Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen
Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen
Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
B.4. ELEMENTSTIVHEDSMATRIX FOR 8-KNUDERS ELEMENT 23<br />
2n − 1, hvorn angiver antallet af integrationspunkter. For at opnå en eksakt<br />
løsning skal det ydermere gælde, at elementet har form som et parallelogram.<br />
Ovenstående eksempel er lavet ud fra en endimensionel betragtning,<br />
men er også gældende i todimensionelle problemstillinger, hvilket bl.a. er<br />
tilfældet ved de isoparametriske elementer. I tilfældet, hvor det isoparametriske<br />
8-knuders element har form som et parallelogram, vil det for at opnå<br />
en eksakt løsning være nødvendigt med tre integrationspunkter ad hhv. ξog<br />
η-aksen. De tre integrationspunkter skyldes, at polynomiet er af fjerde<br />
orden, idet formfunktionerne er parabolske. Punkterne er hhv. 0 og ± √ 0,6,<br />
, som illustreret på figur B.9.<br />
mens de tilhørende bredder Wi er 8<br />
9<br />
og 5<br />
9<br />
Figur B.9: 3 × 3 gausspunkter markeret med udfyldte cirker til brug ved numerisk<br />
integration. Afstandene ad η-aksen er identiske med afstandene ad ξ-aksen.<br />
Stivhedsmatricen for de isoparametriske 8-knuders elementer kan herefter<br />
ved brug af numerisk integration bestemmes til:<br />
K e =<br />
3<br />
3<br />
i=1 j=1<br />
B eT D B e t det(J) Wi Wj<br />
(B.59)<br />
hvor indeks i referer til summation over ξ-integrationspunkterne, og indeks<br />
j refererer til η-integrationspunkterne.<br />
I praksis har det vist sig, at legemets stivhed kan blive overestimeret i forhold<br />
til legemets virkelige stivhed ved en eksakt integration. Ved et lavere antal<br />
integrationspunkter kan regnetiden reduceres, og det har i praksis vist sig,<br />
at resultaterne bliver tilfredsstillende ved en tilpas fin inddeling af legemet.<br />
I dette projekt vælges det imidlertid at lave en integration ved brug af 3 ×<br />
3 integrationspunkter.