx 2 + cx 3 + ::: ;
a + (a + 2b) x + (2b + 3c) x 2 + ::: = + ax + bx 2 + cx 3 + :::;
8
><
>:
a =
a + 2b = a
2b + 3c = b
:::
;
8
><
>:
a = =
1
1
b =
2 a = 1
2
c = b =
3 1
:::
1
2
1
2
2
3
Forse le prime dimostrazioni rigorose della formula del binomio per esponenti
qualsiasi sono dovute a Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e a Niels Henrik
Abel (1802-1829). Comunque, dalla serie binomiale Newton ricava parecchi altri
sviluppi in serie. Integrando termine a termine una serie geometrica (1+x) 1 =
1 x + x 2 :::, Newton ottiene l’area sotto l’iperbole z = x x 2 =2 + x 3 =3 :::.
Ponendo poi x = az + bz 2 + cz 3 + ::: ed uguagliando le potenze di z dello stesso
grado,
z = az + bz 2 + cz 3 + ::: az + bz 2 + cz 3 + ::: 2 =2 + az + bz 2 + cz 3 + ::: 3 =3 :::
= az + b a 2 =2 z 2 + c ab + a 3 =3 cz 3 + :::;
ricava i primi termini dello sviluppo della funzione inversa x = z+z 2 =2+z 3 =6+:::
ed indovina lo sviluppo completo. In modo simile, integrando termine a termine
lo sviluppo in serie della funzione (1 x 2 ) 1=2 , ottiene la lunghezza di un arco
di cerchio e quindi l’arco seno, poi per inversione ricava lo sviluppo di seno e
coseno,
cos(x) = 1 x 2 =2! + x 4 =4! x 6 =6! + :::; sin(x) = x x 3 =3! + x 5 =5! x 7 =7! + ::::
83
:

La serie dell’arco seno,
del seno e coseno di
Newton.
Nel semicerchio y = p 1 x2 , il triangolo con lati fx; y; 1g è simile al
triangolo fdy; dx; dsg , in particolare ds=dx = 1= p 1 x2 Z
. Sviluppando
x
in serie ed integrando si ottiene arcsin(x) = 1 t
0
2 1=2
dt
Z x
= 1 +
0
1
2 t2 1 3
+
2 4 t4 1 3 5
+
2 4 6 t6 1 3 5 7
+
2 4 6 8 t8 + ::: dt
= x + 1
2 3 x3 1 3
+
2 4 5 x4 1 3 5
+
2 4 6 7 x7 1 3 5 7
+
2 4 6 8 9 x9 + :::
Risolvendo poi rispetto a z l’equazione z = x + x 3 =6 + 3x 5 =40 + :::, si ottiene
sin(z) = z x 3 =3! + x 5 =5! ::: e similmente cos(z) = 1 x 2 =2! + x 4 =4! :::.
84

Nel ”Metodo delle ‡ussioni e serie in…nite”, terminato nel 1671 ma pubblicato
solo nel 1736, Newton sviluppa un calcolo per somme, sottrazioni, moltiplicazioni,
divisioni, estrazioni di radici per serie in…nite e dedica due corti
paragra… alla quadratura dell’iperbole e del cerchio.
”Data la quantità aa+xx, si può estrarne la radice quadrata in questo modo,
p aa + xx = a + x 2
2a
x4 x6
+
8a3 16a5 Dato un semicerchio di diametro a, denotati con x l’ascissa ed y l’ordinata
si ha
y = p ax xx = p ax
x p
ax
2a
x2 8a2 p
ax
x3 16a3 p
ax :::
Data un’iperbole di equazione p x + xx = z, l’area sottesa risulta uguale a
2
3 x3=2 + 1
5 x5=2
1
28 x7=2 + 1
72 x9=2
:::
5
704 x11=2
Dato il cerchio di equazione p x xx = z, l’area sottesa risulta uguale a
2
3 x3=2 1
5 x5=2
1
28 x7=2
1
72 x9=2
L’area del cerchio di¤erisce dall’area dell’iperbole solo per i segni ... Benché
queste aree non siano comparabili geometricamente, si possono trovare con lo
stesso calcolo aritmetico.”
85
:::
:::

La quadratura del cerchio
y = p x x 2 di Newton.
p 3
32 +
24 =
p
3
=
32 +
Z 1=4
x
0
1=2
p
3 2
= +
32 3 (1
4 )3=2 1
5 (1
= 3p3 1
+ 24
4 3 22 Z 1=4
0
p x x 2 dx
1
2 x3=2 1
8 x5=2
4 )5=2
1
5 2 5
1
28 (1
4 )7=2
1
7 2 9
1
16 x7=2 ::: dx
1
72 (1
4 )9=2 + :::
1
+ ::: :
9 212 Integrando 22 termini dello sviluppo in serie di y = p x x 2 tra 0 e 1/4
Newton ottiene = 3; 1415926535897928:::, gli ultimi due decimali sono errati.
Similmente, sviluppando in serie l’area iperbolica calcola i logaritmi
(log (1 + 1=10) log (1 1=10)) =2 = 1=10 + (1=10) 3 =3 + (1=10) 5 =5 + :::;
(log (1 + 1=10) + log (1 1=10)) =2 = (1=10) 2 =2 + (1=10) 4 =4 + (1=10) 6 =6 + ::::
Da cui ricava log (0; 9) = 0; 1053605156577::: e log (1; 1) = 0; 0953101798043:::.
Poi calcola log (0; 8) = 0; 2231435513142::: e log (1; 2) = 0; 1823215567939::: e
ricava
log(2) = log
1; 2
0; 8
1; 2
0; 9
= 2 log (1; 2) log (0; 8) log (0; 9) = 0; 6931471805597:::;
log(10) = log
2 2
0; 8
2
= 3 log (2) log (0; 8) = 2; 3025850929933::::
Ed ancora log(9) = log(0; 9) + log(10) e log(11) = log(1; 1) + log(10), ottenendo
quindi i logaritmi dei numeri primi 2, 3, 5, 11. Similmente, calcola i
logaritmi di altri numeri primi da cui si possono dedurre con somme i logaritmi
di numeri composti. Più tardi scrive: ”Ho vergogna di confessare …no a quante
cifre ho portato avanti questi calcoli, non avendo a quel tempo nient’altro da
fare. Allora mi compiacevo troppo in queste ricerche”. Infatti dal 1665 al 1666
Newton resta a casa in campagna, perché l’università di Cambridge è chiusa per
peste.
86

Leggi di Keplero:
(1608) L’orbita di un pianeta è una
ellisse con il Sole in uno dei fuochi.
(1609) Il raggio dal Sole al pianeta
descrive aree uguali in tempi uguali.
(1619) I quadrati dei periodi di
rivoluzione sono proporzionali ai
cubi dei semiassi maggiori delle orbite.
Nei ”Principi matematici della …loso…a naturale”, pubblicati nel 1687, Newton
deduce le leggi di Keplero dalla legge di gravitazione universale. L’orbita di
un pianeta intorno al sole è ellittica con il sole in un fuoco e l’area spazzata dal
raggio vettore dal sole al pianeta è proporzionale al tempo impiegato a percorrerla.
Nel Lemma XXVIII dimostra che quest’area non è una funzione algebrica
del tempo.
”Non esiste alcuna …gura ovale la cui area, tagliata da rette tracciate a piacere,
possa in generale trovarsi mediante equazioni …nite per numero di termini
e di dimensioni. All’interno dell’ovale si prenda un punto intorno al quale,
come ad un polo, si ruoti con moto uniforme una linea retta e su questa retta un
punto mobile esca dal polo e prosegua con velocità proporzionale al quadrato della
parte di retta nell’ovale. In tal modo il punto descriverà una spirale con in…niti
avvolgimenti. Se una porzione dell’area dell’ovale tagliata dalla retta si potesse
trovare mediante un’equazione …nita, con la stessa equazione si troverebbe anche
la distanza del punto dal polo, distanza che è proporzionale all’area, e perciò
tutti i punti della spirale potrebbero essere trovati mediante un’equazione …nita.
Ma ogni retta inde…nitamente prolungata taglia la spirale in un numero in…nito
di punti e l’equazione con la quale si trova l’intersezione tra due linee esibisce le
intersezioni come radici, perciò arriva a tante dimensioni quante sono le intersezioni...
Quindi le in…nite intersezioni di una retta con una spirale richiedono
equazioni con un numero in…nito di dimensioni... Analogamente, se l’intervallo
tra il polo ed il punto che descrive la spirale è preso proporzionale al perimetro
dell’ovale tagliato, si può dimostrare che la lunghezza del perimetro non può
essere in generale esibita mediante un’equazione …nita... Di conseguenza, l’area
dell’ellisse, che è descritta mediante un raggio condotto dal fuoco verso il corpo
mobile, non può essere espressa a partire dal tempo per mezzo di un’equazione
…nita, e perciò non può essere determinata mediante la descrizione di curve
geometricamente razionali.”
Il termine trascendente fa il suo ingresso in matematica con Leibniz, che si
propone di ”svelare l’origine delle quantità trascendenti e mostrare perché certi
87

problemi non sono nè piani, nè solidi, nè più che solidi, nè di alcun grado determinato,
ma sorpassano ogni equazione algebrica”. E a proposito del lemma
di Newton, Leibniz commenta: ”L’impossibilità di integrare una generica parte
di cerchio o ellisse mi pare su¢ cientemente dimostrata, ma non ho ancora visto
una dimostrazione della non integrabilità dell’intero cerchio o di una sua parte
determinata”. Invece Huygens osserva perplesso che il risultato non si applica a
semplici curve quali un triangolo o un quadrato, o ad una curva a forma di otto
come la parabola virtuale di Gregorio di S.Vincenzo y 2 = x 2 x 4 . Infatti l’area
Z
px
sotto questa curva è data dall’integrale 2 x4dx = 1 x2 3=2 =3. Visti
i dubbi di un così autorevole esperto, e considerato che lo stesso Newton accenna
all’esistenza di controesempi, ripetiamo più in dettaglio la sua argomentazione.
Gli ovali considerati sono curve analitiche chiuse, convesse, senza punti singolari.
Se = (#) è l’equazione dell’ovale in coordinate polari, se l’angolo # è
proporzionale al tempo t e la velocità è proporzionale al quadrato del raggio ,
al tempo t il punto si trova ad una distanza dal polo proporzionale all’area spaz-
Z #
zata dal raggio che ruota attorno al polo A(#) = 1=2 2 (#)d#. Se l’ovale è
analitico, anche l’area spazzata dal raggio è una funzione analitica dell’angolo di
rotazione, ma non è una funzione algebrica dei coseni direttori del raggio. Cioè
non esiste un polinomio in tre variabili P (x; y; z) con P (cos(#); sin(#); A(#)) = 0
per ogni #. Denotiamo infatti con z1(#), z2(#), z3(#),..., zn(#) le radici di un
polinomio P (cos(#); sin(#); z) di grado n nella variabile z. Se A(#), che è una
funzione analitica, è radice del polinomio in un qualunque intervallo di valori
di #, per il principio di identità delle funzioni analitiche quest’area è radice del
polinomio per ogni valore di #. Se A(#) = z1(#) per # vicino a zero, dopo
un giro l’area aumenta di una quantità uguale all’area totale nella curva e si
trasforma in una seconda radice z2(#) diversa dalla prima, dopo due giri in una
terza radice z3(#) diversa dalle due precedenti,..., e dopo n giri si raggiunge
una contraddizione. L’argomento non si applica alla parabola virtuale di Gre-
gorio di S.Vincenzo y 2 = x 2 x 4 , che ha un punto doppio nell’origine, perché
Z
l’integrale dell’area ydx prolungato analiticamente lungo un giro di curva è
zero. Cioè, per gli ovali A(# + 2k ) = A(#) + kA con A 6= 0, per le …gure
a forma di 8 si ha invece A(# + 2k ) = A(#). Un altro esempio di curva a
cui l’argomento non si applica è la foglia di Cartesio x 3 xy + y 3 = 0, che ha
un punto doppio nell’origine e due rami che vanno all’in…nito. Intersecando la
curva con un fascio di rette per il punto doppio y = tx si ottiene la rappresentazione
parametrica (x; y) = t= t 3 + 1 ; t 2 t 3 + 1 , che permette di calcolare
algebricamente l’area,
Z Z
t
ydx =
2
t3 d
+ 1 dt
t
t 3 + 1
dt =
0
4t 3 + 1
6 (t + 1) 2 (t 2 t + 1)
Quindi, per il lemma di Newton è impossibile Z quadrare algebricamente un
p1
generico spicchio di cerchio, cioè l’integrale x2dx de…nisce una fun-
88
2 :

zione trascendente. Al contrario, come mostrato da Archimede, il volume di
un segmento sferico è una funzione algebrica della distanza tra il piano che
taglia il segmento di Zsfera
ed il centro della sfera. Infatti, questo volume
dipende dall’integrale 1 x2 dx. Anche Gregory cerca di dimostrare che
la lunghezza della circonferenza non è una funzione algebrica del raggio e nella
”Vera quadratura del cerchio e dell’iperbole” del 1667 trova un algoritmo per
calcolare in modo archimedeo l’area di un settore di ellisse o iperbole. Dati due
punti A e B su una conica di centro O, si denota con x0 l’area del triangolo
OAB e y0 l’area del quadrilatero con lati OA, OB, e le due tangenti alla conica
per A e B. Poi si de…niscono ricorsivamente
xn+1 = p xnyn; yn+1 = 2xn+1yn
xn+1 + yn
Queste medie armonico geometriche convergono all’area del settore di conica
individuato dai punti OAB ed opportune combinazioni di xn e yn aumentano
la velocità di convergenza. Nel caso di un cerchio l’area è un arco tangente
e nel caso di un’iperbole l’area è un logaritmo, uno stesso processo analitico
può generare sia funzioni trigonometriche che logaritmi. In una lettera del 15
Febbraio 1671 a John Collins (1624-1683), che gli ha fatto conoscere le ricerche
di Newton, Gregory scrive:
”Sia il raggio = r, l’arco = a, la tangente = t, la secante = s, allora
a = t
t3 t5
+
3r2 5r4 t 7
7r
6 + t9
:
etc:::
9r8 t = a + a3 2a5 17a7 3233a9
+ + + etc:::
3r2 15r4 315r6 181440r8 s = r + a2
2r
+ 5a4
24r
61a6 277a8
+ + etc:::"
3 720r5 8064r7 Il coe¢ ciente di nono grado nello sviluppo della tangente non è corretto. La
serie dell’arco tangente si trova anche in una lettera di Leibniz del 27 Agosto
1676 e in precedenti corrispondenze di questi con Huygens, ma viene pubblicata
senza dimostrazione solo nel 1682 negli ”Acta eruditorum”.
”La quadratura aritmetica del cerchio è contenuta nel seguente teorema: Essendo
il raggio unitario e t la tangente di un arco, la grandezza dell’arco sarà
t=1 t 3 =3 + t 5 =5 t 7 =7 + t 9 =9 etc. Trovati gli archi, è facile trovare gli spazi,
ed un corollario del teorema è che se il diametro e il suo quadrato sono uno, il
cerchio è 1=1 1=3 + 1=5 1=7 + 1=9 etc.”
La quadratura è aritmetica perché utilizza solo i numeri interi e le quattro
operazioni elementari. Alla formula =4 = 1 1=3 + 1=5 1=7 + ::: Leibniz
aggiunge il commento: ”Dio ama i numeri dispari”. Nel 1684 Leibniz pubblica
89

un ”Nuovo metodo per i massimi e minimi e per le tangenti, che non si arresta di
fronte a quantità frazionarie o irrazionali, ed un singolare genere di calcolo per
questi problemi”. In questa memoria si de…niscono i di¤erenziali dy e dx come
segmenti il cui rapporto dy=dx è uguale al rapporto tra ordinata e sottotangente,
cioè il coe¢ ciente angolare della retta tangente, e si enunciano le regole di calcolo
con queste quantità.
”Siano date più curve con ordinate v, w, y, z,... ed ascissa x... Preso un
segmento arbitrario dx, siano dv, dw, dy, dz,... dei segmenti che stanno a dx
come le ordinate stanno alle sottotangenti... Ciò posto, le regole del calcolo sono
queste:
Se a è una quantità costante, si ha da = 0 e dax = adx...
Somme e Sottrazioni: Se v = z y + w + x, si ha dv = dz dy + dw + dx...
Moltiplicazioni: Se y = xv, si ha dy = xdv + vdx...
Divisioni: Se z = v=y, si ha dz = ( ydv vdy) =y 2 ...
Potenze: dx a = ax a 1 dx... Radici: d bp x a = (a=b) bp x a b dx...
Poiché le ordinate v a volte crescono ed altre volte decrescono, dv è positivo
o negativo... E quando le ordinate v non crescono né decrescono ma sono
90

stazionarie, dv = 0... Se crescendo le ordinate v crescono anche gli incrementi o
di¤erenziali dv, se cioè le di¤erenze delle di¤erenze ddv sono positive, la curva
volge all’asse la sua concavità, o nel caso contrario la sua convessità... Si trova
quindi un punto di ‡esso quando ddv = 0... Dalla conoscenza di questo algoritmo,
o di questo calcolo che io chiamo di¤erenziale, si possono ricavare tutte le
altre equazioni di¤erenziali per mezzo del calcolo comune, ed ottenere i massimi
e minimi e le tangenti... La dimostrazione di tutte le regole esposte è facile per
chi è versato in questi studi. Una sola cosa non è stata …n qui enfatizzata a
su¢ cienza, cioè che si possono prendere dx, dy, dv, dw, dz proporzionali alle
di¤erenze o incrementi o diminuzioni istantanee di x, y, v, w, z,...”
Mancando una precisa convenzione sull’uso dei segni in geometria analitica,
Leibniz spiega come scegliere i ”segni ambigui in d(v=y) = ( ydv vdy) =y2 ”.
Poi prosegue trovando il minimo della funzione h p a2 + x2 q
+ k b2 + (c x) 2 ,
problema già risolto da Fermat nello studio della rifrazione della luce: ”La natura
sceglie sempre la via più breve”. In…ne Leibniz risolvere l’equazione di¤erenziale
dy=dx = y=m e dimostra che una curva con sottotangente costante è logaritmica.
Anche questo è un problema già risolto da Torricelli.
La soluzione di Leibniz del
problema di de Beaune sulla
curva con sottotangente costante.
”Si tratta di trovare una curva Y Y tale che, condotta all’asse una tangente
Y C, la sottotangente XC sia uguale ad un segmento costante a. Ora XY ,
cioè y, sta a XC, cioè a, come dy sta a dx. Se dunque dx, che si può
prendere ad arbitrio, si assume costante uguale a b, allora y = (a=b)dy,
per cui le ordinate y risultano proporzionali alle loro stesse di¤erenze o
incrementi, cioè se le x formano una progressione aritmetica, allora le y
formano una progressione geometrica. In altre parole, se y sono i numeri,
allora x sono i logaritmi, la linea è logaritmica.”
A poco a poco i rapporti tra isola e continente cominciano a guastarsi e scoppiano
delle polemiche con accuse incrociate di plagio sulla priorità dell’invenzione
del calcolo, con le parti in causa e gli amici delle parti in causa che danno il
meglio di se. Newton osserva che le serie di Gregory e Leibniz sono casi particolari
di risultati più generali di cui è in possesso:
”Io sono capace di comparare geometricamente alle sezioni coniche tutte le
91

curve con ordinate
n 1 dx
e + fxn ; :::
+ gx2n n 1 dx
p :::
e + fxn + gx2n 2n 1 dx
e + fxn ; :::
+ gx2n dxn 1pe + fxn g + hxn n 1
; ::: dx
d p e + fxn + gx2n ; :::
rx n e + fx
; :::
g + hxn qualunque sia n, intero o frazionario, positivo o negativo... Questi risultati
generano delle serie in più di un modo. Nel primo esempio, se n = 1 e f = 0
si ottiene d= e + gx 2 , da cui proviene la serie che mi è stata comunicata.
Similmente, se n = 1 e 2eg = f 2 , per la lunghezza di un quarto di cerchio con
corda uno si ottiene la serie 1 + 1=3 1=5 1=7 + 1=9 + 1=11 1=13 1=15 + :::
Comunque, queste proposizioni mi sembrano più belle che utili e tutti questi
problemi possono esser risolti con minor fatica... Per ottenere archi di cerchio,
o settori di sezioni coniche, io preferisco le serie di seni. Infatti, se si volesse
calcolare la lunghezza di un quadrante con 20 decimali per mezzo della serie
1+1=3 1=5 1=7+1=9+1=11 1=13 1=15+:::, occorrerebbero circa 5000000000
termini e sarebbero appena su¢ cienti mille anni. Il calcolo con la serie della
tangente di 45 gradi sarebbe ancora più lento. Invece, con il seno di 45 gradi
basterebbero 50 o 60 termini della serie p 1=2 (1 + 1=12 + 3=160 + 5=896 + :::)
e penso che questo calcolo dovrebbe richiedere solo tre o quattro giorni.”
Per calcolare 1 + 1=3 1=5 1=7 + 1=9 + 1=11 1=13 1=15 + ::: si può
trasformare la serie in integrale,
=
=
1 + 1=3 1=5 1=7 + 1=9 + 1=11 1=13 1=15 + :::
Z 1
0
Z 1
0
1 + x 2
1 + x 2
Z 1
x 4
1 x 4 + x 8
x 6 + x 8 + x 10
x 12
x 12 + ::: dx =
Z 1
x 14 + ::: dx
Z 1
1 + x
0
2
dx
1 + x4 1=2
=
0 1 p 1=2
dx +
2x + x2 0 1 + p dx
2x + x2 = arctan p 2x 1 + arctan p 2x + 1 = p 2 1
0 = = 2p 2 :
Nell’ultima uguaglianza si è utilizzata la formula arctan (x) + arctan (1=x) =
=2. Raggruppando i termini 1 + (1=3 1=5) (1=7 1=9) + (1=11 1=13)
::: si ottiene una serie a segni alterni con termini 1=(4k 1) 1=(4k + 1) =
2= 16k 2 1 e questi termini sono minori di 10 20 solo per k > 10 10 = p 8.
Questo sono i termini da sommare per ottenere circa 20 decimali.
Sia la serie dell’arco tangente di Leibniz e di Gregory che le serie di Newton
sono casi particolari della formula di Brook Taylor (1685-1731) apparsa nel 1715
sul ”Medodo diretto ed inverso degli incrementi”ed ancora nel 1742 sul ”Trattato
sulle ‡ussioni” di Colin MacLaurin (1698-1746),
f(x) =
+1X
n=0
f (n) (a)
(x a)
n!
n :
92

Taylor ottiene questo sviluppo in serie come limite di una formula di Gregory
e Newton sull’interpolazione di una funzione con polinomi. MacLaurin utilizza
invece il metodo dei coe¢ cienti indeterminati. Ponendo x = 0 nella serie f(x) =
a+bx+cx 2 +dx 3 +:::, si ottiene f(0) = a. Derivando, f 0 (x) = b+2cx+3dx 2 +::: e
ponendo x = 0 si ottiene poi f 0 (0) = b. E derivando ancora, f 00 (x) = 2c + 6dx +
:::, con x = 0 si ricava f 00 (0) = 2c.... Anche questa formula scatena polemiche
ed accuse di plagio con la famiglia Bernoulli. È comunque pericoloso litigare
sulla priorità delle proprie scoperte, infatti sia la serie dell’arco tangente che le
serie di altre funzioni trigonometriche compaiono in India già nel XV secolo,
attribuite a Madhava sono pubblicate da Nilakantha nel libro sanscrito in versi
”Tantrasangraha”:
”Prendi un arco circolare, con ascissa non inferiore all’ordinata. Moltiplica
l’ordinata per metà diametro e dividi per l’ascissa, questo è il primo termine.
Moltiplica questo termine per il quadrato dell’ordinata e dividi per il quadrato
dell’ascissa, questo è il secondo termine. Ripeti il processo di moltiplicare per
il quadrato dell’ordinata e dividere per il quadrato dell’ascissa. Ottieni quindi
i termini successivi che devi dividere per i numeri dispari 1, 3, 5,... Se si
sommano i termini di posto dispari e si sottraggono quelli di posto pari, quello
che si ottiene è la circonferenza.”
Di più, ci sono interessanti stime per l’errore di troncamento della serie,
= 4 1
1 1
+
3 5
1
+ :::
7
1
2n 1
E(n) ;
E(n) 1=4n; E(n) n= 4n 2 + 1 ; E(n) n 2 + 1 = 4n 3 + 5n :
Dieci termini della serie più l’ultima formula di correzione dell’errore danno
sei decimali corretti, mentre senza correzione l’errore è già al primo decimale.
Nilakantha propone anche l’approssimazione 104348=33215 con nove decimali
corretti ed altre serie, tra cui
= 3 + 4
= 16
1
3 3 3
1
1 5 + 4
1
53 1
+
5 73 7
1
35 + 12 +
1
55 + 20
1
93 + :::
9
;
1
75 + :::
+ 28
:
In…ne, Nilakantha esprime seri dubbi sulla razionalità del rapporto tra circonferenza
e diametro:
”Se il diametro, misurato in una qualche unità di misura, è commensurabile
con l’unità, allora la circonferenza non può essere misurata con la stessa
unità e viceversa, se è possibile misurare la circonferenza non si può misurare
il diametro”.
93

La serie dell’arco tangente di Nilakantha.
Iscritto un quarto di cerchio in un quadrato
di lato uno, diviso il lato in segmenti lunghi ",
e congiunti i punti di divisione al centro del
cerchio, il k-esimo arco di cerchio risulta circa
uguale a "= 1 + ("k) 2 ed un arco con tangente
x circa uguale a
x="
X
k=0
"
=
1 + ("k) 2
+1X
x=" X
( ) n " 2n+1k2n n=0k=0
+1X
n=0
( ) nx2n+1 :
2n + 1
Anche se eleganti, sia il prodotto di Wallis che la serie di Leibniz non sono
dei metodi pratici per il calcolo numerico di . Su suggerimento di Edmund
Halley (1656-1742), con la serie di arctan 1= p 3 = =6 nel 1699 Abraham
Sharp (1653-1742) calcola 71 decimali di . Nel 1706 John Machin (1680-1751)
osserva che
=4 = 4 arctan(1=5) arctan(1=239)
e con le serie di arctan(1=5) e arctan(1=239) che convergono rapidamente calcola
le prime cento cifre decimali di .
Una formula di Eulero (1738):
=4 = arctan (1=2) + arctan (1=3) :
4
1
2
1 1
+
3 23 5 25 +4
1
3
1
3 33 = 3; 142:::
Sempre nel 1706 in ”Una nuova introduzione alle matematiche” di W.Jones
viene introdotta la notazione per il rapporto tra circonferenza e diametro,
mentre la notazione e per il numero con logaritmo iperbolico uguale ad uno è del
1728 e si trova nelle ”Meditazioni su recenti esperimenti di spari di cannoni” di
Eulero. Adottate da Eulero nella ”Introduzione all’analisi dell’in…nito”, queste
notazioni divengono poi d’uso comune.
Logaritmi ed esponenziali compaiono in modo naturale in problemi di interesse
semplice o composto. Nella ”Summa de arithmetica, geometria, proportioni
et proportionalità” di Luca Pacioli (1445-1514) si trova la seguente regola:
94

”A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l’anno, in quanti anni sarà
tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre
partirai per l’interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato.
Esempio: Quando l’interesse è a 6 per 100 l’anno, dico che si parta 72 per 6;
ne viene 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.”
Con un interesse del y per cento, il tempo x in cui il capitale raddoppia
è soluzione dell’equazione esponenziale (1 + y=100) x = 2. La soluzione esatta
è x = log(2)= log(1 + y=100), ma ponendo log(1 + y=100) y=100 si ottiene
una soluzione approssimata x 100 log(2)=y. Invece di 100 log(2) = 69; 314:::
può essere comodo usare 72 che è un numero intero con molti divisori. Questo
problema riguarda il calcolo dell’interesse semplice. Nel 1690 Jakob Bernoulli
(1654-1705) pubblica la seguente questione sull’interesse composto:
”Se qualcuno presta i suoi soldi ad usura, con la condizione che il suo capitale
aumenti in ogni istante di una parte proporzionale all’interesse annuo, quanto
deve ricevere alla …ne dell’anno?”
Se x è l’interesse annuo, dopo un anno il capitale è moltiplicato per il fattore
limn!+1 (1 + x=n) n . Bernoulli non collega immediatamente
Z
questa espressione
y
dt
ai logaritmi, comunque questo limite e l’equazione x = de…niscono la
1 t
Z E(x;")
stessa funzione y. Infatti, perturbando l’equazione si ottiene x =
t
1
" 1dt, da cui ricava E(x; ") = (1 + "x) 1=" . Osserviamo che t " 1 decresce se " decresce,
quindi E(x; ") cresce. Osserviamo in…ne che, per la formula del binomio,
lim
n! 1
1 + x
n
n
= lim
nX
n(n 1):::(n k + 1)
n! 1
k!n
k=0
k x k +1X
=
k=0
Z y
dt
Quindi l’integrale di Gregorio di S.Vincenzo x = , la serie di Newton
t
1
+1X
x
k=0
k =k! e la successione di Bernoulli f(1 + x=n) n g +1
n=1
xk k!
de…niscono una stessa
funzione y = exp(x). L’interesse è proporzionale all’integrale rispetto al tempo
del capitale. Nella serie esponenziale il termine 1 rappresenta il capitale iniziale,
x l’interesse, x 2 =2 l’interesse sull’interesse,...
95

Un problema dei fratelli Bernoulli:
Trovare le traiettorie ortogonali alle
curve logaritmiche per un punto
dato e con un dato asintoto.
La famiglia di curve y = exp ( x) soddisfa l’equazione di¤erenziale
dy=dx = y log(y)=x, quindi la famiglia ortogonale soddisfa l’equazione
dy=dx = x=y log(y), con soluzioni x = p y 2 =2 y 2 ln y + C.
A partire dal 1694 Johann Bernoulli (1667-1748), fratello del precedente,
inizia ad interessarsi del calcolo esponenziale e, insieme agli esponenziali semplici
ax , studia anche funzioni più complicate del tipo (f(x)) g(x) . In particolare,
per la quadratura della curva esponenziale y = xx sviluppa in serie
xx = exp (x log(x)) = 1 x log(x) + x2 log 2 termini, ottenendo
Z 1
(x)=2 ::: ed integra per parti i vari
x
0
x dx = 1 1=2 2 + 1=3 3
1=4 4 + :::
Nel 1697, de…nita logaritmica la curva con sottotangente costante, o quella
che a successioni aritmetiche in ascissa fa corrispondere successioni geometriche
in ordinata, ne de…nisce le regole di calcolo,
log (m n ) = n log (m) ; d log (m) = dm
m ; d (mn ) = nm n 1 dm + m n log (m) dn:
Nel 1702 Bernoulli osserva che l’integrazione di funzioni razionali si può
ridurre all’integrazione di frazioni con denominatori semplice e genera solo funzioni
razionali, logaritmi, arcotangenti.
”Dato il di¤erenziale pdx : q, con p e q quantità razionali di una variabile x
ed altre costanti, se ne ricerca l’integrale o come somma algebrica o lo si riduce
alla quadratura dell’iperbole o del cerchio”
Poi osserva che un di¤erenziale che dipende dalla quadratura del cerchio si
può anche scomporre in due di¤erenziali di logaritmi immaginari,
adz
b2 1
=
+ z2 2b
adz 1 adz
+
b + iz 2b b iz :
96

Con la sostituzione z = ib (t 1) = (t + 1) il di¤erenziale adz= b 2 + z 2 si
trasforma in (ia=2b) dt=t, quindi con i numeri complessi si può esprimere l’integrale
sia come arco tangente che come logaritmo. Bernoulli comunica questa sua
scoperta dell’integrazione delle funzioni razionali a Leibniz, che risponde di
essere già a conoscenza del risultato dai tempi della sua quadratura aritmetica
del cerchio. Poi dal 1702 al 1712 Bernoulli e Leibniz si interrogano, senza
venirne a capo, della possibile esistenza di logaritmi di numeri negativi o immaginari.
Per Leibniz i logaritmi dei numeri negativi non esistono, perché un
logaritmo positivo corrisponde ad un numero maggiore di 1 ed un logaritmo
negativo ad un numero tra 0 e 1. Per Bernoulli log( x) = log(x), infatti
2 log( x) = log ( x) 2 = log x 2 = 2 log(x). Formule per i logaritmi di
numeri complessi sono pubblicate da Rogerg Cotes (1682-1716) nel 1714,
log (cos(#) + i sin(#)) = i#;
ed anche Giulio Carlo de’Toschi di Fagnano (1682-1766) nel 1719 trova le formule
2i log(i) = 2i log ((1 i) = (1 + i)) = :
Nel 1714 Cotes de…nisce esplicitamente il numero e ed utilizzando la serie
di potenze dell’esponenziale ne calcola 12 cifre decimali, poi nel 1748 Eulero ne
calcola 23. Il XVIII secolo è il secolo di Eulero, è l’autore di circa un terzo delle
pubblicazioni di matematica e meccanica del secolo ed ha una parte di primo
piano anche nella storia di e di e. Nel 1736 Eulero riesce a calcolare la somma
dei reciproci dei quadrati, poi di tutte le potenze pari,
+1X
k=1
k 2 =
2
6 ;
+1X
k=1
k 4 =
4
90 ;
+1X
k=1
k 6 =
6
945 ;
+1X
k=1
8
k 8 = ; :::
9450
Nel 1737 Eulero scopre come trasformare delle serie in frazioni continue e
97

viceversa,
A
A
B =
1 + B
;
A B
A B + C =
1 +
A
A
B
B + AC
;
B C
A B + C D =
1 +
A
A
B
AC
B +
B C + BD
C D
A B + C D + E =
1 +
A B +
A
B
AC
BD
Similmente,
1
A
1 1
+
B C
1
+ ::: =
D
B C +
C D + CE
D E
1
:
AA
A +
BB
B A +
CC
C B +
D C + :::
In particolare, le frazioni parziali dello sviluppo in frazioni continue di Lord
Brouncker coincidono con le somme parziali della serie di Gregory e Leibniz,
x
x 3
3
+ x5
5
= 1
4
x 7
7
+ x9
9
1 1
+
3 5
::: =
1 +
x
x2 3 x2 +
9x2 5 3x2 +
1 1
+
7 9
1
::: =
1
1 +
9
2 +
2 + 25
2 + :::
98
;
; :::
25x 2
7 5x 2 + :::
:
;

In modo empirico Eulero congettura lo sviluppo in frazioni continue di e,
1
e = 1 +
1
0 +
1
1 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
1
1 +
4 + 1
1 + :::
Poi, utilizzando le equazioni di¤erenziali di Riccati, trova anche lo sviluppo
di e 1=q ,
e 1=q 1
= 1 +
1
q 1 +
1
1 +
1
1 +
1
3q 1 +
1
1 +
1
1 +
5q 1 + 1
1 + :::
Da questo sviluppi segue immediatamente l’irrazionalità di e 1=q con q intero,
perché lo sviluppo in frazioni continue semplici di un numero razionale è …nito.
La regolarità di questi sviluppi contrasta con quella di = 3 + 1=(7 + 1=(15 +
1=(292 + :::))). Anche se non c’entra molto con quanto segue, osserviamo in…ne
che accanto alle frazioni continue discendenti esistono anche quelle ascendenti,
e = 2 + 1 1
+
2 2 3 +
1
1 +
+ ::: = 2 +
2 3 4
1 +
:
1 + :::
4
3
2
Con la formula di Abraham de Moivre (1667-1754) (cos(#) + i sin(#)) n =
cos(n#) + i sin(n#), Eulero dimostra che l’equazione z n = a + ib nel campo complesso
ha n radici. Se = p a 2 + b 2 e se si de…nisce # in modo da avere cos(#) =
a e sin(#) = b, allora np a + ib = np (cos ((# + 2k ) =n) + i sin ((# + 2k ) =n))
con k = 0; 1; :::; n 1. Eulero scopre che exp(x) = limn!+1 (1 + x=n) n e inversamente
log(y) = limn!+1 n y 1=n 1 . Poi intuisce che nel campo complesso
la funzione logaritmo ha in…niti valori, perché log(x) = limn!+1 n x 1=n 1 e
ci sono due radici quadrate, tre radici cubiche,.... In…ne, studiando le equazioni
di¤erenziali a coe¢ cienti costanti, nel 1743 Eulero scopre la relazione tra funzioni
esponenziali e trigonometriche e tra i numeri 0, 1, i, e, ,
exp(ix) = cos(x) + i sin(x);
exp(i ) + 1 = 0:
99
:
:

Infatti le funzioni exp(ix) e cos(x) + i sin(x) soddisfano la stessa equazione
di¤erenziale d 2 y=dx 2 +y = 0 con condizioni iniziali y(0) = 1 e y 0 (0) = i ed hanno
lo stesso sviluppo in serie 1 + ix x 2 =2 ix 3 =6 + :::. Questo risolve l’enigma
dei logaritmi di numeri complessi. Se a + ib = exp(x + iy), allora a = e x cos(y)
e b = e x sin(y), la parte reale del logaritmo x = log p a 2 + b 2 è univocamente
de…nita, mentre la parte immaginaria y = arctan(b=a) è solo de…nita a meno di
multipli di 2 , log(a + ib) = x + i(y + 2k ) con k = 0; 1; 2; :::. Le seguenti
formule si ritrovano nella ”Introduzione all’analisi dell’in…nito”:
La formula di Eulero
exp(ix) = cos(x) + i sin(x):
e x = (1 + x
i )i ;
e +vp 1 = cos :v + p 1 sin :v;
e vp 1 = cos :v p 1 sin :v;
cos :v = e+vp 1 v + e p 1
;
2
sin :v = e+vp 1 e vp 1
2 p :
1
(1 + ix=n) n ha modulo 1 + x 2 =n 2 n=2 ! 1 e argomento n arctan(x=n) ! x
se n ! +1. Quindi exp(ix) = limn!+1 (1 + ix=n) n = cos(x) + i sin(x).
La dimostrazione di Eulero è leggermente diversa. Nella formula
(cos(#) + i sin(#)) n = cos(n#) + i sin(n#), assumendo # piccolo e n
grande, con n# = x, e sostituendo cos(x=n) 1 e sin(x=n) x=n,
si ottiene cos(x) + i sin(x) (1 + ix=n) n
exp(ix).
Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) è noto per i sui studi sulle equazioni
di¤erenziali. Il …glio Vincenzo Riccati (1707-1775) nel 1757 de…nisce il coseno e
seno iperbolico,
cosh(x) =
exp(x) + exp( x)
; sinh(x) =
2
exp(x) exp( x)
:
2
Le funzioni iperboliche si possono ottenere da quelle trigonometriche per
mezzo della formula di Eulero, cosh(#) = cos(i#) e sinh(#) = i sin(i#). Come
le funzioni trigonometriche (cos(#); sin(#)) sono una parametrizzazione del cerchio
x 2 + y 2 = 1 ed il parametro # è il doppio dell’area del settore di cerchio con
100

vertici (0; 0), (1; 0), (x; y), così le funzioni iperboliche (cosh(#); sinh(#)) sono
una parametrizzazione dell’iperbole x 2 y 2 = 1 e # è il doppio dell’area del
settore d’iperbole (0; 0), (1; 0), (x; y).
Le funzioni trigonometriche
y = cos(x); y = sin(x); Le funzioni iperboliche
y = cosh(x); y = sinh(x):
Nel capitolo VIII ”Sulle quantità trascendenti che nascono dal cerchio” della
”Introduzione all’analisi dell’in…nito”, Eulero riporta le prime 127 cifre decimali
di , 112 corrette, calcolate nel 1719 da Thomas Fantet de Lagny (1660-1734).
Non rilevando alcuna periodicità in questo sviluppo, Eulero conclude: ”Se il
raggio di un cerchio, o il seno totale, è uguale a uno, è chiaro che il perimetro
di questo cerchio non si può esprimere in numeri razionali”. Poi nel 1755 scrive:
”Sembra quasi certo che il perimetro del cerchio è una così peculiare quantità
trascendente, che in nessun modo può essere comparata con altre quantità, siano
esse radici o altre quantità trascendenti”. Basandosi probabilmente sui lavori di
Eulero, ma senza citarlo, nel 1761 Johann Heinrich Lambert (1728-1777) ottiene
lo sviluppo in frazione continua della tangente dividendo gli sviluppi in serie di
seno e coseno,
sin(x)
cos(x) = x x3 =6 + x 5 =120 :::
1 x 2 =2 + x 4 =24 ::: =
=
1
=
1
x
x 2 =3 x 4 =30 :::
1 x 2 =6 + x 4 =120 :::
3
x
x2 x 2 + :::
5 x 2 =2 + :::
101
=
1
=
1
1
x
x2 =2 + x4 =24 :::
1 x2 =6 + x4 =120 :::
x
x 2
3 x 2 =2 + :::
1 x2 =10 :::
x
x2 3
x2 :::
5 + :::
1 + :::

Quindi,
tan(x) =
1
3
x
x2 5
x2 x2 7 :::
Poi dimostra che se dei razionali a=b, c=d, e=f,... sono strettamente compresi
tra 0 e 1, allora la frazione continua a c e
::: è irrazionale. Posto infatti
b d f
X = a c e
::: = a= (b Y ), se fosse X = A=B, con A < B interi, allora
b d f
Y = c e
::: = (aB bA)=A sarebbe una frazione con denominatore A < B.
d f
Iterando un numero su¢ ciente di volte si otterrebbe una contraddizione. Questi
risultati implicano il seguente.
”Tutte le volte che un arco di cerchio è commensurabile al raggio, la tangente
di questo arco è incommensurabile; reciprocamente, ogni tangente commensurabile
non è quella di un arco commensurabile.”
Cioè, se x è un razionale non nullo allora tan(x) non è razionale. Similmente,
se x è un razionale non nullo allora exp(x) non è razionale. In particolare
exp(1) = e non è razionale. Similmente, tan( =4) = 1, quindi anche non è
razionale. Ai suoi teoremi Lambert aggiunge una congettura: ”La lunghezza
dell’arco è una quantità trascendente, cioè non riconducibile a qualche quantità
razionale o radicale, e per questo non ammette alcuna costruzione geometrica”.
E c’è anche un ironico commento: ”Ho buone ragioni di dubitare che il presente
lavoro sarà letto o compreso da coloro i quali potrebbero trarne maggior pro…tto,
cioè da chi spende tempo e fatica cercando di quadrare il cerchio”.
La retti…cazione
approssimata di
una curva di
Lambert.
La lunghezza di un tratto di curva può essere approssimata dalla
somma di due terzi della base più un terzo dei lati obliqui del
triangolo formato dalla corda e dalle tangenti.
La ricerca di Lambert viene ripresa da Adrien Marie Legendre (1752-1833),
che nel 1794 dimostra anche l’irrazionalità di 2 . Ecco come queste dimostrazioni
vengono presentate nei suoi ”Elementi di geometria”. Si parte osservando che
la serie
'(z) = 1 + a
z
1 a
+
2
2 1 a
+
z (z + 1) 2 3
3
+ :::
z (z + 1) (z + 2)
102
:

veri…ca l’equazione funzionale '(z) '(z+1) = a'(z+2)= (z(z + 1)). Dividendo
questa equazione per '(z + 1) e ponendo
(z) =
a'(z + 1)
z'(z)
si ricava la frazione continua
= a
z
1 + a 1 a
+
z + 1 2
2
(z + 1) (z + 2)
1 + a 1 a
+
z 2
2
+ :::
z (z + 1)
+ :::
;
a
(z) =
z + (z + 1) =
a
a
a =
a
= :::
z +
z +
z + 1 + (z + 2)
a
z + 1 +
z + 2 + (z + 3)
Con z = 1=2, si ottiene
2a
Quindi
1 + 4a 16a2
+
2 3 2 3 4 5 +
1 + 4a
2
64a3 + :::
2 3 4 5 6 7
16a2
+
2 3 4 +
64a3 2a
=
4a
+ ::: 1 +
2 3 4 5 6 4a
3 +
5 + 4a
7 + :::
2 p a exp (2p a) exp ( 2 p a)
exp (2 p a) + exp ( 2 p a) =
In…ne, con 4a = x 2 e 4a = x 2 ,
exp (x) exp ( x)
exp (x) + exp ( x) =
tan(x) =
1
3
1 +
x
x2 4a
4a
1 +
3 + 4a
:
5 + :::
x
x2 3 + x2
5 + :::
x 2
5 :::
Se i razionali a=b, c=d, e=f,... sono strettamente compresi tra 0 e 1, allora la
frazione continua a c e
::: è irrazionale. Posto infatti X =
b d f
a c e
::: =
b d f
a= (b Y ), se fosse X = A=B, con A < B interi, allora Y = c e
::: =
d f
(aB bA)=A sarebbe una frazione con denominatore A < B. Iterando un
numero su¢ ciente di volte si otterrebbe una contraddizione, con l’eccezione
103
:
;
:

a c e
della frazione continua
::: = 1. Ovviamente la frazione
a + 1 c + 1 e + 1
continua è irrazionale anche quando a=b, c=d, e=f,... sono minori di uno solo da
un certo posto in poi. E, dopo questi preliminari, un teorema: ”Se un arco è
commensurabile con il raggio, la sua tangente è incommensurabile con il raggio”.
Infatti
m
tan(m=n) =
m
n
2
m
3n
2
:
5n :::
In particolare, da tan ( =4) = 1 si deduce che ”il rapporto tra circonferenza
e diametro è un numero irrazionale”. In…ne, da tan( ) = 0 e dallo sviluppo in
frazioni continue uguagliato a zero si ricava
0 = 3
Se fosse 2 = m=n, si avrebbe
3 =
5n
5
7
2
2
2
9 :::
m
m :
m
7n
9n :::
Quindi, ”il quadrato del rapporto tra circonferenza e diametro è un numero
irrazionale”. In…ne, anche Legendre si associa a chi esprime dubbi sulla
quadratura algebrica del cerchio:
”È probabile che il numero non sia contenuto tra le irrazionalità algebriche,
cioè non sia radice di una equazione con un numero …nito di termini
con coe¢ cienti razionali. Ma questa proposizione sembra piuttosto di¢ cile da
dimostrare rigorosamente”.
104
:

Nella ”Enciclopedia metodica” di Denis Diderot (1713-1784) e Jean le Rond
d’Alembert (1717-1783), alla voce ”Quadratura del cerchio” si legge:
”Il rapporto tra diametro e circonferenza è impossibile, perché queste due
linee sono per la loro natura intellettuale incommensurabili. La linea curva
circolare non può avere un rapporto esatto con la linea retta, per la ragione
che una è curva e l’altra è dritta, non si può applicare una misura comune
all’una ed all’altra. Una linea curva si può misurare soltanto con una curva,
una retta con una retta, un piano con un piano, un solido con un solido. Per
quanto piccola sia la misura che si utilizza per misurare prima la retta e poi la
curva, questa non potrà misurarle entrambe esattamente, la curva sarà sempre
un poco più lunga della retta. Più questa misura sarà piccola, più si avvicinerà
ad una misura comune tra le due, ma mancherà sempre qualcosa per quanto
esatta possa essere la misura. Questa è la ragione per cui ci si può avvicinare
arbitrariamente al rapporto tra diametro e circonferenza, senza però riuscire a
determinarlo esattamente.”
E viene anche presentata una curiosa pseudo dimostrazione dell’impossibilità
di quadrare un cerchio:
”Tra tutte le …gure con lo stesso perimetro, il cerchio è quella che racchiude
più super…cie... Poiché la super…cie di un cerchio è sempre più grande di
quella dei poligoni con un qual si voglia numero di lati ed uguale perimetro,
non si troverà mai un poligono con la stessa super…cie, per quanti lati possa
avere... Se lo spirito umano arriverà a trovare una …gura rettilinea con super…cie
uguale a quella del cerchio, così come si sono quadrate le lunule di Ippocrate,
105

i lati di questa …gura rettilinea saranno necessariamente incommensurabili con
la circonferenza.”
In…ne si ripropone l’argomento di Newton sull’impossibilità di quadrare una
generica porzione di cerchio:
”Se la quadratura inde…nita del cerchio fosse possibile, si avrebbe una equazione
algebrica con un numero …nito di termini tra un arco x ed il suo seno y. Questa
equazione potrebbe essere resa razionale con un numero …nito di operazioni algebriche
e conseguentemente per un dato valore di y non darebbe che un numero
…nito di valori di x. Ma per un dato seno ci sono in…niti archi.”
Il sospetto sull’impossibilità della quadratura del cerchio cresce insieme al
numero delle supposte soluzione così tanto che nel 1775 l’Accademia Reale delle
Scienze di Parigi, immediatamente imitata da altre accademie e società, si trova
costretta a rilasciare una lunga dichiarazione in proposito:
”L’Accademia ha preso quest’anno la risoluzione di non esaminare più alcuna
soluzione dei problemi della duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo, o
quadratura del cerchio, né alcuna macchina annunciata come un moto perpetuo.
Crediamo anche opportuno rendere conto dei motivi che hanno determinato
questa decisione. Il problema della duplicazione del cubo è stato celebre presso i
greci. Si dice che l’oracolo di Delo, consultato dagli ateniesi sul modo di far cessare
la peste, avesse loro prescritto di consacrare al Dio di Delo un altare doppio
di quello che si vedeva nel tempio... Il problema della trisezione dell’angolo fu
ugualmente celebre presso gli antichi, e lo si risolve con una costruzione che
richiede la descrizione di una curva di terzo grado... Siccome gli antichi consideravano
come geometriche solo le costruzioni con la linea retta ed il cerchio,
la riga ed il compasso, questo ha fatto nascere un pregiudizio che regna ancora
tra gli uomini meno illuminati. Continuano a cercare delle soluzioni geometriche
di questi problemi; gli uni, non impiegando che riga e compasso, danno
delle soluzioni errate; gli altri ne danno di vere, ma senza saperlo impiegano
delle curve e le loro soluzioni rientrano tra quelle già note... Il problema della
quadratura del cerchio è invece di un ordine di¤erente. La quadratura della
parabola trovata da Archimede, quella delle lunule di Ippocrate di Chio, danno
delle speranze di quadrare il cerchio, cioè di conoscere la misura della sua super-
…cie. Archimede ha mostrato che questo problema e quello della retti…cazione del
cerchio dipendono l’uno dall’altro, e per questo i due problemi sono stati confusi.
Non si conoscono che dei metodi approssimati per quadrare il cerchio, il primo
è dovuto ad Archimede ed un gran numero di geometri famosi ne hanno proposti
di nuovi, molto ingegnosi, molto semplici, molto comodi nella pratica. È possibile
perfezionare ancora questi metodi; l’Accademia non esclude questo genere
di ricerche. Ma quelli che si occupano della quadratura del cerchio non cercano
dei metodi di approssimazione, aspirano invece ad una soluzione rigorosa del
problema... Senza conoscere la natura e la di¢ coltà di questi problemi, i metodi
da costoro impiegati non possono condurre ad una soluzione, sempre che questa
sia possibile... Comunque, la quadratura del cerchio è il solo dei problemi ri…utati
dall’Accademia che possa dar luogo a delle ricerche utili, e se un geometra
106

la venisse a trovare, la delibera dell’Accademia non farebbe che aumentare la
sua gloria, mostrando quale opinione i geometri hanno della di¢ coltà, per non
parlare dell’insolubilità del problema.”
107

COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO:
Facciamo una digressione sulle costruzioni geometriche con riga e compasso,
iniziando dal primo e terzo dei postulati negli ”Elementi” di Euclide.
”Si può condurre una linea retta da un qualunque punto ad un qualunque
altro punto.”
”Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi distanza.”
Nel Libro VI degli ”Elementi” si spiega come moltiplicare, dividere, estrarre
radici quadre.
”Date tre rette, trovare la quarta proporzionale dopo di esse.”
”Date due rette, trovare la media proporzionale.”
Moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadre
negli ”Elementi” di Euclide.
Per risolvere l’equazione a : b = c : x,
dato un triangolo con lati a e c basta
costruirne uno simile con lati b e x.
Per risolvere l’equazione a : x = x : b
basta costruire un triangolo rettangolo
con proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
a e b ed altezza relativa all’ipotenusa x.
Il metodo di Cartesio è di trasformare le costruzioni geometriche in equazioni,
infatti l’indice del Libro I della ”Geometria” è il seguente:
108

”Problemi la cui costruzione non utilizza che linee rette e cerchi.”
”Come i calcoli dell’aritmetica si rapportano alle operazioni della geometria.”
”Come si fanno geometricamente le moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di
radici quadrate.”
”Come si possono utilizzare i numeri in geometria.”
”Come occorre arrivare a delle equazioni per risolvere i problemi...”
Con la riga e il compasso di Euclide si possono solo tracciare rette e cerchi,
che nel piano di Cartesio sono curve descritte da equazioni di primo e secondo
grado. Le intersezioni di rette e cerchi si ottengono risolvendo equazioni di
primo o secondo grado. Viceversa, le equazioni di primo o secondo grado, o
scomponibili in equazioni di primo e secondo grado, si possono risolvere intersecando
rette e cerchi. Con riga e compasso si possono costruire tutti e soli i
numeri in estensioni quadratiche iterate del campo numerico di partenza, cioè
numeri che si possono ottenere a partire dal numero uno con un numero …nito
di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadre.
Nel ”General trattato di numeri et misure” di Nicolo Tartalea (1500-1557)
”si mostra il modo di essequire con il compasso, et con la regha tutti li problemi
geometrici di Euclide et da altri philosophi, et con modi più espedienti, e
brevi di quelli dati da esso Euclide. Materia non men’ utile che necessaria à
Geometrici, Designatori, Prospettivi, Architettori, Ingenieri, et Machinatori, si
naturali, come Mathematici”. Il suo allievo Giovanni Battista Benedetti (1530-
1590) nel 1553 pubblica ”La soluzione di tutti i problemi di Euclide con un solo
cerchio di apertura data”. Georg Mohr (1640-1697) nel ”Euclide Danico” del
1672 e poi Lorenzo Mascheroni (1750-1800) nella ”Geometria del compasso”
109

del 1797 dimostrano che ogni costruzione con riga e compasso si può anche ottenere
col solo compasso. Ovviamente con un compasso non si può tracciare
una retta, ma una retta è individuata da due punti e col compasso è possibile
trovare l’intersezione di rette con rette o rette con circonferenze, se di ogni retta
si conoscono due punti. La motivazione di Mascheroni è di carattere pratico,
perché le costruzioni col compasso sono in genere più precise di quelle con la
riga. L’opera è dedicata ”a Bonaparte l’italico”, che subito provvede a publicizzarla
in Francia. Pierre Simon Laplace (1749-1827) rivolgendosi al suo ex
allievo commenta: ”Da voi generale potevamo aspettarci di tutto, salvo che delle
lezioni di matematica”.
Nella direzione opposta Jean Victor Poncelet (1788-1867) e Jakob Steiner
(1796-1863) dimostrano che, dati un cerchio col suo centro, ogni altra costruzione
con riga e compasso si può anche ottenere con la sola riga. Infatti, da un
punto di vista analitico, le quattro operazioni elementari si possono eseguire
intersecando delle rette e per calcolare la radice quadra di un dato numero a
basta intersecare la retta x = (1 a)=(1 + a) con il semicerchio y = p 1 x 2 ,
il risultato è p a = y(1 + a)=2. Con la sola riga non si può però far tutto, per
esempio non si può trovare il centro di un cerchio. Una presunta costruzione
dovrebbe consistere di un dato numero di rette due delle quali si intersecano
nel centro del cerchio. Esistono però trasformazioni proiettive che mandano
rette in rette, …ssano il cerchio ma ne muovono il centro. Quindi la costruzione
trasformata non funzionerebbe più.
La costruzione di poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 8, 10 lati è già nota ai
pitagorici e per altri poligoni sono note delle costruzioni approssimate. Per
esempio, nella ”Metrica” di Erone di Alessandria (II secolo d.C.) si danno i
rapporti esatti o approssimati tra lato e apotema dei poligoni regolari da tre a
dodici lati. In particolare, la diagonale di un quadrato è il diametro del cerchio
circoscritto, l’esagono ha lato uguale al raggio ed il decagono ha lato uguale
alla parte aurea del raggio. Poi, partendo da un poligono con n lati si può
facilmente costruire quello con 2n lati, e con n=2 lati se n è pari. Cotes e
DeMoivre mostrano che queste costruzioni si possono ricondurre alle soluzioni
110

dell’equazione ciclotomica z n = 1, con radici z = cos(2k =n) + i sin(2k =n),
e Alexandre Théophile Vandermonde (1735-1796) veri…ca …no ad n 11 che
questa equazione può essere risolta per radicali. I diari di Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) iniziano il 30 Marzo 1796 con ”I principi da cui dipende la divisione
del cerchio e la divisibilità geometrica dello stesso in diciassette parti, etc”. Nel
Giugno dello stesso anno annuncia la scoperta nella ”Gazzetta letteraria” di
Jena:
”Nuove scoperte: Ogni novizio in geometria sa che è possibile costruire geometricamente,
cioè con riga e compasso, diversi poligoni regolari, un triangolo,
un pentagono, un poligono con 15 lati, ed ogni altro poligono ottenibile a partire
da questi raddoppiando ripetutamente il numeri dei lati. Questo era già noto
ai tempi di Euclide e, a partire da allora, sembra che l’opinione comune sia
stata che il dominio della geometria elementare non sorpassasse questi limiti, o
almeno io non sono a conoscenza di tentativi riusciti di sorpassarli. Mi sembra
quindi degno di nota che, oltre a questi poligoni regolari, è possibile costruirne
molti altri, per esempio un poligono con 17 lati. Questa scoperta è essenzialmente
un mero corollario di una teoria ben più estesa, ma non ancora completa.
Una volta completata, sarà o¤erta al pubblico. C.F. Gauss, da Braunschweig,
studente a Göttingen.”
Nelle ”Disquisizioni aritmetiche”, pubblicate nel 1801, Gauss dimostra che
l’equazione ciclotomica zn = 1 è sempre risolubile per radicali. Inoltre, se
n = 2mp1p2::: con pj numeri primi distinti della forma 22k + 1, l’equazione è
risolubile con radicali quadratici. In particolare, è possibile costruire con riga
e compasso ogni poligono regolare con 2 m p1p2::: lati se i pj sono numeri primi
distinti della forma 22k + 1. In…ne, Gauss a¤erma che nessun altro poligono è
costruibile. La congettura di Fermat è che ogni numero della forma 22k + 1 sia
primo e questo è vero per k = 0, 1, 2, 3, 4, ma Eulero mostra che 225 + 1 è
composto. In particolare, i poligoni costruibili in modo elementare sono quelli
con lati 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40,... Le lunghezze dei lati
dei poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 8, 10 lati iscritti in un cerchio di raggio uno
sono rispettivamente p 3, p q
2, 5 p 5 =2, 1, p 2 p 2, p 5 1 =2. Anche
2 sin( =17) è una combinazione di radicali quadratici, quindi l’eptadecagono è
costruibile ed una costruzione esplicita che utilizza solo la geometria sintetica è
pubblicata nel 1803. Similmente, nel 1832 viene pubblicata una costruzione del
poligono regolare con 257 lati.
111

Costruzioni approssimate di un pentagono regolare.
Leonardo da Vinci.
Albrecht Dürer.
sin \BOD = 5= p 73 = 0:585:::
r p
5 5
sin ( =5) = = 0:587:::
8
\BAH = 108 o 21 0 58 00 :::
A partire dal 1714 Fagnano studia archi di curve con somme o di¤erenze determinabili
algebricamente. In particolare trova degli archi di iperbole e di ellissi
che non si riescono a misurare algebricamente ma la cui di¤erenza è algebrica.
Fagnano studia poi la lemniscata di Bernoulli x 2 + y 2 = p x 2 y 2 e questo
lo porta a considerare delle formule di addizione per integrali ellittici. Anche
Eulero, Gauss ed Abel, si interessano agli integrali ellittici ed alla divisione con
riga e compasso di archi della lemniscata. In particolare, Gauss a¤erma che la
112

sua teoria sulla divisione delle funzioni circolari si applica anche Z ad una più vasta
classe di funzioni trascendenti ”che dipendono dall’integrale dt= p 1 t4 ”. Nel
1837 Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) dimostra l’impossibilità di risolvere
una generica equazione di terzo grado con solo riga e compasso, ed in particolare
risolve in negativo il problema della duplicazione del cubo, x 3 = 2, e della
trisezione dell’angolo, sin(#) = 3 sin(#=3) 4 sin 3 (#=3). Geometricamente, la
duplicazione del cubo si ottiene intersecando le parabole x 2 = y e y 2 = 2x,
mentre la trisezione dell’angolo si ottiene intersecando la parabola y 2 = x=4
col cerchio x 2 + y 2 13=4x + 4 sin(#) = 0. Cartesio dimostra che intersecando
due coniche si possono risolvere, oltre alle equazioni di primo e secondo grado,
anche quelle di terzo e quarto, anzi, sono su¢ cienti la riga, il compasso, ed una
conica diversa dal cerchio. Eulero e poi nel 1840 Thomas Clausen (1801-1855)
scoprono due lunule quadrabili con riga e compasso che si aggiungono alle tre
trovate da Ippocrate. Dei classici problemi della matematica greca resta ancora
aperto quello della retti…cazione e quadratura del cerchio, ma almeno risulta
chiarita la natura algebrica del problema geometrico.
”Una costruzione geometrica
approssimata per ” del 1685
di A.A.Kochansky:
q
40=3 2 p 3 = 3; 14153:::
”Tracciamo le perpendicolari alle estremità del diametro di un cerchio
e costruiamo un angolo di trenta gradi con vertice nel centro e lato sul
diametro. Congiungiamo il punto di intersezione tra l’altro lato e la
perpendicolare col punto sull’altra perpendicolare che dista tre raggi
dalla base. La linea così ottenuta è un’ottima approssimazione di
metà circonferenza.”
113

La costruzione di
J. de Gelder del 1849:
355
= 3; 141592920:::
113
In una cerchio di raggio uno si traccia il diametro AOB ed il raggio
OC perpendicolare al diametro. Sul raggio si prende un segmento
OD = 7=8 e sulla retta per AD un segmento AE = 1=2. Tracciata la
perpendicolare EF al diametro, si congiunge F con D e si traccia
la parallela a DF per E. Questa parallela interseca il diametro
in un punto G con AG = 355=113 3.
114

NUMERI RAZIONALI; ALGEBRICI; TRASCENDENTI:
I numeri interi sono i numeri 0, 1, 2, 3,..., i numeri razionali sono rapporti di
numeri interi, i numeri algebrici sono le radici di equazioni algebriche a coe¢ cienti
interi, tutti gli altri numeri sono trascendenti. In particolare, un razionale
p=q è radice dell’equazione di primo grado qx p = 0 e una radice np p=q è
radice dell’equazione qx n p = 0. Le soluzioni di equazioni di primo e secondo
grado sono note …n dall’antichità. In particolare dal 2000 a.C. i sumeri ed i
babilonesi sanno trovare i lati di un rettangolo, dati il perimetro e l’area. Sanno
cioè risolvere il sistema u + v = p e u v = q, che è equivalente all’equazione
x 2 px + q = 0.
(BM 13901 XVIII secolo a.C.)
Sommo super…cie e lato del quadrato: 0.45...
x2 + x = 45=60; x = 1=2:
Sommo le super…ci di due quadrati: 21.40.
Incrocio i lati: 10...
x 2 + y 2 = 21 + 40=60;
xy = 10:
115
x = p 15;
y = p 20=3:

Il calcolo di una radice quadrata nei
”Nove capitoli dell’arte matematica”
di Liu Hui (III secolo d.C.).
Per calcolare la radice quadrata di un numero N con 2k + 1 o 2k + 2
cifre, si cerca il più grande A = a 10k con A2 N, poi il più grande
B = b 10k 1 con A2 + B2 + 2AB k N, poi il più grande C = c 10 2
con A2 + B2 + C2 p
+ 2AB + 2AC + 2BC N...
k k 1 k 2 N = a 10 + b 10 + c 10 :::
”Algebra” di Al-Khowarizmi ( 780-850):
Un quadrato e dieci sue radici sono uguali
a trentanove. Prendi metà delle radici, 5, e
moltiplica questo numero per se stesso, 25,
aggiungi a 39, il risultato è 64, prendi la
radice, 8, sottrai la metà del numero delle
radici, 5. Il risultato è 3, questa è la radice”.
Per risolvere l’equazione x 2 + 2bx = c, al quadrato x 2 e ai due rettangoli bx
si aggiunge un altro quadrato b 2 . Il risultato è un quadrato (x + b) 2 = b 2 + c.
Quindi x = p b 2 + c b.
Algebra geometrica di Omar Khayyam (1048-1131):
In un cerchio trovare un punto con rapporto tra
raggio e normale dal punto al raggio uguale al
rapporto tra i segmenti sul piede della normale.
sin (#) : 1 = (1 cos (#)) : cos (#) ;
cos 3 (#) + cos 2 (#) + cos (#) 1 = 0:
L’equazione si può risolvere intersecando
un cerchio con una iperbole.
116

Piero della Francesca Leonardo da Vinci
Formula di
Erone per
l’area A di
un triangolo
col lati d (i; j) :
Formula di
Piero della
Francesca e
Tartaglia per
il volume V di
un tetraedro
con lati d (i; j) :
4A2 2
0 d (1; 2)
=
6
4
2
d (1; 3) 2
1
d (2; 1) 2
0 d (2; 3) 2
d (3; 1)
1
2
d (3; 2) 2
3
0
7
1 5
1 1 1 0
288V 2 2
0 d (1; 2)
=
6
4
2
d (1; 3) 2
d (1; 4) 2
1
d (2; 1) 2
0 d (2; 3) 2
d (2; 4) 2
d (3; 1)
1
2
d (3; 2) 2
0 d (3; 4) 2
d (4; 1)
1
2
d (4; 2) 2
d (4; 3) 2
3
0
7
1
5
1 1 1 1 0
Nel XVI secolo ad un facoltoso mercante tedesco preoccupato per l’educazione
del …glio viene dato il seguente consiglio: ”Per imparare le somme e le sottrazioni
bastano le università francesi o tedesche, ma per andare oltre, se il ragazzo è
sveglio, è meglio l’Italia”. Nel ”Fiore”Leonardo da Pisa reinterpreta in forma algebrica
la teoria geometrica degli incommensurabili nel Libro X degli ”Elementi”
di Euclide e studia una equazione di terzo grado: ”Si trovi un certo numero cubo
che con due suoi quadrati e dieci radici sia uguale a venti”, x 3 +2x 2 +10x = 20.
Il Fibonacci dimostra che la radice positiva non è razionale, e neanche un irrazionale
quadratico. Se la radice fosse un irrazionale quadratico, x = p n,
nell’uguaglianza x x 2 + 10 = 20 2x 2 il termine a sinistra sarebbe irrazionale
e quello a destra razionale. E, non riuscendo a risolvere esattamente l’equazione,
ne calcola numericamente un’approssimazione con 10 decimali corretti,
x 1 + 22
60
+ 7
60
42 33 4 40
+ + + + :
2 603 604 605 606 Il ”Trattato d’abaco” di Piero della Francesca (1415-1492) contiene un problema
più concreto: ”Uno presta ad un altro 100000 lire per 5 anni a fare capo
d’anno; in capo de’5 anni quello gli rende, tra merito e capitale, 161051. Domando
a che ragione fu prestata la libra il mese”. È l’equazione di quinto grado
100000 (1 + x) 5 = 161051, con soluzione x = 1=10. Una lira sono 240 denari, ”E
117

a denari 2 la lira fu prestata il mese”. Nella ”Summa de Arithmetica” del 1494
Luca Pacioli denota l’incognita x ”cosa”, x 2 ”censo”, x 3 ”cubo”, x 4 ”censo de
censo”,... e ritiene ”impossibile censo de censo e censo uguale a cosa.... impossibile
censo de censo e cosa uguale a censo...”, cioè ritiene impossibile trovare
una regola generale per risolvere le equazioni ax 4 + bx 2 = cx e ax 4 + bx = cx 2 .
Questa s…da suscita l’interesse della comunità matematica italiana e nella prima
metà del XVI secolo vengono risolte sia le equazioni di terzo grado che quelle
di quarto. Il primo che risolve delle particolari equazioni cubiche ax 3 + bx = c,
”cose e cubo eguale a numero”, è Scipione dal Ferro (1465-1526), che non pubblica
la soluzione ma la comunica in punto di morte ad un suo allievo, Antonio
Maria Fior.
”Il capitolo di cose e cubo eguale a numero: Quando le cose e li cubi si
eguagliano al numero ax 3 + bx = c , ridurai la equatione a 1 cubo partendo per
la quantità delli cubi x 3 + px = q , poi cuba la terza parte delle cose (p=3) 3 ,
poi quadra la metà dil numero (q=2) 2
e questo suma con il detto cubato
(p=3) 3 + (q=2) 2 , et la radice di detta summa più la metà del numero fa un
binomio p p3 =27 + q2 =4 + q=2 et la radice cuba di tal binomio, men la radice
qpp 3
cuba del suo residuo
3 =27 + q2 =4 q=2 val la cosa”.
Cioè, la soluzione di x3 + px = q è
q
pp 3
3 =27 + q2 =4 + q=2
q
pp 3
3 =27 + q2 =4 q=2:
Avuto sentore della cosa, nel 1535 Niccolò Tartaglia (1499-1557) trova a sua
volta la soluzione. L’incredulo Fior lancia una pubblica dis…da matematica a
Tartaglia con in premio un banchetto o¤erto dal perdente al vincitore con tanti
invitati quanti i quesiti risolti. Tartaglia risolve i trenta quesiti proposti da Fior,
tutti del capitolo di cosa e cubo uguale a numero: ”Trovame uno numero che
azontoli la sua radice cuba venghi 6”. Al contrario, Fior non riesce a risolvere
i quesiti di Tartaglia che, già sazio di gloria, rinuncia al banchetto. Nel 1539,
con lusinghe e promesse di denaro, Hieronimo Cardano (1501-1576) convince
Tartaglia a rivelargli la sua scoperta con la garanzia di mantenere il segreto:
”Io vi giuro, ad sacra Dei evangelia, et da real gentil’huomo, non solamente di
non pubblicar giammai tali vostre inventioni, se me le insegnate, ma anchora
vi prometto, et impegno la fede mia da real cristiano, da notarmela in zifera,
acciocchè da poi la mia morte alcuno non la possa intendere”. Il sospettoso
Tartaglia nasconde la sua scoperta in un sonetto piuttosto criptico, che Cardano
riesce però a decifrare. Venuto poi a conoscenza delle ricerche di del Ferro,
Cardano si ritiene sciolto dal giuramento e pubblica la soluzione delle equazioni
di terzo grado nell’”Ars magna” del 1545, attribuendola a Dal Ferro ma dando
il dovuto credito anche a Tartaglia. Nel libro, ”scritto in cinque anni, possa durarne
altrettante migliaia”, compare anche la soluzione delle equazioni di quarto
118

grado attribuita al suo discepolo Ludovico Ferraro (1522-1565). Tartaglia furioso
nel vedersi imbrogliato accusa Cardano di plagio ed aggiunge una serie di
improperi: ”Poverello, huomo che tien poco sugo e di poco discorso”. Cardano
cerca di tirarsi fuori dalla polemica, ”credo... che stati uscito di cervello forsi
per il vostro troppo studiare”, ma Ferrari, un orfano che a Cardano deve ”loco
et foco”, prendendo le sue difese accusa a sua volta Tartaglia di aver plagiato
del Ferro e nel 1547 lancia una pubblica dis…da a Tartaglia, che si dichiara ben
felice di ”disputar con ambidue largamente in geometria, in arithmetica,..., astronomia,
musica, cosmogra…a,... et altre,..., ma anchora sopra le mie nuove
inventioni...”, proponendosi di ”lavarve ottimamente el capo ad ambidui in un
sol colpo, cosa che non sapria fare alcun barbier de Italia”. La dis…da in sei
cartelli, contro…rmati da testimoni ed inviati nei principali capoluoghi italiani,
dura circa due anni. Gli argomenti dibattuti sono di algebra, geometria, astronomia
e …loso…a. Alcuni dei quesiti posti dal Ferrari richiedono la soluzione
di equazioni di quarto grado.
”Trovatemi sei quantità continue proportionali che la prima e la sesta giunte
facciano 6, et la seconda e terza giunte facciano 2”.
Se le quantità sono a, ax, ax 2 , ax 3 , ax 4 , ax 5 , e se a+ax 5 = 6 e ax+ax 2 = 2,
allora 1+x 5 = 3 x + x 2 e dividendo per 1+x si ottiene x 4 x 3 +x 2 4x+1 = 0,
equazione che Tartaglia non è in grado di risolvere. In un altro dei quesiti
Ferrari chiede di scomporre 8 nella somma x + y rendendo massimo il prodotto
x y (x y), cioè trovare il massimo del polinomio di terzo grado x(8 x)(2x 8)
nell’intervallo 0 x 8. La risposta di Tartaglia è x = 4 + p 5 + 1=3.
”Fatemi di otto due tal parti, che’l prodotto dell’una nel altra moltiplicato
nella loro di¤erenza, faccia più che possibil sia, dimostrando il tutto.”
”Ve rispondo che la maggior parte fu 4 più R.(5+1/3) et la menore fu 4
men R.(5+1/3), el produtto è 10+2/3, qual moltiplicato nella di¤erentia che
è R.(21+1/3) fa R.2423+7/27, et questa è di frutto della nostra pianta con li
quali pensavati farmi guerra, ma el vi ha fallato el pensiero.”
Piegando un foglio con lati A e B lungo le linee
tratteggiate si ottiene una scatola di altezza x.
Il volume x (A 2x) (B 2x) è massimo quando
x = A + B p A2 + B2 AB
:
6
Tra i quesiti posti da Tartaglia a Ferrari, si richiedono delle costruzioni
geometriche con il terzo postulato di Euclide modi…cato: ”Sopra a qual si voglia
centro ve pare vi concedo che gli possiati designare un cerchio secondo la quantità
della data appertura di compasso, cioe proposta dal aversario, secondo che a
lui pare”. Questo dà al Ferrari l’opportunità di dimostrare tutto Euclide con
119

un compasso ad apertura …ssa, non prima di aver malignamente osservato che
questa bella invenzione di operare senza mutare l’apertura del compasso è già
nota da almeno cinquant’anni, al Dal Ferro e ad altri. In de…nitiva il Ferrari si
dimostra un osso ben più duro del Fior e la guerra si conclude senza vincitori né
vinti. Ecco la soluzione dell’equazione di terzo grado messe in versi da Tartaglia,
con tra parentesi la traduzione in formule:
”Quando chel cubo con le cose appresso
Se agguaglia à qualche numero discreto x 3 + px = q
Trovan dui altri di¤erenti in esso. (u v = q)
Da poi terrai questo per consueto
Che’l lor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto, u v = (p=3) 3
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varrà la tua cosa principale. ( 3p 3 u
p v = x)
In el secondo de cotesti atti
Quando che’l cubo restasse lui solo x3 = px + q
Tu osservarai quest’altri contratti,
Del numer farai due tal part’à volo (u + v = q)
Che l’una in l’altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo u v = (p=3) 3
Delle qual poi, per commun precetto
Torrai li lati cubi insieme gionti
Et cotal somma sarà il tuo concetto. ( 3p u + 3p v = x)
El terzo poi de questi nostri conti x3 + q = px
Se solve col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai et non con passi tardi
Nel mille cinquecente, quatro e trenta
Con fondamenti ben sald’è gagliardi
Nella città dal mar’intorno centa.”
Con questi versi di Tartaglia, Cardano ricostruisce la dimostrazione, ”quod
di¢ cillimum fuit”. Col senno di poi, cioè con il nostro simbolismo, non è così
di¢ cile. Si può partire dall’identità (a+b) 3 = 3ab (a + b)+ a 3 + b 3 . Se 3ab = p
e a 3 +b 3 = q, allora x = a+b è soluzione dell’equazione x 3 = px+q. Per trovare
a e b, basta osservare che a 3 +b 3 = q e a 3 b 3 = p 3 =27, quindi a 3 e b 3 sono soluzioni
dell’equazione di secondo grado y 2 qy + p 3 =27 = 0. In…ne, nel passare da a 3 e
b 3 a a e b, occorre ricordare che nel campo complesso le radici cubiche hanno tre
determinazioni, che danno nove determinazioni di a + b, ma dovendo richiedere
che il prodotto ab sia p=3, si ottengono tre soluzioni. Il Ferrari osserva che ogni
equazione di terzo grado t 3 + at 2 + bt + c = 0 con la sostituzione t = x a=3
perde il termine di secondo grado e prende la forma x 3 + px + q = 0. Se p 0
la funzione x 3 + px + q è crescente, mentre se p < 0 la funzione ha massimo
in x = p p=3 e minimo in x = p p=3. Inoltre, se q 2 + 4p 3 =27 < 0 nel
massimo la funzione è positiva e nel minimo negativa. Concludendo, il polinomio
120

x 3 + px + q ha un solo zero reale quando q 2 + 4p 3 =27 0 e tre zeri reali quando
q 2 + 4p 3 =27 < 0. In quest’ultimo ”casus irreducibilis”, anche se tutti e tre gli
zeri sono reali, la formula risolutiva dell’equazione contiene delle radici quadrate
di numeri negativi.
Messer Zuanne de Tonini da Coi propone a Tartaglia il seguente problema:
”Sono tre che hanno comprato L.20 di carne e tante ne ha comprate uno di
loro, che moltiplicato tal numero di lire in sè medesimo tal prodotto è uguale alla
moltiplicazione delle lire che hanno comprato gli altri due, cioè quelle dell’uno
per quelle dell’altro, e moltiplicate ancora le due minor quantità di lire l’una per
l’altra fanno precisamente 8”.
Cioè, x + y + z = 20, x x = y z, x y = 8, ed eliminando y e z si ottiene
x 4 +8x 2 +64 = 160x. La risposta di Tartaglia si fa attendere e Cardano, venuto
a conoscenza del problema, lo propone al Ferrari che lo risolve. Ecco il suo
procedimento. Data un’equazione di quarto grado,
x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0;
con la traslazione x = y a=4 si elimina il termine di terzo grado,
y 4 + py 2 + qy + r = 0:
Trasformando y 4 + py 2 in un quadrato perfetto ed aggiungendo una nuova
variabile si ottiene
y 2 + p + z 2 = (2z + p)y 2
qy + z 2 + 2pz + p 2
Ora basta scegliere z in modo da avere anche a destra un quadrato perfetto.
Per far questo basta risolvere l’equazione di terzo grado in z, la risolvente cubica
di Ferrari,
q 2
4(2z + p) z 2 + 2pz + p 2
r = 0:
Si è così ottenuta un’equazione y 2 + p + z 2 = (2z + p) (y s) 2 che è facilmente
risolubile. Un metodo alternativo per risolvere una equazione di quarto
grado, suggerito da Cartesio, consiste nello scomporre il polinomio di quarto
grado y 4 +py 2 +qy+r in due fattori di secondo grado y 2 + ay + b y 2 ay + c ,
che si ottiene risolvendo un’equazione di terzo grado in a. Comunque, le equazioni
di quarto grado sono considerate solo una curiosità perché, secondo Cardano,
”conseguito lo scioglimento delle equazioni cubiche, l’arte analitica ne ha a suf-
…cienza, perché …no al cubo vi è una graduazione in natura, essendovi linee,
super…ci e corpi,... quindi le equazioni... sopra al cubo ascendono non per loro
medesime, ma per accidente”. Nel ”Ars Magna”, insieme alle formule risolutive
delle equazioni di terzo e quarto grado, c’è anche una ”regola aurea” per la
risoluzione approssimata di equazioni che consiste nel cercare intervalli i cui estremi
siano soluzioni approssimate per difetto e per eccesso e nel trovare poi una
nuova approssimazione con una interpolazione lineare. In…ne, in questa opera
si introducono anche i numeri complessi, che Cardano considera ”una tortura
mentale” e ”tanto sottili quanto inutili”.
121
r :

”Se qualcuno ti chiede di dividere 10 in due parti, che moltiplicate una
nell’altra diano 40, è evidente che questo è impossibile, ciò nonostante operiamo...
Le parti sono 5+ p 15 e y = 5 p 15... Dimostrazione:... Eliminando
i prodotti incrociati... 5 + p 15 5 p 15 = 25 ( 15) = 40”.
”La radice quadra di 9 è sia +3 che 3, poiché più per più e meno per meno
fanno più. Pertanto la radice quadra di 9 non è +3 e nemmeno 3, ma è
qualcosa di una terza natura sconosciuta”.
Anche Bombelli ritiene che questi numeri siano ”un’idea assurda... basata
su considerazioni so…stiche”, ma nel’”Algebra” del 1572 ne stabilisce le regole
di calcolo. Lo scopo è di trasformare un’espressione p a + ib nella forma c + id,
per risolvere il caso irriducibile della formula di Cardano. Comunque questi
numeri, per Cartesio ”immaginari”, per Leibniz ”un an…bio tra l’essere ed il
non essere”, per Gauss ”complessi”, rimangono misteriosi almeno …no alla loro
interpretazione geometrica come punti del piano di Gauss, Caspar Wessel (1745-
1818), Jean Robert Argand (1768-1822).
Bombelli mostra che la costruzione di un poligono regolare con 9 lati porta a
risolvere una equazione cubica. Se 2x è il lato del poligono e p 192 il diametro del
cerchio circoscritto, allora x 3 +72 = 36x. Viète scopre una semplice relazione tra
il caso irriducibile delle equazioni di terzo grado con tre radici reali e la trisezione
dell’angolo. La sostituzione x = y a=3 trasforma l’equazione x 3 +ax 2 +bx+c =
0 in y 3 + dy + e = 0 e, se d < 0, l’ulteriore sostituzione y = p 4d=3z trasforma
l’equazione in z 3 3=4z f=4 = 0. L’equazione ha tre radici reali se e solo se jfj <
1. Per l’identità trigonometrica cos 3 (#) 3=4 cos(#) 1=4 cos(3#) = 0, posto
cos(3#) = f, si ottiene z = cos(#) = cos (arccos (f) =3). La formula cosh 3 (#)
3=4 cosh(#) 1=4 cosh(3#) = 0 permette di risolvere le equazioni di terzo grado
con una radice reale. In particolare, queste formule suggeriscono la possibilità
di risolvere problemi algebrici con metodi trascendenti. Nel 1757 Lambert trova
degli sviluppi in serie di potenze per soluzioni di equazioni trinomie z n z + t =
0 e nel 1769 Giuseppe Lodovico Lagrangia (1736-1813) trova gli sviluppi in
serie di soluzioni di equazioni z = x + y'(z). In particolare, una generica
equazione di quinto grado si può ricondurre con trasformazioni algebriche alla
122

forma z 5 z + t = 0 e lo sviluppo in serie della soluzione è
z =
+1X
k=0
5k
k
t 4k+1
4k + 1 :
Il rapporto tra i coe¢ cienti di due potenze successive di t è una funzione
razionale di k, quindi la serie de…nisce una funzione ipergeometrica generalizzata.
Anche le equazioni trinomie z n + z m + t = 0 si possono risolvere in modo
simile. Riassumendo, per risolvere le equazioni di primo grado bastano le quattro
operazioni elementari, somme sottrazioni prodotti divisioni. Le equazioni
di secondo, terzo e quarto grado si possono risolvere con le quattro operazioni
elementari più le radici, che sono le funzioni z = (t) de…nite dall’equazione
z n t = 0. Per risolvere le equazioni di quinto grado si possono utilizzare gli
iper radicali de…niti dalla funzione z = '(t) con z 5 + z + t = 0, per le equazioni
di sesto grado la funzione di due variabili z = (u; v) con z 6 + z 2 + uz + v = 0,
e così per le equazioni di grado sette, otto, nove,....
Il risolutore meccanico
di equazioni algebriche
di J.Segner (1704-1777),
nella ”Enciclopedia” di
Diderot e D’Alembert.
Peter Roth (1580-1617) nel 1608 e Albert Girard (1590-1633) nel 1629 enunciano
il teorema fondamentale dell’algebra: ”Ogni equazione di grado n ha n
radici, e nessuna di più”, ”Ogni equazione algebrica ha tante radici, quante indicate
dall’esponente più alto”. Anche nella ”Geometria” di Cartesio si trova
l’enunciato: ”Ogni equazione può avere tante radici distinte quanto la dimensione
dell’incognita... Ma alcune di queste radici possono essere false, cioè minori
di zero”. I tentativi di dimostrare questo risultato sono diversi e, anche se
non completamente rigorosa, particolarmente signi…cativa è una dimostrazione
di D’Alembert nel 1746, poi ripresa e perfezionata da Argand nel 1814. Per dimostrare
che un’equazione algebrica P (z) = 0 ha soluzioni, assumendo l’esistenza
minimo per il modulo jP (a)j, basta mostrare che se P (a) 6= 0 allora in un
qualche intorno di a esistono punti jP (z)j < jP (a)j. Se infatti P (1) (a) = ::: =
P (k 1) (a) = 0 e P (k) (a) 6= 0, allora P a + e i# = P (a)+ k e ik# P (k) (a)=k!+:::.
Se è piccolo e e ik# P (k) (a) ha direzione opposta a P (a), allora P a + e i#
risulta più vicino all’origine di P (a). Dopo aver criticato le dimostrazioni
precedenti, nella sua dissertazione di dottorato del 1797 Gauss presenta una
dimostrazione geometrica del teorema fondamentale dell’algebra, ”Una nuova
123

dimostrazione del teorema che ogni funzione algebrica razionale intera di una
variabile si può scomporre in fattori reali di primo o secondo grado”. La dimostrazione
non utilizza esplicitamente i numeri complessi, ma implicitamente
si identi…cano questi numeri con punti in un piano. Le radici del polinomio
(x + iy) n + a (x + iy) n 1 + ::: + b (x + iy) + c = A(x; y) + iB(x; y) sono intersezioni
tra le curve algebriche A(x; y) = 0 e B(x; y) = 0. La curva A(x; y) = 0
è l’intersezione della super…cie z = A(x; y) col piano z = 0 e per passare da
una regione (x; y) con A(x; y) < 0 ad una regione con A(x; y) > 0 si deve necessariamente
attraversare la curva A(x; y) = 0. I rami di questa curva non
possono terminare bruscamente ed ogni ramo che viene dall’in…nito deve essere
collegato ad un altro ramo che va all’in…nito. Altrimenti sarebbe possibile
passare da A(x; y) > 0 ad A(x; y) < 0, senza passare da zero. In coordinate
polari i rami A( cos(#); sin(#)) = n cos(n#) + ::: = 0 sono asintotici alle rette
# = (k + 1=2) =n, ed i rami B( cos(#); sin(#)) = n sin(n#) + ::: = 0 sono
asintotici a # = k =n, con k = 0; 1; :::; 2n 1. All’in…nito i rami di A(x; y) = 0
e B(x; y) = 0 si alternano, e questo non è possibile senza che al …nito si intersechino.
Oltre a questa geometrica, Gauss pubblica anche una dimostrazione
algebrica ed una analitica. Una versione sempli…cata è la seguente. Se P (z) è
un polinomio, la funzione zP 0 (z)=P (z) è armonica in ogni disco privo di zeri del
denominatore ed il valor medio nel disco risulta uguale al valore nel centro. Ma
questa funzione si annulla nell’origine e tende al grado del polinomio all’in…nito.
Quindi la funzione non può essere armonica dappertutto, cioè il denominatore
ha degli zeri.
Nelle ”Ri‡essioni sulla risoluzione algebrica delle equazioni” del 1770 Lagrange
mostra come le soluzioni delle equazioni di secondo, terzo, quarto grado,
si possano ricondurre ad un medesimo principio, che però non si applica a quelle
di quinto. Lagrange osserva che se x1; x2; :::; xn sono le radici un polinomio
P (x), e se un polinomio X (x1; x2; :::; xn) assume k valori distinti y1; y2; :::; yk
quando queste radici vengono permutate, allora ogni polinomio simmetrico in
y1; y2; :::; yk è anche simmetrico in x1; x2; :::; xn, ed i suoi coe¢ cienti sono funzioni
razionali dei coe¢ cienti P (x). In particolare, per risolvere una equazione
di grado n si possono cercare delle espressioni razionali delle radici che assumono
al più n 1 valori quando queste radici vengono permutate. Questi n 1 valori
sono poi radici di una equazione di grado n 1. Se x1 e x2 sono le radici
dell’equazione x2 + ax + b = 0, il risolvente X = (x1 x2) 2 rimane invariato
per le 2! permutazioni delle radici ed è una funzione razionale dei coe¢ cienti,
(x1 x2) 2 = (x1 + x2) 2
4x1x2 = a2 4b. Quindi, da x1 + x2 = a e
x1 x2 = p a2 4b, si possono ricavare x1 e x2. Se x1, x2, x3, sono le radici
dell’equazione x3 + ax2 + bx + c = 0, si de…nisce
X = (x1 + exp (2 i=3) x2 + exp (4 i=3) x3) 3 :
Permutando le radici nei 6 modi possibili l’espressione X prende solo 2 valori,
R = (x1 + exp (2 i=3) x2 + exp (4 i=3) x3) 3 ;
S = (x1 + exp (4 i=3) x2 + exp (2 i=3) x3) 3 :
124

Le funzioni simmetriche R + S e R S sono invarianti per permutazioni delle
radici e sono funzioni razionali dei coe¢ cienti a, b, c. Risolvendo un’equazione
di secondo grado, si possono ricavare R e S, e risolvendo il sistema con x1 +
x2 + x3 = a, si possono ricavare x1, x2, x3. Se x1, x2, x3, x4, sono le
radici dell’equazione x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, il risolvente naturale sarebbe
(x1 + ix2 x3 ix4) 4 , ma ce n’è uno più semplice. Permutando le radici nei 24
modi possibili X = (x1 + x2 x3 x4) 2 prende solo 3 valori, R = (x1 + x2 x3 x4) 2 ,
S = (x1 x2 + x3 x4) 2 , T = (x1 x2 x3 + x4) 2 . Le funzioni simmetriche
R+S+T , RS+ST +T R, RST , sono invarianti per permutazioni e sono funzioni
razionali dei coe¢ cienti dell’equazione. Risolvendo una equazione di terzo grado,
si possono ricavare R, S, T , e risolvendo il sistema con x1 + x2 + x3 + x4 = a,
si possono ricavare x1, x2, x3, x4. Permutando le radici di una equazione di
quinto grado, il risolvente di Lagrange prende sei valori distinti. Quindi, da una
equazione di quinto grado si arriva ad una di sesto. Basandosi sulle ricerche
di Lagrange, nel 1799 Paolo Ru¢ ni (1765-1822), di professione medico come
Cardano, pubblica la ”Teoria generale delle equazioni in cui si dimostra impossibile
la soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al
quarto”. Il lavoro, un po’ oscuro e con alcune lacune, è accolto con generale
sospetto, con l’eccezione di un entusiasta Cauchy. Comunque, il sorprendente
risultato è riscoperto da Abel nel 1824, che trova anche condizioni su¢ cienti per
la risolubilità con radicali di equazioni algebriche. In…ne, nel 1830 Évariste Galois
(1811-1832), enuncia delle condizioni necessarie e su¢ cienti. Un’equazione
ax n + bx n 1 + ::: + cx + d = 0 con coe¢ cienti in un campo K è risolubile con
radicali in K se e solo se è risolubile il gruppo degli automor…smi del campo
di spezzamento del polinomio che …ssano il campo base. Il gruppo di questi
automor…smi è un sottogruppo del gruppo delle permutazioni delle radici, ed
il gruppo delle permutazioni di n elementi è risolubile solo per n < 5. Nel
1854 Enrico Betti (1823-1892) trasforma delle equazioni algebriche in equazioni
di¤erenziali e mostra che le soluzioni di una equazione di quinto grado sono
funzioni ellittiche con argomento logaritmico. Anche Charles Hermite (1822-
1901) e Leopold Kronecker (1823-1891) nel 1858 risolvono le equazioni di quinto
grado utilizzando le funzioni ellittiche, poi Francesco Brioschi (1824-1897) risolve
quelle di sesto.
Leibniz a¤erma che ”il numero 2 1=p 2 è trascendente”, ed Eulero nella ”Introduzione
all’analisi dell’in…nito” scrive:
”È chiaro che non ci sono logaritmi razionali, se non di potenze della base...
Nessun numero, razionale o irrazionale, può essere il logaritmo di un numero
non potenza della base. Per questo motivo si annoverano i logaritmi tra le
quantità trascendenti.”
Sia Leibniz che Eulero non danno una precisa de…nizione del termine trascendente,
e non dimostrano le loro a¤ermazioni. Nel 1840 Joseph Liouville (1809-
1882) dimostra che la base dei logaritmi naturali non è radice di nessun polinomio
di secondo grado a coe¢ cienti interi. Poi, nel 1844, dimostra che esistono
numeri trascendenti, cioè non radici di polinomi a coe¢ cienti interi. Più precisamente,
se un numero è radice di un polinomio di grado n a coe¢ cienti interi,
125

ax n + bx n 1 + ::: + cx + d = 0, allora esiste " > 0 tale che per ogni razionale
p=q 6= x si ha jx p=qj > "=q n . Questo implica che ogni numero irrazionale
ben approssimabile con frazioni con denominatore piccolo non è algebrico. Un
esempio esplicito è
+1X
n=1
10 n! = 0; 110001000000000000000001000000:::
Si può anche ridimostrare questo risultato direttamente osservando i decimali
delle potenze di questo numero:
x = 0; 110001000000000000000001000000:::;
x 2 = 0; 012100220001000000000000220002:::;
x 3 = 0; 001331036300330001000000036300::::
I decimali non nulli di queste potenze sono con…nati in piccole isole in un
oceano di zeri, ed i decimali non nulli di x, x 2 , ..., x n 1 , sono così tanti di
meno dei decimali non nulli di x n , che nessuna combinazione di questi numeri
può annullarsi. Liouville non studia solo i numeri, ma anche le funzioni trascen-
denti. In particolare Z dimostra che le primitive di certe funzioni elementari, come
l’integrale ellittico dx= p 1 x4 Z
o la funzione errore exp x2 dx, o più in
generale le soluzioni di certe equazioni di¤erenziali, non sono composizione di
funzioni elementari.
Simplicio: ”Ora questo darsi un in…nito maggior dell’in…nito mi par concetto
da non poter esser capito in verun modo.”
Salviati: ”Queste son di quelle di¢ coltà che derivano dal discorrere che noi
facciamo col nostro intelletto …nito attorno a gl’in…niti, dandogli quegli attributi
che noi diamo alle cose …nite e terminate... Io suppongo che voi benissimo
sappiate quali sono i numeri quadrati e quali i non quadrati... Io non veggo
a che altra decisione si possa venire, che a dire, in…niti essere tutti i numeri,
in…niti i quadrati, in…nite le loro radici, nè la moltitudine dè quadrati esser
minore di quella di tutti i numeri, ne questa maggior di quella.”
Sagredo: ”Stanti le cose dette sin qui, parmi che non solamente non si
possa dire, un in…nito esser maggiore d’un altro in…nito, ma nè anco che è sia
maggiore d’un …nito.”
Dopo Galileo, anche Georg Cantor (1845-1918) si preoccupa di mettere un
po’d’ordine nelle gerarchie tra in…niti. Il punto di partenza è una caratterizzazione
degli insiemi di convergenza di serie trigonometriche, quello d’arrivo è
la teoria degli insiemi. In particolare, nel 1874 Cantor dimostra che l’insieme
dei numeri algebrici è numerabile, mentre l’insieme di tutti i numeri reali non
lo è. Non solo esistono numeri trascendenti, ma questi sono molti di più degli
algebrici. Nel 1873 Hermite dimostra che e è trascendente ma stranamente si ri-
…uta di a¤rontare : ”Non voglio neanche tentare di dimostrare la trascendenza
di ”. Invece la distanza tra e e è più breve del previsto. Dalla trascendenza
126

di e segue immediatamente la trascendenza di ep=q se p=q è un razionale non
nullo. Utilizzando le tecniche di Hermite, nel 1882 Carl Louis Ferdinand Lindemann
(1852-1939) dimostra che ex è trascendente anche quando x è algebrico:
”I logaritmi neperiani di tutti i numeri razionali, unità esclusa, e di tutti gli
irrazionali algebrici, sono numeri trascendenti”. Lindemann a¤erma anche che
se , ,..., sono numeri complessi algebrici distinti e se a, b,..., c sono numeri
complessi algebrici non nulli, allora ae + be + ::: + ce non può essere zero.
In particolare, log ( 1) = i non è algebrico e, siccome somme e prodotti di
numeri algebrici sono algebrici, anche è trascendente. Più in generale, da
eix e ix 2 sin(x) = 0 si ricava che se la corda 2 sin(x) è algebrica non nulla,
l’arco x è trascendente. Viceversa, se l’arco x è algebrico non nullo, la corda
2 sin(x) è trascendente. Estensioni e sempli…cazioni dei teoremi di Hermite e
Lindemann vengono pubblicate da Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-
1897) nel 1885, poi da David Hilbert (1862-1943) nel 1893, ed altri ancora. Sui
lavori di Cantor, Lindemann, ed in generale sulla matematica non costruttiva,
c’è un interessante commento di Kronecker: ”Dio ha creato i numeri interi,
tutto il resto è opera dell’uomo”. E poi: ”A cosa serve questa bella ricerca su
? Perché studiare queste cose se i numeri irrazionali non esistono?”. Comunque,
il teorema di Lindemann pone …ne al problema della quadratura del
cerchio, almeno quella con riga e compasso. Per il teorema di Abel Ru¢ ni,
le radici di polinomi possono essere numeri più complicati di combinazioni di
radici quadrate o cubiche. Ma è un numero ancora più complicato. Non
solo non appartiene ad estensioni quadratiche iterate del campo dei razionali,
questi sono i numeri costruibili con riga e compasso, ma neppure appartiene
ad estensioni algebriche. Il pronostico di Stifel, ”invano faticano tutti quanti si
a¤aticano in calcoli per trovare la quadratura del cerchio”, si è rivelato errato
e con il paziente contributo di generazioni di matematici si è venuti a capo del
problema. Comunque, risolto un problema ne sorgono altri.
I teoremi di Hermite e Lindemann forniscono una risposta parziale alla domanda
formulata da Leibniz a proposito del lemma XXVIII dei ”Principia
Mathematica” di Newton su una possibile relazione tra la trascendenza di una
funzione e la trascendenza dei valori assunti da tale funzione. Se gli estremi
(cos(#); sin(#)) di un segmento di cerchio x2 + y2 = 1 sono algebrici, l’area
Z 1
2
cos(#)
p 1 x 2 dx = # sin(#) cos(#) è trascendente. Nel 1886 Weierstrass di-
mostra che esistono funzioni trascendenti che prendono valori razionali nei punti
razionali ed a¤erma anche che esistono funzioni trascendenti che prendono valori
algebrici nei punti algebrici. Nel settimo dei 23 problemi presentati al congresso
internazionale dei matematici del 1900, Hilbert ripropone le intuizioni di Leibniz
ed Eulero:
”Sospetto che le funzioni trascendenti prendono in generale dei valori trascendenti
per valori algebrici dell’argomento. Benché esistano funzioni intere trascendenti
che prendono valori razionali in tutti i numeri algebrici, ritengo molto
probabile che una funzione come exp( iz), che prende valori algebrici per z
razionali, prenda valori trascendenti per z irrazionali algebrici. A questo enun-
127

ciato si può dare una veste geometrica: In un triangolo isoscele, se il rapporto
tra l’angolo al vertice e la base è un irrazionale algebrico, il rapporto tra la
base e gli altri lati è trascendente. Nonostante la semplicità dell’enunciato e
la somiglianza con i problemi risolti da Hermite e Lindemann, questo mi pare
estremamente di¢ cile da dimostrare, come mi pare di¢ cile dimostrare che se
la base è algebrica e l’esponente è algebrico irrazionale, per esempio 2 p 2 o
e = i 2i , allora è trascendente, o almeno irrazionale.”
Hilbert ritiene questo problema più ostico dell’ultimo teorema di Fermat o
dell’ipotesi di Riemann, ma è di¢ cile fare previsioni, specie riguardo al futuro.
Infatti, nel 1934 Aleksandr Osipovich Gelfond (1906-1968) e Theodor Schneider
(1911-1988) dimostrano la congettura: Se e sono numeri algebrici, con
diverso da 0 o 1 e irrazionale, allora ogni determinazione di è trascendente.
L’irrazionalità o trascendenza di tante altre costanti in matematica è ancora
un mistero. Per esempio, nel 1979 Roger Apéry (1916-1994) dimostra che
+1X
n=1
1=n 3 = 1; 202056::: è irrazionale, ma niente si sa di
+1X
n=1
Ed è ancora un mistero la costante di Eulero Mascheroni
0
1
lim
nX
@ 1=j log(n) A = 0; 577215:::
n!+1
j=1
128
1=n 5 = 1; 036927:::.

EQUISCOMPONIBILITA E DECOMPOSIZIONI PARADOSSALI:
Il teorema di Pitagora
con l’equiscomponibilità
e l’equicompletamento.
Scrive Plutarco:
”Date due …gure, costruirne una terza con area uguale alla prima e simile
alla seconda. Pitagora ha o¤erto un sacri…cio per la scoperta di questo teorema,
che è più ra¢ nato ed elegante di quello che prova che il quadrato sull’ipotenusa
è uguale a quelli sui lati che racchiudono l’angolo retto”.
Il risultato è anche riportato da Euclide:
”Proposta una linea retta, sopra quella puotemo designare una super…cie de
lati equidistanti, in uno angolo dato, & che essa super…cie sia equale à uno
triangolo assignato”.
Nel 1832 Farkas Bolyai (1775-1856) pubblica un saggio in cui, tra l’altro, dimostra
che poligoni con area uguale sono equiscomponibili, cioè decomponibili
in un numero …nito di pezzi poligonali a due a due uguali. L’equiscomponibilità
è una relazione di equivalenza, un poligono è decomponibile in triangoli, un triangolo
è equiscomponibile con un rettangolo e rettangoli con area uguale sono
equiscomponibili. In appendice al saggio del padre, János Bolyai (1802-1860)
pubblica le sue ricerche sul postulato delle parallele, introduce una geometria
non euclidea e dimostra che in questa geometria la quadratura del cerchio è a
volte possibile. Nella geometria iperbolica la lunghezza di una circonferenza
di raggio R è 2 k sinh(R=k) e l’area k 2 sinh 2 (R=2k), mentre nella geometria
ellittica la lunghezza di una circonferenza di raggio R è 2 k sin(R=k) e
l’area 4 k 2 sin 2 (R=2k), la costante k 2 è la curvatura gaussiana. In geometria
euclidea un quadrato e un cerchio hanno la stessa area se il rapporto tra lato
del quadrato e raggio del cerchio è p . In geometria non euclidea i rapporti
tra lati e raggi di quadrati e cerchi di area uguale non sono costanti. Se per
esempio questo rapporto è un intero, la quadratura del cerchio diventa possibile.
Il rovescio della medaglia è che altre semplici costruzioni euclidee risultano
impossibili.
129

La geometria
non euclidea
iperbolica di
H.Poincaré
e M.Escher.
Torniamo allo spazio euclideo. Per comparare i volumi di poliedri è su¢ ciente
l’equiscomponibilità o è necessaria l’esaustione? Due tetraedri con stessa area di
base e stessa altezza sono equiscomponibili? Questo problema di Gauss è il terzo
dei 23 problemi presentati al congresso internazionale dei matematici del 1900
da Hilbert ed il primo ad essere risolto. Nel 1896 Raoul Bricard (1870-1944)
pubblica una dimostrazione sbagliata di un enunciato poi rivelatosi corretto: Se
due poliedri A e B con angoli diedri 1; :::; r e 1; :::; s sono equidecomponibili,
allora esistono interi positivi m1; :::; mr e n1; :::; ns e un intero p tali che m1 1 +
::: + mr r = n1 1 + ::: + ns s + p . Nel 1902 Max Dehn (1878-1952) dimostra
che per l’equiscomponibilità, oltre all’uguaglianza dei volumi occorrono anche
condizioni sulla lunghezza degli spigoli e sugli angoli tra le facce. L’idea è di
de…nire un funzionale additivo sull’insieme dei poliedri con (A) = (B) se A
e B sono congruenti e (C [ D) = (C) + (D) se C e D sono disgiunti. Un
tale funzionale assume uguale valore su poliedri equiscomponibili e, viceversa,
se il funzionale assume valori diversi i poliedri non sono equiscomponibili. Ad
un poliedro P con spigoli di lunghezza ed angoli tra le facce si associa
(P ) = P
, tensore in R Q (R= Q). Per esempio, se Q è un cubo,
(Q) = 8 =2 = 0, mentre se T è un tetraedro regolare, (T ) = 6
arccos (1=3) 6= 0, perché arccos (1=n) non è commensurabile con per ogni
intero n > 2. Viceversa, due poliedri con lo stesso volume e lo stesso invariante
di Dehn sono equiscomponibili. In particolare, un tetraedro e un cubo non sono
scomponibili in parti uguali.
Per scomporre un rettangolo
con lati x e y in quadrati, basta
sviluppare x=y in frazioni continue.
130

M.Dehn: Un rettangolo è quadrabile se e solo se ha lati commensurabili.
Per ogni rettangolo R con lati x e y si
de…nisce (R) = ' (x) ' (y) , con ' (x)
funzionale Q lineare su R. Se a e b sono
incommensurabili, esiste un funzionale con
' (a) = +1 e ' (b) = 1. Se un rettangolo
ha lati a e b, (R) = 1 < 0. Ma se un
rettangolo è scomponibile in quadrati,
(R) = ([Qj) = X ' (sj) 2
0:
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) nella memoria ”Sulla possibilità
di rappresentare una funzione per mezzo di una serie trigonometrica” del
1854 de…nisce l’integrale che porta il suo nome, e nel 1902 Henri Léon Lebesgue
(1875-1941) pubblica una più so…sticata teoria della misura e dell’integrazione.
Nel 1905 Giuseppe Vitali (1875-1932), costruendo un insieme non misurabile,
mostra che non esistono misure numerabilmente additive invarianti per traslazioni
de…nite su ogni sottoinsieme della retta. Poi, nel 1914 Felix Hausdor¤ (1868-
1942) mostra che non esistono misure …nitamente additive invarianti per rotazioni
de…nite su tutti i sottoinsiemi di una sfera.
Il grafo di Cayley di un gruppo libero
con due generatori f ; g . Se I è l’origine
e G ( ) il ramo che inizia con ,
G = I [ G ( ) [ G 1 [ G ( ) [ G 1
= G ( ) [ G 1 = G ( ) [ G 1 :
Due generiche rotazioni f ; g generano un sottogruppo libero del gruppo
delle rotazioni e questo gruppo libero ha delle decomposizioni paradossali. Se
I è l’identità e G ( ) sono le parole che iniziano con , allora G = I [ G ( ) [
G 1 [G ( )[G 1 , ma anche G = G ( )[ G 1 = G ( )[ G 1 .
Si può quindi decomporre il gruppo in cinque parti, con due di queste parti si
può ricostruire una copia del gruppo e con altre due parti un’altra copia. A
questa decomposizione paradossale del gruppo è associata una decomposizione
paradossale dello spazio. Sia S = fjxj = 1g la sfera di raggio uno con centro
nell’origine. Sia P l’insieme dei punti di S che restano …ssi per qualche rotazione
in G, cioè gli assi delle rotazioni. In…ne, sia Q un dominio fondamentale per
l’azione del gruppo G sullo spazio S P , cioè Q contenga uno ed un solo punto
131

di ogni orbita Gx con x in S P . Per costruire Q occorre scegliere un rappresentante
in ogni orbita, bisogna quindi utilizzare l’assioma della scelta. Si
1 1 ha S P = GQ = Q [ G ( ) Q [ G Q [ G ( ) Q [ G Q, ma an-
1 1 che GQ = G ( ) Q [ G Q = G ( ) Q [ G Q. Essendo le unioni
disgiunte, segue l’impossibilità di assegnare delle misure …nite non nulle ed in-
1 1 varianti per rotazioni agli insiemi G Q e G Q. Nel 1924 Stefan
Banach (1892-1945) e Alfred Tarsky (1902-1983) mostrano che due qualsiasi
insiemi di punti nello spazio limitati e con punti interni possono essere decomposti
in un numero …nito di insiemi congruenti. Per esempio, si può dividere
una sfera in cinque pezzi e con questi ricomporre due sfere uguali a quella di
partenza, si può dividere un pisello in tanti pezzi e con questi ricostruire il Sole
con tutti i suoi pianeti. Come in Vitali ed Hausdor¤, la dimostrazione utilizza
l’assioma della scelta ed il paradosso si spiega con il fatto che le parti in cui
si decompongono gli insiemi non sono misurabili. Banach osserva anche che,
contrariamente al caso dello spazio, sulla retta e nel piano è possibile de…nire
delle misure …nitamente additive su tutti gli insiemi limitati, che estendono la
misura classica ed assegnano la stessa misura a insiemi congruenti. L’idea è la
seguente. Nell’insieme di tutte le funzioni limitate e periodiche di periodo uno in
1 < x < +1 si de…nisce una relazione di equivalenza ponendo f(x) g(x) se
nX
(f (x + aj) g (x + aj)) < "
per ogni " > 0 esistono a1; :::; an tali che n 1
per ogni x. L’insieme delle classi di equivalenza de…nisce lo spazio vettoriale
delle iperfunzioni. Il funzionale che associa ad una funzione f(x) integrabile
j=1
secondo Riemann o secondo Lebesgue il suo integrale
Z 1
0
f(y)dy è lineare, pos-
itivo, invariante per traslazioni. Con un processo di induzione trans…nita, si
può estendere il funzionale dal sottospazio delle funzioni integrabili allo spazio
di tutte le iperfunzioni e, poiché f(x) f(x + a), l’estensione è invariante per
traslazioni. In…ne, il valore del funzionale sulle funzioni indicatrici di sottoinsiemi
di numeri reali de…nisce una misura …nitamente additiva ed invariante
per traslazioni. Queste misure invarianti sono incompatibili con le decomposizioni
paradossali. John von Neumann (1903-1957) scopre che la di¤erenza tra
le varie dimensioni è legata alla struttura dei rispettivi gruppi di trasformazioni.
In particolare, se le trasformazioni contengono un gruppo libero, allora ci sono
decomposizioni paradossali.
Móricz Réthy (1846-1925) nel 1890 dimostra l’impossibilità di decomporre un
cerchio ed un quadrato della stessa area in un numero …nito di regioni uguali,
anche se queste hanno bordi curvi. L’idea è semplice. Per ogni punto sul
bordo di un dominio A si de…nisce una funzione (x) che vale +1 se in x il
bordo è convesso, 1 se è concavo, 0 se èZ piatto. L’integrale di questa funzione
sul bordo de…nisce una misura (A) = (x)ds invariante per traslazioni e
rotazioni e tale che se A e B sono equiscomponibili allora (A) = (B). Per
un disco di raggio R si ha (D) = 2 R e per un quadrato si ha (Q) = 0,
quindi cerchio e quadrato non sono equiscomponibili. Questa dimostrazione
132
@A

si estende anche a più dimensioni, ma vale solo per decomposizioni in domini
con bordo retti…cabile. Nel 1990 Miklós Laczkovich dimostra che un cerchio
ed un quadrato della stessa area, o più in generale due …gure con la stessa
area delimitate da curve abbastanza lisce, sono equiscomponibili in un numero
…nito di parti congruenti, ma questi insiemi di punti sono molto irregolari. Con
l’in…nito tutto è più semplice. Ad ogni coppia di insiemi con la stessa misura di
Lebesgue si possono sottrarre degli insiemi di misura nulla tali che gli insiemi
restanti sono equiscomponibili in una in…nità numerabile di pezzi. In…ne, c’è
chi commenta che sono meglio i paradossi dei pregiudizi.
133

Abaco romano
Calcolatrice di Leonardo
MORBO DECIMALE:
Margarita Philosophica 1503
Torniamo ora ad occuparci dei decimali di e e , iniziando con delle curiosità.
2e 3 + e 8 1=7 di¤erisce da per meno di 10 3 , mentre 4 + 5 1=6
di¤erisce da e per meno di 10 7 . Indicando con = 1 + p 5 =2 la sezione
aurea, si ha 2 + 1=10 = 2; 7180::: e 6 2 =5 = 3; 1416:::. Non è di¢ cile ottenere
delle buone approssimazioni razionali di e a partire dallo sviluppo in
frazioni continue o dalla serie dell’esponenziale. Consideriamo ora le approssimazioni
di . Le approssimazioni razionali di Archimede 22=7 = 3; 142::: e di
Metius 355=113 = 3; 14159292::: sono le migliori approssimazioni con frazioni
di denominatore minore di 57 e di 16604, la migliore approssimazione successiva
è solo 52163=16604 = 3; 14159238:::. Partendo dallo sviluppo decimale
di e dall’approssimazione di Archimede 22/7, il giovane Gauss risolve
l’equazione = (22=7) = (x + 1)=x, x = 2485; 4:::, e trova l’approssimazione
(22=7) (2484=2485). Iterando poi il procedimento, trova l’approssimazione con
13 decimali corretti (22=7) (2484=2485) (12983009=12983008). In modo simile,
ma partendo dall’approssimazione 355/113, Srinivasa Ramanujan (1887-1920)
trova che (1 3=35330000) (355=113) è maggiore di di circa 10 15 . Una semplice
approssimazione algebrica è p 10 = 3; 162:::, la migliore approssimazione
di con la radice quadrata di un intero. Passando da una a due radici troviamo
p 2 + p 3 = 3; 146:::. Questa approssimazione, attribuita a Platone, è la media
aritmetica dei perimetri del quadrato inscritto e dell’esagono circoscritto ad una
circonferenza di diametro uno. Altre buone approssimazioni sono p 146 13=50 =
134

q
3; 141591:::,
40 6 p 3 =3 = 3; 14153:::,
Hardy: ”Il numero del mio
taxi è piuttosto stupido: 1729”.
Ramanujan: ”No! È molto
interessante. È il più piccolo
numero scomponibile in somma
di due cubi in due modi diversi:
1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 :
q
7 + p 6 + p 5 = 3; 14163:::.
La dea Namagiri comunica in sogno a Ramanujan il vero valore di
alle seguenti approssimazioni:
, insieme
19p
7 = 3; 1418:::;
16
99 7
80 7 3
p !
7 3
1 + = 3; 1416:::;
3 5
p = 3; 1415927:::;
2
63 17 + 15
25
p 5
7 + 15 p 9
5
!
= 3; 1415926538:::;
5
+
r
9
= 3; 1416:::;
5
r
4 2143
= 3; 141592652::::
22
E la dea suggerisce anche le approssimazioni 3 log (5280) = p 67 con 8 decimali
corretti, 3 log (640320) = p 163 con 15 decimali corretti, e l’approssimazione con
31 decimali
0
4
p log @ 5
522 p 29 + 11 p 5 +
6
p ! 3 p p p p ! 1
6
29 9 + 3 6 + 5 + 3 6
p A :
2
2
135

Le serie di Ramanujan o¤rono un e¢ ciente metodo per il calcolo di ,
1 1
=
16
p
1 8
=
9801
n=0
+1X
2n
n
3
42n + 5
;
212n n=0
+1X (4n)!(1103 + 26390n)
(n!) 4 (396) 4n :
I termini della prima serie hanno un ordine di grandezza di 2 6n . La seconda
serie converge ancora più velocemente, i termini hanno un ordine di grandezza
di (99) 4n , il primo termine dà già le prime cinque cifre decimali di ed ogni
termine successivo ne aggiunge circa otto.
Nei diari del giovane Gauss compaiono delle medie aritmetico geometriche.
Dati 0 x0 < y0, si de…niscono le medie aritmetiche xn+1 = (xn + yn) =2 e
geometriche yn+1 = p xn+1yn. Allora xn < xn+1 < yn+1 < yn e
q
y 2 n+1
x 2 n+1 =
s
xn + yn
yn
arccos (xn+1=yn+1) = arccos
2
2 p
xn + yn y2 n x
=
2
2 n
;
2
r !
1 + (xn=yn)
=
2
arccos (xn=yn)
:
2
L’ultima uguaglianza segue dall’identità cos (z=2) = p (1 + cos (z)) =2. Da
queste formule segue che la quantità p y 2 x 2 = arccos (x=y) si conserva,
q
y2 n+1 x2 n+1
arccos (xn+1=yn+1) =
Ma lim fxn=yng = 1 e lim
Quindi,
8
<
lim fxng = lim fyng = lim
p y 2 n
p y 2 0
x2 n
arccos (xn=yn) =
x2 0
arccos (x0=y0) :
q
1 (xn+1=yn+1) 2 = arccos (xn+1=yn+1) = 1.
: yn
q
1 (xn=yn) 2
9
=
arccos (xn=yn) ; =
p y 2 0
x 2 0
arccos (x0=y0) :
In…ne, da p y2 n x2 n = 2 npy2 0 x2 0 si ricava la velocità di convergenza
yn xn = 4 n y 2 0 x 2 0 = (yn + xn) < 4 n (y0 x0) :
Per esempio, se x0 = 0 e y0 = 1=2, si ha lim fxng = lim fyng = 3= (2 ). Un
altro e¢ ciente algoritmo per il calcolo di con le medie aritmetico geometriche
di Gauss è dovuto a Richard Brent e Eugene Salamin. Dati 0 x0 < y0, si
de…niscono ricorsivamente xn+1 = (xn + yn) =2 e yn+1 = p xnyn. Queste successioni
convergono velocemente ad uno stesso limite AGM(x0; y0). In particolare,
136

partendo da x0 = 1= p 2 e y0 = 1, si ottiene
4y 2 1
1 4 (y2 1 x2 4y
1 2 2
1 4 (y2 1 x2 1 ) 8 (y2 2 x2 4y
2 2 3
) = 3; 187672642:::;
1 4 (y 2 1 x 2 1 ) 8 (y2 2 x 2 2 ) 16 (y2 3 x 2 3
= lim
n!+1
1
nX
k=1
4y 2 n
2 k+1 (y 2 k
x 2 k )
) = 3; 141680294:::;
) = 3:141592646:::;
= 4 AGM(1=p 2; 1) 2
1
+1X
2k+1 (y2 k
Per il calcolo di sono state molto utilizzate formule di addizione per
l’arcotangente del tipo Machin = 16 arctan(1=5) 4 arctan(1=239) insieme
allo sviluppo di Taylor arctan(x) = x x 3 =3 + x 5 =5 :::. Con carta e penna si
è arrivati a calcolare 707 cifre decimali di e con calcolatrici meccaniche 1120
decimali. Su suggerimento di John von Neumann (1903-1957) nel Luglio del
1949 ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer, 18000 valvole
termoioniche, 1500 relè, 200 kw) calcola in 20 ore 2010 cifre decimali di e utilizzando
la serie dei reciproci dei fattoriali. Poi, nel Settembre del 1949 ENIAC
calcola in 70 ore 2035 cifre decimali di utilizzando la formula di Machin. Nei
cinquant’anni successivi al primo calcolatore elettronico le cifre decimali di
conosciute sono raddoppiate ogni due anni. Nel 1973 Martine Bouyer e Jean
Guilloud, con una formula tipo Machin, infrangono il muro del milione di cifre e
nel 1989 i fratelli David e Gregory Chudnovsky, con una formula tipo Ramanu-
jan, quello del miliardo,
=
k=1
+1X
n (6n)!(13591409 + 545140134n)
12 ( )
n=0
(3n)!(n!) 3 (640320) 3n+3=2
! 1
Il XX secolo si chiude con un record di Patrick Demichel, più di un miliardo
di decimali di e, ed un analogo record di Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi,
più di 206 miliardi di decimali di con le medie aritmetico geometriche di Gauss.
In…ne, il XXI secolo si apre con un nuovo record del team di Kanada, in 600 ore
più di mille miliardi di cifre esadecimali di , convertite in più di 1200 miliardi
di decimali, calcolati e controllati utilizzando due formule di tipo Machin,
= 48 arctan
= 176 arctan
1
49
1
57
+ 128 arctan
+ 28 arctan
1
57
1
239
20 arctan
48 arctan
1
239
1
682
x 2 k )
:
:
+ 48 arctan
+ 92 arctan
1
110443
1
12943
Con un programma di calcolo formale nel 1995 David Bailey, Peter Borwein,
e Simon Plou¤e trovano che
=
+1X
n=0
1
16n 4
8n + 1
2
8n + 4
137
1
8n + 5
1
8n + 6
:
;
:

Per veri…care l’identità basta osservare che
+1X
16 n (8n + k) 1 +1X
=
n=0
n=0
2 k=2
Z 2 1=2
0
x 8n+k 1 dx = 2 k=2
Z 2
1=2
0
k 1 x
dx;
1 x8 poi calcolare gli integrali. Con questa formula è possibile calcolare una singola
cifra binaria o esadecimale di senza bisogno di tutte le precedenti. Nel 1996
Plou¤e ottiene un algoritmo per calcolare le cifre di in una base arbitraria in
un tempo O(n 3 log 3 (n)) e nel 1997 Fabrice Bellard migliora il tempo a O(n 2 ).
Il calcolo di diventa quasi un test per misurare l’a¢ dabilità dei calcolatori e
l’e¢ cienza degli algoritmi di calcolo. I decimali di sono anche sottoposti a
svariati test statistici e sembra emergere un paradosso: questo numero è perfettamente
deterministico, ma le sue cifre decimali appaiono del tutto aleatorie. In
si possono cercare le date di nascita di parenti e amici, per esempio, la data
22 11 1995 compare a partire dal 5357329-esimo decimale, la data 04 09 1989
compare a partire dal 59509146-esimo decimale, la data 12 09 1986 compare a
partire dal 91237138-esimo decimale.
A questo punto può essersi generata l’impressione che, utilizzando solo le
quattro operazioni elementari e magari le estrazioni di radici, è piuttosto semplice
calcolare miliardi di decimali di , di e, o di altri numeri. Per suggerire che
non è proprio così, accenniamo a problemi di complessità computazionale che
mostrano come alcuni algoritmi di calcolo tradizionali non hanno necessariamente
una e¢ cienza ottimale. Le somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni,
con numeri piccoli non costituiscono un problema, ma con numeri grandi le cose
si complicano. Per sommare o sottrarre due numeri si sommano o sottraggono
le cifre di un numero a quelle dell’altro e si eseguono dei riporti. Sommare o
sottrarre due numeri di n cifre richiede circa n operazioni elementari, e non si
può sperare di meglio. La moltiplicazione è più complicata, si deve moltiplicare
ogni cifra di un numero per tutte le cifre dell’altro e poi sommare i risultati. In
de…nitiva la moltiplicazione di due numeri di n cifre richiede circa n 2 operazioni
elementari. Osserviamo le formule
(10 n a + b) (10 n c + d) = 10 2n ac + 10 n (ad + bc) + bd;
(10 n a + b) (10 n c + d) = 10 2n ac + 10 n ((a b)(d c) + ac + bd) + bd:
La prima formula è quella che corrisponde all’algoritmo di moltiplicazione
tradizionale, sembra più naturale e richiede il calcolo di tre somme e quattro
moltiplicazioni, ac, ad, bc, bd. Con questo algoritmo di moltiplicazione raddoppiando
le cifre si quadruplicano le operazioni. La seconda formula sembra
più complicata perché richiede sei somme o sottrazioni ma solo tre moltiplicazioni,
ac, bd, (a b)(d c). Con questo algoritmo raddoppiando le cifre si
triplicano le operazioni, la moltiplicazione di due numeri di n cifre richiede circa
n log 2 (3) operazioni elementari. Si può fare di meglio, cn log(n), ma gli algoritmi
si complicano.
Dei metodi e¢ cienti per dividere o estrarre radici sono basati sul metodo
delle tangenti di Newton per calcolare gli zeri di una funzione. Per trovare gli zeri
138

di una funzione y = f(x) si parte da una approssimazione a dello zero cercato e si
sviluppa in serie y = f(a)+f 0 (a)(x a)+:::. Si risolve poi l’equazione linearizzata
f(a) + f 0 (a)(x a) = 0, con la speranza che la soluzione x = a f(a)=f 0 (a)
di questa equazione sia una migliore approssimazione della vera soluzione. Di
fatto se x0 è abbastanza vicino alla soluzione di f(x) = 0 e se f 0 (x) 6= 0, le
iterate xn+1 = xn f(xn)=f 0 (xn) convergono quadraticamente alla soluzione,
jxn+1 xj c jxn xj 2 , perché nello sviluppo in serie si trascurano i termini
quadrati. Più precisamente,
xn+1 x = (xn f(xn)=f 0 (xn)) (x f(x)=f 0 (x))
= f (y) f 00 (y)=f 0 (y) 2
(xn x) ;
con y compreso tra x e xn. Se f(x) = 0, allora jf (y)j c jxn xj e quindi
jxn+1 xj c jxn xj 2 . Grosso modo ogni iterazione raddoppia il numero di
decimali corretti. Per il calcolo degli inversi il metodo di Newton applicato
all’equazione y 1=x = 0 fornisce le iterazioni xn+1 = xn (2 yxn). Queste
iterazioni si calcolano solo con somme e moltiplicazioni e convergono velocemente
a 1=y, quindi si possono ridurre le divisioni a delle moltiplicazioni. Similmente
il metodo di Newton applicato all’equazione x 2 y = 0 fornisce le
iterazioni xn+1 = (xn + y=xn) =2 e coincide con il metodo di Erone per il calcolo
di p y. È anche possibile calcolare le radici quadre senza utilizzare divisioni.
Dall’equazione x 2 y = 0 si ricavano le iterazioni xn+1 = xn 3 x 2 ny =2 che
convergono a y 1=2 e con un’ultima moltiplicazione si ottiene y y 1=2 = p y.
Osserviamo che oltre a somme e moltilicazioni si sono utilizzate solo divisioni
per 2, che in base 2 sono uno spostamento delle cifre. Ci sono algoritmi per
radici di ogni indice. Per esempio, le iterazioni xn+1 = xn 3 x 3 ny 2 =2 convergono
a y 2=3 e con una moltiplicazione per y si ottiene 3p y. Il risultato è
che il calcolo di 1=y o di p y con una precisione di n cifre ha essenzialmente
la stessa complessità computazionale della moltiplicazione di due numeri con n
cifre. In de…nitiva, calcolare n decimali di non è troppo più complicato che
moltiplicare due numeri di n cifre. Ma è così banale moltiplicare numeri con
miliardi di cifre?
Concludiamo con un curioso metodo per calcolare . Il frattale di Benoît
Mandelbrot (1924-2010) è l’insieme dei parametri complessi c tali che l’orbita
del punto 0 rispetto alla trasformazione z 2 + c è limitata, z(0) = 0 e z(n + 1) =
z(n) 2 +c. Di fatto, un punto c è nell’insieme di Mandelbrot se e solo se z(n) 2
per ogni n. Per esempio, c = 3=4 appartiene all’insieme, ma c = 3=4+i" con
" 6= 0 non è nell’insieme. Calcolando il numero di iterate necessarie per avere
z(n) > 2, si ha una sorpresa: lim f" Iterazionig = .
139

L’insieme di Mandelbrot
sono i punti c con orbita
fz(n)g limitata: z(0) = 0
e z(n + 1) = z(n) 2 + c:
" Iterazioni
1 3
0; 1 33
0; 01 315
0; 001 3143
0; 0001 31417
0; 00001 314160
0; 000001 3141593
::: :::
140

MORBO CICLOMETRICO:
Delle più importanti costanti …siche non si conoscono che poche cifre decimali.
Della più importante costante matematica si conoscono miliardi di cifre e
di tanto in tanto compare qualcuno che crede di aver …nalmente trovato l’ultima.
Abbiamo accennato a quadrature errate di persone competenti come Nicola da
Cusa o Gregorio di San Vincenzo, ma ci sono molti altri esempi più o meno
famosi.
Folgorato dalla lettura di Euclide, il …losofo Thomas Hobbes (1588-1679)
pubblica a partire dal 1655 una dozzina di soluzioni della quadratura del cerchio
con diversi valori per , 3 + 1=5, p 10,... e nel 1669 a¤ronta anche la
duplicazione del cubo, ”Quadratura circuli, cubatio sphaerae, duplicatio cubi
breviter demonstrata”. Wallis, ”homo homini lupus”, dà allora inizio ad una feroce
polemica che si chiude solo dopo un quarto di secolo alla morte del …losofo
novantenne. Hobbes pubblica ”Sei lezioni al professore di matematica...”, ”Osservazioni
sulla geometria assurda, il linguaggio rurale etc. del Dottor Wallis”,
141

”Esame ed emendamento della matematica odierna”, ”Sui principi e ragioni
delle geometrie, contro i falsi professori di geometria”,... e Wallis replica con
”Punizioni da in‡iggere al Signor Hobbes per non aver appreso correttamente
la sua lezione” e commenti del tipo: ”Non posso non osservare l’abitudine di
Hobbes a contraddirsi. Trovo vergognoso che un sì grande pretendente a tali
alte cose in geometria, sia poi così miseramente ignorante delle comuni operazioni
dell’aritmetica pratica”. Newton si tiene lontano da questa polemica: ”La
…loso…a è una signora così impertinente e litigiosa, che per un uomo è meglio
esser citato in giudizio che aver a che fare con lei”. Ma qualche anno dopo
inizia la sua polemica con Hooke per la priorità delle scoperte sull’ottica e la
gravitazione e poi con Leibniz per il calcolo di¤erenziale ed integrale.
Facciamo ora una piccola digressione, dalla misura del cerchio in geometria
alla misura delle distanze sulla sfera terrestre. La determinazione della latitudine
è un problema relativamente semplice, che si può ridurre alla misura
dell’altezza della Stella Polare rispetto all’orizzonte, oppure l’altezza del Sole
a mezzogiorno. La determinazione della longitudine è più problematica e nei
secoli delle grandi scoperte geogra…che molti stati europei hanno o¤erto grossi
premi per la soluzione di questo problema di grande importanza per la navigazione.
Per determinare la longitudine si possono utilizzare le eclissi di Luna,
che sono viste dovunque allo stesso istante, ma ad ore locali diverse. Se in A
l’eclisse avviene all’ora x ed in B all’ora y, la di¤erenza tra le longitudini di A
e B è proporzionale a x y, 1ora = 15 gradi. Galileo nel 1610 scopre le lune di
Giove, ”Sidera Medicea”, e ne studia i movimenti. Ha poi l’intuizione di utilizzare
le eclissi di questi satelliti che regolarmente compaiono e scompaiono dietro
al pianeta come un orologio astronomico, che visto da ogni punto della Terra
segna la stessa ora. Con questo orologio è semplice risalire alla longitudine, che
risulta proporzionale alla di¤erenza tra questa ora astronomica e l’ora solare.
Nel 1616 cerca di vendere senza successo la sua idea alla Spagna. Ritenta poi con
l’Olanda, che ha o¤erto un premio di 30.000 scudi per la soluzione del problema.
Non riceve il premio in denaro, ma una catena d’oro. Il metodo di calcolo della
longitudine proposto da Galileo è laborioso, comunque Gian Domenico Cassini
(1625-1712) nel 1668 pubblica le ”Efemeridi delle stelle medicee”, poi utilizzate
in varie spedizioni geogra…che. Anche Ole Romer (1644-1710) osserva circa 140
eclissi di Io che orbita intorno a Giove ogni 42,5 ore e constata con sorpresa
che questo periodo non è uniforme. Io anticipa le previsioni quando Giove è
in opposizione al Sole e ritarda quando è in congiunzione. Romer intuisce che
questo è dovuto alla variazione della distanza Giove Terra ed alla velocità di
propagazione …nita della luce e nel 1675 Cassini scrive: ”La luce sembra impiegare
tra dieci e undici minuti per percorrere una distanza uguale alla metà
del diametro dell’orbita terrestre”. Di fatto la luce, con una velocità di 299792
km/sec, impiega circa 8 minuti e 20 secondi dal Sole alla Terra.
142

Giove e Io,
Io e Ganimede.
Quaderno di Galileo
con le osservazioni
degli astri medicei
Nel 1714 il parlamento britannico o¤re £ 20.000 per un metodo di determinazione
della longitudine in mare con un’approssimazione inferiore a mezzo
grado, £ 15.000 per un’approssimazione inferiore a due terzi di grado e £ 10.000
per un’approssimazione inferiore ad un grado. Uno dei metodi proposti, che in
verità si rivela poco pratico, si basa sulla tabulazione della direzione del moto
della Luna rispetto alle stelle …sse. Nel 1762 Eulero e Tobias Mayer (1723-1762)
ricevono £ 3.000 per delle tavole dei movimenti lunari. Finalmente John Harrison
(1693-1776) nel 1765 riceve £ 10.000 per la costruzione di un cronometro
che, a di¤erenza degli orologi a pendolo, riesce a funzionare anche sulle navi. Di
fatto, molti fraintendono il problema della longitudine con quello della misura
del cerchio e, trovata una misura più o meno precisa, chiedono la ricompensa.
Accade spesso che Tizio trovi una o più quadrature, magari distinte, se poi
queste vengono contestate da Caio, non è per aver violato il principio di non
contraddizione, ma semplicemente perché non coincidono con la vera quadratura
trovata da Caio stesso o da Sempronio. Molti tra quelli che presentano delle
quadrature del cerchio promettono ricompense a chi trova l’errore, tanto anche
se perdono poi non pagano, molti altri vogliono essere pagati per il contributo
dato al sapere. Nel 1724 J.Mathulon, di professione medico, presenta un paio di
presunte quadrature del cerchio, insieme ad una macchina che promette il moto
perpetuo e ad altre interessanti invenzioni. Lamentandosi per lo scarso interesse
suscitato dalle sue scoperte, che ”se fossero state portate a conoscenza di sua
maestà, avrebbero già potuto essere utilizzate in tutto il regno”, deposita 1000
scudi presso un notaio per chi trova l’errore. L’errore si trova ed i soldi sono
devoluti ai poveri. Comunque il lupo perde il pelo ma non il vizio e qualche
anno dopo lo scacco subito presenta all’Accademia Reale delle Scienze una terza
quadratura. Nel 1753 J.L.V.de Mauléon de Causans propone una sottoscrizione
di 4000 quote da 1000 lire ciascuna per rivelare la sua quadratura del cerchio, impegnandosi
a restituire a ciascun sottoscrittore 1500 lire nel caso si dimostrasse
falsa. Visto lo scarso successo della sottoscrizione, tappezza i muri di Parigi con
143

l’avviso che sono state depositate presso un notaio 1000 lire per chi dimostra la
falsità della sua quadratura, cosa non di¢ cile visto che il quadrato circoscritto
risulta uguale al cerchio inscritto. Citato in giudizio da chi vuole riscuotere il
premio, viene salvato dal tribunale che dichiara nulle le promesse fatte. Non
contento per lo scampato pericolo, trova una seconda quadratura con = 25=8
ed una terza ancora ed invia delle suppliche al re accusando l’Accademia Reale
delle Scienze di mala fede. Nel 1773 D.Lafrenaye, dopo aver de…nito la radice
quadrata come l’ottava parte di un numero, dimostra un cerchio ha la stessa
area di un quadrato tale che il lato più la sua radice siano uguali al diametro.
Ha ritrovato cioè la regola di Ahmes, se D = L + L=8 è il diametro del cerchio,
l’area è L 2 . Anche questa scoperta provoca una polemica con l’Accademia Reale
delle Scienze, che in…ne nel 1775 reagisce con la dichiarazione: ”L’Accademia ha
preso quest’anno la risoluzione di non esaminare più alcuna soluzione dei problemi
della duplicazione del cubo, della trisezione dell’angolo, o della quadratura
del cerchio, né alcuna macchina annunciata come un moto perpetuo”. Nel 1836
M.J.Lacomme, uno scavatore di pozzi analfabeta, chiede ad un matematico
quante pietre occorrono per pavimentare il fondo di un pozzo circolare. Non
comprendendo la risposta, studia da solo il problema e trova il valore 3 + 1=8.
Già si conoscono più di cento cifre decimali di , ma il tentativo viene premiato
con delle medaglie. Un tale Recalcati di Milano o¤re la quadratura del cerchio
a chiunque versi cinque franchi, con garanzia di restituzione in caso di soluzione
non completamente rigorosa. Il garante è un banchiere.
Un altro caso di quadratura del cerchio è quello di Edward Johnston Goodwin
(1828-1902), un medico nello stato dell’Indiana, il quale molto umilmente
dichiara che, non per merito ma per pura grazia, ”nella prima settimana di
Marzo del 1888 è stato in modo soprannaturale illuminato sulla esatta misura
del cerchio... nessuna autorità nella scienza dei numeri può dire come il rapporto
è stato scoperto...”. Su richiesta dell’autore la scoperta viene pubblicata
nel 1894 sull’”American Mathematical Monthly” e nel 1895 dopo la quadratura
del cerchio è la volta della trisezione dell’angolo e della duplicazione del cubo:
”Un’area circolare è uguale al quadrato su di una linea uguale al quadrante
della circonferenza; e l’area di un quadrato è uguale all’area del cerchio la cui
circonferenza è uguale al perimetro del quadrato. (Copyrighted by the author,
1889. All rights reserved.)”
”Trisezione di un angolo: La trisezione della corda di ogni arco di cerchio
triseca l’angolo dell’arco. Duplicazione del cubo: Duplicare la dimensione di
un cubo ottuplica il suo contenuto, e duplicare il suo contenuto aumenta la sua
dimensione del venticinque più uno per cento.”
Se la circonferenza 2 r è uguale al perimetro del quadrato, il lato del quadrato
è un quadrante r=2 e l’area del quadrato è 2 r 2 =4. Se l’area del quadrato è
uguale all’area del cerchio, 2 r 2 =4 = r 2 e si ricava = 4. Il dottor Goodwin
cerca il riconoscimento del governo per le sue scoperte e chiede di includerle nei
programmi di studio delle accademie di West Point ed Annapolis. Riesce poi a
144

convincere il suo deputato locale a presentare una proposta di legge per …ssare
il valore legale di .
”Progetto di legge n o 246. Presentato da T.I.Record. Letto per la prima
volta alla Camera il 18/1/1897. Inviato al Comitato per i Canali ed inviato al
Comitato per l’Educazione il 19/1/1897. Letto per la seconda e terza volta il
5/2/1897. Approvato il 5/2/1897, Si 67, No 0. Letto per la prima volta al Senato
il 18 Gennaio 1897. Inviato al Comitato per la Temperanza il 11/2/1897.
Parere favorevole il 12/2/1897. Letto per la seconda e rimandato a tempo inde…nito
il 12/2/1897.”
”Progetto di legge per introdurre una nuova verità matematica ed o¤erto
come contributo all’educazione, da essere usato senza costi o diritti d’autore dal
solo Stato dell’Indiana se accettato ed adottato dalla legislatura nel 1897... Si
è trovato che l’area circolare sta al quadrante della circonferenza come l’area di
un rettangolo equilatero sta al quadrato su un lato. Secondo la presente regola
l’uso del diametro come unità lineare per il calcolo dell’area del cerchio è completamente
sbagliato... Prendendo il quadrante della circonferenza del cerchio
come unità lineare si soddisfano i requisiti richiesti per la quadratura e la retti-
…cazione della circonferenza del cerchio. Inoltre, si è rivelato che il rapporto tra
la corda ed un arco di novanta gradi è come sette a otto, e anche che il rapporto
tra la diagonale ed un lato di un quadrato è come dieci a sette, questo rivela
l’importante fatto che il rapporto tra diametro e circonferenza è come cinque
quarti a quattro. Per questo ed altro, la regola …nora in uso non funziona sia
matematicamente che nelle applicazioni pratiche...”
Il rapporto tra corda ed arco di novanta gradi è p 2r = ( r=2). Se 2 p 2= =
7=8 si ricava che = 16 p 2=7. Inoltre, se il rapporto tra diagonale e lato di
un quadrato è dieci a sette, = 16 p 2=7 = 160=49. Sono valori diversi dal
= 4 ottenuto precedentemente, ma non è certo il caso di arrendersi davanti
al principio di non contraddizione. L’”Indianapolis Sentinel” del 20/1/1897
titola: ”Quadrare il cerchio, ci sono voci che questo vecchio problema sia stato
risolto”. Per caso la proposta di legge viene mostrata ad un matematico in
visita alla Camera, con la preghiera di scrivere una presentazione del dotto
autore, ma questi declina l’invito con la scusa che di pazzi ne conosce già troppi.
A questo punto i senatori cominciano ad aver qualche dubbio ed uno di loro
pubblicamente confessa: ”Può essere che io sia particolarmente ignorante su
questa questione di Matematica”. L’assemblea unanime si associa decidendo,
pur senza entrare nel merito dell’argomento, di rimandare a tempo inde…nito
l’approvazione de…nitiva. Di fatto, tutti quelli che pagano le tasse su proprietà
tonde e subiscono passivamente interessi irrisori sui depositi e da usura sui debiti
possono essere piuttosto interessati ai valori legali dei numeri ed e.
Augustus De Morgan (1806-1871) osserva che ”è più facile quadrare un
cerchio che arrotondare un matematico” e propone una spiegazione astrologica
ai diversi valori di apparsi in epoche di¤erenti. Il rapporto tra circonferenza
e diametro non è costante, ma varia col tempo secondo la formula
145

= 3 + 13=80 + 3=80 cos(S L), con S e L longitudini del Sole e della Luna.
Ma forse le perturbazioni di qualche pianeta sono responsabili di valori minori
di 3,125 o maggiori di 3,2.
Terminiamo questa breve introduzione con l’ovvia osservazione che la soluzione
del problema della quadratura del cerchio non pone …ne alla storia di il cui
studio, insieme a quello di tanti altri numeri interessanti, continuerà ancora per
molto.
146

Archimede (287-212 a.C.)
MET ODO DI
ESAUST IONE
Approssimando un cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti è possibile,
almeno in linea di principio, calcolare con una approssimazione arbitrariamente
piccola ed Archimede è tra i primi ad implementare questo metodo
da un punto di vista numerico. Nell’esposizione che segue, traduciamo il suo
linguaggio geometrico in trigonometria. Un poligono regolare con n lati iscritto
in una circonferenza di raggio uno si ottiene dividendo un angolo giro in n parti
uguali. Il lato risulta lungo 2 sin( =n) ed il perimetro 2n sin( =n). Analogamente,
il lato di un poligono regolare con n lati circoscritto ad una circonferenza
di raggio uno risulta lungo 2 tan( =n) ed il perimetro 2n tan( =n). I perimetri
dei poligoni iscritti sono una stima per difetto ed i perimetri dei poligoni circoscritti
sono una stima per eccesso della lunghezza della circonferenza,
n sin( =n) < < n tan( =n):
Tanto più grande è il numero dei lati, tanto meglio i poligoni iscritti e circoscritti
approssimano la circonferenza. In particolare, dagli sviluppi in serie
sin(x) = x x 3 =6 + ::: e tan(x) = x + x 3 =3 + ::: si ricava che la discrepanza
tra i perimetri dei poligoni e la circonferenza è dell’ordine di n 2 ,
n sin( =n) 3 =6n 2 e n tan( =n) 3 =3n 2 .
147

Archimede ottiene i perimetri dei poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati
per mezzo di un procedimento che permette di passare dal perimetro di un
poligono con un certo numero di lati al perimetro di un poligono con un numero
doppio di lati. Il processo ricorsivo, formalizzato da J.F.Pfa¤ (1765-1825), è
il seguente. Indicando con P (n) = 2n sin( =n) e con Q(n) = 2n tan( =n), è
possibile ricavare Q(2n) prendendo la media armonica tra P (n) e Q(n) e poi
ricavare P (2n) prendendo la media geometrica tra P (n) e Q(2n):
tan(x) =
sin(2x) tan(2x)
sin(2x) + tan(2x) ; 2 sin(x) = p 2 sin(2x) tan(x);
Q(2n) =
2Q(n)P (n)
Q(n) + P (n) ; P (2n) = p Q(2n)P (n):
Un altro modo di procedere è il seguente. Per conoscere P (n) basta conoscere
sin( =n) e, noto sin( =n), si può ricavare sin( =2n) dalle formule di bisezione,
r
q
P (2n) = 4n sin ( =2n) = 2n 2 2 1 sin 2 ( =n)
r
q
= 2n 2 4 (P (n)=n) 2 :
In particolare, partendo con sin( =4) = 1= p 2, si ottiene ricorsivamente
P (4) = 4 p 2;
q
P (8) = 8 2 p 2;
r
q
P (16) = 16 2 2 + p 2;
s
P (32) = 32 2
r
q
2 + 2 + p 2;
v
u
t
P (64) = 64 2
s
r
q
2 + 2 + 2 + p 2; :::
148

Similmente, partendo con sin( =6) = 1=2,
P (6) = 6;
q
P (12) = 12 2 p 3;
r
q
P (24) = 24 2 2 + p 3;
s
P (48) = 48 2
r
q
2 + 2 + p 3;
v
u
t
P (96) = 96 2
s
r
q
2 + 2 + 2 + p 3; :::
Osserviamo che l’approssimazione P (n)=2 è dell’ordine di n 2 :
P (n)=2 = n sin ( =n) =
3 =6n 2 + 5 =120n 4
Per accelerare la convergenza delle successioni fP (n)g e fQ(n)g, si può partire
dalle identità x = arcsin (sin(x)) e x = arctan (tan(x)) e sviluppare in serie
di potenze l’arco seno o l’arco tangente. In questo modo si ottiene
= n arcsin (P (n)=2n) = P (n)=2 + P (n) 3 =48n 2 + 3P (n) 5 =1280n 4 + :::;
= n arctan (Q(n)=2n) = Q(n)=2 + Q(n) 3 =24n 2 + Q(n) 5 =160n 4 + ::::
Con k termini di queste serie si hanno approssimazioni dell’ordine di n 2k .
Per esempio, P (6)=2 = 3 è l’approssimazione biblica, P (6)=2 + P (6) 3 =48 6 2 =
3 + 1=8 è quella babilonese, l’approssimazione successiva 3 + 1=8 + 9=640 =
3; 139::: è quasi buona come quella di Archimede. Per accelerare la convergenza
di questi processi di approssimazione si può anche utilizzare il metodo di Snell
e Huygens, che ha un’approssimazione dell’ordine di n 4 ,
2
P (2n)
3
1
P (n) = (8n=3) sin ( =2n) (n=3) sin ( =n) =
6
:::
5 =480n 4 + :::
Il metodo di Snell e Huygens si presta ad immediate generalizzazioni. Nel
1770 Lambert pubblica una memoria sulla retti…cazione di curve, che estende alcuni
dei risultati di Huygens. Se una liscia curva congiunge due punti vicini A =
(0; 0) e B = ("; 0), si può scriverne l’equazione nella forma y = x (" x) '(x),
con '(x) = + x + x 2 + x 3 :::. Per stimare la lunghezza dell’arco di curva da
A a B, osserviamo che ordinando i termini " m x n con potenze m + n crescenti
si ha
dy d
=
dx dx x (" x) + x + x2 + x 3 + :::
= " 2 x + 2 "x 3 x 2 + 3 "x 2
4 x 3 + 4 "x 3
149
5 x 4 + :::

La lunghezza dell’arco di curva ha quindi lo sviluppo in serie
Z " q
1 + (dy=dx)
0
2 Z "
dx =
0
Z "
=
0
1 + (dy=dx) 2 =2 (dy=dx) 4 =8 + ::: dx
1 + 2 " 2 =2 2 2 "x + 2 2 x 2 + 2 " 2 x 7 "x 2 + 6 x 3 + ::: dx
= " + 2 " 3 =6 + " 4 =6 + :::
La tangente alla curva in A è y = "'(0)x, quella in B è y = "'(") (" x), e
l’intersezione tra le tangenti C = "'(")= ('(0) + '(")) ; " 2'(0)'(")= ('(0) + '(")) .
Si ha
s
AC =
"'(")
'(0) + '(")
2
+ "2 '(0)'(")
'(0) + '(")
= "
2 + 4 "2 + 2 4 2 + 2
8 2 " 3 + 2 4 + 4 2 4 + 3
16 3
Similmente si ha
BC =
s
"'(0)
'(0) + '(")
2
+ "2 '(0)'(")
'(0) + '(")
= "
2 4 "2 + 2 4 2 + 2
8 2 " 3 + 6 4 4 2 3
+ 4
16 3
2
2
" 4 + :::
" 4 + :::
Una media ponderata tra le lunghezze dei segmenti inscritti AB e circoscritti
AC + BC è
2 1
AB +
3
3 (AC + BC) = " + 2 " 3 =6 + " 4 =6 + :::
Quindi la di¤erenza tra la lunghezza della curva
Z " q
1 + (dy=dx) 2 dx e
2=3AB + 1=3 (AC + BC) è dell’ordine di " 5 . Se la curva è un cerchio, si ritrova
uno dei risultati di Huygens.
Nel 1927 L.F.Richardson osserva che se una certa quantità P è limite per
x ! 0 di una funzione f(x) con sviluppo asintotico
f(x) = P + Ax + Bx + Cx + :::;
con 0 < < < :::, allora f(y) approssima P meglio di f(x) se y < x,
ma è possibile ottenere un’approssimazione ancora migliore con una opportuna
combinazione lineare tra f(x) e f(y) che elimina la potenza ,
x f(y) y f(x)
x y
x y y x
= P + B
x y
0
x y y x
+ C
x y
+ ::::
È interessante notare che per applicare il metodo è su¢ ciente conoscere gli
esponenti dello sviluppo asintotico e non è necessario conoscerne i coe¢ cienti.
150

Per esempio, il calcolo numerico di un integrale con il metodo dei trapezi con
passo (b a)=n porta ad una formula del tipo
Z b
f(t)dt = T (n) + n
a
2 + n 4 + n 6 + ::::
I trapezi T (n) approssimano l’integrale a meno di n 2 , ma (4T (2n) T (n)) =3
è un’approssimazione a meno di n 4 ed iterando il procedimento si può anche
eliminare questo termine ed i successivi.
Ci sono altri metodi, anche non lineari, per accelerare la convergenza di una
successione. Nel 1674 Takakazu Seki (1642-1708), calcolati P 2 15 , P 2 16 ,
P 2 17 , ottiene dieci cifre decimali di utilizzando la formula
P (2n) +
(P (2n) P (n)) (P (4n) P (2n))
(P (2n) P (n)) (P (4n) P (2n)) :
Il metodo di Seki è riscoperto nel 1926 da Alexander Craig Aitken (1895-
1967), il quale osserva che se fx(n)g converge a z in modo geometrico, x(n) =
z + n con j j < 1, allora
x(n) x(n 1) x(n) z
=
x(n 1) x(n 2) x(n 1) z ;
z =
x(n)x(n 2) x(n 1)2
x(n) 2x(n 1) + x(n 2) :
Questo suggerisce di associare alla successione fx(n)g la successione
y(n) = x(n)
(x(n) x(n 1)) 2
x(n) 2x(n 1) + x(n 2) :
In generale, se fx(n)g ! z anche fy(n)g ! z, ma la convergenza è più
veloce, (y(n) z) = (x(n) z) 1. Confrontiamo numericamente i metodi di
Archimede, Huygens, Seki, ricordando che = 3; 1415926535:::.
Archimede: x(n) = (6 2 n ) sin ( = (6 2 n )) :
4x(n) x(n 1)
Huygens: y(n) = :
3
(x(n) x(n 1))
Seki: z(n) = x(n)
2
x(n) 2x(n 1) + x(n 2) :
n x(n) y(n) z(n)
0 3
1 3; 105828541::: 3; 141104721:::
2 3; 132628613::: 3; 141561970::: 3; 141717032:::
3 3; 139350203::: 3; 141590732::: 3; 141600361:::
4 3; 141031950::: 3; 141592533::: 3; 141593134:::
151

Con dei metodi iterativi non solo è possibile stimare , ma anche calcolare
funzioni trigonometriche e logaritmi. Per esempio,
lim
n!+1 2n tan 2 n arctan(x) = arctan(x):
Inoltre tan(y=2) = tan(y)= 1 + p 1 + tan 2 (y) . Quindi arctan(x) è limite
della successione de…nita ricorsivamente da
Similmente,
2An(x)
A0(x) = x; An+1(x) = q
1 + 1 + (2 nAn(x)) 2
:
lim
n!+1 2n n
2
(1 + x)
1 = log(1 + x):
Quindi log(1 + x) è limite della successione de…nita ricorsivamente da
L0(x) = x; Ln+1(x) =
2Ln(x)
1 + p 1 + 2 n Ln(x) :
Ma torniamo
Z
al metodo di esaustione ed a . L’area di un cerchio di raggio
1p
uno è 4 1 x2dx e si può stimare questo integrale con qualche metodo
0
Z b
numerico. Per stimare un integrale f(x)dx si possono utilizzare i metodi di
esaustione con rettangoli o trapezi,
Z b
f(x)dx
a
Z b
f(x)dx
a
b a
n
a
b
n
a
1
n
k=0
f(a) + f(b)
2
X
f (a + k(b a)=n) ;
!
X
f (a + k(b a)=n) ;
n 1
+
che danno errori dell’ordine di n 1 e n 2 , o metodi più so…sticati. Per esempio,
con il metodo di Thomas Simpson (1710-1761) con passo 1/4 si ottiene già una
buona approssimazione di ,
12
= 12
Z 1=2
0
k=1
p 1 x 2 dx
p !
3
p 1 (0=4) 2 + 4 p 1 (1=4) 2 + p 1 (2=4) 2
12
= 1 + p 15 p 3 = 3; 140932:::
8
p !
3
Il metodo di Simpson è basato sull’interpolazione e quadratura con parabole,
è quindi un metodo archimedeo.
152
8

Tolomeo (II secolo d.C) Nepero (1550-1617)
T AV OLE DI
CORDE E
LOGARIT MI
Utilizzando la formula di Taylor, non è di¢ cile calcolare numericamente le
funzioni trigonometriche ed i logaritmi. Per esempio, il polinomio x x 3 =6 +
x 5 =120 approssima sin(x) nell’intervallo 0 x =2 con un errore inferiore
a 5 10 3 . Modi…cando opportunamente i coe¢ cienti si può anche migliorare
l’approssimazione. Per esempio, per approssimare log(1 + x), invece del polinomio
di Taylor x x 2 =2 + x 3 =3 x 4 =4 + x 5 =5, si può utilizzare ax + bx 2 +
cx 3 + dx 4 + ex 5 , con a = 0; 99949556, b = 0; 49190896, c = 0; 28947478,
d = 0; 13606275, e = 0; 03215841. L’approssimazione in 0 x 1 è a meno di
10 5 . Ma non è così che sono state calcolate le prime tavole di queste funzioni.
In un cerchio di raggio r una corda sottesa da un angolo # misura 2r sin(#=2).
Le tavole di corde sono quindi tavole di seni. Ecco come Tolomeo calcola le sue
tavole, con l’avvertenza che in Tolomeo il diametro del cerchio è 120 e gli angoli
sono in gradi, mentre qui il raggio è uno e gli angoli sono in radianti. Tolomeo
conosce degli equivalenti delle formule trigonometriche
cos 2 (#) + sin 2 (#) = 1;
cos(# ') = cos(#) cos(') sin(#) sin(');
sin(# ') = cos(#) sin(') cos(') sin(#);
sin 2 (#=2) = (1 cos(#)) =2:
Poi sa da Euclide che il quadrato sul lato del pentagono regolare iscritto in
una circonferenza è uguale alla somma dei quadrati sui lati dell’esagono e del
decagono. In particolare,
p p p
10 2 5
5 1
sin( =6) = 1=2; sin( =5) =
; sin( =10) = :
4
4
Con la formula di sottrazione si ottiene sin( =5 =6) = sin( =30), poi
con bisezione sin( =60), sin( =120), sin( =240). Per ottenere una stima di
153

sin( =180) basta interpolare tra =120 e =240. Aristarco ha mostrato che se
0 < ' < # < =2, allora sin( )= sin(') < =' < tan( )= tan('). Questo segue
dal fatto che le funzioni sin(x)=x e tan(x)=x sono rispettivamente decrescenti e
crescenti nell’intervallo 0 < x < =2. In particolare,
sin( =120) sin( =180) sin( =240)
< < ;
=120 =180 =240
2
4
sin( =120) < sin( =180) < sin( =240):
3 3
2=3 sin( =120) = 0; 017451::: e 4=3 sin( =240) = 0; 017452:::, l’approssimazione
per sin( =180) è dell’ordine di 10 6 . Poi, con passi di mezzo grado Tolomeo
completa le sue tavole di corde, con cinque decimali corretti. Un modo alternativo
per calcolare sin( =180) partendo da sin( =60) utilizza la formula sin(#) =
3 sin(#=3) 4 sin 3 (#=3). Risolvendo numericamente l’equazione sin( =60) =
3x 4x 3 Al Kashi trova che sin( =180) è circa
1
60
+ 2
60
49 43 11 14 44 16 19 16
+ + + + + + + + + :::
2 603 604 605 606 607 608 609 6010 L’errore è solo dalle potenze 60 9 in poi.
Veniamo ora alle prime tavole dei logaritmi di Nepero. Queste sono basate
sulla progressione geometrica 10 7 1 10 7 n ed i conti in linea di principio
sono semplici, perché la moltiplicazione per 1 10 7 si riduce alla sottrazione
1 10 7 x = x 10 7 x ed in notazione decimale, Nepero è tra i primi ad
adottare in Europa tale notazione, le cifre di 10 7 x sono le stesse cifre di x con
la virgola spostata.
”Dal raggio 10000000.0000000, con aggiunte sette cifre per maggiore accuratezza,
si sottrae 1.0000000 e si ottiene 9999999.0000000; da questo si sottrae
0.9999999 e si ottiene 9999998.0000001;...”
Il metodo si rivela troppo laborioso e Nepero passa subito dal rapporto
1 10 7 al rapporto 1 10 5 . Le tavole di Bürgi sono simili, ma basate
sulla successione 10 8 1 + 10 4 n . Le tavole dei logaritmi di Briggs sono in
base 10, con log 10(1) = 0 e log 10(10) = 1. Poiché log 10(x 1 ) = log 10(x),
è su¢ ciente calcolare log 10(x) con 1 x 10. Briggs calcola questi logaritmi
con delle estrazioni iterate di radici quadrate, utilizzando la formula
log 10( p xy) = (log 10(x) + log 10(y)) =2.
10 0 = 1 log 10(1) = 0
10 1 = 10 log 10(10) = 1
10 1=2 = 3; 162277::: log 10(3; 162277:::) = 1=2
10 1=4 = 1; 778279::: log 10(1; 778279:::) = 1=4
10 3=4 = 5; 623413::: log 10(5; 623413:::) = 3=4
10 1=8 = 1; 333521::: log 10(1; 333521:::) = 1=8
10 3=8 = 2; 371373::: log 10(2; 371373:::) = 3=8
10 5=8 = 4; 216965::: log 10(4; 216965:::) = 5=8
10 7=8 = 7; 498942::: log 10(7; 498942:::) = 7=8
154

54
2 Briggs arriva …no a 10 , un numero molto prossimo a uno, poi osserva
che per x piccolo, log10(1 + x) risulta circa proporzionale a x, log10(1 + x)
(0; 434294:::)x. È il primo termine dello sviluppo in serie
log 10(1 + x) = log 10(e) x x 2 =2 + x 3 =3 ::: :
Per calcolare il logaritmo di un numero y basta allora prendere un certo
n
2 numero di radici quadre y = 1 + x per poi ottenere log10(y) = 2n log10(1 +
x) 2n (0; 434294:::)x. In…ne, anticipando Newton, per calcolare le radici Briggs
trova la formula p 1 + y = 1 + y=2 y2 =8 + :::.
I logaritmi si possono calcolare facilmente anche utilizzando lo sviluppo in
serie di Mercatore e Newton log(1 + x) = x x2 =2 + x3 =3 :::. Per esempio,
per calcolare il fattore di conversione tra i logaritmi naturali e quelli di Briggs
log10(e) = 1= log(10), seguendo il suggerimento di Newton è su¢ ciente calcolare
per serie log (1 1=10) e log (1 2=10), poi sommando log(2) = 2 log (12=10)
log (8=10) log (9=10) ed in…ne log(10) = 3 log (2) log (8=10).
Oggi le tavole di seni e logaritmi sono diventate quasi un oggetto di antiquariato,
sostituite da un qualche algoritmo di calcolo nella memoria dei calcolatori.
Siccome anche i regoli sono scomparsi dal mercato, terminiamo illustrandone
brevemente il funzionamento. Su due righe che possono scorrere parallele sono
segnate delle tacche numerate, per esempio 1, 2, 3,..., 9, 10, nelle posizioni
log10(1) = 0, log10(2) = 0; 301:::, log10(3) = 0; 477:::, log10(9) = 0; 954::::,
log10(10) = 1.
j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10
j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10
Per moltiplicare due numeri, si fanno scorrere le righe facendo coincidere la
tacca 1 sulla riga sotto con quella x sopra, allora la tacca y sotto coincide con
quella xy sopra. Viceversa, per dividere si muove la tacca y sotto quella x, allora
la tacca 1 risulta sotto x=y. Se nel calcolare prodotti o divisioni si …nisce fuori
scala, basta dividere o moltiplicare per 10.
Concludiamo illustrando brevemente un algoritmo per il calcolo di funzioni
elementari che utilizza solo un numero …sso di addizioni o sottrazioni e
di traslazioni della virgola. Questo algoritmo CORDIC (Coordinate Rotation
Digital Computer) è stato introdotto nel 1959 per risolvere dei problemi trigonometrici
legati alla navigazione ed è stato poi implementato in molte calcolatrici
tascabili. Ruotando un vettore [x; y] di un angolo # si ottiene
cos(#) sin(#)
sin(#) cos(#)
x
y =
1
p
2 1 + tan (#)
1 tan(#)
tan(#) 1
In particolare [cos(#); sin(#)] è la rotazione di un angolo # del vettore [1; 0].
L’idea è di approssimare una rotazione arbitraria con una successione di rotazioni
elementari. Partendo da [X(0); Y (0)] = [1; 0] e ponendo tan(#(j)) =
155
x
y

2 j , si de…nisce la successione
X(j) = X(j 1) 2 j Y (j 1);
Y (j) = 2 j X(j 1) + Y (j 1):
Osserviamo che in numerazione binaria la moltiplicazione per delle potenze di
due si riduce ad una traslazione della virgola, quindi il calcolo degli [X(j); Y (j)]
richiede solo queste traslazioni e delle somme e sottrazioni. Se dopo n iterazioni
nY
si moltiplica il vettore [X(n); Y (n)] per il fattore 1 + 2 2j 1=2
, il risultato
è la rotazione del vettore [1; 0] di un angolo
nX
j=1
j=1
arctan 2 j . L’algoritmo per
il calcolo di cos(#) e sin(#) è dunque il seguente. Fissata la precisione 2 n con
cui si vuole operare, si calcolano le costanti "(j) = arctan 2 j ed il fattore
K =
nY
1 + 2 2j 1=2
. Questi dati sono immagazzinati nella memoria del
j=1
calcolatore. Per calcolare cos(#) e sin(#) occorre poi scegliere i segni (j) = 1
nX
in modo da avere (j)"(j) #. Quindi, dato # e posto #(0) = 0, basta
j=1
de…nire ricorsivamente
8
><
>:
(j) = 1 se #(j 1) > #, (j) = +1 se #(j 1) #;
#(j) = #(j 1) + (j)"(j);
X(j) = X(j 1) 2 j (j)Y (j 1);
Y (j) = 2 j (j)X(j 1) + Y (j 1):
In…ne,
0
1
0
1
nX
cos @ (j)"(j) A = KX(n);
nX
sin @ (j)"(j) A = KY (n):
j=1
La possibilità di approssimare # con
nX
j=1
j=1
seguente. Se "(1) "(2) ::: "(n) > 0 e "(k) "(n) +
1 k n, se j#j
(j)"(j) dipende dall’osservazione
nX
j=k+1
"(j) per ogni
nX
"(j), se #(0) = 0 e #(j) = #(j 1) + (j)"(j), con
j=1
(j) = 1 se #(j 1) > # e (j) = +1 se #(j 1) #, allora j# #(n)j "(n).
Questo algoritmo non si applica solo al seno e coseno, ma anche al calcolo di
altre funzioni trigonometriche dirette ed inverse, radici quadrate, esponenziali
e logaritmi. Per esempio, per calcolare exp(#) basta applicare l’algoritmo alle
funzioni iperboliche cosh(#) e sinh(#). Con un algoritmo simile si possono anche
156

calcolare moltiplicazioni e divisioni. Dati X e Z, posto Y (0) = 0 e Z(0) = Z, si
de…niscono ricorsivamente
8
><
>:
(j) = 1 se Z(j 1) < 0, (j) = +1 se Z(j 1) 0;
Z(j) = Z
jX
(k)2 k ;
Y (j) = X
jX
k=1
k=1
(k)2 k :
Quando Z(n) 0, allora Y (n) = XZ.
157

Viete (1540-1603) Wallis (1617-1702)
P RODOT T I
INF INIT I
Il metodo di Viète per stimare è simile a quello di Archimede, ma utilizza
le aree invece dei perimetri. Qui, seguendo Eulero, traduciamo la geometria in
analisi. Si parte dalle identità
sin(x) = 2 cos(x=2) sin(x=2) = 4 cos(x=2) cos(x=4) sin(x=4)
= 2 n cos(x=2) cos(x=4)::: cos(x=2 n ) sin(x=2 n ):
Da cos(#=2) = p (1 + cos(#)) =2 e 2 n sin(2 n #) ! #, si ricava
sin(x)
= cos(x=2) cos(x=4) cos(x=8):::
x
r
s
v
r u s
u
r
1 cos(x) 1 1 1 cos(x) t1 1 1 1 1 cos(x)
= + + + + + + :::
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ponendo x = =2 si ottiene la formula di Viète,
r
s
v
r u s
u
r
2 1 1 1 1t1
1 1 1 1
= + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 :::
Questa è forse la prima espressione di mediante un prodotto in…nito. Poi
c’è il prodotto in…nito di Wallis, che ha ottenuto la formula
2
= 2 2 4 4 6 6 8 8 :::
1 3 3 5 5 7 7 9 ::: ;
studiando le aree sotto le curve y = (1 x 2 ) m=2 . Il cambio di variabili x cos(#)
porta a studiare gli integrali
Z =2
I(n) = sin n (#)d#:
0
158

Integrando per parti si ha
Z =2
I(n) = sin n (#)d#
= cos(#) sin n 1 (#)
Z =2
= (n 1)
0
=2
0
0
Z =2
+ (n 1)
0
cos 2 (#) sin n 2 (#)d#
(1 sin 2 (#)) sin n 2 (#)d# = (n 1) (I(n 2) I(n)) :
Quindi I(0) = =2, I(1) = 1, I(n) = ((n 1) =n) I(n 2), e iterando,
I(2n) =
I(2n + 1) =
1 3 5 ::: (2n 1)
2 4 6 ::: (2n) 2 ;
2 4 6 ::: (2n)
1 3 5 ::: (2n + 1) :
Da queste uguaglianze e dalle disuguaglianze
si ottiene
I(2n + 2) < I(2n + 1) < I(2n);
1 < I(2n)=I(2n + 1) < I(2n)=I(2n + 2) = (2n + 2)=(2n + 1);
1 <
2
1 3 5 ::: (2n 1)
2 4 6 ::: (2n)
1 3 5 ::: (2n + 1) 2n + 2
< ! 1:
2 4 6 ::: (2n) 2n + 1
Gli integrali
Z =2
sin n (#)d# hanno a che fare con il volume della sfera in
0
uno spazio euclideo ad n dimensioni. Se indichiamo con V (n) il volume di una
sfera di raggio uno, allora V (n)rn è il volume di una sfera di raggio r. La misura
dell’intervallo [ 1; 1] è V (1) = 2 e per ricorrenza si può calcolare V (n),
Z
Z 1 Z
V (n) =
dx =
= V (n 1)
fx2Rn :jxj 1g
1 fy2Rn 1 :jyj p 1 t2g dydt
Z 1
(1 t
1
2 ) (n 1)=2 Z =2
dt = 2V (n 1)
0
sin n (#)d#:
Il volume della buccia di sfera, cioè dell’insieme di punti a distanza h dal
bordo, è V (n)(r + h) n V (n)(r h) n . Dividendo questo volume per l’altezza
2h si ottiene una approssimazione dell’area della buccia. L’area della super…cie
sferica A(n)r n 1 è la derivata del volume V (n)r n ,
A(n)r n 1 V (n)(r + h)
= lim
h!0
n V (n)(r h) n
= nV (n)r
2h
n 1 :
In particolare,
V (1) = 2 V (2) = V (3) = 4 =3
A(1) = 2 A(2) = 2 A(3) = 4
159

In generale, se (x) =
A(n) =
Z +1
t
0
x 1 exp( t)dt è la funzione Gamma di Eulero,
n=2
n=2
2 2
; V (n) =
(n=2) n (n=2) :
C’è un legame tra gli integrali di Wallis e la funzione Beta di Eulero,
In particolare,
B(x; y) =
Z 1
t
0
x 1 (1 t) y 1 dt = (x) (y)= (x + y):
Z 1
(1 u
1
2 ) m=2 Z 1
du = t
0
1=2 (1 t) m=2 dt =
(1=2) (m=2 + 1)
:
(m=2 + 3=2)
C’è anche un legame con la formula asintotica di Stirling per il fattoriale
n! n n e np 2 n. Si può usare Wallis per dimostrare Stirling, e viceversa,
2 2 4 4 ::: (2n) (2n)
1 3 3 5 ::: (2n 1) (2n + 1) =
2 4n n n e np 2 n 4
2 4n (n!) 4
(2n)!(2n + 1)!
(2n) 2n e 2np 2 (2n) (2n + 1) 2n+1 e 2n 1p 2 (2n + 1) 2 :
Come ultima applicazione degli integrali di Wallis e del binomio di Newton,
calcoliamo la lunghezza dell’ellisse (x=a) 2 + (y=b) 2 = 1, cioè (x; y) =
(a cos(#); b sin(#)). La lunghezza dell’ellisse è un integrale ellittico che si può
sviluppare in serie di potenze dell’eccentricità p (a2 b2 ) =a2 , se a b > 0:
Z
p
dx2 + dy2 0
f(x=a) 2 +(y=b) 2 =1g
Z =2q
= 4 a2 sin 2 (#) + b2 cos2 Z r
=2
(#)d# = 4a
+1X
= 4a
n=0
1=2
n
b 2 a 2
a 2
n Z =2
0
0
cos 2n (#)d# = 2 a
1 + b2 a 2
+1X
n=0
1=2
n
a 2
2n
n
cos 2 (#)d#
b 2 a 2
4a 2
La serie converge tanto più velocemente quanto più l’eccentricità è piccola
e se questa è nulla si riottiene il perimetro del cerchio. Questa formula per
la lunghezza di un’ellisse è del 1742 ed è dovuta a MacLaurin. Una formula
equivalente è data dalla serie di Gauss-Kummer
+1X
(a + b)
n=0
1=2
n
2
a b
a + b
Un’ellisse di semiassi a e b ed un cerchio di raggio p ab hanno la stessa area
ab ma, per la proprietà isoperimetrica del cerchio, il perimetro dell’ellisse è
160
2n
:
n
:

maggiore del perimetro del cerchio 2 p ab. Inoltre la media aritmetica (a + b) =2
è maggiore di quella geometrica p ab. Con queste motivazioni, nel 1609 Keplero
propone per il perimetro dell’ellisse il valore (a + b), che è il primo termine
della serie di Gauss-Kummer. Nel 1914 Ramanujan propone un’approssimazione
migliore,
(a + b)
3
s
4
(a b) 2
(a + b) 2
!
:
Un’altra buona approssimazione senza radici è
(a + b) 16(a + b)2 + 3(a b) 2
16(a + b) 2 :
(a b) 2
Se l’eccentricità è nulla questa formula dà il valore esatto 2 a, se l’eccentricità
è uno la formula approssimata dà a 19=15 = a 3; 979::: contro il valore esatto
4a. L’orbita di Mercurio è circa un’ellisse con eccentricità 1/5 e la formula approssima
la lunghezza dell’orbita con un errore di pochi millimetri. L’eccentricità
dell’orbita di Venere è circa 1/150, la Terra 1/60, Marte 1/11, Giove 1/21, Saturno
1/18„Urano 1/22, Nettuno 1/88, Plutone 1/4.
161

Newton (1642-1727) Gregory (1638-1675) Leibniz (1646-1716)
nX 1
Per ogni x 6= 1 si ha
k=0
SERIE DI
LOGARIT MI E
ARCO T ANGENT I
x k = (1 x n ) = (1 x) ed integrando questa serie
geometrica si può ottenere lo sviluppo in serie del logaritmo di Mercatore e
Newton,
Z x
Z x
dt
log(1 + x) =
0 1 + t
= 1 t + t
0
2
t 3 + ::: + ( t) n + ( t) n+1 (1 + t) 1 dt
Z x
= x x 2 =2 + x 3 =3 x 4 =4 + ::: + ( ) n x n+1 =(n + 1) + ( ) n+1
Z x
tn+1 (1 + t) 1 dt ! 0 se 1 < x 1 e n ! +1. Quindi
0
log(1 + x) = x x 2 =2 + x 3 =3 x 4 =4 + ::::
0
t n+1 (1 + t) 1 dt:
Questa serie converge solo se 1 < x 1, ma la formula log(z) = log(1=z)
riduce il calcolo dei logaritmi dei numeri maggiori di uno a quello dei logaritmi
minori di uno. Comunque Gregory osserva che è possibile calcolare il logaritmo
di ogni numero positivo anche con la serie
log
1 + x
1 x = log (1 + x) log (1 x) = 2 x + x3 =3 + x 5 =5 + x 7 =7 + ::: :
162

La serie dell’arco tangente di Gregory, Leibniz, Madhava, Nilakantha, si può
ottenere in modo simile:
Z x
=
0
1 t 2 + t 4
Z x
dt
arctan(x) =
1 + t2 0
t 6 + ::: dt = x x 3 =3 + x 5 =5 x 7 =7 + ::::
Osserviamo la somiglianza tra le due serie x x 3 =3 + x 5 =5 + ::: e x + x 3 =3 +
x 5 =5 + :::. La prima è arctan(x) e la seconda arctanh(x). Con la sostituzione
ix x = tan(#) si ottiene
arctan(x) = 1
2i log
1 + ix
1 ix ;
1
2i log
cos(#) + i sin(#)
cos(#) i sin(#)
= #:
Queste formule sono anche conseguenza dell’identità di Eulero exp(i#) =
cos(#) + i sin(#), o della scomposizione di Bernoulli
Z x Z x
dt 1
arctan(x) = =
1 + t2 2
0
0
1 1
+
1 + it 1 it
dt = 1
2i log
1 + ix
1 ix :
Ma torniamo al campo reale. La serie dell’arco tangente converge per 1
x +1 e la convergenza è tanto più rapida quanto più x è piccolo. In particolare,
=4 = arctan(1) = 1 1=3 + 1=5 1=7 + 1=9 :::;
=6 = arctan 1= p 3 = 1
p 3
1
1 1
+
3 3 5 32 1 1
+
7 33 9 34 :::: :
La prima serie non si presta al calcolo numerico di perché converge troppo
lentamente. La di¤erenza tra il valore della serie e quello delle somme parziali è
dell’ordine del primo termine che si trascura e per ottenere con questa serie una
approssimazione di a meno di un centesimo bisogna sommare un centinaio di
termini. La seconda serie converge già abbastanza velocemente, ma è possibile
far di meglio. Dalla formula di addizione della tangente si ricava, per x e y
piccoli,
tan( + ) =
tan( ) + tan( )
1 tan( ) tan( ) ;
arctan(x) + arctan(y) = arctan
arctan(x) + arctan
1 x
1 + x
x + y
1 xy
= arctan(1) = =4:
Possiamo usare quest’ultima formula per calcolare l’arco tangente di 0 <
x < +1 usando la serie dell’arco tangente di 1 < (x 1) = (x + 1) < 1, ma
possiamo anche usare questa formula per calcolare . Un modo sistematico per
163
;

ottenere formule di questo tipo si basa sulla fattorizzazione degli interi di Gauss
+ i , con e interi relativi, in fattori primi di Gauss,
+ i = ( 1 + i 1) ::: ( n + i n)
arctan ( = ) = arctan ( 1= 1) + ::: + arctan ( n= n) + 2 k:
In particolare, poiché i primi di Gauss sono 1 i, 2 i, 3, 3 2i, 4 i, 5 2i,
6 i, 5 4i, 7,..., si può scomporre arctan ( = ) in una somma di arctan(1),
arctan(1=2), arctan(1=3), arctan(2=3),.... Fissato n, il numero delle soluzioni
dell’equazione arctan (1= 1) + ::: + arctan (1= n) = è …nito, in particolare si
può decomporre = a arctan (1=m) b arctan (1=n) con a, b, m e n interi, solo
in cinque modi,
(1 + i) 4 = 4; = 4 arctan (1) ;
(2 + i) 4 (3 + i) 4 = 2500; = 4 arctan (1=2) + 4 arctan (1=3) ;
4(2 + i) 8 = (7 + i) 4 ; = 8 arctan (1=2) 4 arctan (1=7) ;
(3 + i) 8 (7 + i) 4 = 25000000; = 8 arctan (1=3) + 4 arctan (1=7) ;
(5 + i) 16 = 64(239 + i) 4 ; = 16 arctan (1=5) 4 arctan (1=239) :
La seconda formula del 1738 è di Eulero, la terza del 1706 è di Jakob Hermann
(1678-1733), la quarta del 1776 è di Charles Hutton (1737-1823), la quinta del
1706 è di Machin, e ci sono molte altre formule, di Eulero, Gauss ed altri, con
tre o più addendi. Sviluppando in serie l’arco tangente, dalla formula di Machin
si ottiene
= 16
1
5
1 1
+
3 53 5 55 1
+ ::: 4
7 57 1
239
::: :
Queste due serie convergono abbastanza velocemente ed essendo a termini alterni,
le somme parziali di¤eriscono dal valore delle serie per meno dei primi
termini trascurati. La somma dei termini indicati è 1231847548=392109375 =
3; 141591:::, una approssimazione di per difetto a meno di 16= 9 5 9 +
4= 3 239 3 , circa un milionesimo. Con la formula di Machin, nel 1873 William
Shanks (1812-1882) calcola 707 cifre decimali di , ma solo 527 sono corrette.
Abbiamo detto che 1 1=3 + 1=5 1=7 + ::: converge molto lentamente, ma
si può accelerare la convergenza di questa ed altre serie con delle trasformazioni
di Eulero. L’idea è di aggiungere la metà di un termine alla metà del termine
successivo ed iterare,
= 1 1
+
2 2
= 1 1
+ 1
2 4
= 1 1
+
2 4
1
1
3
1
1 1
+
3 5
1
+ :::
7
1
1
3
1
2
1
3
1
5
1
+
2
1
5
1
7
:::
1
3
1
+
4
1
2 1
+
3 5
1
4
1
3
2 1
+
5 7
+ :::
1
+
8
1
2 1
+
3 5
1
+
16
1
3 3
+
3 5
1
7
+ :::
164

In questo modo si ottiene
+1X
n=0
( ) n
2n + 1 =
+1X
n=0
2 n 1 (n!) 2
(2n + 1)! ;
ma la seconda serie converge più velocemente della prima, dieci termini della
seconda serie sono meglio di cento termini della prima. Questa serie è un caso
particolare di un’altra formula di Eulero del 1755,
arctan(x) = x
1 + x2 +1X 22n (n!) 2
n=0
(2n + 1)!
x 2
1 + x 2
Con questa serie e la formula = 20 arctan(1=7) + 8 arctan(3=79), Eulero
calcola 20 decimali di in un’ora!
Concludiamo con una curiosità. C’è una relazione tra , l’arco tangente e
i numeri di Fibonacci, F (1) = F (2) = 1, F (n + 2) = F (n) + F (n + 1). Si ha
infatti
arctan (1=F (2n)) = arctan (1=F (2n + 1)) + arctan (1=F (2n + 2)) ;
= 4 arctan (1=F (2)) = 4
+1X
n=1
165
n
:
arctan (1=F (2n + 1)) :

Eulero (1707-1783)
SERIE DEI
RECIP ROCI DI
P OT ENZE
La media geometrica tra due numeri positivi a e b è p ab e la media armonica
è 2ab= (a + b). Nella serie geometrica 1 + x + x 2 + x 3 + ::: ogni termine è
la media geometrica dei termini contigui e, similmente, nella serie armonica
1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + ::: ogni termine è la media armonica dei termini contigui.
La prima dimostrazione della divergenza della serie armonica è forse quella di
Nicola Oresme (1323-1382).
”Spostati di un piede, poi di un mezzo, un terzo, un quarto,... La somma
totale è in…nita. Infatti è possibile formare un numero in…nito di gruppi di
termini con somma maggiore di un mezzo. 1=3 + 1=4 è maggiore di 1=2, 1=5 +
1=6 + 1=7 + 1=8 è maggiore di 1=2, 1=9 + 1=10 + 1=11 + 1=12 + 1=13 + 1=14 +
1=15 + 1=16 è maggiore di 1=2, e così all’in…nito”.
La somma dei reciproci dei numeri triangolari è dovuta a Mengoli,
1 1 1 1
+ + + ::: =
1 2 2 3 3 4 1
1
2
+ 1
2
1
3
+ 1
3
1
4
+ ::: = 1:
Dal risultato di Mengoli segue facilmente che la somma dei reciproci dei
quadrati 1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + ::: è …nita e compresa tra uno e due. Più
precisamente, Wallis calcola che la somma è circa 1; 645, ma trovare il valore
esatto della serie non è banale. Comunque, nel 1736 Eulero riesce dove Mengoli,
Wallis, Huygens, Leibniz, i Bernoulli, ed altri, hanno fallito:
”In maniera inaspettata ho trovato un’elegante espressione per la somma
della serie 1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + etc, che dipende dalla quadratura del cerchio...
Sei volte la somma di questa serie è uguale al quadrato della circonferenza di
un cerchio con diametro uno”.
1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + 1=36 + ::: = 2 =6:
166

L’idea della dimostrazione è semplice. Si parte dallo sviluppo in serie di
potenze della funzione seno,
sin(x) = x x 3 =3! + x 5 =5! :::;
sin( p x)
p x = 1 x=3! + x 2 =5! ::::
Uguagliando a zero l’ultima espressione si ottiene una equazione con radici
x = 2 ; 4 2 ; 9 2 ; :::,
0 = 1 x=6 + x 2 =120 :::
In un polinomio con termine noto uno, il coe¢ ciente del termine di primo
grado cambiato di segno è uguale alla somma degli inversi delle radici. Quindi
è naturale congetturare che
+1X
k 2 = 2 =6. Per convincersi che il risultato è
k=1
corretto basta un riscontro numerico ed Eulero dal 1731 sa che la somma degli
inversi dei quadrati è circa 1,644934..., conclude quindi che anche se si può avere
qualche perplessità sul metodo, non è lecito dubitare del risultato.
Illustriamo più in dettaglio i lavori di Eulero. Nel 1673 Leibniz osserva che
Z x
0
log(1 t)
dt = x + x
t
2 =4 + x 3 =9 + x 4 =16 + :::
Seguendo questo suggerimento, Eulero ottiene
Se x = 1=2,
+1X
Z x
1 log(1 t)
=
dt
k2 k=1
0 t
Z x
log(1 t)
= log(x) log(1 x)
dt
t
= log(x) log(1 x) +
+1X
k=1
k 2 =
0
Z 1
x
log(1 t)
dt
t
Z 1 x
log(1 t)
dt
t
0
+1X
k 2 x k +1X
+ k 2 (1 x) k :
k=1
+1X
k 1 2 k
!2
k=1
k=1
+1X
+ 2
k=1
k 2 2 k :
Le serie a destra convergono più rapidamente di quella a sinistra e perme-
ttono di ottenere la stima numerica
+1X
k=1
k 2 = 1; 644934::: In seguito Eulero
scopre una formula di sommazione che permette di comparare una serie ad un
integrale e riottiene più semplicemente questa stima.
Se di un polinomio si conoscono gli zeri, questo polinomio può essere scomposto
in fattori lineari. Eulero congettura una simile scomposizione anche per
167

certe funzioni trascendenti. In particolare, la funzione sin(x) ha gli zeri in
x = 0; ; 2 ; ::: e sin(x) x se x è piccolo, quindi
sin(x) = x 1 + x
= x 1
x 2
2
1
1
x
x 2
4 2
1 + x
2
1
1
x 2
9 2
Uguagliando lo sviluppo in serie di potenze al prodotto in…nito, Eulero ottiene
= x 1 x 2 = 2
x x 3 =6 + x 5 =120 :::
1 x 2 =4 2
x
2
:::
1 x 2 =9 2 :::
= x (1 + 1=4 + 1=9 + :::)= 2 x 3 + :::
In…ne, uguagliando i coe¢ cienti di x 3 Eulero ottiene il valore della serie dei
reciproci dei quadrati,
+1X
k 2 = 2 =6. Uguagliando i coe¢ cienti di x5 Eulero
k=1
ricava anche il valore della serie dei reciproci delle quarte potenze,
:::
+1X
k=1
k 4 =
4 =90 e, più in generale, i valori delle serie dei reciproci delle potenze pari.
Ponendo x = =2 nel suo prodotto in…nito, Eulero ottiene il prodotto in…nito
di Wallis,
sin(x) = x 1 + x
1 = 2
1
1
2
Poi, confrontando i termini lineari in
x
3
2
1 + x
2
3 5
4 4 :::
1 sin(x) = 1 x + x 3 =6 ::: = (1 2x= ) 2 (1 + 2x=3 ) 2 (1 + 2x=5 ) 2 :::;
ottiene la serie di Leibniz =4 = 1 1=3 + 1=5 :::. Viceversa, è possibile
ottenere il prodotto di Eulero a partire da una variante degli integrali di Wallis.
= n 2 x 2
Z =2
0
Z =2
J(n; x) = cos(x#) cos n (#)d#
cos(x#) cos n (#)d# n(n 1)x 2
0
1
Z =2
0
x
2
:::;
cos(x#) cos n 2 (#)d#:
Quindi n 2 x 2 J(n; x) = n(n 1)J(n 2; x), da cui si ricava
J(n 2; x)
= 1
J(n 2; 0)
168
x 2
n 2
J(n; x)
J(n; 0) :

Partendo da J(0; x) = x 1 sin ( x=2) ed iterando si ottiene il prodotto in-
…nito di sin(x),
sin ( x=2)
x=2
J(0; x)
= = 1
J(0; 0)
x 2
2 2
J(2; x)
= 1
J(2; 0)
x 2
2 2
1
x 2
4 2
J(4; x)
= :::
J(4; 0)
Similmente, partendo da J(1; x) = 1 x 2 1 cos ( x=2) si ottiene il prodotto
in…nito di cos(x),
cos ( x=2) J(1; x)
= = 1
1 x2 J(1; 0)
x 2
3 2
J(3; x)
= 1
J(3; 0)
x 2
3 2
1
x 2
5 2
J(5; x)
= :::
J(5; 0)
Nel 1743 Eulero presenta un’altra dimostrazione della somma dei reciproci
dei quadrati. Si parte dalla formula (d=dx) arcsin 2 (x) = 2 arcsin(x)= p 1 x2 .
Sviluppando in serie di Taylor l’arco seno ed integrando termine a termine si
ottiene
=
Z 1
0
2
8 =
Z 1
Z 1
0
arcsin(x)
p 1 x 2 dx
x
p
1
1
dx +
x2 2 3 0
x3 1 3
p dx +
1 x2 2 4 5
= 1 + 1 1
+ + :::
3 3 5 5
Z 1
0
x5 p dx + :::
1 x2 Per ottenere la somma dei reciproci dei quadrati basta osservare che
X = 1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + 1=36 + :::
= (1 + 1=9 + 1=25 + :::) + (1 + 1=4 + 1=9 + :::) =4 = 2 =8 + X=4:
Tutti questi risultati si possono ridimostrare facilmente con un po’di analisi
complessa. La funzione cot ( z) è dispari, ha periodo 1, ed ha dei poli semplici
nei punti z = 0; 1; 2; ::: con tutti i residui uguali ad 1,
cot ( z) = z 1
2
3 z
4
45 z3 2 6
945 z5 + :::
Inoltre, questa funzione è uniformemente limitata sul bordo del quadrato
Q(N) con vertici (N + 1=2) ( 1 i),
Anche la funzione
exp (2 ix) + exp (2 y)
cot ( (x + iy)) = i
exp (2 ix) exp (2 y) :
+1X
n= 1
1= (z n) = 1=z +
+1X
2z= z2 n2 è dispari, ha
periodo 1, ha poli semplici con residui 1 nei punti z = 0; 1; 2; :::, ed è limitata
sul bordo di Q(N). Le due funzioni di¤eriscono quindi per una costante, ed
essendo dispari la costante è 0. Cioè
cot ( z) =
+1X
n= 1
1
z n
169
n=1
1
=
z +
+1X
n=1
2z
z2 :
n2

La funzione z 2 cot ( z) ha residuo 2 =3 in z = 0 e residui 1=n 2 nei
punti z = n = 1; 2; :::, e se @Q(N) è il bordo del quadrato con vertici
(N + 1=2) ( 1 i),
(
2 i
NX
2
=3 + 2 1=n 2
!)
lim
N!+1
Quindi
n=1
= lim
N!+1
( Z
z
@Q(N)
2 cot ( z) dz
)
= 0:
+1X
1=n2 = 2 =6. Con gli stessi conti applicati alla funzione z 4 cot ( z)
n=1
si ottiene anche
+1X
1=n4 = 4 =90, e da z 6 +1X
cot ( z) si ricava
n=1
n=1
1=n 6 =
6 =945.... Il prodotto in…nito della funzione seno segue facilmente dallo sviluppo
in serie della cotangente. Infatti,
F (z) =
+1 Y
G (z) = z
d
dz
n=1
F (z)
G(z)
1 sin ( z) ;
1 z 2 =n 2 ;
= F (z)
G(z)
dF (z) =dz
F (z)
dG (z) =dz
G (z)
dF (z) =dz
F (z)
= cot ( z) ;
1
=
z +
+1X
n=1
dG (z) =dz
G (z)
2z
z2 ;
n2 = 0:
Quindi F (z) di¤erisce da G(z) per una costante, che è 0 perché entrambe le
funzioni si annullano in z = 0.
Mostriamo in…ne come è semplice calcolare la somma dei reciproci delle
potenze pari con l’aiuto dei polinomi di Bernoulli e delle serie di Fourier. De…niamo
i polinomi f n(x)g +1
n=0 ricorsivamente:
8
><
>:
0(x) = 1;
d
dx n+1(x) = n(x);
Z 1
n+1(x)dx = 0:
0
Per esempio, 1(x) = x 1=2, 2(x) = x 2 =2 x=2 + 1=12,... Lo sviluppo in
serie di Fourier nell’intervallo 0 x 1 di x 1=2 è
Integrando si ricava
x
1
2 = 1 +1 X sin(2 kx)
:
k
k=1
2n(x) = ( ) n+1 2
+1X
k=1
2n+1(x) = ( ) n+1 +1X
2
170
k=1
cos(2 kx)
;
(2 k) 2n
sin(2 kx)
:
(2 k) 2n+1

In particolare, per x = 0 e x = 1=4 si ottengono le serie
+1X
k 2n = ( ) n+1 2 2n 1 2n 2n(0);
+1X
(
k=1
) k (2k + 1) 2n 1 = ( ) n+1 2 2n 2n+1 2n+1(1=4):
k=0
Questi sviluppi in serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli sono dovuti ad
Eulero, il quale osserva che se siamo capaci di sommare una serie di potenze,
siamo anche capaci di sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z =
r (cos(#) + i sin(#)), allora
+1X
k=0
ckz k =
+1X
k=0
ckr k cos(k#) + i
+1X
k=0
ckr k sin(k#):
Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio di
convergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti che
poi integra e deriva a piacimento. In particolare,
1 + z + z 2 + z 3 + ::: = 1=(1 z);
cos(#) cos(2#) + cos(3#) ::: = 1=2;
sin(#) sin(2#)=2 + sin(3#)=3 ::: = #=2:
La seconda serie si ottiene ponendo z = exp(i#) nella serie geometrica. La
terza si ottiene integrando la seconda ed osservando in # = 0 che la costante
di integrazione è nulla. Questi sviluppi sono validi in < # < , traslando e
riscalando si possono ottenere gli sviluppi in altri intervalli.
Dieci termini della serie di Eulero-Fourier x
2 =
+1X
k=1
( ) k+1 sin(kx)
,
k
con il fenomeno di Wilbraham-Gibbs nei punti di discontinuità x = .
Abbiamo visto come Eulero calcola le serie dei reciproci delle potenze pari.
E le potenze dispari? ”Tutti i miei sforzi sono stati vani...”. Anche Eulero ha
i suoi limiti.
171

Eulero (1707-1783) Lagrange (1736-1813)
F RAZIONI
CONT INUE
Le migliori approssimazioni di con denominatori via via crescenti sono:
3
1
; 13
4
; 16
5
; 19
6
; 22
7
; 179
57
; 201
64
; 223
71
; 245
78
; 267
85
; 289
92
; 311
99
; 333
106
355
; ; :::
113
Tra queste approssimazioni, 3, 22=7, 333=106, 355=113,..., sono le frazioni
parziali dello sviluppo di in frazioni continue,
1
= 3 +
:
1
7 +
1
15 +
1
1 +
292 + :::
Le frazioni continue compaiono implicitamente nell’algoritmo di Euclide per
la determinazione del massimo comun divisore. Dati due interi a e b, esistono
due interi c ed r con a = b c+r e 0 r < b. Esistono poi d ed s con b = r d+s
e 0 s < r... I resti decrescono e l’ultimo resto non nullo è il massimo comun
divisore tra a e b. Si può riscrivere l’algoritmo come una frazione continua,
a r 1
= c + = c +
b b b
r
= c + 1
d + s
r
= c + 1
d + 1 r
s
= :::
In un linguaggio funzionale più astratto, se [y] è la parte intera di y e F (x) =
172

1=x [1=x] la parte frazionaria di 1=x, allora per ogni 0 < x < 1 si ha
1
x =
[1=x] + F (x) =
1
1
[1=x] +
[1=F (x)] + F 2 (x)
1
=
1
[1=x] +
1
[1=F (x)] +
[1=F 2 :
(x)] + :::
In particolare, i numeri razionali hanno sviluppi in frazioni continue semplici
…nite e viceversa. Per comodità tipogra…ca si usa anche scrivere
1
a(0) +
1
a(1) +
1
a(2) +
a(3) + :::
= a(0) + 1 1 1
a(1)+ a(2)+ a(3)+ :::
= [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] :
Le n esime convergenti p(n)=q(n) = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::; a(n)] si possono
calcolare in modo ricorsivo ponendo
p(0) = a(0); p(1) = a(0)a(1) + 1; p(n) = a(n)p(n 1) + p(n 2);
q(0) = 1; q(1) = a(1); q(n) = a(n)q(n 1) + q(n 2):
Per dimostrare queste formule per induzione, basta scrivere la frazione con n
termini [a(0); :::; a(n)] nella forma con n 1 termini [a(0); :::; a(n 1) + 1=a(n)].
Se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e x(n) = [a(n); a(n + 1); a(n + 2); a(n + 3); :::],
risulta
x
x =
p(n + 1)
q(n + 1)
x(n + 1)p(n) + p(n 1)
x(n + 1)q(n) + q(n 1) ;
p(n)
q(n) =
( ) n
q(n)q(n + 1) ;
p(n + 1)
q(n + 1) =
q(n)
x(n + 2)q(n + 1) x
p(n)
q(n)
Quindi p(n + 1)=q(n + 1) dista da x meno di p(n)=q(n) e
p(0) p(2) p(4)
p(5) p(3) p(1)
< < < ::: < x < ::: < < <
q(0) q(2) q(4) q(5) q(3) q(1) ;
1
< x
2q(n)q(n + 1)
p(n)
q(n) <
1
q(n)q(n + 1) :
Le frazioni continue possono essere utilizzate per approssimare dei numeri
irrazionali con delle frazioni, o dei numeri razionali con denominatore alto con
173
:

azionali con denominatore basso. Riportiamo al proposito un interessante esempio
che compare nel ”Saggio sulle frazioni continue” di Eulero, aggiornando
un poco i numeri. Un anno solare ha durate di¤erenti, a seconda del tipo di
misura ed anche variabile di anno in anno per l’in‡uenza della gravità della
Luna e degli altri pianeti. L’anno anomalo è il periodo di rivoluzione della
Terra intorno al Sole misurato rispetto agli apsidi, il perielio quando la Terra
è più vicina al Sole è attorno al 2 Gennaio e l’afelio quando è più lontana è
attorno al 2 Luglio. Quest’anno anomalo è circa 365 giorni 6 ore 13 minuti 52
secondi. L’anno siderale è il periodo di rivoluzione della Terra intorno al Sole
misurato rispetto al sistema di riferimento delle stelle …sse. Quest’anno siderale
è circa 365 giorni 6 ore 9 minuti 10 secondi. In…ne c’è l’anno tropico, il periodo
di rivoluzione dato dall’intersezione tra l’eclittica, cioè il piano dell’orbita, ed
il piano dell’equatore, perpendicolare all’asse di rotazione della Terra. Le due
interzezioni sono nell’equinozio di Primavere attorno al 21 Marzo e l’equinozio
di Autunno attorno al 23 Settembre. Questo è l’anno del calendario ed ha una
durata di circa 365 giorni 5 ore 48 minuti 45 secondi, cioè, in giorni,
365 + 5 48
+
24 24 60 +
45 46751
1
= = 365 +
24 60 60 128 1
4 +
7 + 1
1 + 1
:
3
La prima ridotta della frazione è 1/4 e la terza 8/33. Nel 46 a.C. Giulio
Cesare introduce un calendario con un anno bisestile ogni 4, e Omar Khayyam
(1048-1131) propone 8 anni bisestili ogni 33. Il nostro calendario è meno preciso
ma più semplice: 8/33 è circa 24/100 ma più precisamente 97/400. Questo
suggerisce di porre un anno bisestile ogni 4 e di eliminarne uno ogni 100 aggiungendone
uno ogni 400. L’anno ha quindi 365 + 97=400 giorni e di¤erisce
dall’anno solare per 1/3200 giorni. Il calendario giuliano in 15 secoli accumula
un ritardo di 10 giorni e crea problemi con la data della Pasqua, che il concilio
di Nicea del 325 d.C. …ssa nella prima Domenica che segue il plenilunio dopo
l’equinozio di primavera. Su suggerimento di Luigi Lilio (1510-1576), Ignazio
Danti (1536-1586), Christophorus Clavius (1537-1612), che utilizzano le tavole
astonomiche dell’Accademia di Toledo con un anno di 365 giorni 5 ore 49 minuti
16 secondi, nel 1582 il Papa Gregorio XIII riforma il calendario giuliano introducendo
la seguente regola: Gli anni divisibili per quattro sono bisestili, con
l’eccezione degli anni divisibili per 100 ma non per 400. I giorni dal 5 Ottobre
1582 al 14 Ottobre 1582 sono cancellati dal calendario. I protestanti denunciano
il furto di 10 giorni di vita ma poi si adeguano, gli ortodossi ancora resistono.
174

L’orbita della Luna
intorno alla Terra.
La durata del mese sinodico da Luna nuova a Luna nuova è
29,53059 giorni. Il mese draconico da nodo a nodo è 27,21222.
Il mese anomalistico da perigeo a perigeo è 27,55455. Il ciclo del
Saros è 223 mesi sinodici, che corrispondono quasi esattamente a
242 mesi draconici o 239 mesi anomalistici. Questo ciclo, scoperto
dai caldei, governa le eclissi di Sole e Luna ed anche le maree.
2953059=2721222 = [1; 11; 1; 2; 1; 4; 3; 4; 1; 3; 10; 6]
[1; 11; 1; 2; 1; 4] = 242=223
223 29; 53059 = 6585; 32157
242 27; 21222 = 6585; 35724
239 27; 55455 = 6585; 53745
Per il calcolo delle radici quadrate Bombelli e Cataldi propongono la formula
p b
a2 + b = a +
:
b
2a +
b
2a +
2a + :::
Basta osservare che p a 2 + b è la soluzione positiva dell’equazione x = a +
b= (a + x) e sostituire ripetutamente
x = a + b
= a +
a + x
b
a + a + b
a + x
= a +
2a +
b
b
a + a + b
a + x
= :::
Il metodo è semplice ed e¢ ciente. Per esempio, le approssimazioni 265=153 <
p 3 < 1351=780 nella ”Misura del cerchio” di Archimede si possono ricavare
dalle ridotte dello sviluppo di p 3 = 1 + 2= (2 + 2= (2 + :::)). Per risolvere
l’equazione x 2 ax 1 = 0 si può trasformarla in x = a + 1=x ed iterare,
x = a + 1= (a + 1=x),.... Nel 1770 Lagrange mostra che ogni frazione continua
e periodica da un certo posto in poi è radice di una equazione di secondo grado
a coe¢ cienti interi, e viceversa. Nel 1829 Galois dimostra che una frazione
continua è puramente periodica se e solo se è la radice maggiore di 1 di una
175

equazione di secondo grado a coe¢ cienti interi e la radice coniugata è compresa
tra 1 e 0. Nel 1769 Lagrange propone un algoritmo per trovare lo sviluppo in
frazioni continue delle radici di un generico polinomio a coe¢ cienti interi. Se un
polinomio P (x) di grado n ha una sola radice nell’intervallo < x < , allora
il polinomio (1 + x) n P (( + x) = (1 + x)) ha una sola radice in 0 < x < +1.
Consideriamo ora un polinomio Q(x) di grado n con una sola radice positiva e
denotiamo con a la parte intera di questa radice. Questa parte intera è determinata
dalla disequazione Q(a) 0 < Q(a + 1), o dalla disequazione inversa.
Operiamo la sostituzione x = a + 1=y e poniamo R(y) = y n Q (a + 1=y). Anche
questo polinomio ha una sola radice positiva, con parte intera b. Se y = b + 1=z,
anche S(z) = z n R (b + 1=z) ha una sola radice positiva, con parte intera c... In
questo modo si ottiene lo sviluppo in frazione continua della radice Q(x) = 0,
x = a +
1
b + 1
:
c + :::
Nel 1776 Lagrange propone il seguente metodo per ottenere lo sviluppo in
frazioni continue della soluzione di un’equazione di¤erenziale. Sia dy=dx =
F (x; y). Assumendo y(x) a(x) per jxj piccolo, si pone y = a= (1 + z) e sostituendo
questa espressione nell’equazione di¤erenziale si ottiene un’equazione
di¤erenziale dz=dx = G(x; z). Assumendo z(x) b(x), si pone z = b= (1 + z),
e così via. In questo modo si ottiene lo sviluppo y = a= (1 + b= (1 + :::)). Non è
semplice ottenere una formula generale per i termini a, b,..., ma a volte il metodo
funziona. La classe delle equazioni di¤erenziali di Riccati dy=dx = a(x)+b(x)y+
c(x)y 2 è invariante per i cambi di variabili y = ( (x) + (x)z) = ( (x) + (x)z).
Assumiamo k + 2n 6= 0 per n = 1; 2; ::: e consideriamo l’equazione
x dy
dx + ky + y2 + x 2 = 0; y(0) = 0:
Inserendo una serie di potenze a+bx+cx 2 +::: nell’equazione ed uguagliando
a zero le potenze di x si ottiene lo sviluppo y = x 2 = (k + 2) + :::. Ponendo
y = x 2 = (k + 2 + z), si ottiene poi un’equazione per z analoga a quella per y,
ma con k + 2 al posto di k,
x dz
dx + (k + 2)z + z2 + x 2 = 0; z(0) = 0:
Si può iterare il procedimento ponendo z = x 2 = (k + 4 + w), e così via...
In tal modo si ottiene lo sviluppo
x
y =
2
x
k + 2 +
2
x
k + 4 +
2
:
k + 6 + :::
Consideriamo ora l’equazione di¤erenziale a variabili separabili
dy
dx = 1 + y2 ; y(0) = 0:
176

La soluzione è y = tan(x), ma procediamo come sopra. Ponendo y =
x= (1 + z), si ottiene un’equazione per z,
x dz
dx + z + z2 + x 2 = 0; z(0) = 0:
Quindi z = x 2 = 3 x 2 = 5 x 2 =(7 :::) e
tan(x) =
1
3
x
x2 5
x2 x2 7 :::
Questa frazione continua converge per ogni x e sostituendo x con ix si
ottengono anche gli sviluppi in frazioni continue di tanh(x) e exp(x),
exp(x) exp(
exp(x) + exp(
x)
=
x)
x
i tan(ix) =
x
1 +
2
x
3 +
2
5 + x2
;
7 + :::
exp(x) =
1
1
1
2
1
i tan(ix=2)
=
1
1
2x
x
2 + x +
2
x
6 +
2
10 + x2
14 + :::
Questi sviluppi sono scoperti nel 1737 da Eulero e sono poi riottenuti nel
1761 da Lambert e nel 1794 da Legendre, che li utilizzano per dimostrare
l’irrazionalità di e di e, e più in generale l’irrazionalità di tan(p=q) e di exp(p=q)
per ogni razionale p=q. Qui osserviamo solo che ponendo x = 1 nello sviluppo
di exp(x) e x = 1 in quello di tanh(x) si ottengono degli sviluppi in frazioni
continue semplici,
e 1
2 =
1
;
1
1 +
1
6 +
1
10 +
14 + :::
e 2 1
e 2 + 1 =
:
1
1
1 +
1
3 +
5 + 1
:
7 + :::
Da questi sviluppi segue immediatamente che sia e che e 2 sono irrazionali.
Inoltre questi numeri non sono radici di un polinomio di secondo grado a coe¢ cienti
interi, perché tali radici dovrebbero avere uno sviluppo in frazioni continue
periodico. Scriviamo ora e 1 = 2= (1 + 1= (6 + 1= (10 + :::))) e cerchiamo di
177
:

moltiplicare per due uno sviluppo in frazioni continue. Si ha
2
(2a + 1) + 1
b
1
=
1
a +
1
1 +
1 + 2
:
b 1
In particolare, con a = 0 e b = 6 + 1= (10 + 1=(14 + :::)), si ottiene
2
e 1 =
1
1 +
6 + 1 1
10+ 14+ :::
1
= 1 +
2
1 +
5 + 1 1
10+ 14+ :::
:
Similmente, con a = 2 e b = 10 + 1= (14 + 1=(18 + :::)),
1
e 1 = 1 +
2
1 +
5 + 1 1
10+ 14+ :::
1
= 1 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
2
1 +
9 + 1
14+ :::
:
Iterando si ottiene lo sviluppo in frazioni continue di e 1, quindi di e. Questi
sviluppi si possono anche ottenere più direttamente nel modo seguente. Se una
successione fX(n)g +1
n=0 veri…ca una relazione di ricorrenza con tre termini
(an + A)X(n) = (bn + B)X(n + 1) + (cn + C)X(n + 2);
ponendo Y (n) = X(n)=X(n + 1) ed iterarando la relazione
(an + A) X(n)
+ 2)
= (bn + B) + (cn + C)X(n
X(n + 1) X(n + 1) ;
(bn + B)
Y (n) =
(an + A) +
(cn + C)
(an + A)Y (n + 1) ;
si ottiene uno sviluppo in frazioni continue per Y (0). In particolare, de…niamo
X(n; x) = 2n
xn +1X
k=0
(n + k)!
k!(2n + 2k)! x 2k X(n; x)
; Y (n; x) =
X(n + 1; x) :
178

Si ha X(0; x) = cosh(1=x), X(1; x) = sinh(1=x), ed anche
Quindi,
X(n; x) = (2n + 1)xX(n + 1; x) + X(n + 2; x);
1
Y (n; x) = (2n + 1)x +
Y (n + 1; x) :
1
1
Y (0; x) = x + = x +
Y (1; x) 1
3x +
Y (2; x)
1
= x +
1
3x +
1
5x +
Y (3; x)
exp(1=x) + exp(
exp(1=x) exp(
1=x)
1
= x +
:
1=x) 1
3x +
5x + :::
Le frazioni continue sono un metodo di approssimazione spesso più e¢ -
ciente delle serie di Taylor, che danno solo approssimazioni locali. Per esempio,
le frazioni parziali x, 3x= 3 x 2 , 15x x 3 = 15 6x 2 ,..., dello sviluppo
in frazioni continue tan(x) = x x
1
2 x
3
2
::: approssimano questa funzione an-
5
che oltre le singolarità in =2, 3 =2,.... tan(x) ha un polo in =2 mentre
15x x3 = 15 6x2 ha un polo in p p
10=2, in particolare 10 = 3; 162:::.
Lo sviluppo in frazioni continue della tangente.
105x 10x3
y =
105 45x2 + x4 ; y = 945x 105x3 + x5 945 420x2 ; y = tan(x):
+ 15x4 Descriviamo in…ne un semplice algoritmo di D.Shanks per calcolare lo sviluppo
in frazioni continue di logaritmi. Per calcolare logb0 (b1), con 1 < b1 < b0,
troviamo n1 tale che b n1
1 < b0 b n1+1
1 . Si ha allora b0 = b n1+1=x1
1 con
x1 1, e in particolare logb0 (b1) = 1= (n1 + 1=x1). Determinati fb0; b1; :::; bk 1g
e fn1; :::; nk 1g, de…niamo bk = bk 2b nk 1
k 1 e troviamo nk tale che b nk
k <
bk 1 b nk+1
k . Allora bk 1 = b nk+1=xk
k con xk 1. Ora osserviamo che
bk = b nk+1+1=xk+1
k+1 e bk+1 = bk 1b nk
k
179
= b 1=xk
k , quindi xk = nk+1 + 1=xk+1.

Da questa relazione di ricorrenza si conclude che
log b0 (b1) =
1
n1 + 1
x1
=
n1 +
1
1
n2 + 1
180
x2
=
n1 +
1
n2 +
1
1
n3 + :::

Bu¤on (1707-1788)
MET ODI
MONT ECARLO
Alla domanda di un assicuratore su come stimare l’aspettativa di vita di
un assicurato, un matematico risponde che se e sono la media e lo scarto
quadratico, la probabilità che la durata sia tra a e b è descritta approssimativamente
dall’area sotto una curva a campana,
1
p 2
Z b
a
exp (x ) 2 =2 2 dx:
Non tenta neanche di spiegare cos’è la funzione esponenziale, ma ricorda
che è quel numero che nasce dalla misura del cerchio. A questo punto
l’interlocutore perplesso osserva che ci deve essere un errore, cosa c’entra la
vita di una persona con un cerchio? Che relazione ci può essere tra e, e la
probabilità?
La curva a campana
di Gauss:
y = exp( x 2 ).
Una variabile aleatoria normale con media e varianza 2
ha densità di probabilità
1
p 2
Lanciando 2n volte una moneta non truccata, la probabilità di ottenere
esattamente n teste ed n croci è esattamente
2n
n 2 2n e, per la formula di
181
exp
1
2
x
2 !
.

Stirling, si ha
2n
n 2 2n (2n) 2ne 2np4 n
22n nne np 1
2 = p :
2 n n
Non è un metodo e¢ ciente per calcolare , ma dimostra comunque una
relazione tra questo numero e la probabilità.
All’interno di un quadrato tracciamo un cerchio. Se scegliamo ”a caso” un
numero grande di punti nel quadrato e contiamo quanti di questi punti sono
anche nel cerchio, è ragionevole supporre che il rapporto tra il numero di punti
nel cerchio ed il numero di punti nel quadrato è circa uguale al rapporto tra
l’area del cerchio e quella del quadrato:
numero di punti nel cerchio
numero di punti nel quadrato
area del cerchio
area del quadrato :
Questa uguaglianza approssimata, per un numero di punti che cresce all’in…nito
diventa esatta. Probabilmente abbiamo quadrato il cerchio... Se l’area è una
misura dell’insieme dei punti che intersecano una …gura, il perimetro è una
misura dell’insieme delle rette che intersecano una …gura convessa. La probabilità
che una retta che interseca un quadrato intersechi anche un cerchio interno al
quadrato è uguale al rapporto tra il perimetro del cerchio e quello del quadrato.
Probabilmente abbiamo retti…cato il cerchio... Per la stima dell’errore in un
metodo Montecarlo si può solo parlare di errore probabile. Supponiamo che un
esperimento abbia probabilità di successo p e probabilità di insuccesso 1 p.
Ripetendo N volte l’esperimento si ha un numero atteso di Np successi, con
uno scarto quadratico medio p Np(1 p).
Un punto nel quadrato è anche
nel cerchio con probabilità
area del cerchio
area del quadrato .
Una retta nel quadrato interseca
il cerchio con probabilità
perimetro del cerchio
perimetro del quadrato .
Probabilità geometrica.
Scegliere a caso un oggetto equivale a scegliere a caso le sue coordinate. La
de…nizione di numero casuale è piuttosto problematica perché una de…nizione
in genere descrive una qualche proprietà, mentre un numero casuale dovrebbe
essere un numero senza proprietà particolari. Comunque, le stelle sembrano
quasi gettate a caso nel cielo così che le coordinate stellari dovrebbero essere
182

numeri casuali. Anche i numeri generati dalle roulettes del Casinò di Montecarlo
dovrebbero essere casuali. Un’altra successione di numeri casuali sembra essere
la successione delle cifre decimali di . Se le cifre decimali di sono casuali, tra
i primi N decimali ogni cifra deve comparire circa N=10 volte, con uno scarto
quadratico medio p N3=10. Per esempio, tra i primi 100 decimali di ogni cifra
compare circa 10 volte, con scarti inferiori a cinque,
= 3; 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679:::
Anche tra il primo milione di cifre decimali di ogni cifra compare circa
centomila volte, con scarti inferiori a cinquecento. In un numero a caso di
9X
N cifre la somma degli scarti quadratici pesati 10=N (Xk N=10) 2 tra le
frequenze Xk delle cifre k e le frequenze attese N=10 ha media 9 e varianza 18.
Applichiamo questo test statistico chi quadro ai decimali di con N = 100 e
N = 1000000,
Cifra Frequenza
Scarto
quadrato
0 8 4
1 8 4
2 12 4
3 11 1
4 10 0
5 8 4
6 9 1
7 8 4
8 12 4
9 14 16
Totale 100 42
k=0
Cifra Frequenza
Scarto
quadrato
0 99959 1681
1 99758 58564
2 100026 676
3 100229 52441
4 100230 52900
5 100359 128881
6 99548 204304
7 99800 40000
8 99985 225
9 100106 11236
Totale 1000000 550908
In entrambi i casi lo scarto quadratico pesato ha un valore prossimo a 5,
inferiore al valore 9 per un numero a caso. Con possiamo anche giocare
a poker, dividendo i suoi decimali in blocchi di cinque. I primi dieci milioni
di decimali danno due milioni di mani, tra queste le coppie sono 1007151, i
tris 144375, i poker sono 8887, contro dei valori attesi di 1008000, 144000,
9000. All’apparenza non c’è niente di strano, pare onesto. Un numero si dice
normale se nel suo sviluppo decimale ogni cifra compare con frequenza 1/10
e, più in generale, ogni combinazione di cifre compare con la frequenza dovuta.
Quasi ogni numero è normale ed anche ed e sembrano normale, anzi i decimali
di questi due numeri speciali sembrano del tutto casuali.
La relazione tra e la probabilità sembra aver origine da un gioco d’azzardo
descritto da Georges Louis Leclerc, Comte de Bu¤on (1707-1788): Si getta una
moneta sul pavimento di una stanza, c’è chi scommette che la moneta cade
all’interno di una piastrella, chi scommette che la moneta tocca due piastrelle e
183

chi scommette che ne tocca più di due. Quali sono le possibilità di vincite dei
ognuno di questi scommettitori? Su incarico del conte un ragazzo ha dovuto fare
più di duemila lanci... Un problema più semplice è quello dell’ago di Bu¤on:
”Io suppongo che in una stanza, con il pavimento semplicemente diviso in
linee parallele, si getta per aria un bastoncino, e uno dei giocatori scommette
che il bastoncino non toccherà nessuna delle linee parallele sul pavimento, l’altro
al contrario scommette che il bastoncino toccherà qualcuna di queste parallele;
mi chiedo quale è la sorte di questi due giocatori. Si può giocare questo gioco
con un ago da cucito...”
Sia D la distanza tra le linee sul pavimento e L la lunghezza dell’ago, supponiamo
per semplicità L < D. Denotiamo con x la distanza tra il centro
dell’ago e la linea più vicina, 0 x D=2, e denotiamo con # l’angolo tra ago
e linea, 0 # . Gettare a caso l’ago equivale a scegliere a caso x e # e
2dxd#= D è una misura di probabilità su f0 x D=2g f0 # g. L’ago
interseca la linea quando x L=2 sin(#) e la probabilità di questo evento è
P x
Z
L
2
sin(#) =
2 D 0
Z L
2 sin(#)
0
dxd# = 2L
D :
In particolare, indicando con P la probabilità di intersezione, si ottiene
= 2L=DP . Con esperimenti ripetuti è in principio possibile ottenere delle
approssimazioni di e sono molti quelli che ci hanno provato. Nel 1901 Mario
Lazzarini. in ”Un’applicazione del calcolo della probabilità all ricerca sperimentale
di un valore approssimato di ” ripete l’esperimento di Bu¤on con
L=D = 5=6 e in 3408 lanci ottiene 1808 intersezioni. Da questo si deduce la
stima 2(5=6)(3408=1808) = 355=113 che approssima con sei decimali corretti.
È un risultato troppo preciso per non far nascere qualche sospetto, a parte gli
errori di misurazione delle lunghezze e l’ambiguità sulla presenza o meno di
intersezioni, c’è anche il fatto che questi esperimenti danno il risultato sotto
forma di frazione e non sono molte le frazioni con un denominatore basso che
approssimano bene . Per esempio, dallo sviluppo in frazioni continue si hanno
le approssimazioni 3=1 < 333=106 < < 355=113 < 22=7. La migliore approssimazione
successiva è solo 52163/16604. Insomma, tutti questi numeri fanno
nascere il sospetto che l’esperimento di Lazzarini sia stato costruito a tavolino.
Generalizzando il risultato di Bu¤on, nel 1812 Laplace dimostra che la probabilità
che un ago di lunghezza L intersechi una griglia rettangolare con dimensioni
A e B è 2L= A + 2L= B L 2 = AB, se l’ago ha dimensioni minori della
griglia. Se invece l’ago è molto lungo e la griglia quadrata unitaria, per ogni
angolo # tra ago e griglia ci sono circa L cos(#) intersezioni con le linee orizzontali
e L sin(#) intersezioni con quelle verticali ed i valori attesi del numero di
184

intersezioni X e del quadrato X 2 sono circa
E (X)
E X 2 2L 2 Z =2
2L Z =2
(cos(#) + sin(#)) d# = 4L= ;
0
0
(cos(#) + sin(#)) 2 d# = (1 + 2= ) L 2 :
Quindi il valore atteso di X=L risulta 4= e la varianza 1 + 2= 16= 2 =
0; 015::: è piuttosto piccola. Questo metodo per stimare risulta più accurato
dei precedenti.
Un problema simile all’ago di Bu¤on è contare le intersezioni tra delle linee
parallele ed una curva gettata a caso su di esse. Denotando con X la variabile
aleatoria che conta il numero di intersezioni di un segmento col sistema
di parallele, il valore atteso di intersezioni è una funzione della lunghezza del
segmento, E (X) = (L). Gettando a caso n segmenti il numero atteso di intersezioni
è E (X1 + ::: + X1) = E (X1) + ::: + E (Xn) = (L1) + ::: + (Ln) e
questo vale anche se le variabili aleatorie non sono indipendenti, come quando
gli estremi dei segmenti sono concatenati e formano una poligonale. D’altra
parte, se i segmenti sono esattamente allineati e formano un unico segmento
si ha anche E (X1 + ::: + X1) = (L1 + ::: + Ln). Quindi, (L1 + ::: + Ln) =
(L1) + ::: + (Ln), la funzione (L) = cL è lineare. Concludendo, il numero
atteso di intersezioni di una poligonale col sistema di parallele risulta proporzionale
alla lunghezza della poligonale e, prendendo il limite di poligonali,
anche per ogni curva retti…cabile si ha E (X) = cL. Per calcolare la costante
di proporzionalità basta osservare che se la distanza tra le parallele è D e la
curva è un cerchio di diametro D, con probabilità uno il numero di intersezioni
è due, quindi c = 2= D, cioè per ogni curva retti…cabile E (X) = 2L= D. Quasi
senza far conti abbiamo riottenuto il risultato di Bu¤on, e con degli aghi storti!
In particolare, se una curva chiusa e convessa ha in ogni direzione diametro
costante uguale a D le intersezioni sono sempre 2, quindi il perimetro è legato
al diametro dalla relazione L = D. Le curve con spessore costante D hanno
perimetro D. Il cerchio non è la sola curva con spessore costante. De…nendo
metà curva in modo pressoché arbitrario, si può completare l’altra metà ottenendo
uno spessore costante in ogni direzione.
185

La formula di Cauchy per l’area
di una super…cie convessa:
Z
A(C) =
(n 1) ((n 1)=2)
2 (n 1)=2
Sn 1
n 1 (C; #) d#:
In questa formula C è un convesso in R n , n 1 (C; #) la misura della
proiezione di C sul sottospazio ortogonale a #, S n 1 l’insieme dei vettori
di norma uno, 2 (n 1)=2 =(n 1) ((n 1)n=2) il volume della sfera unitaria
in R n 1 . Se C è un poliedro con facce Fj di area A (Fj) e normali nj,
Z
Sn 1
0
Z
@
Sn 1
1
1
X
A (Fj) jnj #jA
d#
2
j
= 1
0
Z
jn #j d# @
2 Sn 1
X
1
A (Fj) A .
n 1 (C; #) d# =
In particolare, una curva chiusa con spessore costante D ha lunghezza D.
Nel 1881 Ernesto Cesaro (1859-1906) descrive una interessante relazione tra
probabilità, teoria dei numeri, e . Quale è la probabilità che due interi positivi
scelti a caso siano primi tra loro? Indichiamo con P (n) la cardinalità dell’insieme
delle coppie di numeri minori o uguali ad n e primi tra loro. La probabilità
che due numeri siano primi tra loro è data dal limite limn!+1 P (n)=n 2 = p.
Assumendone l’esistenza, calcoliamo questo limite. Calcoliamo la probabilità
pk che il massimo comun divisore tra due numeri interi positivi a e b sia uguale
a k. Vogliamo che sia a che b siano multipli di k e che a=k e b=k siano primi tra
loro. I primi due eventi hanno probabilità 1=k mentre il terzo ha probabilità p,
inoltre questi eventi sono indipendenti. Quindi pk = 1=k 1=k p e sommando
otteniamo
1 =
+1X
+1X
pk = k 2 p = p 2 =6:
k=1
k=1
La probabilità che due numeri siano primi tra loro è quindi 6= 2 = 0; 607927:::
Questa probabilità ha la seguente interpretazione geometrica. Nel piano cartesiano
consideriamo il reticolo dei punti a coordinate intere. Si può vedere
(a; b) da (c; d) se e solo se ja cj e jb dj sono relativamente primi. Denotiamo
con (n) la funzione di Eulero che conta i numeri tra 1 e n primi
con n. Dividendo un quadrato in otto triangoli si mostra che il numero di
punti nel quadrato fjaj x; jbj xg visibili dall’origine è 8 X
(n). La stima
186
j
1 n x

X
1 n x
(n) 3 2 x 2 divisa per l’area del quadrato 4x 2 fornisce la percentuale
dei punti visibili dall’origine. Di fatto questi risultati sono essenzialmente contenuti
nei diari di Gauss in data 6 Settembre 1796 e sono pubblicati nel 1849 da
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). Più in generale, la probabilità che
n interi positivi scelti a caso abbiano massimo comune multiplo uno è uguale a
+1X
k=1
k n
! 1
.
Torniamo al Casinò di Montecarlo per una partita a carte. Due giocatori
con due mazzi di n carte identiche le scoprono una ad una. Uno scommette che
ogni volta le due carte scoperte saranno diverse ed uno che qualche volta compariranno
carte uguali. Qual’è la sorte di ciascuno dei due giocatori? Il calcolo
di queste probabilità si riduce alla determinazione del numero di permutazioni
con e senza punti …ssi ed è dovuto a Nikolaus Bernoulli (1687-1759) ed Eulero.
Se denotiamo con Ai le permutazioni con i …sso, la probabilità che i1, i2,..., ik
n
siano …ssi è P [Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aik ] = (n k)!=n! e ci sono sottoinsiemi di
k elementi scelti tra n. Per il principio di inclusione ed esclusione, la probabilità
che ci sia qualche punto …sso è
P [A1 [ A2 [ ::: [ An]
= X
P [Ai] X
P [Ai \ Aj] +
X
P [Ai \ Aj \ Ak] :::
i
= n
1
i6=j
(n 1)!
n!
n
2
i6=j;j6=k;k6=i
(n 2)!
n!
+ n
3
(n 3)!
n!
= 1 1=2! + 1=3! ::: + ( ) n =n! 1 1=e:
La probabilità di vincere di chi scommette su carte diverse è circa 1=e =
0; 367879:::.
Un altro problema molto concreto in cui compare inaspettatamente il numero
e è quello della scelta del miglior partito. Assumiamo che ogni ragazza
in età da marito abbia diritto a n pretendenti, non contemporaneamente ma
in successione. Dopo aver conosciuto un pretendente ha due possibilità, o ne
accetta la corte o lo pianta, ma ogni lasciato è perso! La strategia per scegliere
il miglior partito è di scartare i primi k pretendenti e poi scegliere il primo tra
i rimanenti migliore dei primi k, ed il problema è trovare il k che massimizza
la probabilità di successo. Se il miglior partito è tra i primi k, con la strategia
descritta è perso. Se il miglior partito è al posto j > k, allora la strategia ha
successo qualora il migliore tra i primi j 1 partiti sia tra i primi k. Denotando
con A l’evento di riuscire a scegliere il miglior partito e con Bj l’evento che il
miglior partito è il j-esimo, si ha quindi
P [A] =
nX
P [Aj Bi] P [Bj] =
j=1
187
nX
j=k+1
k
k 1
j 1 n :
:::

Se n e k sono grandi questa probabilità risulta approssimativamente uguale
a (k=n) log(n=k). Quando n=k e la probabilità è massima ed è circa 1=e.
La controindicazione a questa strategia è una probabilità di rimaner zitella piuttosto
alta, k=n 1=e, mentre la probabilità di non sposar l’uomo giusto è
minore, circa 1 2=e. Ma torniamo alla storia. Dopo aver perso la prima
moglie, Keplero analizza scienti…camente per un paio d’anni pregi e difetti di
undici possibili candidate, per poi tornare sui suoi passi alla quinta da cui poi
ha sette …gli. Osservando che 11=e = 4; 046:::, si sarebbe risparmiato tempo
e fatica e non avrebbe corso il rischio di trovare la sua bella già sposata con
qualcun altro. La morale, se proprio ci si vuole sposare, è di non dir subito di
sì al primo venuto, ma anche di non tirar troppo per le lunghe.
188

Gauss (1777-1855)
P ROBLEMA DEL
CERCHIO
Un metodo elementare per stimare l’area di una …gura è di riportarla su
della carta a quadretti di lato uno contando poi i quadretti contenuti nella
…gura stessa. Sorge però il problema di quei quadrati che intersecando il bordo
della …gura danno un contributo minore di una all’area e risulta conveniente
contare non i quadrati ma i centri di tali quadrati, che in un opportuno sistema
di coordinate cartesiane sono punti a coordinate intere.
Lo Stomachion di Archimede:
”Disegniamo un quadrato ABCD,
bisechiamo BC in E, tracciamo la
perpendicolare EF , le diagonali AC,
BF e CF ,... Ognuna delle quattordici parti
è in rapporto razionale con il quadrato.”
Nel 1899 Georg Pick (1859-1942) osserva che un poligono semplice con vertici
in punti interi ha area A = I + B=2 1, con I i punti interi interni e B quelli sul
bordo. Si può dimostrare il risultato per i triangoli e poi estenderlo alle …gure
triangolabili, osservando che le funzioni A e I +B=2 1 sono entrambe additive.
Se X e Y sono poligoni disgiunti adiacenti,
A(X [ Y ) = A(X) + A(Y );
I(X [ Y ) + B(X [ Y )=2 1 = (I(X) + B(X)=2 1) + (I(Y ) + B(Y )=2 1) :
189

Infatti, se dei punti su un tratto di bordo comune ad X e Y risultano interni
a X [ Y , nella formula I + B=2 1 per X e Y contano 1=2 + 1=2 e in quella
per X [ Y contano 1, e il conto torna. Ci sono poi i due estremi del tratto di
bordo comune a X e Y che contano 1=2 + 1=2 sia per X e Y che per X [ Y , e
il conto torna sottraendo 1. Per una dimostrazione alternativa, basta associare
ad ogni punto intero la proporzione di questo punto nel poligono. Se il punto
è interno la proporzione è 1, se il punto è su un lato la proporzione è 1/2, se il
punto è un vertice con angolo la proporzione è =2 . Siccome con n vertici
la somma degli angoli interni è (n 2) , il contributo dei vertici è n=2 1, e il
conto torna.
Il teorema di Pick: Un poligono semplice con vertici in punti
interi ha area A = I + B=2 1, con I i punti interi interni e B
quelli sul bordo. Per la dimostrazione basta osservare che sia A
che I + B=2 1 sono funzioni additive, e coincidono sui triangoli.
Un triangolo rettangolo con cateti
paralleli agli assi è metà rettangolo
ed ha area A = I + B=2 1.
Un poligono può essere scomposto in
triangoli ed ha area A = I + B=2 1.
La formula A = I + B=2 1 vale per
quadrati di area uno e per rettangoli
con lati paralleli agli assi.
Un triangolo è un rettangolo
meno tre triangoli rettangoli
ed ha area A = I + B=2 1.
Il teorema di Pick non si estende dai poligoni a …gure generiche. Non si
può sperare di calcolare in modo esatto l’area semplicemente contando i punti
interi, ma questa è pur sempre una buona approssimazione. Infatti nel 1947
Vojt¼ech Jarnik (1897-1970) e Hugo Steinhaus (1887-1972) dimostrano che se
è una curva piana, chiusa, semplice, retti…cabile di lunghezza L 1, l’area A
racchiusa dalla curva ed il numero N di punti a coordinate intere interni alla
curva di¤eriscono al più per il perimetro, jN Aj < L. Se inoltre il dominio
racchiuso dalla curva è convesso, allora L=2 < N A L=2+1 e l’uguaglianza
190

vale solo per rettangoli con vertici interi e lati paralleli agli assi. L’idea della dimostrazione
è la seguente. Si associa ad ogni punto intero il quadrato con centro
nel punto e lati di lunghezza uno paralleli agli assi. Se un quadrato è interno alla
curva, allora contribuisce +1 sia all’area che al numero di punti interi, quindi
contribuisce 0 all’errore N A. Similmente, anche i quadrati esterni alla curva
non danno contributo all’errore. Gli unici quadrati che danno un contributo
all’errore sono quelli che intersecano la curva e il contributo all’errore di uno di
questi quadrati è minore della lunghezza di quella parte della curva contenuta
nel quadrato.
Il teorema di Jarnik e Steinhaus:
Se A è l’area, P il perimetro,
N i punti interi interni, allora
jN Aj < P .
La lunghezza di un tratto di curva in un quadrato di lato uno è sempre
maggiore dell’area della parte di quadrato che non contiene il centro.
Infatti, la lunghezza è maggiore dell’altezza che è maggiore dell’area.
Applichiamo questo metodo per stimare un’area al calcolo di . Su un foglio
di carta a quadretti disegniamo una circonferenza di raggio R quadretti, poi
contiamo i punti interi interni alla circonferenza. Il numero di questi punti N
di¤erisce dall’area del cerchio R 2 per meno di metà circonferenza R, quindi
dividendo per R 2 si ottiene l’approssimazione R 2 N < R 1 + R 2 .
Parecchi problemi in teoria dei numeri conducono alla stima del numero di
punti interi contenuti in una regione del piano o dello spazio. Per studiare una
data successione a(0), a(1), a(2),..., si può immergerla in una serie di potenze
a(0) + a(1)w + a(2)w 2 + :::, e dalla funzione generatrice si può tornare alla
successione. Per esempio, in quanti modi si può cambiare una banconota da
$ n in monete da $ , , ? Si tratta di contare le soluzioni intere (x; y; z)
dell’equazione x + y + z = n, cioè il numero di punti interi nel triangolo
fx; y; z 0; x + y + z = ng. La formula esatta per il numero di soluzioni
191

ha la funzione generatrice
0
+1X
@
X
n=0 x 0; y 0; z 0; x+ y+ z=n
+1X
!
+1X
!
+1X
=
x=0
w x
= (1 w ) 1
y=0
1 w
w y
1
1A
w n
z=0
w z
!
1 (1 w ) 1 :
1 (1 w ) 1 in frazioni elementari
Si può scomporre (1 w ) 1
1 w
con poli nei punti fw = 1g, w = 1 , fw = 1g, c’è un polo triplo in w = 1 e,
nell’ipotesi che il massimo comun divisore tra f ; ; g sia 1, le altre singolarità
hanno ordine minore. E osservando che 1 w = (1 w) 1 + w + ::: + w 1
(1 w) se w ! 1, si ottiene
(1 w ) 1
1 w
=
+1X
n=0
1 (1 w ) 1 = ( ) 1 (1 w) 3 + :::
(n + 2) (n + 1)
w
2
n + :::
In particolare, se n ! +1 il numero di soluzioni è asintotico a n 2 = (2 ).
Si può ottenere la stessa stima in modo più geometrico ed elementare, osservando
che il numero di punti interi nel tetraedro fx; y; z 0; x + y + z ng
è asintotico al volume n 3 = (6 ), ed il numero dei punti interi sulla faccia
fx 0; y 0; z 0; x + y + z = ng è asintotico all’area della faccia, che
è la derivata del volume: d
dn n3 = (6 ) = n 2 = (2 ).
Un altro esempio classico è un problema studiato da Fermat, Eulero, Lagrange,
Legendre, Gauss, Jacobi, ed altri. È possibile decomporre un dato
numero intero nella somma di due quadrati? Un certo numero può non essere
rappresentabile come somma di due quadrati, per esempio un numero congruo a
3 modulo 4 non è somma di due quadrati, al contrario altri numeri possono avere
parecchie rappresentazioni. Per esempio, 25 = 0 2 + 5 2 = 3 2 + 4 2 e 26 = 1 2 + 5 2 ,
ma 27 non è somma di due quadrati, 83 e 84 non sono somme di due quadrati,
mentre 85 = 2 2 + 9 2 = 6 2 + 7 2 . Denotiamo con r(n) il numero delle decomposizioni
di n nella somma di due quadrati,
r(n) = (x; y) 2 Z Z : x 2 + y 2 = n :
Si può mostrare che un numero è somma di quadrati se e solo se nella
sua scomposizione in fattori primi ogni primo della forma 4n + 3 compare un
numero pari di volte. Più precisamente Legendre ha dimostrato che r(n) =
4 (d1(n) d3(n)), dove d1(n) e d3(n) sono i numeri dei divisori di n della forma
4n + 1 e 4n + 3. Questa funzione aritmetica dipende quindi dalla scomposizione
in fattori primi ed è piuttosto irregolare, ma l’irregolarità viene mitigata considerandone
il valor medio. La somma r(0) + r(1) + r(2) + ::: + r(n) è il numero
192

di soluzioni intere della disequazione x 2 + y 2 n ed è uguale al numero di punti
a coordinate intere in un cerchio con centro nell’origine e raggio p n. Il numero
di punti interi in un cerchio è approssimativamente uguale all’area del cerchio,
quindi un numero ha in media rappresentazioni come somma di quadrati,
r(0) + r(1) + r(2) + ::: + r(n)
lim
= :
n!+1
n + 1
Dalla formula r(n) = 4 (d1(n) d3(n)), denotando con [x] il più grande
intero minore o uguale a x, si ricava la seguente formula di Gauss,
r(0) + r(1) + r(2) + ::: + r(n) = 1 + 4 ([n=1] [n=3] + [n=5] [n=7] + :::) :
Al limite per n ! +1 si riconosce la serie di Leibniz 1 1=3+1=5 1=7+::: =
=4. È anche possibile calcolare esplicitamente r(0) + r(1) + r(2) + ::: + r(n)
con un semplice metodo, sempre di Gauss del 1834. Dividiamo i punti interi
nel cerchio in quattro sottoinsiemi: A = { l’origine }, B = { i punti sugli assi,
esclusa l’origine }, C = { i punti nel quadrato di lato 2 p n=2 iscritto nel cerchio,
esclusi i punti sugli assi }, D = { i punti restanti }. Denotando con [x] il più
grande intero minore o uguale a x, si ha
X
r(k) = jAj + jBj + jCj + jDj
0 k n
= 1 + 4 p n + 4
hp i2 n=2
+ 8
X
p n=2 0, mentre Godfrey Harold
Hardy (1877-1947) e Edmund Landau (1877-1937) hanno mostrato che può essere
molto maggiore di cn1=4 . Sempre Hardy ha mostrato che l’errore quadratico
medio è dell’ordine di cn1=4 . Per dare un’idea di questi risultati, accenniamo
ad una generalizzazione del problema del cerchio di Gauss ed al legame con le
193

serie di Fourier. Quanti punti interi stanno in un dominio D in Rd ? Per complicare
un poco la domanda chiediamoci quanti punti interi stanno in un traslato
D t. Questo numero è una funzione periodica della traslazione t che possiamo
sviluppare in serie di Fourier sul toro Td = Rd =Zd = [0; 1) d ,
X
D t(k) = X
0
Z
@
X
D s(k) exp( 2 ij
1
s)dsA
exp(2 ij t)
k2Z d
^
f( ) =
j2Z d
= X
0
@ X
Z
j2Z d
Z
R d
k2Z d
= X
j2Z d
T d
Z
Td k2Zd D(k + s) exp( 2 ij (k + s))dsA
exp(2 ij t)
R d
1
D(x) exp( 2 ij x)dx exp(2 ij t)
= jDj + X
j2Z d f0g
^
D(j) exp(2 ij t):
f(x) exp( 2 i x)dx è la trasformata di Fourier in R d ed il
conto non è nient’altro che la formula di sommazione di Siméon Denis Poisson
(1781-1840) X
f(k) = X ^
f(j). Gli esponenziali exp(2 ij t) hanno media
k2Z d
j2Z d
nulla sul toro, quindi integrando sopravvive solo il termine jDj. Le traslate
D t contengono in media tanti punti interi quanto la misura del dominio
jDj e l’errore quadratico medio è, per l’uguaglianza di Marc Antoine Parseval
(1775-1836),
8
>< Z
>:
T d
0
@ X
k2Z d
1 9
2 >=
D(k + t) jDjA
dt
>;
1=2
8
<
=
:
X
j2Z d f0g
^
D(j) 2
In particolare, la trasformata di Fourier della funzione caratteristica di una
sfera è una funzione speciale,
Z
fx2Rd exp( 2 i x)dx = r
;jxj rg
d=2 j j d=2 Jd=2 (2 r j j) :
Queste ubique funzioni prendono il nome da Friedrich Wilhelm Bessel (1784-
1846), che le ha utilizzate nella risoluzione dell’equazione di Keplero t = A#
B sin(#). È quindi possibile scrivere esplicitamente una serie di Fourier che rappresenta
il numero di punti interi in una sfera e dalla disuguaglianza J d=2 (z)
c jzj 1=2 segue poi che l’errore quadratico medio è dell’ordine di cr (d 1)=2 .
Il problema del cerchio studia in quanti modi si può decomporre un numero in
somma di due quadrati, quello della sfera studia le decomposizioni nella somma
di tre o quattro quadrati. Salendo di dimensione il problema si sempli…ca.
194
9
=
;
1=2
:

Consideriamo ora dei problemi analoghi. In quanti modi si può decomporre un
numero in un prodotto di due numeri, cioè quanti divisori ha un dato numero
intero? Il numero dei divisori è legato alla scomposizione in fattori primi. Un
numero primo ha due soli divisori, mentre i divisori di n = p a q b :::r c con p, q,...,
r primi e a, b,..., c interi positivi, sono (a + 1)(b + 1):::(c + 1). Il numero dei
divisori di n dipende da n in modo abbastanza irregolare. Riformuliamo allora
la domanda. Quanti sono in media i divisori di un numero intero? Indichiamo
con d(n) il numero dei divisori di n,
d(n) = jf(x; y) 2 N N : xy = ngj :
Questo numero è uguale al numero dei punti (x; y) a coordinate intere e
positive sull’iperbole xy = n e d(1) + d(2) + ::: + d(n) è uguale al numero dei
punti interi (x; y) con 0 < y n=x.
Z
Una approssimazione di questo numero
n
dx
è data dall’area sotto l’iperbole n = n log(n), quindi in media il numero
1
x
dei divisori di n è circa log(n). Di fatto, nel 1849 Dirichlet ha dimostrato un
risultato più preciso. Scomponiamo la regione sotto l’iperbole nel quadrato
di vertici (0; 0), (0; p n), ( p n; p n), ( p n; 0), nel trapezio curvilineo di vertici
(0; p n), ( p n; p n), (1; n), (0; n), e nel trapezio curvilineo di vertici ( p n; 0),
(n; 0), (n; 1), ( p n; p n). Siccome il numero di punti interi nei due trapezi è lo
stesso, il numero di punti interi sotto l’iperbole 0 < y n=x è
nX
d(j) = p n 2 [
+ 2
p n]
X
j=1
Per stimare
L’integrale
j=1
j=1
[n=j] p [
n = 2
p n]
X
[n=j]
j=1
j=1
[
= 2n
p n]
X
[
1=j n + 2
p n]
X
([n=j] n=j) + n p n 2
1
nX
1=j, si può sostituire alla serie un integrale,
j=1
Z n
dx
=
x +
Z +1
1
nX 1
j =
Z n
dx
x +
Z n
1
j=1 1
Z +1
1
x [x]
x [x]
x [x]
x [x]
1
[x]
1
x
Z +1
dx + 1
n
p n 2
dx
n
x [x]
x [x]
dx + 1
n :
0
1
nX
dx = limn!+1 @ 1=j log(n) A de…nisce la
costante di Eulero Mascheroni = 0; 577215:::, che con , e, p 2, 1 + p 5 =2,...,
è una delle costanti importanti in matematica. Quindi in media il numero dei
divisori di n è uguale a log(n) + (2 1),
d(1) + d(2) + ::: + d(n)
n
j=1
(log(n) + (2 1))
195
:
c
p n :

Come per il problema del cerchio, questa stima dell’errore può essere migliorata.
I diari di Gauss in data 20 Giugno 1796 contengono la seguente a¤ermazione:
”All’in…nito la somma dei fattori =
6
la somma dei numeri.”
Indichiamo con (n) la somma dei divisori di n. La somma dei numeri interi
nX
da 1 ad n è k = n(n + 1)=2 n2 =2. I divisori di k sono tanti quanti i punti
k=1
(x; y) a coordinate intere e positive sull’iperbole xy = k e la somma dei divisori
dei numeri positivi minori o uguali ad n è
0 1
nX
nX [n=k] X nX
(k) = @ jA
1
h
n
i h
n
i
n
=
+ 1
2 k k 2 nX 1
2 k2 2 2 n
12 :
k=1
k=1
j=1
k=1
Quindi, come enunciato da Gauss, si ha
lim
n!+1
nX
k=1
2
(k)
nX
k
k=1
Un ulteriore esempio del legame tra la teoria dei numeri interi ed i numeri
ed e è dato dal teorema dei numeri primi. I numeri primi hanno sempre
ossessionato i matematici, e tra questi anche Eulero:
”I matematici hanno cercato, …n qui invano, di scoprire un ordine qualunque
nella successione dei numeri primi, e si è portati a credere che questo è un mistero
che lo spirito umano non riuscirà mai a penetrare. Per convincersene basta
gettare un occhio alle tavole dei numeri primi, che alcuni si sono dati la pena
di calcolare …n oltre a centomila, e ci si accorge subito che non vi regna nessun
ordine o regola. Questo è tanto più sorprendente, quanto l’aritmetica ci fornisce
delle regole certe per mezzo delle quali si può continuare la successione di questi
numeri tanto lontano quanto si desidera, senza tuttavia lasciare intravedere il
minimo indizio di un ordine qualunque.”
La prima dimostrazione dell’in…nità dei numeri primi è di Euclide: Se 2, 3,
5,..., p sono primi, allora 2 3 5 ::: p+1 non è divisibile per 2, 3, 5,..., p, quindi
c’è qualche altro primo. La seconda dimostrazione dell’in…nità dei primi è di
Eulero, che mostra che la serie degli inverso dei primi diverge come il logaritmo
della serie armonica, X
+1X
!
1=p = log 1=p = log (log (1)). I numeri primi
p primo
n=1
si diradano via via che diventano grandi ed hanno una distribuzione piuttosto
irregolare. Per cercare una regolarità in questa irregolarità, facciamoci aiutare
dal giovane Gauss.
196
=
2
6 :
k=1

”Da ragazzo ho considerato il problema di quanti primi ci sono …no ad un
certo numero e dai miei conti ho determinato che la densità dei primi intorno
ad x è circa 1= log(x).”
Dalle tavole dei numeri primi si osserva che se n cresce di un fattore 10, la
distanza media tra i primi tra 1 e n cresce di circa 2; 3 e dalle tavole dei logaritmi
risulta che 2; 3 è circa uguale a log(10).
n
(n) = numeri
primi tra 1 e n.
n= (n) = distanza
media tra i primi.
10 4 2; 5
100 25 4
1000 168 5; 952:::
10000 1229 8; 136:::
100000 9592 10; 425:::
1000000 78498 12; 739:::
10000000 664579 15; 047:::
100000000 5761455 17; 356:::
1000000000 50847534 19; 666:::
10000000000 455052511 21; 975:::
Si può quindi congetturare con Gauss che la densità dei primi Zintorno ad x è
x
circa 1= log(x) e che il numero dei numeri primi minori di x è circa dy= log(y),
che è circa x= log(x). Anche Legendre formula una simile congettura e nel 1850
Pafnutii Lvovich Cebicev (1821-1894) mostra che a meno di un fattore (1 ")
l’ordine di grandezza è corretto. In…ne, seguendo la strada aperta Riemann nella
memoria ”Sul numero di primi minori di una certa grandezza”, nel 1898 Charles
Jean de la Vallée Poussin (1866-1962) e Jaques Salomon Hadamard (1865-1963)
provano il teorema dei numeri primi. La dimostrazione si basa sullo studio della
funzione, introdotta da Eulero e studiata nel campo complesso da Riemann,
(s) =
+1X
k=1
k s = Y
p primo
1 p 1 s :
È possibile dare una giusti…cazione euristica del teorema dei numeri primi.
I numeri tra 1 ed n divisibili per p sono circa n=p, quelli divisibili per p 2 sono
circa n=p 2 ,... ed indicando con [n] p il più grande intero k tale che p k divide n,
si ha
[n!] p = [1] p + [2] p + [3] p + ::: + [n] p n=p + n=p 2 + n=p 3 + ::: n=p:
Quindi
0
log (n!) = log @
Y
p n; p primi
1
p [n!] pA
n X
197
p n; p primi
2
log (p)
:
p

D’altra parte, per la formula di Stirling,
log (n!) =
nX
log (j) n log(n):
j=1
Confrontando le due approssimazioni di log (n!), si ottiene
X
p x; p primi
p x; p primi
log (p)
p
log(x):
In…ne, assumendo che i primi abbiano una densità D(x), si ottiene
log(x)
X log (p)
p
Z x
log (y)
y D(y)dy:
E, derivando a destra e a manca,
1=x D(x) log (x) =x:
Da questo segue che la presunta densità dei numeri primi è D(x) 1= log(x).
Il difetto di questa derivazione euristica del teorema dei numeri primi è l’assunzione
a priori dell’esistenza di una densità dei primi.
Z x
dy
Li(x) = quasi coincide con
2 y
(x) = numero dei primi minori di x.
x
approssima (x) dal di sotto.
log(x)
Come per il problema del cerchio di Gauss e dei divisori di Dirichlet, trovata
una stima asintotica per il numero di numeri primi, si cerca una stima dell’errore.
In…ne, sempre sul problema dei divisori di un numero, Hardy e Ramanujan nel
1917 dimostrano che un numero n ha in media log (log (n)) fattori primi distinti,
poi nel 1940 Paul Erdös (1913-1996) e Mark Kac (1914-1984) mostrano che il
numero di fattori primi distinti di n ha approssimativamente una distribuzione
normale con media e varianza log (log (n)). ”I numeri primi giocano d’azzardo”!
198
2

Bernoulli (1654-1705) Bernoulli (1667-1748) Gauss (1777-1855)
LEMNISCAT A E MEDIE ARIT MET ICO GEOMET RICHE
Iniziamo con un breve richiamo sugli integrali e le funzioni ellittiche. Nel
1694 i fratelli Bernoulli risolvono il problema, proposto da Leibniz, di determinare
la curvatura di una sbarra elastica con una estremità …ssa e piegata da
un peso attaccato all’estremità libera. La di¤erenza tra le tensioni in due facce
opposte di un tratto in…nitesimo di sbarra risulta inversamente proporzionale
al raggio di curvatura della sbarra ed in condizioni di equilibrio il momento di
questa risultante deve eguagliare il momento del peso. Quindi in un sistema
di coordinate con origine nell’estremo libero ed asse delle ordinate in direzione
del peso si ottiene l’equazione di¤erenziale 1 + (dy=dx) 2 3=2 d 2 y=d 2 x = 2ax.
Una prima integrazione dà (dy=dx) 1 + (dy=dx) 2 1=2 2 = ax + b, quindi
dy=dx = ax2 + b 1 ax2 + b 2
1=2
y = c
Z
e con una seconda integrazione
ax2 q
+ b
1 (ax2 + b) 2
dx:
In particolare, se a = 1 e b = c = 0 la curva elastica risulta uguale all’area
sotto la curva y 2 1 x 4 = x 2 , ma gli sforzi dei Bernoulli per calcolare esplici-
tamente quest’area in termini elementari Z risultano vani. Supponiamo di dover
calcolare un integrale della forma R(x; y)dx con R(x; y) funzione razionale e y
funzione algebrica di x, cioè Q(x; y) = 0 per un opportuno polinomio in due variabili.
Se la curva Q(x; y) = 0 ha una parametrizzazione Z (x; y) = (A(t); B(t)),
con A(t) e B(t) razionali, l’integrale si trasforma in R (A(t); B(t)) A0 (t)dt
ed è quindi calcolabile in modo elementare scomponendo la funzione razionale
R (A(t); B(t)) A0 (t) in frazioni semplici. In particolareZle coniche hanno parametrizzazioni
razionali e quindi tutti gli integrali del tipo R x; p ax2 + bx + c dx
199

sono calcolabili in modo elementare. Gli integrali ellittici sono integrali del tipo
Z
R x; p P (x) dx con R (x; y) razionale e P (x) polinomio di terzo o quarto
grado. Se Q(x) è un polinomio di quarto grado con una radice , la sostituzione
x = + 1=t trasforma Q(x) in t 4P (t) con P (t) di terzo grado e con ulteriori
trasformazioni ci si può poi ricondurre alle tre forme canoniche di Legendre
Z
dx
p P (x) ;
Z
xdx
p P (x) ;
Z
dx
(x ) p P (x) :
Liouville ha mostrato che in generale non è possibile esprimere questi integrali
per mezzo di funzioni elementari. Dato un polinomio P (x) senza radici
multiple, de…niamo
Z x
dt
f(x) = p :
P (t)
0
Abel e Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) hanno l’idea di studiare la
funzione inversa di questo integrale. Se x = g(z) è la funzione inversa di
z = f(x), si ha g0 (f(x)) = 1=f 0 (x) = p P (x). In particolare, posto x = g(z) e
y = g0 (z), si ottiene una parametrizzazione della curva y2 = P (x). Per esempio,
se P (x) = 1 x2 allora f(x) = arcsin(x), e (g(z); g0 (z)) = (sin(z);
Z
cos(z)) sono
x
parametrizzazioni del cerchio. L’inversione dell’integrale ellittico dt= p P (t),
con P (t) polinomio di terzo o quarto grado, genera le funzioni ellittiche che
sono delle parametrizzazioni delle curve ellittiche. Se le funzioni trigonometriche
sono semplicemente periodiche, nel campo complesso le funzioni ellittiche
sono doppiamente periodiche, cioè esistono !1 e !2 linearmente indipendenti sui
reali tali che g (z + !1) = g (z + !2) = g (z) e queste funzioni hanno delle formule
di addizione simili alle formule di addizione delle funzioni trigonometriche.
L’ellisse, curva di secondo grado, non è una curva ellittica, ma la lunghezza di
un’ellisse, o di un’iperbole, è un’integrale ellittico.
Gli ovali di Cassini
sono intersezione tra
un piano ed un toro.
L’ellisse è il luogo dei punti in un piano con somma delle distanze da due
punti …ssi costante e l’iperbole il luogo dei punti con di¤erenza delle distanze
costante. Il luogo dei punti con costante il prodotto delle distanze da due
punti …ssi sono gli ovali di Cassini, che non convinto delle teoria copernicana
introduce queste curve nel 1680 per descrivere i moti del Sole e della Luna
200
0

intorno alla Terra. In particolare, se questi punti …ssi sono 1= p 2; 0 ed il
prodotto delle distanze è 1=2, si ottiene la lemniscata di equazione cartesiana
x 2 y 2 = x 2 + y 2 2 . Con x = cos(#) e y = sin(#), l’equazione diventa
2 = cos(2#). In coordinate polari l’equazione = cos( #) descrive una iperbole
se = 2, una retta se = 1, una parabola se = 1=2, un cerchio se
= 1. La curva n = cos(n#) quando n è un intero positivo ha la forma di un
…ore con n petali, quindi la nostra lemniscata di petali ne ha due.
Se A = ( 1= p 2; 0) e B = (1= p 2; 0), la lemniscata
è il luogo dei punti P con jAP j jBP j = 1=2.
Se O = (0; 0), C = ( 1; 0) e D = (1; 0), la lemniscata
è il luogo dei punti P con \CP O \DP O = =2.
Se sulle circonferenze di raggio uno con centri in
A = ( 1= p 2; 0) e B = (1= p 2; 0) si considerano due punti
variabili M e N con jMNj = jABj e MN non parallelo ad AB,
il punto medio del segmento MN descrive la lemniscata. Questo
permette di tracciare la lemniscata con un sistema articolato.
Applicando all’iperbole equilatera w 2 z 2 = 1 l’inversione
circolare w = x= x 2 + y 2 e z = y= x 2 + y 2 , si ottiene la
lemniscata x 2 y 2 = x 2 + y 2 2 .
Nel 1694 i fratelli Bernoulli, indipendentemente, descrivono questa curva
”fatta come un 8 o un nastro annodato” ed una disputa sulla priorità di questa
ed altre scoperte, catenaria, brachistocrona, problema isoperimetrico,..., guasta
i loro rapporti. All’interno della famiglia Bernoulli la matematica è un affare
troppo serio. Il motto del fratello maggiore è ”Contro la volontà di mio
padre studio le stelle”. Un …glio del fratello minore partecipa ad un concorso
dell’Accademia delle Scienze di Parigi in cui anche il padre è concorrente, vince e
viene cacciato da casa. Poi il …glio accusa il padre di averlo derubato dell’intera
”Idrodinamica” mutandone solo il titolo in ”Idraulica”.
201

La lunghezza di un arco di curva in coordinate polari n=2 Z Z = cos (n#=2) :
pd
Z
d
ds = 2 + 2d# = p
1 m :
1=2 = cos (#=2) = cos (#) 3=2 = cos (3#=2)
2 = cos (2#)
Dall’equazione della lemniscata in coordinate polari 2 = cos(2#) e la formula
per l’elemento in…nitesimo di lunghezza ds2 = d 2 + 2d# 2 , si ricava
ds = 1 4 1=2
d . Quindi la lunghezza dell’arco di lemniscata dall’origine
Z x
…no al punto a distanza x è data dall’integrale
Z 0
x
dell’integrale
0
1 t 4 1=2 dt, un analogo
1 t 2 1=2 dt = arcsin(x) che dà la lunghezza di un arco di
cerchio. Nel 1730 Stirling calcola le approssimazioni
Z 1
0
Z 1
ed Eulero dimostra che
4
0
dx
p = 1; 31102877714605987:::;
1 x4 x2dx p = 0; 59907011736779611:::;
1 x4 Z 1
0
dx
p
1 x4 Z 1
0
x2dx p
1 x4 = 4 :
Infatti con il cambio di variabile x t 1=4 i due integrali si riconducono
alla funzione Beta, ( =2) 3=2 2 (3=4) il primo e (2 ) 1=2 2 (3=4) il secondo. Nel
1718 Fagnano scopre come dividere con riga e compasso l’arco di lemniscata nel
primo quadrante in due, tre, o cinque parti uguali e nel 1758 Eulero trova una
formula di addizione per integrali ellittici,
Z x
0
z = xp1 + ay2 y4 + y p 1 + ax2 x4 1 + x2y2 ;
Z y
Z z
dt
dt
dt
p + p = p :
1 + at2 t4 1 + at2 t4 1 + at2 t4 0
Per esempio, se a = 0 e x = y = pp 2 1, allora z = 1. L’arco di lemniscata
in un quadrante è diviso in parti uguali dalla circonferenza con centro nell’origine
e raggio pp 2 1. Anche Gauss si interessa alla lemniscata e dimostra che, come
202
0

per il cerchio, è possibile dividere con riga e compasso l’arco di lemniscata nel
primo quadrante in 2 m p1p2:::pn parti uguali se i pj sono numeri primi distinti
della forma 22k + 1. Questo risultato è poi riscoperto da Abel nel 1826. Dal
1796 in poi i diari di Gauss contengono parecchie a¤ermazioni sugli integrali
ellittici e le medie aritmetico geometriche:
”La lemniscata si divide in cinque parti in modo geometrico.”
”Sulla lemniscata abbiamo trovato le cose più eleganti al di là di tutte le
aspettative e questo con un metodo che apre un intero nuovo campo.”
”Abbiamo provato che la media aritmetico geometrica tra 1 e p 2 è =! …no
a 11 cifre, una volta dimostrata la cosa si aprirà certamente un nuovo campo
in analisi.”
”La media aritmetico geometrica è una quantità integrale. Dimostrato!”
! = 2
= 2
Z 1
0
Z 1
0
1 t 4 1=2 dt è la lunghezza di metà lemniscata, l’analogo di
1 t 2 1=2 dt per il cerchio. Per dividere il cerchio in n parti uguali
Z
basta trovare sin(2 k=n), k = 0; 1; :::; n 1, e sin(x) è la funzione inversa di
x
1 t 2 1=2 dt. Analogamente, per dividere la lemniscata basta trovare
0
Z x
(2!k=n), con (x) funzione inversa di
0
1 t 4 1=2 dt. La media aritmetico
geometrica AGM(x0; y0) tra due numeri positivi x0 e y0 è il limite comune delle
successioni de…nite ricorsivamente da xn+1 = (xn + yn) =2 e yn+1 = p xnyn. Il
legame tra le medie aritmetico geometriche e gli integrali ellittici è trovato da
Lagrange nel 1785 e riscoperto qualche anno dopo da Gauss,
Z +1
1
dx
p = :
(a2 + x2 ) (b2 + x2 ) AGM(a; b)
Per dimostrare l’uguaglianza basta mostrare che questi integrali sono invarianti
rispetto alla trasformazione (a; b) (a + b) =2; p ab e questo segue dal
cambio di variabile x (x ab=x) =2. Iterando la trasformazione gli integrali
ellittici convergono a degli integrali elementari,
=
=
Z +1
1
Z +1
1
Z +1
1
r
dx
p
(a2 + x2 ) (b2 + x2 )
dx
((a + b)=2) 2 + x 2 (ab + x 2 )
dx
p :
(AGM(a; b) 2 + x2 ) (AGM(a; b) 2 + x2 )
Per illustrare la relazione tra le medie aritmetico geometriche e , si può
203

partire dall’integrale ellittico
H(a; b) = 1 Z +1
dx
p :
(1 + x2 =a2 ) (1 + x2 =b2 )
Il cambio di variabile x N=x mostra che
Quindi
Z p N
0
1
dx
p =
(1 + x2 ) (1 + x2 =N 2 )
Z +1
p N
dx
p :
(1 + x2 ) (1 + x2 =N 2 )
H(1; N) = 4 Z p N
dx
p =
0 (1 + x2 ) (1 + x2 =N 2 ) 4 Z p N
1 x
0
2 =2N 2 + :::
p dx
1 + x2 = 4
log( p N + p p p p
N 2 + N log( N + N + 1)
N + 1)
4N 2
!
+ :::
= 2 log(4N) + log(4N)
2 N 2 + O N 2 :
Per ottenere un’approssimazione di a partire dalla funzione H(1; N), basta
osservare che
N
2 (H(1; N + 1) H(1; N)) = 1 + O(N 1 ):
In de…nitiva, si può approssimare con (N (H(1; N + 1) H(1; N)) =2) 1 e
si possono approssimare H(1; N +1) e H(1; N) per mezzo delle medie aritmetico
geometriche. Malgrado le apparenze, questo algoritmo è e¢ ciente perché le
medie aritmetico geometriche convergono rapidamente, con velocità quadratica,
a + b
2
p
ab =
4
(a b) 2
a + b
2 + p ab
Grosso modo, ogni iterazione raddoppia il numero di decimali corretti. Una
variante di questo algoritmo permette di calcolare in modo e¢ ciente i logaritmi,
da cui si possono ricavare con il metodo iterativo di Newton gli esponenziali.
204
:

Huygens (1629-1695) Steiner (1796-1863) Minkowski (1864-1909)
CAT ENARIA
E P ROBLEMA
ISOP ERIMET RICO
Vogliamo presentare due esempi del ruolo di e e di nel calcolo delle variazioni.
Qual’è la posizione di equilibrio di una catena sospesa ai due estremi?
Galileo osserva che:
205

”La corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai
si avvicinano alle paraboliche,... e tale adattamento tanto più esser preciso,
quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole
descritte con elevazioni sotto ai gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem
sopra la parabola”.
Secondo Torricelli ”Corpi pesanti collegati tra di loro non si possono muovere
se il baricentro comune non si abbassa”. Anche il diciassettenne Huygens
nel 1646 postula che la posizione di equilibrio di una catena deve renderne il
baricentro il più basso possibile e scopre che parabola e catena non possono
coincidere in più di tre punti:
”Due o più pesi appesi ad una corda …ssata ai due estremi possono avere
una sola posizione di equilibrio, che rende il baricentro il più basso possibile”.
”Si considerino dei pesi S, R, P, Q,..., appesi alla corda A, B, C, D... I
prolungamenti di AB e CD si incontrano in un punto sulla verticale nel mezzo
tra i pesi R e P... I punti di connessione A, B, C, D,..., non possono appartenere
tutti ad una stessa parabola”.
Nel 1691 i fratelli Bernoulli con Huygens e Leibniz trovano la forma esatta
dalla catenaria e Leibniz ipotizza l’utilizzo di una catena per calcolare i logaritmi.
In particolare, secondo Huygens:
”Si possono trovare quanti punti si vogliono della catena se sono date le
quadrature delle curve xxyy = a 4 aayy o xxyy = 4a 4 x 4 ”.
206

”Le tangenti dell’inclinazione rispetto ad un piano orizzontale di un …lo senza
gravità a cui sono attaccati dei pesi uguali crescono con di¤erenze uguali”.
L’equazione
di¤erenziale
della catenaria
di Huygens.
Se x, y, s, sono ascissa, ordinata, e lunghezza della
q
curva,
1 + (dy=dx) 2 .
La soluzione è un coseno iperbolico: y = 1 cosh ( x + ) + .
d=ds (dy=dx) = , cioè d 2 y=dx 2 = ds=dx, cioè d 2 y=dx 2 =
La costruzione
di Leibniz
della catenaria
y = ax + a x
.
2
Dei segmenti verticali con base su una linea orizzontale equispaziati
ed altezze in progressione geometrica continua generano una curva
logaritmica. I punti sulla catenaria si ottengono prendendo per ogni
coppia di ascisse simmetriche rispetto ad un’origine un’ordinata
uguale alla semi somma delle ordinate sulla curva logaritmica.
Viceversa, data una catenaria, si possono ottenere segmenti in
progressione geometrica, cioè si possono trovare i logaritmi dei
numeri ed i numeri dei logaritmi.
Il più vecchio dei fratelli Bernoulli dimostra che tra tutte le curve per due
punti e di data lunghezza, la catenaria è quella con il baricentro più basso e più
tardi Eulero osserva che ”ogni e¤etto in natura segue un principio di massimo o
minimo”. La dimostrazione seguente si trova nelle lezioni del più giovane dei due
Bernoulli a G.F. Marquis de l’Hospital (1661-1704). Denotiamo con V = (v; w)
il vertice e con Q = (x; y) un generico punto sulla catenaria. Le forze che
agiscono sul pezzo di catena da V a Q sono le tensioni T (V ) e T (Q) nei punti V
e Q ed il peso del pezzo di catena P (V; Q). Il pezzo di catena è in equilibrio se la
somma delle forze che agiscono su di essa è nulla, T (V )+T (Q)+P (V; Q) = 0. Il
207

peso ha direzione verticale ed è proporzionale alla lunghezza della curva L(V; Q).
Le tensioni sono tangenti alla curva. La tensione nel vertice T (V ) è orizzontale
e non dipende da Q. Per l’equilibrio, la componente orizzontale di T (Q) deve
essere uguale a T (V ), mentre la componente verticale di T (Q) deve essere
uguale a P (V; Q). Se indichiamo con dy=dx la derivata della curva nel punto
Q, la condizione di equilibrio diventa
dy P (V; Q)
= = L(V; Q) =
dx T (V )
Z xq
1 + (dy=dx) 2 dx:
La costante dipende dalla tensione in V e dal peso speci…co della catena.
Derivando si ottiene l’equazione di¤erenziale
d2y =
dx2 v
q
1 + (dy=dx) 2 :
Con la sostituzione dy=dx = z l’equazione si abbassa di grado e diventa a
variabili separabili, dz= p 1 + z 2 = dx. Quindi z = sinh( x + ) ed integrando
nuovamente,
y = 1 cosh( x + ) + :
Le costanti e hanno il solo e¤etto di spostare la catena a destra o sinistra
e in su o in giù, mentre il parametro è legato alla lunghezza della catena. Se
= = 0,
Z xq
1 + (dy=dx) 2 Z xq
dx = 1 + sinh 2 Z x
( x)dx = cosh( x)dx = sinh( x) :
0
0
Nei suoi lavori sulla catenaria Leibniz suggerisce di studiare la forma di
una catena con densità variabile, di una fune elastica, di una vela al vento,
lamentandosi di non aver abbastanza tempo da dedicare a questi problemi.
Comunque i Bernoulli a¤rontano tutti questi problemi ed anche il problema
inverso, data la forma della catena, determinarne la densità. In…ne, Huygens
osserva che se il peso su un elemento di catena è proporzionale alla lunghezza
della proiezione sull’asse delle ascisse, come nel caso dei cavi che sostengono un
ponte, si ottiene l’equazione dy=dx = x con una parabola per soluzione. Hooke
osserva che una catenaria rovesciata è la forma ideale per un arco e congettura
che la forma ideale per una cupola si ottiene ruotando intorno all’asse delle
ordinate una parabola cubica y = x3 . Invece, sostituendo alla lunghezza di
una curva l’area di una super…cie di rotazione, si ottiene l’equazione
Z x q
dy
= 2 x 1 + (dy=dx)
dx v
2 dx;
Z x
y = sinh x 2 + dx + :
v
La cupola di San Pietro in Vaticano, progetto di Michelangelo Buonarroti, è
formata da un doppio guscio semisferico, con spessore il 15% del raggio. Anche
208
0

se la super…cie ideale è compresa in questo guscio, in questa cupola come in
altre gli stress non tangenziali hanno provocato delle fessure.
Veniamo al problema isoperimetrico, o problema di Didone. Dopo esser fuggita
da Tiro ed approdata sulle coste africane, Didone contratta e compra tanta
terra quanta si può cingere con la pelle di un toro. Questa pelle è allora ridotta
in una sottile stringa e con essa si racchiude il suolo su cui sorge Cartagine.
Tra tutte le curve semplici chiuse di data lunghezza, qual’è quella che racchiude
l’area massima? Di fatto il problema è più antico di Didone. Nell’introdurre
questo problema, Pappo osserva che:
”Dio ha dato all’uomo la forma più perfetta di sapienza, in particolare nelle
scienze matematiche, ma ne ha data un poco anche agli animali... Le api, per
raccogliere il miele, costruiscono delle celle tutte uguali tra loro, contigue una
all’altra e di forma esagonale... Solo tre tipi di …gure regolari possono riempire
lo spazio intorno ad un punto. Le api, con il loro istinto, scelgono la …gura con
più angoli, perché contiene più miele delle altre due.”
Le api, per ottimizzare l’uso della cera nei favi che contengono il miele,
costruiscono delle celle esagonali, perché tra i poligoni regolari che tassellano il
piano, triangoli, quadrati, esagoni, questi ultimi a parità di perimetro rendono
massima l’area. C’è anche chi sostiene che le api non conoscono la matematica
e costruiscono favi esagonali solo perché hanno sei zampe. Ma smettiamola
di disturbare queste laboriose creature e torniamo ad occuparci del problema
isoperimetrico. Nel II secolo a.C. Zenodoro dimostra:
”Tra i poligoni con uguale perimetro e uguale numero di lati, il poligono
equilatero ed equiangolo è il più grande in area.”
”Tra i poligoni regolari di uguale perimetro, il più grande in area è quello
con il maggior numero di lati.”
”Un cerchio è più grande di tutti i poligoni regolari di uguale perimetro.”
”Tra tutte le …gure solide di uguale super…cie, la sfera ha il volume massimo.”
Steiner a partire dal 1838 presenta diverse dimostrazioni elementari ed eleganti
della proprietà isoperimetrica del cerchio. Una soluzione del problema
isoperimetrico deve essere convessa, altrimenti l’involucro convesso avrebbe meno
perimetro e più area. Inoltre, ogni retta che divide in parti uguali il perimetro
divide in parti uguali anche l’area, e viceversa, altrimenti, ribaltando la parte
con area maggiore si otterrebbe una …gura con ugual perimetro e più area. Si
può allora dividere in due il problema, cercando una curva con estremi su una
retta e di lunghezza data che racchiude area massima. Ogni punto A su questa
curva deve vedere gli estremi B e C sulla retta secondo un angolo retto, perché
tra i triangoli con due lati dati quello di area massima è rettangolo. Se il triangolo
CAB non è rettangolo in A, senza variare la forma degli archi CA e AB
e quindi la lunghezza della curva, si può aprire o chiudere l’angolo aumentando
l’area del triangolo e quindi della …gura curvilinea CAB. Ma il luogo dei punti
che vedono un segmento dato secondo un angolo retto è una semicirconferenza,
quindi la curva isoperimetrica è un cerchio.
209

La soluzione del problema isoperimetrico è convessa.
Un segmento che divide in due il perimetro, divide in due anche l’area.
Ogni punto del bordo guarda questo segmento ad angolo retto.
Un’altra dimostrazione di Steiner è la seguente. Se una regione non è circolare,
esistono quattro punti sul suo bordo che non sono ciclici. Se si pongono
delle cerniere in questi punti, la regione si scompone in quattro lunule …sse ed
un quadrilatero snodabile. Basta quindi mostrare che tra tutti i quadrilateri
con lati …ssati, quello ciclico ha area massima. Questo fatto è conseguenza della
formula di Brahmagupta per l’area di un quadrilatero piano con lati a, b, c, d,
ed angoli , , , ,
s
(a + b + c d) (a + b c + d) (a b + c + d) ( a + b + c + d)
16
abcd cos 2
Dati i lati a, b, c, d, l’area risulta massima quando + = + = , cioè
se il quadrilatero è ciclico. Dimostriamo questa formula. La diagonale per e
ha lunghezza
p a 2 + b 2 2ab cos ( ) = p c 2 + d 2 2cd cos ( ):
Questa diagonale divide il quadrilatero in due triangoli di area ab sin( )=2 e
cd sin( )=2. Quindi, se A è l’area del quadrilatero,
= a 2 b 2 + c 2 d 2
4A 2 = (ab sin( ) + cd sin( )) 2
(ab cos( ) cd cos( )) 2
2abcd cos ( + ) :
Osservando che 2 (ab cos( ) cd cos( )) = a 2 +b 2 c 2 d 2 e che cos ( + ) =
2 cos 2 (( + ) =2) 1, si conclude che
16A 2 = 4 a 2 b 2 + c 2 d 2
a 2 + b 2
c 2
2 2
d
8abcd 2 cos 2 +
2
1 =
(a + b + c d) (a + b c + d) (a b + c + d) ( a + b + c + d) 16abcd cos 2 +
2
210
+
2
:
:

In particolare, se d = 0 la formula di Brahmagupta si riduce a quella di
Erone per l’area di un triangolo con lati a, b, c,
r
(a + b + c) (a + b c) (a b + c) ( a + b + c)
:
16
Come osservano Dirichlet, Weierstrass, ed altri, queste dimostrazioni di
Zenodoro e Steiner, per quanto convincenti, non sono completamente rigorose
perché presuppongono l’esistenza di un massimo. Di fatto, ci sono esempi
di problemi di massimo o minimo senza soluzioni. ”Sarebbe come asserire
che 1 è il più grande numero naturale, perché per ogni altro numero x c’è
x 2 che è più grande”. Comunque queste dimostrazioni possono essere completate
utilizzando degli argomenti di compattezza. Se A è l’estremo superiore
per l’area delle …gure con perimetro P , esiste una successione di …gure
con perimetri j@ nj = P ed aree limn!+1 j nj = A. Queste …gure possono
essere prese convesse e contenute in un insieme limitato, infatti prendendo
l’involucro convesso di una …gura non convessa si diminuisce il perimetro
ed aumenta l’area, inoltre una …gura con perimetro P può essere racchiusa
in un cerchio con diametro P . In…ne, de…nita la distanza tra due insiemi
d (X; Y ) = sup x2X infy2Y jx yj + sup y2Y infx2X jx yj, si può mostrare che
da ogni successione di convessi contenuti in un insieme limitato si può estrarre
una sottosuccessione convergente. Nel nostro caso la sottosuccessione converge
ad una …gura con perimetro P ed area A. A questo punto si possono applicare
gli argomenti di Steiner e concludere che una …gura di area massima deve essere
un cerchio.
Esistono molte altre dimostrazioni della disuguaglianza isoperimetrica. Per
esempio, la seguente dimostrazione analitica è dovuta a Adolf Hurwitz (1859-
1919), con un contributo di Lebesgue per una precisa de…nizione del dominio di
applicabilità. Sia una regione piana delimitata da una curva semplice chiusa
@ . Se la curva è retti…cabile con lunghezza uno, può essere parametrizzata
dalla lunghezza d’arco e descritta da una funzione periodica di periodo uno
s z(s) = x(s) + iy(s), Lipschitz, jz (s1) z (s2)j js1 s2j. In particolare
questa funzione è assolutamente continua con jdz=dsj = 1 quasi ovunque ed ha
uno sviluppo in serie di Fourier
z(s) =
+1X
k= 1
bz(k) exp(2 iks):
Siccome jdz=dsj = 1, la lunghezza della curva è
=
j@ j =
( +1X
k= 1
Z 1
0
( Z 1
d
z(s) ds =
ds 0
j2 ikbz(k)j 2
)1=2
= 2
211
d
ds z(s)
)
2
1=2
ds
( +1X
k= 1
k 2 jbz(k)j 2
)1=2
:

Similmente, l’area della regione delimitata dalla curva è
ZZ
j j = dxdy = 1
Z
2
= Im
1
2
@
+1X
k= 1
(xdy ydx) = Im 1
2
!
2 ikbz(k)bz(k)
=
Z 1
0
+1X
k= 1
z(s) d
ds z(s)ds
k jbz(k)j 2 :
Comparando l’area con il quadrato del perimetro, si ottiene
j@ j 2
4 j j = 4 2
+1X
k= 1
k 2
k jbz(k)j 2 :
Poiché tutti i termini della serie sono non negativi, si ha j@ j 2
4 j j,
con uguaglianza se e solo se z(s) = bz(0) + bz(1) exp(2 is), che è l’equazione di
un cerchio. In…ne, se la disequazione j@ j 2
4 j j è veri…cata per curve di
lunghezza uno, per omogeneità è veri…cata per curve di lunghezza arbitraria.
Questa dimostrazione suggerisce anche la possibilità di misurare quantitativamente
la di¤erenza tra la curva z(s) ed il cerchio bz(0) + bz(1) exp(2 is),
sup jz(s) (bz(0) + bz(1) exp(2 is))j
0 s 1
X
jbz(k)j
8
<
:
k6=0;1
4 2 1 X
k 2
k
91=2
(
=
1
4
;
2
+1X
k 2
k jbz(k)j 2
)1=2
k6=0;1
= 2
In particolare, se " = 2
1=2 1 n
j@ j 2
n
1=2 1 j@ j 2
k= 1
o1=2 4 j j
:
o1=2 4 j j
è il de…cit isoperimet-
rico, se S = jbz(1)j è il raggio del cerchio bz(0) + bz(1) exp(2 is), se r e R sono i
raggi del più grande cerchio inscritto e del più piccolo cerchio circoscritto alla
…gura, allora S " r R S + ". Una disuguaglianza un poco più precisa è
dovuta a Tommy Bonnesen,
j@ j
q
j@ j 2
2
4 j j
r R
j@ j +
q
j@ j 2
2
4 j j
:
Nello stesso spirito della dimostrazione di Hurwitz, mostriamo ora che se D
è il diametro e L la lunghezza di una curva convessa, allora L D. Questa
volta per descrivere la curva z(t) si sceglie come parametro l’angolo 2 t della
tangente. Quindi, dz(t)=dt = jdz(t)=dtj exp (2 it) e la lunghezza della curva è
Z 1
0
Z 1
d
d
z(t) dt = z(t) exp ( 2 it) dt = 2 ibz(1):
dt dt
0
212

D’altra parte, si ha anche
bz(1) =
Z 1
0
z(t) exp ( 2 it) dt = 1
2
Z 1
0
(z(t) z(t + 1=2)) exp ( 2 it) dt:
Siccome jz(t) z(t + 1=2)j è minore o uguale al diametro della curva, si
ottiene L D. Il cerchio non è l’unica curva che veri…ca l’uguaglianza.
Questa infatti vale per ogni curva con spessore costante. In…ne, l’area interna
ad una curva con diametro D è al più D2 =4. Assumendo che la curva
passi per l’origine e sia contenuta nel semipiano superiore e sia descritta in
coordinate polari dall’equazione = (#), per il teorema di Pitagora si ha
2 2 (#) + (# + 1=2) 2 D , da cui segue che la stima dell’area
Z Z
d d# = 1
Z
2 0
2
(#)d#
= 1
2
f0< < (#); 0

l’uguaglianza vale solo se ry1(x) = ry2(x) per ogni x in D, cioè se y1(x) =
c y2(x), cioè se il corpo è già simmetrico. Se tra tutti i corpi di volume …ssato
ce n’è uno che minimizza l’area, i suoi simmetrizzati rispetto a piani arbitrari
per il suo baricentro devono coincidere con il corpo stesso. Se P e Q sono due
punti sul bordo @ e se la simmetrizzazione rispetto al piano per il baricentro O
e perpendicolare al segmento P Q lascia questi punti invariati, allora questi punti
P e Q sono equidistanti dal baricentro O. Quindi, se un corpo è invariante per
simmetrizzazione, tutti i punti del suo bordo sono equidistanti dal baricentro.
Quindi, se tra tutti i corpi di volume …ssato ce n’è uno con area minima, questo
è una sfera. Di fatto, si può dimostrare che questo minimo esiste.
Una altra elegante dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica si può
ricavare dalla disuguaglianza di Hermann Karl Brunn (1862-1939) e Hermann
Minkowski (1864-1909). Se X e Y sono insiemi compatti non vuoti in Rd con
volumi jXj e jY j, allora jX + Y j 1=d
jXj 1=d + jY j 1=d . L’uguaglianza vale solo
quando il volume della somma è zero, o un’insieme si riduce ad un solo punto,
o gli insiemi sono omotetici. Dimostriamo la disuguaglianza quando X e Y
sono parallelogrammi con spigoli paralleli agli assi di lunghezza fxjg e fyjg. In
questo caso, anche X + Y è un parallelogrammo con spigoli fxj + yjg. Per la
disuguaglianza tra le medie aritmetiche e geometriche,
Quindi,
0
@
dY
xj
xj + yj
j=1
dX 1
d
xj
1
A
1=d
xj + yj
j=1
jXj 1=d + jY j 1=d 0
dY
= @
0
@
0
dY
+ @
+ 1
dX
d
j=1
1
dY
(xj + yj) A
j=1
yj
xj + yj
j=1
xj
xj + yj
j=1
xj
1=d
1
A
1=d
1
A
1=d
= 1:
0
dY
+ @
j=1
yj
= jX + Y j 1=d :
Dimostriamo ora la disuguaglianza quando X e Y sono unione di parallelogrammi
con spigoli paralleli agli assi, per induzione sul numero di parallelogrammi
in X [ Y . Traslando opportunamente X, si può assumere che
l’iperpiano fxd = 0g lo divida in due parti X sopra e sotto questo iperpiano,
che contengono ciascuna meno parallelogrammi di X. Traslando poi Y ,
si può assumere che risulti diviso dall’iperpiano fxd = 0g in due parti Y con
jX j = jXj = jY j = jY j. Si ha X + Y fxd 0g e X+ + Y+ fxd 0g ed il
numero di parallelogrammi in X [ Y e in X+ [ Y+ risulta minore del numero
214
1
A
1=d

di parallelogrammi in X [ Y . Per l’ipotesi di induzione su questo numero si ha
= jX j
1 +
jX + Y j jX + Y j + jX+ + Y+j
jX j 1=d d
1=d
+ jY j
jY j1=d
jXj 1=d
! d
+ jX+j
1 +
+ jX+j 1=d d
1=d
+ jY+j
jY j1=d
jXj 1=d
! d
= jXj 1=d d
1=d
+ jY j :
In…ne, con un processo di approssimazione la disuguaglianza si estende ad insiemi
compatti arbitrari. Basta ricoprire X e Y con parallelogrammi con unioni
X(") e Y (") tali che jX(")nXj < ", jY (")nY j < ", j(X(") + Y (")) n (X + Y )j <
". Ricordiamo ora la de…nizione di area di Minkowski. Se = fjxj 1g è la
sfera di raggio uno con centro nell’origine e se è un compatto arbitrario, si
può de…nire l’area di @ come il limite, se esiste,
j + j j j
j@ j = lim
:
!0+
Cioè il rapporto tra il volume e l’altezza della buccia f0 < d(x; ) < g tende
all’area j@ j della super…cie @ . La derivata dell’area è il perimetro e la derivata
del volume è l’area. Con questi strumenti la dimostrazione della disuguaglianza
isoperimetrica è immediata. Per la disuguaglianza di Brunn-Minkowski e per la
de…nizione di area di Minkowski,
lim
!0+
j + j j j
j@ j = lim
!0+
j j 1=d d
1=d
+ j j
j j
= d j j 1=d j j (d 1)=d :
In altre parole, j@ j d
dd j j j j d 1 . Quando è una sfera tutte queste
disuguaglianze diventano uguaglianze. In particolare, se la dimensione è uno
j@ j 2, se la dimensione è due j@ j 2
4 j j, se la dimensione è tre j@ j 3
36 j j 2 ,...
Anche la catenaria compare nella teoria delle super…ci minime. Per un teorema
di Pappo, ritrovato poi da Paulus Guldino (1577-1643), la super…cie generata
dalla rotazione di una curva intorno ad un asse è uguale alla lunghezza della
curva per la lunghezza del cerchio percorso dal baricentro della curva. C’è quindi
una relazione tra le super…ci di rotazione minime e le curve con il baricentro
basso. Una curva y = y(x) con a x b e y(a) = A e y(b) = B che ruota in-
Z b q
torno all’asse delle ascisse genera una super…cie di area 2 y 1 + (dy=dx) 2 dx.
Per minimizzare questo integrale rispetto a tutte le curve per (a; A) e (b; B),
si considera una variazione y + "z, si deriva l’integrale rispetto ad " ed impo-
nendo alla derivata di essere nulla per ogni scelta di z con z(a) = z(b) = 0 si
ottiene l’equazione di Eulero-Lagrange y d 2 y=dx 2 (dy=dx) 2
1 = 0, che ha
215
a

come soluzione la catenaria. Questo è un risultato di Eulero. Un’altra super-
…cie minima è l’elicoide (s cos(t); s sin(t); t) ed altre ancora si possono ottenere
con esperimenti con lamine saponate. Con questi esperimenti Joseph Antoine
Ferdinand Plateau (1801-1883) ha trovato un certo numero di proprietà delle
super…ci minime, che sono state poi dimostrate rigorosamente.
216

Roberval (1602-1675) Torricelli (1608-1647) Wren (1632-1723)
Galileo Galilei (1564-1642)
CICLOIDE
La cicloide è la curva descritta da un punto di un cerchio che rotola lungo una
retta. Se alla traslazione del centro del cerchio (#; 1) si somma la rotazione del
punto intorno al centro (sin(#); cos(#)), si ottiene la rappresentazione parametrica
x = # sin(#);
y = 1 cos(#):
In una lettera del 14 Febbraio 1640 Cavalieri scrive a Galileo: ”Mi sono stati
mandati da Parigi due quesiti da quei matematici circa dei quali temo di farmi
poco onore”. La risposta di Galileo è del 24 Febbraio 1640:
”Dei quesiti mandatigli di Francia non so che sia stato dimostrato alcuno.
Gli ho con lei per di¢ cili molto a essere sciolti. Quella linea arcuata sono più di
cinquant’anni che mi venne in mente il descriverla, e l’ammirai per una curvità
graziosissima per adattarla agli archi di un ponte. Feci sopra di essa e sopra lo
spazio da lei e dalla sua corda compreso diversi tentativi per dimostrarne qualche
passione, e parve da principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio
che lo descrive ma non fu così, benché la di¤erenza non sia molta. Ebbi circa
un anno fa una scrittura di un padre Mersenno dei Minimi di San Francesco di
Paola mandatami da Parigi, ma scrittami in caratteri tali che tutta l’Accademia
217

di Firenze non ne potesse intender tanto che se ne potesse trar costrutto alcuno...
Io risposi all’amico che me la mandò che facesse intendere al detto padre che
mi scrivesse in caratteri più intelligibili”.
Se suggerimento di Mersenne, Roberval studia le proprietà di questa curva e
nel 1634 trova l’area sottesa dalla cicloide ed il risultato è riscoperto da Torricelli
nel 1644 :
”Lo spazio compreso fra la cicloide e la sua retta di base è triplo del circolo
generatore. Ovvero è sesquialtero del triangolo avente la sua stessa base ed
altezza”.
Similmente, Wren dimostra la lunghezza della cicloide è otto volte il raggio
del cerchio generatore,
Z 2 Z 2
ydx = (1 cos(#)) 2 d# = 3 ;
Z 2
0
0
p dx 2 + dy 2 =
0
Z 2
0
q
(1 cos(#)) 2 + (sin(#)) 2 d# = 8:
La quadratura di Roberval utilizza gli indivisibili di Cavalieri e l’osservazione
che sezioni parallele alla base della cicloide (# sin(#); 1 cos(#)) sono uguali
a sezioni del cerchio (sin(#); 1 cos(#)) più sezioni della curva compagna della
cicloide (#; 1 cos(#)), la sinusoide. Quindi l’area sotto la cicloide è uguale
all’area del cerchio più l’area sotto la sinusoide e, per simmetria, questa sinusoide
è la metà del rettangolo con base la circonferenza ed altezza il diametro.
La cicloide è
uguale al cerchio
più la compagna,
che è metà rettangolo.
Robenval:
x = # sin(#);
y = 1 cos(#);
x = sin(#);
y = 1 cos(#);
x = #;
y = 1 cos(#):
”La direzione del moto di un punto che descrive una linea curva è
tangente alla curva... Esaminando i diversi movimenti del punto e
tracciandone la risultante, si ottiene la tangente alla curva.”
218

Componendo la rotazione intorno al centro del cerchio con la traslazione
del centro, Roberval dimostra che la tangente ad una cicloide è la retta per il
punto sulla cicloide ed il punto sul cerchio generatore diametralmente opposto al
punto di contatto alla retta base. Poi trova anche il volume del solido generato
dalla rotazione di un arco di cicloide intorno alla base, ma non pubblica le sue
scoperte. Il motivo è che il Collegio Reale di Parigi mette a concorso ogni tre
anni una cattedra con una competizione su argomenti scelti dal titolare. Vinta
la cattedra nel 1634, Roberval riesce a conservala per quarant’anni. Quando
poi le proprietà della cicloide vengono ritrovate da altri, scoppiano le polemiche.
In particolare Torricelli osserva che il principio di composizione delle velocità
di Roberval è già presente in Galileo ed anche Fermat utilizza questo principio
ottenendo, in un certo senso, la nostra de…nizione di derivata. La tangente alla
curva y = f(x) si ottiene componendo gli spostamenti orizzontali (x + h) x
con quelli verticali f(x + h) f(x), il coe¢ ciente angolare della tangente è il
limite dei rapporti incrementali (f(x + h) f(x)) =h.
La lunghezza di un arco
di cicloide secondo Wren.
Se si tracciano le tangenti alla cicloide nel suo vertice V ed in un punto P
e se le due tangenti si intersecano in un punto Q, l’arco di cicloide V P
è il doppio del segmento V Q.
Nel 1673 Huygens de…nisce l’evolvente e l’evoluta di una curva.
”Se si considera un …lo avvolto su una linea concava, rimanendo un’estremità
del …lo sempre attaccata alla curva e l’altra restando libera in modo che la parte
non legata rimanga sempre tesa, è chiaro che questa estremità del …lo descriverà
un’altra curva che sarà descritta per evoluzione. La linea alla quale il …lo era
avvolta si chiama evoluta.”
In termini moderni l’evoluta è il luogo dei centri di curvatura di una curva
e, relativamente alle coniche, si trova già nelle Coniche di Apollonio. Dopo
aver mostrato che le rette tangenti all’evoluta incontrano l’evolvente ad angoli
retti, Huygens dimostra che l’evolvente di una cicloide è ancora una cicloide.
In’altra curva con questa proprietà di autoriprodursi è la spirale logaritmica.
Infatti, come mostrato da Bernoulli, l’evoluta di una spirale logaritmica è la
stessa spirale.
219

Huygens e l’evolvente ed
evoluta di una cicloide.
”Se una linea retta è tangente ad una cicloide nel suo vertice e su questa
retta presa come base viene costruita un’altra cicloide uguale alla prima
con inizio nel vertice, una qualunque retta tangente alla cicloide inferiore
incontra ad angoli retti la cicloide superiore... Per evoluzione, a partire
da una semicicloide si descrive un’altra semicicloide uguale all’evoluta,
la cui base coincide con la retta che tocca la cicloide evoluta nel vertice.”
La normale alla cicloide per il punto di parametro # ha equazione
y (1 cos(#)) =
cos(#) 1
sin(#)
(x (# sin(#))) ;
x x cos(#) + y sin(#) + # cos(#) # = 0;
e la normale in un punto in…nitesimamente vicino di parametro # + d#,
(x x cos(#) + y sin(#) + # cos(#) #)
+ (x sin(#) + y cos(#) + cos(#) # sin(#) 1) d# = 0:
Il punto di intersezione di due normali in…nitamente vicine è una cicloide
uguale alla prima ma traslata di ( ; 2), (x; y) = (sin(#) + #; cos(#) 1). Se
A = (# sin(#); 1 cos(#)) è un punto sulla evolvente, B = (sin(#) + #; cos(#) 1)
il punto corrispondente sulla evoluta, C = ( ; 2) il vertice della cicloide evoluta,
la distanza tra A e B è 4 sin(#=2) e la lunghezza dell’arco di cicloide tra
B e C è 4 4 sin(#=2). Quindi la somma del segmento AB più l’arco BC è
costante e uguale a quattro volte il raggio.
Huygens scopre anche che la cicloide è tautocrona.
220

La tautocrona
di Huygens.
”In una cicloide rovesciata, i tempi di discesa di un corpo che parte da punti
qualsiasi della curva e raggiunge il punto più basso sono uguali. Il rapporto
tra questi tempi ed il tempo di caduta verticale lungo l’asse della cicloide
è uguale al rapporto tra metà circonferenza e diametro del cerchio.”
Scivolando senza attrito lungo una cicloide rovesciata (# sin(#); cos(#) 1)
un corpo pesante raggiunge il punto più basso ( ; 2) in un tempo indipendente
dal punto di partenza. Per la conservazione dell’energia cinetica e potenziale,
se in un punto di parametro la velocità iniziale è v( ) = 0, in un punto
di parametro # la velocità è v(#) = p 2g (y( ) y(#)). Siccome tempo =
spazio=velocita, il tempo impiegato per scivolare lungo la cicloide da un punto
di parametro al punto di parametro è
Z
q
(1 cos(#)) 2 + ( sin(#)) 2
p d#
2g ((cos( ) 1) (cos(#) 1))
= 1
Z
p
g
= 2
p g
sin(#=2)
p cos 2 ( =2) cos 2 (#=2) d#
Z 1
0
dw
p
1 w2 = p g :
Il tempo di caduta lungo la verticale da ( ; 0) a ( ; 2) è invece 2= p g,
quindi il rapporto tra il tempo di discesa lungo la cicloide e lungo l’asse verticale
è =2. L’evoluta di una cicloide è ancora una cicloide e la cicloide è tautocrona.
Questi sono i principi utilizzati da Huygens nella costruzione di orologi
a pendolo cicloidali. Se un pendolo oscilla tra due guide cicloidali rovesciate,
descrive una cicloide ed il periodo dell’oscillazione è indipendente dall’ampiezza
dell’oscillazione stessa.
I classici pendoli circolari sono solo approssimativamente tautocroni per piccole
oscillazioni. Infatti il tempo impiegato da un corpo pesante per scivolare
lungo un pendolo circolare (R sin(#); R R cos(#)) da un punto di parametro
al punto di parametro 0 è un integrale ellittico,
s
Z
R
2g 0
d#
p cos(#) cos( ) =
s
R
g
221
Z =2
q
d'
0 1 sin 2 ( =2) sin 2 :
(')

Per piccolo il termine sin 2 ( =2) sin 2 (') risulta trascurabile, quindi, come
osservato da Galileo, il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo circolare
è approssimativamente 2 p R=g. Al contrario, il periodo di tutte le oscillazioni
di un pendolo cicloidale è esattamente 4 p R=g. Tenuto però conto dei vari
attriti che in ogni caso compromettono la precisione di un orologio, le migliori
prestazioni di un pendolo cicloidale sono più teoriche che reali.
Nel 1696 Bernoulli pubblica la seguente s…da.
”Si invitano i matematici a risolvere un problema nuovo. Dati due punti
A e B in un piano verticale, trovare la curva AMB lungo la quale un corpo
mobile M, che parte da A e scende per gravità, arriva a B nel più breve tempo
possibile.”
Il problema è di fatto già presente in Galileo, il quale congettura che ”il
movimento più veloce da punto a punto non ha luogo lungo la linea più breve,
cioè la retta, ma lungo un arco di cerchio”. La soluzione corretta viene data nel
1697 da entrambi i fratelli Bernoulli, de l’Hospital, Leibniz, e da un anonimo:
”Problema: Trovare la curva AB lungo la quale un corpo pesante scende per
gravità da un punto A ad un punto B più velocemente.
Soluzione: Per il punto A tracciare la linea orizzontale e su questa una
cicloide che interseca la linea AB nel punto Q, poi una seconda cicloide con
base e altezza rispetto alla base e altezza della prima cicloide come AB sta a
AQ. Questa seconda cicloide passa per A e B ed è la curva lungo la quale il
corpo discende più velocemente dal punto A a B.”
Osserviamo che si è anche dimostrato che per due punti passa uno ed un solo
arco di cicloide. ”Ex ungue leonem”, l’anonimo viene identi…cato con Newton.
La soluzione del più giovane dei Bernoulli utilizza un’analogia con il principio
di rifrazione di Fermat e ”l’ipotesi di Galileo” secondo la quale la velocità di un
corpo che cade è proporzionale alla radice quadrata dell’altezza. Poniamo un
sistema di assi cartesiani con origine nel punto di partenza ed asse delle ordinate
rivolto verso il basso e denotiamo con ' l’angolo tra questo asse e la tangente
alle curva. La velocità v e l’altezza y del corpo sono legate dalla relazione
v = p 2gy. Se pensiamo a degli strati di materiali dove la velocità della luce è
data da v = p 2gy, il cammino più rapido è quello che in ogni punto soddisfa
la legge di rifrazione v= sin(') = k. Poiché sin(') = 1 + (dy=dx) 2
ottiene l’equazione di¤erenziale
r
2gy 1 + (dy=dx) 2 = k;
dy
dx =
r
2r y
:
y
1=2
, si
La soluzione per (0; 0) è la cicloide (x; y) = r (# sin(#); 1 cos(#)) e
scegliendo il raggio r si può imporre il passaggio per un altro punto. Bernoulli osserva
anche che se la velocità di caduta non è proporzionale alla radice quadrata
222

dell’altezza ma alla radice cubica, allora la brachistocrona è algebrica e la tautocrona
trascendente. Se invece la velocità di caduta è proporzionale all’altezza,
sia la brachistocrona che la tautocrona sono algebriche, la prima è un cerchio
e la seconda una retta. Nel 1715 Taylor osserva che l’equazione di¤erenziale
ottenuta da Bernoulli ha più di una soluzione. Si può seguire la cicloide …no
al vertice y = 2r, poi proseguire per un po’in piano con dy=dx = 0, ed in…ne
risalire sulla cicloide. Comunque, queste soluzioni spurie non minimizzano il
tempo.
Consideriamo ora un modello più realistico di brachistocrona con attrito.
Sia (x(s); y(s)) l’equazione parametrica di una curva, con lunghezza d’arco s.
Sia T = x(s); y(s) la tangente e N = y(s); x(s) la normale alla curva,
F = (0; mg) la forza di gravità e "(F N)T = "mgx(s) x(s); y(s) l’attrito.
Le componenti del peso e dell’attrito lungo la curva sono mgy(s) e "mgx(s)
e, per la legge di Newton,
m d2s = mgy(s) "mgx(s):
dt2 Sostituendo v = ds=dt e dv=dt = vdv=ds = d
ds v2 =2 , si ottiene
d
ds
0
v 2
2
d
= g (y "x) :
ds
Se nell’origine la velocità del corpo è zero si ottiene v = p 2g(y "x) ed il
tempo T per percorrere un tratto L di curva da (0; 0) a (a; b) è
Z L
ds
T =
v =
s
Z a
1 + (dy=dx) 2
2g(y "x) dx:
0
La curva che rende minimo questo integrale si trova risolvendo un’equazione
di Eulero-Lagrange,
Brachistocrone
con e senza attrito.
x = r (# sin(#)) + "r (1 cos(#)) ;
y = r (1 cos(#)) + "r (# + sin(#)) :
Se c’è attrito ci sono punti non raggiungibili da una brachistocrona, se
l’attrito è troppo il corpo non si muove.
223

224

Dedekind (1831-1916) Cantor (1845-1918) Peano (1858-1932)
NUMERI RAZIONALI; ALGEBRICI; T RASCENDENT I
La matematica si è sempre occupata di numeri, ma cosa sia esattamente
un numero non è mai stato chiaro, infatti l’introduzione di un qualche nuovo
numero, lo zero, i negativi, gli irrazionali, gli immaginari, ha sempre creato
sospetti e perplessità. Di fatto una de…nizione rigorosa di numero è relativamente
recente e risale solo alla seconda metà del secolo XIX. Hermann Günther
Grassmann (1808-1877) nel 1861, poi Julius Wilheln Richard Dedekind (1831-
1916) nel 1888 e Giuseppe Peano (1858-1932) nel 1889, mostrano che molte delle
proprietà dei numeri si possono derivare dal processo di induzione. In particolare,
dimenticando l’a¤ermazione di Kronecker, ”Dio ha creato i numeri interi,
tutto il resto è opera dell’uomo”, Peano introduce l’insieme dei numeri naturali
con un sistema di assiomi:
”I primi numeri che si presentano, e con cui si formano tutti gli altri, sono
gli interi e positivi. E la prima questione è: possiamo noi de…nire l’unità,
il numero, la somma di due numeri?... Se il numero non si può de…nire, si
possono enunciare quelle proprietà da cui derivano come conseguenza tutte le
innumerevoli e ben note proprietà dei numeri. I concetti, adunque, che noi
de…niamo sono quelli di numero, N, di unità, 1, e di successivo di un numero
a, che qui si indica per un istante con a+... Le proposizioni primitive, vale a
dire le proposizioni esprimenti le più semplici proprietà dei numeri interi, da
cui derivano tutte le altre, sono:
1. ”L’unità è un numero”.
2. ”Il segno + messo dopo un numero produce un numero”.
3. ”Se a e b sono due numeri, e se i loro successivi sono uguali, anche essi
sono uguali”.
4. ”L’unità non segue alcun numero”.
5. ”Se S è una classe che contiene l’unità, e se la classe formata dai successivi
di S è contenuta in S, allora ogni numero è contenuto nella classe S”.
... Questa proprietà è comunemente chiamata la regola di induzione matematica.”
225

Se si vuole, nel de…nire i numeri naturali N si può anche partire da zero con
i seguenti assiomi: 0 è un numero. Ogni numero a ha un successore S(a). Se
S(a) = S(b) allora a = b. Per ogni a si ha S(a) 6= 0. Se un insieme di numeri
ha la proprietà che 0 appartiene all’insieme e per ogni a nell’insieme anche
S(a) è nell’insieme, allora questo insieme contiene tutti i numeri. L’addizione
e la moltiplicazione tra numeri naturali si de…niscono ricorsivamente ponendo
a + 0 = 0 e a + S(b) = S(a + b), a 0 = 0 e a S (b) = (a b) + a. Si dimostra
poi per induzione che le operazioni così de…nite soddisfano le leggi associative,
distributive, commutative, (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c),
a (b + c) = (a b)+(a c), a+b = b+a, a b = b a. Per esempio, per dimostrare
la proprietà associativa della somma basta mostrare che per ogni a e b l’insieme
dei numeri c che veri…cano la legge (a + b) + c = a + (b + c) contiene c = 0 e se
contiene c allora contiene anche S(c). In…ne, si può de…nire un ordine ponendo
a < b se esiste c tale che a + c = b. Peano de…nisce poi i numeri interi relativi
Z come coppie di interi (a; b), con addizione (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
e relazione di equivalenza (a; b) = (c; d) se a + d = b + c. La coppia (a; b)
rappresenta quindi il numero a b. Sia Weierstrass che Peano de…niscono in
modo astratto i numeri razionali Q come coppie ordinate di interi. Nell’insieme
di tutte le coppie di interi relativi (a; b), con b > 0, si de…niscono le operazioni
di somma e prodotto, (a; b) + (c; d) = (ad + bc; bd) e (a; b) (c; d) = (ac; bd).
Si de…nisce poi una relazione di equivalenza, (a; b) = (c; d) se ad = bc, ed una
relazione d’ordine, (a; b) > (c; d) se ad > bc. L’insieme delle coppie di interi
relativi con questa somma e prodotto, quozientato rispetto alla relazione di
equivalenza è il campo dei numeri razionali ed invece di (a; b) si scrive a=b. I
razionali, più che su¢ cienti per tutti i problemi pratici, non esauriscono però
l’insieme di tutti i numeri. Intuitivamente si possono de…nire i numeri reali come
limiti di successioni razionali. Infatti Cantor nel 1872 de…nisce i numeri reali
come classi di equivalenza di successioni di Cauchy di numeri razionali. Una
successione è fondamentale se per ogni " > 0 tutti i suoi termini da un certo
posto in poi di¤eriscono per meno di ", cioè fx(n)g +1
n=1 è fondamentale se dato
" > 0 esiste k tale che jx(n) x(m)j < " se n; m > k. Ogni successione fondamentale
di numeri razionali è per de…nizione un numero reale e due successioni
fx(n)g +1
n=1 e fy(n)g+1 n=1 de…niscono lo stesso numero se jx(n) y(n)j tende a zero
per n ! +1. Le operazioni sui numeri reali sono ereditate delle operazioni sulle
successioni di razionali. In particolare, si può associare ad ogni numero reale
la successione delle somme parziali del suo sviluppo decimale, quindi questa
de…nizione astratta risulta più o meno equivalente alla de…nizione di numero
reale come sviluppo decimale in…nito. Contemporaneamente a Cantor, nel 1872
Dedekind pubblica le sue ri‡essioni su ”Continuità e numeri irrazionali”.
”L’essenza della continuità è nel seguente principio: Se tutti i punti di una
linea retta sono divisi in due classi in modo che ogni punto della prima sia
a sinistra di ogni punto della seconda, allora esiste uno ed un solo punto che
produce questa divisione in classi, questa sezione della retta in due parti.”
Poi Dedekind estende questa osservazione apparentemente banale dalla retta
ai numeri e de…nisce i numeri reali come elementi separatori tra classi contigue
226

di razionali. Di fatto, senza presupporre a priori l’esistenza di un elemento
separatore tra due classi contigue, è possibile de…nire un numero reale come
una coppia di classi contigue di numeri razionali. Anzi, visto che una classe
determina l’altra, è possibile de…nire i reali nel modo seguente. Una sezione del
campo dei numeri razionali Q è un sottoinsieme proprio non vuoto di razionali
con le proprietà: 1) Se x appartiene alla sezione, ogni razionale y minore di x
appartiene alla sezione. 2) I razionali nella sezione non hanno massimo, cioè per
ogni x nella sezione esiste y nella sezione maggiore di x. Denotiamo con , ,
,..., le sezioni e con R l’insieme di tutte le sezioni. Ad ogni razionale z si può
associare la sezione di tutti i razionali x < z. Questo permette di identi…care
Q con un sottoinsieme di R, ma non tutte le sezioni sono ottenute in questo
modo. Per esempio, l’insieme dei razionali negativi e positivi con x 2 < 2, che
de…nisce p 2, non è una sezione razionale. Nell’insieme delle sezioni è possibile
introdurre un ordinamento, ponendo < se è un sottoinsieme proprio di .
Con questo ordinamento, ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato
in R ha un estremo superiore de…nito dalla sezione sup 2A = [ 2A . La
somma di due sezioni è la sezione + = fx + y; x 2 ; y 2 g. Il prodotto di
sezioni positive è la sezione = fz < x y; x 2 ; y 2 ; x > 0; y > 0g. Poi,
se < 0 e < 0, = ( ) ( ). Se > 0 e < 0, = ( ( )).
L’insieme R con la somma ed il prodotto così de…niti risulta essere un campo,
il campo dei numeri reali. De…niti i reali, si possono de…nire i numeri complessi
C come coppie di numeri reali (a; b), con addizione (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
e moltiplicazione (a; b) (c; d) = (ac bd; ad + bc). Ponendo (0; 1) = i, invece
(a; b) si può scrivere a + ib. Questa de…nizioni dei numeri complessi è dovuta
a William Rowan Hamilton (1805-1865). Poiché i 2 = 1, si ha formalmente
i = p 1, quindi si hanno i numeri complessi nella forma a + b p 1. In…ne,
sostituendo x a p 1, si possono identi…care i numeri complessi con l’insieme
dei polinomi a coe¢ cienti reali, modulo x 2 + 1, cioè con l’estensione algebrica
del campo reale per mezzo delle radici di x 2 + 1. A questo punto sorge naturale
una domanda. Si hanno le inclusioni N Z Q R C. C’è qualcosa sopra
C? La risposta di Gauss a questa domanda è la seguente:
”Le relazioni tra oggetti in insiemi con più di due dimensioni non possono
dare origine ad una aritmetica generalizzata.”
In particolare, non è possibile de…nire nello spazio tridimensionale una struttura
di somma e prodotto compatibili con quelli sulla retta reale e sul piano
complesso. Se così fosse, indicata con e = (1; 0; 0) l’unità di questa algebra,
con i = (0; 1; 0) l’unità immaginaria, i i = e, con j = (0; 0; 1)
una terza unità, si avrebbe i j = e + i + j con , , reali. E, assumendo
la proprietà commutativa della somma ed associativa del prodotto,
j = (i i) j = i (i j) = ( )e+( + )i+ 2 j. Quindi, per l’indipendenza
dei vettori e, i, j, si dovrebbe avere 2 = 1, contrariamente all’ipotesi reale.
Più in generale, se fosse possibile estendere le quattro operazioni dell’aritmetica
da R a R n , si tratterebbe di una estensione algebrica e non si andrebbe al di là
di C = R 2 . Comunque, i numeri complessi possono essere immersi nei quater-
227

nioni di Hamilton, a + bi + cj + dk, con i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ji = k.
jk = kj = i, ki = ik = j, ma si perde la commutatività del prodotto. I
quaternioni possono essere immersi negli ottetti di Arthur Caley (1821-1895),
ma si perde anche la proprietà associativa.
Ma, dopo queste de…nizioni astratte, torniamo ad occuparci di numeri in
modo più concreto. I razionali sono rapporti di interi. Per esempio, gli antichi
egizi usano solo frazioni con numeratore uno, ma ogni razionale può essere scomposto
in somme di razionali distinti con numeratore uno e un algoritmo naturale
per scomporre una frazione in frazioni egizie è dovuto al Fibonacci. Dato m=n,
si sceglie a tale che 1=a m=n < 1=(a 1) e, se 1=a 6= m=n, si sceglie b tale
che 1=b m=n 1=a < 1=(b 1),.... In un numero …nito di passi si ottiene
m=n = 1=a + 1=b + ::: + 1=c. Per dimostrare che l’iterazione ha termine, basta
osservare che m=n 1=a = p=q, con p < m. Infatti m=n 1=a = (ma n)=na
e ma n < m se e solo se m=n < 1=(a 1). Comunque la scomposizione in
frazioni egizie non è unica, per esempio 1=n = 1=(n + 1) + 1=(n 2 + n). Ogni numero
razionale ha sviluppo decimale periodico. Per esempio, dividendo 22 per 7
si ottiene 3 con resto 1, dividendo 10 per 7 si ottiene 1 con resto 3, dividendo 30
per 7 si ottiene 4 con resto 2,..., il resto è sempre compreso tra 0 e 6 e quando si
ripetere si ottiene il periodo, 22=7 = 3; 142857 142857::: Viceversa, ogni numero
con sviluppo decimale periodico è razionale. Per esempio
3; 142857 142857 142857::: = 3 + 142857
1000000
+1X
n=0
1000000 n = 3 + 142857
999999
= 22
7 :
Un corollario di quanto mostrato è che ogni numero con sviluppo decimale
non periodico non è razionale. Lo sviluppo decimale è solo uno delle tante possibili
rappresentazioni dei numeri. Nel 1703 Leibniz pubblica una ”Spiegazione
dell’aritmetica binaria”, ma questa ed altre basi sono state utilizzate anche in
precedenza. E ci sono anche sviluppi in basi variabili. Per ogni successione
di interi fq(n)g +1
n=1 , tutti maggiori di uno e per ogni numero reale 0 x < 1
esistono degli interi 0 p(n) < q(n) tali che
x =
+1X
n=1
p(n)
q(1)q(2):::q(n) :
Se q(n) = 2 per ogni n si ha lo sviluppo binario e se q(n) = 10 quello
decimale. Friedrich Engel (1861-1941) trova una generalizzazione delle frazioni
egizie. Per ogni reale 0 < x < 1 esiste una ed una sola successione di interi
q(1) q(2) q(3) ::: tale che
x =
+1X
n=1
1
q(1)q(2):::q(n) :
Inoltre, x è razionale se e solo se i q(n) sono costanti da un certo posto in
poi. Cantor trova uno sviluppo di un numero in prodotto in…nito. Per ogni
228

x > 1 esistono degli interi fq(n)g +1
n=1 , con q(n + 1) q(n)2 tali che
x =
+1 Y
n=1
1 + 1
q(n)
Inoltre, x è razionale se q(n + 1) = q(n) 2 da un certo posto in poi.
:
Leibniz domanda
ai Bernoulli se nello
sviluppo binario di
è presente qualche
regola o struttura.
Nel 1874 Cantor dimostra che i numeri razionali sono tanti quanti i naturali,
ma gli irrazionali sono molti più. I numeri razionali sono numerabili, cioè possono
essere messi in corrispondenza biunivoca con gli interi 1, 2, 3,... ed allineati
in una successione. Infatti, per ogni n esiste solo un numero …nito di razionali
p=q con jpj + jqj = n e questi possono essere ordinati per modulo crescente. In
particolare, se n = 1 si ha solo 0=1, se n = 2 si ha 1=1 e 1=1, se n = 3 si ha
2=1, 1=2, 1=2, 2=1,... In questo modo si ottiene l’ordinamento 0=1, 1=1,
1=1, 2=1, 1=2, 1=2, 2=1, 3=1, 1=3, 1=3, 3=1, 4=1, 3=2, 2=3, 1=4, 1=4,
2=3, 3=2, 4=1,... Più in generale, con questo processo diagonale Cantor dimostra
che l’unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile. Invece, i numeri
reali non sono numerabili. Assumendo il contrario, esisterebbe un ordinamento
di tutti i reali 0 < x < 1, con x(1) = 0; x11x12x13:::, x(2) = 0; x21x22x23:::,
x(3) = 0; x31x32x33:::. A partire da questa lista numerabile è però possibile
costruire un numero reale 0 < y < 1 non nella lista. Per esempio, ogni numero
y = 0; y1y2y3::: con yj 6= xjj non è nella lista. Più in generale, Cantor dimostra
che l’insieme delle parti di un dato insieme ha cardinalità maggiore dell’insieme
di partenza. Infatti, per ogni funzione y = F (x) da un insieme X nell’insieme
delle parti P (X), si può costruire un sottoinsieme A di X ponendo x 2 A se e
solo se x =2 F (x). Se la funzione fosse suriettiva, si dovrebbe avere A = F (x)
per un qualche x, ma per questi x ed A si avrebbe contemporaneamente x 2 A
e x =2 A. Ogni numero reale 0 < x < 1 si può identi…care con la successione di
0 e 1 del suo sviluppo binario. Questa corrispondenza non è uno a uno, perché
gli sviluppi x0111::: e x1000::: rappresentano lo stesso numero, ma questo insieme
dove la corrispondenza non è uno a uno è numerabile. Le successioni di
0 e 1 sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi dei naturali, dove le
successioni valgono uno. Quindi i numeri reali 0 < x < 1 hanno la cardinalità
dell’insieme delle parti dei numeri naturali. I numeri algebrici sono le radici di
229

equazioni algebriche a coe¢ cienti interi. L’insieme di questi numeri è numerabile,
infatti per ogni n esiste solo un numero …nito di equazioni algebriche a
coe¢ cienti interi ax k + bx k 1 + cx + d = 0 con k + jaj + jbj + ::: + jcj + jdj = n,
le soluzioni di queste equazioni possono essere ordinate per modulo crescente
ed in questo modo si ottiene un ordinamento dei numeri algebrici. Un immediato
corollario del fatto che i numeri algebrici sono numerabili ed i reali no, è
l’esistenza di numeri trascendenti, non soluzioni di equazioni algebriche a coef-
…cienti interi. In particolare, …ssato esplicitamente un ordinamento dei numeri
algebrici, è possibile costruire esplicitamente un numero trascendente scegliendo
la sua n esima cifra decimale di¤erente da quella del n esimo numero algebrico.
Ma se è semplice dimostrare che esistono numeri irrazionali ed anche trascendenti,
può essere più complicato mostrare che un particolare numero ha questa
proprietà.
Si attribuisce alla scuola pitagorica la scoperta che p 2, p 3, p 5,... non sono
rapporti tra numeri interi p=q. Duemila anni dopo Stifel osserva che anche np m o
è intero o è irrazionale. Questi numeri np m sono radici del polinomio x n m = 0
e, come osserva Gauss, le radici razionali di un polinomio con coe¢ cienti interi
si possono determinare esplicitamente in un numero …nito di tentativi. Infatti
se un polinomio a coe¢ cienti interi ax n + bx n 1 + ::: + cx + d = 0 ha una
radice razionale x = p=q, sostituendo p=q nell’equazione e moltiplicando per q n
si ottiene
dq n n 1
= p cq
ap n n 1
= q bp
::: bp n 2 q ap n 1 ;
::: cpq n 2 + dq n 1 :
Se p e q non hanno divisori comuni, dalla prima uguaglianza si ricava che p
deve dividere d e dalla seconda che q deve dividere a. In particolare, se tra i
divisori di a e d non si trovano radici p=q, il polinomio non ha radici razionali.
Dimostriamo, per esempio che 2p 2 + 3p 3 non è razionale:
x 6
x = 2p 2 + 3p 3;
x
3 2p
2 = 3;
x 3 + 6x 3 = p 2 3x 2 + 2 ;
6x 4
6x 3 + 12x 2
36x + 1 = 0:
Per quanto visto sopra, poiché questo polinomio non ha radici intere, le
radici non sono neanche razionali.
Lo sviluppo in serie della funzione esponenziale exp(x) =
+1X
n=0
x n =n! converge
rapidamente e con la formula exp(x) = (exp(x=2)) 2 la convergenza è accelerata.
È poi semplice calcolare per ricorrenza le somme parziali,
nX xk k=0
k!
= A(x; n)
n!
n A(x; n 1) + xn
= :
n!
230

Per esempio, se x = 1 si ha A(1; 10)=10! = 9864101=3628800. Questo approssima
e per difetto a meno di 1= (10 10!), meno di tre centomilionesimi. Di
fatto
e = 2; 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 525166427:::
I numeri razionali hanno uno sviluppo decimale periodico, ma almeno in
queste cento cifre decimali non sembra essere presente nessuna periodicità. Con
un poco di fatica, dallo sviluppo decimale si riescono ad ottenere i primi termini
dello sviluppo in frazione continua e si intuisce anche quale è lo sviluppo completo.
Dallo sviluppo in frazioni continue segue immediatamente l’irrazionalità
di e. La semplice dimostrazione che segue è invece di Fourier del 1815. Poiché
e =
+1X
n=0
1=n!, si ha
<
1
(N + 1)!
0 < e
NX
1=n! =
n=0
+1X
n=N+1
1=n!
1 + 1
N + 2 +
1
1 N + 2
+ ::: =
(N + 2) 2 (N + 1)! N + 1 :
Se per assurdo e fosse razionale, e = p=q, prendendo N q e moltiplicando
NX
per N! la disuguaglianza 0 < e 1=n! < 1=NN! si otterrebbe l’assurdo di
n=0
un intero maggiore di zero e minore di uno. A questa dimostrazione si può
dare una veste geometrica. Partiamo dall’intervallo I(1) = [2; 3] e per induzione
de…niamo I(n) dividendo I(n" 1) in n intervalli uguali e scegliendo il secondo
nX nX
#
di questi intervalli, I(n) = 1=k!; 1=k! + 1=n! . Allora e = T +1
n=1 I(n).
k=0
Da questa costruzione ricava che je
k=0
m=n!j > 1=(n + 1)!, in particolare e deve
essere irrazionale. Similmente si può mostrare che e non è radice di un polinomio
di secondo grado con coe¢ cienti interi, ae2 + be + c 6= 0. Sostituendo in ae +
b + ce 1 = 0 gli sviluppi in serie di e e di e 1 , poi moltiplicando per N! con N
grande si ottiene un assurdo. Il principio su cui si basa questa dimostrazione
è così fondamentale, che vale la pena di enfatizzarlo. Ogni numero razionale
non può essere approssimato troppo bene da altri razionali. In particolare, se
m, n, p, q sono interi e se p=q 6= m=n, allora jp=q m=nj = j(pn mq) =qnj
1=qn. Quindi, se per ogni q esistono frazioni m=n con 0 < jx m=nj < 1=qn,
allora x non è razionale. Questo principio si applica anche alle dimostrazioni di
trascendenza.
Presentiamo ora una semplice dimostrazione dell’irrazionalità di dovuta a
I.Niven. Partiamo dal polinomio P (x) = xn (1 x) n mente per parti P (x) sin( x),
=n! ed integriamo ripetuta-
Z 1
P (0) + P (1)
P (x) sin( x)dx =
0
:::
P (2n) (0) + P (2n) (1)
:
2n+1
231

Se 0 x 1 si ha jP (x)j < 1=n! e tutte le derivate di P (x) sono numeri
interi se valutate in x = 0 o x = 1. Fissato un intero p, se n è abbastanza grande
si ha
0 < p 2n+1
Z 1
0
P (x) sin( x)dx < p 2n+1 =n! < 1:
Se fosse per assurdo = p=q, con p e q interi, la quantità
p 2n+1
Z 1
0
P (x) sin( x)dx
= p 2n q (P (0) + P (1)) ::: q 2n+1 P (2n) (0) + P (2n) (1)
sarebbe un intero maggiore di zero e minore di uno.
In modo analogo si può mostrare che se m è intero allora exp(m) è irrazionale.
Si parte dal polinomio P (x) = (m2 x2 ) n =n! e si osserva che tutte le derivate
P (j) ( m) sono intere. Se per assurdo fosse exp (m) = p=q con p e q interi,
pq exp( m) sarebbe un intero, e sarebbe un intero anche l’integrale
Z +m
2nX
pq exp(x)P (x)dx = pq ( )
m
j=0
j exp (m) P (j) (m) exp ( m) P (j) ( m) :
Ma, se n ! +1,
0 < pq
Z +m
m
exp(x)P (x)dx pq exp (m) m2n
n!
! 0:
Dimostriamo in…ne che non è commensurabile con arccos(1=p) per ogni
primo p > 2. Dall’identità cos ((n + 1)x) = 2 cos(x) cos(nx) cos ((n 1)x)
segue per induzione che cos(nx) è un polinomio in cos(x), il polinomio di
Cebicev cos(nx) = Tn (cos(x)). Questo polinomio di grado n ha coe¢ cienti
interi con coe¢ ciente del termine di grado massimo 2 n 1 . Per assurdo, assumiamo
arccos(1=p) = m=n, con m e n interi e n 1. Segue allora che
Tn (1=p) = cos(m ) = 1, cioè 1=p è radice del polinomio a coe¢ cienti interi
0 = Tn (1=p) 1 = 2 n 1 p n + Ap (n 1) + ::: = p n 2 n 1 + pB :
Da qui segue che p divide 2 n 1 .
Ogni numero reale può essere approssimato arbitrariamente bene con razionali
ma, interessati all’economia, cerchiamo approssimazioni con razionali di denominatore
non troppo grande. Per esempio, ridimostriamo l’approssimazione
di Archimede 3+10=71 < < 3+1=7 con un metodo non archimedeo. Partiamo
dall’integrale
Z x
=
0
x 6
Z x
0
x4 (1 x) 4
1 + x2 dx
4x 5 + 5x 4
= 1
7 x7 2
3 x6 + x 5
4x 2 + 4
4
1 + x2 4
3 x3 + 4x 4 arctan(x):
232

Ponendo x = 1 si ottiene
Poi osserviamo che
1=1260 = 1
2
Quindi
Z 1
0
x 4 (1 x) 4
1 + x 2 dx = 22=7 :
Z 1
x
0
4 (1 x) 4 Z 1
x
dx <
0
4 (1 x) 4
1 + x2 Z 1
dx < x
0
4 (1 x) 4 dx = 1=630:
22=7 1=630 < < 22=7 1=1260:
Una formula simile, ma più complicata, dà l’approssimazione di Metius,
= 355
113
1
3164
Z 1 x8 (1 x) 8 25 + 816x2 0
1 + x 2
Un’altra ancora dà un’approssimazione dell’ordine di 10 9 ,
Z 1
0
x12 (1 x) 12
16 (1 + x2 431302721
dx =
) 137287920
La frazione 22/7 è la migliore approssimazione di con denominatore minore
o uguale a 7 e 355/113 la migliore approssimazione con denominatore al più
113. Lagrange ha mostrato che dallo sviluppo in frazioni continue di un numero
irrazionale x si possono costruire in…niti razionali p=q tali che jx p=qj < 1=q 2 .
Per esempio je 2721=1001j < 1001 2 . Dirichlet ha ridimostrato questo risultato
utilizzando il principio che se n scatole contengono n + 1 oggetti, allora
c’è una scatola con almeno due oggetti. Le n scatole sono gli intervalli [0; 1=n),
[1=n; 2=n),..., [(n 1)=n; 1) e gli n+1 oggetti sono le parti decimali dei numeri 0x,
1x, 2x,..., nx, almeno due tra le parti decimali di 0x, 1x,..., nx di¤eriscono per
meno di 1=n, cioè esistono interi h, k, j, con 0 h < k n e con jkx hx jj <
1=n. Quindi jx j=(k h)j < 1=n(k h) 1=(k h) 2 . In particolare, per approssimare
p m con una frazione p=q a meno di q 2 , basta risolvere l’equazione
mq 2 p 2 = 1. Infatti, p m p=q = ( p m + p=q) 1 mq 2 p 2 q 2 . Questo
metodo risale alla scuola pitagorica. Osserviamo che si è anche ottenuta la disuguaglianza
j p m p=qj ( p m + p=q) 1 q 2 , il metodo pitagorico è ottimale,
non si può approssimare p m con p=q a meno di q 2 . Similmente j 3p m p=qj
3p
m2 3 + p mp=q + p2 =q2 :
dx:
1
q 3 , e così per le altre radici. Osserviamo in…ne
che se m=n e p=q sono numeri razionali distinti, allora jm=n p=qj > 1=nq, un
numero razionale può essere ben approssimato solo da se stesso. Liouville ha
mostrato che se è un numero irrazionale algebrico di grado n, allora esiste
una costante c tale che per ogni razionale p=q si ha j p=qj > c=q n . Infatti,
se è radice di un polinomio irriducibile con coe¢ cienti interi P (x) =
A (x 1) (x 2) ::: (x n), se p=q è un razionale diverso dalle radici f jg,
233

e se jp=qj B e j jj B, allora
q n
0
jP (p=q)j = @jAj Y
1
jp=q jjA
jp=q j jAj (2B) n 1 jp=q j :
j6=
Quindi jp=q j jAj 1 (2B) 1 n q n . In particolare, se x è irrazionale e se
per in…niti n e p=q si ha jx p=qj < q n , allora x è trascendente. Per esempio,
+1X
se x = 10 k! nX
e p=q =
+1X
k=1
k=1
k=1
10 k! , allora jx p=qj < q n . Il numero di Liouville
10 k! è trascendente. Come osservato da P.Erdös, ogni numero è somma o
prodotto di due numeri di Liouville. Infatti, se z =
basta de…nire x =
+1X
n=1
"(n) = 0 altrimenti, y =
+1X
n=1
(n)2 n con (n) = 0; 1,
"(n)2 n con "(n) = (n) se (2k 1)! n < (2k)! e
+1X
n=1
(n)2 n con (n) = (n) se (2k)! n < (2k + 1)!
e (n) = 0 altrimenti. Sia x che y sono numeri di Liouville e x + y = z.
L’esponente nel teorema di Liouville non è il migliore possibile, infatti Klaus
Friedrich Roth ha dimostrato che per ogni numero algebrico x ed ogni > 2
esiste c > 0 tale che jx p=qj > c=q per ogni razionale p=q 6= x. Comunque
la costante c nel teorema di Liouville è calcolabile esplicitamente, mentre quella
di Roth non lo è. Un numero x è approssimabile se per in…niti p=q si ha
jx p=qj < q . Un razionale è sono solo 1 approssimabile con razionali diversi
dal numero stesso, se m=n 6= p=q allora jm=n p=qj 1=nq. Per il teorema di
Dirichlet ogni irrazionale è 2 approssimabile, mentre i numeri di Liouville sono
quelli approssimabili per ogni . Se '(q) > 0 e
+1X
q=1
'(q) < +1, l’insieme degli
x con jqx pj < '(q) per in…niti p e q ha misura nulla. Infatti, un 0 x 1
con jqx pj < '(q) per in…niti 0 p q deve appartenere ad in…niti intervalli
[p=q 1=q'(q); p=q + 1=q'(q)], la misura dell’unione di questi intervalli è …nita,
+1X qX
2=q'(q) < +1, quindi l’intersezione di un numero in…nito di questi inter-
q=1p=0
valli ha misura zero. In particolare, l’insieme dei numeri reali approssimabili
ha misura di Lebesgue zero se > 2. Più precisamente, M.V.Jarnik e Abram
Samoilovich Besicovitch hanno dimostrato che questo insieme ha dimensione di
Hausdor¤ 2= . Se dal punto di vista della misura i numeri ben approssimabili
sono pochi, dal punto di vista della categoria sono la maggioranza. Infatti i nu-
meri di Liouville sono intersezione di aperti densi, T
S
n p=q fjx p=qj < q ng. Kurt Mahler ha dimostrato che non è approssimabile se è troppo
grande, cioè non è un numero di Liouville. Anche il numero e non è un
234

numero di Liouville, anzi per ogni > 2 esiste c > 0 tale che je p=qj > cq .
Per mostrare questo occorre ricordare lo sviluppo in frazioni continue di e =
1; 2n; 1 +1
, di cui presentiamo una semplice dimostrazione. Le convergenti
n=0
p(j)=q(j) di [1; 0; 1; 1; 2; 1; 1; 4; :::] soddisfano le relazioni di ricorrenza:
p(3n) = p(3n 1) + p(3n 2); q(3n) = q(3n 1) + q(3n 2);
p(3n + 1) = 2np(3n) + p(3n 1); q(3n + 1) = 2nq(3n) + q(3n 1);
p(3n + 2) = p(3n + 1) + p(3n); q(3n + 2) = q(3n + 1) + q(3n):
De…niamo
A(n) =
B(n) =
C(n) =
Z 1
xn (x 1) n
n!
0
Z 1
xn+1 (x 1) n
n!
0
Z 1
xn (x 1) n+1
0
n!
exp(x)dx;
exp(x)dx;
exp(x)dx:
Si ha A(0) = e 1, B(0) = 1, C(0) = 2 e, valgono inoltre le relazioni di
ricorrenza:
A(n) = B(n 1) C(n 1);
B(n) = 2nA(n) + C(n 1);
C(n) = B(n) A(n):
Confrontando condizioni iniziali e relazioni di ricorrenza, si ricava:
A(n) = e q(3n) p(3n);
B(n) = p(3n + 1) e q(3n + 1);
C(n) = p(3n + 2) e q(3n + 2):
In…ne, da A(3n) ! 0 se n ! +1, si ricava p(3n)=q(3n) ! e.
Se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e se jxq pj < 1=2q, la frazione p=q è una
convergente di x. Per ogni convergente p(n)=q(n) e per ogni p=q 6= p(n)=q(n)
con 0 < q q(n) si ha jxq(n) p(n)j < jxq pj. Inoltre
1
< x
2q(n)q(n + 1)
p(n)
q(n) <
1
q(n)q(n + 1) :
Si ha anche q(n+1) = a(n+1)q(n)+q(n 1) < (a(n + 1) + 1) q(n) e quindi,
x
p(n)
q(n) >
1
2q(n)q(n + 1) >
1
:
2 (a(n + 1) + 1) q(n) 2
Osserviamo in…ne che la successione fq(n)g ha una crescita almeno esponenziale,
infatti deve crescere almeno come la successione di Fibonacci associata
235

allo sviluppo di [1; 1; 1; 1; :::] = 1 + p 5 =2, F (1) = F (2) = 1, F (n + 2) =
F (n + 1) + F (n),
F (n) = 1
p 5
1 + p ! n
5
2
1 p ! n!
5
:
2
Quindi, se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e se la successione fa(n)g non ha
crescita esponenziale, cioè per ogni " > 0 esiste c > 0 tale che ja(n)j c exp ("n),
allora per ogni > 2 esiste c > 0 tale che jx p=qj > cq . Per esempio,
dall’ottava convergente di (e 1)=2 = [0; 1; 6; 10; 14; :::] si ricava la stima
e
848456353
= 2; 718281828459045234:::
312129649
L’ultima cifra corretta è 5. Con un denominatore di nove cifre si sono ottenuti
quasi diciotto decimali corretti, come previsto l’errore è circa l’inverso del
quadrato del denominatore.
Nel 1873 Hermite dimostra che e è trascendente e nel 1882 Lindemann dimostra
che anche è trascendente. Nel 1885 Weierstrass dimostra la trascendenza
di log(2). Nel 1934 Gelfond e Schneider dimostrano che se e sono
numeri algebrici, con diverso da 0 o 1 e irrazionale, allora è trascendente.
In particolare 2 p 2 e e = ( 1) i sono trascendenti. Mahler dimostra
che se P (x) è un polinomio a coe¢ cienti interi, allora il numero con sviluppo decimale
0; P (1)P (2)P (3)::: è trascendente. In particolare 0,12345678910111213...
è trascendente. Esiste una qualche relazione algebrica tra e e ? Per esempio,
almeno uno dei due numeri e + e e deve essere irrazionale, perché e e
sono radici di x2 p p
p 2
e e
2
(e + )x + e = 0. ? e ? ? 2
236
?...

Euclide (III secolo a.C.)
Cartesio (1596-1650)
RIGA;
COMP ASSO;
ORIGAMI
La riga ed il compasso sono gli strumenti principe della geometria greca e
l’origami è l’arte giapponese di piegare la carta. Nella geometria della riga e
compasso si possono introdurre i seguenti postulati:
(RC-1) Si può tracciare una retta per due punti.
(RC-2) Si può trovare l’intersezione tra due rette.
(RC-3) Si può tracciare una circonferenza di centro e raggio dati.
(RC-4) Si può trovare l’intersezione tra una retta ed un cerchio.
(RC-5) Si può trovare l’intersezione tra due cerchi.
Questi postulati, geometricamente evidenti, hanno una semplice interpretazione
algebrica. Partendo da due punti, con riga e compasso si può tracciare
la retta congiungente e la perpendicolare a questa retta per uno dei punti. Si
ottiene così in un sistema di assi cartesiani un punto di coordinate (0; 0) ed uno
di coordinate (1; 0). È anche possibile identi…care questo piano cartesiano con
il campo dei numeri complessi. Con riga e compasso si possono poi trovare i
punti con coordinate ottenibili a partire dai numeri 0 e 1 con un numero …nito
di somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadrate.
Questo è conseguenza del fatto che analiticamente l’intersezione tra rette e cerchi
porta a risolvere equazioni di primo e secondo grado, cosa che richiede appunto
delle somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadrate.
Ricordiamo ora qualche nozione di teoria dei campi. Dati due campi H K,
si può vedere il più grande come spazio vettoriale sul più piccolo. Se [K : H]
è la dimensione di questo spazio vettoriale e se H K L, allora [L : H] =
[L : K] [K : H]. Un numero è radice di un polinomio di grado n con coe¢ cienti
in K se e solo 1, , a 2 ,..., n sono linearmente dipendenti su K. Se inoltre
1, , a 2 ,..., n 1 sono linearmente indipendenti, gli elementi del più piccolo
237

campo K( ) che contiene sia K che hanno la rappresentazione k0 + k1 +
::: + kn 1 n 1 , con kj in K. In particolare, è algebrico su K se e solo se
[K( ) : K] < +1. L’equazione [K( ; ) : K] = [K( ; ) : K( )] [K( ) : K]
mostra in…ne che se e sono algebrici su K, allora anche , e
= sono algebrici. Quindi i numeri algebrici formano un campo. Se K è un
campo e k un elemento di K con p k non in K, l’estensione quadratica di K
con p k è il più piccolo campo che contiene sia K che p k. Questa estensione
K p k può essere identi…cata con le espressioni della forma u + v p k, con
u e v in K. Un punto (x; y) è costruibile con riga e compasso a partire dai
punti (0; 0) e (1; 0) se e solo se il numero complesso x + iy è in una estensione
quadratica iterata del campo dei numeri razionali. In particolare, siccome ogni
estensione quadratica ha grado due, la dimensione di un campo K costruibile
con riga e compasso come spazio vettoriale sui razionali Q è una potenza di due,
[K : Q] = 2 n . Un corollario di questo fatto è l’impossibilità di risolvere con riga
e compasso delle generiche equazioni con grado primo p > 2, che portano ad
estensioni di grado multiplo di p. Se pp n è contenuto in un campo K, allora
[K : Q] = [K : Q ( pp n)] [Q ( pp n) : Q]. In parole povere, non si possono ottenere
le radici cubiche mettendo insieme delle radici quadrate. Ridimostriamo in altro
modo questo risultato. Se un’equazione cubica a coe¢ cienti razionali non ha
radici razionali, allora nessuna radice appartiene ad una estensione quadratica
iterata del campo razionale. Per dimostrare questa proposizione, assumiamo
che x sia una radice di un polinomio x 3 +ax 2 +bx+c = 0 a coe¢ cienti razionali
ed esista una catena di campi Q = K0 K1 ::: Kn con Kj estensione
quadratica di Kj 1 e x in Kn. Assumiamo inoltre questo indice n minimale, cioè
nessuna radice del polinomio appartenga ad estensioni quadratiche di lunghezza
minore di n. Posto x = u + v p k e y = u v p k, con u, v, k in Kn 1 ma p k
non in Kn 1, si ha
u v p k 3
+ a u v p k 2
+ b u v p k + c
= u 3 + 3uv 2 k + au 2 + av 2 k + bu + c 3u 2 v + v 3 k + 2auv + bv p k:
Se x = u + v p k è una radice del polinomio, allora u 3 + 3uv 2 k + au 2 + av 2 k +
bu + c = 0 e 3u 2 v + v 3 k +2auv + bv = 0. Quindi anche y = u v p k è una radice
e questo implica che la terza radice del polinomio z = x y a = 2u a
appartiene a Kn 1, in contraddizione con la minimalità di n.
Applichiamo questo risultato alla duplicazione del cubo. L’equazione x 3
2 = 0 non ha radici razionali, quindi neppure in estensioni quadratiche del
campo razionale. La duplicazione del cubo con riga e compasso è impossibile.
Applichiamo ora il risultato alla trisezione dell’angolo. Ricordando la formula
cos(#) = 4 cos 3 (#=3) 3 cos(#=3), si deduce che se # è l’angolo da dividere in
tre parti uguali e x = cos(#=3) l’incognita, si deve avere 4x 3 3x = cos(#). In
particolare, se # = =3 si ha 8x 3 6x = 1. Sostituendo ad x un numero razionale
p=q si ottiene 2p 4p 2 3q 2 = q 3 , ma questa uguaglianza con p e q primi tra
loro è impossibile. Quindi il polinomio 8x 3 6x 1 = 0 non ha radici razionali,
e neppure in estensioni quadratiche del campo razionale. È impossibile trisecare
238

con riga e compasso un angolo di sessanta gradi.
Nel pentagono regolare
la diagonale è 1 + p 5
2
volte il lato, quindi si
può costruire con
riga e compasso.
I triangoli ABD e ABF sono simili. Se l è il lato e d la diagonale,
d : l = l : (d l), quindi d = 1 + p 5
l.
2
Consideriamo in…ne il problema della costruzione dei poligoni regolari. Iniziamo
osservando che se è possibile costruire un poligono regolare con pq lati,
allora congiungendo i vertici di indici 1, p, 2p,..., si ottiene un poligono regolare
con q lati. Viceversa, se sono costruibili i poligoni con p e q lati, p e q
primi tra loro, anche il poligono con pq lati è costruibile. Basta infatti costruire
due poligoni con p e q lati inscritti nella stessa circonferenza e con un vertice in
comune, congiungendo un opportuno vertice del primo poligono con uno del secondo
si ottiene il lato cercato. Infatti, w m = exp(2 im=p) e z n = exp(2 in=q)
sono i vertici di poligoni regolari con p e q lati inscritti nella circonferenza
con centro nell’origine e raggio uno. Si ha w m z n = z n (w m z n 1) e
w m z n = exp (2 i(mq np)=pq) e, se p e q sono primi tra loro, esistono m
e n con mq np = 1. Quindi dati exp(2 i=p) e exp(2 i=q) è possibile trovare
exp (2 i=pq). In…ne, dato un poligono con p lati, bisecando gli angoli al centro se
ne costruisce uno con 2p lati. Concludendo, si possono costruire tutti i poligoni
regolari con 2 n pq::: lati, se p, q,... sono primi distinti e se i poligoni con questi
numeri primi di lati sono costruibili. Le lunghezze dei lati dei poligoni regolari
con 3, 4, 5, 6 lati iscritti in un cerchio di raggio uno sono rispettivamente p 3,
p q
2,
5 p 5 =2, 1, questi poligoni sono costruibili con riga e compasso. Per
procedere in modo più sistematico, osserviamo che i punti z = exp (2 ik=n),
k = 0; 1; 2; :::, sono le radici del polinomio z n 1 = 0 e sono i vertici di un
poligono regolare con n lati inscritto nella circonferenza jzj = 1. Per individuare
questi vertici è su¢ ciente determinarne le ascisse (z + 1=z) =2 = cos (2 k=n), o
le ordinate.(z 1=z) =2i = sin (2 k=n). Il polinomio z n 1 si fattorizza in
z n
In particolare, se n = 3 si ha
1 = (z 1) z n 1 + z n 2 + ::: + z + 1 :
z 2 + z + 1 = z ((z + 1=z) + 1) :
Quindi cos (2 =3) = (z + 1=z) =2 = 1=2. Se n = 5 si ha
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = z 2
(z + 1=z) 2 + (z + 1=z) 1 :
239

Quindi cos (2 =5) = (z + 1=z) =2 = p 5 1 =4. Se n = 7,
z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = z 3
(z + 1=z) 3 + (z + 1=z) 2
2 (z + 1=z) 1 :
Quindi, se z 6= 1 è un vertice dell’eptagono, x = z + 1=z è soluzione
dell’equazione x3 + x2 2x 1 = 0. Sostituendo ad x un numero razionale
p=q si ottiene p p2 + pq 2q2 = q3 , un’uguaglianza impossibile. L’equazione
non ha radici razionali e quindi neanche radici in estensioni quadratiche iterate
del campo razionale. Se z fosse costruibile, anche x = z + 1=z lo sarebbe,
cosa che abbiamo appena mostrato essere falsa. Quindi l’eptagono regolare non
è costruibile con riga e compasso. Per la costruzione è però su¢ ciente risolvere
un’equazione di terzo grado, o trisecare un angolo. Infatti dalle formule di
Cardano o da quelle di Viète si ottiene
cos(2 =7) = 1
q
3p 3
28 1 + 3
12
p 3i + 3
q
1 3 p 3i 2
=
6p
21952
cos
6
arctan 3 p 3
3
Accenniamo in…ne alla costruzione dell’eptadecagono di Gauss. Si ordinano
le potenze di z = exp (2 i=17) secondo la successione 3 n modulo 17,
z; z 3 ; z 9 ; z 10 ; z 13 ; z 5 ; z 15 ; z 11 ; z 16 ; z 14 ; z 8 ; z 7 ; z 4 ; z 12 ; z 2 ; z 6 :
Poi si costruiscono i periodi:
!
1
6 :
(0) = z + z 9 + z 13 + z 15 + z 16 + z 8 + z 4 + z 2 ;
(1) = z 3 + z 10 + z 5 + z 11 + z 14 + z 7 + z 12 + z 6 ;
8
><
>:
(0) = z + z 13 + z 16 + z 4 ;
(1) = z 3 + z 5 + z 14 + z 12 ;
(2) = z 9 + z 15 + z 8 + z 2 ;
(3) = z 10 + z 11 + z 7 + z 6 ;
8
><
>:
(0) = z + z 16 ;
:::
(4) = z 13 + z 4 ;
:::
Con calcoli noiosi, o come Gauss ”concentrandosi profondamente”, si può
veri…care che (0) + (1) = 1 e (0) (1) = 4, (0) + (2) = (0) e
(0) (2) = 1, (1) + (3) = (1) e (1) (3) = 1, (0) + (4) = (0)
e (0) (4) = (1),... Quindi i periodi (j) sono soluzioni di una equazione
quadratica con coe¢ cienti interi, i (j) sono soluzioni di equazioni quadratiche
con coe¢ cienti (j) ed i (j) sono soluzioni di equazioni quadratiche con coef-
…cienti (j). In…ne, (0) = 2 cos (2 =17),
1
16
cos (2 =17) =
1 + p q
17 + 34 2 p r
17 + 2 17 + 3 p 17
240
q
34 2 p q
17 2 34 + 2 p !
17 :

Veniamo ora all’origami, l’arte giapponese di piegare la carta. Nel 1936
Margherita Piazzolla Beloch mostra come applicare quest’arte alla matematica:
”Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi
geometrici”, ”Sulla risoluzione dei problemi di terzo e quarto grado col metodo
del ripiegamento della carta”. Poi, nel 1989, H.Huzita e Benedetto Scimeni
propongono dei veri e propri postulati:
(O-1) Si può trovare la piega che congiunge due punti.
(O-2) Si può trovarne il punto d’intersezione tra due pieghe.
(O-3) Si può trovare la piega che porta un punto su un altro punto.
(O-4) Si può trovare una piega che porta una piega su un’altra piega.
(O-5) Si può trovare una piega che …ssa un punto e porta un altro punto su
una piega.
(O-6) Si può trovare una piega che manda un punto su una piega ed un altro
punto su un’altra piega.
In…ne, K.Hatori ne aggiunge un altro:
(O-7) Si può trovare una piega perpendicolare ad una prima piega che manda
un dato punto su una seconda piega.
Prima di analizzare in dettaglio questi postulati, vediamoli all’opera nel
problema della trisezione di un angolo, che è un problema di terzo grado insolubile
con riga e compasso. Date due rette y = 0 e y=x = tan(#), con
=4 # =2, si costruisce la retta x = 0 ortogonale a y = 0, poi altre
due rette, y = 1 e y = 2. Fin qui si sono utilizzati solo i primi postulati. Ora
entra in gioco l’ultimo. Si costruisce la piega che porta il punto A = (0; 2) in
un punto Q sulla retta y=x = tan(#) ed il punto O = (0; 0) in un punto P sulla
retta y = 1. In…ne, si costruisce la piega da O a P . Il trapezio OP QA è un
241

isoscele, quindi OQ = P A, ma anche P A = OP . Se ' è l’angolo tra l’asse y = 0
ed il segmento OP , risulta 2' = [OP A = \P OQ, quindi 3' = #. In particolare, la
piega da O a P ha equazione y=x = tan(#=3) e realizza la trisezione dell’angolo.
Per trisecare un angolo minore di =4 o maggiore di =2, basta trisecarne un
opportuno multiplo o sottomultiplo con =4 2 n # =2.
La trisezione dell’angolo
nel ”Libro di Lemmi” di
Archimede.
”Prolungando una corda AB di un cerchio con centro O …no ad un punto
C, con BC uguale al raggio, se la retta CO incontra la circonferenza
prima in D e poi in E, l’arco AE risulta lungo tre volte l’arco BD”.
La trisezione dell’angolo piegando
la carta. Si costruiscono le pieghe
x = 0 e y = 0, y = 1,y = 2, poi la
piega che manda O = (0; 0) su y = 1
e A = (0; 2) sulla retta y=x = tan (#)
che si vuole trisecare. Se P è simmetrico
ad O rispetto all’ultima piega, la retta
per OP ha equazione y=x = tan (#=3) .
Per illustrare il signi…cato algebrico dei postulati dell’origami, immaginiamo
un foglio molto grande che identi…chiamo con il piano cartesiano. Una piega
non spiegazzata è una retta e realizza una simmetria del piano rispetto a questa
retta. I postulati (O-1) e (O-2) dell’origami sono i corrispondenti dei postulati
(RC-1) e (RC-2) di riga e compasso, si può tracciare la retta per due punti e
trovare l’intersezione tra due rette. La piega in (O-3) realizza l’asse del segmento
con i due punti per estremi. In (O-4) le possibili pieghe sono le due bisettrici tra
le due rette, ma ce n’è una sola se le rette sono parallele. In (O-5), se un punto è
…sso l’altro si muove su una circonferenza. È l’intersezione tra una retta ed una
circonferenza. Quindi i primi cinque postulati dell’origami permettono di trovare
le intersezioni di rette con rette e rette con cerchi. Siccome in geometria analitica
l’intersezione tra due circonferenze si riduce all’intersezione tra una retta ed
una circonferenza, i primi cinque postulati dell’origami risultano equivalenti
242

ai cinque postulati di riga e compasso. Rimane in…ne da analizzare il sesto
postulato, ma per far questo diamo un’altra interpretazione del quinto. Una
piega che …ssa un punto P e manda un altro punto F su una retta d è tangente
ad una parabola con fuoco F e direttrice d. Per un punto ci sono due tangenti
ad una parabola e trovarle è un problema di secondo grado. Una piega che
manda un punto su una retta ed un altro punto su un’altra retta è tangente a
due parabole. Due parabole hanno, in generale, tre rette tangenti in comune
e trovarle è un problema di terzo grado. Questo suggerisce che con il sesto
postulato dell’origami si possono estrarre le radici cubiche. Dato un numero
a, la parabola con fuoco (0; a) e direttrice y = a ha equazione y = x 2 =4a e
quella con fuoco (1; 0) e direttrice x = 1 equazione x = y 2 =4. Queste parabole
hanno una sola tangente comune y = a 1=3 x a 1=3 e la radice cubica 3p a
si trova intersecando la tangente con gli assi. Con i primi quattro postulati
dell’origami si possono risolvere le equazioni di primo grado, anzi, bastano i
primi tre se in partenza si hanno a disposizione tre punti non allineati. Con i
primi cinque postulati si possono risolvere le equazioni di secondo grado ed il
sesto postulato permette di risolvere le equazioni di terzo grado ed anche quelle
di quarto. Infatti queste ultime si risolvono con estrazioni di radici quadrate
e cubiche, perché le radici quarte sono radici quadrate iterate. In particolare,
con l’origami si possono duplicare cubi e trisecare angoli. In…ne, un poligono
regolare è costruibile con riga e compasso se e solo se ha 2 n pq::: lati, con p,
q,... primi distinti della forma 2 m + 1. Un poligono regolare è costruibile con
l’origami se e solo se ha 2 n 3 m pq::: lati, con p, q,... primi distinti della forma
2 h 3 k + 1.
Terminiamo con una digressione, illustrando il metodo di Lagrange per la
risoluzione in serie dell’equazione z = x + y'(z), con '(0) = 0. Si tratta di
trovare lo sviluppo di Taylor centrato in (x; 0) e valutato in (x; y) della soluzione
z = z(x; y) di questa equazione. Derivando l’equazione si ottiene
(1 y' 0 (z)) @z=@y = '(z); (1 y' 0 (z)) @z=@x = 1:
Da queste formule si ricava che per ogni (z) e (z), con (0) = (z) = 0,
@
@x
Poi, per induzione,
(z) @
@y
(z) = @
@y
(z) @
@x
@k @yk 1
@k @
(z) = '(z)k
@xk 1 @x
(z) :
(z) :
Poiché z = x se y = 0, sviluppando (z) in serie di potenze di y si ottiene
(z(x; y)) = (x) +
+1X
k=1
yk k!
k 1 @ @
'(x)k
@xk 1 @x
(x) :
Se '(z) e (z) sono funzioni analitiche, le derivate che compaiono nella formula
crescono al più come c k k!, quindi la serie converge almeno per y abbastanza
243

piccolo. In particolare, una generica equazione algebrica az N + bz N 1 + ::: +
cz + d = 0 con dei cambi di variabili si può riportare alla forma
z = 1 + z 2 + ::: + z N :
Per il teorema della funzione implicita, in un intorno di = ::: = = 0
c’è una soluzione analitica z = z ( ; ::; ) con z (0; ::; 0) = 1 e, per la formula di
Lagrange con x = y = 1 e '(z) = z 2 + ::: + z N ,
z = 1 +
n 1
I termini (d=dx)
+1X
n=1
n d 1
dxn 1
x2 + ::: + x
n!
N n
!
x=1
x 2 + ::: + x N n =n! x=1 sono polinomi omogenei di
grado n in ; :::; . In particolare, la soluzione dell’equazione trinomia z =
1 + tz N è
z = 1 +
+1X
n=1
n d 1
dxn 1
t n x Nn
= 1 +
n! x=1
+1X
n=1
Nn(Nn 1):::(Nn n + 2)
t
n!
n :
Il rapporto tra i coe¢ cienti di due potenze successive t n+1 e t n è una funzione
razionale di n, quindi la serie è ipergeometrica.
244
:

I postulati di riga e compasso. Si possono trovare:
Una retta r
per due punti A e B.
Una circonferenza c
con centro A e raggio r.
245
L’intersezione A
tra due rette r e s.
Le intersezioni A e B tra
una retta r ed un cerchio c.
Le intersezioni A e B tra
due circonferenze c e d.

La piega r che
congiunge due punti A e B.
La piega r che porta un punto
A su un altro punto B.
La piega r che …ssa un punto A e
porta un punto B su una retta s.
I postulati dell’origami. Si possono trovare:
246
L’intersezione A
tra due pieghe r e s.
La piega t che porta una retta
r su un’altra retta s.
La piega t che manda un punto A su
una retta r ed un punto B su una retta s.

Ippocrate (V secolo a.C.)
Duomo di Monza (1300)
LUNULE
Una lunula è una …gura piana concava convessa delimitata da due archi di
cerchio. Nel 1724 D.Bernoulli (1700-1782), poi Eulero ed altri, traducono in
formule le quadrature geometriche delle lunule di Ippocrate. Se un arco ha
raggio R e angolo 2' e l’altro ha raggio S e angolo 2 , la corda comune misura
2R sin(') = 2S sin( ) e l’area della lunula è
R 2 ' R 2 sin(2')=2 S 2 S 2 sin(2 )=2 :
La lunula è una parte di piano delimitata
da archi di cerchio. Se (R; 2') e (S; 2 )
sono i raggi e gli angoli degli archi di
cerchio, l’area della lunula è
R 2 (' sin(2')=2) S 2 ( sin(2 )=2) :
Una lunula è costruibile e quadrabile algebricamente, se la corda con i
due raggi e l’area sono numeri algebrici, è costruibile e quadrabile in modo
elementare con riga e compasso se la corda con i due raggi e l’area stanno
in estensioni quadratiche iterate del campo razionale. Le aree dei triangoli
R 2 sin(2')=2 e S 2 sin(2 )=2 sono già funzioni algebriche dei raggi R e S e della
corda 2R sin(') = 2S sin( ). Quindi, le lunule algebriche sono quelle con R, S,
R 2 ' S 2 algebrici. Nel 1903 Landau osserva che se raggi e area e rapporto tra
gli angoli '= sono algebrici, allora anche = R 2 ' S 2 = R 2 '= S 2
247

è algebrico. Ma, per il teorema di Lindemann, se e algebrico e non nullo,
allora sin( ) = 1=S è trascendente. Per evitare questa contraddizione si deve
quindi avere R 2 ' = S 2 . Per il teorema di Gelfond e Schneider, se e sono
numeri algebrici, con diverso da 0 o 1 e irrazionale, allora è trascendente.
Quindi, se exp (i ) = p 1 1=S 2 + i=S è algebrico e '= è algebrico
e irrazionale, allora p 1 1=R 2 + i=R = exp (i') = (exp (i )) '= è trascendente.
Per evitare questa contraddizione, si deve quindi assumere che se '=
è algebrico, allora è anche razionale. In…ne, nel 1966 A.Baker dimostra che
ogni combinazione lineare con coe¢ cienti algebrici di logaritmi di numeri algebrici
o è zero o è trascendente. Da questo segue che se exp (i') e exp (i )
sono algebrici e se R e S sono algebrici, allora R 2 ' S 2 o è zero, o è trascendente.
Riassumendo, nelle lunule algebriche, R 2 ' = S 2 e '= = S 2 =R 2 è
razionale. Si può quindi porre ' = m# e = n#, con m e n interi, e la condizione
R sin(') = S sin( ) si trasforma in n sin 2 (m#) = m sin 2 (n#). Con le
sostituzioni sin(k#) = exp 2k (i#) 1 = 2i exp k (i#) e exp (i2#) = z, si ottiene
una equazione algebrica con coe¢ cienti interi,
nz n (z m 1) 2 = mz m (z n
1) 2 :
Questa equazione si abbassa immediatamente di grado eliminando le radici
z = 0 e z = 1 e si possono anche eliminare le radici che non corrispondono a
lunule reali. Quando l’equazione ridotta è risolubile per radicali quadratici, la
lunula risulta costruibile e quadrabile con riga e compasso. In particolare sono
costruibili e quadrabili elementarmente le lunule con rapporto '= uguale a 2/1,
3/1, 3/2, 5/1, 5/3. Le prime tre sono di Ippocrate e le ultime due di Eulero,
poi ritrovate da Clausen:
'= = 2=1; cos(') = 1
p ;
2
'= = 3=1; cos(') = 1 p p
1 + 3 ;
2
'= = 3=2; cos(') = 1 p
33 1 ;
8
'= = 5=1; cos(2') = 1 p p
5 + 4 5 1 ;
4
'= = 5=3; cos( 2
0s
1
') = @
20
3 4 3 +
r
20
3 +
r
5
3
1
1A
:
Applicando la teoria di Galois all’equazione sopra ricavata, L.Chakalov,
N.G.Cebotarev e A.W.Dorodnov dimostrano che queste cinque sono le sole
lunule costruibili e quadrabili con riga e compasso. In particolare, come già
osservato da Viète, le lunule con '= = 4=1, 4=3, 7=1, 7=3, 7=5, conducono ad
equazioni cubiche e sono quindi quadrabili per mezzo di sezioni coniche. Nel
248

caso 4=1,
4z 4 (z 1) 2
z z 4
= 4z 4 (z 1) 2
1 2 = z (z 1) 2 z 6 + 2z 5 + 3z 4 + 3z 2 + 2z + 1
2
z + z 1
2
3
+ 2
z + z 1
Ponendo cos (2#) = z + z 1 =2 = x, si ottiene l’equazione cubica 2x 3 +
2x2 1 = 0, la cui sola soluzione reale x = 1 p p 3
2
46 + 6 57 +
6
3 3p 46 + 6 p 1
57 3 .
Due archi di cerchi con centri da parti opposte della corda comune danno
una …gura a forma di lente. Se un arco ha raggio R e angolo 2' e l’altro ha
raggio S e angolo 2 , la corda comune misura 2R sin(') = 2S sin( ) e l’area
della lente è
R 2 ' R 2 sin(2')=2 + S 2 S 2 sin(2 )=2 :
Con un’analisi simile a quanto sopra, si può mostrare che nessuna lente è
costruibile e quadrabile elementarmente. Esistono comunque altre …gure delimitate
da archi di cerchio quadrabili in modo elementare o la cui quadratura si
può ricondurre a quella del cerchio. In particolare, gli appunti di Leonardo da
Vinci contengono molte di queste …gure.
Lune falcate di Leonardo. Se
gli archi sono simili e il più
grande è doppio dei piccoli,
le regioni hanno la stessa area.
La rosa camuna con otto archi di cerchio
ha perimetro 10 e area 16 + .
249
2
2
1
!
Un rosone con sei archi
di cerchio ha perimetro
4 ed area 2 3 p 3.
:

”Libro dei Lemmi”
di Archimede.
”Sia AB il diametro di un semicerchio e
C un punto di AB. Nel semicerchio si
traccino due altri semicerchi con diametri
AC e CB e la perpendicolare al diametro
CD. Se due cerchi toccano da parti opposte
il segmento CD e due semicirconferenze,
questi due cerchi sono uguali”.
”Se AB è il diametro di un semicerchio e
C un punto di AB, e se nel semicerchio si
tracciano due altri semicerchi con diametri
AC e CB, la …gura delimitata dalle tre
semicirconferenze è quella che Archimede
chiama Arbelo ed ha area uguale al cerchio
con diametro CD perpendicolare dal
semicerchio al diametro”.
Il Fuso, il Salino ed il Drepanpide di Archimede. Trova l’area!
250

Hermite (1822-1901) Lindemann (1852-1939) Hilbert (1862-1943)
DEF INIZIONE AST RAT T A DI
Abbiamo de…nito come il rapporto tra lunghezza della circonferenza e
diametro di un cerchio, o il rapporto tra area e quadrato del raggio. Questa
de…nizione è solo apparentemente elementare, perché di fatto presuppone le
nozioni di lunghezza e di area, che per quanto intuitive non sono banali. Poi,
per il calcolo di abbiamo sistematicamente usato il calcolo di¤erenziale ed
integrale. In particolare, se è una curva semplice che circonda un punto w e
se f(z) è una funzione olomorfa, si ha la formula di Cauchy
Z
1 f(z)
dz = f(w):
2 i z w
Questo spiega perché compare così spesso nel calcolo di integrali. Anzi, si
può de…nire come valore di certi integrali, per esempio,
8
Z +1
0
4
Z +1
1
Z 1
0
dx
=
1 + x2 ;
p
1 x2dx = ;
Z b
dx
p = ;
(x a)(b x)
a
Z +1
1
sin(x 2 )dx
exp( x 2 )dx
2
= 8
Z +1
0
2
= ;
sin(x 2 )dx
2
= :
Abbiamo visto come per molti secoli si sia cercato di costruire con riga
e compasso o, più in generale, si sia cercato di esprimere questo numero come
251

adice di un polinomio a coe¢ cienti interi. Ma se con i polinomi non funziona,
perchè non provare con altre funzioni? Landau nelle sue lezioni all’università
di Göttingen de…nisce =2 come il primo zero positivo della funzione cos(x) =
1 x 2 =2 + x 4 =24 ::: e con questo ed altri pretesti nel 1934 viene brutalmente
allontanato dall’insegnamento. Un suo collega tenta di giusti…care l’accaduto
a¤ermando che ”Il suo stile non germanico di insegnamento e ricerca è diventato
intollerabile per la sensibilità germanica... Si devono ri…utare insegnanti
di un’altra razza che lavorano per imporre idee estranee...”. Da Cambridge
Hardy commenta amaramente: ”Molti di noi, sia inglesi che tedeschi, durante
la guerra hanno detto cose che a malapena volevamo dire che ora ricordano con
rincrescimento. L’ansia per la propria posizione, il timore di essere lasciati indietro
il nascente torrente di follia, la determinazione a tutti i costi di non essere
da meno, possono essere delle scusanti naturali anche se non particolarmente
eroiche. La reputazione del professor Bieberbach esclude tali spiegazioni per le
sue a¤ermazioni ed io sono portato alla non caritatevole conclusione che lui le
creda vere”. Casi simili a questo descritto si sono veri…cati in molti altri paesi,
compreso il nostro. Ma torniamo a . Anche se un po’astratta e niente a¤atto
geometrica, la de…nizione di Landau è rigorosa e da questa seguono le principali
proprietà di questo numero.
Iniziamo col de…nire in modo astratto le funzioni trigonometriche e la funzione
esponenziale, la funzione più importante dell’analisi. Ecco più o meno
come Eulero introduce la formula del binomio di Newton e gli sviluppi in serie
della funzione esponenziale a z e del logaritmo l(1 + x) nella ”Introduzione
all’analisi dell’in…nito”.
”Le funzioni irrazionali si possono trasformare in serie per mezzo di questo
teorema universale,
P m
n + m
n
P m n
n Q +
(P + Q) m
n =
m(m n) m 2n
P n Q
n 2n 2 +
m(m n)(m 3n) m 3n
P n Q
n 2n 3n
3 + etc:
... Poiché a 0 = 1... se ! è in…nitamente piccolo... a ! = 1 + k!... a i! =
(1 + k!) i qualunque sia i. Quindi
a i! = 1 + i i(i 1)
k! +
1 1 2 k2 ! 2 +
i(i 1)(i 2)
k
1 2 3
3 ! 3 + etc:
Ponendo i = z=!, se z è un numero …nito e ! un numero in…nitamente
piccolo, i diventa un numero in…nitamente grande...
a z = 1 + kz
i
i
= 1 + 1 1(i 1)
kz +
1 1 2i k2z 2 +
1(i 1)(i 2)
k
1 2i 3i
3 z 3 + etc:
... Poiché i è in…nitamente grande, (i 1) =i = 1, (i 2) =i = 1,...
a z = 1 + kz
1 + k2z2 1 2 + k3z3 1 2 3 + k4z4 + etc: all’in…nito.
1 2 3 4
252

... Ponendo a i! = (1 + k!) i = 1 + x, si ha l(1 + x) = i!...
... Inoltre
(1 + k!) i = 1 + x; ::: i! = i
k
(1 + x) 1=i = 1 + 1
i x
1(i 1)
i 2i x2 +
(1 + x)1=i
1 :
1(i 1)(2i 1)
x
i 2i 3i
3
Se i è in…nito, (i 1) =2i = 1=2, (2i 1) =3i = 2=3,... conseguentemente
l(1 + x) = 1
k
x
1
xx
2
+ x3
3
x 4
4
+ etc: :
... Poiché si può scegliere arbitrariamente la base a dei logaritmi, si può fare
questa scelta in modo da avere k = 1. Ponendo k = 1 nella serie sopra trovata,
a = 1 + 1 1
+
1 1 2 +
1
1 2 3 +
1
+ etc:
1 2 3 4
= 2; 71828182845904523536028 etc:
I logaritmi in questa base si chiamano naturali o iperbolici, perché con essi è
possibile quadrare l’iperbole. Per brevità chiamiamo questo numero 2,718281828459
etc. con la lettera e...”
In notazione odierna si sono dimostrate le formule
(1 + z) =
exp(z) = lim
n!+1
log(1 + z) =
+1X
n=0 n zn ;
1 + z
n
n
=
+1X
+1X ( )
n=0
n 1zn n=1
zn n! ;
Osserviamo che Eulero deriva tutti questi sviluppi in serie a partire dalla formula
del binomio di Newton, ma di fatto non è in possesso di una dimostrazione
completamente rigorosa di questa formula, per ogni esponente reale o complesso.
Tra l’altro non è su¢ ciente dimostrare che la serie binomiale è la serie di Taylor
della funzione (1 + z) . Esistono infatti funzioni con serie di Taylor che non
convergono alle funzioni che le hanno generate. Un esempio di Cauchy è la
funzione exp 1=x 2 , che ha tutte le derivate nell’origine nulle e quindi anche
il suo sviluppo in serie nell’origine è identicamente nullo. Il paradosso è
reale, nel campo complesso la funzione exp 1=z 2 ha una singolarità essenziale
nell’origine. Osserviamo anche che ponendo a ! = 1 + k! si assume implicitamente
la di¤erenziabilità della funzione esponenziale. Per evitare questi
problemi, può essere conveniente partire direttamente dallo sviluppo in serie
253
n
:
etc:

per de…nire l’esponenziale e ricavare dallo sviluppo in serie le altre proprietà di
questa funzione.
TEOREMA: De…niamo
cos(z) =
sin(z) =
exp(z) =
+1X
n=0
exp(iz) + exp( iz)
2
exp(iz) exp( iz)
2i
zn n! ;
=
+1X ( )
n=0
nz2n ;
(2n)!
+1X ( )
n=0
nz2n+1 (2n + 1)! :
1) Queste serie convergono per ogni numero complesso.
2) Le funzioni esponenziali e trigonometriche veri…cano le equazioni di¤erenziali
d
exp(z) = exp(z);
dz
=
d
sin(z) = cos(z);
dz
d
cos(z) = sin(z):
dz
3) Le funzioni esponenziali e trigonometriche veri…cano le equazioni funzionali
exp(z + w) = exp(z) exp(w);
cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w);
sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w);
cos 2 (z) + sin 2 (z) = 1:
4) Esiste un numero positivo tale che exp(z+2 i) = exp(z) e exp(z+iy) 6=
exp(z) se 0 < y < 2 .
5) La funzione esponenziale ristretta all’asse reale è positiva e crescente,
con limx! 1 exp(x) = 0+ e limx!+1 exp(x) = +1. Inoltre, applica l’asse
immaginario sulla circonferenza jwj = 1, cioè jexp(iy)j = 1 se y è reale. In…ne,
per ogni w 6= 0 esistono in…niti z tali che w = exp(z).
Dimostrazione: 1) z n+1 =(n + 1)! = jz n =n!j = jzj =(n + 1) ! 0 e per il
criterio del rapporto la serie esponenziale converge per ogni z.
2)Derivando termine a termine si veri…ca che (d=dz) exp(z) = exp(z) e
analogamente si veri…cano le altre relazioni.
3) Per dimostrare la formula di addizione dell’esponenziale basta moltiplicare
due serie,
+1X
n=0
(z + w) n
=
n!
+1X
n=0
1
n!
nX n!
k!(n k)! zkw k=0
254
n k
!
=
+1X
n=0
zn n!
! +1X
n=0
wn !
:
n!

Per dimostrare le formule di addizione del seno e coseno basta osservare che
cos(z + w) + i sin(z + w) = exp (i (z + w))
= exp(iz) exp(iw) = (cos(z) + i sin(z)) (cos(w) + i sin(w))
= (cos(z) cos(w) sin(z) sin(w)) + i (sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)) :
Si ha inoltre il teorema di Pitagora,
cos 2 (z) + sin 2 (z) =
exp(iz) + exp( iz)
2
2
+ exp(iz) exp( iz)
2i
2
= 1:
Le formule di addizione sono anche conseguenza immediata della formula di
Taylor f(z + w) =
+1X
f (n) (z)wn =n!. La relazione cos2 (z) + sin 2 (z) = 1 si può
n=0
veri…care osservando che cos2 (z)+sin 2 (z) vale 1 nell’origine ed ha derivata nulla.
Di fatto si può dimostrare che le equazioni funzionali per l’esponenziale e delle
funzioni trigonometriche caratterizzano quasi completamente queste funzioni.
Per esempio, derivando '(x + y) = '(x)'(y) rispetto a y si ottiene '(x + y) =
'(x)'(y) e ponendo y = 0 si ricava '(x) = '(0)'(x). Quindi, per il teorema
di unicità per soluzioni di un’equazione di¤erenziale, '(x) = C exp '(0)x
e dalla relazione '(0 + 0) = '(0)'(0) si deduce che C = 0 o C = 1. In
de…nitiva, '(x) = 0 oppure '(x) = a x , con a = exp '(0) . Di fatto l’ipotesi di
derivabilità di '(x) può essere sostituita dalla misurabilità, ma esistono soluzioni
non misurabili.
4) Si ha cos(1) > 1 1=2! = 1=2 e cos(2) < 1 2 2 =2! + 2 4 =4! = 1=3, quindi
la funzione coseno ha uno zero tra 1 e 2. Denotiamo con =2 il primo zero
positivo del coseno, cos( =2) = 0. Siccome la funzione seno cresce se il coseno è
positivo e siccome cos 2 (y) + sin 2 (y) = 1, nell’intervallo 0 y =2 la funzione
sin(y) cresce da 0 a 1, mentre cos(y) decresce da 1 a 0. Inoltre, per le formule
di addizione,
cos(y) = sin(y + =2) = cos(y + ) = cos(y + 2 );
sin(y) = cos(y + =2) = sin(y + ) = sin(y + 2 ):
In particolare, le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2 e la
funzione esponenziale è periodica di periodo 2 i,
exp(z + 2 i) = exp(z) exp(2 i) = exp(z) (cos(2 ) + i sin(2 )) = exp(z):
Una dimostrazione complessa della periodicità della funzione esponenziale è
la seguente. Se F (z) = z 1 Z z
exp w
1
1dw , allora dF (z)=dz = 0, quindi F (z)
Z
è costante. D’altra parte w 1dw = 2 i se la curva compie un giro intorno
all’origine. Quindi exp(z) è periodica con periodo 2 i.
255

5) Se x > 0 allora exp(x) > 0, inoltre exp(x) > x n =n! ! +1 se x !
+1. Dalla relazione exp(x) exp( x) = 1 si ricava che anche exp( x) > 0 e
exp( x) ! 0+ se x ! +1. Da (d=dx) exp(x) = exp(x) > 0 si deduce in…ne
che sull’asse reale la funzione esponenziale è monotona crescente. Se y è reale,
exp(iy) = cos(y) + i sin(y) è un numero complesso di modulo uno e, per la
continuità delle funzioni seno e coseno, ogni numero complesso di modulo uno
si può ottenere in questo modo. Per concludere, se w è un numero complesso
non nullo, per opportuni x e y si ha
p a 2 + b 2 = exp(x);
a
p = cos(y);
a2 + b2 b
p = sin(y):
a2 + b2 x è unicamente determinato e y è determinato a meno di multipli di 2 .
Quindi,
w = a + ib = p a 2 + b 2
a
p a 2 + b 2
b
+ ip
a2 + b2 = exp(x) (cos(y) + i sin(y)) = exp(x) exp(iy) = exp(x + iy):
Dopo aver introdotto in modo astratto i numeri e e e le funzioni esponenziali
e trigonometriche, riproponiamo un rompicapo proposto da Clausen nel
1827:
e 1+2 i = e =) e 1+2 i 2 i = e 2 i 2
2 i 4
=) e = e 2 i =) e
4 2
= 1:
La soluzione sta in una precisa de…nizione di se e sono numeri complessi.
TEOREMA: De…niamo
log(1 z) =
Questa serie converge per jzj 1, z 6= 1, inoltre si ha (d=dz) log(z) = 1=z e
log (exp(z)) = exp (log(z)) = z.
+1X
n=1
z n
n :
Dimostrazione: Per il criterio del rapporto la serie
+1X
n=1
z n =n converge per
ogni jzj < 1 e si può mostrare che converge anche se jzj = 1 e z 6= 1. Derivando
la serie del logaritmo si ottiene la serie geometrica,
+1X
d
d z
(log(1 z)) =
dz dz
n
!
+1X
= z
n
n 1 1
=
1 z :
n=1
Per dimostrare che log (exp(z)) = exp (log(z)) = z basta poi osservare che
d
dz
exp (log(z))
z
= 0;
n=1
d
(log (exp(z)) z) = 0:
dz
256

TEOREMA: Se de…niamo (1 + z) = exp ( log(1 + z)), si ha (1 + z) 1 =
1 + z e (1 + z) (1 + z) = (1 + z) + . Inoltre,
(1 + z) = 1 + 1 z +
( 1)
z
1 2
2 +
( 1)( 2)
z
1 2 3
3 + ::::
Dimostrazione: Le formule (1 + z) 1 = 1+z e (1+z) (1 + z) = (1 + z) +
sono conseguenza della formula di inversione exp(log(w)) = w e di addizione
exp( w) exp( w) = exp(( + )w). Per dimostrare lo sviluppo in serie basta osservare
che sia la serie 1+ z+ ( 1)z2 soddisfano l’equazione di¤erenziale
=2+::: che la funzione exp ( log(1 + z))
(
(1 + z) dw
=
dz
w(0) = 1:
w;
La dimostrazione di Abel, ”oserei dire la prima dimostrazione rigorosa della
formula del binomio”, è di¤erente. La serie
jzj < 1, infatti
+1X
n=0
+1X
n=0 n zn converge almeno per
n + 1 zn+1 = n z n ! jzj se n ! +1. Inoltre,
nX
+1X
zn
n
n=0 n zn +1X
=
n=0k=0
k n k zn +1X
=
n=0
Quindi, per z …ssato ed variabile, entrambi complessi, la serie binomiale
veri…ca l’equazione funzionale '( + ) = '( )'( ), cioè, a meno di multipli di
2 i, log ('( + )) = log ('( )) + log ('( )). Si può dimostrare che le soluzioni
misurabili di questa equazione funzionale sono lineari, log ('( )) = c , con
c = log ('(1)) = log (1 + z). Quindi '( ) = exp ( log (1 + z)).
Torniamo ora ad occuparci della quadratura del cerchio.
TEOREMA: La lunghezza della circonferenza x 2 + y 2 = R 2 è 2 R e
l’area del cerchio x 2 + y 2 R 2 è R 2 .
Dimostrazione: Parametrizziamo la circonferenza x 2 + y 2 = R 2 ponendo
x = R cos(#);
y = R sin(#);
0 # < 2 :
L’elemento in…nitesimale di lunghezza è p dx 2 + dy 2 = Rd#, quindi la lunghezza
dell’arco con estremi (R; 0) e (R cos(#); R sin(#)) è R# e la lunghezza dell’intera
circonferenza x 2 + y 2 = R 2 è
Z
fx 2 +y 2 =R 2 g
p dx 2 + dy 2 =
257
Z 2
0
Rd# = 2 R:
+
n
z n :

L’area del cerchio x 2 + y 2 R 2 è
Z Z
fx 2 +y 2 R 2 g
Z Rp
dxdy = 4 R2 x2dx = 4R 2
Z =2
0
0
sin 2 (#)d# = R 2 :
In particolare le funzioni trigonometriche sopra de…nite coincidono con quelle
introdotte in geometria e la de…nizione astratta di coincide con quella classica.
Per …nire, seguendo le dimostrazioni di Hilbert ed altri, mostriamo che i numeri
di Archimede e di Nepero sono trascendenti.
TEOREMA: Il numero e è trascendente.
Dimostrazione: Per ogni polinomio P (x) si ha
Z x
P (t) exp(x t)dt = exp(x)
0
+1X
j=0
P (j) (0)
+1X
j=0
P (j) (x):
Per dimostrare questa identità di Hermite si può integrare per parti, oppure
osservare che exp( t)P (t) = d
0
@exp(
dt
+1X
t) P (j) 1
(t) A. Se, per assurdo, e fosse
j=0
radice di un polinomio a coe¢ cienti interi c0 + c1e + c2e2 + ::: + cnen = 0 con
c0 6= 0, si avrebbe
nX
k=0
ck
Z k
P (t) exp(k t)dt =
0
nX
+1X
k=0j=0
ckP (j) (k):
Scelto un numero primo p maggiore di c0 e di n, in questa identità si pone
P (x) = x p 1 (x 1) p (x 2) p :::(x n) p :
Se 0 x n, allora jP (x)j (n!) p . Quindi
nX
k=0
Ora valutiamo
ck
Z k
P (t) exp(k t)dt (n!) p
0
nX
nX
k=0
e k
1 jckj :
+1X
ckP (j) (k). Si ha P (0) = ::: = P (p 2) (0) = 0 e
P
k=0j=0
(p 1) (0) = ( ) np (n!) p (p 1)!, le altre derivate da P (p) (0) in poi sono di-
visibili per p!. Similmente si mostra che tutte le derivate P (j) (k), k = 1; 2; :::; n,
nX +1X
sono divisibili per p!. In conclusione ckP (j) (k) è un intero divisibile per
k=0j=0
258

(p 1)! ma non per per p. Quindi
=
nX
k=0
ck
(p 1)!
nX
+1X
k=0j=0
ckP (j) (k)
Z k
P (x) exp(t k)dx (n!) p
0
nX
k=0
e k
1 jckj :
Per concludere la dimostrazione basta osservare che (p 1)! cresce più rapidamente
di (n!) p se p ! +1.
La dimostrazione della trascendenza di è un poco più complicata ed utilizza
le proprietà dei polinomi simmetrici, cioè invarianti per permutazioni delle
variabili P (x1; x2; :::; xn) = P x (1); x (2); :::; x (n) . I polinomi simmetrici ele-
mentari sono s1 = X
1 i n
de…niti dalle relazioni
= x n
0
@ X
1 i n
xi
xi, s2 = X
1 i

coe¢ cienti interi in a, b, c,.... Se a, b, c,... sono interi, anche un polinomio
a coe¢ cienti interi e simmetrico nelle variabili ax1, ax2,..., axn ha un valore
intero.
TEOREMA: Il numero è trascendente.
Dimostrazione: Per rendere la dimostrazione più digeribile, la dividiamo
in una serie di passi.
(1) I numeri algebrici formano un campo. In particolare, se x è algebrico,
anche ix lo è.
Questo si può anche veri…care direttamente come segue:
a(ix) n
a(ix) n
ax n + bx n 1 + cx n 2 + dx n 3 + ::: = 0;
c(ix) n 2 n 1
+ ::: + i b(ix)
c(ix) n 2 + ::: 2 n 1
+ b(ix)
d(ix) n 3 + ::: = 0;
d(ix) n 3 + ::: 2 = 0:
La terza uguaglianza deriva dalla seconda perché U 2 +V 2 = (U iV )(U+iV ).
(2) Se fosse algebrico, esisterebbe un polinomio c(x y1)(x y2):::(x ym)
con coe¢ cienti interi e radici y1, y2,..., ym non nulle, ed un intero k non nullo
tali che e y1 + e y2 + ::: + e ym = k.
Se è algebrico, lo è anche i . Se i è una delle radici x1, x2,..., xn di un
polinomio irriducibile a coe¢ cienti interi, per la formula di Eulero e i + 1 = 0,
Quindi,
1 + X
1 i n
(e x1 + 1) (e x2 + 1) ::: (e xn + 1) = 0;
e xi + X
1 i

multiplo dei denominatori, si ottiene un polinomio a coe¢ cienti interi con le
radici non nulle y1, y2,..., ym.
(3) Se c e fykg sono come in (2), se p è un numero primo su¢ cientemente
grande, se
P (x) = x p 1 (c(x y1)(x y2):::(x ym)) p ;
e se
X =
mX
Z yk
P (x) exp (yk x) dx;
k=1
0
allora X è un intero divisibile per (p 1)!, ma non per p. In particolare, jXj
(p 1)!.
Ricordando che le usuali regole di integrazione valgono anche nel campo
complesso ed integrando per parti, si ottiene
mX
Z yk
P (x) exp (yk
0
mX
x) dt = @e yk
+1X
P (j) (0)
+1X
P (j) 1
(yk) A
k=1
0
=
mX
e yk
! 0
@
k=1
+1X
j=0
k=1
1
P (j) (0) A
j=0
+1X
j=0
j=0
mX
P (j) !
(yk) :
mX
eyk è un intero non nullo. Il polinomio P (x) ha coe¢ cienti interi, quindi
k=1
ogni P (j) (0) è un intero. In particolare, P (j) (0) = 0 se j < p 1, P (p 1) (0) =
(p 1)! (( ) mcy1y2:::ym) p è divisibile per (p 1)! ma non per p se questo primo
non divide cy1y2:::ym, e P (j) (0) è divisibile per p! se j > p 1. Ed anche
mX
P (j) 2
(yk) =
n
X
P (j) (yk) (2n m) P (j) (0) è un intero divisibile per p!, perché
k=1
k=1
è un polinomio simmetrico nelle variabili ay1,..., ay2 n, e perché P (j) (yk) 6= 0 solo
se il fattore (x yk) p è derivato almeno p volte. Quindi X è un intero divisibile
per (p 1)! ma non per p.
(4) Se P (x) = x p 1 (c(x y1)(x y2):::(x ym)) p , esiste una costante C =
C (c; y1; :::; ym) indipendente da p, tale che
Infatti,
jXj =
k=1
mX
Z yk
P (t) exp (yk t) dt C p :
k=1
Z x
P (t) exp(x t)dt = x
0
0
Z 1
0
P (sx) exp ((1 s) x) ds
jxj e jxj max
0 s 1 jP (sx)j jcj jxj ejxj max
0 s 1 fjsx y1j jsx y2j ::: jsx ymjg
261
p
:

(5) La disuguaglianza (p 1)! jXj C p è assurda se p ! +1.
Più in generale, i precedenti risultati sono contenuti nel seguente.
TEOREMA: Se , ,..., sono numeri complessi algebrici distinti e se a,
b,..., c sono numeri complessi algebrici non nulli, allora ae +be +:::+ce 6= 0.
Dimostrazione: Scomponiamo la dimostrazione in una serie di passi, premettendo
qualche de…nizione. I coniugati di un numero algebrico sono le radici
f (j)g di un polinomio irriducibile a coe¢ cienti interi di cui è radice. Un
insieme …nito di numeri complessi f ; ; ; :::g si dice coniugato completo se
questi numeri sono radici di un polinomio a coe¢ cienti interi, anche non irriducibile.
Scomponendo questo polinomio in fattori irriducibili, si ottiene una
scomposizione di f ; ; ; :::g in blocchi di coniugati di numeri algebrici.
(1) Se fa; b; c; :::g sono interi e se f ; ; :::g sono algebrici, allora, al variare
di (i) tra i coniugati di , di (j) tra i coniugati di , di (k) tra i
coniugati di ,..., l’insieme fa (i) + b (j) + c (k) + :::g è coniugato completo.
Basta mostrare che il polinomio
Y
(x (a (i) + b (j) + c (k) + :::))
(i) coniugato di ; (j) coniugato di ;:::
ha coe¢ cienti razionali.
=
=
Y
(i) coniugato di ; (j) coniugato di ;:::
Y
(j) coniugato di ;:::
=
=
Y
(j) coniugato di ;:::
Y
0
@
(j) coniugato di ;:::
Y
Y
(i) coniugato di :
0
@
(j) coniugato di ;:::
Y
(i) coniugato di :
(x a (i) + b (j) + :::)
1
((x b (j) :::) a (i)) A
1
(y a (i)) A
y n + Ry n 1 + Sy n 2 + :::
(x b (j) :::) n + R (x b (j) :::) n 1 + ::: :
Siccome i numeri fR; S; :::g sono razionali, i coe¢ cienti di questo polinomio
non dipendono da . Ma esattamente per lo stesso motivo, scambiando con
, ,..., si ricava che questi coe¢ cienti non dipendono da , ,....
(2) Date due collezioni f (1) ; (2) ; :::g e f (1) ; (2) ; :::g di numeri complessi
distinti, e due collezioni f (1) ; (2) ; :::g e f (1) ; (2) ; :::g di numeri
262

non nulli, si consideri il prodotto
X
i
= X
0
@
k
(i) exp ( (i))
X
(i)+ (j)="(k)
! 0
@ X
j
1
(j) exp ( (j)) A
1
(i) (j) A exp (" (k)) :
Se si sono raccolti i termini con lo stesso esponente in modo da avere tutti gli
esponenti f" (1) ; " (2) ; :::g distinti, almeno una somma
X
(i) (j)
(i)+ (j)="(k)
non è nulla.
Se si ordinano gli esponenti ponendo x > y se Re(x) > Re(y), o se Re(x) =
Re(y) e Im(x) > Im(y), nella somma associata a " (k) = max f
c’è un solo addendo non nullo.
(i)g+max f (j)g
(3) Se f (1) ; (2) ; :::g sono le radici non nulle di un polinomio con coe¢ -
cienti interi e se e sono interi non nulli, allora
+ X
exp ( (j)) 6= 0:
j
Se f (j)g sono le radici di un polinomio a coe¢ cienti interi P (x) = ux n +
::: + v con u e v non nulli, e se p è un numero primo, si de…niscono
Q(x) = xp 1 un 1P (x) p
= xp 1 (ux u (1)) p ::: (ux u (n)) p
(p 1)!
Z z
(p 1)!
I(z) = Q(x) exp(z x)dx:
0
Sostituendo al numero complesso z le radici (j) ed integrando per parti si
ottiene
0
nX
I ( (j)) =
j=1
= @ +
nX
+1X
j=1k=0
1
nX
exp ( (j)) A
j=1
In particolare, se +
+1X
k=0
exp ( (j)) Q (k) (0)
Q (k) (0)
+1X
k=0
Q (k) (0)
nX
exp ( (j)) = 0, allora
j=1
nX
I ( (j)) =
j=1
+1X
k=0
Q (k) (0)
263
nX
+1X
j=1k=0
nX
+1X
j=1k=0
nX
Q (k) ( (j))
+1X
j=1k=0
Q (k) ( (j)) :
;
Q (k) ( (j)) :

Per ottenere una contraddizione basta mostrare che gli integrali a sinistra
I ( (j)) tendono a 0 se p ! +1, mentre le somme a destra sono un intero non
nullo. Infatti, Q (k) (0) = 0 per ogni k < p 1, Q (p 1) (0) = v (m 1)pP (0) p
è un intero non divisibile per p se p è grande, e Q (k) (0) è divisibile per p se
k p. Quindi
+1X
k=0
Q (k) (0) è un intero non nullo e non divisibile per p. In…ne,
mX
Q (k) ( (j)) è un polinomio simmetrico delle radici (j), quindi è un intero,
j=1
ed è divisibile per p perché Q (k) ( (j)) 6= 0 solo se il fattore (x (j)) p è stato
derivato p volte. In particolare
+1X
Q (k) (0) +
nX +1X
Q (k) ( (j)) è un intero
k=0
j=1k=0
non divisibile per p, quindi non nullo. In…ne,
jI(z)j =
Z z
Q(x) exp(z x)dx
exp (jzj) (jzj juz u 1j + ::: + juz u nj) p
(p 1)!
:
0
Quindi per I (z) ! 0 se p ! +1.
(4) Se f (j; 1) ; (j; 2) ; :::g sono le radici non nulle di polinomi con coef-
…cienti interi Pj(x) = u(j)xn(j) + ::: + v(j) con u(j) e v(j) non nulli, e se
f (1); (2); :::g e sono interi non nulli, allora
+ X
(j) X
exp (
!
(j; k)) 6= 0
j
k
Si può assumere v(j)u(j) n(j) 1 = U per ogni j. Basta moltiplicare Pj(x)
per v(j)u(j) n(j) 1 1 Y
i
v(i)u(i) n(i) 1 . Come in (3), si de…nisce
Qj(x) = xp 1 u(j) n(j) 1Pj(x) p
; Ij(z) =
(p 1)!
Allora, per ogni scelta di (j),
X
= (j)
n(j) X
(j) (Ij (j; i))
n(j) +1X
exp (
i=1
(j; i)) Q
i=1 k=0
(k)
j (0)
n(j) X+1X
(j)
0
n(j)
i=1 k=0
1
+1X
X
= @ (j) + (j) exp ( (j; i)) A
k=0
i=1
+1X
(j) Q (k)
X
j (0) (j)
264
n(j) +1X
i=1 k=0
Z z
Qj(x) exp(z x)dx:
0
k=0
Q (k)
j ( (j; i))
Q (k)
j (0)
Q (k)
j ( (j; i)) :

Come in (3) si ha
+1X
k=0
Q (k)
j (0) = v(j)u(j)
n(j) +1X
X
i=1 k=0
n(j) 1 p
+ (multipli di p) ;
Q (k)
j ( (j; i)) = (multipli di p) :
Quindi, per la de…nizione di U, se p > U e se X
j
i=1
j
n(j)
XX
(j)Ij ( (j; i))
i=1
j
(j) = si ha
0
= @ + X
1
n(j) X
(j) exp ( (j; i)) A U p + (intero non nullo) :
Come in (3), I (z) ! 0 se p ! +1, e se + XX
(j) exp ( (j; i)) = 0 si
ottiene una contraddizione.
(5) Se f (1) ; (2) ; :::g sono algebrici distinti e se f (1) ; (2) ; :::g sono
interi non nulli, allora X
(j) exp ( (j)) 6= 0:
j
Dividendo per un esponenziale, basta mostrare che se f (j)g sono algebrici
distinti non nulli e se f (j)g e sono interi non nulli, allora
+ X
(j) exp ( (j)) 6= 0:
j
Assumendo il contrario, se f (j; k)g sono i coniugati di (j), con (j; 1) =
(j) e se è una funzione che ad ogni (j) associa una coniugata (j; k), si
ha
0
Y
@ + X
1
(j) exp ( ( (j))) A = 0:
j
Il prodotto è su tutte le scelte, e tra queste scelte c’è ( (j)) = (j) per
ogni j, ed in questo caso il fattore è per ipotesi 0. Sviluppando il prodotto e
ricordando (2), si ottiene
" + X
(j) X
!
exp ( (j; k)) = 0:
j
k
265
j
n(j)
i=1

I coe¢ cienti " e f (j)g sono interi non nulli e gli esponenti f (j; k)g sono
somme di f (j; k)g. Se con una combinazione #(1) (1; 1) + #(2) (2; 1) + :::,
con f#(j)g interi, si ottiene un coe¢ ciente (j), allora tutte le analoghe combinazioni
di coniugati #(1) (1; h) + #(2) (2; k) + ::: danno lo stesso coe¢ ciente
(j). Inoltre, per (1), f#(1) (1; h) + #(2) (2; k) + :::g è un insieme coniugato
completo. La contraddizione segue da (4).
(6) Se f (1) ; (2) ; :::g sono algebrici distinti e se f (1) ; (2) ; :::g sono
algebrici non nulli, allora
X
(j) exp ( (j)) 6= 0:
j
La dimostrazione è simile a quella in (5). Assumendo il contrario, se f (j; k)g
sono i coniugati di (j), con (j; 1) = (j), e se è una funzione che ad ogni
(j) associa una coniugata (j; i), si ha
0
Y
@ X
1
( (j)) exp ( (j)) A = 0:
j
Il prodotto è su tutte le scelte, tra queste scelte c’è ( (j)) = (j) per ogni
j, ed in questo caso il fattore è per ipotesi 0. Ricordando (2) e sviluppando il
prodotto, si ottiene una somma del tipo
X
(j) exp ( (j)) = 0:
j
I coe¢ cienti f (j)g sono non nulli e gli esponenti f (j)g sono distinti.
I numeri f (j)g sono polinomi a coe¢ cienti interi simmetrici nelle variabili
f (h; k)g. Quindi sono razionali. Moltiplicando per il minimo comun denominatore,
ci si riconduce a degli interi, e quindi a (5).
COROLLARIO: Se x è algebrico non nullo, allora exp(x), log(x), cos (x),
sin (x), tan (x), sono trascendenti.
266

In un interessante saggio del 1974 Achille Campanile ha analizzato in dettaglio
le relazioni tra asparagi e immortalità dell’anima, giungendo alla sorprendente
conclusione che, da qualunque parte si esamini la questione, non c’è nulla
in comune tra gli asparagi e l’immortalità dell’anima. Noi, al contrario, speriamo
di aver dimostrato ad abundantiam l’esistenza di molteplici relazioni tra
i numeri e, ed il resto della matematica. Le relazioni sono comunque molte
di più di quelle a cui abbiamo accennato e certamente abbiamo dimenticato
qualcosa di importante.
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