Vejledende Matematik A

6
Side 4 af 8 sider
Opgave 7
En funktion f er givet ved
f (x) =
Opgave 8
x x
Når en varm genstand stilles til afkøling i koldere omgivelser, er genstandens temperatur Tt ()
en aftagende funktion af tiden t.
Omgivelsernes temperatur betegnes T 0 .
Det oplyses, at væksthastigheden T′ () t for genstandens temperatur er proportional med forskellen
mellem omgivelsernes temperatur og genstandens temperatur.
Proportionalitetskonstanten betegnes k.
a) Opstil en differentialligning, som Tt () må opfylde.
Opgave 9
En funktion f er en løsning til differentialligningen
dy
= y⋅(0,0312 − 0,000158 y)
dx
og f (0) = 3,929.
a) Bestem en forskrift for f .
I en model beskriver funktionen f befolkningsudviklingen i USA for perioden efter 1790,
idet f ( x ) angiver befolkningstallet i millioner i USA, og x angiver antallet af år efter 1790.
b) Bestem modellens værdi for befolkningstallet i USA i år 2000, og bestem, hvor mange
procent dette tal er mindre end det faktiske befolkningstal i USA år 2000 på 281,4 millioner.
Kilde: US Census Bureau.
2
⋅ 9 − , x ∈ [ 0;3]
En punktmængde M afgrænses af grafen for f og x-aksen.
a) Bestem arealet af M.
b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der
fremkommer, når M drejes 360º om x-aksen.
y
0
M
3
f
x