Funktioner

fc.vucnordjylland.dk

Funktioner

Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Et koordinatsystem er et diagramsystem, der

har to akser, en vandret akse og en lodret

akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den

lodrette kaldes y-aksen.

Et punkt skrives altid som et kryds × og ikke som en prik eller et kors - dér, hvor de to streger i

krydset mødes, er dér hvor punktet er - et punkt er ikke stort eller lille: et punkt er et sted, der ingen

udstrækning/størrelse har.

Man kan indsætte et punkt i et koordinatsystem, og punktet får et navn afhængig af, hvor det ligger

- punktets navn skrives i en parentes.

Punktet (2,4) hedder sådan, fordi det ligger 2 udad X-aksen og 4 opad Y-aksen

Punktet (5,6) ligger 5 udad X-aksen og 6 opad Y-aksen

Punktet (8,6) ligger 8 udad X-aksen og 6 opad Y-aksen

Hvis man altså skal indsætte et punkt - fx (5,7) - kan det kun ligge ét bestemt sted i

koordinatsystemet og ikke andre steder.

Hvis man omvendt har afmærket et punkt i koordinatsystemet, har dette punkt kun ét bestemt navn

og kan ikke hedde andet.

Et koordinatsystem kan godt vise

punkter, der har negative værdier.

I koordinatsystemet til højre er

x-aksen forlænget til venstre, hvor

aksens negative værdier ligger.

Tilsvarende er y-aksen forlænget

nedad, hvor denne akses negative

værdier ligger.

Det muliggør at indsætte punkter som

fx. (3,-4) og (-5,9) og (-3,-5)

(se figuren til højre)

Hans Pihl, KVUC Side 1

(-5,9)

×

(-3,-5)

×

(2,4)

×

(5,6)

×

(3,-4)

×

(8,6)

×


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Man kan forestille sig at en funktion er en maskine, der "gør noget" ved tal.

På maskinen herunder er der en tragt foroven, hvor man kan smide tal ned (dem kalder vi x´ere),

og når maskinen har gjort noget ved tallene, kommer de ud til højre med en anden værdi (dem

kalder vi y´ere)

forskriften

x´ere

1

y = 2x + 1

3

y´ere

Det maskinen gør ved de tal, der bliver puttet ind, står på skiltet på maskinen - det, der står på

skiltet, kaldes forskriften

På funktionsmaskinen herunder bliver det x, der bliver smidt ned, ganget med 2, og derefter

lægges 1 til, og resultatet kommer ud til højre som en y - dette gøres med alle de tal, der bliver lagt

i tragten.

Lægges 1 ned i maskinen, kommer det ud som 3 (2•1 +1) - altså: hvis x = 1 så bliver y = 3

Lægges 2 ned i maskinen, kommer det ud som 5 (2•2 +1) - altså: hvis x = 2 så bliver y = 5

Lægges 4 ned i maskinen, kommer det ud som 9 (2•4 +1) - altså: hvis x = 4 så bliver y = 9

Lægges 7 ned i maskinen, kommer det ud som 15 (2•7 +1) - altså: hvis x = 7 så bliver y = 15

Dette kan skrives i en tabel: x 1 2 4 7

y 3 5 9 15

Det kan også skrives som (1,3),(2,5),(4,9),(7,15) - det kaldes ordnede par.

De ordnede par er bare en række (x,y)´ere, da alle de første tal i parenteserne (1, 2, 4 og 7) jo er

de x´ere, der bliv smidt ind i maskinen, og alle de sidste tal i parenteserne (3, 5, 9 og 15) er de

y´ere, der kom ud.

De ordnede par er navne på forskellige punkter - vi har altså et punkt, der hedder (1,3), og et punkt

der hedder (2,5) og endelig punkterne (4,9) og (7,15)

Hans Pihl, KVUC Side 2


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Den maskine, der har forskriften y = 2x + 1, har altså punkterne (1,3),(2,5),(4,9),(7,15)

De punkter forskriften har, sætter vi ind i et koordinatsystem:

(2,5)

×

(1,3)

×

(4,9)

×

(7,15)

×

Hvis vi proppede alle tal fra 0 til 15 ind i funktionsmaskinen, ville vi få en hel række af ordnede par

og dermed en række af punkter - alle disse punkter vil ligge på en ret linje, så grafen ville komme til

at se sådan ud:

×

×

×

×

×

×

×

×

y = 2x + 1

Vi har altså her det grafiske billede af funktionen y = 2x + 1

Fordi grafen er en ret linje, kaldes denne funktion en lineær funktion

Hans Pihl, KVUC Side 3


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Det, at der er et bestemt forhold mellem to tal (at 1 bliver til 3, 2 bliver til 5 osv.), kaldes en funktion.

y = 2x + 1 er altså en funktion - her er nogle andre funktioner:

y = 4x - 6

y = -6x + 8

y = 122x + 86

y = 6x (samme som: y = 6x + 0)

y = x (samme som: y = 1x + 0)

Opsumering:

Vi har fx. en funktion med forskriften y = 2x + 1

Værdierne for denne funktion kan vises i et skema

Værdierne i skemaet kan skrives som ordnede par

De ordnede par kan indsættes som punkter i et koordinatsystem

Og det er faktisk den fremgangmåde, man ofte følger: man får en forskrift for en funktion, og man

skal så lave dens grafiske billede i et koordinatsystem.

Beregning af grafen

Forskriften for en lineær funktion er y = 4x – 6 - tegn dens grafiske billede

(1)Vi laver først et skema ved at indsætte x-værdierne 1, 2, 3, 4 og 5 - x´erne og de tilhørende

y-værdier indsættes i skemaet:

x 1 2 3 4 5

y -2 2 6 10 14

(2)Værdierne i skemaet skrives som ordnede par:

(1,-2),(2,2),(3,6),(4,10),(5,14)

(3)De ordnede par indsættes som

punkter i et koordinatsystem…

×

(1,-2)

×

(2,2)

×

(3,6)

×

(4,10)

×

(5,14)

…og (4)der tegnes en linje mellem

punkterne - (5)navngiv grafen

Hans Pihl, KVUC Side 4

×

(1,-2)

×

(2,2)

×

(3,6)

×

(4,10)

×

(5,14)


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Konstruktion af grafen

Hidtil har vi beregnet grafen - dvs. lavet en tabel - indsat x-værdier og beregnet y-værdierne.

Det er også muligt at konstruere grafen.

Har vi en forskrift, kan vi lave dens graf ved at konstruere den v.hj.a. forskriftens a-værdi og dens

b-værdi.

y = x + 2 dvs.: a = 1 b = 2

Grafenkonstrueres sådan:

- afsæt et punkt på y-aksen i 2 (fordi b = 2)

- gå fra dette punkt 1 hen (altid 1 hen) og 1 op (fordi a = 1)

- her afsættes næste punkt

- gå fra dette punkt 1 hen og 1 op og afsæt et punkt

- fortsæt med at går 1 hen og 1 op og afsæt punkter

- forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet

y = -3x – 2 dvs.: a = -3 b = -2

Grafen konstrueres sådan:

- afsæt et punkt på y-aksen i - 2 (fordi b = - 2)

- gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned (ned fordi a er negativ)

- her afsættes næste punkt

- gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned og afsæt et punkt

- fortsæt med at går 1 hen og 3 ned og afsæt punkter

- forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet

Hans Pihl, KVUC Side 5


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Andengradsfunktionen

Forskriften for en lineær funktion er altså på formen y = ax + b

En anden funktion er andengradsfunktionen - den kaldes sådan fordi x er i anden grad -

dens forskrift er på formen y = ax 2 + bx + c

Forskriften for en andengradsfunktion kunne fx være

y = 2x 2 + 5x -4 (hvor a = 2 b = 5 c = -4)

eller

y = -5x 2 - 7x +4 (hvor a = -5 b = -7 c = 4)

eller

y = -x 2 - x (hvor a = -1 b = -1 c = 0)

eller

y = x 2

(hvor a = 1 b = 0 c = 0)

Når man skal lave grafen for en andengradsfunktion, er fremgangsmåden den samme som

for en lineær funktion: vælg nogle x-værdier - indsæt dem i forskriften og beregn nogle yværdier

- disse x- og y-værdier er punkter, der indsættes i et koordinatsystem, og grafen

tegnes gennem disse punkter.

Når man finder punkter til en lineære funktion, er det ligegyldigt, hvilke punkter man finder.

Det er ikke lige gyldigt, hvilke punkter man finder, når det er en andengradsfunktions graf,

man skal lave.

Hvis man har fundet de 5 punkter, som er vist herunder til venstre, har man ingen mulighed

for at tegne grafen - har man derimod fundet de punkter, der er vist til højre, kan man tegne

grafen.

Med andre ord: de punkter man skal finde, er dem, der ligger omkring det punkt, hvor grafen

vender - dette punkt kaldes toppunktet - i dette eksempel er toppunktet (1,-4), så man skal

altså finde de punkter, der ligger omkring punktet (1,-4).

×

×

×

×

×

×

× ×

×

×

Toppunkt

Hans Pihl, KVUC Side 6


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Derfor: Det første man skal gøre, når man skal lave grafen for en andengradsfunktion, er at

finde ved hvilken x-værdi grafen vender, og det gøres med formlen:

x top

−b

=

2a

Køreplanen kunne altså være:

1. find ved hvilken x-værdi grafen vender

2. indsæt denne x-værdi i forskriften - find dens y-værdi og indsæt værdierne i skemaet

3. indsæt 4-6 andre x-værdier, der ligger tæt på Xtop i forskriften, og find deres y-værdier og

indsæt disse i skemaet

Eksempel 1

Tegn grafen for andengradsfunktionen y = x 2 - 2x - 3

x top

x top

−b

=

2a

2

x top =

2

x top = 1

− ( −2)

=

2 ⋅1

Grafen vender altså der, hvor x er 1, så det er de x-værdier, der ligger omkring 1, der er

interessante - disse x-værdier, indsættes i forskriften og deres y-værdier findes

x=1 indsættes i forskriften:

y = x 2 - 2x - 3

y = 1 2 - 2·1 - 3

y = 1 - 2 - 3

y = - 4

x=2 indsættes i forskriften:

y = x 2 - 2x - 3

y = 2 2 - 2·2 - 3

y = 4 - 4 - 3

y = - 3

På samme måde findes y-værdierne for -5, -1, 0 og 6 og disse indsættes i et skema

x -3 -1 0 1 2 3 5

y 12 0 -3 -4 -3 0 12

x=3 indsættes i forskriften:

y = x 2 - 2x - 3

y = 3 2 - 2·3 - 3

y = 9 - 6 - 3

y = 0

Hans Phil, KVUC Side 7


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

inatsystemer

Læg mærke til, at de x-værdier, der ligger lige langt fra 1, har samme y-værdi - det er fordi

grafen er symmetrisk omkring der, hvor x er 1

Beregningerne fra skemaet angives som punkter:

(-3,12) (-1,0) (0,-3) (1,-4) (2,-3) (3,0) (5,12)

punkterne indsættes i et koordinatsystem

grafen tegnes

forskriften angives langs grafen

×

×

×

Hans Pihl, KVUC Side 8

×

×

×

×


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Eksempler på 2. gradsfunktioner

Forskrift: y = 0,1x 2 - 5x + 25

Grafisk billede: en parabel

Forskrift: y = -2x 2 + 5x + 4

Grafisk billede: en parabel

Hans Pihl, KVUC Side 9


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Eksempler på 2. gradsfunktioner

Forskrift: y = 0,1x 2 - 5x + 25

Grafisk billede: en parabel

Forskrift: y = -2x 2 + 5x + 4

Grafisk billede: en parabel

Hans Pihl, KVUC Side 9


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Eksponential-funktionen

En eksponentialfunktion er en funktion af typen y = b · a x

y = 5 x

y = 5 · 4 x

y = 6 · 1,03 x

y = 10 · 0,04 x

Eksempel 1

Forskrift: y = 3 · 2 x

Grafisk billede: en eksponentielt stigende kurve

(stigende fordi a > 1)

Eksempel 2

Forskrift: y = 3 ·0,5 x

Grafisk billede: en eksponentielt faldende kurve

(faldende fordi a < 1)

Hans Pihl, KVUC Side 11


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Hvis man fx. har for 500 kr. aktier,

der stiger 15% hvert år, kan man beregne,

hvor meget aktierne er værd,

efter at de er steget x gange:

y = 500 · 1,15 x

(at gange med 1,15 giver resultatet efter en stigning på 0,15 eller 15%)

En befolkning falder 8% pr. år,

Befolkningstallet er 60.000, og man kan beregne,

hvor mange der er tilbage efter x år:

y = 60.000 · 0,92 x

(at gange med 0,92 giver resultatet efter et fald på 0,08 eller 8%)

y = 500 · 1,15 x

y = 60.000 · 0,92 x

Hans Pihl, KVUC Side 12


Oversigt funktioner og koordinatsystemer

Hvis man fx. har for 500 kr. aktier,

der stiger 15% hvert år, kan man beregne,

hvor meget aktierne er værd,

efter at de er steget x gange:

y = 500 · 1,15 x

(at gange med 1,15 giver resultatet efter en stigning på 0,15 eller 15%)

En befolkning falder 8% pr. år,

Befolkningstallet er 60.000, og man kan beregne,

hvor mange der er tilbage efter x år:

y = 60.000 · 0,92 x

(at gange med 0,92 giver resultatet efter et fald på 0,08 eller 8%)

y = 500 · 1,15 x

y = 60.000 · 0,92 x

Hans Pihl, KVUC Side 12

More magazines by this user
Similar magazines