1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční ...

2012- a3b2/1df.tex
1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost.
Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
1. Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2
vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená:
a) f(x, y) = 2x + 3y − 1.
Řešení: Funkce je definována pro všechny hodnoty x a y, tedy
Df = R 2 . Množina R 2 má všechny své body vnitřní, je tedy otevřená.
Vnější a hraniční body nemá, je tedy zároveň uzavřená.
b) f(x, y) =
1
√x 2 +y 2 .
Řešení: Funkce je definována pro všechny hodnoty, kde je jmenovatel
zlomku nenulový. To je všude, kromě bodu(0, 0). Je tedy
Df = R 2 − {(0, 0)}. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená.
Hraničním bodem je jediný bod a sice bod (0, 0).
c) f(x, y) = x+y
x−y .
Řešení: Funkce je definována všude, kde je jmenovatel nenulový. Je tedy
Df = {(x, y); x = y}. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená.
Hraničními body jsou body přímky {(x, y); x = y}.
d) f(x, y) = √ x − y 2 .
Řešení: Funkce je definována všude, kde je výraz pod odmocninou nezáporný.
Je tedy Df = {(x, y); x ≥ y 2 }. Vnitřními body jsou body množiny
{(x, y); x ≥ y 2 }. Hraničními body jsou body paraboly {(x, y); x = y 2 } a
vnějšími body jsou body množiny {(x, y); x < y 2 }. Množina Df obsahuje
všechny své hraniční body, je tedy uzavřená.
e) f(x, y) = x y .
Řešení: Vyjádříme si funkci pomocí exponenciální funkce ve tvaru
f(x, y) = e yln x . Funkce je definována všude, kde je definován exponent. To
znamená, že Df = {(x, y); x > 0}. Množina má pouze vnitřní body, je
tedy otevřená. Hranicí je přímka {(x, y); x = 0}.
f) f(x, y) = arcsin x+y
x−y .
Řešení: Funkce je definována v bodech , kde x = y a kde je
≤ 1. Je tedy
−1 ≤ x+y
x−y
−x + y ≤ x + y ≤ x − y ∧ x > y ⇒ x ≥ 0 ∧ y ≤ 0 ∧ x > y
1

a
−x + y ≥ x + y ≥ x − y ∧ x < y ⇒ x ≤ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x < y.
Tedy Df = {(x, y); (x, y) = (0, 0), ((x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∪ (x ≤ 0 ∧ y ≥ 0))}.
Vnitřní body jsou body množiny
{(x, y); (x > 0 ∩ y < 0) ∪ (x < 0 ∩ y > 0)}. Hraniční body jsou body
přímek {(x, y); x = 0 ∨ y = 0}. Množina Df není tedy ani otevřená ani
uzavřená.
2. Určete definiční obor Df, vrstenice grafu a obor hodnot Hf funkce:
a) f(x, y) = x 2 + y 2 .
Řešení: Je Df = R 2 a funkce f nabývá pouze nezáporných hodnot. Pro
její hladiny dostaneme podmínku:
x 2 + y 2 = k, k ≥ 0.
Hladinou je tedy kružnice se středem v bodě (0, 0) a poloměrem
r = √ k, která pro k = 0 splývá s počátkem. Je tedy Hf = 〈0, ∞) a funkce
f má v bodě (0, 0) minimum f(0, 0) = 0.
b) f(x, y) = |x| + |y|.
Řešení: Je Df = R 2 a funkce nabývá nezáporných hodnot. Pro hladiny
dostaneme rovnice
|x| + |y| = k, k ≥ 0.
Z vyjádření vyplývá, že hladina je množina souměrná vzhledem k osám x a
y, tedy i vzhledem k počátku. Stačí najít řešení v jednom kvadrantu, např.
pro x ≥ 0, y ≥ 0. Podmínce vyhovují body úsečky, která je částí přímky
x+y = k. Hladinou je tudíž čtverec s vrcholy v bodech (k, 0), (0, k), (−k, 0)
a (0, −k). Pro k = 0 dostaneme bod (0, 0). Obor hodnot funkce f je Hf =
〈0, ∞).
c) f(x, y) = e −xy .
Řešení: Funkce je definována v celem R 2 . Protože je exponenciální
funkce kladná, dostaneme pro hladiny rovnice
tedy
e −xy = k, k > 0 ⇒ −xy = ln k
y = −
ln k
, k = 1 a xy = 0, k = 1.
x
2

Protože mají rovnice řešení pro všechny hodnoty k > 0, je obor hodnot
Hf = (0, ∞).
d) f(x, y) = sin (x + y).
Řešení: Funkce je definována v celém R 2 . Funkce sinus nabývá hodnot
z intervalu 〈−1, 1〉 a tudíž pro hladiny dostaneme rovnice
sin (x + y) = k, −1 ≤ k ≤ 1.
Hladinou je soustava rovnoběžných přímek:
k = 1 : x + y = π
2 + 2nπ, n ∈ Z;
k = −1 : x + y = −π 2 + 2nπ, n ∈ Z;
−1 < k < 1 : x + y = arcsin k + 2nπ, x + y = π − arcsin k + 2nπ, n ∈ Z.
Oborem hodnot je interval 〈−1, 1〉.
e) f(x, y) = arctg y
x .
Řešení: Funkce arkustangens je definovaná v R a tedy je
Df = {(x, y); x = 0}. Protože je oborem hodnot funkce arkustangens
), dostaneme pro hladiny funkce f rovnice
interval (−π π
2 , 2
arctg y
x
= k, −π
2
< k < π
2
⇒ y = tg k x, x = 0.
Hladinami jsou přímky, které tvoří svazek procházející počátkem, ze kterých
je vynechán bod (0, 0). Oborem hodnot funkce f je interval Hf =
(−π π
2 , 2 ).
f) f(x, y) = x 2 + 3.
Řešení: Funkce f je definována v R 2 a vzorec pro výpočet funkční hodnoty
neobsahuje proměnnou y. Tato skutečnost se projeví tak, že jsou hladinami
přímky, které jsou rovnoběžné s osou y. Pro hladiny dostaneme
rovnice
x 2 + 3 = k ⇒ x 2 = k − 3 ⇒ x = ± √ k − 3, k ≥ 3.
Graf funkce f dostaneme tak, že graf funkce z = x 2 + 3, který nakreslíme
v rovině (x, z) posouváme ve směru osy y. Dostaneme plochu, které se říká
„válcová.
Limita a spojitost funkce
3. Vypočtěte limitu funkce v daném bodě, případně rozhodněte, kde je
funkce spojitá:
3

a) lim
(x,y)→(1,−2) x2 y;
Řešení: Funkce f(x, y) = x 2 y je definována a spojitá v R 2 . jejílimita je
tedy rovna funkční hodnotě a tudíž
b) lim
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(1,−2) x2 y = f(1, −2) = 1 2 . (−2) = −2.
xy
√ xy + 1 − 1 ;
Řešení: Daná funkce je definovaná pro (x, y) ∈ R 2 , pro která platí
xy ≥ −1 ∧ xy = 0.
Definičním oborem je část roviny mezi hyperbolami xy = −1, ze které jsou
vynechány osy. Na této množině je funkce spojitá a bod (0, 0) je hromadným
bodem definičního oboru. Pro limitu v tomto bodě dostaneme
lim
(x,y)→(0,0)
xy
√ xy + 1 − 1 =
= lim
(x,y)→(0,0)
c) lim
(x,y)→(0,2)
0
0
= lim
(x,y)→(0,0)
xy ( √ xy + 1 + 1)
xy + 1 − 1
sin (xy)
;
x
xy ( √ xy + 1 + 1)
( √ xy + 1 − 1)( √ xy + 1 + 1) =
= lim
(x,y)→(0,0) (xy
+ 1 + 1) = 2.
Řešení: Daná funkce je spojitá na svém definičním oboru, Df = {(x, y);
x = 0}, což je rovina s vynechanou osou y. Bod (0, 2) je tedy hromadným
bodem definičního oboru a pro limitu v tomto bodě dostaneme
lim
(x,y)→(0,2)
= ( lim
(x,y)→(0,2)
sin (xy)
x
=
0
0
y) ( lim
(x,y)→(0,2)
= lim
(x,y)→(0,2)
y sin (xy)
xy =
sin (xy)
) = 2 . 1 = 2.
xy
Při výpočtu jsme použili větu o limitě součinu a známé limity funkce sinus.
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x 2 + y 2;
Řešení: Funkce je definována a spojitá v R 2 − {(0, 0)}. Bod (0, 0) je
hromadným bodem definičního oboru a tedy můžeme limitu počítat. Po
dosazení dostaneme neurčitý výraz. K výpočtu použijeme metod funkce
4

jedné proměnné. Budeme počítat limitu po přímkách procházejících počátkem.
Nutnou podmínkou existence limity je, že jsou všechny limity stejné.
Je tedy
lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 = |y = kx, x → 0| = lim
+ y2 x→0
x2k x2 + k2 = lim
x2 x→0
k
1 + k 2.
Protože je tato limita závislá na směru, ze kterého limitu počítáme, limita
funkce neexistuje.
e) lim
(x,y)→(0,0)
x 2 y
x 2 + y 2;
Řešení: Funkce je definována a spojitá v R 2 − {(0, 0)}. Bod (0, 0) je
hromadným bodem definičního oboru a tedy můžeme limitu počítat. Po
dosazení dostaneme neurčitý výraz. Při výpočtu budeme počítat limity po
po přímkách jako v předchozí úloze. Je tedy
lim
(x,y)→(0,0)
x2y x2 = |y = kx, x → 0| = lim
+ y2 x→0
x3k x2 + k2 = lim
x2 x→0
xk
= 0.
1 + k2 Protože je tato limita nezávisí na směru, ze kterého limitu počítáme, může
limita funkce existovat a pokud ano bude rovna 0. Limitu ověříme pomocí
odhadu funkce pomocí výrazů jejíchž limitu známe. Je
(x ± y) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 ± 2xy + y 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 ≥ ±2xy ⇒
Je tedy
Protože je lim
x→0 |x| = 0, je
0 ≤
|f(x, y) − 0| =
x
lim
(x,y)→(0,0)
2y x2 + y2
x xy
x2
+ y2
≤ lim
x→0
tedy počítaná limita existuje a je rovna nule.
5
≤ |x|
2 .
|x|
2
= 0,
xy
x2
+ y2
≤ 1
2 .

Obrázky k příkladům 1 a 2
y
y
Df
x
❞
Df
x
Df
y
Df
1 a 1 b 1 c 1 d
y
y
y
y
Df
1
x
Df
❞
Df
x
1
x
k = 1
x
−1
y
Df
x
1
k = 1
❅
❅
❅
❅❅
1 e
y
1 f
y
2 a
y
2 b
y
❅ k = 1
k < 1 k > 1 ❅
❅
x
k > 1 k < 1
❅
❅
❅
❅ ❅
❅
❅
❅
❅
x
❅
k = 0 ❅
k = −1
❅
❅
❅
❅
❞
❅
❅ ❅
❅
x
k > 3
2 c 2 d 2 e 2 f
−1
1
x
x
k = 3
k > 3
Neřešené úlohy
1. Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2
vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená:
a) f(x, y) = y
x .
[Df = {(x, y); x = 0}. Množina Df je otevřená. Hranicí je přímka
{(x, y); x = 0}.]
b) f(x, y) = √ x 2 + y 2 .
[Df = R2 . Df je současně otevřená i uzavřená.]
1
c) f(x, y) = √x+ √ .
y
[Df = {(x, y); x+ √ y > 0, y ≥ 0}. Df není ani otevřená ani uzavřená.]
d) f(x, y) = 1 1
x + y .
[Df = {(x, y); x = 0 ∧ y = 0}. Df je otevřená.]
e) f(x, y) = ln (x + y).
[Df = {(x, y); x + y > 0}. Df je otevřená.]
2. Určete definiční obor Df, hladiny a obor hodnot Hf funkce:
6

a) f(x, y) = ln
√ 1
x2 +y2
.
[Df = {(x, y); (x, y) = (0, 0)}; Hf = R. Rovnice hladin
x2 + y2 = e −2k , k ∈ R.]
b) f(x, y) = 1
√
xy .
[Df = {(x, y); xy > 0}; Hf = (0, ∞). Rovnice hladin xy = 1
k 2, k > 0.]
c) f(x, y) = e −(x2 +y 2 ) .
[Df = R 2 ; Hf = (0, 1〉. Rovnice hladin x 2 + y 2 = −ln k, 0 < k ≤ 1.]
d) f(x, y) = 4x 2 + 9y 2 − 10.
[Df = R 2 ; Hf = 〈−10, ∞). Rovnice hladin 4x 2 + 9y 2 = 10 + k,
k ≥ −10.]
e) f(x, y) = √ 1 − 9x 2 − 4y 2 .
[Df = {(x, y); 9x 2 + 4y 2 ≤ 1}; Hf = 〈0, 1〉. Rovnice hladin jsou
9x 2 + 4y 2 = 1 − k 2 , 0 ≤ k ≤ 1.]
f) f(x, y) = xy
x+y .
[Df = {(x, y); x + y = 0}; Hf = R. Rovnice hladin
xy = k(x + y), x = y.]
Obrázky k úlohám 1 a 2
y
y
❅
Df Df
❅
Df
x
Df
x
❞
y
Df
x
Df
Df
❞
y
Df
Df
1 a ∗ 1 b ∗ 1 c ∗ 1 d ∗
❅
y
❅
Df
❅
x
❞
y
k = 0
x
❞
y
k = 1
x
x
y
0 < k < 1
k =
•
1
1 e ∗ 2 a ∗ 2 b ∗ 2 c ∗
y
k > −10
•
k = −10
x
•
k = 1
2 d ∗ 2 e ∗
y
k = 0
x
7
x