ANALYSE 1 2009 Uge 4, 11.-17. maj, 2009 - alfin.dk

ANALYSE 1 2009
Uge 4, 11.-17. maj, 2009
Forelæsninger
Forelæsninger i denne uge afholdes af Bergfinnur Durhuus.
Mandag 11. maj indføres funktionsfølger, d.v.s. følger af funktioner defineret
p˚a et givet interval, svarende til TL 11.3 (dette generaliseres senere til
funktioner defineret p˚a mere generelle mængder).
Til forskel fra talfølger er der flere relevante konvergensbegreber for funktionsfølger.
Vi behandler og illustrerer to s˚adanne, nemlig punktvis konvergens,
som i en vis forstand er det mest primitive, og uniform (eller ligelig)
konvergens. Specielt rettes fokus imod bevarelse af kontinuitet ved grænseovergang:
Hvis en funktionsfølge er konvergent og best˚ar af kontinuerte funktioner,
er grænsefunktionen da ogs˚a kontinuert? Svaret p˚a dette spørgsm˚al
(TL Sætning 11.3.8) er dagens hovedresultat, som bør sidde p˚a rygraden af
enhver matematikstuderende, der engang har stiftet bekendskab med det:
Nej, ikke nødvendigvis, for punktvis konvergens, og ja for uniform konvergens.
Torsdag 14. maj fortsættes først med diskussion af grænseovergang for funktionsfølger,
specielt i relation til integration og differentiation, svarende til TL
11.4. Herefter indføres (TL 12.5) funktionsrækker p˚a tilsvarende vis som talrækker
samt konvergens af s˚adanne. Et centralt resultat er majorantkriteriet
(Sætning 12.5.1).
Hvis der er tid, skal vi som illustration af brugen af funktionsrækker
konstruere et kuriosum: En kontinuert funktion p˚a den reelle akse, som ikke
er differentiabel i noget punkt.
1

Regneøvelser
Mandag 11. maj regnes følgende opgaver:
TL 12.2.5 e) og g)
TL 12.2.8 b) og g)
TL 12.3.1 b) og d)
TL 12.3.4
TL 12.4.1 b), d) og e)
TL 12.4.6
Torsdag 14. maj regnes følgende opgaver:
TL 11.3.1 b) og c)
TL 11.3.2 b) og c)
TL 11.3.3 Her er det underforst˚aet, at x ≥ 0.
TL 11.3.6 Brug evt. maple i spørgsm˚al a). Vis ogs˚a, at konvergensen er
, +∞[.
uniform i intervallet [ 1
1000
TL 11.3.11
TL 11.3.8
2