Indholdsfortegnelse

kvartborg.com

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse i

Figurfortegnelse v

Tabelfortegnelse ix

A Trafikberegning 1

A.1 Fremskrivning til år 2027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B Belægningsdimensionering 3

B.1 Ækvivalente lagtykkelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

C Stopsigt og mødesigt 9

D Overhalingssigt 11

D.1 Overhalingssigt i horisontalkurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

D.2 Overhalingssigt i vertikalkurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

E Beregning af mindste horisontale og vertikale radius 15

E.1 Beregning af mindste horisontale radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

E.2 Beregning af mindste vertikale radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

F Bestemmelse af klotoideparameter 17

F.1 Kriterier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

F.2 Indgangsdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

F.2.1 Inddatafil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

F.2.2 Uddata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

F.2.3 Tittabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

G Rundkørsel 23

G.1 Trafikfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

G.2 Kapacitetsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

G.3 Kapacitet og serviceniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


ii INDHOLDSFORTEGNELSE

H Skitseprojekt 29

H.1 Skitseprojekt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

H.2 Skitseprojekt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

I Dimensionering 41

I.1 Bropladen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

I.1.1 Bropladen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

I.1.2 Bropladen med 2 U-profiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I.1.3 Bropladen med 4 U-profiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

I.1.4 Konklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

I.2 H-profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.2.1 Brudgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

I.2.2 Anvendelsesgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

I.3 I-profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.3.1 Brudgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.3.2 Anvendelsesgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

I.3.3 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

I.4 Vindafstivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

I.5 Gitterkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

I.5.1 Trykstænger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

I.5.2 Trækstænger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I.6 Søjler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I.7 Boltesamlinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

I.7.1 Vindafstivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

I.7.2 Gittersamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

I.8 Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

J Vandføring i Mastrup bæk 89

J.1 Udførelse af målinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

J.2 Måleresultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

J.2.1 Vandføring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

J.3 Beregning af vandføringen i Mastrup bæk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

J.3.1 Fejlkilder ved målinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

J.3.2 Dimensionsgivende vandføring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


INDHOLDSFORTEGNELSE iii

K Afvanding 97

K.1 Afstrømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

K.1.1 Den rationelle formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

K.1.2 Samlet afstrømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

K.2 Grøfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

K.2.1 Tværsnitsareal af vandføring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

K.2.2 Middelhastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

K.2.3 Beregning af naturlig dybde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

K.3 Regnvandsbassin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

K.4 Rørstrømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

K.4.1 Beregning af rørdiameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

K.5 Dimensionering af rør . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

K.5.1 Dimensionering af rør 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

K.5.2 Dimensionering af rør 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

K.5.3 Dimensionering af rør 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

K.5.4 Dimensionering af rør 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

K.5.5 Resultat af beregningerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


iv INDHOLDSFORTEGNELSE


Figurer

B.1 Vejreglernes diagram til bestemmelse af lagtykkelser . . . . . . . . . . . . . . . . 8

D.1 Horisontalforløb af omlagt strækning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

D.2 Vertikalforløb af omlagt strækning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

D.3 Overhaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

F.1 Skema til indgangsdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

G.1 De tolv mulige trafikstrømme i en rundkørsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

G.2 Trafikprognose for år 2027, hvor Nibevej/Buderupholmvej krydser Hobrovej . . . 24

G.3 Trafikkens fordeling ved de to spidstimetilfælde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

H.1 Skitseprojekt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

H.2 Friskæring af broen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

H.3 En friskæring af broen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

H.4 Momentkurven for snit 1, 2 og 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

H.5 Momentkurven for skitseprojekt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

H.6 Forslag2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

H.7 En simpelt statisk model af skitseprojekt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

H.8 Rittersnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

I.1 Brodækket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

I.2 Snitkræfterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I.3 Snitkræfterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

I.4 Tværsnit af rektangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

I.5 Brodækket med 2 U-profiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I.6 Tværsnit af U-profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

I.7 Strækning mellem 2 U-profiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

I.8 Snitkræftkurver for en indspændt bjælke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

I.9 Deformationskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

I.10 Statisk system mellem H-profilerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

I.11 Brodækket med 4 U-profiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

I.12 Strækningen mellem 2 af de 4 U-profiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I.13 Statisk model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.14 Beskrivelse af forskydnings- og momentkræfter for en simpel understøttet bjælke 56

I.15 Statiske model for tværsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

I.16 Simplificering af HE300A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


vi FIGURER

I.17 Arealberegning til statisk moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

I.18 Beskrivelse af forskydningsspændinger i flangen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

I.19 Beskrivelse af forskydningsspændinger i kroppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

I.20 Beskrivelse af spændingerne for H-profilet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

I.21 Bredde imellem U-profiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.22 Laster der påføres bjælken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

I.23 Statiske model af I-profilet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

I.24 Moment- og forskydningskurvene i bjælken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

I.25 I-profilets tilnærmede størrelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

I.26 Spændninger i I-profilet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

I.27 Tværsnit med forskellige niveauer af flydning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

I.28 De plastiske kraftkurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

I.29 Tværsnit med fuldt udviklet flydning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

I.30 Broens tværsnit over en understøtning og de kræfter der påvirker den . . . . . . . 68

I.31 Løsskæring af punkt F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

I.32 Profilets rektangulere tværsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

I.33 Beskrivelse af brosektionerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I.34 Det statiske system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

I.35 Blokforskydningsevne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

I.36 Påsvejset plade og samling ved vindafstivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

I.37 Bolthullernes placering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

I.38 3D billede af samling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

I.39 Stangkræfter i samlingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

I.40 Vandretforskydning i bolten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

I.41 Lodretforskydning i bolten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

I.42 Længder på samlepladen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

I.43 Placering af huller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

I.44 Længder til blokforskydning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

I.45 Længder til blokforskydning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

I.46 Tværsnit ved en understøtning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

I.47 Simpel model af de deformerende stænger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

I.48 Løsskæring af knudepunkt A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

I.49 Simpelt model med den påførte fiktive kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

I.50 Deformationerne i gittertoppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

J.1 Tværsnit af Mastrup bæk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

J.2 Hastighedsprofiler i tværsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

J.3 Trapezdiagram over nedstik 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


FIGURER vii

J.4 Arealhastigheden som funktion af bredden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

K.1 Tilnærmet tværprofil af Mastrup bækdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

K.2 Tværsnit af grøft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

K.3 Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

K.4 Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

K.5 Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

K.6 Tilnærmet tværprofil af Mastrup bækdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

K.7 Eksempel på et klassisk regnvandsbassin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


viii FIGURER


Tabeller

G.1 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for etsporet

rundkørsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

G.2 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for etsporet

rundkørsel med sidespor fra Nibevej til Hobrovej syd . . . . . . . . . . . . 27

G.3 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for tosporede

tilfarter på Nibevej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

G.4 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for tosporede

tilfarter på Hobrovej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

G.5 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for fire

to-sporede tilfarter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

H.1 Forhold mellem længderne a og b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

H.2 Forhold mellem længderne c og b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

H.3 Længderne a, b og c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

H.4 Reaktionerne til forslag 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

H.5 Stangkræfterne til forslag 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

I.1 Maksimal moment og forskydningskræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I.2 Snitkræfter i indspændt bjælke på 401 2

3mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

I.3 Snitkræfter ved indspænding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I.4 Volumen og højden af de forskellige broplader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

I.5 Kræfterne som påvirker det statiske system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.6 Udregninger ved brudgrænse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

I.7 Resultater af von Mises brudhypotese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

I.8 Undersøgelse af nedbøjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.9 Værdier for IPE 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

I.10 Værdier for INP 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

I.11 Spændinger i bjælken og resultatet af von Mises brudhypotese . . . . . . . . . . . 65

I.12 Stangkraft og radius ved de to lasttilfælde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

I.13 Dimensionerne på de dimensionsgivende trykstænger . . . . . . . . . . . . . . . 73

I.14 Dimensionerne på de dimensionsgivende trækstænger . . . . . . . . . . . . . . . 74

I.15 Volumen og vægt af sektion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

I.16 Volumen og vægt af sektion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

I.17 Volumen og vægt af sektion 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I.18 Volumen og vægt af sektion 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


x TABELLER

I.19 De Fastsatte dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

J.1 Måleresultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

J.2 Arealhastigheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

K.1 Afløbskoefficienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

K.2 Landsregnrækker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

K.3 Rør 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

K.4 Rør 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

K.5 Rør 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

K.6 Rør 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

K.7 Beregnede rørdiametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


Bilag A

Trafikberegning

A.1 Fremskrivning til år 2027

I det følgende er trafikken, på strækningerne rundt om Nibevej fremskrevet til år 2027.

Nibevej mellem E45 og Vesterprimærvej. ÅDT = 5000 i år 2002

Vesterprimærvej. ÅDT = 2000 i år 2002

T = 5000 · (1 + 0,028) 25

T = 9972kjt ≈ 10000kjt (A.1)

T = 2000 · (1 + 0,028) 25

Hobrovej i den sydlige del af Støvring. ÅDT = 6200 i år 2002

T = 3989kjt ≈ 4000kjt (A.2)

= 6200 · (1 + 0,028) 25

T = 12366kjt (A.3)

Hobrovej i den sydlige del af Støvring, efter omlægning. ÅDT = 4200 i år 2002

Buderupholmvej i år 2002. ÅDT = 2000

T = 4200 · (1 + 0,028) 25

T = 8377kjt (A.4)

T = 2000 · (1 + 0,028) 25

T = 3989kjt (A.5)

1


2 Bilag A: Trafikberegning

Hobrovej syd for Nibevej og Buderupholmvej i år 2002. ÅDT = 3000

T = 3000 · (1 + 0,028) 25

T = 5983kjt (A.6)


Bilag B

Belægningsdimensionering

Fremgangsmåden hvorpå lagtykkelserne er bestemt er:

1. Skæringspunktet mellem den fundne Æ10-belastning og underbundens elasticitetsmodul findes.

2. Der trækkes en linie lodret til skæring med bundsikringslagets elasticitetsmodul, hvor den

samlede ækvivalente tykkelse over underbunden aflæses til 110cm.

3. Der trækkes en linie vandret til den fundne Æ10-belastning skæres, hvor den ækvivalente

tykkelse over grusbærelaget aflæses til 80cm.

4. Tykkelsen for bundsikringslaget findes ved at trække denne tykkelse fra tykkelsen der blev

fundet under punkt 2, hvilket giver en tykkelse af bundsikringslaget på 30cm.

5. Der trækkes en linie lodret til skæring med grusbærelagets elasticitetsmodul, hvor tykkelsen

60cm aflæses.

6. Der trækkes en linie vandret til skæring med den fundne Æ10-belastning. Her aflæses tykkelsen

48cm.

7. Denne værdi multipliceres med 0,8 hvilket giver 38cm. Denne værdi trækkes fra de 60cm og

giver en tykkelse af grusbærelaget på 22cm.

8. Der trækkes en linie lodret til skæring med asfaltlagets elasticitetsmodul, der aflæses til at

være 17cm.

I tabel 7.1 på side 26 er de forskellige lags tykkelser og elasticitetsmoduler E-værdier stillet op.

De enkelte lags elasticitetsmoduler er fundet udfra Vejregeludkastet [Aalborg Universitet 2002].

Det skal dog nævnes at asfaltlagets elasticitetsmodul er beregnet udfra et vægtet gennemsnit, hvor

asfaltlagets tykkelse er 16cm. De øverste 10cm vil have et elasticitetsmodul på 3000MPa og de

nederste 6cm vil have et elasticitetsmodul på 5000MPa. Dette giver asfaltlaget et elasticitetsmodul

på [Aalborg Universitet 2002]:

Kontaktfladens radius

EAB = 10

6

· 3000MPa + · 5000MPa = 3750MPa (B.1)

16 16

For at finde de ækvivalente lagtykkelser, skal radius for kontaktfladen, mellem det dimensionerende

hjultryk og vejoverfladen, kendes.

3


4 Bilag B: Belægningsdimensionering

Hvor:

For at finde denne radius benyttes følgende udtryk.

P = σo · π · a 2

P er det dimensionsgivende hjultryk, fastsat til 70kN, svarende til 11,5tons akseltryk + stødtillæg.

σo er kontakttrykket, fastsat til 0,9MPa.

a er radius af kontaktfladen.

For at beregne radius af kontaktfladen, omskrives formel B.2 til:

Hvilket giver en radius på:

B.1 Ækvivalente lagtykkelser

a =

P

σo · π


70 · 10

a =

3

0,9 · 106 = 157mm

· π

(B.2)

De ækvivalente lagtykkelser er et udtryk for, hvor tykt et enkelt lag skal være for at have samme

bæreevne som laget/lagene over det pågældende lag. De ækvivalente lagtykkelser beregnes udfra

forskellige formler. Disse formler og beregningerne af dem er foretages herunder.

Den ækvivalente højde af grusbærelaget beregnes.

Hvor f1 er:

Hvilket giver en f1-værdi på:

he,2 = f1 · h1 · 3


E1

E2

f1 = 0,99 − 0,07 · h1

a

f1 = 0,99 − 0,07 · 170

= 0,914

157

Denne værdi sættes ind i formel B.3, hvilket giver en ækvivalent højde af grusbærelaget:

he,2 = 0,914 · 3


3750

= 361mm

300

Den ækvivalente højde af bundsikringslaget beregnes:

Hvor f2 er:


3 E1

he,3 = f2 · [h1 · + h2 ] ·

E2

3


E2

E3

f2 = 1.04 − 0,176 · log

E2

E3


(B.3)

(B.4)


Hvilket giver en f2-værdi på:

Afsnit B.1: Ækvivalente lagtykkelser 5

f2 = 1.04 − 0,176 · log


300

= 0,973

125

Denne f2-værdi sættes ind i formel B.4, hvilket giver en ækvivalent tykkelse af bundsikringslaget

på:



3 3750

he,3 = 0,973 · 170 · + 220 ·

300 3


300

= 801mm

125

Den ækvivalente højde af underbunden beregnes:

Hvor f3 er:

Hvilket giver en f3-værdi på:


he,4 = f3 · h1 · 3


E1

+ h2 ·

E2

3


E2

+ h3 ·

E3

3


E3

E4

f3 = 0,96 − 0,176 · log

f3 = 0,96 − 0,176 · log

E3

E4



125

= 0,873

40

(B.5)

Denne f3-værdi sættes ind i formel B.5, hvilket giver en ækvivalent tykkelse af underbunden

på:

he,4 = 0,873 · [(170 · 3


3750

3 300

3 125

+ 220) · + 300] · = 143mm

300 125 40

De aktuelle normaltrykspændinger, der optræder i oversiden af de ubundne lag, er beregnet ud

fra formel B.6:

σh = σo ·


1 −

1

[1 + ( a

h )2 ] 5 2

Dette giver følgende spændinger i de ækvivalente lag.

σ2 = 0,9 ·

σ3 = 0,9 ·

σ4 = 0,9 ·




1 −

1 −

1 −

1

[1 + ( 157

361 )2 ] 5 2

1

[1 + ( 157

801 )2 ] 5 2

1

[1 + ( 157

1433 )2 ] 5 2





(B.6)

= 0,317MPa (B.7)

= 0,081MPa (B.8)

= 0,027MPa (B.9)


6 Bilag B: Belægningsdimensionering

Bøjningstræktøjningen

Bøjningstræktøjningen εa i asflastlagets underside er beregnes udfra følgende formel:

(B.10)

2 · R

Her er (R) er krumningsradius ved asfaltlagets underside. Denne er udregnes udfra følgende

udtryk:

Hvor:

R = E1 ·

ν er Poissions forhold = 0,35

hε regnes udfra følgende formel:

a

(1 − ν 2 ) · σo

εa = h1

·

[1 + ( hε

a )2 ] 5 2

[1 + (1 + 3

2·(1−ν)

hε = fε · h1 · 3


E1

E2

) · ( hε

a )2 ]

fε afhænger af om følgende udtryk B.13 er større eller mindre end 10:

h1

a

(B.11)

(B.12)

E1

· ⇔

E2

170 3750

· = 13,5 (B.13)

157 300

Da værdien fra udtrykket B.13 er større den 10, er fε udregnet udfra følgende formel:

h1 2 fε ≈ 1,13 − 0,0565 · ln ·

a

E1


E2

Formel B.14 giver en fε-værdi på:

fε ≈ 1,13 − 0,0565 · ln

170

157

(B.14)

2 · 3570


≈ 0,988 (B.15)

300

Denne fε-værdi sættes ind i formel B.12, hvilken giver en hε-værdi på:

hε = 0,98755 · 170 · 3


3750

= 386mm (B.16)

300

Den fundne værdi af hε sættes ind i formel B.11 og krumningsradius findes.

R = 3750 ·

157

(1 − 0,35 2 ) · 0,9 ·

[1 + (1 +

[1 + ( 386

157 )2 ] 5 2

3

2·(1−0,35)

) · ( 386

157 )2 ]

= 775,16m

Udfra den fundne krumningsradius findes bøjningstræktøjningen i asfaltlagets underside udfra

formel B.10.

εa = 0,170

= 110 · 10−6

2 · 775,16

(B.17)

De tilladelige lodrette normaltrykspændinger, på et ubunden bærelags overside, må ikke overskride

følgende værdi:

1,16

E

NÆ10

σtill = 0,085MPa ·

·

160MPa 106 −0,263

(B.18)


Afsnit B.1: Ækvivalente lagtykkelser 7

For at undersøge om tykkelsen af de tre nederste lag er tilstrækkelig, undersøges hvor store de

tilladelige normaltrykspændinger er.

1,16

300 3,5 · 106 σtill,2 = 0,085textrmMPa ·

·

160MPa 106 1,16

125 3,5 · 106 σtill,3 = 0,085MPa ·

·

160MPa 106 1,16

40 3,5 · 106 σtill,4 = 0,085MPa ·

·

160MPa 106 −0,263

−0,263

−0,263

= 0,127MPa (B.19)

= 0,046MPa (B.20)

= 0,012MPa (B.21)

For at tykkelsen af lagene er tilstrækkelig, skal de tilladelige normaltrykspændinger være større

end de aktuelle normaltrykspændinger. Dette medfører at følgende udtryk skal overholdes.

σtill ≥ σh

Den tilladelige bøjningstræktøjning i asfaltlaget underside er givet ved:


N

εtill = 0,000230 ·

106 −0,191 Dette giver en tilladelige bøjningstræktøjning på:


3,5 · 106 εtill = 0,000230 ·

106 Og her skal følgende udtryk overholdes:

εtill ≥ εa

−0,191

= 181 · 10 −6

(B.22)

(B.23)

(B.24)


8 Bilag B: Belægningsdimensionering

Figur B.1: Vejreglernes diagram til bestemmelse af lagtykkelser [Vejdirektoratet 2002c].


Bilag C

Stopsigt og mødesigt

Kilde til dette bilag er Veje og stier [Thagesen et al. 1998, s. 82-85], samt Veje og stier i åbent land,

Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b, side 23].

Mødesigt er defineret som en addition af bremselængde og reaktionslængde. For at finde den

maksimale bremselængde, skal den største hældning på vejen findes. For dette projekt er den på

10,4 0 / 00 .

Bremselængde LB:

Hvor:

LB =

V 2

3,6 2 · 2 · g · (µ + s) ⇒ LB = 126,7m (C.1)

V er den ønskede hastighed + 20km/t, dvs 80km/t+20km/t=100km/t

g er 9,81m/s 2

µ er friktionskoefficient for 80km/t = 0,3

s er den maximale hældning s=0,0104

Den reaktionstid det tager for en person fra vedkommende opdager "faren", til personen reagerer,

sættes til 2 sekunder hvilket giver følgende reaktionslængde:

Hvor:

tR er reaktionstiden i sekunder

LR = tR · V

3,6 ⇒ LR = 55,6m (C.2)

For at finde stopsigtelængden adderes bremselængden (LB) og reaktionslængden (LR):

S = LB + LR ⇒ 137,8m + 55,6m = 182,3m (C.3)

Maksimal mødesigt defineres som 2 gange stopsigt ved den ønskede hastighed (V ). Mødesigt i

dette projekt:

LB =

V 2

3,6 2 · 2 · g · (µ + s) ⇒ LB = 81,1m (C.4)

LR = tR · V

3,6 ⇒ LR = 44,4m (C.5)

9


10 Bilag C: Stopsigt og mødesigt

Mødesigtelængde:

LB + LR ⇒ 81,1 + 44,4 = 125,5m (C.6)

S = 2 · 125,5m = 251m (C.7)


Bilag D

Overhalingssigt

I dette bilag er procenten for overhalingssigt for Nibevej før og efter omlægning udregnet.

Længde (L) af Nibevej

Eksisterende strækning, aflæst på kort (målestok 1 : 2325):

Lgammel = (26cm + 6cm + 6cm + 2,5cm) · 2325 + 1000m 1941m (D.1)

Omlagt strækning, den tilbageblivende del af eksisterende + nyanlagt:

Ændring i længde ΔL:

D.1 Overhalingssigt i horisontalkurver

Eksisterende strækning

Lny = 400m + 1400m 1800m (D.2)

ΔL = 1800m − 1941m = 141m (D.3)

På Nibevej er der kun overhalingssigt ned til første sving, når man kommer fra E45 mod støvring.

Denne længde er bestemt ved aflæsning på kort (målestok 1 : 2325):

Altså bliver andelen med overhalingssigt:

Omlagt strækning

28cm · 2325 651m (D.4)

651

· 100 = 33,5% (D.5)

1941

Figur D.1: Horisontalforløb af omlagt strækning

11


12 Bilag D: Overhalingssigt

Ud fra ønsket hastighed (Vø) aflæses sigtelængden (s) i Veje og stier i åbent land, Hæfte 2

Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b]:

Afstand til sigthindrende genstand:

Længder af kurver:

s = 625m (D.6)

d = kørebane + kantbane + rabat

d = 3,5m + 0,6m + 2,5m = 6,6m (D.7)

l1

l2

330m 408m

Minimums kurveradius (Rmin) udregnes udfra nedenstående formel fra Veje og stier i åbent land,

Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b]:

Rmin =

Rmin,l1

Rmin,l2

(2 · s − l)l

d · 8

(2 · 625 − 330) · 330

=

6,6 · 8

(2 · 625 − 408) · 408

=

6,6 · 8

Da den valgte R er 1500m er det ikke muligt at overhale i kurverne.

D.2 Overhalingssigt i vertikalkurver

Eksisterende strækning

= 5750m (D.8)

= 6506m (D.9)

Da der kun kan overhales på de første 34%, af den eksisterende strækning, er det kun denne del der

vil blive vurderet.

500m fra Vester Primærvej er der en konvekskurve på Nibevej, hvilket forringer sigtforholdende

så det er usikkert at overhale. På grund af dette skal der trækkes yderligere 10% fra overhalingssigt

på strækingen. Dette resulterer i at den samlede andel med overhalingssigt bliver 24%. Dermed

bliver korrektionsfaktoren til udregningen af kapaciteten bestemt efter 20% [Aalborg Universitet

2002, s. 4.23].

Omlagt strækning

Figur D.2: Vertikalforløb af omlagt strækning.


Afsnit D.2: Overhalingssigt i vertikalkurver 13

Det er kun konvekskurven som skal undersøges for overhalingssigt, da der er fuld overhalingssigt

på konkav- og ligeudstrækninger. Strækning med konvekskurve er lig med 418m. Strækning

med konkav kurve og ligeud strækning er lig med 1358m. Ud fra formel D.10 fra Veje og stier

i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b] regnes Rmin.

Rmin =

Rmin =

s 2

2( √ h1 + √ h2) 2

(625m) 2

2( √ 1m + √ = 48828m (D.10)

1m) 2

Radius på den omlagte strækning er sat til 15000, dette overholder ikke Rmin. Det betyder at

der ikke kan overhales på disse dele af strækningen. Nu sammenlægges horisontal og vertikal, for

at finde andelen med overhalingssigt, og der afmærkes hvor der må og ikke må overhales, se figur

D.3.

Andelen med overhalingssigt bliver da:

Figur D.3: Overhaling

755

1800 · 100 = 42% (D.11)

Men da strækningerne med konvekskurver ikke er lige så lange som sigtlængden vurderes det,

at det er ca. 45% af strækningen der overholder kravene til overhalingssigt. Dermed bliver korrektionsfaktoren

til udregningen af kapaciteten bestemt efter 40% [Aalborg Universitet 2002, tabel

3.6].


14 Bilag D: Overhalingssigt


Bilag E

Beregning af mindste horisontale og

vertikale radius

Kilde til disse beregninger er Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet -

Vejreglerådet 1999b, s. 23 og 51-52].

E.1 Beregning af mindste horisontale radius

Den mindste horisontale radius for stopsigt er givet ud fra følgende formel:

Hvor:

S er stopsigtelængden.

Rmin = S2

8 · d ⇒ Rmin = 856,5m (E.1)

d sættes lig afstanden fra yderste rabatkant til midten af kørespor for at regne på den sikre side, da

grøfter og trug også kan regnes med. I dette projekt 4,85m.

Hvor:

Bestemmelse af den mindste horisontale radius for mødesigt:

s er mødesigtlængden.

Rmin = s2

8 · d ⇒ Rmin = 1193,2m (E.2)

d sættes lig afstanden fra yderste rabatkant til midten af kørespor for at regne på den sikre side, da

grøfter og trug også kan regnes med. I dette projekt 6,60m.

I dette projekt er horisontal radius sat til 1500m, da der også skal være mulighed for overhaling.

E.2 Beregning af mindste vertikale radius

Som håndregel er mindste vertikale radius sat til 10 gange horisontal radius. Således beregnes (Rmin)

for konvekse vertikalkurver:

Hvor:

Rmin = 2 ·V 2 ⇒ Rmin = 12800m (E.3)

15


16 Bilag E: Beregning af mindste horisontale og vertikale radius

V er den ønskede hastighed her 80km/t.

Hvor:

(Rmin) i konkave vertikalkurver bestemmes som følger:

α er stigningsændringen

Rmin = V

α ⇒ Rmin = 80

0,0104 ⇒ Rmin = 7,69m (E.4)

I dette projekt vælges dog at bruge mindst 10 gange horisontal radius til bestemmelse af den

vertikale radius både for konkave og konvekse kurver.

10 · 1500 = 15000m (E.5)


Bilag F

Bestemmelse af klotoideparameter

Kilde til bestemmelse af klotoideparameter er Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Thagesen

et al. 1998, s. 124-133]

Til bestemmelse af klotoideparameteren anbefales det at klotoidevinklen(τ) skal være 3 grader, Da

det medfører en høj kørselskomfort. Dette giver længden:

Hvor:

sin(τ) = L

2 · R

L er overgangskurvens længde

R er cirklens radius, i dette projekt R=1500m

Dette giver følgende klotoideparameter (A):

F.1 Kriterier

⇒ L = sin(τ) · 2 · R ⇒ L 157m (F.1)

A = √ L · R ⇒ A = 485,3m (F.2)

For at bestemme om klotoiderne overholder funktionskravene for etablering af overhøjde i kurver

og kørselsdynamik skal følgende overholdes:

For overhøjde:

• Overhøjde

Hvor:

b · i ≤ L · h ⇒ 8,2 · 0,025 ≤ 157 · 0,006 ⇒ 0,205 ≤ 0,945 (F.3)

b er vejens bredde b = 8,2m

i = 0,5 · v2

R·g ⇒ i = 0,017, hvis mindre end 25 vælges 25 med hensyn til afvanding

V er den ønskede hastighed i meter pr sekund V =22,2 m/s

g er 9,81m/s2 h er den maksimale forskel længdegradienten mellem højre og venstre side af vejen h = 6

• Rykket


V 2

R

d ·

Rykket =

dt

< 0,5 m

s3 ⇒


A ≥ 2 ·V 3 = 2 · 22,2 ⇒ 150 ≤ 485 (F.4)

Rykket skal holdes lavere end klotoideparameteren af hensyn til kørselskomforten.

17


18 Bilag F: Bestemmelse af klotoideparameter

F.2 Indgangsdata

F.2.1 Inddatafil

90 nadb-2101 TM aau 02 Beregning 23/10-2002\\

91 Test med beregning\\

92 Ny Nibevej\\

93 forslag til sydlig forlægning\\

01 - +1 0\\

02 1\\

02-272076.968 -271977.644 244004.180 243787.891 - - - - 3 3\\

02 2 - 1500 485.3\\

02 3 1500 1500\\

02 -271845.894 - 243560.265 - - - - - 3\\

02 4 1500 - 485.3\\

02 5 - -1500 485.3\\

02 6 -1500 -1500 - - 3\\

02 -271567.025 - 243194.529 - - - - - 1\\

02 7 -1500 - 485.3\\

02 8\\

02 -271411.978 -271371.059 242913.261 242810.296 - - - - 3 3\\

99\\

90 nadb-slut

F.2.2 Uddata

HOVEDPUNKTER INNGANGSDATA

PROSJ.NR. BER.NR. KOSTN.STED BEST.DATO BER.DATO

aau 02 Beregning 23/10-2002 26/11-2002

KJEDINGSGRUNNLAG

BEG.PKT. RETNING PR.NR.

0. 1. .000

EL. R-BEG. PARAM. I X Y L-BEG. S-BEG. I

NR. R-SLUTT LENGDE L-SLUTT S-SLUTT I

1 .000 .000 0-272076.968 244004.180 .000 .000 3

.000 .000 -271977.644 243787.891 .000 .000 3

2 .000 485.300 0

1500.000 .000

3 1500.000 .000 0-271845.894 243560.265 .000 .000 3

1500.000 .000 .000 .000 .000 .000 0

4 1500.000 485.300 0

.000 .000


5 .000 485.300 0

-1500.000 .000

Afsnit F.2: Indgangsdata 19

6 -1500.000 .000 3-271567.025 243194.529 .000 .000 1

-1500.000 .000 .000 .000 .000 .000 0

7 -1500.000 485.300 0

.000 .000

8 .000 .000 0-271411.978 242913.261 .000 .000 3

.000 .000 -271371.059 242810.296 .000 .000 3

L I N J E B E R E G N I N G SIDE

STATENS VEGVESEN H O V E D P U N K T E R 1

R E S U L T A T PROGRAM NADB-2101

Test med beregning

Ny Nibevej

forslag til sydlig forlægning

PROSJ.NR. BER.NR. KOSTN.STED BEST.DATO BER.DATO

aau 02 Beregning 23/10-2002 26/11-2002

EL. BEG.-PR.NR. R-BEG. PARAM. KOORDINATER B-RETN

NR. LENGDE R-SLUTT X Y S-RETN

1 .000 - - B-272076.968 244004.180 327.406

153.808 - S-272012.781 243864.405 327.406

2 153.808 - 485.300 B-272012.781 243864.405 327.406

157.011 1500.000 S-271944.786 243722.902 330.738

V-271969.092 243769.268

3 310.819 1500.000 - B-271944.786 243722.902 330.738

249.107 1500.000 S-271811.382 243512.866 341.310

V-271886.824 243612.333

C-270616.260 244419.334

4 559.926 1500.000 485.300 B-271811.382 243512.866 341.310

157.011 - S-271712.204 243391.169 344.642

V-271779.746 243471.156

5 716.937 - 485.300 B-271712.204 243391.169 344.642

157.011 -1500.000 S-271613.026 243269.472 341.310

V-271644.662 243311.183

6 873.948 -1500.000 - B-271613.026 243269.472 341.310

327.445 -1500.000 S-271445.078 242989.136 327.413


20 Bilag F: Bestemmelse af klotoideparameter

V-271513.692 243138.507

C-272808.148 242363.004

7 1201.392 -1500.000 485.300 B-271445.078 242989.136 327.413

157.011 - S-271384.563 242844.277 324.081

V-271423.226 242941.565

8 1358.403 - - B-271384.563 242844.277 324.081

36.566 - S-271371.059 242810.296 324.081

1394.969

F.2.3 Tittabel

10 1.000 .000 .000 .000 .000 .000\\

10244004.180 272076.968 243864.405 272012.781 153.808 .000\\

10 2.000 153.808 .000 1500.000 485.300 .000\\

10243864.405 272012.781 243722.902 271944.786 310.819 .000\\

10 3.000 310.819 1500.000 1500.000 .000 .000\\

10243722.902 271944.786 243512.866 271811.382 559.926 .000\\

10 4.000 559.926 1500.000 .000 485.300 .000\\

10243512.866 271811.382 243391.169 271712.204 716.937 .000\\

10 5.000 716.937 .000 -1500.000 485.300 .000\\

10243391.169 271712.204 243269.472 271613.026 873.948 .000\\

10 6.000 873.948 -1500.000 -1500.000 .000 .000\\

10243269.472 271613.026 242989.136 271445.078 1201.392 .000\\

10 7.000 1201.392 -1500.000 .000 485.300 .000\\

10242989.136 271445.078 242844.277 271384.563 1358.403 .000\\

10 8.000 1358.403 .000 .000 .000 .000\\

10242844.277 271384.563 242810.296 271371.059 1394.969 .000\\


Afsnit F.2: Indgangsdata 21

Figur F.1: Skema til indgangsdata


22 Bilag F: Bestemmelse af klotoideparameter


Bilag G

Rundkørsel

G.1 Trafikfordeling

Figur G.1: De tolv mulige trafikstrømme i en rundkørsel [Vejdirektoratet 1997a, s. 17].

23


24 Bilag G: Rundkørsel

Figur G.2: Trafik prognosen for år 2027.

Figur G.3: Trafikkens fordeling ved de to spidstimetilfælde.


G.2 Kapacitetsberegninger

Afsnit G.2: Kapacitetsberegninger 25

Et Matlab regneark der blev brugt til at bekræfte DanKaps beregninger:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% %

% Nmax for en tilfart %

% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

N = 383 % Den indkørende trafik gennem tilfarten PE/h

H = 803 % Cirkulær Fodgænger-, cykel- og biltrafik der

% passerer tilfarten i PE/time

Lb = 0.2; % Andelen af tunge køretøjer i tilfarten

% (f.eks. 10% = 0,10 )

Lpe = 1.75; % Antal personbilenheder pr. tungt køretøj

% (f.eks. 2 PE pr. tungt køretøj)

tau = 4.5; % Det kritiske interval i sek.

delta = 2.8; % Passagetiden i sek

% Bemærk at hvis du har en to-sporet tilfart, så er du nødt til at regne

% for hvert enkelt spor. Du kunne måske bruge værdierne for tau og delta

% fra det vejregelforberedende udkast, som er en del af

% KAFKA-projektet [Vejdirektoratet 2002, s.7].

% tau = 4.0 og delta = 2.6.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% En faktor til at omregne trafikmængden fra PE/h til køretøjer/h %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

of = 1/(1+Lb*(Lpe-1));

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Den maksimale trafikmængde, der kan køre ind i rundkørslen %

% igennem en tilfart %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Nmax = H*(exp(-((H*tau)/3600))/(1-exp(-((H*delta)/3600))))

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Den gennemsnitlige ventetid %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Middelforsinkelse = 3600/(of*(Nmax-N))


26 Bilag G: Rundkørsel

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Belastnings grad %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Belastningsgrad = N/Nmax

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% En undersøgelse af om tilfarten har tilstrækkelig kapacitet %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

if N < Nmax

’Tilfarten har tilstrækkelig kapacitet’

elseif N > Nmax

’Tilfarten har ikke tilstrækkelig kapacitet’

else

error(’Der er en fejl i de indsatte værdier’)

end

G.3 Kapacitet og serviceniveau

Der er opstillet to spidstimetilfælder, her sat lig 30. største time I30:

1. Hvor 1/3 af trafikken på Hobrovej nord for krydset kører mod krydset.

2. Hvor 2/3 af trafikken på Nibevej og Hobrovej nord kører mod krydset.

Der blev derefter foretaget et skøn over hvordan trafikken ville fordele sig på de tolv kørselsretninger,

der findes i rundkørselen, bilag G.1.

Trafikfordelingen ved de to spidstimetilfælde blev undersøgt ved hjælp af DanKap. Dette blev

gjort for fire forskellige udformninger:

• en et-sporet rundkørsel, tabel G.1

• en et-sporet rundkørsel med sidespor fra Nibevej til Hobrovej syd, tabel G.2

• en to-sporet rundkørsel med to-sporet tilfart fra Nibevej, tabel G.3

• en to-sporet rundkørsel med to-sporede tilfarter fra Hobrovej, tabel G.4

• en to-sporet rundkørsel med fire to-sporede tilfarter, tabel G.5

Tilfælde 1 Tilfælde 2

Tilfartsspor B t n5% N H B t n5% N H

s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t

Nibevej 0,39 7 2 403 145 1,06 169 41 802 483

Hobrovej Syd 0,69 14 6 627 396 0,24 8 1 156 650

Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400

Hobrovej Nord 0,59 13 3 383 587 0,65 10 5 735 151

Tabel G.1: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en et-sporet rundkørsel.


Afsnit G.3: Kapacitet og serviceniveau 27

Tilfælde 1 Tilfælde 2

Tilfartsspor B t n5% N H B t n5% N H

s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t

Nibevej 0,35 6 1 354 145 0,67 16 6 512 483

Hobrovej Syd 0,69 14 6 627 396 0,24 8 1 156 650

Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400

Hobrovej Nord 0,59 13 3 383 587 0,65 10 5 735 151

Tabel G.2: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en et-sporet rundkørsel med

sidespor fra Nibevej til Hobrovej syd.

Tilfælde 1 Tilfælde 2

Tilfartsspor B t n5% N H B t n5% N H

s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t

Nibevej H 0,24 5 1 268,7 145 0,61 12 4 534,7 483

Nibevej V 0,12 4 1 134,3 145 0,32 7 1 267,3 483

Hobrovej Syd 0,69 14 6 627 396 0,24 8 1 156 650

Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400

Hobrovej Nord 0,59 13 3 383 587 0,65 10 5 735 151

Tabel G.3: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for to-sporede tilfarter på Nibevej.

Tilfælde 1 Tilfælde 2

Tilfartsspor B t n5% N H B t n5% N H

s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t

Nibevej 0,39 7 2 403 145 1,06 169 41 802 483

Hobrovej Syd H 0,40 7 1 418 396 0,14 6 1 104 650

Hobrovej Syd V 0,21 5 1 209 396 0,07 6 1 52 650

Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400

Hobrovej Nord H 0,32 8 1 255,3 587 0,39 5 1 490 151

Hobrovej Nord V 0,16 6 1 127,7 587 0,20 4 1 245 151

Tabel G.4: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en to-sporet rundkørsel med

to-sporede tilfarter på Hobrovej.

Tilfælde 1 Tilfælde 2

Tilfartsspor B t n5% N H B t n5% N H

s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t

Nibevej H 0,24 5 1 268,7 145 0,61 12 4 534,7 483

Nibevej V 0,12 4 1 134,3 145 0,32 7 1 267,3 483

Hobrovej Syd H 0,40 7 1 418 396 0,14 6 1 104 650

Hobrovej Syd V 0,21 5 1 209 396 0,07 6 1 52 650

Buderupholmvej V 0,39 10 1 269,3 910 0,08 5 1 76,7 400

Buderupholmvej H 0,20 7 1 134,7 910 0,04 5 1 38,3 400

Hobrovej Nord H 0,32 8 1 255,3 587 0,39 5 1 490 151

Hobrovej Nord V 0,16 6 1 127,7 587 0,20 4 1 245 151

Tabel G.5: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en to-sporet rundkørsel med

fire to-sporede tilfarter.


28 Bilag G: Rundkørsel


Bilag H

Skitseprojekt

I dette kapitel beregnes de skitseprojekter, som står beskrevet i hovedrapporten.

I de følgende afsnit er reaktionerne navngivet efter, i hvilken understøtning de forekommer, i og

om de er vandrette eller lodrette. F.eks. er RAL en lodret reaktion i punkt A. De lodrette reaktioner

defineres positivt opad, og de vandrette positivt til højre.

H.1 Skitseprojekt 1

Det ønskes at optimere momentkurven på konstruktionen med en jævn fordelt last (q). Dette gøres

ved hjælp af charnierenes placering i konstruktionen, se figur H.1. Ved optimeringen ønskes at

Figur H.1: Skitseprojekt 1.

optimere længden (a) og (c) ved længden (b), så der bliver lige så meget positiv og negativ moment.

For at optimere længden (a) friskæres en del af broen, se figur H.2.

Figur H.2: Friskæring af broen.

Kraften (P) er den forskydningskraft som overføres i charnieret. Kraften er halvdelen af den

29


30 Bilag H: Skitseprojekt

last, der er på det frie stykke (b-2·a) mellem to charniere.

P =

q · (b − 2 · a)

2

(H.1)

De vandrette reaktioner beregnes ved moment omkring de to charniere under den vandrette

broplade. Moment omkring charniere nr. 9 + :

REV · d = 0

REV = RFV = 0 (H.2)

På grund af broens symmetri er den lodrette reaktion i henholdsvis E og F lige store, og disse

bestemmes ved lodret projektion ↑+:

− 2 ·

q · (b − 2 · a)

2

− q · (b + 2 · a) + 2REL = 0

REL = RFL = q · a (H.3)

Nu er alle kræfter og reaktioner udtrykt ved længderne (a) og (b), og udfra dette beregnes

momentsnitkræfterne ved at tage moment i forskellige snit. Moment i snit 1 + for 0 ≤ x ≤ a:

M(x) + q · x2

2

Moment i snit 2 + for a ≤ x ≤ b:

M(x) = −q · x2

2

q · (b − 2 · a)

+

2

q · (b − 2 · a)


2

· x = 0

· x (H.4)

q · (b − 2 · a)

M(x) + · x + q ·

2

x2

− q · b(x − a) = 0

2

q · (b − 2 · a)

M(x) = − · x − q ·

2

x2

+ q · b(x − a) (H.5)

2

Der fastsættes en længde af b og derefter gættes der på længder af a indtil det maximale negative

moment i formel H.4, ved x = a, har samme numeriske størrelse som det maximale positive moment

i formel H.5, ved x = a + b

2 . Resultatet ses i tabel H.1.

Det resulterer i et forhold mellem a og b:

b a b

a

40 5,86 6,83

50 7,32 6,83

60 8,79 6,83

Tabel H.1: Forhold mellem længderne a og b

b = 6,83 · a (H.6)

Nu er længden a optimeret ved b, men det ønskes også at optimere c ved b. Dette gøres ved at

friskære den ene ende af broen, se figur H.3.


Afsnit H.1: Skitseprojekt 1 31

Figur H.3: En friskæring af broen i enden.

Der er den samme P-kraft som før og ud fra dette bestemmes reaktionerne. I disse ligninger

bruges forholdet mellem a og b som blev fundet tidligere. RAL bestemmes ved moment om A + :

2

q

2 ·


c + 1

· b

6,8284

RBL =

+ q ·

2 (b − 6,8284 · b)

2


q · c + 1

6,8284 · b

2

·


c + 1

· b − RBL · c = 0

6,8284


c + 1


6,8284 · b

c

· 0,5 + q · 0,3536 · b ·

Vandret projektion +

→:


q · c + 1


2 (b − 6,8284 · b)

· b + q · − RBL − RAL = 0

6,8284 2


RAL = q · c + 1


· b + q · 0,3536 · b − RBL

6,8284

(H.7)

(H.8)

Da alle reaktioner og kræfter er udtrykt ved b og c bestemmes, ligningerne for momentkurverne.

Moment om snit 1 + for 0 ≤ x ≤ c.

Moment om snit 2 + for c ≤ x ≤ c + a.

M(x) − RAL · x + q x2

2

= 0

M(x) = RAL · x − q x2

2

M(x) − RAL · x + q x2

2

= 0

M(x) = RAL · x + RBL · (x − c) − q x2

2

(H.9)

(H.10)

Der fastsættes igen en værdi for b og formel H.9 og H.10 er nu begge afhængig af længden c.

Til bestemmelse af forholdet mellem c og b findes minimumsværdien for formel H.9. For at

finde formel H.9’s minimumsværdi afledes formlen og sættes lig med 0, se formel H.11. Dette giver

den x-værdi hvor formlen har sit minimumspunkt.

dM(x)

dx = RAL − q · x = 0

x = RAL

q

(H.11)


32 Bilag H: Skitseprojekt

Nu gættes der på en c-værdi til formel H.10’s maksimale værdi. Ved x = c, er den samme som

formel H.9s minimumsværdi, ved x = RAL

q . Disse resultater og forholdet mellem disse ses i tabel

H.2.

Dette giver et forhold mellem c og b:

b c b

c

40 34,14 1,17

50 42,68 1,17

60 51,21 1,17

Tabel H.2: Forhold mellem længderne c og b.

b = 1,17 · c (H.12)

Da længderne på figur H.1 er optimeret og nu optegnes den rigtige statiske model. Der regnes

reaktioner, snitkræfter og tegnes snitkræftkurver. Længden på broen er 260m og den har 6 søjleunderstøtninger

og yderligere 2 understøtninger i enderne, b bliver da:

Længderne a, b og c er vist i tabel H.3:

b

260m = 2 · + 5 · b

1,1716

b = 38,764m (H.13)

a b c

5,677 m 38,764 m 33,087 m

Tabel H.3: Længderne a, b og c.

Reaktionerne beregnes hvor alle afstande og kræfter kendes. Der tages udgangspunkt i figur

H.1 med hensyn til symbolsk beskrivelse. Der laves moment omkring charniere 1 for at vise, hvilke

vandrette reaktioner der går ud. Moment om charniere 1 + , af den del der er under brobjælken:

RBV · 22m = 0

RBV = 0 (H.14)

Ud fra formel H.14 konkluderes det at reaktionerne RCV , RDV , REV , RFV og RGV er lig 0. Ved at

lave moment om charniererne 1, 4, 5, 8, 9 og 12. RAV kan bestemmes ud fra vandret projektion +

→:

RAV − 10kN = 0

Moment omkring charniere 2 + på venstre side:

RAV = 10kN (H.15)

(c + a)2

− RAL · (c + a) − RBL · a + q · = 0

2

RAL = −0,146 · RBL + 193,82kN (H.16)


Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 33

Moment omkring charniere 3 + på venstre side. Resultatet fra H.16 bruges til udregningerne:

0 =

(c + b − a)2

−RAL · (c + b − a) − RBL · (b − a) + q ·

2

RBL = 387,65kN (H.17)

RAL = 137,05kN (H.18)

Grundet symmetri konkluderes følgende:

RBL = RCL = RDL = REL = RFL = RGL (H.19)

RAL = RHL (H.20)

For at vise snitkræftene beregnes den i de 3 snit, der ses på figur H.5. Moment om snit 1 + for

0 ≤ x ≤ 33,087:

Moment om snit 2 + for 33,087m ≤ x ≤ 38,764m:

M(x) + q · x2

2 − RAL · x = 0

M(x) = −5 kN

m · x2 + 137,05kN · x (H.21)

M(x) + q · x2

2 − RAL · x − RBL · (x − 33,087) = 0

M(x) = −5 kN

m · x2 + 524,7kN · x − 12826,18kNm (H.22)

Moment om snit 3 + for 38,764m ≤ x ≤ 66,175m:

M(x) + q · x2

2 − RAL · x − RBL · (x − 33,087) = 0

M(x) = −5 kN

m · x2 + 524,7kN · x − 12826,18kNm (H.23)

Kurverne for de 3 snit optegnes på figur H.4, og viser fra understøtningen til charniere nr. 3.

Figur H.4: Momentkurven for snit 1, 2 og 3.

Snitkræftkurverne optegnes nu for hele konstruktionen og disse ses på figur H.5.


34 Bilag H: Skitseprojekt

H.2 Skitseprojekt 2

Figur H.5: Momentkurven for skitseprojekt 1

Figur H.6: Forslag 2.

Der blev foreslået flere forskelige udformninger til dalbroen. Et af disse ses på figur H.6. I dette

bilag bestemmes stangkræfter og reaktioner af denne.

Skitseprojekt 2 er en gitterkonstruktion med en charnier i midten af hvert af de tre fag.

For at illustrere broens statiske system, og dermed de kræfter der påvirker broen blev opstilles

der en simpel statisk model, se figur H.7.

Figur H.7: En simpelt statisk model af skitseprojekt 2.

I det følgende regnes der kun på gitterdragerne, dvs. der ikke tages hensyn til de kræfter der

forekommer i understøtningerne.

Reaktioner

Broen har seks ukendte reaktioner, og der kan opstilles seks ligninger til at bestemme reaktionerne,

dvs. den er statisk bestemt. I det følgende er flade lasten (q), 10kN/m og L er længden mellem

understøtninger, 260/3m.

Først regnes der moment om 1, venstre side + :

Moment om C + :

RAL · L


− q · L ·

2 1

2 ·

2

1

= 0

2

RAL = RDL = 216 2

kN (H.24)

3


Moment om B + :

Moment om 2 + højre side:

Moment om 1 + højre side:

Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 35

− RDL · L − 10kN · 11m − q · L 2 · 1

2 − q · (2 · L)2 · 1

2

+RBL · L + RAL · 2 · L = 0

RAL · L − RCL · L − RDL · 2 · L − 10kN · 11m

−q · L 2 · 1

2 + q · (2 · L)2 · 1

= 0

2

RBL = 1084,60kN (H.25)

RCL = 1082,06kN (H.26)

2 3

q · · L ·

2 1

2 − RCV · 11m − RDL · 3

2 · L − RCL · 1

· L = 0

2

2 2

q · · L ·

3 1

2 − RBL · 1

2 · L − RCL · 5

2 · L − RDL · 5

· L

2

RCV = 858,5kN (H.27)

−11m(RBV + RCV ) = 0

RBV = −848,5kN (H.28)

Dermed kendes alle reaktionerne. Disse kontrolleres ved at beregne lodret og vandret projektion:

Lodret ↑+:

Vandret +

→:

Resultaterne fra de foregående formler samles i tabel H.4.

Stangkræfter

RAL + RBL + RCL + RDL = q · 3 · L (H.29)

RBV + RCV = 10 (H.30)

De eneste kræfter, der er i stængerne i en gitterkonstruktion som denne, er normalkræfter. Disse

bestemmes vha. Ritters snitmetode. Dvs. ved at lave et fiktivt snit i konstruktionen og beregne

moment om et vilkårligt punkt i planet. Punktet vælges mht. at isolere de enkelte snitkræfter.

Det vælges at tage fem fiktive snit, se figur H.8, da det vurderes at de fem er beskrivende for de

stangkræfter der forekommer i konstruktionen.

I det følgende indføres følgende benævnelser:

S2−4 er stangkraften der går fra knudepunkt 2 til knudepunkt 4. Denne er samme størrelse som S4−2

P er punktlasten, P = 86,66kN


36 Bilag H: Skitseprojekt

Snit 1

Snit 2

Moment om 2 + :

Moment om 3 + :

Moment om 1 + :

Moment om 14 + :

Reaktioner Størrelse

RAL 216,66kN

RDL 216,66kN

RBL 1084,60kN

RCL 1082,06kN

RCV 858,55kN

−848,47kN

RBV

Tabel H.4: Reaktionerne.

− S1−3 · sin(77,83 ◦ ) = 0

S2−4 · 8,82m + RAL · L P L

− · = 0

10 2 10

S1−3 = 0 (H.31)

S2−4 = −170,32kN (H.32)

S2−4 · 11m + S2−3 · 11msin(44,7 ◦ ) = 0

S2−3 = 242,14kN (H.33)

Figur H.8: Rittersnit.


Snit 3

Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 37

− P · L

10 ·

n=5

∑ xi −

i=1

P L

· 6 ·

2 10 + RAL · 6 · L

10 − S11b−13 · 5m · sin(91,56 ◦ )


L

−S11b−13 · − 0,05 · cos(91,56

10 ◦ ) = 0

Moment om 11b + :

Moment om 12 + :

S12−14 · 5m − P ·

n=4


i=1

+RAL ·

S11b−13 = −430,62kN (H.34)


xi · L


+ 0,05m −

10 P

2 ·


5 · L


+ 0,05m

10


5 · L


+ 0,05m − P · 0,05m − 5 · P = 0

10

S12−14 = 2,60kN (H.35)

− P · L

10 ·

n=4

∑ xi − P L

· 5 ·

2 10 + RAL · 5 · L

10 − S11b−13 · 5m · sin(91,56 ◦ )

Moment om 19 + :

Moment om 22 + :

Moment om 20 + :

i=1

+P · 0,05m · cos(91,56 ◦ ) − S11b−14 · 5m · sin(60,02 ◦ ) = 0

S20−22 · 8,82 − P · L

10 ·

n=8

∑ xi − P 9

·

2 10 · L + RAL · 9

· L = 0

10

i=1

− S19−21 · 8,82m · sin(104 ◦ ) − S19−21 · L

10 · sin(14◦ ) − P

· L

2

S11b−14 = 496,19kN (H.36)

S20−22 = 1532,9kN (H.37)

−P · L

10 ·

n=9

∑ xi + RAL · L = 0

i=1

S19−21 = −1759,3kN (H.38)


38 Bilag H: Skitseprojekt

Snit 4

Snit 5

Moment om 22 + :

Moment om 23 + :

− S19−22 · 8,82m · sin(45 ◦ ) − S19−21 · 8,82m · sin(104 ◦ ) − P 9

· · L

2 10

−P · L

10 ·

n=8

∑ xi + RAL · L = 0

i=1

− RBV · 11m − S21−23 · 11m · sin(104,17 ◦ )

−P · L

10 ·

n=9

∑ xi − P

2 · L + RAL · L = 0

i=1

S19−22 = 244,6kN (H.39)

S21−23 = −885,48kN (H.40)

S22−24 · 8,82m + RBL · L

10 − RBV · (11m − 8,82m) − P


· L · 1 +

2 1


10

Moment om 21 + :

Moment om 30 + :

−P · L

10 ·

n=10

∑ xi + RAL · L ·

i=1

S22−23 · 11m · sin(45 ◦ ) + S22−24 · 11m − P

· L

2

−P · L

10 ·

n=9

∑ xi + RAL · L = 0

− S29−31 · 5,24m · sin(88,44 ◦ ) + RBL · 4 · L

10 − RBL · 11m − P

2

i=1

−P · L

10 ·

n=13


1 + 1


= 0

10

S22−24 = 1534,8kN (H.41)

S22−23 = 243,6kN (H.42)

∑ xi + RAL · L ·

i=1

L

· 14 ·

10


1 + 4


= 0

10

S29−31 = −73,76kN (H.43)


Moment om 31 + :

Moment om 29 + :

Kontrol af stangkræfter

Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 39

S30−32 · 5m + 5 · RBL · L

10 − RBV · 6 − P

2

−P · L

10 ·

n=14

∑ xi + RAL · L ·

i=1

L

· 15 ·

10


1 + 1


= 0

2

S30−32 = 848,54kN (H.44)

S30−32 · 5,23m + S30−31 · 5,23m · sin(60 ◦ ) − RBV · (11m − 5,23m)

+RBL · 4 · L P L L

− · 14 · − P ·

10 2 10 10 ·

n=13

∑ xi + RAL · L ·

i=1


1 + 4


= 0

10

S30−31 = 85,17kN (H.45)

Der opstilles en computermodel af gitterkonstruktionen og denne beregnes vha. Trusslab. Stangkræfterne

der er findes ved håndberegning kan derfor sammenlignes med de, der findes af Trusslab. Tabel H.5

illustrerer stangkræfterne og deres afvigelse fra computermodellen.

Stangkræfter Håndberegninger Trusslab Afvigelse

S1−3 0kN 0kN 0%

S2−3 242,14kN 242,78kN 0,3%

S2−4 −170,32kN −170,19kN 0,07%

S11b−13 −430,63kN −433,32kN 0,6%

S11b−14 496,19kN 494,78kN 0,28%

S12−14 2,6kN 2,6kN 0%

S19−21 −1759,3kN −1762,17kN 0,16%

S19−22 244,6kN 246,65kN 0,83%

S20−22 1532,9kN 1535,75kN 0,19%

S21−23 −885,48kN −886,24kN 0,08%

S22−24 1534,8kN 1536,85kN 0,13%

S22−23 243,6kN 245,08kN 0,60%

S29−31 −73,76kN −74,27kN 0,69%

S30−32 848,54kN 849,37kN 0,13%

S30−31 85,17kN 85,67kN 0,06%

Gennemsnitafvigelse 0,27%

Tabel H.5: Stangkræfter.

Tabel H.5 fremviser klart at det er god overanstemmelse mellem håndberegningerne og Trusslabmodellen.


40 Bilag H: Skitseprojekt


Bilag I

Dimensionering

I.1 Bropladen

For at regne på bropladen udformes der et statisk system. Det statiske system ses på figur I.1 og

viser, at pladen betragtes som simpel understøttet. Pladen er boltet fast i den ene ende, så den kan

optage vandrette og lodrette kræfter. Ellers er pladen kun fastspændt, så den kan optage lodrette

kræfter. Kraften (P) er et akseltryk på 130kN, der virker midt på pladen, da dette er det farligste

sted. Fladelasten (q) er en kombination af trafiklast (q2) og belægningslast (q1).

Fladelast (q):

Belægningslasten (q1) er lasten fra asfalten.

Hvor:

Figur I.1: Brodækkets opbygning.

q1 = ρ · lve j · bve j ·tve j · g ⇒ q1 = 1,03 kN

m 2 · lve j · bve j

ρ er densiteten for vejbelægningen, 1500kg/m 3 [Teknisk Forlag 1999]

lve j er længden af vejen i meter

bve j er bredden af vejen i meter

tve j er vejbelægningens tykkelse, 0,07m

41

(I.1)


42 Bilag I: Dimensionering

g er tyngdeaccelleration 9,82m/s 2

Trafiklasten (q2):

Lastkombination på pladen:

q2 = 5 kN

m 2

Ved brudgrænsetilstand bruges der i dette tilfælde lastkombination B.2.1 a, kapitel 11.2, da trafiklasten

er den eneste last på konstruktionen.

qbrud = q2 · 1,3 + q1 = 5 kN

· 1,3 + 1,03kN = 7,53kN

m2 m2 m2 (I.2)

(I.3)

PBrud = P · 1,3 = 130kN · 1,3 = 169kN (I.4)

Ved anvendelsesgrænsetilstand bruges alle laster med partialkoefficient på 1.

qAnv = q2 + q1 = 5 kN

+ 1,03kN = 6,03kN

m2 m2 m2 (I.5)

PAnv = P = 130kN (I.6)

m, som en

dybde dimension. Når alle kræfterne er bestemt, regnes der reaktioner og snitkræfter for den statiske

model på figur I.1.

Vandret projektion +

→:

Rav = 0 (I.7)

Da konstruktionen har lidt skæve mål, multipliceres lasterne, qBrud og qAnv, med 13

12

Lodret projektion ↑+. På grund af symmetri er Ral lige så stor som Rbl.

Ral = Rbl = PBrud + 13

12m · 1m · qBrud

2

Ral + Rbl − PBrud − 13

12 m · 1m · qBrud = 0

= 169kN + 13

kN

12m · 1m · 7,53 m2 2

Ral = Rbl = 177,158

2

= 88,58kN (I.8)

Nu kan snitkræfterne bestemmes. Der foretages 2 snit, snit 1 mellem den faste understøtning

(a) og kraften (P), og snit 2 på den anden side af P, se figur I.1.

Moment + om snit 1:

0m ≤ x ≤ 0,5m

Forskydning ↑+ i snit 1:

− RAL · x + 13

m · qBrud

12

kN

m2 x 2

2

+ M(x) = 0

M(x) = 88,58kN · x − 8,15 kN

m

· x2

2

(I.9)

V (x) = − dM(x)

dx

(I.10)

V (x) = −88,58kN + 8,15 kN

· x

m

(I.11)


Moment + om snit 2:

− RAL · x + 13

m · qBrud

12

Afsnit I.1: Bropladen 43

kN

m

0,5m ≤ x ≤ 1m

2 · x2

2 + PBrudkN · (x − 0,5) + M(x) = 0

M(x) = −80,42kN · x − 8,15 kN x2

· + 84,5kN (I.12)

m2 2

Forskydning ↑+ i snit 2 med udgangspunkt i formel I.10:

V (x) = 80,42kN + 8,15 kN

m

Snitkraftkurverne kan nu optegnes, se figur I.2.

Figur I.2: Snitkræfterne.

Snitkræfterne undersøges ved specielle punker i bjælken, se tabel I.1.

x 0m 0,5m 1m

M(x) 0kNm 43,27kNm 0kN

V(x) -88,58kN -84,50kN og 84,5kN 88,57kN

Tabel I.1: Maksimal moment og forskydningskræfter.

· x (I.13)

Det maksimale moment og eventuel normalkræft i bjælken undersøges ud fra følgende formel

fra stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002, s. 32]:

Hvor:

σ er normalspændingen i konstruktionen

N er normalkraften i konstruktionen

A er arealet af tværsnittet

M er det maksimale moment i konstruktionen

I er inertimomentet for tværsnittet

σ = N M

+

A I · y σ = σN + σM σ ≤ fyd (I.14)

y er afstanden fra massemidtpunktet til det yderste af konstruktionen

fyd er den regningsmæssige flydespænding for den valgte stålkvalitet


44 Bilag I: Dimensionering

Følgende formel fra stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002, 32] bruges til at undersøge

den maksimale forskydningsspænding i bjælken:

Hvor:

τ =

V · S

I · b

τ er forskydningsspændingen i konstruktionen

V er forskydningsspændingen i konstruktionen

S er det statiske moment af konstruktionen

I er inertimomentet for tværsnittet

b er tværsnittets bredde

τ ≤ fyd

√3

Spændingerne i formel I.15 og formel I.14 har følgende fordeling i et tværsnit, se figur I.3.

I.1.1 Bropladen

Figur I.3: Snitkræfterne.

(I.15)

Det ønskes en højde af pladen ved et spænd over 1m og en bredde (b) på 13

12m. Først bestemmes

afstand til massemidtpunktet ( ¯y), inertimomentet (I) og det statiske moment (S) for en rektangulær

flade, se figur I.4.

Hvor:

h højden af fladen

Hvor:

¯y(h) = h

2

I(h) =

b · h3

12

(I.16)

(I.17)

b bredden af fladen Figur I.4: Tværsnit.

Det statiske moment for figur I.4.

h

2

h2 z2

S(z) = b · z · dz = b · −

z

8 2

(I.18)


Afsnit I.1: Bropladen 45

Det statiske moment har størst værdi når z = 0, det maksimale statiske moment ses i formel I.19.

Det maksimale statiske moment er en variabel af højden (h), da længden (b) kendes.

S(h) = 1

· b · h2

8

Formlerne I.16 og I.17 sættes ind i formel I.14, og da normalkraften er 0, fås følgende:

σ =

M · 12 h

·

b · h3 2

Formlerne I.17 og I.19 sættes ind i formel I.15:

τ =

V · b · h2

8

b·h 3 ·b

12

⇒ σ = 6 · M

b · h 2 ⇒ hσ =

⇒ τ =

V · 1,5

h · b

⇒ hτ =

6 · M

b · σ

V · 1,5

τ · b

(I.19)

(I.20)

(I.21)

I dette tilfælde sættes σ lig med fyd og τ lig med fyd

√3 for at finde den mindste værdi for højden

(h). Nu beregnes højden for forskellige stålkvaliteter:

S235, 16 < h ≤ 40:

S235, < h ≤ 16:

S275, 16 < h ≤ 40:

S275, h ≤ 16:

S355, 16 < h ≤ 40:

hσ =

hσ =

hσ =


fyd =

fyd =

225 · 106

1,287 ⇒ fyd = 174,825MPa

6 · 43,27 · 10 3 Nm

13

12 m · 174,825 · 106 Pa

235 · 106

1,287 ⇒ fyd = 182,596MPa

⇒ h = 37,0mm (I.22)

hτ = 88,58 · 103N · 1,5

182,596·106Pa · 13

⇒ h = 1,16mm (I.23)

12m

fyd =

fyd =

√ 3

265 · 106

1,287 ⇒ fyd = 205,905MPa

6 · 43,27 · 10 3 Nm

13

12 m · 205,905 · 106 Pa

275 · 106

1,287 ⇒ fyd = 213,675MPa

⇒ h = 34,1mm (I.24)

hτ = 88,58 · 103N · 1,5

213,675·106Pa · 13

⇒ h = 0,99mm (I.25)

12m

fyd =

√ 3

345 · 106

1,287 ⇒ fyd = 268,065MPa

6 · 43,27 · 10 3 Nm

13

12 m · 268,065 · 106 Pa

⇒ h = 29,9mm (I.26)


46 Bilag I: Dimensionering

S355,h ≤ 16:

fyd =

355 · 106

1,287 ⇒ fyd = 275,835MPa

hτ = 88,58 · 103N · 1,5

275,835·106Pa · 13

⇒ h = 0,77mm (I.27)

12m √ 3

Som det ses har forskydningsspændingen ikke den store betydning. Derfor dimensioneres de

næste konstruktioner først ud fra moment, og derefter udfra forskydningsspændingen.

Selv ved den stærkeste stålstyrke bliver højden ca. 30mm, og det er for meget, hvis der ses

på stålforbruget og økonomi. Der undersøges 2 alternativer til pladen, for at se om det mindsker

stålforbruget. Der undersøges en plade understøttet med 2 U-profiler og en plade med 4 U-profiler.

Til senere konklusion skal stålforbruget bruges. Volumenen af stål for pladen alene, S355:

I.1.2 Bropladen med 2 U-profiler

Vplade = 13

m · 1m · 0,030m = 0,0325m3

12

(I.28)

For at forstærke pladen påsvejses der under pladen 2 U-profiler. Dimensionerne på U-profilen fastsættes

fra start, og det er kun højden (h) af pladen, der skal findes, se figur I.5. For at dimensionere

en special fremstillet profil skal inertimoment (I) og afstand til massemidtpunktet ( ¯y) kendes. Der

findes ikke nogle forudbestemte ( ¯y) og (I) for en sådan konstruktion og, derfor må disse bestemmes

først. Først undersøges U-profilen og pladen hver for sig, for massemidtpunkt og inertimoment.

Figur I.5: Brodækket med 2 U-profiler.

Afstanden til massemidtpunktet ( ¯y) for en konstruktion bestående af flere enkelte elementer,

bestemmes ved forholdet mellem det statiske moment (S) og det samlede areal (A). Statisk moment

er summen af arealet (A) af hvert enkelt element gange afstanden (y) til et fælles udgangspunkt.

Afstanden ( ¯y) måles også fra dette udgangspunkt, se figur I.6. Udregningerne tager udgangspunkt i

figur I.6.

Formlen for inertimomentet (I) ses herunder:

S = A1 · y1 + A2 · y2 + A3 · y3

I = ∑ Ielement + Aelement · y 2

S = ∑(A · y) (I.29)

S

¯y4 =

A1 + A2 + A3

I = IA1 + A1 · (y1 − ¯y4) + IA2 + A2 · (y2 − ¯y4) + IA3 + A3 · (y3 − ¯y4)

(I.30)

(I.31)


Afsnit I.1: Bropladen 47

Figur I.6: Tværsnit.

Statiske moment (Su), samlet areal (Au), afstand til massemidtpunkt ( ¯yu) fra bunden af U-profilet

og inertimomentet (Iu) beregnes for U-profilet, alle mål i mm:

Iu =

Su = 2 · (9,5 · 65 · 32,5) + 121 · 6 · 3 = 42315,5mm 3

(I.32)

Au = 9,5 · 65 + 121 · 6 + 9,5 · 65 = 1961mm 2

(I.33)

¯yu = 84631

≈ 21,57mm

3922

(I.34)

121 · 63

12 + 6 · 121 · ( ¯yu − 3) 2

9,5 · 653 2

+ 2 · + 65 · 9,5 · (32,5 − ¯yu)

12

Iu = 8,349 · 10 5 mm 4

(I.35)

Pladens inertimoment (Ip) og afstand til massemidtpunkt ( ¯yp) fra udgangspunktet i bunden af

U-profilet findes. Alle disse udtryk er en funktion af h, da det er denne det ønskes at bestemme

senere, alle mål i mm:

Ap(h) = 13

· 1000 · h

12

(I.36)

¯yp(h) = h

+ 65 (I.37)

Ip(h) =

2

13

12

· 1000 · h3

12

(I.38)

Ud fra formlerne I.29, I.30 og I.31 bestemmes det statiske moment (Skons), arealet (Akons), afstanden

til massemidtpunktet ( ¯ykons) og inertimomentet (Ikons) for den samlede konstruktion. Værdierne

udregnet i formlerne I.33, I.34 og I.35 for U-profilen multipliceres med 2, da der er 2 U-profiler un-

der pladen, alle mål i mm:

Skons(h) = 2 · (21,57 · 1961) + 13000

12


· h · 65 + h


2

Skons(h) = 541 2

3 · h2 + 70416 2

· h + 84631

3

(I.39)

Akons(h) = 13000

· h + 2 · 1961 (I.40)

¯ykons(h) =

12

2 541 3 · h2 + 70416 2

3 · h + 84631

13000

12 · h + 3922

(I.41)

Ikons(h) = 2 · (Iu + Au · ( ¯ykons(h) − ¯yu)) + Ip(h) + Ip(h) · ( ¯yp(h) − ¯ykons(h)) (I.42)


48 Bilag I: Dimensionering

Det statiske momentet er konstrueret så at ved indsættelse af en h værdi, fås det maksimale

statiske moment til højden h.


65 − ykons(h)

Skons(h) = Ap(h) · ( ¯yp(h) − ¯ykons(h)) + 4 · (9,5 · (65 − ykons(h)) ·

(I.43)

2

Ved hjælp af formelerne I.14 og I.15 dimensioneres pladen i brudgrænsetilstand. Stålkvaliteten

sættes til S355, og fyd bliver da 275,8MPa, da der regnes med en tykkelse under 16mm. σ sættes

lig 275,8MPa for at bestemme h, når den er mindst (hmin). Momentet der bruges, er det maksimale

moment fra tabel I.1:

275,8 · 10 6 Pa = 43,27 · 106 Nmm

Ikons(h)

· ¯ykons(h)

hmin = 12,98mm (I.44)

Minimumshøjden undersøges nu for forskydningsspændingen. Til dette bruges formlerne I.42

og I.43. Forskydningskraften ses i tabel I.1.

88,58kN · S(12,98mm)

τ =

I(12,98mm) · 13000 = 1,32MPa

12 mm

τ = 88,58kN · 154,1 · 103mm3 9,507 · 106mm4 · 13000 = 1,32MPa (I.45)

12 mm

275,835MPa

√ 3

= 159,3MPa ≥ 1,32MPa (I.46)

Uligheden er sand og det konkluderes derfor, at pladens højde (h) bliver 12,98 mm. Da konstruktionen

ikke er en standard, undersøges den nu for lokale svagheder. Der findes flere områder i

konstruktionen der kan undersøges. De lodrette sider i U-profilet og bunden i profilet. Men da den

største frie strækning imellem de 2 U-profiler er 401 2

3mm, se figur I.7, vælges det at undersøge

denne. Da U-profilen er påsvejset regnes dette stykke som indspændt.

Figur I.7: Strækning mellem 2 U-profiler.

Da det ikke er muligt at regne på en statisk ubestemt bjælke, se figur I.7, findes momentet og

forskydningskraften for en sådan bjælke i [Teknisk Forlag 1999]:

M(x) = 1

2 · q · l2

x x2 1

· − − +

l l2 6

1


· p x −

2 1


· l

(I.47)

4


−q · l2 1 1

V (x) = · − 2 · x ·

2 L L2

− 1

· p (I.48)

2


Afsnit I.1: Bropladen 49

De maksimale snitkræfter findes ved enden eller i midten af bjælken, og ud fra formel I.47 og

I.48 beregnes snitkræfternes størrelse når l = 401 2

3mm, se figur I.12, q = qBrud og p = PBrud fra

formel I.3. Formlerne I.47 og I.48 giver snitkraftkurverne, optegnet på figur I.8.

Figur I.8: Snitkræftkurver for en indspændt bjælke.

Resultaterne af maksimalværdierne på kurverne ses i tabel I.2.

x

M(x)

0

-8,59kNm

l

2

8,54kNm

l

-8,59kNm

V(x) -86kN -84,5kN og 84,5kN 86kN

Tabel I.2: Snitkræfter i indspændt bjælke på 401 2 3 mm.

Formel I.14 bruges til at dimensionere pladen ud fra moment, stålkvaliteten er S355, bredden

(b) er 1000 mm og højden (h) sættes som variabel og bestemmes. σ sættes lig fyd for at bestemme

h, når den er mindst (hmin). Momentet er den maksimale værdi i tabel I.2:

275,8 · 10 6 MPa = 8,59kNm

b·h 3

12

· h

2

hmin = 13,66mm (I.49)

Denne h skal undersøges for forskydningsspændingen. Det statiske moment fra formel I.19 og

inertimoment fra formel I.17 bruges i denne formel.

τ =

275,8MPa

√ 3

h2 86kN · b · 8 mm3

b·h3 12 mm4 = 9,45MPa (I.50)

· bmm

= 159,3MPa ≥ 9,45MPa (I.51)

Uligheden er overholdt, hvilket betyder at en pladehøjde på minimum h = 13,66mm gør at

pladen ikke går i brud. Dimensionen på pladen i brudgrænsetilstand bliver så den tykkeste af de

to udregnede tykkelser. Pladen får en tykkelse på 13,66mm, da den overholder begge minimums

højder.

Nu regnes der deformationer i anvendelsesgrænsetilstand, for at se om kravet til deformationerne

(u) overholdes. Det vejledende krav er opstillet i Stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002]

og er:

u = l

(I.52)

400

Flytningerne (uy) af pladen mellem to U-profiler findes ved hjælp af differentialligninger. Flytningen

uy er flytningen i y-retningen, se figur I.9. Disse differentialligninger er som følger:

d 2 uy(x)

dx 2

M(x)

= κ(x) =

IE

(I.53)


50 Bilag I: Dimensionering

duy(x)

dx


= θ(x) =


uy(x) =

Figur I.9: Deformationskurven.

κ(x)dx (I.54)

θ(x)dx (I.55)

Hvor M(x) er det moment, der blev fundet i formel I.47. Sættes dette moment ind i formel I.53

fås følgende udtryk:

Ved integration af κ fås θ:

κ(x) = 1

EI ·


1 x

· q · l2

2 l −


x

2 −

l

1


+

6

1


· p · x −

2 1


· l

4

θ(x) = 1

2 · EI ·


x2l x3 xl2 x2 xl

q · − − + p · − +C1

2 3 6 2 4

(I.56)

Randbetingelserne for en indspændt bjælke siger at θ(x = 0) = 0, hvilket giver C1 = 0. Deformationerne

(uy) findes ved at integreres θ, hvilket giver:

uy(x) = q

2 · EI ·


x3l x4


6 12 − x2l2

+

12

p

4 · EI ·


x3 3 + x2

l

+C2

4

(I.57)

Randbetingelserne for en indspændt bjælke, siger at uy(x=0) = 0. Hvilket resulterer i at C2 = 0.

Den endelige deformation som funktion af x skrives derfor som:

Hvor:

l er længden mellem de to U-profiler.

uy(x) = q

2 · EI ·


x3l x4


6 12 − x2l2

+

12

p

4 · EI ·


x3 3 + x2

l

4

q er fladelasten, der kommer fra trafikken i anvendelsesgrænsetilstand.

p er en punktlast, som i dette tilfælde er et akseltryk i anvendelsesgrænsetilstand.

E er det karakteristiske elasticitets modul for stål.

I er inertimomentet for den bjælke, der skal undersøges.

(I.58)

Konstruktionen mellem U-profilerne undersøges ud fra formel I.58 med en pladetykkelse på

13,66mm. x sættes lig l

2 , da det er her, momentet er størst. Da kræfterne er q = qAnv og p = PAnv,

formel I.5, fås følgende deformation:

uy(200,83mm) = 0,99mm (I.59)


Afsnit I.1: Bropladen 51

I Stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002, s. 32] er den vejledende maksimale nedbøjning

sådan en konstruktion må have angivet, ifølge formel I.52.

2 401 3

u = mm

= 1mm (I.60)

400

Det konkluderes at konstruktionen overholder det nedbøjnings krav, der er stillet til den. Dette

er kun deformationerne imellem U-profilerne, og der skal derfor også beregnes deformationer på

hele køreplade konstruktionen. Det statiske system for denne ses på figur I.10.

Figur I.10: Statisk system mellem H-profilerne.

Der tages udgangspunkt i formel I.9, som sættes ind i formel I.53. Værdierne i formel I.9

skal dog revideres med kræfterne fra anvendelsesgrænsetilstand. Først bestemmes reaktioner udfra

formel I.8.

Ral = Rbl = PAnv + 13

12m · 1m · qAnv

=

2

130kN + 13

Momentet udregnes udfra formel I.9:

− Ral · x + 13

12

kN

12m · 1m · 6,03 m2 2

Ral = Rbl = 136,532

2

x2

m · 6,03kN · + M(x) = 0

m2 2

M(x) = 68,27kN · x − 6,53 kN

m

· x2

2

= 68,27kN (I.61)

(I.62)

Deformationsformlen findes nu ved at sætte ovenstående ind i formel I.53. Som randbetingelser

til bestemmelse af konstanter bruges at θ( l

2 ) = 0 og u(0) = 0. Dette giver følgende formel:

u(x) = 1


68,27

· x

E · I 6

3 − 6,53


· x4 − 3,98 · 10

12 −3 · x (I.63)

Inertimomentet (I) bestemmes ved at indsætte h = 13,66mm i formlen I.42. Da l = 1000mm

bliver deformationerne:

uy(500mm) = 1,37mm (I.64)

Kravet til denne konstruktion er det samme som de andre:

u = 1000mm

= 2,5mm (I.65)

400

Konstruktionen overholder kravet om deformationerne, og grundet standard højder på en plade

i Teknisk Stabi, bliver bropladetykkelse (h) rundet op til 15mm.

Til senere konklusion skal stålforbruget bruges. Stålforbrug ved pladen med 2 U-profiler med

stålsyrken S355 er:

V2u−pro f il = 13

12 m · 1m · 0,015m + 2 · (0,001961m2 · 1m) = 0,020m 3

(I.66)


52 Bilag I: Dimensionering

I.1.3 Bropladen med 4 U-profiler

Bropladen med 4 U-profiler undersøges for samme dimensionering og deformationer som pladen

med 2 U-profiler.

Figur I.11: Brodækket med 4 U-profiler.

Statisk moment (Su), areal (Au), afstand til tyngdepunkt akserne ( ¯yu) og inertimomentet (Iu)

findes for et U-profil, se figur I.11, alle mål er i mm:

Iu =

Su = 2 · (8,5 · 50 · 30) + 5 · 100 · 2,5 = 26750mm 3

Au = 2 · (8,5 · 50) + 5 · 100 = 1350mm 2

¯yu = 535

27

(I.67)

(I.68)

≈ 19,81mm (I.69)

100 · 53

12 + 5 · 100 · ( ¯yu − 2,5) 2

8,5 · 503 2

+ 2 · + 50 · 8,5 · ((25 + 5) − ¯yu)

12

Iu = 4,162 · 10 5 mm 4

(I.70)

Pladens inertimoment (Ip) og afstand til massemidtpunkt fra udgangspunktet i bunden ( ¯yp)

findes. Alle disse udtryk er en funktion af h, da det er denne der ønskes bestemt senere, mål i

mm:

Ap(h) = 13

· 1000 · h

12

(I.71)

¯yp(h) = h

+ 55 (I.72)

Ip(h) =

2

13

12

· 1000 · h3

12

(I.73)

Statisk moment (Skons), areal (Akons), afstand til tyngdepunkt akserne ( ¯ykons) og inertimomentet

(Ikons) findes for den samlede konstruktion, alle mål i mm:

S(h) = 4 · 535


13000

· 1350 + · h · 55 +

27 12

h


2

S(h) = 541 2

3 · h2 + 59583 1

· h + 107000

3

(I.74)

Akons = 13000

12

¯ykons =

· h + 4 · 1350 (I.75)

2 541 3 · h2 + 59583 1

3 · h + 107000

13000

12 · h + 5400

(I.76)

Ikons(h) = 4 · (Iu + Au · ( ¯ykons(h) − ¯yu)) + Ip(h) + Ap(h) · ( ¯yp(h) − ¯ykons(h)) (I.77)


Afsnit I.1: Bropladen 53

Det statiske moment (Skons) for konstruktionen er konstrueret, så at ved indsættelse af en h

værdi, fås det maksimale statiske moment til højden h.


55 − ykons(h)

Skons(h) = Ap(h) · ( ¯yp(h) − ¯ykons(h)) + 8 · (8,5 · (55 − ykons(h)) ·

(I.78)

2

Til dimensionering i brudgrænsetilstand af pladen bruges formel I.14. Stålkvaliteten er sat til

S355, og σ sættes lig med fyd for at bestemme h, når den er mindst:

275,8 · 10 6 Pa = 43,27 · 106Nmm · ¯ykons(h)

Ikons(h)

h = 8,46mm (I.79)

Denne h undersøges nu for forskydnings spændingen. Forskydningskraften regnes nu for h =

8,46 mm. Til dette bruges formlerne I.42 og I.43. Forskydningskraften er fra tabel I.1.

τ = 88,58kN · 201 · 103mm3 6,99 · 106mm4 · 13000 = 2,35MPa (I.80)

12 mm

275,8MPa

√ 3

= 159,3MPa ≥ 2,35MPa (I.81)

Konstruktionen undersøges nu for lokale svagheder. Imellem 2 U-profiler er der den største frie

mm. Da U-profilen er påsvejset regnes dette stykke som indspændt.

strækning. Denne er 170 10

12

Figur I.12: Strækningen mellem 2 af de 4 U-profiler.

Snitkræfterne udtrykt ved x står i formel I.47. De maksimale snitkræfter findes ved indspændingen

eller i midten:

x

M(x)

0

-3,63kNm

l

2

3,618kNm

l

-3,63kNm

V(x) -85,14kN -84,5kN og 84,5kN 85,14kN

Tabel I.3: Snitkræfter ved indspænding.

Til dimensionering af pladen bruges formel I.14, stålkvaliteten er S355, bredden (b) er 1000

mm og højden (h) sættes som variabel og bestemmes:

275,8MPa = 3,63kNm

b·h 3

12

· h

2

h = 8,88mm (I.82)


54 Bilag I: Dimensionering

Denne h skal undersøges for forskydningsspændingen. Det statiske moment fra formel I.19 og

inertimoment fra formel I.17 bruges i denne formel.

τ =

275,8MPa

√ 3

85,14kN · b · h2

8

b·h 3

12

· b

= 14,38MPa (I.83)

= 159,3MPa ≥ 14,38MPa (I.84)

Pladetykkelsen i konstruktionen skal i brudgrænsetilstand være den største af de udregnede

højder, derfor bliver h = 8,88mm.

Nu regnes deformationerne i anvendelsesgrænsetilstand, for at undersøge om kravet til deformationerne

overholdes. For at finde deformationer bruges formel I.58, hvilket giver en deformation

mellem to U-profiler på:

uy(85,42mm) = 0,28mm (I.85)

Den maksimale nedbøjning konstruktionen må have, ses på formel I.52.

u =

10 170 12mm = 0,43mm (I.86)

400

Dette overholdes tydeligt, men disse er kun deformationerne imellem U-profilerne. Der skal

også beregnes deformationer på køreplade konstruktionen. Da det er de samme laster, tages der

udgangspunkt i formel I.63. Inertimomentet bestemmes ved at sætte højden h = 8,88mm i formel

I.78. Deformationerne bliver da:

Kravet til denne konstruktion er det samme som de andre:

uy(500mm) = 1,86mm (I.87)

u = 1000mm

400

= 2,5mm (I.88)

Konstruktionen klarer kravet om deformationerne, så bropladetykkelse (h) bliver, grundet standard

højder på plader i Teknisk Ståbi, rundet op til 10 mm.

Det samlede stålforbrug af pladen med 4 U-profiler under, S355:

I.1.4 Konklusion

V4u−pro f il = 13

· 1 · 0,010 + 4(0,001350 · 1) = 0,016m3

12

(I.89)

De 3 forskellige plader er undersøgt for det samme lasttilfælde og størrelserne af de forskellige er

undersøgt med samme ståltype, S355:

Plade Volumen (v) Pladehøjden (h)

Kun plade 0,032m 3 30mm

Plade m. 2 u-profiler 0,020m 3 15mm

Plade m. 4 u-profiler 0,016m 3 10mm

Tabel I.4: Volumen og højden af de forskellige broplader.

Det konkluderes at pladen med 4 U-profiler er den mest optimale som broplade på denne bro.

Dette ud fra at stålforbruget halveres ved at bruge denne konstruktion i stedet for pladen alene.


Beregning af egenvægt

Afsnit I.2: H-profil 55

Rumvægten på stål aflæses i Teknisk Ståbi til 7850kg/m3 . Vægten pr. del, 13

12

1m i tværretningen bliver så:

Fladelasten bliver da:

I.2 H-profil

qbropladen =

m i længde retingen og

0,01623m 3 · 7850 kg

= 127,4kg (I.90)

m3 m

127,432kg · 9,82 s2 13

12m · 1m

= 1155,1 N

m 2

(I.91)

Grunden til at der vælges et H-profil, er at der ønskes en så lille højde som muligt, da bjælken skal

placeres mellem de 2 INP-profiler. For at bestemme H-profilets dimensioner opstilles der et statisk

m, hvilket giver følgende statiske system, se figur I.13:

system. Hvert H-profil har en længde på 13

3

Figur I.13: Statisk model.

Det ses at der er 2 lasttyper på broen, fladelasten (q) og de 3 akseltryk (p). Der ses her bort fra

bremselasten, som beskrevet i brobeskrivelsen kapitel 12. Disse er som tidligere nævnt forskellige

for brudgrænsetilstand og anvendelsesgrænsetilstand. Da afstandene mellem H-profilerne er 1m er

kræfterne defineret i formel I.3 og I.5 multipliceret med 1m. Desuden er kraften (q) adderet med

vægten fra pladen på 1,115 kN

m .

Kraft anvendelse [ kN

m ] kN

brudgrænse [ m ]

q 7,145 8,645

p 150 169

Tabel I.5: Kræfterne som påvirker det statiske system.

Det statiske system fra fig. I.13 giver følgende reaktioner ved brudgrænse:

Vandret projektion +

→:

RAv = 0 (I.92)

Moment om A + :

−q ·

Lodret projektion ↑+:

52

12 m 2

2

− 3

2

13 11

m · p − m · p −

6

3 m · p + RBl · 52

m = 0 (I.93)

12

RBl = 272,2kN (I.94)

RAl + RBl − q · 52

12 m − p · 3 = 0 ⇒ RAl = RBl = 272,2kN (I.95)


56 Bilag I: Dimensionering

I.2.1 Brudgrænsetilstand

For at dimensionere bjælken ved brudgrænsetilstand bestemmes de største momentsnitkræfter og

forskydningskræfter for bjælken. Punktet, hvor dette forekommer, bestemmes ud fra afstanden x.

Det største moment (Mmax) for det statiske system bestemmes ud fra figur I.14 til at være midt på

bjælken. Ligeledes bestemmes den største forskydningskraft (Vmax) ud fra figuren. Denne er bestemt

til at være yderst i bjælken.

Figur I.14: Beskrivelse af forskydnings- og momentkræfter for en simpel understøttet bjælke

Til videre dimensionering bestemmes det at bruge konstruktionsstål S355 og en tykkelse af Hprofilet

på under 16mm. Dette giver en karakteristisk flydespænding ( fy) på 355MPa, hvilket giver

følgende regningsmæssige flydespænding ( fyd):

Bestemmelse af normalspændinger for momentet

fyd = 275,8MPa (I.96)

Momentet bestemmes for snit 2 vist på figur I.15. Denne er nærmere beregnet i formel I.97.

Figur I.15: Statiske model for tværsnit

2 26

m ≤ x ≤ m

3 12

Moment i tværsnittet findes som funktion af afstanden (x2)

(I.97)

a ≤ x2 ≤ 26

12m (x2) 2

M(x2) = RAl · x2 − q ·

2 −


x2 − 2

3 m


· p

(I.98)

For at finde maksimal moment sættes x2 = 26

12m dermed fås:


26

M

12 m


= 316,0kNm (I.99)


Afsnit I.2: H-profil 57

Dette giver følgende momentspændinger for forskellige HEA-profiler fundet ved hjælp af ligning

I.14.

Forskydningsspændingen

Profilnumer Inertimoment i mm 4 Afstand til profilets σm i MPa

midte (y) i mm

260 104,5·10 6 125 378,2

280 136,7·10 6 135 312,2

300 182,6·10 6 145 275,8

Tabel I.6: Udregninger ved brudgrænse.

Herefter bestemmes de maksimaleforskydningskræfter i bjælken. Dette gøres ved at differentiere

momentligningen for det første snit (x1), da det er i afstanden 0 hvor forskydningskræften for denne

bjælke er størst, se figur I.14.

Moment snit 1 + :

M(x1) = RAl · x1 + q · x2

(I.100)

2

Ovenstående formel differentieres for at finde V (x1):

V (x1) = − d(M(x1))

dx

Nu sættes V (x1 = 0) for at finde den maksimale forskydningskraft:

= RAl − q · x (I.101)

V (0) = Ral = 272,2kN (I.102)

For at bestemme forskydningsspændingen (τ), ses der på den maksimale forskydningskraft

(V (x1)) der påvirker profilet. Dernæst bestemmes inertimomentet. Inertimomentet for den valgte

profil er for indviklet at regne, grundet udformningen, så den er simplificeret. Dette er vist på figur

I.16:

Figur I.16: Simplificering af H-profilet.

Inertimomentet for det simplificerede H-profil beregnes:

I = 1

12 · d · (h − 2 ·t)3 2 h t

+ 2 ·t · b · −

2 2

⇒ I = 172,7 · 10 6 mm 4

(I.103)


58 Bilag I: Dimensionering

Nu da forskydningskraft og inertimoment er bestemt, defineres et nyt begreb, kraft pr. længdeenhed:

H = τ ·t (I.104)

Hvor:

H er kraften pr. længdeenhed

τ er forskydningsspændningen

t tykkelsen for flangen

Hvor:

Da forskydningsspændingen er udtrykt ved t udledes følgende formel :

Vs er forskydningsspændingen

S er det statiske moment

τ = Vs · S

I ·t ⇒ H = Vs · S

I

¯y er afstand fra eget massemidtpunkt til hele profilens massemidtpunkt

Figur I.17: Arealberegning til statisk moment.

(I.105)

.

Først bestemmes forskydningsspændingen i den øverste flange. Dette gøres nemmest ved at

beregne fra enden af flangen, se venstre del af figur I.17, hvor τ er 0. Der defineres en tilfældig

længde z, som gør, at arealet (A) defineres som t · z. Afstanden fra massemidtpunktet af arealet (A)

til samlet massemidtpunkt er ¯y. Nu kan kraften pr. længdeenhed udtrykkes ved z:

H1(z) = Vs · (t · z) · ¯y

I

(I.106)

Forskydningsspændingen i flangen er størst, hvor forskydningskraften angriber, i dette tilfælde

midt på flangen. Dette giver en spændingsfordeling som vist på figur I.18.

Forskydningsspændingen af kroppen bestemmes ved at beregne det statiske moment (S) i højden

(y). For at gøre dette skal arealerne A1 og A2 og deres afstand til massemidtpunktet bestemmes, se

figur I.17. Disse bestemmes herunder:

A1(y) = d ·

h

2


−t + y

2

(I.107)


Afsnit I.2: H-profil 59

Figur I.18: Beskrivelse af forskydningsspændinger i flangen.

¯y1 =

h

2 −t + y

2

h −t

¯y2 =

2

Det statiske moment er udtrykt som en funktion af y:

(I.108)

A2 = b ·t (I.109)

S = A1(y) · ¯y1(y) + A2 · ¯y2

Dette giver følgende H2 for kroppen afhængig af y, når det sættes ind i formel I.105:

H2(y) = Vs · (A1(y) · ¯y1(y) + A2 · ¯y2)

I

(I.110)

(I.111)

(I.112)

Forskydningsspændingen er størst omkring massemidtpunktet, hvilket ses på figur I.19, hvor

H2s forskydningskræfter for kroppen er vist. .

Figur I.19: Beskrivelse af forskydningsspændinger i kroppen.

Ud fra H1 og H2 kan den maksimale forskydningsspændning i H-profilet bestemmes:

τ(z) = H1(z)

t

τ(y) = H2(y)

t

(I.113)

(I.114)

Der blev tidligere vist at den maksimale τ i flangen er den halve bredde, sættes z = b

2 , se figur

I.18. Ligeledes er τ i kroppen maksimal ved at sætte y = 0, se figur I.19.

Spændingsfordelingen af τ og σm ses på figur I.20.


60 Bilag I: Dimensionering

Figur I.20: Beskrivelse af spændingerne for H-profilet.

Sættes den valgte profil ind i beregningerne, fås følgende τ værdier:

τmaks−Flange


b

= 55,3MPa (I.115)

2

τmaks−Krop(y = 0) = 205,2MPa (I.116)

For at undersøge om H-profilet overholder kravene for alle spændninger på en gang, bruges Von

Mises brudhypotese [Bonnerup & Jensen 2002, s.34]:


(σm) 2 + 3 · τ 2 ≤ fy

Hypotesen undersøges i enden, halvvejs til midten( 13

12

sultaterne ses i tabel I.7

Sted på profilet τ σm von Mises

(y = 0) 205,2MPa 0MPa OK!

(y = h

2 −t)

(y =

39,94MPa 184,2MPa OK!

h

2 ) 0MPa 275,8MPa OK!

Tabel I.7: Resultater af von Mises brudhypotese

(I.117)

26

m) samt på midten af profilet ( 12m). Re-

Det ses i tabel I.7 at HE300A-profil overholder kravet σm ≤ fyd. For at fastslå om dette profil

også overholder kravet for anvendelsesgrænsetilstand bruges lasterne fra tabel I.5.

I.2.2 Anvendelsesgrænsetilstand

Efter H-profilet er undersøgt ved brudgrænsetilstand, undersøges det om anvendelsesgrænsetilstanden

overholdes. Dette gøres ved at undersøge om bjælken, som førnævnt, har en deformation,

der overskrider:

Hvor:

l er 52

12 m.

uve jl = 1

400 · l ⇒ uve jl = 10,82mm (I.118)


Afsnit I.3: I-profil 61

Profil Inertimoment C1 Nedbøjning

HE320A 229,3 ·10 6 mm 4 7,57·10 −3 9,49mm

Tabel I.8: Undersøgelse af nedbøjning.

Dette gøres på samme måde som under bestemmelse af udbøjningen af bropladen. Resultaterne fra

beregningerne er taget fra Trusslab. Resultatet for HE300A giver en udbøjning på 11,92mm. Da

dette er en større nedbøjning end den vejledende, gentages beregningerne for det H-profil, der er et

nummer større. Resultaterne fremgår i tabel I.8:

Dette profil overholder de opstillede krav, hvilket betyder, at det er H-profil, HE320A, der

bruges som længdebjælker under brodækket. Profilet har en masselast på 96,7 kg/m og profilerne

m lange. H-profilerne virker med en kraft på:

er 4 1

3

I.3 I-profil

PH−pro f il = 96,7 kg

m

· 41

3

m

m · 9,82 = 4115N (I.119)

s2 Denne dimensionering foretages for at finde en bjælke, der kan holde til de førnævnte laster. Iprofilen

må ikke være bredere end de 170mm, der er imellem de fire U-profiler under pladen, se

figur I.21.

Figur I.21: Bredde imellem U-profiler.

De tværgående I-profiler belastes lodret med egenvægten af belægningen, U-profilerne (q) og

H-profilerne (H) der føres i 13 punkter med 1m mellemrum. Yderligere belastes bjælken lodret med

en jævn trafiklast (t), en fri trafiklast ( f ), to store hjultryk (R) og to mindre hjultryk (r) der begge er

frie laster dog med restriktioner på deres placering. Lasterne, (t) og ( f ), er fladelaster. Disse skulle

dog have været påført via de 13 H-profiler med en meters mellemrum. Det vurderes at fejlen ved at

lave denne tilnærmelse er uden større betydning.

Derudover belastes bjælken vandret med både vindlast (V ) og bremselast (Brv), disse angriber

henholdsvis 1m over bjælken og i oversiden af brodækket. I det følgende ses der bort fra de moment

påvirkninger, der fremkommer af de vandrette kræfters placering, da det vurderes at de har minimal

betydning.

De frie laster placeres, hvor de giver den mest ugunstige påvirkning.

I-bjælken udføres med et charniere i midten. Bjælkens statiske model illustreres på figur I.23.

I.3.1 Brudgrænsetilstand

Bjælken undersøges for brudgrænsetilstand ved at de førnævnte kræfter påføres den statiske model

udfra lastkombination B.2.1.a.

Den lodrette trafiklast og egenvægten, er tidligere beskrevet i kapitel 11.

Bremsekraften (sidekraften) udregnes på følgende måde [Vejdirektoratet 2002a]:

Brv = 0,25 · 500kN · 0,5 = 62,5kN (I.120)

Vindkraften udregnes på følgende måde [Vejdirektoratet 2002a]:

V = 1,8 kN

· 2m · 4,333m · 0,5 = 7,8kN (I.121)

m2


62 Bilag I: Dimensionering

Dette giver en samlet normalkraft på:

Figur I.22: Laster der påføres bjælken.

Figur I.23: Statiske model af I-profilet.

N = 62,5kN + 7,8kN = 70,3kN (I.122)

Med disse påførte kræfter, opstilles den statiske model i Trusslab, og det maksimale moment

findes til:

Mmax = 190,42kNm (I.123)

Efter det maksimale moment er fundet, opstilles følgende ligning til bestemmelse af spændingen

i bjælken:

σ = M N

· y + (I.124)

I A

Denne spænding skal være mindre en den regningsmæssige flydespænding, som er:

fyd = 345MPa

= 268,07MPa (I.125)

1,1 · 1,17

Det undersøges om profilet IPE 360 overholder de krav, der er opstillet ovenfor. Dette gøres ved

at indsætte værdierne fra tabel I.3.1 i formel I.124.

Profil Inertimoment Areal y

I 425 162,7 · 10 6 mm 4 7,27 2 180mm

Tabel I.9: Værdier for IPE 360.


Dette giver en spænding på:

Afsnit I.3: I-profil 63

σ = 220,35MPa (I.126)

Denne værdi er mindre end fyd, hvilket vil sige, at dette profil er stærkt nok til at modstå

spændingerne. Dette profil undersøges derfor for deformation ved anvendelsesgrænsetilstand.

I.3.2 Anvendelsesgrænsetilstand

Efter IPE-profilet er undersøgt for brudgrænsetilstand, undersøges det, om det valgte profil også

overholder de krav, der er stillet for anvendelsesgrænsetilstand.

Det vejledende krav til maksimal nedbøjning, for den del af profilet der er mellem de to understøtninger

er:

uymaks =

1 4000mm

= 10mm (I.127)

400

Nedbøjningen, når den værst tænkelige last påføres, se figur I.23, findes ved hjælp af Trusslab.

Hvilket giver en maksimal nedbøjning af bjælken på:

uy = 7,36mm (I.128)

Ved samme lastpåvirkning er det vejledende krav til den maksimale deformation i den del af

bjælken, der ikke er understøttet:

uymaks 2 = 2000mm

400

= 5mm (I.129)

Denne del af bjælken vil med den førnævnte lastpåførelse få en deformation, der er mindre end

den, stykket har ved den før påsatte last. Denne deformation er:

uy = 10,17mm (I.130)

Bjælkens deformation undersøges også ved et lasttilfælde, hvor alle de frie laster er påført yderst

på bjælken, dog inden for de restriktioner der gælder om deres placering. Dette gav en mindre

deformation end det første, og derfor undersøges det ikke videre.

Da deformationen for stykket uden understøtning i den ene ende ikke overholder de opstillede

krav, undersøges et nyt profil. Det var IPE 360, der blev undersøgt, da der er ikke noget større IPEprofil,

der har en flange mindre end 170 mm, som er længden mellem to U-profiler under bropladen.

Derfor undersøges profilet INP 425 i stedet for deformationer. Dette gøres ved at indsætte data for

profilet i Trusslab, værdierne ses i tabel I.3.2.

Profil Inertimoment Areal y

INP 425 369,7 ·10 6 mm 4 13,2 mm 2 212,5 mm

Tabel I.10: Værdier for INP 425.

INP-profilet giver følgende derformationer mellem de to understøtninger:

uy = 3,36mm (I.131)

Og for den del af bjælken der er uden understøtning i den ene ende, er deformationen:

uy = 4,46mm (I.132)

Dette er deformationer, der er mindre end den tilladelige, så dette profil overholder de krav, der

er stillet, når der ses på anvendelsesgrænsetilstanden.


64 Bilag I: Dimensionering

For at undersøge om dette profil også overholder de krav, der stilles til brudgrænsetilstanden,

sættes værdierne fra tabel I.3.2 ind i formel I.124, hvilket giver en spænding på:

σ = 115,97MPa (I.133)

Da dette er mindre end fyd udersøges INP 425 for forskydningsspændinger.

Forskydningsspændning

INP-profilet er den ene bjælke i brodækket, der påvirkes af normal-, moment- og forskydningskræfter.

Derfor undersøges denne både plastisk og elastisk. De elastiske snitspændinger kontrolleres via von

Mises brudhypotese, og de plastiske snitspændinger ifølge [DS 412 1998].

Formålet med en undersøgelse af forskydningsspænding er at vurdere, om bjælken har tilstrækkelig

bæreevne, hvor både moment- og forskydningskraftskurvene forekommer. Dette undersøges, 1m

fra den faste understøtning, se figur I.24, da både moment- og forskydningskraften har en høj numerisk

værdi der:

Momentets størrelse i det valgte snit er:

Figur I.24: Moment- og forskydningskurvene i bjælken.

Forskydningskraftens størrelse i det valgte snit er:

M = 189,3kNm (I.134)

Vs = 186,46kN (I.135)

Og normalkraftens størrelse i det valgte snit er som før, se formel I.122:

Elasticitetsteori

Ns = 70,3kN (I.136)

Til udregning af forskydningsspændingen (τ) bruges formlerne fra afsnit I.2.1.

For at simplificere beregningen laves en tilnærmelse af profilets størrelse, denne ses på figur

I.26.

Inertimomentet findes med formel I.103, hvilket giver:

I = 3,723 · 10 −4 mm 4

Formlen for forskydningsspændningen i flangen I.140er:

τ f langs(z) = Vs · (t · z) · ¯y

I ·t

0 ≤ z ≤ b

2

(I.137)

τ f langs(z) = 0,1007 · z · N

mm 3 0 ≤ z ≤ 81,5mm (I.138)


Afsnit I.3: I-profil 65

Figur I.25: I-profilets tilnærmede størrelse. Figur I.26: De forskelige spændninger i snittet.

Formlen for forskydningsspændningen i kroppen er:

τkrop(y) = Vs · (A1(y) · ¯y1(y) + A2 · ¯y2)

I ·t

0 ≤ y ≤ h

2 −t

τkrop(y) = −3,831 · 10 −3 · y 2 · MPa

− 33,66MPa 0 ≤ y ≤ 212,5mm (I.139)

mm2 Der undersøges om INP-profilet overholder von Mise brudhypotese:


(σN + σM) 2 + 3τ 2 ≤ Fyd

(I.140)

Dette gøres ved indsættelse af forskellige værdier for z og y i formel I.138 og I.139. Der undersøges

midt på profilet, hvor der forekommer både normal- forskydningsspændning, y = 0mm. Derudover

undersøges INP-profilet øverst på kroppen, y = 212,5mm, og midt på flangen, y = 212,5mm

og z = 81,5mm, da der forekommer både moment-, normal- og forskydningsspændninger, se figur

I.26. Resultatet af undersøgelsen fremgår af tabel I.11.

Sted

Midt på flangsen

σM[MPa] σN[MPa] τ[MPa] σvonMise [MPa]

τ f langs(81,5mm),σM(212,5mm)

108,04 5,287 8,204 114,2

Øverst på Kroppen (τkrop(212,5mm),σM(212,5mm)) 108,04 5,287 23,54 120,4

Midt på Kroppen (τkrop(0mm),σM(0mm)) 0 5,287 33,66 58,5

Plasticititetsteori

Tabel I.11: Spændinger i bjælken og resultatet af von Mises brudhypotese.

Spændingerne bestemmes nu plastisk, og disse kontrolleres med von Mises brudhypotese.

Ved plasticitetsteorien forstås der en anden beregningsmåde for at finde spændninger eller den

maksimale bæreevne i konstruktioner. Plasticitetsteorien går ud på at regne hvor meget konstruktionen

eller konstruktionselementet, kan bære før der dannes et flydeled, dvs. før flydning udvikles

i hele tværsnittet.

På figur I.27.A ses en lineærelastiskmomentkurve, der tager maksimum værdi yderst i bjælken.

Ifølge elasticitetsteorien er konstruktionens maksimale bæreevne givet, når den maksimale værdi

for σMax er lig med fyk.

Hvis bjælkens belastning øges, vil den maksimale spænding, σMMax ikke vokse yderligere. Den

stopper ved flydegrænsen, hvor σMax = fyk og flydningen forsætter mod midten af bjælken, se figur

I.27.B.


66 Bilag I: Dimensionering

Figur I.27: Tværsnit med forskellige niveauer af flydning.

Ifølge elasticitetsteorien er bjælkens bæreevne opbrugt, men ifølge plasticitetsteorien er bæreevnen

ikke fuldt udnyttet før hele tværsnittet har opnået σMax, hvilket betyder at hele tværsnittet flyder,

se figur I.27.C. Dette kaldes at der dannes et flydeled.

Figur I.28: De plastiske kraftkurver.

Ved bestemmelse af spændinger ifølge plasticitetsteorien, fordeles de jævnt over snittet, se figur

I.28.

Hvis et tværsnit er påvirket af normal-, moment- og forskydningskraft tillader stålnormen, [DS

412 1998], en forenkling af von Mises brudbetingelse:

Hvis forskydningskraften ikke overstiger halvdelen af tværsnittets forskydningsbæreevne, kan hele tværsnittet regnes

for virksomt ved eftervisning af moment- og normalkrafbæreevnen.

[DS 412 1998, s. 43]

Dette udtrykkes ved:

Hvor:

τaktuelt er forskydningskraften i snittet:

τyd er forskydningsbæreevnen:

τaktuel ≤ 1

· τyd

(I.141)

2

τaktuel =

V s

Akrop

τaktuel = 32,155MPa (I.142)

τyd = fyd

√3

τyd = 154,77MPa (I.143)


Dette betyder at uligheden opsat i formel I.141 omskrives til:

Afsnit I.3: I-profil 67

32,155MPa ≤ 1

· 154,77MPa

2

32,155MPa ≤ 77,39MPa (I.144)

Da denne ulighed er opfyldt, beregnes hele tværsnittet for virksomt ved eftervisning af moment- og

normalkraftbærevnen.

Figur I.29: Tværsnit med fuldt udviklet flydning [Bonnerup & Jensen 2002, s 48].

Nulliniens afstand fra oversiden af profilet (z), se figur I.29, bestemmes vha. formel I.145

[Bonnerup & Jensen 2002, s. 48].


Ns = fyd ·

z =


A f langsoppe + Akrop · z

h − Akrop

h − z

·

h − A f langsnede

h·Ns + h

fyd·Akrop

2

z = 222,11mm (I.145)

Momentbæreevnen, (MR), bestemmes udfra formel I.146 [Bonnerup & Jensen 2002, s. 48].


MR = fyd · A f langsoppe · z + Akrop · z2

2 · h + Akrop

(h − z)2

·

2 · h + A

f langsnede · (h − z) − Ns · z − h


2

MR = 591,95kNm (I.146)

Momentbærevnen skal være større end det moment, der forekommer i bjælken.

Maktuelt ≤ MR (I.147)

Da ikke engang det maksimale moment i bjælken overskrider denne grænse, konkluderes det at

bjælkens dimension overholder de styrke krav, der stilles til den.

I.3.3 Opsummering

Da INP 425 overholder de krav, der stilles til den ved brud- og anvendelsesgrænse og overholder

von Mises brudhypotese, vælges denne til videre dimensionering.


68 Bilag I: Dimensionering

Egenvægt

INP 425’s egenvægt er 104kg/m, og hver af bjælkerne er 6m lang.

Og da der er 122 bjælker er egenvægten:

I.4 Vindafstivning

104kg/m · 6m = 624kg (I.148)

122 · 624kg = 76128kg ⇔ 76,13t (I.149)

Behovet for vindafstivning undersøges ved understøtningerne i dalen. Der dimensioneres en stang

fra punkt A til E, se figur I.30, der skal optage de sidekræfter, der påvirker konstruktionen.

Først gennemgåes hele dimensoneringsprocessen symbolsk, og derefter indsættes værdierne for

to forskellige lastkombinationer.

Broen tilføres to vandrette laster:

Brv er den sidekraft, der er resultatet af bremsekraften. Kraften dækker over skrå eller usymmetrisk

bremsning af køretøjer. Brv er defineret som 25% af bremsekraften, i dette tilfælde er Brv =

0,25 · 500kN, og virker ved broens overflade [Vejdirektoratet 2002a].

V er vindlasten, der antages at angribe 2m oppe. I dette tilfælde sat til 1,8kN/m 2 [Vejdirektoratet

2002a]. Denne kraft sættes til at påvirke længden mellem to søjler på langs af brokonstuktionen,

i dette tilfælde 86,66m, hvilket svarer til at der står en række 2m høje lastbiler på broen.

Dette giver følgende vindlast:

Broens tværsnit og de kræfter der tilføres, belyses på figur I.30.

V = 1,8kN/m · 2m · 86,66m (I.150)

Figur I.30: Broens tværsnit over en understøtning og de kræfter der påvirker den.

For at maksimere sidekræfternes virkning sættes de positivt i samme retning. Da vindafstivningen

bliver en stålstang, der har en meget lille evne til at modstå trykkraft, regnes der kun på den

stang, der vil optage træk.


Afsnit I.4: Vindafstivning 69

Figur I.31: Løsskæring af punkt F.

Stangkraften i stangen, der går fra F til A, SF−A, findes ved løsskæring af F, figur I.31. Der

opstilles vandret ligevægt +

→:

RFV − SF−A · cos(70) = 0

SF−A = RFV

cos(70)

(I.151)

Dette viser at stangkraften, SF−A, alene er afhængig af de vandrette kræfter.

De tre vandrette reaktioner, figur I.30, beregnes ved at bestemme moment om A + venstre side:

Bestemme moment om C + :

Opstille vandret projektion +

→:

− RDV · 22m = 0

RDV = 0 (I.152)

− REV · 22m = 0

RDV + REV + RFV − Brv −V = 0

REV = 0 (I.153)

RFV = Brv +V (I.154)

Vindafstivningen, stangen der går fra A til F, undersøges for brud ved to forskellige lastkombinationer,

B.2.1.a og B.2.1.b, som beskrevet i afsnit 11.2. Da det kun er de vandrette kræfter, der har

indflydelse på vindafstivningen, bliver lastkombinationerne følgende:

B.2.1.a 0,5·Bremselast +0,5 ·Vindlast

B.2.1.b 1,3·Bremselast

Stangens designmæssige flydestyrke ( fyd) skal være større end den normalkraft (Ns), SF−A, der

kan opstå i stangen:

Hvor:

fyd = fyk

γm

fyd er den designmæssige flydespændning

> σN = NS

A

(I.155)


70 Bilag I: Dimensionering

fyk er stålets karakteristiske flydespændning, her sat til fyk = 235MPa

γm er sikkerheds koefficient, γm = 1,1 · 1,17

NS er normalkraften i stangen, i dette tilfælde SF−A

A er stangens areal

Hvis det forudsættes, at stangen skal være rund, kan formel I.155 omskrives til:

fyd > SF−A

A

⇔ A > SF−A

fyd

Hvilket betyder, at den absolut mindste radius er:


SF−A

r >

fyd · π

⇔ r 2 · π > SF−A

fyd

Stangens radius for de to lastkombinationer ses i tabel I.12.

SF−A r

B.2.1.a 410,8kN 26,8mm

B.2.1.b 475,1kN 28,8mm

Tabel I.12: Stangkraft og radius ved de to lasttilfælde.

(I.156)

(I.157)

Der vælges en radius på 29mm, da et stålprofil med denne radius, kan modstå de normalspændinger,

der fremkommer i vindafstivningen.

I.5 Gitterkonstruktion

Dette bilag omhandler dimensioneringen af gitterkonstruktionenes stænger. Disse er delt op i to

typer, trykstænger og trækstænger.

I.5.1 Trykstænger

For at dimensionere trykstængerne, følges fremgangsmåden fra [Bonnerup & Jensen 2002, s. 128].

Først bestemmes søjlernes teoretiske søljelængde (ls) og da dette system er simpelt understøttet,

er (ls) lig den reelle længde. Herefter bestemmes et søjleprofil, i dette tilfælde et kvadratisk varmvalset

rør. Dette giver et søjletilfælde ”a”, hvilket betyder at imperfektionsfaktoren (α) er lig 0,21.

Udfra de bestemte dimensioner bestemmes arealet (A), inertimomentet (I), det regningsmæssige

elasticitetsmodul (Ed) samt den regningsmæssige flydespænding ( fyd). Først kontroleres slankhedsforholdet:

i er

Hvor:

I

A

ls

i

≤ 200 (I.158)

Hvis uligheden opstillet i formel I.158 holder, kan den kritiske last bestemmes:

Ncr = π2 · Ed · I

l 2 s

(I.159)


Afsnit I.5: Gitterkonstruktion 71

Denne last medfører at en perfekt søjle bliver instabil [Bonnerup & Jensen 2002, s. 115]. Næste

skridt er bestemmelsen af det relative slankhedsforhold:


A · fyd

λ = 1,05 ·

(I.160)

Nu kan faktoren φ bestemmes:

Hvilket giver søjlereduktionsfaktoren:

Ncr

φ = 0,5 · (1 + α · (λ − 0,2) + λ 2

1

χ =

φ + φ2 − λ2 Endelig kan den regningsmæssige bæreevne bestemmes:

Nbr = χ · A · fyd

(I.161)

(I.162)

(I.163)

For at stangen ikke deformerer, må trykkraften i stangen ikke være større end Ncr eller Nbr.

Ved undersøgelsen af hvilke standardprofiler, der har nok styrke til at modstå kræfter, der

påvirker de enkelte stænger. Findes det ud af at standardprofilerne ikke har tilstrækkelig styrke

til at modstå den kraft der opstår i de enkelte stænger, er det derfor nødvendigt af fremstille specialprofiler

til gitterekonstruktionens trykstænger. Med henblik på at forenkle beregningsprocessen, vil

antages det at profilerne helt kvadratiske og ikke med afrundede hjørner, som standard-profilerne

har, se figur I.32.

Figur I.32: Profilets rektangulere tværsnit.

Udfra dette grundlag opstilles følgende formler til bestemmelse af henholdsvis arealet og inertimomentet:

Hvor:

l er længden og bredden af profilet.

t er tykkelsen af profilet.

A = l 2 − (l − 2 ·t) 2

(I.164)


72 Bilag I: Dimensionering

I = l4 (l − 2 ·t)4

− (I.165)

12 12

Som eksempel dimensioneres den lodrette diagonale trykstang i sektion 3. Der tages udgangspunkt

i standardprofilet med målene l=300 mm og t=10 mm.

Der følges fremgangsmåden der er opstillet på side 70.

Søjlelængden:

ls = 5,0m (I.166)

Imperfektionsfaktoren er som tidligere nævnt α = 0,21.

Ud fra de oplyste værdier for henholdsvis bredden og tykkelsen af profilet bestemmes arealet

og inertimomentet:

A = 300mm 2 − (300mm − 2 · 10mm) 2 = 11,6 · 10 3 mm 2

I = 300mm4 (300mm − 2 · 10mm)4

− = 162,79 · 10

12 12

6 mm 4

Den designmæssige flydespænding og elasticitetsmodul bliver:

Forholdet mellem ls og i undersøges:

(I.167)

(I.168)

fyd = 355MPa

= 275,83MPa (I.169)

1,1 · 1,17

Ed = 0,21 · 106 MPa

1,1 · 1,17 = 0,163 · 106 MPa (I.170)

ls

i

= ls

I

A

Da dette er mindre end 200, fortsættes beregningerne.

Den kritiske last bestemmes:

Ncr = π2 · Ed · I

ls

= 42,2 (I.171)

= 10,5 · 10 3 kN (I.172)

Det relative slankhedsforhold bestemmes:


A · fyd

λ = 1,05 · = 0,58 (I.173)

Faktoren φ bestemmes:

Søjlereduktionsfaktoren bestemmes:

Stangens regningsmæssige bæreevne beregnes:

Ncr

φ = 0,5 · (1 + α · (λ − 0,2) + λ 2 ) = 0,708 (I.174)

1

χ =

φ + φ2 = 0,897 (I.175)

− λ2 Nbr = χ · A · fyd = 2,87 · 10 3 kN (I.176)


Afsnit I.5: Gitterkonstruktion 73

Når resultaterne fra formel I.176 sammenlignes med trykkraften der er i stangen, tabel 12.1.

Ses det at både den kritiske last og stangens regningsmæssige bæreevne er væsentligt større. Dette

betyder at en stang med de forudsatte dimensioner, har tilstrækkelig styrke til at modstå de kræfter,

den vil blive udsat for. Dog er denne stang væsentligt stærkere end den behøver at være, så for

at få et mindre stålforbrug i denne stang, reduceres sidelængden til 25mm, hvilket er den mindste

sidelængde stangen kan have, for at modstå de kræfter den udsættes for.

Der foretages tilsvarende beregninger for alle trykstængerne. Resultaterne fremgår af tabel I.13.

For at gøre broen symmetrisk at se på, får alle lodrette og skrå stænger samme ydre mål, hvilket er

250mm. Tilsvarende får alle vandrette stænger et ydre mål på 400mm.

I.5.2 Trækstænger

Sektion Stang Bredde [mm] Tykkelse [mm]

1 Lodret diagonal 250 5

1 Øvre flange 400 5

1 Skrå diagonal 250 6

2 Lodret diagonal 250 10

2 Nedre flange 400 32

3 Lodret diagonal 250 10

3 Nedre flange 400 32

4 Lodret diagonal 250 16

4 Lodret diagonal over søjle 250 22

4 Nedre flange 400 30

Tabel I.13: Dimensionerne på de dimensionsgivende trykstænger.

Ved dimensioneringen trækstængerne i gitterkonstruktionen, benyttes følgende formel:

(I.177)

A

Stængerne der dimensioneres er de stænger i tabel 12.1 med positivt fortegn.

Undersøgelsen af om der er varmvalsede kvadratiske rør, der har tilstrækkelig styrke til at

udtrykket i formel I.177 er mindre end den designmæssige flydespænding, viser at der ikke er

noget standardprofil, der overholder kravet. Derfor fremstilles der ligesom ved dimensioneringen af

trykstængerne special profiler, hvor der benyttes samme forudsætninger som ved dimensioneringen

af trykstængerne.

Som eksempel dimensioneres den øvre flange i sektion 2. Da normalkraften i denne stang er

11941,74 kN, forudsættes det at tykkelsen af profilet er over 16mm, hvilket giver en designmæssig

flydespænding på:

fyd ≥ σN = N

fyd = 345MPa

= 268,1MPa (I.178)

1,1 · 1,17

Der gættes på et profil med dimensionerne; sidelængde 400mm og tykkelse 25mm.

Dette giver et areal på:

Spændingen bliver da:

A = l 2 − (l − 2 ·t) 2 = 3,75 · 10 4 mm 2

(I.179)

σ = 16913,76kN

4,75 · 104 = 318,4MPa (I.180)

mm2


74 Bilag I: Dimensionering

Da denne spænding er større end den designmæssige flydespænding, har profilet ikke tilstrækkelig

styrke til at modstå de kræfter, den bliver udsat for. For at gøre stangen stærk nok, øges tykkelsen

af profilet. Dette resulterer i at tykkelsen af denne stang bliver 31mm. Der laves tilsvarende beregninger

for de resterende stænger, resultatet fremgår af tabel I.5.2

Beregning af egenvægt

Sektion Stang Bredde [mm] Tykkelse [mm]

1 Nedre flange 400 5

2 Øvre flange 400 31

2 Skrå diagonal 250 10

3 Øvre flange 400 31

3 Skrå diagonal 250 8

4 Øvre flange 400 28

4 Skrå diagonal 250 5

Tabel I.14: Dimensionerne på de dimensionsgivende trækstænger.

Der blev tidligere i afsnittet dimensioneret en længde (l) og en tykkelse (b) på stængernes tværsnit.

Egenvægten regnes ved at finde længderne (L) af alle stænger med samme tværsnitsareal (A).

Længderne (L) er fundet ud fra tegning 2.1 i tegningsmappen. Volumen regnes vha. følgende formel:

V = A · L = (l 2 − (l − 2 ·t) 2 ) · L (I.181)

Når volumen er regnet multipliceres denne med massefylden for stål, som er 7850kg/mm3 , for

at få vægten (M).

M = V · 7850 kg

mm3 (I.182)

Dette giver følgende resultater for de forskellige sektioner, længderne kan findes i tegningsmappen

på tegning 2.1:

Sektion 1 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg]

Øvre flange 400 5 86,67 0,685 5374

Nedre flange 400 5 86,67 0,685 5374

Skrå diagonal 250 6 132,4 0,775 6086

Lodret diagonal 250 5 110 0,539 4231

Total 2,684 21066

Tabel I.15: Volumen og vægt af sektion 1.

Sektion 2 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg]

Øvre flange 400 31 69,33 3,172 24903

Nedre flange 400 33 69,44 3,364 26407

Skrå diagonal 250 10 108,84 1,041 8172

Lodret diagonal 300 11 83,20 0,798 6270

Total 8,375 65752

Tabel I.16: Volumen og vægt af sektion 2.


I.6 Søjler

Afsnit I.6: Søjler 75

Sektion 3 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg]

Øvre flange 400 31 69,33 3,172 24090

Nedre flange 400 32 52,60 2,478 19045

Skrå diagonal 250 8 94,00 0,73 5714

Lodret diagonal 250 10 78,20 0,75 5893

Total 7,129 55961

Tabel I.17: Volumen og vægt af sektion 3.

Sektion 4 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg]

Øvre flange 400 28 52,00 2,167 17001

Nedre flange 400 30 53,40 2,371 18061

Skrå diagonal 250 5 118,36 0,58 4553

Lodret diagonal 250 16 106,24 1,591 1249

Lodret diagonal over søjle 250 22 22,0 0,441 346

Total 7,15 41210

Tabel I.18: Volumen og vægt af sektion 4

De 6 søjler dimensioneres ud fra det værste lasttilfælde på broen, som i dette tilfælde er 3 akseltryk

der placeret så tæt som muligt over en enkelt søjle. Dette tilfælde beregnes ved hjælp af Trusslab,

og ud fra lasttilfældet, trafiklast og vægten af brodækket giver dette en reaktion ned i søjlen på

8221,03kN.

Herefter beregnes egenvægten af den del af gitterkonstruktionen, der påvirker en enkelt søjle.

Det skønnes af være, halvdelen af afstanden til de nærmeste understøtningerne på hver side. På

figur I.33 ses broen inddelt i sektioner som en søjle bærer.

Figur I.33: Beskrivelse af brosektionerne.

Dette vil sige to sektion 2,to sektion 3, og en sektion 4, der bruges til bestemmelse af egenvægten.

I kapitel I.5 er den samlede vægt for hver sektionstype beregnet, dette giver en samlet vægt (M) på

hver søjle på:

65752 + 55961 + 41210

M =

2

Denne vægt giver en kraft (b):

⇒ M = 81461,5kg (I.183)

b = 81461,5kg · 9,82 N

⇒ b = 799,1kN (I.184)

2 kg

Ud over værste lasttilfælde og egenvægt kommer kraftparret og vindgitterets komposant fra bremsekraften,

på henholdsvis 11,4 kN og 446,4 kN.

Ud fra værste lasttilfælde og egenvægten, se figur I.34,kan den samlede last på en enkelt søjle

beregnes til:

N = 8221,03kN + 799,1kN + 11,4kN + 446,4kN ⇒ N = 9477,98kN (I.185)


76 Bilag I: Dimensionering

Figur I.34: Det statiske system

Det vælges at bruge konstruktionsstål S355 med en tykkelse mellem 16 og 40mm. Det vælges

yderligere at søjlen skal bestå af et varmvalset kvadratiske rør-profil. Til selve beregningen af

bæreevnen bruges samme fremgangsmåde som vist under dimensioneringen af gitterets trykstænger

12.5. Dette giver følgende resultater

Højde af profilet Tykkelse Areal Inertimoment Ed α

500mm 23mm 43884mm 2 1,67·10 9 mm 4 1,6317·10 5 MPa 0,21

Tabel I.19: De Fastsatte dimensioner.

Dette giver efter beregning et slankhedsforhold på:

Ls

i

= 56,4 (I.186)

Dette holder kravet for slankhedsforholdet. Videre bestemmes den kritiske bæreevne:

Ncr = π2 · Ed · I

L 2 s

Efter beregning af γ, θ og χ bestemmes den regningsmæssige bæreevne:

⇒ Ncr = 22200,1kN (I.187)

Nbr = χ · A · Fyd ⇒ Nbr = 9592,6kN (I.188)

Som det ses er bæreevnen (Nbr) større end den påvirkende kraft (N), hvilket betyder at de bestemte

dimensioner for søjlen holder.

I.7 Boltesamlinger

Formålet med dette afsnit at vise, hvordan forskellige boltesamlinger i brokonstruktionen er opbygget

og dimensioneret. Der tages udgangspunkt i 2 samlinger i konstruktionen:


• Samlingen mellem vindafstivningen og søjlerne.

• Samlingen i gitterkonstruktionen hvor 4 stænger mødes.

Afsnit I.7: Boltesamlinger 77

Der tages, i alle boltesamlinger, udgangspunkt i, at de er dornsamlinger [Bonnerup & Jensen

2002]. En dornsamling indeholder kun forskydningskræfter, derfor undersøges det om bæreevnen

i samlingen er større end forskydningskræften (Fv,S). For en dornsamling skal det eftervises, at Fv,S

ikke overskrider følgende:

• Hulrandsbæreevnen, (Fb,R)

• Overkipningsbæreevnen, (Fv,R)

Følgende formler vil blive brugt i dette afsnit. Formlen for hulrandsbæreevne, med optimal bolteafstand,

er for en bolt [Bonnerup & Jensen 2002, s. 231]:

Hvor:

d er boltens diameter

t tykkelse på pladen

fud pladens regningsmæssige brudspænding

Fb,R = 2,5 · d ·t · fud

Formlen for overklipningsbæreevnen for en bolt er [Bonnerup & Jensen 2002, s. 232]:

Hvor:

Fv,R = c · A · fub,d

c er en konstant der er afhængig af styrkeklasse af bolten, og hvor bæreevnen regnes her 0,6

A er arealet af skaftearealet af bolten

fub,d er boltens regningsmæssige brudspænding

(I.189)

(I.190)

Der bruges, i alle samlinger boltstyrkeklasse 10,9, og der bruges såvidt muligt optimale længder

mellem boltene [Bonnerup & Jensen 2002, s. 231]. Desuden beregnes nogle af pladernes blokforskydningsbæreevne

( fbl,R), som er den forskydningskraft, der skal til af få boltene til at hive sig

fri fra stålet, se figur I.35 [Bonnerup & Jensen 2002, s. 236].

Hvor:

Figur I.35: Blokforskydningsevne.

fbl,R = (b − (n − 1) · d) ·t · 0,9 · fud + 2 · (l − (m − 0,5) · d) ·t · fud

√3

(I.191)


78 Bilag I: Dimensionering

b & l er længder, der beskriver det areal boltene indspænder, se figur I.35

t er plade tykkelsen

d er diameter på hullet

n er antal huller i træksiden

m er antal huller i forskydningssiden

Hvor:

Der ønskes for enkelte konstruktioner at bestemme hulsvækkelsesbæreevnen:

Atot er det totale tværsnitsareal

Anet er tværsnitarealer uden bolthullerne

Nt,R = Atot · fyd

Nt,R = 0,9 · Anet · fub,d

fub,d er boltens regningsmæssige trækspænding

I.7.1 Vindafstivning

(I.192)

(I.193)

Samlingen mellem vindafstivningen og søjlekonstruktionen udformes som illustreret på figur I.36.

Vindafstivningen er diminsioneret til at være en massiv, rund stålprofil med en radius på 29mm,

afsnit I.4. Da en boltesamling med et rundt stålprofil ikke er til at lave, omformes enderne af vindafstivningen.

Der bliver svejset en rektangulær plade ind i det runde stålprofil, se figur I.36, således at

der bliver en flad rektangulær plade til at bolte fast.

Figur I.36: Påsvejset plade og samling ved vindafstivning.

Der skal være det samme tværsnitsareal (A) i den runde stålprofil og i den påsvejsede rektangulære

plade, for at klare de trækkræfter der forekommer i vindafstivningen. Der regnes med at

en påsvejsning ikke svækker stangens trækevne. Pladens tykkelse sættes til 20mm, ud fra et skøn.

Pladens bredde (b) er derfor:

Arund = (29mm) 2 · π = 2642mm 2

b = 2642mm2

20mm

(I.194)

= 132mm (I.195)


Afsnit I.7: Boltesamlinger 79

Ud fra afsnit I.4 kendes kraften i stangen, hvilket er den kraft der dimensioneres efter. Kraften

( fv,S) er 475,1kN. Det skønnes, at der skal bruges boltstørrelse M16 til denne konstruktion.

Nu beregnes det ud fra formel I.189 og formel I.190 hvor mange bolte (B) der skal bruges.

Overklipningsbæreevnen ( fv,R) og hulrandsbæreevnen ( fb,R) sættes lig med forskydningskraften

( fv,S) for at opnå det mindste antal bolte. Stålstyrken der er brugt til vindafstivningen er S235,

den bruges også her.

Hulrandsbæreevne:

Overklipningsevne:

475,1kN = B · 2,5 · 16mm · 20mm · 216,15MPa

B = 2,27 (I.196)

475,1kN = B · 0,6 · 201,06mm 2 · 635,73MPa

B = 6,19 (I.197)

Ud fra ovenstående konkluderes det, at der skal være minimum 7 bolte i denne samling, for at

den holder. Afstanden imellem bolthullerne sættes til at være optimale eller større. Hvilket givet

følgende, se figur I.37.

Figur I.37: Bolthullernes placering.

Der er i denne konstruktion også mulighed for blokforskydning, så det undersøges der også for.

Blokforskydningen sker i den plade, hvorpå vindafstivningen er boltet. Tykkelsen af denne plade

sættes til 20mm.

n = 3 m = 2 l = 48 + 2 · 124 = 296mm b = 66,05mm

fbl,R = (99,08mm − (3 − 1) · 16mm) · 20mm · 0,9 · 216,147MPa +

2 · (296mm − (2 − 0,5) · 16mm) · 20mm · 216,147MPa

√ 3

fbl,R = 1588kN (I.198)

fbl,R ≥ fv,s 1588kN ≥ 475,1kN (I.199)

Denne værdi overholder klart fv,s og det er ikke mulig for boltene at hive sig ud ad pladen.

Desuden skal den påsvejsede plade i enden af vindafstivningen undersøges for hulsvækkelse.

Atot = 132,1mm · 20mm = 2642mm 2

Anet = 2642mm 2 − 2 · (20mm · 16mm) = 2002mm 2

(I.200)

(I.201)

Nt,R = 2642mm 2 · 252,53MPa = 667,2kN (I.202)

Nt,R = 0,9 · 2002mm 2 · 635,73MPa = 1145,5kN (I.203)


80 Bilag I: Dimensionering

Nt,R ≥ fv,s 667,2kN ≥ 475,1kN 1145,5kN ≥ 475,1kN (I.204)

Den påsvejsede plade overholder også denne undersøgelse. Vindafstivningen skal boltes fast med 7

bolte, og både pladen på vindafstivningen og søjlen kan holde til belastningen ved en tykkelse på

20mm.

I.7.2 Gittersamling

Samlingerne i gitterkonstruktionen indeholder charniere, og derfor skal gitterstængerne samles, så

de har mulighed for at bevæge sig i samlingen. Dette kræver at samlingen kun indeholder en bolt,

som holder alle stængerne på plads. Imellem samlingen og hver stang er der to stålplader. Disse

plader sidder i den ene ende omkring den store samlingsbolt, mens den anden ende er boltet fast på

inder eller ydersiden af stangen, se figur I.38.

Figur I.38: 3D billede af samling.

Figuren viser, at der er 2 samlinger der kan kigges på. Samlingen mellem den ene bolt og

samlingspladen, samt samlingspladens og gitterstangen.

Samlingen er placeret i den midterste sektion af broen. Ud fra beregninger af gitterkonstruktionen,

afsnit I.5, er denne samling belastet af følgende stangkræfter, se figur I.39. Disse snitkræfter er

taget fra lastmodel 1, da lastmodellen giver de største kræfter i de øverste stænger.

Figur I.39: Stangkræfter i samlingen.

S28−27 = 11941,74kN

S28−29 = 11834,63kN

S28−89 = -265,31kN

S28−90 = 168,07kN


Samling mellem bolt og pladen

Afsnit I.7: Boltesamlinger 81

Bolten, der skal samle gittersamlingen, bliver, som det ses på figur I.39, belastet fra flere sider

på en gang. Da der ikke kan regnes på dette med almindelig bolte teori, betragtes bolten som en

bjælke med ren forskydning. Bolten undersøges for forskydningsspændinger i vandret og lodret

projektion. Da forskydningskraften er størst i vandret retning, bliver radius optimeret for at finde

den mindste bolteradius. I afsnit I.5 blev gitterstangens størrelse udregnet til 400mm x 400mm, og

en ståltykkelse på 31mm. Samlingspladen skal sidde på inder eller ydersiden af hver gitterstang, se

figur I.38. Da der er to plader der skal optage stangkræften, deles denne derfor op i to.

Vandret projektion af stangkræfter. Bolten påføres de lodrette kræfter, som er S28−27, S28−29 og

S28−90. S28−90 skal multipliceres med cosinus med vinklen til lodret. Dette giver kraft påvirkningerne

og forskydningskurverne på figur I.40

Figur I.40: Vandretforskydning i bolten.

Boltens forskydningsspændinger regnes, udfra formel I.15. Den maksimale forskydningsspænding

er hvor forskydningskraften er størst. Kravet til forskydningsspændingen er at:

τ ≤ fyb,d

√3

(I.205)

Fra Teknisk Ståbi fås inertimomentet (I) og det statiskmoment (S) for en cylinder. Det statiskemoment

er taget hvor forskydningskraften er størst, i midten af cirkeltværsnittet.

I(r) = π

64 ·


r

4 =

2

π

· r4

4

S(r) = π

2 · r2 · 4 2

· r = · r3

3π 3

(I.206)

(I.207)

Boltens radius kan nu optimeres og dermed finde den mindste radius. Dette gøres ved at sætte τ

lig med fyb,d/ √ 3. Boltens styrkeklasse sættes til 10.9.

543,124MPa

√ 3

fyb,d

√3 =

=

S28−29

2 · 2

3 · r3

π

4 r4 · 2 · r

11834,63kN

2

· 2

3 · r3

π

4 r4 · 2 · r

(I.208)

(I.209)

r = 89,5mm (I.210)

Lodret projektion. Der kommer, ved denne projektion, en kraft fra brodækkets egenvægt og

trafiklast P som er 135,83 kN:


82 Bilag I: Dimensionering

Dette giver følgende radius af cylinderen:

Figur I.41: Lodretforskydning i bolten.

543,12MPa

√ 3

fyb,d

√3 =

=

P 2

2 · 3 · r3

π

4 r4 · 2 · r

67,915kN

2

· 2

3 · r3

π

4 r4 · 2 · r

(I.211)

(I.212)

r = 9,59mm (I.213)

Boltens størrelse bliver da en cylinder med radius 89,5 mm. Der findes ikke en bolt med denne

dimension i Teknisk Ståbi, men der regnes med at den kan special laves til denne opgave.

Når radius af bolten er fundet, skal tykkelsen af pladen der omslutter bolten regnes. Først undersøges

det om der er optimal boltafstand til siderne af pladen. Pladen er, som sagt, begrænset af

stangen til kun at kan være 430mm i højden, se figur I.42 for resterende mål.

Figur I.42: Længder på samlepladen.

For at gøre pladens tykkelse så lille som muligt skal der være optimale mål omring bolten. Der

er i DS412 opsat mål for den optimale længde e1. Da gitterstængerne indeholder skiftende kræfter

grundet trafiklasten, skal boltehullet være et pashul, hvilket betyder at d = d0.

e1 = 3 · d0 = 537mm (I.214)

Ved hjælp af hulrandsbæreevnen beregnes tykkelsen (t) af pladen. Hulrandsbæreevnen sættes

lig med den forskydningskraft, der er den halve stangkræft, dette gøres for at finde den mindste

tykkelse (t) af pladen omkring bolten. Der bruges i dette tilfælde stålstyrken S355. Stangkraften er

fra S28−27 figur I.39.

5970,87kN = 1,5 · 179mm ·t · 311,51MPa (I.215)

t = 0,072m = 72mm (I.216)


Afsnit I.7: Boltesamlinger 83

Det vurderes nu, at den bolt som skal holde samlingen sammen skal have en radius på 89,5mm,

og at pladen der holder stangen fast til bolten skal have en tykkelse på 72mm. Det er nu muligt at

finde ud af, hvor mange bolte der skal til at holde denne plade fast i stangen.

Samling mellem plade og stang

Fremgangsmåden er den samme som ved vindafstivning. Det mindst nødvendige antal bolte findes,

og da samlingen skal holde store kræfter bruges bolten M48. Dette giver følgende udregning ved

overklipningsbæreevne:

5970,87kN = B · 0,6 · 1810mm 2 · 635,73MPa

B = 8,65 (I.217)

Der skal bruges 9 bolte for at holde denne konstruktion på plads. Dette giver følgende udformning

af pladen inden i stangen, se figur I.43.

Figur I.43: Placering af huller.

Nu beregnes hulrandsbæreevnen, her skal tykkelsen på gitterstangen bruges da denne er den

tyndeste (31mm). Der er ikke helt optimal afstand imellem boltehullerne i højden på denne plade,

derfor regnes en konstant (c2), som skal multipliceres på hulrandsformlen. Der beregnes to værdier

hvor den mindste bruges. Da konstruktion har mulighed for skiftende laster, grundet trafiklasten,

behandles boltehullet som pashul.

Hulrandsbæreevnen:

c2 = 56,3mm 2

− = 0,64 (I.218)

0,9 · 48mm 3

fb,R = 9 · 2,5 · 48mm · 31mm · 311,51MPa · 0,64

fb,R = 6,64MN (I.219)

Hulrandsbæreevnen overstiger forskydningskraften, som er 5970,87kN, hvilket betyder at samlingen

holder.

Der er i denne samling også mulighed for blokforskydning og hulsvækkelse, dette undersøges

der også for. Blokforskydningen kan ske i stangens del, hvor boltene vil rive stålet omkring boltene

af. Længderne der bruges ses på figur I.44.


84 Bilag I: Dimensionering

Figur I.44: Længder til blokforskydning.

Antal huller i træksiden (n) er 3 og i forskydningssiden (m) er der også 3 huller. Blokforskydningsevnen

bliver da:

fbl,R = (225mm − (3 − 1) · 48mm) · 31mm · 0,9 · 311,51MPa +

2 · (504mm − (3 − 0,5) · 48mm) · 31mm · 311,51MPa

√ 3

fbl,R = 10,481MN (I.220)

fbl,R ≥ fv,s 10,481kN ≥ 5970,87kN (I.221)

De halverede stangkræfter er mindre end blokforskydningsbæreevnen ( fbl,R), hvilket betyder at

konstruktionen holder. Der skal også undersøges for hulsvækkelse.

Figur I.45: Længder til blokforskydning.

For at regne hulsvækkelsesbæreevnen, regnes areal af tværsnittet af pladen med og uden bolte.

Auden−bolt = 338 · 72 = 24336mm 2

Amed−bolt = 24336 − 3 · (48 · 72) = 13968mm 2

(I.222)

(I.223)

Stålet til pladen er af stålstyrkeklasse S355 og bolten er af boltstyrkeklasse 10,9. Det giver

følgende bæreevner:

Nt,R = 24336mm 2 · 252,53MPa = 6145,57kN (I.224)

Nt,R = 0,9 · 13968mm 2 · 635,73MPa = 7991,89kN (I.225)

Denne konstruktion holder også når bæreevnen sammenlignes med de halverede stangkræfter. Det

konkluderes at 13 bolte med størrelsen M48 kan holde stangen sammen med forbindelses pladen

og at pladetykkelsen på pladen, og stangen kan holde til stangkræfterne.


I.8 Deformation

Afsnit I.8: Deformation 85

Formålet med dette bilag er at belyse beregningerne på broens deformation på tværs af kørselsretningen.

Når broen belastes fra siden, af vindlast eller bremselast, optager vindafstivningen ved understøtningerne

sidekræfterne, men ikke uden at broen deformeres. Ved en undersøgelse af figur I.46,

der viser er tværsnit ved understøtning fremgår det klart at, der kun er fire stænger der muligvis

kunne deformeres. Disse laves om til en simpel statisk model, se figur I.47.

Figur I.46: Broenstværsnit ved en af de to understøtninger i

dalen.

Udtrykket for stangkræfterne i SA−H og SH−F kendes fra afsnit 12.4:

SA−H = SH−F = RFV

cos70 ◦

SA−H = SH−F =

Figur I.47: Simpel model af de stænger der deformeres i tilfælde

af sidepåvirkning.

Brv +V

cos70 ◦

(I.226)

Ved at løsskære knudepunkt A og regne lodret projektion, bestemmes stangkræfterne SA−G og

SG−D bestemmes:

Figur I.48: Løsskæring af knudepunkt A.

− q − p − SA−G − SA−H · cos20 ◦

SA−G = SG−D = −q − p −

Brv +V

· cos20◦

cos70◦ (I.227)


86 Bilag I: Dimensionering

Figur I.49: Simpelt model med den påførte fiktive kraft.

Der tilføjes en fiktiv kraft 1k i knude A, da dennes flytning skal bestemmes, og i den retning deformationen

ønskes bestemt, se figur I.49.

De fiktive stangkræfter findes ved at løsskære knudepunkt A, og regne lodret og vandret projektion.

Vandret +

→:

Lodret ↑+:

1k + SkA−F

SkA−H

− cos30 ◦ ·

· cos70◦

= 1k

cos70 ◦

1k

− SkA−D

cos70◦ SkA−G = −1k · cos20◦

cos70 ◦

Der foretages summation af formel I.230, hvor 1k er sættes lig med 1.

n

Skn

uk =

· Sn


· Ln

A · E

Hvilket giver:

Hvor:

uy =

+

∑ 1

− cos20 ◦

cos70 ◦ · −q − p − Brv+V

cos70 ◦ · cos20 ◦ · L1

A1a · E

− cos20 ◦

cos70 ◦ · −q − p − Brv+V

cos70 ◦ · cos20 ◦ · L1

A1b · E

+2 ·

L1 er længden på stang A − G samt stang G − D = 11m

L2 er længden på stang A − H samt stang H − F = √ 137m

A1a er tværsnitsarealet på stang A − G = 20060mm 2




1

cos70◦ · Brv+V

cos70◦

· L2

A2 · E

(I.228)

(I.229)

(I.230)

(I.231)


A1b er tværsnitsarealet på stang G − D = 43890mm 2

A2 er tværsnitsarealet på stang A − H og stangH − F =2642mm 2

E er stængernes E-modul = 210GPa

Dette giver en deformation i vandret plan på 186mm.

Afsnit I.8: Deformation 87

Det vejledende krav til den maksimale tilladelige deformation af denne type konstruktion er

[Bonnerup & Jensen 2002, s. 29]:

uk ≤ h

= 44mm (I.232)

500

En nærmere undersøgelse af formel I.231, giver andledning til at undersøge hvilken effekt det

ville have at øge arealet på en eller flere af de stænger, der holder mod deformation.

Ved at øge vindafstivningens radius til 72mm, fås en deformation på 44mm, hvilket tyder på at

den dimension der blev valgt for vindafstivningen ikke var tilstrækkelig. Deformationerne ses på

figur I.50.

Figur I.50: Deformationerne i gittertoppen.


88 Bilag I: Dimensionering


Bilag J

Vandføring i Mastrup bæk

J.1 Udførelse af målinger

Målingerne blev foretaget i et tværsnit af bækken, hvor der kunne antages trapezform. Derved

kan tværsnittets areal bestemmes efter at have målt højden, bredden af bunden og bredden af

skråningerne.

Målingerne blev foretaget vha. af en vingemåler, som er en propel, der måler vandhastigheden

i et punkt udfra antal omdrejninger pr. minut.

J.2 Måleresultater

Behandling af måleresultaterne fra målinger i Mastrup bæk baseres på Måling af vandføring i åbne

kanaler [Rasmussen 2002].

Der blev målt i syv forskellige nedstik. Fem nedstik med en dybde på ned til 0,20m (nedstik

3-7) og to nedstik, nedstik 2 og 8, med en dybde på ned til 0,10m, se figur J.1. Resultaterne ses i

tabel J.1. Højden sættes lig 0 i bunden af bækken.

J.2.1 Vandføring

Figur J.1: Målepunkter i bækken.

Tællerens resultat omregnes til strømningshastigheder i målepunkterne vha. en kalibreringstabel for

Ott-Fluegel Nr. 36830. Dernæst bruges strømningshastighederne til at beregne arealhastighederne

i nedstikkene og derefter vandføringen i bækken. Hvis hastighedfeltet kendes overalt i bækken,

89


90 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk

Nedstik (j) Måling (i) Tæller Hastighed (ui) [ m

s ] yi [m] xi [m]

1 1 0,000 0,20 0,00

2 1 0,000 0,10 0,15

2 2 36 0,064 0,15 0,15

2 3 0,064 0,20 0,15

3 1 0,000 0,00 0,30

3 2 143 0,175 0,05 0,30

3 3 232 0,256 0,10 0,30

3 4 222 0,249 0,15 0,30

3 5 0,249 0,20 0,30

4 1 0,000 0,00 0,50

4 2 246 0,271 0,05 0,50

4 3 306 0,329 0,10 0,50

4 4 322 0,345 0,15 0,50

4 5 0,345 0,20 0,50

5 1 0,000 0,00 0,70

5 2 261 0,285 0,05 0,70

5 3 267 0,291 0,10 0,70

5 4 287 0,310 0,15 0,70

5 5 0,310 0,20 0,70

6 1 0,000 0,00 0,90

6 2 172 0,198 0,05 0,90

6 3 208 0,233 0,10 0,90

6 4 234 0,258 0,15 0,90

6 5 0,258 0,20 0,90

7 1 0,000 0,00 1,10

7 2 104 0,131 0,05 1,10

7 3 146 0,172 0,10 1,10

7 4 139 0,165 0,15 1,10

7 5 0,165 0,20 1,10

8 1 0,000 0,10 1,20

8 2 49 0,077 0,15 1,20

8 3 0,077 0,20 1,20

9 1 0,000 0,20 1,30

beregnes vandføringen udfra formel J.1.

Tabel J.1: Måleresultater.


Q = u(x,y)dydx (J.1)

X Y

Det er dog ikke fysisk muligt at måle vandføringen kontinuert overalt i et tværsnit af bækken,

derfor laves i stedet et hastighedsfelt baseret på diskrete målinger, der skal repræsentere det virkelige

hastighedsfelt i et tværsnit af bækken. Dette er dog en metode, der skal anvendes med forbehold, da

både vandføringen og tværsnittets udseende, kan ændre sig som følge af f.eks. regn, aflejringer og

bevoksning i bunden. Derfor er strømføringen for bækken beregnet på baggrund af målinger kun

et tilnærmet udtryk for strømningen i bækken på det aktuelle tidspunkt og i det aktuelle tværsnit.


Afsnit J.2: Måleresultater 91

Vandføringen i det aktuelle tværsnit beregnes på baggrund af hastighedsfeltet udfra formel J.2.

Hvor:

Q er vandføringen i tværsnittet

B er vandløbets bredde

Y (x) er den lokale vanddybde

Q =

u(x,y) er hastigheden i et punkt i tværsnittet

B Y (x)

0

0

Figur J.2: Hastighedsprofiler i tværsnit.

u(x,y)dydx (J.2)

På figur J.2 ses et eksempel på hvordan hastighedsprofiler, baseret på målinger i nedstik på

tværs af bækken, kan se ud. I dette angiver pilenes længder ud af planen. Arealet under hastighedsprofilerne

kaldes arealhastigheden og defineres som:

Hvor:

q(x) er arealhastigheden i afstanden x fra den ene bred.

Hvor:

Derefter beregnes den samlede vandføring som:

Derudover findes middelhastigheden som:

Y (x)

q(x) = u(x,y)dy (J.3)

0

B

Q = q(x)dx (J.4)

0

U = Q

A

(J.5)


92 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk

A er tværsnitsarealet

Dette vil sige at den enkelte hastighedsmåling i Mastrup bæk, kan betragtes som en del af

middelværdiens bestemmelse i formel J.5.

Arealhastigheden

På baggrund af måleresultaterne beregnes arealhastigheden i de forskellige nedstik vha. af et trapezdiagram.

Der laves dog nogle antagelser, for at gøre denne metode praktisk anvendelig, da det

som tidligere nævnt ikke er muligt at måle hastigheden i tilstrækkeligt små intervaller i nedstikket.

Derudover er det heller ikke muligt at måle hastigheden på bunden og i vandspejlet. Derfor antages

følgende:

• Ved bunden tilnærmes strømhastigheden 0.

• Hastigheden i overfladen er den samme, som i det øverste målepunkt.

• Hastigheden varierer lineært mellem målepunkterne.

Figur J.3: Trapezdiagram over nedstik 4.

Udfra disse antagelser giver vanddybden som funktion af hastigheden indtegnet i en graf et

trapez-diagram, se figur J.3. Arealhastigheden q j findes derefter som summen af arealerne af trapezerne

på figur J.3, hvilket giver følgende udtryk:

Hvor:

q j = 1 n−1

2 ∑

i=1

j er nedstikkets nummer angivet fra den ene bred

((ui + ui+1) · (yi+1 − yi)) (J.6)

n er antallet af målepunkter i nedstikket inkl. hastigheden i vandspejlet og på bunden

i er målepunktets nummer i nedstik nummer j

Denne beregningsmetode gøres mere nøjagtig ved at indføre endnu en antagelse, der bygger på

viden om hastighedsprofilets udseende tæt på bunden.

• Hastighedsprofilet nær bunden antages at være parabelformet.


Afsnit J.3: Beregning af vandføringen i Mastrup bæk 93

Dette giver følgende generelle formel for arealhastigheden:

qi = 2

3 (u2) · (y2 − y1) + 1 n−1

2


i=2

((ui + ui+1) · (yi+1 − yi)) (J.7)

Forudsat parabelformet hastighedsprofil i de nederste 0,10m i nedstik 3-7 og de nederste 0,05m

i nedstik 2 og 8, tilpasses formel J.7 til målingerne fra Mastrup bæk, og følgende formler bruges til

beregning af arealhastigheden:

q j = 2

3 · u2 · (y2 − y1) + 1

2 · (u2 + u3) · (y3 − y2) hvor j = 2 og 8 (J.8)

q j = 2

3 · u3 · (y3 − y1) + 1

2 · ((u3 + u4) · (y4 − y3) + (u4 + u5) · (y5 − y4)) hvor j = 3, 4, 5, 6 og 7

(J.9)

Dvs. formel J.8 bruges i nedstik 2 og 8 og formel J.9 bruges i nedstik 3-7. Følgende ses eksempler

på udregning af arealhastighederne, og resultaterne ses i tabel J.2

q2 = 2

· 0,064m · (0,15m − 0,10m)

3 s

+ 1

2 ·


0,064 + 0,064 m


· (0,20m − 0,15m)

s

= 0,0053 m2

s

q3 = 2

· 0,256m · (0,10m − 0,00m)

3 s

+ 1

2 ·


(0,256 m


+ 0,249m · (0,15m − 0,10m)


s s

+ 0,249 m


+ 0,249m · (0,20m − 0,15m))

s s

= 0,0421 m2

s

Nedstik 1 2 3 4 5 6 7 8 9

q j [10−3 m2 ] 0,00 5,33 42,1 56,0 49,9 40,7 28,1 6,40 0,00

s

Tabel J.2: Arealhastigheden i de forskellige nedstik.

J.3 Beregning af vandføringen i Mastrup bæk

(J.10)

Som tidligere nævnt findes den samlede vandføring udfra formel J.4, der omskrives til trapezintegralet

af arealhastigheden, se figur J.4:

Hvor:

Q = 1

2 ·

n−1


j=1

x er afstanden fra den ene bred til nedstik nr. j

((q j + q j+1) · (x j+1 − x j)) (J.11)


94 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk

Figur J.4: Arealhastigheden som funktion af bredden.

Formel J.11 kan ligesom formel J.6 for arealhastigheden gøres mere nøjagtig, ved at antage at

hastighedsprofilet er parabelformet ved hver bred. Det vurderes dog at dette ikke vil give den store

afvigelse i beregningerne af vandføringen, da arealhastighederne i nedstik 2 og 8 er små i forhold

til i midten af tværsnittet i nedstik 3-7.

Vandføringen beregnes derfor udfra formel J.11:

Q = 1

· ((0,00 + 0,00533) · (0,15 − 0,00) + (0,00533 + 0,0421) · (0,30 − 0,15)

2

+(0,0421 + 0,0560) · (0,50 − 0,30) + (0,0560 + 0,0499) · (0,70 − 0,50)

+(0,0499 + 0,0407) · (0,90 − 0,70) + (0,0407 + 0,0281) · (1,10 − 0,90)

+(0,0281 + 0,00640) · (1,20 − 1,10) + (0,00640 + 0,00) · (1,30 − 1,20)) m3

s

= 0,0426 m3

s

J.3.1 Fejlkilder ved målinger

(J.12)

Som nævnt i afsnit J.2.1, er det umuligt at lave nok målinger til at give et fuldstændigt billede

af strømhastighederne i et tværsnit af bækken. Samtidig er de enkelte målinger også lavet over

en periode på kun et minut, hvilket også kan give afvigelser. Både fordi strømhastigheden kan

svinge indenfor kortere tidsintervaller, og fordi det ville give en bedre gennemsnitsværdi ved at

måle kontinuerligt over en længere periode.

Det er dog også en kilde til unøjagtighed, at målingerne er lavet over en længere tidsperiode,

da der ikke kunne foretages mere end en måling ad gangen. Dette skaber en konflikt, da det ikke

er muligt at måle i længere tid i det samme punkt og samtidig få lavet alle målingerne indenfor et

rimeligt tidsinterval. For at se om målingerne har givet et rimeligt resultat for tværsnittet i måletidspunktet,

kunne der efterfølgende være lavet en ekstra måling i de samme punkter. Denne måling

skulle, hvis ikke det er begyndt at regne meget i mellemtiden, give nogenlunde det samme resultat.

En anden væsentlig fejlkilde er placeringen af vingemåleren i forhold til strømretningen, da

denne for at kunne måle strømhastigheden nøjagtigt, skal vende parallelt med strømlinierne, se

figur 13.2.


Afsnit J.3: Beregning af vandføringen i Mastrup bæk 95

J.3.2 Dimensionsgivende vandføring

Da der ikke foreligger statistiske målinger om vandføringen i Mastrup bæk, vurderes det om den

beregnede vandføring kan bruges som dimensionsgivende vandføring ved dimensioneringen af regnvandsbassinet.

Ved at sammenligne resultatet med en lignende måling foretaget på den samme

strækning af bækken to uger tidligere, vurderes det at det vil være rimeligt at anvende en værdi på

0,045m 3 /s som dimensionsgivende vandføring, da denne måling gav et resultat på ca. 0,050m 3 /s.


96 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk


Bilag K

Afvanding

K.1 Afstrømning

Afstrømningen fra broen og den del af vejen der forventes at bidrage til afstrømning i punktet, hvor

broen og vejen mødes, punkt A, se figur K.1, beregnes udfra den rationelle formel. Hvis ikke andet

er angivet bruges Veje og Stier [Thagesen et al. 1998, s. 177-179] som kilde til dette afsnit.

K.1.1 Den rationelle formel

Figur K.1: Tilnærmet tværprofil.

Afstrømningen fra et område beregnes udfra den rationelle formel, se formel K.1.

Hvor:

Q er afstrømningen fra oplandet.

Q = ϕ · I · A (K.1)

ϕ er afløbskoefficienten, der afhænger af, på hvilken type overflade afstrømningen finder sted. Den

kan variere mellem 0 og 1 (0-100%) afhængigt af hvor stor en del af vandet, der strømmer af

fladen.

I er regnintensiteten.

A er oplandets areal, som er det areal, hvorfra der sker en afstrømning til punktet.

97


98 Bilag K: Afvanding

Afløbskoefficienten

Afløbskoefficienten (ϕ) afhænger af overfladens type og derfor af:

• Befugtning, der er den del af vandmængden, der bindes til overfladen.

• Lavningsmagsinering, der er den del af vandmængden, der samles i pytter på overfladen.

• Interception, der er den del af vandmængden, der opfanges af planter eller lignende.

• Infiltration, der er den del af vandmængden der siver ned gennem huller og sprækker i en

permeabel overflade.

• Fordampning, der er den del af vandmængden, der fordamper fra overfladen.

Heraf kaldes de tre første for initiale tab, da det er tab, der udelukkende sker i starten af nedbørsperioden,

mens der ses helt fra fordampningen, da den er så lille, at den reelt ikke har nogen

betydning. For overflader med stor permeabilitet er infiltrationen den faktor, der har mest betydning

for afløbs-koefficienten, da der her vil ske en væsentlig nedsivning og derfor en mindre afstrømning.

Som følge heraf bliver afløbskoefficienten tæt på 0. Omvendt er det ved tilnærmede impermeable

flader, hvor afløbskoefficienten er tæt på 1, de tre første faktorer der er dominerende.

ϕ Overfladens karakter

0 Ikke belagte vejarealer

0,5 Belagte vejarealer med trug eller grøft

1 Belagte vejarealer med kantopsamling

Tabel K.1: Afløbskoefficienten.

Da vejen anlægges med grøfter og broen med kantopsamling, sættes afløbskoefficienten for

vejen og broen til henholdsvis 0,5 og 1.

Regnintensiteten

Regnintensiteten (I) findes vha. en landsregnrækketabel for Danmark. En landsregnrækketabel angiver

et gennemsnitstal for sammenhængen mellem regnvarigheden (tr), antallet af forekomster pr.

år (n) samt regnintensiteten i Danmark. Tabellen er opstillet på basis af meteorologiske observationer

fra 6 forskellige steder i Danmark over 139 år.

Den dimensionsgivende regnintensitet sættes til 140 l/s/ha for 10 minutters regn som et landsgennemsnit,

men for regionen omkring Aalborg kan anvendes en værdi på 145 l/s/ha for 10 minut-

ters regn, hvilket svarer til n = 1

2

og dermed en overbelastning hvert andet år, se tabel K.1.1. Det

er dog kun gældende når afløbstiden, dvs. den tid det tager en regndråbe at bevæge sig den længst

mulige afstand i oplandet og hen til punktet hvori vandstrømningen ønskes, ikke er over 10 minutter.

dette beregnes i afsnit K.2. I tilfælde af at afløbstiden er over 10 minutter, ses der stadig på en

overbelastning hvert andet år, men der vælges i stedet en regnintensitet hvor regnvarigheden sættes

lig afløbstiden.

Oplandets areal

Da oplandets areal er det areal, hvorfra der sker en afstrømning, inkluderer dette både vejen og

broens areal og eventuelle grøfter og rabatter. Derudover sker der også en afstrømning fra skråninger

langs vejen, hvilket der dog ses bort fra i beregningerne. Dette gøres, da der kun er skråninger på

ca. 50m af den strækning, hvorpå der regnes afvanding, og det vurderes at disse skråninger får


Afsnit K.1: Afstrømning 99

tr

Minutter

n 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

1/139 503 349 320 299 288 271 253 233 213 198 185 175

1/100 473 342 299 278 259 246 229 213 199 189 180 171

1/50 387 317 264 243 207 184 164 148 137 127 122 114

1/20 337 290 240 210 177 154 135 120 107 100 93 86

1/10 307 233 189 158 147 126 110 101 92 84 78 72

1/5 253 193 153 128 107 93 82 74 68 64 58 56

1/2 200 137 107 91 77 68 60 55 51 47,0 44,8 42,5

1 150 108 86 70 60 52 48,6 43,8 39,6 37,3 34,8 33,3

2 117 80 63 53 46,0 41,1 37,1 34,2 31,5 29,3 27,6 26,1

5 80 53 40,0 33,3 29,3 26,1 23,8 22,1 20,4 19,0 18,2 17,2

tr

Timer

n 2 4 6 8 10 12 16 20 24 36 48 96

1/139 133 72 48,0 36,1 28,9 24,0 18,1 14,5 12,1 8,9 6,7 4,09

1/100 118 63 42,8 33,0 26,7 22,4 16,9 13,7 11,7 8,8 6,6 3,98

1/50 64 43,7 33,0 25,7 20,9 17,6 13,2 12,0 10,5 7,6 6,1 3,43

1/20 47,8 27,8 19,8 15,1 14,5 13,3 10,1 8,4 7,0 4,98 3,76 2,51

1/10 42,9 23,3 17,0 13,5 11,4 9,8 7,7 6,3 5,5 4,10 3,51 2,06

1/5 32,8 20,1 15,3 12,0 9,9 8,6 6,6 5,6 4,79 3,53 2,86 183

1/2 26,1 15,8 11,6 9,4 7,9 6,9 5,6 4,61 3,98 2,96 2,40 1,48

1 20,6 13,1 9,4 7,7 6,4 5,6 4,46 3,75 3,36 2,50 2,05 1,27

2 16,5 10,3 7,8 6,2 5,2 4,54 3,66 3,08 2,71 2,04 1,62 1,02

5 11,3 7,2 5,4 4,38 3,64 3,15 2,48 2,11 1,85 1,37 1,12 0,69

Tabel K.2: Landsregnrækker for Danmark [Thagesen et al. 1998].

en meget lille hældning for at få området omkring vejen til at se mere naturligt ud. Derfor bliver

afløbstiden meget stor i forhold til afløbstiden fra vejen, og vandmængden fra skrænterne vil derfor

ikke bidrage til afstrømningen samtidig med vandmængden fra vejen undtagen ved meget lange

regnperioder hvor regnintensiteten er væsentligt mindre. Derudover vil overfladen på skråningerne,

som beplantes, også få en meget lille afløbskoefficient i forhold til vejen.

På tegning 1.5 i tegningsmappen ses vejens og broens tværsnit med grøfter og rabatter og vejens

længdeprofil. Udfra disse bestemmes arealet, hvorfra der sker en afstrømning.

Hvor:

A er afstrømningsarealet

L er længde af bro/vej

B er bredde af vej/bro inkl. grøfter og rabatter

A = L · B (K.2)

Ave j = 376,7m · 17,8m = 6709m 2 = 0,671ha (K.3)

Abro = 260m · 12m = 3120m 2 = 0,312ha (K.4)


100 Bilag K: Afvanding

Det reducerede areal

Det reducerede areal, der bruges i dimensioneringen af regnvandsbassinet, fås ved at multiplicere

oplandsarealet med de pågældende afløbskoefficienter.

Ared = ϕve j · Ave j + ϕbro · Abro = 0,5 · 0,671ha + 1,0 · 0,312ha = 0,648ha (K.5)

K.1.2 Samlet afstrømning

Den totale afstrømning fra arealet i det pågældende punkt, beregnes herefter som summen af afstrømningen

på henholdsvis vejen og broen, hvori afstrømningen fra grøfter og kantopsamlinger

medtages.

K.2 Grøfter

Qve j = I · ϕve j · Ave j = 145 l

l

· 0,5 · 0,671ha = 48,6 = 0,0486m3

s · ha s s

Qbro = I · ϕbro · Abro = 145 l

l

· 1,0 · 0,312ha = 45,2 = 0,0452m3

s · ha s s

Qsamlet = Qve j + Qbro = 93,8 l

= 0,0938m3

s s

(K.6)

(K.7)

(K.8)

Som tidligere nævnt vælges der i dette projekt at bruge en grøft med standardtværsnit. Derfor er

det ikke nødvendigt at dimensionere grøften, hvis den er stor nok til at klare afstrømningen. Dette

undersøges ved at beregne den naturlige dybde i grøften i det tilfælde, hvor afstrømningen fra

vejen er givet ved den dimensionsgivende regnmængde. Teori til dette afsnit er taget fra Hydraulik

[Brorsen & Larsen 2002], hvis ikke andet angives.

Figur K.2: Tværsnit af grøft.

Den naturlige dybde (yo) beregnes ved intervalhalveringsmetoden, der er baseret på iteration.

Beregningerne foretages i beregningsprogrammet Mathcad. Det er nødvendigt at opstille tværsnitsarealet

(A) af vandføringen og middelhastigheden (V ) som funktion af den naturlige dybde

K.2.1 Tværsnitsareal af vandføring

Arealet af en trapez, se figur K.2, beregnes udfra formel K.9. Erstattes højden (h) med den naturlige

dybde, fås arealet som funktion af den naturlige dybde, se formel K.10.

Hvor:

h er grøftens højde

B er bundens bredde

A = h · B + a · h 2

(K.9)


a er sidernes anlæg

Hvor:

Afsnit K.2: Grøfter 101

A(yo) = yo · B + a · y 2 o = 0,40m · yo + 2y 2 o

Når tværsnittes areal er fundet beregnes den hydraulisk radius (R).

R = A

P

(K.10)

(K.11)

P er den våde perimeter, som er længden af de sider af tværsnittet, der er i kontakt med vandspejlet.

Da den afhænger af den naturlige dybde, fås følgende funktion:


P(yo) = 2yo · 1 + a2 + B = 2 √ 5yo + 0,40m (K.12)

Derfor bliver den hydrauliske radius også en funktion af den naturlige dybde.

K.2.2 Middelhastighed

R(yo) = A(yo)

P(yo)

Vandets middelhastighed (V ) beregnes udfra modstandsformlen:

Hvor:

I er energiliniegradienten

f er friktionstallet

I = f ·

g er tyngdeaccelerationen, som sættes til 9,81m/s 2

Energiliniegradienten

V 2 1

·

2 · g R

(K.13)

(K.14)

Det antages, at strømningen i grøften er stationær og ensformig, hvilket medfører konstant vanddybde

og hydrostatisk trykfordeling. Da der er frit vandspejl, er trykket 0 ved overfladen. Derfor

bliver hældningen af tryklinien og energilinien parallelle med bunden, og energiliniegradienten

bliver derfor den samme som bundens hældning målt i promille. På figur 14.1 ses hældningen af

vejen og dermed også af grøften.

Friktionstallet

I = 0,00597 (K.15)

Til beregning af friktionstallet ( f ) bruges Colebrook og Whites tilnærmede formel for ru ledninger.



2

k

= 6,4 − 2,45 · ln

(K.16)

f R

Hvor:


102 Bilag K: Afvanding

k er den ækvivalente sandruhed, som sættes til 200 · 10 −3 m for grødefrit vandløb.

Da friktionstallet afhænger af den hydrauliske radius, kan den opstilles som funktion af den

naturlige dybde.

f (yo) =

2


6,4 − 2,45ln

200·10 −3 m

R(yo)

2

Til sidst opstilles middelhastigheden som funktion af den naturlige dybde.


2 · 9,81

V (yo) =

m

s2 · R(yo) · 0,00597

f (yo)

K.2.3 Beregning af naturlig dybde

(K.17)

(K.18)

Da vandføringen (Q) beregnes udfra tværsnitsarealet og middelhastigheden, opstilles følgende funktion:

Hvor:

Q = A(yo)

V (yo) ⇔ F(yo) = A(yo)

− Q (K.19)

V (yo)

Q er den dimensionsgivende vandføring, som maksimalt bliver 85% af den samlede afstrømning

fra vejen, da arealet af den ene grøft ikke regnes med, se figur K.3.

Qgrø ft = 0,85 · Qve j = 0,85 · 0,0486 m3

s

Figur K.3: Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1.

= 0,0413m3

s

(K.20)

F(yo) er en funktion, der løses vha. interval-halveringsmetoden i beregningsprogrammet Mathcad.

Løses F(yo) for en startværdi på 0,05 m, fås følgende værdier for den naturlige vanddybde og

middelhastigheden i grøften efter to iterationer:

yo = 0,158m (K.21)

V (yo) = 0,368 m

(K.22)

s

Heraf ses at ved den dimensionsgivende vandføring, vil vandstanden kun stå omkring en tredjedel

op i grøften. Denne udregning er dog baseret på ruheden for et grødefrit vandløb, hvorfor

det også kunne være interresant at undersøge grøften hvis det forudsættes at den får lov til at gro

til. Herved ville ruheden blive større og den naturlige dybde blive tilsvarende. Men det vurderes

dog denne stigning vil være så lille at grøften vil kunne klare vandmængden alligevel, og derfor er

grøftens dimensioner tilstrækkelige.


Afsnit K.3: Regnvandsbassin 103

Afstrømningstiden i grøften beregnes udfra formel K.21 og K.22:

K.3 Regnvandsbassin

t = L

V (yo)

= 376,7m

0,368 m

s

= 1024s ≈ 17,0min (K.23)

Regnvandsbassinet dimensioneres udfra standarderne og normerne i afsnit 14.3. Det dimensioneres

for den samlede vandføring fra vejen baseret på den dimensionsgivende 10 minutters regn men

det undersøges også for andre regnintensiteter. Efterfølgende kontrolleres bassinets størrelse ved

hjælp af simple metoder. Ved hjælp af Stokes’ lov, formel K.27, beregnes stigehastigheden for de

uønskede partikler i bassinet. Dette bruges til at undersøge om formel K.24 [Teknisk Forlag 2000]

er opfyldt. Uligheden angiver, om den tid det tager vandet at løbe igennem bassinet, er større end

den tid, det tager for partiklerne at bundfælde.

Hvor:

l er sandfangets effektive længde

vh er vandets horisontale hastighed

vs er partiklens vertikale stigehastighed

l

vh

≥ h

vs

(K.24)

h er højden partiklerne skal stige, og derfor blive denne højde negativ, da partiklerne skal bundfældes.

Hvor:

Middelhastigheden af regnvandet igennem sandfangsbassinet beregnes således:

Q er den samlede vandføring fra vejen og broen

A er væskearealet på tværs af strømretningen

vh = Q

A

(K.25)

Da regnvandsstrømmen er givet fra formel 14.1, og det tværgående areal ses i afsnit 14.3.2,

bliver middelhastigheden:

Hvor:

vh =

m3 0,0932 s = 0,029m

3,19m2 s

Stokes lov definerer, hvorledes partiklers stigehastighed beregnes.

d er diameteren for partiklen

ρv er regnvandets densitet

vs = 0,545 · d 2 · ρv − ρp

η

(K.26)

(K.27)


104 Bilag K: Afvanding

ρp er partiklens densitet

η er regnvandets dynamiske viskositet

De to densiteter, og den dynamiske viskositet findes i Afløbs Ståbi [Teknisk Forlag 2000].

vs = 0,545 · 0,0001m 2 ·

999,8 kg

m 3 − 2650 kg

m 3

1,307 · 10 −3 Ns

m 2

= −0,00688 m

s

(K.28)

Fortegnet i resultatet i formel K.28 indikerer blot, at stigehastigheden for partiklerne er negativ.

Dette medfører, at der sker nedfældning.

Uligheden løses nu ved hjælp af førnævnte resultater.

Heraf fås:

3m

0,029 m

s

≥ −0,6m

−0,00688 m

s

(K.29)

103,4s ≥ 88,82s (K.30)

Da formel K.30 er sand, fortsættes beregningerne med de forudsatte antagelser.

Dimensionerne af bassinbunden aflæses i afsnit 14.3.2. Disse mål fremkommer fra tidligere

bestemte normer og standarder. Sandfangsbassinets volumen betstemmes til:

Vsand = h

6 · ((2a1 + a4) · b1 · (2a4 + a1) · b2) = h

6 · (a1 · b1 + (a1 + a4) · (b1 + b2) + a4 · b2) (K.31)

Hvor:

a1 er længden i sandfangsoverfladen

a4 er længden i sandfangsbunden

b1 er bredden i sandfangsoverfladen

b2 er bredden i sandfangsbunden

h1 er højden i bassinet

Dette medfører at volumen af sandfangsbassinet bestemmes ved:

Vsand = 0,6m

6

· (3m · 7m + (3m + 0,6m) · (7m + 4,6m) + 0,6m · 4,6m) = 6,55m 3

(K.32)

Opholdsbassinet dimensioneres udfra samme metoder som for sandfangsbassinet. Derudover er

der en restriktion, der siger at bassinet mindst skal indeholde 250 m 3 pr. reduceret ha [Vejregelrådet

2001, s. 30] , hvor det reducerede areal er bestemt fra formel K.5.

Vbassin = 250 m3

ha · Ared = 250 m3

· 0,648ha = 162m3

(K.33)

ha

Det bevirker, at bassinet skal have et volumen på mindst 162 m2 . Ved hjælp af formel K.31 samt

afsnit 14.3.2 opstilles en lignende formel for den fintrensende del af bassinet.

Vbassin = h

6 · ((2a3 + a5) · b1 · (2a5 + a3) · b2) = h

6 · (a3 · b1 + (a3 + a5) · (b1 + b2) + a3 · b2) (K.34)

Hvor:


a3 er længden i overfladen af den fint rensende del

a5 er længden i bunden af den fint rensende del

b1 er bredden i overfladen af den fint rensende del

b2 er bredden i bunden af den fint rensende del

h2 er højden i bassinet

Det medfører at volumen for den fintrensende del bliver:

Vbassin = 0,8m

6

Afsnit K.4: Rørstrømning 105

· (37m · 7m + (37m + 34,4m) · (7m + 4,6m) + 34,4 · 4,6m) = 166,06m 3

(K.35)

Opholdsbassinet er nu bestemt, og det stemmer overens med de standarder og normer, der blev

fremsat i begyndelsen af dette afsnit. Dimensionerne af bassinet er i øvrigt i god overenstemmelse

med eksempler fra Afvandingskonstruktioner [Vejregelrådet 2001].

Stuvningshøjden i anlægget er som tidligere nævnt sat til 0,6m. Derudover er anlægget sat til 5.

De nødvendige mål ses i afsnit 14.3.2, og dermed udregnes stuvningvolumen på samme måde som

de to foregående volumener.

Vstuvning = h

6 · ((2a7 + a6) · b3 · (2a6 + a7) · b1) = h

6 · (a7 · b3 + (a7 + a6) · (b3 + b1) + a7 · b1) (K.36)

Hvor:

a7 er længden i stuvningsoverfladen

a6 er længden i stuvningsbunden

b3 er bredden i stuvningsoverfladen

b1 er bredden i stuvningsbunden

h3 er højden i stuvningsvolumen

Stuvningvolumen bliver da:

Vstuvning = 0,6m

6

· (47m · 13m + (47m + 41m) · (13m + 7m) + 41 · 7m) = 265,80m 3

Det bevirker, at stuvningsvolumen er væsentlig større end opholdsvolumen.

K.4 Rørstrømning

(K.37)

Ved dimensioneringen af et rør er det ruheden og vandføringen der har størst betydning, og det er

derfor ikke ligemeget om der dimensioneres for et halvfyldt eller et fuldtløbende rør, da modstanden

fra ruheden nødvendigvis bliver større for et fuldtløbende. Derudover er det også vigtigt at undersøge

trykket i røret, og derfor tages der udgangspunkt i energiligningen for et rør. Rørene dimensioneres

som fuldtløbende og hvis ikke andet angives bruges Hydraulik [Brorsen & Larsen 2002]

som kilde.


106 Bilag K: Afvanding

Energiligningen

For et fuldtløbende rør antages strømlinierne at være parallelle med rørets bund, og trykfordelingen

i et lodret snit kan derfor sammenlignes med trykfordelingen i en hvilende væske. Dermed siges der

at være hydrostatisk trykfordeling i vandet, og energiligningen skrives derfor på følgende måde:

Hvor:


z + p


+

γ A

αA ·V 2 A

2g =


z + p


+

γ B

αB ·V 2 B

2g + △HAB (K.38)

z er trykniveauets højde i forhold til et udgangsniveau.

p er trykket i vandet.

γ er den specifikke tyngde, som er produktet af vandets densitet og tyngdeaccelerationen.

z + p

γ

kaldes trykniveauet i vandet. Da strømlinierne, som tidligere nævnt er parallelle, er trykfordelingen

i røret den samme som i en hvilende væske, dvs. der er hydrostatisk trykfordeling.

Derfor beregnes trykniveauet som forskellen på højden af tryklinien i forhold til et fastsat

udgangspunkt ved indløb og udløb.

g er tyngdeaccelerationen, der sættes til 9,81 m

s 2 .

α er hastighedsfordelingskoefficienten, der ligger mellem 1,1 og 1,2 for retlinede kanaler.

V er vandets hastighed, der antages at være meget lille i rørstrømningens retning før og efter indløb

og udløb.

α·V 2

2g

kaldes hastighedshøjden, der er afstanden mellem tryklinien og energilinien i et snit. Da der

er parallelle strømlinier og dermed ensformig strømning er hastighedshøjden konstant.

△HAB er ændringen af energiniveauet mellem to snit, også kaldet energitabet.

Hvor:

Energiligningen omskrives herefter udfra ovenstående antagelser.

△HAB = zA − zB

(K.39)

za og zb er vandspejlshøjden umiddelbart før og efter indløbet målt ud fra samme udgangsniveau.

Rørets karakteristik

Rørets karakteristik eller specifikke modstand udtrykkes udfra energitabet og vandføringen.

Hvor:

Hvor:

K = ∑ i

△HAB = K · Q 2


L

f ·

2 · g · R · A2

+∑

i j


ζ ·

1

2 · g · A2

j

f er rørets friktionstal, som findes ud fra Colebrook og Whites formel

(K.40)

(K.41)


L er rørets længde

Afsnit K.4: Rørstrømning 107

R er den hydrauliske radius, der afhænger af rørets tværsnitsareal (A) og den våde parameter (P).

For et fuldtløbende rør fås:

R = A

P =

π

4 · D2 D

= (K.42)

π · D 4

ζ er modstandstallet for enkelttab som følge af indsnævring, udvidelse, indløb, udløb, bøjning eller

knæk i røret

Friktionstallet

Til beregning af friktionstallet bruges den tilnærmede Colebrook og Whites formel for ru ledninger.

Hvor:

f =

k er den ækvivalente sandruhed af røret


ln

0,341

k

14,8·R

+ 1,65

Re 0,9

Re er Reynolds tal, som er en parameter, der angiver strømningsformen, og beregnes udfra:

Hvor:

Re =

V · R

ν

2

V er vandets middelhastighed i røret, og beregnes som:

V = Q

A

ν er vandets kinematiske viskositet, som sættes til 1,307 · 10−6 m2

s ved 10oC varmt vand.

Re = Q

π · D · ν

Formel K.43 kan dog kun bruges hvis følgende ulighed gælder:

(K.43)

(K.44)

(K.45)

(K.46)

4 · 10 −5 < k

< 0,08 (K.47)

R

For en ruhed på 0,25 · 10 −3 m betyder dette i praksis at rørets diameter skal ligge indenfor

følgende interval, hvis Colebrook og Whites tilnærmede formel for friktionstallet skal kunne bruges.

0,0125m < D < 25,0m (K.48)


108 Bilag K: Afvanding

K.4.1 Beregning af rørdiameter

Rørets diameter kan ikke umiddelbart beregnes ved indsættelse af kendte værdier i formlerne for

energilinien og rørets karakteristik. Men da det kun er diameteren og trykgradienten, der er ukendte,

omskrives formlen for rørets karakteristik til en funktion af diameteren, da den kun afhænger af

rørets areal og den hydrauliske radius, som kun afhænger af diameteren og vandføringen.

Derefter omskrives formel K.49 vha. formel K.39 og formel K.40.

K = K(D,Q) (K.49)

(zA − zB) − K(D,Q) · Q 2 = 0 (K.50)

Rørets diameter findes ved at løse formel K.51, vha. interval-halveringsmetoden:

F(D) = 0 ⇔ F(D) = △HAB − K(D,Q) · Q 2

(K.51)

Til beregningerne bruges Mathcad, da dette vha. af en root-funktion med en startværdi på

0,05m kan beregne diameteren udfra vandføringen, enkelttabskoefficienterne, energitabet, ruheden

og rørets længde.

Derudover kan også middelhastigheden, rørets karakteristik og friktions- og enkelttabene beregnes.

De sidste beregnes udfra det samlede energitab:

Hvor:

HF er friktionstabet:

HE(D) er enkelttabene:

K.5 Dimensionering af rør

△HAB = ∑(△HF(D))i +∑(△HE(D)) j

i

j

△HF(D) = f ·

△HE(D) = ζ ·

Q 2 · L

2 · g · R(D) · A(D) 2

Q 2 · L

2 · g · A ( D)2

For at lede vandet væk fra vejen og broen dimensioneres der 4 rør:

• Rør 1, der leder vandet fra den ene grøft til den anden

(K.52)

(K.53)

(K.54)

• Rør 2, der leder vandet fra samlingspunktet mellem vejen og broen ned i regnvandsbassinet

• Rør 3, der en en drosselledning, der leder vandet ind i udløbsbrønden

• Rør 4, der leder vandet fra udløbsbrønden og ud i bækken

Rørene dimensioneres som fuldtløbende, cirkulære plastrør med samme ruhed. Derfor dimensioneres

alle rørene for følgende:

• Den ækvivalente sandruhed (k)= 0,25 · 10 −3 m

• Tyngdeaccelerationen (g)= 9,81 m

s 2

• Summen af enkelttabene (ζ)= 2,2

• Vands kinematiske viskositet (ν)= 1,308 · 10 −6 m2

s


Enkelttab

Afsnit K.5: Dimensionering af rør 109

Da rørene skal dimensioneres for den maksimale vandføring, vælges det også at dimensionere

rørene for de maksimale enkelttab på en lige rørstrækning. Dette gøres også da et rør kan blive

beskadiget eller jorden omkring røret kan komme til at ligge uhensigtsmæssigt. Derfor vælges der

at bruge modstandstallet for et indløb i skarpkantet rør, og ved udløb vælges der at bruge den maksimale

hastighedsfordelingskoefficient for retlinede kanaler for at regne på den sikre side.

K.5.1 Dimensionering af rør 1

ζ = ζind + ζud = 1,0 + 1,2 = 2,2 (K.55)

Da rør 1 skal forbinde de to grøfter under vejen, er der to tilfælde, der er interessante at undersøge.

Umiddelbart virker det mest logisk at undersøge det tilfælde (tilfælde 1.1) hvor hele afstrømningen

fra vejen strømmer i den ene grøft, da der her opnås den største vandmængde, der skal ledes under

vejen, se figur K.4. Det er dog også interessant at undersøge det tilfælde (tilfælde 1.2( hvor der løber

lige meget vand i begge grøfter, da der her vil være mindre tryk på vandet ved indløbet og større

tryk ved udløbet, se figur K.5. Røret dimensioneres for en hældning på 10 0 / 00 .

Tilfælde 1.1

Figur K.4: Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1.

• Vandføringen sættes til 85% af den samlede afstrømning fra vejen.

Q = 0,0413 m3

s

• Længden af røret er afstanden mellem bunden af grøfterne.

(K.56)

L = 14,0m (K.57)

• Energitabet er summen af højden af, forskellen på den maksimale naturlige dybde (yo(Q(85%)))

og den mindste naturlige dybde (yo(Q(15%))), og højdeforskellen (h) på rørets indløb og

udløb.

Tilfælde 1.2

△H = yo(Q(85%)) − yo(Q(15%)) + 10 0 / 00 · L = 0,158m − 0,0073m + 0,14m = 0,222m

(K.58)

• Vandføringen sættes til det halve af den samlede afstrømning fra vejen.

Q = 1

· 0,0486m3 = 0,0243m3

2 s s

(K.59)


110 Bilag K: Afvanding

Figur K.5: Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.2.

• Længden er den samme som i tilfælde 1.1.

• Energitabet er højdeforskellen (h) på rørets indløb og udløb.

Valg af diameter

L = 14,0m (K.60)

△H = 10 0 / 00 · L = 0,14m (K.61)

Tilfælde 1.1 1.2

Diameter 0,219m 0,192m

Middelhastighed 1,10m/s 0,84m/s

Rørets karakteristik 131s 2 /m 5 239s 2 /m 5

Friktionstab 2,13m 2,55m

Enkelttab 3,26m 3,25m

Tabel K.3: Rør 1.

I tabel K.3 ses det at enkelttabet udgør den største del af energitabet og at rørets karakteristik er

væsentligt højere i tilfælde 1.2. Derfor er der heller ikke særlig stor forskel på diametrene, selvom

der i tilfælde 1 skal ledes en væsentligt større vandmængde igennem røret.

Da der er sving på vejen, forekommer både tilfælde 1.1 og 1.2 . Derfor vælges tilfælde 1.1 som

dimensionsgivende diameter.

K.5.2 Dimensionering af rør 2

Rør 2 skal forbinde grøfterne med regnvandsbassinet. Det betyder at røret skal føre vandet ned af

bakken og derfor får et fald og en hastighed der er væsentligt højere end i rør 1. Derfor undersøges

der igen to tilfælde, for at se om det kan lade sig gøre at sænke hastigheden i røret betydeligt ved

at gøre hældningen mindre. Hældningen på røret gøres mindre ved at lade røret gå på langs ad

bakken, hvilket dog også giver et længere rør. Først undersøges tilfælde 2.1, hvor røret går i en

lige linie mellem grøften og regnvandsbassinet med en hældning på 67,5 0 / 00 , se figur K.6, hvor

regnvandsbassinet er placeret umiddelbart under broen. Derefter undersøges tilfælde 2.2, hvor røret

får en hældning på 20 0 / 00 , hvor bassinet placeres et stykke fra broen.

Tilfælde 2.1

• Vandføringen sættes til den samlede afstrømning fra vejen og broen.

Q = 0,0938 m3

s

(K.62)


Afsnit K.5: Dimensionering af rør 111

Figur K.6: Tilnærmet tværprofil.

• Længden er afstanden fra grøften til regnvandsbassinet.

L = 22,1m

67,5 0 / 00

= 327,4m (K.63)

• Energitabet sættes lig højdeforskellen mellem rørets indløb og udløb, da det vurderes at

vandets højde over indløbet vil være så lille i forhold til den samlede højde, at det maksimalt

kan give en millimeters forskel. Ved udløbet placeres røret over regnbassinets stuvningshøjde,

og vandet vil derfor have frit udløb, se figur K.7.

Tilfælde 2.2

△H = 22,1m (K.64)

Figur K.7: Eksempel på et klassisk regnvandsbassin.

• Vandføringen er den samme som i tilfælde 2.1.

Q = 0,0938 m3

s

• Længden er afstanden fra grøften til regnvandsbassinet.

L = 22,1m

20,0 0 / 00

• Energitabet er det samme som i tilfælde 2.1.

(K.65)

= 1105m (K.66)

△H = 22,1m (K.67)


112 Bilag K: Afvanding

Valg af diameter

Tilfælde 2.1 2.2

Diameter 0,191m 0,240m

Middelhastighed 3,27m/s 2,07m/s

Rørets karakteristik 2,51·10 3 s 2 /m 5 2,50·10 3 s 2 /m 5

Friktionstab 222m 229m

Enkelttab 12,8m 5,14m

Tabel K.4: Rør 2.

Som det fremgår af tabel K.4 udgør enkelttab kun en lille del af den samlede energitab. Derudover

ses det at rørets hældning skal reduceres meget, og længden dermed gøres meget længere før der

opnås en betydelig hastigheds reducering. Derfor vælges det i stedet at benytte den metode, der

er beskrevet i afsnit 14.3.1, hvor der laves en horisontal tragt, til at reducere hastigheden før regnvandsbassinet.

Rør 2 dimensioneres derfor udfra tilfælde 2.1.

K.5.3 Dimensionering af rør 3

Da der som tidligere nævnt kun må lukkes mellem 5 og 10% af den nuværende strømning ud i

bækken, skal rør 3 der forbinder regnvandsbassinet med udløbsbrønden, dimensioneres udfra dette.

Der vil også her være to tilfælde som er interessante at undersøge, da der er forskel på vandføringen

i røret når vandstanden i regnvandsbassinet ændres. I tilfælde 3.1 antages det at vandet kun lige når

op over røret, mens det i tilfælde 3.2 antages at regnvandsbassinet er helt fyldt, dvs. der er maksimal

stuvningshøjde. Røret dimensioneres for et fald på 30 0 / 00 mod udløbsbrønden for at være sikker på

at det er selvrensende.

Tilfælde 3.1

• Vandføringen må kun være mellem 5 og 10% af den dimensionsgivende vandføring i bækken,

så derfor sættes den til 8%.

Q = 0,08 · 0,045 m3

s

= 0,0036m3

s

• Længden er afstanden fra regnvandsbassinet til udløbsbrønden.

• Energitabet er højdeforskellen mellem rørets indløb og udløb.

Tilfælde 3.2

• Vandføringen er den samme som i tilfælde 3.1.

• Længden er den samme som i tilfælde 3.1.

(K.68)

L = 5,00m (K.69)

△H = 30 0 / 00 · 5,00m = 0,15m (K.70)

Q = 0,0036 m3

s

(K.71)

L = 5,00m (K.72)


Afsnit K.5: Dimensionering af rør 113

• Energitabet er summen af stuvningshøjden i regnvandsbassinet og højdeforskellen på rørets

indløb og udløb.

△H = 0,6m + 30 0 / 00 · 5,00m = 0,75m (K.73)

Valg af diameter

Tilfælde 3.1 3.2

Diameter 0,074m 0,052m

Middelhastighed 0,84m/s 1,70m/s

Rørets karakteristik 1,18 · 10 4 s 2 /m 5 5,05 · 10 4 s 2 /m 5

Friktionstab 20,5m 105m

Enkelttab 21,8m 77,0m

Tabel K.5: Rør 3.

Udfra tabel K.5 ses det at hvis røret dimensioneres udfra tilfælde 3.1 vil der i tilfælde af opstuvning

i regnvandsbassinet strømme mere end den dimensionsgivende vandføringen ud i bækken.

Men hvis der sker en opstuvning i regnvandsbassinet som følge af regn, må vandføringen i bækken

også blive større, og der fås derfor en ny dimensionsgivende vandføring, hvilket betyder at der må

ledes mere vand ud i bækken. Denne problemstilling vil dog ikke uddybes yderligere i dette projekt,

da det kræver mere indgående kendskab til vandføringsvariationen i bækken.

Det vurderes dog at vandføringen i bækken og vandføringen i rør 3 vil stige nogenlunde proportionalt,

og derfor vælges det at dimensionere røret ud fra tilfælde 3.1.

K.5.4 Dimensionering af rør 4

Rør 4 skal lede vandet fra udløbsbrønden og ud i bækken. Da regnvandsbassinet er udstyret med

et overløb ind til udløbsbrønden, skal rør 4 kunne lede den maksimale indgående vandføring ind i

brønden ud i bækken. Røret dimensioneres ligesom rør 1 og 3 for et fald på 10 0 / 00 .

• Vandføringen er den samme som i rør 2, da røret skal være i stand til at lede al vandet der

kommer ind i regnvandsbassinet ud i bækken.

Q = 0,0938 m3

s

• Længden vælges sådan at regnvandsbassinet ikke placeres lige op ad bækken.

(K.74)

L = 10,0m (K.75)

• Energitabet i røret dimensioneres til at kunne klare hele den vandmængde der kommer ind i

udløbsbrønden. Derfor vil der ikke ske en opstuvning i brønden, og derfor bliver energitabet

udelukkende højdeforskellen mellem rørets indløb og udløb.

△H = 10 0 / 00 · 10,00m = 0,10m (K.76)

I tabel K.6 ses det at energitabet er meget lille, og at enkeltabet udgør den største del. Dette

hænger også godt sammen med at rørets diameter er meget stor, og det derfor kun er lille procentdel

af vandet, der er i berøring med røret.

K.5.5 Resultat af beregningerne

I tabel K.7 ses resultaterne af beregningerne af rørenes dimensionsgivende diametre. Beregningerne

er lavet vha. Mathcad udfra de opstillede betingelser.


114 Bilag K: Afvanding

Diameter 0,375m

Middelhastighed 0,84m/s

Rørets karakteristik 11,4s 2 /m 5

Friktionstab 0,209m

Enkelttab 0,862m

Tabel K.6: Rør 4.

Rør 1 2 3 4

Diameter 0,219m 0,191m 0,074m 0,375m

Tabel K.7: Beregnede rørdiametre

More magazines by this user
Similar magazines