Indledende obligations - Syddansk Universitet

sam.sdu.dk

Indledende obligations - Syddansk Universitet

Indledende obligations- og

rentestrukturanalyse ∗

Christian Riis Flor †

Claus Munk ‡

Første version: januar 1997

Denne version: januar 2007

∗ Undervisningsnote til faget Finansiering (tidligere finansiering/investering) p˚a HA-, mat.øk.-

og Ha-dat-uddannelserne p˚a Syddansk Universitet. Vi takker Anders Damgaard, Leif Dydensborg,

Bjarne Graabech Sørensen samt tidligere studerende for rettelser og bemærkninger til tidligere

versioner. Yderligere kommentarer modtages gerne.

† Lektor ved Institut for Virksomhedsledelse og Økonomi, Syddansk Universitet, Campusvej 55,

5230 Odense M. Telefon: 6550 3384. Fax: 6615 8790. E-mail: crf@sam.sdu.dk. Internet hjemmeside:

http://www.sam.sdu.dk/ansat/crf.

‡ Professor ved Institut for Virksomhedsledelse og Økonomi, Syddansk Universitet, Campusvej

55, 5230 Odense M. Telefon: 6550 3257. Fax: 6615 8790. E-mail: cmu@sam.sdu.dk. Internet hjem-

meside: http://www.sam.sdu.dk/ansat/cmu.


Indhold

Forord 7

1 Indledning 9

1.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Standardprincipper for afvikling af l˚an . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Annuiteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 St˚aende l˚an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3 Seriel˚an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Det danske pengemarked og obligationsmarked 17

2.1 Pengemarkedsinstrumenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Det danske obligationsmarked . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Danske statsobligationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Danske realkreditobligationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Øvrige obligationer p˚a det danske marked . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Særlige regler om udtrækning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Konventioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Kurs og effektiv rente 29

3.1 Definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Kurs og effektiv rente p˚a standardobligationer . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Valør p˚a et terminstidspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Valør mellem to terminstidspunkter . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Beregning af effektiv rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Rentestruktur, diskonteringsfunktion og forwardrenter 37

4.1 Indledende bemærkninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


4 Investering i obligationer

4.2 Ingen-arbitrage princippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Diskonteringsfaktorer og nulkuponobligationer . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med ˚arlig rentetilskrivning . . . . . 43

4.5 Nulkuponrenter og forwardrenter med flere rentetilskrivninger pr. ˚ar 46

4.6 Nulkuponrenter og forwardrenter med kontinuert rentetilskrivning . 47

4.7 Bestemmelse af rentestrukturen p˚a baggrund af observerede obliga-

tionspriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.8 Forklaringer p˚a rentestrukturens udseende . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.9 Variabelt forrentede obligationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 M˚aling og styring af renterisiko 61

5.1 Risici ved obligationsinvesteringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Macaulay-varighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.1 Valør p˚a et terminstidspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.2 Valør mellem to terminstidspunkter . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Macaulay-konveksitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikom˚al for porteføljer af obligationer . 71

5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikom˚alene . . . . . . . . . . . . 76

5.7 Fisher-Weil m˚al for renterisiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.8 Andre risikom˚al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Beskatning af obligationsafkast 89

6.1 Indledende bemærkninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Pensionsafkastbeskatningsloven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3 Kursgevinstloven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4 Metoder til opgørelse af skattepligtige kursgevinster . . . . . . . . . 92

6.5 Nøgletal efter skat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7 Realkreditobligationer og -l˚an 99

7.1 Obligationsl˚an vs. kontantl˚an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Generelt om konverterbare obligationer . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Konvertering af danske realkreditobligationer . . . . . . . . . . . . . 104

7.4 Rentetilpasningsl˚an – FlexL˚an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 Afdragsfrie l˚an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


Indhold 5

Løsninger til test-dig-selv 115

Opgaver 119

Litteratur 128

Indeks 133


Forord

Ændringerne i denne udgave knytter sig primært til de nye rentekonventioner p˚a

det danske obligationsmarked, der er blevet indført pr. 8. februar 2001, og enkelte

referencer er blevet fornyet. I forhold til tidligere udgaver er Christian Riis Flor

blevet medforfatter.

Odense, august 2004

Christian Riis Flor

Enkelte referencer er blevet fornyet, og der er tilføjet et indeks. Endvidere gives som

noget nyt en kort behandling af afdragsfrie l˚an. Som et pædagogisk tiltag er der

tilføjet en række test-dig-selv spørgsm˚al i slutningen af hvert kapitel. Løsninger til

disse spørgsm˚al kan findes i slutningen af noten.

Odense, januar 2007

Christian Riis Flor


Kapitel 1

Indledning

1.1 Introduktion

Dette skrift beskæftiger sig med værdiansættelse af aktiver, der giver anledning

til en eller flere fremtidige betalinger, hvis størrelse og tidsmæssige placering er kendt.

S˚adanne aktiver siges at have en deterministisk betalingsstrøm. I den indledende

investeringsteori, som behandlet i f.eks. Christensen og Sørensen (2005), antages de

betragtede investeringer netop at have en deterministisk betalingsstrøm. I praksis vil

der ved de allerfleste realinvesteringer være en betydelig usikkerhed om de fremtidige

betalinger. Ved en lang række finansielle investeringer, f.eks. i aktier, vil der ligeledes

være en vis usikkerhed om de fremtidige betalinger fra aktivet.

Der findes imidlertid ogs˚a en række finansielle aktiver, der lover ejeren en deter-

ministisk betalingsstrøm. De typiske eksempler er obligationer og bankindskud til en

fast rente. Strengt taget vil ogs˚a betalingerne fra disse aktiver være forbundet med

en vis usikkerhed. For eksempel kan ejeren af en obligation risikere, at udstederen af

obligationen g˚ar konkurs og dermed ikke kan betale de lovede beløb. Til andre ob-

ligationer kan der være tilknyttet betingelser eller rettigheder, der gør, at den aftalte

betalingsstrøm kan erstattes af en anden betalingsstrøm. Disse aktiver værdiansæt-

tes typisk i første omgang som om betalingsstrømmen er helt sikker, og derefter kan

man s˚a forsøge at justere værdien for at tage højde for usikkerhedselementerne.

De allerfleste aktiver med en deterministisk betalingsstrøm har karakter af et

l˚an. Udstederen af aktivet optager et l˚an, mens ejeren af aktivet har krav p˚a ydelser

best˚aende af renter og afdrag p˚a l˚anet. Typisk giver afviklingen af l˚anet anled-

ning til en betalingsstrøm – en ydelsesrække – der falder indenfor en af tre klasser:

annuiteter, st˚aende l˚an og seriel˚an. I Afsnit 1.2 vil vi genopfriske disse l˚antypers


10 Investering i obligationer

karakteristika.

I Kapitel 2 vil vi se nærmere p˚a de finansielle aktiver, der – med lidt god vilje –

kan siges at give deterministiske betalingsstrømme. I den forbindelse vil vi beskrive

det danske pengemarked og det danske obligationsmarked. Dernæst vender vi os i

Kapitel 3 imod værdiansættelsen af deterministiske betalingsstrømme. Værdien af

en s˚adan betalingsstrøm opgøres som nutidsværdien af de fremtidige betalinger med

passende diskonteringsrente(r). Begreberne kurs og effektiv rente defineres, og vi

udleder sammenhænge mellem disse to størrelser for annuiteter, st˚aende l˚an og se-

riel˚an. De relevante diskonteringsrenters afhængighed af løbetiden danner en kurve,

der benævnes rentestrukturen. I Kapitel 4 defineres rentestrukturen mere præcist,

og begreberne diskonteringsfunktion, nulkuponrente og forwardrente introduceres,

ligesom sammenhængen mellem rentestrukturen og markedspriserne p˚a obligations-

markedet diskuteres.

Selvom et aktiv giver kendte fremtidige betalinger, er den fremtidige værdi af

aktivet usikker, s˚afremt der er usikkerhed omkring de fremtidige diskonteringsren-

ter. I Kapitel 5 studerer vi forskellige m˚al for obligationers renterisiko og ser p˚a

hvorledes disse m˚al kan bruges til styring af renterisikoen. For enhver investor er det

naturligvis betalingsstrømmen efter skat, der er relevant. I Kapitel 6 gennemg˚as kort

de danske regler for beskatning af obligationsafkast. Kapitel 7 beskriver de særlige

forhold for danske realkreditl˚an og -obligationer nærmere, herunder diskuteres ogs˚a

konverterbare obligationer og rentetilpasningsl˚an. Skriftet afsluttes med en række

opgaver.

1.2 Standardprincipper for afvikling af l˚an

Vi vil i dette afsnit kort repetere de typer af betalingsstrømme, der fremkommer

ved afviklingen af annuitetsl˚an, st˚aende l˚an og seriel˚an. Flere detaljer og eksempler

kan ses i Christensen og Sørensen (2001). Vi vil generelt lade n betegne antallet

af resterende betalingstidspunkter. Betalingen eller ydelsen p˚a det j’te af disse be-

talingstidspunkter (regnet fra i dag og frem i tiden) betegnes med Yj. Ydelsen er

sammensat af en rentebetaling Ij og et afdrag Zj, s˚aledes at Yj = Ij + Zj for alle

j = 1,2,... ,n.


1.2 Standardprincipper for afvikling af l˚an 11

1.2.1 Annuiteter

En annuitet afvikles med lige store ydelser i hver termin, dvs. Yj = Y for alle j.

Med en nominel værdi p˚a 100, n resterende terminer og en terminslig nominel rente

p˚a R, bliver den terminslige ydelse

(1.1) Y = 100α −1

n |R ,

hvor 1

α n |R =

n

(1 + R) −j =

j=1

1 − (1 + R)−n

.

R

Rentebetalingen i en termin er den terminslige nominelle rente multipliceret med

restgælden efter forrige terminsydelse. Umiddelbart efter den j’te termin er resten

af ydelsesrækken præcis en annuitet med n − j resterende terminer og terminslig

ydelse Y = Gj α −1

. Restgælden efter j terminer er derfor

n−j |R

Gj = Y α n−j |R = 100α −1

n |R α n−j |R ,

og rentebetalingen i termin j + 1 bliver s˚aledes

Ij+1 = R Gj = RY α n−j |R = 100R α −1

n |R α n−j |R .

Afdraget er forskellen mellem den samlede ydelse og rentebetalingen, alts˚a

Zj+1 = Y − Ij+1

= Y − RY α n−j |R

= Y (1 − Rα n−j |R )

= Y


1 − R

= Y (1 + R) −(n−j)

1 − (1 + R)−(n−j)

R

= Y (1 + R) −n (1 + R) j .

Specielt er Zj+1 = (1 + R)Zj, s˚a afdraget vokser geometrisk over l˚anets løbetid.

Eksempel 1.1 Betragt en (fiktiv) 8% annuitetsobligation med udløb 15/5 2009 og

én˚arlig termin. Den 20/8 2004 har denne obligation fem resterende terminer, s˚a den

terminslige (=˚arlige) ydelse er

Y = 100α −1

5 |8%


0.08

= 100

≈ 25.05.

1 − 1.08−5 1 Størrelsen α n |R kaldes ogs˚a annuitetsfaktoren, se f.eks. Christensen og Sørensen (2001).


12 Investering i obligationer

Termin Afdrag Rente Ydelse

2005 05 15 17.05 8.00 25.05

2006 05 15 18.41 6.64 25.05

2007 05 15 19.88 5.16 25.05

2008 05 15 21.47 3.57 25.05

2009 05 15 23.19 1.86 25.05

Tabel 1.1: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 1.1.

Ydelsesrækken p˚a denne dato er derfor (pr. 100 kroner nominel værdi) som vist i

Tabel 1.1.

Der er tre interessante grænsetilfælde af en annuitet:

(a) R = 0: Da α n |R → n for R → 0 (brug f.eks. l’Hôspital’s regel eller definitio-

nen), bliver ydelsen Y = 100/n, hvilket ogs˚a er indlysende, n˚ar der ikke skal

betales renter. 2

(b) n = 1: Da er

α n=1 |R =

1 − (1 + R)−1

R

= (1 + R)(1 − (1 + R)−1 )

(1 + R)R

s˚a ydelsen i den eneste resterende termin bliver

Y = 100α −1

1 |R

= 100(1 + R),

alts˚a hovedstolen 100 plus en rentebetaling p˚a 100R.

(c) n → ∞: Da α n |R → 1

R

for n → ∞, bliver ydelsen

Y = 100R,

=

R 1

=

(1 + R)R 1 + R ,

dvs. der betales kun renter af restgælden – l˚anet afdrages aldrig. Et s˚adant l˚an

kaldes for uamortisabelt eller for en evigtvarende annuitet.

2 l’Hôspital’s regel siger følgende. Lad f og g være to kontinuert differentiable funktioner, hvor

begge funktioner er defineret p˚a en mængde, der indeholder punktet z0. Antag at f(z0) = g(z0) = 0,

men at g ′ (z0) = 0. S˚a er limz→z0

limz→z0

f(z)

g(z) = f ′ (z0)

g ′ (z0) . S˚afremt f ′ (z0) = g ′ (z0) = 0, men g ′′ (z0) = 0, s˚a er

f(z)

f

= limz→z0

g(z) ′ (z)

g ′ (z) = f ′′ (z0)

g ′′ og s˚a fremdeles (under forudsætning af at funktionerne kan

(z0)

differentieres tilstrækkeligt mange gange).


1.2 Standardprincipper for afvikling af l˚an 13

1.2.2 St˚aende l˚an

Termin Afdrag Rente Ydelse

2004 11 15 0 6 6

2005 11 15 0 6 6

2006 11 15 0 6 6

2007 11 15 0 6 6

2008 11 15 0 6 6

2009 11 15 100 6 106

Tabel 1.2: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 1.2.

St˚aende l˚an indfries fuldt ud ved udløb, dvs. der er ingen løbende afdrag. For et

st˚aende l˚an med n resterende terminer, en terminslig p˚alydende rente p˚a R og en

nominel værdi p˚a 100 er ydelserne derfor givet ved


⎪⎨ 100R for j = 1,2,... ,n − 1,

(1.2) Yj =

⎪⎩ 100(1 + R) for j = n.

Eksempel 1.2 Obligationen 6% st˚aende l˚an 2009 (inkonverterbar), som er udstedt

af den danske stat, har én ˚arlig termin og udløber 15/11 2009. Ydelsesrækken pr.

20/8 2004 (pr. 100 kroner nominel værdi) er derfor som vist i Tabel 1.2.

Igen betragter vi tre grænsetilfælde:

(a) R = 0: n˚ar den p˚alydende rente er nul, er der kun én ydelse p˚a l˚anet, nemlig

hele den nominelle værdi, som betales p˚a udløbstidspunktet. Hele afkastet p˚a

et s˚adan l˚an fremkommer derfor ved forskellen mellem den nominelle værdi og

det udbetalte l˚aneprovenu.

(b) n = 1: ydelsen i den eneste resterende termin er 100(1 + R).

(c) n → ∞: uamortisabelt l˚an.


14 Investering i obligationer

1.2.3 Seriel˚an

Termin Afdrag Rente Ydelse

2005 02 15 33.33 12.00 45.33

2006 02 15 33.33 8.00 41.33

2007 02 15 33.33 4.00 37.33

Tabel 1.3: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 1.3.

Seriel˚an er karakteriseret ved at have lige store afdrag i hver termin, dvs.

Zj = 100

, j = 1,2,... ,n.

n

Renten betales af den til enhver tid værende restgæld. Efter j − 1 terminer er der

afdraget ialt 100(j − 1)/n, s˚a rentebetalingen i den j’te termin er


Ij = 100R 1 −


j − 1

, j = 1,2,... ,n,

n

hvor R er l˚anets terminslige nominelle rente. Den samlede ydelse i den j’te termin

er derfor


1

(1.3) Yj = Zj + Ij = 100 + R 1 −

n


j − 1

, j = 1,2,... ,n.

n

Eksempel 1.3 Betragt en (fiktiv) 12% S 2007 obligationen, der er en serieobligation.

Den har én ˚arlig termin og udløber 15/2 2007. Pr. 1/6 2004 er der tre resterende

terminer, s˚a ydelsesrækken (pr. 100 kroner nominel værdi) er som vist i Tabel 1.3.

Lad os igen betragte tre grænsetilfælde:

(a) R = 0: de resterende ydelser er alle lig 100/n.

(b) n = 1: ydelsen i den eneste resterende termin er 100(1 + R).

(c) n → ∞: uamortisabelt l˚an.

Ved at sammenligne grænsetilfældene for de tre hovedtyper af betalingsstrømme

kan vi konkludere, at for l˚an med én resterende termin eller med uendeligt mange

resterende terminer er afviklingsprincippet irrelevant.


1.2 Standardprincipper for afvikling af l˚an 15

Den lille hurtige test-dig-selv

(a) Hvad forst˚as ved en deterministisk betalingsstrøm?

(b) Givet ydelsen Yj og afdraget Ij, hvad er da afdraget?

(c) Hvad karakteriserer en annuitet?

(d) Hvor meget ændrer rentebetalingerne sig ved de forskellige terminer for et

st˚aende l˚an?

(e) Hvor meget ændrer afdragene sig ved de forskellige terminer for et seriel˚an?

(f) Hvad betyder afviklingsprincippet for et uamortisabelt l˚an?


Kapitel 2

Det danske pengemarked og

obligationsmarked

2.1 Pengemarkedsinstrumenter

Pengemarkedet er et marked for forskellige typer af l˚an og indskud af typisk me-

get store beløb med kort løbetid (normalt op til ét˚ar). Deltagerne i markedet er pri-

mært Nationalbanken og pengeinstitutter, og pengemarkedet kaldes s˚aledes ofte for

inter-bank markedet. En del store erhvervsvirksomheder og institutionelle investorer

(pensionskasser, forsikringsselskaber m.m) deltager dog ogs˚a. Markedsaktørerne bru-

ger først og fremmest pengemarkedet til indbyrdes likviditetsudjævning. National-

banken deltager for at p˚avirke de korte renter som et led i pengepolitikken. Rentedan-

nelsen p˚a pengemarkedet influerer p˚a pengeinstitutternes ind- og udl˚ansrenter og har

derfor ogs˚a stor betydning for virksomheders og privatpersoners l˚aneomkostninger.

Handler p˚a pengemarkedet sker direkte ved kontakt mellem to parter, evt. ved

brug af en pengemarkedsmægler. Parterne kan naturligvis indg˚a præcis den aftale,

der passer dem bedst, men oftest anvendes de følgende typer af handler:

Et deposit er en l˚aneaftale mellem to pengeinstitutter over en given periode

uden sikkerhedsstillelse. S˚adanne aftaler svarer til de aftalel˚an eller aftaleindskud

privatpersoner eller virksomheder kan lave med pengeinstitutter.

En repo eller genkøbsforretning er et udl˚an mod sikkerhed i obligationer.

L˚angiveren har fuld dispositionsret over obligationerne i l˚anets løbetid, men er na-

turligvis forpligtet til at tilbagelevere en tilsvarende obligationspost ved l˚anets tilba-

gebetaling. Nationalbanken tilfører normalt likviditet til pengeinstitutterne en gang

om ugen i form af genkøbsforretninger af 14 dages løbetid. Den tilbudte rente kaldes


18 Investering i obligationer

for genkøbsrenten, reporenten eller bare udl˚ansrenten.

Nationalbanken udbyder desuden indskudsbeviser, hvorved pengeinstitutter

kan placere penge i Nationalbanken i 14 dage. Renten p˚a disse indskudsbeviser er

identisk med udl˚ansrenten. Dermed kan Nationalbanken opsuge likviditet. Indskuds-

beviserne kan sælges tilbage til Nationalbanken mod et mindre fradrag i prisen. Pen-

geinstitutterne kan desuden placere penge i Nationalbanken p˚a en foliokonto, som

de frit kan hæve p˚a. Renten p˚a disse konti kaldes foliorenten. 1

En valutaswap er et bytte af deposits i to forskellige valutaer. Den ene part –

køberen af valutaswappen – l˚aner et kronebeløb mod aflevering af udenlandsk valuta,

typisk dollars, til den anden part – sælgeren af valutaswappen. N˚ar l˚anet udløber,

f˚ar køberen den udenlandske valuta tilbage mod at aflevere kroner. En valutaswap

svarer derfor til en repo med sikkerhed i udenlandsk valuta.

En FRA (Forward Rate Agreement) eller renteterminskontrakt er en aftale

om et fremtidigt l˚an i en bestemt periode til en rente fastlagt ved aftalens indg˚aelse.

Repo’er, deposits og valutaswaps har typisk løbetider p˚a 1, 7 og 14 dage, 1, 2, 3,

4, 5 og 6 m˚aneder, men 9- og 12-m˚aneders deposits og valutaswaps anvendes ogs˚a. 2

FRA-aftaler omfatter normalt 3-m˚aneders l˚an begyndende om 3 eller 6 m˚aneder.

Til pengemarkedet regner man ogs˚a sommetider de s˚akaldte skatkammerbeviser,

som er korte statsobligationer. Disse er beskrevet nærmere i Afsnit 2.3.

Priserne/renterne p˚a pengemarkedsinstrumenter relateres ofte til de s˚akaldte

CIBOR-renter (Copenhagen Inter Bank Offered Rate). Disse renter beregnes ud-

fra en række pengeinstitutters stillede rentesatser p˚a l˚an uden sikkerhed. Natio-

nalbanken opgør hver dag CIBOR for løbetider p˚a henholdsvis 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9

og 12 m˚aneder. Der findes lignende rentesatser i andre lande, f.eks. bruges LIBOR-

renter (London Inter Bank Offered Rate) ofte i forbindelse med internationale l˚aneaftaler.

Nationalbanken offentliggører desuden en dag-til-dag rente baseret p˚a priser p˚a

indskud af 1 dags varighed.

Endelig fastsætter Nationalbanken den s˚akaldte diskonto, som i sig selv pri-

mært har signalværdi. I en ˚arrække har diskontoen imidlertid været identisk med

foliorenten, der som nævnt ovenfor har overordentlig stor betydning for hele rente-

1 Kun indskud indenfor tildelte rammer forrentes. Det er (fra april 1992) ikke tilladt at have en

negativ saldo p˚a en foliokonto.

2 Der handles ogs˚a valutaswaps med løbetider p˚a over 1 ˚ar, men disse er pr. definition ikke en

del af pengemarkedet.


2.2 Det danske obligationsmarked 19

dannelsen.

2.2 Det danske obligationsmarked

Obligationer kan karakteriseres som omsættelige, standardiserede l˚anebeviser.

L˚antageren (debitor) udsteder en serie af ensartede obligationer, dvs. obligationer

med ens ydelsesrækker. S˚alænge der udstedes nye obligationer i samme serie, kaldes

serien for˚aben, ellers lukket. Man kan opfatte det som om l˚antagerens samlede l˚an

bliver splittet op i mange mindre, ensartede l˚an, nemlig et l˚an for hver obligation.

Hovedstolen p˚a den del af l˚anet, som den enkelte obligation svarer til, kaldes obli-

gationens nominelle (p˚alydende) værdi. P˚a det danske obligationsmarked har

de allerfleste obligationer en nominel værdi p˚a 1 øre, omend kurserne traditionelt

noteres pr. 100 kroner nominel værdi, eller med andre ord i procent af den nominelle

værdi.

Obligationens udløbstidspunkt er tidspunktet for obligationens sidste ydelse,

alts˚a den sidste termin. Den nominelle (p˚alydende) rente er den rente, der an-

vendes ved beregning af de enkelte terminers rentebetaling. Af historiske ˚arsager

kaldes den nominelle rente ofte for kuponrenten. Bemærk, at det er obligationens

˚arlige nominelle rente, der angives. Hvis den ˚arlige nominelle rente er R, og ob-

ligationen har m terminer pr. ˚ar, s˚a er den terminslige nominelle rente lig R/m.

En obligation benævnes efter dens afviklingsprincip som en annuitetsobligation, en

st˚aende obligation, en serieobligation eller en uamortisabel obligation. En st˚aende

obligation med en nominel rente p˚a nul kaldes en nulkuponobligation. Alle andre

obligationer kaldes undertiden for kuponobligationer. Hver serie af obligationer,

der er noteret p˚a Københavns Fondsbørs, er tildelt en fondskode, som entydigt

identificerer serien. Bemærk, at der p˚a Fondsbørsen handles med en afviklingsperi-

ode p˚a tre børsdage, dvs. en handel, der indg˚as en given dag, har først valør tre

børsdage senere, hvor betalingen for handlen s˚a finder sted. 3

Det danske obligationsmarked p˚a Københavns Fondsbørs er blandt de seks-syv

største obligationsmarkeder i Europa. Den gennemsnitlige daglige omsætning var i

2003 omkring 28 milliarder kroner fordelt p˚a cirka 5100 daglige handler. De noterede

obligationer havde ved udgangen af 2003 en samlet kursværdi p˚a 2559 milliarder

3 Skatkammerbeviserne, som beskrives nedenfor, handles dog med to dages valør.


20 Investering i obligationer

kroner (og en nominel værdi p˚a 2512 milliarder kroner). 4

2.3 Danske statsobligationer

Den største enkelte obligationsudsteder p˚a det danske marked er den danske stat.

For at finansiere et eventuelt underskud p˚a statsbudgettet og indfri tidligere optagne

l˚an udsteder staten obligationer b˚ade p˚a det danske marked (i danske kroner) og

p˚a de internationale markeder (b˚ade i danske kroner og udenlandsk valuta). I 2003

udgjorde statsobligationerne ca. 25% af obligationsmarkedet m˚alt p˚a kursværdi og

ca. 30% m˚alt p˚a omsætning.

Medio 2000 var der noteret 22 serier af fast-forrentede danske statsobligatio-

ner. Heraf var der 13 st˚aende obligationer, 5 serieobligationer, samt 4 uamortisable

obligationer. De st˚aende obligationer betegnes som st˚aende l˚an eller statsgælds-

beviser, afhængigt af obligationernes løbetid ved udstedelsen. De fire uamortisable

obligationer blev udstedt omkring 1900-˚arhundredeskiftet og handles ikke særligt

ofte. Omsætningen er koncentreret i f˚a udvalgte, s˚akaldte toneangivende obligatio-

ner. I 1999 bidrog statsobligationen 6% st˚aende l˚an 2009 f.eks. med hele 13% af

den totale omsætning p˚a det danske obligationsmarked. De st˚aende obligationer og

serieobligationerne har alle én ˚arlig termin (p˚a nær en enkelt serieobligation med to

˚arlige terminer), og de fleste har løbetider p˚a under 10 ˚ar, men der handles ogs˚a en

serieobligation med udløb i 2017 og et st˚aende l˚an med udløb i 2024.

Udover ovennævnte obligationer udsteder staten ogs˚a skatkammerbeviser.

Hver tredje m˚aned udbyder Nationalbanken en ny serie af skatkammerbeviser ved

en˚aben auktion, hvorefter de optages til notering p˚a Fondsbørsen. Skatkammerbevi-

serne bærer ingen kuponrente, dvs. der er tale om nulkuponobligationer. Ved udste-

delsen har beviserne en løbetid p˚a 9 m˚aneder, s˚a der p˚a ethvert tidspunkt handles tre

serier af skatkammerbeviser med løbetider p˚a henholdsvis 0–3 m˚aneder, 3–6 m˚aneder

og 6–9 m˚aneder. Investering i skatkammerbeviserne kan ses som et alternativ til et

aftaleindskud p˚a pengemarkedet. Skatkammerbeviserne har en nominel værdi p˚a

1 million kroner, og priserne noteres direkte pr. styk, alts˚a pr. 1 million kroner

nominelt, fremfor som en pris pr. 100 kroner nominelt. Ydermere handles skatkam-

merbeviserne med to dages valør, hvorimod alle andre obligationer p˚a Københavns

4 Disse tal er hentet fra Københavns Fondsbørs’ Fact Book 2004, der gratis kan downloades fra

Fondsbørsens hjemmeside www.cse.dk.


2.4 Danske realkreditobligationer 21

Fondsbørs som nævnt handles med tre dages valør. Den samlede omsætning af skat-

kammerbeviser var i 2003 p˚a 159 milliarder kroner opgjort til kursværdi.

Endelig noteres der p˚a Fondsbørsen præmieobligationer, som har interesse for

især private investorer. Disse obligationer er ligeledes udstedt af den danske stat.

Præmieobligationer er st˚aende obligationer i den forstand, at hovedstolen afdrages p˚a

én gang. Det specielle ved præmieobligationer er, at rentebetalingen er ukendt. Den

samlede rentebetaling til obligationerne i en given serie af præmieobligationer deles

i et vist antal “præmier” af varierende størrelse, som fordeles til obligationsejerne

ved lodtrækning.

2.4 Danske realkreditobligationer

En af ˚arsagerne til det danske obligationsmarkeds betydelige størrelse er det

danske realkreditsystem. Realkreditinstitutterne yder l˚an mod pant i fast ejen-

dom. L˚anene finansieres ved udstedelse af obligationer. Efterfølgende optages ob-

ligationerne traditionelt til notering p˚a Københavns Fondsbørs. Ved udgangen af

2003 var kursværdien af de noterede realkreditobligationer tilsammen ca. 70% af

den samlede kursværdi p˚a obligationsmarkedet, og omsætningen af realkreditobliga-

tioner udgjorde i 2003 ca. 67% af den samlede obligationsomsætning p˚a Københavns

Fondsbørs. 5

Realkreditmarkedet er underlagt en detaljeret regulering ved lov. Der er lovmæs-

sige regler om løbetiden, størrelsen og afviklingsformen p˚a de l˚an, som realkredit-

institutterne m˚a tilbyde. Realkreditinstitutterne er underlagt et balanceprincip,

som siger, at de samlede betalinger, som et institut skal svare obligationsejerne,

kun m˚a afvige minimalt fra de samlede betalinger, som instituttet modtager fra

l˚antagerne. Desuden skal realkreditinstitutterne have reserver af en vis størrelse.

Obligationerne udstedes i serier, og kreditor/debitor forholdet er – i modsæt-

ning til markedet for sælgerpantebreve – anonymiseret. Der er en stor sikkerhed bag

realkreditobligationer. For det første har realkreditinstituterne betydelige reserve-

fonde, som er opbygget p˚a baggrund af l˚antagernes løbende betalinger af bidrag. 6

Er fondens midler ikke tilstrækkelige til at indfri obligationsejernes krav, m˚a real-

5 1267

Ved udgangen af 2002 var kursværdien af de noterede realkreditobligationer ca. = 52%. 2421

6 Udover reservefondsbidragene betaler l˚antagerne ogs˚a administrationsbidrag til realkreditinsti-

tuttet.


22 Investering i obligationer

kreditinstituttet tære p˚a egenkapitalen. Rækker dette heller ikke, s˚a er det insti-

tuttets l˚antagere, der serievis hæfter solidarisk for forpligtelserne med de bel˚ante

ejendomme. Dette blev sidst taget i anvendelse i 1930’erne, hvor l˚antagerne i be-

stemte serier blev opkrævet ekstraordinære reservefondsbidrag.

Som en konsekvens af balanceprincippet har realkreditinstitutterne traditionelt

anvendt obligationer med samme afdragsprofil og løbetid som de ydede l˚an. 7 De

fleste ydede l˚an er i øjeblikket fast-forrentede annuitetsl˚an med en løbetid p˚a 10, 20

eller 30 ˚ar og fire ˚arlige terminer, hvilket g˚ar igen p˚a obligationssiden. S˚adanne l˚an

har som beskrevet i Afsnit 1.2.1 en konstant ydelse før skat. Da rentebetalingen er

fradragsberettiget, og den udgør en faldende del af den samlede ydelse, vil ydelsen

efter skat p˚a et annuitetsl˚an vokse i l˚anets løbetid. Bemærk, at ydelsesrækken for

obligationen kan afvige fra en ægte annuitet, hvis serien er ˚aben over flere termi-

ner. 8 Der tilbydes traditionelt to typer af l˚an: kontantl˚an og obligationsl˚an. Vi skal

beskrive de to typer af l˚an i Afsnit 7.1.

Tidligere m˚atte realkreditinstitutterne kun yde obligationsl˚an i form af de s˚akaldte

mix-l˚an, som bestod af en kombination af et annuitetsl˚an og et seriel˚an, s˚aledes

at ydelsen efter skat var nogenlunde konstant i l˚anets løbetid. Derfor er der p˚a

Fondsbørsen ogs˚a noteret en række serieobligationer udstedt af realkreditinstitutterne.

Sammenhængen mellem l˚an og obligationer er ikke til stede ved de s˚akaldte

rentetilpasningsl˚an, herunder Realkredit Danmarks meget omtalte FlexL˚an. Ogs˚a

disse l˚an er typisk annuitetsl˚an, men l˚anene er finansieret ved udstedelse af en række

st˚aende obligationer med en løbetid p˚a højst 11 ˚ar. Vi skal se nærmere p˚a denne

l˚anetype og de tilhørende obligationer i Afsnit 7.4.

En vigtig egenskab ved traditionelle danske realkreditl˚an er, at l˚antageren har

ret til at indfri restgælden før udløb ved at opkøbe de bagvedliggende obligationer

til kurs 100. Obligationerne siges da at være konverterbare. P˚a nær de fire gamle

uamortisable obligationer er alle danske statsobligationer inkonverterbare. Vi ser

nærmere p˚a de specielle egenskaber ved konverterbare obligationer i Afsnit 7.2–7.3.

7 Betydningen af balanceprincippet er undersøgt i Grosen (1993).

8 Realkreditserier er typisk ˚abne i et ˚ars tid.


2.5 Øvrige obligationer p˚a det danske marked 23

2.5 Øvrige obligationer p˚a det danske marked

Udover obligationer udstedt af den danske stat og realkreditinstitutterne er der

p˚a Københavns Fondsbørs noteret obligationer udstedt af andre kreditinstitutter

(Kommunekredit, Danmarks Skibskreditfond) og af en del internationale organisa-

tioner, samt den svenske og den finske stat. Enkelte af de sidstnævnte obligatio-

ner er noteret i udenlandsk valuta. I modsætning til andre lande (f.eks. USA) er

det i Danmark (endnu) ikke særligt almindeligt, at erhvervsvirksomheder udsteder

obligationer, men der er dog enkelte undtagelser. S˚aledes har virksomheder som

Øresundskonsortiet, Storebæltsforbindelsen, Hypotekbanken, FIH (Finansieringsin-

stituttet for Industri og H˚andværk) f˚aet optaget erhvervsobligationer til notering p˚a

Fondsbørsen. Enkelte banker har ogs˚a udstedt erhvervsobligationer for at f˚a supple-

rende ansvarlig indskudskapital.

Erhvervsobligationer afvikles typisk som et st˚aende l˚an, men der er ofte knyttet

særlige bestemmelser til disse l˚an. 9 Bemærk desuden, at man ved erhvervsobliga-

tioner skal tage højde for muligheden for at den udstedende virksomhed ikke er i

stand til at betale de aftalte afdrag. Der er alts˚a en konkursrisiko ved at investere

i s˚adanne obligationer. 10

Der er ogs˚a virksomheder (aktuelt er det TKD og en række banker), som har ud-

stedt s˚akaldte konvertible obligationer, hvilket er obligationer, hvor obligations-

ejeren efter nærmere regler kan ombytte obligationen med et antal aktier i den

udstedende virksomhed. 11

En anden type af obligationer, som ikke falder ind under de tre standardtyper,

er de s˚akaldte indeksobligationer. De blev indført i 1982, hvor b˚ade inflationen og

9 For eksempel har Den Danske Bank udstedt obligationer, hvor ydelserne afhænger af udviklingen

i det amerikanske S&P500 aktieindeks!

10 Der er naturligvis ogs˚a en teoretisk risiko for, at den danske stat g˚ar konkurs, men n˚ar en

stat f˚ar betydelige økonomiske vanskeligheder, kan den trykke flere penge. Risikoen for at ejere af

statsobligationer ikke f˚ar de aftalte ydelser kan s˚aledes negligeres. Bemærk, dog at den reale værdi

af de fremtidige ydelser vil falde, hvis staten øger pengemængden for at kunne betale afdrag p˚a

gælden.

11 Bemærk forskellen mellem konverterbare obligationer og konvertible obligationer. Sprogbrugen

i diverse avisers kurslister og mange andre steder er dog ikke helt i overensstemmelse med denne

sondring. S˚aledes kaldes konverterbare obligationer (f.eks. realkreditobligationer) ofte for konvertible

obligationer.


24 Investering i obligationer

renterne var meget høje efter nutidens standard. Den grundliggende idé er, at den

underliggende restgæld og/eller ydelsen inflationskorrigeres. Dette giver en sikker-

hed for den reale værdi af de fremtidige ydelser, hvor traditionelle obligationer giver

bestemte nominelle ydelser. Indeksobligationerne skulle især anvendes til langsigtet

finansiering af almennyttigt boligbyggeri og erhvervsbyggeri, men er senere udvidet

til finansiering af landbrugsejendomme, skibsbyggeri og konstruktion af vedvarende

energianlæg. P˚a grund af de komplicerede l˚anekonstruktioner, skattemæssige forhold

og den senere lave og tilsyneladende stabile inflationsrate har indeksobligationerne

ikke fundet den store interesse blandt potentielle investorer. For en nærmere beskri-

velse af indeksobligationer henvises til Jensen (2005, Kap. 13).

I midten af 1990’erne introducerede Unibank de s˚akaldte CMO’er, hvilket st˚ar

for Collateralized Mortgage Obligation, p˚a det danske marked. Dette er obligatio-

ner, som er udstedt med sikkerhed i en pulje af realkreditobligationer. De samlede

betalinger fra denne pulje ligger til grund for betalingerne til CMO’erne. CMO’erne

inddeles i forskellige klasser (“trancher”), og der er bestemte regler for hvorledes

de samlede ydelser fra realkreditpuljen fordeles p˚a de forskellige klasser. F.eks. kan

der være forskel p˚a den nominelle rente, der anvendes ved beregning af de enkelte

klassers ydelser, s˚aledes at nogle investorer modtager en stor del af deres afkast i

form af en rentebetaling, mens andre investorer slet ingen rentebetaling f˚ar. Blandt

andet p˚a grund af forskelle i beskatningen af de enkelte investorers afkast kan en

s˚adan fordeling være fordelagtig. Der kan ogs˚a være forskel p˚a den m˚ade de enkelte

trancher p˚avirkes af konverteringer i den bagvedliggende pulje af realkreditobliga-

tioner. Der er i øjeblikket noteret et par CMO-serier p˚a Københavns Fondsbørs, men

omsætningen i disse obligationer er meget begrænset.

2.6 Særlige regler om udtrækning

Den ydelse, som udstederen skal betale til obligationsejerne best˚ar af renter og

afdrag. Afviklingen af udstederens samlede afdrag til obligationsejerne foreg˚ar i prin-

cippet ved at hver obligation f˚ar den del, der modsvarer deres andel af den totale

serie. Denne form for udbetaling af afdrag kaldes for matematisk udtrækning.

Ydelsen til den enkelte obligationsejer best˚ar derfor af udtrækning og en rentebeta-

ling. De nuværende rentekonventioner i.f.m. udtrækning blev indført d. 8. februar


2.6 Særlige regler om udtrækning 25

2001. 12

Et stykke tid før en termin, typisk 1–3 m˚aneder, bliver det publiceret, hvor

stor en andel af den samlede nominelle obligationsbeholdning, der bliver udtrukket.

For en given obligationsserie benævnes andelen til udtrækning som udtræknings-

procenten. Udtrækningsprocenten er defineret som det procentvise forhold mellem

beløbet, der udtrækkes, og den cirkulerende nominelle mængde, og officielt angi-

ves den altid med 10 decimaler. Hvis der kun er én termin tilbage, s˚a skal alle

obligationerne selvfølgelig indfries. Udtrækningsproceduren er derfor kun relevant

for annuitets- og serieobligationer med mere end én tilbageværende termin. Dagen,

hvor offentliggørelsen finder sted, kaldes for udtrækningstidspunktet eller pu-

bliceringsdagen. De obligationer, der indfries fuldt ud ved den kommende termin,

forsvinder fra handlen p˚a publiceringsdagen, hvorefter der udelukkende handles ob-

ligationer, som kun tildeles rentebetaling ved førstkommende termin. Dette medfører

naturligvis, at de obligationer, der handles p˚a et givet tidspunkt aldrig har f˚aet til-

delt udtrækning og derfor stadigvæk har samme nominelle værdi, som da de blev

udstedt. For at h˚andtere afregningen af udtrækningen er stykstørrelsen (den nomi-

nelle værdi) af én obligation sat til 1 øre. 13 Ejer man f.eks. 100 kr. nominel værdi af

en obligationsserie, betyder stykstørrelsen p˚a 1 øre, at man ejer 100 · 100 = 10000

stk. obligationer i den p˚agældende serie. I de følgende eksempler vil vi almindeligvis

antage en nominel beholdning p˚a 100 kr.

Den del af den terminslige ydelse, som kaldes rentebetaling, skal i princippet kom-

pensere l˚angiveren, dvs. obligationsejeren, for at have stillet restgælden til r˚adighed

for l˚antageren siden forrige terminstidspunkt. Har obligationen været handlet siden

forrige termin, er det imidlertid ikke den samme l˚angiver i hele terminsperioden. Al-

ligevel er det den person, som ejer obligationen p˚a terminstidspunktet, der f˚ar hele

rentebetalingen udbetalt. For at kompensere for dette skal køberen af en obligation

betale sælgeren en s˚akaldt vedhængende rente p˚a valørdagen. Den samlede pris

for en obligation er derfor summen af kursen og den vedhængende rente. Bemærk, at

man p˚a obligationsmarkedet regner med den s˚akaldte “faktisk/faktisk” konvention,

dvs. man bruger det faktiske antal kalenderdage i beregningerne. 14

12 Man kan læse mere om rentekonventionerne og ændringerne i Anker, Pedersen og Sortkjær

(2001).

13 S˚afremt obligationen er udstedt i euro, er stykstørrelsen 1 eurocent.

14 Tidligere var tidspunktet for retten til renten af historiske ˚arsager 30 dage før terminen. Man


26 Investering i obligationer

Hvordan beregnes den vedhængende rente? Lad os se et tilfælde, hvor der sker

en handel med valør i mellem to terminer. Da f˚ar køberen hele rentebetalingen ved

den førstkommende termin, selvom sælgeren har ejet obligationen en del af termins-

perioden. For at kompensere sælgeren for dette skal køberen p˚a valørdagen betale

sælgeren en vedhængende rente p˚a

(2.1) v = H R D

m s ,

hvor H er det nominelle beløb, R er her den ˚arlige nominelle rente, D er antal-

let af faktiske kalenderdage fra og med forrige terminstidspunkt til men ikke med

valørdagen, s er det faktiske antal kalenderdage i den nuværende terminsperiode, og

m er det ˚arlige antal terminer. 15

Ydelsesrækken for en obligation vil ændre sig betydeligt p˚a udtrækningstids-

punktet. Dette er illustreret i det følgende eksempel.

Eksempel 2.1 Som beskrevet i Eksempel 1.3 p˚a side 14 er obligationen 12% S

2007 en serieobligation med én ˚arlig termin og udløbstidspunkt 15/2 2007. Vi an-

tager, at obligationsejeren har en nominel beholdning p˚a 100 kr. Obligationen har

termin den 15/2 2005, og publiceringsdagen for denne termin er 15/11 2004 (an-

tagelse i dette eksempel). Ved handler med valør i tidsrummet fra forrige termin,

dvs. 15/2 2004, til publiceringsdagen 13/11 2004 vil ydelsesrækken derfor være som

i Tabel 2.1. Betragtes ydelsesrækken efter publiceringsdagen og indtil næste termin

vil obligationsejeren ikke modtage et afdrag p˚a de tilbageværende obligationer, men

ejeren vil stadigvæk modtage rentebetalingen hørende til disse. Lad os antage, at

udtrækningsprocenten er 2,5000000000. Obligationsejeren f˚ar derfor udtrukket 2,5

kr. p˚a publiceringsdagen, og han har derfor en tilbageværende nominel beholdning

siger, at 30 dage før en termin “frag˚ar rentekuponen”, dvs. at køber man en obligation færre end 30

dage før en termin, s˚a f˚ar man ikke nogen rentebetaling udbetalt ved den førstkommende termin.

Det gør derimod investoren, der ejede obligationen præcis 30 dage før terminstidspunktet. Køber

man en obligation flere end 30 dage før en termin (og beholder den indtil kuponen er frag˚aet), s˚a

f˚ar man hele rentebetalingen udbetalt, selv om man kun har ejet den en del af terminsperioden.

Bemærk endvidere at man p˚a obligationsmarkedet tidligere (før d. 8. februar 2001) regnede med 30

dage pr. m˚aned (og dermed 360 dage pr. ˚ar). For en obligation med termin den 15. marts frag˚ar

kuponen derfor den 15. februar, uanset det faktiske antal dage i februar. Enkelte obligationsserier

benytter stadig denne konvention.

15 Idet der benyttes det faktiske antal kalenderdage, kan terminsperioden variere. Hvis der f.eks.

er kvart˚arlige terminer, vil terminsperioden være enten 90, 91 eller 92 dage.


2.6 Særlige regler om udtrækning 27

Termin Udtrækning Rente Ydelse

2005 02 15 33.33 12.00 45.33

2006 02 15 33.33 8.00 41.33

2007 02 15 33.33 4.00 37.33

Tabel 2.1: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 100 kr. nominel værdi

før udtrækning.

Termin Udtrækning Rente Ydelse

2005 02 15 0.00 11.70 11.70

2006 02 15 48.75 11.70 60.45

2007 02 15 48.75 5.85 54.60

Tabel 2.2: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 97,50 kr. nominel værdi

efter udtrækning.

(efter udtræk) p˚a 97,50 kr. (Hvilket svarer til 9750 stk.) Ydelsesrækken bliver derfor

som vist i Tabel 2.2. Ved handel med valør fra terminen den 15/2 2005 og indtil næ-

ste udtrækningstidspunkt (publiceringsdag) er der naturligvis en termin mindre end

før, og ydelsesrækken for obligationsejeren vil derfor være som i Tabel 2.3. Normalt

vil vi dog fastholde 100 kr. som nominel værdi i eksemplerne. I s˚a tilfælde ændres

Tabel 2.2 og Tabel 2.3 til Tabel 2.4 og Tabel 2.5.

Termin Udtrækning Rente Ydelse

2006 02 15 48.75 11.70 60.45

2007 02 15 48.75 5.85 54.60

Tabel 2.3: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 97,50 kr. nominel værdi

efter termin d. 15/2 2005 og indtil næste udtrækning.


28 Investering i obligationer

Termin Udtrækning Rente Ydelse

2005 02 15 0.00 12.00 12.00

2006 02 15 50.00 12.00 62.00

2007 02 15 50.00 6.00 56.00

Tabel 2.4: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 100,00 kr. nominel

værdi efter udtrækning.

Termin Udtrækning Rente Ydelse

2006 02 15 50.00 12.00 62.00

2007 02 15 50.00 6.00 56.00

Tabel 2.5: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 100,00 kr. nominel

værdi efter termin d. 15/2 2005 og indtil næste udtrækning.

2.7 Konventioner

P˚a pengemarkedet bruges ved renteberegninger traditionelt simpel rentetilskriv-

ning, og der regnes med det faktiske antal dage. P˚a obligationsmarkedet bruges

derimod sammensat rentetilskrivning. P˚a begge markeder opgøres renterne typisk

pr. ˚ar. For nærmere information om rentesregning henvises læseren til Christensen

og Sørensen (2001).

I de følgende afsnit om værdiansættelse og risiko vil vi fokusere p˚a obligationer.

De anvendte metoder og principper kan imidlertid anvendes p˚a alle finansielle aktiver

med deterministiske betalinger.

Den lille hurtige test-dig-selv

(a) Hvad er en nulkuponobligation?

(b) Hvad er forskellen p˚a en konverterbar henholdsvis en konvertibel obligation?

(c) Hvad er vedhængende rente, og hvorledes beregnes denne?


Kapitel 3

Kurs og effektiv rente

3.1 Definitioner

Kursen p˚a en obligation afspejler nutidsværdien af de fremtidige ydelser. Vi

kan repræsentere ydelsesrækken som en mængde af par {(t,Yt) | t = t1,t2,...,tn},

eller kort {(t,Yt)} tn

t=t1 , hvor t1,...,tn er den tidsmæssige afstand fra valørdagen

til terminstidspunkterne, og Yt er ydelsen p˚a terminstidspunkt t. Her er “i dag”

(analysetidspunktet, f.eks. valørdagen for en handel) normeret til tidspunkt 0. Idet

vi skal justere for den vedhængende rente, kan vi generelt udtrykke kursen k som

k = NV {(t,Yt)} tn

t=t1 − v,

hvor NV (·) angiver nutidsværdien af en ydelsesrække.

Bruger vi en konstant diskonteringsrente r (opgjort pr. termin med terminslig

rentetilskrivning), er

s˚a kursen kan angives som

(3.1) k =

NV {(t,Yt)} tn

t=t1 =

tn

Yt(1 + r) −t ,

t=t1

tn

Yt(1 + r) −t − v.

t=t1

Denne formel giver alts˚a en teoretisk kurs ved en given konstant diskonteringsrente

r. Bemærk, at

∂k

∂r

< 0 og

∂2k > 0,

∂r2 hvilket betyder, at kursen er en aftagende, konveks funktion af diskonteringsrenten.

Et eksempel p˚a kursens afhængighed af diskonteringsrenten kan ses i Figur 5.1 p˚a

side 71.


30 Investering i obligationer

Den effektive rente p˚a en obligation er den konstante diskonteringsrente y, der

gør den tilbagediskonterede værdi af obligationens fremtidige ydelser lig anskaffel-

sesprisen, dvs. markedskursen (handelskursen) plus den vedhængende rente. En ob-

ligations effektive rente er s˚aledes den interne rentefod i ydelsesrækken. Den effektive

rente er ofte blevet fortolket som et m˚al for den faktiske forrentning, der kan opn˚as

ved investering i obligationen, og obligationer er blevet rangordnet p˚a baggrund af

deres effektive rente. Der er imidlertid en række problemer ved denne fortolkning

og anvendelse. Fortolkningen forudsætter s˚aledes geninvestering til samme effektive

rente, og den effektive rente tager ikke hensyn til investeringens løbetid eller den en-

kelte obligations afdragsprofil, ligesom usikkerheden om de fremtidige ydelser (pga.

udtrækningsproceduren og evt. konverterbarhed) ignoreres. Det kan derfor generelt

ikke retfærdiggøres at sammenligne effektive renter for obligationer med forskellige

løbetider eller forskellige afdragsprofiler.

3.2 Kurs og effektiv rente p˚a standardobligationer

P˚a standardobligationer vil vi i det følgende m˚ale tiden og renten pr. termin, og

vi betegner de terminslige ydelser med Y1,...,Yn. Som nævnt ovenfor antager vi, at

den terminslige diskonteringsrente, r, er konstant.

3.2.1 Valør p˚a et terminstidspunkt

Lad os først finde formler for kurserne p˚a standardobligationer, n˚ar der er valør

p˚a et terminstidspunkt. P˚a et terminstidspunkt er den vedhængende rente nul, s˚a

kursen er

k =

n

Yj(1 + r) −j .

j=1

For en annuitetsobligation er alle ydelserne lig Yj = 100α −1

s˚a kursen bliver

(3.2) k =

n

j=1

100α −1

n |R (1 + r)−j = 100α −1

n |R

n

n |R

, jfr. formel (1.1),

(1 + r)

j=1

−j = 100α −1

n |R α n |r .

For en st˚aende obligation er Yj = 100R for j = 1,2,... ,n−1 og Yn = 100(1+R),


3.2 Kurs og effektiv rente p˚a standardobligationer 31

jfr. formel (1.2). Kursen er derfor

n

k =

(3.3)

j=1

100R(1 + r) −j + 100(1 + r) −n


= 100 R α + (1 + r)

n |r −n


R

= 100

r +


1 − R


(1 + r)

r

−n


.

Ved at lade n → ∞ i denne formel ses det let, at kursen p˚a en uamortisabel obligation

er

(3.4) k = 100 R

r ,

dvs. den terminslige rentebetaling divideret med diskonteringsrenten.

Ved beregning af kursen p˚a en serieobligation er det lettest først at indse, at en

serieobligation med n resterende terminer er lig en portefølje af n st˚aende obliga-

tioner, der alle har nominel værdi 100/n, nemlig én som udløber p˚a t = 1, én som

udløber p˚a t = 2, etc. Kursen p˚a en st˚aende obligation, der har nominel værdi 100/n

og udløber om j terminer, er ifølge formel (3.3) lig

kj = 100

n

R

r +

s˚a kursen p˚a serieobligationen m˚a være

n

k =

(3.5)

j=1

kj


1 − R

r


(1 + r) −j


,

n


100 R

=

n r

j=1

+


1 − R


(1 + r)

r

−j



= 100⎝

R


1

+ 1 −

r n

R


n

(1 + r)

r

j=1

−j




R 1

= 100 + 1 −

r n

R


α .

r n |r

Bemærk, at for alle typer obligationer gælder der, at kursen bliver 100, hvis den

nominelle rente bruges som diskonteringsrente, dvs. hvis r sættes lig R. Kursen er

lavere end 100, hvis diskonteringsrenten er større end den nominelle rente, og højere

end 100, hvis diskonteringsrenten er lavere end den nominelle rente.

3.2.2 Valør mellem to terminstidspunkter

Ovenst˚aende formler kan relativt let udvides til tilfældet, hvor der ikke er valør

p˚a et terminstidspunkt. Lad os først se p˚a tilfældet, hvor ydelsen p˚a førstkommende


32 Investering i obligationer

terminstidspunkt best˚ar af b˚ade udtrækning og rente. Antag f.eks. at der er g˚aet t ′

terminer fra forrige terminstidspunkt til valørdagen, dvs. t ′ er et tal mellem 0 og

1. Da er der 1 − t ′ terminer til den førstkommende termin, der er 2 − t ′ til den

efterfølgende, etc. Nutidsværdien p˚a valørdagen af de resterende n ydelser er derfor

n

j=1

Yj(1 + r) −(j−t′ ) = (1 + r) t ′

n

Yj(1 + r) −j .

Summen p˚a højre side af denne ligning er netop kursen, som den ville have været

p˚a forrige terminstidspunkt ved den samme diskonteringsrente, og den kan derfor

findes ved at bruge formlerne for kursen p˚a et terminstidspunkt. Betegner vi denne

sum med k ′ , er kursen k i dag alts˚a

(3.6) k = (1 + r) t′

k ′ − v,

hvor v er givet ved (2.1). Kursen i (3.6) kan ogs˚a udledes p˚a følgende m˚ade. P˚a

forrige terminstidspunkt ville kursen være k ′ . Men p˚a et terminstidspunkt er den

vedhængende rente 0, s˚a kursen k ′ er netop lig med nutidsværdien p˚a forrige termins-

tidspunkt. Hvis vi kan forrente denne i t ′ terminer med renten r, f˚ar vi netop en

nutidsværdi p˚a (1 + r) t′ k ′ p˚a valørdagen (dvs. tid 0). Den teoretiske kurs findes nu

som forskellen mellem nutidsværdien og den vedhængende rente.

Eksempel 3.1 Betragt som i Eksempel 1.3 og 2.1 serieobligationen 12% S 2007

med valør 1/6 2004. Ydelsesrækken pr. denne dag er som vist i Tabel 2.1 p˚a side 27.

Vi vil beregne kursen ved en konstant diskonteringsrente p˚a 4%. Ifølge formel (3.5)

ville kursen ved denne diskonteringsrente p˚a forrige terminstidspunkt, dvs. den 15/2

2004, have været

k ′ = 100

j=1


0.12 1

+ 1 −

0.04 3

0.12


α ≈ 114.99.

0.04 3 |0.04

Husk at t ′ = D

s , hvor D er det faktiske antal kalenderdage fra og med sidste termins-

dato indtil men ikke med valørdato, og s er faktiske antal kalenderdage i indeværende

terminsperiode (fra og med sidste terminsdato indtil men ikke med næste termins-

dato). Bemærk at 2004 er et skud˚ar. Lad os først finde D. Antallet af dage fra og

med forrige termin er

dage i februar (15/2 til 29/2) + (marts + april + maj) + dage i juni

= (29 − 15 + 1) + (31 + 30 + 31) + (1 − 1) = 107 dage,


3.2 Kurs og effektiv rente p˚a standardobligationer 33

s˚a i forhold til terminslængden (1 termin pr. ˚ar), er der t ′ = 107

366

= 0.2923 terminer

(˚ar) fra forrige termin. Kursen plus den vedhængende rente den 1/6 2004 er derfor

k + v = 114.99 · (1.04) 0.2923 ≈ 116.32.

Det kan af og til være lettere at regne frem til næste termin, dvs. at regne 1 − t ′ ud.

Antallet af dage til næste termin er

30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 15 − 1 = 259,

s˚a i forhold til terminslængden (1 termin pr. ˚ar), er der 259

366

= 0.7077 = 1 − t′

terminer til næste termin. Bemærk at dette stemmer med, at t ′ = 0.2923. Dermed

kan vi bestemme kursen plus den vedhængende rente d. 1/6 2004 som

k + v = 45.33 · (1.04) −0.7077 + 41.33 · (1.04) −1.7077 + 37.33 · (1.04) −2.7077 .

Den vedhængende rente er

v = H · R

m · t′ = 100 · 0.12 · 0.2923 ≈ 3.51,

s˚a ved valør den 1/6 2004 er den teoretiske kurs

ved en diskonteringsrente p˚a 4%.

k ≈ 116.32 − 3.51 = 112.81

Hvis valørdagen ligger efter udtrækningsdatoen for næste termin, f˚ar obligations-

ejeren kun rentebetaling ved førstkommende termin. Hvis vi lader n være antallet

af resterende terminer med udtrækning og lader Y1,... ,Yn være ydelserne p˚a disse

terminstidspunkter, da kan værdien k ′ af disse ydelser opgjort p˚a den førstkommende

terminstidspunkt (hvor vi alts˚a kun f˚ar renter) beregnes udfra formlerne for kurser

p˚a et terminstidspunkt. Dertil skal vi s˚a lægge rentebetalingen 100R (n˚ar den no-

minelle beholdning er 100 kr.), s˚a nutidsværdien p˚a valørdagen af alle de resterende

betalinger bliver derfor

Kursen p˚a valørdagen er derfor

hvor v er givet ved (2.1).

k + v = (100R + k ′ )(1 + r) −(1−t′ ) .

k = (100R + k ′ )(1 + r) −(1−t′ ) − v,


34 Investering i obligationer

3.3 Beregning af effektiv rente

Den effektive rente p˚a en obligation er som tidligere defineret netop den konstante

diskonteringsrente, der gør, at den teoretiske kurs ifølge formel (3.1) bliver lig den

aktuelle markedskurs. Opgøres renten pr. termin med terminslig rentetilskrivning,

gælder der alts˚a, at

(3.7) k + v =

hvor k nu betegner markedskursen.

tn

Yt(1 + y) −t ,

t=t1

Er der tale om en standardobligation med valør p˚a et terminstidspunkt, kan vi

skrive sammenhængen mellem kurs og effektiv rente som

n

k = Yj(1 + y) −j .

j=1

For at finde y skal der s˚aledes findes rødder i et n’te grads polynomium. Der kan

generelt være op til n reelle rødder, men ifølge Descartes’ fortegnsregel gælder der,

at hvis der kun er ét fortegnsskift i ydelsesrækken, s˚a er der kun én positiv rod. Dette

er netop tilfældet for obligationers betalingsrække, hvor den første ydelse er negativ

(betaling for obligationen), mens de følgende er positive (rente plus udtrækning). 1

I de foreg˚aende delafsnit fandt vi formler for kursen k p˚a de forskellige stan-

dardobligationer som funktion af en konstant diskonteringsrente r. For at finde den

effektive rente y skal vi finde den værdi af r, der gør, at kursen ifølge formlen bliver

lig den aktuelle markedskurs. Selvom sammenhængen mellem kurs og effektiv rente

er ganske pæn for disse standardobligationer, m˚a den effektive rente imidlertid nor-

malt beregnes ved hjælp af en numerisk metode. Dette er tilfældet for almindelige

annuitetsobligationer, st˚aende obligationer og serieobligationer, idet det ikke er mu-

ligt at isolere r i ligningerne (3.2), (3.3) og (3.5). Heldigvis er der mange effektive

metoder til at løse én ligning med én ubekendt, f.eks. Newton-Raphson’s metode,

som er beskrevet i Appendix C i Christensen og Sørensen (2001). Alle moderne

regneark har ogs˚a en s˚adan metode indbygget som en standardfunktion.

I enkelte tilfælde er det dog muligt at løse ligningen (3.7) eksplicit. Det simpleste

tilfælde er nulkuponobligationen. For en nulkuponobligation med en nominel værdi

p˚a 100, t perioder til udløbstidspunktet og en markedskurs p˚a k gælder

(3.8) k = 100 · (1 + y) −t ,

1 Se f.eks. Afsnit 4 i Jensen (2005).


3.3 Beregning af effektiv rente 35

dvs.


100

(3.9) y =

k

1/t

− 1.

Ved opgørelse af den effektive rente p˚a skatkammerbeviser bruges i praksis to for-

skellige metoder. For det første obligationsmarkedskonventionen, som følger samme

princip som i (3.9). Lad P betegne prisen p˚a et skatkammerbevis, der som nævnt

har en nominel værdi p˚a en million kroner, og lad Dfak være antallet af faktiske

kalenderdage til udløb. Da beregnes den effektive rente efter obligationsmarkeds-

konventionen, den s˚akaldte O-rente, som


1000000

yO =

P

365/Dfak

hvilket er analogt til formel (3.9). En investering i de meget korte skatkammerbevi-

ser sammenlignes ofte med placeringer p˚a pengemarkedet, hvor der traditionelt ikke

regnes med renters rente. Derfor opgør man ogs˚a en effektiv rente efter pengemar-

− 1,

kedskonventionen, den s˚akaldte P-rente. 2 Da er P-renten yP givet ved

dvs.

1000000

P


1000000

yP =

P

= 1 + Dfak

365 yP,


365

− 1 .

Dfak

Eksempel 3.2 Skatkammerbeviset SKBV 05/I udløber den 1/2 2005. Prisen torsdag

den 19/8 2004 var 989 932.00. For en handel denne dag er der valør mandag den 23/8

2004. Der er 8 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 1 = 162 kalenderdage til udløb. O-renten

er derfor 3

mens P-renten er

yO =

yP =

366/162 1000000

− 1 ≈ 2.312%,

989932.00


1000000 366

− 1 ≈ 2.298%.

989932.00 162

2 Ovenst˚aende konventioner er taget fra Christensen og Sørensen (2001). Man bør imidlertid

være opmærksom p˚a, at specielt p˚a pengemarkedet kan der være varierende konventioner – ogs˚a

internationalt. Nogle anvender s˚aledes faktiske antal dage i forhold til 360 dage, se f.eks. Nordea

(2004).

3 Idet skatkammerbeviset første gang er handlet 29/1 2004 indeholder ˚aret 366 dage.


36 Investering i obligationer

Den lille hurtige test-dig-selv

(a) Hvad er en effektiv rente?

(b) Findes der en generel lukket formel til at bestemme den effektive rente? Findes

der en lukket formel for den effektive rente for f.eks. en nulkuponobligation?

(c) Gør rede for forskellen p˚a O- og P-renten.


Kapitel 4

Rentestruktur, diskonteringsfunktion

og forwardrenter

4.1 Indledende bemærkninger

Værdien af en obligation er naturligvis lig værdien af dens fremtidige betalinger.

I Kapitel 3 opgjorde vi værdien ved at diskontere alle de fremtidige betalinger med

den samme rente, nemlig obligationens effektive rente. Ser vi p˚a to obligationer, der

har de samme betalingstidspunkter, men forskellige effektive renter, vil vi alts˚a dis-

kontere betalinger fra den ene obligation med én rente og betalinger fra den anden

obligation med en anden rente. Dette er ulogisk! Værdien af en betaling af en given

størrelse p˚a et givet tidspunkt m˚a være uafhængig af fra hvilken obligation beta-

lingen stammer. Vi bør derfor diskontere alle sikre betalinger p˚a et givet fremtidigt

tidspunkt med den samme rente.

Derimod er der ingen grund til at betalinger, der kommer p˚a forskellige tidspunk-

ter, skal diskonteres med den samme rente. Renten p˚a et l˚an vil normalt afhænge

af l˚anets løbetid, og p˚a obligationsmarkedet vil korte obligationer normalt have en

effektiv rente, der er klart forskellig fra lange obligationers effektive rente. Rentens

afhængighed af løbetiden kaldes for rentestrukturen. I dette afsnit vil vi se nær-

mere p˚a dette og relaterede begreber. Først m˚a vi dog introducere et af de vigtigste

principper i den moderne investeringsteori, nemlig “ingen-arbitrage princippet”.

4.2 Ingen-arbitrage princippet

N˚ar man skal finde ligevægtsprisen p˚a et finansielt aktiv eller en vilk˚arlig anden

vare, vil man normalt skulle finde den pris, der afbalancerer efterspørgslen og ud-


38 Investering i obligationer

buddet. For at kende de enkelte markedsdeltageres efterspørgsel og udbud skal man

have kendskab til deres præferencer og deres initialbeholdninger af aktiverne. Ofte

er det imidlertid muligt at finde forholdet mellem priserne p˚a forskellige ensartede

aktiver uden at kende andet til investorerne, end at de foretrækker “flere” penge

fremfor “færre” – en rimelig antagelse.

Lad os tage et eksempel. Lad os sige, at prisen p˚a kobber er 1600 US-dollars

pr. ton i København, men 1700 US-dollars pr. ton i London. Det synes derfor umid-

delbart at være en god idé at købe kobber i København og sælge det i London. For

at gøre det skal man imidlertid flytte kobberet fra København til London, hvilket in-

debærer udgifter til f.eks. transport og forsikring. Desuden opkræver modparterne i

de to handler (mæglere) m˚aske gebyrer. Alle disse udgifter kaldes for transaktions-

omkostninger. Hvis transaktionsomkostningerne er mindre end 100 dollars pr. ton,

vil det kunne betale sig at købe kobber i København og sælge det i London. I s˚a fald

vil man f˚a en risikofri gevinst her og nu uden at have p˚ataget sig forpligtelser i frem-

tiden. En s˚adan strategi kaldes en arbitrage-strategi, en arbitrage-mulighed

eller bare en arbitrage. Fortjenesten vil naturligvis blive større, jo mere kobber

strategien omfatter. Alle andre vil naturligvis gøre det samme, da de foretrækker

“flere” fremfor “færre” penge. Der vil derfor være stor efterspørgsel efter kobber i

København, hvilket vil f˚a prisen til at stige. Til gengæld vil der være et stort udbud

af kobber i London, hvilket vil f˚a prisen dér til at falde. Først n˚ar forskellen mel-

lem priserne er mindre end transaktionsomkostningerne vil denne udvikling stoppe.

Hvis transaktionsomkostningerne f.eks. er 10 dollars pr. ton, kan der højest være en

forskel p˚a 10 dollars mellem prisen i København og prisen i London. De alminde-

lige markedsmekanismer gør alts˚a, at arbitrage-muligheder ikke kan eksistere, i hvert

fald ikke i ret lang tid. Princippet om, at priserne fastsættes, s˚a der ikke forekommer

arbitrage-muligheder, kaldes for ingen-arbitrage princippet.

P˚a markeder for finansielle aktiver som f.eks. obligationer og aktier er transak-

tionsomkostningerne langt lavere end p˚a markeder for reale aktiver som f.eks. kobber.

Der er ingen transportomkostninger og ingen omkostninger forbundet med oplagring

af finansielle aktiver. De fleste handler foreg˚ar gennem en mægler, der naturligvis ta-

ger sig betalt for sine ydelser. Dette foreg˚ar i praksis ved, at mægleren differentierer

mellem sin salgspris – den pris han er villig til at sælge aktivet til (hans ask price) –

og sin købspris – den pris han er villig til at købe aktivet til (hans bid price). For


4.2 Ingen-arbitrage princippet 39

hyppigt handlede finansielle aktiver er forskellen mellem salgsprisen og købsprisen,

bid-ask spread’et, meget lille for store handler. Vi vil derfor fremover helt se bort fra

transaktionsomkostninger i forbindelse med finansielle aktiver. Ingen-arbitrage prin-

cippet betyder dermed, at to finansielle aktiver (eller mere generelt to porteføljer af

finansielle aktiver), der giver anledning til nøjagtigt de samme fremtidige betalinger,

m˚a have den samme pris. 1 Bemærk, at ingen-arbitrage princippet ikke fortæller os

noget om hvad den fælles pris p˚a de to aktiver eller porteføljer skal være, men kun

at de to priser m˚a være ens.

Ingen-arbitrage princippet er et af de fundamentale redskaber til at diskutere

prisfastsættelse af finansielle aktiver. I dette skrift skal vi bruge det til at se p˚a sam-

menhængen mellem priser p˚a forskellige obligationer, specielt sammenhængen mel-

lem priser p˚a kuponobligationer og rentestrukturen, der afspejler priser p˚a nulkupo-

nobligationer. Princippet finder ogs˚a anvendelse i f.eks. Arbitrage Pricing Theory [se

f.eks. Grinblatt og Titman (2002, Kap. 6)], Modigliani og Millers resultater om op-

timal kapitalstruktur [se f.eks. Grinblatt og Titman (2002, Kap. 14)] og ikke mindst

i prisfastsættelsen af afledte aktiver [se f.eks. Munk (2000a)].

Lad os se p˚a et simpelt eksempel med obligationer. Antag, at der p˚a et obliga-

tionsmarked handles to obligationer udstedt af forskellige institutioner, men med

præcis de samme ydelsesrækker. S˚adanne to obligationer m˚a have samme pris, ellers

vil alle investorer kunne opn˚a en risikofri fortjeneste ved at købe den billigste og

sælge den dyreste af obligationerne. Derved vil prisen p˚a den billigste stige og prisen

p˚a den dyreste falde. Kun hvis priserne er ens, er der ingen arbitrage-muligheder. 2

Den nævnte arbitrage-strategi indebærer, at man skal sælge en obligation. Dette

er ikke umiddelbart muligt, hvis man ikke allerede ejer obligationen. Sommetider

er det imidlertid muligt at sælge et finansielt aktiv, man ikke ejer. Dette kaldes et

kort-salg, og man siger, at man “g˚ar kort i aktivet”. Man l˚aner aktivet af f.eks. en

børsmægler mod at levere det tilbage igen p˚a et aftalt senere tidspunkt. N˚ar man

modtager aktivet, sælger man det og modtager salgsprisen. N˚ar aktivet skal leveres

tilbage, m˚a man købe det til den da gældende markedspris. Det kan imidlertid

være sket det, at prisen p˚a aktivet er steget, s˚a man taber mange penge p˚a kort-

risiko.

1 Dette resultat kaldes sommetider for “loven om én pris”.

2 Dette argument forudsætter, at der ikke er forskel p˚a de to udstedende institutioners konkurs


40 Investering i obligationer

salget. Blandt andet derfor undg˚ar mange investorer helt at sælge aktiver kort, og p˚a

mange finansielle markeder er der restriktive regler for kort-salg. Bemærk desuden,

at vedkommende, som man l˚aner aktivet af, typisk vil kræve en vis sikkerhed (i form

af deponering af kontanter eller andre aktiver) for at l˚ane aktivet ud.

Lad os vende tilbage til arbitrage-strategien i eksemplet med de to obligatio-

ner med ens ydelsesrækker. Hvis man ikke allerede ejer den dyre af obligationerne

og ikke har mulighed for at g˚a kort i obligationen, s˚a kan man ikke gennemføre

arbitrage-strategien. Imidlertid vil der være nogle investorer, der allerede ejer den

dyre obligation, og de vil kunne opn˚a en risikofri fortjeneste ved at sælge den og

købe den billige i stedet for. De vil tjene forskellen p˚a priserne her og nu og f˚a

nøjagtigt de samme betalinger i fremtiden. Eksemplet viser, at det ikke er sikkert,

at alle investorer har mulighed for at gennemføre en given arbitrage-strategi, men

hvis bare én investor kan, s˚a vil priserne ændre sig indtil de er ens.

Lad os se p˚a et andet eksempel. Antag, at der handles to annuitetsobligatio-

ner begge med n resterende terminer og en nominel værdi p˚a 100. Obligationernes

terminstidspunkter er sammenfaldende. De to obligationer har en nominel rente p˚a

henholdsvis R1 og R2 og derfor en terminslig ydelse p˚a henholdsvis

og

Y1 =

Y2 =

100R1

1 − (1 + R1) −n

100R2

1 − (1 + R2) −n,

jfr. formel (1.1). Lad os f.eks. antage, at n = 10, R1 = 5% og R2 = 10%. Da er

Y1 ≈ 12.950 og Y2 ≈ 16.275. Køber vi nu 16.275/12.950 ≈ 1.25668 styk af 5%-

obligationen f˚ar vi præcis de samme ydelser som et styk af 10%-obligationen giver.

Derfor m˚a prisen p˚a 10%-obligationen være lig (cirka) 1.25668 gange prisen p˚a 5%-

obligationen, ellers er der en arbitrage-mulighed.

Hvis prisen p˚a 5%-obligationen f.eks. er P1 = 80 og prisen p˚a 10%-obligationen

er P2 = 96, s˚a er P2 kun 1.2 gange s˚a høj som P1. 10%-obligationen er derfor for

billig relativt til 5%-obligationen – hvilket naturligvis er ensbetydende med, at 5%-

obligationen er for dyr relativt til 10%-obligationen. For at udnytte denne afvigelse

fra “ingen-arbitrage prisforholdet” kan vi købe 1000 styk af 10%-obligationen og

sælge 1256 styk af 5%-obligationen. Dette giver os en fortjeneste p˚a

1256 · 80 − 1000 · 96 = 4480


4.3 Diskonteringsfaktorer og nulkuponobligationer 41

her og nu. P˚a ethvert af obligationernes terminstidspunkter modtager vi en ydelse

p˚a 1000Y2 ≈ 16275 fra de købte obligationer, men m˚a betale 1256Y1 ≈ 16266 til

ejeren af de obligationer, vi har solgt. De fremtidige netto-betalinger er stort set nul

(og ihvertfald ikke negative), s˚a den foresl˚aede strategi er en arbitrage-mulighed.

Vi vil altid kunne finde en arbitrage-mulighed, hvis forholdet mellem priserne p˚a

de to obligationer er forskellig fra de 1.25668, vi fandt i foreg˚aende afsnit. Bemærk,

at den ovenst˚aende diskussion drejer sig om forholdet mellem obligationernes priser

og ikke deres kurser. Den vedhængende rente for 10%-obligationen vil naturligvis

altid være dobbelt s˚a stor som den vedhængende rente for 5%-obligationen. Ingen-

arbitrage forholdet mellem kurserne vil derfor være forskelligt fra det i teksten fundne

ingen-arbitrage forhold mellem priserne. Bemærk igen, at ingen-arbitrage princippet

kun giver os mulighed for at udtale os om, hvad de relative priser p˚a de to obligationer

skal være, og ikke hvad de absolutte priser skal være.

4.3 Diskonteringsfaktorer og nulkuponobligationer

Lad os antage, at der p˚a de finansielle markeder p˚a et givet tidspunkt (kaldet

tidspunkt 0) handles en nulkuponobligation, der med sikkerhed giver 1 kr. t ˚ar

senere (p˚a tidspunkt t). Prisen p˚a denne obligation betegnes med d(t) og kaldes den

markedsbestemte diskonteringsfaktor – eller bare diskonteringsfaktoren – hørende til

tidspunkt t. S˚a d(t) er markedsværdien p˚a tidspunkt 0 af at f˚a 1 kr. med sikkerhed

p˚a tidspunkt t. Funktionen t ↦→ d(t) kaldes diskonteringsfunktionen (gældende

p˚a tidspunkt 0). Bemærk, at d(0) = 1, idet værdien af at f˚a 1 kr. med det samme

naturligvis er 1 kr. Idet alle investorer m˚a formodes at foretrække at f˚a 1 kr. p˚a et

tidspunkt t fremfor et andet, senere tidspunkt s, vil diskonteringsfunktionen være

aftagende, dvs.

1 ≥ d(t) ≥ d(s) ≥ 0, t < s.

Diskonteringsfunktionen kan for eksempel se ud som i Figur 4.1 p˚a side 55.

Lad os betragte en obligation med ydelsesrækken {(t,Yt)} tn

. Denne obligation

t=t1

kan opfattes som en portefølje af nulkuponobligationer, nemlig Yt1 nulkuponobliga-

tioner, der hver giver 1 krone p˚a tidspunkt t1 plus Yt2 nulkuponobligationer, der hver

giver 1 krone p˚a tidspunkt t2, og s˚a videre. Hvis der for ethvert betalingstidspunkt

ti handles en s˚adan nulkuponobligation, der med sikkerhed giver 1 kr. p˚a tidspunkt


42 Investering i obligationer

ti, da er værdien af hele obligationen givet ved

(4.1) P =

ellers er der en klar arbitragemulighed.

tn

Ytd(t),

t=t1

Eksempel 4.1 Betragt en st˚aende obligation med en nominel rente p˚a 7%, én ˚arlig

termin og præcis tre ˚ar til udløb. Antag der handles nulkuponobligationer med ho-

vedstol 1 kr. med udløb om hhv. 1, 2 og 3˚ar. Priserne p˚a disse nulkuponobligationer

er hhv. d(1) = 0.94, d(2) = 0.90 og d(3) = 0.87. Ifølge (4.1) skal prisen p˚a den

st˚aende obligation være

P = 7 · 0.94 + 7 · 0.90 + 107 · 0.87 = 105.97.

Er prisen lavere end 105.97, kan man tjene en arbitrage-gevinst ved at købe den

st˚aende obligation, sælge 7 et-˚arige, 7 to-˚arige og 107 tre-˚arige nulkuponobligationer.

Er prisen højere end 105.97, kan man tjene en arbitrage-gevinst ved at sælge den

st˚aende obligation, købe 7 et-˚arige, 7 to-˚arige og 107 tre-˚arige nulkuponobligationer.

Selvom der m˚aske ikke handles alle de p˚agældende nulkuponobligationer, der skal

til for at kunne opfatte sammenhængen (4.1) som en konsekvens af ingen-arbitrage

princippet, er sammenhængen alligevel værdifuld. En investor kan m˚aske p˚a bag-

grund af privatøkonomiske og/eller politiske og makroøkonomiske forhold angive

en diskonteringsfunktion, der viser den værdi, som hun tillægger betalinger p˚a for-

skellige fremtidige tidspunkter. Denne investor kan da ved at bruge formlen (4.1)

værdiansætte alle betalingsstrømme p˚a en konsistent m˚ade ved at bruge sin egen

diskonteringsfunktion.

Markedspriserne p˚a alle obligationer afspejler p˚a tilsvarende vis en markeds-

bestemt diskonteringsfunktion, som er resultatet af alle investorernes udbud af og

efterspørgsel efter de forskellige obligationer. Den markedsbestemte diskonterings-

funktion kan derfor opfattes som et (indviklet) gennemsnit af de enkelte markeds-

deltageres diskonteringsfunktioner. I Afsnit 4.7 skal vi undersøge, hvordan vi kan

udlede den markedsbestemte diskonteringsfunktion fra priserne p˚a de handlede ob-

ligationer.


4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med ˚arlig rentetilskrivning 43

4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med ˚arlig rentetilskrivning

Traditionelt repræsenteres en diskonteringsfaktor med en rente. Givet prisen p˚a

en nulkuponobligation, der udløber p˚a tidspunkt t, er den relevante diskonterings-

rente mellem nu og tidspunkt t lig den effektive rente p˚a nulkuponobligationen.

Denne rente kaldes nulkuponrenten hørende til tidspunkt t. Lad y1(t) betegne

denne rente opgjort pro anno med ˚arlig rentetilskrivning. Der gælder da følgende

sammenhæng

(4.2) d(t) = (1 + y1(t)) −t ,

jfr. formel (3.8), eller

(4.3) y1(t) = d(t) −1/t − 1,

jfr. formel (3.9).

Nulkuponrenten som funktion af tiden kaldes for nulkuponrentestrukturen

eller bare rentestrukturen. Rentestrukturen kan f.eks. se ud som i Figur 4.2 p˚a

side 55. Bemærk, at forskellige rentetilskrivningsfrekvenser vil give forskellige rente-

strukturer, men har man lagt sig fast p˚a frekvensen vil der være en entydig sammen-

hæng mellem diskonteringsfunktionen og rentestrukturen. Diskonteringsfunktionen

og rentestrukturen indeholder dermed præcis den samme information repræsenteret

p˚a to forskellige m˚ader. Da obligationsmarkedets praksis er at opgøre renter som

˚arlige renter med ˚arlig rentetilskrivning er det typisk funktionen t ↦→ y1(t), der be-

tegnes som rentestrukturen, men en hvilken som helst anden tilskrivningsfrekvens

kan bruges. Især i den akademiske verden opgøres renter hyppigt ved kontinuert

rentetilskrivning, da dette ofte giver pænere matematiske udtryk. I Afsnit 4.6 ser vi

nærmere p˚a kontinuert tilskrevne nulkuponrenter.

En nulkuponrente udtrykker prisen p˚a et l˚an mellem i dag og et givet fremtidigt

tidspunkt. En forwardrente er en rente p˚a en i dag indg˚aet aftale om et l˚an mellem

to fremtidige tidspunkter med den egenskab, at nutidsværdien af denne aftale er nul. 3

S˚adanne aftaler kendes fra de finansielle markeder i form af FRA’er, jfr. Afsnit 2.1.

Lad os betragte en aftale om et l˚an, hvor l˚aneprovenuet udbetales om t perioder,

og der skal tilbagebetales en hovedstol p˚a H kroner om s perioder, hvor s > t.

3 Nulkuponrenter kaldes sommetider for spotrenter for at understrege, at de vedrører l˚an, der

begynder med det samme (spot-l˚an), i modsætning til forwardrenter.


44 Investering i obligationer

L˚aneprovenuet per kr. af hovedstolen kaldes for F(t,s). Nutidsværdien af denne

aftale er

F(t,s)Hd(t) − Hd(s) = H[F(t,s)d(t) − d(s)] kr.

Hvis nutidsværdien skal være nul, m˚a der gælde, at

(4.4) F(t,s) = d(s)/d(t),

hvilket kan fortolkes som den diskonteringsfaktor, der er gældende i dag (tidspunkt 0)

for tilbagediskontering af sikre beløb fra tidspunkt s til tidspunkt t. 4

Ønsker vi at repræsentere diskonteringsfaktoren F(t,s) med en pro anno ren-

testørrelse, m˚a vi igen fastlægge en tilskrivningsfrekvens for renten. Med ˚arlig ren-

tetilskrivning er den relevante forwardrente gældende i dag for perioden mellem

tidspunkt t og tidspunkt s, renten f1(t,s), der er givet ved sammenhængen

Udnyttes relationen (4.4), har vi derfor

(4.5) f1(t,s) =

F(t,s) = (1 + f1(t,s)) −(s−t) .

1/(s−t) d(t)

− 1.

d(s)

Specielt er forwardrenten for en fremtidig periode af længde 1 givet ved

(4.6) f1(t,t + 1) = d(t)

− 1.

d(t + 1)

Funktionen (og grafen for funktionen) t ↦→ ft,t+1 kaldes for en-periode forwar-

drentestrukturen.

Bemærk, at eftersom d(0) = 1, er

f1(0,s) =

1/s d(0)

− 1 = d(s)

d(s)

−1/s − 1 = y(s),

dvs. at forwardrenten for en periode startende i dag er lig nulkuponrenten for den

samme periode, hvilket er intuitivt klart.

Indsættes sammenhængen mellem diskonteringsfunktionen og nulkuponrenterne

fra formel (4.2) i (4.6), f˚as

(4.7) f1(t,t + 1) =

(1 + y1(t)) −t

− 1,

(1 + y1(t + 1)) −(t+1)

4 F(t,s) er ogs˚a den teoretiske forwardpris p˚a levering p˚a tidspunkt t af en nulkuponobligation,

der giver 1 krone p˚a tidspunkt s. Se Munk (2000a) for mere om forwards p˚a obligationer.


4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med ˚arlig rentetilskrivning 45

eller mere generelt

f1(t,s) =

(1 + y1(t)) −t/(s−t)

− 1.

(1 + y1(s)) −s/(s−t)

Formel (4.6) viser hvorledes en-periode forwardrenterne kan findes ud fra diskon-

teringsfunktionen. Omvendt gælder der, at

(4.8) d(t) −1 =

t

(1 + f1(j − 1,j)), t = 1,2,... .

j=1

For at vise dette bemærkes først, at (4.6) medfører, at

(4.9) d(t + 1) =

d(t)

1 + f1(t,t + 1) .

Idet d(0) som nævnt er lig 1, giver (4.9) med t = 0

d(1) =

d(0)

1 + f1(0,1) =

Bruges dette udtryk og formel (4.9) med t = 1 f˚as

d(2) =

Fortsættes p˚a samme m˚ade f˚as

d(t) =

hvilket ogs˚a kan skrives som

d(1)

1 + f1(1,2) =

1

1 + f1(0,1) .

1

(1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2)) .

1

(1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2))... (1 + f1(t − 1,t)) ,

d(t) −1 = (1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2))... (1 + f1(t − 1,t)) =

som er identisk med (4.8).

t

(1 + f1(j − 1,j)),

Ved at indsætte (4.2) i (4.8) f˚as følgende sammenhæng mellem forwardrenter og

nulkuponrenter:



t

(4.10) 1 + y1(t) = ⎣ (1 + f1(j − 1,j)) ⎦

j=1

1/t

j=1

, t = 1,2,... ,

dvs. 1+y1(t) er et geometrisk gennemsnit af 1+f1(0,1),1+f1(1,2),... ,1+f1(t−1,t).

For eksempel er

(4.11) (1 + y1(2)) 2 = (1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2)) = (1 + y1(1))(1 + f1(1,2)).

Hvor nulkuponrenten y1(t) angiver omkostningerne ved at l˚ane et beløb i t ˚ar (uden

mellemliggende renter og afdrag), s˚a er forwardrenten f1(t,t + 1) et udtryk for den

ekstra omkostning, der er ved at forlænge et l˚an fra t ˚ar til t + 1 ˚ar.


46 Investering i obligationer

˚Ar, t 1 2 3 4 5

y1(t) 5% 6% 6.8% 7.4% 7.5%

d(t) 0.9524 0.8900 0.8209 0.7516 0.6966

f1(t − 1,t) 5% 7.0095% 8.4182% 9.2203% 7.9009%

Tabel 4.1: Nulkuponrenter, diskonteringsfaktorer og forwardrenter i Eksempel 4.2.

Det er nu klart, at diskonteringsfunktionen, nulkuponrentestrukturen og

en-periode forwardrentestrukturen er tre forskellige repræsentationer af

den samme information. Kender man diskonteringsfunktionen, kan man finde

nulkuponrentestrukturen vha. (4.3) og en-periode forwardrentestrukturen vha. (4.6).

Kender man nulkuponrentestrukturen, kan man finde diskonteringsfunktionen vha. (4.2)

og en-periode forwardrentestrukturen vha. (4.7). Kender man en-periode forwardren-

testrukturen, kan man finde diskonteringsfunktionen vha. (4.8) og nulkuponrente-

strukturen vha. (4.10).

Eksempel 4.2 P˚a et marked er rentestrukturen givet ved nulkuponrenterne vist

i første række i Tabel 4.1. Diskonteringsfunktionen findes vha. (4.2) og en-periode

forward-renterne vha. (4.7) til værdierne vist i tabellens anden og tredje række. For

eksempel er d(3) beregnet som

d(3) = (1 + y1(3)) −3 = (1.068) −3 ≈ 0.8209,

og forwardrenten for det fjerde ˚ar, f1(3,4) er beregnet som

f1(3,4) =

(1 + y1(3)) −3 (1.068)−3

− 1 = − 1 ≈ 0.092203 = 9.2203%.

(1 + y1(4)) −4 (1.074) −4

4.5 Nulkuponrenter og forwardrenter med flere rentetilskrivninger

pr. ˚ar

I nogle situationer opgøres renter ved et vist antal m rentetilskrivninger pr. ˚ar.

I s˚a fald bruges normalt kvartalsvis (m = 4) eller halv˚arlig (m = 2) rentetilskriv-

ning. En ˚arlig nominel rente ym(t) ved m rentetilskrivninger pr.˚ar repræsenterer en


4.6 Nulkuponrenter og forwardrenter med kontinuert rentetilskrivning 47

terminslig rente p˚a ym(t)/m og dermed en diskonteringsfaktor givet ved


(4.12) d(t) = 1 + ym(t)

−mt ,

m

hvilket medfører, at

1


ym(t) = m d(t) mt − 1 .

Fra (4.2) og (4.12) følger den velkendte sammenhæng


y1(t) = 1 + ym(t)

m − 1.

m

P˚a samme m˚ade kan forward-diskonteringsfaktoren F(t,s) defineret i (4.4) ud-

trykkes ved forwardrenten fm(t,s) med m ˚arlige rentetislskrivninger. Sammenhæn-

gen er

F(t,s) = (1 + fm(t,s)) −m(s−t) .

Ved at følge samme fremgangsm˚ade som i forrige afsnit kan vi udlede yderligere

relationer mellem diskonteringsfaktorerne d(t), nulkuponrenterne ym(t) og forwar-

drenterne fm(t,s). Udtrykkene bliver dog ikke særlig pæne, s˚a vi vil ikke forfølge

dette form˚al.

4.6 Nulkuponrenter og forwardrenter med kontinuert rentetilskriv-

ning

Et hyppigt anvendt alternativ er at opgøre renter pro anno med kontinuert ren-

tetilskrivning. Sammenhængen mellem nulkuponprisen d(t) og den kontinuert til-

skrevne ˚arlige nulkuponrente y∞(t) er givet ved

(4.13) d(t) = e −y∞(t)·t .

Funktionen t ↦→ y∞(t) er da ogs˚a en (nulkupon)rentestruktur, der indeholder præcis

den samme information som diskonteringsfunktionen t ↦→ d(t) og rentestrukturen

t ↦→ y1(t) defineret i forrige afsnit. Fra (4.13) har vi umiddelbart, at

(4.14) y∞(t) = − 1

ln d(t).

t

Fra (4.2) og (4.13) har vi følgende sammenhæng mellem den kontinuert tilskrevne

og den ˚arligt tilskrevne rente:

y∞(t) = ln(1 + y1(t)).


48 Investering i obligationer

P˚a lignende vis kan forwardrenter opgøres ved kontinuert rentetilskrivning. Med

kontinuert rentetilskrivning svarer forward-diskonteringsfaktoren F(t,s) defineret i

forrige afsnit til forwardrenten f∞(t,s) givet ved

Indsættes (4.4) og isoleres f∞(t,s) f˚as

(4.15) f∞(t,s) = −

F(t,s) = e −f∞(t,s)(s−t) .

ln d(s) − lnd(t)

.

s − t

Bruges nu relationen (4.13), f˚as følgende sammenhæng mellem nulkuponrenterne og

forwardrenterne ved kontinuert rentetilskrivning:

(4.16) f∞(t,s) = y∞(s)s − y∞(t)t

.

s − t

Specielt er én-periode forwardrenten givet ved

(4.17) f∞(t,t + 1) = y∞(t + 1)(t + 1) − y∞(t)t.

Sommetider er det af interesse at finde forwardrenten for en uendelig kort fremti-

dig periode begyndende p˚a et givet tidspunkt t, dvs. f∞(t) = lims→t f∞(t,s). Denne

forwardrente kaldes for den instantane forwardrente, og funktionen t ↦→ f∞(t) be-

nævnes forwardrentestrukturen. Lader vi s → t i udtrykket (4.15) f˚as

∂ ln d(t)

(4.18) f∞(t) = − = −

∂t

d′ (t)

d(t) ,

hvis diskonteringsfunktionen d(t) er differentiabel i t. Omvendt gælder der, at

(4.19) d(t) = e − t

0 f∞(u) du .

Sammenhængen mellem den uendeligt korte forwardrente og nulkuponrenterne

kan ved hjælp af (4.16) findes til

(4.20) f∞(t) = ∂[y∞(t)t]

∂t

= y∞(t) + y ′ ∞ (t)t,

forudsat at nulkuponrentestrukturen y∞(t) er differentiabel i t. S˚aledes afspejler

forwardrenten hældningen p˚a nulkuponrentestrukturen. Specielt har vi, at forwar-

drenten og nulkuponrenten er ens for de tidspunkter, hvor nulkuponrentestrukturen

har en vandret tangent.

Sammenholdes (4.19) og (4.13) f˚as omvendt, at

(4.21) y∞(t) = 1

t

t

0

f∞(u)du,

dvs. nulkuponrenten er gennemsnittet af forwardrenterne.


4.7 Bestemmelse af rentestrukturen p˚a baggrund af observerede obligationspriser49

4.7 Bestemmelse af rentestrukturen p˚a baggrund af observerede

obligationspriser

P˚a det danske obligationsmarked handles der kun f˚a nulkuponobligationer, nem-

lig skatkammerbeviserne, samt naturligvis kuponobligationer, der kun har én reste-

rende termin. Desuden er der p˚a pengemarkedet nogle instrumenter, der har karakter

af nulkuponobligationer. Alle disse nulkuponaktiver har løbetid p˚a under 1 ˚ar. Pri-

serne p˚a disse aktiver indeholder derfor kun information om den “korte ende” af

rentestrukturen. For at f˚a information om resten af rentestrukturen (og ogs˚a yder-

ligere information om den korte ende) m˚a man inddrage kuponobligationer. I visse

situationer er det ligefrem muligt at konstruere syntetiske nulkuponobligationer ved

at danne passende porteføljer af handlede kuponobligationer. Sammenhængen (4.1)

kan da bruges til at beregne nulkuponpriserne og dermed rentestrukturen udfra pri-

serne p˚a kuponobligationerne.

Eksempel 4.3 P˚a et marked handles der to st˚aende obligationer. Den ene udløber

om et ˚ar og har en nominel rente p˚a 10%. Den anden udløber om to ˚ar og har

en nominel rente p˚a 5%. Begge har én ˚arlig termin. Den et-˚arige obligation har en

betalingsstrøm som en nulkuponobligation – den giver 110 kr. om et ˚ar og intet p˚a

andre tidspunkter. Andelen 1/110 af denne obligation svarer netop til en nulkupon-

obligation, der giver 1 kr. om et ˚ar. Hvis prisen p˚a denne obligation f.eks. er 100, s˚a

er den et-˚arige diskonteringsfaktor givet ved

d(1) = 1

· 100 ≈ 0.9091.

110

Den to-˚arige obligation giver 5 kr. om et ˚ar og 105 kr. om to ˚ar. Den kan derfor

betragtes som en pakke af 5 et-˚arige nulkuponobligationer og 105 to-˚arige nulkupo-

nobligationer, alle med en nominel værdi p˚a 1 kr. Dermed er prisen p˚a den to-˚arige

st˚aende obligation

jfr. (4.1). Isoleres d(2) f˚as

P2 = 5d(1) + 105d(2),

(4.22) d(2) = 1

105 P2 − 5

105 d(1).

Er prisen p˚a den to-˚arige st˚aende obligation f.eks. 90, bliver den to-˚arige diskonte-

ringsfaktor

d(2) = 1 5

· 90 − · 0.9091 ≈ 0.8139.

105 105


50 Investering i obligationer

Fra udtrykket (4.22) kan vi se, at vi kan konstruere den to-˚arige nulkuponobligation

som en portefølje best˚aende af 1/105 enheder af den to-˚arige st˚aende obligation

og −5/105 enheder af den et-˚arige nulkuponobligation. Dette er ækvivalent med en

portefølje best˚aende af 1/105 enheder af den to-˚arige st˚aende obligation og −5/(105·

110) enheder af den et-˚arige st˚aende obligation. 5 Givet diskonteringsfaktorerne kan

nulkuponrenter og forwardrenter beregnes som vist i Afsnit 4.4–4.6.

Ovenst˚aende eksempel kan let generaliseres til flere perioder. Denne metode til

at bestemme diskonteringsfaktorerne og dermed rentestrukturen kaldes for boot-

strapping. Lad os se p˚a en situation, hvor vi har M obligationer med løbetider

p˚a henholdsvis 1,2,... ,M perioder, én termin pr. periode og samme terminstids-

punkter. Da kan vi successivt konstruere nulkuponobligationer og dermed beregne

diskonteringsfaktorerne d(1),d(2),... ,d(M) ved hjælp af bootstrapping. Først be-

regnes d(1) ved at bruge den korteste obligation, dernæst d(2) ved at bruge den

næst-korteste obligation og den allerede fundne værdi af d(1), og s˚a fremdeles. Gi-

vet diskonteringsfaktorerne d(1),d(2),... ,d(M) kan vi finde nulkuponrenterne og

dermed rentestrukturen op til tidspunkt M.

Bootstrapping-proceduren kan ogs˚a let generaliseres til det tilfælde, hvor de

M obligationers løbetider ikke er forskellige og pænt voksende som ovenfor. Bare

de M obligationer ialt har højest M forskellige terminstidspunkter, og hver obliga-

tion højest har ét terminstidspunkt, hvor ingen af de andre obligationer har ydelse,

s˚a kan vi konstruere nulkuponobligationer for ethvert af disse tidspunkter og dermed

beregne de relevante diskonteringsfaktorer knyttet til tidspunkterne.

Lad os betegne obligation i’s (i = 1,... ,M) ydelser p˚a tidspunkt j (j = 1,... ,M)

med Yij. Nogle af disse ydelser kan være nul, f.eks. hvis obligationen udløber før

tidspunkt M. Lad Pi betegne prisen p˚a den i’te obligation. Fra (4.1) har vi da, at

5 I praksis kan man naturligvis ikke købe eller sælge s˚adanne brøkdele af en obligation, men ved

at gange positionerne op med en passende faktor kan man f˚a en portefølje, der best˚ar af et helt antal

enheder. I eksemplet kan man ved at danne en portefølje best˚aende af 110 enheder af den to-˚arige

st˚aende obligation og -5 enheder af den et-˚arige st˚aende obligation, der har en nettobetaling p˚a nul

om et ˚ar og p˚a 110 · 105 = 11550 om to ˚ar. Prisen p˚a denne portefølje er 110 · 90 − 5 · 100 = 9400,

s˚a prisen pr. krones betaling om to ˚ar er 9400 /11 550 ≈ 0.8139.


4.7 Bestemmelse af rentestrukturen p˚a baggrund af observerede obligationspriser51

diskonteringsfaktorerne d(1),d(2),... ,d(M) skal opfylde ligningssystemet

⎛ ⎞ ⎛

⎞ ⎛ ⎞

(4.23)

P1 Y11

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜

⎜ P2 ⎟ ⎜ Y21

⎜ ⎟

⎜ ⎟ = ⎜



. ⎟ ⎜

⎠ ⎝

.

Y12

Y22

.

...

...

. ..

Y1M d(1)

⎟ ⎜ ⎟

⎟ ⎜ ⎟

Y2M ⎟ ⎜ d(2) ⎟

⎟ ⎜ ⎟

⎟ ⎜ ⎟ .

. ⎟ ⎜

⎠ ⎝

. ⎟


d(M)

PM

YM1 YM2 ... YMM

Betingelserne p˚a obligationerne skal sikre, at ydelsesmatricen i denne ligning er

invertibel.

Vi kan ogs˚a for hvert terminstidspunkt j = 1,... ,M konstruere en portefølje

af de M obligationer, der svarer til en nulkuponobligation, der giver 1 kr. p˚a tids-

punkt j. Lader vi xi(j) betegne det antal enheder af obligation i = 1,... ,M, der

indg˚ar i porteføljen svarende til nulkuponobligationen med udløb p˚a tidspunkt j,

skal der gælde

⎛ ⎞ ⎛

⎞ ⎛ ⎞

(4.24)


0 Y11 ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜


⎜0⎟

⎜ Y12 ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜


⎜.

⎟ ⎜

⎟ ⎜ .

⎜ ⎟ = ⎜


⎜1

⎟ ⎜

⎟ ⎜ Y1j

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜

⎜.

⎟ ⎜ .

⎝ ⎠ ⎝

Y21

Y22

.

Y2j

.

...

...

. ..

...

Yj1

Yj2

Yjj

...

...

...

. ..

YM1 ⎟ ⎜

x1(j)


⎟ ⎜ ⎟

YM2 ⎟ ⎜

⎟ ⎜ x2(j) ⎟

⎟ ⎜ ⎟

. ⎟ ⎜

⎟ ⎜ . ⎟

⎟ ⎜ ⎟,

⎟ ⎜

YMj ⎟ ⎜ xj(j)


⎟ ⎜ ⎟

⎟ ⎜ ⎟

. ⎟ ⎜ . ⎟

⎠ ⎝ ⎠

0 Y1M Y2M ... YjM ... YMM xM(j)

hvor et-tallet p˚a venstre side af lighedstegnet st˚ar p˚a den j’te plads i vektoren. Der

vil naturligvis være følgende relation mellem løsningen (d(1),... ,d(M)) til (4.23) og

løsningen (x1(j),... ,xM(j)) til (4.24): 6

(4.25)

M

xi(j)Pi = d(j).

i=1

Man kan s˚aledes først bestemme de syntetiske nulkuponobligationer, dvs. løsningen

til (4.24) for enhver værdi af j = 1,... ,M, og dernæst bruge (4.25) til at beregne

diskonteringsfaktorerne.

Eksempel 4.4 I Eksempel 4.3 s˚a vi p˚a en to-˚arig 5% st˚aende obligation. Antag nu, at

der desuden findes en to-˚arig 8% serieobligation med de samme terminstidspunkter.

6 Med matrixnotation er P = Y d og ej = Y ⊤ x(j), hvor ej er vektoren p˚a venstre side af (4.24),

og de øvrige betegnelser burde være selvforklarende. Symbolet ⊤ angiver transponering. Derfor er

hvilket er ækvivalent med (4.25).

x(j) ⊤ P = x(j) ⊤ Y d = e ⊤

j d = d(j),


52 Investering i obligationer

Ydelsen p˚a denne serieobligation er 58 kr. om et˚ar og 54 kr. om to˚ar. Lad os antage,

at prisen p˚a serieobligationen er 98 kr. P˚a baggrund af disse to obligationer kan vi

derfor opstille følgende ligningssystem til bestemmelse af diskonteringsfaktorerne

d(1) og d(2):


⎝ 90

⎞ ⎛ ⎞⎛

5

⎠ = ⎝

105

⎠⎝

98 58 54

d(1)


⎠ .

d(2)

Løsningen er d(1) ≈ 0.9330 og d(2) ≈ 0.8127.

Hvis man mere generelt har M handlede obligationer med ialt N forskellige

terminstidspunkter, skal man i (4.23) løse M ligninger med N ubekendte for at

finde diskonteringsfaktorerne. Hvis M > N kan man ikke være sikker p˚a, at lig-

ningssystemet har en løsning, dvs. man kan m˚aske ikke finde diskonteringsfaktorer,

som stemmer overens med alle de M obligationers priser. I s˚a fald vil der kunne

konstrueres en arbitrageportefølje i obligationerne. 7

Eksempel 4.5 I Eksemplerne 4.3 og 4.4 forekommer tre obligationer, nemlig en et-

˚arig st˚aende obligation, en to-˚arig st˚aende obligation og en to-˚arig serieobligation.

Disse tre obligationer har ialt to forskellige terminstidspunkter. P˚a baggrund af de

tre obligationers priser og ydelser skal diskonteringsfaktorerne d(1) og d(2) opfylde

følgende tre ligninger:

100 = 110d(1),

90 = 5d(1) + 105d(2),

98 = 58d(1) + 54d(2).

Dette ligningssystem har ikke nogen løsning. I Eksempel 4.3 fandt vi, at løsningen

til de to første ligninger er

d(1) ≈ 0.9091 og d(2) ≈ 0.8139.

I Eksempel 4.4 fandt vi derimod, at løsningen til de to sidste ligninger er

d(1) ≈ 0.9330 og d(2) ≈ 0.8127.

7 Udnyttelsen af s˚adanne arbitragemuligheder kræver salg af visse af obligationerne. Ejer man

ikke disse obligationer, og kan man ikke g˚a kort i dem, s˚a kan man ikke udnytte muligheden.


4.7 Bestemmelse af rentestrukturen p˚a baggrund af observerede obligationspriser53

Er den første løsning korrekt, skulle prisen p˚a serieobligationen være

(4.26) 58 · 0.9091 + 54 · 0.8139 ≈ 96.68,

hvilket den imidlertid ikke er. Derfor er serieobligationen forkert prisfastsat i forhold

til de to st˚aende obligation. Mere præcist er serieobligationen for dyr i forhold til de

st˚aende obligationer. Vi kan udnytte dette ved at sælge serieobligationen og købe

en portefølje af de st˚aende obligationer, der giver de samme fremtidige ydelser som

serieobligationen. En s˚adan portefølje siges at replikere eller duplikere serieobliga-

tionen.

Lad os se p˚a hvorledes en replikerende portefølje kan konstrueres. Vi ved, at

serieobligationen er ækvivalent med en portefølje best˚aende af 58 et-˚arige og 54 to-

˚arige nulkuponobligationer, alle med en hovedstol p˚a 1 kr. I Eksempel 4.3 fandt

vi, at den et-˚arige nulkuponobligation er ækvivalent med 1/110 enheder af den et-

˚arige nulkuponobligation, og at den to-˚arige nulkuponobligation er ækvivalent med

en portefølje best˚aende af −5/(105 · 110) enheder af den et-˚arige st˚aende obligation

og 1/105 enheder af den to-˚arige st˚aende obligation. Derfor er serieobligationen

ækvivalent med en portefølje best˚aende af

58 · 1 5

− 54 · ≈ 0.5039

110 105 · 110

enheder af den et-˚arige st˚aende obligation og

54 · 1

≈ 0.5143

105

enheder af den to-˚arige st˚aende obligation. Denne portefølje vil netop give 58 kr. om

et ˚ar og 54 kr. om to ˚ar. Prisen p˚a porteføljen er

hvilket netop er prisen fundet i (4.26).

0.5039 · 100 + 0.5143 · 90 ≈ 96.68,

De danske statsobligationer har – i modsætning til f.eks. amerikanske statsob-

ligationer (de s˚akaldte Treasury bills, notes og bonds) – mange forskellige termins-

tidspunkter. Ligningssystemet (4.23) vil da have færre ligninger M end antallet af

ubekendte N. I s˚a fald er der mange løsninger til ligningssystemet, dvs. mange sæt

af diskonteringsfaktorer vil være konsistente med de givne obligationspriser.


54 Investering i obligationer

Bootstrapping-proceduren og dens generaliseringer kan kun give værdien af dis-

konteringsfunktionen for de tidspunkter, hvor obligationerne har terminer. Ofte kan

det være af interesse at kende diskonteringsfunktionens værdi for andre tidspunkter.

For at kunne estimere hele funktionen udfra de givne informationer m˚a man antage

en bestemt parametrisk form p˚a funktionen og dernæst bruge obligationspriserne

til at estimere de ukendte parametre. Da der er gode grunde til at tro, at rente-

strukturen og diskonteringsfunktionen er kontinuerte og glatte funktioner, bruges

ofte polynomier og eksponentialfunktioner til dette form˚al. Parameterestimationen

munder da ud i forholdsvist simple regressioner. Den interesserede læser henvises til

Sørensen (1990) og Anderson, Breedon, Deacon, Derry og Murphy (1996, Kap. 2).

Figur 4.1 viser diskonteringsfunktionen estimeret p˚a baggrund af børskurser p˚a

14 statsobligationer onsdag den 9. februar 2000 ved hjælp af en af disse metoder,

den s˚akaldte kubiske spline metode. Metoden g˚ar ud p˚a at inddele løbetidsintervallet

for de givne obligationer i et lille antal delintervaller, hvor det antages at diskon-

teringsfunktionen i hvert delinterval kan beskrives med et tredjegradspolynomium.

Koefficienterne i disse polynomier bestemmes s˚aledes, at diskonteringsfunktionen f˚ar

en glat overgang i deletidspunkterne og derudover passer bedst muligt med de ob-

serverede obligationspriser. Figur 4.2 viser den tilhørende nulkuponrentestruktur og

den et-˚arige forwardrentestruktur.

4.8 Forklaringer p˚a rentestrukturens udseende

Der findes en række forklaringer p˚a rentestrukturens form. Udsagnet i forvent-

ningshypotesen er, at den aktuelle rentestruktur nøje hænger sammen med marke-

dets forventninger til den fremtidige rentestruktur. 8 S˚aledes skulle f.eks. en voksende

rentestruktur afspejle forventninger om, at de korte renter i fremtiden vil være højere

end de er i dag. Denne hypotese bygger p˚a en antagelse om, at det forventede afkast

p˚a alle mulige investeringsstrategier i obligationer er ens.

Lad os sammenligne to to-˚arige investeringer. Den ene best˚ar ganske simpelt

i at købe en to-˚arig nulkuponobligation og beholde den til udløb. Dette giver et

sikkert afkast p˚a (1 + y1(2)) 2 for hver krone, der investeres, hvor y1(2) er den ak-

tuelle to-˚arige nulkuponrente beregnet med ˚arlig rentetilskrivning. Den anden inve-

8 Der findes forskellige versioner af forventningshypotesen. Den her refererede blev foresl˚aet af

Lutz (1940).


4.8 Forklaringer p˚a rentestrukturens udseende 55

diskonteringsfaktor

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0 5 10 15 20 25

løbetid, antal år

Figur 4.1: Den estimerede diskonteringsfunktion, t ↦→ d(t), onsdag den 9. februar

2000.

rente

7,0%

6,5%

6,0%

5,5%

5,0%

4,5%

4,0%

0 5 10 15 20 25

løbetid, antal år

nulkuponrente forwardrente

Figur 4.2: Den estimerede nulkuponrentestruktur, t ↦→ y1(t), og den estimerede et-

˚arige forwardrentestruktur, t ↦→ f1(t,t + 1), onsdag den 9. februar 2000.


56 Investering i obligationer

steringsstrategi er en roll-over i et-˚arige nulkuponobligationer. Der købes et-˚arige

nulkuponobligationer, som beholdes til udløb, hvorefter afkastet reinvesteres i nye

et-˚arige nulkuponobligationer, som beholdes til udløb. Investeres 1 kr. i denne stra-

tegi, opn˚as med sikkerhed et afkast p˚a (1+y1(1)) kroner efter et ˚ar. Den rente, som

dette beløb investeres til, er den et-˚arige nulkuponrente, der vil være gældende om

et ˚ar. Kalder vi denne rente for ˜y1(1), vil det samlede afkast p˚a investeringen være

(1 + y1(1))(1 + ˜y1(1)) kroner for hver investeret krone. Dette afkast er naturligvis

usikkert, men hvis antagelsen om ens forventede afkast holder, m˚a der gælde

(1 + y1(2)) 2 = (1 + y1(1))(1 + E[˜y1(1)]),

hvor E[˜y1(1)] er den forventede et-˚arige rente om et˚ar. Sammenholdes dette med (4.11)

f˚as, at

E[˜y1(1)] = f1(1,2).

Forventningshypotesen medfører alts˚a, at den et-˚arige forwardrente, der i dag er

gældende for perioden mellem et og to ˚ar ude i fremtiden, er lig den forventede

et-˚arige nulkuponrente om et ˚ar.

Forventningshypotesen har tilsvarende implikationer for andre løbetider. For ek-

sempel er forwardrenten f1(1,3), der i dag gælder for et to-˚arigt l˚an, der starter om

et ˚ar, lig med den forventede to-˚arige nulkuponrente om et ˚ar.

Nulkuponrentestrukturen er normalt voksende. Da en voksende rentestruktur

ifølge forventningshypotesen afspejler forventninger om stigende korte renter i frem-

tiden, skulle de korte renter derfor vedblive med at stige og stige. Dette observeres

naturligvis ikke i praksis. En forklaring kunne være, at markedet systematisk over-

vurderer de fremtidige renter. En bedre forklaring kan findes ved at se nøjere p˚a

eksemplet med de to alternative to-˚arige investeringer ovenfor. Som nævnt er det

første alternativ risikofrit, mens det andet alternativ giver et usikkert afkast. Hvis

markedsdeltagerne er risikoaverse, vil de kræve en risikopræmie for at p˚atage sig det

usikre alternativ. Dette medfører, at der kan være forskel p˚a den aktuelle forward-

rente og den forventede fremtidige nulkuponrente.

En anden traditionel forklaring p˚a rentestrukturens udseende er givet i likvidi-

tetspræferencehypotesen. 9 Denne hypotese tager sit udgangspunkt i, at priserne

p˚a lange obligationer alt andet lige er mere p˚avirkede af renteændringer end priserne

9 Denne hypotese blev fremsat af Hicks (1939).


4.8 Forklaringer p˚a rentestrukturens udseende 57

p˚a korte obligationer. Derfor foretrækker investorerne alt andet lige korte fremfor

lange obligationer, og de kræver en risikopræmie for at investere i lange fremfor

korte obligationer. Denne risikopræmie m˚a forventes at være voksende med obliga-

tionens løbetid. Den aktuelle rentestrukturkurve vil derfor ligge over kurven, der

viser de forventede fremtidige korte renter, og afstanden mellem de to kurver vil

vokse med løbetiden. Bemærk i øvrigt, at betegnelsen likviditet i denne sammen-

hæng ikke har den sædvanlige betydning. Lange obligationer kan være liges˚a likvide

som korte obligationer. “Løbetidspræferencehypotesen” ville være et bedre navn til

denne hypotese.

Ifølge markedssegmenteringshypotesen vil investorer typisk koncentrere sig

om obligationer med løbetider indenfor et vist interval, et løbetidssegment. 10 Dette

kan skyldes, at investorerne har forpligtelser med tilsvarende løbetider. For eksem-

pel ligger størstedelen af pensionskassernes og livsforsikringsselskabernes forpligtelser

langt ude i fremtiden, og for at mindske den samlede renterisiko – jfr. immuniserings-

strategien diskuteret i Kapitel 5 – vil disse markedsaktører derfor især investere i

lange obligationer. Af lignende grunde vil pengeinstitutter og Nationalbanken især

investere i korte obligationer.

Der kan derfor eksistere forskellige markedssegmenter, hvor der ikke behøver at

være nogen som helst sammenhæng mellem prisdannelsen i forskellige segmenter.

Priserne – og dermed renterne – i et givet segment bestemmes udelukkende af ud-

buddet af og efterspørgslen p˚a obligationer i det p˚agældende segment. Er markedet

meget segmenteret vil rentestrukturen derfor best˚a af en række uafhængige dele, og

man kan f.eks. ikke forvente en glat eller end ikke en kontinuert rentestruktur.

En mere realistisk version af denne hypotese er indeholdt i tanken om preferred

habitats, dvs. “foretrukne levesteder”. 11 M˚aske vil en given investor koncentrere sig

om obligationer med en bestemt løbetid, men han vil formodentlig være villig til at

flytte sig fra sit foretrukne segment, hvis han f˚ar en tilstrækkelig kompensation for

det i form af en højere rente. Derfor er de enkelte segmenter af rentestrukturen ikke

helt uafhængige af hinanden, og rentestrukturen m˚a forventes at være en glat og

kontinuert kurve.

10 Markedssegmenteringsideen blev foresl˚aet af Culbertson (1957).

11 Denne modifikation af markedssegmenteringshypotesen blev fremsat af Modigliani og Sutch

(1966).


58 Investering i obligationer

Der er uden tvivl en vis sandhed i alle ovenst˚aende forklaringer. Mange obliga-

tionsinvestorer planlægger ikke at holde de obligationer, de køber, til udløb, og da

kursudviklingen p˚avirkes af udviklingen i rentestrukturen, vil forventningerne til

– men ogs˚a usikkerheden omkring – de fremtidige renter være af stor betydning.

En væsentlig del af den praktiske obligationsanalyse best˚ar s˚aledes i at forsøge at

forudsige b˚ade niveauet for og usikkerheden omkring de fremtidige renter. Rentefor-

udsigelserne er ofte baseret p˚a politiske og makroøkonomiske analyser.

4.9 Variabelt forrentede obligationer

Variabelt forrentede obligationer er obligationer, hvor den nominelle rente regel-

mæssigt ændres, s˚a den hele tiden afspejler de gældende korte markedsrenter. Lad

os f.eks. se p˚a en variabelt forrentet st˚aende obligation med halv˚arlige terminer. Ved

udstedelsen seks m˚aneder før den første termin vil den nominelle rente blive sat til

den da gældende seks m˚aneders nulkuponrente. Umiddelbart efter den første termin

vil den nominelle rente blive ændret til den aktuelle seks m˚aneders nulkuponrente,

og s˚a fremdeles i hele løbetiden.

De fremtidige ydelser p˚a en variabelt forrentet obligation er naturligvis usikre,

men p˚a grund af den løbende tilpasning til markedsrenten vil kursen p˚a s˚adan en

obligation typisk være tæt p˚a 100. Mere præcist vil kursen være 100 umiddelbart

efter enhver rentetilpasning. Dette kan indses p˚a følgende m˚ade. Umiddelbart efter

den sidste rentetilpasning p˚a det næstsidste terminstidspunkt vil obligationen være

ækvivalent med en seks m˚aneders obligation, hvis eneste resterende ydelse er lig

100 plus seks m˚aneders renten. Værdien af denne ydelse, m˚alt p˚a det næstsidste

terminstidspunkt, er netop 100 pr. definition af seks m˚aneders renten. Umiddelbart

efter den næstsidste rentetilpasning p˚a det tredjesidste terminstidspunkt vil ydel-

sesrækken best˚a af en rentebetaling om seks m˚aneder, der svarer til den aktuelle

seks m˚aneders rente, plus den sidste ydelse. Som vist ovenfor er værdien af den sid-

ste ydelse imidlertid 100. Derfor er situationen efter den næstsidste rentetilpasning

ækvivalent med situationen efter den sidste rentetilpasning, s˚a værdien af obligatio-

nen vil ogs˚a være 100 umiddelbart efter den næstsidste rentetilpasning. Den samme

argumentation kan bruges tilbage til udstedelsestidspunktet.

Der handles kun f˚a variabelt forrentede obligationer p˚a det danske marked. Deri-

mod er der et stort marked for de s˚akaldte renteswaps, der kan opfattes som et bytte


4.9 Variabelt forrentede obligationer 59

af en fast forrentet og en variabelt forrentet obligation. Ovenst˚aende analyse er derfor

vigtig i den sammenhæng. Renteswaps er nærmere beskrevet i Munk (2000a).

Den lille hurtige test-dig-selv

(a) Forklar princippet om fravær af arbitrage.

(b) Betragt en markedsdeltager, der sælger et aktiv, som vedkommende ikke ejer.

Hvad kaldes denne type handel?

(c) Hvorfor er det korrekt at multiplicere betalingerne Yt i formel (4.1) med dis-

konteringsfaktoren d(t)?

(d) Sandt eller falsk:

• Man skal kende diskonteringsfunktionen og en-periode forwardrentestruk-

turen for at kunne bestemme nulkuponrentestrukturen.

• Det er tilstrækkeligt at kende en enkelt diskonteringsfaktor for at kunne

bestemme nulkuponrentestrukturen og en-periode forwardrentestruktu-

ren.

• Det er tilstrækkeligt at kende en enkelt diskonteringsfaktor for at kunne

bestemme nulkuponrentestrukturen.

• Det er tilstrækkeligt at kende nulkuponrentestrukturen for at kunne be-

stemme s˚avel diskonteringsfunktionen som en-periode forwardrentestruk-

turen.


Kapitel 5

M˚aling og styring af renterisiko

5.1 Risici ved obligationsinvesteringer

Obligationer anses for at være sikre investeringsobjekter i forhold til andre finan-

sielle aktiver, som f.eks. aktier. Der er dog forskellige typer af risici ved investering

i en obligation. For det første den risiko, der knytter sig til betalingernes nominelle

størrelse, hvilket kan omfatte konkursrisiko (risikoen for at udstederen ikke beta-

ler de lovede beløb), udtrækningsrisiko (risikoen for udtrækningsprocenten 1 ) og

konverteringsrisiko (risikoen for at udstederen indfrier en konverterbar obliga-

tion til en værdi under markedsværdien). Derudover er der en inflationsrisiko eller

købekraftsrisiko, der knytter sig til den reale værdi af de nominelle betalinger.

Hvis man p˚atænker at sælge obligationen inden udløb, vil der naturligvis være

usikkerhed omkring hvilken pris, obligationen kan sælges til. Hvis der ikke er megen

handel i den p˚agældende obligation, er det ikke sikkert, at man kan sælge obligatio-

nen til dens sande værdi, for i s˚a fald kan mæglernes bid-ask spread være forholdsvist

stort. Denne type risiko kaldes likviditetsrisiko.

Den altoverskyggende del af usikkerheden omkring de fleste obligationers fremti-

dige pris skyldes imidlertid renterisiko. Som diskuteret tidligere hænger prisen p˚a

en obligation nøje sammen med den aktuelle rentestruktur. Idet rentestrukturen p˚a

et givet fremtidigt tidspunkt ikke kan forudsiges med særlig stor præcision, vil der

være en betydelig usikkerhed om værdien af obligationerne p˚a dette tidspunkt. De

allerfleste investorer vil derfor have en interesse i at m˚ale og sammenligne forskel-

lige obligationers prisfølsomhed overfor rentestrukturændringer. S˚adanne vurderin-

1 Denne risiko er blevet mindre efter indførelsen af de nye rentekonventioner, idet der tidligere

var tale om lodtrækning blandt de enkelte obligationer, der havde en større stykstørrelse.


62 Investering i obligationer

ger af obligationernes renterisiko kan give et overblik over den samlede renterisiko

for investorens aktuelle portefølje af renteafhængige aktiver og de enkelte aktivers

bidrag hertil. Mange institutionelle investorer er forpligtede til at fremstille s˚adanne

opgørelser til offentlige tilsynsmyndigheder og til offentliggørelse i regnskaber. Des-

uden er en vurdering af de forskellige investeringsmuligheders risici en vigtig del af

grundlaget for beslutningen om hvorledes en portefølje skal sammensættes.

I resten af dette afsnit vil vi diskutere, hvorledes man kan kvantificere rente-

risikoen ved en investering i en obligation (eller, mere generelt, en portefølje af

obligationer), og hvorledes man kan bruge disse risikom˚al til at styre renterisikoen.

5.2 Macaulay-varighed

Helt tilbage i 1930’erne var Macaulay opmærksom p˚a renterisikoen. I hans bog

Macaulay (1938) definerede han et m˚al, den s˚akaldte Macaulay-varighed, som skulle

vise den gennemsnitlige tid, der vil g˚a, før man f˚ar nutidsværdien af en obligation

(eller en anden strøm af kendte betalinger). Hicks (1939) viste, at det samme m˚al er

et udtryk for obligationskursens følsomhed overfor ændringer i obligationens effektive

rente.

Pr. definition er anskaffelsesprisen p˚a en obligation givet ved

P ≡ k + v =

tn

Yt(1 + y) −t ,

hvor y er obligationens effektive rente. Differentierer vi med hensyn til y, f˚ar vi

(5.1)

∂P

∂y

= −

t=t1

tn

tYt(1 + y) −(t+1) .

t=t1

En første ordens Taylor-udvikling af funktionen y ↦→ P omkring den nuværende

effektive rente giver, at ændringen i prisen, ∆P, ved en ændring p˚a ∆y i den effektive

rente kan approksimeres ved

(5.2) ∆P ≈ ∂P

∂y ∆y.

Bemærk, at da den vedhængende rente er uafhængig af y, s˚a sl˚ar hele prisændringen

igennem p˚a kursen, dvs. ∆k = ∆P. Macaulay-varigheden V defineres som

(5.3) V = − ∂P

∂y

1 + y

P ,


5.2 Macaulay-varighed 63

dvs. elasticiteten af prisen P med hensyn til ændringer i størrelsen 1 + y. Trods

Macaulay-varighedens mange ˚ar p˚a bagen og dens klare mangler, som vi skal se

senere, er dette m˚al stadigt hyppigt anvendt. Det er s˚aledes denne varighed, der

vises i kurslisten fra Københavns Fondsbørs.

Indsættes (5.1) i definitionen f˚ar vi

(5.4) V =

tn

t=t1

−(t+1) 1 + y

tYt(1 + y)

P

hvor wt = Yt(1 + y) −t /P. Bemærk, at

t=t1

t=t1

= 1

P

tn

tYt(1 + y) −t =

t=t1

tn tn Yt(1 + y)

wt =

−t

= 1.

P

tn

twt,

Derfor kan varigheden fortolkes som en ydelsesvægtet gennemsnitlig restløbetid.

Dette m˚al er ofte et bedre m˚al for den tidsmæssige udstrækning af obligationens

betalinger end restløbetiden, som blot angiver den tidsmæssige afstand til den sidste

termin. Der kan dog være visse problemer med denne fortolkning.

(5.5)

Fra definitionen af varigheden følger, at

∂P

∂y

= − V P

1 + y .

Indsætter vi dette i (5.2), ser vi, at prisændringen ved en given ændring i den effektive

rente kan approksimeres ved

V P

(5.6) ∆P ≈ −

1 + y ∆y.

Ifølge denne approksimation er prisændringen proportional med renteændringen med

V P −1+y som proportionalitetsfaktor. Dette skyldes selvfølgelig, at første ordens Taylor-

udviklingen netop svarer til at approksimere prisens afhængighed af diskonterings-

renten med en ret linie. Som nævnt i begyndelsen af Kapitel 3 er sammenhængen

mellem pris og diskonteringsrente imidlertid ikke lineær, men derimod konveks. Vi

kan naturligvis omvendt approksimere ændringen i den effektive rente ved en given

kursændring:

1 + y

∆y ≈ −

V P ∆P.

Forholdet V/(1 + y) kaldes ofte for den modificerede Macaulay-varighed.

Fra (5.6) har vi, at den relative ændring i obligationsprisen ved en ændring i dens ef-

fektive rente (approksimativt) er minus obligationens modificerede Macaulay-varighed

t=t1


64 Investering i obligationer

ganget med ændringen i den effektive rente. Desuden kaldes −V P/(1 + y) som-

metider for Macaulay-kronevarigheden. Fra (5.6) kan vi se, at den absolutte

ændring i obligationsprisen ved en ændring i dens effektive rente (approksima-

tivt) er Macaulay-kronevarigheden ganget med ændringen i den effektive rente. 2 Da

Macaulay-varighedsm˚alene er de mest anvendte udelades ofte Macaulay-forstavelsen

fra disse navne og man taler bare om varigheden, den modificerede varighed og kro-

nevarigheden. Som vi skal diskutere senere er der imidlertid andre og bedre varig-

hedsm˚al end disse Macaulay-m˚al.

5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer

Det er forholdsvist simpelt at beregne Macaulay-varigheden for standardobligationer.

Det nemmeste tilfælde er det, hvor obligationen kun har én ydelse tilbage, som for-

falder om lad os sige t perioder. Da er varigheden simpelthen lig med restløbetiden,

V = t. Ved beregning af varigheden p˚a de øvrige typer af standardobligationer er

det nemmest først at antage, at der er valør p˚a et terminstidspunkt.

5.3.1 Valør p˚a et terminstidspunkt

Med valør p˚a et terminstidspunkt kan prisen (=kursen) skrives som

n

P = Yj(1 + y) −j .

For en uamortisabel obligation er P = Y/y, s˚a ∂P

∂y = −Y/y2 og

j=1

(5.7) V = − ∂P

∂y

1 + y

P

For en annuitetsobligation er P = Y α n |y , s˚a

og dermed bliver

V = − ∂P

∂y

Idet α n |y = [1 − (1 + y) −n ]/y, f˚as

∂P

∂y

= Y

1 + y

P

∂ α n |y

∂y

1 + y

= .

y

,

∂ α

n |y

= −

∂y

1 + y

.

α

n |y

∂ α

n |y

∂y = n(1 + y)−n−1y − [1 − (1 + y) −n ]

y2 = 1

y n(1 + y)−n−1 − 1

y α n |y ,

2 Macaulay-kronevarigheden kaldes ogs˚a for obligationens Basis Point Value.


5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer 65

og dermed

V =

= 1 + y

= 1 + y

1 + y

α n |y

y

y −

1

y α n |y

1 n(1 + y)


y

−n

α

n |y

n

(1 + y) n − 1 .


1

− n(1 + y)−n−1

y

Varigheden vokser med restløbetiden n og g˚ar imod (1 + y)/y for n → ∞, jfr.

den uamortisable obligation. Bemærk, at varigheden p˚a en annuitetsobligation er

uafhængig af den nominelle rente R.

P˚a samme m˚ade kan man vise, at varigheden for en serieobligation er


1 + y

R α + n(y − R)(1 + y)

(5.8) V = ⎝1

n |y


y

−n−1


⎠.

Rn + (y − R)α n |y

Ogs˚a for en serieobligation vokser varigheden med restløbetiden og g˚ar mod (1+y)/y

for n → ∞.

For en st˚aende obligation kan varigheden beregnes til

(5.9) V =

1 + y

y

− 1 + y − n(y − R)

R[(1 + y) n − 1] + y .

I de fleste tilfælde vil ogs˚a varigheden p˚a en st˚aende obligation være en voksende

funktion af restløbetiden. Det kan dog vises, at hvis obligationens effektive rente y er

betydeligt større end den nominelle rente R, s˚a vil varigheden antage et maksimum

for en endelig restløbetid. S˚aledes kan varigheden p˚a én st˚aende obligation værre

højere end varigheden p˚a en anden, længere st˚aende obligation. Det kan derfor værre

problematisk at fortolke varigheden som et m˚al for en obligations gennemsnitlige

løbetid. Hvad enten den effektive rente er højere eller lavere end den nominelle

rente, vil varigheden g˚a mod (1 + y)/y for n → ∞.

Eksempel 5.1 Lad os beregne varigheden for en (hypotetisk) 8% serieobligation

med én ˚arlig termin, en restløbetid p˚a præcis 6 ˚ar og en effektiv rente p˚a 5%,

svarende til en kurs p˚a 109.2431. Ifølge formel (5.8) er varigheden


1 + y

R α + n(y − R)(1 + y)

V = ⎝1

n |y


y

−n−1



Rn + (y − R)α

n |y

= 1.05


0.08α + 6(0.05 − 0.08)(1.05)

⎝1

6 |0.05


0.05

−7



≈ 3.1780 ˚ar.

0.08 · 6 + (0.05 − 0.08)α 6 |0.05


66 Investering i obligationer

renteændring ny diskon- Kursændring

∆y teringsrente eksakt varighedsbaseret

-0.03 0.02 10.6854 9.9193

-0.02 0.03 6.9460 6.6129

-0.01 0.04 3.3880 3.3064

-0.005 0.045 1.6734 1.6532

0.005 0.055 -1.6335 -1.6532

0.01 0.06 -3.2282 -3.3064

0.02 0.07 -6.3063 -6.6129

0.03 0.08 -9.2431 -9.9193

Tabel 5.1: Kursen som funktion af diskonteringsrenten i Eksempel 5.1.

Lad os undersøge hvorledes kursen p˚a obligationen vil ændre sig ved en given øje-

blikkelig ændring i obligationens effektive rente. Vi kan dels beregne den eksakte

kursændring, som selvfølgelig er nutidsværdien af de fremtidige ydelser ved den nye

værdi af renten minus den aktuelle kurs, og dels en varighedsbaseret approksimativ

ændring givet ved (5.6). Som det ses af Tabel 5.1 er den varighedsbaserede approksi-

mation meget nøjagtig for sm˚a renteændringer, men knap s˚a nøjagtig for lidt større

renteændringer. Bemærk, at den varighedsbaserede approksimation altid undervur-

derer kursen ved den nye rente. Dette skyldes netop konveksiteten af funktionen

y ↦→ P. Se Figur 5.1 p˚a side 71.

5.3.2 Valør mellem to terminstidspunkter

Hvis der ikke er valør p˚a et terminstidspunkt, kan man relativt let korrigere

ovenst˚aende formler. Antag nemlig, at der er g˚aet t ′ terminer fra forrige termins-

tidspunkt til valørdagen. Her er t ′ et tal mellem 0 og 1. Vi ser i den følgende udreg-

ning bort fra problematikken omkring publicering af udtrækning. Falder valørdagen

efter udtrækningstidspunktet for det førstkommende terminstidspunkt, da skal det

nedenst˚aende resultat korrigeres p˚a samme m˚ade som vi korrigerede kursformlerne

i disse tilfælde i Kapitel 3.

For at finde anskaffelsesprisen p˚a valørdagen skal vi diskontere den første ydelse


5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer 67

1 − t ′ terminer, den anden ydelse 2 − t ′ terminer, osv. S˚a prisen p˚a valørdagen er

P =

n

j=1

Differentieres partielt med hensyn til y f˚as

∂P

∂y

= −

s˚a varigheden p˚a valørdagen er

(5.10)

n

j=1

Yj(1 + y) −(j−t′ ) .

(j − t ′ )Yj(1 + y) −(j−t′ )−1 ,

V = − ∂P 1 + y

∂y P

n j=1

=

(j − t′ )Yj(1 + y) −(j−t′ )

n =

=

j=1 Yj(1 + y) −(j−t′ )

n

j=1 (j − t′ )Yj(1 + y) −j

n

j=1 Yj(1 + y) −j

n

j=1 jYj(1 + y) −j

n

j=1 Yj(1 + y) −j − t′ .

Brøken i det sidste udtryk er netop varigheden, som den ville have været p˚a forrige

terminstidspunkt ved den samme effektive rente y. Brøken kan derfor regnes ud ved

hjælp af de tidligere angivne formler for varigheden p˚a et terminstidspunkt.

Traditionelt angives varigheden opgjort i et antal ˚ar. Ovenst˚aende formler for

varigheden giver derimod varigheden opgjort i et antal terminer. Antag der er m

terminer pr. ˚ar, og lad yterm være den effektive rente pr. termin. Den effektive rente

pr. ˚ar y˚ar er givet ved

1 + y˚ar = (1 + yterm) m .

Ifølge definitionen af varighed i formel (5.3) er varigheden i terminer

mens varigheden i ˚ar er

Vterm = − ∂P

∂y term

V˚ar = − ∂P

∂y ˚ar

Det kan da vises forholdsvist nemt, at

1 + yterm

,

P

1 + y˚ar

.

P

(5.11) V˚ar = 1

m Vterm.

Eksempel 5.2 Obligationen 5% S 2007 er en statslig serieobligation med to ˚arlige

terminer, den 15/3 og den 15/9. Sidste termin er den 15/9 2007. Fredag den 22/5


68 Investering i obligationer

1998 handledes obligationen til kurs 101.25. Afregningen af en handel, der foretages

p˚a denne dato, sker onsdag den 27/5 1998. Der er g˚aet 73 kalenderdage fra den

seneste termin (15/3 1998) til valørdagen, og længden af indeværende terminsperiode

er 184 dage, s˚a den vedhængende rente er

v = 100 · 0.05

2

73

· = 0.9918.

184

Den samlede anskaffelsespris er derfor P = k + v = 102.24.

Sammenhængen mellem anskaffelsesprisen og den effektive rente er ifølge (3.5)

og (3.6) givet ved


R 1

P = 100 + 1 −

y n

R


α (1 + y)

y n |y

t′

,

hvor R er den terminslige nominelle rente, y er den terminslige effektive rente, n er

antal resterende terminer, og t ′ er tiden fra seneste termin til valørdagen m˚alt i antal

terminer. I vores tilfælde er R = 0.025, n = 19 og t ′ = 73/184 = 0.3967. Indsættes

P = 102.24 kan vi (numerisk) løse ligningen for y. Dette giver y ≈ 2.3473%, svarende

til en ˚arlig effektiv rente p˚a (1.023473) 2 − 1 ≈ 4.7498%.

Varigheden m˚alt i antal terminer kan ifølge (5.8) og (5.10) bestemmes som

V =

1 + y

y


⎝1 −

R α n |y + n(y − R)(1 + y) −n−1

Rn + (y − R)α n |y


⎠ − t ′ ,

hvor alle størrelser igen er m˚alt pr. termin. Indsættes tallene f˚as V ≈ 8.3234 terminer,

eller 8.3234/2 ≈ 4.1617 ˚ar.

5.4 Macaulay-konveksitet

Ved vurdering af kursrisikoen p˚a en obligation p˚a baggrund af (5.6) antager man,

at prisen/kursen er en lineær funktion af den effektive rente. Som tidligere p˚apeget

er dette ikke korrekt. Prisen er en konveks funktion af den effektive rente, og fejlen

ved den lineære approksimation er ikke altid negligerbar. En bedre approksimation

f˚as ved at inddrage den anden afledte af prisen P med hensyn til den effektive rente

y. Derved tager man – i nogen grad – højde for krumningen af grafen for funktionen

y ↦→ P. Ved at differentiere med hensyn til y i formel (5.1) f˚ar vi, at den anden


5.4 Macaulay-konveksitet 69

afledte er

∂2P =

∂y2 tn

t(t + 1)Yt(1 + y) −(t+2)

t=t1

= P(1 + y) −2

= P(1 + y) −2

tn

t=t1

(t 2 + t)Yt(1 + y) −t

P

tn

(t 2 + t)wt,

t=t1

hvor wt = Yt(1+y) −t /P som tidligere. Vi definerer nu (Macaulay-)konveksiteten

som 3

(5.12) K =

Dermed har vi

tn

(t 2 + t)wt.

t=t1

∂2P PK

=

∂y2 (1 + y) 2.

Vi kan nu give en bedre approksimation af prisændringen ∆P ved en given ændring

∆y i den effektive rente ved at anvende en anden ordens Taylor approksimation:

(5.13)

∆P ≈ ∂P 1 ∂

∆y +

∂y 2

2P (∆y)2

∂y2 V P 1 PK

= − ∆y +

1 + y 2 (1 + y) 2 (∆y)2 .

Ligesom for varigheden er det naturligvis muligt at opstille formler for stan-

dardobligationers konveksitet, men disse formler er forholdsvist komplekse, s˚a det

typisk vil være liges˚a hurtigt at bruge den generelle definition i formel (5.12). Ek-

sempel 5.4 p˚a side 72 giver et eksempel p˚a, hvordan konveksiteten kan beregnes i

praksis. Bemærk, at konveksitetsm˚alet K ikke m˚aler hele forskellen mellem grafen

for funktionen y ↦→ P og dens tangent. Anden ordens Taylor udviklingen af funktio-

nen svarer til at approksimere grafen med en parabel. Som vi skal se i det følgende

eksempel er anden ordens approksimationen meget nøjagtig. Det synes derfor ikke

nødvendigt at inddrage yderligere led i approksimation ved f.eks. at lave en tredje

ordens Taylor udvikling.

3 Det skal bemærkes, at der findes en række forskellige definitioner af konveksiteten. I Fabozzi

(1996, Kap. 4) bruges definitionen

K ′ = 1 ∂

2

2 P

∂y2 1

P ,

hvilket svarer til 0.5K/(1 + y) 2 . Man skal s˚aledes altid være opmærksom p˚a, hvilken definition af

konveksiteten der er tale om.


70 Investering i obligationer

renteændring ny diskon- Kursændring

∆y teringsrente eksakt første orden anden orden

-0.03 0.02 10.6854 9.9193 10.6379

-0.02 0.03 6.9460 6.6129 6.9332

-0.01 0.04 3.3880 3.3064 3.3863

-0.005 0.045 1.6734 1.6532 1.6732

0.005 0.055 -1.6335 -1.6532 -1.6333

0.01 0.06 -3.2282 -3.3064 -3.2266

0.02 0.07 -6.3063 -6.6129 -6.2935

0.03 0.08 -9.2431 -9.9193 -9.2007

Tabel 5.2: Kursens afhængighed af diskonteringsrenten i Eksempel 5.3.

Eksempel 5.3 I Eksempel 5.1 p˚a side 65 undersøgte vi nøjagtigheden af en første

ordens approksimation af prisen omkring den aktuelle effektive rente. I Tabel 5.2 un-

dersøges nøjagtigheden af en anden ordens approksimation, hvor ændringen i obliga-

tionsprisen ved en ændring i den effektive rente approksimeres som i formel (5.13),

dvs. ved hjælp af b˚ade varigheden og konveksiteten. Vi betragter den samme obliga-

tion som i Eksempel 5.1. Med de samme tal som i det eksempel kan konveksiteten

beregnes til K = 16.1169. Ændringen beregnet med anden ordens approksimationen

er meget tæt p˚a den eksakte, selv for relativt store renteændringer, og er betydeligt

mere nøjagtig end første ordens approksimationen. Kursens afhængighed af den ef-

fektive rente er vist i Figur 5.1. Her kan vi igen se, at første ordens approksimationen

er upræcis undtagen for meget sm˚a renteændringer, mens anden ordens approksi-

mationen generelt er meget præcis.

Det er faktisk muligt at lave en approksimation baseret p˚a varighed og konvek-

sitet, som er endnu mere nøjagtig end (5.13). Ved at lave en anden ordens Taylor

udvikling af ln P i stedet for af P f˚as approksimationen

(5.14) ∆P ≈ P


exp − V 1 K − V

∆y +

1 + y 2

2

(1 + y) 2(∆y)2


− 1 ,

som er tættere p˚a den eksakte ændring end approksimationen i (5.13). Den tilsva-


5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikom˚al for porteføljer af obligationer 71

Kurs

130

125

120

115

110

105

100

95

90

85

80

0% 5% 10% 15%

Effektiv rente

Eksakt

1. orden

2. orden

Figur 5.1: Kursen som funktion af den effektive rente for obligationen i Eksempel 5.1

og 5.3.

rende første ordens approksimation

(5.15) ∆P ≈ P


exp − V

1 + y ∆y


− 1

er ligeledes betydeligt mere nøjagtig end den traditionelle første ordens approksima-

tion (5.6). Se Barber (1995) for flere detaljer og et regneeksempel.

Konveksiteten fortolkes ofte som et m˚al for varighedens følsomhed overfor æn-

dringer i den effektive rente. Differentierer man begge sider af (5.3) med hensyn til

y, kan man vise, at

(5.16)

∂V

∂y = −(1 + y)−1 (K + V (1 − V )) .

5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikom˚al for porteføljer af obliga-

tioner

Kursen, den effektive rente, varigheden og konveksiteten p˚a en obligation bruges

ofte som nøgletal for obligationens afkast og risiko. Den typiske investor har imidler-

tid en portefølje af obligationer, og det er derfor af interesse at beregne tilsvarende

nøgletal for porteføljer.

Som udgangspunkt m˚a den effektive rente, varigheden og konveksiteten bereg-

nes ved at bruge definitionerne direkte, hvor det selvfølgelig skal ske p˚a baggrund af

porteføljens samlede ydelsesrække. Det er nemlig ikke s˚adan, at disse nøgletal kan

beregnes eksakt udfra de tilsvarende nøgletal for de enkelte obligationer i porteføljen.


72 Investering i obligationer

Dette skyldes definitionen af den effektive rente, som b˚ade varigheden og konvek-

siteten er baseret p˚a. Definitionen af varighed og konveksitet gør det imidlertid let

at beregne disse størrelser for en vilk˚arlig ydelsesrække, f.eks. ved brug af regneark.

Dette fremg˚ar af følgende eksempel.

Eksempel 5.4 En portefølje best˚ar af to statsobligationer, nemlig for 100 000 kr.

nominelt af 6% st˚aende l˚an 2002 og for 200 000 kr. nominelt af 4% statsgældsbevis I

2001. Vi ønsker at finde porteføljens værdi, effektive rente, varighed og konveksitet

ved handel fredag den 22/5 1998, dvs. ved valør onsdag den 27/5 1998.

Obligationen 6% st˚aende l˚an 2002 har én ˚arlig termin den 15/11. Ydelsesrækken

for beholdningen af denne obligation er derfor som angivet i Tabel 5.3. Kursen p˚a ob-

ligationen er 104.34 p˚a handelstidspunktet. Den samlede kursværdi af beholdningen

er derfor 104340 kr. Da der er g˚aet 193 kalenderdage siden forrige termin, og ter-

minslængden er 365 dage, er den samlede vedhængende rente v = 6000 · 193/365 =

3172.60 kr. Den samlede anskaffelsespris er P = 104340 + 3172.60 = 107512.60 kr.

Den effektive rente kan beregnes til y = 4.8869%. Varigheden og konveksiteten kan

da beregnes ved hjælp af opstillingen i Tabel 5.4. Varigheden er alts˚a V = 3.9504 ˚ar

og konveksiteten er K = 20.8718.

Obligationen 4% statsgældsbevis I 2001 har én ˚arlig termin den 15/2 og udløber

i 2001. Ydelsesrækken for en beholdning p˚a 200 000 kr. nominel værdi er som vist i

Tabel 5.5. Kursen er 98.06, s˚a den samlede kursværdi er 196 120. Den vedhængende

rente er ialt v = 8000 · 101/365 = 2213.70. Den samlede anskaffelsespris er derfor

196120 + 2213.70 = 198333.70 kr. Den effektive rente kan da beregnes til y =

4.7690%. Til beregning af varighed og konveksitet bruges opstillingen i Tabel 5.6.

Varigheden er alts˚a V = 2.6081 ˚ar og konveksiteten er K = 9.5900.

Porteføljens samlede ydelsesrække bliver dermed som vist i Tabel 5.7. Den sam-

lede anskaffelsespris for porteføljen er P = 107512.60 + 198333.70 = 305846.30 kr.

Den effektive rente kan beregnes til 4.8222%. Varigheden og konveksiteten beregnes

i Tabel 5.8. Varigheden for porteføljen er alts˚a 3.0813, og konveksiteten er 13.5671.

Det er muligt at approksimere den effektive rente for en portefølje ved hjælp af de

enkelte obligationers effektive rente og varighed. Lad os antage at porteføljen best˚ar

af M obligationer, og lad zi være værdien af beholdningen af obligation i divideret


5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikom˚al for porteføljer af obligationer 73

Termin Udtrækning Rente Ydelse

1998 11 15 0 6000 6 000

1999 11 15 0 6000 6 000

2000 11 15 0 6000 6 000

2001 11 15 0 6000 6 000

2002 11 15 100 000 6000 106 000

Tabel 5.3: Ydelsesrækken for 6% st˚aende l˚an 2002 i Eksempel 5.4.

Termin Yt t (1 + y) −t wt twt (t 2 + t)wt

1998 11 15 6 000 0.471233 0.977767 0.0546 0.0257 0.0378

1999 11 15 6 000 1.471233 0.932211 0.0520 0.0765 0.1891

2000 11 15 6 000 2.471233 0.888777 0.0496 0.1226 0.4255

2001 11 15 6 000 3.471233 0.847366 0.0473 0.1642 0.7340

2002 11 15 106 000 4.471233 0.807886 0.7965 3.5614 19.4854

1.0000 3.9504 20.8718

Tabel 5.4: Beregning af varighed og konveksitet for 6% 2002 i Eksempel 5.4.

Termin Udtrækning Rente Ydelse

1999 02 15 0 8000 8 000

2000 02 15 0 8000 8 000

2001 02 15 200 000 8000 208 000

Tabel 5.5: Ydelsesrækken for 4% statsgældsbevis I 2001 i Eksempel 5.4.

Termin Yt t (1 + y) −t wt twt (t 2 + t)wt

1999 02 15 8 000 0.723288 0.966865 0.0390 0.0282 0.0486

2000 02 15 8 000 1.723288 0.922854 0.0372 0.0641 0.1747

2001 02 15 208 000 2.723288 0.880846 0.9238 2.5157 9.3667

1.0000 2.6081 9.5900

Tabel 5.6: Beregning af varighed og konveksitet for 4% statsgældsbevis I 2001 i

Eksempel 5.4.


74 Investering i obligationer

Termin Udtrækning Rente Ydelse

1998 11 15 0 6 000 6 000

1999 02 15 0 8 000 8 000

1999 11 15 0 6 000 6 000

2000 02 15 0 8 000 8 000

2000 11 15 0 6 000 6 000

2001 02 15 200 000 8 000 208 000

2001 11 15 0 6 000 6 000

2002 11 15 100 000 6 000 106 000

Tabel 5.7: Ydelsesrækken for porteføljen i Eksempel 5.4.

Termin Yt t (1 + y) −t wt twt (t 2 + t)wt

1998 11 15 6000 0.471233 0.978051 0.0192 0.0090 0.0133

1999 02 15 8000 0.723288 0.966510 0.0253 0.0183 0.0315

1999 11 15 6000 1.471233 0.933057 0.0183 0.0269 0.0666

2000 02 15 8000 1.723288 0.922047 0.0241 0.0416 0.1132

2000 11 15 6000 2.471233 0.890133 0.0175 0.0432 0.1498

2001 02 15 208 000 2.723288 0.879629 0.5982 1.6291 6.0657

2001 11 15 6000 3.471233 0.849183 0.0167 0.0578 0.2586

2002 11 15 106 000 4.471233 0.810118 0.2808 1.2554 6.8685

1.0000 3.0813 13.5671

Tabel 5.8: Beregning af varighed og konveksitet for porteføljen i Eksempel 5.4.


5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikom˚al for porteføljer af obligationer 75

med porteføljens samlede værdi. Lad yi være den i’te obligations effektive rente, og

lad Vi være den i’te obligations varighed. Da kan porteføljens effektive rente yport

approksimeres ved 4

(5.17) yport ≈

M i=1 yiVizi

M i=1 Vizi

.

Endvidere kan en porteføljes varighed approksimeres med et vægtet gennemsnit af

de enkelte obligationers varighed:

(5.18) Vport ≈

M

Vizi.

i=1

Det samme gælder for konveksiteten p˚a en portefølje:

(5.19) Kport ≈

M

Kizi.

Disse relationer er eksakte, hvis alle obligationerne i porteføljen har samme effektive

rente.

Eksempel 5.5 Betragt igen porteføljen i Eksempel 5.4. Her er vægtene

og

i=1

z1 = 107512.60

305846.30

z2 = 198333.70

305846.30

≈ 0.3515

≈ 0.6485.

Obligationernes effektive renter er hhv. y1 = 4.8869% og y2 = 4.7690%. Deres va-

righed er hhv. V1 = 3.9504 og V2 = 2.6081. Formel (5.17) giver da, at porteføljens

effektive rente approksimativt er

yport ≈

4.8869% · 3.9504 · 0.3515 + 4.7690% · 2.6081 · 0.6485

3.9504 · 0.3515 + 2.6081 · 0.6485

= 4.8222%,

hvilket (i dette tilfælde) med fire decimalers nøjagtighed er identisk med den eksakte

effektive rente.

Formel (5.18) giver følgende approksimation af porteføljens varighed:

Vport ≈ 3.9504 · 0.3515 + 2.6081 · 0.6485 = 3.0799,

hvilket er tæt p˚a porteføljens korrekte varighed p˚a 3.0813˚ar. Ifølge approksimationen

i formel (5.19) er konveksiteten

4 Se f.eks. Jakobsen (1987).

Kport ≈ 20.8313 · 0.3515 + 9.5489 · 0.6485 = 13.5558,


76 Investering i obligationer

hvilket er tæt p˚a den eksakte konveksitet p˚a 13.5671.

5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikom˚alene

I de foreg˚aende delafsnit har den primære anvendelse af Macaulay-varigheden og

-konveksiteten været approksimation af ændringen i prisen/værdien p˚a en obligation

(eller en portefølje af obligationer) ved en given ændring i dens egen effektive rente.

Imidlertid er det forholdsvist simpelt at beregne den eksakte ændring i prisen ved

en given ændring i den effektive rente ved at tilbagediskontere alle betalingerne med

den nye effektive rente. Dette kan gøres p˚a et øjeblik med moderne lommeregnere

eller regneark. Det er langt mere interessant at sammenligne risikom˚al for forskellige

obligationer.

Generelt kan det ikke anbefales at sammenligne Macaulay-risikom˚alene for for-

skellige obligationer. ˚Arsagen er, at Macaulay-m˚alene viser følsomheden overfor æn-

dringer i obligationens egen effektive rente. Sammenligner vi udtrykket for obliga-

tionsprisen som funktion af dens egen effektive rente

tn

P = Yt(1 + y) −t

med det generelle udtryk

P =

t=t1

tn

Yt(1 + y1(t)) −t ,

t=t1

der følger af (4.1) og (4.2), kan vi se, at den effektive rente p˚a en obligation (eller en

portefølje af obligationer) er et komplekst gennemsnit af nulkuponrenterne hørende

til obligationens (porteføljens) terminstidspunkter. Da varigheden og konveksiteten

afhænger af obligationens effektive rente giver det ingen umiddelbar mening at sam-

menligne disse m˚al p˚a tværs af forskellige obligationer (eller porteføljer). En given

ændring i rentestrukturen vil normalt ikke give de samme ændringer i alle obliga-

tioners effektive renter, s˚a varigheden og konveksiteten er ikke generelt de relevante

m˚al for obligationens følsomhed overfor ændringer i rentestrukturen.

Kun i det tilfælde hvor rentestrukturen er flad, dvs. y1(t) er ens for alle t, og

kun ændrer sig i form af en parallelforskydning, dvs. ∆y1(t) er ens for alle t, vil

alle effektive renter være ens og ændre sig lige meget ved en rentestrukturændring. 5

5 Se Ingersoll, Skelton og Weil (1978) for en mere detaljeret diskussion.


5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikom˚alene 77

Kun under s˚adanne forudsætninger giver det mening at sammenligne Macaulays

varighed og konveksitet p˚a tværs af obligationer. Denne model for rentestrukturen er

imidlertid yderst urealistisk. Den i praksis observerede rentestruktur er sjældent bare

tilnærmelsesvis flad, og ændringer sker normalt ikke i form af parallelforskydninger.

Som vi skal se nedenfor, er forudsætningerne ikke alene urealistiske, de er ogs˚a i

direkte modstrid med ingen-arbitrage princippet. Forudsætningerne kan ikke være

rigtige i en arbitrage-fri dynamisk model for rentestrukturen.

P˚a trods af disse klare mangler ved Macaulay-m˚alene bliver de ikke desto mindre

hyppigt anvendt. En af de traditionelle anvendelser af m˚alene er i forbindelse med

immunisering. En person eller virksomhed, der investerer p˚a obligationsmarkedet,

vil ofte have nogle fremtidige forpligtelser, som betalingerne fra de erhvervede obliga-

tioner skal dække ihvertfald i en vis udstrækning. Der kan for eksempel være tale

om en pensionskasse, som kan forudse fremtidige udbetalinger til bedagede med-

lemmer. For en s˚adan investor er det vigtigt at have en vis kontrol over værdien

og udviklingen i værdien af den samlede strøm af ind- og udbetalinger. For finan-

sielle institutioner er det ligefrem lovpligtigt at sikre nettoværdien af betalingerne

(egenkapitalen) som en bestemt andel af værdien af forpligtelserne.

Antag at investoren st˚ar p˚a tidspunkt 0 og kan forudse indbetalinger It og udbe-

talinger Ut p˚a de fremtidige tidspunkter t = t1,t2,...,tn. Hvis der p˚a et tidspunkt,

f.eks. tk, kun sker en indbetaling, sættes Utk = 0. Tilsvarende, hvis der kun sker en

udbetaling p˚a et givet tidspunkt, s˚a sættes indbetalingen p˚a dette tidspunkt lig nul.

Vi antager i det følgende, at der ikke er nogen usikkerhed omkring størrelsen af

de fremtidige ind- og udbetalinger. Vi kan derfor definere værdien af indbetalingerne

(aktiverne) og udbetalingerne (passiverne) som hhv.

og

I =

U =

tn

It(1 + y1(t)) −t

t=t1

tn

Ut(1 + y1(t)) −t ,

t=t1

hvor y1(t) er nulkuponrenten hørende til tidspunkt t. Nettoværdien af porteføljen er

derfor

E = I − U =

tn

(It − Ut)(1 + y1(t)) −t .

t=t1

Idet alle betalingerne antages at være kendte, er den eneste kilde til usikkerhed om

udviklingen i E netop udviklingen i nulkuponrenterne. En portefølje, hvis nettoværdi


78 Investering i obligationer

ikke p˚avirkes negativt af ændringer i rentestrukturen over tid, siges at være immuni-

seret. Hvis nettoværdien i forvejen er ikke-negativ, sikrer en immuniseringsstrategi,

at indbetalingerne vedvarende kan dække forpligtelserne.

I formel (5.13) p˚a side 69 fandt vi ved hjælp af en anden ordens Taylorudvikling

en approksimation til ændringen i en obligations pris ved en given ændring i obliga-

tionens effektive rente. Denne approksimation gælder naturligvis for enhver strøm af

deterministiske betalinger, s˚aledes ogs˚a for vores strøm af indbetalinger It og vores

strøm af udbetalinger Ut. Vi har derfor, at ændringen i værdien af indbetalingerne

ved en ændring i den effektive rente yI for strømmen af indbetalinger er

(5.20) ∆I ≈ −∆yI(1 + yI) −1 IVI + 1

2 (∆yI) 2 (1 + yI) −2 IKI,

hvor VI og KI er henholdsvis Macaulay-varigheden og -konveksiteten p˚a strømmen

af indbetalinger. For udbetalingerne f˚as p˚a tilsvarende vis, at

(5.21) ∆U ≈ −∆yU(1 + yU) −1 UVU + 1

2 (∆yU) 2 (1 + yU) −2 UKU,

hvor yU er den effektive rente for strømmen af udbetalinger, og VU og KU er

Macaulay-varigheden og -konveksiteten p˚a strømmen af udbetalinger.

Vi kan ikke umiddelbart sammenligne (5.20) og (5.21), idet vi ikke ved hvorledes

de effektive renter yI og yU p˚avirkes af ændringer i rentestrukturen. Hvis vi antager,

at rentestrukturen er flad og kun ændrer sig ved parallelforskydninger, s˚a er de to

effektive renter og ændringerne i disse altid ens. Lad os kalde den fælles rente for

y. Under disse strenge og urealistiske forudsætninger bliver ændringen i porteføljens

nettoværdi

(5.22)

∆E = ∆I − ∆U ≈ −∆y(1 + y) −1 [IVI − UVU] + 1

2 (∆y)2 (1 + y) −2 [IKI − UKU] .

Hvis vi ønsker ∆E ≥ 0 for alle mulige værdier af ∆y, skal vi sammensætte vores

portefølje, s˚a der gælder

(5.23) IVI = UVU, IKI ≥ UKU.

Hvis nettoværdien i forvejen er lig nul, dvs. I = U kan dette simplificeres til betin-

gelserne

(5.24) VI = VU, KI ≥ KU,


5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikom˚alene 79

dvs. porteføljen er immuniseret, hvis Macaulay-varighederne er ens p˚a ind- og udbe-

talingssiden, og Macaulay-konveksiteten p˚a indbetalingerne er større end p˚a udbeta-

lingerne. Den sidste betingelse kan opn˚as ved – løst sagt – at sprede indbetalingerne

tidsmæssigt mere end udbetalingerne.

Ofte er m˚alet med risikostyringen at sikre, at nettoværdien altid udgør mindst

en bestemt andel α ∈]0,1[ af udbetalingernes værdi, dvs. E ≥ αU. I s˚a fald skal

man sikre, at ∆I/I ≥ ∆U/U, hvilket ifølge (5.20) og (5.21) opn˚as ved at sikre, at

−∆y(1 + y) −1 (VI − VU) + 1

2 (∆y)2 (1 + y) −2 (KI − KU) ≥ 0.

Dette vil være tilfældet under immuniseringsbetingelserne (5.24).

Immuniseringsbetingelserne skal være opfyldt p˚a ethvert tidspunkt. Det fremg˚ar

imidlertid af diskussionen i Afsnit 3.2.2, at s˚alænge renten er uændret og der ikke

sker ændringer i betalingsrækken, s˚a vil varigheden aftage jævnt med tiden. Hvis

varigheden p˚a ind- og udbetalingssiden var ens lige efter sidste betalingstidspunkt,

s˚a vil de vedblive med at være ens, s˚alænge der ikke sker renteændringer eller nye

betalinger. Ændrer renten sig ikke, vil positionens nettoværdi være uændret indtil

førstkommende terminstidspunkt. 6 Det er derfor tilstrækkeligt at justere sin por-

tefølje p˚a betalingstidspunkterne og p˚a de tidspunkter, hvor der sker renteændrin-

ger.

Eksempel 5.6 En virksomhed har en forpligtelse p˚a 1 million kroner, der skal betales

om fire˚ar. Alle nulkuponrenter er lig 5%, dvs. rentestrukturen er flad. Nutidsværdien

6 Prisen p˚a tidspunkt t p˚a en obligation med betalinger Yi p˚a tidspunkt ti for i = 1,2, . . . , n er

generelt givet ved

P(t) =

n

i=1

hvor y er obligationens egen effektive rente. Idet

∂P

∂t

= ln(1 + y)

n

i=1

Yi(1 + y) −(t i−t) ,

Yi(1 + y) −(t i−t) = P(t)ln(1 + y),

s˚a er ændringen i prisen i løbet af en periode p˚a ∆t approksimativt givet ved

∆P ≈ ∂P

∆t = P(t)∆tln(1 + y),

∂t

under antagelse af en uændret effektiv rente. Antager vi en flad rentestruktur, vil værdien af ind-

betalingerne og værdien af udbetalingerne derfor ændre sig med lige meget (indtil næste termins-

tidspunkt), hvis tiden g˚ar og renten ikke ændrer sig.


80 Investering i obligationer

af forpligtelsen er derfor

U = 1000000 · (1.05) −4 ≈ 822702.47,

mens varigheden p˚a forpligtelserne naturligvis er VU = 4˚ar. Med henblik p˚a at sikre

at den fremtidige forpligtelse kan imødekommes, vil virksomheden investere i en ob-

ligationsportefølje, der har samme nutidsværdi og samme varighed som forpligtelsen.

Da der er to betingelser til porteføljen, skal den best˚a af (mindst) to obligationer.

Idet konveksiteten kan ses som et m˚al for den tidsmæssige spredning af betalingerne,

og forpligtelsen i dette eksempel kun best˚ar af en enkelt betaling, vil konveksiteten

p˚a obligationsporteføljen automatisk blive større end konveksiteten p˚a de ønskede

betalinger. Vi behøver derfor ikke bekymre os om betingelsen KI > KU.

Lad W1 være den samlede værdi af de enheder af den første obligation, der indg˚ar

i vores portefølje, og lad V1 betegne varigheden p˚a den første obligation. W2 og V2

er de tilsvarende størrelser for den anden obligation. De to betingelser, der skal være

opfyldt, er

(5.25)

(5.26)

W1 + W2 = U,

W1

U V1 + W2

U V2 = VU,

jfr. formel (5.18), der gælder med lighedstegn, da rentestrukturen er flad. Vi skal

s˚aledes løse disse ligninger med hensyn til W1 og W2. Den generelle løsning til

ligningerne er

(5.27) W1 = V2 − VU

V2 − V1

U, W2 = VU − V1

V2 − V1

Lad os f.eks. sige at den ene obligation er et 8% st˚aende l˚an med præcis tre ˚ar

til udløb og én ˚arlig termin. Prisen pr. 100 kroner nominel værdi, varigheden og

konveksiteten p˚a denne obligation kan da beregnes til henholdsvis P1 ≈ 108.1697,

V1 ≈ 2.7920 ˚ar og K1 ≈ 10.8931. Den anden obligation er et 4% st˚aende l˚an med

præcis seks ˚ar til udløb og én ˚arlig termin. Prisen pr. 100 kroner nominel værdi er

P2 ≈ 94.9243, varigheden er V2 ≈ 5.4349, og konveksiteten er K2 ≈ 36.7678. Dermed

skal immuniseringsporteføljen best˚a af for cirka 412938 kroner nominel værdi af det

korte st˚aende l˚an med en værdi p˚a ialt W1 ≈ 446674.40 (svarende til en værdiandel

p˚a 54.29%) og for cirka 396135 kroner nominel værdi af det lange st˚aende l˚an med en

værdi p˚a ialt W2 ≈ 376028.07 (en værdiandel p˚a 45.71%). Porteføljens konveksitet er

U.


5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikom˚alene 81

Rente- Værdi af Værdi af Gevinst Varighed p˚a

ændring forpligtelse portefølje portefølje

-0.03 923 845.43 924 903.42 1057.99 4.0275

-0.02 888 487.05 888 934.52 447.47 4.0185

-0.01 854 804.19 854 910.71 106.52 4.0093

+0.01 792 093.66 792 190.37 96.71 3.9905

+0.02 762 895.21 763 264.10 368.89 3.9809

+0.03 735 029.85 735 821.73 791.88 3.9711

Tabel 5.9: Effekt af renteændring ved immunisering som i Eksempel 5.6.

ca. 27.7204 (hvilket er klart større end forpligtelsens konveksitet p˚a 20). Kommer der

en øjeblikkelig parallelforskydning af rentestrukturen, vil porteføljen efterfølgende

have en større nutidsværdi end forpligtelsen, som det fremg˚ar af Tabel 5.9. Det ses,

at en renteændring vil ændre porteføljens varighed, s˚a den m˚a rebalanceres for at

sikre forpligtelsen mod nye renteændringer. Porteføljen skal ogs˚a rebalanceres efter

obligationernes terminer, hvor deres varighed vil ændre sig betydeligt.

I ovenst˚aende eksempel vil værdien af obligationsporteføljen være større end

værdien af forpligtelsen efter en renteændring, hvad enten der er tale om en ren-

testigning eller et rentefald. ˚Arsagen til denne gevinst er, at obligationsporteføljens

konveksitet er større end konveksiteten p˚a forpligtelsen, hvilket er klart, da der er

en større spredning i betalingerne fra porteføljen end i den ene udbetaling. Med

ens varigheder og højere konveksitet p˚a ind- end p˚a udbetalingerne giver (5.22), at

∆E > 0 b˚ade for ∆y < 0 og ∆y > 0. Jo større forskel, der er mellem konveksiteterne

p˚a ind- og udbetalingssiden, desto mere vil man profitere af renteændringer. Ændrer

renten sig ikke, vil porteføljens værdi være uændret indtil førstkommende termins-

tidspunkt. Den foresl˚aede strategi er derfor en arbitragemulighed. Som diskuteret i

Afsnit 4.2 vil priserne p˚a de finansielle markeder følge ingen-arbitrage princippet.

Da forudsætningerne om en flad rentestruktur med parallelle skift over tid fører til

klare arbitragemuligheder, m˚a konklusionen være, at forudsætningerne er forkerte.

Det kan simpelthen ikke være rigtigt, at rentestrukturen altid er flad!


82 Investering i obligationer

5.7 Fisher-Weil m˚al for renterisiko

Som diskuteret i ovenst˚aende delafsnit er forudsætningerne for at bruge Macaulay-

m˚alene til sammenligning af forskellige obligationers eller porteføljers renterisiko

yderst problematiske. Derfor er det naturligvis af interesse at finde m˚al for renteri-

sikoen under mere realistiske forudsætninger. En knap s˚a restriktiv model er den,

hvor rentestrukturen kan antage en vilk˚arlig form, og ændringer sker i form af pro-

portionale skift, dvs. ∆y1(t) = δ(1 + y1(t)), hvor δ er en konstant. 7 Det relevante

varighedsm˚al i denne model er givet ved

ˆV =

tn

t ˆwt,

t=t1

hvor ˆwt = Yt(1+y1(t)) −t /P. Bemærk, at det er nulkuponrenterne, der indg˚ar i væg-

tene, og ikke obligationens effektive rente som i definitionen af Macaulays varighed

i (5.3). Varighedsm˚alet ˆ V blev ogs˚a introduceret af Macaulay (1938), men blev først

genstand for interesse efter, at Fisher og Weil (1971) viste hvorledes det kan anven-

des til immuniseringsform˚al. Det kaldes derfor ofte for Fisher-Weil varigheden.

Tilsvarende kan man definere en Fisher-Weil konveksitet som

ˆK =

tn

2

t + t ˆwt.

t=t1

For at vise at ˆ V og ˆ K er relevante m˚al for renterisikoen under de givne forudsæt-

ninger, tager vi udgangspunkt i sammenhængen mellem prisen P p˚a en obligation

og nulkuponrenterne y1(t):

P =

tn

Yt(1 + y1(t)) −t .

t=t1

Denne sammenhæng følger af (4.1) og (4.2). Obligationsprisen P er s˚aledes en funk-

tion af nulkuponrenterne y1(t1),y1(t2),... ,y1(tn). En anden ordens Taylorudvikling

7 Bemærk, at sm˚a proportionale skift i˚arligt tilskrevne nulkuponrenter svarer til parallelle skift i

de tilsvarende kontinuert tilskrevne nulkuponrenter. Sammenhængen mellem disse renter er nemlig

y∞(t) = ln(1 + y1(t)), hvilket medfører, at

∆y∞(t) ≈ dy∞(t) 1

∆y1(t) =

dy1(t) 1 + y1(t) ∆y1(t),

som er lig δ ifølge antagelsen. Ændringerne i de kontinuert tilskrevne nulkuponrenter er s˚aledes ens

for alle løbetider, hvilket netop svarer til en parallelforskydning.


5.7 Fisher-Weil m˚al for renterisiko 83

omkring de aktuelle værdier af disse nulkuponrenter giver

∆P ≈ −

tn

t=t1

tYt(1 + y1(t)) −t−1 ∆y1(t) + 1

2

tn

t=t1

t(t + 1)Yt(1 + y1(t)) −t−2 (∆y1(t)) 2 .

Med antagelsen om proportionale skift ∆y1(t) = δ(1+y1(t)) kan vi skrive dette som

∆P ≈ −δ

tn

t=t1

hvilket er ensbetydende med, at

tYt(1 + y1(t)) −t + 1

2 δ2

tn

t(t + 1)Yt(1 + y1(t)) −t ,

t=t1

∆P ≈ −δP ˆ V + 1

2 δ2 P ˆ K.

Med udgangspunkt i denne sammenhæng er det p˚a samme m˚ade som for Macaulay-

m˚alene muligt at lave immunisering. Det kan let vises, at immuniseringsbetingelserne

bliver

ˆVI = ˆ VU,

ˆ KI ≥ ˆ KU,

hvilket er helt analogt til (5.24). Bemærk i øvrigt, at Fisher-Weil m˚alene bliver

identiske med Macaulay m˚alene, hvis rentestrukturen er flad.

Fisher-Weil risikom˚alene er ogs˚a hyppigt anvendte. De er ganske vist sværere

at beregne end Macaulay-m˚alene, for hvor Macaulay-m˚alene kan beregnes udfra

obligationens egen effektive rente, skal man kende hele nulkuponrentestrukturen

for at kunne beregne Fisher-Weil m˚alene. Som nævnt i Afsnit 4.7 findes der dog

en række metoder til at finde nulkuponrentestrukturen udfra markedspriserne p˚a de

handlede obligationer. Ser man p˚a en portefølje af obligationer, gælder der, at Fisher-

Weil varigheden og konveksiteten for porteføljen er et værdi-vægtet gennemsnit af

Fisher-Weil varighederne og konveksiteterne for obligationerne i porteføljen, dvs.

(5.28)

og

(5.29)

ˆ Vport =

ˆ Kport =

M

ˆVizi

i=1

M

i=1

ˆKizi,

hvor de tilsvarende udsagn for Macaulay-m˚alene kun er tilnærmelsesvist rigtige,

jfr. (5.18) og (5.19).

Den store fordel ved Fisher-Weil m˚alene fremfor Macaulay-m˚alene er, at for-

udsætningerne for m˚alenes relevans ikke er s˚a skrappe som for Macaulay-m˚alene.


84 Investering i obligationer

Forudsætningerne for Fisher-Weil m˚alene er imidlertid ogs˚a urealistiske. Det er mu-

ligt at konstruere en dynamisk rentestrukturmodel, hvor rentestrukturen ændrer sig

i form af disse proportionale skift, og hvor der ikke kan dannes arbitrageporteføljer

af obligationerne. I en s˚adan model skal den kontinuert tilskrevne rentestruktur have

formen

(5.30) y∞(t) = y∞(0) + At − Bt 2 ,

hvor y∞(0) angiver skæringspunktet med anden-aksen (dvs. den “ultra-korte” rente),

og A og B er konstanter med B > 0. Den kontinuert tilskrevne rentestruktur er

alts˚a en parabel med grenene nedad. 8 Dette synes umiddelbart overraskende, for

ogs˚a i denne model forekommer det fordelagtigt at maksimere konveksiteten p˚a

indbetalingssiden samtidigt med at holde varighederne ens. Følger man en s˚adan

strategi, vil man da ogs˚a f˚a en konveksitets-gevinst ved relativt store ændringer af

rentestrukturen. Men hvis rentestrukturen ikke ændrer sig, vil man derimod f˚a et

tab, som det vil fremg˚a af det følgende eksempel. En s˚adan strategi er derfor ikke

en arbitrage-mulighed.

Eksempel 5.7 Betragt igen situationen i Eksempel 5.6, hvor det ønskes at immu-

nisere en forpligtelse p˚a 1 million kroner til betaling om fire ˚ar med en portefølje af

et 3-˚arigt 8% st˚aende l˚an og et 6-˚arigt 4% st˚aende l˚an. Den aktuelle rentestruktur

antages at være p˚a formen (5.30) med A = 0.00125, B = 6.67 ·10 −5 og y∞(0) = 5%.

Denne rentestruktur er illustreret i Figur 5.2. I Tabel 5.10 er Fisher-Weil varigheden

og konveksiteten for de to obligationer beregnet. Nutidsværdien af 8% obligatio-

nen er 106.8894 pr. 100 kroner nominel værdi, nutidsværdien af 4% obligationen

er 91.8057 pr. 100 kroner nominel værdi, mens nutidsværdien af forpligtelsen er

805950.19 kroner. Fisher-Weil varigheden for forpligtelsen er naturligvis 4 ˚ar, mens

konveksiteten er 4 2 + 4 = 20.

For at finde en portefølje af de to obligationer, der vil immunisere forpligtelsen,

skal vi løse et ligningssystem som (5.25)–(5.26), hvor vi skal erstatte Macaulay-

varighederne med Fisher-Weil varighederne. Løsningen er analog til (5.27). Med

ovenst˚aende tal skal porteføljen best˚a af for cirka 407317 kroner nominel værdi af

8% obligationen med en værdi p˚a ialt W1 ≈ 435378.66 (en værdiandel p˚a 54.02%) og

8 Dette resultat blev vist af Cox, Ingersoll og Ross (1979). Den tilsvarende ˚arligt tilskrevne

rentestruktur følger af sammenhængen y1(t) = e y∞(t) − 1.


5.7 Fisher-Weil m˚al for renterisiko 85

3-˚arigt 8% st. l˚an 6-˚arigt 4% st. l˚an

t d(t) Yt ˆwt t ˆwt (t 2 + t) ˆwt Yt ˆwt t ˆwt (t 2 + t) ˆwt

1 0.9501 8 0.0711 0.0711 0.1422 4 0.0414 0.0414 0.0828

2 0.9008 8 0.0674 0.1348 0.4045 4 0.0392 0.0785 0.2355

3 0.8526 108 0.8614 2.5844 10.3377 4 0.0371 0.1114 0.4458

4 0.8060 0 0 0 0 4 0.0351 0.1405 0.7023

5 0.7612 0 0 0 0 4 0.0332 0.1658 0.9949

6 0.7184 0 0 0 0 104 0.8140 4.8836 34.1850

1.0000 2.7904 10.8844 1.0000 5.4212 36.6462

Tabel 5.10: Beregning af varighed og konveksitet for obligationerne i Eksempel 5.7.

for cirka 403647 kroner nominel værdi af 4% obligationen med en værdi p˚a ialt W2 ≈

370571.53 (en værdiandel p˚a 45.98%). Fisher-Weil konveksiteten p˚a porteføljen er

22.7296, hvilket er klart højere end p˚a forpligtelsen.

Lad os nu betragte situationen hvor immuniseringsporteføljen holdes uændret i

et halvt ˚ar. I Tabel 5.11 vises den nye nutidsværdi af forpligtelsen og af porteføljen

ved forskellige værdier af den korte rente y∞(0), der er gældende om et halvt ˚ar.

Formen p˚a rentestrukturen antages stadig at være som beskrevet ovenfor, men ren-

testrukturen kan være forskudt op eller ned. Det fremg˚ar tydeligt af tabellen, at

selvom konveksiteten p˚a indbetalingerne (porteføljen) er større end p˚a forpligtelsen,

s˚a er der ikke tale om en arbitrage. Strategien giver kun en gevinst, hvis renten

ændrer sig betydeligt. Hvis renten ikke ændrer sig eller kun ændrer sig lidt, giver

strategien et tab.

Selvom forudsætningerne for Fisher-Weil m˚alene teoretisk set kan være korrekte,

s˚a er det klart, at de ikke stemmer overens med den m˚ade rentestrukturen ser ud og

bevæger sig p˚a i virkelighedens verden. Rentestrukturen har kun sjældent en form,

der lader sig beskrive med et anden grads polynomium som i (5.30), og ændringerne

er heller ikke af den foreskrevne slags. De “korte” renter er langt mere volatile

end de “lange” renter. Desuden har man adskillige gange observeret et twist af

rentestrukturen, i den forstand at rentestrukturen ændrer sig fra at være voksende til

at være aftagende eller omvendt. S˚adanne skift kan ikke beskrives som proportionale


86 Investering i obligationer

Ny kort rente Ændring i Værdi af Værdi af Netto-

y∞(0) y∞(0) forpligtelsen porteføljen gevinst

0.01 -0.04 953 654.18 955 532.72 1878.54

0.02 -0.03 920 853.64 921 772.17 918.53

0.03 -0.02 889 181.26 889 448.16 266.90

0.04 -0.01 858 598.25 858 492.68 -105.57

0.05 0 829 067.12 828 841.13 -225.99

0.06 0.01 800 551.70 800 432.14 -119.56

0.07 0.02 773 017.06 773 207.44 190.38

0.08 0.03 746 429.46 747 111.65 682.19

0.09 0.04 720 756.33 722 092.15 1335.82

0.1 0.05 695 966.21 698 098.96 2132.75

Tabel 5.11: Effekt af renteændring ved immunisering som i Eksempel 5.7.

6.0%

5.5%

5.0%

4.5%

4.0%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Løbetid, antal år

Figur 5.2: Den initiale kontinuert tilskrevne nulkuponrentestruktur t ↦→ y∞(t) i

Eksempel 5.7.


5.8 Andre risikom˚al 87

eller parallelle skift.

5.8 Andre risikom˚al

Macaulay og Fisher-Weil varigheden m˚aler prisfølsomheden overfor bestemte ure-

alistiske skift i hele rentestrukturen. I stedet kan man forsøge at m˚ale prisfølsomheden

overfor bestemte skift i forskellige segmenter af rentestrukturen. Dette kan gøres

ved at identificere nogle nøglerenter, som typisk er s˚akaldt toneangivende renter

i markedet (f.eks. 3 mdr., 2 ˚ar, 5 ˚ar og 10 ˚ar). Prisfølsomheden overfor en given

ændring i en af disse nøglerenter og renter med løbetider tæt p˚a kaldes for en

nøglerenterisiko. Ved p˚a passende vis at kombinere nøglerenterisiko-m˚alene kan

man m˚ale prisfølsomheden overfor en bestemt kombination af ændringer i nøglerenterne.

Se Ho (1992) for mere information om denne metode til m˚aling af renterisiko. Det er

uklart hvorvidt metoden hænger sammen med en konsistent, arbitrage-fri dynamisk

model for rentestrukturens udvikling.

Mere realistiske modeller for rentestrukturens dynamik end de som ligger til

grund for de traditionelle Macaulay og Fisher-Weil m˚al – og dermed ogs˚a mere re-

alistiske m˚al for renterisikoen i en obligationsinvestering – er ganske komplekse og

kræver brug af avanceret matematik, som ligger uden for rammerne af denne korte

note. De interesserede læsere m˚a nøjes med henvisninger til Hull (2000), Cox, In-

gersoll og Ross (1979), Jørgensen og Collignon (1996) og Munk (1999, 2000b). Et

typisk resultat er, at b˚ade Macaulay varigheden og Fisher-Weil varigheden overvur-

derer renterisikoen især for lange obligationer. Et andet resultat er – som vi s˚a i

Eksempel 5.7 – at man udover at sikre sig mod renteændringer ogs˚a skal sikre sig

mod, at rentestrukturen ikke ændrer sig. 9

Det er intuitivt klart, at den eneste m˚ade, man kan beskytte sin portefølje imod

alle mulige skift i rentestrukturen, er ved at sørge for at de forskellige ind- og udbeta-

lingers størrelse og tidsmæssige placering er sammenfaldende. For en given strøm af

udbetalinger skal man ideelt set vælge en obligationsportefølje, der giver anledning

til den samme betalingsstrøm, dvs. man skal konstruere en replikerende portefølje.

Er der – som i Eksempel 5.7 – tale om en enkelt udbetaling kan denne immuniseres

perfekt med en nulkuponobligation med samme betalingstidspunkt. I praksis er det

9 Dette er formaliseret af Christensen og Sørensen (1994).


88 Investering i obligationer

dog sjældent muligt at finde en perfekt replikerende portefølje. Den bedste immu-

niseringsstrategi er da – løst sagt – at konstruere en portefølje, hvis betalingsstrøm

ligner den for udbetalingerne mest muligt.

Den lille hurtige test-dig-selv

(a) Forklar forskellen p˚a konkursrisiko og likviditetsrisiko

(b) Fortolk Macaulay-varighed.

(c) Hvis der er m˚anedlige terminer, og varigheden udregnes til at være 42 terminer,

hvad er da varigheden m˚alt i ˚ar?

(d) Fortolk Macaulay-konveksitet.

(e) S˚afremt prisen son funktion af den effektive rente approksimeres med Macaulay-

varighed f˚as en ret linie. Hvilken type approksimation opn˚ar, s˚afremt man

endvidere inddrager Macaulay-konveksitet?

(f) Betragt approksimationerne (5.17)–(5.19). Hvad skal gælde før disse relationer

er eksakte?

(g) Hvad forst˚as ved immunisering?

(h) Er det problematisk at antage en flad rentestruktur med parallelle skift?

(i) Hvorledes adskiller Fisher-Weil risikom˚alene sig fra Macaulay-risikom˚alene?


Kapitel 6

Beskatning af obligationsafkast

6.1 Indledende bemærkninger

Beskatning af obligationsafkast er i Danmark reguleret ved adskillige love. I det

omfang afkastet er opn˚aet i forbindelse med pensionsopsparing sker beskatningen i

henhold til pensionsafkastbeskatningsloven. Dette gælder b˚ade for renter og kursge-

vinster og -tab. For obligationsafkast, der ikke er opn˚aet i forbindelse med pensions-

opsparing, skelner man mellem renter og kursgevinster og -tab. Renter medregnes

altid i den almindelige skattepligtige indkomst og beskattes i forfalds˚aret. 1 De skat-

tepligtige kursgevinster og -tab opgøres i henhold til kursgevinstloven og indg˚ar i

den almindelige skattepligtige indkomst. Selskaber betaler s˚aledes typisk 28% skat

af b˚ade renter og kursgevinster. For private indg˚ar renter og kursgevinster p˚a ob-

ligationer i kapitalindkomsten. En positiv netto-kapitalindkomst beskattes med op

til ca. 60%, mens en negativ netto-kapitalindkomst giver et fradrag i skatten p˚a ca.

40%. 2

I dette kapitel vil vi kort se p˚a pensionsafkastbeskatningslovens og kursgevin-

stlovens hovedregler for beskatning af obligationsafkast. Fremstillingen er p˚a ingen

m˚ade fuldstændig. Den interesserede læser henvises til lovteksten for de præcise reg-

ler. Vi vil derefter se nærmere p˚a principper til opgørelse af kursgevinster og -tab,

der ifølge lovene kan eller skal anvendes. Endeligt vil vi kort diskutere hvorledes

skattereglerne p˚avirker nøgletal som effektiv rente, varighed og konveksitet.

1 Vedhængende renter indregnes i den skattepligtige indkomst i det ˚ar de betales/modtages og

ikke i det ˚ar, hvor den tilhørende termin ligger.

2 Kapitalindkomsten indg˚ar under alle omstændigheder i beregning af amts-, kommune- og kir-

keskat og i bundskatten, hvilket giver en skattesats p˚a omkring 40%. Positiv nettokapitalindkomst

indg˚ar desuden i grundlaget for mellemskatten og topskatten.


90 Investering i obligationer

6.2 Pensionsafkastbeskatningsloven

Som navnet antyder er pensionsafkastbeskatningsloven grundlaget for beskatning

af det afkast som pensionskasser og -fonde, forsikringsselskaber m.v. opn˚ar p˚a deres

investerede formue, men gælder ogs˚a privates pensionsopsparinger i pengeinstitutter.

Ifølge loven skal der betales en skat p˚a 26 procent af b˚ade renteindtægter og kursge-

vinster fra obligationer (dog ikke for indeksobligationer udstedt før 1999). Kurstab

kan trækkes fra i opgørelsen af skattegrundlaget. Afkast p˚a aktieinvesteringer i for-

bindelse med pensionsopsparing beskattes kun med 5 procent. Beskatningsgrundla-

get opgøres for hvert indkomst˚ar, hvilket for pensionskasser og andre institutionelle

pensionsopsparere svarer til kalender˚aret, men for privates pensionsopsparing i pen-

geinstitutter dækker perioden fra 1. december til 30. november.

De kursgevinster og -tab, der indg˚ar i beskatningsgrundlaget, opgøres efter det

s˚akaldte lagerprincip, der er beskrevet nærmere senere i dette kapitel. De institutio-

nelle pensionsopsparere skal senest den 15. december indsende en opgørelse over det

forventede beskatningsgrundlag for det p˚agældende ˚ar til den centrale told- og skat-

teforvaltning og samtidigt indbetale den hertil svarende skat. Den endelige afregning

skal ske senest 15. juli det følgende ˚ar. For en privatpersons pensionsopsparing i et

pengeinstitut p˚ahviler det pengeinstituttet at hæve skatten p˚a opsparingskontoen

og indbetale beløbet til den centrale told- og skatteforvaltning umiddelbart efter

indkomst˚arets afslutning (senest 15. december).

Pensionsafkastbeskatningsloven gælder fra og med indkomst˚aret 2000. Før den

tid blev pensionsafkast beskattet ifølge den s˚akaldte realrenteafgiftslov, der blev

indført i 1984. Afgiften varierede fra ˚ar til ˚ar med henblik p˚a at sikre et stabilt realt

afkast af pensionsopsparingen p˚a ca. 3.5% pr. ˚ar. I pensionsafkastbeskatningsloven

er der visse regler for perioden 2000-2005, der har til form˚al at sørge for, at der ikke

sker pludselige voldsomme ændringer i det skattepligtige beløb ved overgangen til

den nye beskatningsform.

6.3 Kursgevinstloven

Kursgevinster og -tab p˚a obligationsinvesteringer, der ikke falder ind under pen-

sionsafkastbeskatningsloven, beskattes i henhold til kursgevinstloven, der blev indført

i 1985 og senest blev revideret i 1999. Kursgevinstloven opdeler de skattepligtige i


6.3 Kursgevinstloven 91

tre grupper:

(1) Selskaber, fonde og foreninger m.v.: kursgevinster og -tab indg˚ar i den skat-

tepligtige indkomst.

(2) Personer, der udøver handel med fordringer som led i deres næring, f.eks. vek-

selerere, bankiers og lignende: kursgevinster og -tab p˚a omsætningsporteføljen

indg˚ar i den skattepligtige indkomst, mens gevinster og tab p˚a anlægspor-

teføljen beskattes som for andre personer.

(3) Andre personer: kurstab kan ikke fradrages. Kursgevinster p˚a obligationer, der

opfylder den s˚akaldte mindsterenteregel, er ikke skattepligtige, med mindre

obligationen er erhvervet for l˚ante midler (se nedenfor). Andre kursgevinster

er skattepligtige.

Mindsterentereglen er opfyldt for en given obligation, hvis obligationens p˚alydende

rente er større end eller lig med den officielle mindsterente, der er gældende p˚a obliga-

tionens udstedelsestidspunkt. For fastforrentede obligationer fastsættes en mindste-

rente for hvert halv˚ar januar-juni og juli-december. Mindsterenten beregnes som 7/8

af et simpelt gennemsnit af den daglige effektive rente de seneste 20 børsdage forud

for den 15/12, hhv. den 15/6, for fastforrentede krone-obligationer i ˚abne serier,

nedrundet til nærmeste hele antal procentpoints. Mindsterenten kan dog ændres ek-

straordinært ved kraftige renteskift, hvilket er sket enkelte gange. Medio juli 2000

er mindsterenten 5%. 3 Tabel 6.1 viser udviklingen i den officielle mindsterente.

For indeksobligationer er mindsterenten fast 2.5%. Variabelt forrentede obliga-

tioner anses for forrentet lavere end mindsterenten, hvis de kontraktmæssige reg-

ler for fastsættelse af den variable nominelle rente og evt. særlige indfrielsesvilk˚ar

gør, at kursen kan afvige væsentligt fra indfrielseskursen. Obligationer, der opfyl-

der mindsterentereglen, kaldes bl˚astemplede, mens obligationer, der ikke opfylder

kravet, kaldes sortstemplede.

Det var i begyndelsen af 1990’erne en relativt udbredt praksis at optage l˚an med

fradragsberettigede rentebetalinger og placere pengene i bl˚astemplede obligationer.

For at forhindre s˚adanne arrangementer indførte Folketinget i juni 1992 en bestem-

melse i kursgevinstloven, som siger, at gevinst p˚a fordringer skal medregnes i den

3 Mindsterenten er if. en pressemeddelelse fra Fondsbørsen d. 16. juni 2003 nedsat fra 3% til 2%

p.a. i perioden fra d. 1/7 til d. 31/12-2003.


92 Investering i obligationer

ændringsdato mindsterente ændringsdato mindsterente

2/10-1985 9% 1/7-1993 6%

2/4-1986 7% 1/1-1994 5%

1/7-1986 8% 1/7-1994 6%

1/1-1987 10% 1/1-1995 7%

1/7-1988 9% 22/12-1995 6%

17/6-1991 8% 22/10-1996 4%

18/5-1993 7% 1/7-2000 5%

Tabel 6.1: Udviklingen i den officielle mindsterente for fastforrentede obligationer.

skattepligtige indkomst i det omfang, den p˚agældende fordring er erhvervet for l˚ante

midler. Kursgevinster er kun skattepligtige, hvis der er et˚abenbart misforhold til det

kapitalbehov, som den skattepligtiges øvrige virksomhed eller privatforbrug betin-

ger, eller hvis sammenhængen mellem erhvervelse og l˚anoptagelse klart fremg˚ar af

omstændighederne ved erhvervelsen. Der er ingen skattepligt, hvis de fradragsberetti-

gede udgifter vedrørende l˚anet kun i uvæsentligt omfang overstiger de skattepligtige

indtægter fra fordringerne. Der er heller ingen beskatning, hvis l˚anet og fordrin-

gen ikke giver et positivt afkast efter skat ved beskatning efter mindsterentereglen.

Bedømmelsen foretages for den samlede ejer-og skyldnerperiode.

Opgørelsen af de skattepligtige kursgevinster og -tab p˚a obligationer skal ifølge

kursgevinstloven som udgangspunkt ske ved anvendelse af realisationsprincippet (se

næste afsnit), men kan efter tilladelse fra skatteministeren ske ved anvendelse af

lagerprincippet. Realkreditinstitutter skal dog anvende lagerprincippet, hvilket ogs˚a

(med tilladelse selvfølgelig) bruges af de fleste pengeinstitutter. Skatteministeren kan

desuden give tilladelse til at en anden opgørelsesmetode anvendes. Enhver ændring

af opgørelsesmetoden kræver ligeledes tilladelse fra skatteministeren.

6.4 Metoder til opgørelse af skattepligtige kursgevinster

Som nævnt ovenfor anvendes typisk en af følgende to metoder til opgørelse af

den skattepligtige kursgevinst (og -tab):

• realisationsprincippet: kursgevinsten medtages i den skattepligtige indkomst

i det ˚ar, hvor gevinsten realiseres. En realiseret kursgevinst kan fremkomme


6.4 Metoder til opgørelse af skattepligtige kursgevinster 93

ved salg eller ved den løbende indfrielse i form af udtrækninger. Den realiserede

kursgevinst ved salg beregnes som den nominelle værdi af den solgte behold-

ning S multipliceret med forskellen mellem salgskursen ksalg og købskursen

kkøb divideret med 100, dvs.

H real

salg = S ksalg − kkøb

.

100

Den realiserede kursgevinst ved udtrækning beregnes som

hvor Z er det udtrukne beløb.

H real

udtr

100 − kkøb

= Z ,

100

• lagerprincippet: den skattepligtige kursgevinst i de enkelte indkomst˚ar følger

udviklingen i markedskursen. Kursgevinsten kan fremkomme ved udtræknin-

ger, ved salg og ved urealiserede kursgevinster p˚a restbeholdningen. Kursge-

vinsten p˚a de udtrukne beløb beregnes som

H lager

udtr

100 − kprimo

= Z ,

100

hvor kprimo er markedskursen primo regnskabs˚aret. Kursgevinsten ved salg er

H lager

salg = S ksalg − kprimo

.

100

Den urealiserede kursgevinst p˚a lagerbeholdningen ultimo ˚aret beregnes som

H lager

ureal = Lkultimo − kprimo

hvor L angiver den nominelle værdi af lagerbeholdningen ultimo, og kultimo

selvfølgelig er markedskursen ultimo regnskabs˚aret. I anskaffelses˚aret skal kprimo

erstattes af købskursen kkøb i disse udtryk.

Ved opgørelse af kursgevinsten anvendes FIFO-princippet, s˚aledes at de først erhver-

vede obligationer betragtes som de først solgte.

100

De to metoder er illustreret i følgende eksempel:

Eksempel 6.1 Obligationen 10% S 1995 er/var en serieobligation med én ˚arlig

termin den 15/4. En virksomhed købte for en million kroner nominel værdi den

14/9 1990 (valør 19/9 1990) til kurs 98.50. Ydelsesrækken for denne beholdning var

p˚a daværende tidspunkt som vist i Tabel 6.2. Den vedhængende rente var 42777.78

,


94 Investering i obligationer

kr. Obligationen blev solgt med valør den 6/10 1994 til kurs 101.55. Vi skal nu opgøre

de skattepligtige kursgevinster i forbindelse med ejerskabet af denne obligation.

Først betragtes realisationsprincippet. I vores eksempel er Z = 200000 i hvert

af ˚arene 1991, 1992, 1993 og 1994, s˚a den skattepligtige kursgevinst af de udtrukne

obligationer er

H real 100 − 98.50

udtr = 200000 · = 3000

100

i hvert af disse ˚ar. Den skattepligtige kursgevinst af den solgte beholdning p˚a S =

200000 i 1994 er

H real 101.55 − 98.50

salg = 200000 ·

100

= 6100.

Kursgevinsterne ifølge realisationsprincippet bliver dermed som vist i Tabel 6.3.

Lad os nu se p˚a lagerprincippet. Her skal vi naturligvis kende markedskursen

p˚a obligationen ultimo/primo hvert ˚ar. Disse kurser og de beregnede skattepligtige

kursgevinster er vist i Tabel 6.4. For eksempel er kursgevinsten p˚a udtrækningen i

1992 beregnet som

H lager

udtr

= 200000 · 99.90 − 100.35

100

= −700,

og den urealiserede kursgevinst p˚a beholdningen ultimo 1993 er

H lager 102.40 − 99.90

ureal = 400000 · = 10000.

100

Kursgevinsten af den solgte beholdning i 1994 er beregnet som

H lager

salg

= 200000 · 101.55 − 102.40

100

= −1700.

Bemærk, at den totale skattepligtige kursgevinst er den samme ligegyldigt hvil-

ken metode, der anvendes, men fordelingen p˚a de enkelte indkomst˚ar varierer en del.

6.5 Nøgletal efter skat

For en skattepligtig investor er det ydelsesrækken efter skat og derfor ogs˚a

nøgletallene efter skat, der er af interesse. For at opstille ydelsesrækken efter skat

skal man i princippet afgøre hvorn˚ar skatten af obligationsafkastet skal betales. I

praksis antager man ofte for simpelhedens skyld, at der betales samtidighedsskat,


6.5 Nøgletal efter skat 95

.

Termin Udtrækning Rente Ydelse

19910415 200 000 100 000 300 000

19920415 200 000 80 000 280 000

19939415 200 000 60 000 260 000

19940415 200 000 40 000 240 000

19950415 200 000 20 000 220 000

Tabel 6.2: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 6.1.

solgt kursgevinst

indkomst˚ar udtrækning beholdning udtrækning salg ialt

1990 0 0 0 0 0

1991 200 000 0 3 000 0 3 000

1992 200 000 0 3 000 0 3 000

1993 200 000 0 3 000 0 3 000

1994 200 000 200 000 3 000 6 100 9 100

18 100

Tabel 6.3: Kursgevinster i Eksempel 6.1 ifølge realisationsprincippet.

ultimo solgt ultimo kursgevinst

indk.˚ar udtræk. behold. behold. kurs udtræk. salg ureal. ialt

1990 0 1000 000 0 98.20 0 0 -3 000 -3 000

1991 200 000 800 000 0 100.35 3 600 0 17 200 20 800

1992 200 000 600 000 0 99.90 -700 0 -2 700 -3 400

1993 200 000 400 000 0 102.40 200 0 10 000 10 200

1994 200 000 0 200 000 -4800 -1 700 0 -6 500

Tabel 6.4: Kursgevinster i Eksempel 6.1 ifølge lagerprincippet.

18 100


96 Investering i obligationer

dvs. at skatten betales samtidigt med den ydelse, som genererer den skattepligtige

indkomst. Det kan imidlertid relativt nemt lade sig gøre at h˚andtere et andet skat-

tebetalingstidspunkt.

Generelt kan den effektive rente, varigheden og konveksiteten efter skat ikke

umiddelbart findes udfra de tilsvarende nøgletal før skat, men m˚a beregnes p˚a bag-

grund af ydelsesrækken efter skat. S˚aledes gælder der ikke generelt, at den effektive

rente efter skat y ∗ er lig den effektive rente før skat multipliceret med én minus

skattesatsen, dvs. at

(6.1) y ∗ = y(1 − T).

Jensen (2005, Kap. 7) viser, at denne formel kun er korrekt, hvis alle typer af af-

kast og finansieringsomkostninger er skattepligtige/fradragsberettigede med samme

skattesats, og der er tale om samtidighedsskat.

Betales der kun skat af renter og ikke af kursgevinster, og er der tale om samti-

dighedsskat, vil (6.1) dog gælde for uamortisable obligationer. For at indse det kigger

vi p˚a en uamortisabel obligation med en terminslig rente p˚a R og en markedskurs

p˚a k. Den effektive rente y før skat er da givet ved relationen

k = 100R

,

y

jfr. (3.4), og den effektive rente efter skat y ∗ er givet ved

k =

100R(1 − T)

y ∗

ved valør p˚a et terminstidspunkt. Sammenholdes de to ligninger f˚as netop, at rela-

tionen (6.1) er opfyldt.

Eksempel 6.2 I Eksempel 5.4 p˚a side 72 s˚a vi blandt andet p˚a statsobligationen

6% st˚aende l˚an 2002. Ydelsesrækken før skat ved valør den 27/5 1998 er (pr. 100

kroner nominel værdi) som vist i Tabel 6.5. Kursen p˚a obligationen er 104.34 p˚a

handelstidspunktet, den vedhængende rente før skat er v = 6 · 193/365 = 3.17 kr.

Den samlede anskaffelsespris er P = 104.34 + 3.17 = 107.51 kr. Den effektive rente

blev i Eksempel 5.4 beregnet til 4.8869%, varigheden til 3.9504 og konveksiteten til

20.8718.

Lad os først kigge p˚a situationen, hvor der betales samtidighedsskat og kursge-

vinster er skattefrie. Ved en skattesats p˚a T = 34% er ydelsesrækken efter skat som


6.5 Nøgletal efter skat 97

angivet i Tabel 6.6. Den vedhængende rente efter skat er v = 100R(1 −T)193/365 =

2.0939, s˚a anskaffelsesprisen efter skat er 106.4339 kr. Den effektive rente efter skat

er selvfølgelig den diskonteringsrente, der gør nutidsværdien af ydelserne efter skat

lig med anskaffelsesprisen efter skat. I dette tilfælde bliver den effektive rente efter

skat 2.9075%, varigheden efter skat er 4.1144, og konveksiteten efter skat er 21.9959.

Lad os endelig se p˚a tilfældet, hvor der ogs˚a betales samtidighedsskat af kurs-

gevinster og -tab efter realisationsprincippet. I forbindelse med udtrækningen i den

sidste termin realiseres et tab p˚a 104.34 − 100.00 = 4.34, s˚a det samlede skatteplig-

tige afkast p˚a det sidste terminstidspunkt er 6 − 4.34 = 1.66 kroner pr. 100 kroner

nominel værdi. Den relevante ydelsesrække er derfor som vist i Tabel 6.7. Med denne

beskatningsform bliver den effektive rente efter skat 3.21%, varigheden efter skat bli-

ver 4.1159, og konveksiteten efter skat er 22.0074.

Den lille hurtige test-dig-selv

(a) Hvad er en bl˚astemplet obligation?

(b) Forklar begrebet samtidighedsskat.


98 Investering i obligationer

Termin Udtrækning Rente Ydelse

19981115 0 6 6

19991115 0 6 6

20001115 0 6 6

20011115 0 6 6

20021115 100 6 106

Tabel 6.5: Ydelsesrækken før skat for obligationen i Eksempel 6.2.

Termin Udtrækning Rente Skat Ydelse

19981115 0 6 2.04 3.96

19991115 0 6 2.04 3.96

20001115 0 6 2.04 3.96

20011115 0 6 2.04 3.96

20021115 100 6 2.04 103.96

Tabel 6.6: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 6.2 ved samtidighedsskat af

renter.

Termin Udtrækning Rente Skat Ydelse

19981115 0 6 2.0400 3.9600

19991115 0 6 2.0400 3.9600

20001115 0 6 2.0400 3.9600

20011115 0 6 2.0400 3.9600

20021115 100 6 0.5644 105.4356

Tabel 6.7: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 6.2 ved samtidighedsskat af

renter og kursgevinster opgjort efter realisationsprincippet.


Kapitel 7

Realkreditobligationer og -l˚an

7.1 Obligationsl˚an vs. kontantl˚an

Realkreditinstitutterne tilbyder traditionelt to typer af l˚an. Ved et obligationsl˚an

fastsættes først et l˚anebeløb, og det bestemmes hvilke obligationer, der skal udste-

des. L˚aneprovenuet bliver imidlertid ikke udbetalt til l˚antageren før obligationerne er

blevet solgt, hvilket først kan ske, n˚ar pantebrevet i ejendommen er blevet tinglyst –

ofte m˚aneder senere. Det udbetalte l˚aneprovenu afhænger derfor af kursudviklingen i

den mellemliggende periode 1 , hvorimod ydelserne ligger fast allerede p˚a tidspunktet,

hvor l˚anebeløbet fastsættes.

Ved et kontantl˚an f˚ar l˚antageren udbetalt præcist det ønskede l˚anebeløb. Mæng-

den af udstedte obligationer tilpasses om nødvendigt. Falder obligationskursen i peri-

oden mellem fastsættelsen af l˚anebeløbet og udstedelsen af obligationerne, udstedes

flere obligationer. Dermed kan ydelserne p˚a l˚anet ogs˚a afvige fra det, der var forudset

p˚a tidspunktet, hvor l˚anet blev optaget. 2

Ydelserne p˚a et kontantl˚an afhænger af den effektive rente p˚a obligationen p˚a ud-

stedelsestidspunktet. Denne rente kaldes derfor for kontantl˚ansrenten. Det l˚ante

beløb kaldes for kontantl˚anshovedstolen, mens den nominelle værdi af de udstedte

obligationer kaldes for obligationshovedstolen. L˚antagerne skal via løbende afdrag til-

bagebetale kontantl˚anshovedstolen, mens obligationsejerne via løbende udtræknin-

ger f˚ar udbetalt obligationshovedstolen. Ydelsen p˚a kontantl˚anssiden (l˚antagersiden)

1 L˚antageren kan dog købe sig sikkerhed i form af kurssikringsaftaler og lignende.

2 I en ˚arrække frem til 1993 m˚atte realkreditinstitutterne ikke tilbyde kontantl˚an, men adgan-

gen til kontantl˚an er gjort permanent i forbindelse med ændringen af kursgevinstbeskatningsloven

pr. 1. januar 1996.


100 Investering i obligationer

og ydelsen p˚a obligationssiden vil – hvis vi ser bort fra l˚antagerens bidragsbetalin-

ger – være ens, men sammensætningen af ydelserne vil være forskellig. P˚a kon-

tantl˚anssiden bruges kontantl˚ansrenten og ikke obligationens nominelle rente til be-

stemmelse af rentebetalingen. Af skattemæssige˚arsager bliver obligationerne bagved

et kontantl˚an udstedt til en nominel rente under markedsrenten. L˚antageren “veks-

ler” et emissionskurstab til en højere fradragsberettiget rente, mens obligationsejerne

f˚ar lavere skattepligtige rentebetalinger. Til gengæld f˚ar de gennem de senere afdrag

en større kursgevinst, som for nogle investorers vedkommende er skattefri. Taberen

i dette spil er selvfølgelig statskassen i form af mistede skatteindtægter. Realkredit-

institutterne er skattemæssigt neutralt stillet i denne sammenhæng. Der er imidlertid

forskelle i den skattemæssige behandling af konverteringer af henholdsvis kontantl˚an

og obligationsl˚an, som taler til fordel for obligationsl˚an. Mere om dette i Afsnit 7.3.

Eksempel 7.1 Et kontantl˚an er baseret p˚a udstedelse af for 100000 kr. nominelt

10-˚arige 5% annuitetsobligationer med fire ˚arlige terminer. Obligationshovedstolen

er alts˚a 100000 kr., og den terminslige nominelle rente er 1.25%. Den terminslige

ydelse før skat er derfor

Y = 100000 · α −1

40 |0.0125

≈ 3192.14,

jfr. formel (1.1). Obligationerne er i kurs 80, s˚a kontantl˚anshovedstolen er 80000 kr.

Kontantl˚ansrenten y findes ved (numerisk) at løse ligningen

80000 = 3192.14 · α 40 |y ,

hvilket giver en terminslig kontantl˚ansrente p˚a ca. 2.5098%. Ydelsen p˚a kontantl˚anet

bliver ogs˚a 3192.14. Regnes med samtidighedsskat og en skattesats p˚a 50% af ren-

terne, kan ydelsesrækkerne beregnes som angivet i Tabel 7.1. Det ses, at ydelserne

efter skat er betydeligt lavere p˚a kontantl˚anet end p˚a et tilsvarende obligationsl˚an.

Forskellen er størst i den første termin og falder derefter indtil udløb.

7.2 Generelt om konverterbare obligationer

De allerfleste danske realkreditl˚an og -obligationer er konverterbare. En konver-

terbar obligation er en obligation med den egenskab, at udstederen (debitor) har


7.2 Generelt om konverterbare obligationer 101

Obligationssiden Kontantl˚anssiden

˚Ar til Udtræk- Rente Ydelse Ydelse Rest- Af- Rente Ydelse Ydelse Rest-

termin ning før skat før skat ef. skat gæld drag før skat før skat ef. skat gæld

0.25 1942.14 1250.00 3192.14 2567.14 98057.86 1184.33 2007.81 3192.14 2188.24 78815.67

0.5 1966.42 1225.72 3192.14 2579.28 96091.44 1214.05 1978.09 3192.14 2203.10 77601.62

0.75 1991.00 1201.14 3192.14 2591.57 94100.44 1244.52 1947.62 3192.14 2218.33 76357.09

1 2015.89 1176.26 3192.14 2604.01 92084.56 1275.76 1916.38 3192.14 2233.95 75081.33

1.25 2041.08 1151.06 3192.14 2616.61 90043.47 1307.78 1884.36 3192.14 2249.96 73773.56

1.5 2066.60 1125.54 3192.14 2629.37 87976.87 1340.60 1851.54 3192.14 2266.37 72432.96

1.75 2092.43 1099.71 3192.14 2642.29 85884.44 1374.24 1817.90 3192.14 2283.19 71058.71

2 2118.59 1073.56 3192.14 2655.36 83765.86 1408.74 1783.41 3192.14 2300.44 69649.98

2.25 2145.07 1047.07 3192.14 2668.60 81620.79 1444.09 1748.05 3192.14 2318.12 68205.89

2.5 2171.88 1020.26 3192.14 2682.01 79448.91 1480.33 1711.81 3192.14 2336.24 66725.55

2.75 2199.03 993.11 3192.14 2695.59 77249.88 1517.49 1674.65 3192.14 2354.81 65208.06

3 2226.52 965.62 3192.14 2709.33 75023.36 1555.57 1636.57 3192.14 2373.86 63652.49

3.25 2254.35 937.79 3192.14 2723.25 72769.01 1594.61 1597.53 3192.14 2393.38 62057.88

3.5 2282.53 909.61 3192.14 2737.34 70486.48 1634.63 1557.51 3192.14 2413.39 60423.24

3.75 2311.06 881.08 3192.14 2751.60 68175.42 1675.66 1516.48 3192.14 2433.90 58747.58

4 2339.95 852.19 3192.14 2766.05 65835.47 1717.72 1474.43 3192.14 2454.93 57029.87

4.25 2369.20 822.94 3192.14 2780.67 63466.27 1760.83 1431.32 3192.14 2476.48 55269.04

4.5 2398.81 793.33 3192.14 2795.48 61067.46 1805.02 1387.12 3192.14 2498.58 53464.02

4.75 2428.80 763.34 3192.14 2810.47 58638.66 1850.32 1341.82 3192.14 2521.23 51613.70

5 2459.16 732.98 3192.14 2825.65 56179.51 1896.76 1295.38 3192.14 2544.45 49716.94

5.25 2489.90 702.24 3192.14 2841.02 53689.61 1944.36 1247.78 3192.14 2568.25 47772.58

5.5 2521.02 671.12 3192.14 2856.58 51168.59 1993.16 1198.98 3192.14 2592.65 45779.42

5.75 2552.53 639.61 3192.14 2872.34 48616.05 2043.19 1148.96 3192.14 2617.66 43736.23

6 2584.44 607.70 3192.14 2888.29 46031.61 2094.47 1097.68 3192.14 2643.30 41641.77

6.25 2616.75 575.40 3192.14 2904.44 43414.87 2147.03 1045.11 3192.14 2669.59 39494.73

6.5 2649.46 542.69 3192.14 2920.80 40765.41 2200.92 991.22 3192.14 2696.53 37293.82

6.75 2682.57 509.57 3192.14 2937.36 38082.84 2256.15 935.99 3192.14 2724.15 35037.66

7 2716.11 476.04 3192.14 2954.12 35366.73 2312.78 879.36 3192.14 2752.46 32724.88

7.25 2750.06 442.08 3192.14 2971.10 32616.67 2370.82 821.32 3192.14 2781.48 30354.06

7.5 2784.43 407.71 3192.14 2988.29 29832.24 2430.33 761.82 3192.14 2811.23 27923.73

7.75 2819.24 372.90 3192.14 3005.69 27013.00 2491.32 700.82 3192.14 2841.73 25432.41

8 2854.48 337.66 3192.14 3023.31 24158.52 2553.85 638.29 3192.14 2872.99 22878.57

8.25 2890.16 301.98 3192.14 3041.15 21268.36 2617.94 574.20 3192.14 2905.04 20260.62

8.5 2926.29 265.85 3192.14 3059.21 18342.08 2683.65 508.49 3192.14 2937.89 17576.97

8.75 2962.87 229.28 3192.14 3077.50 15379.21 2751.00 441.14 3192.14 2971.57 14825.97

9 2999.90 192.24 3192.14 3096.02 12379.31 2820.04 372.10 3192.14 3006.09 12005.93

9.25 3037.40 154.74 3192.14 3114.77 9341.91 2890.82 301.32 3192.14 3041.48 9115.11

9.5 3075.37 116.77 3192.14 3133.75 6266.54 2963.37 228.77 3192.14 3077.76 6151.74

9.75 3113.81 78.33 3192.14 3152.98 3152.73 3037.75 154.39 3192.14 3114.94 3113.99

10 3152.73 39.41 3192.14 3172.44 0.00 3113.99 78.15 3192.14 3153.06 0.00

Tabel 7.1: Ydelsesrækker for kontantl˚anet i Eksempel 7.1.


102 Investering i obligationer

ret til p˚a ethvert tidspunkt at indfri l˚anet mod at betale den p˚a tidspunktet re-

sterende restgæld til obligationsejeren. Denne ret kaldes for konverteringsretten.

En konverterbar obligation kan opfattes som en pakke best˚aende af en tilsvarende

inkonverterbar obligation og konverteringsretten. 3

L˚antagerens indfrielse af l˚anet mod betaling af restgælden kan opfattes, som om

han køber obligationen tilbage til kurs 100. Konverteringsretten er derfor et eksempel

p˚a en amerikansk calloption. En amerikansk calloption er en kontrakt, der giver

ejeren ret, men ikke pligt, til at købe et bestemt aktiv (“det underliggende aktiv”)

til en p˚a forh˚and fastsat pris/kurs (“exercisekursen”) n˚ar som helst før en bestemt

dato (optionens “udløbstidspunkt”). N˚ar ejeren udnytter sin ret, siger man, at han

“exerciser” optionen. N˚ar ejeren exerciser optionen, har udstederen af optionen pligt

til at sælge ham aktivet mod at modtage exercisekursen. 4

Obligationsudstederens konverteringsret kan s˚aledes opfattes, som om han ejer

en amerikansk calloption med den inkonverterbare obligation som det underliggende

aktiv med exercisekursen 100. Da konverteringsretten kan udnyttes p˚a et hvilket som

helst tidspunkt i l˚anets løbetid, er udløbstidspunktet for denne option lig med obli-

gationens sidste terminstidspunkt. Set fra obligationsejerens synsvinkel er en kon-

verterbar obligation ækvivalent med at eje en tilsvarende inkonverterbar obligation

og have udstedt en amerikansk calloption p˚a denne inkonverterbare obligation med

exercisekurs 100.

Hvis l˚antageren exerciser sin amerikanske calloption, kan han købe den inkonver-

terbare obligation til kurs 100. Værdien af at exercise optionen er derfor den aktuelle

kurs p˚a den inkonverterbare obligationen minus 100. Det kan derfor kun komme p˚a

tale at exercise optionen, n˚ar kursen p˚a den inkonverterbare obligation er højere end

100, dvs. n˚ar den aktuelle effektive rente p˚a den inkonverterbare obligation er lavere

end den nominelle rente. Optionsejeren skal imidlertid ogs˚a være opmærksom p˚a, at

hvis han exerciser optionen p˚a et givet tidspunkt, s˚a fraskriver han sig muligheden

for senere at kunne exercise optionen i en situation, hvor det ville være mere pro-

fitabelt. Derfor vil han kun exercise, hvis kursen p˚a den inkonverterbare obligation

er “betydeligt” højere end 100, dvs. hvis den aktuelle effektive rente er “betydeligt”

3 Med “tilsvarende” menes: med samme hovedstol, p˚alydende rente, afviklingsprincip og termins-

tidspunkter.

4 For en introduktion til optioner, se Munk (2000a).


7.2 Generelt om konverterbare obligationer 103

lavere end den nominelle rente.

Da en option netop er en ret og ikke en pligt, vil værdien af konverteringsret-

ten aldrig være negativ. En konverterbar obligation vil derfor være billigere end en

tilsvarende inkonverterbar obligation, simpelthen fordi at ejeren af en konverterbar

obligation ikke kan være sikker p˚a at f˚a de planlagte ydelser. Som beskrevet ovenfor

er det endda s˚adan, at hvis l˚antageren vælger at konvertere, s˚a er det fordi “mar-

kedsrenten” er lav. Hvis obligationsejeren ønsker at reinvestere efter en konvertering

af hans obligation, s˚a m˚a det derfor ske til en relativt lav rente. Konverteringsretten

gør alts˚a obligationen mindre værdifuld.

Omvendt er det dyrere for l˚antageren at optage et konverterbart l˚an end et

tilsvarende inkonverterbart l˚an. Det er netop fordi, at kursen p˚a en konverterbar

obligation vil være lavere end kursen p˚a et tilsvarende inkonverterbart l˚an. Ved

optagelsen af l˚anet og dermed ved udstedelsen af obligationer skal l˚antageren derfor

udstede flere obligationer for at f˚a det samme provenu. Ydelserne og den effektive

rente er derfor højere p˚a et konverterbart l˚an end p˚a et tilsvarende inkonverterbart

l˚an. 5

B˚ade for udstederen og ejeren af en konverterbar obligation er det naturlig-

vis interessant at vide b˚ade, hvor meget konverteringsretten er værd, og i hvilke

situationer det er optimalt for udstederen at udnytte konverteringsretten. Idet kon-

verteringsretten som ovenfor beskrevet kan opfattes som en amerikansk option p˚a

en inkonverterbar obligation, synes problemet derfor at være at finde værdien af en

s˚adan option, samt en strategi for hvorn˚ar s˚adan en option bør exercises. Dette vil

naturligvis afhænge af den fremtidige renteudvikling. I litteraturen findes mange mo-

deller for renteudviklingen, der kan besvare disse spørgsm˚al, men da disse er ganske

komplicerede, vil vi ikke beskæftige os med dem i dette skrift. 6 Som vi skal se i næste

afsnit, er der en række forhold ved konverterbare danske realkreditobligationer, der

yderligere komplicerer analysen.

5 Under konverteringsbølgen i forbindelse med rentefaldet i midten af 1990’erne kunne man for-

nemme en del forargelse i den offentlige debat over de store gevinster, som mange husejere tog hjem

ved at konvertere deres realkreditl˚an. Man skal i denne sammenhæng ikke glemme, at husejerne

rent faktisk har betalt for retten til at konvertere deres l˚an.

6 Se f.eks. Hull (2000) og Munk (2000b).


104 Investering i obligationer

7.3 Konvertering af danske realkreditobligationer

De handlede statsobligationer p˚a Københavns Fondsbørs er alle (p˚a nær de ua-

mortisable) inkonverterbare. De allerfleste danske realkreditobligationer er derimod

konverterbare. 7 I forhold til den generelle beskrivelse af konverterbare obligationer

ovenfor er der en række specielle forhold ved de danske realkreditobligationer, som

b˚ade l˚antagere og investorer skal være opmærksomme p˚a:

(a) Konverteringsretten best˚ar b˚ade af en indfrielsesret og en genfinansieringsret.

Da genfinansiering skal ske til markedsvilk˚ar, vil nutidsværdien af det nye l˚an

og dermed værdien af genfinansieringsretten imidlertid være nul.

(b) N˚ar en l˚antager meddeler sit realkreditinstitut, at han ønsker at konvertere et

l˚an, sker den faktiske konvertering først to m˚aneder senere. Skal l˚anet indfries

til en bestemt termin, skal man alts˚a varsle det to m˚aneder før terminen. 8 Dette

tidspunkt kaldes ofte varselstidspunktet. Med forholdsvist simple argumenter

kan man vise, at de eneste tidspunkter, det kan være optimalt at konvertere

p˚a, netop er umiddelbart før varselstidspunkterne. 9

(c) Ved konvertering af et kontantl˚an er det obligationsrestgælden, der skal tilba-

gebetales, ikke kontantl˚ansrestgælden.

(d) Der er en række omkostninger forbundet med en konvertering. Til realkredi-

tinstituttet skal der betales l˚anesagsgebyrer, kurtage m.m. Til staten skal der

betales stempelafgifter, tinglysningsafgift m.m. Det kan ogs˚a være en bank

eller en advokat involveret, hvilket medfører yderligere udgifter. Den reelle

exercisekurs p˚a konverteringsoptionen er derfor over 100. Da obligationsejeren

selvfølgelig kun modtager 100 ved en konvertering, s˚a er værdien af konverte-

ringsretten alts˚a ikke den samme for l˚antageren og obligationsejeren.

(e) Hver serie af konverterbare obligationer omfatter en række l˚an, der kan være

forskellige med hensyn til l˚antagere og l˚anstørrelse. Konverteringsomkostnin-

7 Til mange erhvervsobligationer, b˚ade danske og udenlandske, er der ligeledes knyttet specifikke

regler for konvertering.

8 Dette gælder for l˚an med fire˚arlige terminer. For l˚an med kun to˚arlige terminer er varslingstiden

normalt fem m˚aneder.

9 Se Jørgensen, Miltersen og Sørensen (1996).


7.3 Konvertering af danske realkreditobligationer 105

gerne afhænger meget af begge disse forhold 10 , og det gør den effektive exerci-

sekurs og dermed værdien af konverteringsretten derfor ogs˚a. Dette betyder, at

l˚antagerne ikke alle vil konvertere p˚a det samme tidspunkt. Konverteringshyp-

pigheden og dermed obligationsejernes vurdering af optionsværdien vil derfor

afhænge af sammensætningen af l˚antagermassen i obligationsserien. 11

(f) Hvis to l˚antagere har forskellige skattesatser, s˚a vil de ikke nødvendigvis kon-

vertere et l˚an i de samme situationer. P˚a tilsvarende vis kan forskelligt beskat-

tede investorer vurdere en given konverterbar obligation forskelligt.

(g) Til l˚an, der blev optaget inden 1. januar 1996 ved omlægning af kontantl˚an

optaget før den 19. maj 1993, kan der være knyttet en s˚akaldt (kurstabs-

)fradragskonto. Kontoen viser det beløb, der er opst˚aet som forskellen mellem

det gamle l˚ans obligationsrestgæld og kontantl˚ansrestgæld. Beløbet fordeles

over det nye l˚ans løbetid i ens portioner, som kan fratrækkes kapitalindkom-

sten. Ved omlægning p˚any overføres saldoen p˚a fradragskontoen til det nye l˚an.

L˚antagere med disse l˚an har derfor b˚ade “vekslet” kurstabet ved l˚aneoptagelsen

til højere fradragsberettigede renter og samtidig mulighed for at trække kursta-

bet fra i skat!

(h) Kursgevinster ved førtidig indfrielse af kontantl˚an optaget efter 1. januar 1996

er skattepligtige, jf. nedenst˚aende diskussion. 12

Der kan være andre˚arsager end et rentefald til, at en l˚antager vælger at indfri sit

realkreditl˚an førtidigt. Det kan ske i forbindelse med ejerskifte eller for at optage et

nyt l˚an med længere løbetid med henblik p˚a at f˚a lavere ydelser pr. termin, selvom

det m˚aske ikke er optimalt at udnytte konverteringsretten p˚a det gamle l˚an. Denne

form for førtidig indfrielse betegnes ofte som en omprioritering. Det nye l˚an skal

optages p˚a markedsvilk˚ar.

Der forekommer ogs˚a konverteringer opad, dvs. førtidsindfrielse af et konverter-

bart l˚an med henblik p˚a at optage et nyt l˚an med højere p˚alydende rente. Ideen er

10 Omkostningerne kan med god nøjagtighed approksimeres som et fast beløb plus et beløb, der

vokser proportionalt med restgælden.

11 Se f.eks. Jakobsen (1992, 1993b).

12 En undtagelse er førtidige indfrielser i forbindelse med ejerskifte. Ægtefællehandler regnes i den

forbindelse ikke som et ejerskifte.


106 Investering i obligationer

at bringe sig i en position, hvor man vil f˚a mere gavn af et senere rentefald, end

hvis man havde beholdt det gamle l˚an. Det er selvfølgelig korrekt, at man vil f˚a

en større gevinst ved at konvertere et højt forrentet l˚an end et l˚an med en lavere

rente, men vær opmærksom p˚a, at ved en konvertering opad optages det nye l˚an

til markedsvilk˚ar. Da værdien af konverteringsretten er større p˚a det nye l˚an, skal

l˚antageren selvfølgelig betale mere for det nye l˚an end for det gamle. Ser vi et øjeblik

bort fra de skattemæssige konsekvenser, vil en konvertering opad s˚aledes kun være

relevant for en l˚antager, som tilskriver muligheden for et betydeligt senere rentefald

en større sandsynlighed end markedet som helhed gør. Der findes imidlertid andre og

bedre m˚ader at udnytte s˚adanne specifikke forventninger p˚a. 13 Et andet ofte fremført

argument for en konvertering opad er, at det kan reducere obligationsrestgælden be-

tydeligt, hvilket kan f˚a en bolig til at fremst˚a mere fordelagtig i forbindelse med en

bolighandel. Kursværdien af obligationsrestgælden bliver imidlertid ikke mindre.

Der kan imidlertid ogs˚a være et element af skattearbitrage i en opkonverte-

ring, idet det nye højt-forrentede l˚an giver større rentefradrag end det gamle lavt-

forrentede l˚an. Tages dette med i betragtning kan en opkonvertering i visse tilfælde

være billig i den forstand, at efter-skat ydelserne p˚a det nye højt-forrentede l˚an

kun er marginalt højere end p˚a det gamle lavt-forrentede l˚an, mens konverterings-

retten p˚a det nye l˚an er betydeligt mere værdifuld end konverteringsretten p˚a det

gamle l˚an. Efter en ændring af lovgivningen kan opkonverteringer dog kun komme

p˚a tale for obligationsl˚an. For kontantl˚an, der optages af private l˚antagere efter ja-

nuar 1996, er kursgevinster ved førtidig indfrielse skattepligtige, hvorimod kurstab

ikke er fradragsberettigede. 14

Ved en omprioritering eller en opkonvertering kan l˚antageren indfri l˚anet ved

enten at opkøbe de bagvedliggende obligationer til markedskurs eller at udnytte sin

konverteringsret, hvilket svarer til at opkøbe obligationerne til kurs 100 (plus omkost-

ninger). Hvis markedskursen er lavere end 100, vil l˚antageren opkøbe obligationerne

til markedskurs, hvilket ikke udgør nogen ulempe for obligationesejerne og derfor

ikke har betydning for prisfastsættelsen af konverteringsretten og dermed af den

konverterbare obligation i det hele taget. Hvis markedskursen derimod er højere end

13 Se f.eks. diskussionen i Christensen og Sørensen (1992a, 1992b).

14 Kursgevinsten ved konvertering af et kontantl˚an til en højere rente beregnes som forskellen mel-

lem udbetalingskursen (ved optagelse eller overtagelse af l˚anet) og indfrielseskursen, multipliceret

med obligationsrestgælden p˚a indfrielsestidspunktet.


7.3 Konvertering af danske realkreditobligationer 107

100, vil l˚antageren derfor udnytte sin konverteringsret, selvom det isoleret set ikke er

optimalt. En indfrielse i denne situation vil udgøre en ulempe for obligationsejerne,

idet de modtager kurs 100 fremfor det som obligationerne er værd, nemlig markeds-

kursen som er højere end 100. Ved prisfastsættelsen af konverterbare obligationer

skal investorerne derfor ogs˚a tage højde for disse “ikke-optimale” konverteringer.

Muligheden for førtidig indfrielse af et realkreditl˚an giver l˚antageren en beskyt-

telse mod insolvens i tilfælde af et rentefald, idet det er begrænset hvor meget kur-

sværdien af gælden kan stige, før l˚antageren vil udnytte sin konverteringsret. Hvis

obligationsmarkedet er effektivt, skal l˚antageren imidlertid ogs˚a betale for denne

ret i form af højere ydelser. Desuden er der naturligvis omkostninger forbundet

med konverteringer. De allerfleste private l˚antagere m˚a støtte sig til r˚adgivning fra

pengeinstitutter og realkreditinstitutterne. Da disse institutter har en økonomisk

interesse i, at der sker konverteringer, kan man ikke uden videre g˚a ud fra, at deres

anbefalinger er de optimale beslutninger for l˚antagerne.

Igennem de senere ˚ar er de lovgivningsmæssige rammer om realkreditsystemet

blevet ændret adskillige gange. Bl.a. genindførelsen af kontantl˚an i 1993 og tilladel-

sen til igen at udstede annuitetsl˚an medførte umiddelbare fordele for l˚antagere, og

kombineret med rentefaldet i samme periode udgjorde disse lempelser en væsentlig

˚arsag til det øgede privatforbrug. Der er siden sket opstramninger, idet kursgevinsten

ved konvertering af kontantl˚an er gjort skattepligtig. Realkreditsystemet er s˚aledes

blevet anvendt som et led i den generelle finanspolitik, og i det hele taget synes de

løbende ændringer at være mere eller mindre tilfældige. De hyppigt skiftende reg-

ler gør det naturligvis svært for l˚antagere at forudse konsekvenserne af forskellige

mulige handlinger i et i forvejen kompliceret marked.

Med de skatteregler, der er gældende i skrivende stund, vil ydelserne efter skat

være højere p˚a et obligationsl˚an end p˚a et tilsvarende kontantl˚an, men til gengæld

giver obligationsl˚an bedre muligheder for senere at kunne foretage fordelagtige kon-

verteringer i begge retninger.

Lad os slutte dette afsnit med en advarsel. Ligesom for inkonverterbare obliga-

tioner offentliggøres den effektive rente og varigheden for konverterbare obligationer

i kurslisten fra Københavns Fondsbørs. Nøgletallene for konverterbare obligationer

er imidlertid beregnet uden hensyntagen til muligheden for førtidig indfrielse, og de

m˚a derfor betegnes som misvisende. Det er f.eks. s˚adan, at varigheden p˚a en konver-


108 Investering i obligationer

teringstruet lang konverterbar obligation kan være meget lille, ja endda negativ. 15

7.4 Rentetilpasningsl˚an – FlexL˚an

Mange l˚an – f.eks. de fleste bankl˚an – har en variabel rente. P˚a realkreditmar-

kedet har der traditionelt været tilbudt fast forrentede l˚an og kun i lille udstræk-

ning variabelt forrentede l˚an, ogs˚a kaldet rentetilpasningsl˚an. I 1996 introducerede

Realkredit Danmark imidlertid de s˚akaldte FlexL˚an, som der har været en betyde-

lig efterspørgsel efter. De øvrige realkreditinstitutter udbyder nu tilsvarende l˚an. Et

FlexL˚an er et kontantl˚an, der afvikles efter annuitetsprincippet, men hvor l˚anerenten

tilpasses regelmæssigt. Et FlexL˚an finansieres ved udstedelse af obligationer med

løbetider fra 1 m˚aned op til 11˚ar. Da løbetiden p˚a et FlexL˚an kan være op til 30˚ar,

skal der i l˚anets løbetid udstedes nye obligationer i takt med, at de gamle indfries.

De nye obligationer udstedes til markedskurs, hvorved l˚anerenten løbende tilpasses

markedsrenten. Kontantl˚ansrenten p˚a et FlexL˚an beregnes ud fra et vægtet gennem-

snit af de udstedte obligationer. Kontantl˚ansrenten og dermed ydelserne p˚a l˚anet er

kun kendt frem til næste rentetilpasningstidspunkt.

Alle FlexL˚an finansieres af en portefølje af obligationer fra op til 11 forskellige

serier. Alle er inkonverterbare st˚aende obligationer uden solidarisk hæftelse og med

én ˚arlig termin den 1. januar. Den korteste af disse obligationsserier har en løbetid

p˚a op til et ˚ar, den næstkorteste en løbetid p˚a mellem et og to ˚ar, osv. N˚ar den

korteste serie udløber ˚abnes en ny serie med en løbetid p˚a 11 ˚ar. Serierne holdes

˚abne frem til en m˚aned før udløb, med mindre mindsterenten bliver højere end obli-

gationens p˚alydende rente. Den valgte m˚ade at finansiere l˚anene p˚a har til hensigt

at gøre markedet likvidt. For det første er der tale om et relativt lille antal ob-

ligationsserier, hvorved den cirkulerende mængde i hver serie skulle f˚a en betydelig

størrelse. For det andet simplificerer valget af inkonverterbare st˚aende obligationer

sammenligninger med danske statsobligationer, hvilket ofte bruges som basis for

prisfastsættelse af andre obligationer. Endelig er internationale investorer vant til

at arbejde med korte inkonverterbare st˚aende obligationer i modsætning til lange

konverterbare annuitetsobligationer.

L˚antageren kan udover l˚anets løbetid (inden for realkreditlovens grænser) ogs˚a

15 Se Dahl (1991a, 1991b, 1991c) for mere om nøgletal for konverterbare obligationer.


7.4 Rentetilpasningsl˚an – FlexL˚an 109

vælge hvor stor en del af l˚anets restgæld, der skal rentetilpasses, og hvor ofte rentetil-

pasningen skal ske. Disse valg afgør hvilke og hvor mange obligationer, der udstedes

til dækning af l˚anet. Nøjagtigt hvordan obligationsporteføljen sammensættes vides

ikke, idet Realkredit Danmark hemmeligholder beregningsalgoritmerne og endda har

ansøgt om patent p˚a konceptet. Da sammensætningen har betydning for l˚anerenten

og dennes følsomhed overfor rentestrukturskift, er dette utilfredsstillende set fra

l˚antagernes synsvinkel. I Jakobsen (1993a) gives et eksempel p˚a, hvorledes bestem-

melsen af obligationsporteføljen kunne foreg˚a.

Med en voksende rentestruktur er kontantl˚ansrenten og dermed ydelsen natur-

ligvis lavere p˚a et FlexL˚an end p˚a et traditionelt langt realkreditl˚an. Risikoen ved

et FlexL˚an er, at renten kan være højere, n˚ar l˚anet skal rentetilpasses. 16 Et FlexL˚an

er ikke lige følsomt overfor alle typer af renteændringer. Hvis kun de korte renter

stiger, s˚a kan man i forbindelse med en rentetilpasning skifte sit FlexL˚an ud med et

traditionelt langt realkreditl˚an. Hvis den korte rente senere falder igen til et niveau

under renten p˚a det lange realkreditl˚an, s˚a kan man skifte tilbage til et nyt FlexL˚an.

S˚adanne midlertidige stigninger i de korte renter er set i forbindelse med valutakri-

ser. Hvis b˚ade de korte og de lange renter stiger, s˚a er det ikke fordelagtigt at skifte

et FlexL˚an ud med et langt l˚an, og det er derfor især s˚adanne renteændringer, som

p˚avirker et FlexL˚an. 17

Da renten p˚a et FlexL˚an løbende tilpasses det aktuelle markedsniveau, vil kurs-

værdien af restgælden p˚a et FlexL˚an være tæt p˚a 100. Ved en rentestigning er der

en risiko for, at ejendommens værdi vil falde. Dette kan i yderste konsekvens be-

tyde, at ejendommens værdi kan blive lavere end værdien af gælden, s˚a l˚antageren

havner i en “gældsfælde”. Ved et traditionelt realkreditl˚an vil værdien af restgæl-

den falde, n˚ar renteniveauet stiger. Det omvendte er tilfældet, hvis renteniveauet

falder. Da vil kursværdien af restgælden p˚a et traditionelt realkreditl˚an stige, men

konverteringsretten gør, at gældens værdi er opadtil begrænset.

Realkredit Danmark har haft en betydelig efterspørgsel efter FlexL˚an. Dette

16 En anden risiko er, at hvis de potentielle købere af en ejendom fokuserer p˚a ydelsen i f.eks. det

første ˚ar, s˚a kan prisen p˚a en ejendom finansieret med FlexL˚an sættes højere, end hvis ejendommen

var finansieret med et traditionelt realkreditl˚an.

17 Siden september 1997 tilbyder Realkredit Danmark en variant af FlexL˚an, hvor renteændringer

sl˚ar igennem p˚a l˚anets løbetid i stedet for p˚a de terminslige ydelser. Kun ved kraftige rentestigninger

vil ydelserne stige, idet l˚anets løbetid højest kan være 30 ˚ar.


110 Investering i obligationer

skyldes først og fremmest den stejle rentestruktur, der var gældende p˚a markedet fra

introduktionen af FlexL˚an i 1996 og frem til for˚aret 2000, hvorefter rentestrukturen

er blevet næsten flad. I annoncer og brochurer om FlexL˚an har informationerne om

de risici, der er forbundet med denne type l˚an, især umiddelbart efter introduktionen,

været af begrænset omfang og sommetider endda misvisende. For en mere neutral

og retvisende diskussion af fordele og ulemper ved FlexL˚an henvises til Jakobsen

(1993a).

7.5 Afdragsfrie l˚an

Ud over ovennævnte l˚anetyper har der i de senere ˚ar været mulighed for at op-

tage s˚akaldte afdragsfrie l˚an. Muligheden for afdragsfrie l˚an er sket ved en tilføjelse

til Realkreditloven. 18 Vi vil ikke g˚a i detaljer med afdragsfrie l˚an, men blot knytte

nogle generelle kommentarer hertil. Disse l˚an har vist sig at være særdeles popu-

lære. I henhold til Nationalbanken (2006) udgør afdragsfrie l˚an omkring 30% af

realkreditinstitutternes udl˚an til husholdningerne. 19

En fyldestgørelse gennemgang af prisfastsættelse af afdragsfrie l˚an (og rentetil-

pasningsl˚an) er ganske kompliceret, idet vi m˚a forudsætte, hvorledes l˚antagernes

konverteringsadfærd og afdragsadfærd er. Endvidere er der i praksis mulighed for

ganske stor variation i de mulige afdragsprofiler, som de forskellige finansieringsinsti-

tutter tilbyder l˚antagerne. F.eks. har RealKredit Danmark tilbudt en “klippekort”-

ordning for de afdragsfri perioder, mens Nykredits afdragsfrie l˚an hedder Pausel˚an. 20

Det vil være for omfattende at komme ind p˚a prisfastsættelse af fleksibiliteten af

afdragsprofilen, men vi illustrer nogle effekter ved simple eksempler.

Umiddelbart kan afdragsfrie l˚an lyde som det rene slaraffenland. F.eks. kan man

ved diverse finansieringsforslag til køb af bolig hos ejendomsmæglere ofte se, hvor

“billigt” det er at købe et hus med et afdragsfrit l˚an, der i øvrigt kan være et ren-

tetilpasningsl˚an. Et “billigt” l˚an skal her forst˚as p˚a den m˚ade, at den ydelse, som

18 Realkreditloven kan ses p˚a http://www.retsinfo.dk. Muligheden for afdragsfrie l˚an har eksi-

steret siden oktober 2003 ved en ændring i lovens §4. Yderligere information om afdragsfrie l˚an kan

ses i f.eks. Jensen (2005).

19 Nationalbanken (2006) kan hentes fra http://www.nationalbanken.dk under publikationer.

20 S˚avel FlexL˚an som Pausel˚an er registrerede varemærker. For realkreditinstitutter se eksempelvis

www.rd.dk, www.nykredit.dk, eller www.totalkredit.dk.


7.5 Afdragsfrie l˚an 111

en l˚antager betaler, kan være meget lav i eksempelvis begyndelsen af l˚anets løbetid.

Det er imidlertid vigtigt at huske p˚a, at det finansielle marked prisfastsætter en

betalingsrække under hensyntagen til de risici, der m˚atte være forbundet med beta-

lingerne. I ovennævnte tilfælde med et boligkøb indebærer dette, at det fornuftige

sammenligningsgrundlag er husets kontantpris.

Der kan naturligvis være en række fornuftige grunde til, at en investor (huskøber)

bør overveje et l˚an med mulighed for en afdragsfri periode. Et oplagt eksempel er

indkomstudjævning. Er man f.eks. netop blevet færdiguddannet som kandidat med

særdeles gode jobmuligheder, kan det være fornuftigt at forbruge mere, end ens

nuværende løn berettiger til. Afdragsfrihed kan ogs˚a benyttes til nedsparing i en

bolig. Dette kan være aktuelt for pensionister uden store løbende indtægter. For

s˚adanne typer af investorer kan det være ønskeligt at forbruge af en eventuel friværdi

i boligen uden at skulle fraflytte denne.

Eksempel 7.2 En netop færdiguddannet cand.merc. i finansiering har f˚aet arbejde i

København og overvejer derfor at flytte til hovedstaden. Kandidaten har f˚aet tilbudt

en mindre to-værelses lejligheden i centrum, der kun koster 2,5 mio. kr. (Til denne

uhørt lave pris er lejligheden naturligvis med bad i g˚arden). Eftersom kandidaten

er uddannet fra et velrennomeret universitet tilbydes en startløn p˚a 30.000 kr./md.

Efter f˚a ˚ar regner kandidaten med at tjene mindst 35.000 kr./md. Til finansiering

af boligkøbet overvejer kandidaten at dække 80% med enten et annuitetsl˚an eller et

afdragsfrit l˚an, hvor der ikke afdrages de første 10 ˚ar. Begge l˚an er fastforrentede

og løber over 30 ˚ar, har kvart˚arlige terminer og en ˚arlig nominel rente p˚a 5%. For

illustrationens skyld antager vi, at der ikke er skat eller øvrige omkostninger, og

at den risikofrie ˚arlige rente er y4(t) = 5% med kvartalsvise rentetilskrivninger.

Annuitetsl˚anets kvartalsvise ydelser beregnes til

Y ann

j

= 2.000.000 α−1

120 |1,25%

= 32.266,99kr, j = 1,... ,120.

Vi simplificerer det afdragsfrie l˚an til at være et 10-˚arigt st˚aende l˚an, der erstattes

af et 20-˚arigt annuitetsl˚an. De kvartalsvise ydelser bliver s˚aledes 21

Y st˚a

j = 0,06

2.000.000 = 25.000,00kr., j = 1,... ,40,

4

21 Bemærk at l˚anenes rente er lig med diskonteringsrenten, og at konstruktionen sikrer, at det

st˚aende l˚ans hovedstol netop finansieres vha. annuitetsl˚anet, hvis første ydelse forfalder i den 41.

termin.


112 Investering i obligationer

for det st˚aende l˚an, mens ydelserne for annuitetsl˚anet er

Y ann

j

= 2.000.000 α −1

80 |1,25%

= 39.693,05kr, j = 41,... ,120.

Det kan derfor synes rimeligt for kandidaten at tage det afdragsfrie l˚an.

Omvendt er der ligeledes en række ulemper forbundet med afdragsfrie l˚an. Som

boligejer m˚a man forvente, at der af og til skal foretages større vedligeholdelses-

arbejder p˚a boligen; f.eks. nyt tag, nye vinduer, nyt køkken og s˚a fremdeles. Ofte

finansieres dette ved yderligere l˚an i huset (eller omprioritering). Vælger man som

i eksempel 7.2 ikke at afdrage p˚a gælden i de første 10 ˚ar, er det alene en eventuel

stigning i boligpriserne, der kan muliggøre yderligere l˚antagning i boligen. Med an-

dre ord bliver en boligkøbers opsparing i boligen mere følsom overfor ændringer i

boligpriserne.

Eksempel 7.3 Den entreprenante Tor Skedum, der ikke bestod Finansiering (f.eks.

ved SDU), har for 3 ˚ar siden f˚aet tilbudt samme type lejlighed finansieret ved et af-

dragsfrit l˚an som kandidaten i eksempel 7.2. Dengang kostede lejligheden 3,2 mio. kr.,

hvilket medførte en hovedstol p˚a 2,56 mio. kr. og en ydelse p˚a 32.000 kr. pr. kvartal.

Tor Skedum tjener p.t. ikke s˚a meget, men han kan lige klare at betale til terminen.

Han valgte i sin tid det afdragsfrie l˚an, thi han var overbevist om, at boligpriserne

ville stige. Imidlertid skal lejlighedens tag skiftes, hvilket Tor Skedum ikke har r˚ad

til. Lejligheden skal derfor sælges, men salget indbringer kun 2,5 mio. kr. For at

komme gældfri ud af salget skal Tor Skedum alts˚a skaffe yderligere 60.000 kr. Hertil

kommer, at han for tre ˚ar siden lagde 20% i udbetaling til købet af lejligheden.

Eksemplerne illustrerer, at det er ganske vanskeligt at komme med universelle

anbefalinger for valg af l˚antype. Dels m˚a dette valg bero p˚a investorens præferencer,

dels skal den aktuelle rentestruktur, forventninger til den fremtidige rentestruktur,

konverteringsadfærd samt generelle forhold i samfundsøkonomien tages i betragt-

ning.

Den lille hurtige test-dig-selv

(a) Forklar forskellen p˚a et kontantl˚an og et obligationsl˚an.


7.5 Afdragsfrie l˚an 113

(b) Hvad forst˚as ved varslingstiden for konverterbare obligationer?

(c) Er et FlexL˚an et obligations- eller et kontantl˚an?

(d) Nævn en god og en d˚arlig grund til at vælge et afdragsfrit l˚an.


Løsninger til test-dig-selv

Kapitel 1

(a) En betalingsstrøm med kendte betalinger, der forfalder p˚a kendte tidspunkter.

(b) Zj = Yj − Ij.

(c) Konstant ydelse.

(d) Rentebetalingerne er konstante.

(e) Afdragene er konstante.

(f) Afviklingsprincippet for et uamortisabelt l˚an er irrelevant.

Kapitel 2

(a) En st˚aende obligation med en nominel rente p˚a nul.

(b) Ved en konverterbar obligation har udstederen (l˚antageren) ret til at tilba-

gekøbe obligationen. Ved en konvertibel obligation har l˚angiveren ret til at

ombytte obligationen til aktier (eller evt. et tilbagekøb).

(c) En kompensation til obligations sælgeren, idet køberen modtager hele rente-

Kapitel 3

betalingen ved førstkommende termin. Se formel (2.1).

(a) En intern rente for ydelsesrækken: Den konstante diskonteringsrente, der gør,

at nutidsværdien af betalingsrækken er lig med anskaffelsesprisen (der er mar-

kedskursen kurset adderet med den vedhængende rente).

(b) Nej, y i formel (3.7) kan generelt ikke løses eksplicit. Ja, for nulkuponobliga-

tioner kan formel (3.9) anvendes.


116 Investering i obligationer

(c) O-renten bruger obligationsmarkedskonventionen, mens P-renten benytter pen-

Kapitel 4

gemarkedskonventionen, se afsnit 3.3.

(a) Princippet g˚ar ud p˚a, at man ved handler p˚a de finansielle markeder ikke kan

opn˚a en risikofri gevinst her og nu uden at p˚atage sig forpligtelser i fremtiden

(forpligtelserne skal medføre, at der er en positiv sandsynlighed for, at man

skal af med penge i fremtiden).

(b) At g˚a kort (i aktivet).

(c) yt er en sikker betaling p˚a et kendt tidspunkt. Derfor er en diskonteringsfak-

toren baseret p˚a nulkuponrenten korrekt.

(d) Sandt eller falsk:

Kapitel 5

• falsk.

• falsk.

• falsk.

• sandt.

(a) Konkursrisiko bunder i risikoen for manglende betalinger fra udstederen (l˚antageren),

mens likviditetsrisiko er knyttet til bid-ask spreadet (forskellen p˚a bud og ud-

budspris).

(b) Macaulay-varigheden kan fortolkes som den gennemsnitlige tid, det tager, før

man f˚ar nutidsværdien. Hicks har vist, at dette m˚al ligeledes er obligationskur-

sens (marginale) følsomhed overfor ændringer i obligationens effektive rente.

(c) Varigheden er 42/12 = 3,5 ˚ar.

(d) Macaulay-konveksitet kan fortolkes som Macaulay-varighedens følsomhed over-

for ændringer i den effektive rente.

(e) Prisen approksimeres som en anden ordens Taylor udvikling, dvs. grafen for

prisen er en parabel.


Test-dig-selv 117

(f) Alle obligationerne i porteføljen skal have samme effektive rente.

(g) En immuniseringsstrategi skal sikre, at fremtidige forpligtelser kan dækkes selv

om renten ændrer sig.

(h) Ja, thi denne antagelse medfører arbitragemuligheder.

(i) Fischer-Weil antager ikke flad rentestruktur med parallelle skift. I stedet an-

Kapitel 6

tages en generel nulkuponrentestruktur med proportionale skift.

(a) En obligation der opfylder mindsterentereglen.

(b) Samtidighedsskat betyder, at skatten betales samtidig med den ydelse, der

Kapitel 7

generer den skattepligtige indkomst.

(a) For et obligationsl˚an ligger ydelsen fast, n˚ar l˚anet aftales, mens provenuet først

kendes, n˚ar obligationerne efter tinglysning af pantebrevet sælges p˚a markedet.

Ved et kontantl˚an kendes provenuet ved l˚aneaftalens indg˚aelse, mens antallet

af obligationer, der skal sælges, først fastlægges ved udstedelsen. Ydelsen er

dermed ikke kendt, n˚ar l˚anet optages.

(b) Det tidspunkt før førstkommende termin, som l˚antager senest skal angive ønske

om konvertering. Typisk er varslingstiden to m˚aneder.

(c) Et kontantl˚an.

(d) Indkomstudjævning er en god grund, mens f.eks. spekulation i fremtidige pris-

stigninger p˚a boligen m˚a siges at være af mere tvivlsom karat.


Opgaver

OPGAVE 1 Diskutér de forskellige rentebegreber p˚a pengemarkedet, f.eks. genkøbs-rente,

diskonto, CIBOR-renter, etc. Hvad dækker begreberne over? Hvad er de aktuelle værdier af

disse renter? Se evt. Nationalbankens hjemmeside p˚a internettet (www.nationalbanken.dk).

OPGAVE 2 7% st˚aende l˚an 2004 er en statsobligation med én ˚arlig termin den 15/12.

Besvar følgende spørgsm˚al med 1/9 1998 som valørdato.

(a) Opstil ydelsesrækken for obligationen.

(b) Beregn den vedhængende rente.

(c) Find den teoretiske kurs ved en konstant diskonteringsrente p˚a 6%.

(d) Find den effektive rente, idet markedskursen sættes til 108.

OPGAVE 3 12% S 2001 er en statslig serieobligation med én˚arlig termin den 15/2. Besvar

følgende spørgsm˚al med 1/9 1998 som valørdato, idet det oplyses, at udtrækningen for den

førstkommende termin endnu ikke er foretaget.

(a) Opstil ydelsesrækken for obligationen.

(b) Beregn den vedhængende rente.

(c) Find den teoretiske kurs ved en konstant diskonteringsrente p˚a 6%.

(d) Find den effektive rente, idet markedskursen sættes til 111.25.

OPGAVE 4 En (fiktiv) annuitetsobligation har en p˚alydende rente p˚a 7%, to˚arlige terminer

og sidste termin den 15/11 2002. Der er udtrækning den 15/9 1998.

(a) Opstil ydelsesrækken ved valør (i) 1/9 1998, (ii) 1/10 1998 og (iii) 1/11 1998.

(b) Beregn den vedhængende rente p˚a hvert af de tre tidspunkter.


120 Investering i obligationer

(c) Beregn den teoretiske kurs p˚a hvert af de tre tidspunkter ved en konstant diskonte-

ringsrente p˚a 5% p.a.

OPGAVE 5 Betragt en (fiktiv) 5% st˚aende obligation med én˚arlig termin og en restløbetid

p˚a præcis 6 ˚ar.

(a) Opstil ydelsesrækken for obligationen.

(b) Beregn obligationens teoretiske kurs ved en konstant diskonteringsrente p˚a 0%, 1%,

2%, . . . , 10%, og illustrer grafisk sammenhængen mellem kursen og diskonteringsren-

ten.

OPGAVE 6 De følgende spørgsm˚al tager udgangspunkt i formel (3.3) p˚a side 31 for kursen

p˚a st˚aende obligationer:

(a) Find de partielle afledede ∂k

∂n og ∂2 k

∂n 2 .

(b) Vis, at hvis diskonteringsrenten er lavere end den p˚alydende rente, s˚a er kursen en

voksende, konkav funktion af restløbetiden.

(c) Vis, at hvis diskonteringsrenten er højere end den p˚alydende rente, s˚a er kursen en

aftagende, konveks funktion af restløbetiden.

OPGAVE 7 Hvilken ændring sker der i den vedhængende rente, n˚ar kuponen p˚a en ob-

ligation frag˚ar? Hvilken ændring sker der med kursen p˚a fragangstidspunktet?

OPGAVE 8 P˚a publiceringsdagen sker der en betydelig ændring i ydelsesrækken. Se p˚a en

serieobligation med en nominel terminslig rente p˚a R, som har n resterende terminer.

(a) Argumentér for følgende p˚astand: P˚a publiceringsdagen mister ejeren af en ikke-

udtrukket obligation en betaling p˚a 100/n p˚a førstkommende terminstidspunkt, men

modtager til gengæld en serieobligation med samme nominelle rente, en hovedstol p˚a

100/n og n − 1 terminer.

(b) Vis at p˚astanden i (a) holder for tilfældet i Eksempel 2.1 p˚a side 26.

(c) Hvad sker der med kursen p˚a en serieobligation p˚a publiceringsdagen?

OPGAVE 9 Ydelsen i termin t p˚a en serieobligation med p˚alydende rente R, n resterende

terminer og nominel værdi 100 er

Yt = 100


R 1 −


t − 1

+

n

1


.

n


Opgaver 121

Ved en diskonteringsrente p˚a r er kursen p˚a en s˚adan obligation p˚a en terminsdag derfor

(i) k =

n

Yt(1 + r) −t =

t=1

(a) Brug potensrække-formlerne

til at vise, at

(ii)

(iii)


t=0

n

t=1

n

t=1

x t = 1

1 − x ,


100 R 1 −


tx t−1 =

t=1

(1 + r) −t = α n |r ≡

n

t(1 + r) −t =

t=1

1 + r

r


t − 1

+

n

1


(1 + r)

n

−t .

1

, |x| < 1,

(1 − x) 2

1 − (1 + r)−n

,

r


α n |r − n(1 + r) −(n+1)

.

(b) Brug (ii) og (iii) til at vise, at kursen i (i) kan omskrives til


R 1

k = 100 + 1 −

r n

R


α .

r n |r

OPGAVE 10 Skatkammerbeviset SKBV 99/I handledes den 19/5 1998 (valør 22/5 pga. hel-

ligdag den 21/5) til prisen 969 043. Obligationen udløber den 1/2 1999. Beregn den effektive

rente efter henholdsvis pengemarkedskonventionen (P–renten) og obligationsmarkedskon-

ventionen (O–renten).

OPGAVE 11 Betragt to st˚aende obligationer, der begge har én ˚arlig termin og præcis fem

˚ar til udløb. Den ene har en nominel rente p˚a 9% og handles til kurs 101.00. Den anden

har en nominel rente p˚a 7% og handles til kurs 93.20. Konstruér en nulkuponobligation, der

giver 1 krone om fem ˚ar. Hvad koster den? Hvad er den fem-˚arige nulkuponrente?

OPGAVE 12 P˚a obligationsmarkedet i Langbortistan handles kun to obligationer, der

begge har én ˚arlig termin og udløber om to ˚ar. Den første er et 7% st˚aende l˚an, der i dag

handles til kurs 98,10. Den anden obligation er et 10% seriel˚an, der handles til kurs 101,70.

(a) Vis hvorledes man udfra de to handlede obligationer kan konstruere to nulkuponob-

ligationer, der udløber om hhv. 1 ˚ar og 2 ˚ar.

(b) Find diskonteringsfaktorerne d1 og d2, nulkupon-renterne y(1) og y(2), samt forward-

renterne f(0, 1) og f(1, 2). Renterne skal opgøres ved ˚arlig tilskrivning.

Den langbortistanske børs indfører nu en tredje obligation, nemlig en 6% annuitetsobligation,

der ligeledes har én ˚arlig termin og udløber om to ˚ar.

(c) Hvad skal prisen være p˚a annuitetsobligationen, for at markedet bliver arbitrage-frit?


122 Investering i obligationer

(d) Hvis prisen p˚a annuitetsobligationen viser sig at være lavere end den ovenfor fundne,

hvorledes kan man s˚a score en arbitrage-gevinst?

OPGAVE 13 P˚a obligationsmarkedet i Simplistan handles udelukkende st˚aende obliga-

tioner, der kun har én ˚arlig termin og en nominel rente p˚a 10%. Den følgende tabel viser

kurserne p˚a fire af disse obligationer.

Restløbetid, ˚ar 1 2 3 4

Kurs 104.76 107.42 108.22 107.44

Brug bootstrapping metoden til at finde værdien af diskonteringsfunktionen og nulkupon-

renten (opgjort ved ˚arlig rentetilskrivning) for hver af de fire ˚ar.

OPGAVE 14 P˚a obligationsmarkedet i Bondonesien er rentestrukturen givet ved følgende

nulkuponrenter opgjort ved kontinuert rentetilskrivning:

˚Ar 1 2 3 4 5

Rente 8% 4.5% 3.5% 3% 2.5%

(a) Hvad er de tilsvarende nulkuponrenter opgjort ved ˚arlig rentetilskrivning?

(b) Hvad er værdien af diskonteringsfunktionen for de fem tidspunkter?

P˚a obligationsmarkedet handles bl.a. en 2-˚arig og en 5-˚arig serieobligation, en 2-˚arig

og en 5-˚arig annuitetsobligation, samt en 2-˚arig og en 5-˚arig st˚aende obligation. Alle seks

obligationer har en nominel rente p˚a 5% og én ˚arlig termin (om præcist 1 ˚ar, 2 ˚ar, etc.)

(c) Hvad er kursen p˚a hver af de seks obligationer?

(d) Hvad er den effektive rente p˚a hver af de seks obligationer?

(e) I praksis bruges ofte den effektive rente som funktion af restløbetiden som et estimat

for nulkuponrentestrukturen. Diskutér hvor godt dette estimat er i ovenst˚aende ek-

sempel, og under hvilke omstændigheder og for hvilke obligationer estimatet er særligt

godt eller skidt.

OPGAVE 15 Vis at for st˚aende obligationer, der sælges under pari (dvs. den effektive

rente er højere end den p˚alydende rente: y > R), antager varigheden V som funktion af

restløbetiden N et maksimum for en endelig værdi af N, N ∗ , og find en ligning som N ∗ skal

opfylde.

OPGAVE 16 Betragt formel (5.9) p˚a side 65 for varigheden p˚a en st˚aende obligation.


Opgaver 123

(a) Vis at den afledte af varigheden med hensyn til den p˚alydende rente kan skrives som

∂V

∂R

hvor φ(n) = 1 − (1 + y) n + ny(1 + y) n−1 .

(b) Vis, φ(1) = 0 og φ(2) > 0.

φ(n)

= −

(R[(1 + y) n 2 ,

− 1] + y)

(c) Vis, at φ(n + 1) = (1 + y)φ(n) + y[(1 + y) n − 1], og dermed, at φ(n) > 0 medfører at

φ(n + 1) > 0.

(d) Argumentér for, at varigheden for st˚aende obligationer med mere end én resterende

termin er en aftagende funktion af den p˚alydende rente, s˚aledes at lavt forrentede

st˚aende obligationer alt andet lige er mere følsomme overfor renteændringer end højt

forrentede st˚aende obligationer.

OPGAVE 17 Vis formel (5.11) p˚a side 67.

OPGAVE 18 Vis at en anden ordens Taylorudvikling af lnP som funktion af y giver

∆ln P ≈ − V 1

∆y +

1 + y 2

og brug dette til at vise formel (5.14) p˚a side 70.

K − V 2

(1 + y) 2 (∆y)2 ,

OPGAVE 19 7% st˚aende l˚an 2007 er en statsobligation med én ˚arlig termin den 15/11.

Tirsdag den 26/5 1998 handledes obligationen til kurs 113.50 (valør den 29/5).

(a) Find obligationens effektive rente, varighed og konveksitet.

(b) Find obligationens eksakte kursændring ved en øjeblikkelig ændring i den effektive

rente p˚a henholdsvis −2%, −1%, 1% og 2%.

(c) Find den approksimative kursændring ved de givne renteændringer baseret p˚a hver af

formlerne (5.6), (5.13), (5.14) og (5.15).

OPGAVE 20 Vis formel (5.16) p˚a side 71.

OPGAVE 21 Den 10/9 1998 investerer du (valør den 15/9) i en portefølje af to statsob-

ligationer. Følgende oplysninger er kendte:

Navn Nominel Effektiv Antal ˚arlige Udløb Afviklings-

beholdning rente terminer form

6% St.l˚an 1999 100 000 4.60% 1 10/12 1999 St˚aende

7% St.l˚an 2007 200 000 4.85% 1 15/11 2007 St˚aende


124 Investering i obligationer

(a) Opstil ydelsesrækken og beregn den vedhængende rente, kursen og Macaulay varig-

heden for hver af de to obligationer.

(b) Beregn porteføljens anskaffelsespris og dens effektive rente og Macaulay varighed ved

at bruge approksimationerne (5.16) og (5.17) i “Investering i obligationer...”.

(c) Opstil porteføljens ydelsesrække og beregn porteføljens eksakte effektive rente og Ma-

caulay varighed.

OPGAVE 22 En virksomhed har en forpligtelse p˚a 500 000 kroner, der skal betales om tre

˚ar. Virksomheden ønsker at investere i en portefølje af obligationer, der vil immunisere ren-

terisikoen p˚a forpligtelsen i den forstand, at porteføljens nutidsværdi og Macaulay varighed

er som forpligtelsens. Den aktuelle rentestruktur er flad ved en rente p˚a 4% (pr. ˚ar opgjort

ved ˚arlig rentetilskrivning).

(a) Hvad er nutidsværdien af og Macaulay varigheden p˚a forpligtelsen?

(b) Virksomheden kan nøjes med at investere i én bestemt obligation, s˚afremt denne

handles p˚a markedet. Hvilken obligation er der tale om?

Da den p˚agældende obligation ikke handles, vil virksomheden forsøge at sammensætte en

portefølje af en 6% st˚aende obligation, der har en restløbetid p˚a præcis 2 ˚ar, og en 5%

st˚aende obligation, der har en restløbetid p˚a præcis 4 ˚ar. Begge obligationer har én ˚arlig

termin.

(c) Find nutidsværdien af og Macaulay varigheden p˚a hver af obligationerne.

(d) Hvorledes skal porteføljen af de to obligationer sammensættes, s˚a den immuniserer

renterisikoen p˚a forpligtelsen?

(e) Kan man bruge den samme portefølje i hele perioden frem til forpligtelsen forfalder?

(f) Diskutér forudsætningerne for at ovenst˚aende immuniseringsstrategi lykkes.

OPGAVE 23 En virksomhed har en forpligtelse p˚a 10 millioner, der forfalder den 15/3 2002.

Virksomheden investerer den 10/9 1998 (valør den 15/9 1998) i en portefølje af følgende to

statsobligationer:

• 4% Stgb. I 2001: en st˚aende obligation, der har én ˚arlig termin den 15/2

• 7% St.l˚an 2004: en st˚aende obligation, der har én ˚arlig termin den 15/12

P˚a investeringstidspunktet er alle nulkuponrenter lig 4.5% (pr. ˚ar opgjort ved ˚arlig rente-

tilskrivning).


Opgaver 125

(a) Hvordan skal porteføljen sammensættes, s˚a dens nutidsværdi og Macaulay varighed

stemmer overens med forpligtelsens?

(b) Hvordan skal porteføljesammensætningen justeres den 15/12 1998, s˚a porteføljen sta-

dig immuniserer renterisikoen, hvis rentestrukturen er uændret?

(c) Hvad er værdien af den justerede portefølje og af forpligtelsen den 15/1 1999, hvis

rentestrukturen p˚a det tidspunkt er flad ved en rente p˚a henholdsvis (a) 4.5%, (b) 3%

og (c) 6%?

(d) For hvert af de tre scenarier (a), (b) og (c) besvares følgende: Skal porteføljen justeres

den 15/1 1999? Hvis ja, hvordan?

OPGAVE 24 En obligationsportefølje best˚ar den 26/5 1998 (valør den 29/5) af følgende

obligationer:

• 200000 kroner nominel værdi af 9% st˚aende l˚an 2000, som har én ˚arlig termin den

15/11 og handles til kurs 109.75.

• 300000 kroner nominel værdi af 5% st˚aende l˚an 2005, som har én ˚arlig termin den

15/8 og handles til kurs 100.28.

(a) Find den effektive rente, varigheden og konveksiteten for hver af de to obligationer.

(b) Beregn porteføljens effektive rente, varighed og konveksitet ved hjælp af approksima-

tionerne (5.17), (5.18) og (5.19).

(c) Opstil porteføljens samlede ydelsesrække og beregn porteføljens eksakte effektive rente,

varighed og konveksitet.

OPGAVE 25 Besvar den foreg˚aende opgave idet der skal tages højde for 50% samtidig-

hedsskat af renter.

OPGAVE 26 Vis formlerne (5.28) og (5.29) p˚a side 83.

OPGAVE 27 (Eksamen, sommer 1996) En investor har en portefølje best˚aende af to ob-

ligationer. Pr. 1. maj 1996 har porteføljen følgende sammensætning:

Navn Nominel beholdning

6% Stl. 99 5.000.000 kr.

7% Stgb. II 97 2.500.000 kr.

Af kurslisten for den 1. maj 1996 fremg˚ar følgende oplysninger for de to obligationer i

porteføljen:


126 Investering i obligationer

Navn Kurs Effektiv Varighed Antal ˚arlige Udløb Afviklings-

rente terminer form

6% Stl. 99 102,24 5,29 3,27 1 10/12 1999 St˚aende

7% Stgb. II 97 103,65 4,01 0,98 1 15/08 1997 St˚aende

(a) Bestem porteføljens værdi ved handel 1. maj 1996, dvs. ved valør (afregning) den

7. maj 1996.

(b) Beregn porteføljens effektive rente og varighed og giv en fortolkning af disse størrelser.

(c) Bestem ændringen i porteføljens værdi, hvis den effektive rente stiger med 0,5 pro-

centpoint.

(d) Beskriv (kort) hvorledes betalingerne fra porteføljen ændrer sig, hvis investoren betaler

skat af de direkte renter.

OPGAVE 28 (Eksamen, sommer 1997, vægt 25%) P˚a obligationsmarkedet i Langbortistan

handles en st˚aende obligation, der i dag har en restløbetid p˚a præcis 3 ˚ar, én ˚arlig termin,

en nominel værdi p˚a 100 og en nominel rente p˚a 8%.

(a) Opstil ydelsesrækken for obligationen ved valør i dag.

Obligationens effektive rente er 5.5% p.a.

(b) Beregn kursen og varigheden p˚a obligationen ved valør i dag.

(c) Hvad ville kursen p˚a obligationen være, hvis dens effektive rente i stedet var (i) 7% og

(ii) 4%? Beregn b˚ade den eksakte kurs og en approksimativ kurs baseret p˚a varigheden.

Forklar forskellen mellem den eksakte og den approksimative kurs.

P˚a obligationsmarkedet handles ogs˚a en række nulkuponobligationer med nominel værdi 1,

nemlig én med udløb om et ˚ar, én med udløb om to ˚ar og én med udløb om tre ˚ar. Prisen

p˚a den nulkuponobligation, der udløber om t ˚ar betegnes d(t) (t = 1, 2, 3). Priserne er som

følger

˚Ar, t 1 2 3

Pris p˚a nulkuponobl., d(t) 0.9505 0.9020 0.8450

(d) Baseret p˚a priserne p˚a nulkuponobligationerne, hvad burde kursen p˚a den st˚aende

obligation s˚a være? Er der arbitrage-muligheder p˚a dette obligationsmarked? Hvis ja,

forklar hvorledes man kan tjene en risikofri gevinst.


Opgaver 127

(e) Beregn nulkuponrenten y(t) hørende til henholdsvis˚ar 1, 2 og 3. Beregn forwardrenten

f(t − 1, t) for hvert af ˚arene 1, 2 og 3. Renterne skal opgøres ved ˚arlig tilskrivning.

OPGAVE 29 En husejer overvejer at optage et 10–˚arigt l˚an i et realkreditinstitut med et

provenu p˚a 75.000 kr. L˚anet afvikles efter annuitetsprincippet med˚arlige terminer. Realkredit-

instituttet finansierer l˚anet ved at udstede 10-˚arige 6% annuitetsobligationer med en ˚arlig

termin. Den aktuelle handelskurs er 75,00 (pr. 100 kr. nominel værdi). Antag i det følgende,

at realkreditinstituttet ikke skal vente p˚a tinglysning m.m. og derfor kan sælge obligatio-

nerne med det samme. Antag ogs˚a at obligationerne har præcist ét ˚ar til den første termin,

samt at husejeren ikke skal betale bidrag til realkreditinstituttet.

(a) Find ydelsesrækken (rentebetaling, udtrækning, samlet ydelse og restgæld i hver ter-

min), hvis l˚anet optages som et obligationsl˚an.

(b) Find obligationens effektive rente.

(c) Find ydelsesrækken (rentebetaling, afdrag, samlet ydelse og restgæld i hver termin),

hvis l˚anet optages som et kontantl˚an.

(d) Diskutér kort fordele og ulemper ved et kontantl˚an kontra et obligationsl˚an.


Litteratur

Anderson, N., F. Breedon, M. Deacon, A. Derry og G. Murphy (1996). Estimating

and Interpreting the Yield Curve. John Wiley & Sons, Inc.

Anker, T., M. S. Pedersen og P. Sortkjær (2001, februar). M˚anedens Synspunkt

– Februar 2001. Nye markedskonventioner p˚a det danske obligationsmarked.

M˚anedens synspunkt, Københavns Fondsbørs.

Barber, J. R. (1995). A Note on Approximating Bond Price Sensitivity using

Duration and Convexity. The Journal of Fixed Income 4(4), 95–98.

Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (1992a). Facts og fantasi i aktiv gældspleje

(1). Finans/invest (1), 5–8, 10–11.

Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (1992b). Facts og fantasi i aktiv gældspleje

(2). Finans/invest (2), 22–26.

Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (1994). Duration, Convexity, and Time

Value. Implications for bond portfolio management. Journal of Portfolio Ma-

nagement 20(2), 51–60.

Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (2001). Rentesregning. Campusvej 55, 5230

Odense M, Danmark: Odense Universitetsforlag.

Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (2005). Investeringsteori. Campusvej 55,

5230 Odense M, Danmark: University Press of Southern Denmark.

Cox, J. C., J. E. Ingersoll, Jr. og S. A. Ross (1979). Duration and the Measurement

of Basis Risk. Journal of Business 52(1), 51–61.

Culbertson, J. M. (1957). The Term Structure of Interest Rates. The Quarterly

Journal of Economics 71, 485–517.

Dahl, H. (1991a). Afkastm˚al for konverterbare obligationer. Finans/invest (6),

13–18.


130 Investering i obligationer

Dahl, H. (1991b). Konverterbare obligationer — overreagerer markedet? Fi-

nans/invest (5), 8–12.

Dahl, H. (1991c). Risikom˚al for konverterbare obligationer. Finans/invest (7),

24–29.

Fabozzi, F. J. (1996). Bond Markets, Analysis and Strategies (3 ed.). Englewood

Cliffs, New Jersey 07632, USA: Prentice-Hall, Inc.

Fisher, L. og R. L. Weil (1971, oktober). Coping with the Risk of Interest Rate

Fluctuations: Returns to Bondholders from Naive and Optimal Strategies.

Journal of Business 44, 408–431.

Grinblatt, M. og S. Titman (2002). Financial Markets and Corporate Strategi (2

ed.). McGraw-Hill, Inc.

Grosen, A. (1993). Realkredittens balanceprincip og obligationsmarkedet. Fi-

nans/invest (2), 18–22.

Hicks, J. R. (1939). Value and Capital. Oxford: Clarendon Press.

Ho, T. S. Y. (1992). Key Rate Durations: A Measure of Interest Rate Risks. The

Journal of Fixed Income 2(2), 29–44.

Hull, J. C. (2000). Options, Futures, and Other Derivatives (Fourth ed.). Prentice-

Hall, Inc.

Ingersoll, Jr., J. E., J. Skelton og R. Weil (1978). Duration Forty Years Later.

Journal of Financial and Quantitative Analysis 13(4), 627–650.

Jakobsen, S. (1987). En genvej til beregning af effektiv rente. Finans/invest 3,

20–22.

Jakobsen, S. (1992, september). Prepayment and the Valuation of Danish

Morgage-Backed Bonds. Ph. D. thesis, Department of Finance, The Aarhus

School of Business, Fuglesangs Allé, DK–8210 ˚Arhus V, Denmark.

Jakobsen, S. (1993a). FlexL˚an TM – RD’s nye patentmedicin. Finans/invest (2),

17–22.

Jakobsen, S. (1993b). Vurdering af danske realkreditobligationer 1988-92. Fi-

nans/invest 1, 23–25.

Jensen, B. A. (2005). Rentesregning (4 ed.). Jurist- og Økonomforbundets Forlag.


Litteratur 131

Jørgensen, P. L. og O. Collignon (1996). Varighedsbaseret prisfastsættelse af op-

tioner p˚a obligationer. Ledelse og Erhvervsøkonomi 60(4), 263–275.

Jørgensen, P. L., K. R. Miltersen og C. Sørensen (1996). En sammenligning af

konverteringsstrategier for konverterbare realkreditl˚an. Finans/invest 7, 22–

29. Rettelser i Jørgensen, Miltersen og Sørensen (1997).

Jørgensen, P. L., K. R. Miltersen og C. Sørensen (1997). En sammenligning af

konverteringsstrategier for konverterbare realkreditl˚an: Kommentar til figurer.

Finans/invest 1, p. 26.

Lando, D. (1995). Undervisningsnoter i Investerings- og Finansieringsteori. Tech-

nical report, Institute of Mathematical Statistics, University of Copenhagen,

Universitetsparken 5, DK–2100 København Ø, Denmark.

Lutz, F. (1940, november). The Structure of Interest Rates. Quarterly Journal of

Economics, 36–63.

Macaulay, F. R. (1938). Some Theoretical Problems Suggested by the Movements

of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the United States since

1856. New York: Columbia University Press.

Modigliani, F. og R. Sutch (1966). Innovation in Interest Rate Policy. The Ame-

rican Economic Review 56, 178–197.

Munk, C. (1999). Stochastic Duration and Fast Coupon Bond Option Pricing in

Multi-Factor Models. Review of Derivatives Research 3(2), 157–181.

Munk, C. (2000a, juli). Afledte aktiver. Undervisningsnote, Institut for Regnskab,

Finansiering & Erhvervsjura, Syddansk Universitet, Campusvej 55, DK–5230

Odense M, Danmark.

Munk, C. (2000b). Videreg˚aende obligations- og rentestrukturanalyse. Undervis-

ningsnote, Institut for Regnskab, Finansiering & Erhvervsjura, Syddansk Uni-

versitet – Odense Universitet, Campusvej 55, DK–5230 Odense M, Danmark.

Nationalbanken (2006). Kvartalsoversigt 1. kvartal. Technical report, Danmark

Nationalbank, 6 Duke of York Street, London SW1Y 6LA, England.

Nordea (2004). Finansielle instrumenter (3 ed.). Christiansbro, Strandgade 3,

1401 København K: Nordea Bank Danmark A/S.


132 Investering i obligationer

Sørensen, B. G. (1990). Estimation af horisontal rentestruktur. Technical report,

Institut for Virksomhedsledelse, Odense Universitet, Campusvej 55, DK-5230

Odense M, Denmark.


Indeks

arbitrage

princippet om fravær af arbitrage, 38

prisrelation, 42

bootstrapping, 50

diskonteringsfunktion, 41

forventningshypotese, 54

Forward Rate Agreement, 18

kort-salg, 39

kurs

markeds-, 30, 34

teoretisk, 29

likviditetspræferencehypotesen, 56

mindsterenteregel, 91

realkreditobligation

rente

afdragsfrit l˚an, 110

kontantl˚an, 99

rentetilpasningsl˚an, 108

konverterbarhed, 100

obligationsl˚an, 99

effektiv, 30

nulkuponobligation, 34

skatkammerbevis, 35

forward, 43

kontinuert rentetilskrivning, 47

repo, 17

nulkupon, 43

vedhængende, 26

Risikom˚al

Fisher-Weil

konveksitet, 82

varighed, 82

Macaulay

konveksitet, 69

varighed, 62

samtidighedsskat, 94

skattepligtig kursgevinst

lagerprincip, 93

realisationsprincip, 92

udtrækning

matematisk, 24

procent, 25

valør, 19, 66

More magazines by this user
Similar magazines