5 Beskrivende mål - Gyldendal

5 Beskrivende mål
Indkomstfordelingen i Danmark tæller godt 5 millioner indkomster. Med en
bogstavhøjde på 3 millimeter og en linjeafstand på 2 millimeter, hvilket svarer
til en normal typografisk opsætning, vil en liste med de godt 5 millioner indkomster
være omkring 25 km lang. Selvom man læser meget hurtigt og har
fotografisk hukommelse, får man næppe et godt overblik over fordelingen af
indkomster i Danmark ved at kigge på en sådan liste. For at få en begribelig
ide om indkomstfordelingen i Danmark kan man i stedet definere nogle beskrivende
mål, som hver især afslører interessante aspekter af indkomstfordelingen.
Sådan et beskrivende mål kunne fx være middelindkomsten. Det kan
også være den indkomst, der skiller de fattigste 10 % af befolkningen fra den
øvrige befolkning. Da ét beskrivende mål selvfølgelig ikke alene kan beskrive
en hel fordeling – middelindkomsten er ét tal imod de 5 millioner tal, som
indkomstfordelingen består af – skal man imidlertid være påpasselig med at
overfortolke beskrivende mål.
I kapitel 2 introducerede vi forskellige beskrivende mål, blandt andet middelværdi
og varians, som kunne bruges til at få et overblik over en virkelig
population. I dette kapitel udvider vi brugen af disse beskrivende mål til stokastiske
variabler. Dermed bliver vi i stand til at beskrive langt flere situationer,
hvor der også er usikkerhed involveret, fx udtrækninger fra superpopulationer.
Beskrivende mål for stokastiske variabler kan inddeles i to klasser. Den ene
klasse bygger på gennemsnits betragtninger. Middelindkomsten er et eksempel,
men man kan også udlede beskrivende mål for spredningen af en fordeling,
som bygger på en gennemsnitsbetragtning. Overordnet set kaldes denne
klasse af beskrivende mål for momenter. Den anden klasse af beskrivende mål
bygger på opdelinger af en fordeling. Et eksempel på et sådant mål er den indkomst,
der skiller de fattigste 10 % af befolkningen fra den øvrige befolkning.
Overordnet set kaldes denne klasse af beskrivende mål for fraktiler.
Momenter behandles i afsnit 5.2 og fraktiler i afsnit 5.3. I afsnit 5.4 diskuterer
vi, hvordan man kan bruge (og misbruge) beskrivende mål. Vi ser på beskrivende
mål for sammenhænge mellem stokastiske variabler i afsnit 5.5,
mens vi i afsnit 5.6 viser, hvordan Excel kan anvendes til udregning af be­
Beskrivende mål 101

102 Beskrivende mål
skrivende mål. Igennem hele kapitlet er de beskrivende mål defineret som beskrivende
mål for en fordeling af en stokastisk variabel i stedet for som beskrivende
mål for en virkelig population, som tilfældet var i kapitel 2. I afsnit 5.1
vil vi forklare, hvorfor vi vælger denne mere generelle tilgang i dette kapitel,
herunder hvordan sammenhængen er mellem beskrivende mål for en fordeling
af en stokastisk variabel og for en virkelig population.
5.1 Beskrivende mål og stokastiske variabler
I kapitel 2 introducerede vi en række beskrivende mål for en virkelig population.
Disse mål inkluderede middelværdien, variansen og medianen og beskrev
aspekter ved en eksisterende virkelig population. Det er ideen bag sådanne
beskrivende mål, vi nu vil overføre til stokastiske variabler, som kan
håndtere mere generelle situationer, hvor der er usikkerhed involveret, og hvor
populationen kan være en superpopulation.
I kapitel 2 definerede vi andelsfunktionen, g(z), for en virkelig population.
Den fortæller os, hvordan elementerne i populationen fordeler sig, dvs. hvor
stor en del af elementerne i populationen, der fx har indkomsten z 1, z2, z3, osv.
Middelværdien for en vir kelig population kan derfor betragtes som en summarisk
beskrivelse af andelsfunktionen.
Vi indførte stokastiske variabler i kapitel 4 for at kunne bearbejde komplicerede
situationer med usikkerhed. Sandsynlighederne for de forskellige værdier
af en stokastisk variabel er udtrykt i dens fordeling. Et beskrivende mål for
en fordeling af en stokastisk variabel er derfor en summarisk beskrivelse af
sandsynlighedsfunktionen (eller tæthedsfunktionen, hvis den stokastiske variabel
er kon tinuert).
Forbindelsen mellem en virkelig population og fordelingen af en stoka stisk
variabel forklarede vi i kapitel 4. Når værdien af den stokastiske variabel er
givet ved værdien af det element, der udtrækkes fra en virkelig population, og
når alle elementer i populationen har samme chance for udvælgelse, så er
sandsynlighedsfunktionen, f, lig med andelsfunktionen, g. Når dette er tilfældet,
kan vi tænke på fordelingen af den stokastiske variabel som en fordeling
af populationen. Faktisk vil vi i sådanne tilfælde ofte omtale sandsynlighedsfordelingen
for den stokastiske variabel som populationsfordelingen, og de beskrivende
mål for populationsfordelingen vil blive kaldt for populationsstørrelser.
Fordelen ved at definere de beskrivende mål ud fra fordelingen af den stokastiske
variabel er, at vi så også kan bruge dem i de situationer, hvor den
stokastiske variabel ikke svarer til en udtrækning fra en virkelig population.
Dette gælder fx i forbindelse med udtrækninger fra superpopulationer, eller

når der er tale om udtrækninger fra virkelige populationer, hvor alle elementer
ikke har samme chance for udvælgelse. Lad os illustrere denne tankegang
med et par eksempler:
Eksempel 5.1: I forbindelse med indkomstfordelingen fra starten af kapitlet kan vi definere
En virkelig
population
følgende eksperiment: „Udvælg en person og lad den stokastiske variabel, X,
angive vedkommendes indkomst.“ Hvis alle personer har samme chance for
udvælgelse, så vil sandsynlighedsfunktionen for X være lig med andelsfunktionen
for populationen. Dermed har X samme „fordeling“ som populationen.
Hvis en andel på 0,1 af befolkningen tjener mere end 300.000 kr., så
er der tilsvarende sandsynligheden 0,1 for, at X antager en værdi større end
300.000. Om vi beskriver fordelingen af populationen eller fordelingen af X,
gør derfor ingen forskel i dette tilfælde.
Eksempel 5.2: I eksemplet fra kapitel 3 med en 30­årig obligation er kursen i morgen kl.
En superpopulation
12.00 en stokastisk variabel, Y, som har en given sandsynlighedsfordeling.
Der er fx sandsynligheden 0,3 for, at kursen vil ligge under 100. Sandsynlighedsfordelingen
for denne variabel kan imidlertid ikke umiddelbart
for tolkes som andele i superpopulationen af kurser. Men vi kan stadig beskrive
sandsynlighedsfordelingen for Y ved hjælp af en række beskrivende
mål.
I mange af eksemplerne i dette kapitel vil der være den i eksempel 5.1 nævnte
sammenhæng mellem fordelingen af den stokastiske variabel og en virkelig
population. Det er dog vigtigt at huske på, at de beskrivende mål også finder
anvendelse i en lang række andre situationer, hvor fordelingen af den stokastiske
variabel ikke svarer til fordelingen af en underliggende virkelig population,
som tilfældet fx er i eksempel 5.2.
5.2 Momenter
Det mest kendte moment for en stokastisk variabel, X, er middelværdien, også
kaldet den forventede værdi. Middelværdien betegnes typisk med bogstavet µ
eller E(X), hvor E’et står for „expectation“ (forventning). Et andet ofte brugt
moment er variansen, som beskriver, hvor meget de mulige værdier af X gennemsnitligt
er spredt i forhold til middelværdien. Variansen betegnes typisk
med s 2 eller V(X).
Fortolkningen af et moment er den samme, uanset om den stokastiske variabel
er diskret eller kontinuert. Beregningsteknisk er der dog en forskel, så vi
5.2 Momenter 103

5.2.1 Forventet værdi af en diskret stokastisk variabel
Ideen med en forventet værdi af en stokastisk variabel,

Figur 5.1 4.1
Middelværdi
som balan balancecepunkt realiserer X mange gange, dvs. gentager eksperimentet, så vil gennemsnittet
af de realiserede værdier af X nærme sig 3,5. Bemærk, hvordan dette harmonerer
med fortolkningen af sandsynlighed fra kapitel 2 som andelen af gange
kapitel 3, som andelen af gange en hÊ ndelse indtrÊ ffer, nÂr man gentager
en hændelse indtræffer, når man gentager et eksperiment i det uendelige.
et eksperiment i det uendelige.
Fysisk kan man fortolke middelværdien som et balancepunkt. Hvis man forestiller
Fysisk Fysisk
sig, kan kan
at man en
man
sandsynlighed fortolke fortolke middelværdien middelværdien
er et vægtlod, som og
som
sandsynlighedsfordelin et et balancepunkt. balancepunkt. Hvis Hvis
gen man er
alle forestiller vægtlodderne placeret på en vippe, så er middelværdien det sted, man skal
man forestiller
sig, at en sandsynlighed
sig, at en sandsynlighed
er et vægtlod, og
er
sandsynlighedsfordelin-
et vægtlod, og
understøtte gen er alle vægtlodderne vippen for at placeret få den i på balance. en vippe, Figur så 5.1 er middelværdien illustrerer dette det for sted, ek­
sandsynlighedsfordelingen er alle vægtlodderne placeret på en vippe,
sempel man skal 5.3. understøtte vippen for at få den i balance. Figur 4.1 illustrerer dette
så er middelværdien det sted, man skal understøtte vippen for at få den
for eksempel 4.3.
i balance. Figur 5.1 illustrerer dette for eksempel 5.3.
[Indsæt 0 figur 1 5.1: Middelværdi 2 3 som balancepunkt]
4 5 6 7
Hvis en fordeling er symmetrisk omkring et punkt, symmetripunktet,
Hvis en fordeling er symmetrisk omkring et punkt, symmetripunktet, så er
så er middelværdien lig med dette symmetripunkt. I eksempel 5.3 er
middelværdien lig med dette symmetripunkt. I eksempel 4.3 er sandsynlig-
sandsynlighedsfordelingen symmetrisk omkring punktet 3,5, som det
Hvis hedsfordelingen en fordeling symmetrisk er symmetrisk omkring omkring punktet et punkt, 3,5, som symmetripunktet, det ses i figur så 4.1, er
ses i figur 5.1: Den ene side af fordelingen er en spejling af den anden,
middelværdien hvor den ene side lig af med fordelingen dette symmetripunkt. er en spejling af I eksempel den anden, 5.3 hvis er man sandsynlig­ spejler
hedsfordelingen i
hvis
punktet
man
3,5.
spejler
symmetrisk
i punktet 3,5.
omkring punktet 3,5, som det ses i figur 5.1: Den
ene Eksempel Eksempel side af fordelingen 4.3 5.3 er er et et eksempel er eksempel en spejling på på en af stokastisk en den stokastisk anden, variabel, hvis variabel, man der spejler antager der antager i punktet de sam-
3,5. me de værdier samme værdier som elementerne som elementerne i den virkelige i den virkelige population, population, den trækkes den fra,
nemlig trækkes Eksempel 1, fra, 2, 3, 5.3 nemlig 4, er 5 og et eksempel 1, 6. 2, Da 3, alle 4, på 5 elementer og en 6. stokastisk Da i alle populationen variabel, elementer der har i populationen
antager samme de chance samme
for har udvælgelse, værdier samme som chance er elementerne sandsynlighedsfunktionen, for udvælgelse, i den er virkelige sandsynlighedsfunktionen, f, population, lig med andelsfunktionen, den trækkes

106 Beskrivende mål
Eksempel 5.4: En skoleklasse ñ del 1
Antag, at alle elever i en klasse med 10 elever har samme chance for
udvÊ lgelse, og lad den stokastiske variabel,

hvor

Eksempel 5.7: I eksempel 5.4 ønsker vi nu i stedet at måle elevernes højde i meter. Dvs. vi
En skoleklasse
– del 2
108 Beskrivende mål
de finerer en ny stokastisk variabel Z = 0,01 · Y, hvor Y er variablen fra eksempel
5.4. Hvis Y angiver højden for den udtrukne person i cm, vil Z derfor give
os højden i meter. Middelværdien af Z er da: E(Z) = 0,01 · E(Y) = 0,01 · 137,5
= 1,375 meter.
Eksempel 5.8: I eksempel 5.5 er Y en funktion af X, som opfylder den tredje regneregel i
Et terningspil
– del 4
boksen ovenfor. Når vi kender middelværdien af X, kan vi derfor springe den
lidt om stændelige udregning i eksempel 5.6 over og i stedet udregne middelværdien
af Y som: E(Y) = E(–5 + 2 · X) = –5 + 2 · E(X) = –5 + 2 · 3,5 = 2.
Det er værd at understrege, at den forventede værdi af en funktion af X,
E(h(X)), generelt ikke er lig med funktionen af den forventede værdi, h(E(X)).
Det næste eksempel illustrerer dette.
Eksempel 5.9: Den stokastiske variabel, X, kan antage værdierne 3 og 5 med sandsynlig hed
En ikke­lineær
funktion
0,5 for hver af dem. Dermed er E(X) = 3 · 0,5 + 5 · 0,5 = 4. Lad Y = X 2 . Da
X = 3 med sandsynlighed 0,5, så er Y = 9 med sandsynlighed 0,5. Tilsvaren de
er X = 5 med sandsynlighed 0,5, og dermed er Y = 25 med sandsynlig hed 0,5.
Den forventede værdi af Y er derfor E(Y) = 9 · 0,5 + 25 · 0,5 = 17. Så E(Y) =
E(X 2 ) = 17, mens (E(X)) 2 = 4 2 = 16.
5.2.2 Forventet værdi af en kontinuert stokastisk variabel
For at beregne den forventede værdi af en kontinuert stokastisk variabel skal
man bruge integralregning. Tænk på eksemplerne 4.12 og 4.13 fra sidste kapitel,
hvor en virksomhed skulle forudsige næste års vareproduktion. Her var
sandsynlighederne for de enkelte udfald nul, fordi der var uendeligt mange
udfald. Til gengæld var der en positiv sandsynlighed for en produktion mellem
10 og 11 tons. Som i tilfældet med en diskret stokastisk variabel skal vi
have foretaget en sammenvejning af sandsynligheder og værdier af udfald. Da
sandsynligheden for et bestemt udfald er 0 for en kontinuert stokastisk variabel,
viser det sig, at vi i stedet for kan bruge tæthedsfunktionen. Sammenvejningen
sker ved at integrere tæthedsfunktionen ganget med værdier ne
af udfaldene. Formelt er beregningsformlen som følger:

Den forventede værdi (middelværdien),

Middelværdien er da E(X) = 50. Antag, at vi har en anden stokastisk variabel, Y,
som antager værdierne 0 og 100, også her med lige stor sandsynlighed. Middelværdien
er igen E(Y) = 50, men de to variabler har tydeligvis forskel lige fordelinger.
Fordelingen for Y er spredt mere ud end fordelingen for X.
For at få et beskrivende mål for denne spredning kan man undersøge den
forventede kvadrerede spredning omkring middelværdien. Dette mål kaldes
variansen og betegnes med V(X) eller s 2 .
Variansen, V(X), af en stokastisk variabel, X, er defineret som:
V(X) = E([X – E(X)] 2 ) = s 2
Variansen kan også udregnes som:
V(X) = E(X2 ) – (E(X)) 2 = E(X2 ) – µ 2
hvor µ = E(X).
Denne definition gælder, uanset om den stokastiske variabel er diskret eller
kontinuert. Det er beregningen af de forventede værdier, E(X 2 ) og E(X), som
adskiller diskrete og kontinuerte stokastiske variabler. For en diskret stokastisk
variabel kan variansen udregnes som følger:
Variansen af en diskret stokastisk variabel, X, med sandsynlighedsfunktion, f(x), udregnes
som:

vægter med sandsynligheden for de pågældende værdier.
Lad os udregne variansen i nogle af eksemplerne fra tidligere:
Eksempel 5.11: Et terningspil ñ del 5
Eksempel 5.11: I terningspillet I terningspillet fra fra eksempel 5.3 5.3 bliver variansen:

112 Beskrivende mål
Ligesom for middelværdier har vi også nogle regneregler for varianser og
standardafvigelser: 1
Regneregler for varians og standardafvigelse:
i) V(a) = 0 ⇒ s (a) = 0
ii) V(b · X) = b 2 · V(X) = b 2 · s 2 ⇒ s (b · X) = |b| · s (X)
iii) V(a + b · X) = V(b · X) = b 2 · s 2 ⇒ s (a + b · X) = |b| · s (X)
hvor X er en diskret stokastisk variabel, a og b er konstanter, og s
Variansen er således upåvirket af, at der lægges en konstant,

samme måde som for en diskret stokastisk variabel. Den eneste
forskel er måden, den udregnes på. Da middelværdien af en kontinuert
stokastisk variabel involverer integralregning, så gør udregningen af
variansen det også.
Variansen af en kontinuert stokastisk variabel,

højt. Derfor er dette beskrivende mål ofte brugt, hvis man vil beskrive sandsynligheden
for ekstreme værdier i forhold til middelværdien.
Der findes fordelinger for hvilke, der ikke eksisterer momenter. Dette kan
ske, hvis der er for høj sandsynlighed for ekstreme (dvs. store negative eller
store positive) værdier af den stokastiske variabel. For at forstå dette, kan man
bruge billedet om middelværdien som det punkt, hvor man skal understøtte
en vippe med vægtlodder for at holde den i balance, se figur 5.1. Hvis der er
vægtlodder ekstremt langt ude på vippen, og disse er for tunge, så brækker
vippen. Det næste eksempel viser en situation, hvor middelværdien af en stokastisk
variabel ikke eksisterer.
Eksempel 5.15: Antag at den diskrete stokastiske variabel, X, kan antage følgende værdier: x
= 2, 4, 8, 16, …, med sandsynlighederne f(x) = 1 beskrivende mål ofte brugt, hvis man vil beskrive sandsynligheden for
ekstreme værdier i forhold til middelværdien.
Der findes fordelinger for hvilke, der ikke eksisterer momenter.
Dette kan ske, hvis der er for høj sandsynlighed for ekstreme (dvs.
store negative eller store positive) værdier af den stokastiske variabel.
For at forstå dette, kan man bruge billedet om middelværdien som det
punkt, hvor man skal understøtte en vippe med vægtlodder for at
holde den i balance, se figur 5.1. Hvis der er vægtlodder ekstremt
langt ude på vippen, og disse er for tunge, så brækker vippen. Det
næste eksempel viser en situation, hvor middelværdien af en
stokastisk variabel ikke eksisterer.
Eksempel 5.15: Ingen middelvÊ rdi
Antag at den diskrete stokastiske variabel,

Figur 5.2:
Figur
Tæthedsfunk-
4.2
Tæthedsfunktion
og median
tion og median
stisk variabel, X, den værdi, som X er større end eller lig med med sandsynlighed
0,5 og mindre end eller lig med med sandsynlighed 0,5. Rent visu elt
så deler medianen derfor sandsynlighedsfordelingen for X på midten, som illustreret
i figur 5.2, hvor tæthedsfunktionen for en kontinuert stokastisk variabel,
X, er afbildet.
median
stokastiske variabel er kontinuert. For en kontinuert stokastisk variabel, X, er
p-fraktilen den (eller de) værdi(er) af x, som, når de sættes ind i den kumulerede
Man kan
sandsynlighedsfunktion,
også finde værdier af X,
F(x),
som
giver
opdeler
p.
fordelingen på en anden måde
end med 0,5 til hver side. Disse værdier kalder man generelt for p­fraktiler,
hvor p -fraktilen p angiver for den en kontinuert del af fordelingen, stokastisk variabel, der ligger X, med til ven kumuleret stre for sandsynlig- p­fraktilen. Den
generelle hedsfunktion, definition F(x), af er en p­fraktil, værdi, q , således som gælder at:
p både for kontinuerte og diskrete
stokastiske variabler, er lidt Fq snørklet. ( p)=
p Derfor tager vi først det letteste
tilfælde, som – for en gangs skyld – forekommer, når den stokastiske variabel
er kontinuert. For en kontinuert stokastisk variabel, X, er p­fraktilen den (eller
de) værdi(er) af x, som, når de sættes ind i den kumu lative sandsynligheds­
Eksempel 4.15 Den
funktion,
kontinuerte
F(x), giver
stokastiske
p.
variabel, X, fra eksempel 4.10, som angav en
Vareproduktion virksomheds vareproduktion, havde følgende kumulerede sandsynligheds-
– del 2 funktion, jf. eksempel 3.14:
p-fraktilen for en kontinuert stokastisk variabel, = X, med kumulativ sandsynlighedsfunktion,
F(x), er en værdi, ⎧0
qp, således at: hvis x < 10
⎪
Fx () = ⎨01
, ⋅( x −10) hvis 10 ≤ x < 20
⎪ F(qp) = p
⎩1
hvis 20 ≤ x
Eksempel 5.16: Vareproduktion ñ del 2
Eksempel 5.16:
Medianen
Den Den kontinuerte
(0,5-fraktilen),
kontinuerte stokastiske
q
stokastiske variabel,
, for X bestemmes
variabel, , X, fra fra eksempel eksempel
som en
5.10, 5.10,
løsning
som som
til
angav angav
F(q )
en en
=
0,5 0,5
Vareproduk-
0,5,
virksomheds
dvs. 0,1 · (q
virksomheds vareproduktion,
– 10) = 0,5, som
vareproduktion, havde
giver
havde følgende
q = 15. Medianen 0,5 kumulative
er
f¯lgende sand
altså
kumulerede synlig
den samme
0,5 hedstion
– del 2
som
funk sandsynlighedsfunktion,
middelværdien
tion, jf. eksempel
i dette
4.14: jf. eksempel
tilfælde, jf.
4.14:
eksempel 4.10.
0,05-fraktilen findes på tilsvarende vis:
0 < 10
() = 0,1
( 10) 10 20
Fq ( 005 , ) = 005 , ⇔ 0, 1⋅( q 0, 05 − 10) = 0, 05 ⇔ q 005 , = 10, 5
1 20 <
Medianen (0,5-fraktilen), 0,5, for bestemmes som en l¯sning til
0,5 = 0,5, dvs. 0,1 0,5 10 = 0,5, som giver 0,5 = 15. Medianen er
En alts stokastisk den samme variabel som kan middelvÊ dog godt rdien have i dette flere tilfÊ medianværdier
5.3 lde, jf. Fraktiler eksempel (og p-frakti- 5.10. 115
ler), 0,05-fraktilen som illustreret findes i p det tilsvarende følgende eksempel. vis:
0,05 = 0,05 0,1 0,05 10 = 0,05 0,05 = 10,5
Eksempel 4.16 Antag, at en kontinuert stokastisk variabel, X, har sandsynlighed 0,5 for at
Multiple medi- ligge mellem 1 og 2 og sandsynlighed 0,5 for at ligge mellem 3 og 4. Tæthedsanværdierfunktionen
En stokastisk
for X
variabel
er tegnet
kan
i figur
dog
4.3.
godt
I
have
dette
flere
tilfælde
medianværdier
er der derfor
(og
sandsyn-
p-
()

Den kontinuerte stokastiske variabel, , fra eksempel 5.10, som angav en
virksomheds vareproduktion, havde f¯lgende kumulerede
sandsynlighedsfunktion, jf. eksempel 4.14:
0
() = 0,1
( 10)
< 10
10 20
1 20 <
Medianen Medianen (0,5-fraktilen), (0,5-fraktilen), for X bestemmes som en løsning til F(q0,5) = 0,5,
0,5, for bestemmes som en l¯sning til
dvs. 0,1 · (q0,5 – 10) = 0,5, som giver q0,5 = 15. Medianen er altså den samme
0,5 = 0,5, dvs. 0,1 0,5 10 = 0,5, som giver 0,5 = 15. Medianen er
som alts middelværdien den samme i som dette middelvÊ tilfælde, rdien jf. eksempel i dette 5.10. tilfÊ lde, 0,05-fraktilen jf. eksempel findes 5.10. på
tilsvarende 0,05-fraktilen vis: findes p tilsvarende vis:
0,05 = 0,05 0,1 0,05 10 = 0,05 0,05 = 10,5
En stokastisk variabel kan dog godt have flere medianværdier (og p-
En
fraktiler),
stokastisk
som
variabel
illustreret
kan dog
i det
godt
følgende
have flere
eksempel.
medianværdier (og p-fraktiler),
som illustreret i det følgende eksempel.
Eksempel 5.17: Antag, Eksempel at en kontinuert 5.17: Multiple stokastisk medianvÊ variabel, rdier X, har sandsynlighed 0,5 for at
Multiple ligge Antag, mellem at 1 en og kontinuert 2 og sandsynlighed stokastisk variabel, 0,5 for at , ligge har sandsynlighed mellem 3 og 4. 0,5 Tætheds- for at
medianværdierfunktionen
ligge mellem for X 1 er ogtegnet 2 og i sandsynlighed figur 5.3. I dette 0,5tilfælde for at ligge er der mellem derfor 3sandsyn og 4.
lighed TÊ thedsfunktionen 0 for, at X antager for en er værdi tegnet mellem i figur 2 5.3. og I3. dette Men tilfÊ samtidig lde er vil der alle derfor vær-
sandsynlighed 0 for, at antager en vÊ rdi mellem 2 og 3. Men samtidig vil
lighed dier mellem 0 for, at 2 og X antager 3 dele sandsynlighedsmassen en værdi mellem 2 og i 3. to Men lige samtidig store dele. vil Derfor alle vær- vil
alle vÊ rdier mellem 2 og 3 dele sandsynlighedsmassen i to lige store dele.
dier alle værdier mellem mellem 2 og 3 dele 2 og sandsynlighedsmassen 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil i to lige store ifølge dele. definitionen Derfor vil
Derfor vil alle vÊ rdier mellem 2 og 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil if¯lge
alle i boksen ovenfor. Så disse værdier er alle medianværdier.
definitionen
værdier mellem
i boksen
2 og
ovenfor.
3 opfylde
SÂ disse
kravet
vÊ
til
rdier
en
er
0,5-fraktil
alle medianvÊ
ifølge
rdier.
definitionen
i boksen ovenfor. Så de er alle medianværdier.
Figur 5.3: 4.3
Tæthedsfunktion
med
mul-
multiple tiple medianer
medianer
0,5 ()
[Indsæt figur 5.3: Tæthedsfunktion med multiple medianer]
1 2 3 4
Typisk gør man dog det, at når man som i eksempel 4.16 har et interval af
værdier, Når man som som alle i eksempel opfylder 5.17 kravet har til et at interval være en af p-fraktil, værdier, så som vælger alle man opfylder den
midterste kravet til at værdi være i en intervallet. p-fraktil, I så eksempel vælger man 4.16 typisk bliver den 2,5 således midterste medianen. værdi i inEt
tilsvarende tervallet. I eksempel problem 5.17 har vi, bliver når 2,5 vi således har med medianen. diskrete stokastiske Et tilsvarende variabler problem at
gøre, har vi, så når lad os vi kigge har med nærmere diskrete på stokastiske dem. variabler at gøre. Lad os derfor
kigge nærmere på dem.
Eksempel 4.17 Lad X være den diskrete stokastiske variabel, der angiver antallet af øjne ved
Eksempel Et terningspil 5.18: et Lad terningslag. X være den Vi diskrete ved fra stokastiske tidligere, at variabel, sandsynlighedsfordelingen der angiver antallet for af øjne X er ved føl-
Et – del terningspil 8 gende: et terningslag. Vi ved fra tidligere, at sandsynlighedsfordelingen for X er føl-
– del 8
gende:
f () 1 = 16 /, f () 2 = 16 /, f () 3 = 16 /, f () 4 = 16 /, f () 5 = 16 /, f () 6 = 16 /
Der er altså sandsynlighed 0,5 for at få en værdi af X mindre end 3,1, men
der er også sandsynlighed 0,5 for at få en værdi mindre end 3,8. Så hvilken
116 værdi Beskrivende er medianen? mål Som i tilfældet med kontinuerte variabler vælger man
typisk den midterste værdi af det interval af værdier, der alle deler sandsynlighedsmassen
i to lige store dele. Værdien 3,5 bliver derfor medianen i dette
tilfælde.

Den kontinuerte stokastiske variabel, , fra eksempel 5.10, som angav en
virksomheds vareproduktion, havde f¯lgende kumulerede
sandsynlighedsfunktion, jf. eksempel 4.14:
0
() = 0,1
( 10)
< 10
10 20
1 20 <
Medianen Medianen (0,5-fraktilen), (0,5-fraktilen), for X bestemmes som en løsning til F(q0,5) = 0,5,
0,5, for bestemmes som en l¯sning til
dvs. 0,1 · (q0,5 – 10) = 0,5, som giver q0,5 = 15. Medianen er altså den samme
0,5 = 0,5, dvs. 0,1 0,5 10 = 0,5, som giver 0,5 = 15. Medianen er
som alts middelværdien den samme i som dette middelvÊ tilfælde, rdien jf. eksempel i dette 5.10. tilfÊ lde, 0,05-fraktilen jf. eksempel findes 5.10. på
tilsvarende 0,05-fraktilen vis: findes p tilsvarende vis:
0,05 = 0,05 0,1 0,05 10 = 0,05 0,05 = 10,5
En stokastisk variabel kan dog godt have flere medianværdier (og p-
En
fraktiler),
stokastisk
som
variabel
illustreret
kan dog
i det
godt
følgende
have flere
eksempel.
medianværdier (og p-fraktiler),
som illustreret i det følgende eksempel.
Eksempel 5.17: Antag, Eksempel at en kontinuert 5.17: Multiple stokastisk medianvÊ variabel, rdier X, har sandsynlighed 0,5 for at
Multiple ligge Antag, mellem at 1 en og kontinuert 2 og sandsynlighed stokastisk variabel, 0,5 for at , ligge har sandsynlighed mellem 3 og 4. 0,5 Tætheds- for at
medianværdierfunktionen
ligge mellem for X 1 er ogtegnet 2 og i sandsynlighed figur 5.3. I dette 0,5tilfælde for at ligge er der mellem derfor 3sandsyn og 4.
lighed TÊ thedsfunktionen 0 for, at X antager for en er værdi tegnet mellem i figur 2 5.3. og I3. dette Men tilfÊ samtidig lde er vil der alle derfor vær-
sandsynlighed 0 for, at antager en vÊ rdi mellem 2 og 3. Men samtidig vil
lighed dier mellem 0 for, at 2 og X antager 3 dele sandsynlighedsmassen en værdi mellem 2 og i 3. to Men lige samtidig store dele. vil Derfor alle vær- vil
alle vÊ rdier mellem 2 og 3 dele sandsynlighedsmassen i to lige store dele.
dier alle værdier mellem mellem 2 og 3 dele 2 og sandsynlighedsmassen 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil i to lige store ifølge dele. definitionen Derfor vil
Derfor vil alle vÊ rdier mellem 2 og 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil if¯lge
alle i boksen ovenfor. Så disse værdier er alle medianværdier.
definitionen
værdier mellem
i boksen
2 og
ovenfor.
3 opfylde
SÂ disse
kravet
vÊ
til
rdier
en
er
0,5-fraktil
alle medianvÊ
ifølge
rdier.
definitionen
i boksen ovenfor. Så de er alle medianværdier.
Figur 5.3: 4.3
Tæthedsfunktion
med
mul-
multiple tiple medianer
medianer
0,5 ()
[Indsæt figur 5.3: Tæthedsfunktion med multiple medianer]
1 2 3 4
Typisk gør man dog det, at når man som i eksempel 4.16 har et interval af
værdier, Når man som som alle i eksempel opfylder 5.17 kravet har til et at interval være en af p-fraktil, værdier, så som vælger alle man opfylder den
midterste kravet til at værdi være i en intervallet. p-fraktil, I så eksempel vælger man 4.16 typisk bliver den 2,5 således midterste medianen. værdi i inEt
tilsvarende tervallet. I eksempel problem 5.17 har vi, bliver når 2,5 vi således har med medianen. diskrete stokastiske Et tilsvarende variabler problem at
gøre, har vi, så når lad os vi kigge har med nærmere diskrete på stokastiske dem. variabler at gøre. Lad os derfor
kigge nærmere på dem.
Eksempel 4.17 Lad X være den diskrete stokastiske variabel, der angiver antallet af øjne ved
Eksempel Et terningspil 5.18: et Lad terningslag. X være den Vi diskrete ved fra stokastiske tidligere, at variabel, sandsynlighedsfordelingen der angiver antallet for af øjne X er ved føl-
Et – del terningspil 8 gende: et terningslag. Vi ved fra tidligere, at sandsynlighedsfordelingen for X er føl-
– del 8
gende:
f () 1 = 16 /, f () 2 = 16 /, f () 3 = 16 /, f () 4 = 16 /, f () 5 = 16 /, f () 6 = 16 /
Der er altså sandsynlighed 0,5 for at få en værdi af X mindre end 3,1, men
der er også sandsynlighed 0,5 for at få en værdi mindre end 3,8. Så hvilken
116 værdi Beskrivende er medianen? mål Som i tilfældet med kontinuerte variabler vælger man
typisk den midterste værdi af det interval af værdier, der alle deler sandsynlighedsmassen
i to lige store dele. Værdien 3,5 bliver derfor medianen i dette
tilfælde.

Den første betingelse siger, at et udfald mindre end p-fraktilen højst må have
sandsynlighed p, mens den anden betingelse siger, at sandsynligheden for at
få et udfald større end p-fraktilen skal være mindre end eller lig med 1-p.
Denne snørklede definition er nødvendig, fordi den kumulerede sandsynlighedsfunktion
for en diskret stokastisk ⎧0
, y < variabel 1 er en trappefunktion og dermed
ikke kontinuert. “Ånden” F(y) = i ⎨en
0,5 p-fraktil , 1 ≤ y < 2er
dog den samme som i tilfældet
med en kontinuert stokastisk ⎩1
, y ≥ 2
variabel.
Lad os prøve at finde den nederste kvartil, som er 0,25-fraktilen. Hvis vi prø-
Eksempel 4.18 Den ver diskrete at bruge stokastiske definitionen variabel, af en p-fraktil Y, der for antager en kontinuert værdien stokastisk 1, når en mønt variabel, lan-
Plat og krone der så på vil plat, det ikke og værdien virke, da 2, det når er den umuligt lander at på løse krone, F(q0,25) har = følgende 0,25 for en kumulerede værdi af
sandsynlighedsfunktion:
q0,25. Se figur 5.4. Men da Y er diskret, skal vi bruge den generelle definition
af en p-fraktil. En kandidat til 0,25-fraktilen ⎧0
, y < er 1værdien
1. Vi tjekker der for
betingelserne i) og ii) fra ⎪
Fy boksen ( ) = ⎨0,5
ovenfor. , For 1 ≤ i) y fås < P(Y 2 < 1) = 0, som er mindre
end 0,25. For ii) fås P(Y > 1) ⎪=
1 – P(Y ≤ 1) = 1 – 0,5 = 0,5, som er mindre
⎩1
, y ≥ 2
end 1 – 0,25 = 0,75. Begge betingelser er altså opfyldt, og dermed er 1 en
Lad
0,25-fraktil.
os prøve at
Grafisk
finde den
er 0,25-fraktilen
nederste kvartil,
den
som
værdi
er
af
0,25-fraktilen.
y, hvor F(y) springer
Hvis vi prø-
op
over 0,25.
ver at bruge definitionen af en p-fraktil for en kontinuert stokastisk variabel,
Figur 5.4:
Figur 4.4
Kumuleret
Kumuleret
sandsynlighed
sandsynlighed
og 0,25-fraktil
og 0,25-fraktil
118 Beskrivende mål
1
0,5
0,25
–1 0
1 (= 0,25) 2
Afslutningsvis bemærker vi, at fraktiler, modsat momenter, 4.3 Fraktiler altid eksisterer. En 69
række fraktiler har endvidere specielle navne, som det fremgår af boksen nedenfor.
Specielle navne for fraktiler:
Statistik_04.InD 69
18/03/03, 12:56
q0,5 kaldes medianen.
q0,25 og q0,75 kaldes kvartiler.
q 0,1, q 0,2, …, q 0,9 kaldes deciler.
q 0,01, q 0,02, …, q 0,99 kaldes percentiler.
()

5.4 Valg af beskrivende mål
En gennemsnitlig beboer i København har færre end to ben. Dette udsagn
vækker mistanke om, at en stor miljøkatastrofe må have ramt hovedstaden.
Men udsagnet er faktisk korrekt, hvis der bare er én beboer i København, som
kun har ét ben (og ingen har mere end to!). Man skal derfor være påpasselig
med fortolkningen af beskrivende mål, som for eksempel en middelværdi,
selvom udregnin gerne er korrekte. Ligeså vigtigt er det at vælge beskrivende
mål, som i sammenhængen giver et relevant billede af en fordeling. I tilfældet
med antal ben blandt de københavnske beboere kunne det således være mere
interessant at kende sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt beboer har to
ben.
Et andet eksempel er valget af beskrivende mål for en indkomstfordeling.
Antag, at den sto kastiske variabel, X, angiver en simpel tilfældigt udvalgt indbyggers
indkomst. Hvis den forventede værdi af X er høj, betyder det så, at
man kan konkludere, at indbyggerne er rige? Nej, det betyder, at de i gennemsnit
er rige. Hvis hovedparten af indbyggerne er fattige, men de få rige er ekstremt
rige, så er middelindkomsten høj. Medianindkomsten vil derimod være
lav, fordi den ikke er særlig påvirket af, at der findes en lille gruppe rige personer.
For medianen gør det ingen forskel, om de rigeste 49 % er lidt rige eller
stenrige. Både middelværdien og medianen er gyldige beskrivende mål, men
de fortæller to vidt forskellige historier om de samme indbyggere.
Middelværdien og medianen har det til fælles, at de begge giver et bud på
den centrale ten dens i en fordeling. Medianen bygger primært på sandsynligheden
for udfaldene, hvorimod middelværdien medtager udfaldenes størrelse.
Hvilket af de to mål, der giver den bedste beskrivelse af fordelingens midte eller
den „typiske“ observation, afhænger af det, vi ønsker at undersø ge.
I en symmetrisk fordeling er medianen og middelværdien lig hinanden. I
praksis kan man dog komme til at lave målefejl. For eksempel kan man i indkomstfordelingen
komme til at sætte et 0 for meget på nogle af de høje indkomster.
Målefejl af denne type vil typisk påvirke udregningen af middelværdien
mere end udregningen af medianen. Man siger derfor, at medianen er
mere robust over for sådanne målefejl.
5.4.1 Modalværdi
Et ofte (måske lidt for ofte) brugt beskrivende mål er modalværdien for en
stokastisk variabel. Modelværdien kaldes også typetallet og er den mest sandsynlige
værdi i en fordeling. Hvis den stokastiske variabel er givet ved en simpel
tilfældig udtræk ning fra en virkelig population, så er modalværdien den
oftest forekommen de værdi i populationen.
5.4 Valg af beskrivende mål 119

Eksempel 5.20: Antag, at den stokastiske variabel, X, er defineret som udfaldet af en simpel
Modelværdi tilfældig udtrækning fra følgende population: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1}. I
dette tilfælde er modalværdien 1. Til sammenligning er middelværdien af X
lig Eksemplet med 5,09, og medianen viser at man er 5. ikke skal fortolke modalværdien som et
alternativ til middelværdi eller median.
Når man skal beskrive formen af en fordeling kan man bruge
Eksemplet udtrykkene viser, unimodal at man ikke og skal fortolke bimodal. modalværdien En unimodal som et alternativ fordeling til har
middelværdien eller medianen.
sandsynligheden koncentreret omkring modalværdien og med
Når man skal beskrive formen af en fordeling kan man bruge udtrykkene
unimodal
faldende
og
sandsynligheder
bimodal. En unimodal
efterhånden
fordeling
som
har sandsynligheden
værdierne kommer
koncentre-
længere
ret væk omkring fra modalværdien, modalværdien og se med figur faldende 5.5. For sandsynligheder en kontinuert efterhånden stokastisk
som fordeling værdierne har kommer en unimodal længere fordeling væk fra modalværdien, således kun én se figur top. Som 5.5. For det en også
kontinuert fremgår af stokastisk figur 5.5, fordeling så har har en en bimodal unimodal fordeling derimod således kun to toppe. én top.
Som det også fremgår af figur 5.5, så har en bimodal fordeling derimod to
toppe. Figur 5.5. Unimodal og bimodal fordeling
Figur 5.5.
Unimodal og
bimodal
fordeling
Unimodal Bimodal
Unimodal Bimodal
5.5 Beskrivende mål for sammenhænge mellem stokastiske variabler
For at sprede risikoen investerer investeringsforeninger i mange forskellige
aktier. 5.5 Nogle Beskrivende aktier har tendens mål til at for gå op, sammenhænge når andre går ned, og vice mellem versa.
Ved stokastiske at holde flere forskellige variabler aktier kan man således udjævne store, og potentielt
konkursskabende, udsving i de enkelte aktier.
Til at beskrive sammenhænge mellem stokastiske variabler, som fx aktie-
For at sprede risikoen investerer investeringsforeninger i mange
kurser, kan man se på deres simultane fordeling. Det gjorde vi i kapitel 4. Men
fordi forskellige den simultane aktier. sandsynlighedsfunktion Nogle aktier har tendens indeholder til at al gå information op, når andre om går
variablernes ned, og vice fordeling, versa. er den Ved svær at at holde bruge flere til at skabe forskellige sig overblik. aktier Nedenfor kan man
ser således vi derfor udjævne på nogle store, beskrivende og potentielt mål, som har konkursskabende, vist sig at være yderst udsving nyttige i de
til enkelte fx at beskrive aktier. sammenhænge mellem forskellige aktiers kurser.
Til at beskrive sammenhænge mellem stokastiske variabler, som fx
120 Beskrivende aktiekurser, målkan
man se på deres simultane fordeling. Det gjorde vi i
kapitel 4. Men fordi den simultane sandsynlighedsfunktion indeholder

5.5.1 Forventet værdi af en sum af stokastiske variabler
Afkastet på en aktie kan man beskrive som en stokastisk variabel, X. Antag, at
der også er en anden aktie med afkast givet ved den stokastiske variabel, Y. Vi
kan nu sammensætte en portefølje (en samling) af aktier, hvor a er antal aktier
af den første type, og b er antal aktier af den anden type. Dermed vil vo res
samlede afkast blive givet ved den stokastiske variabel, Z:
Z = a · X + b · Y
Hvad er nu det forventede afkast af denne portefølje? Dette kan bestemmes
ud fra følgende generelle formel for den forventede værdi af en sum af stokastiske
variabler, som både gælder for diskrete og kontinuerte variabler:
Den forventede værdi af summen af to stokastiske variabler afhænger ikke af,
hvordan de to stokastiske variabler samvarierer. Den afhænger udelukkende
af de to stokastiske variablers individuelle forventede værdier.
Det forventede afkast af porteføljen, Z, er derfor lig med det forventede afkast
af de a X-aktier og de b Y-aktier:
E(Z) = a · E(X) + b · E(Y)
5.5.2 Kovarians
Den forventede værdi af en sum af stokastiske variabler (diskrete eller kontinuerte) er givet
ved:
E(a · X + b · Y) = E(a · X) + E(b · Y) = a · E(X) + b · E(Y)
hvor a og b er konstanter.
Et mål for risikoen af en portefølje er variansen af porteføljen, V(Z) = V(a · X +
b · Y). Variansen af en sum af stokastiske variabler, uanset om disse er diskrete eller
kontinuerte, afhænger af variansen af hver enkelt stokastisk varia bel, men også af
kovariansen. I kapitel 2 udregnede vi kovariansen mellem 2 populationskarakteristika.
Kovariansen mellem to stokastisk variabler er tilsvarende defineret som:
Kovariansen, Cov(X, Y), mellem to stokastiske variabler, X og Y, er defineret ved:
Cov(X, Y) = E[(X – µX) · (Y – µ Y)]
hvor µX = E(X) og µ Y = E(Y). En alternativ formel for udregning af kovariansen er:
Cov(X, Y) = E(X · Y) – µX · µY
5.5 Beskrivende mål for sammenhænge mellem stokastiske variabler 121

hvor

Dermed bliver kovariansen givet ved:
Cov(X, Y) = E(X · Y) – µX · µY = 0,5 – 0,7 · 0,6 = 0,08
størst
størst
chance
chance
for
for
at
at
undgå
undgå
fallit
fallit
(

124 Beskrivende mål
hvor

educere variansen p afkastet, uden at det gÂr ud over det forventede
afkast! rsagen er, at nÂr

5.6 Beskrivende mål ved hjælp af Excel
126 Beskrivende mål
Vi skal nu se, hvordan vi kan anvende Excel til at beregne beskrivende mål for
fordelinger. Vi vil fokusere på det tilfælde, hvor vi har en virkelig popula tion.
Her kan Excel udregne fx middelværdien for en stokastisk variabel, når denne
er givet ved værdien af det element, der udtrækkes, og når alle elemen ter i
populationen har samme sandsynlighed for udvælgelse. Excel udregner nemlig
populationsmiddelværdien, som jo er den samme som middelværdien af
den stokastiske variabel i dette tilfælde.
I regnearket har vi vist en virkelig population bestående af de 27 lande i EU.
Antag, at vi trækker et land tilfældigt i populationen og lader den stokastiske
variabel, X, angive befolkningen (i millioner personer), mens Y angiver BNP
per capita (indbygger).
Hvis du endnu ikke føler dig helt fortrolig med Excel, kan det være en god
ide selv at indtaste værdierne i et regneark, så du kan følge med på skærmen i
eksemplerne nedenfor.
5.6.1 Middelværdi
Først udregner vi middelværdien for variablen X, dvs. befolkningen. Dette
kan gøres på to måder i Excel. I begge tilfælde starter man med at placere kursoren
i den celle, hvor man ønsker resultatet.

1. Den „guidede“ metode foregår ved at klikke på Formler i den øverste menu
og derefter på Indsæt funktion. Da fremkommer følgende boks:
Her vælges kategorien Statistisk i den øverste drop­down menu, og i det
nederste vindue kan man nu se de statistiske funktioner, der er tilgængelige
i Excel. Vi skal her klikke på MIDDEL og dernæst OK. Vi ser da følgende
skærmbillede:
I rubrikken ud for Tal1 skal man angive cellereferencerne for populationselementerne,
dvs. hvor de befinder sig i regnearket. I dette tilfælde skal vi
skrive B3:B29, fordi værdierne findes i cellerne mellem B3 og B29. Alternativt
kan man klikke på regnskabsikonet til højre for rubrikken ved Tal1.
Man kan nu med musen markere de celler, hvor populationselementerne
5.6 Beskrivende mål ved hjælp af Excel 127

128 Beskrivende mål
befinder sig, hvorefter man trykker Return. Excel vil nu selv skrive B3:B29
i rubrikken ud for Tal1. Derefter klikker man OK, og middelværdien fremkommer
da i den celle, man startede øvelsen i.
2. Den hurtige metode foregår ved direkte at skrive: =MIDDEL(B3:B29) i
den celle, hvor man ønsker resultatet.
5.6.2 Varians og standardafvigelse
Beregning af varians og standardafvigelse foregår på helt samme måde, blot
skal man skrive =VARIANSP(B3:B29) og =STDAFVP(B3:B29), hvis man
bruger den hurtige metode, eller vælge VARIANSP og STDAFVP under Indsæt
funktion, hvis man foretrækker den guidede fremgangsmåde.
Øvelse: Udregn ved hjælp af Excel variansen og standardafvigelserne for X og Y.
5.6.3 Kovarians og korrelationskoefficient
Vi kan også finde kovariansen og korrelationskoefficienten for de to stokastiske
variabler ved hjælp af Excel. Ønsker vi fx kovariansen mellem X og Y i
ovenstå ende eksempel, gør vi følgende:
1. Den „guidede“ metode: Vælg KOVARIANS under Indsæt funktion. I den
fremkomne dialogboks angives cellereferencerne for X ud for Vektor1,
dvs. B3:B29, og cellereferencerne for Y ud for Vektor2, dvs. C3:C29. Derefter
tryk kes OK.
2. Ved den hurtige metode skrives blot: =KOVARIANS(B3:B29;C3:C29) direkte
i cellen.

Korrelationskoefficienten findes på helt tilsvarende vis ved blot at anven de
funktionen KORRELATION. Fx kan man skrive =KORRELATION
(B3:B29;C3:C29) i cellen, hvor man ønsker resultatet.
Øvelse: Find korrelationen mellem X og Y ved hjælp af Excel. Plot derefter værdierne
af X og Y mod hinanden i et diagram (funktionen til dette findes under Indsæt
i den øverste menu). Bekræfter figuren den beregnede korrelation?
5.7 Opgaver
1) Repetitionsspørgsmål:
a) Nævn de forskellige momenter, vi har stiftet bekendtskab med i dette
ka pitel.
b) Hvordan udregnes den forventede værdi af en diskret stokastisk variabel?
c) Hvad er forskellen på variansen og standardafvigelsen af en stokastisk
va riabel?
d) Hvad er en fraktil?
e) Hvad udtrykker kovariansen mellem to stokastiske variabler? Hvordan
udregnes den?
f) Hvad er sammenhængen mellem kovariansen og korrelationskoefficienten?
g) Hvilke værdier kan korrelationskoefficienten antage?
h) Hvordan udregnes forventningen af en sum af stokastiske variabler?
i) Hvordan udregnes variansen af en sum af stokastiske variabler?
2) Lad X være en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion
som i tabellen.
a) Bestem den forventede værdi af X.
b) Find E(2 + 5,4 · X) og E(√⎺ X)
c) Beregn V(X).
d) Hvad er variansen af 3 · X?
x f(x) = P(X = x)
1 0,12
3 0,43
4 0,07
5 0,30
0 0,08
5.7 Opgaver 129

3) Lad Y være en kontinuert stokastisk variabel med: E(Y) = 3,2 og E(Y 2 ) =
14,1.
a) Beregn variansen og standardafvigelsen af Y.
b) Find også variansen af 7 · Y + 0,25.
c) Beregn E(7 + 2 · Y 2 ).
4) I et lotteri findes tre slags lodder, hvor gevinsten er henholdsvis 0 kr., 100
kr. og 100.000 kr. Der findes 90.000 lodder af den første type, 9.999 af den
anden type og kun ét af den tredje type.
a) Hvad er den forventede gevinst på et tilfældigt udtrukket lod?
b) Antag, at alle lodder sælges. Hvad skal et lod da minimum koste for, at
lot teriet gennemføres uden tab for arrangøren?
c) Et lod koster 25 kr. Hvad er det forventede overskud for arrangøren,
hvis der sælges 9000 lodder?
5) En stokastisk variabel, X, har middelværdi 10 og varians 50.
a) Beregn middelværdi og varians af den stokastiske variabel, Y =
10 + 5 · X.
b) Find middelværdien af Y = (X – 10) 2 og Z = X 2 (udnyt at V(X) = E(X 2 )
– [E(X)] 2 ).
6) Lad X og Y være to kontinuerte stokastiske variabler med følgende
fordelings funktioner:
0
() = /3
,
,
0
0 < 3
1 , > 3
0 , 4
() = (1
/4) 2
, 4 < 8
1 , > 8
a) Find medianen a) for Find henholdsvis medianen for X og henholdsvis Y. og .
b) Find 0,05­fraktilen b) Find og 0,05-fraktilen 0,95­fraktilen og for 0,95-fraktilen X og Y. for og .
7) Lad Y være en 7) stokastisk Lad være variabel, en stokastisk der kan variabel, antage der syv kan forskellige antage syv værdier. forskellige
Fordelingsfunktionen værdier. (den kumulative Fordelingsfunktionen sandsynlighedsfunktion) (den for kumulerede Y er
givet i tabellen nedenfor. sandsynlighedsfunktion) for er givet i tabellen.
a) Bestem medianen a) Bestem for Y. medianen for .
b) Find 0,1­fraktilen b) Find og 0,75­fraktilen.
0,1-fraktilen og 0,75-fraktilen.
() = ( )
0 0,0083
1 0,0692
130 Beskrivende mål
2 0,2553
3 0,5585
4 0,8364
5 0,9723
6 1

y F(y) = P(Y ≤ y)
0 0,0083
1 0,0692
2 0,2553
3 0,5585
4 0,8364
5 0,9723
6 1
8) Betragt eksperimentet fra opgave 4 i kapitel 4, hvor X og Y var stokastiske
variabler (indikato rer) for henholdsvis køn og arbejdsskift med si multane
sandsynligheder som i tabellen nedenfor.
a) Beregn kovariansen mellem X og Y.
b) Find korrelationskoefficienten for X og Y.
c) Hvad fortæller dine resultater dig om sammenhængen mellem køn og
ar bejdsskift?
Y = 1 Y = 0
X = 1 0,35 0,23
X = 0 0,15 0,27
9) Lad X og Y være to stokastiske variabler med simultane sandsynligheder
som i tabellen nedenfor.
a) Beregn kovariansen mellem X og Y.
b) Er X og Y uafhængige?
c) Find den marginale sandsynligheds funktion for X.
d) Find også den betingede sandsynlighedsfunktion for X givet Y = 1.
e) Fortolk dine resultater.
f) Find de forventede værdier af X og Y.
g) Find varianserne af X og Y.
h) Lad den stokastiske variabel Z være givet ved Z = 2 · X + 3 · Y. Beregn
den forventede værdi og variansen af Z.
Y = 0 Y = 1 Y = 2
X = 0 0,15 0,1 0,15
X = 1 0,10 0,0 0,10
X = 2 0,15 0,1 0,15
5.7 Opgaver 131

132 Beskrivende mål
10) Lad X og Y være to stokastiske variabler med E(X) = 2,3 og E(Y) = 1,4. Lad
endvidere standardafvigelserne af X og Y være henholdsvis 1,1 og 0,8,
mens kovariansen er 0,2.
a) Beregn den forventede værdi af Z = 2 · X + 3,3 · Y.
b) Find variansen af Z.