Noter til Statistik

frugregersen.dk

Noter til Statistik

Noter til Statistik

Lisbeth Tavs Gregersen

1. udgave

1


Indhold

1 Intro 3

1.1 HF Bekendtgørelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Deskriptiv statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Ikke-grupperet Talmateriale 4

2.1 Hyppighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Prikdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Typetallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Kumulerede frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Kvartilsæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2 Nedre (første) kvartil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.3 Øvre (tredje) kvartil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Boksplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Fortolkning og kommentering af boksplot . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Middeltal (ikke-grupperet talmateriale) . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Grupperet Talmateriale 9

3.1 Intervalhyppighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Typeinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Intervalfrekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Kumuleret frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Sumkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Kvartilsæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.6 Middeltal (grupperet talmateriale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.7 Specielt for aldersfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Opgaver 14

4.1 Ikke-grupperet talmateriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Grupperet talmateriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Eksamenslignende opgaver: 20

2


1 Intro

Statistik best˚ar af bearbejdning af datamateriale (talmateriale). M˚alet med

bearbejdningen er at skabe sig et overblik over datamaterialet, s˚a man bedre

kan beskrive og overskue det.

1.1 HF Bekendtgørelsen

Kursisterne skal kunne:

- give en statistisk behandling af et talmateriale og kunne formidle konklusioner

i et klart sprog

Kernestoffet er:

- deskriptiv statistik med grafisk præsentation og bestemmelse af simple empi-

riske statistiske deskriptorer

1.2 Deskriptiv statistik

En deskriptor er et tal, som fortæller noget karakteristisk om et talmateriale.

Eksempel: Ved en række eksamener har Josephine opn˚aet følgende karakte-

rer: 7, 4, 4, 7, 10, 7, 7, 10, 7, 2, 4, 7, 10, 4, 7, 10, 7 , 4, 12, 10.

Hvis der er tale om 20 enkeltkarakterer, kan det virke uoverskueligt. Derimod

synes beskeden:

”Josephine bestod sine eksamener med gennemsnittet 7”

at være en klar besked og ofte lige s˚a god som alle enkeltkaraktererne. Her

vil vi i stedet for ordet gennemsnit bruge ordet middelværdi.

Ofte vil man ogs˚a være interesseret i, hvilke karakterer Josephine har f˚aet

flest af: dvs. hendes typiske karakter.

”Josephine har typisk f˚aet 7”

N˚ar vi har en række observationer, kaldes den observation (her karakter),

der er flest af, typetallet.

Vi kunne ogs˚a sortere alle Josephines karakterer i størrelsesorden begynden-

de med 2, s˚a 4, 4 ... og til sidst 12. Den karakter, der st˚ar midt i rækken er

3


medianen. Er der et lige antal observationer, benytter vi middelværdien af de

to midterste observationer.

B˚ade middelværdi, typetal og median beskriver Josephines eksa-

men; de er deskriptorer.

Det er slet ikke hver gang at tallene er ens, men at de har omtrent samme

værdier er heller ikke unormalt. Hvad der er vigtigt (for os) er, at deskriptoren

fortæller det vigtigste uden at vildlede.

Her var det karakterer vi observerede, men det kunne have været alt muligt

andet: mord p˚a ægtefæller, længden af torsk, antal rugende ørne i Danmark,

prisen p˚a en tønde olie. . . N˚ar vi har en række af s˚adanne (samhørende) data,

kan vi give dem en statistisk behandling.

2 Ikke-grupperet Talmateriale

Eksemplet vi vil anvende:

P˚a et hold med 25 elever har eleverne sendt følgende antal SMS’er det

seneste døgn:

4, 3, 8, 2, 0, 3, 0, 10, 5, 5, 3, 9, 7, 0, 8, 2, 4, 8, 3, 5, 0, 8, 4, 12, 3

Hvert af tallene kaldes en observation, hvormed der er 25 observationer i

alt. Tilsammen udgør tallene et observationssæt.

Det er normalt at sortere observationerne efter størrelse (voksende):

0, 0, 0, 0, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 12

2.1 Hyppighed

Hyppighed betyder det antal gange en observation optræder i observationssæt-

tet. For at gøre observationerne overskuelige kan vi lave en hyppighedstabel:

Observation 0 2 3 4 5 7 8 9 10 12

Hyppighed 4 2 5 3 3 1 4 1 1 1

I tabellen ses det at observationen 0 har en hyppighed p˚a 4, mens observa-

tionen 2 har en hyppighed p˚a 2, o.s.v.

4


2.1.1 Prikdiagram

Hyppigheden kan desuden illustreres ved et prikdiagram, som vist nedenfor. I

prikdiagrammet viser antallet af prikker hyppigheden for en given observation.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

antal SMS’er

2.1.2 Typetallet

Typetallet er den observation der er flest af.

I eksemplet med SMS’er er typetallet 3, da der er flest af denne observation.

2.2 Frekvens

Observationers frekvens beskriver observationens andel af samtlige observatio-

ner. Frekvensen er s˚aledes hyppigheden omregnet til procent.

I eksemplet med SMS’er er frekvensen 16% for observationen 0, da hyppigheden

er 4 og det totale antal observationer er 25; 4

= 0,16 = 16%.

25

Man kan s˚aledes opstille en frekvenstabel:

Observation 0 2 3 4 5 7 8 9 10 12

Frekvens 0,16 0,08 0,20 0,12 0,12 0,04 0,16 0,04 0,04 0,04

Frekvens i procent 16% 8% 20% 12% 12% 4% 16% 4% 4% 4%

2.2.1 Kumulerede frekvens

Den kumulerede frekvens for en observation er den samlede frekvens for de

observationer der er mindre end eller lig med observationen.

En tabel over den kumulerede frekvens ser s˚aledes ud:

Observation 0 2 3 4 5 7 8 9 10 12

Frekvens i procent 16% 8% 20% 12% 12% 4% 16% 4% 4% 4%

Kumulerede frekvens 16% 24% 44% 56% 68% 72% 88% 92% 96% 100%

5


2.3 Kvartilsæt

Et kvartilsæt best˚ar af nedre (første) kvartil, medianen og øvre (tredje)

kvartil.

2.3.1 Median

Medianen er den midterste observation, n˚ar observationerne er ordnet efter

størrelse. Er der to i midten (n˚ar antal observationer er lige), benyttes gennem-

snittet af disse to.

I eksemplet med SMS’er er medianen alts˚a 4.

2.3.2 Nedre (første) kvartil

Nedre kvartil findes som medianen men kun i den første halvdel af observatio-

nerne (sorteret i voksende rækkefølge.) Ved ulige antal ses der bort fra midterste

observation - den som udgør medianen.

I eksemplet med SMS’er er nedre kvartil alts˚a

2.3.3 Øvre (tredje) kvartil

2 + 3

2

= 2,5

Øvre kvartil findes p˚a tilsvarende m˚ade blandt de største observationer.

8 + 8

I eksemplet med SMS’er er øvre kvartil alts˚a = 8

2

Observationssættets kvartilsæt er s˚aledes (2,5; 4; 8) [(nedre kvartil;

2.4 Boksplot

median; øvre kvartil).

Et boksplot er en grafisk m˚ade kort at beskrive et bearbejdet statistisk mate-

riale. Et boksplot indeholder følgende oplysninger:

6

• Den mindste værdi i materialet (minimum)

• Den største værdi i materialet (maksimum)


• Nedre kvartil

• Median

• Øvre kvartil

Selve boksplottets udformning kan ses p˚a nedenst˚aende figur:

2.5 Fortolkning og kommentering af boksplot

Man starter med at kommentere de 5 oplysninger man kan aflæse af boksplottet.

Bemærk at man skal kommentere med et ordvalg, som beskriver den realistiske

situation bedst muligt.

I eksemplet med SMS’er er man nødt til at runde den fundne nedre kvartil

op til 3, da man ikke kan sende 2,5 SMS’er. Fortolkningen bliver s˚aledes:

1. Minimum: Det laveste antal sendte SMS’er var 0.

2. Nedre kvartil: 25% af eleverne sendte 3 SMS’er eller mindre.

3. Median: 50% af eleverne sendte 4 SMS’er eller mindre.

4. Øvre kvartil: 75% af eleverne sendte 8 SMS’er eller mindre.

5. Maksimum: Den største antal sendte SMS’er var 12.

Derudover kan vi ogs˚a udtale os om boksen og ”pindene” i boksplottet:

6. Boksens placering og/eller udstrækning: De midterste 50% af antal sendte

SMS’er l˚a mellem 3 og 8. Eller alternativt: Det typiske antal sendte SMS’er

l˚a i intervallet fra 3 til 8.

7. Udstrækningen af venstre pind: 25% af antal sendte SMS’er l˚a mellem 0

og 3.

7


8. Udstrækningen af højre pind: 25% af antal sendte SMS’er l˚a mellem 8 og

12.

Dette kan bruges som en opskrift p˚a at beskrive enkelte boksplot. N˚ar man

sammenligner 2 boksplot, kan man ogs˚a med fordel sammenligne de samme 8

punkter.

2.6 Middeltal (ikke-grupperet talmateriale)

Middeltallet er gennemsnittet af observationerne. Dvs. middeltallet findes ved

at lægge alle observationerne sammen og dividere med antallet af observationer.

8

Man kan med fordel benytte hyppighedstabellen n˚ar middeltallet skal findes:

Middeltal =

0 · 4 + 2 · 2 + 3 · 5 + 4 · 3 + 5 · 3 + 7 + 8 · 4 + 9 + 10 + 12

25

Eleverne har alts˚a i gennemsnit sendt 4,64 SMS’er.

Løs opgave 1-7 s. 14-17

= 4,64


3 Grupperet Talmateriale

Grupperet talmateriale er observationer i et datasæt, der er inddelt i intervaller.

Eksemplet vi vil anvende: Vi vælger 10 tilfældige VUC-kursister som vores

population og betragter deres højde i centimeter som vores observationssæt.

Det ikke-grupperede observationssæt er s˚a listen over observationer, fx

162, 178, 192, 157, 163, 167, 181, 171, 160, 187

Vi grupperer observationssættet ved at inddele det i passende intervaller.

Fx kunne vi vælge intervallerne 150-160, 160-170, 170-180, 180-190, 190-200.

3.1 Intervalhyppighed

For hvert interval angiver intervalhyppigheden det antal observationer, som

intervallet indeholder.

Som et eksempel er intervalhyppigheden hørende til 160-170 lig med 4, da

vi har 4 observationer indehold i dette interval.

BEMÆRK: Vi vedtager at 150-160 betyder intervallet [150-160[ (fra og med

150 til 160) osv. S˚a en højde p˚a 160 skal placeres i intervallet 160-170.

En hyppighedstabel ser s˚aledes ud:

Interval 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200

Intervalhyppighed 1 4 2 2 1

3.1.1 Typeinterval

Et typeinterval er det interval, hvor intervalhyppigheden er størst.

I det valgte eksempel er typeintervallet 160-170, da dette er intervallet med

det største antal observationer.

3.2 Intervalfrekvens

For hvert interval angiver intervalfrekvensen den procentdel af observationerne,

som intervallet indeholder.

Intervalfrekvensen hørende til et interval findes ved at omregne interval-

hyppigheden til procentdelen af det totale antal observationer: Frekvensen for

160-170 er 4

= 0,4 = 40%

10

En tabel for intervalfrekvensen ser s˚aledes ud:

9


Interval 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200

Intervalfrekvens 0,10 0,40 0,20 0,20 0,10

Intervalfrekvens i procent 10% 40% 20% 20% 10%

3.2.1 Kumuleret frekvens

Den kumulerede frekvens hørende til et interval findes ved at lægge intervallets

frekvens sammen med de foreg˚aende.

Interval 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200

Intervalfrekvens 10% 40% 20% 20% 10%

Kumuleret frekvens 10% 50% 70% 90% 100%

3.3 Sumkurve

Sumkurven er defineret som grafen for funktionen, der for enhver mulig obser-

vationsstørrelse (x-værdi) angiver brøken (eller procenten) af observationer, der

er mindre end denne x-værdi.

I et koordinatsystem afsættes de punkter, hvis x-værdi bestemmes af højre

intervalendepunkt, og hvis y-værdi bestemmes af den tilsvarende kumulerede

intervalfrekvens. Punkterne forbindes af rette linier.

Dette har den konsekvens, at man derved antager at observationerne fordeler

sig jævnt i hvert interval.

kumuleret frekvens

100

80

60

40

20

0

150 155 160 165 170 175

højde [cm]

180 185 190 195 200

3.4 Kvartilsæt

Et kvartilsæt best˚ar af nedre (første) kvartil, medianen og øvre (tredje)

kvartil:

10


kumuleret frekvens

• Nedre kvartil er det tal, som er bestemt ved, at 25% af observationerne

er mindre end eller lig med tallet.

• Medianen er det tal, som er bestemt ved, at 50% af observationerne er

mindre end eller lig med tallet.

• Øvre kvartil er det tal, som er bestemt ved, at 75% af observationerne er

mindre end eller lig med tallet.

Kvartilsættet kan aflæses p˚a sumkurven:

100

75

50

25

0

150 155 160 163.8 170 175

højde [cm]

180182.5 190 200

Kvartilsættet aflæses p˚a sumkurven til:

Nedre kvartil: Værdien p˚a første-aksen hørende til 25% p˚a anden-aksen = 163,8.

Dvs. 25% af eleverne har en højde, som er mindre end eller lig med 163,8 cm.

Medianen: Værdien p˚a første-aksen hørende til 50% p˚a anden-aksen = 170.

Dvs. 50% af eleverne har en højde, som er mindre end eller lig med 170 cm.

Øvre kvartil: Værdien p˚a første-aksen hørende til 75% p˚a anden-aksen = 182,5.

Dvs. 75% af eleverne har en højde, som er mindre end eller lig med 182,5 cm.

3.5 Histogram

Et histogram er et søjlediagram, hvor søjlernes bredde er hele intervallet og alle

intervaller har samme bredde. Højden af søjlerne svarer til intervalfrekvensen

eller intervalhyppigheden.

11


intervalfrekvens

50

40

30

20

10

0

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

højde [cm]

3.6 Middeltal (grupperet talmateriale)

Middeltallet er gennemsnittet af observationerne.

Middeltallet udregnes som (sum af intervalmidtpunkter gange hyppighed)/(antal

observationer).

Intervalmidtpunktet for intervallet 150-160 er 155 o.s.v.

Middelværdien for elevernes højde er s˚aledes:

Middeltal =

155 · 1 + 165 · 4 + 175 · 2 + 185 · 2 + 195 · 1

10

3.7 Specielt for aldersfordelinger

Eksempel:

= 173,0

I tabellen nedenfor ses aldersfordelingen for de børn, der blev adopteret i

Danmark i 2002 (kilde: Danmarks Statistik):

Alder 0-4 5-9 10-14 15-19 Sum

Hyppighed 681 94 93 88 956

Frekvens 71% 10% 10% 9% 100%

Bemærk, at intervalinddelingen er anderledes end vi hidtil har set, idet ek-

sempelvis første intervals sidste endepunkt tilsyneladende ikke grænser helt op

12


til andet intervals første endepunkt. Dette er specielt for observationssæt, der

vedrører en aldersfordeling.

I det første interval er medtaget de observationer, hvor det adopterede barn

er fra og med 0 til og med 4 ˚ar. Da man er 4 ˚ar indtil den dag, man fylder 5 ˚ar,

vælger man at angive 4 som højre intervalendepunkt. S˚aledes vil et barn, der er

4,9 ˚ar p˚a adoptionstidspunktet, tælle med i intervallet fra 0 til 4. Delepunktet

mellem de to første intervaller er 5, mellem de to næste intervaller er delepunktet

10 o.s.v.

N˚ar man skal tegne histogrammet, afsætter man derfor tallene 0, 5, 10 og

20 p˚a x-aksen:

intervalfrekvens

80

60

40

20

0

0 5 10

alder

15 20

13


4 Opgaver

4.1 Ikke-grupperet talmateriale:

14

1. Klassens skostørrelser:

a. Udfyld nedenst˚aende skema.

Skostørrelse 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Hyppighed

Frekvens

Kum. frekvens

b. Tegn et prikdiagram af observationssættet.

c. Bestem typetallet.

d. Bestem kvartilsættet.

e. Tegn et boksplot for observationssættet.

f. Bestem observationssættets middeltal.

2. Pigernes skostørrelse VS drengenes skostørrelse.

a. Udfyld nedenst˚aende skema for pigernes skostørrelser.

Pige skostr. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Hyppighed

b. Bestem kvartilsættet.

c. Tegn et boksplot af observationssættet for pigernes skostørrelser.

d. Udfyld nedenst˚aende skema for drengenes skostørrelser.

Drenge skostr. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Hyppighed

e. Bestem kvartilsættet.

f. Tegn et boksplot af observationssættet for drengenes skostørrelser.

g. Sammenlign de to boksplot.

3. Slutstillingerne i kvindeh˚andbold 2003-04 er angivet nedenfor:


Nr. Hold Point

1 Slagelse FH 43

2 Viborg HK 36

3 Ikast/Bording 33

4 Randers HK 27

5 GOG 23

6 Horsens HK 22

7 FCK H˚andbold 22

8 Aalborg DH 19

9 SK ˚ Arhus 12

10 KIF Kolding 12

11 Fox Team Nord 9

a. Bestem kvartilsættet.

b. Tegn et boksplot for observationssættet.

c. Bestem observationssættets middeltal.

4. Sammenligning af fordelingen af antal scorede m˚al i SAS Ligaen i fodbold.

Nedenst˚aende tabeller viser hvor mange m˚al hvert hold scorede i SAS

Ligaen i fodbold i sæsonerne 2001-02 og 2004-05 (kilde: www.onsidedk.com).

Sæson 2001-02

Hold Antal m˚al

Brøndby IF 74

FC København 62

FC Midtjylland 47

AaB 52

AB 48

OB 56

Esbjerg FB 42

Viborg FF 46

Silkeborg IF 41

AGF 42

Vejle Boldklub 38

Lyngby BK 25

Sæson 2004-05

Hold Antal m˚al

Brøndby IF 61

FC København 53

FC Midtjylland 49

AaB 59

Esbjerg fB 61

OB 61

Viborg FF 43

Silkeborg IF 50

AGF 47

FC Nordsjælland 36

Herfølge BK 29

Randers FC 30

15


16

a. Bestem kvartilsættet for antal scorede m˚al i de to sæsoner.

b. Tegn boksplot for de to fordelinger i samme diagram.

c. Beskriv hvad boksplottene fortæller om fordelingen af scorede m˚al i de

to sæsoner.

5. Sammenligning af fordelingen af pointscoring i basketball.

Materialet i denne opgave er fordelingen af pointscoring i en basketbal-

lkamp 15.11.2005 i den nordamerikanske basketballliga NBA. Kampen

var mellem Nuggets (fra Denver) og Hornets (fra New Orleans) (kilde:

www.nba.com).

Datamateriale fra kampen:

Nuggets

Spiller Antal point

A. Miller 15

D. Johnson 2

C. Anthony 31

M. Camby 15

F. Elson 2

E. Najera 6

E. Boykins 10

E. Watson 10

G. Buckner 0

Hornets

Spiller Antal point

C. Paul 18

K. Snyder 11

D. West 16

B. Nachbar 7

P. Brown 8

S. Claxton 4

D. Mason 7

C. Andersen 10

A. Macijauskas 0

a. Bestem kvartilsættet for antal scorede point for henholdsvis Nuggets

og Hornets.

b. Tegn boksplot for de to fordelinger i samme diagram.

c. Beskriv hvad boksplottene fortæller om fordelingen af scorede point i

de to kampe.

6. En gymnasieklasse p˚a B-niveau skal til skriftlig eksamen én time uden

hjælpemidler og tre timer med alle hjælpemidler. Læreren ønsker at un-

dersøge hvor stor effekt én m˚aned intensiv træning i løsning af opgaver

uden hjælpemidler har. Derfor bliver eleverne testet b˚ade før og efter den

intensive træning. I begge test kan man maksimalt opn˚a 50 point.


Resultaterne af de to test kan ses af følgende tabel:

Test FØR 12 16 22 41 7 18 3 11 16 19

Test FØR fortsat 9 26 17 31 22 18 10 8 19

Test EFTER 26 31 42 49 20 38 22 31 23 31

Test EFTER fortsat 26 40 42 50 46 46 25 21 40

a. Bestem kvartilsættet for de to test, og indtegn boksplot for de to re-

sultater i samme diagram.

b. Beskriv i ord forskelle p˚a de to test.

7. Hastighedsm˚aling:

Man har observeret 16 bilers hastighed gennem en by, hvor den højest

tilladte hastighed er 50 km/t. De observerede hastigheder var

70, 61, 55, 60, 52, 49, 72, 54, 48, 53, 47, 62, 49, 51, 52, 50

a. Bestem kvartilsættet.

b. Tegn et boksplot for observationssættet.

c. Hvad fortæller boksplottet om bilernes hastighed?

d. Bestem observationssættets middeltal.

4.2 Grupperet talmateriale:

8. Feminas kvindeløb 1.

Tabellen nedenfor viser resultatet af Feminas kvindeløb 2005 for de del-

tagere, som gennemførte p˚a 45 minutter og derunder:

Tid [min.] 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45

Frekvens 0,2% 5,3% 30,6% 40,7% 17,0% 6,1%

a. Lav et histogram, der illustrerer dette datasæt.

b. Beregn de kumulerede frekvenser.

c. Tegn en sumkurve.

d. Bestem kvartilsættet.

e. Opskriv intervalmidtpunkterne.

17


18

f. Bestem observationssættets middeltal.

9. Feminas kvindeløb 2.

Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen blandt deltagerne i Feminas

kvindeløb 2005:

Alder under 16 16-20 21-30 31-40 41-50 51-60 over 61

Frekvens 6,9% 4,4% 21,4% 29,7% 26,0% 10,1% 1,4%

a. Lav et histogram, der illustrerer dette datasæt.

b. Beregn de kumulerede frekvenser.

c. Tegn en sumkurve.

d. Bestem kvartilsættet.

e. Opskriv intervalmidtpunkterne.

f. Bestem observationssættets middeltal.

10. Agurker.

Et parti p˚a 1000 agurker er blevet vejet, fordi man ønsker at sortere agur-

ker fra, som er for sm˚a eller for store. I nedenst˚aende tal ses agurkernes

vægt m˚alt i gram:

Vægt 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700

Antal 95 240 325 230 110

a. Lav et histogram, der illustrerer datasættet.

b. Beregn de kumulerede frekvenser.

c. Tegn en sumkurve.

d. Beregn middeltallet.

e. Hvor stor en procentdel af agurkerne vejede 250 gram eller derunder?

f. Hvor stor en procentdel af agurkerne vejede mellem 350 og 450 gram?

g. Hvor stor en procentdel af agurkerne vejede over 550 gram?

11. Førtidspension.

I alt 260.455 danskere modtog i 2003 førtidspension. Aldersfordelingen

fremg˚ar af nedenst˚aende tabel:


Alder 18-29 30-39 40-49 50-54 55-59 60-66

Hyppighed 9.013 23.919 51.558 40.286 55.692 79.987

a. Beregn frekvenserne og de kumulerede frekvenser.

b. Beregn middeltallet.

c. Lav en sumkurve.

d. Aflæs kvartilsættet.

e. Hvad fortæller middeltallet og kvartilsættet om aldersfordelingen?

12. Løs opgave 1 i Matema10k s. 252.

13. Løs opgave 2 i Matema10k s. 252.

14. Løs opgave 3 i Matema10k s. 252.

15. Løs opgave 4 i Matema10k s. 252.

16. Løs opgave 5 i Matema10k s. 253.

17. Løs opgave 6 i Matema10k s. 253.

18. Løs opgave 10 i Matema10k s. 255.

19. Løs opgave 12 i Matema10k s. 255.

20. Løs opgave 13 i Matema10k s. 256.

19


5 Eksamenslignende opgaver:

20

More magazines by this user
Similar magazines