ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

Indhold
ØVEHÆFTE
FOR MATEMATIK C
GEOMETRI
Begreber i klassisk geometri + formelsamling ............................................................................................. 2
Ensvinklede trekanter ................................................................................................................................... 7
Pythagoras’ Sætning ................................................................................................................................... 10
Øve vinkler i retvinklede trekanter.............................................................................................................. 15
Sammensatte opgaver. ................................................................................................................................ 17
Ligebenede trekanter .................................................................................................................................. 21
Skriftlige eksamensopgaver (1) .................................................................................................................. 23
2. del af hæftet side 26
1

Begreber i klassisk geometri + formelsamling
I matematikundervisningen forudsætter vi følgende begreber og sætninger i plangeometrien
(Frit efter Euklid ca. 300 f. kr.).
Tilføj selv forklaringer og kommentarer
1. Punkt
2. Linje (også kaldet ret linje),
halvlinje,
linjestykke
3. Cirkel,
centrum, radius
4. Vinkel
5. Topvinkler er lige store
6. Ret vinkel (90 = 1
2
radianer)
Vinkel på 180 =
radianer Vinkel på 360 =
2 radianer
7. Parallelle linjer
8. Ensliggende vinkler ved
linje, der skærer parallelle
linjer
9. En trekants vinkelsum er
180
A + B + C = 180
- og beviset
10. Sætningen om
ensvinklede trekanter
11. (Krum) kurve
c
b
C
A B
a
180 = 3,14.. rad.
A B
c1
B A
C
C
b1
a1
2

Ensvinklede trekanter
Vilkårlig trekant
Spids vinkel:
a1
g
Retvinklet trekant
hyp
b
h
C
a
b
mellem 0° og 90°
b
b1
c
a
c1
A
a
C
c
B
b
Stump vinkel:
a
mellem 90° og 180°
To trekanter, ABC og A1B1C1 kaldes ensvinklede hvis
vinklerne opfylder A=A1 , B=B1 og C=C1
For sidelængderne i to ensliggende trekanter gælder:
a1 b1 c1
a b c
k
Eller: Der findes et fælles tal, k, sådan at
a ∙ k = a1
b ∙ k = b1
c ∙ k = c1
k kaldes forstørrelsesfaktor, skalafaktor,
målestoksforhold.
Trekantens areal T:
T = 0.5 ∙ g ∙ h = 0.5 ∙ a ∙ b ∙ sin(C)
Vinkelsummen: A + B + C = 180°
(hvoraf f. eks. A = 180° – B – C )
Sinusrelation
side:
b sin( A)
a
sin( B)
sin( A) sin( B) sin( C)
a b c
vinkelberegning:
1
asin( B)
A sin ( spids vinkel)
b
eller
1
a sin( B)
A 180 sin ( stump vinkel)
b
Cosinusrelation (ikke Mat C-stof før maj 2011)
Side-beregning:
2 2 2
c a b 2 a b cos( C)
2 2
c a b 2 a b cos( C)
Vinkel-beregning:
C cos
1
I en retvinklet trekant ( 90° vinkel ) gælder
Pythagoras:
Omformning af a 2 + b 2 = hyp 2
2 2
hyp a b
2 2
b hyp a
2 2 2
a b c
2 a b
4

Retvinklet trekant (fortsat)
hyp
Sinus, cosinus, tangens i retvinklet trekant:
I en retvinklet trekant gælder for en spids vinkel, v:
sinv
cos v
tan v
Højde, median og vinkelhalveringslinje i vilkårlig trekant
Firkanter
v
Hosliggende
katete til v
Modstående
katete til v
Kvadrat
Rektangel
Areal = Længde ∙
Bredde
modstående katete til v
hypotenuse
hosliggende katete til v
hypotenuse
modstående katete til v
hosliggende katete til v
En ”model” i geometri er en tegning med navne og evt.
mål på indgående punkter, linjestykker, vinkler o.s.v.
Parallelogram
Trapez
5

Ensvinklede trekanter
Trekanterne nedenfor er ensvinklede. Det vil sige, at ensliggende vinkler er lige store, eller mere
præcist:
, og .
For ensvinklede trekanter gælder, at forholdet mellem ensliggende sider er det samme. Dette
betyder, at der gælder om siderne:
I dette konkrete tilfælde er
Man siger, at der er en skalafaktor mellem de to trekanter på ½. Dette betyder løst sagt, at
er halvt så stor som . Andre ord for skalafaktor: målestoksforhold, forstørrelsesfaktor
OPGAVER
1. Beregn siderne og i disse ensvinklede trekanter.
b 11
1
5
19
8
a
Vi isolerer a ….
Vi isolerer b ….
7

2.
Det vides, at og er ensvinklede og at
| | | | | | og | |
. Overfør målene til trekanterne og beregn
siderne | | og | |.
3.
Det vides, at og er ensvinklede og at
| | | | | | og
| | . Overfør målene til trekanterne og
beregn siderne | | og | |.
4.
Trekanterne og er ensvinklede med
, , ’ og ’ . Beregn
sidelængderne ’ og .
5.
I er | | | | og | | . I er | | | | og | |
. Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren?
8

6. I er | | | | og | | . I er | | | | og
| | . Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren?
7. Et træ kaster en 8,5 meter lang skygge, mens en 1 meter høj pind kaster en skygge på 0,9
meter. Tegn en skitse og beregn træets højde.
8. En eftermiddag kaster et 12 meter højt hus en skygge på 20 meter. Tegn en skitse og
beregn, hvor lang en skygge kaster naboens 16 meter høje hus på samme tid?
9. Trekanterne og er ensvinklede. Siden | | er og arealet af er
10. Skalafaktoren mellem de to er . Bestem længden af højden på siden | |.
10. Det vides, at og er ensvinklede. Skalafaktoren er 3. Hvor mange gange
større er arealet af end arealet af ?
9

Pythagoras’ Sætning
I retvinklede trekanter (og kun i retvinklede trekanter) gælder Pythagoras’ Sætning. En retvinklet
trekant har to kateter (dvs. de sider som danner den rette vinkel) og en hypotenuse (dvs. den side
som ligger over for den rette vinkel).
I en retvinklet trekant ( 90° vinkel ) gælder
hyp
b
Pythagoras:
OPGAVER
1. Marker den rette vinkel og hypotenusen i følgende retvinklede trekanter:
2. Beregn hypotenusen i en retvinklet trekant, når det vides at
- kateterne er henholdsvis 3 og 4
- kateterne er henholdsvis 8 og 6
a
- kateterne er henholdsvis 5 og 12
3. Beregn den manglende katete, når det vides at
- hypotenusen er 10 og den ene katete er 7
- hypotenusen er 14,2 og den ene katete er 8,6
- hypotenusen er 14,7 og den ene katete er 5,2
Omformning af a 2 + b 2 = hyp 2
2 2
hyp a b
2 2
b hyp a
10

Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et
bogstav.
Start med at markere den rette vinkel, og skriv ”hyp” på
hypotenusen.
5
11
f
13
8
c
=hyp hyp
g
9
25 24
d
7
12
10
5
h
20
e
11

10
14
15
i
L
48
3,6
j
45
3,1
m 0,8
36
3,7
n
2,1
k
12
0,5

4. På figuren nedenfor ses , hvor .
- Beregn siden , når det vides at og
- Beregn siden , når det vides at og
- Beregn siden , når det vides at og
5. Opskriv Pythagoras’ Sætning for nedenstående :
Beregn hypotenusen, givet at kateterne er henholdsvis og .
6. Opskriv Pythagoras’ Sætning for nedenstående :
Beregn c, givet at a= 8 og b= 4
13

7. Afgør hvilke af følgende trekanter, der ikke kan være retvinklet:
- når , og
- når , og
- når , og
- når , og
8. I skemaet betegner og kateterne, hypotenusen i en retvinklet trekant. Udfyld
skemaets tomme rubrikker med en decimals nøjagtighed:
6 5 13,2
7 12 27,3
10 25 21,4 48,1
9. * På Jens Hansens bondegård findes en kvadratisk mark, der er 120 meter på hver led.
Inde på marken ligger en brønd ( ), og Jens Hansen ved, at brønden har samme afstand
til de to hjørner og som til siden . Han plejer at drille sine gæster med
spørgsmålet: Hvor stor er denne afstand?
14

Øve vinkler i retvinklede trekanter
f
Brug sinus, Pythagoras og vinkelsum til at bestemme en ukendt side eller vinkel
(angivet ved bogstav. Formel og mellemregninger anføres).
47°
°
°
°
51°
°
°
°
4,8
d
24
d 24 24
sin(47 ) sin(90 )
1
24 sin(47 )
d 17.6
sin(90 )
39°
°
°
°
g
°
°
E°
°
°
°
40
34
24°
°
°
°
27
sin( E)
sin(90 )
1
27 40 40
27 sin(90 )
sin( E)
40
1
27 sin(90 )
E sin 42, 4
40
(Kun den spidse vinkel kan
bruges her)
28
°
15
H
°

25
35
°
°
i
31
52°
°
°
°
L
41
32
°
°
35°
°
°
°
J°
37
°
m
°
k
°
°
46°
°
°
°
N
50
57
16
43

Sammensatte opgaver.
Drage
Figur 1
Figur 2
Figur 1 viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet.
a) Bestem vinkel C i trekant AHC .
Bestem | AH| .
b) Bestem vinkel A i trekant ABC .
Løs opgaven, idet vinkler og sider i trekant AHC kaldes A1, H1 , C1 hhv. a1, h1, c1
Og vinkler og sider i trekant AHB kaldes A2, H2 , B2 hhv. a2, h2, b2
Tegn trekanter med de betegnelser og kendte mål anført.
17

TREKANT AHC
h1=
(A i TREKANT ABC)
TREKANT AHB
(A i TREKANT ABC)
A
A
1
2
A1
A
2
A1
h2
c1
A2 b2
c1=14.967
H1
C
1
a2
=
a1
=
Trekant AHC er retvinklet . Pythagoras:
| | √( ) ( ) √
Altså |AH| =14,97 cm
Sinusrelationen:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
(spids vinkel)
Altså: Vinkel C i trekant AHC er 29,9°
Vinkel A i trekant ABC er A1 + A2
A1 findes ved hjælp af vinkelsum I trekant AHC
(ovenfor):
A1 = 180 ° – H1 – C1 = 180 ° – 90° – 29,927°
=60,97°
A2 findes I trekant AHB, se nedenfor
Trekant ABC er retvinklet . Pythagoras:
√( ) ( ) √
Sinusrelationen:
(spids vinkel)
( )
( )
( ) ( )
( ( )
( ( )
)
)
A = A1 + A2 = 60,97° + 40,975° = 101,945°
Vinkel A i trekant ABC er 101,9°
18

Øvelser fra Clausen, Schomacher, Tolnø: ”Gyldendals Gymnasiematematik” arbejdsbog B1
19

6. Et højhus på etager er meter højt. En frostklar vintermorgen står solen over
horisonten. Hvor lang en skygge kaster højhuset?
Hvis skyggens længde er meter, hvor højt står solen så over horisonten? Tegn en
skitse, der viser situationen.
7. Ved ebbe er en strand meter bred, og vandoverfladen danner en vinkel på med
sandet. Fra ebbe til flod stiger vandet meter. Beregn strandens bredde ved flod.
8. To lige høje højhuse ligger i en indbyrdes afstand på meter. Sigtelinjen fra foden af
det ene højhus til toppen af det andet danner en vinkel på med vandret. Beregn
husenes højde.
9. Ved bredden af en skovsø står et højt træ. Klatrer man op i træet til en gren i meters
højde og sigter mod skovsøens modsatte bred, danner sigtelinjen en vinkel på med
vandret. Hvor bred er søen ud for træet?
20

Ligebenede trekanter
Pythagoras’ Sætning (og visse trigonometriske formler) gælder kun i retvinklede trekanter. De
kan også ofte være nyttige i forbindelse med ligebenede trekanter (som ikke nødvendigvis er
retvinklede). Sådanne kan nemlig opdeles i to (ensvinklede) retvinklede trekanter som vist på
tegningen:
Her er den ligebenede inddelt i to retvinklede trekanter, nemlig og .
OPGAVER
1. er ligebenet, idet . Desuden er og . Beregn og .
2. er ligebenet, og . Desuden er . Find trekantens ukendte sider
og vinkler.
21

3. er ligebenet med . Desuden er . Bestem de resterende sider
og vinkler i trekanten.
4. I er | | | | , mens højden fra er . Beregn | | samt trekantens
vinkler og areal.
5. I en ligebenet trekant er grundlinjen , og højden på et af benene er . Beregn de
manglende sider og vinkler i trekanten.
22

Skriftlige eksamensopgaver
Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006:
Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2008:
23

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006:
Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006:
24

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau Maj 2006:
Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006:
25

Øvehæfte del 2 trigonometri (inkl. Skævvinklede)
Side 1 Trekantens vinkelsum
Side 2 Areal af trekanter.
Side 3 Ensvinklede trekanter
Side 4 Retvinklet trekant, sider og areal
Side 5 Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling
Side 6 Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant.
Side 7 Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel
Side 8 Arealformlen med sinus
Side 9 Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side
Side 10 Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel
Side 11 Opsamlingsøvelser trigonometri (blandede)
Side 12 Trigonometri oversigt
Trekantens vinkelsum
Vi starter med en sætning om vinklerne i en trekant:
Øvelse 1
Øvelse 2
A = 57
B = 41
Beregn vinkel C
A = 38
C = 112
Beregn vinkel B
Vinkelsummen i en trekant er 180
Det vil sige at A + B + C = 180
Under søg (Google eller matematikbog eller lignende) nedenstående:
1. Tegn en ligesidet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en ligesidet trekant?
2. Tegn en ligebenet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en ligebenet trekant?
3. Tegn en retvinklet trekant (se evt. side 214). Hvad kan man sige om vinklerne i en
retvinklet trekant?
4. Tegn en trekant hvor en af vinklerne er stump.
5. Kan en trekant have to stumpe vinkler?
26

Areal af trekanter.
Øvelse 3
En trekant har en højde på 14 og en grundlinje på 32.
Tegn en skitse af trekanten og skriv målene på tegningen.
Beregn arealet af trekanten.
Facit: C = 82º B = 30º Areal = 224
Trekantens areal: eksempler og øvelser
Arealet af en trekant betegnes T
For en trekant med grundlinje g og højde h gælder
formlen T = ½ . h . g
Eksempel 1:
En trekant har grundlinje g = 16 og højde h =
5
Arealet T = ½ . h . g = 0.5 . 5 . 16 = 40
Eksempel 2:
En trekant har areal T = 68 og højde h = 8. Vi
skal beregne grundlinjen g.
T = ½ . h . g
68 = 0.5 . 8 . g
68 = 4 . g
= g
17 = g
Eksempel 3:
En trekant har areal T = 126 og grundlinje g =
18. Vi skal beregne højden h.
T = ½ . h . g
126 = 0.5 . h . 18
126 = 9 . h
= h
14 = h
g
Øvelse 1:
En trekant har grundlinje 14 og højde 7. Tegn
trekanten og beregn arealet.
Øvelse 2:
En trekant har areal 540 og grundlinje 120.
Beregn højden.
Øvelse 3:
En trekant har areal 55 og højde 22. Beregn
grundlinjen.
27

Facit: 49 9 5
29

Ensvinklede trekanter
I to ensvinklede trekanter gælder:
Om vinklerne:
A = A1 B = B1 C = C1
Om siderne:
F =
a 1
1 b1
c
a b c
a a F b b
F c c F
1 1
1
a1
a
F
b1
b
F
c1
c
F
Forstørrelsesfaktoren/skalafaktoren/målestoksforholdet betegnes her F.
Andre steder ofte k
Eksempel: De ukendte sider beregnes
Trekanterne er ensvinklede.
Øvelse:
b = 5 b1 = 15 bestem F
a = 7 bestem a1
c1 = 12 bestem c
Tegn skitse af de to trekanter (prøv jer frem)
Løsning: (sæt sidenavne på figur)
a = 6 a1 = 10
10 5
F 1.
666...
6 3
c = 2.5
c c F 2.
51.
666...
4.
17
1
a1
b1 = 12
b1
12
b
F 1.
666...
a
b
b1
7.
2
c
c1
30

Facit: F = 3 a1 = 21 c = 4
Retvinklet trekant, sider og areal øvelser
Øvelse 1
Sæt navne (katete, hypotenuse) på siderne i trekanterne:
Pythagoras Sætning:
(den ene katete) 2 + (den anden katete) 2 = (hypotenusen) 2
a 2 + b 2 = c 2 dvs. √ , katete = √
Øvelse 2 Beregn længden af den tredje side i trekanten:
9
17
Øvelse 3 Beregn længden af den tredje side i trekanten:
Arealet af en retvinklet trekant:
En halv gange den ene katete gange den anden katete
½ . a . b
Øvelse 3 Beregn arealet af trekanten:
Øvelse 4 Beregn den tredje side i trekanten og beregn derefter arealet:
7 13
Facit: 19.2 88.6 70 10.95445115 38.3
10
14
159
132
31

Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling
vælg formel og løs opgaven
8 15
?
? Bestem denne vinkel
39º ? bestem denne side
9
Bestem ?
denne
side
3
Bestem denne
side ?
29º
14
Facit: 32.2º 11.6 10.4 28.9
10
32

Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant.
En side og to vinkler kendes.
I en trekant er A = 43 og B = 69 og siden b = 6.5 Tegn trekanten !
Beregn siden a ved at indsætte i formlen:
a
sin(A)
a
sin(
b
sin(B)
) sin(
isoler a ( se evt. formelsamling)
a =
Beregn vinkel C ved at bruge at vinkelsummen er 180
C = 180 A B
C = 180 =
Beregn siden c ved at indsætte i formlen:
isoler c
c
sin(C)
c
sin(
c =
b
sin(B)
) sin(
Facit: a = 4.7 C = 68 c = 6.5
)
)
33

Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel
En vinkel, siden overfor, og en side til er kendt
Hvis man ved at en vinkel er spids kan man bruge sinusrelationerne til at bestemme en vinkel.
(ellers kan der være to svar)
Eksempel:
I en trekant er A = 93 og siden b = 6.5 og siden a = 13.2
Da vinkel A er stump, og der højst kan være en stump vinkel i en trekant, ved vi at vinkel B er
spids.
Vi kan nu beregne vinkel B ved at indsætte i formlen:
sin(B) sin(A)
B
b a
sin(B) sin(93)
6.5 13.2
sin(93)
sin(B) = 6.5
13.5
sin(93)
B = arcsin( 6.5 ) (Da B vides spids)
13.5
B = 29.45562903
(arcsin er det, der på lommeregneren skrives sin -1 )
Øvelse 1:
Øvelse 2:
I en trekant er A = 113 og siden c = 134 og siden a = 985
Tegn trekanten og beregn vinkel C ved at indsætte i formlen:
sin(C) sin(A)
c a
I en trekant er A = 105 og siden a = 17.8 og siden b = 9.4
Beregn vinkel B og C og siden c
13.2
A =93º 6.5 C
34

Facits C = 7.2 B = 30.7 C = 44.3 c = 12.9
Arealformlen med sinus
Anvendelse af arealformlen : T = ½ . a . b . sin(C) = T = ½ . a . c . sin(B) = T = ½ . b . c . sin(A)
Eksempel 1:
Eksempel 2:
Øvelse 1:
Øvelse 2:
I trekant ABC er a = 25 b = 27 og C = 39º
Arealet er T = ½ . 25 . 27 . sin(39º) = 212.4 25
I trekant ABC er a = 33 og C = 42º
Trekantens areal er 430.6
Vi skal bestemme siden b
B
A C
Vi bruger formlen T = ½ . a . b . sin(C) og indsætter de størrelser vi kender
430.6 = ½ . 33 . b . sin(42º)
430.6
= b
½ 33
sin(42)
vi isolerer den ubekendte b
39.0 = b
I trekant ABC er a = 3.8 og c = 5.9 og vinkel B = 65º
Beregn trekantens areal
I trekant ABC er vinkel A = 71º og b = 12.3 og arealet = 49.4
Beregn længden af siden c
27
35

Facits: 10.2 8.5
36

Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side
a 2 = b 2 + c 2 2bccos(A)
b 2 = a 2 + c 2 2accos(B)
c 2 = a 2 + b 2 2abcos(C)
Eksempel: I trekant ABC er
b = 11 c = 13 A = 49
Beregn siden a
√ ( )
√ ( )
a = 102.367117 7
a = 10.1
Øvelse 1: I trekant ABC er
a = 15 b = 18 C = 31
Beregn siden c
Brug formlen √ ( )
Øvelse 2: I trekant ABC er
a = 110 c = 83 B = 57
Beregn siden b
37

Facits til øvelserne: c = 9.3 b = 95.1
Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel
cos(A) =
cos(B) =
cos(C) =
b c - a
2bc
2 2 2
a c - b
2ac
2 2 2
a b - c
2ab
2 2 2
Eksempel: I trekant ABC er
a = 3 b = 5.5 c = 4
Beregn vinklerne
Øvelse:
2 2 2
A =
b c - a
arccos
2bc
2 2 2
A =
5.5 4 - 3
arccos
2 5.54 A = 32.2 B = 102.6
C = 180 A B = 45.2
I trekant ABC er
a = 11 b = 8 c = 14
Beregn vinklerne
2 2 2
B =
a c - b
arccos
2ac
2 2 2
3 4 - 5.5
B = arccos
2 34
38

Facits: til øvelsen A = 51.6 B = 34.8 C = 93.6
39

Opsamlingsøvelser trigonometri
1. Bestem længden af den sidste side.
Bestem de to manglende vinkler.
2 Bestem den sidste vinkel.
Bestem de to manglende sider.
3 Bestem vinklerne.
4. Bestem en vinkel.
Bestem den sidste vinkel.
Bestem den sidste side.
10
67
12
18 67º
82º 48º
17 12
16
8 11
Facit: 17.2 73.3º 39.7º 50º 13.3 10.3 73.2º 64.3º 42.5º 40.4º 76.6º 12
63º
40

Trigonometri oversigt
Til mundtlig eksamen skal du bl.a. kunne:
1. Definitioner i forbindelse med trekanter og specielt retvinklet trekant.
2. Bevis for at en trekants vinkelsum er 180 grader
3. Definition af sinus og cosinus ( v. hj. a. enhedscirkel).
4. Beviset for sinusrelationen i retvinklet trekant.
5. Beviserne for sinusrelationerne i vilkårlig trekant.
6. Beviset for arealformlerne i vilkårlig trekant.
7. Beviserne for cosinusrelationerne i spidsvinklet trekant.
Til skriftlig eksamen skal du bl.a. kunne:
Med hjælpemidler:
1. Beregning af forstørrelsesfaktor og sider i ensvinklede trekanter.
2. Beregning af sider ved hjælp af Pythagoras sætning i retvinklet trekant.
3. Beregninger i retvinklet trekant med sinus
4. Beregninger i vilkårlig trekant
5. Beregninger i andre figurer, der kan opdeles i trekanter
6. Kendskab til højde, vinkelhalveringslinje, median og midtnormal.
41