Normalfordelingen - matematikfysik

22
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
Udføres lineær regression på målepunkterne fra 158 cm til 205 cm, fås følgende forskrift:
y = 0,1433⋅t−25,755 . Sammenlignes med (20) fås
(21)
1
μ
≈0,1433 ∧ − ≈−25,755 ⇔ σ≈6,98 ∧ μ≈179,7
σ σ
begge i enheden cm. Bemærk, at dette er noget approksimative værdier for middelværdi
og spredning. For at finde mere pålidelige og rimelige estimater for middelværdi og
spredning bør man benytte formlerne for den empiriske middelværdi, den empiriske varians
og den empiriske spredning:
(22)
1 1 1
x = ⋅ x , s = ⋅ ( x − x) , s = ⋅ ( xi −x)
n n n
n n n
2 2
∑ i ∑ i
∑
i= 1 −1 i= 1 −1
i=
1
Vi vil ikke argumentere for disse formler i detaljer her, blot nævne, at de er beslægtede
med formlerne i definition 5 og 6. Det skal dog nævnes, at man med vilje kalder den
empiriske middelværdi for x , og ikke μ. Det skyldes, at man skal opfatte x som et
estimat på den ”rigtige middelværdi”, μ. Førstnævnte afhænger jo af de forhåndenværende
datapunkter. Tilsvarende med s og σ. Først den empiriske middelværdi:
n
1 1
= ⋅ ∑ i = ⋅ 2⋅ 153+ 2⋅ 154 + 1⋅ 155 + 5⋅ 156 + … + 1⋅ 210 = 180,1
13427
(23) x x ( )
n i=
1
Bemærk, at formlen antager data skrevet på en lang række x1, x2, x3, … Da vi har angivet
hyppighederne for hver observation, så skriver vi 2⋅ 153 i stedet for 153 + 153.
Nu
til den empiriske varians, hvori den empiriske middelværdi skal bruges:
1
s x x
n
2 2
= ⋅∑( i − )
n −1
i=
1
1
2 2
2
(24) = ⋅( 2 ⋅(153− 180,1) + 2 ⋅(154 − 180,1) + …+
1 ⋅(210 −180,1)
)
13427 −1
= 46,38
hvor vi igen har samlet enslydende led. Vi får nu straks den empiriske spredning:
2