Ligedannede trekanter - Matematik

mimimi.dk

Ligedannede trekanter - Matematik

Ligedannede trekanter


Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011

Version 7.1

22-08-11

Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet

D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt


Arven fra Grækenland

Der er i dag - ca. 2500 år efter den græske kulturs

blomstringstid - en stor lighed mellem grækernes

opfattelse af matematik dengang og en moderne

opfattelse.

Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og

nogle grundantagelser ("aksiomer") udledes

("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle

påstande") om en eller anden sammenhæng.

Arbejdet hermed er en vigtig del af "matematik".

Tidligere kulturer som den babyloniske og den

ægyptiske har også anvendt matematik, og man har

kendt mange af de regler, der genfindes i den

græske kultur. Men den afgørende forskel er dels

beviset, dels den systematiske opstilling af

sætningerne i en rækkefølge, hvoraf det klart

fremgår, hvad der er bevist, og hvad der kan bygges

videre på. Vigtigt har det også været at erkende, at

man ikke kan bevise sætninger uden at have andre

til rådighed: Der må eksistere nogle "første

sætninger". Om de så vælges, fordi "de er indlysende

sande" eller af andre grunde får stå hen. Denne

teoriopbygning formuleres overbevisende af

grækeren Euklid ca. 300 år før vor tidsregning i hans

bøger: "Elementerne", så overbevisende, at indholdet

har fået lov at stå næsten uantastet i over 2000 år.

Også dette kapitel bygger i det væsentlige på

Euklids arbejde såvel som dele i de følgende kapitler.

Arven fra Grækenland

3


Ligedannede trekanter

Øvelser

1.

Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler.

Parret vælger 3 sidelængder i fællesskab, som begge skriver ned. Elev A tegner en trekant

med de valgte sider, elev B ganger eller deler sidelængderne med et vilkårligt tal, men med

det samme tal alle tre gange. B tegner derefter en trekant med de beregnede nye sidelængder.

Begge måler derefter alle 6 vinkler.

Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater.

2.

Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med

hjemmesiden http://mimimi.dk/bog/1-1/TegnTrekant_1.html )

3.

Læreren vælger sidelængder; hver elev vælger tallet, der ganges eller deles med. Alles resultater

sammenlignes.

4.

Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan.

5.

Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning 5):

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI5.html

Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "If two …" samt notere, at "having their

sides proportional" er ensbetydende med at have fælles forstørrelsesfaktor. Kan du vise det

sidste?

6.

Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler.

Parret vælger 3 vinkler i fællesskab, som begge skriver ned. Begge elever tegner en trekant

med de valgte vinkler, men vælger selv sidernes størrelse.

Begge måler derefter alle 6 sider. I fællesskab beregnes 3 brøker, hvor én af elev A's sidelængder

er tælleren og den tilsvarende sidelængde hos elev B er nævneren. Tilsvarende betyder,

at siderne ligger overfor lige store vinkler.

4


Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater.

7.

Øvelser

Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med

hjemmesiden http://mimimi.dk/bog/1-1/TegnTrekant_2.html )

8.

Læreren vælger vinkler; hver elev vælger én sidelængde. Eleverne beregner brøkerne med

egne og lærerens tal.

9.

Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan.

10.

Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning ):

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI4.html

Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "In equiangular ..."

Ligedannede Trekanter

Ensvinklede trekanter

To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den ene trekant findes en tilsvarende

lige så stor vinkel i den anden.

Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor

To trekanter har fælles forstørrelsesfaktor, hvis der for hver side i den ene trekant findes en

tilsvarende side i den anden, hvor de tre sider er forstørret (eller formindsket) med den

samme skalafaktor.

Ligedannede trekanter

To trekanter er ligedannede, hvis de både er ensvinklede og er trekanter med fælles

forstørrelsesfaktor

Tilsvarende kan ligedannede polygoner (dvs. mangekanter) defineres. Det har Euklid gjort i Bog

5


Ligedannede trekanter

VI, 1. definition. For trekanterne – og kun for trekanterne – gælder den næste sætning:

Ligedannede trekanter

To trekanter er ligedannede, hvis de enten er ensvinklede eller er trekanter med fælles

forstørrelsesfaktor

Denne sætning svarer til sætningerne 4 og 5 i Bog VI. Beviset for sætningen kan ses der, men

gentages ikke her. 1

Denne sætning er grundlæggende for alle trekantsberegninger. Derfor er det vigtigt, at du

kan huske de 3 definitioner (med gul baggrundsfarve) og den sidste sætning. Anvendelsen af

dem demonstreres lidt senere i kapitlet.

Definition og sætning og bevis

Definitioner

Som i eksemplet herover er der noget (her: fx Ligedannede trekanter), der defineres. Definitionen

er forklaringen med gul baggrundsfarve.

Sætninger

En sætning er en påstand. Sætningen kan have et navn som Pythagoras sætning eller Fermats

store sætning eller Trekantens areal. Navnet fungerer blot som en etikette: Nå, det er den sætning,

du tænker på. Selve sætningen er her markeret med en lavendelblå baggrundsfarve.

Sætningen (eller rettere: dobbeltsætningen) her er en typisk generel påstand af typen: Hvis

påstand P1 gælder, så vil påstanden P2 også altid gælde.

Beviser

Når matematikere fremsætter påstande, vil de gerne sikre sig, at påstanden altid er rigtig. Og

selv om man har undersøgt fx vinkelsummen i tusinder af trekanter, er der jo stadig uendelig

mange tilbage: vil de også have den samme vinkelsum?

Det er altså ikke nok at undersøge enkelte eksempler for at kontrollere, at en sætning er rigtig.

Vi må komme med argumenter, der vil være rigtige i enhver situation. De mange opmålinger

kan bringe os på sporet af et mønster, men det er de tvingende argumenter, der udgør

beviset, således at alle indser sætningens rigtighed.

1 Bemærk, at Euklid ikke benytter forstørrelsesfaktor, men taler om proportionale sider. Det er dog

nemt at vise, at har de proportionale sider er den ene en forstørrelse af den anden og omvendt.

6


Eksempel

Trekanterne ABC og DEF er ensvinklede;

det fremgår også indirekte af

udsmykningen af vinklerne. Fx er

vinklerne A og D ens: de har den samme

udsmykning: Bue med en tværstreg.

Tilsvarende gælder for B og E

samt for C og F.

Sætningen om ligedannede trekanter

medfører nu, at trekanterne er trekanter

med fælles forstørrelsesfaktor.

For at finde den fælles forstørrelsesfaktor,

skal der findes én side fra hver

trekant, der svarer til hinanden.

Lad os vælge c og f. At de svarer til

hinanden kan ses, fordi vinklerne

overfor (dvs. C og F) er markeret som

lige store.

Beregning af forstørrelsesfaktor

Kald forstørrelsesfaktoren k. Så gælder, at

c⋅k= f ⇔

k= f

c

Ligedannede Trekanter

Bemærk, at den længste sidelængde er f, som benyttes som tæller. Derfor gælder det, at

k > 1

Ved indsættelse af tallene fås nemt den aktuelle værdi:

k= 6

3 =2

Beregning af en side i den store trekant

Lad os prøve at beregne d (og lade som om vi ikke kendte den.)

Da a og d svarer til hinanden, findes d som en forstørrelse af a ved at gange a med k:

a⋅k=d

7


Ligedannede trekanter

og ved indsættelse af de kendte tal fås:

d =4,2⋅2=8,4

Det ser ud, som om det kun passer omtrent, jævnfør tegningens oplysninger.Men tegningens

tal er rigtige og værdien af k er rigtig. Imidlertid er a vist som et afrundet tal. Havde man

medtaget en decimal mere fås a = 4,24 og det medfører, at d = 8,48 eller ved afrunding d = 8,5.

Beregning af en side i den lille trekant

Lad os endelig prøve at beregne b.

Da b og e svarer til hinanden, findes b som en formindskelse af e ved at dividere e med k:

e

k =b

og ved indsættelse af de kendte tal fås:

b= 11,6

2 =5,8

Opgave med besvarelse

Opgavetekst August 2009, opgave 1 (HF Matematik C)

Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Nogle af målene fremgår af figuren.

a) Bestem længden af hver af siderne A1 B1 og AC.

Kommentar: Det skrives ikke direkte hvilke vinkler der er lige store, men både ved navngivning

og farvelægning af buer vises det indirekte.

8


Besvarelsen

Ligedannede Trekanter

Da trekanterne er ensvinklede, er de også ligedannede. Der findes derfor en fælles forstørrelsesfaktor

k, som gælder for alle par af sider, der svarer til hinanden.

1. Beregning af k

Siderne BC og B1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler.

Længderne betegnes |BC | = a og |B1 C1| = a1. Derfor gælder for forstørrelsesfaktoren:

k= a 1

a

og ved indsættelse af de oplyste tal:

k= 17

10,2

9


Ligedannede trekanter

2. Beregning af |A1 B1|

Siderne AB og A1 B1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet

de tilsvarende længder betegnes hhv. c og c1 fås:

c 1 =c⋅k

og ved indsættelse af de kendte tal:

c 1=5,7⋅ 17

10,2 ⇔

c 1 =9,50

|A1 B1| = 9,5

3. Beregning af |AC|

Siderne AC og A1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet

de tilsvarende længder betegnes hhv. b og b1 fås (idet der nu skal findes en side i den

lille trekant):

b= b 1

k

|AC| = 9,9

og ved indsættelse af de kendte tal:

b=16,5: 17

10,2 ⇔

b=16,5⋅ 10,2

17 ⇔

b=9,90

Kommentarer til besvarelsen

Bemærk den obligatoriske tegning, som hører med i enhver geometriopgave. Bemærk også

den klare struktur, der opnås med minioverskrifter afsluttende med den fremhævede konklusion.

Undersøg, om besvarelsen iøvrigt lever op til de almindelig krav til besvarelser af eksamensopgaver

(jævfør side 2 i eksamensopgaverne og siderne 6-8 i

http://uvmat.dk/skrift/SkriftlighedHFC/matCHFSkriftlighed.pdf)

10


Centrale begreber og sætninger

Hvad betyder det?

Centrale begreber og sætninger

Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I definition 7 forklares: "En plan flade er en flade,

som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, men i dagligdagen

har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, vægge, tavler osv. som plane

flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; det sidste er tit forudsat.

En trekant er en figur, der er indesluttet af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens

sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes trekantens hjørner eller

vinkelspidser. Hjørnerne navngives med store bogstaver, den modstående side (der forbinder

de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. Til hjørnet A svarer altså siden

a. Da a har endepunkterne B og C kaldes linjestykket også BC.

Til højre ses ΔABC. Sæt de manglede betegnelser på

tegningen (både for hjørner og sider.)

Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi

vil angive længden på, kan vi for eksempel skrive a = 3, hvis

a har længden 3. Oftest vil vi ikke angive, om det er cm eller

km, men angiver længden som et ubenævnt tal. Du bemærker

altså, a har to betydninger: det er både navnet på siden

og er samtidig et tal, nemlig tallet der angiver længden. Vi

kan også benytte skrivemåden |BC| for længden, hhv. BC

som navn for a.

Mål ΔABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv

målene i tabellen herunder med 1 decimals nøjagtighed:

Side a b c

Længde i cm

ΔABC

En vinkel er en figur bestående af et punkt (vinkelspidsen) og to halvlinjer (eller linjestykker)

gående ud fra punktet. Halvlinjerne kaldes vinklens ben; forestil dig, at du sidder i vinklens

spids og placerer dine ben over vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit venstreben

og tilsvarende for højre vinkelben. Vinkler har også et navn og en størrelse, og som for siderne

bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens størrelse. I ∆ABC kan der benyttes

11


Ligedannede trekanter

flere navne for den samme vinkel: ∠A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A,

∠BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bogstav) og at B og C er

punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske beregninger –

som sin(A) – undlades vinkeltegnet. Endelig kan vi vælge særskilte symboler for punkt og

vinkelstørrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske alfabets første bogstav). Der var intet i

vejen for at benytte andre danske bogstaver, som for eksempel v, men benyttes det græske

bogstav, kan man se, at vinkelstørrelsen α hører sammen med A. Der findes adskillige

måder at måle vinkler på: I begyndelsen vil vi her arbejde med grader, men på et senere

tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel

svarer til 360°. Vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 180°), stumpe (mellem

90° og 180°), rette (præcis 90°) og spidse vinkler (mellem 0°og 90°).

12

Skriv vinklernes type ved hvert af de 4 eksempler


Centrale begreber og sætninger

Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med særlige navne: højder, som er linjestykker

fra en vinkelspids til den modstående side, der står vinkelret på denne. Højden fra B til b

betegnes h eller hb, for at præcisere hvilken af de tre højder, der er tale om.

Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen.

Næste eksempel er vinkelhalveringslinjer, som er halvlinjer fra en vinkelspids, der deler

vinklen i 2 lige store vinkler. Betegnelsen er v eller vA (hvis vinkelspidsen er A).

Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det!

Hvis ∠A = 61°, .hvor stor er så β? Skriv det.

Trekanter har også medianer, der er linjestykker fra en vinkelspids til midtpunktet af den

modstående side. De betegnes m eller mc (hvis medianen

går fra C til et punkt på c).

Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist?

Endelig er der

midtnormaler til siderne,

som er linjer, der står vinkelret på et linjestykke (her en side)

i linjestykkets midtpunkt. Afhængig af øvrige anvendte

betegnelser, kan du benytte betegnelser som m eller n for

linjen. 2

2 Der er ikke mange 100 % faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som det er

fornuftigt at følge, fordi det ikke forvirrer læseren, hvis navnene følger det vante skema.

13


Ligedannede trekanter

Der findes særlige trekantstyper:

Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store,

ligebenede, hvis 2 af de 3 sider er lige store,

spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids,

retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og

stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump.

En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på

cirkelperiferien har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes radius

og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes en radius.

14

Hvad kan du sige om længden af linjestykkerne: PV, VQ, QS, SR, RU, UP? Skriv det

herunder:

Tegn på en transparent alle 5 trekantstyper

Prøv at lave en lang liste over alle de ord, der benyttes ved omtale af cirkler: diameter,

korde, tangent, centervinkel, periferivinkel ... og beskriv for hver af dem præcist, hvad

de betyder.

Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv sætningerne herunder:


Hvad er π?

Centrale begreber og sætninger

Tegn en række cirkler: både store og små. Karton og pap er velegnet til de små og lidt

større cirkler. Klip eller skær dem ud. Find også andre cirkler: cykelhjul, fade, møllesten

...

For alle måles og noteres radius og omkreds. Noter resultaterne i en tabel med 2

rækker: øverst radius (x-værdi), lige under den tilsvarende omkreds (y-værdi).

Omkredsen findes i nogle tilfælde

lettest ved at markere et punkt på

periferien; cirklen "trilles" langs en ret

linje indtil mærket er i samme position

og den kørte afstand måles.

Sommetider er centrum givet, men ikke

altid. Forklar, hvordan du så vil finde

det!

Indret et koordinatsystem på mmpapir,

så papiret udnytttes: indtegn et

punkt for hver cirkel med de målte

værdier som koordinater.

Forsøg at tegne en ret linje gennem (0 ;

0) tæt ved alle punkterne:

Kan det lade sig gøre?

Hvorfor skal linjen gå gennem (0 ;

0)?

Kan du ved hjælp af tegningen finde

omkredsen for en cirkel med radius

10 cm - selv om du ikke har målt en

sådan cirkel?

Besvar samme spørgsmål hvor radius er 1 cm.

Ligner det sidste svar et tal du kender?

15


Rektangel er

Kvadrat er

Trapez er

Parallellogram

Rombe er

Ligedannede trekanter

Firkanter er figurer begrænset af fire rette linjestykker.

16

Hvilke firkanter kan

have flere navne?

Rektangel

Kvadrat

Trapez

Parallellogram

Rombe

Sæt x i skemaet - hvor udsagnet er rigtigt

Hvis figuren har 4 rette vinkler kaldes den et rektangel;

er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat.

Hvis firkantens har et par modstående sider parallelle, er den et

trapez;

er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram;

er alle siderne lige store i parallelogrammet, kaldes det en rombe.

Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden.

På et blankt A4-ark tegnes en cirkel med centrum midt på arket og med radius 10 cm.

På periferien afsættes fire punkter.

En firkant tegnes med disse punkter som hjørner

Sider og vinkler målestokken

Dine resultater sammenlignes med dine naboers

...

Kan du se noget mønster i jeres resultater? Evt. hvilket?

Hvis ja: kan du forklare, hvorfor det må være rigtigt?


Formler

Ligedannede trekanter

Centrale begreber og sætninger

Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Vinkler med samme markering / farve

/ signatur er lige store.

Forstørrelsesfaktoren (eller formindskelsesfaktoren) k kan beregnes som

k= a1 a = b1 b = c1 c

a 1 =a⋅k eller a= a 1

k

b 1=b⋅k eller b= b 1

k

c 1 =c⋅k eller c= c 1

k

Alle trekanter

Arealet af en trekant

og der gælder for beregning af siderne:

T =½⋅h g hvor T er trekantens areal, h er højden og g den tilsvarende grundlinje.

17


Ligedannede trekanter

Vinkelsummen i en trekant

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°

Retvinklede trekanter

Pythagoras sætning

18

hyp 2 2 2

=k 1 k 2


Geometriske Modeller

Eksempel: Flagstang

Geometriske Modeller

Opgaven er at finde højden f på en

flagstang.

For at kunne beregne højden på den,

forenkles den til et linjestykke i modellen

(den blå linje f). Jordoverfladen

forenkles til en ret linje. Yderligere antages

vinklen mellem f og jordoverfladen

at være ret. Ligeledes antages solstrålen,

der lige strejfer toppen af flagstangen,

at være en ret linje. Denne

solstråle markerer, hvor flagstangens

skygge på jorden ophører.

Vi har nu defineret en trekant som

model for flagstang, skygge og (noget

af) solstrålen.

På tegningen er der også vist en anden

model af en kvinde med højde q, hendes skygge og solstrålen, der strejfer hendes isse. q

og de to skyggelængder kan måles (ihvertfald nogenlunde præcist) og antages at være kendte.

I de to trekanter er de rette vinkler lige store, men også vinklerne mellem jordoverfladen og

solstrålerne er lige store. Solstrålerne er jo parallelle linjer (da de "aldrig" mødes) og de omtalte

vinkler er dermed ensliggende vinkler ved parallelle linjer: sådanne vinkler er lige store.

I følge sætningen om vinkelsummen i en trekant er de to trekanters sidste vinkel også af

samme størrelse.

Trekanterne er altså ensvinklede, derfor ligedannede, og vi kan finde en fælles

forstørrelsesfaktor med længderne af de to skygger, da de ligger overfor lige store vinkler:

k= skygge 1

skygge 2

og da f og q er sider, der ligger overfor lige store vinkler, kan f beregnes som

f =q⋅k= q⋅skygge 1

skygge 2

19


Ligedannede trekanter

Kommentar

Det fremgår klart af tegningen, at det vi beregner ikke er flagstangens nøjagtige højde, men

en tilnærmet højde. Dette er typisk for enhver model: modellens størrelser er kun omtrent

svarende til virkeligheden. Om det så er godt nok, afhænger både af modellens nøjagtighed,

og hvad modellen skal bruges til. Hvis formålet her var at købe et passende stort Dannebrog,

vil et par procents fejl sikkert kunne tilgives.

Opgave: Åens bredde

20

Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på

brinken på den anden side af åen og har ved hjælp

af pejlestokke og målebånd lavet nedenstående

skitse - som ikke er målfast. Deres mål er:

|AB| = 40 m,

|CD| = 50 m,

|AC| = 15 m,

|BD| = 45 m.

Beregn bredden.

Bredden er m

Hvad er stiltiende forudsat?


Målebordsblade som modeller af landskabet

Geometriske Modeller

Samtidigt med trianguleringen (se næste kapitel) blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade.

Det var meget detaljerede kort i målestokken 1:20.000. De fik en ganske lang

levetid under forskellige myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970

som fx M 2108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk

Institut.

Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af denne

er: Man benytter et bord, hvor det kommende kort fastgøres. 2 punkter (hvorfra der er en

vis udsigt) A og B i naturen udvælges, afstanden mellem dem måles, og punkterne overføres

til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem de tegnede punkter: lad os

kalde dem A1 og B1.

Bordet stilles så op: først ved fx A med kortets A1 præcist over A og linjen A1B1 lige over en

del af AB.

Andre punkter i landskabet lægges ind ved at tegne sigtelinjer fra A1 (A) på papiret sigtende

fx mod et kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter er indlagt, flyttes

bordet til B med B1 lige ovenover B og linjen A1B1 lige over en del af AB.

Når der så herfra blev tegnes en sigtelinje mod K (eller andre punkter), dannes der to ligedannede

trekanter: ABK i naturen og A1B1K1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter

kan den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd.

Herunder er vist det rektangulære målebord efter flytningen til B (i naturen).

21


Ligedannede trekanter

Da A1 lå over A (og B1 lå over punktet i naturen markeret B2), blev den røde sigtelinje tegnet

fra A1 til K1 . Nu er B og B1 sammenfaldende Der tegnes så en ny sigtelinje, og K1´s position

findes i skæringspunktet. Tilsvarende indtegnes alle andre punkter.

Opgave

Antag, der også var en mølle M i landskabet og at den er tegnet ind på kortet som M1. Gør

rede for, at forhold mellem alle afstandene på kort og de tilsvarende i naturen er de samme.

Vis altså:

| K 1 M 1 |

| KM | =| A1 B1 |

| AB |

Aristarchos jord-sol-måne model

Aristarchos (310 - 230 fvt.) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet

for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum.

Aristarchos vil tegne et Himmelkort, hvor jord (J), sol (S) og måne (M) er punkter. Kortet er

naturligvis en formindsket udgave af den virkelige himmeltrekant. Han kender ikke nogen

af siderne i himmeltrekanten: dvs. de virkelige afstande mellem himmellegemerne. Men derfor

kan han alligevel godt tegne et kort; han mangler blot at kunne angive et målestoksforhold

(eller en formindskelsesfaktor.) For at kunne tegne kortet, skal han lave en trekant, der

er ensvinklet med himmeltrekanten, og dertil behøver han blot at kende to af dennes tre

vinkler.

Den første er nem at få: fra jorden kan man nemt få sigtelinjer til både sol og måne, og derefter

måle vinklen mellem linjerne.

Aristarchos havde ingen ven på månen, han kunne ringe til for at få målt den tilsvarende

vinkel der. Men han fik en genial idé: når vi på jorden har halvmåne, må det være fordi:

22


Geometriske Modeller

• solstrålen, der netop strejfer

månen i B, er en tangent til

månen

• solstrålen står derfor vinkelret

på diameteren AB

• og Aristarchos må befinde sig i

forlængelse af diameteren fordi

◦ bevæger han sig mod solen,

vil månen blive mere

fuld og

◦ bevæger han sig væk fra

solen, bliver den mindre

fuld.

Derfor behøvede Aristarchos kun at

måle én vinkel, men den skulle måles

præcis i det øjeblik, der er halvmåne.

Det forsøgte Aristarchos, og han kom til resultatet 87°. Derfor kunne han tegne tegningen

øverst på siden og beregne forholdet mellem tegningens afstande til sol og måne. På

tegningen kan aflæses, at sættes |JM| = 1, er |JS| = 19,11. For at få virkelighedens mål, skal

disse størrelser ganges med et ukendt k, således at de rigtige afstande er hhv. k og

Forholdet mellem afstandene til sol og måne fås så som:

Afstandsforholdet =

19,11⋅k

19,11⋅k

k =19,11

Kort over Månen (hvor sol og jord ligger i same plan)

Dermed kunne Aristarchos fastslå, at solen både er langt længere væk end månen og følgelig

også langt større! selv om de ser lige store ud.

Aristarchos måling var unøjagtig, så selv om metoden er rigtig et langt stykke ad vejen, fik

han et resultat for k, som ligger langt fra det resultat, vi har i dag: k = 389. Solen er altså langt,

langt længere væk end månen.

Grunden til den voldsomme fejl er en lille fejl i vinkelmålingen, som nok især skyldes, at

halvmåne har man ikke en hel dag, men kun et øjeblik. Månen bevæger sig jo hele tiden

rundt om jorden (samtidig med at jorden bevæger sig rundt om solen) og derfor ændrer

vinklen, der skal måles, sig hele tiden.

Ved at følge dette link til http://mimimi.dk/c/halvMaane.html, kan du se en model, der demonstrerer,

hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet.

23


Ligedannede trekanter

Jordens omkreds (Eratosthenes)

Eratosthenes (240 FVT.) opnåde berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans

argumenter var:

• På en bestemt dag stod solen lodret over Syene; samtidig kunne Erastostenes i

Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel.

• Alexandria ligger stik nord for Syene, altså på samme meridian.

• Afstanden mellem Alexandria og Syene blev opmålt til 5000 stadier

• Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den

samme som den målte β, da lysstrålerne forudsættes at være parallelle)

Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = 250.000 stadier eller

godt 40.000 km 3

3 Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist

lodret over Syene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syene, men den største fejlkilde har

været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere mangler vi præcis

viden om forholdet km/stadier. Desuden er solen jo ikke et punkt, og den har en endelig afstand til

jorden.

24


Kugle eller pandekage?

Hvordan ville du praksis måle β ?

Geometriske Modeller

Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig

enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning

til den flade model - kan forklare:

hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top?

hvorfor er jordens skyggebillede ved måneformørkelse altid cirkulært - en

skiveformet jord ville oftere lave et elliptisk skyggebillede? 4

4 http://en.wikipedia.org/wiki/Flat_Earth

25


Ligedannede trekanter

Oversigt

Du har lært

26

• Hvad ensvinklede trekanter er. Hvad ligedannede trekanter er. Hvad en

forstørrelsesfaktor er.

• Hvorledes forstørrelsesfaktoren beregnes og hvad "tilsvarende sider" betyder

• Hvorledes forstørrelsesfaktoren benyttes ved beregninger af sidelængder

• Hvorledes ensvinklede trekanter kan benyttes i modelberegninger


Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse

Ligedannede trekanter .......................................................................................................................1

Arven fra Grækenland...................................................................................................................3

Øvelser.............................................................................................................................................4

Ligedannede Trekanter..................................................................................................................5

Ensvinklede trekanter ................................................................................................................................5

Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor.................................................................................................5

Ligedannede trekanter...............................................................................................................................5

Ligedannede trekanter...............................................................................................................................6

Definition og sætning og bevis..................................................................................................................6

Definitioner............................................................................................................................................6

Sætninger................................................................................................................................................6

Beviser.....................................................................................................................................................6

Eksempel......................................................................................................................................................7

Opgave med besvarelse..............................................................................................................................8

Kommentarer til besvarelsen.............................................................................................................10

Centrale begreber og sætninger..................................................................................................11

Hvad betyder det?.....................................................................................................................................11

Formler..................................................................................................................................................17

Ligedannede trekanter........................................................................................................................17

Alle trekanter.......................................................................................................................................17

Retvinklede trekanter..........................................................................................................................18

Geometriske Modeller..................................................................................................................19

Eksempel: Flagstang............................................................................................................................19

Opgave: Åens bredde..........................................................................................................................20

Målebordsblade som modeller af landskabet.................................................................................21

Opgave .................................................................................................................................................22

Aristarchos jord-sol-måne model......................................................................................................22

Jordens omkreds (Eratosthenes)........................................................................................................24

Kugle eller pandekage?......................................................................................................................25

Oversigt..........................................................................................................................................26

Du har lært...........................................................................................................................................26

Indholdsfortegnelse......................................................................................................................27

27

More magazines by this user
Similar magazines