Trigonometri_teori_mundtlig fremlaeggelse-2012-03-07.pdf

Trigonometri
teori – mundtlig fremlæggelse
A
A v
C 2
C
C v
Indhold
1. Sætning om ensvinklede trekanter og målestoksforhold (uden bevis) ........................ 2
2. Vinkelsummen i en trekant ......................................................................................... 2
3. Pythagoras sætning om RETVINKLEDE TREKANTER ...................................................... 2
4. Sinus ........................................................................................................................... 3
4a Brug af sinus ....................................................................................................... 3
4b Definition af sinus ............................................................................................... 3
4c Sinus i den retvinklede trekant. ........................................................................... 4
4d Sinus i den retvinklede trekant (fortsat) ............................................................. 5
4e Sinusrelation i ”skævvinklet” trekant ................................................................. 6
5 Cosinus ........................................................................................................................ 7
5a Brug af cosinus ................................................................................................... 7
5b Definition af cosinus ........................................................................................... 7
5c Cosinus i den retvinklede trekant. ....................................................................... 8
5d Cosinusrelation i ”skævvinklet” trekant (ikke mat C-eksamensstof før maj 2011) ........ 9
6. Trekanttilfælde ......................................................................................................... 10
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi ................................................................. 10
7. Tangens – og mere om den retvinklede trekant ........................................................ 11
1
B v
B

1. Sætning om ensvinklede trekanter og målestoksforhold (uden bevis)
a1
2. Vinkelsummen i en trekant
En trekants vinkelsum er 180
A + B + C = 180
- og beviset:
To trekanter, ABC og A1B1C1 kaldes ensvinklede
hvis vinklerne opfylder A=A1 , B=B1 og C=C1
For sidelængderne i to ensliggende trekanter
gælder:
a1 b1 c1
a b c
2
k
Eller: Der findes et fælles tal, k, sådan at
a ∙ k = a1
b ∙ k = b1
c ∙ k = c1
k kaldes forstørrelsesfaktor, skalafaktor,
målestoksforhold.
Se evt. figurer/animation af bevis: http://www.fmorville.dk/vuf/animation/geometri/vinkelsum/
3. Pythagoras sætning om RETVINKLEDE TREKANTER
hyp
b
a
b
b1
c
c1
a
A B
I en retvinklet trekant ( 90° vinkel ) gælder
Pythagoras:
Youtube-film med bevis: http://www.youtube.com/watch?v=C1BiN0DXAn4
Figur /animation til bevis: http://www.fmorville.dk/vuf/animation/geometri/pythagoras/
C
B A
C
C
A B
a 2 + b 2 = hyp 2
Omformninger:

4. Sinus
Sinus er en funktion (en knap), der findes på lommeregneren. Den bruges blandt andet til beregninger,
der sammenknytter sider og vinkler i trekanter. Enhver vinkel har en sinus-værdi. Vinklen v = 30° har
sinusværdien 0.5 (forklaring nedenfor), og det kan vi skrive således:
sin(v) = 0.5 eller
sin(30°) = 0.5
På lommeregneren indtastes blot: sin(30) =
Kun hvis vinkel-enheden under ”Mode” på lommeregneren er indstillet på ”Degrees” (ikke ”Radians”)
fås det ønskede tal.
4a Brug af sinus
I enhver trekant med siden a overfor vinklen A, og siden c overfor vinklen C gælder
”Sinusrelationen”:
(se bevis og eksempler senere)
4b Definition af sinus
Den matematiske definition af funktionen sinus knytter sig til en cirkel i et koordinatsystem.
( )
3
( )
Cirklen har centrum i punktet O = (0,0) og radius 1. (”Enheds-cirklen”)
Den ønskede vinkel tegnes med højre ben ud langs den positive del af x-aksen.
Skæringspunktet, P , mellem enhedscirklen og vinklens venstre ben kaldes ”vinklens retningspunkt”
P’s y-koordinat er den størrelse, der defineres som sinus til vinklen.
Af det integnede kan vi aflæse, at sin(30°) = 0.5
A
c
C a

Øvelse 1.
Indtegn vinklerne 90° og 150° i enhedscirklen nedenfor, og aflæs værdierne af sin(90°) og sin(150°)
sin(90°) = _____________ sin(150°) = _________________
4c Sinus i den retvinklede trekant.
En retvinklet trekant,ABC, med C = 90° vendes og drejes og tegnes som vist nedenfor.
Nedenunder indtegnes trekantens vinkel A i en ”enhedscirkel”, og der tegnes en trekant i denne, som
bliver ensvinklet med trekant ABC.
A
sin(A)
c
A
1
a
C
sin(A)
Da trekanterne er ensvinklede får vi samme forhold mellem de to
lodrette sider, som mellem de to skrå sider:
(1)
4
( )
Omformulering (a): Bruger vi 1 = sin(90°) = sin(C) fås:
(sinusrelationen)
Eller på hovedet:
(2)
Oftest taler man om sinus-relationerne, fordi der er mere end en formel. Vi kunne have vendt trekanten
( ) ( )
sådan at vinkel B tog den plads, som A havde, og så ville have bevist
Vi kan sammenfatte det sådan, at vi for en retvinklet trekant har bevist
På side 6 vil vi se på en trekant, der ikke er retvinklet.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

4d Sinus i den retvinklede trekant (fortsat)
En retvinklet trekant,ABC, med C = 90° vendes og drejes og tegnes som vist nedenfor.
Nedenunder indtegnes trekantens vinkel A i en ”enhedscirkel”, og der tegnes en trekant i denne, som
bliver ensvinklet med trekant ABC.
sin(A)
A
A
1
c
a
C
sin(A)
Forstørrelsesfaktoren kan ses ved at betragte de to skrå sider
(trekanternes hypotenuser)
(1)
Siderne i den øverste trekant er altså c gange så store som den
nederste trekants sider.
Den øverste trekants lodrette katete kan derfor beregnes som
a = c ∙ sin(A)
hvilket vi kan skrive i trekanten:
(2)
I forhold til en spids vinkel, A, i en retvinklet trekant gælder
følgende hjælpesætning (som hjælper til beviset for sinusralationen
i en skævvinklet trekant) :
Vinkel A’s ”modstående katete” er hypotenusen gange sin(A)
(andre formuleringer – se senere)
Figuren kan naturligvis vende på andre måder. F. eks.
spejlvendt:
(3)
5
c∙sin(A)
A
c
c
A
c∙sin(A)

4e Sinusrelation i ”skævvinklet” trekant
Q
Q
Q
r
r
r
p
(Ekstra øvelse : Opskriv v.h.a. figurerne formel for areal af trekant PQR udtrykt ved Q, p og r)
( ) ( )
( )
( )
6
( )
( )
Hermed er den ene af sinusrelationerne bevist i den ”skævvinklede” trekant PQR.
Betragt denne trekant PQR, som
ikke har nogen rette vinkler.
Den kan deles op i to retvinklede
trekanter, som det ses neden
under.
Det nye linjestykke, højden h, kan
vi udtrykke på to måder, ved at se
på de to del-trekanter
Vi kan nemlig bruge regler om
sinus i hver af de to retvinklede
del-trekanter, figurerne (2) og (3)
på forrige side.
Hvis endnu én af trekantens højder ligger inde i trekanten, og dermed deler den i to retvinklede
trekanter, så kan resten af sinusrelationerne bevises tilsvarende (dette er tilfældet hvis PQR er en
spidsvinklet trekant).
I den tegnede trekant falder de to andre højder udenfor trekant PQR. Tegning og bevis skal da udformes
en lille smule anderledes, men det vil vi ikke fortabe os i her. Der gælder:
( )
h
P
r∙sin(Q)
q∙sin(R)
q
R
q
R
q
( )
R
( )

5 Cosinus
Også Cosinus er en funktion (en knap), der findes på lommeregneren, og som blandt andet bruges til
trekants-beregninger.
Vinklen v = 30° har cosinusværdien 0.866… (forklaring nedenfor), og det kan vi skrive således:
cos(v) = 0.866 eller
cos(30°) = 0.866
På lommeregneren indtastes blot: cos(30) =
Kun hvis vinkel-enheden under ”Mode” på lommeregneren er indstillet på ”Degrees” (ikke ”Radians”)
fås det ønskede tal.
5a Brug af cosinus
I enhver trekant med vinklen A, siden a overfor samt siderne b og c gælder
”cosinusrelationen”, som blandt andet kan bruges til at beregne vinkel A,
når de tre sider er kendt:
(se bevis og eksempler senere)
( )
5b Definition af cosinus
Den matematiske definition af funktionen cosinus knytter sig til en cirkel i et koordinatsystem.
Cirklen har centrum i punktet O = (0,0) og radius 1. (”Enheds-cirklen”)
Den ønskede vinkel tegnes med højre ben ud langs den positive del af x-aksen.
Skæringspunktet, P , mellem enhedscirklen og vinklens venstre ben kaldes ”vinklens retningspunkt”
P’s x-koordinat er den størrelse, der defineres som cosinus til vinklen.
Af det integnede kan vi aflæse, at cos(30°) = 0.86…..
7
A
b
c
a

Øvelse 1.
Indtegn vinklerne 0° , 90° og 150° i enhedscirklen nedenfor, og aflæs værdierne af
cos(0°), cos(90°) og cos(150°)
cos(0°) = ___________ cos(90°) = ___________ cos(150°) = ____________
5c Cosinus i den retvinklede trekant.
En retvinklet trekant,ABC, med C = 90° vendes og drejes og tegnes som vist nedenfor.
Nedenunder indtegnes trekantens vinkel A i en ”enhedscirkel”, og der tegnes en trekant i denne, som
bliver ensvinklet med trekant ABC.
Vi gentager her det om sinus fra
side 2. Det nye er at se på de
vandrette sider:
b hhv. cos(B)
sin(A)
A
A
1
c
b
cos(A)
a
C
sin(A)
Forstørrelsesfaktoren kan ses ved at betragte de to skrå sider
(trekanternes hypotenuser)
(4)
Siderne i den øverste trekant er altså c gange så store som den
nederste trekants sider.
Den øverste trekants kateter kan derfor beregnes som
a = c ∙ sin(A)
b = c ∙ cos(A)
hvilket vi kan skrive i trekanten:
(5)
I forhold til en spids vinkel, A, i en retvinklet trekant gælder
hjælpesætningerne:
Vinkel A’s ”modstående katete” er hypotenusen gange sin(A)
Vinkel A’s ”hosliggende katete” er hypotenusen gange cos(A)
8
A
c
c∙cos(A)
c∙sin(A)

5d Cosinusrelation i ”skævvinklet” trekant (ikke mat C-eksamensstof før maj 2011)
Q
h 2 = h 2
q 2 – y 2 = r 2 – x 2
q 2 = r 2 – x 2 + y 2
q 2 = r 2 – x 2 + p 2 + x 2 – 2∙p∙x
q 2 = r 2 + p 2 – 2∙p∙x
q 2 = r 2 + p 2 – 2∙p∙ r∙cos(Q)
Dette er en af “cosinusrelationernes” mange
udgaver. Kun mål fra den oprindelige (øverste)
trekant indgår:
Q , q, p, og r
Q
Q
r
r
r
x
p
9
Betragt denne trekant PQR, som
ikke har nogen rette vinkler.
Den kan deles op i to retvinklede
trekanter, som det ses neden
under.
Af opdelingen fås
1. x + y = p eller y = p – x
2. Pythagoras
x 2 +h 2 =r 2 eller h 2 =r 2 - x 2
y 2 +h 2 =q 2 eller h 2 =q 2 - y 2
3. Cosinus i den retvinklede
trekant til venstre, se figuren
(5) på forrige side:
x = r∙cos(Q)
Fra 2. i rammen ovenfor sættes de to formler for
h 2 lig hinanden.
Vi omskriver fra tredje til fjerde linje til venstre
herfor y 2 idet der bruges:
Fra 1. i rammen ovenfor: y = p – x samt
”Anden kvadratsætning”: (a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2∙a∙b
Vi får:
y 2 = (p – x) 2 = p 2 + x 2 – 2∙p∙x
Til sidst bruges
3. i rammen ovenfor: x = r∙cos(Q)
Se andre udgaver i http://da.wikipedia.org/wiki/Cosinusrelation og på side 4, samt i
formelsamling og øvehæfte. (Ovenstående bevis dækker kun det tilfælde, hvor højden fra P
ligger inde i trekanten og dens fodpunkt deler siden p i to stykker, x og y. Formlerne gælder
dog også i andre tilfælde).
Fra Wikipedia er også nedenstående oversigt over, hvornår man bruger sinusrelation og
hvornår cosinusrelation til at bestemme ukendte sider og vinkler i en trekant med tre kendte
”stykker”
Øvelse: lav opgaver til hinanden, der dækker de 4 omtalte tilfælde.
h
P
h h
q
R
q
R
90° 90°
y
q
R

6. Trekanttilfælde
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Et trekanttilfælde er en slags regneopgave indenfor geometrien: En trekant har tre sider med
hver sin længde, og tre hjørner der danner hver sin vinkel. Givet tre af disse i alt seks
oplysninger, kaldet stykker, går opgaven ud på at beregne de resterende tre.
Én eller flere løsninger
Så længe mindst én af de givne oplysninger er længden på en side, kan det lade sig gøre. Hvis
alle tre stykker er vinkler, kan man tegne uendelig mange trekanter i forskellige størrelser som
har de tre givne vinkler - der er altså ikke én enkelt, utvetydig løsning på opgaven i den
situation.
I andre tilfælde giver beregningerne anledning til to løsninger, og følgelig bliver svaret på
opgaven, at der findes to trekanter der passer til de givne stykker.
Fire forskellige tilfælde
Løsningsmetoden afhænger af, hvilke stykker der er givet, men bortset fra det "umulige" tilfælde
med tre givne vinkler falder alle trekanttilfælde i én af følgende fire kategorier:
Marker med bogstaver de kendte (”givne”) oplysninger i de tegnede trekanter nedenfor:
tre af størrelserne a, b, c, A, B, C
Givet tre sider
Her kan man bruge cosinusrelationen til at bestemme de tre vinkler.
Som kontrol kan man derefter undersøge om summen af de tre fundne
vinkler er 180°.
Givet to vinkler og en side
I denne situation kan man finde den manglende vinkel ved hjælp af
reglen om at trekantens vinkelsum skal være 180°, og derefter bruge
sinusrelationen til at beregne længden af de tre sider.
Givet en vinkel og to hosliggende sider
Her giver cosinusrelationen den sidste side, og herefter kan samme
formel bruges til at bestemme de øvrige to vinkler.
Givet en vinkel, en hosliggende og en modstående side
Den vinkel der står overfor den givne, hosliggende side, kan beregnes
ved hjælp af sinusrelationen. I denne situation bestemmer man vinklen
ud fra sinus til vinklen, og dette giver sædvanligvis anledning til to
mulige vinkler; en stump og en spids. Dette giver tilsvarende
anledning til to mulige trekanter, som man må undersøge hver for
sig.
Når denne vinkel er bestemt, kan sidste vinkel beregnes ud fra at
vinkelsummen skal være 180°, og til sidst findes den sidste side med
cosinusrelationen - eller med sinusrelationen
10

Ekstra stof (mest til mat B) :
7. Tangens – og mere om den retvinklede trekant
En tredje trigonometrisk funktion – ”tangens” eller kort ”tan” er defineret ud fra sinus og cosinus,
nemlig sådan:
Et taleksempel:
( )
( )
( )
( )
Definitionen bruges ved udledningen af T3 nedenfor. Først genopfrisker vi fra side 8 om
retvinklede trekanter:
11
( )
( )
S1 a = c ∙ sin(A)
S2
S3
( )
C1 b = c ∙ cos(A)
C2
( )
I opgaver, hvor hypotenusen ikke indgår, kan man dividere de to kateter:
Altså:
A
c
b
a
C
C3
T3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )