Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK – EN ... - Forlaget Biofolia

I den sidste ligning indgår der på højre side udelukkende konstanter, da
centrum C(a,b) er et bestemt punkt, og radius r er givet. Ofte er cirklens
ligning angivet på denne form, hvorfor vi må omforme til den sædvanlige
form, der tillader en umiddelbar aflæsning af centrum og radius. Vi vil se
på et eksempel:
Eksempel 1: En punktmængde er givet ved:
2 2
x − 2x + y − 6 y = 26
Ud fra ovenstående slutter vi, at grafen må være en cirkel. Vi ønsker at bestemme a og
b, så ligningen i stedet kan skrives på formen: ( ) ( ) 2
2 2
x − a + y − b = r .
2
I stedet for udtrykket x − 2x vil vi gerne opnå kvadratet på en toleddet størrelse, dvs.
en størrelse på formen ( ) 2
x − a . Her må − 2x betragtes som det dobbelte produkt,
når de 2 led i den toleddede størrelse hedder henholdsvis x og -1 ( -1 er det halve
2
2 2
af koefficienten − 2 til x). Udtrykket x − 2x mangler leddet ( − 1) = 1 for at være
2
kvadratet på en toleddet størrelse. Vi adderer derfor 1 på begge sider af lighedstegnet.
2
2
Tilsvarende betragtninger over udtrykket y −6 y fører til, at vi også må addere 3
på begge sider af lighedstegnet. Vi får derfor:
2 2
x 2x y 6 y 26
− + − = ⇔
2 2 2 2 2 2
x − 2x + 1 + y − 6 y + 3 = 26 + 1 + 3 ⇔
2 2
( x − 1) + ( x − 3) = 36 ⇔
( x − 1) + ( x − 3) = 6
2 2 2
Af sidste ligning kan vi se, at grafen for punktmængden
er en cirkel med centrum i punktet (1,3) og radius 6.
Eksempel 2: En punktmængde er givet ved:
Ved tilsvarende betragtninger som i eksempel 1 får vi:
2 2
x 4x y 10 x 20
+ + − = ⇔
2 2
( x + 2) + ( x − 5) = 49
2 2
x − 2x + y − 6 y = 26
2 2
x + 4x + y − 10 x = 20
2 2 2 2 2 2
x + 4x + 2 + y − 10 x + 5 = 20 + 2 + 5 ⇔
Centrum for denne cirkel er (–2,5) og radius er 7
Øvelse: Tegn grafen for
2 2
x + y = 48 + 8 y −12x
analytisk gEomEtri · 2
53369_matematik_kap3net_5k.indd 29 01-12-2006 13:03:46