27.07.2013 Views

Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

B.4. ELEMENTSTIVHEDSMATRIX FOR 8-KNUDERS ELEMENT 23<br />

2n − 1, hvorn angiver antallet af integrationspunkter. For at opnå en eksakt<br />

løsning skal det ydermere gælde, at elementet har form som et parallelogram.<br />

Ovenstående eksempel er lavet ud fra en endimensionel betragtning,<br />

men er også gældende i todimensionelle problemstillinger, hvilket bl.a. er<br />

tilfældet ved de isoparametriske elementer. I tilfældet, hvor det isoparametriske<br />

8-knuders element har form som et parallelogram, vil det for at opnå<br />

en eksakt løsning være nødvendigt med tre integrationspunkter ad hhv. ξog<br />

η-aksen. De tre integrationspunkter skyldes, at polynomiet er af fjerde<br />

orden, idet formfunktionerne er parabolske. Punkterne er hhv. 0 og ± √ 0,6,<br />

, som illustreret på figur B.9.<br />

mens de tilhørende bredder Wi er 8<br />

9<br />

og 5<br />

9<br />

Figur B.9: 3 × 3 gausspunkter markeret med udfyldte cirker til brug ved numerisk<br />

integration. Afstandene ad η-aksen er identiske med afstandene ad ξ-aksen.<br />

Stivhedsmatricen for de isoparametriske 8-knuders elementer kan herefter<br />

ved brug af numerisk integration bestemmes til:<br />

K e =<br />

3<br />

3<br />

i=1 j=1<br />

B eT D B e t det(J) Wi Wj<br />

(B.59)<br />

hvor indeks i referer til summation over ξ-integrationspunkterne, og indeks<br />

j refererer til η-integrationspunkterne.<br />

I praksis har det vist sig, at legemets stivhed kan blive overestimeret i forhold<br />

til legemets virkelige stivhed ved en eksakt integration. Ved et lavere antal<br />

integrationspunkter kan regnetiden reduceres, og det har i praksis vist sig,<br />

at resultaterne bliver tilfredsstillende ved en tilpas fin inddeling af legemet.<br />

I dette projekt vælges det imidlertid at lave en integration ved brug af 3 ×<br />

3 integrationspunkter.

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!