Cuvinte cheie

1. ANALIZA DIMENSIONALĂ
1.1. MĂSURARE, TEOREMA
FUNDAMENTALĂ A UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ
Scopul fizicii este acela de a stabili legile în virtutea cărora se desfăşoară
procesele din natură. Aceste legi pot fi exprimate atât sub formă calitativă cât şi sub
formă cantitativă.
Forma calitativă a unei legi fizice – cum ar fi
� Cuvinte cheie
Mărimi fizice măsurabile
Unitate de măsură
Teorema fundamentală a
unităţilor de măsură
afirmaţia „un corp lăsat liber cade spre suprafaţa
Pământului” – este de cele mai multe ori prea vagă
pentru a avea aplicaţii practice. De aceea, este
necesară stabilirea unei forme cantitative pentru
fiecare lege a fizicii. Forma cantitativă a unei legi
a fizicii este o relaţie matematică între mărimi
fizice măsurabile. Mărimile fizice măsurabile sunt,
aşa cum le spune şi numele, acele mărimi fizice care pot fi măsurate. Iată definiţia
măsurării :
� Măsurarea unei mărimi fizice înseamnă compararea ei cantitativă
cu o mărime fizică de aceeaşi natură, aleasă ca unitate de măsură.
De exemplu, măsurarea dimensiunilor unei camere cu pasul înseamnă a stabili
de câte ori este mai mare lungimea camerei (adică lungimea fizică măsurabilă) decât
lungimea pasului (unitatea de măsură).
diferite :
Vom folosi în continuare următoarele notaţii :
A = mărimea fizică măsurabilă
= unitatea de măsură
a = valoarea numerică rezultată în urma măsurării
Între aceste mărimi există următoarea relaţie :
A
a =
A
Evident, aceeaşi mărime fizică poate fi măsurată cu două unităţi de măsură
A
a 1 = ; a2
=
A
Făcând raportul celor două valori numerice, rezultă :
1
3
A
A
2

a 1 =
a
2
Această relaţie a primit denumirea de teorema fundamentală a unităţilor de
măsură şi se enunţă astfel :
� Măsurând o mărime fizică cu două unităţi de măsură diferite,
raportul valorilor numerice obţinute este invers proporţional cu raportul
celor două unităţi de măsură, fiind independent de mărimea fizică măsurată
1.2. SISTEME DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ,
SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI DE
MĂSURĂ (SI)
� Cuvinte cheie
Formula matematică şi
formula fizica
Sistem de unităţi de măsură
Coeficienţi paraziţi
Mărimi fizice fundamentale,
respectiv derivate
Sisteme coerente de unităţi de
măsură
A
A
2
1
Forma cantitativă a unei legi fizice poate fi
exprimată în două moduri diferite :
� formula matematică, adică relaţia matematică
dintre mărimile fizice
A0 = f ( A1
, A2
..., An
)
� formula fizică, adică relaţia matematică dintre
valorile mărimilor fizice
g a , a ..., a
( )
a0 1 2 =
În general, determinarea unei legi a fizicii se
face pe cale experimentală, găsindu-se corelaţiile
între valorile mărimilor fizice care intervin. Aceste valori sunt stabilite utilizând
unităţi de măsură specifice fiecăreia dintre mărimile fizice implicate.
� Totalitatea unităţilor de măsură ataşate mărimilor fizice cunoscute
la un moment dat se numeşte sistem de unităţi de măsură.
� Dacă unităţile de măsură aparţinând unui sistem de unităţi de
măsură sunt definite în mod arbitrar atunci sistemul de unităţi de măsură se
numeşte incoerent.
Folosirea unui sistem de unităţi de măsură incoerent generează neajunsuri
în ceea ce priveşte relaţia dintre formulele fizică şi matematică ale unei legi a
fizicii. Pentru a înţelege mai bine implicaţiile utilizării sistemelor de măsură
incoerente, să examinăm următorul :
4
n

EXEMPLU
putem extrage următoarele date din Mersul Trenurilor :
km localitatea A-821 P-8013 E-28 A-829
0 Bucureşti 1:00 8:25 9:15 19:00
109 Ciulniţa 2:26 10:29 - 20:09
146 Feteşti 2:52 11:14 - 20:31
190 Medgidia 3:37 12:35 - 21:13
225 Constanţa 4:12 13:34 11:40 21:42
Reprezentând grafic distanţa parcursă în funcţie de ora trecerii prin gări,
observăm că legea de deplasare a celor patru trenuri este similară, fiind aproximativ o
funcţie liniară de timp
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
0 1 2 3 4 5 6
acc. 821
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
9 10 11 12 13 14 15
expres 28
18 19 20 21 22 23 24
acc. 829
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
0 1 2 3 4 5 6
avion 1 Mach
8 9 10 11 12 13 14
pers. 8013
Dacă convenim să notăm panta acestor drepte cu V şi s-o numim viteză, putem
scrie formula matematică corespunzătoare legii de deplasare a trenurilor sub forma :
D = V ⋅ ( T − T0
)
unde :
D = mărimea fizică distanţa parcursă
T = mărimea fizică ora de sosire
T0 = mărimea fizică ora de plecare
� mărimea fizică V este o mărime fizică măsurabilă
� am putea conveni să alegem ca unitate de măsură a mărimii V viteza sunetului
în aer, astfel încât un mobil care se deplasează cu o viteză egală cu viteza sunetului în
aer are viteza de 1 mach.
5

� experimental, putem constata că un avion zburând cu viteză egală cu cea a
sunetului ajunge la Constanţa la 11 minute după plecarea din Bucureşti.
� formula matematică a legii de deplasare a avionului are aceeaşi formă ca şi în
cazul trenurilor :
D = V ⋅ ( T − T0
)
� dacă pentru a exprima legea de mişcare a avionului am încerca să folosim o
formulă fizică asemănătoare formulei matematice, ar trebui să scriem :
dBucuresti-Constanta = vavion
⋅ ( t − t0
) avion
� înlocuind valorile numerice ar rezulta :
225 = 1 · 11
(km) (mach) (min)
� evident, această relaţie este incorectă matematic !
� de aceea, trebuie să scriem formula fizică sub forma :
d = K ⋅ v ⋅ ( t − t0
)
unde K este o constantă de proporţionalitate, denumită coeficient parazit, care
are rolul de a corecta din punct de vedere matematic formula fizică.
Rezultă :
225 = K · 1 · 11
(km) (mach) (min)
sau :
225 ⎛ km ⎞
K = ⎜ ⎟
11 ⎝ mach ⋅ min ⎠
Deci formula fizică corespunzătoare formulei matematice :
D = V ⋅ ( T − T0
)
este :
225
d = ⋅ v ⋅ ( t − t0
)
11
� Cele două moduri de exprimare ale aceleiaşi legi a fizicii sunt diferite, fapt
care reprezintă consecinţa alegerii arbitrare a celor trei unităţi de măsură folosite
(kilometru, minut şi mach).
Discrepanţa dintre formula fizică şi formula matematică nu împiedică măsurarea
vitezei trenului :
� astfel, în cazul acceleratului 821 obţinem :
225
225 = ⋅ v821
⋅ ( 4 : 12 -1
: 00 )
11
⎛ km ⎞
( km)
⎜ ⎟ ( h min)(
h min)
⎝ mach ⋅ min ⎠
sau :
6

sau :
225 km
225 821
11 mach min
⋅
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⋅ ⎠
( km)
=
192 ( min )
⋅ v
v
821
11
=
192
≅ 0,0573
( mach )
� Cu toate acestea, formele diferite ale formulei fizice şi formulei matematice
implică dificultăţi care pot fi înlăturate renunţând să mai alegem în mod arbitrar
toate unităţile de măsură
Astfel, dacă impunem condiţia ca factorul K să fie egal cu unitatea, rezultă :
225 = 1 ⋅ v ⋅11
avion
( km ) (min )
sau :
225 ⎛ km ⎞
v avion = ⎜ ⎟
11 ⎝ min ⎠
Deci coeficientul parazit dispare, cu condiţia de a măsura viteza în kilometri pe
minut.
� Mărimile fizice ale căror unităţi de măsură pot fi alese arbitrar se
numesc mărimi fizice fundamentale, iar unităţile lor de măsură unităţi de
măsură fundamentale.
� Unităţile de măsură care se exprimă în funcţie de unităţile de
măsură ale altor mărimi fizice se numesc unităţi de măsură derivate, iar
mărimile fizice corespunzătoare se numesc mărimi fizice derivate.
Concluziile sunt următoarele :
� Pentru eliminarea coeficienţilor paraziţi care apar în formula fizică a unor
legi ale fizicii, este necesar ca o parte dintre mărimile fizice folosite să fie
mărimi fizice derivate.
� Eliminând totalitatea coeficienţilor paraziţi care pot fi eliminaţi, obţinem
un sistem de unităţi de măsură având un număr minim de mărimi fizice
fundamentale. Acest sistem de unităţi de măsură se numeşte sistem de unităţi
de măsură coerent.
� Când există N mărimi fizice distincte şi n legi fizice independente pot fi
eliminaţi n coeficienţi paraziţi.
7

Obţinem în acest caz n relaţii între unităţile de măsură ale celor N mărimi fizice.
Prin urmare, numărul unităţilor de măsură fundamentale este egal cu (N - n). Notând
mărimile fizice fundamentale cu :
F1 , F2
........ FN-n
şi unităţile lor de măsură (stabilite arbitrar) cu :
F1 , F2
.......... . FN
−n
rezultă că unităţile de măsură derivate se pot exprima ca produse ale unor
anumite puteri ale unităţilor fundamentale :
A
k
=
F
1
ϕ
1k
⋅
F
2
ϕ
2k
...... F
N −n
ϕ
( N −n
)k
În istoria ştiinţei şi tehnicii s-au folosit diverse sisteme coerente de unităţi de
măsură. Utilizarea lor simultană putea duce la confuzii. De aceea prin hotărârea
Conferinţei Generale de Măsuri şi Greutăţi (Paris, 1960) s-a adoptat un sistem de
unităţi de măsură unic pe plan internaţional. Acesta poartă denumirea de Sistemul
Internaţional de Unităţi de Măsură sau, prescurtat, SI.
� Sistemul Internaţional este un sistem coerent care cuprinde şapte
mărimi fizice fundamentale, numite dimensiuni ale sistemului de unităţi.
Tabelul următor cuprinde lista mărimilor fizice fundamentale ale Sistemului
Internaţional :
Mărimea
Simbolul Unitatea de Simbolul unităţii
fizică
dimensional măsură de măsură
lungime L metru m
timp T secundă s
masă M kilogram kg
temperatură Θ kelvin K
cantitate de substanţă N kilomol kmol
intensitate a curentului
electric
I amper A
intensitate luminoasă E candelă cd
Toate cele şapte unităţi de măsură fundamentale sunt definite în mod
arbitrar (de exemplu, kelvinul este a 273,16-a parte din intervalul de temperatură
între zero absolut şi temperatura punctului triplu al apei distilate). Toate celelalte
unităţi de măsură utilizate de Sistemul Internaţional sunt unităţi de măsură
derivate (de exemplu, viteza se măsoară în metri pe secundă).
Alături de unităţile de măsură fundamentale şi derivate există şi aşa numitele
unităţi de măsură tolerate. Unităţile de măsură tolerate au rămas în uz din mai
multe motive. Astfel, unele dintre ele sunt tradiţionale (de exemplu, calul-putere : 1
CP = 735,5 W), iar altele sunt practice (de exemplu, 1 eV = 1,6⋅10 -19 J). Cu toate
acestea, utilizarea unităţilor de măsură tolerate nu este recomandată.
8

1.3. OMOGENITATEA DIMENSIONALĂ A
LEGILOR FIZICII, FORMULA DIMENSIONALĂ
� Cuvinte cheie
Condiţia de omogenitate
Formula dimensională a unei
mărimi fizice
A UNEI MĂRIMI FIZICE
Fie un de unităţi de măsură sistem coerent şi fie
F1 , F2
........ Fm
mărimile fizice fundamentale ale
acestuia. Fie de asemenea formula matematică
A0 = f ( A1
, A2
,.... An
) şi formula fizică
a0 = f ( a1
, a2
,.... an
) ale unei legi a fizicii. Deoarece
sistemul de unităţi de măsură este coerent, forma matematică a celor două formule
este identică. În această situaţie, unitatea de măsură a mărimii A0 se exprimă astfel :
f ( A1
, A2
,.... An
)
A0
=
f a , a ,.... a
( )
1
� Dar, unitatea de măsură 〈A0〉 nu poate depinde de valorile particulare a1,
a2,... an pe care le iau mărimile fizice A1, A2,.... An ! Rezultă că legea fizică
a0 = f ( a1,
a2
,.... an
) trebuie să fie o funcţie omogenă în raport cu unităţile de
măsură ale mărimilor fizice de care depinde :
f
α1 α2
αn
( A , A ,.... A ) = f ( a A , a A ,.... a A ) = A ⋅ A ...... A f ( a , a ,.... a )
1
2
n
1
1
2
2
n
n
Această cerinţă care trebuie satisfăcută de legea fizică se numeşte condiţia de
omogenitate. Dacă condiţia de omogenitate este satisfăcută, rezultă :
A
0
=
A
1
α1 ⋅
A
Pe de altă parte, unităţile de măsură derivate 〈A0〉 , 〈A1〉 ,....〈An〉 se exprimă în
funcţie de unităţile fundamentale, conform relaţiilor :
2
2
α
2
1
n
......
Ak
= F1
1k
⋅ F2
2k
...... Fm
mk
Înlocuind în relaţia rezultată din condiţia de omogenitate, obţinem :
F1
sau :
ϕ10
⋅
F
ϕ20
2
...... F
F
1
⋅
ϕ
10
F
ϕm0
m
2
⋅
ϕ
F
21
=
2
α + ϕ
1
ϕ
ϕ
An
( ) ( ) n
ϕ
α
α
11 ϕ21
ϕm1
1 ϕ1n
ϕ2n
ϕmn
F1
⋅ F2
...... Fm
.... F1
⋅ F2
...... Fm
ϕ
20
22
......
F
m
α + .... + ϕ
2
2 n
α
ϕ
n
m 0
=
......
F
F
m
ϕ
ϕ
2
α
ϕ
α + ϕ
n
α + ϕ
m1
1
m 2
n
α + .... + ϕ
1n
α
α + .... + ϕ
Deoarece unităţile de măsură 〈F0〉 , 〈F1〉 ,... 〈Fm〉 au fost definite arbitrar, relaţia
poate fi satisfăcută doar dacă exponenţii aceleiaşi unităţi de măsură valori egale în cei
doi membri ai ecuaţiei :
9
1
11
1
12
2
2
mn
n
α
⋅
n
1
2
n

⎧ϕ10
= ϕ11α1
+ ϕ12α
2 + .... + ϕ1nα
n
⎪
ϕ20
= ϕ21α1
+ ϕ22α
2 + .... + ϕ2nα
n
⎨
⎪..........
.......... .......... .......... .......... ...
⎪
⎩ϕm0
= ϕm1α1
+ ϕm2α
2 + .... + ϕmnα
n
Aceste relaţii pot fi puse sub forma matricială :
⎛ ϕ10
⎞ ⎛ ϕ11
ϕ12
.... ϕ1n
⎞ ⎛ α1
⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ϕ20
⎟ ⎜ ϕ21
ϕ22
.... ϕ2n
⎟ ⎜ α 2 ⎟
⎜ ⎟
=
⎜
⎟
⋅
.... .... .... .... .... ⎜ .... ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ϕ
m0
⎠ ⎝ϕ
m1
ϕm2
.... ϕmn
⎠ ⎝α
m ⎠
Ele sunt echivalente următoarei formulări a condiţiei de omogenitate :
� Termenii unei expresii matematice, care corespunde unei legi a
fizicii, trebuie să aibă acelaşi grad de omogenitate în raport cu fiecare
dintre unităţile de măsură fundamentale.
De exemplu, o expresie de tipul :
3
at
s =
3
unde s = spaţiul parcurs, a = acceleraţia şi t = timpul necesar, nu poate reprezenta o
lege corectă a fizicii deoarece membrul stâng are unitatea de măsură
1 0
s = m = m ⋅s
iar membrul drept unitatea
3
at
3
SI
SI
m
= ⋅s
2
s
3
= m
nefiind respectată condiţia de omogenitate (rezultă : m ⋅s
= m ⋅s
! ? )
Să presupunem acum că în cadrul unui sistem coerent de unităţi de măsură,
redefinim unităţile de măsură fundamentale, conform relaţiilor
F = K F
i
adică noua unitate de măsură este un multiplu al vechii unităţi, factorul Ki fiind doar
un coeficient numeric. În urma acestei transformări, mărimile fizice fundamentale ale
sistemului rămân aceleaşi. Condiţia de omogenitate
devine :
F
1
⋅
ϕ
10
F
2
⋅
ϕ
F
21
2
α + ϕ
1
ϕ
20
22
......
F
m
α + .... + ϕ
2
2n
α
ϕ
n
m0
i
......
10
=
i
F
F
1
m
1
ϕ
⋅s
1
1
α + ϕ
0
ϕ α + ϕ α + .... + ϕ α
11
1
m1
1
12
m2
2
1
1n
α + .... + ϕ
2
1
n
mn
α
⋅
n

K
ϕ
1
10
F
1
⋅ .... K
ϕ
m
ϕ
10
... K
ϕ
m
α + .. + ϕ
m1
1
m0
mn
α
n
F
m
m0
1n
ϕm1α1+
.. + ϕmnαn
m
ϕ10 = ϕ11α1
+ ϕ12α
2 + + ϕ1n
ϕ 10
1 =
ϕ11α1+
.. + ϕ1nα
n
K1
F
ϕ
= K
ϕ11α1+
.. + ϕ
1
α
n
F
1
ϕ α + .. + ϕ
În virtutea condiţiei de omogenitate, .... α n , rezultând :
K
În final, toţi coeficienţii numerici se simplifică, rămânându-ne :
F
1
ϕ
10
... F
m
ϕ
m 0
=
F
1
ϕ α + .. + ϕ
11
1
1n
α
n
⋅ .... F
m
ϕ
α + .. + ϕ
Deci deşi unităţile de măsură se schimbă, condiţia de omogenitate nu se
modifică ! Cu alte cuvinte,
� condiţia de omogenitate este independentă de unităţile de măsură ale
mărimilor fizice fundamentale ale sistemului de unităţi de măsură.
Deoarece condiţia de omogenitate depinde doar de alegerea mărimilor fizice
fundamentale, putem introduce noţiunea de dimensiune asociată unei mărimi fizice
fundamentale Fi , notată [Fi].
În aceste condiţii, relaţiilor între unităţile de măsură derivate şi unităţile de
măsură fundamentale :
ϕ
Ak
= F1
1k
⋅ F2
2k
...... Fm
mk
le corespund relaţii asemănătoare între dimensiunea mărimii derivate şi dimensiunile
mărimilor fundamentale :
[ ] [ ] [ ] [ ] mk
k
k ϕ1
Ak
= F1
ϕ2
ϕ
⋅ F2
...... Fm
� Acest tip de relaţie poartă numele de formulă dimensională a unei
mărimi fizice.
În funcţie de conceptul de dimensiune a mărimilor fizice, condiţia de
omogenitate se poate reformula astfel :
� Termenii unei relaţii matematice care exprimă o lege a fizicii
trebuie să aibă acelaşi grad de omogenitate în raport cu fiecare dintre
dimensiunile fundamentale ale sistemului de unităţi de măsură considerat.
De exemplu, legea :
s =
2
unde s = spaţiul parcurs, a = acceleraţia şi t = timpul necesar, poate constitui o lege a
fizicii, deoarece dimensiunile celor doi termeni ai relaţiei sunt egale :
1 0
[] s = L = L T ;
2 ⎡at
⎤ L
⎢ ⎥ = 2
⎣ 2 ⎦ T
2 1 0
⋅T
= L T
m1
1
2
at
11
ϕ
mn
α
n
ϕ
11
1
1n
α
n
⋅

1.4. METODA RAYLEIGH
Să presupunem că suntem în situaţia de a trebui să determinăm expresia exactă a
unei legi încă necunoscută fizicii, de forma
A0 = f ( A1,A2,...An
)
Există o infinitate de relaţii matematice posibile între mărimile fizice A0,A1,… An. Nu
toate aceste relaţii matematice au şi sens fizic! Pot avea sens fizic doar expresiile
care verifică condiţia de omogenitate
[ ] [ ] [ ] [ ] n
α1
α2
α
A0
= A1
A2
..... An
Ce avantaje ar putea rezulta din acest fapt ? Pentru a înţelege cum putem utiliza
condiţia de omogenitate dimensională, să examinăm în continuare un
EXEMPLU
� să considerăm că viteza v cu care atinge solul un corp lăsat liber la o înălţime h
depinde şi de masa sa m şi de acceleraţia gravitaţională g
� frecările se pot neglija
� căutăm o lege a fizicii de forma
v = f ( h, m, g )
� formulele dimensionale ale mărimilor care intervin sunt
L
L
[] v SI = ; [] h SI = L ; [ m]
SI = M ; [] g SI = 2
T
T
� conform condiţiei de omogenitate dimensională avem :
[] [ ] [ ] [ ] 3
2
1 α α α
v = h m g
sau :
3
L α1
α2
⎛ L ⎞
= L M ⎜ 2 ⎟
T ⎝ T ⎠
sau :
1 -1
0 α1
+ α3
-2α3
α2
L T M = L T M
� dimensiunile sistemului de unităţi de măsură sunt mărimi independente, ceea ce
are drept urmare faptul că exponenţii lor din membrul stâng trebuie să fie egali cu
exponenţii din membrul drept al expresiei :
⎧α1
+ α3
= 1
⎪
⎨−
2α3
= -1
⎪
⎩α
2 = 0
� soluţiile acestui sistem de ecuaţii sunt
α 1 , = 0 , = 1
1 = α
2 2 α3
2
� rezultă că relaţia de omogenitate are forma :
[] [] [ ] [ ] 2
1 0 1
v = h 2 m g
12
α

sau :
[ v ] = [ gh]
� se ştie că legea vitezei căderii libere a unui corp în câmpul gravitaţional terestru
este :
v = 2gh
comparând condiţia de omogenitate dimensională cu legea vitezei, remarcăm
asemănarea lor ! Diferenţa este dată doar de un coeficient numeric adimensional.
Concluzia pe care o sugerează acest exemplu este următoarea :
� Cel puţin în anumite cazuri, expresia matematică a unei legi a fizicii
corespunde până la unii factori numerici adimensionali cu expresia matematică a
condiţiei de omogenitate
Desigur, exemplul studiat a fost unul particular. Să vedem în continuare cum am
putea analiza aceste aspecte în cazul general. Să presupunem că suntem în căutarea
expresiei matematice concrete a unei legi a fizicii de formă implicită :
A0 = f ( A1,A2,...An
)
Condiţia de omogenitate dimensională este :
[ ] [ ] [ ] [ ] n
α1 α2
α
A0
= A1
A2
..... An
Substituind cantităţile [A0] , [A1] ..... [An] prin formulele lor dimensionale :
[ ] [ ] [ ] [ ] mi
i
i µ 1 µ 2
µ
Ai
= U1
U 2 ..... U m
ajungem la ecuaţiile :
⎧µ
10 = µ 11α1
+ µ 12α
2 + .... + µ 1nα
n
⎪
µ 20 = µ 21α1
+ µ 22α
2 + .... + µ 2nα
n
⎨
⎪..........
.......... .......... .......... .........
⎪
⎩µ
m0
= µ m1α1
+ µ m2α
2 + .... + µ mnα
n
Mărimile A0, A1,...An fiind cunoscute, exponenţii µij sunt de asemenea cunoscuţi.
Rezultă că exponenţii αj nu pot lua cu toţii valori arbitrare. În aceste condiţii există
trei situaţii posibile :
� Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este mai mare
decât numărul n al exponenţilor αj. În acest caz, sistemul de ecuaţii este incompatibil.
Sensul fizic al acestei situaţii matematice este acela că numărul mărimilor fizice
luate în considerare este prea mic, fenomenul studiat depinzând şi de alte
mărimi fizice. Legea pe care o căutăm A0 = f ( A1,A2,...An
) nu există!
� Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este egal cu
numărul n al exponenţilor αj. În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil
determinat, iar exponenţii αj sunt unic determinaţi. Sensul fizic este acela că există o
singură relaţie matematică între mărimile fizice considerate care poate să
reprezinte o lege a fizicii.
13

� Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este mai mic
decât numărul n al exponenţilor αj. În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil
nedeterminat. Dintre exponenţii αj , p se exprimă în funcţie de ceilalţi (n - p)
exponenţi, luaţi ca parametri. Sensul fizic este că există mai multe expresii
matematice compatibile cu legea fizică căutată.
� Cuvinte cheie
Ipoteza lui Rayleigh
Rayleigh şi-a propus să determine forma
concretă a legii fizice în cazurile al doilea şi al
treilea. Pentru aceasta el face următoarea afirmaţie
suplimentară :
� Ipoteza lui Rayleigh : omogenitatea în raport cu dimensiunile
mărimilor fizice este o consecinţă a omogenităţii în raport cu însăşi
mărimile fizice ce intervin în expresia unei legi fizice.
Matematic această ipoteză se poate exprima astfel :
A0
= f ( A1,A2,...An
) ⇒
α1
α2
[ A0
] = [ A1
] [ A2
] ..... [ An
] ⇒
α1
α2
αn
A0=
KA1
A2
.....An
unde K este o constantă numerică ([K] = 1 ).
În cazul al doilea, această ipoteză, împreună cu soluţiile sistemului de ecuaţii
α = α µ ,.. µ
α
1
2
= α
1
2
( 10 mn )
( µ ,.. µ )
.......... ...
mn
( µ ,.. µ )
αn
= αn
10 mn
ne permit să afirmăm că legea fizică căutată are o unică formă
α1( µ 10,.....
µ mn ) αn
( µ 10,.....
µ mn )
A0
=K A1
....... An
În cazul al treilea, în funcţie de rangul nedeterminării, (n - p), se vor introduce
parametrii λ1 , λ2 ,.... λn-p, astfel încât soluţiile sistemului de ecuaţii sunt de forma :
αi = αi
( µ 10 ,... µ mn ; λ1,
λ2
,... λn-p
)
Conform ipotezei lui Rayleigh, rezultă :
A
0
=
∑
j
K
j
A
α
1
1 j
10
( µ 10 ,..... µ mn ; λ1,
λ 2 ,..... λ n-p ) α n ( µ ,..... µ mn ; λ , λ ,..... λ n-p )
j 10
1 2
....... A
adică A0 reprezintă o sumă finită sau infinită de expresii matematice compatibile cu
legea fizică cerută, diferind una de cealaltă prin valorile parametrilor λ. Valorile
parametrilor Kj şi λ , precum şi numărul de termeni ai sumei urmează să se
stabilească pe cale experimentală.
În final, putem face următoarele observaţii asupra metodei Rayleigh :
� Reprezintă o cale lesnicioasă pentru determinarea expresiei matematice a
unor legi fizice simple, care depind de un număr redus de parametri. Mărirea
numărului de parametri fizici face metoda greu de aplicat
� Ipoteza lui Rayleigh privind omogenitatea legilor fizicii nu este valabilă în
toate cazurile şi de aceea obţinem uneori soluţii eronate sau incomplete
14
n

2. MECANICA CLASICĂ
� Cuvinte cheie
Mecanică
Cinematică
Dinamică
Statică
Mecanică analitică
2.1. INTRODUCERE
Mecanica este ştiinţa care studiază mişcările
corpurilor materiale. Acest studiu cuprinde două direcţii
esenţiale : cunoaşterea şi punerea într-o formă
matematică a legilor de mişcare, respectiv cunoaşterea
cauzelor care determină un anumit tip de mişcare.
În primul caz, vorbim despre o ramură a mecanicii
numită cinematică, iar în al doilea de o altă ramură,
numită dinamică. Dacă sistemul fizic studiat
este în echilibru mecanic, acest echilibru constituie
un caz special, explicat de legile dinamicii şi care studiat în particular este subiectul
staticii. Matematizarea şi generalizarea legilor dinamicii s-a constituit într-un capitol
special al mecanicii, denumit mecanică analitică.
� Cuvinte cheie
Spaţiu
Dimensiuni spaţiale
Timp
Proprietăţile spaţiului şi timpului
2.2. CINEMATICA
Experienţa pe care ne-am însuşit-o prin simţurile
noastre ne spune că existăm în spaţiu şi spaţiul
are trei dimensiuni. Deşi pot exista multe discuţii
referitoare la noţiunea de spaţiu, ceea ce ne interesează
aici este o abordare, simplă, pragmatică a realităţii
înconjurătoare, care să ne permită să extragem
concluzii şi legi folositoare în activitatea noastră de
fiecare zi. Prin urmare, ne vom mărgini să afirmăm
următoarele :
� Spaţiul este infinit în toate direcţiile. Spaţiul este omogen şi izotrop,
adică proprietăţile sale sunt aceleaşi în orice punct şi în orice direcţie.
Spaţiul are trei dimensiuni.
O altă percepţie a simţurilor noastre este aceea a trecerii timpului. Cu alte cuvinte,
trăim în timp. Se pot spune multe şi despre timp. Restrângându-ne la abordarea
pragmatică despre care discutam, vom afirma următoarele :
� Timpul se scurge liniar de la trecut spre viitor, uniform în spaţiu şi
independent de prezenţa corpurilor care se află în spaţiu.
15

� Cuvinte cheie
Sistem de referinţă
de repaus.
Spaţiul din jurul nostru este populat cu corpuri
materiale. Unele dintre aceste corpuri îşi modifică
poziţia în raport cu celelalte, iar altele nu. Cu late
cuvinte unele corpuri sunt mobile şi se află în stare
de mişcare, iar altele sunt imobile şi se află în stare
� Ceea ce-şi propune CINEMATICA ca ştiinţă este să studieze mişcările
şi să găsească legile după care se desfăşoară acestea.
� Legile mişcării pot fi enunţate calitativ, în cuvinte, sau cantitativ,
sub formă de expresii matematice.
Forma matematică a legilor de mişcare poate fi stabilită numai definind mărimi
fizice măsurabile, măsurându-le experimental şi găsind astfel corelaţiile căutate.
Referitor la spaţiu şi timp, se pot defini două mărimi fizice măsurabile :
� DISTANŢA
� DURATA
În Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură, distanţele se măsoară în metri,
iar duratele în secunde. Distanţa (lungimea) şi durata (timpul) sunt mărimi fizice
fundamentale ale Sistemului Internaţional de Unităţi de Măsură. Ca şi orice alte mărimi
fizice fundamentale, distanţa şi durata au unităţi de măsură stabilite arbitrar.
După ce am definit mişcarea ca modificarea poziţiei relative a corpurilor în spaţiu,
pe măsura trecerii timpului, am vorbit despre cinematică ca despre ştiinţa care
urmăreşte să stabilească forma cantitativă a legilor de mişcare, am precizat că forma
cantitativă a legilor fizicii se poate stabili numai în urma măsurătorilor experimentale
şi că măsurătorile se pot face doar având la îndemână etaloanele adecvate, mai rămâne
o singură întrebare : care sunt corpurile care nu se mişcă şi care sunt corpurile
în mişcare ? Răspunsul la această întrebare, aparent simplă, este foarte complicat !
Vom da din nou o definiţie operaţională a ceea ce înseamnă starea de mişcare. Privind
sculptura din imaginea alăturată, putem observa că indiferent unde ar fi dusă –
chiar dacă s-ar afla pe puntea unui vapor care traversează oceanul, sau într-o navetă
cosmică – distanţele între cele patru colţuri ale ei nu se modifică în timp. Putem trage
concluzia că respectivele patru colţuri formează un sistem de corpuri de referinţă,
imobile unele în raport cu celelalte. Faţă de corpul 1, corpurile 2, 3, 4 au vectorii
de poziţie r1,2, r1,3 şi r1,4.
� Matematic vorbind, aceşti trei vectori de poziţie alcătuiesc o bază
de vectori în spaţiul tridimensional. Prin operaţii matematice relativ simple
această bază poate fi transformată într-o bază de trei vectori ortonormaţi ex,
ey, şi ez care indică direcţiile şi sensurile a trei axe de coordonate carteziene.
16

x
x
�
r1,4
ez
ex
ez
ex
�
r1,2
O
O
z
z
r1,3
ey
ey
r
�
�
numere, ci mărimi fizice măsurate cu etalonul de lungime ales.
y
y
COMENTARIU
Construirea sistemului de axe de
coordonate ca şi afirmaţia că modulul
unui versor este unitar nu
presupun doar aspecte matematice
ci şi aspecte fizice. Rezultatul final
este bazat pe cunoaşterea rapoartelor
între modulele celor trei
vectori de poziţie iniţiali. De asemenea,
matematic vorbind, coordonatele
x, y şi z sunt simple numere,
incapabile să exprime prin
ele însele poziţia unui corp. De
aceea, sensul fizic al noţiunii de
sistem de axe de coordonate presupune
existenţa unui etalon de
lungime. Coordonatele x, y, z sunt
numerele care arată de câte ori se
cuprinde etalonul de lungime în
distanţele Ox, Oy sau Oz măsurate
în lungul axelor de coordonate fizice.
De altfel, chiar şi axele de
coordonate din desenul alăturat
sunt de natură fizică şi nu abstractă
(adică sunt trasate pe un suport
material, au anumite dimensiuni
spaţiale ş.a.m.d.)
Vectorul de poziţie al unui punct din
spaţiu (zis şi rază vectoare) se exprimă în
funcţie de proiecţiile ortogonale ale punctului
pe cele trei axe de coordonate (adică, pe
scurt, coordonatele punctului) şi versorii
axelor de coordonate :
r = x ex + y ey + z ez
În practică, coordonatele nu sunt simple
Cu trecerea timpului, poziţia ocupată de un corp se poate modifica în raport cu
corpurile de referinţă şi, implicit, în raport cu sistemul de coordonate.
Acestea fiind spuse, ajungem în sfârşit la ceea ce denumeam anterior o definiţie
operaţională a stării de mişcare. Potrivit acesteia, mişcarea reprezintă modificarea
în timp a poziţiei unui corp în cadrul unui sistem de referinţă.
17

Sistemul de referinţă este un concept fizic care include următoarele elemente :
� Un ansamblu de corpuri de referinţă considerate fixe
� Un sistem de axe de coordonate, ataşat corpurilor de referinţă
� Un etalon de lungime, adică o unitate de măsură a distanţelor şi un instrument
cu care se poate face măsurătoarea de lungime (riglă)
� Un etalon de timp, adică o unitate de măsură a duratelor de timp şi un instrument
cu care se poate face măsurătoarea de timp (ceas)
� Măsurarea experimentală a stării de mişcare a unui corp înseamnă
în acest context determinarea simultană a valorilor coordonatelor mobilului
şi a momentelor de timp corespunzătoare.
2.2.1. Relativitatea mişcării şi a repausului
Nu vom vorbi aici despre relativitatea percepţiilor umane, ci ne vom întreba
despre ceva mult mai concret : sunt mişcarea sau repausul noţiuni absolute sau nu ?
Dacă aş afirma
că baronul von
Münchhausen, călare
pe o ghiulea în
zbor, este în repaus,
în vreme ce
melcul se deplasează
cu o viteză
de aproximativ 30
km/s, m-aţi crede probabil la fel de „sincer” ca şi pe celebrul mincinos-baron, sau la
fel de „inteligent” ca pe melc. Cu toate acestea s-ar putea să am dreptate, fireşte omiţând
să vă fi spus ceva de la bun început. Ce ar fi trebuit să vă comunic era că atunci
când mă refeream la starea de mişcare a baronului, corpul de referinţă era ghiuleaua,
iar când pomeneam melcul, corpul de referinţă era Soarele. Cei care m-ar fi contrazis
ar fi făcut-o, fireşte, cu bună credinţă, dar se lăsau ei înşişi înşelaţi de o prejudecată,
şi anume că pământul pe care ne desfăşurăm existenţa este în repaus absolut. Prin
urmare, raţionamentul lor, bazat pe ideea (şi ea preconcepută) că o ghiulea în zbor se
mişcă faţă de pământ mai repede decât un melc, li s-ar fi părut perfect valabil. Şi, ca
să întregesc şirul de ciudăţenii din acest paragraf, vă voi mai spune că s-ar putea să
am dreptate şi atunci când, păstrând pământul ca sistem de referinţă, afirm că există
un interval de timp, chiar şi dacă este aparent mic, în care ghiuleaua se mişcă mai în-
18

cet decât melcul (de exemplu, dacă ghiuleaua este lansată vertical în sus, în punctul
de înălţime maximă pe care-l atinge ea este o clipă în repaus).
Ce concluzii trebuie să tragem din cele spuse ?
� Nu se poate vorbi în mod absolut despre starea de mişcare sau de repaus
a unui corp
� Înainte de a spune dacă un corp este în repaus sau în mişcare trebuie să
stabilim care este sistemul de referinţă faţă de care studiem evoluţia corpului
� Prin urmare, afirmăm că mişcarea sau repausul sunt noţiuni relative,
înţelegând prin aceasta că observatori aparţinând unor sisteme de referinţă diferite
pot avea percepţii diferite în ceea ce priveşte starea de mişcare a aceluiaşi
corp
2.2.2. Principalele mărimi cinematice
� Cuvinte cheie
Eveniment
Traiectorie
Lege de mişcare
În cursul mişcării sale, un corp material trece
printr-un şir de stări. Fiecare asemenea stare este caracterizată
de poziţia în raport cu sistemul de referinţă
(caracterizată de cele trei coordonate spaţiale x,
y şi z) şi prin momentul de timp t.
� Grupul format din cele trei coordonate spaţiale şi momentul de timp
corespunzător se numeşte eveniment.
� Locul geometric al tuturor punctelor din spaţiu pe care un corp le
ocupă în cursul întregii sale mişcări se numeşte traiectorie.
� O funcţie matematică care ne permite aflarea poziţiei unui corp la
un moment de timp bine stabilit se numeşte lege de mişcare.
În general, legea de mişcare se referă la vectorul de poziţie. Din acest motiv, în
cazul cel mai general, putem scrie:
⎧x
= x(
t)
⎪
r = r()
t ⇔ ⎨y
= y()
t
⎪
⎩ z = z()
t
unde x, y şi z sunt componentele vectorului de poziţie.
19

� Remarcaţi că legea de mişcare este o ecuaţie vectorială, echivalentă cu trei
ecuaţii scalare referitoare la componentele vectorului de poziţie. Acestea din
urmă se mai numesc ecuaţiile parametrice de mişcare.
� Cuvinte cheie
Viteză medie şi momentană
Acceleraţie medie şi momentană
Pentru o analiză cantitativă a mişcărilor unor
mobile diferite, este suficient să comparăm distanţele
parcurse de acestea în anumite intervale de timp
bine determinate, sau, invers, să comparăm intervalele
de timp necesare parcurgerii aceleiaşi distanţe.
� Raportul dintre distanţa parcursă de un mobil şi intervalul de timp
necesar pentru aceasta se numeşte viteză medie. Formula corespunzătoare
acestei definiţii este :
vm =
t
d
− t
d
=
∆t
2
Practica ne arată că viteza medie nu este aceeaşi pe orice porţiune de drum ! De
exemplu, dacă vă deplasaţi cu autobuzul prin oraş există porţiuni în care circulaţia este
fluentă, iar viteza medie mare, şi porţiuni în care circulaţia se desfăşoară cu greutate,
ceea ce se manifestă într-o viteză medie mică. Rezultă de aici că informaţia cuprinsă
în valoarea vitezei medii are semnificaţie numai dacă precizăm şi segmentul de
drum pe care ea a fost calculată.
� Viteza medie nu poate caracteriza starea de mişcare a unui obiect,
adică nu poate oferi o informaţie legată de un moment concret de timp !
1
Şi atunci, cum putem face distincţia dintre stările de mişcare ale corpurilor?
� Simpla precizare a coordonatelor spaţio-temporale este insuficientă, ceea ce
înseamnă că este necesară definirea unei mărimi fizice, a cărei valoare măsoară
cantitativ diferenţa dintre obiectul fix şi cel în mişcare. Această mărime fizică se
numeşte viteză momentană, sau pur şi simplu viteză.
� Deosebirea între definiţia dată vitezei medii şi aceea dată vitezei
momentane este aceea că, în cazul vitezei momentane, intervalul de timp
luat în considerare trebuie să fie cât mai scurt, astfel încât şirul de stări
prin care trece corpul să fie cât mai mic (idealizat, să se reducă doar la stări
extrem de apropiate de starea căreia i se atribuie viteza momentană).
Conform celor spuse, putem defini viteza momentană după cum urmează :
20

� Viteza momentană este mărimea fizică vectorială calculată ca raportul
dintre vectorul deplasare şi durata necesară deplasării, atunci când
durata este foarte mică, adică este prima derivată a vectorului de poziţie în
raport cu timpul. Formula corespunzătoare este :
∆r
dr
v = lim =
∆t→0
∆t
dt
sau v = r&
traiectorie r1 , t1
∆r , ∆t→0
v
r2 , t2
r , t
v
În figură se poate observa semnificaţia
geometrică a vectorului viteză. Fie starea
marcată printr-un cerculeţ, având vectorul de
poziţie r, la momentul de timp t. Pentru a determina
viteza, considerăm două momente de
timp t1 < t , t2 > t , foarte apropiate de momentul
t. Trasăm vectorii de poziţie la aceste
două momente de timp şi facem diferenţa
∆ r = r2
− r1
. Înmulţim vectorul ∆r cu scalarul
1/( t2 - t1), găsind astfel vectorul v. Vectorul
viteză este tangent la traiectorie. Ca orice alt
vector, vectorul viteză are trei componente :
dx
vx = = x&
; vy
dt
=
dy
dt
dz
= y&
; vz
= = z&
∆t
Viteza atribuită unui corp în mişcare se
poate şi ea modifica în timp. Cum măsurăm
cât de repede variază aceasta ? Este nevoie de
o nouă mărime fizică, denumită acceleraţie
momentană, sau pur şi simplu acceleraţie.
� Prin definiţie : acceleraţia momentană este mărimea fizică vectorială
calculată ca prima derivată a vectorului viteză în raport cu timpul, sau
a doua derivată a vectorului de poziţie în raport cu timpul. Formula corespunzătoare
este :
2
dv
d r
a = = sau a = v&
= &r
&
2
dt dt
Vectorul acceleraţie are, în general, trei componente :
2
dvx
d x
ax
= = = & x&
2
dt dt
;
dv 2
y d y
ay
= = = &y
&
2
dt dt
;
2
dvz
d z
az
= = = &z
& 2
dt dt
21

v1 , t1
v1 , t1
∆v, ∆t → 0
v2 , t2
Similar cu vectorul viteză,
se poate construi geometric
şi vectorul acceleraţie
(vezi figura alăturată).
� În general, vectorul
acceleraţie este orientat
sub un anumit unghi în
raport cu vectorul viteză,
iar cei doi vectori formează
un plan.
a , t
Alegând în acest plan
două axe de coordonate per-
an , t
pendiculare, una dintre ele fiind
îndreptată în sensul vitezei,
există două componente
ale acceleraţiei : acceleraţia
tangenţială, orientată paralel cu vectorul viteză, şi acceleraţia normală, orientată
perpendicular pe vectorul viteză. Evident, vectorul acceleraţie nu are şi o componentă
perpendiculară pe acest plan.
at , t
a , t
v , t
� Din cele discutate până acum reiese faptul că starea momentană a unui
corp în mişcare este caracterizată de trei mărimi fizice vectoriale : vectorul de
poziţie r, viteza v şi acceleraţia a, la care se adaugă momentul de timp t. Valorile
şi orientările celor trei mărimi vectoriale se pot modifica în timp.
� Funcţiile matematice care permit aflarea poziţiei, vitezei sau acceleraţiei
la un moment de timp dat se numesc legi de mişcare sau ecuaţii de
mişcare (legea/ecuaţia spaţiului, legea/ecuaţia vitezei, sau legea/ecuaţia
acceleraţiei).
� În principiu, dacă cunoaştem ecuaţia acceleraţiei, poziţia şi viteza iniţială ale
unui mobil, putem să determinăm atât ecuaţia vitezei, cât şi ecuaţia spaţiului.
() ( 0 ) ∫ ()
Astfel, ecuaţia vitezei se determină cu ajutorul integralei : v t = v t + a t dt ,
iar ecuaţia spaţiului cu ajutorul integralei :
22
r
() t = r(
t0
) + ∫ v()
t
t
t
0
dt
t
t
0

2.2.3. Clasificarea mişcărilor după traiectorie şi
legea de mişcare
� Clasificarea mişcărilor se poate face în două moduri :
� după forma traiectoriei
� după legea de mişcare pe traiectorie
Cea mai generală formă de traiectorie
este linia curbă.
Dacă traiectoria unui mobil este o curbă
oarecare, spunem că mobilul are o traiectorie
curbilinie
Dacă curba are forma particulară de
cerc, spunem că mobilul are o traiectorie
circulară
Dacă curba se reduce la o dreaptă, spunem
că mobilul are o traiectorie rectilinie
Clasificarea mişcărilor după forma traiectoriei
Cea mai generală mişcare este mişcarea
variată.
Într-o mişcare variată modulul vitezei se
modifică permanent în timp
Mişcarea uniform variată este mişcarea
în care modulul vitezei variază cu
ca ntităţi egale în intervale de timp egale.
Mişcarea uniformă este mişcarea în care
modulul vitezei este constant în timp.
Clasificarea mişcărilor după legea de mişcare
23
v
v
v
∆t
∆t
∆v
∆v
t
t
t

� Când vorbim despre tipul de mişcare al unui corp trebuie să furnizăm
ambele informaţii necesare : forma traiectoriei şi legea de mişcare.
Există, astfel, mişcări circulare uniforme, mişcări rectilinii uniform variate,
mişcări curbilinii variate, ş.a.m.d.
Un exemplu de tip de mişcare este mişcarea rectilinie uniform variată.
� Mişcarea rectilinie uniform variată este mişcarea care se desfăşoară
în linie dreaptă şi în care modulul vitezei variază cu cantităţi egale în
intervale de timp egale. În mişcarea rectilinie uniform variată vectorul acceleraţie
este permanent paralel cu vectorul viteză şi, implicit, cu direcţia
mişcării.
Din definiţia acceleraţiei momentane :
dv
a =
dt
putem afla viteza la momentul t :
sau :
v = v + a
0
( t − t )
0
v = v
0
O
v0
x0 , t0
a v
x , t
x
Alegând sistemul de referinţă astfel
încât traiectoria să se suprapună peste axa
Ox, obţinem situaţia din figura alăturată.
Se observă că vectorul acceleraţie poate
avea acelaşi sens ca şi vectorul viteză, dar
O
v0
x0 , t0
a
x , t
v
şi sens opus. Ecuaţia vectorială scrisă anterior
se reduce în cazul acesta la o singu-
x ră ecuaţie scalară, referitoare la componentele
vectorilor pe axa Ox:
v = v0
+ a(
t − t0
)
(nu uitaţi că valorile numerice ale mărimilor din ecuaţie sunt pozitive dacă sensul
vectorului corespunzător coincide cu sensul axei, respectiv negative în caz contrar !).
sau :
+
t
∫
t
0
adt
Ecuaţia vitezei în mişcarea uniform variată
Prin integrarea ecuaţiei vitezei, se obţine ecuaţia spaţiului :
x = x
0
x − x0
= ∫ v dt = ∫
+ v
0
t
t
0
( t − t )
0
a
+
t
t
0
[ v + a(
t − t ) ]
0
( t − t )
2
0
2
0
dt = v
0
t
t
t
0
2
at
+
2
t
t
0
− at
Ecuaţia spaţiului în mişcarea rectilinie
uniform variată
24
0
t
t
t
0

O altă ecuaţie importantă a mişcării uniform variate se poate obţine eliminând
termenul (t - t0) între ecuaţia vitezei şi ecuaţia spaţiului :
v − v0
v = v0
+ a(
t − t0
) ⇔ ( t − t0
) =
a
sau :
x = x
0
+ v
0
( t − t ) + a(
t − t )
0
1
2
2
0
⇔
2
0
x = x
0
( x )
v = v + 2a − x
⎛ v − v
+ v0
⎜
⎝ a
� Această relaţie se numeşte ecuaţia lui Galilei.
z
y’
2.2.4. Transformarea Galilei
y
z’
x
x’
v0
v
Două sisteme de
coordonate în
mişcare relativă
de translaţie uniformă.
0
0
⎞
⎟
⎠
+
1
2
⎛ v − v
a⎜
⎝ a
0
2
⎞
⎟
⎠
Fie cele două sisteme
de coordonate din fotografia
alăturată. Unul dintre ele este
legat de pământ, iar celălalt
de avion. Presupunem că
avionul se deplasează rectiliniu
şi uniform în raport cu
solul, iar viteza sa v0 este
orientată paralel cu axa Ox’.
Pe cer zboară o pasăre, cu
viteza v faţă de sol şi v’ faţă
de avion. Vectorul de poziţie
al păsării faţă de sol este r,
iar faţă de avion este r’.
Vectorul de poziţie al avionului
faţă de sistemul de referinţă
legat de sol este r0.
NE PUNEM ÎNTREBAREA : CUNOSCÂND POZIŢIA ŞI VITEZA PĂSĂRII
FAŢĂ DE UNUL DINTRE SISTEMELE DE REFERINŢĂ, PRECUM ŞI POZI-
ŢIA ŞI VITEZA UNUI SISTEM DE REFERINŢĂ FAŢĂ DE CELĂLALT, PU-
TEM OARE DETERMINA POZIŢIA ŞI VITEZA PĂSĂRII FAŢĂ DE CEL DE-
AL DOILEA SISTEM DE REFERINŢĂ ?
Mai întâi trebuie să ne reamintim că în mecanica clasică se consideră că timpul
se scurge la fel în toate sistemele de referinţă. Aceasta înseamnă intervalele de timp
măsurate în cele două sisteme de referinţă şi care se referă la acelaşi proces sunt egale
între ele : ∆t = ∆t’ ⇒ dt = dt’.
25

Relaţia dintre vectorii de poziţie este :
r r + r'
= 0
� Pentru că sistemul de referinţă mobil (avionul) este în translaţie
uniformă în raport cu sistemul de referinţă fix (solul), iar viteza sa este v0,
vectorul de poziţie r0 poate fi exprimat utilizând legea mişcării rectilinii
uniforme (r0 (i) este vectorul de poziţie al originii sistemului mobil la momentul
de timp t0) :
( i)
+ ( t − t )
r 0 = r0
v0
0
În consecinţă, relaţia între vectorii de poziţie devine :
() i
Relaţia galileană între vectorii de poziţie
r = r0
+ v0
( t − t0
) + r'
Viteza mobilului (pasărea) în sistemul de referinţă legat de sol prima derivată a
vectorului de poziţie în raport cu timpul :
( i)
dr r0
+ v0(
t − t0
) + r'
dr'
v = =
= v0
+
dt dt
dt
Deoarece dt = dt’, iar sistemul de referinţă mobil (avionul) nu se roteşte în raport
cu cel fix (solul), rezultă că dr’/dt = dr’/dt’ = v’. Obţinem astfel relaţia galileană de
compunere a vitezelor :
v = v0
+ v'
Derivând viteza în raport cu timpul, obţinem acceleraţia. Deoarece viteza v0 este
constantă derivata ei este egală cu zero. Rezultă :
dv
dv'
a = = = a'
dt dt'
� Acceleraţia unui mobil are aceeaşi valoare şi aceeaşi orientare în două
sisteme de referinţă aflate unul faţă de celălalt în mişcare de translaţie rectilinie
şi uniformă.
� Cuvinte cheie
Relaţiile de transformare a
coordonatelor ale lui Galilei
Compunerea galileană a vitezelor
Relaţia de compunere galileană a vitezelor
Cel mai simplu caz de mişcare relativă de
translaţie uniformă a două sisteme de referinţă este
acela în care momentul iniţial de timp este t0 = 0,
originile celor două sisteme de referinţă se suprapun
la momentul iniţial de timp (adică r0 (i) = 0), iar axele
de coordonate ale unui sistem de referinţă sunt paralele
cu acelea ale celuilalt referenţial (ceea ce are
drept consecinţă şi relaţia v0 = ±v0ex). În această situaţie, relaţiile între vectorii de poziţie
sau între viteze devin :
⎧x
= x'
± v0t
⎧vx
= v'
x ± v0
⎪
⎪
r = v0t
+ r'
⇔ ⎨ y = y'
, v = v0
+ v'
⇔ ⎨ vy
= v'
y
⎪
⎩ z = z'
⎪
⎩ vz
= v'
z
26

2.3. DINAMICA
2.3.1. Forţe
Măsurătorile experimentale au arătat că, la suprafaţa Pământului, în vid, acceleraţia
căderii corpurilor este aproape constantă pe toată planeta, variind uşor de la poli
spre Ecuator. Acceleraţia căderii libere a corpurilor în vid se numeşte acceleraţie
gravitaţională şi se notează cu g. La latitudinea la care se găseşte ţara noastră, ea este
: g = 9,81 m/s 2 .
∆x
∆x
� Gravitaţia terestră determină căderea uniform accelerată a
corpurilor.
Să discutăm acum o altă experienţă. Priviţi figura de mai sus. Dispunem de un
dispozitiv format dintr-un taler foarte uşor, sprijinit de un resort elastic, montat, la
rândul său, pe un stativ orizontal. Avem, de asemenea, un număr de bile de oţel identice.
Punând pe taler o bilă, observăm că resortul se scurtează cu lungimea ∆x. Adăugând
o altă bilă, resortul se mai scurtează cu ∆x şi tot aşa. Cum putem interpreta
observaţiile făcute ?
� Prima remarcă ar fi aceea că prezenţa bilelor pe taler afectează lungimea resortului.
Deci, bilele au o influenţă asupra resortului. De data aceasta influenţa nu se mai
manifestă prin accelerarea mişcării, ci prin deformare !
� În al doilea rând, constatăm că deformarea este proporţională cu numărul de bile
aşezate pe taler. Să ne imaginăm că am topi bilele şi am confecţiona cu materialul
rezultat o singură bilă. Punând-o pe taler am măsura aceeaşi deformare ca şi când pe
taler ar fi aşezate bilele iniţiale. Deci, deformarea este proporţională cu cantitatea
de material a corpului aşezat pe taler.
� În al treilea rând, să observăm că dacă am monta dispozitivul în poziţie orizontală,
nu am mai obţine nici-o deformare, iar bila ar cădea de pe taler. Deci, influenţa
bilei se manifestă doar pe direcţia şi în sensul în care ea ar cădea liber, influenţată,
la rândul ei, de Pământ.
27

Să discutăm acum şi despre bile. Fiecare dintre ele stă în repaus pe taler. De ce
bilele nu mai cad ? Nu se mai află ele sub influenţa Pământului ?
� Răspunsul cel mai simplu pe care îl putem da este că talerul nu suprimă influenţa
Pământului, dar exercită, la rândul său, o influenţă asupra bilelor, care
anulează influenţa Pământului. Putem desprinde de aici o idee fundamentală :
deşi cauzele care fac ca un corp să exercite o influenţă asupra altui corp pot fi diferite,
efectele acestor influenţe pot fi comparate ! Faptul că efectele pot fi
comparate între ele deschide calea, deosebit de importantă, a posibilităţii de a
măsura efectul influenţei pe care o are un corp asupra altuia.
� Un alt aspect important relevat de această experienţă este următorul : se observă
că bila influenţează talerul, dar şi că talerul influenţează bila. Cu alte cuvinte,
există o reciprocitate : influenţa pe care o exercită un corp A asupra
unui corp B este însoţită de un „răspuns” al corpului B asupra corpului A.
� Cuvinte cheie
Forţă
Echilibru mecanic
Condiţia de echilibru mecanic
Greutate
Masă
Inerţie
� Vom conveni să numim acum înainte,
pe scurt, „influenţa pe care un corp o
exercită asupra altui corp” şi care are
drept ca rezultat schimbarea stării de
mişcare sau deformarea acestuia din urmă
: „acţiunea unui corp asupra altui
corp”. Mărimea fizică prin care măsurăm
tăria acţiunii o vom numi forţă.
� Din cele discutate până acum, rezulta că acceleraţia sau mărimea deformării
se pot constitui în măsuri ale acţiunii exercitate de un corp asupra altui corp. De
aceea, forţa ar trebui să fie proporţională fie cu acceleraţia, fie cu mărimea deformării
:
F ∼ a
F ∼ ∆x
∆x
g
F2
F1
Să revenim la experienţa cu resortul elastic
şi bile. Remarcasem că bila de pe taler rămâne
în repaus (figura alăturată), deşi asupra
sa acţionează două corpuri : Pământul şi talerul
(alte influenţe, cum ar fi aceea a aerului,
pot fi neglijate). Spuneam despre cele două acţiuni
că se compensează reciproc, ceea ce explică
rămânerea în echilibru a bilei.
� Situaţia în care acceleraţia unui corp este nulă se numeşte stare de
echilibru mecanic.
28

Notând forţele care acţionează asupra bilei prin F1 (acţiunea Pământului) şi F2
(acţiunea talerului), afirmaţia : „cele două acţiuni se compensează reciproc, ceea ce
explică rămânerea în echilibru a bilei” se poate exprima matematic prin condiţia de
echilibru :
F1 - F2 = 0
Remarcasem că acţiunea talerului depinde de mărimea deformării resortului, dar
şi de caracteristicile resortului (un resort mai „tare” se deformează mai puţin decât
unul mai „slab”). Vom exprima matematic aceasta afirmaţie astfel :
F2 = k∆x
unde ∆x este valoarea deformării, iar k este o constantă care ia în considerare caracteristicile
resortului şi se numeşte constanta de elasticitate.
Forţa cu care Pământul acţionează asupra bilei se numeşte greutate, fiind notată
cu G (F1 = G). Efectul pe care-l produce greutatea, în absenţa altor forţe, este accelerarea
corpului asupra căruia acţionează. Prin urmare, greutatea trebuie să fie măsurată
prin acceleraţia gravitaţională, dar şi printr-o mărime caracteristică corpului, pentru
că nu toate corpurile au aceeaşi greutate. Remarcasem, de asemenea, că :
� efectul deformator al acţiunii bilei asupra resortului este proporţional cu cantitatea
de substanţă materială înglobată în bilă
� acţiunea bilei asupra talerului este rezultatul faptului că sub influenţa gravitaţiei
bila tinde să coboare
� Am putea concluziona de aici că forţa cu care bila acţionează asupra talerului
este egală numeric cu greutatea bilei şi că aceasta din urmă este proporţională cu
cantitatea de substanţă materială conţinută de bilă.
� Mărimea fizică care măsoară cantitatea de substanţă materială conţinută
de un corp se numeşte masă şi este notată cu m.
Deci greutatea bilei se poate scrie ca un produs de doi factori :
G = mg
� Cum greutatea este o forţă, putem face ipoteza că, în general, orice forţă care
are ca efect accelerarea unui corp ar trebui să fie proporţională cu produsul dintre
masa corpului şi acceleraţia imprimată acestuia :
F = ma
� În particular, în experienţa pe care o comentăm, ar fi trebuit să scriem zeroul
din membrul drept al condiţiei de echilibru astfel 0 = m⋅0 :
mg - k∆x = m⋅0
înţelegând astfel că suprapunerea a două acţiuni diferite este echivalentă unei
singure acţiuni, numită acţiune rezultantă, care produce un singur efect măsurabil
(în cazul nostru, lipsa acceleraţiei).
29

În fine, pentru a încheia discutarea experienţei cu bile şi resort elastic, să ne
amintim că am remarcat că acţiunea bilelor asupra talerului este orientată vertical, de
sus în jos. Aceasta înseamnă că forţele sunt reprezentabile prin mărimi vectoriale.
Forţa cu care talerul acţionează asupra bilei este orientată în sens opus vectorului deformare.
Prin urmare, această forţă se scrie astfel :
F2 = −k∆x
Constanta de elasticitate k este un scalar pozitiv. Greutatea este un vector îndreptat
în direcţia şi în sensul acceleraţiei gravitaţionale :
G = mg
Şi masa m este un scalar pozitiv.
Sub formă vectorială, condiţia de echilibru se scrie astfel :
G + F = 0 ⇔ m g + − k∆x
=
2
( ) 0
� Mai trebuie menţionat că, într-o reprezentare grafică, punctul de
aplicaţie al unui vector forţă trebuie să indice corpul asupra căruia acţionează
forţa.
� În relaţia : F = ma, masa joacă rolul unei mărimi care ne arată cât de dificil
este să schimbăm starea de mişcare a unui corp dat. Aceeaşi forţă va accelera
mai puţin un corp cu masă mare decât un corp cu masă mică. Din acest motiv,
spunem că în această relaţie masa este o măsură a inerţiei corpurilor. Inerţia
este definită ca fiind proprietatea corpurilor de a tinde să-şi păstreze starea de
mişcare rectilinie uniformă sau de repaus relativ.
2.3.2. Principiile dinamicii newtoniene
2.3.2.1. Principiul inerţiei
Am descris în paginile precedente o experienţă de mecanică. De asemenea, pe
baza ei, am tras nişte concluzii care par destul de raţionale şi convingătoare. Totuşi,
dacă am repeta experienţa într-o staţie cosmică orbitală, constatările noastre ar fi cu
totul altele : bilele nu ar mai cădea (ele ar fi în stare de imponderabilitate), resortul
elastic nu s-ar mai deforma, etc. În acest caz, s-ar putea motiva rezultatele prin lipsa
gravitaţiei. Din păcate pentru cel care crede asta, gravitaţia este prezentă şi în interiorul
staţiei cosmice, iar la altitudini de 100-200 km acceleraţia gravitaţională este foarte
puţin diferită de cea de la nivelul solului. În consecinţă tot eşafodajul de concluzii
pe care le-am tras iniţial s-ar prăbuşi. Ar fi un eşec pentru acela care s-a pripit să tragă
concluzii fără să repete experienţa în mai multe sisteme de referinţă, dar şi o lecţie
care sună astfel :
30

� Rezultatul unei aceleiaşi experienţe de mecanică poate depinde de sistemul
de referinţă în care este efectuată !
Acestea fiind spuse, pare imposibil să unifici toate
rezultatele experimentale într-o singură teorie. Cu
toate acestea, a fost posibil, iar acela care a reuşit
această performanţă a fost marele fizician şi matematician
englez Isaac Newton.
Să urmărim în continuare esenţa teoriei sale :
Sir Isaac Newton � În concepţia newtoniană, spaţiul şi timpul sunt
absolute. Aceasta înseamnă că ele există independent
de prezenţa sau absenţa materiei şi, în particular, a observatorului.
� În absenţa materiei, nu există motive ca un punct al spaţiului să se deosebească
de alt punct, sau ca timpul să se scurgă altfel într-o zonă a spaţiului decât în alta.
� În consecinţă, spaţiul liber este omogen şi izotrop, iar timpul este universal.
� Să presupunem acum că în Univers există un singur corp material. Evident, el
este liber de orice influenţe externe. Cum se comportă el în această situaţie ?
� Răspunsul „logic şi firesc”, pe care l-a dat Newton, este acela că el îşi păstrează
starea iniţială de mişcare, adică ori rămâne în repaus, ori se mişcă cu viteză constantă
(are o mişcare rectilinie şi uniformă).
Evident, nu putem proba prin experienţă sau teoretic această ultimă afirmaţie.
Ceea ce putem demonstra experimental este doar că în anumite sisteme de referinţă,
în condiţiile în care influenţele externe cunoscute care se exercită asupra unui
corp se anulează reciproc, corpul rămâne în repaus sau în mişcare rectilinie uniformă.
De aceea afirmaţia lui Newton trebuie tratată ca un principiu. Un principiu este o
afirmaţie considerată corectă atâta timp cât nu se prezintă dovezi experimentale care
să o contrazică. În consecinţă, vom spune că afirmaţia lui Newton reprezintă un prim
principiu la dinamicii, numit principiul inerţiei :
ÎN LIPSA ACŢIUNILOR EXTERNE, UN PUNCT MATERIAL
ÎŞI PĂSTREAZĂ STAREA DE MIŞCARE RECTILINIE UNIFORMĂ
SAU DE REPAUS RELATIV.
PRINCIPIUL INERŢIEI
31

� În enunţul principiului inerţiei se foloseşte termenul punct material,
care desemnează un corp a cărui mişcare poate fi reprezentată de mişcarea
unui singur punct al său, punct în care se consideră concentrată întreaga
sa masă. Pot fi considerate puncte materiale corpurile aflate în mişcare de
translaţie sau corpurile de dimensiuni mici în raport cu distanţele care le
separă de corpurile învecinate.
2.3.2.2. Sisteme de referinţă inerţiale şi sisteme de referinţă
neinerţiale
Veţi remarca : „Bine, să acceptăm că experienţele pe care le facem la noi în
cameră sau în laboratorul facultăţii nu par să contrazică acest principiu. Dar
cum rămâne cu cei aflaţi pe staţia orbitală ?”. Aveţi dreptate ! Pentru cei de pe staţie
acest principiu nu este valabil ! Aceasta înseamnă că există două mari clase de
sisteme de referinţă :
� sisteme de referinţă inerţiale, adică sistemele de referinţă în care este valabil
principiul inerţiei
� sisteme de referinţă neinerţiale, adică sistemele de referinţă în care nu este valabil
principiul inerţiei
TOATE CELE CE SE VOR DISCUTA ÎN CONTINUARE SE VOR REFERI DOAR LA SIS-
TEMELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE.
2.3.2.3. Principiul fundamental al dinamicii
În sistemele de referinţă inerţiale, experienţele ne arată că aplicarea unei forţe
determină schimbarea stării de mişcare a corpului asupra căruia se acţionează. Deci,
efectul forţei este unul dinamic : accelerarea corpului. Newton a ridicat la rang de
principiu aceste observaţii experimentale, enunţând astfel principiul fundamental al
dinamicii :
SUB ACŢIUNEA UNEI FORŢE EXTERNE, UNUI PUNCT MA-
TERIAL I SE IMPRIMĂ O ACCELERAŢIE AVÂND DIRECŢIA ŞI
SENSUL FORŢEI, PROPORŢIONALĂ ÎN MODUL CU MODULUL
FORŢEI ŞI INVERS PROPORŢIONALĂ CU MASA PUNCTULUI
MATERIAL :
F
F = ma
⇔ a =
m
PRINCIPIUL FUNDAMENTAL AL DINAMICII
32

2.3.2.4. Principiul acţiunii şi al reacţiunii
riglă
Să ne mai punem acum o
întrebare : putem verifica expe-
a F
rimental principiul fundamental
al mecanicii ? Dacă insistăm
F resort elastic
să-l verificăm, am putea face experienţa
ilustrată în figura alătu-
12
rată. Cu rigla măsurăm deplasa-
6
ceasornic
rea căruciorului, iar cu ceasornicul
durata necesară. Putem calcula
astfel acceleraţia. Masa căruciorului
o putem măsura separat.
Înmulţind acceleraţia cu masa, ar trebui să găsim valoarea forţei, indicată de
alungirea resortului elastic. Pare corect, dar nu este ! De ce ? Pentru că produsul
dintre masă şi acceleraţie trebuie să fie egal cu forţa care acţionează asupra corpului,
pe când forţa măsurată de resortul elastic este aceea care acţionează asupra
lui însuşi ! Se poate spune : da, dar corpul este cel care trage de resort cu forţa
măsurată, iar experienţa indică că resortul, la rândul său, răspunde şi el corpului cu o
forţă. Problema care se pune este : sunt aceste două forţe egale în modul sau nu ?
Dacă răspunsul este DA, atunci experienţa descrisă poate fi folosită pentru verificarea
principiului fundamental al dinamicii, iar în caz contrar nu.
Poate din aceste motive, generalizând unele observaţii experimentale, Newton a
socotit necesar să formuleze un al treilea principiu al mecanicii clasice, denumit
principiul acţiunii şi reacţiunii. Enunţul său este următorul :
DACĂ UN CORP ACŢIONEAZĂ ASUPRA ALTUI CORP CU O
FORŢĂ (DENUMITĂ ACŢIUNE), ATUNCI AL DOILEA RĂSPUNDE
PRIMULUI CU O FORŢĂ (NUMITĂ REACŢIUNE) EGALĂ ÎN MO-
DUL, AVÂND ACEEAŞI DIRECŢIE, DAR SENS CONTRAR.
PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI AL REACŢIUNII
Acceptând valabilitatea acestui principiu, acceptăm, implicit, posibilitatea măsurării
simultane a acceleraţiei unui corp şi a forţei care determină această acceleraţie.
Mai putem remarca faptul că acest principiu este „firesc şi logic”, în sensul în care
stabileşte un soi de „democraţie” în interrelaţia dintre două corpuri : nici unul dintre
ele nu este „avantajat”. Dar, „firesc şi logic” nu înseamnă că principiul este şi demonstrat
!
33

2.3.2.5. Principul acţiunii independente a forţelor simultane
Realitatea fizică din jurul nostru cuprinde nenumărate corpuri aflate în interacţiune.
O carte aflată pe o masă înseamnă interacţiuni între ea şi masă, între ea şi aerul
înconjurător, între ea şi Pământ, între filele ei… În aceste condiţii, este greu de crezut
că am putea găsi vreun corp asupra căruia să nu acţioneze nici-o forţă, sau, eventual,
să acţioneze o singură forţă. Dată fiind această situaţie ne mai putem pune alte două
întrebări :
� Ce se întâmplă dacă asupra unui corp acţionează simultan mai multe forţe?
� În ce măsură acţiunea unei forţe este „alterată” de acţiunea altei forţe ?
Cele trei principii ale mecanicii nu oferă răspuns acestor întrebări. De aceea, răspunsul
nu poate fi determinat decât pe cale experimentală.
În figura alăturată se poate vedea schiţa
unei experienţe care urmăreşte să clarifice
aceste aspecte. Experienţa se desfăşoară ast-
F1
fel :
� se acţionează mai întâi cu forţa F1, se-
a
parat. Se măsoară acceleraţia a1 şi se determină
direcţia ei.
� se acţionează apoi cu forţa F2, tot sepa-
F2
rat. Se determină în acelaşi mod caracteristicile
acceleraţiei a2.
� se aplică simultan forţele F1 şi F2. Se măsoară acceleraţia a şi se determină direcţia
sa.
� Concluzia experienţei este aceea că acceleraţia a este suma vectorială a
acceleraţiilor a1 şi a2.
Generalizarea acestei observaţii experimentale formează ultimul principiu al
mecanicii clasice, numit principiul acţiunii independente a forţelor simultane :
ACCELERAŢIA MIŞCĂRII UNUI PUNCT MATERIAL, SUPUS
SIMULTAN ACŢIUNII MAI MULTOR FORŢE, ESTE NUMERIC EGA-
LĂ CU SUMA VECTORIALĂ A ACCELERAŢIILOR PE CARE LE-AR
IMPRIMA FIECARE DINTRE FORŢE ACŢIONÂND SEPARAT:
1 2 = + + ...
m m
F F
a
PRINCIPIUL ACŢIUNII INDEPENDENTE A FORŢELOR SIMULTANE
34

În calcule, este mai comod să utilizăm o combinaţie între principiul fundamental
al dinamicii şi principiul acţiunii independente a forţelor simultane. Astfel, observăm
că :
F1
F2
a = + + ... ⇔ ma
= F1
+ F2
+ ...
m m
Comparând cu expresia principiului fundamental :
m a = F
rezultă că suma F1
+ F2
+ ... are semnificaţia unei unice forţe, denumită forţa rezultantă
şi notată cu R. De aceea, putem enunţa combinaţia celor două principii astfel :
� Produsul dintre masa şi acceleraţia unui punct material este numeric
egal cu forţa rezultantă care acţionează asupra punctului material :
m a = R
2.3.3. Principiul relativităţii în mecanica clasică
Am studiat într-un capitol anterior („Transformarea Galilei”) cazul a două sisteme
de referinţă care se află într-o deplasare relativă rectilinie şi uniformă unul faţă
de celălalt. O concluzie importantă care privea această situaţie era următoarea :
� Acceleraţia unui mobil are aceeaşi valoare şi aceeaşi orientare în două
sisteme de referinţă aflate unul faţă de celălalt în mişcare de translaţie rectilinie
şi uniformă.
Criteriul după care stabilim că un sistem de referinţă inerţial sau nu este respectarea
principiului inerţiei, mai precis faptul că dacă rezultanta forţelor externe care acţionează
asupra unui corp este nulă, corpul îşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi
uniformă sau de repaus relativ. Într-o asemenea stare acceleraţia mişcării corpului este
egală cu zero. Să presupunem acum că există un sistem de referinţă inerţial, în care
acceleraţia corpului este zero. Conform proprietăţilor transformării Galilei, în toate
sistemele de referinţă care se află în translaţie uniformă faţă de sistemul de referinţă
inerţial acceleraţia este de asemenea zero. Rezultă de aici că :
� Fiind dat un sistem de referinţă inerţial, toate celelalte sisteme de referinţă
aflate în translaţie uniformă faţă de acesta sunt de asemenea sisteme
de referinţă inerţiale.
Pe de altă parte, mecanica clasică, bazată pe legile lui Newton, mai postulează
implicit (postulat = teză teoretică generală care este recunoscută ca justă fără demonstraţie)
alături de proprietăţile spaţiului şi timpului şi o proprietate a masei :
35

� Masa unui corp nu depinde de sistemul de referinţă în care se află acesta
Această afirmaţie este acceptată deoarece experienţa de toate zilele nu pare să o pună
la îndoială (de exemplu, ni se pare greu de crezut că un kilogram de roşii cumpărat
din piaţă are o altă masă în tramvaiul cu care îl transportăm acasă).
� Cuvinte cheie
Principiul relativităţii
galileene
Deoarece acceleraţia şi masa unui corp au aceleaşi
valori în toate sistemele de referinţă inerţiale,
tragem concluzia că şi rezultanta forţelor externe care
acţionează asupra corpului este aceeaşi în toate
sistemele de referinţă inerţiale. Cu alte cuvinte, pen-
tru observatori inerţiali diferiţi, aceleaşi forţe produc aceleaşi efecte asupra aceluiaşi
corp. Consecinţa este că oricare ar fi sistemul inerţial din care studiem evoluţia unui
corp, legile de mişcare a corpului au aceeaşi formă matematică. Conţinutul acestor
considerente este cuprins în principiul relativităţii galileene sau principiul relativităţii
din mecanica clasică :
LEGILE MECANICII AU ACEEAŞI FORMĂ ÎN TOATE
SISTEMELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE
PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII GALILEENE
O formulare alternativă a principiului relativităţii galileene este următoarea :
� Prin nici-o experienţă de mecanică efectuată într-un sistem de
referinţă inerţial nu putem stabili dacă sistemul de referinţă este în repaus
sau în translaţie uniformă.
2.3.4. Principalele mărimi de stare în dinamică
Aşa cum discutat anterior, starea de mişcare a unui corp poate fi caracterizată de
trei mărimi de stare mai importante : raza vectoare, viteza şi acceleraţia. Dinamica ia
în considerare atât starea de mişcare a unui corp cât şi masa corpului, iar, pe de altă
parte, ia în considerare acţiunile externe care se exercită asupra corpului. Principala
relaţie de legătură dintre mărimile cinematice, masa corpului şi acţiunile externe este
conţinută de principiul fundamental al dinamicii :
F = ma
36

În relaţie, forţa este o mărime dinamică asociată acţiunii externe, masa este o mărime
dinamică asociată corpului, iar acceleraţia este mărimea cinematică asociată stării de
mişcare a corpului. Produsul dintre masă şi acceleraţie capătă semnificaţia unei mărimi
dinamice care caracterizează starea de mişcare a unui anumit corp.
� Cuvinte cheie
Cantitate de mişcare (impuls)
Energie cinetică
Moment cinetic
Cu ajutorul masei şi mărimilor cinematice se
pot construi şi alte mărimi dinamice care caracterizează
starea de mişcare a unui anumit corp.
� Prin definiţie, cantitatea de mişcare (impulsul) este mărimea fizică
vectorială numeric egală cu produsul dintre masa punctului material şi
viteza de deplasare a acestuia : p = mv. Direcţia şi sensul impulsului coincid
cu direcţia şi sensul vitezei. Impulsul se măsoară în kg⋅m/s.
� Prin definiţie, energia cinetică este mărimea fizică scalară numeric
egală cu semiprodusul dintre masa punctului material şi pătratul vitezei de
2
mv
deplasare a acestuia: Wc = . Energia cinetică se măsoară în kg⋅m
2
2 /s 2 = J
l
r
p
α
� Cuvinte cheie
Putere
Momentul forţei
� Prin definiţie, momentul cinetic este mărimea
fizică vectorială numeric egală cu produsul vectorial
dintre vectorul de poziţie al punctului material
şi impulsul acestuia : l = r×p . Direcţia vectorului
moment cinetic este perpendiculară pe planul format
de vectorul de poziţie şi vectorul impuls. Sensul
vectorului moment cinetic este dat de regula
burghiului drept. Modulul vectorului moment cinetic
este egal cu produsul între modulele razei
vectoare şi impulsului şi sinusul unghiului dintre
cei doi vectori : l = rp sinα . Momentul cinetic se
măsoară în kg⋅m 2 /s
Cu ajutorul forţei şi mărimilor cinematice se
pot construi şi alte mărimi dinamice care caracterizează
acţiunile externe ce se exercită asupra unui
corp.
� Prin definiţie, puterea este mărimea fizică scalară numeric egală cu
produsul scalar dintre vectorii forţă şi viteză : P = F⋅v. Puterea se măsoară
în kg⋅m 2 /s 3 = W. Puterea este egală cu produsul între modulele forţei şi vitezei
şi cosinusul unghiului dintre cei doi vectori : P = Fv cosα .
37

� Prin definiţie, momentul forţei este mărimea fizică vectorială numeric egală
cu produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului material şi forţa care
acţionează asupra acestuia : M = r×F. Direcţia vectorului momentul forţei este perpendiculară
pe planul format de vectorul de poziţie şi vectorul forţă. Sensul vectorului
momentul forţei este dat de regula burghiului drept. Modulul vectorului momentul
forţei este egal cu produsul între modulele razei vectoare şi forţei şi sinusul
unghiului dintre cei doi vectori : M = rF sinα . Momentul forţei se măsoară în
kg⋅m 2 /s 2 = N⋅m.
2.3.5. Teorema variaţiei impulsului
2.3.5.1. Teorema variaţiei impulsului pentru un punct material
starea 1
a
starea 2
m
t1
v1
m R
m
t2
v2
Figura alăturată vă prezintă o
schemă a procesului de accelerare a
unui corp :
� există o stare iniţială, caracterizată
de viteza v1 şi momentul de timp
t1, precum şi o stare finală, caracterizată
de viteza v2 şi momentul de timp
� în intervalul de timp (t2 - t1),
asupra corpului acţionează forţa rezultantă
R(t), imprimându-i la fiecare
moment de timp o acceleraţia a(t).
Conform principiului al doilea al mecanicii, putem scrie :
m a = R
Acceleraţia fiind prima derivată a vitezei în raport cu timpul, relaţia se poate pune şi
sub forma următoare :
dv
m = R
dt
Masa fiind constantă, putem scrie :
dv
d(
mv)
dp
m = =
dt dt dt
Rezultă :
dp
=
dt
R
t2
Teorema variaţiei impulsului pentru un
punct material. Forma diferenţială.
38

� Viteza de variaţie a impulsului unui punct material este numeric
egală cu rezultanta forţelor externe care acţionează asupra sa.
Relaţia diferenţială poate fi pusă şi sub forma :
dp = Rdt
Rezultanta forţelor externe este în general o funcţie de timp. Relaţia anterioară se
poate integra, rezultând :
sau :
∆ p = H
1 , 2 1,
2
p
2
− p
1
=
t2
∫
t1
R
() t
dt
Teorema variaţiei impulsului pentru un
punct material. Forma integrală.
Enunţul teoremei este următorul :
� Variaţia impulsului (cantităţii de mişcare) unui punct material
în cursul unui proces este numeric egală cu impulsul forţei (impulsul)
dezvoltat de forţa rezultantă care acţionează asupra punctului material
în cursul procesului.
t2
()
� Factorul H = R t dt reprezintă o mărime dinamică de proces,
1,
2
∫
t1
denumită impulsul forţei (dacă p = impuls) sau impuls (dacă p = cantitate
de mişcare). Unitatea de măsură a impulsului forţei este kg⋅m/s = N⋅s.
2.3.5.2. Teorema variaţiei impulsului pentru un sistem de puncte
materiale
Fe1
F2,1 F1,2
Fe2
Să luăm în discuţie cel mai simplu
sistem de puncte materiale : cel din figura
alăturată. Asupra punctelor materiale
ce alcătuiesc sistemul acţionează
forţele externe Fe1, respectiv Fe2. Între
cele două puncte materiale se exercită
forţele interne de interacţiune F1,2, respectiv F2,1. Fiecăruia dintre cele două puncte
materiale care alcătuiesc sistemul i se poate aplica teorema variaţiei impulsului :
p
12
21
− p
− p
1
21
=
=
t2
∫
t1
t2
Adunând cele două relaţii, obţinem :
p
∫
t1
R
R
1
2
t2
t2
() t dt = ∫F2
, 1()
t dt + ∫Fe
1()
t
t1
t2
t1
t2
() t dt = ∫F1
, 2()
t dt + ∫Fe
2()
t
t1
39
t1
dt
dt

2
( p + p ) − ( p + p ) = R () + R () t
12
22
1
21
t
2
2
∫ ( 1 t 1 ) dt = ∫(
F2,
1()
t + F1,
2()
t ) dt + ∫(
Fe1()
t + Fe2
() t )
t1
Ce comentarii putem face ?
� Mai întâi, forţele F1,2 şi F2,1 au calitatea de a fi în relaţia acţiune-reacţiune, fiind
egale în modul, având aceeaşi direcţie şi sensuri opuse. Deci F1,2 + F2,1 = 0.
� Suma vectorială Fe1 + Fe2 reprezintă rezultanta forţelor externe care acţionează
asupra sistemului de puncte materiale : Re.
� Suma vectorială p1 + p2 este o mărime de stare care caracterizează sistemul de
puncte materiale, pe care convenim s-o numim impulsul total al sistemului de
puncte materiale şi s-o notăm cu p.
Ţinând cont de aceste comentarii, rezultă :
p
2
− p
1
=
Relaţia mai poate fi scrisă şi sub forma următoare, fiind valabilă pentru un sistem
format din orice număr de puncte materiale :
e H p = ∆
t2
∫
t1
t
t1
R
e
() t
dt
Teorema variaţiei impulsului unui sistem de puncte
materiale. Forma integrală.
� În cursul unui proces, variaţia impulsului unui sistem de puncte materiale
este numeric egală cu impulsul forţei rezultante externe care acţionează
asupra sistemului de puncte materiale pe durata procesului.
Teorema variaţiei impulsului unui sistem de puncte materiale poate fi scrisă şi sub
forma diferenţială :
Teorema variaţiei impulsului unui sistem de punc-
dp
= Re
te materiale. Forma integrală.
dt
Enunţul teoremei este :
� Viteza de variaţie a impulsului total al unui sistem de puncte
materiale este numeric egală cu rezultanta forţelor externe care acţionează
asupra sistemului.
� În cazul particular în care sistemul de puncte materiale este izolat de exterior,
rezultanta forţelor externe este nulă. Rezultă că şi viteza de variaţie a impulsului
total al sistemului este nulă. Prin urmare, impulsul total al sistemului de puncte
materiale este constant în timp. Obţinem în acest caz o formă particulară a teoremei
variaţiei impulsului, numită : teorema conservării impulsului, şi care se
enunţă după cum urmează :
40
t
t1
dt

� Impulsul total al unui sistem de puncte materiale izolat de exterior
este constant în timp.
2.3.6. Teorema variaţiei energiei cinetice
2.3.6.1. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un punct material
Să considerăm un punct material care se mişcă accelerat sub acţiunea unei forţe
rezultante externe F. Acceleraţia şi forţa sunt legate prin principiul fundamental al dinamicii
:
dv
F = ma
⇒ F = m
dt
Putem înmulţi scalar expresia cu vectorul viteză :
2
2
dv
1 ⎛ dv
dv
⎞ 1 d(
v ⋅ v)
1 d(
v ) d ⎛ mv ⎞
F ⋅ v = mv
⋅ ⇒ F ⋅ v = m⎜
v ⋅ + ⋅ v⎟
= m = m =
⎜
⎟
dt
2 ⎝ dt dt ⎠ 2 dt 2 dt dt ⎝ 2 ⎠
Deoarece factorul mv 2 /2 reprezintă energia cinetică Wc, iar factorul F⋅v este puterea,
putem scrie :
dWc =
dt
P
Teorema variaţiei energiei cinetice pentru
un punct material. Forma diferenţială.
Enunţul teoremei este :
� Viteza de variaţie a energiei cinetice a unui punct material este
numeric egală cu puterea dezvoltată de forţa rezultantă care acţionează
asupra punctului material.
Pornind de la relaţia :
2
d ⎛ mv ⎞ dWc
F ⋅ v = =
dt ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ dt
şi ţinând cont că viteza este prima derivată a vectorului de poziţie în raport cu timpul,
mai putem scrie :
dr
dWc
F ⋅ = ⇒ F ⋅ dr
= dWc
dt dt
Integrând pe traiectoria urmată de punctul material, obţinem :
sau :
( B)
∫
( A)
∆ W = L
c,
AB
( B)
F ⋅ dr = ∫ dWc
= Wc,
B − W
AB
( A)
c,
A
Teorema variaţiei energiei cinetice pentru
un punct material. Forma diferenţială.
41

Enunţul teoremei este :
� În cursul unui proces, variaţia energiei cinetice a unui punct
material este numeric egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă
care acţionează asupra sa în cursul procesului.
( B)
� Factorul LAB = ∫F ⋅ dr
reprezintă o mărime dinamică de proces,
( A)
denumită lucru mecanic. Unitatea de măsură a lucrului mecanic este
kg⋅m 2 /s 2 = J.
2.3.6.2. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un sistem de
puncte materiale
Fe1
F2,1 F1,2
Fe2
Să luăm în discuţie cel mai simplu
sistem de puncte materiale : cel din figura
alăturată. Asupra punctelor materiale
ce alcătuiesc sistemul acţionează
forţele externe Fe1, respectiv Fe2. Între
cele două puncte materiale se exercită
forţele interne de interacţiune F1,2, respectiv F2,1. Fiecăruia dintre cele două puncte
materiale care alcătuiesc sistemul i se poate aplica teorema variaţiei energiei cinetice:
W
W
( B)
( A)
( F + F )
− W = ∫ ⋅ dr
= L
+ L
c 1 , B c1,
A e1
2,
1
Fe1
, AB F2
, 1,
AB
( B)
( A)
Adunând cele două relaţii, obţinem :
W + W − W + W
( F + F )
− W = ∫ ⋅ dr
= L
+ L
c 2 , B c2,
A e2
2,
1
Fe
2 , AB F1
, 2 , AB
( ) ( ) = ( L + L ) + ( L + L )
c 1 , B c2,
B c1,
A c2,
A Fe1
, AB Fe1
, AB F1
, 2 , AB F2
, 1,
AB
� Suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor materiale care alcătuiesc
un sistem este o mărime de stare a sistemului de puncte materiale şi se
numeşte energia cinetică totală a sistemului de puncte materiale, sau, pe
scurt, energia cinetică a sistemului. Ea se poate nota simplu prin Wc.
� Sumând lucrul mecanic făcut de toate forţele externe care acţionează
asupra componentelor sistemului de puncte materiale, obţinem lucrul
mecanic extern total Lext, total. Sumând lucrul mecanic făcut de toate forţele
interne cu care interacţionează componentele sistemului de puncte materiale,
obţinem lucrul mecanic intern total Lint, total.
42

Utilizând definiţia anterioară, ultima relaţie se poate scrie după cum urmează :
∆ W = L = L + L
c
total
int, total
ext,
total
� În cursul unui proces, variaţia energiei cinetice totale a unui sistem
de puncte materiale este numeric egală cu lucrul mecanic total
efectuat de toate forţele care acţionează asupra tuturor punctelor materiale,
indiferent că ele reprezintă interacţiuni interne sau interacţiuni
cu corpuri din exteriorul sistemului.
2.3.7. Forţe conservative, energie potenţială
LA1B
(1)
(2)
F(r)
dr
r + dr
LA2B
(3)
LA3B
Să presupunem că un punct material se deplasează
între punctele A şi B, aflate într-un
câmp de forţe. În acest câmp de forţe, intensitatea
şi orientarea forţei pot varia de la un punct la
altul, pot depinde de viteza punctului material
sau de momentul de timp. Cu alte cuvinte, forţa
care acţionează asupra punctului material depinde
de poziţia acestuia, de viteză şi de momentul
de timp : F = F(r, v, t). În aceste condiţii,
lucrul mecanic efectuat la deplasarea din A
A r
O
în B, LAB = ∫F ⋅ dr
, poate depinde atât de forma
( A)
traiectoriei cât şi de legea de mişcare pe traiectorie.
Acesta este şi motivul pentru care lucrul
mecanic este considerat mărime de proces (adică depinde de modul concret în care se
desfăşoară procesul deplasării din A în B).
B
Teorema variaţiei energiei cinetice a unui sistem
de puncte materiale. Forma integrală
În acest context, întâlnim o categorie specială de câmpuri de forţe, şi anume
câmpurile de forţe conservative.
� Forţele conservative sunt acele forţe care se bucură de proprietatea
că lucrul mecanic pe care îl fac nu depinde nici de forma traiectoriei, nici
de modul de deplasare pe traiectorie. Lucrul lor mecanic depinde doar de
poziţiile iniţială şi finală ale punctului material asupra căruia acţionează.
Dacă analizaţi cu atenţie definiţia anterioară, nu se poate să nu puneţi întrebarea
: poziţii faţă de ce sau de cine ? Ca să răspundem la întrebare, să
ne amintim că orice forţă reală este manifestarea interacţiunii între două
corpuri materiale. Deci poziţiile iniţială şi finală ale punctului material ar
trebui raportate la corpul sau la sistemul de corpuri cu care interacţionează.
43
( B)

h
dh
hB
A hA
α
dr
G
180° - α
L
G , AB
B
( h )
B
( h )
EXEMPLU
Fie un corp care se deplasează în plan vertical
pe o traiectorie oarecare şi cu viteză variabilă
între punctele A şi B. Să calculăm lucrul
mecanic al forţei de greutate. Conform formulei
de calcul a lucrului mecanic, putem scrie :
( B)
LG , AB = ∫G ⋅ dr
( A)
Produsul scalar G⋅dr este egal cu produsul modulelor
celor doi vectori prin cosinusul unghiului
dintre ei : G dr cos(180° - α) = -G dr cos α.
Examinând schiţa alăturată, observăm că produsul
dintre dr şi cos α este egal cu proiecţia segmentului
dr pe axa h : dr cos α = dh. Rezultă :
= ∫ − G dh = −mgh
A
B
+ mgh
Se poate observa că rezultatul nu depinde nici de forma traiectoriei, nici de modul în
care s-a deplasat corpul pe traiectorie. Lucrul mecanic depinde doar de înălţimile la
care se află punctul de plecare şi cel de sosire. Prin urmare, forţa de greutate este o
forţă conservativă.
� Avantajul pe care îl aduc forţele conservative este acela că fiecăreia
dintre ele îi corespunde un tip de energie potenţială.
� Energia potenţială este definită prin următoarea relaţie :
W − W = −L
⇔ ∆W
= −L
p,
B
p,
A
conservativ,
AB
p,
AB
A
conservativ,
AB
În cursul unui proces, variaţia de energie potenţială asociată unei
anumite forţe conservative este numeric egală cu lucrul mecanic efectuat
de respectiva forţă în cursul procesului, luat cu semn schimbat.
� Fiecărui tip de energie potenţială îi corespunde o formulă de calcul.
Avantajul care rezultă de aici este acela că lucrul mecanic al unei forţe conservative
nu se mai calculează prin integrare directă, ci doar ca diferenţa
valorilor obţinute cu ajutorul formulei de calcul.
Conform definiţiei anterioare, în exemplul studiat mai sus, rezultă că
− W = mgh − mgh ⇒ W − mgh = W − mgh ; ∀A,
B . Deoarece
Wp , B p,
A B A
p,
B B p,
A A
relaţia este adevărată oricare ar fi punctele A şi B, tragem concluzia că fiecare membru
al egalităţii este o constantă : − mgh = const ⇒ W ( h)
= mgh + const . Prin
Wp p
operaţia numită etalonare, atribuim o anumită valoare energiei potenţiale într-un
anumit punct de referinţă. Luând ca referinţă nivelul h = 0 şi atribuind valoarea zero
energiei potenţiale la acest nivel (Wp(0) = 0) facem ca valoarea constantei să fie nulă,
44

astfel încât în final expresia energiei potenţiale a forţei de greutate capătă expresia:
h = .
W p
( ) mgh
Energia potenţială nu poate fi atribuită unui singur punct material. Energia
potenţială poate fi definită doar în sisteme de corpuri care interacţionează
prin forţe conservative. De exemplu, energia potenţială gravitaţională
este energia sistemului format din punctul material considerat şi
Pământ. Din acest punct de vedere, energia potenţială este o energie de
configuraţie a unui sistem de corpuri care interacţionează prin forţe conservative.
Fiecărei configuraţii posibile a sistemului îi corespunde o valoare
a energiei potenţiale. Dacă configuraţia sistemului se modifică în cursul
unui proces, forţele conservative fac lucru mecanic, iar variaţia energiei potenţiale
a sistemului este egală cu acest lucru mecanic luat cu semn schimbat.
Energia potenţială este o mărime de stare a sistemului fizic.
2.3.7.1. Relaţia între forţă şi energia potenţială
În general, lucrul mecanic are expresia :
( B)
LAB = ∫F ⋅ dr
În cazul unui câmp de forţe conservative, expresia lucrului mecanic este :
L
AB
= −
( A)
( W − W )
p,
B
p,
A
= −
( B)
∫
( A)
dW
Deci în cazul câmpurilor de forţe conservative există relaţia :
( B)
∫
( A)
dW
p
( B)
= − ∫F
⋅ dr
( A)
∀A,
B
Energia potenţială este o funcţie doar de poziţia pe care o ocupă corpul de probă :
Wp
= Wp
( r ) = Wp
( x,
y,
z)
⇒
∂Wp
∂Wp
∂Wp
dWp
( x,
y,
z)
= dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
Pe de altă parte, produsul scalar dintre forţă şi vectorul deplasare se poate explicita în
modul următor :
F ⋅ r = F e + F e + F e ⋅ e dx + e dy + e dz = F dx + F dy + F
( ) ( ) dz
d x x y y z z x y z x y z
Înlocuind în relaţia integrală, obţinem :
( B)
⎡⎛
∂W
p ⎞ ⎛ ∂W
p ⎞ ⎛ ∂W
p ⎞ ⎤
∫ ⎢ ⎜ + Fx
⎟
⎟dx
+ ⎜ + Fy
⎟
⎟dy
+ ⎜ + Fz
⎟
⎟dz⎥
= 0
( ) ⎣⎝
∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂z
A
⎠ ⎦
∀A,
B
� Pentru că această relaţia este satisfăcută oricare ar drumul de integrare, rezultă
că integrandul trebuie să fie nul, ceea ce atrage după sine următoarele egalităţi:
∂Wp
Fx
= −
∂x
;
∂Wp
Fy
= −
∂y
;
∂Wp
Fz
= −
∂z
45
p

În aceste condiţii, vectorul forţă se poate exprima în modul următor :
⎛ ∂Wp
∂Wp
∂Wp
⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
F = Fxe x + Fye
y + Fze
z = −⎜e
x + e y + ez
⎟ = −⎜e
x + e y + ez
⎟W ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
Pe scurt această relaţie se scrie sub forma :
F = −∇Wp
Într-un câmp de forţe conservative, forţa care acţionează asupra
corpului de probă este numeric egală cu gradientul energiei potenţiale
2.3.8. Teorema variaţiei energiei mecanice pentru
un sistem de puncte materiale
Există sisteme de puncte materiale în care se manifestă acţiunea unor forţe interne
conservative.
� Dacă în cadrul interacţiunilor care se exercită între componentele
unui sistem de puncte materiale există şi forţe conservative, lucrul mecanic
total intern are două componente : lucrul forţelor conservative şi lucrul forţelor
neconservative :
L = L
+ L
int, total
int, total,
conservativ
int, total,
neconservativ
Ştim deja că lucrul forţelor conservative este legat de variaţia energiei potenţiale a
sistemului :
L = −∆W
int, total , conservativ
Folosind observaţia de mai sus şi revenind la expresia matematică a teoremei variaţiei
energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale, putem scrie :
∆ W = −∆W
+ L
+ L
c
p
int, total , neconservativ
p
ext,
total
Atât energia cinetică, cât şi energia potenţială sunt mărimi de stare, astfel încât, în
procesul de modificare a stării sistemului de la A la B, se poate scrie :
W − W = −W
+ W + L
+ L
sau :
c,
B
c,
A
p,
B
p,
A
int, total , neconservativ
ext , total
( W c,
A + Wp
, B ) − ( Wc,
A + Wp
, B ) = Lint,
total , neconservativ
+ Lext
, total
� Convenim să numim suma dintre energia cinetică şi energia potenţială
ale unui sistem de puncte materiale energie mecanică şi s-o notăm
prin W (W = Wc + Wp).
46
p

Prin urmare, obţinem :
∆ W = L
+ L
int, total,
neconservativ
ext,
total
� În cursul unui proces, variaţia energiei mecanice a unui sistem
de puncte materiale este numeric egală cu lucrul mecanic total efectuat
de toate forţele interne neconservative, la care se adună lucrul mecanic
al tuturor forţelor care reprezintă interacţiuni cu corpuri din exteriorul
sistemului.
� În cazul particular în care sistemul de puncte materiale este izolat de exterior,
lucrul mecanic al forţelor externe este nul. Dacă între corpurile din sistem nu se
exercită forţe neconservative, lucrul mecanic total intern conservativ este de
asemenea nul. Rezultă că variaţia energiei mecanice a sistemului este şi ea nulă.
Prin urmare, energia mecanică a sistemului de puncte materiale este constantă în
timp. Obţinem în acest caz o formă particulară a teoremei variaţiei energiei mecanice,
numită : teorema conservării energiei mecanice, şi care se enunţă după
cum urmează :
� Energia mecanică a unui sistem de puncte materiale izolat de
exterior şi în care nu există forţe neconservative este constantă în timp.
2.3.9. Teorema variaţiei momentului cinetic
2.3.9.1. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un punct
material
O
r
F
v
Teorema variaţiei energiei mecanice a unui
sistem de puncte materiale
Fie un punct material, care, la un moment
dat, se deplasează cu viteza v şi se află
sub acţiunea unei forţe F. Poziţia punctului
material se raportează la punctul fix O (pe care-l
vom numi pol) prin vectorul de poziţie r.
Fireşte, în aceste condiţii, este valabil principiul
fundamental al dinamicii :
dv
ma = R()
t ⇔ m = R()
t
dt
47

Putem înmulţi vectorial fiecare membru al acestei egalităţi cu vectorul de poziţie:
dv
mr × = r × R()
t
dt
Remarcăm că membrul drept al ecuaţiei este momentul forţei rezultante în raport cu
polul ales : M. Membrul stâng al ecuaţiei se poate prelucra după cum urmează :
dv
⎡ d dr
⎤ ⎡ d
⎤ d
mr
× = m
⎢ ( r × v)
− × v
⎥
= m⎢
( r × v)
− v{
× v⎥
= m ( r × v)
dt ⎣dt
dt ⎦ ⎢⎣
dt
0 ⎥⎦
dt
Masa fiind constantă, mai putem scrie (l este momentul cinetic al punctului material):
dv
d d dl
mr
× = ( r × mv)
= ( r × p)
=
dt dt dt dt
Înlocuind în ecuaţie, rezultă :
dl
=
dt
M
Enunţul teoremei este :
Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un
punct material. Forma diferenţială.
� În raport cu un anumit pol, viteza de variaţie a momentului cinetic
al unui punct material este numeric egală cu momentul forţei rezultante
care acţionează asupra sa.
Mai putem scrie :
Relaţia se poate integra, obţinându-se :
l
2
− l
1
=
t
2
∫
t
1
M
() t dt ⇒ ∆l1,
2 = ∫M()
t
t
t
2
1
dl = M(
t)dt
dt
Teorema variaţiei momentului cinetic pentru
un punct material. Forma integrală.
� În cursul unui proces şi în raport cu un anumit pol, variaţia momentului
cinetic al unui punct material este numeric egală cu integrala momentului
forţei în raport timpul.
� Trebuie remarcat că integrala momentului forţei în raport timpul este o mărime
de proces la fel cum sunt impulsul forţei şi lucrul mecanic.
48

2.3.9.2. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un sistem
de puncte materiale
Fe1
r1
F2,1 F1,2
r2 - r1
O (pol)
r2
Cele două relaţii se pot aduna :
d(
l1
+ l2
)
= r1
× F
dt
Ce comentarii putem face ?
Fe2
e1
+ r
2
× F
Să luăm în discuţie cel mai simplu
sistem de puncte materiale : cel din figura
alăturată. Asupra punctelor materiale
ce alcătuiesc sistemul acţionează
forţele externe Fe1, respectiv Fe2. Între
cele două puncte materiale se exercită
forţele interne de interacţiune F1,2, respectiv
F2,1. Fiecăruia dintre cele două
puncte materiale care alcătuiesc sistemul
i se poate aplica teorema momentului
cinetic :
e2
dl1
= M
dt
dl2
= M
dt
+ r × F
1
Fe1
Fe
2
2,
1
+ M
+ M
+ r
2
F2
, 1
F1
, 2
× F
= r × F
1,
2
1
= r
2
e1
× F
e2
+ r × F
� Mai întâi, forţele F1,2 şi F2,1 au calitatea de a fi în relaţia acţiune-reacţiune, fiind
egale în modul, având aceeaşi direcţie şi sensuri opuse. Deci F1,2 = - F2,1.
r × F + r × F reprezintă rezultanta momentelor forţelor
� Suma vectorială 1 e1
2 e2
externe care acţionează asupra sistemului de puncte materiale : Me.
� Suma vectorială l1 + l2 este o mărime de stare care caracterizează sistemul de
puncte materiale, pe care convenim s-o numim momentul cinetic total al sistemului
de puncte materiale şi s-o notăm cu l.
Relaţia de mai sus devine :
dl
= Me
+ ( r2
− r1
) × F1,
2
dt
Vectorii (r2 – r1) şi F1,2 au direcţii paralele şi produsul lor vectorial ( r 2 − r1
) × F1,
2 este
egal cu zero. Ne rămâne :
dl = M
dt
e
1
+ r
2
2,
1
× F
Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un
sistem de puncte materiale. Forma diferenţială.
49
1,
2

Enunţul teoremei este :
� În raport cu un anumit pol, viteza de variaţie a momentului cinetic
total al unui sistem de puncte materiale este numeric egală cu rezultanta
momentelor forţelor externe care acţionează asupra componentelor
sistemului.
Sub formă integrală, obţinem :
∆ = l
t
2
∫
t
1
M
e dt
Teorema variaţiei momentului cinetic al unui sistem
de puncte materiale. Forma integrală.
� În cursul unui proces şi în raport cu un pol dat, variaţia momentului
cinetic total al unui sistem de puncte materiale este numeric
egală cu integrala în raport cu timpul a momentului rezultant al forţelor
externe care acţionează asupra punctelor materiale ce constituie
sistemul.
50

3. MECANICA RELATIVISTĂ
3.1. EXPERIENŢA LUI MICHELSON ŞI
MORLEY
În secolul al XIX-lea, au avut o largă răspândire teoriile legate de eter. Ce este
acest eter ? Fizicienii acelor vremuri considerau că lumina este un fenomen ondulatoriu,
de natură nemecanică. Ştiindu-se că undele mecanice nu se pot propaga în absenţa
unui mediu elastic, s-a făcut ipoteza că nici propagarea luminii nu poate fi concepută
fără existenţa unui mediu „elastic” specific, care a fost denumit eter. Acest
eter ar fi trebuit să ocupe întreg spaţiul cosmic, oferind posibilitatea ca lumina să călătorească
de la stelele cele mai îndepărtate până la noi. Stelele, planetele şi alte corpuri
cosmice s-ar fi deplasat în interiorul unui „ocean” de eter ! Măsurătorile experimentale
arătau că viteza luminii în raport cu eterul are o valoare de aproape
300000 km/s. Faţă de o planetă oarecare, cum ar fi Pământul, viteza luminii ar fi
trebuit să aibă o valoare care să depindă de viteza cu care acesta se deplasează
în raport cu eterul. Prin urmare, o experienţă în care s-ar fi măsurat viteza luminii
faţă de Pământ ar fi oferit informaţii asupra vitezei cu care Pământul se deplasează
faţă de eter ! În concluzie :
� Printr-o experienţă desfăşurată în afara cadrului mecanicii s-ar fi putut
pune în evidenţă starea de mişcare a Pământului în raport cu eterul.
� Considerând eterul imobil, printr-o experienţă de optică exista posibilitatea
de a măsura viteza absolută a Pământului.
Michelson şi Morley, doi fizicieni americani, au conceput o modalitate practică
de măsurare a vitezei Pământului faţă de eter. Montajul experimental consta dintr-o
sursă de lumină monocromatică, trei oglinzi (dintre care una semitransparentă) şi un
dispozitiv interferenţial. Oglinda semitransparentă avea rolul de a scinda raza de lumină
incidentă în alte două raze care să se propage pe direcţii perpendiculare între
ele. Una dintre direcţii coincide cu direcţia de deplasării Pământului. Pe cele două direcţii,
la distanţe egale faţă de oglinda semitransparentă, se află situate celelalte două
oglinzi, care au rolul de a inversa direcţia de propagare a luminii. În acest mod, cele
două raze de lumină se reîntâlnesc în dreptul dispozitivului interferenţial. Studiul
franjelor de interferenţă rezultate permite măsurarea decalajului de timp apărut la
propagarea celor două raze de lumină. Decalajul de timp depinde de viteza Pământului
faţă de eter, iar cunoaşterea valorii sale permite calcularea acestei viteze.
51

Viteza Pă-
mântului
Oglindă
Sursă de
lumină
Oglindă semitransparentă
v'y1 v'y2
Interferenţă
Înainte de a face calculele
legate de experienţa lui
Michelson şi Morley, să facem
o listă a mărimilor fizice
cunoscute cu certitudine
de către experimentatori:
� viteza luminii faţă de
eter c
� distanţele l'x şi l'y parcurse
de razele de lumină
faţă de Pământ
� diferenţa τ'x - τ'y dintre
intervalele de timp necesare
propagării celor două
raze de lumină, măsurată pe
Pământ
� Observăm că există o anumită nepotrivire : viteza luminii este cunoscută doar
în raport cu eterul, pe când toate celelalte date sunt cunoscute doar în raport cu
Pământul.
În mod analog, există o listă de mărimi care nu sunt cunoscute cu certitudine :
� vitezele de propagare ale luminii faţă de Pământ : v'x1, v'x2, v'y1 şi v'y2
� distanţele de propagare lx şi ly în raport cu eterul, respectiv diferenţa intervalelor
de timp τx - τy aşa cum ar fi măsurată din eter
Vom face un calcul care să reflecte punctul de vedere al observatorului aflat
în repaus faţă de eter. Pentru acesta, propagarea razei de lumină paralelă cu direcţia
de deplasare a Pământului corespunde următoarei schiţe :
Analizând schiţa, determinăm relaţiile :
lx
cτx1
uτx2
l'x
v'x1
v'x2
Oglindă
Experienţa
Michelson şi Morley
uτx1
lx
lx
cτx2
52
l'y
u
Poziţia oglinzilor la
momentul iniţial
Poziţia oglinzilor la
momentul τx1
Poziţia oglinzilor la
momentul τx1+τx2
Drumul razelor de
lumină
Viteza Pământului

cτ
x1
= lx
+ uτ
x1
⇒
lx
τ x1
=
c − u
uτ
x2
+ cτ
x2
= lx
⇒
lx
τ x2
=
c + u
Intervalul de timp necesar propagării razei paralele cu direcţia de deplasare a Pământului
este :
lx lx
2clx
τ x = τ x1
+ τ x2
= + = 2 2
c − u c + u c − u
Iată acum schiţa drumului celeilalte raze de lumină :
Poziţia oglinzilor la
momentul iniţial
ly
cτy1
Poziţia oglinzilor la
momentul τy1
uτy1
cτy2
uτy2
Poziţia oglinzilor la
momentul τy1+τy2
Conform schiţei şi utilizând teorema lui Pitagora, obţinem :
2 2
2
y
( cτ
y1,
2 ) = l y + ( uτ
y1,
2 ) ⇒ τ y1
= τ y2
=
2 2
u
Drumul razelor de
lumină
Viteza Pământului
c − u
Intervalul de timp necesar propagării razei perpendiculare pe direcţia de deplasare
a Pământului este :
τ y = τ y1
+ τ y2
=
2l
y
2 2
c − u
Prin urmare, diferenţa intervalelor de timp de propagare este :
2clx
τ x − τ y = 2 2
c − u
−
2l
y
2 2
c − u
=
⎛
⎜
2 ⎜
2 2 ⎜
c − u ⎜
⎝
lx
2
u
1−
2
c
⎞
⎟
⎟
− l y ⎟
⎟
⎠
Acceptând afirmaţiile mecanicii clasice, după care aceleaşi intervalele de
timp sau distanţe măsurate de observatori inerţiali diferiţi au valori egale, putem
introduce în această expresie valorile rezultate prin măsurătoarea făcută pe
Pământ :
53
l

⎛
⎞
⎜
⎟
2 ⎜ l'
x ⎟
τ' x −τ'
y = ⎜ − l'
y
2
2 ⎟
u
− ⎜ u
c 1
⎟
⎜ 1−
2
2 ⎟
c ⎝ c ⎠
Pentru că razele de lumină parcurg distanţe de egale în dispozitivul experimental
Michelson şi Morley, rezultă :
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2l'
⎜ 1 ⎟ 1 ⎜ 1 ⎟ c(
τ'
x −τ'
y )
τ ' x −τ'
y =
1
1
2 ⎜ −
2 ⎟ ⇒
2 ⎜ − =
2 ⎟
u u
u u 2l'
c 1−
⎜ 1 ⎟ 1−
⎜ 1 ⎟
2 ⎜ − 2 ⎟
2 ⎜ − 2 ⎟
c ⎝ c ⎠ c ⎝ c ⎠
Această ultimă relaţie face posibilă calcularea vitezei Pământului faţă de eter, în funcţie
de valorile măsurate ale decalajului temporal τ'x - τ'y şi parcursului razelor de lumină
l' şi de viteza luminii în eter c.
Care a fost rezultatul experienţei ? Ei bine, a fost
SENZAŢIONAL ! Măsurătorile au arătat cu certitudine, în limitele
unor erori experimentale extrem de mici, că DECALAJUL
TEMPORAL ÎNTRE CELE DOUĂ RAZE DE LUMINĂ NU EXISTĂ!
Mai precis
τ'x - τ'y = 0
În acest caz, utilizând formula de calcul găsită anterior, rezultă
:
2
u
1− = 1 ⇒ u = 0
2
c
Cu alte cuvinte, PĂMÂNTUL NU SE DEPLASEAZĂ ÎN RAPORT
CU ETERUL !!! Evident, UN ASEMENEA REZULTAT NU PUTEA
FI ACCEPTAT ! Nu se poate crede că tocmai Pământul este
singurul corp în repaus absolut din tot Universul !
Ce demonstrează aceste fapte ? Putem trage două concluzii :
� Nici printr-o experienţă de optică nu se poate pune în evidenţă starea absolută
de mişcare rectilinie uniformă sau de repaus a unui corp
� Afirmaţia că „aceleaşi intervalele de timp sau distanţe măsurate de observatori
inerţiali diferiţi au valori egale” ar putea fi greşită ! Această afirmaţie
este consecinţa transformărilor Galilei ceea ce înseamnă că ele pot fi
eronate.
Ultima dintre concluzii este deosebit de importantă pentru că pune la îndoială întreaga
mecanică clasică şi, odată cu ea, toate aserţiunile despre spaţiu şi timp care se
acceptau ca fiind certe (!?).
54

3.2. TRANSFORMĂRILE DE COORDONATE
ŞI TIMP LORENTZ – EINSTEIN
3.2.1. Consideraţii introductive
„Bănuiala” că transformările Galilei nu sunt corecte ne face să reconsiderăm
modul în care se transformă coordonatele şi timpul la schimbarea sistemului de referinţă.
Vom considera în cele ce urmează că există două sisteme de referinţă inerţiale :
� primul dintre ele este considerat în repaus
� al doilea se deplasează faţă de primul rectiliniu şi uniform cu viteza u
� axele de coordonate ale celor două sisteme de referinţă sunt paralele
� viteza u este paralelă cu axa Ox a primului sistem de referinţă şi orientată în
sensul pozitiv al acesteia
Situaţia descrisă este reprezentată în
y'
y
schiţa alăturată. Un eveniment corespunde
y = y' pentru observatorul O coordonatelor spaţio-
t t'
temporale (x, y, z, t), iar pentru observatorul
din O' coordonatelor spaţio-temporale (x', y',
O' u
x' z', t').
O
În continuare, urmează să stabilim relaţii-
x le dintre coordonatele spaţio-temporale care
z = z'
corespund aceluiaşi eveniment pentru cei doi
z'
observatori.
� Mai întâi, vom observa că datorită paralelismului
axelor de coordonate, coordonatele
pe axele Oy şi O'y', respectiv Oz şi O'z', sunt egale :
y = y'
z = z'
� Pentru că unui eveniment înregistrat în sistemul de referinţă O poate să-i corespundă
doar un singur eveniment înregistrat în sistemul de referinţă O', rezultă că relaţiile
după care se transformă celelalte două coordonate trebuie să fie lineare :
x = αx'
+ βt'+
ε
t = γx'
+ δt'+
ϕ
unde α, β, γ, δ, ε şi ϕ sunt coeficienţi reali, constanţi, care pot să depindă doar de viteza
relativă u a celor două sisteme de referinţă.
� vom face convenţia că la momentul iniţial de timp originile celor două sisteme
de referinţă coincid. Aceasta înseamnă că :
55

⎧x
= 0 ⎧x'
= 0
⎨ ⇔ ⎨
⎩t
= 0 ⎩t'
= 0
Înlocuind în relaţiile care dau transformarea de coordonate, rezultă :
ε = 0
ϕ = 0
Ne rămân relaţiile :
x = αx'
+ βt'
t = γx'
+ δt'
3.2.2. Aplicarea principiului relativităţii
� Cuvinte cheie
Principiul relativităţii restrânse.
Principiul relativităţii galileene afirma că prin
nici-o experienţă de mecanică nu putem pune în evidenţă
starea de mişcare absolută a unui sistem de referinţă
inerţial. Experienţa lui Michelson şi Morley a
arătat că nici printr-o experienţă de optică acest lucru
nu este posibil. Albert Einstein (1879-1955) a fost
acela care, luând act de această realitate, a văzut în rezultatul experienţei lui
Michelson şi Morley manifestarea unui principiu al fizicii, numit principiul relativităţii
restrânse. Conform acestuia :
LEGILE FIZICII AU ACEEAŞI FORMĂ ÎN TOATE SISTE-
MELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE.
PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII RESTRÂNSE
� Principiul relativităţii restrânse fiind un principiu general al fizicii trebuie să
fie respectat şi în cazul transformărilor de coordonate şi de timp.
O
y
x1 = u t1
O'
y'
x1' = 0
t1'
x1
t1
u
x
Vom examina în continuare consecinţele
sale în privinţa acestor transformări.
� să considerăm evenimentul 1 care pentru
observatorul din O' are loc la momentul t'1
chiar în originea O' (adică în punctul de coor-
donată x'1 = 0).
� acest eveniment are pentru observatorul
din O coordonatele x1 şi t1
56

� deoarece la momentul iniţial originile sistemelor de referinţă coincid, la momentul
t1 originea sistemului O' trebuie să ocupe poziţia :
x 1 = ut1
� introducând aceste valori în relaţiile de transformare :
x = αx'
+ βt'
Rezultă :
t = γx'
+ δt'
y y'
t1
= δt'1
� să considerăm acum evenimentul 2 care
pentru observatorul din O are loc la momentul
-u'
x'2
t'2
O'
O
x2 = 0
x'
x
t2 chiar în originea O (adică în punctul de coordonată
x2 = 0).
� acest eveniment are pentru observatorul
din O coordonatele x'2 şi t'2
� deoarece la momentul iniţial originile
sistemelor de referinţă coincid, la momentul
t2
t'2 originea sistemului O trebuie să ocupe po-
x'2 = -u't'2
ziţia :
− x'2 = −u'
t'2
(viteza şi coordonata x'2 sunt negative pentru
că, relativ la observatorul O', mişcarea are loc în sens contrar).
� introducând aceste valori în relaţiile de transformare, obţinem :
0 = α − u'
t'
+ βt'
( 2 ) 2
( − u'
t'2
) + δt'2
ut
1
= βt'
t2
= γ
� este momentul să folosim principiul relativităţii restrânse :
� Nici-un observator nu este îndreptăţit să afirme că viteza cu care el îl vede
deplasându-se pe celălalt observator este mai mare decât viteza de deplasare pe
care i-ar atribui-o lui celălalt observator
u = u'
� Dacă evenimentele 1 şi 2 corespund aceleiaşi stări în care se află sistemele de
referinţă, nici-un observator nu este îndreptăţit să afirme că intervalul de timp în
care el îl vede deplasându-se pe celălalt observator este mai mare decât intervalul
de timp de deplasare pe care i l-ar atribui lui celălalt observator
t = t'
� Avem în acest moment şapte relaţii :
t
1
2
2
= t'
57
1
1

⎧ut1
= βt'1
⎪
⎪
t1
= δ t'1
⎪0
= α(
− u'
t'2
) + βt'
⎪
⎨t2
= γ(
− u'
t'2
) + δ t'
⎪u
= u'
⎪
⎪t1
= t'2
⎪
⎩t2
= t'1
Eliminând u', t'1 şi t'2, ne rămâne :
⎧ut1
= βt2
⎪
t1
= δ t2
⎨
⎪0
= −αut1
+ βt1
⎪
⎩t2
= −γut1
+ δ t1
Eliminând şi pe t1, obţinem :
⎧uδ
t2
= βt2
⎪
⎨0
= δ ( − αu
+ β)
t2
⎪
⎩t2
= δ ( − γu
+ δ)
t2
Momentul de timp t2 fiind arbitrar, rezultă :
β = αu
δ = α
α −1
γ =
αu
Relaţiile de transformare ale coordonatei x şi momentului de timp t devin :
x = α x'
+ ut'
2
( )
2 ⎛ α −1
⎞
t = α
⎜
⎜t'
+ x'
⎟
2
⎝ α u ⎠
� Să presupunem că viteza relativă are o valoare foarte mică : u → 0. În aceste
condiţii, factorul
2
α −1
2
α u
trebuie să se anuleze pentru că t → t’.
A) O primă soluţie ar fi chiar :
2
α −1
= 0 ⇒ α = 1
2
α u
În acest caz se obţin transformările de coordonate ale lui Galilei :
x = x'
+ ut'
t = t'
58
2
2

� Se observă că alegerea α = 1 corespunde afirmaţiei din mecanica clasică precum
că timpul se scurge la fel pentru toţi observatorii inerţiali. Această afirmaţie
are putere de principiu al mecanicii clasice, fiind cunoscută sub numele de principiul
simultaneităţii.
B) A doua soluţie, cea pe care o căutăm ca alternativă la transformările
Galilei, este :
( ) 2
2
2
α −1
u
=
α u ξ u
unde ξ(u) 2 este o funcţie pozitivă de viteza u, finită în u = 0. Rezultă :
( )
( ) 2
2
2 2 u
α −1
= α 2
ξ u
⇒ α =
1
2
u
1−
ξ u
Transformările de coordonate capătă forma finală :
x =
x'
+ ut'
2
u
1 −
ξ u
t =
t'
u
+
ξ
( u)
( ) 2
2
u
1−
ξ
2
x'
( ) 2
u
� Aceste relaţii au următoarea proprietate :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x − ξ(
u)
t = x'
−ξ(
u)
t'
⇒ x − x'
= ξ(
u)
( t − t'
)
� Considerând şi un al treilea sistem de referinţă inerţial care se deplasează tot paralel
cu axa Ox, cu viteza U, putem scrie :
2 2 2 2 2
x − x"
= ζ(
U ) ( t − t"
)
� Scăzând cele două relaţii, se obţine :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x' − x"
= ( ζ(
U ) − ξ(
u)
) t + ξ(
u)
t'
−ζ(
U ) t"
Cum rezultatul nu poate depinde de t, rezultă :
ξ( u ) = ζ(
U ) = C = constantă universală
Rezultă :
1
α =
2
u
1 − 2
C
astfel încât transformările de coordonate capătă forma finală :
59

x =
x'
+ ut'
u
1 −
C
2
2
u
t'+
x'
2
t = C
2
u
1− 2
C
� Extrem de interesant este faptul că principiul relativităţii relevă existenţa unei
constante fizice universale, cu dimensiuni de viteză : C.
� Caracterul universal al constantei C ne arată că toţi observatorii inerţiali dispun
de acelaşi etalon de determinare a lungimilor prin măsurători de timp !
3.2.3. Principiul invarianţei vitezei luminii în vid
Să ne reamintim relaţia care oferă diferenţa dintre intervalele de timp necesare
razelor de lumină pentru a parcurge drumurile dus-întors în dispozitivul Michelson :
⎛
⎞
⎜
⎟
2 ⎜ lx
⎟
τ x − τ y = ⎜ − l
2 2
2
y ⎟
c − u ⎜ u ⎟
⎜ 1−
2 ⎟
⎝ c ⎠
unde τx şi τy sunt intervalele de timp măsurate de observatorul din eter, iar lx şi ly sunt
distanţele între oglinzi măsurate de acelaşi observator. Notând cu t0 momentul plecă-
rii razelor de lumină şi cu tx, respectiv ty, momentele reîntoarcerii lor, putem scrie :
− τ = t − t − t − t = t − t
( x ) ( y ) x y
τ x y
0
0
Pentru a determina valoarea acestei expresii, trebuie să ne bazăm pe rezultatele obţinute
de observatorul de pe Pământ. Acesta are coordonata x' şi măsoară timpii t'x şi
t'y. Necunoscând încă valoarea coeficientului α, putem scrie :
2
2
⎛ α −1
⎞ ⎛ α −1
⎞
t x − t y = α
⎜
⎜t'
x + x'
− α t'
y x'
= α(
t'
x −t'
y ) = α(
τ'
x −τ'
y
u
⎟
⎜ +
u
⎟
)
2
2
⎝ α ⎠ ⎝ α ⎠
Intervalele de timp τ'x şi τ'y măsurate pe Pământ sunt egale (τ'x - τ'y = 0) concluzia
acestor relaţii fiind că intervalele de timp τx şi τy sunt egale şi pentru observatorul din
eter. În aceste condiţii, rezultă :
u
lx = l y 1− 2
c
deci pentru observatorul din eter distanţele dintre oglinzi nu sunt egale, chiar
dacă aceste distanţe sunt egale pentru observatorul de pe Pământ ! Distanţa lx reprezintă
diferenţa dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcţia de mişcare a Pământului
x + lx şi oglinzii semitransparente x, măsurate la acelaşi moment de timp t de
observatorul din eter. Distanţa l'x reprezintă diferenţa dintre coordonatele oglinzii
aflate pe direcţia de mişcare a Pământului x' + l'x şi oglinzii semitransparente x', mă-
60
2

surate de observatorul de pe Pământ. Momentul de timp t corespunde momentelor de
timp t'1 în cazul oglinzii semitransparente, respectiv t'2 în cazul celeilalte oglinzi. Rezultă
relaţiile :
( ) ⎟ x = α x'
+ ut'1
,
2 ⎛ α −1
⎞
t = α
⎜
⎜t'1
+ x'
2
⎝ α u ⎠
( ) ⎟ x + lx
= α x'
+ l'
x + ut'2
De aici obţinem :
,
2
2
⎛ α −1
α −1
⎞
t = α
⎜
⎜t'
2 + x'
+ l'
2
2 x
⎝ α u α u ⎠
= αl'
+ αu
t'
−t'
lx x
( )
α −1
t'2 − t'1
= − l'
2 x
α u
sau :
2
α −1
1
lx
= αl'
x − l'
x = l'
x
α α
Distanţa ly reprezintă diferenţa dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcţia perpendiculară
direcţiei de mişcare a Pământului y + ly şi oglinzii semitransparente y, măsurate
de observatorul din eter. Distanţa l'y reprezintă diferenţa dintre coordonatele
oglinzii aflate pe direcţia perpendiculară direcţiei de mişcare a Pământului y' + l'y şi
oglinzii semitransparente y', măsurate de observatorul de pe Pământ. Rezultă relaţiile
y = y'
y + l = y'
+ l'
sau :
Relaţia
devine
y
l =
y
lx = l y
1
l' x = l'
y
α
iar cum l'x şi l'y sunt egale, rezultă :
α =
1
u
1−
c
2
2
⇒
1
u
1 −
C
l'
2
y
2
u
1− c
2
2
2
2
y
u
1−
c
=
2
2
1
1
u
1 −
c
2
2
⇒
C = c
� Constanta universală cu dimensiune de viteză C este egală chiar cu viteza
luminii în eter c.
61

Înlocuind constanta C prin viteza luminii, relaţiile de transformare ale coordonatelor
devin :
x'
+ ut'
x =
2
u
1−
2
c
y = y'
Grupul de transformări de coordonate
z = z'
Lorentz-Einstein
t =
u
t'+
x'
2
c
2
u
1−
2
c
� Cuvinte cheie
Transformările de coordonate
Lorentz-Einstein
Principiul invarianţei vitezei
luminii în vid
� Aceste relaţii sunt cunoscute sub
numele de grupul de transformări de coordonate
Lorentz-Einstein.
� Prima remarcă care se poate face în legătură cu
transformările de coordonate Lorentz-Einstein este
aceea că, spre deosebire de mecanica clasică, timpul nu se mai scurge la fel pentru
cei doi observatori inerţiali. În consecinţă principiul simultaneităţii nu mai este va-
labil şi ar trebui înlocuit printr-un alt principiu.
� A doua remarcă este aceea că transformările de coordonate ale lui Galilei reprezintă
o aproximare a transformărilor de coordonate Lorentz-Einstein, valabilă în condiţiile
în care u/c → 0.
Este momentul unui ultim cuvânt despre eter. Această noţiune a fost des amintită
în paginile anterioare. Am folosit-o doar din raţiuni istorice, pentru că toată discuţia
de la începutul secolului al XX-lea care a condus la formularea teoriei relativităţii
restrânse s-a centrat în jurul ei. În realitate, eterul nu există. Nu este nevoie de niciun
mediu special care să permită propagarea luminii prin spaţiul cosmic. Descoperirea
ecuaţiilor lui Maxwell şi, pe baza lor, a ecuaţiei propagării undelor electromagnetice
au condus la concluzia că lumina este o undă electromagnetică şi se poate propaga
în vid, adică într-un spaţiu care nu conţine substanţă. Mai mult, sensul fizic care se
poate atribui transformărilor de coordonate Lorentz-Einstein este acela că ele au proprietatea
de a face invariantă ecuaţia undelor electromagnetice la schimbarea sistemului
de referinţă inerţial. „Viteza luminii faţă de eter” despre care se vorbea reprezintă
de fapt viteza luminii în vid.
Einstein a fost acela care analizând experienţa lui Michelson şi Morley a remarcat
primul că viteza luminii în vid ar trebui să fie o constantă universală având aceeaşi
valoare pentru toţi observatorii inerţiali. Astfel, el impune un nou principiu, me-
62

nit să înlocuiască principiul simultaneităţii. Acest nou principiu se numeşte : principiul
invarianţei vitezei luminii în vid.
VITEZA LUMINII ÎN VID ARE ACEEAŞI VALOARE PEN-
TRU TOŢI OBSERVATORII INERŢIALI.
PRINCIPIUL INVARIANŢEI VITEZEI LUMINII ÎN VID
� Astfel, dacă mecanica clasică este fondată pe principiul relativităţii
galileene şi pe principiul simultaneităţii, mecanica relativistă este fondată pe
principiul relativităţii restrânse şi pe principiul invarianţei vitezei luminii în
vid.
3.3. CONSECINŢE CINEMATICE ALE
TRANSFORMĂRILOR LORENTZ-EINSTEIN
O
y
O'
y'
u
3.3.1. Contracţia lungimilor
x1'
x2'
t1' t2'
x1 x2
t t
x
Fie observatorii inerţiali O şi O'. Observatorul
O' se deplasează cu viteza constantă u, orientată
paralel cu axele Ox, respectiv O'x'. În referenţialul
O' se află o bară imobilă, de lungime
l'x = x'2
− x'1
Ne punem întrebarea: ce lungime are bara
pentru observatorul O ?
� Pentru a determina lungimea barei,
observatorul O trebuie să cunoască la
acelaşi moment de timp coordonatele extremităţilor
barei.
Stabilirea celor două coordonate formează un cuplu de evenimente: (x1, t), respectiv
(x2, t). Celor două evenimente din referenţialul O le corespund evenimentele
(x'1, t'1) şi (x'2, t'2) în referenţialul O'. Conform relaţiilor de transformare de coordonate
Lorentz-Einstein, putem scrie :
63

x'1
+ ut'1
x1
=
2
u
1−
2
c
,
u
t'1+
x'
2 1
t =
c
2
u
1−
2
c
x'
2 + ut'2
x2
=
2
u
1−
2
c
,
u
t'2
+ x'
2 2
t =
c
2
u
1−
2
c
Lungimea barei faţă de observatorul O este :
x'
2 − x'1
+ u(
t'2
−t'1
)
lx = x2
− x1
=
2
u
1− 2
c
Egalând ecuaţiile de transformare ale timpului, rezultă :
u
t'1+ 2
c
u
x'1
= t'2
+ 2
c
x'
2 ⇒
u
t'2
−t'1
= − ( x'
2 − x'1
)
2
c
Substituind diferenţa momentelor de timp în ecuaţia lungimii barei, obţinem :
2
u
( x'
2 − x'1
) − ( x'
2 − x'1
)
2
l
c
x = x2
− x1
=
= ( x'
2 − x'1
)
2
u
1−
2
c
sau :
2
u
1−
2
c
� Cuvinte cheie
Contracţia lungimilor paralele
cu direcţia de mişcare
mea l'x.
u
lx = l'
x 1− 2
c
Deoarece radicalul din această expresie este subunitar,
rezultă că lungimea lx este mai mică decât lungi-
În concluzie :
� Măsurarea lungimii segmentelor de dreaptă paralele cu direcţia deplasării
relative oferă întotdeauna valori mai mici observatorului aflat în mişcare faţă de
ele decât observatorului aflat în repaus.
Cu definiţia :
� Sistemul de referinţă propriu este sistemul de referinţă în care
corpul studiat este în repaus,
putem enunţa această consecinţă a relaţiilor de transformare ale coordonatelor şi astfel
:
64
2

� Lungimile longitudinale au valori maxime în sistemul de referinţă propriu.
Această micşorare a lungimilor longitudinale este cunoscută şi sub numele de
contracţia Lorentz. Acest nume se datorează faptului că fizicianul H. A. Lorentz a
încercat să explice rezultatul experienţei lui Michelson şi Morley ca fiind consecinţa
apariţiei unei contracţii a lungimilor pe direcţia de mişcare a Pământului.
Dacă bara ar fi aşezată paralel cu axa Oy
y y'
(sau Oz) atunci lungimea măsurată de obser-
y2 t y2' t2'
vatorul O este :
l y = y 2 − y1
y1 t y1' t1'
Utilizând relaţiile de transformare ale coordo-
O
O'
u
x
natelor, obţinem :
sau :
În concluzie :
� Lungimile transversale îşi păstrează valoarea în toate sistemele de referinţă
inerţiale.
Concluzia finală este că :
� Spre deosebire de mecanica clasică, din cauza contracţiei Lorentz, distanţa
dintre două puncte nu este invariantă la schimbarea referenţialului.
l y
=
y
y'
l =
3.3.2. Dilatarea timpului
y y' y'
Fie observatorii inerţiali O
şi O'. Observatorul O' se deplasează
cu viteza constantă u, orientată
O
O'
x'
t1'
x1
u O'
x'
t2'
x2
u
x
paralel cu axele Ox, respectiv O'x'.
În referenţialul O', într-un punct de
coordonată x', se desfăşoară un
proces fizic care începe la momentul
t'1 şi sfârşeşte la momentul t'2.
t1
t2
Evenimentele corespunzătoare în
sistemul de referinţă O sunt (x1, t1)
şi (x2, t2). Conform relaţiilor de transformare ale coordonatelor, putem scrie :
65
2
l'
−y'
y
1

u
t'1+
x'
2
t
c
1 =
2
u
1− 2
c
u
t'2
+ x'
2
t
c
2 =
2
u
1− 2
c
Durata procesului pentru observatorul din O este τ = t2 - t1, iar durata aceluiaşi proces
are valoarea τ' = t'2 - t'1 pentru observatorul din O'. Rezultă :
� Cuvinte cheie
Dilatarea timpului
τ = t
2
− t
1
=
t'
2
−t'
1
u
1−
c
2
2
=
τ'
u
1−
c
2
2
Deoarece radicalul din această expresie este subunitar,
rezultă că durata τ este mai mare decât durata τ'.
În concluzie :
� Măsurarea duratelor unor procese fizice oferă întotdeauna valori mai mari
observatorului aflat în mişcare decât observatorului aflat în repaus în raport cu
locul în care se desfăşoară procesul.
Utilizând noţiunea de sistem de referinţă propriu, putem enunţa această consecinţă a
relaţiilor de transformare ale coordonatelor şi astfel :
� Duratele măsurate în sistemul propriu de referinţă sunt întotdeauna mai
mici decât duratele corespunzătoare măsurate într-un sistem de referinţă inerţial
aflat în mişcare.
Putem spune că duratele „se dilată” pentru observatorul aflat în mişcare, ceea ce
vine din nou în contradicţie cu mecanica clasică.
3.3.3. Compunerea relativistă a vitezelor
� Cuvinte cheie
Compunerea vitezelor în mecanica
relativistă
Fie observatorii inerţiali O şi O'. Observatorul
O' se deplasează cu viteza constantă u, orientată paralel
cu axele Ox, respectiv O'x'. În referenţialul O'
se găseşte un mobil care se deplasează cu viteza v'
faţă de observatorul din O'. Acelaşi mobil are faţă de
66

observatorul din O viteza v. Ne propunem să găsim relaţiile între componentele vitezei
în cele două sisteme de referinţă. Putem scrie :
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ x'
+ ut'
⎟
d⎜
2 ⎟
⎜ u
1 ⎟
dx'
u
dx
⎜ − 2 ⎟
+
c dx'
+ u dt'
v
dt'
x = =
⎝ ⎠
= =
dt ⎛ u ⎞ u u dx'
⎜
dt'+
dx'
1+
t'+
x'
⎟
2
2
⎜ 2 c c dt'
d
c ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ u
1 ⎟
⎜ − 2 ⎟
⎝ c ⎠
Deci :
v'
x + u
vx
=
uv'
x
1+
2
c
De asemenea :
sau :
Analog :
v y
=
dy
dt
( y'
)
d
=
⎛
⎜ u
t'+
⎜ 2
d
c
⎜
⎜ u
⎜ 1−
⎝ c
v
y
x'
2
2
2
u
dy'
1−
2
=
c
⎞ u
⎟ dt'+
dx'
2
⎟ c
⎟
⎟
⎠
=
u
v'
y 1−
c
uv'
x
1+
2
c
u
v'
z 1−
2
v
c
z =
uv'
x
1+
2
c
Pătratul modulului vitezei se poate calcula astfel :
v
2
= v
2
x
+ v
2
y
+ v
2
z
( v'
+ u)
2
2
2
=
2 2 ( v'
+ v'
)
2
dx'
dt'
u
1−
2
c
u
1+
2
c
dx'
dt'
⎛ u
⎜
⎜1−
2 y z 2
x
⎝ c
+ 2
2
uv'
x ⎞ ⎛ uv'
x ⎞
1 ⎟ ⎜1+
⎟ 2
2
c ⎝ c ⎠
=
⎛
⎜ +
⎝
67
⎠
2
⎞
⎟
⎠

Putem prelucra expresia astfel :
2
2
2
2 2 ⎛ u ⎞ 2 ⎛ u ⎞
v'
2
⎜
⎜1
1
2 ⎟
⎜
2 ⎟
x + v'
x u + u −v'
x − v'
−
2
⎝ c ⎠
+
⎝ c
v =
⎠
2
2
⎛ uv'
x ⎞
⎛ uv'
x ⎞
⎜1+
⎟
⎜1+
⎟
2
2
⎝ c ⎠
⎝ c ⎠
2 2
2
2 2
u v'
2 ⎛ u ⎞ 2⎛
u v'
2v'
u ⎞
2
2
x
2
1 ⎜ x x
+ v'
+ v'
1⎟−
+
2
⎜ −
2 ⎟ c
⎜
+ +
4 2 ⎟
c u
x u u
2
⎝ c
+
⎠
=
⎝ c c
v =
c
⎠
2
2
2
⎛ uv'
x ⎞ ⎛ uv'
x ⎞
⎛ uv'
x ⎞
⎜1+
⎟ ⎜1+
⎟
⎜1+
⎟
2
2
2
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠
⎝ c ⎠
În final, expresia pătratului modului vitezei devine :
v
2
= c
2
2
2⎛
v'
⎞⎛
u
c
⎜
⎜1−
1 2 ⎟
⎜ −
⎝ c ⎠⎝
c
−
2
⎛ uv'
x ⎞
⎜1+
⎟ 2
⎝ c ⎠
2
2
⎞
⎟
⎠
2
2
2 ⎛ u ⎞
v'
⎜
⎜1−
2 ⎟
⎝ c
+
⎠
2
⎛ uv'
x ⎞
⎜1+
⎟ 2
⎝ c ⎠
Analiza acestei formule ne permite să constatăm o proprietate foarte interesantă
a grupului de transformări de coordonate Lorentz-Einstein, care vine din nou în contradicţie
cu afirmaţiile mecanicii clasice. Conform relaţiilor de compunere a vitezelor
din mecanica clasică, există posibilitatea ca un corp să se deplaseze faţă de un observator
cu o viteză mai mare decât aceea a luminii, chiar dacă în raport cu un alt observator
viteza corpului nu depăşeşte viteza luminii (de exemplu, dacă corpul se deplasează
după axa Ox cu viteza v’ = 0,75 c faţă de observatorul O’, iar viteza relativă a
referenţialelor este u = 0,75 c, viteza faţă de observatorul O este v = 0,75 c + 0,75 c =
1,5 c). În cazul transformărilor de coordonate Lorentz-Einstein viteza corpului
în raport cu observatorul O nu poate depăşi viteza luminii (un calcul simplu, referitor
la exemplul precedent, ne oferă valoarea v = 0,94 c).
Rezultă că :
� Faţă de nici-un sistem de referinţă inerţial, un corp material nu se poate
deplasa cu viteză mai mare decât viteza luminii.
3.3.4. Invarianţa intervalului de lungime spaţiotemporal
Cantitatea
2
2
ds = dx + dy + dz − c
2
68
2
2
dt
2

se numeşte pătratul elementului de lungime spaţio-temporal. Conform relaţiilor de
transformare ale coordonatelor şi timpului din mecanica relativistă, obţinem :
⎛ u ⎞
2
⎜dt'+
dx'
2 ⎟
2 ( dx'
+ udt'
) 2 2 2 c
ds = + dy'
+ dz'
−c
⎝ ⎠
2
2
u
u
1−
1−
2
2
c
c
sau :
2 2 2 2 2 2 2
ds = dx'
+ dy'
+ dz'
−c
dt'
= ds'
În concluzie :
� Mărimea elementului de lungime spaţio-temporal este invariantă la
transformarea de coordonate Lorentz-Einstein.
� Cuvinte cheie
Invarianţa intervalului de lungime
spaţio-temporal
Şi această caracteristică vine în contradicţie cu
afirmaţiile mecanicii clasice. Astfel, în mecanica clasică,
există două cantităţi invariante: intervalul spaţial
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 şi intervalul temporal dt.
3.4. CONSECINŢE DINAMICE ALE
TRANSFORMĂRILOR DE COORDONATE
LORENTZ-EINSTEIN
Legile mecanicii clasice – principiile dinamicii sau teoremele derivate din acestea
– aveau calitatea de a fi invariante la transformarea galileană de coordonate, respectând
astfel principiul relativităţii galileene şi principiul simultaneităţii. Înlocuirea
principiului simultaneităţii cu principiul invarianţei vitezei luminii are drept consecinţă
şi faptul că ecuaţiile care exprimă legile mecanicii clasice nu mai sunt valabile
în mecanica relativistă. De exemplu, principiul fundamental al dinamicii vine în
contradicţie cu faptul că un corp nu se poate deplasa cu viteză supraluminoasă
în raport cu nici-un observator inerţial. Iată de ce : în mecanica clasică acţiunea
unei forţe constante are drept consecinţă imprimarea unei acceleraţii constante, iar
mişcarea cu acceleraţie constantă, întreţinută un timp suficient de lung, permite atingerea
unei viteze arbitrar de mari, care ar putea depăşi viteza luminii.
Acestea fiind spuse, ce putem face pentru a găsi legile valabile în mecanica
relativistă ? Analiza lucidă a faptelor ne spune că legile mecanicii clasice derivă din
studiul experimental al fenomenelor mecanice şi, prin urmare, ele reprezintă aproximaţii
convenabile (în condiţiile experimentale date) ale unor legi mai generale, care
sunt legile mecanicii relativiste. Specificul condiţiilor experimentale uzuale este
69
2

acela că vitezele de deplasare ale corpurilor studiate au valori extrem de mici în
comparaţie cu viteza luminii. Putem concluziona că :
� Legile mecanicii clasice sunt valabile în cazul fenomenelor caracterizate
prin deplasări care se fac cu viteze mult mai mici decât viteza luminii
Pe de altă parte, legile mecanicii relativiste trebuie să se supună principiului
relativităţii restrânse şi trebuie să fie în consecinţă invariante la transformările
de coordonate Lorentz-Einstein. Concluzia pe care o extragem de aici este aceea că
� Expresiile matematice ale legilor fundamentale ale mecanicii relativiste
sunt invariante la transformările de coordonate Lorentz-Einstein.
� Utilizând aceste afirmaţii, putem elabora o strategie de lucru care să ne permită
generalizarea legilor mecanicii clasice pentru a le face valabile în cadrul relativităţii
restrânse : considerăm legile clasice valabile într-un sistem de referinţă
în care deplasările se fac cu viteze foarte mici în comparaţie cu viteza
luminii şi apoi extrapolăm rezultatele, utilizând transformările de coordonate
Lorentz-Einstein, astfel încât să reflecte punctul de vedere al unui observator
pentru care vitezele de deplasare ar fi comparabile cu viteza luminii.
3.4.1. Transformarea impulsului şi energiei
Două dintre teoremele mecanicii clasice sunt :
� Teorema variaţiei impulsului :
dp
= F
dt
� Teorema variaţiei energiei cinetice :
dW
= F ⋅ v
dt
Eliminând forţa între cele două relaţii, obţinem :
dW dp
dW dp
dr
= ⋅ v ⇔ = ⋅
dt dt dt dt dt
sau :
dt = dp dx + dp dy + dp dz
dW x y z
Vom considera că această expresie este o lege fundamentală a mecanicii clasice
şi vom impune ca ea să fie invariantă la transformarea de coordonate Lorentz-
Einstein. Cu alte cuvinte, într-un sistem de referinţă inerţial O’ trebuie să fie valabilă
relaţia :
70

dW' dt'
= dp'x
dx'
+ dp'
y dy'
+ dp'
z dz'
Conform relaţiilor de transformare de coordonate :
u
dt'+
dx'
dx'
+ u dt'
2
dx = ; dy = dy'
; dz = dz'
; dt = c
2
2
u
u
1−
1−
2
2
c
c
Înlocuind în expresia anterioară, obţinem :
u
dt'+
dx'
2
c dx'
+ u dt'
dW = dpx
+ dpy
dy'
+ dpz
dz'
2
2
u
u
1−
1−
2
2
c
c
Regrupând termenii, obţinem :
u
dp dW
dW u dp
x −
−
2
x dt'
= c dx'
+ dpy
dy'
+ dpz
dz'
2
2
u
u
1−
1−
2
2
c
c
� Cuvinte cheie
Transformarea impulsului şi
energiei în mecanica relativistă
Comparând expresiile valabile în sistemul inerţial
O’, găsim următoarele relaţii care exprimă
transformarea variaţiilor de impuls şi energie în mecanica
relativistă :
u
dp ' = dp
y
y
dp'
x
dp
=
x
− dW 2
c
2
u
1− 2
c
dp ' z = dpz
dW − u dpx
dW'
=
2
u
1− 2
c
unde u este viteza relativă a sistemului inerţial O’ în raport cu referenţialul O. Prin
integrarea expresiilor obţinute găsim relaţiile de transformare ale impulsului şi
energiei în mecanica relativistă :
p'
x
u
px
− W 2
= c
2
u
1−
2
c
;
p'
y
=
p
y
;
71
p'
z
=
p
z
;
W'
W − u p
=
u
1−
2
c
x
2

3.4.2. Relaţia între impuls şi energie, invarianţa
acesteia la transformarea de coordonate Lorentz-
Einstein
Să calculăm expresia c p'
−W'
. Avem :
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
1 1
2
2 ⎟ ⎟⎟⎟⎟
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ u
p ⎟
⎜
x − W
⎜ ⎟
⎜ −
+ + − = c
W u px
c p'
x c p'
y c p'
z W'
c ⎜ ⎟ + c p y + c pz
− ⎜
⎜ u ⎟
⎜ u
⎜ − ⎟
⎜ −
⎝ c ⎠
⎝ c ⎠
sau :
2
2 2 u 2 2
2 2
c px
− 2upxW
+ W −W
+ 2up
2
xW
− u px
2 2 2
2 2 2 2
c p'
− W'
=
c
+ c p
2
y + c pz
u
1−
2
c
sau :
2
2
2 2⎛
u ⎞ 2⎛
u ⎞
c px
⎜
⎜1
− W 1
2
2
2 2 2
c
⎟ −
⎜ −
c
⎟
2 2 2 2 2 2 2
c p'
− W'
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ c p c p c p W
2
y + z = −
u
1 − 2
c
� În mecanica relativistă cantitatea c 2 p 2 – W 2 este invariantă la transformarea
de coordonate Lorentz-Einstein. În particular, în sistemul de referinţă propriu
unde impulsul p0 este nul, această cantitate are valoarea –W0 2 . Deci :
� Cuvinte cheie
Relaţia de legătură între impulsul
şi energia unui corp în
dinamica relativistă
2 2 2 2 1 2
c p − W = −W0
⇒ p = W −W
c
2
Această ultimă relaţie exprimă legătura între
impulsul şi energia unui corp în dinamica relativistă.
Se poate remarca în primul rând că formula din
mecanica relativistă este complet diferită de aceea
din mecanica clasică, unde
2
mv
; W = ⇒ p = mW
p = mv
2
2
O a doua remarcă poate fi aceea că impulsul relativist depinde de energia corpului în
repaus W0 (adică energia corpului în sistemul propriu de referinţă). Aceasta este o altă
deosebire faţă de mecanica clasică, în care corpul în repaus nu posedă energie.
72
2
0
2

3.4.3. Energia de repaus, relaţia lui Einstein dintre
masă şi energie, alte relaţii ale dinamicii relativiste
O
m0
O0
v0
O’ u
comparabilă cu viteza luminii.
Să considerăm trei sisteme de
referinţă:
� Sistemul O0 în care corpul de
masă m0 este în repaus. Energia corpului
în acest referenţial este W0.
� Sistemul O’ faţă de care corpul
se deplasează cu viteza v0, viteză
mult mai mică decât viteza luminii.
� Sistemul O faţă de care sistemul
O’ se deplasează cu o viteză
� Pentru că viteza de deplasare a corpului în raport cu O’ este mică, în acest referenţial
sunt valabile legile mecanicii clasice.
Exprimând impulsul corpului ca în mecanica clasică şi introducând în relaţia relativistă,
obţinem :
1 2 2 1
m v = W −W
= W −W
W + W
0
0
c
0
c
( )( )
� Termenul W – W0 reprezintă diferenţa dintre energia corpului în stare de mişcare
şi energia corpului în stare de repaus. Dar, această diferenţă este tocmai
energia cinetică a corpului faţă de observatorul O’!
Înlocuind în expresie cu formula clasică a energiei cinetice, obţinem :
2
0v0
1 m
2
m 0v0
= ( W + W0
) ⇒ W + W0
= 2m0c
c 2
Observând că suma W + W0 este proporţională cu c 2 , iar diferenţa W - W0 este proporţională
doar cu v0 2 (deci mult mai mică decât suma), rezultă că termenii W şi W0 au
valori apropiate, practic egale.
În concluzie, obţinem ecuaţia :
2
W = m c
� Cuvinte cheie
Relaţia dintre masă şi energie
în teoria relativităţii
Masa de mişcare
Energia cinetică
Expresia impulsului
0
0
0
� În dinamica relativistă orice corp aflat în repaus
posedă o cantitate de energie, denumită
energie de repaus, proporţională cu masa (mai
precis, cu masa de repaus m0) şi cu pătratul vitezei
luminii.
73
0

Să găsim în continuare expresiile componentelor impulsului corpului pentru observatorul
din O. Vom afla mai întâi viteza corpului faţă de observatorul din O. Utilizăm
relaţia de compunere ale vitezelor :
2 2
2⎛
v ⎞ 0 ⎛ u ⎞
c ⎜1
⎟ 1 2 ⎜
2 ⎟
⎜
−
⎟
−
2 2 ⎝ c ⎠⎝
c
v = c −
⎠
2
⎛ uv0x
⎞
⎜1
+ 2 ⎟
⎝ c ⎠
În ipoteza v0

sau
� Masa de mişcare este o mărime care depinde de viteza de deplasare a corpului.
Valoarea masei de mişcare creşte la creşterea vitezei de deplasare a corpului
considerat. Masa de mişcare tinde către o valoare infinită atunci când viteza corpului
se apropie de viteza luminii.
Continuând exprimarea componentelor impulsului, obţinem
vy
p y = p'
y = m0v0
y = m0
= mv
2
y
v
1−
2
c
vz
p z = p'z
= m0v0
z = m0
= mv
2
z
v
1−
2
c
� Relaţia dintre componentele impulsului şi componentele vitezei are aceeaşi
formă în mecanica relativistă ca şi în mecanica clasică, cu deosebirea că în formula
relativistă apare masa de mişcare, iar în aceea clasică masa de repaus.
Energia se transformă după relaţia
2
W'+
up'
x m0c
+ um0v
W = =
2
2
u
u
1 − 1−
2
2
c
c
2
W = mc
0x
≅
m
0
c
2
v
1 −
c
� În teoria relativităţii, energia totală a unui corp în mişcare este proporţională
cu masa de mişcare a corpului şi cu pătratul vitezei luminii în vid.
� Relaţia W = mc 2 poate fi interpretată ca o relaţie de echivalenţă între masă
şi energie. Potrivit ei, este posibilă transformarea masei (substanţei) în energie
(câmp) şi reciproc.
� Definind energia cinetică ca fiind mărimea fizică numeric egală cu
diferenţa dintre energia corpului în mişcare şi energia corpului în repaus,
găsim formula energiei cinetice în teoria relativităţii restrânse :
Wc = W −W
= mc − m0c
Şi expresia energiei cinetice este profund diferită de aceea din mecanica clasică !
Să încheiem expunerea privind noţiunile de dinamică relativistă cu câteva consideraţii
despre forţă.
75
2
2
2
2

� În dinamica relativistă relaţia de definiţie a forţei este :
dp
F =
dt
Relaţia este asemănătoare aceleia din mecanica clasică, dar există o mare diferenţă:
masa cuprinsă în expresia impulsului poate varia şi ea în timp. Din acest motiv
expresia clasică F = ma nu mai este valabilă şi în teoria relativităţii. De exemplu,
considerând un corp în deplasare de-a lungul axei Ox, aflat sub acţiunea unei forţe
paralele cu aceeaşi axă, putem scrie :
⎡
⎤
sau :
De aici :
F
x
dp
=
dt
x
F
=
x
d
dt
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
m v
0
x
2
x
2
v
1−
c
m
0
2
vx
2
1−
c
a
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
m
0
2
x
2
v
1−
c
dv
dt
2 ⎡ v ⎤ x
dv ⎢ 2 ⎥
x
m0a
1 c
x
⎢ + 2 ⎥ =
dt ⎢ vx
2
1−
⎥ ⎛ 2 v ⎞
⎢
x
⎣ c ⎥⎦
⎜
⎜1−
2
c ⎟
⎝ ⎠
⎛ v
⎜
⎜1−
⎝ c
⎞
⎟
⎠
x
⎢ 2vx
⎢ −
1 2
+ m ⎢−
c
0vx
⎢ 2 2 ⎛ ⎞
⎢
v
⎢ ⎜ x 1−
⎟ 2
⎣ ⎝ c ⎠
F ⎛ x v
=
⎜
⎜1−
m ⎝ c
x =
Fx
m0
2
x
2
2
x
2
3
2
Examinând această expresie, putem constata că :
⎞
⎟
⎠
3
2
ma
=
v
1−
c
x
2
x
2
3
2
⎥
dv ⎥
x ⎥
dt ⎥
⎥
⎥⎦
� Expresia clasică a acceleraţiei (a = F/m) nu mai este valabilă nici măcar
dacă folosim în locul masei de repaus masa de mişcare
� În cazul unei forţe constante, acceleraţia descreşte foarte mult pe măsură
ce viteza corpului se apropie de viteza luminii, anulându-se dacă viteza luminii
ar fi atinsă. Aceasta explică de ce, sub acţiunea unei forţe constante oricât de
mari, viteza corpului nu poate depăşi viteza luminii.
76

4. OSCILAŢII MECANICE
4.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE
� Cuvinte cheie
Oscilaţii mecanice
Oscilaţii periodice
Perioada oscilaţiei
Oscilaţii armonice
Există situaţii în care parametrii care descriu un
sistem mecanic iau succesiv valori care variază alternativ
în jurul valorilor care caracterizează sistemul
mecanic aflat în stare de echilibru. Spunem în acest
caz că sistemul efectuează oscilaţii mecanice. Stările
prin care trece sistemul mecanic se pot repeta sau nu
identic în timp.
� În cazul în care parametrii ce caracterizează sistemul mecanic iau
valori egale după intervale de timp egale, oscilaţia se numeşte oscilaţie periodică,
iar intervalul de timp caracteristic acesteia se numeşte perioada
oscilaţiei şi se notează cu T.
� Mişcările oscilatorii de tipul x = Asin(
ω t + ϕ)
sau
x = Acos(
ωt
+ ϕ)
se numesc oscilaţii armonice. Parametrii care intervin în
expresie au următoarele semnificaţii: x – elongaţia oscilaţiei, A – amplitudinea
oscilaţiei, ω - pulsaţia oscilaţiei, ϕ - faza iniţială a oscilaţiei, Φ =
ωt + ϕ - faza oscilaţiei, t – momentul de timp.
Conform definiţiei perioadei de oscilaţie, elongaţia unei oscilaţii periodice trebuie
să ia aceleaşi valori după trecerea unor intervale de timp egale cu câte o perioadă.
Astfel, pentru o oscilaţie armonică :
x( t + T ) = x(
t)
∀t
sau :
De aici obţinem :
A sin[
ω( t + T ) + ϕ]
= Asin(
ωt
+ ϕ)
A sin[
ω(
t + T ) + ϕ]
− Asin(
ωt
+ ϕ)
= 0 ⇔
ωT
⎛ ωT
⎞
2A
sin sin⎜ωt
+ ϕ + ⎟ = 0
2 ⎝ 2 ⎠
Această egalitate este adevărată pentru orice moment de timp t doar dacă
ωT
= kπ
2
, k ∈N
sau :
T
π
=
ω
2
k
77

Evident, intervalul de timp minim corespunde valorii întregi k = 1, astfel încât perioada
oscilatorului armonic are expresia :
π
=
ω
2
T 0
Inversul perioadei de oscilaţie se numeşte frecvenţă. Rezultă :
1 ω
ν0
= =
T0
2π
Când elongaţia oscilatorului armonic reprezintă distanţa la care se află oscilatorul
faţă de poziţia de echilibru, prima derivată a elongaţiei în raport cu timpul are
semnificaţia de viteză, iar a doua derivată pe aceea de acceleraţie :
dx
x = Asin(
ωt
+ ϕ)
⇒ v = = x&
= ωAcos(
ωt
+ ϕ)
dt
x = Asin(
ωt
+ ϕ)
⇒
d x dv
2
a = = = &x
& = −ω
Asin(
ωt
+ ϕ)
2
dt dt
Examinând aceste relaţii, observăm că :
2
a = −ω
x ⇔
2
& x&
+ ω x = 0
ecuaţie care poartă numele de ecuaţia diferenţială a oscilatorului armonic.
2
Există posibilitatea ca unele mişcări oscilatorii periodice, armonice, să aibă o
amplitudine care variază în timp.
� Oscilaţiile periodice, armonice, a căror amplitudine variază în timp
se numesc oscilaţii armonice modulate în amplitudine. Ecuaţia lor are
forma :
x t = A t sin ωt
+ ϕ
() ( ) ( )
� Oscilaţiile periodice, armonice, a căror frecvenţă variază în timp se
numesc oscilaţii armonice modulate în frecvenţă. Ecuaţia lor are forma
x t = Asin
2 πν t t + ϕ
() ( ( ) )
4.2. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMO-
NICE
4.2.1. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi
frecvenţă şi direcţii paralele
Fie cele două cărucioare ataşate resorturilor elastice din figura alăturată. Scoţând
cărucioarele din poziţiile lor de echilibru ele vor efectua oscilaţii armonice.
78

Să presupunem că pulsaţiile acestor oscilaţii sunt egale
x
(ceea ce înseamnă că şi frecvenţele de oscilaţie sau pe-
x2 x1 rioadele sunt egale). Elongaţia oscilaţiei căruciorului
inferior este egală cu deplasarea acestuia faţă de reperul
fix din stânga şi are expresia matematică :
x 1 = A1
sin(
ωt
+ ϕ1)
Elongaţia oscilaţiei căruciorului superior, măsurată în
x1
raport cu reperul din stânga solitar cu căruciorul
inferior, este :
x 2 = A2
sin(
ωt
+ ϕ2
)
În raport cu reperul fix, elongaţia căruciorului superior
este :
x = x1
+ x2
= A1
sin(
ωt
+ ϕ1)
+ A2
sin(
ωt
+ ϕ2
)
Putem extrage din acest exemplu următoarea concluzie generală
� Dacă un punct material participă simultan
� Cuvinte cheie la două oscilaţii care se fac pe direcţii paralele,
Compunerea oscilaţiilor para- elongaţia rezultantă este suma algebrică a elonlele
de frecvenţe egale gaţiilor celor două oscilaţii
Să examinăm consecinţele matematice ale relaţiilor
precedente. Cu binecunoscuta relaţie :
sin ( a + b)
= sina
cosb
+ sinb
cos a
putem obţine :
x = ( A1
cos ϕ1
+ A2
cos ϕ2
) sinωt
+ ( A1
sinϕ1
+ A2
sinϕ
2 ) cos ωt
Cu notaţiile :
⎧A
sinϕ
= A1
sinϕ1
+ A2
sinϕ2
⎨
⎩Acosϕ
= A1
cosϕ1
+ A2
cosϕ
2
putem aduce expresia la forma :
x = A(
sinωt
cosϕ
+ sinϕcosωt
) = Asin(
ωt
+ ϕ)
Expresia elongaţiei x este aceea a unei oscilaţii armonice de amplitudine A şi fază iniţială
ϕ, având aceeaşi frecvenţă ca şi cele două oscilaţii care se compun. Concluzia
este următoarea :
� Prin compunerea a două oscilaţii armonice de frecvenţe egale se obţine tot
o oscilaţie armonică, care are aceeaşi frecvenţă.
Din expresiile care definesc amplitudinea şi faza iniţială ale oscilaţiei rezultante, obţinem
:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A sin ϕ + A cos ϕ = A sin ϕ + A cos ϕ + A sin ϕ + A cos ϕ +
1
( sinϕ
sinϕ
+ cosϕ
cos )
+ 2A1 A2
1 2 1 ϕ2
Putem restrânge expresia astfel :
2 2 2
A = A1
+ A2
+ 2A1 A2
cos ϕ2
− ϕ
De aici obţinem expresia amplitudinii rezultante :
1
1
79
1
2
( )
1
2
2
2

( ϕ − )
2 2
1 + A2
+ 2A1 A2
2 ϕ1
A = A
cos
De asemenea, expresia fazei iniţiale rezultante este :
A1
sinϕ1
+ A2
sinϕ
tg ϕ =
A cosϕ
+ A cosϕ
1
� Putem remarca că valoarea amplitudinii rezultante depinde de diferenţa de fază
dintre cele două oscilaţii. Dacă oscilaţiile sunt în fază, adică diferenţa de fază
este nulă : ϕ2 - ϕ1 = 0, amplitudinea rezultantă are valoare maximă : A = A1 + A2.
Când oscilaţiile sunt în opoziţie de fază, adică : ϕ2 - ϕ1 = π, amplitudinea rezultantă
îşi atinge valoarea minimă : A = ⏐A1 - A2⏐.
4.2.2. Compunerea oscilaţiilor paralele de frecvenţe
apropiate, fenomenul de bătăi
Putem da următoarea definiţie :
� Prin bătăi înţelegem rezultatul compunerii a două oscilaţii paralele
ale căror frecvenţe au valori foarte apropiate.
Pentru simplificare, vom considera două oscilaţii având amplitudinile egale şi
faze iniţiale nule :
x1 = Asinω1t
x2 = Asinω2t
Pulsaţiile având valori apropiate, putem scrie relaţiile :
ω1
+ ω2
ω2
− ω1
ω 0 = ; ω = ; ω

1
1
2
2
0 20 40 60 80 100
Cele două oscilaţii
0 20 40 60 80 100
Rezultatul compunerii celor celor două oscilaţii
2π 2π
Graficele de mai sus reprezintă oscilaţiile sin t şi sin t , precum şi rezultatul
9 11
4π
40π
compunerii lor 2cos
⋅ sin . Se observă că amplitudinea rezultantă variază peri-
99 99
odic în timp între o valoare minimă nulă şi o valoare maximă egală cu dublul amplitudinii
oscilaţiilor care se compun. Dacă cele două oscilaţii ar fi reprezentat sunete
emise de două diapazoane identice, dintre care unul uşor dezacordat, atunci la urechea
noastră ar ajunge un sunet cu o frecvenţă practic egală cu aceea a sunetului emis
de diapazonul acordat corect, dar a cărui intensitate variază periodic în timp între valori
minime şi maxime. Senzaţia auditivă este aceea a ecoului unor lovituri periodice
(bătăi), care se petrec undeva în depărtare. De aici provine şi numele dat acestui fenomen.
81

4.2.3. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi
frecvenţă şi direcţii perpendiculare
Să considerăm un punct material asupra căruia acţionează simultan două forţe
elastice perpendiculare. Acţionând separat, fiecare dintre forţe imprimă o mişcare oscilatorie
armonică pe direcţia sa :
x = A sin ωt
+ ϕ
1
( 1)
( ωt
+ ϕ )
y = A2
sin 2
Mişcarea pe care o va efectua punctul material în prezenţa ambelor forţe va reprezenta
compunerea acestor două oscilaţii armonice.
Vom determina în cele ce urmează traiectoria descrisă de punctul material. Traiectoria
este definită astfel:
� Traiectoria reprezintă locul geome-
� Cuvinte cheie tric al tuturor punctelor din spaţiu prin care
trece un mobil în cursul mişcării sale.
Compunerea oscilaţiilor perpendiculare
de frecvenţe ega- După cum se remarcă din această definiţie, traiectoleria
este independentă de timp, în sensul că ea este rezultatul
întregii perioade de mişcare a mobilului. Din
acest motiv, putem trage următoarea concluzie
� Pentru a găsi ecuaţia traiectoriei unui mobil este suficient să eliminăm
timpul între ecuaţiile de mişcare corespunzătoare fiecărei axe de coordonate.
Pentru eliminarea timpului vom folosi relaţia :
2
2
sin ωt + cos ωt
= 1
Pentru a găsi expresiile lui sin ωt şi cos ωt procedăm astfel :
� dezvoltăm trigonometric expresiile elongaţiilor :
x = A sin ωt
+ ϕ = A sinωt
cosϕ
+ A cosωt
sinϕ
1
( 1)
1
1 1
1
( ωt
+ ϕ2
) = A2
sinωt
cosϕ2
+ A2
cosωt
sinϕ2
y = A2
sin
� alcătuim sistemul de ecuaţii :
⎧A1
sinωt
cosϕ1
+ A1
cosωt
sinϕ1
= x
⎨
⎩A2
sinωt
cosϕ
2 + A2
cosωt
sinϕ2
= y
� soluţiile sale sunt :
⎛ x A1
sinϕ1
⎞
⎜
⎟
⎝ y A2
sinϕ2
⎠ xA2
sinϕ2
− yA1
sinϕ
sin ωt
=
=
⎛ A1
cosϕ1
A1
sinϕ1
⎞ A1
A2
sin(
ϕ2
− ϕ1)
⎜
⎟
⎝ A2
cosϕ2
A2
sinϕ2
⎠
82
1

⎛ A1
cosϕ1
x ⎞
⎜
⎟
⎝ A2
cosϕ2
y⎠
− xA2
cosϕ2
+ yA1
cosϕ1
cos ωt
=
=
⎛ A1
cosϕ1
A1
sinϕ1
⎞ A1
A2
sin(
ϕ2
− ϕ1)
⎜
⎟
⎝ A2
cosϕ2
A2
sinϕ2
⎠
� ridicând la pătrat şi adunând, obţinem :
2 2 2 2
x A2
+ y A1
− 2xyA1
A2
( cosϕ1
cosϕ2
+ sinϕ1
sinϕ2
)
= 1
2 2 2
A1
A2
sin ( ϕ2
− ϕ1)
sau :
2 2
x y xy
2
+ − 2 cos(
ϕ2
− ϕ1)
= sin ( ϕ2
− ϕ1)
2 2
A A A A
Traiectoria unui punct material care
participă la două oscilaţii armonice de
frecvenţe egale şi direcţii perpendiculare
1
2
1
2
Acest rezultat matematic ne permite să
tragem următoarele concluzii :
� Dacă un punct material participă
simultan la două oscilaţii armonice
de frecvenţe egale şi direcţii
perpendiculare, traiectoria sa are în
general forma unei elipse. Unghiul
făcut de axele elipsei şi axele de coordonate
depinde de diferenţa de fază
ϕ2 - ϕ1 între cele două oscilaţii. Valoarea
semiaxelor depinde de amplitudinile
oscilaţiilor şi de diferenţa de
fază.
Putem discuta câteva cazuri particulare :
� Dacă diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii este egală cu ±π/2, (spunem în
acest caz că oscilaţiile sunt în cvadratură de fază) ecuaţia traiectoriei devine :
2 2
x y
+ = 1
2
A A
y
∆ϕ = ±π/2
A1
1
83
2
2
A2
x
∆ϕ = 0
∆ϕ = π
Cazuri particulare
de compunere a oscilaţiilorperpendiculare
de frecvenţe
egale

Concluzia este următoarea :
� La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe
egale, aflate în cvadratură de fază, traiectoria punctului material este o elipsă ale
cărei axe coincid cu axele de coordonate şi ale cărei semiaxe au valori egale cu
amplitudinile celor două oscilaţii.
� Dacă diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii este nulă, (spunem în acest caz
că oscilaţiile sunt în fază) ecuaţia traiectoriei devine :
2 2
x y xy
+ − 2 2 2
A1
A2
A1
A2
Concluzia este următoarea :
= 0 ⇒
⎛ x y ⎞
⎜ −
A1
A ⎟
⎝ 2 ⎠
= 0 ⇒
A2
y = x
A1
� La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe
egale, aflate în fază, traiectoria punctului material este o dreaptă de pantă pozitivă
şi egală cu raportul amplitudinilor oscilaţiilor.
� Dacă diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii este egală cu π, (spunem în
acest caz că oscilaţiile sunt în opoziţie de fază) ecuaţia traiectoriei devine :
2 2
x y xy
+ + 2 2 2
A1
A2
A1
A2
Concluzia este următoarea:
= 0 ⇒
⎛ x y ⎞
⎜ +
A1
A ⎟
⎝ 2 ⎠
= 0 ⇒
A2
y = − x
A1
� La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe
egale, aflate în opoziţie de fază, traiectoria punctului material este o dreaptă de
pantă negativă şi egală în modul cu raportul amplitudinilor oscilaţiilor.
4.2.4. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de
frecvenţe diferite, figurile Lissajous
� Cuvinte cheie
Compunerea oscilaţiilor perpendiculare
de frecvenţe diferite
Figurile Lissajous
2
2
Fie oscilaţiile perpendiculare, de frecvenţe diferite
:
x = A sin ω t + ϕ
1
( 1 1)
( ω t + ϕ )
y = A2
sin 2 2
Să presupunem că un punct material participă simultan
la cele două oscilaţii. Ne putem pune întrebarea :
în ce condiţii traiectoria punctului material este
închisă (adică când mişcarea punctului material este periodică, repetându-se identic
după intervale de timp bine stabilite) ? Mai întâi, să formulăm în limbaj matematic
această întrebare :
84

� Traiectoria este închisă dacă există un interval de timp T astfel încât coordonatele
x şi y ale punctului material la momentul de timp t şi coordonatele la momentul
de timp t + T să aibă aceleaşi valori, oricare ar fi momentul de timp t.
∃T aî x(
t + T ) = x(
t)
, y(
t + T ) = y(
t)
, ∀t
Cele două oscilaţii sunt periodice şi, prin urmare, intervalul de timp T nu poate fi decât
un multiplu întreg al perioadelor oscilaţiilor :
2π
T = k1T1
= k1
; k1
∈ℵ
ω
2π
T = k2T2
= k2
; k2
∈ℵ
ω2
De aici, obţinem :
2π
2π
ω1
k2
k 1 = k2
⇒ = ; k1,
k2
∈ℵ
ω1
ω2
ω2
k1
Concluzia este că :
� Traiectoria punctului material care participă simultan la două mişcări oscilatorii
armonice, desfăşurate pe direcţii perpendiculare, este închisă dacă raportul
pulsaţiilor celor două oscilaţii este un număr raţional.
Care este aspectul unei traiectorii închise ? Pentru a răspunde la această întrebare
să remarcăm mai întâi că sunt valabile relaţiile :
− A1 ≤ x ≤ A1
; − A2
≤ y ≤ A2
� Traiectoria este conţinută în interiorul unui dreptunghi cu laturile 2A1, respectiv
2A2.
Prin eliminarea timpului între cele două ecuaţii de mişcare, obţinem ecuaţia traiectoriei
ca o funcţie y = y(x). Această funcţie are extreme, corespunzătoare condiţiei :
dy
= 0
dx
Putem scrie şi :
dy d(
A2
sin(
ω2t
+ ϕ2
) ) ( A1
sin(
ω1t
+ ϕ1)
) ω2A2
cos(
ω2t
+ ϕ2
)
=
=
= 0
dx d A sin ω t + ϕ
ω A cos ω t + ϕ
( ( ) )
1
1
1
1
1
1
( )
Funcţia trigonometrică de la numărător, cos(ω2t + ϕ2), se anulează de două ori în fiecare
perioadă T2. În intervalul de timp T, corespunzător parcurgerii traiectoriei închise,
care cuprinde numărul întreg k2 de perioade T2, numărătorul se va anula de 2k2 ori.
În concluzie, funcţia y = y(x) are 2k2 extreme, dintre care k2 sunt maxime, iar k2 sunt
minime. În mod analog se poate arăta că funcţia x = x(y) are 2k1 extreme, dintre care
k1 sunt maxime, iar k1 sunt minime. Semnificaţia acestor constatări în ceea ce priveşte
reprezentarea grafică a traiectoriei este următoarea :
85
1
1

� Graficul traiectoriei închise are k2 puncte de tangenţă la dreapta y = A2, k2
puncte de tangenţă la dreapta y = -A2, k1 puncte de tangenţă la dreapta x = A1 şi
k1 puncte de tangenţă la dreapta x = A1.
Aceste observaţii ne permit să trasăm graficul traiectoriei în coordonate x,y.
Figura alăturată este traiectoria
punctului material care participă la
k2=2
oscilaţiile :
x = A sin 2ωt
+ ϕ
2A1
k1=3
2A2
1
( 1)
( 3ωt
+ ϕ )
y = A2
sin
2
Prin urmare :
ω1
2 k2
= = ⇒ k1
= 3;
k2
= 2
ω2
3 k1
Studiind graficul, remarcăm că raportul
numerelor de „creste” orizontale
şi verticale este egal cu raportul
k2/k1, respectiv egal cu raportul
ω1/ω2.
Concluzia este următoarea :
� Dacă un punct material participă simultan la două oscilaţii armonice, pe
direcţii perpendiculare, iar raportul pulsaţiilor oscilaţiilor este un număr raţional,
traiectoria punctului material este o curbă închisă, raportului numerelor de creste
verticale şi orizontale fiind invers egal cu raportul pulsaţiilor. Acest tip de traiectorie
a primit numele de figură Lissajous.
4.3. TIPURI DE MIŞCĂRI OSCILATORII
4.3.1. Mişcarea oscilatorie armonică
Vom porni de la următoarea definiţie :
� Se numeşte mişcare oscilatorie armonică mişcarea descrisă de
ecuaţia diferenţială :
2
& x&
= −ω
x
unde x reprezintă distanţa la care se află oscilatorul faţă de poziţia de echilibru,
numită pe scurt elongaţie, iar ω 2 este o constantă pozitivă.
86

Conform principiilor mecanicii newtoniene, acceleraţia unui corp este determinată
de rezultanta forţelor externe care acţionează asupra acestuia :
ma
= R ⇔ m&x
& = R
m
R
a
Înmulţind ecuaţia diferenţială a mişcării oscilatorii
armonice cu masa oscilatorului, obţinem
x
2
m&x
& = − mω
x
sau, în conformitate cu principiul fundamental al dinamicii
:
2
R = −m
ω x = −k
x ⇒
2
R = mω
x = k x
Putem trage următoarea concluzie :
� Cuvinte cheie
Ecuaţia diferenţială a oscilatorului
armonic
Forţe elastice
Energia potenţială a oscilatorului
armonic
Energia totală a oscilatorului
armonic
Ecuaţia de mişcare a oscilatorului
armonic
riaţia de energie potenţială, luată cu semn schimbat :
L = −∆W
= W −W
() i
� Un punct material execută o oscilaţie armonică
dacă rezultanta forţelor externe care acţionează
asupra sa este proporţională cu elongaţia
şi are sens opus acesteia. Un asemenea tip de
forţă se numeşte forţă elastică, iar constanta de
proporţionalitate k se numeşte constantă de
elasticitate.
Forţele elastice sunt forţe conservative. Prin
urmare, lucrul mecanic al forţei elastice egalează va-
Lucrul mecanic este dat de relaţia :
( f ) ( f )
2
kx f kxi
L = ∫ R dx = ∫ − kxdx
= − +
2 2
() i
p
Rezultă :
2
2
kx f kxi
W f − = Wi
−
2 2
Cum această egalitate este adevărată oricare ar fi cele două elongaţii implicate, rezultă
:
2
2
kx
kx
Wp ( x)
− = const ⇔ Wp
( x)
= + const
2
2
adică energia potenţială a oscilatorului armonic este proporţională cu pătratul elongaţiei
şi este definită până la o constantă aditivă arbitrară. Considerând prin convenţie
că energia potenţială în poziţia de echilibru este nulă :
= 0 ⇒ W x =
x p
i
f
( ) 0
atribuim o valoare nulă constantei arbitrare, astfel încât expresia energiei potenţiale
a oscilatorului armonic devine :
( x)
W p =
87
2
kx
2
2

Energia cinetică a oscilatorului armonic este :
2 2
mv mx&
Wc = =
2 2
Pătratul vitezei oscilatorului poate fi calculat utilizând ecuaţia diferenţială de mişcare
2
2
2
1 d(
x&
) 1 d(
x )
m&
x&
= −mω
x = − k x ⇒ m &x
&x&
= − k xx&
⇔ m ⋅ = −k
⋅
2 dt 2 dt
Prin integrare în raport cu timpul, rezultă :
2 2
mx&
kx
= − + const
2 2
sau :
2 2
mx&
kx
+ = const ⇔ Wc
+ Wp
= const
2 2
� Concluzia este că energia mecanică a oscilatorului armonic este constantă
în timp :
= W = W = W
W c , max p,
max
Valoarea energiei mecanice egalează fie energia potenţială maximă, fie energia
cinetică maximă.
� Ecuaţia de mişcare a oscilatorului armonic poate fi obţinută prin integrarea
ecuaţiei diferenţiale de mişcare.
Pornind de la relaţia :
mx&
⎛ ⎞
2
Rezultă :
Cu notaţia :
⎝
⎛ m ⎞
d⎜
x⎟
⎜
ω
W ⎟
⎝ 2 0 ⎠
= ωdt
2
⎛ m ⎞
1−
⎜ x⎟
⎜
ω
W ⎟
⎝ 2 0 ⎠
⎠
m
ωx
= sinu
2W0
⇒
⎛
d⎜
⎜
⎝
m ⎞
ωx⎟
= cosu
du
2W
⎟
0 ⎠
obţinem :
du = ωdt
⇒ ∫ du = ∫ω
dt ⇒ u = ωt
+ ϕ
ϕ fiind o constantă de integrare. Rezultă :
2 2
kx
2W0
2 2 1 d m
m
= − + W0
⇒ x&
= − ω x ⇒ ⎜ ⎟ = 1−
⎜
2
⎜
ωx
2 ⎟ ⎜
ωx
m
ω dt W0
2W0
88
0
⎛
⎝
⎟ ⎞
⎠
2

1 2W0
2W0
x = sin(
ωt
+ ϕ)
= sin(
ωt
+ ϕ)
ω m
k
Notând :
2
2W0
kA
A = ⇔ W0
=
k
2
unde A se numeşte amplitudinea oscilaţiei armonice, rezultă în final :
x = Asin(
ωt
+ ϕ)
ecuaţie care reprezintă ecuaţia de mişcare a oscilatorului armonic liniar. Din expresie,
se remarcă că amplitudinea reprezintă distanţa maximă la care oscilatorul
armonic poate ajunge faţă de poziţia de echilibru. Mai putem remarca că energia
mecanică a oscilatorului armonic este proporţională cu constanta de elasticitate şi cu
pătratul amplitudinii oscilaţiei.
4.3.2. Mişcarea oscilatorie amortizată
Vom porni de la următoarea definiţie :
� Se numeşte mişcare oscilatorie amortizată mişcarea descrisă de
ecuaţia diferenţială (ecuaţia diferenţială a oscilatorului amortizat)
2
2 ω + γ + x x x & &
0 0 =
unde x reprezintă distanţa la care se află oscilatorul faţă de poziţia de echilibru,
iar ω0 2 şi γ sunt constante pozitive.
m
Fr
Fe
x
a
Conform principiilor mecanicii newtoniene,
putem scrie :
2
ma
= −2γmv
− mω0x
sau :
ma = − fv
− kx
� Această expresie arată că mişcarea oscilatorie amortizată este determinată de
acţiunea a două forţe : o forţă de tip elastic –kx şi o forţă de rezistenţă –fv proporţională
cu viteza oscilatorului şi orientată în sens opus.
� Cuvinte cheie
Ecuaţia diferenţială a oscilatorului
amortizat
Forţa de rezistenţă
Ecuaţia de mişcare a oscilatorului
amortizat
şi :
Vom încerca în continuare să găsim forma matematică
a ecuaţiei de mişcare a oscilatorului amortizat.
Pentru aceasta, vom face mai întâi următoarea
schimbare de funcţie :
αt
x(
t)
= e X ( t)
Conform acestei schimbări de funcţie, obţinem :
αt
αt
x&
= αe
X + e X&
89

2 αt
αt
t
x e X e X&
α
&
= α + 2α
+ e X&
&
Înlocuind în ecuaţia diferenţială de mişcare, obţinem :
2 αt
αt
α
α
α 2
α e X + 2αe
X&
t
+ e X&
&
t
t
+ 2γαe
X + 2γe
X&
+ ω0e
sau :
α
2
2
e [ X + 2(
α + γ)
X + ( α + 2γα
+ ω0
) X ] = 0
t &
&
Cum e αt nu poate fi un termen nul, rezultă :
2
2
X&
& + 2(
α + γ)
X&
+ ( α + 2γα
+ ω0
) X
Alegând α = -γ, rezultă :
−γt
x = e X
= 0
şi :
2 2
X& & + ( − γ + ω0
) X = 0
sau :
Putem distinge trei situaţii :
2 2
X&
& = −(
− γ + ω0
)X
2
A) − ( − γ + ω ) = γ − ω = Ω ≥ 0
2
0
2
2
0
2
αt
X = 0
În acest caz :
X&
& 2
= Ω X
Mai putem scrie :
X &
X&
2
= Ω X&
X ⇒
2 2 2
1 dX&
Ω dX
=
2 dt 2 dt
⇒
2
X&
2 2
= Ω X + C
unde C este o constantă de integrare. Mai putem scrie :
dX
= dt
2 2
Ω X + C
Cu schimbarea de funcţie :
⇒
⎛ ΩX
⎞
d⎜
⎟
⎝ C ⎠
= Ωdt
2
⎛ ΩX
⎞
⎜ ⎟ + 1
⎝ C ⎠
ΩX
= shu
C
⇒ dX =
C
chu
du
Ω
obţinem :
chu
du
= Ωdt
2
sh u + 1
⇒ du = Ωdt
⇒ u = Ωt
+ ϕ
unde ϕ este o constantă de integrare. Rezultă :
X =
C
sh(
Ωt
+ ϕ)
Ω
sau X = A sh(
Ωt
+ ϕ)
În final, ecuaţia de mişcare a oscilatorului amortizat în cazul A) este :
x = e
−γt
X = Ae
−γt
sh
−γt
2 2
( Ωt
+ ϕ)
= Ae sh(
γ − ω0t
+ ϕ)
; γ > ω0
90

Viteza oscilatorului este dată de expresia :
−γt
−γt
−γt
v = x&
= −γAe
sh(
Ωt
+ ϕ)
+ ΩAe
ch(
Ωt
+ ϕ)
= Ae [ − γsh(
Ωt
+ ϕ)
+ Ωch(
Ωt
+ ϕ)
]
La momentul iniţial (t = 0), elongaţia şi viteza au expresiile :
⎧x0
= A shϕ
⎨
⎩v0
= −γA
shϕ
+ ΩA
chϕ
� În cazul în care punctul de plecare se află în zona negativă a axei (x0 < 0),
rezultă sh ϕ < 0 astfel încât v0 > 0 (adică oscilatorul se mişcă în sensul pozitiv al
axei). Ecuaţia :
−γt
−γt
x = Ae sh(
Ωt
+ ϕ)
= Ae sh(
Ωt
− ϕ ) = 0
admite soluţia :
ϕ
t 1 =
Ω
ceea ce înseamnă că oscilatorul trece la acest moment de timp prin poziţia de echilibru,
cu viteza :
v = AΩe
Ω > 0
Viteza oscilatorului se anulează corespunzător condiţiei :
− γsh
( Ωt
− ϕ ) + Ωch(
Ωt
− ϕ ) = 0 ⇒
1 ⎡ Ω⎤
t2
= ⎢ ϕ + arcth ⎥ > t1
Ω ⎣ γ ⎦
0.5
În acest moment, sensul vitezei se modifică şi
punctul material revine către poziţia de echilibru.
Cum elongaţia x nu se mai anulează pentru
nici-o altă valoare a timpului, rezultă că punctul
0 5 10 material nu va mai trece niciodată prin poziţia
de echilibru, dar se va apropia asimptotic de
0.5
acesta deoarece lim x = 0.
Graficul alăturat pre-
1
x=exp(-1,1t)*sh(t-0,5)
−γ
ϕ
t→∞
zintă variaţia elongaţiei în funcţie de timp în cazul
discutat. Se remarcă faptul că nu există mişcarea
oscilatorie. Spunem că mişcarea este aperiodică.
0.8
� În cazul în care punctul de plecare se
află în zona pozitivă a axei (x0 > 0), rezultă că
0.6
sh ϕ > 0 şi ϕ > 0. În această situaţie, anularea
elongaţiei nu se mai poate realiza la nici-un
0.4
moment de timp ulterior. Viteza iniţială poate
avea atât valori pozitive (cazul
0.2
0 5 10
− γAsh
ϕ + ΩAchϕ
> 0 ) cât şi negative. În primul
caz, punctul material se depărtează iniţial
x=exp(-1,1t)*sh(t+0,5) de poziţia de echilibru până în punctul în care
viteza se anulează, iar apoi se apropie asimptotic
de punctul de echilibru (vezi graficul alăturat).
91

15
10
� Dacă viteza iniţială este negativă, punctul
material va evolua asimptotic către poziţia de
echilibru (vezi graficul alăturat).
5
0 5 10
Şi în aceste două situaţii mişcarea punctului
material este una aperiodică.
� În concluzie, în cazul
2 2 2 2 2
− ( − γ + ω0
) = γ − ω0
= Ω ≥ 0
x=exp(-1,1t)*sh(t+3)
mişcarea punctului material este aperiodică.
B)
2 2
− γ + ω0
= 0
În acest caz :
X& & = 0
Prin integrare, rezultă :
X & = A ⇒ X = At + B
unde A şi B sunt două constante de integrare. Soluţia completă este :
−γt
x = ( At + B)
e
Poziţia şi viteza iniţială sunt :
5
5
0 2 4 6
Mişcare aperiodică critică
2
2
2
⎧x0
= B
⎨
⎩v0
= A − γB
Şi în acest caz, în funcţie de valorile
iniţiale ale elongaţiei şi vitezei,
putem întâlni trei forme de mişcare,
asemănătoare cu cele obţinute în
cazul precedent.
� În concluzie, în cazul
2 2
− γ + ω0
= 0
mişcarea punctului material
este aperiodică şi numită aperiodică
critică.
C) − γ + ω0
= ω > 0
În acest caz :
X&
& 2
= −ω
X
Aşa cum am arătat în cazul oscilatorului armonic liniar, soluţia unei ecuaţii de acest
tip este :
X = Asin(
ωt
+ ϕ)
Prin urmare, soluţia completă a ecuaţiei oscilatorului amortizat devine :
−γt
x = Ae sin ωt
+ ϕ
92
( )

5
5
0 2 4 6
Oscilaţie pseudoarmonică
x = 4 exp(-x) sin(20x)
Aşa cum se poate vedea din graficul alăturat, în acest caz mişcarea punctului
material este oscilatorie, dar amplitudinea oscilaţiei scade exponenţial în timp. Caracterul
de mişcare oscilatorie, asemănătoare oscilaţiei armonice, este cu atât mai pronunţat
cu cât ω0 are valori mai mari decât γ. Un asemenea tip de mişcare se numeşte
oscilaţie pseudoarmonică.
� În concluzie, în cazul
2 2 2
− γ + ω0
= ω > 0
mişcarea punctului material este periodică şi este numită oscilaţie pseudoarmonică.
� Se poate utiliza mărimea denumită decrement logaritmic, definită
prin relaţia :
( )
( ) ⎟ x t ⎞
t + T ⎠
⎛
δ = ln ⎜
⎝ x
pentru a măsura atenuarea (sau amortizarea) oscilaţiei. În relaţie, T reprezintă
perioada funcţiei armonice : T = 2π/ω. Cu cât decrementul logaritmic
are valori mai mari, cu atât amortizarea oscilaţiei este mai rapidă.
Conform ecuaţiei de mişcare a oscilatorului amortizat, rezultă :
⎛
δ =
⎜
−γ
+
⎝ Ae
ln T
−γt
Ae sin(
ωt
+ ϕ)
⎞ 2πγ
2πγ
( ) = γ = =
( ) ⎟ T
t
2 2
sin ωt
+ ωT
+ ϕ
93
⎠
ω
ω
0
− γ

� Se observă că valoarea decrementului logaritmic este cu atât mai mare cu cât
factorul γ are o valoare mai mare. Din acest motiv, factorul γ se mai numeşte coeficient
de atenuare. Mai putem remarca şi faptul că pentru acelaşi coeficient
de atenuare, amortizarea este mai pronunţată la frecvenţe de oscilaţie mari.
94

5. UNDE MECANICE
5.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE
� Cuvinte cheie
Unde elastice
Funcţia de undă
Ecuaţia diferenţială a undelor
Clasificări ale undelor
Într-un mediu elastic, se pot produce uneori perturbaţii.
Datorită elasticităţii mediului, perturbaţiile
se pot transmite punctelor vecine, propagându-se astfel
în interiorul mediului elastic.
� Prin definiţie, propagarea unei perturbaţii
într-un mediu elastic se numeşte
undă mecanică elastică.
� O caracteristică foarte importantă a undelor elastice este aceea că propagarea
perturbaţiei prin mediul elastic se face cu viteză finită şi din aproape în aproape.
De asemenea, undele elastice nu transportă substanţă (adică nu au loc transferuri
de materie în interiorul mediului elastic). Totuşi, undele elastice transportă energie
şi impuls.
Termenul de „perturbaţie” pe care l-am folosit anterior se referă la micile variaţii
ale valorilor unor mărimi fizice care caracterizează interiorul mediului elastic,
pe care acestea le pot suferi faţă de valorile corespunzătoare stării de echilibru.
Exemple de asemenea mărimi fizice pot fi : deplasarea unei porţiuni a mediului, viteza
sa de deplasare, energia cinetică dobândită, ca şi multe altele. Oricare dintre abaterile
valorilor acestor mărimi fizice faţă de starea de echilibru poate fi socotită ca o
măsură a modificărilor induse în prezenţa undei elastice. Din acest motiv, putem face
următoarea definiţie :
� Diferenţa dintre valoarea atinsă de o mărime fizică care caracterizează
mediul elastic în prezenţa undei elastice şi valoarea de echilibru a
respectivei mărimi fizice se numeşte în general funcţie de undă şi se notează
cu Ψ.
� Funcţiile de undă pot fi atât mărimi fizice scalare, cât şi mărimi fizice vectoriale,
iar din punct de vedere matematic ele sunt funcţii de momentul de timp şi de
raza vectoare a punctului pe care îl reprezintă în interiorul mediului :
Ψ = Ψ r,
t
( )
Ne putem pune întrebarea : este oare posibil ca ştiind starea de perturbare la
un anumit moment de timp şi într-un anumit punct al mediului elastic, precum
şi caracteristicile mediului, să putem calcula care va fi starea de perturbare întrun
alt punct şi la alt moment de timp ? Cu alte cuvinte, există o ecuaţie matematică
care să descrie propagarea perturbaţiei în interiorul mediului elastic ?
95

c
Pentru a răspunde acestei întrebări,
să începem prin a examina
situaţia din schiţa alăturată. Presu-
Ψ(x,t) Ψ(x+cdt,dt) punem că o perturbaţie se propagă
cu viteza constantă c, fără ca aspec-
x
cdt
x + cdt
tul său să se modifice (de exemplu,
ca propagarea unui val în largul
mării). În consecinţă, după trecerea
unui interval de timp dt, valoarea funcţiei de undă corespunzătoare punctului de coordonată
x va fi regăsită în punctul de coordonată x + cdt. Putem scrie :
Ψ ( x , t)
= Ψ(
x + cdt,
t + dt)
Prin dezvoltarea în serie Taylor şi considerând că intervalul de timp dt este suficient
de mic pentru ca termenii de ordin superior să poată fi neglijaţi, rezultă :
∂Ψ
( ) ( )
( x,
t)
∂Ψ(
x,
t)
2
Ψ x,
t = Ψ x,
t + cdt
+ dt + 0( dt )
∂x
x,
t ∂t
x,
t
sau :
∂Ψ( x,
t)
1 ∂Ψ(
x,
t)
= −
∂x
c ∂t
� În concluzie, derivatele de ordinul întâi ale funcţiei de undă în raport cu coordonata
sau cu momentul de timp sunt proporţionale.
Să ne imaginăm în continuare că dispunem două „fotografii” ale unei unde, luate
la momente de timp foarte apropiate: t şi t + dt, pe care le-am aşezat una sub cealaltă
(vezi figura alăturată). Putem găsi legătura între Ψ(x + dx, t + dt) şi Ψ(x, t) pe două
căi diferite :
A) Mai întâi stabilim legătura dintre Ψ(x + dx, t + dt) şi Ψ(x + dx, t):
∂Ψ
( ) ( )
( x + dx,
t)
Ψ x + dx,
t + dt ≅ Ψ x + dx,
t +
dt
∂t
x+ dx,
t
şi apoi, utilizând relaţiile :
t ∂Ψ
x,
t
Ψ ( x + dx,
t)
≅ Ψ(
x,
t)
+
∂x
t+dt
Ψ(x,t)
Ψ(x,t+dt)
x
Ψ(x+dx,t)
Ψ(x+dx,t+dt)
x+dx
∂Ψ
( ) dx
x,
t
2
( x + dx,
t)
∂Ψ(
x,
t)
∂ Ψ(
x,
t)
dx
∂t
≅
( x + dx,
t + dt)
∂t
stabilim relaţia cu Ψ(x, t) :
96
Ψ
∂Ψ
+
∂t
+
( x,
t)
2 ( x,
t)
∂ Ψ(
x,
t)
dt dtdx
+
≅ Ψ
∂x∂t
∂x∂t
∂Ψ
+
∂x
( x,
t)
x,
t
dx +

B) Mai întâi stabilim legătura dintre Ψ(x + dx, t + dt) şi Ψ(x, t + dt) :
∂Ψ
( ) ( )
( x,
t + dt)
Ψ x + dx,
t + dt ≅ Ψ x,
t + dt +
dx
∂x
x , t + dt
şi apoi utilizând relaţiile :
∂Ψ
( ) ( )
( x,
t)
Ψ x,
t + dt ≅ Ψ x,
t +
∂t
dt
∂Ψ
x,
t
2
( x,
t + dt)
∂Ψ(
x,
t)
∂ Ψ(
x,
t)
∂x
≅
∂x
+
∂t∂x
stabilim relaţia cu Ψ(x, t) :
2
∂Ψ
( ) ( )
( x,
t)
∂Ψ(
x,
t)
∂ Ψ(
x,
t)
Ψ x + dx,
t + dt ≅ Ψ x,
t + dt + dx + dxdt
∂t
∂x
∂t∂x
Egalând expresiile obţinute şi reducând termenii egali, rezultă :
2
2
∂ Ψ(
x,
t)
∂ Ψ(
x,
t)
∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞
= ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
∂x∂t
∂t∂x
∂x
⎝ ∂t
⎠ ∂t
⎝ ∂x
⎠
Dacă ţinem cont de relaţia obţinută anterior între derivatele de ordinul întâi în raport
cu coordonata sau cu timpul, rezultă :
2 2
∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ 1 ∂Ψ
⎞ ∂ Ψ 1 ∂ Ψ
⎜−
c ⎟ = ⎜−
⎟ ⇔ c = 2 2
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂t
⎝ c ∂t
⎠ ∂x
c ∂t
sau :
2
2
∂ Ψ 1 ∂ Ψ
− = 0
2 2 2
∂x
c ∂t
Această ecuaţie se numeşte ecuaţia diferenţială a undelor plane şi reprezintă cea
mai generală relaţie matematică care descrie propagarea unei unde elastice plane.
Generalizarea în trei dimensiuni spaţiale a acestei ecuaţii :
2 2 2
2
∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ 1 ∂ Ψ
+ + − = 0
2 2 2 2 2
∂x
∂y
∂z
c ∂t
se numeşte ecuaţia diferenţială a undelor şi poate reprezenta matematic orice proces
ondulatoriu.
Utilizând operatorul lui Laplace :
2 2 2
2 ∂ ∂ ∂
∇ = + +
2 2 2
∂x
∂y
∂z
ecuaţia diferenţială a undelor se scrie sub o formă simplificată :
2
2 1 ∂ Ψ
∇ Ψ − = 0
2 2
c ∂t
� Locul geometric al punctelor din spaţiu care sunt caracterizate de
aceeaşi stare de perturbaţie se numeşte front de undă sau suprafaţă de
undă.
97
x,
t
dt

c
Front de
undă
Undele se pot clasifica în funcţie
de forma frontului de undă. Astfel,
putem întâlni
� Unde plane, ale căror front de
undă este o suprafaţă plană
� Unde cilindrice, ale căror front
de undă este o suprafaţă cilindrică
� Unde sferice, ale căror front de
undă este o suprafaţă sferică
De asemenea, undele pot fi clasificate şi în funcţie de direcţia pe care au loc perturbaţiile.
Astfel, dacă deformările induse de perturbaţie au direcţie paralelă cu
direcţia de propagare a undei, unda se numeşte undă longitudinală. Dacă deformările
induse de perturbaţie au direcţie perpendiculară pe direcţia de propagare
a undei, unda se numeşte undă transversală.
5.2. SOLUŢII ALE ECUAŢIEI UNDELOR ÎN
UNELE CAZURI PARTICULARE
5.2.1. Soluţia generală a ecuaţiei undei plane
x, t
Ψ(x, t)
x
Să considerăm o undă elastică plană care se
propagă în lungul axei Ox cu viteza c. Frontul de
undă este perpendicular pe direcţia de propagare
a undei, iar în toate punctele sale funcţia de undă
Ψ are aceeaşi valoare. Prin urmare, funcţia de
undă nu depinde de coordonatele y şi z :
Ψ = Ψ((x, t)
Pentru că derivatele parţiale ale funcţiei de undă
în raport cu coordonatele y şi z sunt nule, din ecuaţia diferenţială a undelor rezultă :
2
2
∂ Ψ(
x,
t)
1 ∂ Ψ(
x,
t)
−
= 0
2 2 2
∂x
c ∂t
Soluţia generală a acestei ecuaţii se poate obţine astfel :
� se face schimbarea de variabile :
⎧ξ
= x + ct
⎨
⎩η
= x − ct
astfel încât :
98

( x + ct)
∂ξ
d(
x + ct)
∂ξ
d
=
∂x
∂x
= 1 ; =
∂t
∂η
d
=
∂x
∂x
= 1 ; =
∂t
� se calculează derivatele :
∂Ψ
∂Ψ
∂ξ
∂Ψ
∂η
= +
∂x
∂ξ
∂x
∂η
∂x
2
2
∂ Ψ
2
∂x
=
∂ ⎛ ∂Ψ
⎜
∂x
⎝ ∂ξ
∂Ψ
+
∂η
∂t
( x − ct)
∂η
d(
x − ct)
⎞
⎟
⎠
=
∂ ⎛ ∂Ψ
⎞
⎜ ⎟
∂x
⎝ ∂ξ
⎠
∂Ψ
=
∂ξ
2
∂t
∂Ψ
+
∂η
2
= c
= −c
∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
∂x
⎝ ∂η
⎠ ∂ξ
⎝ ∂x
⎠ ∂η⎝
∂x
⎠
∂ ⎛ ∂Ψ
∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
∂Ψ
⎞ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ
= ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ = + 2 +
2
2
∂ξ
⎝ ∂ξ
∂η
⎠ ∂η⎝
∂ξ
∂η
⎠ ∂ξ
∂ξ∂η
∂η
∂ Ψ ∂ ⎛ ∂Ψ
= ⎜c
2
∂t
∂t
⎝ ∂ξ
∂Ψ
∂Ψ
∂ξ
∂Ψ
∂η
∂Ψ
= + = c
∂t
∂ξ
∂t
∂η
∂t
∂ξ
+
∂ ⎛ ∂Ψ
∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
∂Ψ
⎞ 2 ∂ Ψ 2 ∂ Ψ 2 ∂ Ψ
= c ⎜c
− c ⎟ − c ⎜c
− c ⎟ = c − 2c
+ c
2
2
∂ξ
⎝ ∂ξ
∂η
⎠ ∂η⎝
∂ξ
∂η
⎠ ∂ξ
∂ξ∂η
∂η
� Se înlocuiesc derivatele de ordinul al doilea în ecuaţia undei plane :
2
2
∂ Ψ(
x,
t)
1 ∂ Ψ(
x,
t)
−
= 0
2 2 2
∂x
c ∂t
rezultând :
2
∂ Ψ
4 = 0
∂ξ∂η
Putem scrie :
∂ ⎛ ∂Ψ
⎞
⎜ ⎟ = 0
∂ξ
⎝ ∂η
⎠
Deoarece derivata parţială în raport cu ξ este nulă, termenul ∂Ψ/∂η nu poate reprezenta
decât o constantă în raport cu ξ, fiind cel mult o funcţie de variabila η :
∂Ψ
df
( )
( η)
= f ' η =
∂η
dη
Prin integrarea acestei ecuaţii, obţinem :
Ψ = f ( η)
+ const
Constanta de integrare este de fapt constantă în raport cu variabila η, deci poate totuşi
reprezenta o funcţie de variabila ξ :
Ψ = f ( η)
+ g(
ξ)
Revenind la variabilele iniţiale, obţinem :
Ψ x , t = f x − ct + g x + ct
− c
2
∂Ψ
∂η
∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞
− c ⎟ = c ⎜ ⎟ − c ⎜ ⎟ = c ⎜ ⎟ − c ⎜ ⎟ =
∂η
⎠ ∂t
⎝ ∂ξ
⎠ ∂t
⎝ ∂η
⎠ ∂ξ
⎝ ∂t
⎠ ∂η⎝
∂t
⎠
( ) ( ) ( )
99
2
2
2

� Concluzia este că soluţia generală a ecuaţiei undelor plane este o sumă de două
funcţii arbitrare, care depind de variabilele x - ct, respectiv x + ct. Aceste două
variabile se numesc faze.
Să considerăm acum unda plană reprezentată de
ecuaţia :
� Cuvinte cheie
Ψ ( x, t)
= f ( x − ct)
Viteza de fază
Unde progresive
Faza undei este Φ = x - ct. Să presupunem că luăm în
Unde regresive
considerare un moment de timp ulterior t’ şi un alt
Undă plană armonică
punct din spaţiu x’, cu condiţia ca faza să nu-şi modifice
valoarea Φ = x’- ct’. Fazele fiind egale, funcţiile
de undă corespunzătoare sunt de asemenea egale. Rezultă de aici că suprafaţa de undă
care trece prin punctele de coordonată x la momentul t este identică cu suprafaţa de
undă care trece prin punctele de coordonată x’ la momentul t’. Acest fapt este rezultatul
propagării undei în lungul axei Ox. Putem scrie :
∆x
x'
− ct'
= x − ct ⇒ x'
−x
= c(
t'−t
) ⇒ ∆x
= c∆t
⇒ c =
∆t
Această relaţie ne permite să găsim semnificaţia fizică a parametrului c. El reprezintă
viteza cu care se propagă o suprafaţă de undă în lungul axei Ox, adică chiar viteza de
propagare a undei. Pentru că suprafaţa de undă este caracterizată prin valoarea fazei
sale, viteza c se numeşte viteză de fază. În cazul discutat, viteza de fază este pozitivă,
ceea ce semnifică că unda plană se propagă în sensul pozitiv al axei Ox.
Rezultă de aici că :
� Unda plană caracterizată de faza Φ = x – ct se propagă în sensul
pozitiv al axei Ox, numindu-se undă progresivă.
Analog se poate arăta că :
� Unda plană caracterizată de faza Φ = x + ct se propagă în sensul
negativ al axei Ox, numindu-se undă regresivă.
În practică, unda regresivă şi unda progresivă pot fi întâlnite separat sau simultan
(de exemplu, al doilea caz apare când sunetul incident la o suprafaţă se întâlneşte
cu sunetul reflectat de suprafaţă).
Un caz particular de undă plană progresivă este unda plană armonică :
⎡ ω ⎤ ⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
Ψ( x , t)
= Asin
⎢
ϕ0
− ( x − ct)
⎥
= Asin⎢2π⎜
− ⎟ + ϕ0⎥
⎣ c ⎦ ⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
unde A este amplitudinea, T este perioada, ω este pulsaţia, λ este lungimea de undă
(adică distanţa pe care se propagă unda în timp de o perioadă) iar ϕ0 este faza iniţială.
Într-un punct de coordonată x, unda plană armonică determină în timp o oscilaţie
armonică în jurul poziţiei de echilibru. Importanţa undelor plane armonice este
aceea că o undă plană oarecare poate fi descrisă matematic prin serii sau integrale
Fourier, ca o simplă suprapunere de unde plane armonice.
100

z
5.2.2. Soluţia ecuaţiei undelor sferice
y
r
Ψ(r, t)
n
x
� Undele sferice sunt undele ale
căror suprafaţă de undă este o sferă centrată
în jurul punctului în care s-a produs
perturbaţia care a generat unda.
Toate punctele suprafeţei sferice de undă se
găsesc în aceeaşi stare de perturbare şi, prin urmare,
funcţia de undă depinde doar de modulul razei
vectoare, dar nu şi de orientarea acesteia.
� Concluzia este că funcţia de undă caracteristică unei unde sferice este o funcţie
doar de modulul razei vectoare şi momentul de timp :
Ψ = Ψ(r, t)
Pentru a găsi formula matematică generală corespunzătoare undelor sferice
procedăm astfel :
dar :
� observăm că :
∂Ψ
∂Ψ
∂r
=
∂x
∂r
∂x
2 2 2 ∂r
∂ x + y + z x x
r = x + y + z ⇒ =
=
=
∂x
∂x
2 2 2
x + y + z r
deci :
∂Ψ
x ∂Ψ
=
∂x
r ∂r
� calculăm derivata a doua în raport cu x
2
2
∂ Ψ ∂ ⎛ x ∂Ψ
⎞ 1 ∂Ψ
∂ ⎛ 1 ⎞ ∂Ψ
x ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ 1 ∂Ψ
x ∂r
∂Ψ
x ∂ Ψ ∂r
= = + x + ⎜ ⎟ = − +
2 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
2
2
∂x
∂x
⎝ r ∂r
⎠ r ∂r
∂x
⎝ r ⎠ ∂r
r ∂x
⎝ ∂r
⎠ r ∂r
r ∂x
∂r
r ∂r
∂x
sau :
2
2
2 2
∂ Ψ 1 ∂Ψ
x ∂Ψ
x ∂ Ψ
= − +
2
3
2 2
∂x
r ∂r
r ∂r
r ∂r
� Analog :
2
2
2 2
∂ Ψ 1 ∂Ψ
y ∂Ψ
y ∂ Ψ
= − +
2
3
2 2
∂y
r ∂r
r ∂r
r ∂r
2
∂ Ψ 1 ∂Ψ
z
= −
2
3
∂z
r ∂r
r
∂Ψ
z
+ 2
∂r
r
∂ Ψ
2
∂r
� substituind aceste derivate în ecuaţia generală a undelor :
2
2
101
2
2
2
2

2
2
∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ 1 ∂ Ψ
+ + − = 0
2 2 2 2 2
∂x
∂y
∂z
c ∂t
obţinem :
2 2 2
2 2 2 2
2
3 ∂Ψ
x + y + z ∂Ψ
x + y + z ∂ Ψ 1 ∂ Ψ
−
+
− = 0
3
2
2 2 2
r ∂r
r ∂r
r ∂r
c ∂t
sau :
2
2
∂ Ψ 2 ∂Ψ
1 ∂ Ψ
+ − = 0
2
2 2
∂r
r ∂r
c ∂t
ecuaţie care se numeşte ecuaţia diferenţială a undelor sferice.
� facem schimbarea de funcţie :
1
Ψ(
r, t)
= ψ(
r,
t)
r
astfel încât :
∂Ψ ∂ ⎛ 1 ⎞ 1 1 ∂ψ
= ⎜ ψ⎟
= − ψ + 2
∂r
∂r
⎝ r ⎠ r r ∂r
2
2
2
∂ Ψ ∂ ⎛ 1 1 ∂ψ
⎞ 2 1 ∂ψ
1 ∂ψ
1 ∂ ψ 2 2 ∂ψ
1 ∂ ψ
= 2 ⎜−
ψ + 2 ⎟ = ψ − − + = ψ − +
3 2 2
2 3 2
2
∂r
∂r
⎝ r r ∂r
⎠ r r ∂r
r ∂r
r ∂r
r r ∂r
r ∂r
rezultând :
2
2
2 2 ∂ψ
1 ∂ ψ 2 ⎛ 1 1 ∂ψ
⎞ 1 1 ∂ ψ
ψ − + +
− = 0
3 2
2 ⎜−
ψ + 2 ⎟ 2 2
r r ∂r
r ∂r
r ⎝ r r ∂r
⎠ c r ∂t
sau :
2
2
∂ ψ 1 ∂ ψ
− = 0
2 2 2
∂r
c ∂t
� soluţia ultimei ecuaţii este :
ψ ( r , t)
= f ( r − ct)
+ g(
r + ct)
astfel încât în final obţinem :
1
Ψ(
r , t)
= ( f ( r − ct)
+ g(
r + ct)
)
r
ecuaţie care este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale a undelor sferice.
Un caz particular este :
A ⎡ ⎛ t r ⎞ ⎤
Ψ( r , t)
= sin⎢2π⎜
− ⎟ + ϕ0
r
⎥
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
care reprezintă unda sferică armonică progresivă (sau divergentă).
2
5.3. UNDE ELASTICE LONGITUDINALE
� Undele longitudinale se caracterizează prin aceea că direcţia de propagare
coincide cu direcţia în care se produc deformările mediului elastic.
102
2

Să examinăm în continuare propagarea unei unde longitudinale într-un mediu
elastic.
Sub acţiunea undei, starea unui element de volum dV al materialului se modifică.
Efectele produse sunt de două tipuri :
� Deplasarea elementului de volum
� Deformarea (alungirea sau comprimarea) elementului de volum
Astfel, la un moment dat, deplasarea
capătului din stânga este notată
dy
c
Ψ(x, t), iar deplasarea capătului din
dz
dreapta este notată Ψ(x+dx, t). Expresiile
acestor deplasări vor fi considerate
în continuare ca fiind tocmai funcţia
Ψ(x+dx, t)
de undă care caracterizează propaga-
x x+dx
rea undei longitudinale. Deplasarea se
face în timp, astfel încât derivata întâia
a deplasării în raport cu timpul re-
F(x, t)
F(x+dx, t)
prezintă viteza de deplasare :
∂Ψ(
x,
t)
v =
Ψ(x, t) x + Ψ(x, t) x + Ψ(x+dx, t)
∂t
Acceleraţia elementului de volum este:
2
∂v
∂ Ψ(
x,
t)
a = = 2
∂t
∂t
� Principiul fundamental al dinamicii ne spune că acceleraţia elementului de volum
este rezultatul acţiunii forţelor externe, adică al forţelor elastice cu care mediul
acţionează asupra elementului de volum.
Notând masa elementului de volum cu dm, putem scrie :
dma = F(
x + dx,
t)
− F(
x,
t)
Cum
dm = ρdV
= ρdxdydz
unde ρ este densitatea materialului, prin dezvoltare în serie Taylor şi neglijarea factorilor
de ordin superior
2
∂F
( ) ( )
( x,
t)
1 ∂ F(
x,
t)
2
∂F
( )
( x,
t)
F x + dx,
t = F x,
t + dx + dx + ... ≅ F x,
t + dx
2
∂x
2 ∂x
∂x
rezultă :
2
∂ Ψ(
x,
t)
∂F(
x,
t)
ρ dydz
=
2
∂t
∂x
Să ne ocupăm acum de deformarea elementului de volum. Lungimea sa în starea
neperturbată este dx. În stare perturbată, lungimea elementului de volum este egală cu
diferenţa între coordonata capătului din dreapta şi coordonata capătului din stânga
103

dx' = [ x + dx + Ψ(
x + dx,
t)
] − [ x + Ψ(
x,
t)
]
[ x + dx + Ψ(
x + dx,
t)
] − [ x + Ψ(
x,
t)
] = dx + Ψ(
x + dx,
t)
( x,
t
dx' =
− Ψ )
Recurgând din nou la dezvoltarea în serie Taylor şi neglijarea termenilor de ordin superior,
rezultă :
∂Ψ(
x,
t)
dx'
= dx + dx
∂x
Alungirea elementului de volum este diferenţa dintre lungimea sa în stare perturbată
şi lungimea în stare neperturbată :
∂Ψ
( )
( x,
t)
δ dx = dx'
−dx
= dx
∂x
� Conform legii lui Hooke, alungirea δ(dx) este proporţională cu forţa de întindere
F(x, t) şi cu lungimea în stare nedeformată dx şi invers proporţională cu aria
secţiunii transversale dS = dydz şi cu modulul de elasticitate al materialului E
Înlocuind expresia deformării, rezultă :
F
( )
( x,
t)
dx
δ dx =
Edydz
sau
∂Ψ(
x,
t)
F(
x,
t)
=
∂x
Edydz
sau
∂Ψ
( )
( x,
t)
F x,
t = E dydz
∂x
5.3.1. Viteza de propagare a undelor elastice longitudinale
Dispunem în acest moment de două expresii referitoare la forţele elastice cu
care mediul acţionează asupra elementului de volum :
∂Ψ
( )
( x,
t)
F x,
t = E dydz
∂x
2
∂ Ψ(
x,
t)
∂F(
x,
t)
ρ dydz
=
2
∂t
∂x
Derivând prima expresie în raport cu coordonata x, rezultă :
2
F(
x,
t)
∂ Ψ(
x,
t)
= E dydz
2
∂x
∂x
Substituind în expresia a doua, ne rămâne :
2
2
∂ Ψ(
x,
t)
∂ Ψ(
x,
t)
ρ = E
2
2
∂t
∂x
sau :
104

2
2 ( x,
t)
ρ ∂ Ψ(
x,
t)
= 0
∂ Ψ
− 2
2
∂x
E ∂t
Comparând cu ecuaţia diferenţială a undelor plane :
2
2
∂ Ψ(
x,
t)
1 ∂ Ψ(
x,
t)
−
= 0
2 2 2
∂x
c ∂t
observăm similaritatea celor două expresii şi tragem
următoarele concluzii :
� Cuvinte cheie
Viteza de propagare a undelor
longitudinale
� Perturbaţiile care au loc în direcţie longitudinală se propagă prin materialul
elastic sub forma unei unde plane longitudinale.
Viteza de fază a undelor longitudinale are expresia
=
ρ
E
c
unde E este modulul de elasticitate al mediului, iar ρ densitatea mediului. Remarcăm
din această expresie că viteza de propagare este cu atât mai mare cu cât mediul este
mai elastic şi are densitate mai mică (de exemplu, în aluminiu viteza undelor longitudinale
este mult mai mare decât în bronz).
5.3.1.1. Viteza de propagare a undelor longitudinale în fluide
Fluidele – lichide sau gaze – nu sunt caracterizate în mod uzual de modulul de
elasticitate ci de o mărime cunoscută sub numele de coeficient de compresibilitate şi
notată cu litera β.
Să găsim în continuare legătura între modulul
de elasticitate şi coeficientul de compresibilitate.
dV
� Coeficientul de compresibilitate măsoară
comprimarea relativă a unui volum de fluid ca
l
dl urmare a creşterii presiunii pe care restul fluidului
o exercită asupra volumului considerat.
dp S dp S
1 dV
β = −
Semnul negativ apare pentru că la creşterea presiunii
(dp > 0), volumul se micşorează (dV < 0),
iar coeficientul de compresibilitate este o mărime pozitivă.
Din schiţa alăturată, observăm că :
dV = S dl
Rezultă :
; V = S l
1 dV
β =
V dp
1 S dl
=
S l dp
⇒
Sdpl
dl = β = β
S
105
V
F l
S
dp

unde F = Sdl este forţa care comprimă elementul de volum. Comparând cu legea lui
Hooke :
F l
dl =
E S
rezultă :
=
β
1
E
� Modulul de elasticitate al unui fluid este egal cu inversul coeficientului de
compresibilitate al fluidului.
Cu această observaţie, rezultă că viteza de propagare a undelor longitudinale
în fluide are formula :
1
c =
βρ
� Coeficientul de compresibilitate poate depinde de parametrii de stare ai fluidului
şi de tipul transformării de stare pe care o suferă fluidul în cursul propagării
undei.
Să discutăm în continuare cazul gazelor ideale. Variaţiile de presiune datorate
trecerii undei printr-un punct dat pot fi lente sau rapide.
� Dacă variaţiile de presiune sunt lente, putem considera că gazul din jurul
punctului considerat schimbă căldură cu mediul înconjurător, menţinându-şi
constantă temperatura. În acest caz, gazul suferă o transformare izotermă.
Într-o transformare izotermă este valabilă legea Boyle-Mariotte care afirmă că produsul
dintre presiunea şi volumul gazului este constant :
0 0 V p pV =
Diferenţiind această relaţie, obţinem :
1 dV 1
pdV
+ V dp = 0 ⇒ β = − =
V dp p
Ecuaţia vitezei de propagare capătă forma :
p
c =
ρ
Din ecuaţia de stare a gazului ideal
m
pV = RT
µ
unde m este masa de gaz, iar µ este masa molară a gazului obţinem :
p p RT
= =
ρ m µ
V
106

astfel încât forma finală a formulei vitezei de propagare a undelor longitudinale
care determină transformarea izotermă a gazelor ideale se scrie astfel
=
µ
RT
cT � Dacă variaţiile de presiune sunt rapide, putem considera că gazul din jurul
punctului considerat nu are timp să schimbe căldură cu mediul înconjurător. În
acest caz, gazul suferă o transformare adiabatică.
Într-o transformare adiabatică este valabilă legea lui Poisson care se scrie astfel
γ
pV =
γ
p0V0
unde γ este exponentul adiabatic al gazului. Diferenţiind această relaţie, obţinem :
γ−1
γ
γpV
dV + V dp = 0
Ecuaţia vitezei de propagare capătă forma :
⇒
1 dV γ
β = − =
V dp p
c =
Din ecuaţia de stare a gazului ideal rezultă :
γp
ρ
p RT
=
ρ µ
iar forma finală a formulei vitezei de propagare a undelor longitudinale care determină
transformarea adiabatică a gazelor ideale se scrie astfel :
cQ =
γRT
µ
Examinând aceste expresii tragem următoarele concluzii :
� Viteza de propagare în gaze a undelor longitudinale, şi în particular a sunetelor,
depinde de temperatura gazului dar şi de frecvenţa undelor. Viteza de
propagare a undelor de frecvenţă mare, care determină transformarea adiabatică
a gazului, este mai mare decât a undelor de frecvenţă mică, care determină
transformarea izotermă a gazului.
Măsurătorile experimentale arată că viteza sunetului în aer este de aproximativ
340 m/s. La temperatura de 300 K, cunoscând masa molară a aerului: 29 kg/kmol şi
exponentul său adiabatic: 1,4, putem calcula vitezele cT şi cQ:
c T
=
J
8310 ⋅300K
kmol K ≅
kg
29
kmol
107
m
293
s

J
1,
4 ⋅8310
⋅300K
kmol K
m
cQ =
≅ 347
kg
29
s
kmol
Analizând aceste rezultate tragem concluzia :
� Propagarea sunetelor în aer provoacă procese de compresiune şi decompresiune
locale care determină transformarea adiabatică a aerului.
5.3.2. Densitatea de energie în cazul undelor longitudinale
Deplasarea elementului de volum cu viteza v implică faptul că acesta are o energie
cinetică :
2
2
2
( x,
t)
⎞ ρ ⎛ ∂Ψ(
x,
t)
⎞
dxdydz
dV
dm v
dWc =
2
ρ ⎛ ∂Ψ
= ⎜
2 ⎝ ∂t
⎟
⎠
= ⎜
2 ⎝ ∂t
⎟
⎠
Cu definiţia :
� Densitatea de energie cinetică reprezintă energia cinetică a unităţii
de volum: wc = dWc/dV
putem scrie :
( ) 2
x,
t
dWc
ρ ⎛ ∂Ψ
⎞
wc
= = ⎜ ⎟
dV 2 ⎝ ∂t
⎠
� Densitatea de energie cinetică într-un mediu elastic în care se propagă o
undă transversală este proporţională cu densitatea mediului şi cu pătratul primei
derivate a funcţiei de undă, reprezentată prin deplasarea locală, în raport cu timpul.
Prin deformarea mediului elastic, în acesta se acumulează şi energie potenţială.
Revenind la legea lui Hooke aplicată elementului de volum :
Edydz
F( x,
t)
= δ(
dx)
= kδ(
dx)
dx
observăm că forţa deformatoare este de tip elastic. Energia potenţială asociată unei
asemenea forţe are expresia :
2
k[
δ(
dx)
]
dWp =
2
Prin urmare, obţinem :
2
2
2
( x,
t)
⎤ E ⎛ ∂Ψ(
x,
t)
⎞ E ⎛ ∂Ψ(
x,
t)
⎞
dx =
dxdydz
dV
1 Edydz
⎡∂Ψ
dWp =
2 dx ⎢
⎣ ∂x
Cu definiţia :
⎥
⎦
⎜
2 ⎝ ∂x
⎟
⎠
= ⎜
2 ⎝ ∂x
⎟
⎠
� Densitatea de energie potenţială reprezintă energia potenţială a
unităţii de volum: wp = dWp/dV
108

putem scrie :
( ) 2
dWp
E ⎛ ∂Ψ
x,
t ⎞
wp
= = ⎜ ⎟
dV 2 ⎝ ∂x
⎠
� Densitatea de energie potenţială într-un mediu elastic în care se propagă o
undă transversală este proporţională cu modulul de elasticitate al mediului şi cu
pătratul primei derivate a funcţiei de undă, reprezentată prin deplasarea locală,
în raport cu coordonata după direcţia de propagare a undei.
După cum am demonstrat anterior, funcţia de undă care verifică ecuaţia diferenţială
a undelor plane este o funcţie oarecare de faza Φ = x – ct, unde c este viteza de
fază :
Ψ = Ψ(
x − ct)
= Ψ(
Φ)
În aceste condiţii :
∂Ψ(
x,
t)
dΨ
∂Φ
dΨ
∂Ψ(
x,
t)
dΨ
∂Φ
dΨ
= = ; = = −c
∂x
dΦ
∂x
dΦ
∂t
dΦ
∂t
dΦ
Înlocuind aceste expresii în formulele densităţilor de energie cinetică şi potenţială,
rezultă :
� Cuvinte cheie
Densitatea de energie într-un
mediu în care se propagă o
undă longitudinală
2
w p
E ⎛ dΨ
⎞
= ⎜ ⎟
2 ⎝ ∂Φ
⎠
ρ 2⎛
dΨ
⎞ 1 E ⎛ dΨ
⎞ E ⎛ dΨ
⎞
w c = c ⎜ ⎟ = ρ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = wp
2 ⎝ ∂Φ
⎠ 2 ρ ⎝ ∂Φ
⎠ 2 ⎝ ∂Φ
⎠
Concluzia este că :
� În prezenţa unei unde longitudinale, în
orice punct al mediului şi la orice moment de
timp, densitatea locală de energie cinetică este
egală cu densitatea locală de energie potenţială:
wc = wp.
Mai rezultă de aici şi că :
� În prezenţa unei unde longitudinale, densitatea totală de energie, adică
suma dintre densităţile de energie cinetică şi potenţială, este egală fie cu dublul
densităţii de energie potenţială, fie cu dublul densităţii de energie cinetică : w =
wc + wp = 2wc = 2wp.
5.3.3. Transportul de energie
Densitatea locală de energie variază în timp. De aceea, energia mecanică conţinută
într-un element de volum afectat de prezenţa unei unde longitudinale se modifică
în cursul timpului. Dacă la momentul de timp t energia elementului de volum este :
dW ( x,
t)
= w(
x,
t)
dV = w(
x,
t)
dxdydz
La momentul ulterior t + dt ea devine :
109
2
2
2

( x,
t + dt)
w(
x,
t + dt)
dxdydz
w(x, t) → w(x, t+dt)
dW =
În intervalul de timp dt, variaţia energiei
J(x, t) J(x+dx, t)
mecanice a elementului de volum este
δ ( dW ) = ( w(
x,
t + dt)
− w(
x,
t)
) dxdydz
x
dz
dy
x + dx c
Prin dezvoltare în serie Taylor şi prin neglijarea
termenilor de ordin superior obţinem :
w ( x,
t + dt)
=
2
∂w
( )
( x,
t)
1 ∂ w(
x,
t)
2
= w x,
t + dt + dt + ... ≅
2
∂t
2 ∂t
∂w
( )
( x,
t)
≅ w x,
t + dt
∂t
rezultând :
∂w
( )
( x,
t)
δ dW = dtdxdydz
∂t
� În lumina principiului conservării energiei mecanice, modificarea energiei
elementului de volum nu poate fi acceptată decât dacă admitem că are loc un
transport de energie în interiorul mediului elastic, transport făcut prin propagarea
undei longitudinale.
Mărimea fizică aleasă pentru a măsura transportul de energie se numeşte densitatea
curentului de energie.
� Densitatea curentului de energie este mărimea fizică vectorială
numeric egală cu energia transportată normal prin unitatea de suprafaţă în
unitatea de timp :
dW
J =
dS dt
� Cuvinte cheie
Transport de energie
Densitatea curentului de
energie
Ecuaţia de continuitate
Curentul de energie introduce în elementul de
volum, în intervalul de timp dt, energia :
dW ← = J(
x,
t)
dSndt
= J(
x,
t)
dydzdt
Tot în acest interval de timp, elementul de volum
pierde energia :
dW → = J(
x + dx,
t)
dydzdt
Bilanţul energetic este :
δ( dW ) = dW←
− dW→
= ( J(
x,
t)
− J(
x + dx,
t)
) dydzdt
Prin dezvoltare în serie Taylor şi prin neglijarea termenilor de ordin superior, rezultă :
⎛
∂J
( ) ( ) ( )
( x,
t)
⎞ ∂J
( x,
t)
δ dW ≅ ⎜ J x,
t − J x,
t − dx⎟dydzdt
= − dxdydzdt
⎝
∂x
⎠
∂x
Din relaţia pe care am obţinut-o anterior, rezultă :
110
n

( x,
t)
∂J
( x,
t)
∂w
∂t
dtdxdydz
= −
∂x
dxdydzdt
sau :
∂J
( x,
t)
∂w(
x,
t)
+ = 0
∂x
∂t
Această relaţie se numeşte ecuaţia de continuitate şi reprezintă exprimarea matematică
cea mai generală a principiului conservării energiei mecanice în cursul
propagării unei unde elastice plane, longitudinale.
Dacă remarcăm că atât densitatea de energie, cât şi densitatea curentului de
energie pot fi la rândul lor funcţii de undă, adică funcţii care depind de faza undei
plane Φ = x - ct, rezultă :
∂J
( x,
t)
dJ ∂Φ
dJ
= =
∂x
dΦ
∂x
dΦ
∂w(
x,
t)
dw ∂Φ
dw
= = −c
∂t
dΦ
∂t
dΦ
astfel încât ecuaţia de continuitate devine :
d
( J ( x,
t)
− cw(
x,
t)
) = 0
dΦ
Prin integrare, rezultă :
J ( x,
t)
= cw(
x,
t)
expresie care are forma vectorială :
J x , t = w x,
t
( ) ( )c
� Densitatea locală a curentului de energie este proporţională la orice moment
de timp cu densitatea locală de energie, iar transportul de energie se face în
direcţia şi sensul de propagare al undei elastice longitudinale.
5.4. DISPERSIA UNDELOR
∆t c
Perturbaţiile care se produc în mod natural
într-un mediu elastic au calitatea de a fi procese
∆x
x
x
bine limitate în timp şi spaţiu. Astfel, după cum se
poate vedea în figura alăturată, starea de perturbare
durează un interval de timp ∆t într-un punct de
coordonată x, iar extinderea spaţială a câmpului de
Perturbaţie naturală
perturbaţie este ∆x. Fără îndoială, expresia matematică
a funcţiei de undă corespunzătoare propagării
acestei perturbaţii nu este deloc simplă. În
matematică, prin analiză Fourier se arată că :
111

� Expresia matematică a funcţiei de undă care caracterizează o perturbaţie
periodică se poate scrie ca o suprapunere de unde armonice plane,
numită serie Fourier, având forma :
Ψ x,
t = ∑ A sin jω
t − k x ; j ∈
( ) ( ) ℵ
j
j 0
unde ω0 este pulsaţia armonicei fundamentale (corespunzătoare lui k = 1),
iar kj sunt numerele de undă asociate armonicei fundamentale (pentru k = 1)
şi armonicelor de ordin superior.
� Expresia matematică a funcţiei de undă care caracterizează o perturbaţie
neperiodică se poate scrie ca o suprapunere de unde armonice
plane, numită integrală Fourier, având forma
( x , t)
= ∫ A(
ω)
sin(
ωt
− k(
ω)
x)
Ψ dω
� Aceste compuneri de unde plane armonice se mai numesc pachete
de unde sau trenuri de unde.
� Cuvinte cheie
Dispersia
Viteza de grup
Formula lui Rayleigh
j
Datele experimentale arată că în general viteza
de fază a unei unde plane armonice poate depinde
de frecvenţa sau pulsaţia undei.
� Dependenţa vitezei de fază a unei
unde de frecvenţa sau pulsaţia sa se numeşte
dispersie. Gradul în care această
dependenţă este mai mare sau mai mică es-
te funcţie de natura mediului prin care se propagă unda.
Dacă fiecare undă componentă a pachetului de unde are altă viteză de fază,
ce mai înseamnă oare „viteza de propagare a perturbaţiei ? Noţiunea care se foloseşte
în acest caz este aceea de viteză de grup.
� Viteza de grup este viteza cu care se propagă maximul rezultantei
obţinute prin compunerea undelor plane care alcătuiesc pachetul de unde.
În continuare vom încerca să găsim relaţia matematică între viteza de grup a
unui pachet de unde şi vitezele de fază ale undelor componente. Pentru aceasta vom
considera cel mai simplu pachet de unde posibil, format din două unde plane armonice
având aceeaşi amplitudine şi pulsaţii uşor diferite :
Ψ = Asin[ ( ω0
− δω)
t − k(
ω0
− δω)
x]
+ Asin[
( ω0
+ δω)
t − k(
ω0
+ δω)
x]
unde δω

k
k
( ω + δω)
≅ k(
ω )
0
( ω − δω)
≅ k(
ω )
0
0
0
( ω)
dk
+
dω
dk
−
dω
ω
δω
( ω)
δω
mai putem scrie :
⎛ dk(
) ⎞
2A cos ⎜
ω
Ψ = δω t − x⎟
sin(
ω0t
− k(
ω0
) x)
⎜ d ⎟
⎝
ω ω0
⎠
Această expresie este echivalentă unei unde plane :
Ψ = A ( x, t)
sin(
ω0t
− k(
ω0
) x)
a cărei amplitudine :
⎛
( )
( ) ⎞
⎜
dk ω
A x,
t = 2Acos
δω t − x⎟
⎜
⎟
⎝
dω
ω0
⎠
depinde de timp şi poziţie. Faza amplitudinii este :
⎛ ( ) ⎞
⎜
dk ω
Φ = δω t − x⎟
⎜
⎟
⎝
dω
ω0
⎠
Să presupunem că luăm în considerare un moment de timp ulterior t’ şi un alt punct
din spaţiu x’, cu condiţia ca faza să nu-şi modifice valoarea :
⎛ ( ) ⎞
⎜
dk ω
Φ = δω t'−
x'
⎟
⎜
⎟
⎝
dω
ω0
⎠
Fazele fiind egale, amplitudinile pachetului de unde în cele două situaţii sunt de asemenea
egale. Putem spune în acest caz că pachetul de unde s-a propagat din punctul
de coordonată x în punctul de coordonată x’. Putem scrie :
dk(
ω)
dk(
ω)
dk
( )
( ω)
∆x
1
t − x = t'−
x'
⇒ x'
−x
= t'−t
⇒ =
dω
( ω)
ω dω
0
ω
dω
0
ω
∆t
dk
0
dω
Pentru că raportul ∆x/∆t are semnificaţia unei viteze, care este chiar viteza de grup,
mai rezultă :
dω
vg =
dk
Ştiind că :
şi că :
ω =
( ω)
2π
2π
= ⇒ dk = − dλ
λ
λ
k 2
2π
2πc
2πc
2πc
2π
= = ⇒ dω
= − dλ
+ dc
2
T cT λ
λ λ
şi înlocuind în expresia vitezei de grup, mai rezultă :
113
ω
0
0
ω
0

2πc
2π
− dλ
+ dc
2
v = λ λ
g 2π
− dλ
2
λ
sau :
dc
vg = c − λ
dλ
� Aceasta este relaţia de legătură între viteza de grup a unui pachet de unde şi
viteza de fază. Ea poartă numele de relaţia lui Rayleigh şi caracterizează mediile
dispersive în care viteza de fază a unei unde plane armonice depinde de lungimea
de undă a aceleiaşi unde.
� În mediile numite nedispersive, viteza de fază nu depinde de lungimea de
undă (dc/dλ = 0) astfel încât viteza de grup este egală cu viteza de fază. În asemenea
medii forma perturbaţiei nu se modifică în cursul propagării prin mediu.
O ultimă remarcă este aceea că vitezele de fază nu pot fi măsurate. Experimental
se poate măsura doar viteza de grup cu care se propagă perturbaţia.
5.5. EFECTUL DOPPLER
vs
c
vo
t0 = 0
Efectul Doppler se manifestă atunci
când sursa perturbaţiilor care generează
unda şi observatorul se află în stare de
mişcare relativă unul faţă de celălalt. Un
exemplu ar putea fi locomotiva care şuie-
d0
ră şi se apropie sau se depărtează de noi.
Tonalitatea sunetului pe care îl auzim în
cele două cazuri este diferită, iar aceasta
t1 constituie tocmai manifestarea efectului
Doppler.
Să considerăm în continuare o sursă
vst1
c t1
vot1
de perturbaţii periodice care se deplasează
cu viteza vs. Observatorul care recepţionează
undele generate de perturbaţiile
generate de sursă se deplasează cu viteza
vo. Undele se propagă cu viteza c. Să
admitem că prima perturbaţie se produce la momentul de timp t0 = 0, la care distanţa
dintre sursă şi observator este d0. Frontul de undă ajunge din urmă observatorul la
114

momentul de timp t1. Ne propunem să calculăm întârzierea t1. Studiind figura alăturată
putem scrie relaţia :
ct1 = d0
+ vot1
Obţinem :
d0
t1
=
c − vo
Următoarea perturbaţie are loc la sursă după un interval de timp egal cu o perioadă
T0. Întârzierea cu care aceasta ajunge la observator este :
d1
t2
=
c − v
o
unde d1 este distanţa sursă-observator la momentul producerii celei de-a doua perturbaţii.
Această distanţă este egală cu distanţa iniţială, la care se adaugă distanţa parcursă
de observator în timpul T0 şi se scade distanţa parcursă de sursă în acelaşi interval
de timp :
d1 = d0
+ voT0
− vsT0
Rezultă :
d0
vo
− vs
t2
= + ⋅T0
c − vo
c − vo
Să calculăm acum perioada perturbaţiilor recepţionate de observator. Prima dintre ele
este recepţionată la momentul t1, iar a doua la momentul T0 + t2, astfel încât :
vo
− vs
T = ( T0
+ t2
) − t1
= T0
+ ⋅T0
c − vo
sau :
T c − vs
=
T c − v
� Cuvinte cheie
Efectul Doppler
Decalajul de frecvenţă între
undele emise şi undele recepţionate
Unde de şoc
0
Din expresie, observăm că perioada undelor recepţionate
T este diferită de perioada undelor
emise T0. Aceasta este însăşi esenţa efectului
Doppler. Putem trage următoarea concluzie :
� Efectul Doppler constă în dependenţa raportului dintre perioada undelor
recepţionate de un observator şi perioada undelor emise de sursă de viteza de
propagare a undelor şi de componentele vitezelor de deplasare ale observatorului
şi sursei pe direcţia de propagare a undelor.
Ştiind că perioada unei oscilaţii este inversul frecvenţei sale, putem scrie
ν c − vo
=
ν0
c − vs
Între undele recepţionate şi cele emise există un decalaj de frecvenţă
ν − ν
0
vs
− v
=
c − v
115
s
o
⋅ ν
0
o

În cazul particular în care observatorul este imobil iar sursa este mobilă, formula decalajului
de frecvenţă devine :
vs
1
ν − ν0
= ⋅ ν0
= ⋅ ν0
c − v c
s −1
vs
Frecvenţa la recepţie este maximă când sursa se apropie de observator pe direcţia de
propagare a undei (adică când vs > 0, vo < 0) :
1
νmax
− ν0
= ⋅ ν0
c
−1
vs
Frecvenţa la recepţie este minimă când sursa se depărtează de observator pe direcţia
de propagare a undei (adică când vs < 0, vo > 0) :
1
ν0
− νmin
= ⋅ ν0
c
+ 1
vs
Se observă că în primul caz semnalul recepţionat
are frecvenţă mai mare decât
cel emis, iar în al doilea caz semnalul re-
r = ct
α
vs > c
cepţionat are frecvenţă mai mică decât
cel emis. Dacă undele sunt unde sonore,
în primul caz sunetul recepţionat este mai
înalt decât cel emis, iar în al doilea caz
sunetul recepţionat este mai jos decât cel
emis. Această proprietate ar putea fi folo-
d = vst
sită pentru calcularea vitezei de deplasare
a sursei în cazul în care se cunoaşte frecvenţa
la emisie şi se măsoară decalajul de
frecvenţă la recepţie.
� Efectul Doppler nu se mai manifestă
dacă viteza de deplasare a sursei
depăşeşte viteza de propagare a
undelor emise de aceasta.
În acest caz, îşi face apariţia aşa numita
undă de şoc. Fronturile de undă succesive,
respectiv întreaga energie, sunt cuprinse
într-un con caracterizat de unghiul α format de înălţimea sa şi generatoare
r c
sin α = =
d vs
La limita acestui con, undele vin în contact cu receptorul producând un şoc mecanic
extrem de pronunţat şi periculos. Acesta este şi motivul pentru care avioanele supersonice
nu au permisiunea de a survola cu viteză supersonică zonele locuite. De
altfel, chiar momentul atingerii vitezei sunetului este periculos pentru avion, deoarece
116

(vezi şi figura alăturată) acest moment înseamnă penetrarea unui strat de aer puternic
comprimat, care se comportă ca un adevărat „zid” de care avionul se poate „strivi”.
Atenuarea acestui şoc mecanic se poate face utilizând forme aerodinamice speciale,
caracteristice avioanelor supersonice.
5.6. NOŢIUNI DE ACUSTICĂ
5.6.1. Generalităţi
Obiectul acusticii este studiul emisiei propagării şi absorbţiei sunetelor.
� Sunetele sunt unde elastice longitudinale, de energie relativ scăzută,
care se propagă prin aer sau alte medii gazoase, lichide sau solide.
� Urechea umană este capabilă să sesizeze doar undele sonore cu frecvenţe cuprinse
între 20 Hz şi 20 kHz.
De aceea se face următoarea clasificare a undelor sonore :
� Infrasunete, adică unde sonore cu frecvenţă inferioară valorii de 20 Hz
� Sunete, adică unde sonore cu frecvenţă cuprinsă între 20 Hz şi 20 kHz
� Ultrasunete, adică unde sonore cu frecvenţă superioară valorii de 20 kHz
Sunetele, în calitate de unde mecanice, au toate proprietăţile acestora, dar au şi
proprietăţi specifice care vor fi discutate în continuare.
Viteza de propagare a sunetelor depinde de mediul de propagare. Iată câteva
exemple :
mediul viteza mediul viteza mediul viteza
(m/s)
(m/s)
(m/s)
aer
(1 atm ; 0°C)
332 granit 6000 plumb 1200
aer
(1 atm ; 100°C)
386 oţel (bară) 5050 apă (15°C) 1440
hidrogen (0°C) 1269 aluminiu 6100 beton 3160
cauciuc 54 sticlă 5190 alcool 1210
Viteza de propagare a sunetului în aer poate depinde de condiţiile atmosferice
(temperatură, presiune, densitate). În aer, lungimea de undă λ = c T = c / ν a unui sunet
cu frecvenţa de 1000 Hz este de aproximativ 35 de centimetri. Acelaşi sunet are
în apă o lungime de undă de 4-5 ori mai mică, iar în beton de nouă ori mai mică.
117

5.6.2. Câmp sonor, presiune sonoră
� Cuvinte cheie
Câmp sonor
Presiune sonoră
Valoarea efectivă a presiunii
sonore
Impedanţă sonoră
Propagarea undelor elastice se face prin forţele
elastice cu care interacţionează particulele mediului.
Acţiunea mecanică produsă de un factor perturbator
se manifestă în deformarea şi deplasarea faţă de poziţia
de echilibru a unor mici porţiuni din material.
Interacţiunea dintre acestea şi porţiunile învecinate
determină apariţia unor forţe de presiune suplimentare
în interiorul materialului.
� Variaţia de presiune înregistrată într-un
punct al materialului în timpul propagării undei elastice, în comparaţie cu presiunea
în absenţa undei este denumită presiune sonoră şi poate constitui o măsură
a prezenţei undei sonore şi a calităţii acesteia.
� Totalitatea presiunilor suplimentare generate în mediul elastic alcătuieşte
un câmp de presiune sonoră, denumit uneori şi câmp sonor.
Dacă notăm presiunea sonoră cu ps şi luăm în considerare o undă sonoră plană:
⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
ps = ps,
max sin⎢2
π⎜
− ⎟ + ϕ⎥
⎣ ⎝ T λ ⎠ ⎦
se poate demonstra că intensitatea undei sonore (adică densitatea curentului de
energie al undei sonore) are forma matematică:
2
ps
I =
ρc
unde ρ este densitatea mediului, iar c este viteza de fază a undei. Intensitatea undei
sonore este o mărime variabilă în timp. Instrumentele de măsură sau urechea
umană măsoară în realitate doar o valoare medie a intensităţii undei sonore.
Aceasta se poate calcula astfel:
T
2 T
1 1 2 ps,
max 1 2⎡
⎛ t x ⎞ ⎤
I = ⋅ ∫ ps
dt = ⋅ ∫ sin ⎢2π⎜
− ⎟ + ϕ
ρ
ρ
⎥dt c T c T ⎣ ⎝T
λ
0
0
⎠ ⎦
Cum
⎡ ⎛ t x ⎞ ⎤
T
T 1−
cos2
2
2 t x
⎢ π⎜
− ⎟ + ϕ
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
T ⎥ T
sin 2
dt
⎣ ⎝ λ ⎠ ⎦
∫ ⎢ π⎜ − ⎟ + ϕ =
dt =
T
⎥
2
2
0 ⎣ ⎝ λ ∫ ⎠ ⎦ 0
rezultă
2
ps
, max
I =
2ρc
118

Factorul ρc se numeşte impedanţă sonoră, iar raportul ps , max / 2 este cunoscut ca
presiunea sonoră efectivă pef.
Densitatea medie de energie a undei sonore este :
� Cuvinte cheie
Intensitatea sonoră
Pragul de audibilitate şi pragul
de durere
Nivelul de intensitate acustică
Nivelul de tărie sonoră
w
=
I
c
2
s,
max
2
p
=
2ρc 5.6.3. Caracteristicile sunetelor
5.6.3.1. Tăria
Tăria unui sunet este o mărime legată, pe de-o
parte, de efectul auditiv pe care-l produce sunetul şi,
pe de-altă parte, de cantitatea de energie pe care o
transportă unda sonoră.
� Efectul auditiv şi energia undei sonore
nu se află într-o simplă relaţie de
proporţionalitate, din cauza caracterului
subiectiv al percepţiei auditive. Din acest
motiv trebuie să utilizăm mărimi fizice diferite pentru a caracteriza tăria
sunetului, fie din punctul de vedere obiectiv al transportului de energie sonoră,
fie din punctul de vedere subiectiv al efectului auditiv.
Să considerăm mai întâi un ton muzical pur, adică o undă sonoră de frecvenţă
bine stabilită.
� Tăria unui ton muzical pur poate fi caracterizată din punct de vedere
obiectiv de intensitatea sonoră, adică de cantitatea de energie sonoră
transportată în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă perpendiculară
direcţiei de propagare a sunetului :
dWs
Iν
=
dSndt � Intensitatea sonoră minimă care mai poate fi sesizată de analizatorul
auditiv uman se numeşte intensitatea pragului de audibilitate.
Valoarea intensităţii sonore ce corespunde pragului de audibilitate este o funcţie
de frecvenţa sunetului. Domeniul de maximă sensibilitate al urechii umane este cuprins
între frecvenţele de 600 Hz şi de 7000 Hz. În acest interval pot fi percepute sunete
de intensitate I = 10 -12 - 10 -11 W/m 2 .
119

� S-a ales ca valoare standard a pragului de audibilitate intensitatea
pragului de audibilitate al sunetului pur cu frecvenţa de 1000 Hz :
I0 = 10 -12 W/m 2
Pentru fiecare frecvenţă, există şi o valoare maximă a intensităţii care mai poate
fi suportată fără a produce efecte ireversibile asupra aparatului auditiv.
� Valoarea maximă a intensităţii care mai poate fi suportată fără a
produce efecte ireversibile asupra aparatului auditiv este numită intensitatea
pragului de durere.
Intensitatea pragului de durere este mai mică în intervalul de frecvenţe pentru
care urechea este mai sensibilă (0,1 W/m 2 la 6000 Hz), ajungând pentru alte frecvenţe
până la 10 W/m 2 .
Deoarece valorile numerice extreme ale intensităţilor sonore care trebuie luate în
consideraţie în ceea ce priveşte efectul auditiv diferă prin 13 ordine de mărime, se
preferă utilizarea unei mărimi fizice relative, denumită nivelul de intensitate acustică.
� Nivelul intensităţii acustice se defineşte ca fiind de zece ori logaritmul
zecimal al raportului dintre intensitatea sonoră a sunetului considerat
şi intensitatea standard a pragului de audibilitate:
I
L = 10lg
I0
� Unitatea de măsură a nivelului intensităţii acustice este decibelul,
cu simbolul dB.
Efectul auditiv al unor sunete, în funcţie de distanţa până la locul unde au fost
generate, este prezentat în următorul tabel :
Sursa sunetului Distanţa Intensitatea
(m) (W/m 2 Nivelul inten-
) sităţii (dB)
şoaptă (prag de audibilitate) 1 10 -12
0
căderea picăturilor de apă 1 10 -10
20
conversaţie normală 1 10 -8
40
automobile rulând pe asfalt 5-10 10 -6
60
orchestră simfonică 3-5 10 -4
80
ciocan de nituit 1 10 -2
100
motor de avion (prag de durere) 10 1 120
Datorită subiectivităţii urechii, sunete având acelaşi nivel al intensităţii acustice
provoacă senzaţii auditive diferite. Spre limitele extreme ale domeniului de frecvenţe,
pragul de audibilitate creşte mult, iar valorile minime sunt întâlnite pentru frecvenţe
120

între 500 şi 5000 de Hz. Pentru a descrie tăria unui sunet, aşa cum este el perceput de
urechea umană, se foloseşte o mărime denumită nivel de tărie a sunetului.
� Nivelul de tărie al sunetului este definit ca de zece ori logaritmul
zecimal al raportului dintre intensitatea sonoră a unui sunet cu frecvenţa de
1000 Hz, care are aceeaşi tărie aparentă ca şi sunetul considerat, şi intensitatea
standard a pragului de audibilitate.
Unitatea de măsură a nivelului de tărie este fonul. Relaţia de calcul a nivelului
de tărie este :
I1000
Kν
Iν
Lt = 10lg
= 10lg
= L + 10lg
Kν
I0
I0
Factorul Kν este o mărime biofizică, iar valoarea sa, în funcţie de frecvenţa şi natura
sunetului, este dată de curbe sau de tabele experimentale. Nivelul de tărie, exprimat
în foni, este numeric egal cu nivelul intensităţii acustice, exprimat în decibeli, numai
pentru sunetele cu frecvenţa de 1000 Hz.
5.6.3.2. Înălţimea şi timbrul
� Tonurile muzicale pure sunt undele elastice armonice, de frecvenţă
bine definită, care determină oscilaţii locale, armonice, ale particulelor
mediului, de forma:
y = A sin(2πνt + ϕ)
� Calitatea sunetului, denumită înălţime, este asociată frecvenţei unui
ton muzical pur.
� Cuvinte cheie
Înălţimea sunetului
Timbrul sunetului
În funcţie de înălţimea lor tonurile muzicale pure
sunt grupate în octave. Octava începe cu o notă
muzicală (de obicei nota do) şi se încheie cu aceeaşi
notă, corespunzând acum octavei următoare. Raportul
dintre frecvenţa ultimei note a octavei şi frecvenţa
primei note este egal cu doi. În interiorul unei octave există douăsprezece intervale de
frecvenţă. Frecvenţa notei la din prima octavă a fost stabilită la valoarea de 440 Hz.
Frecvenţele tuturor celorlalte note muzicale pot fi calculate în funcţie de această frec-
venţă după relaţia :
m−10
n−1+
12
ν = 440 ⋅ 2
unde n este numărul octavei şi m poziţia notei în interiorul octavei. Urechii umane îi
este accesibilă gama de frecvenţe 20 Hz - 20000 Hz, adică aproximativ 10 octave.
� Tonul muzical complex este sunetul format dintr-un ton muzical
pur fundamental, însoţit de alte tonuri muzicale pure, având frecvenţele
121

egale cu multipli întregi ai frecvenţei fundamentale, numite armonice de
ordin superior.
� În funcţie de proporţia în care armonicele superioare se compun cu tonul fundamental,
sunetul rezultat este auzit într-un mod diferit.
� Calitatea sunetului de-a fi perceput într-un mod distinct, deşi este
bazat pe acelaşi ton fundamental, se numeşte timbru.
Pe lângă sunetele muzicale întâlnim şi zgomotele. Acestea sunt perturbaţii în
general aperiodice, reprezentând sunete nedorite care provoacă senzaţii auditive neplăcute.
Ca fenomen fizic, zgomotul nu este diferit în mod esenţial de sunetele muzicale.
122

6. GAZUL IDEAL
6.1. LEGILE EXPERIMENTALE ALE
GAZULUI IDEAL
Gazele împreună cu lichidele fac parte din categoria fluidelor.
� Starea termodinamică a unui fluid este perfect determinată de
trei parametri de stare : presiunea, volumul şi temperatura. Cantitatea
de fluid este măsurată prin masă sau prin numărul de moli.
� Diferenţa dintre gaze şi lichide constă în faptul că gazele sunt
compresibile, în timp ce lichidele sunt practic incompresibile.
� Transformările în care unul dintre cei trei parametri de stare ai
unui fluid este menţinut constant, urmărindu-se variaţia celorlalţi doi
parametri, se numesc transformări simple.
6.1.1. Legea transformării izocore
� Prin transformare izocoră înţelegem transformarea simplă în
care volumul unei mase date de gaz este menţinut constant, variinduse
temperatura şi presiunea.
� Cuvinte cheie
Transformare izocoră
Legea transformării izocore
Coeficientul termic de variaţie
a presiunii la volum constant
Datele experimentale
arată că
într-o transformare
izocoră presiunea
creşte odată cu
creşterea temperaturii
absolute a gazului.
Graficul
presiunii în funcţie de temperatură este o dreaptă
care trece prin origine. Prin urmare, expresia matematică a legii transformării
izocore este o funcţie de gradul întâi
p0
p = T
T
⇔
p p
=
T T
0
p
p0
p
123
A
T0
0
0
B
T
T

� Enunţul legii transformării izocore este : într-o transformare
izocoră raportul dintre presiunea gazului şi temperatura absolută
a gazului este constant.
� Coeficientul termic de variaţie a presiunii la volum constant se
defineşte prin relaţia :
1 ∂p
α p =
p ∂T
V = const
Diferenţiind ecuaţia transformării izocore :
p0
dp = dT
T0
obţinem :
1 dp 1 p0
1 p 1
= = =
p dT p T0
p T T
Rezultă :
1
α p =
T
� Coeficientul termic de variaţie a presiunii la volum constant este
numeric egal cu inversul temperaturii absolute a gazului.
6.1.2. Transformarea izobară
� Prin transformare izobară înţelegem transformarea simplă în
care presiunea unei mase date de gaz este menţinută constantă,
variindu-se temperatura şi volumul.
� Cuvinte cheie
Transformare izobară
Legea transformării izobare
Coeficientul termic de variaţie
a volumului la presiune
constantă
Datele experimentale
arată că
într-o transformare
izobară volumul
creşte odată cu
creşterea temperaturii
absolute a gazului.
Graficul vo-
lumului în funcţie de temperatură este o dreaptă
care trece prin origine. Prin urmare, expresia matematică a legii transformării
izocore este o funcţie de gradul întâi
V0
V = T
T
⇔
V V
=
T T
0
V
V0
V
124
A
T0
0
0
B
T
T

� Enunţul legii transformării izobare este : într-o transformare
izobară raportul dintre volumul gazului şi temperatura absolută a
gazului este constant.
� Coeficientul termic de variaţie a volumului la presiune constantă
se defineşte prin relaţia
1 ∂V
αV
=
V ∂T
p=
const
Diferenţiind ecuaţia transformării izobare :
V0
dV = dT
T0
obţinem :
1 dV 1 V0
1 V 1
= = =
V dT V T0
V T T
Rezultă
1
α V =
T
� Coeficientul termic de variaţie a volumului la presiune constantă este
numeric egal cu inversul temperaturii absolute a gazului.
6.1.3. Transformarea izotermă
� Prin transformare izotermă înţelegem transformarea simplă în care
temperatura unei mase date de gaz este menţinută constantă, variindu-se
presiunea şi volumul.
� Cuvinte cheie
Transformare izotermă
Legea transformării izoterme
Coeficientul de compresibilitate
izotermă
p0 A
p
V0
Datele experimentale
arată că
într-o transformare
izotermă presiunea
scade odată cu
creşterea volumului
gazului. Graficul
presiunii în
funcţie de volum este o hiperbolă echilateră. Prin urmare, expresia matematică a
legii transformării izoterme este o funcţie de tipul
1
p = p0V0
⇔ pV = p0V0
V
p
125
B
V
V

� Enunţul legii transformării izoterme este: într-o transformare
izotermă produsul dintre presiunea gazului şi volumul gazului este
constant.
� Coeficientul de compresibilitate izotermă se defineşte prin relaţia
:
1 ∂V
β = −
V ∂T
T = const
Diferenţiind ecuaţia transformării izoterme :
pdV +Vdp = 0
obţinem :
Rezultă :
1
V
dV
dp
1
= −
V
β =
V
p
1
p
1
= −
p
� Coeficientul de compresibilitate izotermă este numeric egal cu inversul
presiunii gazului.
� Cuvinte cheie
Legea lui Avogadro
6.1.4. Legea lui Avogadro
Pornind de la unele date experimentale obţinute
de Gay-Lussac în 1805 şi de la ipoteza
structurii atomice sau moleculare a gazelor,
Avogadro a enunţat următoarea lege :
� Volume egale din gaze diferite luate în aceleaşi condiţii de
temperatură şi presiune conţin acelaşi număr de molecule.
Această lege este echivalentă afirmaţiei :
� Numărul de molecule conţinut de o cantitate de gaz ideal depinde
doar de presiunea, volumul şi temperatura gazului, dar nu depinde
de natura gazului :
N = N p,
V , T
( )
126

6.2. TRANSFORMAREA GENERALĂ A
GAZULUI IDEAL, ECUAŢIA DE STARE A
GAZULUI IDEAL
6.2.1. Ecuaţia transformării generale a gazului
ideal
� Transformarea generală a unei mase date de gaz este transformarea
în care variază toţi cei trei parametri de stare ai gazului.
Experienţele care au condus la descoperi-
� Cuvinte cheie
Transformarea generală a gazului
ideal
Ecuaţia transformării generale
rea legilor transformărilor simple ale gazului
ideal au sugerat că oricare ar fi starea gazului
există o relaţie de legătură între parametrii de
stare ai gazului. De exemplu, într-o stare dată,
temperatura ar trebui să poată fi calculată cu-
noscând presiunea şi volumul gazului :
T = T ( p,
V )
Să ne imaginăm că starea gazului se schimbă prin mica modificare a unuia dintre
parametrii de stare. În consecinţă, se vor produce mici variaţii ale celorlalţi
doi parametri de stare :
p , V , T → p + dp,
V + dV , T + dT
Putem scrie :
dT = T ( p + dp,
V + dV ) − T ( p,
V )
Dezvoltând în serie Taylor :
∂T
dT = T ( p,
V ) +
∂p
∂T
⋅ dp +
∂V
⋅ dV + ... − T ( p,
V )
şi neglijând termenii de ordin superior, obţinem :
∂T
dT =
∂p
∂T
⋅ dp +
∂V
⋅ dV
Această expresie poate fi pusă sub forma :
dp
dT =
∂p
dV
+
∂V
1
=
1 ∂p
∂T
∂T
p ∂T
V
V
p
V
V
p
p
dp 1
+
p 1 ∂V
V ∂T
Recunoscând în expresie formulele coeficienţilor termici de variaţie ai presiunii,
respectiv volumului şi înlocuind valorile acestora, rezultă :
127
p
dV
V

dT
Aducem expresia la forma :
şi integrăm :
1
=
α
p
dp
p
T
∫
T0
1
+
α
dT
T
dT
T
=
=
V
dV
V
dp
p
p
∫
p0
dp
p
+
+
= T
dV
V
V
∫
V0
dp
+ T
p
T
ln
T0
dp dV
= ln + ln
p V
⇒ ln p + lnV
− lnT
= ln p0
+ lnV0
− lnT0
pV p0V0
ln = ln
T T0
⇒
pV p0V0
=
T T0
Această ecuaţie este expresia matematică a legii transformării generale a gazelor
ideale. Enunţul corespunzător este :
� În cursul transformării generale a gazului ideal raportul dintre
produsul presiune-volum şi temperatura absolută a gazului este constant.
dV
V
dV
V
6.2.2. Ecuaţia de stare a gazului ideal
După cum afirma legea lui Avogadro, numărul de molecule al unui gaz este
o funcţie de parametrii de stare ai gazului
N = N(
p,
V , T )
De aici rezultă că raportul pV/T care este con-
� Cuvinte cheie
Ecuaţia de stare a gazului
ideal
Constanta lui Boltzmann
Constanta gazelor ideale
stant în cursul transformării generale a unei mase
date de gaz nu poate depinde, la rândul său,
decât de numărul de molecule al gazului
pV
= f ( N )
T
Să ne imaginăm că un recipient este
împărţit în n secţiuni egale. În fiecare
secţiune avem aceleaşi condiţii de
presiune şi temperatură. Evident, fieca-
p,V,T
N
p,V,T
N
p,V,T
N
p,V,T
N
re dintre volume va conţine acelaşi
număr de molecule N. Scriem :
pV
= f ( N )
T
Înlăturând pereţii despărţitori, presiu-
128

nea şi temperatura nu se vor modifica, iar gazul va conţine nN molecule care
ocupă volumul nV :
p nV
= f ( nN )
T
⇒
pV
n = f ( nN )
T
Folosindu-ne de relaţia precedentă, obţinem :
nf N = f nN
5f(N)
4f(N)
3f(N)
2f(N)
f(N)
( ) ( )
Dând valori particulare lui n, obţinem
graficul alăturat. Rezultă că f(N) este o
funcţie liniară de numărul N de mole-
cule :
f ( N ) = kN
Cu această concluzie, rezultă :
pV
= kN
T
0 N 2N 3N 4N 5N
Relaţia poate fi pusă şi sub forma :
pV = NkT
Această ecuaţie poartă numele de ecuaţia de stare a gazului ideal. Conform
acesteia :
� Produsul dintre presiunea şi volumul unei cantităţi de gaz ideal
este proporţional cu produsul dintre numărul de molecule al gazului şi
temperatura absolută a acestuia.
� Constanta de proporţionalitate se numeşte constanta lui
Boltzmann şi are valoarea k = 1,38⋅10 -23 J/K.
Observăm că ecuaţia de stare a gazului ideal conţine ca factor numărul de
molecule de gaz. Această mărime fizică are valori foarte mari şi nu este convenabil
să o folosim în practică. De aceea, în loc de numărul de molecule se utilizează
în practică mărimea fizică cunoscută sub numele de numărul de moli sau
cantitatea de substanţă.
� Un kilomol este cantitatea de substanţă care conţine un număr
de molecule egal cu numărul lui Avogadro :
NA = 6,023⋅10 26 molecule/kmol
Numărul de molecule se poate calcula în funcţie de numărul de moli ν cu relaţia:
N = νNA
În consecinţă, ecuaţia de stare a gazului ideal devine :
pV = ν kN A T = νRT
129

� Constanta R = kNA se numeşte constanta gazelor ideale şi are
valoarea R = 8310 J/(kmol⋅K).
Putem face enunţul :
� Produsul dintre presiunea şi volumul unei cantităţi de gaz ideal
este proporţional cu produsul dintre numărul de moli al gazului şi
temperatura absolută a acestuia.
pV = νRT
130

7. ELEMENTE DE
TERMODINAMICĂ
7.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE
� Cuvinte cheie
Sistem termodinamic
Stare termodinamică şi proces
termodinamic
Parametrii de stare şi
clasificarea lor
Mărimi de stare şi mărimi de
proces
Echilibrul termodinamic.
Termodinamica este o ştiinţă în bună parte
experimentală. Aceasta înseamnă că principiile
şi legile termodinamicii derivă din experienţă,
fără se facă ipoteze sau modele structurale ale
sistemelor termodinamice.
Formalismul matematic adoptat pentru a
exprima legile fizicii ne cere să definim o serie
de mărimi fizice măsurabile, capabile să descrie
sistemele termodinamice. Rolul acestei
introduceri este acela de a defini principalele
noţiuni din „limbajul” termodinamicii.
� Sistemul termodinamic este o porţiune finită a spaţiului, pe
care o delimităm (fie şi doar imaginar) de restul Universului.
� Delimitarea de restul Universului nu exclude interacţiunea
dintre Univers şi sistemul termodinamic.
� Situaţia de moment în care se află un sistem termodinamic se
numeşte stare a sistemului termodinamic.
Sistemul termodinamic aflat într-o anumită stare este caracterizat de o
serie de mărimi fizice măsurabile.
� Mărimile fizice măsurabile ale căror valori momentane permit
caracterizarea stării sistemului termodinamic şi a relaţiilor acestuia cu
exteriorul se numesc parametri de stare.
Parametrii de stare pot fi clasificaţi în diferite moduri. Una dintre aceste
clasificări este următoarea :
� parametri de stare externi (parametri de poziţie) – valoarea acestora
depinde de poziţiile ocupate corpurile care înconjoară sistemul termodinamic
considerat
131

� parametri de stare interni - valoarea acestora depinde de mişcarea de
ansamblu şi distribuţia în spaţiu ale componentelor microscopice ale sistemului
termodinamic
� Totalitatea parametrilor de stare necesari pentru a descrie
complet starea unui sistem termodinamic se numeşte grupul complet
al parametrilor sistemului.
� Mărimile caracteristice sistemului termodinamic care sunt
funcţii doar de parametrii grupului complet de parametri se numesc
funcţii de stare sau mărimi de stare.
În general, din cauza interacţiunilor dintre sistemul termodinamic şi restul
Universului, starea sistemului termodinamic se poate schimba în timp.
� Trecerea sistemului termodinamic dintr-o stare în alta şi este
însoţită de variaţia parametrilor de stare se numeşte transformare de
stare sau proces termodinamic.
� Procesele termodinamice sunt caracterizate de mărimi
specifice, denumite mărimi de proces.
� Diferenţa esenţială între mărimile de stare şi mărimile de proces este
aceea că primele depind doar de stările iniţială şi finală ale sistemului
termodinamic, pe când celelalte depind şi de şirul de stări intermediare prin
care a trecut sistemul.
� Echilibrul termodinamic este situaţia în care parametrii de
stare ai sistemului termodinamic rămân constanţi în timp.
În fizica statistică (care încearcă stabilirea principalelor legi ale
termodinamicii pe cale teoretică pornind de la utilizarea anumitor modele
structurale ale sistemelor termodinamice), parametrii de stare sunt mărimi
macroscopice obţinute prin medierea mărimilor microscopice legate de mişcarea
particulelor microscopice care compun sistemul termodinamic. În acest sens,
până şi noţiunea de echilibru termodinamic este o noţiune statistică.
� Obiectul de studiu al termodinamicii clasice este constituit
de sistemele termodinamice la echilibru sau de sistemele
termodinamice care evoluează spre atingerea stării de echilibru.
132

7.2. POSTULATELE TERMODINAMICII
� Cuvinte cheie
Sistem termodinamic izolat
Principiul general al
termodinamicii
Principiul zero al
termodinamicii
� Sistemul termodinamic
izolat este sistemul termodinamic
care nu schimbă nici energie nici
substanţă cu exteriorul.
Studiul experimental al sistemelor
termodinamice izolate de exterior, care nu se
află iniţial la echilibru termodinamic, a arătat că mai devreme sau mai târziu se
atinge starea de echilibru termodinamic. Generalizând aceste constatări
experimentale s-a enunţat primul postulat al termodinamicii, numit şi
principiul general al termodinamicii :
UN SISTEM TERMODINAMIC IZOLAT ATINGE DUPĂ UN
ANUMIT INTERVAL DE TIMP STAREA DE ECHILIBRU
TERMODINAMIC ŞI NU MAI POATE PĂRĂSI ACEASTĂ STARE DE
LA SINE (ADICĂ FĂRĂ VARIAŢIA PARAMETRILOR DE STARE
EXTERNI SAU, ALTFEL SPUS, FĂRĂ O INTERVENŢIE DIN EXTERIOR).
Primul postulat al termodinamicii
Studiul atingerii echilibrului termodinamic în cazul în care diferite
sisteme termodinamice sunt puse în interacţiune a arătat că pe lângă egalarea
unor parametri obişnuiţi (de exemplu cei mecanici: presiune, forţă, etc.) starea
de echilibru termodinamic necesită considerarea unui singur parametru
suplimentar. Acesta este un parametru intern şi a fost denumit temperatură
empirică. Generalizând aceste constatări experimentale s-a enunţat al doilea
postulat al termodinamicii, numit şi principiul zero al termodinamicii :
STAREA DE ECHILIBRU TERMODINAMIC ESTE
CARACTERIZATĂ DE TOTALITATEA PARAMETRILOR DE STARE
EXTERNI, PRECUM ŞI DE O MĂRIME DENUMITĂ TEMPERATURĂ
CARE ESTE UN PARAMETRU INTERN AL SISTEMULUI
TERMODINAMIC.
Al doilea postulat al termodinamicii
133

� Cuvinte cheie
Temperatura
Caracteristicile temperaturii
Temperatura unui sistem termodinamic
este un parametru de stare care are următoarele
proprietăţi :
� Temperatura este o mărime care poate fi
definită doar pentru un sistem termodinamic
aflat în stare de echilibru termodinamic şi
format dintr-un număr extrem de mare de microentităţi componente. Dacă aceste
condiţii nu sunt îndeplinite noţiunea de temperatură nu are sens.
� Dacă sistemul termodinamic considerat este în echilibru termodinamic,
având deci o anumită temperatură, şi dacă el este format din mai multe
subsisteme, fiecare dintre subsistemele componente este la echilibru
termodinamic, având fiecare aceeaşi temperatură.
� Dacă două sisteme termodinamice în contact nu schimbă energie când
parametrii lor de poziţie sunt constanţi în timp, atunci temperatura lor empirică
este egală. Echivalentul acestei afirmaţii este : sistemele termodinamice se pot
afla în echilibru termic când temperaturile lor sunt egale.
Al doilea postulat al termodinamicii arată că starea de echilibru
termodinamic poate fi caracterizată doar de parametrii de poziţie (parametrii
externi) şi de temperatură. Urmează de aici că un alt enunţ al celui de-al doilea
postulat al termodinamicii ar putea fi următorul :
� Toţi parametrii de stare interni ai unui sistem termodinamic
aflat în echilibru termodinamic sunt funcţii de parametrii de stare
externi şi de temperatura sistemului termodinamic.
7.3. ECUAŢIILE TERMICE DE STARE ŞI
ECUAŢIA CALORICĂ DE STARE
Să considerăm un sistem termodinamic în echilibru termodinamic. Să
notăm parametrii de stare externi prin a1, a2, … an. Fie şi parametrii de stare
interni b1, b2, … bk. Temperatura sistemului o notăm prin T. Conform
principiului zero al termodinamicii, putem scrie :
bi = bi
( a1
, a2
,... an
, T ) ∀i
= 1,
2,...
k
Una dintre mărimile de stare, parametru intern, este energia internă : U.
Conform celor spuse în paragraful anterior, energia internă se poate exprima în
funcţie de parametrii de poziţie şi de temperatură :
= U a , a ,... a , T
( )
U 1 2 n
134

� Această ecuaţie se numeşte ecuaţia calorică de stare. Pentru
orice sistem termodinamic în echilibru există o singură ecuaţie
calorică de stare.
Când un sistem termodinamic suferă o transformare de stare, el poate
schimba energie cu exteriorul.
� Energia schimbată prin variaţia parametrilor externi
(parametrilor de poziţie) se numeşte lucru mecanic.
Conform acestei definiţii, putem scrie :
L d
= ∑
=
n
i 1
i i da A
unde coeficienţii Ai ai micilor variaţii ale parametrilor de poziţie se numesc
parametri de forţă conjugaţi cu parametrii de poziţie ai. Notaţia „dL”
semnifică că lucrul mecanic elementar este o mărime de proces, adică
valoarea sa depinde de stările intermediare prin care trece sistemul
termodinamic. Parametrii de forţă sunt de fapt parametrii interni asociaţi
fiecăruia dintre parametrii de poziţie în condiţii de echilibru termodinamic.
Conform principiului zero al termodinamicii, putem scrie :
= A a , a ,... a , T ∀i
= 1,
2,...
( ) n
Ai i 1 2 n
� Aceste relaţii poartă numele de ecuaţii termice de stare.
Numărul ecuaţiilor termice de stare este egal cu numărul parametrilor
de poziţie.
7.3.1. Ecuaţiile de stare calorică şi termică
pentru gazul ideal
� Gazul ideal este un fluid. Ca orice fluid, el este caracterizat de un singur
parametru de poziţie : volumul V. Prin urmare, există un singur parametru
de forţă : presiunea.
Ecuaţia termică de stare :
p = p(
V , T )
este de fapt chiar relaţia pe care am denumit-o până acum „ecuaţia de stare a
gazului ideal” :
( V , T )
pV = νRT
⇔ p = νR
135
T
V

Singura formă de energie pe care o posedă moleculele de gaz ideal este
energia cinetică. Energia internă a gazului ideal reprezintă deci energia
cinetică totală a tuturor moleculelor gazului.
� În cazul unui gaz cu moleculă monoatomică ecuaţia calorică
de stare are forma :
3
U = U ( V , T ) = νRT
2
� În general, oricare ar fi gazul ideal, putem scrie ecuaţia
calorică de stare sub forma :
U = νCVT
unde CV se numeşte căldura molară la volum constant a gazului.
� Se poate remarca faptul că energia internă a unui gaz ideal nu depinde
de volumul pe care-l ocupă gazul!
7.4. PRIMUL PRINCIPIU AL
TERMODINAMICII
Să presupunem că dispunem de un sistem termodinamic în echilibru
termodinamic. Pentru a amorsa un proces termodinamic este necesar să variem
printr-o acţiune din exterior cel puţin un parametru de stare. Aşa cum ne asigură
principiul general al termodinamicii, după un anumit interval de timp, denumit
timp de relaxare τ, sistemul revine în stare de echilibru termodinamic.
� Cuvinte cheie
Proces cvasistatic
� Dacă în cursul unui proces
termodinamic viteza de variaţie a
unui parametru de stare dai/dt este
mult mai mică decât viteza sa medie
de variaţie în cursul timpului de
relaxare ∆ai/τ, procesul se numeşte cvasistatic. În caz contrar,
procesul este numit nestatic.
� În procesul cvasistatic sistemul termodinamic poate fi considerat ca
trecând printr-o succesiune de stări de echilibru !
� Din acest motiv, parametrii interni sunt chiar parametrii de forţă, iar
lucrul mecanic elementar în procesul cvasistatic este :
dL
=
n
∑
i=
1
A
i
( a , a ,... a , T )
1
136
2
n
da
i

� Orice sistem termodinamic
este mărginit la exterior de o
� Cuvinte cheie
suprafaţă care poate fi numită înveliş.
Transformarea adiabatică
Există o categorie specială de
învelişuri care nu permit schimbul de
energie cu exteriorul decât prin variaţia parametrilor de poziţie, adică
doar prin efectuarea de lucru mecanic. Acest tip de înveliş se numeşte
înveliş adiabatic.
� Procesul suferit de un sistem termodinamic mărginit de un
înveliş adiabatic se numeşte proces adiabatic sau transformare
adiabatică.
A
M
Să considerăm un sistem termodinamic
care parcurge procesul adiabatic ciclic AMBCA.
În cursul acestui proces se efectuează lucru
mecanic.
� Una dintre convenţiile utilizate
N
B de termodinamică (denumită şi
convenţia inginerească) atribuie un
semn pozitiv lucrului mecanic efectuat
de sistemul termodinamic asupra exteriorului.
Utilizând această convenţie, sunt posibile teoretic două situaţii :
� În transformarea adiabatică, lucrul mecanic total este negativ sau pozitiv
� În transformarea ciclică adiabatică, lucrul mecanic total este nul
� Experienţele efectuate în cursul timpului au arătat că nu este posibil
experimental ca în transformarea ciclică adiabatică, lucrul mecanic
total să fie pozitiv sau negativ. Cazul contrar ar însemna că sistemul
termodinamic face sau primeşte lucru mecanic fără ca în mediul exterior să
aibă loc nici-o schimbare !
Generalizând această constatare, stabilim de fapt un principiu al
termodinamicii, pe care îl vom enunţa ceva mai târziu.
Experimental putem obţine doar ca lucrul mecanic total efectuat în
transformarea adiabatică ciclică să fie nul :
L ad , AMBNA = 0
sau :
L ad , AMB + Lad
, BNA = 0 ⇔ Lad
, AMB − Lad
, ANB = 0 ⇔ Lad
, AMB = Lad
, ANB
(am ţinut cont de faptul că la inversarea sensului unei transformări
termodinamice lucrul mecanic îşi schimbă semnul).
137

� Concluzia este că într-o transformare adiabatică lucrul mecanic
efectuat de sistemul termodinamic la trecerea din starea A în starea B nu
depinde de stările intermediare prin care trece sistemul ci doar de stările
iniţială şi finală !
� Faptul că lucrul mecanic în transformarea adiabatică nu
depinde de modul în care se face transformarea înseamnă că acesta
este o funcţie de stare !
Această funcţie de stare este tocmai energia internă a sistemului
termodinamic :
� Cuvinte cheie
Energia internă
ad , AB
def
L = − ∆U
= U −U
AB
A
B
Consecinţa directă a observaţiilor
experimentale care conduc la concluzia că
într-o transformare ciclică adiabatică lucrul
mecanic total făcut de sistemul termodinamic
este nul este aceea că se poate defini funcţia
de stare care este energia internă. De aceea, generalizarea acestor observaţii
experimentale, care constituie primul principiu al termodinamicii, este cuprinsă
în enunţul :
EXISTĂ O FUNCŢIE DE STARE, DENUMITĂ ENERGIE
INTERNĂ, A CĂREI VARIAŢIE ÎN CURSUL UNEI TRANSFORMĂRI
TERMODINAMICE NU DEPINDE DECÂT DE STĂRILE INIŢIALĂ ŞI
FINALĂ ALE SISTEMULUI CONSIDERAT.
Primul principiu al termodinamicii
Energia internă şi energia totală ale unui sistem termodinamic sunt în
general mărimi diferite. Energia internă este suma energiilor cinetice ale
mişcărilor dezordonate ale moleculelor (translaţii, rotaţii, vibraţii), precum
şi a energiilor potenţiale asociate interacţiunilor dintre molecule. Energia
totală include pe lângă energia internă şi energia cinetică a mişcării de ansamblu
a sistemului termodinamic sau energia potenţială a acestuia în câmpuri de forţe
care nu pot afecta starea de echilibru termodinamic (de exemplu, gazul închis
într-o cutie de conserve are aceeaşi energie internă şi într-un autobuz în mişcare
138

şi pe vârful unui munte ca şi în laboratorul facultăţii, cu singura condiţie ca şi
temperatura să aibă aceeaşi valoare).
Tot experienţele arată că într-o transformare ciclică sistemele
termodinamice pot totuşi schimba lucru mecanic cu exteriorul, cu singura
condiţie ca ele să nu aibă înveliş adiabatic. În aceste cazuri :
L AB ≠ −∆U
AB ⇒ ∆U
AB + LAB
≠ 0
Consecinţa este şi aceea că de această dată lucrul mecanic efectuat într-o
transformare deschisă depinde de şirul de stări intermediare, adică lucrul
mecanic este mărime de proces. Pentru transformări infinitezimale, această
concluzie se poate scrie astfel :
� Cuvinte cheie
Căldură
dU + dL
≠ 0
� Prin căldură înţelegem suma
dintre variaţia energiei interne şi
lucrul mecanic în cursul unui proces
termodinamic oarecare :
dU + dL
= dQ
Această definiţie este echivalentă cu următoarea afirmaţie :
� Căldura este numeric egală cu variaţia energiei interne într-o
transformare în care parametrii de poziţie rămân constanţi.
Despre căldură putem face următoarele afirmaţii :
� Căldura este o mărime de proces. Aceasta înseamnă că expresia
matematică a căldurii depinde de transformarea pe care o suferă sistemul
termodinamic.
� Căldura este o formă de schimb de energie. Căldura măsoară variaţia
energiei interne asociată mişcării dezordonate a moleculelor sau interacţiunilor
dintre molecule. Lucrul mecanic, la rândul său, măsoară variaţia energiei interne
asociată mişcării ordonate a moleculelor.
� Una dintre convenţiile utilizate de termodinamică (denumită şi
convenţia inginerească) atribuie un semn pozitiv căldurii primite de
sistemul termodinamic din exterior.
� Cuvinte cheie
Formularea cantitativă a
primului principiu al
termodinamicii
Putem scrie :
dU = dQ
− dL
Aceasta este ecuaţia corespunzătoare
formulării cantitative a primului principiu al
termodinamicii.
139

Enunţul asociat este :
� Variaţia energiei interne într-o transformare oarecare a
unui sistem termodinamic este numeric egală cu diferenţa între
căldura primită de sistem din exterior şi lucrul mecanic făcut de
sistem asupra exteriorului.
� Ecuaţia principiul întâi al termodinamicii ne arată că într-un proces ciclic
(în care ∆U = 0) lucrul mecanic este efectuat de sistemul termodinamic
asupra exteriorului (L > 0) doar dacă sistemul primeşte căldură din exterior
(Q > 0). Aceasta înseamnă că nu poate exista o maşină capabilă să
furnizeze lucru mecanic fără a consuma o altă formă de energie
(căldura).
� O maşină (adică un dispozitiv care funcţionează pe baza unui
ciclu infinit repetabil în timp) capabilă să furnizeze lucru mecanic fără
a consuma o altă formă de energie se numeşte perpetuum mobile de
speţa întâia.
Primul principiu al termodinamicii este echivalent cu afirmaţia :
� Nu se poate construi un perpetuum mobile de prima speţă.
� Primul principiu al termodinamicii este considerat modul cel mai general
de formulare a legii conservării energiei.
7.5. APLICAŢII ALE PRIMULUI
PRINCIPIU AL TERMODINAMICII
� Cuvinte cheie
Capacitate latentă
Capacitate calorică
7.5.1. Coeficienţi calorici
Căldura transferată între sistemul
termodinamic şi exterior într-un proces
cvasistatic depinde atât de variaţia parametrilor
de poziţie, cât şi de variaţia temperaturii
Capacitate termică dQ
λ da + CdT
n
= ∑
k=1
� Factorul λk se numeşte capacitate latentă asociată
parametrului de poziţie ak. Capacitatea latentă asociată parametrului
140
k
k

de poziţie ak este numeric egală cu căldura transferată între sistemul
termodinamic şi exterior atunci când parametrul ak creşte cu o unitate,
iar toţi ceilalţi parametri de poziţie şi temperatura rămân constanţi.
� Factorul C se numeşte capacitate calorică a sistemului
termodinamic. Capacitatea termică este numeric egală cu căldura
transferată între sistemul termodinamic şi exterior atunci când
temperatura creşte cu o unitate, iar toţi parametrii de poziţie rămân
constanţi.
� Deoarece căldura este mărime de proces, rezultă că toate capacităţile
latente şi capacitatea calorică sunt de asemenea mărimi de proces.
Conform principiului întâi al termodinamicii, putem scrie :
n
n
∂U
∂U
dQ
= dU ( a1
, a2
,... an
, T ) + dL
= ∑ dak
+ dT + ∑ Ak
da
k=
1 ∂ak
∂T
k=
1
sau :
n ⎛ ∂U
⎞ ∂U
dQ
= ∑ ⎜ + Ak
dak
+ dT
k a ⎟
=1⎝
∂ k ⎠ ∂T
Prin comparaţie cu relaţia :
dQ
n
= ∑
k=1
λ
k
da
k
+ CdT
rezultă expresiile capacităţilor latente şi capacităţii calorice :
∂U
λ k = + Ak
∂a
; ∀k
= 1,
2...
n
k
∂U
C =
∂T
� Capacitatea termică a unui sistem termodinamic este definită
prin relaţia
C
0
n
n
dQ
dak
⎛ ∂U
⎞ dak
∂U
= = ∑ λk
+ C = ∑ Ak
+
dT k dT ⎜ +
k a ⎟
= 1
= 1⎝
∂ k ⎠ dT ∂T
7.5.1.1. Coeficienţii calorici ai fluidelor
Fluidele au un singur parametru de poziţie : volumul V. Energia internă este
funcţie doar de volum şi temperatură :
U = U ( V , T ) ; dU = dQ
− pdV
Ca urmare, există o singură capacitate latentă (asociată volumului) :
141
k

∂U
λ V = + p
∂V
o capacitate calorică :
∂U
C =
∂T
şi o capacitate termică :
⎛ ∂U
⎞ dV ∂U
C 0 = ⎜ + p⎟
+
⎝ ∂V
⎠ dT ∂T
În cazul gazului ideal, energia internă are expresia :
∂U
∂U
U = νCV
T ⇒ = νCV
; = 0
∂T
∂V
relaţii în care ν este numărul de moli, iar CV este căldura molară la volum
constant. Rezultă :
νRT
λ V = p =
V
C = νC
C 0
dV
T dV
= p + νCV
= νR
+ νC
dT
V dT
7.5.2. Relaţia Robert-Mayer pentru fluide
Fie un fluid care participă la o transformare izocoră (V = const, dV = 0). În
aceste condiţii, rezultă :
∂U
dQV = λV
dV + C dT = CdT
= dT
∂T
Dacă fluidul participă la o transformare izobară (p = const, dp = 0), scriem :
⎛ ∂U
⎞ ∂U
dQp = λV
dV + C dT = ⎜ + p⎟dV
+ dT
⎝ ∂V
⎠ ∂T
Ecuaţia termică de stare a fluidului p = p(V,T) permite calcularea volumului ca
funcţie de presiune şi temperatură: V = V(p,T). Atunci :
∂V
∂V
dV = dp + dT
∂p
∂T
În transformarea izobară dp = 0, aşa că rezultă :
⎛ ∂U
⎞ ∂V
∂U
⎛ ∂U
⎞∂V
d Qp
= ⎜ + p⎟
dT + dT = ⎜ + p⎟
dT + dQV
⎝ ∂V
⎠ ∂T
∂T
⎝ ∂V
⎠∂T
p=
const
sau :
142
V
V

sau :
C
dQ
C
dT
0,
p − 0 V,
p
dQ
−
dT
V
⎛ ∂U
⎞∂V
= ⎜ + p⎟
⎝ ∂V
⎠∂T
⎛ ∂U
⎞∂V
= ⎜ + p⎟
⎝ ∂V
⎠∂T
p=
const
p=
const
= λ
V
∂V
∂T
p=
const
� Această expresie se numeşte relaţia Robert-Mayer pentru
fluide.
În cazul gazelor ideale, pentru care energia internă nu depinde de volum,
rezultă :
∂V
C 0,
p − C0
V, = p
∂T
p=
const
Din ecuaţia transformării izobare, rezultă :
V V0
=
T T0
⇒
V0
V = T
T0
⇒
V0
dV = dT =
T0
sau :
∂V
p
∂T
pV νRT
= = = νR
T T
sau :
p=
const
C
0,
p − C0
V,
= νR
� Aceasta este relaţia Robert-Mayer pentru o cantitate oarecare
de gaz ideal.
� Capacitatea termică a unui mol de gaz se numeşte căldură
molară. Valoarea acesteia depinde de procesul la care participă gazul:
=
ν
0 C
C
Cu această definiţie, relaţia Robert-Mayer pentru un mol de gaz devine :
C p − CV
= R
� Diferenţa dintre căldura molară la presiune constantă şi
căldura molară la volum constant ale unui gaz ideal este o constantă
(constanta gazelor ideale) care nu depinde de natura gazului ideal.
143
V
T
dT

7.5.3. Lucrul mecanic, căldura şi variaţia de
energie internă în transformarea politropă a
gazului ideal
7.5.3.1. Ecuaţia transformării politrope a fluidelor
� Se numeşte transformare politropă o transformare în care
capacitatea termică a substanţei este constantă
dQx C 0,x
= = const
dT
Conform primului principiu al termodinamicii, rezultă :
∂U
⎛ ∂U
⎞
C 0,xdT
= dU + pdV = dT + ⎜ + p⎟dV
∂T
⎝ ∂V
⎠
Folosind relaţia Robert-Mayer, obţinem :
C0,
p − C0
V,
C 0,xdT
= C0,V
dT + dV
∂V
∂T
sau :
p=
const
( C − C ) dT + ( C − C ) dV = 0
0 ,V
0,x
0,
p
0 V,
∂T
∂V
p=
const
Exprimând temperatura ca funcţie de volum şi presiune, rezultă :
T = T p,
V ⇒
∂T
dT =
∂p
∂T
dp +
∂V
( ) dV
V = const
p=
const
Înlocuind diferenţiala temperaturii în ecuaţia precedentă, obţinem :
∂T
C 0 ,V − C0,x
∂p
∂T
dp + C0,
p − C0,
x
∂V
dV =
( ) ( ) 0
V = const
Cu notaţia :
C0,
p − C0,
x
x =
C0,V
− C0,x
unde x se numeşte indicele politropei, putem scrie :
∂T
∂T
x dV + dp = 0
∂V
∂p
p
V
p=
const
� Această ecuaţie se numeşte ecuaţia diferenţială a
transformării politrope a unui fluid.
144

7.5.3.2. Ecuaţia transformării politrope a gazelor ideale
În cazul gazelor ideale, putem scrie :
pV
T =
νR
⇒
∂T
∂p
V
=
νR
V = const
;
∂T
∂V
p=
const
p
=
νR
Înlocuind în ecuaţia diferenţială a transformării politrope, obţinem :
p V
x dV + dp = 0
νR
νR
sau :
dV dp
x + = 0
V p
Integrând, obţinem :
V
dV dp
V p
x∫
+ ∫ = 0 ⇒ xln
+ ln
V p
V p
V0
p
p0
sau :
x
pV =
x
p0
V0
= const
�
ideale.
Aceasta este ecuaţia transformării politrope a gazelor
0
0
= 0
7.5.3.3. Transformările simple ale gazelor ideale, cazuri
particulare de transformări politrope
Transformările simple ale gazelor ideale corespund anumitor valori ale
indicelui izotropei.
� Transformarea izocoră
Scriem ecuaţia politropei sub forma
1 / x 1 / x
p V = p0
V0
Observăm că ecuaţia izocorei V = V0 este respectată dacă 1/x = 0, sau x = ∞.
Deci :
� Transformarea izocoră a unui gaz ideal este transformarea politropă
corespunzătoare unei valori infinite a indicelui politropei.
� Transformarea izobară
Observăm că ecuaţia izobarei p = p0 este respectată dacă x = 0. Deci :
� Transformarea izobară a unui gaz ideal este transformarea politropă
corespunzătoare unei valori nule a indicelui politropei.
145

� Transformarea izotermă
Observăm că ecuaţia izotermei pV = p0V0 este respectată dacă x = 1. Deci :
� Transformarea izotermă a unui gaz ideal este transformarea politropă
corespunzătoare unei valori unitare a indicelui politropei.
� Transformarea adiabatică
Într-o transformare adiabatică gazul ideal nu schimbă căldură cu exteriorul :
d Q = 0
γ
(am notat indicele corespunzător al politropei cu γ). Această condiţie este
îndeplinită dacă :
⎛ p V ⎞
0 = dU + pdV = νCV
dT + pdV = νCV
⎜ dV + dp⎟
+ pdV
⎝ νR
νR
⎠
Utilizând şi relaţia Robert-Mayer, rezultă :
⎛ C ⎞
+
C
V dV CV
dp CV
R dV dp
p dV dp
⎜1
+ ⎟ + = 0 ⇔ ⋅ + = 0 ⇔ ⋅ + = 0
⎝ R ⎠ V R p
C V p C V p
V
Comparând cu ecuaţia diferenţială a politropei gazului ideal, rezultă :
Cp
γ =
CV
respectiv, ecuaţia transformării adiabatice a gazului ideal (numită şi ecuaţia
lui Poisson) :
γ
γ
0
pV = p V = const
unde γ poartă numele de exponent adiabatic.
0
� Transformarea adiabatică a unui gaz ideal este transformarea politropă
corespunzătoare unei valori a indicelui politropei egală cu exponentul
adiabatic al gazului.
� Exponentul adiabatic al unui gaz ideal este o mărime
adimensională, numeric egală cu raportul dintre căldura molară la
presiune constantă şi căldura molară la volum constant.
În funcţie de numărul i al gradelor de libertate ale moleculelor gazului, expresia
căldurii molare la volum constant este :
i
i + 2
i + 2
CV = R ⇒ Cp
= CV
+ R = R ⇒ γ =
2
2
i
146
V

7.5.3.4. Căldura, lucrul mecanic, variaţia de energie internă
în transformarea politropă a gazului ideal
În cazul gazului ideal, variaţia infinitezimală a energiei interne este :
dU = νCV
dT
Prin integrare, rezultă :
T2
∆ ∫ 1
( T − T ) = νC
∆T
U = νCV
dT = νCV
2
V
T
1
� În orice transformare politropă a unui gaz ideal variaţia de
energie internă este proporţională cu numărul de moli al gazului, cu
căldura molară la volum constant şi cu variaţia temperaturii absolute a
gazului.
� În particular, în transformarea izotermă variaţia de energie
internă este nulă.
În cazul gazului ideal, lucrul mecanic elementar este :
d L = pdV
În transformarea politropă :
x x
pV = p0
V0
prin integrare, obţinem :
⇒
x dV
dL
= p0V0
x
V
V2
V
V
2
2
x dV x dV x 1
L = ∫ p0V0
= p0V0
p
x
x 0V0
x 1
V V ∫ =
− ( 1 )
1
V V − x V
1
V1
sau :
x
x
1 ⎛ p V p V ⎞ p V − p V νR∆T
L p V p V
x
x
( x)
⎜ 0 0
0 0 =
=
p V p V ⎟ 2 2 2 2
=
⋅ 2 2 − 1 1
1−
⎝ 2 2
1 1 ⎠ 1−
x 1−
x
� În orice transformare politropă a unui gaz ideal lucrul mecanic
este proporţional cu numărul de moli al gazului, cu constanta gazelor
ideale, cu variaţia temperaturii absolute a gazului şi depinde de
indicele politropei.
Formula anterioară nu este aplicabilă în cazul izotermei, unde x = 1. Lucrul
mecanic în transformarea izotermă se poate calcula astfel :
dV
pV = p0V0
⇒ dL
= p0V0
⇒
V
L = p V
0
V
2
∫
0
V
dV V2
V2
= p0V0
ln = νRT
ln
V V V
1
147
1
1

� În particular, în transformarea izotermă lucrul mecanic este
proporţional cu numărul de moli al gazului, cu constanta gazelor
ideale, cu temperatura absolută a gazului şi cu logaritmul natural al
raportului dintre volumul final şi volumul iniţial ale gazului.
Căldura infinitezimală schimbată într-o transformare politropă a gazului
ideal are expresia :
dQ = νCxdT
unde Cx este căldura molară corespunzătoare transformării politrope considerate:
Prin integrare, rezultă :
T2
Cx
C 0
=
ν
,x
( T − T ) = νC
∆T
Q = ∫νC xdT
= νCx
2 1 x
T
1
� În orice transformare politropă a unui gaz ideal căldura este
proporţională cu numărul de moli al gazului, cu căldura molară
corespunzătoare politropei şi cu variaţia temperaturii absolute a
gazului.
� În particular, în transformarea adiabatică căldura este nulă.
În cazul transformării izoterme, în virtutea primului principiu al
termodinamicii, ştiind că variaţia de energie internă este nulă, rezultă egalitatea
dintre căldură şi lucrul mecanic :
V2
Q = L = νRT
ln
V1
� În particular, în transformarea izotermă căldura este egală cu
lucrul mecanic.
Iată în încheiere un rezumat, prezentat sub forma unui tabel :
Transformarea
gazului ideal
Transformarea politropă
Indicele
politropei
Lucrul
mecanic
izocoră ∞ 0 ν CV ∆T
izobară 0 ν R∆T
ν C p∆T
izotermă 1
ν RT
V
ln
V
2
1
Căldura Variaţia
energiei
ν RT
adiabatică γ − νCV
∆T
0
politropă
oarecare
x
νR∆T
1−
x
148
V
ln
V
2
1
Cp − xCV
ν
1−
x
interne
ν CV ∆T

7.6. PRINCIPIUL AL DOILEA AL
TERMODINAMICII
În procesele ciclice starea iniţială coincide cu starea finală, efectul fiind că
variaţia totală a energiei interne este nulă.
� Se numeşte termostat un sistem termodinamic a cărui
temperatură rămâne practic constantă chiar dacă termostatul schimbă
căldură sau lucru mecanic cu un alt sistem termodinamic.
Fie un sistem termodinamic care este
� Cuvinte cheie
Termostat
Transformare monotermă
Transformare reversibilă
supus unei transformări ciclice, monoterme,
reversibile.
� Transformarea monotermă
este transformarea în care sistemul
termodinamic este în contact cu un
termostat.
� Transformarea reversibilă este transformarea care poate fi
parcursă de la o stare A la o stare B sau de la starea B la starea A
trecând prin aceeaşi succesiune de stări (evident, în sensuri contrare).
� Conform primului principiu al termodinamicii, variaţia energiei interne
fiind nulă, rezultă că lucrul mecanic total efectuat în cursul transformării
ciclice, monoterme, reversibile este egal cu căldura schimbată cu
termostatul :
L = Q
Cum putem interpreta o asemenea relaţie ? Evident, putem spune că ea este
echivalentă afirmaţiei : căldura se poate transforma integral în lucru
mecanic sau invers. Experimental se poate verifica dacă această afirmaţie
este sau nu adevărată.
Există trei cazuri :
1. Sistemul primeşte căldură din exterior (Q > 0), pe care o transformă
integral în lucru mecanic făcut asupra exteriorului (L > 0). O maşină termică
capabilă de o asemenea acţiune se numeşte perpetuum mobile de speţa a
doua. Numeroasele experienţe făcute pentru a constata dacă aşa ceva este
posibil au avut rezultate negative.
149

2. Sistemul cedează căldură spre exterior (Q < 0), pe seama lucrului
mecanic pe care îl primeşte din exterior (L < 0). Transformarea ciclică
monotermă fiind reversibilă, posibilitatea de a realiza în practică un
asemenea proces este exclusă pentru că parcurgând ciclul în sens invers am
ajunge în prima situaţie, aceea care nu a putut fi confirmată experimental.
3. Atât lucrul mecanic total, cât şi căldura totală sunt nule. Aceasta este
singura posibilitate care se poate confirma experimental.
Tragem de aici următoarea concluzie experimentală :
� Într-o transformare ciclică, monotermă, reversibilă căldura totală şi
lucrul mecanic total sunt nule.
Dacă transformarea este ciclică şi monotermă, dar nu este şi
reversibilă, experimental se poate constata doar că sistemul termodinamic
primeşte lucru mecanic din exterior şi furnizează căldură exteriorului.
Tragem de aici următoarea concluzie experimentală :
� Într-o transformare ciclică, monotermă, ireversibilă sistemul
termodinamic primeşte lucru mecanic din exterior.
� Cuvinte cheie
Al doilea principiu al
termodinamicii
Generalizarea acestor constatări
experimentale a condus la formularea celui deal
doilea principiu al termodinamicii (această
formulare aparţine lui William Thomson, lord
Kelvin).
ÎNTR-O TRANSFORMARE CICLICĂ, MONOTERMĂ SISTEMUL
TERMODINAMIC NU POATE EFECTUA LUCRU MECANIC ASUPRA
EXTERIORULUI. DACĂ TRANSFORMAREA ESTE ŞI IREVERSIBILĂ,
SISTEMUL TERMODINAMIC PRIMEŞTE LUCRU MECANIC DIN
EXTERIOR.
Al doilea principiu al termodinamicii
O formulare echivalentă aparţine lui Clausius :
� Nu este posibilă trecerea de la sine a căldurii de la un corp
cu temperatură mai scăzută la un corp cu temperatură mai
ridicată.
150

În fine, consecinţa inginerească cea mai importantă este aceea că nu se
poate construi o maşină termică care să transforme integral căldura primită în
lucru mecanic. Aşadar :
� Nu se poate construi un perpetuum mobile de speţa a
doua.
7.7. CONSECINŢE ALE PRINCIPIULUI AL
DOILEA AL TERMODINAMICII
7.7.1. Ciclul Carnot
Concluzia celor discutate până acum este că orice maşină termică poate
furniza lucru mecanic în exterior doar dacă este pusă în contact cu minimum
două surse de căldură (termostate).
� Cuvinte cheie
Ciclu Carnot
Randamentul unei maşini
termice
� Motorul termic este o
maşină termică care furnizează lucru
mecanic în exterior, funcţionând
conform unui ciclu termodinamic.
� Cel mai simplu ciclu termodinamic după care ar putea
funcţiona un motor termic se numeşte ciclu Carnot.
� Un ciclu Carnot este format din două transformări adiabatice
şi două transformări izoterme, în cursul cărora sistemul termodinamic
este pus în contact cu termostatele. Unul dintre termostate are rolul de
a ceda căldură motorului termic, iar celălalt de a prelua căldură de la
acesta.
Deoarece orice motor termic funcţionează ciclic, variaţia totală a energiei
interne în cursul unui ciclu este nulă. Conform primului principiul al
termodinamicii, ne rămâne relaţia :
Q + Q = L
primit cedat total
În această relaţie Qprimit şi Ltotal au valori pozitive, iar Qcedat valoare negativă.
� Randamentul unui motor termic este definit prin relaţia
Ltotal
η =
Q
primit
Înlocuind expresia lucrului mecanic total, obţinem :
151

p
A
izotermă Tc
Qcedat
Qcedat
η = 1 + sau η = 1−
Qprimit
Qprimit
În cazul ciclului Carnot, se primeşte
adiabată
D
B
adiabată
căldură pe izoterma Tc şi se cedează căldură
pe izoterma Tr. Randamentul ciclului Carnot
este :
izotermă Tr
C
V
QCD
ηC = 1 +
QAB
Utilizând expresiile corespunzătoare
transferului de căldură în transformarea
izotermă, rezultă :
VD
VD
νRTr
ln Tr
ln
VC
VC
ηC = 1 + = 1+
VB
VB
νRTc
ln Tc
ln
VA
VA
În cele două transformări adiabatice, putem scrie :
p
B
V
γ
B
=
p
C
V
γ
C
⇒
νRTc
V
V
B
γ
B
νRTr
= V
V
γ
p V
D D
γ
= p V
A A ⇒
νRTr
γ νRTc
VD
= V
VD
VA
Rezultă :
VD
VA
=
VC
VB
⇒
VD
V
ln = ln
VC
V
Expresia randamentului ciclului Carnot devine :
C
T
ηC = 1 −
T
r
c
γ
C
γ
A
A
B
⇒
⇒
V
V
V
= −ln
V
� Randamentul ciclului Carnot depinde doar de temperaturile
absolute ale izvoarelor de căldură (termostatelor) şi nu depinde de
natura gazului ideal participant la ciclu.
Ţinând cont şi de expresia randamentului în funcţie de căldurile schimbate în
cursul ciclului Carnot, rezultă :
QCD
Tr
QAB
QCD
= − ⇒ + = 0
Q
AB
T
c
C
D
B
A
= V
= V
� Într-un ciclu Carnot, suma rapoartelor dintre căldurile schimbate cu
fiecare dintre termostate şi temperaturile acestora este nulă.
152
T
c
T
r
B
A
⎛ T
⎜
⎝ T
c
r
⎛ T
⎜
⎝ T
c
r
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
1
γ−1
1
γ−1

7.7.2. Maşini termice biterme, teorema lui
Carnot
T1
Q1 MT Q2
T2
Să considerăm un motor termic
biterm, care funcţionează cu
termostatele de temperaturi T1 > T2. De
asemenea considerăm şi un ciclu
Q’1 C
Q’2 Carnot, parcurs în sens invers (el nu
funcţionează ca motor termic).
Alegem cantitatea de gaz care participă
la ciclul Carnot astfel încât căldura primită de termostatul de temperatură T2 să
fie egală în modul cu căldura cedată de acesta ciclului Carnot :
Q
2
+ Q'
� În acest mod, ansamblul motor termic-ciclu Carnot nu schimbă căldură
cu termostatul de temperatură T2, iar transformările care au loc
alcătuiesc un ciclu monoterm.
� Conform celui de-al doilea principiu al termodinamicii, lucrul mecanic
total nu poate fi decât negativ (sistemul primeşte lucru mecanic din
exterior)
= L + L = Q + Q + Q'
+ Q'
= Q + Q'
+ Q + Q'
= Q + Q'
≤
Lt t , MT t , C
2
= 0
( ) ( ) 0
1
2
În ciclul Carnot :
T1
Q'1 = −Q'2
T2
Conform condiţiei impuse Q’2 = -Q2, rezultând :
T1
Q2
T2
Q2
T
Q1 + Q2
≤ 0 ⇒ + ≤ 0 ⇒ 1+
≤1
−
T2
Q1
T1
Q1
T
sau :
1 −
Q
Q
2
1
1
T
≤1
−
T
2
1
� Randamentul oricărui motor termic biterm este mai mic sau cel mult
egal cu randamentul unui ciclu Carnot care s-ar desfăşura între aceleaşi
temperaturi extreme.
2
⇔
1
η ≤
Această concluzie poartă numele de teorema lui Carnot.
153
1
η
C
2
2
2
1
1
1

7.7.3. Inegalitatea lui Clausius, entropia
Fie o transformare ciclică oarecare.
Considerăm o porţiune foarte mică MN,
M suficient de mică pentru ca temperatura să
poată fi considerată constantă şi egală cu
Ti
Ti. În transformarea MN, sistemul
termodinamic schimbă cu exteriorul
căldura dQi. Considerăm şi un ciclu
2 Carnot care, funcţionând între
temperaturile Ti şi T0, schimbă căldura
dQ’i, astfel încât :
N
1
dQi
+ dQ'i
= 0
Pentru ciclul Carnot este valabilă relaţia :
δQ
'i
δQ'i
, 0
+ = 0
Ti
T0
Rezultă :
d Qi
dQ'i
, 0 dQi
dQ'i
, 0
− + = 0 ⇒ =
Ti
T0
Ti
T0
Pentru tot ciclul :
dQi
1 Q'0
∫ = dQ'i
, 0
Ti
T ∫ =
0 T0
Căldura totală schimbată în cursul ciclului este :
Q t = ∫ [ dQi
+ ( dQ'i
+ dQ'i
, 0 ) ] = ∫[
dQi
, 0 + ( dQi
+ dQ'i
) ] = ∫ dQ'i
, 0 = Q'0
Condiţia d Qi
+ dQ'i
= 0 are drept consecinţă faptul că procesul ciclic
considerat (împreună cu ciclurile Carnot) formează o transformare ciclică
monotermă. Conform principiului al doilea al termodinamicii, rezultă :
0 0 0 ≤ ⇒ ≤ ' Q
Qt Căldura Q’0 fiind negativă, mai rezultă :
dQi
∫ ≤ 0
T
� Această relaţie se numeşte inegalitatea lui Clausius.
i
� Dacă ciclul este reversibil (Qt = 0) şi dacă considerăm stările 1 şi 2 de pe
parcursul său, putem scrie :
( 2)
() 1
( 2)
( 1)
( 2)
dQrev dQrev
dQrev
dQrev
dQrev
dQrev
∫ = ∫ + ∫ = 0 ⇒ ∫ = − ∫ =
T T T
T T ∫ T
() 1
( 2)
154
() 1
( 2)
() 1

� Relaţia ne arată că integrala mărimii dQrev/T depinde de starea iniţială şi
finală, dar nu depinde de şirul de stări prin care trece sistemul
termodinamic, ceea ce înseamnă că mărimea dQrev/T este de fapt variaţia
foarte mică a unei funcţii de stare.
În consecinţă, putem formula următoarea definiţie :
� Într-un proces reversibil, mărimea dQrev/T este variaţia
foarte mică a unei funcţii de stare pe care o numim entropie.
dQrev
dS =
T
� Dacă ciclul este ireversibil stările 1 şi 2 de pe parcursul său (în porţiunea
care trece prin M sau N) şi reversibil între stările 2 şi 1, atunci procesul complet
este ireversibil şi Qt < 0. Rezultă :
( 2)
( 1)
dQ dQirev
dQrev
∫ = ∫ + ∫ < 0
T T T
Cum :
rezultă :
() 1
∫
( 2)
() 1
( 1)
( 2)
( 2)
dQrev = dS = S1
− S
T ∫
( 2)
∫
() 1
dQirev < S2
− S
T
Incluzând atât procesele reversibile, cât şi cele ireversibile, putem scrie :
( 2)
dQ
S 2 − S1
≥ ∫ T
Considerând că în procesul 1 → 2 sistemul este izolat de exterior (dQ = 0),
rezultă :
S 2 − S1
≥ 0
Aceasta înseamnă că în procesul ireversibil entropia creşte, iar în cel reversibil
entropia rămâne constantă.
Pornind de la aceste observaţii, se poate da o nouă formulare a
principiului al doilea al termodinamicii :
� Există o funcţie de stare denumită entropie, definită prin
relaţia dS = dQ/T, a cărei valoare creşte în procesele ireversibile pe
care le suferă un sistem termodinamic izolat şi rămâne constantă în
procesele reversibile.
155
() 1
1
2

� Faptul că entropia creşte în cursul proceselor ireversibile ale unui sistem
termodinamic izolat ne arată că entropia este legată de sensul de
desfăşurare pe care îl poate avea o transformare termodinamică.
În cazul unui fluid, după definirea entropiei, principiul întâi şi principiul
al doilea ale termodinamicii se pot reuni într-o singură relaţie matematică :
dU = TdS − pdV
7.8. APLICAŢII ALE PRINCIPIULUI AL
DOILEA AL TERMODINAMICII
obţinem :
Ştiind că :
şi că :
7.8.1. Calculul entropiei gazului ideal
Din relaţia :
ajungem la relaţia :
Prin integrare :
dU = TdS −
pdV
dU + pdV
dS =
T
pV = νRT
dU = νCV
dT
⇒
p
T
dT
dS = νCV
+ νR
T
νR
=
V
dV
V
T
V
dT dV
S − S0
= νCV
∫ + νR
= νCV
T ∫ V
T
V
0
0
ln
T
T
0
+ νRln
sau :
S( V , T ) = νCV
lnT
+ νRlnV
+ const
Aceasta este expresia entropiei unui gaz ideal.
Deşi entropia se exprimă în general ca funcţie de volum şi temperatură, se
poate găsi şi expresia entropiei în funcţie de presiune şi temperatură. Din ecuaţia
de stare a gazului ideal, putem obţine :
156
V
V
0

pV = νRT
⇒
νRT
V =
p
⇒ lnV
= lnT
− ln p + ln
+
Înlocuind în formula entropiei, rezultă :
p,
T = νC
lnT
+ νR
lnT
− ln p + const + const = ν C + R lnT
− νRln
p +
( νR)
= lnT
− ln p const
( ) ( ) ( ) const
S V
V
Din relaţia Robert-Mayer :
C + R = C
astfel încât în final rezultă :
S p,
T = νC
p lnT
− νRln
p +
V
( ) const
7.8.2. Creşterea entropiei unui sistem izolat de
exterior
Vom considera un sistem termodinamic simplu, format din două corpuri
identice care au iniţial temperaturi diferite (de exemplu, două cărămizi).
Corpurile sunt puse în contact şi izolate adiabatic de exterior, fiind astfel
împiedicate să schimbe căldură cu exteriorul. Pentru că volumul corpurilor
rămâne practic constant, rezultă că sistemul nu schimbă nici lucru mecanic cu
exteriorul. Ca urmare, putem afirma că sistemul este izolat de exterior.
Consecinţa este aceea că variaţia energiei interne a sistemului este nulă :
∆U = 0
Energia internă este funcţie de stare aditivă, adică variaţia energiei interne a
sistemului este egală cu suma variaţiilor de energie internă ale fiecăruia dintre
cele două corpuri :
∆U = ∆U1
+ ∆U
2 = 0
Principiul întâi al termodinamicii este valabil pentru fiecare corp, astfel încât :
( Q 1 − L1
) + ( Q2
− L2
) = 0
Volumul corpurilor solide se modifică în mod neglijabil la variaţii nu prea mari
de temperatură şi, prin urmare, lucrul mecanic de dilatare sau contracţie este nul:
L1, L2 = 0. Ne rămâne :
Q 1 + Q2
= 0
Căldura este proporţională cu variaţia de temperatură, cu masa şi cu căldura
specifică. Corpurile fiind identice, rezultă :
T1
+ T2
mc(
T − T1
) + mc(
T −T2
) = 0 ⇒ T =
2
unde T1 şi T2 sunt temperaturile iniţiale, iar T este temperatura finală (adică
aceea atinsă la stabilirea echilibrului termic al sistemului).
Variaţia de entropie a primului corp se calculează astfel :
157
p

dQ
∆S' = S'
f −S'i
= ∫ =
T ∫
T
T
1
T
T
1
mc
T
dT
=
mcln
Analog se obţine variaţia de entropie a corpului al doilea :
T
S" f − S"
i = mcln
T2
Entropia este şi ea o funcţie de stare aditivă, aşa încât :
2
⎛ T T ⎞ T
S f − Si
= ( S'
f −S'i
) + ( S"
f −S"
i ) = mc ⎜
⎜ln
+ ln = mcln
T1
T ⎟
⎝
2 ⎠ T1T
2
Înlocuind expresia temperaturii de echilibru, rezultă :
2
2 2
( T1
+ T2
) T1
+ T2
+ 2T1T
2
S f − Si
= mcln
= mcln
4T1T 2
4T1T
2
Putem scrie :
2 2
2
T1
+ T2
− 2T1T
2 + 4T1T
⎡ 2 ( T1
− T2
) ⎤
S f − Si
= mcln
= mcln⎢1
+ ⎥ > 0
4T1T
2
⎣ 4T1T
2 ⎦
� Concluzia este aceea că transferul de căldură de la un corp mai
fierbinte la unul mai rece, în condiţiile în care sistemul de corpuri este
izolat de exterior, este un proces ireversibil. Cu alte cuvinte, este
imposibil ca două corpuri care au aceeaşi temperatură să-şi transfere
spontan căldură, astfel ca unul dintre ele să se încălzească, iar celălalt să se
răcească.
� Prin intervenţia factorilor externi (care efectuează lucru mecanic)
este totuşi posibilă trecerea căldurii de la corpurile reci la cele calde.
Acesta este cazul frigiderelor.
7.9. AL TREILEA PRINCIPIU AL
TERMODINAMICII
Aşa cum am discutat deja, entropia este definită până la o constantă aditivă
arbitrară. Un mare număr de rezultate experimentale au indicat că în vecinătatea
temperaturii absolute nule, în sisteme termodinamice la echilibru, procesele
izoterme decurg fără variaţie de entropie.
Teorema lui Nernst, bazată pe aceste rezultate afirmă că :
158
T
T
1

� Teorema lui Nernst : în apropierea temperaturii de 0 K şi în
sisteme termodinamice la echilibru, entropia tinde către o valoare
constantă, independentă de temperatură.
Planck, la rândul său, a ajuns la concluzia că în toate sistemele
termodinamice entropia tinde către aceeaşi valoare când temperatura absolută
tinde către zero. Această valoare poate fi considerată nulă. Se obţine astfel al
treilea principiu al termodinamicii. Enunţul său este :
ENTROPIA TUTUROR CORPURILOR PURE CONDENSATE
TINDE LA LIMITĂ CĂTRE O VALOARE NULĂ CÂND
TEMPERATURA ABSOLUTĂ TINDE CĂTRE ZERO.
Al treilea principiu al termodinamicii
Acest enunţ este absolut echivalent cu următorul :
� Izoterma de zero absolut coincide cu adiabata de zero.
Un alt mod de a enunţa al treilea principiu al termodinamicii este următorul
� Temperatura de zero absolut nu poate fi atinsă în nici-un
mod experimental care să presupună un număr finit de paşi. În
consecinţă, putem să aducem temperatura absolută a unui sistem
termodinamic arbitrar de aproape de zero absolut, fără a putea
atinge vreodată punctul de zero.
În aparenţă, principiul al treilea al termodinamicii vine în contradicţie cu
unele afirmaţii din acest capitol. De exemplu, formula entropiei gazului ideal :
S( V , T ) = νCV
lnT
+ νRlnV
+ const
nu respectă condiţia de a se anula la anularea temperaturii absolute (S → -∞ ).
Cauza este aceea că ecuaţia de stare a gazului ideal, pe care se bazează
calculele care conduc la formula în discuţie, nu mai este valabilă în
vecinătatea lui zero absolut ! O substanţă aflată în stare de gaz ideal la zero
absolut nu ar putea constitui un sistem termodinamic la echilibru, aşa cum cere
principiul al treilea al termodinamicii. De aici rezultă că :
159

� Dacă sistemul termodinamic nu este în stare de echilibru, chiar dacă
temperatura absolută tinde către valori nule, entropia sistemului nu se
anulează.
Experienţele arată că această afirmaţie este valabilă pentru aliaje, corpuri amorfe
sau unii compuşi chimici, care nu se află în stare de echilibru.
160

CUPRINS
1. Analiza dimensională……………………………………………………..…....3
1.1. Măsurare, teorema fundamentală a unităţilor de măsură………………..3
1.2. Sisteme de unităţi de măsură, Sistemul Internaţional de Unităţi de măsură
(SI).............................................................................................................................4
1.3. Omogenitatea dimensională a legilor fizicii, formula dimensională a unei
mărimi fizice………………………………………………………………………….9
1.4. Metoda Rayleigh………………………………………………............12
2. Mecanica clasică……………………………………...……………………….15
2.1. Introducere……………………………………………………………..15
2.2. Cinematica……………………………………………………………..15
2.2.1. Relativitatea mişcării şi a repausului…………………………………..18
2.2.2. Principalele mărimi cinematice………………………………………..19
2.2.3. Clasificarea mişcărilor după traiectorie şi legea de mişcare…………...23
2.2.4. Transformarea Galilei………………………………………………….25
2.3. Dinamica……………………………………………………………….27
2.3.1. Forţe……………………………………………………………………27
2.3.2. Principiile dinamicii newtoniene………………………………………30
2.3.2.1. Principiul inerţiei ……………………………………………...30
2.3.2.2. Sisteme de referinţă inerţiale şi sisteme de referinţă neinerţiale32
2.3.2.3. Principiul fundamental al dinamicii…………………………...32
2.3.2.4. Principiul acţiunii şi al reacţiunii……………………………...33
2.3.2.5. Principul acţiunii independente a forţelor simultane………….34
2.3.3. Principiul relativităţii în mecanica clasică……………………………..35
2.3.4. Principalele mărimi de stare în dinamică………………………………36
2.3.5. Teorema variaţiei impulsului…………………………………………..38
2.3.5.1. Teorema variaţiei impulsului pentru un punct material……….38
2.3.5.2. Teorema variaţiei impulsului pentru un sistem de puncte materiale……………………………………………………………………………………39
2.3.6. Teorema variaţiei energiei cinetice…………………………………….41
2.3.6.1. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un punct material…41
2.3.6.2. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un sistem de puncte
materiale……………………………………………………………………………..42
2.3.7. Forţe conservative, energie potenţială…………………………………43
2.3.7.1. Relaţia între forţă şi energia potenţială………………………..45
2.3.8. Teorema variaţiei energiei mecanice pentru un sistem de puncte materiale……………………………………………………………………………………..46
2.3.9. Teorema variaţiei momentului cinetic…………………………………47
2.3.9.1. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un punct material……………………………………………………………………………………..47
2.3.9.2. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un sistem de puncte
materiale …………………………………………………………………………49
3. Mecanica relativistă ……………………………………………….……51
161

3.1. Experienţa lui Michelson şi Morley……………………………………51
3.2. Transformările de coordonate şi timp Lorentz – Einstein……………...55
3.2.1. Consideraţii introductive,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,55
3.2.2. Aplicarea principiului relativităţii……………………………………...56
3.2.3. Principiul invarianţei vitezei luminii în vid……………………………60
3.3. Consecinţe cinematice ale transformărilor Lorentz-Einstein…………..63
3.3.1. Contracţia lungimilor…………………………………………………..63
3.3.2. Dilatarea timpului……………………………………………………...65
3.3.3. Compunerea relativistă a vitezelor…………………………………….66
3.3.4. Invarianţa intervalului de lungime spaţio-temporal……………………68
3.4. Consecinţe dinamice ale transformărilor de coordonate Lorentz-
Einstein………………………………………………………………………………69
3.4.1. Transformarea impulsului şi energiei………………………………….70
3.4.2. Relaţia între impuls şi energie, invarianţa acesteia la transformarea de
coordonate Lorentz-Einstein…………………………………………………………72
3.4.3. Energia de repaus, relaţia lui Einstein dintre masă şi energie, alte relaţii
ale dinamicii relativiste………………………………………………………………73
4. Oscilaţii mecanice……………………………………………………………..77
4.1. Noţiuni introductive……………………………………………………77
4.2. Compunerea oscilaţiilor armonice……………………………………..78
4.2.1. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi frecvenţă şi direcţii paralele….78
4.2.2. Compunerea oscilaţiilor paralele de frecvenţe apropiate, fenomenul de
bătăi ………………………………………………………………………………….80
4.2.3. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi frecvenţă şi direcţii perpendiculare……………………………………………………………………………………..82
4.2.4. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de frecvenţe diferite, figurile
Lissajous……………………………………………………………………………..84
4.3. Tipuri de mişcări oscilatorii……………………………………………86
4.3.1. Mişcarea oscilatorie armonică…………………………………………86
4.3.2. Mişcarea oscilatorie amortizată………………………………………..89
5. Unde mecanice………………………………………………………………...95
5.1. Noţiuni introductive……………………………………………………95
5.2. Soluţii ale ecuaţiei undelor în unele cazuri particulare………………...98
5.2.1. Soluţia generală a ecuaţiei undei plane ………………………………...98
5.2.2. Soluţia ecuaţiei undelor sferice……………………………………….101
5.3. Unde elastice longitudinale…………………………………………...102
5.3.1. Viteza de propagare a undelor elastice longitudinale………………...104
5.3.1.1. Viteza de propagare a undelor longitudinale în fluide….105
5.3.2. Densitatea de energie în cazul undelor longitudinale………………...108
5.3.3. Transportul de energie………………………………………………..109
5.4. Dispersia undelor……………………………………………………..111
5.5. Efectul Doppler……………………………………………………….114
5.6. Noţiuni de acustică……………………………………………………117
5.6.1. Generalităţi……………………………………………………………117
5.6.2. Câmp sonor, presiune sonoră…………………………………………118
162

5.6.3. Caracteristicile sunetelor……………………………………………..119
5.6.3.1. Tăria…………………………………………………….119
5.6.3.2. Înălţimea şi timbrul……………………………………..121
6. Gazul ideal……………………………………………………………………123
6.1. Legile experimentale ale gazului ideal………………………………..123
6.1.1. Legea transformării izocore…………………………………………..123
6.1.2. Transformarea izobară………………………………………………..124
6.1.3. Transformarea izotermă………………………………………………125
6.1.4. Legea lui Avogadro…………………………………………………..126
6.2. Transformarea generală a gazului ideal, ecuaţia de stare a gazului
ideal………………………………………………………………………………...127
6.2.1. Ecuaţia transformării generale a gazului ideal………………………..127
6.2.2. Ecuaţia de stare a gazului ideal……………………………………….128
7. Elemente de termodinamică………………………………………………...131
7.1. Noţiuni introductive…………………………………………………..131
7.2. Postulatele termodinamicii……………………………………………133
7.3. Ecuaţiile termice de stare şi ecuaţia calorică de stare………………...134
7.3.1. Ecuaţiile de stare calorică şi termică pentru gazul ideal……………...135
7.4. Primul principiu al termodinamicii…………………………………...136
7.5. Aplicaţii ale primului principiu al termodinamicii…………………...140
7.5.1. Coeficienţi calorici ……………………………………………………140
7.5.2. Relaţia Robert-Mayer pentru fluide…………………………………..142
7.5.3. Lucrul mecanic, căldura şi variaţia de energie internă în transformarea
politropă a gazului ideal……………………………………………………………144
7.6. principiul al doilea al termodinamicii………………………………...149
7.7. consecinţe ale principiului al doilea al termodinamicii………………151
7.7.1. Ciclul Carnot………………………………………………………….151
7.7.2. Maşini termice biterme, teorema lui Carnot………………………….153
7.7.3. Inegalitatea lui Clausius, entropia…………………………………….154
7.8. Aplicaţii ale principiului al doilea al termodinamicii………………...156
7.8.1. Calculul entropiei gazului ideal………………………………………156
7.8.2. Creşterea entropiei unui sistem izolat de exterior…………………….157
7.9. Al treilea principiu al termodinamicii………………………………...158
163