Geometri - Matematik

pc.p4.mimimi.dk

Geometri - Matematik

Mine matematik noter

C

Ib Michelsen

mimimi.dk

Ikast 2006


Indholdsfortegnelse

Indledning..................................................5

Geometri....................................................7

Om geometri.........................................9

Navne..................................................11

Definition: Trekanten...................11

Ensvinklede og ligedannede trekanter13

Definition: Ensvinklede trekanter 13

Definition: Ligedannede trekanter

......................................................14

Sætninger om ligedannede og

ensvinklede trekanter ..................16

Kendte sætninger om geometri ..........27

Euklids Elementer .......................28

Definition: Parallelle rette linier...30

Definition: Midtnormal................31

Sætning: Omskreven cirkel..........31

Definition: Vinkelhalveringslinje.32

Sætning: Indskreven cirkel...........32

Definition: Højde.........................33

Definition: Median.......................33

Definition: Nabovinkler og

Topvinkler....................................35

Sætning: Topvinkler.....................35

Definition: Ensliggende vinkler...35

Definition: Parallelle rette linier...36

Sætning: Parallelle linjer og

ensliggende vinkler......................37

Sætning: Trekantens vinkelsum...38

Sætning: Pythagoras ....................39

Sætning: Trekantens areal............41

Trigonometri.......................................43

Definition: Standardtrekant..........44

Definition af sinus-funktionen:

sin(v)............................................46

Definition af cosinus-funktionen:

cos(v)............................................47

Sætning: sin(v).............................49

Sætning: cos(v).............................51

Definition af tangens-funktionen:

tan(v)............................................54

Sætning: tan(v).............................55

Pythagoras og andre sætninger...........58

Pythagoras sætning.......................59

Sætning: Pythagoras og

standardtrekanten.........................64

Sætning: Afstande i planet...........65

Sætning: Afstande i rummet.........68

Sinusrelationerne .........................69

Cosinusrelationerne .....................72


Geometri

Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over

Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648)


Om geometri

Geometri er et sammensat ord af græsk oprindelse. Ge betyder "jord"

og metri er afledt af et græsk ord for "måler". Geometri er altså læren

om opmåling af jord.

Geometri, som ordet bruges idag, er også læren om figurer: enten i

rummet (rumgeometri) eller i planet (plangeometri) eller på en

kugleoverflade (sfærisk geometri). Når vi i dag anvender ord af græsk

oprindelse, skyldes det arven fra gamle græske matematikere, der levede

for ca. 2500 år siden; blandt de mest kendte er Euklid og Pythagoras.

Behovet dengang som nu var at kunne beskrive grænsen mellem din

jordlod og min jordlod og i en større målestok at kunne tegne kort over

store områder som vejledning for den søfarende. Kortene var ikke altid

lige gode: Det ældste danmarkskort stammer således fra ca. år 200 efter

vor tidsregnings begyndelse og opmålingerne skylder vi Ptolemæus, en

astronom og geograf fra Alexandria. Men der skal megen god vilje til at

kunne genkende vort land på kortet.

Jeg har medtaget Johannes Meyers lille kort over Aaberaa (Apenrade)

fra 1648. Meyer er én af Danmarkshistoriens store korttegnere. Som

man kan se, underskriver han sig ”Matematiker”, hvilket minder os om

om sammenhængen mellem det praktiske arbejde, der udføres af

landinspektører og landmålere og korttegnere, og det teoretiske, der

udføres af matematikere.

På Johannes Meyers tid var opmåling af hele Danmark ved hjælp af triangulering

knap begyndt. Triangulering vil sige, at landområdet

inddeles i store trekanter, hvor trekanternes hjørner stedbestemmes

meget nøjagtigt.

Men først langt senere i 1764 startede Bugge 1 en opmåling, hvor hele

landet blev delt ind i trekanter. Teknikken var: Bugge startede med en

omhyggelig opmåling af én side i den første trekant (basislinjen).

Derefter målte han vinklen i et trekantshjørne, hvor basislinjen er det

ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. punkt er det andet ben.

Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne på

basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første

1 Kilde: http://www.geomat.dk/landmaaling/kildetekster/pdf/Triangulering.pdf


trekant. Fra de beregnede sider i trekanten kunne man arbejde sig videre

og opmåle nye trekanter udelukkende ved at bestemme vinkler. Således

blev hele Danmark dækket af et net af trekanter, der kunne bruges til

korrekt placering af de kort, der dækkede et mindre område. Det er bl.a.

dele af teknikken vedrørende disse trekantsberegninger, der skal

omtales i det følgende.

Brøndbye Høi

1.:Triangulering (Bugges første trekanter)

Basislinjen er den blå (omhygggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye

Høj. Alle øvrige (sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og

basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes der videre på trekantsnettet over

Ballerup, Ølstykke ... til det fjerne Jylland.

8 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

Tinghøj

Rundetårn


Navne

Vi starter gennemgangen af geometrien med at præcisere, hvorledes vi

bruger ordene. Sådanne ”præciseringer” kaldes definitioner. For at gøre

det, må vi gribe til tidligere definerede begreber. Men der må

nødvendigvis være en første definition, hvor forklaringen ikke kan

benytte andre definitioner, men kun det almindelige sprog.

De vigtigste definitioner er fremhævet som lige herunder:

Definition: Trekanten

En trekant er en figur begrænset af 3 rette linjer. 2

2.: Trekanten

På figuren er trekanten navngivet ABC eller ΔABC, hvor hvert (stort)

bogstav svarer til et skæringspunkt for to af linierne. Skæringspunkterne

kaldes hjørner eller vinkelspidser.

2 Jævnfør Euklids definition 19, som definerer figurer begrænset af rette linjer, herunder

trekanter. Euklids geometri omtales nærmere i et senere kapitel.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 9


Det vil sige: A, B og C er punkter.

En af linierne går gennem punkterne A og B. Liniestykket AB kaldes siden

c, fordi den side ligger over for C. Den kaldes også: den modstående

side. (Det er den blå side.)

Hvis vi vil fortælle, hvor lange siderne er, kan vi gøre det med eller

uden måleenheder. På et kort vil vi typisk sige: Afstanden fra et sted til

et andet er a = 2,5 km. I en matematikopgave er der ofte ingen

måleenhed opgivet, men blot (for eksempel) a = 4.

a har altså en dobbelt betydning: Sommetider er a en betegnelse for

siden – og sommetider er a en betegnelse for sidens længde. Fordi a går

fra B til C kan man også skrive:

a = |BC| = 4 (eller hvor lang a nu er.) Her er tallet a, |BC| og 4 det samme,

nemlig sidens længde.

C er en vinkelspids. Forestil dig, at du sidder i punktet C og har placeret

dine ben på trekantens sider. Dit højre ben er placeret på den grønne

side, dit venstre ben er placeret på den røde side. Derfor kaldes halvlinien

fra C gennem den grønne side for vinkel C's højre ben.

Vi vil skrive, hvor stor vinkel C er. I figurer, hvor der indgår flere end 3

punkter, er der tit brug for at præcisere, hvad der er vinkelspids og hvad

der er vinklens ben. Derfor bruges to skrivemåder: ∠C = 125° eller

∠ΑCB = 125°. Den første bruges, hvor der ikke er tvivl, den anden

bruges for at præcisere, at C (midterste bogstav) er vinkelspidsen, de to

andre punkter er punkter på hver sit vinkelben. Bemærk, at vinkelspidsen

svarer altid til det midterste bogstav.

Vinkler mellem 0° og 90° kaldes

spidse, vinkler på præcis 90°

kaldes rette og vinkler på mellem

90° og 180° kaldes stumpe.

Trekanter deles op i tre typer:

3.: Vinkeltyper

10 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


● spidsvinklede, hvor alle vinkler er spidse

● retvinklede, hvor en af vinklerne er ret og

● stumpvinklede, hvor en af vinklerne er stump.

Øvelse: Trekantens navne i ΔABC

● Peg på b

● Er b < a ?

● Er ∠C < ∠B?

● Er ∠C < ∠BAC?

● Hvilken vinkel er stump i ΔABC ovenover?

● Hvilken farve har vinkel A's højre ben?

● Er a = A?

● Hvilken vinkel er ret?

Ensvinklede og ligedannede trekanter

Definition: Ensvinklede trekanter

To trekanter kaldes ensvinklede , når der for hver vinkel i den ene findes

en lige så stor vinkel i den anden.

Øvelse: Ensvinklede trekanter

4.: En trekant (?)

● Du skal vælge en af vinklerne i den røde trekant; marker den

med en bue (det er en del af en cirkel fra vinkelben til vinkelben

tæt ved vinkelspidsen.) Mål vinklen med vinkelmåler. Find en

vinkel i den blå trekant, der er lige så stor. Marker også den

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 11


med en bue.

5.: Ensvinklede trekanter

● Vælg så den næste vinkel i den røde trekant; marker den med to

buer og find den tilsvarende i den blå trekant, som får samme

markering.

● Til sidst skal du kontrollere, at de to sidste vinkler i hver sin

trekant er ens.

Hvis det er rigtigt, har du vist, at definitionen er opfyldt: de to trekanter

er ensvinklede.

● Du og din sidemand laver hver sin trekant (størrelse: ½ – 1 A4ark)

og aftaler i forvejen, hvor store 2 af vinklerne skal være.

Bagefter sammenlignes tegningerne. Hvad bemærker I?

Definition: Ligedannede trekanter

To trekanter kaldes ligedannede, når der findes et tal k, så vi kan beregne

sidelængderne i den anden trekant som k gange sidelængderne af

de tilsvarende sider i den første trekant.

12 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Den anden trekant er altså en forstørrelse eller formindskelse af den

første.

k kaldes skalafaktoren eller forstørrelsesfaktoren.

6.: Ligedannede trekanter

● Er den blå side kendt, findes den tilsvarende røde ved at

multiplicere (gange) med k.

● Er den røde side kendt, findes den tilsvarende blå ved at dividere

(dele) med k.

Hvis k>1 (som her) fås mål i en forstørret trekant, hvis k


Sætninger om ligedannede og ensvinklede

trekanter

2 trekanter, der er ensvinklede, er også ligedannede.

Omvendt gælder også:

2 trekanter, der er ligedannede, er også ensvinklede.

Sætningerne bevises 3 ikke, men i den følgende øvelse tester vi på tilfældigt

valgte eksempler, om de er rigtige. Men: fordi vi ikke kan kontrollere

alle mulige trekanter, kan vi ikke være sikre på , om der findes

eksempler på, at sætningen ikke passer!

Øvelse: Find skalafaktor

● Tegn en tilfældigt valgt trekant. Størrelse: Ca. ½ A4-ark.

● Tegn en ny trekant med de samme vinkler.

● Mål begge trekanters sider og udfyld skemaet herunder med sidernes

længder. (Bemærk: I enhver trekant ligger den største

side overfor den største vinkel.)

● Beregn skalafaktoren 3 gange. Hver gang skal du benytte

formlen: k = (sidelængde i ny) / (sidelængde i første)

3 Et ”bevis” er en overbevisende argumentation for, at en påstand er rigtig. Senere

vil du møde eksempler på matematiske beviser.

14 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Første trekant

Ny trekant

Skalafaktor

Tabel 1.

Største Mellemste Mindste

● Hvordan har du vist, at den første sætning er rigtig i dit eksempel?

● Gentag øvelsen nogle gange. Sommetider er den første den

største, sommetider er den første den mindste trekant.

Øvelse: Tegn ligedannede trekanter

● Tegn en tilfældigt valgt trekant. Størrelse: Ca. ½ A4-ark.

● Tegn en ny trekant, der er ligedannet med den første, idet du benytter

skalafaktoren 2.

● Mål begge trekanters vinkler, og udfyld skemaet herunder med

vinklernes størrelser. Bemærk: I enhver trekant ligger den største

vinkel overfor den største side.

Første trekant

Ny trekant

Tabel 2.

Største Mellemste Mindste

● Hvordan har du vist, at den anden sætning er rigtig i dit eksempel?

● Gentag øvelsen nogle gange med andre skalafaktorer. Vælg også

skalafaktor 0 < k < 1.

● Hvilken rolle spiller det, om du drejer (roterer) trekanten?

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 15


Øvelse: Flagstangen

● En solskinsdag står du i skolegården ved siden af flagstangen.

Du skal finde flagstangens højde.

● Tegn først en skitse af de to ensvinklede trekanter, hvor du (i

den geometriske model) er en side i den ene og flagstangen en

side i den anden.

● Begrund, hvorfor de er ensvinklede.

● Foretag nødvendige målinger; noter resultaterne.

● Beregn flagstangens højde.

● Begrund, hvorfor din metode er rigtig.

● Gør præcist rede for, hvad du har gjort af antagelser om den virkelighed,

som din tegning er en model af.

● Hvis nogle af dine antagelser strider mod virkeligheden, skal du

fortælle, hvilken betydning det får for beregningen af flagstangens

højde.

● Hvad ville du gøre, hvis skolen ikke skinnede?

Projekt: Maalebordsblade 4

Undersøg 5 hvordan (og hvorfor) man fra omkring 1800 tegnede kort af

typen ”Maalebordsblade”.

Prøv eventuelt at tegne dele af egne kort med samme teknik – gerne i en

forenklet form. 6

Projektets produkt (arbejdsresultatet) kan være et eller flere af følgende:

4 Et matematikprojekt eller et projekt i samarbejde med et eller flere fag som

geografi, historie med flere.

5 Benyt din lærers litteraturhenvisninger , biblioteket samt Internettet (for eksempel

http://www.geomat.dk og http://www.stenomuseet.dk.)

6 For at forstå princippet i konstruktionen og for at tegne dele af et kort, behøver

man blot et stykke papir (A3-format), en blyant, en lineal, et målebånd, 1-2 borde

og et vaterpas.

16 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


♦ Kort

♦ Rapport

♦ Præsentation

♦ Foredrag

♦ Hjemmeside

Samos

Et eksempel på en ingeniørbedrift i antikken, der kunne

udføres med hjælp fra teorien om ensvinklede og

ligedannede trekanter.

Samos er en græsk ø, der ligger meget tæt på det land, der i dag er Tyrkiet.

Mellem 600 og 500 år før vor tidsregning blev der gravet en tunnel

gennem bjerget Castro. Tunnelen var lidt over 1 km lang og havde et

tværmål på 2m x 2m. Tunnelen skulle bruges til at skaffe vand fra en

kilde på den ene side af bjerget til befolkningen på den anden side af

bjerget.

Eftertiden kan se, at tunnelen består af to halve tunneler, der midt i

bjerget næsten rammer hinanden præcist. Det fantastiske er, at de

rammer hinanden! De to gravehold har begge holdt en næsten perfekt

retning, så de kunne mødes på midten. Spørgsmålet er: hvordan gjorde

de det?

Selve gravearbejdet er selvfølgelig det samme ligemeget om man

graver to halve eller en hel tunnel. Men materialet skal jo også ud – og

med to halve tunneler skal intet bæres mere end gennem et halvt bjerg.

Der findes ingen samtidig beretning om, hvorledes Eupalinos, som stod

for arbejdet, beregnede retningerne og ledede arbejdet. Så enhver

fortælling er mere eller mindre begavet gætteri:

Således gættede også en begavet ingeniør ca. 600 år senere, hvorledes

konstruktionen blev gennemført. Hans navn var Hero. 7 Hans forklaring

7 Det interessante er, at Hero i sin forklaring blot bruger den teori, du lige har lært.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 17


stod ubestridt i næsten 2000 år. Der er dog problemer med at forklare, at

graveholdene ramte hinanden så godt, hvis man holder sig til Heros

forklaring. 8

Men vi vil se på princippet i Heros forklaring: Ifølge Hero går man

rundt om bjerget i rette vinkler (og i samme højde.) Derved kan man

beregne 2 af sidelængderne

i en retvinklet

trekant, hvor tunnelen

udgør den 3. side.

● Tilføj de to kateter

på principskitsen!

For at bevæge sig rundt

om bjerget i samme højde,

må man skifte retning

forholdsvis mange gange. I

gennemgangen her

forenkles det til nogle få

knæk, hvilket er nok til at

illustrere princippet. Det er

også nødvendigt at have en 7.: Principskitse med Samos, Castro og tunnel

metode, så man kan

markere den samme højde på turen rundt om bjerget.

Vi har givet bjerget, kilden og udløbet. (Se næste skitse)

Det ene problem er at grave i den rigtige retning. Det andet problem er

at sørge for, at udløbet er placeret i samme højde som (eller en anelse

lavere end) kilden.

Vi starter ved kilden A og går væk fra den i en vilkårlig retning og

kommer til til B. Vi markerer punktet i samme højde og måler

afstanden fra kilden, for eksempel 100 m. Derfra drejer vi præcis 90° til

venstre, går 800 m til C, drejer i en ret vinkel og går 1000 m mod D,

drejer igen i en ret vinkel mod E og går 1400 m til F, hvor efter der

8 Se for eksempel Tom M. Apostols overvejelser på

http://pr.caltech.edu/periodicals/eands/articles/LXVII1/samos.html.

18 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


drejes i en ret vinkel mod G 100 m væk.

Skriv målene på tegningen.

8.: En mulig rute fra kilden A til udløb G

De to blå firkanter og den store hvide firkant er rektangler; derfor er

deres modstående sider lige lange og man får nemt:

|HG| = |CD| - |AB| - |EG| = 1000 m – 100 m – 100 m = 800 m

|AH| = |DB| - |CB| = 1400 m – 800 m = 600 m

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 19


Nu kan vi tegne en formindsket udgave af ΔAHG ved at benytte skalafaktoren

og lave en trekant, der er ligedannet med trekanten i bjerget.

Det betyder, at ∠AGH kan findes i den lille trekant.

Forlænges AG som ret linje til F, ses at ∠EGF = ∠AGH, fordi de er

topvinkler. Denne vinkel bruges til at finde retningen FG.

Og denne retning er svaret på ingeniørens problem: nu kan han

få sit ene gravehold til at grave i den rigtige retning. På

nøjagtig samme måde kan han finde retningen på den anden

side af bjerget for det andet gravehold.

Da det er vigtigt, at de rette vinkler afsættes meget præcist, kunne man

benytte et langt reb, der er delt i 3 længder: 5 længdeenheder, 4

længdeenheder og 3 længdeenheder. Strammes det ud vil det være en

retvinklet trekant; jævnfør senere sætningen: Omvendt Pythagoras.

Dette havde længe været gængs viden. Alternativt kunne man

konstruere vinklen med en ”passer”.

Højden kunne kontrolleres med en form for vaterpas; dermed kunne

man opstille 2 sigtepæle med en (næsten) vandret sigtelinje og få

placeret en ny 3. pæl 100 m eller 800 m væk i den samme højde.

Øvelse: Gengiv argumenterne i Samos-eksemplet

● Du skal lave en række tegninger og i stikordsform anføre de

argumenter, der fører frem til at man kan finde den retning ind i

bjerget, der leder mod kilden henholdsvis udløbet.

Øvelse: skøn over unøjagtighed

Tegningen viser til venstre de to pæle, som

benyttes til at finde sigtelinjen. På grund af en

lille fejl sigtes 1mm for lavt langs den røde linje,

hvor den grønne linje viser den rigtige retning.

(Tegningens størrelsesfor-hold er ikke rigtige,

for at gøre den nemmere at aflæse.)

9.: 3 pæle og sigtelinjer

Hvor stor er fejlen (angivet med blåt) ude ved den tredje pæl?

20 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Øvelse: Trekanter, der ligner hinanden 9

10.: 2 trekanter

På tegningen ovenover er der en blå og en rød trekant. Trekanterne er

ligedannede. Det en stiplede linjestykke er en forstørrelse af det andet.

De stiplede linjestykker er parallelle.

● Hvorfor er alle linjestykkerne parallelle parvis?

● Tegn en tilsvarende figur med to ligedannede trekanter – og

forbind hjørnerne som her.

● Har de tre forbindelseslinjer igen et fælles skæringspunkt (på

tegningen er det S)?

● Kan du finde en forklaring på observationen? 10

På tegningen næste side er der tre trekanter, som alle er parvis

ligedannede. Der kan dannes tre par:

blå-rød

blå-grøn

rød-grøn

For hvert par finder vi et skæringspunkt (S, S' og S''). På tegningen ser

de tre punkter (altså S, S' og S'') ud til at ligge på en ret linje!

● De to sidste punkter S' og S'' er fundet uden at tegne den sidste

linje. Kontroller for dem begge at den også ville gå igennem

henholdsvis S' og S''.

9 Inspireret af Dr. Friedrich Reidt: ”Die Elemente der Mathematik”, Berlin 1881

10 Nu er det ikke helt nemt ...

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 21


● Er det en tilfældighed at de tre skæringspunkter ligger på en ret

linje? Prøv at lav din egen tegning med lidt andre trekanter.

11.: 3 Trekanter

● Kan du give en forklaring på dine observationer? (Svært)

22 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Kendte sætninger om geometri

Middelalderligt billede af Euklid

(Kilde: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Euklid2.jpg)


Euklids Elementer

Euklid var en græsk matematiker, der levede fra ca. 325 til 265 før vor tidsregning.

Hans arbejde er en systematisk fremstilling af matematikken baseret på:

● En definition af begreber som punkter, rette linier, figurer med videre.

● 5 grundlæggende sætninger (postulater, forudsætninger eller aksiomer)

○ Givet 2 punkter kan der tegnes et ret linjestyke mellem dem.

○ Et linjestykke kan forlænges til en ret linje.

○ En cirkel er givet ved centrum og radius.

○ Alle rette vinkler er lige store.

○ 2 linjer, der skæres af en 3. linje, vil skære hinanden, hvis de indre vinklers (v

og w på figur 10) sum ikke er 180°. (Euklids parallelaksiom)

● Disse suppleres af yderligere 5 sætninger (grundsætninger, aksiomer):

○ Størrelser, der begge er lig med en tredje, er lige store.

○ Hvis der lægges lige meget til lige store størrelser, fås lige store størrelser.

○ Hvis der trækkes lige meget fra lige store størrelser, fås lige store størrelser.

○ Størrelser, der kan dække hinanden, er ens.

○ Det hele er større end en del.

● Ved hjælp af ovenstående beviser Euklid for en lang række sætninger.

Denne metode er ”det deduktive princip”.

Tekst 1.: Euklids elementer

Noter til Teksten: Euklids elementer, se: 11 , 12 , 13

11 Kilder: Fri gengivelse baseret på bl.a. ”Euklids Elementer”, Gyldendal 1897 og

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html

12 Hvad Euklids 2 gange 5 antagelser skal oversættes til, er oversættere og forfattere

ikke enige om; jeg har her i parentes noteret nogle af de anvendte oversættelser.

13 Størrelserne, der omtales, kan for eksempel være linjestykker, vinkler og arealer.

24 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Euklids betydning

Du har sikkert hørt, at man kan bevise et eller andet. Det Euklid præciserer

i de første 3 punkter (fra tekst 1 i rammen ovenover) er, hvorledes

hans matematiske univers ser ud. Deri er der ingen beviser. Men det er

grundlaget for at man kan bevise noget. De enkle forudsætninger, han

går ud fra, er selvfølgelig inspireret af det, han kan opfatte med sine

sanser. Og han går ud fra de allermest enkle forudsætninger og

medtager ikke mere end nødvendigt for at opbygge den ideverden, som

matematikken er.

Mange af de sætninger, Euklid beviser, kan føres langt tilbage – mere

end 1000 år før Euklid og til andre kulturer end den græske. Men det er

Euklids fortjeneste, at han dels samler al den viden, der er i hans bøger,

og dels viser, hvorledes man ud fra ”indlysende” simple forudsætninger

kan argumentere for og bevise sætninger: både sætninger, som man

erfaringsmæssigt vidste, var rigtige og sætninger, som var knapt så

indlysende. Metoden med at finde mange eksempler på en regel og

derfra generalisere kaldes ”induktion”.

Euklids metode kaldes ”deduktion”

Den geometri, der her omtales er ”euklidisk

plangeometri” som omtalt i hans første

bøger 14 (I – VI). Det vil sige, at for det

første er geometrien her begrænset til det 2dimensionale

rum, for det andet begrænset

af Euklids antagelser. Specielt det ovenfor

citerede 5. postulat har givet anledning til

mange overvejelser i tidens løb: Nogle

overvejelser er gået på, om det var et

nødvendigt postulat, eller om det kunne

bevises ved hjælp af Euklids øvrige

antagelser? Andre overvejelser er gået på,

om postulatet var nødvendigt, eller om man

kunne skabe en geometri uden dette

12.: Euklids 5. aksiom

14 Oldtiden kendte ikke bøger i vor forstand; ”bøgerne” var håndskrevet på

papirruller. En sådan ”bog” svarer nok snarere til et kapitel i moderne forstand,

men der er tradition for at bruge ordet ”bog”.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 25


postulat? Og endelig i det 19. århundrede lykkedes det nogle

matematikere at beskrive en geometri, der ikke benyttede det 5.

postulat. 15

Euklids matematik har været glimrende til at beskrive den fysiske verden

– ja så god, at man til tider har taget det for sandheden om verden.

Men alle matematiske beskrivelser er kun modeller og man kan ikke

tale om, at de er sande, men snarere om de er brugbare, praktiske eller

nøjagtige nok.

Fra folkeskolen 16 kender du en lang række begreber og sætninger. Nogle

få af dem – de allervigtigste - vil jeg gentage herunder. De er alle dele

af Euklids geometri.

Definition: Parallelle rette linier

To rette linjer (i planen) er parallele, hvis de

Note: Linjerne er ubegrænsede i begge retninger.

17

15 Se for eksempel hjemmesiden om ikke-euklidisk geometri: http://www.cut-theknot.org/triangle/pythpar/Model.shtml

16 Se for eksempel formelsamlingen i http://pub.uvm.dk/2005/formelsamling/hel.pdf

17 Linjer er ubegrænsede, når det tegnede endepunkt ikke er markeret med et særligt

mærke som: lille tværstreg, udfyldt cirkel eller ikke udfyldt cirkel. Halvlinjer er

begrænset til den ene side, men ike til den anden. Linjestykker – som siderne i en

26 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

13.: Parallelle linjer


Definition: Midtnormal

En midtnormal til et linjestykke

AB er en linje, der går gennem

AB's midtpunkt M og som står

vinkelret på AB.

Øvelse: Midtnormaler

● Tegn en tilfældig trekant: ΔABC

● Tegn eller konstruer midtnormalerne til to af siderne.

● Midtnormalernes skæringspunkt skal du kalde O; det skal være

centrum for en cirkel med radius r = |OA|. Tegn denne cirkel.

● Bemærker du noget specielt?

Sætning: Omskreven cirkel

14.: Midtnormalen

Hver af de tre sider i en trekant har en midtnormal. Midtnormalerne

skærer hinanden i centrum for den omskrevne cirkel.

trekant eller linjestykket fra A til B – går fra punkt til punkt. Fremgår det ikke af

sammenhængen, benyttes i geometri de små tværstreger til at markere

endepunkter.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 27


Figuren til højre viser et eksempel på en tilfældigt valgt trekant, trekantens

midtnormaler og den omskrevne

cirkel.

Cirklens periferi (omkreds) går gennem trekantens

hjørner og har centrum, hvor de tre

røde midtnormaler skærer hinanden.

Øvelse: Omskreven cirkel

Tegn en tilfældig trekant og tegn eller konstruer

den omskrevne cirkel.

Definition:

Vinkelhalveringslinje

Den linje, der halverer vinklen, kaldes

vinkelhalveringslinjen.

Sætning: Indskreven cirkel

Hver af de tre vinkler i en trekant har en vinkelhalveringslinie. Vinkelhalveringslinierne

skærer hinanden i centrum for den indskrevne cirkel.

28 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

15.: Trekantens omskrevne

cirkel

16.: Vinkelhalveringslinje


Figuren til højre viser et eksempel på en tilfældigt

valgt trekant, trekantens vinkelhalveringslinjer

og den indskrevne cirkel.

Cirklens periferi (omkreds) tangerer (dvs. berører)

trekantens sider og har centrum, hvor de

tre røde vinkelhalveringslinjer skærer hinanden.

Øvelse: Indskreven cirkel

Tegn en tilfældig trekant og tegn eller konstruer den indskrevne cirkel.

Definition: Højde

Højden i en trekant er liniestykket fra

en vinkelspids til den modstående

side (eller linjen gennem den modstående

side.) Højden står vinkelret

på linjen gennem den modstående side.

19.: Trekantens median

Definition: Median

17.: Indskreven cirkel

18.: Trekantens højde

Medianen i en trekant er liniestykket

fra en vinkelspids (et hjørne) til midtpunktet

af den modstående side.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 29


Øvelse: Median

● Tegn en tilfældig trekant; den bør fylde det meste af et A4-ark.

● Tegn eller konstruer dens tre medianer

● Kontroller om de skærer hinanden i et punkt

● Beregn hele trekantens areal (i cm 2 ) 18

● Beregn også arealerne af hver af de små trekanter, der dannes

inden i den store trekant.

● Hvad bemærker du?

Sprogbrug

I en trekant er der 3 midtnormaler, 3 vinkelhalveringslinier, 3 højder

og 3 medianer. Vi giver dem navne efter faste regler for at være præcise

og undgå misforståelser og forvekslinger.

● De er alle linjestykker eller linjer: derfor benyttes altid små

bogstaver.

● Højder skal du kalde h; går højden fra B til siden b kalder du

den hb

● Vinkelhalverinslinjer kalder du v; deler den vinkel A, kalder du

den vA

● Medianer kalder du m; går medianen fra Q til q kalder du den

mq

● Midtnormaler kalder du n; er det midtnormalen til siden c i trekanten,

kalder du den nc

18 Arealformlen er: T = ½·h·g (se nærmere sidst i kapitlet.)

30 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Definition: Nabovinkler og Topvinkler

Når 2 linier skærer hinanden er der 4 vinkler;

har de et vinkelben fælles, kaldes de nabovinkler,

har de ikke vinkelben fælles, kaldes

de topvinkler. (På figuren er v og u nabovinkler,

v og w er topvinkler.)

Sætning: Topvinkler

Topvinkler er lige store.

Øvelse: Bevis sætningen

Definition: Ensliggende vinkler

To rette linjer, der skæres af en tredie danner 8

vinkler. 2 af disse vinkler er ensliggende, hvis de

har samme vinkelben på den skærende linie.

Et eksempel er v og w ( som begge har venstre

ben på den skærende linje.).

20.:Navne på vinkler

21.: Vinkler ved

skærende linje

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 31


Definition: Parallelle rette linier

To rette linjer (i planen) er parallele, hvis de ikke skærer

hinanden.

Note: Linjerne er ubegrænsede i begge retninger.

Sætning: Parallelle linjer og ensliggende vinkler

Hvis to rette linjer, der skæres

af en tredie har et par ensliggende

vinkler, der er lige store,

er de parallelle.

Omvendt gælder også:

Hvis to rette linjer er parallelle

og de skæres af en tredje, så

vil de ensliggende vinkler

være lige store.

23.: Både ikke parallelle og parallelle

linjer

Øvelse: Overblik over sætningen

● Tegn et 2x2 skema med søjleoverskrift: parallel og ikke parallel,

rækkerne svarer så til lige store vinkler hhv. ikke lige store.

32 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

22.: Parallelle

linjer


Begrund hvilke kombinationer der er mulige hhv. umulige.

Øvelse: Vinkelmålinger

● Tegn 2 parallelle linjer og en tredje, der skærer disse.

● Du skal måle alle 8 vinkler og skrive resultaterne op.

● Sæt ens buemærke i lige store vinkler.

● Stemmer målingerne med sætningen om parallelle linjer og

ensliggende vinkler?

Sætning: Trekantens vinkelsum

Summen af vinklerne i en trekant er 180°.

Øvelse: Bevis sætningen

24.: Trekantens vinkelsum

Benyt tegningen (og sætningerne ovenover.)

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 33


Sætning: Pythagoras 19

Kvadratet 20 på hypotenusen 21 er lig med

summen af kateternes 22 kvadrater.

Alternative formuleringer:

hypotenusen 2 = katete1 2 + katete2 2 eller

c 2 = a 2 + b 2

Beviset udskydes til næste kapitel. 23

Eksempel: Find hypotenusen

I den retvinklede trekant har kateterne længderne 3 og 6.

Beregn længden af hypotenusen.

19 Pythagoras (fra Samos) levede i det 6. århundrede FVT, og selv om han har lagt

navn til sætningen, var den kendt lang tid før ham. Frimærket viser et vigtigt

eksempel på sætningen. Hvad går eksemplet ud på? Kan du i øvrigt gætte, hvad

der står i den græske tekst?

20 Hvis du har en side med længden 10 er kvadratet 10 2 ( = 100); det svarer til arealet

af det kvadrat, der kan tegnes på siden med længden 10.

21 Hypotenusen er navnet på den længste side i en retvinklet trekant.

22 En katete er en af de to korte sider i den retvinklede trekant.

23 Der er i øvrigt ikke tale om et bevis; der findes en meget lang række af beviser for

denne (måske mest kendte) sætning. Prøv at søge på Internettet med søgeordene

bevis og Pythagoras eller hop direkte til http://www.cut-theknot.org/pythagoras/index.shtml.

34 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

25.: Pythagoras sætning


Løsning:

Da trekanten er retvinklet, kan

Pythagoras (sætning) bruges:

k 1 2 + k2 2 = h 2

Heri indsættes de kendte tal:

3 2 + 6 2 = h 2

9 + 36 = h 2

45 = h 2

h = 6,70 = 6,7

(idet der kan ses bort fra den negative løsning)

Hypotenusen = 6,7

Eksempel: Find den manglende katete

I den retvinklede trekant har den ene katete længden 2 og hypotenusen

længden 5.

Beregn længden af den manglende

katete.

Løsning:

Da trekanten er retvinklet, kan

Pythagoras (sætning) bruges:

k 1 2 + k2 2 = h 2

Heri indsættes de kendte tal:

2 2 + k 2 2 = 5 2

4 + k 2 2 = 25

26.: Find hypotenusen ...

27.: Find den anden

katete ...

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 35


k 2 2 = 21

k 2 = 4,58 =4,6

(idet der kan ses bort fra den negative løsning)

Den anden katete = 4,6

Øvelser: Anvendelse af Pythagoras sætning

I det følgende betegner ΔABC en retvinklet trekant, hvor vinkel C er

ret. Find (om muligt ;-) den manglende side, når det oplyses: 24

1. at a = 5 og b = 12

2. at b = 17 og a = 10

3. at c = 8 og b = 7

4. at c = 5 og a =4,5

5. at b = 22 og c = 25

6. at c = 10 og a = 12

Sætning: Trekantens areal

28 Arealet af en

trekant.:

Hvis grundlinien har længden g og højden

længden h, er trekantens areal

T = ½·h·g

Bemærk: at enhver af trekantens sider kan

være grundlinie. Grundlinien behøver ikke at

være ”vandret”.

24 Ved løsning af en geometriopgave laver du så vidt muligt en tegning; tegn så

præcist som muligt. Kontroller din beregning ved at måle på tegningen.

36 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Trigonometri

Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v)

0 0,0000 30 0,5000 60 0,8660

1 0,0175 31 0,5150 61 0,8746

2 0,0349 32 0,5299 62 0,8829

3 0,0523 33 0,5446 63 0,8910

4 0,0698 34 0,5592 64 0,8988

5 0,0872 35 0,5736 65 0,9063

6 0,1045 36 0,5878 66 0,9135

7 0,1219 37 0,6018 67 0,9205

8 0,1392 38 0,6157 68 0,9272

9 0,1564 39 0,6293 69 0,9336

10 0,1736 40 0,6428 70 0,9397

11 0,1908 41 0,6561 71 0,9455

12 0,2079 42 0,6691 72 0,9511

13 0,2250 43 0,6820 73 0,9563

14 0,2419 44 0,6947 74 0,9613

15 0,2588 45 0,7071 75 0,9659

16 0,2756 46 0,7193 76 0,9703

17 0,2924 47 0,7314 77 0,9744

18 0,3090 48 0,7431 78 0,9781

19 0,3256 49 0,7547 79 0,9816

20 0,3420 50 0,7660 80 0,9848

21 0,3584 51 0,7771 81 0,9877

22 0,3746 52 0,7880 82 0,9903

23 0,3907 53 0,7986 83 0,9925

24 0,4067 54 0,8090 84 0,9945

25 0,4226 55 0,8192 85 0,9962

26 0,4384 56 0,8290 86 0,9976

27 0,4540 57 0,8387 87 0,9986

28 0,4695 58 0,8480 88 0,9994

29 0,4848 59 0,8572 89 0,9998

30 0,5000 60 0,8660 90 1,0000


Trigonometri er måling i og med trekanter. Det er ”læren om forholdet

mellem og beregningen af siderne og vinklerne i en trekant”. 25

Oprindelsen er græsk. ”Tri” svarer til tre, ”gon” til side eller kant og

”metri” til måling.

Grundlaget er standardtrekanter med hypotenusen 1. I disse kendes

sammenhængen mellem vinkler og sider – det er det tabellen på

kapitlets forside viser.

Ved at forstørre eller formindske standardtrekanter kan vi finde målene i

en hvilken som helst retvinklet trekant. Det er den teknik, der beskrives

i dette kapitel.

Definition: Standardtrekant

En standardtrekant er en retvinklet trekant,

hvor hypotenusen har længden 1 (= én.)

Bemærk: Hvor stor denne måleenhed skal

være er underordnet. Meter, fod, cm eller

noget vi selv finder på at kalde én – det er

ligegyldigt. Men når længden er bestemt,

måles alt med denne enhed

.

Øvelse: Standardtrekant

Tegn 5 (ret forskellige) retvinklede trekanter, som dog alle har

en hypotenuse på 10 cm. Vi bruger denne længde på 10 cm som

måleenhed; hypotenusen har altså længden én (=1). De 10 cm

vælges kun fordi det er et nemt tal at regne med. Det kunne være

30 cm eller 2 meter …

25 Gyldendals Fremmedordbog

39 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

29.: Standardtrekant


30.: Modstående katete – i forhold til en spids vinkel

Mål nu en spids vinkel og den modstående katetes længde i hver

trekant.

Eksempel: Lad kateten for eksempel være 5 cm; da 5 cm

er halvdelen af 10 cm har vi målt kateten til 0,5. Var

kateten 3,6 cm svarer det til en katete på 3,6/10 = 0,36.

Du udfylder nu en tabel som nedenstående med resultaterne fra

dine 5 tegninger.

Trekant nr. 1 2 3 4 5

Spids vinkel

Katetens længde i cm

Katete / hypotenuse

Tabel 3.

Den spidse vinkel måles med vinkelmåler; katetens længde måles med

lineal. Husk at omregne katetens længde som en brøk af hypotenusens

længde. (Se ovenfor)

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 40


Prøv at tegne én ekstra trekant med samme vinkler som din første

trekant, men med en dobbelt så stor hypotenuse. Mål igen

kateten og lav beregningen: katete / hypotenuse,

Hvorfor får du næsten det samme som før?

Sammenlign din tabel med sinustabellen på første side i kapitlet.

Definition af sinus-funktionen: sin(v)

Når v er en vinkel mellem 0° og 90°, er sin(v) længden af den modstående

katete i en standardtrekant med den spidse vinkel v.

Af øvelsen fremgik det, at

det er ligemeget, hvor stor

hypotenusen er. Dens

længde benyttes blot som

enhed. 26

Fuldstændig tilsvarende

kan man definere cosinus:

26 Der er her lavet en metode, så du for hver eneste vinkel mellem 0° og 90° kan finde

et tal (mellem 0 og 1). Hver gang du eller andre benytter samme vinkel, får I

samme resultat. Vi siger, at vi har defineret en funktion (se senere om Funktioner.)

I dette tilfælde kaldes funktionen sinus-funktionen. sin(35°) er tallet metoden giver,

når man benytter vinklen 35°. sin(v) er ikke et bestemt tal. v er en ”joker”

eller en ”pladsholder”. v skal erstattes med et bestemt tal: så afleverer

sinusfunktionen ét bestemt svar – et tal. Det tal kalder vi: funktionsværdien.

41 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

31: Hosliggende katete – i forhold til en

spids vinkel


Definition af cosinus-funktionen: cos(v)

Når v er en vinkel mellem 0° og 90°, er cos(v) længden af den

hosliggende katete i en standardtrekant med den spidse vinkel v.

Øvelse Aflæsning i sinustabel

Udfyld tabellerne herunder. Benyt i begge tilfælde sinustabellen

fra kapitlets forside.

Vinkel v sin(v)

30°

85°

39°

45°

64°


17°

72°

• I den første tabel er den spidse vinkel kendt; du skal

finde sin(v) fra sinustabellen. sin(v) er en længde

• Omvendt i den anden tabel. Her startes med sinusværdien,

og ved at benytte sinustabellen ”omvendt”, det vil

sige læse fra højre kolonne til venstre kolonne, findes det

gradtal, der svarer til sinusværdien. v er et vinkelmål.

• Alle tabelopslagene kontrolleres med lommeregneren.

Sæt for OK! Se nedenfor hvordan.

Vinkel v sin(v)

0,7547

0,78

0,18

0,98

0,88

0,0088

0,1045

0,01219

I stedet for at benytte tabellen kan du bruge lommeregneren:

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 42


Tast Lommeregner viser 27

sin sin(

30 sin(30

) sin(30)

= 0,5

Tast Lommeregner viser

[2] eller [inv] sin sin -1 (

0,7547 sin -1 (0,7547

) sin -1 (0,7547)

= 48,99 (= 49,0°)

Anvendelse af sinus

Sinusfunktionen anvendes (her) til beregninger i retvinklede trekanter.

I en retvinklet trekant optræder vinklerne A, B og C samt siderne a, b og

c. De kan naturligvis have andre navne som P, Q og R osv. Ligeledes

behøver de ikke at have navne. Derfor er det praktisk at lære regler og

metoder uden bestemte navne, men konsekvent benytte ”katete” og

”hypotenuse”.

27 Beskrivelsen dækker bl.a. lommeregneren TI-30. Andre typer kan afvige mere

eller mindre fra beskrivelsen.

43 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

¤


Sætning: sin(v)

I enhver retvinklet trekant gælder det: er v en af de spidse vinkler, er

modstående katete=hypotenusen⋅sinv

eller

sinv= modstående katete

hypotenusen

Bevis

Vi har givet ΔABC.

∠C er ret

∠A er en tilfældigt valgt spids

vinkel

Vi tegner en standardtrekant

A´B´C´

hvor ∠C´er ret og

∠A´= ∠A.

28

32.: ΔABC som en forstørrelse af en

standardtrekant

På grund af 180°-gradersreglen er ∠B og ∠B´også lige store; dvs. at

trekanterne er ensvinklede.

28 Hvis den spidse vinkel er A og hypotenusen hedder c, bliver formlen her som

anført i formelsamlingen: sin(A) = a/c.

Formelsamlingens formler gælder dog kun, hvis trekanten navngives ΔABC med C

som den rette vinkel.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 44


Da trekanterne er ensvinklede er de også ligedannede; dvs. at der findes

en skalafaktor k.

I standardtrekanten har hypotenusen længden 1 (=én); i ΔABC bruges

hypotenusen også som navn for længden.

Der gælder så:

1·k = hypotenusen

k = hypotenusen

I standardtrekanten er |B´C´| = sin(A´) = sin(A);

i ΔABC er modstående katete en forstørrelse af standardtrekantens

katete. Forstørrelsesfaktoren er ”hypotenusen”.

Derfor:

modstående katete=hypotenusen⋅sinv

Ved division på begge sider af lighedstegnet med hypotenusen fås:

sinv= modstående katete

hypotenusen

45 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

QED


Sætning: cos(v)

I enhver retvinklet trekant gælder det: er v en af de spidse vinkler, er

eller

29

hosliggende katete=hypotenusen⋅cosv

cosv= hosliggende katete

hypotenusen

Bevis

Beviset forløber helt som beviset for sinus-reglen.

Øvelse: Bevis for cosinus-sætningen

Nedskriv beviset punkt for punkt.

Overblik over opgavetyper (retvinklede trekanter)

a. 2 kendte sider; benyt Pythagoras´sætning for at finde den sidste

side.

b. Kendt spids vinkel og hypotenuse; brug sinusreglen til beregning

af den modstående katete. Brug cosinusreglen til beregning

af den hosliggende katete.

c. Kendt spids vinkel og katete; enten er kateten den modstående

29 Hvis den spidse vinkel er A og hypotenusen hedder c, bliver formlen her som

anført i formelsamlingen: sin(A) = a/c.

Formelsamlingens formler gælder dog kun, hvis trekanten navngives ΔABC med C

som den rette vinkel.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 46


eller også beregnes den manglende vinkel med reglen om vinkelsummen

i en trekant. I begge tilfælde kendes så en vinkel og

den modstående katete.

Du får en ligning af typen (hyp = hypotenusen):

sin(30°) = 5/hyp som løses: gang med hyp

på begge sider af ”=”

sin(30°)*hyp=5 divider med sin(30°) på

begge sider af ”=”

hyp = 5/sin(30°) udregning af højre side

hyp = 10

d. Kendt katete og hypotenuse; kateten er modstående i forhold

til en af de spidse vinkler. Denne beregnes.

Du får en ligning af typen:

sin(A) =4,3 / 5,0 som løses: udregn højre

side

sin(A) = 0,86 find 0,86 i sinustabellen og

aflæs den tilsvarende vinkel

∠A = 59,3° afrund til ønsket

nøjagtighed

∠A = 59°

Bemærk: Sinustabellen benyttes til at finde en vinkel

med en bestemt sinusværdi (her 0,86.) Da sinusværdierne

vokser, når vinklen vokser i intervallet fra 0 til 90, findes

der kun én spids vinkel med en bestemt sinusværdi.

Derfor er vi sikre på, hvor stor vinklen er. Når en tabel

kan læses bagfra eller ”omvendt”, siger vi, at vi bruger

den omvendte funktion. Denne har sit eget navn: sin -1 .

Den findes også på din lommeregner på eller over

samme tast som sin -tasten.

47 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Øvelse: Trekantsberegninger

1. I ΔABC er ∠C ret, c=12 og ∠A = 30°.

a. Lav en skitse som

påbegyndt her; skriv

navne på og sæt alle

opgivne mål på. 30

b. Beregn a

c. Beregn b

d. Beregn b på en anden

måde!

2. I ΔABC er ∠C ret, c = 24 og ∠A = 30°.

a. Beregn a

b. Beregn b

3. I ΔABC er ∠C ret, c = 8,5 og ∠B = 53°.

a. Beregn a

b. Beregn b

4. I trekant PQR er ∠R ret, hypotenusen er 8,5 og ∠Q = 53°.

a. Beregn q

b. Beregn p

5. I en retvinklet trekant er en af vinklerne 38° og den modstående

katete = 4,5.

a. Beregn længden af hypotenusen

33.: Skitse til øvelse 1

b. Beregn længden af den sidste katete

6. En retvinklet trekant har kateter med længderne 6 og 8. Beregn

hypotenusen og de spidse vinkler

7. En retvinklet trekant har en hypotenuse med længden 13 og en

30 Enhver geometriopgave bør indledes med en skitse.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 48


katete med længden 12. Beregn de manglende størrelser

8. I en retvinklet trekant har hypotenusen længden 11 og kateterne

hhv. 7 og 8

a. Beregn begge de spidse vinkler med sinusreglen

b. Beregn de manglende vinkler

c. Beregn vinkelsummen i trekanten

d. Kommenter udregningen

9. Du kan selv lave alle de opgaver du vil: Du skal kende en side

og vide, at der er en ret vinkel. Så skal du have en oplysning

mere, men hvilken er ligegyldig.

a. Tegn den valgte figur. Benyt de kendte oplysninger til at

beregne resten. Mål på figuren, om du har regnet rigtigt.

Definition af tangens-funktionen: tan(v)

v er en spids vinkel i en retvinklet trekant.

31

tanv= sinv

cosv

31 De størrelser af v, vi indtil videre benytter, er vinkler større end 0° og mindre end

90° – hvilket gælder for alle tre introducerede funktioner.

Senere udvides funktionernes definitionsmængde, så også andre vinkler kan benyttes.

49 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Sætning: tan(v)

I enhver retvinklet trekant gælder det, at er v en af de spidse vinkler, er

32

modstående katete

tanv=

hosliggende katete

Bevis

tanv= sinv hypotenusen⋅sinv

katete

= =modstående

cosv hypotenusen⋅cosv hosliggende katete

● Det første ”=” følger af definitionen på tan(v)

Det andet er rigtigt, fordi man kan forlænge en brøk med ethvert

tal (forskelligt fra 0.) - her hypotenusen.

Det sidste følger af sætningerne om sin(v) og cos(v).

Øvelse: Blandede trekantsberegninger

1. I ΔABC er ∠C ret, b=10 og ∠A =70°?. Beregn a.

2. I ΔABC er ∠C ret, a=12 og ∠A =37°?. Beregn b.

3. I ΔABC er ∠C ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er ∠A?.

4. I ΔABC er ∠C ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er c?.

5. I ΔABC er ∠Α ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er ∠C?.

32 Hvis den spidse vinkel er A og modstående katete a, hosliggende katete b, bliver

formlen her som anført i formelsamlingen: tan(A) = a/b.

Formelsamlingens formler gælder dog kun, hvis trekanten navngives ΔABC med C

som den rette vinkel.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 50


Øvelse: La Tour Eiffel

Du er et sted i Paris. Du kan se La Tour Eiffel 33 på en afstand, hvor

vinklen mellem gaden og tårnets spids er 13°. På grund af måleusikkerheden

kan det næsten være ethvert tal mellem 12°.og 14°.

Hvor langt er du fra tårnet?

Hvis du tager hensyn til usikkerheden:

Hvor langt er du i hvert fald fra tårnet

Og hvad kan afstanden højst være til tårnet?

Kan der være forhold, som ikke er omtalt, der tilføjer yderligere

usikkerhed til dit skøn over afstanden?

Øvelse: Én sinusdefinition?

Ved definitionen af sinus og cosinus valgte vi en tilfældig standardtrekant

som grundlag for definitionen.

Hvis man vælger 2 forskellige standardtrekanter, får man så to

forskellige sinusfunktioner?

33 Tårnets højde er 317,3 m

51 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


Pythagoras og andre sætninger


Pythagoras sætning

Summen af kateternes kvadrater i en retvinklet trekant er lig med

kvadratet på hypotenusen. 34

Bevis

34.: En retvinklet trekant – og alle sidernes kvadrater

Det vi vil vise er – som denne tegning er udformet – at arealerne af den

34 Det skriver vi ofte k 1 2 + k2 2 = h 2 eller a 2 + b 2 = c 2

54 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


lå og den røde firkant i alt svarer til den grønne firkants areal.

Der findes et utal af beviser; nogle er rent geometriske – andre benytter

også algebra 35 . En udmærket oversigt findes for eksempel på

hjemmesiden http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml, som

også er inspirationen til nedenstående:

1. Vi har en tilfældigt valgt retvinklet trekant (hvid flade i figur 32)

– og tegnet kvadraterne på hver side (med hver sin farve). Hvis

sidelængden på en katete er a, er arealet af det tilsvarende

kvadrat a 2 .

35.: Kateternes kvadrater

2. Vi placerer de to kateters kvadrater (figur 33) i forlængelse af

hinanden; begge har en side på den samme linie l. Har trekantens

kateter længderne a og b bliver figurens samlede bredde a+b.

Den kombinerede figur har arealet: summen af kateternes

kvadrater.

3. To trekanter tegnes ovenpå figuren (figur 34) således, at

kvadraternes yderste rette vinkel bliver ret vinkel i hver sin

trekant. For hver trekant gælder endvidere:

1. Hele kvadratets lodrette side er den ene katete svarende

til en af kateterne i den oprindelige trekant.

35 Elementær algebra kan – meget groft – oversættes til ”bogstavregning”: Der er tale

om algebra, når vi arbejder med ligninger (og et ukendt x), eller når vi formulerer

regneregler med a og b, som a+b = b+a eller (a+b) 2 = a 2 +2ab + b 2 .

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 55


2. Den anden katete ligger på l.

36.:Kvadraterne delvist dækket af kopier af den retvinklede

trekant

3. Den anden katete som ligger på linjen l får en længde, så

den nye trekant får samme kateter som den oprindelige

trekant.

4. De to trekantssider på l har en samlet længde på a+b; det

havde kvadraterne på linjen l også. Derfor har de to

trekanters et fælles punkt som vinkelspids på l.

5. Da den oprindelige trekant og de nye har to sider og den

mellemliggende vinkel fælles, er de kongruente (det vil

sige, at de kan dække hinanden.) Derfor er også

hypotenuserne ens.

37.: Højre (hvide) trekant drejes...

56 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

4. Nu drejes

begge

hvide

trekanter

(figur 37).

Først den

ene ...og så

den anden.

Resultatet


er, at der er opstået en ny figur (figur 36) bestående af

resterne af de to små kvadrater og de to hvide trekanter. De grå

områder (hvor de hvide trekanter lå) tæller ikke med. Det ses

let, at den nye figur har det samme areal som de to kateters

kvadrater – hvis der ikke er overlapning. Lad os vise, at

figuren er et kvadrat med den oprindelige hypotenuse som side:

38.: Det ligner et kvadrat?

5. Vi har allerede tidligere bemærket, at på linien l stødte de to

trekanter sammen i et punkt, som altså er et hjørne i den nye

figur. De to punkter, de to trekanter blev drejet om er ligeledes

hjørner i den nye figur. Endelig er der et fjerde punkt, hvor de

hvide trekanters spidser tilsyneladende falder sammen.

Da de drejede hvide trekanter har vandrette kateter, hvis længde

svarer til kvadraterne lige nedenunder, ligger deres lodrette

kateter på samme linje – nemlig forlængelsen af skillelinjen

mellem kvadraterne. Vurderes afstanden fra den drejede trekants

øverste spidse vinkel til linjen l ses, at afstanden = a+b (summen

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 57


af kateterne) lige meget hvilken trekantspids der ses på. De to

vinkelspidser falder altså sammen og figuren er en firkant.

6. Alle firkantens sider har samme længde som den oprindelige

hypotenuse.

7. Mellem hypotenusen i den grå trekant og hypotenusen i den

tilsvarende hvide er der 90° - på grund af drejningen. Derfor er

to af firkantens vinkler rette.

Ses på firkantens nederste vinkel, kan man se at den er en lige

vinkel (180°) fratrukket de to spidse vinkler i de to grå trekanter.

De to vinkler er de samme som de to spidse vinkler i den

oprindelige trekant; summen af to spidse vinkler i retvinklet

trekant er altid 180° - 90° = 90° (ifølge reglen om

vinkelsummen i en trekant). Derfor er firkantens nederste vinkel

90°.

Endelig er den sidste vinkel i firkanten også ret på grund af, at

vinkelsummen i en firkant er 360°.

8. Firkanten (figuren) er altså et kvadrat med den oprindelige

hypotenuse som side.

9. Og dette kvadrat har samme areal som summen de to kateters

kvadrater.

Øvelse: Bevis Pythagoras sætning

● Hvad er hovedideen i beviset?

● Skriv A, B, C og a, b, c på den første trekant. Lad C være den

rette vinkel. Brug også betegnelserne v = ∠A og u = ∠Β.

QED

● Hvis a=4 og b=3: Hvad er så ”summen af kateternes kvadrater”?

● Skriv bogstaver for figurernes sidelængder og vinkler –

efterhånden som du kender dem. Lav en pil fra bogstavet på

figuren til begrundelsen i teksten.

58 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


● I bevisets punkt 3 forklares, hvordan de to hvide trekanter

indtegnes. Kan du forklare, hvorfor de lige præcis passer ind?

● Lav en stor model i pap eller papir – med udklippede hvide

trekanter. Brug den til demonstration af gangen i beviset.

● Hvorfor er beviset ikke færdigt, når trekanterne er drejet?

● Se kun på tegningerne: Skriv så bevisets argumenter ned punkt

for punkt.

● Sammenlign dine punkter med min tekst.

● Ret evt. dine punkter. Forstå dem. Lær dem udenad.

Sætning: Pythagoras og standardtrekanten

For alle vinkler mellem 0° og 90° gælder:

sin 2 (v) +cos 2 (v) = 1.

Bevis

Tag en vilkårlig retvinlet trekant med hypotenusen 1 og med en spids

vinkel v. Ifølge definitionen på sinus og cosinus er længderne af den

modstående katete sin(v) og af den hosliggende katete cos(v). Dette

indsættes i Pythagoras (sætning). Sætningen følger umiddelbart.

Sætning: Afstande i planet

Vi kender to punkter i det almindelige retvinklede koordinatsystem:

P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ). Så er afstanden mellem punkterne:

QED

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 59


|PQ| =

Eksempel: Afstand fra P(2;9) til Q(8;5)

Illustration 39.:

For at beregne afstanden mellem P

og Q tegnes den retvinklede

trekant PHQ således, at PH er

parallel med y-aksen og HQ er

parallel med x-aksen.

H får så koordinaterne (2 ; 5).

Hvorfor?

Nu benyttes (den almindelige) Pythagoras' sætning:

k 1 2 + k2 2 = h 2

x 2−x 1 2 y 2−y 1 2

Vi kender ikke k 1 , men ved at den er enten +6 eller -6.

Da (+6) 2 =(-6) 2 = 36

Afstanden mellem H og Q er 8-

2=6 eller 2-8=-

6

Tilsvarende få at afstanden mellem

P og H er 5-9=-

4 eller 9-5=4.

ses, at det er ligemeget om man finder katetens længde eller den

modsatte værdi. Vi kan trække x-værdierne fra hinanden uden at

bekymre os om fortegnet.

Tilsvarende gælder for den anden katete.

Ved indsætning i Pythagoras sætning fås:

60 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


−6 2 4 2 =h 2 ⇔

3616=h 2 ⇔

52=h 2 ⇔

h=52=7,21=7,2

Det ses nemt, at havde vi benyttet sætningen ovenover, var

beregningerne nøjagtigt de samme.

Bevis for afstandsformlen

Øvelse 3-4

Bevis sætningen, idet det forløber som eksemplets beregning,

men der benyttes P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ) i stedet for taleksemplet.

40.: Lodret snit

Eksempel på afstande i rummet

Et punkt i rummet er bestemt ved 3

koordinater sammenlignet med 2 for planet.

Der er tilføjet en z-akse, så vi kan angive, hvor

”højt oppe” et punkt er.

Opgaven er: Find afstanden mellem punkterne

P(5;7;13). og Q(8;9;11). Se figuren næste side.

De lodrette linier fra punkterne skærer xyplanet

i P'(5;7;0) og Q'(8;9;0).

Hvis vi kun arbejdede i xy-planet ville vi

derfor bruge koordinaterne (5;7) og (8;9) og

kunne beregne afstanden mellem disse to som

ovenfor. Altså er:

(5-8) 2 + (7-9) 2 = |P'Q'| 2

Nu tegnes hjælpetegningen til højre, som

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 61


ligger i et plan udspændt af de to lodrette linjer gennem hhv. P og P'

samt Q og Q'. Linjestykket P''Q tegnes parallelt med P'Q' – og har den

samme længde. Linjestykket PP'' har en længde svarende til differensen

mellem punkternes z-værdier. Ved at anvende Pythagoras på trekant

PQP'', fås

|P''Q| 2 +|PP''| 2 = |PQ| 2 |P'Q'| 2 +|PP''| 2 = |PQ| 2

(5-8) 2 + (7-9) 2 +(13-11) = |PQ| 2 |PQ| =

Det kan vises generelt, at:

Sætning: Afstande i rummet

Afstanden mellem punkterne P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ; z 2 ) er:

|PQ| =

x 2−x 1 2 y 2−y 1 2 z 2−z 1 2

Øvelse Afstandsberegninger i rummet

Hvad er afstanden mellem punkterne P(-3 ; 8) og Q(12 ; -12) ?

62 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

17

41.: Perspektivtegning af rummet


Hvad er afstanden mellem punkterne

P(5 ; -3 ; 8) og Q(0; 12 ; -12) ?

Jan Person skal flytte til udlandet og vil gerne medtage et

arvestykke: en gardinstang på 5,75 m. Kan den være i en

container med indre mål 4,3 m; 2,9 m og 2,5 m?

Hvor høj er en pyramide, hvis grundflade er et kvadrat med

siden 100 m, og hvis sider er 4 ens ligesidede trekanter (hvor

trekantens side er 160 m) ?

En sendemast på 60 m stabiliseres blandt andet med en stålwire,

der udspændes mellem et punkt midt i masten 10 m fra toppen

og en betonblok beliggende 40 m mod syd og 75 m mod øst. På

grund af terrænet ligger betonblokken 12 m under sendemastens

fod. Hvor lang skulle wiren være, hvis den var en ret linie?

Hvad er vinklen mellem en lodret linie og wiren ?

Kommentar

Ved beviserne for ”sinusrelationerne” og ”cosinusrelationerne” kendes alle

sider og alle vinkler i trekanten; ikke som en bestemt størrelse men for

eksempel som a (sidelængden) og A (vinkelstørrelsen.) Ved benyttelsen af

formlerne må nogle af størrelserne være kendte tal; disse kan så indsættes i

36 37

formlen. Herved fås en ligning, som evt. kan løses.

36 Dette forhold er typisk for alle formler.

37 Beviserne gennemføres som om H ligger på siden AB. Dette er ikke

en nødvendig forudsætning. Beviserne kan gennemføres stort set

uændret, selvom dette ikke er tilfældet.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 63


Sinusrelationerne

I en vilkårlig trekant ABC gælder:

a b c

= =

sinA sinB sin C

Bevis 38

I den gule retvinklede ΔACH er hypotenusen

b; i forhold til vinkel A er h den modstående

katete.

Derfor gælder:

h = b * sin(A)

Tilsvarende fås for Δ BCH, at hypotenusen er

a og i forhold til vinkel B er h igen den

modstående katete. Derfor fås:

h = a * sin(B)

Derfor gælder den første ligning; heraf fås sinusrelationerne som vist

herunder:

38 Sinus- og cosimusdefinitionerne udvides, således at definitionerne

gælder for alle vinkler i alle tænkelige trekanter – og ikke kun spidse

vinkler som hidtil:

sin(90) = 1 og hvis 90


a⋅sinB=b⋅sinA ⇔

Divider begge sider med sin(A)⋅sinB

a⋅sinB b⋅sinA

=

sinA ⋅sinB sinA⋅sinB ⇔

Forkort brøkerne sin(A) henholdsvis sin(B)

a b

=

sinA sinB

.............................................................................................................

På nøjagtig samme måde kan det vises (ved at dele trekanten med en

anden højde), at

a c

=

sinA sinC

og derfor er

a b c

= =

sinA sin B sinC

Eksempel 3-6 Beregning med sinusrelationer

I ΔABC er ∠A= 75°; a = 5 og c = 4. Beregn manglende sider og

vinkler.

Svar:

Sinusrelationerne gælder i enhver trekant, derfor gælder:

QED

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 65


a c

=

sinA sinC

Ved indsætning fås:

5 4

=

sin75 sinC ⇔

5⋅sinC 4⋅sinC

=

sin75 sinC ⇔

sinC= 4⋅sin75

5

∠ C = 50,60°

= 50,6° 39

Derefter kan ∠B beregnes med reglen om vinkelsummen i en trekant;

∠Β

= 180°

− 50,6°

− 75° = 54,4°

Den sidste side fås ved at anvende sinusrelationerne en gang til:

a b

=

sinA sin B

Ved indsætning fås:

5

sin75 =

b

sin54,4 ⇔

5⋅sin54,4

sin75 =b

39 Der er normalt to løsninger mellem 0° og 180°; hvis v er løsning er

180°-v også en løsning. Dog skal det også gælde, at overfor den

største side ligger den største vinkel. Men da a > c og ∠A= 75° <

180 50,6° = 129,4°, kan ∠C ikke være 129,4°

66 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt


= 4,20 = 4,2

Øvelse Trekantsberegninger med sinusrelationer

I ΔABC er ∠B= 68° og ∠C = 59°; c = 5. Beregn de manglende

sider og vinkler. 40

I ΔABC er ∠B= 68° og b = 8 og c = 10. Beregn de manglende

sider og vinkler.

Tegn en vilkårlig trekant og mål 3 af størrelserne – heraf 1 eller

2 sider og mindst en vinkel overfor en kendt side. Beregn de

manglende størrelser. Kontroller at de beregnede mål stemmer

overens med tegningen. Dog: hvis der er to løsninger, kan kun

den ene passe med tegningen ;-)

Cosinusrelationerne

Udvidet Pythagoras

I den gule retvinklede Δ ACH er hypotenusen b; i

forhold til vinkel A er CH den

modstående katete. h = |CH|

Derfor gælder:

*** h = b ⋅ sin(A)

Tilsvarende er |AH| den

hosliggende katete, hvorfor:

|AH| = b ⋅ cos(A)

Og:

|AH| + |HB| = |AB|; længden af

HB kaldes k; derfor er

*** k = c – b ⋅ cos(A)

Nu benyttes Pythagoras på den hvide Δ BHC:

43.: Opdeling af én trekant i to

retvinklede trekanter

40 Det kan være en god ide at tegne trekanterne med passer og lineal.

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 67


h 2 + k 2 = a 2 h og k er beregnet ovenover, se ***.

Udregningerne indsættes:

(b ⋅ sin(A) ) 2 + (c-b ⋅ cos(A) ) 2 = a 2 Ligningen reduceres: 41

⇔ b 2 ⋅ sin 2 (A)+ c 2 + b 2 ⋅ cos 2 (A)– 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2

⇔ b 2 ⋅ cos 2 (A)+ b 2 * ⋅ sin 2 (A)+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2

⇔ b 2 ⋅ [cos 2 (A)+ sin 2 (A)]+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2

⇔ b 2 ⋅ [1]+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2

eller skrevet lidt anderledes

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc*cos(A)

jævnfør “Pythagoras og standardtrekanten”

De to andre varianter af cosinusrelationerne kan vises på tilsvarende vis

ved at dele trekanten med en af de andre højder.

Eksempel 3-8 Beregning med cosinusrelationer

I ΔABC er a = 5 , b =6 og c = 4. Beregn ∠A.

Svar:

Vi benytter cosinusrelationerne herover og indsætter kendte størrelser:

5 2 = 6 2 + 4 2 – 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ cos(A) ⇔

25 – 36 – 16 = - 48 cos(A) ⇔

17 = 48 cos(A) ⇔

cos(A) = 17/48 ⇔

∠A = cos -1 (17/48) ⇔

∠ A = 69,25°

= 69,3°

41 Bemærk, at (sin(A)) 2 skrives som sin 2 (A)

68 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

QED

More magazines by this user
Similar magazines