Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

Følgende matricer defineres:
Kii = Ti K Ti T
Kie = Ti K Te T
Kei = Te K Ti T
Kee = Te K Te T
35
(C.10)
(C.11)
(C.12)
(C.13)
fi = Ti f (C.14)
fe = Te f (C.15)
Ved anvendelse af ovenstående definitioner kan formel C.9 omskrives til:
ΠP = 1
2 ai T Kii ai + 1
2 ai T Kie ae + 1
2 ae T Kei ai + 1
2 ae T Kee ae − ai T fi − ae T fe
(C.16)
Variationen af den potentielle energi, δΠP , med hensyn til de interne knudeflytninger,
ai, findes til følgende formel, idet der kun er medtaget lineære
led, da størrelsen af de ikke lineære led er negligeable:
δΠP (ai) =ΠP (ai + δai) − ΠP (ai)
= 1
2δai T Kii ai + 1
2ai T Kii δai + 1
2δai T Kie ae + 1
2ae T Kei δai − δai T fi
(C.17)
Da størrelserne 1
ves til:
2ai T Kii δai og 1
2ae T Kei δai begge er skalarer, kan de omskri-
1
2ai T
1
Kii δai = 2ai T T Kii δai = 1
2δai T Kii T ai
1
2ae T
1
Kei δai = 2ae T T Kei δai = 1
2δae T Kei T ai
(C.18)
(C.19)
Da det herudover vides, at Kii = Kii T og Kei T = Kie, kan ændringen i den
potentielle energi, jf. formel C.17, omskrives til:
δΠP (ai) =δai T Kii ai + δai T Kie ae − δai T fi
(C.20)
Variationen af den potentielle energi med hensyn til de interne knudeflytninger
skal være nul for alle værdier af δai. Dette kan gøres uafhængigt af andre
elementer, da de interne knuder ikke deles med andre elementer. Herved kan
de interne knudeflytninger, ai, skrivessom:
δai T Kii ai + 1
2δai T Kie ae − δai T fi =0⇔ (C.21)
(C.22)
−1
ai = Kii fi − Kie ae