Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK – EN ... - Forlaget Biofolia

Uddrag af: 

Else Møller Nielsen 

MATEMATIK – EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE 

Forlaget Biofolia 

2007 

3 

 

Geometri 

53369_matematik_kap3net_5k.indd 1 01-12-2006 13:03:34


Eksperiment, beviser og matematisk teori – 

belyst gennem eksempler fra geometrien 

Formålet med dette afsnit er først og fremmest at påpege det vigtige i at 

eksperimentere sig til sammenhænge i faget. Da eksperimenterne imidlertid 

ikke kan stå alene, men bør afsluttes med en form for argumentation eller 

ræsonnement (lidt afhængigt af hvilket klassetrin vi taler om), vil vi også se 

på, hvad der forstås ved matematiske ræsonnementer eller beviser, og hvilken 

rolle de spiller i undervisningen. Afsluttende vil vi give et indtryk af, 

hvordan en matematisk teori kan opbygges, og her vil vi tage opbygningen 

af areallæren for plane figurer som eksempel. 

Et sådant overordnet emne, der her er på dagsordenen, belyses bedst ved 

at eksemplificere. Når geometrien er udvalgt for denne eksemplificering, så 

er det, fordi der her – mere end i nogen anden matematisk disciplin – er så 

rige muligheder for at eksperimentere, udvikle kompetencer til matematisk 

problemløsning og til at udføre ræsonnementer. 

Geometrien er nok det område, hvor det er lettest at nå nogle af undervisningens 

mere overordnede mål, bl.a. fordi vi her har så mange redskaber 

at arbejde med. Geometrien beskriver den fysiske verden. Der er noget, vi 

kan se, røre ved, tegne, måle og veje. Vi har desuden masser af konkrete 

materialer at arbejde med såsom plasticbrikker, der repræsenterer de geometriske 

former, centicubes, sømbrætter, måleinstrumenter, klippe-, klistre- og 

tegnerekvisitter. 

Vigtigheden af, at eleverne selv inddrages i opbygningen af matematikken, 

fremgår helt klart af fagets formål stk. 2. Heri hedder det bl.a., at eleverne 

skal erfare, at “matematikken både er et redskab til problemløsning og 

et kreativt fag”. Videre står der, at undervisningen skal give dem “mulighed 

for indlevelse og fremme deres fantasi og nysgerrighed”. Eleverne 

skal derfor have lov at bruge deres kreativitet og nysgerrighed til at løse 

matematiske problemer. De skal i videst mulig omfang opbygge deres 

egen matematik ved at eksperimentere sig frem til sammenhænge. Dette 

synspunkt gennemsyrer hele faghæftet. Men der står også i formålet, at 

“analyse og argumentation skal indgå i arbejdet”, hvorfor vi også vil se på 

den rolle, som argumenter, ræsonnementer og egentlige beviser spiller i 

undervisningen. 

Begrebet matematisk teori hører ikke hjemme i folkeskolens undervisning, 

men det medtages her, fordi en lærer må vide noget om sammen- 

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 


hængen mellem fagets elementer. Om hvordan nye begreber bygges op af 

tidligere lærte begreber, hvordan nye sætninger udledes af tidligere beviste 

sætninger i et sammenhængende system, der hedder en matematisk teori. 

Med areallæren for plane polygoner som eksempel på en aksiomatisk opbygget 

teori opnår vi – foruden at belyse begrebet matematisk teori – at indlede 

geometribeskrivelsen med en grundig indføring i arealbegrebet. 

Om at eksperimentere i matematikundervisningen 

Matematiske sammenhænge og sætninger opstår ikke ud af intet, men er et 

resultat af observationer og ofte utallige eksperimenter, der giver anledning 

til opstilling af en hypotese om en formodet sammenhæng, og denne hypotese 

kan så efterprøves med flere eksperimenter. Disse kan enten forkaste 

hypotesen eller give yderligere næring til troen på den, og evt. kan processen 

sluttes af med et egentlig bevis. 

Det er den matematiske forskers arbejdsmetode at eksperimentere, men 

i lærebøger fremstilles resultatet af forskningen som oftest renset for alle 

de forsøg og fejlslutninger, der må være gået forud for den “flotte” lovmæssighed, 

der udtrykkes i sætningen. Dette er lærebogens dilemma, for heri 

skal der fortælles om den viden, der er resultatet af årtusinders forskning og 

kulturarv på området. En mulig vej ud af dette dilemma er dels at opfordre 

læseren til at stoppe op og tænke med før, under og efter processen med 

bogens præsentation af de matematiske emner, dels at præsentere passende 

problemer, som inviterer læseren til selv at gå på opdagelse. Og her er der 

oplagte muligheder i geometrien. 

En sætnings indhold er ofte ikke det væsentligste, men vejen frem til den 

er vigtig, og der er mange veje at gå, hvoraf ingen vej har patent på at være 

den rigtige. Det er måske de forskellige veje, der især bør være genstand for 

opmærksomhed. At nå frem til sammenhænge i faget ved at eksperimentere 

bliver derfor det centrale. 

Vi skal eksperimentere, fordi det er matematikforskerens arbejdsform. 

Et barn, der skal lære matematik, er matematikforsker i “det små”. En matematisk 

arbejdsmetode med at stille spørgsmål, lede efter sammenhænge, 

turde gætte, efterprøve gættet, ræsonnere m.m. er vigtig, for at det bliver til 

elevens egen matematik i modsætning til en matematik, der overtages fra 

læreren/lærebogen i færdig form. Al pædagogisk forskning tyder på, at en 

sådan overtagelse ikke umiddelbart er mulig. Elevens egen bearbejdelse i 

en eller anden form er altid nødvendig for tilegnelsen af nye matematiske 

emner. 

· GEOMETRI 


Der er fortsat en tendens til, at matematik er meget facit- og resultatorienteret. 

Når man præsenteres for det færdige resultat af den lange proces, 

som matematikeren helt sikkert har været igennem, så er det, at man som 

studerende tænker: “Det kunne jeg aldrig selv have fundet på”. Men man 

fik måske heller ikke chancen, fordi skolen ikke i tilstrækkelig grad har 

praktiseret matematikforskerens arbejdsmetode. Hvis problemstillingen 

ikke præsenteres fra starten af, men mere som et færdigt slutresultatet, så 

begynder man jo ikke at undres og stille spørgsmål. 

Hvordan kan vi fremme en eksperimenterende adfærd? 

Men er det at arbejde eksperimenterende noget, der kan læres? Det er bestemt 

svært, fordi eleven ofte selv skal både erkende, formulere og løse problemet. 

Det er noget sværere end blot at forstå og følge tankegangen i en 

lovmæssighed eller i et bevis præsenteret af andre. Vi vil derfor her se på, 

om der evt. kan gives anvisninger på farbare veje til at fremme en mere 

eksperimenterende holdning i arbejdet med faget. 

Adler siger i sin bog: Vad är dyskalkyli? , at tankeprocessen i matematik 

især handler om de 2 ting: 

1) at kunne genkende og 2) at kunne finde mønstre. 

Vi skal lede efter noget, vi kan genkende, noget vi har set før. Adler siger, at 

genkendeprocessen især er nærværende ved læsning af tekst eller matematiske 

symboler, hovedregning m.m., hvor en automatiseret proces betyder 

hurtig genkendelse; men at den også er vigtig i alle typer af problemløsning, 

hvor vi skal vælge mellem forskellige handlingsmuligheder. Her kan visse 

alternativer straks udelukkes ved tænkning alene; men før vi kan komme 

så langt, må vi have opnået en genkendelse. 

Hvis de tankeprocesser, der berører selve genkendelsen, ikke er tilstrækkeligt 

effektive, så påvirker det muligheden for at associere på forskellige 

sammenhænge og mønstre og dermed udviklingen af strategisk tænkning. 

Det er ikke helt enkelt at svare på, hvad vi i undervisningen kan gøre for at 

styrke den genkendelse, som Adler mener, er så vigtig, men i hvert fald må 

det handle om at opbygge situationer, der giver erfaring, så der er noget at 

genkende, nogle mønstre at associere til. 

Når eleverne på egen hånd skal løse problemer eller lede efter mønstre 

og sammenhænge, må de blive gode til at stille spørgsmål af typen: Har 

jeg set noget lignende før? Er der et system? Gælder denne lovmæssighed 

Björn Adler (200 ): Vad är dyskalkyli?, side 57 



generelt eller er dette et specialtilfælde? Hvad nu hvis jeg ændrer på dette 

eller hint …? Ofte kan det være en stor hjælp at lave en tegning eller måske 

forenkle problemet ved fx at se på simplere taleksempler. 

Det er klart, at ikke alle har samme evner og lyst til at gå i kast med at 

eksperimentere. Nogle skal hjælpes, somme tider måske ligefrem skubbes i 

gang, men de kan alle blive dygtigere. Det er også klart, at ingen bliver god 

til at eksperimentere uden at prøve det. De kan blive dygtigere til: 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

At turde gætte på forskellige muligheder og prøve af, om de gælder. 

At afgrænse problemet. Eleverne kan selv være med til at bestemme, hvilke 

løsninger de vil tage med. Her tænkes på, at fx i symmetriforhold kan 

det være svært at afgøre, om 2 løsninger er ens, hvis de ved en spejling 

kan bringes til at dække hinanden. 

At systematisere. I matematik må man arbejde systematisk. Det er især 

vigtigt i spørgsmål, der handler om, på hvor mange måder noget kan 

gøres. At opbygge et system at gå efter er bydende nødvendigt. 

At kategorisere eller sortere efter principper, de selv er med til at sætte. 

At finde metoder til at afgøre, om alle løsninger er med, og på den anden 

side sikre sig, at ingen løsninger er talt med mere end én gang. Dette 

punkt har sammenhæng med at systematisere. 

At stille spørgsmålet: Hvad nu hvis, vi ændrer betingelserne, gælder det 

så mon også? 

At turde eksperimentere er central i mange andre forhold, men især inden 

for IT. Det er som om drenge på dette område er modigere end piger. De 

tænker mere: Hvis noget ikke lykkes, så prøver vi blot noget andet, og det 

er jo netop den kreative tænkning, der bærer frugt i IT og også i matematik. 

Det handler om at opbygge gode tankestrategier. For læreren er det vigtigt 

at få viden om, hvordan eleven tænker, hvis hun skal have mulighed for at 

hjælpe eleven med denne opbygning af strategier til bearbejdelse og løsning 

af problemer. Og denne viden kan hun kun få gennem samtale med eleven 

eller med grupper af elever. Samtaler om, hvad problemet er, og hvor forskellige 

løsninger diskuteres, giver netop muligheden for at diskutere strategier 

omkring systematisering m.m. 

Det sker, at eleven spørger, om det overhovedet er matematik at lede 

efter mønstre. Skulle vi ikke hellere lære regler og systemer? Hvis man skal 

kunne svare på, om det er matematik, må man vide, hvad matematik er, og 

det er bestemt ikke noget, man meget kort kan give et svar på, for matematik 

er så meget. Men matematik er i hvert fald ikke bare et sæt af regler. Det 

er ikke bare viden om regnemetoder og beregningsprincipper. Det er ikke 

· GEOMETRI 


are kundskaber om fx geometriske grundbegreber som trekant, cirkel, 

parallelogram og den rette linjes ligning for blot at nævne noget. 

Det er det også. Men der er så meget mere, der måske er nok så vigtig. 

Det handler måske mere om hvordan? Hvordan lærer man matematik? 

Hvordan undervises der i faget? Hvordan tænker man matematik? Hvordan 

arbejder man med problemløsning? 

Herved bliver fagets arbejdsmetoder centrale, og som før nævnt kan 

dette i perioder være vigtigere end selve de matematiske emner. Man siger 

da, at processen er vigtigere end produktet. 

Eleven skal have mulighed for at udvikle egne metoder. Det kræver tillid 

til egne evner til at løse problemer, og netop tilliden er væsentlig. Den får 

man, ved at det lykkes. Men somme tider vil det jo mislykkes, og så gælder 

det om sammen med andre at få analyseret, hvad der gik galt. Få det vendt 

til en god proces, der kan medføre udvikling. At der tænkes “forkert” giver et 

godt afsæt for diskussion, hvorigennem mulige misforståelser kan afdækkes. 

Hvis vi altid kun får forelagt de “rigtige” løsninger og måske helst “lærerens 

løsning”, bliver der ikke så mange nuancer i diskussionen, og matematikken 

bliver mere ensrettet: ét rigtigt facit, én rigtig metode. 

Det induktive ræsonnement 

Noget af det, der karakteriserer en eksperimenterende (også kaldet induktiv) 

proces, er, at man ud fra observationer og enkelteksperimenter opstiller en 

hypotese om en generel regel. Hvis reglen gælder for de første mange tilfælde, 

man prøver, så plejer den at gælde generelt. I folkeskolen er man ofte 

tilfreds med et induktivt ræsonnement, hvor man udleder noget generelt ud 

fra observationer af enkelttilfælde. Men det kan gå galt, fordi man måske i 

de næste forsøg, som man undlader at foretage, ville erfare, at reglen ikke 

passer. Derfor er det nødvendigt at slutte processen af med et ræsonnement 

eller et bevis. I de mindre klasser er et sådant ikke muligt, og her har hverken 

eleverne eller læreren behov for et bevis; det induktive ræsonnement giver 

på dette trin fuld tilfredshed. 

Et klassisk eksempel på, at man skal passe på med et induktivt ræsonnement, 

har vi i nedenstående problemstilling, hvor man vil undersøge, 

om der er sammenhæng mellem antallet af punkter på cirkelperiferien og 

det antal områder, som cirklen bliver opdelt i, når samtlige linjestykker 

(korder), der forbinder punkterne, trækkes. Da der ønskes det maksimale 

antal områder, må man kræve, at ikke 3 linjestykker går gennem samme 

punkt. 



1 punkt 

2 punkter 

1 område 2 områder 

· GEOMETRI 

3 punkter 

4 områder 

4 punkter 

8 områder 

5 punkter 

16 områder 

Tør du gætte på, hvor mange områder, der er med 6 punkter eller med 7 

punkter? Tjek dit gæt. 

Eksperimenterne skal efterbearbejdes 

I det foregående er det vigtige i at eksperimentere fremhævet, men det bør 

nævnes, at eksperimenterne ikke udføres blot for legens og eksperimenternes 

skyld alene, men for at vigtige sammenhænge kan opdages, afdækkes og 

erkendes. For at det kan ske, kræves der en form for samlet bearbejdelse af, 

hvad der kan uddrages af eksperimentet. Sker dette ikke, kommer resultaterne 

let til at stå som tilfældige “spots” uden indbyrdes sammenhæng, og 

over tid vil de blive glemt. 

Aktiviteter omkring eksperimenter i geometri 

Her præsenteres nu nogle eksempler på geometriske eksperimenter, som 

læserne opfordres til at gå i kast med, gerne i et samarbejde med andre. 

Diskussionen omkring resultaterne er måske det vigtigste. En del af dem 

kræver meget arbejde. Det er også sådan, at de resultater, man når frem til, 

varierer fra at være vigtige, matematiske sammenhænge til at være sjove, men 

mere tilfældige resultater. Det betyder, at der af og til fokuseres på processen, 

mens såvel produkt som proces i andre tilfælde er vigtige resultater. 

A1. Inddeling af et kvadrat i 2 lige store flader 

Undersøg forskellige måder at dele et 4 4 -sømbræt (eller evt. et større 

kvadrat) i 2 lige store flader (figurer) på. Det er klart, at vi her tænker på, 

at de 2 flader er lige store, når de har samme areal. Man løber hurtigt ind 

i at skulle afgrænse problemet m.m. Kan man sige noget om, hvor mange 

løsninger, der findes? 


A2. Ligebenede trekanter 

Undersøg, hvor mange ligebenede trekanter, der kan tegnes på et 4× 4 

-sømbræt. Her skal der nok også ske en afgrænsning af problemet. 

Hvordan forholder det sig med ligesidede trekanter på et sømbræt? 

A3. Figurer lavet af 5 kvadrater 

Lav alle de figurer, som 5 kvadrater kan danne. De skal være sammenhængende, 

dvs. kvadraterne skal have mindst én side fælles. Figurerne kaldes 

pentominoer (femlinger). 

Man kan evt. lave figurerne med centicubes eller tegne dem, og bagefter 

klippe dem ud. 

Hvor mange forskellige kan du lave? 

Hvordan vil du afgøre, om du har alle løsningerne med? 

Når du har dem alle (her tælles symmetriske figurer for én figur), kan du 

samle dem, så de danner et rektangel. 

Det sidste spørgsmål hører til den type, der kan være drilske og tidkrævende. 

Det er en individuel afgørelse, om man vil bruge den fornødne tid. Det er 

ikke her, du finder en vigtig matematisk sammenhæng. 

A4. Puslespil 

Der findes en masse puslespil, hvor man har mulighed for at bruge sin fantasi 

og forestillingsevne. Det er mere det frie eksperiment end ræsonnementet, 

der skal bruges her. Alle kan være med; man skal blot prøve sig frem. I 

medgift får man noget sans for geometriske former, symmetriforhold og vel 

også indsigt i, at meget forskellige figurer kan have samme areal. 

Her er valgt et gammelt kinesisk puslespil (fig. ), men også de mere 

kendte kinesiske tangramklodser (fig. 2) giver rige muligheder for at forme 

geometriske figurer og arbejde med symmetri. 

Du kan evt. selv konstruere kvadratet i fig. nedenfor, idet det er givet, at 

ABCD er et kvadrat, ligesom den midterste figur også er et kvadrat. Desuden 

gælder, at M og N er midtpunkter af kvadratsiderne. 

Klip derefter brikkerne i kvadratet ud og saml dem, så de danner hver af 

følgende figurer (alle brikker medgår til hver figur): ) et kors, 2) en trekant, 

3) et parallelogram, 4) et rektangel eller 5) en firkant med netop én 

ret vinkel. 



B 

M 

A 

D 

fig. 1 Kinesisk puslespil . fig. 2 Tangrambrikker. 

10 · GEOMETRI 

C 

N 

A5. Det maksimale antal rette vinkler i en n-kant 

I en trekant kan man højst have én ret vinkel. I en firkant kan man have 

hele fire. Men hvor mange rette vinkler er det muligt at få i en 5-kant, en 

6-kant, en 7-kant, …? 

Man skal nok her tillade ikke-konvekse figurer (i ikke-konvekse figurer vil 

der findes sider, hvis forlængelse går ind i det område, figuren afgrænser). 

A6. Fliselægning 

Havefliser har i dag ofte flotte geometriske former modsat tidligere, hvor 

man fortrinsvis benyttede sig af kvadrater eller rektangler. Hvis vi definerer, 

at en geometrisk figur kan bruges til fliselægning, når den kan dække 

planen uden mellemrum (“huller”), mens man ser bort fra, om randen er 

pæn eller ej, så er spørgsmålet: 

) 

2) 

3) 

4) 

Kan alle former for trekanter bruges som fliser? 

Det er klart, at man kan bruge kvadrater og rektangler som fliser, men 

hvad med en vilkårlig firkant? 

Hvad med regulære 5-kanter (i regulære figurer er alle sider og vinkler 

lige store)? 

Hvad med regulære sekskanter, syvkanter eller ottekanter? 

I denne opgave er der tale om relativt vigtige sammenhænge. 


A7. Pick’s sætning 

Antal kantsøm: K Antal indre søm: I Areal 

8 1 4 

14 6 12 

12 9 14 

Man får at vide, at for figurer, der kan laves på et sømbræt, findes der en 

sammenhæng mellem på den ene side figurens areal og på den anden side 

antallet K af søm langs figurens kant (søm langs elastikken) og antallet I af 

indre søm (søm inden for elastikken). Med andre ord: Hvis jeg kender K 

og I, så kan jeg beregne figurens areal ud fra disse 2 tal, idet der findes en 

formel for arealet, hvori K og I indgår. Formlen kaldes Pick’s sætning. 

Dette er et klassisk eksempel på et eksperiment. Man skal selv finde sammenhængen 

– her en formel. Dvs. man er selv forsker. Hvor mange figurer, 

man er nødt til at tegne, før formlen er der, er individuelt eller måske et 

spørgsmål om held. 

Men den formel, man finder frem til, kan bruges, bl.a. til arealberegning 

af geometriske figurer tegnet i et koordinatsystem, hvor vinkelspidserne har 

hele tal som koordinater. 

A8. Kvadrater på sømbræt 

Man ønsker på et sømbræt at indkredse et kvadrat, der har et helt tal som 

areal. 

For hvilke hele tal mellem og 0 er dette muligt? 

Resultatet af denne opgave er heller ikke uvæsentlig. 

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 11 


Om ræsonnementer og beviser 

En matematisk sætning er hypotetisk opbygget af et: hvis p så q, hvor p og 

q er udsagn (påstande). Sætningen kan også udtrykkes ved implikationen: 

p ⇒ q . Udsagnet p kaldes implikationens forsætning, og q er eftersætningen. 

I den følgende beskrivelse af opbygningen af areallæren vil vi opleve en 

række geometriske eksempler på egentlige beviser og også på mindre ræsonnementer, 

der måske mere har karakter af en argumentation (forklaring). 

For at illustrere den mere overordnede tankegang i et matematisk bevis er 

her valgt et eksempel på en sætning med et geometrisk indhold, som vi (ud 

fra bogens fremstilling) endnu ikke er i stand til at bevise: 

Hvis en firkant kan indskrives i en cirkel, så er summen af de modstående 

vinkler lig med 180 ° . 

Et bevis for en sætning går ud på, at vi forudsætter, antager, hypotetisk forestiller 

os, at forsætningen er sand. Under den forudsætning kan vi så gennem 

et ræsonnement bevise, konkludere, at også eftersætningen er sand. 

Udsagnet i forsætningen: “firkanten kan indskrives i en cirkel” behøver ikke 

at være sand, men hvis den er, så er ræsonnementet en garanti for, at der 

også må gælde: “summen af de modstående vinkler er 180° ”. 

Det betyder heller ikke, at summen af de modstående vinkler er 180° i 

enhver firkant. Hvis vi har bevist sætningen, så er der alene argumenteret 

for, at det gælder, når firkanten er indskrevet i en cirkel. I det følgende vil 

vi opbygge den viden, der gør, at ræsonnementet for netop denne sætning 

kan gennemføres. Det kræver nemlig som oftest viden om specifikke matematiske 

forhold (her om vinkler ved cirklen) at kunne gennemføre et matematisk 

ræsonnement. Ræsonnementet her bygger – som ræsonnementer 

sædvanligvis gør – på påstande (sætninger), der tidligere er bevist. 

Et eksempel på en falsk påstand har vi i: 

Hvis vinklerne i 2 forskellige figurer (polygoner) er parvis lige store, så er de 

2 figurer ligedannede (dvs. den ene figur er en forstørrelse af den anden). 

Hvis vi sammenligner et rektangel (her tænkes på et rektangel, hvor der er 

forskel på længde og bredde) med et kvadrat, så er vinklerne i de 2 figurer 

parvis lige store, men det er jo klart, at de ikke er ligedannede. Det er 

altså muligt at finde eksempler på, at forsætningen er sand, samtidig med 



at eftersætningen er falsk. Vi kan således ikke slutte eftersætningen ud fra 

forsætningen. Her er der også gennemført et ræsonnement, men denne 

gang for at sætningen er falsk. Den udtrykker ikke en generel egenskab. At 

finde modeksempler er en udbredt metode til at påvise, at en påstand ikke 

holder. Ét modeksempel er nok til, at sætningen må falde. 

I kapitlet om tal har vi set eksempler på andre typer af beviser. Det indirekte 

bevis blev fx brugt til at bevise, at der findes uendelig mange primtal. 

Induktionsbeviser blev brugt i tilfælde, hvor man skulle vise, at en bestemt 

sammenhæng gælder for alle naturlige tal. I den følgende opbygning af 

areallæren vil der være en række eksempler på direkte beviser. 

Ræsonnementer og bevisers rolle i undervisningen 

Beviser har ikke længere en fremtrædende rolle i folkeskolens undervisning. 

De er nok kommet lidt i miskredit, fordi der har været en tendens til, at 

lærebogens bevis blev lært udenad, hvilket synes meningsløst. Men det er 

vanskeligt at forestille sig en matematikundervisning, hvor argumentation 

og ræsonnementer ikke spilder en væsentlig rolle, hvad de da heldigvis 

også fortsat gør. 

Ræsonnementet er forklaringen på sammenhængen, og den kan man 

dårligt undlade at give, hvis man vil bygge på, at læring skal ske gennem 

forståelse. Der er alt for meget, der blot skal “huskes”, hvis man ikke bygger 

på den indsigt og forståelse, der kommer af, at man har fået, eller allerbedst 

selv har tænkt sig til, en forklaring. Hvis man har erfaret en sammenhæng 

ved at have ræsonneret sig til den, så behøver man ikke at bruge kræfter 

på “at huske”, for man ved jo, at man nok igen vil kunne tænke sig frem til 

den. 

Det er uhyre vigtigt, at eleverne bringes i situationer, hvor de kan udfordres 

og evt. i dialog med læreren eller andre elever gennemføre kortere rækker 

af ræsonnementer. Det er vigtigt, at de kan gennemskue holdbarheden 

af et matematisk argument. Det er vigtigt, at de kan skelne mellem intuitive 

eller empiriske opfattelser af fænomener og matematiske beviser for disse 

fænomener, fordi de ellers let opbygger en forestilling om, at det er nok, at 

det ser ud til at være sådan; eksempelvis kan man da se, at diagonalerne i 

et parallelogram halverer hinanden. Hvorfor skal det bevises? 

Det skal det, fordi vi først kan være sikre på, at en påstand holder, når 

vi har kunnet føre et ræsonnement eller bevis for den. Det kan jo være, at 

vi ikke har været grundige nok i vort arbejde. Måske vil vi ved fortsatte 

undersøgelser kunne finde netop det eksempel, der gør, at påstanden må 

falde. 

Den matematiske metode består langt hen ad vejen i at bevise. Det giver 

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 1 


matematikken et præg af eksakthed og præcision. Her er det ikke nok at tro 

og mene, i matematik kræver vi og kan vi give et bevis. 

I skolens undervisning er det selvfølgelig nødvendigt at bløde op på det 

stringente og give faget et mere menneskeligt ansigt med plads til intuitionen 

og det induktive ræsonnement, men det bør gøres uden helt at sælge 

ud af det, der er det bærende i faget – at gennemføre matematiske ræsonnementer. 

Symmetri, regulære polygoner 

og det gyldne snit 

Symmetriforhold og regelmæssighed er bærende begreber i geometri. De 

regulære polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er lige store, er de flotteste 

former, fordi vi her opnår det maksimale antal symmetriakser. Det ser ud 

til, at der er lige så mange symmetriakser, som der er sider i polygonen. 

Prøv at argumentere for dette. 

De regulære polygoner kan tegnes ind i en cirkel, hvori siderne bliver korder. 

Hvis man sætter radius i cirklen til , vil man kunne beregne længden 

af korderne om ikke på anden måde så ved at anvende trigonometri. Men 

hertil har man brug for at kende størrelsen af vinklerne. Vi vil derfor se på, 

hvordan man kan beregne vinkelsummen i en n-kant og specielt vinklernes 

størrelse i den regulære n-kant. 

Vinklerne i en n-kant 

Når man tegner alle diagonalerne fra én af vinkelspidserne, bliver den konvekse 

n-kant inddelt i et antal trekanter, i alt n− 2 trekanter. Man kan fx 

argumentere med, at der fra en vinkelspids kan tegnes n− 3 diagonaler (det 

gælder dog kun i en konveks polygon), og da disse udgør skillelinjer mellem 

trekanterne, må der være en trekant mere end antallet af diagonaler, dvs. 

1 · GEOMETRI 


n− 2 trekanter. Vi ved, at trekantens vinkelsum er 180 ° . Da hver eneste af 

trekantvinklerne indgår som dele af polygonvinklerne, og da de tilsammen 

udgør summen af n-kantens vinkler, så får vi resultatet: 

Vinkelsummen af en n-kant er (n − 2) ⋅ 180 ° . 

A 

G 

F 

B 

E 

C 

D 

symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 1 

A 

B 

H 

O 

C D 

Argumentet for formlen kan også føres ved at vælge et punkt O inde i 

n-kanten og så tegne linjer til vinkelspidserne. Man får på denne måde n 

trekanter. Men summen af vinklerne inde ved O hører ikke med til n-kantens 

vinkelspidser. Derfor får vi nu en vinkelsum i n-kanten på: 

n⋅ 180°− 360° = n⋅ 180°− 2 ⋅ 180 ° = (n − 2) ⋅ 180° 

Den viste formel for vinkelsummen gælder for såvel regulære som ikkeregulære 

polygoner, men hvis det er en regulær n-kant, så kan vi beregne 

vinklen: 

I en regulær n- kant er vinklen lig med 

Konstruktion af regulære n-kanter 

(n − 2) ⋅ 180° 

n 

Grækerne kendte til at konstruere regulære 3, 4, 5, og 6-kanter ved hjælp af 

passer og lineal. Gauss (tysk matematiker; 777- 855) opdagede, at det var 

muligt at konstruere en regulær 7-kant. En regulær 7-kant kan derimod 

ikke konstrueres. Hvis vi holder os til n ≤ 20, så er det muligt at konstruere 

regulære n-kanter for n lig med 3, 4, 5, 6, 8, 0, 2, 5, 6, 7 og 20. Hvis 

vi tænker de regulære polygoner lagt ind i en cirkel, kan problematikken i 

nogle tilfælde omformes til, om det er muligt at konstruere centervinklen 

ο 

på 360 n. 

53369_matematik_kap3net_5k.indd 15 01-12-2006 13:03:36 

G 

F 

E

Her vil vi se på et par af konstruktionerne. Det vil være en god øvelse 

at udføre konstruktionerne på computeren, fx med programmet GeoMeter 

eller lignende programmer. 

Ligesidet trekant, kvadrat, regulær 8-kant og regulær 16-kant 

En ligesidet trekant og et kvadrat giver næsten sig selv. Den regulære 8-kant 

fås ved halvering af centervinklerne, når kvadratet er tegnet ind i en cirkel, 

og ved fortsat halvering fås den regulære 6-kant. 

Regulær femkant 

Denne konstruktion hører ikke til de mest oplagte. Først tegnes en cirkel (se 

fig. ). Midtpunktet M af radius OB konstrueres. Med M som centrum og 

MC som radius er tegnet en cirkelbue, der skærer diameteren AB i punktet 

D. Med C som centrum og CD som radius er tegnet en ny cirkelbue, der 

skærer den oprindelige cirkel i punktet E. Med korden CE i passeren afsættes 

nu punkter hele vejen rundt langs periferien. Det lader sig gøre netop 

5 gange, så det ser ud til, at korden CE har den længde, der skal til for at 

indtegne en regulær femkant i cirklen. 

Det er lidt vanskeligt at bevise, at det forholder sig sådan. Hvis du har 

lyst, så er der skitseret en metode i teksten til tegningerne. Ideen er, at man i 

fig. beregner sidelængden CE ud fra viden om den konstruktion, man har 

udført, hvorimod man i fig. 2 har som forudsætning, at det er en regulær 

5-kant . Når det er givet, bliver O Q R en gylden trekant med vinklerne 

72 ° , 72° 

og 36 ° (se afsnittet om det gyldne snit), og herudfra kan man 

så beregne femkantens længde. Da man får den samme længde ved de 2 

beregninger, er konstruktionen i orden. 

E 

r=1 

5-1 1 

A 

D 2 O 2 

1 · GEOMETRI 

C 

5 

2 

M 

fig. 1 Konstruktion af den regulære 

femkant. M er midtpunkt af OB. 

Bue CD har centrum i M og radius 

MC. Bue ED har centrum i C og 

radius CD. CD kan beregnes af 

den retvinklede CDO. 

B 

fig. 2 OQR er en gylden trekant, og 

derfor er QR = 5-1 

. OS kan beregnes. 

2 

Da der gælder: QT 1 = OS QR , 

kan QT beregnes, og femkantens 

sidelængde er det dobbelte af denne. 


O 

T 

Q 

S 

R

Regulær 10-kant, 6-kant, 12-kant, 15-kant og 17-kant 

Den regulære 0-kant kan fås ved halvering af centervinklen for den regulære 

femkant. 

Den regulære sekskant får vi ved – med radius i passeren – at afsætte punkter 

på cirkelperiferien, hvorved vi, som nævnt tidligere, kan nå rundt netop 

6 gange. Korden, hvis længde er lig radius, vil være side i den regulære 

6-kant. Denne sekskant er meget brugt i praksis, fordi man, hvis man har 

flere af dem, kan bruge den til overdækning af en flade, hvilket bierne også 

har fundet ud af. Ved halvering af centervinklen i 6-kanten kan man få en 

regulær 2-kant. 

Den regulære 5-kant er noget mere indviklet, men centervinklen må være: 

360° 15 = 24° 

og 24° = 15°+ 9°. 

Her kan 15° fås ved fortsat halvering af 

60 ° . 9° kan fås ved fortsat halvering af de 36 ° , som er centervinklen ved 

0-kanten. 5-kanten kan altså konstrueres. Den regulære 7-kant er det 

bedst, at vi afstår fra at beskrive; men der er nok ingen grund til at betvivle, 

at Gauss har ret i, at den kan konstrueres (selv om forfatteren ikke kan). 

Aktiviteter omkring symmetri, klip og foldning 

Symmetri er et meget vigtigt begreb i geometriundervisningen. I mange 

geometriske former, i arbejdstegningen, i konstruktion af mønstre er opmærksomheden 

omkring symmetriforhold helt central. Vores verden er i 

høj grad opbygget af regelmæssighed og symmetri, med mindre man bevidst 

har forsøgt at undgå det symmetriske. Der arbejdes med symmetri i hele 

skoleforløbet, og det er nemt at finde opgaver på alle niveauer. 

Det er fx naturligt at arbejde med at folde og efterfølgende klippe i et 

stykke papir. Det kan være klipning af gækkebreve, der ved udfoldning er 

blevet til flotte regelmæssige figurer, hvor foldelinjerne nu er symmetriakser. 

Disse oplevelser er selvfølgelig uundværlige byggesten i forståelsen af 

symmetriforhold. En del af aktiviteterne her handler derfor om foldning 

efterfulgt af klip. 

A1. A4-papiret 

Det er almindelig kendt, at 2 stykker A4-papir giver et A3-format, mens 

der omvendt går 2 stykker A5 til et A4. A4 er den mest brugte dimension. 

Det største af papirformaterne hedder A0. 



Dette rejser nogle interessante spørgsmål: 

) 

2) 

3) 

4) 

5) 

Hvor mange A4-stykker går der på A0? 

Prøv at beregne dimensionerne af A0 og arealet af A0. 

De forskellige papirformater er ligedannede rektangler. Hvad fortæller 

det om forholdet mellem den længste og den korteste side i arkene? 

Lav en tegning (bestem selv målestoksforhold), der viser, hvordan A0 

kan dækkes af netop ét af hvert format: A , A2, A3, A4 og 2 stykker af 

A5-format. 

Vi ser på det kvadrat, hvis side er lig med A4-papirets korte side. Sammenlign 

længden af diagonalen i dette kvadrat med A4-formatets længste 

side. Begrund resultatet af målingen. 

A2. Fold og klip regulære figurer 

Vi har i det foregående set på ofte besværlige konstruktioner af regulære 

polygoner, men når disse figurer har så mange symmetriakser, kan man 

måske komme lettere til dem ved foldning og efterfølgende klip. 

Undersøg, hvilke regulære polygoner, man i princippet kan frembringe ved 

at folde et antal gange og efterfølgende klippe (foldekant skal hver gang 

følge foldekant). 

Rent fysisk er det dog kun muligt at foretage et begrænset antal foldninger. 

A3. Fold og klip et kvadrat og en ligesidet trekant 

Det er almindelig kendt, hvordan man af et rektangel udklipper det størst 

mulige kvadrat. Se tegning fig. . Det er lidt vanskeligere at folde og klippe en 

ligesidet trekant. Først foldes omkring den lodrette midterfold (fig. 2), fold 

ud igen. A4-papirets korte side skal være trekantsiden. Punktet B er bestemt 

som billedet af A ved en foldning om en sådan linje CD, således at A kommer 

til at ligge på midterfolden. Fold ud igen, tegn linjerne AB og BC og klip 

langs disse. Fig. 3 viser konstruktionen af en lidt større ligesidet trekant CDF, 

hvor punktet D er fundet på samme måde som i fig. 2. Herefter er punktet F 

fundet som billedet af C ved foldning om den vandrette linje DE. 

) 

2) 

Gør rede for, at de 2 udklippede trekanter begge er ligesidede trekanter. 

Hvorfor mon den ligesidede trekant er så relativt vanskelig at folde, og 

hvorfor kan den ikke indkredses på et sømbræt? 

1 · GEOMETRI 


B klip her C 

foldelinie 

A 

fig. 1 Fold så AD dækker 

AB. ABCD er et kvadrat. 

D 

D 

midterfold 

B = A' 

foldelinie 

A 

C 

fig. 2 Fold om en sådan linie 

CD,at A når op til midterfolden. 

ABC er en ligesidet trekant. 

midterfold 

fig. 3 Som i fig. 2, men der 

foldes yderligere om DE. 

CDF er en ligesidet trekant. 


D 

B 

fold 

A C 

A4. Den regulære femkant 

Når man binder en knude på en strimmel papir, får man noget, der meget 

ligner en regulær femkant (se fig. ). 

Det er også muligt ved hjælp af A4-papiret at folde en figur, der kommer 

tæt på at være en regulær 5-kant. Den passer dog ikke helt. Et A4-papir 

foldes om den foldelinje, der fremkommer ved at lade et hjørne dække det 

diametralt modsatte hjørne (fig. 2). Fold nu langs midtnormalen (dvs. langs 

linjen AD) for denne foldelinje. Du har nu en 4-kant ABCD (fig. 3). Fold 

ud igen. Herefter foldes så siderne BC og FE lægges ind til foldelinjen AD 

og flugter med denne. Papirets form er nu en næsten perfekt femkant. 

A 

B A B= F A 

C 

D 

D 

D 

fig. 1 

F 

E 

fig. 2 fig. 3 fig. 4 

Der er ikke matematik i opgaven med at folde femkanten ud over den symmetribetragtning, 

der altid er, når man folder om en linje, men fordi femkanten 

er lidt besværlig at få frem, er den måske alligevel interessant. 

A5. Fold og klip 

I denne opgave er der derimod meget matematik, bl.a. forståelsen af geometriske 

former, problemløsning m.m. 

Det centrale i opgaven er, at en foldelinje bliver til en symmetriakse i den 

færdige figur. Vi ser på følgende 2 tilfælde: 


C= E 

B= F 

F 

E 

C= E

) Netop 2 klip er tilladt, og der foldes netop én gang om en foldelinje. 

Vi vil betragte det udklippede hul som den geometriske figur. 

Hvilke geometriske polygoner kan du klippe ud efter dette princip? 

Er det muligt at klippe, så hullet bliver: a) et kvadrat, b) en ligebenet trekant, 

c) en ligesidet trekant eller d) en trekant med 3 forskellige sider. 

2) Netop ét klip. Der foldes 2 gange ved foldehjørnet (fig. ). 

klip 

Foldehjørne 

fig. 1 


Drage 

Ligebenet trekant 

fig. 2 

Rektangel 

Ligesidet trekant 

Vinge 

Rombe 

Kvadrat 

Det er normalt at folde, så kant følger kant, når man folder 2. gang. Den 

begrænsning vil vi ikke have her (se fig. ). 

Hvilke af figurerne i fig. 2 er det muligt at frembringe ved ét klip om foldehjørnet? 

Det vil være naturligt at eksperimentere sig frem. Man opdager, at vinklerne 

ved foldningen og ved det efterfølgende klip ikke er uvæsentlige faktorer. 

Det gyldne rektangel, den gyldne 

trekant og det gyldne snit 

Rektangler kan have forskellige dimensioner og formater. Vi har set på A4-formatet 

som eksempel på et meget anvendt format. Historisk har imidlertid det 

gyldne rektangel spillet en betydelig rolle, fordi det har nogle dimensioner, 

der åbenbart opfattes som særlig harmoniske. I antikkens bygning, ja selv i 

de egyptiske pyramider finder man mange eksempler på det særlige forhold 

mellem dette rektangels 2 dimensioner. Men lad os starte med at definere et 

gyldent rektangel, som et rektangel med følgende egenskab: 

Hvis man fra det gyldne rektangel fjerner et kvadrat, hvis side er lig 

med rektanglets korte side, så bliver det tiloversblevne et rektangel, 

der er ligedannet med det oprindelige rektangel. 


Vi går ud fra, at ABEF er et gyldent rektangel, og hermed følger det af 

definitionen, at ABEF og CEFD (se fig. ) er ligedannede, og vi kan 

opstille forholdet mellem siderne og nå til følgende udregninger: 

x 1 

2 

= ⇔ x ⋅( x − 1) = 1⋅1 ⇔ x − x − 1 = 0 ⇔ 

1 x −1 

1± x = 

2 

5 

≈ 1,618034 (6 dec. Kun den positive løsning kan bruges) 

B 

1 

A 

x 

1 

C 

x - 1 

E 

1 

D F 

fig. 1 Det gyldne rektangel ABEF 

med sidelængder 1 og x. CEFD er 

et gyldent rektangel med 

sidelængder x - 1 og 1. 

1 

B 


1 

2 

5 

1 1 

A M D F 

2 2 

fig. 2 Konstruktion af det gyldne 

rektangel. MC kan beregnes af 

Pythagoras. MC = MF = radius 

for bue CF med centrum i M. 

Konstruktion af et gyldent rektangel er vist i fig. 2. Man starter med at tegne 

kvadratet ABCD med siden . M er midtpunkt af AD. Med M som centrum 

og MC som radius tegnes en cirkelbue, der skærer forlængelsen af AD i 

punktet F. I trekant MCD kan siderne beregnes ved brug af Pythagoras, og 

man får de på tegningen angivne tal. ABEF er et gyldent rektangel, da: 

1 5 1+ 5 

AF = AM + MF = + = = 1,618034 (6 dec.) . 

2 2 2 

Den gyldne trekant 

Der findes også en gylden trekant. Det er en ligebenet trekant med vinklerne 

72 ° , 72° 

og 36 ° (se fig. 3). Der gælder nemlig det specielle, at tegnes 

vinkelhalveringslinjen til fx vinkel A, vil vi få 2 ligebenede trekanter CAD 

og BDA , og desuden er CAD ligedannet med den oprindelige trekant, 

idet også denne trekant har vinklerne 72 ° , 72° 

og 36° 

. 

Sættes grundlinjen AC til og AB = BC = x , så kan vi slutte, at 

AC = AD = BD = 1 (ligebenede trekanter) og DC = x − 1. 

Da ABC ∼ CAD, 

er de ensliggende sider proportionale, og stiller vi forholdene 

op, opnår vi helt samme ligning som ovenfor ved det gyldne rektangel, 

1+ 5 

hvilket betyder, at x = . 

2 


C 

1 

E

A 

x 

36° 

36° 

1 


fig. 3 ABC og CAD er begge gyldne trekanter, 

idet er AD er vinkelhalveringslinje. CAD og BDA 

er begge ligebenede trekanter, og dermed har AC, AD 

36° 

og BD samme længde på 1. 

For de ensvinklede trekanter ABC og CAD kan vi 

1 

1 opstille forhold, der bliver helt som for det gyldne rektangel. 

1+ 5 

Derfor bliver x = 

2 

72° 

x-1 

. 

B 

D 

-1 + 5 

Hvis vi stedet havde valgt AB = 1, bliver AC = . 

2 

72° 

C 

Det tal, vi her har fået for forholdet mellem siderne i det gyldne rektangel 

og den gyldne trekant, kaldes det gyldne snits forhold og betegnes som 

regel med det græske bogstav ϕ . Vi har også mødt tallet i forbindelse med 

Fibonaccitallene, hvor vi beviste, at grænseværdien for forholdet mellem et 

tal og dets foregående tal i rækken netop var ϕ . 

For ϕ gælder det specielle: 

1 1 1 

= ϕ ⇔ = ϕ−1 

⇔ = 0 ,618034 (6 dec.) 

ϕ - 1 ϕ 

1,618034 

Det gyldne snit for linjestykker 

Men det gyldne snit har flere betydninger, idet det også er en måde at dele 

et linjestykke op på. 

Punktet C deler linjestykket AB i det gyldne snits forhold ⇔ 

AB AC 

= , hvor AC > CB 

AC CB 

Eller udtrykt mindre formelt: 

Forholdet mellem hele linjestykket og det længste delestykke er lig med 

forholdet mellem det længste og det korteste af delestykkerne. 

I fig. 4 deler punktet C linjestykket AB i det gyldne snits forhold. Sætter vi 

AB = x og AC = 1, 

så får vi ved at bruge ovenstående definition præcis 

samme ligning som ved det gyldne rektangel, og vi kan konkludere, at C 

deler linjestykket i forholdet: 


A 

C 

x 

1 x - 1 

fig. 4 C deler AB i det gyldne snits forhold. 

Hvis vi sætter AB til x og AC til 1, får vi 

x = 1,618034, men bytter vi om, så AB er 1 

og AC er x, får vi x = 0,618034 (6 dec.). 

AB AC 1+ 5 

= = 

AC CB 2 . 

B 

A 


2 

5 

- 1 

2 

F 

fig. 5 Konstruktion af punktet C, der deler 

AB i det gyldne snits forhold. I B oprejses 

den vinkelrette og D konstrueres, så 

BD = ½ ⋅ AB. Det fremgår af tegningen, 

hvordan buerne FB og FC er konstrueret. 

Sætter vi i stedet AB 

regningen: 

= 1 og AC = x , bliver BC = 1− x , og vi får ud- 

1 x 

= ⇔ 

x 1− x 

= − ⇔ + − = ⇔ 

− 1± = 

2 

5 

= 

(x skal være større end 0). 

2 2 

x 1 x x x 1 0 x 0 ,618034. 

I fig. 5 er vist en konstruktion af det punkt C, der deler linjestykket i det 

gyldne snits forhold. I punktet B oprejses den vinkelrette, og linjestykket BD 

afsættes, så BD = ½⋅ AB . Punkterne A og D forbindes med en ret linje. 

Med D som centrum og DB som radius tegnes en bue. Denne skærer AD i 

punktet F. Med A som centrum og AF som radius tegnes en cirkelbue, der 

skærer AB i punktet C. 

Påstanden er, at C deler AB i det gyldne snits forhold. Vi får: 

Sættes |AB| = , så er |BD| = 1 

5 

. Af Pythagoras følger: AD = 

2 2 

Da |DF| =|DB| = 1 

5 1 5 −1 

, er AC = AF = − = , som jo netop er 

2 2 2 2 

det gyldne snits forhold, når |AB| sættes til . 

Kunstnere tager ofte hensyn til det gyldne snit i deres arbejde. De 2 punkter, 

som billedets længde deles i ved det gyldne snit, bestemmes, og ligeledes de 

tilsvarende punkter for billedets højde. Der trækkes nu henholdsvis lodrette 


C 

1 

2 

D 

1 

2 

B

og vandrette linjer gennem punkterne. Linjernes skæringspunkter regnes for 

særlig vigtige punkter, hvor centrale ting anbringes. Det gyldne snit (punktet 

C) kan i praksis bestemmes ved, at |CB| udgør ca. 38% ( (100 − 61,8034)% ) 

af hele linjestykket. 

Femstjernen og det gyldne snit 

Pentagon kendes nok bedst som navnet for USA’s forsvarsministerium. 

Denne bygning har form som en regulær femkant, og en sådan har netop 

fra gammel tid heddet en pentagon, idet penta står for 5. Hvis vi forlænger 

siderne i en pentagon til skæring, får vi en femstjerne, der kaldes et pentagram. 

Det viser sig, at det gyldne snits forhold er at finde overalt i denne, 

og det har gjort, at femstjernen betragtes som særlig smuk og harmonisk. 

Det er vel grunden til, at flere lande (bl.a. USA) har den med i deres flag. 

Uendelighedsbegrebet er også repræsenteret i pentagrammet. Hvis vi trækker 

linjer mellem femstjernens spidser, får vi igen en pentagon, hvis sider 

kan forlænges til et nyt pentagram (fig. 2). 

H 

G 

1 

C 

2 · GEOMETRI 

x 

D 

1 

x 

1 1 

I 

fig. 1 Pentagrammet. 

Når BD tegnes får man BGD AGI, 

og x kan beregnes til 0, 618034 .. 

B 

x 

x 

E 

x 

A 

F 

1 

J 

fig. 2 Der kan tegnes femstjerner inden i 

og uden om i en uendelighed. 

Vi kan vise, at fx diagonalen GI i den store femkant (se fig. ) af punktet D 

bliver delt i det gyldne snits forhold, og at punktet B deler linjestykket GA 

i det samme forhold. Det handler igen om at opstille forholdene mellem 

ligedannede trekanter: BGD og AGI . Herudfra kan x beregnes til 

− 1+ 5 

≈ 0 ,618034 og dermed fx GA ≈ 1,618034. 

2 

På grund af symmetri gælder det samme for alle de andre diagonaler. 


Der er også flere gyldne trekanter i pentagrammet. Spidserne i femstjernen 

– fx BGC – er gyldne trekanter, og det samme gælder for de lidt større 

trekanter som fx JGI . Vinklerne i disse trekanter er 72 ° , 72° 

og 36 ° . 

Da det gyldne snit er forbundet med særlig harmoniske forhold, har 

designere, arkitekter m.m. – bevidst eller ubevidst – siden tidernes morgen 

taget hensyn til det i deres fremstilling af ting. Det kendteste eksempel er 

nok det berømte græske bygningsværk Parthenontemplet, der kan tegnes 

ind i et gyldent rektangel. Også den menneskelige krop kan opfattes som delt 

efter forholdet; det mest kendte vidnesbyrd herpå er at finde i Leonardi da 

Vinci’s meget kendte billede: “Homo ad cirkulum”. Det gyldne snits forhold 

er altid blevet opfattet som noget helt enestående, hvorfor det også helt indtil 

900-tallet blev kaldt “det guddommelige forhold”. Læs evt. http://www.mcs. 

surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ 

Analytisk Geometri 

René Descartes (fransk filosof og matematiker, 596 - 650) tilskrives æren 

for at have opfundet analytisk geometri, idet han opfandt koordinatsystemet, 

der er grundlaget for den analytiske geometri, der i korthed går ud 

på, at geometriske objekter kan udtrykkes ved tal. Vi har i den beregnende 

geometri med areal og rumfangsbestemmelse af plane og rumlige figurer set 

en vis forbindelse mellem tallenes verden og geometrien. Men med koordinatsystemet 

er der skabt en forbindelse mellem algebraen og geometrien, 

der åbner for muligheden af at løse geometriske problemer ved algebraiske 

beregninger og omvendt. 

Fx kan 2 kurvers mulige skæringspunkt tolkes som en fælles løsning til 

2 ligninger. I koordinatsystemet kan man nemlig angive et punkts beliggenhed 

i planen (eller rummet, men her vil vi holde os til planen) ved dets 

koordinater, dvs. ved et talpar. En punktmængde kan beskrives ved sammenhængen 

mellem de 2 koordinater. Således beskriver ligningen y = x + 1 

de punkter, der alle har det sådan, at punktets 2.-koordinat y er større end 

. koordinaten x. 

Den pågældende punktmængde kaldes grafen for ligningen. Vi vil nu 

lidt overordnet beskrive koordinatsystemet, idet der bygges på en vis forhåndsviden. 

analytisk gEomEtri · 2 


Koordinatsystemet 

På en koordinatakse har vi et nulpunkt O og et enhedspunkt E, og herved kan 

der til ethvert punkt P på aksen knyttes et tal x, punktets koordinat, der, når 

P ligger til højre for O, angiver længden af linjestykket OP målt med enheden 

O E . Et punkt P til venstre for O får en koordinat x, så O P = x = − x , 

idet x nu er negativ, og − x derfor positiv. 

På en koordinatakse er afstanden mellem 2 punkter P og Q med koordinaterne 

henholdsvis x og x 2 givet ved: 

2 · GEOMETRI 

⎧ 

⎪ 

x − x hvis x ≥ x 

1 2 1 2 

= 1 − 2 = ⎨ 

⎪x 2 − x1 hvis x 2 > x1 

PQ x x 

O E P Q 

0 

1 

⎪⎩ 

x1 

Det retvinklede koordinatsystem har 2 koordinatakser, der står vinkelret på 

hinanden med fælles nulpunkt og sædvanligvis med samme enhed. 

R (-3,1) 

-3 

-2 

Q(-2,-1) 

Afstandsformlen 

y-aksen 

ordinataksen 

2 

1 

O(0,0) 

-1 

1 

2 

P(3,2) 

3 

x2 

x-aksen 

abscisseaksen 

Når 2 punkter er givet i et koordinatsystem, kan vi ud fra punkternes koordinater 

beregne afstanden mellem dem. Hvis de 2 punkter begge ligger 

på en linje, der enten er parallel med x-aksen eller med y-aksen, så er 

afstanden mellem punkterne at betragte som afstanden mellem punkternes 

projektion på en af koordinatakserne. Fx er afstanden mellem punkterne 

A( ,2) og B(5,2) lig med 1− 5 = 4 , og afstanden mellem punkterne (3,2) 

og (3,7) er 2 − 7 = 5. 

Hvis linjen gennem de 2 punkter ikke er parallel med nogen af akserne, 

kan vi beregne afstanden mellem dem ved hjælp af Pythagoras’ sætning. I 

fig. skal afstanden mellem punkterne A(2,3) og B(4,6) beregnes. Der tegnes 


en linje gennem A parallel med x-aksen og en linje gennem B parallel med 

y-aksen. De skærer hinanden i punktet C, der må have koordinaterne (4,3). 

Desuden er ∠ C ret, da det er et retvinklet koordinatsystem. Ved brug af 

Pythagoras’ sætning finder vi, idet AC = 4 − 2 og BC = 6 − 3 : 

2 2 2 2 2 2 

AB = AC + BC ⇔ AB = ( 4 − 2) + ( 6 −3) ⇔ 

2 2 

AB = ( 4 − 2 ) + (6 − 3 ) = 13 

Generelt vil vi beregne afstanden PQ mellem 2 vilkårlige punkter P( x 1 , y 1 ) 

og Q ( x 2 , y 2 ). Der tegnes som i eksemplet ovenfor linjer parallelle med 

x- og y-aksen. Herved fremstår den retvinklede PQ R , og ved brug af 

Pythagoras får vi: 

y-aksen 

6 

3 

O(0,0) 

2 2 2 2 

2 

2 

PQ = PR + Q R ⇔ PQ = ( x − x ) + ( y − y ) ⇔ 

PQ = ( x − x ) + ( y − y ) 

A(2,3) 

1 

2 3 4 

fig. 1 AB kan beregnes til : 

2 2 

1 2 1 2 

B(4,6) 

C (4,3) 

x-aksen 

AB = (2 - 4) 2 + (3 - 6) 2 = 13, da 

AC = 2 - 4 og BC = 3 - 6 

Afstandsformlen 

1 2 1 2 

P(x 1,y 1) 

x 1 

y-aksen 

y2 

y 1 

Q(x2,y2) 

R(x2,y1) 

x-aksen 

fig. 2 PR = x1 - x2 og QR = y1 - y2 

Deraf fås : PQ = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 

Afstanden mellem punkterne P( x 1 , y 1 ) og Q ( x 2 , y 2 ) er givet ved: 

( ) 2 2 

PQ = x1 − x 2 + ( y1 − y 2 ) . 

Vis at denne afstandsformel også kan bruges i de tilfælde, hvor linjen gennem 

de 2 punkter er parallel med en af akserne. 

1 

x 2 



Cirklen 

Ovenstående resultat overføres let til cirklen, da denne er defineret som 

mængden af punkter, der har en bestemt afstand til centrum. Vi vil undersøge, 

hvordan de punkter, der ligger på en cirkel med radius r og centrum 

i C(a,b), kan beskrives ud fra deres koordinater. For et vilkårligt punkt 

P( x , y ) på cirkelperiferien kan afstanden til centrum C(a,b) beregnes, og 

denne afstand kan så sættes lig med r: 

2 · GEOMETRI 

2 2 2 

2 

CP = ( x − a) + ( y −b) ⇔ r = ( x − a) + ( y −b) ⇔ 

r = ( x − a) + ( y −b) 

2 2 2 

y 

1 

C (a,b) 

Enhedscirklen har ligningen : x 2 + y 2 = 1 

Cirklens ligning 

Cirklens ligning : (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 

r 

P (x,y) 

En cirkel med centrum i C(a,b) og radius r har ligningen: 

2 2 2 

( x − a) + ( y − b) = r 

2 2 2 

Hvis cirklens centrum er O (0,0 ), får cirklen ligningen: x + y = r 

Vi kan regne på cirklens ligning: 

( ) ( ) 2 

2 2 

x − a + y − b = r ⇔ 

2 2 2 2 2 

x + a − 2ax + y + b − 2by = r ⇔ 

x − 2ax + y − 2by = r −a −b 

2 2 2 2 2 


x

I den sidste ligning indgår der på højre side udelukkende konstanter, da 

centrum C(a,b) er et bestemt punkt, og radius r er givet. Ofte er cirklens 

ligning angivet på denne form, hvorfor vi må omforme til den sædvanlige 

form, der tillader en umiddelbar aflæsning af centrum og radius. Vi vil se 

på et eksempel: 

Eksempel 1: En punktmængde er givet ved: 

2 2 

x − 2x + y − 6 y = 26 

Ud fra ovenstående slutter vi, at grafen må være en cirkel. Vi ønsker at bestemme a og 

b, så ligningen i stedet kan skrives på formen: ( ) ( ) 2 

2 2 

x − a + y − b = r . 

2 

I stedet for udtrykket x − 2x vil vi gerne opnå kvadratet på en toleddet størrelse, dvs. 

en størrelse på formen ( ) 2 

x − a . Her må − 2x betragtes som det dobbelte produkt, 

når de 2 led i den toleddede størrelse hedder henholdsvis x og -1 ( -1 er det halve 

2 

2 2 

af koefficienten − 2 til x). Udtrykket x − 2x mangler leddet ( − 1) = 1 for at være 

2 

kvadratet på en toleddet størrelse. Vi adderer derfor 1 på begge sider af lighedstegnet. 

2 

2 

Tilsvarende betragtninger over udtrykket y −6 y fører til, at vi også må addere 3 

på begge sider af lighedstegnet. Vi får derfor: 

2 2 

x 2x y 6 y 26 

− + − = ⇔ 

2 2 2 2 2 2 

x − 2x + 1 + y − 6 y + 3 = 26 + 1 + 3 ⇔ 

2 2 

( x − 1) + ( x − 3) = 36 ⇔ 

( x − 1) + ( x − 3) = 6 

2 2 2 

Af sidste ligning kan vi se, at grafen for punktmængden 

er en cirkel med centrum i punktet (1,3) og radius 6. 

Eksempel 2: En punktmængde er givet ved: 

Ved tilsvarende betragtninger som i eksempel 1 får vi: 

2 2 

x 4x y 10 x 20 

+ + − = ⇔ 

2 2 

( x + 2) + ( x − 5) = 49 

2 2 

x − 2x + y − 6 y = 26 

2 2 

x + 4x + y − 10 x = 20 

2 2 2 2 2 2 

x + 4x + 2 + y − 10 x + 5 = 20 + 2 + 5 ⇔ 

Centrum for denne cirkel er (–2,5) og radius er 7 

Øvelse: Tegn grafen for 

2 2 

x + y = 48 + 8 y −12x 



Funktion 

Funktionsbegrebet er et af de vigtigste begreber overhovedet i matematik, 

fordi det anvendes i mange forskellige situationer. Mange har svært ved 

at give en entydig forklaring på, hvad en funktion er, fordi begrebet kan 

præsenteres og forklares på forskellig vis. Men hvor vi finder en sammenhæng 

mellem 2 størrelser, har vi ofte at gøre med en funktion. Mere 

præcis: Hvis man om den ene størrelse kan sige, at den på entydig vis 

afhænger af den anden størrelse, dvs. hvis y afhænger af x, sådan at der 

til et bestemt x svarer ét og kun ét y, så er sammenhængen mellem de 2 

størrelser en funktion. Her er nogle bud på forskellige præsentationer af 

begrebet funktion: 

Sammenhængen mellem prisen y og antal købte vareenheder x er eksempel 

på en funktion. 

Hvis kg koster 3 kr., så vil x kg koste 3⋅ x kr. Prisen y er en funktion af antallet 

x af vareenheder, og sammenhængen kan udtrykkes ved y = 3⋅ x. 

Vi kan fastslå, at der til ét bestemt kvantum hører netop én pris. 

Sammenhængen mellem temperaturen målt i celsius og i fahrenheit er ek- 

sempel på en funktion. 

Hvis x er fahrenheit og y er celsius så gælder: 


5 

y = ( x −32) ⋅ 

9 

Det er klart, at der til enhver fahrenheit-grad svarer netop én celsius-grad. 

En funktion kan også være sammenhængen mellem 2 rækker af tal givet i en 

tabel, fx følgende tabel: 

131 142 153 164 175 186 197 208 219 ≥ 220 

500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 4500 6000 7000 

Tabellen beskriver sammenhængen mellem en bils hastighed x på en motorvejstrækning 

med hastighedsbegrænsning på 0 km/t. i øverste linje 

og bødens størrelse y i nederste linje ved en evt. trafikkontrol. Øverste linje 

skal forstås sådan, at der egentlig er underforstået et interval, fx i stedet for 

3 skal der stå intervallet [ 121;131 ] , 42 står for ] 131;142 ] osv. Tabellen 

beskriver en funktion, da der til enhver hastighed over 2 km/t. kan findes 

én bødestørrelse. 


Foruden ovennævnte bøde er der fastlagt et højhastigtighedstillæg for 

hastigheder over 40 km/t. Idet der i øverste linje igen skal tænkes i intervaller, 

er denne tabel givet ved: 

149 159 169 179 189 199 209 219 229 239 

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 

Også denne tabel er i sig selv en funktion. I praksis vil det interessante dog 

være at sammensætte disse 2 funktioner til én funktion. 

Hvordan vil du lave en tabel over denne nye funktion? 

En funktion kan være en kurve. Her er x-værdierne årstal fra 98 til 2005, 

og y-værdierne er antal mennesker i arbejdsstyrken det pågældende år. Til 

hvert årstal svarer netop et tal for arbejdsstyrken. Omvendt kan man godt 

til forskellige tidspunkter have målt det samme tal for arbejdsstyrken. 

En funktion er en maskine. Vi forestiller os en maskine, der gør noget ved 

det, der puttes ind i den. Når et tal puttes ind, kommer et – som oftest ændret 

– tal ud af maskinen. 

x 

Maskinen her 

ganger med 2 y = 2 x 



En maskine vil altid gøre det samme ved tallet. Derfor vil der til et bestemt 

input x svare netop ét output y. 

Fælles for ovenstående eksempler på funktioner er, at der ikke kan findes 2 

forskellige y-værdier til en og samme x-værdi. Derimod kan det omvendte 

godt være tilfældet, som før nævnt fx samme antal mennesker i arbejdsstyrken 

på 2 forskellige årstal. 

En mere præcis definition af begrebet funktion har vi i følgende: 

Definition 

En funktion er en mængde af ordnede par, hvori der ikke findes 2 forskellige 

med samme førstekomponent. 

Ovenstående definition er nok præcis, men ikke særlig god, da den er for 

teoretisk til at beskrive den opfattelse, vi har fra situationer i hverdagen, 

hvor vi – ofte ubevidst – møder funktionsbegrebet i mange situationer. Et 

mere dynamisk funktionsbegreb har vi i opfattelsen af en funktion som 

en maskine, der gør noget ved det, der puttes ind i den, eller i begrebet: 

det afhænger af. Prisen afhænger af kvantum. Portoen afhænger af vægten 

(og af konvoluttens størrelse). Bøden afhænger af forseelsens størrelse. I 

fysikkens love er der fyldt med eksempler på denne afhængighed mellem 

2 størrelser. 

Det gennemgående træk er, at y-værdien afhænger af x-værdien, og 

derfor kaldes y for den afhængige variable og x den uafhængige variable. 

Den uafhængige variabel x vælger man selv. 

En funktion kaldes ofte for en afbildning. 

Der bruges små bogstaver, som f, g og h som navne for funktioner. y-værdien 

kaldes også funktionsværdien eller f-billedet af x og betegnes f(x). 

Skrivemåden: f : x → 4x + 3 og Dm( f ) = R 

står for y = f ( x ) = 4x + 3, 

og de reelle tal R er den mængde, hvorfra vi henter 

x-værdierne; denne kaldes definitionsmængden og betegnes Dm( f ). 

Mængden af mulige y-værdier, der fremkommer, når x gennemløber definitionsmængden, 

kaldes værdimængden og betegnes Vm(f). Værdimængden 

kan man regne sig til, når funktionen f – som her – er givet ved en forskrift, 

og vi kender definitionsmængden. 



Definitionsmængden kan også være en endelig mængde, som i funktionen f 

givet ved: f : x → 4x + 5 og Dm( f ) = { 1,2,3,4 } . Værdimængden kan her bestemmes 

til Vm( f ) = { 9 ,13,17 ,21} 

. I et koordinatsystem vil grafen for denne 

funktion være 4 punkter svarende til, at f = { (1,9 ), ( 2,13 ) ,( 3,17 ), ( 4,21) 

} . 

Der bruges ofte en illustration som i fig. og fig. 2 for sådanne endelige 

funktionen, fordi disse illustrationer er gode til at illustrere egenskaber, som 

går på, at funktioner kan være injektive og surjektive. 

A 

1 

2 

3 

4 

f 

→ 

→ 

→ 

→ 

13 

17 

21 

fig. 1 Funktionen f er injektiv, da 

x 1 ≠ x 2 ⇒ f(x 1) ≠ f(x 2), og f er surjektiv, 

da Vm(f) = B. 

9 

B 

A 

1 

2 

-2 

4 

g 

→ 

→ → 

→ 

B 

1 

fig. 2 Funktionen g er ikke injektiv, 

da g(2) = g(-2) = 4, og g er ikke 

surjektiv, da 10 ikke tilhører Vm(g). 

Hvis der til 2 forskellige x-værdier hører tilsvarende 2 forskellige y-værdier, 

så er funktionen injektiv. Kurven for arbejdsstyrken i eksemplet ovenover er 

ikke injektiv. Til forskellige tidspunkter x og x 2 kan der være samme tal 

y for arbejdsstyrken, ikke at forveksle med, at der til et bestemt tidspunkt 

x svarer netop ét tal y, hvilket sidste er definition på en funktion. Parablen 

er også graf for en ikke-injektiv funktion, idet der til samme y-værdi svarer 

2 forskellige x-værdier (toppunktet undtaget). Begrebet injektiv er således 

vigtigt nok. Derimod er det sjældent, at vi er optaget af, om funktionen 

er på mængden B eller – hvad der er det samme – surjektiv mht. B, der 

betyder, at Vm( f ) = B . 

En funktion fra A til B, der er både injektiv og surjektiv kaldes en bijektion. 

Ovenstående funktion f i fig. er en bijektion fra A til B. Det kaldes 

også en en-til-en-korrespondance mellem A og B. 

analytisk gEomEtri · 


4 

16 

10

4 

3 

2 

1 

-1 

-2 

-3 

y 

fig. 3 

3 · GEOMETRI 

f 

Liniestykket g 

er ikke en 

funktion 

2 4 6 8 10 12 14 

f er en ikke-injektiv 

funktion. Dm(f) = 1;4 

Vm(f) = -1;3 

g 

c 

Cirklen c er ikke en funktion 

p 

 

x 

Parablen p er 

en ikke-injektiv 

funktion. 

Dm(p) = R 

Vm(p) = y | y 4 

I fig. 3 er grafen f en funktion, der ikke er injektiv, da der for 1 ≤ y < 3 svarer 

2 forskellige x-værdier. Det samme gælder for parablen p. Det lodrette linjestykke 

g er derimod ikke graf for en funktion, da der til x = 6 svarer mange 

y-værdier, nemlig alle tal mellem –2 og 4 (begge tal medregnet). Cirklen c 

er heller ikke en funktion. For værdier af x, der opfylder 7 < x < 11 , svarer 

der 2 forskellige y-værdier. 

Sammensatte funktioner 

Hvis både f og g er funktioner fra de reelle tal på de reelle tal, så kan 

vi definere den af f og g sammensatte funktion, der betegnes gof , ved 

gof ( x ) = g( f ( x )) . Hvis vi tænker på funktioner som maskiner, og f er en 

maskine, der fx multiplicerer med 2, og g er en maskine, der adderer 3, så 

kan vi opstille maskinerne efter hinanden: 

x 

mas kinen f 

⋅2 

2 ⋅ x 

mas kinen g 

+3 

2 ⋅ x + 3 

Den sammensatte funktion gof kan således erstattes af en funktion, der 

afbilder x i 2 ⋅ x + 3 . Bytter vi maskinerne om, får vi 


x 

mas kinen g 

mas kinen f 

+3 x + 3 ⋅2 

2 ⋅ (x + 3) = 2 ⋅ x + 6 

Dvs.: fog er en funktion, der afbilder x i 2 ⋅ x + 6 . 

Funktionssammensætning er åbenbart ikke kommutativ, idet vi her har 

gof ≠ fog , fordi der for disse funktioner gælder: 

g( f ( x )) ≠ f ( g( x )) ⇔ g( 2x ) ≠ f ( x + 3) ⇔ 2x + 3 ≠ 2 ⋅ ( x + 3) 

Ved definition af den af f og g sammensatte funktion skal vi sikre os, at 

funktionsværdierne for f ligger i definitionsmængden for g. 

Vi definerer: 

For funktioner f og g, der opfylder Vm( f ) ⊆ Dm( g ) , er den af f og g 

sammensatte funktion gof defineret ved: gof ( x ) = g( f ( x )) 

Øvelse: Bestem en forskrift for såvel gof som for fog i hvert af følgende tilfælde: 

1) f ( x ) = 4x + 3 og g( x ) = x - 5 

2) f ( x ) = 2x − 3 og g( x ) = x 

3) f ( x ) = x + 2 og g( x ) = x , hvor x > 0 

Omvendt funktion 

2 

Hvis en mobiltelefon koster 75 kr. pr. kvartal i abonnement og 0 ,70 kr. 

i taletid pr. minut, så kan y = 0 ,70 ⋅ x + 75 beskrive sammenhængen mellem 

antal talte minutter x og prisen y for et kvartals brug af telefonen. Men 

somme tider er man måske mere interesseret i at undersøge, hvor mange 

minutter man kan tale for et bestemt beløb. Det betyder, at det er den omvendte 

funktion, hvor y er den variable, man vælger, og x den afhængige 

variable, som man er interesseret i. Hvis man fx gerne vil vide, hvor meget 

taletid man kan få for 80 kr., kan man foretage følgende udregninger: 

0 ,70 ⋅ x + 75 = 180 ⇔ 0 ,70 ⋅ x = 105 ⇔ x = 150 eller generelt: 

1 75 

0 ,70 ⋅ x + 75 = y ⇔ 0 ,70 ⋅ x = y −75 ⇔ x = ⋅ y − 

0 ,70 0 ,70 

analytisk gEomEtri · 


Man kan således tale i 50 minutter for 80 kr. 

1 

Idet den omvendte funktion betegnes f − har vi vist: 

Hvis f ( x ) = 0 ,70 ⋅ x + 75 , så er 

3 · GEOMETRI 

−1 

1 75 

f ( y ) = ⋅ y − 

0 ,70 0 ,70 

Det fremgår, at det kun er muligt at gennemføre beregningerne, når man 

kan bestemme netop ét x til hvert y. Det betyder, at alene injektive funktioner 

har en omvendt funktion. Når f er en injektiv funktion, så er f en 

mængde af ordnede par, hvor der ikke findes 2 forskellige ordnede par med 

samme andenkomponent, og det betyder, at den mængde af ordnede par, 

man får ved at ombytte første- og andenkomponenterne i f, også vil være 

en funktion. Vi definerer: 

Hvis f er en injektiv funktion defineres den omvendte funktion 

−1 

− 1 

f ( x ) = y ⇔ f ( y ) = x og Dm( f ) = Vm( f ) 

Eksempel: Vi vil bestemme en forskrift for den omvendte funktion 

1 

f ( x ) = x + 3 . Vi får: 

2 

1 1 1 

f ( x ) = x + 3 ⇔ y = x + 3 ⇔ y − 3 = x ⇔ x = 2 y −6 

2 2 2 

Det betyder, at 

−1 

f ( y ) 2 y 6 

= − . 

1 

f − ved: 

−1 f , når 

Det er klart, at vi frit kan vælge navn for variable, så vi kan også udtrykke 

−1 

f ( x ) = 2x − 6 . 

Hvis f er defineret for de reelle tal R, så er Vm( f ) = R og dermed er 

− 1 

Dm( f ) = R . 

Øvelse: Bestemt en forskrift for 

−1 

f , når f er givet ved: 

1) f ( x ) = 3x + 9 og 2) f ( x ) = −2x − 8 . 

1 

f − ved:

Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK – EN ... - Forlaget Biofolia

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?