Matematik A, hhx, den 23. maj 2011 (pdf) - Undervisningsministeriet

harremoes.dk

Matematik A, hhx, den 23. maj 2011 (pdf) - Undervisningsministeriet

hhx-MAT/A-

Matematik A

Højere handelseksamen

1. Delprøve, uden hjælpemidler

kl. 9.00-10.00

Mandag den . maj

kl. . - .


Prøvens varighed er 1 time.

Matematik A

Prøven uden hjælpemidler

Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede

opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af

figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.


Opgave 1

Vektorerne a og b er givet ved

⎛2


a = ⎜ ⎟

⎝1


,

⎛− 2⎞

b = ⎜ ⎟

⎝ t ⎠

a) Bestem værdien af t , således at a og b er ortogonale.

Opgave 2

2

En funktion f er givet ved forskriften f ( x)

= 3x

+ 2 .

En stamfunktion F ( x)

= ∫ f ( x)

dx opfylder, at F ( 1)

= 1.

a) Bestem en forskrift for F (x)

.

Opgave 3

I trekant ABC kendes følgende størrelser:

a = 5

b = 10

sin( C)

=

0,

2

a) Bestem arealet af trekant ABC.

Opgave 4

Aldersfordelingen for kunderne i en

legetøjskæde er vist i sumkurven til højre.

a) Bestem kvartilsættet, og forklar hvad

værdien af disse tal fortæller om

kundernes alder.

Opgave 5

En pris-afsætningsfunktion er givet ved

p ( x)

= −2x

+ 10

hvor p (x)

er prisen pr. stk. i kr. ved en afsætning på x stk.

−1

1

−1

a) Gør rede for, at p x)

= − x + 5 og forklar betydningen af p ( 6)

.

( 2

C

1

0.75

0.5

0.25

a = 5

summeret frekvens

B

b = 10

Side 1 af 1 side

Side 1 af 1 side

10 20 30 40 50 60 70 80 90

alder

A


Undervisningsministeriet

Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001


hhx-MAT/A-

Matematik A

Højere handelseksamen

2. Delprøve

Mandag den . maj

kl. . - .


Prøvens varighed er 5 timer.

Matematik A

Prøven med hjælpemidler

Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede

opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres,

bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.

I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og

grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder ITværktøjer,

er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.


Side 1 af 8 sider

Opgave 1

Side 1 af 8 sider

Tabellen herunder viser fordelingen af 100 iværksætteres bruttoløn (i 1000 kr.) før start af egen

virksomhed.

Bruttoløn (i 1000 kr.)

] 0;

100]

] 100;

200]

] 200;

300]

] 300;

400]

] 400;

500]

Antal iværksættere 10 31 38 13 8

Kilde: www.startogvaekst.dk

a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen.

Fordelingen kan beskrives ved forskellige

statistiske deskriptorer, som f.eks.

typeinterval

median

kvartilsæt

gennemsnit

varians

standardafvigelse

b) Beskriv fordelingen ved hjælp af 2 statistiske deskriptorer.

Opgave 2

Vektorerne a og b er givet ved

⎛ 1 ⎞

a = ⎜ ⎟

⎝12⎠


⎛ 3 ⎞

og b = ⎜ ⎟ 2

⎝t



a) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b for t = 1.

b) Bestem de to værdier af t , hvor vektorerne a og b er parallelle.


Side 2 af 8 sider

Opgave 3

Graferne for udbuddet og efterspørgslen for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor.

150

100

P

50

pris

2

d(

x)

= 0,

5x

−16x

+ 175

2

s(

x)

= x + 15

mængde

2 4 6 8 10 12 14 16

Q

Udbuddet kan beskrives ved funktionen

2

s ( x)

= x + 15 , 0 < x < 16

hvor s (x)

angiver prisen pr. stk. ved en udbudt mængde på x stk.

Efterspørgslen kan beskrives ved funktionen

2

d ( x)

= 0,

5x

−16x

+ 175 , 0 < x < 16

hvor d (x)

angiver prisen pr. stk. ved en efterspurgt mængde på x stk.

Side 2 af 8 sider

Ligevægtsmængden Q og ligevægtsprisen P er bestemt ved, at udbud og efterspørgsel er lige store.

Ligevægtsmængden for den bestemte vare er Q = 8 stk.

a) Bestem ligevægtsprisen P .

Den samlede betalingsvillighed for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området under

grafen for efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q (det skraverede område).

b) Bestem den samlede betalingsvillighed.

Den samlede velfærdseffekt for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området mellem

graferne for udbuddet og efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q .

c) Bestem den samlede velfærdseffekt.


Side 3 af 8 sider

Opgave 4

Differentialkvotienten for en funktion f er givet ved

f ' ( x)

= ( x − 5)

⋅ x − 2 x > 2

Side 3 af 8 sider

For at bestemme monotoniforholdene for f bestemmes eventuelle nulpunkter for f ' ved at løse

ligningen

( x − 5)

⋅ x − 2 = 0 x > 2

a) Ligningen er løst nedenfor, og forklaringer til nedenstående løsning skal gives. Benyt bilag 1.

( − 5 ) ⋅ x − 2 = 0 x > 2

x f '( x)

sættes lig med 0 og ligningen løses for x > 2

x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 ___________________________________________

x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 ___________________________________________

x = 5 ∨ x = 2

___________________________________________

L = { 5}

___________________________________________

b) Bestem monotoniforholdene for funktionen f .

5

-5

y

f

2 4 6 8

x


Side 4 af 8 sider

Opgave 5

Grafen for en funktion f er vist i koordinatsystemet nedenfor.

y

-4 -2 2 4 6 8

f

Arealet af det skraverede område er 68. Det oplyses endvidere at f ( x)

dx = 52 .

a) Bestem integralet ∫ 8

4

f ( x)

dx .

8

∫−4 b) Bestem tallet k , så ( f ( x)

+ k)

dx = 112.

x

8

∫−4 Side 4 af 8 sider


Side 5 af 8 sider

Opgave 6

En virksomhed producerer og afsætter bl.a. varerne A og B.

Prisen p (x)

pr. stk. A kan bestemmes ved

p ( x)

= −0,

1x

+ 4 , 0 ≤ x ≤ 35

hvor x angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare A.

Prisen q (y)

pr. stk. B er bestemt ved

q ( y)

= −0,

1y

+ 8 , 0 ≤ y ≤ 50

hvor y angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare B.

Omsætningen for en vare er bestemt ved

omsætning = afsætning ⋅

pris pr.

stk.

Side 5 af 8 sider

a) Gør rede for, at den samlede ugentlige omsætning R for vare A og vare B er bestemt ved

2

2

R( x,

y)

= −0,

1x

+ 4x

− 0,

1y

+ 8y

Niveaukurven N(t) er givet ved R ( x,

y)

= t .

b) Gør rede for, at niveaukurven N ( 110)

er en cirkel.

Ud over begrænsningerne på x og y , er produktionen begrænset af, at virksomheden maksimalt

kan producere 70 stk. pr. uge, hvilket betyder at x + y ≤ 70 .

c) Bestem det antal stk. A og det antal stk. B, der skal produceres og afsættes pr. uge for at få

den størst mulige samlede ugentlige omsætning og bestem denne omsætning.


Side 6 af 8 sider

Opgave 7

Side 6 af 8 sider

Omkostningerne C (x)

og omsætningen R (x)

ved en afsætning på x stk. af en vare er bestemt ved

funktionerne

C(

x)

=

0,

04

R(

x)

= − 4x

x

2

3

− 4,

8x

+ 400x

2

+ 229x

+ 5100

,

0 ≤ x ≤ 100

,

0 ≤ x ≤ 100

Grænseomkostningerne GROMK og grænseomsætningen GROMS defineres som

GROMK ( x)

= C '(

x)

og GROMS ( x)

= R '(

x)

a) Bestem forskrifterne for GROMK (x)

og GROMS (x)

.

Det største overskud opnås ved den afsætning, hvor GROMK er lig med GROMS .

b) Bestem den afsætning, der giver det største overskud.

500

400

300

200

100

y

GROMS

overskud

GROMK

25 50 75 100

x


Side 7 af 8 sider

Opgave 8A

Af opgaverne 8A og 8B

må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis begge opgaver afleveres,

bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

Side 7 af 8 sider

En iværksætter ønsker at låne 100000kr. Banken tilbyder et annuitetslån, der skal betales tilbage

over 7 år med en fast årlig ydelse. Renten er 6% p.a.

a) Bestem den årlige ydelse for lånetilbuddet.

Iværksætteren vælger i stedet at betale en ydelse på 20 000 kr. om året. Renten er 6% p.a. og lånet

betales tilbage over 7 år. Den sidste ydelse er mindre end de 6 første ydelser.

Tabellen nedenfor viser de seks første terminer i en amortisationsplan for dette lån.

Termin

Primo

restgæld

b) Bestem størrelsen af den sidste ydelse.

Ydelse Rente Afdrag

Ultimo

restgæld

1 100 000,00 20 000,00 6 000,00 14 000,00 86 000,00

2 86 000,00 20 000,00 5 160,00 14 840,00 71 160,00

3 71 160,00 20 000,00 4 269,60 15 730,40 55 429,60

4 55 429,60 20 000,00 3 325,78 16 674,22 38 755,38

5 38 755,38 20 000,00 2 325,32 17 674,68 21 080,70

6

7

21 080,70 20 000,00 1 264,84 18 735,16 2 345,54


Side 8 af 8 sider

Opgave 8B

Side 8 af 8 sider

En virksomhed ønsker at anskaffe et antal nye printere. Virksomheden skal vælge mellem type A,

som både kan printe og kopiere samt type B, som kun kan printe. Lad x angive antal printere af

type A og lad y angive antal printere af type B.

Virksomheden har besluttet maksimalt at anvende 560 000 kr. til anskaffelse af printere.

Type A koster 80 000 kr. pr. stk. og type B koster 40000 kr. pr. stk.

Virksomheden har besluttet højst at anskaffe 8 nye printere, hvoraf mindst 2 skal være af

type A.

Begrænsningerne definerer følgende polygonområde, der også er gengivet i bilag 2.

6

5

4

3

2

1

y

x = 2

y = −x

+ 8

y = −2

x +

1 2 3 4 5 6 7

Kapaciteten for type A er opgivet til 1 500 print eller kopier i timen og for printer type B til 1 000

print i timen.

Den samlede kapacitet er givet ved funktionen f ( x,

y)

= 1500x

+ 1000y

.

a) Bestem det antal printere af type A og det antal printere af type B, der giver virksomheden

den størst mulige samlede kapacitet i timen.

b) Gør rede for, at kapaciteten for type A kan variere i intervallet [ 1000;

2000]

, hvis f stadig

skal antage sin største værdi i punktet bestemt i spørgsmål a).

14

x


Undervisningsministeriet

Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001


Bilag 1 til opgave 4 (med hjælpemidler).

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

( − 5 ) ⋅ x − 2 = 0 x > 2

x f '( x)

sættes lig med 0 og ligningen løses for x > 2

x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 __________________________________________

x − 5 = 0 ∨ x − 2 = 0 __________________________________________

x = 5 ∨ x = 2

__________________________________________

L = { 5}

__________________________________________


Bilag 2 til opgave 8B (med hjælpemidler).

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

6

5

4

3

2

1

y

x

= 2

y = −x

+ 8

y = −2

x +

1 2 3 4 5 6 7

14

x

More magazines by this user
Similar magazines