Temaopgave 4: Partielle differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

Det ses, at middeltemperaturen i ◦ C med rimelig tilnærmelse er givet ved v(t) = 8 + 8sin π 6 t , hvor tiden t m˚ales i m˚aneder, og april m˚aned svarer til t = 0. Temperaturen T(x,t) i jorden i afstanden x til overfladen og til tiden t opfylder varmeledningsligningen ∂T ∂t = D ∂2T , ∂x2 hvor konstanten D er den termiske diffusionskoefficient. (a) Bestem en positiv værdi af parameteren α, s˚aledes at T(x,t) = 8e −αx sin π 6 t − αx + 8 er løsning til varmeledningsligningen og opfylder den naturlige randbetingelse T(0,t) = v(t). (Denne randbetingelse udtrykker at overfladetemperaturen i jorden til enhver tid er den samme som lufttemperaturen). (b) Indsæt værdien D = 10 m 2 /m˚aned for den termiske diffusionskoefficient i løsningen fra (a) og besvar følgende spørgsm˚al: (i) Hvorn˚ar er overfladetemperaturen højest? (ii) Hvorn˚ar er temperaturen højest i 1 meters dybde? (iii) Hvor langt ned i jorden skal man, før temperaturen er mindre end 10 ◦ C ˚aret rundt? Opgave 3 (a) Vi betragter løsningen K(x,t) = c √ exp − t x2 4Dt til den partielle differentialligning ∂K ∂t = D ∂2K ∂x2 fra Eksempel 2 i noterne. Det tidspunkt tmax, hvor gennemstrømningen i dybden x er størst, er givet ved ∂K ∂t (x,tmax) = 0. Benyt udtrykket (11) for ∂K ∂t fra Eksempel 2 i noterne til at finde tmax som funktion af x, og find tmax n˚ar x = 30 cm, idet det oplyses at D = 1.5 cm 2 /time. Modellen fra Eksempel 2 i noterne er urealistisk, idet den ikke tager højde for konvektion (strømning). Det viser sig, at man f˚ar en bedre beskrivelse af situationen med den partielle differentialligning ∂K ∂t = D ∂2K ∂K − ν ∂x2 ∂x , hvor D er diffusionskoefficienten og hvor konstanten ν er et m˚al for strømningshastigheden. Man kan vise, at K(x,t) = c √ exp − t er løsning til den modificerede differentialligning. (x − νt)2 4Dt (∗)
(b) Vis at med K(x,t) givet ved (∗) gælder ∂K ∂t (x,t) = K(x,t) · x2 − 2tD − v2t2 4Dt2 . [Bemærk: dette er nok teknisk besværligt, selv om man bare skal differentiere et produkt af to funktioner] (c) Vis at det tidspunkt tmax hvor der i dybden x er størst gennemstrømning er givet ved tmax = x ⎛ 2 ⎝ D 1 + − ν νx D ⎞ ⎠ . νx (d) Vis at kvotienten tmax/(x/ν) er nær ved 1 n˚ar D/(νx) er nær ved 0. Benyt dette til at finde en tilnærmet værdi af tmax n˚ar x = 30 cm, idet det oplyses, at ν = 1.5 cm/time samt at D ikke overstiger 1.0 cm 2 /time. (e) (Valgfrit) Vis at der mere præcist gælder tmax x ν regel.] D − ν2 for D νx tæt ved 0. [Vink: l’Hospitals
Page 1: dL E2004 Opgave 1 Temaopgave 4: Par

Temaopgave 4: Partielle differentialligninger

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?