[BY RIKI]3as-mathematiques-as_t3-2015-4

0.
75
0.
25
0.
5
1
u n 1
1
2 u 1
n
ومنھ :
0
u
2un
2un
11 1
1
2un 1 2un 1 2un
1
1
، n
2
n1
u n
لدینا :
أ)‏ البرھان على أنھ من أجل كل عدد طبیعي
نسمي Pn
من أجل
اذن
ھذه الخاصیة .
P n صحیحة من أجل
نفرض صحة
وبالتالي
ومنھ
أي نفرض أنَ‏ :
و
أي
أي
ونبرھن صحة
أي نبرھن
1 1 1
1
0 u0
0 u0
: لدینا n 0 -1
2 5 2
5
. n 0
1
Pn 1
0 u n
2
Pn
-2
1
. 0 un
1
أنَ‏ :
2
1
1
2u n
1
2 0 2u n
1
0 u n
لدینا :
2
1 1 1 1
1 1
2u n
1 2 2 2u n
1
1
1 1
Pn 1 صحیحة .
0 un
1
0 1
وأخیرا :
2
2 1 2
. n
إذن
أي
ومنھ
u n
حسب مبدأ الاستدلال بالتراجع فان
Pn صحیحة من أجل كل عدد طبیعي
u
u
u
1
2u
،
n
-3
-
-2
ب)‏ التحقق انھ من أجل كل عدد طبیعي
n n
n1
n
2un
1
2 2
2un 2un 2un un un 2u
u
n n
n1
n
n
un un un un
1
2un
. u u u
2 1 2 1 2 1 2 1
u متزایدة :
0 1
2 1
u
0
n
u n
u
n1
u
u
n
u
n
-
لدینا :
تبیان أن المتتالیة
ندرس اشارة الفرق :
n1
n
un
1
2un
n
- لدینا :
2un
1
1
1 2u n
0 0 u n
ولدینا :
2
1
0 un
1 2un
وبالتالي :
2
1 1
1
ولدینا :
2 2 1
ومنھ
ومنھ
أي
1
2un
1
2u
1 2
n
u
n
n
u n
u
n 1
u
n
أي 0
وبالتالي المتتالیة
متزایدة.‏
-
-
0.
5
1
.
2
:
u
n
n
ج)‏ دراسة تقارب المتتالیة
متزایدة ومحدودة من الأعلى بالعدد
فھي متقاربة وتتقارب من العدد
1
2
lim u
n
n
1
2
:
u
n
n
u
n
n
تعیین نھایة المتتالیة
4