# ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI - FMO

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI - FMO

Indhold

ØVEHÆFTE

FOR MATEMATIK C

GEOMETRI

Begreber i klassisk geometri + formelsamling ............................................................................................. 2

Pythagoras’ Sætning .................................................................................................................................... 8

Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav. .................................................... 9

Øve vinkler i retvinklede trekanter ..............................................................................................................13

Sammensatte opgaver. ................................................................................................................................15

Drage..........................................................................................................................................................15

Skriftlige eksamensopgaver ........................................................................................................................19

Øvehæfte del 2 trigonometri (inkl. Skævvinklede).......................................................................................22

Trekantens vinkelsum .................................................................................................................................22

Areal af trekanter. .......................................................................................................................................23

Retvinklet trekant, sider og areal øvelser .....................................................................................................25

Pythagoras Sætning ....................................................................................................................................25

Arealet af en retvinklet trekant: ...................................................................................................................25

Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling................................................................................................26

Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant. ........................................................27

Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel .......................................................................................28

Arealformlen med sinus ..............................................................................................................................29

Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side ............................................................................................30

Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel .............................................................................................31

Opsamlingsøvelser trigonometri..................................................................................................................32

Trigonometri oversigt .................................................................................................................................33

1

Begreber i klassisk geometri + formelsamling

I matematikundervisningen forudsætter vi følgende begreber og sætninger i plangeometrien

(Frit efter Euklid ca. 300 f. kr.).

Tilføj selv forklaringer og kommentarer

1. Punkt

2. Linje (også kaldet ret linje),

halvlinje,

linjestykke

3. Cirkel,

4. Vinkel

5. Topvinkler er lige store

6. Ret vinkel (90 = 1

2

Vinkel på 360 = 2 radianer

7. Parallelle linjer

8. Ensliggende vinkler ved linje,

der skærer parallelle linjer

9. En trekants vinkelsum er 180

A + B + C = 180

- og beviset

10. Sætningen om

ensvinklede trekanter

11. (Krum) kurve

C

A B

c

b

a

B A

C

C

A B

c1

b1

a1

2

Ensvinklede trekanter

Vilkårlig trekant

Spids vinkel:

a1

g

Retvinklet trekant

hyp

b

h

C

a

b

mellem 0° og 90°

b

b1

c

a

c1

A

a

C

B

c

b

Stump vinkel:

a

mellem 90° og 180°

To trekanter, ABC og A1B1C1 kaldes ensvinklede hvis

vinklerne opfylder A=A1 , B=B1 og C=C1

For sidelængderne i to ensliggende trekanter gælder:

a1 b1 c1

a b c

k

Eller: Der findes et fælles tal, k, sådan at

a ∙ k = a1

b ∙ k = b1

c ∙ k = c1

k kaldes forstørrelsesfaktor, skalafaktor,

målestoksforhold.

Trekantens areal T:

T = 0.5 ∙ g ∙ h = 0.5 ∙ a ∙ b ∙ sin(C)

Vinkelsummen: A + B + C = 180°

(hvoraf f. eks. A = 180° – B – C )

Sinusrelation

side:

b sin( A)

a

sin( B)

sin( A) sin( B) sin( C)

a b c

vinkelberegning:

1

asin( B)

A sin ( spids vinkel)

b

eller

1

a sin( B)

A 180 sin ( stump vinkel)

b

Cosinusrelation (ikke Mat C-stof før maj 2011)

Side-beregning:

2 2 2

c a b 2 a b cos( C)

2 2

c a b 2 a b cos( C)

Vinkel-beregning:

C cos

1

I en retvinklet trekant ( 90° vinkel ) gælder

Pythagoras:

Omformning af a 2 + b 2 = hyp 2

2 2

2 2

hyp a b b hyp a

2 2 2

a b c

2 a b

3

etvinklet trekant (fortsat)

hyp

Sinus, cosinus, tangens i retvinklet trekant:

I en retvinklet trekant gælder for en spids vinkel, v:

sinv

cos v

tan v

Højde, median og vinkelhalveringslinje i vilkårlig trekant

Firkanter

v

Hosliggende

katete til v

Modstående

katete til v

Rektangel

modstående katete til v

hypotenuse

hosliggende katete til v

hypotenuse

modstående katete til v

hosliggende katete til v

En ”model” i geometri er en tegning med navne og evt.

mål på indgående punkter, linjestykker, vinkler o.s.v.

Areal = Længde ∙ Bredde

Parallelogram

Trapez

4

Ensvinklede trekanter

Trekanterne nedenfor er ensvinklede. Det vil sige, at ensliggende vinkler er lige store, eller mere præcist:

, og .

For ensvinklede trekanter gælder, at forholdet mellem ensliggende sider er det samme. Dette betyder, at der

gælder om siderne:

I dette konkrete tilfælde er

Man siger, at der er en skalafaktor mellem de to trekanter på ½. Dette betyder løst sagt, at er halvt så

stor som . Andre ord for skalafaktor: målestoksforhold, forstørrelsesfaktor

OPGAVER

1. Beregn siderne og i disse ensvinklede trekanter.

b 11

1

5

19

8

a

Vi isolerer a ….

Vi isolerer b ….

5

2.

Det vides, at og er ensvinklede og at

| | | | | | og | |

. Overfør målene til trekanterne og beregn

siderne | | og | |.

3.

Det vides, at og er ensvinklede og at

| | | | | | og

| | . Overfør målene til trekanterne og

beregn siderne | | og | |.

4.

Trekanterne og er ensvinklede med

, , ’ og ’ . Beregn

sidelængderne ’ og .

5.

I er | | | | og | | . I er | | | | og | |

. Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren?

6

6. I er | | | | og | | . I er | | | | og | |

. Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren?

7. Et træ kaster en 8,5 meter lang skygge, mens en 1 meter høj pind kaster en skygge på 0,9 meter.

Tegn en skitse og beregn træets højde.

8. En eftermiddag kaster et 12 meter højt hus en skygge på 20 meter. Tegn en skitse og beregn, hvor

lang en skygge kaster naboens 16 meter høje hus på samme tid?

9. Trekanterne og er ensvinklede. Siden | | er og arealet af er 10.

Skalafaktoren mellem de to er . Bestem længden af højden på siden | |.

10. Det vides, at og er ensvinklede. Skalafaktoren er 3. Hvor mange gange større er arealet

af end arealet af ?

7

Pythagoras’ Sætning

I retvinklede trekanter (og kun i retvinklede trekanter) gælder Pythagoras’ Sætning. En retvinklet trekant har

to kateter (dvs. de sider som danner den rette vinkel) og en hypotenuse (dvs. den side som ligger over for den

rette vinkel).

I en retvinklet trekant ( 90° vinkel ) gælder

hyp

b

Pythagoras:

OPGAVER

1. Marker den rette vinkel og hypotenusen i følgende retvinklede trekanter:

2. Beregn hypotenusen i en retvinklet trekant, når det vides at

- kateterne er henholdsvis 3 og 4

- kateterne er henholdsvis 8 og 6

a

- kateterne er henholdsvis 5 og 12

3. Beregn den manglende katete, når det vides at

- hypotenusen er 10 og den ene katete er 7

- hypotenusen er 14,2 og den ene katete er 8,6

- hypotenusen er 14,7 og den ene katete er 5,2

Omformning af a 2 + b 2 = hyp 2

2 2

2 2

hyp a b b hyp a

8

Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.

Start med at markere den rette vinkel, og skriv ”hyp” på hypotenusen.

5

11

f

13

8

c

=hyp hyp

25

g

9

d

24

7

12

10

5

h

20

e

9

10

14

15

i

L

48

3,6

j

45

3,1

m 0,8

36

3,7

n

2,1

k

0,5

10

4. På figuren nedenfor ses , hvor .

- Beregn siden , når det vides at og

- Beregn siden , når det vides at og

- Beregn siden , når det vides at og

5. Opskriv Pythagoras’ Sætning for nedenstående :

Beregn hypotenusen, givet at kateterne er henholdsvis og .

6. Opskriv Pythagoras’ Sætning for nedenstående :

Beregn c, givet at a= 8 og b= 4

11

7. Afgør hvilke af følgende trekanter, der ikke kan være retvinklet:

- når , og

- når , og

- når , og

- når , og

8. I skemaet betegner og kateterne, hypotenusen i en retvinklet trekant. Udfyld skemaets tomme

rubrikker med en decimals nøjagtighed:

6 5 13,2

7 12 27,3

10 25 21,4 48,1

9. * På Jens Hansens bondegård findes en kvadratisk mark, der er 120 meter på hver led. Inde på

marken ligger en brønd ( ), og Jens Hansen ved, at brønden har samme afstand til de to hjørner og

som til siden . Han plejer at drille sine gæster med spørgsmålet: Hvor stor er denne afstand?

12

Øve vinkler i retvinklede trekanter

f

Brug sinus, Pythagoras og vinkelsum til at bestemme en ukendt side eller vinkel

(angivet ved bogstav. Formel og mellemregninger anføres).

47°

°

51°

°

4,8

d

24

d 24 24

sin(47 ) sin(90 )

1

24 sin(47 )

d 17.6

sin(90 )

39°

°

g

°

40

34

24°

°

27

sin( E)

sin(90 )

1

27 40 40

27 sin(90 )

sin( E)

40

1

27 sin(90 )

E sin 42, 4

40

(Kun den spidse vinkel kan

bruges her)

28

H

13

25

35

i

31

52°

°

L

41

32

°

35°

°

37

°

m

°

k

°

46°

°

N

50

57

43

14

Sammensatte opgaver.

Drage

Figur 1

Figur 2

Figur 1 viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet.

a) Bestem vinkel C i trekant AHC .

Bestem | AH| .

b) Bestem vinkel A i trekant ABC .

Løs opgaven, idet vinkler og sider i trekant AHC kaldes A1, H1 , C1 hhv. a1, h1, c1

Og vinkler og sider i trekant AHB kaldes A2, H2 , B2 hhv. a2, h2, b2

Tegn trekanter med de betegnelser og kendte mål anført.

15

TREKANT AHC

h1=

A

1

(A i TREKANT ABC)

A

2

A1

c1

TREKANT AHB

A2

b2

c1=14.967

(A i TREKANT ABC)

A2

A1

h2

H1

C

1

a2

=

a1

=

Trekant AHC er retvinklet . Pythagoras:

| | √( ) ( ) √

Altså |AH| =14,97 cm

Sinusrelationen:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

(spids vinkel)

Altså: Vinkel C i trekant AHC er 29,9°

Vinkel A i trekant ABC er A1 + A2

A1 findes ved hjælp af vinkelsum I trekant AHC

(ovenfor):

A1 = 180 ° – H1 – C1 = 180 ° – 90° – 29,927°

=60,97°

A2 findes I trekant AHB, se nedenfor

Trekant ABC er retvinklet . Pythagoras:

√( ) ( ) √

Sinusrelationen:

(spids vinkel)

( )

( )

( ) ( )

( ( )

( ( )

)

)

A = A1 + A2 = 60,97° + 40,975° = 101,945°

Vinkel A i trekant ABC er 101,9°

16

Øvelser fra Clausen, Schomacher, Tolnø: ”Gyldendals Gymnasiematematik” arbejdsbog B1

17

6. Et højhus på etager er meter højt. En frostklar vintermorgen står solen over horisonten.

Hvor lang en skygge kaster højhuset?

Hvis skyggens længde er meter, hvor højt står solen så over horisonten? Tegn en skitse, der

viser situationen.

7. Ved ebbe er en strand meter bred, og vandoverfladen danner en vinkel på med sandet. Fra

ebbe til flod stiger vandet meter. Beregn strandens bredde ved flod.

8. To lige høje højhuse ligger i en indbyrdes afstand på meter. Sigtelinjen fra foden af det ene

højhus til toppen af det andet danner en vinkel på med vandret. Beregn husenes højde.

9. Ved bredden af en skovsø står et højt træ. Klatrer man op i træet til en gren i meters højde og sigter

mod skovsøens modsatte bred, danner sigtelinjen en vinkel på med vandret. Hvor bred er søen

ud for træet?

18

Skriftlige eksamensopgaver

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006:

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2008:

19

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006:

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006:

20

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau Maj 2006:

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006:

21

Øvehæfte del 2 trigonometri (inkl. Skævvinklede)

Trekantens vinkelsum

Vi starter med en sætning om vinklerne i en trekant:

Vinkelsummen i en trekant er 180

Det vil sige at A + B + C = 180

Øvelse 1

Øvelse 2

A = 57

B = 41

Beregn vinkel C

A = 38

C = 112

Beregn vinkel B

Undersøg (Google eller matematikbog eller lignende) nedenstående:

1. Hvad er en ligesidet trekant ? Tegn en ligesidet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en

ligesidet trekant?

2. Hvad er en ligebenet trekant? Tegn en ligebenet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en

ligebenet trekant?

3. Hvad er en retvinklet trekant? Tegn en retvinklet trekant (se evt. side 214). Hvad kan man sige om

vinklerne i en retvinklet trekant?

4. Tegn en trekant hvor en af vinklerne er stump.

5. Kan en trekant have to stumpe vinkler?

6. Hvad er ensvinklede trekanter? Regn

22

Areal af trekanter.

Øvelse 3

En trekant har en højde på 14 og en grundlinje på 32.

Tegn en skitse af trekanten og skriv målene på tegningen.

Beregn arealet af trekanten.

Facit: C = 82º B = 30º Areal = 224

Trekantens areal: eksempler og øvelser

Arealet af en trekant betegnes T

For en trekant med grundlinje g og højde h gælder formlen T = ½ . h . g

Eksempel 1:

En trekant har grundlinje g = 16 og højde h = 5

Arealet T = ½ . h . g = 0.5 . 5 . 16 = 40

Eksempel 2:

En trekant har areal T = 68 og højde h = 8. Vi skal beregne grundlinjen g.

T = ½ . h . g

68 = 0.5 . 8 . g

68 = 4 . g

= g

17 = g

Eksempel 3:

En trekant har areal T = 126 og grundlinje g = 18. Vi skal beregne højden h.

T = ½ . h . g

126 = 0.5 . h . 18

126 = 9 . h

= h

14 = h

g

23

Øvelse 1:

En trekant har grundlinje 14 og højde 7. Tegn trekanten og beregn arealet.

Øvelse 2:

En trekant har areal 540 og grundlinje 120. Beregn højden.

Øvelse 3:

En trekant har areal 55 og højde 22. Beregn grundlinjen.

Facit: 49 9 5

24

Retvinklet trekant, sider og areal øvelser

Øvelse 1

Sæt navne (katete, hypotenuse) på siderne i trekanterne:

Pythagoras Sætning:

(den ene katete) 2 + (den anden katete) 2 = (hypotenusen) 2

a 2 + b 2 = c 2 dvs. √ , katete = √

Øvelse 2 Beregn længden af den tredje side i trekanten:

9

17

Øvelse 3 Beregn længden af den tredje side i trekanten:

Arealet af en retvinklet trekant:

En halv gange den ene katete gange den anden katete

½ . a . b

Øvelse 3 Beregn arealet af trekanten:

Øvelse 4 Beregn den tredje side i trekanten og beregn derefter arealet:

7 13

Facit: 19.2 88.6 70 10.95445115 38.3

10

14

159

132

25

Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling

vælg formel og løs opgaven

8 15

?

? Bestem denne vinkel

39º ? bestem denne side

9

Bestem ?

denne

side

3

Bestem denne

side ?

29º

14

Facit: 32.2º 11.6 10.4 28.9

10

26

Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant.

En side og to vinkler kendes.

I en trekant er A = 43 og B = 69 og siden b = 6.5 Tegn trekanten !

Beregn siden a ved at indsætte i formlen:

a

sin(A)

a

sin(

b

sin(B)

) sin(

isoler a ( se evt. formelsamling)

a =

Beregn vinkel C ved at bruge at vinkelsummen er 180

C = 180 A B

C = 180 =

Beregn siden c ved at indsætte i formlen:

c

sin(C)

c

sin(

b

sin(B)

) sin(

isoler c (eller brug formelsamlingen)

c =

Facit: a = 4.7 C = 68 c = 6.5

)

)

27

Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel

En vinkel og to sider er kendt (bl. a. siden overfor den kendte vinkel)

Hvis man ved at en vinkel er stump eller ret kan man bruge sinusrelationerne til at bestemme en vinkel.

(ellers kan der være to svar)

Eksempel:

I en trekant er A = 93 og siden b = 6.5 og siden a = 13.2

Da vinkel A er stump, og der højst kan være en stump vinkel i en trekant, ved vi at vinkel B er

spids.

Vi kan nu beregne vinkel B ved at indsætte i formlen:

sin(B) sin(A)

B

b a

sin(B) sin(93)

6.5 13.2

sin(B) = sin(93) 6.5

13.2

B = arcsin( sin(93) 6.5

13.2 ) (Da B vides spids)

B = 29.45562903

13.2

A =93º 6.5 C

(arcsin er det, der på lommeregneren skrives sin -1 . Se i øvrigt færdig formel i formelsamling)

Øvelse 1:

Øvelse 2:

I en trekant er A = 113 og siden c = 134 og siden a = 985

Tegn trekanten og beregn vinkel C ved at indsætte i formlen:

sin(C) sin(A)

c a

I en trekant er A = 105 og siden a = 17.8 og siden b = 9.4

Beregn vinkel B og C og siden c

Facits C = 7.2 B = 30.7 C = 44.3 c = 12.9

28

Arealformlen med sinus

Anvendelse af arealformlen : T = ½ . a . b . sin(C) = T = ½ . a . c . sin(B) = T = ½ . b . c . sin(A)

Eksempel 1:

Løsning:

Eksempel 2:

Løsning:

Øvelse 1:

Øvelse 2:

I trekant ABC er a = 25 b = 27 og C = 39º

Bestem arealet B

Arealet er T = ½ . 25 . 27 . sin(39º) = 212.4 25

I trekant ABC er a = 33 og C = 42º

Trekantens areal er 430.6

Bestemm siden b

A C

Vi bruger formlen T = ½ . a . b . sin(C) og indsætter de størrelser vi kender

430.6 = ½ . 33 . b . sin(42º)

430.6

= b

½ 33

sin(42)

vi isolerer den ubekendte b

39.0 = b

I trekant ABC er a = 3.8 og c = 5.9 og vinkel B = 65º

Beregn trekantens areal

I trekant ABC er vinkel A = 71º og b = 12.3 og arealet = 49.4

Beregn længden af siden c

Facits: 10.2 8.5

27

29

Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side

a 2 = b 2 + c 2 2·b·c·cos(A)

b 2 = a 2 + c 2 2·a·c·cos(B)

c 2 = a 2 + b 2 2·a·b·cos(C)

Eksempel: I trekant ABC er

b = 11 c = 13 A = 49

Beregn siden a

Løsning:

√ ( )

a = 10.1

√ ( )

Øvelse 1: I trekant ABC er

a = 15 b = 18 C = 31

Beregn siden c

Brug formlen √ ( )

Øvelse 2: I trekant ABC er

a = 110 c = 83 B = 57

Beregn siden b

Facits til øvelserne: c = 9.3 b = 95.1

30

Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel

cos(A) =

cos(B) =

cos(C) =

b c - a

2bc

2 2 2

a c - b

2ac

2 2 2

a b - c

2ab

2 2 2

Eksempel: I trekant ABC er

a = 3 b = 5.5 c = 4

Beregn vinklerne

Løsning:

(arccos er det, der på lommeregneren skrives cos -1 )

Øvelse:

2 2 2

A =

b c - a

arccos

2bc

2 2 2

A = 5.5 4 - 3

arccos

2 5.54 2 2 2

a c - b

| B = arccos

2ac

|

2 2 2

3 4 - 5.5

| B = arccos

2 34

|

A = 32.2 | B = 102.6

C = 180 A B

= 180 32.2 102.6 = 45.2

I trekant ABC er

a = 11 b = 8 c = 14

Beregn vinklerne

Facits: til øvelsen A = 51.6 B = 34.8 C = 93.6

31

Opsamlingsøvelser trigonometri

1. Bestem længden af den sidste side.

Bestem de to manglende vinkler.

2 Bestem den sidste vinkel.

Bestem de to manglende sider.

3 Bestem vinklerne.

4. Bestem en vinkel.

Bestem den sidste vinkel.

Bestem den sidste side.

10

67

12

18 67º

82º 48º

17 12

16

8 11

Facit: 17.2 73.3º 39.7º 50º 13.3 10.3 73.2º 64.3º 42.5º 40.4º 76.6º 12

63º

32

Trigonometri oversigt

Til mundtlig eksamen skal du bl.a. kunne:

1. Definitioner i forbindelse med trekanter og specielt retvinklet trekant.

2. Bevis for at en trekants vinkelsum er 180 grader

3. Definition af sinus og cosinus ( v. hj. a. enhedscirkel).

4. Beviset for sinusrelationen i retvinklet trekant.

5. Beviserne for sinusrelationerne i vilkårlig trekant.

6. Beviset for arealformlerne i vilkårlig trekant.

7. Beviserne for cosinusrelationerne i spidsvinklet trekant.

Til skriftlig eksamen skal du bl.a. kunne:

Med hjælpemidler:

1. Beregning af forstørrelsesfaktor og sider i ensvinklede trekanter.

2. Beregning af sider ved hjælp af Pythagoras sætning i retvinklet trekant.

3. Beregninger i retvinklet trekant med sinus

4. Beregninger i vilkårlig trekant

5. Beregninger i andre figurer, der kan opdeles i trekanter

6. Kendskab til højde, vinkelhalveringslinje, median og midtnormal.

33

More magazines by this user
Similar magazines