Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven 1 Formål 2 ...

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven
Køreplan
01005 Matematik 1 - FORÅR 2005
Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet
1 Formål
Formålet med opgaven er
• at opstille en 1-D model for grundvandsstrømning i et område ved Vestskoven (København),
• at bestemme grundvandshydrauliske parametre ved at fitte model til data, og
• at analysere hvor hurtigt en grundvandsforurening vil forurene en mindre å.
2 Baggrund
Et kort over området ved Vestskoven er vist i Figur 1. Området er beliggende umiddelbart syd
for Ballerup. I området er der tre deponier, hvor der er deponeret bl.a. flyveaske. Der har fundet
en forurening sted i området på grund af lækage fra disse deponier, der ellers var udført med en
tæt membran.
Figur 1: Kort over Vestskovdeponiområdet. De tre deponier anes som forhøjninger i landskabet. Umiddelbart
nord for deponierne ligger et transekt af boringer, hvor grundvandsstanden er målt. Grundvandsstrømmen
er fra boring F12 til Risby å.
Mat1 04/05 side 1

¢¡ £¤ ¤¥ £¤¦§¦¢¨ ©§ ¤¨¤¤ ¤¥ ¥ §¢
Figur 2: Regional geologi i området. Deponiområdet er vist på figuren.
I området er der en række boringer, hvor grundvandsstanden, eller rettere, det hydrauliske trykniveau
er målt. Ved hjælp af disse trykniveauer kan man skitsere grundvandets strømningsretning. Figur
1 viser således de boringer der vil blive benyttet i dette projekt. Grundvandsstrømningen er fra
boring F12 forbi deponierne og mod Risby å.
Figur 2 viser en principskitse af den regionale geologi i området. Øverst består området af ca.
2-4 meter morænesand, efterfulgt af ca. 18 meter moræneler. Kalk træffes under dette lag. Selve
området med deponierne er også vist på figur 2. Et snit i gennem det lokale område er vist på
Figur 3.
Dette snit er lagt tilnærmelsesvis langs en strømlinie fra F12 til Risby å. Figuren viser de boringer
hvor grundvandstanden (h, skitseret på figuren) er målt. Figuren viser også, at der er to grundvandsmagasiner.
Et øvre sekundært grundvandsmagasin (fin sand/silt), der er i kontakt med
den nærliggende å (Risby), samt et nedre primært grundvandsmagasin i kalken, der i området
benyttes til drikkevandsforsyning (Københavns Energi). Moræneleret adskiller de to grundvandsmagasiner.
Som skitseret på Figur 3 er der en horisontal strømning fra øst for deponierne ned mod Risby å
(q på Figur 3). Det skyldes at der er et trykfald ned mod åen (se også teoriafsnittet). Samtidig
er der også en nedadrettet trykgradient og strømning (qk) mellem det øvre og nedre magasin da
trykniveauet i kalken overalt kan antages at være H=13.8 m, dvs. under det trykniveau der er i
det øvre afsnit, hvor h er ca. 14-17 m langs tværsnittet (trykket er lavere da der tappes vand fra
Mat1 04/05 side 2

¢§
¢
¤
¤
¤
¤
¤
¤
Figur 3: Transekt med lokal geologi, boringer og trykniveauer i øvre og nedre grundvandsmagasin.
det nedre magasin). Forureningen i området er sket ud for boring P9 (Figur 3). Denne vil derfor
bevæge sig horisontalt mod åen (og vertikalt mod kalkmagasinet).
¤
Opgaven går bl.a. ud på at bestemme hvor hurtigt forureningen transporteres mod åen.
3 Teori
3.1 Darcy’s Lov
Strømning i porøse medier styres af Darcy’s lov:
Q = −Ks · A ∂h
∂x
hvor Q er vandføringen (m 3 /s), h er trykniveau (m), A er tværsnitsareal (m 2 ) og Ks er grundvandsmagasinets
hydrauliske ledningsevne (m/s). En K-værdi karakteriserer derfor hvor godt
"geologien leder vand". Sand har en høj K-værdi, ler har en lav K-værdi.
I det følgende skal vi kun kigge på en een-dimensional model. Her sætter vi arealet A til A=(1 m
· d), hvor d = h−z0 er den mættede lagtykkelse (m) i sandet, se Figur 4 (z0 er datum). Med andre
ord regnes alt i "per meter bredde". Tværsnitsarealet ændres derfor med afstanden afhængigt af
om grundvandsstanden ændres. Herved bliver (1) omskrevet til
Q = −Ks · (h − z0) ∂h
∂x
Vandføringen Q er derfor ikke-lineær med hensyn til h (i (2) forekommer der et ikke-lineært led
på formen h ∂h
∂x ).
I det følgende benyttes, at Darcyhastigheden er defineret som strømning per total areal dvs.;
q = Q
A
Mat1 04/05 side 3
(1)
(2)
(3)

Figur 4: Kontrolvolumen til opstilling af flow balance. Snittet er vist fra den anden side i forhold til Figur
3.
3.2 Flow balance
Der kan også opstilles en flow balance for kontrolvolumenet i Figur 4 (der ophobes ikke væske i
kontrolvolumenet):
Q − (Q + ∂Q
∂x dx) + Ndx − qkdx = 0 (4)
Her svarer N til nettoinfiltrationen på årsbasis (dvs. nedbør minus aktuel fordampning, altså den
del af nedbøren der når ned til grundvandet). Størrelsen N kan her antages konstant svarende til
en middel infiltration over et år, og qk er den vandmængde, der tabes ud af det øvre grundvandsmagasin
på grund af en gradient ned mod kalken. Denne vandmængde er ikke nødvendigvis konstant.
Trykniveauet i kalken (H, se Figur 3) kan anses for konstant, men da det øvre trykniveau
(h) varierer vil qk også variere, i henhold til Darcy’s lov opskrevet i vertikal retning:
qk = −Km ·
H − h
m
hvor Km og m, er henholdsvis den hydrauliske ledningsevne og tykkelsen af moræneleret.
3.3 En 1-D model
1. Vis ved at kombinere ovenstående, at trykfaldet h er givet ved den styrende differentialligning;
d2 (h − z0) 2
dx2 + 2Km H − h 2N
+ = 0 (6)
Ks m Ks
Overvej hvilke andre betingelser h må opfylde. Dette kan fx være, at h har givne værdier i
endepunkterne af intervallet, hvor vi søger at bestemme h (kaldet randbetingelser).
2. Forsøg at finde løsning til (6). Prøv også Maple.
3. Man kan simplificere (6) ved at antage, at tværsnitsarealet A i ligning (1) er konstant, dvs.
at (1) modificeres til
∂h
Q = −Ks · d0
(7)
∂x
Mat1 04/05 side 4
(5)

hvor d0 er en konstant, der fx er et omtrentligt gennemsnit af (h − z0) langs transektet af
boringer.
Vis, at den resulterende differentialligning, der modsvarer (6), i dette tilfælde bliver på
formen
d2 (h − H)
dx2 + Km H − h N
+ = 0 (8)
d0 · Ks m d0 · Ks
og undersøg nu om denne ligning kan løses. Benyt Maple til at finde den løsning, der opfylder
givne randbetingelser, og skitser (plot) for forskellige valg af parametre løsningerne
til (8). Undersøg om ethvert valg af randbetingelser kan opfyldes.
4. Argumenter eventuelt uden brug af Maple for at den fuldstændige løsning har en forholdsvis
simpel form, idet (8) kan skrives på formen (med η = (h − H))
d 2 η
dx 2 − α2 η + β = 0 (9)
hvor α > 0 og β > 0 (her bør man først overveje fortegnet af konstanterne Km,Ks,d0).
5. Eventuelt kan man også forsøge at nå frem til ligningen (8) fra (6) ved brug af en Taylor
udvikling. [VINK: Hvis man skriver h på formen h(x) − z0 = d0 + y(x), hvor d0 er en konstant,
der som ovenfor er en passende middelværdi af (h−z0), og y(x) er variationen herfra,
kan (6) omskrives til en differentialligning i y. Hvis man i denne resulterende ligning ser
bort fra alle led af højere orden end 1 i y fås efter lidt omskrivning (8) 1 ].
4 Data
Data for området i Vestskoven fremgår af Tabel 1 og 2.
Netto-infiltrationen til grundvandet er 200 mm/år (der regner ca. 700 mm per år i gennemsnit,
men ca. 500 mm afdræner og fordamper). Tykkelsen af moræneleret kan sættes til m=18 m og
trykniveauet i kalken er konstant H=13.8 m.
En model for h(x) i det øvre grundvandsmagasin er ovenfor opstillet for tværsnittet vist i Figur
3. Tværsnittet er L=500 m langt og randbetingelserne er givet ved fastholdte trykniveauer. I x=0
m er trykniveauet det samme som i F12 og i x=500 m er trykniveauet lig koten til vandspejlet i
Risby å.
De to ubekendte parametre i differentialligningen er nu Ks og Km, som er de hydrauliske ledningsevner
for henholdsvis det øvre grundvandsmagasin og for moræneleret, der adskiller dette fra
det nedre grundvandsmagasin i kalken.
Der er d. 14. maj, 1999 foretaget en række trykniveauer, som er vist i Tabel 2. Tværsnittet i
Figur 3 er næsten parallelt med øst-vest og Tabel 2 viser derfor UTM (East) koordinaterne til
boringerne.
1 Dette indbefatter også at man fjerner led af formen y · dy
dx osv.
Mat1 04/05 side 5

Tabel 1: Data fra Vestskoven
Parameter Værdi Enhed
Netto-infiltration, N 0.2 m/år
Datum, z0 13 m
Tykkelse af moræneler, m 18 m
Trykniveau i kalk, H 13.8 m
Porøsitet i øvre magasin, θ 0.21 -
Længde af tværsnit, L 500 m
Fasthold tryk, h0 17.09 m
Fasthold tryk (åen), hL 14.00 m
Tabel 2: Observerede trykniveauer, h, se Figur 3 og UTM-east koordinater.
Boring UTM-East (m) Trykniveau (m)
F12 333147 17.09
F11 333068 16.38
F10 333008 16.38
P9 332961 16.14
F9 332938 16.11
F8 332883 16.09
F7 332836 16.05
F6 332788 16.06
Risby å 332647 14.00
5 Estimering af de hydrauliske parametre
På basis af forsøgsresultaterne skulle det være muligt, ved sammenligning med modellen, at finde
værdierne af de ubekendte hydrauliske ledningsevner Ks og Km. I første ombæring under brug af
den lineære model (8).
6. Overvej metoder til at bestemme konstanterne Ks og Km på basis af målte data, dvs. målte
værdier af tryk h til givne afstande x. Hvilken størrelsesorden synes rimelig for disse
parametre ? (find fx relevante værdier i litteraturen, eller spørg omkring). Overvej desuden
hvilken værdier af d0, der synes rimelig at benytte.
Man kan med fordel benytte sig af differentialligningen skrevet på formen (9) og bestemme
α og β således at løsningskurven tilpasser sig de målte data. Derefter bestemmer man Ks
og Km.
Når man som her skal “kalibrere” en given model 2 , benytter man for eksempel et “mål” for fejlen
mellem model (funktionen h) og målte data på formen
ERR =
N
∑ |h(xi) − hmeas(xi)|
i=1
p
1/p
, (10)
2 Man siger, at man løser det inverse problem: At finde data i en differentialligning på basis af målinger.
Mat1 04/05 side 6

Her er hmeas(xi) de målte tryk i positionerne xi,i = 1,...,N (N er antallet af målepunkter).
Potensen p vælges afhængigt af, hvad man vil opnå.
7. Overvej hvad ERR i (10) udtrykker, og undersøg, hvad det betyder, at p vælges som 1, 2,
eller meget stor (∞).
8. Bestem nogle værdier af Ks og Km (eller af α og β i (9)), der gør fejlen ERR så lille som
muligt for de i Tabel 2 angivne data.
Man kan her for eksempel bruge Maple’s og til at undersøge
fejlens afhængighed af de to parametre (da ERR varierer temmeligt “vildt” kan det
her være praktisk at arbejde med log(ERR)).
5.1 Test med den ikke-lineære model
9. Med værdierne af Ks og Km bestemt via den linære model kan man eventuelt undersøge om
man med disse data får en god overensstemmelse mellem data og løsningen til den ikkelineære
model (8). Til dette formål kan man benytte, at Maple kan løse differentialligninger
ved brug af numeriske metoder 3 ; se “HELP” for og .
6 Transport af forurening
Darcy’s lov (1) angiver strømningen per det totale tværsnitsareal, A. Da arealet udgøres af sandkornene
og porerum (arealet mellem sandkorn) defineres porevandshastigheden som;
v = q
θ
hvor θ er porøsiteten. Porøsiteten er defineret som antal kubikmeter porerum per kubikmeter total
volumen og er derfor mindre end 1. Porevandshastigheden er derfor større end Darcyhastigheden,
q.
Den gennemsnitlige opholdstid i et stykke jord af en stofpartikel, der transporteres med grundvandet,
findes udfra;
v = dx
(12)
dt
hvor x er positionen af en partikel efter en given tid, t. Heraf kan opholdstiden T af partiklen over
et intervallet [x1,x2] udregnes som;
Z T
0
dt =
Z x2
x1
(11)
1
dx (13)
v
3 Bemærk, at det måske ikke virker i første ombæring for de givne randbetingelser. Man skal her ændre forskellige
parametre, der benyttes i de numeriske algoritmer, se HELP (eller få vejledning). Overvej, hvori vanskeligheden
består. Alternativt kan man bruge Maple til at loese et begyndelsesværdiproblem og selv “skyde” sig ind på en
løsning ved at variere på hældningen ved x = 0
Mat1 04/05 side 7

Som et simpelt eksempel, hvor porevandshastigheden er konstant, fås specielt, at opholdstiden t ∗
i et interval af længde l er
t ∗ = l
(14)
Dette giver det simple resultat, at opholdstiden er længden divideret med hastigheden. I det tilfælde
- som her ved Vestskoven - hvor v ikke er konstant med afstanden x, bliver udregningen
lidt sværere.
10. Find porevandshastigheden, v(x), og opholdstiden T i det øvre grundvandsmagasin til åen,
hvis partiklen "slippes løs"ved deponi 3, svarende til boring P9. Hvad sker der hvis partiklen
“begynder sin rejse” ved boring F6. VINK: se nedenfor.
Man kan give et "sjus"på opholdstiden på følgende måde, idet man tilnærmelsesvis har at porevandshastigheden
mellem P9 og åen kan udregnes vha Darcy’s lov som 4 :
v = − Ks
θ
v
∆h · 10−6 16.14 − 14
= −4 = −1.3 · 10
∆x 0.21 314
−7 m/s −4.1m/yr (15)
"Minus-tegnet"på hastigheden viser bare at strømningen er modsat x-aksen, mod vest (Risby å).
Herved fås at opholdstiden kan “sjusses” til:
T = l/v =
332961 − 332647
4.1
= 76yr. (16)
Ved korrekt integration vil man nok se at tiden bliver noget andet, da porevandshastigheden
stiger dramatisk ned mod åen pga den mindre mættede lagtykkelse, ligesom den er naesten nul
paa midten af transektet. For at gøre dette mere præcist bør man finde v(x) ved at differentiere
udtrykket for h(x) og evt plotte variationen som funktion af x. Derefter findes T ved integration,
jf (13).
Overvej desuden om disse resultater er meget følsomme overfor estimatet af Ks og Km (hvordan
ser kurve-fittet ud hvis man ændrer lidt på disse parametre - og hvad sker der tilsvarende med
opholdstiderne).
7 Bestemmelse af de hydrauliske parametre. II
11. Bestem konstanterne Ks og Km på basis af de målte data idet man anvender den ikke-lineære
model (6). Sammenlign med resultaterne, der kan opnås med den lineære model.
8 Modellen som et system af differentialligninger
12. Benyt de variable h og Q til at opskrive et system af første-ordens differentialligninger, som
er en model for systemet, jf ligningerne (1) og (4). Bemærk, at disse to ligninger udtrykker
det horizontale flow respektivt det vertikale flow.
Undersøg dette lineære system og sammenlign med analysen ovenfor.
4 Her sætter vi, for eksemplet skyld, Ks = 4 · 10 −6 .
Mat1 04/05 side 8