Eksamensopgave

web.econ.ku.dk

Eksamensopgave

Økonomisk Kandidateksamen

Operationsanalyse

Eksamenstermin: vinter 2005

10. januar 2005

4 timer

Opgavesættet består af 15 spørgsmål af typen multiple choice

Hvert spørgsmål af denne type vægter 5 procent

(der foretages ikke fradrag ved forkert besvarelse)

Sidst i opgavesættet er der tillige en ”traditionel” opgave, der vægter 25 procent

Alle hjælpemidler er tilladt

Besvarelse på dansk

Side 1 af 11


Betragt følgende 4 udsagn:

OPGAVE 1

1. Der kan til et LP problem godt findes en optimal løsning, som IKKE er en basisløsning.

2. Det højeste antal forskellige optimale objektfunktionsværdier, som et LP problem kan have,

er 1.

3. Antallet af forskellige basisløsninger som et LP problem kan have vil altid være lig med

antallet af beslutningsvariable plus antallet af restriktioner.

4. Forskellen mellem udgangspunktet for primal Simplex og dual Simplex er, at primal

Simplex tager udgangspunkt i en lovlig, men ikke nødvendigvis optimal løsning, mens dual

Simplex tager udgangspunkt i en optimal, men ikke nødvendigvis lovlig løsning.

1.1: Hvor mange af ovenstående udsagn er korrekte?

Svar A: 1

Svar B: 2

Svar C: 3

Svar D: 4

Side 2 af 11


OPGAVE 2

Vi betragter denne LP model:

Max z = 4 x1 + 5 x2 + 4 x3

Uht. 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 ≤ 8 (restriktion for knap ressource 1)

4 x1 + 4 x2 + 3 x3 ≤ 10 (restriktion for knap ressource 2)

4 x1 + 5 x2 + 3 x3 ≤ 12 (restriktion for knap ressource 3)

x1, x2, x3 ≥ 0

Modellen er blevet løst med Simplex, hvilket har resulteret i følgende optimale simplextableau:

z x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS

0 0 1 3,25 1 -0,75 0 0,5

0 1 0 -2 -1 1 0 2

0 0 0 -2,75 -1,5 -0,25 1 1,5

1 0 0 1,75 1 0,25 0 10,5

Der skal nu bestemmes 3 hemmelige tal: A, B og C.

Følg nedenstående forskrift til at finde det første hemmelige tal, A:

1. Hvis x2 er i basis sættes A lig med 1, ellers sættes A lig med 0

2. Hvis summen af de 3 beslutningsvariable er større end 3 lægges der 2 til A

3. Hvis 2. restriktion er bindende lægges der 4 til A

Følg nedenstående forskrift til at finde det andet hemmelige tal, B:

1. Hvis summen af de 3 duale variable er større end 3 sættes B lig med 1, ellers sættes B lig

med 0

2. Hvis en forøgelse af højresiden i 3. restriktion i LP modellen medfører en forøget optimal

objektfunktionsværdi, lægges der 2 til B

3. Hvis højresiden i 2. restriktion (der jo har værdien 10) kan sænkes med 3 uden at den

optimale løsning skifter basis, lægges der 4 til B

Følg endelig nedenstående forskrift til at finde det tredje hemmelige tal, C:

1. Hvis modellen udvides med følgende restriktion: ”5 x1 + 4 x2 + 3 x3 ≤ 14” vil denne

restriktion da medføre, at den tidligere fundne løsning ikke længere er optimal? Hvis Ja, så

sættes C lig med 1 og ellers sættes C lig med 0

2. Hvis i stedet modellen udvides med aktivitet x4, der indgår i objektfunktionen med

objektfunktionskoefficienten 6 og anvender forbrug af ressourcerne 1, 2 og 3 på hhv. 6, 5 og

7, vil denne aktivitet da medføre, at den tidligere fundne løsning ikke længere er optimal?

Hvis Ja, så lægges der 2 til C

2.1: Hvad er værdien af A?

Svar A: 1, Svar B: 3, Svar C: 5, Svar D: 7

2.2: Hvad er værdien af B?

Svar A: 0, Svar B: 2, Svar C: 4, Svar D: 5

2.3: Hvad er værdien af C?

Svar A: 0, Svar B: 1, Svar C: 2, Svar D: 4

Side 3 af 11


OPGAVE 3

Der haves følgende lineære programmeringsmodel:

”Model LP”:

Min z = 4 x1 – 2 x2 + x3

Uht. 3 x1 – 7 x2 + 2 x3 ≥ 4

2 x1 + 4 x2 – x3 = 4

–2 x1 – 4 x2 + 3 x3 ≤ –2

x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 URS

Den duale model til ”Model LP” er en af nedenstående modeller:

Model 1:

Max w = 4 y1 – 2 y2 + y3

Uht. 3 y1 + 2 y2 – 2 y3 ≤ 4

–7 y1 + 4 y2 – 4 y3 ≥ 4

2 y1 – y2 + 3 y3 = –2

y1 ≥ 0, y2 ≤ 0, y3 URS

Model 2:

Max w = 4 y1 + 4 y2 – 2 y3

Uht. 3 y1 – 7 y2 + 2 y3 ≥ 4

2 y1 + 4 y2 – y3 = –2

–2 y1 – 4 y2 + 3 y3 ≤ 1

y1 ≥ 0, y2 URS, y3 ≤ 0

Side 4 af 11

Model 3:

Max w = 4 y1 + 4 y2 – 2 y3

Uht. 3 y1 + 2 y2 – 2 y3 ≤ 4

–7 y1 + 4 y2 – 4 y3 ≥ –2

2 y1 – y2 + 3 y3 = 1

y1 ≥ 0, y2 URS, y3 ≤ 0

Model 4:

Max w = 4 y1 + 4 y2 – 2 y3

Uht. 3 y1 + 2 y2 – 2 y3 ≥ 4

–7 y1 + 4 y2 – 4 y3 ≤ –2

2 y1 – y2 + 3 y3 = 1

y1 ≤ 0, y2 URS, y3 ≥ 0

3.1: Hvilken af ovenstående modeller er den duale til ”Model LP”?

Svar A: Model 1

Svar B: Model 2

Svar C: Model 3

Svar D: Model 4

Forsøges ”Model LP” løst vil man opdage, at den har en ubegrænset løsning.

3.2: Hvad kan man på den baggrund sige om løsningen til den duale model til

”Model LP”?

Svar A: Den duale model har ligeledes en ubegrænset løsning

Svar B: Den duale model har én unik, optimal løsningsværdi

Svar C: Den duale model har ingen lovlig løsning

Svar D: Man kan ikke sige noget generelt om den duale models løsning


OPGAVE 4

Betragt et assignmentproblem med følgende vægtmatrix:

3 5 4 3 2

2 4 4 5 2

4 5 3 4 1

4 6 5 3 3

5 6 3 4 4

4.1: Hvad er værdien af det minimale vægtede assignment?

Svar A: 12

Svar B: 13

Svar C: 14

Svar D: 15

OPGAVE 5

Betragt nedenstående netværk med punkterne a, b, c, d og e. Netværket er et strømningsnetværk,

hvor der for hver kant er angivet kantens kapacitet i pilens retning. Eksempelvis kan strømningen i

kant (b,c) være på højest 2 enheder fra punkt b til punkt c. Man er interesseret i den maksimale

strømning fra punkt a til punkt e.

a

3

4

2

b

1

c d

4

5.1: Hvilken mængde af kanter udgør et minimalt snit (engelsk: cut) i

strømningsnetværket?

Svar A: (a,b) og (d,e)

Svar B: (a,b) og (a,c)

Svar C: (a,c), (b,c) og (b,d)

Svar D: (a,c) og (d,e)

5

Side 5 af 11

2

e


OPGAVE 6

Betragt et transportproblem med følgende vægtmatrix:

Modtager 1 Modtager 2 Modtager 3 Modtager 4

Afsender 1 4 3 3 2

Afsender 2 3 4 3 2

Afsender 3 3 2 3 2

Afsender 4 4 3 3 4

Afsender 1 og Afsender 2 kan levere hver 15 enheder, mens Afsender 3 og Afsender 4 hver kan

levere 10 enheder. Tilsvarende kræver Modtager 1 og Modtager 2 at få hver 15 enheder leveret

mens Modtager 3 og Modtager 4 hver har behov for 10 enheder.

6.1: Hvad er værdien af det minimale vægtede transportproblem?

Svar A: 120

Svar B: 125

Svar C: 130

Svar D: 135

Hjælp: Tag evt. udgangspunkt i følgende lovlige basisløsning med vægt 135:

Afsender 1 Modtager 3: 5 enheder

Afsender 1 Modtager 4: 10 enheder

Afsender 2 Modtager 1: 15 enheder

Afsender 2 Modtager 3: 0 enheder

Afsender 3 Modtager 2: 5 enheder

Afsender 3 Modtager 3: 5 enheder

Afsender 4 Modtager 2: 10 enheder

Alle andre transportveje: 0 enheder

Side 6 af 11


OPGAVE 7

Herunder er der anført nogle beregningsstørrelser der anvendes til projektnetværk med en activityon-arc

modellering. Desuden er der angivet forklaringer til størrelserne. Opgaven går ud på at

matche beregningsstørrelserne med forklaringerne.

Beregningsstørrelser Forklaringer

X1 Total float Y1 Beregnes for hver kant/aktivitet. Angiver den

maksimale forøgelse af varigheden af aktiviteten

der isoleret set kan tillades uden at projektets

minimale varighed af den grund forlænges. Det

formodes her at aktiviteten startes tidligst muligt.

X2 Early event time Y2 Beregnes for hvert punkt. Angiver det seneste

tidspunkt, hvor aktiviteterne der udgår fra punktet

kan starte uden at den minimale varighed af det

samlede projekt af den grund forlænges.

X3 Late event time Y3 Beregnes for hver kant/aktivitet. Angiver den

maksimale forøgelse af varigheden af aktiviteten

der kan tillades uden at dette forhindrer andre

aktiviteter i at starte på deres tidligste starttidspunkt

og uden at projektets minimale varighed af den

grund forlænges. Det formodes her at aktiviteten

startes tidligst muligt.

X4 Free float Y4 Beregnes for hvert punkt. Angiver det tidligste

tidspunkt, hvor aktiviteterne der udgår fra punktet

kan starte.

7.1: Hvordan passer beregningsstørrelserne med forklaringerne?

Svar A: (X1, Y3), (X2, Y4), (X3, Y2), (X4, Y1)

Svar B: (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y4), (X4, Y3)

Svar C: (X1, Y3), (X2, Y2), (X3, Y4), (X4, Y1)

Svar D: (X1, Y1), (X2, Y4), (X3, Y2) , (X4, Y3)

Side 7 af 11


OPGAVE 8

Dr. Bellman er enkemand og er netop gået på pension som 65-årig. Han får i denne forbindelse

udbetalt sin kapitalpension på K kr., som udgør hans eneste formuegode. Dertil modtager han en

løbende pensionsydelse, som netop dækker hans faste omkostninger samt almindelige

leveomkostning. Kapitalpensionen er altså til ”alt de sjove”. Han ønsker nu at fordele pengene til

kapitalpensionen over resten af hans levetid.

Han kender naturligvis ikke sin rest-levetid med sikkerhed, men han har indhentet sig følgende

statistik omkring overlevelsessandsynligheder:

pt : sandsynligheden for at en mand med en alder af t år lever mindst ét år mere.

Hvis p75 eksempelvis 0,924 betyder det, at han som 75-årig med 92,4% sandsynlighed vil leve

mindst endnu et år mere, mens han med 7,6% sandsynlighed vil dø i løbet af året (og i så fald

forventeligt efter 6 måneder).

Han estimerer nytten af at forbruge d kr. af kapitalpensionen i det år, hvor han er t år gammel som

værende nt (d). Omvendt sætter han også pris på, at hans arvinger modtager lidt penge, på den vis, at

han tildeler det nytten m(a) om de måtte modtage a kr. efter ham. Nytten m(a) er beskrevet så den

tager hensyn til arveafgift. Han ønsker at maksimere den forventede sum af disse nytter over resten

af hans levetid. Han mener ikke at han behøver tage hensyn til inflationen eftersom kapitalen nok

kan forrentes på linie med inflationen.

Dr. Bellman ønsker at maksimere sin forventede samlede nytte ved anvendelse af dynamisk

programmering. Han vil lade funktionen ft(i) udtrykke sin forventede samlede nytte fra starten af år

t og resten af livet, ved en rest fra kapitalpensionen på i kr. Han er dog i tvivl om, hvilken af

følgende rekursionsformler der som udgangspunkt ligger tættest på at udtrykke hans præferencer:

Formel 1: ft (i) = Max { pt nt (d) + (1 – pt ) [nt (d) + m(i – d)] + pt ft+1 (i – d) }

0 ≤ d ≤ i

Formel 2: ft (i) = Max { pt nt (d) + (1 – pt ) [½ nt (d) + m(i – d/2)] + pt ft+1 (i – d) }

0 ≤ d ≤ i

Formel 3: ft (i) = Max { nt (d) + ½ nt (d) + m(i – d/2) + pt ft+1 (i – d) }

0 ≤ d ≤ i

Formel 4: ft (i) = Max { nt (d) + pt ft+1 (i – d) }

0 ≤ d ≤ i

8.1: Hvilken formel bør Dr. Bellman anvende?

Svar A: Formel 1

Svar B: Formel 2

Svar C: Formel 3

Svar D: Formel 4

Side 8 af 11


OPGAVE 9

En markedsføringsafdeling ønsker at maksimere salget af to produkter, Produkt 1 og Produkt 2, ved

anvendelse af hhv. x kr. og y kr. til markedsføring. Salget kan opstilles som en funktion af x og y:

f(x, y) = a x + b y

hvor a og b er markedstekniske koefficienter med positive værdier.

9.1: Ved anvendelse af et givet, samlet markedsføringsbudget, hvor stor en

andel af budgettet bør da anvendes til markedsføring af Produkt 1 for at

maksimere salget?

Svar A: a ( a + b )

Svar B: a/(a+b)

Svar C: a 2 /(a 2 +b 2 )

Svar D: Det kan ikke beregnes uden at kende markedsføringsbudgettet

OPGAVE 10

Et hotel ønsker at anlægge en taxiholdeplads, og skal beslutte, hvor mange taxier der skal være

plads til. De er klar over, at hvis der ankommer en taxi til holdepladsen på et tidspunkt, hvor denne

er fyldt op, kan taxien ikke standse op og vente på kunder men må køre videre. De forventer at

ventetiden mellem ankomster af kunder er eksponentielfordelt med en middelventetid på 120

sekunder (dvs. 30 kunder/time). Tiden mellem taxiernes ankomst til holdepladsen er

eksponentielfordelt med en middelværdi på 60 sekunder (dvs. 60 taxier/time). Afhængig af

holdepladsens størrelse må mange af taxierne dog forventes at køre videre umiddelbart efter

ankomsten, hvis holdepladsen er fuldt besat. Endelig forventer de at en potentiel kunde vil forlade

holdepladsen straks, hvis der ikke holder en taxi parat.

10.1: Hvor mange taxier skal der mindst være plads til på holdepladsen for at

sandsynligheden for at en kunde ankommer til en tom taxiholdeplads er mindre

end 10%?

Svar A: 2

Svar B: 3

Svar C: 4

Svar D: 5

Side 9 af 11


OPGAVE 11

En detailhandler hjemkøber vaskemaskiner fra en grossist med henblik på salg fra egen forretning.

Hjemtagelsen af vaskemaskiner fra grossisten giver ham, udover variable omkostninger, en fast

omkostning på 2000 kr. per ordre. Fra ordren er afgivet til han modtager vaskemaskinerne går der

en halv måned. Detailhandleren kender ikke sit fremtidige salg med sikkerhed, men forventer, at det

årlige salg er normalfordelt med et gennemsnit på 500 og en varians på (200) 2 . Han har beregnet

sine lageromkostninger til at være 200 kr. per vaskemaskine per år. Hvis en af hans kunder ikke kan

få vaskemaskinen leveret direkte fra detailhandlerens eget lager påløber en estimeret omkostning på

500 kr. i administration og tabt goodwill, men detailhandleren har ikke erfaring for, at handlen i

disse tilfælde er tabt.

11.1: Hvad er den optimale (r; q) lagerpolitik?

Svar A: (78; 100)

Svar B: (123; 100)

Svar C: (78; 200)

Svar D: (123; 200)

I stedet for at tage udgangspunkt i en estimeret omkostning for administration og tabt goodwill

overvejer detailhandleren at anvende servicemål. Han forestiller sig, at 95% af alle hans kunder skal

kunne få leveret vaskemaskinen allerede ved handlens indgåelse mens de resterende 5% må

forvente efterlevering.

11.2: Hvad bliver den optimale (r; q) lagerpolitik ved indførelsen af dette

servicemål?

Svar A: (53; 100)

Svar B: (106; 100)

Svar C: (53; 200)

Svar D: (106; 200)

Side 10 af 11


OPGAVE 12

Bemærk: denne opgave er IKKE af typen multiple choice.

Besvarelsen foregår altså på traditionel vis.

I denne opgave skal der findes et minimalt udspændende træ (MST – minimum spanning tree).

Winston beskriver til dette formål en algoritme, som også er kendt som Prims algoritme.

I første spørgsmål betragtes en komplet graf med n punkter. En komplet graf er en graf, hvor der er

en kant mellem hvert par af punkter. Kant (i, j) der forbinder punkt i med punkt j har vægten

(2j – i), for 1 ≤ i < j ≤ n. Kant (3, 5) har således vægten 2 ⋅ 5 – 3 = 7, mens kant (4, 2), der er

identisk med kant (2, 4), har vægten 6.

12.1: Bestem det minimale udspændende træ vha. Prims algoritme i det tilfælde

af ovenstående model, hvor n = 5. Start i punkt (1) og angiv rækkefølgen, hvori

kanterne tilføjes.

I næste spørgsmål betragtes ligeledes en komplet graf, men med andre kantvægte end i forrige

spørgsmål. Her skal der ligeledes findes et minimalt udspændende træ. Men nu er der desværre den

kedelige bibetingelse til problemet, at visse par af kanter ikke må vælges samtidig! Konkret

betragter vi nedenstående graf:

2

a

c

3

1

5

4

b

d

6

Følgende par af kanter må dog ikke optræde i et lovligt udspændende træ samtidigt:

Kant 1 (mellem punkterne a og b) og kant 2 (mellem punkterne a og c) må ikke optræde samtidig.

Kant 3 (mellem punkterne a og d) og kant 4 (mellem punkterne b og c) må ikke optræde samtidig.

Bemærk, at kanternes vægte er fortløbende og af unikke værdier således, at kanterne i besvarelsen

kan refereres til via deres vægt. Eksempelvis har kanten (a,d) som den eneste kant vægten 3, og kan

derfor uden risiko for forvirring benævnes ”kant 3”.

12.2: Løs problemet til optimalitet vha. Branch & Bound

Ved besvarelse af spørgsmål 12.2 er det tilladt at løse de indgående MST problemer ved inspektion.

Side 11 af 11

More magazines by this user
Similar magazines