KOLORIT - Syntetisk tale

Thomas Kaas
Heidi Kristiansen
KO LO R I T
Gyldendal
7

1. udgave 1. oplag 2007
©2007 Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S, København
Forlagsredaktion: Louise Filskov, Stine Kock, Tine Friis Scheby
Design og DTP: 2Krogh A/S
Tegninger: Kasper Jørgensen, IdéHospitalet A/S
Kort: Dansk Cyklist Forbund og www.bornholm.info.dk: s. 4
Fotos:
Polfoto/Thomas Borberg: s. 1
Danbike A/S: s. 3 øm
Polfoto/Thomas Wilmann: s. 25
Polfoto: s. 41
Tine Friis Scheby: s. 42, 44 øv., 112, 121, 128 øv.
Polfoto/Claus Bonnerup: s. 44 mv.
Polfoto/Kim Agersten: s. 44 nv., 154
Samsung: s. 48
Toshiba Europe: s. 50
Gyldendal/CDanmark: s. 57, 145 øh.
Polfoto/Finn Heidelberg: s. 65 nh.
Gyldendal/Kam&Co.: s. 65 nv.
Troels Sørensen: s. 65 nm.
Gyldendal/©PhotoDisc: s. 65 mh.
Thorkild Jensen: s. 75
Gyldendal: s. 78
Shutterstock/Darren A. Hubley: s. 80 øv.
Sony Denmark: s. 80 nh., 80 nv.
Polfoto/Michael Mottlau: s. 80 nh., 138 øh., 144 øv.
Foci/SPL/J-L Charmet: s. 99
Prepress og tryk: Narayana Press
ISBN nr.: 978-87-02-03009-9
(ISBN 10: 87-02-03009-8)
Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der
har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen
nævnte rammer.
Til 7. klasse hører:
Kolorit 7 – kopimappe
Kolorit 7 – lærerens bog
KOLORIT 7 GRUNDBOG
Kolorits hjemmeside: www.kolorit.gyldendal.dk
Foci: s. 100 øv.
Foci/SPL/Royal Astronomical Society: s. 100 øh.
Foci/Giraudon: s. 101 øv.
Foci/Omrikon: s. 101 øh.
Maxit as: s. 111
Polfoto/Bryan Reinhart mauritius images: s. 123 øv.
Foci/SuperStock: s. 130
Scanpix/Corbis/Ralph A. Clevenger: s. 138 øv.
NASA/Visible Earth: s. 139 øv.
Scanpix/Corbis/Bob Battersby: s. 139 øh.
Polfoto/Workbook Stock: s. 143
Polfoto/Torben Stroyer: s. 144 øh.
Polfoto/Jens Dresling: s. 145 øv.
Tress: s. 151 øh., 151 øv.
Shutterstock/Chad McDermott: s. 151 n.
Shutterstock/Martin Fischer: s. 155
Polfoto/Joakim Kröger, Pressens Bild: s. 159
Polfoto/Cyranek Ireneusz: s. 161
Gyldendal/Jørgen Jensen: s. 167
Søren Lundberg: Alle øvrige

Indhold
Tal og enheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 1
Excel regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 11
Areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 25
Beskrivelse af sammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 41
Fraktaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 57
Brug af brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 67
Matematikkens sprog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 83
Historiske matematikere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 99
Tegning og konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 111
Regning med brøk, decimaltal og procent . . . . . . .s . 127
Svømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 143
Statistik og sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 155
Formelsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 169
Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 173
Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 187

Til eleverne
Kolorit 7 er jeres grundbog til matematik
i 7. klasse. Til bogen hører en
kopimappe med opgaver, I kan arbejde
videre med. Kolorit har også en hjemmeside,
www.kolorit.gyldendal.dk, hvor
der bl.a. ligger filer, I skal bruge til nogle
af opgaverne.
Kolorit 7 indeholder 12 kapitler.
8 af kapitlerne tager udgangspunkt i et
matematisk område. I de kapitler findes
forskellige typer af sider:
Intro: I introduceres til, hvad kapitlet
handler om.
Mundtlig: Her er der opgaver, der
lægger op til, at I sammen i hele
klassen eller i grupper kan snakke
om og med matematik. De fleste
nye ting præsenteres på disse
sider.
Problem: Her er der opgaver, hvor I
skal arbejde sammen eller enkeltvis
med problemløsning.
Færdighed: Her er der opgaver,
hvor I kan øve de færdigheder,
der hører med til det matematiske
område, kapitlet handler om. I skal
prøve at løse opgaverne uden lommeregner,
hvis der ikke er skrevet
andet i teksten.
Pointer: Kapitlet slutter med, at I
evaluerer, hvad I har lært, og skriver
det i en logbog.
3 af kapitlerne tager udgangspunkt i et
tema: Fraktaler, Historiske matematikere
og Svømning.
Det sidste af de 12 kapitler er et kursus
i brug af Excel regneark.
Tema- og kursuskapitlerne er bygget lidt
anderledes op. På præsentationssiderne
kan I læse, hvordan I kan arbejde med
kapitlerne. Det er en god idé at arbejde
i grupper med temaerne. I skal også evaluere
jeres arbejde med kapitlerne ved
at fortælle om det til en fremlæggelse
eller i en rapport.
Bagerst i grundbogen er der en formelsamling,
som I kan få brug for til at løse
nogle af opgaverne. Der er også en
facitliste til opgaverne på færdighedssiderne
og et stikordsregister, så I kan slå
op og finde ud af, hvor I kan læse om
det, I søger.
I bogens opgaver bruges nogle ord, det
er vigtigt, I kender og forstår.
Beregn: I skal finde løsningen på
opgaven ved at regne.
Beskriv/forklar: I skal med jeres
egne ord sige eller skrive, hvad I
har fundet ud af i arbejdet med
opgaven. I skal prøve at begrunde,
hvad I er nået frem til og hvordan.
Diskuter: I skal snakke sammen om
jeres forskellige forslag til løsninger.
Omskriv: I skal skrive regneudtrykkene
på en anden måde.
Undersøg: I skal prøve jer frem og
kan måske på forskellige måder
komme frem til en løsning.
Vis: I skal med et regneudtryk, en
graf, illustration eller lignende vise,
hvordan I har tænkt og regnet.
God arbejdslyst!

Tal og enheder
Du bruger tal i mange forskellige sammenhænge, fx når
du skal fortælle, hvor høj du er, hvor meget du vejer,
eller hvor langt du har til skole. Ofte er det nødvendigt
med en enhed efter tallet. Måske er du 160 cm høj,
vejer 50 kg og har 3 km til skole. Cm, kg og km er
eksempler på enheder.
Kapitlet handler om at regne med tal og enheder, og om
hvordan du kan omregne fra en enhed til en anden.
INTRO
TAL OG ENHEDER
1

1 Enheder for længde
Navn
Forkortelse
Antal
meter
Gigameter
MUNDTLIG LÆNGDE OG FART
Megameter
2 TAL OG ENHEDER
Kilometer
Hektometer
Dekameter
Meter Decimeter
Centimeter
Millimeter
Mikrometer
Nanometer
Gm Mm km hm dam m dm cm mm µm nm
1 000 000 000 1 000 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,000001 0,000000001
Metersystemet bruges i det meste af
verden til at angive længder. I 1800tallet
aftalte man, at en meter svarede
til afstanden fra Nordpolen til Ækvator
divideret med 10 000 000.
I dag er der en anden måde at angive en
meter på. En meter er den længde, lyset
bevæger sig i et lufttomt rum på
1
299 792 458 sek.
I Danmark blev det i 1907 ved lov
vedtaget at bruge metersystemet.
Alle længder kan beskrives i enheden
meter. I skemaet øverst kan I se, at når
kilo sættes foran meter, så får vi kilometer.
Det forkortes km. Kilo betyder
„tusind“, kilometer kan derfor oversættes
til „tusindmeter“.
1 km = 1000 m.
Når centi sættes foran meter, får vi centimeter.
Det forkortes cm.
Centi betyder „hundrededel“, så centimeter
kan oversættes til „hundrededelmeter“.
1 cm = 0,01 m.
Kilo og centi kaldes præfikser. Det er
ord, der kan sættes foran en enhed, så
den får en ny betydning.
1 Hvilke af enhederne i skemaet øverst
kender I?
2 Hvad tror I, disse præfikser betyder:
a milli?
b deci?
c hekto?
3 Omregn 5 meter til fire forskellige
andre enheder.
4 Forklar, hvordan I kan bruge skemaet
til at omregne mellem enheder.
5 Giv eksempler på, hvornår det er
mest praktisk at bruge forskellige
enheder i metersystemet.

2 Hvor langt?
På en motionsdag løb Sofi e
i 1 time og 20 min med en
gennemsnitsfart på 12 km/t.
Fart er et mål for, hvor langt man
kommer på fx en time. Når I skal beregne
en fart, skal I derfor kende både
længde og tid.
Det er mest almindeligt at angive fart
i kilometer pr. time, km/t., og i meter
pr. sekund, m/s. Læg mærke til, at det
skrives på næsten samme måde som en
brøk.
Da man sjældent bevæger sig lige hurtigt
hele tiden, er det ofte gennemsnitsfarten,
man angiver.
6 Svar på spørgsmål 2, 3 og 4 øverst,
og forklar, hvordan I fi nder svarene.
3 Gennemsnitsfart?
Anthon cyklede 15 km på
45 min.
Indhold og mål
4 Hvor lang tid?
Amanda løb 10 km og
havde en gennemsnits fart
på 8 km/t.
Dette kapitel handler om tal
og enheder.
Målet er, at I
arbejder med tal og enheder, som
bruges i hverdagen.
kommer til at kende og bruge mange
forskellige enheder.
bliver bedre til at omregne mellem
enheder.
forstår sammenhængen mellem
fart, længde og tid.
TAL OG ENHEDER
3

Højdekurve
PROBLEM CYKELTUR PÅ BORNHOLM
Katharina og hendes forældre har været
på cykelferie på Bornholm i sommerferien.
De cyklede øen rundt på to dage.
Det er den blå rute, du kan se på kortet
øverst.
1 Punkterne A, B, C og D på kortet og
højdekurven viser de højeste punkter
på cykelruten.
a Hvor langt er der ca. mellem
C og D?
b Hvor stor er højdeforskellen?
2 Den første dag cyklede Katharina og
hendes forældre ca. 60 km fra Rønne
til Svaneke. De var undervejs i
5 timer, men holdt en times pause
både i Allinge og i Gudhjem.
Hvad var deres gennemsnitsfart ca.,
når du ikke regner pauserne med?
4 TAL OG ENHEDER
15 km
10 km
Hasle
Muleby
10
5 km
104,5 km
Rønne
10
Vang
Nyker
Sandvig
Nylars
Allinge
Tejn
Klemensker
Vestermarie
Øen rundt 87 m
Arnager
10
160
120
80
40
96 m 70 m 97 m
0
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 km
A B
C
D
A
20 km
B
25 km
30 km
Lobbæk
35 km
Rø
Almindingen
100 km95 km 90 km 85 km
C
10
Aakirkeby
40 km
Gudhjem
45 km
Østerlars
Pedersker
80 km
Østermarie
Snogebæk
75 km
Nexø
Dueodde
Svaneke
3 Den sidste dag var de undervejs i
6 timer, men holdt en lang pause ved
Dueodde, hvor de badede. De cyklede
med en gennemsnitsfart på
15 km/t., når pausen ikke er regnet
med.
50 km
a Hvor mange kilometer cyklede de
ca. den sidste dag, når hele turen
øen rundt var ca. 105 km?
b Hvor lang tid cyklede de den
sidste dag?
c Hvor længe holdt de pause ved
Dueodde?
d De sidste 15 km var de trætte og
cyklede kun med en fart på
12 km/t. Hvor lang tid tog det
at cykle de sidste 15 km?
D
10
10
70 km
55 km
10
60 km
65 km
Årsdale

1 Hvor mange meter er
a 2 km? d 5 km og 43 m?
b 150 cm? e 123 cm?
c 0,5 km? f 5 cm?
2 Hvor mange km er
a 3025 m?
b 500 m?
c 25 m?
d 1000 mm?
e 100 cm?
f 2 000 000 cm?
3 Hvor mange cm er
a 20 mm? d 1 dm og 5 mm?
b 5 dm? e 2 km?
c 0,25 m? f 5 m og 23 mm?
4 Skriv længderne i rækkefølge efter
størrelse.
5 m 0,05 km 50 cm 5 mm 50 mm
5 Hvilke længder er tilsammen
1 meter?
a 20 mm d 100 mm
b 0,75 m e 98 cm
c 25 cm f 90 cm
6 Hvor mange minutter er
a 2 timer?
b 3,5 timer?
c 6,25 timer?
d 4 1
2 time?
e 120 sek.?
f 300 sek.?
7 Hvor mange timer er
FÆRDIGHED
a 120 min? d 600 min?
b 90 min? e 3600 sek.?
c 180 min? f 7200 sek.?
8 Hvor langt kan man løbe på
a 15 min, når gennemsnitsfarten er
10 km/t.?
b 20 min, når gennemsnitsfarten er
12 km/t.?
c 45 min, når gennemsnitsfarten er
8 km/t.?
d 36 min, når gennemsnitsfarten er
10 km/t.?
9 Hvad er gennemsnitsfarten, hvis man
løber
a 5 km på 30 min?
b 2 km på 10 min?
c 3 km på 12 min?
d 9 km på 45 min?
10 Hvor lang tid tager det at cykle 12 km
med en gennemsnitsfart på
a 12 km/t.? c 18 km/t.?
b 24 km/t.? d 15 km/t.?
11 Hvad er en bils gennemsnitsfart, hvis
den kører
a 150 km på 1 time og 30 min?
b 5 km på 10 min?
12 Hvor hurtigt skal du i gennemsnit
cykle, hvis du skal være hjemme om
20 min og har 6 km hjem?
TAL OG ENHEDER
5

1 Enheder for rumfang
Navn
Forkortelse
Antal
liter
Gigaliter
MUNDTLIG RUMFANG OG VÆGT
Megaliter
Kilo ­
liter
Gl Ml kl
m 3
6 TAL OG ENHEDER
Hektoliter
Dekaliter
hl dal l
dm 3
Liter Deciliter
Centiliter
Milliliter
dl cl ml
cm 3
Mikro ­
liter
Nanoliter
µl nl
1 000 000 000 1 000 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,000001 0,000000001
Rumfang kan fx angives i liter. Man kan
bruge de samme præfi kser som i metersystemet.
I skemaet øverst kan I fx se, at
1 ml = 0,001 l.
1 Hvilke af enhederne i skemaet øverst
kender I?
2 Giv eksempler på, hvornår det er
mest praktisk at bruge forskellige
enheder for rumfang.
3 Hvor mange liter indeholder de
forskellige emballager på billedet
nederst?
4 Beskriv rumfanget af emballagerne
med to andre enheder.
5 Forklar, hvordan I kan bruge skemaet
til at omregne mellem enheder.

2 Hvor meget svarer 1 dm 3 til i litersystemet?
1 ml = 1 cm 3 .
Rumfang kan også angives i fx kubikdecimeter,
dm 3 , og kubikcentimeter, cm 3 .
6 Hvor mange cm svarer til 1 dm?
Hvor mange cm 2 svarer til 1 dm 2 ?
7 Tegn 1 dm 3 på isometrisk papir.
Hvor mange cm 3 svarer til 1 dm 3 ?
8 Svar på spørgsmål 2 øverst.
9 Hvilken enhed i litersystemet svarer
til m 3 ?
10 Diskutér, i hvilke situationer det kan
være praktisk at angive rumfang i m 3 .
11 Mål længden af siderne på en mælkekarton.
Se bort fra den øverste del
med skruelåg og beregn rumfanget.
Kan der være den mængde mælk i
kartonen, som der står på den?
3 Hvilke enheder for vægt bruger man
og hvornår?
1g = 0,001kg
Vægt er også et mål, som bruges i hverdagen,
fx når man skal bage eller sende
breve. Man kan bruge de samme præfi kser
som i metersystemet.
12 Svar på spørgsmål 3 øverst.
13 Sæt mindst to af præfi kserne foran
gram. Skriv en oversættelse med ord
og en omregning.
Eksempel:
Centigram = hundrededelgram.
1 cg = 0,01 g.
TAL OG ENHEDER
7

PROBLEM PANDEKAGER TIL KLASSEN
1 portion pandekager til ca. 4 personer
Ingredienser:
1 1
4 dl hvedemel
1 spsk. sukker
3 æg
75 g smør
1
4 tsk. groft salt
3 dl mælk
8 TAL OG ENHEDER
Forkortelse I andre enheder
Teske tsk. 1 tsk. = 5 ml
Spiseske spsk.
1 spsk. = 3 tsk.
= 15 ml
1 spsk. sukker vejer ca. 12 g.
1 dl hvedemel vejer ca. 64 g.
1 tsk. salt vejer ca. 5 g.
En 7. klasse med 20 elever vil lave pandekager til hele
klassen. De bruger opskriften øverst og skal selv købe
alle ingredienserne.
1 Hvor meget skal klassen bruge af hver ingrediens?
2 Klassen køber:
1 kg mel
1 kg sukker
2 pakker smør á 250 g
1 bakke med 12 æg og 1 bakke med 6 æg
2 l mælk
1 pakke med 800 g groft salt
Hvor meget bliver der ca. til overs af hver ingrediens?
3 Har klassen ingredienser nok, hvis de vil lave en
ekstra portion pandekager?
4 Klassen bliver enige om, at der skal være 1 liter is
pr. fi re elever.
Hvor mange ml is beregner de til hver elev?

1 Hvor mange liter er
a 2000 ml? e 2 dl?
b 5 dl? f 250 ml?
c 10 000 ml? g 50 cl?
d 115 cl? h 25 dl?
2 Hvor mange dm 3 er
a 2000 ml? c 10 000 ml?
b 5 dl? d 115 cl?
3 Hvor mange ml er
a 5 l? e 0,5 l?
b 10 dl? f 0,25 l?
c 20 cl? g 0,1 dl?
d 5 cl? h 0,01 dl?
4 Hvor mange dl er
a 400 ml? d 3,5 l?
b en halv liter? e 250 ml?
c 2 l? f 10 ml?
5 Hvilke rumfang er tilsammen 1 liter?
a 3 dl d 3 cl
b 500 ml e 700 ml
c 0,5 l f 9,7 dl
6 Sandt eller falsk?
a 2 l = 2 dm 3
b 20 ml = 2 cm 3
c 3 cm 3 = 0,3 ml
d 3 l = 3000 cm 3
e 3 ml = 3 cm 3
f 0,5 l = 0,5 dm 3
g 7 dm 3 = 70 l
h 4 kl = 4 m 3
7 Hvor mange gram er
FÆRDIGHED
a 4 kg? e 5 kg og 7 g?
b 7 kg? f 0,8 kg?
c 10,5 kg? g 0,01 kg?
d 1
4 kg? h 0,205 kg?
8 Hvor mange g mangler der for at
være 1 kg, hvis der er
a 400 g? e 0,75 kg?
b 788 g? f 0,9 kg?
c 890 g? g 1 g?
d et halvt kilogram? h 0,5 g?
9 Sandt eller falsk?
a 3 kilogram = 300 g
b 3 kilogram = 3000 g
c 2500 g = 25 kilogram
d 3 kilogram = 3 kg
e 5 deciliter = 5 dl
f 14 kilogram = 140 g
g 7 milliliter = 0,007 l
h 4 liter = 0,4 l
i 9 deciliter = 0,9 l
j 0,5 l = 5 deciliter
TAL OG ENHEDER
9

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Omregne m til en anden
enhed, fx til km
Omregne liter til en anden
enhed, fx til dl
Omregne g til en anden
enhed, fx til kg
Omregne cm 3 , dm 3 og m 3
til enheder i litersystemet
Finde gennemsnitsfarten,
hvis du kender længde og
tid
10 TAL OG ENHEDER
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Giv eksempler på situationer, hvor det er praktisk at
bruge cm, m og km.
Giv eksempler på situationer, hvor det er praktisk at
bruge ml, cl, dl og liter.
Giv eksempler på situationer, hvor det er praktisk at
bruge g og kg.
Forklar sammenhængen mellem længde, tid og fart.
Forklar sammenhængen mellem liter og dm 3 .
Fortæl, hvilke opgaver i kapitlet der var lettest, og
hvilke opgaver der var sværest at arbejde med.

Excel regneark
Et regneark er et computerprogram, der bl.a. kan regne,
tegne grafer og lave diagrammer. Regnearket kan bruges
i mange forskellige sammenhænge, når I arbejder med
matematik. Det kan gøre en opgave lettere og hurtigere
at løse, fordi regnearket kan udføre mange beregninger
automatisk. Mange bruger regneark til at holde styr på
deres økonomi.
Et regneark er delt op i rækker, der begynder med
1, 2, 3, … og kolonner, der begynder med A, B, C, ….
Man kan navngive en celle ved at sætte tal og bogstav
sammen, fx D5.
I dette kapitel skal I arbejde med noget af det, Excel
regneark kan bruges til.
INTRO
EXCEL REGNEARK
11

PRÆSENTATION EXCEL REGNEARK
Ligninger og formler
I skal bruge regneark til at løse lig ninger.
I skal også bruge regnearket til at lave talfølger,
skrive formler og kopiere formler.
12 EXCEL REGNEARK
Side 14-15
Tegn grafer
I skal bruge regneark til at tegne grafer
og arbejde med, hvordan koordinatsystemet
kan se ud.
Sådan kan I arbejde med kapitlet
Side 16-17
Øverst kan I se de fire emner inden for regneark, I kan
arbejde med i dette kapitel. I kan vælge at arbejde
med alle emnerne, eller I kan arbejde med det, som I
gerne vil blive bedre til.
På Kolorits hjemmeside ligger der filer, som I skal
bruge i arbejdet med kapitlet.
Inden for hvert emne skal I arbejde med nogle øvelser.
Til hvert emne er der øverst på siderne tips, som I
kan bruge, hvis I er i tvivl om, hvordan I skal gøre.
På side 22–23 er der opgaver til hvert emne.

Regnskab og diagrammer
I skal bruge regneark til at arbejde
med regnskaber. I skal også lave cirkeldiagrammer
og søjlediagrammer.
Side 18­19
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med Excel regneark.
Målet er, at I
kan bruge et regneark, når I skal
løse ligninger
regne med formler
tegne grafer
lave regnskab
tegne cirkeldiagrammer og søjlediagrammer
arbejde med statistik
sortere data
kan formatere celler, koordinatsystemer og
diagrammer
kan ændre layout, fx farver på diagrammer
Statistik og sortér
I skal bruge regneark til at arbejde med
statistik. I skal bl.a. finde gennemsnit og
sortere data, så de kommer til at stå i
bestemte rækkefølger.
EXCEL REGNEARK
Side 20­21
13

14 EXCEL REGNEARK
EMNE LIGNINGER OG FORMLER
Gør en kolonne bredere
Man kan gøre kolonner bredere ved at
trække i højre side øverst i en kolonne.
Træk fx i højre side af den celle, hvor der
står B.
Regnetegn
Plus: +
Minus: -
Gange: *
Division: /
Kopier formler
Markér cellen, hvor formlen står, fx celle
A3. Flyt musen til nederste højre hjørne i
cellen, så et sort kryds kommer frem. Tryk
venstre museknap ned og træk i krydset,
så formlen kopieres ned i kolonnen. Slip
museknappen.
Skriv formler
Når du skriver en formel i en celle, skal du
altid begynde med =. Du kan se formlen i
formelfeltet.
1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse
ligningen 5 · x – 11 = 7 + 3 · x.
a Lav et regneark som vist øverst til venstre.
b Du kan få regnearket til at regne venstre og højre
side af ligningen ud.
I kolonne A skal du regne formlen på venstre side
af ligningen ud, dvs. 5 · x – 11.
I kolonne C skal du regne formlen på højre side af
ligningen ud, dvs. 7 + 3 · x.
Skriv formlerne i celle A3 og celle C3.
c I eksemplet nederst til venstre er 5 valgt som et
gæt på x. Undersøg, om 5 er løsning til ligningen
ved at skrive 5 i celle B3.
d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A.
Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C.
Undersøg, hvad der sker med formlen, når den
kopieres. Hvad står der i celle A6? Hvad står der i
celle C5?
e Gæt på andre løsninger ved at skrive tal for x i
kolonne B.
Hvilken x-værdi er løsning til ligningen?

Talfølger
Skriv de første to tal i en talfølge i hver sin
celle, fx 1 i celle B3 og 2 i celle C3. Markér
de to celler. Flyt musen til nederste højre
hjørne, så et sort kryds kommer frem.
Træk i krydset mod højre i rækken, så
skriver regnearket automatisk talfølgen.
Cirklens omkreds
Formlen for en cirkels omkreds er:
O = 2 · π · r.
2 Du skal lave et regneark, der kan bruges
til at beregne en cirkels omkreds,
når du kender radius.
a Lav et regneark som vist. Du kan få
regnearket til at lave talfølgen.
b Skriv en formel i B4, så regnearket
kan beregne omkredsen af en cirkel
med radius 1. Kopier formlen
vandret til hele rækken i tabellen.
c Hvad er omkredsen af en cirkel
med radius 8?
d Du skal ændre antallet af decimaler,
så omkredsen alle steder står
med to decimaler. Hvad er omkredsen
af en cirkel med radius 8,
angivet med to decimaler?
π
π skrives PI().
Skriv cellenavne
Når du skriver formler, kan du skrive et
cellenavn ved at klikke på cellen.
Decimaler
Du kan ændre antallet af
decimaler ved at markere en
eller flere celler og bruge
ikonerne for „forøg decimaler“ og
„formindsk decimaler“.
3 Du skal arbejde med et regneark, der
kan udregne rumfanget af en cylinder,
når du kender højden.
a Hent filen „Rumfang af en cylinder“
på Kolorits hjemmeside.
Bundens radius er 3. Hvad sker
der, hvis du ændrer bundens radius
i celle B3?
Se formlen, der er skrevet i celle
B6. $ foran B fastholder kolonne
B, og $ foran 3 fastholder række
3, så B3 bliver ved med at stå i
formlen, selv om den kopieres.
Du kan arbejde videre med opgaver om
ligninger og formler på side 22.
EXCEL REGNEARK
15

16 EXCEL REGNEARK
EMNE TEGN GRAFER
Grafer med Guiden Diagram.
1 Vælg XY-punkt og en undertype som vist.
Klik på Næste.
1 Du skal arbejde med at tegne grafer
ved hjælp af Guiden Diagram. Når du
har tegnet grafer, skal du arbejde med,
hvordan koordinatsystemet kan se ud.
a Hent filen „Tegn grafer“ på Kolorits
hjemmeside.
Regnearket viser en tabel over
sammenhængen mellem euro og
danske kroner.
1 euro koster 7,50 kr. (2007).
2 Vælg Serie. Du kan ved Navn give din graf
en titel. Skriv fx „Valuta“.
Klik herefter på Næste.
b Regnearket kan bruges til at tegne
en graf over sammenhængen
mellem euro og danske kroner.
Markér hele tabellen, og klik på
Guiden Diagram.
Vælg XY-punkt, og følg de
fire trin i Guiden Diagram.

3 Vælg Titler. Skriv fx „euro“ ved værdiakse
(X). Skriv fx „danske kroner“ ved værdiakse
(Y).
Vælg Akser. Undersøg, hvad der sker, når du
klikker på de to værdiakser.
Vælg også Gitterlinjer, Forklaring og Dataetiketter
og undersøg, hvordan du der kan
ændre koordinatsystemets udseende.
Klik på Næste.
4 Nederst til venstre i regnearket kan du
se, at du arbejder i ark 1. Du skal nu vælge,
om du vil placere dit diagram som nyt ark
eller som objekt (som et billede) i ark 1.
Vælg en af mulighederne og klik på Udfør.
c Vælg et sted på x-aksen, og højreklik med musen.
Vælg Formater akse.
Vælg Skala, og indsæt nogle andre minimum- og
maksimumværdier.
d Formater y-aksen på samme måde.
e Vælg et tilfældigt sted i koordinatsystemets
farvede område.
Højreklik med musen, og vælg Formater afbildningsområde.
Undersøg mulighederne for at vælge farve på
baggrund og ramme.
Du kan arbejde videre med opgaver om grafer på
side 22.
EXCEL REGNEARK
17

18 EXCEL REGNEARK
EMNE REGNSKAB OG DIAGRAMMER
Skriv formler
Når du skriver en formel i en celle, skal du
altid begynde med =. Du kan se formlen i
formelfeltet.
Regnetegn
Plus: +
Minus: -
Gange: *
Division: /
Skriv cellenavne
Når du skriver formler, kan du skrive et
cellenavn ved at klikke på cellen.
1 Du skal arbejde med et regneark, der
kan bruges til at beregne indtægter
og udgifter ved en skolefest. Når du
har lavet regnskabet, skal du lave et
cirkeldiagram, der viser udgifterne.
a Hent fi len „Skolefest“ på Kolorits
hjemmeside.
b For entréprisen får man en sodavand,
en portion mad og en is. Gør
regnskabet færdigt ved at skrive
formler i de røde felter.
c I G5 står der kr 35,00 – den celle
har fået formatet valuta. Giv de
Autosum
Du kan bruge ikonet autosum,
når du fx skal beregne de samlede
udgifter.
Valuta
Markér celler med pengebeløb
og klik på ikonet valuta – cellerne
får formatet valuta.
Eller:
Markér cellen eller cellerne
og vælg Formater i menulinjen.
Vælg Celler.
Vælg fanebladet Tal.
Vælg Valuta.
andre celler, der indeholder et
pengebeløb, dette valutaformat.
d I celle B22 kan du se, om der
bliver underskud eller
overskud. Hvad skal
entréprisen mindst være
for, at der ikke bliver
underskud?

Cirkeldiagrammer med Guiden Diagram.
1 Vælg Cirkel og en undertype som vist.
Klik på Næste.
2 Vælg Serie. Du kan under Navn give
dit diagram en titel. Skriv fx „Udgifter til
skolefest“. Klik herefter på Næste.
e Regnearket kan bruges til at tegne et diagram over
udgifterne.
Markér tekst og tal under udgifter, og klik på
Guiden Diagram.
Vælg Cirkel og dernæst en af undertyperne.
Følg trin 2, 3 og 4 i Guiden Diagram, og lav
et cirkeldiagram over udgifterne.
f Lav også et søjlediagram over udgifterne ved at
vælge Søjle.
Du kan arbejde videre med opgaver om regnskab og
diagrammer på side 23.
3 Vælg Forklaring og Dataetiketter.
Undersøg, hvordan du kan ændre diagrammets
udseende.
Klik på Næste.
4 Vælg, hvor du vil placere dit diagram.
Klik på Udfør.
EXCEL REGNEARK
19

20 EXCEL REGNEARK
EMNE STATISTIK OG SORTÉR
Middel
Regnearket kan udregne gennemsnittet
(middelværdien) af en mængde data.
Markér celle C26 og
klik på indsæt funktion.
Eller:
Vælg Indsæt i menulinjen.
Vælg Funktion.
Vælg statistisk under kategori.
Vælg MIDDEL under funktion og klik på ok.
Markér tallene, som du skal finde gennemsnittet
af, dvs. celle C4 til celle C24.
Klik på ok.
I formelfeltet kommer der til at stå:
=MIDDEL(C4:C24)
1 Du skal arbejde med data om elever
i en 7. klasse. Regnearket kan selv
beregne gennemsnit, mindsteværdi,
størsteværdi m.m. De kaldes i regneark
statistiske funktioner.
Du skal også bruge regnearket til at
sortere mængden af data, så eleverne
kommer til at stå i andre rækkefølger.
a Hent filen „Elevers højde“ på
Kolorits hjemmeside.
b Du skal få regnearket til at beregne
gennemsnittet af elevernes
højde ved at bruge funktionen
MIDDEL i celle C26.
Tællefunktion
Regnearket har nogle tællefunktioner. Regnearket
kan fx tælle, hvor mange elever der
er højere end klassens gennemsnit.
Markér celle H26.
Vælg indsæt funktion.
Vælg statistisk under kategori.
Vælg TÆL.HVIS under funktion og klik på ok.
Under område skal du markere celle C4 til
celle C24.
Skriv i det hvide felt ud for kriterium
” >”&C26 og klik på ok.
I formelfeltet kommer der til at stå:
=TÆL.HVIS(C4:C24;”>”&C26)
Regnearket kan fx også tælle, hvor mange
elever der er lavere end klassens gennemsnit.
Skriv i det hvide felt ud for kriterium
”

c Du skal udfylde resten af de røde
felter i regnearket ved at finde
den mindste højde (laveste
elev) med funktionen MIN
den største højde (højeste elev)
med funktionen MAKS
hvor mange elever, der er højere
end gennemsnittet med funktionen
TÆL.HVIS
hvor mange elever, der er lavere
end gennemsnittet med funktionen
TÆL.HVIS
d Undersøg, hvad forskellen er på
at sortere stigende og sortere
faldende, når du vælger Data i
menulinjen og dernæst Sortér.
Sortér
Markér mængden af data i
kolonne A, B og C.
Vælg Data i menulinjen og
dernæst Sortér.
Du har nu mulighed for at sortere
eleverne efter navn, køn
eller højde. Hvis den laveste
skal stå øverst, kan du vælge
som vist til venstre.
Regnearket kan også sortere
ud fra flere kriterier samtidig.
Så skal du også vælge en
kolonne i Og derefter.
Du kan også sortere
data ved at
bruge ikonerne:
e Undersøg, hvordan regnearket
sorterer mængden af data, når du
markerer en enkelt celle og dernæst
bruger ikonerne for sortér
stigende og sortér faldende.
f Sortér mængden af data, så
den laveste elev står øverst.
alle drengene står øverst, og
pigerne står nederst.
alle drengene står øverst, og
pigerne står nederst. Samtidig
skal begge køn stå i alfabetisk
rækkefølge.
Du kan arbejde videre med opgaver om
statistiske funktioner og om at sortere
data på side 23.
EXCEL REGNEARK
21

Ligninger og formler
1 Løs ligningerne på regneark:
a 8 · x – 20 = 2 · x + 4
b 12 · x + 14 = 2 + 16 · x
c 9 · x – 8 = 5 · x
d 7 · x – 21 = 3 – x
2 a Lav et regneark, der kan bruges til at
beregne omkreds og areal af kvadrater.
b Hvad er omkredsen af et kvadrat
med sidelængden 4?
c Hvad er arealet af et kvadrat med
sidelængden 5?
Tegn grafer
1 a Lav i et regneark en tabel for
y = 3 · x + 4 som vist nederst.
b Tegn grafen for y = 3 · x + 4 i
samme ark.
c Du skal ændre skalaen for y-aksen,
så
minimumværdien bliver –20 og
maksimumværdien 20.
minimumværdien bliver –100 og
maksimumværdien 100.
Hvilken betydning har skalaen på
y-aksen for, hvordan grafen ser ud?
22 EXCEL REGNEARK
3 a Hent fi len „Rumfang af en kasse“ på
Kolorits hjemmeside.
b Kassen har en kvadratisk bund.
Skriv en sidelængde, kassens bund
kan have, i det røde felt.
c Skriv en formel i celle B6, der kan
bruges til at beregne rumfanget
af en kasse med højden 1 og den
sidelængde, du har valgt. Kopier
formlen, så skemaet udfyldes.
Husk at bruge $.
d Formatér afbildningsområdet og
vælg, hvordan dit koordinatsystem
skal se ud.
e Vælg ark 2. Lav en tabel og en graf
for y = 7 · x + 10.
f Vælg ark 3. Lav en tabel og en graf
for y = –2 · x + 2.

Regnskab og diagrammer
1 Du skal lave et regnskab for en skolefest,
hvor hver gæst betaler entré.
a Lav en oversigt over indtægterne og
udgifterne. Vælg selv.
b Hvad skal entréprisen mindst være
for at undgå underskud?
c Hvor meget skal der tages i entré,
hvis der kommer 90 gæster, og
overskuddet skal være 500 kr.?
Statistik og sortér
1 Hent fi len „Unges lommepenge og løn“
på Kolorits hjemmeside.
Regnearket viser en oversigt over, hvor
mange penge eleverne i en 7. klasse har
til rådighed om måneden. Både lommepenge
og løn er indregnet.
a Find
gennemsnitsbeløbet.
det mindste beløb.
det største beløb.
b Undersøg, hvor
mange elever
der har
et større beløb
end gennemsnittet
til
rådighed om
måneden.
et mindre beløb
end gennemsnittet
til
rådighed om
måneden.
d Lav et diagram over udgifterne.
e Undersøg, hvad der sker, hvis du
ændrer størrelsen på nogle af
udgifterne.
Hvad sker der med diagrammet?
2 Hent fi len „Navne“ på Kolorits hjemmeside.
Regnearket viser en oversigt over de
40 mest brugte navne i Danmark.
Navnene står i en tilfældig rækkefølge,
og du skal sortere dem på forskellige
måder.
a Sortér navnene, så de står i alfabetisk
rækkefølge.
b Sortér navnene, så de mest brugte
navne i Danmark står øverst.
c Sortér navnene, så alle pigenavnene
står øverst, og alle drengenavnene
står nederst.
d Sortér navnene, så alle pigenavnene
står øverst, og drengenavnene
nederst. De skal sorteres, så det
mest brugte pigenavn står øverst
blandt pigerne, og det mest brugte
drengenavn står øverst blandt
drengene.
EXCEL REGNEARK
23

Tjeklisten
Ligninger og formler
Løse ligninger
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Ændre kolonnebredden
Skrive og kopiere formler
Lave talfølger
Ændre antallet af decimaler
Fastholde celler ved at bruge $
Tegn grafer
Bruge Guiden Diagram til at tegne
grafer
Tegne grafer for rette linjer
Formatere diagrammer
Ændre layout, fx farver, på
diagrammer
24 EXCEL REGNEARK
Skriv om dit arbejde med kapitlet – brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Hvilke emner valgte du at arbejde med?
Hvilke nye ting har du lært om regneark?
Hvilke fordele ser du ved at bruge regneark?
Hvilke ting fra kapitlet har du brug for at arbejde
mere med?
Hvornår og hvordan mener du, at du fremover kan
bruge regneark?
Regnskab og diagrammer
Lave regnskab
Bruge autosum
Ændre celleformat til valuta
Bruge Guiden Diagram til at lave
cirkeldiagrammer
Bruge Guiden Diagram til at lave
søjlediagrammer
Statistik og sortér
Bruge funktionen MIDDEL
Bruge funktionen MIN
Bruge funktionen MAKS
Bruge funktionen TÆL.HVIS
Sortere data

Areal
Et af de ældste skrifter om matematik, der findes,
hedder Rhind Papyrus.
Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt.
I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan
egypterne beregnede arealet af forskellige flader.
Egypterne havde brug for at kunne beregne areal –
bl.a. fordi størrelsen af deres jordområder afgjorde,
hvor meget de skulle betale i skat.
I dag har vi stadig brug for at kunne beregne areal. Vi
vil fx gerne kunne beregne areal af boliger eller kunne
beregne, hvor meget maling vi har brug for, når vi skal
male et værelse.
I kapitlet skal du arbejde med at udvikle og bruge
metoder til beregning af forskellige figurers areal.
INTRO
AREAL
25

26 AREAL
MUNDTLIG SAMMENHÆNG MELLEM AREALER
Rektangel Parallelogram
Der er sammenhæng mellem arealet af
rektanglet, parallelogrammet og trekanten
øverst.
1 Hvad er arealet af hver af de tre
fi gurer øverst? Forklar, hvordan I
fi nder arealet af hver fi gur.
2 Hvilken sammenhæng er der mellem
a rektanglets areal og parallelogrammets
areal?
b parallelogrammets areal og
trekantens areal?
c trekantens areal og rektanglets
areal?
3 Er rektanglet og parallelogrammet
herunder lige store?
Trekant
Brug kopiark 1. Klip i parallelogrammet
og undersøg, om det kan dække
rektanglet.
4 Forklar, hvordan I kan beregne
arealet af parallelogrammer, og hvorfor
jeres metode virker.

Trapez
Polygon
Når I kan finde arealet af trekanter, kan
I også finde arealet af andre polygoner,
fordi de altid kan inddeles i trekanter.
5 Find arealet af hver af de tre figurer
øverst.
Brug evt. kopiark 2.
6 Tegn eller klip mindst fire forskellige
figurer, som I kan finde arealet af
ved at inddele dem i trekanter. Find
arealet af hver figur, og forklar,
hvordan I gør.
7 Giv eksempler på figurer, som I ikke
kan finde arealet af ved at inddele
dem i trekanter.
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med at
udvikle og bruge forskellige metoder til
at finde areal.
Målet er, at I
Regulær
polygon
bliver bedre til at finde areal af trekanter
og parallelogrammer.
udvikler en metode til at finde areal
af trapezer.
udvikler en metode til at finde areal
af cirkler.
kan bruge metoder til arealbestemmelse
i praktiske sammenhænge.
AREAL
27

28 AREAL
PROBLEM HVILKEN FIGUR ER STØRST?
1 På hvilke sømbræt er trekantens areal
a lige så stort som fi rkantens?
b halvt så stort som fi rkantens?
c hverken halvt så stort eller lige så stort som
fi rkantens?
1 2 3
4 5 6
2 Et fi gurpar består af en trekant og en fi rkant.
Tegn mindst fem forskellige fi gurpar på sømbrætpapir,
hvor
a trekanten og fi rkanten er lige store.
b trekanten er halvt så stor som fi rkanten.
3 Forklar, hvordan du kan lave fi gurpar, hvor
a trekanten og fi rkanten er lige store.
b trekanten er halvt så stor som fi rkanten.

1 Find arealet af hver figur.
a
b
c
d
e
f
FÆRDIGHED
2 Find arealet af hver lejlighed.
3 Find arealet af
a huset.
b haven.
a
b
AREAL
9 m
29

30
h
MUNDTLIG HØJDER OG GRUNDLINJER
1 Højderne i parallelogrammer
g g
I formelsamlinger og opslagsbøger kan
I bl.a. fi nde en forklaring på, hvordan I
beregner arealet af et parallelogram.
Der kan fx stå:
„Arealet af et parallelogram kan bestemmes
ved én af siderne g og den højde h, der
står vinkelret på denne side: A = h · g“
1 Undersøg, hvad der står i jeres
formelsamling om arealet af et
parallelogram.
Hvis I skal bruge formlen, må I vide,
hvad der menes med g og h.
Til hver side i et parallelogram hører
der en højde. I kan derfor begynde med
at vælge en side og bagefter fi nde den
højde, som hører til. Den side, I vælger,
kaldes grundlinjen eller g.
AREAL
En højde i et parallelogram er et linjestykke,
der står vinkelret på to af de
parallelle sider. Den højde h, der hører
til grundlinjen g, står vinkelret på g.
2 Hvor mange forskellige par af grundlinjer
og højder er der i et parallelogram?
3 De to parallelogrammer øverst er
kongruente og har derfor samme
areal. Hvad er længden af hvert parallelograms
grundlinje og højde?
4 Klip eller tegn hver mindst tre forskellige
parallelogrammer, der har
samme areal. Forklar, hvordan I har
gjort.
h

2 Højderne i trekanter
h
h
g g g
Grundlinjer og højder kan også bruges
til at fi nde arealet af en trekant.
I en opslagsbog kan der fx stå:
„En trekants areal T kan beregnes som
en halv højde gange grundlinje:
T = 1
2– · h · g“
Ligesom i et parallelogram kan I vælge
hver side i en trekant som grundlinje. Til
hver side hører en højde.
En højde i en trekant er et linjestykke,
der går fra en vinkelspids og står vinkelret
på den modstående side – eller
forlængelsen af den modstående side.
Den højde h, der hører til grundlinjen g,
står vinkelret på g – eller forlængelsen
af g.
5 Hvor mange forskellige par af
grundlinjer og højder er der
i en trekant?
6 Hvor store er vinklerne mellem
grundlinjer og højder?
7 De tre trekanter øverst er kongruente
og har derfor samme areal. Hvad er
længden af hver trekants grundlinje
og højde?
8 Klip eller tegn hver mindst tre forskellige
trekanter, der har samme
areal. Forklar, hvordan I har gjort.
AREAL
h
31

32 AREAL
PROBLEM
HØJDERNE I EN TREKANT
Du skal bruge et geometriprogram til at løse opgaverne
på siden.
Hent fi len „Trekant“ på Kolorits hjemmeside.
1 Afl æs arealet af trekant ABC. Hvad sker der med
arealet, når du
a gør grundlinjen dobbelt så lang?
b gør højden dobbelt så lang?
2 Træk i punktet P. Hvorfor ændres arealet af trekant
ABC ikke?
3 Linjestykket BP er den højde, der hører til grundlinjen,
AC.
Hvilken type trekant er ABC, når højden ligger
a uden for trekanten?
b på trekanten?
c inden i trekanten?
4 Træk i hvert punkt, så arealet af trekant ABC bliver
ca. 72.
Hvad kan længden af højden og grundlinjen være,
når arealet er 72?
Skriv mindst tre forskellige løsninger.

1
2
Mål den højde i trekanten, der hører
til den
a røde grundlinje.
b blå grundlinje.
c grønne grundlinje.
Mål den højde i parallelogrammet,
der hører til den
a røde grundlinje.
b gule grundlinje.
c grønne grundlinje.
d blå grundlinje.
FÆRDIGHED
3 a Find arealet af en trekant med en
grundlinje på 6 cm og en højde på
3 cm.
b Hvordan kan trekanten se ud?
Tegn mindst tre forskellige løsninger.
4 a Find arealet af et parallelogram
med en grundlinje på 6 cm og en
højde på 3 cm.
b Hvordan kan parallelogrammet se
ud? Tegn mindst tre forskellige
løsninger.
5 a Tegn et tilfældigt parallelogram og
navngiv siderne a, b, c og d. Hvilket
tal skal du gange med a for at finde
parallelogrammets areal? Hvilket tal
skal du gange med b? c? d?
b Tegn en tilfældig trekant og navngiv
siderne a, b og c. Hvilket tal
skal du gange med a, for at finde
trekantens areal?
Hvilket tal skal du gange med b? c?
6 Her er skitser af to forskellige trekanter,
der begge har arealet 21 cm 2 .
a Grundlinjen i den ene trekant er
7 cm. Hvor lang er højden?
b Højden i den anden trekant er 3 cm.
Hvor lang er grundlinjen?
AREAL
33

To kongruente trapezer
34 AREAL
MUNDTLIG AREALET AF ET TRAPEZ
I kan fi nde arealet af et trapez ved at
inddele det i trekanter og lægge arealet
af hver trekant sammen. Men I kan også
udvikle en formel, som gør det hurtigere
at fi nde arealet.
På billedet øverst er der to kongruente
trapezer. Som I kan se, kan de to trapezer
tilsammen danne et parallelogram.
1 Undersøg, om to kongruente trapezer
altid kan danne et parallelogram.
2 Hvad er arealet af parallelogrammet
øverst? Forklar, hvordan I fi nder det.
3 Hvordan kan I nu fi nde arealet af
hvert trapez? Skriv en formel.
4 Tegn eller klip mindst tre forskellige
trapezer. Brug jeres formel til at fi nde
arealet af hvert trapez. Sammenlign
jeres resultater med det areal, I kan
fi nde ved at inddele i trekanter.

LIGEBENEDE TRAPEZERS AREAL
I et trapez er netop to sider parallelle.
Hvis de to sider, der ikke er parallelle, er lige lange,
kaldes trapezet for et ligebenet trapez.
1 Herunder ses to følger af ligebenede trapezer, der vokser.
Løs opgave a-d for hver følge.
a Tegn trapezet på trin 4.
b Find arealet af hvert trapez på trin 1, 2, 3 og 4.
c Hvad bliver arealet af trapezet på trin 10?
d Kan du lave en regel?
Følge 1:
Følge 2:
2 Tegn selv en følge af trapezer, der vokser fra trin til
trin.
Trapezerne behøver ikke at være ligebenede.
Undersøg arealet af hvert trapez og beskriv, hvordan
de vokser.
Du kan udstille din følge af trapezer på Kolorits
hjemmeside.
PROBLEM
AREAL
35

MUNDTLIG
Fra cirkel til parallelogram
I skal udvikle en formel, der kan bruges
til at fi nde arealet af en cirkel.
På billedet øverst kan I se en cirkel,
der er blevet klippet i mindre stykker.
Stykkerne er lagt, så de næsten danner
et parallelogram. Arealet af cirklen og
parallelogrammet er derfor det samme.
36 AREAL
AREALET AF EN CIRKEL
1 Tegn en cirkel med radius 10 cm.
2 Hvad er cirklens omkreds?
3 Inddel cirklen i mindre stykker som
vist på billedet øverst. Klip cirkelstykkerne
ud, og læg dem, så de danner
et parallelogram.
4 Hvor lang er parallelogrammets
grundlinje og højde? Hvor stort er
parallelogrammets areal?
5 Hvor lang ville parallelogrammets
grundlinje og højde være, hvis cirklen
havde radius r?
6 Skriv en formel for cirklens areal.

STØRRELSEN AF TALLERKNER
1 En familie har to størrelser tallerkner.
Den mindste tallerken har en diameter på 15 cm,
og den største tallerken har en diameter på 30 cm.
Beregn arealet af hver tallerken.
2 Familiens lillebror mener, at den største tallerken er
dobbelt så stor som den mindste.
Familiens storebror mener, at den største tallerken er fi re
gange så stor som den mindste.
Hvem har ret? Hvorfor?
3 Familien synes, at de mindste tallerkner er for små, og
de største tallerkner er for store.
De vil gerne købe nogle nye tallerkner, hvis størrelse er
midt imellem den mindste og den største.
Hvilken diameter skal den nye tallerken ca. have, hvis
man spørger familiens
a lillebror?
b storebror?
MUNDTLIG
PROBLEM
AREAL
37

FÆRDIGHED
MUNDTLIG SKRIV REGNEUDTRYK KORTERE
1 Beregn arealet af hvert trapez.
b
d
a
2 Beregn arealet af hver cirkel.
Brug lommeregner.
a
c
b
c
38 BESKRIVELSE AREAL AF SAMMENHÆNGE
3 Beregn arealet af hver figur.
Brug lommeregner.
c
a
b
4 I matematikskriftet Rhind Papyrus
påstås det, at en cirkel med en diameter
på 9 cm har samme areal som
et kvadrat med sidelængden 8 cm.
9cm
8cm
Undersøg, om det er rigtigt.
Brug lommeregner.

Tegningen øverst viser en grund med et hus set fra oven.
Den er lavet i målestoksforholdet 1:200.
1 Tegn grunden og huset i et målestoksforhold,
du selv vælger.
2 Beregn det virkelige areal af
a grunden.
b huset.
c haven.
NY SWIMMINGPOOL
3 Familien, der bor i huset, vil gerne have anlagt en
rund swimmingpool i haven. De kan vælge mellem de
størrelser, der er vist i skemaet til højre.
a Vælg en pool, og tegn den på din tegning
fra opgave 1.
b Beregn poolens areal.
4 a Hvad er diameteren på den største pool, familien
kan vælge?
b Hvilken pool skal de vælge, hvis de gerne vil have
en stor pool, men samtidig ønsker, at den skal
fylde mindre end en tredjedel af haven?
PROBLEM
Runde swimmingpools,
diametre i meter
5
6
7,5
8
10
12
13
15
AREAL
39

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
40 AREAL
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Finde, måle og tegne
højder i et parallelogram
Finde, måle og tegne
højder i en trekant
Finde arealet af trekanter
Finde arealet af parallelogrammer
Finde arealet af trapezer
Finde arealet af cirkler
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Det kan være en god ide også at forklare med tegninger.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Skriv formler, som du har arbejdet med i kapitlet.
Forklar, hvad formlerne kan bruges til.
Forklar, hvad der menes med højder i et parallelogram
og i en trekant.
Forklar, hvorfor formlerne til at finde arealet af
rektangler og parallelogrammer er ens.
Forklar, hvorfor du også kan finde arealet af
trekanter og trapezer, når du kan finde arealet af
paralle logrammer.
Forklar med tegninger, hvorfor formlen til at finde
arealet af cirkler er rigtig.
Beskriv nogle situationer fra hverdagen, hvor man
bruger arealberegning.
Fortæl, hvordan du bedst arbejder med matematik –
alene eller sammen med andre?

Beskrivelse
af sammenhænge
De fleste mennesker er vant til at tale om sammenhænge.
Vi kan fx finde på at sige, at der skal være sammenhæng
mellem løn og arbejdsindsats – udtrykt anderledes:
Jo mere vi arbejder, jo flere penge forventer vi at
tjene. Eller vi kan spørge: „Er der mon sammenhæng
mellem bilisters alder og antallet af uheld? Er det sådan,
at jo yngre bilister er, jo flere uheld sker der?“
Nogle sammenhænge omtaler vi sjældent som „sammenhænge“
til daglig. Vi ved, at hvis 100 g oliven koster
13,50 kr., så koster 200 g oliven 27 kr., men det er nok
de færreste, der tænker: „Her er en bestemt sammenhæng
mellem pris og vægt.“
Denne sammenhæng kan ellers være både vigtig og
praktisk at have styr på, hvis du fx skal kontrollere, om
du har betalt den rigtige pris for en vare eller vil sammenligne
varens pris med prisen i andre butikker.
INTRO
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
41

1 En sproglig beskrivelse
MUNDTLIG FIRE FORSKELLIGE BESKRIVELSER
Prisen for bolsjer er det antal gram, du
køber, ganget med 0,25 kr.
Matematik kan bruges til at beskrive
mange forskellige sammenhænge fra virkeligheden,
og i nogle tilfælde er det ret
praktisk med en matematisk beskrivelse.
Øverst er vist fire forskellige måder at
beskrive sammenhængen mellem prisen
og mængden af bolsjer.
42 BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
2 En ligning
Pris i kr. = 0,25 · antal gram
Sammenhængen kan også skrives:
y = 0,25 · x
Her står y for „pris i kr.“, og x står for „antal
gram“.
1 Hvad betyder tallet 0,25 i den sproglige
beskrivelse og i ligningen?
2 Forklar, hvordan hver af de fire beskrivelser
kan bruges til at finde prisen
på 225 gram bolsjer.
Hvilken beskrivelse gør opgaven lettest?
3 Forklar, hvordan hver af de fire beskrivelser
kan bruges til at finde cirkaprisen
på 181 gram bolsjer.
Hvilken beskrivelse gør opgaven lettest?
4 Hvilken beskrivelse vil I bruge til at
finde den nøjagtige pris på 181 gram
bolsjer? Hvorfor?

3 En tabel
x 50 100 150 200
y 12,50 25,00 37,50 50,00
x 250 300 350 400
y 62,50 75,00 87,50 100,00
x står for „antal gram“
y står for „pris i kr.“
5 Lav hver af de fi re beskrivelser om,
så prisen på bolsjer beskrives i ører i
stedet for kroner.
6 Diskuter, hvordan de forskellige beskrivelser
af sammenhængen mellem
pris og mængde vil ændre sig, hvis
prisen på 100 g bolsjer er større eller
mindre end 25,00 kr. – fx 34,95 kr.
eller 10,00 kr.
7 Lav hver især de fi re beskrivelser af
sammenhængen mellem en ny pris, I
selv vælger, og mængden af bolsjer.
8 Præsenter jeres beskrivelser for
hinanden, og sammenlign dem.
Find ligheder og forskelle.
4 En graf
Indhold og mål
I dette kapitel skal I bl.a. arbejde mere
med at lave matematiske beskrivelser af
forskellige sammenhænge.
Målet er, at I
bliver bedre til at beskrive sammenhænge
på de fi re forskellige måder,
der er vist øverst.
lærer at bruge beskrivelserne til at
løse problemer.
får kendskab til begrebet funktion.
lærer, hvordan nogle ligninger kan tegnes
som grafer i et koordinatsystem.
bliver bedre til at bruge funktionsprogrammer
og regneark.
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
43

Pant for dåser: 1,00 kr.
65 kr. i timen
12 km i timen
44
PROBLEM FIRE FORSKELLIGE SAMMENHÆNGE
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
1 Vælg mindst to af billederne, og beskriv den
sammenhæng, der vises, med en
a sproglig beskrivelse.
b ligning.
c tabel.
d graf.
2 Find mindst to andre sammenhænge
fra virkeligheden, som
kan beskrives matematisk.
Beskriv de to sammenhænge
på samme måde
som i opgave 1.
5 dele vand
til 1 del saft

1 Udfyld en tabel for hver ligning.
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
a y = 2 · x d y = 2 · x + 10
b y = x · 1
2
c y = x + 10
e x · 3 = y
f y = x
2 Udfyld en tabel for hver graf.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y
FÆRDIGHED
3 Find sammenhænge, og lav sproglige
beskrivelser, der passer til mindst to
af ligningerne.
a y = 0,50 · x
b y = x · 7,50
c y = x : 2
d y = x
4 Forklar for hver tabel sammenhængen
mellem x og y med dine egne ord og
med en ligning.
a
b
c
d
e
x 1 2 3 4 5
y 4 5 6 7 8
x 1 2 3 4 5
y 4 8 12 16 20
x 1 2 3 4 5
y 0 1 2 3 4
x 1 2 3 4 5
y 3 5 7 9 11
x 1 2 3 4 5
y 2 5 8 11 14
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
45

46
MUNDTLIG FUNKTIONER
I har foreløbig arbejdet med sammenhænge,
der på en måde ligner hinanden.
Når de er blevet beskrevet med en graf,
har de alle været rette linjer.
Det er langt fra alle sammenhænge, der
bliver rette linjer, når de tegnes i et koordinatsystem.
Øverst kan I se beskrivelser
af sammenhænge, der har meget forskellige
grafer. Læg mærke til, at der ikke er
nogen en heder på akserne.
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
1 Hvilken graf viser sammenhængen
mellem
prisen på en taxatur og det antal
km, der køres?
et menneskes højde og alder?
prisen på porto, og den vægt et
brev har?
beløb på en børneopsparing og tid?
temperaturen i en fryser, der lige
er blevet tændt, og tid.
2 Hvilken sammenhæng passer til den
sidste graf?
3 Hvilke enheder passer til de forskellige
sammenhænge?

I de sammenhænge, der er beskrevet
med grafer på side 46, hører der netop
én bestemt y­værdi til hver x­værdi. Sådanne
sammenhænge kaldes funktioner.
En funktion er altså en sammenhæng,
hvor der til enhver x­værdi kan fi ndes
netop én y­værdi.
4 Hvilke af graferne nederst på siden viser
funktioner? Hvorfor? Hvorfor ikke?
En ligning, der beskriver en funktion,
kaldes også for en funktionsforskrift.
Ligningen y = 5 · x er et eksempel på en
funktions forskrift.
5 Tegn en graf, der passer til hver ligning,
i det samme koordinat system.
a y = 5 · x d y = 5
b y = x · x e x = 5
c x = y f y = x – 5
6 Hvilken af ligningerne er ikke en funktionsforskrift?
Hvorfor?
7 Find selv på en anden ligning, der
ikke er en funktionsforskrift.
8 Find mindst tre andre ligninger, der er
funktionsforskrifter.
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
47

PROBLEM
MOBILPRISER
To forskellige teleselskaber præsenterede i 2006 nogle priser på mobilabonnementer
sådan:
Telia Xpress SONOFON Debillos
Pris pr. minut: 1,00 kr. 0,99 kr.
Opkaldsafgift: 0,25 kr. pr. opkald 0,25 kr. pr. opkald
SMS: 0,00 kr. pr. stk. 0,20 kr. pr. stk.
MMS: 3,00 kr. pr. stk. 2,50 kr. pr. stk.
Abonnement: 120 kr. pr. md. 0 kr. pr. md.
48 BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
1 Sammenlign de to abonnementers priser, og beskriv
de vigtigste forskelle.
2 Lav et overslag over dit eget (eller en opdigtet persons)
mobilforbrug på en måned.
Tænk på taletid, antal opkald, antal SMS’er og antal
MMS’er. Beregn, hvad det vil koste dig, hvis du er
abonnent på Telia Xpress og på SONOFON Debillos.
Brug evt. regneark.
3 Udfyld en tabel for hvert teleselskab, der viser den
pris, du skal betale, hvis du er abonnent og sender
SMS det nævnte antal gange.
Antal SMS’er 0 100 200 300 400 500 600 700
Pris i kr.
4 Tegn en graf, der beskriver sammenhængen mellem
pris i kr. og antal SMS’er for hvert abonnement. Lad
antal SMS’er være x og pris i kr. være y. Brug det
samme koordinatsystem.
5 Skriv en ligning, der beskriver sammenhængen mellem
pris i kr. og antal SMS’er for hvert abonnement.
Lad antal SMS’er være x og pris i kr. være y.
6 Forklar, hvad dine beskrivelser viser om de to abonnementers
priser.
Hvornår kan det ene abonnement betale sig?
Hvornår kan det andet abonnement betale sig?

1 a Hvilke af graferne er funktioner?
b Hvilke af funktionerne er rette
linjer?
2 Hvilke ligninger og grafer passer sammen?
a y = 1
2 · x
b y = x – 3
c y = x + 3
d y = 3 · x
e y = 3 · x + 2
FÆRDIGHED
3 Lav et koordinatsystem fx med
enheden 1 cm. Tegn grafen for hver
ligning i koordinatsystemet.
a y = 5 + x
b x – 5 = y
c y = 3
d x = 1
e y = 5 · x
f y = 5 · x + 5
g y = x : 3
h y = x ·
4 Hvilken af ligningerne i opgave 3 er
ikke en funktionsforskrift?
5 Skriv en funktionsforskrift, der passer
til hver sproglig beskrivelse.
a y er fire gange større end x.
b y er hele tiden 5.
c y er halvt så stor som x.
d Prisen for kartofler er 8,25 kr. pr. kg.
e x og y er lige store.
f Prisen for en taxatur er 8 kr. pr. km
og 24 kr. i startgebyr.
6 Lav en sproglig beskrivelse, der passer
til mindst tre af ligningerne fra
opgave 3.
7 a Udfyld en tabel, og tegn grafen for
y = x 2 – 4.
b Er det grafen for en funktion?
Hvorfor? Hvorfor ikke?
x ­3 ­2 ­1 0 1 2 3 4
y
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
49

50
MUNDTLIG SAMMENHÆNGE PÅ REGNEARK
Funktionsforskrift: y = 2 · x + 1
x y
–2 –3
–1 –1
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
6 13
I kan bruge et regneark til at lave tabeller
og grafer for funktioner.
1 Øverst står en funktionsforskrift.
Forklar, hvordan forskriften kan bruges
til at udfylde tabellen.
2 Lav et regneark med en tabel og en
graf, der viser funktionen y = 2 · x + 1.
3 Prøv at formatere koordinat systemet
på forskellige måder. Hvordan bliver
grafen lettest at aflæse?
Præsenter jeres resultater
for hinanden.
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
4 Prøv at ændre regnearket, så det
viser graferne for funktionsforskrifterne:
y = 2 · x + 2,
y = 2 · x + 3 og
y = 2 · x + 4.
5 Hvilke forskelle og ligheder har graferne?
Hvorfor?
6 Prøv at ændre regnearket, så det
viser tre grafer, der er parallelle med
dem, du lige har lavet. Lad graferne
gå igennem punkterne:
(0,6),
(0,0) og
(0,–6).
7 Forklar, hvordan I kan lave
funktionsforskrifter, hvis grafer er
parallelle linjer.

SAMMENHÆNGE I FUNKTIONSPROGRAMMER
I nogle programmer kan I nøjes med at
indtaste forskriften for den funktion, I
vil lave en tabel over og tegne grafen for
– resten sker automatisk. Sådanne programmer
er gode til at eksperimentere
med funktioner og undersøge sammenhængen
mellem forskrifter og grafer.
8 Brug et funktionsprogram. Tegn
grafen for y = 3 · x + 1 og grafen for
y = 2 · x + 1.
9 Tegn mindst tre grafer, som er
parallelle med y = 3 · x + 1.
Hvad er deres forskrifter?
10 Sammenlign grafen for y = 3 · x + 1
med grafen for y = 2 · x + 1. Hvilke
forskelle og ligheder har de to grafer?
MUNDTLIG
11 Prøv dig frem, og find forskriften for
a en anden funktion, hvis graf stiger
mindre end grafen for y = 3 · x + 1.
b en funktion, hvis graf stiger mere
end grafen for y = 3 · x + 1.
12 Hvordan kan I se på funktionsforskriften,
om grafen stiger meget eller lidt?
13 Prøv jer frem, og find forskriften for
mindst én funktion, hvis graf
a er vandret.
b falder.
14 Præsenter jeres resultater for hinanden.
Hvad har I opdaget om sammenhængen
mellem forskrifter og grafer?
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
51

FÆRDIGHED
1 Skriv forskriften for mindst tre forskellige
funktioner, som har grafer,
der
a er vandrette.
b er parallelle.
c falder.
2 Skriv forskriften for en funktion, der
a stiger mere end y = 5 · x.
b stiger mindre end y = 5 · x.
3 Skriv forskriften for en funktion, hvis
graf går igennem:
a (0,0)
b (0,5)
c (1,2)
52 BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
4 Hvilke af funktionerne har grafer, der
er rette linjer?
a y = x2 b y = x – 5
c y = x · 1
4
d y = x + 52 e y = x3 f y = x : 4
5 Her er forskrifterne for to funktioner:
l: y = 4 · x – 3
m: y = 3 · x + 2
a Tegn grafen for hver funktion.
Brug evt. et funktionsprogram.
b Aflæs på graferne. For hvilke
x­værdier bliver y­værdierne
større i l end i m?
mindre i l end i m?
lige store i l og m?
c Kontroller dine svar i spørgsmål b
ved at indsætte den x­værdi, du
fandt, i hver forskrift.

0 m
10 m
20 m
30 m
40 m
1 atm
2 atm
3 atm
4 atm
5 atm
1 Udfyld en tabel, og tegn en graf i et koordinatsystem,
der viser sammenhængen mellem vandets dybde og
vandtrykket.
Vanddybde i
meter
Vandtryk i
atmosfære
0 10 20 30 40 50 60 70 80
1
FUNKTIONER OG VANDTRYK
Opgaverne handler om det tryk, du kan mærke i ørerne,
hvis du dykker – det kaldes vandtryk. Jo dybere du dykker
ned i vandet, jo større er vandtrykket.
Der er altså sammenhæng mellem vandtryk og vanddybde.
Vandtryk kan måles i atmosfære. Ved havoverfl
aden er trykket 1 atmosfære.
2 a Lav en sproglig beskrivelse af sammenhængen
mellem vandtryk og vanddybde.
b Lav en ligning, der beskriver sammenhængen
mellem vandtryk og vanddybde.
3 Det er forskelligt, hvor vandtætte ure er, dvs. hvilket
vandtryk de kan holde til. Hvor langt ned kan du
dykke med et ur, der har en vandtæthed på
a 3 atmosfære? d 20 atmosfære?
b 10 atmosfære?
c 12,5 atmosfære?
e 30 atmosfære?
PROBLEM
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
53

PROBLEM
Du har tidligere arbejdet med formler
for cirklers omkreds og areal.
Formlen for en cirkels omkreds er
2 · π · r, og formlen for en cirkels areal er
π · r2 .
Både cirklens omkreds og areal afhænger
af dens radius. Med andre ord: Der
er en sammenhæng mellem omkreds og
radius og mellem areal og radius. Disse
sammenhænge er funktioner, for en cirkel
med en bestemt radius kan kun have én
bestemt omkreds og ét bestemt areal.
1 Skriv en funktionsforskrift, hvor x er
en cirkels radius, og y er en cirkels
a diameter.
b omkreds.
c areal.
2 Lav en tabel og en graf for hver
funktionsforskrift fra opgave 1. Lad x
gå fra 0 til 15 cm. Brug evt. et regneark
eller et funktionsprogram. Kald
graferne for d, o og a.
3 Brug graferne til at aflæse diameter,
omkreds og areal for en cirkel med en
radius på
a 4,5 cm.
b 9,5 cm.
c 14,5 cm.
4 a Vælg en af cirklerne fra opgave 3.
Brug formlerne til at finde diameter,
omkreds og areal.
b Sammenlign resultaterne med
aflæsningen på graferne.
Skriv, hvor stor forskel der er på
hver beregning og aflæsning.
54 BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
FUNKTIONER OG CIRKLER

I talfølger er sammenhængen mellem tal og trinnummer en
funktion – der hører netop et tal til hvert trin i talfølgen.
Eksempler: 2, 4, 8, 16, 32, …
5, 10, 15, 20, 25, …
4, 9, 16, 25, 36, …
5, 12, 22, 35, 51, …
1 Her er begyndelsen på en talfølge skrevet i en tabel, så
du let kan se, hvilket tal der hører til hvert trinnummer.
Trin nr. 1 2 3 4 5 6 7 8
Tal 0,1 0,2 0,3 0,4
a Skriv, hvordan talfølgen fortsætter til og med trin 8.
b Skriv forskriften for funktionen. Kald trinnummeret
for x og det tilhørende tal for y.
c Tegn en graf for funktionen. Brug evt. et
funktions program eller et regneark.
d Brug forskriften eller grafen til at fi nde det 20. tal
i talfølgen.
2 Hvis du skal fi nde ud af, hvordan en talfølge fortsætter,
kan det være en fordel at tegne en graf først.
a Tegn en graf, der passer til talfølgen. Forlæng
grafen, så den skærer y­aksen.
b Hvilken funktionsforskrift passer til grafen?
c Brug grafen eller forskriften til at fi nde det 20. tal
i talfølgen.
3 Find det 20. tal i hver talfølge.
a 3, 7, 11, 15, …
b 9, 15, 21, 27, …
c 7, 16, 25, 34, …
FUNKTIONER OG TALFØLGER
Trin nr. 1 2 3 4 5 6 7 8
Tal 7 12 17 22 27
PROBLEM
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
55

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
Afl æse på grafer
Tegne grafer i hånden
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Tegne grafer på regneark
Tegne grafer i funktionsprogram
Finde funktionsforskrifter
Forklare, hvad en funktion
er
y = 3 · x
x 1 2 3 4 5 6
y 3 6 9 12 15 18
56 BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Kom med et eller fl ere eksempler på sammenhænge
fra virkeligheden, der kan beskrives matematisk.
Forklar, hvordan du kan beskrive sammenhængen(e).
Forklar, med dine egne ord, hvad en ligning, en funktion
og en funktionsforskrift betyder.
Beskriv, hvilke nye ting du har lært om at bruge
regneark og funktionsprogrammer.
Skriv nogle funktionsforskrifter og forklar, hvordan
deres grafer vil se ud, hvis du tegner dem.
Hvem har du arbejdet sammen med? Hvordan var
jeres samarbejde?

Fraktaler
De fleste figurer, I arbejder med i matematiktimerne, har
rette linjer eller glatte kurver, fx rektangler og cirkler.
Disse figurer kan ofte bruges til at beskrive menneskeskabte
ting som fx bygninger eller cd’er.
Men i naturen findes næsten ingen rette linjer og glatte
kurver. Tænk fx på barken på et træ, takkede bjergkamme
eller kystlinjer, der bugter sig uregelmæssigt.
Store dele af naturen kan bedre beskrives med en ny
type figurer, som I skal arbejde med i dette kapitel – de
hedder fraktaler.
Ordet fraktal betyder „brudt“. Navnet passer godt til de
brudte linjer, der dannes i fraktaler.
INTRO
FRAKTALER
57

PRÆSENTATION TO kENdTE – Og EN Ny FRAkTAl
Von Kochs snefnugkurve
Fraktaler kan se meget forskellige ud,
men de har alle to særlige kendetegn.
For det første er de lavet ved at gentage
den samme proces mange gange.
For det andet ligner små dele af en
fraktal større dele af fraktalen.
1 Se på fraktalerne, der kaldes Von
Kochs snefnugkurve og Pythagoras’
træ, øverst.
a Hvilke gentagelser kan I få øje på
i hver fraktal?
b Hvilke små dele af hver fraktal
ligner større dele af fraktalen?
58 FRAKTALER
Pythagoras’ træ
Side 60-61 Side 62-63
Sådan kan I arbejde med kapitlet
I dette kapitel skal I først arbejde
med Von Kochs snefnugkurve og
Pythagoras’ træ. Herefter skal I
lave jeres egen fraktal – enten på
computer eller ved at tegne i
hånden.
Til sidst skal I skrive en kort rapport
om jeres arbejde. Rapporten
kan bl.a. indeholde en beskrivelse
af jeres fraktal og nogle opgaver til
den, som andre kan svare på.
I kan udstille jeres fraktaler og
rapporter på Kolorits hjemmeside.
Der kan I også se og læse om
andres fraktaler.

Din egen fraktal
Indhold og mål
Kapitlet handler om fraktaler og deres egenskaber.
Målet er, at I
lærer, hvad der kendetegner fraktaler.
kan undersøge og arbejde med forskellige egenskaber
ved to kendte fraktaler.
kan bruge jeres erfaringer og fantasi til at fremstille
jeres egen fraktal.
kan undersøge og arbejde med forskellige egenskaber
ved jeres egen fraktal – og stille spørgsmål
om den, som andre kan svare på.
FRAKTALER
Side 64-65
59

60 FRAKTALER
EMNE VoN Kochs sNEfNugKurVE
Trin 0
En ligesidet trekant. Sidelængden er 9 cm.
Von Koch var en svensk matematiker, der
levede fra 1870 – 1934. I begyndelsen
af 1900-tallet fik han ideen til en figur,
der ligner et snefnug.
Tegningerne øverst viser, hvordan du
kan tegne snefnugkurven. Det kan være
en fordel at bruge isometrisk papir.
1 Tegn snefnugkurven til mindst trin 3.
2 a Undersøg, hvor mange linjestykker
snefnugkurvens omkreds består af.
Lav et skema som vist, og udfyld
så meget af det, du kan.
Trin 0 1 2 3 4 10
Antal linjestykker
3
b Kan du lave en regel?
Trin 1
Hver af trekantens sider er delt i tre lige
store dele. På de midterste dele er tilføjet to
sider, så der dannes nye ligesidede trekanter.
3 a Undersøg, hvor lange snefnugkurvens
yderste linjestykker er. Lav
et skema som vist, og udfyld så
meget af det, du kan.
Trin 0 1 2 3 4 10
Sidelængde
i cm
9
b Kan du lave en regel?
4 a Undersøg omkredsen af snefnugkurven.
Lav et skema som vist, og
udfyld så meget af det, du kan.
Trin 0 1 2 3 4 10
Omkreds
i cm
27
b Kan du lave en regel?

Trin 2
Processen er gentaget.
Snefnugkurven afsluttes ikke på et bestemt
trin. I et geometriprogram kan snefnugkurven
fortsættes til et trin, du selv
bestemmer, og omkredsen af den bliver
længere og længere fra trin til trin.
5 Undersøg filen „Snefnugkurve“ fra
Kolorits hjemmeside.
Hver side i snefnugkurven kaldes en Von
Koch kurve. Nogle af verdens kystlinjer
ligner Von Koch kurver.
Trin 10
6 Tegn en eller flere Von Koch
kurver, hvor processen, der bliver
gentaget, er lidt anderledes. Du
kan fx bruge idéen herunder og
fortsætte til mindst trin 3.
Trin 0
Trin 1
Trin 2
FRAKTALER
61

62 FRAKTALER
EMNE PyThAgORAS’ TRÆ
Trin 0 Trin 1
Den græske matematiker, Pythagoras,
der levede ca. 560 – 480 f.Kr., lægger
navn til en fraktal, der ligner et træ.
Tegningerne øverst viser, hvordan du
kan tegne Pythagoras’ træ. Du kan
enten bruge et geometriprogram eller
tegne i hånden. Hvis du tegner i hånden,
kan du bruge en tegnetrekant eller en
vinkelmåler til at tegne de retvinklede,
ligebenede trekanter og en passer eller
en lineal til at fi nde kvadraternes sidelængder.
1 Tegn Pythagoras’ træ til mindst
trin 3.
2 Hvad er arealet af
a kvadratet på trin 0?
b trekanten på trin 0?
3 Undersøg, om påstandene herunder
er sande eller falske.
a De to nye kvadrater på trin 1 har
tilsammen samme areal som kvadratet
på trin 0.
b De to nye trekanter på trin 1 har
tilsammen samme areal som trekanten
på trin 0.
4 a Find det samlede areal af Pythagoras’
træ på hvert trin. Når to grene
dækker hinanden,
skal du regne
med arealet af begge grene.
Lav
et skema som vist,
og udfyld så
meget af det, du kan.
Trin 0 1 2 3 4 10
Areal i cm 2 20
b Kan du lave en regel?

Trin 2 Trin 10
Hvis du tegner de retvinklede trekanter i
Pythagoras’ træ på en anden måde, kan
fraktalen komme til at se helt anderledes
ud.
5 Beskriv forskellene mellem Pythagoras-træet
herunder og det træ, du
tegnede i opgave 1.
Trin 0
Trin 5
6 Tegn et eller flere Pythagoras-træer,
hvor den retvinklede trekant er lidt
anderledes. Du kan fx bruge idéen
herunder og fortsætte til mindst trin 3.
7 Undersøg de forskellige filer med
Pythagoras-træer på Kolorits hjemmeside.
Kommer nogle af dem til at
ligne ting fra naturen?
FRAKTALER
63

64 FRAKTALER
EMNE dIN EgEN FRAkTAl
Sierpinskis trekant Pythagoras-spiralen
Du skal tegne din egen fraktal. Billederne
øverst kan måske inspirere dig.
Måske kan du lave en ny fraktal ved at
ændre på en af de fraktaler, der allerede
findes.
Sierpinskis trekant kan fx ændres ved at
bruge en anden figur end en ligesidet
trekant:
Eller ved at bruge to forskellige figurer:
Pythagoras-spiralen kan fx ændres ved
at lade de retvinklede trekanter hænge
sammen på en anden måde:
Eller ved at bruge en anden figur:

En rumlig fraktal En fraktal med linjestykker
En fraktal kan også være rumlig. Måske kan du få en idé
til en rumlig fraktal, som du fx kan bygge af centicubes.
Måske kan du få en idé til en fraktal,
der består af linjestykker.
Du kan også lade dig inspirere af naturens fraktaler.
FRAKTALER
65

66 FRAKTALER
POINTER IdÉER TIl RAPPORTSkRIVNINg
Du skal skrive en kort rapport om dit arbejde med fraktaler.
Brug forslagene her på siden eller dine egne idéer.
Skriv om enten Von Kochs snefnugkurve, Pythagoras’
træ eller om din egen fraktal. Du kan fx
beskrive, hvordan fraktalen kan tegnes
i hånden.
på computer.
beskrive nogle af fraktalens egenskaber.
Du kan fortælle om
antallet af fi gurer i fraktalen.
antallet af sider.
sidernes længde.
fi gurernes areal.
symmetri.
lave nye opgaver til fraktalen.
beskrive, hvordan fraktalen kan komme til at se
anderledes ud.
sammenligne fraktalen med ting fra naturen.

Brug af brøker
Brøker er tal ligesom de hele tal.
På tallinjen er der uendelig mange brøker imellem de
hele tal.
Vi kan beskrive mange af de størrelser, vi har brug for,
med brøker – fx længder og rumfang.
Men brøker kan også bruges til at beskrive andet end
størrelser.
Kapitlet handler om noget af det, brøker kan bruges
til at beskrive.
INTRO
BRUG AF BRØKER
67

1 2
5 af rektanglet er farvet.
Hvor mange cm2 er det?
MUNDTLIG SAMME BRØK – FORSKELLIGE BETYDNINGER
Brøker bruges i forskellige betydninger.
Som I kan se øverst, kan brøken 2
5 fx
bruges til at beskrive en del af en
helhed.
være en del af et blandet tal.
betyde divisionen 2 : 5.
bruges til at beskrive forholdet
mellem to størrelser.
68 BRUG AF BRØKER
2 3 2
5
har en plads på tallinjen. Hvor?
1 Forklar, hvordan I finder svaret på
spørgsmål 1 øverst.
Hvad er svaret, hvis rektanglet er
a 5 cm 2 ?
b 25 cm 2 ?
c 10 m 2 ?
2 Forklar, hvordan I finder svaret på
spørgsmål 2.
Nævn mindst fem blandede tal, der
er større end 3 og mindre end 3 1
2 .
Hvordan kan I afgøre, hvilket
blandet tal der er størst?

3 2
5 kan også betyde 2 : 5.
Hvilket decimaltal svarer til 2
5 og 2 : 5?
3 Forklar, hvordan I finder svaret på
spørgsmål 3.
Find andre brøker, der har samme
resultat som divisionen 2 : 5.
4 Forklar, hvordan I finder svaret på
spørgsmål 4.
Hvor høj er den store flagstang, hvis
den lille er
a 4 meter?
b 5 meter?
c 6 meter?
5 Hvor høj er den lille flagstang, hvis
den store er 2,5 meter?
6 Hvilke forskelle og ligheder er der
mellem de forskellige måder at bruge
brøken 2
5 på?
4 Forholdet mellem den lille og den store
flagstang er 2 : 5.
Det kan også skrives som brøk: 2
5
Hvor høj er den store flagstang?
Indhold og mål
2 meter
I dette kapitel skal I bl.a. arbejde med at
bruge brøker i de forskellige betydninger,
som er vist øverst.
Målet er, at I
bliver bedre til at bruge brøker til at
beskrive en del af en helhed.
kommer til at kende sammenhængen
mellem blandede tal og uægte brøker.
kommer til at vide, hvordan brøker
hører sammen med division, med
decimaltal og med tallinjen.
lærer, hvordan brøker kan bruges til at
beskrive forholdet mellem forskellige
størrelser.
BRUG AF BRØKER
69

PROBLEM TEGNEDE BRØKDELE
70 BRUG AF BRØKER
1 Tegn figurerne herunder i et geometriprogram eller
på prikpapir.
Vis 1
4 af hver figur på så mange forskellige måder som
muligt.
2 Hvert af kvadraterne til venstre er inddelt i mindre felter
med linjestykker mellem hjørnerne og midten af siderne
i kvadraterne.
Tegn kvadraterne og undersøg, hvor stor en del hvert
felt fylder af hvert kvadrat.
Brug evt. et geometriprogram.
3 Tegn selv kvadrater, og inddel dem i mindre felter.
Undersøg i hvert kvadrat, hvor stor en del hvert felt
udgør. Brug evt. et geometriprogram.
Du kan udstille dine kvadrater på Kolorits hjemmeside.

1 a Lav mindst tre forskellige tegninger,
der viser 2
3 .
b Skriv en regnehistorie, hvor du
bruger brøken 2
3 .
2 Hvad er 1
6 af
a 18 kr.? d 24 cm2 ?
b 180 cm? e 3 dl?
c 4,8 liter? f 6,30 m?
3 Hvad er helheden, hvis 1
5 er
a 2 cm2 ? d 3 dl?
b 6 kr.? e 1,5 m?
c 25 cm? f 1 1
5 liter?
4 Hvis 5
6 er 30 kr. Hvad er så
a 1
6 ?
4
d 6 ?
b 2
? 6 e helheden?
c 3
? 6 f
1
1 6 ?
5 Hvad er literprisen, hvis 3
8 liter maling
koster 30 kr.?
FÆRDIGHED
6 Tegn en tallinje og vis, hvor hver brøk
hører til på den.
2
3
1
4
5
6
6
12
2
12
7 Skriv mindst to andre brøker, der har
samme værdi som:
a 1
3
d 12
18
b 3
4 e 15
25
c 2
7
f
30
35
6
6
8 Omskriv brøkerne til decimaltal.
a
2
10
d 2
6
b 3
5 e 1
8
c 15
20
9 Omskriv hvert decimaltal til mindst
tre forskellige brøker.
f
3
8
a 0,25 d 0,6
b 0,4 e 0,75
c 0,1 f 0,85
10 Skriv tallene i rækkefølge efter størrelse.
1
3
0,4
3
5
0,35
9
20
0,3
BRUG AF BRØKER
71

1 Hvor er der mest mælk?
72
MUNDTLIG UÆGTE BRØKER OG BLANDEDE TAL
På billedet øverst til venstre er der tre
hele liter mælk og to 1
4 liter mælk. Der er
altså i alt 3 + 2
4 liter.
Det kan skrives som 3 1
2 liter.
Et tal, der består af et helt tal og en
brøk, kaldes et blandet tal.
På billedet øverst til højre er der syv
1
2 liter mælk.
Det kan skrives som 7
2 liter.
En brøk, hvor tælleren er større end
nævneren, kaldes en uægte brøk.
1 Svar på spørgsmål 1 øverst.
Forklar, hvordan I finder svaret.
En brøk, hvor tælleren er mindre end
nævneren, fx 2
3 , kaldes en ægte brøk.
2 Nævn mindst fem ægte brøker, der er
a mindre end 1
2 .
b større end 1
2 .
BRUG AF BRØKER
3 Hvad er den største værdi, en ægte
brøk kan have?
4 Nævn mindst fem uægte brøker, og
lav tegninger, der passer til hver brøk.
5 Hvad er den mindste værdi, en uægte
brøk kan have?

2 Hvor meget pizza?
Uægte brøker og blandede tal kan
bruges til at beskrive de samme størrelser.
I skal undersøge, hvordan uægte brøker
og blandede tal passer sammen.
6 Hvor meget pizza er der på billedet
øverst? Svar med både brøk og
blandet tal.
7 Tegn 5
4 pizza.
Hvilket blandet tal svarer det til?
Hvorfor?
8 Tegn 3 2
6 pizza.
Hvilken uægte brøk svarer det til?
Hvorfor?
Kan I finde flere uægte brøker, der
svarer til?
9 Hvor mange hele pizzaer svarer det
til, hvis der er
a 6
3 pizzaer?
b 7
3 pizzaer?
c 8
3 pizzaer?
d 9
3 pizzaer?
10 Forklar, hvordan man kan omskrive
en uægte brøk til et blandet tal.
11 Forklar, hvordan man kan omskrive
et blandet tal til en uægte brøk.
BRUG AF BRØKER
73

PROBLEM
A
B
C
74 BRUG AF BRØKER
BRØKER PÅ SØMBRÆT
I opgave 1-4 svarer arealet 1 til denne figurs areal:
1 Arealet af figuren på sømbræt A er 1 1
2 .
Det kan også skrives som 6
4 .
Skriv mindst fire andre brøker for arealet.
2 Hvad er arealet af figurerne på sømbræt B-F?
Beskriv hvert areal både med blandet tal og uægte
brøk.
3 Tegn mindst fire forskellige figurer på sømbrætpapir,
der har arealet
a 1 1
4.
b 5
2 .
4 a Fortsæt talfølgen, indtil du når et tal, der er større
end 3.
1
4, 3
4 , , …
b Tegn en figur med et areal, som svarer til hver
brøk i talfølgen.
Brug sømbrætpapir.
D E F

1 Lav en tegning, der passer til hvert
blandet tal, og omskriv til en uægte
brøk.
a 2 1
2
b 1 1
3
d 1 3
5
e 2 4
10
c 3 1
4 f 4 3
4
2 Lav en tegning, der passer til hver
uægte brøk, og omskriv til et blandet
tal.
a 8
6
d 10
3
b 7
e 4 9
4
c 9
2
3 Tegn en tallinje, og afsæt tallene fra
opgave 1 og 2 på den.
f
4 Skriv som både en uægte brøk og et
blandet tal, hvilke tal der er markeret
på tallinjen.
6
5
5 Hvilke brøker og blandede tal har
samme værdi?
a 7
3
b 9
4
c 2 1
3
d 18
8
e 2 1
4
f
14
6
g 2 2
6
h 2 25
100
FÆRDIGHED
6 a Skriv mindst fem blandede tal, der
er større end 2 og mindre end 3.
b Skriv mindst fem uægte brøker, der
er større end 3 og mindre end 4.
7 Skriv brøkerne i rækkefølge efter
størrelse.
5
1
9
2
13
3
19
4
8 a Skriv alle de brøker, du kan lave
med tallene 1, 2, 3, 4. Hvert tal
må kun bruges én gang i hver brøk,
og der må kun stå ét tal i tælleren
og ét tal i nævneren.
b Skriv brøkerne i rækkefølge efter
størrelse.
9 Hvor mange minutter er
a 1
3 af en time?
b 1
10 af en time?
c 1
5 af en time?
d 5
af en time?
4
e 5
af en time?
3
20
5
BRUG AF BRØKER
75

PROBLEM
76 BRUG AF BRØKER
BRØKER OG DIVISION
Divisionen, 1 : 4, kan fx betyde,
at en lagkage eller et stykke chokolade
skal deles i fire lige store stykker.
Brøken, 1
4, kan fx betyde en del ud af fire lige store dele.
1 Lav en tegning, der viser, at
a 1 : 3 = 1
3 .
b 1 : 5 = 1
5 .
c 2 : 3 = 2
3 .
d 4 : 3 = 4 1
= 1 3 3 .
e 7 : 5 = 7 2
= 1 5 5 .
2 Skriv et divisionsstykke, der passer til hver opgave.
Svar på hver opgave med en brøk og et blandet tal.
a Tre personer skal dele ti pizzaer, så de får lige
meget.
Hvor meget pizza får de hver?
b Til en fødselsdagsfest med ti deltagere er der
købt fire liter kakao.
Hvor meget kakao er der til hver?
c En familie på fire bor i en lejlighed på 121 m2 .
Hvor meget plads er der pr. person?
3 Skriv mindst tre opgaver, der hver kan besvares med
en brøk og et blandet tal.

1 Skriv med brøk eller blandet tal,
hvor meget pizza der bliver til hver,
hvis tre pizzaer skal deles lige mellem
a 2 personer.
b 4 personer.
c 5 personer.
2 Skriv med brøk eller blandet tal, hvor
meget sodavand der bliver til hver,
hvis fem sodavand skal deles lige
mellem
a 2 personer.
b 3 personer.
c 4 personer.
3 Skriv mindst to brøker, der svarer til
hvert divisionsstykke.
a 1 : 3 d 3 : 4
b 2 : 3 e 4 : 5
c 2 : 4 f 3 : 7
4 Skriv mindst to divisionsstykker,
der svarer til hver brøk.
a 1
2
d 3
8
b 3
4 e 4
c 1
7
f
5
5
9
FÆRDIGHED
5 Hvilke decimaltal, brøker og
divisionsstykker har samme
værdi?
a 3
5
b 5
8
d 0,625
e 0,6
c 6 : 10 f 5 : 8
6 Løs mindst seks divisionsstykker.
Svar med blandede tal.
a 6 : 4 j 83 : 7
b 10 : 4 k 92 : 7
c 15 : 4 l 107 : 7
d 21 : 5 m 89 : 8
e 27 : 5 n 163 : 8
f 33 : 5 o 242 : 8
g 19 : 6 p 555 : 9
h 39 : 6 q 899 : 9
i 47 : 6 r 723 : 9
7 Skriv mindst et divisionsstykke,
der svarer til hvert decimaltal.
a 0,25 d 1,2
b 0,4 e 1,5
c 0,8 f 2,25
8 Løs ligningerne.
a 1 : x = 1
3
b 2 : x = 2
5
c 4 : x = 4
7
d 2 : x = 1
3
e 6 : x = 3
5
f 6 : x = 3
4
BRUG AF BRØKER
77

MUNDTLIG BESKRIVELSE AF FORHOLD
1 Hvad er forholdet mellem bordenes
længder?
Man kan sammenligne størrelser på flere
måder.
Hvis man sammenligner længden af et
bræt på 1 meter og et bræt på 2 meter,
kan man fx sige, at det længste bræt er
1 meter længere end det korteste bræt
– forskellen mellem dem er 1 meter.
Man kan også sige, at det længste bræt
er dobbelt så langt som det korteste
bræt, eller det korteste bræt er halvt så
langt som det længste. Når man sammenligner
på den måde, taler man om
forholdet mellem de to brædder.
78 BRUG AF BRØKER
2 Hvad er forholdet mellem hjulenes
diametre?
120 cm
35 cm
Brøker kan bruges til at beskrive forhold.
Forholdet mellem det korteste bræt og
det længste bræt er 1
2 . Forholdet mellem
det længste bræt og det korteste bræt
er 2
. Læg mærke til, at rækkefølgen,
1
brædderne nævnes i, har betydning.
Det gælder, at 1
2 = 1:2 = 0,5.
Derfor kan man også skrive, at forholdet
mellem det korteste bræt og det længste
bræt er 1:2 eller 0,5.
Tit bruges skrivemåden med divisionstegnet,
1:2 – det siges „en til to“.
1 Beskriv forholdet mellem det længste
bræt og det korteste bræt på forskellige
måder.
2 Besvar spørgsmål 1 og 2 øverst.

3 Hvad er forholdet mellem vand og saft? 4 Hvad er forholdet mellem de to
pengebeløb?
Forholdet mellem to længder kaldes
også for målestoksforholdet. Det
kender I sikkert allerede fra fx landkort.
Men ordet forhold kan også bruges til at
sammenligne andre ting.
3 Besvar spørgsmål 3 og 4 øverst.
4 Hvor meget saftevand får I, hvis I
blander 1 dl af saften på billedet
øverst til venstre med vand?
Hvis I blander
a 5 dl?
b 3,5 dl?
c 0,5 dl?
5 Hvor meget saft skal I bruge
for at lave 1 liter saftevand?
6 På billedet øverst til højre er der i alt
84 kr.
Hvor mange penge skal der være i
hver bunke, hvis de skal deles i forholdet
a 1:1?
b 1:2?
c 1:3?
7 Giv eksempler på andre forhold, som
de 84 kr. kan deles i. Hvor mange
penge bliver der i hver bunke?
BRUG AF BRØKER
79

PROBLEM
80 BRUG AF BRØKER
SKÆRMFORHOLD?
I dag produceres fjernsyn med skærme, der har
formatet 16:9.
Det betyder, at forholdet mellem sidelængderne er
16:9.
Tidligere blev der produceret fjernsyn med skærme, der
havde forholdet 4:3.
1 Tegn et fjernsyn, hvor skærmen har forholdet
a 4:3.
b 16:9.
2 Hvor lang er den korteste side på et fjernsyn, hvis
den længste side er 64 cm, og skærmen har
forholdet
a 4:3?
b 16:9?
3 Hvis en fjernsynsskærm har forholdet 4:3, ser et
billede i forholdet 16:9 sådan ud:
a Forklar, hvorfor billedet har sorte kanter.
b Beregn, hvor mange cm sort kant der er øverst og
nederst, hvis den længste side er 64 cm.

1 Hvad er forholdet mellem
a den korte og den lange side i det
røde rektangel?
b den lange og den korte side i det
røde rektangel?
c den korte og den lange side i det
blå rektangel?
d den lange og den korte side i det
blå rektangel?
e de korte sider i det røde og i det
blå rektangel?
f de korte sider i det blå og i det
røde rektangel?
g de lange sider i det røde og i det
blå rektangel?
h de lange sider i det blå og i det
røde rektangel?
i omkredsen af det røde og det blå
rektangel?
j omkredsen af det blå og det røde
rektangel?
k arealet af det røde rektangel og
det blå rektangel?
l arealet af det blå rektangel og det
røde rektangel?
2 Tegn to huse, hvis højder har forholdet
3
2 .
3 Hvad er forholdet mellem antallet
af piger og antallet af drenge i jeres
klasse?
FÆRDIGHED
4 I en klasse er der 27 elever. Forholdet
mellem antallet af piger og drenge er
4
5 . Hvor mange piger og hvor mange
drenge er der i klassen?
5 For at lave en bestemt slags mørtel
til murerarbejde skal cement og sand
blandes i forholdet 1:7.
a Hvor meget cement skal man
bruge til 8 kg mørtel?
b Hvor meget sand skal man bruge
til 4 kg mørtel?
c Hvor meget mørtel kan man lave,
hvis man har 1 kg cement og 3,5
kg sand? Hvad bliver der tilovers?
6 a Tegn en trekant, der har arealet
12 cm 2 .
b Tegn en anden trekant. Målestoksforholdet
mellem den første
trekant og den anden trekant skal
være 1:2.
c Hvad er arealet af den nye trekant?
7 Frederikke og Olivia deler en avisrute
og tjener en måned 1250 kr. Den
måned har Frederikke arbejdet
15 dage og Olivia 10 dage. Hvor
mange penge bør de have hver?
BRUG AF BRØKER
81

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Bruge brøker til at
beskrive dele af figurer
Afsætte brøker på
tallinjen
Forklare, hvad ægte
brøker og uægte brøker
er
Omskrive uægte brøker
til blandede tal
Omskrive blandede tal
til uægte brøker
Beskrive sammenhængen
mellem brøker og division
Bruge brøker til at
beskrive forhold
82 BRUG AF BRØKER
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Tegn en figur, og inddel den i mindre dele, som du
selv vælger.
Skriv, hvor stor hver del er i forhold til hele figuren.
Tegn en tallinje, og vis med pile, hvor forskellige
brøker hører til.
Forklar, hvordan brøker og division hører sammen.
Giv eksempler på blandede tal og uægte brøker, der
har samme værdi.
Vis med eksempler, hvordan brøker og decimaltal kan
bruges til at beskrive forhold.
Fortæl, hvilke opgaver der var lettest, og hvilke
opgaver der var sværest at arbejde med.
2 10
31

Matematikkens sprog
Matematik har sit eget sprog, der består af
tal og symboler, fx regnetegn, brøkstreger, bogstaver
og parenteser.
På mange måder er det ret praktisk – det giver fx korte
måder at skrive formler på.
Matematikkens sprog går på tværs af landegrænser.
Når en problemstilling er oversat til matematiksprog,
kan den ofte løses ved at følge matematikkens regneregler.
Regnereglerne gælder uanset, hvilket land I kommer fra.
For at forstå og bruge matematik til at løse problemer
må I derfor kende matematikkens sprog.
INTRO
MATEMATIKKENS SPROG
83

MUNDTLIG TAL OG VARIABLE
1 Hvilken rækkefølge skal der regnes i?
5 + 4 · (3 – 2) · 6
Bliver det 150? …
eller 5? … eller 29?
I har tidligere brugt matematikkens
sprog mange gange, bl.a. i regneudtryk,
i ligninger og i forbindelse med formler.
Formler er regneudtryk, der fx kan bruges
til at beregne omkreds og areal.
Øverst er vist forskellige måder at bruge
matematikkens sprog på.
For at fi nde resultatet af stykket i spørgsmål
1 er det vigtigt, at I kan huske,
hvilken rækkefølge I skal regne i.
84 MATEMATIKKENS SPROG
2 Er det sandt eller falsk?
a 6 + 6 + 6 = 3 · 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
b 15 · 9 = 9 · 15
c 15 : 3 = 3 : 15
d 100 : 2 = 100 · 1
2
e 100 : 5 = 100 · 1
5
Man har aftalt denne rækkefølge:
1. Først udregnes indholdet af alle
parenteser.
2. Dernæst udregnes potenser.
3. Så udregnes gange og division.
4. Til sidst udregnes plus og minus.
De regningsarter, der har samme plads
i rækkefølgen, fx plus og minus, kan
regnes fra venstre mod højre.
1 Svar på spørgsmål 1. Hvad bliver
resultatet af stykket?
2 Hvilke af regneudtrykkene i spørgsmål
2 er sande?
Hvilke regneregler gælder her?
Giv eksempler på andre regneudtryk,
hvor I bruger regnereglerne.

3 Hvilke(t) tal passer på x’s plads?
15 + 3 · x = 5 · x – 5
I matematik bruges tit bogstaver i
stedet for tal, fx i formler.
Disse bogstaver kaldes variable, fordi
de erstatter tal, som kan variere.
3 Øverst er der regneudtryk, hvor der
er brugt variable. Svar på spørgsmål
3 og 4.
4 Hvilke af formlerne herunder kan
også bruges til at beregne arealet af
en trekant? Hvorfor?
a A = g · h · 1
b A =
g · h
2
2
c A = h · 0,5 · g
Jeg kan gætte mig frem … Hm …
Hvad vil være et godt gæt?
4 Hvad er arealet af trekanten?
Formel for en trekants areal:
A = 1
2 · h · g
A betyder areal
h er højden
g er grundlinjen
Indhold og mål
I dette kapitel skal I bl.a. arbejde med
at læse, forstå og bruge matematikkens
sprog rigtigt.
Målet er, at I
bliver sikre i at regne i den rigtige
rækkefølge.
lærer mere om de regneregler, der
gælder.
får erfaringer med at oversætte fra
hverdagssprog til matematikkens
sprog.
bliver bedre til at bruge formler.
får erfaringer med at omskrive regneudtryk
med og uden variable.
MATEMATIKKENS SPROG
85

PROBLEM HVAD ER REGNEUDTRYKKET?
86 MATEMATIKKENS SPROG
I opgaverne på denne side skal du bruge tallene
1, 2, 3, 4 og de fi re regnetegn til at skrive regneudtryk
med forskellige resultater.
Du skal bruge hvert tal netop én gang i dine regneudtryk,
men regnetegnene må du bruge fl ere gange. Du
må også gerne skrive potenser med tallene og bruge
parenteser.
1 Skriv regneudtryk med resultatet 0.
Hvor mange forskellige kan du lave?
2 Skriv et regneudtryk med resultatet 1.
Et med resultatet 2.
Derefter resultatet 3, 4, 5, …
Lav mindst fra 1­10.
Hvor langt kan du fortsætte?

1 Løs mindst otte opgaver.
a 3 + 5 – 4 + 1
b 2 + 4 · 3 – 8
c (4 + 3) · 7
d 4 – 3 – (2 + 5)
e 2 · 5 + 3 · 5
f 5 + 48 : 6
g 2 · 3 · 4 : 6
h 5 · (5 – 1) · 5
i 32 : 4 + 2 : 2
j 6 · 7 – 3 + 2 · 6
k 7 · 8 – 9 · 5
l (25 – 4) : 7 + 7
m 9 · 6 : 2 – 3 · 8
n 63 : (11 – 2) – 7
o 81 : 3 · 3 + (10 – 9)
p (3 · (10 + 6) : 4) – 10
2 a Beregn 8 + 2 · (7 – 2) – 3.
b Lav nye opgaver ved at sætte
parentesen forskellige steder i
regneudtrykket. Lav mindst fi re
nye opgaver.
c Løs de nye opgaver, du har lavet.
3 Skriv mindst fem forskellige regneudtryk
med resultatet 100. Regneudtrykkene
skal indeholde mindst fi re
tal og mindst to regnetegn.
4 Hvilke regneudtryk giver samme
resultat?
a 7 + 7 + 3 + 3
b 7 · (3 + 3)
c 2 · 3 + 2 · 7
d 7 · 2 + 3 · 2
e 7 · 3 + 7 · 3
f 2 · 7 · 3
5 Sandt eller falsk?
FÆRDIGHED
a 5 + 5 + 5 = 4 · 5 – 5
b 2 · 6 + 2 · 6 = 4 · 6
c 2 · 6 + 2 · 6 = 2 · (6 + 6)
d 2 · 6 + 2 · 6 = 2 + 2 · 6 · 6
e 5 · 2 + 3 = 5 · 3 + 2
f 5 · 2 + 3 = 5 · 5
6 a Følg punkterne.
1 Skriv et tal mellem 1 og 20.
2 Læg 4 til tallet.
3 Gang resultatet med 3.
4 Træk 9 fra det tal, du nu har.
5 Divider resultatet med 3.
6 Træk det tal, du først skrev, fra
det tal, du nu har.
Prøv med mindst tre forskellige tal.
b Kald tallet, du tænker på først, for x.
Skriv et regneudtryk, der passer til
hvert punkt.
MATEMATIKKENS SPROG
87

1
3
88
MUNDTLIG OMKREDS OG AREAL MED VARIABLE
1 Beregn omkredsen af rektangel 1
øverst, og forklar, hvordan I har regnet.
2 Hvilke af regneudtrykkene herunder
kan bruges til at beregne omkredsen
af rektangel 1?
a 4 cm + 7 cm + 4 cm + 7 cm
b 4 cm + 4 cm + 7 cm + 7 cm
c 2 · 4 cm + 2 · 7 cm
d 2 · (4 cm + 7 cm)
MATEMATIKKENS SPROG
2
4
3 Beregn omkredsen af kvadrat 2
øverst, og forklar, hvordan I har regnet.
4 Lav flere regneudtryk,
der kan bruges
til at beregne omkredsen af kvadrat
2.
5 Figur 3 til 8’s sidelængder er beskrevet
med bogstaver.
Lav flere regneudtryk, der kan
bruges
til at beregne omkredsen af hver figur.
6 Tegn en eller flere figurer med en
omkreds, der kan beskrives som 6 · a.

5
7
7 Lav et regneudtryk til hver af figurerne
1 til 8, som kan bruges til
at
bestemme figurens areal.
8 Se på figur 6.
Hvor store er b og c, når
a a = 1 cm?
b a = 2 cm?
c a = 3 cm?
9 Beregn arealet af hver figur 5 til 8,
når
a a = 1 cm.
b a = 2 cm.
c a = 3 cm.
10 Tegn en eller flere figurer med et
areal, der kan beskrives som 6 · a.
6
8
11 Hvilke fordele kan der være i at bruge
variable til at beskrive omkreds og
areal?
MATEMATIKKENS SPROG
89

PROBLEM
90 MATEMATIKKENS SPROG
GRUNDPLANER
Tegningerne viser nogle sommerhuse set ovenfra
– uden tag.
Den slags tegninger kaldes grundplaner.
Husenes vægge er bygget af betonplader med to forskellige
længder.
Længden af de lange betonplader kaldes p.
De korte plader er halvt så lange som de lange plader.
Betonpladerne bruges ikke i husets hjørner.
Der er afsat plads til døre og vinduer på grundplanerne.
1 Regneudtrykkene herunder kan bruges til at beregne
den samlede længde af betonpladerne i hus 1.
Forklar, hvordan regneudtrykkene passer sammen
med grundplanen af hus 1.
a 10 · p
b 14 · p – 4 · p
c 3 · p + 3 · p + 2 · p + 2 · p
d 3 · p + 4 · p – p + 3 · p – p + 4 · p – 2 · p
2 Skriv mindst to regneudtryk, som kan bruges til at
beregne den samlede længde af betonpladerne i
a hus 2.
b hus 3.
c hus 4.
3 Beregn for hvert hus den samlede længde af betonpladerne,
hvis en lang plade er
a 2 meter lang.
b 1,5 meter lang.

1 Tegn en fi gur med en omkreds, der
kan beskrives som:
a 3 · a
b 5 · a
c 2 · a + 2 · b
2 Tegn en fi gur med et areal, der kan
beskrives som:
a a · b
b 1
2 · a · b
c 2 · a
3 Arealet af en trekant kan beregnes
med formlen A = 1
2 · h · g , hvor A er
arealet, h er højden, og g er grundlinjen.
a Hvor stort er arealet, når højden
er 5 cm, og grundlinjen er 10 cm?
b Hvor stor er grundlinjen, når arealet
er 10 cm 2 , og højden er 4 cm?
c Hvor stor er højden, når arealet er
25 cm 2 , og grundlinjen er 5 cm?
4 Hvis a er 4, hvad er så
a a + a? c a : 2?
b 4 · a? d a 2 ?
5 Hvis a er 7, hvad er så
a a + a? c a : 2?
b 4 · a? d a 2 ?
FÆRDIGHED
6 Hvilke af regneudtrykkene herunder
har samme resultat?
a 5 · a + 5 · a
b a · (10 + 5)
c a · 5 + a · 10
d 10 · a
e 10 · a + 5 · a
f 15 · a
7 Her er en skitse af et rektangel.
12 – x
a Hvor lang er hver side, hvis x er
1? 5? 8? 11?
b Hvor stor er rektanglets omkreds,
hvis x er 1? 5? 8? 11?
c Skriv et regneudtryk, der kan bruges
til at bestemme omkredsen af
rektanglet.
d Forklar, hvorfor resultatet altid er
det samme.
MATEMATIKKENS SPROG
x
91

MUNDTLIG REGNEUDTRYK MED TAL OG VARIABLE
1 Et regneudtryk kan have et eller flere
led
+ og – , der ikke står i en parentes,
adskiller leddene.
Regneudtrykket her har fx tre led:
4 · (a + 3) – 2 · a – 3
Første led er 4 · (a + 3),
andet led er – 2 · a,
tredje led er – 3.
3 I kan bytte om på leddenes rækkefølge,
…
… men fortegnene skal flyttes med.
Her er byttet om på én måde:
4 · a + 3 – 2 · a – 3 = 4 · a – 2 · a + 3 – 3
Øverst står forskellige regler, som er
vigtige at kunne, når I skal læse og
skrive regneudtryk.
1 Regel 1 gør det muligt at tale om
de forskellige dele, der er i regneudtrykket.
Hvor mange led er der i
hvert regneudtryk herunder?
a 5 + 2 · 3 + 10 + 4 + 5
b 5 · a – 4 · b + 3 · c
c 1
1
2 + 2 · a – 2 – a
d – 2 + 3 · (3 – 2) – 1
2 Hvad er det andet led i hvert regneudtryk
i opgave 1?
92 MATEMATIKKENS SPROG
2 + og – kan både være regnetegn og
fortegn
I er vant til at bruge + og – som regnetegn,
men + og – er også fortegn, der
viser, om et tal er positivt eller negativt.
3 – 3 = 0 og 3 + 3 = 6
(her bruges + og – som regnetegn)
(–3) er det modsatte af +3
(her bruges + og – som fortegn)
Når der ikke er et fortegn foran et tal, er
tallet positivt.
4 I led med bogstaver eller ved parenteser
behøver I ikke skrive gangetegnet
Eksempler:
4 · a + 3 – 2 · a – 3 = 4a + 3 – 2a – 3
4 · (x + 2) = 4(x + 2)
3 Brug regel 2 og 3 til at omskrive hvert
regneudtryk i opgave 1, så leddene
står i to andre rækkefølger.
4 Kontroller, at de omskrevne regneudtryk
har samme resultat som de
oprindelige. I opgave 1b og 1c skal I
indsætte tal i stedet for a, b og c.
5 Hvilke af regneudtrykkene gør det
lettest at beregne resultaterne?
6 Regel 4 giver en kortere måde at
skrive regneudtryk på. Omskriv de
regneudtryk i opgave 1, hvor reglen
gælder.

1 Brug formlen til at beregne rum fanget
af en kegle, der har højden
20 cm, og hvor grundfl adens
a areal er 50 cm 2 .
b radius er 5 cm.
c diameter er 5 cm.
BRUG FORMLER
I en formelsamling kan du bl.a. fi nde formler, der kan
bruges til at beregne rumfang.
Formlerne er skrevet med matematiksprog.
Du kan fx fi nde formlen for en kegles rumfang:
Det kan være en god ide at tegne en skitse først.
2 Brug formelsamlingen bagerst i bogen. Find en
formel for rumfanget af
a en kugle.
b en cylinder.
c en pyramide.
3 Beregn rumfanget af en
a kugle med radius 5 cm.
b cylinder med radius 5 cm og højde 20 cm.
c pyramide med en grundfl ade på 25 cm2 og en
højde på 5 cm.
4 Hvad kan målene på en kegle, en kugle, en cylinder
og en pyramide være, hvis de hver skal have et rumfang
på ca. 100 cm 3 ?
Prøv dig frem. Brug evt. regneark.
PROBLEM
MATEMATIKKENS SPROG
93

PROBLEM
REGNEUDTRYK MED OG UDEN PARENTES
Du skal undersøge, hvordan du kan omskrive regneudtryk med parenteser til
regneudtryk uden parenteser.
Det kaldes at hæve parenteserne.
Parenteser, hvor der står minus foran, kaldes minusparenteser.
Parenteser, hvor der står plus eller ingenting foran, kaldes plusparenteser.
Her er et regneudtryk med en minusparentes og et regneudtryk uden parentes.
1 100 – (10 + 15 + 25)
2 100 – 10 – 15 – 25
De kan begge bruges til at beregne, hvor mange penge en kunde får tilbage efter et
indkøb i et supermarked.
94 MATEMATIKKENS SPROG
1 Hvor mange penge
a betalte kunden med i supermarkedet?
b købte kunden for?
c fi k kunden tilbage?
2 De to regneudtryk øverst har samme resultat.
Det betyder, at 100 – (10 + 15 + 25) = 100 – 10 – 15 – 25.
Forklar, hvordan hvert af de to regneudtryk passer
med indkøbet.
3 Omskriv regneudtrykkene herunder ved at hæve
minusparenteserne. Kontroller dine omskrivninger
ved at regne ud, om resultatet bliver det samme.
a 25 – (10 + 5)
b 25 – (10 – 5)
c 25 – (10 – 5 – 5)
4 Omskriv regneudtrykkene herunder ved at hæve
plusparenteserne. Kontroller dine omskrivninger ved
at regne ud, om resultatet bliver det samme.
a 25 + (10 + 5)
b 25 + (10 – 5)
c 25 + (10 – 5 – 5)

1 Man kan regne tal sammen
SKRIV REGNEUDTRYK KORTERE
Eksempel:
5 + 2(a + b) – 3 + a + 2a = 2 + 2(a + b) + a + 2a
2 Man kan samle led
Men kun de led, som har ens bogstaver.
Eksempel:
2 + 2(a + b) + a + 2a = 2 + 2(a + b) + 3a
3 Man kan gange ind i parenteser …
… ved at gange med hvert led i parentesen.
Eksempel:
2 + 2(a + b) + 3a = 2 + (2a + 2b) + 3a
Jo kortere I kan skrive formler og andre
regneudtryk, jo mere overskuelige vil de
være at bruge.
Når I omskriver regneudtryk med bogstaver,
så de bliver kortere, kaldes det
at reducere.
Reglerne øverst kan bruges til at
reducere, så regneudtrykkene stadig har
samme resultat.
1 Tal om hver regel.
Forklar, hvordan der reduceres i hvert
eksempel.
2 Kontroller, at hver regel passer, ved
at indsætte tal i stedet for a og b i de
oprindelige udtryk og de omskrevne
udtryk, og se, om de har samme
resultat.
MUNDTLIG
4 Man kan hæve
parenteser
Minusparenteser kan man
hæve, hvis man skifter fortegnene
i parentesen.
+ bliver til – og omvendt.
Plusparenteser kan man
hæve uden at skifte fortegn.
Eksempler:
2a + (a + b) = 2a + a + b
2a + (a – b) = 2a + a – b
2a – (a + b) = 2a – a – b
2a – (a – b) = 2a – a + b
3 Brug reglerne til at reducere regneudtrykkene:
a a + a + a + a
b 2b + 2b + b
c 2b – b + a + 4a
d 15 + a – 15 – a
e b + 2b +3c – b
f x + (x + x) – x
g x – (x + x) – x
h x – (x – x) – x
i 2 · 10 + 2a
j 2(a + b)
k 10c + 5(2c + 1)
l 2a – (a + b) – a + b
MATEMATIKKENS SPROG
95

FÆRDIGHED
MUNDTLIG SKRIV REGNEUDTRYK KORTERE
I opgave 1 til 3 skal du bruge regneudtrykkene
herunder.
1 2 · a + 2 · b + 2 · c
2 5 · x + 6 · y – 2 · x – 6 · y
3 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4
4 2 + 6 : 2 · 2 + 3 · x
5 9 · a · b · c + a · b · c
6 a · a + b · b + 2 · a · b
7 3 · x · y + 2 · x · y + 4 · x · y
8 a + b + a + b + a + b + a + b
1 Hvor mange led er der i hvert regneudtryk?
2 a Omskriv hvert regneudtryk, så leddene
står i en anden rækkefølge.
b Kontroller, at dine omskrivninger
er rigtige, ved at indsætte tal i stedet
for de variable i de oprindelige
udtryk og i de omskrevne udtryk,
og se, om de har samme resultat.
3 Reducer regneudtrykkene med
variable, og beregn regneudtrykket
med tal.
96 BESKRIVELSE MATEMATIKKENS AF SAMMENHÆNGE
SPROG
I opgave 4 og 5 skal du bruge regneudtrykkene
herunder.
1 a + (b + b)
2 (a + b) + a
3 a – (b + a)
4 – (a + b) + b
5 2 · (2 + 2)
6 (1 + 2 ) · 3
7 a · (b – b)
8 (a + b) · c – bc
4 a Hæv parenteserne i regneudtryk
1­4.
b Kontroller, at dine omskrivninger
er rigtige, ved at indsætte tal i stedet
for de variable i de oprindelige
udtryk og i de omskrevne udtryk,
og se, om de har samme resultat.
5 Reducer regneudtrykkene med
variable, og beregn regneudtrykkene
med tal.

Eksempler:
Figurens areal kan skrives
3a + 2a + 2b = 5a + 2b
1 Skriv et eller fl ere regneudtryk, der beskriver hver
fi gurs areal.
2 Lav en tegning, der viser hvert regneudtryk.
a 3(a + b) + 3a
b 2(a + b + c) + 4a
c 2a + 2b + 2a + 2b
d 3a + 3b + 3a
TEGNING AF REGNEUDTRYK
3 Reducer regneudtrykkene fra opgave 2.
Brug evt. dine tegninger.
PROBLEM
Figurens areal kan skrives
2a + 2b = 2(a + b)
MATEMATIKKENS SPROG
97

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Regne i rigtig rækkefølge
Lave formler for omkreds
Lave formler for areal
Hæve parenteser
Gange ind i parenteser
Reducere
Bruge formler
5 + 4 · (3 – 2) · 6
98 MATEMATIKKENS SPROG
Skriv om dit arbejde med kapitlet – brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Forklar, hvilken rækkefølge der skal regnes i, når der
er flere forskellige regnetegn i et regneudtryk. Giv
eksempler.
Tegn en eller flere figurer, og skriv formler, der kan
bruges til at bestemme hver figurs omkreds og areal.
Forklar, hvad der menes med „led“ og „fortegn“.
Vis med eksempler, hvordan man kan hæve
parenteser i et regneudtryk.
Vis med eksempler, hvordan man kan gange ind i en
parentes.
Vis med eksempler, hvordan man kan reducere
regneudtryk.
Giv eksempler på regneudtryk og tegninger, der
passer sammen.
Vurder dit eget arbejde med kapitlet. Hvordan har
din arbejdsindsats været?

Historiske matematikere
Meget af den matematik, I arbejder med i skolen, blev
udviklet for 2-3000 år siden.
Dengang havde man hverken papir, lommeregner eller
computer, som man kunne bruge til at skrive tal og tegn
på. De første matematikere skrev og tegnede på jorden,
på en vokstavle eller på papyrus.
Vores viden om den første matematik,
der blev udviklet, stammer
bl.a. fra en papyrus, der er skrevet
ca. 1650 f.Kr.
Den blev fundet i Egypten af en
mand, der hed Rhind, og kaldes
derfor Rhind Papyrus.
Især grækerne er kendt for at
udvikle matematik og skrive matematikken
ned.
Det vigtigste skrift om den første
matematik er Euklids Elementer fra
ca. 300 f.Kr. Det handler om den
matematik, især grækerne havde
udviklet på den tid.
I dette kapitel kan I arbejde med
fire forskellige matematikere og
noget af den matematik, som de
udviklede.
INTRO
HISTORISKE MATEMATIKERE
99

Thales
PRÆSENTATION HISTORISKE MATEMATIKERE
levede i år 636 – 546 f.Kr.
var græker.
er den første matematiker, vi kender.
kunne finde højden af Keopspyramiden
med et målebånd og en stok.
Side 102-103
100 HISTORISKE MATEMATIKERE
Euklid
Sådan kan I arbejde med kapitlet
levede i år 330 – 275 f.Kr.
var græker.
kaldes geometriens fader.
skrev Euklids Elementer, der blev
meget kendt.
Side 104-105
I kan læse om de fire matematikere og arbejde med
opgaver om den matematik, de udviklede.
I kan arbejde i grupper og vælge at gå i dybden med
en af de fire matematikere. I kan også læse om flere af
dem og arbejde med opgaver fra hver af dem.
Når I har arbejdet med kapitlet, kan I præsentere
jeres arbejde for resten af klassen. På side 110 er der
ideer til præsentationen.

Archimedes
levede i år 287 – 212 f.Kr.
var græker.
udviklede en regel, som vi i dag kalder
Archimedes lov.
har en kegle, kugle og cylinder på sin
grav. Side 106-107
Gauss
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med historisk matematik
med udgangspunkt i fire matematikere.
Målet er, at I
lærer nogle af de første matematikere at kende
og forstår deres betydning for den matematik, vi
kender i dag.
får erfaringer med at undersøge og løse matematiske
problemer.
samarbejder med andre, når I løser opgaver ved
hjælp af matematik.
bliver bedre til at fremlægge jeres arbejde for andre.
levede i år 1777 – 1855 e.Kr.
var tysker.
kaldes matematikkens konge.
arbejdede med teorier om tal.
HISTORISKE MATEMATIKERE
Side 108-109
101

EMNE THALES
Thales var en veluddannet græker fra
Milet, der rejste meget rundt i Babylon
og Grækenland.
Han er kendt for at være den, der fandt
en metode til at beregne højden af bl.a.
Egyptens pyramider. Thales overraskede
egypterne ved at beregne højden af Keopspyramiden
ved kun at bruge et målebånd
og sin matematiske viden. Han
satte en stok i jorden og målte længden
af både stokkens og pyramidens skygge,
102 HISTORISKE MATEMATIKERE
som solens stråler dannede. Tegningen
nederst på siden viser, hvordan han
forestillede sig to retvinklede trekanter
– den store trekant ved pyramiden og
den lille trekant ved stokken var ligedannede!
1 Se på tegningen.
a Hvad betyder det, at trekanterne er
ligedannede?
b Hvad er forholdet mellem de to
vandrette sider i trekanterne?
c Hvordan tror I, Thales fandt højden
af pyramiden?
d Hvor høj er Keopspyramiden?

Der findes mange historier om Thales.
En af dem viser, at Thales var meget
snedig.
Thales arbejdede en gang ved en saltmine.
Herfra skulle æsler bære saltet ud
til en havn. For at komme ud til havnen
skulle æslerne krydse en lavvandet
flod. En dag faldt et af æslerne i vandet
med sin last. Noget af det salt, der var
bundet fast til æslets ryg, blev opløst
i vandet. Æslet opdagede da, at lasten
2 Thales undersøgte en cirkels
periferivinkler og gjorde en opdagelse
om periferivinkler, der spænder
over diameteren. Se på tegningen.
a Tegn en cirkel og dens diameter i et
geometriprogram eller på papir.
b Tegn en tilfældig periferivinkel,
der spænder over diameteren. Mål
periferivinklen.
c Tegn mindst fire andre cirkler med
hver sin diameter.
d Tegn på samme måde en periferivinkel,
der spænder over diameteren
i hver cirkel.
Mål hver periferivinkel.
e Hvad opdager I om periferivinkler,
der spænder over diameteren?
var blevet lettere og lod sig siden falde
i vandet med vilje, hver gang det krydsede
floden.
På den måde gik en del af saltet tabt.
Men Thales fandt en løsning. Han sørgede
for, at æslet næste gang blev lastet
med svampe i stedet for med salt. Da
æslet igen lod sig falde i vandet, sugede
svampene vand til sig, og lasten blev
meget tungere end før. Herefter holdt
æslet op med sine narrestreger!
3 Thales fandt ud af noget særligt om
vinklerne i ligebenede trekanter.
a Tegn mindst fire forskellige ligebenede
trekanter i et geometriprogram
eller på papir.
Mål alle tre vinkler i hver trekant.
b Hvad opdager I om vinklerne i ligebenede
trekanter?
HISTORISKE MATEMATIKERE
103

EMNE EUKLID
Euklid studerede som ung i Athen.
Senere kom han til universitetet i
Alexandria i Egypten, hvor de bedste
studerende fra hele verden var samlet.
Euklid underviste på universitetet og
blev leder af den matematiske afdeling.
Der fi ndes en lille historie om Euklids
undervisning på universitetet. Engang
deltog kongen i hans undervisning i
geometri. Midt i det hele afbrød kongen
undervisningen. Han spurgte, om der
1 I Euklids Elementer kan man læse,
at hvis den ene side i en tilfældig
trekant forlænges, er den udvendige
vinkel større end hver vinkel inde i
trekanten.
a Tegn tre tilfældige trekanter i et
geometriprogram eller på papir.
Kald vinklerne A, B og C.
b Forlæng siden AC i hver trekant, så
der opstår en udvendig vinkel ved
siden af C. Kald vinklen D.
c Mål vinklerne, og udfyld et skema
som vist nederst.
d Hvilke sammenhænge opdager I?
Trekant 1
Trekant 2
Trekant 3
104 HISTORISKE MATEMATIKERE
ikke var en lettere måde at lære geometri
på, for han havde ikke tid til at
lære alt det, som Euklid fortalte. Euklid
svarede klogt, at der i den virkelige
verden fi ndes to veje – en for almindelige
mennesker og en for kongen, men
i geometrien er der kun én vej. Der var
altså ikke nogen let måde, som kongen
kunne lære geometri på!
A B C D A + B + C A + B C + D

Euklid undersøgte bl.a., hvilke figurer
det er muligt at tegne med passer og
lineal, og hvad der er karakteristisk ved
disse figurer. Han fandt rigtig mange
egenskaber, fx at hvis en trekant og
et parallelogram har samme højde og
grundlinje, så er parallelogrammets areal
dobbelt så stort som trekantens.
De fleste af datidens matematiske opdagelser
blev samlet på 133 ruller pergament.
Den samling hedder Euklids Elementer.
2 Euklid udviklede en metode til at
finde det største tal, som går op i
to andre tal. Man kalder tallet den
største fælles divisor. Metoden hedder
Euklids algoritme og er smart at
kende, når man skal forkorte brøker.
Herunder er Euklids algoritme brugt
til at forkorte 45
75 .
Det blev hurtigt et krav, at de, der studerede
matematik og naturvidenskab,
skulle læse og forstå Euklids Elementer, så
Euklid har haft utrolig stor betydning for
matematikkens historie. Euklid udviklede
ikke selv alt det matematik, han skrev
ned, men han var dygtig til at samle den
matematik, man kendte dengang.
Euklid bliver ofte kaldt geometriens fader.
Det meste af den geometri, I arbejder
med i skolen, er euklidisk geometri.
a Hvad er det største tal, der går op
i både 427 og 183?
b Brug Euklids algoritme til at forkorte
brøkerne:
78
195
132
209
1182
2758
Euklids algoritme
Dividér det største af de to tal med
Eksempel
1. det mindste. Hvor meget er der til
rest?
Hvis resten er 0, er det tal, I dividerede
med, det største tal, der går op i
75 : 45 = 1. Rest 30.
2.
begge tal.
Hvis resten ikke er 0, skal I dividere
resten op i det tal, I sidst dividerede
med.
45 : 30 = 1. Rest 15.
3. Fortsæt, indtil resten bliver 0. 30 : 15 = 2. Rest 0.
Det tal, I dividerede med og fik 0 som Divisionen med 15 gav 0 som rest.
4. rest, er det største tal, som går op i 15 er det største tal, der går op i
begge tal.
både 45 og 75.
5.
I kender nu den største fælles divisor
og kan forkorte brøken.
45 45 : 15
= =
75 75 : 15
3
5
HISTORISKE MATEMATIKERE
105

EMNE ARCHIMEDES
Archimedes var en meget tænksom
mand, der kom fra Sicilien. Han studerede
nysgerrigt ting omkring sig og ville fx
gerne tælle alle stjernerne på himlen og
sandkornene på stranden. Han stillede
altid spørgsmål og forventede et svar.
Som ung kom Archimedes til Alexandria
i Egypten, hvor verdens bedste universitet
på den tid lå. Her fi k han den
berømte lærer Euklid.
Archimedes undersøgte ting, der blev
puttet ned i vand. En sten føles lettere i
vand end oppe over vandet. Når stenen
er i vandet, hjælper vandet med til at
1 I skal prøve at fi nde sammenhængen
mellem rumfanget af en kegle, kugle
og cylinder.
Diameter Højde Rumfang
Kegle 10 cm 10 cm
Kugle 10 cm -
Cylinder 10 cm 10 cm
Kegle 15 cm 15 cm
Kugle 15 cm -
Cylinder 15 cm 15 cm
a Find rumfanget af fi gurerne, og
udfyld et skema som vist. Brug
formelsamlingen bagerst i bogen.
b Hvor mange gange er kuglens
rumfang større end keglens
rumfang, når diameter og højde i
keglen er det samme som kuglens
diameter?
106 HISTORISKE MATEMATIKERE
bære stenen. Hans undersøgelser førte
til en regel, som man kalder Archimedes
lov: En genstand, der sænkes ned i vand,
taber lige så meget vægt som vægten af
det vand, den fortrænger.
Archimedes fandt mange matematiske
sammenhænge. Han blev så begejstret
for sin opdagelse af sammenhængen
mellem rumfanget af en kegle, kugle og
cylinder, at han gerne ville have fi gurerne
på sin grav.
c Hvor mange gange er cylinderens
rumfang større end keglens rumfang,
når diameter og højde er
ens?
d Beskriv sammenhængen mellem
rumfanget af en kegle, kugle og
cylinder med samme diametre og
højder.

Der fortælles en historie om Archimedes
og den græske konge, Hiero. Hiero havde
en gang fået en guldsmed til at lave
en guldkrone. Archimedes skulle hjælpe
Hiero med at fi nde ud af, om guldkronen
var af ægte guld, eller om der var blandet
et andet metal i. Ideen til måden at
undersøge det på fi k Archimedes, da
han steg ned i et badekar. Karret var
fyldt med vand til randen, så noget af
vandet løb ud over kanten. Archimedes
tænkte, at det vand, der løb ud over
kanten, måtte fylde lige så meget som
han selv. Hvis en klump guld med samme
vægt som Archimedes blev sænket ned i
2 I skal prøve at fi nde sammenhængen
mellem en kugles overfl adeareal og
en cylinders krumme overfl ade. En
cylinders krumme overfl ade er arealet
af overfl aden uden top og bund. Brug
evt. formelsamlingen bagerst i bogen.
a Find den krumme overfl ade af en
cylinder med en diameter og højde
på
10 cm.
15 cm.
20 cm.
b Find overfl adearealet af en kugle
med en diameter på
10 cm.
15 cm.
20 cm.
c Hvad er sammenhængen mellem
en kugles overfl adeareal og en
cylinders krumme overfl ade?
vandet, ville der ikke løbe lige så meget
vand over, for en klump guld med samme
vægt fylder ikke lige så meget som
Archimedes. Archimedes sprang op af
badekarret og løb nøgen gennem byens
gader, mens han råbte: ”Heureka!”, der
betyder: ”Jeg har fundet ud af det”. Kronen
og en klump guld med samme vægt
som kronen blev sænket ned i hver sit
kar fyldt med vand. Der løb mest vand
over kanten fra det kar, hvor kronen blev
nedsænket. Kongen var altså blevet
narret, kronen bestod ikke af ægte guld!
Der var blandet et andet metal i, som
vejede mindre end guld.
HISTORISKE MATEMATIKERE
107

EMNE GAUSS
Gauss var allerede som lille temmelig
kvik. Da han var 3 år, opdagede
han fejl i sin fars regnskab, og det
siges, at Gauss kunne tælle, før han
kunne tale!
Også i skolen imponerede han sin
lærer. Som 9-årig fi k hans klasse til
opgave at lægge alle hele tal fra 1
til 100 sammen. De andre drenge i
klassen regnede længe, men Gauss
1 Gauss kunne hurtigt fi nde summen af
de første 100 hele tal.
I skal i første omgang fi nde summen
af de første 10 hele tal uden at bruge
lommeregner.
Tip:
Skriv tallene i rækkefølge efter størrelse.
Læg tallene sammen i par fra
hver sin ende. Find antallet af par og
summen af hvert par.
a Hvad er summen af de første
10 hele tal?
12 hele tal?
20 hele tal?
25 hele tal?
100 hele tal?
b Kan I lave en regel?
108 HISTORISKE MATEMATIKERE
kunne straks fortælle læreren det
rigtige resultat. Læreren troede, at
Gauss kendte opgaven på forhånd,
men det gjorde han ikke – han var
et geni.
2 Gauss fandt mange sammenhænge
mellem tal og metoder til at regne
ting hurtigt ud.
I skal fi nde en metode til at beregne
gennemsnittet af en række af lige tal.
Eksempler:
2+ 4
= 3
2
2+ 4 + 6
= 4
3
2+ 4 + 6+ 8
= ?
4
a Udfyld et skema som vist.
Antal
lige
tal
Gennemsnit
2 3 4 5 6 7 10 15 20
3 4
b Kan I lave en regel?

Gauss kom fra et fattigt hjem. Faderen
mente ikke, at han skulle begrave sig
i bøger. Han burde i stedet lære et
håndværk ligesom sin far, så han kunne
hjælpe med at tjene penge til familien.
Men en hertug opdagede, hvor dygtig
Gauss var til matematik, og tilbød at
betale for hans undervisning. Gauss blev
professor i matematik og skrev bl.a. om
sammenhænge mellem tal. Han beskæftigede
sig også med astronomi, landmå-
3 En kvindelig matematiker fra Frankrig,
Sophie Germain, arbejdede videre
med den matematik, som Gauss
havde udviklet. Hun er en af de få
kvindelige matematikere, der er
blevet kendt. Sophie Germain fandt
„Happy numbers“.
Vælg et tal,
fx 13
Sæt hvert
ciffer i anden
1 2 = 1
3 2 = 9
Hvis resultatet ender med at blive 1,
kalder man starttallet for et „Happy
number“. 13 er derfor et „Happy
number“.
Hvis resultatet ikke ender med at
blive 1, men bliver ved med at køre i
ring, er det ikke et „Happy number“.
15 er fx ikke et „Happy number“.
ling og fysik. Gauss løste mange matematiske
problemer, og han regnes for at
være en af de tre største matematikere.
Man kalder ham matematikkens konge.
Gauss elskede at beskæftige sig med tal
og brugte meget tid på at tælle primtal.
Da han døde, havde han lavet en oversigt
over alle primtallene op til
3 000 000.
Læg de to nye
tal sammen
1 + 9 = 10
Sæt hvert ciffer
i resultatet
i anden
1 2 = 1
0 2 = 0
a Undersøg, om disse tal er „Happy
numbers“:
11
23
28
31
33
b Undersøg andre tal, og find flere
„Happy numbers“.
HISTORISKE MATEMATIKERE
Læg de to nye
tal sammen
1 + 0 = 1
109

Idéer til præsentation
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Fortæl om jeres matematiker:
Hvor og hvornår levede han?
Hvad huskes han især for?
Hvad gjorde størst indtryk på jer?
110 HISTORISKE MATEMATIKERE
Skriv om dit arbejde med kapitlet – brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Hvad valgte I at arbejde med og hvorfor?
Hvilken betydning har den matematiker, I arbejdede
med, haft for udviklingen af matematik?
Hvordan var jeres samarbejde i gruppen?
Hvordan valgte I at fremlægge for klassen? Hvad
fungerede godt, da I fremlagde? Hvad vil I gøre
anderledes næste gang?
I skal præsentere jeres arbejde for resten af klassen.
Brug forslagene her på siden eller jeres egne idéer.
Vælg mindst en opgave ud, som I har arbejdet med, og fortæl:
Hvordan arbejdede I med opgaven?
Hvad lærte I?
Overvej, om resten af klassen skal
løse en af de opgaver, som
I har arbejdet med.

Tegning og konstruktion
I hverdagen kan I finde eksempler på mange forskellige
slags tegninger.
Nogle tegninger er til pynt, mens andre tegninger fx
skal vise, hvordan et planlagt hus kommer til at se ud,
eller hvordan et bestemt møbel skal samles.
For at kunne lave tegninger, der kan bruges som hjælp
til fx byggeri, er det nødvendigt at kunne forskellige
tegneteknikker og at kende forskellige regler.
I kapitlet skal I arbejde med flere af disse tegneteknikker
og med at udvikle nogle af reglerne.
I skal også afprøve, hvordan forskellige hjælpemidler, fx
isometrisk papir og geometriprogrammer, kan bruges til
at lave tegninger.
INTRO
TEGNING OG KONSTRUKTION
111

1 Isometrisk tegning
MUNDTLIG SAMME MOTIV – FORSKELLIGE HJÆLPEMIDLER
Hjælpemidler: Isometrisk papir, blyant,
lineal
De fi re tegninger øverst forestiller alle
en terrasse, der består af kvadratiske fl iser.
Tegningerne er lavet med forskellige
teknikker, og terrassen er set fra forskellige
synsvinkler.
1 Hvilken synsvinkel er terrassen set fra
på hver af de fi re tegninger øverst?
2 Teknikkerne har forskellige fordele og
ulemper. Hvilke af tegningerne
a viser bedst, hvordan terrassen vil
se ud, når man står ved siden af
den?
b viser bedst, at hver fl ise er kvadratisk?
c gør det muligt at fi nde hver fl ises
størrelse, når I får at vide, at målestoksforholdet
er 1:80?
112 TEGNING OG KONSTRUKTION
2 Klassisk konstruktion
Hjælpemidler: Blyant, lineal, passer
3 Den klassiske konstruktion er en del
af en arbejdstegning. Hvordan ser de
to andre dele af denne arbejdstegning
ud?
4 I har tidligere arbejdet med perspektivtegning.
Hvilke tegneregler er
brugt på den håndtegnede perspektivtegning
af terrassen?
5 Beskriv forskellene på den håndtegnede
og den computertegnede
perspektivtegning.

3 Håndtegnet perspektivtegning
Hjælpemidler: Blyant, lineal
Før i tiden havde man ikke de samme
hjælpemidler at tegne med, som vi har i
dag.
For over 2000 år siden undersøgte grækerne,
hvilke fi gurer de kunne tegne, når
de kun havde en blyant, passer og lineal.
Linealen var kun til at tegne lige streger
med, der var ingen inddelinger, som
kunne bruges til at måle med.
Når man tegner med kun de tre hjælpemidler,
kaldes det ofte for klassisk konstruktion
– eller bare konstruktion.
I dette kapitel skal I prøve at tegne med
de samme hjælpemidler som de gamle
grækere, men I skal også lave tegninger,
hvor I bruger de hjælpemidler, vi har til
rådighed i dag – bl.a. computer.
4 Computertegnet perspektiv
Hjælpemidler: Et geometriprogram
Indhold og mål
Kapitlet handler om teknikker og regler,
der bruges til tegning og konstruktion.
Målet er, at I
får nye erfaringer med isometriske
tegninger.
lærer nogle grundlæggende konstruktioner
og kan bruge dem til at tegne
fi gurer.
lærer at bruge diagonaler til at tegne
kvadrater og kuber i perspektiv.
får nye erfaringer med at bruge et
geometriprogram til at fremstille
tegninger og til at undersøge og
eksperimentere med dem.
TEGNING OG KONSTRUKTION
113

4,80 m
PROBLEM ISOMETRISK TEGNING
3,20 m
ca. 5,77 m
114 TEGNING OG KONSTRUKTION
I isometrisk tegning er hjælpemidlerne:
Isometrisk papir, blyant og lineal.
1 a Tegn terrassen herover på midten af et
stykke isometrisk papir.
b Tegn den del af huset, du kan se på tegningen.
c Lav din tegning af huset færdig.
2 Tegn terrassen og huset set fra en anden
synsvinkel.
3 Terrassens virkelige mål er som vist på skitsen
til venstre.
Sammenlign terrassens længde, bredde og
diagonal med længde, bredde og diagonal
på dine isometriske tegninger.
Er det rigtigt, at målestoksforholdet er
1:80?

MUNDTLIG KLASSISK KONSTRUKTION
1 I kan konstruere et linjestykke
mellem to punkter.
I skal undersøge, hvordan I kan tegne
terrassen fra side 112 ved hjælp af
klassisk konstruktion.
Huset skal ikke tegnes med.
Øverst er vist nogle af de konstruktioner,
I kan lave med blyant, lineal og
passer.
1 Afsæt to punkter på et stykke papir,
og lav konstruktionerne øverst i
rækkefølge.
2 Forklar, hvordan I kan bruge konstruktionerne
til at tegne terrassen
set oppefra.
3 Tegn terrassen set oppefra ved hjælp
af klassisk konstruktion. Hver fl ises
sider skal have samme længde som
dette linjestykke.
116 TEGNING OG KONSTRUKTION
2 I kan forlænge et linjestykke.
4,80 m
ca 5,77 m
3,20 m
4 Terrassens mål er som vist på skitsen
herover. Sammenlign terrassens
længde, bredde og diagonal med
længde, bredde og diagonal på jeres
konstruktion.
Er det rigtigt, at målestoksforholdet
er 1:20?

3 I kan konstruere en linje, der står
vinkelret på en anden linje.
5 Undersøg, hvordan I kan tegne
fi gurerne herunder ved hjælp af de
konstruktioner, der er vist øverst.
For hver af de fi re fi gurer skal I forklare,
hvilke konstruktioner I har brugt.
4 I kan afsætte den samme længde flere
steder.
TEGNING OG KONSTRUKTION
117

En højde i en stumpvinklet
trekant:
PROBLEM TREKANTER MED KLASSISK KONSTRUKTION
Vælg en grundlinje. Forlæng
grundlinjen.
Sæt din passer i vinkelspidsen,
modsat grundlinjen.
Brug passeren til at afsætte
to punkter på grundlinjen,
som har samme afstand til
vinkelspidsen.
Afsæt et andet punkt, der
har samme afstand til de to
punkter på grundlinjen.
Tegn højden ved hjælp at en
lineal.
118 TEGNING OG KONSTRUKTION
1 I opgave a, b, c og d skal du konstruere en trekant,
hvor siderne har samme længde som de tre linjestykker,
hvis det kan lade sig gøre.
Hvis det ikke kan lade sig gøre, skal du forklare hvorfor.
a
b
c
d
2 Følg instruktionen til venstre, og konstruer de tre
højder i hver trekant fra opgave 1.
3 Hvor skærer højderne hinanden i den
a spidsvinklede trekant?
b stumpvinklede trekant?
c retvinklede trekant?
4 Konstruer fl ere spidsvinklede, stumpvinklede og
retvinklede trekanter.
Undersøg, om højderne altid skærer hinanden de
steder, du beskrev i opgave 3.

1 Konstruer fi gurerne a­d. Du må kun
bruge linealen til at tegne streger
med, længden af stregerne skal du
afsætte med din passer.
a
b
c
d
FÆRDIGHED
2 a Konstruer en „passerblomst“.
Bestem selv, hvor stor radius skal
være.
b Gør passerblomsten større, så den
dækker hele papiret.
c Brug din tegning til at lave en tesselation
med ligesidede trekanter
eller regulære hexagoner som vist.
TEGNING OG KONSTRUKTION
119

MUNDTLIG PERSPEKTIVTEGNING
1 Terrassen set oppefra 2 Terrassen set i perspektiv
I skal undersøge, hvordan I kan tegne
terrassen fra side 113 ved hjælp af
perspektivtegning.
På tegning 1 øverst kan I se, at flisernes
diagonaler er parallelle.
Diagonalerne kan bruges til at tegne de
kvadratiske fliser i rigtigt perspektiv.
I kan også se hovedet af en person, der
ser på terrassen fra en bestemt synsvinkel.
Tegning 2 viser, hvordan to af terrassens
sider og nogle af diagonalerne ser ud
for denne person. Hvis terrassens sider
og diagonalerne forlænges, vil siderne
mødes i forsvindingspunktet F, og diagonalerne
mødes i punktet D.
120 TEGNING OG KONSTRUKTION
h
1 Hvordan kan I på tegning 2 se, at
personen står midt for terrassen?
2 Hvilken sammenhæng er der mellem
horisontlinjen h og personens højde?
3 Hvad ved I om de stiplede linjestykker
på tegning 2, der mødes i
a punktet F?
b punktet D?
F D
4 Tegn terrassen på tegning 2 færdig.
Brug evt. kopiark 3.
5 Lav en perspektivtegning af terrassen,
hvor F og D er placeret anderledes på
horisontlinjen. Brug evt. kopiark 3.
Beskriv forskelle og ligheder på jeres
to tegninger af terrassen.

3 Terrassen set oppefra 4 Terrassen set i perspektiv
På tegning 3 og 4 ser personen terrassen
fra en ny synsvinkel.
6 Hvorfor er der to forsvindingspunkter
på perspektivtegningen fra den nye
synsvinkel?
7 Tegn terrassen på tegning 4 færdig.
Den flise, der er nærmest personen,
vælger I selv størrelsen af. De andre
fliser kan I herefter tegne i den samme
størrelse ved at bruge diagonalerne.
Brug evt. kopiark 4.
F 1
TEGNING OG KONSTRUKTION
D F 2
121

PROBLEM KUBER I PERSPEKTIV
Frontperspektiv
F D
122 TEGNING OG KONSTRUKTION
På denne side er der forskellige eksempler på kasser
tegnet i perspektiv.
1 I en kasse er alle siderne rektangler.
Tegn mindst tre forskellige kasser i
a frontperspektiv.
b krydsperspektiv.
Krydsperspektiv
2 I en kube er alle siderne kvadrater.
Du kan bruge sidernes diagonaler til at tegne kuber i
frontperspektiv.
a Tegn mindst tre forskellige kvadrater.
Kvadraterne skal være fronten på tre forskellige
kuber.
b Tegn en horisontlinje og afsæt punkterne F og D.
c Tegn kuberne færdige ved at bruge F og D.
Brug evt. kopiark 5.
F D

1 Tegn et kryds­ og bollespil i
a frontperspektiv.
b krydsperspektiv.
2 a Somaklodserne kan samles til
denne kube. Tegn den i frontperspektiv.
b Hver somaklods er opbygget af
kuber. Tegn mindst en af klodserne
i frontperspektiv.
1 2 3
4 5
6 7
FÆRDIGHED
3 Lav en perspektivtegning af et
kvadratisk bord. Du bestemmer selv,
om det skal være i front­ eller krydsperspektiv.
4 Her er et fl isegulv set fra oven.
Tegn det i front­ eller krydsperspektiv.
TEGNING OG KONSTRUKTION
123

PROBLEM TEGNING PÅ COMPUTER
124 TEGNING OG KONSTRUKTION
Alle de tegninger, du har lavet på papir i dette kapitel,
kan også tegnes ved hjælp af computer.
1 Undersøg, hvordan du på computer kan tegne terrassen
fra side 113 som en
a konstruktion set oppefra.
b isometrisk tegning.
c perspektivtegning.
2 Hvilke fordele og ulemper er der ved at tegne på
computer, når du skal lave en
a konstruktion set oppefra?
b isometrisk tegning?
c perspektivtegning?

EN KUBE PÅ COMPUTER PROBLEM
1 Brug et geometriprogram til at tegne kuben, du kan
se herunder, eller hent filen „Kube“ på Kolorits hjemmeside.
h
2 Flyt horisontlinjen op og ned. Fra hvilken synsvinkel
ses kuben, når horisontlinjen er
a over kuben?
b midt for kuben?
c under kuben?
3 Træk i punktet F langs horisontlinjen. Fra hvilken
synsvinkel ses kuben, når forsvindingspunktet er
a til venstre for kuben?
b midt for kuben?
c til højre for kuben?
4 Træk i punktet D langs horisontlinjen. Beskriv,
hvordan kuben ændrer udseende, når diagonalens
forsvindingspunkt er
a tæt på F.
b langt fra F.
F D
TEGNING OG KONSTRUKTION
125

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
Tegne et flisegulv som
isometrisk tegning
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Konstruere et flisegulv
Lave en perspektivtegning
af et flisegulv
Tegne en kube i frontperspektiv
Bruge et geometriprogram
til at tegne et flisegulv
set fra oven
Bruge et geometriprogram
til at tegne et flisegulv
i perspektiv
126 TEGNING OG KONSTRUKTION
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Det kan være en god ide også at bruge tegninger til at
forklare. Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Skriv om muligheder og begrænsninger ved isometrisk
tegning.
Forklar, hvad det vil sige at konstruere en figur, og vis
en af de figurer, du kan konstruere.
Forklar, hvordan du kan konstruere en linje, der står
vinkelret på en anden linje.
Forklar, hvordan du kan konstruere to parallelle linjer.
Vis, hvordan du kan tegne kvadrater og kuber i
perspektiv.
Forklar, hvordan et geometriprogram kan bruges til at
ændre synsvinklen på en perspektivtegning.
Fortæl, hvilken tegneteknik du bedst kan lide at
bruge. Hvorfor?
F
D

Regning med brøk,
decimaltal og procent
I kan få brug for at kunne regne med andre tal end de
naturlige tal både i jeres hverdag, i jeres uddannelse og
i jeres arbejdsliv. På en varedeklaration kan der fx både
stå brøker, decimaltal og procent.
Brøker, decimaltal og procent er tre forskellige måder at
skrive den samme værdi på.
Kapitlet handler om, hvordan I kan løse forskellige problemer
ved at gange og dividere med brøker, decimaltal
og procent – og om, hvordan I kan lave beregningerne
med eller uden lommeregner.
INTRO
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
127

MUNDTLIG BRØKDELE OG HELHEDER FRA HVERDAGEN
1 Hvad koster 60 g? 2 Hvad er tilbudsprisen?
Spørgsmålene øverst kan besvares ved
at regne med brøker, decimaltal og
procent.
For at svare på spørgsmål 1 og 2 har I
brug for at fi nde en bestemt del af en
helhed.
1 Forklar, hvorfor I kan besvare spørgsmål
a 1, hvis I kan fi nde 60
100 af 12,50 kr.
b 2, hvis I kan fi nde 20 % af 250 kr.
Når I skal fi nde en brøkdel, svarer ordet
„af“ til at gange.
60
100 af 12,50 kr. svarer til 60
100 · 12,50 kr. og
20 % af 250 kr. svarer til 20 % · 250 kr.
2 Forklar, hvorfor de tre regneudtryk
herunder giver samme resultat.
60
100 · 12,50
0,6 · 12,50
60 % · 12,50
128 REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
Pris 250 kr.
3 Besvar spørgsmål 1 og 2 øverst.
Brug evt. lommeregner.
4 Lav mindst tre forskellige regneudtryk,
der kan bruges til at fi nde
20 % af 250 kr.
5 Lav mindst tre forskellige opgaver
om at fi nde en del af en helhed.
Løs hinandens opgaver.
– 20 %
fratrækkes
ved kassen
For at svare på spørgsmål 3 og 4 har I
brug for at fi nde en helhed.
Når I skal fi nde en helhed, svarer det til at
dividere med en brøk. Hvis 10 kr. er 1
4
af helheden, svarer helheden til 10 kr. : 1
4.
Dette divisionsstykke kan I løse med
lommeregner, men I kan også fi nde den
samme helhed ved at gange.

3 Hvad er literprisen? 4 Hvad er kiloprisen?
1
4 liter
9 kr.
6 Hvordan kan I fi nde helheden ved at
gange? Hvad er resultatet?
7 Forklar, hvorfor de tre regneudtryk
herunder giver samme resultat.
10 : 1 10 : 0,5 10 : 50 %
2
8 Hvilket gangestykke kan I bruge til at
løse divisionsstykkerne herover?
9 Hvilke divisionsstykker kan bruges til
at besvare spørgsmål 3 og 4?
Hvad er resultaterne?
10 Lav mindst tre forskellige opgaver
om at fi nde en helhed.
Løs hinandens opgaver.
Indhold og mål
Kapitlet handler om regning med brøker,
decimaltal og procent.
Målet er, at I
lærer, hvordan I kan fi nde en del af en
helhed og af en brøkdel.
lærer, hvordan I kan fi nde en helhed,
når I kender en brøkdel af helheden.
udvikler en metode til at gange to
brøker med hinanden, fx 1
3 · 3
4 .
udvikler en metode til at dividere hele
tal med brøker.
får erfaringer med at løse problemer
ved at regne med brøker, decimaltal
og procent.
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
200 g
38,50 kr.
129

PROBLEM EN REGNING
Vedr.: Udskæring af hul i væg – montering af dør, samt blænding af hul
12,5 time 300,00 kr. 3750,00 kr.
6,5 m 2 gips 30,00 kr. 195,00 kr.
10,8 m lægte 6,50 kr. 70,20 kr.
2 m 2 isolering 28,00 kr. 56,00 kr.
1 Fransk dobbeltdør 9150,00 kr. 9150,00 kr.
Bortskaffelse af affald 158,80 kr.
Betalingsbetingelser: Netto 14 dage
Efter forfaldstid beregnes 2 % i rente pr. påbegyndt måned
130 REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
Subtotal 13 430,00 kr.
Moms 3397,20 kr.
I alt at betale 16 827,20 kr.
Øverst kan du se en regning fra en håndværker.
Du skal undersøge, hvordan de forskellige beløb i
kolonne 4 er beregnet.
1 Skriv med dine egne ord, hvad tallene i kolonne 1
og 3 betyder.
2 Skriv et regneudtryk, der viser, hvordan beløbet
a 70,20 kr. er beregnet.
b 13 430,00 kr. er beregnet.
c 16 827,20 kr. er beregnet.
3 a Moms er en afgift, som skal betales til staten. I
2007 var momsen 25 %.
Skriv mindst ét regneudtryk, der kan bruges til at
beregne momsen på regningen.
b Undersøg, hvilke af regneudtrykene der kan bruges
til at lægge de 25 % moms til de 13 430,00 kr.
13 430 + 0,25 · 13 430
13 430 · 1,25
13 430 + 25 % · 13 430
13 430 + 1
4 · 13 430

4 Nederst på regningen står der, at hvis regningen
betales for sent, beregnes der 2 % af 16 827,20 kr.
ekstra pr. påbegyndt måned. Hvor meget skal der
betales, hvis regningen betales 10 dage for sent?
5 Cirkeldiagrammet viser regningens
fordeling af arbejdsløn, materialer
og bortskaffelse af affald.
Hvor mange af cirklens
360 grader svarer til
a 1 %?
b 28 %?
c 71 %?
6 a Cirkeldiagrammet er lavet i regneark.
Tegn et cirkeldiagram ved hjælp af passer, lineal
og vinkelmåler, der viser den samme fordeling.
Vær så præcis, du kan.
b Tegn et cirkeldiagram i hånden, der viser regningens
fordeling af subtotal og moms.
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
131

132
FÆRDIGHED
1 Et kilo jordbær koster 30 kr.
Hvad koster
a 1
2 kg?
b 100 g?
c 0,3 kg?
d 1
5 kg?
e 1,2 kg?
f 1 1
10 kg?
2 I en butik er alle varer nedsat med
10 %.
Hvad er tilbudsprisen, hvis varen før
kostede
a 100 kr.? d 250 kr.?
b 50 kr.? e 2 kr.?
c 80 kr.? f 82 kr.?
3 Hvilke regneudtryk har samme resultat?
a 0,4 · 50 e 4 % · 50
b 50 · 4
10 f 50 · 40
100
c 50 · 2
5 g 0,04 · 50
d 50 · 4
100 h 40 % · 50
4 En cafe sælger sodavand i fi re forskellige
størrelser. Literprisen skal være
35 kr. for alle sodavand. Hvad skal
det koste at købe
a 0,50 liter? c 0,75 liter?
b 0,25 liter? d 0,30 liter?
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
5 Hvor lang tid varer en køretur, hvis en
tredjedel af turen varer
a 20 minutter?
b en halv time?
c 1 1
2 time?
d 0,5 time?
e et kvarter?
f 1
5 time?
6 Sandt eller falsk?
a 25 % af 1220 er 190
b 10 % af 3451 er 345,1
c 20 % af 3451 er 500
d 1 % af 3451 er 3,451
e 90 % af 1000 er 900
f 30 % af 1030 er 310
7 Skriv mindst to forskellige opgaver
med procent, hvor svaret er 25.
8 Hvad koster et kilo smør, hvis 250 g
smør koster
a 9,50 kr.?
b 10,25 kr.?
c 11,50 kr.?
d 11,95 kr.?

9 Frederikke skal slå en græsplæne på
500 m 2 . Da hun holder pause, har
hun slået ca. 40 % af plænen. Hvor
mange m 2 mangler hun?
10 Her er priser på nogle varer uden
moms.
Hvad koster hver vare med moms?
a 100 kr. d 1000 kr.
b 50 kr. e 800 kr.
c 1 kr. f 240 kr.
11 Hvad er
a 1 % af 360?
b 2 % af 360?
c 10 % af 360?
d 20 % af 360?
e 26 % af 360?
f 41 % af 360?
12 I en cirkel er der 360 ∞ .
Tegn en cirkel, og inddel den i felter,
der svarer til:
a 1 % d 20 %
b 2 % e 26 %
c 10 % f 41 %
13 På en arbejdsplads får medarbejderne
en lønstigning på 3 %. Hvad
bliver deres nye timeløn, hvis de før
havde en timeløn på
a 100 kr.? c 110 kr.?
b 90 kr.? d 125 kr.?
14 Skemaet viser aldersfordelingen i en
7. klasse.
Tegn et cirkeldiagram, som viser
fordelingen. Brug passer, vinkelmåler
og lineal.
Alder Antal
12 år 4
13 år 18
14 år 2
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
133

MUNDTLIG FIND EN DEL AF EN BRØKDEL
1 Hvad er halvdelen af en halv? 2 Hvad er det kvarte af en kvart?
I kan også fi nde en del af en helhed, når
helheden er mindre end 1. Det handler
de næste sider om.
I kan tegne halvdelen af en halv:
Halvdelen af en halv kan fx fi ndes ved at
gange:
1 1
2 · 2
0,5 · 0,5 50 % · 0,5
134 REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
1 Nævn andre regneudtryk, der kan
bruges til at fi nde halvdelen af en
halv.
2 Hvad er svaret på spørgsmål 1 øverst?
3 Find mindst tre forskellige regneudtryk,
der passer til spørgsmål 2 øverst.
4 Lav en tegning, der viser det kvarte af
en kvart. Hvad er svaret på spørgsmål
2?
5 Lav mindst tre forskellige opgaver om
at fi nde en del af en brøkdel.

3 Hvad er 1
5
3
af 4 ? 4
1 Hvad er 4 af 2
3 ?
En del af en brøkdel kan fi ndes ved at
gange to brøker med hinanden. I skal
udvikle en regel, der kan bruges, når
man ganger to brøker med hinanden.
6 Regn først stykkerne i rammen
nederst ved at tegne.
7 Løs så opgaverne med en lommeregner,
der kan skrive brøker.
8 Sammenlign jeres resultater med
opgaverne. Kan I se en sammenhæng?
Lav en regel.
9 Brug jeres regel til at svare på
spørgsmål 3 og 4 øverst.
2
3
2 1
3 · 4 = 2 1
12 = 6
a
b
1 1
2 · 5 1
3
2 1
3 · 5 3
4
1
· 3 1
4 · 1
2 1
3
1
· 2 2 2
5 · 3 5
6
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
c
d
e
f
g
h
· 1
4
· 3
4
135

PROBLEM
EN BRØKDEL AF ET STYKKE PIZZA
136 REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
I opgave 1 til 3 skal du både lave en tegning, der viser
resultatet, og skrive et regneudtryk, der kan bruges til
at fi nde resultatet med en lommeregner.
Eksempel:
1 Tre drenge skal dele et stykke pizza, så de får lige
meget.
Hvor meget får de hver, hvis der er
a 3
4 pizza?
b 1
2 pizza?
c 1
4 pizza?
2 To piger skal dele et stykke pizza, så de får lige
meget.
Hvor meget får de hver, hvis der er
a 3
4 pizza?
b 1 1
4 pizza?
c 1 3
4 pizza?
3 Hvilket stykke pizza er størst?
a Halvdelen af 1
pizza eller en fjerdedel af
1
2 pizza?
3
b En tredjedel af 1
1
2 pizza eller 4 pizza?
c En sjettedel af 1
pizza eller en tredjedel af
1
4 pizza?
2
1
2
· 2
3
= 1
3

1 Hvad er halvdelen af
a 1
1
2 ? d 3 ?
b 1
4? e 1
5 ?
c 1
1
8 ? f 10?
2 Lav en tegning, der viser hvert regneudtryk,
og fi nd resultatet.
a 1 1
2 · 4 d 3 1
4 · 5
b 1 1
3 · 3
c 1 2
3 · 3
2 1
e 5 · 2
f 1
4 · 2
3
3 Skriv hvert resultat som både
decimaltal og brøk.
a 0,5 · 0,8 d 0,2 · 0,4
b 0,6 · 0,5 e 0,1 · 0,9
c 0,2 · 0,5 f 0,7 · 0,1
FÆRDIGHED
4 Skriv mindst fem forskellige regneudtryk
med gange, der giver resultatet
0,2.
5 Skriv en opgave, der handler om
regneudtrykket 1
3 · 1
4.
6 Hvad er
a 10 % af 0,5?
b 20 % af 0,5?
c 30 % af 0,5?
d 1 % af 0,9?
e 2 % af 0,9?
f 99 % af 0,9?
7 Er det sandt eller falsk, at
a 1 1
3 · 5 = 0,3 · 0,2 = 0,06?
b 0,4 · 0,5 = 2
10 ?
c 0,01 · 0,5 er det samme som
10 % af 1
2 ?
d det kvarte af en kvart er 0,16?
e 0,9 · 0,1 = 1 9
10 · 10 ?
8 Når du ganger to tal, er du vant til, at
resultatet bliver større end de tal, du
ganger.
Hvorfor bliver resultatet mindre end
de tal, du ganger, når tallene er mellem
0 og 1?
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
137

MUNDTLIG FIND HELHEDEN
1 Den synlige del af et bestemt isbjerg
fylder ca. 9600 m3 .
Det er kun ca. 1
10 af isbjerget, der stikker op
over havets overflade, resten befinder sig
under overfladen. Hvor meget fylder hele
isbjerget?
138 REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
2 Til en fodboldkamp udgjorde hjemmeholdets
9000 tilskuere ca. 3
4 af det samlede
antal tilskuere.
Hvor mange tilskuere var der i alt?
1 Nogle af opgaverne øverst kan I måske
løse uden lommeregner på måder,
I selv finder på. Hvilke? Hvordan?
Når I skal finde helhederne i opgaverne
øverst, svarer det til at dividere et naturligt
tal med en brøk.
2 Hvilke divisionsstykker kan bruges til
at løse op gaverne øverst?
3 Hvordan kan I løse divisionsstykkerne
med lommeregner?

3 Der bor ca. 500 000 mennesker på
Fyn.
Kan det passe, at 2
af Danmarks
15
befolkning bor på Fyn?
Her er nogle ideer, der kan bruges, når I
skal dividere med en brøk uden at bruge
lommeregner.
Eksempel: 8 : 2
3
I kan undersøge, hvor mange gange 2
3
går op i 8. Brug evt. en tallinje.
I kan undersøge, hvad I skal gange
med 2
3 for at få 8.
2
3 · x = 8
Det kan være en hjælp at omskrive 8
til en brøk med samme nævner.
2 24
3 · x = 3
4 En ny flytype har reduceret rejsetiden
på en flyrute med 10 %, så den nu svarer
til 90 % af den tidligere rejsetid. Den nye
rejsetid er præcis 270 minutter.
Hvad var rejsetiden tidligere?
To tredjedele af en helhed er 8.
Så må én tredjedel være 8 : 2 = 4.
Helheden er tre tredjedele, så den
kan I finde ved at gange med 3.
4 4
4 Forklar, hvordan I nu kan løse opgaverne
øverst uden at bruge lommeregner.
5 Hvilke(n) af ideerne gør opgaverne
lettest at løse for jer?
6 Hvorfor er resultaterne større end de
tal, I dividerer?
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
139

3
4 liter
12 kr.
0,2 liter
4 kr.
PROBLEM
1
4 liter
5 kr.
SAFT PÅ FLASKER
140 REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
Ann-Sofie har fremstillet 15 liter hyldeblomstsaft, som
hun vil sælge.
1 a Hun fylder 2 liter på flasker, som hver kan indeholde
1
4 liter.
Hvor mange flasker fylder hun?
b Hun fylder 9 liter på flasker, som hver kan indeholde
3
4 liter.
Hvor mange flasker fylder hun?
c Resten sælger hun i bægre, som hver kan indeholde
0,2 liter.
Hvor mange bægre kan hun fylde?
2 Ann-Sofie sælger saften til priserne på skiltene.
Hvad er literprisen for den saft, der sælges i
a bægre med 0,2 liter?
b flasker med 1
4 liter?
c flasker med 3
4 liter?
3 a Hvor stor er hendes indtægt, hvis hun sælger alle
bægre og flasker?
b Hvad bliver hendes indtægt pr. liter saft i gennemsnit?

1 Find kiloprisen, når
a 1
2 kg koster 10 kr.
b 100 g koster 8 kr.
c 200 g koster 8 kr.
d 1
3 kg koster 15 kr.
e 3
5 kg koster 21 kr.
f 800 g koster 30 kr.
2 Løs mindst seks opgaver.
a 5 : 1
2
b 2 : 1
3
c 2 : 2
3
d 3 : 1
2
f 4 : 2
5
2
g 10 : 5
5
h 5 : 8
i 6 : 2
3
e 5 : 1
4 j 5 : 5
6
3 Emil har kogt marmelade og vil fylde
den i glas. Ca. 2
3 af marmeladen kan
være i et glas med plads til 1 liter.
Hvor meget marmelade har han
lavet?
FÆRDIGHED
4 Skriv en opgave, der passer til regneudtrykket
2 : 1
2 .
5 Hvad er helheden, når
a 3
4 er 12 cm?
b 4
5 er 20 kr.?
c 2
3 er 4 m?
d 9
10 er 18 kg?
e 2
er 800 g?
7
f 5
6 er 12 liter?
6 Hvad er helheden, når
a 50 % er 3 liter?
b 10 % er 15 m?
c 25 % er 10 cm 2 ?
d 5 % er 12 euro?
e 90 % er 180 m 3 ?
f 125 % er 250 kr.?
7 Under et udsalg er alle varer nedsat
med 25 %. Find den oprindelige pris,
når tilbudsprisen er
a 75 kr. d 60 kr.
b 120 kr. e 24 kr.
c 30 kr. f 57 kr.
REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
141

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Finde en brøkdel af en
helhed, fx 1
3 af 60 eller
25 % af 50
Finde en brøkdel af en
brøkdel, fx 1
3
af 1
2
Finde en helhed, når du
kender en brøkdel af
helheden
Gange to brøker
Dividere et naturligt tal
med en brøk, fx 6 : 3
4
1 1
3 · 2
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
142 REGNING MED BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
Kom med eksempler på problemer, der kan løses ved
at gange med brøker, decimaltal eller procenter.
Kom med eksempler på problemer, der kan løses ved
at dividere med brøker, decimaltal eller procenter.
Vis og forklar, hvordan du kan gange to brøker uden
at bruge lommeregner.
Vis og forklar, hvordan du kan dividere et naturligt tal
med en brøk uden at bruge lommeregner.
Fortæl, hvilke sider i kapitlet du fik mest ud af at
arbejde med.
Normalpris:
50 kr.
Nu nedsat 25 %
6 : 3
3
4 = x 4 · x = 6

Svømning
I har sikkert haft svømning som fag i skolen, været med
venner og familie i svømmehallen eller svømmet i havet
en varm sommerdag.
Svømning er en sport, hvor man bruger hele kroppen,
og det kan være en god måde at komme i form på. Man
kan dyrke svømning som en fritidsaktivitet, men også på
eliteplan.
I dette kapitel kan I arbejde med fire forskellige emner,
der handler om svømning: bassiner, elitesvømning,
vandpolo og svømmehallens besøgende.
INTRO
SVØMNING
143

PRÆSENTATION SVØMNING
Bassiner
I DGI-byen i København er der forskellige
svømmebassiner. I skal undersøge
mindst et af bassinerne.
I skal også selv designe svømmebassiner
og regne på bassinernes størrelse, vandets
klorindhold m.m.
146-147
144 SVØMNING
Elitesvømning
Dansk Svømmeunion har mange klubber
i Danmark. I skal arbejde med statistik
over deres medlemmer.
I kan også undersøge danske elitesvømmeres
rekorder, træningsprogrammer og se på
internationale mesterskaber.
148-149
Sådan kan I arbejde med kapitlet
I kan arbejde i grupper og vælge at gå i dybden med
et af de fire emner. I kan også arbejde med nogle af
opgaverne i flere af emnerne.
I hvert emne får I forskellige informationer, som kan
give jer ideer til jeres arbejde. I får sikkert også brug
for at finde oplysninger på internettet eller i andre
bøger. Måske kan I spørge nogle, der arbejder i en
svømmehal eller går til svømning.
Når I har arbejdet med emnerne, kan I præsentere
jeres arbejde for resten af klassen. På side 154 er der
ideer til præsentationen.

Vandpolo
I 2006 kunne man spille vandpolo i
25 af de danske svømmeklubber.
I skal arbejde med vandpolobanen og
–boldene og planlægge en vandpoloturnering
for nogle hold fra jeres skole.
150-151
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med forskellige matematiske
områder med udgangspunkt i temaet svømning.
Målet er, at I
bliver bedre til at bruge matematik til at beskrive
virkeligheden.
lærer at finde de oplysninger, I har brug for.
samarbejder med andre, når I løser opgaver ved
hjælp af matematik.
lærer at fremlægge jeres arbejde for andre og
fortælle, hvordan I løste opgaverne.
Svømmehallens besøgende
Svømmehaller har indtægter fra dem, der
bruger svømmehallen. Det er forskelligt,
hvad det koster at komme ind, og hvor
mange besøgende der er.
I skal arbejde med statistik og økonomi.
SVØMNING
152-153
145

1 Klor
146 SVØMNING
EMNE BASSINER
Vandet i svømmehaller indeholder forskellige
former for klor: frit klor og bundet klor.
Klor har en vigtig funktion – det renser
nemlig vandet. Det er især frit klor, som
renser. Når frit klor kommer i kontakt med
fx menneskers hud og sved, bliver noget af
det omdannet til bundet klor. Det er den
bundne klor, I kan lugte i svømmehaller.
Krav til mængden af frit klor Mindst Højst
Indendørs- og
udendørsbassiner
Varmtvandsbassiner, spa-bade,
0,5 mg/l 2,0 mg/l
terapibade, soppebassiner og
babybassiner m.m.
1,0 mg/l 3,0 mg/l
Krav til mængden af bundet
klor i alle bassiner
0,2 mg/l
I skal arbejde med svømmebassiner med
udgangspunkt i DGI-byen i København.
I DGI-byen er der et Vandkulturhus med
forskellige bassiner og en vandlegeplads.
På Kolorits hjemmeside er der et link til
DGI-byens hjemmeside, hvor I kan finde
flere oplysninger.
I skal også designe jeres
egen svømme hal med
forskellige bassiner.
Øverst på denne
og side 147 er der
forskellige oplysninger
om krav til bassiner,
som I kan
få brug for.
I skemaet kan I se, at der findes regler for,
hvor meget frit klor og bundet klor der må
være i vandet i forskellige svømmebassiner.
1 I Vandkulturhuset i DGI-byen er der et
indendørsbassin, som kaldes Fjeldsøen.
Tegningen nederst til venstre viser
bassinet set ovenfra i målestoksforholdet
1:250. Bassinet er 3,8 m dybt.
a Undersøg, hvor stort bassinets
vandareal ca. er.
b Hvor mange personer må der maksimalt
være i Fjeldsøen på samme tid?
2 Fjeldsøen har form som et prisme. I
formelsamlingen bagerst i bogen kan
I finde formlen for rumfanget af et
prisme.
a Hvor mange liter vand kan der være
i Fjeldsøen?
b Hvor meget bundet og frit klor
skal der mindst være i Fjeldsøen?
må der højst være i Fjeldsøen?

2 Bassin-kapaciteten
Bassin-kapaciteten er et udtryk for, hvor
mange personer der maksimalt må være i
bassinet på samme tid. Kapaciteten afhænger
bl.a. af, hvad bassinet skal bruges
Bassintype Vandareal, m 2 pr. person Bassindybde, m
Svømme-, springog
sportsbassin
4,5 ≥ 1,5
Undervisnings-, morskabs-,
bølge- og varmtvandsbassin
2,5-4,5 < 2,0
Terapi- og behandlingsbassin 6,0

1 Et træningsprogram
Opvarmning:
800 m crawl.
148 SVØMNING
EMNE ELITESVØMNING
5 · 200 m crawl med 20 sek. pause
for hver 200 m.
10 · 50 m crawl, hvor kun benene bruges,
med 20 sek. pause for hver 50 m.
10 · 50 m crawl, hvor kun armene bruges,
med 20 sek. pause for hver 50 m.
I skal arbejde med elitesvømning og
Dansk Svømme union. Når man dyrker
svømning på eliteplan, skal man jævnligt
deltage i konkurrencer og træne
fl ere gange om ugen efter forskellige
træningsprogrammer. Øverst er vist et
eksempel på et trænings program for en
elitesvømmer.
Skemaet på side 149 er en oversigt
over antallet af medlemmer i Dansk
Svømmeunion gennem en årrække. I
skal arbejde med statistik ved at bruge
oplysningerne. På Kolorits hjemmeside
kan I fi nde et regneark med skemaet
over antal medlemmer. Det kan være en
fordel at bruge regneark, når I arbejder
med statistik over mange tal.
Intervaltræning:
10 · 100 m med 85 sek. til hvert interval
inkl. pause.
Hurtig svømning:
8 · 50 m med 1 min pause for hver 50 m.
Afslapning:
200 m i to svømmearter i et afslappet
tempo.
1 Se på træningsprogrammet
for
en elitesvømmer.
a Hvor langt svømmes der
under opvarmningen?
i alt?
b Hvor mange banelængder svarer
det til i et bassin på
50 m?
25 m?
c Under intervaltræningen holder
svømmeren en pause efter hvert
interval på 100 m. Hvad skal farten
mindst være, hvis pausen hver
gang er på
5 sek.?
10 sek.?

2 Skemaet viser antallet af medlemmer i
Dansk Svømmeunion fra 1996 - 2006.
Årstal Klubber Herrer Damer 25 år I alt
2006 204 56.814 69.404 93.124 3.208 29.886 126.218
2005 207 55.680 69.295 89.897 4.423 30.655 124.975
2004 215 56.873 71.009 91.571 4.709 31.602 127.882
2003 221 56.613 71.584 90.832 5.431 31.934 128.197
2002 218 54.379 68.545 85.408 5.769 31.747 122.924
2001 226 53.945 67.883 83.952 5.339 32.537 121.828
2000 214 52.750 67.485 82.311 5.812 32.112 120.235
1999 229 52.888 68.877 81.383 6.148 34.234 121.765
1998 230 55.576 71.136 83.011 6.676 37.025 126.712
1997 227 54.057 69.377 81.468 6.479 35.487 123.434
1996 221 55.864 70.347 81.000 7.621 37.590 126.211
Kilde: www.dif.dk
2 Se på skemaet over medlemmer i
Dansk Svømmeunion.
a I hvilket år fra 1996 - 2006 havde
Dansk Svømmeunion flest medlemmer?
b Ca. hvor stor en del af medlemmerne
i 2006 var over 25 år?
c Hvor mange procent af medlemmerne
i 2006 var damer?
3 Lav selv mindst to spørgsmål, som I
kan svare på ved at bruge skemaet.
Find svarene.
4 a Vælg et årstal, og tegn et eller flere
diagrammer, der viser, hvordan
medlemmerne fordeler sig i de tre
aldersgrupper. Tegn fx et cirkeldiagram.
b Tegn en graf, der viser udviklingen
i antallet af klubber i perioden
1996 - 2006. Beskriv, hvordan udviklingen
i antallet af klubber har
været?
5 Undersøg mere om elitesvømning i
Danmark. I kan fx komme ind på elitesvømmeres
rekorder, internationale
mesterskaber m.m.
På Kolorits hjemmeside er der et link
til en hjemmeside, som I kan bruge i
jeres undersøgelse.
SVØMNING
149

1 Banen
150 SVØMNING
EMNE VANDPOLO
Banen er 25 m lang og 20 m bred.
Bassinet skal være mindst 1,80 m dybt.
Målene er 3 m brede og 0,9 m høje
– de fl yder på vandet.
Foran målet er der en 2 m off-side-zone.
Vandpolo kan sammenlignes med at
spille håndbold i vand. To hold kæmper
om at forsvare hvert sit mål og score
fl est mål hos modstanderen. Der er seks
spillere og en målmand på banen fra
hvert hold. Hvert hold må have op til
seks udskiftere, så der kan være i alt
13 spillere på et hold.
Holdene har enten hvide eller blå hjelme
med numre på, så de kan kende forskel
på hinanden – bortset fra målmændene,
der har rød hjelm på.
I skal arbejde med vandpolo ved at bruge
de oplysninger, I kan fi nde øverst på
denne og side 151. På Kolorits hjemmeside
er der links til andre hjemmesider,
hvor I kan fi nde fl ere oplysninger om
bolde, udstyr m.m.
1 Tegn vandpolobanen i et målestoksforhold,
I selv vælger.
20 m
25 m
0,9 m
≥1,8 m
2 a Hvor stor kan boldens radius være
i en juniorstørrelse? Damestørrelse?
Herrestørrelse?
b Find rumfanget af hver af de tre
bolde.
3 Forestil jer, at I har fået lov til at låne
en svømmehal en eftermiddag og
aften og skal arrangere en vandpoloturnering
for jeres skole. I skal købe
det udstyr, som skal bruges i turneringen.
Der skal bl.a. bruges:
tre dommerfl ag og en fl øjte,
en scoretavle,
et ur til tidtagning,
en juniorbold,
hjelme til to hold,
præmier til vinderne.
3 m
a Undersøg priserne på det udstyr, I
skal bruge. På Kolorits hjemmeside er
der links til hjemmesider med priser.
b Lav en oversigt over alle udgifterne.
Brug evt. regneark.

2 Spilletid
En kamp forløber sådan:
spiller 8 min
pause 2 min
spiller 8 min
pause 5 min
spiller 8 min
pause 2 min
spiller 8 min
4 For at få dækket udgifterne til turneringen
inviteres familie og venner til
at se kampene. De skal betale entre.
Der er plads til højst 250 tilskuere.
Hvor mange tilskuere tror I, der kommer?
Hvor meget skal de betale hver,
hvis I skal have jeres udgifter dækket?
5 Lav en plan over turneringen.
a Alle hold skal spille mod hinanden.
Hvor mange kampe bliver der spillet
i alt, når der er:
4 hold?
8 hold?
16 hold?
b Lav en turneringsplan for fi re hold,
når alle skal spille mod alle. I skal
også skrive klokkeslæt på planen,
så holdene kan se, hvornår de skal
spille.
3 Bolde
Der fi ndes forskellige størrelser bolde til
juniorer, damer og herrer. De er lavet af
gummi og har en ru overfl ade.
Junior: omkreds 58-60 cm,
vægt 300-320 g.
Dame: omkreds
65-67 cm,
vægt 400-425 g.
Herre: omkreds 68-71 cm,
vægt 400-450 g.
SVØMNING
151

1 Åbningstider
Morgensvømning
Babysvømning
Alle
Voksne
152 SVØMNING
EMNE SVØMMEHALLENS BESØGENDE
Ma Ti On To Fr Lø Sø
6.30-
8.00
12.00-
18.00
18.00-
20.30
6.30-
8.00
12.00-
20.30
6.30-
8.00
8.00-
10.00
12.00-
18.00
18.00-
20.30
Nogle svømmehaller har på afgrænsede
tidspunkter af dagen kun åbent for en
særlig aktivitet eller en særlig aldersgruppe.
I andre tidsrum er der åbent for
alle. Øverst kan I se et eksempel på en
svømmehals åbningstider.
Der er forskellige billetpriser i svømmehaller.
På side 153 kan I fi nde billetpriser
for en svømmehal. Der er også en
oversigt over, hvordan besøgstallet har
været i løbet af en uge.
I kan arbejde med statistik og økonomi
over svømmehallens besøgende. Her kan
det være en god idé at bruge regneark. På
Kolorits hjemmeside kan I fi nde et regneark
med skemaet over antal besøgende.
I kan også tage kontakt til jeres svømmehal
og fx sammenligne priser.
6.30-
8.00
12.00-
20.30
6.30-
8.00
12.00-
20.30
8.00-
16.00
8.00-
16.00
1 a Undersøg, hvor meget I sparer i
kroner ved at købe et 10-turs-kort
i stedet for 10 enkelte billetter.
b Hvor meget sparer I i procent?
c Hvor mange gange skal I komme
om måneden, for at det kan betale
sig at købe et månedskort?
2 a Lav et pindediagram, der viser
svømmehallens indtægter hver dag
i den viste uge, hvis alle besøgende
købte enkeltbilletter.
b Hvilken dag var indtægterne
størst?

2 Svømmehallens besøgende
Besøgstallet i en svømmehal en tilfældig uge:
Ma Ti On To Fr Lø Sø
0-11 år 99 155 210 188 200 248 246
12-17 år 141 210 213 255 182 311 251
18→ år
402 317 550 392 415 395 220
3 a Hvilken dag var der flest besøgende
i svømmehallen i den viste
uge?
b Hvilken dag var der færrest besøgende
i svømmehallen?
c Hvor mange besøgende var der i
gennemsnit om dagen?
4 a Vælg en af dagene, og find ud af,
hvor mange procent af de besøgende
der var 0-11 år, 12-17 år og
18 år og opefter.
b Tegn et cirkeldiagram over fordelingen.
3 Priser
Indgang:
Alder Billet
10-turskort
Månedskort
0-11 år 15 kr. 120 kr. 150 kr.
12-17 år 20 kr. 160 kr. 200 kr.
18→ år 30 kr. 240 kr. 300 kr.
5 Tag kontakt til jeres svømmehal.
a Sammenlign jeres svømmehals priser
og åbningstider med svømmehallen
i dette emne. Find en måde
at vise jeres oplysninger på.
b Undersøg, om jeres svømmehal
fører statistik over besøgstallet,
og sammenlign med svømmehallen
i dette emne. Lav diagrammer over
antallet af besøgende i jeres svømmehal.
c Planlæg en klassetur til jeres
svømmehal, og undersøg, hvad det
vil koste for jer at tage af sted.
SVØMNING
153

Idéer til præsentation
Bassiner
154 SVØMNING
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
I kan fx
lave en folder/brochure over jeres
bassiner
lave en model af et bassin
lave en powerpoint-præsentation af
jeres bassiner
lave plancher med vigtige fakta
Elitesvømning
I kan fx
lave diagrammer og kurver vist som powerpoint-præsentation
eller på plancher
lade jeres kammerater løse nogle af
de spørgsmål, I selv har stillet
lave en tidslinje over en svømmers
rekorder
Skriv om dit arbejde med kapitlet – brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Hvad valgte I at arbejde med og hvorfor?
Hvordan har I brugt matematik til at beskrive og
fordybe jer i emnet?
Hvordan var jeres samarbejde i gruppen?
Hvordan valgte I at fremlægge for klassen? Hvad
fungerede godt, da I fremlagde? Hvad vil I gøre
anderledes næste gang?
I skal præsentere jeres arbejde for resten af klassen.
Brug forslagene her på siden eller jeres egne idéer.
Vandpolo
I kan fx
lave en stor planche med oversigt
over turneringsplanen
vise jeres regnskab i et regneark
skaffe en vandpolobold og vise, hvilke
beregninger I har lavet
lave et katalog med priser over udstyr
Svømmehallens besøgende
I kan fx
vise jeres diagrammer i et regneark
illustrere oplysningerne om jeres
svømmehal i skemaer/diagrammer
vise et regnskab over en tur til
svømmehallen for jeres klasse

Statistik og sandsynlighed
Statistik handler om at beskrive og analysere en stor
mængde data, som I eller andre har indsamlet. Det kan
fx være tal, der fortæller om, hvor mange lynnedslag der
er i Danmark på et år.
Sandsynlighedsregning handler om at vurdere chancer
eller risici. Det kan fx vurderes, hvor stor risikoen er for
lynnedslag i forskellige områder af Danmark.
For at vurdere denne sandsynlighed er der brug for
statistiske oplysninger. Statistik og sandsynlighed
hænger altså sammen.
Kapitlet handler især om sammenhængen mellem
statistik og sandsynlighed, men det handler også om,
hvordan nogle sandsynligheder kan beregnes ved hjælp
af andre redskaber end statistik.
INTRO
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
155

1 Hyppighedstabel
MUNDTLIG REDSKABER TIL SANDSYNLIGHEDSREGNING
Fravær på 100 skoledage i en 7. klasse.
Antal fraværende Antal dage
0 20
1 25
2 15
3 12
4 eller fl ere 28
Der er forskellige former for sandsynlighedsregning.
Nogle sandsynligheder kan I beregne på
baggrund af statistik. Eksempel 1 og 2
øverst viser to forskellige statistikker.
Hyppighedstabellen er lavet ud fra protokollen
for en 7. klasse. Den viser noget
om fraværet i klassen i løbet af det
første halve skoleår. Man kan fx se, at i
20 af de 100 skoledage var der ingen
fraværende.
Eksempel 2 er et pindediagram, som
er lavet ved hjælp af et simuleringsprogram.
Det viser resultatet af en simulering
af 100 kast med to terninger. I
hvert kast er summen fundet.
156 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
2 Pindediagram
Summen i 100 kast med to terninger.
15
10
5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 Klassen i eksempel 1 regner med, at
deres fravær vil fortsætte på samme
måde i sidste halvdel af 7. klasse. Hvad
er sandsynligheden for, at alle i klassen
er i skole en tilfældig dag i foråret?
2 Hvad er sandsynligheden for, at alle i
jeres klasse er i skole en tilfældig dag
i foråret?
3 Hvilke andre sandsynligheder kan I
beskrive ud fra hyppighedstabellen?
4 Hvad viser simuleringen om sandsynligheden
for at få
a summen 8 i et kast med to terning
er?
b summen 4 eller 10 i et kast med to
terninger?
5 Hvilke andre sandsynligheder kan I
beregne ud fra pindediagrammet?

3 Tabel
Summer i kast med to terninger.
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Nogle sandsynligheder kan I beregne
uden statistik. Det gælder fx sandsynligheden
for at få summen 8 i et kast med
to terninger. Eksempel 3 og 4 viser to
redskaber, der kan bruges til beregningerne.
6 Hvordan kan I beregne sandsynligheden
for at få summen 8 ved at bruge
a tabellen?
b tælletræet?
7 Hvilke andre sandsynligheder kan
I beregne ud fra tabellen og tælletræet?
8 Beregningerne ved hjælp af statistik,
tabel og tælletræ giver ikke
alle samme sandsynlighed for at få
summen 8. Hvilket resultat giver den
bedste vurdering af sandsynligheden
for at få 8? Hvorfor?
4 Tælletræ
Antal af mulige udfald med to terninger.
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
1
Indhold og mål
2 3 4 5
I dette kapitel skal I arbejde med at
udvikle og bruge forskellige metoder til
at beregne sandsynligheder.
Målet er, at I
lærer at finde sandsynligheder ved
hjælp af statistik.
lærer at finde sandsynligheder ved
hjælp af chancetræer.
får flere erfaringer med at finde sandsynligheder
ved hjælp af tabeller og
tælletræer.
får flere erfaringer med at løse problemer,
der handler om sandsynlighed.
får erfaringer med at simulere eksperimenter
på computer.
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
6
157

PROBLEM TERNINGSPILLET „ELLEVE“
158 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
Spillet kan spilles af to eller fl ere personer.
Hver spiller skal bruge to terninger og 30 tændstikker.
Vinder er den spiller, der har fl est tændstikker, når én af
modstanderne ikke har fl ere tændstikker tilbage.
Spillet begynder med, at alle spillere lægger to tændstikker
i en pulje på midten af bordet.
Herefter skiftes spillerne til at kaste med to terninger og
fi nde summen af øjentallene.
Hvis en spiller får summen
2­10, lægges (11 – summen) tændstikker i puljen.
Eksempel: ved summen 9 lægges (11 – 9 = 2)
tændstikker i puljen.
11, får spilleren hele puljen, og alle skal igen
lægge 2 tændstikker i puljen.
12, skal spilleren lægge lige så mange tændstikker
i puljen, som der allerede ligger i puljen.
1 Spil spillet „Elleve“ fl ere gange.
2 Undersøg sandsynligheden for at få summen 11 og
sandsynligheden for at få summen 12 ved hjælp af et
simuleringsprogram.
Hvad ser hver sandsynlighed ud til at være, hvis I
simulerer
a 10 kast?
b 100 kast?
c 1000 kast?
3 Undersøg sandsynligheden for at få summen 11 og
sandsynligheden for at få summen 12 ved hjælp af
a en tabel over summen af to ter ningkast.
b et tælletræ.
4 Hvilke(n) af jeres undersøgelser
a gør det lettest at fi nde sandsynlighederne?
b giver den bedste vurdering af sandsynlighederne?
Hvorfor?

TERNINGSPILLET „BORDTENNIS“ PROBLEM
Spillet spilles af to personer.
I skal bruge to terninger, en spilleplade (kopiark 6) og
en brik som „bold“.
Vinder er den spiller, der først når 11 point.
Reglerne er næsten som i bordtennis. Et terningkast
svarer til at slå til bolden. Summen af de to terninger
viser, hvor langt bolden kommer og dermed, hvor den
rammer bordet.
Det gælder om at slå „bolden“ over på modstanderens
halvdel og om at undgå at slå „bolden“ i nettet eller ud
over bordet. I skiftes til at serve to gange hver.
I får 1 point, hvis modstanderen
server eller slår „bolden“ i nettet.
slår „bolden“ ud over bordet.
rammer sin egen banehalvdel først
(gælder også, når man server).
1 Spil spillet „Bordtennis“ flere gange.
2 Brug et simuleringsprogram, en tabel eller et tælletræ.
Undersøg sandsynligheden for at
a serve „bolden“ i nettet.
b ramme sin egen banehalvdel, når man server.
c slå „bolden“ ud over bordet, når „bolden“ er på felt 4.
1. runde: Spiller 1 server ved at
slå 8. Bolden hopper derfor over
på den modsatte sides 6’er felt.
Spiller 1
1
2
3
4
5
6
NET
6
5
4
3
2
1
Spiller 2
2. runde: Spiller 2 returnerer
bolden ved at slå 7.
Spiller 1
1
2
3
4
5
6
NET
6
5
4
3
2
1
Spiller 2
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
159

PROBLEM STATISTIK, SANDSYNLIGHED OG ÆBLER
Antal æbler Antal poser
6 8
7 16
8 6
Vægt i gram Antal poser
]950;975] 1
]975;1000] 2
]1000;1025] 20
]1025;1050] 7
160 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
Nogle æbler sælges i poser med 1 kg.
Det er lidt forskelligt, hvor mange æbler der er i hver
pose – og det er ikke altid, at vægten er præcis 1 kg.
Oles familie køber tit æbler.
Når de køber ind, tager de altid en tilfældig pose med
1 kg æbler.
Ole har talt og vejet æblerne i de sidste 30 poser, de
har købt.
Du kan se resultatet i hyppighedstabellerne til venstre.
1 Hvad viser Oles statistik om sandsynligheden for, at
en tilfældig pose æbler indeholder
a 6 æbler?
b 7 æbler?
c 8 æbler?
2 Intervallet ]975;1000] betyder større end 975 og
mindre end eller lig med 1000.
Hvad betyder intervallet
a ]1000;1025]?
b ]1025;1050]?
3 Hvad viser Oles statistik om sandsynligheden for, at
en tilfældig pose æbler indeholder
a mere end 1 kg?
b mindre end 1 kg?
4 Synes du, at Ole og hans familie skal klage over poserne
med æbler? Hvorfor? Hvorfor ikke?

STATISTIK, SANDSYNLIGHED OG FORSINKELSER PROBLEM
Oles mor tager toget til arbejde hver morgen.
Hun synes, at toget ofte er forsinket.
I en periode har hun hver morgen tjekket, om hendes
tog kørte til tiden.
Resultatet ses i hyppighedstabellen.
1 Hvor mange togafgange var med i undersøgelsen?
2 a DSB opfatter afgange, der er mere end 2 minutter
efter køreplanen, som forsinkede.
Hvor stor en brøkdel af togene var forsinkede
efter DSB’s opfattelse?
b Hvor stor en brøkdel af togene kørte mere end
1 minut efter køreplanen?
c Synes du, at DSB’s opfattelse af forsinkelse er
rimelig?
3 Hvad er, ifølge undersøgelsen, sandsynligheden for,
at toget en tilfældig morgen er forsinket
a mere end 2 minutter?
b 1 minut eller mindre?
c mere end 10 minutter?
4 Hvor god er Oles mors undersøgelse til at vurdere
sandsynligheder?
Hvad kunne hun gøre for at vurdere mere sikkert?
Minutter efter
køreplanen
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
Antal afgange
[0;1[ 18
[1;2[ 12
[2;3[ 10
[3;4[ 0
[4;5[ 6
[5;10[ 10
[10;15[ 7
15 eller mere 3
161

162
MUNDTLIG CHANCETRÆER
1 Træk to centicubes med lukkede øjne – en ad gangen. Se på farven.
I eksperimentet øverst skal I lægge
centicuben tilbage i glasset, når I har
noteret farven.
1 Hvorfor er sandsynligheden for at
trække en rød centicube 1
2 i både
første og anden trækning?
I skal fi nde sandsynligheden for at få en
rød centicube i begge trækninger.
Det kan I bl.a. gøre ved hjælp af et
chancetræ. Chancetræer ligner tælletræer,
men hver „gren“ i et chancetræ
viser en sandsynlighed.
Øverst er et chancetræ, som viser
sandsynlighederne i første og anden
trækning.
De røde grene viser, at sandsynligheden
for at trække en rød er 1
2 i første trækning
og 1
2 i anden trækning.
I halvdelen af tilfældene vil første trækning
give en rød centicube, og i halvdelen
af disse tilfælde vil næste trækning
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
1
2
1
2
også give en rød centicube. Sandsynligheden
for en rød centicube i begge
trækninger er halvdelen af en halv.
Derfor kan sandsynligheden beregnes
som 1 1 1
2 · 2 = 4.
2 Brug chancetræet til at fi nde sandsynligheden
for, at begge centicubes
i eksperimentet er grønne.
3 Hvorfor er sandsynligheden for at
trække en rød og en grøn centicube i
eksperimentet 1
2 ?
4 Undersøg, hvad sandsynligheden er
for at trække tre røde centicubes i
træk. Brug et chancetræ.
1
2
1
2
1
2
1
2
1. trækning 2. trækning

2 Træk tre centicubes med lukkede øjne – en ad gangen. Se på farven.
I eksperimentet øverst skal I ikke lægge
centicuben tilbage i glasset, når I har
noteret farven.
5 Hvorfor er sandsynligheden for at
trække en rød centicube i første
trækning 3
5 ?
6 Chancetræet viser, at sandsynligheden
for at trække en rød centicube i
anden trækning kan være 2 3 eller 4 4 .
Hvorfor?
7 Brug chancetræet til at fi nde sandsynligheden
for
a at trække tre røde centicubes i
træk.
b at trække to grønne og en rød
centicube.
2
5
3
5
1
4
2
4
2
4
3
4
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
3
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1. trækning 2. trækning 3. trækning
2
3
2
3
163

PROBLEM
164 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
SAMME KAST FLERE GANGE I TRÆK?
Herunder er beskrevet to eksperimenter.
Eksperiment 1: Kast en terning to gange.
Eksperiment 2: Kast en mønt fem gange.
Du skal undersøge, om der er størst chance for af få to
seksere i træk i det første eksperiment – eller om der
er størst chance for at få krone fem gange i træk i det
andet eksperiment.
1 Brug et simuleringsprogram til at simulere de to
eksperimenter.
Gentag simuleringen mindst 50 gange for hvert
eksperiment.
Hvad viser simuleringen om sandsynlighederne?
2 Brug et chancetræ til at fi nde sandsynligheden for
hvert eksperiment.
3 Sammenlign for hvert eksperiment sandsynligheden,
du har fundet ved hjælp af simuleringsprogrammet
og sandsynligheden, du har fundet ved hjælp af
chancetræet.
Er du overrasket over forskellen? Hvorfor? Hvorfor
ikke?

UHELDIG FLERE GANGE I TRÆK? PROBLEM
Familien Aagaard er i sommerhus i tre dage.
Hver dag trækker familiens tre børn lod om, hvem der
skal vaske op.
1 Søren, Thomas og Lise har lige stor risiko for at
tabe lodtrækningen. Hvad er sandsynligheden for, at
Søren skal vaske op den første dag?
2 Brug et chancetræ til at beregne sandsynligheden
for, at Søren skal vaske op
a de to første dage i træk.
b alle tre dage.
3 Hvad er sandsynligheden for, at Lise
a slet ikke kommer til at vaske op i sommerhuset?
b kommer til at vaske op netop én gang?
4 Hvad er sandsynligheden for, at de tre børn kommer
til at vaske op én gang hver?
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
L
S
T
L
T
S
L
S
L
S
T
T
L
S
L
S
L
S
L
S
L
S
L
S L
S
L
S
L
S
T
T
T
T
T
T
T
T
T
165

FÆRDIGHED
1 Et eksperiment går ud på at kaste en
mønt 10 gange i træk og tælle antallet
af krone.
a Hvor mange gange vil du forvente,
at mønten viser krone i eksperimentet?
Hvorfor?
b Vil der altid komme det samme
antal krone, hvis eksperimentet
gentages? Hvorfor? Hvorfor ikke?
2 Pindediagrammet viser resultatet fra
en simulering af 1000 terningkast.
150
100
50
1 2 3 4 5 6
a Lav en hyppighedstabel, der viser
hyppigheden af hvert udfald.
Udfald Hyppighed (ca.)
1
2
3
4
5
6
b Hvad viser hyppighedstabellen om
sandsynligheden for hvert udfald?
c Cirka hvor mange af hvert udfald
ville du forvente i eksperimentet?
d Hvordan passer dine forventninger
med simuleringen?
166 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
3 Et eksperiment går ud på at kaste
en terning tre gange i træk og tælle
antallet af seksere.
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
a Chancetræet viser, at sandsynligheden
for ikke at få en sekser i første
kast er 5
6. Hvorfor er den det?
b Brug lommeregner. Hvad er sandsynligheden
for at få tre seksere i træk?
c Brug lommeregner. Hvad er sandsynligheden
for slet ikke at få en
sekser i de tre kast?
4 Et eksperiment går ud på at kaste en
terning tre gange i træk og se, om
terningen viser et lige eller et ulige
antal øjne.
a Hvad er sandsynligheden for, at
terningen viser
et lige antal øjne i første kast?
et ulige antal øjne i første kast?
b Tegn et chancetræ, der viser eksperimentet.
c Hvad er sandsynligheden for, at
terningen viser et lige antal øjne
tre gange i træk? Et ulige antal
øjne tre gange i træk?

STATISTIK, SANDSYNLIGHED OG PLANTEFRØ
Hvert år planter Henry 100 solsikkefrø i sin have.
Det er ikke alle 100 frø, der bliver til planter.
Herunder kan du se, hvor mange planter der er kommet
op i hvert af de sidste 10 år.
PROBLEM
72 85 78 87 83 71 93 77 88 66
1 Henry siger, at i gennemsnit bliver 80 af de 100 solsikkefrø
til planter. Hvordan har han regnet det ud?
2 Sandsynligheden for, at et solsikkefrø bliver til en
plante, er altså 80 = 0,80 = 80 %.
100
Tegn et chancetræ, som vist til højre, og skriv
sandsynligheder på hver gren.
3 Henrys barnebarn vil plante lidt solsikkefrø.
Chancetræet kan bruges til at forudsige, hvor mange
planter der kommer op, hvis hun planter tre frø.
Beregn sandsynligheden for, at de tre frø bliver til
a 0 planter.
b 1 plante.
c 2 planter.
d 3 planter.
0,8
0,8
STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
0,8
167

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Finde sandsynligheder
ved hjælp af en hyppighedstabel
Finde sandsynligheder
ved hjælp af et tælletræ
Finde sandsynligheder
ved hjælp af en tabel
Simulere et eksperiment
på computer
Finde sandsynligheder
ved hjælp af et chancetræ
Tegne et chancetræ
Udfald Hyppighed
K1
K2
K3
K4
K5
K6
P1
P2
P3
P4
P5
P6
168 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Lav en hyppighedstabel. Forklar, hvad den viser.
Vis en simulering af et eksperiment på computer.
Forklar, hvad den viser.
Giv et eksempel, hvor du bruger en tabel til at fi nde
sandsynligheder.
Giv et eksempel på et chancetræ. Forklar, hvad det
viser, og hvordan det bruges.
Fortæl om et spil eller en situation, hvor du har haft
brug for at vurdere sandsynligheder.
P
K
1
2
1
2
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6

Formelsamling
Tal og algebra
REGNINGSARTERNES HIERARKI
Der gælder nogle aftaler om, hvilken rækkefølge man
regner i, når man skal udregne værdien af et udtryk, fx
5 + 4 · (3 – 2) · 6
1 Først udregnes indholdet af alle parenteser.
2 Dernæst udregnes potenser.
3 Så udregnes gange og division.
4 Til sidst udregnes plus og minus.
De regningsarter, der har samme plads i rækkefølgen,
fx plus og minus, kan regnes fra venstre mod højre.
PARENTESREGLER
Parenteser, hvor der står minus foran, kaldes
minusparenteser.
Parenteser, hvor der står plus eller ingenting foran,
kaldes plusparenteser.
Minusparenteser kan man hæve, hvis man skifter
fortegnene i parentesen.
+ bliver til – og omvendt.
Plusparenteser kan man hæve uden at skifte fortegn.
Eksempler:
2a + (a + b) = 2a + a + b
2a + (a – b) = 2a + a – b
2a – (a + b) = 2a – a – b
2a – (a – b) = 2a – a + b
DEN DISTRIBUTIVE LOV
Man kan gange ind i parenteser ved at gange med
hvert led i parentesen.
Eksempel:
2 + 2(a + b) + 3a = 2 + (2a + 2b) + 3a = 2 + 2a + 2b + 3a
FORMELSAMLING
169

Geometri – Areal
CIRKEL
PARALLELOGRAM
170 FORMELSAMLING
REKTANGEL
TRAPEZ
TREKANT
C: centrum for cirklen
p: cirkelperiferien
d: diameter
r: radius (r = 1
A = π · r
2 · d)
t: vinkelret på radius er en tangent til cirklen
k: korde til cirklen – den længste korde er d
A: areal
O: omkreds
2
O = 2 · π · r eller
O = π · d
h: højde
g: grundlinje
A: areal
l: længde
b: bredde
A: areal
O: omkreds
h: højde
a og b: parallelle sider
A: areal
A = h · g
A = l · b
O = 2 · (l + b)
A = 1
2 · h · (a + b)
h: højde
g: grundlinje
A: areal
A = 1
2 · h · g

Geometri – Rumfang og overflade
CYLINDER
KASSE
KEGLE
KUGLE
PRISME
h: højde
r: radius
V: rumfang
O: den krumme overflade
h: højde
l: længde
b: bredde
V: rumfang
h: højde
G: areal af grundfladen
V: rumfang
r: radius
d: diameter
V: rumfang
O: overflade
h: højde
G: areal af grundfladen
V: rumfang
V = π ∙ r 2 ∙ h
O = 2 ∙ π ∙ r ∙ h
V = l ∙ b ∙ h
V = 1
3 ∙ h ∙ G
V = 4
3 ∙ π ∙ r 3
O = 4 ∙ π ∙ r 2
V = h ∙ G
FORMELSAMLING
171

PYRAMIDE
Måleenheder
ENHEDER FOR LÆNGDE
Navn Gigameter
Forkortelse
Antal
meter
Megameter
Kilometer
Hektometer
Dekameter
Meter Decimeter
Centimeter
Millimeter
Mikrometer
Gm Mm km hm dam m dm cm mm µm nm
Nanometer
10 9 10 6 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 10 –6 10 –9
ENHEDER FOR RUMFANG
Navn Giga-
liter
Forkortelse
Antal
liter
Megaliter
Kilo-
liter
Gl Ml kl
m 3
Hektoliter
Dekaliter
hl dal l
dm 3
Liter Deci-
liter
Centiliter
Milli-
liter
dl cl ml
cm 3
Mikroliter
Nano-
liter
µl nl
10 9 10 6 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 10 –6 10 –9
ENHEDER FOR VÆGT
Navn Ton Kilogram Hektogram Dekagram Gram Deci gram Centigram Milligram
Forkortelse t kg hg dag g dg cg mg
Antal gram 1 000 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
172 FORMELSAMLING
h: højde
G: areal af grundfladen
V: rumfang
V = 1
3 · h · G

Facitliste
TAL OG ENHEDER
SIDE 5
1 a 2000 m
b 1,5 m
c 500 m
d 5043 m
e 1,23 m
f 0,05 m
2 a 3,025 km
b 0,5 km
c 0,025 km
d 0,001 km
e 0,001 km
f 20 km
3 a 2 cm
b 50 cm
c 25 cm
d 10,5 cm
e 200 000 cm
f 502,3 cm
4 5 mm – 50 mm –
50 cm – 5 m – 0,05 km
5 a+e, b+c, d+f
6 a 120 min
b 210 min
c 375 min
d 270 min
e 2 min
f 5 min
7 a 2 timer
b 1,5 timer
c 3 timer
d 10 timer
e 1 time
f 2 timer
8 a 2,5 km
b 4 km
c 6 km
d 6 km
9 a 10 km/t.
b 12 km/t.
c 15 km/t.
d 12 km/t.
10 a 1 time
b 1
2 time
c 40 min
d 48 min
11 a 100 km/t.
b 30 km/t.
12 18 km/t.
SIDE 9
1 a 2 l
b 0,5 l
c 10 l
d 1,15 l
e 0,2 l
f 0,25 l
g 0,5 l
h 2,5 l
2 a 2 dm 3
b 0,5 dm 3
c 10 dm 3
d 1,15 dm 3
3 a 5000 ml
b 1000 ml
c 200 ml
d 50 ml
e 500 ml
f 250 ml
g 10 ml
h 1 ml
4 a 4 dl
b 5 dl
c 20 dl
d 35 dl
e 2,5 dl
f 0,1 dl
5 a+e, b+c, d+f
6 a sandt
b falsk
c falsk
d sandt
e sandt
f sandt
g falsk
h sandt
7 a 4000 g
b 7000 g
c 10 500 g
d 250 g
e 5007 g
f 800 g
g 10 g
h 205 g
8 a 600 g
b 212 g
c 110 g
d 500 g
e 250 g
f 100 g
g 999 g
h 999,5 g
9 a falsk
b sandt
FACITLISTE
173

c falsk
d sandt
e sandt
f falsk
g sandt
h falsk
i sandt
j sandt
AREAL
SIDE 29
1 a 2,5 cm 2
b 4,5 cm 2
c 1 cm 2
d 4 cm 2
e 2 cm 2
f 3,75 cm 2
2 a 98 m 2
b 92 m 2
3 a 120 m 2
b 616 m 2
SIDE 33
1 a 3 cm
b 4 cm
c 2,4 cm
2 a 4 cm
b 4 cm
c 4 cm
d 4 cm
174 FACITLISTE
3 a 9 cm 2
b Fx:
6 cm
6 cm
6 cm
4 a 18 cm 2
b Fx
6 cm
6 cm
3 cm
6 cm
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
5 a -
b -
6 a 6 cm
b 14 cm
SIDE 38
1 a 6 cm 2
b 4 cm 2
c 4,5 cm 2
d 6 cm 2
2 a π ≈ 3,14 cm 2
b 2,25 · π ≈ 7,07 cm 2
c 4 · π ≈ 12,57 cm 2
3 a ca. 6,57 cm 2
b ca. 10,57 cm 2
c ca. 8,93 cm 2
4 Det passer kun næsten.
Kvadratets areal er
64 cm 2 .
Cirklens areal er
ca. 63,62 cm 2 .

1 a
b
c
d
e
f
2 a
BESKRIVELSE AF SAMMENHÆNGE
SIDE 45
b
c
d
e
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 7 8 9 10 11 12 13 14
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5 16
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
3 a Forskriften kan fx vise sammenhængen mellem
antal liter mælk (y), du får, hvis du køber x halve
liter mælk.
b Forskriften kan fx vise sammenhængen mellem
prisen (y) for x kilo kartofler, der koster
7,50 kr. pr. kilo.
c Forskriften kan fx
vise sammenhængen
mellem længden
af et papir, der er
foldet på midten (y),
og papirets længde,
før det blev foldet
(x). Forskriften
svarer til forskriften i
opgave 3a.
d Forskriften kan fx
vise sammenhængen
mellem det antal
omgange (y), du
skal rulle et meterhjul
for at opmåle
x meter.
4 a y er 3 større end x.
Forskrift: y = x + 3
b y er 4 gange større
end x.
Forskrift: y = x · 4
c y er 1 mindre end x.
Forskrift: y = x – 1
d y er 1 mere end dobbelt
så stor som x.
Forskrift:
y = 2 · x + 1
e y er 1 mindre end
tre gange så stor
som x.
Forskrift:
y = 3 · x – 1
SIDE 49
1 a b, c og d er funktioner.
b c og d er rette linjer.
FACITLISTE
175

2 a passer med grafen p.
b passer med grafen o.
c passer med grafen n.
d passer med grafen m.
e passer med grafen l.
3
4 d er ikke en funktionsforskrift.
5 a y = 4 · x
b y = 5
c y = x : 2 eller y = x · 1
2
d y = 8,25 · x
e y = x
f y = 8 · x + 24
6 a Fx
y er 5 større end x.
b Fx
y er 5 mindre end x.
c Fx
Alle y-værdier er 3.
d Fx
Alle x-værdier er 1.
e Fx
y er 5 gange større
176 FACITLISTE
7 a
end x.
f Fx
Man skal betale y
kroner for x appelsiner,
der koster 5 kr.
stykket, og et æble,
der koster 5 kr.
g Fx
Vi får y kroner hver,
hvis vi deler x kroner
i tre lige store dele.
h Fx
x er 3 gange større
end y.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 5 0 -3 -4 -3 0 5 12
b Ja, det er grafen for
en funktion. Til hver
x-værdi hører netop
én y-værdi.
SIDE 52
1 a Fx
y = 1, y = 2, y = 3
b Fx
y = x, y = x + 1,
y = x + 2
c Fx
y = –x, y = –2 · x,
y = –2 · x + 2
2 a Fx
y = 6 · x
b Fx
y = 4 · x
3 a Fx
y = 3 · x
b Fx
y = 3 · x + 5
c Fx
y = x + 1
4 a nej
b ja
c ja
d ja
e nej
f ja
5 a

5 b y-værdierne bliver
større i l, når x er
større end 5.
y-værdierne bliver
mindre i l, når x er
mindre end 5.
y-værdierne bliver
lige store i l og m,
når x er 5.
5 c 4 · x – 3 = 3 · x + 2
4 · 5 – 3 = 3 · 5 + 2
17 = 17
BRUG AF BRØKER
SIDE 71
1 a Fx
b Fx
I en klasse er der 16
piger og 8 drenge,
så 2 af eleverne er
3
piger.
2 a 3 kr.
b 30 cm
c 0,8 liter
d 4 cm 2
e 0,5 dl
f 1,05 m
3 a 10 cm 2
b 30 kr.
c 125 cm = 1,25 m
d 15 dl = 1,5 liter
e 7,5 m
f 6 liter
4 a 6 kr.
b 12 kr.
c 18 kr.
d 24 kr.
e 36 kr.
f 42 kr.
5 80 kr.
6
0 0,5 1
2
12
1
4
6
12
7 a Fx 2 10
og 6 30
b Fx 6 75
og 8 100
c Fx 4 14
og 14 49
d Fx 2 10
og 3 15
e Fx 3 9
og 5 15
f Fx 6 42
og 7 49
8 a 0,2
b 0,6
c 0,75
d 0,33…
e 0,125
f 0,375
2
3
9 a Fx 1 2 10
, og 4 8 40
b Fx 2 4 40
, og 5 10 100
c Fx 1 2 10
, og 10 20 100
d Fx 3 6 60
, og 5 10 100
e Fx 3 6 30
, og 4 8 40
5
6
f Fx 17 34 85
, og 20 40 100
6
6
10 0,3; 1
9 3
; 0,35; 0,4; ; 3 20 5
SIDE 75
1 a Fx 5
2
b Fx 4
3
c Fx 13
4
d Fx 8
5
e Fx 24 12
= 10 5
f Fx 19
4
2 a Fx 1 2
6
b Fx 1 3
4
c Fx 4 1
2
FACITLISTE
177

3
d Fx 3 1
3
e Fx 2 1
4
f Fx 1 1
5
4 a Fx 5 1
og 2 2 2
b Fx 7 1
og 3 2 2
c Fx 11
5
d Fx 14
5
og 2 1
5
og 2 4
5
e Fx 31 1
og 3 10 10
f Fx 19 9
og 1 10 10
5 a, c, f og g har samme
værdi.
b, d, e og h har samme
værdi.
6 a Fx 2 1
10
7 20
5
b Fx 13
4
, 13
3
, 9
2
, 7
2
,2 1
5
, 11
3
19 5
, , 4 1
178 FACITLISTE
,2 3
8
1 3
,2 ,2 2 4
19 23
, , 5 6
8 a 1
2
, 1
3
, 1
4
3 4 4 4
, , , 4 1 2 3
b 1
4
2 2 2
, , , 1 3 4
1 1 2 2
, , og , 3 2 4 3
3
2
, 2
1
, og 4
2
9 a 20 min
b 6 min
c 12 min
d 75 min
e 100 min
SIDE 77
1 a 3 1
eller 1 2 2
b 3
4
c 3
5
2 a 5 1
= 2 2 2
b 5 2
= 1 3 3
c 5 1 = 1 4 4
3 a Fx 1 2
3 , 6
b Fx 2 4
3 , 6
c Fx 2 1
4 , 2
d Fx 3 6
4 , 8
e Fx 4 8
5 , 10
f Fx 3 6
, 7 14
3 4
, , 1 1
3 3
, , 1 2 ,
3 4
, , 4 3 ,
4 a Fx 1 : 2 eller 2 : 4
b Fx 3 : 4 eller 6 : 8
c Fx 1 : 7 eller 2 : 14
d Fx 3 : 8 eller 6 : 16
e Fx 4 : 5 eller 8 : 10
f Fx 5 : 9 eller 10 : 18
5 a, c og e har samme
værdi.
b, d og f har samme
værdi.
6 a 1 1
2
b 2 1
2
c 3 3
4
d 4 1
5
e 5 2
5
f 6 3
5
g 3 1
6
h 6 1
2
i 7 5
6
j 11 6
7
k 13 1
7
l 15 2
7
m 11 1
8
n 20 3
8
o 30 1
4
p 61 2
3
q 99 8
9
r 80 1
3

7 a Fx 1 : 4
b Fx 2 : 5
c Fx 4 : 5
d Fx 6 : 5
e Fx 3 : 2
f Fx 9 : 4
8 a x = 3
b x = 5
c x = 7
d x = 6
e x = 10
f x = 8
SIDE 81
1 a 1:2
b 2:1
c 1:2
d 2:1
e 1:3
f 3:1
g 1:3
h 3:1
i 1:3
j 3:1
k 1:9
l 9:1
2 Fx
3 –
4 Der er 12 piger og 15
drenge i klassen.
5 a 1 kg cement
b 3,5 kg sand
c 4 kg mørtel. Der
bliver 0,5 kg
cement tilovers.
6 a Fx
b Fx
c 48 cm 2
7 Frederikke bør have
750 kr., og Olivia bør
have 500 kr.
MATEMATIKKENS
SPROG
SIDE 87
1 a 5
b 6
c 49
d –6
e 25
f 13
g 4
h 100
i 9
j 51
k 11
l 10
m 3
n 0
o 82
p 2
2 a 15
b og c Fx
(8 + 2) · 7 – 2 – 3 = 65
8 + (2 · 7 – 2) – 3 = 17
8 + 2 · (7 – 2 – 3) = 12
(8 + 2 · 7) – 2 – 3 = 17
3 Fx
100 + 100 – 50 – 50
2 · 50 + 1000 – 1000
5 · (120 – 10 · 10)
1000 : (100 – 50 – 40)
5 + 15 · 5 + 20
4 a, c og d har samme
resultat.
b, e og f har samme
resultat.
5 a sandt
b sandt
c sandt
d falsk
e falsk
f falsk
6 a Fx
10, 14, 42, 33, 11, 1
5, 9, 27, 18, 6, 1
20, 24, 72, 63, 21, 1
6 b Fx
x,
x + 4,
(x + 4) · 3,
(x + 4) · 3 – 9,
((x+4) · 3 – 9) : 3,
((x+4) · 3 – 9) : 3 – x
1 a
SIDE 91
b
FACITLISTE
179

c
2 a
b
c
3 a 25 cm 2
b 5 cm
c 10 cm
4 a 8
b 16
c 2
d 16
5 a 14
b 28
c 3,5
d 49
6 a og d har samme
resultat.
b, c, e og f har samme
resultat.
7 a 1, 11, 1, 11
5, 7, 5, 7
8, 4, 8, 4
11, 1, 11, 1
b Omkredsen bliver
altid 24.
180 FACITLISTE
c Fx
x + (12 – x) + x +
(12 – x)
d Fx
x lægges henholdsvis
til og trækkes
fra. x har derfor
ingen betydning for
omkredsen.
SIDE 96
1 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 8
2 a Fx
1 2 · c + 2 · b + 2 · a
2 6·y–6·y+5·x–2·x
3 2 · 3 · 4 + 1 · 2 · 3
4 3 · x + 2 + 6 : 2 · 2
5 a · b · c + 9 · a · b · c
6 2 · a · b + b · b + a · a
7 2 · x · y + 3 · x · y +
4 · x · y
8 a + a + a + a + b +
b + b + b
b –
3 1 2(a + b + c)
2 3x
3 30
4 3x + 8
5 10abc
6 a 2 + b 2 + 2ab
7 9xy
8 4a + 4b
4 a 1 a + b + b
2 a + b + a
3 a – b – a
4 –a – b + b
b –
5 1 a + 2b
2 2a + b
3 –b
4 –a
5 8
6 9
7 0
8 ac
HISTORISKE
MATEMATIKERE
SIDE 102-103 – Thales
1 a Den ene trekant er
en forstørrelse af
den anden.
b 176:1,2 = 146,66 …
c Thales gangede stokkens
længde med forholdet,
dvs. 146,66.
d Ca. 147 m.
2 a-d –
e En periferivinkel,
der spænder over
diameteren, er 90 o .
3 a –
b To af vinklerne i ligebenede
trekanter
er altid lige store.
SIDE 104-105 – Euklid
1 a-c –
d A + B + C = 180 o .
A + B = D.
C + D = 180 o
2 a 61
b 78 2
= 195 5
132
209 = 12
19
1182
2758 = 3
7

1 a
SIDE 106-107 – Archimedes
Diameter Rumfang
Kegle 10 cm 261,8 cm 3
Kugle 10 cm 523,6 cm 3
Cylinder 10 cm 785,4 cm 3
Kegle 15 cm 883,6 cm 3
Kugle 15 cm 1767,1 cm 3
Cylinder 15 cm 2650,7 cm 3
b Kuglens rumfang
er dobbelt så stort
som keglens rumfang.
c Cylinderens rumfang
er tre gange
større end keglens.
d Når højder og diametre
er ens, svarer
en cylinders rumfang
til en kegle og
en kugles rumfang
tilsammen.
2 a 314,16 cm 2
706,86 cm 2
1256,63 cm 2
b 314,16 cm 2
706,86 cm 2
1256,63 cm 2
c Kuglens overfladeareal
er det samme
som cylinderens
krumme overfladeareal,
når diametre
og højde er ens.
SIDE 108-109 – Gauss
1 a 55
78
210
325
5050
2 a
b Summen af de første
10 · 11
10 hele tal er .
2
Summen af de første
n hele tal
n · ( n + 1)
er .
2
Antal lige tal 2 3 4 5 6 7 10 15 20
Gennemsnit 3 4 5 6 7 8 11 16 21
b Gennemsnittet af de
første ti lige tal er
11. Gennemsnittet
af de første n lige
tal er n + 1.
3 a nej
ja
ja
ja
nej
b –
TEGNING OG
KONSTRUKTIONER
SIDE 115
1 a 10
b 14
2 a
3 –
4
5
b Fx
I bogen er somaklodserne
tegnet i
perspektiv, så dybdelinjerne
er ikke
parallelle.
FACITLISTE
181

–
1 a
SIDE 119
SIDE 123
b
2 a
b Fx
3 Fx
182 FACITLISTE
4
REGNING MED BRØK,
DECIMALTAL
OG PROCENT
SIDE 132
1 a 15 kr.
b 3 kr.
c 9 kr.
d 6 kr.
e 36 kr.
f 33 kr.
2 a 90 kr.
b 45 kr.
c 72 kr.
d 225 kr.
e 1,80 kr.
f 73,80 kr.
3 a, b, c, f og h giver
samme resultat.
d, e og g giver samme
resultat.
4 a 17,50 kr.
b 8,75 kr.
c 26,25 kr.
d 10,50 kr.
5 a 1 time
b 1 1
2 time
c 4 1
2 time
d 1 1
2 time
e 45 min
f 36 min
6 a Falsk
b Sandt
c Falsk
d Falsk
e Sandt
f Falsk
7 Fx
På en frivillig udflugt
deltog 50 % af klubbens
50 børn. Hvor
mange børn deltog?
En bager har sat prisen
på et brød ned med
20 %. Nu koster det
kun 20 kr. Hvad kostede
det før?
8 a 38 kr.
b 41 kr.
c 46 kr.
d 47,80 kr.
SIDE 133
9 Hun mangler ca. 300 m 2 .
10 a 125 kr.
b 62,50 kr.
c 1,25 kr.
d 1250 kr.
e 1000 kr.
f 300 kr.
11 a 3,6
b 7,2
c 36
d 72
e 93,6
f 147,6

12 a
b
c
d
e
f
13 a 103 kr.
b 92,70 kr.
c 113,30 kr.
d 128,75 kr.
14
SIDE 137
1 a 1
4
b 1
8
c 1
16
d 1
6
e 1
10
f 1
20
2 a 1
8
b 1
9
c 2
9
d 3
20
e 1
5
f 1
6
3 a 0,4 = 2
5
b 0,3 = 3
10
c 0,1 = 1
10
d 0,08 = 2
25
e 0,09 = 9
100
f 0,07 = 7
100
4 Fx
0,4 · 0,5
0,02 · 10
1
· 2 10
1 2
· 2 5
4 5
· 2 50
5 Fx
Tre drenge vil dele en
kvart kringle, så de får
lige meget hver. Hvor
meget får de hver?
6 a 0,05
b 0,1
c 0,15
d 0,009
e 0,018
f 0,081
7 a Falsk
b Sandt
c Falsk
d Falsk
e Sandt
FACITLISTE
183

8 Fx
Fordi, når man ganger
med et tal mellem 0 og
1, finder man en brøkdel
af en helhed.
SIDE 141
1 a 20 kr.
b 80 kr.
c 40 kr.
d 45 kr.
e 35 kr.
f 37,50 kr.
2 a 10
b 6
c 3
d 6
e 20
f 10
g 25
h 8
i 9
j 6
3 Emil har lavet 1 1
2 liter
marmelade.
4 Fx
Ole drikker 1
2 liter
mælk om dagen. Hvor
mange dage går der,
før han har drukket
2 liter mælk?
5 a 16 cm
b 25 kr.
c 6 m
d 20 kg
e 2800 g
f 14,4 liter
184 FACITLISTE
6 a 6 liter
b 150 m
c 40 cm 2
d 240 euro
e 200 m 3
f 200 kr.
7 a 100 kr.
b 160 kr.
c 40 kr.
d 80 kr.
e 32 kr.
f 76 kr.
SVØMNING
SIDE 146-147 – Bassiner
1 a Ca. 102 m2 b Ca. 22 personer
2 a Ca. 456 000 liter
b Frit klor: mindst 228
g, højst 912 g
Bundet klor: højst
91,2 g
3-4 –
SIDE 148-149 – Elitesvømning
1 a 2,8 km under opvarmningen.
4,4 km i alt.
b 50 m: 88 banelængder.
25 m: 176 banelængder.
c 5 sek. pause:
4,5 km/t.
10 sek. pause:
4,8 km/t.
2 a 2003
b Ca. 1
(23,68 %)
4
c 55 %
3 –
4 a –
b Udviklingen i antallet
af klubber
5 –
1 –
Stigende fra 1996 -
1999. Faldt meget
fra 1999 - 2000,
hvorefter antallet
af klubber igen
steg. Antallet er
steget og faldet lidt
mellem 2000 og
2003, men herefter
kun faldet. Samlet
set faldt antallet
af klubber med 17
klubber svarende
til 7,7 % fra 1996 -
2006.
SIDE 150-151 – Vandpolo
2 a Junior: ca.9,5 cm.
Dame: ca. 10,7 cm.
Herre: ca. 11,3 cm.
b Junior: ca. 3,6 liter
Dame: ca. 5,1 liter
Herre: ca. 6,0 liter
3-4 –

5 a 4 hold: 6 kampe
8 hold: 28 kampe
16 hold: 120 kampe
b – (en kamp tager
40 minutter)
SIDE 152-153
– Svømmehallens besøgende
1 a 0-11 år sparer 30 kr.
12-17 år sparer 40 kr.
18 → år sparer 60 kr.
b Alle sparer 20 %.
c Alle skal komme
mindst 13 gange.
Ved 12 gange koster
månedskort det
samme som et 10turskort
og to billetter.
2 a
b Onsdag
3 a Onsdag
b Mandag
c 800 besøgende
4 a
Alder
Dag
0-11 år 12-17 år 18→ år
Ma 15,42 % 21,96 % 62,62 %
Ti 22,73 % 30,79 % 46,48 %
On 21,58 % 21,89 % 56,53 %
To 22,51 % 30,54 % 46,95 %
Fr 25,09 % 22,84 % 52,07 %
5 –
b –
STATISTIK OG
SANDSYNLIGHED
SIDE 166
1 a Det er mest sandsynligt,
at 5 af
kastene viser krone,
da der kastes 10
gange og sandsynligheden
for krone
er 50 %.
b Nej, antallet af
krone kan være 0 til
10, da tilfældighed
spiller ind.
2 a
Udfald Hyppighed (ca.)
1 192
2 161
3 161
4 157
5 151
6 178
b Ifølge hyppighedstabellen
er sandsynligheden
for at få:
1 ≈ 192
1000
2 ≈ 161
1000
3 ≈ 161
1000
= 0,192
= 0,161
= 0,161
4 ≈ 157
1000 =0,157
5 ≈ 151
1000
6 ≈ 178
1000
c Ca. 1000
6
= 0,151
= 0,178
= 167
d Især antallet af
5’ere er lavere end
forventet – mens
antallet af 1’ere er
en del højere end
forventet.
3 a Sandsynligheden
for ikke at få en 6’er
er 5
6 , da fem ud af
seks mulige udfald
er en „ikke-sekser“,
nemlig: 1’er, 2’er,
3’er, 4’er og 5’er,
og der er lige stor
sandsynlighed for
hvert udfald.
b 1
c 5
3
⎛ 1
⎜ 0 0046
⎝6
216
⎞
⎟ = ≈ ,
⎠
3
⎛ 125
⎜ 0 5787
⎝6
216
⎞
⎟ = ≈ ,
⎠
4 a Sandsynligheden
for et lige antal
øjne er 1
2 .
Sandsynligheden
for et ulige antal
øjne er 1
2 .
b
lige
ulige
lige
ulige
ulige
lige
FACITLISTE
lige
ulige
lige
ulige
lige
ulige
lige
ulige
185

c Sandsynligheden
for at terningen
viser et lige antal
øjne tre gange i
træk er:
3
⎛ 1 1
⎜ 0 125
⎝2
8 ⎞
⎟ = = ,
⎠
Sandsynligheden
for at terningen
viser et ulige
antal øjne tre
gange i træk er:
3
⎛ 1 1
⎜ 0 125
⎝2
8 ⎞
⎟ = = ,
⎠
186 FACITLISTE

Stikordsregister
Archimedes . . . . . . . . . . . . 101, .106, .107
Blandet .tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, .72, .74
Brøkdel . . . . . . . . . . . . . 68, .70, .128, .134
Brøk .og .decimaltal . . . . . . . . . . . . 68, .69
Brøk .og .division . . . . . . . . . . . . . . 69, .76
Chancetræ . . . . . . . . . . . . . . . . .162, .163 .
Cirkel . . . . . . . . . . . .15, .36, .54, .103, .170
Cirkeldiagram . . . . . . . . . . . . . . . .19, .131
Cylinder . . . . . . . . . . . . 15, .93, .106, .171
Decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . .127-130
Del .af .en .brøkdel . . . . . . . . . . . . . . . .134
Diagonaler . . . . . . . . . 114, .116, .120, .121
Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, .103
Division, .brøker . . . . . . . . . . . . . .138, .139
Enhed . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, .2, .6, .172
Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . 100, .104, .105
Euklids .algoritme . . . . . . . . . . . . . . . .105
Euklids .elementer . . . .99, .100, .104, .105
Fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Forhold . . . . . . . 68, .69, .78, .79, .80, .102
Formler . . . . . . . . . . . . . . . 14, .15, .84, .93
Forsvindingspunkt . . . . . . . . . . .120, .121
Fortegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Fraktal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57, .58
Frontperspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Funktion . . . . 46, .47, .50, .51, .53, .54, .55
Funktionsforskrift . . . . . . . . . . . . . .47, .50
Gange, .brøker . . . . . . . . . . . . . . .135, .136
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 101, .108, .109
Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Grafer, .regneark . . . . . . . . . . . . . . .16, .17
Gennemsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
Gennemsnitsfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Grundlinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, .31 .
Grundplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 .
Happy .numbers . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Helhed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129, .138
Horisontlinje . . . . . . . . . . . . . . . 120, .125
Hyppighedstabel . . . . . . . . . . . . . . . .156
Højde . . . . . . . . . . . 30, .31, .32, .107, .118
Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
Isometrisk .tegning . . . . . . . . . . . 112, .114
Kasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122, .171
Kegle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, .106, .171
Kilometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Klassisk .konstruktion . . 112, .116, .117, .118
Kongruent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, .34
Konstruktion . . . . . . . . . 112, .116, .117, .118
Krydsperspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Kube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122, .125
Kugle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, .106, .171
Led . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, .95
Ligedannet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
Ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Ligning, .regneark . . . . . . . . . . . . . .14, .15
Litersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Længdeenheder . . . . . . . . . . . . . . .2, .172 .
Metersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Mindsteværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
Moms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
Målestoks .forhold .39, .114, .116, .146, .147
Omkreds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, .88
Overflade, .krum . . . . . . . . . . . . . . . . .107
Parentes . . . . . . . . . . . . .92, .94, .95, .169
Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, .30, .34, .170
STIKORDSREGISTER
187

Periferivinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
Perspektivtegning . . . . 112, .113, .120, .121
Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Pindediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
Polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146,171
Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127-131
Præfikser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . 93, .102, .171
Pythagoras-spiralen . . . . . . . . . . . . . . .64
Pythagoras´ .træ . . . . . . . . . . . 58, .62, .63
Reducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95, .97
Regnerækkefølge . . . . . . . . . . . . 84, .169
Regnetegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Regnskab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18, .19
Regulær .polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Rektangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, .170
Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
Rhind .Papyrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
Rumfangsenheder . . . . . . . . . . . . . .6, .172
Sandsynlighedsregning . . . . . . . . . . . 155
Sierpinskis .trekant . . . . . . . . . . . . . . . .64
188 STIKORDSREGISTER
Simulering . .
af .eksperiment . . . . . . . . . 156, .158, .164
Sophie .Germain . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Sortere .data, .regneark . . . . . . . . . 20, .21
Søjlediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . .18, .19
Statistik . . . . . . . . . . . . . . . 155, .160, .161
Statistik, .regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, .21
Størsteværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
Tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Talfølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15, .55
Thales . . . . . . . . . . . . . . . . 100, .102, .103
Tegning .på .computer . . . . . . . . .124, .125
Trapez . . . . . . . . . . . . . . . 27, .34, .35, .170
Trekant . . 26, .28, .31, .32, .85, .103, .104, .
118, .170
Tælletræ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
Udvendig .vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . .104 .
Uægte .brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72, .74
Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85, .88, .89
Von .Kochs .snefnugkurve . . . . 58, .60, .61
Vægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, .172
Ægte .brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72