KOLORIT - Syntetisk tale

Thomas Kaas
Heidi Kristiansen
KO LO R I T
Gyldendal
9

KOLORIT 9 GRUNDBOG
1. udgave 1. oplag 2010
©2010 Gyldendal A/S, København
Forlagsredaktion: Trine Juhler Vinther
Omslag og grafik: Connie Thejll Jakobsen, www.conniethejlljakobsen.dk
Tegninger: Kasper Bæk Jørgensen, Figuramus
Tryk: Korotan, Slovenien, 2010
ISBN: 978-87-0203017-4
Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der
har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen
nævnte rammer.
Fotos:
Forside: Scanpix/Masterfile/J.A. Kraulis
Scanpix/Masterfile/Rick Fischer s. 1
Polfoto/Kirkholt Photo s.11
Polfoto/AP/Neil Armstrong s. 18
Scanpix/Ulrik Jantzen s. 32
Polfoto/Jens Dresling s. 40
Scanpix/Rune Johansen s. 41
Scanpix/Stockfood/Kröger/Gross s. 46
Scanpix/Jens Nørgaard Larsen s. 49
Polfoto/AP/Thomas Kienzle s. 50
Scanpix/Biofoto/Lars Lauersen s. 51
Scanpix/Claus Fisker s. 52
Scanpix/AFP/AFP/GOH CHAI HIN s.55
Scanpix/BAM/Curt Carnemark s. 56
Polfoto/First Light/Perry Mastrovito s. 58
Polfoto/AFLO s. 59
Foci/© PhotoSpin s. 60 øv
Polfoto/AFLO s. 60 øh
Polfoto/Jens Dresling s.61 øv
Scanpix/AFP/AFP/Adrian Dennis s. 61øh
Polfoto/Nordicphotos/Tommy Olofsson s. 62 øh
Foci/© SSPL s. 62 øv
Foci/© Aaron Haupt s. 63 øv
Foci/© SCIENCE PHOTO LIBRARY s. 63 n
Scanpix/Søren Hytting s. 64
Polfoto/Steen Ole s. 67
Polfoto/AP/Martin Meissner s. 68
Til 9. klasse hører:
Kolorit 9 – kopimappe
Kolorit 9 – lærerens bog
Kolorits hjemmeside: www.kolorit.gyldendal.dk
Polfoto/NordicPhotos/Chad Ehlers s. 70
Formelsamling Folkeskolens afsluttende prøver
i matematik. Skolestyrelsen, 2010 s. 71
Scanpix/BAM/Lars Bahl s. 82
Scanpix/Sonny Tumbelaka s. 89
Foci/EasyFotostock/© Martina Berg s. 95
Polfoto/Chris Christo s. 103
Polfoto/Hans Henrik Tholstrup s. 105
Scanpix/Poul Glendell s. 106
Polfoto/Corbis/© Tim Clayton s. 109
Scanpix/Lars Møller s. 112
Colourbox s. 114
Polfoto/Corbis/© Aflo s. 119
Scanpix Nordfoto/Palle Hedemann s. 125
Scanpix/Erik Jepsen s. 129
Scanpix/Rune Feldt s. 131
Scanpix/Jørgen Jørgensen s. 134
Scanpix Nordfoto/Palle Hedemann s. 136
Scanpix/Brian Bergmann s. 139
Scanpix/Brian Bergmann s. 147
Scanpix/Lars Laursen s. 150
Scanpix/BAM/Christoffer Askman s. 154
Scanpix/Biofoto/Mads Jensen s. 155
Scanpix/Masterfile/Robert George Young s. 157
Søren Lundberg: Alle øvrige

Indhold
Reelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 1
Geometri i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 23
Ikke-lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 41
Matematikken og naturens kræfter . . . . . . . . . . . .s . 59
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 71
Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 89
Er det sandsynligt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 107
Matematisk modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 125
Penge og økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 139
Matematisk argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 155
Formelsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 171
Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 180
Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s . 189

Til eleverne
Kolorit 9 er jeres grundbog til matematik
i 9. klasse. Til bogen hører en
kopimappe med opgaver, I kan arbejde
videre med. Kolorit har også en hjemmeside,
www.kolorit.gyldendal.dk, hvor
der bl.a. ligger filer og links, I kan bruge
til nogle af opgaverne.
Kolorit 9 indeholder 10 kapitler.
Otte af kapitlerne tager udgangspunkt
i et matematisk område. I de kapitler
findes forskellige typer af sider:
Intro: I introduceres til, hvad kapitlet
handler om.
Mundtlig: Her er der opgaver, der
lægger op til, at I sammen i hele
klassen eller i grupper kan snakke
om og med matematik. De fleste
nye ting præsenteres på disse
sider.
Problem: Her er der opgaver, hvor I
skal arbejde sammen eller enkeltvis
med problemløsning.
Færdighed: Her er der opgaver,
hvor I kan øve de færdigheder,
der hører med til det matematiske
område, kapitlet handler om. I
skal prøve at løse opgaverne uden
lommeregner, hvis der ikke er skrevet
andet i teksten.
Pointer: Kapitlet slutter med, at I
evaluerer, hvad I har lært, og skriver
det i en logbog.
To af kapitlerne tager udgangspunkt
i temaerne: Matematikken og naturens
kræfter og Matematisk modellering. Temakapitler
er bygget lidt anderledes op.
På præsentationssiderne kan I læse, hvordan
I kan arbejde med kapitlerne. Det
er en god idé at arbejde i grupper med
temaerne. I skal også evaluere jeres arbejde
med kapitlerne ved at fortælle om
det til en fremlæggelse eller i en skriftlig
opgave.
Bagerst i grundbogen er der en formelsamling,
som I kan få brug for til at løse
nogle af opgaverne. Der er også en
facitliste til opgaverne på færdighedssiderne
og et stikordsregister, så I kan slå
op og finde ud af, hvor I kan læse om
det, I søger.
I bogens opgaver bruges nogle ord, det
er vigtigt, I kender og forstår.
Beregn: I skal finde løsningen på
opgaven ved at regne.
Beskriv/forklar: I skal med jeres
egne ord sige eller skrive, hvad I
har fundet ud af i arbejdet med
opgaven. I skal prøve at begrunde,
hvad I er nået frem til og hvordan.
Diskuter: I skal snakke sammen om
jeres forskellige forslag til løsninger.
Omskriv: I skal skrive regneudtrykkene
på en anden måde.
Undersøg: I skal prøve jer frem og
kan måske på forskellige måder
komme frem til en løsning.
Vis: I skal med et regneudtryk,
en graf, illustration eller lignende
vise, hvordan I har tænkt og regnet.
God arbejdslyst!

Reelle tal
De reelle tal omfatter alle de tal, som I møder i matematik
i skolen. Det er alle de hele tal, alle brøkerne,
men også tal som fx π og 2, der ikke kan skrives som
hele tal eller brøker.
I har allerede en hel del erfaringer med at regne med
tal, og I har prøvet at bruge tal til at løse forskellige
problemer i matematik.
I dette kapitel skal I arbejde med at få overblik over
nogle af de regnemetoder, som I allerede kender. I skal
også undersøge egenskaber ved potenser og kvadratrødder
og finde ud af, hvordan I kan regne med den
type tal.
INTRO
REELLE TAL

MUNDTLIG REELLE TAL
Brøker og procenter om danskernes internetforbrug i 2009
Alle danskere:
Danske
internetbrugere:
Danske
internetbrugere:
I dette kapitel skal I bl.a. arbejde med at
få overblik over de metoder til at regne
med procent og brøker, som I tidligere
har udviklet.
Øverst bruges brøk og procent til at
oplyse om danskernes internetforbrug
i 2009.
1 I 2009 var der cirka 5 500 000 danskere.
Forklar, hvordan I på baggrund
af oplysningerne kan beregne, hvor
mange danskere der i 2009
a brugte internettet dagligt eller
næsten dagligt.
b var internetbrugere.
c downloadede nyheder og læste
netaviser.
REELLE TAL
0 5 500 000
Bruger internettet dagligt eller næsten dagligt
0 3
1
0 1 400 000
4
Spillede eller downloadede
spil, musik m.m.
0
0
39 % 100 %
Downloadede eller læste nyheder og
netaviser på internettet
0 74 % 100 %
Kilde: www.dst.dk
2 Hvor stor en del af eleverne i jeres
9. klasse
a brugte internettet dagligt eller
næsten dagligt i 2009?
b downloadede nyheder og læste
netaviser?
c spillede eller downloadede spil,
musik m.m.
Procentpoint bruges til at beskrive en
ændring af noget, der er udregnet i procent.
I 2008 var det 62 % af internetbrugerne,
der downloadede eller læste
nyheder på nettet, og i 2009 var det
74 % af internetbrugerne. Man siger, at
antallet er steget med 12 procentpoint.
3 Beskriv forskellen mellem danskernes
internetforbrug i 2009 og resultaterne
i jeres klasse.

Beregn potenser Beregn rødder
Areal = s 2
s = 7 cm
Areal = π · r 2
r = 4 cm
Det danske befolkningstal på ca.
5 500 000 kan også skrives som
5,5 · 10 6 . I har tidligere arbejdet med
denne videnskabelige skrivemåde i
forbindelse med meget store og meget
små tal.
I dette kapitel skal I arbejde med andre
potenser end tierpotenserne og undersøge,
hvordan I kan regne med dem.
I har fx mødt andre potenser i forskellige
formler.
4 Beregn arealet af kvadratet og cirklen
øverst til venstre.
5 Beregn kvadratets sidelængde og
cirklens radius i eksemplerne øverst
til højre.
Forklar, hvordan I gør.
I skal undersøge mere om kvadratrødder
i kapitlet.
Areal = 64 cm 2
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med regnemetoder
og undersøgelser af tal.
Målet er, at I
Areal = 25 cm 2
får overblik over metoder til at regne
med procenter.
får overblik over metoder til at regne
med brøker.
lærer at beregne procentpoint og
promille.
undersøger egenskaber ved potenser
og rødder.
undersøger, hvordan I kan regne med
potenser og rødder.
REELLE TAL

PROBLEM DANSKERNES BRUG AF COMPUTER
REELLE TAL
Andelen af befolkningen, der regelmæssigt brugte computer, 2009.
Pct. Hver dag eller næsten hver dag Mindst en gang pr. uge
100
5
7
92
80 9
8
87 10
10
75
77
77
73
60
40
20
0
I alt Kvinder Mænd 16-19 år 20-39 år 40-59 år 60-74 år
Kilde: www.dst.dk
Diagrammet viser, hvor stor en del af danskerne, der
brugte computer i 2009.
1 Hvor stor en procentdel af alle danskerne brugte
computer hver dag eller næsten hver dag?
2 Beregn, hvor mange af de 5 500 000 danskere,
der brugte computer
a hver dag eller næsten hver dag.
b mindst en gang pr. uge.
3 Hvor stor en brøkdel af
a kvinderne brugte computer mindst en gang
pr. uge?
b danskerne mellem 60 og 74 år brugte computer
hver dag eller næsten hver dag?
4 Hvad viser diagrammet om brug af computer set
i forhold til
a køn? b alder?
11
49
5 Brug procentpoint til at beskrive nogle af forskellene
mellem, hvordan de forskellige aldersgrupper bruger
computer.

1 Skriv brøkerne i rækkefølge efter
størrelse.
a 1
2
b 3
4
, 1
3
, 2
3
1 1
, , 4 5
4 5
, , 5 6
c 5
3
d 3
7
, 7
4
, 4
9
3 11
, , 2 8
2 5
, , 5 11
2 Forkort brøkerne så meget som
muligt.
a 16
20
b 24
30
c 11
99
d 21
14
3 Omskriv til brøk og procent.
a 0,4 e 1,5
b 0,04 f 2,05
c 4 g 1,99
d 0,125 h 0,99
4 Hvor meget er
a 1
af 750 mL?
3
b 2
af 8 L? 5
c 1
af 1 L?
8
d 5
af 18 m?
6
e 30 % af 400 kr.?
f 45 % af 600 kr.?
g 18 % af 250 kr.?
h 150 % af 380 kr.?
5 Hvor mange % udgør
a 5 af 20?
b 15 af 150?
c 8 af 100?
d 7 af 10?
6 Sandt eller falsk?
a 4,19 = 4,190
b 3,25 > 3,250
c 19,08 < 19,8
d 0,749 = 0,75
e 99,99 = 99,990
f 0,75 > 0,749
7 Omskriv til videnskabelig skrivemåde.
a 600 000
b 45 000 000
c 2 500 000 000 000
d 17 860 000 000 000
8 Hvor stor er kvadratets sidelængde?
a c
Areal = 81 cm 2
b d
Areal = 121 cm 2
9 Løs ligningerne.
a x 2 = 36
b x 2 = 49
c x 2 = 144
d x 2 = 169
FÆRDIGHED
Areal = 225 cm 2
Areal = 1 cm 2
REELLE TAL

Beregn en procentdel
MUNDTLIG METODER TIL PROCENTREGNING
Hvor meget er 15 % af 200?
a „Af“ betyder her gange,
så 15 % af 200 er 15 % · 200 = 30.
b 1 % af 200 er 2, så 15 % af
200 er 15 · 2 = 30.
0 30
200
0% 15%
100%
I kan regne med procent på flere måder,
men overordnet set kan procentregning
inddeles i fire forskellige typer:
0 30
200
Beregn en procentdel.
Beregn procenten.
Beregn helheden.
Beregn en procentvis ændring.
0% 15%
100%
1 Forklar ud fra eksemplet øverst til
venstre, hvordan I kan beregne 15 %
af 200.
0 30
200
2 Vis og forklar, hvordan I vil beregne
0% 15%
100%
a 15 % af 400.
b 4 % af 300.
c 6,5 % af 200.
d 0,5 % af 50.
e 115 % af 500.
0 30
200 230
0% 15%
100% 115%
3 Forklar ud fra eksemplet øverst til
højre, hvordan I kan beregne, hvor
mange procent 30 udgør af 200.
REELLE TAL
Beregn procenten
0 30
200
Hvor mange procent udgør
30 af 200?
a 30
15%
= 0,15= 15 %
200
0% 100%
b 30 af 100 er 30 %,
så 30 af 200 er 15 %.
0 30
200
0% 15%
100%
4 Vis og forklar, hvordan I vil beregne,
hvor mange procent
0 30
200
a 75 udgør af 150.
b 40 udgør af 50.
c 7 udgør af 210.
d 182 udgør af 200.
e 300 udgør af 200.
0% 15%
100%
0 30
200 230
0% 15%
100% 115%

0 30
200
0% 15%
100%
Beregn helheden
15 % af et tal er 30. Hvilket tal er det?
0 30
200
a I kan beregne helheden ved at
dividere: 30 : 0,15 = 200.
0% 15%
100%
b 1 % svarer til 30 : 15 = 2.
100 % svarer til 100 · 2 = 200.
0 30
200
0% 15%
100%
5 Forklar ud fra eksemplet øverst til
venstre, 30 hvordan I kan beregne tallet,
når 15 % af tallet er 30.
0 200 230
0% 15%
100% 115%
6 Beregn tallet, når
a 5 % af tallet er 20.
b 8 % af tallet er 80.
c 30 % af tallet er 300.
d 12,5 % af tallet er 10.
e 125 % af tallet er 250.
7 Forklar ud fra eksemplet øverst til
højre, hvordan I kan lægge 15 % af
200 til 200.
8 Brug følgende mellemregninger til
at forklare, hvorfor metode a og b
øverst til højre giver samme resultat:
200 + 200 · 0,15 = 200 · (1 + 0,15)
= 200 · 1,15
0 30
200
0% 15%
100%
Beregn en procentvis ændring
Læg 15 % af 200 til 200.
Hvad bliver det?
0 30
200
a 200 + 200 · 0,15 = 230.
0% 15%
100%
b 200 · 1,15 = 230.
0 30
200 230
0% 15%
100% 115%
9 Beregn resultatet, når I har lagt
a 8 % af 200 til 200.
b 4 % af 300 til 300.
c 2,5 % af 40 til 40.
d 100 % af 85 til 85.
e 120 % af 50 til 50.
10 Undersøg og forklar, hvordan I
kan trække 15 % af 200 fra 200,
og skriv det som en regneregel.
11 Beregn resultatet, når I har trukket
a 10 % af 400 fra 400.
b 4 % af 800 fra 800.
c 12,5 % af 1000 fra 1000.
d 100 % af 100 fra 100.
REELLE TAL

PROBLEM DANSKERNES BRUG AF MOBILTELEFON
Anvendelse af mobiltelefon indenfor tre måneder, 2009
Betaling
(fx via sms)
Har du brugt følgende funktioner/tjenester på din mobil?
Bluetooth
GPS Lytte til
musik/
radio
Sende
mms
Sende
sms
Spille
spil
Synkronisering
med
kalender
i e­post
Tage billede
med
indbygget
kamer
Vækkeur
pct. af mobilbrugere
I alt
Køn
11 36 8 28 32 89 23 14 60 68
Kvinder 10 28 3 25 31 90 22 7 57 65
Mænd
Alder
11 44 13 32 33 87 25 21 63 70
16­19 år 21 71 9 70 35 99 57 12 86 93
20­39 år 17 51 12 42 51 98 36 20 78 88
40­59 år 8 31 7 21 27 91 15 15 55 66
60­74 år 2 9 3 5 9 65 4 3 28 29
Kilde: www.dst.dk
REELLE TAL
1 I 2008 havde 93 % af danskerne mobiltelefon,
og i 2009 havde 95 % af danskerne
mobiltelefon. Hvor mange af de ca.
5 500 000 danskere havde mobiltelefon i
a 2008? b 2009?
2 I 2008 brugte 21 % af mobilbrugerne
mobiltelefonen til at sende mms.
a Hvor mange procent af mobilbrugerne
brugte mobilen til at sende mms i
2009?
b Hvor stor er stigningen fra 2008 til
2009 i procentpoint?
c Hvor stor er stigningen fra 2008 til
2009 i procent?
3 Er det rigtigt, at mænd oftere end kvinder
brugte mobiltelefonen til andet end at tale
og sende sms? Forklar, hvordan du kan
læse det i tabellen.

1 Hvor meget er
a 10 % af 45 kr.?
b 15 % af 740 kr.?
c 36 % af 300 kr.?
d 4,5 % af 400 kr.?
e 0,25 % af 80 kr.?
f 99 % af 200 kr.?
2 Hvor mange procent udgør
a 40 af 160?
b 22 af 110?
c 1,5 af 6?
d 30 af 75?
e 100 af 80?
f 1250 af 5000?
3 Beregn hele beløbet, når
a 10 % af 300 svarer til 30 kr.
b 25 % af 250 svarer til 125 kr.
c 35 % af 2000 svarer til 70 kr.
d 0,5 % af 5 svarer til 10 kr.
e 12,5 % af 900 svarer til 19 kr.
f 100 %af 500 svarer til 235 kr.
4 Læg
a 12 % af 300 til 300.
b 80 % af 250 til 250.
c 8,5 % af 2000 til 2000.
d 6 % af 5 til 5.
e 70 % af 900 til 900.
f 98 % af 500 til 500.
5 En tøjbutik sænker priserne med
20 %. Hvad er udsalgsprisen for
et par bukser, der har kostet
560 kr.?
FÆRDIGHED
6 En computer kostede før udsalget
5000 kr. Nu er prisen 4500 kr.
Hvor mange procent rabat bliver
der givet?
7 En forretning sælger digitalkameraer
for 900 kr. Det svarer til 75 % af,
hvad de plejer at koste. Hvad plejer
de at koste?
8 Tines timeløn er steget med 10 %,
så nu får hun 77 kr. i timen.
Hvor stor var timelønnen før?
9 Prisen for en vare med moms er
100 kr. I 2010 var momsen 25 %.
Hvad koster varen uden moms?
10 Karl gik på slankekur og vejer nu
72 kg. Det svarer til 90 % af, hvad
han vejede før. Hvad var hans vægt?

Mænds kropsvægt består af
ca. 68 % væske.
Alkoholpromille:
alkohol i g
kropsvægt i kg · 0, 68
Kvinders kropsvægt består af
ca. 55 % væske.
Alkoholpromille:
alkohol i g
kropsvægt i kg · 0, 55
En genstand. En genstand.
‰
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
PROBLEM ALKOHOL OG PROMILLE
50 55 60 65 70
REELLE TAL
Kg
Alkoholpromillen afhænger af vægt og køn.
Promille betyder tusindedele og skrives ‰.
2
1000
= 0,002 = 2 ‰
1 En almindelig øl indeholder ca. 12 g alkohol.
Brug formlerne til venstre til at beregne din
alkoholpromille efter at have drukket en øl.
2 Fremstil og udfyld en tabel som det viste.
Vægt
Mænds alkoholpromille
efter 1 genstand
Kvinders alkoholpromille
efter 1 genstand
50 kg 0,35 ‰ 0,44 ‰
55 kg
60 kg
65 kg
70 kg
75 kg
80 kg
85 kg
90 kg
95 kg
100 kg
3 Tegn i et koordinatsystem en graf, der viser sammenhængen
mellem kvinders alkoholpromille og
vægt, og en graf, der viser sammenhængen mellem
mænds alkoholpromille og vægt.
4 Passer det, at hvis en kvinde på 60 kg og en mand
på 100 kg drikker lige meget, får kvinden en promille,
der er dobbelt så stor som mandens? Hvorfor?
Hvorfor ikke?
5 En voksen person forbrænder på en time 1­1,5 g
alkohol pr. 10 kg legemsvægt. Vælg nogle piger og
drenge i klassen, og undersøg, hvor lang tid de er om
at forbrænde en genstand.

Antal dræbte i færdselsuheld.
ALKOHOL OG TR AFIK
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Årstal
Kilde: Rådet for Større Færdselssikkerhed (bearbejdet)
Antal 1300
1 Beskriv, hvordan udviklingen af antal dræbte i trafikken
har været i perioden 1930­2006.
2 Hvilke forklaringer kan der mon være på udviklingen?
3 Cirka hvor mange procent er antallet af dræbte
a steget fra 1962 til 1970?
b faldet fra 2000 til 2006?
Indtagelse af alkohol påvirker reaktionsevne og reflekser.
Der er derfor regler for, hvor meget alkohol man
må have i kroppen, når man kører i trafikken. Promillegrænsen
er 0,5 ‰.
4 Ifølge Rådet for Større Færdselssikkerhed
er alkohol skyld i hver fjerde
trafikdrab. Sammenlign diagrammet
til højre med diagrammet øverst, og
undersøg,
a hvor stor en procentdel af trafikdrabene,
som skete ved spiritusuheld
i 2006.
b om du er enig med Rådet for Større
Færdselssikkerhed i, at alkohol er
skyld i hver fjerde trafikdræbte.
PROBLEM
Antal dræbte i spiritusuheld
REELLE TAL

Addition
2 1 8
+ = 3 4 12
MUNDTLIG METODER TIL BRØKREGNING
I har tidligere arbejdet med at regne
med brøker i forskellige sammenhænge.
I skal prøve at danne jer et overblik over
metoder til brøkregning.
1 Forklar ud fra eksemplerne øverst,
hvordan I kan
a lægge brøker sammen.
b trække en brøk fra en anden brøk.
2 Beregn resultatet af
a 1
6
+ 2
3
b 3 1
+
5 3
c 3
7
+ 3
12
+ 2
3
= 8 + 3
12
= 11
12
+ =
2
3 1
4 11
12
– =
REELLE TAL
d 3
4
2
–
3
1 1
e –
10 20
3 1
f –
8 2
Subtraktion
2 1 8
– = 3 4 12
3 Beregn resultatet, og forklar,
hvordan I gør.
a 3 3 1
+ 1 8 4
b 10 1 3
+ 3 2 5
c 5 1
2
d 5 2
7
– 1 1
3
– 2 3
7
4 Forklar ud fra eksemplet på side
13 øverst til venstre, hvordan I
kan gange brøker med hinanden.
5 Beregn resultatet.
a 2 · 2
5
b 5 · 1
12
c 10 · 1
5
+ =
– 3
12
= 8 – 3
12
2
3 1
4
2
d · 4 3
e 2
7
f 4
5
= 5
12
– =
· 14
· 5
6 Skriv en regel for, hvordan I kan
gange en brøk med et helt tal.
5
12

Multiplikation
a 1
4
2
1 2
· betyder „ af 3 4 3 “.
Løsningen kan findes ved tegning.
2
3
1
4
2 2
· = 3 12
= 1
6
b I kan også bruge en regneregel.
I kan gange tæller med tæller og
nævner med nævner.
2 1 2 · 1
· = 3 4 3 · 4
= 2
12
= 1
6
I har tidligere arbejdet med at dividere
hele tal med brøker.
7 Forklar, hvordan I kan beregne
resultatet af 6 : 3
. Brug evt. tallinjen
4
herunder.
1 2 3 4 5 6
8 Division med brøker kan bruges til at
løse to forskellige typer problemer:
– Måling. 1 1
l cola skal fordeles i glas,
2
der kan indeholde 1
L. Hvor mange
5
glas cola kan det blive til?
– At finde helheden.
Peter har 1 1
1
L cola. Det er
2 4 af,
hvad han skal bruge til sin fest.
Hvor mange liter cola skal Peter
bruge i alt?
Division
a 2 1
8
: er det samme som 3 4 12
9 Forklar, hvordan I kan dividere med
brøker ved at omskrive til decimaltal.
1 1 1
: = 1,5 : 0,2
2 5
= 15 : 2 = 7,5
10 Forklar ud fra eksemplet øverst
til højre, hvordan I kan finde
resultatet af 2 1
:
3 4
11 Beregn resultatet og forklar, hvordan
I gør.
a 1 1
: 2 4
b 4
5
: 2
5
2 1
c 1 : 3 3
d 1 3
4
: 1
4
: 3
12 .
Løsningen er det tal, I skal gange 3
12
med for at få 8
12 .
3
12
8
8 2
· x = , så er x = = 2 12 3 3 .
I kan bruge en tallinje.
0 3
12 6
12 8
12
9
12 1
b I kan også bruge en regneregel.
I kan dividere med en brøk ved at
gange med den omvendte brøk.
2 1 2 4 8 2
: = · = = 2 3 4 3 1 3 3
REELLE TAL

1 Beregn resultatet.
a 2 1
+ 5 5
b 2 1
+ 3 4
c 4
9
d 7
10
+ 1
2
– 1
2
2 Beregn resultatet.
a 3
10
b 2
7
· 3
4
· 1
2
1 1
e – 8 4
f 1 + 8
9
g 12 1 5
+ 3 6
h 15 1
4
c 1
10
+ 2
3
· 1
10
2 3
d 2 · 3 4
3 Hvad er helheden, når
a 1
3
er 0,2 m? c 5 4
b 3
4
FÆRDIGHED
er 1 1
2 kg?
5
er 0,5 L? d er 0,5 km?
8
4 Løs ligningerne.
a 3 3
· x = 5 10
b 1 3
· x = 2 10
5 Beregn resultatet.
a 5 : 1
5
b 3 : 3
5
c 2
7
· x = 4
14
1 1
d · x = 5 2
c 4 : 2
3
d 10 : 5
6
6 Adam har 3
4 kg slik. Hvor mange
poser kan han fordele det i, hvis
han kommer
a 1
kg i hver pose?
8
b 3
kg i hver pose?
8
REELLE TAL
7 1 1
kg sukker skal fordeles i poser
2
med 1
kg sukker i hver. Hvor mange
4
poser sukker bliver det til?
8 Et bageri har 2 1
kg sukker på hylden.
2
Det er 1
af, hvad de skal bruge.
4
Hvor meget sukker skal de bruge i
alt?
9 Skriv hvert resultat som både
decimaltal og brøk.
a 0,3 · 0,2 d 2,5 : 0,5
b 0,6 · 0,4 e 6,4 : 0,8
c 1,2 · 0,4 f 12,5 : 0,5
10 Skriv en opgave, der handler om
regneudtrykket
a 3
4
· 1
2
b 3
4
: 1
2

BRØKER OG UENDELIGE DECIMALTAL
1 Nogle brøker er lette at omskrive til decimaltal og
procent, og andre brøker er sværere at omskrive.
a Omskriv brøkerne til decimaltal.
1 1 9
, , 4 10 20
, 1
3
2 3
, , 7 50
og 3
8 .
b Hvilke brøker er sværest at omskrive? Hvorfor?
I har tidligere arbejdet med, at nogle brøker kan
omskrives til uendelige decimaltal, hvor decimalerne
fortsætter, og andre brøker kan omskrives til endelige
decimaltal, hvor decimalerne ikke fortsætter.
2 Giv eksempler på mindst fem brøker, der kan
omskrives til
a endelige decimaltal.
b uendelige decimaltal.
3 Er det tælleren eller nævneren, der afgør, om en
brøk kan omskrives til et endeligt decimaltal?
Hvorfor?
4 Undersøg med lommeregneren, hvordan brøkerne
kan omskrives til decimaltal.
a 1
9
2 3
, , 9 9
b 1 2 3 14 27
, , , , 99 99 99 99 99
1 2 31 32 711
c , , , , 999 999 999 999 999
5 Brug jeres erfaringer fra opgave 4 til at omskrive
decimaltallene til brøker.
a 0,8 d 0,123
b 0,23 e 0,477
c 0,45 f 0,99
PROBLEM
REELLE TAL

Potenser
MUNDTLIG UNDERSØG POTENSER OG RØDDER
Vi bruger potenser for at gøre nogle
skrivemåder enklere i matematik.
Det er fx enklere at skrive 2 3 end at
skrive 2 · 2 · 2.
1 Omskriv potenserne til gangestykker,
og beregn resultatet.
a 17 3
b 8 –4
eksponent
· · = =
1 1 1 1· 1 · 1
· · = 2 2 2 2 · 2 · 2
rod
= 1
2 3 = 2 –3
2 Fremstil og udfyld en tabel som
den viste.
n 2 n
4 2 4 = 16
3 2 3 = 8
2
1
0
–1
–2
–3
–4
REELLE TAL
Regneregler for potenser
2 3 · 2 4 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 7
2 9 : 2 5 =
Alle potenser med eksponenten 0 har
værdien 1.
Fx er 123 0 = 1.
3 Forklar ud fra mønstret i tabellen
fra opgave 2, hvorfor det giver
mening, at
a 2 0 = 1
b 2 –3 = 1
2 3
1· 1 · 1
= 2 · 2 · 2
4 Forklar, resultaterne af regneudtrykkene
i eksemplerne øverst til højre.
5 Prøv at formulere regler for, hvordan
I kan gange og dividere potenser med
samme rod.
6 Brug jeres regler til at omskrive regneudtrykkene
til en potens.
a 5 3 · 5 6
b 2 8 · 2
c 10 5 · 10 13
7
d 4
4
e 6
6
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4
3
10
4

Rødder
4 = 2, fordi
2 · 2 = 4
3 8 = 2, fordi
2 · 2 · 2 = 8
Hvilket tal skal I gange med sig selv
tre gange for at få resultatet 8?
At finde svaret på dette kaldes at
beregne kubikroden af 8.
Det skrives 8 3 – se eksemplet
øverst til venstre.
1 Forklar, hvad det betyder at beregne
kubikroden af 27.
2 Beskriv sammenhængen mellem
a 8 3 og 2 3
3 b 27 og 3 3
3 Beregn værdien af
3 a 64
3 b 125
3 c 1000
4 Undersøg, hvordan I kan bruge lommeregneren
til at beregne værdien af
3 a 512
3 b 3375
3 c 8000
2 cm 4 cm 2
2 cm
2 cm
2 cm
8 cm 3
2 cm
Regneregler for kvadratrødder
4 · 9 = 2 · 3 = 6
4 · 9 = 36 = 6
36
4
36
4
= 6
2
= 3
= 9 = 3
Kubikroden kaldes også for den tredje
rod. Vi kan også regne med andre rødder.
3 4 4 = 81, og 81=
3, fordi
3 · 3 · 3 · 3 = 81. Man siger, at den
fjerde rod af 81 er 3.
5 Forklar, hvad det betyder, at
3 a 216 = 6
4 b 1296 = 6
5 c 7776 = 6
6 Forklar, resultaterne af regneudtrykkene
i eksemplerne øverst til højre.
7 Beregn resultatet af
a 25 · 4 c
81
9
b 100 · 9 d 225
25
8 Prøv at formulere regler for, hvordan
I kan gange og dividere
a kvadratrødder med hinanden.
b kubikrødder med hinanden.
REELLE TAL

PROBLEM UNIVERSET
REELLE TAL
Lyset bevæger sig med en hastighed på 300 000 000m
pr. sekund.
1 Skriv lysets hastighed med videnskabelig skrivemåde.
2 Hvor langt kan lyset bevæge sig på
a et minut?
b en time?
c et døgn?
I 1969 landede rumskibet Apollo­11 på Månen.
Astronauterne satte en slags refleks på månen.
Når lys rammer refleksen, kaster den lyset tilbage i
samme retning, som det kom fra.
3 Der er ca. 3,85 · 10 8 m mellem Jorden og Månen.
Hvor lang tid tager det for en lysstråle at rejse fra
Jorden til Månen og tilbage igen?
4 Solen er den stjerne, der ligger tættest på Jorden.
Det tager lidt mere end 8 minutter for lyset at nå
fra Solen til Jorden. Hvor stor er afstanden mellem
Solen og Jorden cirka?
5 Solens radius er 6,964 · 10 8 m, og Jordens radius
er 6378 km. Hvor mange gange er Solens diameter
større end Jordens diameter?
6 Beregn rumfanget og overfladearealet af
a Jorden.
b Solen.
d
r
V = 4
· π · r3
3
O = 4 · π · r 2

UNDERSØG REGNEREGLER
1 Undersøg, om regneudtrykket er sandt eller falsk.
a 3 2 · 3 4 = 3 6
b 4 3 · 4 5 = 4 8
c 3 2 + 3 4 = 3 6
d 5 2 + 5 4 = 10 6
e 10 4 : 10 2 = 10 2
f 2 9 : 2 3 = 2 6
g 9 5 – 9 2 = 9 3
h 8 6 – 8 3 = 8 3
i 10 5 – 6 2 = 4 3
j 4 2 · 5 2 = 20 2
k 3 4 · 2 4 = 6 4
l 5 3 · 2 3 = 10 3
2 Hvilke regler kan du bruge, når du regner med
potenser?
3 Du skal undersøge, hvad der skal gælde om roden
og eksponenten, hvis en potens skal have en negativ
værdi. Sæt forskellige naturlige tal ind på n’s og a’s
plads, og beregn resultatet.
a 5 n
e a 5
b (–3) n
f a –3
c 10 n
g a 2
d (–4) n
h a –4
4 Hvornår bliver værdien af en potens negativ?
5 Sæt forskellige tal ind på bogstavernes plads,
og undersøg om regnereglen gælder.
a a · b = a · b
b a + b = a + b
c a : b = a : b
d a – b = a – b
e a + a = 2 · a
f a · a = a
g 2 · a + 4 · a = 6 · a
h a · a · a = a · a
6 Hvilke regler kan du bruge, når du regner med
kvadratrødder?
PROBLEM
REELLE TAL
9

0
1
1
1
1
PROBLEM KVADR ATER OG CIRKLER
1
1
1
1
REELLE TAL
Til venstre kan du se, hvordan et mønster med kvadrater
og cirkler udvikler sig. Kvadrat 1 er det mindste
kvadrat, kvadrat 2 er det næste osv.
1 Beregn længden af diagonalen i kvadrat 1.
Skriv resultatet som kvadratroden af et tal.
2 Forklar, hvordan du kan finde sidelængden i
kvadrat 2.
3 Fremstil og udfyld en tabel som det viste.
Kvadrat Sidelængde Areal
1 1 1
2
3
4
5
4 Prøv at finde frem til en formel for, hvordan du kan
beregne arealet af kvadraterne.
5 Forklar, hvordan størrelsen af sidelængden udvikler
sig.
6 Forklar, hvordan du kan beregne arealet af et kvadrats
indskrevne cirkel, hvis du kender kvadratets
sidelængde.
Kan du skrive en formel?

1 Omskriv til én potens.
a 3 5 · 3 8 c 9 3 · 9 11
b 7 6 · 7 4 d 5 4 · 5 4
2 Omskriv til én potens.
a 6
7
4
6
b 8
8
9
5
c 4
4
d 2
3 Find værdien af potenserne.
a 4 3 d (–3) 2
b 7 2 e 3 –2
c (–4) 3 f –3 2
4 Skriv potenserne både som brøk
og decimaltal
a 10 –2 c 10 –6
b 10 –3 d 5 –1
5 Sandt eller falsk?
a 3 2 = 2 3
d 1 0 = 1
b (–4) 2 = 4 2
e 2 0 = 2
c (–4) 3 = 4 3 f 1
3 2 –
6 Hvilke tal har samme værdi?
1
4
1
2 2
2 –3
0,5
2
0,25 2–2
1
1
2 0,125
1
8
6
2
4
5
1
2
1
3
2 2–1
7 Beregn.
a 4 · 100
b 121· 9
c 49 · 49
d
e
36
4 f
100
4 g
27
cm 3
FÆRDIGHED
81
9
25
25
8 Beregn sidelængden i kuberne.
a b
1000
cm 3
9 Brug lommeregner. Hvor stor er en
kugles rumfang, hvis radius er
a 5 cm?
b 10 cm?
c 15 cm?
10 Brug lommeregner. Hvor stor er
radius i en kugle, hvis rumfanget er
a 1000 cm 3 ?
b 8000 cm 3 ?
c 27 000 cm 3 ?
11 Undersøg, hvor mange gange større
rumfanget af en kugle bliver, hvis
radius bliver
a dobbelt så stor.
b tre gange så stor.
REELLE TAL

Tjeklisten
POINTER
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
Beregne en procent af et
tal
Beregne den procentvise
forskel mellem to tal
Beregne helheden ud fra
et tal og en procent
Kende forskel på procent
og procentpoint
Lægge brøker sammen
Trække en brøk fra en
anden brøk
Gange med brøker
Dividere med brøker
Gange med potenser
Dividere med potenser
Gange med kvadratrødder
Dividere med kvadratrødder
22
REELLE TAL
HVAD VED DU NU OM …?
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Giv eksempler på forskellige måder at regne med
procent på.
Giv et eksempel på, hvornår du kan bruge procenter.
Forklar forskellen på procent og procentpoint.
Forklar, hvad promille betyder.
Vis og forklar, hvordan du kan dividere to brøker
med hinanden.
Forklar, hvad det betyder at tage kubikroden af
et tal.
Giv eksempler på, hvordan du kan regne med
potenser.
Giv eksempler på, hvordan du kan regne med rødder.
Hvad er du blevet bedre til i matematik, efter at
du har arbejdet med kapitlet?
d
r
V = 4
· π · r3
3
O = 4 · π · r 2

Geometri i plan og rum
Ordet geometri kommer af græsk og betyder „jordmåling“.
Navnet skyldes formentlig, at den første geometri,
der blev udviklet, drejede sig om metoder til at opmåle
arealet af marker og andre jorde. I dag betragtes geometri
som den del af matematikken, der handler om figurer
og deres egenskaber.
Figurer kan både være plane og rumlige.
Et rektangel og en cirkel er eksempler på plane figurer.
De udbreder sig i to dimensioner – længde og bredde
– og kan derfor let tegnes på en flade som fx et stykke
papir, en skærm eller en tavle.
En kasse og en kugle er eksempler på rumlige figurer.
De udbreder sig i tre dimensioner – længde, bredde og
højde – og er derfor sværere at tegne på fx et stykke
papir eller en tavle. Nogle it-programmer kan dog hjælpe
med at tegne sådanne figurer på en skærm.
I dette kapitel skal I både arbejde med plane og
rumlige figurer og deres egenskaber.
INTRO

Plane figurer
24
MUNDTLIG
Øverst kan I se eksempler på nogle
plane figurer. Figurerne kan inddeles
på forskellige måder efter deres egenskaber.
De fleste af figurerne har fx
den egenskab, at de er afgrænset af
rette linjestykker. Disse figurer kaldes
polygoner.
Polygonerne kan igen underinddeles
efter antallet af linjestykker. Dvs. i
trekanter, firkanter, femkanter osv.
Hver af disse undergrupper kan igen
underinddeles i forskellige typer. Firkanterne
inddeles fx ofte efter deres
vinkelstørrelser, indbyrdes sidelængder
og i antallet af parallelle linjer.
1 Hvilke typer firkanter kan I se øverst?
GEOmETRI I PLaN OG RUm
PLANE OG RUMLIGE FIGURER
2 Udfyld en tabel som vist nedenfor
med krydser. Brug en formelsamling
til at finde de definitioner, I ikke kan
huske.
Firkant
Kvadrat
Rektangel
Rombe
Parallelogram
Trapez
Ligebenet trapez
Et sæt
parallelle
linjer
To sæt
parallelle
linjer
Fire
rette
vinkler
3 Tegn et eksempel på hver type figur
i tabellen og diskuter, hvilke oplysninger
I skal bruge for at beregne
figurens
a omkreds.
b areal.

Rumlige figurer
Øverst kan I se eksempler på nogle
rumlige figurer. På tegningen er figurerne
underinddelt i fire grupper.
4 Diskuter, hvilke egenskaber hver
gruppe af figurer har til fælles og
hvilke egenskaber, der adskiller
dem fra de øvrige grupper.
5 Undersøg definitionerne på hver
gruppe af rumlige figurer ved hjælp
af en formelsamling, og forklar med
jeres egne ord, hvad hver definition
betyder.
6 Tegn en skitse af en pyramide, et prisme
og en kegle, der er anderledes
end dem, der er
vist på tegningen
øverst.
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med plane
og rumlige figurer.
målet er, at I
lærer navnene på de mest kendte
plane og rumlige figurer.
får flere erfaringer med beregninger
af omkreds, areal og rumfang.
får indblik i begreberne: model, lodret
tværsnit, projektionstegning og rumdiagonal.
bliver bedre til at undersøge, ræsonnere
og argumentere i forbindelse
med geometri.
bliver bedre til at løse problemer på
baggrund af jeres viden om geometri.
GEOmETRI I PLaN OG RUm
25

9,8 cm
9,8 cm
8,3 cm
8,3 cm
92°
92°
30°
30°
26
PROBLEM
4,9 cm
4,9 cm
58°
58°
GEOmETRI I PLaN OG RUm
KONSTRUKTION AF KONGRUENTE TREKANTER
Brug evt. et geometriprogram til opgaverne på denne
side.
Du skal undersøge, hvor mange af målene på trekanten
herunder, det er nødvendigt at kende, for at du med sikkerhed
kan konstruere en trekant, der er kongruent med
den. Et mål kan enten være en sidelængde
eller en vinkelstørrelse.
30°
30°
8,3 cm
8,3 cm
9,8 cm
9,8 cm
1 Forklar, hvorfor du ikke kan konstruere
en kongruent trekant, hvis du kun kender
a en sidelængde.
b en vinkelstørrelse.
c to sidelængder.
d to vinkelstørrelser.
e en sidelængde og en vinkelstørrelse.
92°
92°
2 Undersøg, om du kan konstruere en kongruent
trekant, hvis du kender
a tre vinkelstørrelser.
b to vinkelstørrelser og en sidelængde.
c en vinkelstørrelse og to sidelængder.
d tre sidelængder.
3 Undersøg, om det har nogen betydning, hvilke sidelængder
du kender, hvis du kender en vinkelstørrelse
og to sidelængder.
4,9 cm
4,9 cm
58°
58°

AREAL OG OMKREDS AF REKTANGLER
1 Giv mindst tre forskellige eksempler på sidelængderne
i et rektangel, hvis omkreds er 72 cm.
2 Beregn arealet af hvert af dine rektangler fra opgave 1.
3 Er det sandt eller falsk, at rektangler kan have forskellige
arealer, selv om de har samme omkreds?
4 Undersøg, hvilke sidelængder der giver det største
areal i et rektangel, når omkredsen er 72 cm.
Brug et regneark som det, der er vist herunder.
5 Hvilke sidelængder giver det største areal,
hvis rektanglets omkreds er
a 76 cm? d 50 cm?
b 80 cm? e n cm?
c 40 cm?
PROBLEM
GEOmETRI I PLaN OG RUm
27

FÆRDIGHED
1 Skriv navnet på hver figur.
a
b
c
d
e
f
28
GEOmETRI I PLaN OG RUm
2 Konstruer hver trekant ud fra oplysningerne
på skitserne. Brug evt. et
geometriprogram.
a
b
c
d
6 cm
8 cm
5 cm
34°
5 cm
84°
4 cm
103°
121°
7 cm
37°
6 cm

3 Beregn omkredsen og arealet af
hver figur ud fra oplysningerne
på skitserne.
a
b
c
d
e
4,0 m
0,8 m
2 m
3,0 m
1,2 m
1,9 m 2,5 m
3,0 m
4,0 m
2,0 m
1,8 m
2,0 m
2,5 m
1,5 m
2,0 m d
4,0 m
f
g
h
i
j
f
c
a
a
a d
c b
a
e d
b
GEOmETRI I PLaN OG RUm
a
c
c
b
b
29

30
PROBLEM ANTAL DIAGONALER I REGULÆRE POLYGONER
GEOmETRI I PLaN OG RUm
Det kan være en fordel at bruge et geometriprogram
til opgaverne på denne side.
1 Undersøg, hvor mange diagonaler der kan tegnes i
en regulær 10-kant. Forklar, hvordan du kan være
sikker på, at du har fundet dem alle.
2 Undersøg, hvor mange diagonaler der kan tegnes
i andre regulære polygoner, og udfyld en tabel
som vist herunder.
antal sider i
regulær polygon
antal
diagonaler
3 4 5 6 7 8 9 10
3 Forestil dig, at du skal forklare en ven i telefonen,
hvordan man finder antallet af diagonaler i en til-
fældig regulær polygon. Skriv din forklaring.
4 Undersøg, hvor mange diagonaler der kan tegnes
i en regulær n-kant.

D
A
UNDERSØGELSE AF DIAGONALER I FIRKANTER
Herunder er tegnet et rektangel og dets to diagonaler.
1 mål og sammenlign
a diagonalernes længder.
b de fire vinkler ved diagonalernes skæringspunkt.
c forholdet mellem |aS| og |SC| med
forholdet mellem |DS| og |SB|.
C
D
C
S
B
A
2 Gennemfør dine undersøgelser fra opgave 1 på
flere rektangler, du selv tegner. Brug evt. et
geometriprogram. Gælder dine opdagelser fra
opgave 1 for dem alle?
3 Gennemfør dine undersøgelser
fra opgave 1 på flere
parallelogrammer, du selv tegner.
Brug evt. et geometriprogram. Hvad ser ud til at
gælde om diagonalerne i parallelogrammer?
4 Undersøg, om du kan konstruere en firkant,
hvis diagonaler
• ikke er lige lange.
• danner fire rette vinkler.
• har et skæringspunkt, der deler dem i to
lige store dele.
S
B
PROBLEM
GEOmETRI I PLaN OG RUm
31

Nyt hus?
MUNDTLIG
perspektivtegning af huset
Grundplan af huset
8,3 m
på denne og på næste side skal i arbejde
med at læse og forstå tegninger af rumlige
figurer.
et hus kan betragtes som en rumlig figur.
tegningerne øverst forestiller et hus,
som endnu ikke er bygget. Hver tegning
giver en evt. køber forskellige oplysninger
om huset. Sådanne tegninger
kaldes modeller af huset.
Brug modellerne til at svare på spørgsmålene.
1 Diskuter, hvad der kendetegner en
grundplan, et lodret tværsnit og en
perspektivtegning.
2 Beregn husets højde.
32 Geometri i plan oG rum
MODELLER AF RUMLIGE FIGURER
18,2 m
lodret tværsnit af huset
3 Hvor mange vinduer og døre er der i
huset?
4 Diskuter de forskellige modellers
styrker og svagheder.
4,2 m

Isometrisk tegning og projektionstegning
Øverst kan I se to andre teknikker, der
bruges til at tegne modeller af rumlige
figurer. modellen til venstre kaldes en
isometrisk tegning, og modellen til højre
kaldes en projektionstegning.
Tegningen i midten viser sammenhængen
mellem isometrisk tegning og
projektionstegning.
5 Diskuter, hvilke oplysninger I får fra
a isometrisk tegning.
b projektionstegning.
6 Tegn hver af figurerne til højre på
isometrisk papir.
7 Tegn blå, røde og gule projektionstegninger
af hver af de to figurer til
højre.
8 Sammenlign jeres tegninger.
9 Undersøg på internettet, hvad
isometriske tegninger og projektionstegninger
bruges til.
GEOmETRI I PLaN OG RUm
33

34
PROBLEM ISOMETRISK TEGNING OG PROJEKTIONSTEGNING
GEOmETRI I PLaN OG RUm
1 Fremstil projektionstegninger af de isometriske
tegninger.
a c
b d
2 Fremstil isometriske tegninger af projektions-
tegningerne.
a c
b d

DIN EGEN MODEL
1 Tegn en grundplan og et lodret tværsnit af en
bygning på din skole eller af din egen bolig i et
passende målestoksforhold.
PROBLEM
GEOmETRI I PLaN OG RUm 35

36 GEOmETRI I PLaN OG RUm
MMMMMMMMMMMMMM
RUMFANG OG OVERFLADEAREAL
Kasse Prisme Cylinder
7 cm
MUNDTLIG
5 cm
3 cm
Øverst ses skitser af seks forskellige
rumlige figurer. Til hver figur findes der
en formel til beregning af rumfang. De
seks rumfangsformler står til højre.
1 Diskuter, hvilke rumfangsformler der
hører til hvilke rumlige figurer.
Hvordan kan I se det?
2 Undersøg, om I har ret ved hjælp af
internettet eller en formelsamling.
3 Beregn rumfanget af hver af de seks
figurer øverst.
Forestil jer, at en chokoladeproducent
vil fremstille æsker med de seks forskellige
former, som er vist øverst. Hver æske
skal rumme 500 cm 3 .
4 Undersøg, hvilke mål hver af de seks
forskellige æsker kan have.
Tegn skitser af de seks æsker.
9 cm
4 cm
4 cm
4 cm
a d
h: højde
G: areal af
grundfladen
V: rumfang
V = h · G
b e
h: højde
r: radius
V: rumfang
V = π · r 2 · h
c f
h: højde
l: længde
b: bredde
V: rumfang
V = l · b · h
h: højde
G: areal af
grundfladen
V: rumfang
V = 1
· h · G 3
r: radius
d: diameter
V: rumfang
V = 4
· π · r3
3
h: højde
r: radius
V: rumfang
6 cm
V = 1
· h · π · r2
3
2 cm

MMMMMMMMMMMMMM MUNTLIG
Kegle Pyramide Kugle
6 cm
3 cm
Hver af de rumlige figurer øverst har et
overfladeareal. Til højre ses formler for
overfladearealet af tre af figurerne
øverst.
5 Diskuter, hvilke formler for overfladeareal
der hører til hvilke rumlige figurer.
Hvordan kan I se det?
6 Undersøg, om I har ret ved hjælp af
internettet eller en formelsamling.
7 Beregn overfladearealet af hver af de
seks figurer øverst.
Forestil jer, at chokoladeproducenten
fra side 36 gerne vil bruge mindst mulig
emballage til sine chokoladeæsker.
8 Vælg mindst en af de seks forskellige
typer rumlige figurer og undersøg,
hvilke mål figuren skal have for at få
det mindst mulige overfaldeareal, når
rumfanget skal være 500 cm 3 .
9 Præsenter jeres resultater for hinanden.
4 cm
6 cm
6 cm
r: radius
s: den skrå sidelængde
a: areal
GEOmETRI I PLaN OG RUm
2 cm
Den krumme overflade: a = π · r · s
Den totale overflade: a = π · r(r + s)
r: radius
a: areal
Den totale overflade: a = 4 · π · r 2
h: højde
r: radius
a: areal
Den krumme overflade: a = 2 · π · r · h
Den totale overflade: a = 2 · π · r(r + h)
37

38
1 Beregn rumfanget og overfladearealet
af hver figur. Brug evt. lommeregner
og/eller et geometriprogram.
a
12 m
b
12 m
c
0,5 m
d
FÆRDIGHED
6 m
3 m
12 m
1 m
6 m
6 m
6 m
6 m
15 m
6 m
0,5 m
GEOmETRI I PLaN OG RUm
6 m
6 m
e
f
g
h
9,0 m
2,0 m
0,5 m
2 m
15,6 m
1 m
9,0 m
2,0 m 2,0 m
9,0 m

RUMDIAGONALER
I en kasse findes der almindelige diagonaler og
rumdiagonaler.
I kassen herunder er linjestykket fra a til C en
almindelig diagonal, og linjestykket fra E til C
er en rumdiagonal.
F
E
H
G
1 Hvor mange almindelige diagonaler med forskellige
længder findes der i kassen på tegningen?
2 Beregn længderne af de forskellige almindelige
diagonaler i kassen.
3 Hvor mange rumdiagonaler med forskellige længder
findes der i kassen på tegningen?
4 Beregn længden af rumdiagonalen EC i kassen.
A
B
C
D
PROBLEM
GEOmETRI I PLaN OG RUm
39

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske logbog
med følgende færdigheder:
POINTER HVAD VED DU NU OM …?
Kende de plane figurer:
Kvadrat, rektangel, rombe,
parallelogram, trapez,
ligebenet trapez
Kende de rumlige figurer:
Kasse, prisme, cylinder,
kegle, pyramide, kugle
Konstruere trekanter ud
fra oplysninger om vinkler
og sider
Beregne omkreds og areal
af plane figurer
Kunne tegne grundplaner
og lodrette tværsnit
Kunne tegne projektionstegninger
og isometriske
tegninger
Kunne beregne rumfang
og overfladeareal af rumlige
figurer
Beregne længder af rumdiagonaler
i kasser
40
GEOmETRI I PLaN OG RUm
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Tegn skitser af plane figurer og rumlige figurer,
du kender.
Forklar, hvilke oplysninger du skal kende for at kunne
konstruere to kongruente trekanter.
Skriv om sammenhængen mellem omkreds og areal
i rektangler.
Forklar, hvor mange diagonaler der er i en regulær
n-kant – og hvorfor.
Fortæl, om din undersøgelse af diagonaler i firkanter.
Tegn eksempler på forskellige modeller af rumlige
figurer.
Giv eksempler på beregning af rumfang og overfladeareal
i rumlige figurer.
Fortæl om, hvordan du løser geometriske problemer,
når du ikke på forhånd kender en metode til at løse
problemet. Giv gerne et eksempel fra dette kapitel.

Ikke-lineære funktioner
Funktioner kan bruges til at beskrive mange forskellige
sammenhænge fra virkeligheden. Sammenhængen
mellem prisen på bolsjer og det antal gram, der købes,
kaldes en lineær sammenhæng, og en funktion, der beskriver
denne sammenhæng, kaldes en lineær funktion.
Grafen for en lineær funktion er en ret linje.
Der er mange andre sammenhænge, som vi ikke kan
beskrive med lineære funktioner. Hvis vi fx vil beskrive
bevægelsen af en bold, der bliver kastet, eller befolkningstilvæksten
i et land, bliver det grafiske udtryk ikke
en ret linje. Sådanne sammenhænge kan beskrives med
ikke-lineære funktioner.
I dette kapitel skal I arbejde med forskellige typer ikkelineære
funktioner.
INTRO
41

Ligefrem proportionalitet
f(x) = 50x
km
150
100
50
MUNDTLIG
1 2 3
FUNKTIONER
timer
Opgaverne på denne og på næste side
handler om forskellige typer funktioner
og deres tilhørende grafer.
Grafen øverst til venstre viser sammenhængen
mellem tiden og den strækning,
en bil kører, når farten konstant er 50
km/t.
1 Forklar, hvordan I kan se, at sammenhængen
mellem tid og strækning kan
beskrives med en lineær funktion.
2 Forklar, hvorfor man kan sige, at
strækningen er ligefrem proportional
med tiden i eksemplet.
3 Forklar, hvorfor grafen for en ligefrem
proportionalitet er en ret linje.
Omvendt proportionalitet
f(x) = 100
x
timer
30
25
20
15
10
5
km/t
20 40 60 80 100 120 140
Grafen øverst til højre viser sammenhængen
mellem farten og den tid, det
tager at køre 100 km.
4 Hvor lang tid tager det at køre
100 km, hvis bilens fart er
a 20 km/t?
b 40 km/t?
c 100 km/t?
Den tid, det tager at køre 100 km,
er omvendt proportional med farten,
for hvis farten fx bliver dobbelt så stor,
halveres køretiden. Denne ikke-lineære
funktion kan derfor kaldes en omvendt
proportionalitet.
5 Tegn en graf, der viser sammenhængen
mellem farten og den tid,
det tager at køre 200 km.

Andengradsfunktion
f(x) = 1
225 x2
meter
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
km/t
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Grafen øverst til venstre viser sammenhængen
mellem en bils fart og bremselængde.
6 Hvor stor er bremselængden, hvis
farten er
a 15 km/t?
b 30 km/t?
c 60 km/t?
7 Diskuter, hvordan I kan afgøre bremselængden,
hvis farten er 90 km/t.
Sammenhængen kan beskrives med en
andengradsfunktion. læg mærke til,
hvis farten fordobles, bliver bremselængden
2 2 gange større. Hvis farten
bliver tre gange større, bliver bremselængden
3 2 gange større osv.
Grafen øverst til højre viser sammenhængen
mellem antal år og den forventede
pris på en bestemt ny bil. I år
koster bilen 230 000 kr. for ny, men
prisen forventes at stige med 5 % om
året.
Eksponential funktion
f(x) =230 000 · 1,05 x
500
450
400
350
300
250
200
antal tusind kr.
år
2 4 6 8 10 12 14 16 18
8 Hvad koster bilen om
a 1 år? b 2 år? c 8 år?
Indhold og mål
I dette kapitel skal I bruge funktioner til
at beskrive forskellige sammenhænge.
Målet er, at I
lærer forskellige ikke-lineære funktioner
at kende.
bruger funktioner til at beskrive
forskellige sammenhænge.
lærer, hvad der kendetegner grafer
for omvendt proportionalitet.
lærer, hvad der kendetegner grafer
for andengradsfunktioner.
lærer mere om eksponentiel vækst.
Ikke-lInære FunkTIOner
43

30
25
20
15
10
5
44
Km
PROBLEM ET CYKELLØB
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
min
85
Ikke-lInære FunkTIOner
Per
Dennis
Graferne viser noget om Pers og Dennis’ kørsel i et
cykelløb.
1 Hvor langt var cykelløbet?
Sammenhængen mellem den strækning, drengene har
cyklet, og tiden, kan beskrives med en stykkevis lineær
funktion.
2 Forklar, hvad den
a røde graf fortæller om Pers kørsel.
b sorte graf fortæller om Dennis’ kørsel.
3 er det Per eller Dennis, der cykler hurtigst i begyndelsen
af turen? Forklar, hvordan du kan se det.
4 Vælg mindst to af linjestykkerne fra graferne, og
beregn, hvilken fart der køres med, på denne del
af strækningen.
5 Søren deltager også i cykelløbet. Han kommer først
i mål.
a Tegn en stykkevis lineær funktion i et koordinatsystem,
der kan beskrive Sørens cykelløb.
b Forklar, hvad de enkelte linjestykker fortæller om
Sørens cykelløb.

1 I en butik koster 100 g slik 12,50 kr.
Skriv en funktionsforskrift, der beskriver
sammenhængen mellem antal
gram slik og prisen i kroner.
2 Skriv forskriften for en funktion, hvis
graf går igennem punktet (2,2).
3 et rektangel har arealet 24 cm 2 .
y
x
24 cm 2
a Fremstil og udfyld en tabel, der
beskriver sammenhængen mellem
længden af x og længden af y i
rektanglet.
x (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y (cm)
b Tegn en graf, der viser sammenhængen
mellem længderne af de
to sider i rektanglet.
4 Skriv en funktionsforskrift, der viser
a ligefrem proportionalitet mellem
x og y.
b omvendt proportionalitet mellem
x og y.
FÆRDIGHED
5 Afgør, om hver tabel beskriver ligefrem
proportionalitet eller omvendt
proportionalitet.
x 1 2 3 4
a f(x) 5 10 15 20
b x 1 2 3 4
f(x) 12 6 4 3
c x 2 4 6 8
f(x) 4 8 12 16
d x 2 4 6 8
f(x) 12 6 4 3
6 For funktionen f(x) = x 2 – 2 skal du
a fremstille og udfylde en tabel som
vist.
x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x)
b tegne en graf for funktionen.
7 Giv et eksempel på, hvordan en graf
kan se ud, hvis den skal vise sammenhængen
mellem
a tiden, og hvor hurtigt du bevæger
dig i et frikvarter.
b tiden, og hvor mange kilometer,
du har gået i løbet af en dag.
c tiden, og hvor mange penge der
står på din bankkonto.
Ikke-lInære FunkTIOner
45

Ligefrem proportionalitet
f(x) = 0,01x
MUNDTLIG
gram mandler (x) dl sukker f(x)
0 0
200 2
400 4
600 6
800 8
1000 10
46
Til at fremstille brændte mandler skal
man bruge mandler, sukker og vand.
Øverst kan I se sammenhængen mel-
lem mængden af mandler og sukker i
en opskrift.
PROPORTIONALITET
1 Forklar, hvordan I kan se, at sammenhængen
mellem mængden af mandler
og mængden af sukker er en ligefrem
proportionalitet.
Ikke-lInære FunkTIOner
8
7
6
5
4
3
2
1
dl sukker
100 200 300 400 500 600 700
gram mandler
800
2 Det følgende skema viser mængden
af mandler, sukker og vand i en anden
opskrift for brændte mandler.
g mandler g sukker dl vand
250 150 0,5
500 300 1,0
750 450 1,5
a er mængden af mandler og mængden
af sukker ligefrem proportionale?
b er mængden af mandler og mængden
af vand ligefrem proportionale?
3 Beskriv sammenhængen mellem
mængden af mandler og sukker i
opskriften fra opgave 2 med en
a sproglig beskrivelse.
b en tabel.
c en graf.
d en ligning.

Omvendt proportionalitet
f(x) = 5000
x
160
140
120
100
80
60
40
20
poser
9.a fremstiller 5 kg brændte mandler
og vil sælge dem til en skolefest fordelt
i poser med lige mange gram i hver. De
diskuterer, hvor mange gram brændte
mandler der skal være i hver pose.
Grafen øverst viser sammenhængen mellem
antal poser og mængden af mandler
i hver pose.
4 Forklar, hvorfor grafen består af
punkter, der ikke er forbundne.
5 Hvor mange poser kan de få ud af
5 kg brændte mandler, hvis der i
hver pose er
a 50 g mandler?
b 100 g mandler?
c 200 g mandler?
6 Forklar, hvad det betyder, at antallet
af poser og mængden af mandler er
omvendt proportionale.
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275
Ikke-lInære FunkTIOner
gram
en omvendt proportionalitet er en
funktion, der kan beskrives med funktionsforskriften
f(x) = a
x
, hvor a er en
konstant, og x ≠ 0.
Grafen for funktionen kaldes en
hyperbel.
7 Skriv en funktionsforskrift, der beskriver
sammenhængen mellem antal
poser og mængden af mandler, hvis
klassen i stedet for havde lavet
a 6000 g brændte mandler.
b 3,5 kg brændte mandler.
12
x , hvor x både
8 Tegn en graf for f(x) =
kan have positive og negative værdier.
9 Diskuter ud fra grafen i opgave 8
a om f(x) kan blive 0.
b om grafen skærer x-aksen.
c hvad der sker med f(x)-værdien,
når x bliver meget lille.
d om I kan tegne symmetriakser
i koordinatsystemet.
47

f(x) = a
x
48
PROBLEM UNDERSØG HYPERBLEN
Ikke-lInære FunkTIOner
Det er en fordel at bruge et funktionsprogram,
når du skal arbejde med disse opgaver.
1 Tegn i et koordinatsystem grafen for
a f(x) = 2
x
b f(x) = 5
x
c f(x) = 10
x
d f(x) = 0,5
x
2 undersøg, hvad der sker med værdierne af f(x)
i opgave 1c, når x er et positivt tal, der bliver
a større og større.
b mindre og mindre.
3 Tegn i et koordinatsystem grafen for
a f(x) = –1
x
c f(x) = –12
x
b f(x) = 4
x d f(x) = 1,5
x
4 Sammenlign graferne i opgave 3.
Hvordan kan du se på funktionsforskriften,
hvor grafen er placeret i koordinatsystemet?
5 Tegn i samme koordinatsystem grafen for f(x) =
og grafen for f(x) = –3
x .
Hvilke forskelle og ligheder er der mellem de
to grafer?
6 Hvad har du fundet ud af om forskrifter og grafer
for omvendt proportionalitet?
3
x

HJERTET
Pulsen beskriver, hvor mange gange hjertet trækker sig
sammen og pumper blod ud i minuttet.
Minutvolumen er den mængde blod, som hjertet kan
pumpe rundt i kroppen på et minut. I hvile pumper
hjertet ca. 5 l blod rundt i kroppen på et minut.
Slagvolumen er den mængde blod, som hjertet
pumper ud i et slag.
1 Tegn i et koordinatsystem, som vist til højre,
en graf, der viser sammenhængen mellem
slagvolumen og puls for en person i hvile.
Slagvolumen = 5000
puls
ml
min
.
2 Hvor meget blod pumper hjertet ud i et slag,
hvis hvilepulsen er
a 50 slag/min?
b 60 slag/min?
3 Hos en utrænet person kan minutvolumen være
25 l/min under hårdt arbejde.
a Skriv en forskrift, der viser sammenhængen
mellem slagvolumen og puls.
b Tegn grafen for funktionen.
Veltrænede personer kan have en slagvolumen på
op mod 150 ml i hvile.
4 Tegn i et koordinatsystem en graf, der viser
sammenhængen mellem minutvolumen og puls,
når slagvolumen er 150 ml.
5 For hver af graferne fra opgave 1, 3 og 4 skal
du forklare
a om sammenhængen mellem x og f(x) kan beskrives
med ligefrem proportionalitet eller omvendt
proportionalitet.
b hvilke x-værdier der er realistiske.
PROBLEM
Slagvolumen = minutvolumen
puls
Minutvolumen = slagvolumen · puls
mL/slag
180
160
140
120
100
80
60
40
20
20 40 60 80 100 120 140 160 180
Ikke-lInære FunkTIOner
slag/min
49

MUNDTLIG
Kuglestød
f(x) = –0,0514x 2 + x + 2
Øverst kan I se en kuglestøder, der støder
en kugle. Grafen beskriver den bane,
som kuglen følger.
1 Forklar, hvordan I kan bruge grafen til
at finde ud af,
a hvor langt kuglen bliver stødt.
b hvor højt den kommer op i luften.
c hvor langt over jorden kasteren
holder kuglen ved start.
50 Ikke-lInære FunkTIOner
ANDENGRADSFUNKTIONER
12
10
8
6
4
2
højde i meter
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
længde i meter
2 Diskutér, hvordan det vil ændre
grafen, hvis kuglestøderen var
10 cm lavere.
Sammenhænge, der kan beskrives med
funktionsforskriften f(x) = ax 2 + bx +c,
kaldes andengradsfunktioner. De tilhørende
grafer kaldes for parabler.
3 Forklar, hvordan I kan se, at forskriften
øverst til venstre er en andengradsfunktion.
Hvilken værdi har
a a?
b b?
c c?
4 Beregn f(0). Hvad fortæller f(0)
om kuglekastet?
5 Diskutér, hvordan funktionsforskriften
ville se ud, hvis kuglestøderen var
a 30 cm højere.
b 20 cm lavere.

Hængebro
f(x) = 0,05x 2 – 0,08x + 0,03
en hængebro bæres af nogle kabler, der
sidder fast på store piller. kablerne kan
fx have form som den parabel, der er
vist øverst til højre.
x-aksen viser afstanden til broens venstre
pille, og y-aksen viser højden over
selve broen.
6 Brug grafen øverst til højre, og diskuter,
a hvor langt der er imellem pillerne.
b hvor højt pillerne når op over selve
broen.
7 Diskuter, hvordan grafen vil se ud,
hvis kablerne ikke går helt ned til
broen, men hænger
a 3 m højere.
b 5 m højere.
8 en parabel har en symmetriakse.
Skriv en ligning for symmetriaksen
til parablerne fra opgave 7.
MMMMMMMMMMMMMM MUNTLIG
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
km
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Det punkt på parablen, der ligger på
parablens symmetriakse, kaldes
parablens toppunkt.
9 Hvad er koordinatsættet til toppunktet
for parablen øverst til højre og til
parablen øverst på side 50?
10 Hvad fortæller toppunktet
a om kuglestødet på forrige side?
b om hængebroen øverst på denne
side?
11 Diskuter, hvilke forskelle og ligheder
der er mellem de to parabler øverst.
Ikke-lInære FunkTIOner
km
51

52
PROBLEM
Ikke-lInære FunkTIOner
SPARK TIL BOLDEN
en fodboldspiller sparker til en bold. Den bane, bolden
følger efter sparket, kan beskrives med funktionsforskriften
f(x) = –0,05x 2 + 2x, hvor x er sparkets længde
målt i meter, og f(x) er boldens højde over jorden målt
i meter.
1 Tegn en graf, der viser boldens bevægelse.
Brug evt. et funktionsprogram.
2 Hvor langt sparker spilleren bolden?
3 Hvor højt når bolden op i luften?
4 Forklar, hvorfor negative værdier af x ikke giver mening
i forbindelse med beskrivelsen af boldens bane.
5 Prøv at ændre på tallene i forskriften. Brug et funktionsprogram,
og giv mindst to forslag til, hvordan
en funktionsforskrift kan se ud, hvis den skal beskrive
et spark, der er
a længere.
b kortere.
c højere.
d sker fra toppen af et højt hus.

Det er en fordel at bruge et funktionsprogram,
når du skal arbejde med disse opgaver.
1 tegn i et koordinatsystem grafen for
a f(x) = 2x 2
e f(x) = 12x 2
b f(x) = 4x 2
f f(x) = –15x 2
c f(x) = –2x 2
g f(x) = x 2
d f(x) = –4x 2 h f(x) = –x 2
2 Sammenlign graferne i opgave 1.
Hvad kan du sige om parablen, når a er et
a positivt tal.
b negativt tal.
c stort negativt eller positivt tal.
d lille negativt eller positivt tal.
3 tegn i et koordinatsystem grafen for
a f(x) = 2x 2
d f(x) = 2x 2 – 1
b f(x) = 2x 2 + 3 e f(x) = –2x 2 + 3
c f(x) = 2x 2 + 5 f f(x) = –2x 2 – 1
4 Hvilke forskelle og ligheder er der mellem
graferne i opgave 3?
5 Giv mindst to forslag til, hvordan forskriften
for en andengradsfunktion kan se ud, hvis
a parablens grene vender opad,
og parablen skærer y-aksen i (0,4).
b parablens grene vender opad,
og parablen skærer y-aksen i (0,6).
c parablens grene vender nedad,
og parablen skærer y-aksen i (0, 1
2 ).
d parablens grene vender nedad,
og parablen skærer y-aksen i (0,–2).
UNDERSØG PARABLEN PROBLEM
y = ax 2
ikke-linære funktioner
53

MUNDTLIG
Den gennemsnitlige befolkningstilvækst i Kina
I årene 1975 – 2000:
ca. 1,2 % om året.
I årene 2000 – 2015:
ca. 0,5 % om året.
kina er den folkerigeste nation i verden,
og ca. 20 % af verdens befolkning bor
i kina. landet har i de senere år ført en
stram befolkningspolitik. I 1970 fik kvinder
i gennemsnit hver 5,7 børn, i dag får
kvinder i gennemsnit hver 1,8 børn.
1 I 1975 var befolkningstallet i kina
ca. 928 000 000. Brug oplysningerne
øverst og beregn kinas befolkningstal
i
a 1976. b 1977.
2 Forklar, hvorfor de tre regneudtryk
kan bruges til at beregne befolkningstallet
i kina i 1976:
a 928 000 000
+ 928 000 000 · 0,012
b 928 000 000 · (1 + 0,012)
c 928 000 000 · 1,012
54 Ikke-lInære FunkTIOner
VÆKST I KINAS BEFOLKNINGSTAL
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
millioner indbyggere
20 40 60 80 100 120
antal år
140
3 Forklar, hvorfor I kan beregne befolkningstallet
i kina i 1977 ved:
928 000 · 1,012 2 .
4 Skriv et regneudtryk, I kan bruge til
at beregne befolkningstallet i kina i
a 1978.
b 1979.
Sammenhænge, der kan beskrives med
forskriften f(x) = b · (1 + r) x , kaldes
eksponentiel vækst, for x er eksponent i
forskriften.
5 Hvilke værdier har b og r i eksemplet
med kinas befolkningstal?

Kinas befolkningstal
1 500 000 000
1 350 000 000
1 200 000 000
1 050 000 000
900 000 000
750 000 000
600 000 000
450 000 000
Kilde: 300 000 www.globalis.dk
000
150 000 000
befolkningstal
Hvis befolkningstilvæksten fortsat var
1,2 % om året, ville befolkningstallet
udvikle sig som vist på grafen øverst
på side 54.
x-aksen viser antal år efter 1975, og
y-aksen befolkningstallet i millioner.
6 Forklar, hvorfor grafen for Kinas
befolkningstal stiger mere og mere i
koordinatsystemet side 54.
Grafen øverst til højre viser Kinas befolkningstal
frem til år 2010, og hvordan
man forventer, at udviklingen bliver frem
til år 2050.
7 Diskuter ud fra grafen, om Kinas
befolkningstilvækst er blevet mindre.
MMMMMMMMMMMMMM MUNTLIG
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050
8 Sammenlign de to grafer øverst, og
diskuter, om Kinas befolkningstal i
virkeligheden har udviklet sig eksponentielt.
9 Kinas befolkningstal forventes at
falde med 0,3 % om året fra 2045
til 2050. Hvor stort er Kinas befolkningstal,
hvis denne udvikling fortsætter,
i
a 2051? b 2052? c 2055?
år

1250
1200
1150
1100
1050
1000
56
millioner indbyggere
PROBLEM
antal år
2000 2002 2004 2006 2008 2010
INDIEN
Ikke-lInære FunkTIOner
Indien er det land i Verden, der har det næststørste
befolkningstal.
I 2000 var Indiens befolkningstal ca. 1050 000 000.
1 Fra 2000 til 2010 voksede befolkningstallet i
Indien med ca. 1,5 % om året. Fremstil en tabel,
der viser Indiens befolkningstal fra 2000 til 2010.
År 2000 2001 2002 2003 2004
Antal
millioner
indbyggere
1050
2 Tegn en graf, der viser, hvordan Indiens befolkningstal
udvikler sig.
3 Fra 2010 til 2050 forventes Indiens befolkningstal
ifølge statistik fra Fn i gennemsnit at stige med
ca. 0,8 % om året. Skriv et regneudtryk, der viser
Indiens befolkningstal i år
a 2011.
b 2012.
c 2050.
4 Sammenlign udviklingen af Indiens befolkningstal
med udviklingen af kinas befolkningstal vist på side
55. Hvornår overhaler Indiens befolkningstal kinas
befolkningstal, hvis prognoserne holder?

a d g
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
b e h
5
4
3
2
1
y
x
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
c f i
y
5
4
3
2
1
x
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
1 Hvilken funktionsforskrift passer til hvilken graf?
f(x) = x 2
f(x) = 2 · 1,03
f(x) = –2x + 3
x
f(x) = 2x + 3
f(x) = x 2 + 1
f(x) = 2
x
x
y
5
4
3
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
y
250
200
150
100
50
–150 –100 –50
–50
–100
–150
–200
50 100 150 200
x
250
5
4
3
2
1
y
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
5
–1
–2
–3
–4
FÆRDIGHED
y
4
3
2
1
x
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
y
5
4
3
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
y
6
5
4
3
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
f(x) = –2x 2 + 3
f(x) = –2
x
f(x) = 2x
Ikke-lInære FunkTIOner 57

Tjeklisten
POINTER
udfyld din elektroniske
logbog med følgende færdigheder.
Tegne grafer i hånden
Tegne grafer på computeren
Beskrive sammenhænge
med tabeller
kunne genkende forskriften
for en funktion, hvis
grat er en hyperbel
kunne genkende forskriften
for en funktion, hvis
graf er en parabel
58
Ikke-lInære FunkTIOner
HVAD VED DU NU OM …?
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Forklar, hvad omvendt proportionalitet betyder.
Beskriv en sammenhæng, der er omvendt proportional.
Forklar, hvad du ved om hyperbler.
Forklar, hvad du ved om parabler.
Giv et eksempel på en sammenhæng, der vokser
med en bestemt procent del.
Forklar, hvilken indflydelse a har på grafen for
f(x) = ax 2 .
Beskriv, hvilken betydning computeren har haft
for dine undersøgelser af grafer.

Matematikken og naturens
kræfter
I har tidligere arbejdet med at bruge matematik til at
beskrive sammenhænge og løse problemer fra hverdagen.
I dette tema skal I arbejde med, hvordan matematikken
også kan bruges til at beskrive fysiske love og til at løse
problemer, der vedrører naturens kræfter.
INTRO

Pendulure
60
pRÆSENTATION
I dette emne skal I undersøge matematikken
bag pendulure.
MATEMATIKKEN OG NATURENS KRÆFTER
Side 62­63
Frit fald
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
I dette emne skal I undersøge sammen­
hængen mellem faldlængde og faldtid
for genstande i frit fald.
Sådan kan I arbejde med kapitlet
Side 64­65
I kan arbejde individuelt, i grupper eller samlet
med de opgaver, der er knyttet til alle fire emner.
Efterfølgende kan I vælge et af emnerne, som I
vil fordybe jer i. På Kolorits hjemmeside findes
henvisninger til mere litteratur om hvert emne og
links til internetsider, der kan give jer mere viden
om emnerne.
Som afslutning på temaet kan I skrive en rapport
om det emne, som I har fordybet jer i. På side 70
findes der idéer til rapportskrivningen.

Bremselængder og standselængder
I dette emne skal I beregne en bils
bremselængde og standselængde.
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med matematikken
som beskrivelsesmiddel i forbindelse med naturens
kræfter.
Målet er, at I
Side 66­67
får indblik i matematikkens muligheder som redskab
til at beskrive vores omverden.
bliver bedre til at anvende faglige redskaber som
fx formler og funktioner til løsning af praktiske
problemer.
bliver bedre til at give en skriftlig præsentation
af jeres eget arbejde med et matematisk emne.
Spydkast
I dette emne skal I undersøge sammen­
hænge mellem den vinkel, et spyd kastes
i, spyddets begyndelsesfart og længden
af et spydkast.
Side 68­69
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
61

Et solur
emne
Pendulure
Mennesker har i mere end 4000 år
været i stand til at måle tidens gang
mere eller mindre nøjagtigt ved hjælp
af bl.a. solure som det, der er vist på
billedet øverst til venstre.
Det var dog først i 1600-tallet, at opfindelsen
af pendulure gjorde tidsmålingen
nogenlunde nøjagtig.
Den italienske fysiker, Galileo Galilei,
opdagede sammenhængen mellem et
penduls længde og dets svingningstid.
Et pendul
Det var denne opdagelse, der gjorde
det muligt at fremstille pendulure.
I skal undersøge den samme sammenhæng,
som Galilei undersøgte.
1 Fremstil et pendul ved hjælp af et
stykke snor og en møtrik. Snoren
skal være længere end 1 meter.
2 Brug et stopur, og undersøg, hvor
lang tid det tager pendulet at svinge
frem og tilbage, når I lader 10 cm
snor svinge, 20 cm snor, 30 cm snor
osv. Udfyld en tabel som denne:
Cm snor 10 20 30 40 … 100
Tid i
sekunder
3 Hvor lang skal snoren være for at
svingningstiden er 1 sekund?
4 Undersøg, om møtrikkens vægt har
nogen betydning for svingningstiden.

En formel
T 2 = 4 · l
t er pendulets svingningstid i
sekunder.
l er pendulets længde i meter.
Den sammenhæng, som galilei fandt,
er udtrykt i formlen øverst til venstre.
5 Brug formlen til at bestemme svingningstiden
for et pendul på 1 meter.
6 Sammenlign de resultater, I har fået i
opgave 2 med de resultater, I får ved
hjælp af formlen.
7 Brug formlen til at fremstille en graf,
der viser sammenhængen mellem
pendulets længde og svingningstid.
8 Brug formlen til at beregne længden
på et pendul med en svingningstid på
1 sekund.
Foucaults pendul
9 I 1851 gennemførte franskmanden
Leon foucault et forsøg, der skulle
vise jordklodens rotation. I forsøget
brugte han et pendul, der var 67 m
langt. Hvad var pendulets svingningstid?
Leon foucault
(1819­1868)
I kan læse mere om tidsmåling på
internettet.
Brug evt. de links, som findes på
Kolorits hjemmeside.
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
63

Frit fald
64
EMNE
FRIT FAld
galileo galilei opdagede også den fysiske
lov, der kaldes faldloven – eller det
frie fald.
Med faldloven kan vi beregne, hvor lang
tid det tager for en genstand at falde
frit igennem luften – fx fra en vippe i
svømmehallen.
faldloven forklarer sammenhængen mellem
faldtiden (t) og faldlængden (s).
Den tager dog ikke hensyn til evt. vindmodstand.
formlen øverst til højre viser faldloven,
som den ser ud i Danmark. Der kan være
lidt forskel på tallene i forskellige dele
af verden, fordi tyngdeaccelerationen
(Jordens „tiltrækningskraft“) varierer en
smule fra sted til sted.
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
Faldloven
t =
1 Beregn faldtiden for en genstand, der
falder
a 100 cm.
b 100 m.
c 100 km.
2 udfyld en tabel som denne:
faldlængde
i meter
faldtid i
sekunder
s
490
t er faldtiden målt i sekunder.
s er faldlængden målt i centimeter.
10 20 30 40 … 100
3 tegn en graf, der viser sammenhængen
mellem faldlængde og faldtid.
4 Brug grafen til at undersøge, hvor
langt en genstand er faldet, hvis den
har været i frit fald i 5 sekunder.
5 Brug grafen og formlen til at undersøge
faldtider og faldlængder, som I
selv vælger.

Et forsøg Et regneark
Ved hjælp af faldloven kan I undersøge
en persons reaktionstid. På tegningen
øverst til venstre er vist, hvordan I kan
foretage undersøgelsen.
når linealen slippes, skal forsøgspersonen
gribe den mellem fingrene. Bagefter
aflæser I på linealen, hvor langt den er
faldet.
6 gennemfør forsøget. Skriv resultaterne
ned.
7 Beregn forsøgspersonernes reaktionstid
ved hjælp af faldloven.
Brug evt. et regneark.
8 fremstil tabeller og diagrammer, der
viser resultatet af forsøget.
9 analyser resultaterne ved hjælp af
statistiske metoder. Beregn fx middeltal
og variationsbredde. Hvad fortæller
tallene om jeres reaktionstid?
10 undersøg, om der er forskel på reaktionstiden
hos drengene og pigerne
i jeres klasse ved at sammenligne et
observationssæt med drengenes reaktionstider
med et observationssæt
med pigernes reaktionstider.
I kan læse mere om faldloven på
internettet.
Brug evt. de links, som findes på
Kolorits hjemmeside.
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
65

66
EMNE BREMSElÆNGdER OG STANdSElÆNGdER
Bremselængde Formler for bilers bremselængde
Øverst findes formler, der kan bruges
til at beregne, hvor mange meter en
bil skal bruge til at bremse op, så
bilen holder helt stille.
1 Brug formlerne til at beregne
bremselængden for en bil, der
kører 50 km/t i
a tørt vejr.
b regnvejr.
c snevejr.
2 Brug formlerne til at beregne
bremselængden for en bil, der
i tørt vejr kører
a 80 km/t.
b 110 km/t.
c 130 km/t.
d 200 km/t.
Bremselængde
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
tørt vejr: B = 0,004 · f 2 + 0,3 · f
regnvejr: B = 0,008 · f 2 + 0,3 · f
Snevejr: B = 0,02 · f 2 + 0,3 · f
B er bremselængden i meter.
f er farten i km/t.
3 tegn en graf, der viser sammenhængen
mellem fart og bremselængde i
tørt vejr.
bremselængde i m
160
140
120
100
80
60
40
20
0
km/t
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
4 undersøg og kommenter de tre påstande:
a når man fordobler farten på en bil,
fordobles bilens bremselængde.
b når man fordobler farten på en bil,
bliver bremselængden tre gange så
stor.
c når man fordobler farten på en bil,
bliver bremselængden fire gange
så stor.

Standselængde
reaktionstid
Bremselængde
Standselængde
når en bilist ser noget på vejen, som
gør, at han eller hun må bremse pludseligt
op, så er det vigtigt at reagere
hurtigt.
Bilens samlede standselængde består
af den længde, som bilen kører i bilistens
reaktionstid og bilens bremselængde
– se tegningen øverst.
5 forestil jer, at reaktionstiden for en
bilist er 1 sekund. Hvor mange meter
kan bilen nå at køre, hvis farten er
a 10 m/sek?
b 50 km/t?
c 80 km/t?
d 110 km/t?
e 200 km/t?
6 Hvad vil I regne for en sikker afstand
mellem to biler, der kører 100 km/t?
Hvorfor?
7 Beregn den samlede standselængde
for en bil, der kører
a 80 km/t.
b 110 km/t.
c 130 km/t.
d 200 km/t.
I kan læse mere om standselængder
på internettet.
Brug evt. de links, som findes på
Kolorits hjemmeside.
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
67

68
EMNE
Formel for længden af et spydkast
med kastevinkel på 45˚
L = 1
· v2
9,8
L er kastets længde målt i meter.
v er spyddets begyndelsesfart
målt i m/sek.
SPYDKAST
En spydkaster har flere ting at tage hensyn
til, når han eller hun vil kaste spyddet
længst muligt.
Kastets længde er afhængig af kastevinklen
og den fart, som spyddet har,
når spydkasteren sender det af sted.
Den ideelle kastevinkel er teoretisk
set 45˚.
Øverst kan I se en formel, som I kan
bruge til at beregne spyddets længde,
når kastevinklen er 45˚.
1 Beregn længden af et spydkast, når
kastevinklen er 45˚, og begyndelsesfarten
er
a 10 m/sek.
b 20 m/sek.
c 30 m/sek.
MaTEMaTIKKEn og naTurEns KræfTEr
Kastevinkel
Kastevinkel
2 Tegn en graf, der viser sammenhængen
mellem begyndelsesfarten
og længden af et spydkast med en
kastevinkel på 45˚.
3 I 2010 var verdensrekorden i spydkast
for herrer 98,48 m. Hvad var
kastets begyndelsesfart, hvis vi antager,
at kastevinklen var 45˚?

Formlen for længden af et spydkast
med forskellige kastevinkler
L = 1
· v2
9,8
L er kastets længde målt i meter.
v er spyddets begyndelseshastighed
målt i m/sek.
a er en værdi, der bestemmes ud fra
kastevinklen.
Spydkasterens kastevinkel er ikke altid
45˚. formlen øverst til venstre kan bruges
til at beregne længden af et spydkast
med forskellige kastevinkler.
Værdien af a kan aflæses på grafen til
højre.
4 Hvilken værdi har a, hvis kastevinklen
er
a 10˚?
b 20˚?
c 45˚?
d 55˚?
5 forestil jer, at spyddets begyndelsesfart
er 25 m/sek. Hvor langt bliver
spydkastet, hvis kastevinklen er
a 10˚?
b 20˚?
c 45˚?
d 55˚?
Sammenhængen mellem kastevinkel og a
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
a
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
6 giv et eller flere forslag til, hvilken
begyndelsesfart og kastevinkel verdensrekordkastet
på 98,48 m
kan have haft.
I kan læse mere om matematikkens
anvendelse i sport på internettet.
Brug evt. de links, som findes på
Kolorits hjemmeside.
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
kastevinkel
i grader
69

Pendulure
pOINTER IdéER TIl RAppORTSKRIvNING
fortæl om jeres undersøgelser af
sammenhængen mellem et penduls
længde og svingningstiden.
forklar galileis formel med jeres
egne ord.
tegn en skitse af et pendul, der har
en svingningstid på 1 sekund.
Standselængder
Beskriv sammenhængen mellem en
bils fart og dens bremselængde.
forklar, hvordan man kan beregne
en bils standselængde.
I skal skrive en kort rapport om jeres arbejde med
enten
pendulure
frit fald
giv eksempler på beregning af en
bils standselængde og diskuter, hvad
jeres beregninger kan bruges til.
70
standselængder
spydkast
Brug forslagene her på siden eller jeres egne idéer.
Frit fald
MatEMatIKKEn og naturEnS KræftEr
giv eksempler på anvendelser af
faldloven.
fortæl om jeres forsøg med reaktionstider.
giv en statistisk beskrivelse af jeres
resultater.
Spydkast
giv eksempler på beregninger af et
spydkasts længde, når kastevinklen
er 45˚.
forklar formlen for længden af spydkast
med forskellige kastevinkler.
Vis, hvor stor begyndelseshastigheden
og kastevinklen kan være på
verdensrekorden i spydkast.

Algebra
Matematikken har sit eget sprog, der består af symboler
som fx tal, regnetegn, lighedstegn og parenteser. Når I
forstår dette sprog, kan I bruge matematikken til at løse
mange forskellige problemstillinger.
I en del af matematikkens sprog bruges bogstaver som
variable. Denne del kaldes algebra. I kan fx møde algebra
i forbindelse med formler, parentesregler, ligninger og
reduktioner.
I dette kapitel skal I arbejde med algebra i forbindelse
med de nævnte fagområder. Hensigten er, at algebra skal
blive et redskab, som I kan bruge til at løse matematiske
problemer.
FORMELSAMLING
FOLKESKOLENS
AFSLUTTENDE PRØVER
I MATEMATIK
Parentesregler
a + (b – c + d) = a + b – c + d
a – (b – c + d) = a – b + c – d
a · (b – c + d) = a · b – a · c + a · d
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
(a + b) · (c – d) = a · c – a · d + b · c – b · d
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
(a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab
(a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
INTRO
Man kan hæve (fjerne) en “plusparentes”
uden videre.
Man kan hæve (fjerne) en “minusparentes”,
hvis man samtidig skifter fortegn på alle
leddene i parentesen.
Man ganger en flerleddet størrelse med et
tal ved at gange hvert led med tallet.
c d
a ac ad
b bc bd
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
a b
a a2 ab
b ab b 2
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
Formelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik
12

72
MUNDTLIG
1 Variable og formler
4 cm
3 cm
4 cm
3 cm
5 cm
5 cm
h: højde
a og b: parallelle sider
A: areal
A = 1
· h · (a + b)
2
VARIABLE
Øverst kan I se fire forskellige eksempler,
hvor det er hensigtsmæssigt at bruge
variable.
I eksemplet i ramme 1 bruges variable i
en formel for arealet af et trapez.
1 Brug oplysningerne i ramme 1.
a Beregn arealet af trapezet.
b Kan alle reelle tal bruges i formlen?
Hvorfor? Hvorfor ikke?
c Kunne formlen være skrevet på en
anden måde?
d Hvordan vil formlen se ud, hvis
trapezets parallelle sider betegnes
med m og n?
e Hvordan vil formlen fra opgave 1d
kunne skrives, hvis m er tre gange
så lang som n?
2 Diskuter, hvorfor variable bruges i
formler.
ALGEBRA
a
b
2 Variable og parentesregler
a b
a b
a
a 2
ab
b
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
I eksemplet i ramme 2 bruges variable i
en parentesregel.
3 Forklar reglen
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
ud fra tegningen i ramme 2.
4 Forklar reglen
(a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab
ud fra tegningen herunder.
Brug evt. også kopiark 1.
a – b
a 2
ab
ab
b 2
a – b
(a – b) 2
5 Diskuter, hvorfor variable bruges i
parentesregler.
a
ab
b 2
b

3 Variable og ligninger
1 euro svarer til 7,50 danske kr.
Eksemplet i ramme 3 handler om at
bruge variable i en ligning.
6 Brug oplysningerne i ramme 3, og
skriv en ligning, som I kan bruge til at
finde ud af, hvor meget
a 150 euro svarer til i danske kroner.
b 100 danske kroner svarer til i euro.
7 Diskuter, hvorfor variable bruges i
forbindelse med ligninger.
Eksemplerne i ramme 4 rummer også
ligninger. Disse kan blive lettere at løse,
hvis I reducerer regneudtrykkene på
hver side af lighedstegnet.
8 Løs ligningerne i ramme 4.
9 Diskuter, hvornår I kan få brug for at
reducere regneudtryk.
MMMMMMMMMMMMMM MUNTLIG
4 Variable og reduktion
3x + 5(x – 2) = 4x + 6
8 – (3 + x) + 10x = 100 · x
13x = (4 + x) 2 – 3x – (4 – x) 2
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med at forstå
algebra og med at bruge algebra.
Målet er, at I
bliver bedre til at bruge variable i
regneudtryk og formler.
bliver bedre til at forenkle regneudtryk
ved at reducere.
får overblik over forskellige parentesregler.
bliver bedre til at bruge ligninger og
uligheder til problemløsning i matematik.
undersøger og udvikler regler til at
løse uligheder.
ALGEBRA
73

74
FÆRDIGHED
1 Skriv omkredsen af figurerne på
mindst to forskellige måder.
a
b
c
2 Skriv et regneudtryk, du kan bruge til
at beregne længden af grundlinjen i
en trekant med arealet 24 cm 2 og en
højde på 4 cm.
3 Omskriv formlen for en trekants areal,
så der på venstre side af lighedstegnet
står
a g
b h
4 Omskriv formlen for arealet af et
trapez, så der på venstre side af
lighedstegnet står h.
ALGEBRA
a
b b
a
d d
e
m
2m 2m
2m 2m
m
5 Reducer udtrykkene.
a a + a + a + a + a
b 3a + 4a – 2 – a
c 2 · 13 + 3 · 13 – 4 · 13
d 3 · b + 4 · b – 5 · b
e m + 3m – 2p + 6p
f 2x + x 2 + 3x
g 4 · x 2 + 5 · x – 2 · x 2 – 3 · x
h 4 · 10 2 + 5 · 10 – 2 · 10 2 – 3 · 10
i 6 · a · b – 2 · a · b + a · b
j 3xy + 5xy – 2yx
6 Amanda tænker på et tal.
Hun ganger tallet med 3.
Hun lægger 10 til tallet.
Hun ender med 40.
a Skriv en ligning, der viser Amandas
tanker.
b Hvilket tal tænker Amanda på?
7 Anthon tænker på et tal.
Han lægger 5 til tallet.
Han ganger tallet med 2.
Han trækker 4 fra tallet.
Han ender med 16.
a Skriv en ligning, der viser Anthons
tanker.
b Hvilket tal tænker Anthon på?
8 2(x + 3) = 18. Hvad er
a 2x + 6?
b (x + 3) · 2?
c (x + 3)?
d x?

ET MØNSTER
Mønstret består af nogle kvadrater i forskellige farver.
Forestil dig, at mønstret fortsætter med at vokse.
1 Fremstil en tabel som den viste, og udfyld den ved
at undersøge antallet af farvede kvadrater i hver at
figurerne.
2 Vis, at regneudtrykket for antal kvadrater i alt svarer
til regneudtrykket (n + 2) 2 . Det kan være en god idé
at omskrive de to regneudtryk.
PROBLEM
nr. 1 nr. 2 nr. 3
Figur nr. 1 2 3 4 5 6 10 n
Antal hvide kvadrater 4
Antal blå kvadrater 2
Antal gule kvadrater 3
Antal kvadrater i alt 9
ALGEBRA
75

Hæve parenteser
Plusparenteser kan man hæve uden at
skifte fortegn.
Eksempler:
6 + (9 – 2 + 1) = 6 + 9 – 2 + 1 = 14
a + (b – c + d) = a + b – c + d
Minusparenteser kan man hæve, hvis
man skifter fortegnene i parentesen.
Eksempler:
8 – (–2 + 11 – 3) = 8 + 2 – 11 + 3 = 2
a – (–b + c – d) = a + b – c + d
76
MUNDTLIG
PARENTESREGLER
De følgende opgaver skal give jer indblik
i parentesreglerne øverst.
1 Øverst til venstre kan I se regler for
at hæve parenteser. Giv eksempler
på regneudtryk med
a plusparenteser.
b minusparenteser.
2 Hæv parenteserne, og forklar, hvordan
I gør.
a 2a + (3a + 2b) – b
b 5 + (a + 3) – 2a
c 3b – (b + 5) + 6
d 7 – (–2 – 3a) – 2a
3 Hvilken situation kan regneudtrykket
beskrive?
a 200 – 35 + 24
b 200 – (35 + 24)
ALGEBRA
Gange ind i parenteser
Man kan gange ind i parenteser ved at
gange med hvert led i parentesen.
b c d
Figur 1:
a
a · (b + c + d) = a · b + a · c + a · d
= ab + ac + ad
Figur 2:
a
a · (b + c – d) = ab + ac – ad
4 Brug figur 1 øverst til højre til at
forklare, hvorfor
a · (b + c + d) = ab + ac + ad.
5 Tegn figurer, der passer til regneudtrykkene,
og omskriv dem ved
at gange ind i parenteserne.
a 10 · (2 + 5 + 3)
b 7 · (a + 5 + c)
c d · (2 + e + f)
6 Brug figur 2 øverst til højre til at
forklare, hvorfor
a · (b + c – d) = ab + ac – ad
7 Omskriv regneudtrykkene ved at
gange ind i parenteserne.
a 8 · (2 + 3 – 4)
b 2 · (a – b + 5)
c a · (b – 3 + 6)
ab ac ad
b c
d

Flere led gange flere led
(a + b) · (c + d) = ?
a
b
c a d
b
8 Brug tegningen øverst til venstre til
at udvikle en regel for, hvordan I kan
omskrive (a + b) · (c + d).
9 Tegn og forklar, hvordan I kan omskrive
regneudtrykkene.
a (3 + a)(b + 2)
b (c + 8)(1 + 2c)
c (10 + 4) 2
d (3 + b) 2
e (2a + 3) 2
c d
10 Undersøg ved hjælp af omskrivninger,
om udsagnene er sande. Forklar jeres
resultat.
a (a + b) 2 = (­a – b) 2
b (a – b) 2 = (b – a) 2
To tals sum gange de samme to tals differens
(a + b) · (a – b) = ?
a – b
a
a b
a – b
a
a
b
b
a b
b
b
11 Brug tegningerne øverst til højre og
evt. kopiark 2 til at forklare, hvorfor
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2 .
12 Undersøg, hvilke parentesregler der
står i en formelsamling.
a
ALGEBRA
77

78
PROBLEM
10 20 30
10 20 30
9 19 29
9 19 29
8 18 28
8 18 28
10 20 30
16 9 26 19 36 29
16 26 36
15 8 25 18 35 28
15 25 35
14 24 34
14 24 34
16 26 36
t 15 – 9 25 35
t – 9
14 24 t t + 3410
t t + 10
t – 11 t – 1
t – 11 t – 1
t – 9
t – 11 t – 1
ALGEBRA
t t + 10
SAMMENHÆNGE MELLEM TAL
Til venstre er vist to eksempler på 3 x 3 kvadrater med
tal fra en talplade – se kopiark 3.
1 For hvert kvadrat skal du beregne
a summen af de grønne tal og summen af de blå tal.
b differensen mellem de grønne tal og differensen
mellem de blå tal.
c produktet af de grønne tal og produktet af de
blå tal.
2 Undersøg på samme måde andre 3 x 3 kvadrater
på talpladen fra kopiark 3. Hvad opdager du?
Du kan bruge variable til at generalisere dine resultater
fra opgave 1 og 2.
3 På kvadratet til venstre kaldes tallet i midten for t.
Tegn kvadratet, og udfyld de tomme felter.
4 Beregn
a summen af de grønne tal og summen af de blå tal.
b differensen mellem de grønne tal og differensen
mellem de blå tal.
c produktet af de grønne tal og produktet af de
blå tal.
5 Sammenlign dine resultater i opgave 4 med dine
resultater i opgave 1 og 2. Hvad har du fundet ud af?

1 Hvilke udtryk har samme værdi?
a 4(x + 8) d 4x + 8
b 8 + 4x e 4(8 + x)
c 4x + 32 f 4(2 + x)
2 Hæv parenteserne, og reducer regneudtrykkene.
a 3a + 4b + (a + b) – 2a
b 6a – 3b + (–a + 2b) + 4b
c –11a + 2b – (b – 10a)
d 1 – (a + 2) + a
3 Beregn værdien af regneudtrykkene i
opgave 2, når
a a = 2 og b = 3
b a = –1 og b = 2
4 Gang ind i parenteserne, og reducer
regneudtrykkene.
a 4(a + b)
b 7(2a – 3b) + 20b
c 5 + (x + 2) · 4 – 2x
d (a + b + c) · 3 + 3(a + b + c)
e x 2 (a + b)
f 3a(a + b) – a 2 + ab
g z · (a + 5 + b) · z
h 2(3x + 2y) · 4
5 Sandt eller falsk?
a 5(a + 7) · 2 = 5 · 2(a + 7)
b 3(a + 2) · 4 = 12(a + 2)
c 2(a + b) 2 = (2a + 2b) 2
d 3(a + b) 2 = 3(a 2 + b 2 + 2ab)
e 10a + 20b = 10(a + 2b)
f 4a + 6b = 2(2a + 3b)
FÆRDIGHED
6 Reducer regneudtrykkene.
a (a + 1) 2
b (a + 2)(a + 3)
c (3a + 4)(5 + a)
d (2x – 1)(x + 3)
e (2x + 1) 2
f (a – 2) 2
g (3 + b)(3 – b)
h (3x + 1)(3x – 1)
7 Hvilket af regneudtrykkene
3n + 2 2n + 1 n 2 5n – 1
er størst, hvis
a n = 1? d n = –3?
b n = 2? e n = 1
2 ?
c n = 5? f n = – 1?
8 Beregn
a værdien af a.
b rektanglets areal.
9 Beregn rektanglets 3a + 4
a længde.
b bredde.
c areal.
Omkreds: 30
Omkreds: 30
3a + 4
Omkreds: 30
Omkreds: 30
(3x – 4)
(3x – 4)
5
5
(x – 1)
(x – 1)
ALGEBRA 79

y = 30x og y = 25x + 30
y = 30x
y = 25x + 30
80
MUNDTLIG
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 30 55 80 105 130 155 180 205 230 255 280
På en internetcafé koster det 30 kr.
om måneden at være medlem. Derudover
koster det 25 kr. pr. time at bruge
internettet. Man kan også bruge internettet
for 30 kr. i timen, hvis man ikke er
medlem.
1 Forklar, hvordan priserne på internetcaféen
er oversat til ligninger og
tabeller øverst til venstre.
2 Forklar, hvilken sammenhæng der er
mellem de rette linjer og ligningerne
øverst.
3 Undersøg, hvor mange timer I skal
bruge internettet om måneden, for
at det bedst kan betale sig at være
medlem.
ALGEBRA
LIGNINGER OG ULIGHEDER
30x = 25x + 30
y
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 Forklar, hvad skæringspunktet mellem
de rette linjer fortæller om priserne
på internetcaféen.
5 Forklar, hvorfor I kan finde skæringspunktets
x­værdi ved at løse ligningen
30x = 25x + 30.
6 Løs ligningen ved at
a aflæse på de rette linjer.
b beregne.
7 Find skæringspunktets y­værdi ved at
a aflæse på graferne.
b beregne.
x

30x < 25x + 30 30x Q 25x + 30
y
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ligesom I kan bruge ligninger til at løse
forskellige problemstillinger i matematik,
kan I også bruge uligheder til at
beskrive forskellige problemstillinger.
I ligninger indgår der et lighedstegn,
og i uligheder indgår der et ulighedstegn.
8 Diskuter, hvilke problemstillinger
de to uligheder øverst beskriver i
forbindelse med priserne på internetcaféen.
9 Løs ulighederne ved at bruge de
rette linjer, og forklar, hvad jeres
resultater fortæller om priserne
på internetcaféen.
Løsningen til uligheden øverst til
venstre er et halvåbent interval.
10 Forklar, hvad den åbne og den
lukkede cirkel betyder.
x
y
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 Forklar, hvordan løsningen til
uligheden øverst til højre er vist i
koordinatsystemet.
12 Løs ligningen x + 1 = –2x + 7 ved
a at tegne de to rette linjer
y = x + 1 og y = –2x + 7.
b beregning.
13 Løs uligheden x + 1 < –2x + 7.
x

FITNESSCENTER
PRISER:
PROBLEM
Kontant betaling uden
medlemskab:
1 dag: 75 kr.
1 måned: 450 kr.
Medlemskab:
Startgebyr: 250 kr.
Månedligt beløb: 230 kr.
82
ALGEBRA
I FITNESSCENTER
Til venstre er vist forskellige priser for at benytte
et fitnesscenter.
1 Katrine er ikke medlem af fitnesscentret og betaler
kontant pr. dag, hun træner.
a Skriv en ligning for den rette linje, der viser sammenhængen
mellem prisen i kr. (y) og antal dage,
Katrine er i fitnesscentret (x).
b Tegn i et koordinatsystem den rette linje, der beskriver
sammenhængen mellem pris og antal dage,
Katrine træner.
2 Skriv en ligning, der beskriver, hvor mange gange
man skal træne om måneden for, at det er lige dyrt at
betale pr. måned og pr. dag.
3 Løs ligningen ved at tegne rette linjer og ved beregning.
Brug evt. et funktionsprogram.
4 Hvor mange gange skal Katrine træne om måneden,
for at det bedst kan betale sig med kontant betaling
a hver træningsdag?
b hver måned?
5 Skriv en ulighed, der beskriver, hvornår det bedst kan
betale sig med kontant betaling
a hver træningsdag.
b hver måned.
6 Katrine overvejer at blive medlem af fitnesscentret.
a Forklar, hvad ligningen y = 230x + 250 beskriver
om priserne i fitnesscentret.
b Tegn den rette linje y = 230x + 250.
c Hvor meget skal Katrine træne for, at det kan
betale sig for hende at blive medlem? Hvorfor?

1 Den rette linje y = 2x + 8 og parablen
y = x 2 er tegnet til højre. Brug kurverne
til at finde begge løsninger til
2x + 8 = x 2 .
2 Løs ligningerne ved at tegne kurver i
et funktionsprogram.
a x 2 + 5 = 2x + 8.
b 2x 2 – 6 = –2x – 2
c x 2 – 6 = x
3 Undersøg, om der er en løsning til
ligningen 2x + 8 = –(x 2 ).
Forklar, hvad du finder ud af.
4 Undersøg, om der er én, flere eller
ingen løsninger til ligningerne.
a 3x – 2 = –3x + 10
b 4x + 1 = 4x – 3
c 2x 2 = x + 1
d x 2 + 3 = –x 2 + 1
LØS LIGNINGER GRAFISK
5 Skriv et eksempel på en ligning, der har
a netop én løsning.
b to løsninger.
c ingen løsninger.
PROBLEM
ALGEBRA 83

Løs ligninger
84
–2x + 14 = 8
MUNDTLIG
+ 14 = 8 Hvilket tal skal jeg lægge
til 14 for at få 8?
= –6 Det er –6
–2x = –6 Hvilket tal skal jeg
gange –2 med for at
få –6?
1 Forklar eksemplet øverst til venstre,
og løs ligningen –2x + 14 = 8.
I har tidligere undersøgt, hvilke regler
der gælder for løsning af ligninger.
2 Løs ligningerne, og diskutér, om I
bruger nogle af reglerne øverst til
højre.
a 5x + 18 = 2x + 21
b 18 = –x + 25
c 3x
= 6 7
d 4(x + 2) = 3x + 10
e 20 = 2(2x + 8)
3 Diskuter ud fra eksemplet øverst til
venstre, hvorfor man ikke må gange
med 0 på begge sider af ligheds-
tegnet, når man løser ligninger.
ALGEBRA
LIGNINGER OG ULIGHEDER – REGNEREGLER
Regneregler
Man kan trække det samme tal fra på begge
sider af lighedstegnet.
Man kan lægge det samme tal til på begge
sider af lighedstegnet.
Man kan gange med det samme tal på begge
sider af lighedstegnet – dog ikke med 0.
Man kan dividere med det samme tal på begge
sider af lighedstegnet – dog ikke med 0.
4 I hvilke ligninger er x = 5 løsning?
a 4x + 8 = 3x + 13
b x 2 – 3 = 4x + 2
c 4 + 2 ∙ x = 6x
d –3x + 30 = 4x + 2
Ligningen –2x +14 = 8 kaldes en
førstegradsligning.
Ligningen x 2 + 3 = 28 kaldes en andengradsligning,
fordi x står i anden potens.
5 Hvilke to løsninger har andengradsligningen
x 2 + 3 = 28?
6 Løs andengradsligningerne.
a x 2 = 25
b 2x 2 = 72
c 14 = 3x 2 + 2

Ulighedstegn
En ulighed kan være to regneudtryk eller
tal med et ulighedstegn imellem, fx
8 + x < 20.
Ulighedstegn: <
>
q
Q
7 Forklar, hvad uligheden øverst til
venstre betyder, og løs den.
8 Forklar, hvad de fire ulighedstegn
betyder, og skriv et eksempel på en
ulighed med hvert af uligheds-
tegnene.
9 Hvilke af tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
gør udsagnet sandt?
a 3x + 4 > 2x + 9
b 5 – 2x < x + 2
c 10x > 8x + 1
(2x + 4) > 2x – 2
d 1
2
10 Løs ulighederne, og undersøg, om I
kan bruge de samme regler, som når
I løser ligninger.
a x + 7 > 10 e x > 10
b 8 + 2x < 30 f 3 > x
c 5 q 2 + x g x 2 > 49
d 4x + 1 Q 11 – x h x 2 < 81
Løs uligheder
–2x + 14 > 8
+ 14 > 8 Hvilket tal skal jeg lægge til
14 for at få et tal, der er
større end 8?
> –6 Det er et tal, der er større
end –6
–2x > –6 Hvilket tal skal jeg gange
–2 med for at få et tal, der
er større end –6?
11 Forklar eksemplet øverst til højre.
a Løs uligheden –2x + 14 > 8.
b Diskutér, hvorfor resultatet er
x < 3 og ikke x > 3.
12 Diskuter, hvad løsningen til
–5x < 20 er.
I kan løse uligheder på næsten samme
måde, som I løser ligninger. Hvis I ganger
eller dividerer med negative tal, når
I løser uligheder, skal ulighedstegnet
vendes om.
13 Løs uligheden øverst til højre ved
hjælp af reglerne for løsning af uligheder.
Forklar, hvad I gør.
14 Løs ulighederne, og forklar, hvilke
regler I bruger.
a –x > 7
b –16 < –2x
c –2x – 6 < 5x + 8
d 8 – 3x Q 29
e 15 – 4x < 2x – 9
ALGEBRA
85

86
FÆRDIGHED
1 Løs ligningerne.
a 8x + 10 = 34
b 27 = 6x – 3
c
x
5
+ 12 = 16
d 8 = 5 – x
2
e 0,5x + 4 = 7
f 72 : x = 0,072
g x : 100 = 0,02
2 Løs ligningerne.
a 4(x + 2) = 7x – 1
b 30 – (2x + 1) = –13
c 7x + 3(2 – x) + x = 2 + x
d 3(2x – 10) – 5(3 – 2x) = 3
3 Beregn to løsninger til ligningerne.
a x 2 = 100
b 81 = (x + 5) 2
c (x + 2) 2 = 16
d (x + 3)(x – 3) = 0
e (x + 2)(x – 2) +3 = 3
f 5 2 = x 2
4 I hvilke ligninger er x = 5 en løsning?
a 4x + 2 = 22
b 2(x + 3) + 3x = 6x + 1
c 7x – 8 = 43
d 3x + 7 = 37
5 Skriv mindst to ligninger, hvor
x = 3 er løsning.
6 Skriv en ligning, der kan bruges til at
beregne sidelængden i et kvadrat,
hvor omkredsen er 10 m.
ALGEBRA
7 Tegn hver figur herunder.
a Beregn summen af to tal ved
siden af hinanden, og skriv
resultatet i rækken under.
b Beregn værdien af x.
Eksempel:
3 + x + x + 9 = 18
2x + 12 = 18
x = 3
a
b
c
d
3 x 9
4
3 + x
18
x
x + 9
10
x + 8 2 x
4x + 1
6x + 3
18
14
100
x + 5
x + 1 4x + 3
20
5x + 4

8 Løs ulighederne.
a 3x + 5 > 8
b 4 > 1
2 x
c 5 – 2x > 6x –3
d 7x + 7 < 2x – 8
e –5x < 25
f –45 < –2x
g x > 6
h x < 4
i x 2 > 121
9 I koordinatsystemet er to rette
linjer med ligningerne
y = x og y = –2x + 3 tegnet.
5
4
3
2
1
y
–3 –2 –1
–1
–2
–3
1 2 3 4 5 6 7
a Brug de to rette linjer til at løse
ligningen x = – 2x + 3
b Løs uligheden x > –2x +3
10 Tegn tre rette linjer i et koordinatsystem
med ligningerne
a y = 2x – 2
b y = –2x + 2
c y = x
x
11 Brug de rette linjer fra opgave 10,
og løs ulighederne.
a 2x – 2 > –2x + 2
b 0 < –2x + 2
c –2x + 2 > x
d 2x – 2 < –2x + 2
12 En kube skal kunne rumme mindst
1000 cm 3 .
a Opstil en ulighed, du
kan bruge til at beregne
kubens sidelængde.
b Hvor stor skal
sidelængden være?
13 En cylinder har en grundflade med
arealet 20 cm 2 og skal kunne rumme
mindst 160 cm 3 .
a Opstil en ulighed, du kan bruge
til at beregne cylinderens højde.
b Hvor stor skal højden være?
h
14 Katrine tjener 1500 kr. om måneden.
En måned regner hun med at bruge
ca. 1200 kr. til fx tøj og telefon.
r
V = G · h
V: rumfang
h: højde
G: areal af
grundflade
a Opstil en ulighed, der udtrykker,
hvor mange biografture det højst
kan blive til for resten af pengene,
hvis en biografbillet koster 75 kr.
b Løs uligheden.
h
ALGEBRA 87
r
V
V
h:
G
gr

a
b
Tjeklisten
POINTER
Udfyldt din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
Hæve parenteser
Gange ind i parenteser
Omskrive (a – b) 2
Omskrive (a + b)(a – b)
Reducere
Bruge variable til at løse
matematiske problemer
Bruge reglerne for at løse
ligninger
Bruge reglerne for at løse
uligheder
c d
88
a
b
ALGEBRA
HVAD VED DU NU OM …?
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Giv mindst to eksempler på, hvornår det kan
være hensigtsmæssigt at bruge variable.
Vis med et eksempel, hvordan du kan reducere regneudtryk.
Tegn tegninger, der viser parentesregler.
Giv et eksempel på, hvordan en ligning kan bruges
til at løse et matematisk problem.
Giv et eksempel på, hvordan en ulighed kan bruges
til at løse et matematisk problem.
Vis, hvordan du kan beregne en løsning, der passer
ind i to ligninger.
Forklar, hvilke forskelle og ligheder der er mellem at
løse ligninger og uligheder.
Giv et eksempel på, hvad du er blevet a mere sikker b
c d i at bruge algebra til.
a – b
a – b
a
(a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
a b
a
b
b
a
a
b
b

Trigonometri
Trigonometri er et matematisk værktøj, der kan bruges
til at beregne længder og arealer af marker, lande, bygninger,
stjernehimlen og meget mere. Derfor bruges
trigonometri i mange forskellige professioner – bl.a.
af landmålere, sejlfolk, ingeniører og bygningskonstruktører.
Ordet trigonometri betyder trekantmåling. Matematikken
bag trigonometri har I allerede kendskab til fra tidligere
klassetrin. Værktøjet bygger på viden om vinkler
og ligedannede trekanter. For at kunne bruge trigonometri
i praksis er det desuden vigtigt at have kendskab
til lommeregnerens trigonometriske funktioner.
I dette kapitel skal I arbejde med disse trigonometriske
funktioner, og I skal arbejde med at bruge trigonometri
til beregninger af længder og arealer.
INTRO

90
MUNDTLIG
HVOR BRED? HVOR HØJ? HVOR LANG?
1 Hvor bred er søen? 2 Hvor høj er lygtepælen?
20 m
?
28 m
De fire tegninger øverst viser situationer,
hvor der er længder, som I ikke kan
komme til at måle direkte. Læg mærke
til, at til hver situation kan der tegnes en
retvinklet trekant.
I trekanten på tegning 1 er længden
af to af trekantens sider oplyst. ? På de
andre tegninger er størrelsen af en af
trekantens spidse vinkler og en af sidelængderne
40° oplyst.
12 m
1 For hver af de fire tegninger øverst
skal I, evt. ved hjælp af et geometriprogram,
a konstruere den retvinklede
trekant i et målestoksforhold,
I selv vælger.
b måle og beregne den længde, som
er markeret med spørgsmålstegn.
2 Forklar, hvorfor I kan finde søens
bredde på tegning 1 ved at bruge
Pythagoras´ sætning.
TRIGONOMETRI
20 m
40°
12 m
Pythagoras´ sætning:
Hvis ∆ ABC er retvinklet, og vinkel
C er den rette vinkel, gælder der
for sidelængderne a, b og c, at
a2 + b2 = c2 3 Brug Pythagoras´ sætning til at beregne
søens bredde, og sammenlign
dette resultat med jeres resultat fra
opgave 1.
Er der forskel? Hvorfor? Hvorfor
ikke?
4 Hvorfor kan I ikke bruge Pythagoras´
sætning til at beregne de ukendte
længder på tegning 2­4?
?

3 Hvor højt op når stigen? 4 Hvor lang er svævebanen?
60°
60°
6 m
6 m
I ved, hvordan I ved hjælp af tegninger kan
måle og beregne ukendte ?
60° længder i retvinklede
trekanter, hvor I kender størrelsen
af en de spidse vinkler og en af sidelængderne.
20° I dette kapitel skal I lære at beregne
jer frem til de ukendte 80 m længder i retvinklede
trekanter. Metoden ? kaldes trigonometri.
For at kunne tale om vinklerne og sidelængderne
20° i retvinklede trekanter får I brug
for at kende B nogle nye 80 ord. m Kateten, der er
er det ene ben hypotenuse i en vinkel, kaldes den hosliggende
a katete til c vinklen. Kateten over for
en katete bestemt vinkel kaldes den modstående
katete til vinklen.
C
B b A
katete
hypotenuse
a c
katete
C
b
katete
5 Hvilken side i trekanten er
a den hosliggende katete til vinkel A?
b den modstående katete til vinkel A?
?
?
A
20°
6 m
?
80 m
B
Indhold og mål
hypotenuse
I dette a c
kapitel skal I arbejde med trigo­
katete
nometri.
C b A
Målet er, at katete I
bliver i stand til at beregne de ukendte
sidelængder i en retvinklet trekant,
når I kender størrelsen på en af de
spidse vinkler og en sidelængde.
lærer begreberne sinus, cosinus og
tangens i forbindelse med retvinklede
trekanter.
kan bruge jeres nye viden til at beregne
længder og arealer.
?
TRIGONOMETRI
91

A
A´ 60°
A´´
92
60°
c
60°
b
c´
b´
c´´
B
b´´
PROBLEM
a
C
B´
a´
C´
B´´
a´´
C´´
TRIGONOMETRI
LIGEDANNEDE RETVINKLEDE TREKANTER
Brug evt. et geometriprogram til opgaverne på denne
side.
1 Tegn en retvinklet trekant med en spids vinkel på 60°.
Kald den spidse vinkel for A.
2 Mål længden af
a den hosliggende katete til A.
b den modstående katete til A.
c hypotenusen.
3 Beregn forholdene:
modstående katete til A
a
hypotenusen
hosliggende katete til A
b
hypotenusen
c
modstående katete til A
hosliggende katete til A
4 Tegn nu en trekant, der er ligedannet med den første,
du tegnede. Den kan være større eller mindre.
5 Gennemfør opgave 2 og 3 med den nye trekant.
Hvad opdager du?
6 Undersøg, om din opdagelse gælder alle størrelser
trekanter, der er retvinklede og har en spids vinkel
på 60°.
7 Foretag samme undersøgelse for ligedannede retvinklede
trekanter med en spids vinkel på fx 40°.
8 Hvad ser ud til at gælde om forholdene mellem
siderne i ligedannede retvinklede trekanter?

1 Tegn en retvinklet trekant, og
a navngiv vinkelspidserne med A, B,
C og siderne med a, b, c. C skal
være den rette vinkel.
b skriv hvilke sider, der er kateter og
hvilken side, der er hypotenuse.
c skriv hvilken side, der er den
hosliggende katete til A, og hvilken
side der er den modstående katete
til A.
d skriv hvilken side, der er den
hosliggende katete til B og hvilken
side, der er den modstående
katete til B.
2 Beregn de ukendte sidelængder ved
hjælp af Pythagoras´ sætning.
Brug evt. lommeregner.
a
b
c
8 cm
x
1,5 cm
8 cm
x
3 cm
x 10 m
2,5 cm
1,5 cm
2,5 cm
x
3 cm
x
10 m
x
8 m
8 m
B
A
40 cm
F
E
50°
?
50
D
cm
G
H
20 cm
C 20 cm
H 50 cm
4 Tegn stigerne og deres placering i
A målestoksforholdet 40 cm D 1 : 100. Mål og
beregn, hvor mange meter hver stige
når op. Brug lommeregner.
a
3 m
?
5 m
45°
40°
FÆRDIGHED
3 Brug lommeregner, og beregn længden
af så mange af kassens diagonaler
som muligt.
B
b
c
3 m
F
E
50°
5 m
45°
40°
C
7 m
G
?
7 m
?
?
TRIGONOMETRI 93
?

94
20˚
MUNDTLIG
kan jeg ikke få et
billede af den kasse
der skal tegnes? ctj
DRAGEFLYVNING
Når et dragefly skal i luften, kan det
foregå ved, at det trækkes op af et såkaldt
optræksspil. Linen, som benyttes,
er mellem 1 og 2 km lang.
Ved hjælp af en motor spoles linen op.
Drageflyet sætter i gang og letter. I skal
undersøge, hvor højt det flyver.
På tegningen øverst er linen 1 km lang,
og vinklen mellem flyet og jorden er
20°. Læg mærke til, at der kan tegnes
en retvinklet trekant til situationen.
1 Tegn den retvinklede trekant øverst
i et målestoksforhold, I selv bestemmer.
Brug evt. et geometriprogram.
2 Brug jeres tegning til at finde ud af,
hvor højt drageflyveren flyver.
TRIGONOMETRI
20°
1000 m 1000 m
?
Herunder er en skitse af en trekant,
der er ligedannet med trekanten øverst.
På tegningen står nogle oplysninger om
målene.
A
20°
10,0 cm
3,4 cm
3 Forklar, hvorfor forholdet mellem
den modstående katete til A og
hypotenusen på skitsen er 0,34.
4 Vis, hvordan I kan beregne drageflyets
højde, når I kender dette forhold.
5 Fik I det samme resultat med beregningsmetoderne
i opgave 2 og 4?
Hvorfor? Hvorfor ikke?
her tegnes en dra

geflyver af tegneren...
?
500 m
25˚
15˚
I tabellen herunder ses flere skitser af
retvinklede trekanter. Forholdet mel­
lem den modstående side til vinkel v
og hypotenusen er beregnet.
Retvinklet trekant
v = 10°
v = 15˚
v =25˚
800 m
?
?
modstående
katete til v
Hypotenuse n
0,17
0,26
0,42
?
?
1000 m
700 m
30˚
10˚
Brug tallene i tabellen til at beregne,
hvor højt det røde, gule og grønne
dragefly flyver.
6 Det blå dragefly flyver i en vinkel på
30˚. Tegn en retvinklet trekant med
en vinkel på 30˚. Beregn forholdet
mellem den modstående side til
vinklen og hypotenusen. Brug resultatet
til at beregne, hvor højt det blå
dragefly flyver.
TRIGONOMETRI
95

v
4°
8°
12°
16°
20°
24°
28°
32°
36°
40°
44°
48°
52°
56°
60°
64°
68°
72°
76°
80°
96
PROBLEM
modstående katete til v
hypotenusen
TRIGONOMETRI
EN TABEL OVER FORHOLD
Du kan selv udarbejde en tabel over forholdet mellem
modstående sider og hypotenusen i forskellige retvinklede
trekanter.
-1
0,8
0,6
0,4
0,2
v=24˚
-0,5 0,5
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
1 Tegn en cirkel i et koordinatsystem.
Brug evt. et geometriprogram.
Centrum skal være i (0,0), og radius skal være 1
enhed. Lad gerne 1 enhed svare til 10 cm, så cirklen
bliver stor.
2 Konstruer en retvinklet trekant i 1. kvadrant.
Hypotenusen skal gå fra cirklens centrum til cirklens
periferi. Kald vinklen, der har spids i (0,0), for v.
3 Undersøg forholdet mellem den modstående katete
til v og hypotenusen, når v er 24˚. Skriv resultatet i
en tabel som vist til venstre.
4 Udfyld resten af tabellen.
1
-1
5 Hvad er den mindste og den største værdi forholdet
kan have? Hvorfor?
1

En flok børn sætter drage op.
Snoren er rullet helt ud. Den er 30 meter lang.
HVOR HØJT?
1 Brug oplysningerne i tabellen, du selv har udarbejdet
på side 96, til at beregne, hvor højt hver drage flyver.
a c
30 m
b d
30 m
1 m
64°
80°
1 m
?
?
1 m
1 m
44°
32°
30 m
30 m
PROBLEM
?
TRIGONOMETRI 97
?

Sinus
I en retvinklet trekant med den spidse vinkel
v kaldes
modstående katete til v
hypotenusen
Det skrives sin(v).
98
MUNDTLIG
for sinus til v.
På de forrige sider har I set, hvordan
forholdet mellem sidelængder i retvinklede
trekanter kan bruges til at beregne v
ukendte sidelængder. 4,7 cm
Hvert af de forhold, I har set, har sit eget
navn. Navnene står øverst.
50°
I den retvinklede trekant herunder er
3,0 cm
cirka 0,77.
modstående katete til 50°
hypotenusen
Man siger, at sinus til 50° er cirka 0,77
og skriver:
sin(50°) ≈ 0,77.
1 Hvad er cosinus til 50°?
SINUS, COSINUS OG TANGENS
Cosinus
v v
4,7 cm
50°
3,0 cm
TRIGONOMETRI
3,6 cm
I en retvinklet trekant med den spidse vinkel
v kaldes
hosliggende katete til v
hypotenusen
Det skrives cos(v).
for cosinus til v.
2 Hvilken værdi har tangens til 50°?
Mange lommeregnere og it­programmer
har sinus, cosinus og tangens indbygget.
3,6 cm
3 Brug lommeregneren eller et it­program
til at beregne
a sin(50°)
b cos(50°)
c tan(50°)
4 Sammenlign jeres resultater i opgave 1
og 2 med jeres resultater i opgave 3.

Tangens
v
I en retvinklet trekant med den spidse
vinkel v kaldes
modstående katete til v
v
hosliggende katete til v for tangens til v.
Det skrives tan(v).
I kan bruge sinus, cosinus og tangens
til at beregne ukendte sidelængder i
en retvinklet trekant, hvis bare I kender
størrelsen af én af de spidse vinkler og
én af sidelængderne. v =23°
5,0 cm
Eksempel:
v =23°
5,0 cm
I kan beregne længden af hypotenusen i
trekanten herover ved hjælp af cosinus.
Ved hjælp af lommeregneren beregnes
cos(23˚) ≈ 0,92.
Samlet
A
sin(A) = a
A c
b
cos(A) =
c
b
a
tan(A) =
b
C
5 Forklar, hvorfor det må gælde, at
5, 0
hypotenusen
≈ 0,92.
6 Brug ligningen til at beregne længden
af trekantens hypotenuse.
7 Forklar, hvordan I kan beregne længden
af den sidste side i trekanten ved
hjælp af
a sinus.
b tangens.
c
c
b
8 Beregn sin(23°) og tan(23°) og
beregn længden af den sidste side i
trekanten både ved hjælp af sinus og
tangens. Passer de to resultater med
hinanden?
9 Forklar, hvordan oplysningerne i rammen
„Samlet“ passer sammen med
oplysningerne i de øvrige rammer.
B
a
B
C
a
TRIGONOMETRI
99

100
D
FÆRDIGHED
1 Brug lommeregner eller et it­program
til at beregne
2
a sinus til 60°
b cosinus til 60°
c tangens til 60°
d sin(45°)
e cos(45°)
f tan(45°)
f
e
E
d
d
F
I den retvinklede trekant herover er
sin(D) = d
D
F
e
. Hvad er
f
3
D
f
a cos(D)?
b tan(D)?
c sin(E)?
d cos(E)?
e tan(E)?
1
B
a
1
B
a
A
C
1 b
A
a C
b
I den retvinklede trekant herover er
A
hypotenusen 1. b Forklar, hvorfor C
a sin(A) = a
b cos(A) = b
TRIGONOMETRI
f
e
E
d
E
F
B
4 Beregn de manglende sidelængder
ved hjælp af en lommeregner med
funktionerne sinus, cosinus og tangens.
a
b
c
d
46˚
58°
39 cm
20 cm
58° 20 cm
46˚
46˚
58°
39 cm
39 29˚ cm
20 cm
47,5 cm
27 cm
47,5 cm
27 cm 31°
27 cm
29˚
29˚
47,5 cm
31°
31°

1 Hvor høj er klippen?
2 Hvor langt væk ligger øen?
BEREGN AFSTANDE
3 Hvor højt over vandoverfladen er kitesurferens
drage?
?
10 m
?
85°
20 m
60°
PROBLEM
1m
15m
45°
TRIGONOMETRI
?
101

C
a
B
45˚
102
11,5 m
49˚
h
PROBLEM TRIGONOMETRI OG AREALBEREGNING
b
c
TRIGONOMETRI
A
1 Beregn arealet af trekant ABC på mindst to forskellige
måder.
Du kan bl.a. beregne arealet af trekant ABC ved hjælp
af sin(C). De følgende opgaver skal hjælpe dig til at se
hvordan.
2 Forklar, hvorfor sin(C) = h
b .
3 Vis, at ligningen i opgave 2 kan omskrives til
h = b · sin(C).
h
Du ved allerede, at arealet af trekant ABC kan beregnes
· a · h.
ved 1
2
4 Forklar, hvorfor det så også må gælde, at arealet
af trekant ABC kan beregnes ved 1
· a · b · sin(C).
2
5 Beregn arealet af trekant ABC ved hjælp af den
nye formel.
Den nye formel kan bruges på alle typer trekanter,
og den kan være praktisk i situationer, hvor du ikke
kan komme til at måle trekantens højde.
29,6 m
6 En grund har form og mål som vist på skitsen.
Beregn grundens areal.

TRIGONOMETRI OG KORDER PROBLEM
1 Beregn længden af korden i den røde cirkel ved hjælp
af Pythagoras´ sætning.
2 Forklar, hvorfor du ikke kan beregne længden af
korden i den blå cirkel ved hjælp af Pythagoras´
sætning.
3 cm
3 cm 40°
Du kan beregne længden af korden i den blå cirkel ved
hjælp af sin(v). De følgende opgaver skal hjælpe dig til
at se, hvordan.
3 Forklar, hvorfor den ligebenede trekant i den blå
cirkel kan deles i to kongruente, retvinklede trekanter
ved hjælp af en vinkelhalveringslinje.
4 Forklar, hvorfor den mindste vinkel i hver af de to
retvinklede trekanter er 20°, og brug denne viden
til at beregne længden af korden.
8 m
70°
5 Et klassisk amfiteater er opbygget som vist på
skitsen. Hvor bred er scenens bagkant?
3 cm
8 m 70°
TRIGONOMETRI 103
3 cm 4

104
FÆRDIGHED
Brug lommeregner til opgaverne på side
104 og 105.
1 Beregn arealet af trekanterne.
a
b
c
2,5 cm
4 cm
d70˚
4,5 cm
2,6 cm
6 cm
2,6 cm
2,5 cm
4 cm
4,5 cm
6 cm
70˚
3 cm
40°
3 cm
3,8 cm
3 cm
40°
3 cm
TRIGONOMETRI
3,8 cm
2 Ved hjælp af Herons formel kan du C
beregne arealet af en trekant, når du
kender trekantens sidelængder. b
C
a
A
b
c
a
B
A
s er den halve omkreds: s =
Herons formel:
A = s ·( s – a) ·( s – b) ·( s – c)
a + b + c
2
Brug Herons formel 4 til cm at beregne arealet
af trekanterne.
a
b
4 cm
5 cm
c
4 cm
4 cm
5 cm
2 cm
4 cm
B
4 cm
2 cm
4 cm
4 cm

3 Tegn en skitse med mål af forskellige
trekanter, hvis areal kan beregnes
med
a formlen:
1
A = · h · g
2
b formlen:
A = 1
2
c Herons formel.
· a · b · sin(C)
4 Amalienborg Slotsplads har næsten
form som en regulær ottekant med en
sidelængde på 60 m.
a Tegn slotspladsen i målestoksforholdet
1:1000, og beregn area­
let af slotspladsen ved at inddele
den i mindre figurer.
5 Beregn længden af korderne.
a
b
c
d
2 cm
2 cm 40°
2 cm
2 cm
60°
80°
20°
TRIGONOMETRI
105

Tjeklisten
POINTER
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
106
Kende begrebet
„hosliggende katete“
Kende begrebet
„modstående katete“
Vide, hvad sinus betyder
Vide, hvad cosinus betyder
Vide, hvad tangens betyder
Bruge lommeregner
og/eller et it­program til
at beregne værdier for
sinus, cosinus og tangens
TRIGONOMETRI
HVAD VED DU NU OM …?
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Fortæl, hvad du ved om forholdene mellem sidelængderne
i retvinklede trekanter.
Vis med et eksempel, hvordan du kan bruge et geometriprogram
til at beregne en ukendt sidelængde
i en trekant.
Vis med et eksempel, hvordan du kan bruge sinus,
cosinus og/eller tangens til at beregne en ukendt
sidelængde i en retvinklet trekant.
Giv et eksempel på et praktisk problem, du kan løse
ved hjælp af trigonometri.
Fortæl, hvad du har lært om at bruge it og lommeregner
ved at arbejde med kapitlet.

Er det sandsynligt?
De fleste mennesker stiller engang imellem sig selv
spørgsmål, som har med tilfældighed at gøre. Vil min
yndlingsspiller vinde kampen på lørdag? Bliver chancen
for at vinde kortspillet større, hvis jeg vælger et bestemt
kort frem for et andet? Hvor stor er sandsynligheden
for at komme ind på den uddannelse, jeg ønsker?
Statistik og sandsynlighed er et område af matematikken,
der bl.a. handler om at finde svar på den slags
spørgsmål. Matematikere har udviklet forskellige metoder
til at give svar på spørgsmål om tilfældighed. Den
grundlæggende idé er at sætte tal på sandsynligheden
for, at bestemte ting sker.
I dette kapitel skal I arbejde med forskellige metoder
til at sætte tal på sandsynligheder. Kapitlet er delt i tre
dele. Den første del beskriver forskellige tænkemåder,
som kan bruges til at sætte tal på sandsynligheder.
Den næste del handler om regning med sandsynligheder,
og den sidste del handler om, hvordan statistik og
sandsynlighed bruges i forbindelse med stikprøveundersøgelser.
INTRO

MUNDTLIG
Kombinatorisk sandsynlighed
Udfaldsrum =
{spar es, spar to, …, sparkonge,
ruder es, ruder to, …, hjerter tre,
hjerter fire …, klør konge}
I skal arbejde med situationer, der
vedrører sandsynlighed, og I skal lære,
hvordan I på forskellige måder kan sætte
tal på sandsynligheder.
Den første situation handler om at
trække et tilfældigt kort fra et almindeligt
sæt spillekort. Det kort, I trækker,
kaldes et udfald. Hvis I skriver alle de
mulige udfald op, har I et udfaldsrum.
1 giv eksempler på forskellige udfald,
der kan forekomme, når I trækker et
kort.
2 Forklar, hvorfor der er 52 udfald i
udfaldsrummet.
Hvis der er lige store chancer for hvert
udfald i udfaldsrummet, kan I sætte tal
på sandsynligheder ved at tælle udfald.
Den type sandsynlighed kaldes
kombinatorisk sandsynlighed.
108 Er DEt SanDSynlIgt?
TRE TYPER SANDSYNLIGHED
når I trækker et eller flere kort, kan der
ske forskellige hændelser. Der kan fx ske
den hændelse, at I trækker et es.
I kan sætte tal på sandsynligheden for
at få et es ved at tælle antallet af esser
og dividere med antallet af udfald i
udfaldsrummet.
3 Hvad er sandsynligheden for at
trække et es?
I kombinatorisk sandsynlighed gælder
det, at sandsynligheden for en hændelse
er
antal udfald der opfylder hændelsen
antal udfald i udfaldsrummet
4 Hvad er sandsynligheden for at
trække et billedkort?
5 Sæt tal på sandsynligheden for andre
hændelser, der kan ske, når I trækker
et tilfældigt kort fra et sæt spillekort.

Statistisk sandsynlighed og
personlig sandsynlighed
Udfaldsrum =
{Dan vinder, Pia vinder}
Den anden situation handler om kortspil.
Dan og Pia spiller kort. Hvem
vinder?
6 Diskuter, om der er lige stor sandsynlighed
for hvert udfald i udfaldsrummet.
I kan bruge statistik til at sætte tal på
sandsynligheder. Den type sandsynlighed
kaldes statistisk sandsynlighed.
7 Hvad fortæller statistikken på
tegningen øverst til højre om sandsynligheden
for, at Dan vinder kortspillet?
I nogle tilfælde giver det mening at
bruge egne vurderinger, når der skal
sættes tal på sandsynligheder. Fx kan
det tænkes, at Dan vurderer sine vinderchancer
som ekstra store, hvis han
har gode kort. Den type sandsynlighed
kaldes personlig sandsynlighed.
8 Diskuter, om I kender til situationer,
hvor det er rimeligt at anvende personlig
sandsynlighed.
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med sand­
synlighed.
Målet er, at I
får forståelse for begreberne udfald,
udfaldsrum og hændelse.
lærer at sætte tal på sandsynligheder
ved hjælp af kombinatoriske overvejelser,
statistik og personlige vurderinger.
bliver bedre til at regne med sandsynligheder
ved hjælp af chancetræer.
får større indblik i stikprøveundersøgelser.
Er DEt SanDSynlIgt?
109

110
PROBLEM
Er DEt SanDSynlIgt?
BANKO
I bankospil udtrækkes tilfældige tal mellem 1 og 90.
De følgende opgaver handler om det første tal, som
udtrækkes, i et bankospil.
1 Hvor mange udfald er der i udfaldsrummet?
2 Er det rimeligt at antage, at hvert udfald har lige
stor sandsynlighed? Hvorfor? Hvorfor ikke?
3 Hvad er sandsynligheden for, at det første tal,
der udtrækkes,
a er nummer 41?
b findes på bankopladen herunder?
Officiel bankoplade
12 24 41 64 70
18 33 48 56
77
9 26 38 68 84
Forestil dig, at det første tal, der blev udtrukket,
var nummer 41.
De følgende opgaver handler om det andet tal,
der udtrækkes i et bankospil.
4 Hvor mange udfald er der i udfaldsrummet?
5 Er det rimeligt at antage, at hvert udfald har lige
stor sandsynlighed? Hvorfor? Hvorfor ikke?
6 Hvad er sandsynligheden for, at det andet tal,
der udtrækkes,
a er nummer 42?
b findes på bankopladen ovenover?
7 Hvilken type sandsynlighed har du brugt til at
løse opgave 3 og 6?

Diagrammet herunder viser aldersfordelingen af medlemmerne
i bankoklubben „anden“.
Antal medlemmer
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 – 10
11 – 20
21 – 30
1 Hvor mange medlemmer er der i bankoklubben
„anden“?
2 Beskriv aldersfordelingen af medlemmerne.
I forbindelse med de følgende spørgsmål skal du
forestille dig, at vi udvælger et tilfældigt medlem
af „anden“ og spørger om hans eller hendes alder.
3 Hvor mange udfald er der i udfaldsrummet?
4 Er det rimeligt at antage, at hvert udfald har
lige stor sandsynlighed? Hvorfor? Hvorfor ikke?
5 Hvad er sandsynligheden for, at det udtrukne
medlem er
a 15 år?
b 31­40 år?
c 51 år eller mere?
31 – 40
41 – 50
51 – 60
Alder i år
6 Hvilken type sandsynlighed har du brugt til at
løse opgave 5?
BANKOKLUBBEN PROBLEM
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
Er DEt SanDSynlIgt?
111

112
PROBLEM RESULTATET AF EN FODBOLDKAMP
Er DEt SanDSynlIgt?
Forestil dig, at Danmark skal spille landskamp mod
Sverige, og du skal vurdere sandsynligheden for,
at Danmark vinder.
1 Hvilke udfald er der i udfaldsrummet?
2 Er det rimeligt at antage, at hvert udfald har
lige stor sandsynlighed? Hvorfor? Hvorfor ikke?
3 Overvej, hvilke af de følgende forslag der bør
have betydning for din vurdering.
a En statistik, der viser, hvordan Danmark og
Sverige har klaret sig i de sidste 20 kampe,
de hver især har spillet.
b En liste over skader hos holdets spillere.
c Hvad holdene kan opnå ved at vinde.
d En statistik, der viser, hvordan de seneste
kampe mellem Danmark og Sverige er gået.
e Din fornemmelse.
f Danmarks og Sveriges placering på verdens­
ranglisten.
4 Hvad er sandsynligheden for, at Danmark vinder
over Sverige i en kommende landskamp?
5 Hvilken type sandsynlighed har du brugt til at
løse opgave 4?

1 Du kaster en almindelig terning og
ser på det antal øjne, terningen viser.
a giv et eksempel på et udfald.
b Skriv udfaldsrummet.
c Hvad er sandsynligheden for, at
terningen viser tre øjne?
d Hvad er sandsynligheden for, at
terningen viser et ulige antal øjne?
2 Herunder er beskrevet tre situationer.
Skriv et udfaldsrum til hver
situation.
a Du kaster en mønt og ser, om den
viser plat eller krone.
b Du tømmer postkassen og ser, om
der er post eller ej.
c Du undersøger, hvor mange timer
du har vikar i en tilfældig uge i
skolen.
3 Hvilke(t) udfaldsrum i opgave 2 har
udfald med lige stor sandsynlighed?
4 En ægproducent har i en periode ført
statistik over størrelsen af de æg,
hans høns lægger.
Vægt i gram Antal æg
]50;55] 154
]55;60] 211
]60;65] 330
]65;70] 285
]70;75] 140
Hvad er sandsynligheden for, at et tilfældigt
æg fra ægproducenten vejer
a mere end 60 g og højst 65 g?
b mere end 65 g?
c 60 g eller mindre?
FÆRDIGHED
5 Du kaster to almindelige terninger
og ser på det antal øjne, terningerne
viser.
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Hvad er sandsynligheden for, at
a begge terninger viser seks øjne?
b den ene terning viser seks øjne?
c terningerne viser det samme antal
øjne?
d summen af terningernes øjne er 4?
Er DEt SanDSynlIgt?
113

114
PROBLEM ENARMET TYVEKNÆGT
Er DEt SanDSynlIgt?
En enarmet tyveknægt har oftest tre tromler, som
bevæger sig uafhængigt af hinanden. Hver tromle
kan standse i 20 forskellige positioner.
tabellen herunder viser et eksempel på de figurer,
som tromlerne kan bestå af.
Tromle 1
(antal)
Tromle 2
(antal)
Tromle 3
(antal)
1 3 1
4 2 2
5 3 7
5 5 5
5 7 5
Forestil dig, at du spiller på den enarmede tyveknægt
i eksemplet.
1 giv eksempler på tre forskellige mulige udfald.
2 Forklar, hvorfor der er 8000 udfald i udfaldsrummet.
3 Hvad er sandsynligheden for hvert udfald i opgave 1?

Skemaet til højre viser, hvilke kombinationer der giver
hvilke gevinster.
4 Sæt tal på sandsynligheden for at få hver gevinst.
5 Hvor mange spillemærker kan man forvente at
vinde på 8000 spil?
til hvert spil skal der bruges en spillemønt.
6 Hvor mange procent af de indkastede spillemønter
kan man på lang sigt forvente at få tilbage i form af
gevinster?
7 Hvad er sandsynligheden for, at en spiller får en
eller anden gevinst i sit første spil?
nogle enarmede tyveknægte har en tæller, som viser,
hvor mange spil der er spillet siden sidste topgevinst.
8 Er der en fordel ved at spille på en enarmet tyveknægt,
hvor der er gået mange spil siden sidste
topgevinst frem for en enarmet tyveknægt, hvor
der er gået få spil siden sidste topgevinst? Hvorfor?
Kombination
Er DEt SanDSynlIgt?
Gevinst
(antal spillemærker)
300
80
12
10
6
2
115

MUNDTLIG
Multiplikation i chancetræet
1
6
Et chancetræ kan være en god hjælp til at
skabe overblik over chancesituationer, der
består af flere dele.
Chancetræet øverst skal fx skabe overblik
over en situation, hvor en grøn, blå og rød
terning kastes samtidig. Vi interesserer os
for, om terningerne viser seks øjne eller ej,
og vi deler situationen op i tre dele – en for
hver terning.
1 Forklar, hvorfor sandsynligheden for,
at en terning viser seks øjne i et kast,
er 1
6 .
2 Forklar, hvorfor sandsynligheden for,
at en terning ikke viser seks øjne i et
kast, er 5
6 .
5
6
3 Forklar, hvad chancetræet øverst viser.
1
6
1
6
116 Er DEt SanDSynlIgt?
REGNING MED SANDSYNLIGHEDER
5
6
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
5
6
5
6
I chancetræet øverst består hver gren af
tre dele. Hver gren viser på den måde en
hændelse, der består af tre dele.
4 Forklar, hvilken gren i chancetræet, der
viser den hændelse, at
a alle de tre terninger viser en sekser.
b ingen af terningerne viser en sekser.
c den røde terning viser en sekser, de
andre gør ikke.
Sandsynligheden for den hændelse, som
en gren i chancetræet viser, kan findes ved
at gange sandsynlighederne for hver del af
grenen.
Sandsynligheden for, at både den grønne,
den blå og den røde terning viser seks øjne,
er derfor
1 1 1 1
· · =
6 6 6 216
5 Hvad er sandsynligheden for, at ingen
af de tre terninger viser en sekser?
5
6
5
6
X 1 1 1 1
6 · 6 · 6 = 216

Addition i chancetræet
de følgende opgaver handler om sandsynligheden
for at få netop én sekser i
et kast med tre terninger.
6 Forklar, hvorfor hver af de tre afkrydsede
grene i chancetræet øverst
hører til den hændelse, at der netop
er én sekser i kastet med de tre terninger.
7 Beregn den sandsynlighed, som hver
af de fremhævede grene i chancetræet
viser.
sandsynligheden for en hændelse, der
består af flere grene i chancetræet,
kan beregnes ved at lægge sandsynlighederne
for hver gren sammen.
5
6
8 Forklar, hvorfor sandsynligheden for
at få netop én sekser i kastet med tre
terninger er
1
6
1 5 5 1 5 5 1 5 5 1
· · + · · + · · = 3 ·
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
1
6
1
6
5
6
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
9 Beregn sandsynligheden for at få
netop to seksere i et kast med tre
terninger.
⎛ 5⎞
·
⎝
⎜
6⎠
⎟
2
≈ 0,347
5
6
5
6
5
6
5
6
Er dEt sandsynligt?
X 1 5 5
6 · 6 · 6
X 5 1 5
6 · 6 · 6
X 5 5 1
6 · 6 · 6
117

118
PROBLEM
lykkes
mislykkes
TENNISSERV
En tennisspiller har ført statistik over, hvor stor en
del af hendes førsteserver der lykkes. I gennemsnit
lykkes 60 % af hendes førsteserver.
Det påbegyndte chancetræ viser, hvordan det kan
komme til at gå med tre af spillerens førsteserver.
lykkes
mislykkes
lykkes
mislykkes
lykkes
mislykkes
lykkes
mislykkes
lykkes
mislykkes
lykkes
mislykkes
1. gang 2. gang 3. gang
Er DEt SanDSynlIgt?
1 tegn chancetræet og skriv sandsynligheder på
hver del af grenene.
2 Beregn sandsynligheden for, at
a alle tre førsteserver lykkes.
b ingen af førsteserverne lykkes.
c netop en af førsteserverne lykkes.
d netop to af førsteserverne lykkes.
3 Undersøg, hvordan det vil gå med sandsynlighederne
i opgave 2, hvis det lykkes spilleren at
forbedre sin serv, så 70 % af førsteserverne lykkes.

når førsteserven mislykkes, får tennisspilleren endnu
en chance for at serve. Denne ekstra chance kaldes for
„andenserven“. Hvis begge forsøg mislykkes, kaldes det
en „dobbeltfejl“, og modstanderen får point.
Spilleren har også ført statistik over sin andenserv.
I gennemsnit lykkes 95 % af andenserverne.
Det påbegyndte chancetræ viser, hvordan det kan
komme til at gå med to af spillerens førsteserver og
andenserver.
1. serv mislykkes
1. serv lykkes
4 tegn chancetræet, og skriv sandsynligheder på hver
del af grenene.
5 Beregn sandsynligheden for, at
a førsteserven lykkes begge gange.
b andenserven lykkes begge gange.
c spilleren lykkes med førsteserven en
gang og andenserven en gang.
d spilleren får to dobbeltfejl i træk.
6 Hvad er risikoen for, at spilleren får
2. serv lykkes
2. serv mislykkes
a tre dobbeltfejl i træk? c 10 dobbeltfejl i træk?
b fire dobbeltfejl i træk? d n dobbeltfejl i træk?
1. serv lykkes
1. serv mislykkes
1. serv lykkes
1. serv mislykkes
1. gang 2. gang
1. serv lykkes
2. serv lykkes
2. serv mislykkes
2. serv lykkes
2. serv mislykkes
Er DEt SanDSynlIgt?
119

MUNDTLIG
Eksempel på en stikprøveundersøgelse
I hvor høj grad værdsætter du generelt det danske kongehus?
1%
6%
9%
33%
næsten hver dag kan I se resultatet
af stikprøveundersøgelser i medierne.
Formålet med undersøgelserne er ofte
at vise danskernes holdning til forskellige
spørgsmål – selv om kun en lille del
af befolkningen bliver spurgt.
Øverst kan I se resultatet af en stikprøveundersøgelse,
som firmaet, gallup,
har gennemført. Undersøgelsen er
baseret på 1052 personers svar på det
spørgsmål, I kan læse over cirkeldiagrammet.
Personerne er ifølge gallup udvalgt
repræsentativt. Det betyder, at gruppen
af personer er sammensat, som
befolkningen generelt er det. I gruppen
er der fx samme aldersfordeling og
samme andel af kvinder og mænd som i
Danmark generelt.
120 Er DEt SanDSynlIgt?
ER STIKPRØVEUNDERSØGELSER PÅLIDELIGE?
51%
Gallup for Berlingske Tidende(2009)
I høj grad
I nogen grad
I ringe grad
Slet ikke
Ved ikke
1 Diskuter, hvad det kunne betyde for
stikprøveundersøgelsen, hvis personerne
ikke var udvalgt repræsentativt.
2 Er det sandsynligt, at stikprøveundersøgelsen
viser danskernes holdning
til kongehuset, selvom det kun
er et udsnit af befolkningen, der er
spurgt? Hvorfor? Hvorfor ikke?
3 gennemfør en stikprøveundersøgelse
i jeres egen klasse ud fra det samme
spørgsmål.
4 Sammenlign resultatet af jeres egen
undersøgelse med resultaterne
øverst. Hvad kan evt. forskelle skyldes?

Undersøgelse af stikprøvers
pålidelighed
Kan det tænkes, at de oplysninger, I får
fra stikprøveundersøgelser om danskernes
holdninger, slet ikke gælder generelt
for danskerne? I skal undersøge, om de
oplysninger, I får gennem stikprøveundersøgelser,
er pålidelige.
til det formål skal I bruge et simuleringsprogram
eller et regneark – se evt.
Kolorits hjemmeside.
Ved hjælp af it kan I simulere udtrækninger
fra en krukke med lige mange
røde og hvide kugler i. 50 % af kuglerne
er røde, men vil en stikprøveundersøgelse
også vise det?
5 Undersøg, om stikprøvens størrelse
har betydning for pålideligheden ved
at gennemføre flere simuleringer med
a 25 gentagelser.
b 500 gentagelser.
c 1500 gentagelser.
MMMMMMMMMMMMMM MUNTLIG
6 Undersøg, om antallet af kugler i
krukken har betydning for pålideligheden
ved at gennemføre simuleringer
med
a 1 rød og 1 hvid kugle i krukken.
b 1000 røde og 1000 hvide kugler
i krukken.
c 1 000 000 røde og 1 000 000
hvide kugler i krukken.
7 Undersøg, om forholdet mellem
antallet af røde og hvide kugler har
betydning for pålideligheden ved at
gennemføre simuleringer med
a 40 % røde og 60 % hvide kugler.
b 20 % røde og 80 % hvide kugler.
c 2 % røde og 98 % hvide kugler.
8 Diskuter, hvilken betydning resultaterne
af jeres undersøgelser har for
virkelighedens stikprøveundersøgelser.
Er DEt SanDSynlIgt?
121

122
PROBLEM USIKKERHED OG STIKPRØVER
Er DEt SanDSynlIgt?
En stikprøveundersøgelse baseret på 500 repræsentative
personers svar har givet følgende resultat:
49% 51%
Ja
Nej
Du skal undersøge ved hjælp af et simuleringsprogram,
om stikprøveundersøgelsen kan have givet dette resultat,
selv om der i befolkningen som helhed er flertal for
„nej“.
1 gennemfør mindst 10 simuleringer af 500 udtrækninger
fra „en krukke“ med 51 % røde kugler og
49 % hvide kugler. noter resultaterne.
2 Er der nogle af simuleringerne, der giver flest udtrækninger
af hvide kugler, selv om der er flest røde i
krukken?
3 Hvad viser resultatet af opgave 2 om stikprøveundersøgelser?
4 Undersøg, hvordan det går, hvis stikprøvestørrelsen
ændres fra 500 til 1500. gennemfør mindst 10
simuleringer af 1500 udtrækninger fra „en krukke“
med 51 % røde kugler og 49 % hvide kugler. noter
resultaterne.
5 Hvad viser resultatet af opgave 4 om stikprøveundersøgelser?

FORVENTNINGER OG STIKPRØVER PROBLEM
Sandsynligheden for, at en nyfødt pige bliver 90 år
eller mere, er ca. 24 %. Dette tal er ikke baseret på en
stikprøve, men på den faktiske levetid blandt danskere.
Alder 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Levende
mænd
1000 994 994 993 991 987 984 980 973 963 946 917 878 820 739 621 463 284 126 34 6
Levende
kvinder
1000 996 995 995 994 993 991 990 986 980 970 952 926 887 829 736 605 432 238 86 27
1 Forklar, hvorfor det er realistisk at forvente, at omkring
238 ud af 1000 nyfødte piger vil blive 90 år
eller mere.
2 Forklar, hvorfor det ikke nødvendigvis går sådan, at
lige præcis 238 piger bliver 90 år eller mere, selv om
sandsynligheden fortsat er ca. 24 %.
3 gennemfør 20 simuleringer af 1000 udtrækninger
fra „en krukke“, der rummer 24 % røde kugler og
76 % hvide kugler. noter resultaterne.
4 Hvad viser resultatet fra opgave 3 om det antal
nyfødte piger, der kan forvente af blive 90 år eller
mere?
Kilde: Danmarks Statistik (tallene er afrundet)
Er DEt SanDSynlIgt? 123

Tjeklisten
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende færdigheder:
124
MUNDTLIG
Opskrive udfaldsrum
Sætte tal på sandsynligheder
med formlen
antal udfald der opfylder hændelsen
antal udfald i udfaldsrummet
Sætte tal på sandsynligheder
ved hjælp af
statistik
Sætte tal på sandsynligheder
ved hjælp af
personlige vurderinger
regne med sandsynligheder
ved hjælp af
chancetræ
gennemføre simuleringer
af stikprøveundersøgelser
Er DEt SanDSynlIgt?
HVAD VED DU NU OM …?
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Forklar, hvad der menes med begreberne udfald,
udfaldsrum og hændelse.
giv et eksempel på et sandsynlighedsproblem, der
kan løses ved hjælp af kombinatorisk sandsynlighed.
Vis, hvordan det kan løses.
giv et eksempel på et sandsynlighedsproblem, der
kan løses ved hjælp af statistisk sandsynlighed.
Vis, hvordan det kan løses.
giv et eksempel på regning med sandsynligheder.
Forklar, hvad der menes med en stikprøveundersøgelse.
Forklar, hvad der gør en stikprøveundersøgelse
mest pålidelig.

Matematisk modellering
i dette tema skal i gennemføre en arbejdsproces, som
kaldes matematisk modellering.
i kan arbejde med matematisk modellering, når i har
„noget“ fra virkeligheden, som med fordel kan belyses
ved hjælp af matematik.
På de næste to sider kan i læse om den matematiske
modelleringsproces. derefter skal i selv gennemføre
sådan en arbejdsproces ud fra en eller flere af kapitlets
fire emner.
INTRO
matematisk modellering
125

126
INTRO EN MATEMATISK MODELLERINGSPROCES
1. fase
„Noget“ fra
virkeligheden
Udgangspunktet for matematisk modellering
er „noget“ fra virkelighedens
verden, som i med fordel kan bruge
matematik til at belyse.
det kan fx dreje sig om
et problem, i gerne vil løse,
en ting, i gerne vil beskrive,
en udvikling, i gerne vil forudsige.
Forestil jer fx, at i gerne vil undersøge,
om det er muligt at spare på emballage
til mælk i danmark.
matematisk modellering
2. fase
Matematiske
modeller
den anden fase handler om at „oversætte“
det, i arbejder med, fra virkelighedens
verden til noget, i kan arbejde med
i matematikkens verden – dvs. til
en eller flere matematiske modeller.
i den forbindelse er der tit en række beslutninger,
som i må tage. Hvis i vil spare
på emballagen til mælk, kan i fx beslutte,
om i vil prøve at udvikle en 1 liter
mælkekarton, med et mindre forbrug
af karton end de nuværende kræver,
eller om det er mere hensigtsmæssigt at
satse på at bruge større kartoner, der
kan indeholde mere mælk.

3. fase
Matematikkens
„svar“
den tredje fase handler om at finde
matematikkens svar på det, i arbejder
med. det kan fx tænkes, at i ved hjælp af
matematik kan konstruere en mælkekarton
på 1 liter med et mindre forbrug af
pap end de nuværende.
4. fase
Tolkning
og kritik
den fjerde og sidste fase handler om at
tolke og forholde sig kritisk til matematikkens
svar i forhold til den virkelighed,
i tog udgangspunkt i.
Hvad vil en ændret mælkekarton fx betyde
for emballageforbruget i danmark?
Har besparelsen betydning for miljøet?
eller kan det tænkes, at der viser sig nye
problemer i forbindelse med produktion,
transport eller anvendelse af de
nye kartoner?
matematisk modellering
127

128
PRÆSENTATION
Kan vi spare på emballagen?
i dette emne skal i undersøge, om vi kan
spare på affald fra mælkekartoner, ved
at fremstille „den ideelle karton“.
MATEMATISK MODELLERING
side 130-131
matematisk modellering
Hvor meget sover vi?
i dette emne skal i undersøge, hvor
mange timer børn, unge og voksne sover
pr. døgn – og hvem der sover mest.
Sådan kan I arbejde med kapitlet
side 132-133
i kan arbejde individuelt, i grupper eller samlet. Hver
gruppe kan gennemføre to modelleringsforløb. i kan
alle vælge fx at gennemføre det første forløb for
at få fælles erfaringer med modelleringsprocessen.
derefter vælger hver gruppe et af kapitlets tre andre
modelleringsforløb.
Undervejs i arbejdet kan i få mere viden om – og
idéer til jeres emne ved at følge de links, der findes
på kolorits hjemmeside.
som afslutning på forløbet kan i give en præsentation
af den modelleringsproces, i har fordybet jer i.
På side 138 findes der idéer til præsentationen.

Hvorfor er tagrender buede?
i dette emne skal i undersøge, hvordan
tagrender skal formes for at kunne indeholde
mest muligt vand.
Indhold og mål
i dette kapitel skal i arbejde med matematisk modellering.
målet er, at i
side 134-135
får erfaringer med at gennemføre en matematisk
modelleringsproces.
får mere indblik i, hvordan matematikken kan bruges
til at løse problemer, beskrive situationer og forudsige
udviklinger i „virkelighedens verden“.
bliver bedre til at præsentere jeres arbejde med og
om matematik.
Hvad koster en bil?
i dette emne skal i undersøge, hvad det
koster at have bil og sammenligne udgifterne
ved at købe en bil med udgifterne
ved at lease den samme bil.
matematisk modellering
side 136-137
129

130
EMNE
de fleste danskere er enige om, at det
vil være hensigtsmæssigt at begrænse
affald fra emballage så meget som muligt.
Både fremstillingen af ny emballage
og afskaffelsen af brugt emballage, der
ikke kan genbruges, belaster nemlig
miljøet.
i 2008 boede der ca. 5 500 000 mennesker
i danmark. Hver dansker drak i
gennemsnit 90,5 l mælk. en mælkekarton,
der rummer 1 l, vejer ca. 28 g.
1 Hvor mange mælkekartoner skulle der
i alt fremstilles til danskerne i 2008?
2 Hvor mange kilogram affald var
mælkekartoner årsag til i danmark i
2008?
ifølge flere mælkeproducenter arbejdes
der på at minimere vægten af materiale
til emballage. Vægten kan evt. reduceres
ved at anvende nye materialer, men en
anden mulighed kunne måske være at
ændre på mælkekartonens form?
KAN VI SPARE PÅ EMBALLAGEN?
1. fase – „Noget“ fra virkeligheden 2. fase – Matematiske modeller
matematisk modellering
1 L
1 L
1 L
3 Undersøg en af de nuværende mælkekartoner
ved at
a måle og beregne, om kartonen
virkelig rummer 1 l.
b udfolde kartonen og beregne
arealet af pappet.
Jeres opgave er at fremstille en model
af en mælkekarton, som i betragter som
ideel. det er et krav, at der indgår mindre
karton pr. liter mælk, end i de nuværende
kartoner. kartonen skal samtidig
være god at holde på og hælde af.
4 diskuter, hvordan i kan arbejde med
opgaven i „matematikkens verden“.
diskuter bl.a., om
a i vil se bort fra det pap, der går
til samling af kartonen eller…?
b i vil holde jer til kasseformede
kartoner eller…?
c i vil holde jer til kartoner, der
rummer 1 l eller…?

3. fase – Matematikkens „svar“ 4. fase – Tolkning og kritik
20,5 cm
1 L
7 cm
7 cm
20,5 cm
2 L
? cm
? cm
5 Undersøg, hvordan matematikken kan
hjælpe jer med at fremstille modellen
af jeres karton. i kan fx undersøge,
a hvilken type figur med et rumfang
på 1 l, der har det mindste overfladeareal.
b om en figurs overfladeareal fordobles,
når figurens rumfang
fordobles.
når i mener at have nået frem til jeres
bud på den ideelle mælkekarton, må i
forholde jer kritisk til jeres model.
6 Undersøg og diskuter bl.a., om
a jeres mælkekarton vil betyde mindre
affald i danmark.
b jeres mælkekarton er god at hælde
af og nem at opbevare i køleskab.
c jeres mælkekarton er nemmere eller
sværere at transportere end de
nuværende kartoner?
i kan læse mere om affald og mælkekartoner
på internettet.
Brug evt. de links, som findes på
kolorits hjemmeside.
matematisk modellering
131

132
EMNE
i 2010 blev danskeres søvnvaner undersøgt.
konklusionen på undersøgelsen
var, at børn og unge i gennemsnit sover
mindre, end de bør for at have den bedste
trivsel.
skemaet herunder viser, hvor mange
timer børn, unge og voksne bør sove,
ifølge søvnforskere.
SÅ MEGET BØR VI SOVE
HVERT DØGN
1-2-årige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-14 timer
3-årige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10-14 timer
4-5-årige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10-12 timer
6-9-årige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11 timer
10-11-årige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9-10 timer
12-14-årige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 timer
15-18-årige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9 timer
Voksne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7,5 timer
matematisk modellering
HVOR MEGET SOVER VI?
1. fase – „Noget“ fra virkeligheden 2. fase – Matematiske modeller
Antal timers søvn pr. døgn
10
8
6
4
2
0
Anders
Bastian
Cille
Ditte
Ella
Frederikke
Gunnar
Haidar
Inge-Marie
Jonathan
1 sover i selv så meget, som i bør?
mon undersøgelsens konklusion passer
for befolkningen i jeres lokalområde?
Passer konklusionerne fx på elever og
lærere på jeres skole?
Jeres opgave er at undersøge, hvor
mange timer børn, unge og voksne sover
pr. døgn og at sammenligne resultaterne
fra de forskellige aldersgrupper.
2 diskuter, hvordan i kan arbejde med
opgaven i „matematikkens verden“.
diskuter bl.a.,
a hvem i vil indsamle data fra.
b hvordan i vil indsamle data.
3 gennemfør jeres undersøgelse.

3. fase – Matematikkens „svar“ 4. fase – Tolkning og kritik
Voksne
Unge
Børn
0 5 10 15
Antal timers søvn pr. døgn
4 Undersøg, hvordan matematikken
kan bruges til at analysere jeres data.
i kan fx
a opstille tabeller eller tegne diagrammer,
der giver overblik over
jeres data.
b finde mindsteværdi, størsteværdi,
typetal og beregne variationsbredde
og middeltal for observationerne
i hver aldersgruppe.
c beregne kvartilsæt og tegne boksplot
for hver aldersgruppe.
5 diskuter, hvad „matematikkens svar“
betyder i „den virkelige verden“.
6 sammenlign jeres resultater med
konklusionen fra søvnundersøgelsen
i 2010.
7 diskuter, om jeres undersøgelse
stemmer overens med virkeligheden.
Hvor sikre er jeres konklusioner?
i kan læse mere om søvn og søvn-
vaner på internettet.
Brug evt. de links, som findes på
kolorits hjemmeside.
matematisk modellering
133

134
EMNE
HVORFOR ER TAGRENDER BUEDE?
1. fase – „Noget“ fra virkeligheden 2. fase – Matematiske modeller
tagrender på et hus skal lede regn og
smeltet sne ned fra taget og væk fra
huset. tagrenderne skal renses indimellem
– ellers kan visne blade spærre for
vandet, så det ikke kan løbe væk, og
det kan give skader på huset.
tagrender sælges i tre størrelser
og har en længde på enten 3 meter
eller 6 meter.
størrelse 10: bredde på 102 mm
størrelse 11: bredde på 120 mm
størrelse 12: bredde på 144 mm
1 en tagrendes lodrette tværsnit har
typisk form som en halvcirkel. Vis
med et regneudtryk, at den „halve
omkreds“ er ca. 160 mm for størrelse
10.
matematisk modellering
2 Hvor meget vand kan en tagrende
med en længde på 3 meter indeholde,
hvis det er størrelse 10?
3 tagrender kan fx fremstilles af zink.
Beregn arealet af en zinkplade, derkan
bruges til at fremstille en tagrende
af størrelse 10 med en længde
på 3 meter.
Jeres opgave er at undersøge, om tagrender
med fordel kunne have en anden
form end „den buede“ og at fremstille
modeller af forskellige tagrender.
4 diskuter, hvordan i kan arbejde med
opgaven i „matematikkens verden“.
diskuter bl.a.,
a hvilke andre former en tagrendes
lodrette tværsnit kan have.
b hvilket materiale i vil bruge til at
fremstille modellerne.

3. fase – Matematikkens „svar“ 4. fase – Tolkning og kritik
3 m
160 mm
5 Undersøg, hvordan matematikken
kan hjælpe jer med at fremstille
modeller af tagrender. i kan tage
udgangspunkt i en plade, der er
160 mm bred og 3 meter lang som
ved størrelse 10.
i kan fx undersøge, hvilke mål tagrendens
sider skal have, hvis tagrenden
skal kunne rumme mest, og det
lodrette tværsnit har form som
a et rektangel?
b en trekant?
c et trapez?
d ??
6 Hvilken tagrende vil i anbefale?
Hvorfor?
når i fundet forskellige bud på, hvilke
former tagrender kan have, må i forholde
jer kritisk til jeres modeller.
7 Undersøg og diskuter bl.a.,
a om tagrenden er forbrugervenlig.
kan flere tagrender let sættes
sammen? er den let at rense?
b om vandet let kan løbe væk.
i kan læse mere om tagrender på
internettet.
Brug evt. de links, som findes på
kolorits hjemmeside.
matematisk modellering
135

136
EMNE
HVAD KOSTER EN BIL?
1. fase – „Noget“ fra virkeligheden 2. fase – Matematisk modeller
det koster mere at have bil, end mange
lige regner med. de fleste bilejere har
udgifter til fx benzin, forsikring, grøn
ejerafgift og service.
i kan anskaffe en bil på forskellige måder.
Fx kan i købe kontant, låne penge
i banken eller lease. Hvis i leaser en bil,
betaler i et engangsbeløb til start og
et fast beløb hver måned. Hvis i kører
mere end et aftalt antal kilometer, skal i
betale ekstra pr. kilometer.
1 Hvor meget koster det at lease en
Peugeot 107 i tre år, hvis i kører
a 45 000 km på tre år?
b 50 000 km på tre år?
Jeres opgave er at undersøge, hvad det
koster at have en bil i tre år. i skal finde
en forhandler på internettet og sammenligne
udgifterne ved at lease en bil
i tre år og eje den samme bil i tre år.
2 diskuter, hvordan i kan arbejde med
opgaven i „matematikkens verden“.
diskuter bl.a.,
a hvilken forhandler i vil bruge.
b hvilken bil i vil vælge.
c hvordan i kan finansiere at købe
en bil, og hvordan i vil sælge
den igen.
d hvilke udgifter der er ved at
have bil.
3 gennemfør jeres undersøgelse.
Peugeot 107 1,0 Comfort Plus 5 døre
leasingtype ny/brugt 1. gangs
ydelse
måneder km Pris pr.
ekstra km
månedlig
ydelse
Privat ny 12.500 kr. 36 45.000 0,75 kr. 1.698 kr.
inkluderet
i den
månedlige
ydelse
moms
ja
service
ja
etabl.
& lev.
ja
grøn
ejerafgift
Forsikring andet
matematisk modellering
Kilde: www.billeasing.dk

3. fase – Matematikkens “svar“ 4. fase – Tolkning og kritik
Bilens værd i kr.
150000
100000
Engangsydelse
Månedlige ydelser
Benzin
Forsikring
Grøn ejerafgift
4 Undersøg, hvordan matematikken
kan bruges til at analysere jeres data.
i kan fx
a opstille tabeller eller tegne diagrammer,
der giver overblik over
udgifterne ved at lease og købe
en bil.
b sammenligne forskellige finansieringsmuligheder,
hvis i vil købe
en bil.
c undersøge, hvor meget bilen kan
sælges for efter tre år og fremstille
en model, der viser prisfaldet over
tid.
50000
Antal år
0
0 1 2 3 4
…. lease
en bil …
…. købe
en bil …
5 diskuter, hvad „matematikkens svar“
betyder i „den virkelige verden“.
a Hvad har i fundet ud af?
b kan det bedst betale sig at eje
eller at lease en bil?
i kan læse mere om biler og priser
på internettet.
Brug evt. de links, som findes på
kolorits hjemmeside.
matematisk modellering
137

„Noget“ fra virkeligheden
Hvad har i arbejdet med?
Hvorfor er det en interessant
undersøgelse?
Matematiske modeller
Hvordan har i „oversat“ virkeligheden
til matematik?
Hvordan ser jeres modeller
ud?
Hvordan har i fremstillet
modellerne?
Matematikkens „svar“
Hvordan har i brugt matematik?
Hvilke svar har matematikken
givet jer?
Tolkning og kritik
POINTER HVAD VED DU NU OM…?
Hvordan har i tolket matematikkens
svar i forhold til
virkeligheden?
kan i bruge modellerne til
at sige noget om virkeligheden?
Hvordan kan i kritisere jeres
modeller?
138
matematisk modellering
i har nu gennemført en matematisk modelleringsproces
med udgangspunkt i et eller flere af emnerne.
i skal præsentere jeres arbejde for hinanden og vise,
hvordan i har arbejdet med hver fase af modelleringsprocessen.
i kan bruge spørgsmålene, som står i oversigten
til venstre, når i forbereder jeres præsentation.
efter i har præsenteret jeres modelleringsforløb for
hinanden, kan i diskutere:
Hvad har i lært om at bruge en modelleringsproces
til at finde svar på „noget“ fra virkeligheden?
Hvordan arbejdede i jer igennem faserne?
tog i dem i rækkefølge, eller sprang i imellem
nogle af faserne?
i hvilken af faserne blev i udfordret mest?
kunne i have fundet svar på „noget“ fra virkeligheden
uden at bruge matematik? Hvorfor?
Hvorfor ikke? Hvordan?

Penge og økonomi
De fleste teenagere har overvejelser, der vedrører
økonomi. Fx:
Hvor meget kan jeg tjene, hvis jeg får et job i en
forretning?
Har jeg råd til at købe en ny computer?
Hvor lang tid går der, før jeg har sparet penge
nok sammen?
Hvor kan det bedst betale sig for mig at låne
penge?
Dette kapitel handler om spørgsmål af denne slags.
I skal arbejde med
løn og skat,
opsparing,
lån.
INTRO

ATP: Arbejdsmarkedets TillægsPension.
ATP er en fast sats, der afhænger af
antallet af arbejdstimer. Nederst kan
I se satserne for månedslønnede i
2009-2010.
AM-bidrag: ArbejdsMarkeds-bidrag
er en skat på 8 % af AM-indkomsten.
A-indkomst: Den indkomst, der skal
betales A-skat af.
A-skat: Skat, der skal betales af
A-indkomsten.
140 PENGE OG ØKONOMI
LØN OG SKAT
På dette opslag skal I arbejde med at
læse og forstå de oplysninger, der findes
på lønsedler.
Lønsedler kan se ud på mange forskellige
måder, men de skal alle vise, hvor
meget I har tjent, og hvor meget I har
betalt i skat.
ATP-bidrag. Satser 2009-2010
A-bidrag
Lønperiode/
timeinterval
Månedslønnede:
(timer pr. måned)
Mindst 117
(fuldtid)
Mindst 78 – under
117 (2/3 tid)
Mindst 39 – under
78 (1/3 tid)
MUNDTLIG
Lønmodtagers
andel (1/3)
Arbejdsgivers
andel (2/3)
Samlet bidrag
90,00 180,00 270,00
60,00 120,00 180,00
30,00 60,00 90,00
Under 39 0,00 0,00 0,00
Kilde: www.atp.dk
Øverst kan I se et eksempel på, hvordan
en lønseddel kan se ud.
1 Forklar, hvordan de forskellige beløb
på lønsedlen er beregnet.
2 Hvor meget ville Pelle få udbetalt en
måned, hvis
a han arbejdede 45 timer?
b hans trækprocent var 40 % i stedet
for 38 %, og han arbejdede
45 timer?
3 Fremstil et regneark, som I kan bruge
til at beregne Pelles løn.
4 Undersøg, om I kan forstå jeres egne
lønsedler i klassen, og forklar for
hinanden, hvordan de er bygget op.

Transport:
3,3 øre
Generelle offentlige
tjenester: 12,8 øre
Erhvervsøkonomiske
forhold: 3,3 øre
Social tryghed, velfærd
og bolig: 42,5 øre
En del af de penge, vi tjener, går til skat.
Skattepengene bruges bl.a. til nye veje,
skoler, sygehuse og institutioner. Øverst
kan I se, hvordan skattepengene fordeles.
5 Forklar, hvad I kan læse af figuren øverst.
Alle kan tjene et bestemt beløb uden at
skulle betale A-skat. Et frikort viser, hvor
meget I må tjene i løbet af et år, før I skal
betale A-skat. Mange unge har et frikort
og skal derfor ikke betale andet i skat end
AM-bidrag.
6 Undersøg fx på internettet, hvor meget
man må tjene, før man skal betale Askat,
hvis man er
a under 18 år.
b over 18 år.
7 Undersøg, hvor stor skatteprocenten er
i jeres kommune.
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med forskellige
områder knyttet til økonomi.
Målet er, at I
Sundhed:
14,4 øre
Politi og forsvar:
4,6 øre
Uddannelse:
14,8 øre
Kultur, fritid
og miljø:
4,1 øre
Kilde: www.unge.skat.dk
lærer at læse og forstå en lønseddel.
kan beregne skattebeløb.
bliver bedre til at bruge renteformler
i forbindelse med opsparing.
lærer begreberne ydelse, afdrag,
nominel rente og annuitetslån.
kan sammenligne køb på afbetaling
med lån i banken.
kan bruge regneark, når I arbejder
med opsparing og lån.
PENGE OG ØKONOMI
141

142
PROBLEM
PENGE OG ØKONOMI
FRITIDSJOB
Mikkel er 16 år og arbejder 40 timer om måneden i et
supermarked. Han får 62 kr. i timen.
1 Undersøg, om Mikkel skal betale A-skat, eller om han
kan klare sig med et frikort. Brug oplysningerne fra
opgave 6 på side 141.
2 Vis, hvordan Mikkels lønseddel kan se ud, hvis hans
ATP-bidrag er 30 kr., og AM-bidraget er 8 % af AMindkomsten.
3 Fremstil et diagram, der viser, hvor stor en del af lønnen
Mikkel får udbetalt i forhold til, hvor meget han
tjener.
4 Mikkel arbejder nogle flere timer op til jul i december.
Undersøg, hvor mange ekstra timers arbejde
Mikkel kan tage uden at skulle betale A-skat.
I ferieloven står der, at man skal have 12,5 % af sin
bruttoløn i feriepenge. Man får udbetalt feriepengene
året efter, at man har tjent pengene.
5 Beregn, hvor meget Mikkel får i feriepenge, hvis han
arbejder 40 timer om måneden i et helt år.

1 Trine arbejder om
onsdagen kl. 14.30 – 17.30,
fredagen kl. 14.00 – 17.30 og om
lørdagen kl. 9.00 – 14.15.
Hvor lang tid arbejder Trine om
a onsdagen?
b fredagen?
c lørdagen?
2 Jesper arbejder på en benzintank
og sælger en kunde
4 stk. rundstykker,
1 franskbrød,
1 L mælk og
1 pakke smør.
a Hvor meget skal kunden betale?
b Kunden giver 100 kr. Hvor meget
skal han have tilbage?
c Kunden vil gerne have chokolade
for de sidste penge. Hvor mange
små chokolader kan han købe?
3 Der er 8400 kr. tilbage på Saras frikort.
Hvor mange måneder varer det,
før Sara skal betale skat, hvis hun
tjener
a 2100 kr. om måneden?
b 2800 kr. om måneden?
FÆRDIGHED
4 Beregn AM-bidraget, når AM-indkomsten
en måned er
a 2500 kr.
b 3000 kr.
c 3100 kr.
5 Feriepenge udgør 12,5 % af et års
bruttoløn.
Beregn, hvor meget der udbetales i
feriepenge, hvis årets bruttoløn er
a 16 000 kr.
b 20 000 kr.
c 32 000 kr.
6 Pia har en månedsløn på 24 000 kr.
Hvor mange procent stiger hendes
løn, hvis hun får en lønstigning, der
om måneden udgør
a 240 kr.?
b 480 kr.?
c 1200 kr.?
7 Fremstil et cirkeldiagram, der viser
fordelingen af Jeppes bruttoløn på
2340 kr., når
ATP-bidraget er 30 kr.,
AM-bidraget er 185 kr.,
A-skatten er 808 kr., og resten er
hans nettoløn. Brug lommeregner
eller regneark.
8 Peter skal ét år betale 40 % i skat og
næste år 42 % i skat.
a Hvor mange procentpoint er hans
skat steget?
b Hvor mange procent er hans skat
steget?
PENGE OG ØKONOMI 143

Renteformel 1
R = K ∙ r ∙ d
360
R er rentebeløbet
K er kapital
r er rentesatsen i procent pr. år
d er antal dage
144
MUNDTLIG
OPSPARING
I kan spare penge op i banken. Banken
betaler jer renter af det beløb, I har
stående. Renten bliver regnet ud pr. dag
og tilskrives hver termin.
I har tidligere arbejdet med de to renteformler,
som I kan se øverst.
Renteformel 1 kan I bruge, hvis I skal
beregne rentebeløbet inden for en
termin.
1 Forestil jer, at I sætter 5000 kr. i
banken og får 3 % i rente om året.
Brug renteformel 1 til at beregne
rentebeløbet, hvis I hæver beløbet
efter
a 30 dage.
b 55 dage.
2 Forklar, hvorfor K ∙ r skal ganges
med 30
, når I skal beregne rente-
360
beløbet efter 30 dage.
I formlen regnes med, at årets rentedage
er 360. Nogle steder regnes med
365 rentedage.
PENGE OG ØKONOMI
Renteformel 2
K n = K(1 + r) n
K er kapital
n er antal terminer
K n er kapital efter n terminer
r er rentesatsen i procent pr. termin
Renteformel 2 kan I bruge, hvis I sætter
et beløb i banken og lader det stå i flere
terminer. Banken betaler jer både renter
af den indsatte kapital og af de renter,
der tilskrives.
3 Forestil jer, at I sætter 5000 kr. i
banken og får 3 % i rente om året.
Brug renteformel 2 til at beregne,
hvor mange penge der står på kontoen
efter
a 1 termin.
b 2 terminer.
c 5 terminer.
4 Forklar, hvorfor K skal ganges med
(1 + r) n , når I skal beregne kapitalens
størrelse efter n terminer.
5 Sammenlign renteformel 2 med den
formel, som I brugte til at beregne
befolkningsvækst på side 54.
6 Undersøg, hvilken rentesats jeres
banker giver.

Opsparing
Mange sparer op ved at sætte et fast
beløb til side hver måned.
Forestil jer, at I har 5000 kr. på en
konto i banken og et helt år vil sætte
300 kr. ind på kontoen hver måned.
Rentesatsen er på 3 % pr. år, og rentebeløbet
tilskrives én gang om året.
7 På regnearket øverst kan I se, hvor
mange penge der står på kontoen
hver måned. Forklar, hvordan beløbet
er beregnet i celle
a F3.
b F4.
8 Hvordan kan I bruge renteformel 1
til at beregne renten for april?
9 Forklar, hvordan jeres regneudtryk
fra opgave 8 kan omskrives til formlen
i celle G6.
10 Forklar, hvordan beløbet er beregnet
i celle
a G15. b F15.
11 Hvorfor bliver rentebeløbet større og
større?
Forestil jer, at I fortsætter med at sætte
300 kr. ind på kontoen hver måned et
år mere.
12 Hent filen „Opsparing“ på Kolorits
hjemmeside. Udvid regnearket, så det
også viser en oversigt over indbetaling,
rente og saldo for det andet år.
PENGE OG ØKONOMI 145

146
PROBLEM
PENGE OG ØKONOMI
OPSPARING TIL KØREKORT
Sebastian er 16 år og vil spare penge sammen, så han
kan tage kørekort, når han bliver 18 år. Han har 5500
kr. stående på en konto i banken og sætter i to år 200
kr. ind på kontoen hver måneden. Rentesatsen er 1,5 %
pr. år.
1 Brug et regneark til at undersøge, hvor meget
Sebastian har sparet sammen efter et år.
Regnearket kan fx begynde som vist herunder.
Sebastian regner med at bruge ca. 9000 kr. på sit
kørekort.
2 Brug regnearket til at undersøge, hvor lang tid der
går, før Sebastian har ca. 9000 kr. på sin konto.
3 Undersøg, om Sebastian kan nå at spare 9000 kr.
sammen på to år, hvis han i stedet for 200 kr. sætter
100 kr. ind på kontoen hver måned.
4 Hvilket beløb kan Sebastian nøjes med at sætte ind
på kontoen hver måned, hvis han skal have 9000 kr.
på sin konto efter to år?
5 Undersøg, hvilket beløb Sebastian skal sætte ind på
kontoen hver måned, hvis han fra begyndelsen har
4000 kr. i stedet for 5500 kr.

Brug lommeregner og/eller regneark til
opgaverne på denne side.
1 Trine sætter 1200 kr. i banken den
1. marts. Hvor mange rentedage er
der, hvis Trine hæver sine penge
igen den
a 1. juni?
b 15. april?
c 26. september?
d 30. november?
2 Beregn rentebeløbene for hvert af
eksemplerne i opgave 1, hvis rentesatsen
er
a 2 %
b 3,5 %
3 I løbet af et år er saldoen på en bankkonto
steget fra 1000 kr. til 1040 kr.
a Hvor stort er rentebeløbet?
b Hvor stor er rentesatsen?
4 Brug renteformel 1,
R = K ∙ r ∙ d
360 .
a Beregn renten, når kapitalen er
8000 kr., rentesatsen 2,5 % og
antallet af rentedage 75.
b Beregn rentesatsen, når kapitalen
er 2000 kr., antallet af rentedage
180 og rentebeløbet 20 kr.
c Beregn kapitalen, når rentesatsen
er 2 %, rentebeløbet 25 kr., og
antallet af rentedage 90.
FÆRDIGHED
5 Tim sætter 1600 kr. i banken og
lader dem stå i 5 år. Rentesatsen
er 3 % pr. år. Fremstil og udfyld en
tabel, der viser saldoen på Tims
konto efter hvert år.
Terminsdag
nummer
1
2
3
4
5
Saldo
1600,00 kr.
6 På en konto står der 5000 kr.
Hvor lang tid går der cirka, før
beløbet er fordoblet, hvis rentesatsen
pr. år er
a 2 %?
b 5 %?
c 7 %?
7 Søren har sat et beløb i banken.
Rentesatsen er 3 %, og efter 4 år
står der 6753,05 kr. på kontoen.
Hvor mange penge satte Søren i
banken?
PENGE OG ØKONOMI
147

Køb på afbetaling
MUNDTLIG
148 PENGE OG ØKONOMI
LÅN
I mange forretninger kan I købe varer
på afbetaling. Det betyder, at I kan
handle uden at betale med det samme,
men I kan lave en aftale med forretningen
om, at I betaler et fast beløb tilbage
fx hver måned. I låner med andre ord
penge af forretningen. En del af dette
beløb er renter, som forretningen får.
Løbetiden er den tid, I bruger på at
tilbagebetale lånet.
Øverst kan I se et skema over, hvor mange
penge der skal betales hver måned
i en periode for at tilbagebetale lånet.
1 Forklar, hvad de to fremhævede tal
i skemaet øverst betyder.
2 Hvad skal I betale i alt for en vare
til 15 000 kr., hvis løbetiden er
a 60 måneder?
b 12 måneder?
3 Hvilken løbetid gør det billigst at
låne 12 000 kr.?
4 Diskuter, hvilke fordele og ulemper
der er ved at købe varer på afbetaling.

Lån i banken
Når I låner penge i banken, skal I også
betale renter af jeres lån. Det beløb, I
betaler til banken hver terminsdag,
kaldes ydelsen. Ydelsen består dels
af et rentebeløb og dels af et afdrag.
Afdraget er den del af ydelsen, der går
til at betale af på lånet.
Øverst kan I se et eksempel på, hvad
det kan koste at låne 15 000 kr. i en
bank, hvor terminen er et kvartal.
5 Forklar, hvordan hver ny restgæld er
beregnet for de tre første terminer.
6 Hvor lang tid går der, før lånet er
tilbagebetalt?
7 Forklar, hvad søjlediagrammet
nederst på siden viser.
1500,00
1000,00
500,00
kr.
Afdrag Rente
0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Den nominelle rente er den årlige rente
i procent.
8 Diskuter, hvilket eller hvilke regneudtryk
I kan bruge til at beregne den
nominelle rente i eksemplet.
a 2 % ∙ 4 = 8 %
b (1 + 0,02) 4 = 1,0824
1,0824 – 1 = 8,24 %
9 Beregn den nominelle rente, hvis
renten hvert kvartal er
a 3 %.
b 1,5 %.
10 Diskuter, hvad den nominelle rente
kan bruges til.
11 Undersøg, om forretningens eller
bankens tilbud er bedst, hvis I skal
låne 15 000 kr.
måned
PENGE OG ØKONOMI 149

150
PROBLEM
PENGE OG ØKONOMI
LÅN TIL EN BÅD
Pelle har lånt 125 000 kr. i banken til at købe en båd
for. Det kostede 500 kr. at oprette lånet i banken.
Rentesatsen er 2,25 % pr. kvartal, og Pelle betaler en
ydelse på 6000 kr. pr. kvartal.
Du kan bruge et regneark til at få overblik over Pelles
gæld.
Regnearket kan fx begynde som vist herunder.
I celle E4 står der „=I3“.
I celle F4 står der „=$B$5“.
1 Forklar formlen i celle H7.
2 Beregn den nominelle rente.
3 Hvilken formel står der i celle
a G4? b I4?
4 Fremstil selv et regneark som vist. Hvor lang tid går
der, før Pelle har betalt hele sin gæld?
5 Hvor lang tid vil der gå, før Pelle har betalt sin gæld,
hvis
a han kun kan betale 4000 kr. pr. kvartal?
b ydelsen pr. kvartal er 4000 kr., og han havde
sparet 50 000 kr. sammen, så han kun behøvede
at låne 75 000 kr.?
6 Undersøg, hvor meget Pelle skal betale hvert kvartal,
hvis han gerne vil have betalt sin gæld på 75 000 kr.
efter 5 år.

BRUG EN FORMEL PROBLEM
På side 150 har du arbejdet med et lån, hvor ydelsen er
den samme hele låneperioden. Sådan et lån kaldes et
annuitetslån. På denne side skal du bruge en formel til
at beregne ydelsen og lånebeløbet i et annuitetslån.
y =
G ∙ r
– ( r)
–
1 1+
y er ydelsen hver termin
G er den oprindelige gæld
1 Undersøg, hvor stor ydelsen bliver, hvis gælden er
10 000 kr., rentesatsen er 3 % pr. termin, og antal
terminer er 12.
2 Undersøg, hvor stor ydelsen bliver, hvis gælden er
75 000 kr., rentesatsen er 2,25 % pr. termin, og
antal terminer er 20.
3 Sammenlign dit resultat i opgave 2 med dit resultat
i opgave 6 på side 150.
4 Forklar ved at omskrive annuitetsformlen, hvorfor
gælden i et annuitetslån kan beregnes med formlen
– n
y ∙( 1– ( 1+ r)
)
G =
r
5 Beregn gælden, hvis rentesatsen er 4 % pr. termin,
og ydelsen i 40 terminer er
a 2000 kr.
b 3500 kr.
c 5000 kr.
n
r er rentesatsen i procent pr. termin
n er antal terminer
6 Beskriv forskelle og ligheder ved at bruge en formel
og et regneark til at regne på annuitetslån.
PENGE OG ØKONOMI
151

152
PROBLEM
PENGE OG ØKONOMI
SMS-LÅN
SMS-lån er en nem og hurtig måde at låne et mindre
beløb på. Man sender en sms til et telefonnummer
og ansøger om at låne penge. Pengene bliver hurtigt
overført til ens konto. Beløbet skal ofte betales hurtigt
tilbage igen, fx i løbet af 15 eller 30 dage som vist i
skemaet her.
Antal af
rater
1 Hvor meget koster det at låne 2000 kr., hvis lånet
betales tilbage i løbet af
a 15 dage?
b 30 dage?
2 Hvor mange procent udgør gebyret af lånebeløbet,
hvis man låner 3000 kr., som betales tilbage i løbet
af
a 15 dage?
b 30 dage?
Lånebeløb Gebyr 15 eller
30 dage
Total Alders-
grænse
1 1000 kr. 270 kr. 15 dage 1270 kr. 19
2 1000 kr. 300 kr. 30 dage 1300 kr. 19
1 2000 kr. 410 kr. 15 dage 2410 kr. 19
2 2000 kr. 450 kr. 30 dage 2450 kr. 19
1 3000 kr. 550 kr. 15 dage 3550 kr. 19
2 3000 kr. 600 kr. 30 dage 3600 kr. 19
3 Beregn, hvor mange procent gebyret udgør af lånebeløbet
for de andre eksempler i skemaet.
Hvilket tilbud kan det bedst betale sig at benytte?
4 Forestil dig, at gebyret på 600 kr. for at låne 3000
kr. i 30 dage er et rentebeløb. Beregn den nominelle
rente.

Brug lommeregner og/eller regneark til
opgaverne på denne side.
1 Tegningen viser, hvad det koster at
købe en bærbar computer.
a Hvad var prisen for computeren,
før den blev sat ned?
b Hvor mange procent af den oprindelige
pris udgør rabatten?
c Hvor meget skal du betale for
computeren i alt, hvis du køber
den på afbetaling?
2 Beregn den nominelle rente, hvis den
månedlige rente er
a 1 %
b 2 %
c 3,5 %
Mest
solgte
Flot og elegant bærbar
Finansieret pr. måned
130 kr. i 60 måneder
Kontant: 3499 kr. SPAR 1000 kr.
FÆRDIGHED
3 I hvilken bank er det billigst at låne
penge?
Bank A
Udlånsrente:
2,4 % pr. kvartal
Bank B
Udlånsrente:
0.8 % pr. måned
4 Skemaet viser en oversigt over internetlån.
a Hvor meget koster det at låne
2000 kr.?
b Hvor mange procent udgør gebyret,
hvis du låner 3000 kr.?
5 Diagrammet nederst viser, hvordan
der betales af på et annuitetslån hver
måned i et år.
a Hvor stor er ydelsen hver måned?
b Hvor stort er rentebeløbet cirka i
tredje måned?
1000,00
500,00
Internetlån
Jeg vil låne
Beløb Løbetid Gebyr
1000 kr. 30 dage 300 kr.
2000 kr. 30 dage 300 kr.
3000 kr. 30 dage 300 kr.
kr. Afdrag Rente
0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PENGE OG ØKONOMI
måned
153

Tjeklisten
POINTER
Udfyld din elektroniske
logbog med følgende
færdigheder.
154
Beregne skatten, når du
kender A-indkomst og
trækprocent
Bruge de to renteformler
Beregne den nominelle
rente
Bruge en formel for
annuitetslån til at beregne
ydelse eller gæld
Bruge regneark, når du
arbejder med opsparing
og lån
PENGE OG ØKONOMI
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din elektroniske
logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Forklar forskellen på bruttoløn og nettoløn.
Hvad betyder A-indkomst og A-skat?
Forklar, hvad et frikort er.
Giv et eksempel på, hvordan en saldo udvikler sig,
når du sparer op ved at sætte penge i banken.
Forklar, hvad det betyder at købe på afbetaling.
Giv et eksempel på, hvordan ydelse, afdrag og rente
hænger sammen.
Giv et eksempel på, hvordan den nominelle rente kan
beregnes, og forklar, hvornår man kan have brug for
at kende den.
Beskriv, hvordan du bruger matematik i dagligdagen
til noget, der har med økonomi at gøre.

Matematisk argumentation
Matematikken er fyldt med påstande. Her er et
eksempel:
„Vinkelsummen i enhver trekant er 180˚.“
Spørgsmålet er, om vi kan være sikre på, at påstanden
er sand – og hvorfor den er det? Er I sikre på, at vinkelsummen
i enhver trekant er 180˚? Og er I sikre på, at det
gælder for enhver trekant, når det ikke er muligt for os at
måle og kontrollere dem alle?
Kapitlet handler om, hvordan I kan argumentere i forbindelse
med matematiske påstande.
INTRO
MATEMATISK ARGUMENTATION
155

NIM – et spil for to
Regler:
Læg 15 tændstikker på bordet. I skal
på skift fjerne 1, 2 eller 3 tændstikker
(efter eget valg).
Den spiller, der fjerner den sidste
tændstik, har tabt.
156
MUNDTLIG
At argumentere handler om at overbevise
andre om, hvorfor en bestemt
påstand er sand eller falsk. Det gælder
både i vores omverden og i den del af
den, som vi kan kalde matematikkens
verden.
Argumenter for eller imod matematiske
påstande minder om argumenter, der
opstår i forbindelse med nogle typer
spil. De fleste kender til at ville forklare
et „smart træk“ i et spil.
Påstanden om spillet kan fx begynde
sådan her: „Hvis du rykker den brik, så
sker der det, at …“
Et argument for, at påstanden er rigtig,
kan fx begynde sådan her: „Det er sådan,
fordi ifølge reglerne må man …“
I kan øve den tankegang, der ligger i
matematiske argumenter, ved at forklare
og lytte til argumenter for „smarte træk“
i spil.
MATEMATISK ARGUMENTATION
ARGUMENTER I SPIL OG GÅDEFULDE FORKLARINGER
1 Prøv spillet NIM flere gange.
2 Er følgende påstand rigtig eller forkert?
„Hvis det er din tur, og der er tre
tændstikker tilbage, så kan du vinde
spillet.“
Hvorfor?
3 Fortsæt sætningen:
„Hvis det er din tur, og der er fem
tændstikker tilbage, så taber du,
fordi …“
4 Skriv flere påstande om spillet NIM.
Hvad sker der fx, hvis det er din tur,
og der er seks tændstikker tilbage?
5 Undersøg og diskuter følgende påstand:
„Hvis du er den spiller, der foretager
det første træk i spillet, så kan du
vinde hver gang.“
Er påstanden sand eller falsk?
Argumenter for eller imod.

TALOPSKRIFT – matematiktrylleri?
1 Tænk på tre naturlige tal, der kommer
lige efter hinanden.
2 Gang det midterste tal med sig selv.
3 Gang de to andre tal med hinanden.
4 Beregn forskellen mellem de to resultater.
Det kan være en stor hjælp at bruge variable,
når I skal argumentere for påstande,
der vedrører matematik. Det skal I afprøve i
de følgende opgaver.
PÅSTAND:
Hvis I følger opskriften øverst, vil
I altid ende med resultatet 1.
6 Afprøv „talopskriften“ øverst med flere
forskellige talsæt. Ser det ud til, at påstanden
er sand?
7 Er det et overbevisende argument, hvis I
får resultatet 1, når I afprøver opskriften
mange gange? Hvorfor? Hvorfor ikke?
8 Prøv at argumentere for, at påstanden er
sand ved at afprøve opskriften med tre
variable i stedet for tre tal. I kan fx kalde
de variable for n, n + 1 og n + 2.
9 Er det et overbevisende argument, hvis I
får resultatet 1, når I afprøver opskriften
med variable? Hvorfor? Hvorfor ikke?
Indhold og mål
I dette kapitel skal I arbejde med
matematisk argumentation.
Målet er, at I
bliver bedre til at udtænke og
formulere matematiske argumenter.
bliver bedre til at læse og forstå
matematiske argumenter.
forstår, hvad det vil sige at bevise
en matematisk påstand.
bliver i stand til at gennemføre et
bevis.
bliver bedre til at anvende algebra
og får større indsigt i geometri.
MATEMATISK ARGUMENTATION
Eksempel:
1 4, 5 og 6
2 5 · 5 = 25
3 4 · 6 = 24
4 25 – 24 = 1
157

158
PROBLEM MERE NIM
1 Herunder er beskrevet tre forskellige variationer
af spillet NIM, som I lærte på side 156. I skal afprøve
hver variation flere gange og
a skrive påstande om, hvordan spillet kan vindes.
b skrive en argumentation for, at hver af jeres påstande
er sande.
VARIATION 1
Regler:
MATEMATISK ARGUMENTATION
¡ Læg 15 tændstikker på bordet.
¡ I skal på skift fjerne 1, 2, 3 eller 4 tændstikker
(efter eget valg).
¡ Den spiller, der fjerner den sidste tændstik, har tabt.
VARIATION 2
Regler:
¡ Læg 21 tændstikker på bordet.
¡ I skal på skift fjerne 1, 2, 3 eller 4 tændstikker
(efter eget valg).
¡ Den spiller, der fjerner den sidste tændstik, har tabt.
VARIATION 3
Regler:
¡ Læg 21 tændstikker på bordet.
¡ I skal på skift fjerne 1, 2, 3 eller 4 tændstikker
(efter eget valg).
¡ Den spiller, der fjerner den sidste tændstik, har
vunde t.

1 Herunder er en påstand og tre „talopskrifter“.
Du skal
a afprøve hver opskrift med flere forskellige talsæt.
b bruge variable til at argumentere for, om påstanden
er sand eller falsk.
PÅSTAND:
Hvis du følger talopskrift 1, 2
eller 3, vil du altid ende med det
midterste af de tal, du tænkte på.
TALOPSKRIFT 1
1 Tænk på tre naturlige tal, der
kommer lige efter hinanden.
2 Læg de tre tal sammen.
3 Divider resultatet med 3.
TALOPSKRIFT 2
1 Tænk på tre naturlige tal, der
kommer lige efter hinanden.
2 Gang det mindste tal med sig selv.
3 Gang det største tal med sig selv.
4 Træk de to resultater fra hinanden.
5 Divider med 4.
TALOPSKRIFT 3
1 Tænk på tre naturlige tal, der
kommer lige efter hinanden.
2 Gang det mindste tal med 3.
3 Gang det mellemste tal med 2.
4 Gang det største tal med 1.
5 Læg de tre resultater sammen.
6 Læg 2 til.
7 Divider med 6.
FLERE GÅDER
PROBLEM
MATEMATISK ARGUMENTATION
159

Forudsætning 1
Hvis vi har en linje l og et punkt P, der ligger
uden for denne linje, gælder:
Der kan konstrueres netop én linje igennem
punktet P, som er parallel med linjen l.
160
P
Hvis en matematisk argumentation om
en påstand ikke kan modsiges af andre,
kaldes den et bevis.
På denne og på næste side skal I arbejde
med et bevis for følgende påstand:
PÅSTAND:
Vinkelsummen i enhver trekant
er 180˚.
54°
MUNDTLIG
67°
l
ET GEOMETRISK BEVIS
59°
MATEMATISK ARGUMENTATION
Forudsætning 2
Et linjestykke kan forlænges.
I har måske allerede en tydelig fornemmelse
af, at denne påstand er sand. I har
sikkert prøvet at finde vinkelsummen i
mange forskellige trekanter, og måske
har I prøvet at klippe spidserne af nogle
af dem. Hvis spidserne lægges sammen,
ser det ud som om, at de tilsammen
danner en lige vinkel, som er 180˚.
1 Diskuter, om følgende argumentation
er et bevis for påstanden:
„Hvis man måler og beregner vinkelsummen
i mange trekanter til 180˚, så
kan man være sikker på, at vinkelsummen
altid er 180˚ i en trekant.“

Forudsætning 3
v
Ensliggende vinkler ved parallelle
linjer er lige store.
Matematikere har i mere end 2000 år
arbejdet med at bevise påstande om
matematik. Når en påstand er blevet
bevist, kaldes den en matematisk
sætning. Nogle matematiske sætninger
kaldes også for formler.
2 Diskuter, om det er vigtigt, at matematiske
påstande bliver bevist. Hvem
er det vigtigt for?
Matematiske beviser bygger på forudsætninger,
der kan betragtes, som „det,
vi ved i forvejen“ – eller som reglerne i
et spil.
Øverst er vist fire forudsætninger, som
I har arbejdet med tidligere. De kan
bruges til at bevise påstanden om vinkelsummen
i enhver trekant.
3 Læs de fire forudsætninger øverst, og
diskuter, hvad hver af dem betyder.
Matematiske beviser bygger også på
definitioner, dvs. forklaringer på begreber
som fx „parallel med“ og „lige vinkel“.
v
Forudsætning 4
4 Læs følgende instruktion, og forklar,
hvilke definitioner der er brugt.
¡ Tegn en tilfældig trekant ABC.
¡ Tegn en linje igennem B, som er
parallel med AC.
¡ Forlæng AB og CB, så der opstår
tre vinkler over B.
A
u
Topvinkler, som dannes, når to linjer
skærer hinanden, er lige store.
5 Diskuter, hvordan I ud fra konstruktionen
herover kan bevise, at vinkelsummen
i enhver trekant er 180˚.
Hvilke forudsætninger bruger I?
6 Er beviset for sætningen overbevisende?
Hvorfor? Hvorfor ikke?
MATEMATISK ARGUMENTATION
u
B
C
161

PROBLEM VINKELSUMMEN I REGULÆRE POLYGONER
162 MATEMATISK ARGUMENTATION
På denne side skal du bevise flere påstande om vinkelsummer
i regulære polygoner.
Du har allerede bevist, at vinkelsummen i enhver trekant
er 180˚. Du kan derfor bruge denne sætning som
forudsætning i nye beviser.
1 Argumenter for, at ethvert kvadrat kan deles i to
trekanter og bevis, at vinkelsummen i ethvert
kvadrat er 360˚.
2 Bevis, at vinkelsummen i enhver regulær femkant
er 540˚.
3 Undersøg, om følgende påstand ser ud til at gælde
ved at måle vinklerne i flere forskellige regulære
polygoner. Brug evt. et geometriprogram.
PÅSTAND:
Vinkelsummen i enhver regulær n­kant er
180˚ · (n – 2).
4 Bevis, at påstanden er sand.
5 Skriv selv en påstand om størrelsen af hver vinkel
i en regulær n­kant. Kan du bevise den?

NABOVINKLER
Nabovinkler er to vinkler, der tilsammen udgør en
lige vinkel, dvs. 180˚.
På tegningen til højre er vinkel v og vinkel u derfor
nabovinkler.
1 Tegn en tilfældig trekant og en nabovinkel til hver
af trekantens vinkler.
Brug evt. et geometriprogram.
2 Undersøg, om følgende påstand ser ud til at gælde
ved at måle på din trekant.
PÅSTAND:
Nabovinklen til en vinkel i en trekant har samme størrelse
som summen af trekantens to andre vinkler.
3 Bevis, at påstanden er sand ved at bruge sætningen
om vinkelsummen i en trekant.
4 Undersøg, om følgende påstand ser ud til at gælde
ved at måle på din trekant.
PÅSTAND:
Nabovinklerne til enhver trekants tre vinkler
er tilsammen 360˚.
5 Bevis, at påstanden er sand ved at bruge sætningen
om størrelsen af nabovinkler.
PROBLEM
MATEMATISK ARGUMENTATION 163
v
u

164
MUNDTLIG
Første idé til et bevis
//se figur//
Herunder er en formel, som gælder
for naturlige tal.
1 + 2 + 3 + … + n =
1 Brug formlen til at beregne
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +
8 + 9 + 10.
Passer resultatet?
2 Hvad er summen af de første 100
naturlige tal ifølge formlen?
I skal prøve at bevise – på flere forskellige
måder – at formlen er rigtig.
De følgende spørgsmål og idéerne
øverst er ment som en hjælp.
BEVIS FOR EN FORMEL
n(n + 1)
2
MATEMATISK AGRUMENTATION
Anden idé til et bevis
Begynd med at se på de to første idéer
øverst.
3 Forklar sammenhængen mellem hver
tegning og summen
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.
4 Forklar, hvorfor
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
6 · 7
.
2
5 Forklar ud fra jeres svar i opgave 4,
hvorfor formlen gælder for
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.
Vil den også gælde for andre tal?

MMMMMMMMMMMMMM PROBLEM
Tredje idé til et bevis Fjerde idé til et bevis
Se på den tredje idé øverst.
6 Forklar sammenhængen mellem
tegningen og summen
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
7 Forklar, hvorfor
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6
2
2
+ 6
2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
= (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) + (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4)
= 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7
= 6 · 7
8 Forklar, hvordan jeres svar i opgave
7 medfører, at
1 + 2 + 3 + … + n = n2
2 + n
2
9 Vis, at n2
2
omskrive.
+ n
2
= n(n + 1)
2
ved at
10 Hvorfor beviser jeres omskrivning
i opgave 9 formlen?
Se på den fjerde idé øverst.
11 Forklar, hvorfor omskrivningerne
er korrekte.
12 Forklar, hvorfor omskrivningerne
viser, at
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
6 · 7
2
13 Prøv at foretage de samme omskrivninger
med summen
1 + 2 + 3 + … + n
+ n +(n – 1) + (n – 2) + … + 1
14 Forklar, hvorfor omskrivningerne
beviser formlen.
Se nu på de fire idéer samlet.
15 Hvilket af de fire beviser er mest
overbevisende? Hvorfor?
MATEMATISK AGRUMENTATION
165

166
PROBLEM
MATEMATISK ARGUMENTATION
EN FORMEL FOR HÅNDTRYK?
1 Seks personer deltager i et møde.
De vil alle hilse på hinanden med et håndtryk.
Hvor mange håndtryk er der givet, når alle har hilst
på hinanden?
2 Forklar, hvorfor opgave 1 kan løses ved at finde
resultatet af summen 5 + 4 + 3 + 2 + 1.
3 Hvor mange håndtryk er der givet ved et møde, hvor
a syv personer har hilst på hinanden?
b otte personer?
c ti personer?
d n personer?
4 Argumenter for, at det antal håndtryk, som udveksles
mellem n personer, der alle hilser på hinanden,
kan beregnes med formlen
n(n – 1)
2

EN FORMEL FOR LINJESTYKKER?
1 Undersøg, hvor mange linjestykker der kan tegnes
mellem 8 punkter.
2 Forklar, hvorfor opgave 1 kan løses ved at finde
resultatet af summen 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.
3 Hvor mange linjestykker kan der tegnes mellem
a 4 punkter?
b 7 punkter?
c 10 punkter?
d n punkter?
4 Bevis, at det antal linjestykker, der kan tegnes
mellem n punkter, kan beregnes med formlen
n(n – 1)
2
PROBLEM
MATEMATISK ARGUMENTATION
167

Gange med potenser med samme rod
Eksempel:
5 2 · 5 3 = 5 2 + 3 = 5 5
Generelt:
a m · a n m + n
= a
168
MUNDTLIG
I har tidligere arbejdet med de to regler
for potensregning, som I kan se øverst.
De følgende opgaver skal hjælpe jer med
at bevise, at reglerne altid gælder.
Til beviset for reglerne bruges definitionen
af potens. Potensen 5 3 betyder,
at 5 skal ganges med sig selv 3 gange.
Derfor gælder:
5 3 = 5 · 5 · 5
Definitionen gælder for alle reelle tal.
Derfor skrives den ofte med variable.
Potensen a n betyder, at a skal ganges
med sig selv n gange. Derfor gælder:
a n n gange
= a · a · a ·… · a
7
1 Hvad betyder
a 4 7 ? b a m ?
2 Hvad betyder
a 5 2 · 5 3 ? b 5 2 + 3 ?
MATEMATISK ARGUMENTATION
BEVISER FOR POTENSREGNEREGLER
Division med potenser med samme rod
Eksempel:
3
5
2
5
= 53 – 2 = 5 1 = 5
Generelt:
n
– m
m = an
a
a
3 Forklar, hvorfor det gælder, at
5 2 · 5 3 2 + 3
= 5
4 Bevis, hvorfor det gælder, at
a m · a n m + n
= a
5 Brug fremgangsmåden fra opgave 2
til 4 til at bevise, at den anden regneregel
øverst også gælder.
I har tidligere set, at alle potenser med
eksponenten 0 har værdien 1.
Derfor gælder:
5 0 = 1
Den generelle definition kan skrives
sådan:
a 0 = 1
6 Forklar, hvorfor denne definition er
nødvendig, hvis den anden regneregel
øverst skal gælde.

Fra gange til potens
Eksempel:
(5 · 3) 4 = 5 4 · 3 4
Generelt:
(a · b) n = a n · b n
Øverst kan I se to regneregler for potenser,
som I nok ikke har set før. De
følgende opgaver skal hjælpe jer med at
bevise, at reglerne altid gælder.
7 Forklar, hvorfor følgende omskrivninger
gælder:
(5 · 3) 4
= (5 · 3) · (5 · 3) · (5 · 3) · (5 · 3)
= 5 · 5 · 5 · 5 · 3 · 3 · 3 · 3
= 5 4 · 3 4
8 Bevis, at den tredje regneregel gælder
generelt.
MMMMMMMMMMMMMM PROBLEM
Potensers potens
Eksempel:
(5 3 ) 4 = 5 3 · 4 = 5 12
Generelt:
(a n ) m n · m
= a
9 Forklar, hvorfor følgende omskrivninger
gælder:
(5 3 ) 4
= 5 3 · 5 3 · 5 3 · 5 3
= 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5
(3 · 4)
= 5
10 Bevis, at den fjerde regneregel gælder
generelt.
MATEMATISK ARGUMENTATION
169

A
170
POINTER
B
C
u
MATEMATISK ARGUMENTATION
HVAD VED DU NU OM …?
Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din
elektroniske logbog.
Her er forslag til, hvad du kan komme ind på:
Fortæl om „smarte“ træk i spillet NIM.
Forklar, hvordan regler i spil ligner tankegangen
i matematik.
Skriv om et „matematiktrylleri“. Forklar, hvorfor
„trylleriet“ virker.
Forklar, hvad en matematisk påstand og en matematisk
sætning er.
Forklar, hvad det vil sige at bevise i matematik.
Skriv et bevis for en geometrisk sætning, en formel
eller en potensregneregel.
Fortæl, hvad du har lært om geometri og om at
bruge algebra i kapitlet.
Er du blevet bedre til at læse og forstå matema­
tiske argumenter gennem arbejdet med kapitlet?
Giv eksempler.
Er du blevet bedre til at udtænke og formulere matematiske
argumenter gennem arbejdet med kapitlet?
Giv eksempler.

Formelsamling
Tal og algebra
REGNINGSARTERNES HIERARKI
Der gælder nogle aftaler om, hvilken rækkefølge man
regner i, når man skal udregne værdien af et udtryk, fx
5 + 4 · (3 – 2) · 6
1 Først udregnes indholdet af alle parenteser.
2 Dernæst udregnes potenser og rødder.
3 Så udregnes gange og division.
4 Til sidst udregnes plus og minus.
De regningsarter, der har samme plads i rækkefølgen,
fx plus og minus, kan regnes fra venstre mod højre.
PARENTESREGLER
Parenteser, hvor der står minus foran, kaldes
minusparenteser.
Parenteser, hvor der står plus eller ingenting foran,
kaldes plusparenteser.
Minusparenteser kan man hæve, hvis man skifter
fortegnene i parentesen.
+ bliver til – og omvendt.
Plusparenteser kan man hæve uden at skifte fortegn.
Eksempler:
2a + (a + b) = 2a + a + b
2a + (a – b) = 2a + a – b
2a – (a + b) = 2a – a – b
2a – (a – b) = 2a – a + b
a (b + c) = ab + ac
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
a 2 ab
ab b 2
FORMELSAMLING
171

(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
(a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab
(a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
DEN DISTRIBUTIVE LOV
Man kan gange ind i parenteser ved at gange med
hvert led i parentesen.
Eksempel:
2 + 2(a + b) + 3a = 2 + (2a + 2b) + 3a = 2 + 2a + 2b + 3a
DEN DISTRIBUTIVE LOV
POTENSER
Potens
n faktorer
a n = a · a · a · … · a 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
a –n = 1
a n a ≠ 0 10 –3 = 1
a 0 = 1 a ≠ 0 10 0 = 1
172 FORMELSAMLING
eksponent
2 · 2 · 2 = 2 3 = 8
7
rod
1
3
10 =
1000
= 0,001

Gange med potenser med samme rod
Generelt:
a m · a n m + n
= a
Eksempel:
5 2 · 5 3 = 5 2 + 3 = 5 5
Fra gange til potens
Generelt:
(a · b) n = a n · b n
Eksempel:
(5 · 3) 4 = 5 4 · 3 4
KVADRATRøDDER
a · b = a · b 9 · 10 = 9 · 10 = 3 10
a
b =
a
b
økonomi
RENTEFORMEL 1
R er rentebeløbet
K er kapital
r er rentesatsen i procent pr. år
d er antal dage
RENTEFORMEL 2
3
100 =
K er kapital
n er antal terminer
K n er kapital efter n terminer
r er rentesatsen i procent pr. termin
3
100
Division med potenser med samme rod
Generelt:
n
a
a
= 3
10
m = a
n – m
Eksempel:
3
5
5
2 = 5 3 – 2 = 5 1 = 5
Potensers potens
Generelt:
(a n ) m n · m
= a
Eksempel:
(5 3 ) 4 = 5 3 · 4 = 5 12
R = K · r · d
360
K n = K(1 + r) n
FORMELSAMLING
173

y =
G =
ANNUITETSLÅN
G · r
n
– ( r)
–
1 1 +
– n
y · ( 1– ( 1 + r)
)
r
y er ydelsen hver termin
G er den oprindelige gæld
r er rentesatsen i procent pr. termin
n er antal terminer
Geometri – Retvinklet trekant
A
PYTHAGORAS’ SÆTNING
TRIGONOMETRI
hypotenuse
c
b
katete
174 FORMELSAMLING
I en retvinklet trekant er summen af kateternes
kvadrater lig med kvadratet på hypotenusen.
Hvis ∠C = 90°, gælder:
a 2 + b 2 = c 2
Omvendt Pythagoras:
Hvis a 2 + b 2 = c 2 i trekant ABC, så er trekant ABC
retvinklet, og ∠C er den rette vinkel.
B
katete
a
C
Siden b er den hosliggende katete til ∠A.
Siden a er den modstående katete til ∠A.

A
A
A
A
A
A
A
A
A
Geometri – Areal
CIRKEL
c
c
c
c
c
c
c
c
c
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
B
B
a
a
a
C
C
B
C
B
B
a
a
a
C
C
B
C
B
B
a
a
a
C
C
C
Om sinus til en spids vinkel v i en
retvinklet trekant gælder:
sin v =
sin A = a
c
den modstående katete
hypotenusen
hypotenuse
c
hypotenuse
c
hypotenuse
c
A
b
den A hosliggende katete katete
hypotenusen b
A
katete
b
katete
Om cosinus til en spids vinkel v i en
retvinklet trekant gælder:
cos v =
cos A = b
c
Om tangens til en spids vinkel v i en
retvinklet trekant gælder:
tan v =
tan A = a
b
den modstående katete
den hosliggende katete
C: centrum for cirklen
p: cirkelperiferien
d: diameter
r: radius (r = 1
A = π · r
· d) 2
t: vinkelret på radius er en tangent til cirklen
k: korde til cirklen – den længste korde er d
A: areal
O: omkreds
2
O = 2 · π · r eller
O = π · d
FORMELSAMLING
B
B
B katete
a
katete
a
katete
a
C
C
C
175

PARALLELOGRAM
REKTANGEL
TRAPEZ
TREKANT
176 FORMELSAMLING
h: højde
g: grundlinje
A: areal
l: længde
b: bredde
A: areal
O: omkreds
h: højde
a og b: parallelle sider
A: areal
A = h · g
A = l · b
O = 2 · (l + b)
A = 1
· h · (a + b)
2
h: højde
g: grundlinje
A: areal
A = 1
2 · h · g

Geometri – Rumfang og overflade
h
CYLINDER
KASSE
KEGLER
l
KEGLESTUB
R
r
H
b
s
sideflade
h: højde
r: radius
V: rumfang
O: den krumme overflade
kant
hjørne
h: højde
l: længde
b: bredde
V: rumfang
h: højde
G: areal af grundfladen
V: rumfang
V = 1
3 · h · π · (R2 + r 2 + R · r) og
V = π · r 2 · h
O = 2 · π · r · h
V = l · b · h
V = 1
· h · G
3
2 2
O = π · (R + r) s = · (R–r) + h = π · (R + r) · s
R: radius i den store grundflade
r: radius i den lille grundflade
h: højde
s: sidelængde
V: rumfang
O: krumme overflade
FORMELSAMLING
177

KUGLE
PRISME
PYRAMIDE
G
PYRAMIDESTUB
G
g
h
178 FORMELSAMLING
h
h
G
r: radius
d: diameter
V: rumfang
O: overflade
h: højde
G: areal af grundfladen
V: rumfang
h: højde
G: areal af grundfladen
V: rumfang
V = 1
· h · (G + G · g + g)
3
h: højde
G: areal af grundflade
g: areal af topflade
V = 4
· π · r3
3
O = 4 · π · r 2
V = h · G
V = 1
· h · G
3

Måleenheder
ENHEDER FOR LÆNGDE
Navn Giga-
meter
Forkortelse
Antal
meter
Megameter
Kilo-
meter
Hektometer
Dekameter
Meter Decimeter
Centimeter
Millimeter
Mikrometer
Gm Mm km hm dam m dm cm mm µm nm
10 9
10 6
ENHEDER FOR RUMFANG
Navn Giga-
liter
Forkortelse
Antal
liter
Megaliter
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 10 –6
Kilo-
liter
Gl Ml kl
m 3
10 9
10 6
ENHEDER FOR VÆGT
Hektoliter
Dekaliter
hl dal l
dm 3
Liter Deci-
liter
Centiliter
Milli-
liter
dl cl ml
cm 3
Mikroliter
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 10 –6
FORMELSAMLING
Nanometer
10 –9
Nano-
liter
µl nl
Navn Ton Kilogram Hektogram Dekagram Gram Decigram Centigram Milligram
Forkortelse t kg hg dag g dg cg mg
Antal gram 1 000 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
10 –9
179

Facitliste
REELLE TAL
SIDE 5
1 a 1
5
, 1
4
1 1
, 3 , 2
b 2 3 4 5
3 , 4 , 5 , 6
c 11 3
8 , 2
5 7
, 3 , 4
d 2 3 4 5
5 , 7 , 9 , 11
2 a 4
5
b 4
5
c
1
9
d 3
2
= 1 1
2
3 a 0,4 = 2
5
b 0,04 = 1
25
c 4 = 4
1
d 0,125 = 1
8
e 1,5 = 3
2
f 2,05 = 205
100
205%
180 FACITLISTE
= 40 %
= 4 %
= 400 %
= 12,5 %
= 150 %
= 41
20 =
g 1,99 = 199
= 199%
100
h 0,99 = 99
= 99 %
100
4 a 250 ml
b 3 1
5 L
c 0,125 L
d 15 m
e 120 kr.
f 270 kr.
g 45 kr.
h 570 kr.
5 a 25 %
b 10 %
c 8 %
d 70 %
6 a Sandt
b Falsk
c Sandt
d Falsk
e Sandt
f Sandt
7 a 6 · 10 5
b 4,5 · 10 7
c 2,5 · 10 12
d 1,786 · 10 13
8 a 9 cm
b 11 cm
c 15 cm
d 1 cm
9 a x = 6, x = –6
b x = 7, x = –7
c x = 12, x = –12
d x = 13, x = –13
SIDE 9
1 a 4,50 kr.
b 111 kr.
c 108 kr.
d 18 kr.
e 0,20 kr.
f 198 kr.
2 a 25 %
b 20 %
c 25 %
d 40 %
e 125 %
f 25 %
3 a 300 kr.
b 500 kr.
c 200 kr.
d 2000 kr.
e 152 kr.
f 235 kr.
4 a 336
b 450
c 2170
d 5,3
e 1530
f 990
5 448 kr.
6 10 %
7 1200 kr.
8 70 kr.
9 80 kr.
10 80 kg

SIDE 9
SIDE 14
1 a 3
5
b 11
12
c 17
18
d 1
5
e – 1
8
f 1 8
9
g 13 1
6
h 15 11
12
2 a 9
40
b 1
7
c
d 2
1
100
3 a 1 m
b 2
3 L
c 2 kg
d 0,8 km
4 a 1
2
b 3
5
c 1
d 2 1
2
5 a 25
b 5
c 6
d 12
6 a 6 poser
b 2 poser
7 6 poser
8 10 kg
9 a 0,06
b 0,24
c 0,48
d 5
e 8
f 25
10 a Fx: Der er 3
af en 4
pizza tilbage, som
to drenge vil dele.
Hvor stor en brøkdel
af hele pizzaen
får de hver?
b Fx: Sanne har 3
4 L
cola. Det er halvdelen
af, hvad hun
havde, da aftenen
begyndte. Hvor
meget cola havde
Sanne ved aftenens
begyndelse?
SIDE 21
1 a 3 13
b 7 10
c 9 14
d 5 8
2 a 6 3
b 8 4
c 4 4
d 2 –1
3 a 64
b 49
c –64
d 9
e 1
9
f –9
4 a
b
c
d 1
5
1
100 = 0,01
1
1000 = 0,001
1
1000000 = 0,000001
= 0,2
5 a Falsk
b Sandt
c Falsk
d Sandt
e Falsk
f Sandt
6 1
4 = 0,25 = 2–2 = 1
2 2
1 1
1
2 = 2
= 0,5 = 2–1
0,125 = 2 –3 = 1
8
7 a 20
b 33
c 49
d 3
e 5
f 3
g 1
FACITLISTE
= 1
2 3
181

8 a 3 cm
b 10 cm
9 a 523,60 cm 3
b 4188,79 cm 3
c 14137,17 cm 3
10 a 6,20 cm
b 12,41cm
c 18,61cm
11 a Rumfanget af en
kugle bliver 2 3 = 8
gange større, når
radius bliver dobbelt
så stor.
b Rumfanget af en
kugle bliver 3 3 = 27
gange større, når radius
bliver tre gange
så stor.
GEOMETRI I PLAN
OG RUM
SIDE 28
1 a Trapez
b Heksagon
c Rombe
d Terning eller kube
e Prisme
f Pyramide
2 –
SIDE 29
3 a Omkreds:
2π m ≈ 6,3 m
Areal: π m 2 ≈
3,1 m 2
182 FACITLISTE
b Omkreds: 9,0 m
Areal: ca. 3,6 m 2
c Omkreds: 7,0 m
Areal: ca. 3,1 m 2
d Omkreds: ca. 10,4 m
Areal: Ca. 6,6 m 2
e Omkreds:
Ca. 19,7 m
Areal: Ca. 15,5 m 2
f Omkreds: πa
Areal: πa 2
g Omkreds: 2ab
Areal: ac
h Omkreds:
a + b + c + d
a b
Areal: c + ⎛
⎝
⎜
2
⎞
⎠
⎟
i Omkreds:
a + b + πc + d
Areal:
c a b + ⎛ ⎞ + π c
⎝
⎜
2
⎠
⎟
2
( 2)
j Omkreds:
a + b + c + d + e + f
Areal:
( a – c) b
bc + +
(b-d)
SIDE 38
1 a Rumfang:
432 m 3
Overfladeareal:
360 m 2
2
b Rumfang:
648 m 3
Overfladeareal:
504 m 2
c Rumfang:
0,125 m 3
Overfladeareal:
2,5 m 2
d Rumfang:
Ca. 424 m 3
Overfladeareal:
Ca. 339 m 2
e Rumfang:
Ca. 0,5 m 3
Overfladeareal:
Ca. 3,1 m 2
f Rumfang:
Ca. 4,2 m 3
Overfladeareal:
Ca. 26 m 2
g Rumfang:
121,5 m 3
Overfladeareal:
Ca. 165 m 2
h Rumfang:
Ca. 6,3 m 3
Overfladeareal:
Ca. 21 m 2

IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER
SIDE 45
1 f(x) = 0,125x
2 Fx
f(x) = 2x – 2
3 a
x (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y (cm) 24 12 8 6 4,8 4 3,4 3 2,7 2,4
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
b
y
f
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
4 a Fx
f(x) = 4x, g(x) = 117x.
b Fx
f(x) = 10
x , g(x) = 5
x
5 a Ligefrem proportionalitet.
b Omvendt proportionalitet.
c Ligefrem proportionalitet.
d Omvendt proportionalitet.
x
FACITLISTE
183

6 a
x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x) 7 2 –1 –2 –1 2 7
b
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–1
7 –
SIDE 57
1 a f(x) =– 2
x
b f(x) = 2x
c f(x) = x 2
d f(x) = –2x + 3
e f(x) = 2 · 1,03 x
f f(x) = 2
x
g f(x) = –2x 2 +3
h f(x) = 2x + 3
i f(x) = x 2 + 1
184 FACITLISTE
6
5
4
3
2
1
–2
–3
y
x
ALGEBRA
SIDE 74
1 a Fx
a + a + b + b =
2a + 2b = 2(a + b)
b Fx
a + d + d + e =
a + 2d + e
c Fx
m + 2m + 2m + 2m
+ 2m + m =
5 · 2m = 10 m
24 · 2
4
2 g =
12 cm
3 a g =
b h =
4 h =
2 · A
h
2 · A
g
2 · A
a + b
cm =
5 a 5a
b 6a – 2
c 13
d 2b
e 4m – 4p = 4(m – p)
f x 2 + 5x = x(x + 5)
g 2x 2 + 2x = 2x(x + 1)
h 220
i 5ab
j 6xy
6 a x · 3 + 10 = 40
b x = 10
7 a (x + 5) · 2 – 4 = 16
b x = 5

8 a 18
b 18
c 9
d 6
SIDE 79
1 a = c = e og b = d = f
2 a 2a + 5b
b 5a + 3b
c –a + b
d 3
3 a 19 – 19 – 1 – 3
b 8 – 1 – 3 – 3
4 a 4a + 4b
b 14a – b
c 2x + 13
d 6a + 6b + 6c =
6(a + b + c)
e x 2 a + x 2 b
f 2a 2 + 4ab
g az 2 + 5z 2 + bz 2
h 24x + 16y
5 a Sandt
b Sandt
c Falsk
d Sandt
e Sandt
f Sandt
6 a a 2 + 1 + 2ab
b a 2 + 5a + 6
c 19a + 3a 2 + 20
d 2x 2 + 5x – 3
e 4x 2 + 1 + 4x
f a 2 + 4 – 4a
g 9 – b 2
h 9x 2 – 1
7 a 3n + 2
b 5n – 1
c n 2
d n 2
e 3n + 2
f n 2
8 a a = 2
b A = 50 cm 2
9 a 11 cm
b 4 cm
c 44 cm 2
SIDE 86
1 a x = 3
b x = 5
c x = 20
d x = 6
e x = 6
f x = 1000
g x = 2
2 a x = 3
b x = 21
c x = –1
d x = 3
3 a x = –10, x = 10
b x = –14, x = 4
c x = –6, x = 2
d x = –3, x = 3
e x = –2, x = 2
f x = –5, x = 5
4 a og b
5 Fx
2x + 5 = 11
3x + 8 = 4x + 5
6 4x = 10
7 a
b
c
d
x = 2
x = 1
x = 10
x = 2
SIDE 87
4
8 a x > 1
b x < 8
c x < 1
d x < –3
e x > –5
f x < 22,5
g x > 36
h x < 16
i x > 11 eller x < –11
x
FACITLISTE
10
4 4 + x x x + 10 10
4 4 + x18 x x + 10
10
4 4 + x18 x x + 10 10
x + 84 + x18 2x + 10 x
x + x 8+ 1018 2 x + 2 x
x + x 8+ 1014 2 x + 2 x
x + x 8+ 1014 2 x + 2 x
4x + x 1+
102x 14+
x 2+
2x
+ 5
4x + 6x 1 + 2x 314
+ 3x 2 + x 7+
5
4x + 6x 1 + 3100
2x + 3x 2 + x 7+
5
4x + 6x 1 + 3100
2x + 3x 2 + x 7+
5
x + 16x + x 3100
+ 13x
+ 4x 7+
3
x + 12x + x 2100
+ 5x 1 + 4x 4 + 3
x + 12x + x 220
+ 5x 1 + 4x 4 + 3
x + 12x + x 220
+ 5x 1 + 4x 4 + 3
2x + 2205x
+ 4
20
185

9 a (1, 1)
b x > 1
10
b
5
4
3
2
1
–3 –2 –1
–1
–2
1 2 3 4 5 6 7
c
–3
11 a x > 1
b x < 1
c x < 2
3
d x < 1
186 FACITLISTE
y
12 a x 3 Q 1000 cm
b x Q 10 cm
13 a 20 · h Q 160 cm
b h Q 8 cm
14 a 75x q 1500 – 1200
b x q 6
1 a
TRIGONOMETRI
SIDE 93
A
c
b
a
B
a
C
x
b a og b er kateter.
c er hypotenuse.
c b er den hosliggende
katete til A.
a er den modstående
katete til A.
d a er den hosliggende
katete til B.
b er den modstående
katete til B.
2 a 73 cm
b 6 m
c 2 cm
3 a 2000 cm ≈ 45 cm
2900 cm ≈ 54 cm
4100 cm ≈ 64 cm
4500 cm ≈ 67 cm
4 a Stigen når ca.
2,3 m op.
b Stigen når ca.
3,5 m op.
c Stigen når ca.
4,5 m op.
5 a Ca. 0,7 cm
b Ca. 1,4 cm
c Ca. 2 cm
d Ca. 2,6 cm

SIDE 100
1 a Sinus til 60˚ er
ca. 0,866.
b Cosinus til 60˚
er 0,5.
c Tangens til 60˚
er ca. 1,732
d sin(45˚) ≈ 0,707
e cos(45˚) ≈ 0,707
f tan(45˚) = 1
2 a cos(D) = e
f
b tan(D) = d
e
c sin(E) = e
f
d cos(E) = d
f
e tan(E) = e
d
3 a Fx
sin(A) er a
, hvilket
1
er lig med a.
b Fx
cos(A) er b
, hvilket
1
er lig med b.
4 a Ca. 32,0 cm og
37,7 cm.
b Ca. 24,5 cm og
40,7 cm.
c Ca. 26,1 cm og
37,5 cm.
d Ca. 18,9 cm og
34,1 cm.
SIDE 104
1 a 7,8 cm 2
b ca. 4,8 cm 2
c ca. 5,6 cm 2
d ca. 4,5 cm 2
2 a 48 ≈ 6,9 cm 2
b Ca. 3,8 cm 2
ER DET
SANDSYNLIGT?
SIDE 113
1 a Fx
3
b U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
c 6
d 1
2
2 a U = {plat, krone}
b U = {post, ikke post}
c Fx
U = {1, 2, … , 28}
3 a Udfaldsrummet
i opgave 2 a.
b 425
330
1120
1120
4 a ≈ 29,5 %
c
5 a
365
1120
1
36
b 11
36
≈ 37,9 %
≈ 32,6 %
c
6
36
d 3
36
= 1
6
= 1
12
PENGE OG ØKONOMI
SIDE 143
1 a 3 timer
b 3,5 timer
c 5,25 timer
2 a 75 kr.
b 25 kr.
c 6 små chokolader
3 a 4 måneder
b 3 måneder
4 a 200 kr.
b 240 kr.
c 248 kr.
5 a 2000 kr.
b 2500 kr.
c 4000 kr.
6 a 1 %
b 2 %
c 5 %
FACITLISTE
187

7
ATP
AM-bidrag
A-skat
Nettoløn
8 a 2 procentpoint
b 5 %
SIDE 147
1 a 90 rentedage
b 45 rentedage
c 206 rentedage
d 270 rentedage
2 a a: 6 kr.
b: 3 kr.
c: 13,73 kr.
d: 18 kr.
b a:10,5 kr.
b: 5,25 kr.
c: 24,03 kr.,
d: 31,5 kr.
3 a 40 kr.
b 4 %
188 FACITLISTE
4 a 41, 67 kr.
b 2 %
c 5000 kr.
5
Terminsdag -
nummer
Saldo
1600,00 kr.
1 1648,00 kr.
2 1697,44 kr.
3 1748,36 kr.
4 1800,81 kr.
5 1854,84 kr.
6 a Ca. 35 år
b Ca. 14 år
c Ca. 10 år
7 6000 kr.
SIDE 153
1 a 4499,00 kr.
b 22,23 %
c 7800 kr.
2 a 12,68 %
b 26,82 %
c 51,11 %
3 Bank A
4 a 300 kr.
b 10 %
5 a 1000 kr.
b Ca. 300 kr.

Stikordsregister
Afbetaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Afdrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Andengradsfunktion . . . . . . . . . . . . . . 43, .50, .51
Andengradsligning . . . . . . . . . . . . . . . 84
Annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Areal . . . . . . . . . . . . . . . . .102, .104, .105
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160, .161
Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, .12, .13
Chancetræ . . . . . . . . 116, .117, .118, .119
Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . .98, .99, .100
Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, .36
Decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, .31, .39
Eksponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Eksponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . .43
Eksponentiel .vækst . . . . . . . . . . . . . . 54
Faldloven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, .65
Flere .led .gange .flere .led . . . . . . . . . . . 77
Forhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94, .95, .96
Frikort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, .42, .43
Førstegradsligning . . . . . . . . . . . . . . . 84
Gange .ind .i .parenteser . . . . . . . . . . . . .76
Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Grundplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, .35
Halvåbent .interval . . . . . . . . . . . . . . . .81
Herons .formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Hosliggende .katete . . . . . . . . . . . . . . 90
Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, .48
Hypotenuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
Hændelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Hæve .parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Ikke-lineære .funktioner . . . . . . . . . . . .41
Isometrisk .tegning . . . . . . . . . . . . 33, .34
Kasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Katete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
Kegle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, .37
Kombinatorisk .sandsynlighed . . . . . 108
Kongruente .trekanter . . . . . . . . . . . . .26
Korde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103, .105
Kubikrødder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Kugle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Kvadratrødder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Lige .vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Ligebenet .trapez . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Ligedannet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Ligefrem .proportionalitet . . . 42, .46, .49
Ligninger . . . .73, .80, .81, .83, .84, .85, .86
Lineære .funktioner . . . . . . . . . . . . . . . .41
Lodret .tværsnit . . . . . . . . . . . . . . . 32, .35
Løbetid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Matematisk .modellering . .125, .126, .127
Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
Modstående .katete . . . . . . . . . . . . . . .91
Nabovinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Nominel .rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Omvendt .proportionalitet . . . 42, .47, .49
Overfladeareal . . . . . . . . . . . . . . . 37, .38
Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50, .53
Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . 24, .31
Parentesregler . . . . . . . . . . . .72, .76, .77
Personlig .sandsynlighed . . . . . . . . . . 109
Perspektivtegning . . . . . . . . . . . . . . . . .32
Plane .figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, .24
Polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, .16, .19
STIKORDSREGISTER
189

Potensregneregler . . . . . . . . . . 168, .169
Prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, .36
Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, .6, .7
Procentpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Projektionstegning . . . . . . . . . . . . 33, .34
Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Proportionalitet . . . . . . . . 42, .46, .47, .49
Pythagoras´ .sætning . . . . . . . . . . . . . 90
Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, .37
Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73, .74
Regulære .polygoner . . . . . . . . . . . . . . 30
Rektangel . . . . . . . . . . . . . . . . 24, .27, .31
Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Repræsentativt . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Rombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Rumdiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Rumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, .38
Rumlige .figurer . . . . . . . . . . . . . . . 23, .25
Rødder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3, .17, .19
Simulering . . . . . . . . . . . . . 121, .122, .123
Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98, .99, .100
Statistisk .sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Stikprøveundersøgelse . . . . . . . . . . . . 120, .121, .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122, .123
Stykkevis .lineær .funktion . . . . . . . . . . 44
Svingningstid . . . . . . . . . . . . . . . . 62, .63
Symmetriakse . . . . . . . . . . . . . . . . .47, .51
Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98, .99
Toppunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, .72
Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . 89, .90, .91
Trækprocent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Udfaldsrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Uligheder . . . . . . . . . . . . .81, .84, .85, .87
Ulighedstegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
190 STIKORDSREGISTER
Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Videnskabelig .skrivemåde . . . . . . . . . . .3
Vinkelsummen .i .en .trekant . . . . 160, .161
Vinkelsummen .i .en .regulær .polygon . 162
Ydelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149