Vagn Lundsgaard, Verdens Matematik
Vagn Lundsgaard, Verdens Matematik
Vagn Lundsgaard, Verdens Matematik
Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!
Leverage SEO-optimized Flipbooks, powerful backlinks, and multimedia content to professionally showcase your products and significantly increase your reach.
VLH<br />
EN VERDEN AF MATEMATIK<br />
Italieneren Galileo Galilei (1564 - 1642)<br />
Grundlægger af den naturvidenskabelige metode.<br />
Citat fra Sidereus Nuncius 1610<br />
(Sendebud fra Stjernerne):<br />
Naturfilosofien er skrevet i den store bog som for evigt ligger for<br />
vore øjne - jeg mener universet - men vi kan ikke forstå den,<br />
hvis vi ikke først lærer sproget og forstår de symboler, hvori den<br />
er skrevet. Bogen er skrevet i det matematiske sprog, og<br />
symbolerne er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer,<br />
uden hvis hjælp det er umuligt at forstå et eneste ord af den;<br />
uden hvilket man tomt vandrer gennem en mørk labyrint.<br />
vm1
VLH<br />
OVERSIGT<br />
• Spiraler i naturen<br />
• Naturens store arkitekt<br />
• Plane kurvers krumning<br />
• Nautilus skallen<br />
• Fra slyngplanter til vindelflader i arkitekturen<br />
• Storebæltsbroen: Kædelinjen versus Parablen<br />
• Det isoperimetriske problem<br />
• Minimalflader<br />
• Minimalflader i arkitektur<br />
• Keglesnit overalt<br />
vm2
VLH<br />
NAUTILUS<br />
vm3
Vindingen i en<br />
gennemskåret<br />
Nautilus skal er en<br />
logaritmisk spiral.<br />
Postkort<br />
<strong>Verdens</strong><strong>Matematik</strong>År 2000<br />
VLH<br />
NAUTILUS SKAL<br />
vm4
Frøene i en solsikke<br />
danner et mønster af<br />
logaritmiske spiraler.<br />
Postkort<br />
<strong>Verdens</strong><strong>Matematik</strong>Året 2000<br />
VLH<br />
SOLSIKKE<br />
vm5
VLH<br />
EN SPIRAL TIL KAFFEN<br />
Vindingen i en roulade<br />
er en archimedisk spiral.<br />
Det menes at Archimedes<br />
(287-212 f.Kr.) prøvede at<br />
bruge denne spiral til at løse<br />
et problem for de gamle<br />
grækere om med passer og<br />
lineal at konstruere et kvadrat<br />
med samme areal som en<br />
foreskrevet cirkel. Problemet<br />
kendes som cirklens kvadratur.<br />
vm6
VLH<br />
BEVÆGELSER I EN PLAN<br />
Ubegrænset bevægelse<br />
Linjen repræsenterer den ubegrænsede,<br />
kontinuerte, retlinede bevægelse<br />
(bevægelse langs en linje).<br />
Periodisk bevægelse<br />
Cirklen repræsenterer den begrænsede,<br />
kontinuerte, periodiske bevægelse<br />
omkring et centralt punkt (rotation).<br />
Spiralbevægelse<br />
Ved at kombinere bevægelse langs en<br />
linje med periodisk bevægelse (rotation)<br />
omkring et centralt punkt får man en<br />
spiralbevægelse langs en spiral omkring<br />
et spiralpunkt.<br />
vm7
VLH<br />
ARCHIMEDISK SPIRAL<br />
I polære koordinater er en archimedisk spiral defineret ved<br />
ligningen<br />
r =<br />
for en positiv konstant k > 0.<br />
kθ<br />
vm8
VLH<br />
LOGARITMISK SPIRAL<br />
En logaritmisk spiral har<br />
ligningen<br />
r<br />
= aexp(<br />
bθ)<br />
for en positiv konstant a > 0,<br />
og en vilkårlig ikke triviel<br />
konstant b 0.<br />
Equiangulær spiral<br />
Vinklen u mellem tangenten til en logaritmisk spiral og linjen<br />
til spiralpunktet er konstant.<br />
vm9
VLH<br />
EDDERKOPPENS SPIND<br />
Tilnærmelsesvise<br />
archimediske og<br />
logaritmiske spiraler<br />
indgår i edderkoppens<br />
konstruktion af sit<br />
fangstnet.<br />
vm10
VLH<br />
KRUMNING AF PLANE KURVER<br />
Tangent<br />
Tætteste tilnærmelse af kurven<br />
i P 0 med en linje.<br />
Krumningscirklen<br />
Tætteste tilnærmelse med en cirkel.<br />
Krumningsradius<br />
Radius i krumningscirklen.<br />
Krumningen af kurven i<br />
punktet P 0 er den<br />
reciprokke (med fortegn)<br />
af krumningsradius,<br />
κ<br />
=<br />
±<br />
1<br />
ρ<br />
ρ<br />
Fortegnet er + hvis kurven drejer<br />
mod venstre i en omegn af P 0,<br />
og hvis den drejer mod højre.<br />
vm11
VLH<br />
COMPUTER NAUTILUS<br />
Krumningscirklen placeres så den er<br />
vinkelret på både den logaritmiske<br />
(equiangulære) spiral og spiralplanen.<br />
vm12
VLH<br />
COMPUTER NAUTILUS<br />
For netop én vinkel i den equiangulære spiral<br />
vinder den resulterende flade pænt sammen<br />
så ydersiden af ethvert lag nøjagtigt lægger<br />
sig op til indersiden af det næste lag.<br />
vm13
VLH<br />
COMPUTER NAUTILUS<br />
Krumningscirklerne anbragt<br />
omkring den equiangulære<br />
spiral vinder op i en flade af<br />
form som en Nautilus skal.<br />
Naustory<br />
vm14
SKRUELINJER OG SLYNGPLANTER<br />
Højre-håndet Venstre-håndet<br />
En skruelinje er en kurve på en cylinder hvor<br />
alle tangentlinjerne skærer frembringerne<br />
for cylinderen i en konstant vinkel.<br />
VLH<br />
De fleste<br />
slyngplanter<br />
følger en<br />
højre-håndet<br />
skruelinje.<br />
Humle følger en<br />
venstre-håndet<br />
skruelinje.<br />
vm15
VINDELFLADER I ARKITEKTUR<br />
Spindeltrappe<br />
VLH<br />
Vindelflade<br />
Rundetårns sneglegang,<br />
bygget omkring 1640.<br />
Når trinnene udglattes i en<br />
spindeltrappe, eller en vindeltrappe,<br />
fremkommer en såkaldt vindelflade.<br />
Vindeltrappe<br />
Palazzo Contarini del<br />
Bovolo, Venedig,<br />
trappen bygget i 1499.<br />
vm16
VINDELTRAPPE I PERSPEKTIV<br />
VLH<br />
Skruelinjen i gelænderet for<br />
vindeltrappen fremtræder som<br />
en logaritmisk spiral, idet denne<br />
kurve - som skruelinjen - er<br />
karakteriseret ved en egenskab<br />
omhandlende en konstant vinkel.<br />
Museo do Popo Galego, Santiago, Spain<br />
vm17
Kædelinje<br />
Parabel<br />
VLH<br />
STOREBÆLTSBROEN<br />
Kædelinje versus Parabel<br />
En kæde som hænger<br />
mellem to punkter kun<br />
påvirket af tyngdekraften<br />
følger en kædelinje.<br />
Denne kurveform er<br />
forskellig fra en parabel.<br />
Kæderne i Storebæltsbroen er udover tyngdekraften jævnt belastet<br />
af broen. Derfor er kurveformen en parabel og ikke en kædelinje.<br />
vm18
VLH<br />
CIRKLEN I ARKITEKTUR<br />
Optimering af arealet<br />
Colosseum i Rom<br />
Grundplanen er ellipseformet<br />
(188 meter ×<br />
156 meter)<br />
Bygget i årene 72-80<br />
Trelleborg<br />
Grundplanen er cirkulær<br />
(136 meter i diameter)<br />
Bygget ca. 980<br />
vmo19
VLH<br />
OPTIMALE TREKANTER<br />
Betragt en trekant med<br />
Fast omkreds og Fast grundlinje<br />
Trekantens toppunkt ligger<br />
på en ellipse.<br />
Blandt alle trekanter med en<br />
fast omkreds og en fast<br />
grundlinje har den ligebenede<br />
trekant det største areal.<br />
Hvordan med en trekant hvor<br />
kun omkredsen holdes fast?<br />
Blandt alle trekanter med en fast omkreds<br />
har den ligesidede trekant det største areal.<br />
vmo20
VLH<br />
PERRONS PARADOX<br />
Antag, at N er det største positive hele tal.<br />
Så gælder, at N 1.<br />
≥<br />
Antag, at<br />
N > 1.<br />
Så fås ved multiplikation med N på begge sider, at<br />
N N <br />
N<br />
.<br />
Dette er i modstrid med, at N er det største<br />
positive hele tal.<br />
Det følger så, at N = 1, hvilket er åbenlyst nonsens.<br />
vmo21
VLH<br />
PROBLEMER UDEN LØSNING<br />
Perrons paradox illustrerer med et talteoretisk eksempel<br />
problemet ved at antage eksistens af en løsning.<br />
Nogle simple geometriske problemstillinger uden løsning er<br />
blevet foreslået af Karl Weierstrass (1815-1897).<br />
A B<br />
A B<br />
Der findes ikke en korteste<br />
polygonal vej mellem A og B,<br />
der starter ud vinkelret på<br />
linjestykket mellem A og B.<br />
Der findes ikke en korteste<br />
vej mellem A og B, der går<br />
rundt om et punkt på<br />
linjestykket mellem A og B.<br />
vmo22
VLH<br />
OPTIMALE TREKANTER<br />
Betragt en trekant med<br />
Fast omkreds og Fast grundlinje<br />
Trekantens toppunkt ligger<br />
på en ellipse.<br />
Blandt alle trekanter med en<br />
fast omkreds og en fast<br />
grundlinje har den ligebenede<br />
trekant det største areal.<br />
Blandt alle trekanter med<br />
en fast omkreds har<br />
den ligesidede trekant<br />
det største areal.<br />
vmo23
En overraskende grænseovergang<br />
Der konstrueres en<br />
følge af polygonale<br />
kurver med længde<br />
2, som nærmer sig<br />
grundlinjen i den<br />
ligesidede trekant<br />
med kantlængde 1.<br />
VLH<br />
1<br />
Ved grænseovergangen falder længden<br />
af den polygonale kurve fra 2 til 1.<br />
1<br />
1<br />
vmo24
VLH<br />
HVEM ER DEN STØRSTE?<br />
Et kort skuespil om en matematisk konkurrence for firkanter.<br />
Det isoperimetriske problem<br />
Blandt alle firkanter med en foreskreven omkreds,<br />
find den firkant som omslutter det største areal.<br />
Skuespillere<br />
Hr. Konkav<br />
Hr. Skævben<br />
Hr. Drage<br />
Hr. Rombe<br />
Hr. Kvadrat<br />
Dommeren<br />
Hvem er<br />
størst?<br />
vmo25
VLH<br />
Hr. Konkav<br />
vmo26
VLH<br />
Hr. Skævben<br />
vmo27
VLH<br />
Hr. Drage<br />
vmo28
VLH<br />
Hr. Rombe<br />
vmo29
VLH<br />
Resultatet foreligger<br />
Jeg er den<br />
største<br />
Blandt alle firkanter<br />
med en foreskrevet<br />
omkreds omslutter<br />
kvadratet det<br />
største areal<br />
vmo30
VLH<br />
DET ISOPERIMETRISKE<br />
PROBLEM<br />
Det isoperimetriske problem<br />
Find dén lukkede plane kurve (uden selvgennemskæringer)<br />
af en fast given omkreds som omslutter det største areal.<br />
Fast omkreds<br />
Maksimalt areal?<br />
Har problemet overhovedet en løsning??<br />
vmo31
VLH<br />
KAKEYAS PROBLEM<br />
Betragt en nål (matematisk: et linjestykke) af en fast længde. Se på<br />
alle plane figurer M inden for hvilken nålen kan vendes, dvs. drejes en<br />
fuld omgang på 360°.<br />
Kakeya 1917: Bestem en plan figur M med mindst muligt areal<br />
inden for hvilken nålen kan vendes.<br />
I lang tid troede man, at Steiners hypocykloide<br />
var løsningen til Kakeyas problem.<br />
Steiners hypocykloide fremkommer som<br />
banekurven for et punkt på en cirkel, der ruller<br />
inden i en cirkel med tre gange så stor radius.<br />
Nålen kan vendes i Steiners hypocykloide idet<br />
alle ”indre” tangenter har den samme længde.<br />
Besicovitch 1928: Der findes plane figurer M med vilkårligt lille areal<br />
inden for hvilken nålen kan vendes.<br />
Med andre ord: Kakeyas problem har ingen løsning.<br />
vmo32
EKSPERIMENTEL EFTERVISNING<br />
DET ISOPERIMETRISKE PROBLEM<br />
VLH<br />
Prik hul i sæbefilmen<br />
inden for den lukkede<br />
kurve. Øjeblikkeligt<br />
omdannes den lukkede<br />
kurve til en perfekt cirkel.<br />
Ramme med en<br />
løsthængende<br />
lukket kurve<br />
dyppes i sæbevand.<br />
vmo33
kædelinje<br />
katenoide<br />
MINIMALFLADER<br />
Fladen i figuren er en katenoide.<br />
En minimalflade er en flade, der på<br />
små stykker af fladen udspænder det<br />
mindst mulige areal i randkurven af<br />
fladestykket.<br />
Relativt til randkurven er<br />
arealet mindst muligt.<br />
Ækvivalent:<br />
Fladestykket følger<br />
formen af en sæbehinde<br />
udspændt i randkurven.<br />
Katenoiden fremkommer ved at rotere en kædelinje omkring en<br />
passende akse. Det blev i 1740’erne vist af Euler, at katenoiden<br />
lokalt minimerer arealet, altså at den er en minimalflade.<br />
VLH vm34
RUNDETÅRNS SNEGLEGANG<br />
VLH<br />
En pragtfuld vindelflade i København<br />
En vindelflade kan fejes ud af en ret linje der bevæger<br />
sig i rummet (en retlinet flade); og dog er fladen<br />
indlysende krum! Den er også en minimalflade.<br />
vm35
VLH<br />
MINIMALFLADER I ARKITEKTUR<br />
Frei Otto: Det olympiske stadion i München.<br />
vm36
TYCHO BRAHE PLANETARIET<br />
VLH<br />
En ellipse i taget<br />
vm37
SNAPSENS GEOMETRISKE VEJ<br />
VLH<br />
Ellipse<br />
Parabel<br />
Hyperbel<br />
vm38
VLH<br />
Tak for opmærksomheden<br />
vm39
Change language