Função linear e

Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV
Disciplina Matemática – Ensino Médio
Título: Função linear e função do primeiro grau
Tópico
8. Função do primeiro grau
Introdução
Habilidades
8.1. Identificar uma função linear a partir de sua representação
algébrica ou gráfica.
8.2. Utilizar a função linear para representar relações entre
grandezas diretamente proporcionais.
8.3. Reconhecer funções do primeiro grau como as que têm
variação constante.
8.4. Identificar uma função do primeiro grau a partir de sua
representação algébrica ou gráfica.
8.5. Representar graficamente funções do primeiro grau.
8.9. Reconhecer uma progressão aritmética como uma função
do primeiro grau definida no conjunto dos números inteiros
positivos
Este módulo diz respeito a situações freqüentes envolvendo grandezas que sofrem
aumentos iguais em tempos iguais. Neste caso, dizemos que essas grandezas estão
relacionadas por uma função do primeiro grau.
Várias situações podem ser modeladas através de funções do primeiro grau. Por
exemplo: o valor da conta de luz em função da quantidade de energia consumida; o
valor do imposto de renda do assalariado, em cada faixa de tributação, em função
do salário; a distância percorrida por um automóvel com velocidade constante em
função do tempo; o perímetro de um quadrado em função do lado.
Neste módulo iremos estudar as funções do primeiro grau. Veremos como identificar
funções do primeiro grau através de suas representações algébricas e gráficas e
veremos a resolução de alguns problemas que envolvem funções do primeiro grau.
1

1. Funções lineares
Vamos relembrar alguns exemplos de situações que envolvem grandezas
diretamente proporcionais para ver que, neste caso, essas grandezas estão
relacionadas por uma função linear. Observamos que o módulo didático referente ao
tópico número 4 do Ensino Fundamental apresenta várias situações de grandezas
diretamente proporcionais.
Exemplo 1: Se um carro está trafegando a velocidade constante de 80 km/h, então a
distância d percorrida por ele é diretamente ao tempo t em que ele está andando.
Como ele anda 80 km em uma hora, vemos que d = 80t
. Isso significa que a razão
d
é constante igual a 80.
t
Exemplo 2: Se uma torneira despeja 3 litros de água por minuto em um recipiente,
então a quantidade V de água que ela despeja no recipiente é diretamente
proporcional ao tempo que a torneira fica aberta. Como ela despeja 3 litros por
V
minuto, vemos que V = 3t
. Isso significa que a razão é constante igual a 3.
t
Exemplo 3: Em uma lanchonete, cada pão de queijo custa R$ 0,60. Portanto, se
uma pessoa comprar n pães de queijo, ela deverá pagar um valor C igual a
C = 0,
60 n . Observe que as grandezas “quantidade comprada de pão de queijo” e
C
“valor a ser pago” são diretamente proporcionais. Neste caso, a razão é
n
constante igual a 0,60.
De modo geral, como observado no módulo didático referente ao tópico número 4 do
Ensino Fundamental, quando duas grandezas x e y são diretamente proporcionais,
y
então a razão entre o valor de y e o valor correspondente de x é constante. Se
x
y
o valor dessa constante é a , então = a , ou seja, y = a x . Assim, dado o valor de
x
2

x , para obtermos o valor correspondente de y basta multiplicarmos x pela
constante a . Neste caso, dizemos que a expressão y = a x define y como uma
função linear de x .
Reciprocamente, se duas grandezas x e y estão relacionadas por uma função
y
linear do tipo y = a x , então a razão entre o valor de y e o valor correspondente
x
de x é constante, e isso significa que as grandezas x e y são diretamente
proporcionais. Assim concluímos que:
Duas grandezas relacionadas x e y são diretamente proporcionais
se, e somente se, elas estiverem relacionadas por uma função
linear. Ou seja, se existir uma constante a tal que y = ax .
1.1. O gráfico da função linear
Exemplo 4: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função linear
y = 2x
, isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)
tais que y = 2x
.
Solução: Primeiramente podemos montar uma tabela de valores, dando valores de
x e calculando o valor correspondente de y , para obtermos alguns pontos do
gráfico da função y = 2x
. Utilizando um papel quadriculado por exemplo, esses
pontos podem ser representados em um plano cartesiano, obtendo-se uma figura
como a que se vê logo em seguida.
x y = 2x
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
3

2 4
3 6
Coloque agora uma régua sobre os pontos marcados na figura acima. Você
observou que todos esses pontos estão alinhados? Agora, desenhe essa reta no
plano cartesiano e continue marcando mais pontos no gráfico da função y = 2x
,
dando outros valores de x . Se você marcar esses novos pontos no plano, verá que
todos eles pertencem à reta que você acabou de desenhar. Isso ilustra que o gráfico
da função y = 2x
é uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas.
Vamos verificar que, de fato, para qualquer valor de a , o gráfico da função y = ax é
uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas.
Os pontos O = ( 0,
0)
e P = ( 1,
a)
pertencem ao gráfico desta função, pois suas
coordenas satisfazem a equação y = ax . Seja t a reta que liga esses dois pontos, e
seja Q = ( x , y)
um outro ponto qualquer desta reta.
4

Se M = ( 1,
0)
e N = (x , 0)
são projeções dos pontos P e Q sobre o eixo x , vemos
que os triângulos retângulos OMP e ONQ são semelhantes pois possuem lados
paralelos. Isto implica que esses triângulos possuem lados proporcionais. Logo
PM QN
= ⇒
MO NO
a =
1
y
x
⇒ y = ax
Portanto, como as coordenadas do ponto Q = ( x , y)
satisfazem a equação y = ax ,
vemos que o ponto Q pertence ao gráfico dessa função. Isso demonstra que:
O gráfico da função y = ax é uma reta que
passa pela origem do sistema de
coordenadas.
Como uma reta fica determinada por dois de seus pontos, para representar em um
plano cartesiano o gráfico de uma função linear y = ax é suficiente marcar nesse
plano dois pontos quaisquer do gráfico e depois ligar esses pontos com uma reta.
Exemplo 5: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função linear
1
1
y = x , isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)
tais que y = x .
2
2
1
Solução: Como a função y = x é linear, o seu gráfico é uma reta que passa pela
2
origem O = ( 0,
0)
do sistema de coordenadas. Agora, para x = 2 vemos que
5

1 1
1
y = x = 2 = 1.
Portanto o gráfico da função y = x também passa pelo ponto
2 2
2
1
P = ( 2,
1)
. Assim, para traçar o gráfico da função y = x é suficiente marcar o ponto
2
P = ( 2,
1)
e desenhar a reta que liga P a origem do sistema de coordenadas.
Exemplo 6: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função linear
y = −2x
.
Solução: Como a função y = −2x
é linear, o seu gráfico é uma reta que passa pela
origem O = ( 0,
0)
do sistema de coordenadas. Assim, já temos um ponto do gráfico
desejado: a origem. Para desenhar então o gráfico dessa função basta
representarmos no plano cartesiano um outro ponto qualquer do gráfico e o ligar
com a origem por uma reta. Considerando x = −1,
obtemos o valor correspondente:
y = 2 . Assim, o gráfico da função y = −2x
é a reta que liga os pontos O = ( 0,
0)
e
P = (−1,
2)
.
6

1.2. Função linear crescente e função linear decrescente
Considere por exemplo a função linear y = 2x
cujo gráfico foi estudado no exemplo
4. Observe que, para essa função, quanto maior o valor de x maior será o valor
correspondente de y . Isso significa que a função y = 2x
é crescente. Agora, para
a função y = −2x
, cujo gráfico foi construído no exemplo 6, quanto maior o valor de
x menor será o valor correspondente de y . Isso significa que a função y = −2x
é
decrescente. De modo geral, tem-se que:
• se a > 0 então a função y = ax é crescente: quanto maior x , maior y .
• se a < 0 então a função y = ax é decrescente: quanto maior x , menor y .
7

1.3. Identificação de funções lineares
Os próximos exemplos ilustram situações variadas em que se deve identificar uma
função linear.
Exemplo 7: qual dos gráficos a seguir pode ser de uma função linear?
Solução: o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do
sistema de coordenadas. Das alternativas apresentadas, a única que corresponde a
uma tal reta é a da letra (B).
Exemplo 8: qual das funções a seguir é linear?
2
A) y = x . B) y = 3x −1
. C) y = x(
x −1)
. D) y = 5x
.
Solução: uma função linear tem equação do tipo y = ax para algum número fixado
a . Das alternativas apresentadas, a única que tem esse aspecto é a alternativa (D).
8

Exemplo 9: as grandezas x e y são diretamente proporcionais. Se, para x = 5 , o
valor correspondente de y é y = 7 , então essas grandezas estão relacionadas por:
5
7
A) y = x . B) y = x . C) y = 5 x + 7 . D) y = 7 x + 5 .
7
5
Solução: Se as grandezas x e y são diretamente proporcionais, então o quociente
y y
, entre valores correspondentes de x e y , é constante. Se a = é o valor desta
x
x
7
constante temos que a = , pois para x = 5 o valor correspondente de y é y = 7 .
5
y 7
7
Assim = , ou seja, y = x , alternativa (B).
x 5
5
Exemplo 10: Na figura a seguir está representada uma reta num plano cartesiano.
Essa reta é o gráfico da função
A) y = 3 x + 2.
B) y = 2 x + 3.
2
C) y = x .
3
3
D) y = x .
2
Solução: como a reta apresentada passa pela origem do sistema de coordenadas,
ela é o gráfico de uma função linear, que tem a forma y = ax . Como o ponto ( 3,
2)
pertence ao gráfico, tem-se que essa equação é verdadeira para x = 3 e y = 2 .
2
Nesse caso, obtém-se 2 = 3a
, ou seja, a = . Portanto, a reta apresentada é o
3
2
gráfico da função linear y = x , alternativa (C).
3
9

2. Funções do primeiro grau
Antes de começar o estudo das funções do primeiro grau, vamos ver alguns
exemplos de situações que envolvem esse tipo de relação entre duas grandezas.
Exemplo 11: Num determinado instante, um recipiente possui 20 litros de água. A
partir desse instante, uma torneira é aberta e ela começa a despejar 3 litros de água
por minuto no recipiente. A tabela a seguir ilustra a quantidade de água no recipiente
após alguns instantes da torneira ter sido aberta:
Tempo que a
torneira ficou
aberta (minuto)
Volume de água no
recipiente (litros)
0 1 2 3 4 5
20 23 26 29 32 35
Observe que a cada minuto que passa o volume de água no recipiente é aumentado
em 3 litros, e que podemos reescrever a tabela anterior do seguinte modo:
Tempo que a
torneira ficou
aberta (minuto)
0 20
1 23 = 20 + 3
Volume de água no
recipiente (litros)
2 26 = 23 + 3 = 20 + 2 × 3
3 29 = 26 + 3 = 20 + 3×
3
4 32 = 29 + 3 = 20 + 4 × 3
5 35 = 32 + 3 = 20 + 5×
3
Continuando dessa maneira, e observando a regularidade das linhas da tabela
anterior, pode-se concluir que após t minutos de a torneira ter sido aberta, o volume
de água no recipiente será igual a V = 20 + t × 3.
Uma expressão como essa que
acabamos de deduzir é muito interessante, pois ela nos permite responde facilmente
várias perguntas, tais como:
(a) Após 60 minutos de a torneira ter sido aberta, qual o volume de água no
recipiente?
10

De acordo com a expressão V = 20 + t × 3,
após 60 minutos o volume de água no
recipiente será igual a V = 20 + 60 × 3 = 200 litros.
(b) Após quanto tempo de a torneira ter sido aberta, o volume de água no recipiente
será de 86 litros?
De acordo com a expressão V = 20 + t × 3,
o volume de água no recipiente será
de 86 litros se 20 + t × 3 = 86.
Daí, 3 t = 66 ⇒ t = 22 . Logo, após 22 minutos de a
torneira ter sido aberta, o volume de água no recipiente será de 86 litros?
Exemplo 12: Uma caixa d’água está completamente cheia com 1000 litros de água.
Em um determinado instante, uma torneira é aberta, e desse modo são retirados 2
litros de água por hora da caixa d’água. A tabela a seguir nos mostra o volume de
água na caixa em alguns instantes após a torneira ter sido aberta:
Tempo que a
torneira ficou
aberta (hora)
Volume de água na
caixa (litros)
0 1 2 3 4 5
1000 998 996 994 992 990
Observe que a cada minuto que passa o volume de água na caixa diminui em 2
litros, e que podemos reescrever a tabela anterior do seguinte modo:
Tempo que a
torneira ficou
aberta (hora)
0 1000
1 998 = 1000 − 2
Volume de água na caixa
(litros)
2 996 = 998 − 2 = 1000 − 2×
2
3 994 = 996 − 2 = 1000 − 3×
2
4 992 = 994 − 2 = 1000 − 4 × 2
5 990 = 992 − 2 = 1000 − 5×
2
Como no exemplo anterior, continuando dessa maneira, e observando a
regularidade das linhas da tabela anterior, pode-se concluir que após t minutos de a
11

torneira ter sido aberta, o volume de água na caixa d’água será igual a
V = 1000 − t × 2 . Uma expressão como essa que acabamos de deduzir é muito
interessante, pois ela nos permite responde facilmente várias perguntas, tais como:
(a) Qual será o volume de água na caixa após 24 horas de a torneira ter sido
aberta?
De acordo com a expressão V = 1000 − t × 2 , após 24 horas de a torneira ter sido
aberta o volume de água na caixa será igual a V = 1000 − 24 × 2 = 952 litros.
(b) Após quanto tempo de a torneira ter sido aberta, o volume de água na caixa será
de 500 litros?
De acordo com a expressão V = 1000 − t × 2 , o volume de água na caixa será de
500 litros se 500 = 1000 − t × 2 , ou seja, se 2 t = 500 ⇒ t = 250 . Portanto após
250 minutos a caixa d’água terá 500 litros.
(c) Após quanto tempo de a torneira ter sido aberta, a caixa d’água estará vazia?
A caixa d’água estará vazia se o volume de água contida nela for igual a zero.
De acordo com a expressão V = 1000 − t × 2 , isso significa que 0 = 1000 − t × 2 , ou
seja, se t = 500 . Portanto após 500 minutos a caixa d’água estará vazia.
No exemplo 11 as grandezas volume (V ) e tempo ( t ) estão relacionadas pela
expressão V = 20 + t × 3,
e no exemplo 12 temos uma dependência do tipo
V = 1000 − t × 2 . Essas duas expressões são casos particulares de funções do
primeiro grau.
Duas grandezas x e y estão relacionadas por uma função do
primeiro grau se existirem números a e b tais que os valores
correspondentes de x e y estão relacionados por y = ax + b .
Por exemplo, as seguintes expressões são funções do primeiro grau:
1
y = 2 x + 1,
y = −4
x + 10,
y = x − 5 ,
2
2
y = 2 x − ,
3
3 1
y = − x − .
7 4
Além disso, existem funções do primeiro grau que relacionam grandezas de nomes
diferentes de x e y , como as que estão ilustradas a seguir.
V = 20 + 3t
, S = 10 + 60t
, C = 60 + 5n
, h = 150 − 3v
, r = −13
+ 15y
.
Observação: uma função linear y = ax é uma função do primeiro grau y = ax + b .
Para ver isso, basta substituir b = 0 na expressão y = ax + b . Por outro lado, se b ≠ 0
uma função do primeiro grau y = ax + b não e uma função linear.
12

Curiosidade sobre a nomenclatura: a expressão y = ax + b recebe o nome “função
do primeiro grau” porque o expoente da variável x é igual a 1. A título de ilustração,
se o expoente de x fosse 2, como por exemplo em 5 3 1
2
y = x − x + , teríamos uma
função do segundo grau.
2.1 O gráfico da função do primeiro grau
Exemplo 13: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função do
primeiro grau y = 2x −1
, isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)
tais que y = 2x −1
.
Solução: Como fizemos no caso de funções lineares, primeiramente podemos
montar uma tabela de valores, dando valores de x e calculando o valor
correspondente de y , para obtermos alguns pontos do gráfico da função y = 2x −1
.
Utilizando um papel quadriculado por exemplo, esses pontos podem ser
representados em um plano cartesiano, obtendo-se uma figura como a que se vê
logo em seguida.
x y = 2x −1
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
3 5
Coloque agora uma régua sobre os pontos marcados na figura acima. Você
observou que todos esses pontos estão alinhados? Agora, desenhe essa reta no
plano cartesiano e continue marcando mais pontos no gráfico da função y = 2x −1
,
dando outros valores de x . Se você marcar esses novos pontos no plano, verá que
13

todos eles pertencem à reta que você acabou de desenhar. Isso ilustra que o gráfico
da função y = 2x −1
é uma reta.
Observação 1: o gráfico da função linear y = 2x −1
é uma reta que não passa pela
origem do sistema de coordenadas. Isso porque os números x = 0 e y = 0 não
satisfazem, simultaneamente, a equação y = 2x −1
.
Observação 2: no exemplo número 4 construímos
o gráfico da função y = 2x
, que é igual a uma reta
que passa pela origem do sistema de coordenadas.
Agora vamos tentar encontrar os pontos de
interseção das retas que são os gráficos das
funções y = 2x
e y = 2x −1
. Ora, se um ponto
, ) x P = está na interseção dessas duas retas,
( 0 0 y
temos que y 0 = 2x0
e y 0 = 2x0 −1.
Daí, igualando
essas duas expressões concluímos que
2 0 0
x = 2x
−1
, ou seja, 0 = −1.
Como isso é
evidentemente falso, vemos que não existe ponto
na interseção dos gráficos de y = 2x
e de
14

y = 2x −1
. Portanto, esses gráficos são retas
paralelas.
De modo geral, argumentando de maneira similar à demonstração dada no caso de
funções lineares, pode-se demonstrar que o gráfico de uma função do primeiro grau
y = ax + b é uma reta.
O gráfico de uma função do primeiro grau y = ax + b é
uma reta.
Mais ainda, como a equação ax + b = ax não tem
solução para b ≠ 0 , os gráficos das funções y = ax + b e
y = ax são retas paralelas.
Como uma reta fica determinada por dois de seus pontos, para representar em um
plano cartesiano o gráfico de uma função do primeiro grau linear y = ax + b é
suficiente marcar nesse plano dois pontos quaisquer do gráfico e depois ligar esses
pontos com uma reta.
Exemplo 14: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função linear
1
y = x + 2 , isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)
tais que
2
1
y = x + 2 .
2
1
Solução: Como a função y = x + 2 é do primeiro grau, o seu gráfico é uma reta.
2
Para determiná-la vamos encontrar dois dos seus pontos. Para isso, substituímos
1
dois valores numéricos de x na equação y = x + 2 e calculamos os valores
2
correspondentes de y . Por exemplo, para x = 0 tem-se que y = 2 e para x = 2 tem-
15

1
se que y = 3 . Portanto, para desenhar o gráfico da função y = x + 2 basta
2
representar num plano cartesiano os pontos P = ( 0,
2)
e Q = ( 2,
3)
e depois ligá-los
por uma reta.
Exemplo 15: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função do
primeiro grau y = −2
x + 4 .
Solução: Como a função y = −2
x + 4 é do primeiro grau, o seu gráfico é uma reta.
Para determiná-la vamos encontrar dois dos seus pontos. Para isso, neste exemplo,
vamos determinar a interseção da reta que desejamos desenhar com os eixos
coordenados. O gráfico de y = −2
x + 4 intersecta o eixo y quando x = 0.
Substituindo x = 0 na expressão y = −2
x + 4 obtemos y = 4 . Portanto, o gráfico de
y = −2
x + 4 intersecta o eixo y no ponto P = ( 0,
4)
. Por outro lado, o gráfico de
y = −2
x + 4 intersecta o eixo x quando y = 0 . Substituindo y = 0 na expressão
y = −2
x + 4 obtemos a equação − 2 x + 4 = 0 cuja solução é x = 2 . Portanto, o gráfico
de y = −2
x + 4 intersecta o eixo x no ponto Q = ( 2,
0)
. Assim, para construir o
gráfico da função y = −2
x + 4 representamos num plano cartesiano os pontos
P = ( 0,
4)
e Q = ( 2,
0)
e os ligamos por uma reta.
16

2.2. Função do primeiro grau crescente e função do primeiro grau decrescente
Como observamos anteriormente, os gráficos das funções y = ax e y = ax + b são
duas retas paralelas. Assim a função do primeiro grau y = ax + b tem o mesmo tipo
de crescimento da função linear y = ax . Ou seja:
• se a > 0 então a função y = ax + b é crescente: quanto maior x , maior y .
• se a < 0 então a função y = ax + b é decrescente: quanto maior x , menor y .
2.3. Identificação de funções do primeiro grau
Os próximos exemplos ilustram situações variadas em que se deve identificar uma
função do primeiro grau.
Exemplo 16: Qual das funções a seguir é do primeiro grau?
2
1
1
A) y = x − 3x
+ 1.
B) y = x 3 + 5 . C) y = . D) y = + 4 .
2x
+ 3
x
Solução: Uma função do primeiro grau entre as variáveis x e y tem o seguinte
aspecto: y = ax + b , sendo a e b números. Das alternativas apresentadas neste
exemplo, somente a função y = x 3 + 5 é do tipo y = ax + b , com a = 3 e b = 5 .
17

Exemplo 17: qual dos gráficos a seguir pode ser de uma função do primeiro grau?
Solução: o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta não paralela ao eixo
y . Das alternativas apresentadas, a única que corresponde a uma tal reta é a letra
(C).
Exemplo 18: no plano cartesiano da figura a seguir está representada uma reta.
Ela é o gráfico de qual função do primeiro grau?
3 5
A) y = − x + 3.
B) y = − x + 5 . C) y = −3
x + 5.
D) y = −5
x + 3.
5
3
18

Solução: uma função do primeiro grau tem a forma y = ax + b . Como desejamos
encontrar uma função do primeiro grau cujo gráfico contém os pontos A = ( 5,
0)
e
B = ( 0,
3)
esses pontos devem satisfazer a equação y = ax + b . Substituindo nessa
equação x = 5 e y = 0 obtemos então 5 a + b = 0 , e depois substituindo x = 0 e y = 3
3
obtemos 3 = 0a
+ b . Essas duas equações implicam que b = 3 e a = − . Portanto, a
5
3
reta apresentada é o gráfico da função y = − x + 3.
5
Exemplo 19: Determine uma função do primeiro grau cujo gráfico contém os pontos
P = (−1,
4)
e Q = ( 2,
13)
.
Solução: uma função do primeiro grau tem a forma y = ax + b . Como desejamos
encontrar uma função do primeiro grau cujo gráfico contém os pontos P = (−1,
4)
e
Q = ( 5,
0)
esses pontos devem satisfazer a equação y = ax + b . Para o ponto P ,
substituindo x = −1
e y = 4 em y = ax + b obtemos a equação − a + b = 4 . Já para o
ponto Q , substituindo x = 2 e y = 13 em y = ax + b obtemos a equação 2 a + b = 13 .
Desse modo, obtemos o sistema linear
19
⎧−
a + b = 4
⎨ , cuja solução é a = 3 e b = 7 .
⎩2a
+ b = 13
Portanto o gráfico da função do primeiro grau y = 3 x + 7 contém os pontos
P = (−1,
4)
e Q = ( 2,
13)
.
Exemplo 20: Represente em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções
y = 2x
, y = 2x − 3 , y = 2 x + 3 .
Solução: a função y = 2x
é linear, enquanto que as funções y = 2x − 3 e y = 2 x + 3
são do primeiro grau. Assim, os gráficos dessas funções são retas. Além disso,
como essas funções possuem o mesmo coeficiente da variável x , neste caso o
coeficiente 2, vemos que os gráficos dessas três funções são retas paralelas. Para
desenhar essas retas observe que:
• o gráfico de y = 2x
passa pela origem e pelo ponto A = ( 1,
2)
.

• o gráfico de y = 2x − 3 intersecta o eixo y no ponto B = ( 0,
−3)
e intersecta o
⎛ 3 ⎞
eixo x no ponto C = ⎜ , 0⎟
.
⎝ 2 ⎠
• o gráfico de y = 2 x + 3 intersecta o eixo y no ponto D = ( 0,
3)
e intersecta o
⎛ 3 ⎞
eixo x no ponto E = ⎜−
, 0⎟
.
⎝ 2 ⎠
Exemplo 21: Classifique corretamente cada uma das funções do primeiro grau como
sendo crescente ou decrescente.
1 2
(a) y = x − 4 . (b) y = −2
x + 50 . (c) y = 2 x + . (d) y = 3 − 2x
.
3
3
Solução: uma função do primeiro grau y = ax + b é crescente se a > 0 , e uma função
1
do primeiro grau y = ax + b é decrescente se a < 0.
Assim as funções (a) y = x − 4 ,
3
e (c)
2
y = 2 x + são crescentes, enquanto que as funções (b) y = −2
x + 50 e (d)
3
y = 3 − 2x
são decrescentes.
20

2.4. Função do primeiro grau e Progressão Aritmética
Nesta seção veremos que existe uma relação bastante estreita entre os conceitos de
função do primeiro grau e termo geral de uma progressão aritmética.
Lembre-se que uma seqüência a 1 , a 2 , 3 a , K, a n , K é uma progressão aritmética
se existir um número h tal que:
a a + h
2 = 1 , a 3 = a2
+ h , a 4 = a3
+ h , K, an an
+ h
= −1 , K
isto é, cada termo é igual ao termo anterior mais uma constante previamente fixada,
chamada de razão da progressão aritmética. Daí, segue que
a a + h
2
= 1
a = a + h = a + h)
+ h = a + 2×
h
3
2
( 1
1
a = a + h = a + 2 × h)
+ h = a + 3×
h
4
3
( 1
1
a = a + h = a + 3×
h)
+ h = a + 4×
h
5
4
( 1
1
a = a + h = a + 4 × h)
+ h = a + 5×
h
6
5
( 1
1
e analisando a regularidade das expressões acima, concluímos que para todo n ≥ 1
vale a igualdade = a + ( n −1)
h . Essa é a expressão para o termo geral da
a n
1
progressão aritmética de primeiro termo a 1 e razão h . Essa expressão é importante
pois ela permite o cálculo de qualquer termo da progressão, sem a necessidade da
determinação de todos os seus termos anteriores.
Exemplo 22: o termo geral da progressão aritmética de primeiro termo a 1 = −3
e
razão h = 2 é an = a1
+ ( n −1)
h = −3
+ ( n −1)
× 2 = −3
+ 2n
− 2 ⇒ an = 2n − 5.
Agora,
observe que se considerarmos a função do primeiro grau f ( x)
= 2x
− 5 , temos que
f ( n)
= an
para todo inteiro n ≥ 1.
Portanto, os pontos de coordenadas ( , n ) a n estão
sobre o gráfico da função f ( x)
= 2x
− 5 . Mas, como o gráfico de uma função do
primeiro grau é uma reta, concluímos que todos esses pontos estão alinhados, como
podemos observar na seguinte figura.
21

Exemplo 23: Considere a função do primeiro grau f ( x)
= −3x
+ 5 . Vamos mostrar
que se definirmos an = f (n)
para todo inteiro n ≥ 1,
então a seqüência a 1,
a2
, a3
, K é
uma progressão aritmética. De fato, para esse caso temos que
a
a
a
a
1
2
3
4
= −3
+ 5 = 2
= −3×
2 + 5 = −1
= −3×
3 + 5 = −4
= −3×
4 + 5 = −7
e por uma verificação direta observamos que a seqüência assim formada
( 2, − 1,
− 4,
− 7,
K)
é uma progressão aritmética de primeiro termo a 1 = 2 e razão
h = 3 .
As observações dos exemplos 22 e 23 são válidas em geral, para quaisquer
progressões aritméticas e quaisquer funções do primeiro grau, como observamos a
seguir.
Se uma progressão aritmética tem primeiro termo a 1 e razão h , então o seu termo
geral an = a1
+ ( n −1)
× h = hn + ( a1
− h)
define a n como uma função do primeiro grau
de n . Isto é, se definirmos a função do primeiro grau f ( x)
= hx + ( a1
− h)
então
f ( n)
= a para todo inteiro n ≥ 1.
n
22

Reciprocamente,
Dada uma função do primeiro grau f ( x)
= ax + b , se definirmos an = f (n)
para todo
inteiro n ≥ 1,
então a seqüência a a , a , K é uma progressão aritmética de primeiro
termo a = f ( 1)
e razão h = a .
1
1,
2 3
Isso significa que uma progressão aritmética pode ser vista como uma função do
primeiro grau f ( x)
= ax + b cuja variável x assume somente valores inteiros
positivos.
Exemplo 24: Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são a 1 = 9 ,
a 5 e a 1.
Vamos determinar uma função do primeiro grau ) (x f y = tal que
2 =
n
3 =
f ( n)
= a para todo inteiro n ≥ 1.
Solução: O termo geral de uma progressão aritmética de primeiro termo a 1 e razão
h é an = a1
+ ( n −1)
h . No caso desse exemplo a 1 = 9 e h = a2
− a1
= 5 − 9 = −4
.
Substituindo esses valores na expressão do termo geral, obtemos
an = a + ( n −1)
h = 9 + ( n −1)
× ( −4)
= 9 − 4n
+ 4 ⇒ = −4
n + 13 . Desse modo, se
1
definirmos f ( x)
= −4x
+ 13 vemos que n a n f = ) ( para todo inteiro 1 ≥ n .
a n
23

2.5. Funções do primeiro grau são caracterizas por terem Variação Constante
Para terminar esse módulo sobre funções do primeiro grau, vamos mostrar que elas
possuem variação constante.
Então vamos começar com uma função do primeiro grau f ( x)
= ax + b , cujo gráfico é
uma reta. Vamos fixar também um número h > 0.
Assim, se a variável x passa de
um valor x 0 para o valor x 0 + h então o valor da função f passa de f ( x0
) para
f x + h)
e a função sofre um acréscimo igual a
( 0
[ a(
x + h)
+ b]
− [ a x + b]
= a x + ah + b − a x − b ah
f ( x h)
− f ( x ) =
= .
0 + 0
0
0
0
0
Como o valor de f ( x0
+ h)
− f ( x0
) = ah não depende do valor de x 0 , isso significa
que essa diferença é constante, assume sempre o mesmo valor,
independentemente do valor de x 0 . Por esse fato, dize-se que a função do primeiro
grau tem variação constante.
A figura a seguir ilustra esse fato: para quaisquer valores de 0 x e x 1 as diferenças
f ( x0
+ h)
− f ( x0
) e f ( x1
+ h)
− f ( x1)
são iguais. Aqui vale a pena observar que esse
fato também segue da congruência dos triângulos retângulos hachurados.
Então demonstramos que uma função do primeiro grau tem variação constante.
Entretanto, pode-se mostrar que vale a recíproca desse resultado, ou seja, se uma
24

função tem variação constante, então ela é uma função do primeiro grau. Desse
modo temos:
Bibliografia
As funções do primeiro grau possuem variação constante e,
reciprocamente, as únicas funções que possuem variação
constante são as funções do primeiro grau.
1. Orientação Pedagógica referente ao tópico 8, do ensino médio.
2. CBC.
25