Matematik for de nysgerrige eller nørdede

jestrup.dk

Matematik for de nysgerrige eller nørdede

Morten Jagd Christensen

Matematik for de

nysgerrige eller nørdede

jCAPS Publishing


Indhold

1 Introduktion 5

2 Matematikkens historie 6

2.1 Matematisk oldtid (-1000BC) . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Klassisk matematik (1000BC-300AD) . . . . . . . . . . . 8

2.3 Middelalder (300-1500) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Guldalder (1500-1850) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Moderne matematik (1850-) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Primtal 10

3.1 Eratosthenes si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Goldbach’s Teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Tvillinge primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Mersenne primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5 Fermat primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6 Er 1 et primtal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Tal og Talsystemer 16

4.1 Naturlige tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Reelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Gentagne decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4 Irrationelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.5 Imaginære tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.6 Matematiske konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.7 Talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Ligninger, Identiteter og Definitioner 24

5.1 Simpe ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2


5.2 Ubekendte og parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 Ligninger der ’hænger sammen’ . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.4 Uligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Geometri 31

6.1 Parallelle linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2 Retvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3 Firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.4 Ligesidede polygoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.5 Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.6 Trekanter, Linier og Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.7 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Funktioner og Kurver 38

7.1 Polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2 Kurvers Hældning (Differentialregning) . . . . . . . . . . . 40

7.3 Kurvers areal (Integralregning) . . . . . . . . . . . . . . . 42

8 Mængder 44

8.1 Mængders størrelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2 Modsigelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Kombinationer 49

9.1 Terningekast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2 n vælg k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.3 n elementer fordelt i m grupper . . . . . . . . . . . . . . . 52

10 Uendelighed 53

10.1 Uendelige summer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10.2 Uendelige brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.3 Uendelige produkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.4 Uendelige linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11 Matematiske Beviser 60

11.1 Er 0.999 = 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11.2 Diagonalargumentet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.3 Er √ 2 et rationelt tal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

11.4 Uendeligt mange primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

12 Matematikkens fædre 64

12.1 Matematiske bedstefædre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.2 Erdős tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A Matematikkens symboler 67


B Referencer 69

B.1 Bøger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

B.2 Webreferencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Indeks 71


Kapitel 1

Introduktion

Dette lille matematikhæfte er skrevet for sjov, for at lege med et tekstbehandlingssystem

der hedder L ATEX og fordi jeg holder meget af matematik.

5

”If people do not believe that

mathematics is simple, it is only

because they do not realize how

complicated life is.”

John von Neumann

(1903-1957)


Kapitel 2

Matematikkens historie

”The mathematics are

distinguished by a particular

privilege, that is, in the course of

ages, they may always advance

and can never recede.”

Edward Gibbon

Matematik har formentlig altid været menneskets følgesvend. Fra

de første mennesker satter hakker i dyreknogler for at tælle dagene til

fuldm˚ane, til de første bønder skulle holde styr p˚a hvor mange køer

de ejede har matematikken været det værktøj der hjalp dem. Det har

været nødvendigt for livets ophold at have styr p˚a ˚arstiderne, som afhænger

af jordens bevægelse omkring solen. Til beregning af skatter til

kongerne har man skulle opm˚ale landbrugsarealer. Indenfor handel har

det været nødvendigt at finde effektive regnemetoder, og indenfor religion

har solformørkelser, fuldm˚ane, jvævndøgn og nyt˚ar været vigtige.

For de søfarende nationer har tidevand, kalendere, navigation og tidstagning

været essentielle. S˚a fra et tidligt tidspunkt i civilisationernes

opst˚aen har man arbejdet med de fire regnearter, geometri, trigonometri

og algebra.

Det at matematikken har været vigtig for menneskets liv kan ses

ved at den er opst˚aet flere steder i verden uafhængigt af hinanden. Det

betyder at der har været mange forskellige talsymboler og notationer i

matematikken. Generelt har matematikken udviklet sig sammen med de

store civilisaioner: Sumererne, babylonerne, egypterne, grækerne, de indiske

kulturer, mellemøsten og Kina. Da de har haft deres storhedstider

6


p˚a forskellige tidspunkter i historien. Fra den græske periode og frem til

1800 tallet begyndte man i europa at skrive p˚a latin, hvilket betød at

matematikere i forskellige lande lettere kunne skrive sammen. I øjeblikket

bruges engelsk som det fælles sprog, og med hjælp af Internettet og

i særdeleshed email foreg˚ar kommunikationen meget effektivt.

triske figurer, primtal

beskrives

Sumererne opfinder de

første talsystemer

Astronomisk kalender

Babylonerne benytter

60 tal systemet

70000-20000BC 3500BC 3000BC 2400 2000BC 1000BC

Uendelighed nævnes i

Indien

Pythagoras viser at √ 2

er irrationel

Indiske matematikere

opdager nul

Eratosthenes algoritme

til at finde primtal

800BC 500BC 400BC 240BC 50BC

De første brøker bruges

i Egypten

10-tals systemet opfindes

i Indien

Tegninger af geome-

DRAFT

200 500 800 240BC 1200

Differentialregningen

opfindes

Eulers fundamentale

ligning

Abel og Galois

Riemanns komplekse

analyse

1644 1766 1850 1900 1995BC

Fermats sidste teorem

bevises

Vi kan groft sagt dele matematikkens historie op i fem perioder: Oldtiden,

den klassiske periode, middelalderen, guldalderen og den moderne

matematik. Opdelingen st˚ar helt for min egen regning og man kunne sagtens

definere flere perioder hvis man ville. Jeg vil i det følgende gennemg˚a

7


2. Matematikkens historie

8

nogle af de vigtigste matematiske opdagelser i disse perioder.

2.1 Matematisk oldtid (-1000BC)

Oldtiden strækker sig fra tidernes morgen til ca. 1000BC. Perioden er

kendetegnet ved at forskellige matematiske emner som relaterer sig til

landm˚aling og astronomi opst˚ar uafhængigt af hinanden i flere kulturer.

For eksempel i Mesopotamien og Egypten.

2.2 Klassisk matematik (1000BC-300AD)

Den klassiske periode strækker sig fra ca. 1000 BC til ca. 300 AD. I

denne periode som omfatter blandt andet Grækernes store bidrag med

Pythagoras og Euclid, formaliseres den aksiomatiske tilgang til matematikken,

geometri og talteori. Tallet 0 defineres og det positionsbaserede

talsystem etableres.

2.3 Middelalder (300-1500)

Middelalderen, fra ca. 300 AD til ca. 1500 AD er karakteriseret ved

at specielle ligninger og geometriske funktioner opdages og forskellige

løsninger til disse findes ved ’trial and error’.

2.4 Guldalder (1500-1850)

Matematikkens guldalder begynder ca. 1500. I denne periode g˚ar det virkelig

stærkt: Der findes generelle løsninger baseret p˚a algebra til tredjegradsligninger.

Koordinatsystemet og den moderne notation for variable,

parametre og matematiske symboler etableres. Matematikken bliver mere

stringent og der bliver muligt at regne kurvers hældninger og arealer

ud ved hjælp af differential og integralregning. Geometri g˚ar fra at være

noget med passer og lineal til at være baseret p˚a ligninger og funktioner.

Sandsynlighedsregning tager form og meget mere.

2.5 Moderne matematik (1850-)

Her i de sidste to hundrede ˚ar har matematikerne arbejdet p˚a at systematisere

og generalisere matematikken. Differentialregning er blevet

generaliseret til at kunne foreg˚a i virk˚arlige geometrier og integraler kan

regnes ud for nogle meget komplicerede funktioner. Med computerens

indtog er der ogs˚a opst˚aet nye matematiske discipliner som Numerisk


2.5. Moderne matematik (1850-)

analyse og kaosteori. Heldigvis er der stadig masser af udfordringer i

matematikken, men ogs˚a store successer. For eksempel er der ikke mange

˚ar siden art Fermats sidste teorem blev bevist - et problem som var

mere end 350 ˚ar gammelt, og for nylig beviste en Russisk matematiker

et meget svært problem som var mere end 100 ˚ar gammelt, den s˚akaldte

Poincaré formodning.

9


Kapitel 3

Primtal

”Mathematicians have tried in

vain to this day to discover some

order in the sequence of prime

numbers, and we have reason to

believe that it is a mystery into

which the human mind will never

penetrate.”

Leonhard Euler (1707-1783)

Et primtal er et tal der kun kan divideres med 1 eller med sig selv.

Det vil sige at 2 er et primtal da det kun kan deles med 2 og 1. 3 er ogs˚a

et primtal da det kun kan deles med 3 og 1. 4 er ikke et primtal da det

kan deles med 4, 2 og 1. Primtal er meget vigtige i matematikken fordi

de p˚a en m˚ade er de naturlige tals byggeklodser. Hvad mener vi med

det? Lad os give et eksempel.

Alle primtal mindre end 30 er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29. Vi

vil nu vise at alle de øvrige tal fra 2 til 30 kan skrives som produkter af

disse primtal.

En snedig græsk matematiker ved navn Euclid BEVISTE at ethvert

tal kan skrives p˚a een og kun een m˚ade som et produkt af et eller flere

primtal. Den viden bruger vi senere til at BEVISE at der er uendelig

mange primtal.

10


n faktorer samlet n faktorer samlet

4 2 · 2 2 2 18 2 · 3 · 3 2 · 3 2

6 2 · 3 20 2 · 2 · 5 2 2 · 5

8 2 · 2 · 2 2 3 22 2 · 11

9 3 · 3 3 2 24 2 · 2 · 2 · 3 2 3 · 3

10 2 · 5 25 5 · 5 5 2

12 2 · 2 · 3 2 2 · 3 26 2 · 13

14 2 · 7 27 3 · 3 · 3 3 3

15 3 · 5 28 2 · 2 · 7 2 2 · 7

16 2 · 2 · 2 · 2 2 4 30 2 · 3 · 5

3.1. Eratosthenes si

For lige at vise hvor tilfældige primtallene kan se ud har jeg her valgt

at kikke p˚a primtalsfaktorerne for tallene fra 43627553 til 43627562. Der

er alt fra 1 faktor (da tallet er et primtal) til 6 faktorer. Den højeste

faktor varierer fra 2029 til 43627561. Hvis du ser efter vil du opdage at

hvert andet tal har 2 som faktor (nogen gange mere end en gang), hvert

tredje tal har 3 som faktor, hvert femte har 5 og s˚a videre.

3.1 Eratosthenes si

n faktorer

43627553 19 · 2296187

43627554 2 · 3 · 3 · 2423753

43627555 5 · 8725511

43627556 2 · 2 · 7 · 101 · 15427

43627557 3 · 14542519

43627558 2 · 13 · 827 · 2029

43627559 17 · 2566327

43627560 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 363563

43627561 43627561

43627562 2 · 11 · 47 · 42193

Der findes en meget gammel algoritme (opskrift) til at finde primtal med.

Den kaldes Eratosthenes si og fungerer p˚a denne m˚ade: Hvis vi ønsker

11


3. Primtal

12

at finde alle primtal mindre end f.ex. 100 skriver vi først alle tal fra 2

til 100. Første tal, 2, er et primtal. Nu streger vi alle tal i 2 tabellen ud

som er større end 2. Det er 4,6,8,... . Disse er vist i bl˚a.

S˚a finder vi næste tal i rækken som endnu ikke er streget ud og det

er 3. Tre er da et primtal da det ikke kan divideres med to og dermed

ikke er streget ud i tabellen. Nu streger vi alle tal større end 3 som er

med i 3 tabellen. Dvs. 6,9,12,... og s˚a videre. Disse tal er røde. Nu finder

vi det næste tal som ikke er streget ud: 5. Fem m˚a s˚a være et primtal

da det ikke kan deles med 2 eller 3. Vi fortsætter indtil vi n˚ar til et tal

der ganget med sig selv giver 100. Det vil sige at vi stopper ved 11. Nu

er alle de tal der endnu ikke er streget ud primtal.

4 6 6 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

11 12 12 12 13 14 14 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 19 20 20 20

21 21 21 22 22 23 24 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 28 29 30 30 30 30

31 32 32 33 33 34 34 35 35 35 36 36 36 37 38 38 39 39 40 40 40

41 42 42 42 42 43 44 44 45 45 45 46 46 47 48 48 48 49 49 50 50 50

51 51 52 52 53 54 54 54 55 55 56 56 56 57 57 58 58 59 60 60 60 60

61 62 62 63 63 63 64 64 65 65 66 66 66 67 68 68 69 69 70 70 70 70

71 72 72 72 73 74 74 75 75 75 76 76 77 77 78 78 78 79 80 80 80

81 81 82 82 83 84 84 84 84 85 85 86 86 87 87 88 88 89 90 90 90 90

91 91 92 92 93 93 94 94 95 95 96 96 96 97 98 98 98 99 99 100


Prøv selv at benytte sien til at finde alle primtal op til 200. De fleste

algoritmer til at finde sm˚a (mindre end 10.000.000) primtal benytter sig

af Eratosthenes si eller varianter af den. Hvis man vil finde større primtal

findes der nogle mere avancerede algoritmer og metoder.

Primtal bliver brugt i forbindelse med computersikkerhed: Her skal

der laves et rigtig godt password som er svært at bryde og det bruger man

primtal til. Primtal blev ogs˚a brugt af en østriger ved navn Gödel til at

bevise at der er grænser for hvor meget man kan bevise i matematikken.

Der er et helt forskningsfelt indenfor matematik der hedder talteori som

er baseret p˚a primtal.


Berømte ligninger

Leonhard Euler opdagede ligningen,


n=1

1 1

=

ns 1 − p

p prime

−s

som knytter de hele tal sammen med alle primtal.

Den er en af matematikkens hovedsætninger.

3.2 Goldbach’s Teorem

3.2. Goldbach’s Teorem

Et teorem i matematikken betyder en teori eller formodning. Det vil sige

at det endnu ikke er bevist. Her er Goldbach’s teorem:

Alle tal større end 5 kan skrives som en sum af højest tre primtal. Vi

prøver lige med nogle af de lige tal:

n sum n sum

6 3+3 22 19+3

8 5+3 24 19+5

10 7+3 26 23+3

12 7+5 28 23+5

14 7+7 30 23+7

16 11+5 32 23+7+2

18 11+7 34 29+5

20 11+7+2 36 31+5

Indtil videre ser det ud til at passe og du kan jo selv forsøge med

tallene op til 100. Men i matematikken er det ikke nogen garanti. For

at være helt sikker kræves et bevis. Desværre er Goldbach’s teorem

kun bevist for tal større end ca. 10 3000 som er et 100 · · · 00 med 3000

nuller. Det er et meget stort tal. Man har med Computer bekræftet

Goldbach’s teorem for værdier op til 10 18 s˚a der er lang vej igen. Men

dette er et godt eksempel p˚a at computere kan hjælpe den teoretiske

matematik, for hvis der p˚a et tidspunkt bliver lavet et matematisk bevis

for at Goldbach’s teorem gælder for værdier større end f.ex. 10 20 skal

vi bare køre computerprogrammet 100 gange længere tid s˚a vil vi f˚a

teoremet endeligt bevist eller modbevist.

13


3. Primtal

14

3.3 Tvillinge primtal

To primtal kaldes tvillinger (twin primes) hvis de ligger lige ved siden

af hinanden - det vil sige at forskellen imellem dem er 2. Her er nogle

eksempler p˚a tvillingeprimtal: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) og

(41, 43).

Man har en formodning om at der findes uendeligt mange tvillingeprimtal,

men det er endnu ikke bevist. De største tvillingeprimtal vi

kender her hvor bogen skrives er 65516468355 · 2 333333 ± 1.

3.4 Mersenne primtal

De aller største primtal man kender kaldes Mersenne primtal. De har

formen Mp = 2 p − 1. I skrivende stund er det størst kendte Mersenne

primtal 2 43112609 − 1 som er ubeskriveligt stort. Dette tal er fundet ved

at tusindvis af computere verden over har samarbejdet om at søge efter

det i noget der kaldes GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

3.5 Fermat primtal

Pierre de Fermat som ogs˚a er kendt for Fermat’s sidste teorem, havde

følgende ide. Han havde observeret at Fm = 22m + 1 gav primtal for

m = 0, 1, 2, 3 og 4: F0 = 3, ; F1 = 5, ; F2 = 17, ; F3 = 257, ; F4 = 65567.

Han forestilledes sig at Fm er primtal for alle værdier af m. Fermat

tallene vokser meget hurtigt og F5 = 4294967297. Det er pænt stort

tal og dengang (≈ 1630) havde man ikke computere til at hjælpe med

udregningen. Dette var et udemærket gæt men desværre var det ikke

rigtigt: Euler viste at F5 = 641 · 6700417 og faktisk har man ikke fundet

et eneste Fermat primtal med m > 5. Vi ved endnu ikke om der er

flere, et endeligt antal, et uendeligt antal eller ingen Fermat primtal

med m > 5.

Det er lidt af en drøm at finde en funktion der kun laver primtal,

og det er der endnu ikke nogen der har, men der findes nogle simple

funktioner der genererer et antal primtal. For eksempel fandt Euler ud

af at funktionen n2 + n + 41 giver primtal for 0 ≥ n < 40.

3.6 Er 1 et primtal?

Tidligere nævnte vi at definitionen p˚a et primtal er at det er et tal der

kun kan divideres med sig selv og 1. Men betyder det ikke at 1 s˚a er et

primtal? Det kan jo divideres med sig selv, som er 1 og med 1.


3.6. Er 1 et primtal?

Det var faktisk noget man i matematikkens yngre dage var lidt uenige

om, men her kommer forklaringen p˚a hvorfor vi i dag siger at 1 ikke er et

primtal. Et af den moderne talteoris hovedsætninger er at ethvert tal kan

skrives p˚a en og kun en m˚ade som et produkt af primtal. For eksempel

er 12 = 2 · 2 · 3. Hvis vi samler de ens faktorer og sorterer dem i stigende

størrelse f˚ar vi 12 = 2 2 · 3 og du kan ikke finde andre m˚ader at skrive 12

som et produkt af primtal p˚a. Lad os nu lege at vi har defineret 1 som et

primtal og vise at det ødelægger det hele. For eksempel er 12 = 1 · 2 2 · 3,

men ogs˚a 1 2 · 2 2 · 3 og 1 3 · 2 2 · 3 osv.. Derfor har det vist sig at være

praktisk at ’vedtage’ at tallet 1 ikke er et primtal.

15


Kapitel 4

Tal og Talsystemer

”Why are numbers beautiful? Its

like asking why is Beethovens

Ninth Symphony beautiful. If you

dont see why, someone cant tell

you. I know numbers are

beautiful. If they arent beautiful,

nothing is.”

Paul Erdős (1913-1996)

Der findes uendeligt mange tal, men tal er ikke bare tal. Der er hele

talfamilier med hver deres egenskaber. Hver talfamilie har f˚aet et navn.

Her er nogle af dem.

• Naturlige tal

• Hele tal

• Reelle tal

• Rationelle tal

• Irrationelle tal

• Trancendentale tal

• Imaginære tal

16


4.1 Naturlige tal

4.1. Naturlige tal

Det varer ikke længe fra vi lærer at tale til vi lærer at tælle til ti. En,

to, tre, ... Disse tal kaldes de naturlige tal og der er uendeligt mange af

dem. Det varede mange ˚ar fra de første mennesker talte til de opdagede

de negative tal og nul. De hele tal er diskrete - det vil sige at der altid

er en mindste afstand mellemn to hele tal.

4.2 Reelle tal

S˚a er der de Reelle tal. Det er alle tal der kan ligge p˚a en tal linie.

De Reelle tal indeholder de Naturlige tal og uendeligt mange flere. For

eksempel: 1.5, 0.99999, 1

3 osv.. Men de Reelle tal kan deles op to familier:

De Rationelle tal og de Irrationelle tal.

Rationelle tal er Reelle tal der kan skrives som en brøk (ratio p˚a

engelsk). Her er nogle eksempler:

22

7 ,

1

99 ,

344

113 ,

12345678

9876543215

Avanceret De rationelle tal kan findes som løsningen til en ligning af

første grad;

a · x − b = 0

hvor a og b er hele tal og a = 0. Ligningens løsning er

x = b

a

hvilket jo netop er definitionen p˚a et rationelt tal.

4.3 Gentagne decimaltal

Vi har tidligere lært at man kan skrive gentagelser med en streg over de

tal der gentages. For eksempel kan 1.123123... ogs˚a skrives 1.123 men

faktisk kan ALLE decimaltal med et uendeligt antal decimaler som gentager

sig selv ogs˚a skrives som en brøk. For eksempel kan 1.123123...

ogs˚a skrives som 1122/999. Men hvorfor, og hvordan regner man den

ud?

Lad os skrive tallet 1.123123... som 1 + 0.123123... og kalde decimaldelen

x

1.123123... = 1 + 0.123123... = 1 + x

17


4. Tal og Talsystemer

18

Nu ganger vi x med 1000

1000 · x = 123.123123... = 123 + 0.123123... = 123 + x

Men hvis 1000x = 123 + x betyder det at 999x = 123 og dermed at

. Det vil sige at

x = 123

999

1.123123... = 1 + 123 999 123 1122

= + =

999 999 999 999

ALLE decimal med et endeligt antal decimaler tal kan ogs˚a skrives

som en brøk. For eksempel kan 0.2 skrives som 2

, 0.231

= 231

1000 osv.

4.4 Irrationelle tal

10

, 0.23 som 23

100

Fra afsnittet om gentagne decimaltal har vi lært at vi kan skrive ALLE

tal med et endeligt antal decimaler og ALLE tal med decimaler der

gentager sig selv som brøker (rationelle tal). De eneste tal der er tilbage

er alle de uendelige tal der IKKE gentager sig selv. De er s˚a spændende

at de har f˚aet deres eget navn: irrationelle tal.

Du kender m˚aske allerede et par irrationelle tal: π og √ 2, men der er

mange flere. Faktisk uendeligt mange. Her er nogle eksempler p˚a dem:

Berømte irrationelle tal

ln(2) 0.69314718055...

√ 2 1.41421356237...

√ 3 1.73205080756...

e 2.71828182845...

π 3.14159265358...

Hvis der er nogle af symbolerne du ikke kender endnu skal du ikke

tage det tungt, det kommer. En del af de Irrationelle tal kaldes Transcendentale

tal. Deres DEFINITION er at de IKKE er løsning til de ligninger

man kan lave med hele tal som koefficienter (det tal der st˚ar foran x).

For eksempel 5x 3 − 7x + 3 = 0. Du kender m˚aske allerede π som er et

Transcendentalt tal.

De sidste tal vi vil nævne er de Imaginære tal, som ogs˚a kaldes Komplekse

tal. De er nu ikke mere komplekse end at vi kan regne med dem

hvis det skulle være. De komplekse tal er tal som √ −1 og lignende. Dem

vender vi tilbage til senere.


4.5. Imaginære tal

Matematikere elsker symboler og flere af talfamiliens medlemmer har

f˚aet deres eget symbol. Prøv om du kan gætte hvilke.

N, Z, Q, R, C

Talfamilietræet ser nu s˚adan ud:

Negative

tal

Nul

Positive

tal

Hele

Tal

4.5 Imaginære tal

Gentagnedecimaler

Rationale

tal

Decimal

tal

Reelle tal

Endelige

decimaler

Transcendentale

tal

Irrationale

tal

Algebraiske

tal

Nogen gange støder man i matematikken p˚a tal som √ −5 og lignende.

De kaldes for imaginære tal. De er nu ret praktiske, s˚a lad os lege lidt

med dem.

Vi starter med en DEFINITION: Vi kalder tallet √ −1 for i. Det vil

sige at i · i = −1.

Udfra denne definition kan vi beskrive ENHVER kvadratrod af et

negativt tal. Eksempler:

√ −5 = √ −1· √ 5 = √ 5·i, og √ −0.23456 = √ −1 √ 0.23456 = √ 0.23456·i

, osv. Man kan nu lave vilk˚arlige Imaginære tal ved at lægge et Reelt tal

til et rent Imaginært. For eksempel:

1 + i, 2 + 5i, π − 3i, π + √ 2i

19


4. Tal og Talsystemer

20

Imaginære tal er bare tal! Man kan lægge dem sammen, trække dem

fra, gange og dividere Imaginære tal præcis som man kan med de ’Almindelige’

tal. Der gælder DE SAMME regler for regning med Imaginære

tal.

Addition

(1 + i) + (2 + 5i) = (1 + 2) + (i + 5i) = 3 + 6i

Multiplikation med et reelt tal

3 · (1 + i) = 3 + 3i

Multiplikation med et komplekst tal

i · (2 + 3i) = (2i + 3i · i) = (2i + 3 · (−1)) = (2i − 3) = (−3 + 2i)

Lad os nu gange to Imaginære tal sammen.

(1 + i) · (2 + 3i) = 1 · (2 + 3i) + i · (2 + 3i) = (2 + 3i) + (2i − 3) = −1 + 5i

Men hvorfor er komplekse tal interessante?

Det er de fordi de p˚a en m˚ade fuldender de Reelle tal. De Reelle tal er

ikke helt fuldendte fordi ikke alle regneoperationer med Reelle tal giver

et Reelt tal som resultat. For eksempel giver √ −2 et komplekst tal √ 2i.

S˚adan er det ikke med de komplekse tal. Her giver ethvert regnestykke

med komplexe tal et komplext tal som resultat.

Du kender m˚aske formlen for løsningen til en andengrads ligning?

Hvis ax 2 + bx + c = 0 s˚a er løsningerne

x = −b ± √ b 2 − 4ac

2a

og det er fint nok n˚ar ligningen fx. ser s˚adan ud: x2 − 4 = 0, for s˚a er

løsningen

x = ±√16 = ±2

2

Det vil sige at ligningen kan skrives som produktet af de to løsninger

(x − 2)(x + 2) = 0. Men hvad nu hvis x2 + 4 = 0? S˚a er

x = ±√ −16

2

men det er ikke noget problem for det er blot komplekse tal

x = ±√ −1 √ 16

2

= ±i√ 16

2

= ±2i


4.6. Matematiske konstanter

og igen kan ligningen skrives som et produkt af løsningerne: (x − 2i)(x +

2i) = 0.

Ved hjælp af de komplekse tal kan man bevise at enhver andengradsligning

ALTID har to løsninger: enten to Reelle tal, eller to Komplekse.

Det hedder algebraens hovedsætning og gælder for ENHVER ligning af

n’te grad at den har NETOP n løsninger. De Komplekse tal bruges ogs˚a

inden for elektroniske kredsløb, til at gøre svære regnestykker lette, til

at beregne luftens strømning omkring en fly-vinge og meget meget mere.

4.6 Matematiske konstanter

Selvom der er uendelig mange tal er der nogle der er s˚a vigtige at de har

en særlig plads i matematikken. Nogle af dem har endda f˚aet et græsk

bogstav som navn (det er noget af det aller fineste man som tal kan

opn˚a.).

0 er et vigtigt tal i matematikken men var det sidste hele tal der blev

opdaget. N˚ar vi tæller til 10 bruger vi nul til at vise at det foranstillede

et-tal er tiere og ikke enere. Selv inden for købmandsregning har man

brug for nul. Hvis jeg har 250 kroner og l˚aner 250 kroner ud, s˚a har jeg 0

kroner tilbage. Det lyder indlysende men der gik mange ˚ar inden 0 blev

opdaget.

1 Tallet 1 er ogs˚a meget vigtigt i matematikken. Dels bruger vi det til

at tælle med (ved hele tiden at lægge 1 til) s˚a 1 kan bruges til at skabe

alle hele tal. Ethvert er uændret n˚ar det ganges med 1 og det benytter

vi n˚ar vi løser ligninger.

i er et komplext tal der minder lidt om 1 blot i det komplexe talrum.

i 2 = i · i = −1.

γ (udtales ’gamma’) er en speciel konstant som blev opdaget af en kvik

fætter ved navn Euler. Den opst˚ar i forholdsvis avanceret matematik.

φ (staves phi udtales ’fi’) kaldes ogs˚a det gyldne snit (1.618033..)

e har værdien 2.718218... og bruges i forbindelse med noget der hedder

logaritmer samt i forbindelse med trigonometriske (geometri) funktioner.

π (udtales ’pi’) 3.1415926... blev opdaget for flere tusinde ˚ar siden i forbindelse

med at man har tegnet cirkler og m˚alt deres længde: Forholdet

mellem omkredsen af en cirkel og dens diameter er O = Dπ.

21


4. Tal og Talsystemer

22

∞ er et symbol for uendelighed. Symbolet benyttes ofte n˚ar man

vil vise at noget skal udføres uendeligt mange gange. Der gælder nogle

specielle regler for uendeligt, for eksempel er ∞ + 1 = ∞.

Gudeligningen

Der gælder en særlig sammenhæng mellem tallene 0, 1, e, i

og π.

e iπ + 1 = 0

At de vigtigste tal i matematikken er knyttet sammen i en

enkelt ligning har f˚aet nogle af de mest religiøse matematikere

til at sige at det er et bevis for guds eksistens!

4.7 Talsystemer

Vi er vant til at tælle i det vi kalder ti-tals systemet. I titalssystemet er

der 10 cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9 og med dem kan vi skrive alle tal.

Vi kan for eksempel skrive 1423 og det betyder 1 · 1000 + 4 · 100 + 2 ·

10+3·1 eller skrevet lidt mere matematisk: 1·10 3 +4·10 2 +2·10 1 +3·10 0 ,

hvor for eksempel 10 3 (ti i tredje) betyder 10 · 10 · 10.

Men er der andre talsystemer? Ja det er der. Lad os tage ottetalssystemet.

Her er der otte cifre: 0,1,2,3,4,5,6 og 7. Hvis vi tæller til ti i

ottetalssystemet ser det s˚adan ud:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12

Tallet ti i ottetalssystemet skrives alts˚a 12. Det er fordi otte i ottetalssystemet

svarer til ti i titalssystemet: ti = 1 · 8 + 2.

Talsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010

3 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101

4 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22

8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12

9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11

10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Der findes ogs˚a talsystemer større end 10. Men hvad gør man s˚a for

der findes jo kun tallene 0-9? Man beslutter bare at bruge bogstaver!

For eksempel i 16 tals systemet (kaldes ogs˚a hexadecimale tal) findes

der følgende tal: 01234567ABCDEF. Det vil sige at det hexadecimale


4.7. Talsystemer

tal AB er det samme som A · 16 + B = 10 · 16 + 11 = 171. For ikke at

blive forvirret over hvilket talsystem der tales om kan man skrive det i

et subscript: AB16 = 17110.

Bliver de brugt eller er det bare matematisk nørderi? Ja nogle af

dem bliver brugt: 2, 8 og 16 talssystemerne (binære, octale og hexadecimale

tal) bliver for eksempel brugt meget af dem der arbejder med

programmering af computere. Her bliver det nogen gange ret nørdet og

man kan for eksempel finde tal i computerprogrammer der er ord eller

korte sætninger:

DEADBEEF

ABADCAFE

BADDECAF

ABADBABE

ABBA

64-talsystemet benyttes n˚ar man skal regne meget store tal ud p˚a

computer, f.eks. for at finde ud af at 7612058254738945·9263591128439081 =

70514995317761165008628990709545. Her er det ofte mere effektivt at

lave tallene om til 64-talsystemet inden man udfører regnestykket.

¡¡¡Lidt om kileskrift og deres tal symboler - dette er ikke de rigtige!¿¿¿

3412345

60-tals systemet bliver brugt af os alle hvergang vi ser p˚a klokken:

1 time = 60 minutter, 1 minut er 60 sekunder. 60-tals systemet bruges

ogs˚a i astronomi hvor man m˚aler vinkler i grader, minutter og sekunder

og en landm˚aler bruger længde og breddegrader der ogs˚a er baseret p˚a

60-tals systemet.

Et par talsystem jokes

“Why do programmers often confuse Halloween

and Christmas?”

“Because 31 OCT = 25 DEC”

“Der findes 10 slags mennesker: dem der

kender de binære tal og dem der ikke gør.”

23


Kapitel 5

Ligninger, Identiteter og

Definitioner

”Equations are more important

to me, because politics is for the

present, but an equation is

something for eternity.”

Albert Einstein (1879-1955)

Inden vi kaster os over ligninger er vi lige nødt til at tale lidt om

lighedstegnet (=). I matematikken har det tre forskellige betydninger.

Se for for eksempel her

s = r + q

s 2 − s = (r + q)(r + q) − (r + q) = r 2 + 2rq + q 2 − r − q

s 2 = 0

I første linie bruges lighedstegnet som en definition. Det vil sige at s =

r + q betyder at man fremover kan benytte s i stedet for r + q. Det

gør man tit i matematikken for at gøre udregningerne simplere. For

eksempel er det kortere at skrive s 2 − s end (r + q)(r + q) − (r + q). I

anden linie benyttes lighedstegnet som identitet, hvilket vil sige at at der

egentlig st˚ar det samme p˚a hver side, men at det blot har forskellig form:

(r + q) 2 kan jo regnes ud til r 2 + 2rq + q 2 og disse to udtryk er blot to

24


5.1. Simpe ligninger

forskellige m˚ader at skrive det samme p˚a. I tredje linie har lighedstegnet

betydningen en ligning.

Her er et eksempel p˚a en identitet. P˚a venstre side af lighedstegnet

har vi et produkt af to faktorer (x − 2) og (x + 1), og p˚a højre side

en sum af tre led x 2 , −x, og −2. Man kan skifte imellem de to udtryk

ved. For eksempel kan man g˚a fra en sum af led som p˚a højre side

af lighedstegnet til et produkt af faktorer. Det kaldes at faktorisere et

udtryk. Den modsatte vej hedder det at ekspandere.

(x − 2) (x + 1)


faktor faktor

Ekspandere

=

Faktorisere

5.1 Simpe ligninger

x 2


led

− x


led

Hvad er en ligning s˚a? En ligning ser s˚adan ud

A = B

− 2


led

Det vil sige en ligning er to udtryk, A og B som skal være ens (lig med

hinanden). Det vil igen sige at alt det der st˚ar til højre for lighedstegnet

er IDENTISK med det der st˚ar til venstre for det. Her er endnu en

ligning

x = 5

Det vi kan se fra denne ligning er at x er lig med 5. Det er desværre

ikke altid s˚a simpelt, fx.

x + 1 = 5

Nu ved vi ikke helt hvad x er men vi ved at x + 1 er lig med 5, s˚a vi kan

jo gætte p˚a at x er 4.

Til gengæld er det ikke helt rart at skulle gætte en løsning, det ville

være bedre om vi kunne regne den ud. Det kan vi sagtens, der gælder

kun en regel:

25


5. Ligninger, Identiteter og Definitioner

26

Du skal ALTID gøre det samme p˚a begge sider af lighedstegnet!

I ligningen ovenfor kan vi for eksempel trække 1 fra p˚a begge sider:

som er det samme som

x + 1 − 1 = 5 − 1

x = 4

og det er simpelthen m˚aden at løse ligninger p˚a: man retter lidt p˚a

ligningen indtil x st˚ar alene p˚a den ene side af lighedstegnet. S˚a st˚ar

løsningen p˚a den anden side. Lad os tage endnu et eksempel:

først trækker vi 2 fra p˚a begge sider

2(x − 1) + 2 = 6 (5.1)

2(x − 1) = 4

s˚a dividerer vi med 2 (p˚a begge sider)

til sidst lægger vi 1 til.

x − 1 = 2

x = 3

Du kan checke resultatet ved at sætte x = 3 i formel nr. (5.1) og se om

det passer.

Det er iøvrigt ikke nødvendigt at bruge s˚a mange ord n˚ar man skal

løse en ligning. Ved hjælp af det matematiske symbol ⇔ kan det gøres

mere elegant:

2(x − 1) + 2 = 6

⇔ 2(x − 1) = 4

⇔ x − 1 = 2

⇔ x = 3

5.2 Ubekendte og parametre

N˚ar man i matematikken løser ligninger er man sjældent i tvivl om

hvad man skal løse. Det er fordi matematikere har lavet nogle regler for

hvordan man skriver ligninger. Regel nummer 1 er at de ubekendte som


Berømte ligninger

Fermat’s Sidste Teorem siger at ligningen

x n + y n = z n

ikke har nogen heltals løsninger for x, y og z n˚ar

n > 2. Det var Pierre de Fermat der i 1637 kom p˚a

ideen, men det tog mere end 350 ˚ar før det i 1995

blev endeligt bevist af englænderen Andrew Wiles.

Fermat skrev i sine noter at han havde fundet et

bevis men at marginen i hans hæfte var for lille

til at beskrive det. Hans teorem har givet mange

dygtige matematikere igennem tiderne hovedbrud.

5.2. Ubekendte og parametre

skal findes kaldes x, y, z. Egentlig er der ikke mere end ubekendte og tal.

Men nogen gange er der tal i en ligning som vi ikke kender n˚ar vi løser

ligningen, dem kalder vi parametre. Parametre skrives som a, b, c, · · · , h.

Her er et eksempel. Du sparer op til et Wii spil der koster 700 kroner.

Jo mere du hjælper til der hjemme jo flere lommepenge f˚ar du. Hvor

mange m˚aneder er du om at spare op til spillet? I denne opgave er der

kun en ubekendt og det er antallet af m˚aneder du er om at spare op.

Den ubekendte kalder vi x. Dine lommepenge er ikke en ubekendt, for

n˚ar først du har besluttet dig for hvor meget du vil hjælpe til s˚a ved du

hvad du tjener, s˚a dem kalder vi a. Den ligning vi ønsker at løse kan nu

udtrykkes ved hjælp af de informationer vi har

x · a = 700 ⇔ x = 700

a

Løsningen viser - ikke overraskende - at jo mere du f˚ar i lommepenge,

desto hurtigere kan du spare op til dit Wii spil.

N˚ar man løser ligninger hvor der er parametre i, s˚a skal du bare

betragte dem som et tal som du endnu ikke kender, f.ex.

x + ax − 3 = 2 − bx

⇔ x + ax + bx = 2 + 3

⇔ x(1 + a + b) = 5

5

⇔ x =

(1 + a + b)

27


5. Ligninger, Identiteter og Definitioner

28

Ubekendtes efternavne

Der er to vigtige regler n˚ar man skal simplificere eller løse ligninger hvor de

ubekendte optræder i forskellige kombinationer, som 2xy + zx 2 + yx + 3xzx.

Den første er at samle og sortere faktorerne: 2xy + xy + x 2 z + 3x 2 z. Den

næste er at man kun kan lægge tal med samme ”efternavn” sammen. Tallets

”efternavn” er produktet af de ubekendte, f.ex. xy. Det vil sige at vores

udtryk kan simplificeres (reduceres) til 3xy + 4x 2 z

En ligning kan have 0, 1, flere eller uendeligt mange løsninger. Her

er et eksempel p˚a en meget vigtig ligning som har uendeligt mange

løsninger.

(x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2

Prøv at sætte parametrene a og b til 0 og se om du kan finde et par

løsninger.

5.3 Ligninger der ’hænger sammen’

Nogen gange kan man ikke nøjes med en enkelt ligning, men er nødt til

at have to (eller flere) der ’hænger sammen’. Det betyder at de BEGGE

skal være opfyldt SAMTIDIG. For eksempel

2x + 3y = 8

y − x = 1

hvor x og y er ukendte. Dette kaldes to ligninger med to ubekendte.

Her er et eksempel p˚a hvordan disse ligninger kan opst˚a:

Adam er to ˚ar ældre end Berit. Til sammen er Adam og Berit 8 ˚ar.

Hvor gamle er Adam og Berit?

Vi kalder Adams alder for A og Berits alder for B. A og B er de

ukendte som vi skal finde (vi kunne lige s˚a godt have kaldt dem x og y

eller noget helt fjerde). Det vil sige at nu gælder der disse to ligninger

med to ubekendte

A = B + 2

A + B = 8

Den kan løses p˚a denne m˚ade:

Da A = B + 2(den første ligning) kan vi i stedet for A i den anden

ligning indsætte B + 2. Nu st˚ar der B + 2 + B = 8 det er det samme

som 2B + 2 = 8 og 2B = 6 og til sidst B = 3. Der vil sige at Berit er 3


5.4. Uligheder

˚ar. Nu indsætter vi 3 for B i den første ligning: A = 3 + 2 = 5. Der vil

sige at Adam er 5 ˚ar. Prøv selv at checke efter om det passer.

Forklaringen ovenover er fyldt med b˚ade tekst og ligninger og er lidt

rodet. Jeg ville nok skrive det uden s˚a mange ord:

5.4 Uligheder

A = B + 2

⇒ B + 2 + B = 8

⇔ 2B + 2 = 8

⇔ 2B = 6

⇔ B = 6/2 = 3

⇔ A = 3 + 2 = 5

En ulighed ligner en ligning, hvor lighedstegnet er skiftet ud med et

større-end eller mindre-end tegn. For eksempel

A < B

som betyder A er mindre end B. A og B kan være tal, ubekendte og

parametre. For eksempel

3(x − 4) + x 2 < 7

Man kan ændre p˚a uligheder ligesom man kan p˚a ligninger ved at

lave de samme operationer p˚a begge sider af ulighedstegnet. Og s˚a er

der een regel mere:

Ulighedstegnet vender n˚ar der ganges eller divideres med et

negativt tal.

Lad os prøve med følgende ulighed

2 · (4 − x) < −4 · x

først dividerer vi med 2 p˚a begge sider

s˚a lægger vi x til p˚a begge sider,

4 − x < −2 · x

4 < −x

29


5. Ligninger, Identiteter og Definitioner

30

til sidst ganger vi med −1 p˚a begge sider og husker at vende ulighedstegnet:

−4 > x

Det vil sige at løsningen best˚ar af alle de x der er mindre end −4.

Igen kan det skrives kortere og uden ord:

Berømte ligninger

2 · (4 − x) < −4 · x

⇔ 4 − x < −2 · x

⇔ 4 < −x

⇔ −4 > x

⇔ x < −4

Heisenbergs usikkerhedsrelation er givet ved uligheden

∆x · ∆p >

2

Det betyder at der er grænser for hvor nøjagtigt

man kan m˚ale hastighed og position samtidig. Det

er en ligning der har haft stor filosofisk betydning.

Uligheden blev opdaget i 1927 af tyskeren Werner

Heisenberg.


Kapitel 6

Geometri

”There is geometry in the

humming of the strings, there is

music in the spacing of the

spheres.”

Pythagoras (582-507 bc)

Geometri handler om punkter, linier, flader og rumlige figurer. Punkter

har ingen dimension. Linier har dimension 1 som er længde, flader

har dimension 2 som m˚ales i areal. Rumlige figurer har dimension 3 som

m˚ales i volumen.

0D

1D

31

2D 3D


6. Geometri

32

6.1 Parallelle linier

C

γ

D

δ

α β

A B

E

6.2 Retvinklede trekanter

F

N˚ar liniestykkerne AB

og CD er parallelle (vi

skriver AB CD), s˚a er

α = δ and β = γ.

En klog gammel mand ved navn Pythagoras som kom fra Grækenland

fandt ud af at der i retvinklede trekanter var en sammenhæng mellem

længden af de to korteste sider og den lange (som kaldes hypotenusen).

a 2 + b 2 = c 2

c

a

Grunden til at netop de retvinklede trekanter er vigtige er at har

man først forst˚aet dem, s˚a kan man regne all slags trekanter (og all geo-

metriske figurer lavet af rette linier) ud! Arealet af en retvinklet trekant

a · b. Kan du regne ud hvorfor?

er A = 1

2

c

a

Trekanter bruges for eksempel meget inden for 3D grafik og computerspil.

Grunden er at enhver geometrisk figur - uanset hvor kompliceret

b

b


6.3. Firkanter

den ser ud - kan deles op i trekanter. Nedenfor ses en figur med en irregulær

form. Den har vi delt op i tre- og firkanter (hver firkant kunne vi

lave om til to trekanter ved at dele den p˚a skr˚a). Hvis man for eksempel

skulle finde arealet af figuren, kan man i stedet først finde arealerne af

de mindre trekanter og firkanter og derefter lægge dem sammen.

6.3 Firkanter

Firkanter er alle vegne: i Lego klodser, huse, mælkekartoner, bøger,...

a

b b

a a

De tre firkanter ovenfor kaldes (fra venstre): kvadrat, rektangel og

parallelogram. Der findes ogs˚a andre firkanter som er mere irregulære i

deres form, men dem vil vi ikke tale om nu. Længden af siderne kalder

vi a og b. Arealet af en firkant er A = a · b. Dette gælder ogs˚a for

parallelogrammet. Kan du regne ud hvorfor?

6.4 Ligesidede polygoner

En polygon betyder en ”mange side”.

b

33


6. Geometri

34

6.5 Cirkler

3 4 5 6 7

8 9 10 · · · ∞

Mennesket har været fascineret af cirkler i mange tusinde ˚ar. Vi ved

derfor ikke hvorn˚ar man først opdagede sammenhængen mellem en cirkels

omkreds og dens diameter. Hvis man tegner en ret linie gennem

en cirkels centrum vil linien skære cirklen i to punkter. Afstanden fra

centrum til disse punkter kalder vi radius r. En cirkels omkreds hænger

sammen med dens radius p˚a denne m˚ade: O = 2πr.

6.6 Trekanter, Linier og Cirkler

C

Tre linier fra toppunkterne til midten af grundlinierne mødes i et punkt.

En midtnormal er en linie fra midten af et liniestykke vinkelret p˚a

denne. Du kan konstruere en midtnormal ved hjælp af passer og lineal p˚a

følgende m˚ade: Ved hjælp af passeren tegner du en cirkel med centrum

i A som g˚ar gennem C og en cirkel med centrum i C som g˚ar gennem

A. De to cirkler skærer hinanden i to punkter. Tegn en ret linie mellem

disse to punkter. Nu har du den første midtnormal.

r

d


A

A

C

6.6. Trekanter, Linier og Cirkler

Der er tre midtnormaler i en trekant. De tre midtnormaler skærer

hinanden i et punk. Igennem dette punkt kan man tegne en cirkel der

g˚ar igennem de tre spidser. Det kaldes den omskrevne cirkel. Bemærk

at centrum for cirklen godt kan ligge udenfor selve trekanten.

Vinkelhalveringslinien er den linie fra et toppunkt som halverer vinklen

i toppunktet. Den kan konstrueres p˚a følgende m˚ade: Lav en cirkel

med centrum i a ′ dens radius kan vælges tilfældigt. Denne cirkel skærer

trekantens sider i punkterne p og q. Nu laver vi to ens cirkler i p og q

deres radius er heller ikke vigtig s˚a længe at den er stor nok til at cirklerne

skærer hinanden. Disse to cirkler skærer hinanden i to punkter. Til

sidst tegnes en ret linie fra et af disse to skæringspuntker til a ′ .

Hvis vi laver vinkelhalveringslinien for de tre hjørner viser det sig at

C

B

B

35


6. Geometri

36

a ′

a ′

p

c ′

de ogs˚a skærer hinanden i et punkt. I dette punkt kan vi lave en cirkel

som ligger inden i trekanten og netop rører (tangerer) trekantens sider.

Vi kalder den for den indskrevne cirkel.

q

c ′

b ′

b ′


6.7 Vektorer

a ′

c ′

En vektor er et stykke ret linie med en bestemt retning og en bestemt

længde.

b ′

6.7. Vektorer

37


Kapitel 7

Funktioner og Kurver

”In the old days when people

invented a new function they had

something useful in mind.”

Henri Poincaré (1854-1912)

Du har sikkert set udtryk som y = 2x + 3 og lignende. Det er en

speciel form for ligning som vi kalder en funktion. En funktion skaber en

sammenhæng mellem en x værdi og en y værdi. M˚aden det sker p˚a er at

vi først vælger en x værdi. Udfra den beregner vi y. Her er et eksempel:

y = −x 2 + 4x − 2. N˚ar man skal finde ud af hvordan en funktion opfører

sig kan man for eksempel lave en tabel hvor man beregner y for forskellige

værdier af x.

Ofte er der bedre for forst˚aelsen at tegne værdierne ind i et koordinatsystem.

38


x −x 2 + 4x − 2

0 -2

0.5 -0.25

1 1

2 2

3 1

3.5 -0.25

4 -2

2

1

0

−1

−2

y

7.1. Polynomier

1 2 3 4

Men hvis funktionen er bare lidt avanceret er det tit en god ide at

forbinde punkterne med rette linier, da det giver et bedre billede af

hvordan funktionen ser ud.

Men i virkeligheden er der jo uendelig mange x værdier at vælge

imellem og dermed ogs˚a uendelig mange y værdier. Det vil sige at kurven

for funktionen i virkeligheden er glat.

y

y

2

1

0

−1

−2

7.1 Polynomier

1 2 3 4

x

1 2 3 4

Der findes en klasse af funktioner som er specielt vigtige i matematikken,

de kaldes polynomier.

Polynomier af første grad

Et polynomium af første grad er en funktion af formen y = ax+b. Det er

en forudsætning at a = 0 for ellers var ligninen af 0-te grad. Løsningen

af ligningen ax + b = 0 findes let til x = −b/a og er et rationelt tal

hvis a og b er hele tal. Funktionen y = ax + b forestiller en ret linie ned

2

1

0

−1

−2

x

x

39


7. Funktioner og Kurver

40

hældning a og som har værdien b n˚ar x = 0, og man siger at den skærer

y-aksen i værdien b. Ligninger af denne type er specielt anvendelige i

matematikken fordi de altid kan løses. Nogen gange bruger man linier

som tilnærmelser til ikke-lineære funktioner.

Polynomier af anden grad

Et polynomium af anden grad ser i sin fulde form s˚adan ud: y = ax 2 +

bx + c. Ligningen forestiller, hvis man tegner den i et koordinatsystem,

en parabel hvis bue vender opad hvis a er positiv og nedad hvis a er

negativ (se figuren p˚a side 39).

En andengradsligning har op til to løsninger. Løsningen er

x = −b ± √ b2 − 4ac

,

2a

hvilket betyder at ligningen kan skrives som


x − −b + √ b2

− 4ac

· x −

2a

−b − √ b2

− 4ac

= 0

2a

lad os se om det passer. Først ganger vi ligningen med (2a) · (2a) for

at fjerne de 2a i nævneren. Derefter hæver vi den inderste parentes


2ax + b − b2

− 4ac · 2ax + b + b2

− 4ac = 0

s˚a ganger vi de to parenteser sammen

4a 2 x 2 + b 2 − (b 2 − 4ac) + 4abx = 0

og hæver parentesen, hvorefter vi vi dividerer med 4a.

ax 2 + bx + c = 0

7.2 Kurvers Hældning (Differentialregning)

N˚ar man har tegnet en funktion vil man se at med mindre det er en

ret linie, s˚a vil kurven nogle steder være stejl og andre steder flad. Det

kaldes kurvens hældning. En hældning kan være positiv, negativ eller nul

hvis kurven g˚ar opad, nedad eller er flad. Man kan beregne en kurves

hældning p˚a følgende m˚ade.

Man vælger to punkter, x1 og x2, p˚a x-aksen. Afstanden imellem

dem kaldes ∆x = x2 − x1 (udtales delta-x). S˚a regner man funktionens

værdi ud for de to punkter x1 og x2: y1 = f(x1), y2 = f(x2). Forskellen


7.2. Kurvers Hældning (Differentialregning)

mellem de to y-værdier kaldes ∆y = y2 − y1. Hældningen siger noget om

hvor meget y-værdierne ændres n˚ar x-værdierne ændres med ∆x.

1

0.75

∆y

0.5

0.25

y

hældning = ∆y

∆x = y2 − y1

=

x2 − x1

f(x2) − f(x1)

x2 − x1

∆y

∆x

∆x

0.25 0.5 0.75 1

Som det kan ses p˚a figuren s˚a svarer hældningen vi har beregnet ikke

helt til funktionen. Det skyldes at der er for stor afstand imellem de to

x-værdier. Hvis vi sørger for at de ligger tættere p˚a hinanden bliver resultatet

bedre. I grænsen n˚ar forskellen mellem værdierne er meget tæt p˚a

nul f˚as den korrekte hældning. Det kaldes ogs˚a differentialkoefficienten

af funktionen. Det vil vi ikke g˚a s˚a meget ind i her, men du skal alligevel

ikke snydes for lidt seje formler: Der gælder en simpel regneregel for at

finde differentialkvotienten af en andengradsligning.

Hvis

y(x) = ax 2 + bx + c,

er

∆y

= 2ax + b

∆x

Prøv selv om det passer, for eksempel ved at tegne y(x) og derefter

se om hældningen passer.

x

41


7. Funktioner og Kurver

42

Differentiale af polynomier

Hvis vi har et polynomium af n-te grad,

f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0,

findes differentialkoefficienten, f ′ (x), som

f ′ (x) = nanx n−1 + (n − 1)an−1x n−2 + · · · + a1

7.3 Kurvers areal (Integralregning)

Hvis man har en funktion eller en kurve ønsker man nogen gange at

finde arealet under kurven.

f(x)

3

2

2

1

4

1

A

1 1 1

2

x 2

2 3

Integrale af polynomier

Hvis vi har et polynomium af n-te grad,

f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0,

findes integralet, F (x), som

F (x) = an

n + 1 xn+1 + an−1

n xn + · · · + a1

2 x2 + a0x + c

hvor c er en konstant.

x


Berømte ligninger

Isaac Newton opdagede i 1666 hvordan tyngdekraften

virkede og blev i stand til at beskrive

planeternes og m˚anernes bevægelser samt tidevandets

opførsel. Som hjælpemidler opfandt han

b˚ade differential- og integralregningen og grundlagde

den moderne funktionsanalyse.

7.3. Kurvers areal (Integralregning)

43


Kapitel 8

Mængder

”A set is a Many that allows

itself to be thought of as a One”

Georg Cantor (1845-1918)

Vi benytter dagligt mængdebegrebet uden at tænke over det. ”alle

mine sorte sokker”, ”mine skolebøger”, ”eleverne i klasselokalet”. Selv

tallene vi bruger. N˚ar vi siger ”fem”taler vi ikke om et bestemt femtal,

men om begrebet, mængden, fem.

N˚ar vi taler om mængder virker noget af det helt trivielt, og alligevel

er der gemt nogle interessante fænomener i mængdelæren. Faktisk

er mængde lære sammen med symmetri, som begge er forholdsvis abstrakte

begreber, helt centrale i den moderne matematik. Som med al

matematik er der over tiden blevet udviklet nogle symboler man bruger

til at beskrive mængder med. Mængder beskrives med store bogstaver,

A, B, C, · · · , for eksempel kan vi kalde L mængden af lige tal mindre end

10, vi skriver L = {2, 4, 6, 8}.

Lad os tegne tre mængder af tal mindre end 10: mængden af de

lige tal, de ulige tal og kvadrattallene. De lige tal er 2, 4, 6, 8, de ulige

1, 3, 5, 7, 9 og kvadrattallene 1, 4, 9. Nu tegner vi tre cirkler, en for hver

mængde, og fordeler tallene heri.

44


K

L

4

2, 6, 8

1, 9

3, 5, 7

Som vi ser er der et vist sammenfald: 1 og 9 er b˚ade kvadrattal og

ulige tal, 4 b˚ade et lige tal og et kvadrattal. Der er ikke nogen tal der b˚ade

er lige og ulige p˚asamme tid. Der er heller ikke nogen tal der hverken

er lige eller ulige. Det kan vi beskrive ved hjælp af nogle matematiske

symboler.

Den tomme mængde betegner vi ∅ eller {}. Fællesmængden mellem

to mængder betegnes ∩ og foreningsmængden ∪. Nu kalder vi mængden

af lige tal, L, mængden af ulige tal U, og kvadrattallene K. Det skrives

p˚a matematiksprog

U

U = {1, 3, 5, 7, 9}, L = {2, 4, 6, 8}, K = {1, 4, 9}.

Nu kan vi beskrive mængden af tal der b˚ade er ulige og kvadrattal

p˚a samme tid. Det er nemlig fællesmængden af U og K, som skrives:

U ∩ K = {1, 9}. Mængden af tal der er kvadrattal eller lige tal er foreningsmængden

af K og L: K ∪ L = {1, 2, 4, 6, 8, 9}. Mængden af tal der

b˚ade er lige og ulige: U ∩ L = {} = ∅, som er den tomme mængde.

45


8. Mængder

46

Mængdelærens symboler

Der findes en række symboler der benyttes til at beskrive mængder - der er

næsten tale om et sprog. Vi definerer mængden M som ”alle naturlige tal

mindre end 5”. Det skrives p˚a denne m˚ade.

M = {x ∈ N0| x < 5},

formlen læses ”M er lig med mængden af x’er tilhørende de naturlige tal og

nul, for hvilke der gælder at x er mindre end 5”. Vi har nu M = {0, 1, 2, 3, 4}.

Hvis vi nu ønsker at beskrive en delmængde O af M som indeholder alle de

tal fra M som er mindre end 4 og ikke er 0, skrives det s˚adan

O = {x ∈ M| x < 4 ∧ x = 0}

og vi har s˚a at O = {1, 2, 3}. Vi skriver at O ⊂ M, som betyder at O er en

delmængde af M.

Her er nogle eksempler p˚a hvordan to mængder kan sammensættes.

A B

A \ B

B

A B

A B

A ∩ B

A B

A ∪ B

Der gælder nogle regneregler med mængder, her er en af dem

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

den siger at hvis vi først tager foreningsmængden mellem A og B, og

derefter laver fællesmængden med C s˚a er det det samme som hvis vi

laver fællesmængden mellem A og C, fællesmængden mellem B og C og

derefer laver foreningsmængden af dem. Lad os vise at det passer med

vores eksempel ovenfor. I stedet for A, B og C bruger vi L, U og K.



(L ∪ U) ∩ K = {2, 4, 6, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 9}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ {1, 4, 9}

= {1, 4, 9}


(L ∩ K) ∪ (U ∩ K) =

8.1. Mængders størrelse




{2, 4, 6, 8} ∩ {1, 4, 9} ∪ {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 9}

= {4} ∪ {1, 9}

= {1, 4, 9}

8.1 Mængders størrelse

Antallet af elementer i en mængde kaldes mængdens kardinal tal, eller

størrelse. Det vil sige størrelsen af U er 5.

S˚a langt s˚a godt. Nu skal vi forestille os mængden af alle de hele tal

1, 2, 3, · · · . Den er uendelig stor. Dernæst betragter vi mængden af alle

kvadrattal 1, 4, 9, 16, · · · . Hvilken mængde er størst? Man skulle umiddelbart

tro at det er den første, men det kan vises at de begge er lige

store.

8.2 Modsigelser

Nogle af de vigtigste matematikere i omkring 1900 var meget optagede

af at skabe orden i matematikken. Der skulle være et ordentligt fundament

at bygge videre p˚a. Det var meget vigtigt at der ikke var revner i

fundamentet (manglende beviser af vigtige sætninger) og der var en tro

p˚a at man nok snart fik orden i matematikkens sager. Men en walisisk

filosof ved navn Bertrand Russel og en østrisk matematiker ved navn

Kurt Gödel fik sat en stopper for den drøm.

Russel begyndte at lege med mængde begrebet og fik hurtigt skabt

nogle modsigelser. For eksempel betragtede han mængden, R, der indeholder

alle mængder der ikke er medlemmer af af sig selv! Dernæst

stillede han følgende spørgsm˚al: Er R medlem af sig selv? Det er lidt

langh˚aret, men prøv at følge med: Hvis R er medlem af sig selv kan den

jo ikke være med i R som netop er defineret ved at der kun er de mængder

med som ikke er medlem af sig selv. Men hvis R ikke er medlem af

sig selv m˚a kvalificerer den sig jo netop til at være medlem af R. Det vil

sige R er b˚ade medlem og ikke medlem af R. Hermed bankede Russel

et stort hul i det matematiske fundament ved at vise at matematiske

modsigelser let kan konstrueres.

Der findes nogle sproglige eksempler der illustrerer problematikken:

Hvis jeg siger ”denne sætning er usand”opst˚ar der en modsætning. Modsætningen

vises s˚adan: Vi antager udtrykket er sandt, det vil s˚a sige at

sætningen er usand. Men hvis det er usandt at ”denne sætning er usand”,

m˚a sætningen være sand. Det vil sige at den er b˚ade sand og usand

p˚a samme tid og dermed bryder logikken sammen.

47


8. Mængder

48

Senere viste Gödel at lige meget hvor solidt et matematisk grundlag

man bygger, startende fra simple grundbegreber og sætninger som kan

bevises, vil der altid være modsætninger tilstede. Det vil sige der vil

altid være nogle ting der ikke kan bevises matematisk.

Berømte matematikere

Bertrand Russell (1872-1970) var matematiker, filosof

og indædt krigsmodstander. Han opdagede

modsætninger i mængdelæren. P˚a grund af hans

modstand imod krig blev han flere gange forbig˚aet

i forbindelse med ansættelser p˚a universiteterne i

England. Han modtog Nobelprisen i litteratur i

1950.

Mængdebegrebet kan ogs˚a bruges til at beskrive talfamilierne. For

eksempel

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


Kapitel 9

Kombinationer

”Falsehood has an infinity of

combinations, but truth has only

one mode of being.”

Jean Jacques Rousseau

(1712-1778)

Inden for matematikken er der en gren der arbejder med kombinationer.

Her er et eksempel: ”P˚a hvor mange m˚ader kan man fordele tre

kugler i to kopper?”. Svaret vil du snart lære at regne ud.

Lad os starte i klasselokalet. Din lærer sætter to stole frem og kalder

Alice og Berit frem og beder dem om at vise hvor mange m˚ader de kan

fordele sig p˚a de to stole. Først sætter Alice sig p˚a den ene stol, og s˚a

er Berit nødt til at sætte sig p˚a den anden. Det var en kombination. S˚a

sætter Alice sig p˚a den anden stol og dermed m˚a Berit sætte sig p˚a den

første. Det var to kombinationer, {Alice, Berit}, {Berit, Alice}, og nu er

der ikke flere muligheder.

Nu kommer Clara og læreren sætter endnu en stol frem. Hvad s˚a? Nu

er der seks kombinationer: {Alice, Berit, Clara}, {Alice, Clara, Berit},

{Berit, Alice, Clara}, {Berit, Clara, Alice}, {Clara, Alice, Berit}, {Clara,

Berit, Alice}.

Nu gør vi det som matematikken er kendt for, vi ser bort fra klasselokalet,

stolene og pigenavnene. Vi benytter i stedet bogstaverne A,B,C,D.

Antallet af kombinationer vokser hurtigt - ved fire personer er der for

eksempel 24.

49


9. Kombinationer

50

{A, B, C, D} {A, B, D, C} {A, C, B, D} {A, C, D, B}

{A, D, B, C} {A, D, C, B} {B, A, C, D} {B, A, D, C}

{B, C, A, D} {B, C, D, A} {B, D, A, C} {B, D, C, A}

{C, A, B, D} {C, A, D, B} {C, B, A, D} {C, B, D, A}

{C, D, A, B} {C, D, B, A} {D, A, B, C} {D, A, C, B}

{D, B, A, C} {D, B, C, A} {D, C, A, B} {D, C, B, A}

Kan vi forklare at antallet af kombinationer g˚ar fra 6 til 24 n˚ar vi g˚ar

fra tre til fire personer? Ja: N˚ar der er fire personer har vi fire muligheder

for at vælge den første. N˚ar det er gjort er der tre tilbage som kan fordeles

p˚a 6 m˚ader. Det vil sige at antal muligheder er 4 · 6. Men hvor kom de 6

fra? Jo vi havde tre muligheder for at vælge den første. Derefter er der

to tilbage og de kan kun fordeles p˚a to m˚ader. Det vil sige at antallet

af kombinationer af fire personer er N(4) = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Med

samme argument kan vi nu finde antal kombinationer af fem personer

N(5) = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Hvor mange kombinationer tror du der kan

laves med seks personer?

I stedet for at skrive lange rækker af tal med gange tegn imellem har

matematikerne opfundet et symbol som letter notationen. Man skriver

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1. Symbolet kaldes ’fakultet’ og man siger ’fem fakultet’.

Chokolademysteriet

Forestil dig at du har en stor æske chokolade, hvor hvert stykke chokolade

ligger i et lille rum. Du hælder chokoladerne ud p˚a bordet og tager et stykke

ad gangen og ligger tilfældigt p˚a tilbage. Hvor stor er sandsynligheden for

at ingen af chokoladerne nu ligger p˚a deres oprindelige plads?

Leonhard Euler viste at sandsynligheden for dette er ≈ 0.37 (1/e) næsten

uanset hvor mange chokolader der er i æsken. Beviset bygger p˚a at betragte

antallet af kombinationer.

9.1 Terningekast

Kombinationer bruges meget indenfor spilteori og sandsynlighedsregning.

Her er et eksempel. Hvis jeg kaster en terning, hvad er s˚a sandsynligheden

for at f˚a mindst 2?

Først kikker vi p˚a antallet af mulige resultater ved et terningekast -

det er 6 (1,2,...,6). Dernæst kikker vi p˚a antallet af muligheder for at vi

mindst f˚ar værdien 2 - det er 5 (2,3,...6). Til sidst finder vi sandsynligheden

som antallet af muligheder der opfylder kravet divideret med det

totale antal muligheder. I dette tilfælde er resultatet 5/6 ≈ 0.83 = 83%.


9.2. n vælg k

At sandsynligheden er 83% betyder at hvis du for eksempel kaster en

terning 100 gange s˚a vil du ca. 83 gange opleve at tallet er 2 eller derover.

Lad os tage endnu et eksempel: Du kaster to terninger - hvad er

sandsynligheden for summen af øjnene er mindst 9? Der er følgende 10

muligheder der opfylder kravet.




Nu mangler vi bare at finde ud af p˚a hvor mange m˚ader man kan sl˚a

med to terninger. Det er nemt nok - der er 36 muligheder. Prøv eventuelt

at skrive dem ned. Det vil sige at sandsynligheden for at summen ved

et kast med to terninger er mindst 9, er 10/36 ≈ 0.28 = 28%.

Hvorfor er der 36 muligheder? Det er fordi der er 6 muligheder for

den første terning og ligegyldigt hvad den første viser er der ogs˚a 6

muligheder for den anden: 6 · 6 = 36.

Hvad med tre terninger? Der gælder samme argument at lige meget

hvad de to første terninger har vist, er der stadig 6 muligheder for den

tredje: 6 · 6 · 6 = 216. Generelt har vi at for n terninger er der 6 n

muligheder.

Hvis du spiller Yatzy har du 5 terninger. Hvor mang kombinationer

kan man lave med dem? og hvad er sandsynligheden for at f˚a Yatzy (fem

ens) i første slag?

9.2 n vælg k

I kombinatorik og andre matematiske discipliner har man tit en mængde

af n elementer og skal udfra denne vælge k. For eksempel Der er 30 børn

i klassen og der skal vælges 2 til elevr˚adet. P˚a hvor mange m˚ader kan

man gøre dette? Det er brugt s˚a tit at man har opfundet et symbol for

dette.


n

k

amerikanerne siger ”n choose k”som meget præcist siger hvad funktionen

gør. Funktionen kaldes binomial koefficienten og er defineret ved hjælp

af fakultet funktionen.


n n!

=

k k!(n − k)! .

51


9. Kombinationer

52

Lad os bruge Binomial koefficieneten til at regne ud hvor mange

m˚ader vi kan vælge 2 elever til elevr˚adet ud af de 30 elever i klassen.


30 30! 30! 30 · 29 · 28 · · · 2 · 1

=

= =

2 2!(30 − 2)! 2 · 28! 2 · 28 · 27 · · · 2 · 1 ,

som heldigvis kan forkortes en hel del

30 · 29 · ✚28 · · · ✁2 · ✁1

2 · ✚28 · ✚27 · · · ✁2 · ✁1

= 30 · 29

2

= 435

S˚a der er 435 m˚ader at sammensætte de to elevrødder p˚a.

P˚a samme m˚ade kan vi finde ud af hvor mange m˚ader man kan

udfylde en lotto kupon p˚a. Der er 36 tal p˚a kuponen og der skal vælges

7. Det giver 36

7 = 8347680 muligheder. I kortspillet ”500”f˚ar hver spiller

7 kort. P˚a hvor mange m˚ader kan de vælges? Er det sandsynligt at du

nogensinde f˚ar de samme 7 kort to gange?

9.3 n elementer fordelt i m grupper


n + m − 1

m − 1

Men hvad nu hvis kuglerne er forskellige?


Kapitel 10

Uendelighed

”Mathematicians aren’t satisfied

because they know there are no

solutions up to four million or

four billion, they really want to

know that there are no solutions

up to infinity.”

Andrew Wiles (1953-)

Uendelighed er et spændende begreb. Der er flere matematikere der

har arbejdet med uendeligheder, en sf de største hed Cantor. Han opdagede

at der findes flere forskellige slags uendeligheder - man bliver helt

svimmel bare ved tanken.

10.1 Uendelige summer

Uendelige summer er et uendeligt langt plus stykke. De bruges rigtig

meget inden for ingeniørfagene. Her er et simpelt eksempel

1 + 1 1 1 1 1

+ + + + + · · ·

2 4 8 16 32

Denne sum giver resultatet 2. Prøv selv at se hvor tæt p˚a 2 du kommer

hvis du lægger de første 10 led sammen.

Matematikerne har fundet en kortere m˚ade at skrive resultatet p˚a.

53


10. Uendelighed

54


n=0

1

= 2

2n Det er bestemt ikke alle uendelige summer der giver et resultat, for

eksempel bliver denne sum

1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

uendelig stor, man siger at den divergerer, og det gør denne her ogs˚a,

selvom det g˚ar meget langsomt.

1 + 1 1 1 1 1

+ + + + + · · ·

2 3 4 5 6

Det er let at vise at denne sum divergerer. Først skriver vi den lidt

om ved at indsætte nogle parenteser.

1 + 1

2 +


1 1 1 1 1 1

+ + + + + + · · ·

3 4 5 6 7 8

Nu bemærker vi at 1/3 > 1/4 og at 1/5, 1/6 og 1/7 alle er større end

1/8 og s˚avidere. Der vil sige at summen ovenfor er større end

1 + 1

2 +


1 1 1 1 1 1

+ + + + + + · · · = 1 +

4 4 8 8 8 8

1 1 1

+ + + · · ·

2 2 2

og s˚a er det nemmere at se at summen bliver uendelig stor. Med lidt

kendskab til brøker kan vi ogs˚a regne ud at denne sum divergerer.

1 + 1 1 1 1

+ + + + · · ·

3 6 9 12

Det ser ud til at alle nævnere i summen kan deles med 3.

1 + 1 1 1 1 1 1 1

· 1 + · + · + · + · · ·

3 3 2 3 3 3 4

og hvis vi sætter 1/3 uden for parentes f˚ar vi

1 + 1


1 +

3

1


1 1

+ + + · · ·

2 3 4

men vi har jo lige vist at den sum der st˚ar inden i parentesen divergerer

(bliver uendelig stor) og det gælder ogs˚a selvom vi ganger med 1/3. Kan

du p˚a samme m˚ade vise at denne sum ogs˚a divergerer?

1 + 1 1 1 1

+ + + + · · ·

5 10 15 20


Hvad med denne her?


n=0

10 −n = 1 + 1 1 1 1

+ + + + · · ·

10 100 1000 10000

10.2. Uendelige brøker

Det er jo nemt nok, for det er 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + · · · = 1.111... og

det er et uendeligt decimaltal som gentager sig selv, s˚a det kan skrives

som en brøk, men hvilken?

Joseph Liouville var den første til at bevise eksistensen af transcendentale

tal, og ved hjælp af uendelige summer skabte han et. Tallet

kaldes Liouvilles konstant og er defineret s˚aledes


n=1

10 −n! = 1 1

+

10 100 +

1

+ · · ·

1000000

Det er helt sikkert at dette tal konvergerer for det svarer til den forrige

sum, blot med nogle af leddene fjernet, s˚a det m˚a være mindre end

0.111... men kan du vise at det er større end 0.11?

10.2 Uendelige brøker

Det findes ogs˚a uendelige brøker. En uendelig brøk skrives p˚a denne mde

a0 +

1

a1 + 1

a2+···

hvor konstanterne a0, a1, · · · er hele tal. Ved hjælp af uendelige brøker

kan man for eksempel bevise eksistensen af de transcendentale tal .

Hvis vi sætter alle a’erne til 1 kan vi prøve at tage flere og flere led

med

1 +

1 +

1 +

1 +

1 + 1

≈ 2

1 + ɛ

1

1 + 1

1+ɛ

1

1 + 1

1+ 1

1+ɛ

1

1

1+ 1

1+ 1

1+ɛ

,

≈ 1.5

≈ 1.666

≈ 1.6

55


10. Uendelighed

56

1 +

1 +

1

1

1 1+

1+ 1

1+ 1

1+ɛ

≈ 1.625

osv. derud af.

Det vi ser er at andet tal er mindre end første, tredje er større end

andet, fjerde er mindre end det tredje og denne skiften fortsætter i det

uendelige, men til sidst ender vi med værdien φ ≈ 1.618033 · · · som

kaldes det gyldne snit. Det gyndle snit kan ogs˚a beskrives ved formlen


5 + 1

φ = .

2

φ er ligesom π og mange andre tal irrationelle og det vil sige at det ikke

kan skrives som en simpel brøk af to hele tal. Decimalerne fortsætter i

det uendelige p˚a en tilsyneladende tilfældig m˚ade.

Her er et andet kendt tal udtrykt som en uendelig brøk

1 +

2 +

1

1

1 2+

2+ 1

2+ 1

1+ɛ

= √ 2

I stedet for at skrive alle brøkstregerne og f˚a nogle meget gnidrede formler

skriver man i stedet

[a0; a1, a2, · · · , an] = a0 +

a1 +

1

1

a2+ 1

···+ 1

an

P˚a denne m˚ade kan vi nemmere skrive brøken for forskellige kendte

tal

Uendelige brøker

Her er nogle forskellige irrationelle tal udtrykt som uendelige

brøker. P˚anær π har de alle nogle mønstre som er nemme

at genkende. √2 = [1;2,2,2,2,2,2,2,2,2,...]

φ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]

√ 3 = [1;1,2,2,2,2,2,2,2,2,...]

√ 5 = [2;4,4,4,4,4,4,4,4,4,...]

e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...]

π = [3;7,15,1,292,1,1,1,...]

,


10.3 Uendelige produkter

10.3. Uendelige produkter

Vi har nu set uendelige summer og uendelige brøker, og nu fortsætter vi

med uendelige produkter. Lad os starte med noget nemt

1 · 1 · 1 · 1 · · · = 1

Dvs. 1 ganget med sig selv uendeligt mange gange giver stadig 1. Men

hvad med andre tal?

2 · 2 · 2 · 2 · · · = ∞

hmm. 2 gange 2 er 4. 4 gange 2 er 8, 16, 32, ... tallene stiger og stiger

og resultatet bliver uendeligt.

1 1 1 1

· · · · · · = 0

2 2 2 2

hmm. 1/2 gange 1/2 er 1/4, 1/4 gange 1/2 er 1/8, 1/16, 1/32, ... tallene

bliver mindre og mindre og bliver man ved uendeligt bliver det nul.

Men det ser ud til at være svært at f˚a et uendeligt produkt til at

blive til andet end 0 eller ∞. Findes der uendelige produkter med andre

værdier? Ja!

10.4 Uendelige linier

2 · 2 2 4 4 6 6 8 8

· · · · · · · · · · = π

1 3 3 5 5 7 7 9

Forestil dig en cirkel med en uendelig omkreds. Den cirkel vil være uendeligt

stor. En ret linie med uendelig længde er ogs˚a uendelig stor (og

svær at tegne), men kan man have en uendelig lang kurve (der i hverttilfælde

ikke er en cirkel eller en ret linie) som ikke fylder uendeligt meget?

Ja det kan man. Der er faktisk mange og de kaldes fraktaler . Her er

et eksempel som kaldes Koch kurven .

Vi starter med at tegne en ret linie (bl˚a). I næste skridt erstatter vi

den midterste tredjedel af linien med en ’bule’ (rød): Da hver side i den

trekantede bule er lige s˚a lange som de øvrige linier er den røde linie

4/3 ≈ 1.333 gange s˚a lang som den bl˚a.

57


10. Uendelighed

58

Nu gentager vi uendeligt mange gange: hvert rette linie stykke f˚ar en

’bule’ i sin midterste tredjedel. Allerede ved tredje (grøn) runde kan vi

fornemme hvilken figur der tegnes.

Men hvad med længden? Den grønne er 1.333 gange s˚a lang som den

de og 1.333·1.333 = 1.777 gange s˚a lang som den bl˚a. Vi kan fortsætte

i det uendelige og kurven bliver længere og længere men den fylder ikke

mere.

Ja ja det er jo meget matematisk, men finder man fraktaler i den

virkelige verden? Ja det gør man: Trærnes grene spreder sig i fraktale

mønstre, bjerges hakkede udseende kan beskrives som fraktaler og selv

den danske kystlinie er en fraktal. Hvor lang er Danmarks kystlinie?

Det afhænger af hvilken m˚alestok du bruger. Hvis du m˚aler med en

lineal p˚a 1m f˚ar du et tal. Men hvis man bruger en lineal p˚a 1cm bliver

længden større. Det er fordi vi nu kan m˚ale de sm˚a ’buler’ som sten

i strandkanten laver. Jo mindre lineal, desto længere kystlinie. Tilsidst

bliver den uendelig lang, men den har et endeligt areal og s˚a er den en

fraktal.

Træer og buske forgrener sig p˚a en m˚ade der ogs˚a kan betragtes som

en fraktal. Her er nogle eksempler som alle er lavet ud fra den samme

formel, med ganske f˚a variationer.

Sidste eksempel p˚a uendelighed i matematikken er Möbius b˚andet.

Man kan selv lave et ud af papir. Du klipper et stykke p˚a ca. 2cm x

15cm. S˚adrejer du den ene ende en halv omgang og derefter klistrer du

enderne sammen. Du vil opdage at papiret kun har en side og hvis du

forsøger at m˚ale længden af papiret, s˚a er det uendeligt langt.


Uendelighedens udfordrer

Georg Cantor var meget optaget af begrebet uendelighed.

Han viste f.ex. at de rationelle tal kan

tælles, at de reelle tal ikke kan, at der er flere slags

uendeligheder ℵ0, ℵ1, · · · , og meget mere. Hans ideer

mødte stor modstand i samtiden.

10.4. Uendelige linier

59


Kapitel 11

Matematiske Beviser

”I mean the word proof not in

the sense of the lawyers, who set

two half proofs equal to a whole

one, but in the sense of a

mathematician, where half proof

= 0, and it is demanded for proof

that every doubt becomes

impossible.”

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)

Fra matematikkens barndom har man benyttet sig af beviser. Der er

i matematikkens verden uendelig stor forskel p˚a at gætte p˚a at der er

udendelig mange primtal fordi det ’virker sandsynligt’ og s˚a p˚a faktisk

at bevise det. N˚ar først en ting er bevist er der ikke mere at diskutere

og man kan koncentrere sig om det næste problem.

Her vil vi give nogle eksempler p˚a matematiske beviser.

11.1 Er 0.999 = 1?

Bevæbnet med vores viden om de gentagne decimaltal kan vi BEVISE

at 0.99999... = 1. Det lyder m˚a ske ikke af noget særligt men det er

faktisk meget vigtigt for det har betydning for at vi kan bevise at der er

flere slags uendeligheder.

Lad os igen kalde 0.999 for x og gange med 1000.

60


1000 · x = 999.999 = 999 + x

11.2. Diagonalargumentet

men hvis 1000x = 999 + x s˚a er 999x = 999 og dermed x = 999

999 = 1.

S˚a svaret er ja vi har bevist at 0.99999999... = 1. Q.E.D

11.2 Diagonalargumentet

Her kan vi lære at BEVISE at de reelle tal ikke kan tælles, det vil sige

at der er flere af dem (faktisk uendeligt mange flere) end der er af de

rationelle tal.

Lad os forestille os at vi har talt og lavet en liste med alle de rationelle

tal. Da den liste er uendeligt stor viser vi et udsnit af den efter at have

blandet tallene lidt

0 . 0 1 0 5 1 1 0 ...

0 . 0 1 0 5 1 3 0 ...

0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

Nu skaber vi et nyt tal der ikke er i listen p˚a følgende m˚ade: Vi

lægger 1 til første ciffer i første tal og til andet ciffer i andet tal osv.

Hvis tallet er 9 lader vi det nye tal være 0. Vi samler nu alle de tal vi

har ændret sammen til et nyt tal.

0 . 0 1 0 5 1 1 0 ...

0 . 0 1 0 5 1 3 0 ...

0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

0 . 1 2 4 7 1 3 9 ...

Dette tal er forskelligt fra alle de andre tal i den oprindelige tabel.

Hvorfor? Fordi vi ved at lægge 1 til tallene i diagonalen har sørget for

første ciffer i vores nye tal er forskellig fra første ciffer i første tal, andet

ciffer i vores nye tal er forskelligt fra andet ciffer i det andet tal, og s˚a

videre. Det vil sige at ligemeget hvor mange tal vi har samlet er der altid

61


11. Matematiske Beviser

62

plads til et nyt som er forskelligt fra dem. Med andre ord har vi vist at

man ikke kan tælle de reelle tal. Q.E.D

11.3 Er √ 2 et rationelt tal?

Vi kan ogs˚a BEVISE at √ 2 er et irrationelt tal.

Beviset er af en type hvor vi antager det modsatte og viser at den antagelse

fører til en modsigelse. Det er en snedig matematisk bevisførelse

som kaldes ”reductio ad absurdum”.

Antag at √ 2 er rationel, dvs. at √ 2 kan skrives som en brøk a

b . Antag

ogs˚a at a og b ikke har nogen fælles divisor. Det vil sige vi forudsætter

at der ikke findes tal k, c, d s˚a a = kc og b = kd.

For hvis det var tilfældet kunne vi skrive √ 2 = a kc

b = kd . Efterfølgende

kunne vi s˚a forkorte k væk, og bare benytte c og d i stedet for a og b.

Men hvis det gælder at

√ a

2 =

b

s˚a kan vi kvadrere begge sider:

2 = a2

b 2

og ved at gange (p˚a begge sider) med b 2 ,

2b 2 = a 2

Da 2b 2 er et lige tal 1 betyder det (da det er en ligning) at a 2 ogs˚a

er lige. Men for at kvadratet af et tal skal være lige m˚a tallet selv være

lige 2 . Det vil sige at a kan skrives som 2c. Det sætter vi nu ind i den

oprindelige ligning:

√ a 2c

2 = =

b b

som vi kvadrerer til 2 = 4c2

b 2 . Det betyder at b 2 = 2c 2 , det vil sige at b 2

er lige. Men hvis b 2 er lige m˚a b ogs˚a være lige og det kan vi skrive som

b = 2d.

Vi har nu fundet ud af at a = 2c og b = 2d men hov! a og b har nu en

fælles faktor 2. Dette er i MODSTRID mod hvad vi antog til at starte

med. Det vil sige antagelsen om at √ 2 var rationel (kunne skrives som

en brøk af to hele tal) ikke kan være rigtig. Vi har dermed bevist at √ 2

er et irrationelt tal. Q.E.D

1Lad os gange alle tal fra 1 til 9 med 2: (2,4,6,8,10,12,14,16,18) hmm. de er alle

lige...

2Lad os kvadrere de ulige tal fra 1 til 9: (1, 9, 25, 49, 81) hmm de er alle ulige...


11.4 Uendeligt mange primtal

11.4. Uendeligt mange primtal

Nu vil vi bevise at der findes uendeligt mange primtal. Vi starter dog i

det sm˚a.

Vi ved for eksempel at 2, 3, og 5 er de tre første primtal. Vi vil nu

vise at der findes et primtal der er større end dem (og mindre end 31):

Først laver vi et nyt tal ved at gange dem alle sammen og lægge 1

til. 2 · 3 · 5 + 1 = 31.

Nu checker vi lige at 2, 3 eller 5 ikke g˚ar op i 31:

31/2 = 15 1

1

1

2 , 31/3 = 10 3 , 31/5 = 6 5 s˚a det gør de ikke. Men da

ethvert tal kan dannes som et produkt af dets primtalsfaktorer m˚a der

eksistere et primtal større end 5 og mindre eller lig med 31. Hvis vi

sl˚ar op i en tabel over primtal kan vi se at der i dette tilfælde er flere

muligheder: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 og 31. Der behøver ikke være mange

men der skal ALTID være mindst et!

S˚a prøver vi igen men nu tager vi de fire første primtal og danner et

nyt tal: 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211. Igen er der ingen af de første fire tal der g˚ar

op i 211 (regn selv efter) s˚a derfor m˚a der eksistere (mindst) et primtal

større end 7 og mindre eller lig med 211.

Man kan blive ved p˚a den m˚ade i det uendelige, s˚a lige meget hvor

stort et primtal man finder, kan man bare lave et nyt tal ved at gange

alle de mindre primtal sammen og lægge 1 til og s˚a ved vi at der m˚a

findes (mindst) et der er større endnu.

Dermed er det bevist at der er uendeligt mange primtal. Q.E.D

63


Kapitel 12

Matematikkens fædre

Der er tusindvis af personer der gennem tiderne har bidraget til matematikken

som vi kender den i dag. Men der er nogle f˚a personer der har

ydet nogle ekstra store bidrag.

Pythagoras (c. 570-495 BC):Pythagoras’ theorem.

Euclid (c. 300 BC):Elements.

Fibonacci (c. 1175-1250):Liber Abbaci. Leonardo of Pisa

Rene Descartes (1596-1650):La Geometrie. Opfandt koordinatbaseret

geometri.

Pierre de Fermat (1601-1665):Fermat’s sidste teorem.

Isaac Newton (1642-1727):Principia, Differential og integralregning.

Gottfried Leibnitz (1646-1716):Differentialregning.

Leonhard Euler (1707-1783):Talteori, geometri, matematisk analyse.

Joseph Fourier (1768 - 1830):Varmeledning, Fouriertransformationen.

Sophie Germain (1776 - 1831):Elasticitetsteori, Fermat’s teorem.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855):Talteori, geometri, fysik, landm˚aling.

Joseph Liouville (1809 - 1882):Transcendentale tal.

Bernhard Riemann (1826 - 1866):Kompleks analyse, differentialgeometri.

64


Georg Cantor (1846 - 1918):Mængdelære, uendelighed.

Kurt Gödel (1906 - 1978):Ukompletheds teoremet.

Pal Erdős (1913 - 1996):Mange discipliner.

12.1 Matematiske bedstefædre

12.1. Matematiske bedstefædre

Mange matematikere taler om deres matematiske bedstefar eller lignende.

Med det mener de at de inden for det matematiske felt nedstammer

fra en bestemt kendt matematiker. Der er ikke tale om familieslægtskab,

men slægtskab mellem vejleder og studerende.

J G Fourier (17xx)

G Dirichlet (1827)

L Kronecker (1845)

Leonhard Euler (1726)

J Lagrange (1754)

J Liouville (1836)

E C Catalan (1841)

C Hermite (187x)

H Poincare (1879)

T D Donder (1901)

I Prigogine (1941)

S Poisson (1800)

M Chasles (1814)

H A Newton (1850)

E H Moore (1885)

G Birkhoff (1907)

H Whitney (1932)

J Eells (1954)

V L Hansen (1972)

Her har jeg lavet et ufuldstændigt slægtstræ startende med Leonhard

Euler. Mange af hans matematiske børnebørn har sat varige spor i matematikken,

dem har jeg markeret med fed skrift. Men slægtskabet breder

udover matematikken. For eksempel har Ilya Prigogine været med til at

forske i det man kalder ulineære systemer som ofte fører til kaosteori og

65


12. Matematikkens fædre

66

fraktaler. I den matematiske ende har vi den danske matematiker Vagn

Lundsgaard Hansen som har undervist mig p˚a universitetet. S˚a man kan

p˚a en m˚ade sige at Euler er min matematiske tip, tip, · · · , tipoldefar.

12.2 Erdős tal

Paul Erdős var en af verdens mest produktive matematikere nogen sinde.

Derfor opfattes han af mange som noget særligt. Da han levede i nyere

tid er der mange der har arbejds sammen med ham. Man har derfor

opfundet noget der kaldes et Erdős tal. Erdős har tallet 0. Man har

et Erdős tal p˚a 1 hvis man har arbejdt sammen (og udgivet en artikel

sammen med) Paul Erdős. Hvis man har udgivet en artikel med en der

har udgivet en artikel med Erdős har man et Erdős tal p˚a 2.

Mit Erdős tal

Jeg er ikke matematiker, men jeg har alligevel et Erdős tal p˚a fire.

Bollobás, Béla; Erdős, Pál. ”Extremal problems in graph theory.”

(Hungarian) Mat. Lapok 13 1962 143-152.

Bollobás, Béla; Rasmussen, Steen. ”First cycles in random directed

graph processes.” Graph theory and combinatorics (Cambridge, 1988).

Discrete Math. 75 (1989), no. 1-3, 55-68.

Rasmussen, S.;Mosekilde, E.; Engelbrecht, J. ”Time of emergence

and dynamics of cooperative gene networks.” Structure, coherence and

chaos in dynamical systems (Lyngby, 1986), 315-331, Proc. Nonlinear

Sci. Manchester Univ. Press, Manchester 1989.

Hansen, Lars-Ulrik W.;Christensen, Morten; Mosekilde, Erik.

”Deterministic analysis of the probability machine.” Phys Scripta 51

(1995), no 1, 35-45.


Bilag A

Matematikkens symboler

Symbol Betydning

+ − ·/ De fire regningsarter

± plusminus: ±1 = −1, 1

≈ næsten lig med: 1.998 ≈ 2

= Lighedstegn: 0.5 = 1

2

= Forskellig fra. 5 = 2

∧ logisk ’og’

∨ logisk ’eller

Mindre-end og større end. ex. A < 5, A er mindre end 5

≤≥ Mindre-end eller lig med, større-end eller lig med

· · · Fortsættelsestegn, ex. 1, 2, 3, · · ·

Σ Summeringstegn, bruges i uendelige summer

⇒ Medfører

⇔ Ensbetydende med


Kvadratrod

i Den imaginære enhed, bruges i komplekse tal

∞ Uendelig

∆ Delta, forskellen mellem to (sm˚a) tal

π Pi, forholdet mellem cirklens omkreds og diameter

φ Phi, det gyldne snit

[; ] Beskrivelse af en uendelig brøk, ex. [1; 1, 1, · · · ] = φ

67


A. Matematikkens symboler

68

Mængdelære

Symbol Betydning

{} Mængde. Ex. A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 10}

∩ Fællesmængden af to mængder: A ∩ B = {2, 4}

∪ Foreningsmængden af to mængder: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 10}

⊆ Delmængde: {1, 2, 4} ⊆ {1, 2, 4}

⊂ Ægte delmængde. f.ex. {1, 2} ⊂ {0, 1, 2, 3}

∈ Tilhører. f.ex. A = {1, 2, 4}, 2 ∈ A

/∈ Tilhører ikke. f.ex. 5 /∈ {1, 2, 4}

∅ Den tomme mængde: ∅ = {}

\ Undtagen: B \ A = {3, 10}

ℵ0

Størrelsen (kardinal tallet) af de tællelige uendeligheder.

N De naturlige tal, 1, 2, 3, · · ·

Z De hele tal, 0, ±1, ±2, ±3, · · ·

Q De rationelle tal: p/q, q = 0

R De reelle tal: √ 2

C De komplexe tal: a + i · b

Græske bogstaver

Symbol Navn Udtale

α alpha alfa

β beta beta

Γ, γ gamma gamma

∆, δ delta delta

ɛ epsilon epsilon

ζ zeta sæta

η eta æta

Θ, θ theta tæta

ι iota jota

κ kappa kappa

Λ, λ lambda lamda

µ mu my

Symbol Navn Udtale

ν nu ny

Ξ, ξ xi ksi

Π, π pi pi

ρ rho ro

Σ, σ sigma sigma

τ tau tau

Υ, υ upsilon ypsilon

Φ, φ phi fi

χ chi ki

Ψ, ψ psi si

Ω, ω omega omega


B.1 Bøger

Bilag B

Referencer

Pædagogiske introduktioner til matematikkens verden

• Hans magnus Enzensberger - ”Taldjævelen”

• Hiroshi Yuki - ”Math Girls”

Biografier om matematikere

• Stuart Hollingdale - ”Makers of Mathematics”

• Ioan James - ”Remarkable Mathematicians”

• N.N. Gauss

• N.N. Euler

• Edna E. Kramer - ”Nature and Growth of Modern Mathematics”

Matematik og Matematisk historie

• A. Ya. Kinchin - ”Continued Fractions”

• Edna E. Kramer - ”Nature and Growth of Modern Mathematics”

• Douglas E. Hofstaedter - ”Gödel Escher and Bach”

69


B. Referencer

70

B.2 Webreferencer

Der findes utallige websider som handler om matematik. Nogle af dem

har været i funktion længe og nogle er relativt nye. De følgende referencer

har jeg benyttet eller fundet frem til i forbindelse med at jeg skrev dette

hæfte.

• www.mersenne.org - Great Internet Mersenne Prime Search

• http://primes.utm.edu/

• Prime factors online http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM

• wolframalpha.com

• wikipedia.com


π, 19

π , 16

andengradsligning, 38

areal, 40

Bernhard Riemann, 61

beviser, 57

binære tal, 21

binomial koefficienten, 49

Cantor, 50

Carl Friedrich Gauss, 61

computer matematik, 11

definition, 22

det gyldne snit, 53

diagonalbeviset, 58

differentialregning, 38

Eratosthenes, 9

Eratosthenes si, 9

Erdős tal, 63

Euclid, 8, 61

Euler, 11

fællesmængde, 42

fakultet, 47

Fermat primtal, 12

Fermat’s Sidste Teorem, 25

Indeks

71

Fibonacci, 61

foreningsmængde, 42

fraktaler, 54

del, 10

gentagne decimaltal, 15

Georg Cantor, 61

GIMPS, 12

Goldbach’s Teorem, 11

Gottfried Leibnitz, 61

Great Internet Mersenne Prime

Search, 12

gudeligningen, 20

hældning, 38

Heisenbergs usikkerhedsrelation,

28

hexadecimale tal, 20

identitet, 22

integrale, 40

irrationelle tal, 16, 53

Isaac Newton, 61

Joseph Fourier, 61

Joseph Liouville, 52, 61

Koch kurve, 54

kombinationer, 46

komplekse tal, 16


Indeks

72

Kurt Gödel, 62

Leonhard Euler, 61

ligning, 23

Liouvilles konstant, 52

lotto kupon, 49

Möbius b˚and, 55

Mændger, 41

mængders størrelse, 44

matematikkens fædre, 61

matematisk bedstefar, 62

Mersenne primtal, 12

modsigelser, 44

naturlige tal, 15

ottetalsystemet, 20

Pal Erdős, 62

parametre, 25

Pierre de Fermat, 61

polynomier, 37

primtal, 8

primtal generator, 12

Pythagoras, 61

rationelle tal, 15

reelle tal, 15

Rene Descartes, 61

Sophie Germain, 61

talsystemer, 14

talteori, 10

terningekast, 47

transcendentale tal, 16, 52

tvillinge primtal, 12

ubekendte, 25

Uendelige brøker, 52

uendelige summer, 50

uendelighed, 50

uligheder, 27

Werner Heisenberg, 28


Hvad har haloween med juleaften at gøre - hvis

man er computer programmør, og er DeadBeef

et tal eller er metalband? Kan man have mere

end to bedstefædre hvis man er matematiker og

hvad er et Erdős tal? Har de gamle Babylonere

noget med klokken at gøre, og hvem løste mysteriet

om Fermat’s sidste teorem? Disse og mange

flere spørgm˚al bliver besvaret i dette hæfte om

matematik.

‘Fantastisk Inspirerende.’ - Aa. Brodtgaard

Dette hæfte er skrevet for dem der lidt nysgerrige

eller nørdede og som gerne vil vide lidt mere

om matematik. Gennem historier og enkle

forklaringer bliver man indviet i nogle af matematikkens

vigtigste principper, fra de hele tal

til transcendentale tal, fra nul til uendelig, fra

trekanter til fraktaler. Hæftet kan bruges fra 8.

klasse til og med 3.G, for eksempel i forbindelse

med temauger, master classes eller som

opfølgning p˚a gode spørgsm˚al n˚ar der er en time

ledig.

jCAPS Publishing • http://www.jcaps.com

Forsidedesign af Morten Jagd Christensen •

http://www.jcaps.com

ISBN 978-87-994778-0-7

9 788799 477807

More magazines by this user
Similar magazines