Statik og styrkelære 2. udgave, 1. oplag 2013 © Nyt Teknisk Forlag ...

samples.pubhub.dk

Statik og styrkelære 2. udgave, 1. oplag 2013 © Nyt Teknisk Forlag ...

Statik og styrkelære

2. udgave, 1. oplag 2013

© Nyt Teknisk Forlag 2013

Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@ef.dk

Omslag: Henrik Stig Møller

Omslagsfoto: forestiller ARoS, Århus: Adam Mørk og schmidt/hammer/lassen/architects

Tegninger: Ebbe Lastein

Grafisk tilrettelæggelse: Stig Bing

Dtp: Stig Bing og Pihl - grafisk design

Tryk: Narayana Press

ISBN: 978-87-571-2779-9

Varenummer: 104018-1

Bogen er sat med Palatino

Bogen er trykt på 115 g silk

Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes.

Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om

kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer.

Hovedreglen er: højst 20 sider af en bog til samme hold/klasse pr. studerende pr.

undervisningsår. Og kopier må ikke genbruges.

Kopier skal tilføjes kildeangivelse: Forfatter, titel og forlag.

Se mere på www.copydan.dk

Nyt Teknisk Forlag

Ny Vestergade 17

1471 København K

info@nyttf.dk

www.nyttf.dk

Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, +45 63 15 17 00

Fax +45 63 15 17 28


Forord

2. udgave

I forhold til 1. udgave er der foretaget en del ændringer og rettelser. Afsnittet

Snitkræfter er forenklet, og symboler er rettet til i overensstemmelse

med de nye Eurocodes normer, som er blevet indført i Danmark

fra januar 2009. I den forbindelse en stor tak til adjunkt Johan Clausen,

Institut for Byggeri og Anlæg, Aalborg Universitet, for mange gode

kommentarer og forslag.

Statik og Styrkelære erstatter bøgerne Teknisk statik og Teknisk styrkelære

og er skrevet med henblik på anvendelse inden for erhvervs- og

erhvervsakademiuddannelser og htx-uddannelsen.

I bogen er der en del billedkompositioner, der skal vise, at hverdagen

er fyldt med mange situationer, hvori der indgår elementer, der

kan relateres til statik og styrkelære.

Nogle af billederne refererer til relevante situationer, mens andre

appellerer til den enkelte om at bruge fantasien og se mulighederne.

Som eksempel er der bænken i solnedgangen. Personen påvirker

gennem sin tyngde bænken, som i statik- og styrkelære-terminologi er

et bøjningspåvirket konstruktionselement.

3


4

Teknisk matematik · Forord

Bogen er en elementær grundbog og omhandler de grundlæggende

principper inden for statik og styrkelære. Endvidere giver bogen eksempler

på beregning af enkle konstruktionselementer inden for stålkonstruktion,

trækonstruktion og maskinelementer.

Bogen er opbygget i en passende rækkefølge med opstilling af regler,

eksempler og opgaver.

Sidst i hvert afsnit er der et resumeafsnit, hvor de vigtigste formler

og regler fra det pågældende afsnit er gengivet.

Opgaverne er integreret i bogens enkelte afsnit, og der er facitliste til

disse opgaver. Facitlisten finder du på bogens side på ef.dk; gå ind på

ef.dk og søg 104018, så ligger de under fanebladet Extra.

Endvidere er der et kapitel med blandede opgaver uden facitliste.

Bagest i bogen er der et afsnit med bjælkeformler og stikord.

Det skal bemærkes, at der findes en del it-beregningsprogrammer

og ligeledes en del tegneprogrammer. Bogen indeholder ikke en instruktion

til et bestemt program, men det kan anbefales at inddrage itprogrammer

og ligeledes tegneprogrammer til afprøvning af de mange

grafiske løsningsprincipper, der er i bogen.

Januar 2013

Preben Madsen


Indhold

Indledning 7

1. Kræfter og momenter 9

Kraftbegrebet ................................9

Definition på kraft...........................10

Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 28

Kraft- og tovpolygonmetoden ................36

Moment....................................40

Parallelle kræfter ............................46

Kraftpar ....................................51

Parallelforskydning af kraft ..................51

Loven om aktion og reaktion .................53

Ligevægtsbetingelser ........................54

Resume 1.kapitel ............................66

2. Konstruktioner påvirket til bøjning 69

Hvordan virker en belastning?................69

Belastningsfigurer ...........................71

Understøtningstyper ........................73

Ydre kræfter, aktioner og reaktioner . . . . . . . . . . . 74

Simple understøtninger ......................75

Indspændinger..............................76

Beregningsmodeller .........................76

Statisk ubestemte konstruktioner..............78

Bestemmelse af reaktioner....................79

Ydre kræfter, indre kraft og snitkraft...........90

Snitkræfter .................................91

Sammenhænge mellem V- og M-kurver ......107

Momentkurver for aksler....................117

Momentpåvirkede konstruktionselementer ...124

Resume 2. kapitel ..........................128

3. Gitterkonstruktioner 131

Opbygning ................................131

Beregningsgrundlag ........................133

Bestemmelse af reaktioner...................134

Ritters metode .............................139

Knudepunktsmetoden ......................143

Grafisk bestemmelse af stangkræfter .........149

Resume 3. kapitel ..........................159

4. Styrkelærens grundprincipper 163

Styrkelærens opgaver.......................163

Grundbelastningstyper .....................165

Tværsnitskonstanter ........................170

Legemers tyngdepunkter ...................171

Arealers tyngdepunkt ......................173

Tyngdepunkt for kvadrat, rektangel,

parallelogram og rombe ....................174

Tyngdepunkt for trekant ....................175

Tyngdepunkt for cirkel......................176

Tyngdepunkt for halvcirkel, cirkeludsnit

og cirkelafsnit..............................176

Tyngdepunkt for sammensat areal ...........178

Linjers tyngdepunkt ........................188

Inertimoment af rektangel...................192

Inertimoment af cirkel ......................194

Flytningsformlen...........................194

Modstandsmoment.........................199

Modstandsmoment af rektangel og cirkel .....199

Polært inerti- og modstandsmoment .........200

Normalspænding – træk/trykspænding ......209

Forskydningsspænding .....................210

Bøjningsspænding..........................210

Torsionsspænding ..........................214

Sammensatte spændinger ...................215

Materialer ................................218

Trækprøvning .............................218

Forlængelsen ΔL ...........................221

Styrkebetingelse............................223

Resume 4. kapitel ..........................224

5. Stålkonstruktioner 229

Normer ...................................229

Areal-, linje- og punktlast ...................229

Materialedata ..............................231

Partialkoefficienter .........................232

Centralt påvirkede trækstænger .............232

Centralt påvirkede trykstænger ..............240

Bøjningspåvirkede konstruktionselementer ...249

Forskydningspåvirkede konstruktions -

elementer..................................255

Nedbøjning (deformation)...................255

Fladetryk ..................................258

Profiltabeller ...............................261

Resume 5. kapitel ..........................271

6. Trækonstruktioner 273

Normer ...................................273

Materialer .................................273

Styrke- og stivhedstal .......................274

Centralt påvirkede trækstænger .............276

Centralt påvirkede søjler ....................282

Bøjningspåvirkede konstruktionselementer ...287

Nedbøjning ...............................291

Profiltabeller ...............................294

Resume 6. kapitel ..........................296

7. Maskinelementer 297

Styrkeberegning af maskinelementer .........297

Karakter af en belastning....................298

Konstruktionsmaterialer ....................301

Trækpåvirkede maskinelementer ............301

Trykpåvirkede maskinelementer .............303

Forskydningspåvirkede maskinelementer.....305

5


6

Teknisk matematik · Indhold

Bøjningspåvirkede maskinelementer .........306

Torsionspåvirkede maskinelementer .........308

Fladetryk ..................................309

Fremgangsmåde ved gennemførelse af en

styrkeberegning............................311

Resume 7. kapitel ..........................321

8. Opgaver 323

Bjælkeformler 343

Stikord 345


Indledning

Bogens titel er Statik og styrkelære, så det vil være naturligt, at du stiller

spørgsmålene:

Hvad er statik? og hvad er styrkelære?

For at besvare disse spørgsmål kan du kaste et blik rundt på mange

af de ting, du har omkring dig.

Det kan være ting, som er udformede til ganske bestemte funktioner

- det kan være en simpel ting som en gaffel, og det kan være komplicerede

ting som fx en bil, der jo er sammensat af rigtig mange dele, hvor

den enkelte del er udformet for netop at udfylde en ganske bestemt

funktion.

I hvert tilfælde kan du opstille nogle krav til den enkelte komponent,

for at den netop kan være dig til den nytte, du ønsker.

Du får her eksempler på krav, der kan stilles:

• Ønske om størrelse.

• Ønske om holdbarhed.

• Ønske om nem betjening.

• Ønske om miljøvenlighed.

• Ønske om at overholde normer og standarder.

• Ønske om flot design.

• Ønske om at overholde en pris.

De krav, du skal beskæftige dig med i denne bog, er:

• Styrkekrav og modstand mod deformation.

Hvad betyder så det? – jo, de komponenter og dele, du anvender i en

konstruktion, skal kunne holde til de påvirkninger, du udsætter dem

for. Sagt på en anden måde må konstruktionen simpelthen ikke gå i

stykker og falde fra hinanden.

Du skal derfor beskæftige dig med statik, som er læren om legemer i ligevægt.

Statikken vil også sætte dig i stand til at bestemme det punkt i en konstruktion,

som er maksimalt belastet.

Med den viden kan du så få styrkelæren på banen.

Styrkelæren hjælper dig derefter med at bestemme de rigtige

og nødvendige dimensioner på din konstruktion.

7


8

Teknisk matematik · Indledning

For at illustrere et sådant forløb har du en håndværker på en stige.

Du skal forestille dig, at du skal bestemme dimensionerne på trinet,

han står på.

1. Du skal starte med at bestemme belastningen.

Kender du håndværkerens masse (vægt), kan statikken hjælpe dig med

at bestemme belastningen (kraften på trinet).

2. Du skal så videre og se på konstruktionen.

I statikken er trinet et konstruktionselement, som du kalder en bjælke. I

kapitlet ”Konstruktioner påvirket til bøjning”, kan du finde frem til det

punkt på bjælken, der er maksimalt belastet.

3. Nu skal du vælge materiale, og i kapitlet ”Trækonstruktioner” kan du finde et

egnet materiale.

4. Med det maksimalt belastede punkt på bjælken og materialet som udgangspunkt

har du så muligheden for at komme videre og bestemme en nødvendig

dimension på trinet.

5. I profiltabellerne kan du gå ind og finde et tværsnit, der kan leve op til den

nødvendige dimension, du har bestemt.

Du har dermed løst opgaven, og som det fremgår af eksemplet, kommer

du langt omkring i bogen.

Du kan så stille spørgsmålet: Hvordan skal bogen så anvendes?

De enkelte kapitler er opbygget med eksempler og opgaver og fremstår

hver for sig som selvstændige enheder.

Som illustreret ved eksemplet er det også muligt at ”springe” i bogen

og gennemgå de afsnit eller dele deraf, der er nødvendige for at

komme til en helhed set ud fra et undervisningsmæssigt synspunkt.

I den forbindelse kan der peges på de eksempler og opgaver, der er

gennemgående fra afsnit til afsnit og som netop illustrerer sådanne forløb.


Kræfter og momenter

Kraftbegrebet

I dette kapitel skal du arbejde med kræfter og momenter. På billedet

herover har du en kran, og skal kranen løfte en byrde, kan du omsætte

byrdens masse til en kraft. Kender du den vinkelrette afstand fra

kraften og til kranens drejningspunkt, kan du gange kraften med den

vinkelrette afstand, og du har et moment. Som sagt er det disse to størrelser,

du skal i gang med.

Du skal nu starte med at se lidt nøjere på kraftbegrebet.

Du har et billede af en mand med en kuffert.

Kufferten vil give et træk i armen, som skyldes jordens tiltrækningskraft.

Tiltrækningskraften kalder du kuffertens tyngdekraft.

1

9


10

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Bliver kufferten skiftet ud med en kuffert med en anden masse, vil

trækket i armen på tilsvarende vis være forskelligt.

Du kan derfor formulere følgende sætning:

En kraft kan opfattes som en størrelse, der holder ligevægt med tyngdekraften.

Du skal nu forestille dig, at der bliver givet slip på kufferten som vist på

figur 1.01, og den falder frit mod jorden.

Fig.1.01

På grund af tyngdekraften vil kuffertens hastighed stige og stige.

Du kan derfor formulere en ny sætning:

En kraft kan opfattes som en størrelse, der giver et legeme en hastighedsændring.

Definition på kraft

Du skal have defineret en kraftenhed, og du har det såkaldte S.I.- målesystem,

som er en forkortelse af Systeme Internationale d’Unites. Dette

målesystem er opbygget af seks grundenheder for størrelserne:

• Længde.

• Masse.

• Tid.

• Elektrisk strøm.

• Temperatur.

• Lysstyrke.

Ud fra disse grundenheder afledes så alle øvrige enheder.

I statik har kraftenheden den største interesse. Du måler kræfter i

enheden Newton, som forkortes N. Definitionen lyder:

1 N (Newton) er den kraft, der ved at påvirke et legeme med masse 1 kg,

giver det en acceleration på 1 m/s².

Med denne baggrund får du, at et legeme med masse 1 kg placeret et

sted, hvor tyngdeaccelerationen er 9,81 m/s², bliver påvirket af en kraft

på 9,81 N.


Definition på kraft

Hvis du vender tilbage til billedet med kufferten og sætter dens masse

til 20 kg, får du, at tyngdekraften G bliver:

G = 20 · 9,81

G = 196,2 N

Generelt kan du opstille følgende ligning:

hvor

G er tyngdekraften i N,

m er legemets masse i kg og

g er tyngdeaccelerationen i m/s 2

G = m · g

Inden for statikken kan du ved langt de fleste opgaver afrunde og regne

tyngdeaccelerationen g til 10 m/s².

Hvor meget er 1 Newton?

For at give dig fornemmelsen af størrelsesbegrebet 1 N, må du forestille

dig et æble med masse 0,1 kg eller 100 gram placeret som vist på billedet.

Du kan bestemme tyngdekraften, idet du kan sætte tyngdeaccelerationen

g til 10 m/s².

G = 0,1 · 10

G = 1 N

Du har altså, at et æble med masse 0,1 kg (100 gram) udøver en tyngdekraft

på 1 N.

11


12

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Når du regner kræfter i måleenheden Newton (N), vil det for fleste

opgavers vedkommende give store tal. Du kan derfor for overskuelighedens

skyld arbejde i kiloNewton (kN) eller MegaNewton (MN). Du får

her omregningsfaktorerne:

1 kN = 10³ N

1 MN = 10 6 N

Afbildning af kræfter

Det har primært været tyngdekraften, du har set på, men andre fysiske

forhold kan give samme virkning, og så må du naturligvis også kalde

dem for kræfter.

Du får nogle eksempler.

Figur 1.02 viser en bjælke i balance under påvirkning af et legeme med

tyngdekraft G.

Figur 1.02

På figur 1.03 opnår du balancen ved hjælp af tiltrækningskraften mellem

to magneter.

Figur 1.03

På figur 1.04 opnår du balancen ved hjælp af en fjeder.

Figur1.04

Endelig har du figur 1.05, hvor du opnår balancen ved hjælp af muskelkraft.

Figur 1.05


Definition på kraft

Det vil være mest praktisk, at du benytter et fælles symbol, når du afbilder

en kraft.

Da kræfter virker efter rette linjer, vil det være naturligt at afbilde en

kraft ved hjælp af et linjestykke forsynet med en pilespids, der angiver,

hvilken retning kraften virker i.

Figur 1.06

På figur 1.06 har du billedet af en kraft, og på figur 1.07 har du bjælken

forsynet med dette symbol.

Figur 1.07

I matematikken kalder man sådan en ”pil” for en vektor, og du skal i de

kommende afsnit se på de specielle regneregler, som er gældende for

vektorer eller kræfter. Langt de fleste opgaver kan du løse ved hjælp

af to metoder, enten grafisk (tegningsmæssig løsning) eller analytisk

(beregningsmæssig løsning).

Har du adgang til et it-tegneprogram, vil det være oplagt at benytte

det til grafiske løsninger.

13


14

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Bestemmelse af kraft

Du skal forestille dig, at du har en bokser, som bliver slået ud som vist

på figur 1.08. Du er ikke i tvivl om, hvor kraften rammer, og i hvilken

retning den har virket.

Figur 1.08

Skal den slagne bokser hjælpes op som vist på figur 1.09, skal kraften

og dens retning placeres et helt andet sted.

Figur 1.09

Du får et andet eksempel.

Du har en vogn, der er vist i tre situationer som vist på figur 1.10.

Figur 1.10


Definition på kraft

Kraften er den samme i de tre situationer, men retning og angrebspunkt

er forskelligt.

Virkningen på vognen i de tre situationer vil være forskellig, og du kan

derfor fastslå, at følgende tre punkter hører med til en fuldstændig bestemmelse

af en kraft (se figur 1.11).

1. Kraftens angrebspunkt.

2. Kraftens retning.

3. Kraftens størrelse.

Figur 1.11

Når du løser opgaver, er det altså ikke tilstrækkeligt at ”nøjes” med at

angive kraftens størrelse – angrebspunktet og retningen skal du og

have med.

Du får et eksempel.

En kraft er indlagt i et koordinatsystem som vist på figur 1.12.

Figur 1.12

Du kan beskrive kraften således:

Angrebspunkt: (x,y) = (2,1)

Retning: vinkel v = 35º

Størrelse: F = 25 kN

Grundsætninger om kræfter

Når du skal arbejde med, hvordan kræfter påvirker et legeme, er teorien

bygget om nogle grundsætninger eller regler.

Du kan ikke bevise disse grundsætninger, da de er et resultat af iagttagelser

og erfaringer.

15


16

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Du får grundsætning nr. 1:

En kraft kan forskydes i sin virkelinje, uden at det ændrer noget i legemets bevægelsestilstand,

blot forbindelsen mellem kraft og legeme bibeholdes (se figur 1.13).

Figur 1.13

Umiddelbart er denne regel kendt, idet du jo får samme resultat ud af at

skubbe en vogn som at trække med samme kraft som vist på figur 1.14.

Figur 1.14

Du får grundsætning nr. 2:

Figur 1.15

To lige store modsatrettede kræfter, som har samme virkelinje,

ophæver hinandens virkning på et legeme (se figur 1.15).


Definition på kraft

Du får grundsætning nr. 3, som omhandler kræfternes parallelogram:

To kræfter, der angriber i samme punkt på et legeme, kan sammensættes

og erstattes af en kraft R, som du kalder resultanten.

Konstruktionen fremgår af figur 1.16.

Figur 1.16

Figur 1.17

Du behøver imidlertid ikke at konstruere hele parallelogrammet, men

kan tegne som vist på figur 1.17 eller figur 1.18.

Figur 1.18

Denne måde at bestemme resultanten på kan du formulere således:

Kræfterne afsættes efter hinanden – resultanten er beliggende fra begyndelsespunktet

af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft.

Ud fra sætningen om kræfternes parallelogram kan du også løse den

omvendte opgave, nemlig at opløse en enkeltkraft i to kræfter, når deres

virkelinjer er givet.

Du får et eksempel.

17


18

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

På figur 1.19 har du en kraft, som skal erstattes af to kræfter med virkelinjer

m og n.

Figur 1.19

På figur 1.20 har du den geometriske løsning.

Figur 1.20

Gennem R’s endepunkt tegner du linjer, der er parallelle linjer med de

givne linjer m og n.

Herved får du kræfterne F m og F n .

Disse to kræfter kalder du i almindelighed for komposanter, – altså,

kraften R kan du erstatte af to komposanter F m og F n .

Det var som nævnt den geometriske løsning, du fik vist. Skal du beregne

en løsning, skal du have hjælp af trigonometri. Det får du at se i

det kommende eksempel.

EksEmpEl 1.01

På figur 1.21 har du en kraft på 75 N, der danner en vinkel på 25º med

vandret.

Figur 1.21


Definition på kraft

Du skal beregne størrelsen på kraftens vandrette og lodrette komposant.

Du tegner som vist på figur 1.22 og kan anvende formlerne for beregning

af retvinklede trekanter.

Figur 1.22

Rækkefølgen er vilkårlig, men du kan starte med at beregne den vandrette

komposant H:

H

cos 25°

= : H=

75 ⋅ cos 25°

= 67,97 N

75

Herefter den lodrette komposant:

V

sin 25°

= : V = 75 ⋅ sin 25°

= 31,70 N

75

EksEmpEl 1.02

Du har et legeme, der er påvirket af to kræfter F 1 = 20 N og F 2 = 30 N

som vist på figur 1.23.

Figur 1.23

Du skal bestemme resultanten både grafisk og analytisk.

19

More magazines by this user
Similar magazines