Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK – EN ... - Forlaget Biofolia

biofolia.dk

Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK – EN ... - Forlaget Biofolia

Om ræsonnementer og beviser

En matematisk sætning er hypotetisk opbygget af et: hvis p så q, hvor p og

q er udsagn (påstande). Sætningen kan også udtrykkes ved implikationen:

p ⇒ q . Udsagnet p kaldes implikationens forsætning, og q er eftersætningen.

I den følgende beskrivelse af opbygningen af areallæren vil vi opleve en

række geometriske eksempler på egentlige beviser og også på mindre ræsonnementer,

der måske mere har karakter af en argumentation (forklaring).

For at illustrere den mere overordnede tankegang i et matematisk bevis er

her valgt et eksempel på en sætning med et geometrisk indhold, som vi (ud

fra bogens fremstilling) endnu ikke er i stand til at bevise:

Hvis en firkant kan indskrives i en cirkel, så er summen af de modstående

vinkler lig med 180 ° .

Et bevis for en sætning går ud på, at vi forudsætter, antager, hypotetisk forestiller

os, at forsætningen er sand. Under den forudsætning kan vi så gennem

et ræsonnement bevise, konkludere, at også eftersætningen er sand.

Udsagnet i forsætningen: “firkanten kan indskrives i en cirkel” behøver ikke

at være sand, men hvis den er, så er ræsonnementet en garanti for, at der

også må gælde: “summen af de modstående vinkler er 180° ”.

Det betyder heller ikke, at summen af de modstående vinkler er 180° i

enhver firkant. Hvis vi har bevist sætningen, så er der alene argumenteret

for, at det gælder, når firkanten er indskrevet i en cirkel. I det følgende vil

vi opbygge den viden, der gør, at ræsonnementet for netop denne sætning

kan gennemføres. Det kræver nemlig som oftest viden om specifikke matematiske

forhold (her om vinkler ved cirklen) at kunne gennemføre et matematisk

ræsonnement. Ræsonnementet her bygger som ræsonnementer

sædvanligvis gør på påstande (sætninger), der tidligere er bevist.

Et eksempel på en falsk påstand har vi i:

Hvis vinklerne i 2 forskellige figurer (polygoner) er parvis lige store, så er de

2 figurer ligedannede (dvs. den ene figur er en forstørrelse af den anden).

Hvis vi sammenligner et rektangel (her tænkes på et rektangel, hvor der er

forskel på længde og bredde) med et kvadrat, så er vinklerne i de 2 figurer

parvis lige store, men det er jo klart, at de ikke er ligedannede. Det er

altså muligt at finde eksempler på, at forsætningen er sand, samtidig med

12 · GEOMETRI

53369_matematik_kap3net_5k.indd 12 01-12-2006 13:03:35

More magazines by this user
Similar magazines