Vagn Lundsgaard, Verdens Matematik

ucc.dk

Vagn Lundsgaard, Verdens Matematik

VLH EN VERDEN AF MATEMATIK Italieneren Galileo Galilei (1564 - 1642) Grundlægger af den naturvidenskabelige metode. Citat fra Sidereus Nuncius 1610 (Sendebud fra Stjernerne): Naturfilosofien er skrevet i den store bog som for evigt ligger for vore øjne - jeg mener universet - men vi kan ikke forstå den, hvis vi ikke først lærer sproget og forstår de symboler, hvori den er skrevet. Bogen er skrevet i det matematiske sprog, og symbolerne er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer, uden hvis hjælp det er umuligt at forstå et eneste ord af den; uden hvilket man tomt vandrer gennem en mørk labyrint. vm1


VLH OVERSIGT • Spiraler i naturen • Naturens store arkitekt • Plane kurvers krumning • Nautilus skallen • Fra slyngplanter til vindelflader i arkitekturen • Storebæltsbroen: Kædelinjen versus Parablen • Det isoperimetriske problem • Minimalflader • Minimalflader i arkitektur • Keglesnit overalt vm2


VLH NAUTILUS vm3


Vindingen i en gennemskåret Nautilus skal er en logaritmisk spiral. Postkort VerdensMatematikÅr 2000 VLH NAUTILUS SKAL vm4


Frøene i en solsikke danner et mønster af logaritmiske spiraler. Postkort VerdensMatematikÅret 2000 VLH SOLSIKKE vm5


VLH EN SPIRAL TIL KAFFEN Vindingen i en roulade er en archimedisk spiral. Det menes at Archimedes (287-212 f.Kr.) prøvede at bruge denne spiral til at løse et problem for de gamle grækere om med passer og lineal at konstruere et kvadrat med samme areal som en foreskrevet cirkel. Problemet kendes som cirklens kvadratur. vm6


VLH BEVÆGELSER I EN PLAN Ubegrænset bevægelse Linjen repræsenterer den ubegrænsede, kontinuerte, retlinede bevægelse (bevægelse langs en linje). Periodisk bevægelse Cirklen repræsenterer den begrænsede, kontinuerte, periodiske bevægelse omkring et centralt punkt (rotation). Spiralbevægelse Ved at kombinere bevægelse langs en linje med periodisk bevægelse (rotation) omkring et centralt punkt får man en spiralbevægelse langs en spiral omkring et spiralpunkt. vm7


VLH ARCHIMEDISK SPIRAL I polære koordinater er en archimedisk spiral defineret ved ligningen r = for en positiv konstant k > 0. kθ vm8


VLH LOGARITMISK SPIRAL En logaritmisk spiral har ligningen r = aexp( bθ) for en positiv konstant a > 0, og en vilkårlig ikke triviel konstant b 0. Equiangulær spiral Vinklen u mellem tangenten til en logaritmisk spiral og linjen til spiralpunktet er konstant. vm9


VLH EDDERKOPPENS SPIND Tilnærmelsesvise archimediske og logaritmiske spiraler indgår i edderkoppens konstruktion af sit fangstnet. vm10


VLH KRUMNING AF PLANE KURVER Tangent Tætteste tilnærmelse af kurven i P 0 med en linje. Krumningscirklen Tætteste tilnærmelse med en cirkel. Krumningsradius Radius i krumningscirklen. Krumningen af kurven i punktet P 0 er den reciprokke (med fortegn) af krumningsradius, κ = ± 1 ρ ρ Fortegnet er + hvis kurven drejer mod venstre i en omegn af P 0, og hvis den drejer mod højre. vm11


VLH COMPUTER NAUTILUS Krumningscirklen placeres så den er vinkelret på både den logaritmiske (equiangulære) spiral og spiralplanen. vm12


VLH COMPUTER NAUTILUS For netop én vinkel i den equiangulære spiral vinder den resulterende flade pænt sammen så ydersiden af ethvert lag nøjagtigt lægger sig op til indersiden af det næste lag. vm13


VLH COMPUTER NAUTILUS Krumningscirklerne anbragt omkring den equiangulære spiral vinder op i en flade af form som en Nautilus skal. Naustory vm14


SKRUELINJER OG SLYNGPLANTER Højre-håndet Venstre-håndet En skruelinje er en kurve på en cylinder hvor alle tangentlinjerne skærer frembringerne for cylinderen i en konstant vinkel. VLH De fleste slyngplanter følger en højre-håndet skruelinje. Humle følger en venstre-håndet skruelinje. vm15


VINDELFLADER I ARKITEKTUR Spindeltrappe VLH Vindelflade Rundetårns sneglegang, bygget omkring 1640. Når trinnene udglattes i en spindeltrappe, eller en vindeltrappe, fremkommer en såkaldt vindelflade. Vindeltrappe Palazzo Contarini del Bovolo, Venedig, trappen bygget i 1499. vm16


VINDELTRAPPE I PERSPEKTIV VLH Skruelinjen i gelænderet for vindeltrappen fremtræder som en logaritmisk spiral, idet denne kurve - som skruelinjen - er karakteriseret ved en egenskab omhandlende en konstant vinkel. Museo do Popo Galego, Santiago, Spain vm17


Kædelinje Parabel VLH STOREBÆLTSBROEN Kædelinje versus Parabel En kæde som hænger mellem to punkter kun påvirket af tyngdekraften følger en kædelinje. Denne kurveform er forskellig fra en parabel. Kæderne i Storebæltsbroen er udover tyngdekraften jævnt belastet af broen. Derfor er kurveformen en parabel og ikke en kædelinje. vm18


VLH CIRKLEN I ARKITEKTUR Optimering af arealet Colosseum i Rom Grundplanen er ellipseformet (188 meter × 156 meter) Bygget i årene 72-80 Trelleborg Grundplanen er cirkulær (136 meter i diameter) Bygget ca. 980 vmo19


VLH OPTIMALE TREKANTER Betragt en trekant med Fast omkreds og Fast grundlinje Trekantens toppunkt ligger på en ellipse. Blandt alle trekanter med en fast omkreds og en fast grundlinje har den ligebenede trekant det største areal. Hvordan med en trekant hvor kun omkredsen holdes fast? Blandt alle trekanter med en fast omkreds har den ligesidede trekant det største areal. vmo20


VLH PERRONS PARADOX Antag, at N er det største positive hele tal. Så gælder, at N 1. ≥ Antag, at N > 1. Så fås ved multiplikation med N på begge sider, at N N N . Dette er i modstrid med, at N er det største positive hele tal. Det følger så, at N = 1, hvilket er åbenlyst nonsens. vmo21


VLH PROBLEMER UDEN LØSNING Perrons paradox illustrerer med et talteoretisk eksempel problemet ved at antage eksistens af en løsning. Nogle simple geometriske problemstillinger uden løsning er blevet foreslået af Karl Weierstrass (1815-1897). A B A B Der findes ikke en korteste polygonal vej mellem A og B, der starter ud vinkelret på linjestykket mellem A og B. Der findes ikke en korteste vej mellem A og B, der går rundt om et punkt på linjestykket mellem A og B. vmo22


VLH OPTIMALE TREKANTER Betragt en trekant med Fast omkreds og Fast grundlinje Trekantens toppunkt ligger på en ellipse. Blandt alle trekanter med en fast omkreds og en fast grundlinje har den ligebenede trekant det største areal. Blandt alle trekanter med en fast omkreds har den ligesidede trekant det største areal. vmo23


En overraskende grænseovergang Der konstrueres en følge af polygonale kurver med længde 2, som nærmer sig grundlinjen i den ligesidede trekant med kantlængde 1. VLH 1 Ved grænseovergangen falder længden af den polygonale kurve fra 2 til 1. 1 1 vmo24


VLH HVEM ER DEN STØRSTE? Et kort skuespil om en matematisk konkurrence for firkanter. Det isoperimetriske problem Blandt alle firkanter med en foreskreven omkreds, find den firkant som omslutter det største areal. Skuespillere Hr. Konkav Hr. Skævben Hr. Drage Hr. Rombe Hr. Kvadrat Dommeren Hvem er størst? vmo25


VLH Hr. Konkav vmo26


VLH Hr. Skævben vmo27


VLH Hr. Drage vmo28


VLH Hr. Rombe vmo29


VLH Resultatet foreligger Jeg er den største Blandt alle firkanter med en foreskrevet omkreds omslutter kvadratet det største areal vmo30


VLH DET ISOPERIMETRISKE PROBLEM Det isoperimetriske problem Find dén lukkede plane kurve (uden selvgennemskæringer) af en fast given omkreds som omslutter det største areal. Fast omkreds Maksimalt areal? Har problemet overhovedet en løsning?? vmo31


VLH KAKEYAS PROBLEM Betragt en nål (matematisk: et linjestykke) af en fast længde. Se på alle plane figurer M inden for hvilken nålen kan vendes, dvs. drejes en fuld omgang på 360°. Kakeya 1917: Bestem en plan figur M med mindst muligt areal inden for hvilken nålen kan vendes. I lang tid troede man, at Steiners hypocykloide var løsningen til Kakeyas problem. Steiners hypocykloide fremkommer som banekurven for et punkt på en cirkel, der ruller inden i en cirkel med tre gange så stor radius. Nålen kan vendes i Steiners hypocykloide idet alle ”indre” tangenter har den samme længde. Besicovitch 1928: Der findes plane figurer M med vilkårligt lille areal inden for hvilken nålen kan vendes. Med andre ord: Kakeyas problem har ingen løsning. vmo32


EKSPERIMENTEL EFTERVISNING DET ISOPERIMETRISKE PROBLEM VLH Prik hul i sæbefilmen inden for den lukkede kurve. Øjeblikkeligt omdannes den lukkede kurve til en perfekt cirkel. Ramme med en løsthængende lukket kurve dyppes i sæbevand. vmo33


kædelinje katenoide MINIMALFLADER Fladen i figuren er en katenoide. En minimalflade er en flade, der på små stykker af fladen udspænder det mindst mulige areal i randkurven af fladestykket. Relativt til randkurven er arealet mindst muligt. Ækvivalent: Fladestykket følger formen af en sæbehinde udspændt i randkurven. Katenoiden fremkommer ved at rotere en kædelinje omkring en passende akse. Det blev i 1740’erne vist af Euler, at katenoiden lokalt minimerer arealet, altså at den er en minimalflade. VLH vm34


RUNDETÅRNS SNEGLEGANG VLH En pragtfuld vindelflade i København En vindelflade kan fejes ud af en ret linje der bevæger sig i rummet (en retlinet flade); og dog er fladen indlysende krum! Den er også en minimalflade. vm35


VLH MINIMALFLADER I ARKITEKTUR Frei Otto: Det olympiske stadion i München. vm36


TYCHO BRAHE PLANETARIET VLH En ellipse i taget vm37


SNAPSENS GEOMETRISKE VEJ VLH Ellipse Parabel Hyperbel vm38


VLH Tak for opmærksomheden vm39

More magazines by this user
Similar magazines