• Short-link
• Link
• Embed

Om ræsonnementer og beviser En matematisk sætning er hypotetisk opbygget af et: hvis p så q, hvor p og q er udsagn (påstande). Sætningen kan også udtrykkes ved implikationen: p ⇒ q . Udsagnet p kaldes implikationens forsætning, og q er eftersætningen. I den følgende beskrivelse af opbygningen af areallæren vil vi opleve en række geometriske eksempler på egentlige beviser og også på mindre ræsonnementer, der måske mere har karakter af en argumentation (forklaring). For at illustrere den mere overordnede tankegang i et matematisk bevis er her valgt et eksempel på en sætning med et geometrisk indhold, som vi (ud fra bogens fremstilling) endnu ikke er i stand til at bevise: Hvis en firkant kan indskrives i en cirkel, så er summen af de modstående vinkler lig med 180 ° . Et bevis for en sætning går ud på, at vi forudsætter, antager, hypotetisk forestiller os, at forsætningen er sand. Under den forudsætning kan vi så gennem et ræsonnement bevise, konkludere, at også eftersætningen er sand. Udsagnet i forsætningen: “firkanten kan indskrives i en cirkel” behøver ikke at være sand, men hvis den er, så er ræsonnementet en garanti for, at der også må gælde: “summen af de modstående vinkler er 180° ”. Det betyder heller ikke, at summen af de modstående vinkler er 180° i enhver firkant. Hvis vi har bevist sætningen, så er der alene argumenteret for, at det gælder, når firkanten er indskrevet i en cirkel. I det følgende vil vi opbygge den viden, der gør, at ræsonnementet for netop denne sætning kan gennemføres. Det kræver nemlig som oftest viden om specifikke matematiske forhold (her om vinkler ved cirklen) at kunne gennemføre et matematisk ræsonnement. Ræsonnementet her bygger – som ræsonnementer sædvanligvis gør – på påstande (sætninger), der tidligere er bevist. Et eksempel på en falsk påstand har vi i: Hvis vinklerne i 2 forskellige figurer (polygoner) er parvis lige store, så er de 2 figurer ligedannede (dvs. den ene figur er en forstørrelse af den anden). Hvis vi sammenligner et rektangel (her tænkes på et rektangel, hvor der er forskel på længde og bredde) med et kvadrat, så er vinklerne i de 2 figurer parvis lige store, men det er jo klart, at de ikke er ligedannede. Det er altså muligt at finde eksempler på, at forsætningen er sand, samtidig med 12 · GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 12 01-12-2006 13:03:35

at eftersætningen er falsk. Vi kan således ikke slutte eftersætningen ud fra forsætningen. Her er der også gennemført et ræsonnement, men denne gang for at sætningen er falsk. Den udtrykker ikke en generel egenskab. At finde modeksempler er en udbredt metode til at påvise, at en påstand ikke holder. Ét modeksempel er nok til, at sætningen må falde. I kapitlet om tal har vi set eksempler på andre typer af beviser. Det indirekte bevis blev fx brugt til at bevise, at der findes uendelig mange primtal. Induktionsbeviser blev brugt i tilfælde, hvor man skulle vise, at en bestemt sammenhæng gælder for alle naturlige tal. I den følgende opbygning af areallæren vil der være en række eksempler på direkte beviser. Ræsonnementer og bevisers rolle i undervisningen Beviser har ikke længere en fremtrædende rolle i folkeskolens undervisning. De er nok kommet lidt i miskredit, fordi der har været en tendens til, at lærebogens bevis blev lært udenad, hvilket synes meningsløst. Men det er vanskeligt at forestille sig en matematikundervisning, hvor argumentation og ræsonnementer ikke spilder en væsentlig rolle, hvad de da heldigvis også fortsat gør. Ræsonnementet er forklaringen på sammenhængen, og den kan man dårligt undlade at give, hvis man vil bygge på, at læring skal ske gennem forståelse. Der er alt for meget, der blot skal “huskes”, hvis man ikke bygger på den indsigt og forståelse, der kommer af, at man har fået, eller allerbedst selv har tænkt sig til, en forklaring. Hvis man har erfaret en sammenhæng ved at have ræsonneret sig til den, så behøver man ikke at bruge kræfter på “at huske”, for man ved jo, at man nok igen vil kunne tænke sig frem til den. Det er uhyre vigtigt, at eleverne bringes i situationer, hvor de kan udfordres og evt. i dialog med læreren eller andre elever gennemføre kortere rækker af ræsonnementer. Det er vigtigt, at de kan gennemskue holdbarheden af et matematisk argument. Det er vigtigt, at de kan skelne mellem intuitive eller empiriske opfattelser af fænomener og matematiske beviser for disse fænomener, fordi de ellers let opbygger en forestilling om, at det er nok, at det ser ud til at være sådan; eksempelvis kan man da se, at diagonalerne i et parallelogram halverer hinanden. Hvorfor skal det bevises? Det skal det, fordi vi først kan være sikre på, at en påstand holder, når vi har kunnet føre et ræsonnement eller bevis for den. Det kan jo være, at vi ikke har været grundige nok i vort arbejde. Måske vil vi ved fortsatte undersøgelser kunne finde netop det eksempel, der gør, at påstanden må falde. Den matematiske metode består langt hen ad vejen i at bevise. Det giver EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 1 53369_matematik_kap3net_5k.indd 13 01-12-2006 13:03:35